Material elaborado por: Leandro Sepúlveda Sandoval Rodrigo Villalobos Araya Validado por: Rafael Paredes Carrasco
Actividad Estimado (a) alumno (a): En la unidad de aprendizaje Fundamentos de matemática financiera, corresponde aplicar la matemática financiera financiera a situaciones de administración y negocios a través del cálculo del valor futuro, valor actual, tiempo de duración, tasa de interés en operaciones financieras y descuento simple mediante fórmulas y/o métodos. Deberán desarrollar de manera grupal, actividades de Solución de Ejercicios y problemas, en dónde deberán resolver 3 guías de acuerdo a la planificación de clases de su sección:
Guía 1: Cálculo de valor futuro, valor actual, tiempo de duración y tasa de interés en operaciones financieras y descuento simple. Guía 2: Cálculo de valor futuro, valor actual, tiempo de duración y tasa de interés en operaciones financieras de capitalización compuesta. Guía 3: Cálculo de anualidades, amortización y depreciación.
Instrucciones de resolución para cada guía:
1. INSTRUCCIONES GENERALES: Se presentarán ejercicios y problemas de acuerdo a los criterios de evaluación contenidos en cada guía. Deberá utilizar lápiz pasta en sus respuestas.
2. INSTRUCCIONES DE PUNTAJE. Cada guía evaluada, consta de un puntaje establecido en cada uno de sus ejercicios y problemas. La Nota 4.0 se obtiene logrando un 60% del puntaje total. Se considerará la precisión en los resultados de cada pregunta, el desarrollo de sus resultados y la justificación con argumentos teóricos cuando corresponda. Será considerado como aspecto a evaluar la presentación de la resolución de la guía, considerando la rigurosidad en el formato, estructura, gramática y uso del lenguaje técnico y formal en la presentación de la guía y el cumplimiento de las tareas asignadas asignadas durante la resolución de la guía, de acuerdo a todos los estándares, normas y plazos.
3. INSTRUCCIONES DE RECURSOS PERMITIDOS. Se permite el uso de calculadora y formularios. No se permite utilizar celular, libros de texto ni apuntes. máximo para resolver cada una una de las guías evaluada 4. INSTRUCCIONES DE DURACIÓN. El tiempo máximo es de 75 minutos.
2
Instrucciones al alumno:
Revisar la introducción a los aprendizajes esperados y ejercicios resueltos. Leer la escala de apreciación y la pauta de coevaluación. Leer la hoja con las actividades a realizar. Consultar con anticipación al docente, todas las dudas antes del inicio de la actividad de evaluación.
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Escala de Apreciación para evaluar Guía 1 Aspectos observados Criterio de Evaluación: Calcula valor futuro, valor actual, tiempo de duración, tasa de interés en operaciones financieras y descuento simple mediante fórmulas y/o métodos.
Pregunta 1 a Pregunta 1 b Pregunta 2 a
Pregunta 2 b
Pregunta 3 a Pregunta 3 b Pregunta 4 a Pregunta 4 b Pregunta 5 a Pregunta 5 b
Calcula la tasa de interés mensual. Presenta su decisión con argumentos y cálculos técnicos. Realiza procedimiento del cálculo del valor futuro (Monto), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor futuro (Monto). Realiza procedimiento del cálculo de dinero que se habría dejado de ganar, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el la cantidad de dinero que se habría dejado de ganar. Calcula el tiempo en días. Realiza procedimiento del cálculo de la tasa de interés mensual, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula la tasa de interés mensual. Realiza procedimiento del cálculo del valor futuro (Monto), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor futuro (Monto). Realiza procedimiento del cálculo del interés acumulado, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el interés acumulado. Realiza procedimiento del cálculo del descuento comercial, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el descuento comercial Realiza procedimiento del cálculo del valor líquido, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor líquido
COMPETENCIAS GENÉRICAS Presentación de Elabora la guía que incluye los resultados, con rigurosidad en el formato, estructura, gramática y uso del lenguaje la resolución de técnico y formal en la presentación de la guía de ejercicios resuelta. guía. Cumple con todas las tareas asignadas durante la resolución de la guía, de acuerdo a todos los estándares, normas Competencia y plazos, evidenciando planificación de sus actividades, acatando de manera rigurosa las normas y dentro de los genérica. plazos asignados.
PUNTAJE MÁXIMO COMENTARIOS
84 PUNTOS
PUNTAJE OBTENIDO
3 Bien
Realizan los cálculos y respaldan los procedimientos con argumentos y mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos, alcanzando la respuesta correcta
Realiza procedimiento del cálculo de la tasa de interés mensual, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos.
Realiza procedimiento del cálculo del tiempo en días, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos.
4 Muy bien
Realizan los cálculos y no respaldan los procedimientos de manera completa, alcanzando la respuesta correcta
2
1
Regular Insuficiente Realizan los No realiza los cálculos y/o procedimientos ni los respaldan los cálculos o presenta procedimientos errores en los cálculos pero con errores. y la aplicación de fórmulas y/o métodos
Escala de Apreciación para evaluar Guía 2 Aspectos observados Criterio de Evaluación: Calcula valor futuro, valor actual, tiempo de duración y tasa de interés en operaciones financieras de capitalización compuesta.
Pregunta 1
Pregunta 2
4
3
Muy bien
Bien
Realizan los cálculos y respaldan los procedimientos con argumentos y mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos, alcanzando la respuesta correcta
Realizan los cálculos y no respaldan los procedimientos de manera completa, alcanzando la respuesta correcta
2
1
Regular Insuficiente Realizan los No realiza los cálculos y/o procedimientos ni los respaldan los cálculos o presenta procedimientos errores en los cálculos pero con errores. y la aplicación de fórmulas y/o métodos
Realiza procedimiento del cálculo del valor futuro (Monto), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor futuro (Monto). Realiza procedimiento del cálculo de transformación de tasas de interés mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula la tasa de interés.
Presenta su decisión con argumentos y cálculos técnicos. Pregunta 3 a Pregunta 3 b Pregunta 4 a Pregunta 4b Pregunta 5 a Pregunta 5 b
Realiza procedimiento del cálculo de la tasa de interés efectiva, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula la tasa de interés efectiva Realiza procedimiento del cálculo de la tasa de interés efectiva, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula la tasa de interés efectiva
Realiza procedimiento del cálculo del valor futuro (Monto), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor futuro (Monto). Realiza procedimiento del cálculo de intereses para cada período, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor de los intereses para cada período. Realiza procedimiento del cálculo de transformación de tasas para cada alternativa, mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula la tasa de interés mensual para cada alternativa. Presenta su decisión con argumentos y cálculos técnicos.
COMPETENCIAS GENÉRICAS Presentación de Elabora la guía que incluye los resultados, con rigurosidad en el formato, estructura, gramática y uso del lenguaje técnico la resolución de y formal en la presentación de la guía de ejercicios resuelta. guía. Cumple con todas las t areas asignadas durante la resolución de la guía, de acuerdo a todos los estándares, normas y Competencia plazos, evidenciando planificación de sus act ividades, acatando de manera rigurosa las normas y dentro de los plazos genérica. asignados.
PUNTAJE MÁXIMO
72 PUNTOS
PUNTAJE OBTENIDO
COMENTARIOS
5
Escala de Apreciación para evaluar Guía 3 Aspectos observados Criterio de Evaluación: Calcula anualidades, amortización y depreciación para el planteamiento y resolución de problemas financieros.
Pregunta 1 a Pregunta 1 b
4
3
Muy bien
Bien
Realizan los cálculos y respaldan los procedimientos con argumentos y mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos, alcanzando la respuesta correcta
Realizan los cálculos y no respaldan los procedimientos de manera completa, alcanzando la respuesta correcta
2
1
Regular Insuficiente Realizan los No realiza los cálculos y/o procedimientos ni respaldan los los cálculos o procedimientos presenta errores en pero con errores. los cálculos y la aplicación de fórmulas y/o métodos
Calcula el valor de la cuota y procedimiento del cálculo. Confecciona la tabla de amortización y procedimiento de aplicación. Calcula el valor de la amortización de capital y procedimiento del cálculo. Confecciona la tabla de amortización y procedimiento de aplicación.
Pregunta 1 c
Presenta decisión con argumentos técnicos y mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos
Pregunta 2
Realiza procedimiento del cálculo del valor futuro (a través de anualidades), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor futuro.
Pregunta 3
Realiza procedimiento del cálculo del dividendo mensual (a través de anualidades), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el dividendo mensual.
Pregunta 4
Realiza procedimiento del cálculo del valor futuro (a través de anualidades), mediante la aplicación de fórmulas y/o métodos. Calcula el valor futuro.
Pregunta 5
Calcula el valor de la depreciación lineal y procedimiento del cálculo. Confecciona la tabla de depreciación y procedimiento de aplicación.
COMPETENCIAS GENÉRICAS Presentación de la Elabora la guía que incluye los resultados, con rigurosidad en el formato, estructura, gramática y uso del resolución de guía. lenguaje técnico y formal en la presentación de la guía de ejercicios r esuelta. Cumple con todas las tareas asignadas durante la resolución de la guía, de acuerdo a todos los estándares, Competencia normas y plazos, evidenciando planificación de sus actividades, acatando de manera rigurosa las normas y genérica. dentro de los plazos asignados.
PUNTAJE MÁXIMO 60 PUNTOS
PUNTAJE OBTENIDO
COMENTARIOS
6
INSTRUMENTO DE COEVALUACIÓN Evalúa cada afirmación utilizando la siguiente escala de valoración:
0
1
2
3
4
Nunca
Solo en ocasiones
Frecuentemente
Casi siempre
Siempre
Integrantes 1. 2. 3. 4. 5. Aporta con ideas útiles para el logro de los objetivos del grupo Participa de manera activa durante todo el proceso Propone mejoras al trabajo realizado resguardando la calidad del producto final Cumple a tiempo con las tareas que son establecidas en el equipo Asiste puntualmente a todas las reuniones programadas Respeta los acuerdos y las normas establecidas por el grupo
1
2
3
4
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TABLA DE EQUIVALENCIA DE NOTAS Escala de Apreciación para evaluar Guía 1 Puntaje Nota Puntaje Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,7 1,7 1,8 1,8 1,9 2 2 2,1 2,1 2,2 2,3 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6 2,7 2,7 2,8 2,8 2,9 3 3 3,1 3,1 3,2 3,3 3,3 3,4 3,4 3,5
43 44 45 46 47 48 49
3,6 3,6 3,7 3,7 3,8 3,9 3,9
50
4
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83
4,1 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,6 6,7 6,8 6,9
84
7
TABLA DE EQUIVALENCIA DE NOTAS Escala de Apreciación para evaluar Guía 2 Puntaje Nota Puntaje Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
1 1,1 1,1 1,2 1,3 1,3 1,4 1,5 1,6 1,6 1,7 1,8 1,8 1,9 2 2 2,1 2,2 2,3 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6 2,7 2,7 2,8 2,9 2,9 3 3,1 3,2 3,2 3,3 3,4 3,4 3,5
37 38 39 40 41 42
3,6 3,6 3,7 3,8 3,8 3,9
43
4,0
44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9
72
7
8
TABLA DE EQUIVALENCIA DE NOTAS Escala de Apreciación para evaluar Guía 3 Puntaje Nota Puntaje Nota Puntaje Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1 1,1 1,2 1,3 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,3 2,4 2,5 2,6
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
2,7 2,8 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,8 3,9
36
4,0
37 38 39
4,1 4,3 4,4
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
4,5 4,6 4,8 4,9 5 5,1 5,3 5,4 5,5 5,6 5,8 5,9 6 6,1 6,3 6,4 6,5 6,6 6,8 6,9
60
7
9
Registro de Evaluaciones Notas Obtenidas
Alumno
Guía 1
Guía 2
Guía 3
Coevaluación 1
Coevaluación 2
Coevaluación 3
Promedio Guías (15% de la nota final)
Promedio Coevaluación (5% de la nota final)
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Guía 1: Interés Simple El Valor del Dinero en el Tiempo es uno de los conceptos fundamentales en Matemáticas Financieras, porque establece una equivalenciaentrevaloresque sepercibiránenelfuturo,con valoresaldíadehoy.Siempre será preferible contar con un peso hoy, que un peso en el futuro, porque el peso hoy, tieneposibilidadesdegenerar intereses, mientras que el mismopesoenelfuturo,está sujetoaincertidumbre.
1. EL VALOR DEL DINERO. 1.1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO. El valor del dinero cambia con el tiempo; un peso recibido en fecha futura, no tiene el mismo valor que el mismo peso recibido hoy; todo dinero recibido HOY tiene la posibilidad de invertirse en alguna actividad que genere intereses, por uno o más períodos. Varios factores afectan al valor del dinero y hace que éste pierda valor en el tiempo; alguno de ellos son: -
-
La Inflación, que es un incremento
generalizado de los precios, y por tanto, hace perder poder adquisitivo al dinero. - El Riesgo, en que se incurre al prestar o invertir dinero, puesto que no existe certeza absoluta de recuperar nuestra inversión. La Oportunidad que tendría el dueño del dinero en invertir en otra actividad económica, que le genere un beneficio, lo proteja del riesgo y también de la inflación.
Estos factores, que afectan al valor del dinero, se expresan o materializan en la Tasa de Interés. Así por ejemplo, si prestamos una cantidad de $ 100.000 por un mes y cobramos un interés mensual del 3%, estamos considerando que la inflación del período será menor al tipo de interés, las oportunidades que se dejarán de lado por prestar el dinero, tienen un beneficio menor o igual al 3% y el riesgo es el mismo o menor que la mejor alternativa desechada, por elegir esta.
Ejemplo: El escritorio que deseo comprar vale hoy $ 150.000, pero como ahora tengo otras prioridades, postergo la compra un año, sabiendo que la inflación será del 4% para todo el período. Cuando compre el escritorio deberé pagar $ 156.000 que corresponden al valor original de $ 150.000 más el 4% del valor, producto de la inflación ($ 6.000). Esto lo podemos expresar de la siguiente manera: (150.000 + (150.000 * 0,04)) = 156.000 Valor Original
Interés sobre el
Valor a Pagar
valor original
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1.2. TASA DE INTERES. T.P.M=TasadePolítica Monetaria. Eslatasadeinterésfijada por elBanco central para las operaciones interbancarias. Puede decirse,querepresentael costoque unBancodebe asumir, por pedir dinero prestado a otro banco, a un día plazo, expresado entérminosanuales. La TPM está relacionada conlainflación;esporeso que el Banco Central revisamensualmenteesta tasaydecidemantenerla, subirla o bajarla, dependiendo de la evolución que ha experimentado la inflación.
La Tasa de interés representa el costo del dinero que se obtiene en préstamo o el beneficio para quien presta el dinero y se expresa como un porcentaje del capital; la tasa de interés es válida por un período de tiempo (días, semanas, meses, años). Normalmente, la unidad de tiempo utilizada para expresar las tasas de interés es un año. Se simboliza con
la letra “i”. Ejemplo: 31% anual
Significa que por cada $ 100 prestados, el deudor pagará $ 31 al año, hasta que el deudor devuelva el capital pedido en préstamo. Significa que el deudor pagará $ 3,5 cada mes, 3,5% mensual por cada $ 100 pedidos en préstamo, hasta que pague la totalidad del capital solicitado. Las tasas de interés aplicables a las operaciones comerciales y financieras, cambian frecuentemente y se fijan, en la mayoría de los casos, con base a una tasa de referencia, que en nuestro medio es la
TPM (tasa de política monetaria). 1.3. TIPOS DE TASA DE INTERES. 1.3.1. Tasa Nominal: Es la tasa de interés convenida en operaciones comerciales y registrada en los contratos, que tiene la característica de capitalizarse más de una vez en el año.
Ejemplo: $ 50.000 solicitado en préstamo al 20% anual, capitalizable trimestralmente, generará un monto de $ 60.775 al término de un año. Trimestralmente ocurrirá lo siguiente: -
Primer trimestre: (50.000 * (1 + 0,05)) = 52.500.Segundo trimestre: (52.500 * (1 + 0,05)) = 55.125.Tercer trimestre: (55.125 * (1 + 0,05)) = 57.881.Cuarto trimestre: (57.881 * (1 + 0,05)) = 60.775.-
La tasa nominal se capitaliza 4 veces en el año (una por cada trimestre) y se aplica al capital que se modifica en cada trimestre; el factor (1 + 0,05) es el “factor de capitalización” que se obtiene de (0,20 / 4 = 0,05) y en términos resumidos puede escribirse como:
(1 + 0,05)4
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1.3.2. Tasa Efectiva: Se define como “la tasa de interés capitalizable una vez al año que equivale a una tasa nominal “i” capitalizable “m” veces al año.” 1 La Tasa Efectiva representa la tasa de rendimiento del capital invertido a un año, debido a la capitalización de los intereses. La expresión que establece la equivalencia entre una tasa nominal y efectiva es la siguiente:
= (expresión 1.3.2)
Donde: i (e) = tasa efectiva. m = n° de capitalizaciones de la tasa nominal.
Ejemplo: Se invierten $ 50.000 por un año, a un interés del 20% anual, capitalizable trimestralmente. Dado que existen 4 períodos de capitalización en el año (uno por cada trimestre) la tasa efectiva que es equivalente a la tasa nominal, será: i (e) = (1 + 0,20 / 4)4 – 1 i (e) = 1,21551 – 1 i (e) = 0,21551 % anual Por tanto, la inversión de los $ 50.000 por un año, a un 20% nominal, capitalizable trimestralmente, generará realmente un interés del 21,551% anual.
1.3.3. Tasa Anticipada: Si los intereses que genera una inversión, se reciben o se pagan al inicio del período de la operación, entonces se dice que la tasa de interés es “anticipada”. Dada una Tasa vencida es posible convertirla en Anticipada usando la expresión siguiente:
= ∗ (expresión 1.3.3.)
Donde: i(a) = Interés Anticipado. i(v ) = Interés Vencido. n = Período de Tiempo 1Héctor
Manuel Vidaurri, Matemáticas Financieras 4ta Edición, página 247.
13
“La Inflación es un fenómeno económico que secaracterizaporel incremento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios producidos por la economía de un país. Lainflaciónocasionaque el poder de compra o adquisitivo del dinero, disminuya.” (Héctor Manuel Vidaurri, Matemáticas Financieras, 4ª edición, página282).
Ejemplo: Solicitamos un préstamo de $ 100.000 a un interés del 4,5% mensual anticipado. Significa que nos cobrarán $ 4.500 por intereses, que se rebajarán inmediatamente de los $ 100.000 y recibiremos, por tanto, $ 95.500.- A fin de mes, devolveremos los $ 100.000 solicitados.
1.3.4. Tasa Vencida: Si los intereses que genera una inversión, se reciben o se pagan al término del período de la operación, entonces se
dice que la tasa de interés es “vencida”. Ejemplo: Solicitamos un préstamo de $ 100.000 a un interés del 4,5% mensual vencido. Significa que pagaremos $ 4.500 de intereses al final del mes, más los $ 100.000 solicitados; en total, pagaremos $ 104.500 a fines de mes.
1.3.5. Tasa Interés Real: Se relaciona estrechamente con la tasa de interés nominal y la inflación del período. Si existe una tasa de inflación que afecte a una tasa nominal para un período específico, entonces la Tasa Real será la que proviene de la Tasa Nominal ajustada por la inflación del período. La Tasa Real es el rendimiento que se obtiene de una inversión, una vez descontada la inflación. La expresión utilizada para obtener una Tasa Real, a partir de una Nominal es:
= () (expresión 1.3.5.)
Donde: t(r) = Tasa Real. t(n) = Tasa Nominal. t(i) = Tasa de Inflación del período (generalmente el valor del IPC)
Ejemplo: La oferta de un Banco para depósitos a 30 días es del 4,5% nominal; si el IPC para el mismo período es de 3% ¿cuál es la tasa real que oferta el Banco? Es importante observar que Tasa de Inflación y Tasa Nominal estén expresadas en el mismo período de tiempo, para poder usar la expresión anterior; en este caso, sí se cumple. Si no lo fuera, la tasa nominal debe convertirse al período en el cual se expresa la tasa de inflación. 14
t(r) = ((1 + 0,045) / (1 + 0,03)) – 1 t(r) = (1,045 / 1,03) – 1 t(r) = 0,0146 t(r) = 1,46% real mensual
1.4. VARIABLES INVOLUCRADAS EN EL INTERES SIMPLE. Las variables que intervienen en el cálculo del interés simple son: -
Un Capital Inicial, designado con la letra “C” y que corresponde a la suma de dinero que se recibe en préstamo, o se invierte en alguna actividad que produzca beneficio. Podemos decir que es la parte más importante de una operación comercial y que por tal motivo, recibe el nombre de Principal.
-
Un Período de Tiempo, designado con la letra “n” y que corresponde a la diferencia entre la fecha de entrega del capital y su devolución. En operaciones comerciales, se consideran meses de 30 días y año base de 360 días; a esta modalidad se le denomina
“período comercial”. Otra modalidad, considera trabajar con un año base de 365 días y meses según corresponda al calendario; a esta
modalidad se le denomina “período exacto”. -
Una Tasa de Interés, designada con la letra “i” y que representa el retorno sobre la inversión o el costo del capital obtenido en préstamo. Se expresa en %. La tasa de interés puede ser: Anticipada, Vencida, Nominal, Real, Equivalente, según se ha detallado anteriormente.
-
Un Capital F inal o Monto, designadocon la letra “M” que corresponde a la suma del Capital Inicial más los Intereses que se
generen en el período de tiempo especificado en “n”. Representa la suma recibida por el inversionista al final del período o bien, a la cantidad de dinero que debe pagar quien recibiera cierta cantidad en préstamo. -
Todas estas variables se representan en la expresión general del Interés Simple:
=∗ ∗ 15
2. INTERES SIMPLE. 2.1. DEFINICION:
“El Interés es simple cuando se paga al final de un intervalo de tiempo previamente definido, sin que el capital original varíe. Lo anterior significa que el interés no forma parte del capital originalmente prestado o invertido en ningún momento, esto es, los intereses no
ganan intereses.” 2 “El interés se expresará en forma simple cuando la base del cálculo no incluye intereses, es decir, el interés está referido siempre a un capital inicial, por lo que no producirá el efecto de calcular intereses sobre intereses.” 3 Ambas definiciones coinciden en lo siguiente: -
Un capital original que no se modifica. Intereses calculados sobre ese capital. Intereses generados que no ganan nuevos intereses.
¿En qué operaciones financieras se usa el Interés Simple? Se usa principalmente en operaciones a corto plazo, como créditos e inversiones a menos de un año. En síntesis, si usted presta dinero o recibe en préstamo alguna cantidad, por un plazo de un año o menos, pagará o recibirá una cantidad mayor a la original; la diferencia entre ambas, constituyen los intereses generados en el período, los que serán calculados en base al capital inicial. El interés a pagar o el que se cobrará por una deuda, depende de la cantidad de dinero pedida en préstamo o invertida y el plazo o tiempo en que se usará tal cantidad.
2Héctor 3Jaime
Manuel Vidaurri, Matemáticas Financieras, página 143, 4ª. Edición. Marchant García, Matemáticas Financieras, página 25, Editorial Jurídica CONOSUR.
16
2.2. EXPRESIONES MÁS USADAS EN INTERES SIMPLE. 2.2.1. Monto o Valor Futuro: Corresponde a la suma del capital, más el interés ganado en el período de tiempo y se simboliza con la letra “M”.
M=C+I (ecuación 2.2.1)
2.2.2. Intereses o Rendimientos Ganados: Corresponde a la diferencia entre el Monto obtenido al final del período y el Capital Inicial invertido
“C”.
I = M – C (ecuación 2.2.2)
2.2.3. Intereses Ganados por período de Tiempo: Corresponde al producto entre el Capital Inicial “C”, el período de tiempo “n” en que se invertirá o utilizará dicho capital y la tasa de interés “i” que se aplicará para el período.
I=C*n*i (ecuación 2.2.3)
2.2.4. Monto o Valor Futuro (expresión más general): Corresponde al valor que rendirá una inversión al final de un período de tiempo dado, a una tasa de interés acordada; es decir, el Valor Futuro de una inversión está en función del tiempo y la tasa de interés que se aplicará. Se expresa como:
= ó ∗ .. ∗ 2.2.5. Capital o Valor Presente: Dado un valor que se recibirá en el futuro, se establece una equivalencia a un valor al día de hoy, que corresponderá al Capital Inicial o Valor con que se iniciará una operación comercial que tendrá sus resultados en el futuro. El Valor Futuro se descuenta a su tasa de interés, por el período de tiempo involucrado en la operación. Se expresa como:
= ∗ (ecuación 2.2.5)
17
3.- EJERCICIOS RESUELTOS. 3.1) Usted cuenta con $ 350.000 que desea ahorrar, para comprar una moto que hoy tiene un precio de $ 500.000. El Banco Continental le oferta un interés del 12% anual y el Banco Americano le oferta un interés del 7,5% semestral.
a) ¿Qué alternativa le conviene más? Para poder realizar la comparación, deben igualarse las tasas de interés a un mismo período, que, por ejemplo, puede ser meses; (puede elegirse cualquier otro período). Banco Continental: (0,12 / 12) = 0,010 mensual Banco Americano: (0,075 / 6) = 0,0125 mensual Elegimos a tasa ofertada por el Banco Americano porque en un mismo período de tiempo, oferta un interés mayor que el ofrecido por el Banco Continental.
b) ¿Por cuánto tiempo deberá mantener el depósito en el Banco de la mejor alternativa? El plazo en que el capital debe estar depositado a esa tasa se obtiene de la ecuación 2.2.4 en donde el Monto o Valor Futuro es el valor de la moto ($ 500.000), el Capital los $ 300.000 y la tasa de interés, la ofertada por el Banco Americano: M = C * (1 + (i * n)) 500.000 = 350.000 * (1 + (0,0125 * n)) 1,4286 = 1 + (0,0125 * n) 0,4286 = 0,0125 * n 34,29 = n (34 meses y aproximadamente 9 días más)
3.2) Roberto obtiene un préstamo del Banco Concordia, por $ 1.000.000 a un año y medio de plazo, con un interés del 2,35% mensual; el acuerdo con el Banco, es que Roberto pague mensualmente los intereses y al término del plazo, pague el Capital (Principal).
a) ¿Cuánto debe pagar cada mes, por concepto de intereses? Usando la ecuación 2.2.1 calculamos el interés mensual que debe pagar Roberto: M = (C * i) M = (1.000.000 * 0,0235) M = 23.500 por mes (23.500 * 18 meses) = $ 423.000
b) ¿Cuánto pagará al término del plazo? Luego, Roberto debe pagar el principal más los intereses: (1.000.000 + 423.000) = $1.423.000
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3.3) Usted tiene la alternativa de adquirir en una Casa Comercial, un artículo que pagando al contado, tiene un valor de $ 80.000 y al crédito, un valor de $ 95.800, el que puede pagarse en 3 meses más, ¿Qué tasa de interés le aplica la casa comercial? La incógnita es la tasa de interés mensual, aplicada al artículo al crédito. Usando la ecuación 2.2.4 reemplazamos las variables conocidas: 95.800 = 80.000 * (1 + (i * 3)) 1,1975 = 1 + 3(i) 0,1975 = 3 (i) 0,06583 = i es decir: 6,583% mensual
3.4) Los compromisos con el Sr González, su Proveedores habitual, para los próximos 3 meses son de $ 270.000, $ 300.000 y $ 370.000 respectivamente. El tipo de interés acordado fue del 5,5% mensual. Debido a que cuenta con cierto efectivo disponible, decide liquidar el 50% de su deuda hoy día.
¿Qué cantidad de dinero debe entregar hoy al Sr González? Debido a que los pagos se encuentran en fechas futuras, debemos traer cada una al momento presente, usando la tasa de interés, como tasa de descuento, sumar cada valor y luego, calcular el 50% de este total. El diagrama siguiente explica esta situación:
270.000
300.000
370.000
Valor Presente
Usando la expresión siguiente, descontamos cada valor por su tasa de interés y el tiempo:
C = M / (1 + (i * n)) ecuación 2.2.5 Primer mes: C = 270.000 / (1 + (0,055 * 1)) C = 270.000 / 1,055 C = 255.924 Segundo mes: C = 300.000 / (1 + (0,055 * 2)) C = 300.000 / 1,11 C = 270.270
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Tercer mes: C = 370.000 / (1 + (0,055 * 3)) C = 370.000 / 1,165 C = 317.597 Valor Presente: (255.924 + 270.270 + 317.597) Valor Presente: $ 843.791 El 50% de este valor es: (843.791 * 0,5) = 421.896 Por lo tanto, deberá entregar al Sr. González la cantidad de $ 421.896 que, al día de hoy, representa el 50% del total de la deuda que mantiene con él.
3.5) Juan José compró un teléfono celular entregando un pie del 10% del precio contado; por el resto del valor, firmó un pagaré por $ 145.000 a vencer en 2 meses más. La tasa de interés aplicada fue del 18,55% anual. En este ejercicio se observa que la tasa de interés y el plazo se encuentran expresados en distintos tiempos, por lo que será necesario expresarlas en uno solo, siendo el más conveniente, meses. Luego, deberá traerse a valor presente el valor futuro del pago, que representa el 90% del precio de contado del celular.
a) ¿Cuál es el valor al contado del teléfono celular? Conversión de la Tasa de Interés: (0,1855 / 12) = 0,0155 es decir: 1,55% mensual. Valor al contado del artículo usando la ecuación 2.2.5: C = 145.000 / (1 + (0,0155 * 2)) C = 145.000 / 1,031 C = $ 140.640 que representa el 90% del valor total, HOY. Valor al Contado= (140.640 / 90) * 100 Valor al Contado= $ 156.267
b) ¿Cuánto dinero entregó como pie, Juan José? Valor entregado de Pie (10% del valor total): (156.267 * 0,10) = $ 15.627.-
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3.6) Las Cuentas por Cobrar de su negocio ascienden a $ 3.600.000 y tienen fecha de vencimiento en 90 días más; dada su necesidad de efectivo, decide liquidarlos hoy, con una institución financiera, que le oferta un 2,85% mensual vencido. La operación tiene gastos notariales de $ 3.000. ¿Cuánto dinero recibe hoy día, si decide realizar la operación?
“ElDescuentoComerciales unaoperaciónfinanciera mediantelacualuna empresaliquidasuinversión enDocumentosporCobrar antesdelafechade vencimiento,cancelandouna ciertasumadedinero, llamada“Descuento”como gastofinancierodela operación. Elgastofinancierosecalcula enbasealvalornominaldel documento,latasade interésanticipadayun períododetiempoqueva entrelafechade negociación…..ylafechade vencimiento.” (JaimeMarchantGarcía, “MatemáticasFinancieras” página50,EditorialJurídica ConosurLtda.)
Esta es una operación comercial conocida como “Descuento Comercial” que utiliza una tasa de descuent o Anticipada como la descrita en página 3 de este apunte. Por lo tanto:
El primer paso, es convertir una tasa Vencida Mensual, por un período de 3 meses (90 días) en Tasa Anticipada, usando la
Expresión 1.3.3. i(a) = i(v) / (1 + (i(v) * n)) i(a) = 0,0285 / (1 + (0,0285 * 3)) i(a) = 0,0285 / 1,0855 i(a) = 0,02626 Tasa mensual anticipada 2,626%
El segundo paso, es descontar el valor de los documentos que vencen a 90 días, usando la Tasa Anticipada; esto es, obtener el Descuento Comercial (DC): DC = Valor del documento * Tasa Anticipada * Período Tiempo
DC = 3.600.00 * 0,02626 * 3 DC = 283.608 Representa lo que cobrará la Institución Comercial por recibir documentos a vencer en 3 meses más.
El tercer paso, es realizar la liquidación para determinar cuánto dinero recibirá quien entrega los documentos: Valor de los documentos a descontar Menos: Descuento Comercial Menos: Gastos Notariales
3.600.000 (283.608) (3.000)
Igual: Líquido a Recibir
3.313.392
21
GUÍA 2: INTERES COMPUESTO 1. INTERES COMPUESTO. 1.1. DEFINICION. “Se puede definir al Interés Compuesto como la operación financiera en la que el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos. El período convenido para convertir el interés en capital, se llama
período de capitalización o período de conversión .”4
“El interés se expresará en forma compuesta, cuando la base del cálculo, período tras período, es el capital final inmediatamente anterior, de tal manera que se producirá el efecto de calcular
interés sobre interés.”5 1.2. CAPITALIZACION. Es el proceso en el cual los intereses generados al final del período se adicionan al capital inicial, de tal forma que, para el período siguiente, el proceso se inicia con un capital mayor. Por ejemplo, un período de capitalización trimestral significa que al término de cada trimestre los intereses generados se adicionarán al capital inicial, para repetir el proceso en el trimestre siguiente; en est e caso, se dice que “el período de capitalización es trimestral”. Existen varios períodos de capitalización, que pueden ser: Cuando los intereses se capitalizan cada: Año Semestre Cuatrimestre Trimestre Bimestre Mes Quincena Semana Día
La Frecuencia capitalización es: 1 2 3 4 6 12 24 52 360
de
El período de capitalización es indispensable para efectuar el cálculo del interés compuesto; tanto la tasa de interés como el período de capitalización deben estar expresados en la misma unidad de tiempo: por ejemplo: “Capitalización trimestral y período
en trimestres.”
4 5
José Manuel Vidaurri, “Matemáticas Financiera” Ediciones CENGAGE. Jaime Marchant Pereira “Matemáticas Financieras” Ediciones Jurídicas CONOSUR.
22
Ejemplo: Se tiene una tasa de interés del 24% anual, capitalizable bimestralmente; al realizar los cálculos, la tasa de interés se convertirá en una tasa bimensual: (0,24 / 6) = 0,04 ó 4% cada 2 meses.
Ejemplo: Se cuenta con $ 750.000 que se depositan al 18% anual, capitalizable mensualmente, por un plazo de 4 meses; el monto que se obtendrá al término del plazo será (detalle mes por mes): Tasa de Interés mensual: (0,18 / 12) = 0,015 ó 1,5% Mes
Capital al inicio del mes
Tasa de interés
Intereses ganados en el mes
Capital al final del mes
1
750.000
0,015
11.250
761.250
2
761.250
0,015
11.419
772.669
3
772.669
0,015
11.590
784.259
4
784.259
0,015
11.764
796.023
1.3. EXPRESIONES MÁS USADAS EN INTERES COMPUESTO. 1.3.1. Capital Final o Monto: Permite obtener un valor al final en un período de tiempo especificado, dada una tasa de interés y su correspondiente capitalización:
M = C * (1 + i) n Ecuación 1.3.1.
Donde: M = Monto al final del período. C = Capital inicial. i = Tasa de interés compuesto n = Plazo o período considerado.
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Ejemplo: Con el propósito de aprovechar la disponibilidad de efectivo por 180 días, se depositan $ 350.000 en el Banco de Crédito a una tasa del 1,6% mensual, capitalizable mensualmente. ¿Qué cantidad de dinero se retirará al término del plazo?
Respuesta: La tasa de interés y el período de capitalización están expresados en la misma unidad de tiempo, por tanto no es necesario convertir la tasa. Un período de 180 días equivale a (180 / 30) = 6 meses. Luego, aplicando la ecuación 1.3.1 obtenemos: M = 350.000 * (1 + 0,016) 6 M = 350.000 * (1,099923) M = 384.973
1.3.2.- Capital Inicial: Dado un Capital Final o Monto, es posible FactoresdeCapitalizacióny Descuento:
obtener el Capital Inicial, si tasa de interés y plazo son conocidos. La expresión que usamos para esto es:
=
Factor de Capitalización: Permite proyectar un valor presenteaunvalorfuturodada unatasadeinterés“i”durante un período “n” de tiempo. Su expresiónes:
Ecuación 1.3.2
(1+i)
Ejemplo: El próximo vencimiento de $ 450.000 tendrá lugar en 60
Factor de Descuento: Permite obtener el valor hoy, de un valorfuturoomonto,dadauna tasa deinterés “i” durante un período de tiempo “n”. Su expresiónes:
días más. La tasa de interés aplicada en su oportunidad fue de un 15% anual, capitalizable mensualmente; Usted desea saber cuál es el valor de la deuda al día de hoy.
1/1
Respuesta: Tasa mensual: (0,15 / 12) = 0,0125 Período: (60 / 30) = 2 meses Usando la ecuación 1.3.2 obtenemos: C = 450.000 / (1 + 0,0125) 2 C = 450.000 / 1,02516 C = 438.957 Valor de la deuda al día de hoy.
24
1.3.3. Cuota Fija en Crédito Comercial: Dado el valor presente de un artículo (precio de contado), es común que se acceda a pagar a plazo, en cuotas iguales, hasta extinguir el total del crédito. Esta modalidad incluye una tasa de interés y un plazo. Se asocia un valor presente, con un valor futuro, vía tasa de interés. Su expresión más general es: Valor Contado = Cuota * (1 / (1 + i) + 1 / (1 + i) 2 + 1 / (1 + i)3 +…) Expresión que representa una proyección geométrica, que puede escribirse como:
− = ∗[ ] Ecuación 1.3.3
Ejemplo: El precio al contado de un computador portátil es de $ 350.000, pero la casa comercial entrega un crédito de 6 meses, con un interés del 3,5% mensual compuesto; el cliente accede al crédito y desea saber cuál es el valor de la cuota que pagará cada mes.
Respuesta: Plazo y tasa de interés están expresadas en la misma unidad de tiempo, luego, no es necesario realizar conversiones. Aplicando la ecuación 1.3.3 tenemos: 350.000 = Cuota * (1 – (1 + 0,035) -6 / 0,035) 350.000 = Cuota * (1 – 0,813501) / 0,035) 350.000 = Cuota * (5,32855) 65.684 = Cuota Pagará 6 cuotas iguales a $ 65.684, por tanto, pagará (65.684 * 6) = $ 394.104.
25
2. EJERCICIOS RESUELTOS. 2.1. Valor Futuro. 2.1.1. Luis Andrés debe decidir si depositar $ 1.000.000 en el Banco Santander que le oferta un 21% anual capitalizable semestralmente, o en el Banco CorpBanca que le oferta un interés del 18% anual, capitalizable trimestralmente. En ambos casos, el período del depósito sería de 1 año. Usando la ecuación 1.3.1 obtenemos el valor futuro dado un valor presente; las ofertas varían en el número de veces de la capitalización de los intereses; mientras más veces se capitalicen los intereses en el período de un año, el valor final será mayor; por tanto: Oferta Banco Santander: La tasa de interés se capitaliza dos veces en el año y el período del depósito son dos semestres. M = 1.000.000 (1 + 0,21/ 2)2 M = 1.000.000 (1,221025) M = 1.221.025 Oferta Banco CorpBanca: La menor tasa de interés se capitaliza 4 veces en el año y el período del depósito son 4 trimestres. M = 1.000.000 (1 + 0,18 / 4)4 M = 1.000.000 (1,192519) M = 1.192.519 Por tanto, la oferta del Banco Santander es preferible porque genera un monto mayor. 2.1.2. Con el propósito de financiar estudios superiores, Juan Alberto depositó $ 2.350.000 por 4 años, en el Banco Penta, que le ofertó una tasa del 16% anual, capitalizable cuatrimestralmente. ¿Qué cantidad retirará al término del período? Se desea obtener un valor futuro, usando una tasa de interés que se capitaliza 3 veces en el año, por un período de 4 años. M = 2.350.000 (1 + 0,16 / 3) 12 M = 2.350.000 (1,54053) M = 3.620.241
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2.1.3. La Panadería de Benjamín Castro tiene un costo de energía de $ 45.000 mensuales y se estima que se incrementará un 0,25% cada mes, durante los próximos 12 meses. ¿Cuál será el costo de la energía de la panadería, al cabo de un año? ¿En qué porcentaje se habrá incrementado este costo? Los incrementos del 0,25% cada mes implican incrementos sobre incrementos; si realizamos la operación mes por mes, tendríamos:
Mes 1: M = 45.000 (1 + 0,0025) M = 45.113
Mes 2: M = 46.113 (1 + 0,0025) M = 45.226
Mes 3: M = 45.226 (1 + 0,0025) M = 45.339
….Y así sucesivamente, hasta 12 meses. En forma abreviada, podemos obtener el mismo resultado. M = 45.000 (1 + 0,0025) 12 M = 45.000 (1,030416) M = 46.369 Al término de un año. El porcentaje de incremento anual será: Incremento Anual = ((Valor Final – Valor Inicial) / Valor Incial) * 100 Incremento Anual = ((46.369 – 45.000) / 45.000) * 100 Incremento Anual = 0,03042 Es decir, un 3,042% anual.
27
2.2. Valor Actual. 2.2.1. Sus próximos compromisos son de $ 260.000 a 90 días y $ 310.000 a 180 días. Ambos pagos incluyen un interés del 9,5% anual capitalizable mensualmente. Debido a que dispone de cierto efectivo, desea cancelar la deuda total, al día de hoy. ¿Cuál es el valor de la deuda al día de hoy? Para responder a estas preguntas, es necesario conocer el valor presente de los montos que se encuentran a futuro. Dado que período y capitalización de los intereses están expresados en distintas unidades de tiempo, convertimos días en meses: así entonces 90 días equivalen a 3 meses y 180 días a 6 meses, considerando meses de 30 días.
Valor Presente de $ 260.000 en 90 días más, equivalen a: C = 260.000 / (1 + 0,095/12) 3 C = 260.000 / (1,02394) C = 253.921 Valor Presente de $ 310.000 en 120 días más, equivalen a: C = 310.000 / (1 + 0,095/12) 6 C = 310.000 / (1,04845) C = 295.675 Por tanto, la deuda al día de hoy corresponde a la suma de ambos valores al día de hoy: Deuda al día de hoy = (253.921 + 295.675) = 549.596
28
2.2.2. Josefa está vendiendo su automóvil Mercedes Benz en $ 8,0 millones. Carla le ofrece $ 7,5 millones ahora y Patricia le ofrece $ 1,0 millón al contado y dos pagos de $ 4,0 millones cada uno, a 6 y 10 meses plazo, respectivamente. Josefa puede invertir este dinero en el Banco BCI a una tasa del 1,3% mensual, con capitalización mensual. ¿Qué le recomendaría Usted a Josefa? Para decidir, Josefa debe comparar ambas alternativas, en Valor Presente; la oferta de Patricia son valores que se obtendrán a 6 y 10 meses respectivamente, más el pago de contado. La oferta de Carla, es dinero HOY. Para traer a Valor Presente, Josefa debe usar la tasa de interés, que representa la oportunidad de inversión de su dinero. Valor Presente del primer pago: C = 4.000.000 / (1 + 0,013) 6 C = 4.000.000 / (1,080579) C = 3.701.719 Valor Presente del segundo pago: C = 4.000.000 / (1 + 0,013) 10 C = 4.000.000 / (1,137875) C = 3.515.325 Por lo tanto, la oferta de Patricia al día de hoy es: Oferta Patricia =(1.000.000 + 3.701.719 + 3.515.325) Oferta Patricia = 8.217.044 Oferta de Carla = 7.500.000 Josefa debe aceptar la oferta de Patricia, que en el día de hoy, representa más dinero que el ofertado por Carla. 2.2.3. Por concepto de beneficios en una inversión realizada tiempo atrás, Ud recibirá $ 2.220.000 ahora, $ 3.100.000 dentro de 120 días más y $ 5.550.000 en 10 meses más. Si la tasa de rentabilidad aplicada a la inversión fue del 18% anual, capitalizable cada 2 meses, ¿Cuál es el valor hoy, de su inversión? Para conocer el valor hoy, de ingresos futuros, realizamos la misma operación que en el ejercicio anterior; usamos la tasa de interés como tasa de descuento, previa transformación de los plazos expresados en días, para los distintos ingresos, en plazos expresados en bimestres. Valor Hoy del segundo ingreso (120 días = 4 meses ó 2 bimestres) C = 3.100.000 / (1 + 0,18/6) 2 C = 3.100.000/ (1,0609) C = 2.922.047 Valor Hoy del tercer ingreso (10 meses = 5 bimestres) C = 5.550.000 / (1 + 0,18/4) 5 C = 5.550.000 / (1,246182) C = 4.453.603 Valor Hoy de la Inversión: (Valor contado + Valor Presente de 2° y 3° ingreso) (2.220.000 + 2.922.047 + 4.453.603) = 9.595.650 29
2.3. Plazo de la Operación. 2.3.1. Usted dispone de un capital de $150.000 que desea triplicar, para lo cual, lo depositará en el Banco Continental a un interés del 20% anual, con capitalización cuatrimestral. ¿Cuánto tiempo deberá permanecer depositado su capital, para lograr su objetivo? Triplicar un capital de $ 150.000 significa obtener al final de un período, un monto de (150.000*3)=450.000, a cierta tasa de interés, que en este caso, se capitaliza 3 veces al año. La
incógnita es el plazo “n” que para resolver, usamos logaritmos: 450.000 = 150.000 (1 + 0,20 / 3) n 3 = (1 + 0,20 / 3) n Aplicando logaritmo a ambos lados: Log (3) = n log (1 + 0,20 / 3) Resolviendo lado derecho: Log (3) = n log (1,0667) Resolviendo logaritmos: 1,0986 = n * (0,0645698) Despejando la incógnita: 17,014 = n Algo más de 17 cuatrimestres que equivalen a algo más de 68 meses. 2.3.2. Usando los mismos datos del problema anterior, excepto que la capitalización es ahora, bimensual. ¿En cuánto tiempo logra el mismo objetivo? Si la capitalización es bimensual, la tasa de interés se capitaliza 6 veces en el año; luego, usando el mismo procedimiento de la pregunta anterior, resolvemos: 450.000 = 150.000 (1 + 0,20 / 6) n 3 = (1 + 0,20 / 6) n Aplicando logaritmo: Log (3) = n log (1,03333) Resolviendo logaritmos: 1,0986 = n (0,032787) 33,51 = n Algo más de 33 bimestres, que equivalen a algo más de 67 meses.
30
2.4. Tasa de Interés. 2.4.1. Juan Pablo dispone hoy de $ 115.000 y necesita obtener $ 250.000 para comprar el equipo de video juego que desea. Para tal efecto, se fijó un plazo de 12 meses en que mantendrá depositado su dinero. Juan Pablo busca una institución financiera que le ofrezca la tasa de interés adecuada para cumplir con su objetivo, considerando una capitalización mensual. Aplicando la ecuación 1.3.1 considerando que la incógnita es la tasa de interés y la capitalización es mensual (12 veces en el año) resolvemos: 250.000 = 115.000 (1 + i) 12 2,17391 = (1 + i) 12 / 12
√ Aplicando raíz 12, tenemos:
12√ 2,17391 = (1 +i)
Resolviendo raíz 12: 1,06685 = 1 + i 0,06685 = i Es decir, un interés 6,685% mensual. 2.4.2. Por un crédito de $ 680.000 concedido por 8 meses, Usted debe pagar $ 766.015. ¿Qué tasa de interés anual, capitalizable mensualmente, se aplicó al crédito? Aplicando el mismo procedimiento del problema anterior, considerando ahora una tasa anual, con capitalización mensual, tenemos: 766.015 = 680.000 (1 + i /12) 8 1,126493 = (1 + i /12) 8 8√ 1,126493 = (1 + i /12) 1,015 = (1 + i /12) 0,015 = i / 12 0,180 = i Esto es, una tasa anual del 18%capitalizable mensualmente. 2.4.3. En 15 meses más, Roberto debe disponer de $ 13.000.000 para financiar la ampliación de su hogar. Hoy cuenta con $ 11.500.000 y los depositará en una cuenta de ahorro en Banco Consorcio, cuyos intereses se capitalizan cada quincena. ¿Qué tasa de interés anual le ofrece el Banco Consorcio? 6 Se necesita determinar una tasa de interés anual, que se capitalice 24 veces en el año (cada quincena); para tal efecto, aplicamos el procedimiento ya descrito en los dos ejercicios anteriores, para un período de 30 quincenas (15 meses): 13.000.000 = 11.500.000 (1 + i /24) 30 1,130435 = (1 + i / 24) 30 Aplicamos 30√ 30√ 1,130435 = (1 + i / 24)
1,004095 = (1 + i / 24) 0,004095 = i / 24 0,0983 = i Esto es, una tasa anual del 9,83% capitalizable cada quincena. 6Adaptado
de Matemáticas Financieras, Héctor Manual Vidaurri, página 218, Capítulo 5 “Interés Compuesto”
31
2.5. Operaciones Comerciales. Las operaciones comerciales más comunes que usan interés compuesto, son las operaciones de crédito, en que el cliente prefiere generalmente, pagar una cuota fija, hasta el término del plazo del crédito. Esta cuota incluye la amortización del capital, más el pago gradual de los intereses aplicados sobre el saldo insoluto.
2.5.1. Sebastián desea comprar al crédito un computador que tiene un precio de $ 450.000 al contado. Las condiciones de compra son crédito 30, 60 y 90 días, con un pago al contado del 10% del valor y una tasa de interés del 2,5% mensual con capitalización mensual. ¿Qué cantidad entrega Sebastián al momento de la compra? ¿Cuál es el valor de la cuota mensual y cuánto paga por el computador? Sebastián entrega el 10% como pago al contado, es decir: (450.000 * 0,10) = $ 45.000 Saldo a pagar en tres meses: (450.000 – 45.000) = 405.000 A este saldo se le aplicará un interés mensual del 2,5%. Aplicando la ecuación 1.3.3 obtenemos el valor de la cuota: 405.000 = Cuota ((1 – (1 + 0,025) -3) / 0,025) 405.000 = Cuota (0,071400589 / 0,025) 405.000 = Cuota (2,856024) 141.806 = Cuota Valor de cada cuota. Sebastián pagará por el computador, el valor entregado al contado, mas tres cuota iguales de $ 141.806. Valor a Pagar = 45.000 + (3 * 141.806) = $ 470.418.-
2.5.2. Carlos paga $ 185.600 cada 2 meses por un crédito que obtuvo hace 4 meses atrás, en el Banco de Crédito, por un plazo de 1,5 años, a una tasa del 24% anual, capitalizable bimensualmente. ¿Qué cantidad solicitó Carlos, en préstamo? ¿Qué cantidad le resta aún por pagar? La tasa de interés es del 24% anual y se capitaliza 6 veces en el año (0,24 / 6 = 0,04 cada 2 meses). El plazo del crédito de 1,5 años equivale a 18 meses; es decir 9 bimestres (18 / 2) y la incógnita es el valor original del crédito, que genera un pago bimensual de $ 185.600. Valor = 185.600 (1 – (1 + 0,04) -9) / 0,04) Valor = 185.600 (0,2974133 / 0,04) Valor = 185.600 (7, 435332) Valor = 1.379.998 Este valor generará un pago cada dos meses de $ 185.600 por un plazo de 9 bimestres, considerando un interés del 24% anual capitalizable c/2 meses. Dado que ya lleva pagado 2 meses, le resta aún por pagar 7 bimestres y e l valor será: (7*185.600) = 1.299.200. En total, por un crédito de $ 1.379.998 pagará $ 1.670.400, lo que equivale a pagar $ 290.402 en intereses. 32
Un BONO es un instrumento de deuda que emiten las Sociedades Anónimas Abiertas o las empresas del Estado, como una forma de obtener financiamiento a sus proyectos de inversión. En este instrumento se especifican las “condiciones” de
la deuda, para el emisor y el inversionista, esto es, plazo, tasa de interés, capitalización, valor nominal del instrumento y período en que se pagarán los intereses y el capital. “Se llaman Bonos a títulos de deuda que son emitidos por gobiernos nacionales, regionales o locales, o por empresas nacionales o internacionales, por medio de las cuales el emisor se compromete a devolver el capital del bono, junto con los intereses producidos por el mismo.” ( www.definicionabc.com tu diccionario fácil)
2.5.3. La Empresa en que trabaja Juan Carlos, dispone de $ 15 millones en efectivo y él debe buscar la mejor forma de invertirlos por un año; la mejor oferta proviene del Banco Santander por un Bono que entrega 4 cupones anuales con tasa cupón del 12% anual. Si acepta la oferta, ¿cuál es el valor de cada cupón que recibirá la Empresa por la inversión que Juan Carlos realizará? Se debe encontrar el valor del cupón que paga el bono, cada 3 meses (4 cupones anuales); el interés del 12% anual se capitaliza trimestralmente (0,12 / 4 = 0,03). El cupón es un valor que incluirá interés y amortización del capital. Usando la ecuación 1.3 obtenemos: 15.000.000 = Cupón * (((1 – (1 + 0,03) -4) / 0,03) 15.000.000 = Cupón * (0,11151295 / 0,03) 15.000.000 = Cupón (3,7170984) (15.000.000 / 3,7170984) = Cupón
4.035.406 = Cupón Cada 3 meses JuanCarlos recibirá $4.035.406 por concepto de intereses y amortización del capital. Al término del año habrá recibido $16.141.624 que representarán una ganancia de $1.141.624 (7,61% sobre el capital invertido).
2.6. Períodos de Capitalización Fraccionarios. En los ejercicios anteriores, la capitalización de los intereses se produjo siempre bajo el supuesto de un número entero de períodos (semestres, bimestres, trimestres, etc). Sin embargo, también puede utilizarse fracciones de períodos de capitalización, como por ejemplo: 3 años y 3 meses; un año y 10 meses; 4 bimestres y 3 meses, etc. Para resolver este problema, existen dos métodos:
a) Método Exacto o Teórico: Utilizado en la mayoría de los problemas matemáticos o ejercicios de aplicación. Consiste en dividir el plazo total en el período de capitalización de los intereses, obteniendo en la mayoría de los casos, un plazo fraccional; por ejemplo: 22% anual capitalizable trimestralmente, y un plazo de un año y 4 meses. El plazo total en meses es de (12 + 4) = 16 meses, luego: n = 16 / 3 n = 5,33 trimestres
33
Aplicación: ¿Cuál es el monto a obtener, por un depósito de $ 160.500 al 22% anual, capitalizable trimestralmente, por un plazo de un año y 4 meses? Aplicando la ecuación 1.1 y el plazo anteriormente calculado, tenemos: M = 160.500 * (1 + 0,22 / 4) 5,33 M = 160.500 * (1,330257) M = 213.506
b) Método Comercial: Consiste en obtener el monto compuesto para los períodos enteros de capitalización y utilizar el interés simple para la fracción de períodos, usando como capital, el monto compuesto recién obtenido. Tomando el mismo ejemplo anterior, tenemos: Monto compuesto para períodos enteros (un año): M = 160.500 * (1 + 0,22 / 4) 4 M = 160.500 * (1,2388247) M = 198.831 Monto simple para la fracción de período (4 meses): M = 198.831 * (1 + (0,22 /12) * 4) M = 198.831 * (1,073333) M = 213.412
34
3. TASA DE INTERES. 3.1. Concepto: La Tasa de Interés representa el costo del dinero obtenido en préstamo y se expresa como un porcentaje del capital, por unidad de tiempo. Representa también el beneficio que se obtendrá al entregar una cantidad de dinero, por un tiempo dtereminado.
3.2. Tasa Nominal: La Tasa de Interés que se capitaliza “n” veces en el año, se denomina Tasa de Interés Nominal y es la convenida en la mayoría de las operaciones financieras.
3.3. Tasa de Interés Efectiva: “Es la tasa de interés capitalizable una vez al año, que equivale a una tasa nominal “i” capitalizable “m” veces al año.” (Héctor Manuel Vidaurri, Matemáticas Financieras, 4ta edición, página 247). Por ejemplo, si las condiciones comerciales de un crédito plantean una tasa de interés del 18% anual, capitalizable
cada 3 meses, entonces, la “tasa de interés efectiva” del crédito será superior al 18% ya que: (1 + 0,18 / 4) 4 - 1 = Tasa efectiva anual (1 193) - 1 = Tasa efectiva anual 19,3% = Tasa efectiva anual En general, una Tasa Efectiva es el rendimiento que se obtiene al término de un año, debido a la capitalización de los intereses, y se expresa como:
= ∗
-1
Ecuación 3.3
Donde: TN = Tasa Nominal
k = N° de capitalizaciones en el período “n” n = período de tiempo original
35
Aplicación: Si se invierte un capital al 14,5% anual, capitalizable trimestralmente, ¿Cuál es la tasa efectiva? TE = (1 + 0,145 / 4) 4 – 1 TE = (1,153077) – 1 TE = 15,31% anual que representa la tasa de interés realmente ganada en el príodo de un año. Cuando un inversionista se enfrenta a la alternativa de elegir entre dos tasas de interés nominales distintas, con distintas capitalizaciones, la forma de decidir más conveniente, es comparar tasas efectivas y elegir aquella que entregue un rendimiento mayor.
Ejemplo: José Tomás debe decidir si invierte su dinero en el Banco de Chile, que le ofrece una tasa de interés del 20% anual con capitalización mensual, o en el Banco Santander, que le ofrece un 22% anual, con capitaliación cada 40 días. Para cada tasa de interés nominal, encontramos la tasa efectiva anual, usando la ecuación 3.3: Para el Banco de Chile: TE = (1 + 0,20/ 12) 12 – 1 TE = 1, 2194 – 1 TE = 0,2194 ó 22% Efectiva Anual Para el Banco Santander: TE = (1 + 0,22/ 9) 9 – 1 TE = 1,2428 – 1 TE = 0,2428 ó 24,3 % Efectiva Anual La oferta del Banco Santander es más atractiva, por que ofrece una rentabilidad mayor.
36
Inflación y Medición de la Inflación.“La Inflación es un fenómeno
económico que se caracteriza por el incremento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios producidos por la economía de un país. La inflación ocasiona que el poder adquisitivo o poder de compra del dinero, disminuya.”
(Héctor Manuel Vidaurri, Matemáticas Financieras 4ta Edición, página 282) El INE mide la inflación mediante el Índice de Precios al Consumidor (IPC) que es un indicador económico del crecimiento promedio de los precios, de un período a otro, de una canasta de bienes considerada como representativa del consumo familiar nacional.
3.4. Tasa Interés Real: Para cada tasa nominal existirá una Tasa Real, ajustada por el período de inflación. Si tenemos una tasa de interés, para un período determinado, esta tasa se denomina “Nominal” por que incluye una tasa de inflación para el mismo período. Por lo tanto, eliminando el efecto inflación, podmos obtener una tasa de Interés Real, para un período dado. Si existe una Tasa de Inflación, para un período dado, podemos obtener una Tasa Real, a partir de una Tasa Nominal, usando la expresión siguiente:
= Ecuación 3.4
Donde: Tr Tasa Real Tn Tasa Nominal Ti Tasa de inflación (dada por la variación del IPC) Ejemplo. El Banco Bice ofrece una tasa de captación de un 1,35% para 90 días; se sabe que el IPC para 30 días es de 0,3%. Se desea determinar la tasa real para 30 días, que ofrece el Banco. En primer lugar, debemos ajustar la tasa de captación de 90 a 30 días, para igualarla a la tasa de inflación; luego, aplicamos la ecuación 3.4 para obtener la tasa Real a 30 días. Tasa Nominal a 30 días: ((0,0135 / 90) * 30) = 0,0045 Aplicando la ecuación 3.4: Tr = ((1 + 0,0045) / (1 + 0,003)) – 1 Tr = (1,0045 / 1,003) – 1 Tr = 0,0015 Luego, la tasa real a 30 días ofrecida por el Banco es de 0,15%.-
37
Ejemplo. La tasa de interés nominal para 90 días ofrecida por el Banco Penta es de 2,5%. La información entregada por el INE del IPC de 3 meses es: Julio = 0,2% Agosto = 0,3% Septiembre = 0,8%. Determinar la tasa Real para 90 días. En primer lugar, se debe encontrar la tasa de inflación para 90 días, usando la expresión siguiente: IPC Acumulado 90 días = ((1 + 0,002) * (1 + 0,003) * (1 + 0,008)) – 1 IPC Acumulado 90 días = 0,013 ó 1,3% Aplicando ecuación 3.4 tenemos: Tr = ((1 + 0,025) / (1 + 0,013)) – 1 Tr = (1,025 / 1,013) – 1 Tr = 0,01185 Tr = 1,185% Tasa Real para 90 días.
Ejemplo. Considerando la variación del IPC Agosto de 0,3%, el Banco de Chile le oferta un crédito en pesos a una tasa del 1,6% nominal mensual o un crédito en UF a una tasa del 14,3% compuesto anual. ¿Qué alternativa le es más conveniente? 7 Para decidir, deben compararse ambas alternativas en tasas reales mensuales; por tanto, la alternativa en pesos, debe convertirse a tasa real. No es necesario convertir la alternativa ofertada en UF puesto que la tasa de interés que se acompaña, ya está en términos reales (esto es válido sólo para créditos o depósitos en esta moneda).
Tasa Real mensual en pesos:
Tr = ((1 + 0,016) / (1 + 0,003)) – 1 Tr = (1,016 / 1,003) – 1 Tr = 1,30% real mensual.
Tasa real mensual en UF: Tm = (1 + (0,143 / 12)) – 1 Tm = (1 + 0,01192) – 1 Tm = 1,12% real mensual. Luego, la alternativa ofrecida en UF es más conveniente.
7
Adaptado de “Matemáticas Financieras” Jaime Marchant García Edic iones CONOSUR Ltda, página 109.
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GUÍA 3: Anualidades, Amortización y depreciación. 1. CONCEPTOS GENERALES SOBRE ANUALIDADES. 1.1. Definición.
“Una anualidad se define como una serie de pagos, generalmente iguales, realizados en intervalos de tiempo iguales. El término anualidad parece implicar que los pagos se efectúan cada año, sin embargo esto no es necesariamente así, ya que los pagos pueden ser
mensuales, quincenales, etc.”8 Ejemplos de una anualidad: Pagos mensuales realizados al fondo de jubilación, en una AFP; cobro mensual del sueldo; pago mensual de un crédito hipotecario; pago mensual de un seguro de vida, etc.
1.2. Características de una Anualidad: a) Valores Periódicos, denominados también Flujos. Pueden ser iguales o desiguales y pueden pagarse o recibirse al inicio o final de cada período. Si se pagan o reciben al inicio, se denominan Flujos Anticipados; si se pagan o reciben al final de cada período, se denomina Flujos 0
1
FF
FF
2
FF
Esquema de un Flujo de Fonos (FF) vencido.
3
FF
Vencidos. Algunos autores les denominan también “Renta” a los flujos (Renta Anticipada; Renta Vencida). Intervalo de b) Tiempo, constante entre un flujo y otro; esto es, la misma cantidad de tiempo entre el pago o recepción de un flujo y el siguiente. La suma de estos tiempos, es el plazo de la operación financiera. c) Evaluación del flujo; cada flujo puede evaluarse en cualquier momento del tiempo, de tal forma que si se evalúa en el período cero, se dice que se está calculando el Valor Presente (VP) del Flujo; si se evalúa en el plazo final, se dice que se está calculando el Valor Futuro (VF). Si evaluamos un período intermedio, se dice que se está en presencia de un valor futuro, para los flujos iniciales y en presencia del valor actual para los flujos finales.
8
Héctor Manuel Vidaurri, “Matemáticas Financieras, Ediciones CENGAGE, 4ta edición, página 302.
39
1.3. Importancia de las Anualidades: En Finanzas, el concepto de Anualidad es importante, porque es una operación frecuente en transacciones comerciales que impliquen una serie de pagos, realizados a intervalos iguales de tiempo, como una compra a crédito, por ejemplo.
1.4. Tipos de Anualidad: 1.4.1.
Anualidad Cierta: los egresos o ingresos de dinero,
comienzan y terminan en fechas perfectamente definidas. Por ejemplo, las cuotas que se pagan por un crédito.
1.4.2. Anualidad Vencida: los egresos o ingresos de dinero ocurren al final de cada período. Por ejemplo, los pagos por remuneraciones, que reciben los trabajadores, al final de cada mes.
1.4.3. Anualidad Anticipada: los egresos o ingresos de dinero ocurren al inicio de cada período. Por ejemplo, el pago por arriendo de una propiedad, se genera al inicio del período en el cual se usará.
1.4.4. Anualidad Inmediata: no existe aplazamiento alguno de los ingresos o egresos de dinero; es decir, todos los pagos se realizan en la fecha acordada.
1.4.5. Anualidad Diferida: el primer pago se aplaza por algún tiempo y el resto, se realiza en las fechas acordadas. Por ejemplo, la compra de un artículo a crédito, pagando la primera cuota en dos meses más. De todos estos tipos de anualidades, las anualidades vencidas son las más utilizadas en las transacciones financieras; se les conoce también como Anualidades Ordinarias.
40
2. EXPRESIONES MÁS USADAS EN ANUALIDADES. 2.1. Valor Presente de una Anualidad Vencida:
− = [ ] (Ecuación 2.1.)
Donde: VP (Av)= Valor Presente de una anualidad vencida. FF= Flujo de fondos (pagos o ingresos de dinero) I= Tasa de interés. N= Plazo de la operación.
2.2. Valor Presente de una Anualidad Anticipada:
= [−∗] (Ecuación 2.2.)
2.3. Valor Futuro de una Anualidad Vencida:
= [ ] (Ecuación 2.3.)
2.4. Valor Futuro de una Anualidad Anticipada:
= + (Ecuación 2.4.)
41
3. EJERCICIOS RESUELTOS. 3.1. Valor Presente de una anualidad vencida. Ud. tiene que pagar $ 120.000 a finales de cada mes, por un plazo de 3 meses, producto de un crédito que solicitó anteriormente. La tasa que se aplicó al crédito fue del 4,5% mensual. ¿Cuál es el valor de su deuda en el día de hoy?
Respuesta: Dado que los pagos se producen al final de cada período, se trata de una anualidad vencida; si se desea conocer el valor hoy, entonces decimos que se trata del valor presente. Resolviendo período a período tenemos: Primer mes: Segundo mes: Tercer mes:
C = M / (1 + i) 1 C = M / (1 + i) 2 C = M / (1 + i) 3
Primer mes: C = 120.000 / (1 + 0,045) 1 C = 120.000 / 1.045 C = 114.833 Segundo mes: C = 120.000 / (1 + 0,045) 2 C = 120.000 / 1.092025 C = 109.888 Tercer mes: C = 120.000 / (1 + 0,045) 3 C = 120.000 / 1,141166 C = 105.156 Valor hoy de la deuda: (114.833 + 109888 + 105.156) = 329.877 Si aplicamos directamente la expresión 2.1 tenemos:
− , = ,
VP (Av) = 120.000 VP (Av) = 120.000 (2, 7489644) VP (Av) = 329. 876 (la diferencia se debe a redondeos generados en cada uno de los pasos).
42
3.2. Valor presente de una anualidad anticipada. Si los mismos $ 120.000 se pagan al inicio de cada mes, aplicando la misma tasa de interés, estamos en presencia de una anualidad anticipada. Aplicando la expresión 2.2 tenemos:
, =. ,− ∗, VP (Aa) = 120.000 (0,141166 / 0.0491411) VP (Aa) = 120.000 (2,8726667) VP (Aa) = 344.720
3.3. Valor Futuro de una Anualidad Vencida. Juan José desea adquirir un celular de última generación y para tal efecto, depositará al final de cada mes $ 90.000 en una cuenta de ahorro que le ofrece un interés del 2,2% mensual. ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado al final del tercer mes? Resolviendo período a período tenemos: Primer mes: M = C (1 + i) 2 Segundo mes: M = C (1 + i) 1 Tercer mes: M = C (1 + i) 0 El último mes coincide con el período de evaluación, por tanto, no tiene capitalización. Gráficamente tenemos:
90.000
90.000
Primer mes: M = 90.000 (1 + 0,022) 2 M = 90.000 (1,044484) M = 94.004
90.000 VF (Av)
Segundo mes: M = 90.000 (1 + 0,022) 1 M = 90.000 (1,022) M = 91.980 Tercer mes: M = 90.000 (1 + 0,022) 0 M = 90.000 Total al tercer mes: (94.004 + 91.980 + 90.000) = 275.984
43
Si aplicamos directamente la expresión 2.3 tenemos:
, =. , VF (Av) = 90.000 * (3, 066484) VF (Av) = 275.984
3.4. Valor Futuro de una Anualidad Anticipada. Continuando con el mismo problema planteado en 3.3 si los depósitos se realizan al inicio de cada mes, al final de tres meses y aplicando la expresión 2.4 Juan José tendría ahorrado:
, =. +, VF (Aa) = 90.000 (0,0674626 / 0,0215264) VF (Aa) = 90.000 (3,133947) VF (Aa) = 282.055
3.5. Combinando Anualidad Vencida y Anticipada en un solo Flujo: El plan de pagos de un año de María José contempla que a fines de mes debe pagar $ 85.000 por seis meses y para los seis meses restantes debe cancelar $ 75.000 al inicio de cada mes. La tasa de interés aplicada a la operación fue de 3,5% mensual. ¿Cuál fue el valor inicial de la deuda?
Respuesta: Los seis primeros flujos corresponden a una anualidad vencida y los seis restantes, a una anticipada. Debe considerarse que el flujo anticipado generará un valor único (un Monto) en el período 6, que deberá trasladarse a valor presente como un solo valor, usando la fórmula de monto compuesto, puesto que desde el período 6 hasta el período cero, no existen pagos. Gráficamente tendríamos:
44
Paso 1: Valor presente de una anualidad vencida, los primeros 6 pagos por $ 85.000 al 3,5% interés mensual; usando la ecuación 2.1 tenemos:
− , =. , VP (Av) = 85.000 (5, 328553) VP (Av) = 452.927
Paso 2: Valor Presente de la anualidad anticipada, los 6 pagos por $ 75.000 usando la misma tasa de interés. El valor resultante, quedará ubicado en el período 6. Usando la ecuación 2.2 tenemos:
, =. ,− ∗, VP (Aa) = 75.000 (0,2292553 / 0,0415690) VP (Aa) = 413.629
Tercer Paso: Traer a Valor Presente el segundo monto, para adicionar al primero. C= 413.629 / (1 + 0,035) 6 C = 336.488 El valor inicial de la deuda, al día de hoy, es de: (452.927 + 336.488) = 789.415
4.- EJERCICIOS PROPUESTOS. 4.1. Un Bono de valor Nominal de $ 20 millones a 5 años, paga un interés anual del 5% vencido y al término del plazo, devuelve los $ 20 millones a quien en ese momento, tenga el bono. ¿Cuál es valor del Bono al día de hoy, si la Tasa de Mercado es 4%? 4.2. Ud. realiza un compromiso de depósitos mensuales con el Banco BCI, con el propósito de ahorrar para comprar una propiedad. Durante 8 meses depositará $ 150.000 al final de cada mes, a una tasa de 1,85% mensual. Para los siguientes 8 meses, depositará $ 170.000 al inicio de cada mes, a la misma tasa. ¿Cuánto habrá ahorrado al término de 16 meses?
45
5.- RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS Tasa de Mercado (TIR de Mercado): Es un indicador usado para valorizar Instrumentos Financieros de similares características (plazo, nivel de riesgo, emisor, etc.) Esta Tasa le indica al inversionista, cuál es el interés promedio que pagan Instrumentos Financieros similares al que desea comprar, de tal forma que éste (el inversionista) usará la Tasa de Mercado para ofertar un precio por el Instrumento que desea adquirir.
1. Valor Nominal del Bono $ 20 millones a 5 años plazo. El valor actual de un Bono que paga intereses anuales y devuelve el capital o principal en el último período, se clasifica como BULLET. Por tanto, el valor al día de hoy será la suma de los intereses descontados a la tasa de mercado (TIR de mercado) más el Principal, descontado a la misma tasa.
−][ ] =ó∗ [ VP = (1.000.000 * 4,451822) + (16.438.542) VP = 4.451.822 + 16.438.542 VP = 20.890.364 El Valor Presente del Bono es mayor a su valor nominal de $20 millones, por que la Tasa de Mercado es menor a la Tasa Cupón; un inversionista que hoy desee invertir $ 20 millones, preferirá hacerlo en este Bono, que entrega intereses del 5%, a un instrumento del mercado que entrega intereses del 4%. El atractivo que representa este Bono para todos los potenciales inversionistas, hará que el precio del Bono suba. 2. Este problema incluye una mezcla de anualidad vencida y anticipada, con flujos diferentes; para resolver, se hará cada una por separado: Paso 1: Anualidad vencida de $ 150.000 por 8 meses:
10, 0 185 =150.000∗ 0,0185 1 VF = 150.000 *(8,537616) VF = 1.280.642 Ahorro hasta el 8° mes.
Paso 2: Anualidad anticipada de $ 170.000 por 8 meses:
10, 0 185 =170.000∗ 1,1 VF = 170.000 * (0,157946 / 0,0181639) VF = 1,478.252 Ahorro desde el 8° al 16° mes.
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Paso 3: El valor obtenido en el Paso 1 se trasladará a Valor Futuro (mes 16) como un solo monto, usando la ecuación de interés compuesto y se sumará al valor obtenido en el Paso 2. M = 1.280.642 * (1 + 0,0185) 8 M = 1.280.642 * 1,157946 M = 1.482.914
Ahorro total = (1.478.252 + 1.482.914) = 2.961.166
47
6. AMORTIZACION. Bono Bullet (Bala). Tienen cupones que se componen sólo de interés, los cuales se pagan periódicamente (anual, semestral, trimestral, etc.) y amortizarán el capital de una sola vez, en una fecha futura, denominada fecha vencimiento. En el último período, quien tenga el bono, recibirá el pago de intereses más capital. Los bonos que no son Bullet, amortizan el capital junto al pago de los intereses.
6.1. DEFINICION.
“La Amortización es un proceso mediante el cual se extingue una deuda, a través de uno o más pagos períodos, de tal manera que con el último pago se cancela totalmente el capital prestado o principal y
los intereses respectivos.”9 6.2. ELEMENTOS DE UNA AMORTIZACION. Valor del Préstamo: Es la suma de dinero que se recibe en préstamo, al inicio de la operación y que corresponde a un Capital
“C”. Período de Tiempo: Diferencia entre la fecha de entrega del préstamo y la fecha de su devolución. Se denomina “Período Comercial” cuando se trabaja con años de 360 días y meses de 30 días; se denomina “Período Exacto” cuando se trabaja con años de 365 días.
Tasa de Interés: Corresponde al porcentaje de costo de capital y se fija de acuerdo a condiciones de mercado vigentes al momento de la operación y el riesgo que implica ésta. La tasa de interés puede ser vencida o anticipada.
Cuota Interés: Corresponde a la cantidad o valor monetario que se debe cancelar por el uso del préstamo recibido, el cual podrá pagarse en forma parcial o total al final del período.
Cuota Capital: Corresponde a la devolución del principal, cantidad o valor monetario que se puede cancelar junto con los intereses, en forma parcial o total, veremos más adelante.
Dividendo o Cuota Total: Corresponde a la suma de la cuota de capital más la cuota de interés, cantidad o valor monetario que puede también incluir sólo interés o sólo capital en un momento determinado dentro del plazo de la deuda.
9 Matemáticas
Financieras, Jaime Marchant García Editorial Jurídica Conosur Ltda, página 146.
48
6.3. TIPOS DE AMORTIZACION. TIPO – 1: Consiste en pagar los intereses período a período y devolver el capital de una sola vez, en el último período. Esta modalidad es usada en Bonos Bullet, que pagan intereses periódicos y el principal al final del plazo.
Ejemplo: Un Bono a 5 años por un valor nominal de $ 10 millones paga el 5% de interés anual y devuelve el capital en el último período. Período
Interés
Capital
Cuota
0
Saldo Final 10.000.000
1
500.000
0
500.000
10.000.000
2
500.000
0
500.000
10.000.000
3
500.000
0
500.000
10.000.000
4
500.000
0
500.000
10.000.000
5
500.000
10.000.000
10.500.000
0
TIPO - 2: Se paga una cuota uniforme del capital y los intereses se calculan sobre el saldo insoluto, que se adiciona a esta cuota uniforme.
Ejemplo: Tomando el mismo ejemplo anterior, la cuota fija del capital sería: (10.000.000 / 5) = 2.000.000.- Los intereses serán variables pues dependen del saldo insoluto (Saldo inicial menos pago del capital, período a período). Período
Interés
Capital
Cuota
0
Saldo Final 10.000.000
1
500.000
2.000.000
2.500.000
8.000.000
2
400.000
2.000.000
2.400.000
6.000.000
3
300.000
2.000.000
2.300.000
4.000.000
4
200.000
2.000.000
2.200.000
2.000.000
5
100.000
2.000.000
2.100.000
0
TIPO – 3: Consiste en pagar una cuota uniforme a lo largo del período, que incluye intereses y capital; así, mientras el capital pagado aumenta durante el período, los intereses disminuyen manteniendo la cuota fija. Esta modalidad es la más usada en las operaciones comerciales y se le conoce como “método progresivo” o
“Sistema progresivo de amortización”.
Ejemplo: Usando los mismos datos anteriores, se calcula una cuota fija usando la expresión de una anualidad vencida; para nuestro ejemplo la cuota será:
− 110, 0 5 20.000=∗ 0,05
49
20.000 = Cuota (4,3294767) Cuota = 4.619.496
Período
Interés
Capital
Cuota
0
Saldo Final 20.000.000
1
1.000.000
3.619.496
4.619.496
16.380.504
2
819.025
3.800.471
4.619.496
12.580.033
3
629.002
3.990.494
4.619.496
8.589.539
4
429.477
4.190.019
4.619.496
4.399.520
5
219.976
4.339.520
4.619.496
0
Cuadro de Amortización: El cuadro anterior se denomina “Cuadro de Amortización” y y muestra el comportamiento de la deuda a través del tiempo. Detalla por cada período, la evolución de los intereses y el capital.
Si quisiéramos conocer el valor de los intereses en cualquier período, y no contamos con la información del cuadro, podemos determinarlo usando la siguiente expresión:
I (n) = (Cuota Total) * (tasa de interés) * (factor (n – j + 1)) Donde factor (n-j+1) = corresponde a
− 11
I (n) = Interés en el período “n”
Ejemplo: Determinar el valor de los intereses del tercer período, para el ejemplo anterior. I (3) = 4.619.496* 0,05*
−+,,
I (3) = 230.975 * 2,723248 I (3) = 629.002
El valor de los intereses al tercer período será de $ 629.002 y en consecuencia, el valor de la cuota de amortización del capital será: C (3) = Cuota Total – I (3) C (3) = 4.619.496 – 629.002 C (3) = 3.990.494
50
Aplicación: Juan José solicitó un préstamo de $ 3.000.000 al Banco Santander por el plazo de un año. El Banco le entregó la siguiente cotización, incluyendo seguro de desgravamen: Monto del crédito: Plazo: Tasa de interés: Gastos notariales: Impuesto: Seguro Desgravamen: Seguro Desgravamen: Total gastos del crédito: Monto final del crédito:
$ 3.000.000 12 meses. 1,51% mensual (18,12% anual) $ 3.000 $ 12.041 $ 25.615 al año. $ 2.135 al mes. $ 40.655 $ 3.040.655
Con estos datos, Juan José desea determinar: a) b) c) d)
El valor de la cuota mensual. El saldo de la deuda después de cancelar la cuarta cuota Los intereses que se pagarán en la sexta cuota. El Cuadro de Amortización del crédito.
Respuesta: a) Valor de la cuota mensual (una anualidad vencida): 3.040.655 = Cuota*
−−+,,
3.040.655 = Cuota (10,900714 278.941 = Cuota b) Saldo de la deuda después de la 4° cuota:
Saldo (n - j) = Cuota * factor (n - j)
Saldo (4) = 278.941*
n = 12 meses J = 4° mes
− +,,
Saldo (4) = 278.941 * 7,482665 Saldo (4) = 2.087.222
51
c) Intereses que se pagarán pagarán en la sexta cuota: La expresión que permite calcular la cantidad de intereses que se pagarán en un período determinado, es la siguiente:
I ( j ) = Cuota * tasa interés * factor ( j + 1) Donde: I (j) Factor (j + 1)
Intereses en el período “j” Es la expresión anterior, evaluada en el período siguiente al deseado.
En nuestro ejemplo, los intereses que corresponden corresponden al período 6 son: I (6) = 278.941 * 0,0151 * (1 – (1 + 0,0151) -7) / 0,0151) I (6) = 278.941 * 0,0151 * 6,595653 I (6) = 27.781 d) Cuadro de amortización: Perí odo
Interés
Capital
Cuota
0
Sal do Final 3.040.655
1
45.914
233.027
278.941
2.807.628
2
42.395
236.546
278.941
2.571.082
3
38.823
240.118
278.941
2.330.964
4
35.198
243.743
278.941
2.087.221
5
31.517
247.424
278.941
1.839.797
6
27.781
251.160
278.941
1.588.637
7
23.988
254.953
278.941
1.333.684
8
20.139
258.802
278.941
1.074.882
9
16.231
262.710
27 278.941
812.172
10
12.264
266.677
278.941
545.495
11
8.237
270.704
27 278.941
274.791
12
4.149
274.792
278.941
-1
306.63 .636
3.04 .040.65 .656
3.3 3.34 47.29 .292
Tota Totales: les:
6.4. AMORTIZACIONES: EJERCICIOS PROPUESTOS. 6.4.1. Ud. mantiene una deuda de $ 2.165.176 con el Banco BCI a 24 meses plazo, con un interés mensual de 1,87% y cuotas mensuales de $ 112.447 (tasa anual del 22,44%). Como ya ha pagado 6 cuotas, desea saber cuál es su deuda al día de hoy, para analizar la conveniencia de renegociar a una nueva tasa de interés del 24% anual capitalizable trimestralmente, con 6 pagos trimestrales. 6.4.2. Una deuda de $ 900.000 debe amortizarse en 6 pagos cada dos meses (bimestral) en forma vencida. Con la institución acreedora se convino, para los tres primeros pagos, abonar $ 150.000 y $ 200.000 para los dos siguientes; si la tasa de interés aplicada fue fue de 4,5% con capitalización bimestral, ¿cuál será el valor del último pago bimestral?
52
6.4.3.10 María Antonieta ganó un concurso literario en su colegio, consistente en $ 1.000.000. Las reglas del concurso establecían que el premio se entregaría de la siguiente forma: $ 300.000 de inmediato y el saldo se depositaría en un Fondo Mutuo de rentabilidad promedio anual del 9%, con capitalización mensual. Al final de cada mes, se retirarían $ 200.000 para entregarlos al ganador. El saldo permanecería en el Fondo Mutuo. ¿Cuántos retiros podrían realizarse, hasta agotar el fondo?
6.5. RESPUESTA A EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. El primer paso, es conocer el saldo de la deuda después de pagar 6 cuotas; una forma, es confeccionar el cuadro de amortización hasta el sexto período: Período
Interés
Capital
Cuota
Saldo Final
0
2.165.176
1
40.489
71.958
112.447
2.093.218
2
39.143
73.304
112.447
2.019.914
3
37.772
74.675
112.447
1.945.239
4
36.376
76.071
112.447
1.869.168
5
34.953
77.494
112.447
1.791.674
6
33.504
78.943
112.447
1.712.731
El segundo paso, es traer a Valor Presente el saldo de la deuda, usando el tipo de interés como tasa de descuento: VP = 1.712.731 / (1 + 0,187) 6 VP = 1.712.731 / 1.117578 VP = 1.532.538.-
El tercer paso, es calcular la nueva cuota y confeccionar un cuadro de amortización, con 6 pagos trimestrales, usando la nueva tasa de interés trimestral: (0,24 / 4) = 0,06
− 1 10, 0 6 1.532.538=∗ 0,06 1.532.538 = Cuota * (4,9173243) 311.661 = Cuota
Cuadro de Amortización Nueva Propuesta. Pe rí odo
Inte ré s
Capi tal
Cuota
0
10
Sal do Fi nal 1.532.538
1
91. 952
219.709
311.661
1.312. 829
2
78. 770
232.891
311.661
1.079. 938
3
64.796
246.865
311.661
833.073
4
49.984
261.677
311.661
571.396
5
34.284
277.377
311.661
294.019
6
17.641
294.020
311.661
-1
Adaptado de “Matemáticas Financieras” Héctor Manuel Vidaurri , Ediciones CENGAGE, página 386.
53
Conclusión: Existen varias formas de comparar la conveniencia de cada propuesta; por ejemplo, determinar una tasa de interés anual, con capitalización trimestral que sea equivalente a una tasa anual, con capitalización mensual. Si la nueva tasa ofrecida (24% anual capitalizable trimestralmente) es mayor a la encontrada en la equivalencia, entonces no conviene. Otra forma, es comparar la sumatoria de los pagos que deben realizarse bajo cada propuesta. En la propuesta original la suma de los pagos es: (24 * 112.447) = 2.698.728 En la nueva propuesta, la suma de los pagos es: (8 * 344.756) = 2.758.048 más los 6 pagos ya efectuados. Esta nueva propuesta no es conveniente, desde ningún punto de vista. 2. Lo más conveniente, es construir un cuadro de amortización de 6 períodos, considerando que los pagos convenidos son las cuotas; así entonces tenemos: Período
Interés
Capital
Cuota
0
Saldo Final 900.000
1
40.500
109.500
150.000
790.500
2
35.573
114.427
150.000
676.073
3
30.423
119.577
150.000
556.496
4
25.042
174.958
200.000
381.538
5
17.169
182.831
200.000
198.707
6
8.942
198.707
207.649
0
Por lo tanto, el valor del último pago es de $ 207.649.- Podemos establecer también las siguientes equivalencias: Cuota = (Intereses + Capital) Saldo Final Actual = (Saldo Final Período Anterior – Capital) Interés Actual = (Tasa de interés * Saldo Final Per. Anterior) Resolviendo cada una de las equivalencias, se puede determinar el valor del Capital para el último período y en consecuencia, el valor de la cuota del último período (el Saldo Final del último período es cero). 3. El monto entregado en forma inmediata, rebaja el saldo a $ 700.000 que se depositan en el Fondo Mutuo. Se efectúan retiros de $ 200.000 al final de cada mes, luego la incógnita es la cantidad de meses que se efectuarán los retiros hasta agotar el fondo.
Planteamos el problema como una anualidad vencida, donde “n” es la incógnita y 200.000 la cuota periódica. La tasa de interés anual del 9% con capitalización mensual, equivale a (0.09 / 12) = 0,0075
54
− 1 10, 0 075 700.000=200.000∗ 0,0075 3,5 * 0,0075 = (1 – (1,0075) –n) 0,02625 = 1 – (1,0075) –n -1 + 0,02625 = - (1,0075) –n / -1 0,97375 = (1,0075) –n / log Log (0,97375) = -n log (1,0075) -0,026601 = -n (0,00747201) -3,56 = - n /-1 3,56 = n
Esto es, 3 retiros de $ 200.000 y un 4° retiro por menos de eso; aproximadamente, el 56% de 200.000 ($112.000). Para confirmar estos cálculos, confeccionaremos el Cuadro de Amortización. Cuadro de Amortización Problema de María Antonieta. Pe rí odo
Inte ré s
Capi tal
Cuota
0
Sal do Fi nal 700.000
1
5.250
194.750
200.000
505.250
2
3.789
196.211
200.000
309.039
3
2.318
197.682
200.000
111.357
4
835
111.357
112.192
0
55
7. DEPRECIACION. 7.1. CONCEPTO DE DEPRECIACION.
“La Depreciación se define como la pérdida de valor que sufren los activos fijos haciendo que su vida útil resulte limitada. La vida útil se determina con base en la experiencia de los expertos del tema. Las causas de la Depreciación son dos: Físicas y Funcionales. Las causas físicas se refieren al desgaste producido por el uso o la acción de los elementos naturales. Las causas funcionales se presentan por obsolescencia o por insuficiencia. La obsolescencia se presenta cuando el activo fijo se retira, no porque se haya desgastado, sino porque resulta anticuado
debido a nuevas invenciones, mejoras técnicas, etc.”11 La Depreciación es un Gasto periódico, que puede calcularse por diversos métodos.
Conceptos de Valor: Valor en Libros: Se refiere al costo de adquisición del activo, menos la depreciación acumulada del activo. Representa el valor que aún conserva el bien, en los registros contables de la empresa.
Valor de Mercado: Valor que el activo tiene en el mercado, al día de hoy, que es distinto al Valor en Libros, debido a la inflación y algunos otros factores.
Valor de Deshecho o de Salvamento: Si un activo ha llegado al final de su vida útil, siempre conservará algún valor, aun así sea como chatarra o para desarme. No se relaciona con el Valor de Mercado.
7.2 MÉTODOS DE DEPRECIACIÓN . Según la ley De Renta, son depreciables: Máquinas, instalaciones, edificios, vehículos, equipos, estanques, herramientas, y todo aquello que sufra desgaste. No son Depreciables: Bienes intangibles, derechos de llave, marcas, patentes, materias primas, terrenos; todos ellos que no sufren desgaste de un período a otro.
11
7.2.1. Método de la Línea Recta. Es el método más sencillo y el más utilizado (aprobado por el SII para la disposición sobre depreciación de activos). Supone que el gasto por depreciación es el mismo durante cada año de su vida útil. La Depreciación Anual viene dada por:
DL= (Valor del Activo – Valor Residual) / Vida Útil Ejemplo: Se adquiere un activo en $ 3.000.000 y se calcula que su vida útil será de 5 años. Su valor residual se estima en 10% del valor del activo. DL = (3.000.000 – 300.000) / 5 DL = 540.000 por año.
Héctor Manuel Vidaurri, “Matemáticas Financieras” Ediciones CENGAGE, página 488. -
56
Esto significa que la Empresa debería formar un Fondo de Reserva para depreciación, acumulando $ 540.000 por año, durante 5 años, que permita la renovación del activo. Una práctica común, consiste en construir una Tabla de Depreciación, que muestra el gasto anual por este concepto, el Valor en Libros y la Depreciación Acumulada. Para nuestro ejemplo: Año
Depreciación Anual
Depreciación Acumulada
0
Valor en Libros 3.000.000
1
540.000
540.000
2.460.000
2
540.000
1.080.000
1.920.000
3
540.000
1.620.000
1.380.000
4
540.000
2.160.000
840.000
5
540.000
2.700.000
300.000
Consideraciones a este Método: -
Los bienes se deprecian en mayor proporción los primeros años de su vida útil, que en los años finales. El dinero depositado en el Fondo, gana intereses; este hecho, no es considerado por el método. El valor de reposición del activo, no es igual al valor de compra, debido a la inflación.
7.2.2. Método Acelerado (Depreciación Acelerada).
“Consiste en reducir a un tercio los años de vida útil de los bienes que conforman el activo inmovilizado, fijados por la Dirección Nacional del SII mediante normas de carácter general, o los años de vida útil fijados por la Dirección Regional del SII, mediante normas particulares recaídas en solicitudes de las empresas que someten sus bienes a jornadas extraordinarias de trabajo o bajo condiciones físicas o geográficas que determinen un mayor desgaste que el
normal.”12 DA = (Valor del Activo – Valor Residual) / 3 Este método se aplica a bienes físicos nuevos y de vida útil mayor o igual a 10 años
12 Diccionario
Básico Tributario Contable, www.sii.cl.
57
Ejemplo: Se adquiere un activo en $ 6.000.000 que tiene una vida útil de 10 años y un valor residual del 10% de su valor de adquisición. Se usará depreciación acelerada. DA = (6.000.000 – 600.000) / 3 DA = 5.400.000 / 3 DA = 1.800.000 por cada año.
7.2.3. Método del Fondo de Amortización. Es una variante del método de la Línea Recta, en que toma en cuenta los intereses ganados en el Fondo de Amortización, de tal forma que la suma de los depósitos anuales más sus intereses, sea igual a la depreciación total. En general, los Fondos de amortización se establecen con el propósito de pagar una deuda que vence en fecha futura, o para la compra de un equipo nuevo, que reemplace al existente, cuando éste finalice su vida útil. Su expresión general es:
∗ é = ó 1 1
Ejemplo: Se adquirió un equipo industrial a un costo de $ 2.750.000, el cual se espera usar por 5 años, con un valor residual del 8% de su costo de adquisición. El gasto anual por depreciación, se depositará en un Fondo de Amortización, a un interés del 12% anual. ¿Cuál será el valor de la depreciación total? ¿Cuál será el valor a depositar en el Fondo de Amortización?
Depreciación Total = (Valor del Activo – Valor Residual) DT = (2.750.000 – 220.000) DT = 2.530.000 Valor a depositar en el Fondo de Amortización:
530.00012 ∗0, 112 = 2.10, FA = (303.600 / 0,7623417) FA = 398.247
58
Al depositar $ 398.247 cada fin de año en el Fondo de Amortización, al cabo de 5 años se obtendrá:
1 10, 1 2 =398.247∗ 0,012
M = 398.247 * (6,3528474) M = 2.530.002 Que corresponden a la depreciación total. Para una mayor comprensión del método, se elabora el cuadro de Amortización para 5 años: Columna1
Columna2
Intereses
Deprec.
Deprec.3
Valor en
F in d e A ño
De pó si to
Ga nad os
A nu al
A cu mu la da
Li bro s
0
2.750.000
1
398.247
0
398.247
2 3
398.247
2.351.753
398.247
47.790
398.247
101.314
446.037
844.284
1.905.716
499.561
1.343.845
4
398.247
1.406.155
161.261
559.508
1.903.353
846.647
5
398.247
228.402
626.649
2.530.002
219.998
El interés ganado a fin de cada año, se obtiene de calcular la depreciación acumulada por la tasa de interés. El valor por depreciación anual corresponde a la suma del depósito más el interés ganado en el año. El valor de la Depreciación acumulada al 5° año, es igual al valor de la Depreciación Total anteriormente calculada.
7.2. EJERCICIOS RESUELTOS. 7.2.1. Una empresa fabricante de caramelos y chocolates adquirió una máquina empacadora en $ 3.605.000, de la cual se estima un valor de desecho del 15% de su costo. El fabricante de la empacadora estima que esta máquina podrá producir 95.000.000 unidades de empaques de dulces antes de ser reemplazada por una nueva. La producción anual estimada de empaques de dulces para los próximos 5 años es: Año
Producción Anual
1
7.300.000
2
9.125.000
3
12.775.000
4
22.995.000
5
42.805.000
Considerando un método lineal, determinar: a) La depreciación total. b) El costo por depreciación de cada unidad de empaque. c) El cuadro de depreciación. 59
60
Respuesta. Depreciación total de la máquina empacadora: DT = Valor Adquisición – Valor Desecho DT = 3.605.000 – (0,15 * 3.605.000) DT = 3.605.000 – 540.750 DT = 3.064.250 Costo por depreciación de cada unidad de empaque: Si la máquina está diseñada para producir 95.000.000 de unidades, luego: D (unidad) = Depreciación Total / Producción Total D (unidad) = 3.064.250 / 95.000.000 D (unidad) = 0,03226 Pesos por empaque producido. Cuadro de Depreciación: Período
Deprec. Anual
Deprec. Acumulad
0
Valor en Libros 3.605.000
1
235.498
235.498
3.369.502
2
294.373
529.871
3.075.129
3
412.122
941.993
2.663.007
4
741.819
1.683.812
1.921.188
5
1.380.889
3.064.701
540.299
La depreciación anual se calcula multiplicando la depreciación por unidad por el N° de unidades anuales estimadas a empacar. El Valor en Libros obtenido en el cuadro de amortización, es algo menor al obtenido en el cálculo del Valor de desecho.
61
7.2.2. Se adquiere un equipamiento para el manejo de materiales de bodega, a un costo de $ 12.000.000, los que tienen una vida estimada de 10 años. El valor residual se estima en 10% del costo de adquisición. La tasa de impuesto por beneficio de la depreciación es 17%. a) Determine el costo anual de depreciación usando el método lineal. b) Determine el costo anual por depreciación usando el método acelerado. c) Confeccione un cuadro comparativo de ambos métodos. Respuesta. Valor del equipo $ 12.000.000 y costo anual de la depreciación, método lineal:
Costo Anual = (Costo Adquisición – Valor Residual) / Vida Útil Costo Anual = (12.000.000 – 1.200.000) / 10 Costo Anual = 1.080.000 Beneficio Tributario = (1.080.000 * 0,17) Beneficio Tributario = 183.600 Por cada año. Costo Anual de depreciación, usando el método acelerado:
Costo Anual = (Costo Adquisición – Valor Residual) / 3 Costo Anual = (12.000.000 – 1.200.000) / 3 Costo Anual = 3.600.000 Beneficio Tributario = (3.600.000 * 0,17) Beneficio Tributario = 612.000 Por cada año. Cuadro Comparativo: Depreciación Lineal. Período
Deprec.2
Valor Lib.
Ahorro Imp
0
12.000.000
1
1.080.000 10.920.000
183.600
2
1.080.000
9.840.000
183.600
3
1.080.000
8.760.000
183.600
4
1.080.000
7.680.000
183.600
5
1.080.000
6.600.000
183.600
6
1.080.000
5.520.000
183.600
7
1.080.000
4.440.000
183.600
8
1.080.000
3.360.000
183.600
9
1.080.000
2.280.000
183.600
10
1.080.000
1.200.000
183.600
Cuadro Comparativo: Depreciación Acelerada. Período
Depreciac.
0
Valor en Libros
Beneficio Tributar
12.000.000
1
3.600.000
8.400.000
612.000
2
3.600.000
4.800.000
612.000
3
3.600.000
1.200.000
612.000
62
7.2.3. Una empresa adquirió el año pasado, un equipo de refrigeración en $ 5.100.000, que tiene una vida útil estimada de 12 años, con un valor cero como valor de desecho. La tasa de interés para el depósito del Fondo de Amortización se estimó en 12%. Con estos antecedentes determinar: a) La depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 6 años. b) El Cuadro de Amortización. Respuesta. Dado que el Valor Residual es cero, la Depreciación Total es igual al Valor del Activo. DT = 5.100.000 FA = (5.100.000 * 0,12) / ((1 + 0,12) 12 – 1) FA = 612.000 / 2,895976 FA = 211.328 Corresponde al Fondo de Amortización, que se depositará al 12%. Al término de 12 años se habrá acumulado:
10, 1 2 =211.328∗ 0,12 1
M= 211.328 * (24,133133) M = 5.100.006 Que corresponde al valor del activo. Cuadro de Amortización: Período
Depósit o
Interes. ganados
Deprec. Anual
Deprec. Acumul
0
Valor en Libros 5.100.000
1
211.328
0
211.328
211.328
4.888.672
2
211.328
25.359
236.687
448.015
4.651.985
3
211.328
53.762
265.090
713.105
4.376.895
4
211.328
85.573
296.901
1.010.006
4.079.994
5
211.328
121.201
332.529
1.342.535
3.747.465
6
211.328
161.104
372.432
1.714.967
3.375.033
63
7.3. EJERCICIO PROPUESTO: MOVIMAQ adquirió el año pasado, un montacargas con batería de litio en $ 15.400.000, que tiene una vida útil estimada de 5 años, con un 15% como valor de desecho. La tasa de interés para el depósito del Fondo de Amortización se estimó en 14%. Anual. Con estos antecedentes determinar: a) La depreciación total y el valor en libros al cabo de 5 años. b) El Cuadro de Amortización.
RESPUESTA EJERCICIO PROPUESTO. DT = (Valor Activo - Valor Residual) DT = (15.400.000 – 2.310.000) DT = 13.090.000 Cálculo del Fondo de Amortización, necesario para el cálculo del Valor en Libros.
090.000∗0, 1 4 = 13.10, 14 1 FA = (1.832.600 / 0,925415) FA = 1.980.301
Este valor corresponde al Fondo de Amortización Anual, que se depositará al final de cada año y que tiene por objetivo, adquirir un nuevo equipo cuando el anterior esté totalmente depreciado. Cuadro de Amortización: Período
Depósito
Intereses Ganados
Deprec. Anual
Deprec. Acumul.
0
Valor en Libros 15.400.000
1
1.980.301
0
1.980.301
1.980.301
13.419.699
2
1.980.301
277.242
2.257.543
4.237.844
11.162.156
3
1.980.301
593.298
2.573.599
6.811.443
8.588.557
4
1.980.301
953.602
2.933.903
9.745.346
5.654.654
5
1.980.301
1.364.348
3.344.649
13.089.995
2.310.005
64
