exercices-chap12

Document créé le 29 octobre 2015

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Chapitre 12 Polynômes, fractions rationnelles 12..1 12

Annea nneau u des des polyn polynôm ômes es

Exercice 12.1.1

Factoriser sur R les polynômes A = = X X 4 + X 2 + 1 et B = X 8 + X 4 + 1. 1. Exercice 12.1.2

Factoriser le polynôme P n = 1 +

1 1 X + + X (X + + 1) + 1! 2!

) Développer le polynôme P n = (1 + X )(1 )(1 + X 2 )

X (X + + 1) · · · (X + + n − 1)] 1)].. · · · + n1! [ [X

Exercice 12.1.3 (

2

· · · (1 + X

n

).

Exercice 12.1.4 ()

Pour tous polynômes P et Q d dee

C[X ],

on pose [P, Q] = P Q

1. Discuter le degré de [P, Q] si deg P = p et deg Q = = q q .

− P Q.

2. Montrer que pour tous polynômes P,Q polynômes P,Q,, R : [[ [[P, P, Q], R] + [[Q, [[Q, R], P P ]] + [[R, [[R, P P ]], Q] = 0. Exercice 12.1.5 ()

Soient A et B deux polynômes à coefficients entiers, tels que les coefficients de A sont premiers entre eux dans leur ensemble (idem pour B ). Montrer qu’il en est de même pour AB AB.. Exercice 12.1.6 ()

Développer P Développer P =

12.2 12.2

n−1

 (1 − ω X ), où les ω sont les racines n-ièmes de l’unité. k

k=0

k

Divi Divisi sibi bili lité té,, raci racines nes

Exercice 12.2.1 (

) On se donne trois scalaires a scalaires a,, b, c, différents deux à deux et non nuls. Soit A Soit A = =

X (X b)( )(X X c) X (X c)( )(X X a) X (X a)( )(X X b) 1 + + et B et B = 1+ (X a)( )(X X b)( )(X X c) a(a b)( )(a a c) b(b c)( )(bb a) c(c a)( )(cc b) abc

−− −

−− −

−− −

−− −

−− −

−− −

−

−

−

12.3 Dérivation des polynômes

Chapitre 12 : Polynômes,

fractions rationnelles

Montrer que les polynômes A et B sont égaux. Exercice 12.2.2 ()

Déterminer an et bn pour que An = a nX n+1 + bnX n + 1 soit divisible par B = (X Former alors le quotient Q n dans la division de A n par B.

2

− 1) .


Quand A = (X + 1)n

2

n

− X − 1 est-il divisible par B = X

Exercice 12.2.4

Calculer la valeur de A = X 4

+ X + 1 ?

− X − 3X + 3X − 4 en a = 1 + √ 2. 3

2

3


) Dans R[X ], quel est le reste dans la division de A = (X sin θ + cos θ)n par B = X 2 + 1 ? Exercice 12.2.6 () 4

3

∀ (m,n,p,q ) ∈ N , B = X

Montrer que

+ X 2 + X + 1 divise A = X 4m+3 + X 4n+2 + X 4 p+1 + X 4q .

Exercice 12.2.7

Déterminer un polynôme A unitaire de degré 3, divisible par (X divisions par (X 2), (X 3) et (X 4).

−

−

− 1) et ayant le même reste dans les

−


Division de An = X n+1 cos(n

12.3

n

− 1)θ − X

cos nθ

2

− X cos θ + 1 par B = X − 2X cos θ + 1.

Dérivation des polynômes

Exercice 12.3.1 (n)

Trouver P tel que P (1) = 3, P (1) = 4, P (1) = 5 et 



∀ n  3, P

(1) = 0.

Exercice 12.3.2 ()

Un polynôme unitaire P de degré n vérifie : nP = (X a)P + 2bP . Déterminer les coefficients de P ordonnés suivant les puissances de X

−






− a.

)

1 Soient a, b deux entiers relatifs (b = 0) et n un entier naturel. Montrer que P = X n(a n! a toutes ses dérivées prennent des valeurs entières en x = 0 et en x = . b



− bX )

n

et

Exercice 12.3.4

X 2 Montrer que P n = 1 + X + + 2!

Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard

···

X n + n’a que des racines simples dans C. n!

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12.3 Dérivation des polynômes




) Trouver un polynôme A de degré 5 sachant que le reste dans sa division par (X + 1)3 est reste dans sa division par (X 1)3 est 11.

−


)

Montrer que (X 1)3 A n = (1 + X )(X n 1) + 2nX n (1 Calculer le quotient de la division de A n par (X 1)3.

−

−5 et que le

|

−

−

2

n−1

− X ) + n X

(X

2

− 1) .

Exercice 12.3.7 ()

Déterminer tous les polynômes de K[X ] divisibles par leur polynôme dérivé.


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12.4 Arithmétique dans K[X ]



Arithmétique dans K[X ]

12.4

Exercice 12.4.1

Montrer que deux polynômes A et B sont premiers entre eux ) Montrer que le Pgcd de X n

⇔

AB et A + B le sont.


pgcd(n,p)

p

− 1 et de X − 1 est X

− 1.

Exercice 12.4.3

Soient A, B dans K[X ] (non tous deux nuls) et soient U, V tels que AU + BV = pgcd(A, B). Montrer que U et V sont premiers entre eux. Exercice 12.4.4 (

) Soient P, Q deux polynômes de C[X ], premiers entre eux, et tels que P 2 + Q2 admette a pour racine double. Montrer que a est racine de P 2 + Q 2 . 



Exercice 12.4.5 () 3

Trouver tous les polynômes U et V tels que (X

2

− 1) U + (X + 1) V = 1.


) Déterminer deux polynômes S et T de degré 5 tels que (1

6

6

− X ) S + X T = 1.

Exercice 12.4.7

Soit A K[X ] dont les restes dans les divisions par X 1, X Déterminer le reste dans la division de A par B = (X 1)(X

∈

− −

− 2, X − 3 sont 3, 7, 13. − 2)(X − 3).

Exercice 12.4.8

Factoriser P = X 6

3

− 2X cos3θ + 1 dans C[X ] et dans R[X ].


Factoriser le polynôme P = (X + i)n

12.5

n

− (X − i)

sur

C[X ].

Relations coefficients-racines

Exercice 12.5.1

x + y + z = 1  Résoudre le système (S ) : xy + xz + yz = 1 xyz = 1 Exercice 12.5.2 ()

x + y + z = 1  Résoudre le système x + y + z = 9  1 1 1  x + y + z = 1 2


2

2

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12.6 Fractions rationnelles




Résoudre x4

− 4x

3

+ x2 + 6x + 2 = 0 sachant que la somme de deux des solutions vaut 2.


Calculer a4 + b4 + c4 où a, b, c sont les racines de P = X 3 + pX + q . Exercice 12.5.5 ()

Soient a, b, c les racines de A = X 3 + pX 2 + qX + r = 0. Former l’équation dont les racines sont α = b + c, β = a + c et γ = a + b. Exercice 12.5.6 ()

Condition sur p et q pour que A = X 3 + pX + q admette un zéro multiple. Exercice 12.5.7 ()

Résoudre 8x3

2

− 42x

+ 63x

− 27 = 0 (solutions en progression géométrique.)


Condition sur p, q,r pour que l’une des solutions de x 3 + px2 + qx + r = 0 soit la somme des deux autres. Exercice 12.5.9 ()

A = X − X + a Déterminer a pour que  B = X − aX + 1 4

aient au moins un zéro en commun.

2


)    α + 2 , où α décrit les racines de x Calculer 3

3

2α + 5

+ 2x2

− x + 1 = 0.

Exercice 12.5.11

Trouver λ tq P = X 3

− 3X + λ ait un zéro double. Résoudre alors P (x) = 0.

Exercice 12.5.12 ()

Déterminer λ pour que P = X 3

2

− 8X +(13 − λ)X − 6 − 2λ ait un zéro double. Résoudre alors P (x) = 0.

Exercice 12.5.13 ()

Déterminer m, n, p tq x6 + mx4 + 10x3 + nx + p = 0 ait une racine quadruple. Exercice 12.5.14 ()

Résoudre x2 + y 2 + z 2 = 0, x4 + y 4 + z 4 = 0, x5 + y 5 + z 5 = 2.

12.6

Fractions rationnelles


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12.7 Exercices non corrigés



Exercice 12.6.1

Décomposer en élément simples (DES) dans R(X ) : R =

n! x(x + 1)

··· (x + n) .


DES dans

C(X )

de R =

1 x4 (x i)3

−

Exercice 12.6.3 ()

DES dans

R(X ) : R =


1

xn (1

2

− abx

− ax)(1 − bx) (avec a, b = 0, a = b, n  1).

)

Même question avec R =

x11 (x2 + x + 1) 4


x5 x2 + 1 Même question avec R = 2 (x + 1)2 (x + 1) 2

−


DES dans

C(X )

de R =


DES dans

R(X )

: R =

x (x2 + 1)(x2

2 2

− j )

) 6 (x + 1)(x2 + x + 1)(x2 + x + 2)(x2 + x + 3)



1 x8 + x4 + 1


)


x5 (1

−

1 x)5 (x2

− x + 1)

Exercice 12.6.10 ()

x3 x + 2 Même question avec R = 2 (x + 1)4 (x2 + x + 1)x

−

12.7

Exercices non corrigés

Exercice 12.7.1

Déterminer m et p et fonction de q pour que X 2 + mX

3

− 1 divise X + pX + q .


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Exercice 12.7.2

Prouver que B divise A, avec B = X 2 + X + 1 et A = X 3n+2 + X 3m+1 + X 3 p . Exercice 12.7.3

Prouver que B divise A, avec B = X (X + 1)(2X + 1) et A = (X + 1)2n Calculer le quotient dans cette division.

2n

− X − 2X − 1.

Exercice 12.7.4

A quelle condition X 2 + αX + 2 divise-t-il X 4 + 3X 2 + αX + β ? Exercice 12.7.5

Trouver un polynôme A de degré minimum tel que : – Le reste dans la division de A par B 1 = X 4 – Le reste dans la division de A par B 2 = X 4

3

2

3

2

3

− 2X − 2X + 10X − 7 est R = X + X + 1. − 2X − 3X + 13X − 10 est R = 2X − 3. 1

2

2

Exercice 12.7.6

Effectuer la division euclidienne de X n sin ϕ

2

− X sin ϕ + sin(n − 1)ϕ par X − 2X cos ϕ + 1.

Exercice 12.7.7

Trouver un polynôme P de degré 7 tel que 1 soit une racine d’ordre au moins 4 de P + 1 et tel que soit une racine d’ordre au moins 4 de P 1.

−

−1

Exercice 12.7.8

1 Soit P un polynôme et Q = (X 2

− a)(P (X ) + P (a)) − P (X ) + P (a). 



Exercice 12.7.9

On se donne trois polynômes A, B,C de C[X ], B et C étant premiers entre eux. Trouver les polynômes P tels que A + P B soit divisible par C (examiner le cas où toutes les racines de C sont simples). Exercice 12.7.10

Soient n, p deux entiers strictement positifs et n = pq + r la division euclidienne de n par p. Montrer que le reste dans la division euclidienne de X n par X p a est aq X r , et que celui de X n par X p a p est a pq (X r ar ). En déduire le Pgcd de X n an et de X p a p .

−

−

−

−

n

−a

−

Exercice 12.7.11

Trouver le Pgcd de X 5 + X 3

2

4

3

2

− X − 1 et de 2X + 2X + X − X − 1.

Exercice 12.7.12

Trouver le Pgcd de X 7 + 1 et X 3

− 1.

Exercice 12.7.13

Quelle relation faut-il établir entre a et b pour que les deux polynômes X 7 de degré supérieur ou égal à 1 ? Préciser quel est alors ce Pgcd.


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5

− a et X − b aient un Pgcd Page 7




Exercice 12.7.14

Trouver le Pgcd des trois polynômes : A = X 4 2X 3 + 2X 2 2X + 1, B = X 4 + X 3

−

−

2

− X + X − 2,

C = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1.

Exercice 12.7.15

Trouver tous les triplets (P,Q,R) de polynômes non nuls et normalisés tels que P 2 = QR : 1) Quand P,Q, R sont premiers entre eux dans leur ensemble. 2) Dans le cas général. Exercice 12.7.16

Résoudre x3

2

− 4x − 17x + 60 = 0 sachant que deux des solutions α et β vérifient α = β + 2.

Exercice 12.7.17

Résoudre x5

4

+ 67x3

− 13x

2

− 171x

+ 216x

− 108 = 0 sachant qu’il y a des solutions multiples.

Exercice 12.7.18

Montrer que P = aX 2 + bX + c et Q = a X 2 + b X + c ont au moins un zéro en commun si et seulement si (ac ca )2 = (ab ba )(bc cb ). 



−





−





−







Exercice 12.7.19

Déterminer λ pour que P = X 4

3

− 2X + λX − 1 ait un zéro double.

Exercice 12.7.20

Calculer λ pour que la somme de deux des racines de 2X 3

2

− X − 7X + λ soit égale à 1.

Exercice 12.7.21

Calculer λ pour qu’une des solutions de x3

− 7x + λ = 0 soit le double d’une autre.

Exercice 12.7.22

Déterminer λ pour que deux des racines de x 3

− 5x + λ = 0 vérifient 2αβ = α + β .

Exercice 12.7.23

Calculer λ pour que les solutions de x3 + 2x2

− 7x + λ = 0 vérifient α

2

= β 2 + γ 2 .

Exercice 12.7.24

Résoudre x3 + px + q = 0 sachant que deux des solutions vérifient α2 = β . Exercice 12.7.25

CNS pour que les zéros de P = X 3 +aX 2 +bX +c soient en progression arithmétique (resp. géométrique). Exercice 12.7.26

Résoudre l’équation x 4

3

− 4x

+ (2

2

− λ)x

+ 2x

− 2 = 0 sachant qu’elle a au moins une racine multiple.

Exercice 12.7.27

Condition sur a,b,c,d pour que P = X 4 + aX 3 + bX 2 + cX + d ait deux zéros doubles.


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Exercice 12.7.28

Résoudre x4

− 9x

3

+ mx2

− 8x + 6 = 0 sachant que les solutions vérifient α + β = γ + δ .

Exercice 12.7.29

Factoriser P = 6X 4

3

2

− 43X + 107X − 108X + 36 dont les zéros s’écrivent α, β , α/β et β/α.

Exercice 12.7.30

Calculer

2

(α − α ) , où α , α i

j

1

2

et α3 sont les racines de A = X 3 + pX + q .

Exercice 12.7.31

Trouver la condition sur les nombres complexes a,b,c,d pour que les points images des racines de l’équation x 4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 forment un parallélogramme. Exercice 12.7.32

x5 + 1 Même question avec R = x(x2 + 1)2 (x2 + x + 1) 2 Exercice 12.7.33

x5 Même question avec R = 2 (x + x + 1) 4 Exercice 12.7.34


x11

6

+ x5 (x2 + 1)4

− 2x

−1

Exercice 12.7.35

x2 + 1 Même question avec R = x(x + j)3 (x


− 1)

4

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