Fase 4 - Trabajo colaborativo No 2, Sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales CURSO 100408_102
PRESENTADO POR: VANEGAS RIVAS LAURA VANESSA (COD.1.110.569.339) GARCIA BONILLA NICOLAS (COD.1.110.541.004) BAUTISTA DEYANITH (1110540876) URREA ARLEX FABIAN
TUTORA: MIREYA GOMEZ
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD ECBTI Algebra lineal Ibagué, 4 de mayo del 2017
INTRODUCCIÓN
OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS 1. El Ingenio “La dulzura” produce dos tipos de azúcar, refinada y sin reinar. Cada tonelada de azúcar refinado requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinación. Por su parte, cada tonelada de azúcar no refinado requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinado. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinación 2 horas, ¿Cuántas toneladas de cada tipo de azúcar se deben producir para que la planta se utilice al máximo? Solución Después de mirar el problema podemos sacar los datos en un sistema de ecuaciones lineales. 5 x+ 4 y=3
4 x +2 y=2 Para el desarrollo de este problema se debe colocar los datos en una matriz aumentada.
| | 5 60 4 60
4 60 3 2 2 60
La primera fila se divide 5/60
| | 1
4 60
4 5 36 2 2 60
La primera fila se multiplica por -4/60 y ese resultado se le suma a la segunda fila.
| |
4 36 5 −2 −1 0 5 50 1
La fila 2 la dividimos en -1/50
| | 1 0
4 36 5 20 1
La segunda fila se multiplica por -4/5 y el resultado se suma a la primera fila.
| |
1 0 20 0 1 20
Rta: Se debe producir 20 toneladas de cada clase de azúcar para aprovechar la planta al máximo. 2. Una venta de jugos ofrece a sus clientes tres clases de jugos con precios estándar, económico y especial. Cada uno de los jugos contiene azúcar refinado, azúcar natural y endulzante artificial sin calorías en diversas proporciones. En el jugo estándar invierte 10 gramos de azúcar refinado, 6 de natural y 8 de endulzante artificial; en el jugo económico invierte 5 gramos de azúcar refinado, 2 de natural y 3 de artificial; para el jugo especial invierte 10 de azúcar refinado, 10 de azúcar morena y 12 de endulzante artificial. Si el presupuesto le permite disponer de 235 libras de azúcar refinado, 158 de azúcar natural y 205 de endulzante artificial; determine cuántos jugos de cada estilo podrá endulzar con los productos disponibles para gastar todo el disponible. Solución: Ar = Azucar Refinado An = Azucar Natural Ea = Endulzante Artificial 1 Jugo Estándar (x)= 10Ar+6An+8Ea 1 Jugo Económico(y) = 5Ar+ 2An +3Ea 1 Jugo Especial(z) = 10Ar+10An +12Ea
10 x+5 y +10 z=235
6 x+ 2 y +10 z=158 8 x+ 3 y +12 z=205
NOTA: Intenté realizar por varios métodos el sistema de ecuación línea y da inconsistencias. Planteo la posibilidad de que en los datos haya algún error.
3. En el siguiente sistema: kx +3 y=36, 5 x−4 ky=−10 ¿Cuáles son los valores de k para que el sistema tenga solución única?
k x+ 3 y=36,5 x−4 k y =−10 k x+ 3 y=36,5 ( x+ 2)=4 k y
y=12−(k x )/3, x=(4 k y )/5−2 2
2
2
4 k +15 !=0, x=(6(24 k−5))/(4 k +15), y =(10(k +18))/(4 k + 15) x=(144 k−30)/(4 k 2+ 15), y=1/3(36−k x ) k =−18, x=−2, y =0
k =0, x =−2, y=12 k =1, x=6, y=10
k =5, x=6, y=2 - https://www.youtube.com/watch?v=DO_UttzvefU Retroalimentación: Nicolas Garcia Bonilla Después de realizar la revisión de los ejercicios y ver la retroalimentación dada por la instructora se encuentra que están bien desarrollados y explicados. De resaltar la buena
ejecución en el segundo ejercicio en el cual se realiza el proceso de reducción de manera correcta.
5. Estudie el método de Gauss Jordán para solución de ecuaciones y analice vídeos sobre la temática. Con base en lo analizado diseñe un esquema (mapa mental, mapa conceptual, lluvia de ideas) que resuma sus conocimientos sobre lo que es este método.
6. Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que cumple con las condiciones dadas: Que contenga a los puntos ( 9,7,−3 ) y (5,−1,−4 ) Solución Definimos cuales son las ecuaciones paramétricas Solución: Definimos cuales son las ecuaciones paramétricas: x=x 1+ at y= y 1 +bt z=z 1+ ct Donde x1, y1 y z1 puede ser cualquiera de los dos puntos y las constantes a, b y c son los números directores del vector que me define la dirección de la recta. Definimos cuales son las ecuaciones simétricas: x−x 1 y− y 1 z −z1 = = a b c
Por lo tanto, lo que debemos hacer es encontrar los parámetros a, b y c, entonces debemos definir un vector. Que va hacer igual a la coordenada de Q menos la coordenada de P. →
→
→
→
v =PQ =( 5−9 ) i+ (−1−7 ) j+(−4−(−3))k
v =PQ =−4 i−8 j−1 k
Por lo tanto, la constante del vector director es igual: a=−4
b=−8
c=−1
Entonces podemos definir ya las ecuaciones paramétricas, las cuales se pueden definir con cualquiera de los dos puntos, por lo tanto, tomamos P. Ecuaciones paramétricas x=9−4 t
y=7−8 t z=−3−1 t
Ecuaciones simétricas x−9 y−7 z+ 3 = = −4 −8 −1
7. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas paralelas R1) (4, 2, -1) + λ(3, -1, 5) R2) (3, -1, -2) +λ( 4, 3, 0) Solución R 1 ( x , y , z )=( 4, 2,−1)+ λ(3,−1, 5) R 2 ( x , y , z )=( 3,−1,−2)+ λ( 4, 3,0)
Hallar π R 1 ∁ π ˄ R 2 ∁ π ⃗ P1 P 2=(−1,−3,−1 ) ⃗ d 1=( 3,−1, 5)
|
|
i j k m= −1 −3 −1 =−16 i+2 j+8 k =(−16 ; 2 ; 8 ;) ⃗ 3 −1 5
π=
{
}
P 1=(4, 2,−1) m =(−16 ; 2 ; 8 ;) ⃗
⃗ P1 P o ⃗ m =0=¿ ( x−4 ; y−2 ; z+1 ) o (−16 ; 2; 8; )=0 −16 ( x−4 )+2 ( y−2 )+ 8 ( z +1 )=0 −16 x +64+ 2 y −4 +8 z+ 8=0 −16 x +2 y+ 8 z+68=0
8. Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección de los dos planos a ¿ π 1=4 x−3 y +5 z=3 π 2=2 x−5 y+ z=7 Sea z=k Reescribiendo el sistema: 4 x −3 y=3−5 k
2 x −5 y =7−k Multiplicando la segunda por -2 4 x −3 y=3−5 k −4 x +10 y=−14+2 k
Sumamos: 7 y=−11−3 k=¿> y=(−11 /7)−(3 k /7)
Sustituyendo en la segunda:
2 x −5[(−11/7)−(3 k /7)]=7−k 2 x +(55/7)+(15 k /7)=7−k
2 x =(7−(55 /7))−k (1−15 /7) 2 x =−6 / 7+8 k /7
x=−3/7+ 4 k /7 Ecuación: ( x , y , z)=(−3/7+4 k /7 ,−11/7−3 k /7 , k ) Retroalimentación: Nicolas Garcia Bonilla Después de realizar la revisión de los ejercicios y ver la retroalimentación dada por la instructora se encuentra que están bien desarrollados y explicados. De resaltar la buena ejecución en el segundo ejercicio en el cual se realiza el proceso de reducción de manera correcta. 10. Para el siguiente plano π = 4x -2y +z = 1 proponga planos que cumplan las siguientes condiciones: a)
Que sea un plano paralelo:
n´1=¿ 4,−2,1>¿ π /¿ π 2 → n´1=K n´2 ,∀ K ∈R con n´1=n´2 ¿ 4,−2,1> ¿/2<4,−2,1>¿ = ¿ 8,−4,2>¿
Entonces una ecuación paralela seria 8 x−4 y+ 2 z=4
b)
Que sea un plano ortogonal
n´1=¿ 4,−2,1>¿
Si π 1 1 π 2 ↔ n´1 1 n´2 n´1 o n´2=0 n´1=¿ 4,−2,1>¿ n´2=¿ a ,b , c>¿ 4 a−2 b+ c=0 Por ejemplo si b=2 y c=1 4 a−2(2)+1=0
4 a−4+1=0 4 a−3=0
a=
3 4
3 n´2=¿ , 2,1>¿ 4 n´1 . n´2=0 3 3 ¿ 4,−2,1> .< ,2,1 ≥ 4 + (−2 )( 2 ) + ( 1 ) (1 ) =3−4+1=0 4 4
()
∴⃗ n1 1 ~ n2 Entonces una ecuación seria 3 x+2 y + z=8 4 c)
Que sea un plano coincidente (el mismo plano)
si multiplicamos todo el plano por un k sería un sistema compatible
K=3 π 2=12 x −6 y+ 3 z =3
CONCLUSION
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
