EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR – MA2220/NA3220 – REFORÇO Matrizes e Sistemas Lineares 1)
Se uma matriz A é 3x5 e o produto produto AB é 3x7, qual qual é o tipo de B? t 2) Se A é uma matriz simétrica, calcule A-A
3) Sejam A = AB=BA?
4) Sejam A=
!
! # ! # ! # ! 3 "5
1 3
#
"4
7 5
e B =
1
2 3 ,B= 6 2
"8
3
4 . Quais valores de k, caso existam, que tornam k
e C =
5 1
#
2 . Verifique que AB=AC apesar de "2
B $ C.
! #
2 5) Determinar todas as matrizes B tais que BA = I 2, sendo A = 1 2
! # ! # ! # 1 2
6) Dadas as matrizes A= 7) Escrev Escrevaa a matriz matriz A =
3 2 . 5
"1
3
2 7
e B=
2 2
1 verificar se A e B são semelhantes. 2
3 como soma de uma matriz simétrica B com uma anti8
simétrica C. R: B = A + At e C= A - At 8) Uma matriz A é denominada normal quando A.At = At.A A matriz A =
! # 6 3
"3
6
é normal?
Obs: matrizes ortogonais, simétricas e anti-simétricas são normais.
! # ! #
3 9) Se A = 2 3
1 2 2 e B = 0 4 !
4 4 , a equação AX=B µ a) é incompatível para todo ! µ b) é compatível para todo ! µ ,
,
c)
é compatível para ! %"1, µ% 7 e a única solução é X=
!
1 "1
1 1
#
d) é compatível para ! %"1, µ% 7 e admite mais de uma solução e) é compatível para ! %"1 e para todo µ
10)
Há dois anos, um homem era seis vezes mais velho que sua filha. Em 18 anos, ele terá o dobro da idade dela. Determine as idades atuais. Escrever o problema como um sistema de equações lineares e resolvê-lo.
11)
Determinar um número de 2 algarismos tal que dividindo-o pela soma dos algarismos obtém-se o quociente 4 e que o produto desses mesmos algarismos aumentado de 52 é igual ao número escrito em ordem inversa.
12) (aplicação (aplicação de matrizes) matrizes) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casas: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material em cada tipo de casa é dada pela seguinte tabela: Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo Moderno 5 20 16 7 17 Mediterrâneo 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13
a)
Se ele construir 5 casas do tipo moderno, 7 casas do tipo mediterrâneo e 12 casas do tipo colonial, quantas unidades de cada material serão empregadas? b) Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam respectivamente 15, 8, 5, 2 e 10 reais. Qual o preço unitário de cada tipo de casa?
13) No ano passado um investidor adquiriu cotas de 3 empresas que negociam pela internet, a saber: OHanganBooks.com, FarmersBooks.com e JungleBooks.com . O custo por cota destas empresas foi de $50, $45 e $30, respectivamente. O investidor pagou um total de $24,400 pelas cotas adquiridas. Sabe-se que o número de cotas que ele adquiriu da FarmersBooks.com foi o dobro do número de cotas adquiridas da JungleBooks.com e que as cotas da OHanganBooks.com valorizaram 20% enquanto de cada uma das outras empresas valorizaram 10%.. Sabendo-se que o investidor vendeu todas as suas cotas por $3,400 a mais do que pagou no início, quantas cotas de cada empresa ele adquiriu originalmente? R: 200 da OHanganBooks.com; 240 da FarmersBooks.com e 120 da JungleBooks.com
OBS: alguns exercícios (teóricos) que envolvem matrizes e determinantes necessitam o conhecimento de propriedades, a saber: I) sobre inversa: (não esquecer que as matrizes são quadradas) a) (A-1)-1 = A b) (A-1)k = (Ak )-1, k é um escalar
c) (kA)-1=
1 -1 A k
d) (At)-1 = (A-1)t e) (AB)-1 = B-1A-1 (A e B quadradas de mesma ordem) II) sobre determinantes: f) det(AB)=detA.detB (A e B quadradas de mesma ordem) g) det(cA)=cn.detA (n é a ordem da matriz A)
h) det(A-1)=
1 det A
i) detA=detAt (A é matriz quadrada) Exemplos: 1) Sejam A, B e C matrizes reais de ordem 3 satisfazendo as relações AB=C -1 e B=2A. Se detC=32 então &det A& é igual a: a) 1/16; b) 1/8; c) 1/4; d) 8; e) 4 2) Sendo A e B matrizes invertíveis de mesma ordem tal que A(XA -1)t=B então a matriz X será igual a : a) B(A-1)tA; b) ABt(A-1)t ; c) A(A-1)tBt ; d) Bt(At)-1A ; e) nda