Document créé le 28 novembre 2013
Lien vers les soluti solutions ons des exercice exercicess
Lien vers le cours de ce chap chapitre itre
Chapitre 20 Intégration 20.1 20 .1
Con Contin tinuité uité unif unifor orme me
Exercice 20.1.1 ()
Montrer Montr er que l’appl l’application ication x
→ sin x
2
n’est pas uniformément continue sur R.
Exercice 20.1.2 ()
Montrer que x
→ √ x est uniformément continue sur R
+
(on demande deux méthodes).
Exercice 20.1.3 ()
Prouver (f, g uniformément continues et bornées) (f g uniformément continue). Donner un contre-exemple quand on ne suppose plus que f et g sont bornés.
⇒
Exercice 20.1.4 ()
Soit f : R
→ R, continue, telle que
lim f (x) et lim f (x) existent dans
x→−∞
x→+∞
R.
Montrer que f est uniformément continue sur R. Exercice 20.1.5 ()
Soient a, b deux réels tels que 0 < a < b, et soit f : [a, b] R. On suppose k > 0 0,, x, y [ a, b] (avec x = y ), f (y) f (x) < k y 3
∃
∀ ∈
|
−
→
|
3
| − x |.
1. Mon Montrer trer que que f est uniformément continue sur [a, b]. 2. Mon Montrer trer que que ϕ : x
→ f (x) − kx
3
est strictement monotone sur [a, b].
3. On suppose que pour tout x de [a, b], ka 3 f (x) kb 3 . Montrer qu’il existe un α unique de [a, b] tel que ϕ(α) = 0. Exercice 20.1.6 (
) Soient f et g deux applications continues sur le segment [a, b], à valeurs réelles. Pour tout réel α, on pose M (α) = max (f (x) + αg (x)) )).. x∈[a,b a,b]]
Montrer Montr er que l’appl l’application ication M est lipschitzienne sur R.
20.2 Sommes de Riemann
Chapitre 20 : Intégration
Exercice 20.1.7 ()
On se donne un réel α de ]0, 1[. En revenant à la définition, montrer que x
→
xα est uniformément continue sur
R+ .
Exercice 20.1.8 ()
Soit f : R R, uniformément continue. Montrer qu’il existe deux réels a, b 0 tels que :
→
20.2
∀ x ∈ R, |f (x)| a|x| + b.
Sommes de Riemann
Exercice 20.2.1 ()
Calculer
1
0
2
x dx et
1
0
x3 dx en utilisant des sommes de Riemman.
Exercice 20.2.2 () k= pn
Calculer la limite quand n tend vers +
∞, de S
n
=
k=n
1 k
(avec p
∈ N ). ∗
Exercice 20.2.3 ()
Calculer lim S n, avec S n = n→+∞
√ √ k. n
1
n n k=1
Exercice 20.2.4 () n−1
Calculer lim
n→+∞
√ 1 S , avec S = n
n
n2
k=0
−k
2
.
Exercice 20.2.5 ()
Calculer lim S n, avec S n = n→+∞
Exercice 20.2.6 (
n!
1/n
.
nn
)
1 (2n)! Calculer lim S n, avec S n = n→+∞ n n!
1/n
.
Exercice 20.2.7 ()
Calculer lim S n(x), avec S n (x) = n→+∞
1x + 2 x +
· ·· + n
nx+1
x
(et x réel).
Exercice 20.2.8 ()
Soit f une application continue sur [0, 1], strictement positive. Montrer que
1
0
ln f (x) dx ln
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
1
0
f (x) dx.
mathprepa.fr
Page 2
20.3 Propriétés de l’intégrale
Chapitre 20 : Intégration
Exercice 20.2.9 ()
f (0) = 0 Soit f : [0, a] → [0 , b], continue strictement croissante, avec . On note g = f f (a) = b 1. Montrer que ab = f (x) dx + g(x) dx. (utiliser des sommes de Riemann.)
−1
a
.
b
0
0
u
2. Montrer que :
∀ u ∈ [0 , a], ∀ v ∈ [0, b] ,
uv
0
v
f (x) dx +
0
g(x) dx.
Exercice 20.2.10 ()
1
Soit f une application continue sur [0, 1]. Montrer que lim
n→+∞
n
(−1) f k = 0. k
n k=1
n
Exercice 20.2.11 ()
Soient f et g deux applications continues sur [0, 1]. 1 1 n−1 k k + 1 Montrer que lim = f g f (x)g (x) dx. n→+∞
n
n
k=0
n
0
Exercice 20.2.12 () n
Calculer lim
n→+∞
1 . n2 + kn
√ S , avec S = n
n
k=1
Exercice 20.2.13 () 3
Soit f une application de classe C n−1
sur [a, b], et n ∈ . On pose M = sup f . ∗
N
(3)
3
[a,b]
k b−a On pose S (f ) = , et on définit de même S (f ) et S (f ). f n n (b − a) ( b − a) b−a 1. Montrer que f (x) dx − S (f ) − S (f ) − S (f ) M 2n 6n 24n 1 (b − a) b − a f (b) − f (a) − f (b) − f (a) + O 2. Prouver que f (x) dx = S (f ) + n
n
b
k=0
a
2
n
n
4
n
2
20.3
3
3
2
b
a
n
n
12n2
2n
n3
Propriétés de l’intégrale
Exercice 20.3.1 ()
∼ 2√ n, avec S
Montrer que S n
n
= 1+
√ 12 + √ 13 + ··· + √ 1n .
Exercice 20.3.2 () R+
Soit E l’ensemble des applications continues de [a, b] dans
. b b 1 Pour toute application f de E , on pose I (f ) = f (x) dx dx. a a f (x) 1. Montrer que pour toute f dans E , I (f ) (b a)2 . Quand y-a-t-il égalité ?
−
2. Montrer plus précisément que I (f ), f E = [(b
{
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
∈ }
∗
2
− a) , +∞[.
mathprepa.fr
Page 3
20.3 Propriétés de l’intégrale
Exercice 20.3.3 (
Chapitre 20 : Intégration
)
Soit f une application[a, b] → , continue, telle que f (x) dx = |f (x)| dx. b
b
R
a
a
Montrer que f garde un signe constant sur [a, b]. Exercice 20.3.4 (
) Soit f une applicationde classe C1 sur [a, b], et telle que f (a) = f (b) = 0. b (b a)2 b 2 2 Montrer que f (x) dx f (x) dx. 8 a a a + b Indication : utiliser Cauchy-Schwarz, et penser à c = 2
−
Exercice 20.3.5 ( ) sin x Montrer que dx > x 0
π
2
π
π
2
sin x x
dx.
Exercice 20.3.6 ()
Soit f une application continue et positive sur [a, b]. Montrer que lim
n→+∞
I n = max f (x), avec I n =
n
x∈[a,b]
b
a
f n (x) dx.
Exercice 20.3.7 ()
Soit f : [a, b]
→ R, continue par morceaux.
Montrer que lim
λ→+∞
b
a
f (x)sin λx dx = 0.
Indication : commencer par supposer que f est la fonction caractéristique d’un sous-segment de [a, b], puis qu’elle est en escaliers. Exercice 20.3.8 ()
Soit f : [a, b] Prouver
→ R, continue par morceaux. 2 lim f (x)| sin λx| dx = f (x) dx. π b
λ→+∞
b
a
a
Même indication que dans l’exercice précédent. Exercice 20.3.9 ()
Soit f une application continue sur [0, 1]. Montrer que lim n n→+∞
1
0
xn f (x) dx = f (1).
Exercice 20.3.10 ()
Soit f une applicationde classe C1 sur [0, 1], telle que f (1) = 0. 2
Montrer que lim n n→+∞
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
1
0
xn f (x) dx = f (1) (on pourra utiliser l’exercice précédent.)
mathprepa.fr
Page 4
20.4 Intégrales fonctions de leurs bornes
20.4
Chapitre 20 : Intégration
Intégrales fonctions de leurs bornes
Exercice 20.4.1 ()
Montrer que x > a > e
2
⇒
x
a
dt 2x . < ln t ln x
Exercice 20.4.2 ()
Montrer que
x
e
lnln t dt
∼ x lnln x au voisinage de +∞.
Exercice 20.4.3 (
)
Déterminer les applications continues f telles que, pour tout x : f (x) +
0
(x
− t)f (t) dt = 1.
Exercice 20.4.4 (
Montrer que lim
) bx sin t
x
x→0 ax
t2
b a
dt = ln (avec 0 < a < b).
Exercice 20.4.5 ()
Calculer la limite de I (x) =
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
1 x
x
0
arctan t t
dt quand x tend vers 0 ou vers + .
∞
mathprepa.fr
Page 5