Víctor Daniel Rojas Cerna
Matemática III
Pregunta 1: Considere una esfera hueca de materi al homogéneo, con un radio interno “a” y un radio externo “b”, con una temperatura interna
externa
T b .
T a
y una temperatura
Determine la temperatura en estado estable en función de la
distancia r con respecto al centro, para valores entre “a” y “b”.
Solución: De acuerdo a la ecuación de Fourier se tiene que: H
kA
dT dr
, donde en caso de que se
trate de un estado estacionario H , que es la cantidad de calor que pasa a través de un área
A por unidad de tiempo, es constante. Entonces integrando para nuestro caso de la esfera hueca se tiene: T b
dT
Ta
b
H 4 k
dr
r
2
H
a
4 k (Ta T b ) 1 1 ( ) a b
Por lo tanto:
Tr
Tr
H
(
1
1
) T a
4 k r a (Ta T b ) 1 1 ( ) Ta 1 1 r a ( ) a b
, ar
b
Pregunta 2: Evaluar la siguiente integral
( x x i
j
xk2 )(1 ij )(1 ik )(1 jk )dxi dxj dxk , siendo:
v
2
V ={ ( x1 ; x2 ; x3 ) / x1
x22 x32 4 } 1
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Matemática III
Solución: Simplificando se tiene que: (aplicando la definición del delta de Krocn er)
( x x i
j
xk2 )dxi dx j dxk , siendo i j k
v
y de la restricción se puede notar que para cada combinación subíndices, que cumplan la restricción anterior, el resultado es el mismo. Dado que hay 6 combinaciones posibles:
( x x i
j
v
xk2 )dxi dx j dxk =6 ( x1x2 x32 )dx3dx2dx1 , v
Pasando esta ecuación a coordenadas esféricas: 2 2
128
( sen ( ) cos( ) sen( ) cos ()) sen()d dd = 15 2
2
2
2
0 0 0
Entonces:
( xi x j
v
xk2 )dxi dx j dxk =6 ( x1x2 x32 )dx3dx2dx1 = v
256 5
Pregunta 3: Usando una transformación T (u ,v , w) , demostrar la siguiente relación: 1 1 1
dv
1 xy
(1) n 1 n2
n 1
0 0 0
Solución: Integrando respecto de z se tiene: 1 1 1
dv
1 xy 0 0 0
1 1
0 0
1 xy
ln(1 xy)dydx , ahora aplicando la serie de Taylor para poder
expandir el logaritmo respe cto a “y”, se obtiene:
2
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1 1
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1 1
1
xy
xy ln(1 xy)dydx (1 2 0 0
x2 y2 3
0 0
1
x
x
2
x
3
1
(1 4 9 16 ...)dx 1 2
3
0
1 3
3
1 4
3
x3 y 3 4
1 53
...)dydx ...
Y esto es igual a:
(1) n
n 1
n
1
2
Pregunta 4: Calcule el área de la superficie z e x
2
y2
, si la proyección al plano XY es la
región acotada por la circunferencia: x 2 y 2 4
Solución: Se sabe que la integral de superficie es:
1 (
s
z 2 z 2 ) ( ) dydx 1 4( x2 y 2 )e2( x y ) dydx x y s 2
2
Pasando a coordenadas polares se tiene: 2 2
2
r 1 4r 2e 2 r drd
4.45
0 0
Pregunta 5: Calcule el volumen del Sólido acotado por las siguientes superficies: 2 2
S1 : b c x
2
a c y a b z a b c 2 2
2
2
2
2
2
2 2
y S2 :
c 2 x2 a
2
Solución: Simplificando las ecuaciones anteriores se tiene:
3
c2 y2 b
2
2cz c 2
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S 1 :
x
S 2 :
2
a2 x 2 a
2
y
2
b2
2
y2 b
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z
c2
1 z
2 1
2
c
Y haciendo el cambio de: x ax, y by, z cz
Entonces: dv abczyx Por lo que el volumen del sólido en coordenadas cilíndricas será:
abcdzdydx V
Para ver el dominio sobre el que están definidos x e y, se interseccionan las dos superficies: 1 z 2
2 z 1 z 3 1
Ahora pasando a coordenadas cilíndricas se tiene: 2 2 3 3 1 r 2
abc
0
0
r 2 1
(2 3 3) 2 ( 2 3 4) 3/ 2 2 3 3 1 rdzdrd = abc(2 )( ) 8
3
2
V
0.12 abc 4
4
3
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Problema 6: Calcular la siguiente integral doble
R
x y
dxdy , siendo R la región acotada por el
triángulo de vértices (1/2 ; 1/2) ; (0;1) ; (1;1)
Solución: Para la región sobre la que se nos pide evaluar la integral: x y
=0, pues y>x, excepto sobre la rectas y=x, donde vale 1. Pero entonces se
interpretaría como el área sobre la región en la que esté definida, la cual es una recta y como su área es 0. Entonces:
R
x y
dxdy =0
Problema 7: Del octante de la esfera x2 y2 z 2 c 2 ;
( x 0; y 0; z 0)
se ha quitado el
cuerpo OABC , limitado por los planos de coordenadas y por el plano
x a
y b
1
(a<0,b<0,c<0). (a 0, b 0, c 0) y O es el origen de las coordenadas. Calcule la masa de este cuerpo si su densidad en cada punto (x;y;z) es igual a su cota z.
Solución:
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La masa total del cuerpo se puede calcular como la masa del octavo de esfera menos la masa encerrada entre el plano dado y los ejes coordenados. Esto es: / 2 / 2 c
M
a
b b x a
cos sen( )ddd
0
0
0
Entonces operando: M
0
c 4 16
a3b 24
0
ab3 24
4 x 2 y 2
zdzdydx
0
abc 2 4
Problema 8: Se sabe que un cierto camino
en el plano 2x+2y+2z=1 se proyecta en la
circunferencia unidad x 2 y 2 1 del plano XY . Sea c una constante y sea R xi
yj zk . Calcule mediante el teorema de Stokes (ck R).dr .
Solución:
Por el teorema de Stokes se sabe que:
(ck R).dr x(ck R).dS
Operando se tiene: x(ck R ) 2ck Por lo que:
6
S
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(ck R).dr (2ck ) x(2, 2,1)dydx 2c dydx
S
S
Y como el área proyectada en el plano XY es un círculo, entonces:
(ck R).dr 2 c
Problema 9: n
Demuestre que la medida (“volumen”) de una n -bola en
de radio “a” está
1
dada por Vn (a)
2 a n n (1 ) 2
Solución: Tenemos la n-esfera, definida como el lugar geométrico de los puntos en el espacio euclídeo n-dimensional que equidistan de uno llamado centro (en nuestro
caso
el
origen).En
otras
palabras,
x12 x22 x32 ... xn2 r 2 .Y
queremos calcular su superficie y volumen. Para ello, consideramos la integral: I
e r dV 2
R n
Donde integramos sobre todo el espacio. Pero podemos usar una identidad conocida para simplificarnos la vida:
I
n
i 1
e dV ( e dx1 ).( e dx2 ).( e dx3 )...( e dxn ) ( e x dxi ) r 2
x12
R n
x22
x32
xn2
2 i
Ahora bien, cada una de las integrales del producto vale raíz de pi, por lo que: I
n
i 1
( e x dxi ) n / 2 2 i
Bien, guardemos este resultado un momento, y vayamos a otra cosa.
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Hasta ahora no nos hemos ocupado directamente de la esfera. Vamos a ello, haciendo una simplificación que resultará ser esencial: En el jacobiano del cambio a coordenadas polares n-dimensionales, la variable radial r sólo aparece mediante un factor de r n 1 . En efecto, veamos qué es un cambio a polares n-dimensional. Básicamente es un cambio del tipo:
r cos.... x2 r cos.... x1
Etc., etc. con la variable r apareciendo sólo delante del (habitualmente inmenso) producto de senos, cosenos, etc. Las variables angulares aparecen sólo dentro de senos y cosenos por muchas razones, una de las cuales es que el cambio a polares en n dimensiones es una generalización del cambio a polares plano y tridimensional, y en éstos se procede mediante senos y cosenos. Y aunque no fuera un producto de senos y cosenos, sino una función arbitraria de los ángulos, eso no invalidaría para nada nuestro argumento. Desarrollar por completo las coordenadas polares es complicado y sería desviarse del tema principal, pero de todas formas es algo interesante. Decíamos que la variable r sólo aparece delante del producto de senos y cosenos, y esto es así porque cuando r=1 las coordenadas polares deberían parametrizar la superficie de la esfera de radio 1. Al multiplicar las coordenadas por un r arbitrario deberían parametrizar la esfera de radio r. Calculemos su jacobiano, y fijémonos en una cosa: La variable r aparece en todas las columnas, sencillamente multiplicando a todo lo demás, menos en la primera . Esto es lógico, pues la primera columna del jacobiano corresponde a tomar la derivada parcial respecto a r, y por la forma del cambio de coordenadas eso elimina a la variable r. En resumen, el jacobiano tendrá la forma: ...r....r....r .... ...r....r....r .... ...r....r....r ....
Donde los puntos suspensivos son montones de funciones trigonométricas de las variables angulares que no vienen al caso ahora. La cuestión es que una de las propiedades del determinante dice que si una fila o columna está multiplicada por un número, digamos, r, entonces el determinante es igual a la constante r por el determinante sin la fila multiplicada por la constante. Aplicando eso sucesivamente a las columnas 2, 3...n-1,n del determinante J queda que 8
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J (r ) r n1J (1)
Donde J(1) es el valor del jacobiano cuando r=1, y que por tanto no contiene factores de r. Es decir, la única dependencia de la variable r que puede tener jacobiano general J(r) es mediante un factor de r n 1 . Como se quería demostrar.
Antes de hallar el volumen de la n-esfera hallaremos el área de esta. Primero, demostraremos que:
r n1 J (1)d1d 2d3d 4 ...d n S (r ) A
Donde A es el conjunto de todos los valores posibles que toman las variables angulares 1 , 2 , ... En el caso plano, por ejemplo, el conjunto A es sencillamente [0,2 ] .En un caso más general será un producto cartesiano del tipo [a, b] x[c, d ]x... . Y S(r) es la superficie de la esfera de radio r. Por ejemplo, para 2 dimensiones, tenemos que A=[0,2pi] y J(1)=1, y por tanto la integral de arriba toma la forma: 2
rd 2 r 0
Que es precisamente la superficie de la esfera de radio 1 (en este caso, longitud). En fin, vamos a demostrarlo: Consideremos la integral:
x.NdA rdA rS (r ) S
S
Donde S es la superficie de la esfera de radio 1, y N es el vector normal unitario a la superficie de la esfera. La igualdad de la derecha se produce porque el vector normal a la superficie y el de posición son paralelos, uno de módulo 1 y el otro de módulo r. Por tanto el valor del producto escalar en el integrando es r. 9
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Si aplicamos el Tª de la divergencia al lado de la izquierda, siendo V el volumen de la esfera de radio r, teniendo en cuenta que X
i xi n donde
n es el número de dimensiones del espacio, tenemos que: r
x.NdA .xdV ndV nJ (n)drd d d d ...d 1
S
V
V
r
nr
2
r
n 1
3
4
n
0 A
J (1)drd1d2d3d 4 ...d n ( nr n 1dr ).( J (1)drd 1d 2d 3d 4 ...d n ) r n
0 A
0
A
Con lo que queda demostrada la afirmación de arriba. Nótese que ello implica dos cosas: S (r ) r
n 1
S (1)
S (1) J (1) drd1d 2d3d 4 ...d n A
Bueno, ahora sí que sí vamos a calcular la superficie de la n-esfera. Recordemos de las demostraciones anteriores que:
2
e r dV n / 2
R n
2
r n 1e r J (1)drd1d 2 d3d4 ...d n n / 2
0 A
2
S (1) r n 1e r dr n / 2 0
Si ahora en la integral que obtenemos, hacemos el cambio de variable t
r 2 , la integral queda:
r
n 1
e
r2
0
dr
1
20
n
1
t 2 e t dt
Pero recordemos que la función gamma se define como:
(n) t n 1et dt 0
Así que la integral nos queda que vale ecuación de arriba queda: 10
1 2
n
( ) .En otras palabras, nuestra 2
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S (1)
1 2
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n
( ) n / 2 2
n/2
S (1)
1 n ( ) 2 2
Y ahora, multiplicando ambos lados por r n1 , obtenemos la Superficie de la n-esfera de radio r: /2
S (r )
2 n r n n ( ) 2
1
Volumen de la n-esfera
Se obtiene de forma directa, mediante el uso del teorema de la divergencia. Sea una esfera de radio r, S su superficie y V su volumen, tenemos que:
x.NdA .xdV S
V
Por los mismos argumentos que los empleados en el cálculo de una integral similar hecha anteriormente, se tiene que:
rS (r ) n dV V
rS (r ) nV ( r ) V (r )
r n
n/ 2 n
S ( r )
n
r n
2
2
( )
Ahora bien, si recordamos que la función gamma cumple la propiedad de recurrencia: x( x) ( x 1)
y sustituimos esto en la ecuación, nos queda el Volumen de la n-esfera de radio r: /2
V (r )
n r n n (1 ) 2
Por lo que termina el problema.
11
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Problema 10: Suponga que u ; v ; w son coordenadas curvilíneas ortogonales para las cuales ds v 2du 2 u 2dv 2 dw2 . a) Calcule la divergencia de
u,
donde
u
es el vector
unitario tangente a la curva u. b) Determine el laplaciano de la función f=uvw .
Solución: a) Se sabe que:
( F1h2h3 ) ( F2h1h3 ) (F h h )] h1h2h3 u1 u2 u3 3 1 2 Y dado que: h1 v; h2 u; h3 1 . F
1
[
Además: F 1u 0v 0w Entonces:
.u
1 (u) ) uv u uv 1
(
b) Parecido al caso anterior, se tendría que evaluar en:
2 f
h2 h3 f h1h3 f h1h2 f ( ) ( ) ( )] h1h2 h3 u1 h1 u1 u2 h2 u2 u3 h3 u3 1
[
Entonces:
2 f
2w uv
12
