Universidad de Navarra
Escuela Superior de Ingenieros Ingeniarien Goi Mailako Eskola
Nafarroako Unibertsitatea
Laboratorio de Mecánica de Fluidos
Práctica de CFD Evaluada
Expansión brusca de una tubería
CAMPUS TECNOLÓGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA. NAFARROAKO UNIBERTSITATEKO CAMPUS TEKNOLOGIKOA Paseo de Manuel Lardizábal 13. 20018 Donostia-San Sebastián. Tel.: 943 219 877 Fax: 943 311 442 www.tecnun.es
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© Alejandro Rivas & Gorka Sánchez 2005 Campus Tecnológico de la Universidad de Navarra (TECNUN)
EXPANSIÓN BRUSCA DE UNA TUBERÍA 1 INTRODUCCIÓN En la presente práctica se propone la modelación matemática y la simulación del flujo que tiene lugar en una expansión brusca de una tubería de sección circular (Figura 1). A través de la tubería circula un aceite con propiedades conocidas (ρ=800 kg/m3 y μ=4.945·10-3 Pa·s) con una velocidad y una intensidad de la turbulencia antes de la expansión que se han medido experimentalmente. El diámetro de la tubería es de 50 milímetros antes de la expansión y de 80 milímetros después.
Figura 1. Expansión brusca de una tubería circular. A la hora de modelar y simular el flujo en la expansión se va a considerar que es axisimétrico (Figura 2), despreciándose la componente de la velocidad y la variación de las variables de flujo en la dirección circunferencial. El origen de coordenadas se va a situar en el eje de revolución a la altura de la expansión.
Figura 2. Dominio de flujo simulado. Se cuenta con medidas experimentales del flujo (Stieglmeier et al., 1989) realizadas en diferentes planos con Anemometría Laser-Doppler (LDA) de los valores de la velocidad axial (U z) y de la energía cinética turbulenta ( k ). Estas medidas experimentales servirán para contrastar los resultados de la simulación.
1
Área de Ingeniería Térmica y de Fluidos Campus Tecnológico de la Universidad de Navarra
2 MODELACIÓN DEL FLUJO 2.1
Modelo matemático
El flujo se considerará incompresible y en régimen turbulento. Se resolverán las ecuaciones promediadas de Navier-Stokes-Reynolds ( RANS) utilizando tres modelos diferentes para modelar la turbulencia:
• Modelo 1: Modelo k-ε Standard con Standard Wall Functions. • Modelo 2: Modelo k-ε Standard con Enhanced Wall Treatment , teniendo en cuenta los efectos del gradiente de presión (seleccionando la opción Pressure gradient effects).
• Modelo 3: Modelo k-ε Realizable con Standard Wall Functions.
2.2
Condici ones de Contorn o
En la entrada se debe imponer el perfil de velocidad axial media ( U z) obtenido experimentalmente (fichero perfil_entrada), así como un valor de la intensidad turbulenta de 4% (conocido también mediante experimentación) y el valor del diámetro hidráulico. En la salida se impondrá un valor cero de la presión estática manométrica, en el eje de revolución se asignará la condición axis y en todas las paredes sólidas se mantendrá la condición de no deslizamiento (No Slip) y se supondrá que no existe rugosidad.
2.3
Mallado
Para la simulación del flujo se utilizarán tres mallas diferentes con elementos cuadrangulares equiespaciados. La primera de ellas ( Malla1) deberá tener cerca de 5.000 elementos. Para obtener las otras dos mallas se doblará el número de intervalos de cada arista, de forma que la segunda malla ( Malla2 ) tendrá cerca de 20.000 elementos y la tercera (Malla3) cerca de 80.000. La utilización de mallas con un número cada vez más elevado de elementos permite minimizar el error de discretización (ver Apartado 4) cometido al resolver el problema en un dominio discreto (malla) en lugar de en el dominio continuo. Se presentará una técnica que permite estimar este error.
3 SIMULACIÓN Se deben realizar un total de nueve simulaciones, teniendo en cuenta que se deben utilizar los tres modelos de turbulencia mencionados en el Apartado 2.1 en las tres mallas descritas en el apartado anterior. En las simulaciones se utilizarán esquemas numéricos de segundo orden (2nd Order Upwind ) para los términos convectivos en las ecuaciones de cantidad de movimiento (Momentum), de la energía cinética turbulenta (k ) y de la velocidad de disipación de ésta (ε ). Para la interpolación de la presión se utilizará el esquema Standard y para el acoplamiento del cálculo de la presión y la velocidad se empleará el método SIMPLE .
2
Laboratorio de Mecánica de Fluidos. Expansión brusca de una tubería. Se adoptará como criterio de convergencia de la simulación que los residuos normalizados de las ecuaciones de transporte (conservación de la masa, cantidad de movimiento y magnitudes que modelan la turbulencia) se encuentren por debajo de un determinado valor máximo. Para establecer el valor máximo de los residuos, se puede proceder disminuyendo el valor máximo de los residuos hasta comprobar que cierta magnitud del flujo no presenta una variación significativa. En este flujo se puede considerar como magnitud significativa la Pérdida de Carga definida como:
h L
= PT , Entrada − PT , Salida
Ec. 1
siendo P T la presión total, suma de las presiones estática y dinámica, promediada en la superficie y ponderada con el área de cada elemento.
4 RESULTADOS Los resultados que deben presentarse son los siguientes: 1. Análisis del criterio de convergencia. Valor de la pérdida de carga para los siguientes valores máximos de los residuos: 10 -2, 10-3, 10-4, 10-5 y el valor más bajo que se alcance. Para cada una de las nueve simulaciones se confeccionará una tabla de la forma: Valor Máx.Residuos -2 10 -3 10 -4 10 -5 10 Final (indicar valor)
PT,Entrada (Pa)
PT,Salida (Pa)
hL (Pa)
2. Análisis del Error de Discretización: Error en la pérdida de carga obtenida. El error de discretización de una variable en una simulación con una malla de espaciado ( Δ x, Δy ) se define como la diferencia entre el valor obtenido y la solución exacta derivada de resolver las ecuaciones diferenciales del modelo. Por definición dicho error tiende a anularse cuando Δ x e Δy 0. Habitualmente no se conoce la solución exacta de las ecuaciones diferenciales, por lo que el error de discretización sólo puede estimarse. Una manera de estimarlo es utilizar un método basado en la extrapolación de Richardson (Roache, 1994). Este método permite tener una aproximación del error de discretización en el valor de una variable obtenido mediante simulación en una malla, comparándolo con el valor obtenido en otra malla más gruesa ( Δ x e Δy mayores). →
Siguiendo este método, el error de discretización en la pérdida de carga se puede aproximar por:
E h L , fina
⎛ h L, gruesa − h L, fina ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ h L , fina ⎝ ⎠ ≈ ⋅100 (%) r p − 1
Ec. 2
donde r es la relación de refinamiento entre dos mallas (2 en este caso) y p es el orden de los esquemas de discretización empleados (2 en este caso).
3
Área de Ingeniería Térmica y de Fluidos Campus Tecnológico de la Universidad de Navarra Para las seis simulaciones realizadas con la Malla2 y la Malla3 se calculará una estimación del error de discretización cometido en la pérdida de carga y se recogerán en una tabla similar a la que se muestra a continuación. Lógicamente, cuando se trate de calcular el error correspondiente a una simulación realizada con la Malla 2 , esta malla será la fina y la Malla1 la gruesa. Cuando se calcule el error de una simulación realizada con la Malla3, ésta será la fina y la Malla2 la gruesa. hL, Malla1 (Pa)
Modelo
hL, Malla2 (Pa)
hL, Malla3 (Pa)
EhL, Malla2 (%)
EhL, Malla3 (%)
k-ε Std. w-f k-ε Std. Enh. k-ε Real. w-f
3. Estudio de la variación de la longitud de la recirculación del flujo en función del modelo de turbulencia y del tamaño medio de la malla ( h
=
Δ x ⋅ Δ y ).
Los valores de las simulaciones se compararán con el valor experimental conocido de xR/D2 = 1.87, siendo D2 el diámetro de la tubería grande. Se realizará una gráfica como la siguiente:
2
1.5 2
Modelo 1
D / R
X
Modelo 2
1
Modelo 3 Experimental 0.5
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
h (mm)
4. Contornos de las variables presión estática, presión dinámica, energía cinética turbulenta (k ), disipación de la energía cinética turbulenta ( ε ) y vectores de velocidad coloreados según el módulo de la velocidad, en las tres simulaciones realizadas con diferentes modelos de turbulencia en la Malla3. 5. Gráficas de la distribución de la velocidad axial media (U z ) y la energía cinética turbulenta (k) normalizadas con la velocidad axial media en el eje antes de la expansión (U 0=2.51 m/s). Se realizarán en seis planos verticales situados (respecto al origen indicado en la Figura 2) a x/R 2=0.125, x/R2=1, x/R2=2, x/R2=3, x/R2=4 y x/R2=5, siendo R 2 el radio de la tubería grande. En estas gráficas aparecerán los valores experimentales que se presentan en las siguientes tablas. Se estima que los errores cometidos en la medición pueden ser de un 3% para las velocidades y de un 6% para la energía cinética turbulenta.
4
Laboratorio de Mecánica de Fluidos. Expansión brusca de una tubería.
r/R 2 0 0.1 0.2 0.275 0.35 0.425 0.5 0.575 0.625 0.675 0.725 0.775 0.825 0.875 0.9 0.925 0.95 0.975 1
r/R 2 0 0.1 0.2 0.275 0.35 0.425 0.5 0.575 0.625 0.675 0.725 0.775 0.825 0.875 0.9 0.925 0.95 0.975 1
x/R 2 = 0.125 Uz/U0 k/U 02
x/R 2 = 1 Uz/U0 k/U 02
x/R2 = 2 Uz/U0 k/U 02
0.9845
1.90E-03
1.0143
2.02E-03
0.9506
2.14E-03
0.9757
2.26E-03
1.0000
2.26E-03
0.9426
2.50E-03
0.9502
3.10E-03
0.9741
3.10E-03
0.9124
3.45E-03
0.9215
3.81E-03
0.9378
4.05E-03
0.8769
4.64E-03
0.8813
4.76E-03
0.8952
5.00E-03
0.8275
7.02E-03
0.8363
5.83E-03
0.8450
6.55E-03
0.7542
1.32E-02
0.7661
6.55E-03
0.7378
1.49E-02
0.6287
2.31E-02
0.6574
1.00E-02
0.5466
2.74E-02
0.4709
3.17E-02
0.1570
1.00E-02
0.3853
2.94E-02
0.3697
3.25E-02
-0.0195
1.55E-03
0.2438
2.61E-02
0.2709
3.36E-02
-0.0231
1.55E-03
0.1211
2.21E-02
0.1729
3.07E-02
-0.0124
1.55E-03
0.0131
1.64E-02
0.0861
2.76E-02
-0.0104
1.67E-03
-0.0614
1.18E-02
0.0227
2.20E-02
0.0016
1.19E-03
-0.1179
8.57E-03
-0.0351
1.64E-02
0.0100
1.07E-03
-0.1331
7.14E-03
-0.0574
1.45E-02
0.0179
8.33E-04
-0.1430
5.71E-03
-0.0753
1.15E-02
0.0239
7.14E-04
-0.1227
4.17E-03
-0.0964
8.69E-03
0.0203
3.57E-04
-0.0594
1.43E-03
-0.0805
4.76E-03
0
0
0
0
0
0
x/R 2 = 3 Uz/U0 k/U 02
x/R2 = 4 Uz/U0 k/U 02
x/R2 = 5 Uz/U0 k/U 02
0.8857
2.62E-03
0.8498
4.52E-03
0.7829
7.98E-03
0.8769
3.33E-03
0.8382
5.48E-03
0.7653
1.02E-02
0.8506
4.64E-03
0.7948
1.01E-02
0.7171
1.52E-02
0.8064
7.74E-03
0.7394
1.50E-02
0.6598
1.90E-02
0.7438
1.42E-02
0.6633
2.17E-02
0.5912
2.39E-02
0.6450
2.26E-02
0.5729
2.73E-02
0.5084
2.69E-02
0.5267
2.94E-02
0.4749
3.00E-02
0.4371
2.71E-02
0.4127
3.19E-02
0.3701
3.02E-02
0.3578
2.56E-02
0.3243
3.17E-02
0.3207
2.82E-02
0.3139
2.33E-02
0.2574
2.94E-02
0.2661
2.61E-02
0.2785
2.24E-02
0.1960
2.63E-02
0.2124
2.30E-02
0.2390
2.04E-02
0.1371
2.40E-02
0.1745
2.06E-02
0.2044
1.74E-02
0.0793
1.98E-02
0.1323
1.67E-02
0.1677
1.43E-02
0.0506
1.57E-02
0.1072
1.37E-02
0.1426
1.17E-02
0.0219
1.37E-02
0.0869
1.15E-02
0.1335
1.10E-02
0.0139
1.18E-02
0.0741
1.05E-02
0.1179
9.29E-03
-0.0064
8.93E-03
0.0582
8.45E-03
0.1036
7.86E-03
-0.0163
5.24E-03
0.0251
4.52E-03
0.0697
5.24E-03
0
0
0
0
0
0
Para cada modelo de turbulencia utilizado, se dibujarán en cada plano los resultados obtenidos con las tres mallas junto con los resultados experimentales, incluyendo éstos las barras de error correspondientes.
5
Área de Ingeniería Térmica y de Fluidos Campus Tecnológico de la Universidad de Navarra
1
Malla1 Malla2
0.9
Malla3 Experimental
0.8 0.7 0.6 o
R / 0.5 r
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Uz/U0
4.1
Referencias
Stieglmeier, M., Tropea, C., Weiser, N., and Nitsche, W., 1989, “Experimental Investigation of the Flow Through Axisymmetric Expansions,” Journal of Fluids Engineering , Vol. 111, pp. 464-471. Roache, P.J., 1994, “Perspective: A Method for Uniform Reporting of Grid Refinement Studies,” Journal of Fluids Engineering , Vol. 116, pp. 405-413.
4.2
Ejemplo de Result ados Obtenidos
Figura 3: Detalle de la Malla 1 (la más gruesa: 5.000 elementos)
6
Laboratorio de Mecánica de Fluidos. Expansión brusca de una tubería.
Zona de burbuja de recirculación ampliada
Figura 4: Vectores de velocidad [m/s] (Malla 3, Modelo 2)
Figura 5: Presión estática [Pa] (Malla 3, k- ε Std., Modelo 2)
7
Área de Ingeniería Térmica y de Fluidos Campus Tecnológico de la Universidad de Navarra
Figura 6: Energía cinética turbulenta (k) [m2/s2] (Malla 3, Modelo 2)
Zona de burbuja de recirculación ampliada
Figura 7: Disipación de energía cinética turbulenta ( ε ) [m2/s3] (Malla 3, Modelo 2)
8
Laboratorio de Mecánica de Fluidos. Expansión brusca de una tubería.
Resultados Plano x/R 2 = 1 1
Malla1 Malla2 Malla3 Experimental
0.9 0.8 0.7 0.6 2
R / 0.5 r
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Uz/U0 Figura 8: Comparación de resultados de U z obtenidos (Modelo 3)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 2
R / 0.5 r
0.4 Malla1 Malla2 Malla3 Experimental
0.3 0.2 0.1 0 0
0.005
0.01
0.015
0.02 k/U 02
0.025
0.03
0.035
0.04
Figura 9: Comparación de resultados de k obtenidos (Modelo 3)
9
Área de Ingeniería Térmica y de Fluidos Campus Tecnológico de la Universidad de Navarra
Resultados Plano x/R 2 = 4 1
Malla1 Malla2 Malla3 Experimental
0.9 0.8 0.7 0.6 2
R / 0.5 r
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Uz/U0 Figura 10: Comparación de resultados de U z obtenidos (Modelo 3)
1
Malla1 Malla2 Malla3 Experimental
0.9 0.8 0.7 0.6 2
R /0.5 r
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.005
0.01
0.015
0.02 k/U 02
0.025
0.03
0.035
Figura 11: Comparación de resultados de k obtenidos (Modelo 3)
10
0.04
