EXERCICES D’ELECTROTECHNIQUE Prépa CAPES Physique Luc Lasne, 29/10/2008 Partie 1 : Régime alternatif sinusoïdal monophasé
I L=20mH Exercice 1 : Charge monophasée On considère la charge monophasée représentée sur la figure ci V R1=20Ω contre, placée sous une tension sinusoïdale de valeur efficace V=230 V et de fréquence 50 Hz. 1) Calculer la valeur efficace I1 du courant circulant dans la résistance R1 . 2) Calculer la valeur efficace I 2 du courant circulant dans la résistance R2 . 3) Calculer la valeur efficace I du courant absorbé par l'ensemble de ce circuit. 4) Calculer la valeur des puissances active P, réactive Q et apparente S relatives à ce circuit. 5) En déduire la valeur du facteur de puissance de cette charge.
R2=10Ω
I1 1/j0,002 4 Ω Exercice 2 : Diviseur de courant I Du circuit représenté ci-contre, on ne connaît que la valeur du courant I2 j.40 Ω 10 Ω total absorbé : I=2,5 A ainsi que les valeurs des impédances notées sur la figure. V 1) Calculer la valeur de la tension efficace V appliquée à cette charge. 2) En déduire les valeurs de I1 et I 2 . 3) Retrouver ces valeurs par l’application de la formule du diviseur de courant (les admittances seront directement calculées à la calculatrice en calcul complexe). 4) Représenter l’intégralité des grandeurs sur un diagramme de Fresnel. 5) Ecrire l'expression littérale de la puissance active P et de la puissance réactive Q consommées par cette charge. Faire l’application numérique. 6) Calculer les éléments du circuit le plus simple équivalent à cette charge.
Exercice 3 : Charge monophasée et calcul d’impédances complexes Dans cet exercice, on s’intéresse à la détermination des grandeurs électriques relatives au récepteur monophasé représenté sur la figure cicontre. Le générateur est une source de tension sinusoïdale idéale. La grandeur complexe V représente ainsi une tension sinusoïdale de valeur efficace
V =130 V et de fréquence f =50 Hz .
A
I
2Ω
B 30 Ω
60 Ω
VBM
V j.15 Ω
j.30 Ω M
I1 M
I2
7) Calculer la valeur numérique de l’impédance complexe Z BM équivalente aux deux branches de sommets B et M. 8) Calculer alors l’impédance complexe Z AM équivalente à l’ensemble de la charge. 9) Calculer la valeur efficace du courant I . 10) Calculer ainsi les valeurs de la puissance active et réactive totales consommées par le circuit. NB : Ce calcul peut être mené de plusieurs manières différentes. Toutes les démarches seront acceptées à condition que le résultat soit juste. 11) Calculer le facteur de puissance global de ce récepteur (préciser si le déphasage est « arrière » ou « avant »). 12) En utilisant les question 1 et 3, calculer également la valeur efficace de la tension V BM . 13) En déduire les valeurs de I1 et I 2 . 14) Peut on dire de façon générale que I = I1+ I 2 ? Cette égalité est elle vérifiée ici ? Pourquoi ? 15) Ecrire l’équation de maille qui relie V , I et V BM . 16) Représenter alors sur un diagramme de Fresnel sans échelle particulière les vecteurs
I2 .
V , I , V BM , I 1 et
Exercice 4 : Puissances et facteur de puissance associés à un dipôle non linéaire On considère dans cet exercice un dipôle récepteur « non linéaire ». Alimenté sous la tension sinusoïdale du réseau v(t) électrique, il consomme un courant non sinusoïdal représenté sur la figure ci-contre. Les angles caractérisant l’allure de ce courant représentent la grandeur θ=ωt qui apparaît dans l’expression de la
i(t) Récepteur Non Linéaire
400
tension du réseau électrique : Vr =V. 2.sin(ωt) (supposée à l’origine des phases, avec V=230 V,ω=2π×50 rad/s). i(t) I0=10 A θ 17) Déterminer l’expression du courant et de la tension efficaces (deg) consommés par ce récepteur. 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 18) En déduire l’expression de la puissance apparente S associée. 19) Calculer l’expression littérale de la puissance active consommée. 20) En déduire le « facteur de puissance » : k=P/S associé. Quel peut être l’intérêt de ce facteur ? 21) A t’on alors intérêt de véhiculer des courants non sinusoïdaux sur les réseaux électriques ? 300
v(t)
200 100 0
-100 -200 -300 -400
Exercice 5 : Tracés dans le plan complexe et compensation de puissance réactive Un atelier monophasé est constitué de trois ensembles de machines, constituant les charges 1, 2 et 3, mises en parallèle sur la même tension sinusoïdale à 50 Hz de valeur efficace V=230 V. On récapitule dans le tableau cidessous les mesures faites sur chacune de ces charges. Charge 1 Charge 2 Charge 3
P1=20kW Q1=15kVAR
S2 =45kVA cosϕ2 =0,6 AR
S3 =10 kVA Q3 =−5 kVAR
1) Calculer pour chaque charge l'ensemble des grandeurs électriques la caractérisant : courant absorbé, puissances actives réactives et apparente, facteur de puissance. On notera ces grandeurs I1 , I 2 , I3 , P1 , P2 , etc. 2) En déduire la valeur de la puissance active totale P et de la puissance réactive totale Q consommées par la charge totale. calculer également la puissance apparente totale S , le facteur de puissance global ainsi que le courant total absorbé : I. 3) Représenter dans le plan complexe les courants I 1 , I 2 , I 3 et I . On réalisera un diagramme sans échelle mais sur lequel les amplitudes et déphasages des vecteurs seront notés. On prendra comme référence de phase la tension V . 4) Représenter la construction du triangle des puissances de l'ensemble de ces charges. 5) On désire, en plaçant un condensateur C' en parallèle sur l'installation relever le facteur de puissance à la valeur : cosϕ'=0,9 AR . Calculer la valeur de C'. 6) Calculer également la valeur C'' d'un condensateur permettant d'obtenir un facteur de puissance cosϕ''=0,9 AV . 7) Le facteur de puissance ayant la même valeur dans les deux cas, quel condensateur choisit on en pratique ?
Partie 2 : Circuits triphasés Exercice 1 : Triphasé , Charges Y et ∆ . On considère une charge triphasée équilibrée constituée de trois impédances identiques
Z = Z.e jϕ =10+ j.20
câblées en étoile sur un système de tensions triphasées 230 V / 400 V. 1) Représenter le schéma électrique correspondant à ce système. Repérer sur ce schéma les tensions simples ( V 1 , V 2 , V 3 ) et les tensions composées ( U 12 , U 23 , U 31 ). 2) Quelle relation relie les valeurs efficaces U et V de ces tensions ? 3) Calculer l'expression littérale et la valeur du courant efficace I absorbé par chaque phase. 4) Préciser la valeur du déphasage courant / tension sur chaque phase. Préciser alors les expressions et les valeurs des puissances active et réactive consommées par cette charge. On considère à présent trois impédances
Z '= Z'.e jϕ' =30+ j.60 câblées en triangle sur le même système de
tensions triphasées. On appellera J' le courant de phase efficace circulant dans les impédances Z' . On appellera I' la valeur efficace du courant de ligne. 5) Représenter le schéma électrique correspondant à ce système. Repérer sur ce schéma les tensions composées ( U 12 , U 23 , U 31 ). 6) Quelle relation relie I' et J' ? Calculer alors les expressions et les valeurs de I' et J'. 7) Préciser l'expression et les valeurs des puissances active et réactive absorbées par cette charge. 8) Ces résultats auraient ils pu être prévisibles étant donnés les valeurs de Z et Z' ? 9) Représenter sur un diagramme de Fresnel les tensions simples ( V 1 , ( U 12 ,
V 2 , V 3 ), les tensions composées
U 23 , U 31 ) ainsi que les trois courants de ligne : ( I 1 , V 2 , V 3 ) . NB : Il n’est pas nécessaire de
respecter d’échelle précise mais en revanche de préciser sur le diagramme les grandeurs nécessaires à la compréhension.
V1 Z1 I1 Exercice 2 : Circuits triphasés déséquilibrés On considère le système triphasé 230/400 V représenté sur la V1N' Z2 N' V2 U12 N figure ci contre. On donne la valeur des impédances : I2 V2N' Z3 V3 Z 1 = j30 (Ω) , Z 2 =−j10 et Z 3 = j20 . I3 V2N' 10) Le neutre étant relié, calculer rapidement les valeurs efficaces des courants de ligne : I1 , I 2 et I3 . 11) Représenter, sur un diagramme sans échelle dans le plan complexe, les tensions simples sur les charges V 1N' , V 2N' et V 3N' ainsi que les courants de ligne
V1
I
1 complexes. A quel type de déséquilibre a t’on affaire (courant, tension , …) ? V2 U12 N 12) Par accident le conducteur de neutre et la « phase 3 » sont I2 rompus ; on représente le schéma correspondant sur la V3 figure ci contre. Quelle relation relie alors les courants I1 et I2 ? 13) Ecrire la relation complexe qui relie la tension U 12 au courant I1. 14) Calculer alors la valeur efficace I1 ainsi que le déphasage de I1 par rapport à U 12 .
Z1
V1N' Z2 V1N'
N'
Z3
V 1N' et V 2N' en fonction du courant I1. 16) Calculer alors les valeurs efficaces V1N' et V2N' ainsi que leurs déphasages par rapport à U 12 . 17) Représenter dans le plan complexe les grandeurs suivantes : U 12 , U 23 , U 31 , V 1N' , V 2N' , I 1 et I 2 . Pour 15) Ecrire les expressions littérales complexes des tensions
cette question, on ne prendra pas d’échelle particulière, cela dit les angles remarquables devront être respectés et les amplitudes relatives à peu près respectées.
Exercice 3 : Installation électrique de la tour Eiffel Dans cet exercice on s’intéresse à l’installation électrique de la tour Eiffel qui, avec ses 5 ascenseurs, ses 10000 ampoules, son relais radio, ses restaurants et boutiques, représente un lieu important de consommation électrique. Pour en faire l’étude, on considère le schéma électrique simplifié, correspondant à l’installation triphasée, représenté sur la figure ci dessous. V1 I1 1 Attention : On considère dans Triphasé V2 U12 I 2 2 l’exercice que toutes équilibré N fourni par V3 les charges sont 3 I3 EDF équilibrées. Par ailleurs, les V1=V2=V3=V=230V Circuits Antenne Moteurs puissances indiquées Radio/TV divers correspondent au fonctionnement en Eclairage 1 Eclairage 2 plein régime des 7000 ampoules 3000 ampoules Ascenseurs Circuits Divers Relais 5 Ascenseurs Pcd=700 kW simples : diverses charges. flash : Radio/TV de 100kW Pe1=140 kW
Pe2=60 kW cosϕ=0,8 AR cosϕ=0,5 AR
cosϕ=0,9
Pr=72 kW cosϕ=0,7 AR
1) Quelle relation relie la valeur efficace des tensions simples V à celle des tensions composées U ? Quelle est alors la valeur des tensions composées U ? 2) Calculer les puissances active et réactive totales correspondant au fonctionnement simultané des 5 ascenseurs (de 100 kW chacun) : Pa et Qa . 3) Les 3000 ampoules flash sont tributaires d’un facteur de puissance de 0,5. Calculer alors la puissance réactive Qe2 qu’elles consomment en plein régime. 4) Calculer également les puissances réactives Qcd et Qr consommées respectivement par les circuits divers (cosϕ=0,9) et par l’antenne Radio (cosϕ=0,7) en plein régime. 5) Calculer alors la puissance active totale Pt et la puissance réactive totale Qt correspondant au fonctionnement en plein régime de la tour Eiffel. 6) En déduire la valeur du courant de ligne I consommé en tête de l’installation et la valeur du facteur de puissance global. 7) Calculer l’énergie (en kWh) consommée en une journée par cette installation en considérant les points suivants (NB : 1 kWh = 1kW consommé pendant 1h.) : Eclairages : plein régime Ascenseurs : plein régime Circuits divers : plein Antenne Radio/TV : plein 8h/24h 12h/24h régime 16h/24h régime 24h/24h 8) Calculer alors le prix d’une journée d’alimentation électrique sachant que 1kWh = 0,1€. R=10mΩ En raison de la hauteur de l’édifice, les diverses charges sont distantes des Charge transformateurs d’une distance moyenne de 150 m. Le schéma monophasé équivalent 230V équivalente de l’ensemble de l’installation, représenté sur la figure ci contre fait alors apparaître cosϕ=0,8 VEDF une résistance R, équivalente aux câbles, qui s’interpose entre la tension d’EDF et la charge équivalente à l’installation. 9) Calculer le courant de ligne correspondant à la puissance en régime moyen P=1MW . Attention : cette puissance est la puissance totale du système triphasé. 10) Calculer alors les puissances active et réactives produites par EDF dans ce cas. En déduire la valeur de la tension produite par EDF permettant de fournir 230 V à la charge.
Exercice 4 : Circuits triphasés et problématiques liées aux réseaux électriques On considère un tronçon de réseau électrique de 100 km de long reliant une centrale de production à une région de consommation. La centrale est représentée par un générateur triphasé équilibré direct (TED), supposé parfait, de tension entre phase U ' . La ligne est V’1 jlω r I 1 1 modélisée par une résistance et une inductance à jlω U’ r U 12 12 2 déterminer. L’ensemble des consommateurs est 2 N N jlω U23 3 représenté par une « charge » supposée équilibrée r 3 consommant au maximum 300 MégaWatts. Le V’3 Charge schéma électrique correspondant est représenté Centrale de Ligne (100km) P=300 MW sur la figure ci contre. production Q=100 MVAR
1) La tension « entre phases » au niveau de la charge vaut : U =400 kV . En déduire la valeur des tensions simples correspondantes : V . 2) La charge consomme, au maximum, les puissances P=300 MW et Q=+100 MVAR . Calculer les valeurs correspondantes de la puissance apparente S et du facteur de puissance associés à cette charge. 3) Calculer alors la valeur du courant de ligne I consommé sur chaque phase par la charge. 4) La ligne présente, sur chaque phase, une résistance linéique de 0,05 Ω/km et une réactance linéique de 0,3 Ω/km. Calculer alors les valeurs de la résistance de ligne r et de la réactance de ligne lω . NB : le terme « linéique » signifie « par unité de distance ». 5) En déduire, par un bilan de puissance, les valeurs de la puissance active totale Pt et de la puissance réactive totale
Qt fournies par la centrale de production.
6) Calculer alors la valeur de la puissance apparente totale 7) 8)
9) 10)
St . En déduire la valeur de la tension simple V ' et
de la tension composée U ' que la centrale doit fournir. Représenter le schéma monophasé équivalent de ce système triphasé (c’est à dire le circuit que représente une des phases). Préciser la relation de maille relative à ce schéma. Réaliser alors un diagramme de Fresnel sans échelle représentant les vecteurs V , I , r.I , j.lω.I et V ' (on pourra organiser les différents vecteurs de façon à réaliser la construction vectorielle correspondant à la loi des mailles). La puissance active consommée par la ligne de transport représente une perte. Calculer alors la valeur du rendement du système (on considèrera que la puissance utile est P ). Calculer alors la valeur maximale de la longueur de la ligne permettant au rendement de rester supérieur à 90%.
Partie 3 : Circuits magnétiques et Transformateurs Exercice 1 : Circuit magnétique Dans cet exercice, on s’intéresse à un circuit magnétique très commun, représenté en coupe sur la figure ci contre, pouvant servir à réaliser des inductances ou des transformateurs monophasés. L’objectif de l’exercice est de déterminer le nombre de φ1 φ3 φ1 ℜ1 spires N à bobiner pour en I ε φ3 faire une inductance φ2 L=20 mH . φ2 N ℜ2 ℜ3 V On donne les dimensions et caractéristiques suivantes : l1=30 cm , l2 =10 cm , l3 =30 cm , 1) Que représente la grandeur notée
ε
S1=S2 =S3 =20 cm² , perméabilité relative : µr =1500 .
sur le schéma équivalent ?
2) Donner les expressions et calculer les valeurs des réluctances ℜ1 , ℜ2 et ℜ3 . 3) Calculer la réluctance ℜ équivalente au circuit magnétique (on s’aidera du schéma équivalent représenté sur la figure 1). 4) Calculer alors le nombre de spires N à bobiner pour réaliser une inductance L=20 mH .
Cette inductance est destinée à être utilisée en régime alternatif sinusoïdal, à la fréquence f =400 Hz On cherche à déterminer le courant efficace maximal qu’elle pourra supporter sans saturer. 5) Enoncer la « relation Tension/Fréquence/Induction » qui relie la tension efficace V (aux bornes du bobinage) à la valeur maximale Bmax de l’induction et à la fréquence f .
V et courant complexe I ? En passant aux modules, quelle relation relie alors V à la valeur efficace du courant I ? 7) En se servant des deux dernières questions calculer la valeur efficace du courant I permettant de ne pas dépasser Bmax =1,5 T au sein du bobinage. 8) Pour pouvoir augmenter la valeur de ce courant, on pratique un entrefer d’épaisseur e=1mm dans la 6) Quelle relation relie la tension complexe
branche « 1 » du circuit magnétique. Calculer alors la nouvelle valeur de la réluctance équivalente. 9) Calculer ainsi la nouvelle valeur de l’inductance obtenue et le nouveau courant efficace maximal. (permettant toujours de ne pas dépasser Bmax =1,5 T au sein du bobinage).
Exercice 2 : Circuit magnétique et approche du transformateur Dans cet exercice, on s’intéresse à un circuit magnétique homogène sur lequel sont bobinés deux enroulements. Le bobinage 1 comporte N1 spires et est placé sous la tension
φ
Bmax =1,8 T dans le matériau magnétique. Dans toute la suite du problème on considèrera la valeur fixe : N1 =300 spires. 3) Calculer la réluctance ℜ du circuit magnétique.
bobinage 2
bobinage 1
sinusoïdale v 1 , le bobinage 2 comporte N 2 spires et est i1 i2 considéré comme ouvert dans un premier temps. Une coupe du ~ v1 N1 circuit magnétique et la disposition des bobinage sont N2 v2 représentés sur figure ci contre. L’objectif de l’exercice est de déterminer les relations existant entre les tensions et les courants des deux bobinages. On donne les dimensions et caractéristiques suivantes : Longueur moyenne du circuit magnétique : l=50 cm, Section : S=20 cm², perméabilité relative : µr=1500 S.I. 1) Rappeler la formule « tension / induction / fréquence » énoncée dans le cours. 2) On souhaite placer le bobinage 1 sous une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace V1 =230 V à la fréquence f =50 Hz . Calculer le nombre minimal de spires N1 permettant de ne pas dépasser la valeur d’induction maximale
4) Ecrire l’expression du flux circulant dans le circuit magnétique :
φ
en fonction de
ℜ , N1 et i1 .
5) Préciser l’expression et la valeur de l’inductance que représente le bobinage 1 : L1 . 6) Quelle relation vérifie cette inductance ? 7) Calculer l’expression et la valeur de l’inductance mutuelle M existant entre les deux bobinages sachant qu’elle vérifie la relation : φ 2 T =M.i1 où φ 2 T est le flux total intercepté par le bobinage 2. 8) En écrivant la loi de Lenz pour chacun des bobinages, écrire les expressions des tensions
v1 et v2 en
di1 . fonction de dt
v 2 . Calculer alors le nombre de spires N2 permettant à la tension v2 v1 de présenter une valeur efficace V2 =127 V . On considère maintenant que le bobinage 2 est connecté à une résistance R =50 Ω . 10) En supposant la tension v2 de valeur efficace V2 =127 V , calculer la valeur efficace du courant i2 : I 2 . 9) En déduire l’expression du rapport
11) Représenter le schéma équivalent du circuit magnétique faisant apparaître la réluctance et les diverses forces magnétomotrices. On portera une attention particulière aux sens conventionnels des flux et des « fmm ». 12) En écrivant la relation de maille sur ce schéma équivalent, écrire l’équation qui relie i1 , i2 et φ .
ℜφ est négligeable dans cette relation, quelle est l’expression du quotient i2 ? i1 Quelle relation existe t’il entre les puissances instantanées v1.i1 et v2.i2 ?
13) En supposant que le terme
Exercice 3 : Transformateurs en cascade Un ensemble de distribution d'énergie électrique sous tension sinusoïdale à 50 Hz est représenté, en schéma monophasé équivalent, sur la figure ci dessous. Les transformateurs représentés sont considérés comme parfaits et les rapports de transformations connus : m=2.10−3 et m'=100 . Les éléments d'imperfection des transformateurs et de la ligne sont ramenés à la résistance r et à l'inductance l. La charge consomme, par phase, une puissance de 500 kW sous 230 V et avec un facteur de puissance cosϕ =0,8 arrière. 1) 2) 3) 4) 5) 6)
r=100 Ω lω=300 Ω
I
~
V
Générateur
I2
V1
V' m'
I1
Ligne
V2 m
Charge
Calculer la valeur du courant I 2 . En déduire la valeur du courant I1 et calculer la valeur de V1 . Représenter un diagramme de Fresnel faisant apparaître toutes les grandeurs de la maille centrale. Calculer alors la valeur de la tension V' en faisant une hypothèse de colinéarité des tensions V 1 et V' . En déduire la valeur de la tension V nécessaire à assurer 230 V en bout de ligne. Reprendre les deux dernières questions en faisant un bilan de puissances actives et réactives. Conclure sur l'hypothèse faite à la question 4.
Partie 4 : Moteur à courant continu Exercice 1 : Moteur à excitation réglable On considère une machine à courant continu utilisée en moteur. Le bobinage inducteur est alimenté par la source de tension de 110 V qui alimente également l'induit, à la différence que le courant inducteur est limité par la résistance Re1 . L'installation est représentée sur la figure ci dessous. I
C , N (tr/min) U
U=110 V
Re1
Ie
R =0,5 Ω , Résistance de l'inducteur : Re =400 Ω 1) Le moteur fonctionnant à vide consomme le courant I =1,2 A . Calculer alors la valeur des pertes mécaniques Pm . Calculer également la valeur de la force électromotrice interne E. 2) Toujours à vide, et pour Re1 =0 , le moteur tourne à la vitesse de 1620 tr/min. Calculer le couple de pertes mécaniques Cm . 3) En déduire le coefficient k tel que C =k.I e.I . Vérifier que ce coefficient vérifie également la relation E =k.I e.Ω . On donne : Résistance de l'induit
4) On charge à présent le moteur en le faisant entraîner une dispositif mécanique (treuil, roue, ou autre…) qui représente un couple résistant de 10 Nm s'ajoutant au couple de pertes (supposé constant). Calculer alors le courant absorbé. 5) En déduire la valeur de la force électromotrice E et de la vitesse de rotation du moteur N (tr/min). 6) On souhaite que cette charge soit entraînée à 1800 tr/min. Calculer alors la valeur de la résistance Re1 permettant d'obtenir cette vitesse.
Exercice 2 : Machine utilisée en génératrice Une machine à courant continu à aimants permanents est utilisée en génératrice, entraînée par un ensemble mécanique à la vitesse N n =3000 tr/min . La tension nominale de la génératrice est U n =220 V , la puissance nominale Pn =20 kW et le rendement nominal : η =0,8 . 1) Représenter un schéma équivalent de la génératrice et de sa charge (utiliser une convention adaptée). 2) Calculer la valeur du courant nominal de la génératrice. 3) En déduire la valeur de la résistance d'induit si on néglige les pertes mécaniques de la machine. 4) Calculer alors la valeur de la tension à vide et de la tension à demi-charge, c'est à dire pour une puissance fournie
P= Pn . 2
5) Calculer le rendement de la machine à demi-charge.
Corrections Luc Lasne, 29/10/2008 Partie 1 : Régime alternatif sinusoïdal monophasé L=20mH
I
Exercice 1 : Charge monophasée
I1 = V = 230 =11, 5 A R1 20 230 V 2) I 2 = = =19,5 A R2² +(L.ω)² 10² +(20.10−3×2π ×50)² 1)
V
R1=20Ω
R2=10Ω
3) Impossible ici d'ajouter les valeurs efficaces calculées. Il est nécessaire de calculer l'impédance équivalente :
R1 //(R2 + jLω)=
20.(10+ j(20.10−3×100π)) 200+ j.125,6 = (20+10)+ j(20.10−3×100π) 30+ j.6,28
V 230 = =29,85 A R1 //(R2 + jLω) 200² +125,6² 30² +6,28² 5) P = R1.I1² + R2.I 2²=20×11,5²+10×19,5² =6,44 kW
4) On en déduit :
I=
6)
Q= Lω.I 2² =20.10−3×100π ×19,5² =2,39 kVAR d'où S = P²+Q² =6,86 kVA
7)
cosϕ= P = P =0,93 S P² +Q²
Exercice 2 : Diviseur de courant 1) On calcule par
exemple
l’impédance
équivalente
au
circuit :
Z eq =(4− j.(1/0,002))//(40+ j.10)=11,8+ j.43,2 . Ainsi : V =Zeq.I = 11,8²+43,2² ×2,5=112 V . V V I1 2) I1 = =0,22 A , I 2 = =2,7 A V 4²+500² 10²+40² ϕ I
3) La formule donne bien sur le même résultat… 4) Voir schéma. 5) P =4.I1²+10.I 2²=73 W , Q=−500.I1²+40.I 2²=267 VAR 6) Cette charge est équivalente à un circuit R-L
I2
I1
(Q>0) dont les valeurs sont :
X = L.ω =Q / I²=42,7 Ω .
R= P / I²=11,7 Ω et
Exercice 3 : Charge monophasée et calcul d’impédances complexes
Z =30+ j.15 , Z BM = Z // 2.Z = 2.Z =20+ j.10 Z BM =20+ j.10 3 Z AM =22+ j.10 I = V = 130 =5,38 A Z AM 22²+10² P =22.I²=636,7 W et Q=10.I² =289,4 VAR I1 I cosϕ = P =0,91 AR I2 S VBM = Z BM .I = 20² +10² ×5,38=120,3 V I1 = VBM =1,79 A et I 2 = VBM =3,58 A 60²+30² 30²+15²
1) si 2) 3) 4) 5) 6) 7)
VBM
ϕ
V
8) De façon générale il n’y a pas égalité. Ici ça marche car les deux courants sont en phase. 9) V =2.I +V BM 10) Voir schéma ci dessus.
2.I
Exercice 4 : Puissances et facteur de puissance associés à un dipôle non linéaire π
1)
Veff =V , Ieff = 1 ∫i(θ)².dθ = 1 .I0².π = I0 π0 π 3 3
2)
S =Veff .Ieff =V.I0 3
3)
P= 1 ∫v(θ).i(θ).dθ = 1
π
4)
π0
π
2π / 3
∫ I . V. π 0
2.sinθ.dθ = I0.V. 2
π
/3
k = P = 6 =0,78 S π
5) On n’a pas intérêt a faire circuler les courants non sinusoïdaux sur le réseau car ils sont l’origine de mauvais facteurs de puissance. Ici, le courant n’est pas déphasé par rapport à la tension, malgré cela le facteur de puissance n’est pas unitaire. Ceci est du à une forme de puissance appelée « puissance déformante »…
Exercice 5 : Tracés dans le plan complexe et compensation de puissance réactive 1) On détaille dans le tableau 1.2 ci-dessous l'ensemble des grandeurs électriques pour chaque charge, les valeurs données dans l'énoncé étant encadrées. Charge 1 Charge 2 Charge 3
P1=20 kW Q1=15 kVAR
S2 =45 kVA cosϕ2 =0,6 AR
S3 =10 kVA Q3 =−5 kVAR
S1 = P1 +Q1 =25 kVA I1 = S1 =108,7 A V cosϕ1= P1 =0,8 AR car Q>0 S1 ϕ2 =36,8°
P2 =S2.cosϕ2 =27 kW Q1=S2.sinϕ2 =36 kVAR
P3 = S3 −Q3 =8,66 kW I3 = S3 =43,5 A V cosϕ3 = P3 =0,86 AV car Q<0 S3 ϕ3 =−30,7°
2
2)
2
2
I 2 = S2 =195,7 A V
ϕ2 =53,1°
P= P1 + P2 + P3 =55,66 kW ,
Q=Q1 +Q2 +Q3 =46 kVAR ,
2
S = P +Q =72,2 kVA , 2
cosϕ= P =0,77 , I = S =314 A S V 3) On représente le tracé ci dessous Im
I3 : 43,5 A / 30°
ϕ3 ϕ1
Re V : 230 V / 0°
I= I1+ I2+ I3
ϕ2
I2 I1 : 108 A / 36,8° I1 I2 : 197,7 A / 53,1°
I3
4) Le triangle des puissances de l'ensemble de ces charges est représenté ci dessous : Réactif P3
Q
S
ϕ P1
Q3
Q2 P2
Q1
Actif P
2
Q=Q1+Q2 +Q3 = P.tanϕ . Après avoir placé le condensateur C', cosϕ''=0,9 AR d'où : Q =Q1 +Q2 +Q3 +QC = P.tan(ϕ')= P tan ϕ+QC ' . − P(tan(ϕ')− tanϕ) 6) On en déduit : QC' =−C'ωV² = P(tan(ϕ')− P tan ϕ) , d'où C'= =1,2 mF ω V² 5) Avant de placer le condensateur :
7) Si on désire un cosϕ arrière, le signe de la tangente de l'angle final change, on écrit donc :
8)
C''=
− P(−tan(ϕ'')−tanϕ) =4,2 mF ω V²
9) On choisit en pratique le condensateur de valeur la plus faible par économie et afin d'éviter un surdimensionnement inutile.
Partie 2 : Circuits triphasés Exercice 1 : Triphasé : Charges Y et ∆ . 1) Voir schéma étoile ci contre :
U = 3.V 3) I =V = 230 =10,28 A Z 10²+20² 4) ϕ = Arc tan 20 =1,107 rad=63,4 ° 10 P=3.V.I.cosϕ =3172 W Q=3.V.I.sinϕ =6340 VAR
N
V1
I1
Z
V2
U12 I
2
Z
I3
Z
V3
2)
V1
I1’
V2
U12 I ’ 2
Z’
I3’
Z’
N
V3
J’ Z’
5) Voir schéma triangle ci contre : 6)
I'= 3.J'
et
J'=U = 400 =5,96 A ainsi : Z' 30²+60²
I'= 3.J'=10,3 A 7) P =3.Re( Z).J'²=3×30×(5,96²)=3190 W
V1
ϕ
U31 I3
I1
Q=3.Im( Z).J'²=3×60×(5,96²)=6394 VAR 8) Les puissances associées aux charges sont les mêmes aux arrondis de calcul près. C’est normal car ces deux charges sont les équivalents étoile / triangle (Ztriangle = 3*Zétoile) 9) Voir schéma ci contre :
U12 10,28A / 63° par rapport à V1
I2 V3
V2 U23
Exercice 2 : Circuits triphasés déséquilibrés 1) Le neutre étant relié, on écrit : V 1=Z 1.I 1 ,
V 2 =Z 2.I 2 et V 3 = Z 3.I 3 . En passant aux modules : I1 = V = V =7,66 A , I 2 = V = V =23 A et I3 = V = V =11,5 A Z2 10 Z3 20 Z1 30
2) On représente les tensions et les courants sur la figure ci contre. On notera que l'impédance de la phase 1 est une inductance, celle de la phase 2 un condensateur et celle de la phase 3 encore une inductance. Les déphasages entre les courants correspondants et les tensions simples sont alors immédiats. Déséquilibre en courant 3) I 1=−I 2
V1
I2
I3 I1
.U 12 =Z 1.I 1−Z 2.I 2 =(Z 1.+ Z 2.).I 1= j20.I 1 V3 V2 U 5) I1 = =20A I1 est déphasé de –90° par rapport à .U 12 . 20 Z1 Z2 6) .V 1N' = Z 1.I 1 = .U12 .V 2N' = Z 2.I 2 =− .U donc : .V 1N' = 3U 12 et .V 2N' = 1 Z 2.I 2 2 2 Z 1+ Z 2 Z 1 + Z 2 12 4)
7) V1N’=600 V
et
V1N’=200 V les déphasages sont tous les deux nuls…
V1N’
8) Voir figure. La charge 1 est en surtension, la charge 2 en sous-tension
V1 U23
U12
Exercice 3 : Installation électrique de la tour Eiffel 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
V2N’
U = 3.V =400 V I1=- I2 V3 V2 Pa =500 kW , Qa = Pa.tanϕ =375 kVAR U31 Qe2 = Pe2.tanϕ =103,9 kVAR Qcd = Pcd.tanϕ =339 kVAR Qr = Pr.tanϕ =73,4 kVAR Pt =1472 kW Qt =891,3 kVAR S = Pt ²+Qt ² =1720 kVA=3V.I I = S =2,49 kA cosϕ = P =0,85 3V S E =(140+60)×8+500×12+700×16+72×24=20528 kWh en une journée Une journée représente : 2052,8 € d’alimentation électrique S = P =1,25 MW =3V.I d’où : I = S =1,81 kA cosϕ 3V PEDF = P+3.R.I²=1,098 MW QEDF =PEDF.tanϕ =0,75 MVAR SEDF =1,32 MVA , ainsi : VEDF = SEDF =244,8 V 3I
Exercice 4 : Circuits triphasés et problématiques liées aux réseaux électriques 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
V = U =230 kV 3 S = P²+Q² =316,22 kVA d’où : cosϕ = P =0,94 AR S S S =3.V.I d’où : I = =458,3 A 3V r =0,05×100=5 Ω et lω =0,3×100=30 Ω Pt = P+3.r.I²=303,15 MW et Qt =Q+3.lω.I²=118,9 MVAR St = Pt ²+Qt ² =325,6 MVA et St =3.V'.I d’où V'= St =236,8 kV et U '= 3.V'=410,2 kV 3.I Voir schéma , Relation de maille : V '=r.I + jlω I +V I
N
r
V’
jlω
V’
P/3 , Q/3 V
jlω.I I
ϕ
V
r.I
8) Voir schéma 9)
η = Putile = P =0,98
Ptotale Pt P =0,9 d’où : P( 1 −1)=3.r.I² et rmax = P ( 1 −1)=53,36 Ω d’où la longueur 10) ηmin i = P+3.r.I² 0 ,9 3.I² 0,9 maximale de la ligne : lmax = rmax =1067 km . 0,05
Partie 3 : Circuits magnétiques et Transformateurs Exercice 1 : Circuit magnétique 1) ε : Force magnéto motrice. ε = N.I 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
ℜ1 =
l1
µ0 µ r S
=79577=ℜ2 , ℜ3 =26525
ℜ=ℜ1 + ℜ2.ℜ3 =99470 ℜ2 +ℜ3 N = ℜ.L.=45 spires V =4,44.N.Bmax.S.f V = j.Lω.I càd V = Lω.I 4,44.N.Bmax.S.f I= =4,76 A Lω ℜ1 = l1 + e =477464 ℜ=ℜ1 + ℜ2.ℜ3 =497358 µ0 µ r S µ 0 S ℜ2 +ℜ3 4,44.N.Bmax.S.f L= N² =4 mH et I = =23,8 A Lω ℜ
Exercice 2 : Circuit magnétique et approche du transformateur 1) V =4,44.N.Bmax.S.f
230 =288 spires 4,44.×1,8×20.10−4×50
2)
N1 min i =
3)
0 ,5 ℜ= l = =132629 H-1 µ.S 1500×4π.10−7×20.10−4
N1.I =ℜφ ⇒ φ = N1.i1 ℜ N 1² 300 ² = =0,68 H 5) L1 = ℜ 132629 4)
6) Cette inductance vérifie la relation : 7)
φT = N1.φ = L1.i1
φ 2 T = N 2.φ = N 2.N1.i1 comme φ 2 T =M.i1 on en déduit : M = N 2.N1 .
ℜ ℜ dφ1 d φ 2 8) v1 = N1 . = L1. di1 et v2 = N 2. = M. di1 dt dt dt dt N v2 =V2 = 127 =0,55= N 2 ⇒ N 2 =166 spires 9) v2 = M = 2 v1 L1 N1 v1 V1 230 N1 10) I 2 =V2 =2,54 A R
φ
ℜ
N1.i1
N2.i2
11) Voir schéma. 12) N1.i1− N2.i2 =ℜ.φ 13)
N1.i1− N2.i2 =ℜ.φ ≈0 d’où N1.i1= N2.i2 et i2 = N1 . Ainsi v2 ×i2 = N2 × N1 =1 et v1.i1=v2.i2 i1 N2 v1 i1 N1 N2
Exercice 3 : Transformateurs en cascade 1) La puissance consommée par phase par la charge s'écrit :
I2 = 2) Les
P=500 kW =V2.I 2.cosϕ . D'où :
P =2717 A . V2.cosϕ transformateurs
I1 =m.I 2 =2.10
considérés ×2717=5,43 A .
−3
sont
comme
parfaits,
c'est-à-dire
qu'on
peut
écrire
:
Par
ailleurs
les
tensions
son
aussi
reliées
par
le
rapport
de
transformation
:
V1= 1 .V2 = 1 −3 ×230=115 kV . m 2.10 3) Le courant I 2 et la tension V 2 sont déphasés de l'angle ϕ. Les transformateurs étant parfaits, les courants et tensions primaires sont colinéaires aux courants et tensions secondaires. On représente donc le courant I 1 et la tension V 1 V' jlω.I1 sur la figure ci contre. Par ailleurs, la loi de maille de la maille V1 centrale s'écrit : V '=r.I 1 + jlω.I 1 +V 1 , d'où les autres vecteurs ϕ I1 r.I1 complétant l'égalité vectorielle. 4) Les hypothèses classiques de la maille de sortie d'un transformateur sont applicables ici et on néglige l'angle entre les vecteurs V 1 et V' . On écrit alors :
V'=V1+r.I1.cosϕ +lω.I1.sinϕ . L'application numérique donne : V'=116411 V . 5) On déduit la tension V du rapport de transformation m'=100=V' : V = V' =1164 V V m'
6) On peut résoudre les deux questions précédentes sans 'approximation par un bilan de puissances : La puissance active totale fournie par le générateur est :
Ptotal = P + r.I1 =502,95 kW 2
Qtotal = P.tanϕ +lω.I1 =383,84 kVAR Par ailleurs, la valeur du courant fourni par le générateur est : I =m'.I1 =543 A . Il ne reste plus qu'à écrire la puissance apparente S que représente le générateur : S =V.I = P²total +Q²total =632,69 kVA Ce qui donne : V = S =1165 V . Ce résultat qui ne souffre d'aucune approximation autre que celles des décimales, I La puissance réactive totale fournie par le générateur est :
2
prouve le bien fondé de l'approximation réalisée à la question 4.
Partie 4 : Moteur à courant continu Exercice 1 : Moteur à excitation réglable 1) Les pertes à vide se composent des pertes mécaniques et de la puissance dissipée dans la résistance d'induit. Ainsi : Pm =U.I − R.I² =110×1,2−0,5×1,2²=131,3 W . La relation de maille d'induit s'écrit, le moteur
U = R.I + E . Ainsi : E =U − R.I =110−0,5×1,2=109,4 V Les pertes mécaniques s'écrivent : Pm =Cm.Ω =Cm. 2πN d'où : Cm = 60.Pm =0,77 Nm . 60 2πN U 110 Comme Re1 =0 , le courant inducteur vaut : I e = = =0,275 A . A vide : C =Cm =k.Ie.I donc : Re 400 k = Cm =2,33 Nm/A² et par ailleurs : k.Ie.Ω =k.Ie 2πN =109 V≈ E . Ie.I 60 10+0,77 En régime permanent : C =10+Cm =k.I e.I . C'est à dire : I = =16,8 A . 2,33×0,275 101,6 E =U − R.I =110−0,5×16,8=101,6 V et Ω = E = =158,6 rad/s soit : k.I e 2,33×0,275 N = 60.Ω =1514 tr/min 2π On cherche ici la valeur de I e telle que la charge de 10 Nm tourne à N=1800 tr/min. On écrit donc : E =U − R.I =U − R. C =k.Ie.Ω =k.Ie. 2πN . On en retire l'équation du second degré : k.Ie 60 −U.Ie + R.C + k.Ie².2πN =0 . Soit donc : 439,2.Ie ²−110.Ie + 2,14=0 La résolution donne la valeur k 60 étant en convention récepteur,
2) 3)
4) 5)
6)
(choisie naturellement dans l'ordre de grandeur le plus cohérent) : choisir sera donc telle que :
I e =0,229 A . La résistance Re1 à
U = Ie =0,229 A D'où : Re1 =U − Re =80,3 Ω Re + Re1 Ie
Exercice 2 : Machine utilisée en génératrice 1) On représente le schéma équivalent de la génératrice, naturellement en convention générateur, sur la figure 4.8. R I Charge Rch
U
E
Machine
2) La puissance nominale de la machine s'écrit :
Pn =20 kW =U n.I n . C'est à dire : I n = Pn =90 A . Un
3) Si on néglige les pertes mécaniques de la machine, les pertes représentées par la valeur du rendement η =0,8 sont dissipées dans la résistance de l'induit R. On écrit donc : Soit donc :
1−η PR = R.I n²= Pn − Pn = Pn.
η
1−η =61,7 mΩ η .I n ²
η
R = Pn.
4) Pour calculer la tension à vide, qui est également la force électromotrice point nominal : U n = E − R.I n , c'est à dire: E =U n + R.I n =225,55 V
E , on écrit l'équation de maille au
Pn =10 kW =U.I où U et I sont des inconnues. 2 La relation de maille s'écrit : U = E − R.I = E − R Pn c'est à dire : U² − E.U + R Pn =0 2 2.U La résolution de ce polynôme du second degré en U donne : U n / 2 =222,8 V 5) Avant de calculer le rendement, on calcule le courant à mi-charge : I n / 2 = Pn =44,8 A .Le rendement 2.U n / 2 Pn / 2 de la machine à mi charge s'écrit alors : η = =0,45 Pn / 2+ R.I n / 2² Pour calculer la tension à demi-charge, on écrit :
