PRESENTACIÓN El objetivo principal de este Cuaderno de Trabajo y Problemario de Tareas es proporcionar al estudiante de la asignatura de Cálculos Financieros Financieros algunas herramientas adicionales al libro de texto base, con el fin fin de que desarrolle habilidades y tome en cuenta algunos “tips” para resolver problemas y afianzar su dominio de los conceptos y procesos propios de la asignatura. Es un hecho que esta materia llega a ser en algunas ocasiones demasiada abstracta, sin embargo se retoma la idea de que el aprendizaje es más significativo para el estudiante si lo construye a partir de su propia actividad intelectual. Es por ello, que la explicación inicial y resolución de los problemas deberá atenderla el maestro, después el alumno bajo la supervisión de dicho instructor, tendrá la responsabilidad de resolver algunos de los ejercicios (los cuales se le indicaran) y que se encuentran al final de cada capítulo en el libro de texto base. Expertos en Pedagogía sugieren: “que la resolución de problemas es la fuente de conocimiento más valiosa y también es la que le permite encontrar el sentido, al saber que está construyendo”.
Es importante considerar que los problemas que aquí se proponen no son tomados de la realidad en su totalidad. Sin embargo, se buscó que fueran muy similares a los que se presentan en la vida cotidiana de los profesionales dedicados a las finanzas o de cualquier persona que busca optimizar sus recursos económicos, así como los que se manejan en los libros de texto. El “ estudiante” estudiante” puede tomar como ejemplo los problemas ya resueltos, pero eso no significa que se deba trasladar acríticamente la estrategia de solución a los problemas sin resolver, esto por dos razones: i) no estaría generando su propio conocimiento y, ii) existen varias formas de resolución en los problemas lo cuál es muy importante para encontrar la diversidad de visiones y métodos. Para lograr el aprendizaje de una manera más efectiva y eficiente se sugiere al estudiante que: 1. Resuelva cada uno de los problemas propuestos, o intente su solución de manera personal, utilizando las estrategias que se consideren convenientes; 2. Escribir paso a paso el proceso de solución, tratando de comprender cada uno de estos pasos; 3. Comparar sus resultados, con las soluciones encontradas por otros estudiantes. En caso de diferencias, tratar de convencer con argumentos acerca de la veracidad de su respuesta; 4. Consultar la bibliografía del curso y al maestro de la asignatura cuando se considere necesario. Finalmente, se desea al estudiante éxito en la etapa de resolver los problemas que aquí se le presentan para lograr el conocimiento adecuado. Ojalá que los enfrente como un reto a su capacidad y dedicación al estudio, ya que las matemáticas financieras sólo son una herramienta más del conocimiento que debe de adquirir la persona que se forman profesionalmente. M.C. M.C. Ramsés J iménez imén ez Castañeda Castañeda
ÍNDICE Intro Int rodu ducc cc ión………………… ió n…………………………… …………………… …………………… …………………… …………………… ……………… …… 4 Unidad Uni dad I………………………….……………………… I………………………….…………………………………………………… …………………………… 5 Interés Int erés Simp Si mple…………… le……………………… …………………… …………………… …………………… …………………… ………………… ……… 6 Concep Con cepto toss Básic Bás icos os………. ……….………… …………………… ……………... …........ .......... ......... ........ .... 6 Fórmu Fór mulas las Básic Bás icas……………… as………………………… …………………… …………………… ……………. …. 6 Ejercicios…………………………………………………………… 7 Probl Pro blemar emario io de Tareas…………………………… Tareas……………………………………… ……………… …… 9 Descuen Desc uento to Simpl Sim ple……… e………………… …………………… …………………… …………………… …………………… ………………. ……. 10 Conceptos Básicos………………………………..…………….. 10 Fórmu Fór mulas las Básic Bás icas……………… as………………………… …………………… …………………… …………… … 10 Ejercicios………………………………………………………….. 11 Probl Pro blemar emario io de Tareas…………………………… Tareas……………………………………… …………….. ….. 14 Interés Compu esto y Tasas Equivalen Equi valentes………… tes………………… ………..… ..………. …….... ...... ..... ..... ..... 15 Concep Con cepto toss Básic Bás icos os………… …………………… …………………… …………..…… ..…………… ……… 15 Fórmul as Básicas de Interés compuesto com puesto ………… ……………… ………… …… 15 Ejercicios…………………………………………………………. 17 Fórmulas Fórm ulas Básicas Bási cas de Tasas equivalent equi valentes……… es……………… ………….. ….. 21 Ejercicios…………………………………………………………. 21 Probl Pro blemar emario io de Tareas………… Tareas …………………… …………………… …………………… ………….. 23 Uni dad II……………………………………………… II………………………………………………………………………… ………………………… 24 An ualid ual id ades Ord in ari as y An tici ti ci pad as………………………… as ………………………………………. ……………. 24 Concep Con cepto toss Básic Bás icos os………… …………………… …………………… …………..…… ..…………… ……… 24 Prog resion resi ones es Geométri cas………………… cas………………………… …………… …………. ……. 25 Ejercicios…………………………………………………………. 25 Criter Cri terio ioss del Capítu lo………… lo …………………… …………………… …………………… …………… … 28 Ejercicios…………………………………………………………. 29 An ualid ual id ades Difer Dif erid ida a y Per pet ui dad es………………………………………… 34 Concep Con cepto toss Básic Bás icos os …………………… ……………………………… …………..…… ..………….. …….. 34 Criter Cri terio ioss del Capítu lo………… lo …………………… …………………… …………………… ………….. .. 34 Ejercicios………………………………………………………… 35 Problemari Prob lemari o de Tareas de la unidad un idad……… ……………… ……………… ……… 37 Uni dad III……………………………………………… III………………………………………………………………………… ………………………….. 39 An ualid ual id ades ade s Cr eci ent es en For ma Geo mét ri ca………………................. 39 Concep Con cepto toss Básic Bás icos os………… …………………… …………………… …………..…… ..……….. ….. 39 Criterio Crit erioss del Capítulo ……………… ……………………… ……………… …………… ………. …. 39 Ejercicios……………………………………………………… 40 An ualid ual id ades co n Múlt Mú ltip iples les Con dici di ci on es…………………………………… 44 Concepto Conc eptoss Básico Bási cos………… s………………… ……………… ……………. ……..…… .………. …. 44 Criterio Crit erioss del Capítulo ……………… ……………………… ……………… …………… ………. …. 44 Ejercicios…………………………………………………….. 44 Inflac Inf lació ión n y Tasas de Interés Int erés Real….………………… Real….…………………………… …………………… …………… … 48 Concepto Conc eptoss Básico Bási cos………… s………………… ……………… …………… ……..… ..……… …… 48 Criterio Crit erio s del Capítulo ……………… ……………………… ……………… ……………… ……… 48 2
Ejercicios……………………………………………………. Problemari Prob lemari o de Tareas de la uni dad………………… dad…………………… … Unida Uni dad d IV…………………………………………………… IV………………………………………………………………………… …………………… Valor Presente Present e Neto y Tasa Intern a de Retorn o………………… o………………………… ……….. .. Concep Con cepto toss Básic Bás icos os………… …………………… …………………… ………….... ........ ....... ... Fórmu Fór mulas las Básic Bás icas……………… as………………………… …………………… ………………. ……. Problemari Prob lemari o de Tareas de la unidad un idad……… ……………… …………… …… Carta Cart a Descri Desc ript ptiv iva……… a………………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………….. …..
48 53 54 54 54 54 55 56
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Introducción Como se había mencionado antes, para la solución de problemas existen diferentes métodos y/o ecuaciones que facilitan encontrar los resultados, lo anterior dependerá del maestro y el libro que se tenga contemplado. En este caso, la bibliografía sugerida se encuentra en el programa de la asignatura, sin embargo; también se podrán consultar otros libros de texto que coadyuven al entendimiento de los temas que se estén tratando en ese momento. De esta manera, la amplia bibliografía Nacional e Internacional sobre las matemáticas financieras pudiera sugerir un mejor desempeño hacia el conocimiento que los alumnos “deben” desarrollar cuando deciden tomar esta materia. Considerando de igual forma cierto nivel de exigencia acerca del uso y aplicación de procedimientos (álgebra) sobre ecuaciones matemáticas, así como teóricas. Por lo anterior, es de suma importancia que el alumno no deje pasar cualesquier duda (por menor que piense que sea ésta), ya que los temas son consecuentes, es decir; en la mayoría de los casos; tema que se ve en clase, servirá para comprender el siguiente.1 Respecto a la consulta de cualquier autor de Matemáticas Financieras, es posible que se manejen diferentes algoritmos (ecuaciones) y nomenclaturas para definir sus variables ó el modo de solución. Se sugiere al alumno que investigue, analice y compare las diferencias entre las fórmulas de los distintos autores respecto a la que llevará cotidianamente, lo anterior con el fin de que compruebe que no existe una sola forma para encontrar los resultados o incógnitas, y a decir verdad; la mayoría de las ecuaciones son complementarias unas de otras. 2 En este sentido, y para robustecer la enseñanza aprendizaje; el alumno hará algunos laboratorios en el centro de cómputo 3 o bien en el mismo salón de clase, con la finalidad de que amplíe su visión acerca de las matemáticas financieras y su aplicación como herramienta en la vida. Esto quiere decir, que se resolverán algunos temas del programa, en “Microsoft-Excel” mostrando al alumno la bondad de este paquete, y a su vez la facilidad que puede representar en términos de tiempo la solución de problemas. No obstante, esto no es la prioridad del curso. Al inicio de cada capítulo, se encontrarán por lo regular las definiciones generadas por el autor del libro de texto, así como complementos conceptuales de otros autores. También, se ejemplificarán por medio de algunas gráficas intuitivas (línea del tiempo) y ejercicios resueltos como iniciación del tema. Así pues, se invita al alumno que aproveche este documento y sirva como herramienta de trabajo cotidiana con el único propósito de aumentar su conocimiento y a la postre una mejor evaluación académica. ¡Ánimo! 1
Si tiene alguna duda al respecto, consulte su programa comparándolo con el libro de texto, o bien; pregunte al maestro. Esto, sólo como una tarea extra del curso en beneficio intelectual del alumno, sin embargo se muestran otros algoritmos que no vienen en el libro de texto . 3 El número de laboratorios o trabajos extra clase dependerá estrictamente del maestro que imparta la asignatura. 2
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Unidad I
INTERÉS SI SIMPLE PLE Conceptos Básicos INTERES ( I ): Es el cambio en el valor de dinero en el tiempo, o bien; es el importe de dinero dinero a dicional a futur futuro o a l que una p ers ersona ona tiene tiene der de rec ho por p or pres prestar tar un un Capital a otra persona.4 Tamb Tambiién c onoc ido c omo “imp o rte d e inte ré ” , se dice que éste es el dinero o s resultado monetario cuando es invertido un capital o al otorgar un préstamo (inversión). En este caso, el interés simple según Vidaurry y Villalobos5 es cuando sólo el capital gana intereses, además se paga al final de un intervalo de tiempo previamente definido, sin que el ca c a pital original original varíe. varíe.
CAPITAL (C): Es una “cantidad inicial de dinero”, se le conoce también con el nombre de Valor Actual. A su vez, llamado Valor Presente. Por ejemplo: una cantidad de dinero (inversión) que se deposite en el banco el día de “hoy” se le denomina capital, ó si “hoy mismo” me prestan cierta cantidad para liquidarla en el futuro (después) esto también se considera capital.
MONTO (M): Es un impo imporrte futur futuro o de d e din d inero ero (pa ra efec e fectos tos del de l libro libro de texto texto de Enrique García González) y en el lenguaje coloquial se utiliza la palabra monto como un símbolo de “cantidad de dinero”. También se le conoce como valor futuro; en otras palabras, es el dinero final que se recibe de una inversión o préstamo. Ejemplo: si ud. prestó dinero, y estuvo de acuerdo en el tiempo que le iban a pagar, al final de este plazo recibirá el dinero que prestó “mas” una cantidad adicional (importe de interés) por po r prest presta a r dicho dic ho din d inero. ero.
TASA DE DE INT INTERES ( i ): Es la razón entre el interés y el capital por una unidad de tiempo, además la tasa de interés se aplica “e x c l u s i v a m e n t e ” al capital. Es decir, es el “prec “prec io” que se pa ga o se se c obr ob ra por po r prestar prestar o requerir requerir alguna c antida antida d de de d diinero nero
4
El dinero como cualquier bien, tiene un precio que genera una ganancia y es el interés, este es el pago por el uso del dinero ajeno y se expresa comúnmente como “ I”. 5 La ficha bibliográfica se encuentra en el programa de la asignatura.
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PERIODO ( p): Número de periodos de tiempo que hay en un año cuando comparamos una “tasa periódica” con la “tasa anual”. Por ejemplo, decimos que existen 12 meses, 6 bimestres, 4 trimestres, 2 semestres etc. en un año.
TIEMPO: (t ): Es la unidad de medida que representa el cambio de un acontecimiento a otro, visto de otra manera, es el lapso determinado en el que se da una transacción monetaria. Un ejemplo sería el “tiempo” que una persona tiene invertido su dinero en el banco, ya que en algún momento inició dicha inversión cuando depositó pro primera vez, por lo tanto; en otro memento puede tomar la decisión de retirarlo.
LÍNEA DEL TIEMPO: Es un dibujo o gráfico diseñado para comprender la transacción monetaria realizada de manera intuitiva.
En ésta se asignan tanto las
variables como las cantida des. C
M
i
………………………………….. t
NOTA IMPORTANTE: Los conceptos básicos antes mencionados pueden ser aplicados para cualquier tema subsecuente, no obstante; es importante apreciar que en el desarrollo de las diferentes temáticas y unidades, se irán incorporando nuevo conceptos y criterios que deberán ser estudiados con la debida particularidad que revisten estos temas.
Fórmulas Básicas
1. − M = C + I 2. − I = C t isimple−anual Otros autores la manejan a sí 2a. I Cin
donde n es
el número de periodos (se puede decir que en años, pero no es exclusivo).
3. − M = C + C t isa = C (1 + t isa ) M = C (1 + t isa )
o también…
3a . M C (1 in )
4. − isimple− anual = i simple− periodica ( p) Una vez vistos, y comprendidos los conceptos, además de familiarizarse con las ecuaciones o fórmulas de este capítulo, no resta más que poner en práctica los conocimientos adquiridos, por lo tanto; seguirá ahora una “batería” de ejercicios ya
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resueltos y otros por resolver, éstos últimos se irán construyendo junto con el maestro durante la sesión.
EJERCICIOS 1.- Calcular el interés que generará un capital de 77,600 a una tasa de interés simple anual de 35%, si el dinero se tendría invertido durante 8 meses. Nota 1: En primer lugar se deberá razonar el problema, observar los datos con que contamos y después se recomienda colocar dichos datos en el lado izquierdo, el desarrollo del problema al lado derecho.
Datos: C =77,600 isa =.35 t = 8 meses I =?
Nota 2: El tiempo por lo regular se
I = C t i simple
representará en un año. anual
I = 77 ,600 [(8 / 12 )(. 35 )] = I = 77 ,600[(. 66666666 )(. 35 )] = I = 77 ,600 (.233333333 ) = I = 18,106 .66
2.-Calcular el interés que generará un capital de 77,600 a una tasa de interés simple mensual del 5%, si el dinero se tendría invertido 8 meses. Nota 3 : Recordemos Datos: C =77,600 isp =.05 mensual t = 8 meses i sa = .6
i sa = i sp ( p) i sa = .05(12) = i sa = 0.6
I = C tisa I = 77,600 [(8 / 12)(.6)] = I = 77,600 (.4)
que la tasa, de este problema es simple mensual, por lo tanto se tendrá que hacer la conversión a una tasa simple anual.
I = 31,040
3.- Calcule el Monto o valor futuro de un préstamo por 20,000 de 36% de interés simple anual y 6 meses de plazo. C= 20,000 isimple= 36% mensual t= 6 meses
M=?
4.- Calcular ¿cual sería el Monto (valor futuro) de un capital? de 7,777 invertido durante 10 meses a una tasa simple trimestral de 6%. Nota 4: Al igual que el ejercicio anterior, se tendrá que convertir la tasa simple periódica a una simple anual, y además; el razonamiento del problema cambió, ya que la incógnita es diferente en este problema, por lo cual se utilizará otra de las ecuaciones de este capitulo. Datos: C =7,777 t = 10 meses isp =.06 trimestral
isa = .24
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5.- Si me prestan 9,000 y a los 4 meses pago 11,500 ¿A qué tasa simple mensual me prestaron? Nota 5: Advierta que se necesitará encontrar una tasa simple periódica, la cual es el punto medular y más importante en el razonamiento del problema. Nota 6: Recordando la ecuación del ejercicio anterior (ya que cumple con los datos obtenidos), se tendrá que despejar dicha ecuación para encontrar la incógnita que es la tasa simple mensual. Datos: C = 9,000 M = 11,500 t = 4 meses
isp =?
6.- Calcular cual fue el capital invertido por una persona si se retiró al final de 5 meses un importe de 45,000 y la tasa de interés simple mensual que le otorgaron fue de 1.8% Nota 8: Se debe tomar en cuenta que se retira un importe (valor futuro o Monto) a cierto periodo (t), lo que nos indica que al principio de la transacción debió haber existido un capital (C) que aplicando cierta tasa de interés (i), obtendríamos dicho importe al final de la transacción. Por lo cual lo que queremos encontrar es el Capital invertido. Datos: M = 45,000 t = 5 meses isp=.018 mensual
M = C (1 + it ) Despejando para Capital C = C =
M
(1 + it ) 45 ,000 (1 + (.018 )(5))
Nota 9: al igual que el ejercicio anterior, no es necesario hacer la conversión de la tasa periódica a tasa anual, ya que el manejo del problema es en términos mensuales.
45 ,000 45 ,00 = 1 + .09 1 .09 C = 41, 284 .40 C =
7.- Calcular durante cuantos meses deberá tener invertido su dinero una persona si, originalmente tiene 34,000 y espera tener finalmente por lo menos 40,000; la tasa es del 4% simple anual. Nota10: Advierta que lo que se esta cuestionando es el tiempo de inversión, lo cual hace que el razonamiento del ejercicio sea el despeje de nuestra función básica. Datos: C = 34,000 M = 40,000 isa = .04 t = ?
8.- En cuantos días se cuadruplica un capital si la tasa de interés simple anual es de 227%.
Nota 11: Ya que se tenía una tasa simple anual, se tiene que hacer la conversión a tasa periódica, ya que se piden los meses o el plazo, es decir el tiempo; por lo tanto se despeja la fórmula de interés simple anual, dándonos interés periódico (una tasa de interés simple anual entre el número de meses con que cuenta un año). Nota 12: Considere además que “cuadruplicar” sería (Valor futuro), un “capital” (valor presente) dada una tasa de interés. Nota 13: Al igual que el ejercicio anterior, se toma al tiempo; que se despeja de la ecuación básica, sin embargo en esta ocasión; la tasa simple anual deberá convertirse en una periódica diaria ya que nos piden ¿Qué en cuantos días se hace dicha transacción? Datos: C =1 M=4 isa = 2.27
8
t =
[( M / C ) − 1
isa P
t =
(4 / 1) − 1 2.27
t = 476 dias ( redondeand o)
360
En los ejercicios propuestos de tarea, no se asignan los resultados; esto con el fin de que el alumno tenga la certeza del desarrollo y desenvolvimiento de cada ejercicio. Es decir, si el alumno ha comprendido de manera sustancial el tema, no debe de tener problemas para resolverlos satisfactoriamente. Además, muy bien puede comparar los resultados respecto a los de sus compañeros y así, aprender todos juntos de sus errores y aciertos. *
Tarea 1. Interés simple 1.
¿Cuál es el valor actual de una letra de cambio por $ 13,000.00 que vence dentro de 90 días, si la tasa de interés es de 37% anual?
2.
¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si al final se tienen 2,300 y el préstamo fue de 2,000 en un plazo de 6 meses?
3.
Una persona pidió prestado 6,300 a pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es de 33% simple anual, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de interés?
4.
¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de dulces y chocolates, al comprar mercancía por 3,183.00 a 20 días de plazo, si le cargan una tasa de interés de 2.5% mensual simple?
5.
¿En cuántos años se triplica una inversión con una tasa de interés del 23% simple anual?
* Se recomienda que resuelvan los 5 ejercicios de esta tarea.
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DESCUENTO SIMPLE Conceptos Básicos Básicamente, el descuento es un importe de dinero que recibe el poseedor de un documento que tiene fecha de vencimiento, la cual no se respeta y por consiguiente, el valor recibido es inferior al monto señalado en el instrumento financiero. Esto puede ser por convenir a un tercero, el pagaré u otro documento financ iero. (Diferencias conceptuales)
Interés Simple: la tasa de interés “ i ” se aplica sobre el ca pital, I = Ci sa t Descuento Simple: la tasa d e descuento se aplica a l monto. D = Md sa t Dependiendo la situación en que se establezca una transacción, el importe de descuento pued e entenderse de la siguiente manera: “ Un a p e r so n a t ie n e u n d o c u m e n t o c o b r a b l e h a s ta c ie r to t ie m p o , su p o n g a a h o r a ; q u e p o r a l g u n a r a zó n n o e s p o si b le e sp e ra r e l p l a z o d e v e n c i m i e n to , e n t o n c e s se a p l ic a u n a “ ta s a d e d e sc u e n t o ” o p e n a l i za c i ón a l a c a n t id a d d e d i n e r o c o n v e n i d a p o r d e c id i r retirar el dinero ante s”.
Esto implica que del dinero “total” que d ebió haber rec ibido (monto), obtendrá una c antidad menor en función del tiempo de retiro anticipado, obteniendo así un capital c uya diferenc ia entre el monto es el Importe de Descuento.
Fórmulas Básicas
D = Mtd sa , con otros autores sería… D Mnd Por lo tanto: M
C D
Donde: C = M − D = M −(Mtd sa ) ,
C = M (1 − td sa )
Una observación interesante, es que el importe de descuento (D) es igual al importe de interés (I), no obstante; la tasa de interés como de la de descuento no lo son. A continuación se muestra este efecto en el ejercicio 3 en la siguiente de sección de ejercicios.
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EJERCICIOS 1.- Si el importe del pagaré (valor futuro) a descontar es de 56,700 y la tasa de descuento es de 93% simple anual, ¿Cual sería el importe del descuento si faltan 2 meses para el vencimiento del pagaré? Nota 14: Una vez razonado el problema, se tienen que concentrar los datos y encontrar la ecuación que explique dicho descuento (además observe que no es lo mismo un importe de descuento y la tasa de descuento). Datos: M= 56,700 d= .93 t= 2 meses
D=?
D = Mdt
Nota 15: Tome en cuenta que el
D = 56,700(.93)(2 / 12) D = 56,700(.155) = 8,788.5
tiempo se tiene que convertir en periodo anual ya que la tasa de descuento es simple anual. Observe que la ecuación utilizada es la Básica de descuento simple.
2.- Del ejercicio anterior ¿cuanto dinero recibe el poseedor original del pagaré? Nota 16 : Aquí ya no importa el Importe Descontado, sino cuanto “capital” se obtiene de dicha transacción. Nota 17: Tomando en cuanta los datos necesarios, y utilizando la ecuación despejada para capital podemos obtener:
C = M − D= 56,700 − 8,788.50 = 47,911.50 3. Un pagaré con un valor nominal de 5,785 es descontado con un banco a 40 días de
su vencimiento a una tasa de descuento simple anual de 45%. Calcular cuánto le pagaron al acreedor. Datos: M= 5,785 d= .45 simple anual t= 40 días
D=?
C = M (1 − td simple anual ) C = 5,785(1 − ( 40 / 360)(.45) = 5,495.75 donde D = M − C por lo tanto D = 5,785 - 5,495.75 = 289.25
Ahora, si utilizamos la ecuación de Importe de interés simple nos resulta: I = Cti ó
i=
I Ct
=
289.25 = 47.368421 ⎛ 40 ⎞ 5,495.75⎜ ⎟ ⎝ 360 ⎠
Como vemos, la tasa de interés es distinta a la de descuento simple. Compruebe con la tasa de interés que el importe es el mismo…
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4- Si un pagaré tiene un valor nominal de 32,000 y la tasa de descuento es de 16% simple mensual, además faltan 18 días para su vencimiento, ¿cuanto dinero se recibe al descontarlo? Nota 18: Recuerde que los valores nominales son iguales a los valores futuros para este caso, y tomando en cuenta que lo que se esta pidiendo es: ¿Cuánto se descuenta en unidades monetarias? Tendremos que utilizar la ecuación de capital que contenga los componentes del problema.
Datos: M= 32,000 d= .16 t= 18 dias
5.- Si un pagaré tiene un valor nominal de 308,500 y se paga descontando faltando 20 días para su vencimiento en 280,600, ¿cual fue la tasa de descuento simple anual? Nota 20: El razonamiento del problema es muy simple, ya que nos da el Monto, tiempo, y el capital; nos preguntan por una tasa de descuento. Por lo anterior podemos deducir que la ecuación a utilizar será la de capital despejando para la tasa de descuento.
Datos: M=308,500 C=280,600 t=20 días d=?
C = M (1 − td ) despejando
(C /M )=(1 − td ) (C /M )−1 = −td (C /M )−1 −t
=d
sustituyendo los datos
Nota 21: observe que el tiempo
( 280,600/ 308,500)−1 d= −(20/ 360) − 0.090437601 d= −.0555555555 d = 1.627876834 X 100 d = 162.7876834
se debe convertir a periodo anual, ya que el descuento que se pide es en términos de un año.
6.- Un pagaré por 400,000 se descuenta a 380,088.88 a una tasa de descuento de 56% anual, ¿cuantos días faltan para su vencimiento? Nota 22: Tomando un razonamiento similar al ejercicio anterior, podemos deducir la ecuación, dado que contamos con suficientes datos para resolver el problema. Por lo anterior, ahora despejaremos el tiempo representado en días.
Datos: M=400,000 C=380,088.88 d=.56 t=?
7.- Si en CETES a 28 días la tasa de vencimiento anual es de 42%, ¿cual sería la tasa de descuento anual simple? Nota 24: Para resolver este problema, consiste en encontrar una fórmula que calcule la tasa de interés simple anual y que sea equivalente a la tasa de descuento simple anual, lo que implica que sea un poco elaborado dado los despejes matemáticos que se tienen que hacer. El desarrollo se hace en tres pasos, tomando en cuenta desde un principio las ecuaciones básicas de Monto que contiene la tasa de interés, y la de Capital que contiene la tasa de descuento.
Utilizando las ecuac iones básicas de Monto y Capital, se a grupan dá ndonos lo siguiente: 12
M = C(1 + ti )
y
C = M (1 − td )
agrupando ambas ecuaciones:
M = M (1 − td )(1 + ti )
siguiendo con el despeje
M /M =(1 − td )(1 + ti )
PRIMERA PARTE
1 = (1 − td )(1 + ti ) 1 1 − td 1 1 td
SEGUNDA PARTE
= 1 + ti
1 ti 1 Sacando mínimo común denominado r
1 1(1 td ) ti 1 td 1 1 td ti 1 td td ti 1 td d i 1 td i (1 i
td ) tdi
d
d tdi d (1
d
ti )
i factorizan do el lado izquierdo i
TERCERA PARTE
por lo tan to : d d
.42 1 ti 1 ( 28 / 360 )(. 42 ) 40 .6714009 % i
.406714009
8.- Una empresa “B” vende cierta mercancía otorgando un crédito a un cliente mediante la firma de un pagaré a 60 días con una tasa de interés simple anual de 65%. A los 20 días de hecha la venta, dicha empresa decide descontar dicho pagaré en un banco y recibe 76,500. Si el banco tuvo como tasa de descuento aplicable la de 76% , ¿cual era el precio de contado de la mercancía? Nota 25 : Una vez que la empresa acepta la deuda, decide entregársela al banco, y este le hace un descuento a cierta tasa; dándole un capital a la empresa. Sin embargo esa mercancía tiene un monto que no sabemos dadas las transacciones que se realizan. Nota 26: obsérvese que en el tiempo dos faltan 40 días para completar la transacción original, por lo Datos: C=76,500 d= .76 isa=.65 t1=60 t2=20
cual el cálculo del monto estará dado por dicha cantidad faltante de días convertidas a años.
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Tomando en cuenta la ec uac ión bá sica de descuento pa ra capital tenemos: C C = M (1 − dt ) lo que implica que M = (1 − dt ) Continuando con la ecuación de Monto tenemos: 76500 , = 1 −.76( 40/ 360)
, . = 8355583 Los 83,555.83 es el monto que el banco pagó a la empresa, menos la tasa de descuento otorgada; sin embargo, la incógnita es cual es el capital (costo) de esta mercancía al tiempo de la deuda que se contrajo. Para ello tenemos que enco ntrar el ca pital :
Tarea 2. Descuento simp le 1.
¿Qué tasa de descuento se aplicó a un documento con valor nominal de $ 1,000 si se descontó 60 días antes de su vencimiento y se recibieron $ 666.67?
2.
¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron $ 1,439.79, si se descontó comercialmente a un tipo de 17% anual, 85 días antes de su vencimiento.
3.
Un pagaré con valor nominal de $4,000.00 se descontó al 12%. Si el descuento fue $160.00, ¿cuál fue el plazo en días del préstamo?
4.
El producto de un pagaré a 5 meses fue $3,330.00. Si la tasa de descuento era del 18% anual, ¿cuál era el valor nominal del pagaré?
5.
Si en Cetes a 28 días la tasa de rendimiento anual simple es de 18%, ¿cuál es la tasa de descuento anual simple?
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INTERES COMPUESTO Y TASAS EQUIVALENTES Conceptos Básicos El interés compuesto indica que el interés se acumula al capital, es decir se capitaliza. Los intereses que se van ganando, se ad icionan al ca pital de ese periodo; lo que implica el crecimiento del dinero (geométricamente) a través del tiempo. Se dice que dos tasas son equivalentes si producen el mismo interés considerando el mismo capital y cualquier periodo idéntico para ambas tasas. TASA PERIÓDICA : Es la tasa de interés directamente referida en un periodo “x” que reflejan los intereses correspondientes. Ejemplo.- a un capital de 10,000, y generan 900 de interés en un mes, si la tasa mensual es de 9%. TASA EFECTIVA: Es la tasa que refleja los intereses verdaderamente gana dos en un año, por lo general la tasas siempre será referida a periodos anuales. TASA NOMINAL: Es la tasa esperada en forma anualizada, pero no corresponden al interés que verdaderamente se ganaría al año. Ejemplo.- la tasa nominal capitalizable mensualmente, es la tasa multiplicada por 12 (notándose que no es la tasa anual). PERIODO DE CAPITALIZACIÓN: El interés puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral y mensual, etc. Dicho periodo es denominado “periodo de capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión. A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés obtenido; es decir, un instrumento capitalizable por mes, será mayor que uno anual. CONSIDERAC IONES SOBRE LAS TASA DE INTERES: A) La conversión directa de una tasa nominal a una periódica se podrán realizar con la fórmula convencional de inom = p(i per ) , si el periodo contemplado es el mismo. B) Para realizar conversiones de una tasa nominal a una periódica o viceversa, tomando en consideración un lapso distinto, tendremos que recurrir a la fórmula de la tasa efectiva.
Fórmulas Básicas Para encontrar la ecuación ó ecuaciones básicas (s) de este capítulo, se tendrá que hacer una manipulación algebraica a las ecuaciones básicas de interés simple, ya que
15
en esta ocasión el interés genera distintos capitales (es decir, capitalización) y a su vez montos (valores futuros); y para lo anterior, tenemos: M = C + I I per = Ci per M 1 = C 1 (1 + i per ) Nota 27: Despejando la ecuación de arriba, encontraríamos el capital del periodo posterior; sin embargo tendríamos que encontrar M2 , por lo tanto diremos que:
C 2 = M 1 M 2 = C 2 (1 + i per ) = M 1 (1 + i per ) M 2 = [C 1 (1 + i per )](1 + i per ) M 2 = C 1 (1 + i per )
2
M 3 = C 1 (1 + i per )
3
M m = C 1 (1 + i per )
Ecuaciones de otros autores con diferentes nomenclaturas…
m
F
P (1
M
C (1
i)n i
p
) np
m = tp M m = C 1 (1 + i per )
tp
Si sabemos que el monto en un periodo es M m y M es un monto cualquiera, y de igual forma C es un capital cualquiera, donde
C m es
en algún periodo; análogamente
podemos deducir que:
M M m y M
C C m
C (1 i per )m
y dad o que fuese el periodo igual a 1 año (pa ra la tasa efec tiva) tendremos:
M = C (1 + ief ) t Además, si sabemos que la tasa nominal es igual al periodo por su tasa periódica tenemos:
inom = p (i per )
⎛ inom ⎞ tp ⎟⎟] p ⎝ ⎠
M = C [1 + ⎜⎜
16
EJERCICIOS 1.- Si se tiene una “inversión” al iniciar el año de 200,000 encontrar cuanto se tienen invertido a fin de año a una tasa trimestral de 50%. Nota 28: como se ha mencionado anteriormente, se deben razonar lo problemas tomando en cuenta los datos disponibles y las ecuaciones posibles a utilizar.
M C (1 i per )
Datos: C= 200,000 i per =0.30 trimestral m=tp =(1año)(4per)=4 M=?
tp
.30) 4 M 200,000( 2.8561) M 571,220
M
200,000(1
Tabla 6.1 Periodo (Trimestres) 1 2 3 4
Saldo inici al 200,000 260,000 338,000 439,400
Interés 60,000 78,000 101,400 131,820
Saldo Final 260,000 338,000 439,400 571,220
¿Cómo se realizó la tabla anterior? Veamos ahora… Tabla 6.1.1 Periodo (Trimestres)
Saldo inici al
1
Capital inicial Saldo final del periodo anterior Saldo final del periodo anterior Saldo final del periodo anterior
2 3 4
Interés Capital inicial x i per Capital de este periodo x i per Capital de este periodo x i per Capital de este periodo x i per
Saldo Final Saldo inicial de este periodo + Interés Saldo inicial de este periodo + Interés Saldo inicial de este periodo + Interés Saldo inicial de este periodo + Interés
2.- Encontrar el monto de una inversión por 50,000 si tengo una tasa de mercado de 24% capitalizable bimestralmente y han transcurrido 127días. Nota 29: debe tomarse en cuenta que la tasa de mercado es de un periodo diferente al tiempo, además nos están arrojando una tasa “nominal”, por lo cual tendremos que hacer conversiones. Datos: C=50,000 isa = .24 bimestral m=tp t=127 p=6
i per = m
tp
m
127 / 360 ( 6)
m
2.116666667
inom p
.24 6 i per = .04 i per =
M = C (1 + i per ) m M = 50,000(1 + .04) 2.116666667 M = 54,328.02
17
3.- Se otorga un préstamo por 10,000 a pagar en abonos iguales a 30,60 y 90 días a una tasa nominal capitalizable mensualmente de 30%. Calcular a dichos pagos. Nota 30: Este ejemplo es diferente a los demás (pero se recomiendo revisarlo, pues es la entrada a la siguiente unidad ) ya que nos están pidiendo pagos (R) que se hacen o se harán al contraer una deuda. De lo anterior se tomará en cuanta la ecuación básica de Monto para poder encon trar los pagos.
Despejando para capital
Cuando existen varios periodos o pa gos (R) se tiene entonces que:
Dado que
tenemos:
Nota 31: una vez que se tiene la ecuación para pasar dichos pagos ha valor presente, se localizan los datos y se sustituyen en la ecuación.
Datos: C = 10,000 inom = .30 mensual i per = inom /p i per =.025 mensual t1=30 dias t2=60 dias t3=90 dias
Factorizando los pa gos tendríamos:
Nota 32: para el método, de progresión (siempre y cuando los periodos a capitalizar sean de la misma temporalidad) en este caso los pagos a 1, 2, y 3 “meses”. La ecuación y resolución es la siguiente:
18
Ahora podemos ver el efecto de las tasas equivalentes con los siguientes ejercicios: 4)Determinar la tasa efectiva
Fórmula
Datos inom= 50% c/mes ief = ?
ief = (1 + i per ) − 1 p
(1 + 0.5 12)12 − 1 = 0.6320941 = 63.2094133% 5)Determinar la tasa mensual Datos inom=50% c/mes i per =? mes
Fórmula i per = 0.5 12 = 0.0416 = 4.1666667% mes ual
6)Determinar la tasa semestral
Fórmula
Datos inom= 50%c/mes i per =? semestral
7) Determinar la tasa sexenal
Fórmula Datos Inom=50% c/mes I per =? sexenal
8) Determinar la tasa nominal capitalizable cada 2 años Datos inom=50% c/mes inom=? c/por 2 años
Fórmula i ef = 63.2094133% 1 (1 2 )
i per = (0 . 632094133 + 1)
−1
= (1.6637312)(1 2) = 0.8318656
= 83 . 18656 % c/ por cada 2 años
19
9) Determinar la tasa nominal capitalizable bimestralmente.
Fórmula
Datos inom=50% c/mes inom=? c/bimestre
i per = (0 . 632094133 + 1)
16
i nom = i per
per
− 1 = 0.0850694 = i per (6 )
= 0.5104166 = 51.041664c / bimestre 10)Determinar la tasa nominal capitalizable cada 28 días
Fórmula
Datos inom=50% c/mes inom=? c/28 días
i eef = (1 + i nom p ) − 1 p
i nom = (i ef + 1)
1 p
− 1 ( p )
= (ief + 1)1 − 1 ( p ) p
Nota 33: no confundir “t” con “p”; t puede valer 28/360, pero “p” no puede tener ese valor.
= (0.632094133 + 1)1 (28 360 ) − 1 (28 360) = 42.203772 x 100 = 4220.3772% 1 (360 28 )
∴ i nom = (0.632094133 + 1)
− 1 (360 28)
= 0.499315628 = 49.9315628% 8)Determinar la tasa nominal capitalizable diariamente. Datos inom=50% c/mes inom=? c/diariamente
Fórmula
9) Determinar la tasa nominal capitalizable cada hora
Fórmula Datos inom=50 c/mes inom=? c/ diariamente
10) Determinar la tasa nominal capitalizable en forma continua
Fórmula Datos inom=50% c/mes inom=? ief =0.632094133
i ef = e
−1
ln ief + 1
= ln (ief + 1) ln e ln e = 1 = ln (0.632094133 + 1) = 48.986393%
inom − cont = inom −cont
inom − cont
20
TASA PROMEDIO Y TASA PROMEDIADA ARITMÉTICAMENTE Definiciones 1) Tasa promedio: es la tasa que produce los mismos intereses que varias tasas aplicadas. Es distinta a la tasa promediada aritméticamente (es decir, una tasa de 20% y una ta sa de 60% da rán como tasa promedio una tasa de 38.5640646% y no de 40%). 2) Tasa promediada aritméticamente: es la tasa resultante de promediar tasas en la misma forma en que promediamos otros objetos comunes (es decir, una tasa de 20% y una tasa de 60% darán como promedio aritmético una tasa de 40%)
Problemas a) Tasa Promedio
(1 + i
prom − ef
)+
t t = (1 + ii − ef ) (1 + i 2ef ) ...
t 1 t 2 + t 3
1
2
11) De una tasa del 20% para el primer año, y de 60% para el segundo año
(1 + i
) + = (1 + 0.2) (1 + 0.6 ) 1 1
prom − ef
1
i prom−ef = 1.385640646 − 1 = 38.5640646%
Comprobación ⇒ Al final del 1er año ; M 1 = C 1 (1 + i ef ) = 1(1 + 0.2 ) = 1.20 1
t
⇒ Al final del 2 do año ; M 2 = (1 + i ef ) = 1.20(1 + 0.6 ) = 1.92 1
t
6 ⇒ al final del 1 er año; M 1 = C 1 (1 + i ef ) = 1(1 + 0 .385640646 ) = 1 .38560646
⇒ al final del 2 do año M 2 = C 2 (1 + i ef ) = 1 .385640646 (1 + 0 .385640646 ) = 1 .9199 t
•
•
En lugar de años en los exponentes de la fórmula se puede usar otros periodos; por ejemplo, meses o días. Pero todos los exponentes deben estar en el mismo tipo de periodo. La fórmula que vimos no es aplicable con tasas nominales, sólo debe utilizarse con tasas efectivas o periódicas.
Analogía: i simple − anual = i simple − periodo ( p )
i simple− pariodo =
i simple−anual p
i nom = i per ( p ) i per =
(inom ) p
21
12) Determinar la tasa promedio efectiva de la tasas efectivas de 100% y 200%
Fórmula
Datos Ief-a=100% Ief — b=200% ta=1 año t b=1 año ta=t b
(1 + i − ) = (1 + i ) (1 + i ) (1 + i − ) = (1 + 1) (1 + 2) 2 ta
ta
prom ef
ef
2
tb
ef
1
1
prom ef
i prom− ef = 61 2 − 1 = 1.4494897 = 144.9489%
13) Determinar la tas promedio nominal capitalizable mensualmente si para un periodo “B” igual al periodo “A” de la tasa del 50% capitalizable mensualmente, hay otra tasa nominal capitalizable mensualmente del 40%.
Fórmula p
⎛ i ⎞ i ef −b = ⎜⎜1 + nom− b ⎟⎟ − 1 p ⎠ ⎝ 12
⎛ 0.40 ⎞ = ⎜1 + ⎟ −1 ⎝ 12 ⎠ = 0.4821264 14) Determinar la tasa efectiva promedio si para un periodo “B” igual al periodo “A” de la tasa del 50% capitalizable mensualmente, hay otra tasa nominal capitalizable diariamente del 40% Datos i prom-ef =? t b=ta= 1año inom-a=50% c mes inom-b=40% ief-a=0.632094133
Fórmula 360
⎛ 0.4 ⎞ i ef −b = ⎜1 + ⎟ − 1 = 0.4914934 360 ⎝ ⎠ 2 ∴ (1 + i prom−ef ) = (1 + 0.632094133)1 (1 + 0.4914934 ) i prom−ef = 0.560210797 = 56.0210797%
b) Tasa promediada aritméticamente Para tasas promediadas en forma aritmética donde cada una sea aplicable para diferentes periodos, requieren ponderarse y para ello, estableceremos la siguiente fórmula:
i ponderada− ef =
t 1i1 + t 2 i1 + t 3 i3 + .. t 1 + t 2 + t 3 ...
22
15) Determinar la tasa efectiva promedio ponderada aritméticamente si la tasa del 50% nominal capitalizable mensualmente dura 3 meses y una tasa del 15% semestral efectiva dura 2 meses.
Fórmula Datos I ponderada-ef =? Inom-a=50% c/mes t=3 meses Ief-b=15% sem t b=2 meses Ief-a=0.632094133 ief-b=?
i ef −b = (1 + i per ) − 1 = (1 + 0.15) − 1 = 0.3225 p
i ponderada− ef =
2
i1t 1 + i 2 t 2 t 1 + t 2
(0.632094133)(3 12 ) + (0.3225)(2 12 ) 3 12 + 2 12
= 50.825648%
Tarea 3. Interés compu esto y Tasas equiv alentes 1.
¿Cuál es el importe de interés mensual, si al final de 3 años obtengo $2,963.25. La tasa que se estimó fue del 8.5% efectiva.
2.
Si de un capital de $1,700.00 logro reunir $6,623.55 en una inversión, determinar el número de trimestres que estuvo invertido el dinero a una tasa de 34% capitalizable trimestralmente.
3.
¿Cuánto dinero debe depositarse en un banco si se desea acumular un monto de $ 250,000.00 en un plazo de dos años, y la tasa de interés es de 13% capitalizable mensualmente?
4.
Los precios de la canasta básica de alimentación se han incrementado a una tasa anual de 25% durante tres años. Si el precio actual es de $ 765.00, ¿cuál era su valor hace tres años?
5.
Los salarios mínimos se han incrementado a una tasa de 13% anual promedio durante los últimos cuatro años. Si continuara dicha tendencia, ¿en qué tiempo se triplicaría su valor nominal?
6.
Alejandra obtuvo un préstamo de $ 4,300.00 y acuerda liquidarlo en tres pagos a 1, 2 y 3 meses, con un interés del 2% mensual.¿Cuál es el importe de los pagos?
7.
Determinar la tasa mensual promedio entre una tasa mensual de 40% y otra tasa mensual de 30%.
8.
Determinar la tasa efectiva promedio si para un periodo “B” igual al periodo “A” donde la tasa “A” es igual al 87% nominal capitalizable mensualmente, y hay otra tasa nominal capitalizable diariamente del 87%.
9.
Determinar la tasa efectiva promedio ponderada aritméticamente si la tasa “A” dura 7 meses y es del 5.6% efectiva; y una tasa “B” dura dos años y es del 18% trimestral.
10. Determinar la tasa nominal capitalizable trimestralmente que resulte equivalente a una tasa de 25% capitalizable semestralmente.
23
UNIDAD II
ANUALIDADES ORDINARIAS Y ANTICIPADAS Conceptos Básicos6 Existen varias definiciones de anualidad y todo dependerá del periodo donde se asigne la p rimera, sin embargo no d ebe preocuparse po r cad a una, ya que el común denominador de esta se presenta a través de esta unida d…
ANUALIDAES ORDINARIAS: SERIE DE FLUJOS PERIODICOS DE DINERO (PAGOS, AHORROS, ABONOS O RETIROS) GENERALMENTE IGUALES EN SU VALOR Y SE REALIZAN EN INTERVALOS DE TIEMPO IGUALES. EL PRIMER PAGO (AHORRO, ABONO O RETIRO) OCURRE UNA FECHA UBICADA EN UN PERIÓDO DESPUÉS DEL CAPITAL; EL ULTIMO PAGO (AHORRO, ABONO O RETIRO) COINCIDE CON EL MONTO.
C
0
1
2 R
3 R
...................... R ......................
m-1
m R
R
M
ANUALIDADES ANTICIPADAS: SON UNA SERIE DE FLUJOS DE DINERO PERIODICOS (AL IGUAL QUE LAS ORDINARIAS), PERO DONDE EL PRIMER PAGO ES SIMULTÁNEO AL CAPITAL; EL ÚLTIMO PAGO QUE SE REALICE OCURRIRÁ UNA FECHA ANTESQUE EL MONTO. Nota 34: Dada las definiciones anterior, podemos decir que los pagos en este caso se recorren a la izquierda comenzando en C y terminando en m-1.
“Un método alterno de las ecuaciones “clásicas” que vienen en todos los libros de texto de matemática s financieras, son las Progresiones Geométricas. En este sentido, este material aborda una leve introducción a las progresiones geométricas como vínculo de resolución para los diferentes tipos de anualidades. Dicha técnica es de gran ayuda y utilida d para los estudiantes. A continuación se detallan algunos conc eptos de autores de otros libros afines a la materia y se pone en práctica dicho método.”
6
Para mayor información acerca de las diferentes anualidades y sus clasificaciones, consulte la bibliografía propuesta en su carta descriptiva.
24
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una progresión geométrica es una línea de números en donde cada número equivale al número anterior multiplicado por una constante denominado razón. [Ga rcía González] Una progresión e s geométrica si cada término es igual al anterior por una constante r llamad a razón común, es decir:
am = am−1 (r ) y note que pa ra hallar la razón se divide un término entre el que le prec ede, esto es:
r =
am a m−1
[J osé Luís Villalobos]. Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números consecutivos cualesquiera, de la misma, guardan un cociente o razón común. Esto quiere decir, que cualquier término posterior puede ser obtenido del anterior multiplicado por un número constante llamado cociente o razón. [Díaz Mata, Aguilera G.]
Se recomienda que el alumno revise el capítulo 2 de su libro de texto para ver este apartado.
EJERCICIOS 1.- Calcular l a Suma de los n úmeros múl tiplo s de 2 que van de 32 hasta 4,096 inclusiv e. Nota 35: Consiste en escribir los números (incluyendo puntos suspensivos) en dos ecuaciones una original (ecuación A) y la otra obtenida multiplicando la primera ecuación por la razón (ecuación B). Estas dos ecuaciones se restan y forman una tercera ecuación (ecuación C), la cual nos conduce al resultado; es decir,
2 S − S = S .
Ec.A. S = 32 + 64 + 128 + .......... ... + 1, 024 + 2,048 + 4,096 Ec. B. 2 S = 64 + 128 + 256 + .......... . + 2,048 + 4, 096 + 8,192
Para facilitar la solución, reacomodem os ambas ecuaciones : Ec. B.2 S =
64 + 128 + 256+ .... + 1,024 + 2,048 + 4,096 + 8,192
Ec.A. - S = −32 − 64 − 128 − 256 − .... − 1,024 − 2,048 − 4, 096 Ec. C. S = −32 + 0 + 0 + 0+ ....... + 0 + 0 + 0 + 8,192 Por lo tanto se obtiene:
S = 8,192 − 32 = 8,160
25
2.- Calcular el último término de una progresión geométrica que inicia con 73 y avanza con una razón de 5 si sabemos que son 9 términos.
1er .
termino 73(5 0 )
Nota 36:
1
2 do .
termino 73(5 )
3er .
termino 73(5 2 )
4 to .
termino 73(5 3 )
Representaremos con u a el último término, observando como avanza la secuencia
M
9 vo .
termino 73(5 9 −1 ) = u
Por lo tanto el último término es:
u = 73(59−1 ) = 73(58 ) = 28,515,625 3.- Deducir la fórmula para el último término de un progresión geométrica, definiendo como a el primer término, como r la razón, y como m la cantidad de términos. Nota 37: la secuencia es:
1er .
termino
ar
0 1
2 do.
termino
ar
3er .
termino
ar
2
4 to.
termino
ar
3
M
termino m
ar m−1
Por lo tanto, el último término en una serie geométrica es:
u = ar m−1 Se rescribe ahora la lista:
m− 3 m− 2 m−1 2 3 a, ar , ar , ar ,........, ar , ar , ar
•
Representación general de una progresión geométrica.
26
4.- Calcular la suma de una progresión geométrica que inicia con 73 y avanza con una razón de 5 si sabemos que son 9 términos. Nota 38: es una continuación del ejercicio 2, donde el último término tiene el valor de 28, 515,625.
2
7
8
Ec.A. S = 73 + 73(5) + 73(5 ) + ............. + 73(5 ) + 73(5 ) Ec. B. 5S =
2
3
8
9
73(5) + 73(5 ) + 73(5 ) + .............. + 73(5 ) + 73(5 )
Restando: 9
Ec. C.4S = −73 + 73(5 ) S = 35,644,513. 5.- Deducir la fórmula para la suma de una progresión geométrica, definiendo como a el primer término, como r la razón y como m la cantidad de los términos. Nota 39 : la representación es la siguiente:
2
3
a , ar , ar , ar ,........, ar
m− 3
, ar m−2 , ar m −1
Empleando el mismo algoritmo del ejercicio 1, pero ahora con variables:
Ec. A Ec. B
S = a + ar + ar 2 + ar 3 +...+ ar m− 3 + ar m− 2 + ar m−1 rS = ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 +...+ ar
m− 2
+ ar m−1 + ar m
Ec. C rS − S = − a + ar
m
S(r-1 ) = a ( r m − 1) Finalmente:
S = Cuando
a(r m − 1) r − 1
r es menor que 1 se acostumbra utilizar la siguiente fórmula equivalente:
S =
a (1 − r m )
1 − r
27
CRITERIOS DELCAPITULO Como tenemos dos tipos de anualidades, que se diferencian dado el primer pago, por lo tanto necesitamos encontrar las ecuaciones básicas para cada anualidad. Nota 40: encontrar la fórmula de anualidad ordinaria cuyo periodo de pago coincida con el periodo de capitalización de la tasa de interés.
M + R + R(1 + i per ) + R (1 + i per ) 2 + ....... + R(1 + i per ) m−1 = C (1 + i per ) m Dado que una progresión geométrica cuenta con ciertos componentes (como es a = el primer término, r = la razón y S = periodo s de capitalización), por lo tanto: a = 1 y r = 1 + i per Donde S =
M +
a ( r m − 1 ) r − 1
=
(1 + i per ) m − 1
R [(1 + i per ) m − 1] i per
1 + i per − 1
=
(1 + i per ) m − 1 i per
= C (1 + i per ) m
Ahora debemos encontrar una ecuación que contenga el periodo de pago a que coincida con el periodo de capitalización de la tasa de interés. Para ello se debe de tomar en cuenta que la ecuación será parecida, sin embargo aquí; el periodo “cero” empieza a generar intereses capitalizables, por lo tanto: M + R (1 + i per ) + R (1 + i per ) 2 + ....... + R (1 + i per ) m = C (1 + i per ) m De igual forma, la progresión geométrica cuenta c on ciertos componentes (como es a = el primer término, r = la razón y S = periodos de c apitalizac ión), pero a hora se toma el primer término c apitalizable por lo que: a = 1 + i per y
M +
r = 1 + i per
m R(1 + i per )[(1 + i per ) − 1]
i per
y
= C (1 + i per ) m
NOTA ESPECIAL: Agrupando ambas ecuaciones podemos encontrar la fórmula que considere tanto anualidades ordinarias como anticipadas, con el periodo de capitalización de la tasa de interés; donde incluiremos un componente adicional “k” que será el que diferencie de que tipo de anualidad se esté resolviendo.
28
Diremos entonces que para una anualidad ordinaria “k”=0, y para una anualidad a nticipada “k”=1, por lo tanto podemos deducir que la ecuación básica de anualidades será:
M +
R (1 + ki per )[( 1 + i per ) m − 1] i per
= C (1 + i per ) m
Para facilitar un poc o más el proc eso y conoc imiento de este tema, se incluyen otras ecuaciones para anualidades ordinarias y anticipadas de algunos autores7 propuestos en la c arta descriptiva, por ejemplo: Anualida des Ordinarias
M
C
R
R
(1
i per )
m
Anualida des Anticipada s
1 M
i per
1
(1
i per ) i per
R (1
i per )
m
C
R (1
i per )
(1
i per ) m
1
i per
1
(1
i per )
m
i per
¿Para que conocer las ecuaciones anteriores? ¡Ah! para que el alumno sepa que existen otras formas que pueden utilizar, abriéndose el abanico de posibilidades en el proceso de aprendizaje. De lo anterior, es rec omenda ble para el “alumno”, que tome e l método o técnica más conveniente, es decir; donde él se sienta cómodo para la resolución de problemas.
Ahora bien, siguiendo los criterios de la progresión geométrica, se puede hacer el cálculo desde el Monto a Capital, lo que le llamaremos Progresión del Modelo de Fecha Focal Inicial (MFFI), donde a = r, C = SR ; o bien, comenzando del Capital al Monto, a lo que llamaremos Progresión del Modelo de Fecha Final (MFFF), donde a = 1. Lo anterior es exclusivo para las anualidades ordinarias, sin embargo; para las anualidades anticipadas lo único que cambia sería el valor de los componentes, invirtiéndose de la siguiente manera: MFFI a = 1 y para el MFFFa =r. Dependiendo el método que se utilice, tendremos que evaluar a “r”, por lo m m a(1 − r ) a(r − 1) tanto, si r < 1 utilizaremos S = y si r >1 utilizaremos S = ; así mismo, el 1 − r r − 1 exponente “m” de la razón “r” en la progresión equivale al número total de periodos de capitalización, es decir 1. 7
Se ha hecho leves modificaciones a estas ecuaciones para darle la nomenclatura del libro de texto, pero no por ello se sugieren más complicadas.
29
Al igual que la unidad anterior, es necesario que se “apropien” intelectualmente de las herramientas y conocimientos básicos del tema, y se empiece con la resolución de ejercicios por medio de otra “batería” que a continuación se muestra. C ab e señalar, que no se resuelven con todos los métodos, sin embargo; sería interesante que el alumno tratase de resolverlos por cada uno de ellos (ecuaciones o métodos) y que verifique la significancia de los diferentes proc edimientos.
EJERCICIOS 1.- Si obtengo un préstamo por 520,000 a pagar en 180 mensualidades a una tasa de interés nominal de 24% capitalizable mensualmente, ¿de cuanto será cada pago? a) Si se toma como anualidad ordinaria: Nota 41: Se debe recordar cuales son los criterios para una anualidad ordinaria en los diferentes métodos a desarrollar.
Datos: C= 520,000 m=180 meses i-nom= .24 k=0 R=?
M +
R(1 + ki per )[(1 + i per ) m − 1] i per
= C (1 + i per ) m
Nota 42: Recuerde que la tasa dada no corresponde a la ecuación original, por lo cual tendremos que hacer la conversión a tasa periódica.
Siguiendo con la Ecuac ión Básica y sustituyendo los da tos tenemos: 0+
R(1 + 0(0.24 / 12))[(1 + .24 / 12)180 − 1]
.24 / 12 Despejando y resolviend o para R
= 520,000(1 + .(24 / 12))180
R(1716.041568) = 18,366,832.31 R = 10,703.02
Ahora resuelve este ejercicio por la ecuación alternativa de otros autores…
Continuando y resolviendo por el método de FFI donde a = r y C = SR, tenemos: Nota 43: Debemos recordar la ecuación básica para Monto de interés compuesto, y despejar para C; ya que se considerarán los pagos para encontrar “r”.
Dado que
, despejando para C:
y dado que a = r, donde r sería un periodo a capitalizar; entonces:
30
Nota 44: la razón “r” tiene como exponente 1 en el denominador, ya que es la constante al inicio de la progresión.
Nota 45: y dado que r es menor que 1, los periodos de capitalización nos queda:
Una vez más, resolviendo por el método de FFF donde a = 1 y M = SR, tenemos: a = 1 y r = (1 + i per ) m y dado que " a " multiplica a " r " en la progresion geometrica r = 1(1 + i per ) m r = 1(1 + (. 24 / 12 )) (1 / 12 )(12 ) r = 1 . 02
Y como r >1; entonces: S =
a ( r m − 1)
=
1(1 . 02 180 − 1)
1 . 02 − 1 r − 1 S = 1716 . 0415568 y dado que M = SR M = C (1 + i per ) m
520 , 000 (1 + (. 24 / 12 )) 180 = 1716 . 0415568 R R = 10 , 703 . 02 NOTA ESPECIAL: Entonces si se tomara como anualidad anticipada, se resolvería por los mismos métodos, pero; se cambiaría el valor de “k” y las igualdades de “a” y “r”; quedando: k=1, a=1 para el MFFI, y a = r para MFFF.
Con el propósito de darle una diversidad de presentaciones (como se pudo apreciar) en la resolución por varios métodos el ejercicio
31
anterior, es interesante ver que también es posible visualizarla en una “tabla de pagos” o amortización. Tabla 2.1
Periodo
Interés
Pago
Capital
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 * * * 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
0 10,400 10,394 10,388 10,381 10,375 10,368 10,362 10,355 10,348 10,341 10,334 * * * 2,429 2,264 2,095 1,923 1,747 1,568 1,385 1,199 1,009 815 617 416 210
0 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 * * * 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703 10,703
520,000 519,697 519,388 519,073 518,751 518,423 518,088 517,747 517,399 517,044 516,682 516,313 * * * 113,188 104,749 96,141 87,361 78,405 69,270 59,952 50,448 40,754 30,866 20,781 10,493 0.00
La tabla anterior se resuelve de la siguiente manera… Tabla 2.1.1
Periodo
Interés
0
Pago
Capital
Anualidad ordinaria
520,000 Capital inicial + (pagointerés)
1
Capital inicial x i per
Cálculo del pago igual
2
Capital del periodo anterior x iper Capital del periodo anterior x iper
Cálculo del pago igual
* *
* *
* *
Capital del periodo anterior x iper Capital del periodo anterior x iper Capital del periodo anterior x iper
Cálculo del pago igual
Capital inicial + (pago interés Capital inicial + (pago interés Capital inicial + (pago – interés =0
3 * * 178 179 180
Cálculo del pago igual
Cálculo del pago igual Cálculo del pago igual
Capital inicial + (pago interés) Capital inicial + (pago interés)
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11. Calcular el número de meses que requeriré para pagar un préstamo de $80,000 a una tasa nominal capitalizable mensualmente de 68% si cada uno de los pagos es de $4,800 y se ajusta el primer pago para que sea ligeramente menor. Indicar el importe de este primer pago. Por progresión geométrica Datos: C= $80,000 m=? i-nom = .68 k=0 R= $4,800
80,000 =
80,000 =
4,800
⎛ .68 ⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ 12 ⎠
1
+
4,800
⎛ .68 ⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ 12 ⎠
4,800 1
(1.056666667) a = r =
(1.056666667 )
(1.0566666667)
1 − r
=
⎛ .68 ⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ 12 ⎠
2
1
a(1 − r )
4,800
4,800
+
m
S =
2
+ ..... +
m
+ ..... +
4,800
(1.0566666667 )m
= .94637224
.94637224(1 − .094637224 m ) 1 − .94637224
C=SR 0.94637224(1 − 0.94637224 m ) 80,000 = (4,800) 1 − 0.94637224
0 .944444444 = 1 − .94637224 .94637224 m=
m
m
= 0.055555556
ln 0 .055555556 ln 0 .94637224
= 52 .438470982 = 53
¿Podrías realizar este mismo ejercicio, pero ahora con otra ecuación? ¡Inténtalo!
33
ANUALIDADES DIFERIDAS Y PERPETUIDADES Conceptos Básicos ANUALIDAD DIFERIDA: Es similar a las anualidades ordinarias o anticipadas, sin embargo, el primer pago (abono, ahorro, etc.) está desfasado por lo menos uno o más periodos del “primero”, es decir m1 ; hacia el monto, llamados periodos de gracia.
C
1
0
2 R
3 R
m-1 R
m R
R
M
PERPETUIDAD: Es aquella anualidad con un número infinito de pagos (abonos, ahorros, etc.), pero esto pareciera imposible; y se maneja como una abstracción matemática. Un ejemplo clásico es cuando se pagan jubilaciones o pensiones.
C
0
1
2 R
3 R
m= R
R
CRITERIOS DELCAPITULO La fórmula para resolver anualidades diferidas es: R
=
Ci per (1 + i per ) j
−1
[1 − (1 + i per ) − m ]
donde
“j” son los pagos diferidos. En este c apitulo se pueden utilizar varios métodos alternativos: I. Si contamos con CAPITAL en nuestros datos, y se utiliza el MFFI (donde C=SR, a=r; etc.), ahora en el cálculo de “a”, el valor del exponente se referirá a los periodos de
34
gracia, y en el cálculo de “r” el valor del exponente se referirá al primer término de capitalización, es decir 1. II. Si contamos con CAPITAL en nuestros datos, y se utiliza el MFFF (donde M=SR, a=1; etc.), primero se tendrá que encontrar el valor del MONTO, recordando que los periodos de capitalización cubren los pagos “R” y los periodos “j”. De esta manera, en el cálculo de “r” el valor del exponente se referirá al primer periodo de capitalización. III. Si contamos con MONTO en nuestros datos y utilizamos el MFFF (donde M=SR, a r; etc. El cálculo de “a” y “r” se hará siguiendo los pasos del párrafo I). Nota 46: para el número de periodos de capitalización debemos de tomar en cuenta si la anualidad es Anticipada u Ordinaria. Además el cálculo de “S” se hará siguiendo los criterios del capitulo anterior, sin tomar en consideración los meses de gracia.
IV. La Perpetuidad Sólo podrá realizarse o resolverse por el MFFI en progresiones. ¿Por
Ci per (1
qué? Pero si utilizas la ecuación, sería: R
i per ) j
1
Comencemos de nueva cuenta con los ejercicios…
EJERCICIOS 1.-Se otorga un crédito por $178,000 a pagar en 150 mensualidades iguales y a una tasa de interés del 30% nominal capitalizable mensualmente. Sin embargo, se otorgan meses de gracia. El primer pago se pacta para realizarse hasta el inicio del octavo mes. Calcular el importe de cada mensualidad. Datos: C = 178,000 m = 150 inom = 30% = iper = .025 j = 8 ; R = ? “Anualidad Anticipada”
Fórmula:
R =
Ci per (1 + i per )
[1 − (1 + i per )
a) Método de Progresión FFI, C =SR con a r Donde m = al primer término de la progresión
a= r =
1 (1 + i per )
m
=
1 (1.025)1
j −1
−m
]
=
(178,000(.025))(1 + .025)8−1 [1 − (1 + .025)
−150
]
= 5,423.21
Donde j = son los periodos de gracia
1 (1 + i per ) j
=
1 (1.025) 8
= 0.82074657
= 0.975609756
35
a(1 − r ) m
si r <1
S =
1 − r
=
0.82074657(1 − 0.975609756150 ) 1 − 0.975609756
= 32.821876
Si C =SR, por lo tanto: 178,000=32.821876R R=5,423.21 b) Método de FFF. M =SR, a = 1
........................................................................ 0
1
2
6
7
157
150
8
8 pagos
2.- Repetir el ejercicio anterior, pero para el caso de que en lugar de 150, sean un número infinito de pagos mensuales (o sea pagos a perpetuidad). Datos m= ∞
MFFI, C =SR; con a ≠ r
3. Tengo una flecha hacia arriba ubicada en el mes cero, por $50,000 y una tasa de mercado de 24% capitalizable bimestralmente. Compensar esta flecha con 12 flechas mensuales hacia abajo y donde la última flecha está en el mes –8. -19
-18
-9
-8
0
........................................
0
1
10
11
19
50,000
........................................ Datos: M = 50,000 Inom= 24% c/bim m = 128 j = 8 R=? mes
Si M =SR nec esitamos “S” por el MFFF, a ≠ r
36
4.- Un préstamo por $112,000 fue otorgado con meses de gracia. Se paga mediante 30 mensualidades de aproximadamente $8,500. La tasa de interés es de 53% nominal capitalizable mensualmente. Determinar cuantos meses transcurren antes del primer pago y calcular el importe de cada pago ajustado a cuna cantidad ligeramente menor a $8,500. − Ci per (1 + i per ) j 1 Datos: R = C = 112,000 [1 − (1 + i per ) − m ] m = 30 meses R =8,500 aprox. mens. inom = 53% c/mes j =? ; R=?
⎧⎪ R[1 − (1 + i per ) − m ] ⎫⎪ ⎧8,500[1 − (1 + 0.0416) −30 ] ⎫ ln⎨ ln⎨ ⎬ ⎬ Ci per ⎪⎩ ⎪⎭ 112,000(0.0416) ⎩ ⎭ + 1 = 6.1338519..... = 6 j = +1 = ln(1 + i per ) ln(1 + 0.0416)
R =
Ci per (1 + i per )
j −1
[1 − (1 + i per ) − m ]
=
[112 ,000 ( 0 .0416 )][(1 .0416 ) 6 −1 ] [1 − (1 .0416 ) −30 ]
= 8, 450 .97
Análisis: A diferencia del capitulo anterior (caso del problema 8E15) en donde una “m” mayor el valor de “R” disminuye (relación inversa), aquí una “ j ” menor, el valor de “R” también disminuye (relación directa). Lo anterior es aplicable cuando se quieren cambiar todas y cada una de las rentas, pero el análisis sigue siendo el mismo para pagos o “R” individuales.
Tarea 4. Anualidades Ordin arias y Anticipadas 1.
Si Pedro Rodríguez obtiene un préstamo por la cantidad de $ 654,000 a pagar en 193 mensualidades con una tasa de interés nominal capitalizable mensualmente de 19%, ¿de cuanto será cada pago que realice?
2.
Si Ud. quiere ahorrar $226,000 en 180 meses para comprar una casa en el fraccionamiento Horizontes del Sur, tomando en cuenta una tasa de interés capitalizable mensualmente del 5%, además el último ahorro se efectúa el día de la compra. ¿De cuanto será cada ahorro?
3.
Susana Hernández tiene inicialmente $ 70,000 en el banco y hoy, 36 meses después tiene $ 147,500 y este dinero lo reunió con 24 ahorros mensuales iguales posteriores, la tasa es del 14% semestral capitalizable. El último ahorro lo acumuló en el mes 24. Calcular cuanto ahorró cada mes.
4.
El sueldo de un ejecutivo que trabaja en una empresa Maquiladora le permite pagar un crédito (para la compra de un automóvil del año), cuyo importe máximo es de $ 13,300 mensuales y la tasa de interés capitalizable
37
mensualmente se encuentra al 22.5%, además dicho crédito debe de pagarse en 60 mensualidades congeladas. ¿Cuál es la cantidad de dinero que puede pedir prestado? 5.
Una casa tiene un precio de contado de $ 584,936.75 y su estructura de pago es con mensualidades iguales de $ 18,400 a una tasa efectiva del 36%. El número de mensualidades son 42. ¿Cuál es el importe del enganche?
6.
Una familia quiere ahorrar $ 20,000 en 12 meses para poder viajar a Mazatlán (en un paquete turístico), tomando en cuenta que existe una tasa de interés del 7.4% mensual en el banco donde ellos van a depositar su dinero. El último ahorro de esta familia lo hacen un mes antes de que adquieren dicho paquete. ¿De cuanto será cada ahorro para que la familia pueda aho rrar los $ 20,000?
7.
Smart quiere reunir $ 56´000,000 en 48 meses para la apertura de otra tienda en la localidad. Suponga que el dinero se reúne un mes después del último ahorro, y se considera una tasa de interés efectiva del 8.7%. Esta empresa ¿cuanto debiera ahorrar mensualmente, si los 48 ahorros son iguales?
8.
Del ejercicio anterior, analice cuál sería la mejor opción si en vez de tomar una tasa de 8.7% anual se tomase una tasa del 19.3% semestral.
9.
¿En cuanto tiempo se acumulan $10,000 en una cuenta bancaria que paga intereses del 27.04% nominal capitalizable semanalmente, si se depositan $300 al inicio de cada semana?
10. ¿Cuántos pagos mensuales de $2,000 se necesitan para acumular $25,000 a una tasa de interés nominal mensual del 30.6%? si se empieza hoy mismo
Tarea 5. Anualidades Diferidas y Perpetuidades 11. Raúl Ramírez accesa a un crédito bancario por la cantidad de $ 35,000 para la compra de muebles, y debe pagar la deuda en 24 meses con una tasa de interés nominal capitalizable mensualmente del 23%. Como esta persona tiene buen crédito, la institución bancaria le otorga algunos meses de gracia, lo cuál implica que el primer pago a realizar; lo haga al inicio del noveno mes. ¿Cuál sería el importe de cada mensualidad que tendría que pagar el joven? 12. Un préstamo por $ 305,000 se otorga para la compra de una maquina industrial, dicho préstamo se hace con meses de gracia y la deuda se debe pagar por medio de 36 mensualidades de aproximadamente $ 16,700; donde la tasa de interés nominal capitalizable mensualmente es de 42%. Determine cuantos meses transcurren antes del primer pago. 13. Del ejercicio anterior, encuentre el importe de cada pago ajustado a una cantidad ligeramente menor. 14. Al Ing. Morales le entregan cierta cantidad de dinero para que realice una ampliación (cuarto con baño y balcón) en la casa de la Sra. Pérez , sin embargo no se le da todo el dinero en una emisión, si no en 6 mensualidades de $9,000 cada una. El Ingeniero cobra sus honorarios en 18 mensualidades. La tasa de interés nominal capitalizable mensualmente es de 7.5% para todos los flujos de dinero. Calcular el importe de cada pago a efectuar. 15. La Srta. Hinojos tiene una deuda que debe de pagar en 48 mensualidades iguales a partir del octavo mes, con una tasa del 43% nominal capitalizable mensualmente. Sin embargo, la Srta. Hinojos prefiere reestructurar la deuda y cambiarla para que pueda empezar a pagar en el doceavo mes. Encuentre en que porcentaje se incrementa su mensualidad, dado que pidió una reestructuración en para sus pagos.
16. La fundación amigos de los desamparados, ofrece pagar $7,500 mensuales a una casa de asistencia para indigentes, por lo que dure dicha organización. ¿Cuál es el capital que ofrece dicha fundación?, si el primer pago lo realiza dentro de 12 meses y la tasa efectiva es del 17%. 17. El joven Martínez desea efectuar 250 ahorros mensuales iguales de $ 800, para el día que se retire poder acceder a un gasto mensual constante. Si la tasa nominal capitalizable mensualmente es de 17%. ¿Cuanto podría recibir mensualmente, si el primer gasto que efectúe lo hace 3 meses después de su último ahorro?
38
UNIDAD III
ANUALIDADES CRECIENTES EN FORMA GEOMÉTRICA. Es importante señalar que cuando se llega a esta parte del curso, el alumno deberá haber dominado los temas de Anualida des previos, ya q ue ésta unidad es sólo una continuación con cuestiones especiales y/o particulares.
Conceptos Básicos Para abordar las anualidades Crecientes en Forma Geométrica, se deben considerar los criterios o reglas del capítulo 8. Sin embargo, para este tipo de anualidades sólo se abordará el Método de Fecha Focal Inicial (MFFI) adicionando el elemento inherente a una A n u a l id a d c re c ie n t e . Una anualidad creciente en forma geométrica (también se le conoce como gradiente geométrico), es cuando cada pago a partir del segundo se va incrementando por medio de un factor de crecimiento “v ”.
CRITERIOS DELCAPÍTULO •
Para Anualidades Crecientes En Forma Geométrica Anticipada (MFFI): El valor de “a” será igual a uno (a=1).
•
El cálculo de “r”, en el numerador se le agrega o adiciona a una unidad el valor de los incrementos de la anualidad creciente; en el denominador a una unidad se le agrega o adiciona la tasa periódica. Dicho denominador, se eleva a una potencia “x” en función del número de periodos contenidos dentro de un plazo más largo, en la cual la anualidad creciente no aumenta su valor (ver ejercicio 12).
•
Para Anualidades Crecientes En Forma Geométrica Ordinaria (MFFI): El valor de “a”, en el numerador se coloca un 1 (si estamos en el periodo cero), y en ocasiones especiales o raras, al 1 se le agrega o adiciona el valor de los incrementos de la anualidad creciente, elevando todo al periodo “x” en cuestión. En el denominador será 1+i per (ejercicio 3).
•
Para calcular “r” se siguen los pasos iguales al párrafo de arriba. 39
•
La Fórmula de Una Perpetuidad Creciente es: C =
R i−v
, donde
i > v.
EJERCICIOS 1.- Me otorgan un crédito de $100,000 a pagar en 150 mensualidades pero donde cada pago se incrementa 3.5% con respecto al mes anterior. La tasa de interés es de 30% nominal capitalizable mensualmente. ¿De cuanto será el primer pago? 100,000
Datos:
C= 100,000 m=150 P.G.=3.5% Inom= 30% R=?
1
2
0
.......................................................
R
R(1.035) R(1.035)149
a) Método de Fecha Focal Inicial: 100 ,000 =
R
(1 + 0 .025 )
+
R (1 .035 )
(1 + 0 .025 ) 2
+
R (1 .035 ) 2
(1 + 0 .025 ) 3
+ .......... .......... . +
S =
(1 + 0 .025 ) 150
En “r” es donde se asigna “v”
Por lo tanto;
a=
R (1 .035 ) 149
1 (1+ 0.025)1 a ( r m − 1) r − 1
= 0.975609756
r =
1+ 0.035 (1+ 0.025)1
= 1.00975609
0.975609756 (1.009756098 150 − 1) = = 329 .015166006 1.009756098 − 1
Si C = SR
R 100,000 = 329.015166006 R = 303.94
40
2. Si suponemos que una empresa va a obtener un primer dividendo de $15,000 exactamente dentro de un año y que cada año obtendrá al menos un dividendo que es 19% superior al del año anterior. ¿Cuál será el valor presente de todos los dividendos del futuro con una tasa de interés efectiva del 20%? Datos: R = 15,000
MFFI
Fórmula de Perpetuida d C rec iente
P.G.=19% Inom= 20% C=?
3. Respecto al ejercicio anterior, ¿Cuál será el valor presente de dividendos dentro de 2 años, es decir, exactamente después de pagarse el segundo dividendo?. Datos: C = 1’500,000 P. G.=
ief = 19%*
*Rendimiento del capital M en 2 años =?
4.- Si una acción corresponde al valor presente de todos los dividendos futuros previstos y se espera que el primer dividendo a ocurrir dentro de un año sea $1,400 por cada acción y crezca al menos 62% anualmente y la tasa en el mercado está al 63% y se espera que permanezca así por muchos años, ¿ cual es el precio de la acción al día de hoy?. Datos: R = 1,400 P.G.=62% ief = 63% C=?
5. En el ejercicio anterior, ¿cuál será el precio de la acción dentro de 7 años, si las condiciones del mercado y la expectativa de dividendos de la empresa siguen siendo las mismas? Monto de interés compuesto
M = C (1 + i per ) m = 140,000(1 + 0.62) = 4'099,521.21 7
41
Por Perpetuida d C rec iente
6. Un crédito de $100,000 se otorga a pagar en 120 meses a una tasa nominal capitalizable mensualmente de 38% y con un crecimiento en cada pago del 2.5%. Encontrar el importe del primer pago a través de la calculadora financiera.
a=
1 1 + 0 .031 6
S =
a (1 − r m )
1 − r
Método de Fec ha Foca l Inicial
= 0 .969305331
r =
1 .025 1 + 0 .031 6
= 0 .993537964
0.969305331 (1 − .993537964 120 ) = = 81.098723191 1 − 0.991666667
C = SR ∴ R = 100,000 / 81.0987..... = 1,233.07 7. Repetir el ejercicio anterior pero con una tasas de crecimiento en cada pago de 4%.
8. Quiero ahorrar $120,000 en 50 meses a una tasa mensual de 2.5% y con un crecimiento en cada ahorro del 1.5% donde mi último ahorro sea un mes antes de lograr mi objetivo. Encontrar el importe del primer ahorro a través de calculadora financiera. Datos: M = 120,000
C =
P.G.=1.5% i per = 2.5% m=50 R=?
MFFI
120,000 (1.025) 50
= 34,913.06
Por ser anualida d anticipa da (co nsultar criterios y teoría)
9. Una deuda de $444,000 con una tasa de 58.5% nominal capitalizable mensualmente se amortiza en 60 pagos mensuales que se incrementan un 22% cada semestre. Calcular el importe del primer pago.
42
Primera parte: Solución del primer grupo de todos los grupos. (Anualidad Ordinaria-Cap. 8 MFFI)
Datos: C = 444,000 P.G.=22% i per = 58.5% mgrupo =6meses
a = r a =
mglobal – grupo=10 sem R=?
a (1 − r )
1 = 0.953516091 (1.04875)
6
S =
∴
1 − r
= 5 . 09645413
C 1−6 = SR = 5.096045413 R Segunda parte: Solución de todos los grupos. (Anualidad creciente en forma geométrica anticipada.
a =1
S =
;
r =
1 . 22 = 0 . 916912699 (1 . 04875 ) 6
a ( 1 − r 10 )
1 − r
= 6 . 980253454
C = SR ⇒ 444 ,000 = 6.980253454 (5.0960454137 R )
Si
∴
R = 12,481 .84
43
ANUALIDADES CON MULTIPLESCONDICIONES Conceptos Básicos A M C: Serie de flujos periódicos de dinero dentro de una transacción, la cuál sufre al menos una modificación en el tiempo, debido a un cambio en la tasa de interés, el importe de los pagos o cualesquier otro factor que afecte a la anualidad.
CRITERIOS DELCAPÍTULO Este tipo de anualidades se soluciona por medio de las herramientas de los capítulos anteriores. Ecuación Básica C =
R i per
[1 − (1 + i
per
]
) −m + M (1 + i per ) − m y para encontrar los
pagos, uno de los procedimientos es por regla de tres; la otra es por progresión.
Ejercicios 1.- Hacer una tabla de amortización con pagos iguales correspondiente a un préstamo de $390,000 a 24 meses, considerando que desde el inicio se pacto una tasa de interés nominal capitalizable mensualmente de 6.5% para las primeras 12 meses y de 8.75% para los últimos 12 meses. Datos: C = 390,000 m = 24 meses inom1 = 6.5% m1 = 12 meses inom 2 = 8.75% m2 = 12 meses
i per = (
0.65
) = 0.005416 12 0.0875 ) = 0.0072916 i per = ( 12
Si M +
[
]
R (1 + ki per ) (1 + i per ) m − 1 i per
= C (1 + i per ) m y
como la anualidad es ordinaria.......... entonces:
M +
[
]
R (1 + i per ) m − 1 i per
= C (1 + i per ) m , por lo tanto........
44
(1 + i per ) m
M
(1 + i per ) M
(1 + i per )
+
R
+
i per
M (1 + i per )
M (1 + i per )
−m
+
+
−
−
m
R i per (1 + i per ) m
R i per (1 + i per ) m
R i per
−
R (1 + i per ) − m i per
[
i per
i per
[1 − (1 + i
per
= C
= C
R 1 − (1 + i per ) − m
R
= C
= C
] = C
]
) −m + M (1 + i per ) − m
Cálculo del Valor Presente de las últimas 12 flechas al mes 12. 1 i per 2
[1 − (1 + i
per 2
]
) −12 + 0 = 11.45008618
Cálculo a Valor presente de las 12 flec has al mes cero (0) en forma conjunta con 11.45008648: C =
•
i per (1 + i per ) m
i per (1 + i per )
−m
C = •
+
R (1 + i per ) m
Entonces: C = •
R (1 + i per ) − 1 m
M
1 i per 1
[1 − (1 + i
per 1
]
) −12 + 11.45008618(1 + i per 1 ) −12 = 22.319351305
Por regla de tres: 24 flechas de $1.00 = Valor Presente de 22.319351305 24 flec has de $ x = Valor Presente de $390,000.00 Entonc es: x = 17,473.63
2.- Se invierte en un banco la cantidad de 2,567.38 durante 8 meses a una tasa del 4% mensual, después la tasa sufre una disminución de 3 puntos porcentuales manteniéndose así por algún tiempo. Finalmente la tasa sube 4 puntos porcentuales y se sitúa en 5% mensual durante un año y tres meses. Es así como después de estas variaciones se obtiene un monto final de 7,500. ¿Cuánto tiempo duró toda la inversión? 45
?
8
15
8 m M = C (1 + i per ) = 2 ,567.38(1+.04) = 3,513.6
C =
M
(1 + i per )
m
=
7,500 (1+.05) 15
= 3,607.628236
⎛ M ⎞ ln⎛ 3,607.62236.. ⎞ ⎜ ⎟ ln⎜ ⎟ 3 , 513 . 636809 C ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ = 2.595881522= 3 m= ln(1 + i per ) ln(1.01) Total: 3+15+8= 26 meses
3.- Pedro podría pagar cada mes 2,500 por un préstamo, se estima que la tasa de interés será del 5% mensual por trimestre y luego baje al 4% mensual por los siguientes 6 meses. Cual es la suma máxima a la que puede acceder bajo estas condiciones.
4.-Un ganadero compra un terreno en 1’000,000 y lo pretende pagar en un lustro con pagos mensuales iguales y con un enganche igual a 15 mensualidades. Adicionalmente se estipulan pagos iguales semestrales equivalentes a dos pagos mensuales. Determinar el importe para cada pago mensual si la tasa de interés es de 1.8% mensual. Capital de rentas mensuales:
Capital de rentas semestrales
Equivalencia de capital de rentas semestrales a capital de rentas mensuales:
46
Capital de rentas Totales: 36.50705413 + 11.63280744 = 48.13986157
Cálculo de R
5.- Calcular cuanto puedo ahorrar en una década, si realizo ahorros de 125 y crecientes en 8% cada mes, con una tasa del 15% anual para el primer lustro y del 13% para el segundo. (nota: se realiza en total 121 ahorros). *Primera parte 1
i per 1 = (1.15)
12
− 1 = .010978851
1
i per 2 = (1.13)
12
− 1 = .010236844
por lo tanto: 1 = .989140375 a= (1 + i per 1 )
r =
1.08 (1 + i per 1 )
= 1.068271605 S =
a(r 61 − 1) r − 1
= 799.4670578
C = SR = 799.4670578(125) = 99,933.38222 M = 99,933.38222(1 + i per 1 )61 = 194,525.6562 *Segunda Parte 1 = .989866887 a= (1 + i per 2 )
r =
1.08 (1 + i per 2 )
= 1.069056238 S =
a( r 60 − 1) r − 1
= 781.3671861
* al ahorro 61 R = 125 (1 . 08 )
61
= 13 , 669 . 70359
C = 781 . 3671861 (13 , 669 . 70359 ) = 10 '681 , 057 . 83 C total al mes 60 = 10 '681 , 057 . 83 + 194 ,525 . 6562 = 10 '875 ,583 . 49
M 2 = 10'875,583.49(1 + i per 2 )60 = 20'037,557.19
47
INFLACIÓN Y TASAS DE INTERÉS REAL Conceptos Básicos La inflación es calculada en todos los países del mundo y sirve para ver la evolución de los precios comerciales de los bienes y servicios de una economía. Entonces, la inflación puede entenderse como la variación creciente de los precios en términos porcentuales en un determinado periodo de tiempo. De aquí, la importancia de conocer las tasas “reales”, es decir; aquellas tasas que ya no tienen el efecto de los precios (el crecimiento de éstos), y comprender cuál verdaderamente el valor del dinero que a través del tiempo. CRITERIOS DELCAPÍTULO Para este capítulo se utilizan todas las herramientas y criterios de los capítulos pasados. Además es importante que se haga una revisión del capítulo 7 (tasa equivalentes). •
La nueva fórmula en este capítulo es:
(1 + ief −int ) = (1 + ief −real )(1 + ief − inf lacion) EJERCICIOS 1. Determinar la tasa real mensual si la tasa nominal capitalizable mensualmente de interés fue de 30% y la inflación trimestral fue de 6%.
(1 + ief −int ) = (1 + ief −real )(1 + ief − inf lacion)
En este caso, se utiliza la ecuación básica.
48
Recordar que se tiene que hacer la conversión a la tasa de interés
p
ief −int
12
⎛ i ⎞ ⎛ 0.30 ⎞ = ⎜⎜1 + nom−int ⎟⎟ − 1 = ⎜1 + ⎟ − 1 = 34.4888824 p ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝
Respecto a la tasa de inflación.... ief = (1 + i per −inf ) p − 1 = (1 + 0.06) 4 − 1 = 26.247696%
(1 + ief −int ) = (1 + ief −real )(1 + ief − inf lacion)
Aplicando la fórmula básica tenemos:
(1 + 0 .344888824 ) = (1 + i ef − real )(1 + 0 .2624796 )
⎡1 .344888824 ⎤ −1 i ef − real = ⎢ ⎥ ⎣ 1 .2624796 ⎦ i ef − real = 6 .5277915
Conversión a la tasa mensual
ief − real = (1 + i per − real ) p − 1 = 0.065277915 = (1 + i per − real )12 − 1 i per − real = 0.5283552% Nota 47: Algo importante, es saber que la mayoría de los ejercicios de este tipo se hacen utilizando tasa efectivas como intermediarias.
2. Determinar la tasa real mensual si la tasa nominal capitalizable mensualmente e interés fue de 30% y la inflación trimestral fue de 28%.
49
3. Si las inflaciones mensuales fueron de 3%, 4%, 2.5%, 6%, 4.3% y 4% indicar cual fue la inflación semestral y cual sería la inflación anual de continuar dicha tendencia.
(1 + itot ) = (1 + i1 )(1 + i2 )........(1 + im )
Fórmula 7.5
(1 + itot ) = (1.03)(1.04 )(1.025 )(1.06 )(1.043)(1.04 ) = 1.262460918 itot = 26 .2460918 %
ianual = (1 + 0.262460918) 2 − 1 = 59.3807569% 4. Si la inflación quincenal reportada por el Banco de México fue de 1.23% y se mantiene la misma tendencia todo el año: a) ¿Cuál será la inflación anual? b) Si el banco paga 32.7% de interés capitalizable mensualmente, ¿cuál es la tasa efectiva real que paga?
a) ief −inf
= (1 + i per −inf ) p − 1 = (1 + 0.0123) 24 − 1 = 34.0978097%
b) ief −inf = (1 +
inom−int p
⎡ ⎣
) p − 1 = ⎢1 + (
0.327 12 ⎤ ) − 1⎥ = 38.0746017 % 12 ⎦
Si una mercancía vale $1,000 hoy, dentro de un año valdrá:
M = C (1 + ief −inf ) = 1,000(1.340978...) = $1,340.98
Si deposito $1,000 en el banc o hoy, dentro de un año tendré:
M = C (1 + i ef − int ) = 1,000 (1.38074 ....) = 1,380 .75
Por lo tanto, mi interés real fue de $1,380.75 - $1,340.98= $39.77 (valuado en la fecha final. $39.77 = 2.9657415% $1,340.98
Mismo resultado
5. Si quiero realizar 30 ahorros mensuales con incrementos semestrales de 16% para comprarme un coche que actualmente cuesta $80,000 y la tasa de interés nominal
50
capitalizable mensual es de 56% y la tasa de inflación prevista (afectando el precio del coche) es de 54% anual, ¿de cuanto deberá ser mi primer ahorro?. Tomar en consideración que el último ahorro coincide con la compra del coche. t M = C (1 + ief − int ) = 80 ,000 (1 + 0 .54 )
0
1
6
R
⎛ 29 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠
7
227,125.06
29
.....
R
= $ 227 ,125 .06
...................... 1.16 R
1.16R
Con MFFI:
1.16 R
227,125.06
⎛ 0.56 ⎞ ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝
a =1
S =
( 29 / 12 )(12 )
= R +
R
⎛ 0.056 ⎞ ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝
(1 / 12 )(12 )
+
R
⎛ 0.056 ⎞ ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝
( 2 / 12 )(12 )
+ ... +
(1.06) 4 R
⎛ 0.056 ⎞ ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝
( 29 / 12 )(12 )
Primera pa rte, primer semestre:
r =
1 1 .04 6
m a(1 − r )
1 − r
= 0.955414013
m=6
= 5.369662437 C 1−6 = 5.369662437 R 227,125.60
Nuevo diagrama, correspondiente a los primeros pa gos y a los semestrales
0
6
5R
12
5 R(1.16)
5 R(1.16) 2
24
29
5 R(1.16) 4
51
Segunda parte, la progresión de los crecimientos o variaciones cuando:
60 ,509 . 23 = 5 . 369662437 R +
a =1
5 . 369662437 R (1 . 16 )
⎛ 0 . 056 ⎞ ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝ 1.16
r =
( 6 / 12 )( 12 )
⎛ 0.56 ⎞ ⎟ ⎝ 12 ⎠
6
+ ... +
R (1 . 06 ) 4
5 .369662437
⎛ 0 . 056 ⎞ ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝
= 0.882282427
( 29 / 12 )(12 )
m=5
1+ ⎜
S =
a (1 − r m )
1 − r
= 3.953434253
60 ,509 . 23 = ( 5 . 369662437 R )( 3 . 953434253 ) R = 2 ,850 . 36
6. Con base en el INPC (Índice Nacional de Precios al Consumidor) calcular la inflación mensual de julio a septiembre de 1996 y compararla con la inflación trimestral. Extrapolando la inflación trimestral, calcular la inflación semestral de abril a septiembre de 1996 y compararla con la inflación semestral auténtica. Cálculo de una tasa de inflación o de una tasa de Interés con base en el INPC. i = ( INDICE posterior − INDICE anterior ) / INDICE anterior
a) Con base en INPC mensuales (ver ap éndice A):
b) Trimestral con INPC
i jul−sep = ( INPC sep − INPC % jun ) / INPC jun = (188.915−180.931) /180.931= 4.41127319 c) Semestral extrapolando “utilizando la tasa efectiva como intermediaria”
d) Semestral auténtica.
52
iabr sep
( INPC sep
INPC mzo ) / INPC mzo
(188.915 170.012) / 170.012 11.1186269%
e) Comprobación de trimestres
Tarea 6. Anualidades crecientes en forma geométrica 1.
Calcular el importe del primer pago mensual durante 12 meses por un préstamo de $90,000., tomando en consideración que los pagos se incrementan 5% en forma mensual y la tasa de interés es de 25% capitalizable trimestralmente.
2.
Si una persona compra un automóvil valuado en $80,000.00, con un enganche de 20% y el resto a pagar en 48 mensualidades a una tasa nominal capitalizable mensualmente de 75% y se estipula que cada pago mensual sea un 1% mayor que el anterior, ¿cuál será el importe del último pago?
3.
Calcular cuánto debo pagar mensualmente de un préstamo otorgado por $ 170,000.00 a pagar durante 18 meses, tomando en consideración que los pagos se incrementan 5% con respecto al pago anterior y la tasa de interés es de 65% capitalizable mensualmente.
4.
Si me propongo ahorrar $ 1,000.00 mensuales e incrementar el ahorro mensual cada año en 30% y la tasa de interés está al 32% efectiva y me propongo cumplir con este objetivo durante 20 años, ¿cuál es el valor actual del ahorro total que me he propuesto, asumiendo mi primer ahorro para dentro de un mes?
Tarea 7. Anualidades con múltiples condiciones 5.
Calcular durante cuántos meses deberá tener invertido su dinero una persona si originalmente tiene $66,000.00 y espera tener finalmente cuando menos $ 85,000.00 y durante los cuatro primeros meses la tasa será de 4% mensual y luego cambiará al 6% mensual.
6.
Una persona compra una casa en $ 777,000.00 a pagar en 9 años con pagos mensuales iguales, con un enganche igual a 9 pagos mensuales y adicionalmente se estipulan pagos anuales donde cada uno equivale a un importe de 1.75 pagos mensuales. Determinar el importe de cada pago mensual si la tasa de interés es de 67% capitalizable mensualmente.
Tarea 8. Inflación y tasa de interés real 7.
Si la inflación anual fue de 14%, 18%, 19% y del 20% y tengo una inversión a una tasa de interés de 21% efectiva, ¿cuál fue la tasa real efectiva promedio de esos cuatro años?
8.
Si la inflación anual fue de 30%, la tasa de interés fue de 33% nominal capitalizable trimestralmente y el capital fue de $ 26,000.00, calcular el interés de cuatro meses expresado en términos reales.
9.
Si la tasa de interés bimestral es de 17%, determinar la tasa real mensual si la tasa de inflación trimestral fue del 15%.
10. Una empresa realiza ventas por $300,000.00, $500,000.00, $200,000.00, $350,000.00 y $500,000.00 en 5 años consecutivos. Si la tasa de inflación fue del 30% anual, calcular el valor presente global de dichas ventas a la fecha en que se realizó la primera.
53
UNIDAD IV
VALOR PRESENTE NETO Y TASA INTERNA DE RETORNO Para este capítulo, es necesaria una explicación amplia del maestro como en los anteriores capítulos. Sin embargo, los ejercicios suelen ser un poco más elaborados al momento de resolverlos por el método escrito. A su vez, las herramientas electrónicas modernas (calculadoras y computadoras) hacen más simple la resolución de dichos problemas. Es por ello que en este capítulo, se recomienda que la mayoría de los ejercicios se realicen en la computadora (programa Excel), ya que en la ac tualida d; este es el proc edimiento más utilizado. De este modo, y atendiendo los lineamientos del curso; sólo se muestra la teoría general con algunas aplicaciones, y lo demás se resuelve como anteriormente se mencionó.
Conceptos Básicos Se dice que el “Valor Presente Neto” no es otra cosa que los flujos de dinero rec ibidos, menos los flujos de dinero invertidos; esto es: VPN =
∑VP(cada flujo recibido) −∑VP(cada flujo pagado)
Por lo regular, el primer flujo de dinero tendrá el signo negativo; ya que es el dinero invertido al iniciar un proyecto. La “Tasa Interna de Retorno” (TIR), es la tasa en la cual el Valor Presente Neto de una inversión tiene el valor de cero, e indica si es conveniente o no invertir en algún determinado proyecto. También se le puede llamar prueba de factibilidad (positiva o nega tiva) de un proyecto. El desarrollo de la TIR en función de una progresión geométrica sería de la siguiente manera: M 1 M 2 ... VPN C (1 i per )1 (1 i per ) 2 Donde, según la definición anterior, tendríamos del lado izquierdo de la ecuación igual a cero, y del lado derecho los datos sustituidos en capital y monto respectivamente. Entonces, lo que nos restaría sería despejar la tasa o tasas periódicas. Esto no es tan complicado, pero cuando no solamente es un flujo, sino varios; la resolución de la progresión va más allá del despeje, sería utilizando la fórmula general o por el método de aproximación, donde se vuelve tedioso y complicado, es por ello la utilización del computador.
54
De esta manera, se podría decir que dicho cap ítulo es el de mayor práctica fuera del salón de clases. Por tal motivo el centro de cómputo se vuelve el mejor amigo del estudiante.
Tarea. 9 VPN y 10 TIR 1.
¿Cuál es el Valor Presente Neto de los siguiente flujos mensuales, si tenemos los siguientes flujos: –$ 65,000, $20,000, $13,000, $18,000 y $40,000; y además tenemos una tasa de interés nominal capitalizable mensualmente del 86%.
2.
Si para iniciar un negocio, necesito $200,000 tomando en cuenta que recibiré utilidades durante los próximos 4 años de $160,000. Al quinto año hay una crisis económica que afecta mí negocio teniendo que cerrar; lo cual implica que tenga que pagar liquidación de empleados así como deudas contraídas con proveedores por un importe de $74,000. ¿Cual es el valor presente neto del negocio si la tasa de mercado se fijó en 19% nominal capitalizable mensual mente? Nota: Asuma que en el quinto año no hubo ingresos.
3.
Una empresa local realiza una inversión en su personal, y manda a cursos de capacitación a un empleado de la firma “Maquinados de Juárez” a la Universidad Autónoma de Cd. Juárez. El primer semestre paga colegiaturas mensuales de $5000 y el segundo semestre paga $6000 mensuales, al terminar su año de capacitación regresa a la empresa, pero sufre un accidente que lo obliga a solicitar una incapacidad por 4 meses. Después de este periodo regresa a su trabajo, y con sus nuevos conocimientos le reditúa a la empresa ingresos adicionales de $4000 cada mes por un periodo de 8 meses y $6,000 mensuales para el siguiente año. Al término de este periodo decide renunciar y es contratado en otra compañía que es la competencia de esta empresa. Bajo el criterio del VPN le convino a la empresa capacitar a este empleado si durante el primer año la tasa se mantuvo en el 2.2% mensual y fue constante… ¿Fue rentable para la empresa hacer esta inversión?
4.
Se tienen dos proyectos de inversión, el “A” con flujos mensuales de -$13,000, $2,300, $4,000, -$2,000, $13,000 y el “B” con flujos de: -$16,000, -$2,000, $5,000, $6,000, $12,000. ¿Cuál es el Valor Presente Neto de cada proyecto? y defina el mejor de los dos proyectos, si la tasa de mercado está al 48% nominal capitalizable mensualmente? Calcular la Tasa Interna de Retorno para los flujos trimestrales (-$68,000, $93,000).
5.
6.
Calcular la TIR para los flujos semestrales (-$60,000, 5veces $10,000, $59,000, -$10,700).
55
Carta Descriptiva I. Identificadores del Programa: Clave:
UMA1003
Créditos:
8
Carácter:
OBLIGATORIA
Tipo:
CURSO
Materia:
CALCULOS FINANCIEROS Depto:
CIENCIAS SOCIALES
Instituto:
INSTITUTO DE CIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRACIÓN Nivel:
INTERMEDIO
Horas:
60hrs.
50hrs.
10hrs.
Totales
Teoría
Práctica
II. Ubicación: Antecedentes:
Matemáticas básicas Consecuentes:
Formulación y Evaluación de Proyectos de Inversión III. Antecedentes Conocimientos:
El alumno deberá conocer los principios de álgebra, leyes de los exponentes y logaritmos. Habilidades y destrezas:
Será capaz de entender los diferentes algoritmos ó ecuaciones para resolver los distintos tipos de problemas, principalmente anualidades. Analizará, sintetizará, evaluará, argumentará y comprenderá el significado de los conceptos básicos de álgebra aplicado a las matemáticas financieras . Actitudes y valores:
Deberá ser honesto y responsable al resolver cualquier tipo de problema que se le pida.
IV. Propósitos generales El alumno conocerá y comprenderá el significado del dinero a través del tiempo, aplicando los conceptos de interés simple, compuesto, plazo monto, valor actual e interés; así como identi ficará y definirá los diferentes tipos de anualidades. También podrá resolver problemas de valor presente Neto y tasa interna de retorno como pruebas de factibilidad.
56
V. Objetivos: Compromisos formativos e informativos Conocimiento: Utilizará calculadora financiera y/o computadora Habilidades: Sabrá resolver e identificar el valor del dinero a través del tiempo
Ac titu des y v alores: Responsabilidad, honestidad y puntualidad
Problemas qu e puede solucionar: Incorporación al sistema financiero
VI. Condiciones de operación Espacio: Práctica
Aula:
Taller: No
Laboratorio: Centro
aplica
Población: Número
deseable:
25
Máximo:
30
Curso
Mobiliario:
Material educativo de uso frecuente
de Cómputo
Mesa banco
Proyector de Acetatos, Pizarrón y Centro de cómputo.
VII. Contenidos
Contenido
Sesión
1. Presentación del curso
1
Unidad 1. Fundamentos de cálculos financieros
2
1.1 Interés Simple y Descuento Simple
2
1.2 Interés Compuesto y Tasas Equivalentes
3-7
1.3 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL
8
Unidad 2. Introducción a las anualidades
9
2.1 Anualidades Ordinarias y Anticipadas
9-12
2.2 Laboratorio
13
57
2.3 Anualidades Diferidas y Perpetuidades
14-16
2.4 Laboratorio
17
2.5 SEGUNDA EVALUACIÓN PARCIAL Unidad 3. Temas avanzados de Anualidades y Tasas Equivalentes Aplicadas
18
3.1 Anualidades Crecientes en Forma Geométrica
19-20
3.2 Anualidades con Múltiples Condiciones
21-22
3.3 Inflación (INPC) y Tasa de Interés Real
23-24
3.4 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL Unidad 4. Temas Selectos de Cálculos Financieros
25
4.1 Valor Presente Neto (VPN)
26
4.2 Tasa interna de Retorno (TIR)
27
4.3 Laboratorio (Repaso)
28-29
4.4 CUARTA EVALUACIÓN (Estudio de caso)
30
19
26
VIII. Metodología y estrategias didácticas 1. Metodología Institucional:
a) Elaboración de ensayos, monografías e investigaciones (según el nivel) consultando fuentes bi bliográficas, hemerográficas, y "on line" para fines de los temas establecidos. 2. Metodología y estrategias recomendadas para el curso:
Deberá ser impartido en forma de exposición el tema indicado en este documento por parte del maestro, se hará discusión de algunos de los problemas planteados; así como la resolución de éstos en forma grupal. Lo anterior bajo la supervisión del maestro. De la segunda unidad en adelante, es indispensable que los alumnos conozcan algunas formas electrónicas de la resolución de temas, para ello el paquete utilizado será Excel. Por lo tanto, habrá de hacerse una serie de laboratorios en el Centro de Cómputo, que complementen el conocimiento abstracto del salón de clases.
IX. Criterios de evaluación y acreditación A) Institucionales de acreditación:
Acreditación mínima de 80 % de las clases programadas. Entrega oportuna de trabajos Calificación mínima para exentar 7.0 (promedio de las unidades)
58
