Université A. MIRA, Bejaia, Faculté de Technologie, Département Département d’Hydraulique, Master 1
Année universitaire universitair e 2014-2015 Exercices résolus MMC
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EXERCICE 1
En un point M point M d’un solide élastique isotrope, le tenseur des contraintes rapporté au repère orthonormé oeee est : 1 2 0
0 1
2
3 Mpa
2 3
Déterminer Déterminer Les contraintes et les directions principales agissant en M en M . Solution
0 1 2 2 2 det( I ) det 0 2 3 0 ; (2) [ (2) 3] (2 ) =0 ; (2) [ (2) 4] ; 1 3 2
Donne : 1 4 Mpa ; 2 Mp ; 0 Mpa Les directions principales Sont acceptés acceptés les directions
V1 = [ 1 3 2] ; V1 = [ 1 3 2] ;
: :
V2 = [1 1/ 3 0] ; V2 = [1 3 2] V2 = [1 1/3 0] ; V2 = [1 3 2] ;
EXERCICE 2
On considère à un état de d e contraintes uniforme dont les composantes cartésiennes sont :
4 2 2
2 3 1 1 3 2
( N /mm )
1) Déterminer les contraintes principales. 2) Déterminer les directions principales normalisées. 3) Ecrire la matrice C des des cosinus directeurs des axes principaux. 4) Calculer la contrainte moyenne normale et la contrainte tangentielle maximale 5) Vérifier les invariants des contraintes I et I 3. Solution
1) Contraintes 1) Contraintes principales
4
2
2
1
3
2
3
1
det( I ) 0 ;
(4 ) (1 ) 2 9
( 2 ) ( 4) 4 2
2
0
2
0
2 (1 ) 3 2
2
2 (1 ) 3 2
2 soit 2 6
on prend : 1 2 N /mm ; 2 2 N /mm et 3 6 N /mm
0
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2) Directions principales
a) direction X correspondant à :
4 2 2 n 1 2 2 1 2 3 n 2 0 : donne un système trivial, X X X 2 3 1 2 n 3 4 2 2 n 1 2 b) direction X correspondant à : 2 1 2 3 n 2 0 2 3 1 2 n 3
Pour
n 1 1 ,
n 2
1
et
2
n 3
1 2
, La normalisation donne
4 6 2 n 1 2 2 1 6 3 n 2 0 2 3 1 6 n 3
c) direction X 3 correspondant à :
Pour
X 1
n 1 1 ,
n2
X 2 X 3
1 2
e 1
e 2
e 3
1
1 2
12
12
1 2
2 1 2
et
n 3
1 2
X 2
1 2 12 1 2
, La normalisation donne
X 3
1 2 12 1 2
1 2 1 2 0
Une rotation de de chacun des trois vecteurs est aussi une direction principale
3) Matrice C des cosinus directeurs des directions principales : C 4) Contraintes moyenne normale : m
1 3
(11 22 33 )
1 3
I 1 I 3
(11 22 33 ) (1 2 3 ) 6 det() (1 2 3 ) 24
1 2 1 2
1 2 1 2
12
1 2 1 2 1
2
(1 2 3 ) 2N / mm 2
Contrainte tangentielle maximale : max 12 (1 3 ) 4N / mm 2
5) Invariants :
0
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EXERCICE 3
L’état des contraintes en un point P d’un milieu continu est donné par le tenseur :
(MPa)
1) Calculer les composantes normale n et tangentielle du vecteur contrainte agissant sur un plan de normale
n
1 3
[1
1 1] .
Que peut-on conclure pour la normale n et la contrainte n.
2) Déterminer les contraintes principales et les directions principales normalisées. Solution
Le vecteur contrainte : T n La contrainte normale : n T n MPa, La contrainte tangentielle :
T n MPa
Conclusion : Contrainte tangentielle nulle, donc n est une direction principale et n est une contrainte principale 2) Les contraintes et directions principales normalisées
1 9.00 MPa,
V1 [0.57
2 4.73 MPa,
V2 [0.21 0.78 0.57]
2 1.27 MPa,
V2 [0.78 0.21 0.57]
0.57 0.57]
EXERCICE 4
La répartition des contraintes dans un corps solide déformable en équilibre statique sans effet des forces de volume est donnée par le tenseur suivant rapporté au repère ( oee e ) :
( x , x ) x x ( x , x ) x x MPa (l’état des contraintes est indépendant de l’axe vertical ox ) x La contrainte agissant au point M (0,1) sur un plan verticale de normale inclinée de 45° par rapport à ox , est une contrainte de cisaillement pure . Déterminer ( x , x ) et donner la valeur de . Solution
Les équations d’équilibre statique :
x y z x y z x y z L’équation (1) donne : 12 y f (x ) avec l’équation (2) :
f (x ) 2x c ;
c : constante
y x
(1) (2) (3)
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12 2x y c
c Le tenseur des contraintes au point M (0,1) : c c Le vecteur contrainte au point M selon n 1/2 1 1 0 : T n c La composante normale n n.T c 3/2 La contrainte est une contrainte de cisaillement pure : n 0 d’où c 3/2 (MPa) Finalement : 12 2x y 3/2 La composante tangentielle :
T n
(c (c ) (c
) )
MPa
