Métodos Quantitativos aplicados a Contabilidade Exercício nº 004
01) Os registros de uma pequena empresa indicam que 40% das faturas por elas emitidas são pagas após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de: a) Nenhuma duplicada ser paga com atraso;
¨ n ¸ x n x P(x=0) = ©© ¹¹ P .(1 P ) ª x º 14! 0!(14 - 0)!
¨ 14 ¸ ©© ¹¹ 0,40 0 x 0,60 14 ª 0 º
x 1 x 0,0008 !
!
1 x 1 x 0,0008 ! 0,0008 ou 0,08%
b) No máximo duas serem pagas com atraso; P(x=0) = 0,0008
¨14 ¸ ¹¹ 0, 40 1 x 0,6013 ª1 º
!
14 x 0,40 x 0,0013 ! 0,0073 ou 0,73
¨14 ¸ ¹¹ 0,40 2 x 0,6012 ª 2 º
!
91 x 0,016 x 0,002177
P(x=1) = ©©
P(x=2) = ©©
P(x2) = 0,00008 + 0,0073 + 0,0317 = 0,0398 ou 3,98 c)
Ao
!
0,0317 ou 3,17
menos três serem pagas com atraso.
02) Uma firma exploradora de petróleo acha que 5% dos poços que perfura acusam depósito de gás natural. Se ela perfurar seis poços, determine a probabilidade de ao menos um dar resultado positivo. P(x1) = P(x=1) + . . . + P(x=6) ou 11 - P(x=0)
¨ n ¸ P(x=0) = ©© ¹¹ ª x º ¡
x
.(1 ) n x
6! 0!(6 - 0)!
¡
¨ 6 ¸ ©© ¹¹ 0,05 0 x 0,95 6 0 ! ª 0 º
x 1 x 0,7351 !
P(x1) = 1 ± 0,7351 = 0,2649 03) Nove por cento dos estudantes universitários portam cartões de crédito com limite maior que R$ 700,00. Suponha que dez estudantes universitários sejam escolhidos aleatoriamente aleatoriamente para s erem entrevistados acerca do uso do cartão de crédito. a.
A escolha
dos dez estudantes é um experimento binomial? Explique. Sim, pois a pesquisa considera apenas duas alternativas os estudantes universitários que têm cartões de crédito com limite maior do que R$ 700,00. Página
1
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b.
Qual é a probabilidade de dois estudantes terem um limite de crédito maior do que R$ 700?
¨ n ¸ x n x P(x) = ©© ¹¹ P .(1 P ) ª x º ¨10 ¸ ¹¹ 0,09 2 .(1 0,09)10 2 ª 2 º
P(2) = ©©
10!
P ( 2) ! !
c.
2!(10 2 )!
0,09 2.(0,91) 8
45 x 0,0081 x 0, 47025
!
10 x9 x8! 2 x8!
0,0081 x 0, 47025
! 0,1714
Qual é a probabilidade de nenhum ter limite de crédito maior do que R$ 700?
¨ n ¸ x n x P(x) = ©© ¹¹ P .(1 P ) ª x º ¨10 ¸ ¹¹0,09 0.(1 0,09)10 0 ª 0 º 10! 0,09 0.(0,91)10 P (0) ! 0!(10 0)!
P(0) = ©©
! 1 x1 x 0,3894
P (0) ! 0,3894 d.
Qual é a probabilidade de pelo menos três terem limites de crédito superior a R$ 700,00?
04) Uma pesquisa governamental recente indica que 80% dos contadores que ganham mais de R$ 10.000 possuem dois carros. Supondo verdadeira esta hipótese, e tomada uma amostra de 10 contadores, qual a probabilidade de exatamente 80% da amostrar terem dois carros.
¨ n ¸ x n x P(x=8) = ©© ¹¹ P .(1 P ) ª x º 10! 8! (10 - 8)!
¨10 ¸ 8 ©© ¹¹0,8 x 0,210 8 ª 8 º
!
x 0,167772 x 0,04 !
45 x 0,167772 x 0,04 = 0,3020
05)
Chamadas
telefônicas são recebidas à taxa de 48 por hora no balcão de reservas da Rádio Seresteira
romântica. a.
Calcule
p ( x) !
e
a probabilidade de receberem três chamadas em um intervalo de tempo de cinco minutos;
P t
(Pt )
x!
e
x
p (3)
48.
5 60
( 48.
!
5 60
)3 p (3) !
3!
0,1952 Página
2
de 4
e 4 (4) 3
3!
p (3) !
(0,0183)( 4) 3 6
= p(x) =
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b.
Calcule
p ( x) !
e
a probabilidade de receberem dez chamadas em 15 minutos;
P t
e
x
(Pt )
48.
15 60
p (10 ) !
x!
( 48 .
15 60
) 10 p (10) !
10!
e 12 .(12)10
3.628.800
= 0,1048
c. Suponha não haver nenhuma chamada em espera no momento. Se a telefonista cinco minutos para completar a chamada atual, quantas ligações você acha que permanecerão em espera nesse tempo? Qual é a probabilidade de não haver nenhuma ligação em espera?
= .t p ( x) !
= 48. e Pt (Pt ) x x!
5 60
= 4, espera-se que tenha quatro ligações em espera.
p (0) !
e 4 ( 4 ) 0
p(x) = 0,0185
0!
d. Se nenhuma chamada está em processamento neste momento, qual é a probabilidade de a telefonista ter três minutos de tempo pessoal sem ser interrompida?
p ( x) !
e
P t
e
x
(Pt )
x!
48 .
3 60
( 48 .
p (0 ) !
3 60
)0 p (0) !
0!
e 2, 4 (2,4) 0
1
p(0) = 0,0907
06) Os clientes chegam a uma loja à razão de 6,5/hora. Determine a probabilidade de que, durante qualquer hora: a. Não chegue nenhum cliente;
p (0) ! b.
c.
e 6 ,5 (6,5) 0
0,001503 x1
p (0 ) !
0!
1
p(0) = 0,0015
Chegue
ao menos 1 cliente; P(x1)= 1 ± P(0) = 1 ± 0,0015 = 0,9985 Chegue
mais de um cliente; P(x>1)= 1 ± P(0) + P(1)
p (1) !
e 6 ,5 (6,5)1
p (1) !
1!
e 6 ,5 (6,5)1
1!
= 009772
P(x>1)= 1 ± P(0) + P(1) = 1 ± 0,0015 = 0,9772 = 0,98873
d.
07)
Exatamente 6,5 clientes. Impossível
As
chamadas de emergência chegam a uma delegacia de polícia à razão de 4 por hora no período de 1 às 6 da manhã, e podem ser aproximadas por uma distribuição de Poisson. a. Quantas chamadas de emergência são esperadas num período de 30 minutos;
Q b.
!
P t
=4 x 0,5 = 2 chamadas em 30 minutos
Qual a probabilidade de nenhuma chamada num período de 30 minutos;
p ( x) !
e Pt (Pt ) x x!
p (0) !
e 2 (2) 0
p(0) = 0,1353
0! Página
3
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c.
Qual a probabilidade de ao menos 2 chamadas no mesmo período. P(x2) = 1 ± P(0) + P(1)
p ( x) !
e Pt (Pt ) x x!
p (1) !
e 2 (2)1
p(0) = 0,2707
1!
P(x2) = 1 ± 0,1353 -0,2707 = 0,5940
08) Uma auditoria em 2002 examinou 4.000 faturas de vendas de uma loja de departamentos, encontrando 28 faturas com erros. Agora um perito-contador quer investigar a auditoria voltando a conferir uma amostra aleatória de 150 das 4.000 faturas. Ele gostaria de saber a probabilidade de encontrar duas faturas com erros nessas 150 faturas. Se em 4.000 faturas há 28 com erros a média é
p ( x) !
e Pt (Pt ) x x!
p (2) !
¢
!
4.000 28
e 0, 007 x150 (0,007 x150) 2
p (2) !
2!
P(x) = 0,1929
Página
x100 ! 0,7
4
de 4
e 1, 05 (1,05) 2
2
