Exercícios Exercíci os resolvi resolvidos dos - Probabili Probabilidade dade Para maiores informações informações teó ricas ricas sobre e ste assunto ve ja também: Probabilidade Probabil idade - Conceitos
1) Uma bola será ret irada de uma sacola contendo 5 bolas v erdes e 7 bolas amarelas amarelas.. Qual a probabilid probabilidade ade desta bola ser verde? Neste exe exercício rcício o espaço amostral amostral po possui ssui 12 elem element entos, os, que é o nú númer mero o tot total al de bola bolas, s, por portant tanto o a probabilidade de s er retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12. 12. Sendo S o espa espaço ço am amostr ostral al e E o even evento to da ret retira irada da de um uma a bola verde, matemat matematicamen icamente te pod podemo emos s representar repr esentar a resolução as sim:
A probabilidade desta bola ser verde é
5
/12
2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilid probabilidade ade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? Através do princípio fundamental da contagem podem podemos os determ determinar inar o núm número ero total de agrupamentos agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moe moeda da pod pode e pr produ oduzir zir dois resul resultado tados s distin distintos, tos, três moedas moedas irã irão o pr produ oduzir zir 2 . 2 . 2 resultados dist intos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o noss noss o espaço amostral. Dentre as 8 possibilidades do espaç o amostral, o evento que que representa representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:
A probabilid probabilidade ade das t rês moedas caírem caírem com a mesma mesma f ace para cima é igual a
1
/4, ou 0,25, ou ainda 25%.
3) Um casal pretende te r f ilhos. Sabe-se Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher mulher engravidar é de 20% 20%.. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20 20% %, que na forma forma deci mal é igual a 0,2 0,2.. A prob probabilidade abilidade dela não cons eguir engravidar engravidar é igual a 1 - 0,2, 0,2, ou seja, é igual a 0,8 0,8.. Es te exercíc io trata de eventos cons ecutivos e independentes independentes (pelo menos menos enquan enquanto to ela não engravida), engravida), então a probabilidade probabilidade de que todos eles ocorram ocorram,, é dado pelo produto de todas as prob probabilidades abilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto quarto mês, então então a probabilidade probabilidade dos três meses anterio anteriores res deve s er igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:
0,1024 multip multiplicado licado por 100% é igual a 10,24% 10,24%.. Então: A probabilid probabilidade ade de a mulher vir a engravidar somente somente no quarto mês é de 10,24%. 10,24%.
4) Um credor credor está à sua procura. procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa casa é 0,4. Se ele f izer 5 tent at ivas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa? O u o c red redor or vai a sua c asa e o encont encontra, ra, ou ele vai e não o encontra, encontra, como como em c ada tentativa tentativa estamos estamos
tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra poss ibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:
n é o número de tentativas de encontrá- lo, portanto n = 5. k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1. p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4. q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6. Substituindo tais valores na fórmula temos:
O número binomial
é ass im resolvido:
Então temos:
Assim: A probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592.
5) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 f ichas verdes. Se ret irarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser c alculada através da fórmula e no c aso da intersecção dos eventos s er vazia, isto é, não haver elementos em c omum aos dois eventos , podemos s imples mente utilizar . Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Es ta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral. Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter f icha amarela s ão mutuament e exclusivos, pois a ocorrência de um impede a oc orrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Nes te c aso então podemos utilizar a fórmula:
Note que es ta fórmula nada mais é que a s oma da probabilidade de cada um dos eventos. O evento de se obter f icha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas , então a probabilidade do eve nto obter f icha verde ocorrer é igual a 7/14:
A nalogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos , é igual a 2/14:
O bserve que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/14 passaria a 1/2 e 2/14 a 1/7, no entanto is to não foi feito, já que para somarmos as duas probabilidades precis amos que elas tenham um denominador comum:
Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de uma outra forma, que em alguns cas os
pode tornar a resolução mais rápida. Vejamos: Note que a probabilidade de se obter f icha azul é 5 em 14, ou s eja, obter f icha azul é 9 em 14, pois:
5/14 .
Então a probabilidade de não s e
O 1 que aparece na expressão ac ima se refere à probabilidade do espaç o amostral. Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois s e não tivermos uma f icha azul, só poderemos ter uma f icha verde ou uma f icha amarela, pois não há outra opção. A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9/14.
6) A lguns amigos estão em uma lanchonet e. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pasté is e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas t ravessas e t ambém ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se t er pegado um pastel? A probabilidade de esc olhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2. A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é probabilidade de esc olhermos a primeira travess a é 1/2, temos:
3
/8 e c o m o a
A probabilidade de escolhermos um pastel na s egunda travessa é 4 em 6, isto é 4/6 e c omo a probabilidade de esc olhermos a s egunda travessa é igual a 1/2, temos:
Então a probabilidade de es colhermos um pastel é igual a:
A probabilidade de se ter pegado um pastel é
25
/48.
7) O jogo de dominó é composto de peças ret angulares f ormadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma cert a quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número t ot al de combinações possíve is é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade de la possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face? Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3: A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) } Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4: B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), ( 4, 5), (4, 6) } V eja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo
.
Calc ulando as probabilidades de A , B e da intersecção, temos:
Finalmente para o cálc ulo da probabilidade des ejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
Repare que 13 é o número total de peças que possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a ocorrência que se
repete (o (4 ,3) da intersec ção dos dois eventos). A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua f ace é
13
/28.
8) Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se t irarmos sem reposição 4 bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, azul, vermelha e branca? No evento E1 a probabilidade de tirarmos uma bola verde é de 4 em 16:
Como não há reposição, a cada retirada o número de elementos do espaço amostral diminui em uma unidade. No evento E2 a probabilidade de tirarmos uma bola azul é de 4 em 15:
No evento E3 a probabilidade de tirarmos uma bola ve rmelha é de 4 em 14:
No evento E4 a probabilidade de tirarmos uma bola branca é de 4 em 13:
Finalmente a probabilidade de tirarmos as bolas c onforme as restriç ões do enunciado é:
A probabilidade é 8/1365.
9) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele t ambém estar cursando o curso de espanhol? Chamemos de A o evento que representa o curso de espanhol e B o evento que representa o curso de inglês. Podemos c alcular a probabilidade de ocorrer A tendo ocorrido B através da fórmula:
Segundo o enunciado
e
, então:
Note que no cas o da probabilidade condicional, ao invés de calcularmos a probabilidade em função do número de elementos do espaço amostral, a c alculamos em função do número de elementos do evento que já ocorreu. A probabilidade do aluno t ambém estar cursando o curso de espanhol é
2
/5.
10) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4? V amos representar por E3 o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 3: E3 = { 3, 6, 9, 12, 15 } E por E4 vamos representar o evento da ocorrência das bolas divis íveis por 4: E4 = { 4, 8, 12 }
O espaço amostral é: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é:
A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é:
Como estamos interessados em uma ocorrência ou em outra, devemos somar as probabilidades, mas como explicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais eventos não s ão mutuamente exclus ivos. C omo podemos ver, o número 12 está c ontido tanto em E3 quanto em E4, ou seja:
A probabilidade da intersecç ão é:
Portanto:
A probabilidade dest a bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é
7
/15.
