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Matemática A – 11.º Ano
FICHA
DE
TRABALHO - MATEMÁTICA A – 11.º ANO MÉTODO
DE
INDUÇÃO MATEMÁTICA
“A demonstração é um ídolo aos pés do qual os matemáticos se torturam a eles próprios.” Sir Arthur Eddington
1. Mostre, utilizando o método de indução matemática, as seguintes igualdades: 1.1. 2 5 8 11
2k 3 n n , n k 3 3
2 1 3 n , n k 3 3
n
1.3.
3n 1
k 1
3n2 n , n 2
k 0
2n1 2n 1 , n
n
1.4.
2k n 2 n , n
k 1
n
1.5.
1.2. 1 2 4 8
1.6. 6n 3n 2n , n
1.7. 4n n2 , n
1.8. 3 5 7 9
1.9. 64n 1 múltiplo de 9, n
1.10. n! nn , n
1.11. 1 1 1 2 2 1 3 3 1
1.12. 12 22 32 42
n2
n n 1
n n 1 2n 1 6
n n 1 n 2 3
2n 1 n2 2n , n
, n
, n
u 6 2. Considere a sucessão un definida por recorrência do seguinte modo 1 . un 1 un 2n 4, n 1
2.1. Determine u2 e u3 . 2.2. Utilizando o método de indução matemática, prove que un n2 3n 2 , n . v1 4 v definida por . Mostre, utilizando o método de indução n 1 vn vn 1 , n 1 2 matemática, que n , vn 1 .
3. Considere a sucessão
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Ficha de Trabalho – Método de Indução Matemática – 1
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Matemática A – 11.º Ano
4. Considere a sucessão un definida por u1 indução matemática, que n , un 2
2 n 1
3
16 9
un 1
4 un , n . Mostre, utilizando o método de 3
.
5. Considere as sucessões an e bn de termos gerais an 2n e bn n 1 . Mostre, utilizando o método de indução matemática, que an bn , n . 6. Considere a sucessão de números triangulares Tn e a sucessão de números quadrados Qn , definidas respectivamente por: T1 1 Tn Tn 1 n, n 2
Q1 1 Qn Qn 1 2n 1, n 2
e
Na figura em baixo encontra uma representação dos números triangulares e outra dos números quadrados.
1
3
6
10
1
4
9
16
Recorrendo ao método de indução matemática, mostre que: 6.1. Qn1 Tn1 Tn , n 6.2. Qn n2 , n 6.3. Tn
n n 1 2
, n
w1 1 7. Seja wn a sucessão definida por . Mostre, utilizando o método de indução matemática, wn wn 1 1 2w , n 1 n que n , wn 0 .
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Ficha de Trabalho – Método de Indução Matemática – 2
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Matemática A – 11.º Ano
x1 4 8. Seja xn a sucessão definida por . Mostre, utilizando o método de indução matemática, 3 2 xn xn 1 , n 1 3 que n , xn 3 .
9. Seja zn
z1 4 a sucessão definida por . Mostre, utilizando o método de indução matemática, 1 zn 1 2 zn 1, n 1 n
1 que zn 4 2 , n . 2 10. Usando o método de indução matemática, mostre que 2n n , n . *11. Considere a sucessão un definida recursivamente por u1 1 u2 2 un un1 un2 , n . n
1 5 Utilizando o método de indução matemática, mostre que un , n . 2
12. Considere a sucessão an
a1 1 definida por recorrência da seguinte forma 2 an 1 3 an 1, n 1
Utilizando o método de indução matemática, mostre que: n
2 12.1. n , an 3 3 . 3
12.2. n , an 3 .
13. Seja vn
v1 4 a sucessão definida por un2 2 , n vn 1 3
. Utilizando o método de indução matemática,
mostre que 1 un 2 , n .
14. A sucessão
wn
2 w1 3 tem a seguinte definição por recorrência . Mostre, 1 w w , n IN n 1 n n 2 5n 6
utilizando o método de indução matemática, que wn
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n 1 , n . n2
Ficha de Trabalho – Método de Indução Matemática – 3
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Matemática A – 11.º Ano
b1 1 15. Seja bn a sucessão definida por . Mostre, utilizando o método de indução matemática, bn bn 1 1 b , n 1 n que n , bn 0 .
16. Considere a sucessão an
a1 2 definida por recorrência da seguinte forma . Utilizando o 2 an 1 3n an , n 1
método de indução matemática, mostre que an
**17. Considere a função f , definida em
3n 1 , n . 3n 1
\ 1 , por f x
x . Utilizando o método de indução matemática, x 1
1 n! , n mostre que a derivada de ordem n da função f é f x n . n 1 x 1 n 1
18. Considere a sucessão de termos positivos un definida por u1 2
un1 2 un , n .
Utilizando o método de indução matemática, mostre que: 18.1. un é monótona crescente. 18.2. n , un 2 . 19. Seja vn a sucessão de termos positivos definida por v1
1 1 v n1 v n2 , n . 4 4
Utilizando o método de indução matemática, mostre que: 19.1. vn é monótona crescente. 19.2. n , vn
1 . 2
20. Seja bn a sucessão definida por u1 1 u2 2 un1 método de indução matemática, que un 1 un 1
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n 1
1 2
n 1
un un1 , n . Mostre, utilizando o 2
, n .
Ficha de Trabalho – Método de Indução Matemática – 4