/ND/CE TEMAS
1.
INTROOUCCIÓN ¿Qué es la ciencia? .- Qué es una ley. - La medida.· Cantidad.- ¿Qué es medir1 SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS "SI" ................. ............. ................... Unidades de base.· Unidades derivadas.· Unidades suplementarias.- Unidades con nombres de apellidos.- Prel1Jos numéncos y sus sfmbolos.· ¿Cómo se usan los prefijos?- Unidades que pueden ser usadas con el'SI'.- Unidades de otros sistemas.·
1
2.
ECUACIONES DIMENSIONALES .................................... .....•. .•..•.......•....•......... Unidades fundamentales.- Recomendaciones báslCaS.- ProbIemas.-
9
3.
VEGTORES ....................................................................................................... ¿Qué es un vector1.- Cantidad.- ¿Qué es medir1.· Cantidades escalares y vectoriales.- Representación gráfica de un vector.- Elementos de un vector.Vectores equivalenles, cotineales.- ALGEBRA DEVECTORES: suma y d~erencia de vectores.· Vectores no paralelos y no colineales.- Fórmulas trigono.métricas.Méto.do.s grálicos: del friángulo; del paralelogramo.: del poHgano.· Méto.dos anaH· ticos.· ResuHante máxima y minima de dos vectores.- Descompcsición de un vector.- Cálculo de fas componentes rectangulares.- Vecto.r un~ario. o. versor.Dirección de la resuHante.- Vecto.res en el espacio.· Angulos y cosenos directores.- Vectores un~arios ,· Prablemas.-
16
4
5.
MECÁNICA ... ................................................................................................... .. CINEMÁTICA ... ... .............. .......... ...... ................................................................. Definición.· Movimiento.· Trayecto.ria.- Movimiento. rectilíneo uniforme M.R.U· Velocidad a rapidez.- La velocidad es una magnitud vectarial.- Composición de velocidades.· Velocidades.· Camcterislicas del M.R.U.V.· Solucicnes gráficas de fa velocidad, distancla.- Problemas.- MOVIMIENTOVARIADO.· Movimiento. rec· tilíneo unifarmemente variado.· Aceleración.- Unidades.· Representación gráfi· ca del M.R.UA- Espacio 'e' con velocidad inicial y aceleración.- Problemas.· MO.'IMIENTOVERTlCALDECAiDA LIBRE.· Problemas,· MOVIMIENTOCOM· PUESTO.- Principia de la independencia de los movimlentos.- Movimiento. parabólIco.- Problemas.· MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL· Periodo.· Velocidad angular y periodo.. Aceleración centrípeta 'a " su relación con la velocidad tangencial y angular.- ProbIemas.- MOVIMIENTO élRCUNFERENCIAL UNIFOR· MEMENTE VARIADO.· Aceleración angular'a'.- ProbIemas.ESTÁTICA ......................................................................................................... Equilibrio mecánIco.- Fuerza "F".· Cupia.- Resultante del sistema de fuerzas. Relación de Stevín.- Método. gráfico para hallar el puNa de aplicación de la resul-
36
37
124
tante de fuerzas paralelas.· Leyes de Newtoo: l ' y 3' .' Primera condición de equilibrio.· Fuerzas concurrentes.' Ley de Larny:· Mlmento de una fuerza.· Segunda condición de equilibrio.· problemas.' MÁQUINAS SIMPLES.· Palanca.' Torno O cabrestante.· Polea fija.· Polea móvil.· Polipasto.· Plano inclinado.· TomiUo. gato O cric.· Cuña.· Ventajas y rendimiento mecánico., Problemas.' 6.
DINÁMICA .............. ... ..... .................................... ........... ........ ............................ lne
163
7.
CENTRO DE GRAVEDAD 'C.G.' ................... ................... ................................. Teorema de Varignon.' Posición del C.G. de un cuerpo.' Centro de gravedad de liguras.· Problemas.'
209
8. TRABAJO. POTENCIA Y ENERGíA ............................... ........... .............. .. ......... Trabajo mecánico -r.' Unidades de trabajo.' Trabajo neto.' Fuerza variable.' ENERGIA "E".' Formas de laenergia mecánica.' Energiacinética ' E ".' Energía potencial gravitatoria '~'.- Energía potencial e~ica '~". , Energfa mecánica "E,.,".. Fuerza ConservatIVa.' POTENCIA MEC.ANICA 'PO.' Rendimiento "n' de una máquirla.' Problemas.· RElACIÓN MATEMATlCA ENTRETRABAJOY ENER, GiA.' Trabajo de la fuerza resuHante "r.- Teorema del trabajo y la energía mecá, nica.' Trabajo lransformado y cooservación de la energra. , Problemas.' TRAB,~, JO EN LAS ROTACIONES.' Energía cinética de rotación.' Unidades de trabajo, Energla y Potencia.' Problemas.' PRINCIPIO DE LA ACCiÓN Y REACCIÓN.' Tercera Ley de Newtoo.' Impulso y cantidad de movimiento.' Fuerzas impulsivas, choques O colisiones.' Croques elásticos e inelásticos.' Problemas.
224
MOVIMIENTO OSCILATORIO ..... ....................................................................... El péndulo SI~.' Elementos del péndulo simple.' ¿Porqué oscila un péndulo? ' Leyes del péndulo.' Fórrrulas dell1'lOV1miento pendular.' Problemas.' MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.' Elementos del MAS.' Ecuación de Elongación.· Resortes: Fuerza detomoadora, ley de Hook.· Fuerza recuperadora.· Eruaci6n de la velocidad del MAS.' Eruaci6n de la aceleración.' Velocidad y aceleración máximas.' Eruación del periodo y la frecuencia.' Problemas.' Densidad y peso específico.- Problemas.·
228
10. GRAVITACiÓN UNIVERSAL ... ........,.................................................... ........ ... .... Leyes de KepIer.· Ley de la gravitación universal (Newton).· Movimiento de los planetas y satélrtes.· Energía de una élbila circunferencial.· Problema s.-
305
9
1j
ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS (I-UDROSTÁTlCA) ....................................... ........ Presión "P',· Principio de Pascal.' Prensa hidráuhca.- Carrera de los émbolos.' PRINCIPIO DE LA HIDROSTÁTlCA.. CáloJlo de la presión hidraS1ática.- Vasos corrunk:antes.· LEY FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA.- Principio de Arquímides.· Olras consideraciones sobre la flotación de los cuerpos.' Posiciones de un cuerpo en Un liquido.· Fuerzas sobre superticies sumergidas.· Pesos específiros de sólidos, liquides y gases.· ProbIemas.-
315
12. Neumofogía ...... ... ..... ... ..... ....................... ........ ..................... .............. ..... ... ..... ... Experiencia de Tarricelli.· Leyes de las gases.' , Manómelros.·
334
13. CAlOR ..... ..... ... ... ........ ........ ............. ...... ..... ... ........ ..... ... ..... ... ... ........ .... ......... ... Termametria .· Diferentes escalas.- Dilatación térmica.- Prablemas .CAlORIMETRíA;· Temperatura de equilibrlcl· Proljemas.· CAMBIOS DE FASE.· Fusión, vaporización, ebullición.· Calares latentes.· Problemas.' TRANSMISIÓN O TRANSFERENCIA DE CAlOR.· Probtemas.- TRABAJO MECÁNICO Y CA· LOR. EQUIVALENTE MECÁNICO DEL CAlOR.- ProbIemas.-
339
14. TERMODINÁMiCA.... .............................. ..... .................................................. ... 380 Trabaja realizado por un gas.' Primera Ley de la Termodinámica.' Transformación del calor en trabajo.- Proljemas.- Máquinas térmicas: de combustión interna y de combustión externa.- Segunda Ley de la Termodinámica.' 15. ELECTRICIDAD ...................... ....... ...... ....•... ... ..... ... ..... .............. ........ ...... ...•... ... Cuerpos conductores y no conductores.- Ley fundamental de la etectrostática.PrctJlemas.· CAMPO ELÉCTRICO.· Intensidad "E' del Campo Eléctrico.· ProIJte. mas.' POTENCiAl ELÉCTRICO "VA"" Diferencia de PatenciaL- Problemas.' CAPACIDAD ELÉCTRICA.· Capacidad de una esfera .' Prablemas.· CONDENSADORES.· Asociación de condensadores.- Problemas.'
395
16. ElLECTRODINÁMICA...... ................... ................ ................ ........... ..... ..... ........... Corriente eléctrica.' Ampere, Ohm, \bIl· Ley de Pouillel a de la resistencia de conductores.' Problemas.' Aparatas para medirla Corriente Eléctrica.· Genera· dor de fuerza etectromatriz o Fuente de energía.· Caída de tensión.- Circuito eléctrico.- Asociación de resistencias.· Problemas.' Corrientes derivadas, leyes de Kírcl)off.· PrOOIemas.·
457
17. ENERGíA Y POTENCIA DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA ...... .......................... PoIencia eléctrica.' Efecto. JaLle.· Proljemas.·
484
18. MAGNEllSMOY ELECTROMAGNETISMO ....................................................... Petos magnéticos.- Dedinación e inclinación magnéticas.· Campo magnético ' S".- Uneas de fuerza.· leyes magnéticas.· Flujo magnético 4> .- Problemas.· ElLECTROMAGNETISMO.· Ley de Biot Y Savart aplicaciones.- ley de Ampere y Laplace.· Solenoide o bobine.·, Ley d'lla circulaCIón de Ampere.· Bobinas.Problemas.' CIRCUITOS MAGNETlCOS.· Ley de RowIand.· ley de Feraday.Ley de lenz.- Problemas.'
492
19. ÓPTICA ............ ....... ........................ ...... ............. .... .... ... .............................. ...... ILUMINAClÓN.- Problemas.- REFLEXiÓN DE LA LUZ.· Espejos.- ProbIemas.REFRACCIÓN DE LA LUZ.- Indices de refracción.- Angulo Ifm~e.· PRISMA ÓPnco.- Problemas.- LENTES.' Clases de lentes.- Elementos.' Potencia y aumento.- Instrumentos de aproximación yamphación.-
521
20. FENÓMENO ONDULATORIO .............................................. ............................. Las ondas y sus características.- FENÓMENOS ONDULJm)RIOS DE LA LUZ
563
8181..1OGRAFiA ................................................................................... ......................
570
FíSICA GENERAL
INTRODUCCIÓN
l
a Física es una ciencia de la investigade la observación, una ciencia natural cuyos problemas tienen soluciones matematlC
¿ y QUÉ ES LA CIENCIA? Cienda os la investrgadón metodcJ6gica de los fenómenos naturales. que sobre fa
base de una recopilaCIón de un conjUnto de expafirr.entos y conoCImientos ordenados y relacronados entre sr: conduce at pfanteamanto de leyes por determinación y sistematización de las causas. B clentifico en su trabajo de investigación realiza los siguíenles pasos:
a)
Observa,
b) e) d)
Organiza sus dalas, Planlea su leoría y Venfica y comprueba la ocurrencia.
En parte. es verdad que fa Física estu· dia los lenómenos que no anel8n fa estructura de fa molécula. L1 Quírrnca es la ciencia que estudia el C1lmbio de la misma. S", embargo la diferenaa entre Fisica y Química. en alguoos aspeclos, es imperceptl!le. Por eiemplo: la desintegración del álomo es Física y Químrca también. AI91nos de los cientr1icos que más han aportado a sentar fas bases científicas de la _ FíSlC
Joule. Faraday. Meyer. los esposos Curie, Einstein. Newton, Roentgen, ele. Hay hechos extraordinariamente sencillos pero que han aportado fantásticos avances, dando origen a las leyes físicas. CIJ)U conocimrento pfeno ha permrtrdo al hombre aprovecharlo en su beneficio. ¿QUÉ ES UNA LEY?
L/l}! del latín lex: regla y norma constante e rnV
o leyenda, para el C1lS0 no im-
se cuenta que Newton estaba apoya-
do al tronco de una pfanta de manzano cuando cayó una manzana de! árbol. este hecho hizo pensar a Newton: ¿cuáJera la razÓflque explicase fa caída de fa lruta?, esta reflexión le llevó a descubrir la "Ley de la gravedad". Ordenado por el gobemante de turno de su tierra natal, Srracusa, para averiguar si la cantidad de oro que tenía la corona que habla mandado hacer a un joyero, era /o que el joyero habia redbido de manos del gobernante, ccn la amenaza de que si no erlCOntraba la manera de comprobarlo perdería la vida, ArqU/medes, descubrió, en el momento
INTRODUCCIÓN
en que se ooñaba en una tina, lacélebil: "Ley del empuje hidros/ático", ley que le permitió calcular la cantidad de oro que tenía la coro-
na en cuestión
que condujeron a descubrir las leyes que gobiernan la naturoleza. Las leyes naturales se descubren casi siempre en forma casual, las leyes naturales no S8 inventan, se descu-
bren. Mientras obselvaoo como oscilaoo la campana de una iglesia, Ga lileo se puso a pensal en la razón de la oscilación y descubrió la "Ley del péndulo". CUando Meyer practicaba una sary;¡ría a un paciente (sangría es ta extracción de 250 a 500 g de sary;¡re y aplicarla nuevamente al paciente con el fin de curarlo de algunas entermedades como el edema pulmona/, usado mucho en el medioevo). descubrió una de as leyes pilares de la Física, la "Ley de la conservación de la energía ". Meyer era médico, no físico. Mientras reaJrzaba expefimentos de fU-tma, Roentgen descvbre los rayos X. l/amados as; por que ni él mismo sabía lo que había descubierto, munó y no llegó a saber de que provenia la energía que habla encontra-
do. En fin, en la historia cientifica se cuentan por cientos los casos y hechos fortuitos
LA MEDIDA En Flsica lo fundamental es medir, todas las leyes descubiertas deben ser medidas; para eflo se usan unidades de: pesos, Iory;¡itucfes, tiempos. masas y otras.
CANTIDAD Es lodo aquel/o que escapazdeaumen-
to o disminución, y puede por consigUIente, medirse o contarse_ Se mide la longitud de una calle, se mide la masa de un trozo de metal, se mide la vefoci. dad de un automó"I, la fuerza de un hombre, se cuenta ef número de alumnos de un Bula. etc.
¿QUE ES MEDIR? Medir es comparar una cantidad cualquiera con otra de la misma especie lomacfa como unidad. EKisten dos clases de cantidades para medir. escalares y vectoriales.
1
FISICA GENERAL
CAPíTULO 1
SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS Un resumen de la Guia para la enseñan-
ha evolUCionado, se han añadido algunas nuevas unidades, nuellOS ncmbres y también se han eliminado muchas medidas y rr>Jchos nombres. La Conferoncia General de Pesas V Medidas (CGPM) de 1 971, ha establecido 7 unidades de base, 6 unidades derivadas y 2 unidades suplementarias que conslr tuyen el fendamento del SI. En el Perú, en el año 1 982 por Ley N" 23 560, llamada "Ley de Metrologia", se han adoptado como unidades de medidas las del SISTEMA INTERNACIONAL SI Y por cons
za del Sistema InternaCional de Unidades de Medidas Sl:"o!ditado por el que fué ITINTEC del Perú (1 nslitulo de InvestigacIÓnTecnológica Industrial Vde NormasTécnieas) es lo que s¡gue a connnuaClÓll y cuyo propósrto es d,furdir para que el estudiante ccnozca lo que es el SISTEMA INTERNACIONAL, al que se le designa asi ·SI". El SI no es mas que el StSTEMA METRICO evolucionado y modernizado. Es Irrportante aclarar que el uso del SI en nada moddiea los conceptos científicos, sólo anenta para que las medidas sean más sinlJles y uniformes en todo el rr>Jndo, nada más V nada menos. 8 Sistema Métrico, a través del tiempo
UNIDADES DE BASE MAGNrruo
51MBOLO
NOMBRE
DIMEHSION
metro
m
L
Tierrpo
segundo
s
T
Masa
kilogramo
kg
M
Intensidad de corriente eléctrica
ampere
A
f
Temperatura
kelvin
K
e
Intensidad lumrlOS8
candela
od
J
Cantidad de SUSlancia
mol
mol
N
Longrtud
SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS
2
UNIDADES DERIVADAS NOMBRE
MAGNITUD
SIMBOLO
Area
metro cuadrado
m'
\\:lIumen
metro cúbico
m'
Densidad
kilogramo por metro cúbico
kglm'
Velocidad
metro por segundo
mis
Fuerza y peso
newton
N
Presión
pascal
Pa
UNIDADES SUPLEMENTARIAS MAGNITUD
NOMBRE
51MBOLO
Angula plano
radián
rad
Angulo s6~do
estereorradián
sr
NOTA:
Para usar los nombres y los símbolos debe tenerse en cuenta que:
El nombre de la unidad admrte plural, el símbolo en cambio. como denota unidad no admite plural.
1.
Ejemplos: De metro o metros el símbolo es "m', y no
Pmts· ni -ms·, De kilogramo o kilogramos el símbolo es ' kg", yno"kgs'
2.
Los símbolos de las unidades de medidas que tienen como nombre, el apell~ do de un científico, se escriben con mayús· cula. Pero el nombre de la unidad con minús· cula. Ejemplos: Arrpere (apellido) El símbolo de la unidad con mayúscula: "A" El norrbfe de la unidad con minúscula: 'ampere".
Cvuiomb (apellido) El símbolo de la unidad con mayúscula: 'C"
El nombre de la unidad con minúscula : ·coulomb'.
a.
Cuando ta unidad de medida esté compuesta por dos o más unidades silllJles, se escriben los si mbolos uno a continuación del otro separandolos con un punto. con el signo de la multiplicación o si"l'lememe con un espacio, nunca con un guión, y se leen los símbolos uno a continuación del otro. Ejemplos: Pa.s = Paxs = Pas Se lee: "pascal segundo'
C.V: CxV = CV Se lee: "coulomb voltio'
=
=
Nxm Nm N.m Se lee: "newton metro". Cuando la unidad de medida está compuesta por un cociente, se pone bajo la forma de quebrado. con una raya horizontal u oblicua y se lee el simbolo del numerador, luego la palabra "por" Ydespués se lee el símbolo del denorrinador.
4.
FislCA GENERAL
3
UNIDADES DERIVADAS DE NOMBRES PROPIOS (APELLIDOS)
Hay algunas magníludes lisices que se definen en términos de dos o más unidades, esto COfTllIica su uso, por eso se """'l'laza porsu equivalente. Asf 1 voltio es 'melrocualirado kilogramo por segundo al cubo arrperic', es evidente que es mucho más fácil decir ' voltio'. Del mismo rrodo un newton es 'kilogramo metro por segundo cuadrado', pero es mucho más lácil decir sólo 'newton'.
ASi:~ 1 V
__ m2 . kg
m 1 N = kg . •
53. A
s
En el SJ hay 13 unidades derivadas principales con nombre propIO. Al cuadro se le añade 2 unidades: el 'umen'y el'lu.', aparte de las cuales, todas las otras trece unidades mencionadas Nevan el nombre de científicos notables.
En estps ""SOS, la regla indica que el simbolo es una letra mayúscula o, de estar constituidos porvanas letras. solamente la primera tetra es mayúscula. Por ser slrrtJoIo no lleva punto de abrevialura. Cuando se escribe el nombre completo de las unidades, gramabcaJmente se considera romo sustantivo común y por consiguiente jamás se escribe con letra mayúscula salvo en el caso de comenzar la frase o después de un punlo seguido.
NOTA:
MAGNIT\JO ÁSlCA
1 NOMBRE DE LA SIMBOlD I UNIDAD SI
UNIDADES DE BASE
= s· = m . kg . s4 = rn' . kg . "
Ffecuercia
hertz
Hz
1 Hz
Fuena
.--'IOn
N
t N
TrabajO. Energia. Cantidad de calor
¡ouIe
J
1J
Presión yTensión
pascal
Pa
lPa = rrr ' _I
Pulencia
watt
W
IW
=rn' .kg . "
CarlIdad de electriddad
coolorrb
C
1C
= A.s
Potencial eIécttico. OíIerenaa de poIerdaI, Fuerza elactromotriz
vo/I .
V
IV
=
m' . kg . " . A··
Capacidad eIécIrica
!atad
F
1F
=
m4
Resistencia eléctrica
c/'rn
O
lO
= rn' . kg . S•. A<
Corrl.ctard. eléctrica
siemens
S
1S
=m<.kg·.s'.A'
Fk.jo de inducción magnética, Fk.jo mag>ético
weber
Wb
lWb = rn' . kg . .. . A··
Densidad d. flujo m'9'éIico,
leslas
T
1T
1lld0cd60~
. kg"' . S'.A2
'::;: kg . S4 . A·1
SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS
4
IrducIancia
henry
H
1H
= rn2.kg .
A""luomoso
I.nIen
1m
11m
= OO.sr
Iux
Ix
11.
= m'. OO. sr
lIurrinación
,
s~ . A-2
PREFIJOS NUMÉRICOS Y SUS SfMBOLOS
Todas las unidades de medidas que forman el Sf tienen múltiplos y submúf, tiplos y para señalar eslos se les antepone el simbolo numérico de un prefijo. Este es una letra que indica un nu-
mero que es múltiplo o submúltiplo de 10. En el SI hay múltiplos y submúltIplos preferidos y estos son los que cambian por los factores 103 6 10-3 respectivamente .
PREFIJOS PREFERIDOS MÚLTIPLOSYSUBMÚLTIPLOS NOMBRE DEL PREFIJO
SiMBOLO
FACTOR
EaulVALENCIA
exa peta tera giga
E P
10'8 10'.1
T G
mega
M
10 12 10' 10'
kilo ..
k
lO'
1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1000000000 1000000 1000
mili ..
m
lO"'
~
lO"'
. ~
o
~
,.~
.::>
~
iS o'" ....o.
S .~
..a
NOTA:
mlcro nano pico
10' 10-12 10.1$ 10· e
n P
femto
1
ano
a
0,001 0,000001 0,000 000 001 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 001
los marcados con • son los más usados.Además hay prefojos ' no preferidos' que no ~recen en las labias sin embargo el Sf los adrrite y son muy usados. PREFIJOS NO PREFERIDOS MÚLllPLOSY SUBMULTlPLOS NOMBAEIlEL
SIMBOLO
~
MÚl:JIPLOS DE10
daca
h da
SUBMÚLTIPLOS DE10
deci cenb
e
hecto
d
-
-
FACTOR
E
lO'
100
10
In
10 ' 10'
0,1 0,01
FlslCA GENERAL
5
¿CÓMO SE USAN LOS PREAJOS?
1 kcd ,, 1 kiocandela
= 1 000 cd
El símbolo del prefijo numérico se antepone al símbolo de la unidad de medida pata formar mú~ o submúltiplos de la urodad de medida. El sfrrbolo de la ,.,idad de medida puede ser de uridades de base, derivadas o suplementarias, pudendo estar la ,.,idad de media con nombre sirrple o con nombre compuesto.
1 tJA
= 0.000 001 A
Ejemplos:
= 1 rricroamperio
NOTAS :
El prefijo se escribe siempre pegado al sfrrtlolo, sin dejar espacio ni poner coma ni punto- Al juntar un prefijo con el símbolo se forma el SI rrbolo de una nueva unidad (múhlplo o sutmúhiplo de la unidad originaria).
km
= kilómetro
= 1 000 m
Mm
= megámetro
= 1 000 000 m
Ejemplos:
,,1 000 000 000 m
0,000000 001 J = nanojoule
Gm = gigámelro
=nJ
¿CUÁNDO SE USAN LOS PREAJOS?
0,000001 N
= miCfonew1oo = ¡¡N
En algunas oportunidades, en las operaciones o en los resultados, no corr-viene usar las unidades pnncipaJes, o por muy grandes o por muypequeñas, enton-ces seaeenseja usar un prefijO numérico.
0,001 Pa
= mili pascal
= mPa
10001.
= kilolux
=klx
Ejemplos:
1 000 OOOW = 1 M W = 1 rregawaftOO 0.000 01 m
= 0.01 mm = 0,01 miímetro 0,001 A = 1 m A " 1 miliampeño
946 000 000 000 000 m = = 946 T m = 9 46 ternmetros 0,000 000 000 000 002 = 2 fm = 2 femlómelros. otros ejemptlos: 1 rrm = 1 miimetro
llfl1
=1 nicrémetro
No se debe escribir doble prefijo. En el SI allg ual que en el Sistema Metrico existen múhiplos y subrruhiplos que varían de 10 en 10, sin embargo, en el St se eligen los rrulllplos de 1 000 en 1 000, en otras palabras los rrultiplos varían con el faclor lO' y los submúlliplos con el faclor 1O~. Para escribir un número se separa con espacio cada tres cifras, sin utilizar ninguna dase de signo; la coma sólo se emplea para separar los enteros de los decimales. Las Cifras de 3 en 3 se separan de la coma a la izquierda cuando son enteros y de la coma a la derech a cuando son decimales. Así:
=0,001 m
34 654 385, 876 89
0,7265638
=O,OOOoolm
3987694 110,7
0,009 !lOO 3
UNIDADES QUE PUEDEN SER USADAS CON LAS UNIDADES DEL SI
MAGNITUD
UNIDAD
Intervalo de ti~
minuto
Intervalo de b~
llora
51MB.
h
COMENTARIO
Como se viene usando
----
SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDlOA.$
6
UNIDADES OUE PUEDEN SER USADAS CON LAS UNIDADES DEL SI
Int~rvalo
1 51MB.
UNIDAD
MAGNITUD de tiempo
COUENJ'ARIO
di.
d
Como se viene usando
grado
•
Como se \llene usando
Ángulo plano
,
Como se \llene usando
~ndo
.
Masa
,,,,,,,,.da (métrica1
I
en comercio. reetrjllaza al Mg
Energía
electmnvoltio
eV
Sólo et1 Frsica nuclear
Masa
unidad de masa atómica (unificada)
u
Sólo en Fisica
Longitud
Unidad aslroo6mlca
UA
Sók> en Astronomía
Loogitud
parsE<:
pe
Sólo en Astrooomla
M
Sólo .., navegomaritnL y aérea
Áng.Jlo plano
rnin.JIo
Ángulo plano
Como Sé viene usando
Lo,.,g1ud
mila(ná~)
\IeIocldad
kilómetro por hora
i
Sólo para tráfico carretero
VaIocidad
nu:lo
millalh
SOlo en navegoaérea y marítm.
Superficie
heclarea
ha
Sólo .., terrenos
T""""",tura
graOOs ooIsius
OC
Sólo si
Freouenda de otaci6n
revolución por ninuto
r/min
rpm
"""'vio no es .....esc.
ALGUNAS UNIDADES DE OTROS SISTEMAS Y SUS EQUIVALENTES EN EL SI MAGNIlU)
Iroscosida
UN!OACY siMeoLOOUE NO CEBE USARSE
SÍMBOlo
SI
pascal
P
poise
lJNjDADst
CORRECTA
Pa.s
1 p= l00mPa.s =O,lPa.S
~/s
1 SI = l00rrm'lsm = lO"' rri'1s
segoodo
diIámIca
sr
metro ruadradc:
EQUIVALENCIA
VIsccsidad cinemática
stokes
Energia
kiIo¡pmo ruerza kgf.m melro
joule
J
1 kgtm = 9,8 J
En"'llla
0(9
joule
J
1 "'lI = l00nJ=Ia'J
Etlergia
cabía
joule
J
1 cal = 4,1866J
porsegmdo
erg cal
FIslCA GENERAL
UNIOADYSfMBOlOaue NODEBEUSAASE
MAGNITUD
r~ro almóslera
Energía
Fueaa
--
I.alm
k.Iogram:¡ luerza
kgf
UNIOAOSI
CORRECTA
7 I •
r~OlO
EOJlvAlENCIA
joule
J
1 I.atm; 101.328 J
newton
N
1 kgf= 9,Bl N
newton
N
ldin;10~N ;
Fueaa
.....
Frecuencia
ciclos po' segundo cJs
heril
Hz
1 cJs=IHz
lIurrina.ció"
pllot
Iux
Ix
lph = 'Oklx ~ IO'Ix
melro
m
1 fermi "" 1 1m ""
- t-
--
Longi1ud
-----
din
ph
fermi 1---
I
l a' N
-10' ~s
m
LongitLd
frierón
~
metro
m
1 ~= 1 ~m= I()'M
LongitLd
unidad
X
metro
m
, unidad X = 100.2 1m
umnaraa
slilb
candela por
cdfrr¡
1 sb = 10 kcdfm' =lO'cdlm'
Iesla
T
1 G - loo"T= 1()'T
lesIa
T
, 9 = ,nT = ,O"T
amper. por
AIm
1 Oe - 1 000I4n AJm
Wb
1 M)( - 10nWb e
sb
metro cuadrado
lnó.Jccion V FkJ¡o magnélJCo6
gauss
IróLdón Y 'k.¡o
gama
magnétICOs
tntoosidad de tarT'C)O
magnético
Flujo rragnétiCXl
G
9
""",too maxweI
Oe
metro
weber
Mlc
= 'O"Wb
--Moo'looIO
metro kilogarro llJElf2a
Potencia
caballo de fuerza
newlon metro
N.m
1 m kgf = 9.81 N.m
waU
W
1 HP = 745,499W
mkgl
HP
ALGUNAS UNIDADES DE OTROS SISTEMA.S y SUS EQUIVALENTES EN EL SI
MAGNTUD
UNlDADY slMBOLOflU'
NO DEBE USARSE
Presiól1 O
kiogramo fuerza por
TB"lSión
centímetro cuadrado
t_li Presión
UNIDAD SI CCfIRECTJ\
Pa
pascal
ECtJIVAlENCIA 1 kgIIari- = 98,1 kPa
= 9.B06 65 x 10' Pa
1
SMlOlO SI
1 pascal
milrme __t'_ o _de_ _mmHg _ _-"I_pasC3 ¡ _ _ I_ _
- 1001
I~ I Torr = 133,322 4 Pa
l
Pa
1 mm Hg =133,322 4 Pa
SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS
8
, MAGNTUD
Presión O Tensión
UNDADY slMeOLO QUE
~IDADSI
NO DEBE USARSE
CORrECTA
kilogramo fuerza por
centimetro cuadrado
Presión
torrioolfi
Presión
milímetro de
Presión
atmóslera
Presión
barra
TorQue
metro kilogramo fuerza
mercurlo
pascal
SfMBOLO SI
Pa
kgIIcm'
TOf'
m~af
1 kgfIcm' = 98,1 kPa = 9,80665.10' Pa -100kPa
pascal
Pa
1 Torr = 133,322 4 Pa
pascal
Pa
1 nvnHg= 133.3224 Pa
pascal
Pa
pascal
Pa
1 baria = 10 1 Pa
newtoo metro
Nm
1 ""91 = 9,Bl N.m - 10N.m
rnrnHg aIm
EQUIVALENCIA
1 atm:: t01 ,325 kPa
= 101 325 Pa
NOTAS: Al kilogramo luerza generalmente se le ha nombrado incorrectamente kilo· gramo, lo que ha contribuido a la confusión de los conceptos peso y masa. Si son permitibles los errores del orden del 2"10 (y casi todos los instrumentos de medición industrial lo son), se pueden efectuar las siguientes equivalencias.
1 kg '" 10 N t kgl/cm' '" 100 kPa lm.kgf '" 10N,m=10J Como la respuesta para un problema en
el SI siempre tiene una sola unidad (según la especie que se busca), no siempre es necesario arras1rar un¡'" dades en el proceso de operaciones para hallar la unidad que se busca; eso sI, las unidades que se usan como datos y las que se usan en el proceso del problema, todas deben ser estrictamente del SI. En caso contrario, cuando los datos del problema son dados en otro sistema de unidades, previamente deben hacerse las respectivas conversiones al SI.
VOCACIÓN: "Inspiración con que predestina la ProvIdencia para una actividad determinada".
FISICA GENEIlAL
9
CAPíTULO 2
ECUACIONES DIMENSIONALES IJNIDADES FIJNDAMENTAlES
RI:COMENDACIONES BÁSICAS:
La serna o resta de las mismas midades origina la misma unidad, así:
Toda la ciencia y toda la técnica para su desarrollo realiza medidas, es decir mide, porque sobre la base de las medidas se hacen las il"MlSllgadones científicas. Se consideran dos sistemas de \H1idades fundamentales: El SIstema absoluto y el técnico, grav1tacionaI O práctico. Las unidades fundamentales Se representan con la letra inicial de Su nombre.
a)
a) Sistema absoluto,
,,+62,4t = I.T = T el Se escriben en forma de entero, y si es quebrado se hacen entero con exponentes negativos, asr:
Unidad de Masa Unidad de longitud Unidad de Tiempo b) Sistema técnico
O
M L
T
.!:2 = LT·2
M-
F
L T
Son expresKlf1eS del tipo algebraico, que valiérdose de las unidades fundamentales son representadas por las letras M, L yT.
Fines de las ecuaciones dimensionales:
e)
2L+8l = L
lT _ LTIK'
ECUACIONES DIMENSIONAlES
b)
Cualquiera que sea el coeficiente numérico. y cualquiera que sean las cons· tantes, sierrpre se reemplazan por f, asr:
bl
gravitacional:
Unidad de Fuerza Unidad de Long~ud Unidad de Tiempo
al
T.T - T.T=T -ML·' • Ml:' = ML·'
Para p
d)
T
El siglO I I significa "ecuación dimensional
de".
Ejemplo: Si "e" expresa Iong~ud entonces I e I = L el La dimensión de un ángulo odeunafunción tñgonométrica es un número. como tal dirnensionalmente es 1
130" 1=1: 1.12 /3 1=1: I lg 28"
I sen 15°
1
= 1:
+ sen 60°
I=
1
ECUACIONES DIMENSIONALES
10
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
Hallar las ecuaciones cJt.
Ml2 T-3 = 1 (r')' . (L)Y.(ML-3)z
mensionales de. la Fuer· za, Velocidad. Acelernd6n y Densidad
O sea: M L2r 3
RESOLUCIÓN:
Identificando exponentes de las dimensiones sigLientes:
a) I F I = rn a = rn L = MLT-2 T2
~
d = Lr' 1 d L ~ c) la I ~ 2 = 2" = LI -
b) Iv l
T
t
d) 101 =
~v
~3
=
L
=Me 3
del peso específico. RESOlUCIÓN :
ma
IP.e. I = V = V Rpta.:
rn d =
v"¡2
ML = LST2
p ': K w· r'f DI
=
siendo w velocidad angular; r radio de la hélice; D densidad del agua de mar. Hallar
x, y, z. Se calculan las ecuacio· nes dimensionales de cada uno de los elementos de la ecuación: RESOlUCIÓN '
IP I =
trabajo tiempo
= ~ = mad T
T
2 = M(LIT ) L = ML2 T<3 T K =1
I I =.!T =r' Iwl = ángulo tiempO I rl = L I D I =
~ L
rX
Iuegoz=1 luego x = 3 luego y·3z = 2
=2 Y= 5
luego y-3
PROBLEMA 4.
La ley de la atracción un~
;
versal de las masas
Hallar la ecuación dimensional de K RESOlUCiÓN : Despejando K:
(1)
IFI=m a=M L2 =MLr2 T
1&I=l2; 1",,1=1.4; 1"'2I=M 2 En (IHK I = MU·· . l = LS M"r2 M.M RpIa.: IKI = l3 M" P PROBLEMA 5. Hallar las dimensiones deO.
a Siendo:
= WV[II - (IoQK)3f
W = trabajo o energla;
v = velocidad; n = 3.1416; K = constanle (K > O) RESOlUCIÓN :
IWI = F.d = m.a.d = M. L2 .L = Ml2 r T
= ML-3
Sustituyend<> en la ecuaCIÓn propuesta'
es-
m, m2 d"
F = K
lablece que:
K=~ m, ."'2
La potencia de una hél~ ce impulsora de unbarco
= =
[)"3z
Peroz = 1
IP.el = M L'2 1"2
PROBLEMA 3.
es:
M = M' T<3 = T"" L2 = [),.3z
Hallar las dimensiones
PROBLEMA 2.
F
= M'
Ivl
= ~ = !,. = L T"
T
T
2
r=fs/CA GENERA. Ecuación dimensional del corchele Sustituyendo en la expresión dada:
Apta.:
=1
101; Ml2 r 2. LT·' 10 1= Ml3 T·3
PROBlEMA 6.
IDI=~=M=Ml-3
21t LXgY
= =
Sustituyendo en la expresión dada: M L:' T 2 = X T2 = YM 1:3 - zM l
= Ml" r 2 ... Rpla.: x = M[, T-4
2) Y M L:3 = M L" r 2 :. Rpla.: y = l2 T 2
1TI =T ; 1211 1=, ; II I = L 191=9,8 ~ = L2 = l T"
3) zM l
r 2 =M ['T-.2:.
PROBLEMA 8.
T
s
T = l' (l r2)Y
; T = l"Y T2y
Complelando la ecuación para el primer n1entlro: LO T = LX., T2y IdentifICando los términos de la ecuación:
=o
x+y = O -2y =1
De (1) Y (2) : Rpta.:
y
,
= - 1/2
;
= presiÓl1,
= densidad,
= tiempo,
t
F = fuer;za
1alm 1 = 1L I
presión =
~ = M [' T 2
= vol.Jmoo = L3 ;
ImoI l =N; IKI=K M ['T-.2l3
RI = NK 1RI = Ml2 T 2 NK 1
Rpta.:
PROBLEMA 9.
Para que la ecuaCión siguiente sea dimensionalmente correcta, hallar x.
x t, = (x 1, + K.e.ces aO ) (I.K)"'"
RESOLUCIÓN:
Donde 1, y 1, son liempos
!'. = ma = M.(l~T2) A
10,0821 = 1
10.082 1= 1
Si la expresión:
Calrular X. y; z
IPI =
RESOLUCiÓN :
x = 1/2
P = 2x lag It .t' + y O + ;z F es dimensionalmente correcta, donde:
D
mol K
Suslituyendo en la expresión dada:
PROBLEMA 7.
P
El valor de la cons-tante universa de los gaseses:
¿Cuál es su ecuaCión dimensional en el SI?
(1)
(2)
Apta.: z = l ·2
R=0082 atm . l
SustituyendO en la expresión propuesta:
=>
r2
Si la expresión es dimensionalmenle correcla, todos los sumandos deben ser de la forma M 1.:' r 2 es decir: 1) XT2
é y
RESOLUCiÓN: Por dalas:
al LO= l'" b) T =T"
l3
l I FI=ma=m';' =M 2 =Mlr2 t T
Donde: T = perrodo (tiempo), L longitud del péndulo, 9 aceleración de la gravedad. Calcular. x
11og1t 1=1 ; lti=l V
Si la fórmtJa det pericrdo de un péndulo eslá
dada POC T =
11
A
~
= ML:'r2
e = distancia ; K = constante (K > 1 )
RESOLUCiÓN:
ECilACJONES DIMENSIONALES
12
1121= T ; 11,1 = T ; 11, 1= T IK I=t :lel= L 112 1=T 1(I.Krv' l = I Icosa" I= 1 Reefl'lllazando todo en la ecuación dada se 1endrá: xl = xl+l Para que sea dimensionalmente correcta debe cumplirse que:
l
= xl
x
Rpta.:
PROBLEMA 10.
donde:
D. w
s = área,
F = llJeaa,
v = velocidad ¡neal.
D = densidad.
a = aceleración angular,
W=
RESOLUCiÓN:
¡vi
=
lT"
trabajo.
IS I = l2 : Ia I = r 2 IDI = Ml-3
Sustiluyendo en la expresión dada:
IEI-
L'. l T' . ML r '. T ML-3 . ML2
Sustituyendo en la expresión propuesta:
T3 M l2 r-3 l • (l r 2)' ( M l r 2)I rE Ml' = ty T2V lA' l' r2I T"ML" = ty"ri2y+2z)M" Identificando dimensiones:
L,'
=
HaJlarla ecuación dimen· sionaJ de:
E=S .v. F.a
Ixl =l ; lal=lr2 IRI=Mlr2
M
= M'-
Si la fórmula d'1/T1ensionaJmente es oorrecta. ¿Cuál es la ecuación dímen-sionalde x, de P y de Q, si K/A liene dimensiones de masa
~ AJ 2 9 h • x2 A
=área
PROBLEMA 11.
Ix2 1=12ghl
bl
, . Px = a'R'
= =
IP I = M ( L~12 1L
= M L' r-3
Ixl =
,
Ix2 1= ~
L
de donde:
LT-1
Dimensionalmente los sumandos del primer miembro deben ser iguales.
Rpta.: el
I P I =T=F ;e=m.~e
x2 1 = L2 T 2
L2 (L2 T'lv2
Hallar el valor de z, sabiendo que:
ITI = T
=>
I~ b9h -"1
es dlmensionaJmente correcta. T tiempo. a = aceleración, P = potencia. R = fuerza. x distancia ó espacio,
RESOLUCiÓN:
; g = gravedad ; h = aKura
Cátculode la dimensión de x. Oimensionalmente, en la raiz, minuendo y sus· traendo deben ser iguales:
Rpta:
T=tiempo
=QK
al
r'
Si la fórmula:
+ P sen a
RESOLUCiÓN :
2
~ E I = L5 T-3 ,,1
Rpta. : z = 1
PROBLEMA 12.
I
Rpta.:
..
= IPsenal
=IPI : de donde:
I P I = L' T·1
Si dimensional mente los sumandos del primer miembro son iguales. basta compararcimensionaimente .., sumando del pOmer mierrtlro oon el segundo miem-
bro; de donde:
101 = I
N2 II.x'l; Q
FlslCA GENERAL
de acuerdo al dalO AI K ; 1/ M
~ Ab 111- x
2
I
1;
Ia KI
Además la rarz es: (L' r
2
)'/2 ;
IDI = M = ML.,'! V
Apta :
(Densidad)
Reemplazando las dimensiones en la expresión original:
ML~. LL; LO .L r '.M'2 MLoS
101= ~M L r l 101= M·' L r'
ll.e!iO :
13
~ [5 ; M' Lll =>
[5
= Lll
Identificando exponentes: Rpta: PROBLEMA 13. SI la expresión siguien-'e es dimensionalmenle correcla hallar las dimensiones de a
p; 5
Si la ecuación dada es
PROBLEMA 15.
dimensionalmente co-
rrecta hallar las dimensiones de S.
a. cs~45° + 5p,¡ae tg 45° ; w Donde:
a = constante w = trabajO
e = distancia
Si la ecuación es cllmensionalmentecorrecta, 10$ sunandoo tienen igual dimensión, e ogua! dimensión al segun-do miembro, es decir:
lag • i1 = Iogaritmoo K = nÚlrero (K > O)
RESOLUCIÓN:
Iacsc45°1 = 1wl lacsc4So 1=la l Iwl =Ifdl =Imad l Iwl; ML'T-2 Rpta .: la l = ML'T'
donde:
y.
PROBLEMA 14. ¿Cuál debe ser el valor de 'p' para que la expresión siguiente sea dimen-sionalmente correcta?
~D) .c.e ~ --¡s--' O·.V.I . ( ¿.. j
o
j,,1 V
;
Dg . q = e, e =
, = M'T
velocidad lineal densidades longitudes
RESOLUCiÓN :
V. VI ' V, = velocidades R
= radio
; H = aHura ; I = tiempo
RESOLUCiÓN : Por ser el miembro de la izquierda una cantidad adimensional, es decir, por ser numérico su valor, y por ser la igualdad dimensionalmenle correcta, se tiene:
•l_ ISIL. LT" - (L ,1)'11/2) Rpta.:
ISI = r'
PROBLEMA 16. Enlaexpresiónámenoonalrnente correcta, hallar LIl8 relación entre las dimensiones de m y n.
R2h = [(m Vh·' + Rnv¡sr
• = D, + O, + O,+........+D.
Siendo : R , h V ,V
Esto Si9n~iCa que, dimensionalmenle se representará sólo por:
RESOLUCIÓN :
~O,
= distancias = velocidades Por ser la expresión dimensionalmente co-
ECUlCIONES DIMENSIONALESE MEDIDAS
14
rrecla, la parte interna del raélCal. será tam-
bién dimensionalmente COfTocta. tal que debe
!mVh-1!= IRnV' I
cumplirse:
1n i
~
Apta:
L'
In l
RESOLUCiÓN : A2 = 2 ~ b
(L2)' = IKJ L
=L2
L4 = IKJ L
Enlas;gl.ienteexpre-sión dimensionalmenle correcta. Hallar las dimensiones de K PROBLEMA 17.
A'
2Kb =m (J b2 •
)2
X2 • X
A = área b. x = longitudes
Siendo:
(J tl • x2 . X)2
Dimensionalmente se tiene:
como: IVI =IV' I => Imle' = Llnl ~= L=L.L
m = masa
(JL2 • L2 . L)2
(Jl2. L)2
L4
= I K I L (L . L)2 M
•• "
= IKIL M ", 2 . 08speJ·ando IKI :
IKI = ML
Rpta.:
EN EL SISTEMA TÉCHICO O GRAVITACIONAL LAS UNIDADES PUEDEN EXPRESARSE AS!:
IPeI = Fl.,) 1mI • Fl·' T2 (Masa) ; IDI· F l" T2 ¡tlo!
l!tioa) ; IEo I • FL {Eno!¡¡Io Pol""""l
..
EJEMPLO:
HaDar las dimensiones de x en el Sistema Técnoco
~
RESOLUCiÓN :
M = masa de doIlfe Elevando al aladrado
y considerando la ecuación dato:
X=M 3 ; M =t
a
:. Ixl = (FL·IT2f
Apta" ) 1 1= F' L' T'
PR08LI1fAS PROPUESTOS 1.
La fuerza centrípeta depende de la masa. la velocidad y del radio de giro
del cuerpo en rotación. Hallar la fórmula concreta para la fuerza centrípeta. R~ .:
2.
Fe =
mv' R
E= (h+ Doode; h
= a~ura. P = presión. P.e. =peso
específico. v = velocidad. g = gravedad yw= peso. Hallar su ecua
La f6rmula de Bernoulli para medir la energía de un IIqtido que discurre es:
:e.+~:) . w
3.
IEI = ML2T~
La fórmula de la energía cinélica,es:
15
FlSICA GENERAL
hallar su ecuación dimencional. Apta: ML2 r 2
= -
ro sm 8
IEc l.
la fónmula de la energia potencial es: Ep.p.h,
4.
Determinar x. y . l , si la expresión dada eS dunensionalmente correcta:
9.
Ec • 21 mv2
x
2t'
d+y
. -z
ro = velocidad angular ¡¡ longitud
donde:
I = tiempo 9 ángulo
=
=
hallar su ecuación dimensional 2
Apta" \ Ep \ . ML
la ecuaci6n:
5.
10. Hallar las dimensiones de 'x' en el sistema técnico, en la siguiente ecuación mostrada:
r-2 Ay.
+
t)V3
• (5
~ By • 3
OFx. 20BCOS29
= ángulos ; m. masa = cantidad de movimiento E = presión Rpta.: Ix l =FL.,'Il
Es la expresión de un proceso Ifsico c:ooaeto. Hallar B !l!l.laIiéI1 dimerrsional de D Yde Y.
101'
Apta.:
M':
Ivl . 101.
11. Sabemos que para un fluido se cumple que la relación del esfuerzo tangencial (T en kglm') al gradiente de velocidad:
M"
La energía de un choque es:
E. (1 _ K2)
~m2_ (v, - v2) ml.m2
K = 'l' -
Doode:
2
1El
= M L21'2
IRI • M L2 r-2 9"
=sen 3()0 (a + a 2) ro
a, a" "'. • aceleracÍÓI1 angular Rp1a.:
=velocidad angular
Ixl • r ..12
r
du/"f
I VI = L' r'
v2
N·I
HaJlarlasdimensionesde x para que la expresión sea dimensionalmente correcta:
ro
es: 11 •
12. Un cuerpo se rrueve. y su trayectoria está definida por:
• = -;:-:-.,----=---,---; 2 A(sena. 11. ces al
8.
X2 al
mlslm
V?
Apta.:
Halar la ecuación clmensional de la constante general de los gases en el SI.
Apta.:
en
Si llamamos viscoSK:lad cinemática a la rela· ción: V • 111 P donde p es la densidad del fluido. ¿Cuáles son las dimensiones de
v;
V, - v2
Rp1a.:
du
"f'
2 -
CaIe....ar su ecuación dimensional.
7.
C
A = aceleración. B = velocidad. F =fuena. q = ángulo
Donde:
6.
'" y 8
Donde: x. distancia; V = velocidad; Il,. ,. adimensional; a ángulo.
=
Hallar las dimensiones de A
Rpta.:
lAI.l r'
SISTEMA INTERNACfONAl DE MEDIDAS
16
CAPíTULO 3
VECTORES SÓlO estudiaremos los vectores caplanares. es decir a aquellos uticados en un mismo plano. ¿QUÉ ES UN VECTOR? Etimológlcamenle, 'veclor" es un elemenlo 'que conduce' . CANTIDAD En la inlroclucción se definió la cantidad, ahora por su importancia se recalca: "cantidad es tOdO aquellO que es capaz de aumento o disminución, y puede, por consiguienle, medirse o contarse", ¿QUÉ ES MEDIR? Es comparar una cantidad cualquiera con olra de la misma especie, tomada como unidad de comparación,
Hay dos clases de cantidades: Escalares y Vectoriales.
CAlmDADES ESCAl.ARfS Son aquellas cantidades que están plenamente determinadas por su MAGNITUD, es decir, por un número que expresa su "cantidad" y por una especie o unidad que expresa su ' calidad". la cantidad escalar también se le llama MÓDULO. Ejemplos:
40 m (longitud); 35 kg (masa); t 2 min (tiempo).
Las cantidades escalares se manejan con las reglaS usu ales del álgebra.
CANnDADES VECTORIAlES Son aquellas cantidades que además de tener "numero y especie' (módulo), tienen dirección, sentido y punto de aplicación. Ejemplos,
16 N hacia la derecha (Iuerza); 9,8 mis' en dirección vertical (gravedad); 60 kmIh hacia el norte (velocidad).
Las cantidades vectoriales no siempre se pueden manejar con las reglas usuales del álgebra. Notación:
Una cantidad vectorial se representa con una letra y una flechita o segmento colocado sobre la lelra o simbolo. Ejemplos:
F. g, v. E,
elc. o F. 9, VI E, etc.
la notación F indica el valor vectorial que expresa la magnllud (o módulo), la dirección y el sentido de la fuerza.
NOTA:
La lorma I F I o F expresa sofamente la magnitud o el módulo de la fuerza REPRESENTACi ÓN GRÁACA DE UN VECTOR Un vector se represenla gráficamente por un 'segmento de recta arienlado· Se
FIs/CA GENERAL
17
A veces a un vector se le llama con dos
llama segmento de recta orientado a un segmento con una ftecha en uno de sus extremos. A ese extremo se llama -punta-, yal otro -origen-o punta o saeta origen Así:
....
letras, por ejemplo el vector AB, donde A es el punto de aplicación y B es la punla. VECTORES EQUIVALENTES Dos o más vectores son equivalentes
ELEMENTOS DE UN VECTOR
Sea un vector F al cual wrncs a re-
cuando al desplazarse paratetamente, ISlO ce-
incide con el otro. Así los vectores
F y E.
presentarlo gráficamente, sus elementos son: magn~ud, dirección, sentido y punto de apliCación.
~ b A d a
F
a) Magni\lJ d: Es el valor absoluto o módulo _ del vector. Se representa asi:IFI ó F b) Dirección: Es la recta a lo largo de la cual se desplaza el vector. Está definida por el ángulo medido en sentido antihorario desde el semieje posiliw horizontal hasta la posición del
vector·u·.
el Sentido;
Es la orientación que lleva el vector y está indicada por una ftecha. Arbrtrartamente se le asigna el signo -.- oelsi9no __ o.
Los vectores se pueden trasladar paralelamente a su dirección original. Esta es una propiedad irrportante. Si al trasladar el vector F paralelamente '!.su dirección hasta ~rse al vector E, estos coincide!!. en ~gnitud, entooces son equivalentes: F i i E VECTORES COLINEALES O UNIDIRECCIONALES Se Haman asl a los vectores cuya dirección está en una misma recta. pero sus sentidos y magnitudes pueden ser iguales O diferentes. Ejemplos: a) b)
dI Punto de aplicación:
Es wrtable en es el punto sobre el cual se ~ actúa el vector "A". El vector
F podria ser un vedor fuer.za
cuya magn~d sea 60 N, con sentido positivo, con una dirección que hace un ánglJo "fJ." con la horizontal.
(
el d)
a)
bl e) d)
"Buscas el éxito, ¡estudia!"
.M
Ñ-
• ¡;
é·
+~
F·
+6 +E
Desiguales de sentido contrario tguales de sentido contrario Desiguales del mismo sentido Desiguales de sentido contrario J. GoiI/ Gafaru.
)
~-----~
lB
VECTORES
ÁLCEBRA ()f VECTORES CÁlCULO DE LA ¡ESUlTANTE
_ _ ~ _ _ -,':..,:Ñ, -_
SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES COUNEALES
la resul1ante de la suma o de la diferencia de YeCtores coIlneales se obtiene haciendo COIncidir ef origen de uno con la punta del otro. Ahora. si los dos tienen el mismo sentido, la magnitud del vector suma tiene la mag, nitud de la suma de los vectores. Cuando los vectores son de sentido contrario, la magn~ud del veclor suma es la diferencia de las ma9n~udes de los veclores. SUMA: A + B
SUMA: Elecluar M
-
-
R = M·N
Aplicación:
M
~
5 YN
~
15
..
R
~
5 -15
~
-10
SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES PARALELOS
Cuando las direcciones son parafelas ambOs veclores se trasladan a una sola paralela y se convierten en vectores colineafes. aplicándose la suma o resta de vectores colineaJes. AsI:
+ N
M
Ñ VECTORES NO PARALELOS Y NO COIlNEALES
Son aquellos veClores cuyas direcciones
se intersectan. Ejemplos Aplicación: M~4
Y N~12.5 -'.
R~4+12.5~16.5
Ñ
DIFERENCIA:
A- B
FORMUlAS TRIGONOMÉTRICAS
RecordetnOO algunas fÓfmlAas trigonométricas sencillas. A lo largo del curso nos DIFERENCIA : Electuar M
+ (- Ñl
veremos precisados a usa~ as.
FiSICA GENERAL
En ~n triángulo ~B rectángulo ABC: e a A
19
la del segundo, esta recta orientada, así tra· zada, es el vector resuttante. Así: por ejemplo sumar Ji y
B
e
a b
Sea: a un ángulo agudo; a y b los catetos y c la hipolenusa
= =
sena = alc rosa
tga
=:::)
=
a = cseno.
=> b a/b 6 tga b/C
crosa
NOTA:
=sena/cosa
rra el triángulO.
En un triángulo oblicuángulo ABC: 8
ñ: e
A
a
a
y
b
SeanlosvectoresJi yB. Para restar, se truza el traza el vector minuendo, manteniendo su magnitud, dirección y senlido; de la punta de este vector se traza el vector sustraendo manteniendo su dirección pero con sentido contrario; se une el origen del primero con la plrta del segundo, esla recta, así trazada es la resuttante. As; por ejemplo, restar Ji y B DIFERENCIA:
8
h
I
e
La resultante es el vector que cíe-
H
Ley de senos:
Regularmente esta ley se usa para calcular el ánglAo ~ fonna la resuhante con uno de los vectores, es door la direCCIÓn de la resul· tanteo
I~=~=~I Ley de cosenos: Para cualquier triángulo
I .2 = b2 + e' • 2 be ces a I
Obsérvese que:
NOTA:
SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES NO PARALELOS Y NO COUNEALES. CÁLCULO DE LA RESULTANTE
A· B = A+(·8)
La resuttante es la que cierra el ITlángulo.
Ejemplo: Hallar la resultante geométrica del siguiente sistema
MÉTODOS cmlCOs
o
A. NÉTOOO IJfL TR/ÁNCULO SUMA:
SeanlosvectoresAy
s.
Para sumar se traza el ¡rinervector a escala, coo su dirección, mago nitt.d y sentido; desde la punta de éste se traza el segundo vector CUidando que también mantenga Su magnitud, dire<;ción y sentido. Se ~e et origen del primero con la pun-
y
·c
Se traza el veclor A, a continuación, y de ta puntade~e, se traza el vectQr S,seuneel origen de A con la punta de B y se obtiene la resul.tante parcial A" de '!l punta de este vector R" se traza el vector e pero CQI'1 sen-
VECTORES
20
tido contrario (-C), se une el origen de A, con la punta de y se obloene la segunda resultant<:.parcial R•. Desde la punta_de este vector R. se traza el último vector O y se obtiene finalmente el vector resul\a(lte lotal R. AsI:
e
Cuando s.:>n más de dos veclores:
Primero se suma A con B por el método del paralelogramo l' se obbene R" luego se suma R, con por el método del triángulo o si se quiere por el método de! paralel.Qgramo y el resultado es la resullante final R . Así;
e
~
Al Desde un nlISIT10 punto, haciendo coincidir los origenes, se tra-
2an los vectores que se van a sumar con sus magnitu!es, drecciones y sentidos; luego. desde las pt,nIas de cada LnO se trazan parnJelas al 000, conIOrmándose un paraleIogramo;1a (Iaque lJ1Il el origen de los vectores con la ntersecáón de las paralelas es ~ ~ resuItanteo As! por ejerTllk>: ~aficar A + B
gonru
B
RESTA:
Consiste en trazar desde un mismo punto el rrinuendo y sustraendo, pero el sustraendo en sentido contrario. De las puntas se trazan paralelas al otro veclor formándose el paralelogramo; se une el origen de los vectOr>lS con la intersección de las paralelas y se obtiene la resuttante. As!: Efecluar:
A continuacion:
Casos de resultantes por el método del paralelOgramo. Se dibuja el paralelo-garmo y luego se traza la diagonal.
e)
B
l~- --+C UR~A+B
B_",É17J{}() Of! PARAlELOCRAltO SUMA:
A+ ¡¡ + e
Efectuar
Ejemplo:
A + (-8)
A/
.- , 'O :. Al2:J -------:.:---..... ~I" .
B
~
---
:
-s!
c_ MÉTODo ~EL fOtfCONO
V,
ConSIste en trazar los vectores uno a continuación del otro conservando sus magnitudes, direcciones
\
-V2 \, b)
-l2:J ---- V1
R
I I I
" 0:=
I
~
V2
a. ~ 90"
\
y senlidos (conservan-
do el sentido de los positivos pero invirtiendo el de los negati\lOs); luego se une e! origen del primero con la punta del úttimo, el vector as! Irazado, es el vector resuttante. Ejemplo, efectuar:
21
FlslCA GENERAL
!~
C/o
./\s c_
~D
R_A - B.C-O NafA:
La resuttante es la que cierra el polígono.
Si el polígono se cierra con el úttimo sumando, la resunante es cero.
a. Ahora el ángulo que forman puede ser agudo u obtuso. 1) Por el método del triángulo.:
Ü
Q
B
IR = JA2 + 8'
-2ABcosa
Sia> 90" se tendrá que cos a: (-) et'1on-ces. en la fórmula, el signa (-) se hace (+)
p~ """'., ,~
~o Otroejefl1llo: A+ B -
2} Por el método del paralelagramo:
e + 5 + E- F= o
xl:. ~
/\F
_ n co -FV E
MÉTODOS AIIAlÍnCO$ Estos métodos se basan en la aplicación de fórmulas algebraicas. trigonoméh cas, geométricas, etc. sobre la base de la solución gráfica previamente realizada
Demastración : mirando el gráfico R2 =(8.Q)2.h"
R' = (8. Acosa)'. (Arena)' R2 = 82 + A2 cos 2a
...
• 2 AScos a + A' 5a1'a
R' = 8'. A' (eos'a + sen'a) • .2ASoosa
=
Pero: oos'a. sen'a 1 ; luego: oos a
CÁLCULO DE LA DIFERENCIA: CÁLCULO DE LA SUMA: Por ejernplo. caIoulár la suma de Iosvectores Ay B, sabiendo que forman un ángulo
La resuhante de la d~erencia se cafct..da en forma similar a la stJma, sólo debe cuidarse que al construir la solución grafica, el stJS-
22
VECTORES
traerxJo debe grafi-carse en sentido contrario.
como cos a = cos 180" =-1 R= I A- 8 1
El estudiante como prueba puede obtener que:
NOTA:
liil= IA-iil= lii-A I =JA2 t 8' - 2A8cosa Se hace notar que:
¡¡ - A= -(A - B) ó A- ¡¡ = -(8 - A)
DIRECCIÓN DE LA RESULTANTE
la direcdónde la resultante dedos vectores está dada por el ángulo -S .. que forma la resunante con uno de los vectores; y su valor depende del módulo de los dos vectores y del ángulo 'fl" que forman. Sean los vectores A y B Y sea"q" el ~"'o que forma la resultante con el vector B:
o
N
Son vectores opuestos: El gráfico facilitará su demostración:
,', I
,
I
I
r I I
o
-
~~~
,
__-=__~<"a_~ B
S
T
-B
1)
IlfSIJt1ANTE MÁXIMA YMíNIMA DE DOS rECTORES Resultante
Se puede calcular la dirección 'S" de la resunante a partir de la fll1CÍÓfl seno:
En ellriángoJo rectángl.1o OTQ:
seos = ~T
M¡!~ima:
La resultante es rnáJdma cuardo los veclores son paralelos o coIineales y tienen el rrismo sentido, es decir cuando a O°.
=
En el lriángUQ reclángoJo STa: QT=Asena
R' = A' + 8' Rl -= A2
....
.. sen S t
2AScosa; cuarK!oa=O'
(a)
Además se salle que: R=JA'
Se sabe que:
(A)
+ S2 + 2 ABcos a
=
JA 2
(b)
Asen a t
S2 + 2 AS cos a
8 2 + 2ABcosO;perooosO=1
11) También se puede calcular la dirección "6" de la resoJtante a parlirde la fu nción
:. R' = A' + S' + 2 AS R'=(A+S)'
tangente.
:. R = lA+ SI
Así, en el triángulo rectángulo OTO:
Resultante Mínima: La resUlante es mlrima cuardJ los vectores son paralekls o coIineales yUenen sentidos contrarios. es decir cuando a = 180". 180"
C\
B
•
Se sabe: R' = A2
t
..
Ig8 =
OT
~-.,...
8 + ST
En eltríángulo rectánglJo STO: OT=Asena yST=Acosa
~
B2 + 2 ABcosa
IgB=
Asena 8tAcosa
(B)
FlslCA GENERAL
: ÁLCULO DE LA RESULTANTE POR LEY DE SENOS
R>fí,+[) Pero'• R2 = RI
Halada la resultante de troa suna o áfereOOadevectores pare! métodogr.!lico del triángJo, p.I3de aplicarse la ley de seres para hallar analíticarrenle el valor de la resullanle. AsI:
a) Sea la suma A+ By la resultante
Pero:
(1) .C
(1)
i\ = A . 8
(2)
Sustituyendo (1) Y (2) en ( 1)
R = A· 8 . c .. [)
R
En el ejemplo los vectores A, B, e y D son cornponenles del veclor R. A
b)
23
DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN DOS DIRECCIONES
Sea..Ja diferencia y la resultanteR
Todo veclor se puede descomponer en dos direcciones dadas, asl: Por el origen del vector dado. se trazan paralelas a las direcciones dadas. Del mismo modo por la punla del vector dado
A
se trazan rectas discontirllas. tam·bien pa-
Ise~ ~
A = sena
se~ ~ I
ralelas a las direcciones dadas, la intersección de éstas con las recias anterior-menle trazadas desde el origen, darán la posiaón y rragn~ud de las co"lJOnentes.
AsI: descomponer A en las direcciones W ,
-d.
DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
-
COMPONENTES DE /IN VECTOR Las COflllOnentes de lXl vector son todos los vectores que SlI1lados o restados dan como resuftado el vector indicado (ese ve<:ter se llama RESULTANTE). Un vector puede terer infinrtos componentes
x
y
,,
,
--~A
x
y
,,
, - ,
~
Aa
Las componentes de A en las direcciones dadas son: "''1'1 y A",
AsI como estas direcciones dadas (donde se tbican las componenles de la fuerza) forman enlre sí un ángulo cualquiera, así mismo pueden formar un ángulo de 90°, entonces las componentes ubicadas en estas direcciones se llaman "componentes reclangulares".
24
VECTORES
DESCOMPOSICiÓN DE UN VECTOR EN SUS COMPONENTES RECTANGULARES Por el origen del veclor dado, se Irazan dos rectas perpendiculares entre sí, formando 90· a este par de rectas se le denomina "sistema de ejes rectangulares x y", generalmente el eje "x' es horizontal y el eje 'y" es vertical , sin embargo pueden tener cualquier posición, la única condición es que entre ellos formen un ángulo de 90·. Sobre estos ejes se proyecta el vector dado y como resultado se tendrá dos componentes, un componente sobre el eje y el otro sobre el eje .y", los cuates hacen un ángulo de 90°,
·x·
Ejemplo: Descomponer el vector A en sus component8f¡ rectangulares.
Otro ejemplo:
Descomponer los vec-toresPyOen un sistema rectangular Inclinado en Ln ángulo
cualqUiera
y \
¡;
o, ,
x \
\ \
99:r>~::!..._~', o
,
--
P.
Como se dijo, la única condición para descomponer un vector en sus componenles rectangulares es que los ejes sobre los cuales se proyecta el vector formen eotre si, ángulo de 90". En todos los casos el valor del vector pt'oyectado está dado por el valor de sus componentes según la siguiente fótrnlJa pitag6-
rica: A
o
•
Los componentes A, y A, son las componentes rectangulares del vector A
Otro ejemplo:
-Descomponerlosvec-tores A y 6 en unmismo sistema rectangular.
t y - - --
," A,
CÁLCULO OE LAS COMPONENTES RECTANGULARES Se sabe que todo veclor se puede descomponer en sus componentes rectangulares, Anal íticamente se calcula mediante expresiones trigonométricas_
A, • A sena
•
X
Donde: A,}j A, soo componentes rectanglJaresde A ,
B
Las componentes A, Y
A,
Las componentes B, y
s,. son de 6
soode A
En el triángulo rectángulo OTS: A, OT Acosa
=
=
FlslCA CJENliRAL
' . medido en sentido antihorario, que forma la resultante COn el lado positivo del eje Y .
A'I. = Acosa
Ay
25
= ST = A sen ..
I;\(
tg8 = - y 1: V,
:. , Ay = Asen a ~CTOfi UN/TARlO O t'EIlSOfi
Ejemplo: Hallar la dirección de la resultante de las figuras mostradas.
al
Es aquel vector cuyo módulo es la unidad y cuya función es indicar la dirección y senlido de un vector.
----4
+j +i
;'+.' -J
Las proyeccIOnes O componenles rectangulares de un vector toman el sigoo de sus versores.
NOTA:
5
RESOLUCiÓN :
196=
a)
.. 6 b)
V 4 ' = - =08
V,
5
=ángulo t9 0,8
1.
Todos los ved:lres se trazan desde el origen del sistema de ejes rectangulares. 2. Se descomponen en sus componentes rectangulares. 3. Se halla la suma algebraoca de lodas las componentes sobre el eje x (l:Vxl y la suma algebraica de todas las c""lJOflE!ntes del eje y (SVy). 4. El vector reslitante está dada por la fórmula pitagórica:
I
VR =
'
O =38° 39' 35"
Para calcular 6, primero calcular "A"
V.
Ig" = -V = ,
CÁlCULO DE LA RESULTANTE DE VARIOS VECTORES POR DESCOMPOSICiÓN RECTANGULAR
3 o'
7
=0,43
= ángulo t9 0,43 =23" 16' 04" Ahora: 6 = 180° -).. = 180° - 23° 16' 04' finalmente 8 = t 56' 43' 56" .. ¡.,
Ejemplo:
Sean los vectores A. B Y hallar la dirección de la resu"ante de las figuras mostradas.
e y
,,¡¡ ii,.'
J(1: V,)' .. (1: V )21 y
DIRECCiÓN DE LA RESULTANTE DE VARIOS VECTORES
Está dada por la tangente del ángulo "O
e
7
e
Los vectores unitarios o versores en los ejes rectangulares lienen los siguientes valores relativos (signos):
y
3
R
VECTORES
Doode por un lado: A, = - A cos a
Bx = Beos Il ex = eros A
r:.v.
r.V,=A, .i3.C , , ; esdedr. 'DI, = -Acosa + Bsenll-ecosA (1) Por otro lado:
By
Ay = Asena
= Bsenll
e
•
= esenA
r:.V,=A, + ji, +C, ; 'DI,
= A sen a + B sen
es decir:
Il - e sen A
(2)
Aplicación numéñca: Sean:
Análisis del problema: 'y En un sisteo ma rectangular se -,...:=-rt+'-- trazan los valores I e x hallados de I ' I r:.vx y r:.vy y gráIR ficamente se halla la resunante, así:
A=2,
B = 4
n=53· ,
~
=
,e
30",
e =
5 60"
El valor del módulo de la resLltante no deja duda. ¿ Pero la dirección? La restJltanle está en el primer ruadrante. La dirección de la resu~ante es el ángulo que forma está resunante con la dirección positiva del eje •••• medido en senbdo anbhorario. es decir 9 1 + lOO" .Porconsiguiente, la dirección de la resu~ante será:
• Reemplazando en (1)
e = 9, •
DI, = -2 cos 53· + 4 cos 30" - 5 cos 60" DI, = -2 (415) + 4 (./312) - 5(112) DI, = -0,64
e = 259" 43' 53'"
- Reemplazando en (2) 'I)Jy = -2sen53C + 4 sen 300
•
5 sen 600)
DI, = -2(315) + 4(1/2} - 5(,/312) DI, = -3,53 • Reemplazando en la fórmula VR =
J(Iv, 'f'
VR =
J(.0,64)' + (-3.53)'
+
180' = 79" 43' 54' + 160'
VECTORES EN EL ESPACIO En primer lugar debemos conocer el sistema rectangular de tres dimensiones.
z
y
Los ejes X. y están en el plano I)orizontaJ. el eje 2 es perpendicular a los ejes 00 el punto de intersección de los tres
(Iv,)' z ....
VR = 3,58
'Y
I
Es decir el móduto del vectOr resultante de los tres vectores dados es 3,58.
-----....
~
,.,./ v z ,;"; r---- -- 1-
"
I vy
y
I I
IV
pi I
-- - -_ \. .....
vxl
J' ''''
x
Cálculos de su dirección. Por fórmula
Ig9,
'DI,
= r:.V,
=
.'. e1 =ángLio tg
-3,53
-IJ64 ' 5,52
= 5,52
=79'4354'
Por métodos geométricos muy sencillos se halla la resuHante en función de sus 3 oomponentes.
I_~=:;;::=;:::¡
Iv = Jv: + V; V: +
27
FíSICA GENERAL
ANGULOS y COSENO DIRECTORES
•
Ángulos directores son los formados por los vectores y cada lX10 de los ejes rectangulares pos~ivos.
VaZ
a . el vector V con El eje x 11 : EI.ooor V con el eje Y y : el vector Vcon el eje z
; cosy
Ahora: COS(l=
v• ;cosll= ...!;cosy= V V ..... v V V
RELACiÓN ENTRE COSENOS DIRECTORES
v'y • v2 iI:
V
.. I~s2 a • cos2 1l
Cosenos directores son fos cosenos de los ángulos directores. COS(l ; cos~
•
V2 = V2 =
1
+ ces' y = 1
I
VECTORES UNITARIOS Como en el caso de vectores unitarios de dos dimensiones. se llaman vectores unitarios aquellos c:uyos módulos son la unidad y cuya función es Indicar la dirección y sentido de un vector.
z
Sus valores relativos (signo) son:
+k +i
-j
Se puede escribir:
+j
-i
cos' (l • cos' p • ros' y ..
x
y -k
PROBLEMAS RESUELTOS do. sólo se suman. luego se tiene que: R ;15u
PROBLEMA 1. Hallar la resultante de
los vectores mostrados. donde la unidad de medida es ·u·. a)
b)
3u
- --6isv;-----
e)
Como son paralelas y de sentido conse suman algebraicamente. A uno se le asigna senMo positivo (por ejemplo hacia arriba) y al oIro se le asigna el signo contrario, negativo (por ejemplo
trano.
hacia abajo), luego:
9u
R=7+(-12);-5u e)
12u
PROBLEMA 2. Hallar la resultante de 7u
los vectores
RESOLUCIÓN :
a)
Como son coiineales y del mismo sentido. sólo se suman. luego se tiene que R=8u.
b)
Como son paralelas y del mismo senl~
b)
~t 10Ut
--.
VECTORES
28
RESOLUCiÓN:
(1)
Como son paralelos y del mismo senl~ do, se suman: R = 15u.
a)
IA- 8I quiere
2)
b)
Como
son paralelas y de sentidos con-
trarias, se suman algebrai<;amente alectándose de signos contra-nos: R= -10~8 = -2u.
PROBLEMA 3,
HaHar el módulo de la re-
l A-
/
18 1=17" RESOLUCiÓN :
A
=o
Se traza la diagonal del paralelogramo que se
l A + ¡¡ I1 A- 8 I =
J' A -='-.-8·'....+- 2 -PB-COS--3Q"-
lA. 8 !xl A-8 I
Donde A Y B forman
IA si
Significa módulo de la sut
ma
-0-----A
A
,I
90"
,
8 '
YIA-s l
significa módulo de la diferencia Los valores de ambos módulos se hallan por medio del paralelogramo.
1)
lA+ si =.J A' .
B'. 2ABcosa_.
Como: cos a = ces 90' = O
IX = 90'
t
A-S
(a , ángulo que forman A y B)
Calculando numerador y denominador por el método del paralelogarmo.
R= R = :30.91 u
RESOLUCIÓN:
8 2)
A si -1_ -1 1
Hallar:
RESOLUCIÓN:
15' + 172 .2 (t5)(17)(J3I2)
a = 9O"
J(A' + S') (A2 t
lA + BIIA. BI = (A'. 8 2 )
Si
Aplicando la fórm.Jla:
PROBLEMA 4. Hallar
(2)
Multiplicando (1) con (2) :
PROBLEMA 5.
.J
, . ¡¡
IA- el = JA2;S2
forma
R=
_
A
el = JA2. S'- 2ABcos9O"
Como ces 90'
~ ~
-
~ R
,,
decir que el vector B está en senlido contrario.
su~ante
IAI=I5u
-----
I
IA.sl
=
Pero cos9O"
JA2~ S2. 2PBcosa
=o
:. lA+81 = J'A-::'-.-S"'" lA -
(1)
si = JA'. S2. 2PBcos9fY'
Pero ces 90' = O
Dividiendo (1).;. (2) Rpta.:
lA+ iil
JAI. B' lA- ti 1 = JA'. B'
=t
29
FlS1CA GENERAL
Demostrar que SI dos vectores tienen la mis· ma ma!1'~udV Yforman entre enos un ángulOe, su suma tiene una magnitud de 2V cos (812) y su diferencia 2V sen (9/2).
IV, . V, I
RESOLUCIóN.
Rpta.:
H.JBLEMA 6.
DemostracIón: Tener fa misma magmud es tener el mJSmO módulo
=
.J V' + V' . 2 V.Voos 120'
Como ces 120" = •
ces 60"
= • 1/2
- - 1= ,J' V +V2 +V2 1V,·V,
Iv, .V,I =yJ3
PROBLEMA 8.
.
Hanar. 1V.
- V, I
Si se sabe que:
Por el método del paralelogramo: 1
A.. B1 = I SI = Jv2 + v2 + 'lYJ Cl1S e s = J 'lYJ2 .. 2y2 ros e
s = bv' (1 + rosO) s:
s = 'lYJ ros (9/2)
móWlode
Iv, . Vd = 2V sen 90' = 2V (1)
I.q.q.d.
lA + si
f'4I1a.: 1V2
Por otro lado: 11)
•
vd = 2V
PROBLEMA 9.
lA. si = lii l =
Hallar la restJltante en el siglierte sistema de vec·
tores:
= Jr y""2' +- y-""- 2V -:-"-=---::-9 D=
Del prcblema 6, donde 9 =180'
1V, . lid= 2V sen (9/2) = 2V sen (180"12)
Como: t .. ros 9 = 2 ros 2 (9/2)
..
RESOLUCiÓN :
bv' (1· cos9)
Como: 1 • ces 9 = 2 sen' (9/2)
o = 2V sen (9/2) PROBLEMA 7.
I.q.q.d.
Delerminar 1V 2 - V, 1de de la siguiente tigura
mostrada saboendo que: I
~1
~ :
V2 ~
, _ '
RESOLUCiÓN: D = A· B
RESOLUCiÓN: De la figura:
R=X+y .. 2 Pero: x.. ¡; = z
(1) (2)
Reemptazando (2) en (1) Apta:
R=2z
PROBLEMA 10.
Si A Y B son dos vec·tores dados. Demos·
lrar que:
a) b)
lA + BI S IAHBI lA. si ~ IAI·IBI
RESOLUCiÓN: Demoslración:
VECTORES
30
a)
=
llamando: 8 I A + B1. por trigo-nornetrfa en el triá~gulO mo$trado se sabe que: 82 = A· + 2 • 2ABCOSe!>
e
Mirando la figura, se ob-
RESOLUCiÓN :
serva que B y C forman90 CI (1)) (1)
:. 82 .C2 =02
b) Se observa que también que: AyBIorrnan90"
- - -
A
A.O=E
También: -1 ,; COS q. S 1 Por lo tanto, si reef1l)la:zamos
A2 + 8 2
Eslo.es:
•
cos q. = 1
: . A2 • 0 2
5,; A te
b)
Por otro lado. llamando O = Po -
I.q.q.d.
I ¡¡ I
~A
(2)
A2 • 82 •
..
.•
=
Reemplazando (1) en (2)
2ABcosq,,; A2 • 8'. 2 AB 52 ,; (A • e)'
- - - ... IA+BlsIAI+181
(p) E2
E = J A' •
e' = E' B2 • e2
(3)
Reemplazando (e!» y (P)
E=A+B.C
lE I= E = lA + ¡¡ + el
(4)
Igualando (3) Y (4)
A
Apta.: : Po + ii +
=
0 2 A2 + 8' - 2 ABcosq. -1 scos q.,; 1 Luego, si reefllJlazamos ces q. por-l A2• B'- ZABcosq. ~ A'. B'· 2AB eslees : 0 2 ~ (A - B)2
eI= JA' + e' .e2 Hallar la resu~ante total del siguiente sistema: (ABCDEFesun hexágono regular)
PROBLEMA 12.
O ~ A- B :. I A+ BI ~ 1 Al - 1B1 I.q.q.d. PROBLEMA 11_ En el siguiente sistema de vectores, determinar:
E
RESOLUCiÓN : Observando la figura:
Ar = ~ •
- - A, B Y e (Trirrectangulares) AY
También:
x z
Be • CO • AD + AF •
tFE.eo- - - Pero: AO=A8+BC.CO i5 = ¡;¡ • FE. EO
Reemplazando
Rr
:. f1l1a.: Rl
= 3 AD
=
AD +AO
t
AO
PROBLEMA 13. Hallar el coseno del ángulo Que deben formar
FislCA GENERAL
dos vectores de igual módlJo para que su resuttante sea la mitad del valor de uno de ellos.
Sean .6._ y i'i los ",,<>-tores y R el vector resullanta Sean ahora:
¡;
RESOLUCIÓN :
..
-
..
y I RI="2
I A I=I BI=x
Por otro lado: R2 = A' + B'
(x/2)' = x' (X'/4)
JI:
t
x2
=2 x2 t
2 AScos (X
t
2 x2 cos (X
t
2x' cosa
31
guíente sistema de vectores:
¡; RESOLUCiÓN :
A= a + ti +e+ d t ¡; Pero a=b+c.. A=2a+d
PROBLEMA 14. Dos vectores torman entre sr un á!Y,¡ulo de 53'. Uno de ellos es 75 u y su resuhante 300 u. Hallar el valor de sen a.
~~a ~
¡,. ... 6
:.
En el sistema de vec· tores. '0' es el cet>tro de la cirCU\leren· cia. Hallar el módulo de la resuhante en función del radio "R'.
/
/1
____________
~
ti I
J(2a)2 t (d)' t 2 (Za) (d) cos ~ Rr = J4a 2 + d2+ 4ad=~
PROBLEMA 16.
. -------
t
Rr =
~ _
~ ~
(3)
I Ar 1 = I 2ii
R¡JIa: COS a = ·7/B
-- --- -
(2)
Reell'!liazando (2) en (1) Como tos vectores 2 ¡¡ y d sonCQncu·rrentes y forman un ángulo 1, entonces:
2x2 = a =(x2 /4) ·2x' Sirrplifocardo yefectu""do:
ji
(1)
b
/
o
I A I =A=75U
IRI=R=300U 9 = 53" => sen53" =4/5 RESOLUCiÓN : Porfórrnula:
sen a senO - A- = IAtB I
:. sena =
AsenO
Asen O R-
IAtB I = -
RESOLUCION :
Rr=¡¡tb+c+d+e ji = ¡¡ t ¡; + d (vectores iguales) Rr =2etc Los vacIares 2 60", tal que:
IR"
Reemplazando Oatos: sena = 75(4/5) = .! = 0,2 300 5
Iza cI t
R, =
J(Ze)2 + (e)' + 4 e e , cos 60'
RT =
J 4e2 te' + 2ee
Apta: sena = 0,2 De la figura: PROBLEMA 15. Hallar el módulo de la resuhante lotal del Si-
=
e y e forman un ángulo de
lel = Idl= lel = R
Ree~azando (2)
en (1)
(1) (2)
VECTORES
32
f\=J4A'+R,.2R'
B
=R.J7
:. Apla: R,
A
I Al = 6 ; lB 1= 5 ;
PROBLEMA 17. ¿Qué representa el vec>lar i con relaciÓn a los vectores ¡¡ y b?
I C1= 8
e
RESOLUCIÓN:
b
Se deScomponen loS
vectores Ay B en sus componentes rectangulares. C se man-
De la figura principal se obtiene:
RESOLUCiÓN:
tiene en su sitio. Se suman al-
gebraica-
-a + -x = -2¡¡ + ii de do~e_ ,~
-X=---3= ¡¡.ii -
zontales y las componentes verticales
2
1) Lx = I -
b-a
PROBLEMA 18. Hallar:
I A,. 1 = A ooS 30"
bl, si lal = 13
lb I
= 19
Y I ¡¡ + ¡; I
=> Ax = A(,/3/2) = 6(,/3/2) = 5,19
= 24
:. Ex
lat' + I ti l' + 21 all blcosa I¡¡-iil' =1.1' + Ibl' -2lalllilcoso
bt'
=
= Asen 300 => Ay = 6 (112) = 3
1
a- ti l' =2 (13' + 19') - ii l' = 484
bI = 22
PROBLEMA 19.
By 1 = Bsen 53"
'" By = 5 (4/5) = 4
Reemplazando valores
:. Apta.: la·
= - 2,19
IAyl
la. lil' + I a - lil' = 20a!' ,1 ¡jI')
Despejando: 1¡;
3 - 5,19
2) Ly = I Ay I + I By I - I C, I , dorde :
Sumando:
(24)' + I
=
Dé igual manera:
RESOLUCiÓN :
la +
B. I - I A, I . 00rde :
I B" I = B toS 53" => B, = B (3/5) = 5 (3/5) = 3
:. Rpta: x = - 2-
l. -
A
mente 10$ módulos de las compo- ..J,=~:d:~""~~_ nentes hori- Ax Bx
ICI=8 :. E = 3 + 4 - 8 = -1
,
Por fOrmula, la resultante será: R
= J(L/ + (L/ = J(-2.19)2 + (·1)2
Hallar el módulo de la
resUtante del sistema:
Apla.: R = 2.41
33
Fl5JcA GENERAL
PROBLEMA 20. Q.alculi!! R enlunción de M y N en el para· lelogramo mostrado: _
R
-----i/'
~
_
N
__ ___ Y'::./ RESOLUCIÓN :
m
I
Ahora en el triángulo ftI1icular SQV. 6 R = N +N , dedonde : ' Apta.:
R= Ñ/3
PROBLEMA 22. Hallar R en términos de M y N siS,en la figura, es el baricentro.
,
2m
De aruerdo a los datos de la figura, ésta puede
trazarse as(: RESOLUCiÓN :
¡;? M -
2R
En el triángulo vectorial OTS : M 2R = N + '3
""ta:
..t'
'
El baricenlro está a 1/3 de la base y a 213 del vértice de un triánÑ /2 gulo. entonces se R puede dibujar: \
\ \
---- --- -- ~
de donde:
En el triángulo de fuerzas mostrado:
M = 3R + Ñ/2 3R =M- N/2 , dedrnde:
R= -3N 6+-M
PAOBLEMA 21 . HallarA en función de N v si G es baricentro del triángulo.
p
Rpta:
R= (2M· Ñ)/6
PROBLEMA 23. Oos hombres jalan un carro con las luerzas y en las direcciones indicadas. ¿Cuál será la (uerza mínima que deb ejercer un tercerhornbre para que el carro se desplace en la d~ rección x.
La figura, de acuerdo a los datos se puede tra-
RESOlUCIÓN :
zar así:
v
VM : mediatriz
a
p
Se traslada el lelamente así mismo hasta la
posición sa.
La tercera tuerza, ejercída por el tercer hornbre, siendo mi nima, debe hacer que la resu~ tante de las 3 tuerzas tenga la dirección de x. Por el método det polígono se tendrá. RESOLUCiÓN:
vector PV, para·
s
VECTORES
34
Se observa que: , en el pollgono " OONS; los vec- ~~~/ t o r e s o
tangular.
T
e
s
B sen 80"
PÜ: - ~ - -[ M:- __ N
e
B, A y forman una cadena
vectorial. la relB 3-r sullante es Q p OS, el valor mínimo de la tercera fuerza es la perpendicular NS, cualquier otra fuerza que siga otra dirección no será la mínima. Su caJculo : en la figura: OT = PN + NS
6
80 .
~
Rpla:
=
60 . ~ +
Iel; de donde:
IeI= 33,28 N
PROBLEMA 24_ Hallar el módulo de la resultante de la suma.
1Scos45I
e
IB I sen 60° = IAlsen37· ... NS
i
45·
j5 I I
Se descomponen en sus componentes ,ectar.;¡ulares las fuerzas inclinadas, Las horizontales y verticales se ubican sobre los ejes correspondientes. Ahora: Horilontalmente:
1) EV, = 6 + 1500>45° - 8 Sen 60" DI, = 9,68 Verticalmente: 2) r.Vy = 2 +
Bsen 60° -4 - 15sen45°
EVy = ·5,68 Finalmente: R = RESOLUCiÓN:
Todas la fuerzas se trasladan a un sistema rec-
R=
J(DI,)2 • (Dly)2 J(9,68 )' + (_5,68)2
R = 11,22
PROBLEMAS PROPUESTOS La resullanle enlre dos vectores de 10 Y 15 unidades es 20 unidades. Calcularel otro vectory el ángulo que forman entre ellos.
1.
Rpta.:
ángulos de 45· y 30° con ellos. Calcular el valor de los vectores. Rpta: VI = 30(,13-1)
V, = 3O(J3-1)/J2
IX= 75°30'
2. Un vector de 20 unidades hace un ángulo de 30" con la resultante cuyo valor es de 24 unidades. CaIc[.jar el otro vector y el ár.;¡ulo que forman entre ellos. R¡lla: V, = 12 ex ::: 88 0
3. La resultante de dos vectores tiene un valor de 30 unidades y hace
La resultante de dos vectores es 40 unidades y hace ángulos de 30· y 45· con ellos. Calcular el valor de los vectores.
4.
Rpla.: V, = 29,70 Vy = 20,95 Dos vectores de 20 y , 8 unidades hacen un ángulo de 60· y 120". Hallar la magnitud de la diferencia.
5.
FiSJCA GENERAL
11. Hallar el valor de la resu~ante de la suma de los siguientes vectores:
R¡J1a.: O = 19,07 LOlIdades O' = 32,92 u _ s
Tres vectores situados en un plano tianetl 4 ; 5 Y 6 unidades de magnitud. El ¡rmero Y el segundo forman lJ1 ángulo de 30", el seglJ1do Y el tercero otro de 90". Hallar la resultanle y su dirección con re¡>pecto al vedar mayor.
5.
Apta.:
A = 9,36 unidades ; a = 640 41 1
Apta.: 4,62 12. En la figura, si G es el baricentro, hallar el módulo de y . M punto medio de AS B
I
y
Calcular la resuhante delSIS!ema de vectores:
7_
so u
. 60u
x
Apta: 17,32 u
A
~ ~ M
. Apta,: Iyl = IA-BI/6
13. Halarlarestitarlede 8_
Hallar la resultante de los vectores:
y 3Su
15u
Apta.: 12 u
4S' 12 u
Apta : 37,00 U
15u
Un barco navega hacia el este, con una velocidad de 15 nudos. El hlrllO que sale de la chimenea hace un ángulo de 15° con la eslela del barco. El vienlo sopla de sur a norte. ¿Cuál es la velocidad del viento?
v = 4,82 nudos
10. Hallar el valor modular de la resultante del siguiente sistema donde:
14. En la figura mostrada a continuación calcular: lA - 81
._
¡-
X
9.
~:
~
das, las donde el polígono fuerzas mostr.r es un hexágono cuyo lado es 3 u
_
60"
_ ~_
Donde: IAI = 6 u
IBI
= 3u
Apta.: 7,32 u
15_ Calcula r el módulo de la resultante de los vectores mostrados. según la figura 2m
AS= lado del hexágono /'E = diámetro Radio =5
'~-<1 ---: /,
I
".,
12m
, " ' , I1 Apta.:
,\,3;.
m
IRI = 1M Apta.: O
m
MECANICA
MECÁNICA E
s la parte más importante de la física, ya que de alguna manera lodos los ca-
pitulos que estudiaremos están relacionados oon la mecánica. Estudia a los cuerpos en
equilibrio (reposo o_ movimiento). Cons~ derando las causas que producen dichos estados, la Mecánica se divi·
deen: CINEMÁTICA. ESTÁnCAyDINÁMI-
CA
En mecánica debe dislinguirse un cuer-
po "rígido" o no. Un cuerpo se considera que es rígido ruando es ' ,ndelorrnaJ:le", este concepto t.ambién es relativo por· que en la practica nohaycuefposrigidos, pelO sr hay
!'(IuChoS cuerpos difícilmente
.
deformables
como
una
roca o un Iro~odemetal,
la me-
Los conceptos de REPOSOoMCM· MIENTO son r&-
cánica
lalivos, depen·
grandes se llama
diendo con qué y oómo se considera o compara. Por
ejerrplo. una persona que está viajando en un tren, está en "reposo" con respeclo al tren, pero está en movirT'iento con respecto a un árbol que está en el camino. Por olro lado, es frecuente, en muchos problemas, considerar a los cuerpos reducidos a un punto_ Por ejemplo cuando se quiere awliguar la velocidad de un automóvil, hay quecoosiderar1o como un punto que se mueve.
que esludia los cuerpos MACRO MECÁNCA y liene sus leyes, sin embargo estas leyes no siempre se
cumplen en taMICROMECÁNICA o ME· CÁNICA CUÁl'ITICA Que estudia los cuerpos muy pequeños como mOléculas, álOmos y los elementos que lo conforman como electrones. protones, etc. la mecánica cuántica tiene sus propias leyes que se verán muy ligeramente al final del curso.
Fis,CA GENERAL
37
CAPíTULO 4
CINEMÁTICA 'Dame !Xl p!Xlto de apoyo y te moveré el mundo" Arqulmedes
o cuando la Luna se mueve con respecto a
DEANICIÓN:
Es el estudio del movimiento relativo de un cuerpo, independiente de las causas que lo originan. Como se dijo antes, los cuerpos que se estudian se pueden oonsiderar reducidos a un purto y asilo haremos en lo suoesivo. A cualquier móvil se le considerará un punto.
ta tierra. TRAYECTORIA: Trayectoria es la Ifnea originada por las distintas posiclones que va ocupando un pu .... to que se mueve, a medida que transcurre el tiempo. La trayectoria puede ser: Rectilínea, entonces el movimiento es rectilíneo. B. Curvilínea, entonces el movimiento es curvilfneo. C. Circunferencial, entonces el movimiento es po r una circunferencia. Q Parabólica, entonces el movimiento es parabólico. A.
MOVIMIENTO: Movimiento relativo de un punto es et cambio de posición de éste, a medida que pasa el tiempo, con respecto a otro punto de referencia considerado fijo. Por ejemplo cuando un cidista se desplaza con respecto a una casa en el camino. NOTA:
Como la trayectoria puede ser rectilínea, curvilínea, circunferencial o parabólica, la longitud de la trayectoria se Hama recorrido (e); sín embargo si la trayectoria es rectilfnea y la dirección del movimiento no carrbia, en este caso y sólo en este caso se le puede llamar distancia (d).
MOVIMIENTO RECrJÚNEO UNIFORME MRU B movimien10 es uniforme, cuando un
móvil. EN TIEMPOS IGUALES reoorre ES· PPClOS IGUALES. DETIEMPO.
IV=TI
VELOCtDAD O RAPIDEZ Es el ESPACIO o tarrbién la DISTANCIA que recorre un móvil en UNA UNIDAD UNIDAD DE LA VELOCIDAD:
Ó
Iv=~1
En el SI la unidad de la velocidad es el 'rrelro por segundo' mis
CINEMÁT1CA
38 LA VELOCIDAD ES UNA MAGNITUD VECTORIAL
Y,
La velocidad es ..,a magnitud vectorial,
porque tiene las siguientes caracleristcas:
al
Magnitud:
Es el valor que tie na en -un instante
CUalquiera. Tanilién se le llama rapidez. b)
Es la tangente a la trayectoria en cual·
Dirección:
quier punto de ésta. Sentido:
d) Punto de aplicaCión:
La velocidad dad también tiene punto de aplicación. es el que ocupa el móvil en un instante de su trayectoria. .....~
~
y
VA = 3m/s + 1 mIs = 4m/s 11.
Es el que siQlJe el moviniento, el cual puede ser adelante o atrás; positivo o negati· VO, arriba o abajo, etc. e)
Ejemplo: Un bote navega a 3 mis a fa· vor de la corriente de agua que va a 1 mis, la velocidad del bote será:
/Direcoión
~(~tido
(....)
VELOCIDAD CON LA MISMA OlREC·
CIÓN PERO SENTIDO CONTRARIO la velocidad resu~te V. será la diferencia de las velocidades
v, v.
vA = v . V l'
Ejemplo: La velocidad del bote del problema anlerior cuando navega en sentido contrario al de la oonierte del agua delño: VA = 3m/s· 1 mis = 2m/s
(....)
.......
~
o
Trayectoria
•
COMPOSICiÓN DE VELOCIDADES
Componer las velocidades de un cuero po que está dotado simuMnea·mente de va· rios movimentos, es hallar la velocidad total o velocidad resunante. Para hallar la velocidad resu~ante debe tenerse presente que: a) Los movimientos son indapen-dientes b) e)
entre sí. La velocidad es una magnitud vectorial.
Respecto a qué sistema de referen-cia se calrua la resu~ante.
111. VELOCIDAD CON DIRECCIONES OlSTINTAS
La velocidad resultante será la resultante de los vectores que las representan. Ejemplo: 11, = 1 m l. Unnadadorquie- ~ recruzarp8(P8nIIA I ~icutanmente el node los ejemplos v, = 3 m I s antefiores, el nadador lleva una velocidad de 1 mis ¿Cuál es su velocidad resultante? VR =
~V,'
VA =
~(1 mis)' + (3m/s)'
V. l.
VELOCIDAD CON LA MISMA DI· RECCIÓN y EL MISMO SEtrnDO La velocidad resunante VRes la suma de
velocidades
+V:
= 3,16m/s
Ejemplo 1: racerre 4 km ?
¿Cuál es la rapidez de un móvil que en 13 minutos
FIS/CA GENERAL
= 13 mín
RESa.UCIÓN : I
v
=?
e = 4km Al módulo de la velocidad le llamaremos rae pidez: v; T 4 ion
v =
R¡ja.: v
13
nin =
= B millas I h
La mayor rapidez que se conoce es la rapidez de la luz en el yacio: v "
RESOlUCIÓN:
300 000 km's
e
•
e
1,
1,
2.;;;J. = --ª- =
.......
cte. =v
Esla constante se llama veloddad, de donde: = t
le v. I
b)
200m 200m + 5Os=1WS
Calcular el tiempo que empleará la luz en llegar del Sol a la Tierra si la distancia que lossepara esde ISO x 10' km.
=
RESOLUCIÓN: e ISO x 10' km v = 30000 km/s 1 = ? d =>t=!:! Se sabe que: v = I
v
t =
Ejemplo 2:
Un aulomóvil tiene una rapidez de 90 km I h. ¿Cuál es el espado recorrido en 6 minulos? v = 90 km 'h I=Bmin
e Sabiendo que: e=
=?
v=elt=oe=vxt
oo
km · .,--. B mm
1 000 m e = 90. SOml'l .6min Rpta,:
e = 12000 m
ISO • 10' ion 300000 ion/s
=B rrWJ
= 500s
20 s
Ejemplo 5.
Un motociclista viaja de A a B con una rapidez lJ1ilorme de 55 km I h. A las 7 de la mañana está en B que dista 220 km de A Calcular: a) b)
En el movimienlo rect~íneo unilOfme la velocidad es constante.
RESOlUCiÓN :
?
Ejem'plo 4.
Rpta.: t
que~lea:
1,
;:
v=,= 60s
El espaciO recorrido por un móvil es d~ rectamenle propordonaJ al tiempo
•
=
\1
CMAC1ERÍ$T1CAS DEL M.R.U.V. al
e = 200 m I lmin SOs
Rpta.: v = 1,62 mi S
NOTAS: En navegaci6n la rapidez se da en .... dos y significa la rapidez en millas marinas por hora, así: v = B nudos
Ejemplo 3: Un móvil recorre 200 m en 1 min SOs. ¿Cuál assu rapidez?
4000 m 13 . 60 s
= 5,13 mis
39
A qué hora partíó de A A qué distancia de B estará a las 12 del medio día SI prosigue el viaje.
RESOLUCIÓN: t = 7
al
v t
e = 22() ion v = 55 km/"
= •T deda1de: km = ev = 55220km/" =4 h
Oliere dadr que el motociclista demoró 4 horas en recorrer de A hasla B. Como a B llegó a las 7 de la mañana entonces partió 4 horas antes, es dadr: 7a.m.-4h Apta.:
= 3a.m.
Partió de A a las 3 a m.
CINEMÁTICA
40
Desde las 7 a.m. hasta las 12 m. hay 5 horas, luego, se tendrá que calcular el espacio que recorre en 5 horas, a 55 kmih.
b)
e; vi;
La velocidad está dada por la tangente del ángulo que forma la recta representa· tiva ( e • t ) con el eje de los tiempos
55l
e
Q,N
(1) tga, = -ON ., osea: VI = .::t 1,
RpIa.: Estará a 275 km de B.
Q N
e
SOLUCiÓN GRÁFICA DE LA VELOCIDAD: (espacio - tiempo)
(2) Ig a, =
En un gráfICo la velocidad de
la velocidad del móvil (2) es mayor que la del móvil (1), esta cualidad está graficada y expresada en el valor de los ángulos de indinación de las rectas representativas de la velocidad.
U1
móvil
es el valor de la targente de un ángulo. Ejemplo: Sea un móvil con velocidad de 7 mis en un sistema de ejes rectargulares, el espacio recorrido se indica scbre el eje Y y el tiempo sobre el eje X, as!: '4
, t( s)
o
2
Esto significa que el móvil en 1 s ha recorrí· do7m
>
a,
19 a, > 19 a, V, > V,
SOLUCiÓN GRÁRCA DE LA DISTANCIA: (velocidad - tiempo)
, a
'1,
a,
EfectivOOlente:
7
Sea un móvil con una velocidad de
6 kmih Yse desplaza durante 6 horas. e
= 6 kmIh x 6 h =48 km =48000 m
Del gráfico ( e - t ) se liene que: 7m 14m 15; 2s
ON '
Donde: Ioogo:
.(m)
tlW1a =
. osea: V = .:l
v (km I h)
B~--------------~ = 7m/s
A<>e I(h)
o Ejemplo: Sean dos móviles cuyas velocidades son respec1ivarnente:
V, =5km/h V,= 20km/h
2
3
4
5
6
La distancia o espacio recorrido por el m6vtl está representado por el área "trama· da" que es un rectángulo cuya área geométricamente se calcula multiplicando la "base" por "altura", donde la base es el tiempo recornda y la anura es la velocidad constante que lleva el móvil.
FlSICA GENERAL
41
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA l.
A una persona la llaman por teléfono a su casa desde la Urnvers,dad a las 9 de la mañana y le dicen qt.e debe presen tarse a las 10 h 30 rrOn. Si la persona sale inmediatamente de su casa, que dista 14 km de la UNVersidad, calcula la rapidez con la que debe desplazarse para llegar a la hora de la CIta. RESOlUCIÓN : '" 14Km - 14000m
t v
= lh3Orrin.=90min=5400s =?
T;
v=
22
Un peatón camina a razOn de 4 km/h los 315 de la distancia qt.e ooe dos ciudades separadasen 10 km. Siel resto lo camina a3km/h, ¿cuánlO !Íerr4Xl derroró en lodo el recorrido?
-1','--
3 t,.-~~I'-'_ 5
5
f - - 41
t _ eI v
Sabiendo que : Se le cita a un estudiante a las 10 de la mañana a la Uriversidad. SI parte de su casa a 2 km Ih, nega 2 horas más lardle, pero Slvaa 4 km I h liega 3 horas antes. ¿Con qué rapidez o vaIoddad debe cami1ar para llegar a la hora exác\a? RESOlUCIÓN:
~L
1· parte:
t, =
+
2' parte:
\, =
35
=
gl
~~ 2l
= 15'
Sumandomembro a mierrbro: 3l 2l t,+t, 20 + 15
=
• ------i
B
I
2 l -.f'
-------l-----. B
PROBLEMA 2.
A
Apta.:
PROBLEMA 3.
A
luego
_ 14000 559 m v - 5400 • . s
Apta.:
e
T= T
RESOLUCIÓN: Sea el gráfico
e
Se sabe que:
v =
pero t, + t,
3
t Y l
= 10 ; luego
65 I - 30 = 2,16 h Recordemos que
e = vt
luego:
Sivaa2km/h:
e", 2(1+2)
(1)
Sivaa4km/h:
e'" 4(1 -3)
(2)
Igualando espacios: 2 (t +2) = 4 (1 ,3); de OOnde t = 8 h
Quiere decir que carrinará durante 8 h. Reerrplazando en (1): e=2(8+3)=22km
Quiere decir que la listancia que tiene qt.e recorrer es de 22 km.
Rpta ~
t = 2hl0min
PROBlEMA 4.
De una CIudad A parten dos ciclistas al mismo tiempecan rapdecesconstantes v, -30 kmhl Y v, = 40 km'h, respectivamente. Otro cidista que está a 20 km en una ciudad 8 parte al msmo tiempo, en sentido contrario con una rapidez o velOcidad de 50 km/h. ¿Cuánto tiempo pa· sará para qt.e el tercer ciclista se encuentre entre los otros dos, a una distancia doble del prR11ero con repeClO al segundo. Las duda-
CINEMATlCA
42
des eslán a 100 km de distancia.
RESOLUCIÓN ;
Para que pase lodo el Iren tiene que recorrer 100 m. Enloroes:
HacieOdo un gráfico
B
..
@ O
..
50
PROBLEMA G.
•
t---- •• ---1
f-- ., ---l
.,---
Para que oama lO que el problerra indica debe lenerse que:
e, ; v, I ; 301 2x ; 2.
e, ;
A las 11 a.m. parte de un punleA, unaulorn6vil con velocidad uniforme de 60 kmIh; a las 13 horas. parte atro aUlomóvü del mismo punto a la velocidad de 100 kmIh siguiendo la misma dirección del primero. ¿Calcular a qué hora y a qué distan cia de A el 2' alcanza all'?
RESOLUCIÓN :
Dibujarnos el gráfioo dislancia • tiempo que representa el desplazamiento de los automóviles. la solución gráfoca se lee fácilmente: a las 16 horas y a 300 km
SOl
Sabiendo 85105 valores: ., + 2 x + e. ; 100
:. 3()! + 2 x • SOl = 100; de dCllde: x=50·40t
d(km)
(1)
Por otro lado en el gráfico se observa; =
100 60
3OIt3.; dedonde 10 I
3
(2)
Igualando (1) Y (2):
SO·4
10
"3 t
300
,
------- -
200
e z .. e,+3x
:.4<11
= 2Os 1 =..".=2O+60 5
RI p a.:
A : \1, = 30
, de d
15
= 13 h • luego:
-
11 12
13
14
16
RESOLUCiÓN ALGEBRAICA: Cuando se encuentran tienen que haber recooido la misma distancia desde el punto de partida. Sea 'e'la distancia. Para el primero: e = VI t
Para el segundo: e
PROBLEMA 5.
Igualando (1) con (2):
RESOLUCIÓN: Sea el gráfica
v, I
(1 )
= v. (t
Apta.: t = 1 h 09 mio 14 s ¿Cuánlo tier11Xl demora en pasar lodo el Iren de 20 m de largo, un túnel de 80 m de largo si IIeIIa una rapidez de 5 rrJs?
I(h)
- 2h I
= v, (1 - 2 h)
v,1 = v,t - v, x 2h Ordenando:
v, t - ',1 = "
x
t ; v,w2h
v2 • v,
~ 20m
I
(2)
Sustituyendo valores: 100 km/h x 2 h t = l00km/h _ 60km/h
=5 h
2h (1)
(3)
FíSICA GENERAL
Lo que quiere dec~ que 5 horas después de haber partido el primer automóvil se encuentran, esto es: Rpta.:
llh+5h=16h
43
,', 1 000 km = 2 ,
1 000 km 16 h , t
I =8 h
de donde:
' nd )d sustJtuye o en (1 ,
En otras palabras: 4 p,m. Sustituyendo (3) en (1):
Rpta,:
= loookm,Bh 16 h
d, = 500 km
d = 6Okmlh. 5h Rpta.: d = 300 km
Se encuentra a 500 km de A, que
Quiere declrque el 2" alcanza al l' a 300 km del pu1IoA.
PROBLEMA B.
PROBLEMA 7.
tancia, El primero parte de A a las 7 a,m hacia B, a 60 km/h, ¿A qué hora ya qué distancia se encuentran?
Alas7delamañana par· ten 2 automóviles, l-flO de A a B y otro de B a A. están a una distancia de 1 000 km, Recorren los 1 000 km en 16 horas. ¿Calcular a qué hora y a qué distancia se encuentran? RESa..UCIÓN:
1lD
En un sistema rectangular se tiene :
el
PwOO de encuenlto
Dos má"'¡les están en A
y B a 720 km de distan·
AB = 720 km
RESOlUCiÓN :
V.=V.=60kmlh
Hora, : 7 a,m, a)
-----¿---
d(m l
resu~a
punto medio.
A
Hora. : 12m
d.
I
Encuentro
I
B
d,
I
J
d, = V, t
(1)
d.=V.(1-5h)
(2)
1( h)
o
4
8
12
Sumando (1) Y (2):
16
Como llevan la rrisma .elocidad, al encontrarse han recorrido la misma distancia:
Sumando (1)
Y
d, = v t
(1)
d, = vt
(2)
d, + d. = V.t + V.(t'5h)
Además:
720km = V(2t-5h)
(2):
d,+d,=2vt d, + d, = 1 000 km 1 ()()() km
V. = V. = V
sustituyendo estos valores:
pero:
kJego:
d, + d. = 720 m
pero:
pero :
= 2 vt
Además como ambos cruzan la distancia AS en 16 h , la velocidad de cada uno es 1 000 km J 16h.
V = 60 km/h
,·,720km=60kmlh.(2t-5h) 12h = 2t-5h
dedmde: t = 8 h 30 min Quiere decir que se encuentran 8 h 30 rrin después que partió A, o sea:
CINEMAT/CA
44
Sust~uyendo
7h+8h 30mn = 15h 3Omin. Entonces se encuentran a las 3 horas y 30 ml1Ulas de la tarde.
t =
valores: 35
~ (6)' + (8)'
b) Sustituyendo en (1): d
A
= 60 km/h
= 3,5
Esta es la primera vez que están separados 335m.
Rpla:
dA
= 510 km.
PROBLEMA 9.
Del origen de coordenadas rectangulares, parte un móvil siguiendo el ele "Y" a una velOc¡' dad de 6 rnIsy SlrruHaneamente otro siguiendo 18 dirección del eje "X' a una velocidad de 8 mis. Aleaba de lOs los móviles dan vuelta y marcllan hacia el origen de las coordenadas pero ahora la velocidad del primero es la que tenIa el segundo y la velocidad del se-gundo es la que tenía el primero. ¿Cuantas veces y en qué instante estarán separados 35m?
Para calcular el tiempo que tardarán en en-oontrarse a 35 m , por oogunda vez. se prc>. cederá as;: Como ya recolTieron 10 s y empiezan a re-gresar: El que recolTe sobre el "le 'Y" estará a (60 - V " t,) del origen, y el que recorre sobre el'eje ·x· estará a (BO - V," t,) del Ofigen, luego'
(BO . V,' t,)' + (BO . V," t,)2
,
V; = 6
V' = 6 mI, V'=8ml,
•
I
,
V· = 8 mIs
,
1 _ _ _ _ -:- __ _
,
Se tiene:
d=35m
I
V' = 6 mIs
~
Ida
d =?
Rpta.:
Supongamos que 'x' e y son las diSlancias de los móviles al origen, desde los puntos que están separados en 35 m.
(1)
,'+y'=d' x = V; t
Y= V,' t
;
Sustrtuyendo en (1) : (V,' 1)' +( V,' t)' = d'
,
VO't' , + VO't' t
=
...
d
,
IV' + V'
= d'
y
,
V· = 8.
t, = 7,50 s
A esto se le añade los 10 s que demoró la ida para obtener linalmente:
x
t = lOs
Qe doo;1e'
= (35)2
Efectuando operacIones. previa sustitución de valores:
RESOLUCIÓN :
pero:
10
t = 3,55
8,5 h
x
35 = -
tT
= 17.50 s (segunda vez)
PROBLEMA 10. Dos automóviles están separados entre sr 50 km y marchan en sentido contrario a 40 y 50 krnIh. ¿Cuánto tiempo lardarán en cruzarse? RESOlUCIÓN : d = 50 km
V. = 50kmlh Va = 50kmlh Como los dos móviles parten simul· táneamente pero con distintas velocidades, quiere decir que al encontrarse han recorrido distancoas d. y d., pero ambos en el mismo tiempo t.
Fis/CA GENERAL
Reoordando que:
de donde:
d
Para A: x = 50 kmAl .1
t
Para B: 100 km • x " 66,67 kmAl . 1
d = vI (1)
Para B:
(2)
de donde: convirtiendo:
Luego
50 = 90 t
x = 42,85 km Rpta.:
de donde. t = 0,55 h ~a.:
1= 0,857 h 1= 51 min 25,2 s
x = 50 ti • O,857h
+ 50 t
da = 50
d. +
(2)
SuStituyendo en (1): km
SLITlando (1) Y (2) :
pero:
(1 )
SL.rnando (1) Y (2) : lookm=116,67kn\1tl .l
Para/';.
d. + d. = 40 t
4S
en minutos:
t = 33,33 mino
PROBLEMA " . Dos eslaciones de Iren están separadas entre sí 100 km; de la estación A sale lJ"1 lren que tardará 2 horas en llegar a B; de B sale olro tren hacia A, a donde llegará en 1 hora y media. Calcular a qué distancia de A se cru· zan y qué lie"1lO después de la partida, la cual fue sirruMnea
Se encuentra a 42,85 km de A
PROBLEMA 12, Dos móviles están sepa. radas en 800 m y avanzan en lir.¡¡¡ recta uno al encuentro del otro con velocidades de 25 mis Y15 mis. Los rn6vies se cruzan y se alejan. Al cabo de cuánto tiempo estarán separadoS 1 600 m. RESOLUCIÓN :
V." 25m/s
AS = SOOm
V." 15m/s
'1' -
1600m- - - - - - - ' I '
RESOLUCiÓN : d = lookm d." ?
t.
= 2h
le = 1,50h Se calcUla la velocidad de cada Iren: Sea ' x' la dislancia que recorre A, y sea "800 • x', la que reCOrre B para Cruzarse con A en el punlo C.
100 km 50 km/h 2h 100 km Ve = 1,5h = 66,67 km/h
=-- =
V.
Sea ' x' la distanda en que se cruzan cenlando desde A; luego ' lOO ·x· será la distancia de cruce desde B.
.. I
f --
1) 2)
x=V.I=25t 800 • x = Ve t = 151
Sumando:
600 = 40 1 1= 205
II
(l00 · X)
B
- - l00km
CálctJo de las distancias recorridas por cada Iren para cruzarse.
A los 20 s de la partida simultanea se a'UZan; a partir de este momento deben alejarse 1 600 m.
( [2
CINEMAT/CA
46
d" + de = t,(V" + Vel
&Jmando:
de donde:
1, = ~d;;.",-+--:,:dg!!.. V. + V.
4S'
Sustituyendo datos: 1,
o
lSOOm
= 40m/s =
t, = 40s
El tierrpo total desde el momento de la partida será:
ll(p;es)
km)
53"
-o
1(.)
I(h)
RESOLUCIÓN:
La velocidad de un rrlÓIIil
en sistema rectangular está dada por la tangente del ángulo que for, ma el gráfico (d·!) con la horizontal. Entonces:
1, = 2()s ... 40s
Rpla.:
1, =
ro s = 1 min
al
Una persona dispone de 6 horas para darse un paseo. ¿Hasta qué distancia podrá hacerse conducir por un autorrovil que va a 12 km I h, sabiendo que tiene que regresar a pie y a 4 km/h?
V. = 1km/h = 1 000 m
PROBLEMA 13.
RESOlUCIÓN :
bl
V. = t953° = 4/5 = 1,33 V.
= 1,33pies/s
V. = 1. 33 x 0,305 mis
V' = 12km/h
Vo
Sea t, el tierTlJO que w.¡a en el automóvil; como la rapidez con que regresa es la tercera parte de la que lue con el auto, el tiempo que demorará en regresar será el triple o sea 3~ , luego: 1, + 3t, = 6 h 3
t, =
:1 h
Cálculo de la distancia que <;Qnduce el auto alpeatér1. 12km h
• = VI, = - - .
3 h 2
= 0,405 mis
Finalmenle la diferencia que se pedía será: V = Ve ' V.
Rpla.:
= 0,127 mis
Dos hermanos salen al msmo tiempo de su casa con rapideces de 4 m I s y 5 m I s, can direcaér1 a la UniversKiad. Uno llega ..., cuarto de hora anles que el otro. Hallar la distancia entre la casa y la Universidad. PROBLEMA 15.
RESOLUCIóN :
Sea "e" la distancoa er>tre la casa y la Ur1vers~ dad.
Recordando que:
Ahora, la dilerer.cia de tiempo que emplea. roo en llegar es de 15 minutos, es door:
d=18km
PROBLEMA 14.
3600s
:. V. = 0,278 mIs
1 = Sh
yo = 4km/h
~ .:
V. = 19450 = 1 ; luego:
~
EnlosgrálicossigUlentes
es1án indicadas las velocidades de 2 móviles. Decir cuál es la dijereneia de velocidades en mis
,
al
•
~
= 15min , ósea:
2
V. = Ig ~5° = 1 ; luego:
47
F/SICA GENERAL
1 000 m
V. = 1 km/h = 3600$
V2 = 10mls
:. V. = 0,278 mIs b)
V, = 8 mI s
RESOLUCIóN : e =?
t = lOs
V.=tg53"=4/5= 1.33
V. = 1. 33 pies I s V. = 1,33 x 0,305 mts V.
A, A. r - e,
= 0,405 mis
B 1-1- - - - - - - - - - l l B,
e,
1)
Finalmente la diferencia que se pedla sera: V=V•• V. =0. 127mfs
Apta.:
Dos hermanos salen al mismo tempo de su casa con rapideces de 4 m I s y 5 m I s, con dirección a la Universidad. Uno llega un cuarto de hora antes que el otro. Halar la distancia entre la casa y la Universidad.
Cálculo de la distancia recorrida por el primer móvil: m e, = V,I = 6 • 10 s
Recordando que:
t = ~
Cálculo de la distancia recorrida por el segundo móvil: m
= V, I = 10 - • 10 s s
8,
", = 100 m
e = 15 rrin , 6sea:
V,
_ " _ _ _ e_ =
e
="2'.'
". = 100·60 = 20m
Rpta.:
Cal !Xl bote que lleva una IIIlIocidad de 20mls se quiere auzar un lÍO de 150 m de ancho. La veIocidad de la corriente es 2 mis. CaIcUar:
PROBLEMA 17.
v
Ahora, la d~ereOCia de tíefr4Xl que emplearen en llegar es de 15 rnOltJtos, es decir:
4m/s
2)
60m
Distancia que los separa:
Sea "e" la distanaa entre la casa y la Universidad.
•v,
s
., =
PROBLEMA 15.
RESOLUCIÓN :
( e,' u,.---.r
I
a)
La desviadOn que experimenta el bole por eledo de la corriente.
b) e)
La velocidad tolal. A qué distancia, no abajo, locará la ~ra
15 > 60s
orilla.
5m/s
RESOlUCIóN : 5e.s - 4 • .5 = 900s
V.
20m
f\:lta.:
e
=18000 m
PROBLEMA 16.
6
"= 18 km.
a)
d = 150m
El bole parte de A Y llega a B
-; . r . 150fT\.V~ . ~ e
Dos móviles parten del mismo punto, al mismo
hempo y en el misrro sentido. con velocidades rectilíneas uniformes de 8 mis y otro a 10 mis. ¿Qué distancia estarán separados al
cabo de 10 s?
= 20m/s
V, = 2m/s
-.
I
~
l ·" . _'o (l
A
,
,,~
.
"
V, V
8
CINEMÁTICA
48
La desviación es por efecto de la corriente,
sea 'a' el ángulo que se desvía el bote. t9
0
V 2 =-'-= 20 = 0,1 V.
El vector VT está sobre AS. Luego, por Pitágoras en el tr\ángulO rectángulo
/>OC se ti_o VT =
J(20)2
+ (2)'
V, = 20,1 mis
el
2 (AS) = (50) 40 AS = 1000 m
Apta.:
(en tablas) b)
2 (AS) '" (V, + V,) t '" (23 + 27) 40
PROBLEMA 19. Dos móviles están separados inicialmente 870 m, si se acercan en sentidos contrarios y con rapideces constantes de 18 m' s y l2 m' s ¿Qué hempa demorarán en cruzarse? AESOLUCIÓN :
En el triángulo rectángulo ASC,
V, = 18m/s
V, = 12mls
se ~e
neo
?
t '"
AC= 150 m y a=5· 42', luego:
= ACtga = 150 X t95° 42' Be = 150 x 0,1 Be
Apta.:
Be = 15 m.
-
v, =
~. -1'--
PROBLEMA 16. Dos móviles parten simunánearnente de un punto A en un mismo sentido, y se desplazan en forma rectilínea. A los 40 segundos de la paruda, equidistan de un punto B, uno antes y aIro después del punto B. Calcularla distanda AB, SI los das móviles se desplazan con rapideces consIantes de 23 y'Z1 m's.
d=870m
12.mls
'.
--.r
Al encontrarse habrán recorrido:
d
=
= 870 + V,)t = 870
V, t + V, t (V,
(18 + 12) t = 870
Apta.: t
= 29 s
Dos móviles parten de un punto 'O' en direcciones perpendicutares entre si; se desplazan con rap~ constantes de 30 Y 40 m's. ¿IIJ cabo de qIJé tierrpo eslarán separadOs 121
PROBLEMA 20. RESOlUCiÓN: VI = 23m's V2 = 27 mis
=
v,
40s
v,
----
AESOLUClóN:
,
B
Observando tos datasen el gráfico siguiente:
A
f"....
Si equidistan, el móvil 1 avanzará: AS-x=V,t
(1)
= V,t
(11)
Y el 00..12: AS + x
S1,.mando {I
l
y (11) :
d=12km
v,~'~~L~'.~'~~~~ V
2
• 40
mI s
En el tñángulo rectángulo:
~. V 2
t
F{S/CA GENERAL
a'
~ (V, 1)' + (V,I)'
d'
= ¡'(V,' + V:)
d ;
•I
J3IJ2 + W
J2500
~
Pero:
Vm
.
TIOIal
t' ~
Apta.:
12000
J 10000
V,
= O, ( V,1
+-
V,
Sustituyendo los datos numéricos:
16 = 2(10)V2
d
10+V
2
lOO
se
(elliempo reduce a la mílao)
PROBleMA 22. Un autom61ii1 va de una ciuclad A a otra B, con t.ra velocidad constante de lO mis y regre· sa, tanDén con una \/tilocidad constante, de la ciudad B a la Ciudad A. Si la velOCIdad media para el m6vll (ida y vuelta) es
t, + t,.
T... =
d,
(1)
T,,,,,
V = 2V,V, m (V,+V,)
yo
~ 12000 = 120
r = 2 min
d,
~ -
d,
=
Sustituyendo este valor en (1)
V; ~2V,=rom/s
12000 ~ 12000 J(V;)+(V;) .Jro'+s02
=?-
Vm = 16 mIs
Apta.: t' ~
v2
d,=2d
V, =2V, =BOm/s
B
Se sabe que:
50
PROBLEMA 21 . ¿ Qué sucede con elliempo si en el problema ar>lerior se duplican tas velocidades?
ti =
I
I
12000
RpIa.: t = 240 s ; 4 rni1
RESOlUCIÓN:
d
A
Reeplazando valores:
Sabiendo que:
V, "" 10m/s
tJv,' tV:
12000 = t t ~ 12000
49
V,
.
'
4V,
= 160
= 40 mis
PROBLEMA 23. Dos móviles están en movimiento en las mismas direcciones y sentidos, con velocidades de 60 Y 72 km/h. Cuando pasan 12 s, del móVIl
RESOLUCION:
Para aclarar el problema se grafican las trayectorias:
.F ___ - - .,_-_-: _'..-_-_40_m_-...f-.
RESOlUCIÓN:
v,
= lO mis
V, = ? Vm
= 16m/s
,.
~. ]
,,- 12,
",·30""'"
A - - ., 40 - - - - (
50
CINEMAT/CA
v, = V, V,
= = = 240 m
60 kmIh (5013) mis 72 kmIh = 20 mis 108 kmIh 30 kmIh (5013) 12 = 200m
= = = 20.12
d,
d,
Luego:
o sea que a los 12 s los móviles están sepa· rados:
do • d,
= 40 m
Cuando el proyectil alcanoo al móvil de yor velocidoo se cumplirá: t - d _ x _ • + 40
ma·
24
Para (2): que ya está de regreso: 600
Igualando las dos últimas:
(y+30+xj+. 36
y
24
O sea que el tiempo total desde el momento de la partida de ambos móviles hasta el momento en que el proyectil alcanza al fTlÓvIl más veloz será:
36y
3y
600+ x
="""""36" ;
= 144OO+24x
= 12OO.2x 1710-3x
= 53,33m
PROBLEMA 24.
Dos móviles recorren una trayectoria rectilínea M N de 600 m de distancia de ida Y vuelta. Si parten del reposo simultáneamente y con rapideces de 24 Y 36 mis. ¿Qué liempo transo currirá para que estén separados 30? m
~
x-
VI" 2.4 mis
N
v2 -
38J'1'\1l
i-._
500 m
En el gráfico: y + 30 + x = 600
=
12OO+2x
x = 102 m
d ;d,' d, = V,T ·V,T d = (V, ·V,)T
y
(11)
3(570-.) = 12oo+2x
Ahora tos móviles estarán sepaI"Bdos:
RESOLUCION
de donde:
Reemplazando (1) en (11) :
= 125+45 =165
Apta.: d = (20·5013)16
600+ X 36
Igualando los tiempos:
x = 80m
x 80m 1'=2Om!s=2Om!S =4s
T=t,,+~
1, =1..
Para (1):
t
~
= 570 - x Ul
La primera vez que están separados 30 m es cuando los dos avanzan. La segunda vez cuando el de mayor velocidad regresa. Como el tiempo que ha transcurrido es el mismo se tiene:
(ver gráfica)
- V-2O-JO
30x = 2Ox+8oo
y
pero:
t = 6OO+x = 600+102
Rpta. ;
t = 19,5 s
36
36
La primera vez sucede a los 2,5 s
PROBLEMA 25. Del puente Javier Prado, en la pisla de la Vía Ex· presa, parte un cidista', hacia Lima con una rapidez de 10 mis. 12 s después, parte otro cidista , en el mismo sentido y OOn la misma rapidez. Un tercer ciclista que viene de Lima se cruza con elciclísta, 3 segundos después de cruzarse con el primer ciclista. ¿Cuál es la velocidad o rapidez del tercero?
RESOLUCION ; V, = 10 m! s V, = 10m!s V. = ?
t. = 12 s
t.
= 35
51
FISICA GENERAL
,
1
v, '
Q)
,ll
\~l
t~)
®!l
f-V
1
t.v2
12
, \
,,
x
Los ciclistas Ql y (!) se están acercando con una rapidez igual a la suma de sus rapideces: V, + v, :_
X = (V. + V, )I, x = (V. + 10) 3
avión llega a C. Si la rapidez del sonido es 340 mis, calcular la rapidez del avión. (según la figura)
e
A
~OmlS
B
RESOLUCIÓN:
Calculando los ángulos del triángulo formado.
v,
A
e
(1 )
Por ctra parte: el espacio x es igual al recorrido por el ciclista
x
= V,t - (V,I- V,.12)
x = V,.12 = 10.12 = 120
Llamando v. a la rapidez del avión, en el triángulo ABC, pa ley de senos: B
Sustituyendo en (1) : 120 Ap1a:
= (V. + 10)3
~
sen ISO
, de donde:
=
340 sen 120"
v
V. = 30mls
Un avión cuando está en un punto A es visto por un observador en tierra en el punto B, pero el ruido es percibido cuando el
340
sen 15° = sen 60° 340 sen ISO
PROBLEMA 26.
sen 60" Apta,: V,
= 101,6 mis
PROBLEMAS PROPtlESTOS Dos lugares A y B están separados por 100 km De A sale una motocicleta hacia B y demora 4 horas en llegar. De B sale otra motocideta hacia A y demora 5 horas en negar. Calcular:
1.
al b)
¿A qué distancia de A se cruzan? ¿CuántotietTpodesptlésq.>e partieron? Rp1a:
a) 55,2 km b) 2,22 h
Dos personas van una al encuentro de la otra por una misma vía recta , con la wIocidad de 4 km/h. Una de ellas suelta un perro que corre al encuentro de la otra a la
2.
velocidad de 10 km/h. La distancia que los separaba en el momento de partir era de 30 km. ¿Cuál será la distancia que los separa ruando el perro encuentra a la otra persona? Apla: 12,86 km
Dos CIClistas parten de un mismo punto en sentido contraño, uno a 40 km/h Y el otro a 50 km/h. PJ cabo de 5 horas, ¿qué distancia los separará?
3.
Rp1a: 450 km 4.
Dos rróviles avanzan por vías paralelas y en sentidos opuestos. Si ta di&-
CINEMÁTlCA
52
tancia entre ellos inicialmente es 'a' y las velocidades son '.' e y mis, respectivamente ¿Cuál será la distancia que los separa al cabo de "1" segundos? Rpta:
t = ± [a· (x+ y)t]
Rpla.: d
La distancia TIerra·SoI es aproximadamente 15 .tO" m. Eslando alineados SoI-Toerra-Luna, un aparato de radar envia una señal a la Luna y a los 2 s se oye el eco. la velocidad de la señal es de 3 . 10" mis. Calcular la distancia Luna-Sol.
5.
Apta: 15,3 . lO" m Uf) hombre escucll6 una explosión en el mar dos veces. cm una diferencia de 15 S. ya que el sonido producido por la explosiÓll se propaga por el aire y por el agua. ¿A qué distancia del purto de explosión estaba el hombfe sabiendo que la velocidad del sonido en el aire es de 340 mis y en el agua 1 400 mis?
6.
Rpta: d = 6 676.36 m
Una ptatafomna de Ioogitud "l" parte de 'O' (inicialmente el extremo izquierdo coincide con 'O") con una velocidad 'V', en ese mismo instante parten de ambos extremos dos hombres con velocidades constantes de 'X' e ' Y', respectivamente. Hallar a qué distancia de 'O' se producirá el encuentro de ambos hombres. 7.
CI-i :.' x
o
X e Y son velocidades con respecto a la plataforma. V es la velocidad de la plataforma con respecto a la tierra
= L(V + Xl
X+Y Un alumno de la Universidad de [joma está de vacaciones en Jauja. Cierto día, en determinado instante, ve una centella Quz en el cielo) y 5 segundos después escucha el sonido (trueno). Calcular la distancia que había entre el alumno y el lugar donde se produjo la centella, si el sonido tiene una velocidad de 340 mis.
8.
Apta.: 1 700 m. Un motocicüsta controla que pasa 2 postes cada 5 s, los postes están separa· dOS en 50 metros. ¿Cuál es la velocidad del
9_
motocic~sta?
Apta: d=72km/h
10. Un hombre rana es ~lsado por un meter q.Je le da una veIocilad de 5 mis en
Apta.: 5,lmls;8s;8m 11. Dos móviles parten de 'A' y 'S' que en
L y
-
-
v
linea recta están a una distancia 'd'. la velocidad de A es los 213 de la velocidad de S. ¿Cuál es el tiempo que demoran en encontrarse, en funoión de 'd" y Va
Rpta.: t =
MOVIMIENTO VARIADO Cualquiera que sea la trayectoria del móvil (reclitrnea, curvilinea, circ:unfe-rencial, parabólica. etc.), en el n1OIIimienlo variadc
(3/5)d
V
•
siempre debe distinguirse el 'movimiento va" riado M.V.' y el 'movimiento un~orrnemente variado M,Uv.'
AS/CA GENERAL
d,. = 25 kmlh • 2 t .. 50 km/h
(rf()VfHIENTO VARIADO (N. Y.) Es aquel movimiento que no es unifor· me. Su velocidad varia desordenadamente ruando transcurre el tie"llO.
53
t,. = 1,
y:
~
Ó
~
V = d, .. d2 .., • , , m t,+t2 t .. ..
Un auto ";aja de Urna a Truji· 110 en 6 horas. Si la distancia es de 600 km. ¿Cuál será la velocidad media?
Ejemplo 1:
RESOLUCIÓN : Rpta.:
Vm
Vm =
25\cm/h.21 + SOkm/h.t 3t
1.
El auto -partió del reposo, es decir. de velocidad igual a O. 2. En el trayecto hay rectas, subidas y bajadas: habrá momentos en que la veIocidad es muy inferior a 83,33 km/h Y habrá momenlos en que la velocidad será muy superior a 83,33 kmIh; el caso es que en promedio la velocidad que desarrolla el auto es 83,33 kmIIl.
Ejempfo 2.
Un móvil recorrió la primera mttad del camino a 25 kmIIl Yla segunda mitad a 50 km/h. ¿ Cuál es su velocidad media?
pero:
vm =
dT IT
dT=d, .. ~
dr
m
= V,I, .. V2 t2
Si la primera mitad fa recorre en elliempo "2 r, la segunda mitad en el tiempo ,
= l00kmlhol 31
Vm = 33,33 km I h
Rpta.:
Solución gráfica del espacio recorrido por un móvil con velocidad variada (Velocidad-T1erTlpo). e
~.
500 km
La velocidad es media porque tiene que comprenderse que:
RESOlUCIÓN:
V
o
---¡¡¡;-
=83,33 kmIh
esto es:
t,.=2t+t=3t
VELOCIDAD MEDIA Es la velocidad constante que deberia tener un mó";l para recorrer el mismo espa· cio recorrido con vefocidad vañable, en el rrismo t"'"'PO-
+..
.t
,
La grálica indica que el móvil varía constantemenle su velocidad. Por ejerf1Jlo. partiendo de O, los tramos OA y BC representan que el móvil aumenta su Velocidad, los tramos AS y OE representan que el móvil tiene una velocidad pareja o constante, y los tramos CD y EF que el móvil disminuye su velOcidad hasta pasar en F.
MOVIMIENTO RECTlÚNEO UNIFORMEMENTE VARIADO M.R.U.V. Es aquel movimiento que el(perimenta un móvil en linea recta y se ca-racteriza por que la velocidad cambia o experimenta variaciones iguales en in'lerval05 de tillf1lXlS
iguales.
Sea por ejemplo un móvil que se desplaza así: - Arrancando del reposo:
V, = O
- Al ma/deller. segundo:
V,
=2 mi s
- Al final del 2do. segundo: V, = 4 m I s
• Al final del 3er. segundo:
V, = 6 m I s
• Al final del 4to. segundo:
V. = 8 m l.
CINEMATICA
Como se ve. va aumentando su velocidad 2. metros por segunde en cada segunde. El móvil puede ir aumentando o disminuyendo su velocidad en cada segundo que pasa. ACELERACION ¡:
Es una medida del movimiento. Es una una cantidad vectorial que mide el cambio o variación de la velocidad por intervalo de tiem-
po. En forma matemática se calcula median te la siguiente fórmula: VI V a-_6V_ - - -•-; 1
I I Donde 6 V es el cambio o variación de la velocidad.
1
.
óV=V-V,
Ejemplo: ¿Qué nos expresa un valor de aceleración a 2 miS> ?
=
Nos indica que la velocidad del móvil cambia en 2 mis par cada segundo. ' En todo M.R.U.V la aceleración se mantiene constante" VELOCIDAD RNAL CON VELOCIDAD INICIAL
De la última fórmula de la aceleración se despeja la VI y se tiene:
IVI ; v¡~al l S i el móvil aumenla su velocidad S!.J aceleración es positiva (+ al. pero si el móVIl dismi-
nuye su velocidad la aceleración es negativa (- a) por eso la fórmula se generaliza así:
IV,;v¡±all
LA ACELERAClON ES UNA MAGNITUD VECTORIAL La aceJeraci6n es un vector que tiene la direcci5n del vector carrtJio de velocidad 6 V . El sentido puede ser positivo. si prcMJCa un avmento de la velocidad; negativo. si provoca una dismnución de la velocidad. Su magnitud es el cederte entre la variación de la velocidad Y el tiempo. La aceIet ac,i" ¡¡.es ccxlrigida CCfl la variación de vetocidad ó V (a 6 V )
óv
a; ~ t
A las a h 30 min 45 s. la ra¡jdez de un automóvi es de 50 km'h. A las 8 h 30 min 51 s es de 70 I
Ejemplo 1_
RESOLUCIÓN :
1= ah 30m 51s· eh 30min 45. 1= 65 óV = V, - V; = 70 km/h . 60km/h óV = 10km/h = 2,78m/s Sabiendo que:
a = ólV
Sustituyendo los datos se tiene el valor escalar:
RpIa.: a = 2.78m/s=047m/s' 6s ' Ejemplo 2.
Un auto va a una rapidez de 8 mis y 4 s después. a 12 mis. ¿QJál es la aceleracion? 8 m6vi tiene M-R
u.v.
RESOLUCIÓN : V,; am/s V, = 12m/s
UNIDADES
a =
Las unidades en el SI son. V : m/s
;
t :s
;
t ; t, - t;
a:mJs'
;
t:h
;
a:kmlh'
12 - 8
a = - 4Rpta.:
a = ?
V, - V, 6V = I I
Pero tambien puede usarse: V:kmIh
I ; 45
a = 1 mis'
4
=4
RSICA GENERAL
Ejemplo 3.
Un móvil entra en una peno diente a una velocidad de 36 km/h, Ycomo consecuencia de la penálE!fl' te se acelera con 0,5 mis '. La bajada tarda 8 s. ¿Cuál es su velocidad al final de la pen0 diente? El mó,,1 tiene M.R.UV.
a=
RESOLUCiÓN :
a
Susti1Lyerdo datos:
t = 2,83 s
Un móvil pasa por un punto con M.R.U V. En un momento su velocidad es de 30 mis y 45 después es de 10 mis . Calcular su aceleración.
. 85
= 10m/s + 4m/s
\I¡=3Om/s,
unautopartedelneposoytiene un M.R.UV. cuya aceleración es de 3 mis'. ¿Cuál será su velocidad 15 s después de la partida? RESOLUCiÓN: a = 3 mi 52
VI = ?
t = 155
Sabiendo:
= 3Om/. , t = 45.
a=?
VI = 10m/. VI • V¡ SabKlndo: a = ~ 10m/s·3Om/s
a=
-'-'--'-',=,=- "
Apta.:
a = .0.44 mis'
45.
quiere decir que el móvil está frenando.
=O
; luego: VI
=a t
REPRESENTACiÓN GRÁACA DEL
SustiltJyendo dalos:
M.R.U.A.
VI = 3m/s2 . 155 = 45m/s
V,
= 45m/s
Ejemplo 5,
¿Cuánto tiempo demora un móYil que parte del reposo y se rrueve con M.R. U v.. con una aceleración de 9,8 mis', en alcanzar una rapidez de 100 kmlh? RESOLUCION : t
v,
RESOLUCIÓN :
Eje"1llo 4.
Apta:
100 km/h
t = -:-:----:-'?2 9,Sm/s
Ejemplo 6. + O,5m/s 2
V, = 14 mi s
pero: Vi
VI = at
..
de donde: t = V,
Rpta:
36000 m VI = 36005 + 4m/s
f1lta:
= O
100 . t OOOm/3SOOs 9,8m/s 2
SIJSIituyenclo datos:
V,
V¡
pero:
VI; VI
de dorde: VI = V, + a t
VI = 36km/h
55
=?
Sabiendo que: VI
a
= 9,Sml!f
VI = l00km/h
= V¡ + at
a = 5 mis'
Sea:
La aceleración mica que ellTlÓIIil está aumentando de 1IeIocidad, en este caso 5 JTVS en cada &eg..W1dQ V (mis) 15
______
10
__ _ _2
~
N
!! ~ M
,a , , I
I I
,
I
I{s)
ClNéMÁncA
56 V = 5m/s
sustituyendo en (1) :
}
I = 1s V = 10m/s
punto 1
} }
1 = 2s V = 10m/s I = 2S
I"nto 2
= MN QM
punlo2
6V = TI
=> 19a
~ a t)t
le = '1;1 ±
~ a 121
El signo (+) se usa cuando la aceleración es pos~iva; el signo (-) se usa cuando la aceleración es negatilla o relar-dalarla
El valor de la aceleración es igual a la langente del ángulo de inclinación de la recia ( v - 1 ) con el eje donde está el tiempo. Iga
= (Vi t
8
(1)
Deducción Gráfica:
Ya se ha visto que el espacio recorrido por un móvil con movimiento variado, es un área. Del mismo modo es un área cuando el M_RU.V. es con velocidad ,inicial. v E
pero sabemos que: a
6V
= -6\
(2)
I a = 19 a I
Igualando (1) Y (2):
A
DEDUCCiÓN MATEMÁTICA
cuando un m6~1 recorre un espacio con veloádad variada, tiene una velocidad inicial y una velocidad final, Se ha dicho que: 'la variación de la velocidad que eJqlerimenta un móvil en la l-flidad de ~empo se llama aceleración'; luego, para calcular el espacio recorrido por un m6~I, cuando ese espacio es medido desde un pUnlo en que el m6villleva una velocidad inicial, baslará multiplicar la velocidad media por el tiempo, asl:
pero: y:
Vm =
Vm = esto es:
(1)
luego:
± -1 al 2
I
es decir:
e = ÁIe
DA =V,;
CE = 6V
AB=\;
= al;
OC
=t
n.o.(l.o.)_:- - ; - - - , Sustituyendo_e_ r
le=Vil±~aI21
Pero cuando V. =
o
e-=---:'~-a-\,-'I
r-[
\I¡+V¡tal 2
Vm = V¡
B
AD = V, e = Área de la ligura
V + V, '2
VI = II¡ ± a \
e VI
ESPACIO "e' RECORRIDO CON VelOCIDAD INICIAL Y ACELERACiÓN:
e = Vm \
IN
v., o
Ejemplo 1_
Un móvil se mueve con velocidad uniforme a 23 mis. Entra a una bajada la cual le imprime un M.A.U.V. con una aceleración ele 0,25 mis' y la recorre en 33 s. Calcular la Iong~ud ele la bajada_
F{SICA GENERAl.
RESOLUCiÓN :
A- B....
V, t
~
=23mls = 33 s
57
e, espacio recorrido por el primero e, espacio recorrido por el segundo
= 0,25 mI s2
~
=?
,•
c "--- Sea "Lo la Iong~ud de la bajada:
L = \11 +
Sustituyendo 105 datos: 1 L = 23 x 33 + 2
Apta.: L
~
Como para ambos la velocidad inicial es cero:
a 12
x
0,25(33)
a = 0,9 m/s2
l = ? t t2 Se sabe que: l ;; VI I + 2a luego: L
= 2t a t'
Sustituyendo 'JalOres: l ::: 21
Restando (2) - (1) :
k"
0,9 ,; 3,8
e2
pero:
..
•
~ 12 (a2
• a,)
e, = e
~t2(a2
e =
dedorde: 1 =
- al)
Ja22e. a,
za con una velocidad uniforme de SO km/h_ Al apr1C8r los Irenos desacelera a razón de 5 mis'. ¿A qué distancia del punto en Que el chofer \lió a la persona se detendrá el ceche? RESOlUCiÓN :
V = 80km/h = 22,22
Apta.: L = 6,498 m.
Dos autos es1án separados en 90 m uno delante del otro. Parten del reposo, en el mismo sentido y en el msme instante, el primero con una acelerad ón de 5 mis' Yel segundo con una acele-
a = -5m/s 2
Ejemplo 3.
radón de 7 mis'. ¿Al cabo de cuánto tiempo et segundo alcanza al primero? (Se pone paralelo). RESOlUCIÓN : e = 90m
(2)
", . ,, =
Al resbalarse por un tobogán con una aceleración de 0,9 mis' , se demora 3,8 s. ¿Qué rcngitUd tiene el tobogán?
=O
~ a, 12
=
2
Ejemplo 2.
pero: Vi
(1 )
"2
= 895.125 m
RESOlUCIÓN :
1 a, l2 e, = 2
t = ?
mis
e = ?
t r = O,60s A
B
e
Mientras reacciona y durante los 0,60 segundos el auto sigue la marcha a SO km/h. Cálculo del espado que recorre en ese tiempo y a esta velocidad.
e... = V x t = 22,2m/s x 0,605
CINEMÁTICA
58
e AS = 13,32m
En este instante recién el móvil empieza a frenarse y su velocidad es retardada. En este instante la velocidad de 22.2m1s viene a ser la velocidad inicial (V,)
vf
2 = Vi -
Aa
=
e 62.71 m
RESUMEN DE FÓRMULAS DEL M.R.U.V.
=O
IVm
=
~
I IVm
V, ~ V2 1
=
O = V,' . 2 a ese
de donde:
e
Apta.:
2ae,.
Corno el móvil se detiene: V, luego:
Se detendrá a: e AS + eAS = 13.33m + 49.38m
eAS
V2
2'a' con los datos:
=
= (22.2)2 => 2. 5 e ..
la_-Vlt-V'II
V, = V, ± at
I
= 49.38m.
•
PROBLEMAS RESUELTOS Un auto de carrera parte del reposo y alCanza su máxima velocidad después de rero
Por otro lado: VI = a I
RESOLUCIÓN .
a = 171.43m/s
PROBLEMA l .
el = 300 m
e2 = ?
2
= 48.96m/.2
e = 97.96m Luego el espacio recorrido en los 1.5 segun-
dos finales será la diferencia:
II e = 300 m - 97.96 m
(f)
e = 202.04 m
Apta.:
Se calcula pnmelO la velocidad final al cubrir los 300m v, + Vi e, = 2 "
PROBLEMA 2.
+ O .3.55
2
I
e = 21 . 49.98m/. 2 (25) 2
_ Cálculo de la aceleraaón 'a' :
300m = V,
V,
valores en ( I ) para calcular lo recorrklo en los dos primeros segundOS:
Espacio recooido durante los 2 primeros segUndos: e = \\1 + 1 a 12
~ a t2
=
Susl~uyendo
= 1,5$
pelO: Vi = O : . e =
171,43m/$
Luego: a 3.5s
t, = 3.5$
'2
V,
de donde:
[j.
Un auto parte del reposo y recOrre 50 m en 3 se-
gundos con aceleración un~orme. ¿En qué tiempo recorrerá 1()() m ?
RESOlUCIÓN :
59
AS/CA GENERAL
"2 = 100m
V2 + V3
= 35
"
2
• l = e
- CálcUlO de aceleración:
De la expresión: e
= V¡..
V2 + V3 2 · ts =35cm
1 a. 2 2
2
Por IlIro lado:
de donde:
=
J 2ae
V, = tOan + tOan .3s
2 Jo< 100 m 11.llm/s2
=
s
4.24s
Un móvil de laboratoño tiene una rapidez inicial de 10 cm/s recorriendo 35 cm durante el 3er_ segundo. En 10 segundos adiciooales. ¿qué espacio habrá recofTIdo? V = lOcml s
do el 2do Y el 3er segundos de recorrido, según la siguiente e)(¡lresi6n':
= V¡
~
a 12
ex:
cm (lOs) + 21.10 (10s)2 s s e
=900 cm
PROBLEMA 4_
Al final del2do. segundo:
(1)
Al final del 3er. segundo: V3 = 10cmls + a.3s
e= Rpla:
+ al
V, = 10cm/s + a.2s
e = V3 l •
V,,
Se calculan las velocidades finales termnan-
VI
Cálculo del espacio recorrido en los 10 segundos siguientes. lomando como velocidad inícial la que tenía al terminar el 3er.segundo.esdedr.
al terminar el 3er. segundo, es dedr: 1 2 e= + 2" al
e = 35cm I = lOs
el = ?
52
V, =
PROBLEMA 3.
RESOlUCiÓN :
a = 10 cm/s'
Cálculo de la velocidad en 1 s al terminar el 3er. segundo, lomando fa vetocidad inicial el que tenía al lerminar el2do. segundo. V3 = V, + al
e = 21 a 12
de !blde:
=
70an/s = ZOan/s + 5aS
12
2 K SOm = 11.1Im/s2 (3s )2
a "
l
Sustituyendo en (1) :
2e
a =
de donde:
V2 + V3 = 70cm/s
de donde:
2 Pero V. = O • luego: " = 1 al
(2)
sumando (1) y (2) . V2 + V3 = ZOcm/s + 5a.s
(1)
SegÚ"l el problema durarte el 3er. segundo reconió 35 m • esto es con lIIliocidad media, así:
Un móvil inicia su 100vimiento con una veoct. dad de 50 pie / s. Los 10 promeros se- gundos se le da una aceleración negallVa de 5 pie , s'; los 7 segundos sigulenles. una aceleración negativa de 3 pie I s'. Calcular qué espacio. en pies. se alejó el móvil de su punto de partida RESOLUCiÓN:
V, = 50 ptesls
1, = lOs
CINEMÁTICA
60
a,
-5m/s
t, = 7 s
a
= -3m/s
E=?
V,
=
a 2 =3m/s
e=v.t~~at2 ., =
5O~e (105) +
efectuando:
pero: Vt
electuando:
V,
=
+
·10m/s
.
O
=O Yla aceleración
H·3~~}7sr
a es
= ·73.5¡>Es
El SIgno (-) indica que el móvil h. regresado Luego el espacio al punto de partida será :
e
= e,
Rpla.:
+ .2
!2 a 12
e = V; 1 •
52
negali1la, luego:
=
Conociendo el tiempo que recorre hasta
detenerse:
(-s Jlie) (105)
2
E2
sustituyendo datos: t = _3 mi s2 Apta.: I = 3.33 s
bl
Lo que quiere decir que a partir de este 111()0 memo para el segundo tramo. el móvil empieza a regresar: 1 2 e 2 = V;t+ ·t
pero aqur la V,
a
(A)
V, = V, + at
= 50 pieS
=O
= - V;
t
de donde:
Cáloolo de la vetocidad al finalizar los 10 primeros segundos:
V,
V¡ + al
=
luego: O = V; • al
H-s ~}10s)2
e. = 250 pies
= 250 pie + ( -
= ?
O
al Sabiendo que: V,
Espacio recorrido en el primer tramo:
e
e= Rpla.:
10
~ (3,33 s) + ~ (-3 ~ )(3.335)2 e = 1 6.67 m
Uncueopo recorreend ~n" segundo, un espacio de 35,316 m HBlIar 'n', si d cuerpo descierde por un plano indinado que haoe 1I1 ángulo de 53" C
PROBLEMA 6.
RESOLUCiÓN:
73,5 Jlie )
e= 176.5 pie
Un aulo lleva una.veloc ~ dad de 10 mis, se aplican los frenos y empieza una desaceleración de 3 rrJs'. Calcular:
9 ros 53'
PROBLEMA 5.
I /
,
,
/
/
g
a) T1empo Que demora en detenerse. b) ESpacio que recorre hasta pararne.
En el "n" segundo recorre:
RESOlUCiÓN:
V, = 10m/s
=?
en • e,.. 1 ~ 35,326 m
( Il
61
FISICA GENERAL
Por otro lado:
e. -e. _1 = .la(n)2 - .la(n-l)' 2
1
2
1
en - en., = 2 (gsen53")(2o - 1) corno: e.- e• . ,=3s'316m,setiene: 1 4 2' 5 (9,81)(2n-1)
35,316 = 3.924 (20 • 1 )
( 2 _ 1) = n
35,316 3,924
Si dos móviles parten de un mismo punto en d~ rec<:iones perpendicu lares entre sí, con aceleraciones de 6 y 8 mi", ¿qué tiempo pasará para que estén separados 1 600 m? PROBlEMA 7.
RESa.UClóN :
= 6mls 2
=?
= 1600m
1600
Rpta_:
1 = 17.89 s
Determine la aceleración en el siguienle grálico (Velocidad - Tiempo) entre los 12 y 15 se· gundos.
PROBLEMA 8.
.,
12
6 3
t (.)
3
6
9
12 15
RESOLUCiÓN : ( 1)
~
= 15 s
V, = 6mls '
~
= 12 s
v, =
15mls
16 • 15 152 = --9 mIs 2 a = 15 . 12 m 3
~
1600m
t=? ~ 90'
1600
.-. t" = -J 600 5-
a=LlV=VI,V¡ LIt t, · t,
a2 = 8mls2
Sea la flQura que representa el prd:jema:
r~
15
Esto quiere decir que durante el S" s"9undo el cuerpo se desplaza 35,316 m
e
2
+ 8 ) t'
18
n = 5s
a,
1600 = t2
2
V(mls)
2n-l=9
Apta:
J~ (6
2
2
en-en_1=2a(n -n +20-1)
35,316 =
1600 =
",
Rpla.:
-3 m I s'
PROBLEMA 9.
Un móvil parte del reposo y recorre en un lrayecto recto la distancia de 270 m Durante los 3 primeros segundos con una aceleración constante, luego Con la velocidad adqu~ Oda hace nula la aceleración del móvil duranle 6 s, can lo cual completa su recorrido. Hallar la aceleración que lUvo el móvil en el primer segunde
62
CINEMÁTICA
RESOLUCIóN :
2)
J; V,= O
Espacio recorrido durante los 4 segur>dos restantes con velocidad uniforme
e
Cálculo de la velocidad al lenminar el 3 ersegundo:
>=1
'o 6
3
= 270 '. = 6s 3s
V, = \\+al
eo.ro
I
~
9
=o = O
el,
V,
1, =
a a, = ?
V; = O =>
V, = al
Sustituyendo datos:
V, = 12 . 3 = 36m/s
Espacio recOffido con esta rapidez:
e=V,t=36~ . 4S
El espacio tolal recorrido es la suma de lOS espacios e, y e, ' es decir 270.
s
e
De la figura: área dellrapecio ASCO:
144m
(2 )
Sumando (1) + (2):
270= (9;6)VI :. V, = 36m/s Os
a = Iga =
Rpta.: d,
= 198 m
Método Gráfico:
Vlmls)
36m/s
35
t (s) -f~---r------~--~
1,1,_ O
:. a = 12m/s2 PROBLEMA 10. Hallar el espacio 100al recOffido por el móvil hasla los 7 segundos, según los datos del problema anterior.
7
3
Del gráfico anterior
A = e = (
4
; 7} 36)
.. e = 198 m
RESOLUCIóN : 1)
Distancia recorrida durante los tres primeros segundos con aceleración: COfro V, = O, entonces: e, = •
i
al
e, =
"2 • e,
=
m
12 52 • (3 s) 54 m
o s < t < 3 s => e, e, =
2
Como la aceleración es positiva. la di5lancia' de awnce, es positiva Su51~uyenOO los valores:
1
Método Anatftlco:
2
( 1)
~ (12)(3':
.. e, = 54m
3s
e, = (36)(4) Rpta.:
..
e = e, + e, = 198 m
PROBLEMA 11. Dos móv~es parten de un misrnopunto en línearecla y en el mismo sentido. El primero con una
63
AS/CA GENERAL
rapidez de 10m I s, Y 6 s después el segundo con una rapidez de 12 m 15. ¿En cuánto tierrpo alcanza el segundo al pnmero y a qué dstancia del punto de partida?
RESQUCIÓN :
= 10m/s
VA
Vo = 12mls
= ?
e =V.(t,. 2)
(3)
Es evidenle que el mismo espacio lo recorre en diferentes tiempos porqu e sus rapideces son distintas. Igualando espacios (1) y (2):
Sea la figura representa~va del problema
ti
e'" = 10
",.
A' M
8,
~
v,t l =
V2
sust~uyenclo datos:
"
(t, + 6) 51, = 3 (t, + 6)
= 9s
Igualando (2) con (3):
e*. = 10 t
6
B
v2 (t,+6)
S'
121
Ve • 12m/s
= v3 (1,+2)
sustituyendo datos:
Observando la figura: e. = e•• e. susMuyendodalOS: 12t = 10 de donde
t = 30 s
Entonces:
es
= 12 t = 12
•. ea Apta.: t
(2)
1, = 65
e = ?
A
e = V,(t,. 6)
x
K
3(9 + 6) = v3(9. 2),de_:
6 • 10 I
y
e.
= 4,09 m's
PROBLEMA 13. De acuerdo a lOs datos mostrados en el gráfICO, cuántos mir
30
= 360m
= 30 s
Apta.: V,
se encuentran los dos móviles A y B, si la suma de sus velocidades es de 20 mis.
= 360 m
PROBLEMA 12. Con una rapidez de 5 m I s un mávilllega a su
RESOLUCIÓN :
destro en un determnado tiempo. A 3 m I s se demora 6 s más. ¿Cuá I será la rapidez que debe irr4>rimir para llegar sólo 2 s más tarde?
RESOLUCIÓN :
t2
= =
t, + 6
V, = 5mls
1,
V2
V, = ?
3mls
1 ( s)
t, + 2
o
10
t- '-j
La velocidad de los móviles está dada po< las tangentes de las rectas:
Sea el gráfico: e B
A
•
•
v.
= tga = 10eo•
Se observa que:
e = V, t,
(1)
Vo
tgp
eo
t
(1) (2)
CfNEMATlCA
64
.. a = l,Mo
sumando (1) Y (2) :
80 v. • ve ;
80
10 + 1 +
En el triángulo AEB, por ley de senOS : 121
Por dalo se puede escribir:
2O;~+80 10 + 1
=> senil = de donde:
6: sen!}
Rpta.: 1 = 2,32 5
.
SO
Además : ve = - - = 34,48 mI s
2,32
Del mismo modo se puade calcular v. PROBLEMA 14. Enunacarreradebicicletas, en una pista recia, uno de los ciclistas va a 12 mts, Su "auxilio" está en el trayecto a 20 m de la misma pista . 8 auxilio ve a "su" cidista a 150 m de distancia. Inmedatamante corra a B mts para encontrarse lo anles posible con el ciclista y dane agua. ¿Cuál será el ángulo que forma con la pisla el camino que debe seguir el auxi-
lio? RESa.UCIÓN :
8t
sen Il =
1'+21-40=0
= 12m/s = 20m = 150m
ve
v.. = 8m/s
d
e =?
d,
(1)
581
3 sen' a 2
= 2~ x 15 Il =
De donde:
a
=> sen!}
= 51
11,54'
(2)
El ángulo e es exteriordellJiángulo AEB Iu.,.
90, por propiedad: 9 = a + j} = 7,66' + 11,54'
Rpta.:
e=
19"12'
PROBLEMA 15. Un lran de 50 m de largo entra e un linel de 200 m. Si el lren va a una velocidad de mts, un pasajero que observa el panorama, ¿cuánto tiempo demorará para volver a observar?
a
RESOLUCiÓN :
Sea la figura: ochsta
---200m - - -
T
A
I
auxilio
Sea:
E ES
t
Como se trala de lo que le oaJrre al"pasajero" que observa por la venlana, no Inleresa la Iongí1ud del tren, sólo su velocidad del pasajero que está viajando, luego:
B
PLnto de encuentro más próximo camino reoorrido por el auxiho TlEmpoempleadoporarrbos para encontrarse en el punto E
En el triángulo rectángulo ATB: 581
20 a ; 150
~
2 sena; 15
e;vt =>2OO=8t Apta.:
1
= 25 s
PROBLEMA 16,
Un móvil parle del reposo con M.R.U.V.; a los 6 s alcanza una velocidad de 16 mts. Calcular: a)
La aceleración
65
FIslCA GENERAL
b)
Qué espacio recorrió en el ultimo segundo
RESOLUCiÓN:
VI ;:
=? =?
a e
al v, = v, ..
O
Qué
e = 15m
vI = 16mls
a) 1, b) a
al
e) ..
~ t
dIe
=? =? =? =?
e
16mls-Q I
65
= v~.1 de donde: e e = -Vrn = -Vi +- V, 2
Apta.: a = 2,67 mis' b) Ahora, por otro lado, recotdando que:
e
=v
m
'JI ... VI
lo(
t = -
-
2
• I
Espado reeenido en los 6 segundos: ..:1~6.::m:.:/..:s...:._0::. • 6 S 2
e, = 48m
1
=
16m/ s +0 2 • Ss e2
= 40m
R(:ta : e, = Bm En un punl0 A, se le "Pican los trenos a u n automóvi que ila con una rapidez de 20 mis. Después de recorrer 75 m, su rapidez baj6 a 13 mis. Hallar: PROBLEMA 17.
a)
En qué tiempo el móvil recorri6 esta disEl v¡¡lor de la ¡¡celeración A partir de el monenlode aplicarlos frenos, cuánto tiempo demora en detener-
=
150
33
Rpta.: 1, = 4,54 s b) Sabemos que: vf =
a = a =
vr
p
vr + 2 a e
v~
2. 132 -
202
2 x 75
=
169 - 400
150
e = - 1,54 miS>
Rpta.:
el Sabemos que:
v,
=v,
± aI
Como la aceleración es negaliva y la Velocidad final es o: O = v, - al , de donde:
= ~,a .' =
tarria b) e)
VI '" VI
I = ~7~ 20.13
Espacio recorrido en el úhimo segundo: e" ;; e.-ez ;;; 48m - 40m
2e
sustituyendo datos:
EspaCIO reconido en 5 segundos:
e2 =
= 20m/s = 13 mis
a) Recctdando que:
Reemplazando dalos:
=
v, v2
RESOLUCIÓN :
1 = 6S
de donde: a =
a
se, y: espacio reccrrió hasta delenerse
el)
Apta_:
suslituyendo datos:
20m/s 1.54 mI 52
.. = 12,99 s
d) Sabemos que:
CINEMATlCA
66
Rpf
1 at 2
e=v¡t+
2
Un móvil se desplaza durante 2,5 s con M.R.U.V" acelerado una distareia de 75 m At10fa cesa su aceleración, y duranle 2 s recorre 70 m PROBLEMA 19,
ReelTlllazando datOS:
e = (13)( 12,99) +
1
2
+ 2 (-1 ,54)( 12,99)
e = 168,87 m - 129,93 m Apta .:
a = - 3750 mis'
oon M.R.U. Calcular la aceleración cuando
se moviacon M.R.U.V. RESOLUCtÓN :
e = 38,94 m
= 2,5 s e, = 75m 1,
PROBLEMA 18.
Unabataquevaal50mI s penetra en u~ cuerpo pasloso avanzando 3 m hasta detenerse.
e2 = 70m a =?
IJ.RUV.
M.RU
calCUlar:
Q
Q
a) El tierrpo en el ruerpo hasta detenerse b) La aceleraOOo de la bala.
v.
v.
1---
=? a =?
e
I a)
= 150m/ . = 3m =O
v
RESOlUCiÓN:
v
Se sabe que: de donde:
1
e = vm =
e = V.... l e
!I
+
2e
2. 3
B
D
v.
70 m ------1
I B
e
Analizando cada tramo:
va =
TramoA8:
VA + a1
".=v.+a(2,5) el
=
vA
t +
~
2
a
(I)
t2
suslnuyendo ~atos:
75 = VA (2,5) +
2
= 150 + O = 150 Rpta.: t = 0,04 s = 4 x 10 ~ s b) v, = v; + al, como v, = O I
75m
A
Además
v, = vi'" V,
2s
l. =
~
a(2.,5)2
Itt)
TramoBC :
e = Val
~
70 = va (2)
•... va = 35ml . Sustituyendo en ( I ) :
o = VI de dct1de:
a =
+ a1
. !!. ;; t
35
150m/ • 0,045
= VA
+ a(2,5)
(111)
Resolviendo ( 11 ) Y( 111 ) :
PROBLEMAS PROPUESTOS Un motociclista va de Uma a Jauja con una velocidad de 6 mis y regresa a 9 mis. ¿Cuál es su velocidad media?
1.
Apta.:
7,5 mis
Un auto que parte del reposo coo una acelerac1ÓO coo5tante recorre 200 m en 30 s. ¿Cuál es su velocidad a los 30 s y cuát la aceleradón?
2.
67
FISlCA GENERAL
Rpta.:
13,33 mis y 0,44 mis'
Un cohete que parte del reposo adquiere Lrla aceleración de 100 mis' en lOs. Hallar la velocidad, ahora, en km/h.
3.
Apta.: 3600 kmlh Un móvil parte del reposo y recorre una ástancia en dos etapas durante 16 s y ha adquirido una velocidad de 60 mis. La primera parte dura 6 s y es movimiento acelerado; la segunda parte es movimiento urlforme. CalOJlar:
4.
a) b)
Aceleración de la pomera parte DistanCIa recorrida durante los 16 s
P;lta: 5.
a) 10 mis' b) 760 m
A un auto que lleva una velocidad de 00 mis, se le qUlere trenar en 50 m.
CaJcutar a) La aceleración necesana b) El tiempo que demora hasta parar.
f1;ta.: a) - 64 mis' b) 1,25 s 6. Dos puntos móviles "A" y "S" están separados en 4 005 m; "A" detrás
de "B". En el mismo inslanle y con la misma dirección y sentido parten, "A" con rapidez constarlede 72 km/hy "8" con M.R.U.V. de 0,04 mis'. Se pide calcular. a) b) e)
instante, parte otro móvil de S hacia A con rapidez "VO constante. ¿Cuál será el valor de "V' para que ambcs móviles se crucen en la mitad de la distancia entre A y B? Rpta.:
a) 1 540 m y 10460 m b) 2ns y 723 s e) 11,08 mis y 28,82 mis
7. Un móvil parte de A hacia B, distante "L" en Unea recta; parte del reposo con aceleración "a" constanle; en el rrismc
1
"2
Ja[
8. Un carro viaja una distancia de 2 km entre dos ciudades con una aceleraoón de 2,4 rrJs' duranle la mitad del tiempo que tarda en hacer todo el recorrido, V el resto del tiempo los hace con una aceleración de 2,4 mis'. Hallar la velocidad máxima alcanzada en este viaje si el carro partió del reposo,. Apta.: Vrnú ; 40 J3 mi s
Un IT'oÓViI parte del reposo con aceleración constante. OIro móvil parte 10 s después y recorre 10 s a la velocidad de 20 mfs, y 30 s a la veloci-dad de 30 mis. Al final • armas móviles se enctJentran en el mismo lugar. Hallar la aceleración del primer móvi.
9.
Rpta.:
a,; 0,88 mfs'
10. El gráfico representa la ....Iocidad en función del tiempo de dos móviles M
y N sobre el eje X, en donde se tiene que el m6vU N perte 6 s después de M. Si ambos parten de un mismo punto, hallar el instante en que N alcanza a M. V(m/s)
N
• t-------,,f-
A qJé dístancia de la partida de ' S- se encuentran. Qué tiempo transctJrTe. La rapidez del móvil "S" en el momento del encuentro.
Rpta.:
V;
• o
M
,.
I (s)
'6
8
12
Rpta.: t ; 28,75 s 11. Un móvil convelocidad "V" mis es frenado
desacelerando a razón de '8" mis'. ¿Qué espaCIO recorre en el antepenütimo segundo? Rpta.:
e
=4,58 m
ClNEMATlCA
68
, 2. Dos carros A y B se mueven en direc· ciones contranas con velocidades de 72 kmIh Y60 kmIh respectivamente. Cuando estaban separados una cierta distancia fueron frenados y después de 2 s se hallaron
, 5. Se tiene un gráfICO ( V - T) de un móvil que se mueve sobre una línea recia y que en el instante t O el valor X. 5 m. ¿En qué instanle pasará por segunda vez por el origen?
=
detenidos uno frente al otro sin chocar. Ha-
llar la distancia que los separaba antes de frenar.
=
V(tls}
B
o
V(m/$}
Apta.: d = 36,6 m 13. Se tiene 'n' coches ubicados en ciuda-
· 10
t = (3 ~ ¡S)s
Apla.:
des e<1uidistanles entre si, y en estado
de reposo. Si lodos parten simuttáneamente con aceleraciones de valores constames carrespon-dientes a: a, , a2 I 33 • ., ..........
I
an-1 • ~
Hanar el toempo que demorarán en en encono trarse, si :se considera que:
y además, que la distancia que hayentreciu· dad y ciu:lad es "l·.
Rpta.:
2(n·l)l
t =
a, - an
16. Un autOO1óvil partiendo del reposo cm M.R.U. V. recorre una distancia ·X· en un tiempo "t 12' con una aceleración de '2 a·; si la misma distancia recorre en un tiempo ' 31". ¿Cuál es su aceleradón?
Apta.:
a,
~
-
1
18
17. En el instante mostrado en la figura se suelta un bloque de masa 'M'. calcular el tiempo transcurrido aJando se produece la COlisión entre ambos bloques. Suponer Que las su-perficles son lisas y 9 ~ 8mls'.
14. Dos móviles parten del reposo, con ace·
V.",2
leradones correspondientes a J8 y miS' respectlllamente. Si se despla· zan formando con sus dir9C(:iones un ángulo de fU, halar la distancia de sepa¡ación afcabo de J3 s. Las aceleraciooes de los móviles se consideran constantes.
na
Apta:
x =
~
Ja (~ . J3) m
a
Rpta.:
mis (cte.l
-
B
4
= .. s 3
MOVIMIENtO DE CAíDA LIBRE M.'l.C,L, Es aquel rT1()vímiento en el cual el rróv~ experimenta despalazamiento vertical bajo la iHuerria exclusiva de la luerza de gravedad. Se desprecia la re-sislenda del aire, es decit, se supone que el móvil se desplaza en el vacío.
En el vacío lodcs los aJ erpos, indepen-
dientemenle de su masa y Iorma, caen con la misma velocidad. También se acepta que en el aire y en un mismo lugar todos los cuer, pos caen a la misma velocidad. Sin embar· go, los cuerpos que tienen poca masa y mucha área sufrirán la resistencia del aire y por consiguiente demorarán más en caer,
RSICA GENERAL
69
pero en el vacro caerán a la misma velocidad. acero acero acero
'*'"'" ':>-1: l' d
9-~
1 t,
1;
iI
h
1 ~
LB bola de acero
caept1mero
CONVENCIóN DE SIGNOS: Usar:
+
llml,
l'"ili" ~
Donde "h· es la distancia vertical de ascenso o descenso y "S· es la aceleraoon de carda libre.
<"ili""
~
si la velocidad delrn6vil disminuye, esto es cuando el móvil sube
Las ros bOlas caen al mtsmo tiempo
Galileo Galilei, comprobó que la caída libre de los cuerpos, o el m
CASOS PARTICULARES
Cuando un cuerpo es lanzado verticalmenle hacia arriba con una velocidad inicial V , va dismiruyendo su velocidad y alcanza una allura máxima cuando V, = O
a)
Altura Máxima ( h_ )
VI2 ; v,2 • 2 9 h
Se sabe que:
rIS-=-9,S-ml-S-',I
Cuando: VI
Sil embargo la aceleración de la gravedad no tiene el mismo valor en todos los pu ... tos de la t,erra, hay pequeñas diterencias, depenáendo del radio terrestre del lugar, así: Gravedad en los polos: 9,
si la velocidad del móvil aumenta, eslo es cuando el móvil cae.
O =>
h
I~ Se sabe que:
=
I
:~
VI ~ v.·gl
cua-oo alcanza su alura máxima:
sie""r. es la aceleracÍÓl1 de la gravedad. Las lórmulas para cálculos son similares al M.R.U.V. donde la aceleración siempre es la aceleración de la gravedad "9", Y el espacio ·e" es Lna altura 1'1. así:
VI;O => 1 ;1,.." Reemplazando:
O =
V, . 9 1......
=YL9 V, 1 ±
~ 9 121
hmAx
b) Tiempo de Allura Máxima ( t_ )
El movimiento vertical es un caso parti· cular del M.R.U.V. en el que la ace-Ieración
le ; V¡ t ± ~ a12 => h ;
~
R""",,,lazando O; v,2 ; 2 9 11",.,
= 9,83 mis'
Gravedad en el Ecuador: 9. = 9,7B m/s'
~
el
Tiempo de Vuelo ( t.- l
Se CU"llle que:
CINEMAncA
70
El valor de la gravedad '9' se considera constante aproximadamente hasta los 30 km de a~ura de la superficie terrestre.
NOTA:
como:
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
Desde ta azotea de un edifICio se deja caer una piedra y demora 2,8 s en llegar al suelo. Calcular la ahura del edifICio.
a) El tiempo que demora en subir. b) la ahura que alcanza.
RESOLUCIÓN :
RESOLUCIÓN : 1
= 2,65
; 9
Se sabe que: h pero como
= 9,Bm/s2
= V;t
+
h =?
h = '! g12 2 x
2
9,6 mIs'
x
h
V, = V, - 9 I
Pero;
V,
... t=
~
Rpta.:
¿Cooqué rapidaz llega al suelo la piedra del
protJerna anterior?
t
= 61,22 5
De igual manera el signo es (-) porque el cuerpo sube:
m 1 m 2 h =600 -x 61,225 ' -2 x 9,8 . (61,225) s
pero V, = O
= 91 = 9,8m/s' x
luego:
2,85
Otro método: al Se sabe:
vl
= V; - 2gh
v; . 2gh",,¡,. =>
O=
Rpta: V, = 27,44 m I s
Se dispara una bala hacia arriba verticalmente con una rapidez inicial de 600 mis. calcular.
= g1
h = lB367,35m
9 = 9,8mls ; I = 2,8s ; VI = ?
PROBLEMA 3.
luego: V,
s
2
V,
=O,
600 600 mIs 9 - 9,am/s· = 9,8 S
RESOLUCiÓN :
V, = V, + 9 1,
h=?
1 9 t' b) Racordando: h = "t Vi - 2'
= 38,42 m
PROBLEMA 2_
Sabiendo que:
(2,8s¡Z
h = 4,9m/s• • 7,64s 2
Rpta.:
I=?;
Corresponde el signo menos porque el cuerpo sube, luego la aceleración es negativa, el movimiento relardalario.
~ at 2
V, = O , enlonces:
h = 1
a)
VI = 600m/s
hmax
v· = ...'!. 2g
Reemplazando con los dalos:
(600 )2 horéx = 2 (9,8) m = 18367,35 m
71
FIS/CA GENERAL
b)
h
RESOLUCiÓN :
= ( VD ; V, ) I
A; 100 - h =
Para
18367.35 = (600/ 0)t
100 - h =
Un cuerpo cae del raposo desde una allura de
SO m. Calcula r: a) ¿Cuánto tiempo demora en caer? b) Cuando llega al piso. ¿cuál es su velocidad?
v,2=v,2 -
Para B;
pero: V,
V, = ? ; I =?
50
1
Para el mismo cuerpo B:
9,8ml.2
V,=V,·gt Pero;
b)
V, =V, +gl
Como: V,
= O.
V, = O , luego:
=~ 9
Sustituyendo en (1) : se tiene: V, = 9 t
1
100 - h
Sustituyendo datos:
1'1>13.:
T
H= 100
B ..,J..
Apta: t = 3,19s
= 9,8
( 11)
+•
De donde: x
(1)
2g h
tOO · h
2
9 12
2
AT
; h = 50m
Pero: V, = O ; luego: h
V,
~
V,2 29
cae, luego la aceleraa6n es pooitiva
=
2
h = -
Carespcrde al signo po9tiIIo por que el cuerpo
J 2gh
9t
, luego: O=V,2- 2g h
h=V, t+~gt2
I =
~
=O
De donde:
RESOlUCiÓN :
a)
VD t +
Vi = ?
pero V. = O , luego;
De donde: 1 = 61 .22 s PROBLEMA 4.
H = 100m
mis' x 3,19 s
V, = 31 ,26 mI s
= -2
y2
(111)
x -L
9
Sumando (11) con (111): y2 100 :: ....L
9
Dos cuerpos A y B están en una misma vertical separados 100 m. flJ rrismo tierrpo se deja caer el más ano'A' Y se lanza el "S' hacia arTiJa con una rapidez inicial V" CalcUar la veIoOOad con que debeser lanzado else9lmdo para que se encuenIren en el punto donde éste alcanza su máxima altura.
PROBLEMA 5.
Pero: Flpla.:
9
= 9,8m/s'
,
luego
V, = 31,30 m I s
PROBLEMA 6.
Un cuerpo que cae libremente recorre durante
el último segundo la mijad del camino lotal.
HaUar:
CfNEMATICA
72
a) b)
¿Cuánto demora su carda? ¿ Desde qué altura cae?
RESOLUCIÓN :
1
= 15 s
h=V¡t+
RESOlUCIÓN :
I
1
( t - 11'
h/2
pero
Vi = O,
h=
B
h
Rpta. : h/2
l a)
=
~
Tramo AC: h = 2gt
(1)
(2)
~gt2
12 -41+2 = 0
uJf6=8 2
1=2±J2 = 2±\41 Rpta : 1 =3,41 s b)
h = 1 102,5 m
t = ?
= OOkm/h = 2,2m/s
V¡
2(12 _21+ 1) = t2
1-
V, = V¡ - gt
Se sabe que :
V, = O , luego: Vi = gt
pero
V t = -1
De donde :
9 1_ 222 km/~ 9,8m/s2
Apta.
2,27 s
PROBLEMA 9.
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100m I s.
Hallar: a) ¿Qué aHura alcanza a los 10 5? b) ¿Qué rapidez desarrolla el cuerpo al cabo de lOs? e) ¿Cuál es su aHura máxima? RESOlUCIÓN :
Sustituyendo en (2) :
1 9,8 I s2 • ( 3,41)2 h=2:,
v¡ = I00m/s
h=?
1=10.
VI =?
h""" =7
Apta, : h = 57m
PROBLEMA 7.
~gt2
~ , 9,1Im/.2 , (15)2
RESOLUCiÓN :
Igualando (t) y (2) ; 9(1-1)=
h=
¿Cuántos segundos después de iniciada la caída la rapidez de un cuerpo es de 80 km I h?
9 (1 - 1 )2
h=g(l _t)2 1 2
luego:
PROBLEMA 8.
l
e
h 1 2 2: =V¡ I+ 2: 9 (I-l)
~
2
15
Tramo AB:
Vi = O :.
1
2gt
h = ?
Una bomba lanzada des-
de un helicóptero detenido en el aire, larda 155 en dar en el blanco. ¿A qJé allura volaba el hefic6plero?
al
1 2 h =v¡ t -2:gt
1 m h = 100m x 105-2' x 9,8 s2(10S)2
FlslCA GENERAl.
h = 1 000 m-
Apta :
bl
h
1
2" )(
9,8ml 52 )( 100m
=510 m
V, = 100 m I 5 - 9,8 I 52 . 10 s V,=2m/s2 v,2
el
hmix = ~ , sustilUytlndo datos:
tl",¡. = (100 mle)2 = 10000 m· 2. 9,8 mi 52 19,6
"'ta:
Además:
t AS +lac =3s (I)
Tramo AS:
h = vit +1I2gt2
1.\ = O,
Pero
V,=V¡- gt
~a. :
73
hmix = 510.20 m
PROBLEMA 10. Se deja caer una piedra a un lago desde un trampolín que se encuentra a 10 m de anura sobre el nivel del agua, pega con cierta rapidez y después se hunde con esa misma rapidez constante. La piedra llega al lago 3 s después de que se la sonó. CalaJlar la velocidad o rapidez de la piedra al llegar al fondo de/lago Y la profundidad del mismo. RESOLUCiÓN :
'1
VA = 0
h,J10m
3s
\1, = Ve t AC =3s
r
entonces:
1 2
~ = ¡¡gtAS => lAS = 10:,:m.:;. lAS = , .::2'::'.:,: 9,8m/s 2
Sustituyendo en {1l:
~
f2h. v-g-
t AS =\435
lec = \57 s
TrarroBC:
A partir del puntoB la velocidad es constante, hasta e, es decir:
\1, = Ve Enlonces:
h tac = V
=V h - VToc
=>
",ta.: h = 14m/s . 1,57 = 22m PROBLEMA 11, Uncuerpocaelibremente y recooe en el úHimo segundo 68 m. Hallar el tiempo de caída übre si se considera 9 = 10 mis' RESOlUCiÓN :
h = 68m
; 9 = 10m/s2 ;
=7
Sea el gráfico:
' B
(t · 1)
s
Trame AS: Pero:
v, = O
,
luego:
Ve = J2g~ Ve = J2 . 9,8 m 152 x 10 m Ve = 14 mi 5 Tramo BC: Ve = Ve : luego Ve = 14 m I s
Sabiendo que:
1 2
h = 1.\'+ 291
\l8 m= 1 ' , 5+ ~,10 m/s2(ls)2
v
De donde:
1.\-= 63 mis
74
CINEMATICA
Esta es la rapidez del móvil al llegar al punto
PROBLEMA 13. Desde cierta altura se
8, es decir al entrar al únfmo segundo de caída libre.
deja caer ' ~ objeto y se observa que durante los dos últimos segundos se caída recorre una distancia de 192 pies. ¿De qllé anura se soltó el objelo? (g _ 32 pies I s' ).
Si se considera que parte del reposo del punto A. la rapidez final del móVil cuando 1Ie!.~ a 8 será 63 mis. Siendo "f' el tielT1pQ tolal de caida para llegar a e, se liene:
RESOLUCiÓN:
' , -25
\I,-9(t-l) Luego:
63 m I s
Rpta. :
t = 7,3 s
; di =t92pies ; h=?
=10 m I 52 (1 - 1 )
Al
1 h
1'·2).
PROBLEMA 12- Desde un altura"" sobre
e-t
h,
el piso, se suelta un obje10 A. Simul1áneamenle y desde el piso, se lanza otro objeto B con rapidez vertical V, hacia arriba ¿En qué tiempo se cruzan?
2.
192 pies
c-J.
I
RESOLUCIÓN : Sean:
h, : la distancia que cae A, Y ti¡, : la tistancía que sube B hasta su encuentro
c<>nA
Cálculo de la rapidez con que llega al punto 8, en su caida; llamando Vi a esta rapidez inicial para recorrer los últimos 192 pies.
h = Vi 1.. ~gt2
A
Sustituyendo valores:
--1
h
192 pies = Vi . 25 +
j
Para A :
h. = V,t..
pero:
v,
ñ
O ,luego: h, = ~ gt2 ti¡, - V, t -
Para 8:
~gt2
Tramo AB:
(1)
+1\ -
h ; h = V; t
Apta:
t-~ Vi
(1)
VI2 = Vi2 + 2 9 h
=
Pero cerno parte del reposo V, 0, (2)
Sumando (1) y (2) : h, +hb =V,I Pero: h.
32 Pe: (2 S¡2 . s
Por otro lado en su caída de·A hasta B, a la velocidad que se le llamó inicial y que ahora ahora viene a ser la velocidad final, luego:
B
~gt2
K
v, =64 pies I s
De donde:
1\-
~
luego:
de donde:
V,2 = 2 9 h
kJego: Sustilyendo dalOS: (64pies/s)' De donde:
h,
= 2,32pies/s',h
h = 64 pies , IlJB!.'O:
= 64 pies
+ 192 pies = 2!>6 pies
FlslCA GENERAL
hT = 256 pies
Apta.:
Se lanza hacia abajo 1Il objeto desde cierta ah", ra y llega al piso 3 s despues con una rapi· de;! de 60 miS. CalcUlar: . PROBLEMA 14.
al bl
el
O=V¡-gl,
Vm = ? H = ?
, Cálculo de la ahura que se el9113 durante ese
tielTl'O:
h = V¡ 1, .
~
v,
v,
+ g' ~
~
V, - 9 t
V, = 6Om/s - 9.8m/s.3s ¡:>pla.:
V, =
~,6m/s
h = 2m/s x 0,2 s -112 xl0m/s'(0,2)'
v=
2
¡:>pta.: V = 45.3 m / s
H = ~,6m/s. 3s Apta:
1
Cálculo del tiE!tnpo que demora en caer los 4,4 m
2
.. h
9 l'
¿91~,
= 21 gt 22
1
Desde un ascensor que sube con una rapidez de
'
pero:
\\=0
de donde:
2 .4m=O,89S
+2' 9.8mls'(3s)'
H = 135.9 m
PROBLEMA 15.
4 m + 0,4 m = 4,4 m
h=V¡12 +
Cálculo de la altura: H ~ V,I +
h = 0,4
De manera que el objeto recién empieza a caer desde la altura de:
2 60mls < 3O,6m/s
21 9 t,•
Reerrptazando datos:
De donde:
Cálculo de la velocidad promedio:
v=v,
el
~ 2m/s = 2 = 0,2 S 10m/s 9
t,=
CáIctio de la rapidez inicial:
V,
bl
V,=V¡-glt
V, = ?
, = 35 V, = 6Om/s al
ciende un cierto Irecho, por inercia, con velocidad inicial de 2 m I s; durante tocio el tiempo t, alcanza una velocidad final O y recién empieza a caer.
La rapidez con que se lanzó. La rapidez media de caída. La aHura desde donde se lanzó.
RESa..UCIÓN :
75
tOmls· Cálculo del tielTl'O total que erTfllea para llegar al piso
t = 1,
2 mis y que se encuentra a 4 m sobre el sue-
+ t,= 0,2 s + 0,89 s
to. se~caer 1Il objelo.¿En qué tierrpo lega-
¡:>pta.:
RESa..UCIÓN :
Desde que ahura "H" se deja ca", 1Il cuerpo, para que tarde 10 s en recorr'" tos (13149jH que le faltan para llegar al piso.
rá al piso? si se cmsidera 9 = 10m I s' . V=2m/s ; h=4m
" ;
1=7
En el momento de ser soltado, el objeto as-
t
= 1,09 s
PROBLEMA 16.
CJNEMA.TICA
76
T v=O~ ' ,
O
I,
v,eS, r
O
I t
t
2HJ3
.!!H
'Os
1
"
H
"
HJ3
,,
h,
49
Dividiendo (1) entre (11): RESOLUCIÓN : A los 1, s se cumple:
21 9 t,2
h, = H· 13 H 49
Osea:
=
36 H = ! g (1 . 10)2 49 2
H = !gt2
(1)
(11)
2
(II)
36 49 =
It ·
Extrayendo rarz cuadrada: 6 t . 10
7
= - - :.
3
Desde el suelo se suelta un globo que sube a razón de 10 rr/s. después de recorrer una altura considerable, del globo se suena una piedra. ¿Luego de qué tiempo, a partir de ese
PROBLEMA 18.
Valos 3s ha cardo H:
(1) .
= 2 J3 I
De donde: "
1 2 g(l· 10)2
lor
instante, estarán separados 80 m el globo y la piedra?
RESOLUCIÓN :
t2
g V'
T dI
1= 70s
Rpta.:
H
I V
'1
= ~ (9.81)( 70¡2 Para el globo:
Un cuerpo se deja caer
d,
I
I ,V d' '
,,
= v, t = 10 I
Para la piedra: el, = V, I +
í l
BOm
t,
= 24034,50 m
PROBLEMA 17.
I I
L - ----,ir: 11
Sustituyendo valores en (11): H
I1
-
,( I,
..!.
II )
gr
desde ltla altura"H" y de· mora un tienllo " I • en caer. Se pide halar ¿qué tienllo demorará en recorrer' H / 3 " en un lugar donde la aceleración de la gravedades g/4?
Pero d, corno es una dirección contraria a d, entonces: V, = -10
RESOLUCIÓN :
Sumando (1) y (11)
:. d,
(1)
( 11)
Además:
= -10 t +
~ 12
2
(
11)
dl +d,=9:
( 111 )
d, + d. = 80
(IV)
77
FlS/CA GENERAl.
gl2
= ""2
luego:
80
Apta.:
t = 4,04 S
=> I
f11iJ
cidadV., a ESa velocidad va a salir la bomba, en otras palabras, esa es la velocidad inicial
= " 9,81
PROBLEMA 19. Un cuerpo rocorre entre el momento que loca el . piso ye! antepenúllimo segurdo de calda l· bre la distancia de 294.30 m. Hallar el tiempo IOlal de caída libre del cuerpo, si el cuero po comenzó con una yelocidad inicial igual a
de la borrba, luego calcular esta velocidad es hallar la velocidad de avión en el momen· to de arrojar la bomba. y
A
r
I
53"
I I
. V I,!
I
~~
oero.
o
IRESOlUCIÓN :
~ I
1 I
, I
= 294,3Om
~-,
v, = O
1
d
=? = di
"",:~llIh ~
• d, •z
V, "" o
~-,
(1 · 2)
d
Pero en el triángulo AOB:
-1
= 294,3
1 9 [12 . (1 . 2) 2] d, - d' . 2 = 2
~ 9 [12 • t
2
+ 41 • 4]
= 2 9 ( t· 1 ) = 2~:~) = 15s
294,3
(1 - 1) Apta.:
t
= 16 s
PROBLEMA 20. Un avión baja en picada, formando un ángulo de 53° con la vertical y arroja una bomba a una altura de 900 m. La bomba llega al suelo 6 s después. Calcular la wlocidad de picada del avión, en el momento de arrojar la bomba (conSIderar 9 = 10 mi s' )
RESOLUCIÓN :
Pero oos 53" =
El avión para empezar la bajada, o la picada, lleva rna wloddadV en la bajada ieya Un¡! velo"
V¡ y = Vi ces 53'
:! ;
It.ego:
5
v,y=V¡X
1 12 .-9 1 ( 1. 2)2 d, • d'.2 = -9 2 2
di' d 1-2 =
----- ~
o
3 5
Sustituyendo los valores en (1):
900 m ;; V¡ )( ~)(6s+1)(
5
2
• 10m/52 900m = Vi •
x
(6s)2
18
"5 s + 100m
de donde: Rpta.:
V,
=
200 mis
PROBLEMA 21.
Seestánsohandooqetos desde cierta alturcon una frecuencia "f". Despreciando el rozamiento del aire, calcular la separación 'h' entre dos objetos que caen cortiguos, ~ de un tiem-
po ,\' . RESOlUCIÓN : Caida libre sin velocidad inicial es: h =
!
2
gl2
Luego. caída del primer objeto:
78
CINEMÁTICA
(1)
Como freaJellcia es el nümero de objetos que caen en un tiempo determinado, la inversa de la frecuencia es el tiempo Que los separa en ser soltado uno y o1ro objeto ,luego caída del segundo objeto:
Apta. 1:
h b) 1,.1, ~ (11 2) 9 Apta. 2 :
Distancia que lo separa:
,,(,)2
h ~ h, - ~ ~ -2 9t2 - -2 9 t - .,h~
1
2
1
2
gl
1
1
291 - 2 gt + T - 2 9 ji
Apta: h
~ ~
V¡~~(t,.t,) de donde:
21 9 t,I 2
h=
PROBLEMA 23. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba.A1 regresar a la tierra y darel primer bote, se observa que su velocidad inicial se redujo en 10%. ¿ En qué porcentaje se reduce su aHura máxima? RESOlUCiÓN : Utilizando la fórmula:
Il.n." ~
1 (1 . 2 ,)
V¡2
(I)
29
PROBLEMA 22. Un ClJerpo de masa "m' es lanzado verticalmente hacia arriba, alcanza una altura Oh' después de un tiempo '1,' yruevamenle, al cabo delllefT1lO "1.,'. Haflarla altura 'h' y lambién la velocidad inicial con que fué lanzado.
Después de primer bole se tiene: ·2
V¡
2g
'V:
h;""
y2
~ 0.81 2'9
( 11 )
RESOlUCiÓN :
1.
11.
El cuerpo de masa ' m' llega a 'h' en un tiempo t" éste sigue subiendo hasla lograr detenerse y luego baja alcanzando la mlSll'la posiCión -h- con respecto al piso para un tiempo t,. Se sabe que si un cuerpo se lanza vert~ calmente hacia arriba:
l
h=Vt. , 2 gt
2
Iguafando a cero, se tiene: O
de donde por propiedades de las rai~s de una ecuación de segundo grado: a) t, + 12 ~ -
~ ~ 0,81 hm&x Entonces, se ve que la reducción de h_ es 0,19 h_ ' Que porcentualmente rasuHa
ser: ~a :
19%
PROBLEMA 24.
~ g t2 .V¡t+h =
.V,)9 ((112)
Sustiluyendo (1 ) en (11) :
. 'uego.
Se lanza una piedra ver· ticalmenle hacia arriba con rapidez de 8 rrls. Calcular el tiempo que debe pasar para que tenga una velocidad de 30 mis. RESOlUCiÓN : V,~8m1s
;
t=?
v, =30 mis
79
FfSICA GENERAl.
R
Si alcanza una velocidad de 30 mis, quiere decir que al lanzarlo hacia arriba, alcanza su altura máxima cuando
~
1: : ~ I
su velocidad vale O, de acul empior za el regreso, aumenta su velocidad, pasa por el sitio donde fue lanzado (con la misma rapidez V, dellanzamiEOto) y continua hasta alcanzar 30 mis. Cálculo del ~ de vuelo. es decir el tierrlX>errpIeadoen subir N3 y bajar Be: 2V, 2. 8 t"""" = = = 1.65 9 10
A
Si se lanzan simu~áneamenle
el tiempo en roovimiento es el
30 = 8 + 10 . 12 ; de doode: 12 = 2,2s
.. Ir = t vuelo .. 12 = 1,6s .. 2,25
Apta.: tT
= 3,8 s
Sumando:
eAB = (VA .. Vo)t
:. 1 = -V e..aV.
o
A+
Ve = 10 mi s
I
= ?
e..a = 200m VA = 5m/s
(sube :. -)
. datos.' sustlluyendo
200m
200
= 15 s
= 5m/s ... 10m/s
f1¡ta.: t = 13,35 ; Chocan Dellec11ode.., ascensor de 3,SO m de alto, que slile con una aceleración retardataria de 2 mis'-. cae un perno, cuando su velocidad era de 3 mis. Al cabo de cuánto tiempo cae al piso del ascensor.
PROBLEMA 26.
: -@ - ~
PROBLEMA 25.
RESOLUCIÓN:
(baja:. +)
Va I _ ~ gl2
RESOLUCIÓN :
Dos cuerpos (A arriba y B abajo) están en una misma vertical separados en 200 m. si se lanzan al rrismo tiempo uno al encuentro del olro con rapideces iniciales: V. = 5 mis y V8 = 10 mis ¿al cabo de cuánto liempo chocan?
:11 9 t2
Para B: eBP =
v,=V, +gt. (El signo es positivo por que la piedra
B
Para A: eA? = VA 1 ..
CáWo dellierllJO de caída CD:
está cayendo).
p
mismo para los dos. Los espaciosron diferenles.
H = 3,SOm
a
=2m/s2
1= ?
\f¡
=3m/s
v•
I I I
~
1 ) t
I
I I I
: ~ .Ji... :::----í T 1'1'1'1'1 '1'1 ~ I
¡B j ""IT I'!"
Aceptamos que el suceso ha ocurrido como se indica en la figura. enlonces:
so
CINEMÁTICA
- Para el ascensor: e
= V,I I - -21 9 I 2
Pero:
H= - Para el perno: Restando miembro a mierrbro:
e·h = 1t2(9-a) 2
e -h
=H
!2 t2 (9 - a)=>
1
J210~ -3,502
Con dalos: . I =
Rpta.:
..
t = 0.94 s
PROBLEMAS PROPUESTOS 1_
Un cuerpo se deja caer desde una altura de 60 m ( 9 10 mis'). Calcular.
=
a) La velocidad a los 3 s. b) El tiempo que demora en caer. Rpta.: a) 30 mis y b) 3,46 s
2.
Se lanza lrIobjetoverticalmentehaciaani-
CM una velocidad inicial de SO mis; 9 = 10 mis'. Calcular qué ""Iocidad ~ene:
ba
a) AIos2s
b) AIos6s
e) AIos12s
Apta,: a) 60 mis (está subiendo) b) O mis (alcanzó su altura máxlma) el -20 mis (está bajando) Se lanza un cuerpo ver1ICaImente hacia arriba con una velocidad inicial de 70 mis. ,A qué distancia del punlo de lanzamenlo se encoo1rará cuando su velocidad sea de -10 mis (g = 10 mis'},
b) Cuando loca el suelo. Rpla.: a) 17.32 mis
y
b) 1B,97m1s
Del techo de un ascenSOr de 4 m de atto que sube con una aceleración de 3 mis' cae un perne, ,Al cabo de cuánto tiempo toca el piso?
5.
Rpla.: 1= 1.075
Un proyectil es disparado ""rtical-menle hacia arriba con una velocidad inicial de 400 mis. Calcular: 6_
a) b) e)
E.lliempo que larda en detenerse y empezar el regreso. La altura máxima que alcanza. El tiempo de vuelo (g = ID mis')
3.
NOTA:
Si la velocidad esde-l0mlsquiere decir que está bajar-.;!o. Si la vetocidad ruera de 10 mis signiflCaria que está subiendo, pero en ambos casos estaría a la msma distancia del punto de lanzamiento. ( sugerencia: V,' = V,' - 2gh) Apla.: h=49m
Desde la azotea de un edificio de 6 pisos (cada piso mide 3 m) cae una pelota. Cuát será la velocidad: a) Cuando llega al techo del 1ero piso. 4.
Rpta.: a) 40 s
b) 8 000 m
e) SO s
Un cuerpo se suelta en e4 vacío y cae. Calcular: a) AltlJa que debe caer para recomer en los 2 últimos segundos la dis-taneia de 6Om, b) ¿Qué distancia recomerá el cuerpo en el último segundo de su movimienlo verlical de caída libre? (g = 10 mis') 7.
Rpta.: a) 80 m 8.
b) 35 m
Se lanza un proyectil en forma vertical
hacia arriba. con una velocidad de 20 mis. Al mismo tiempo se deja eaer un euerpo desde una altura de 30 m, Calcular: a)
¿Cuánloliempodespués del disparo se
FlSICA GeNERAL
cru~an?
b)
(9 = 10 mis') ¿A qué altura del piso?
RIM.:
a) 1,5 s
b) 18,75 m
Un helicóptero suelta una bomba que cae al suelo 18 s después. ¿A qué anura volaba el helic6plero.
9.
Rpta.:
1 620 m
81
14. Un piloto de un avión deja caer una señalluminosa desde aerta ahura. La señal cae libremente oon V, = O Yun observa· dor ve que a las 3 p.m. la señal pasa por un plXllo situado a 250 m de anura y que choca con el piso alas 3 p.m. con 5 s. Hallarel tienr>po que la señal permaneció en el aire (g" 10 m').
Apta.: t" 7,5 s
10. Un cohete que asciende verticalmente con una velocidad de 160 mis, deja caer un aparato que nega al suelo 40 5 después. ¿A qué anura se desprende el aparato?
15. Se lanza un cuerpo de 20 9 de masa. con una velocidad V, logrando una altura H. Determ,nar qué anura lograrla velocidad fuera de 3V.
SI
su
Rpta: 1600m
Rpta: h = 9 H
11. Un proyectil es la~o verticalmente hada arma, oon una velocidad tal que alcanza una attura de 2 000 m. Calcular: a) Velocidad a los 4 s b) En qué tiempo su velocidad es 50 mis (g = 10 mis')
16. ¿Cooqué velocidad sedebelanzarun proyectil verticalmente haOa arriba, para
b) 15 s
Rpta: a) 160 mis
zada una piecra verticalmente hada a· rriba para que el módulo del vector despla· zamiento entre el intervalo ~ a .. sea cerO (1, > t,). Se sabe que t, + 1, = 5 s y además que 9 = 10 mis' Apta: V, = 25 mis
13. Dos piedras se la=n verticalmente y en el mismc instante, desde A y 9 con velOCIdades de 15 mis y 22,5 mis respect~ vamente. ¿Para qué instante" después del Ia=mientos estarán a la nisma altura del nivel 9? A
1
1
Apta.: t = 4 S
· v, = 2H·g(2n ' 1) Rta p .. , 2
De la ~otea de un edificio de ahura "h", se suda una moneda. Un hombre situado en.., ascensor parte siTuháneamente del piso Y slbe con una veloddad constante de 10 mis. ve la moneda a 'h14' de la base del edifICio. Hallar Oh". 17.
12. CanJlar con -
30m
que en el úKimo segundo de caída recorra H metros? sabiendo que esta caída dura -n° s
Rpta..
h " 244,65 m
18. La masa de un martinete cae desde una anura de 2,5 m; para levantarla a esta attura es necesario gastar un tiempo 3 veces mayor que para la caída. ¿ Cuántos golpes hace ésta en 1 minuto, si la aceleración de la caida libre de la masa del martinete es de 9,81 mis'? Rpta.: 21 golpes
v.-
22,5 mi
B
19. Unas gotas de agua salen del orificio de un tubo vertical con el Intervalo de 0,1 s cae con ..,a aceleración de 981 cm/s' . Determinar la distancia entre la primera y segunda gOla pasando un segundo después que sale la primera gota.
CINEMÁTICA
82
RIXa·: 93,2an
A~
20, Sobre una placa elástica caen libre-mente 2 bolas metálicas, tal como se rruestra en la fogura. La bola "B' cae T se9-f'dos después que'A'. N pasarcierto tiempo después las velocidades de la bolas coinciden (en todo). Deterrrinar el lapso .,.. y el intervalo de tiempo Osante el cual las velocidades de dchas bolas a.flllIan con la condición antes moocionada (g = 32 piesls')
1"
B
144poes
f)
l'
I I
Rpta.:
36p;es
I
l.
l
3s
MOVIMIENTO COHPtJESTO E
s aquel en cual exiSte simultáneamente
2 Ó más tipos de movimientos. Por ejemplo: McMrriento horizontal y vertical a la vez.
-cr- - -9-"9 A. T 9---- : A
h
- - -
I
I
0 --
L. ~~
-- --
:::::::~
::::'7d
se desarrolla con sus propias leyes en forma independiente pero sifrultánea. EJEMPLO 1: Un avión vuela hOrizontalmente a 1 960 m de altura, a. una velocidad de 180 km/h. Del avión cae un cajón de prcMsiones a Ln grupo de personas. ¿Cuántos metros antes de volar sobre elgNpo debe soltar el cajón?
Experimentalmente se ha comprobado que si se lanza una esferita rodando sobre una mesa. hasta que salga de la mesa, la bolita, después de avanzar una longitud horizontal. ca...á al suelo; el tiempo que demora en caer al punto A., er1 el suelo, es el mismo tiempo que habria empleado en caer libremente de A a A." y es el mismo bempo que habrfa empleado en desplazarse horizontalmente hasta A., resbalando por una superficie sin rozarriento. La trayectoria que desoribe la bolita lanzada es una linea curva llamada parábola. se indica en la rlgura, siguiendo las sucesivas posiciones.
RESOlUCIÓN:
lOS MOVtMIEf'fTOS (PlANTEADA POR GALILEO) Si un cuerpo experimenta un movimiento oompuesto, se verifica que cada uno de los movimientos cOOlponenles
h
h=l900m V = 180 km/h d
d = ?
,
Como el tiempo que demora en caer verticalmente y el tiempo que demora en caer en curva es el mismo, se calcula el tiempo que demora en caer 'h'. (V, = O ) h =
t
PRINCIPIO DE LA INDEPENDENCIA DE
-:~--- - ~
'"
A,
=
1
2 gt
2 :$
V(2h 9
t =
2.1960m 9,Bmls2
= 20s •
Horizontalmente ha estado avanzando durante los 20 s a la msma velolocidad del avión, es decir a la velocidad con que fue soltado.
63
FISICA GENERAL
d = ( 1SO x 1 000 m 13 600 s ) 20 s
MOVIMIENTO PARABÓLICO
d=I000m
(INTRODUCCiÓN A LA BALíSTICA)
Desde el avión se deberá soltar el cajón 1 000 m antes de volar exactamenle sobre el grupo.
El movimiento de un proyectil es parabólico, y en el vado, resuHa de la c:orrposiCión de un movimiento horiZonIal rectilineo y un~orme, y un movirrierCo vertJCall6liformemente variado por la acción de la aceleraCión de la gravedad (retardado en la primera parte y acelerado en la segunda parte).
Rpta.:
Ejemplo 2:
Un Iren avanza a 90 kmIh Y enlra a un puente de 17 m de largo y lusto en el momento de entrar al puente un pasajero deja caer, afuera del tren, una pequeña piedra a una altura de 2,45 m del suelo. ¿La piedra caerá al agua1 RESOLUCiÓN :
CARACTERíSTICAS OEL MOIIIMlENTO PARABÓUCO
a) Forma de la trayectoria: Parábola
y
V = 90km/h
v,=v"
d = 17 m h = 2,4Sm
v,. D ------
b)
Velocidad horizontal: Constante.
¡y. El tierrpo que demora en caer verticalmente será el tiempo que recorra horizontalmente Tiempo que demora en caer 2,45 m
a)
como
v"
= O, h =
b)
= J2gh =
V. ;;; V¡oosa Pero: V" = cte. y se le designa con V" luego:
I V, =V, cosa I
21 g t2 dedonde
2 x 2,45 m = 0,7 s 9,8m/s2
Distancia horiZontal que recorre la piedra en este tiempo:
d = vT .t Apta: ~
=90 kmIh . 0,7 s = 17,5m
Corro la piedra se desplaza l6l espacio de 17,5 m no cae al cae fuera del puente que tiene sólo 17 m
=v, = cte.)
En el triángulo vectorial ABe:
e) t
x
Velocidad vertical: Uniformemente variada
Cumple con las siguientes fórmulas:
Iv = \\,1 '
~ g!2 1
CINEMÁTICA
B4
La altura "H" es máxima cuando: V, Luego: O VI sena-gt
Tomando en cuenta el ángulo oc
1.
=
Velocidad ver1ical inicial:
11. VelOCidad vertical en un punto cualquiera de la trayectoria: V = V. • gl Corro:
V"
It = ~
VI sen a
V i'l =:
, = Vi
"
sen a,
IV, ,. V, sen
luego:
ex • 9 t
I
Deckrde:
Como este tiempo corresponde cuando 10gra la aHura máxima, es también el tierrpo para lograr la mitad de SU alcance horizontal 'DI2". Esto indica que el tiempo para recorrer toda la distanda "O", horizontal será: t ...1 = t SIbida + t bojoda
En esta fórmula, se tiene en cuenta que para un valor negativo de V el prcr¡ectil estárá en descenso. y para un v~lor positivo estará en
t tao1 =
V sena
V sena
-'-- t
-'--
9
ascenso. 1""..
Ejemplo: Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 98 mis y un án-
gulo de tiro de 30'. Hallar la componente vertical de la \lelOck!ad al cabO de 105 de haber sido lanzado (considerar 9 = 10 mis").
1)
V,
2V¡senex
= _'-::-g
Sabiendo que:
Vi
= 98,sen30'·10xlO
9
Altura máxima "H".
RESOLUCiÓN : V, = V,sena' gt
=O
=
v¡2 oorf (X • 2g H
Cuando la aHura es máxima, V," O, de tal manera que:
02
,
V = 49 - 100 = - 51 mis
= v¡2 sen2 (X. 2gH
El signo negativo indica que el proyectil está en descenso.
d) Magnitud de la velocidad o rapidez g)
en·cualquier punto.
IVi =
v¡2, .2gyl
Donde: V,= V¡cosex
V,
el
Alcance horizontal "O"
= V,sena
· gl
TIempo "t" para altura máxima "H"
Se sabe: V, ,.
v,
sen a - 9 t
Pero:
O = V¡ coo a . t",~
(1)
2--"V;!..:se="=(X = = 9
(2)
t lolal =
ReemplaZando (2) en (1) : 0 = V¡cosa.
2V¡sena 9
ss
FisJCA GFNERAL
Por olra parte se sabe que:
D = Vr 2 SEIl O cos a 9 2 V. se;20
H"".
I
ID.
~.
=
y2 sen2 a
--"",~
12 =
(2) en (1):
8 alcance hori2ooIaI es m&ximo. cuando el nume/ador es málQmo; para qLHl así sea el sen 2 a debe ser máxi'no, es
sen20 = 1
luego:
~ • Hmax 9
2a = 90"
o : 45'
Hallar una relaci6rt OO.
Ejemplo 2,
I
RESOLUCIÓN : Se sabe:
Porcoosiguiente, para lograr un alcance herizontal máximo el disparo debe ser con un árgulo de irdinaci6n de 45' . EN UN MOVIMIENTO PARAB6uco SE TIENE EN CUENTA OUE
H = V,2se~0 2g
D=
También:
v¡' se~o
(2)
Dividiendo (1) + (2):
La única IUer2a sobre el proyectil es la fuerza de gravedad.
b)
La ClJrvatura de la tierra se desprecia
(1l. H
e)
Las alturas alcanzadas, nc motivan lJ1a variación en el valor de "g".
(2)" D
d)
La resistencia por parta del aire se des-
precia
(1)
9
a)
Ejemplo l .
(2)
29
y2 sen' a 29
=
v¡2 sen 2a 9
H
O
2
2
=
sen a 2sen2o
sen Cl = -:---4 sen oeos a
Determinar H_ en furción de "t" Y "g' para la siguiente
lrayectoria mostrada. Hallar una fórmula para de· terminar la rapidel en cual-
Ejemplo 3.
quier instante '1', con ángulo "a" y velocidad inicial V••
~
RESOLUCIÓN : Por fórrrola. I:
,
Ioj /
lÍffilJO de permanencia del proyectil en el aire.
sen20
=1
luego:
20
= 90"
~
~
---- -
gl
a
t
O
- -~ v, _
,, ~
CINEMÁTICA
RESOlUCiÓN:
J
.
Se sabe: V :
,
V, = 50
(1)
m
s
; (ele.)
.
e) Calcular la velocidad total a los 10 s
v, cos a
(2)
V, = V¡ sana - gl
(3)
V, =
Rpla.:
V + V2 2
RESOLUCIÓN:
(2) Y (3) en (1): VT = J(.H,4m/s)2 + (50m/s)2
V.Jf'I,oosal' + (V,sooa· gQ'
Rpta.:
Jv,' .20 1'" sena
=
t
m
s
1. CuandO el proyectJl regresa al plano del lanzamiento. el árgulo que forma eon dicho plano es igual al ángulo de lanzamienlo.
g' t'
Ejemplo 4: a)
= 51,28
OTRAS CARACTERíSTICAS Del MOI/IMlENTO PARABÓLICO
v= JV,'(sen'aHOs'a) ·201 V,sooa t g' t'
Iv
VT
La velocidad con que el proyectil regresa al nivel del plano de Ianzaniento es igual a la velocidad con que salió disparado (se desprecia el rozamiento del aire).
2.
¿ Cuál es la rapidez verooaJ V'1 I V,: 100 mis, a
si
=60°, a los t.O s?
RESOLUCiÓN: VI = V, son a - g t
V : loo~ x sen 60° - 9,8~ x lOs y s s
La velocidad y el ángulo que forma esta vefoctdad con la horizontal son iguaJes en dos pmtos que están a la msma altur¡¡.
3.
Si se disp¡¡ra un proyectil con una misma velocidad que otro. pero formando ángulo de brocomplemenlario: el proyectil tiene el mismo alcance horizontal.
4. ~ta.:
Vy
=
-".40
m
5'
El que la velocidad tenga valor negativO qúere decir que et proyectil ya está en el tramo de descenso. b)
¿Cuál es la velocidad horizontal a los lOs?
y
0.+15 ,..go-
v,
Recuérdese que la vel~ cidad V. es siempre coostante y no depende delliempo, sólo de la V, y del ángulo de disparo. RESOLUCtÓN :
V. = lOOm/ • • cosOOO
x D
F{SICA GENERAL
Sean: a + p = 90" En electo se sabe que: 0= v,2
sen 20.
87
CÁLCULO DE "d", "t" y "h" EN UN PUNTO CUALQUIERA "P"
(1)
y
9
•
Como: a +
o
• v
p=
90" =>
a = 90"- P
= v,2 sen2(90-p)
x
9 Movimiento Horizontal;
0= v,2 sen (100 - 2P)
Vx =cle. ; d = Vx . I Vx = V¡ cos ex
9 pero sen ( 180 - 2 p) = sen 2 p, por consi-
pero:
Id = (V,
guiente: v¡2 sen 2P
0=
Es decir. (1) =(2), el mismo alcance. 5. B ángulo de máximo alcance horizontal es el de 45°.
9 Para que este va!:>r sea máximo, el numerador debe ser máximo. Como el que varia es el ángulo entonces: sen 2 a debe ser máximo, es decir: sen2a= 1 de donde: 20. = 90°
Ia
= 45
!
I
ti
(I)
v¡!a I
=
( II I
Movimiento Vertical: MRUV
Con la fórmula:
Pero:
O = V;2 sen 2 a
En efecto:
I
(2)
g
ros a)
h = V~ t -
¿1 9 t2
V" = V, sen ex
reemplazandO se tiene: h =
(V¡ sen a)t - ~
912
(111)
Luego, sustituyendo ~I) en (111):
h = V sen a) _ d_
~
V¡cosex
. I
(
gd2 h = dtga· ~F--=2 V2I cos2 ex
I
Sedisparaunp~ec.
til con una rapide2 de
RESOLUCIÓN :
100 mis formando ángulo de máJómo aJean.
V, = tOO mis a = 45°
ce horiz.ontal. Calcular. a) b) e)
Alcance máximo: "D' Máxima altura: 'H' Tiempo
T que permanece el proyectil
en el aire.
a)
a) D
=?
b) H =?
el
)2
(IV)
PROBLEMAS f?ESIJELTOS PROBLEMA 1.
d
2 9 V;cosa
t
=?
CINEMÁTICA
88
¡ - - - - - ., _ .. "'----->
(100¡)2 sen (2 0=
x
45°) =1020m
m 9.8 2
s
H =
b)
v2 sen2a
-,I~-,-
9 H=
(100 mIs)' sen' 45°
= 510 m
2 )( 9,8 mi 52 t =
e)
Esto Quiere decir que el jugador que recibe la pelota tiene que COrTer:
2 V; sen (l
d = 25m -21,60 m=3,40 m
9
CálnJo del tierrpo que la peIoIa está en el aire:
-
1 = 2V, seno:
Sustituyendo datos: 1=
2 x lOO ~ x sen4S' __---'s'---,___ m 9,8 2
9
= 14,4 s
t
s
Un jugador de lútbo1 patea l6\a pelota que sale
PROBLEMA 2.
disparada a razón de 15 mis y haciendo un ángJlo de :rr con la t-orizaontal. Otro jugador, (JJ8 seenruentra a 25 mde distancia y al trente del primeroccrre a recogerla pelOta. ¿Con <¡Lé rapidez debe correr este ú!timo para recoger la pelota justo en el morren1o en que ésta llega a 1ien'a? ( =3/5 ; = 4IS ). Considerar: 9 = 10 mis'
sen :rr
cos:rr
RESOLUCiÓN :
V,
= 15m1s
V=?
a
=
3r
d, = 25m
Distancia horizontal máxima Que se desplaza la pelota. 0=
15:.:m .::.:.: 1s::..;:x..,¡s:::en::..'ó1 ::::....o = :::2..:.x:....:: 2 IO,Om/s
( = 1,8 s En este (iernpo el jugador que recibe la pelola debe correr los 3,40 m. Cálculo de su rapidez: - ml V = ~ = 3,40m = 18 ( 1,8s ' s
PROBLEMA 3.
Se dispara una bala con una rapidez inicial de 50 mis, formando un ángulo de tiro de 53°. Se observa que, al caer a tienra, pasa justo rozando el borde de un precipicio de 200 m de anura. Hallar:
al
b)
Alcance hoñzontal total T.,,,,,,, que permanece en el aire.
=
V, 50 mis a=53° h 200 m
RESOLUCiÓN:
a)D=? b) I ?
=
=
Cálculo del alcance máximo en el tramo AS:
v,2
x
2sena
x
cosa
O = -!--.,..-,:-----'-
9 O _ (15m/s)2 x 2 x 3/5 x 4/5 10m/s2
0= 21,OOm
a) O
= v,2 senQ 2a
o _ (50 mI S)' 2 sen 53° ces 53° 0= 244,B9m
s,am/s'
89
FiSJCA GENERAL
v,
Calculo del alcance en el Iramo CD, al caer el profflCtillos 200 m
---- ',-
"
a = 53-
A
Luego:
e o
Previamenle se calcUa el li"""" que demora en caer lbs 200 m, que es el mismo que derrora en avanzar ca
h = V.sero , 1 +
~g12
V; sen ex = V,
pero:
2h = 2Vy l + gl2
I =
= 8,16s + 3,5s 1, = 11 ,66s
h = 200m \
j
de donde:
;
PROBLEMA 4.
Desde un punto siluado a lOO m de un blanco, el cual está a 10 m sobre la horizontal, se lanza un proyectil con V, = 80 mis. a) ¿Cuál debe ser el ángulo de inclinación del disparo para dar en el blanco?, b) ¿En cuánlo liempo nega el proyectil al blanco. T 6mese 9 = 10 miS>
RESOlUCiÓN :
9 4
V, = 80mls Sea A el punlo del disparo y B el blanco.
5 = 40
V; ~---- ...
A
i~
-40 ± J(40)2;. 2 . 9,8 . 200 m _ 3,5. 9,8
ICI) = 3,5 s
En ese ij"""" se ha desplazadO la cfistancia CD, entonces:
= lOO m
h = 10m
reerrplazando valores:
Esdecr:
d
± ~(Vl + 2gh
-(V,)
pero: V, = V; sena = SO .
1=
IT = lAS + leo
, B
a)
'00 m
B
J+
Recordando la fórmula:
h=dlgaSusI~uyendo
2g~
2\1 e
a
dalOS:
dCl)=V¡ coso.t h
m
deo = 50 - ces 53" • 3,5 s
s
dCl) = 105,3 m , Luego:
CábJo del tiempo que emplea en recorrer AS: lAS =
I
2\1 sena
Efectu¡¡ndO y reerrplazando 00S> a por su equivalente: 1/(1 + 19' a)
1 = 10lgo - : De donde: 25lif
Ig
_2 . 50 , sen53"
lAS = 8,16s
(1
+ Ig2 a)
a - 320 Ig a + 57
= O
. 000' I 160 :t J25600 . 1 425 Re sdvle : g= 25
g
AS -
= l00lga _ 10(tOO)2 , 2 (00)2 00$2 ex
a, = 12,62
tg 02 = 0,18
9,8
b)
f'¡¡ra calcular
:.
a, = 85° 28' 14"
_'. 02 = 10" 12' 14" el tieflllO con la fórmula:
..
90
I =
Para:
CINEWÜ1CA
d
100 .. 1, = 80 (0,80) ,, 15.635 COS 0:2
t
0= 6400
x
2 sen 37' cosS?'
0= 6400
x
(2)(3/5)(4/5)
9.8
(no)
= cos 10' 12' 14' = O,9fl
100 " 1.28 s SO (0.98)
-
2 -
x 2senacos o: 9,8 m/s2
= cos85' 26' 10' =0,06
COS 0:,
Para:
o = (80m/s)2
sustituyendo dalos:
V, rosa
(si)
9,8
De donde: F'pta.:
D = 1 567.35 m
Rp1a.: 1,28 s
Dos pr~es son dis-
PROBLEMA 6. PROBLEMA 5.
Se hace un disparo con un ángulo de '.r7" y con una repidez de 80 mis. Calrular: a) TierTl'" en alcanzar su altura máxima b) Al\Ura máxima e) Distancia horizOl1al RESOLUCiÓN :
a = 37" V, = 80mls a)
bl
•
Con la formula: I
a) t
= ?
b) H " ? e) D " ?
Recordando que la altura máxima se calcula as!:
Y seno: = -'-9
=
H
..:JYil...2.:;;se;::n2 _a =
29 Para al = 45':
H, =
1= 8O.3/5.=4/9s 9,6
Para ".... " 60':
H2 --
sen2 o: ...c.;..---'29
y2
y2 senZ 45'
' 29
y2 I
sen2 00' 29
(1) (2)
Dividiendo (1) entre (2):
-'!•
., .....,. ,.......... val • H _ (80)2 sen2 37" .,....'U1°· ~ ores: 2 ~ 9.8
H " (80)2 {SI 5)2 :1 x 9,8 Efectuando operaciones se tiene:
el
RESOLUCiÓN:
I _ 8Omls. sen 3]' 9,6m/s2
H=
Apta. :
parados CCIl igual rapidez inicial y con ángulos de inclinación de 45' Y SO' respectivamente. DelerrTllnar la relación enlre sus a~uras máximas.
H = 117,55 m
El alcance horizon1al
O = .J 'I¡l...2..:.'l...sen=.::2.:::" 9
. Apla ..
HI
H =
2
3
2
¿Cuál será el ángulo con el que debe dspararse un proyectil para que su alcance horizontal sea 4 veces su altura máxima?, ¿Cuál es la ecua· eión de la parábola que describe el proyectil?
PROBlEMA l.
RESOLUCiÓN:
Dalos: a)
D ,,4 H
Incógnila: a =?
Usando la respuesta del ejemplo 2:
FISICA GENERAL
4H
O;
Igo =
'1;2 500 2(450 + Jj)/g
por dal0 O = 4H
v¡2 sen 2( 45
4H
Recordando la fórmula: h=dtgO-
f>.q.Jí: a
22
ros
O
Un cuerpo ' A" se lanza verticalmente hacia arriba con una ra¡:idez de 20 mis. ¿A qué altura se encontraba un cuerpo 'B' que fue lanzado horizontalmenle con <.na raf>dez de 4 mis yal míslOO liempo que el cuerpo "A' yluego choca con este úhimo duranle el vuelo. La distancia horizontal entre las dos posiciones iniciales de los cuerpos es 4 m. Calcular el tiempo empleado hasta el inslante del cIJOo que y la velccidad de cada uno de los cuero
ros 45° = ,/2/2
Apta.: h = d - 9
gd
1\) 1g
PROBLEMA 9.
= 45° • 1ue9C): tg 45° = 1 h = d(I)-
•
Apta.:
9 d2
2 V¡
0
O, ser(OO° + 21\) cos21l = ser(OO° ·2Jj) = cos2fl O2
. . tgo = 4H = 1 => 0=45° b)
91
2
2v¡2(,/2/2)2
(~r
pos en ese inslante. Si se ásparan 2 ~ tes con la misma rapidez rlICiaI-V: con ángLlos de (45° + b) Y (45° - b). donde rJ' < b < 45". ¿Cuál SErá la relación de alcance máxino en ambos casos?
PROBlEMA 8.
V. e= 4 mis
,lb
O2
H
La expresión para calcular el alcance máxi100 es:
I
_
a)
,
,,. ,
'r,
de4m
\
\
11,. " 2(lm/, "
,
_ a
Cálculo del tiempo lranscurrido para el encuentro:
Para a, = (450 + fl) :
Para
-
'!t"_=4 mis
'- ______ ~Q¡o'
Incógma: O, =?
, -
·()- -. r ', l B
a, = (45° + fl) ; az = (45° . Jj)
d) V,.: ?
4m
:
?
b) H
••
d
:
1
=? e) V..= ?
V = 20ms
RESOLUCiÓN: Dalos: V, iguales
O _
al
RESOLUCIÓN :
v,2 sen 2(45° 9
... Jj)
a. = (45° - b): v.2 '"'" 2 (45 1\) O2 = -'---g'----'~
Rpta_:
0
-
Dividiendo (1) entre {2):
d,.
Para B: (1)
(2)
b)
--
le
t"
= 1S
=
= V•• t" d ViS
=
4m 4 mIs
Sea 'O' el punlo de encuentro. Luego:
H = a+b
(1)
CINEMATICA
92
Cálculo de "b" :
h = 1,5m
(caída libre con Vi' ~ O) b
d = 6m
~ ~ 9 ~ ~ ~ (9,e )(1)2 b
~
,....
4,9 m
1
1,50m
15,1m
:2 glA
0,... , _ __ 6 m - - - . lt
a)
Recordando ta fÓfmula :
(3)
e)
H = 15,1 m+4,9m
~20m
g~
h=d . tga·
SuslJtuyendo (2) y (3) en (1): R¡Xa,:
22
2'1; oos a
sustituyendo valores:
Cálculo de V..
10 x 6 2
1,5 = 6e) .
2
V,. = V, .... 9 t. ; g, negativo VIA Apta,:
= 20· 9,8 , 1
V,. =
10,2 mis
f'pIa.:
b)
V
= J(V,a)2 ... (Vye )2
VIA
= J('I;a)2
V,. = 10,8 mis
PROBLEMA la.
b)
Un aro "A" de baskel está a 1,50 m del piso. Un ju-
¿Con que rapidez inicial se debe lanzar la pelota para que pase por el centro del aro "A"? ¿ Qué ángulo de indinación forma la tra· yectoria de la pelota al pasar por el aro?
RESOLUCIÓN :
a) Y = ?
= 8,77 mis
ó:
Yy =Viy ·gl,
Yy = 'I;SUl53"·gt
(t)
Donde '" tiempo que demora en as· cender I ,SO m y en recorrer 6 m hori· zontalmente.
gador que está en un ptmto "O" situado a una dislanoa honzontaJ de 6 m, lanza una pelota dirigida al ca-ltro del aro "A" con un ángulo inicial de 53' (g = 9,8 mls'). Calcular: a)
V,
Sea ~ el ánglAo que forma la trayectoria de la pelota con la horizontal.
+ (gtd
Sustiluyendo datos y efectuando: P¡:¡ta :
2V¡2W Despejando V, :
el) Cálculo de V••
'A
l
2
a = (20)(1) . ~ (9,el(l)2 ~
..... ...A
(2)
CálaJlode"a": a = V,A lA .
a
----T,
a = 53 0 9 = 10 mI 52
Por 'Otro lado:
V
=Y, ces a . t
Sustituyendo datos:
6 = 8,n x
~ x
t
de donde:
t=1,14s Sust~uyendo valores en
Vy = e,n x Vy
(t):
54 . 9,e
x 1,14
= ·4,I56m/s
Lo que quiere decir que la pelola está de ba-
jada. Cálculo del ángulo~
93
FISlCA GENERAl..
Disenando las velocidades horizontal yvert~ cal de la pelota
V. = 'l;cos s:¡o = S,n x
3
'5
= 5,22m I s
V,
de donde:
29
(111)
•
Sustituyendo (11) Y (111) en (1): 10 h (
= 4,156 = -08 5,22 , ~
V,2
-'-
V,2 = 10gh
v,
V tg~ = .:L = V,
Rpta,:
5H =
"
'
O
-- --- v
= 42" <18'
=
8 HO
16H2 .02
)
D = eH
Apla.:
PROBLEMA 11: Calcula,," alcance horizontal de un proyectil en M.P.C.L que en su vuelo alcanza una aHura máxima 'H', sabiendO que, si luera lanzado verticalmente hacia amba con la misma rapidez inicial, su attura máxima sería 'SH',
9
-_'>":'=:g"-~~
PROBLEMA 12. Una bola se lanza hacia arriba con una rapidez inicial .... Ycon un ángulo de inclinación 'a' desde la' azotea de un edilicio de 2 L metros de atto. Si la bola cae al suelo a una distancia de 3 L metros del pie del edilicio; calcular L
RESOlUCIÓN: SabiendO que:
O = V¡2 sen 2Jl 9 Además:
Ig ex
(t)
4H
=
O
Uevandoal.ll triánglAo rectángulo:
"~'-
RESOLUCIÓN:
o
L = ?
4H
J 16~ • COO a
= ----r=;=;i=~ J16H2 .02
de donde:
Sustituyendo valores:
-
8HO
16H'. O'
(11)
V.'
= -2g '- ;
por dato: ~
t =
3l
= 5H
(1)
Vi COS a
Este es el tiempo que demora en caer la al· lura 2 L Y el tiempo que demora en avanzar la distancia 3 L
bl Movimiento vertical:
H =V, sen a. t +
DellT'tCNimento vertical: h.....
= 2l = 3l
3L=V,cosa.t
O
sen 2a -
H
D
al Movimiento Horizontal:
O'
sen2a = 2sena,cosa
Si:
- 3 L.- -.,¡o.;-
~ g,2
Asumiendo positivo el desplazamiento hacia arriba y negam hacia abajo,
94
ClNEMÁ T7CA
sustiluyendo los valores de H y t :
.2l
,
.2 = Igo: -
"V:
~ . !g (~)! ViCOSCt 2 V,cosa
= V sen a
de dOnde:
9gL 2\1;c0$20:
L = 2V,2 00$2 o: (319 a
PROBLEMA 14. Un avión vuela horizontaJmenle con una velocidad y una altura 'h' sobre un plano de nivel; si se dispara un proyectil ron un cañón. des, de el plano. en el instanle en que el aeroplano se encuootra en la misma linea vertical del cañón. cuál debe ser el ángulo de inclinadón 'a' y la rapidez inidal del proyectil para hacer blanco en el avión, cuando el proyectil alcanza su máxima anura. Calcular también la dislanda 'd'. delrás del cañón, desde donde debe arrojar una bomba el avión para hacer ~anco en el cañón.
+ 2)
9g Se lanza un proyeclil dos veces. con ángulOs de inclinación 'Ct' y 'P', lograndO en ambos casos el mismo alcance horizonlal. Si poseen la misma rapdez inicial, hallar la retaclOO entre
PROBLEMA 13.
RESOLUCIÓN : a)
-o.- y .~.~
RESOLUCiÓN :
°
f: ih
V,2 sen 2 a
Para ex:
O, =
Pwap:
O2 =
l
9 Vi! sen 2 a
(1)
9
Vi2 sen 2 (3
(2)
9
V,! sen 2 a
9
=
\I;! sen 21l
"
(3)
200$ (a+~) 5ef1 (a - ~l = O
a = (3
I I
IH
A~:
¡
• Dislancia que recorre el avión: (1)
Distancia que recorre el proyoolíl
(1)
=(2):
=
V,cosa . 1
(2)
V• . I = \1; ces o: . I
De donde: V, tos a = V.
(3)
Por otro lado, recordando que para ellJI'!'jeCIiI:
=O
; luego:
Una solución
Otra solución: ros (a +.Jl) = O :.
V¡ /
x J
..,... .... "
"
x = V•. I
sen2a-sen2a=O
a • (3 = O :.
v...
- --------, ...
El avión vuela ron velocidad rectilinea y uniforme (M.R.U.).
9
sen2a = sen21l
De doode: sen (a -Il)
1
e
= (2), luego:
Según el problema (1)
De (3):
avión.
Sabiendo qué distancia o ak:ance horizontal:
=
Sea e el punlo doode el proyectil loca al
IX+(3=9O'
Entonces, el alcance de los dos disparos son iguales cuando: los ángutos o son íguales o son complementarios.
V; = V,2 sen2 IX - 2gh Cuando ak:an2a al avión, por enunciado:
V, = O;
luego:
O=V?sen2 IX-2gh V,2 5eI12 IX
= 2 gh
F/slCA GENERAL
V¡ sen a = J2gh
)(' = (V + V¡ cosa) 1
[4)
Dividiendo (4) entre (3):
1
I
b}
La velocidad horizontal de la bomba durante la caída es igual a la que lleva el avión. Consldetando que la velocidad inicial de caída es cero, se liene:
i
h = -1
2
g 12
(W
,,
2da. Rpla.:
d = V• . I
,,
.
PROBLEMA 15.
9
[2)'
f[ 9 h
El aJcarx:e horizontal dem proyecIi sedelenrina por:
x= Si el proyectil es lanzado desde un móvil que se desplaza con M.R.U. y velocidad "V". calcular el nuevo alcance. RESOLUCiÓN : Como los movimienlos son independienles, se llene Que el alcance horizontal aumenta, ya que aumenla la velocidad horizonlal; luego:
•
2V;~) V,' 2SEOO
g
Pero: 2 sena cosa = sen 2 a ,
luego:
= 2V. V¡ sena 9 V,2 sen2a 9
Apta.: le = 2V.
(1)' en (2)':
d = V. .
(2)
g
X' = 2V. V; sena
Como:
~=~:;" d :::~:; A Sus~luyendo
2 V, sena
Reemplazando (2) en (1):
x'
,,
Por oIro lado
=
X' = (V + V, 005a) (
l. J2:
De dondE!:
=TJeflllO total en el aire
g¡2
\I;y = O, luego ;
Pero
(1)
Por otro lado El tiempo de alcance horizontal es:
J2gh Ira. A¡ta.: Ig a = - V a
h = V¡v •
95
= x;
entorces:
~sena + X
PROBLEMA 16. Verticalmente Se deja caer'
una pelola sobre un purtlo "A", ubicado en un pIaro indilado que hace un ángUo de m con la horizontal; la dirección del rebote forma un ángL10 de 40" con la ..erocal; Si el pr6xJno rebote es en "8", calcular. a) La velocidad del rebole en "A". b) Ellíempo que demora la pelota en
irde"A" a 'B'.
,
e:..1 _ _ _~il::f~ ...~
RESOLUCIÓN :
_ _ Iom
---of::
~ = ZO"
a) V. = ?
a = 40"
b) 1 =?
d = 10m
Considerando al punlo "8" del movimiento
parabólico como un punlo cualquiera:
CINEMÁTICA
96
RESOLUCIÓN :
,,
Considerando ' h' positiva por encima del punto'A' Ynegativa por debajo:
, \
./'-,-
al
-
.!2 9 j '
-h = V sena I -
~_ _ _~::;"":'B
o
(1)
10m ---,t","
A partir del rebote en el punto 'A', eltrovi-
mimlo es parabólico y la velocidad de $alida de este punto es la velocidad inicial de este movimiento. Recordando lórmula : gdZ h = diga -
Por airo lado, por fórmula: l
= V cosa I => I = _ L_ V¡ cos
(2)
I
Reemplazando (2) en (1):
2 2 2V1 ces a
L
1
LZ
Y¡cosa
2
Vi oos2a
-h = "sena - - - - 9 __2..::...~ ,
Considetandol+) hacia arriba y 1-) hacia abajo, Yreemplazando valores:
.10tg2O" = 10lg5O" _
Donde: t9 20'
9,8(10)2 2 Vi2 ces SO'
= 0,364
cos 50° = 0.642 Ig50' = 1,192
-10{0,364) = 10(1,192) _ Rpla:
v, = 8,73 mis
b)
t = I
Apta.:
t
=
9,~ (10)2 21!¡ (0,642)
d Vi cosa. 10 8,73 x cos5Q'
= 1,78s
PROBLEMA 17. ¿Cuál debe ser la velocidad mínima en el puniD 'A' para que la esfera de masa 'm' lIej¡ue al punto 'S'?
v,2 ,
2(h+l tgo)
9
Apta. :
2(h+Ltga)
PROBLEMA 18.
Una pelota de fútbol es pateada QOn una rapidez de 19,5 mis, Y un ángulo de 45' con la horizontal. Un jugador que se encuenlra en el mismo plano hOrizontal a una distancia de 55 m comienza en el mismo instante, a correr al encuenlrode la pelota. ¿Cuál debe ser su aceleración para coger a ésta, en el momento en que toque el grass? (9 = 10 mis' ) RESOLUCIóN : Sea ' O' punto donde el segundo jugador coge la pelota; ' x' y 'z' las distancias recorridas por la pelota yel segundo jugador.
I
x
I
O
z
--1
97
ÁSlCA GENERAL
El \ÍeIll>O empIeadt> por la pelota en llegar a 'O' es el mismo tiempo que demora el seQlrodo jugadt>r en llegar a dicho punlo. ~~t.~t
a)
x = V,2 sen 2a (aleara hofizontaQ 9
b)
x =
(19,5 mi s)2 (sen 2)( 45°) = 38m 10m/s2
el Corro:
x~z
cos 15" = 0,9659 sen ISO = 0,2&8 8
1910' = 0,1763
= SSm
z = 17m 2V, sena
d)
=
J2 2
'" s = 1,95,,2
= 1,95
1, = 1, =
Considerando (+) hacia arriba y(-) hacia abajo y reemptazando:
J2s
Sabierldo que:
.(j
'-\ Z
°
2
9,8 d
Ig 100 = d IglS - 2 (60)2CQ$ 2W
Simpificando y despejando 'd':
1 2 Z = Vil,' 2:at,
Pero:
m
s2
gcj2 RESOLUCIÓN : a) h = dIga· 2,-\2
9 2 (19,5 mis) 1, = 10m/s'
e)
9=9,8
= 0 ,
entorces:
::: -1 al z2 2
de dt>nde:
22 a = (2
sustituyendo dalos:
_ 600 (19 15' + 19 100 ) cos2 150 d - 3 4,9
SUSlituyendo valores y efectuando: Rpta:
b)
1 =
d
= 304,54 m d
,-\cosa.
l
a =
2
<
( 1,95
17
J2)2
= 4,61
Sustituyendo valores: 1 = Rpla :
~.:
a = 4,61 rnls'
PROBLEMA 19. Un arquero situado en la ladera de una colina lanza una flecha con una velocidad inicial de 60 mis, formando un ángulo IX = ISOcon la hori· zontal. Calcular la distancia horizonlal'd' recorrida por la Hecha antes de locar el suelo. Calculartarrbién el tiempo que demora la 11ecta en llegar al punto 'P', según la figura.
304,54 60 cos 15'
t = S,25 s
PROBLEMA 20. Se disparan 3 proyectiles A, B Y C, COn el mismo ángulo de elevación (30") y con velocidades de 5m1s, 10mls y20mlsrespectivamente. ¿Cuál de los proyectiles alcanza, en menor tiempo, su a~ura máxima? (g = 10 rnls") RESOLUCiÓN:
l1empo para alcanzar anura máxima:
CINEMÁTICA
98
V, sen CI t = -9
luego:
;
Pero:
V¡ sen a
t,= - -
Proyectil A:.
h = V¡ t +
Para
9
Vi
(5)\6 = ~ = ; s
Proyectil 8:
t2 =
_V... 25_en_ a
= 21 gt 2
(3)
(4)
Dividiendo. (4) + (1)
9
II¡sena . t
H
de doode:
D = V¡cosa . t
V3 sena Proyectil C: ta = --"---9
tg!X =
H
¡¡
Apta.:
a = arco 19
¡¡H
PAOBLEMA 22. Dos proyectiles son lan-
_(20)(1/2)=15 10
zados desde ·0·. 8 (1)
3 ~:
h
H=lI¡sena . t
t _ (10)(1/2) _ ! 2 10 - 2s
t
:.
gt2
Sumando. (2) + (3):
2 )
t, =
=O
~
cen V"
El proyectil A
PROBLEMA 21 . En el instanlequesedispara un proyectil A des· de laTierra, se deja caer una piedra B desde la altura 'H' . Determinar el ángulo. con que debe disparar el proyectil para que intercepte a la piedra en un punte situado a una distancia hOrizontal 'O' del punto de disparo.
Y a, el (2) oon V; , y /l, ambos en el
mismo plano vertical. El (2) es lanzado. .p. segundosdespuésdel(l). ¿Cuál debe seret valor de 'p' para que haya choque? RESOLUCIóN : Sea 'q" el punto de ~
®
y
RESOlUCiÓN :
a)
Primer proyectil:
y = V,sena . t -
4gtl!
x ;;; V¡cosa. . t I
C06Q
Para A:
Inc6gn~a:
(2)
I
.....- o ~
Datos: H , D
(1)
b)
"
a
D = II¡cosa . t
Segundo proyectil: Y = V¡
(1) (2)
sen Il (t - p)
x' = V¡' ces Il(t - p) Con (2) y (4):
1 - 2 9 (t - p)
(3) (4)
(igualando)
99
BS/CA GENEFiAL
, V'peos, ~ VI ces Il - V¡ ces a
1=
Con (1) Y (3):
(5)
(igualando)
V¡senal _ ! gl2 = 2 , 1 2 = V, sen Il (1 - p) - 2 g(1 . p) 1
2' 2 gl. = V¡ tsenll·
tsena·
V¡
(g p • 2 Vi SEn 13) =
(2V¡' cos Il)
; (V,' cosll-lI;cosa)
Ou~ando denominador
,
!2 gl2
Ordenando, faclorizando y simplificando:
-
_!
9 12 + 9 Pt _ ! 9 p' 2 2
2
9 P(-Vi oos (l + 11;' cos Il)
9 P(-V¡ oos a
2
= I(V; sen p + 9 p • Vi sen a)
+
V; cos Il) ;
; 2 VI V¡. (sen a ces Il
(6)
(5) y (6):
=(V,,cos2Vipcosll J, Il - Vi eos a
;
; 2 v¡ 'l' sen Peos a . 2 V, v.'sen (l COS 13
2..E.. + vi p sen Il =
gp2 + 2V;. psenP
'.
oosll + 2gp 'l' cosll .211;' Vi sena cosll
=
= V; tsen Il -V¡' psen Il
R~
sen P
cos p. 2'1,Vi sen Il cos a ; 2'1 sen p
2
I
y efectuando:
gp VI, cos Il· gp V¡ cosa + 2V,2 i
. !g(t2 • 2pt + p2) V. lsena -
(v; sen Il + 9 P - V, SEn a)
x
v., psenp-
x
Rpla :
- sen Il cos a)
2 V¡ \l' sen (a .
P=
v. oos a
,
+ Vi
Il)
ces 13
. (~' senP + gp. '1 sena)
PROBUltfAS PROPUESTOS l.
2.
avión deja caer una bomba, si el avión
Se lanza un Objeto con Vi = 20 mis y con ángulo de 45". ¿Cuál es el alcarce máximo. (9 = 10 mis') Apta.: D = 40 m
está volando a 70 mis. Calcular: a) Tiempo que OOmora en caer b) Distancia horizontal que avanza e) Velocidad del momento del impacto Apta: al 1 = t 0,95 s
Un prayectil es lanzado con V, = 40 mis
a = 30', para 1 = 5 s; hallar: a) VeIoQdad ' V' b) Altura "h" e) Distancia horizonlal "d' Rpta.:
3.
=
a) V 45,82 m b) h = 75m e) d=I73,2m
Desde una altura de vuelo de 600 m, un
b) d =766,5 m e) V = 124,86 mis
4.
Un jt.gadorpatea una pelota con una velocidad de 20 mis formando un ángulo de 30' con la horizonlal. ¿Cuál es el alcance horizonlal de la pelota? (9 ; 10 mis') Rpla.: D=71,28m
CINEMÁTICA
100
S.
Cuál debe ser la velocidad inicial de un adeta de salto largo para igualar el reCOrd mun
10. ¿ Cuál será el alcance horizontal de un proyectil lanzado con una velocidad inicial de 100 mis y un ángulo de inclinación de 37"? 9 = IOmls"
Rpta.: D = 960 m
11. Desde una superlicie horizontal se lanza una es/erilla con una velocidad de 50 mis y con un ángulo de elevación de 53·. Hagar la altura Yalcance para t = 3 s.
v.,
Rpta.: h Rpta.: 18,54 mis 6.
Se dispara un cañón con un ángulo de tirode 37" y una velocidad inicial de 196.8 pie!>'s, un tanque avanza alejándose del cañón a una velocidad de 10,8 km/h. Calcular la distancia del cañón y el tanque en el momento del disparo, para hacer blanco, en el tanque. Rpta:
7.
316,8 m
d = 565.44 m 1= 1',78m
CabJlarcuáldebe ser el ángulo de inCril'\aci6n con el "'" se debe disparar un proyeclü para"",aJcance una a1tLJ"ade 16.40 pies si su velocidad inicial es de 65,6 pies! s. (considefar 9 32.8 piesls')
=
Rpta:
9.
a =
30"
Se lanza un prOyectil COn trayectoria pa· rabóli<;a, alcanza una altura de 40 m y avanza horizontalmente una distancia de 190 m. Calcular: a) Velocidad inicial b) Ángulo de elevación. Apta.: a) V, ,. 43,5 mis
b) a
= 75 m = 90m
12. Una pelota de caucho sale rodando del descanse de una escalera con t.
=
13. Desde una torre de 20 m se lanza hoo·
Un cuerpo es lanzado hacia abajo hacimdo un ángtJo de 37" con la honzontaJ, des· de 1I1 ptTIto que está a 270 mWos sobre 1I1 plano. con tm velocidad inicial de 60 mIs.Calc\Jarsu avance honzootaIy eltiempo "'" demora la caída Rpta.:
a
e
=4!r06'03' ,2
zontalmenle una pelota con una rapidez de 25 mis. Hallar el ángulo oon el cual hace impacto con el suelo Yla velocidad correspondiente. Rpta.: S are Ig (1,25) 57" v = 5 J41 mis
=
=
14. Desde el punlo A de un muro se lanza un proyectil oon una velocidad V. y con un ángulo de indinación 'S' con respec' 10 a la horizontal. Calrua, el radio de curvatura .p. de la trayeclooa cuandO el proyectil pase por el pmto P. ( A YP están en la mi.sma horizontaQ. 2
Apta. :
p = -V. S6C 9
e
15. Determinar la velocidad y ángulo de tiro de un proyectil, si se sabe que sube hasta 3 m de attura y en el punto más alto de su trayectoria tiene un radio de curvalura , =2 m. (g tO mlsi).
=
Apta. :
VD = 4
J5 mi s
8 = 60°
10 1
F/SfCA GENERAL
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL Es aquel movimiento en el cual el Il'Óvil describe una trayectoria circun-ferenciaL Es· tudiaremos el movimiento circunlerencial uniforme M.C.U. yel movimientocircunferenciaI Lriformernente variado M.C.U.\/.
segundos en dar 3 vueltas Calcular su velocidad angular.
9 I
RESOLUCiÓN : 3 vuelta
=
O>
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME M.e.u.
= 0,375 vuelta
s
85
Una vueHa es igual a una revolución, luego haCIendO la respeetiva conversión.
El M.C.U. oculTe cuando el móvil des· cribe ángJlos centrales oguales en intervalos de tierrpos iguales.
NOTA:
PERIODO "T"
O>
revolución
Es el periodo de tiefTl'O T Que tarda
un ITlÓVII con movimIento circunferercial en dar una ""ella o revolución.
En lodo movimiento circunlerencial el móvil experimenta dos tipos de velocidades
srrultáneas. a)
Velocidad angular
00:
0,375 x 60 reY I m., ó R.P.M.
O> =
22,5 R.P.M.
Un motor gira a 2 000 R.P.M. Calcular su velocidad arogular en grados por segundo. Ejemplo 2.
O>
ter perpeojcuIar al centro de la circunterercia Y cuyo vaIorse delineoomoel
mll1
(J)
= 12000 grado
s
le = ~ I
árgJo central 'tl", descrito en la Lridad de tiempo.
Ejemplo l.
revcI -
RADIAN: Es un ángulo central, cuyos lados sublienden un arco igual a la longitud de su radIo.
¡:teSenta porunveo-
Velocidad arogutar "O>" :
= 2000 R.P.M. = 2000
= 2000 360" 60s Rpla.:
Es u na cantid ad vectorial que se re-
Velocidad langencial "V" :
rey
= 0,375 (1/60) mi'l
O> =
Es Lna cantidad vectorial cuyo módulo o rapidez se determina coroo la longitud de arco "1.." que re<:orre el móvil en la o.ndad de tierrpo. b)
s-
RESOlUCIÓN :
ii:
Velocidad tangencial
= 0,375 -
I
V =
I
(J)
=
~
~
L = longitud del arco
8)\ 9
l =R
R = radio del círct10
R
'j
e =ángulo en radianes
I
I
Un móvil con movimiento circunferencial uniforme tarda
e
VELOCIDAD ANGULAR y PERíODO Siendo "T" el tierrpo empleadopor un m6-
CINEMATICA
t02
vil para dar una vu€Ita, es decir, 2" racianes, se
tiene que la velocidad angular es:
tiene 1 700 R.P.M. RESOLUCiÓN :
loo ~I =
al ro
DI RECCiÓN, SENTIDO Y MAGNITU D DE LA VELOCIDAD ANGULAR '00"
= 1 700
mI'!
s
Apta:
Dirección:
bl Sabiendo:
Z
= 1 700. 2" rad
ro = 1 700. 2" red = 178!
La velocidad angular también es una magnitud vectorial Perpendicular al plano de la circunlerencia Que describe el rróvil. Puede ser el eje de rotaCIón.
rel! ml1
Rpta. :
00
s
= 178 radl s 00
= 2" T
T = 21< = 2)( 3,1416 _ 0005 s
.
178 1
O)
---"'recdon
de
s RELACiÓN ENliRE LA VELOCIDAD TANGENCiAl Y EL PERioDO
....oOc>-....
v
C<:lfMlrrionalmente, se le da el valor positivo al sentidO en que avanza el trabuzón que apunta haCia amba
Siendo"T' el tiempo empleado para dar una vuelta circular sobre una circunferencia de radio R, la velocidad tan-gencial es:
Sentido:
Magnitud:
la magnitud de la velocidad a ngular se mide, convencionalmente. indicando el espacio angular barrido por el radio de giro del móvil en una uridad de tiempo. Así: lIlJe!ta ó revolución ó
00 :
s
2JtX
Ó
s
fTlIn
~
s
Ejemplo 2.
s
Ejemplo: Hallar la velocidad tangencial de un móvil que circula por una circunferencia de 10 m de radio, en 3 minutos. RESOLUCiÓN : V =
2':
V = 2" x 10m = 0,349!!! 3x60s
s
El período de un móvil de M.C.U. es 1,5 s. ¿Cuál es su velocidad angular? • 00
V = !!!
s
Ó rad, ac.
Ejemplo 1.
RESOLUCIÓN '
UNIDADES SI :
= 21< rad 1,5s
= 4•19 rad s
CalCular la velocidad angular y el periodo de un motor que
RELACiÓN ENliRE LA vELOaDAD ANGULAR y LA VELOCIDAD TANGENCIAL O UNEAl Sabemcs que:
= 2"T
Velocidad angular.
ro
Velocidad tangencial:
2nR V = - T-
(1) (21
FISICIt GENERAL
Sustituyendo (1) en (2):
Iv; I ro R
v = .':!'.
U'JIDADES SI :
103
Apta.: ro ; 0,4 rad ; 04! Cálculo de T:
s
Ejemplo 1.
Calcular la velocidad tangencial de un móllil que describe una circunferencia de 5 m de radio Con una velocidad angular de 60 radls.
RESOLUCiÓN:
R = 5m
V
;
=?
5Orad ; 50!
lJl;
s
s
V ; w x A ; 60~ x 5m s Rpta.:
V
= 300mls
T ;
=~
=>
x
3,14
T; 211
; 15,7 S
04 , !s
Calcular el ángulo descrito en '2 minutos, por el radio de una circ:unferencia que gira con una velocidad angular de e rad/s. Calcular cuántas revoluciones ha dado.
RESOLUCiÓN :
ex
6 ;
T
Ol =
e;
a)
Calcular la velocidad tan gencial de un punto del ecuador (R - 6000 km).
¡¡
2
' s
Ejemplo 4.
Ejemplo 2.
RESOLUCION :
lJl
s
de dorde:
Olt
rad x 12 x 60s
s
Apta.: a = 5760 rad n° derad
5760rad
21t rad I vueIIas
2,, ~
b) N;
vueHa
Apta.:
V; roR = , R.P. Día x 6000km
v; V; 2
~Tnad x 6 000 11m 24h
x 3,14 x 6000 x 1 000 m
24 Apta.: V
x
N; 916,73 vueHas
Un auto va a 80 1
Ejemplo 5.
gadas (1 pulg ; 2,54 cm). Calcular la velocidad af19Jlar de la llanta.
RESOLUCIÓN :
v
v
3600s
= 436.11 mis
EjemplO 3,
Calcularla velocidad angular y el periodo de un móvil que drcula sobre una circunferencia que tiene un radio de 20 m y su velocidad es de 8 mis.
RESOLUCIÓN:
lJl ;
V ; R
em
_ s
20m
V;
de doode:
OlA
eo x 1 000 x l00an V ro; R
;
eokm/h 23 ; 2' pUg
3600s
-"'23;-"-'~~-
2'
x 2,54 cm
ClNEMÁncA
104
ACELERACiÓN CENTRíPETA · se·
,0"" ""a.: ro = 76,08 ra
RELACiÓN CON LA VELOCIDAD TANGENCiAl Y LA VELOCIDAO ANGULAR
FRECUENCIA • f '
La aceleraaón centrípeta es la que ex-
Es el rúmero deweltaso revoIu:ionesque da U1 móYi en una Lnidad de tiempo (por ejenr pie, el nLrnero de vueltas que darla en 1 sj.
perimenta un móllil en moVIrTliento circunferenCIal. Es una cantIdad vectorial dirigida hacia el centro de la circunferencia y mode la
Gen una regla de 3 se tiene:
rapidez con que cambia la dirección de la velocidad tangencial.
f
1 vuelta da en T s \IUe~as _ _ 1 s
El movimento circunferencial un~cnme de un cuerpo siempre es acelerado por que la velocidad tangencial cambia de dirección, aunque el m6dulode la velocicladtangeneiaJ se mantiene constante.
En un motor de 1 700 R.P.M., calcular su peñOdo, su velociclad 3f9Jlar y su frecuencia. Ejemplo:
Graficando las velocodadespara intervalos iguales y sucesivos de tiempo.
v.
RESOLUCIÓN : a)
C:iJClAo de la velocidad angular:
"' = 1700 R.P.M.;
o sea:
• rad 1 w = 178,02 • s = 178,02 s mn
Rpta..
b)
uu
Cálculo del periodo: ro =
T = 2n =
"' ~.:
e)
v. ra
w = l 700 r~v =1700 )( ~~
2n
Colocando en el punto '0' los orígenes de los vectores.
v,
T
2n 178,02 )( s
T = 0,035 s
Cálculo de la frecuencia:
,
I =
Rpta.:
Y
1 rev
= 0,035.
f = 28,57 rfiN/s
Como el veclOf' velocidad gira un ángoAo pequeño, la variación de la velocidad se representa por la base del triángulo ísOsceIes
FÍSICA GIiiNERAL
Construyamos la variación de la velocidad durante el tiempo en que el cuerpo hace una vuelta completa. la suma de las magnitudes de las variaciones de la velocidad durante este tiempo será igual a la suma de los lados del poi ;gono representado. Al construi r cada lriángulo, se s~ne simplemente que e! vector velocidad varia bruscamenle, pero en realidad la dirección del vector velocidad varia conti nuamente. Está absolutamente daro que cuanto menor se tome el ángulo del triángulo. tanto menor será el error. Cuanto menor sea cada lado del polígono, tanto más se aproximará este a una circunferencia de radioV. Por eso, e! valor exacto de la suma de los valores absolutos de las variaCIones de la velocidad durante una vuelta del cuerpo será igual a la longitud de la circunferencia, o sea, igual a ?:IN. La magnnud de la aceleración se hallan; dividiendo ésta por el tiempo T de una vuelta completa
105
aceleración es inversamente proporciooal al radio. Este mismo rozamiento nos muestra cómo está dirigida en cada instante la aceleración del movimiento circunferencial. Cuanto menor sea el ángulo de los vértices de los triángulos isósceles que empleamos para la demostración, tanto más se aproximará a 90' el ángulo entre la variación de velocidad y la velocidad misma. Por lo lanto, la dirección de la aceleración en el movimiento drrunferencial uniforme es perpendicular a la velocidad tangencial, ¿Qué direcciones tienen la velocidad y la aceleraCIón con relación a la trayectoria? La velocidad tangendal es tangente al trayecto y la aceleración cenlrípeta tiene la dirección de! radio V además, va hacia el centlO de la circunfelencia.
Así pues, la mag1rtud de la aceleración centripeta,llamada ta~én aceleración normal (a,) en el movimiento circunferencial uníIorme. queda expresada en la fórmula: Para 1 vuelta:
tJ.V
ac = - t-
=
211V
T
(1)
en el mcMmientO sobre una circunferencia de
Hagamos la prueba de dar vueltas a una piedra con una cuerda. Con gran claridad sentiremos la necesidad de hacer un esfuer-
radio R. puede escribirse con la f6rmula:
zo muscular.
Pero, el tiempo de una vuelta completa
Pala 1 vuelta:
T =
~ = 2 11 R
V
V
(2)
Sustituyendo la expresión (2) en (1):
Se obtiene:
I
ae =
UNIDI\OES SI
ae
~2
I
(1)
m
=~
Siendo constante el raoo de la rotación, la aceleración es proporcional al cuadrado de la velocidad. Siendo dada la velocidad, la
¿Para qué hace falta la fuerza. si el movimierIo del cuerpo es unifoone? En realidad no restAla así. B cuerpo se rrueve coo una wlocidad tangencial de una magnitud invariable, pero la variación de la drección de la vetocidad es contínua. esto es el origen de que ellllOIIimien10 sea acelerado La fuerza se necesita para desviar al cuerpo de su canino inertial rectilíneo, para crear la aceleración centJípeta (VOl R l que acabamos de caJaAar. Según la 2"" ley de Newton, la fuerza señala la dirección de la aceleración. Por consiguiente, el cuerpo que gira sobre una cir-
CINEMAT/CA
106
COIlSIguierde. el cuerpo que gira sobre una cirCUflferencia ccn una rapodez ccnstante tiene que experimentar la acción de t.na fuerza que va por el radio en dirección del centro de rotación. La fuerza que actúa sobre la piedra a través de la cuerda es la que garantiza la aceleración V' / R.
rreste a 30' de lalitud sur? Radio de la lierra: R=6 x 10'km. RESOLUCIÓN : w
=W ; v =?
R = 6,10' km ; 30' Lat Sur
En la figura: V = W . N P ... (1)
Por otro lado recondando que; V = ro R (J) 2 R 2
Suslituyendo en (1) : a"
="""R""
:. la.=w
R
I
a. m / s'
UNIDAD SI
¿Cuál es la aceleración cerr Irlpeta de un m6l,;1 que recorre una PIsta circular de 80 m de radio con M.e.u. a SO kmIh? Ejemplo 1.
RESOLUCIÓN:
v'
Rpa: a e
3600
pero:
eOm
= 6.172 rrJs'
Ejl'.rT'plo 2.
El punto P es lO1 lugar de la Tierm. que está síluado en un punlo del paralelo 30' Sir.
En ellriárlgulo ONP: N P = OP cos 30"
(80x 1000),
a, = R
s
OP=R=6xlO'km
NP = 6 x 10' x
SI la velocidad de la tierra es W. ¿Cuál sera la velocidad
tangencial de un punto de la superfICie te
-fi km "'2
sustituyendo en (1): Apta.: V=W.3
-fi
x 10'km/h
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
Un motor eléctrico que gira a 1 BOO R.P.M. tiene 2 ruedas de poleas en su eje. Hallar la velocidad roneal de la faja cuando se coloca sobre la rueda de mayor diámetro. Los diámetros de las poleas son 7.5 cm y 15 cm. RESOLUCIÓN : ro = 1 800 R.P.M. V=? D=15cm
Sabiendo que:
V
=ro R
Cálrulo de la velocidad angular en radianes por min:
w = 1 800 rev/min 2n 3600 n w= 1800. - . =--.mln mln Sustituyendo valores en (1): 1t 15 cm V=3600-x-mln 2 V = 84 823 crrJmin
Apta.: V
=848.23 rrJmin
PROBLEMA 2_
dar dE> Su eje.
Calcular la velocidad angular de la Toerra alrede-
107
F/S/CA GENERAL
w:::; -2" T
RESOlUCIóN :
(1)
El periodo de retación de la rlerra es 24 horas,luego: Cú
2n n. rad 24 h = 12' h
=
=
1 12 • h 1t
Un avión de juguete, Sujete a una cuerda de 100 m de la
PROBLEMA 3.
R
RESOLUCIÓN : lA)
= ?
etro, el mayor de 30 cm de diámetro. gira a 200 R.P.M, Hallar la velocidad tangenci¡¡1 y la velocidad angular del segundo que tiene 10 cm de diámetro. RESOLUCiÓN: ObSérvese con cuidado que las veloddades tangenciales de arrbos es la misma, por consiguiente bastará con calcular la velocidad tangencial del engranaje más grande.
=
100m = 5s
V = ?
v =
Cálculo de e en racianes:
V
rOO e = 15° = 15" 180
60s
t Cú =
" 60
rOO
60
Rpta.:
V = 5,24 ~
s
RESOLUCIóN :
= 300 VlJettas = 300x 2" rOO mln
PROBLEMA 5_
Cú
5cm
= 62,83! s
PROBLEMA 6.
ese instante?
ro = 31 ,416
R
s
En un momento, un trompo gira a razón de 300 R.P.M. ¿Cuál será su velocidad angular en
Apta.:
';,o~5cm = 314,6cmIS
v = '" R , de donde: '" = '!. = 314,1Scmls
s
PROBLEMA 4.
Cú
2nrOO . 15cm mln
Cálculo de la ve10cidad angular del engranajechico:
- Cálculo. de la velocidad tanger-.::ial: V=ooR= Jt rad - x 100m Apta :
= 200.
" rOO
= -
luego. rotará:
R = 200 A.P.M. • A
V = 200 " 2"
\)
lA)
(J)
60s
roo s
Des engranajes están girando uno (8ngranade al
Un ciclista, en una competer-.::ia da 8Opedaleadas cempletas por minuto. La catalina tiene un diámetro de 20 cm, el piñón de la rueda B cm y la rueda e llanta, tiene un diámetro. de 60 cm. Calcular la velocidad que lleva el ciclista. RESOLUCiÓN : ro = 8OR.P.M.
de
= 20cm
d p = Bcm
d u = 60001
V = ?
CINEMÁTICA
108
La cadena de transmisión entre la cataina y el
piión tiene una velocidad ineal que es la msma que la catalina y el piñón; luego calcular la veIocida
RESOLUCIóN : La velocidad Ineal o tangenda1 en las tres po-
leas es igual, porquetodeselastieren la vekJcI. dad lineal de la faja transrrisora , luego:
Ve : roA : SO rev ,,10cm mIO
Ve : SO luego:
Vp
~1ts
X
X
10.."
0.84 m / s
:
pero:
V = lIlR
(Ve: Vp )
= "'z Rz = lila Ra
lIl, R,
luego:
m, R, = mz Rz
de donde:
50 x 5
Con esta velocidad del piñón se calcula la velocidad tangencial de la llanta que será la velocidad que lie'Ja el ciclista. Evidentemente que piñón y llanta tienen igual velocidad angular: lllp
- 3-R.P.M.
roz = 83,33 R.P.M.
APta.: También:
= rou. "'3 =
Por CCf)siguiente: de donde:
Rpta.:
ro 3
ro, R, = "'3 R3 "', R, = 50 x 5 R P M
Ag
250 R.P.M.
:
PROBLEMA 8. Vp
= RlL - rp Vll
==
30
cmx
= 628,28 -cms =6,28m/s
Transformando a kmlh : Apta.:
Vll = 22.6
km
11
En un velódrcmo se catre la carrera depersecu-
83.77 cm/s 400
l' . .
ciÓl1 individual. para lo cual la partida (le dos cidistas se hace en puntos diametralmente opuestos. uno en persecución del otro. Si un ciclista en los entrenamientos compr
RESOLUCIÓN : los radios de lres poleas conectadas por una faja de transmisión son como 5 : 3 : 1, la polea mayor gira a razón de 50 R.F'M. ¿Cuál es la velocidad angular de las otras dos?
PROBLEMA 7.
(f
,
A
,~"""' -- .... ,
, I
I \
I
',-
B
... _- ---~
,,'
Sea 't" el tiempo en que el segundo alcanzó al primero. Cuando lo alcanzó la drterencia angular será 0, pero el segundo habrá recorrido un ángulo mayor que el primero en un valor igual a Jt, en otras palabras el ángulo descrito por B, será igual al de A más n::
109
FISICA GENERAL
El¡¡ Ó
pero:
2) R = LsenS = 6m
(1)
="
y: eA
Wa I • "'. I
En ellriángulo ABH:
+ 1<
Sa • SA
= "'o I
El¡¡
En (1):
=eA
=
OOA I (2)
="
,
R = 6m
A
0.71
x
4,26 m
susl~uyendo
(2)
(1) Y (2) en (1):
pero:
Wa
min
mn
rrun
7 vuelta = 7 x 2" ~oo = 141< rOO ~ mm min
00" ;;
= (0.84
ae
= 8 vuelta =8 x 2" rad = 16" ra:t
R~a.:
sen45'
x
x
4,26m
3m/5 2
=
Be
~r
PROBLEMA 10. Calcular la velocidad aoguiar de las tres agujas de un reloj.
Sustituyendo en (2): lad ra:t 161t - . x l, 14" - . x t = " mn
de donde:
= 1 min
2I
Para el horario:
• luego:
RpIa.: Le da alcance en: t =
I
:1
. mn
(1)1
Rpta.:
::
(J),
PROBLEMA 9.
Una "sina IIOIadora" de un parque de juegos. gl8 a razón de 8 R.f'M .. formando la cuerda que la sostiene con la vertical un ángulo de 45' . CalaJar la aceleración centripeta.
S = 45· L = 6m
ae =
Se Iiere :
002
A
1 s
= 0.84 -
21t
2
wZ='h= (J)2
= 1.7453
x
x 3.1416 3600s
10.3
~
2 x 3,141 6
21t
(03:;; lmio =
(I) Apta.:
rey =8A.P.M. = 8 -mi" = 8x 602Jts 00
= 1,454 4 x 10.3 ~
PaI8 el segundero:
Calcutando ordenadamente "' y R:
1) 00
21< 2 x 3.1416 12h :: 12 )C 3600s
Pam el minutero:
Rpta.:
RESOLUCiÓN : 00 = 8 R.P.M.
ae = ?
(1 )
RESOLUCIóN:
mII1
(1)
"'3
= 0,104 7
60s
1 s
PROBLEMA 11. La
RESOLUCIóN : B
d = 38,4 x 10' 11m I = 28 dias
"'V == ?? ae = ?
CJNEMÁTICA
110
a)
ro =
1 rey V\Jelta = 26dias tiempo
ro
2nrad 28 . 3600 . 24
=
Apta.:
ro = 2,597 x 10-6
b)
V = OlA
R.P.M. ¿Al cabo de cuánto tiempo la barra formará un ángulo de 30' con la horizontal?
=ro
!
r,:;¡ 10cm
S
( 1)
El radío de giro será la distancia de la Tierra ya la Luna más el radio de la Toerra, ya que el centro de giro de la Luna es el centro de la Tierra, luego: A
RESOLUCIóN: De acuerdo a la figura:
R = 390 . 103 km
V = 2,591. 10-6
La velocidad con que sube el extremo A de la barra es igual a la velocidad langencial de la polea N' 1.
al
Luego sustituyendo valores en (1):
!s x 390 x 103 x 103 m
= lO 128 mis
Apta.:
V
el ac =
002 A = (2,597. 10-6 i)2 .
La velocidad con que sube el extremo B de la barra es igual a la velocidad tangencial de la polea N" 2.
b)
d = VI
ac =
0,263 . 10.2 mi s2
PROBLEMA 12. La velocidad tangencial de un electrón es de 4 x 10' mis. La circulación del electrón se debe aun campo magnético; el radio de giro es de 3 m. Calcular su aceleración centripela. RESOLUCIÓN : = V2 _ (4)(105 m/s)2 c a R 3m ~a :
a"
= 5,33)(
x.V
y:
x 390 • t03 x 103 m
Apta,:
(a)
V = 00('2 - r,)1
2 cuerdas unidas a dos poleas. Si las poleas empiezan a girar con una vetocidad de 120
(e)
Por otro lado, de la figura se deduce:
t93O' = V = BOem
V
00.[3 (e)
Igualando (e) y (e) y reerr¡:¡lazando dalos numéncos, donde:
10'0 mis'
cuya long~ud es de BO .[3 cm, soslenidapor
(b)
Reemplazando (a) en (b):
r2 -r, = 20
PROBLEMA 13, Se tiene una barra horizontal AS en reposo,
= ror.t
Seliene: 120 x
2:n:
Y ro = 120 x 60
~
.2Ox l = 80
SirT'f)lmcando y despejando:
Apto.:
t
1
= - s :n:
FiSICA GENERAL
111
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
Hallar la .elocidad angular de un disco que gira con M.C.U. de 26.4 radianes en 5 s. Calcular el período y la frecuencia. Rpta.:
= 5,28 r<>:J1 s
ro
T = 1,195 I = O,34revls Ó 0,34 Hz 2. La dislancia de la Tierra al Sol es de 149,7.10' km; su periodo de revolu· ción es de 365 días. El diámc1ro del Sol es de 1.4 x 10' km. Calcular: al Velocidad angular (racVsl bl velocidad langerdal. el Acelerad6n centripe1a. Apta.:
ro = 199 V
= 29651 mis
ae = 0,6 3.
10.9 rad/s
x
x
10.2 mi S2
•
Una rueda de 5 m de diámetro gira a 200 R.P.M. Calcular: al bl el d)
Apta.:
Frecuencia. Período. Velocidad angular. Velocidad lineal de un punto del boro de.
b)
ae = 1,34m/s2
5.
¿Qué velocidad angtAar en raditltiene la Tierra en el ecuado<" n rad Apla: 12 'h
Calcular la acelerad6n centrípeta de un cuerpo que rooorre en 3 s una circinfe· rencia de 1,8 m de radio. Apta.: 8 mis'
6.
7.
Determinar la aceferadón anglAar de una ruedla, si se sabe que al cabo de 2 s de iniciado el movimiento uriformemente acele· rado, la aceteración lineal de un punto periférico de la rueda forma un ángulo de 60° con la veIoodad ineal del mismo. ppta.: a.
= 0.433 rad/s'
8.
Un cuerpo atado a una cuerda de 2 m de long~ud, gira a 180 A.P.M. Si se romo pe la cuerda. ¿ Con qué velocidad escapa el cuerpo? Apta.:
12 mis
b) T = O.3s
Dos ruedas em¡je28n a girar simultánea· mente, la primera gira a razón de 25 11 radls y la segunda parte del reposo y gira acelerando a razón de IOn rad/s'. ¿Después de cuánto tiempo habrán realizado igual número de vueltas?
e) ro = 20,94 radls
Apta.: t
al f = 3,33
d) V
x
1
s
= 52 ,35m/s
4.
Un long play da 33,5 R.P.M. Su diámetro es de 30 cm. Calcular: al La velocidad tangencial del filo. b) La aooerad6n centrípeta. Apta.: a) V = 07,526 mi s
9.
=5 S
10. La aceleración angular de una rueda es 2 radls'. Luego de 0,5 s de iniciado el movimiento la aceleración lineal es de 13,6 mis'. Sobre ta base de eslas condiciones determine el radio de la rueda. Apta.:
A
= 6.08 m
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORMEMENTE t'ARIADO M.C.U.V. BM.C.U.V.esaquel movirientoen el cual el móvi se desplaza por una cirC\Jnferencia yexpen-
menta cambios o vañaciones iguales en su velocidad angutar pata intervalos de liempo 9JaIes.
CINEMÁTICA
112
ACELERACiÓN ANGULAR"ü"
Es una ca nlidad veGlorial cuyo valor nos la variación de la velocidad angular por inetervalo de tiempo.
e>
"
roo m : roo ; 8: rad ; n : "2 ; 1: s
s
s
CONVENCiÓN DE SIGNOS: Usar
IHiJ (l
Unidades de medida SI:
(+) Si la velocidad angular del m6vi 8I.IIleOIa (.) Si la velocidad angular del m6v! disrTiru-
I
I 0\
ye.
mi
(l"
Ejemplo 1.
Uridad de medida en el SI
(l :
roo I s2
EJelT\Plo; Un punto tiene M.C.U.V. Después de 6 s de haber iniciado la mar· cha su velocidad angular es 18 rad/s. Caleu· lar su aceleración. ro, . ro, AOl RESOLUCIÓN: (l " - ," I luego: (l = ro, pero: m; = O • I
Con datos: Rpta:
(l
(l
18 radl s = 6s
= 3 rad I 52
En el M.C.UV la aceleración angLiar ii se mantiene constanle. ECUACIONES DEL M.C.U.V.
(mi +2 m,) I .' C=-:l ~ u.!w, " m, ± t ! 111.10 = mi ± ~ .a .12 1
l.
RESOLUCiÓN : Usando la fórmula 11: (O'~Wi+a t
.. w, = Apta.:
[ffif
=
wr ± 2
1
,
Pero : (l
OJ. "
rad I " 10 2"
16 s
x
s
EjelT\Plo 2.
¿Cuánto tarda un disco en alcanzar la velocidad de 2n rad I s . si el movimento es circunferencial y unilonmemen!e variado, de aceleración (1TI2) rad/s'? RESOLUCiÓN : Con la fónrula 11: {J)f=w.+at
m=O ,
Pero :
2n r~ 1=
Rpta.:
mi
n
S
" nT 2" " 52
t = 4s
Ejemplo 3.
En un instante, la velocidad angular de un disco es de 150 radlscon aceleración angJlar de 10rad/s'. ¿Cuál era su velocidad angular 5 s artes? RESOLUCiÓN :
"" ""t
1)
(l
velocidad angular final ángulo grado velocidad angular inicial aceleración angular leimpo que dura el moviniento velocidad angular media
O
mi = 160radls
9=
(l .
IV.
Al cabo de 16 s de iniciado su M.C.U.1l ¿Cuál será la veIoddad angular de un mó,,1 cuya aceleración angular es de 10 radls"?
De la fónmula 11 se despeja W,: mi = WI • al
150 rad _ 10 rad s
Apta.:
"" = 100rad/s
s2
x
Ss
FfSICA GENERAL
113
RELAOÓN ENTRE LA ACELERAOÓN TJlNGENCIAL " 8 .Y LA ACELERACIÓN ANGULAR "u" Se sabe:
6V a, = - 1-
También:
6V = 6mR
( I)
a, =
11. mR ; de donde: 1
la. = aRj a. = aceleración tangencial
Doode:
a = aceleración angtJar R
Sustituyendo en ( I ):
= radio de giro
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1_
Al descooec1ar la corrien-
le a un molor eléctrico su -eocidad de 1 700 R.P.M. desdende a 1 000 R.P.M. en 2 5_ Calcular: a) b)
La desaceleración. B nlrnero de vue11as que da dura"e ese tie~.
Suslituyendo los dalos:
e_ -
e=22,5~x2s
s
Rpla.:
RESOLUCIÓN : lO¡
= !700 R.P.M.
w,=
a) a
=?
b) 9 = ?
l000R.P.M.
I = 2s
a) SabIendo: "', = "'1 + a I
2s (2) en (1):
_350 revalción mn x s
=
(2)
R
~
I +
~ u 12
6V, a, = ~ =
VI = 30m/s
Donde:
6Os 2
(3) V,-V, 6t
61 = Ss
V¡ = 4m/s
rad RpIa: u= -11,67" "2
Oedonde:
e
Por otra parte:
u = -350 2nrad
b) porlónru1a: wm =
V,
mi =
s
(1)
V; = 0)1 R
Pero:
noo R.P M.
1 000 R.P.M. -
s 0),
Espacio angular:
9=wl t+~aI2
1
u= -350 R.P.M.
u=
¿Cuál será el número de revoluciones que da la rueda de un carro que está a..mentando su velocidad. de 4 m's a 10 m's en 8 s7 La rueda tiene un radio de 25 cm.
RESOLUCIÓN:
Sustituyendo dalos: u =
e = 45 rev = 45 vueltas
PROBLEMA 2.
ro, - O)i
De donde: a =
1(1 700 R.P.M. + 1000 R.P.M.) 2
Sustituyendo valores: +
2
m,
e t
a, = Además:
30
¿4
=
a, = a R =>
1; mi S2
ex =
FI-a
CINEMÁTICA
114
ex = • 750
13 mis' 4 0,25 m
« =
4
0,25 x 8 +
ex
1
2"
= 544 2n
rev
=
750 x 19 x 2n rad
~
3600
ex = . 2487 rad
x 13 x 64
,
b)
9 = 128 + 416 = 544 rad N" de vueltas
19
min'
Reerrplazando valores en (3): 9 =
x
= 13rad/s'
Ut~izando
5'
la fórmula de ( 11 ) :
= 86,58
ex
86,56 vuettas
Rpta.:
Un motor gira a 1 700 R.P.M., disminuye un~or· memente hasta 200 R.P.M., realizando 100 revoluciones. Calcula~ a) La desaceleración angular. b) El tiempo para detenerse a partir del momento en que está a 200. R.P.M.
200
PROBLEMA 3.
RESOLUCiÓN :
e
a)
=
+ (1)11 2 29
t(1I)¡
..
..
2
19 min
Un punto se rrueve por una circunferencia cuyo radio R '" 20 cm, con una acelraci6n tangencial constanle a, '" 5 cm/s2 • ¿Cuánto tiempo a partir del momento en que empieza a moverse el punto, deberá trancurrir para que la aceleración normal o centrípeta, sea igual a la aceleración tangencial? PROBLEMA 4.
Se sabe que:
a,
y que:
ae
(1 )
Este tiempo corresponde 8 lo que tarda en \/Bnar el valor de su velocidad angular de 1 700 R.P.M. a 200 R.P.M. Cálculo de « : Sabiendo que:
a =
:: 0,84 s
2 (100) 200 • 1700
=
SOs
RESOLUCiÓN:
mi ... (01
=
.
:::: 700 x19 mio x 1 min
mI • ro 1 t
De (1):
t
~
V
(1)
t
V'
=R =
(2)
V
(3)
al
(4) = FcR Reemplazando (4) en (3): t = FcR a. De (2):
V
(2) Si:
Reerrp1azando (1) en (2) y considerando: Cll¡
= 1 700 R.P.M. ex
y:
R = 20cm
; lIlj '" 200 R.P.M.
= 200 •21 700 19
rev
,J 5 cm/5 2 x
Reemplazando: t =
min'
Apta.:
t
20cm
Sem/s 2 ~
25
115
FlSICA GENERAL
PROBLEMA 5,
Un mÓVil marcha a razón ele SO knvt1, El chofer apl~ ca los frenos y mpeza a desaceiefar a razón ele 5 rnI:f. Si las ruedas tienen un diámetro ele 50 an. Calcular cuántas lIUeItas darán las fI.& das hasta detenerse. Tomar en cuerta que no ha habido desflZillTlierCo o patmie. RESOLUCIÓN : V ; BOI
e
OOkm/h
V
;
a,
= -5 mis'
= ?
sustituyendo valotes en (2):
9 =
(14,131l!\1/sf1 2( -3,18rev/s 2 )
Apta.: 9 = 31,39 rev
En 30 s, una rueda de 5 dm de diámetro, que sale del reposo. acelera uniformemente hasta 3 000 reY/minoCalcular la aceleración angular y tangencial. PROBLEMA 6_
RESOLUCiÓN :
d = 50cm
Cl
-
a)
CáIcUo de la velocidad en mis: 1 000 m V = BO 3600s = 22,2m/s Cálculo de la velocidad angtJar de las rue(¡)
R , luego:
ro = V = 22m/s = 88,8rad/5 R
IX
0,25 m
b)
En revoluciOlles por segundo:
ro = 88,8 re. = 14,13 reY 2n
5
5
Por oIro lado:
s
PROBLEMA 7.
(2)
2a
rad
= a R = 10,472" .0,25 m
e
2
9 = ~
rad
= 10,47 2 s
Rpta.:
Pero' ro, = O .. 0= rof + 2a9 De donde:
2n rad 60s )( s
(1)
= ro~ + 2 ( l
rof
a,
00,
3000 rev _ O = _-="I11",n,--_ = 100 ~ JOs min.s
a ; 100 . V =
3Qs
O ; Sdm ro, = 3 000 rey Il11n
a ;
de donde:
das:
, ;
=?
Sabemos que: ro, ; ro, + a t
(l
Sabiendc:
; de donde:
a, = 2,62 mI s2
Calcular el número de revoluciones que dio la rueda del problerm anterior hasta adquirir la veIocidad ele 3 000 rev/mrn. RESOLUCIóN :
Calculando la velocidad media: a,
a =R = (l
-5m/5' O,25m/rad = rfN
rad
2n rad
5'
Pero:
= ·20 - - • -
00,
= O
oo m =
de da1de: "- = - 3,18 r~
s
( 11 )
3000 rev / min 2
oom = 25 rev/s
. cINEMÁnCA
116
Rpta:
8
a, = I,67nm/s 2
Rpla.:
Luego: 8 =
= 7SOrf?V
PROBLEMA 9.
PROBLEMA 8.
Una barra delgada de 1 m de longitud gira en un plano horízonlal, alrededor de uno de sus eXtremos. En el tiempo de 6 s aumenta su velocidad de 30 rev/s a 40 revisoCalcular: al Velocidad lineal en su punto medio al principio y al final de ese intervalo. b) La aceleraci6n angular y tangencial.
Une pelea que parte del
reposo, en 0,8 sliene una velocidad de 300 R.P.M. Durante 5 s gira a esta velocidad, finalmente frena y se detiene en 0,3 S. Calcular el número de re\Klludones que ha dado. RESOlUCiÓN :
ti
=
Cll = 3OOR.P.M. er = ?
\2
= 55
'a
= 0.3 s
RESOlUCiÓN:
l
(1);
= 1m = 6s
b) V, " ?
= 3Orev/s
el
B2 =
Y¡ = 301< mis
b) V, = Cll,R = 40 V,
210 rad =40 s
x
5 x
e) a =
Luego:
t
s
Apla.:
s 10 210 roo
= 6~
ex = 3,3310 rOO/52
d)a,=aR
a,
(1)
x
6a =
ro¡ +
(2)
<01
2
300 rey + O m,n 2
55
· Ia
x
0,3 s
8r = 8, +6 2 +83 ST
=
27,75 rev
65
. a = 10 rev 6$2 Apla.:
= 2rev
8a = 0,75 rev
ro, -
=
1
O,8s
x
rev
8a =
40 rev _ 30 ,ev
a
.
= 300 m,n B2 = 25 rw
O,SOm
VI = 40ltm/s
Rpta.:
úl, I
2
ID, '2
Tercera fase:
O,SOm
ro, ...
2
8,
S
rev
=
=
0+300 reV m,n
Segurda lase:
Y¡ = 30 2,. r3d • O,SO m Apla:
el
8,
a = ?
d) a, = ? .0,SOm
a) V = I
Primera fase:
a)Y¡=?
0,8 s
'33 10 rad m 2 x 0,50 -d s ra
=~,
•
PROBLEMA 10. Una faja cuya velocidad lineales de 40 mis y cuya aceleración de 8 mis', mueve una pelea 'A' de 10 cm de diámetro, a la cual se encuenb" solidaria otra pelea "S" de 50 cm de diáme\ro, conforme muestra la flQura. Calcular la velocidad y aceleración tangenciales del pun-
toBo
117
FlslCA GENERAL
a) '8JO
b)
¿Cuál será la velocidad tangencial en la periferia? ¿Cuál será la aceleración tangencial en la periferia?
o
= BOom
a) VI = 7
IIJ
= 300 R.P.M.
b) al = ?
t = 20s
RESOLUCIÓN : RESCHJCIÓN :
VA = 40 mis
a) Ve = ?
aA = 8m/.'
b) ae = ?
°A
1,
= 100m
De =
Cálculo de la aceleración angular:
SOom
Las velocidades angulares de los puntos Ay B son iguales. La velocidad lineal de la faja es igual al de la polea chica.
de doOOe:
*,
=
IIJ
n
a luego:
Pero ya se sabe que: CIJA =
me
w, . c»¡
300 R.P.M. - O 20s 1 reY = 4s 2 2nrad 11 rad (1) = = 2 s2
=
=
t 300 reY n = 6O x 20xS x s
V = mA
a) Se sabe que:
--¡;r
Cák;tJo de la velocidad anglh al cabo de 1 s:
Luego: COI
V. = 0)8 A = 400 rad • 0,25 ~ e s r3d RpIa.: Ve = l00m/5 b)
= 1s
;; COi + al;;
nrad 0+ 2 52 x l 5
11 rad 2 s
(2)
aA = nA AA ' de donde: a)
~ R
aA
=
aA,
-_ ---L m;;
luego'.
VI = ",A = ;
A
Bm
b)
n. = BO rad "
.' Pero ya se dijo que: nA ae
Rpta.: as
=
Aa .."
tT_
= BO
CáIc,jo de la aceleraci6n tangencial: n nA = 2
m x 0,25 ~
S2
S
2Om/s 2
PROBLE.MA 11.
r:d. 0,30 m
de donde: VI = 0,1511 mis
0,1 rad
Luego:
Cálculo de la velocidad tangencial:
Una llanta de 60 cm de diámetro pasa del reposo a 300 R.P.M. en 20 s. Calcular, 1 segundo después de partir del reposo:
de donde: al
roo
', ' 0,30 m s
= O,15nm/s2
PROBLEMA 12. Un disoo desarrolla un M. C.u. V. y acelera a raz6n de 4" rad/s' . Si emplea un tiempo 't" en dar la tercera parte del número de vueHas lotal, ¿cuál debe ser la velocidad angular in~ dat para que las dos terceras partes restantes las haga también en un tiempo "1" ?
118
CINEMATICA
RESOLUCiÓN :
RESOLUCIÓN: Por fórmula:
O
~ a 12 2
= OJ¡ 1 +
= aR
a)
a,
dedorde:
a = 0,5" 2
rad
•
Para el tramo totaL
O = OJ¡ (21) +
~ 4n ( 21)2
0= 2OJ¡ I+8nt 2
2
O = 3 OJ, 1 + 6n 1
Igualando (1) Y (2):
3OJ, 1 + 6n !2 = 2OJ, '+ 8n!2
= 2nl 2
Rpta : m, = 21< t Un motor que gira a 1600 R.P.M. se detiene en 20 s una vez desconectado, ¿Cuántas vueltas ha dado hasla detenerse?
PROBLEMA 13.
OJ,
=
115.
PROBLEMA 15. Una rueda tiene una aceleración constante de 3 radls'. En un intervalo de 4 s gira t.n ángulo de 120 radianes. Suponiendo que la rueda partió del reposo. ¿Cuánto tiefl1lO había es· tado en movImiento antes de ese intervalo de4s? RESOlUCiÓN : Para el intervalo de 4 s:
a t2 8 = O), ·t + -2120
w,
= O
w¡
= 1800A.PM.
=
20 s
=
1
. 3 mm De donde:
e
=
(~~) G)=
= OJ¡ (4) +
3 (4)2 2
rad m, = 24 S
Pero el intervalo entre (O) s y 't' s:
R~ando:
Apta.:
s
OJf
(m, ; OJ') t
O =
m
= 0,15"2"
= m~ + 2ae = O + 2 (O,5n) rt' = ,,3
mr
..
(2)
7}30)
.2
a)
O = 0l¡!+2n!2 3
(0,5"
cm a t = 15rt
..
O 1 4 ,2 = OJ¡ t + 2 11 3
RESOlUCIÓN :
ale:
(1)
Para el pnmer tramo:
0l¡1
R = 30 cm
y:
300rev
PROBLEMA 14. Un volanle de 30 cm de radio, parte del reposo y empteza a mO\lerse con una aceleración de 0.5" rad I 52. Calcular su aceteracion tangendal en ellI1stanle de haber girado un ángulo de ,,2 rad y la velocidad angular en ese instante,
a)
,
= OJ'? + 2aO'
En este caso:
OJ',
=
lO¡
Reemplazando en la lórmula:
(24)2 = O + 2 (23) 8' Resolviendo: 8' = 96 rad Por olra parte: S' =
t t (W''2+ W')
119
FISJCA GENERAL
Reemplazando: 96 -_ (0.. +2 Apta.:
t
24
partió del reposo y su aceleración angular es de 20 radl"?
)t
RESOLUCiÓN :
= 8s
PROBLEMA 16. Un volante tiene una veIocidad angular inicialw,. Deducir una fórmUa para cabJar el ánglAo gi. rado para un intervalo de tierrpo determinado. Se sabe que la aceleración angular es a. RESOLuaÓN : 0.
= 0n. - 0(1)1).
Usando la fórmula deducitje en el problema anlerior donde ~ O:
ro; '
1 05" = 0+ 2 a(2n - 1) 1
= 2 , 20(2 , 5 - 1)
(1)
= 90 rad
n' : enésimo segundo Para saber el número de vueltas:
Para n segundos:
a)
1 O ="'; t +2 a •2
ens
1 2 = w¡n+ 2"a.n
Rpta.:
b) Para (n - 1) s: O(n ,') ,
N=
(2)
(3)
= CIl, (n-1) + ; a(n·1)2
e
garad 2n = 2nradlwella
4S N = n
vuenas =
PROBLEMA 18. ¿EncuámotiempohWese dado el mismo número de vueltas a partir del reposo (problema anlerior).
Sustiluyendo (2) y (3) en (1): RESOLUCiÓN :
1 (Ill¡ n + 2 an')· . (CIl,(n·.) ...
e"
Pero:
~ a(n-1rl
1 2 = Ill¡ n ... - an •
2
1
(
,
- CIl, n + "'1 - 2 a n·l)
e~
= CIl;
+ ~ a(n2 . (n-l)21
Efectuando:
Apta.:
en' = "', +
PROBLEMA 17.
1
2 a (2n - l)
¿Cuánlas vueltas dará una rueda durante el 510 segundo. sabiendo que
90 rad
e
Ill¡ = O
e=
.!.al'
1=
J~
de donde:
2
=
2x90rad = 3s 2Orad/s2
PROBLEMA 19.
Un bloque A permanece en reposo sobre un braZO horizontal que gira alrededor de un eje vertical. Si el brazo eslá inicialmente en reposo en el inslame! y se acelera oon un valor de arad I S2 • Hallar una expresión para la aceleración 100al del bloque en elliempo" y el ángulo que forma la aceleración lotal y el radio "R".
=°
=
RESOLUCiÓN : f ft.erza de rozamiento A = radio
120
CINEMATlCA
(I = acele
= tiempo
Pero recordando que:
A
a = nR
:. 0.. AA
= a c Re
Suslrtuyendo dalas:
(1Olt ~)(10cm)
Cl A(150 cm) =
Ja2, + ae2
a,ota! = a,
= (I R
Be
=
"'; = O (4) en (3):
nA = 15 n
(2)
(ll R
Por aIra parte:
10
(1 )
Luego el ángulo girado en 60 s será.
(3)
00 ..
=
{Oj ...
at
ro = al
(4)
ae = a 2 t2 A
(5)
atota! = Jr;'~2"R~2~,,-(I~''""t"7",-R-=-2
a,,,~ = a A
JI ..
0.
2
1On rad 15 S2 9 : = 2 2 9 = 12OOnrOO
!nt2
(2) Y (5) en (1):
RpIa.:
roo
$2
Cálculo del minero de vueltas: Se divide el valor del ánguto girada entre lo que vale una vuelta: 2lt:
N _ 1 200" roo rae! 21< vuelta
t'
PROBLEMA 20. Entre tas ruedas de la fi· gura no hay resbalamien· toy empiezan a girara partir del reposo. Si la rueda C acelera a razón de IOp radls' duran· le un minuto. ¿Cuántas vue~as giró la rueda
A? RA ;¡¡ 150cm
(60)' x
Rpta.:
N
= 600 vuenas
PROBLEMA 2:1. Una rueda gira a razón de I 000 R.P.M. Si se retira la fuerza que mantiene dándole vueltas. se detiene después de 100 vueltas. ¿Cuánto tardé la última vuelta? RESOlUCiÓN:
Cálcuto del tiempo Que tardó hasta delenerse:
Sabiendo que:
e
e = (001; 00;) 1
(I)
Re = 10cm A
dOIlde:
e
= 100 x 2n rad rol
RESOlUCiÓN: Las aceleraciones tangenciales en A y en e son iguales.
ro,
=
=O 1 000 • 21t rad 60s
(1)
(2)
121
FISICA GENERAL
"'i
= 33.33" rad I S
(3)
Susbtuyendo (1). (2) Y (3) en (1) : 100 • 2" ,ad
= 33,33" rad • I 2x s
dedonde 1= 12s
2
"'1
= 111 0.9"
2' rJ
- 1100.91<
- 2
S
2
rad2
-2-
S
rad
"'t = 3,161< -
S
Recordando otra vez que: 8 =
C¡\Jrulo de la aceleración: "'1 - '" I
n= - -'=
= -2,78" ,ad / 52
n
I =
O . 33,33" rad I s 12 s
En este caso, corro es para la úHima vueHa. = O ; "', es lo que fue la velocidad al ~nal de la 99'" vuelta, es decir:
"'1
Cálculo de la veIoddad después de 99 vueltas:
3161< rad ,
= "'~ + 2n8
"'f
29 (1), + rol
9=2"
S
Sustituyendo valores en (11):
",f
= (33.33"
r~r + {2.78" '~). • (99 • 2" rad)
, -
2 . 2"rad rad 3.16" -
s
de donde finalmenle: Rpla.:
I = 1,27 s
PROBLE.MAS PROPUESTOS 1.
Una rueda de 40 cm de diámelro, parte
4.
del reposo y acetera uniformemente, hasta 4 000 rav/min después de 40 s, caiclJar su aceleradón angular y su aceleración langencial.
Apla.:
a) 10,47 radls' b) 2.094 mis'
Rpta.: 5.
En el protH¡ma anterior, ¿cuántas revoluciones habrá dado la rueda cuando su velocidad sea de 400 rav/min? 40 1'¡lIa.: 3' rav. Una varilla delgada de 0.3 m de Iong~ lud gira horizontalmente alrededor de uno de sus extremos. Su velocidad varia de 20 rav/s a 30 rev/s. Calcular la velocidad lineal al principio y al final. Rpta.:
a) 12p mis b) 16p mis
n = 8,06 rev
Una rueda de 1,SO mdediámetro pasa del
reposo a 200 R.P.M. en 15 s. CalciJlar la velocidad langencial en la periferia yla aceleraci6n Ida! de la rueda al cabo de 15 S.
2.
3.
En 0,5 s mil rueda que sale del reposo, está girando a 200 R.P.M. Con es1a lIeIocidad gra durante 2 s. Luego frena yse detiene en 1/3 s. CaIcLla, el rúrero de nMr luciones, en IOtal, que óo la rueda.
Rpta .:
6.
a) 21,99 mis b) 644,81 mis'
La velocidad angular de un motor ~ gra 9OOR.P.M des::iende U iIom lElI ¡ iElr1te hasta J:Xl R.P.M., efect\Jando SO re'IOIudones. Calcular la aceleración angular. Apta.:
4,. radl 52
122
7.
CfNEMATfCA
Un movil describe una circunferencia de giro de 10 cm de diámetro. Si partió del reposo e incrementa su velocidad anguar en 10 radls cada segundo. Calcular ¿qoo ve«Jcldad tangencial tendrá a los 1Os de InlOado el movmento? Rpta.: 5 mis
8.
Una rueda parte del reposo. y acelera hasta que en el úttimo segundo de su racorr,ido da dos vuehas. Determinar el valor de la aceleración angular y et tiempo Que loma su movimenlo, si su velocidad en dicho instante fue 1BO RPM. Rpta.:
9.
a,. = -J3 3-
al
10. Al partir de la estación, la velocidad del tren crece undormemente y al cabo de 3 minutos alcanza el valor de 72 kmlh; la vía es un arco de circunferencia de BOO m de radio. Determinar. 2 minutos des· poos de su partida cual será: a} La ar.eleradón ta ngencial. b) La aceleradón normal (centrrpetal. el La aceleradón lotal delIren.
Rpta:
Rpta.:
t = 10 s ".,tor
'9:0
a) 4uadl s· b) 1.5 s
Hall arcuántas veces mayor será la aceleradón normal (centrípeta) de un punto que se encuentra en la llanta de unarueda giratoria, tal que sU aceteración tatlgenciat en el momento que el vector ~ leración lotal de este punlo forma un ángulO de 30° con Su vector velocidad lineal (tangencial).
Apta.:
por medio de una correa sín fin de la polea B del motor eléctrico; los radios de la polea 500: r, = 75 cm, r, = 30 cm; después de arrancar et motor eléctrico. su aceleraciór¡ angular es 0,4", radis '. Despreciando el deslIZamiento de la ccr rrea par las poleas, determinar dentro de que tiempo el torno hará 300 R.PM.
~2
r,------.t
12. Una esferilla está adherida sobre un disco liso de radio R; a una distancia RI2 de su eje de giro. Si el disco gira a 5 R_PM. Y repentinamente se despega la esterilla. ¿después de cuánto tiempo saldrá despedida del disco si se deslizó sin fricción?
Rpta.: t = 3,3 s
13. Una rueda dentada
al at
bl an
=
~
el a""" =
Rpta.:
O, = 120 mm
mI S2 0,51 mi 52
11. Un torno con la polea A se pone en movimiento a partir del astado de reposo
14. Un cilindro hueco gira con movimiento circunferencial uniforme. tal cOmo se muestra en la figura, barriendo en cada 2 segundos un ángulo de 120". En cierto instante se cjspara un proyectil el cual
Ffs/CA GENERAL
ingresa al cilindro por el punlo (O; 4 ) m
y sale por el punto ( 6 ; -2 ) m con una
123
canal? Despreciar todo efecto de rozamiento 9 = 10m/52 ; r = 1 m.
velocidad conslante de módulo 3 ,J2 m / s . ¿Qué ángulo "8" habrá barrido el cilindro desde que el proyectil ingresa hasla que sale del cilindro? Yt
f I
(0; 41
H... Sm
~:t:>" --_o,,~'. I
canal "
~
>
L;6m (6; -2)
Apta.: a = 120"
Apta.: V = 1O.J5 mIs
15. Un cilindro mostrado en la figura, gira cm velocidad angular constante. Una partícula se deja caer por un canal vertical mostrado. y al salir de ella el cilindro oorn¡jetó un ángulo de giro igual a 20 rad. ¿Con qué velocidad sale la partícula del
APTITUD:
16. Hallar la aceleración angular de una roeda. si después de 0,5 s de Iniciado el M.e.u.v., la aceleración lineal de unpunto periférico de la rueda lorma 37' con le velocidad ineal del mismo. Apta.:
a = 3 radl s'
'Disposición natural o adquirida para realizar
una actividad'
CINEMÁTICA
124
CAPíTULO 5
ESTÁTICA La Estática es una parte de la Mecánica que estudia el equilibno mecánico de los cuerpos
EOUILlBRIO MECÁNICO Es aquel estado en el cual un cuerpo mantiene su velocidad conslante; Existe dos tipos de equilibrio: Estático y Cinético '-
Si el cuerpo se encuentra en reposo: IExlste equíllbño estático!
V:C1e=O
Si el cuerpo se encuent~ en mOVimiento rectilíneo uniforme: V = cle, iExlste equilibño cinético! -
11.
en su velocidad, cambios en sus dimensi(r nes y también puede originar giros o rotaciones (cuplas). en los cuerpos rígidos (no deformables)
CUPLA:
Se lIa -
d
maasía un par de fuerzas de igual módulo y dirección contraria. aplicadas a un mismo cuerpo. Su valor se calcula en forma similar al del momento de una fuerza. NIDAOES SI : N . m
M F
Momento de la cupla en N.m Valor de cada una de las fuerzas iguales en N Distancia entre las dos fuerzas en m
d
La CUPLA no es si no un MOMENTO, del cual se hablará en páginas subsiguientes.
NOTA:
RJERZA F Es una magn~ud \IeCIorial Que mide el grado de intensidad de una interacción. Uamaremos interacción a la influencia muluade dos cuerpos en contacto o a distancia. La fuerza puede originaren los cuerpos, entre otros efectos los siguientes: cambios
RESULTANTE DEL SISTEMA DE FUERZAS
Se llama resultante de un sistema de fuerzas Que actúan sobre un cuerpo a una fuerza que los reemplace. produciendo sobre el cuerpo el mismo efecto Queel sistema. Se presentan los siguientes casos:
FISICA GENERAL
1.
Resullante de fuerzas que tienen la misma línea de acción y sentidos opuestos: Su recta de acción es la misma que la de los componentes. Su medida es la diferencia de las componentes. Su sentido es el del que tiene mayor valor absoluto. Su punto de aplicación es cualquier punto de la Irnea de acción.
centrnde
--.. (.}
t
gravedad (bisagra) O '-i'-----d----¡ 2 -- -,i' F
f
V
Llamando (.) y (+) ICIs sentidos de las fue..as RESOLUCiÓN: Por definición: M,
,
,
F
125
F
M =F . d = F, d, = ·20 N . 30cm
M, = ·600N . cm M2 = F2 d2 ••
R= F2 . F1
El equilibrio se consigue aplicando una fuerza igual y contraria a la resunante.
2.
La resultante de cuplas con respec· to a un mismo eje:
,
Su punto de aplicación: Es cualquiera, es un vector tibre. El equilibrio se consigue aplicando una CLpIa igual y contraria a la resuHante.
La unidad en el SI de la fuerza es en NEWTON 'N". Es la fuerza que al aplicar a un kg de masa, se le ocasiona la aceleración de 1 mis". NOTA:
EQUIVALENCIA:
1N = 1kg ~
s'
Una persona empuja una puerta hacia afuera con una fuerza de 20 N Ya una distancia de 30 cm de la bisagra Otra errpuja hacia adentro ron una fuerza de 25 N Y a 20 cm de la bisagra eje. Hallar la resultante.
·¡CON · cm M, + M2 ~ La resultante de fuerzas con la misma linea de acción y el mismo sentido:
Su recta de acción, es la misma que la de los componentes. Su sentido. el msrro que los corrponentes. Su medida es la suma Su punto de aplicación es cualquierpunto de la recta de accón,
la mano derecha o 'tirabuzón' Su medida: La medida de su momento l
=
=
3,
Su dirección: la de s U eje de rotación. Su senlido: Se delermina por la regla de
IF . d
500 N . cm
M2
•
= 25N . 20 cm
4.
Resullante de fuerzas concurrentes: Dos O más fuerzas son concurrentes cuando sus rectas de acci6n se cortan en un punto. La resunante se halla por el método del polígono de fue".s, por el métOdo del paraletogramo o por el sistema de ejes cartesianos.
Ejemplo 2.
~n las fuerzas F" F2 y F3 ,que se cortan en el pun-
to D. Hallar gráficamente la resl.ftante. RESOLUCIÓN: Método del paralelogramo:
Eje""lo 1.
F.
CINEMÁTICA
126
Y:j
Metado del polígono de fuerzas:
De la ley de senos:
F
sen e
F,
sen 60"
F R,.OTAL..
Ejemplo 3.
Mediante dos lazos jalan un
sen a = 0.72
carTa dos personas can fuerzas de 30 N Y40 N. haciendo un ánQulo de 120°. Calcular la resultante y la dirección que seguirá el
,
automóvil al
,
moverse. Las
'¡.
fuerzas son copianares. RESOLUCIÓN :
Calculamos el módulo de la fuerza resultante mediante la ley del paralelogramo:
F~ ;
JF,2 • F~
+ 2 F, F2 COS (l
Qonde_' (l' es el ángulo entre las fuerzas F, y F• .
a = 46" 5.
Resultante de fuerzas paralelas y del mismo sentido: Su recta de acción es paralela a las fuerzas. Su sentido. el de las fuerzas. Su medida, la suma. Su punto de aplicación está situado en un punto que divide a la barra que une las luerzas en segmentos inversamente proporcional a las fuerzas (Ley de Stevin),
RELACIÓN DE STEVIN: Sea O el pLI1to de aplicación de la resultante. Por momentos:
Reef1'4'lazando valores:
F.¡
J302 .402 + 2(30)(40)005120"
F~;
o •
B
k
Sabemos que: cas 120° = -112 =>
F, SO
F2
FA ;
J900+1600.2(30)(40)(-~)
De donde:
FA
36N
Por una propiedad de proporciones:
Q
¿Ouéángulo ' S' forma e! vec\a- F2 con la resultante FA?
;
AO
f, ; BO
I~
R
;
M3
=
-
-
De la expresión se despeja AO ó BO según cual de los extremos de la barra se quiera tomar como referencia.
FiSICA GENERAL
UnC\JelPOsoporIalaacx:i6nde
Ejemplo 4.
dos fuerzas paralelas, y del
rrismo smido F, = 16 N, YF, = 30 N; la dis· tancia qJe 105 separa es de 1.20 m. Calcular: a) b)
La resunante. El punto de aplicación.
RESOLUCIÓN: A
L
¡
R
zas F, = 20 N Y F2 = 30 N dirigidas en sentido contrario y paralelas, separadas en 1,10 m, Calcular' a) El módulo de la resultante. b) El punto de aplicación.
B
O
F,
a)
127
= F, + F, = 16N.3ON
a)
E = F, - F, = 10 N
b)
F, = R
R = 46N
!L
b)
=
BO BO_F,xAB
-
R
::
R
BO
AS 16 > 1,120 46 m
BO
AB
F, • AB
= - R - = 2ONxl,IOm ION BO = 2,20 m
.. 80 = 0,417 m ..
MÉTODO GRÁACO PARA HALLAR EL PUNTO DE APUCACIÓN DE LA RESULTANTE
F,
,
______
-
/-__ ___1
-.J/
... '
F,
~<.
~ ~ / ~ ~
L-:: .. .___________ _ ~
6.
Son tres leyes qJe fundamentan el estucio Estática, la 2'" ley se estuciará en Dinámica
~
~
-
LEYES PE NEWTON de la MecáI1ca. La 1" Yla 3"' se estucia aqui en
8
O
A
Aa = l,tOm + 2,20 m = 3,30m
~
Resultante de fuerzas paralelas y de sentido contrario: Su recia de acción es paralela a las fuer-
zas. Su sentido, es el de luer>a mayor. Su medida, la diferencia. SU punto de aplicación, está situado en un punto que dIVide a la barra que une las fuerzas en segmentos, inversamente propotcionales a las fuerzas (Ley de
Stevin). Ejemplo 5. Sean los módulos de dos fuer-
PRIMERA LEY DE NEWTON
Se le conoce también como ' Principio de Inercia" y establece que: "Todo cuerpo tiende a conservar su estado inicial de reposo o movimiento rectillneo uniforme, siempre que la fuerza resuttante sea cero" TERCERA LEY DE NEWTON
Se le conoce también como 'Principio
de acción y reacCIón' y establece que: "Siempre que dos cuerpos se afecten entre sí, e.... tre ambos se establece una inter acción rrutua, uno ejerce una fuerza al otro y éste reacciona sobre el primero con una fuerza de dirección contraria y de igual valor'. Las fuerzas de acción y reacción pueden originar electos diferentes,
CINEMATlCA
128
~
PRIMERA CONDICiÓN DE
EQUIliBRIO Establece que cuando un cuerpo está
en reposo o movimiento reetilíneo uniforme, se debe rurrplir que la suma de todas las fuerzas ejerddas sobre él es igual a cero. Esta
~ = ~ = ~I
ley garantiza el equilibrio de traslación.
I
Ú
=
01
Cuando las fuerzas que actúan sobre un QJeI'po se descomponen en sus componentes rectangulares se tiene en lorma práctica las siguientes relaciOnes:
lu.=o l ; lur=ol
MOMENTO DE UNA FUERZA Es una magnitud lisiea vectorial que mide el electo de giro o rotación que puede originar una fuerza apHcada a un cuerpo. Su módulo se determina como el prodJcto del valor de la fuerza "F" y la distancia"d" trazada desde el centro de momentos hasta la linea de acción de la tuerza.
FUERZAS CONCURRENTES
Son aquellas fuerzas cuyas lineas de acron se nterseclan o se cortan en U1 pUllo
_
........0 ,,"
__ _
;,
"1( _ _ _ _ _
,,
O: es el centro de momentos o centro de giro . La fuerza F origina un giro antihorario
IM~
F,
0. NOTA IMPORTANTE: Un cuerpo está en estado de equilibrio mecánico cuando está soportando la acción de tres fuerzas conrurrentes que se anulan mutuamente. Estas fuerzas deben cumplir la concidón gráfICa de formar una cadena vectorial cerrada.
LEY DELAMY llamada también "Ley de Senos". Por sU gran utilidad en la resoluciÓl'l de problemas de Estática. Esta Ley ya fue planteada en el capitulo de VECTORES sin embargo, por su importancia aquí en CINEMÁTICA volvemos a plantearla: "En un trián9ulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos"
;
U
UNIDADES SI : N.m , · Momento de la fuerza F con respecM o·
d:
to al centrode momentos "O", en: N.m Es la distancia medida, en: m
NOTAS:
1,
El vector momento sie"",e es perpendicular al plano de rotación y su senMo queda determinado siguiendo la regla de la mano derecha.
giro
M,
anr.inorano
re
~ I
129
FiSICA GENERAL
SECUNDA CONDICIÓN DE EQtJ/U8f?/O giro horono
2.
M
.~
Las fuerzas cuyas líneas de acción pasan por el centro de rotación no producen momento o su roomento es cero.
Establece que cuando un cUerpo permanece en reposo o cuando rota con velocidad un~orme, ta suma de todos los momentos debe ser cero. Esla ley garantiza el equilibrio de ,olaelón. l:M = O
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1_
Hallar la fuerza mínima paralela al plano ínclinado de la figura, sin rozamento, de 9 m de Iongrtud, ql,Jll es necesario aplrcar a un cuerpo de 100 N para subir hasta una ptataforma horizontal, a 6 m sobre el nivel del suelo. RESOLUCIÓN : P=100N L=9m h = Sm
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE O DIAGRAMA LIBRE Es un gráfico donde se indica todas las fuerzas que actúa n sobre el cuerpo. La mayor parte de los problemas de eslálica y gran numero de problemas de dinámica se resuelven fádlmente haciendo el diagrama de cuerpo ijbre.
La barra de la fogura pesa 30 N, articulada en la pa-
PROBLEMA 2.
red, permanece en reposo por medio de la cuerda que la sujeta desde su medio. Calcular: a) La tensión de la cuerda. b) La reacción del apoyo.
pun'lo
..
RESOLUCIÓN :
Sedescorrpone la f\.erzaque representa el peso en dos fuerzas, una paralela al piso yooa normal (perpend¡cUar al piso). Entonces: F = Psena F = 100 N )(
~
= 66,67 N
F = 66,6TN Esta fuerza tiende a bajar el cuerpo; una fuerza ig.Jai pero de sentido contrario manlendrá el cuerpo en equilibrio y una fuerza ligeromente mayor hará que el cuerpo suba aceleradamente.
Todos las fuerzas que actúan S
p
T~ 'Y _!
._ ~s· : p
I
ESTATICI<
130
luego se descorrponen en sus componen· tes rec1angula res:
2. Luego las componentes rectangula· res son:
•
TseSJn~)~R...nlSO"
T sen 45° y R sobre x T cos 45° y P sobre y
I I
I
I I
A
I
I
-,
I I t I
T
I
I
I
-- -
I
--- -JI
:.l.
R COS 60"
1 T=
60"
p i I
las ecuaciones de equilibrio: I:F. = O I:Fy
=O
De (2):
R· Tcos45° = O
(1)
=O
(2)
; T5en45° · P
3.
Ahora, las ecuaciones de equmbrio son:
1:F. = O ·R ros 60" + T cos 60° = O
P T = --
R = T
sen 45°
Sustituyendo en (t):
Pcos45° sen 45°
IFy = O
=R
RsenSO' + TsenSO' . P = O
dedonde: P = R = 30N PROBLEMA 3.
La esfera de la figura pesa 600 N Yse mantie-
ne en reposo en I~ nn.c::iciñn nrAAMt:::u1;¡ rular: a) La tensión la ClJerda. b) La reacción I ptano ineJir do.
(1)
Pem R = T :. T senSO° + T sen 60' 2 T sen 60" = P ; ele donde: T=200.,f3N
r.~I-
,-
y
=P
R=200.,f3N
OTRO MÉTODO:
60"
Por el polrgono de
T
fuerzas o Teorema de Lamy: p
RESOLUCiÓN : Sobre la esfera actúan 3 fuerzas, a las cuales las representalT1()s en un sistema de ejes coordenados. 1.
Diagrama de cuerpo libre:
R
R P = sen 30" sen 120" T P sen 30" = sen 120" PROBLEMA 4.
..
R=200J3N
..
T=200J'3N
En la figura, ta barra AB está en equilibri ypesa 15 N. Calcular la tensión que soporta la cuerda BC y la reacción de la pared sdlre la 00"" en el punto de apoyo.
FISICA GENERAL
e
RESOLUCIóN :
131
y I
Las tuerzas
4N
en equiltJrlo
x
aN
A
R lON
1.
Realizamos el QC.L en O:
RESOLUCiÓN :
R
30' ------
4N
t
CSJ, --
p
2.
-
..,,~~I I
J
I
I
I I
I
I
F~:oc -4
---
R
-
I
30"
R cos 30"
3. Eruadones de equilibfio: T = R.J3
(1)
I I 1 _ __ _ _ __ __ I
I
+!!2
F, ,.. .10 sen 30-
!
Cuadro de las componenles rectangulares de las tuor'Uts enequwlb rio
= O
Fue""
TsentiO" + Rsen30" - 15N = O T.J3 2
I 60" - - ---
?*'~ -~= -~ -~= -~ 'T"o", -
10 N
1:Fy
I , t
Y
--- -- .
I P
••
I I
J
R sen 30"
T CO$ 60"
= O
I
I
'[2J-
F.= .2cos45-
__ ~ :¡J¿?::L.
n,
sen W I
F = 250045-
Las componentes rectangulares son: T
Descompongamos cada
ura de las fuerzas no aedales en SUS componentes rectangulares
T
o
aN
2N
4N 6N
BN
= 15 N
10N
F. ·1.41 N +2,00 N +6.DO N O,DON -8,65 N
F, 1.41 N 3,46 N
O,DON ·a,DON -5,DO N
Sustituyendo T: ./á R R./á . - + - =15N .. R=7,5N
2
En (1):
Ahora:
2
T = 7,S.J3N
Hallar la resultante y la dirección de las 5fuerzas copla nares concurrentes,
PROBLEMA 5.
1: Fx
= - 2,06 N
1: Fy
= - 8,13 N
Cálculo del módulo: R =
Jr (-.2,-06- N)'2'+-(-8-,1-3"'N)"2
R = 8,39N
ESTAnCA
132
CáIcUo de la dirección: tg a
1:Fy 1: F
=
•
=
l:F,=O : -8,13 N -2.06 N
Y
1 1
ó sea: R oos 30" -
= 3,94
a = aroo t9 3,94 = 75°46'53,4" 9 = 1110" '" a = 1110" '" 75°46'53,4"
R.·a,=O
.. a ó sea: Pero
a
a sen 30'
a oos 30'
=
o
= R + R sen 30' = P
= R :. R = 30 N
a
= 30N
PROBLEMA 7.
Ppta.:
Las esferas de la figura son iguales. y pesan f 5 N cada una, sabierdo que sus diámetros miden 20 cm y que las cuerdas que las sujetan tienen una longi1ud de 10 cm. Cacularla tensión de las cuerdas que las sujetan y la fuerza de contacto entre ellas.
9 = 255°46'53,4"
PROBLEMA 6.
La barra horizontal de la figura pesa 30 N, Y está apoyada sobre un plano ,,-.::Iinaoo de 60". Hallar las reacciones en la articulación y en el plano.
RESOLUCION :
FeSOLUctÓN:
Uevando las fuerzas que actúan sobre el
cuerpo (ciagrama de cuerpo tibre) ydescomporiEodo en sus componentes rectangiAares: O' centro donde cono.HTen las. fuorzas on equQibriQ
°
,'" ~" I ........ "
I
•
R
'cs;,rlZ 0, 01: ' 1
1 1
30' 30' - - - --j- - - - - - - - - - - --
Aa
I p 1
-
x
Descomponiendo en sus componen1es rectangulares
p
-
de una esfera
p
........
R
1 1
O.C.L:
133
F/s/CA GENERAL
l:F, "O:
RESOLUCIÓN :
Tcos6O" - R " O
R " EFy "O :
T
Se toman los momentos con respecto a los puntos sobre los cuales pueden girar el siso
(1)
'2
tema: EMe = O
T ...n6O"- P " O
Re x 6m - 40N x 4m - 20N x 2m = O
T " 10,f3 En (1):
R " 5,f3N
PROBLEMA
e.
Re = 33.33N EMe
Calcular los momentos que producen las fuerzas de la figura con respecto al punto B.
f
•
= o:
·Re x 6m + 2ON x 4m + 4ON x 2m = O
Re = 26,67 N
PROBLEMA 15. ¿Qué fuerza hay que apI~ car en la cuerda se para Que la barra articulada en A permanezc¡t en equilibrio, sabiendo que Il,esa 15 N? (AS AC L) A 74·
=
_ 7N
=
=
B
RESOlUCIÓN : Sabiendo que:
M = F. d
Cm respeclo a S: F. pasa por el centro de giro, luego: MF,
"
•
O
MI} = 5N . 6m = JaN . m
P .. 15 N
M F, " -7N . 8m = -56Nxm Me = 3ON.(-56N)= -26N
._
L
RESOLUCiÓN :
I
y
A
PROBLEMA 14. Labarradelafigurapesa 20 N Y permanece en posición horizontal sobre S Y C. Hallar las reaccíones en los pLKlloS de ~. El block sobre la barra pesa 40 N. )<-
I
2m ---+- 2m - j i - 2m -;1- 2 m ~ t I
I I
B I
I
I
I I
'e
t::=~*~:::::::;t
A
E F, = O: EF, " O: Teos37· - Rsen37· = O
134
ESTÁTICA
T ~=A~ S S"
T=3A
LFy = O: Rcos3r • Tsen37" . P
=O ..
de donde:
= 75
Sustituyendo en (1) valor de T 0000: 3A 4R+3"T = 75 R = 12 N
SusI~uyendo en (1): T = 3, 12 N Apta.: T
4
= 9N
F.y·W . x Y = asena x = bsena
pero:
A ~ + T ~ = 15 5 5 4R+3T
LMo = O
(1)
4
=O
Fasena = Wbsena F = Wb
a
PROBLEMA 17. Una barra uniforme AB de 4 m de longitud y 50 N de peso está ar1ioulada en su parle inferior A, y su extremo B unido a la pared por medio de una cuerda Del extreme B pende un peso de 200 N. la barra y la ruerda forman con la pared ángulos de 60° y 70' respectivamente. Calcular la tensión de la cuerda, la reacción R y su clireoci6n aplicada en A.
OTRO MÉTODO: sen 20' = 0,34
Para encontrar las fuerzas que pasan por A:
cos 20' = 0,94
LM. = O
T
K
lcos37" • P
K
~
70'
sen74" = O 4rn
T l cos 37" = Pl sen 3r ces 37° "
T)( -4 : 5
3 4
P X - )c. -
5 5 3 T = 15N " S
O=200N
RESOLUCIÓN :
PPta: T = 9 N PROBLEMA 16.
Si el material de la figura nopesa, ¿qvéiuerza hay que aplicar en "A' para que no se produzca rotación a1rededor de 'O"? las Iorgifudes 'a' y 'b' son COIlC>Cidas. 10 mismo que el peso 'W'.
a ='200 , N
RESOlUCtÓN .
E _ _ _ _ _ 'L..:D_ _
R
w
En ellriángulo rectángulo ABC:
FíSICA GENERAL
DIrección de la reacción. en el tnángulo AlH:
AC = AS sen 50" AC = 4m
0,766
x
Iga
AC = 3,06m
x
R
163
= R~ = 2s9
= 0,6825
IX = are Ig 0,682 5
EqJilibrio de relación; 1: M. = O
T
'35
RpIa.:
a = 34"18'46,3"
( I!I )
AC . P, • AE . O • AD = O
Sustituyendo valores: T x 3,06·50 x 2 . cos3O'· • 200 x 4x
cos 30" =
Rpla.: T ~ 254,7 N
O
PROBLEMA 18. La esfera de la figura pesa 30 N Yestá en equ¡' librio. Calcular: a) La tensión de la cuerda . b) La reacción del apoyo.
(1)
l:F = O Equilibrio de traslación:
l:F, = O ; ..
Ah
R,,' Th = O
= Th
(1)
CáIctJo de Tn en eHnáng.Jlo BNG:
Th = T <:OS 20" = 254,7 N x 0,94
RESOLUCIÓN:
Th = 239,42N Ypor (1) tarrbién: Rh
~
T~ , -
239.42 N
3:J"R ---
---
!Fy = O: Rv
~T,
P=3ON
·50·200 = O
Av = 250· T,
(2)
Cálculo de T, en el lriángulo rectángulo BMG:
Tv = T sen 20" Tv
= 254,7 N x
0,34 = 86,6 N
T sen 30"
¡
R sen 30"
~-=~~e: : 1:
T ces 30"
Sustituyendo en (2): Ay = 250 N - 86,6 N
R oos 30"
_
(.3ON I
R. = 163.47 N R =
JR~ •
Descomposición de las fuerzas en sus componentes rectangulares:
R~
a)
Sustituyendo valores:
A = Apta:
J(239,42)2
A= 200N
1: fy
=O
R ces 30" . T ces 3l" = O + (163,4)2 (11)
Luegc:
R ces 30" = T cos 30· R = T (1)
136
ESTÁTICA
CálculodeR: rF, = O
l:Fy = O
=O
Tsen3O" + Rsen30' • P
T
Pero como:
=R ,
se tiene:
2Tsen3O' • P = O
T=
P
2 sen 30"
= 24N
=O
rM B = O
T x 1,80 m . R x 2,4 m = O
=
T x 1,80 m . R x 2,4 m = O
P¡:Jla: T = 30 N
= 30 N, luego también:
b) . Gerno T
24N· R Oedonde: R Cálculo de T:
Apta.: R = 30N PROBLEMA 19. la barra tiene peso despreciable, y el pisoes liso, no hay rozamiento. Calcular la corrponente ~rtíCaI de la reacción en A.
pero:
R = 24 N, luego:
Apta.: T
= 32N
PROBLEMA 20. Una barra AB de longitud "L' Y de peso desprecia· bIe, articulada en el pullo "A" Ysostenida en ' B" por una cuerda que haoe un ángulo 'a' eon la vertical. Un peso 'O" está sobre la barra a tXla dislancia "q" del elClremo 'A". Calcular la tensión de la cuerda.
A
e
_l__ (l
24N
Q .....
B
RESOlUCIóN :
D.C.L. de la barra
RESOLUCiÓN:
Debe observarse en el D.C.L. que hay sólo dos fuerms hortzontales, la que actúa en B y la que actúa en A:, asimismo sólo dos fuer· zas vel1icales, la que actúa en B y la QUE! actúa en A:, consecuentemente ambas parejas son igualE T R
Punto de conaJrrenda dé
e
! ___
1
las fuerzas EYI equiibrio
0....-' T
o
¡:t:=====~B -
y
l
2,4 m I
24 N
B
I I
~ -------;-1---'.8 m ---r e Q
I "'¡~
- - -..J-J:
'-MÉrODO: Los triángulos rectángulos ACM y el vectorial son semejantes, luego:
FíSICA GENERAL
137
pt,,"to P se hace coincidir con el O del siste-
AC CO = Q T
ma rectangular.
CO de donde: T = Q AC
(1)
al
1: F, = O: A, = B,
b) :r.Fy = O:
Ay + By = l00.J3
tfQB
CO = -q-
pero:
sena
=
AC
De la figura:
Lc1ga
,I
A~ Áv :I
q
L C1g a
K; . sen
1
,
a
~ JL.
_
100
[3 N
A. = A cos 30" : Ay = A sen 30"
B, (2)
l B
I
1
Tx AO
_
'0
A
1: M. = O
pero: t
t
so-
I I
SEGUNDO MÉTODO: Temando momentos con respecto al ¡:urto 'A' :
Q q =
30"
I
T=Q · qseca L
esdetir.
:
t
En (1): T = Q~
Rpta.:
I
y
= Bcos 60"
= B sen 60"
: By
Como: A, = B,. SUS1i1uyendo datos: A cos 30'
= B ces 60'
de donde:
A,/3
AO = Lc1ga. sena de donde: AO " L cos a SU&tiluyendo en (2): Q . q = T L cos a ...• · T R.-..
=
PROBLEMA 21. Hallar las tensionesen las cuerdas A
pesa 100 000
=B
(1)
Q· L qseca
y B. El bloque
J3 N Y el sIStema está en equill-
o
a
A
e
Como:
13
-A + B - = 100,/3 2
2
Reemplazando (1) en (21:
~
+A
J3(
'7)
= 100 J3
de donde:
A = 5OJ3N RESOLUCiÓN:
(2)
Se descomponeA y B en
sus compooentes rectan¡r.¡lares srore los ejes '.' e Y. y luego aplicando la primera Cond'1C1Ón de equilibrio: F.J
(I)
Reemplazando en (1):
B = 50 J3 J3 " 150 N B = 150 N
(11)
ESTAncA
138
~.---- L - - - - . - , ' k 3U4 r U4-l"
OTRA SOLUCiÓN: Aplicando el Teorema de Lamy. ya sea para la figura (a) o la figura (b). figura (a)
B
A
I:M o = O: 100J3"OM l00JiN
Para pasar de fa figura (a) a la figura (b).
l00J3 , ~ Rpta.:
B=
100
Rpta.:
30"'
A
l00J3
sen 60° = sen 3
=
100.13
-2 lamIltén:
A
=
100.13
2 A = (100.13) A
J3 .MO
A
=
= A.PO
= A,,-L2
50./3 N
La utilización de 'L' no afeC1a al problema ya que se elimina
B
B
= O:
L 100 J3" ¡
A
.13
600
""4 = 150N !:Ma
figura (b)
desqui:
B,,~ J3
L =
AplicardoelteoJemadelarnya la figura (b):
B
= B"OP
m
= 5OJ3N
OTRA SOLUCiÓN: Aplicando la segunda concición de eqUIlibrio: (I: M = O) ,lIam8Jldo 'L' aliado 00:
PROBLEMA 22. la barm AS de peso 'O" y longitud "L", está art~ oulada en Ay sostenida en B, como lo indica la figura Suponiendo que la distancia "h· comprendida entre la artioulaco6n A y la polea 'O' es mayor Que la longilud 'L' de la barra. Hallar la ecuación de equilibrio del siso tema deterrrinado por la longitud '''. Se desprecia las dimensiones de la polea RESOLUCfÓN : Cuando' un sist.,. ma está en equí· ~brio, las tuerzas
concur,en a un
punto. En el pro-
blema concurren al punto "O' que es el punlo medio de BO, luego: 00=,/2
r
1
h
......... o ' -'1 B ~
P
A,
L '/
ár--''''-:cr--.:--...".,..
139
FlSICA GENERAL
y
Trazandu ,1 triángu" de fuerza (1) y aplicando sbm:j" nza con el triángulo geométrico (2):
•
-"
R
-
A
B.e !.
(1 )
"r.. :p" (2)
a
P
;
rl2
h
Rpta.:
de donde:
r;
N. Aplicando el Teorema de Lamy: Na C+B NA sen9 = sen(900- 9) = senOOO además: sen (000 • 9) = cos e
y:
O,91b 0,9 J3Q¡ 1 J3 senS= oosS 0;>Ig 8=J3=3
2hP
-Q
En el sls1ema mos1rado. si no hay rozamiento. y considerado en equilibrio, calcular "9": PROBLEMA 23.
(F ; 0,9 11> ,B:O,46 J3
C + B = 0.9 J3lb
b. yC ;0,44 J3 lb).
Rpta.:
e
= 3D"
Calcular la relación 'bla" de los esfuerzos en las barras sin peso (ingrávidas), Que se muestran en la figura . Q = 2 T
PROBLEMA 24.
e F
9 _ __1..
.1-....1-_ _--1._
r
60m
I
RESOlUCIÓN :
( 1) Para el sistema total: A l--30 m - t B
1: FII: = O Na ;
F
( 11) Para el sistema "S" y "C":
( 1)
RESOLUCIÓN : Representamos un triángulo de fuerzas y otro de distaooas
ESTATJCA
140
Por la 1ra condición de equilibrio: 1: F, = O
= WNI .. Wac = 3W
T .. F
T=3W-F
(1)
De la 200 condición de equilibrIO: El triángulo ABC, de la figura V el triánglAo vectorial son semejantes, luego:
b
¡¡
AC
. WNI
(I)
= OC
1:M A = O .
WNI
Calculando: AC = 30 J5 m
-
Sustituyendo valores en (1 l:
b
a =
60m
WNI
PROBLEMA 25.
Se tiene una barra ABe homogénea en forma de ' l ' de peso 3 W, tal como se rruestra en la figura, suspendida mediante una cuerda l del extremo A. Calcular elllalor de la fuerZa vertical F. necesaria para mantener e segmento se en posición ..,rtical. También calcular el valor de fa tensión en la cuerda.
D.C.Lde la barraABC:
T
l
AI=t=:=;1I w.. o w
2
+ Wac = F
(2)
Portratar.;e de una barra hornogenea se rumpie que las longitudes son proporcionales a tos pesos; luego:
3OJ5m
b J5 Rpta: a = T
RESOLUCIÓN :
~ - Wac . L + F . L = O
2l
J Fl:J
=W
y
Susliluyendo en (2): Sustituyendo en (1):
W ac
= 2W
- 2~ W
F -
T =
W
2"
NOTA:
Cabe señalar que en general. '-" cuerpo en estado de eq..iIibrio, sierrpre ~ o verifica las dos condiciones matemáticas del eqúlVrio: I:F
=
O
Un anino · A" puede desli2ar sin ro2amiento a 10 largo de una barra curva CD cirrular, de ra" dIO ",.. Determinar la posición de equilibrio definida por el ángulo "a" si las cargas P y Q actúan en la forma indicada en la figera. No se tomarán en cuenta los rozamientos PROBLEMA 26.
FISICA GENERAL
141
RESOlUCiÓN :
Trazando el diagrama de cuerpo libre de A, con él se hará fácilmente ellriángulo vectorial de las tres fuerzas (en este caso resuHa un triángulo isósceles). R. es la reacción de la barra scbre el arñllo. RESOLUCIóN :
Haciendo el diagrama del cuerpo libre del punto 'A' V luego. el paralelogramo con las fuerzas 'P' y la resultante 'R'.
""'n)
F
Basados en la ley de senos o Teorema de P
(t)
Pero. de 8coerdo a la construcción: a + 211 = 180" => a = 180" .
cledonde'
De (1) :
cos
=
R2 = F2
2f\
% = sen J3
sena
•
F2 + 2 F F cos (90". al
Sustiluyendo dalOS:
(8,/5)2 = 102 .102 • 2.10.lOserlQ
cos (9O"- ¡¡l
soop =
I
R
soo a = sen fl
COS"2a
F
I
,
Larny: Q
f, ,
320 = 200.200 sen a (2J
O
Deoonde: ~a.:
P
Desarrollando sena y susliluyendo sen 11 por su valor:
53 = sena
a = 37"
Cálculo del peso 'PO del block. que sostiene el sistema en equilibrio:
p
a Q deOOnde: sen"2 = 2 P
.,.
O<2P
PROBLEMA 27. Calcular el ángulo 'a'. si la tensión en los cables q.Je soportan a la barra. que pesa 8 J5 tl, es 10 IJ. TarrOién calctJar el peso delljQque "P" para que haya equilibrio. No hay rozamiento.
Por el Teorema de lamy:
P
8,/5
sen 90" = sen 30" De donde: P = 16 ¡s lb
I'STA1lCA
142
Convirtiendo a new\ons:
P
16 J5
x
Igualando (1) con (2):
4,448 N
2 (w - TAe sena) J3
2TA(;oosa =
P = 159,14 N PROBLEMA 28. Un peso w está suspendido por los cables te y BC: al ¿Para qué valor de "a" la tensión en el cable te es mfnlma? b) ¿Cuáles son los valores correspondientes a las tensiones AC y Be?
(3)
Trabajando con el denominador: mulliplicando y dividiendo por 2, se tiene:
2( ~cosa
+
~ sena)
2 (sen 60° oos a +
B
A
w
dedonde: TA(; = 'J3F.3'-cos=-'-a-~-sen-a
2 sen (60"
;
COS ~
i~a:
60" sen a)
a)
T _ w AC - 2 sen (60"+ a)
En (3):
(4)
Aha'a, para que TI\C sea mfnimo, debe cump1~se que sen (60· + a) debe ser máximo. y el máximo valor del seno es 1. es decir: RESOlUCiÓN :
sen (000 +a) = 1
DescorTlJOOiendo las fuerzas en sus corrp
De donde: ~.:
60" + a = 90·
a = 30"
Sustituyendo valores en (4):
Rpta.: TAe =
w
'2
SUstituyendo valores en (1):
Tec = 2 x Rpta.: lec
=
w
"2 " cos30°
f3
w
IF. = O
-TA(; cosa
~
OTRO MÉTODO: Con el Teorema de Lamy:
Tec cos60" = O
de doOOe: Tec = 2T,o,c ces a
(1) T",
IFy = O
TA(; sena + Tae sen60· - w = () 2(w-TA(; senal
Tec =
~
a 90"+
(2)
a
w
F/sJCA GENERAL
RESOlUCIÓN:
Tae
T..c
;;;;-;s¡¡; =
sen (90". a)
=
VI
TAe
=
sen 30"
(1) VI
setl (12O"-a)
T..c = 2sen(;'.a)
TAC sea mfnlmo, sen (60" + al debe sor máximo, es decir:
sen (60" + al = 1 =>
fi()" +
a = 90"
Apta.: a = 30"
./--U2--r
EMO = O . 3L Re . Lsen3O" = 3W '
T •
W'
L
2
"'Pa.: Re = 5,5 W
Sustituyendo en (2):
Cálculo de Ro:
w
5,5 WC05 30" = Ro
Apta.:
w T..c = 2
de (1):
~ = _"",!;BC:;--. sen (90"+ al
sen ISO"
- T
llC -
1: Fx = O
Re cos 30" = Ro
T..c = 2 sen (1iO" + 30")
T.
w
3W
(21
Para que
de donde:
CálculO de f\; V Re :
Diagrama de cuerpo libre de la barra:
= sen (12O"-al De donde:
143
N:,
sen (9O"tn) sen 1SO"
Apta.:
Ro --
11./3 W
4
Cálculo del peso 'P". Diagrama del cuerpo libre de P y ellriángulo vectorial.
SustitU)lefldo valores Vefectuando:
f1Jta.:
TBC
= w./3 2
Calcular el peso del tiIndro "P- para que el sistema mostrado esté en eqtilibrio. CaletAar tarrtJién las reacciones en C. O V E. Además el peso de la barra es W y de los pesos A = W; B=2W. PROBLEMA 29.
En el triángufo vectorial:
...5L sen 30"
=
P
~ l1./3
Sustituyendo valores:
e 30"
(1)
setl6O"=sen9O"
Rpta.: P = 33 W 4
4
1 2
w =
p
./3 2
ESTÁ71CA
144
Cálculo de ·Ae:
~+W=250 4
~ =~
de (1):
sen 30"
§. W = 250 ~ W = 200N
sen goo
4
~/á
4 = Re -1T
de donde:
l Rpta.:
Si se analiza la polea de la derecha para hallar 'DA' se ~iene la figura:
rf\
wHw
Re = 1\/á W
PROBLEMA 30. Si el peso de una barra
prismática y homogénea es 500 N. ¿Cuál es la tensión del cable DA y
TOA = 2W
la reaCCIÓn total en 6?
TOA
= 400 N
Para halar la reacción en 'S' se hallan pOmero B. y By:
IF. = O
a)
2Wcos3O" • S, = O
W
B
2W
l!: -.1'1- 4
A
S. = ·2 W
.l
3L 4
~
= ·2OO/áN
B,
NOTA: 8 sigro meros significa que B, tiene un
RESOLUCIÓN :
sentido contrario al que se ha elegido.
I Fy = O
b)
By + 2Wsen30' + W = 500
Wl
By • 2 W • By
~
= 500· 2 W
+ W " 500
= 500· 2 (200)
1
By = .100 N
A
NOTA:
El signo positivo concuerda con el sentido elegido.
Cálculo del valor de W : EMe
2W
~
= O
sen 30" + W t = 500
~
2
.. Ra
= J(B,f
Ra =
J(100)2
+ (B/
+ (-200 /á)2
145
F(SICA GéNERAL
Re
Apta.:
l: Fy = O:
= 360,55 N
PROBLEMA 31 . Para el sigOOlte sistema
W = 1
W = C' 2
=>
NA = 2W Apta.:
e sen 30" e = 2W
J3 2
NA = W J3
rozamiento.
La l\Jerza sobre la barra 'OS' de peso despreciable. (A y B esferas de pesos W y 2 W respectivallW1le y de radios despreciables).
e)
N
A
A 2W
p
s
Aegresando a (2): Apta_: P
=
W
J3
PROBLEMA 32- Dos rodillo "PO..-Y 'O' de pesos 100./3 N Y 200 J3 N tienen el mismo radio A /8 Y se encuentranuricJos por una barra PO, de peso despreciable, y apoyadlos sobre un c~indro huilcO de radio 4 R. Si se considera que no hay rozamiento, calcular: a) las reacciones en A y B b) La fUerza que ejerce la barra sobre P y Q (Radio de los rodillos RI8)
N.
RESOLUCIÓN:
Analizando el sistema completo, se tiene:
l:Fy = O:
Na
Apta.:
= 3W
(1) (2)
l:F, = O:
.,
Para la esfera 'A' UC.L:
e
RESOWCJÓN: Diagrama del cuerpo libre del sistema. 'C' fuerza interna de la barra 'OP'. y
W
'C' es la fuerza que ejerce la barra 'OS' sobre la esfera 'A'
l:F,
= o:
NA = Coos30° NA =
e J3 2
ESTÁTICA
146
Sistema de fue rzas presentes:
I
R
•
Dos barras ' AB' y "BC' de pesos "O" y ' 2 O" Yde longitudes 'L' y ' 2 L' respectivamente, están unidas rigidamente en 'B" y suspendidas mediante una cuerda "AD', tal como se indica en la figura. Determinar el valor del ánguto '8", cuando el sistema está en equiliblio.
PROBLEMA 33.
I
6t1'
'lOO"
p.a Aplicando Teorema de Lamy:
~ = ~ = sen 150"
300./3
sen 90"
o
(1)
sen 120"
( sen 120" = sen 60" = ./3) 2
sen 30"
{sen15O"
Ra
De (1):
=
1
~)
2
B
300./3 ./3
e
T
= 600 N
RpIa.:
Re
De (1):
R~
T
RESCLUCIÓN :
600 N
=-
Trazando el diagrama libre se observa que: OA = OT • AT (II
1-
2 Rpta.:
R.
= 300 N
Cálculo de la fuerza interna 'C' que soporta la bana QP..
Diagrama de cuerpo libre del rodillo P:
4
e
20
1: M~ = O
l00!3 N
2Q(OA) =
Aplicando Teorema de Lamy:
e sen 90" De (11):
Usando OT = MN
=
R. 100./3 sen 120" = sen 150°
_c_
= 100./3 sen 90" sen 150"
de donde: fIo¡la.:
e
= 2OO.í3 N
o (AS)
= L ces (60". 9)
(2) en (1):
OA = leos (OOo. 9) . Lcas e
( 11)
Pero:
AS =
L
2cose
Reerrplazando en (2) y electuando:
147
FtSICA GENERAL
Ige =
Apta.:
Cálculo de la reacción "R" :
J3 2
e = arclg ( ~) = 40"53'36"
PROBLEMA 34.
SUSlituyendo (2) Y (3) en (4) :
En el sislema mostrado, calcularla reaoción que el
pisoolrece a la barra homogénea NJB, ruando ésta se encuentra a punto de volcar alrededor del punto "O', por acCión del peso "4
W' ,.si se sabe que cada unidad de longitud 1."le conesponde un peso 36 N. RESOlUCIÓN :
Apta.:
A = 130 N
PROBLEMA 35. Una placa cuadrada de peso 50 .ti N está articulada en uno de sus vértices y descansa en una pared vertical. tal como se indica en la figura. Determinar el valor de la reaetión "R" en la articulación y su dirección con respecto a la hori-zontal. ( ~ 150)
=
lisO
B 2l------.I"~
o
4W
W = 72N
72L=WL
RESOlUCIÓN :
si ~= 15
0
Diagrama de la
barraAOB:
b)
rF,
= O:
A, = W = 72N I:Fy = O:
a
A,
•I
ROO$a
Ay = 72 N + 36N
Ry = 108 N
, R
Rsena
(2)
(3)
W=fSJ,JiN
ESTAnCA
148
a)
De la figura se tiene: 1: F.
=O:
Cálculo de R: se calcula sen (L
= R ces a W = Rsena A,
I:Fy = O:
(1)
(2)
Dividiendo (1) entre (2) :
R
~ = ctga
b)
1 (2fr
(3)
+
1:Mo =O
=
sen a
2,/3 3 =
2,/3 13 .¡¡
TI "3
Apta: Sen a
= TI2
=> a '" 49°
Sustituyendo valores en (2) :
2 50 .¡¡ N = R.¡¡
Igualando (3) Y (4): cgla
=;;
6
tga
=2f
Rita.: R
de donde:
= 175 N
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
3.
Hallar el án· gula 8 de equifibrio de la figura ad-
En la figura mostrada, AS es una barra rígida de peso despreciable y ca Un ca· b1e. Si W = 2 ()()() N, ¿wá1 es el valor de la reacción del pasador, o pin, en A y cuál es la tensiOn del cable?
junta.
B
Apta : tg e = ~ 2.
T
Srn
Galcular F, y F2 en la figura adjunta
1
~
w A
,
F
Rpta.:
T = 3460N
w fl¡ja.:
F, = W ./313
F2 = 2W,/3 / 3
A = 4 ()()() N
4.
Calcular la tensión de la cuerda OB y la reacción AA de la barra OA.
149
FlSICA GENERAL
B
R¡:.ta.:
T 3m a
O
'm
30N ~.:
5,
T
"
RA
1
8.
~
289 N
Calcular las presiones sobre los rTlJros A V B Y la tensión sobre el cable AB, ACB = 70°
40 N
~
pC¡-_.-:. T _ _-:rj)B
Rpta.:
5m
w
R¡:ca.:
T
PAB = 2 w
Calrutar la tensi:ín en los cables AS y IC de la figura. (sugerencia: caicular a y 11 por ley de cosenos).
T,
T2
= Ra = O,73N
CaIcUar la tensIón de la cuerda AS que soporta la columna inclinada mostrada en la fogura. B
Aí
6m
3m
C
el
7m
' ,25 N 37"
Rpta.: 6N
1N
F1lIa.: T, =
T = 0.42 N RA
9.
J3 IV
~
9m
7.
254,7 N
Calcular la tens<ón en el cable es y la luelZa de compresión sobre la barra AB de peso despreciable.
f 6.
~
e
RA
SON
~
T
10. Hallar la tensión en el cable y las componentes de la reacción en A
0,95 N 0,70 N
Halar la tensión en CB yla reao:i6n enA C
í
2.5m
1.5m
B
1" i:r====~B l,5m - - 2N
200 N
SON
1---2 m
Apta. : T = 2,5 N
ESTÁTICA
150
da en el extremo o. Determinar la magn~ud del ángulo "1" fOrmado por la barra AS con la \ll!rtical en el estado de equilibrio. El roza· miento se desprecia
RAy = 0,5 N 11. la ba lTll hornogéneade 16N
y 1,2 m de largo, pende del pumo C po< medio de dos cables AC y Be, de 1 m de largo cada uno. Determinar las tensiones de los cables, T.. =Tec = 10N
Ppla.:
p.e se apoyan sobre un piso horizonlalliso en el punto A y los otros extremos sobre planos verticales lisos. Determinar la distancia DE entro los rruros cuando las barras están en equilibrio lormando entre sr un ángulo de !lO' , si se sabe que: AB = a, p.e = b, el peso de AB es P" el peso de p.e es P,. 12. Dos barras homogéneas AB y
R¡ja.:
= 82' 49' 9,3"
14. En el siguiente en sistema equilibrio, determi· nar la tensión en la cuerda. (Despreciar todo efecto de roza. 3~ miento y no tomar en cuenta el espesor de la pi ancha semicircular "M"l Peso de la plancha semicircular M W. Peso de la esfera N WJ2.
=
Rpta.: B
T
= W (1 . ~ t9 2 3"
=
0)
15. Calcular el máximo voladizo para tres tablas homogéneas, cada lila de 12 cm de largo (posición crítica),
e
•
4>
o I!...._~~=,J E A
Rpta.:
DE =
a.¡p; + b .JP, JPt + P2
13. Una barra AB homogénea, de 2L de Iong~ud
y de un peso "PO puede girar aire·
dedor de t.n eje horízartal en el extrerno "A" de la barra. Esta se apoya sobre una barra homogéneaCOde la misma longitud 2l. que puede girar alrededor de III eje horizontal que pasa por su pUlto medio E. Los puntos Ay E se enruenA tran en la misma ver· Zc tical sepa' rados una p l distancia B AE = L. Una carga
d
~L
Q=2Pestá suspend~
\
!1
o Q=2P
Rpta.: X = l1cm 16. Una persona de 600 N se encuentra
en
el punto medio de una barra homogénea, artictJlada en "O" tal como se muestra en la figura. la tensión en la cuerda equivale a 2J3 del peso de la persona Halle el peso de la barra horizontal, si el sistema permanece en equilibrio. (g = 10 mis')
Apta.:
600 N
151
FfS/CA GENERAL
MÁQUINAS SIMPLES Son dispositivos sirrples y mecánicos que sirven para rrultiplicar la tuerza.
negalM> a la tendencia al giro en un sentido, positNo al contrario se tiene)
LA PALANCA.
EMo = O
Es una barra rfgida, sometida a OOS esen un punto. Los esfuerzos que soporta son: La resistencia 'R' y la
es oec;r. R . r - F . ' = O
fuerzos y apoyada Fuerza ' P .
Donde:
Según la posici6n de la resistencia, fuerza y punto de apoyo, las patancas pueden ser. A) Interapoyantes, B) Interresislentes y C) Interpotenles.
f R f
Fuerza Resistencia Brazo de fuerza Brazo de la resislencia Calcular la fuerza necesaria para mcJ\Ier el bloque de la ti-
Ejemplo :
L Bl
F1 '
O~l
gura adjunta.
~ 1,-40 m ~.llIJm-¡ O
1 I I I
R:.JOON
RESOlUCION : Recordando que:
F .f = R .r
fF
el
f
Apta.:
O
F
De la ecuación de la palanca, despejando R:
=.
I La relación
ECUACIÓN DE EQUlUBRlO DE LA PALANCA
Tanto la resistencia ' R' como la fuerza "P constituyen una cupla de rromento con respecto al punto de apcr¡o·O'. La condición para que haya equilibrio es que: (llamando
1,4m
= 57,14 N
NOTA:
~r_
de donde:
F = R ! = tOO N 0,8 m
+A F
:
A =F
:1
rf se llama "factor de multiplica-
ción de la palanca'.
EL rORNO OCABRESTANrE Es una palanca interapoyante, la constituye un cilindro de radio 'r'. al cual se le en-
ESTAncA
152
rOlla una cuerda. El cilindro esIá conectado a una manija por su eje, la manija tiene un blllzo"ln'. La condición de equITibrio es igual que la palanca. 1: Mo = O R _r-F-m=O de donde:
bia la dirección de la fuerza Que se aplica, ya Que Siendo una palanca interapoyante, corno toda palanca:
es decir.
I R.r = F.ml
A : Resistencia
LA POlEA MÓVIL
F
: Fuerza : Radio del cilindro m : Brazc de la manija
Es una rueda acanalada de cuyo eje de giro, que pasa porsu centro. pende un peso. Puede ser: de fuerzas paralelas y de fuerzas no paralelas.
1.
Eje~lo:
Se Quiere sacar 20 ~IrOS de agua de un pozo artesiano con un torno de las siguientes características: radio de cilindr020 cm, brazo de la manija o manivela 30 Cm. Calcular la fuerza necesaña. RESOLUCIÓN:
F = A~
m
Rpla.:
Rr
Polea móvil de fuerzas paralelas:
Como muestra la figura, las cuerdas que sostienen la polea están paralelas.Como es una palanca interapoyanle la ecuadón de eQu~ibrioeS1:F, = O, yrornosonparalelas se tiene:
F
=F m
= 20N x
F
o
O.2m
0,3m
F = 13,33N
A
LA POlEA FIJA Es un rueda acanalada que gira alrededor de un eje fijo que pasa por su centro. La polea fija no ahorra esluerzos, sólo cam-
I
F =
~
I
Lo que quiere decir que la tensión de la werda con la que hace fuerzas es la mrtad de la resistencia o peso, que se quiere levantar. 2- Polea móvil de fuerzas no paralelas:
\listado Irarte
Como se obse"," en la figura, las prolongaciones de la cuerda que sostiene el peso se encuentran en un punto de la dirección de la resistencia_ La condición de e~ilibrio es ~ F. = O, esdedr.
FlSfCA GENERAL
153
•
(1)
,
F
t
F= R/8
!!.
I
2
F
,
/
1_
Es el conjunto de una polea fija y varias poleas móviles. la primera polea m6vH de abajo, reduce a la mitad la fuerza necesaria para levantar la resistencia; la segunda de abajo reduce a la CUar1a parte, la tercera a la octava, etc, es decir: en general, según el número de poleas móviles, la fuerza necesaria para levantar un peso se (educe a la resistencia dividida entre 2 elevado a una potencia igual al número de poleas móviles:
R
Pero:
F1 = F cos
F
=
()(
en (1) :
2
Aparejo Potencial o Trocla:
R 2cos~
~
2
Eje"1'lo: Las prolongaciones de unaruerda que sostiene una polea m611i1 forman un ángulo de 60°, ¿Cuál será la fuerza QlJe debe hacerse para levantar un peso de30N?
~ F R
Fuerza aplicada. Resistencia a vencer o peso Que levantar.
n
Número de poleas móviles.
RESOlUCIÓN : SabierKlo que: F
=
¿Cuál será el número de poleas móviles Que se nocesita para levantar un peso de 112 N con una fuerza de
R
Ejemplo:
2cos ~ 2
7N?
F=
SON 2 cos 6()0
2
Apta:
F
SON
SON
= 2005 30 = 2./3 41
2
= 17, 32 N El POLIPASTO
En un sistema de poleas hay lres ciases: 1) aparejo potercjal o trocla, 2) aparejo factorial o molón y 3) aparejo dfferencial o tede.
RESOlUCIÓN: sabiendo que:
__ 2"
= ~ = 112N F
7N
osea:
2" = 16 = 2 4
Rpta.:
n= 4
2_
F = =
R
2"
la;
Aparejo Factorial o Mot6n:
Es un conjunto de poleas móviles y un conjunto de poleas fijas. Puede ser n, el
ESTÁTICA
154
nLmero de poleas móviles y '\ el número de poleas fijas lo que qlÍere decir que el númerotalaJ de poleas será n:
n,+nz;n
entre lijas y móviles. para ahorrar 1/6 de esfuerzo con respecto al peso de t20 N que se quiere levanta(? RESOLUCIÓN :
Pero resu~a que el número de poleas móviles y fijas tiene que ser el mismo. es decir:
nt :: nz
A
Pero:
Si la fuerza"P se desplaza una distancia do ' la resistencia "W sube una distancia d,. El trabajo realizado por "P ha sido transmitido a la resistencia "R". luego igualando trabajos:
=A F
Sabiendo que: F = n '" n
Apta.:
3.
t
A
F=¡¡A=>n=
l6 A
n =6
Aparejo Dilerenclal o Tecle:
Consta de un polea fija con dos raólOS distintos (R y r) y con perímetros engranados; en realidad se trata de dos poleas soldadas en sus caras laterales: además. consta de una polea mÓlliI, también con perímetro engranado. ésta polea es la que sopor1a la carga "P" .
----.-....--'!..... o
.l
R .1 (
Pero
-.
d.
d,
-' T
2
= n.d,
F . n . d 2 = R. d 2
I
F = ;
I
Dende: F
R n
Fuerza requerida para equilibrar R. Resistencia. o peso que se quiere levantar. Número total de poleas entre fijas y móviles.
Ejemplo: ¿Cuántas poleas son necesarias. en un aparejo factorial o motón.
La condición de equilibrio ideal se obtiene tomando momentos con respecto al eje de giro "O- de la polea fija.
l:M o = O
FR+~r-~A
= O
F = P(A - r)
2R
155
PIS/CA GENERAL
Aquí no se considera los rozamientos.
RESOLUCiÓN : F= ?
Ejemplo: ¿Cuál será el esluerzo necesa"apara levarur l.fl auto que pesa 1 200 N, con un tede cuyos radios de sus pdeas fijas son 15 cm y 6 cm? RESOLUCiÓN : F
Apta.:
= 300N
h = 3m
F
P
h
= ti
Despejando F y reemplazando dalos:
F = P (A • r) 2A
F=P x ~=300N x 3m
= 1200N(15cm - 8em) 2. 15an F
d = 6m
P
d
Rpta.:
= 280 N
8m
F=112,5N
TORNillO, CATO OCRIC
PLANOINCL/NAOO Como su nombre 10 indica, es un plano
inclinado. tormanclo un ángulo determinado "r:I' con la horizontal, a lo largo del cual se desplaza l.fl m6'Ji1. La condición de equilibrio se ottieoo iguaJancIo las tuerzas paralelas al pIaro roonado, contorme se muestra en la ligura. Sea "P" el peso del bloque sobre el pIaro indinado, y " (l" el ángvlo que este piano torma con la horizontal. "(j" la longitud del pIaro Y"h" su altura mayor. 1: F. = O.
Es una máqlina simple que consiste en p1a1lls inó012dos desarrollados (enrollados) a~ rededor de un eje cilírrlico. La tuerza "F' que se aplica sob
'1
Tornillo
h
-F
base
La ecuación deequ~ibrioes igual a la del plano inclinado, ya que cada espira o "hilo" es un plano indinado.
Ir~=--=-2-:~ -r-'1
F = Psena pero, de la figura:
sen a =
I~ reemplazando:
F = Px h
. I~
..
~
~
P = d
I
d
Ejemplo: Calcular la tuerza necesaria para subir un cuerpo a 10 largo de un plano inclinado de 8m de largo y 3 m de alto; el cuerpo sLlJe sin rozamiento y pesa 300 N.
F
Fuerza horizontal aplicada a la palanca. P Peso que se quiere levantar. h Ca ITera o distancia entre hilos. r Long~ud de la palanca. 2", : Longitud de la circunferencia de la palanca de radio r. Ejemplo: ¿Cuál debe ser la Iongtud de una palanca, q.Je aplicada a un gato
156
de 8 mm de carrera y con una fueJza de 10 N, levanta I.rl peso de 800 N?
~
RESOlUCIóN : =
Ph
2xF
= -
h
2xr
800 N
=
x
0,8an
Ejemplo: ¿Cuál debe ser la relación de la anura y la base de una cuña para ahorrar 1/8 de fuerza, con relalión a la resistencia? RESOLUCiÓN : Sabiendo que:
2 x 3,14 x 10 N
F =
r = 10,19cm = 0,1019 m
Flpta.:
2Rd
Jdl+4h2 Sustituyendo valores:
CUÑA
.!R=
Es una pieza mecánica que puede tener la forma de un cono o de un prisma Irianguiar. Sea "h" la altUra de la cuña, "d"la longitud de su diámetro o de su base rectangular y "a' el ángulo que hace la base con la generalriz cuya longilud es 'm'. la ecuación de equilibrio se obtiene igualando fuerzas wm. cales. Debe tenerse presente que la resistencia es perpendicular a las caras de la cuña.
e
2Rd Jd2 t 4~
Simplificando y elevando al cuadrado: 4 d2
1 = 64
de donde: Rpla.:
~
= 7,98 -
e
VENTAJAS Y RENDIMIENTO MECÁNICO
F
Ventaja Mecánica Actual o Real: Es el factor de muttiplicación de la fuerza de una máquina, se expresa asE:
lo--=--\"..
I VA = ~ I
h
R F Del gráfico, se observa:
Peto:
ces a
F = 2 R cos a
= rJ¡2 : luego: m
Como:
(1)
Peso o resisterOa que vereer. Fuerza real para vencer a R.
R m F = d'
la \ierltaja será mayor cuanlo mayor sea 'm' ean respecto a 'd'. máQuina slfTl)Ie cuaQJiera
157
AS/CA GENERAL
Ventaja Mecánica Ideal:
El trabajo cOO1UllIC3do a una máquina es F.f ,mientras que el trabajo realIZado por la maquina es R.r , mas el trabajo perdido por el rozamiento o fríccoón dentro de la máquina W, ,es decir : ~_ _ _ _~
I
Ff
= Rr
+ W,
I
Cuando no hay pérdida de trabajo por rozamiento o fricción W, = O, entonces: la ventaja mecántca ideal (V,) de una máquina es:
(11)
v,
Distancia .ecomda por la fuerza. Oistanoa recomda por la carga.
r
Rendimiento Mecánico: Se define como la retación entre el trabajo entregado por la máquina y ellrabajo recibido; en otras patabras, la relación entre el trabajo útil Y e! trabajO molor.
Pero:
Tm
IRe
= ;:
I
= F.f
Y
Tu
Sust~uyendo
(111)
= R.r
en (111 ) : (IV)
Ventaja ideal.
PROBLEMAS RESUELTOS Por un ptano inclinado de 20 m de longItud y 3 m de altura se qúere SIbi; desflZ8ndo sobre e! ~ un peso de 160 N, sin frcción. CataJar. a) La ventaja mecánica ideat del plano. bl La ventaja mecánica actual con una fuel2a de 50 N. el El rendimiento mecáníco. PROBLEMA 1.
~1
20m
G
a)
'" recorrida por la tuerza = dJstanaa
VI
VI = Apta.: bl
= 6.67
Cátrulo de fa ventaja mecánica actuaf:
Apta.: el
V. = 3
Cálcuto del rendimiento mecánico:
= VA = _~
Re
RESQUCIÓN :
CáIaJlo de ta fuerza necesaria para mantener en e~ilibrio. Aplicando ta condición de equiübno de! plano nchnado: F h P = (j
F = p .-h = 150N . 3m d
V,
20m
= 22,5N
20m 3m-
V _ carga O resistencia = ISO N A MIZa motriz SON
f
T
Cálculo de la ventaja mecánica ideal
Rpta.:
Ae
VI
6,67
= 0,45 Ó 45%
PROBLEMA 2.
Con una potea o aparejo
diferencial ruyos radios de la palea fija son 12 y 10 pulgadas. sequiere levantar un peso de 1 500 1bI. Calcular la fuerza necesaria si el rendimiento es de 80%
ESTÁnCA
156
RESOLUCIÓN: Cálculo de la fuerza ideal: 'F: necesaria para levantar las 1 500 lb! suponiendo que no hay rozamiento, es decir suponiendo que el reod,miento es 100%.
A
~
12'
P
~
1500Ibl
~
lO'
F
F ~ ?
Rend = BO%
RESOLUCIÓN :
F,
F ~
PIR-r)
~~
FI ~ 1500Ibl {12pu1g - 10plAg) 2 • 12 pt.jg
Cálculo de la venlaja ideal V, = !..5OO1bl = 12 1251bl
Pero lo real es que hay rozam,ento y por consigLiente su rendimiento. es 00%,10 que qUIere decir que la fuerza real será mayor que 1251bf. ReCOldandoque:
V.
Re
1 500 Ibl
Y
- F-
~
F
= 62,5 N
De una polea aCanalada de 25 cm de diámetro cuelga un peso de 70 N Una cuerda fija por un e. que debe aplicarse en el otro extremo de la cuerda.
~
F
VA
V,
=
12
12F
F
,-
v;-
0,80 ~ 1 500 Il! de donde:
Rpia.:
156,25 lb!
RESQUClóN:
F :
Apta.:
= 156,251bt x 4,448 NI1bf F
~
PROBLEMA 3.
695 N La figura que a continua-
ción se muestra es un aparejo.potenoal. CaIcLCar la fuerza que se necesttaria para levantar el peso que se irdca.
Recordando que:
A (l
(1)
2005 2
corMniendo a new1on: F
B
PROBLEMA 4_
F, = 125lbf
.!:
2"
F = SOON = 500N 23
V = , F,
.!!.
CáIcLAo del ángulo central AOB, el cual tiene la medida del arco AB, luego bastará calcular el arco AB: arecAS =
4 .360" = 144" 10
Los ángulos AOB y "1)" tienen sus lados respectivamente perpendiculares. uno es agu-
159
FísICA GENERAL
do Y el otro obtuso, luego son suplementa-
rios. es decir:
Rpta.:
= 180'
a "': 144°
susliIuyendo valores en ( I ) :
F
=
70 N 36'
2cos
36°
COS
2" F
=
"2
= 0,95
Un gato mecánico tiene un tornillo de 6 mm de paso, y Un brazo de palanea de 50 cm. ca~ cular la fuerza necesaria para levantar un peso de 2 000 N si su rendimiento es del ~%.
-r-- •
70N
2
F = 25 N
PROBLEMA 6.
a = 36°
de donde:
sustiluyendoporF: l00N =2F + 2F= 4F
0,95
x
Apta.: F = 36,84 N
h ; 6mm
Calcular la tuerza necesaria para levantar un peso de 100 N con el polipasto mostrado en ta figura.
PROBLEMA 5.
F = ?
h = 6 mm r = 50cm p = 2000N A = 45%
reco«larxlo que:
P
RESOLUCIÓN :
,
T
T, F
F
h
= 2nr
F =
p " 100 N
hP 27tr
sustituyendo valores:
RESOLUCIÓN : Observando detentdamente la f'llura resulta
F
=
que: F = T,
porque se trata de la misma cuerda que pasa por las dos poleas móviles. Por 000 lado: T2 = F + T,
T2 = 2 F
Ahora: el peso de los 100 N estA soportado por T, + T, + T, ' luego:
100 N = T2 + T, + T, = T. + 21,
=
3,8N
Pero como el rendimIento es sólo del 45%, la tuerza real que tendrá que aplicarse será
mayor: Apta.:
Ó
O,6cm x 2000 N 2 x 3,14 x 50 cm
F=3,8 x F
100
Ts
= 8,44 N
OTRO MÉTODO :
Por definición de rendimiento mecánico 'A', se liene: A = trabajo enlregado por la máqLina (1) trabajo recibido por la máquira
ESTAT1CA
160
trabajo entregado = p)( h
r F,
= 2000N.6mm trabajo recibido = F, 21td
(a)
Apta.:
F
T cos 53· = T COSa
(b)
I:Fy = O
Tsen53" + Tseno< = (40+ 200) N (11)
sustrtuyendo valores en (1) :
2000 N , 6 mm
¡:--;;-¿ x~3,14 "
o (I)
= F , 2.3,14,500mm
0,45 =
=
ReefTlllazando (1) en ( 11) se tiene:
500 mm
T sen 53· + T sen 53"
= 8,49 N
2T
PROBLEMA 7,
Del sistema mostrado en la figura se sabe que el bloque W pesa 280 N Y las poleas pesan 40 N cada una. Determine la relación de la tensión T Y el peso W (r/W) si se sabe que el sistema está en equilibrio..
--
4 = 320 N
" 5
T W
.. Rpta.:
T
W
=
= 320 N T = 200 N
200
= 200
5 7
~
PROBLEMA 8.
Si la el,ciencia de una máquina simple"" O 76 Y la potencia es de 104 k W ; de termi,"" ::. potencia de pérdidas. RESOlUCiÓN :
Sean: p.:
potencia útil
p.: potencia entregada Re = Pu = 0,76 p.
RESOLUCiÓN :
Como ro se consideran pérdidas en las poleas por electo del rozamiento, la tensión T es constante a lo largo de la ruerda; haciendo el diagrama de cuerpo libre de la polea móVil: I x
entonces:
R = Pu
•
Re
l04kW = O 6 = 136,84 kW ,7
Potencia perdida = p. - Pu = 136,84kW-
- 104kW = 32,84kW
T
T
Potencia perdida = 32,84 kW PROBLEMA 9. y polea
W = 200N
Se tiene una barra horno-
génea de 10m de Iongi· tud Y de 8 N de peso, como se fTlJestra en la figura; determinar 1) la distancia a la cual se coloca la fuerza F, para que el sistema esté en reposo, y 2) la reacción en el punID O. F=4SN;
Q=24N
161
FI$lCA GENf'RAl
RESOLUCiÓN: Rendimiento:
F (tEÓrica) 100 F (real) K
R =
o
R=?
A
F (teorica) = RESa.UCIÓN : 2)
(I)
2"
Sustituyendo valores:
Aplicando la primera y segunda condición de equilibrio, en el D.C.l.
F(lEórica)
=~N =
15N
(a)
F = 45N
Cálculo de F (real): En la polea x:
TI
f--sm
Sm - -
o
W 1: Fy =
Ro + W +
= F - (w
+ a)
=
o
1)
45x - 8(5) - 24(10) =
o
45x = 40 + 240 x
R = 15 18 Rpta.:
o
= 6.22m
PROBLEMA 10. ¿Cuál es el rendimiento del polipasto. si se u1i1iza una fuerza F para levantar con velocidad constante al bloque A de 60 N; si cada polea pesa 4 N Y ,.., se consideran rozamientos? .
(b)
reemplazando (a) y (b) en ( I ):
= (45 - 32)
Ro = 13N 1:M o =
= 4 N + T 1 = (4 +32) N
F (raal) = 18 N
o
a -F
= 32N
En la polea y: 2 F (real)
Ro
2 T 1 = (60 + 4) N
R
K
100'.
= 83.33%
PROBLEMA 11. Determinar el valor de la fuerza F. para que e bloque de peso P conectado al polipasto, como se muestra en la lígura; suba por el plano irdinado con una veloddad de 3/2 mis (despreciar el peso de las poleas).
-,
RESOLUCiÓN : Se tiene velocidad constante de 3/2 mis a = O. Haciendo el diagrama de cuerpo libre del bloque P:
ESTAnCA
162
TI8 T/8
T. P!2
Se observa que: p
N = Pcos30 °
T
=
P sen 30"
pero: T
F
= -8T + 8'T
=
P sen 30"
sustituyendo en (1):
En las poleas;
T
( I)
= 4
T Rpta ..
=
P 2
F =
P
8
PROBLEMAS PROPUESTOS calcular el valor de la fuerza F que se debe aplicar para que la barra permanezca horizontal. Ademas Q = 60 N
1.
Calcular el peso de la barra homogénea, si W = 80 N. El sistema permaneceen equihlbno.
4,
f'¡:Jta . W"""", = 320 N
Rpta:F=90N
Calcular la tensIón en la cuerda si la esfera ele 100 M permanece en reposo. Rrta_ ' T=50N - -
2.
3.
Calcular la relación entre los pesos A y B para que la barra Ideal permanezca horizontal y en equIlibrio.
5_
T
¡ ,.
Calcular el valor del peso Q SI W SON Elcoo-
=
rnose encuentra en eqtjibr'o.
• Rpta..
Q
= 6.25 N
wO
Rpla .
•
FISICA GENERAL
163
CAPíTULO 6
DINÁMICA Es la parte de la Mecánica que estudia los mo\'Ímientos acelerados de los cuerpos, considerando en el análisis a las fuerzas
nos indica la cantidad de materia que tiene un cuerpo. Es una cantidad vectorial que nos indica la fuer:za vertical que ejer· ce tri cuerpo cualqliera srore su apoyo o la lerlSIln que prc:iIIOCB sobre una ruerda cuando está suspencido, debido a la fuer:za de gravedad. Rocorda'nos que la fuer:za de gr!llle
PESO :
INERCIA Es una propiedad de la materia que se manifiesta como la tendencia a conservar el estado de reposo o el estado de movimIento rectilíneo UflIfonme. Recordando el prirapio de InerCia:
PRIMERA LEY DE NEWTON a. Todos los cuerpos en reposo. tienden a
b.
seguir en reposo, mentras no haya una fuerza resultante mayor, que afecte V modifique este estado. Todos los cuerpos en movimIento tienden a seguir en movirriento, mientras no haya una fuerza que modifique dicho estado.
FUERZA Es todo aquello que modifica el estado de reposo o estado de rrovimienlo de un cuerpo, Toda fuerza aparece como resu¡' tado de la Interacción de dos cuerpos.
CONCEPTO DE MASA YPESO MASA :
Es UM magnitud flSlCa escalar que nos expresa la medida de inercia que posee un cuerpo. Tambiéfi
la masa del cuerpo es constante e invariable, el peso es variable, Así por ejemplo: en los polos un cuerpo pesa "P" y la grao vedad es "g'; a 45· de lat~ud, el cuerpo pesa "P; yla gravedad es "g;:en el ecuador pesa 'P; y la gravedad "g,;, etc. (siempre a nivel del mar), pero la masa Siempre es la misma Cuando estos ó~erentes pesos del mismo cuerpo se dividen entre el valor de la gravedad del lugar donde se pesa, los cocientes siempre son iguales, así:
f=P'=P2= ............ =k 9 91 92 Este cociente es constante y define la masa del cuerpo. luego en general:
D/NAMICA
164
En la Luna:
m : masa, en kg
Donde:
P : Peso, en N g : Aceleración de la gravedad, en rrJs2
P1 = 71,4kg . 1,67 P,
RECOMENDACIóN: Para resolver prdJIemas de Dinámica se recornerda d~r todas las fuerzas q.J8
actúan sobre un cuerpo en sus ~es rectargLlares, sobre Ul sistema de ejes rectan-
guIareS trazados COI1YSI'ien1emente.
m s'
= 119,2 N
En el Sol:
m P2 = 71,Hg • 274.4 '2 S
N
= 71,4 -m
P2
x 274.4
m
'2 s
;;2'
UNIDAD DE MASA: "kg· La unidad SI de masa es el kilogramo "kg" su valor dimensional es: Recordando que: I N
= I kg
m S2
N
= m
de aqui se l iene que: 1 kg
7'
P2
= 19592,16 N
UNIDAD DE MASA: KILOGRAMO (kg) Esta eS una magMud escalar. Es la 'masa' de un cuerpo llamado kilogramo patrón que está deposftado en Francia (masa de 1 dm> de agua pura a 4°C) Ejemplo: La masa de un cuerpo es de 60 kg. ¿Cuál es su peso?
UNIDAD DE FUERZA Y UNIDAD DE PESO: NEWTON ' N'
•
RESOLUCiÓN :
P
=m . 9
La unidad SI, tanto de peso como de luerza, es el newton "N'.
p
= 6Okg.9,81
Ejemplo: ¿Cuál es la masa de un hombre que pesa 700 N?
P
= 588,6(k9 ' ~)
m
RESOLUCiÓN :
m m
=
700 N
9,8m/s 2
=
P = 588,6 N
p
9
= 7,14
N
Ejemplo: El peso de un cuerpo es de 600 N, ¿Cuál es su masa?
--2
mis
RESOLUCiÓN:
= 71,4 kg ; es la masa de! hombre.
En la Luna, 9, = 1,67 rrJs' En el Sol, g, 274,70 rrJs'
=
RESOLUCiÓN :
m
p . = - , dedorde.
9
ó:
-
P = m. 9
m=
Ejemplo: Un individuo tiene una masa de 71,4 kg. Cuál será su peso: a) b)
m
'2 s
m = 61,22kg Ejemplo: Hallar los pesos en rewton que
generan las siguientes masas:
al 40 kg P = m. 9
600 N
9,8m/s2
RESOLUCiÓN:
b) 30 kg P
= m .g
165
FISlCA GDlERAL
4Okg " 9,81 m/s2
al
P
=
=
b)
P
= 3Okg " 9,81 m/s2 = 294,3N
392,4N
bl
Cuando algunas fuerzas forman un deterrrin
SECUNDA LEY DE NEWTON Se le conoce como la ley fundarrental de la Mecánica y establece que: 'La aceleración que experimenta un cuerpo bajo la acción de una fuerza resultante, es directamente proporcional a dicha luerza e inversamente proporcional a su masa'. Los vectores aceleraCIÓn y fuerza resultantes son codingidos.
U
a ; -FR
el
Cuando todas las fuerzas sen verticales (paraletas al eje Y)
m
!:F y = m. ay
De aquí se desprende que:
FR
m.
;
T·F,-F2 ;m,a y
al
UNIDAD DE RJERZA NEWTON 'N"
Donde: FR Fuerza resultante, en N m : Masa del cuerp o, en kg ¡¡ : Acel eración del cuerpo, en m / S2 Como hay casos en que una masa está afectada d e una serie de fuerzas entonces se tiene qu e:
Es la luerza que hay que aplicar a una ma 58 de 1 kg para provocMe una aceleración de médulo 1 mis' Ejemplo: Sobre un cuerpo de 10 kg se aplica una luerza de 15 N. ¿Cuál es su aceleración?
a CASOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR
a) CUando las t~
F,
das las fuerzas son hOrizenlales (paralelasal..,X)
15N = 10kg
m
= tO
15N _ 1,5m/s2 N m/s2
Ejemplo: A Lf1a masa de 4 kg se le aplica una fuerza de 20 N. Calcular su aceleración. RESOLUCiÓN:
Sabiendo que:
!:F. = m. a.
Es decr: F, + F2
a=: -F
RESOLUCiÓN :
-
FJ = m. a •
a =
20N
41<9
a
=
20N
F m
N- = = -4
m/s 2
166
DINAMlCA
Ejemplo: ¿Cuál es la fuerza que aplicada a una masa de 200 kg le produce una aceleración de 15 rnfS' ?
F
RESOLUCIÓN:
.. I
N
Ejemplo: Calcular el peso de una persona de 70 kg de masa. en los siguien· les lugares: a) En los polos: b) En la lalrtud 45 el En el ecuador:
0
•
9, = 9,83rnfs' 9,= 9,80 mis' 9,= 9,78rnfs'
RESOLUCiÓN
P, = 70kg • 9,B3m/s2 70
f\ =
Ejelrfllo:
¿Cuántos rew10n de fuooa se ...... cesilan para acelerar con 8 mis' a una masa de 30 kg?
RESCLUCIÓN :
N m/s 2
x 9,83m/s2
P, = 688,1 N
Ejemplo: Calcularla fuerza que se necesita para cargar una masa de 100 kg en los SIgUientes lugares: al En la Luna ( 9 = 1,67 mIS') Il) En el Sol ( 9 274.70 mis') RESOLUCiÓN
La fuerza que se requisrepara cargar esta masa en la Luna o en el Sol equivale a lo que pesa esta masa en la Luna o en el Sol Y que es proporcional a la aceleración de la 9ravedad que existe en cada uno de estos astros.
a)
P2 = m·92
b)
P2 = 70
N 2 - -2 ·9,9m/s m/s
P2 = 6Il6N P3 Pa P3
a
= m·93 = 70kg x 9.78m/s 2 = 684,6 N
NEWTON "N" COMO UNIDAD DE FUERZA
Es la fuerza que aplicada a 1 kg de masa le wnp
P, = m . 9, = 100 . 1,67
P, = 167N
P2 = 70k9 x 9.lIOm/s2
e)
F = m. a F = 30.8 F = 240N
=
P, = m.g,
al
= 1 new10n
m 1 new10n = 1 N = I kg.;¡..
F = 200 kg • 15 m/s2
F = 200 --2" 15m/s 2 mis 3 ()()() N F =
F = m. a
Se sabe que:
luego F, = 167 N b)
P2 =
m. 92
= 100. 274,70
P2 = 27470 N
luego Fz = 27470 N LA DlNA COMO UNIDAD PEQUEÑA DE FUERZA "dln"
Es la luerza que le comunica a una masa de 1 9 una aceleraCIón de módulo 1 cm/S2.
I "n 1
= 19
1]
Ejemplo: Calcular la fuerza en dinas,
FISlCA GENI'.RAL
pora acelerar a 40 crrN a lJ1a masa de 800 g.
F =m . a F = 000 . 40 g . cmls" F ~ 32 . 10"dm
RESG.UCIÓN :
Ejemplo: Calcular la masa de un cuerpo. sabiendo que al aplicarle una fuerza de 1 000 din se le imprime una aceleración de 30 cmls'.
m•
10009 .
1000 00
F
m •
=>
NOMBRE DE LA UNIDAD
SIMB
kilogramo
kg
segundo
s
Masa
Tiempo
SLUG: Unidad téa1ica de masa del Sistema Inglés 1 -sl-u-g -,.-a-2-.2-lb-.
-m-a sa-I
a NOTA:
cm s2
UNIDADES DE BASE
rl-
RESOLUCiÓN:
F.m .a
167
• 33,3 9
A pesar que en el cuadro se menciona Como unidad de fuerza y .....dad de peso la DINA 'din', el SI no la consioera cemo lal, sin embargo es importante reKerar que:
EQUIVALENCIA ENTRE NEWTON Y D1NA
rl-I -N- .-1-0-5-di"nI
N • 105 (jn
Ejemplo: A una masa de 1 200 kg se le ha desplazado 400 m en lOs. ¿Cuál fue la fuerza empleada?
II
1
DEI\KlSTRACIÓN : Sabemos~e:
lN.1kg . -m s2
RESOLUCiÓN : F
=m . a
(I)
Cálrulo de "a':
cm
IN • 10009 ·100s2
a
2d
12
sustituyendo en (1) : Pero pa cJefinidó1: 1 g . ~ = 1
s
u,go:
1 N • 10 5 cin
F. 2 . m . d = 2 . 1200kg .400m - ,-22
din
1005
i.q.q.d
m F • 9600kg . S2
UNfDADES DE MEDIDA SI UNIDADES DE BASE Loo;¡~ud
Fuerza y Peso
F • 9,6
NOMBRE DE SIMB LA UNIDAD
metro
newton dina
m
N din
103 N
Como ejercicio de transformación de unidades se va a calCUlar esta misma respuesta endinas.
F = 9,6 x 10 3 x 105 din F = 9,6 x 108 dm
168
DINAMlCA
Ejemplo: A un cuerpo de 50 kg de masa se le aplica una fuerza de ION ¿Cuál será su velocidad al lerminar el 8vo.
Vamos a demostrar la verdad de esta forrru'a. Sea un cuerpo de masa "m" en las inmediaaones de la Tierra:
segoodo?
RESa.UCIÓN·
m. a
(I) cuerpo
.=
pero:
F =
I1V = V,· Vo I t V
F = m I' V
,=
de donde:
V,
=
V,
=
ION 8s 50kg 8N . s - N5 m/s2
r...,..
F, ' m 8N ·s 5kg
=
Diagrama del cuerpo libre:
= 1.6 !!!s
FUERZA DE GRAVEDAD
Se llama así a la fuerza con que la TI€fIil atIBe a los cuerpos que están en sus mmediaciones; esta fuerza se pUede calcular con la fór· rrula de la gravitaC16n universal, pero en la práctica se usa:
fg- =- m '--'9
"-1
I
Sabemos que: L fy = m. ay pero. en este caso: L fy = Fuerza de gavedad = Fg , Y
ay = Aceleraáón de la grBlledad = 9 Fg = m. 9
.'. Reemplazardo:
I.q.q.d
PflOBLEMAS flESUELTOS Los bloques de la figura avanzan sobre un piso horizontal, sin rozamienlo. Si la luetZa hori· zontal aplicada sobre el primero es de 150 N. hallar: a) La aceleración con que se mueven los
PROBLEMA 1.
~oques,
b)
y
Las tensiones en las cuerdas que los unen. Skg
lSkg
30 kg
RESa.UCIÓN :
Todos se desplazan cen la misma acelem· ción a)
F = M, a + M2 a + MJ a F = a (M, + M2 + M3)
a
= MI + MF
2 t MJ
F
a
= 3 N
kg
=
150N
50kg
169
FlSICA GENERAL
PROBLEMA 3.
¿Qué aceleración llene cada uno de los tioques A y B de la ligura. sabiendo que no hay rozamiento? Calcular también la tensión de la cuer(Ja en la parte honzontal.
a = 3m/s 2
Apta.:
b) T 2 = M3 ' a T2
= 5kg · 3m / s2 = 15N
T, = (M 2 +M:¡)a
2.
N
-~...¡.,.-=
T, = (20kg) - 3m/s'
T
Dedorde: T
T, = 60N
Rpta.:
P,,=20N
Hallar: a) La aceleración. b) La fuerza de conlacto con que se unen los tioques de la figura. No hay rozamiento. F = 6 N PROBLEMA 2.
Pe - S N F
,I
Con un gráfico se ayuda
RESOLUCiÓN :
2kg
mejor para demostrar que en la parte horizontal ta aceleración es el dobte que en la parte vertical de la cuerda.
"g
RESOlUCiÓN : a)
Aceleración del conjunto con 6 N
F=m · a
a
=
6N 31
Apta.: a = 2
F a=-
..
m
,1
kg m - -kg 52
2-
, e.
m
1
Se observa que:
.2
eA
= 2eB íB I
-- '
Por cinemática:
21 a • t2 dedor1de:
Para el cuerpo (1):
~ F,
=
2ae
= M, . a Porconsiguiente:
F·Fc=M, . a m
F c =F·M, · a=6N·2kg - 2 i
s
Rpla.:
a.
1
F c =6N-4N=2n
a)
Para el btoque A: ~F,=M
2
2a8 t
= 2
•. 2a
T = M A' 2a
DINÁMICA
170
Asciende por que hay una diferencia: 1: Fy = M. a
Muft¡phcando por 2: 2T=4"'A · a
(1)
1:F y = "'B · a
Ahora
N> P
( en movimiento)
(2)
PB - 2T = MB·a
&.mando (1) + (2):
t·
Po = a(4M A + Me); dedonde: 4P A
+~
9
a
9
=
4PA
+--¡;;
9
N =
Sust~uyendo dalas:
N
5N m . 9,B"2 B5N s
a = -
a = 0,58 m
s2 m
2a = 1,16 2
s
b)
Rpla:
(p3Ia B)
p•
2m/52 + 700 N
= 142,8N + 700 N = 642,8N La balanza marcará 842.8 N
Los bloques A y B de la figura son de 40 N Y20 N respectivamente y se encuentran iriciaImenIe en reposo sobre un apoyo. Al qLitaI1e a apoyo, ¿ruáI será la aceleración que adquiere A?
(Para A)
T = m" . aA =
700 N
9,Bm/s2
N = M. a + P
PROBLEMA 5.
Cálculo de la tensión:
Rpta.: T
~
•• N- P = M. a
PB
. (2a)
9
= 9.8 20
(1,16)
=2,37 N A
Si una persona que pesa 700 N está parada sobre una balanza que descansa en el ptso de un ascensor que asciende con una aceleración 2 mis' ¿O-Jé lectura marca la balanza?
PROBLEMA 4.
RESOLUCIóN ' En el reposo: P = N
RESOLUCIÓN: El cuerpo A descenderá y el cuerpo B ascenderá, con la rrisma velocidad y aceleración. ambos.
Para: 1: Fy = m. a , se tiene: W.,W B = (m.+ms)a p
sust~uyendo datos:
4ON-20N=
de donde: Rpta.:
roN 9,6m/s2
·a
a = 3,27 m / SZ
F/SICA GENERAL
PROBLEMA 6.
171
¿Conquéaceleraciónse
mueven lOS bloques de la fogura dornle no hay roza/mento? ~
lIl¡ = 5kg ,
l.F = m.a
Pa/aelpesoB:
F-T = m•. a
= 3kg ; m3 = 8kg
~ .
F - 2,5 N =
m,
~
9.8
Rpta.:
m, RESOlUCIÓN :
1: F
= m. a
F
a dinas:
= 7,5 x a
PROBLEMA
(I)
s
s
F = 7.5 N
~
4,9
10' dinas
¿Con qué fuerza
se em-
pUJa el bloque 'C'? No
hay rozamiento.
Donde:
1: F
=
OSl:ll:
1:F
= m,9 - m29
(1)
y
m
= m1 + m, + m3
(2)
w1 - w2
A
B
~I
e
1I
2N
3N
Sustituyendo (1) Y (2) en (1) :
a =
de CIonde:
a = Rota:
(m, - m2)9 m1 + m2 + m3
(5kg - 3kg)S.8m/s2 5t.g + 3kg + 8kg
2SN= - IN - m +2N -m- +3N] -m - ·a • [ 9.8 S2 9,8 s" 9,8 ?
a = 1.225 mis'
PROBLEMA 7.
de donde :
En la figura. si la tensión de la cuerda ABes de 2,5
N Yno hay rozamienlo, tl.ma F en onas.
a =
Fc = me . a
hallar el valor de la
Fe =
Para A :
1: F = m . a
T = m, . a SN 2,5N = - - a
Fe
PROBLEMA 9. Calcular la tensión de la cuerda que ure la poleas, sabien-
9.8 2
m
(Despreciar el peso de las pa-
s
leas)
s
de donde : a = 4,9
2
9.8 ~
'8
= 1N
do que no hay rozamiento.
m
.2..!:!..- . 49 ..!!.!..2 52
RptIL:
RESOLUCIÓN :
~.9mls2
CálcUo de la tuerza para el bloque C :
F
Sabiendo que :
1:F = m.a
RESOLUCIÓN :
= (m, + m2 + m,) a
A T
p. = 15 N Pe
= 20N
9
,72
DINAM/CA
Téngase presente que la tensión en la cuerda vertical es igual en sus dos porciones, sea T la tensión:
n:y = (m, + ~)
Para el bloque A: E F, = m... . a
1: Fy
RESOLUCiÓN :
=
T
15N
9,8m/s2
Para el bloque B . 1: F,
20 N -
9,8
m
(1)
9,8
52
= (400g) 980 ~ s
= 392
103 9
cm
7i
m = 12009
a 2
m
9
(1)
Por 0110 lado: m = 200 9 + 200 9 + BOO 9
2
20N
=
a
l:F,
a
= me
= me
2ON-2T 2 " 15 N
a
1:Fy = m,9+ m2 9
(2)
sustituyendo (1) y (2) en (1) :
a
392 .103 9
2
52
de donde:
~ = 1 200 9 . a
s
Rpta.: a
= 326,7 crrvs>
a = 9,8 m
de donde:
"2"7
PROBLEMA 11.
Calcular la aceleración del Sistema de masas M, y M..No eXJste rozamiento
sUSlitu)oendo en (1) :
T=
~ m 9,8 -f
9,8 m
"27
S
Rpla: T = 7,5 N PROBLEMA 10. Hallar la aceleración con que se mueven los ~ ques de la fl9ura_ Considere que no existe rozarmento
a
=
RESOLUCtÓN: 3
m, = 200g ~ = 200 9
m3 = 800g
2
RESOLUCiÓN : Sabiendo que: EF = m , a (1)
Las fuerzas que harán mover el sistema son los pesos de las dos masas de 200 9 Y la masa total que estará en movimiento con aceleración "a" serán las tres masas del sistema. luego:
Sabiendo que: E Fy = m. ay
M2 gsena - M,9 = (M, .. de donde:
~)a
AS/CA GENERAL
a::
M2 SE"'. . M, xg
M, + M2
a = !8kg . sen37°· 4kg) . 9Sm/s2 4kg+8kg ,
a Rpta:
=
(Bkg
~.
4kg)9 ,Bm / s2 12kg
a = 0,65 rr-JS'
¿Cuánto pesauncuerpo cuya masa es 5 kg en un lugar donde la gravedad es 6 ""s' ?
PROBLEMA 12.
RESOLUCIÓN : Sabiendo que: P = mg = 5kg.6m/s2
P = 3Okg . m/s 2 Apta: P = 30 N Un hombre cuyo peso es de !lOO N está de pie sobre una plataforma <¡!Je pesa 400 N tira de una cuerda que está sujeta a la plataforma y que pasa por una polea fl¡a al techo. ¿Con qué tuerza. en newton, ha de tirar la cuerda, para corruricarse a sí mismo y a la platafor-
PROBLEMA 13.
173
los dos lados de la cueroa, por eso las ten· siones, cuando el sistema se mueve, son
iguales. (1)
Pero: 1: Fy = 2 T • w..,¡ = 2 T • 1200 N Además:
Sustituyendo en (1): 2T.I200N=
1 200N 9,8m/s 2
O,6m/s2
de donde:
Rpta.:
T = 636,7 N
Un bloque pesa 100 dinas Y es sostenido por Lr18 cuerda rruy delgada que resiste sólo lf1a tensióo de 10 NIcm'. Su diámetro esde o. 1 rrm PROBLEMA 14.
Si se le in'llrime una aceleración, hacia anilla. de 20 rnIs', aver'guar si resiste la cuerda.
movimien(D
f
r·
ma una aceleraCión hacia arriba de 0.6 mI S2 ?
w
RESOLUCIÓN :
W
T
d
= 10000 = 10 NI cm2 = 0,1 mm
a = 2Om/s2 Se eooibe Que: RESOLUCION:
El peso de la platafo
l:Fy = m
T.w=w . a
9
ay
y
174
D/NAMICA
ZT no existe
rozatriene:o
El valor de la tensión se calculará en N, para ello:
w = l00
w
= 100" 10.5 N
1
a
Sustituyendo en ( I ) :
T = 100 · tO" N(t +
~m/s2)
9.8 m/s 2
RESOLUCIÓN :
T = 100 lO" N . 3,04 T = 3040 x lO-/; N
al (I)
Cálculo de la aceleración:
Para la masa de la derecha: 1: I'y = m" a
Cálculo de la sección de la cuerda:
m, . 9 - T = m" a
s
=
s
= 78,5 • lO-/; cm2
Para la masa de la izquierda:
T • m2 . 9
Cálculo de la resistencia del hilo Ocuerda de 0,01 cm de diámetro:
de donde:
(lO N/cm 2) . 78,5 . lO-/;
cm2
Como la cuerda resiste: 785,0 • 10" N, quiere decir que
Rpta.: b)
a
=
9 (m, • m2)
m, ... m2
Sustituyendo en (I) :
ml . g- T =m,
se rompe. PROBLEMA 15.
(2)
m2 . a
m,.g-rnz . g = m, . a+m2 · g
R = 785.0 · lO-/; N Rpta.:
=
Sumando (1) + (2): •
R = P. S
R =
(1)
Se cuelgan dos ma-
sas m, y ~ como se muestra en la figura. Calcular:
9 (m, - m2) m, + m2
9 (m2 . m,) T = mi' 9 . m, - - - - + m, . 9 mI'" m2
a)
La aceleración del sistema.
de donde'.
b)
La tensión de los cables que sostienen las masas, y
e)
e)
Calcularla tensión de la cuerda que sostiene a la polea.
Rpla... T = _.2 m.!.,_.tn--,2~·-"g mI
+ m2
Según la figura, como la cuerda que sos· Mne la polea (que se sl.pOne sin peso) sostiene atadoel sistema, sq¡or1ará poreonsiguiente la s dos tensiones.
175
FiSICA GENERAL
De donde. por equilibrio: Rpta.:
2T
m,
a
4m, m. 9
=
m," ro. F
PROBLEMA 16.
Calcular la aceleración del sistema mostrado en la figura para que la esferita de masa "m" se mantenga en ta pOSIC,ón moSlradll. Considere qt.e todas las Sl4'erficies son lisas.
M
RESOLUCiÓN :
I)
hSO
y
Por equilibno:
F = (M .. m, .. m2) •
(1)
11) Diagrama de cuerpo libre de m,. con respecto a tier,a.
/ RESOLUCIóN : DeL de "m"
liso
•
m l 9'
a
T
m,
t T
N
N COS a
~4'-+-- - -x N sena
T = m1 . a
(2)
111) Diagrama de cuerpo lIbre de m,. con
mg
respecto a tierra EF, = O
Ncosn=m . g
= m. a
E F. Nsenn
(1)
= m. a
(2)
(2l. Nsen n m. a = (1)" Ncosa m. 9
U T
-•
~ ~
":m
RpIa.: a = g. tg n PROBLEMA 17. En la siguiente figura mostrada. hallar la aceleración "a" y la luer28 F para que m, y "\ se mantengan en reposo con r~o a M.
(3)
DINAMICA
176
La aceleración del sistema con respecto a tierra es:
Rpta.
a
= m29 m,
RESOLUCIóN:
p • O =
(4)
F
m. a
(1)
En la barra homogenea , por regla de tres simple se tiene:
Aeerrp1azando (4) en (1): Rpta.:
l: F, = m a
~}
m
:
= (M • m, + m2) ~ m, 9
~ = (t)m
:.
(2)
D. C. L. de una pane de la barra: m,
En el paso ( 11) la aceleración "a" se manifiesta sólo en el eje x, mientras que en el eje y, a =O. En el paso QII) se nota tantJién Que para y: a OY para el eie x se manifiesta la aceleración "a".
NOTA:
o
=
PROBLEMA 18. Una barra homogénea de longitud 'l' experimenta la acción de dos fuerzas P y Q ( P > Q ) apli· cadas en sus extremos V dirigidas en senti· dos opuestos, tal C
m..!.'_ ...
- lL _ _
T
T·O = m, . a
(3)
Reemplazando (2) en (3): T•O =
11'-"-- L- -.,¡"..
(t) m. a
(4)
de (1) en (4):
Rpta.:
T =
(T) p+ ( \ 1)0
OINÁMICA CIRCUNFERENCIAL En esta parte de la Dinámica estudiare· mos las condiciones que se deben cumplir para que un cúerpo se mueva sobre una cir· cunferencia. El estudiO se fundamenta en la 2da. 1ey de Newton. Corno recordaremos, en el movimiento cil'CUlferencial el móvil posee dos velocida· des (tangenaaJ Y angular). Sielmovrniento es arcunferendal uniforme la velocidad targeoaal se mantiene constante en su módulo pero cambi a de dirección permanentemente. la rapidez con que cambia ta direcc.án de ta velOCidad tangencial se mide con la
aceleración centrípeta. (1)
,
Donde:
8,: Es la aceleraciá1 centripeta, medida en -m J 5 2 -. v, : Es la velocidad langencial, medida en
-mis· w; Es la velocidad angUar, medida en 'rad! S·.
R: Es el radio de giro, medido en metros -m-,
177
FislCA GENERAL
¿Cuál es la condición de lodo movimiento circunferencial?
y
RESOlUCiÓN :
Para q..e III cuerpo gire con moviriento circmlEferdal debe €lÓStir sacre él lila fuerza rOSlAlante mayor q..e cero, dingída hacia el ceo110 de la circunferenciadenaninada "fuerza ceotripela', la cual origina LIla 'aceleraciéfl centrí· pela' en su rrisma dirección ¿Cómo hallar la fuena centrípeta? CENTRO
R
llEGO""
De la Segunda ley de Newton:
EJE TANGENCIAL
(2) Reemplazando (1) en (2):
Fc = m (
~)
v,
= m (ch)
En el eje radial (eje x) : v~
Donde:
!:F,adaIes
m : Es la masa del cuerpo, en 'kg'. F, : Es la fuerza centrípeta o fuerza resul· lante en dirección radi¡¡1 dirigida heci¡¡ el centro de rolación, se le mide en newlon -N-.
Wcosa-Fcos~
Fe = !:F _
Fc =
r Fque ....nhaáa el c:::enro
afueta
v~
A
= m. a, (11) Wsena· Fsoop = m. a,
I:F ~..
Ejemplo: Hallar la lensión de la cuerda cuando la esl8ri1a pasa por los puntos A, B, C y O de la circunferencia ubica· da en el plano venícal. A
RESOLUCIÓN :
o
= m . ae • 1: Fque ""' ~
= m
(1)
En el eje tangencial (eje yl :
FUERZA CENTRíPETA Fe
Es aquella fuerza resuItanIe en la cirea:ión radial q..e Ofigna todo I"\"lOYÍllte(lto oo:.nerencial. La fuerza centñpeta posee la misma direcCIÓI1 q..ela acelEración centrípeta ( la cual está rnIacionada con los contiruos cantJios de dtrecdón de la veIocida
= m· . c = m A
./;'IólJ A
/"
ij
""Q' 'l¡,
"
Una eslerita de peso ' W' es alada a lIla CUEfda y se le lanza haciéndola girar en un piano vertical. se le aplica una fuerza externa "F' , tal como rruestra la figura . Realice el diagrama de fuer· zas SClbm la esferita.
Ejemplo:
mg
mg
OINAMICA
178
Realicemos el O.CL de la eslerita en cada uno de los puntos y apliquemos la Segunda ley de Newton.
EnB :
Te :
EnC :
Te - m 9
v2
m ·.!! R
EnD :
PROBLEMAS RESUELTOS El cuerpo de , kg de masa gira en un plano I18rtícaI atadoa un cable inextensible, de masa desprecial:Jle y de longitud 1 m. calcula, la tensión en el cable para la posición moslrada en la figura (g : 10 mis')
PROBLEMA'_
(
(2 )2 T - 1 . 10. cosW' : 1 - -
1
Rpta:
T=9N
PROBLEMA 2.
En un móvil que da una vuelta en una curva. Si se duplica el radio de giro, se triplica la velocidad y la masa se hace 118. ¿Qué ocurre con la fuerza centrípeta?
RESOLUCiÓN: Fe = m. ae
v2
Fe : m R
(11
Por otro lado, según el problema:
'" = ~ m(3,,)2 =
RESOLUCIÓN : O.C.L
e
2R
9 m. v'
16-R-
(2)
(1) EN(2~
o
v
Apta.:
La nueva fuerza centrípeta es los 9/16 de la anterior
Un bloque de masa 'm' gira en un plano horizontal atado a una cuerda de longilud 'L'. Calcular la velocidad angular máxima si se sabe que la máxima tensiónEl5 de 9vecesSIJ peso. Considerar que no hay rozamienlo. PROBLEMA 3_
mgsene
T-m . g . cose =
.,2
mR
RESOLUCiÓN : Realicemos el O.C.L del bloque que gira con movimiento circunferenciaf.
F/S/CA GENERAL
179
De la figura:
RESOLUCiÓN :
m. V2 = ...JL
mg
Ig O =
-
-L
__
--.;' N I
.!L m.g
m. g
De aqui se obtiene la fórmula para calCUlar el ángulo de perake e : 2
Ilga=
( 32)2 Ig9 = (100)(32)
De la Segunda ley de Newton:
Fe
= m. a, = m. úJ2 R Trre.x :: m. w~ L 9m . g
=
Ft>la : úJ In" = 3
m úJ~l
n
PROBLEMA 4.
Un móvil describe una cir· cunferencia de 100 pie de raáo y con una velocidad tangencial de 32 piels. ¿Cuál debe sel el ángulo de perane para esta velocidad? (En las Clmeleras, vlas
Ig a = 0.32 Rpta.: e '" 18" PROBLEMA 5. En un casquete seni esfenco liso y de radio R se encuentra fija una esferita de masa "m", ¿A qué anura "h" se encuentra dicho cuerpo si el casquete gira uniformemenle con una velocidad angular"'" y con qué fuerza 'N" la esferita hace presión sobre la S4)6rficie del casquetP.?
,
í [__..!lR_O~ ---,_-, a ,
férreas, velódromos, etc. se suele encontrar una mayor elevación de la parte e>cterior de LI\a cU/va en relación con la interior; a este ángulo de inclinación se le llama perake). Considera 9 = 32 pie/s' .
R.v 9 1
,
-r ~I .
1-
-
~
Nse~e _
h
m. g A
RESOLUCIóN: Al girar el casquete alrededor del eje DA, el cuerpo de masa 'm' gira con radio de giro -R/ ,luego: EF)I == m. ac
Nsenfl = m. ae
pero:
ac ::
úJ2 RI
NsenO = m. úJ2Rl
(1)
OINAMICA
180
Sustituyendo valores en (3):
rFy = O Ncos9 = m . g
I
(1) +(2) :
9
e_
Rsena = R- h
(2)
(o)2R,
(3)
- - g-
Apla.: En el triángulo rectángulo OCO:
pero:
R, = R sen 9 Ig9 =
RsenS
~
h = R(1 - II)~ R)
Sustituyendo el valor de R, en (1):
R
= R-\
tg9
de donde:
N sen e =
m. (1)2 R sen e; de donde:
luego:
Rpta.:
N
= m (1)2
R
(4)
PROBLEMAS PROPlJESTOS 1. Un hombre de 700 N de peso está parado denlro de un ascensor. ¿Qué fuerza, en newtons, e¡erce el piso soom él cuando el ascensor stbe a razón de 6 mis' . Rpta.: 2.
al b)
1128.6 N
A una masa de 1000 kg se le aplica una fuerza de eoo N durante 10 s.Calcular: La aceleradón. La velocidad que adquiere.
Rpta.: a) b)
o.a mis' a mis
Un vagón de 300 toneladas métricas lleva una velocidad de 72 km/h. ¿Cuál será la fuerza necesaria para pararlo en 500 m? 3.
A¡:.(a.:
12 x 10' N
Un auto es emp~ado por un plano horizanta! hasta darle dana velocidad y luego se le st.eIta hasta qoo para. Su masa es de IlOOkg. Después de qoo se ledejó hasta que se deiLNO recorrió 100m en 40 s. CaJcular: al La fuerza que tiene que aplicarse para moverlo. b) La máxima velocidad que alcanza.
4.
Apta:
al
F = 653 N
b) Vm
= 5 m Is
Un hombre de eoo N está parado en tri ascensor. ¿Cuál será presión sobre el piso cuando el ascensor descienda con una aceleración de 1,8 mls"? 5.
Apta.: 640N
Un cuerpo de 10' N se quiem subir por un plano inclinado de 30· con una aceleración de 1 mis'. ¿Cuál es la fuerza nacesaria? (Despredartodo electo de rozamienlo; 9 = 10 mis')
6.
Rpta. :
6
x ~O'
N
Calcular la aceleración que se provoca en el sistema mostrado en la figura y caJculartambién la fuerza de conlención para que haya movimiento unil()(me.
7.
3 1< 103 N
30"
Rpta.:
a = 3,n mJ52 F
=5 x
103 N
18t
FÍSICA GENERAL
6.
Hallar el vala< de la tangenle del ángulo que debe lener el peralte de una curva de 60 mde rada por donde se desplaza un automóvil a ea km/h para que no se saiga. (g ; , Om's'l
Rp'a.:
tg a ;
requerido para descender la misma attura cayendo libremente?
0,823
Un vehículo de 0,75 cm de ancho y 0,90 m de ano y de 150 kg entra a 36 km/h en una curva de 20 m de radio. ¿Vuelca o no?
9.
Apta.:
a=atcsenG)= 19"26'16'
Apta.: No. 10. Dos bloques de 86 Ibf Y 54 Ibf de peso eslán conectados con una cuerda que pasa a través de una polea acanalada sin rozamiento. Hallar la aceleración del sistema.
16. Una piedra gira en un plano vertical describiendo una circunferencia .Si la cuerda que la mantiene en movimiento puede soportar come máxime una tensión equivalente a 10 veces su peso. ¿Cuál es la máxima velocidad que puede ex¡¡erimentar dicho cuerpo sin llegar a romper la cuerda? La longitud de la cuerda es 2,5 m. (g = 10 m's').
Rpta.:
86 1b1
Rpta.:
V ma•
= 15m/s
13. Un bloque situado sobre un plano horízontalliso está scmelido a las luef2as que se indican. ¿Qué aceleración adquiere el bloque? tg q = 12/5 Ym; 58 kg.
I
a; 7,31 pie/s2; 2.2 mis" F,¡ = 26N
11. Una pelotita se avienla contra una superfICie con una velocidad de 6 m's y rebota con una velocidad de <: m's. tal como se muestra en la figLJIa Si la aceleración media producida por el choque fue de 16.,fi mI S2 , delermnar el ntervaJo de tierrpo de contacto entre la pelotita Y la ~
v, ""
I
6m/s. I
Vz
~
~mJs
~¡4 R~a :
t = 0,125 s
12. ¿Cuál debe ser la indinación 'a' de un plano liso para que un cuerpo descienda en 1Xl tiempo "1' que sea el triple que el
In
Rpta.:
a
= 0,5 m/s 2
14. Un observador en una estación ve partir al tren y ve también que una lámpara
~¿
"Jo) __ , •..• "col..!"'_
DINÁMICA
182
~
que colgaba verticalmenle ha adopiado una posición de 30' con respeclo a la \lertical.
Rpta.:
iCuál será la velocidad dentro de 3 s ?
18. Calcular la velocidad ang\Aar Que desarrolla el péndulo cónico mostrado en la figura. La Iong~ud de la cuerda es 12,5 m y el ángulo que forma dicha cuerda oon la \lertical es 3" (g ~ 10 m's'j,
Rpta: V
~
17.3 mis
15. Una estera de 10 kg gira en una superti-
w
2 radls
De honzonlal unida por medio de una cuerda de 1 m de longitud, que la lija por un extremo a un aavo la hace describir un movimiento circunferencial. ¿Cuál es la tensión que soporta la cuerda si esta gira a raZÓn de 5 radls
flpta.: T
1\
\ I
\
3" I I
= 250 N
(
\
\ \
, "}
\
\
-roo \
17. Un ClErpo, gira en ..., piare ver1icaI de modo que descIiJe tila circunferencia, SI está atado a llna CllErda de 2,5 m de lon¡jluj. iCIJaI eslamfnma ~d angLAarque debe rnartener el cuerpo para poder continuar cm su mov'miento dro..n-ferencial (g ~ 10 m's').
I
\
---,.--I
~
,, flpta:
(¡)
\ \
_ ~!l -'-" I
-------
= 1 radls
FUERZA DE ROZAMIENTO O FRICCIÓN E. una fuerza langendal que está presente entre dos superlicies de contacto yque se opone al roovimlento relativo (desplazamiento) de con respecto al otro. Puede ser rozarrumto estátiCo o Cinélico.
...,0
P = N
El peso siempre 8S vertical. La Normal es sierrpre perpendicular al plano de sustentaCión.
NOTA :
ROZAMIENTO ESTÁTICO "R" Es la fuerza tangencial enlre dos cuer-
pos en contacto cuando ambas están en reposo y que se manifiesta como una reacCión cuando una se va a desplazar con respectO al otro.
Cuando el cuerpo está en reposo y soble un piar<> horizonlal, la fuerza que soporla todo el peso se llama Normal.
N
-.
F
p
p
p
183
FlslCA GENERAL
ruERZA MÁXIMA DE ROZAMIENTO ESTÁTICO " F "
•
"F: necesana para vencer
Es la fuerza
la fuerza tangencia "R"" presenle entre sus dos superficies la cual se opone al desplaza-
mento de uno con respecto al otro.
F = R
•
F,
R N
•
l'
P
COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTÁTICO " 11, "
Es la relación entre la fuerza máxlma de rozanllento estático y la fuerza normal que tiende a mantener ambas superticies unidas y en reposo. El valor del coeficiente de rozamiento eslático se obtiene en lorma expeñmental
"F:
11.
F;
Es la fuerza l angencial presente entre dos superficies en contacto cuando una de ellas se está desplazando con respecto a la otra. Esla fuerza se presenta cuando las supelfodes en contacto manifiestan un movimiento relativo; comprobándose experimentalmente que la fuerza de rozanlÍenlo o fricción cinética es prácticamente constante COEFICIENTE DE ROZAMIENTO CINÉTICO "
11:
Es la relación entre la fuerza necesaria para desplazar un cuerpo en contacto con otro con velocidad uniforme y la narmal q.... tiende a mantener unidas ambas supelflCies.
Fe
= FuerzaFeNormal 1 11 •
O también:
FUERZA MÁXIMA DE ROZAMIENTO CINÉTICO"
=
~
NOTAS:
, . Se cumple que: I
~e
> )le
2. Con frecooncia se usa 11 por 11.
3. los rozamenlos son independientes de las áreas de contacto y de la velociclad relativa
lile = ~ I
de tos cuerpos.
PROBLEMAS RESUELTOS Un ladrillo de 50 N se apoya contra una pared vertical mediante una fuerza de sentido horizontal como se ve en la figura; si el coeficiente de rozarríento es 0,5.Hallar el mínimo \/¡llar de la fuerza horizontal para mantener el ladrillo irllTÓllil.
PROBLEMA 1.
Por aro lado:
A 11 = N
RESOLUCiÓN :
De la fYÍmera condición de equilibrio: I:Fy = O ; R = P = SON
De donde: N = A = SO newton 0,5 11
-
DINÁMICA
184
Normal
= 100 newton F = Normal
1:F. = O
Apta,:
TI cos 30" = T
F = 100 newton
En la figura, elcoefi-ciente de rozamiento entre el cuerpo 'A' de 10'Nylasuperficiede /a mesa, es m. = 0,75. Calcular: a) La IueIZa máxima de rozamiento desarrOllada entre el bloque ' A' Y la mesa. b) El peso máximo que debe tener "8' para mantener el sistema en eqUilibrio, e) El rozamiento 'R' entre 'A' y la mesa para un pese de 80 N de 'B', PROBLEMA 2.
p = ,o'N
30"
I11------,,.(- - - - - - T,
T
A
T
~F-:::::¡
T, = 500 J3N 2}
..
..
1)
..
"
a} R~ = Ftl2amenlO estático máximo
~
= Pe
Pe = 2SO J3N
1:Fy
=O
T, sen 3()" = SON T, = 160N
B
RESQUC/ÓN :
= Pe
e} Para un peso B = 80N
2} ,
T, sen 30" SOOJ3N ·
o
N A
1: Fy = O
1:F. = O
T = T, oos 30" T =
11)
J3 N
Para que no resbale debe tenerse que:
R~ = ¡.l. N = 0,75 , 103 N
R=T
AM =750N=T
Con una fuerza ~geramente sl4Jeñor a 750 N el bloque se rrueve. b)
CálculodeT,. Diagrama del cuerpo libre de 'O',
A=SOJ3N PROBLEMA 3.
En la figura, ' A' pesa 40
N Y'S' 80 N, los coeficientes de rozamiento entre las superficies son de 0,5. Calrular el valor de la fuelZa 'p para mover ' B' ,
A F
B
1)
1: F, = O
RESOLUCiÓN : D.C. L. de A :
185
FlslCA GENERAL
A
B • 15 N
CálcUo de la R. :
RA =
NA = 0,5 . 40 N = 20 N
).l .
RESOLUCIÓN : Cálculo de la máxima fuerza de rozamienlo en A :
R. = Diagama de B:
R.
F
).l .
N = O,S . 20N
= tON
Luego el sistema se rTUlVe, ya que el peso de 15 N es superior a la tensión de la ct.erda que, como consecuencia del rozamiento, o/rece el cuerpo Ay que es de 10 N.
Diagrama de A YB :
Cálrulo de R,. :
Re
=
Re =
T
A • ).l .
N = 0,5 . 120 N
60N J: F. = O
R.+Re= F
ParaA :
F = 2ON.60N
F
= 80 N
PROBLEMA 4.
En el gráfICO determinar
cuál será la aceleración oon que se rrueve el sistema y cuál la len-
sión del cable que los une. 1', = 0,5;
m• . a
=
T • AA = m• . a
(1)
Pe·T = "'a . a
(2)
ParaS :
f = 80N
FIp!a:
LF.
I'e = 0,4
St.rnando (1) Y (2) :
Pe • R. = a (m. + "'a)
- .-
tSN·0,4 . 20N 20N lSN
9
9
D/NAMICA
186
7N
a ~ g. 35N
a = 1,96 -
Rpta.:
m
s2
s
Apta.:
roN . 1 SS!!!. +04 . 20N m ' s2 ' 98 _ 52
T" 12N
Apta :
PROBLEMA 5.
¡.t.N
N
Reemplazando tg 8 :
m T = m• . 1,96 "2 + R.
•
"
N
tg 9 " " (¡xopiedad) "la tangente del ángulo de reposo '(l" es ~ al coeficiente de rozamiento "1'"
Sustituyendo en (1):
T=
=R
tg 9
para 9 =9,8 mis'
;
l'
~
0,6
¿Cuál será la fuerza para mover a un horrilffi de 80 kg que está parado sobre un Pso. con el cual produceuncoelicientederozarTientom = O,S?
PROBLEMA 6.
Al dejar un volquete la arena sobre el suelo, se
foora el montirulo mostrado en la figura Calrular el coeficiente de rozamienlo entre los {TancJ6 de arena F
/¡:s3~ I
J o - - - - 2m ---~
RESOlUCiÓN : Sabiendo que: ~F.
.f-- ,m---t RESOLUCiÓN:
los granos de arena que
se enaJentran sobre la falda (superficie lateral del cono formado) son los que le dan la forma de montículo. Por lo tanto el diagrama de ClJerpo libre del monlirulo de arena, es: N N
e
F-R
6:
F
O
luego: F
O
"
~
"
Il. N
(1)
Como la masa del hombre es de 80 kg es preciso calclAar su peso que es igual al valor de la normal N. p ~ m.g
P
= 80
p
~
= 8Okg ·9,8m/s2
_ N_
mis'
9,8m/s'
784N
que es igual a la normal, luego, sustituyendo en (1 l:
F = 0,6.784 N En et I triánguto formado:
" R
Rpta.:
F
= 470,4 N
187
RSICA GENERAL
PROBLeMA 7.
Calcular la aceleración con que avanzan los bIo-
ques de la fIQUra. M. = 8kg
F = SON
Me = 3 kg
I'e
-
F
N.
¡
= 0,3
-,R..
RESOLUCIÓN ; a = 30"
Re
l' = 0,6
N.
RESOLUCiÓN :
F . A•. Aa Pero:
rf, = = (M••
Diagrama de cuerpo libre de A :
m. a
Me)'
y• (1)
R. = I'e N. = I'e M. 9
la)
Aa = I'c Na = I'e Me 9
(b)
SUstituyendo (a) y (b) en ( I ) :
,
F • 1', M. 9 • 11, Ma g = (M •• Ma) a
W
F·I1,9(M •• Ms ) = (M. + Me)a
A...... a -_ F· I'eM. gIMAM + Ma)
.. de""....,.
."
B
sustituyendo datros .
a a
= SON· 0,3· 9,8 m/s2 (8kg .. 3kg) 8kg .. 3kg
= SON·
32,34kg ·m/s 2
,
mese en cuenta que la polea "C" no modifICa 81valor del peso del holTtJre, en todo caso sólo cambia la dIrección de la fuerza o tensión del cable. a) b)
rF. = O Wsena .. A - T 1: Fy = O
=O
N - Wcosa
Rpa.: a = 1.6 mis' Un hombre de 700 N de peso quiere escalar la cuerda de la figJa. ¿Cuál debe ser el pesom~ rWro de "A" si al coeficiente de rozamiento eslático con el plano indinado es 0,6 y el plano hace t(1 ángJo de 30" con la horizontal, para que lo!1e sostener al OOrrbre que SI.tJe?
Woosn
Sea un sistema de ejes coordenados ")\ con el eje x paralelo al plano incinado. Tó-
11 kg
PROBLEMA 8.
.,"
Pero: N
(1)
=O
R
= -. ruego, reemplazando: l' A --Wrosu. = O 11
osea:
R = ., . Wocsa ;en(l):
W5arla"I1 Woosa·T
=O
DlNÁ.MICA
166 de donde:
W
T
;
seno. +
jJ .
cosa
W
;
700 N sen 30" + 0,6 . cos 30"
W
;
700 N 0,5 + 0,6 . 0,87
pero:
N=P=300N
T = 0,4 300N T = 120 N
118. Etapa:
Diagrama de cuerpo libre de B:
Apta.: W; 684,9 N En la figura los bloques "A' y 'S' pesan 300 N cada uno. El coeficiente dinámico de roza· rriento. es 0.4 para cada bloque 'A' y ' B': 'C" desciendeoon velocidad constante. ¿Cuál es la tensión del cable que une los bloques 'A' y ' S' Y ruál es el peso de 'C'?
PROBLEMA 9.
p
30"
=O
T, ' T· P . sen3O" · A, Téngase presente Que la velocidad de
RESOLUCIÓN:
Cálculo de R,
(11)
:
l:Fy perpendiCtl!ar al plano indinado
e es oonstante;
N,
=
O
= P oos 30' = O
Diagrama de ""erpo libre de A :
NI = P.0053O' = 3OON . o,!l6 Además:
F
RI = Il · NI = 0,4 . 258 N RI = 103,2N Sustituyendo valores en (11):
fY = cte.)
l:F, = O T·R =0
1 T, . 120 N . 300 N . - . 103,2 N = O
2
(1) de donde:
p
A
N;
R = "N
luego:
: en(l)
T, = 373,2N
El peso del cuerpo tendrá que ser 373,2 N, igual a la tensión de la cuerda que lo so·
porta.
189
FiSICA Ge
PHOBLEMA 10.
En la figura, A pesa el doble que 6; el coeficiente de rozall1lento enlre A y 6 , A Y el plano indinado es igual. calcular el valor de este coeficiente de rozalllento para que el sistema se mantenga en equilibno.
9
.. bl
~ ~B
T. l' '; 8
(2) en (1) .
12
(3)
T;!i8-I"SB Diagrama de cuerpo libre de "6" :
I
,Y
RESOLUCtÓN : al
Considerando el diagrama de cuerpo I~ bre total. y ,
LF. ; O T>
T
Re ;
Bsen37°
38 "5
T+I' · Na; ~
LF,
Na;~B
"' X
Reemplazando (5) en (4) :
31"
4 5
T + ~ · -B ~
LF. T.A
O
3 Bsen37"
~
~
..
5
~
=>
3
~B 5
3
- B . l'
5
~B 5
~B 5
(6)
Y (6) :
3 4 12 9 6-I' - B B-I' B = 5 5 5 5 B 6 6 6 = l' 5
~
;
;
"j ,+~
8eos 37" 38(:) N
~
Igualarxlo (3)
(1)
LFy ; O N
T
3Bm
T>I' . N; ~6
=>
(5)
5
"'3 8
I
O
Na ; BCOS 37"
,,
,,
/
I
(4)
5 (2)
11 =
6 B
DINÁMICA
190
Apta · fI "
,
3
¡ "
V'
0,75
,
PROBLEMA 1,. Hallar el peso mínimo Que debe lener B para que el SIstema mostrado en la figura se man-
tenga en eqUilibrio.
Wa sen31'"
,
B
A
El problema es calcularW, ya se conoce F.
rF,
O
Feos 37" + Ra = Vol¡¡ _
RESOlUCiÓN :
Ne "
FleJeS.A)
mu
(1)
rFy = O
Diagrama de cuerpo libre de A :
AA"" Re
37"
F sen 37" +
v.;, cos 37°
PEllO: Sustrtuyendo los valores de
i'--t-...J
Ra = 0,2 (F sen 37° •
p
m" y N. :
Vio C05 37°)
Sustit",endo en (1 ) :
RA = rozamiento de A con la pared NA = noonaJ ele la pared con A P = peso da A F
= presión de la barra contra A
rF,
R. fI.
" WB sen37° F cos37° + 0,2 F sen37° .. 0 ,2 W B cas37" " =
=O
F " NA
pero: NA "
F cos37" + O,2(F sen3?" + WB cos37° ) =
(I)
Y R. " P luego:
Wa =
P
F
=
P
IlA
=
.. 0,2 • SBIl37") (.(),2 • cos 37" .. sen 37°)
W = 571,4 N (: .. 0,2. a 4 3 . 0,2 • 5 .. 5
400 N " 571 ,4n 0,7
Diagrama de cuerpo libre de B : Trazando un sistema de "les coordenados, con el eje x paralelo al plano inclinado:
F (eos 370
SuSlltuyendo en valores:
NA " flA ..
Wa sen37"
571,4 • 0,92 N 0,44 Rpta.:
W. = 1 lQ4,74 N
~)
191
FiSICA GENERAL
¿Cuál debe ser et máximo peso W, en la figura, para ~ el dlindro esté en equiHbrio? Siendo el coeficiente de rozamiento entre arrbas scperticles de contacto Igual a o,a; peso 'P- del dlindro es eco N.
PROBLEMA 12.
r = 20an ;
R = SOcm
wr -1.I2 . P. R - II . P. R = O, 2
de donde:
w = ",1.1_."-P...;..-,R-;+_I.I,,,-,P___ R r
W;; (oa)2 , In) · SO + 03Q , ·1n) · SO 20
Apta.: w = 780 N PROBLEMA la. A unpesode100Nsele aplica ooafuerza horilof>. taf detracción de 80 N. ¿Cuál será la velocidad del cuerpo a fos a segundos de haber InICIado la aplicadón de la fuerza? !le ,,0,4
A
Y !l. " 0,2. p
RESOLUCtÓN :
F
Diagrama de cuerpo ibre del dlindro:
Ne
N
R -
Rsrru .
IJN
RESOLUCiÓN : Sí la fuerza de =amiento eslátJco del cuerpo es mayor que 60 N, el ruerpo no se mue-
ve. Veamos:
w
Ae·~·Ngp
Sabiendo que: R = R.... = 11• . N
Tomando momentos ron respecto al punl0 'O' ~ es el centro del dlindro: l:M o = O w .r -R~ . R-RB . R
As
= 1.1 . Na
y R.
sustlt~
= 1.1 . N...
(1)
(1)
1: F. = o , luego:
Por áro lado:
N. =
= O
As
=>
N. = 1.1
Na
en (1) , luego todo en ( 1):
wr -I.I I.1 . NB . R-I.I . Na .R" O,
pero: Na = P ; luego :
R" OA . 100N" 40N
Lo que Quiere decir que et rozamiento. sólo opone una fuemo de 40 N al desplazamiento y romo se aplica al cuerpo una fuerza de 60 N. el cuerpo si se rrueve con una fuerza equivalente a la d~erenda, es dadr: F-A = 6ON-40N" 20N
Cálculo de la aceleración con que se rrueve el ruerpo con esta fuerza: 1: F. =
m. a
f·R" m. a P F· R "
9
a
DINÁMICA
192
a = g(F·R)
dedalde.
P 2
98m/s . 20N = 196 152 100 N , m
Cálculo de la velocidad a los 3 s: v = a. I = 1,96m/s2 • 35 Apta.. V
= 5,88 mis
F = N(30 + 511) : con datos : 105 SustlIuyendo datos:
F = 100(30+5 . 0,3) 105 Rpta.:
F = 30 N
PROBLEMA 15,
Enlatigura,eltamborgira en sentido antihorario, y se desea saber cuál es el valor de la fuerza ' P capaz de frenar ellambor, para una fuer· za de presión de 100 N en la zapata, y m = 0,3 (Fuerza de preslOn es el valorde la nor· mal N a la zapata),
PROBLEMA 14.
F
Unabarrahomogéneade
longitud 'L' y peso ' S', descansa honzontalmenle, como se ve en la figura con el eXlrerno libre sobro un bloque de peso "a', Este bloque es1á en reposo sobre un plano Inclinado de ángulo 'n' con la hOrizontal. Calcular el coehciente de rozamento '¡.l', entre el bloque y el plano para que haya equilibrio. Suponer que no hay rozamento entre la barra y el bloque.
75 cm
30=
.....
5cm.1. ,
o.
J
RESOLUCiÓN : D.C.l. F
75 cm
J
N R
30 cm
5 an A.
M..
J =
O
F 105· N 30, R 5 = O 105F = 3ON.SIIN
de donde:
R,
S = -200;n
(1)
DIagrama de Cllerpo libre de ' Q' :
FiS/CA GENERAL
193
RESOLUCiÓN :
Sea el sIstema xy con ef eje 'x' paralelo al plano
inclinado.
I:F. = m . a
,
,,
F • R . Pseo37° = m. a
, /
Pero:
O
luego:
F· I'c . N. Psen37" = m. a
IX
y: I:F, =0
1'. N • a sena. ..
N
N
=o
l'
EFy
(2)
l'
0 . 2sencxCl)$a
2 =
F = m a + m 9 ( ¡.le cos 37" + sen 37°)
=o (3)
• 9,8ml S2 • ( 0,25 •
s
de donde:
F
IJS, 21'0cos2cx
Rpta.: F
= 49,2 N
PROBLEMA 16. Calcular la fuerza que debe aplicarse al cuero po de masa 5 kg de la ijglX8, para que suba con .....a aceferación de 2 mis',
¡¡e
F = 5kg . 2m/s2 +Skg .
COSa ,acosa
!-I(S + 20cos 2 a)
Oscn2a •
fuego:
despejando F :
Sustituyendo (1) Y (2) en (3) : =
;
F . ¡¡e m9 cos 37°· m 9 sen 37° = m. a
= R1 + acosa
O . sena
=P cos 370
F . l'e ' Pros 37°· P sen 37° • m. a
Qsena
=
N
~
+
~)
= 49,2 kg x rT'/s'
PROBLEMA 17.
Dos anillos ingrávidos pueden deslizarse a lo largo de .....a varilla horizontal de coeficiente de rozamiento m. los anillos están unidos por un cordón ligero e inestable, de longitud 'l', en el p.....to medio del cual se sujeta un peso 'W'. Calcular la distancia entre los anilIos cuando el sistema está en equIlibrio.
= 0,25 . Se da el D.C.L
•
y'
9
N
LI2
t--p
RESOLUCiÓN:
d
----+',
o.Le. ce un an1ll0:
t94 OI'lAM/CA .:..:..:--------_-=.=~---
- -
- -- - -
e
se aplicada en el centro de gravedad como se indica en la figura.
)
4.
-
A
N
- II . tI
,
1 (1) 11 Por otro lado, en el t"ángulo reclángulo geométrico adjunto:
19B
19 B ;
~
¡J . N
Il
L
w
A • .J.lN
a
N
RESOLUCIÓN : U2
J
~
I F. = O P = R = ¡J . N IFr ~ O
[1 )
N
~
W
(2)
~
fl .W
(3)
(2) en (1) :
L2 + d2 - -2d
P
W . .!!. sen a
2
3"
t9 e
(2)
=
p
----, ./ ___ (r - r sen 0:)
~/2
Ig e
B
1 ¡J
de donde: Rpla.: d
PROBLEMA 18. Un cilindro corto, de base semicircular, de radio ',. y peso W. descansa sobre U'la superlicie holl2Ol'llal y es soliCItada por una fuerza hori20ntal 'P', perpendICular a su eje geométrico, aplicada en el punto B de su borde frontaL Hallar el angulo "rI' ~ la superlicle pla· na formará coo el plano horizontal antes que se IniCie el deslizamiento. si eIcoeficlente de roza mento en la linea de contaclo "A" es m. La fuerza de gravedad "W' debe considerar·
~ P(r · rsena)
W 4rsena = P r (1 • sen a) 3rr 4Wsena = P(I. sena) 3n Suslrtuyendo (3) en (4): 4Wsena 3rr
~ ¡J
(4)
W(I . sena)
de donde: Rpta:
PROBLEMA 19. Un cihndrocilCUlar fioode peso 'Q" y radio "(' se apoya sobre dos cilindros semicirculares del msmo raó., y de peso '0/2" , como se indio ca en la figura. Si el coefiClen1e de rozamenlo estálico entre las superficies planas de los cilindros semiCirculares y el plano horizontal sobre el cual se apoya es "¡J" y no hay roza·
195
FiSICA GENERAL
miento apreciable entre los cilindros, calcular la distancia máxima "b" enlre los oentros B y C. para que haya equilibno" Sin que el ciindro del medio toque al plano horizontal.
de ~onde:
PcosO
N =
(2)
fl
1:Fy = O
N = PsenO . O/2 Susl~uyendlo
(1) y (2) en (3):
o
cos 8
2senO
ft
de donde:
RESOLUCIUN : PsenO
YI
senO.
2 senO
= 2ft
,
2,
2
(4)
e --1
bI2
1 -0I2 - - t
p '
o
2,
,'h
e
p senO
p
a
=
ctgO
HaCIendo el diagrama de cuerpo libre de "Q":
(3)
Por Olro lado: en el triángulo ISÓsceles: p
O
x
ágO =
..
O: 2PsenO P =
(5)
Tarnbocn:
o !: F, =
b 2h
a
h =
=a (1)
2
4r •
b~
4
Sustituyendo en (5) :
2sen9
Haciendo el diagrama de cuerpo libre de Q2.
cl9 e
=
b
,
IY (6)
•
--p-cooO--
Igualando los segundos miembros de las eaJaaones (4) y (6) : b
J16 r' . b
2
QI2
1: F,
= O:
P cos ti
= fl N
elevando al cuadrado y despejando:
DlNAM/CA
196
de donde: Apta:
Los bloques pueden separarse hasta que la fncci6n estática sea máxima.
o:
EF, =
b
Tcosa=R ó: Tcosa = IlN
PROBLEMA 20.
es "m". Una cuerda de lonQltud "L" está suspendida sobre los bloques. la rual lleva un peso "O" en su punto medio. ¿ Hasta qué distancia podrán separarse los bloques permaneaendo en equilibrio? ¡ - - - . _-
o.
l:F, =
Dos bloques de igual
peso "W , pueden desI~ lame sobre una barra t-onzontal. el coofiaentede rozamiento entre los bloques y la barra
Tsena+W = N SlJSt~uyendo
T cosa = Il (hen a + W) Sust~uyendo
(3)
(3) en (2). (4)
(1) en (4)'
Tcosa=Il(~+w)
....,
(2)
(5)
Dividiendo (1) entre (5): O
Iga ~
02
(6)
1'(2 + W)
RESOLUCiÓN : Diagrama del punlo "A" con el peso "O":
Por otro lado, llamando ".. a la máXima diStancia entre los bloques:
YI T
sen u
IVT_.s~
~~ cos [a T
T coa-a
(J
-
"lJ2
.
a U2
I
2T5OOa = O Tsena =
Q
(1)
2
(7)
Diagrama de un bloque de peso W' y
Igualando (6) Y (7) y efectuando:
---_ •..
Tcosa - - T
w
197
RSICA GENERAL
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
El coeficiente de rozamiento estático máximo entre los dos bloques es a Entre el bloque 'M' y la berra no hay rozamei· netu CalruJar el valor mi..mo de la fuerza ' P para que el bloque 'm' emptece a deslizatSe sOOre ·M·.
CoefJOente de rozarroento en ambas sl4'erfici,
F
Rpta.: Rpta..
F: (M + m)ag
En la fIQura el bloque pesa 200 N si se le aplica una fuerza horizonIaI de 300 N. ¿se mantendrá en eqt.i1lbño? El coeficiente de rozamiento estábco es 0,3
2.
F . 3OO N
No gira.
s.
Un m6'Ji1 marCha a 10 mis. I-orilontaf. mmte.Su masa esde!iOO kg. ¿en cuánto tletTflO parara al aplicársele los frenos? Si el coefiaente de rozamiento es de 0,6. 9 = 10 mls2.
ApIa..
1.67 s
Un auto marcha a 60 km/h. Su masa es de 800 kg. Calcular la dislaOOa que
Apta ' Como R ~ 352,85 N, el cuerpo se deslIZa. ¿Cuál es el vaiordel ángulo "a' para que el bloque B de 90 N esté a punto de deslIZarse? El coeficienle de rozamiento entre las dos supe!1icles es 1/3 yelbloque 'A" pesa 3ON.
3.
Rpta: 23,22 m ¿Cuál será la aceleración de carda de un cuerpo a lo largo de un plano inclina· do de 45' si su coeficiente de rozamiento es de 0,27 (conSIderar g = 10 mis').
7.
Rpta.: 8.
a
4.
Calcular SI con la fuerza de 60 N sedesrIZa (rueda) el cilindro de peso 200 N.
4
J2 mis'
Calcular la fuerza horizontal necesaria para subir l.fl bloque de !iOO N de peso a
F
DINAM/CA
198
lo laIgo de U'l piara ronado de en con veIocidad triforme; caJctAar tarrbén la fuerza """"" sanapara bejar'o con U'laacelemcióo , de 20 mi 5'. 8 coefiCIente de rozamenlo es 0.4.
12. Un cuerpo desciende por tri plano indinado rugoso de 45"; SI el plano fuese liso, el tiempo que emplearía seria la mitad del que empteó adualmente, CaIcUar 11, si
PP1a·.
los cuerpos parten del reposo. 3 Apta.: Ilk ¡
3470,36 N Y 272,88 N
Sobre un plaoo indinado de 60" está tri cuerpo der 80 N de peso. Si el coeficiente de rozamiento es 0,5 , calcutar : 9.
a) la fuerza necesaria para subir.
b) la fuerza neoesana para que no baje. Apta.:
=
13. ¿CUál debe ser el peso mir4mo de A para que el sistema esté en equilibrio? tga" 3,11. = 0,2.
a) 89,28 N ; b) 43,28 N
A J,l. e
10. la barra homogénea de peso 'W" se apoya en la artirulaci6n 'A' y en el bIoque 'S' que pesa wl2. ¿Oué fuerza horfzontal, 'F', debe aplicarse al bloque para que su movi...ento sea inminente si los coeficJentes de fricción entre la barra y el bloque y entre el bloque V el
300 N
poso es~? Apta.:
f
Apta.:
i'
U2
3 F = 2
~w
Apta.
F1m
B
= 0.2
= 30N = 15C N
= 100 N
,
A
WA
A
14. Hallat la min,ma fueru "P' para que se ,nocie el mowriento de C.
11. Dos ruerp05 está n comprimidos por un resorte. ¿Cuál debe ser la minima fuerza que ejerce el resorte sobre etlos para que no se muevan SI están situados en un plano ""rtica/?
~
O
JI ~
We
:c Jl,
~ ~s
2;
A = lOON: 8 = 300 N ,
Apta:
= 0,2
0.6
e = 500N
Pm/n = 250 N
15. Una viga homogénea se apoya en et punto A en un piso honzontal áspero y
0.2
= 40N A
Fls/CA GENERAL se sostiene en el punto B por una cuerda. El coeficiente de rozamiento de la viga con el piso es 11 • El ángulo ' ct' formado por la viga C01 el pISO eqllvale a 45°. ¿Para qué ángulo de irdinación P. de la cuerda hacia el horizonte, la viga errpezará a deslizarse?
Apta.: tg JI
;
1 2+11
Un cuerpo K está en reposo sobre un plano inclinado rugoso. Ef ángLdo de indinaciOn del plano con la hori· zontal es ct YIl. > Ig IX. donde: 11. es el coeficiente de rozarriOOlo estático. En un instante det...• rmado se conuica al cuerpo una velocidad iricialV. órigida a lo largo de! planohaciaabajo. Determinar e! camino 'S" recoo, ido por el cuero po hasta SU palada, S e! coeficiet ,te de roza· rrierto cUan1e ellllIlYYnien10 es fl... ..
y está aplicado en e! punlo e que divide la escalera en la relación m : n. Determinar el mayor ángulo'o:' que forma la escalera con el muro en la posición de! equilibrio, así como la componente normal de la reaciOn N. del rruro para este valora. Apta: tg a =
16.
Apta · S =
199
V2
(m + n) 11 52 m • n 11 s,l1 52
N,,;
PIl52 1 + l' 5,11 52 18. El sistema mostrado en la r¡gura se encuentra en reposo y está conformado por una carga W y la barra homogénea AC de 5 N de peso, la cual está apoyada en una superficie horizontaf áspera Se pide ca/cular: al bl
El módulo de la reacción de la super1icie de apoyo sobre dicha barra para el equilibrio del sistema. Hallar también la tensión de la cuerda
O
2g(l1k cosa· sena)
cmsiderar : 19 53" ; 2
1 2
17. La escalera A está apoyada contra un rruro vertical, su extremo inferior está puesto sobre e! piso horizontal. El coficiente de iOZBtnÍenIo de la escalera con e! rruro es m,."con el piso esm" •. El peso de la escalera con el hombre que se halla en ésta es 'p'
"""-7\.,,, --\
e m
RpIa.: a) R =
JiO N
blT = J5N
B
DINÁMICA DE LA ROTACIÓN PRINCIPIO DE INERCIA PARA LAS ROTACIONES Todc cuerpo que permanece en reposo
y todc ruerpo que permanece en movimieo-
to circunfererv;i¡,1 unifoone, seguirá con este movimiento, salvo que srore él actúen tu• ptas exteriores que le otflQUen a modificar esos eslados.
DINÁMICA
200 MOMENTO DINÁMICO DE ROTACiÓN "M"
Es la tendencia a la rotación o al giro de
-{'---_--'!J.(~
..... masa 'm', alrededorde un punto. SuvaJor se calcula así:
F
F - m. a
a - m
Alrededor de un ciámetro central:
"""0
mlr-..tL.._ _
(~
-{ I
' - - - - h - --J porRo
2
donde:
F . R=M
+
m.h 1 12
Y a=a . R Alrededor de cualqt.ter diámetro:
M_m.a.RR
1M
2
I = m .4R
FR = m . a . R
= maR2
1
..,.".
(I)
, eje
M : Momento, en "N . m" m:
Masa. en "kg"
a' Aceleraaón angular, en "rad/s"
R : Radio de giro, en metro "m" MOMENTO DE INERCIA "1"
Como lo que almee resistencia a la rotación es la magn"ud de ~3 rmsa y la longitud de la oJerda O radio de gIro, el produclo m R' se Uama INERCIA o MOMENTO DE INERCIA.
!
I
u
m
~
I
( 111) MOMENTOS DE INERCIA ALGUNOS s6uoos
Alrededor del eje:
nL..n----7*,
(11)
Qmparnndo (1) con (11) se conclJye q..oe
Alrededor de un eje cenlral.
.
_m(a 12+ 2
2
b )
DE Alrededor de un eje en el extremo perpend.-
rular a h de una bana:
201
FlS/CA GENERAL
eJe I
3)
AJrededordelejedelaro:
I = m. R2
!I
Alrededordel eje de ..., aiInao anJlaroanlo.
h f'I
I =
t,2
~ (Rl • RO
1=-31.
I
R,
Alrededor de un diámetro de un aro:
"
--I-ct ,- --- \
eje
TEOREMA CE LOS EJ ES PARALELOS O TEOREMA CE STEINER
2.
Alrededorde una langen1e de lJr1 aro:
Cuando..., sólIdo rofa alrededor de un eje paralelo al eje QUe pasa por el centro de gravedad (C.G.), el momento de inercia "1: con respecto a aQUel eje, se calcula con la fórmula de Steiner.
eje
1.. _I C +m.R2
Momen1O de inercia con respecto al centro de gravedad.
m
R
Masa del sólido. Distancia entre los ejes.
PROBLEMAS RESUELTOS PROa LEMA 1.
Un dlindro de 50 cm de
De la figura:
radio tIene enrollado una
cuerda de cuya pu1Ia pende un peso de 80 N: SI el cilindro tiene lI"l8 masa de 200 kg, caJcular la aceleración angular del cilindro. (9 10 mis').
=
T
M=T . R
(1)
T = (m . g-m . a)
(2)
M = la (2) Y (3)
en
(1):
1a = (m .g. m.a .R) R
~m,~a a =
T
= m(g·aR)R
2m11-
(2m + m,)R
(3)
DINÁMICA
o
roo = 1,48 (7'1) = 1,48 7'
PROBLEMA 2.
Dos eslems de 80 g cada una, están colocadas en los extremos de una vanlla de 2 m de Iongi\ud, de masa despreciable y gira alrededor de su pooto medio en un plano horizontal. A 30 an del eje de rotaaón se aplica sobre la valÍlIa, en lJ1 plano que contiene a la varilla, perpencicUar a ésta yen el mismo plano de giro, una fuerza de 4 N. Calculár la aceleración argular.
¿Cuál será la aceleración angular, si las msmas esferas, del problema anterior, se acercan y se por1Efla 30 cm delejede giroy la fuerza se aplica a 1 m del eje. Dalos: PROBLEMA 3.
m=2 . 80g F = 4N
d = 1m R = JOcm
,. ----t
, \
a
RESOlUCIóN : M
M
RESOLUCIóN :
M = 0.1 : dedonde:
a
a
M I
=F. r =4 N. O,a m =1,2 Nm
= 4N . 1,0m
=
4 Nm
(1)
mIs
I = 144 . 10" N • m • S2 Sust~uyendo
= m .~
, luego:
(1) Y (2) en (a) :
a = ___4.:.;N :¡....:.:• ....:m "-_" 144 • 10" N • m • s2
1 = 21,
••
(2)
(1)
Cálculo de 1: 1 = 1, + 12
Además: 1,
r
I=O,0144 ~ . m2
(a)
CálaJlo de M:
pero: 1, = 12
(a)
I = 1, . 12 = 2 ~ = 2 • m Al I = 2 . 0,08 kg • (O,JO m)2
Sabiendoque:
M
=F.
=M f
Apta.:
O = m,7
rooI S
I = 2 m ~ = 2 . 0,08 kg . 1 mI 1= 0,16kg . m': Susbtuyendo (1) y (2) en (a):
o =
1,2Nm 0,16 kgm2
Calcular la velocidad de caída, cuando se suella un peso de 400 N que está amarrado en la plJ1ta de la cuerda enrolada a un cilindro de 100 kg de masa, y de 25 cm de radio, en el lIempo de 2 s. (g = 10 mis') PROBLEMA 4.
FfSlCA GliNERAl
203
y 1 m de Iongrtud gira alrededor de li'lO de sus extremos, al aplicarle Lrl1I fuerza de 8 N a una ástancia de 20 cm del eje de giro. Calcular la aceleración angLAar.
m = 20kg ~ = 1m
RESOLUCIóN : V = a, . t
a,:
aceleración langencial
V
A=20cm
a = ?
F " 8N
= a A. t
(1)
Del problema 1:
2m_ .g _
IX'
(2)
o
R (m, + 2 m) Sustituyerdo (2) en (1):
V = ( 2 m.g )1 "".2m AESOlUClóN : ~valo
V =
2(400N)
(2 •
41~
. 2s
+ 100) kg
M
=F . R I =
Apta: V = 8,9m1s Del problema anterior ¿cuánto tardará el peso en desarrollar 20 mde cuerda? AESOLUCIÓN : Del problema 1:
ex =
Sustituyerdo dalos: a = 4,4radls~
Además: I = (Tt1 =
~ a
sustituyendo datos: t =
Apta.:
JaA 2~ J4.42
en (a):
3F.R m . ~2
3 • 8 N • 0,2 m 20kg x (1 m)2
Sustituyendo el equivalente de kg:
2m.g A (m, • 2 m)
1
m.tt!
ex "
a =
Apta.:
y: 3
PROBLEMA 5.
a.
(a)
a = l'
de donde: Donde: M
Se sabe: M = a I
0,6 x 8N" m N 2Ox--2 " lm2 mIs
ex = 0.24 radl s'
PROBLEMA 7. Un disco metálico t.ex
x
20 S
0,25
=6 s
PROBLEMA 6. Una barra de 2Q kg de masa
ne una masa de 6 kg Y 1 m de diámetro. calcular el momento de inercia con respeclo a un eje que pasa perpendicular: a) Por el centro del disco. b) A 30 cm del centro.
DINAMICA
•
gitud 'L', describe, con velocidad constante V. una cil'CLfllerencla horizontal. Cuando el cuerpo describe su trayectoria la cuerda desclibe la superficie de un cono, formando un ángulo "Il' con la vertical. Calcular el período 'T" de revolución en función del ángulo 'O', la longitud 'L' Yla gravedad 'g'.
b
Aíslando el paralelograrro de fuerzas que incluye F c ,W,9yT.
RESOLUCIÓN :
I
50 cm
~
.....
30crn
.....
RESOLUCiÓN : a) El disco gira alrededor de 'G' que es el centro del disco. 1
= -2
lo
\
m . R'
,
B kg . (0,5 m)2
lo = 1 kg . m2 b)
I
I
' ..../
i.
lo =
,,
W 81' .... _
Siendo:
cuando gira alrededor de '8' : (Sleiner) lB ~ lo+mcP lB; 1 kg . m2 + 8 kg . (0,3 m)2
I
R
Fe = fuerza cenlrípeta Fe = W. lg9
(1)
Pero se sabe que: Fe = m.Be = m.w 2 R
(a)
Rpla" lB = 1,72 kg· m2 PROBLEMA 8.
La figu ra representa un pequeño cuerpo de masa
T
'm' , suje10 al ex1rerno de una cuerda de Ion-
w
L
---
Por airo lado:
,, , 1
,
(b)
Sustituyendo (a) y (b) en (1):
\
m
W = m.g
m.Cll R = m.g.lgB
I /
-------
De donde:
w 2 R = g.lg 8
(11)
205
FISICA GENERAL
f-'~ro en el tnárgulo /lOS de
la figura:
= lsen9
R
ReerTlliaZando en (11) Ysi""llfoc:ando:
M = a .t
Ademas:
a
1 2
T R = R
6:
(J)2l~e = gsen9
(1)
T=m(g·a)
CXlS9
2
- mR
1
(2)
T = 2 m.• (1)
(1) = (2):
2"
Por otro lado:
(11 = (2):
R¡m:
(2)
w = T 2" _
1
= 2 m.a
De donde, despejando a:
2
,--g
T - .¡
m (g • a)
Apta.: a = 3 9
LCXlS9
PROBLEMA 10. Una barra de masa des·
T= 21t tc;9
preciable tiene una Iongi· tud de 1,20 m. A lo largo de la barra se colocan tres cuerpos de 2 kg de masa cada uno,
Un disco de radio R y masa "m" se desenrrolla de ura ruerda tMara de masa despreciable. 1al como se muestra en la f'QUIl!. So el disco se desplaza verlicatrrenle, calcular la aceteración del disco. PROBLEMA 9.
si1uadosaOan, 40 cm, y 12Ocmdeunextremo. Calcular el momento de Ineraa del con-
junto con respecto a ..., eje perpendic:tJlar a la bana que pasa: al por un extremo de la barra. b) por el centro de la barra, y calcular los radios de giro en cada caso. <.DM
r?
m
r - 40cm
M
El -l
M
O
I
1
~1---- '20 cm
-----.f
RESOlUCIÓN : T
m 9
RESCUJCIÓN : a)
EF = m.a m.g • T =
m.a
B momento de inercia del conjunto con respecto a un extremo es: 1, = EMR 2
= MR~ + MR~ + MR~
DINÁMICA
Como:
R," O :
suslltuyendo datos:
l •• 2k9[ (0.4m)2 + (1,2m)2]
Apta.: la = 3,2 kg m2
Por otro lado $e sabe que: RESOLUCIóN : Aa = RpIa~
al
M = m.a.A2
J3,2 6kg kg m2
A. = 0,73 m
El momento de inercia con respeclo al
centro:
l=m,W ~
pero:
(A)
A2 =
y:
M = F.d
..
Sustrtr.yendo (1) Y (2) en (A):
I
lb = 2ko[ (O,6m)2+ (0,2m)2+ (o,6m)2}
de donde:
~ : lb = l,52kgm2 ;
Cálculo de I :
(l
F,d
=
.!.
m
(11
(2)
= 0,11
F.d I
(8)
1" Sm,A>
I = 3kg((0,10mi' + (0,10m2 ) +
+ (0,20 sen 60" m)2 )
I = 3kg. o,o5m2 " O,l5kg m2 Suslituyendo valores en B:
a = RpIa,:
3,46 N
R,. = 0,5 m
= 0,15 kg m
PROBLEMA11.EnloslllÍl1lCeSde .... triáfl..
gulo eqLilátero de20an de lado. hay 3 masas de 1 kg cada una. Calcular la aceleración angular cuando el sistema gIra atrededor del punto medio de uno de sus lados, en un plano honzontal que contiene al tnánglAo. por acción de una fuerza de 20 N aplrcada en el vértice q¡uesto al punto de giro con .... 8 d"ección paralela aliado donde está el punto de giro.
20N • 0,20 set160" m 0,15 kg m2
3,46 N
o=-=~N~·m
0,15 . m/5 2 Rpta:
a = 23 rad/s 2
PROBLEMA 12,
B\oIqOe(F.d),deunaru&-
da que rota es de 20 Nm debido a la Iricdón de los ejes. La rueda tiene un radio 0,80 m y 200 kg de masa Su vetoci·
FISlCA GENERAL
dad~ularesde200radls.
¿Cuánlotiempo
derrorará en detenerse?
207
Dende.
F.d I
(l =
e F.d m.Az
(l = - -
Sustituyendo valores: (l =
20Nm 200 kg • (o.ea mIz
(l = 0,15625 rad/sz RESOlUCiÓN :
"'1
= "" - (l .1
=O
pero: 'llI
"'=(l. 1
(I)
ID, = 200 radl S
Por otro lado:
ro¡
De (1) :
1= -
11
t=
F .d = a . 1
200rad/s
0,156 25 rad/s 2
=1280s
Rpta.: \ = 2\ mio 20 S
PROBLEMAS PROPUESTOS 1,
OQtem'll1atehl1Omelltodeinerciacon re!7pecIO a Lr1 e,e perperocuiar a la variIa ir>grávida que une a las masas In, 3 kg : 5kg ; m,= 10kg;yquepasaporA.
=
rn. =
lo. ~,5m -..--- ,
m - - - 1'-
~----~o~------~o m, m, Rpta.:
l.
= 23,75 kg m'
C8IcUIatelmanenlo de lneraa delaTI&rra con respecto a un eje que pasa por su cenlro, SI se considera que es una esfera de 6 400 km de radiO euya masa es 5,96 . 10 · ' kg. 2.
Apta:
I
= 9,16 . 10
37
4.
Un cilindro de 19,85 kg Y9.84 pulgadas de radio, está girando a razón de 40 lt radls con respecto a su ele geoméltioo. ¿Cuál es la tuerza tangeraal para parar después de 1 !lOO rl!'.ll:Auciones. Apta.: F
Del extremo del cordón enrollado en un carrele ciHndrico de radio 5 cm y peso 4,4N, que puede girar alrededor de su eje, se cuelga un peso de 0,2 N. Calcular: a) La aceleración ~ular. b) La velocidad de carda del peso, al cabo de 1 s. e) ElliefTllO que tardará en desenvcillerse 10mdel cord6
s2.
r CCCC( () z
kg m"
Encontrar el raoo de giro de una barra de longijud "L" que gira alrededor de Lr1 eje Ir1InsVersal que pasa por su punlo medio. (K = VM). K : racio de gitO.
3.
Apta .
K=~L
= 1,73N
20g 1
Apta.
a) 16.35 rad/s 2
e) 4,94 s
b) 81.75cm/sz
DINÁMICA
208
En la figJra mostrada el peso ' A', desciende con ...,. aceleración de 10 mis'. Está lrido por lToB cuerda SIl peso, flelilIe e i exIei lSI:>Ie lJ.lEl pasa por un tarrllor liso, a un ciorrl"o 'S' homogéllOOde 49 N de peso. Sobre el cimo actúa lJ'l momento (M = 8 N . m) en sentidoarü1orano HaJar el peso de 'A'
6.
par produce éstaaceleIlIC1Ón?
Apta.: M
=4,5 N m
Un
disco. ApIa:
10. Un volante cuyo momento de inercia '1' es 623 kg • m', Qlra con una '!!llocidad angular constante de ro = 31,4 rad I s . HaUar el momento decelerador 'M" bajo cuya aCCIón el YOIanIese de11ene al cabo de LI'lIlempo t", 20 s.
Apta.. WA = 26,4 N
Una esfera hctnogéoea de 20 cm de diá· metro y peso 304 N gira libremente alrededor de un diámetro. ¿Qué momento cons· tante es neoesano para hacerla pasar de 20 RPMa60 RPMen l.? 7.
R¡Xa.: M
=0,52 N m
Un cilindro de 60 cm de diámetro y 490 N de peso tiene lJflB aceleración de ;1 radls', alrededor de su eje geométrico. ¿Qué
S.
a ; 1,96 rad/5 2
Apta. M = 978Nm 11. Una barra de 1 m de longitud. que pesa 5 N gira en un plano vel'llcal alrededor de un "le honzontal que pasa por su centro. ¿Con qué aoeleracron angwr girará la balTa SI el momento de rotación es Igual a 9,81 .1 0" N m.
Apta.: a = 2,3radls 2
'Dear la ",,/dad es la manifestación de la pureza del alma'
J:Jan Goñ¡; GalafZ8
RS/CA GENERAL
CAPíTULO 7
CENTRO DE CRAVEDAD CENTRO DE GRAVEDAD "C.G.·
Ejemplo: Localizar el C. G. en el caso de la
fogura
Es e! punto donde se supone está concentrado todo e! peso de 1Sl cuerpo. Cuando e! cuerpo tiene forma geométrica regular, generornenteeotnade et centro de gravedad con su centro geométnco. B centro de gravedad puede estar dentroo fuera del cuerpo.
0---- • ----t I I I I
2N
2N
I I I
t- 3m
Sm --.t- 3m ~
TEOREMA DE VARIGNON
'Enrualq.jerslS1ema de fueaas, se CI.Jffio pie que. la suma de todos los momentos producidos portas fuerzas componentes con res· pecto a un punto, es igual al momento producido por la fuerza resultante con respecto al mismo punto.' As! sea el punto A:
r----
'" - - - - - - ; 0--- . I I
RESOLUCIÓN : A = 3N.2N·2N = 3N
3NX = 3N . llm·2N . 8m+ +2 N . 3m 3X = 33m·16m+6m Apta.: X = 7.66 m. desde A.
POSICIÓN DEL CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO
Se determina con respecto a 1Sl sistema de ejes coordenadas mediaflle la relación: CG(i;.V;l
A. X = F, XI + F¡ "2 + F3 x3 X = F,., + F2 A"2 • F3 x3 ---
Esta expresión indica la ubicación de! cenlrOdegravedaddeUl'lcuetpO referido a un . sistema de ejes cartesia-nos X eY. los valores de·.o • y de' Yo • son las coordenadas det C.G. se calcularán así; la suma de todos los momentos de todas las partioulas def cuerpo colgado de una mane-
CIOIiTRO DE GRAVEDAD
210
ra, en direCCIÓn de Y por eJemplo, da el valor de "xv" . (J,gura 1) F1 x1
...
F2 x2 .. .. .
F1 + F2 + .. .
(1)
y
el centro de gr¡M!dad de LIl3. figura plana o de una figura voIuméJrica se loma oomc referencia los centros geométricos como centros de gravedad parciales de planos y volúmenes y se calcula asr: a)
(2)
De áreas:
ig
F
A1 x, +A 2 x2· ··· A, + Al + .. .
;
A1 y,·A 2 Y2· ··· A, • A2 .. ..
Y9 = b) De volúmenes:
~v F (3)
Xg
=
Y
Yg =
VI XI
+ V2 x2 + ...
VI + V2 ' .. . V1Yl,V 2 V2+ ···
V, .. V2 + ...
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la ptaca de áreas mostrada. referidas al slstema >I!J. Ejemplo:
4-:::-.---~v -
La suma de todOS los momentos de \odas las panlculas del cuerpo colgado transve
Yg
;
y
x
_ F~1Y,=Ié.+--;:F!c2.:..Y!c2_+_._._.
• 8
10
2~
"'.
".'
5
I
x
F, • F2 + ...
Cuando se trata de calcular el centro de gravedad de una figura plana que se puede deSC
porCionales a sus pesos, luego para calcular
RESOlUCIÓN :
Al
x,
=2 x 2 =4 = -5 VI = O
Al = 10 x B = BO A,=8x5=40
x3 = 8
Vs = 1,5
Ahora, se sabe que: Al.) +A 2 X2 ... A 3 )(J
A, .A 2
TA s
211
FISJCA GEiNEiRAL
Yg =
A, y, . Az Y2 +AgYg A,.Az ·A ,
Susti1uyendo los valores:
=
4(-5) • 80 • O • 40 • B
Xg =
320 + 80 3110 124 = 124
4 .80 .40
1""24
=
Yg
:m
320 - 20
= 124
Luego:
= 3,00
C.G. (2.42 : 3.06)
ig = 2,42
CENTI?OS DE Cf?AVEDAD DE FICURAS el
DE LAS LÍNEAS
De la ci rcunferencia:
al De In! recta: El punto medio. C.G.
b)
Del perimelro de .... triángulo: Irtersecoórl de las bisec1nces del lriángulo formado al unir los puntos medios de los lados.
f)
~~7 M
I
N
, . -x
2,
I
el De un paralelogramo: Es la intersección de las diagonales.
De una semicircunferencia: Está a 2 rfp de la base.
g)
De un arco de cl.conferencla:
A8 (cuellla) del .~_ Está a r AS (aJtO) .......v. A
dI De un rectángulo:
Es la intersección de las diagonales.
B
212
CENTRO DE GflAVEO'.D
DE LAS SUPERFICIES
d)
De un cuadrante de círculo:
De un triángulo: Intersección de las medianas, a '13 de la attura de la base,
a)
4R 3lt
I
M
--
I
I
......... CJG_-
el De un sector circular:
-,..~
... ---, - ....
ii =
b) De un paralelogramo, rombo, r·eclángulo y cuadrado: Inlersección de diagonales.
2 cuerda AS arco AS del centro.
3r
A
I
\
,
I "
I
I
B
CG"
I \
\ \
DE LOS VOLÚMENES
a)
Prisma y cilindro rectos: h
y = -
2
C.G
el Trapee lo:
y=
(Be+/bb)~
de la base.
b)
Pirámide y cono rectos:
Y~
d)
De un semicírculo: _ 4r y= 3lt de la base
h
213
AS/CA GENERAL
el Esfera: Centro de la f19ura.
d)
Semiesfera:
y= ~R B
PROBLEMAS RESUELTOS H~lIar el cenlro (le gravedad de la placa que se
PROBLEMA , . y
J,,"
,,
, 11
\
\
, ,A,
8
•
--r
,,
a
-----<
RESQUCIÓN:
Para resolver es1e ~ de problemas. el área hueca se conSIdera como un área negativa A, = ItR 2
RE8a.UCION :
'1
= R
1..,=6 . 4=24 "
= O
1.. 2
ItA 2
y, = 3 - 2 = 1
4
= -4 .6 2- = 12 5R
Y2 = O -
"v
Y, = R
= 6
+ 12.1013 = 40 = 111 24+12 36 '
= 24.0
- _ 24.1 + lhO _ 24 _ 066 Yv 24 + 12 - 36 - , PROBLEMA 2.
Hallar las coordenadas del centro de grllll€dad (le la paca drcular recortada. como se mueslra en la figura.
PROBLEMA 3.
Hallar las coordenadas del centro degravedad de la placa recortada según la figura.
CENTRO DE GRAVEDI\D
214
y
~--
2a
Centro de Gravedad del cono =
.f2!1-- - - -
¡
R
Altura del Q;)flO = R
Red., base del dllldro = R RESOLUCICN .
•
v,
Para el cono:
= 1 11 R2 R = 1 /t R3 3 3
1
" = -2 R - 4 A RESOluaÓN :
'1
A, ~ 4 a2
Y,
=O :
• Al ~ '2
"2 = a 2'¡'
;
Para la esfera :
_a 2 "2 V2 = !2'¡'
Para el cilindro: Va =/tR 2 x
Luego. los centros de gravedad son:
4a2 . 0-a2 . ~J2 •
-
g-
y -
v-
_
a,f2 = ---
4a 2 _3 2
2 43 • :
_
6
~ nR'(-:R )+! KR'(-R)+ .A'x (~)
J2 - 32 x ~ ,f2 4 a2 _ a2
33 J2
xg
-
1
:c:
3
a J2
nR3
Área negativa por ser hueca
'. =
Los volúmenes de las fi-
guras son cono, esfera y c:ih:ro. Hallar la altura del ciindro para que el centro de gravedad del corjIJltocaiga ene! pur>tode tangercia eme el alindro y la esfera.
3
JtA 3 .ItA 2 x
O
lo que quiere decir que el numerador debe serO.
1nR' (9...)4 ·:;fI nA' (-A)+nA' " - =O 4 3 2 +
3
y
9R2
12 + 25R 2 R R
-
4 ..
Por condICIón del problema y porconstrucción del sislema de coordenadas:
y= - - = - v 3. 2 2
PROBLEMA 4-
-9
"4 R
y, = O
~ J2
=
=
x -f
12
x
=
4R 2 -3 =
,2 2
X2
2
SR
=>
,= J6
De donde: Rpta .:
, = -SR6- J6
= 2,04 R
215
FlS/CA GENERAL
El volumen mostrado en la figura. está CMIormado por un cifondrohuecoV 1 y una semiesfera V, también llueca. Hallar el valor de la aItua y= h delcifindro, para que el equilibrio sea indderenle. y
PROBLmA 5.
v,
RESOlUCIÓN :
Dorde:
V,
I
I
A,
..
x
puede situar en ellLgar que al operador se le
dan mepr la solUCIÓn, asr por ejemplo, para la presente figura se va a elegirX CXlincidente con la base delafigura, eY coiródenteoon su parte media (derecha-tzquier). Para calcular el C.G. se ccnsideran las áreas Ijancas come negativas ylaS áreas sombreadas son poSItivas.
Sabiendo que: (1)
V, + V2
g
", 1 , ...
.,1..
0Cl.JfTa, sA-l embargo, haypo5ÍCÍOllBSque lICXJITl(}-
-R
y = V, y, + V2 Y2
v
Para halarel centro de !J"EM'dBd (C.G.) se elige un sis1ema rectangular X Y. este SIstema se
• V,
RESOLUCiÓN
= n A2y
Evidenlemente que, por la ubIcadón que se le ha dado al sistema xv. el valor de = 0, sólo falta calcular y•.
x.
V2= ~nR9 Sustituyendo en (1) :
_
n R2Ym·
Yi "
(1)
~nA3U) (n)
nR 2 y+ 2 nRJ
3
Para que el equilibrio sea ináfefente' Yg• debe seroero, lo que quiere deCir que el numerador de la e>preSlón (11) debe ser cern.
nR2Ym + de donde:
~ nR3 (.~ R) = O
Hallar el centro de gravedad (CG.) de la f~ gura.
2
y,
3an
360m2
A2 = ·4 cm x 2 cm = ·Scm2
'2
= 4an
AJ
~
.. 4an x 2an = .S cm2
sustituyendo en ( I ) :
[pJ - -.,,~
6an . 6an=
Ya = 1 an
y = R J2
PROBLEMAS.
A,
,=
1= ,_
y. = 36an2 dcm· san2 . 4an '~Ii
,,_
oJ/r. 8 cm' • 1 cm
JEan2 '8cm2 ·8an2
CENTRO DE GRAVEO<\D
216
Por consiguiente:
elec1uando:
Apta' C.G (O: 3.4 cm)
a h-Z a2 h- -
snua-
2
Calcularla altura 'h' da en elOJe del cuadrado, de tal suerte que el punto 'M' sea el e.G. de la parte sorrtJreada del cuadrado.
PROBLEMA 7.
2. .2
6 = O
2h z -6ah. 3. 2 = O h = 3 a :1:
1
8~
83
h2 · - +ah3 2
-. ~
1 •
=
J9 a Z. 6 a 2
= 3. :1: a../3
2 r.A I
'h
I
Apta;
---'--
2
h, =
~(3
hz
~ (3· J3)
=
8prd;lemaronsiste enelegrun sisIema ele ejes XN. Ydeterminar delC.G. de la fogura Sea el Slsterna xv. 0f0J0e¡8 X pasa por la base y el ejeY por el eje de la figura.
v.
no
¿A qué altura sobre el borde ínlerioreslá el e.G.
PROBLEMA 8.
RESa.UClÓN :
+../3)
cIe la sección T de la figura?
T
r
y
"m
• ,
I
I
lit
CG
2cn1
2(71\ 2 CIn
REsa..UCIÓN :
Se caiaJla et c.G. cIe la figura con respecIo a lSl sistema ele ejes XV que pasa elllJ8 X por la base clela flgL1'3 ypor el eje, la ortlenadaY. y
A,y\ + Azyz Yg= A,+Az 0000e. A, = .2
~
ah
= "T Yg = h h
=
Y2
T
r
= a2
y,
2.
lodo en (1):
(I)
=
' cm
1
3h
I
I
ah h
a 2' '2" 3
a2 • a ~ 2
,
2c:m.
I
I
2cm 2cm
I
x
Evidentemente que. asitJazado et sistemaxv. ig = O, luego solo lalta calcular el valor
V.
=7
FÍSICA GENERAL
217
x, =
y, = 3 en
(1)
2 cm
=
A2 = 2en x 2cm 4cm2 Y2 1 an x2 5 cm Sustttuyendo en (1) Y (11 ) :
=
Donde:
A, = 6an. 6an = 36cm2
Y, = 3 an
y
~ = -4an x 2cm = -San2
9
= ~an2 ~ 3an.4cm2 xl em 24 cm2 >4 cm2 76
Y2 = 2an
=
Yg = 2S em
=
2,71 em
Sustituyendo en (1) :
y
;¡ = 24cm2 . 2em .4cm2x 5cm
= 36an2 • 3cm· 2. scm2. 2cm g 36cm2 - 2 x Scm2
g 24cm2.4cm2 _ 68 X9 = 28 cm = 2,43em
Yg = 3.San
f1:ta:
Fmlmente:
C.G. (O ; 3.S cm)
PROBLEMA 9.
Hallar el C.G_de la figura
conformada por A, y A. con respecto al s.Slema XV moslrado en la figUra. V
Apta:
C.G. (2,43 : 2,71 )
PROBLEMA 10. Determinar el centro de gr¡¡yedad (C.G.) de la ñgura mostrada con respecto al siSlema XV. y
28
T 6cm
11
•
,
1
1
A.
2cm
x .cm
f-- • --1
RESOlUCtOO : RESOLUCIóN :
Sabiendo que:
Yg
=
A,y,.A 2 y.
A, .A 2 A, x, • A2 X2 A, • A2
Donde:
A, = 6 an
x
(I)
( 11 )
4 cm ~ 24 cm2
Se considera la figurn un cuadrado de lado 2a y luego se le resta las áreas de los triángulos blancoS.
Y9
=
A,y, .. A2 Y2 +AsYs A, .. A2 + Aa
(I)
ji g
A, x, .. A2 x2 • As Xs = - A;+A2 + As
( 11 )
218
Donde
CENTRO DE GRAVEDAO
Para hallar el c.G. se consideran las Iongijudes o porcIOnes del alambre.
= 2a x 2a = 43'
A,
_ L,y, +L,v, .L¡ys y g L,+L,+L3
y, = a ; x, = a Al = _2a.a = _a' 2
2a
Y¡
5a
3"" = 3"" ' x2 =a
y, = a· A3
= --aKa 2- =
( ")
L, = 20cm
L3 = 30an
2
Lz = 40crn
y, = lOan
5a
L 'sen 30" = lOan 2 y¡ = 15. L, sen 30' = 35an
82
a
~
:f
3 ; x¡ =
Y2 =
Sust,tuyendo en ( I ) '/ : 11 ):
x, =O
Sa . ' . _ 4• , .• - . 2 ''3-23 Yg 40 - a -2
t30 15
2 2 3' 5a 40 .3-3 .8 - 2·s
130
"a' -
Xg
43 2 _a2
Apta.: PROBLEMA 11.
x, =
2Ocm . lOan. 4Oan . l0an ..... Yg -
2
;
i cos3O' = t7,2an
Sustituyendo valores en ( 1) Y (11 ):
a' 1 5
C.Gfl~
l
x3 = t., ces 30' = 34,4 an
2Oan.40cm.
11~)
HallarelC.G.delalarrbre de la r19lJra.
Yg = 18.34
x
í 1
= 2Ocm . O + 4Ocm . 17,2cm 20an • 40 cm +
. 30cm = 19,11
Xg
Rpta.: C.G. (19,11 ; 18.34)
JO•
.J.
+Ni
VI\o~30 cm..:...34,4 cm
30 cm 40 cm
'"
... . 30cm 34.4cm "f +3000
g
T
(1)
PROBLEMA 12.
AEsa..I..ICIÓN: y l
,, , I
:JO.
•
HallarelC.G.delalarrbre de la fiaura.
219
ÁSICA GENERAL
REsa.UC!ÓN:
v
.g
T
3a
•. 10
=
_
•
a
r
o
5=- 4==3 4a
38
y
r= 5
de da1de:
0=
5
9
=
8
(79 + 241<) 10(5 + 41<)
23)
a (79 + 24ft) C.G. ( 10 (5 • 4 It) ; 5. 411
Rpta. :
PROBLEMA 13.
Se tiene un alambre doblado como se indica en la figura, Lr1 brazo mide 30 Cm yel otro 9Ocm. Calcular el ángulo a para la posición de equ~ librio.
\
Además recordandlo que el cenl/O de grwe-
511
411a
8+ - 5-
•
Un 1riánpo rectánglJo CtJ}O ángulo agudo es 53°, es el dásico triánguto de lados 3, 4 Y 5; o proporCionales a estos números, luego se dedLCe que en el triángulo OPT.
4118(31<8+88)
+ - 5-
-"\
1-...
3Oc::m "'1
dad de una semlOlClJf1lerenda está a2r Inde la base:
y = L,y,+ L¡,Y2
1)
9
L,.L2
"11=
L,', + L¡,x2 L,.L¡,
Para la barra:
(I) ( 11 )
L, = a
a
a 4
2a
Y' =2 , sen53" = 2 ' S =5 n
3a
x, = 2 = 10 2)
Para la semcircunferenda: L¡,
=nr = -411a 5Y2 =O
3n8+8a 2r 38 2 4. "2=n+ 11 = -5 + Srt = 511 Sustrtuyerdo en ( 1) Y (11): 28
_ •. T Yg =
4rt. + - 5- ' O 2a 4 It a = 5 + 4 1<
a +-
5-
RESOLUCIÓN:
Si el alarrbre doIj¡¡do está
en equmbno. entorces el Centrode Gravedad está en la lIerti:aI (JJepasa perel apoyo. Asmando suspe50Se su longitudes, asf la barra mayor pesa como 90, la barra merorcomo 30y el conjulto corro 120.
A
3Occoa l n - r120
CENTRO DE GRAVEllAD
220
Basado en el Teorema de Vang"on con respecto al purltok Mcm«Ilo de
la I1!SUllante
suma de ITlOIIlI!nlOS de
=las fuerzas presentes
120. lOoosa = JO . ISoosa + +90 . 45oos(37"
A3 X3 = 62S cm' pero: r
= S oos a + 45 (~
a = arclg
Rpta.:
2~
DOS
a •
.a)
~ sen a)
=2" 07 16'
PROBLEMA 14. HaHare!cenltodegrao.oedad de u"alámina metálICa homoge"e8 Y de espesor urvlorme cuya forma y d.menSlDlles se incica en la figura y
2700 cm3 + 110000 an3 + 55 570 anJ - , 800 cm2 + 2 000 cm' + 62S cm2 Xg =
A,y,
42,5an
= 1 800 cm2 . 30 cm = S4 000 cm 3
A2Y2 = 2000 cm. 20 cm = 4C 000 0112 A3Y3 = 6280012 . 20 cm = ,2560 an 2 3 3 an3 Yg = S4- 000 cm 2+ 40 000 cm + '2 SIlO ~~ 1 800 cm + 2 000 cm' + 628 cm3 Yg = 24cm
Apta. :
C.G. ( 43,5 cm ; 24 cm )
PROBLEMA 15. Hallare! C.G.de la figura SlQueme:
30001
r
~ A3X3 = 55 570 0113
- _ A,x, + A2X2 + A3X3 "g A, + Az + A3
12.lOoosa=3 . ISDOSa+9 . . 45 (DOS 37" ros a . sen 37" sen a) 40 coso.
= 20 cm
. ( BO + :~)
30
---1
2ifan50 cm • G,
.
SO.m
L
111
G.
j(31
(2)
./'--.1 r
•
RESOlUCiÓN. Nume¡¡¡ndo las fIQuras con
T
1 RESOlUCIÓN:
(1). (2) Y (3): A, : /lO an 30 an = 1 800 an' A,x,
= 1800 r;rn2 . 15 an = 27000 an3
= SO cm . 4Can = 2ooocm2 = 2 000 cm' . 55an = 110 oooan3
~s áreas llenas son posilivas Ylas áreas huecas
v (21
Al A2 '2
A3
)2 1 2' = 2'" = 2 3.14(20001
T
('1
., G
1
•
221
FlS/CA GENERAl.
A,"
1 ~ '¡" r
1 2 = '4 . 3,14 , 10
De donde:
A, = ,78.5 1. 2 • 30 20 " 600 A2 ,A, " 600 - 78.5 " 521 .5 A,
4r
x, " ,78,5 .
3"
h -W
PROBLEMA 17,
'
5./2 2
h = 5./2
. .. ..
Hallar el centro de grave-
y
= ,333,2
1. 2 Y2 " 600 . lOan ,,6000
A,.,
'g =
A2x2 ' A2 , A, 'g
Vg
"
•
= 16.6
A2 Y2 ' A, V, _ 6000, 333,2 A2 , A, 521 .5
Yt • F'fJ1a. :
9000 ' 333.2 = - S2U--
10.9
Sean (1) ; (2) Y (3) las
RESOLuaóN :
áreas:
C.G. ( 16,6 ; 10.9)
Sobre un plano ,ncllnado de 45· está reposando LI1 posma rectang.Aar de base cuadrada de sJ2 de lado. ¿Cuál será la anura máxima de! prisma para que no se caIga? PR:lIllEMA 16.
A," A, "
,,
,,
21 rt r2
=-;"Gr= '8 rtr'
A3
,
~"(;r,,
,
'i' w
4r
Cuando la linea de acc:iIón del peso considerado en el centro de gravedad 'O' def prisma, pase por 'A' el prisma estará en t.na situadón ¡res1atIIe. LI1 peco más V se cae, RESOLUCIÓN :
l:M. " O
ltr~
4r
A2 Y2 " A2 · 3" " ' -2- ' 3" " 4r
A3 Y3" A3 '
",2
4'
S"ii " 'S' 6ii "
2,J 3
,J 12
CENTRO DE GRAVE"Ll4D
222
!!~
!!,3
3!!~
16 + 2+16 !! ,3
"
rZ
" rZ
8+2-8 xg =
!r
Luego: Yg = : Apta. :
C.G.(! r
IWOBLEMAS PROPUESTO$. 1.
Hallar el C.G. de la 'igura. y
4.
Halla, el centro de gravedad de la figu,a. y
1===~20~:::;;;
1
x
7
! L---'-_ _ _
~_
1-0-<
~.
2.
•• - --<
C.G. (8,4 ; 7,9)
Hauarel centro de gralledad de la figura.
Apea.:
4:)
c.G. (O
y
5.
Halar ej oenIro de QIlMldad de la sq¡en. te figL.r.l: y
d
o
x x
f1JIa.: C.G. (8,8 ; 14) 3.
¿Cuánto de altura debe tener el cilindro de,adio 10cm para que no se caiga? y
Ppta.:
h = 26,67 cm
I
I
---x
o
I
I
6.
----'
(;: ; o)
HaJlarelcenlrode g:avedadde Ia~ien· te figura :
223
FISiCA GENERAL
Apta: Se tiene un frasco sin fondo. que contiene arena. Si la arena sale pro el agujero • A" de rrodo que la supet1ickllilfe de la arena desciende uniformemente a razón de 4 cm/s. Calcular con qué rapidez desciende el centro de masa de la arena
8.
•
~.: C.G. (-i r
:
O) arena
7.
Halarelcentro de gravecfadde la siguen-
te figura: y
A
o
•
Rpta:
I
r
VCM = 0,03 mi s
"EllJabajo dignifica, el ocio flIl vi/ece·
.AJan Goiii GaIarza
TRABAJQ POTENCIA Y ENERGIA
224
CAPITULO 8
TRABA/O, POTENCIA YENERCíA Trabajo, potencla y energía se encuenttan entre los conceptos má s importantes de
la Flsica y desempeñan igualmente papeles irrt)Ortantes en nuestra vida diaria.
Loserrpleam:ls óanamente, auoquede una manera vaga e rrpreosa. e incILISOcomo si fuenrl snlnImos. COS1Ó mucho a la cienáa dístin-
g.Mclaramente entre oonce¡:.(os tan írúnamente vraJados enle si, pero ahaa cada ..... de alas tiene un ggrificado periectamenledefinido. En FÍSICa, el COI """,lo de trabajo tiene una definlcoón precisa que difiere de nuestro uso cotiáano. ApateCió en Mecánica sólo en el siglo XIX (casi 150 años después del des-
cubrimiento de las leyes del movimiento de Newlon), cuando la rumanidad comenzó a Ulizar arT1lIiamente máquinas y rnecanismos. En los campos téalicos,la medición de cuánto trabajo se lleva a cabo en determinada situación eS muy nllortante. Por ejemplo, un Ingeniero debe conocer la capaCIdad detrabejo de l.f1a máquina, sus requerimientos de energía y también la rapidez conque puede realizar el traba¡oo su produca6n de potencia. Estos conceptos básicos se definirán y explICarán a continuación
TRABAJO MECÁNICO "1" Es una magnitud tlslCa escalar que nos expresa la medida de la transmiSIOIl de mov~ !Tiento de un cuerpo hacia otro mediante 1Xl8 fuerza. Ejempto: Consideremos el caso de un horrbre que Interac-
Si el hombre no logra desplalar al bIoque ¿Qué reaflZa? El hombre sólo aplica una fuerza pero no realiza trabajo, pues no transmite movimiento mecánico. ¿cómo hallar el trabajo mecánico?
túa sdlre un bloque.
po5ldón lnidal
¿Ouéejerceo trata de hacer el hombre sobre eI~?
:7f] --
B hombre ejeroe una fuerza F sobre el bloque, y trata de desplazar1o. En caso de desplazar o transrritir rTlO\I\!Tiento mecánico al bloque ¿ Oué ac\lllidad realiza el hombre? SI el hombre al ejercer una fuerza F,
'o
....
M
------;.o "
B ..,
d '1
Para un observador fijo en el origen
transmtte movimiento entonces realiza
trabajo mecánico.
posición final
M
(x
= O ), la fuerza F transmtte movimiento
FIS/CA GENERAL
mecánico. pues el bloque M experimenta un canbio de posiaón.
225
= 10' dina xcm
1 joule
dina x cm = ergo
pero:
Porto Iantoel t1aba¡o realiz8do por la fuerza F a lo largo del camioo A _ B se deterrruna de la SlQuierte manera:
T.'.. = F.d = F.6 x
OBSERVACIÓN:
F
T..... : Ttabajo realIZado por la fuerza F, al desplazar un cuerpo de Aa B. Es unafue/Za cons1an1e, en newtons ' N' Es la dostallCl8 q~e expresa la medida del cambio de posición, en melros'm',d = 6X = '" - x"
F: d:
Los vectores
Fy d
Trabaj o Positivo .,.' ( + )
Lo realizan las fuerzas que tienen la dirección
dell11O'Jimienl0.
Lo realizan las fuerzas que se oponen a la direcaón del fTlOIIimienlo.
La o.ndad de medoda delltalJaJO mecanoco en el SI es el ¡oute 'J'. También se admite una Lflodad más pequeña, el ergo 'errt. Es ellrabalo reailZado por la
ru6Radeln~o~quea~r ~aLf1~Io~Ia~del~
[,-jouIe: 1 nev.1on,l metro
B ttaba¡o realizado por ooa fuella puede ser posrt1vo. negalivo o nulo.
Trabajo Nega tivo "YO ( - )
son colineales
UNIDADES DE TRABAJO:
EL JOU LE :
1 ljoule = 107 ergio I
I I J ~ N.m I
Es ellrabajo realizado pOr la 'uea8 de 1 dina, que aplicada aun cuerpo lo r1eSpIaza la distanaaoo' EL ERGIO :
Trabajo Nulo "YO ( O ) Lo realizan las fuerzas perpendculares a la dirección dellTlOllirmento.
Ejemplo : Un cuerpo de 40 -f3 N peso expemnenta una f~erza F = 80 N Y un desplazamoen1o de módulo 6 m. Calcular el tltabajo de dicha fuerza en cada caso.
a)
~
=
l'
erg = T dina , 1 cm
EQUIVALENCIA:
1 joUe
I
= 107
ergo
Derrostración: Se sabe Que:
Tjoule = 1 newton x 1 metro
pero:
1 new10n
aderrés:
1 melro
luego.
= 10' dlna
= 10' an
~1
b)
RE5a..UCIÓN . a)
'Almos que la fuerza F = 80 N realiza un trabajo posí1ivo o moInz porque le tlans-
rrile ITlOIIimlenlo al bloque 11$0
;- '-(
F
~D=
A
-=-;- 'B
1<-1--- 8m --~¡
~azando:
ljoule
= IO'dinaX10'cm
.. T:, = OON , 5m
4BOJ
TRABAJO, POTE/'lC1A Y ENEFlGlA
226
Dado que la fuerza F = 80 N en es-fe caso es oblicua, se le descompone en los ejes vertICal Y horizontal. La componente IIflrtical se anula con el peso del cuerpo, no realiza l11O\Ii-mlen1o. luego, sólo realiza fraba,:> la componente hoózon1al de F que es la que mueve al cuerpo, F. '" 40 N. b)
,-lll50 ~.[.N 7
I
_
80N
..
-
8m
F
FUERZA VARIABLE
¿CÓITlOhallareltrabajoreaizadoporuna fuerza variable F (x ) ?
---4~
T. ~8 = 40N . 6m
NaTA:
=F ( x, -X.) =F.d = MEA Cl
T.:'
I
B -
Nos expresa ellrabajo realizado por F.
,-l
~
A ;...-1-
¿Qué nos expresa el área comprendida bajo el gráfico F - x7
= 240J
Para mover III cuerpo en una di-
rección d~erente a la del movimierto se requoere una fuerza mayor.
Para hallar el trabajo realízado por una fuerza variable F ( x ), primero se construye el gráfico F - x y luego se calcula el área comprendida bajo la gráfica F -. y el eje hoózon1a1.
EN GENERAL: Sea F una fuerza vanable que depende de la
TRABAJO NETO
posición x.
¿Cómo determinamos e/ trabajo nefo? El trabajo neto, fotal o resuHanle, se ohtiene realizando la sumatoña de los trabajos realIZados per todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. B trabajo nelo también se puede calcular hallando el trabajo realízado perla resuHanle de lodas las fuerza s.
F{N) F" - - - - - - - - - -
F
--
x.
Gréllco F -. ,~---
AREA e T
NOTA! '(m)
o
x{m)
"
Grlillco F""na - Posición
'(N)
T. AREA
F,
"
"
F : Es lila fuerza de valor constante
El área de esta figura, se calcu\a por medio del cálculo Integral y diferenCial (derivadas e integrales) porque.uno de los lados es una curva F (x) cuafcJJiera.
RSICA GENERAL
227
ENERGÍA "E" La energia expresa lamedida escalar de las civorsa formas de movimiento e inleracáones de los cuerpos en la naluraleza
puede sergravitaloroa y elásllCa 000 resorte.
Elásten m..cha$1o
Es la energta que posee un ruerpo Wlndo está en rrocMri«1Io mecánico. Si un cuerpo ti&ne veIoadad respecio a un sislema de reJerencía, entonces dirEmOS ~ elruerpo tiene energía CI1étJca respectoa dicho sisterTa
ru:lear, eólica, solar, IlnlInosa, elc. Se haoe la advertencia al lector, que no se puede ha· tAarde "~de energía" puesloque la energía es irica y lo correclo es hatlar de formas de energla (la energla no se crea ni se deslruye, 5610 expenmenta fransformaciones).
ENERCiA CINÉTICA"
,
v',
"
,,
mJ ) f - - - - ) I" - <
,
UNIDAD DE MEDIDA :
----~
La unidad de medida de la energra en el SI. es el JOUle" J". ¿Qué relación exisleenlte trabajo yenergia7 SIgamos analiZando el ejemplo anterior:
Un horrb
.. ~-
V>O
~ I '
¿Ouésucedecon el organismo de la persona luego de desplazar el bloque? La persona se "cansa", es decir. pierde energiaporque realiz6 un trabajo mecánico. Si el horroro pierde parte de la energ ía ¿qué ocurre, a dónde se ha lrasladado la energía? se ha lrasladado al bloque que gana movímento, es decor gana energía. CQIICLUSlÓN: Blrabajo es una forma de roollzar transferencia de energla de un cuerpo hacia o1m. Se puede den como la "medida escalar de la transmiSIÓn demovomoento de un ouerpo hacia ofro',
fORMAS DE LA ENERCIA MECÁNICA La energía mecánoca puede presentarse de 2 formas, cinélica y pOlercla1. Esta úl!ima
fe"
.
Ecuación:
m : Es la masa del cuerpo en moviniento. en kilogramos "kg"
V : Valor de la wIocidad (rapidez): en mis
E: Energla conétlca, en JOule ".r,
ENERCiA POTENCIAl. E, Puede ser: Energla potencial graví-tatona o Energla potencial elástica.
ENElMfA POTENCIAL CKAV/fATOf?/A 'E/O" Es aquella energia que mide en forma escalar la interacción gravaatoria entre dos cuerpos. Diremos que un cuerpo posee energla potencial gravllaloria cabido a la poslCi6n queocupa (anura) respecto de un nivel de referencia.
TJ
I h
I I
nrvetoe
=----"z..,r; referenaa
r:.
mABAIQ POTENCIA Y ENERGIA
m: Es la masa del cuerpo, en 'kg', 9 : Es la aceleración de la gravedad 9 ~ 9,811'1s'
k: Es la constante de rigidez prop!8 del resorte, en "N/m'. x: Es la Iongrtud de deIormación del re -
h : AlILra medida respeclo del nivel de referenaa, en 'm',
E".: Es la energía potencial elástica, en jowIe
E,.,: Energía polenclal gravitatoria, en'J'
sorte. en -m-. -J /1'.
ENERGiA POTENCIAL ELÁSllCA " E,.."
ENERGÍA MECÁNICA ' E,:
Es aquella energía que almaoena todo cuerpo elástico (resorte) al ser delormado.
Se define como la suma de todas las formas de energía mecánoca.
! E• • Ec' E,.. +E,..! ,..------ ..
~ ,
_
k
FUERZA CONSERVATIVA
_ 1-1_-::-""
•
Se denomina asl a aquellas fuerzas que se caracterizan por conservar la energía mecánica de un cuerpo o sistema. Son ejemplos de fuerzas conservativas: 1. la fuerza de gral/edad 2. La fuerza et~stoca 3. La fuerza eléctrica
POrENCIA MECÁNICA .p" Es t.m magritud escaIarque mide la rapódel con que 58 transfiere
T. = T. Yse CUIT{lIe que Brealiza el trabajo en menos tiempo que A. Entonces se llene que la potencia desarrollada por B es mayor que la potencia desarrollada por A.
p. > p.
Se define: POTENCIA.
~NERGIA 1flANSfEfllOA
TIEMPO
Ip: T~ I T:"": t
Eseltrabajodesarrolado, enjoUe".r Es el bempo e
's'
P:
Es la potenaa desarrollada, medida, enwan
Las personas A y BtransflSfen energía a lo:; bloques S,lo:; trabajos son Iguales'
'w' = ~
• 1 ¡oUe 1 segLJ100
FÍSICA GENERAL
arRAS UNIDADES DE POTENCIA:
Secunple:
1 kilowatt = 1 kW = lO' W
POTENCIA
1 Mega watt = 1 MW = lf1' W
RíCIBIDA
=1 e v. =735 W
Asi por ejemplo: un motor eléctrico recio be o absorbe potencia eléctrica Y la transfor· Ira en potencia mecánica de ralaGón, pero al reall2al' esIa lranS1ormaci6n. en el ;menor del rrotor se OOQlnan pérdidas qce reducen su efiaenoa (n) la cual se defne corro el cocienle de la potencoa (til que enlrega la máquina. enlre la pot...... que absortJe,reciJe o consume. dicha má~na.
Sea el rooIor eIécIricoque reOOe comente y entJeg3 o da mowllIento:
POTENCIA
ÜTl
PERDIDA
n=
= 1 HP=745W
RENDIMIENTO O EFICIENCIA "n" DE UNA MÁQUINA Toda máquina tiene por finalidad transo formar la potencia que recibe a aira lerma de ¡JQIencia.
POTENCIA
I P:~ I
1 Caballo de Fuerza = 1 Horse Power 1 Cabano Vapor
=
(O
Es el rendimiento o efidencia, sin unidades Es la potencia útil que da la má·
n; P UTL:
quina, en watt "W" PAECIlO': p~:
Es la potencia que se le enlrega a la máquina. en "IN'. Es la polencia que no se U1iliza, en"W".
;..:...:.----- - - ,
En porcentaje: n% = ( PiITL. '100)% PAECEIOA
(0% < n < 100%)
¿ Qué nos expresa la unidad denomina· da kilo wan.hora (kWh)? Es la unidad de trabajo realizado, o energra transferida. por una máqUina que desarrolla una polenCla de 1 WJ. EOUIVALENCIA EN JOLLES: 1 kW . h = 1 kW . 1 hora 1 kW . h = 1 OOOW . 36OOs
11 kW. h = 3.6 . lf1' J
I
PROBLEMAS RESUELTOS ¿Cuál es el trabajo reali· zado poroo hombre que carga un siIón de 100 N hasta el segtnlo piso de una casa de 2,5 m de aH07
PROBLEMA 1.
ángu10 de 30" con la horizonlaf, con una fuer· za de 200 N, \X1a distancia de 10 m. ¿Cuál es el trabajo realizado? REsa.UClúN :
= =
RE5a.UCIÓN · T = F. d 100 N • 2,SO m P4>ta.: T 250 N.m 250 J
=
PROBLEMA 2.
Un hombre empt.ja una
conadora de gras con un
Fsen~
F
T "Fdcosa
T/lJ,BAJq POTFNCIA y ENEOOIA
230
T '" 200 N • ID m • cos 30'
Apta.: T '"
17~
N.m
F = 300N T = F . d = 3OON . 5m
= 1732J
T '" 1500N.m T",I500J
PROBLEMA 3.
Calculareltrabajo reaizado al subir un cuerpo de masa 4 kg alaallUra de3m en 4 s a) En joules; b) En ergios RESa..UCIÓN :
T '" F x d
(1)
8 dato lie""" no Interviene:
a) F = mg = 4kg.9,8m/s'
F = 39,2kg . ,
En ergios: T '" 1 500 < 1O' ergios
PROBLEMA!i
Un hombre hace un luerza deZOO N parahaJarun cuerpo una distanáa de 15 m errpeando ID segundos. ¿Cuál es la potenoo desarrollada?
m
s
F = 392 N
P
(2)
sustituyendoen (1):
= Tt
(1)
T = F . d '" 200 N > 15m
T '" 39,2N.3m= 117,6N.m Apta: T = 117,6 J b)
F = 200 N d=t5rn
RE5a..UCIÓN : 1=IOs
T = 3000N.m '" 3000J
Sólo se transforman los joules a ergios:
T = 117,6 J
P = 3000 J
Sust"uyendo en ( I ):
10 s
P = 300 J '" 300 W
Rpta.:
s
RpIa.: T = 117,6 • 10' ergios
PROBLEMA 6.
Un cuerpo que pesa 500 N está al pie de un piare Ifdinado cuyos datos están en la figura. CaIrufar:
PROBLEMA 4.
a) b)
La fuelLa F para llegar a la cumbl6. CaJaJareltrabajo reaJizadoporesa fuerza, en joules y ergIOs. P",500N a 37' F
F ", ?
=
Calcular la potencia, en watls, que desanollará un hombre af llevar sobre sus espadas un bulto que pesa 300 N a lo largo de una pendiente de 30" de Inctinación y de 40 m de Iong"ud y que tarda 20 s. RESa..UCIÓN : w 300N el = 30"
d '" 40m
=
=
20s
3m
4m
,
/
Pcos«
p
~
RESOlUCIÓN: F = P sen el F = :llON
=500N X ~
T
P =
F. d
T'" - ,- '"
wsena.d
,
FlS/CA GENERAL
300 N •
p =
sen 30"
x 4() m
PROBLEMA 9,
s
RESOLUaÚN: P = 15 kW = 15000W
Flnalmenle:
P = 15000 .
= 300W CatcUar ¿cuántos HP desarrolla un camión que
PROBlEMA 7.
carga 2Ton durante 10 minutos al desplazarse por una pista de 3 km, si hace una fllerza de 10' N?
F = lO' N I = lO min
RESQUCIÚN :
= 3 Jan
d
P
T = I
(a)
T = F d = lO' N K 3000 m
T
=3 .
10' N.m
P
= 3 x 10'
J
P = 3 x 10 J 10 x 60 s
H.P. 745
P = 20,134 H.P.
Apla:
PROBLEMA 10, Un hombre jala un auto que pesa 10' N duranle 2 horas con una fuerza de 600 N una distancia de 200 m. Calcular el trabajo nealizado por el horrbre en joules y ergios.
=
RESQUCIÚN :
F
600N
w = 10' N (00 se usa)
d = 200m
I = 2 horas (00 se usa) a) T = F K d = 600N
T = 12
x
o también:
7
En (a) :
Calcular, del problema anterior, la potencia de la
máquina en H.P.
Transformando a joules: P = 300JIs
P
costo = 120 soles
Apta.:
205
P = 3OQN . m
~:
231
b) T = 12
s
200m
lO' N , m T = 12 x 104 J
K
10 4 J
T = 12 x 104
= 0,5 K 105 ~ = 0,5 x 105 W
K
K
107 erg
T = 12. 1011 erg
P = 0,5 x 105 x H.P.
745
~:
P=67,IHP
Una máquoo eté<:trica rene Lfl3 polenciade 151m. Calcular ¿ccánlo cuesta el lrabajo realizado en 2 horas. sabiendo que el kilo wal1 . hora cuesta SI, 4.00?
PROBLEMA 8.
PROBLEMA 11. Aplicando una fuerza de 100 N a una manivela de 25 cm de brazo, un hombre le da 12 weftas y media para arrancar una "caroocha". a) ¿Oué lrabajo en joules ha realizado el hombre? b) Si demora 5 s ¿cuál es la potencia en watts?
RESQUCIÚN :
T
= 15 k W • 2 • hora
T
= 3OkW . hora
costo = 30kW . hora
I
I
sotes
K
4 k W, hom
"['-- ---IF--' -
I"
\
.... ----,
__ .1____
,,
o ,
,,
I
'
maI'VVels
25 cm
J
TRABAJo. POTENCIA Y ENERGiA
RESOlUCIÓN : a)
sabiendo que:
a)
= Fxd
T
(1)
Cálculo de d: la distarda "rr es el amo que ha desailo dLJa/1le las 12 vuellas y media.
R
FooS37° = Il N
IFy
( 11 )
=O
N + Fsen37° -p = O N ~ p. F sen 370
d = 19,63m
Sustüuyendo en (11) :
valores en (1) :
= 100 .
=R
= m N , fuego:
d = 12,5.2 . 3,1416. 0,25m
T
F, = O
Fcos3r
Pero:
Cálculo de N :
d~n . 2Itr
sust~uyendo
r
Cálculo de F:
= I1(P - FS8Il37')
Feos37'
19,63m = 1963N . m
despejando F:
T = 18,63m b)
p = T = !.963J
Apta.:
P
F =
5s
t
_ 0,4.600N F - 4 3 5 .. 0,4 . 5
= 392,6 W
Se¡alaunruerpoqueestá sobre el piso una distanCIa de 10m con una cuerda, haaendo Un ángUlo de 3'" con la horizontal, conIorme se muestra en la figura. 8 ruerpo pesa 600 N, el coeflCfente de rozamiento con el piso es de 0,4. ¿Cuál será la fuerza necesaria para roo-
PROBLEMA 12.
Apta.: F = 230,8 N b)
F
(l
= 37°
11
= 0,4
=F . d
T
T = 230,8 N . 10m T = 2308N . m
T = 2:.l8J T = 2308 .107 etg
ver ef cuerpo y cuál e/trabajO realizado en jotJles y en ergios?
RESOLUCiÓN : p = 600N F = ?
11 P sen37' .. 11 ser 3'"
PROBLEMA 13. Una calda de agua tiene una velocidad
media de
d = 10m
JO m f s . Si en cada segundo
caen 200 lilros (gasto) . ¿Cuál es la ene,gla cinética del agua? RESOlUCIÓN :
F sen 3?--
---
V=
JB mis
gasto = 200 titros/s
F
(1)
Se sabe: 37"
Foos3r
N
I
R - JlN
Como cada lítro de agua tiene 1 kg de masa, quiere decir que en cada segundO cae una masa de 2OOkg, a una wlocidad de J8 mi s. En (t J: Ec •
~ 200 kg
• (
18 mI s )2
FlSIcA GENERAl.
Ec
8OOkg -m2 2 s
=
detenerse por la acción de la fricción, o roza. miento.
Cálculo de esta wIocidad inicial:
m V, " a t " 2,254 2 .0,3 s
s
:Z).m
Rpta:
Ec = Im(kg. Ec"Im . N. m Ec = !lOO J
Iocidad Inicial: Pero:
RESQUCIÓN :
__ V~
2a
d
V," O.. d "
(o,6762m/s)2
2 x 2,254 m/s2 Rpta.:
d
= O, 15m
PROBLEMA 15. Calcular la potencia en kwalts que absorbe .., moIoreléctrico que da 8 H.P. si trabaja con un renámoento de 90%.
F<.. H _ ie _Io _ _ _N _I
R-
~N
Cálculo de la aceleración:
RESOLUCIÓN :
Sielmotorda8H.P.yestá trabajando solo con el 90"4, qUiere decir que 8 H.P. representa el 90% luego la potencia tOO1lqueabsoroeoronsune para flroonarsern~, es decir.
r F,
= ma F4R -ma F-I1 N =ma
P " 8 H.P. Pero
P
5N ·0,02 . 20N a = F - I'N = 20N
m
9,8 m/s2
= 2,254 m/s2
x
100 00 ,, 8,89 H.P.
1 H.P. = 745 W ; luego:
Dedorde:
= 8.89 x 745W
P " 8.89 Apta.: P
x
0.745kW
= 6,623 k W
PROBLEMA 16. ¿Cuálselálapotenciaen HP desarrolada por ..,
Con es1a aceleraCIón se suelta al cuerpo ya partir de este momento el cuerpo ~eza a w
r
vf - 2 ad
Vf"
i~lsadosobreuna
pista de ¡:atinajecon una fuerza de 5 N duranleO,3 s. El coeficienle de rozamiento CInético es 0,02. ¿Ouédistancia se desplaza el cuerpo con el impulso?
a
sm
CátclAo de la dislancla recorrida con esta ve-
PROBLEMA 14. Un cuerpo que pesa 20 N
es
V, " 0,6762
sen o.
TRABAJO, POrEiNCIA Y ENERGiA
cicísta al SLl:Jiruna pendiente de 100con una veloadad de 15 kmnl, si cocIista y bicicleta pesan jurrtos 750 N?
P = 1243,8 N • m = 12438 W
s
'
HP
P = I 243,8 N 745 = 1,67HP
RESOlLCIÓN :
10
v = 151
Ig a = lOO ;
PROBLEMA 17.
C
Una masa de 20 kg se quiere subir a lo largo de
P=?HP
= T
un plano indinado de 9 m de largo y a 4 m de arriba del sueio. Si no haylricción, ¿cuál ese! trabajo que se realiza, con una fuerza paralela al plano que haga subir al cuerpo 000 velocidad un~orme?
I
I Pero: T = Fd ,uega:
P = F. d
! F. = O F=~N+wsena
N = w cosa
Pero:
F F
~ ~wcosa
+ wsena
= w(¡lCOSa + sena)
Cálculo de
SEn a
y ros a .
~10 100
10 sena .. = 0,0995 100,5 100 cos a • 100,5 = 0,995
Sus1i1uyendo valores en (11) :
(11)
Como el cuerpo va a subir con una velocidad conslante, entonces, suponlE!l1do un sistema "XV" que")(" sea paralelo al plano: RESOlLCIÓN.
!F. = O F-wsena=O
w
pero:
Sustituyerdo valores en (1 ) :
luego:
,
F-mgsena
=O
F = mgscna
de donde:
F = 2Okg. 9,8
F = 750 N (0,3 • 0,995 + 0.099 5) F = 298,5 N
= mg
F
m
4 9 • 7
= 87,11 kg.
m 2
S
F = 87,11 N
P = 298,5 N • 15 km/h P = 4477,5 N • kmlh
CáIc\JIo del trabajo: T = F .d = 87,IIN . 9m T = 784N. m
P = 4477N x 1 000 m 3600 s
Rpta. T = 764 J
FIslCA GENmAJ.
PROBLEMA 18. Un auto de 1,2 Ton de masa, se desplaza a una velocidad de 60 1
Ee : ~ m V2 Ee : Ee Ee
m
A = 2m 2
d = 1,2 g/&I
E
~ . 4Okg .
(16,67
5557,78 (kg
~) m
~r
= 5557,78N.m
fe
= 1,2Tor V = 6Okm/h ~ = 0,4
RESOLUCIÓN :
Cálculo de la energra cinética desarrollada para vencer la resistencia de esla masa:
e) kwatt
b) wall.
a) HP.
235
: ' 5557,78J
(11)
Cálculo del Ira bajo que se realiza para ven<:er el rozamiento, durante 1 s : T,: F . d: R1d:
F_
~Nd~ ~mgd
m T,: 0.4. 1200kg . 9.8 '2' 16.67 m S
T,: 8001 ,6(k9 ' Rerordardo:
T
T, = 8001,6 N m
( 1)
p = -
I
TI : BOO1,6J
Como no se ha dadc el tierrpo, se va a lomar cano relerenda la potenca de 1 segundo.
T=Ee+TI
T: 5557,78J + 8001,6J T : 13568,38 J
V: 60 km = 60 1 000 m h 3600s V = 16,67 mIs
Sustituyendo en (1):
CáIOJlo dell/Clumen de aire que ofrece resislencia en 1 s:
s
m3
. 2m2
: 33,34 -
s
10 3 L
vol : 33,34 x CiIlcúo de la masa de aire que ofrece resistercia en cada segundo:
m = 33.34 . 103 m=40
kg S
~
•
1.2
( 111)
Trabajotota/ para desplazarse los 16,67 m:
CáiOJlo de la velocidad en mts :
vol: 16,67 ~
~)m
~
p = 13568,38J = 13568,38W 1S Deaqui:
al
HP P : 13568,38. 745 : 18,21 HP
b) P : 13568,38W c) P = 13,57 kW PROBLEMA 19. Unagrúacuyorenárrien10 es del 50% es1á insta· lada a un molor cuyo rendimmo es delBO%. Al motor se le proporciona una pctencia de B kW. Calcular la IIBlocidad con que la grua subirá un peso de 10'N.
236
TRABAJO. POTENCIA Y ENERGfA
RESo...UCIÓN:
El rendimienlofinal ototal de la instalación será: R = 50%. 80% ~ O,SO . 0,80 = 0,40
Pu = 120 N x 4 Jt
12064 N _ m
Pu =
R = 40%
,
s
Pu = 1206.4
Por eonsiguiente la potencia utilizada será:
1 S • 0,8 m
•
J
x- -
s
P = 0,40. 8kW = 3,2kW Por otro lado. P = F V
P = 3,2kW F 10' N = 3,2 . 1,34HP 10' N
v= v
v= ~.:
3.2 x 1,34
x
745 N. mis
10' N
Pu " 1,2kW
sustituyendo valores en (1) : R "
~.2 kW 2kW
Rpta.:
R
de donde:
• 100
= 60%
¿~ué trabajo desarrolla una persona al halar una diStancia de 20 mun bloque de 500 N de peso que descansa 500", un plano horizontal de
PROBLEMA 21.
V " 0,32 mis
PROBLEMA 20.
Pu = 1206,4 W
De donde:
Un molorconsume 2 kW de potencia y con eIo
una máquina a una velocidad de 4 P radls y necesita una 'uena de 120 N. Calcular el rendimiento del motor. El radio de giro de la máquina es de 0.8 m.
lT'lJe'o"e
F
= 4" radls r = O.Bm
RESo...UCIÓN : P = 10 kW F 120 N
ID
=
I
11Co.~ F COI
R =?
J.-- - 2() m- ---<
Sabiendo: R = potencia IJiliZllla .100 (1 ) pQencia. oorrunida
N
CálCUlo de la potencia utilizada por la máqLi-
RESOLUCiÓN :
na:
J1 = 0.4
Pero:
T" F . d F.d t
d
t
=V
V" wr
w= d = V = T=
a = () a = 53"
al
SOON 20m de
?
l:F, = ma F 00553" - Re = ma
luego:
Por enunciado:
p. = FV ; (ya conocida) Pero:
sao
F cos 53" = Re
luego:
Pu = F . ro.r
a" O
Fros53" = J1e N b)
(1)
FiSICA GENERAL
Por dato: a = O Fsen53"+N-mg = O N=mg-Fsen53°
237
,
s (2)
Reerrpazando (2) en (1): Fros 53" = ~c (m g . F sen 53°) F cos 53" = J.lc m 9 • J.lc F seo 53"
F ( ros 53" + J.lc sen 53") = J.I e m 9
F = _
~c
mg _ cos 53" + "e sen 53"
Reemplazando valores y efectuando F e)
= 10000 N = 21739N 46 '
El trabajo realizado es Igual a:
T = Fcos53" . 2Om 3 T = 217,39 N . 5 . 20m
T = 285,7 J PROBlEMA 22.
UnaulOll'léMdepeso"W" baja de una cuesta con el
rrdorapagado ya una velocidad V , ¿OLé potencia debe desanoflar el motor para subr la msma cuesta a la misma velocidad? (B ángulo de inclinación de la ruesta es a). RESOlUCIÓN :
F.- = R + Wsena
(2)
Reemplazando (1) en (2):
F..- = 2W sen IX Por otro lado: P""*,, = F....., .V = 2W V sen a
p... = 2WVsena Un avión vuela a una a~ lI11'a de 100m a ma velocidad de 720 kmIh; su masa es de 98 100 kg. CalaJtarsu energfa palencial en jOI.Jles.
PROBLEMA 23.
RESQUClÓN :
Sabemos que: Donde:
Bajada:
Para resolver este proI::Iema no interesa la veIocidad de vuelo.
Ep = mgh
(1)
m: 9Bl00kg 9 = 9,8mls2 h = 100m
Reemplazando en (1) :
Ep = (98 100) (9,8) (100) Rpla:
Ep = 96,14 • 106 J
Un bloque compacto de 2 kg descansa en una superflCle horizontal. SI se le aplICa una fuerza vertical diriQlda hacia arriba de módulo 22 N, caIctAar. a) La energia cinética para el instante 1= 65. PROBlEMA 24.
o.
Se 00serva del gráfico: R = Wsena
(1)
TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA
bl el
La encrgla potencial gravitaloria para el instante 1" 6 s. La ene.gía mecánica para 1=6 s.
VI = 0+ 1 . 6 = 6m/s Hallamos la allUra a la que asciende el bloque para t=6s.DelMRUV .
Ccnsaderar' g" 10 rrJs' ~SOLuaÓN :
1[1' ] 8[]
Sea e/ gráfico:
60
•t
dAS
F-22 N
t
h= 18m
'~~j
dAS
=
(O; 6) 6 • 18m = he ~ inV¡
Ee" =
fe" =
~
2
2 . 6 = 36 J
Hallamos la energla poIenaalgravi· tatoria en "B": EFj,
Hallamos el \/alarde la aceleraCIÓn:
= mglg = 2
Ep" =
De la 2da. Ley de Newton:
e)
2
(VA; Ve) lAS
punlo B":
El t:Aoque expenroonta 1Xl M.RU.\l acelerado.
= 22 - 20
5
al Hallamos la energla cinélica en e/
b)
a = FA m
VI = Vo + a t
De la Cinemática:
= 1 m/s2
10
le
360J
Finalmente, hallamos la energía mecárllca para 1 6 s. es decir en el punto 'B':
=
E"", = ~ + Ep¡¡
Hallamos la velocidad del bloque para e/lns· tante 1=6s.
E"", = 36. 360 = 396 J
PROBLEMAS PROPUESTOS =
Un automóvil de peso P 16000 N recerre d = 120 km de una carrelera en rampa ascendente de desnIVel h = 400 men I = 3 horas Las reslSlencias al avance del automovil son R ~ 200 NIl Además los mecanismos del automóvil absor·ven el 10% de la potencia lotaL Calcular la rTlISfTla l.
enCV
Apta.: P
= 6.38 C.V
¿Cuál es la poIcncia en C.\l de una má· qUina que levanla un marlí110 de 2 000 N de peso a 0,77 m de altura 84 veces en 1 minuto, SI el rendimiento es 0.7? 2.
Rpta: P
= 4 C.v.
3.
Un automóvilpesa9.el x 10'N. Sobre el automóvil en movimiento actUa una fuer· za de rozamiento constante '!lual a O. 1 de su peso. ¿Qué canlldad de gasotlna consumirá el molor para aumentar la vetocodad del roche de 10 krTvh hasta 40 kmIh en una distanca de 0.5 km? El rendimiento det motor es igual al 20% • el poder caIon1ico de la gasoW18 es 4,6 x 10' J/g. Rpta.: m = 0,06 kg PODER CALORiFlCO:
Es una propiedad
FlSICA GENERAL
de toda SUStancia combustIble, y se define cano el trabajo que es capaz de realizar la unodad de masa de dICha sustaooa al entrar en a:mbuslión. Se denota con ·p.c.· 4. El peso de B ....-.j¡ m----< e un bloque macizo homogéneo ASCO cuyas dimetlSKll'les es· tán indicadas en el gráfico, es P = 40 o 000 N.Detmrinar el trabajo que se debe realizar para \IOlcar el maCIZO girándolo alrededor del canto D.
1
Apta:
T= 160 000 J
Cuando la velocidad deun barco delUr· bona es de 15 nudos, la IUrtlinadesarrolla una pctenda de 5144 C. V. Detmnnar la fuerza de resos\enaa del ag.¡a al lTlOIo'ITiEnto del balto 00I1OCiendo que el rerdmoertode la lUr1lina yde IahllliceesiguaJaO,4y1 nudo = 0,5T44 mis.
239
tris. Determinar: a) b)
¿Ouéahura"h" alcanzará la bola yco.:ár>to durará la ascención? Calcular la energra cinébca y la energía polenclal en joules cuando la bola esté a 50 m del suelo.
Rpta.:
F
= 196 x
10' N
Un pozocilíndncohene 1,5mdediámetro y 10 m de profUndidad. Si hay 2 m de agua en ellondodel POlO, calcülese el trabajo reahzado borrtJeando toda el agua hasta la ~
6.
Apta.: T
= 314361,4J
7,
Refiriéndose al problema anterior, ¿qué trabajo hade realizar una bomba quetiene un rendimierto de 6O"k?
Apta.: T = 577 269 J Un generador de corriente eléctrICa rec;. be energla de 200 kW . h Ytraba¡a COn una efocoencia de 800/~ Hallar ¿cuántas lámparas de 100 wa"s cada una será capaz de alimentar, por hora de trabajo?
8.
Apta: 1 600 lárrparas. 9.
Una bola de acero, pulimentada, de 98 N, eslanzadahaciaarriJadesdeet suelo. con una velOCIdad inicial de v =
'2O,¡g
t = 6,36s
10. Un punto material, cuyo peso equilibra a 1 dm' de agua, ocupa en el Instante ini· cial, el origen de un sislema de coordenadas rectangulares, y está sometido a la acción de fuerzas coIineaJes, cuyos valoresen newtons sen las raíces de la ecuacIÓn:
5.
Rpta.:
= 200 m;
a) h
b) EJ<= 14715J ; Ep = 4!105J
. 2 . 5x + 6 =
o
Determinar: al bl el
La posICión de este punto al cabo de 10 segundos. Su energla ci1ética. El trabajo realizado por la fueaa resul· lante.
Rpta.:
= 250 m Ek = 1 250 Joules C
TFA = 1 250 joules 11. Un hombre que está corriendo, tiene la m~ad de la energla cinética de la que tiene un IllJChacM qJe llene la mitad de la masa dol hombre. Si el hombre aumenta su velocidad en 1 mis. entonces tendrá la misma enero gía CInética que la del muchacho. HaUar la velocidad del mucllacho y del horrbre. Rpta.:
Vrn.dIec;ho = 2 (,f2 + 1) mis V_
=
(,f2 + 1) mis
12. Una lancha. tiene un metor luerade boro da cuya potencia es de 20 HP con una eelifJ:oeo;" · "'.... ;". del 50%. So al r1e
mA8AJQ POTENCIA Y El/ERalA
240
RELACIÓN MATEMÁTICA ENr1?E T!?ABAJO y ENE1?GIA TRABAJO DE LA FUERZA
RESULTANTE "T
FO
El bloque se desliza en una superficie lisa con se aplica una fuerza F.
Vo y sobre él
camba de llelocidad. es dear modtfica la energía cinética TRABAJO DE LA FUERZA DE GRAVEDAD" T Amg • ~B
ConSIderando un cuerpo a una ahura h. del nivel de referencia.
9
Ar-I_ _ F es la fuerza resultante ~e actúa sobre el ttx¡ue. ¿quéprodute? ¡Trabajol T A~ :
F. d
(1)
F ; m.a
Reen'll\aZando T
Ir '. . J1!9
(2)
(2) en (1):
/.8 = m.a.d
(3)
~
vf 2. v:
v:
B
nrlJal da
"1
= m
Finalmente:
mg
Consideremos de la fuerza de gravedad desde A hasta B:
T:!B ;
mg(h o -
mgh o
(4)
.... rgo¡o ¡,.".,..;.,
gravllnona miNI
-v;)
(Vf - 2-
mg
TA-B;
E
h.J
mgh, ~gIa p...no:ili IJIvta10na final
~
__
PO,' --..;,
I m.
TA~ ::
TA~
posiclOO final
\. ............................... -
Reen-pla.zando (4) en (3) :
TA..Br
11•
T~~ " mg.6.h
.2.a.d
= a.d
I I
ho
De la Cmemática (M,R,U.V.) : V~ =
1m)
h
referencia
De la 20 ley de Nowton:
llOS'CiOO Inicial
A
.
= Ec , -
I
Eco
T A':.a
= 6Ec
= 6. Ee I
Esta ecuación IndICa que toda fuerza resul· tante F que realiza trabalo sobre un cuerpo. le
T A -.. 9 ==
CONQ.USIÓN : Cuando un cuefPO varia su lIeIocidad 6 V. enlonces varia su energía Cinética 6. Eey cuando cambia wrticalmente de pos;ciOn 6. h entonces cambia su energía poten031 gravilatoria 6. E,... La conClusión es también que al caer el
F/SICA GENERAL
241
cuerpo una altura "!l" ha expeñmentado una pénloda de ener¡¡1a gravi-tatoria igual a6 E.aEsto fl)I¡lIlCa su wlornegabvo en la IÓlrrula
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA MECÁNICA "Si un cuerpo pasa de una posi<;ión inicial hasta una posición final y se veñfica que sobre el cuerpo actúan sólo tuer-
Tms.at.doIW=E M, - E11.
I'AIvv
Deducción de la eruadón (A):
Para ello consideremos el caso de un bloque de masa "m" que es desplazado desde A hasta 8 mediante una fuerza constanle F a lo largo deunplanoíncinadn
p_
zas conservativas; entonces se cumple
que la energla mecánica del cuerpo en d
IOdO ¡nslanle permanece conslanle"_-
TEOREMA Del TJlABAJO Y LA
h,
ENERGlA MECÁNICA NiVel oe rcferercla
Es1ab4eoe que: "Si un cuerpo pasa desde una pos¡a6n lníciaI hasta olla posiaón final Y cLranIe su recorridoaclÜBn sobre éHuelzasllO
conservativas:entorcesseCUllJlequelaenerga rrecárjca del SIStema no se conserva. Memás el traba,o reaiz.ado por las fuerzas no conservativas dl.l'ilnle el reoorñdo es igual a la va-
Al desplazarse el bloque experimenta la acción de la fuerza F, la reacción noonaJ N Yde
su peso 0N=m g). - "- d TPesllofllO A-e - 'R '
riacióndelaenerglamecánica".
T;'.,CONSERVAllVAS)= E,,-. - EMINCW.
IT&.o CQtISE.RVATlVAS) = " E ,,1 11 E,.: Dlleranciade energlas mecánicas in~ cial y final . NOTA:
w -mad TFu.elil\.tIl.W.T A-t8 -'-oB ..
Una típica fuerza noconservativa es la fuerza de rozarTientn
mASAJO TJlANSFORMADO y CONSERVACIÓN DE LA ENERGlA
Ellrabajo realizado sobre un cuerpo por rnediode luerzasexternas cilemntes del peso "vi' (fuerza de gravedad), es igual al calTbio quee>cpelimerta la energía mecáOlca DE~ de
dcho cuerpo. rl-T-F-'..- ""-.-""-W-_---1I-E-,,--' o:
....... ~W Wh Wh T fA..e •• '=21 my2'-21 my2,
'f¡,'!aat •
w = (Ec, • ~) - (Ec, • ~)
IrF~"'" NOTA :
W
= Eu, ,~I
(A)
Si en (A) la fuerza externa áf...
rente al peso es el rozarTiento 'R",
TRABAJO. POrENCIA y ENERGIA
242
se llene que el trabajO del rczarriento "T"" es:
= TFzas. ex\. .. W
lA
Si en (A) ocureque la fufna externa cifererreal peso es cero. et oIOi ocesla energíBmecárica filal es 9Jal a la enetgla mecánoca inicial
o=
E¡.¡ I • E¡.¡ •
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
Un bloque de 300 9 de masa que se halta en repo6O en la cumbre "A' de un plano indinado y a2 mde attura sobre la horizontal, sedespla· za. llegando a ' 6 ' oon 6 mis de velocidad. 5e!iJn la figura. A partir de "B' se desrIZa 50bro una suportieie horizontal, desplazándose 3 m hasta "C" donde se detiene. CaJcutar:
la energragastada (transformada enca· lor) al bajar el cuerpo de ~A" a "B". b) El coeIioente de rozamento oné-tic:o por desizarrierto sobre la superficie horizon-
a)
1
De donde:
Sustituyendo datos: lA = EAgB =0.3.9.S_2·
m
~
E"g.... : b)
300g
h : 2m
d V
al Eg
=?
b) 11 = ?
= 3m = 6 mis
~ _0.3 . 52
P¡lta: E~.e ,,0.48 J
tal
RES
2
O + m 9 h. = 2 mVD + m 9 (O) + lR
Enetgra gastada al traSladarse de AaB.
la energía cinética presente en ' B" se
gastará ¡nlegramente en desplazar la masa hasta "C', es decir se utir.za para ven. cer la fuerza de friooón "R". que se opone al desplazamoento: ECo = lR
pero: y' pero:
fe.
=
~ mv:
(1) (1)
lA = R. d
R = l1eN = l1emg lA = I1c m 9· d
(2)
RZIJ.N
a)
Tramo AS:
EIoI¡ = EMr .. lA
Ecl +i Ep = ~ t + EpI + TR
Sustituyendo (1) Y(2) en (1):
= Ilcmg.d ; de donde:
~ ~
243
FlSICA GENERAL
Sustituyendo valores: El cuerpo se desliza por ineráa Y con la energía cinebca que pOsee en el momento que se le deja, realiza un trabajo al desplazarse una distancia 'cr para vencer el rozamoento, luego:
RESa..UCIÓN :
f1lta.:
~c
=
~c
=
~c
(6 m/s)2
2 x 9.8m/sl 36
x 3m
2 1( 9,8 )( 3
(1)
Ec = lA
= 0.612
~mV2
Calrularlaenergiaánéfica de ..., vehrrulo ~ tiene una masa de 100 kg Yva a 90 km/h.
dorde:
a)
EnjolAes
b)
Energios
pero la fuerza 'F" eS igual a la fuerza de roza-
PROBLEMA 2.
h
~ m V2 • Apta:
~) m
"mg.d
d = -
En la figlM'a se rruestra un ccche que se desliza por una via sin fricá6n, pesando por A. a razón de 40 mis. ¿Con qué velocidad pasará porB?
= 31 250 )( 101 erg
YA = 40 mIs
Ec - 3125)( 108 erg
Un cuerpo con una ""lo-
A
Cldad -y' se deja somebdo a su inercia sobre ..., plano horizontal o.ryo coefiaente de razarriento es '11'. Calcular la distaroa ~ avanza hasta delenerse.
T
v=o
v R -
y2
2~g
•
= 31250J
PROBLEMA 3.
de donde:
PROBLEMA 4.
Ec = 31 2&0 N . m
En ergios: EC
(b)
Sustituyendo (a) y (b) en (1):
~.I00kg(2S¡r
E.:
= ~ N .d
lR = II m9· d
o:
SuslrtuyendO en (1):
= 312S0(kg x
= R.d
lA
3EOOs
v = 25m1s
b)
T = Fd
y:
luego:
pero: V = 90 km = 90)( 1 000 m
Ec
(a)
mienlo "R" que se opone al desplazamento, ya que tiene que vencer ese rozamiento 'R" con una fuerza "F" para realizar el trabajo T,
RESOlUCIÓN :
Ec'
Ec =
32
Va = ?
m
hA
s
ha
=1m
32m
1
nivel de reler."""
Jl N
RESOLUCIÓN.
a
La energia mecáruca en A y en B son iguales:
TAA8AIO. POTENCIA Y ENERGíA
244
E... = Ec" • E.. =
21 m Va2
+ m 9 ha
=
eM•
= Ve
x = Ve t
Ee•• Ep•
21 m V2A •
x = J2gR
= Vi tZg(h. -he)
V~ = (40~r +2. 9.8 ~ (32-1)m Ve • 47 mI s
Rpta.:
(2)
Susl1lUyendo (1) en (2): m9 h.
De donde. ~lCando Yordenando:
V~
fo/
PROBLEMA 5.
Una bolita se suelta desde el punto A delgrálico. ::afcular ',' en lunción de R Y h (la curva es Isa).
fgh
x = 2.jRfi
Apta;
PROBLEMA 6_
Un cuerpo de 8 kg de
masa es jalado sobre la pendiente mostrada, de 1 m de k'lngitud, con la fuerza constMte "F", Partiendo del reposo, el bloque llega abajo COn una rapidez de 3 mi s. Si el coeficiente de rozamientocinélico entreelcuerpo y el plano e50.25, determinarla potencia desarrollada por"F",
(9
=
2
tOm/s )
/
B
•
~ft\ 1---
x
RESOLUCiÓN :
Calculamos primero el trabajo"T;, realizado por la luerzaF
La energla mecánica en A
RESOlUCiÓN :
ven S son iguales: Ec" • El'e =
O+mgh.
.,
De donde,
! mV¡
mgR
j2gR
(1)
2
Va =
=
e,., .
E ...
T. + lR = (Ec" .~) - (Ee.
+
Ep.)
Pero el rozamenfo es contrario a F, luego:
h. = R
Pero:
T(f
fe•• Ep•
~ mV¡ + mg(O) =
PF =?;m=8kg
d=lm
E.." = EM•
Mora, a partir del punto "S" la trayectoria de la bcf~a es una parábola. entonces el mClIIimiento es C(lI11)UeS1O. luego:
T. + (-R d)
=
G
m V¡ •
O) -
• (O + mg d sen 37") TF ' 11 N d = Donde:
N
~ m V~
• m 9 d sen 37'
= m 9 oos 37' • luego:
245
RSlCA GENERAL
Cálculo de la aceleración:
TF -)J (mg COS37") d =
=
~ mv~ - mgdsen37°
E-P = ma ,donde
Pero: m
4 lF - 0,25 (8 x 10 x 5) • 1 = 1
= 2 (8) (3)
2
3
- 8 • lO • 1 • "5
=P
9 a=9(E-P)
Oedonde:
P
Sustituyendo valores:
a =
Ahora, recordando la potencia: (I)
.. E-P=P a
9
TF = 4 J
Efectuando operaciones:
9.8 mi S2 (500 N - 4ooN) 400 N a = 2,45 mi S2
De donde:
Cálculo de la ahura al cabo de 30 s:
CálCulo de" ,Por ciremálica:
h -
V¡+V¡ el - 2- = I 3+0
2
=
"
h =
2 - S 3
PF=4J=6~ ~ s
Un globo aeroSiático que pesa 400 N sufre un empl.je del aire de 500 N. Calcular: La er1efgía polerasl y cinética al cabo de30s. La energía mecánica lotal.
Ep = Ph" 400 N • 1 102,5 m Cálculo de la er1efgia cinética: V = at " 2,45m/s 2 .30S
V " 73,5 m/s2 Aplicando:
Ec
Apta.:
b) h
t1
Ec
=
1
~
;
ahora
mV2 400 N • 73,5 mIs'
2' 9,8 m/s2 Ec = 110250Nm Ec " 1102S0J =
La energía mecánica total es la suma de las dos energías acumuladas al cabo de 30s
E=Ep+Ec
p
a)
1 102,5 m
CálCulo de la energfa páenclal a ésta ahura:
RESQUClóN :
N~d.~~ ..
=
• (30s)2
Ep = 441000J
p. = 6 W
PROBLEMA 7,
b)
~. 2A5m/s 2 h
3
a)
I a12
- 2
Susti1uyenClo valores en (1):
Rpta.:
P = peso
E ~:
= 441 OOOJ+ 110250J E = 551 250J
TRABAJO. POTENCIA Y ENERGfA
246
Un cuerpo se desliza pomero por ..... planoinclinadO y luego por un plano honzonlal. ¿Cuál es el coefiaenle de fnccoón. SI la distancia que reco
PROBLEMA B.
máxIma 'S', s, el c:oe!iQente de rozamrento es ·ll· . ¿Qué velOCIdad tendrá el cuerpo al IKlIver a su pr;nlo de partoda? RESOlUCIóN : Porconservacrón de la energía:
Subida:
Ec,
Ec, + Ep, + lA
+ Ep, =
1 mVf = mg S sanGO°. AS 2 mg S. senGO" = Nivel de reforencia
RESOlUCiÓN :
Bajada: Por conservación de la energía:
R'd
mgsena = A + A'
~
2
2
mV.=
2
mV, ,2RS
2
(3)
R =m mg ces 00".
2
1
(3)
A¡U.:
V. =
2
Jv~ . 2 g. S . ~
PAOBLEMA 10.
m 9 (1 + tos al
a
Un ruerpo sube por un plano irdinalo (11=60"). Con l.Ila YeIoadad InICIal "1/," una distancia
Un cuerpo de 50 kg de
masa es dejado caer del pr;nto A y se observa que alcanza et punto C. Delerminar el lrabajo hecho conlra la lriccroo.
Apta.: ~ = 1 + cos a = 19"2 pROBLEMA 9.
1
2mV. = 2mV, .211 .S.mgcosSO"
(2)
Sirrplhcando:
sena
1
Slmp~flCando y efectuando:
= ¡.IN' =IImg
(2) Y (3) en (1): m 9 sena =
(2)
luego, se tiene . 1
=¡.Imgcos a
En el plano horIZontal.
A'
1
sen SO" = AS. 2mv~
Por otra parte: (1)
En el plano indinado:
R = llN
(1)
Porconservac06n de la energía:
mg .S
AS.
O t m g.h = O + O • lA • TFf +
mVf · AS
Igualando (1) y (2) :
EG • Ep. = Ee, • E~ + lAr mg dsena = Rd
~
h
e
30m
í h
RESOlUCIóN :
r h
L
t'IVOI do referencia
h·h, ( ,"'\ J.- '..J - r e-----.¡ h
!.l____ .> ,
247
FíSICA GENERAL
Toda la pérdida de energia polencial se conYierte en calor, ya que se es1á venciendo la fuerza de rozarmento: T"
= mg (h - h,)
en un punto que se e~entra a 2 m amba del suelo. ¿Cuánto trabajo de fricd6n se efectúa si el tioque tiene una velocidad de 40 cmls exactamente en el momento en oue He9
"T"
T, , = 50. 9,8 • 20
Apta; T, , = 9 BOOJ
d
V,.40cmts
PROBLEMA 11,
La barra "BO" pesa 20 N
RESOlUCIÓN :
Ee,
•
EpI = Ep, + Ec, + fA 1 2
0+ mgh,
TR
= 0+ 2" mV, + T R
= mg"" -I2V m ',
TA = JO kg • 9,8 mls2 . 2 m -
RESOLUCIÓN :
Al descender la barra lo hará una altlJ"a equivalentea:
h=(L-Lcos5O")
=>
L h =2
(1)
Trazando el nivel de relcrencia en la zona de Choque:
Por et >fficipio de la conservación de la energia Pero:
Ep, + Ee, = Ep , • Ec, Ec, = O Y Ep , = O
mgh = 1 mV2
j2gii
~
x
. 30kg(O,40m/S)2
Apta;
TA = 585,6 J
PROBLEMA 13. En la figura mosltada la distancia /lJJ es 400 cm. Si la "cuenta' que esté en A tiene una velocidad inicial de 2 mis y al llegar a O se detiene. ¿Oequé magn~ud es el trabajo de rozamienlo que retardó el movimiento? (La masa de fa "cuenta" es 0,50 g). A
nivel de referencia
1
2
V =
2m
Por conservación de la energfa:
e
A
mo
nivel de referencia
y está sujeta por dos catles"p.s- Y"CO' de pesosdesp"eciables. Si parte de! reposo en Iaposl::l6n mostrada ¿CUál será la velocidad al ChOCar con la pared?
«
(2)
Siendo L " 1 m y susIituyendo (1) en (2) : V = J9F mis
50 cm
RpIa.: V" 3,13 mis PROBLEMA 12. Si un bloque de 30 kg de masa se desliza hacia
abajo sobre un plano Inclinado comenzando
d
RESOlUCIÓN : Vo=O
AD = 400 an = d VA = 2m/s
TRABAJa POTENCIA Y ENERGIA
R =?
m : 0,5Og
Ee. = Ee c + l~
hA = O.5Om Porelpr1n~deronservacióndelaenergía
(1)
T R : Trabajo centra la fricción 1 2 Donde: Ec.: 2 m Ve
entreAyO:
Ec, .. Ep , 21 m VA•
.. P • h,
de doode: T R = lA =
~
= EpD .. o
Eco .. TA
O .. O .. T"
Ecc = O T~ = Re d = J.le m 9 d Aeerrl>Iazando en (1) :
~ mV~
~ mvI .. P x h.
V~ J.lc = 2gd
x 0.5 x 103 kg(2mls)' ..
(3,E mls)2 Ile = 2 x 9.8 mis' x 2.7 m
.. 0,5 x lOS kg x 9,8mls' • 1 m
Apta" 5.9
x
10-3 J
PROBLEMA 14. Un bloque de 10 N de peso se abandona partiendo del reposo en el punl0 • A', sobre una pis1a cons1i1u1da por un cuacltanle de circunferencia de radio 1,5 m. Desltza sobre la PIsta y alcanza el punto ' S' con una velocidad de 3,6 rrls. Oesdeel p.-,to 'S' desliza sobre..,. superficie horizonlaJ una distancia de 2,7 m hasta llegar al punlO ' C', en el cual se detieoe. Calcular:
a) b)
¿Cuál es el coeficiente cmétioc de rozarriento sobre la superfiáe horizontal. ¿Cuál ha sido ellrabajo reelizado, conlra las fuerzas de rozarriento mi\1f11ras ",1 cuerpo desli:za desde A a S sobre el arco cirrular?
Rpta.: Ile = 0,2448 b)
Entre 'A' y 'S", aplicando conservaci6n de la energía: Ec,
Dordo:
-
.. Ep,
= Ee" .. EPa .. TR
Ee,
o
(2)
O
,
Ep = Ph. f
2
Ec" = -2 mVe Ef\ = O
~ =
O
Reemplazando en (2):
0+ Ph. =
V,,'" o
"
= O.. J.lemgd
r.R
"Ir_1.5m
~ mV~
+ O .. TR
. = P h•. 1 2 m Ve
I
I !- V
= 3.6 mis
10 N
t
TR = 1ON " I,5m- -2 "
.x
9,8mls
. (3,6 mls)2
RESOLUCIÓN a)
Entre los pul1los ' S' y ' C', aplicando conservacI6 n de la energla, ya que Ep. = E,.c = O , se ~ene:
Apta"
TR
= 8.4 N m =
8,4 J
PROBLEMA 15. Una petola alada a una a.Jerda, se pone en rota-
FISJCA G€N€RAL
249
c"", en una circun1ereroa 1/er1ical. Demostrar que la teflSlÓn de la cuerda en el punto más baJO excede de la del punto más alto en 6 veces el peso de la pelota Sustituye ndo en (1) : T2 -T1 = 2mg.4mg
RESOLUCiÓN ' mg
Rptac T2 - TI = 6mg
,,
PROBLEMA 16_ Un blOque de 3 kg de masa mostrado en la figura, OOneura ~dadde2 rrIs en el pullo "A" y de 6 mfs en el punlo "8". Si la long~ud AS a lo largo de la CUIV3 es 12 m ¿De qué magnrtud es la fuerza de fr'cción "R" que actúa sobre ella? Consilerandolarrisma fuerza defriooón, ¿aqué ástanoade"B" se detendrá?
I
I
f
,, f
o
\
\
mg
En el punto más alto: mg. TI
E Fy = maC, nivel de relerencia
V~
;: m R (1)
En el punto más bajo: E Fy mg-T2 = m T2 =mg.m
e
= m 8c,
RESOLUCION : 1)
V~
A V~ A
Aplicando conservación de la energra entre AyB
EcA + EPA (2)
21 mVA2 + mg hA
Restando (2) - (1):
fu el pri1cipoode conservación de la energia entre (1) y (2) :
~ mvf
1
= 2
2
m Ve + O + Rd
2 21 m(VA2 - Ve) + mgh A
(1)
Ec, + Ep,
= ECo + EfII + Tfl
= Ec, + E",
.. mg . 2 R =
~ mV~
~datos numéricos:
~
•
. 3(22 .6 2) + 3 • 9,8 • 3 = R • 12
- 48 • 88,2 = R x 12
11!ta~ +O
= Rd
R = ~22
=3,35 N
11) calculo de la distancia desde B al punto
TRABAJO. PaTENCIA Y ENERG/A
250
qLe se detendrá, supongamos C.
,0:
Ep, + EC, = Ept + EC t m,gd
a
1
m20d+ iMV2
nivef da referencia
=
~!....2
mi 9 d = "'2 9 d +
~ (m, + "'2) V2
m,gd - m2gd = ; (m,
+ "'2)V 2
Porcooservaa6n de la ene'llja entre "S" y "C" : "G..~ = ECc·~ +TR
~ m Vl
+ m 9 ha
K
o+ o+ Rd
Lcngiludde la 1rayectoria a lo largo de ec.
d:
~
x
3kg(6mls)2 + 3kg . 9,8m/s 2 " . lm = 3,35N . d
Dedonde :
Rp1a .: d = 24,9 m
PROBLEMA 17.
SI las masas de la figura mostrada se Iileran a par-
U, de las po5lCIOOOS que se Irdican, ¡nflar que la \IflIocIdad de las masas, e laclamente antes que mi dloq.Jll contra el JlISO es:
v2 =
2gd(m,· m2 ) m, • "'2
PROBLEMA 18.
Se suelta una cadena
RESOLUCIÓN :
[2 9 d(m, - "'2)]2 m, + "'2
Despreciar la masa y la fricción de la polea.
PosICión InIclaI
a (L·.)
r nivel eSe
R:SOlUCIÓ'1:
Por conservación de la
energla: E.. NCIAlIlEl. SlSTEIAA
=EMFtW.1lEl. SISTBAA
I.Q.Q.d.
llexible de longitud "L" Y peso '0" por unidad de 1ongi11JCl. Si una parte de 'x" metros está colgando y la otra parte est.! apoyada sobre una superficie horizontal üsa. Hallar la velocidad de la cadena cuando abandona ~~ioo ronzontal.
,
V •
T
V = [2 gd (m, • m2 m, + "'2
,
251 tal como se rroestra en la figura. Calcular la
Como la cadena parte del reposo:
velodded cuando la cadena abandona la posici6n horizcntal. (No hay IIicción).
Vi :: O
(1) La energlapotencial E p , ,correoponde a las dos poItiones: Ep , = O(L· x)O + Ox(·x/2)
"
'2
rivéI de refetenda
. -• sena
9f=~'
Ox2
Ep,
RE80.UCIÓN : Posición ¡OCia!:
I)
(2)
00ncIe: a (l • x) : Peso de la parte apoyada
11) Posición final:
a • : Peso de la parte que ruelga
nivel de refererda
Cuando termina de caer: al
Pero :
..
Aplicando conservación de la energía:
Ee
"'
= 1 • Ol 2
9
x
V2
(3)
Z
Ep,
al = (Ol)(·1I2) ='2
(4)
Ee I + Epi = Ee I + EpI
o+Oa(-~sena)
Ee, + Ep, = Ee, + Ep, O.' 2
R¡:la: V =
=! . 2
Pero :
m = al,
en100ces :
9
Ol x V2. Ol' 9 2
J~ (l' ••')
~mVZ +
tOlOsena)
Sustituyendo (1), (2), (3) Y (4) en:
o.
=
Oa Z sena 2
Z 2 OlY =_ . al sena
9
2
Simplífícando y efectuando:
PROBLEMA 19. Una cadena flexible de
lon¡j1ud "l' Yde peso por
Apta:
y =
Jt (l2 • a2) sena
uridad de longitud 'Q", se suetta del reposo, ~ L . 8 -----. ~
La cade~ es
""~~!:2!!!~~~~' . ;':: '-; horoogénea
¿Cuál es la velocidad de la cadena de la figura cuando el LItimo eslabón abandone la polea? la cadena pesa ' O' kgpa- unidad de Iong~ud Ysu lorgtud es 'l'. (Se desprecia el rozamiento yel radio de la polea). Parte del reposo.
PROBLEMA 20.
TRABAJo. POTENCIA y ENERGIA
RESOLUCI(
r 1
Posoaón ¡ricial nivel de rmerenos
·x
1 11)
-- J·-r--T · (l · x)
-",/2
-J.2
.G.
- (l·.)
1
0 (L- xl
Ox
Posición rlnaL
l
:. ·- 2- -
A~:
Y= J29X(\X)
PROBLEMA 21 . ¿Una pequeña esfera se desliza a partir del reposo desde "A". ¿CuáleSIa reacaOn normal de la PIsta semicircular en OC"? 8
,
nivel de
e RESOLUCIÓN :
'1
í
-L 2
e.G .l
·l
_de
1
,
EC 1 • Ep, = Ec ! + Ep2
O+mg
o+{ax( ~)+a(l-x)[(L/)]} = 2
A_B =
~mY~
+0
my2
e = 2mgsenB
A
(1)
Por dinámICa Clrcunfereoclal, en ef pLV1to C:
-~ my2+alH) = '!my2 _ Ql2
referencia
Apicando conseMCi6n de la ener¡1a anue Ay C
Ol
Aplicando consefVaci6n de la energfa:
2
=2"g-T
2
Simplificando y electuando:
/ " rel9fend8
1
OL y 2 Ol2
Ox2 O(l·x)2
1 t
(2)
9
(2) en (1):
x
I)
Ol
m=
Pero:
N·mgsenB=
(1)
Igualando (1) y (2) .
my2e A
(2)
N = 3mgsen6
FísICA GENERAL PROBLEMA 22. Un pequeño vehrculo deterido en el punto 'A', se pone en ITlO\IÍmento desde una altura oh', con respecto al plano hoñzontaJ "DE", y recOffe los dos planos indinados "AB' y ' Be', Si la tuerza Que se opone al movimiento, debido a la resiSleroa del aire y al rozamento, es cons· tante e igual a la décima parte del peso del vehrculO demostlar que la aI!IJra que éste al· cama cuando se detiene en cualquiera de los planos Inclinados después de haber pasado el punlo 'B" n veces, será;
1"
h, =
(~r h
./
l~ O
B
RESOLUCIÓN :
1 I = 10 mg
1 mg(h ·h,) = 10 mg(2h + 211) 10 h . lO h, = 2 h + 2 h1 12 h1 = 8 h 2 h, = h
3
La segunda pasada porB, el vehlculo alcan· zará:
h2
= ~ h,
= ; (; h)
= (§f h
La tercera pasada porB, el vehrculo logrará:
m 3
h3 =
E
h
y as! sucesivamente. Para n pasadas por B, será:
nivel de referencia
h" Aplicación:
o
E
=
Gr
h
Lq,~d.
Por ejemplo, a la primera pa· sada. O sea cuando n 1
=
hl =
2
3h
De la Iígura, por conservación de la energra
entreAy C:
Tf
¡........, - Ec
• Ep' T _conra'" lLoona di Cj>C>OdCn 'f'
o = ~ m(O)l. ~ m (0)2 + mg(O). · mg(h·h 1)+I(AB+BC)
(1)
PROBLEMA 23. Un cordón flexible pasa por una polea. lleva en sus ""tremas dos pesos W y "O', El segundo . resbala a 10 largo de una barra pulida. Hallar la veIoadad de 'O" en función del camtno "x', suponendO que en el instante iniCIal, x = O, "O' estA en reposo. La polea debe COnsiderarse como rruy pequeña.
Por otra parte, de la figura tenemos: 1-- •
serl
JO" =
h-
AS
h,
senJO" = -
BC
AB = 2h
(2)
BC = 2h,
(3)
Reerrplazando (2) Y (3) en (1) Y considerar>do:
v
I
1RABAIO, POTENCIA Y ENERGlA
RESOLUCIóN:
Q desdende
1(,
mientras
WSIbe:
Ja
2
2 +1
·a
Por conSl!fVaCÓ1 de la eneJgía:
W(Ja2 ..2 -al'"
Ox +
1 ay2 cos2 ~ I WY2 .-lo( +-)t-2 9 2 9
av 2 cos2 ~
A J..-......,....,.t.
acos2 q.+w
Ja
J_
x2 . a)· ax]
29[W(Ja 2H 2 .a).ax]
cos~ =
11
nivel de reterenc.ia
Wy2 =
t
= 29[W(Ja2 t
1/2 =
25m
2
• +
h..
=
(V o. ; VIB }
(1)
..
(JO; 20) I = 25 m
=
i'
~2
cos2 Q = a2 + .i
(2)
REleIll)lazando (2) en (1): 1
V'" [2g [w (Ja 2 x2 . al ' oxJj2 t
ax2 a2
+ .2 +
ha,
W
= ( Y~+y, ... 2- D ) loo
=
'" Co; 0) 1'" 5
m.J
PROBLEMA 24.
Una eslera de 1 kg es lar>zada vertICalmente hacia
arriba con una rapidez ¡nioal de 30 mis. CalcUar la energla mecánica de la esfera respedo al nivel de lanzamenlo para los instanle5.1=0,t",1 $,1=25 y 1= 3 s.AnaJice el problemayconsidereg = 10 mis'. Se observa que el mollimiento de la es!era es rectilineo y desacelerado (M.V.CL). La velocidad de la esf&a áSl11ll1Jye por aCCIÓn de la fuerza de gravedad MIrando el gr.ifico. del M.V.C L ' calculamos las alturas de B, C y O oon respecto al rwel de refereroc18.
Hallamos la energía mecánica para tos ins· tantes señalados: 1)
En"A" ('.=Os)
= EC. + Ep. I
2
=~.l .
ao2
=:¡mYA tO
RESOLUCIóN :
E",.
2)
= 450J
En "B" ( 1, = 1 5): E"'s '" ECo + EPa
E"'s =
~ mvi + mgh¡¡
A$lCA GENERAl.
~
=
derar 9 = 10 m's')
4.
10. 2:5
1 . 2ff + 1
RESQUCIÓN :
E... = 200 + 250 = 450J
mg
3) En 'C- (1,=2 s):
~=Ecc+~ 1 2 E¡¡" = "2 mVc
+mg"c
t
EMe = 2 1 . 102 E¡¡" = 50 + 400 = 4)
X~Io_ _.....:d..:-:..x,::t....:.x:io.:::-..:'.:.6:.::m_ _ ~ I
+ 1 . 10
40
Se observa que 'F' es la fuerza resultante que transmite movimIento.
450J
En 'D' ( t, = 3 s):
Nos piden:
A Ec - Ec, • ECo
~ = ECo +EFb
= 10 .
45
10
= 450
AnaIicemo~
el siguiente cuadro ~aralivo 00 las formas 00 energiasen cada uno de los puntos señalados. A
B
e
o
E.(J)
450
200
50
o
E.(J)
o
250
400
450
E",(J)
450
450
450
450
2
2: mV ,·o
=
~(t)(VI)2
E"o = o+rngho ~
1
=
(1)
De la cmemátJca (M.R.U.V.) haDamos la V, :
V~=V5+2ad V~ = 0+ 2a(18)
(2)
De la Segunda ley de Newton; hallamos la
ace!eraa6n;
a =
Fil = m
4 N = 4 m/.2
1kg
Reemplazando en (2):
Se observa que al subir la eslera, suener· gia dnétoca disminuye mientras que sirrultá· neamente su energia potencial gravitatoria aI.meI1Ia. Tarrbién se obserw que la únoca fue= que afecta a la esl..... es la luer28 de gravedad (es una ruerm conser-vatJva). Por lo tanto: Ila energla mecánica se ~COf1Slantel
PROBLEMA 25. lk1 bloque de 1 ~descan58 sobre una superficie
honza1tal lisa. SI sobre el bloque actúa una fuerza tnizonlal F = 4 N Vdesplaza al bloque desde x = Ohasta x 18 m Calcular la varia· CKin de la energla cinétICa del bloque (cons,·
=
v~
= 2 (4) (18) = 144
Re"fT1llazando en (1): 1 AEc = 2 (1)(144)
= 72J
Además vamos a verlrcar que el trabajo reafi. zado parla fuerza F sirve parn Incrementar la energla onétJca del btoque. Del Teorema del trabajo y la energía cinética. Tr
=
Fd
= 4N ~ IBm = 72J
Apta.. t. Ec = 72 J
TRABAJO. POTENCIA Y ENERGiA
256
PROBLEMA 26. Un bloque de 1 kgeslanzado honzonlalmenle con un rapidez de 10 rrJs en una superfIcie horizonlal; luego de recorrer cierto tramo su rapidez es2 m/S.CaJcular el trabajo reafizado por la tue123 de rozamiento para dicho tramo.
RESOlUCIóN : Sea la fig.¡¡aquedescribe gráficamente el JlflT bIema:
mo
-
V,_2rrJs t-;'
I
rriento realiza un trabajo negawa (de Irero). loE c
EN. EN
1
a)
e)
¿Qué trabajo realiza el hombre al lanzar el ladrillo? ¿Qué sucede con la energla transferida al ladrillo? ¿Enquése transformalaener· gía Clnétca dellad.Uo? ¿Ouérecomdolograelladrillo?
RESOlUaóN :
Análisis previo: Sea el gráfico que describe el prdJlema; se lanza en A y se debene eoR mg
2
= 2mVA~O 1 (1) (10)2 = SOJ
•=2
En 'B-; EM•
= -48J
PROBLEMA 27. Unhombrelanzaunladri· 110 de 2 kg al ras del suelo áspero (me = 0,5), con una rapidez inicial de 8 rrJs. Calcular:
b)
Ay B:
lb
¿ En qué se gastan los 46 J? Se "gastan" en hace, trabajO para vencer el rozamiento, trabajo que se manifiesta en forma de energía térmica (sube las lempera turas del tjoque¡ superficie y del enlomo). -.....J
B
Se observa que fe es la fuerza resultanle sobre el bloque y origina una desaceleración. Veamos lo que ocurre con la energía mecánica en los puntos
=
=Eco
E....
= "2t mVe2 t
O
EMe
= .!2 (1) (2)2
= 2J
Hallamos la energía mecánica del blOQUe en
Halamos la variación de la energla mecárica: loE M =
EM,
,
A'
+ Ep•
•
~yB.
Al inicio, en A:
Et.to
EMo = ECo + Epo
loE M = EMe-E M• =·48J
En eslecaso por ser un Il1O\IIlllÍento horizontal. la energla polencial gravitatoria nO cambie, es O, se puede usar la ecuación:
t. Ee = Ee, - Eca
EN.
Al final, en B:
Et.t, = Ec, • Epo E~,
= -48 J
¿Porque la energía mecánica (cinética) canilia o cismirl.l)l!l en 48J? Porque la fuem de roza-
= ~ mv~ = ~ (2)(8)2 =64J
a)
= O+ O = O
B hombre lrarlstMe fTlO\Iimiento al ladrillo, es decir realiza un trabajo macáricoiguaJ a la energla mecánica i1icial del ladrillo.
FíSICA GENERAL
'257
HOAIZCINll\LMENTE; b) Hallamos la vanación de la energfa m&cáAca.
El bloque posee V constante ; desarrolla un M.R.U. Luego, se encuertra en equílibrio ci· nético,
dE,. = E M, • Eroo
:. FR = O:
1: F (....) = 1: F (...)
dE" = 0·64 = ·64J
Es decir.
F = 'e
¿En qué se consume la e""'!lfa? La energla
rrecánica translenda al IadnRo se gasta en realizar trabajo en ¡;:>ntra de la fuerza de ~amento. TC = AEe
(1)
VERTlCALMENTE: FR = O I:F(T) = 1:F(l) esdecir. N = mg
Existe t¡<1ulbro
Tic = .64J
La energla mecánica al disParse setranslorma en energca térmca (calor) y sirve para ele\lar la t"'Jll
¿
Hallamos la distancia AB : T = d Ee
- le d = ECt - Eco
-11 . mg . d= O- ~mv~ v~
d= 2119 =2(~)10 = 6,4 m PROBLEMA 28. Galcuar el trabajo neto
sobre el bloque de 20 N queseclesplaza con lIIl10cidad constante, para un Intervalo de tiempo d t = 5 s. También calcUar el trabajo de la fuerza de rozamiento, si la rapidez del bloque es 2m/s.
RESOlUCIÓN :
Hallamos el trabajo del rozamiento: Tá = ·Ied = ·8N . 10m
= · BOJ
El rozarrienlo reaiza un trabajo resistente. Hallamos el trabajo de F : T F = .Fd = 8N . l0m = .BOJ
Es un trabaJo motñz.
82
~I ~; ..,
Luego: 'e = I'e N = 0,4 • 20 = 8 N
L, ¿:=~.
Rnalmenle, hallamos el trabajo neto: TNoto _ T F
•
Tb • T N + T"'II
T- = + BO + (-SO) + O + O
Apta: T- = O PROBLEMA 29.
Un Clbo de 2 kg se en· cuentra fijo en la superf.
de horizonlaL Se le aplica una fuerza vertlcal y hacia arr'bade32 N. Se pide calcularla energia cinética del bloque después de D t = 3 s de su partida. RESOLUCIÓN .
V,.O
2kg .. 20N
~B~ 32N
"1 B bloque desarrolla un M.R.U.V. halla-
ss
mos la aceletaCHin; con la 2da. ley de
Newton:
V, . O
1" Jd
V I ZON
~A
1RABA.Iq POTENCIA YENERG;A
258
= r-m¡,¡ <
a
(32-12)N =
Hg
~m/s2
VI = Vo • a t
= 0+ 6 •
3
= 18 mIs = Ve
f1>ta-
~ m V~
=
EM A = Ee A + EpA
~ (2)(18)'
Setieneunladril1ode3kg en el piso. ¿Cuánto trabajo se requiere para eIeYa~over1icalmente hasta lXl8 anura de2mdemodoque llegue a dicha po9dón con lIl8 raptdez de 2 rrJs? (Considerarg=10m/s')
F=33N
OTROMt:TODO:
Ee. = 324 J
PROBLEMA 30.
RESa.lJCIÓN :
=>
lue¡¡o:
Luego. el trabajo desarrollado por la fuerza asoencionaJ F es: r F = Fd . 33N.2m = 56J
Cálculo de ta energra cinética en B: Ee. =
FR = F - m g ;
3=F-30
8 bloque está Sl.bendo con esla aceleración. Del M.R.U .V. hallamos la VI en B:
VI
También:
O + 0= O
e
E"' A EM•
e
EMa
e
E.... =
Ee a + Epa
~ m V~
+ m9 h
~ (3)(2)' + (3) (10)(2) = 56 J
Por efTeaema del trabajo y la energía mecánica. se tiene:
J ~ " JO N
PROBLEMA 31_ Una eslerilla de 1 kg es soltada en "A" Ydesde.. de por una rampa rISa conectada a un rizo circunlerenclaJ de radio A = 1 m. Calcular la fuerza que ejerce la s'4l"rticie del rizo sobre la esterilla en "B" y también la fuerza res!&nte que experimenta la eslerilla al pasar por "B" (9 = 10m/s')
..
r
4m
El ladrillo desarrolla un M. A.U. V.
Calculanos la aceleración de ascenso:
Vr = V~ .2ad ~ = 0+2 • • • 2
a = 1 mIs' Hallamos la fuerza ascencionaJ (2da ley de
New1on) FR = ma = 3 . 1 = 3 N
L'::~~_r~~re~
B
_
Hallamos la energía mecánica de la esferilla en "A" Y "B" respecto al nNelde referencia:
RESOLUCIÓN :
En el punto "A": E"'A = EeA +
epA
EM" = O. mg hA
259
RSlCA GENERAL
.•
~,;
1 • 10 • 4 = 40 J
En el punto 'B':
E.... = Ee" + EPo 1
Et..,.
=
=
~.
Et.o,. Et.o,.
(1)
2
"2 mVB + mg~ 1
~ (1
K
vl + 1 • 10
+ lo}
• 1
(2)
Es la fuerza que ejerce el rizo sobre la estera en-S-. Hallamos la tuerza resultante sobre la esfera en'B', mg
•
o .---.f!f/óo.---"
Cuando la estenIla se rrueve entre las posiaones "A" y 'B" , sólo la fuerza de gravedad transmte movwnienlO y como la scperflCÍe es
FR =
J(Norrna~2 + (m 9)2
Usa se ~e el Pnncipio de conservación
FR
J60 2 + 102
de la energia mecánica
EM• 40
V~
Rpta.: FR = 60,82 N
= E....
= V~2 = 60
En la figura siguiente, se muestra una esferina de 1 kg, al inicio fija y comprimiendo un resorte (K = 400 N/m), mediante una fuerza F; 200 N. De pronto F deja de actuar repentinamente ¿Cuál es la es la energla CInética de la esterilla al pasar por "S"? La supertiae es lisa (9" 10m/s·). PROBLEMA 32.
+ 10
m2 S
= 10.p7N
(3)
2
AnallO
B
Normal
F
11/
En '8", de la 2da ley de Newton:
Fe = m Be ObGérvese ~ Fe = Normal; luego'
A
RESa..UCIÓN ;
Obse!vando la figura:aJ lIlicto, en el punlo "A",
T1lABAJO. POTENCIA Y ENERGlA
la esfera está en reposo y comprime al rasor· le con una fuerza de 200 N.
El melor transmite movimiento a la cabina mediante...,a fuerza "P.
Hallamos la deformació n
Hallamos la poteroa mecánica que desarrolla el motor: F pF T Fd pero: d = V
D.LdoA :
K.
"x":
F
=
=
I
K x = Fuerza recuperadora del resorte p
F ; Kx
En el punto "A": Ef,4 A ; EeA + EpA + E~ r~A
EM •
;
;
O + O +~.
~ K ~ : ~ (400) GY ; 50 J
pF = F .
= (6 " 10 3 N) (4 mIs)
PROBLEMA 34.
Determinar la eficiencia de una máquina, sabiendo que la potencia de pérdidas que se producen durante su luncionamiento representa un 25% de la potenaa útil que entrega o da dicha máqlMla Representamos a la máquinaasl:
RESOLUCIÓN :
En el punto "B":
E.... = Eco + Epo + EFE. EN o ~ Ee • + Ep• + O E .... : Eco
+1 x
10 • 2
vi
P' = 24kW
~a :
200 ; 40Ch
EM•
F
t
p ............,. "-
POlI.
-
máquina
¡
EM• ; (E c • +2O)J
... t I n t , t t '\,
Por ccnservación de la energla mecánica, hallarnos E c. :
EM• ; EMe 50 ; Ee. + 20 , de donde
P
En forma arbitraria y perser práctico. designarernoscomo 1OOW la potencia útl;iuegolapotencia perdtda es 25W. es denr el 25% de 100W. Se cumple que:
Apta.: Ee. ; 30J
Pentregad. = P\ti + Pp!lIdda
PROBLEMA 33. Calcular la potencia mecánica que desarrolla el motnr de un ascensor cuando levanta una ca· bina de 6 kN con una velocidad constante de 4 mis.
P"'*
Ponrogaoa ; 125 W
F
AESOLUCIÓN : V constante
-.
ro
n ;
t mg = Gk'"
n
=
l00W 125W
=4;en%:
5
FISICA GENERAL
261
¿ Qué nos expresa Ln rendimentode8O%? Nos indica que porcada 100 W de potencia suninistrada o entregada a la méquona, ésta. a su vez. nos da solamente ao W NaTA:
Apta: n = 80%
PROBLEMAS Pf?OPIJESTOS 1.
Una cadena IIe>oble de longitud "L' y de peso por lJ'idad de 1mgiIud"O' se sueHa del reposo tal corro se muestra en la figo..ra. CaIruat la velocidad cuando la cadena aban
....
v"
...
"""""" 1
•
Apla.: Vo =
j6QR
4_ Una piedra est! atada a una cuerda de longitud ·L" Ygira ",ijormemen1e en Ln plano vertical. Hallar a qué número de rl!llOluciooes por segundo se romperá la cuerda, sabiendo que su carga de rottXa es Igual a 10 veces el peso de la piedra. 1
Apta.:
CJ)
3 = 2"
(f:Y revls
¿Conquévelocodad tocariael suelo una piedra que es lanzada verticahlen\e hacia atTba con una veIoódad inicial de 24 rrJs? Antes de ernpezarel retJmoalcanza una aIti..Ia 0020 m y se sabe que la feSISlenoa que hace el aire es ronstante e 9Jalala mitad de su peso. 5"
~c v=nl(L2-a2HL-aI2sena.1 Un hootlre parte del reposo por Ln8 pendoentede200mdealtua. Si su vetoe;. dad en la parte ,ntenor es de 20 rrJ •. ¿Qué pon:enIa¡e en su energía potencial se perdió debtdo a la fricci6n Ya la re-sistencia del aire? (considerar 9 = 10 m I s' I 2.
Apta: 90"..
V, = 14.4 mIs
Apta.:
En la figura, calcularla velocidad de "A" en el momento que se encuentra con "S' en la misma horizonlal (MA = 2 M. l. 6.
Un carro de masa "m' desliza sobre el aparato de rizar, el rizo representado en la ligtJa carece de lO2aIrientl. ¿Cuál sera el valor de la vetcx:idOO míiWna " VQ "con que debe ser IanzadodesdeA paraque recona toda lab'a)'ec1o!iaABC1 Se sabe que h = RI2. 3.
B
t~ T
eh,
Rpta"
V
3gh
= -3-
TRABAJO, POTENCIA y ENERGIA
262
U'la lancha de 25 kg, tiene un motor que le hace desaJTOilar oerta aceleración constante para vencer la fuerza de resISten· cia del agua de :!OO N. Calcular la potencia desarrollada por el motor al desplazar a la Ian· cha una distancia de 18 m en 3 s. partiendo del reposo. 7.
Apta.: 1,8kW
La cabina de un asc::ensor de ., !
Apta.: 10 personas
TRABAJO EN lAS IWTACIONES Sea el cilindro A de la figura, enrrollado con lIlB cuen:Ia en cuyo extremo está atado un cuerpo de peso W rN ; F),
T=M9
dorde:
(1)
M" FA = 2N x O,3m (1)
M = O,6Nm = 0,6J 8=arco=5m R 0,3m
1
9 = 16,67,ad
2"R
j
w= F
Sust~uyendo
T
(2)
(1) y (2) en (1):
= 0,6 J ,
16,67 rad .
T = 10J . rad
St.póngase ahorn. que se desenrrolle Ula Ion;¡itud 2" R, es decir, el cilindro da una vuelta, el trabajo será: T = F. d
a)
Enjaules: T = 10J
b)
Energios: T = 10x10' e'g ENERGÍA CINÉTlCA DE ROTACIÓN
T = F x 2rtA = FA x 2", pero:
Sabiendo que en su medida: T"
F R = M tmomel1to aplicado al cii ndro)
luego:
Ec=T=M8
2" = 8 (ár'gulo girado por el cilindro)
Pero:
M" la
IT = Me I
:::: momento de irercia
E" ta) (1)
m A2
a = aceleración arqJla'
Ejemplo: Sobre un cilindro de 30 cm de radio está enrrollada unacuerdaen ruyoextremoes\a atado un peso de 2 N. Si la cuendasedesenrrolla una Ioogitud deS m por acción del peso. ¿qué trabajo habrá desarrollado? a) En jet/es. b) En ergios.
(ángulo descroo en velocidad angt/ar)
RESOlUCiÓN :
pero:
Se sabe que:
1
Y.
8 = 2 · 0. · t
2
(2)
Sustituyendo (1) y (2) en (a): Ec = T =
la x ~ at2 = ~ l(at)2
a t = w (velocidad angular)
263
rolSIGA GENERAL
Por 011'0 lado, sabemos:
! EC =
;
.1.G>2!
Ei.......Io: CalcUar la Ec al desenrroUar 2 m
Pero:
(2)
(F . R)21 2
=2' 1
m . R2 F2. 12
2 ' - m-
Ec = (I)
1. ",2
Ec
M
'" = IX . I = l " Ec = ;
l=m . R'
1
EC
RESOLUCIÓN :
~
(1)
Sustituyendo (1) Y (2) en (11)'
la cuerda por aooón de un peso de SO N. La cuetda es1á errollada a un cilindro de 20 cm de I3dio y 10 kg de masa, el hecho demaa4s.
EC =
M = F. R
,r
. I. ( ~
1
=2'
EC =
Apta.:
Ec
(BON)2 (4s)2
10~ m/s2
1 6400 . 16N.m
2
20
= 2 500 J
( 11 )
UNIDADES DE TRABAJO Y ENERGfA JOUle
1 joule
1
1 ergio
10"
1 kW.h
ergio (se usa poco)
10'
2,78 x ID '
1
2,78 x 10'"
0,36 x 10"
0,36 x ID'
kW.h
1
UNIDADES DE POTENCIA
wall 'W"
kW
erg/s'
HP 136x 10"'
1 watt 'W
1
0.001
10'
l kW
1000
1
10
lO'
10'''
1
136 x 10"·
745
0.745
745 x 10'
1
1 er¡ts 1 HP
• se usa poco
1,36
TRABAJQ POTENCIA y ENERGíA
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
Unacuerdaquegir¡la400 R.P.M .• lieneuna masa de 10 kg Yun radio de giro de 50 cm CaIctAar: a) SU momento de Inercia
b)
Recordando:
al
Recordando que:
Ec •
~
1",2
Ec = 21 • 2,5 kg •
V, = O .'.
pero:
I ; 10kg _ (O.5m)2 = 2,5kg _ m2
2(
Ec = 1,25kg . m l400 .
de dord
a
m2 (400 R.P.M.)2 2/trad)2 60s
Ec = 2193,24 (1
Un peso de 200 N. amamidoaunacuerda, larual es.á emueIta en el ere de 15 cm de 0010 cae ruante 8 S, I eco 1& ido l.JlIl altura de 5 m, par' tierdo del reposa CaloJlarla energiaci1éli:a de la polea al CUl'flIirse el 100 segt.ndo. PROBlEMA 2.
(a)
'1I¡2
= V,, + 21 a.2
h
l ;m R'
b)
!
z
Cálculo de la aceleración 6nea1:
su energfa clnébea.
RESOLUCiÓN :
Ec
=
a
=2,
h =
~ al'
2~
2
•
= O,156m/s2
5¡m
(8 $)
Cálculo de la aCEferación angtiar: IX = a = O,56m/s R O.15m
2
= 104 rad • 52
CálcOO de la tensión del cable:
l:F,=ma
:
:. 200 N • T =
=
W·T=ma 200 N
... 0.156 m _,
9,8m/5
.-
196,8 N
de donde:
T
Cálculo de I :
T • R = I IX
de donde'
1= TR = 191i,8N - O,15m u 1,04 rad/s! 1 =28,38N,m.s2
(b)
Cálculo de",: W
=
K
as
W= 8,32 rads
(e)
Susbtuyenido (b) Y (e) en (a):
EC = ! _28,38N _m.s2.(a,32!r Prescin(jencJo de rad: RESOLUCIÓN :
EC = ?
Apta.: Ec = 982,3 N,m = 982,3 J
W = 200N
R = 15cm h = San
PROBLEMA 3.
I = 8$
Elmomentodeine
FISlCA GENERAl..
gura es de 20 kg X rn'.los blcq¡es .A" y "S. pesan 400 N Y700 N respectivamente. Cuan-do el SIStema se deja libre, calcular: a) Aceleración engUato b) Tensiones en los cables
TB =100N-
lOO N 2 _ axO,12m 9,8mls
Tu =lOON-B,6N x '¡ x a
(2)
RA = 20cm Te xO.12m·T. x 0,2 m = I _ a
Re = t2cm
Sustituyendo equivalen1es: (700 N - e,6N
x S2 x
. (400 N - e,2N _ S2
(X) _ O,12m· x
a) _ 0.2m =
=2Okg m2 . a 84 N _ m . 1,03 N x m x 52 x a .
~ SON )( m + ' .64N xmXs2 ,. o
I = 20 kg . mI
RESOLUCIÓN :
=20
prosígJíendo:
W, = 400N WB = lOON
:: (X )(
ae =
ae
Rpta: IX = 0,206
a _ 12cm
PROBLEMA 4.
= a _ 0,12m
~:!,~ lado. aplicando 1: F, =m a. para cada
Al
WA -l. = m, a.
de donde:
lA
TA = 400 N •
=
WA • mA"A
B)
rcIJnado?
400 N I x a " 0,2 m (1)
We-Te = meae
de donde:
Te = Wa · me ae
a
I
2' s
Una esfera de 50 N de peso. neia el ascenso de una plano inclUlado de 37" con una velocidad de 12 mis. Calcular: al La energía anética lolal de la esfera en el momento de llegar al poe del plana. bl ¿Hasta qué aIlura pSQel\de en el plano
9,8 mIs
T. = 400 N . 8,20 N x '¡ • a
2- . a
de donde:
20an
a, = ex)( 0,2 m b)
5
- 2O N • m2 ml'¡ x
Recordando que: a • IX R
a.
N _ m2
4N _ m+O.608N x m x s2 " a =
Cálwlo de las aceleraciones fineales:
a)
=
B
mABAlQ POTENCIA Y ENERGiA
RESQUCIÓN :
a)
tal Yrueda por un plano inclinado. CaJcular la velocidad cuando terrnina el plano minado.
W = SON V = 12m/s a. = '!lo
RESOLUCIÓN :
Cálculo de la energra clnélica lotal
EC(1DIoI) = EC(cIo_J .. ECldo ' -l EC IIOIII) =
21 I
Recordando que: y;
!(l
=
ECI"""II =
1
EcJponIdaI = Ec ldo
(2)
2
2
2 x 5 x mR
x
7
1 = 10
7
y:
x
V
R2 ..
mV
1
2
I
W
= mg
ro
=
v R
2
2 mV
2
SON
ECCdelr:!!laaón1
2
Pero:
~U$lituyerdo en (2): 2
_,+
.1 tlO2 +.1 mV2
m R2
x
5
~
Ec I _ ECI ... )
I = 2
Al bajar la esfe
12
V2'2
mgh = - x - x mA 2 x - 2 + - mV 2 5 A 2 V2
..
= 10 x - 2 x (12 m/sl 9,8m/s
gh =
V2
5' ''
de donde:
2
ECIIcIaI) = 514,29 N. m ~\a.:
b)
CáJctjo de la a~ura a la que nega:
ECI""II = EPten"pooIDen~ .. _ )
ECIIDI8I) = W.h (es independiente del ángulo del plano indio nade).
fe 11OIaI)
h =-W-= RpIa.: h
=
514,3 N.m
SON
10,2B m
PROBLEMA 5.
Un cuerpo gira en un pia-
PROBLEMA 6.
ECllOtel) = 514,29 J
Una estera está a una al-
tura "h" sobre la horizon-
no vertical alado a l618 cuerda de longitud "R". ¿Cuál debe seria veIocidad horizontal que hay quecomunicar1e al
cuerpo en su posición más alta para que la tensión de la ruerda en la posición más baja resulte 10 veces el peso del cuerpo?
~ g
VI
;
, I f"-........ /
T
~
mg
v
B
a
\
\ I
~'J I
,
.... ....
..!-..; )
',
" ~o
. Id \ nrveo, relerencla ,
S?'
I
I
,. '" Vl..
o
RESO-UCIÓN : 1) De la figura, en la posición más baja:
F{S/CA GéNERAL
ro de 1 kg de masa está amarrada al extremo de una cuerda de 1 m de lort9Jud Q1I3ndo en una ClrCunlerencia verlicaI alrWedor del olro eJ(Jrerno con una velocidad angular coostante de 120 tadls. CaJcu. lar la energía cinética.
mV~
R
T2 ·mg :
T2 = IOmg
PordalO:
erotooces: 10 rn 9 - m 9 =
rnV22 R
p
9mgR : mV¡ 9mgR
2
=
2
(1'
= Ee ... Ep•
\
\
.. rng2R :
~ m V~
~ mV~
.. mg(O,
: ; m V~ . 2 m 9 R
,
'
.,;'"
" I
mecánica:
~ mV~
"' - ~ - .... '"
m tm1 ,
m V¡
11' Por conservacIÓn de la energ ia Ee , .. Ep,
L\1a~boIadeace-
PROBLEMA 7.
Fe : m. e
,,
I ,,
'-
I
'
o
(2'
ReerTlJlazando (1) en (2) '
V=
Pero:
1 V2 _ 9 mgR _ 2 R 2 m ,2 mg
Po lo tanto: Apta.: VI
\~
:
Ee ' ; m V2
RESOLUCIÓN :
21 mv,2 •
, (O\
Ee
5
2 m9 R
= .[5QR
ID R
Ee
Apta~
,
lUego:
~ ~
m úJ2 R2
~ ~
Ee = 7,2 . 103 J
PRINCIPIO DE ACCiÓN r REACCiÓN TERCERA LEY DE NEWTON ·Siempre que un cuerpo eje'13 una fuerza o acción sobre olro cuerpo, éste reacciona sobre el primero con una fuerza igual pero de sentido contrario·.
En el caso de la caleta de un cuerpo, la acción de la atracci6n de la Tierra sobre el wetpO, se martlfteSta también en el cuerpo, pues éste reSCCIona y alrae a la Tierra, con l.I\a fuena igual yde sen11docontrano; y como resuHado, los OJerpos caen unohacaa el oIro.
(1) (121l)2(
1-- '1'" h
li
TRABA.JQ POTENCIA Y ENERGiA
268
Cuando una pelola cae al suelo Mew una fuerza. en el momento que loca el suelo, éste rearoona con lfiIluerza oguaJy corI!ariaa la de la pelota. Ypor eso la pelota da bote.
pero:
F
• =
m
h = Ft2 _ SOON x (645)2 2 m - 2 x ti x I~ kg
UncuerpodeSOONdepeso está a 20 km de distancia de la Tilma, se sue~a y cae. ¿Cuanto se 'acerca'laTllmaal ClJefpO hasta el momento de tocarse, es decor, hasta el momento en que el cuerpo termina de caer? La masa de la TIerra es aproximadamente 6x lO" kg.
Ejemplo 1.
h
=
SOO N x (64)2 .2
2
x
6
x
I~ N x m 52
h = 170 667 • 10.2• m h = 1,7 x 10-19 m
De donde:
Apla.: h = 1.7 x 10.16 mm
Es dedr casi nada Unalletacuyamasaesde800 kg. arrcia una esfera \baJa) de B kg de masa. aplicándole una fuerza de 400 N, dtx.nte 2 S. Calcular: al veIocidadeonque sale la 'bala'. b) ~d del hOmbre l\¡lcoa atrlÍS como consecuencia de la reaootln de la 'bala' Ejemplo 2.
h
L RESOLUCIÓN : w = 500 N ; d, = ?
d = 20km masa de la Toetra
~
6 x lO" kg
Cálculo del liempo que el cuerpo demOla en caer: h
=
RES<1UCIÓN : F = 400N t = 0,2$
1 .2 ; de donde: 2
=g N=
I = 63,SS $
,
2
v = at
al
v=
x 20000 m 9,8 m/s 2
ap!Cl(.
I = 64 5
Este es el befllIO en que laToemI ha sidoa!ra~ da por el cue
M =80 kg m : 8kg
a = m
Ft = 400 N x 0,2 s m 8 N_ m
52 Rpla.:
bl
V" 10mls pero:
a =
eo mN 82 Rp!a~
F
M 400 N , 0,25
Cálculo de la altura que 'cae'la Tletra: (1)
F
pero:
VI = 1 mIS
FIS/GA GENERAL
IMPULSO
IMPULSO YCANTIDAD DE MOVIMIENTO • i' (EIan) EL IMPULSO V LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO SON IGUALES
Es el esfuerzo 'P que se hace durante ~ tiemporruy peq..oeño"O t " sobre una masa para Mar un movmento,
Ii
= F . ot
I
Numéncamente sí. oonceptuatnente no
rrulIípIicando por 6 t :
El iflllUSO es una cantidad vectorial etoyO módulo es el producto F .O t
1'.6t = ma , ót
pero:
IF.
UNIDAD DE MEDIDA SI :
I F di
1~1so,
en N.s
: Fuerza instantánea, en N : lapso de tiempo, en s Un golpea una pelota deping-pong.
La pe!Cusm de una bala de cañón. Un pu1tapié a una pelota, etc.
c'
Es la magnit\.ó del esfue= ~ hay que aplicar a un cuerpo para vencer toda oposia6n Yponerlo en rrownoenlo o para mantenef10 en moWnoenta
"=m .V
¡ .6 I
I
La can\lclad de IT\O\IIm,ento es una cantidad vectonal cuyo módulo es el producto: m.V UNIDAD DE MEDIDA SI :
Cantidad de movimiento, en kg.mls m : masa que se rrueve, en kg V : Velocidad, en mis e
En electo, todo cuerpo en roposo necesita un esfumo parapcroerse en moWrierOO ytamt.in todOcuerpoen rronroentonecesl\a un esIuerzopararrentener.;eenmoviTienlo, dadoque soerr¡:re exISIen fueaas externas sobre el cuero po que se oponen al mantenimtento de esIos ~LamOOidadeestaoposiciónvienedada
pcrsu cantidad de movimiento ~ tambén Momentum Uneal.
=
Al = mij
V,
luego:
I rl=--t-=-c-6
masa de 20 kg se le aplica una fuerza de 2.0 N durante 0,2 s. Calcular: A una
Ejemplo 1.
Ejemplos:
CANTUlAO DE MOVIMIENTO '
F = mii
En efecto:
a)
,~
b)
Cantidad de movirriento
AESQ..UCIÓN :
, = O,2s
m = 20kg
I = ?
F = 20N
e =?
al I = F x 01 = 20N x 0,2. , = 4 N.s
e = mV
b)
como
(a)
mV=FxDt F6t
V
=m =
V=
4Nxs N
4N>s
20kg = O,2mls
20 ml'¡¿ Sustituyendo en (a):
e = 20kg
x
0.2 mis
m
e=4kg x-
s
OBSERVACiÓN : En elacto. son iguales numéncamente: 4N . s = 4kg x
m m . ' s = 4kgx s' S
:2::.:70=--_ _ _ _ _ _ _--'T:-'-RABAl=Q POTENCIA YENERGiA Un tanque ruyc peso es 1 500 N, descansa sobre sobre la pIalalOt'l'l'la de li18 báscUa. Un chorro ver1ical lenaagua en el tanque, con una vetoadad de 6 tris. La seca6n de chorro es 4 an'. ¿ Cuál será la lectura de la báscW! 1I1 miruto más tarde? (g 10 rrls'), Ejemplo 2.
=
El agua del chorro ejerce lJ'l8 fuerza cortinua sobre el fondodellanc¡ue, portanlo sobre la báscUa. RE50..UCIÓN:
Pero:
h
m = OA Vt
FI = mIO · V)
FI = ·V6AVI = -V2 ¡;At Simpifcardo y l'E!eITlJIazando datosobtendremes el wlor de la fuerza COn la cual está cayendo el agua sobre el tanque. F
m
Ahora.
v = A.h
iC
SV
= -14,4 N
El signo negativo indica que es necesaria una luerza dirigida hacia arriba (respeclo a la balanza) para delener el agua A los t = 60 s habré caldo al tanque:
(I)
W = (4. 10-4)(6)(60) (10000) N W
Sea v el1IIlIumen del agua que cae,
entonces-
(4)
Reemplazando (4) en (1) :
IlTlJulso = CantKlad de movimiento
I:1_=mll.V
(3)
(3) en (2) y!Uegoen (1):
Según la ecuación:
considerando el agua en un instante" cualquiera, como 111 s6Iido libre, podernos escrbir.
=V , I
(1) (2)
= 1 440 N ele agua
Por lanto, la lectura de la básrula al final del minuto seré: ( 14,4 + 1 440 + 1 500 ) N = 2954,4 N
FUERlAS IMPULSIVAS, CHOQUES OCOl/SIONES FUERZAS IMPULSIVAS
Son fuerzas que se presenla1 durante 1I1 1Qf4)O muy corto cuando un cuerpoexplosion8 o cuando dos cuerpos chocan EJemplo: Cuando un futbolista pa-lea una pelota, la fuena de i nteracci6n entre el pie Y la pelota es del ortIen de 10' N Y el benl>o que dura el contado es de 10' S. aprC»aml\damente, Estasfuer;z2S, a pesar de que actúan durante un liempo muy pequeño, producen variaciones noIabIes en la velocidad de dochoa QJerpoá. CHOQUES O COUSIONES
Son encuenlros más o menos vialenlos enu", dos cuerpos que alleran su movImIento en direCCIÓn y senlldo. Los choques pueden ser tangenciales y
colineales, llamados tambIén obliCUOS o bidimenSIonales y Ironlales o unidimensionales, respectivamenle . Por la dirección que llevan los cuerpos que chocan. éstos pueden ser pues: a) CtJhcuos o bidimensionales. b) Frontales o unidimensionales.
al
¿Qué son choques oblicuos o bidl· menslonales? Son aqueHos choques que se producen eme dos cuerpos Que in1:>ac1an soguendo di· recciones ciferentes anles y después del Choque. Ejemplo: dos bolas de btllar que chocan.
271
FISICA GENERAL
b) ¿Que son choques frontales o unIdimensionales? Son aquellos choques que se producen entre dos OJerpoo que illlJac-tan siguiendo \ni misma dirección. Esle tipo de choques se estudiará en este litro. Pueden ocurrir de dos fO(mas:
que debe ser igual ala energía tOlal después del choque.
. - - - -- --, E~ + G. = E'A + E'e
I
I
antes
después
SigLiendo sentidos contrarios:
a)
antes
Ejemplo 1, -
/-lf' -
VA'
Va. deSpués
después
Siguiendo el mismo sentido:
b)
.antes V,.
antes Ve
41=-:>~~=-:+-)-
~
ca _ ':) _ ':)
Un cuerpo "A" cuya cantidad de mcNirriento es 5 kg. mis, dloca con otro OJerpo "8" que va en el mismo sentido y en la dirección contraria y con una cantidad de mo\limiento igullt a 12 kg.mls. Después del choque la cantcad de ll1Q\/ÍrT'iErlto de A es 7 kg.mls. Calcular la cantidad de roovimiento de 'S' .
movomento:
~ 11 • •
""-ÓO
-
l ' PRINCIPIO:
Siempre la cantidad de movimiento antes del choque debe ser igual a la cantidad de moIIinienlo después del choque.
antes
despué$
-
Sustituyendo los datos:
Apta.:
v U
A la cantidad de movirrientotambién se le llama "momentum"
Velocidad Velocidad
2" PRINCIPIO:
AmES DESPUÉS
del choque del choque
La energía de un cuerpo 'A' es 20 J. choca con otro cuerpo cuya energla es de 16 J que se desplaza en la misma direcciÓl1 pero en sentido contrario-Oespués del choque la energía del segur>' do es 12J. ¿Cuál es la energiadel primero?
Ejemplo 2.
PO( el prWlcipio de la conservaci6n de la energfa:
RESOlUCIÓN:
ó:
Ee.A
+ ECB
=
Ee.TOT.... Dl'SPl-ES
= E'C.A
20J + 16J
+ E'C!!
= E'c.A
De donde: La energía lotal de los cuerpos antes del cI\().
•
es = 10 kg .m/s
EC.TOTAI. ANTES
NOTA:
-
5 kg . m/s+ t2 kg.m/s = 7 kg .m/s+C¡¡
En todo cIloque se cu~ dos princ;ipos fundamc".lcs físicos de la conservación.
-
C. + C¡¡ = C'A + C's
desp<¡és
CONSIDERACIONES GENERALES
Por¡:Wq:io de conservaci6n de la cantidad de
RESOLUCIÓN :
Rpla.: E'CA = 24 J
+ 12J
TRABAJO. POrENCIA V ENERGI..
272
11 E es negativa cu¡¡ndo el choque consume energía (absorbe).
CHOQUES ElÁSTICOS Y CHOQUES INELÁSTlCOS
al ¿Cuándo un choque es elástico?
Ejemplo:
Un coque es eIás\Jco cu¡¡ndo la energía 00ét1ca tolalantes del choque es igual a laenergla cinética 100al después del choque.
Ec. TOTAlAI/TES
=
Ee. TOTAUJeSlU'S
I
S<1llguale$, pero de sentido contrariO. SU DEMOSTRACIóN: De la conservaciónde la canlidad de movimiento:
6:
mio. UA .. me
R
mio. (VA -U.) = me (Ug- Va)
1
1
2
Ee. TOTALAKTl'S = Ee. TOTAUlESl'UEs" 11 E
De donde:
t. E =
Ec TOTAlDESPu;s·Ee.l0TAlANTES
t.E = 22J· 30J 11 E • ·8 J El CI10que consume energla
(1)
1
2
Por el enunciado del problema se entiende que el
choque es Irlelástico: tuegc:
Ua
De la conseMIdón ele la energía cinética: 12
°
RESOlUCIóN :
Las velocidades relativas de los cuerpos antes y después de un choque elástico
mio. VA .. r1'\¡ Ve
La enet9la cll1élica total de dos CUElfllOS antes de chocar as 22 J Y después del choque es 30 J. ¿El choque ha liberado abSOlbtdo caIOI?
COEFICIENTE DE RESTITlJCIÓN
2
2mAv. • 2meVe = 2m.UA + 2 mBUO
Simplifocando y ordenando convenientemente:
El coeIiciente de restitución ' e' es lI'I minero que establece la relación entre las wIoodaeles relativasele los cuerpos después Vantas del choque.
mA¡vI·U!) = me(U~·vI) m. (VA + U.l (VA - U.) = =
"'e (Ua
• Va) (Ue - Ve)
(2)
El coeficiente de rastitución 'e' depende de la naturaleza de los cuerpos que chocan.
Dividiendo (1) entre (2) : VA" UA = Ua .. Ve VA • UA = Ue . Va
NOTAS:
ele_ Lq.q.d.
bl
¿Cuándo un choque es Inelástico? Un coque es lnetástico cuando la energía cinética tolal de tos cuerpos que chocan, antes del choque. varia después elel choque. Es decir aumenta dismnuye una magnitud /lE.
°
I
Ee TOTAl oINTES = Ee. lOTAlIlESPUES .. t. E
NOTA:
I
11 E es positiVa cuando el choque produce energla (libera).
Para un choque elástico:
e = 1
Para un choque IneIástico:
O< e < 1
Pma un choque completamente inelástico:
e=O lo Qué
es un choque completamente lnelástico?
Es aquel en el cuellos cuerpos, deSpués del CI1oque. se de5plazan juntos. Algunos valores de 'e': Vldno sobre vldno de
0,93 a 0.95
273
FIS/CA GI;NI;RAJ.
Mar1i1sobre marfil de I>o;ro sobre acero de Plano sobre plomo de
0,88 a 0,89 O,SO a 0,80 0.12 a 0,18
Hierro sobre hierro de 0,11 a 0,15 Corcho sobre corcho de O,SO a 0.60 Arcilla sobre arcilla (húmeda) O
PK08J.EMAS KESUELTOS PROBLEMA l.
Una Hecha de masa de ISO 9 es lanzada por un seIIIicola haaa un ave que reposa en un ár· bol, cuya masa es 8 kg. Si la velocidad del 1M> Yla flecha, una l/eZ que le da al ave es de 30 cmls.calcular la velocidad de la Hecha en el momento deda~e al ave. RESOLUCiÓN :
m = 150 9
V=?
M=8kg
Del Principio de cooserveción de la cantidad de movirriento, se cunple: La cantidad de movimiento del coojuntoantes ¡jet choque es ogual a la cantidad del rmvinlento del con¡unto después del choque.
VI = 6Om/. V2 = lOOm/.
mi = 40 9
= 50g
~
m.
m,
-O
-".
- 0=
RESOLUCIóN :
Se cumple que:
v,
La cantidad de movill1Mto del conjunto antes del choque es igu;¡) ala cantidad de movimienlo del corjunlo después del choque.
En forma converrional asumimos que: y
( __ )V ' "
( .... )V : ·
m2 V2 · m,VI = (mi" ~)U Reemplazandodalos:
SOg . lOOm/. - 40g
x
60 mis
=
= (40g .. 5Og)U De donde:
U
Apta.:
= 28,89 mis
PROBLEMA 3. mflEO-lA • VflEO-IA + mAllE • VAVE = = (mfl.frnA + mAllE) • UFlfCHA UVE
Reerrpazandodatoo: t509
x
V + 8000g . O =
V = 1 630 an/s
f1:ia:
V
l'
\
ó:
= 16.30 mis
PROBLEMA 2.
Dos masas disparadas en sentidos cootrarios, tal CO'1\O se rrueslra en la figura, chocan y quedanpegadas. ¿Cuál será la lIIlIocidaddel conjunto? si loo datoo son: •
... ,
1\
= (8000g .. 150g) . 30an/s
de donde:
A un péndulo de madera se le gdpea conun mar· tillocoo una fuerza de 600 N. el i~ado dura 0,01 s. Si la masa de la madera es de 10 kg, ¿cuál será la velOCidad que adquere?
\
,, ,
fJ,»
TRABAJO. POTFNCIA y ENrnGiA
274
RESOlUCIÓN :
F = SOON
V =?
.. e =
lit = 0,01 S m = lOkg
gw x (Vz - VI) = 9,84N m/52
x (-25 mIs -15mls)
Sabiendo~:
El impulso es igual a la cantidad de movimiento:
= IOkg x V = 10 kg.v
6OON . 0.01 s
6 kg x ~ x 5 = 10 kg • V
s
De donde:
V
Rpta.:
e = -16.32 N • s
Dedonde:
Pero como el carrtJio en la cantidad de movimiento (c mV) es igual al irrf)U1so (1 = F 6 1). se tiene;
=
FIII=mV
6 N,s
x
= 0.6 mis
PROBLEMA 4.
Una pelota de fÚ1bOI que pesa 4 N, avanza por el ai';' con una velocidad de 15 mls,la recibe un jugack>' dándole un puntapié en sentido contrario con lo cual la pelota cambia de dirección (regresa), con una velocidad de 25 mls_ Cak:ularel~soque recibió al chocar con el pe del jugador Yla fuerza del choque_
Rpta:
1
= -16.32
N.s
El signo menos para la velocidad V" se toma negativo, porque para la velocidadV, se tomó positivo, artlílranamente, y como son de sentidos opuestos, si uno es posilivo el otro tiene que ser negaliw. b)
CálcUo de la fuerza del choque: Para calcular la fuerza del choQue tendría que conocerse el tierrpo de contacto de la peIo1a con el pie, podría ser por el"1f!lIo 0,02 s, en lal caso la fuerza sería:
F
x 6t =
·tS.32 N x s
F = _16,32 N x S 0,025 m
Rpta.:
ii,
*~RESOlUCIÓN :
F = -8t6 N (... )
PROBLEMA 5_
=
1= ?
w 4N VI = 15 mIs
F = 7
V2 = 25m/s
Porelpdóndelamanguera de una bombe. sale agua B la vetocidad de :lO mis.Si el prtón tiene un diámetro de 0,05 m e incide en forma perpendICular sobre la ventana de una casa que se incendia_¿Cuál será la fuerza del chorro que rorrpe el vidrio de la ventana?
La canbdad de movimleflto que se le proporciona con elp.r1tapié del futbolista es la dileIOOCIa entra la cantidad de movimiento que llaia la pelota yls cantidad de movirriento que lleva despJés del puntapié.
Asu'niendo que: ( __ )V : + e
Pero:
y
(<-)V : -
= mVZ-mV¡ = m(Vz-VI) w m= 9
RESOluaÓN :
V = 3m/s
F = ?
d = 5cm Cálculo del volumen de agua que sale por el
F1SICA GENERAL
pIlÓn en 1 s
corro: mA = "'" = m • se tiene
En realidad se trata del voIlrnE!n de un ciünde 30 m de altura Yuna base con 5 cm de
m .4 + m. O
ao
diámetro. v=
Z75
=
mUA' mUe
=
,,&! .
h= ,,(sem)' . JOOOcm
4
4
Como el choque es per19C1amenta alás1ico, se
aplica:
v =58 905 ",,3 = 58.9. 10.3 m3 CáIcUo de la masa de agua que sale por la manguera en 1 s.
- _58, 9 )( m
10.3
te
U.
=O
t =t s
V,
UA = O
m
(1)
; m = 56.9kg ; V, = O
= 30 mIs
V. = O
Se asume la velOCIdad 'l1Ioal
F . t s = 58.9kg (30m/s· O) F = 176Tkg .
m
Esto es cierto. porque al no haber pérdida de energia. toda la energia de A es abSOlbida (ganada) por B. Entonces B se mueve y A se . deIlere. Una bala de m veloci
PROBLEMA 7.
=
2
S
e \,
,
Dos "canicas' de masas
choque perfectamen1e elástJco. y uridimensionaL S. Lf\8 de ellas está en reposo. y la otra posee una velocidad de 4 rrVs antes del cheque, determinar las velocidades que adqUie-
V,, =- 4m1s RESa.UClÓN :
\
m
ren después del c:tloque.
-o
9'
\
l
iguales van a realizar lJ1
A
:;...
~\
F z 1767 N
PROBLEMÁ 6.
(2)
Ue = 4 mIs (-+)
58.9kg Ft = m[V,·V,)
Apta;
= 4
l000kg 3
Aho
donde:
Ua "U A
De (1) Y (2):
m=V.¡¡
m=
=>
m = v x ¡¡
Se sabe que:
Vz;:o O
Nlve' de referencia
B
0= Va=O Aplicando el prinaptO de conservación de la canti· dad de rT1CMmiento:
RESOLUCIÓN .
Por el princi¡:io de conservación de la cantidad de rT1CMrnento.
mV, + MV, = mU,. MU,
= U. = U V. = O ; yeldato: M = 99 m
ConsIderando que: U,
Yque:
TRABA/q POTENCIA Y ENEAGIA
Z76
mv, .. M(O) = (m + MlU
mv,
= (m. 99rn) 1) V,
"8 Va = mA I)A •
mA VA •
= SO 9
300
U = 100 = 100
5 UA
U = 3m/. "Picando el Pnncipio de ronservación de la energia (después del ifTll8CtO):
calaJlamos h:
U2 (3m/s)2 = - = 2 9 2 . 10m/.2 h = 0,45 m
= Ua -I)A
Ue - I)A 0,5 = 10 _ (-8) - UA
Ua
9
:
(2)
De (1) Y (2):
UA
= -~ mis
h
..
Ud •
~~ rNS
=
47
(-»
•
fl mIs (-»
Luego. aplicando:
FinaIrnErlIe:
L-h
cos El = - L-
1,8m-0.45m " 1,8 m
Eq..... del d1ooJJe) = Eq~ cIo1 d1ooJJe).a Ep EA' Ea = E'A .. E'a +
cosO = 0,45 RjlIa.:
(1)
VA -Va
Ep,.E c , = Ep,.E c,
~ 1M + m) ti
Ue
UA .60 9 x
x
6 Ue = 2
•
e
Por otro lado:
E M, = E M,
(M • m) 9 h .. O = O+
me Va
SO g(10 mis) • 60g (-8 mis) =
1
2
"2 mA VA·
El = 41" 24' 35"
Dos bolas de 50 9 Y 60 9 poseen velocidades de 10 mis y 8 mis respec1ivamente, y se desplazan en sentidos opuesto&' SI el coeficiente de restitucl6n entre ella. es e = 0,5 , determinar la energia que se pierde en forma de calor después del Choque,
1 .. 2
PROBLEMA 8.
SOg
=0_
80g
O:::
1
2
2 m Va =
1
2
ms Ue ..
Aprcando el Principio de conservaciónde la cantidad de movimiento:
•
II Ep
1 2 2 llEp = mA (V A -U A
,02 )'21 ma (Ve2 -"8)
2
R~ndovalores:
bEp =
~XO,05k9[102{-~~r]~ ..
~
.. xO,06 k+2 -( RESOLUCIÓN :
2
2 mA I)A
bEp = 3,31 kg .
rr?7
*J]~
,,3,31 N . m
Rpta : II Ep = 3,31 J
PROBLEMM PROPUESTOS Un rruc:haCho que pesa 300 N est;! de
zontalmente con l.Ila wIoadad de 2 mis rela-
pie en una barca de 500 N Yestá inICIalrrente en reposo. SI el mucllacho sana hvri-
lIva a fa barca, hallar la lo9oodad de la barca. Rpta .. V = 0,75 mis
1.
AS/CA GENERAL
UnabalaquepesaO,6NyserruEllJeCO/1 una velocidad de 500 ....schoca con un ~ de 50 N Y se mueve en la msma dirección y sentido con una velocidad de 30 mis. ¿0Já1 es I~ veIociIlad resuHante V de la bala yel bloque 5t4Xlniendo que la bala se incrusta en el bloque?
2..
RrAa.:
v; 35,57 rrJs
3. Un cholro de agua sale con una veloodad de 20 rrJs de una mangU8a de 10 un de diámetro. Hallar la reacáón de la manguerq
sobre su soporte, Apta.: 3 145 N
• 4. Un chorro de agua de 5 un de díametro ejerce una fuerza de 1 500 N sobre un álabe pIanodelur1)lna perpetldicularalcholTo. ¿Cuál es la veIoodad del chorro?
llegue a él, ¿a qué dlstanoa se encontrará de 1a000lla? Supóngase~ el madero forma ángulo recto con la orilla y que el agua es1á casi calmada del;pués de la torren/era.
Rpta.: 0.89 m 7. Un peso de 1 000 N cae libremente durante 4 s partiendo del reposo. Hollar su cantidad de mowniento en ese nstante?
Apta.: 4 000 N x s 8. Un trineo de 5 kg parte del reposo de la parte más alta de un plano Indinaóo de 2,5 m de allura, y lleva un niño y una niña, cuyas masas son 45 kg Y 40 kg, respectivamente. Cuando el trineo llega a la parte más baja del plano, el niño salta haCIa atrás con una velocidad relativa de 8 mis. Despreciando la fricción, ¿qué velocidad adquiere el tnneo?
Rpta.. 27 ,4 mis
Rpta.: 9 mis
5. Un chorro de agua sale de un conduciD de 3 an de diámetro a \.fUI velOCIdad de 30 mi s. Hallar la fuerza total contra el é1abe de turbina de CtJr\Iatura orcular en el que la dirección del chorro vaña 45'. Supooer que no hay 1OZllIT'iento.
9_ En la figtxa se muestra dos CO-llarines de masas guales qtJ3 pueden desplavu'Se ~ fricción alo largo del eje horizontal. El cotlarín (j) se desplaza a 10 mis, mientras que el rollarin (2). ~ inJaalmente estaba en reposo, después del choque adqUiere la veloCIdad de 8 mis. ¿Cuál fl$ el coefICIente de res1rtuciófl entre los collannes?
Rpta.: 449,84 N Oe$pués de una Inundación, una cabra de 200 N se encuentra a lIote en un ex1remo de un madero de 250 N de peso y 2 m de largo. Cuando el airo extremo llega a la ol'llla la cabra marcha hacia ese ex1rerTlQ. Cuando ~.
CD~ ¡¡
c:=::ll Apta.:
e ; 0,6
® !(
I1
MCMMlENTOOSCILATORIO
278
,
CAPITULQ 9
MOVIMIENTO OSCiLATORIO EL PÉNDULO SIMPLE cumplen sólo cuando a < 10')
PÉNDULO
Es un objeto rualquiera que es1á suspendido 81.11 punto ñJO. mediante 1.118 ruenla.
El.EMENTOS DE UN PÉNDULO SIMPLE
Frecuencia ',':
EselrúnerodeoscilaOooos en cada unidad de tiempo, se calcula así:
I fI
Longitud de la cuerda desde el ~o de suspensión hasta el centro del objeto suspe'ldido.
Longitud 'L':
Es el arco recorrido porelpéndlAodesde una de sus posiciones extremes hasta la otra, más su regreso haS1a su posición inicial.
f =
¿POR QUÉ OSCILA UN PÉNDULO?
Oscilación '2AB':
En la posición de equilibño, el peso 'P' del ruerpoesanulado por la cuerda 'R'.
1.
2.
Si se IIEMl a la posición extrema 'A' el peso del cuerpo e$ anulado por la cuero da sóto en parte,
L
Periodo 'T': Tiempo que emplea en rea· lizar l.I1a osdlación. Amplitud "a": 8 ángulo formado por la cuerda del péndulo en una de sus poslaones
""'remas con la vertical. (las leyes del péndulo se
3.
De la posición ex1rema ' A' se suelta La componente "P: det peso le da el movi· miento uniformemente acelerado, hasta _ _ _'~O', posición Inicial (vertical), ahora posici6n O Instante de mayor veIocidad A partir de este punto 'O'. al ¡..,:>C:z,1 cual lo pasa por inercia,
.........,=:--t.r-~Z
empieza el rnovirrjenlo desacelerado¡ porque la camponente 'P " aparece y camboa el sentJdo del movtmiento. 4. La componente "P," va aumentando, por consiguiente va frenando al péndulo, hasta que consigue detene~o en el punto "B".
FIS/CA GENERAL
5. B punto '6' empieza a regresar por la presooaa de la cxxrponente 'P,' y as! se repite dando origen al movimiento pendular.
"
(4)\ t '
,1',,
(5)
'"
P,
B
A
P,
P
.....
cuarta Ley:
"El periodo T, de un péndulo, es inver·sa· mente proporcional a la ralz cuadroda de la gravedadg".
,t r\'8 --..."'--""
LEYES DEL PÉNDULO
Primera Ley: "El periodo de U1 pénóuIo es lI1óepel idier1te de su osatación 2AB'.
--r
Sean dos pénóJlos de la misma masa "m' y la misma longitud 'l' Se ponen en posi(:io. nes extremas distintas y se suettan, se mide el !lerTlJO que demoran 10 oscilaciones, y se dMden ""'ro 1O, ese IIOmpo sorá el wlor del periodo T; ese periodo en ambos casos, comprobados expenmenlalrnerne, es el mis-
mo. Segunda Ley: "Et periodo ' T' de un péndulo, es independiente de su masa-. Sean dos péndulas de igual longitud 'L' pero de masas dlsllrnas (M y m), SI se levan a una posoci6n inioal simlar y se suellan, ambos li& nEIl el rrismo periodo T. Hecho comprabadel Tercera ley:
"8 periodo T, de LI'l péI1I1JIo, es direclammte proporcional a la raíz cuadrada de su longitud 'L"
FÓRMULA DEL MOVIMIENTO PENDULAR
ero la 3m y 4ta Leyes se concluye:
T_T,_T2 _ 7L - .¡c, - JL; - ........ ..-k
JQ
!l:!
g,
Dividimdo la longitud 'L" ycon(roIando eltiaTpo T se ham, prcbado ex-penmer4alnenteQUB:
k Luego:
= 6,2832 = T
7L 19
2"
= 2n
De donde se tiene la lórrrula del péndulo:
I T=2n~ I
MCMMlENTOOSCILATORIO
280
PROBLEMAS RESUELTOS UnpéndUo de longitud "L" tiene un periooo . .. ¿Cuantas veces se debe a1argar"L" para que el periodo 'T " sea el triple de "T"?
T, = 1,5 s x 1,000 715 T, = 1.5010725s
PROBLEMA 1.
La diferencia enlreT, yT es el atraso del relej en cada segundO YmedIO.
RESOlUCiÓN :
t.L = T, - T = 0,0010725. luego:
Se pide L, =? CIJaI1dO T, ~ 3T
T
Sus1Muyendo:
En 1,5 s se atrasa:
3T
J[
=
-¡r;
En 86 400 s (un día) se atrasará:
x =
Sil11lnlicandO y elevando al cuadrado: 1 2 9 L L,
De donde:
De donde:
Rpta:
=9 L
L,
Apta: Se debe alargar 8 -ece5 mas.
PROBLEMA 2.
La 9ravedad "n la cUl;ld de Tacna (leO de latilLd Sur) es aproxlmadamenle 9,799 mis'. Un reloj de péndlJo funciona perfectamente en esa audad. Enl\Jn'bes (S" de latItUd Sur) laseeleraciOn de la gravedad es aprl),1madarnente de 9,785 troJs'. ¿CuánlO se atraoará el reloj enl díatuncionandoen la ciudad deTumbes, si el pénduoenTaooa tiene un periodo de 1.5 segundos?
s
T = 1,5 s
'
s
Ti
~ ?
.¡g
Si Ten Tacna y T, en Tumbes, y : gen Tacna y 9, en Tumbes:
T,
.¡g
=T x .¡g¡ =I ,S, x
9,799 mi s 9,785 mis
o sea:
= 1 min l ,n6 s por día
RESOlUCIÓN .
L,
2 )2 = L T, _ - L (1 ,000715T
T2 -
T2
L, = t,001431L De manem que si L en Tama es 1 m. en Tumbes debe ser L, = 1,001 431 m
Rpta.:
T T, ~ =
Se sabe que:
= 61,n6 s
¿OJánlotel1dria que alargarse el péndJlo del pr<>bIema anlenorpara compensar el atJaso?
m
9, ~ 9,785....,
0,001 072 5 s x 86 400 s 1,5s
x x
x
PROBLEMA 3.
RESOlUCiÓN :
m 9 = 9,799 2
0,001 0725 s
11 L = 0,001 431 m
PROBLEMA 4.
CaJcuIar el periodo de un péndulo de 2 pies de IongllUd (1 pie = 3O.4ecm). • RESOLUCiÓN : T
= 2!t ~
ASICA GENERAL
T = 2Jt
2 . 30,48cm
9,00 • 100 cmls2
281
RESOLUCIÓN: T = 2 Jt
será:
T,
~
= T2 g = (1 sr.-9.8ml~
T 8640
Si se Rama T, al periodo de e Tocho, su valor
es decir : dedonde: L
x
x=
Calcular la IongitLd de LI1 péndUo pala que el peno. dodUr1l1 5
PROBLEMA 5.
= T+x
T, = T+ B~O = :::~T
Porolro lado:
4 • 9.869599
4 Jt2
T2
L = 0,248 m
NOTA:
10 s
En T se atrasará:
T = 1,5675
Ppa.:
.....
En 86 400 s se atrase:
9,
la aplicación cienlllica más
=
T~ 9
9BO cm/s2 • T2
'mpOIlante del péndulo es el cálculo de la &.JeIeración de la gravedad.
(:~ T)2
PROBLEMA 5.
Calcular la gravedad del lugar donde un péndulo de 62,5 cm de longitud tiene un período de
Apta:
1,587 S
PROBLEMA 8.
RESOLUCIóN
penodo es 1,8 s. ¿Cual será el perrodo de otro péndulo aJY8longitu1 es el triple del anterior?
9 =
T = 2 Jt
(~TJt)2 L= (
Rpta.:
~
)2. 62,5 cm 1,587 S 2"
9 = 9,797 mIs"
PROBLEMA 7. Un péndulo de reloj que señala el tiempo exacto en un lugar en que g = 980 cml 52 se retrasa las por dia en un punto sifuado en Toclto. Calcular la gravedad en Tocho.
RESOLUCiÓN :
9 = 9BOcmls2
/11 = lOs
9, = ?
Sea "T' el oerlodo del péndulo donde la gl3' vedad es g. luego;
9,
= 979,78 cm/52 SelieneLl1péndUo cuyo
RESOLUCIÓl'; :
T = lBs
l, = 3 l
TI = ?
Sabemos que:
T T, Tt =JL,
T, = T
de donde:
JiI[j
L, = 3l
Pero:
Reefllllazando: TI = T
T,
=
j3[ 7L
T.J3 = 1.8 .
1,732 s
Rpta: T, = 3,12 s PROBLEMA 9.
Calcular la Ionghud del péndulo de un reloj que
MOVIMléNTO OSCII.ATORIO
282
'bale seg
RESOlUCION :
1
n" .!:. g
x
(25)2
S
= 0,992 9 m
PROBLEMA 10. La Irecuencia de dos péndulas es de 120 Y 1BOoscilaciones por minuto. Calcular: a) La relación en la que están sus longitudes. b) Si se sueltan al msmo tiempo desde una po1;IOÓn oorema, al cabo de qué tiempo lomarán nuevamente la misma poStciónjumos.
es
1
.
60 lT1I1
~:
Ó
12 = 100 osciIaacnes por nin
~
Sabiendo que:
•
"l,
pero: T,
luego:
1
=- ; 1I
1,
=
T,
PROBLEMA ", Calcular la Iongllud que debe tener un péndLlo para que su frecuencia sea de 150 osalaciones por minuto. se RESOLUCiÓN : f = lSOo mln L=?
T = 2"
Saboeodo'
-yr; 14
susntU}'El'ldo valores:
100
b)
El
{L
1
de donde, despejando L después de elevara! ruadrado:
l
;o
-
9-
4 n" ,2
( 1)
Célculo de la frecuencia en oscilaciones por segl.l1do: '2
l . lSO~' = ISO ose. I11In 60 s
120 =
,¡r;
1 = 2,5 ose. s sustllUyendo valores en ( I ) :
l = _ 9,Bm/s 2 4,,2 . (25OSC/s)2
JL;
elewndo al ruadrado y smplificando:
f'pla..
luego:
1
i = 2"~g
+. ¡c; 'T,"2 = ,¡r;
12
~
T = 1
pero:
"l2
=
1S
Se encuentran cada segundo
RESOLUOÓN . 1, = t20 osaIaaones por nin
a)
1
y 160
120
9,6 ~
2
de donde: l = 9 T 4,,2 L
8 M.C.M. de estos dos niJmeros:
T = 2" ~
elevando al ruadrado: T 2 = 4
Rpta:
minutos. 8 segundo da una oscilación de 1/180minutos.
l, 9 l2 = 4
pnmero da una oscIlación de 11120
Rpla.. l
= 0,040 m
PROBLEMA 12. La frecuencia de un péndulo es de 180 osalaciones pormonuto. ¿Cuánto debe alargarse el
FfSICA GENERAL
283
péndulo para que la lrecuencia se ",duzca a la te1Cef3 parte?
(1)
RESOLUCIÓN : 1\
=180 ose. pormin =3 ose. pors
Por dato. T y L aumeotan:
12 = 60 ose. por min = t ose. por s
T = 2"
~
T
1ue¡JJ:
= 2"
~ = 2"t;I . 2"~
J1
1= _1 2Jt
,{[ +
l = _ 94x2 12
g = JLTf
elevando al cuadrado:
re V9
L+
elev.mdo al ruadlado y despejardo:
ruando la frecuencia es de 3 oseJs : L _ 9.8m/ s2 , - 4 x2 {3 ose/S)2
L, = O,0276m
/L t
A¡Xa:
parle, es decir, I " 1, la KmgillJd "L." aumenta en una cantidad "x" y su valor será:
=ltl
PROBLEMA 14. Un péndulo simple de 1 m de Iong~ud hace 100 osdaoones~tasen 204 s. ¿Cual es la aceIeraaón de la gr3IIedad en ese ~
RESOLUCIóN : t
= 2" ~
Sustituyendo dalos: 204 = 2"
( 111 )
100
Restando (fII)· ( If ) :
1,02 =
x " 0.248m· 0,027 6 m
x=
1 25
5,76 m
(11)
Cuando la frecuencia se reduce a la lercera
L, + x = O,248m
2 S
.rr . ~2=>L=:
(1)
Esta expresión pennite calcular la Iongillxl del péndulo según ef valor de fa lrecuerda. AsI.
pPa.:
(2)
Restando (2) · (1):
= !1
pero:
rr+1
2 Tt5=2"V~
..
IT
V9
"rr
0,2204m
elevando al cuadrado: PROBLEMA 13. Si la longitud de un péncUo simpfe !IIJIMI1Iase en 1 m, su periodo aumentaría en 215 s. ¿ Cuál
es la Iorgllud del péndulo? (Tómese 9 " ,,2 mI 5 2 )
RESOLUCIÓN :
Inicialmente:
detlorde:
1,040 4 = ,,2 x
RpIa.: 9 = 9,486 3
~
is
PROBLEMA 15. Un péndulo de3 mde lar· 90 ejecuta 150 oscImin. Calcular la Iongilud de otro pérY:JuIo que en el mismo lugar ejecuta 120 oscfmin.
MOIIIMIENTOOSCILATORIO
L = 3m
RESOLUCIÓN : L, = ?
11)
" = 120osc/min
J4 T2
L, =
Apta.:
r2
T,
T = L
T'=T+2=45
f = 150osc/min
L-'2 T
L =
(l~r = 3m - (l~r
TI
r;-
(L'
r = 2"Y9
(L' = x .. 1)
Pero:
Reemplazando datos:
4 =
2nJ\~J =
2 =
JX+1
elevando al cuadrado: 4 Rpta:
l , = 4.69 m
= ....,
de donde:
x=3m
PROBLEMA 16. En el interior de un helicóptero que sube con una aceleración de 2 m/s2 hay un péndulo de 50 cm de longitud. Calcular el perlado del péndulo en estas condiciones (g = 10 mis").
Se tiene dos péndulos idéntICOS "P" Y"O"; "P" se enruentra en el polo y "Q" en el ecuador. ¿CAlé sepuede afirmarcon respecto a los períodos?
RESOLUCiÓN : T = 2 j ! ,9,
Ahora:
PelO por la
2da Ley de N
( 1)
011'
9, = 9". Luego' T = 2nJL
9+2
T = 27t Rpta:
O.50m --10m/52 .. 2m/s2
T = 1,28 s
PROBLEMA 17. ¿En cuánto debe aumentar la Iong~ud de un pén, dulOde 1 m para aumentar su periodo en 2 s? (9 = n2 m/5 2),
RESOLUCIÓN : 1)
T=2n~
PROBLEMA 18,
RESOLUCIÓN : Reoordando Que: T =
9_ > 9 ........
2n~
Como: 9 "'" > 9 ecuad:>r; Luego. el resultado da ni que: T""""" > Tpelo
osea el periodo de "Q" es mayorque el de "P", ¿Cuánto debe variarse la
PROBLEMA 19.
~ud de un péndulo
para Que su periodo se haga 20% menor?
RESOLUCIÓN : 1) Inicialmente, sebene: T
= 2nf¡
(1)
JI) Para un 20% menor:
0,8T = 27Cfr¡
(2)
Pera: L = 1 m y 9 = n 2 m/s 2 T = 2s
Bevandoal cuadrado (1) y (2) ydividiendo orrbascxpresiones
FlSICA GENERAL
RESOLUCIÓN :
4:
= 2 Jt
1)
T
11 )
T: 2"
0.641.;
t.L: L,-L,: l.-O.64L, lIL : 0.36 L,
ti
(TIlma)
m
lb)
(Planeta)
IguaJ¡ro¡ (a) y (b) : 2 Jt
~
=
~ 2" 1
.j[ = "2
Si se Quiere expresar en porcen1aje será 36%
menor
(a)
¡¡
JL,
Elevando al cuadrado:
PROB LEMA 20.
¿En cuánto deberé ser aumentada la longitud de 1I1 pérdUo para que al ser llevado a un planeta donde la aceleración de ta gravedad es 4 veces la de la TIetTa, mantenga el mismo periodo que en la Tierra?
t
L = ¡ L,
=>
L, : 4 L
L, = 4L
como:
la longílud inidal será aumentada en 3L
(l, = L + 3 L)
PROBLEMAS PROPUESTOS ¿En qué relaa6n están las longitudes de dos péndJlos SI en un minuto el pnmero realiza " = 144 osds y el segundo " = 180 osds?
1_
(s.
Un cuerpo en la luna pesa tl6deloque un péndulo en la luna sola fre
Apta: 0.41 F
6. 8 periodo de 1I1 péndulo es 3 segundos ¿Cuál será su periodo si su longitud aumenta en un 60%?
2.
Apta.: T: 3.79 s
En el inteñorde un col1ele que sube con una aceleración de 10 mis' hay un péndulo de 1 m de longitud. Calcular el periodo del péndulo en este instante y bajo estas cir' cunstancias.
Rpta: T 7.
3.
UnpéncUoda 120 osds ¿Cuántas osaladones dará SI su Iongotud se hace 4 veces mayor?
Rpta.: SOosds
El periodo de vibraáón de un péndulo de 800m de longitud en un lugar donde 'g' es 980 cmls' es:
Apta: l ,79s 8.
4. la longitud de un péndulo SI"l'1e es de
El período de un péndulo es de 3 s. ¿Cuál es su período so su Jongotud dlSlT1lf1uye en un6O%?
2.6 m yejewta 30 oscilaciones en 80 s. Ca\clJIar el valor de la aceleractól1 de la grave-
Rpta:
dad
9.
Rpta.: g = 15.54 mis'
= 1.4 s
t.9 s
¿Cuál es el potCet1Iaje de carrbto de longitud de un pénoolo a ton de que tenga el
MCNIMIENTO OSC/LloTORIO
286
mismo periodo cuando se le desplaza de un lugar en el cual g= 9,8 mis' a otro lugar donde 9 ~ 9,81 mis'?
11. ~riodo da un péndulo simple es Jl0 S, si su longitud dismlruye en un 10%. Calculare! nuevo periodo del péndulo.
Rpta: Disminuye 0,1%
Apta: T = 35
ID. Un péndlAO sirrple es deslliado de su
12. Un pénwlo sirrpe que en la TIerrn posee un periodo de 2 s es levado a cierto planeta en donde su frecuencia disminuye en 0,10 Hz. Delermine la aceleraCIón de la gravedad de dicho planeta. Considere g=10m/s'.
posocoón de eqUl~boo, un ángoo de 5°. Encontrar la \leloodad de la estera del péndJ.lo cuando pasa por la posoción de equilibno, si la frecuencia circUar de las oscilaciones es igual a 2 S" . Apta: V
~
Apla.:
0,43 mis
g.......
=
6,4 mis'
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE M.A.S B "Movirróento Armónico Simple'lIamado también "McIIimientoVibratorio Armónico" es un mownoenlo penódico y bneal, cuya aceleración es directamM1e proporcional a su desplazamiento. pero en sentido contrario.
Ia =
·kx
I
Es s,",dar al f1lO\/1mienlo lineal que realiza la p~ 'P", sobre el diámetro. de un plfltO"M"
" ,'w.,
Fog 1
que se desplaza sobre
I
Ma
""
una cer· I currereoI eia refe· ~ .' rencial, conmoviOOOOpO O miarto 3 cilCUlferencial uriforme.
I
t'"
' ,:"
r-u 2
EXPUCACIÓN : Cuando el móvil 'M' va desplazándose sobre la circunleroncoa. su proycccicin "P' se vadesplazandosoblf! el diámetro con velocidad variada, esta velocidad aumenta desde A haSta Q donde alcanza su mayorvelocidad. A partir de este punto ~eza a dismiruir la velocidad del punto 'P", da tal manera que cuando el punto m6v~ nega a "S" su proyección 'P" y el pLI1Io móvil "M' se ronfunde,
donde la velocidad da 'P' es cero. El punto 'M" prosigue su recoo'OO, la proyección "P', después de llegar a "B". donde su velocidad a cero. empie28 el retomo ron velocidad creciente hasta a donde alcanza, su mayor velOCIdad. Apartir de este ptlrto a.1a velocidad dismiruye hasta Uegar, da regrese, al ptSllo A donde su velocidad es cero y como el móvil 'M' prosigue sobre la circunferencia, su proyocoón empieza a regref>8r sobre el diámetro. estableciéo dese de este manera el "movi. miento armónico simple" o "movwnientovoolono armónico" del punto 'PO sobre el diámetro de la circunferencia (va y viene). Un resorte esbrado, con un cuerpo en uno da sus extremos, al ser soltado realiza un mcMmiento armónico simple.
ELEMENTOS OEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
21!7
"'SICA GENERAL
Elongación ' X' : Es medida desde el cen!ro Q de la cilCUnfelencia (o:ntrodeVlbtaaón) ~ el punto 'P". Amplitud ' R' :
Es la eIongad6n máxima (O A).
Periodo ' T' :
Es ellierrpo que demOla el m
osciIacoón COIl'flIeta, es decir. una ida y vuefta (AS + BA ; 4R); en general el periodo Se detellTllna mediante la siguiente ecuación:
~
I .
T
~empo 1rB~~
Frecuencia "1': Es el romero de vibraciones por unidad de tiempo. Se mide en dclos por SEgUrOO (c.p.s.) y se denomina ' heIIz', o en general:
nirrero de vibraciones bempo IranSCUmOO
.
6:
FUERZA DEFORMADORA LEY DE HOOK
'Pata cambiar la lonre de un cuerpo se requiere la acción de una fuerza que se lama 'fuerza defonredorn', la cual es proporaonal a la deformación, SIempre que no se pase del limite de elasticidad del cuerpo deformado'. . La Ley de Hook se elCJl!1lsa matemáticamente asr:
I
runelO de Vlbmaones .
I' ~ I fI
f?ESORrES
Dorde: F k •
I
Fuerza delormadora, en 'N" Constanle elástica, propia de cada resorte, en "N/m" Deformación O elongación, en ' m' Posldón de 8QUllItlr1o '-'1
I
h OOOOOQQ r,- • -'
.
Resane
f=
I
I I
Posk:iOn delormada "",-1
h 000000000000 ~
ECUACIÓN DE LA ELONGACIÓN
Sea ex el IIn900 deserrolado por el plrrto móvil 'M'. En el triángulO OPM:
FUERZA RECUPERADORA
x = CM, cosa
Es una luerza igual pero de senlido conltario a la fuerza deformadora Su expresión matemática es: ~_ __
pe",.
CM, = R
o: =
llJ t
luego, 1'eef1llIazando:
Ix;
pero:
lO
A COS
(1Il
,n
= -2" T
IF; -k·.1
I
luego:
ECUACiÓN DE LA VELOCIDAD ' V"
DEl M.A,S.
La velocidad del punlo 'P' del MAS. es
ta proyección de la \IeIocidad tangencial 'V,' sobre el diámetro de la cirrunferencia de refe.. renda
En el triángulo vectorial SM,O: F¡g. 2
como:
~
= I , también:
1_ =
A cos (21t 1.1)
Donde: y:
StA, =. QM,sen (l
(A)
SM, = V
(a)
QM, = V,
(b)
M
El ángulo goJado por el punto 'po se puede esailir asl' (e) Ct = wt
Luego. reerIllIazando en (A):
En el tnángulovectonal SMN:
Donde:
y:
Iv= .vlsen(w .I)1
ro Luego:
~
=
-~n.A T-
21t
T
O
V
2
I a = ·ro' .• I
w = 21t .1
·21t.! R sen(2n .f.I)1 ó ·A wsen «(1) t)
I
B signo menos se debe a que la aceleración es siempre de sentido opuesto a la dirección del movimiento. por que es proyección de a., . VELOCIDAD MÁXIMA Y ACELERACIÓN MÁXIMA
La velocidad es máxima en la posición de equilibrio de tal fcxma que se runple la sigUlEtlle ecuación: V " ±2!t. f
MP sena = o~,
Luego:
±~ OM~
sen Ct =
•
0p
2
Para x "O:
= ±JA2 • x2 -
± ~~ n~' X '
V = ±27t.f.[P.27
I
(11)-
JR27
I v""" =
;t2n.I.A
I
La aceleraCIón máxJrna se obtiene en los extremos de tal forma que se cumple:
a
(e)
Sustituyendo (a). (b) y (e) en (A) :
I
la =-4 1t2 ,2. x
o IaITIbién: Ó
(2)
A cos (2" 11) = •
00010:
Tarrbillrl en el triángulo OPM, :
Pero: M,P =
(1)
", = 2lt.f.A
I V ~ .2~ A sane; t)ló
Iv = I
'c = 1ll'.R
la = ' Ill'RCOS(21t ·1t)1
Esta expreSIÓI1 puede tener cuas varias foro
mas. según la sustttuOOn de los valores; po&-
"I
O)
'3C ' COS
a = w .1 = 2n .f .t
(1)
den sustiluirse secuentemente todos estos equivalentes:
a
a =
= .(jJ2X
Para x " ±R .
l.mII = +1ll2.R
otarrbién:
l."""
2
= :¡:ro .R
ECUACIÓN DE LA ACELERACIÓN
AnaftZamOS el rTlCMrrwento CIfCu'lleren-cial del p.61to'M':
ECUACIÓN DEL PERíoDO y LA FRECUENCIA
Por Dinámica:
a
= F.m
= F _ = -l< . x m
a
k = .m x
(t)
289
FISlCA GENERAL
(2)
I = 1 T
Recordando que:
I 2~t I T=
Ambas ecuaciones se utilizan para hallar el peñodo Y la frecuencia de vib
:le donde:
acción de una fuerza recuperadota elástica.
PROBLEMAS RESUELTOS catcularlosetementosde
PROBLEMA , .
un movimiento arm6nico sin'4Jfe, sabierdo que la arrplitud es 3 m y el
periodo Bs, al cabo de 6 S. RESOLUCIÓN:
R ~ 3m
T = 8s
I = 6s
a)
sustituyendo valores:
x
= 3m
R
cos 21t 6s
= 3m
= 25
: T
o
T
V = .21<.3 sen 21<.6
8 V = .3" 4
a)
xoRCOS 2" t
r
3" 2
x = O,OSm ·(X)S
V =.3 " (·1) 4
..
x=
V = +2,36 mIs
b)
Cálculo de la aceleraa6n:
a •. ",2 x:
Cálculo de la elongación
8
sen
Pero
X
24s
1-_ _~=---l.!:.....jM
Cálrulo. de la velocidad: V = .21t .R sen 2" .t
T
e)
: I
O
x= O (Está en el centro de vibración) b)
= 8cm
RESOLUCIÓN :
85
cos 2
Galruiarloselementosde
un movimiento armónico simple, con los SIguientes datos:
T
SIt
(Punto de cambio del sentido de la aceleración)
PROBLEMA 2.
x = Reos 21t..!
3m
=O
Ele<:tivamente, como el móvil se encuentra en et CEntro de vilnK:ión, la awleración tiene valor CEro porque está en el punto JUsto de su cambiodesentidode (+) a (.).
CátcUo de la eIongaa6n:
x.
a
= O
2,, ·2s 24s
O,0693m
Cálculo de la velocidad: V = • 2" R sen 2 "1
T
T
MCMMlENTOOSC/U.TORiO
290
V_.2"KO,oe -
sen
24
2".2 24
• = 10 cm, el bloque pasa dos veces d) FII1iJI = m. a_ F_ = m(:¡:,,,21 2 R)
V = 1,05 . 10-2 mis e)
Cálculo de la aceleraa6n:
a = .",2. pero '"
2"
=T '
(2,,)2
a =. T
0,0693 m
K
(i,:r.
a =
a
= O,0693m
x
d) e)
f)
9) h)
0,0693 m
RESOlUCiÓN : a)
T
1
V"""
FITIIX =
= 45
" !"fialmente: e)
= O,25Hz
V"", = ± 2 " •
Fmu = :¡: 4,!iN
F = .~ K = F
·m 4 ,,2 ,2 x
= . ~ . 4,,2 (0.25)2. 10 10'2 N ,,2
F = ·0,75 N
II
Ec""" =
~ mV:'"
EcMiIX =
fe""", E
Cmax
..
~ m(± 2"IR¡2
= 2m,,2 12 R2
= 2 )(2 ~ ,,2 (0,25)2 (60 1O'2¡2
fe"""
= 1,35J
La e_gla petenaal máxima ocurre en las posICiones extremas, luego de un in· tercarrbio de energía con la Iiamade el1ef9ia CIflética máxima
Ep "'" = Ec """ 1
¡ • 0,6
± 0,94 mis
e) V = ± 2,,' JR2 .• 2
V = ± 2" .
4,,2(0,25)2 60 10-2 N
Sabemos:
= ±2,,'R
V"", =
:¡:~
g)
Hz = her12 b)
9
La amplitud de '"' bIoqU'l,
La velocidad má>cima La velocidad cuando 1a eIongaci6n es de 10cm, avalo< máxi'nodelafuerza restauradora. El vaJor de la fueaa restauradora para x=10cm. Energía cinélica málCma Energía potencoal máxima. Energía tolal en una POSIOón cualquiera
, r=
~ 4 ,,2,'R
Esto ocurre en les posiciones extremas.
ruyo peso es de 30 N , si A =60 an,T =4 SYademás g =n' mISZ calcular: a) La freruencia
b) e)
F...,. = :¡:
=·47. 10" m/s 2
PROS LEMA 3.
= :¡: m 4 n2 12 R
F"",
~ • J(0,6)2. (0,1)2
V = ± O,93m/s (~)
los SIgnos ( ~ ) ,Ifldican que para un valor de
EpI1101l = 1,35J La energia total, se detemina, ya sea por la energía ánellCS máxima, potencial elásbca máxima o por la suma de la energ ia CInética en una posición determinada con la energía potencial elástica en dicha posiaón.
h)
..
EIOioI =
fe mu
E..., = l,35J
+
Ep ......
291
FlSiCA GENERAL
PROBLEMA 4.
Un cuerpo de 20 N de pe$O está suspendido de un resorte. CUMdo se le añade un peso de 5
N el ruerpo ba¡a unos 8 an CalcUar el periodo de vibración del cuerpo: al Cuando está sin el sobre peso. b) Cal el sobre peso.
FÓfmUia conocida
Sustituyendo valores:
T
20N
= 2n .
m 9,8 2
x
s
Apta: b)
N
250
m
T = 0,51 S
Cuando al ruerpo se le añade 5 N, su
peso será 25 N: aplicándole (11 T = 2n . RESOLUCiÓN : w = 20N
R
Rpta: 2
(izanta1 se estire 0,1 m
Fuena :. k
Un resorte helicokla1 he-
con respe<;\Q a su posición de eqLiibrio al ~ tuar sobre el resorte tnI fuerza horizcntaI de 8 N. Mora. se fija un cuerpo de masa 1,5 kg Yse
x=8al1
al
25N
m N 9,8 2 x 250 s m
T = 0.64 s
PROBLEMA 5.
P = 5N
l:
deformadora:
=!::x
F = kx
jala 0,14 m a partir de su posicoón de equilbio, sdlre una SI.pElIfioo SIl frrx:06n, 1uego se sue1ta el cuerpo. y al soltarlo se lIlICI3 el movrrdento arrrllnico snlJe del cuerpo. GaIaJar:
= 250N/m
20N
= C.08m
Por otro lado.
Fuerza roouperadora: F = -k.
(1l
al Constante de elas1iddad del resorte, bl
Fuerza de recuperaCIÓn del
F=ma
(2)
d)
Arrpl~ud
del mOVJrTloer'llO,
el Máxima veloCIdad del cuerpo en movímiento.
Igualando (1) y (2):
I I
·kx = ma
kx=mw' x (J) _ 2n
pero:
-
lLego:
k
¡ I
lI
a;-(iJ2x
•
mI
1>000000000000 r,
T
= m(2T
F= -kx
m
h OQQQQQOOQQOO ~ v=o
a = -olx
pero:
resorte.
el Periodo de OSCIlación.
2da Ley de Newtan:
r
F- O
I
posidÓII de equIIl>r\o ..--.
ihllmilmll'E:
.
de donde:
¡ .-
1=0 V = tI)R
-..""
T=2n .t=2nJ:k
(11)
F . k.
V-2Jtt~
MOVIMIENTO OSCIUlTORIO
f) g) h)
Máxima aceleraaón, La energra cinética y potencial cuando está 8 la mitad de su distancia al cenlro, después del iniCIo del movrniento, Energía total del sistema.
RESOLUCiÓN '
. ; O,I4m
x,
m=
= 0,1
m
v=
e)
=1
sen rot
F1 = kx,
k;
F,
2" V.... = ± W X. I = T x
eN
)(1
SustituyendO valores:
0,1 m
;:
V.,..,. = ±2T" O,I4m
k = eoNlm La fueaade recuperaclón del resortetiene un sentido contrario al de la fuerza de defomIación. Cuando tiene fijado el cuetpO: F a -kx F = -80 N/m . 0,14 m F = -II ,2 N
T=2"t
el
(1 )
Pero VI es constante e igual a wt., es decir. sustituyendo en (1) :
a) Sabsnosque:
b)
V, senwt
Este valor tomará su valor máJamo cuando sen wI sea máximo. eS decir cuando:
1,5 kg
F1 = eN
dedonde:
energra cinética es cero y su energta poleocial es máxima.
= ± 211
0,638
O,14m
V... = ± 1,4mls f)
La acel8l8ción es máxima cuando la
elongación e S máxima. es decir cuando el resor1e está en su posiClÓfl de "afTllli!ud" con la carga, O en SU posición 'máxima de contracci6n' también con la carga: ama. = ± 00 2 • ( 111)
(1) 21t T y. • =
pero w =
y:
O,I4m
41t 2
:I: - - · O,14m (0.63 s)2 8_ = ± 13,9 m/s2
Sustituyendo en (1) :
T • 2"
Jmm.g
g)
x,
Cálculo de la energra cinética cuando X, =0,07 m:
l V. Ee = 2 rn
Sustituyendo los dalos:
T = 2"
--º'.1 m _ 9,8 ml~
Penx
V = ±V,
T; O,63s Cuando se pregunta la amphlud del movmenlO se reitere a la elonga-ci6n máxima, en el caso especrhco del problema sera 0,14 m que esta Iong~ud que se estira el reSOlle desde su posICión de equilibno para de
d)
aquí 6OItarlo. Además en esta posiciÓ~ su
Además: Luego'
RnalMente:
(A)
JR2- K~ R
V, = ±2~ R
JFT;f R
293
FlS/CA GENERAL
gía total del sistema es cinética y cuál es potencial es elástica?
2/1 JR2- x~
±~..L.. T-.!...
y •
RESOLUCIÓN :
SuslítUyendo en (A) :
1)
EIocaJ =
~ kR2
(1)
1 .-'
1
E""" = 2 k x- ~ 2 m
OedOOOe:
Para x =
Ec • 2,,2m(~2_X~)
sustiIu)'endo datos:
2n 2_l,5kg [(0.14rn)2- (0,07 rn)2]
~4
-_"'::"'>'--~--------'
(0.63.)2
igualando (1) y (2) :
(J.2 k R2) = 12 m V2 3
:4
1,1 kg ~m2
•m
EpEl}.SOO\ =
Cálculo de la ene
Ep • Ep • Ep h)
e
3
1,IN . m. 1,IJ
(Iórrrlria)
2
~ k(~r
(1)
UnresorlBconunpesose alarga 10 cm. Calcular el periodo de vbación.
RESOLUCIóN : Recordando que: -kx=F kx=maCFi
pero:
El :~kR2 ~ ·(0.14)2
ET • O,784J PROBlEMA 6.
(a)
x
- kx = ·ma
2
La energla lotal es igual a:
El = ! .8O
;¡1 (E"",,)
PROBLEMA 7_
1.80 N.(0,'4m)2
2 m 0,196 J
= Ec
11) Del reslAlado ameriof se deduce:
s
E¡. • 1 k~
(E,OUl)
Ec = 4 (E..~)
..
Ec • 1,1 kg 2 ·m
Ec'
(2)
~2 k R2 = ~2 k (R)2 ~ m v2 2 +2
T
E C-
~ ;
y2
Un~ue$uspeodIdode
un resorte vera con mcr
..mento armónico SIf1llIe. En el in!llante en que la elongac:oón del bloque es igual a la rriIad de la amplitud, ¿qué tracd6n de la ener-
k = dedonde:
1Jl2
m· A
R
=
4/12
m.-:¡:z
T=21
Pe< (a) : k = F
x
Ó
(1)
k. mg
x
Sustituyendoen (1) :
T=21<~=2"~ mg V9 x
MCMMIENTOOSCILATORIO
como:
x
Rpta: T
= 0.63 s
= 10cm
Recordando la lórmuIa:
'" 0,1 m
T = 2"
Un cuerpo al suspen-der-
PROBLEMA 8.
se en 1.Il reson.eviblacrn MAS. ¿oo qué instante el cuerpo está a la mitad de su amplitud? El problema consiste en calcular el tiempo pa ra
RESOLUCIÓN :
R x= 2 Recordando:
x
2 a •
l\Joga
= w.t
= kx
..
3
Apta.: t =
= F
•
k = _80~ = 4oooN/m 0,02 m
= 0,28 S Untomb'esal1ayseouaun rescrte con el
ga de
cual da 60 saftos por minuto. Luego un ruño
a = 21t . 1
T
que pesa 44% de lo que pesa el hombre. se
coge de sus poemas y osalan junios. Calrular la nueva frecuencia de oscilación. RESOLUCIóN,
Recordandola lórnUac!e la frecuencia: lnicialmerr le se tiene:
Suslituyendo con (1) : 1t
k
Sustituyendo datos:
PROBLEMA 10. (1)
6
F
Rpla : T
Pero a también es el espacio angular. es decir.
a
Recoldando que la fuerza deformadora:
T=2"J 10m/52SON . 4000 N/m
= sena
"3
( 1)
Suslituyendo valores en (1) :
= Rsena
R pera x = R .. = Rsaoa 2 2 t
JW = 2"
=- 21t . t T
1, =
h
1 2"
Jk
m
(l)
Ahora cuando el niño safta:
6
PROBLEMA 9.
Un rescrte se alarga 2 cm al coIoca~e unpeso deBO N . Se le separa 2 cm de su posición de equi-
librio. CalctAar su periodo. (g = 10 mis'). RESOlUCIÓN :
¡
,
2cm .!-
12 =
F
I
1~ (2~ ~)
(2)
Sustituyerdo (1) en (2) : 1 f2 = 1,2 · fl Reemplazando el valor de f,
f2 =
..!. .80 saltos/mn 1,2
295
FISlCAGEN~
A¡lIa: f2 =
ma velocidad de un MA.S.es2p. ¿Cuál es su periodo?
saIIos/mln
51)
PROB LEMA 11. Un cuerpo cuya ma-sa es de2.5 kg está arWnado de lJl MA5.coo 3 osoIaciones porseg..flda. CalcUarlaacel""""ón yla fuerza rea.peradora, para l.rla aceleración de 5 cm.
a_
RESOLUCI óN : Ahora:
-
Vrnú
= 4lt
.,2 RCOS(2;t)
a =
(A) (1)
RESOLUCiÓN : m
= 2,5kg
a) F
I = 3cscls • 3 a)
F
1
b) a
s
= kx T = 2"
..
4,,2 m 2 T
=
?
t
y
ces k"
= ± 1 en (1) "m4x = :¡:(j¡2 R = :¡:
8 mú
4,,2
T2
R
(1)
V = V,sen.,t
(11)
la velocidad es máxima cuando:
1
s
2
w I • (2 k - 1) ;
Sustrtuyendo valores en (1):
= 888.26 kg
= kJt
Rec;oroando Iarnbiéfl que:
~ . 2,5 kg. ( 3 !)'
k = 888.26kg
k
2lt I
T
= 4,,2 m12
!iIJSIIIlJymdo dalos: k = 4
la relación es máxima cuando:
=? (1 )
Calcufode k: k
~
y:
" = tI;
sen(2k - 1) 2
1 2 O.O¡; m
1
k = 4.4kg 2
= tV ,
Vmál<
S
Vrnú
m
s k = 44 ~ . _ I .m m &2
= t
en(lI)
2JtR
(2)
T
Sustiluyendo (1) y (2) en (A):
I
±4 Jt2
52
de donde
b)
F
-
= 44,4 N
Rlt
+21tR
= 41t
- T
CáIcukl de 'a' :
~ta.:
kg 4,4 N 4.4 mi s2 F a = = = 2.5 kg 2,5kg m
a
2
= 17,76 m/s2
PROBLEMA 12. la relación entre la máJci. ma aceleración y la máJ<~
T = 0,5 S
PROBLEMA 13. Se 8fT"4lIea un liquido de peso especifico 'p' Y loog~ud total 'L', en un tubo en 'U". represenlado en la figura Un aumento repentino de presión en filiado izquieldo 1or28 al liquido a un movimíenloarJ1'lÓOCOabajo. ¿Cuál será la Irecuencia de vibrad6n?
MOVIMIENTO OSCILATORIO
296
A_Sección
valente en el slgLiente sistema de resortes mostrado en la rlQUra.
P_de
CQlJlllbrio (1)
Sea 'x'la altura que baja el nivel de la izquierda, por consiguiente ')(" será la attura que sube el nivel de la defect1a, La fuerza del equilibrio correspondea la CXlIumnadeattura"2><", lacual tiende a restaurar el eQuilibrio.
c:':=:===~===SI
RE50..UCIÓN :
RESOLUCIÓN :
Considerando los 3 resor· tes que se estiran el mismo Ilesplazamiento 'x', manifestándose el equUibrio se tiene:
P • F, + F2 + FJ
x•
k.
---1
Como:
k,
x, + k2 '2 + k3 x3
x. x, • '2 •
(1)
(2)
X3
Reerrplazando (2) en (1) y simplificando:
Rpta;
F (restauradora)
~
(1)
m.a
(2)
IglBlardo (1) y (2):
Peso liquido de altura 2x
= m. a
Tomando en cuenta que en este instante la ac8eraci6n es máxima, ·A . 2x . p
ka • k, + k2 + kg
I
Esto se presenta en un sistema de resortes en paralelo. Nótese también que el peso de la barra es 'po y de que en las posiciones ( 1) Y
F (restauradora).·Peso del liquido de altura 2x
I
( 11 ), ésta siempre permanece horizontal. PROBLEMA 15. Demostrarquelafrea.oer>cla de vibración (o...elocidad angular), en la figura mostrada está dada por:
:: m' !mb
·A . 2x P De donde:
Apta,: f
PROBLEMA 14,
1(2R = 2rr VT
Hallar la constante eQui-
RESOLUCIÓN :
De la figura original se
FlSICAGEN8iAL
rota ~eSl"m" se desplaza una distancia "x", el resQrte 1 se desplazaña x, yel resorte 2, una dislancia X, , de tal manera que: 1)
(1)
297
~¡ I
liso
11) PoreqLilibrio.
F = kx
RESOLUCIÓN :
(2)
F =F,=F2 ;
luego se~eneen (1) :
F
F,
ka y por (2):
k.
F2
= k, • k2 1
- + k2 k,
=
k, k2 k, • k2
k. =
(3)
Cuando 'm' se despfaza a la derecha una distancia "x", el resorte 2 se estirará una dIStancia X, Y el resorte 1 se CXlf1lJnmirá una distanciax,. delal manera que sedebecumpfir:
Sabiendo que;
x = x, = x2
f=I/k;:l 211 ~ .;2x
yademás: w = 2
(1)
Por alfa parte. al desplazar 'm' hacia la delE~ cha hasta una dislanaa ''If. en ese ,nstante:
\
pI (Ireruercia de VIbra"
ción). y por equilibrio: III =
F, empuja; F,;ala
Este SlBtemIl de dos resortes mostmdo,
doroe:
(2) Reerrplazando (1) en (2) :
(3) 00t1'eSp0I1de a unaasoclar;iónen serie PROBLEMA 16. Demostrarquelafrecuenas de vibraCIón (o velocidad~), de lamasa "m' en la figura mos· trada está dada por:
RESQUCIÓN ;
w =
Jk, ~ k2
se sabaQue:
f= - I !k; 211 ~m
(4) Reerrpf82ando (3) en (4) y considerando que: w = 2 11 I (frecuencia anglJlar)
MOVIMIENTO OSCILATORIO
298
(O
=
t' ~
11) El sistema equMIIenle será: 2
-
Lq.q.d.
k
Este sistema de resortes donde:
k'.
".
k, = k, + k 2
En el sistema roostrndo halarla constante equivalente (todos los resortes poseen k = 2 ).
PROBLEMA 17.
m
!k
k'
corresponde a una asociación en paraJe. \o, tal como ha sioodemostlBdo.
2 k 3
•
3
A'
Este sistema equivalente se ercuentra en se-
rie,luego:
perok=2 k
...
m
RESQUCIÓN '
I ) Por los problemas precedentes: A
""T"'
=2
Una eslera ejecuta un MAS. en la lama iróca· da en la figura Encontrar la raz6n entre las veIoadades de la esfera en los puntos aleja· dos de la posici6n de equiibrio: una distancia Igual a la mitad, y a la teroera parte de la amplitud, respectivamente,
k
m
..... 000000 ¡
2k
A'====': ==
k
PROBLEMA 18.
k
k
Reemplazando datos:
m
k
Q \ oooooo ,....f
RESOLUCIÓN '
(1) 2k
'"
Para
X
= R2
En el tremo A A' arrbos se encuentran en serie. lo mismo que el !Jamo P: A".
AA';
VI • ± 2,,1
1 1 1 2+1 1<'.=.+2.=2](
k'e = 2 k 3 k'
•
.
A
R2 '"4
V, = ± "fR,f3
Para
X =
V2
R 3
=±
A
2." fR·
9"
(2)
299
FlSICA GENERAL
V2 =
)ivldlendo (2)
V[ V2
=
mos y mínima en el cenlro.
±~ "lA f2 eme (3) : ±IIfAJ3
:t~nIAJ2
(3)
=~
JI
~~=~JI
PROBLEMA 19. CuandolaenerglacfnétJ-
La velocidad es máxima en el centro y minima en los el
es falso b)
Por lo anterior se deduce que es verdadero.
Se sabe que: a = ·4"zh ysededuce que la aceleración es directamente proporcional a la elon-gacién pero de sentido oonlrario. e)
ca de un MAS. en un
:urtv que es 419
es falso
E" ¿cuál es la elongacIÓn, si
a amplitud es 3 cm? RESOLUCION :
d)
Basado en el problema
Se sabe que "YO es máxlloo cuando x O,luego:
N"6
1 kA2 = 1 kx2 + 1 m V2 2 2 2
Aeerrpazando (2) en (1) .
5 (1 k A2) = 1 kx2 9 2 2
~A2=x2
9
Si R = 3 .
x2 =
~
9
lkA2=Ey= 'mv2 =EK 2 2 mili
(1)
Pordatos: ~ mv2 = 4 (1 kA2) 2 9 2
9 = 5
es ..rdalleto
PROBlEMA 21 . Cierto resorte se estJllI 4 cm al Lbcarse en Su ex· Ilemo una carga de 40 N. A dICho resorte se le ...., una carga de 10 kg Yse le coloca sobre una superficie horizontal estirándose 10 cm a partir de su posICIÓn en eqUilibro. Determinar la velocidad que adqulnrá al llegar a x= O, el bIoqJe de 100 N.(Considerar g = 10 mis') RESOLUCIÓN :
Pilfa.: x = ± J5 cm = 0,02 m
~ROBLEMA 20.
)r b)
e) ~
¿EnunMAS.sierrprese cufll'le? Cuando la aceleración es máxima la ve-
~ posodón do equUIbrio I I
~ooomfO
Iocidad lo es. Cwrdo la veIoadad es rnáJ
ción. La energia mecántca lotal es lQual a la energia cfnétlca máxima.
r,=sa.UCIÓN : . a) Por teorla "a" es máxima en los eldre·
=
r --..., I
m
I
I
I
I
I
•• 10cm
El que se mantenga 4 cm estirado con una carga de 40 N, nos permrte calcular K
Por Hooke: k
k= F
x
40N
=- =1 000 N 0,04 m
" (1)
Cuando el cuerpo de peso 100 N es despla·
MOVIMIENTO OSCILATORIO
300
zado 10 cm se efectuará un trabajo equivalentea: 1 k K2
-
2
Sesueltadchotloqueen
x~O,1
m,
conV~
O, aIua, debido a la fuerza r
1 k. 2 :
' m y2 2
2
PROBLEMA 22. La 8fr4JI~ud de las vibraciones armónicas de lJ'1 pt.I1to material es "A" y la energía total W . ¿ Cuál será la eIonga-ción del pt.I1to ruando la fuerza que actúa sobre él es -F"?
..
2
~
m
k
=
(1)
A2
F: kx
Además:
Sustituyendo los datos: 1 xl 000
W = 1 kA 2 2 2W
RESOLUCIÓN
.
..
F
~
(0,1 m)2; 2' . 10 kg . y2
(2)
k
Reemplazando (1) en (2): Z
Y : l!!!
Apta.:
S
x
= A2WF
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. a) b)
La art'fAltud de un cue
Rpta~
3. a) b)
e)
a) ± 76,17anls
posición.
b) :¡: 644,73cmls2
Con ITlOIIimiento vibratorio verlical y con lJ'1a arr.,lilud de t 5 cm se rrueve un cue
15tm
Rpl
Un punto con MAS. bene.., perlado de 2 s.. Su veIoodad en el punto de eqUIibrio es 2 rrJs. Calcular: Arrpilud EIongaco6n cuando la velocidad es de 2 rrJs. Tiempo que transcurre haSta que pase nuevamente por esta (.I1ima
Apla.: 4.
b) O m
e) 1 s
¿ Qué velocidad máxima tiene un móvil con MAS. de ampiitud igual a 20 cm y perlado iguala 2 s?
Rpta: 5.
a) (2/p) m
±20 ltcmls
Hallar la cons1anIe de equIlibrio en el SIguiente siSlema de resortes rrIOstrado en la
k,
figura.
k,
"" F
F/SJCA GENERAL
R¡ia.:
k.
1
=
Una partlrua ron M.A.S. efectúa 50 os" cilaciOnes en 25 S . Si la amplitud es de 20 cm calctAar el valor de la velocidad en el momento en que la eklngación es de 12 en.
7.
= ± 64 n cm/s
Al suspender un bI~e en un resorte, éste se deforma 1 cm. ¿CUál es la Ire· cuencia del sistema bloq.Je resorte?
Apta.: a) Ec b)
Ep
"
Ee Ep
"
a) x "
Si lfiI masa 'm' cuelga del extremo de un resor1esu lrecuencia esf. ¿CUál será la frecuencia si el resorte se rorta en tercios y la masa se suspende uniendo estas posiciore!fI
8.
9.
, = ,[3 "
Demostrar QJe la energía total para un MAS. está dada por:
2n2 A2 m WIOIII "
T2
Dome: A (amplitud). m (masa) y T (penodo). 10. Si la ecwción del movimiento de una particoJa, tiene la forma:
Apta.;
máJo~
Apta: Vmu ' I " (3; 9; 15s) ...... : t
= (0;6,12s)
A
a)
T
b) x =
A
2
Ee
15 E¡. "
fe Ep
= 3
13. El pJnto de suspensión de un péndulo simple de longitud "l" se desplaza con aceleración unllonme por la vertical. Ca~ ruar el periodo.,.. de oscilaciones pequeñas del péndtJo, en dos casos: al Cuando la aceteración del pJnto de suspensión está dirigida hacia arriba y su mag"'tud 'a" pJede ser cualquiera. b) CUando esta aoeleración está dirigida hacia abajo y 9.J magrútud es a < g.
Rpta.: a) T = 21<
Jg+a l
b) T=21tJ l
g"ft
14. Hallar ta frecuencia en el SIstema mostrado. Despreciar todo electo de rozamiento. k
2k k
11 . ¿Qué Il!iación hay emre ta energía cíné1ica de una partícula CO"l MAS. Ysu enero gis pctencial, en tosrro-nel'llOS enque el tierrpoes:
8
3
Y
4
b)
X= cos(~ 1) Hallar los momentos en que los valores de la veIoddad Yde la acete
!
12. ¿A QJé es igual la relación entre ta enero gla cinética de una partlc:ula que vibra con MAS. y su energía potencial, en tos mo· mentos en que la elongacíón es:
Apta.: 1 = 5 oscJs
Rpta~
b) t =
a) t " 12 T
6.
f\lIa.. V
301
k
2k
k
k k
k
k
MOIIIMlENTO OSCILATOflIO
302
II!
Rp1a.: f = 21<
®
m
15. Se tienen dos resortes de constantes k' el primero y k" el otro. Una masa m' se suspende en el primero y m" en el otro. Si se observa que bajo la acción de estos pesos ambos sufren la misma defonnaclón entonces al OSCIlar, la relación enlre sus periodosr yT·, ¿cuánto será?
Apta.: T' = ,.. 16. Sean X. y y Z la energfa mecánica total, el periodo Yla velocidad máxima. re5peCtivamenle, de un movimienlo armónico simple. SI se duplica la amplitud, determinar los valores X', Y' YZ respectJVamenle.
Apta.. X'
= 4X ,
m
Apta: 1, = 1, 19. Dos resortes de igual tamaño y peso des· precial:je, están di:lpueslos paralelamente sobre una superficie horizontal. ¿A qué distanCia .p', de A, se deberá cOlocar un ¡jeque de peso W, para que la barra AS, permanezca honzontal? Considerar mjo el peso de la barra. L
= Y, z: = 2Z
Y'
17. En la figura se rruestra una plataforma horizontal sobre la C\JaI se encuenlra oscilando un bloque con MAS., cuyo penodo es de 5 segundos. ¿Con qué amplitud máxIma debe oscilar la plataforma para que el bloque no la abandone? ( 9 = ,,2 mI S2 )
'Jli --======A?:::;.--.~n ----rl
m-
k
a
~.
j
Apta; 20. Una partícula OSCIla entre dos planos inclinados SIn ffICClón. Enconlrar el periedO de oscflaci6n, si h es la altura ínciClal.
Rpla.: R = 2,5 '11
18. Hallarla relaciónenlre lasfrecueroasde los 2 cuerpos, si poseen la misma masa e Ig.lB.I coeficiente k.
Rpta:
2n
~ ese 6
OENSIDAD y PESO ESPECíFICO Por definición, Densidad: 6
m
=V
Donde: b = densidad m = masadej cuerpo
V = voUneI1 dej cuerpo
(1 )
Peso especIfico: Donde
w
p = V
p = pesoespeclflCO
W = peso del cuerpo V = yOIl lmen ~61 ....It'rpo
( 2)
FISICA GENERAL
RELACIÓN ENTRE DENSIDAD Y PESO ESPECIFICO
8
m
-p = W
Dividiendo (1) entre (2) ;
5 = v
..
W
p
Ii
Pero W = m,g
m
~
p = 6,g
v
m m.g
-
p
I
PROBLEMAS RESUELTOS CalcUar la densidad y e! peso especilico del cobre si 27 kg de dicho metal oet.pa un vollrnen de 3x 10" m'
PROBLEMA 1.
a) b) e)
En los polos ( 9 =9,83 mis') A los 45° de latitud (g = 9,6 mis') En el ecuador (g = 9,76 rnls')
RESOlUCIÓN:
La densidad es la misma
en los tres lugares, los
N P3 = 88020 - , m
Un pedazo de metal pesó 2,50 N en el aire, 2,10 N en el agua y 2,25 N en el acede. Calcular el pese especHico de! metal y del ace~e.
PROBLEMA 2.
w..
RESOLUCIÓN ;
peSOS no. 1)
W,,* = 2,25 N
= !!! = 27kg =9000~3 V
= 2,50 N
W_ = 2,10N
m
0,003
P= ?
9 000 kg m a) p, • li9,. m3 9,83;¡.
PeSO E/I} _{PESO llEI. ..,.,. } { El 0CSWl ~
Af¡{
p,
= 88470 k9_. ~
2,10N
m3 .2
p, = 88470
N 3 m
p.~. =
pero:
9,8 · 103 N m3 Reemplazardo, despejando Vy efectuando:
OTRO M8000 : W, mQ, 27 kg . 9,83 m
p, = V
b) P2
V = 4,08 . 10'5 m '
= V = O,OO3m 3.s2
p, =
Este será el \IOIumen del metal y al introducir-
N m
lo en e! agua desalo¡ará un volumen igual de
ea 470 3
= Ii . ~ =
= 2,50N- V . r....
ac~e
kg m 9000 - 3,9,8 '"2
m
P2 = 86200 e) P3 = l).g3 = 9000
PESO"'} {RACETE
s
=
{PESO"'} {PeSOllEl.llCEllE} a
AH;
•
DESAl.O.W)O
N
3 m
k~
m
2,25N = 2,50 N - V.p _
9,76
~
s
pero:
V = 4,08 . 10'5 m3
Suslituyendo V por SU valor y despejando e!
MOVIMIENTO OSCILATORIO
304
El peso aparente de un cuerpo sumergido en alcohoI, excede a la "pérdida aparente de peso" de él en agua en el triple del peso aparente del miSTlO cuerpo sumer9do en agua. Dele,minar el peso especllico del cuerpo si el peso especifico del alcohol es 6 . 10' Nlm'.
PROBLEMA 4.
peso .,,;pecffico: N p ..... : 6127,5"""3
Ira Apta.:
m
CáWo del peso especffico del metal: W P
:¡¡ : 4,06
2,50 N X 10'5 m3
RESOLUCIÓN :
= 88470 3mN
200. Apta.: P,
Interpretando el enurciado:
Una aleación de oro y cc>breliene un peso de 2 N. El P.e. del IY.J Y Cu eS 189,14 • 10' Nfm' Y 83,38 . 1<>' Nfm', respectivamente. SI el Pe. de la aleación es 156,8. 100Nlm'. Calculare! peso del oro en la aleación.
PROBlEMA 3.
RESOlUCION :
Peso aparente en alcohol = Pérdida aparente de peso en agua + 3 (peso aparente en el
agua)
(1)
Donde:
Peso aparente en aIcohot
Peso aleación: 2 N
P.e Ilcac. = 156.8
loJ N/m
x
Wc ' E.IlCOHll.
3
Pérdida aparente de peso en agua:
103 N/m3 P.e Cu : 83,38 . 103 Nfm 3
P.e. AlJ = 189,14
x
PesodeAu = ? lJarrando: x : peso de oro en la aleación. 2N•x
=peso de robre en la aleación.
E AGlJA
Peso aparente en el agua: We- EAGlIA ~lazandOen
(Wc' EALCOHO.J : EAGUA + + 3(Wc· E AGlIA )
Además, IIClumen total igual suma de volúmenes. 2N 158,6 .
..
103
X :
2 Wc
x + N = 3 - N3 189.14 . 10 m m3 2N-x + 83,38 • loJ .;. m 1.7 N de oro
(1) :
:
2 E AGUA • E AlCOHOL
2Wc = 2PAGUA ' VC - PALCO!«1.· Ve
Wc
2-
Vc = 2PAGUA - PALCOI«1. 2Pe : 2 (tOooo) ·6000
F1>ta.. "Sólo sé que nada sé"
Pe: 7000 Nfm
'1
( ~_Sóc_m tes ~j
3
FISICA GENERAL
305
CAPíTULO 10
CRAVITACIÓN UNIVERSAL la astronomla griega suponra que la Tierra era el centro de giro del Sol y de los demás planetas (Teoria Geocéntrica). En el SIglo ti PtoIo meo lue qUIen lo describió en detalle. Como la leorta era
lEYES DE KEPlER Primera ley;
Los planel as describen órbttas eliplicas, en uno de cuyos locos está et Sol.
/
muy~nopt>
I I
día Bjustarsea un ruJ. mero cada vez más grnnde de observacro-
Juan KepIer (1571 • 1630), aslrónomo alemán, quien se Iormó baJO las ideas de Copérrico, fue aUlÓhar deTycho Brahe en la Universidad de Graz. en el observalono próximo a Praga.Astrónomo gentat, creador de la mecánica celeste, desaJbnó tas tres leyes a que están sometidos los movimientos de tos planetas.
/"" f
- -p- ....
... -
-- ~
_Sol
.... ,
,\
,\
~
I
I
l' _ _ _ '"
/ l'
....... ____ - - - op,
Segunda ley:
Las áreas descrtlas. en l¡e~ iguales, porlos raólOs vectores de unplaneta, soniguales. (Radio vector es la recta que une los cenIros del sol y del ptaneta) _- -
-.,J Iguales
"
~ /
TytI10 Brahe (1546 • 1601), astrónomo danés, en la l.I1M!IStdad de Graz, reco¡jtó los datos de estas dos leorlas controvertidas.
, .... - -
\... '" -
00$.
Copémco(1473- 1543). astrónomo polaco. 9JgJrIó unaTeor'Ia más sencila del movrnlellto de los aslros. ¡;I sustentó la Teoña Heliocéntrica, donde laT¡erra era un planeta que gua alrectedorde su eje y alrededor del Sol. lo mISmo que los otros planetas.
"
(,'AI \
,
'
,
.~ A.z /1
------;~
ISAAC NEWTON
,
GRAVTrACIÓNUNJIIERSAL
KT ; 4 .,08 ~ km2 Tercera ley:
gs Ks = -1
Los cuadrados de los tielTllOS de revolución "T' (periodo), de los planetas, son proporcionales aloscltlos de susdistancias"c1' al Sol.
2.
LEY DE LA GRAVlTAC1ÓN UNIVERSAL LEY DE NEWTON
(700 000 km)2
= 13 . 1013
~ kIrf s
punto "p' a una distancia "d" es directamente proporcional a la masa "M"_
..
Luna
• p
1M, I
1 (1
~
Tte""
+;+;+;. ..
• p
M.
cte.
d
dl
(3)
"la aceleración de la gravedad "g" originada por una masa "M" en un
Inspirado en las leyes de Kepler, Newlon descubrió la ' Ley de La Gravita cioo Universal", sobre las siguientes bases: ,. "La aceleración de la gravedad "g' en cierto lugar. Q$ Inversamente pro-porcional al cuadrado de la distancia "d" al centro del cuerpo de masa -M- que lo Offgina lt
,
270m/52
;
ds Ks
2
(2)
5
(1
~
Sol
.. I ;2 KI
(I)
~M ,
=
.
• p
d
Los tres astros más irrportantes para nosotros son: la Luna. la TIerra y el Sol la cons1anIe Kpara cada planeta es cistinta Para un punto ' p' en \¡! supelfocie de cada uno de estos planetas es, respectivamente: 1,67 m/s2 1
(1)
Ala cistancla "c1', la aceteraci6n 00 ta gravedad sobre el punto "p" debido a la Luna, a\¡! TIerra y al Sol, son dfferentes. Sea d = ' ,4 . , O' km; por ejemplo:
Recordando que:
-,-9 d2
dedonda:
= K
3lJ7
FISJCA GENER.N..
9L
2
m = 2,45 . lO6 2" S
K' = 2,04 . lO" m/s 5.5 . 1024 kg
(1)
2
4 . 108 m . f
Para la roerra:
(1 .4 . lo' km)2
13, 10'3 ~ f
IK' =
(2)
52
gs
K' = 6,63.10m/5 (Sol) 2 . 10JO kg
= _ _...,;S~--.
9T = 2.04 . la" m
(11erra)
O,:fi . 10-211
~
I
De las conclusiones (1) Y (11) :
9S = -:-(1'--.4-.-:-10=<;C-:k-m")2C-
= 6.63 . lO
m s2
(3)
Es decir , a la rrisma distancia 'd' del centro de masa,las aceleradores de la gravedad son diferentes, porque las masas que las provocan sa1 diferentes, a moyor masa mayor aceIeración de la gravedad, es deor:
El valor de la constante uniYersal para cualqo.>erptaneta es: 2 G = 06673 10-16 m. km , . 52 . kg
= ........ de ( 11)
La unidades en el SI 5011:
I
,1
G = 6,673 . tO·
'La relaoón de la aceleración de la gravedad a la masa que la origina es slenl>re constante'.
~rt
2 ' G = 6,673 . 10-11 d10 . ~
As; porej€f1'lllo para un punto 'p' a t ,4 . 10' km de la Luna, de la Tierra y del Sol K' siempre es igual:
o también:
Sabiendc que las masas de los tres planetas
De la igualdad ( 111 ) se calcula el valor de la aceleración de la gravedad a una distancia ClJalqliera debido a la masa ·M·.
sa1:
7 . 1022 kg TIerra: 5,5 . 1024 kg
Luna:
y recordando """ 9l
Se1iene: K' ~
·d·.
~
2 . 10 JO kg
Sol:
K' •
9
ML
R-labnente, recordando que: F
•
9T 95 = MT Ms
2.55 10-6 m/s2 (Luna) 7 . 10 22 kg
(A)
= m _a
(B)
donde 'a' es una aceleración y la gravedad ' g' es también una acelerac,ón, sustituyendo (A)
en (B):
Ley de Newton:
I F = G :.~ I
GRAVTTAC/ÓN UNIVERSAL
308
Esta es la ecuación matemática de la 'Ley de Gravitación UníveIsar cuyo enmciado es: 'La fuerza ' 1'" de atracción de dos masas "m"
y ' M' es directamente proporcional a las masas e Il1Yersamenle proporcional al
cuadrado de la distancia "d' que los separa".
MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS ". SATÉLITES
G : ete. de la Gravitación Universal. M: Masa del Sol o de un planeta. r : Distancia entre los centros de mB-sa de los astros. T: Periodo, tiempo que demora Llla revolu· ClÓn.
CoflSlderando que los movimientos de un planeta alrededor del Sol y el de los satél~es alrededor de un planeta son circunferencias, se puede deducir las leyes del movrn,ento:
ENEROÍA DE UNA ÓRBITA CIRCUNFERENCIAL Depende dela distancia ',. del centrode
goro al centro de gl1M!dad de la masa q.¡e gira 1.
pero:
y además:
Fe =
Be
Es la energla potencial gastada (o acumula· da) para alejar un salé l~e de su órt>ita (radio '(" de g~o) hasta ellnfinrto.
G.m.M (R + ~2
Deducción de W, ~ _ :
= Cl)2. r
W, . _ = E"" - E""
G.m.M = (R + ~2
. (]J
Donde finito.
--_ .! - - --- e
eslaenergrarnecánJcaenelin·
=O W, ~ _ = -E M, E""
Entonces:
W,~_
G.m.M (O + r)2 G.M 10
,2
Trabajo para alelar un cuerpo de masa -m- de otro de masa -M- de una distancia "1" a una distancia ", ,"
.!)
=
=
= -F. r
W, ,_ = _G M •m . r
2.
pero:
E",
.. m
Si la masa de 00 o de los cuerpos es mucho mayor que la del otro, caso del Sol Yun planeta, o elcasodeun planeta y un satélite, 'R'es tan pequeño con respecto a '(' que se puede considerar R = O Luego:
Energía Potencial Gravhaloria:
W = G.M.m(1 _ r r, 2n
T
F6nmula que conesponde al trabajo que hay
que realizar contra el C8fr4Xl gravitatorio pa18 alejar un cuerpo de masa 'm' hasta una distancia -r, •.
SUstituyef1dowlOres de Be y Fe : 2
m." .r =
r = radio de giro inicial.
3.
Energla Tolal de un cuerpo en una trayectoria ClrQ.ll1ferencial: Es la suna de la ene
O
y= ~ mV2 + (_ O ~. m)
1 m v2 = O.M,m 2 2r
= (1)
SUSlituyendo en (1) :
El ~m. (J)2 . r2
Jm.v 2 •
pero:
= O.M.m 2r
Sustituyendo en (2) :
Ey • Ee • Ep
E
1 2 2 2 m.w .r
O.M.m
-rl-
GMm+ (_o.M,m)
=
2r
r
(2)
mBe = Fe
Por otro lado:
PIlOBLEMAS IlESUELTOS Lamssadelalooaes 11 81 de la masa terrestre y su raOO 114 del de la Tierr;. ¿Cuál es el valor de la gravedad en la supetfiCle lunar7
PROBLEMA 1.
luego
Como: ML =
~1 My
RESOlUCIÓN :
Y r
=
~R
1
Sea 'R' etradiode laToerra y ',. el radio de la lITa.
=
9L
La ley grav~aciooal para la Luna será:
G 81 My
(~ Rr
mM L
F =G - 2r
Donde:
F : m
M.:
:
r
R :
Fuerza de atraCCIÓn en la Luna Masa de .... cuerpo en la Luna. Masa de la luna Raoo de la Luna, Radio de la Tierra
Pasando m al pnmer mierriJro: F
m pero:
F m
=
= gL
GM L - 2-
r
Se sabe que:
16 Rpta.: 9L = .- 9r 81 PROBLEMA 2.
Dos masas de 200 Y400 kg están a 20 m Calcu-
lar con q.¡é fuerza se atraen. O
= 6,673 x 10-11
Nx
kg
~2
GRAVTTACION UNlVEF/SN.
310
F = G
AEsa.UCIÓN:
7
de donde: d
r;t • kg
F = 6,673 . lO'" N •
(I )
d2
= Radio de la Tierra + 5 000 m.
d = 6400 km+ 5km = 6405 km
200 kg • 400 kg • (20 m)' Apta,; F
K
9 =
= 13,34 x 1~ N
4 . 108 m . km2
9
s
=
Rpta.: 9 = 9,75 mIs' aprox.
La distancia del Sol a la
PRoe LEMA 3.
G~m
TlOOa es aproximadamenle 150x 10"km. ysuttaslacióndura 365 días.
OTAO MÉTODO:
La (jstancia de Mercurio al Sol es de sólo 58
En la superficie de ta Tierra, siendo:
x 10"km ¿Cuánto demora su traslación?
r'
RESOLUCIÓN ;
r 12 =
r de la T.eIIa
d3
~
(I )
1
= 365 días
F =
F = mg mg =
( 1)
A 5 000 m de a~t.rB de la superficie:
T, de Mercurio = ?
Mrm
d de la Ttena = ISO " ,06 km
mg, = G --'-. (Al + di'
(11)
dI de Mercurio = 58 • 106 km Sustituyendo estos \/alares en {I j :
(365 dfas)'
T1
Apla,;
(ISO " 106 kmjS = (58 . 10 6 km)3
Dividiendo (11)
~
entre (1):
R~
=
T, = 81 días aplOx.
PROBLEMA 4.
4 . 108 mls 2 . km' CalcUar la aceleración aproximada de la gra-
vedad en Ttelio, trJ'l se ercuenlra aproxirradammtea 5000 m de altura sobreel nJveI del
mar. REsa.UCIÓN:
gl
La constante K para la tierra es de:
d
= Radio de la rlena
9t =
=
Rj.g (Rr + d)'
(64OOkm)2 x 9,am/s' (64OOkm. 5km)2
Apta.: 91 = 9.75 mIs' PROBLEMA So
La constante K pa ra la l.JJna es de: .A
m
4,8 " lu- - •• km d =
...9.. 1
-¡¡
=K
•
{Al + d)2
9
,
S
Su radio es aproximadamente 1 700 km, Calcular la gravedad debido a la Luna. de una
RS/CII GENERAl..
nave espacial que está a 500 km de la superIicle iJoar.
311
9 = 6,673
10-11 N;: _
1(
.i. : K
RESOLUCIÓN :
5,5 x 102·
• 4:l56 •
1
dí K
dedonde:
g:,j2
'0· km2
6,613 _ 5,5 x 'OS N • m2 4356 xkgxkm2
(1)
9: d : Radio de la LI.l18+ 500 km.
d: I 700 km +500 km : 2200 km
kg_mxm 2
6
9 2 8,43 • 10 x
2
4,8 > lOS ~
>
Apta.:
krif
g : _-:::-:::-:-,:-5-:;-_ 4,8 x
z
~
"
.-
'OS ,fl"
Dos masas de 60 lb y 200 tJestln a Ula dlSlanaade
2 pie. ¿Con qué fuerza se atraen?
m
5l
O = 6,673 • 10-11
La masa de la T.erra es aproxi-nadamEnIe
5,5 x 101" kg, su racio 6 400 km, debido a estos faClores, cafaJlar la aceteración de la gravedad de laToerra sobre Ula nave espadal que está orbnando a 200 km de altura.
O = 6.673. RESOLUClÓ'J :
=
d
d
2
lO'" Nkg. :l M
g=G .,j2
(I)
RadiO de la Tierra + 200 km
6 400 klTH 200 km = 6 600 km
SustItUyendo \os dalos en (1):
f
= Gm:~
5,5 • 1024 kg (6 6OO~m)2
(1)
Translormando dalos a unidades SI:
'" : 601l = 60 mI
mz mz
x
4549
= 27240g = 2OO1b = 200.454 9 = 90600g
d = 2 pie = 2.30,48 cm = 60,96 cm ,j2 : (60.96om)2 : 37160m2 Sustituyendo dalos en (1):
-11 oo.0m2 F = 6,673 . 10 g2
9 = 6,613 • 10-11 N; • x
Z oo . cm gZ
Por Ley de Newton:
RESOLUCIÓN : PA?BLEMA 6.
Z
= 6,43 ml.2
PROBLEMA 7.
(2200km~
9
9
6
k9 x s x 10 m
Sustituyendo los datos en (1):
27240g
• ~ta:
x
•
908009
7160m2
F = 44 • ID'] din
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
312
PROB LEMA 8.
¿Cuál será el período de un péndulo fuera de la superncie de la TIerra donde el peso de los cuerpos se reduce a la tercera parte? la Iongilud del péndulo es 1 m.DeterminartarTtlién a qué allura de la SlJperflCle terreslre sucede esto. El radio terrestre es 6400 km.
rededor de laTierra errel plano ecuatorial? Se sabe que m, Y"\ demoran en dar una vuelta alrededor de laTierra unoy dos dras respectivamente.
RESQUCIOO :
a)
A?
Recordando la 4· Ley del péndulo
T,
Luoga
T, =
~
Apta.:
21tfi 1m 9.8 mis'
Rr2
9
(R r + d)'
39
R2.T (R r + d)2
Ar+d=
d Rpta:
~
3 . Al
~,
~
~
2 dies
1 4
1
W4
¿Cuál es el periodo de oscilaCión de unpéndUo que se encuentra a una altura de RI2 SObre la superlicie de la Tierra? 'L' es la long~ud del péndulo. ' R'el radio de faTlerray 'M" su masa RESQUCIÓN :
fI'
(1 ,732 - 1) 6 400
Determinar ¿en qué relación se encuentran los fadios R, YR, de las ótbrtas de dos satél~es de masas m, Y"\ que se encuentran girando al·
(1)
V9,
gR' ~ de.
Pero :
(A)
Para la superlicie de la Toerra:
9 R'
Para un ¡unto de aIIura R12:
9, (R+~r ~ 9¡(3n
(j3. 1) Rl
d" 4685 km
PROBLEMA 9.
=
R~
R,
, T,
T = 2ft
!1:t
d =
,
R3
Coo la lómua - ;
~
1 dlas
la fórmula del péndulo a la aliura Rl2:
T, - 3,48 s
l
( 1)
PROBLEMA ID.
J3 . 21!~
T, = 1.73 x 2 x 3.14
b)
~
En (1) :
,[3.T
~
T
Por lórnlUa :
Apta:
T,
9, ~ 39
T¡
R~ = T~
f, ~ ~ Par dala:
Aceptando que I'!S órbitas son circulares, aplicando la 3" Ley de Kepler:
RESOLUCIóN :
Luego,por (A):
de dOnde:
gR'
=
r
R
g,e2
2
FISICA GENERAL
T =
( 11)
En (4): Apta,;
PROBLEMA 11" lkIhorrClrepeso700Nen larllma Suponiendo que el radio de la tierra se duplicata, ¿cuánto pe" saría si la densidad promedio de la Tierra se mantiene constante? GM
RESOLUCIÓN:
g =
Para el primer caso:
9, =
Pera el segundo caso
GM 2 ~ = (2R)'
~= 92
d2
GM 1
R2
2 (700 N) = w2 '400N=w2
L T = 3!tRJG M
(a), (b)'
w, = 700N
Pero:
3!t~
GM Pero además: 9 = R2 : luego:
~.:
313
Pesaría I 400 N
PROBLEMA 12. Un satélite arliflclal de masa "m" estáorbi1ando circularmen,e a una á1StanCia 'H' sobre la supelflCie de la Tierra ruya masa es "M'. Si el radio de la Tierra es 'R', hallar la veIo<:idad angular del satélite.
RESOLUCIÓN :
(I) H
(a) Satéli1e
(b)
4M, M2
(2)
(&)=1
Para cualquier satél~e:
M, ~ !tR 3
=
3 deOOrde'
M, M2
I:F_
Mz
~ !t (2 A)3
Fe = m ro' (A .. H)
=8
~ - G
(3)
e-
Mm (A.H)2
Igualando (1) Y (2) :
2 g,
(')
Por otro lado recordando que; I
(3) en (2} de 000de:
= Fe = mOl'
=~
Mm m ro • (A. H) = G -:::--:-::0;(A .. H)'
~1ITtlos por 'm" masa del horrbre:
2mg, = mg2 (4)
Rpta :
(t)
= - '-
R+H
J R+H GM
(2)
TRABA..Q POTENCIA Y ENERGiA
314
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
Si se du¡:lJC8f8 la masa de la luna pero se I11Mtwlera la misma órtlita. ¿Cuál seria la relación de sus periodos raspee-
5.
toalaToerra7
Apta :
cm
Calcular la densidad de ..... paneta de forma esférica, si un satélile gira a su alrededor en una órbita orcular con un periodo "T' y a una dislancia de la superfICie del planeta igual a la mitad de su radio. 'G' es la cons1ante de gravitación univErsal
3.
Apta.: A ( gro
del planeta m
27,,2 A3
=
2GT 2
4.
¿A qué dIStanCIa de la Tiena, el campo gravrtadonal enlra la luna Yla TIerra es ceto? 'd' es la distancaa entre el centro de la Ttena y la Luna, "M," la masa de la Tiena y "M,'1a masa de la Luna. d
Apta.: ~ M -
I
8GT2
0431 problema anterior caJcular la masa
~Ia.:
Hallar la velOcidad de un satélhe que se encuentra en 6rMa circular de radio 'r". B salélrte gira alrededor de un planeta donde '!lo' es la aceleración de la gravedad en su superficie y 'R' es su racio.
6.
~
1)=
=
Apta.: 6,68 - 2 s
T, = T.
2.
~:
En la superfICie de la Luna la gralledad es g 167 cmIs'. Cak:lAar su valor a una óslantia de 5 radios del centro de la luna.
L
Mr
y
7.
Dos cuerpos se alraen con LI1a fueaa de 800 N. Si uno de ellos duplica su masa y el otro la tripfoca, Yla cislancia entre ellos se cuadrlJlica. ¿Cuál es la nueva fueaa de atrac· ción gravrtatoria entre ellos?
R¡ñ.: 300N 8.
Calcular la aceleración de la gravedad en la superflcte del Sol, corosiderando el ra-
dio del Sol 100 veces el radio terrestre, y su masa 250 000 veces l. masa delaTierra. f1pta.:
9 sa. = 245 mis'
+1
'La furia de la nalura/eza essuperiora wa/quieracción del hombre, noa\oisa, no respeta, no lo/era' Juan Goro Galarza
•
RSICA GENERAL
315
CAPíTULO 11
ESTÁTICA DE FLIJIDOS (HIDROSTÁTlCAJ Estática de los Fuidos es el estudio de los electos ffsi:osque soporta Lrl cuerpo ruano
do se enruentra sumergido en un fluido en reposo. Cuando el fluido es el agua se llama ' estátICa del a!JJa' o 'Hidrostá1Jca'; por ex· tensión, al estudIO de las efectas de los flu~ dos liQUIdas en reposo se acostumbra a 11a· mar, engenerat, "HIDROSTÁTICA', Se denorrwla Huido a las sustarrias que se caractenzan por ftulf y/o e>Cpandirse Ilbremente oomo es el caso de los lIQuIdas Yga· ses, los cuales se adaptan fácilmente a la Ior· ma del recipiente que los conliene y eJen:en pteSIÓn sOOre la. paredes en contacto de los rTISmOS, Así f11ISI1'lO los (luidos etareen presión sobre los cuerpos sumergidos en ellos, PRESIÓN ' P'
Es una magnitud tísica cuyo valor mide el eleclO que origina una fueaa perpendicular al área de una supetfode.
p_Fn
- A
A
P
(1)
Es la I\Jerza normal o penpendar lar a la superfooe, en newton 'N' Área de la superficie, en 'rri'" Es la presIÓn, en 'Pa'
UNIDADOEMEDIDA: La Unidad de medida de la presión en eJ SI, es el pascal 'Pa',
t pasGal
1 neMon = -,;;;r = , Pa
EQUIVAlENCIA
105 Pa <> 1 atm <> 1 bar La ecuaCIÓn (1) antenor, nos expresa que la preSIÓn vaña en forma directamente proporcional con la fuerza normal y varía en fof'ma uwersamente proporaonaI con el área
¿Una misma luea8 puede ongonar efec·
tos dolerentes? sr, prefijando Lrl3 misma fuer· za F. ésta wede on9"'8r diferentes efectos de presión:
Cuando la fuerza F actúa sobre un área "rooy pequeña' el electo de presión es 'muy considerable", Mientras que SI la fuerza misma F actúa sobre un área 'grande' el efecto de la presión es 'mlnlmo'. Ejemplo 1.
Calcular el efecto de presión que ongina una fuerza F =40 N, Inclinada, tal como se rrueslra, en Una s.... perficie de 1,6 m' de área.
ESTATlCA DE FLUIDOs
316
RESOLUCiÓN :
A=2m2
F
10N
Descomponiendo F en sus componentes rectangulares. sólo ejerce presión la componente normal de F, es decir Fn' p
25Pa
32N = -FnA = - = 20Pa l ,6m2
¿Oué nos expresa una presión de 20 Pa? Nos expresa que por cada m" de superficie acrua una fuerza de 20 N. PRINCIPIO DE ~SCAL ' La presión transrMida o comunicada a m líquido encerrado en m recipiente, se transmle con igual valor en todas las direcciones'.
Recordemos que los I(quidos se carac!erizan por serprácticamente incompresibles.
35Pa
2
l.
Losmanómelrosnosin
11.
Ahora. sobre elérrbolose ejerce t.na pr~ sión externa de ION: FlaN P = = -= SPa A 2m2
La presión transmitida es de 5 Pa. Esta presión se transmite en todas las direccicnes. Luego las presiones en 1 y 2 experimentan el mismo aumento. PRENSA tlDRÁUUCA
En una prensa hidráulica se aprovecha la multiplicación de la fuerza, aún cuando la presión por unidad de área es la misma, así:
P
FI
= -A,
(1)
F2
P = -
Laluerza'Psobreelémbolo es de 600 N, el área 'A' del émbolo es de 20 cm". Cada lXlO de los orifi· cios es de 1 cm'. la fuerza COn que sale el 1(c¡uidO por cada uno de los omidas es de 30
N,veamos:
F T =A
600 N
= 20an2
(2)
A2
Ejemplo 1,
íí1
~ :1:':IrA, _- F.i _
=
Ejemplo 2Sea un reci o 20Pa 1 pente lleno del liquido, al cual se le conectan 30Pa dos manómetros en Iosniveles 1 y 2. Observamos lo stguiente:
Igualando (1) y (2):
FI = ~
Al
A2
Lo que quiere decir que: 'las fuerzas en los érrboIos de lXla prensa hidráulica son directamente proporcionales a sus áreas'.
FI$JGA
GE'JlENU.
A
CARRERA DE LOS ÉMBOLOS Como el volumen del liquido desplazado en el émbolo chico es el mismo volumen desplazado en el émbolo grande, se tiene: (1)
'1
(2)
317
2
~ 3,14. !O,2m)¡ A2 = 0,031 4 rrf-
0,03, 4 rrfF2 = SO m :)j - .. 2 10 m
Rpla: F2 = 18840 N
1
OBSERVACIóN: Obsérvese cómo ha au-
mentado la fuerza
h,
\~ 1
'--::---- --"":
Lospistonesde U'1a prensa hidráulica tienen 20 cm y 2 cm de dámetro. ¿Qué fuerza debe aplicarse al pistón chico para obtener en el pistón grande una fuerza de 5 • 10' N? Ejemplo 2.
REsOluaóN: F, = ?
d2
=
F2
A;
drálAiCa son invefsamenIe PI
F, = F2 A
Parahacerfuncionarelelellador de automóviles de una estación de servicio, se utiliza una presión de 6 N/cm". ¿ Qué peso se podrá levantar si el diámetro del pistón grande mide 20 cm y el área del pistón chico es 1 crrn Ejemplo 1,
RESCt.UCIÓN :
F, = SON
A,= 1 aif =10"
;
Sabierdo que:
4
,
=
Rpla.:
Itcf 4
x
5 x 10'
N(~:r
F, = 500 N
Ejemplo 3_ (a)
Y A¡ =
F, FzUJ
En(!) :
F,
F¡ = A¡ A¡ F¡ = F, A
,
Itd 2
rrf-
F, A,
(1)
2
F2 =?
d = 2Oc:rn = 0,2 m
Pero:
F2 = A2
A,
áreas".
.-
2I!.cm
5 x 10' N
F,
Lo que QW!re deár que "la carrera o desplazamiento de los én'boIos de IN prensa hi-
z
S~queenel¡ro-
bIema anterior la carrera del érrbolo meo es de 30 an. ¿Cuál será la carrera o desplazamento del én"iloIo grande? RESOLuCIÓN:
A, =
ESTA TlCA DE "tu/DOS
318
F
•
I
F
Sabiendo que:
, O
I
l B
A,
h 2 = h, -
A~
--
4
= 30 an --;,
RESOlUCIÓN :
~ 4
h = 30an (2cm)2 = 3Oan-.! 2 (ro cm)2 100 RpIa.:
~ ~;4 ·-:
-. $.1
- _2d
A, ,,~
•.
I I
d~
-.
-s~
--
Cálculo de la fuerza F, creada por la acción de la tuerza F sobrera palanca:
1: Me
~
O
F. AB = F,.BO
h 2 • 3 mm
F, = F.
El c!espazamiento es pequeñrsimo ¿Cuál debe seria relación de los liámelros de Iosémbolos de "'" ¡7er& hidrá
30an AB = looN . BO Scm F, = 600N
Recordando que:
RESOLUCIÓN :
~ • ~
Se~ :
A2
Pero:
A, =
"
d~
Rplac F2 "
4
A2 = " d~ 4
sustituyendo valores:
" 4df
200 N
= 20 000 N "el ~ dI
dz
=
1 10
Haciendo una fuerza de 100 N en la palanca. confonme se Indica en la figura, y con los datos Indrcados en la misma. ¿cuál sen! la fuerzaqueseprcr
AB = 30cm;
a750 N
Pr
4 ~ta.;
F2 · -~N (Sdr (2 d)2
( I)
F2
BO= 5em
La ¡7esión que soporta un cuerpo sumergido en un liquido. es IQual en loda su S\4lemeie; en ooas palabras, la presión hidrostática es igual en todas fas direcóones. CÁLCULO DE LA PRESIÓN HIDROSTÁTlCA
La presIÓn que soporta una superficie cualquIera depende de la fuerza cr.Je se le "Pique a esa superficie; en el caso de los liql.idos sucede cosa Igual, la fuerza que actúa sobre la supeñteie · A' , en el fondo, es el peso del álindro liqutdo Idealizado que se enruentra sobre esa superftcie.
318
RSJCA GENERAL
~
"La presIón
..-
hldrostátlC8 es (j.
(1)
A
=
F Peso del liquido Volumen. Peso especifico F
.
Sin embargo, SI por eJ'!fTlllo, en un reapiente en forma de U. se le llena de liquidos ÓlSbntos en los braZos, en 181 caso, los ntveles que aJ. canzan son dislinlOS, Por ejElll>Io la diferenCIa es "h" cuando se llena, digamos: agua y areite.
p = F
Luego:
.
~
:..
-
~~~
11':
=
.
-.
En electo sea una superficIe "A" a una profundidad
Pero: F
:~:~.~
. .:
rectamente propacionaI a la proluródad "h" Y al peso especifico "p" detUqutdo".
= V .p =
A. h.p
~
,. h. J-.
-
h
-+
",
~
p = A.h .p A
En(!) . de donde: Ej~lo:
Calcular la presión hidro",tática que soporta cada mi' del OJ...• pode en buzo que está sumergido a 15 m de profuldidad en el mar. El peso especifICO del agua de mares 10,05 . 103 N/m'. RESa.UClóN ·
P = 10,5 . 103 N/m 3
h = 15m
P = ?
Se sabe que:
P
~
h.p
Ejemplo: Calcular, en la figuna, el peso específico dellfqutdo "S", si el liquido "A" es agua.
í hA- 27cm
l =>
P = 15 m 10,5 , 10 3 N/m3 P = 150,75. t03 N/..f P = 150,1 . t0 3 N/tO·
RESOLUCIÓN .
c..f
~a.. P = 15,07 N/c..f VASOS COMUNICANTES
Cuando ~Ies de d~...entes formas están conectldos entre sr, el liquido que se les Rena alcanza en todos ellTllSmo nIVel.
Las presiones en las supefftaeS "A" Y"S" son iguales por estar en la misma hofizontal, es decir que, en ese nivel se tiene:
ESTÁTICA DE FLUIDOS
320
Oorde_
P¡¡1a~ "P = 9,33 . 103 Pa EMPU.E HIOFOSTÁTlCO
Pe = he -Pe
'(
Tedio cuerpo sunergidlo en un fluido reobe una fuerza de abajo hada arriba. pero diendo aparentemente una parte de su peso, esa fuena se lama EMPUJE. 1.
Sustituyerdoen (1):
hA PA =
ha Pe h
Pe - P. ~
..
Susti1uyendo datos:
= 132,3 ~ 103
Pe
P¡¡ta.:
~
m
LEY FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTlCA
2.
'[JI diferencia de presiones entre dos puntos de un mismo liquido, es Igual al peso especifico dellfquldo por la diferencia de profundidades'.
.-. .
h I -
-
El volumen de un liquido desalojado por un cuerpo que se sumerge en un liquido, es igual al votumen del cuerpo. ( B)
t-r;:;i¿
vI 3.
"
T
La aparente péfdida de peso, o empuje. queexpeo imenla un cuerposumergido en
un liquido es igual al peso del vokJmen del liquido desalojado.
Sean los puntos ' A' Y"B" a dderentes profundidades:
p.
(2)·(1~
s
h• . p
(1)
Pe -
ha .p
(2)
PA
•
Pe = p (h ••
ha)
= P (hA -
ha)
1" p
I
Ejemplo: Hallar la diferencaa de prestones entro dos puntos situados a 5 cm y 12 cm de profundidad, respectivamenle. de la superficie del mercuno en un r8ClPfente (r = 133, 28 . 10' N1m-'). AESQUCION : llP
II P = P (h ••
ha)
= 133,28 . 103 N/ oif (0,12 m· - 0.05 m)
(3)
PRINCIPIO DE AAOUIMEOES
"El empuje ' E', o aparente péráda de peso que el
lE = V _r I
F/SICA GENERAL
b)
p
321
Pera que exista luefZa de empu¡e es necesarioque la c:am infenor del cuerpo es1é en contacto con ellíqlHdo.
~E " EmPLIe delliquKlo, Iguala la aparente pét'dlda de peso del cuerpo. NO HAY EMPWE
V " ~o.mendelliquldodesal0j8do
Igual alvoiumeo del cuerpo.
e)
p " Peso especifico del líquido.
EjemplO: ¿Cuál es elllOlumen de un cuerpoqueai ser SlfTle
00_ :. V =
v
=
HAY EMPWE PAACtAl.
La fuerza de empule tiene corno punto deaphcaoonefcenlrodegravedad de la parte sumergida, llamada tambtén centro deel1\PUje ·C.E.'
w
E" V r E P
0.6 N -5 3 3 = 6 . 10 9,8 . 10 N/m
• m3
OTRAS CONSIDERACIONES SOBRE LA FLOTACIÓN DE LOS CUERPOS Cuando LIl cuerpo se encuentra flotando dentro de varios líquidos no rriscitles (estraflficadoo), cada uno de ellos. irldepencientemente, ejerce su fuerza de empuje.
a)
'i'
POSICIONES DE UN CUERPO EN EL SENO DE UN LÍaulDO 1.
"El cuerpo se hunde', esto es porque el peso especifICO del cuerpo es mayor que el delllquKfo. Pc - V. p.... "'"
(1)
E " V. P~_
(2)
Dividiendo (1) .. (2) :
P,
P-E-
P,
E
P_ PfcJ.ido
E, = V, P,
E:z
= V2 P2
El = V3 P3
SI el cuerpo se hunde es porque P- . . :> E, es decir:
I
p",""",
:>
p
-1
EsrATICADE FLU' OOS
322
2.
' El cuerpo flota ', es decir se mantiene 'entre doo aguas", esto es porque el peso del cuerpo es tgual que el e"llUle.
1-
[:::J P.,..,. = E
6
< PIoqudo
soporta un cuerpo, es directamente proporcional al peso especifico del liquido".
P"""" = Pliquodo "El cuerpo emerge", es decir, sólo una parte del cuerpo estáhundioo, esto es· el pesoespecihco del cuerpo es menorqueel dellrquldo.
3.
:--L?-J
Sean dos liquidos distintos en los cuajes se sumerge un mismo cuerpo: V. E2
V.El
P,
I
Luego:
<,)
Vs = VoIlIllOfl sunergiOO
P2
El • E2 1 P,
P2
RJERZAS SOBRE SUPERAClES PLANAS SUMERGIDAS
La fuerza que un Ifqlioo ejerce sobre una s'4"'rfide plena, sumergida es igusl ela fuerza que dICho liquido "lercesobreelC.G_de la
Ve : VoIlJI'lefllOlal del ruetpO
parte sumel!j1da.
E = Vs PiIc>Rdo
= Pllquido -E-
cuotpO
El valor del emp\lje que soporta uncuerpo depende del liquido en el cual se ha sumergido. A mayor peso especifICO de líquido mayor empuje, es decir: " El empuje que
V fl.....,., = V PI~
Vs
lp
RELACiÓN ENTRE El EMPUJE Y El PESO ESPEciACO DE lOS ÚOU100s
I
Vs < V
P~
de donde:
I
1
I
luego:
(2)
T-
W • Ve Pa.oopo _ vISta de
Ve = -
W
(3)
_
peo1~
P.....".
Sust~~
E
(2) Y (3) en (1) . <
W
hc.G. •
Profundidad a la que es1a su-
mergida el C.G.
Como el cuerpo está en eqJlllbnO: E=W
(W=peso)
A = Atea de la placa W = Peso
FiSICA GENERAL
de:
W~
F A
~
Hielo Hierro
WA
IF
= ",",,-. hco . A
I
Ejemplo:
CahJar el peso específico de un liquido satiendo que U'1 C1.II!IJXl sunergido en el agua expermenta U'1Q pérdida de peso de 0.30 N Ysumergido en el li""ido 0.38 N.
~
Oro
PIa1a Plomo Plalino TI28
Vidrio
PESOS ESPECíFICOS DE LíQUIDOS
RE50..UCIÓN :
El
8.99 76,93 84.28 189,1 102,9 110,7 209,7 24,70 24,50
Nr~
F ~ WCG. A
Luego:
ó:
-+ F
323
0,30 N
PI
= 9.3 x p,
Se sabe que:
103 N/m' ~
?
El ~ Ez p, pz
E. ~ 98 103 N O,38N P2 ~ p, El ,x m3xO.30N
SUSTANCIA
l O' N/m>
Aceite de oliva Aguaa4° Agua de mar
Alcohol Leche Mercurio
Nafta
PESOS ESPECiFlCOS DE SÓUOOS
PESOS ESPEC{FlCOS DE GASES (G) Y VAPORES (V) AO' C y 1 ATM SUSTANCIA
SUSTANCIA Aluminio Azúcar Azufre CInC Sal
Cobre Corcho Cnstal euaf20
Es1año Granho
9,02 9,80 10,OS 7,74 10,09 123,3 6,86
N/m"
lO" N/m' 26,48 15,68 20,58 70,07 20,58 83,38 2,16 32,34 25,97 71,54 26,46
Anh. Carb. (G) Agua (V) Alcohol (V) Amoniaco (G) Cloro{G) Clorofoomo (V) Éler suHúlico (G) Hidrógeno (G) MerCUriO (V) Nilrógeno (G) Oxígeno (G)
19,40 3,77 15,7B 7,45 31,16 41,16 25,38
o,ea 68.31 12,35 14,01
324
ESTÁT1CAOEFLUIDOS
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
Uncubodel0cmdearisla está sumergido en el aguaSuc:ara supenIlfestá hori2ontaly a20 cm por~ del rivellibre delljquida. CaWar. al ¿~ es la fuerza hidtOS1álica letal que actúa sobre la cara st.periOl1 bl ¿Cuál la fuerza total que actúa sobre la
cara Inferior y
el ¿Cuál la fuerza total sobre cada una de las cuatro ceras? RESOlUCiÓI~ :
fI, .
-
•I
I Arista
-t
-
- .
I
D.
=
PROBLEMA 2.
En un recipiente con alCOhol se tiene sumergiCo un C\Jbo de 13 cm de arista. Si ta cara superior del cubo está a f o cm de profund'tdad. calcular: al ¿Qué dderercia de pn¡sión hi·drostatica e>Óste entre la cara superior e inferior'? bl ¿Qué empuje recibe el cubo? p,"conot=7.74 .103 N/m'
I
RESOLUCiÓN :
-
= lOan = 0.1 m
h, = 20crn = 0,2Om hz = 30an = O,30m 113 = 25an = 0,25m al En la cara superior: p
, N l F, = O.25m 9,8 . 10 3 ' 0,01 m m F, = 24,5N
9.8 103 N/m 3
F, = ? Fl = ? Fl = ? (dEl agua)
F,=h,pA
F, =h, pA , N 2 F, = 0.2Om . 9.8 . la '3 0.01 m m
F, = 19,6N b)
En la cara Inferior F, = P2 A , 3 . 0.01 m m
.... P=?
h, = 10 an = 0,01 m
E =?
h2 = 23 Cm = 0.23 m
al
o. P = p(h2 - h,)
.... P = 7,74 . 103 N (0,23 m ·0,10 m) m3
Rpta. b)
o. P = 1.01. 103 Nlml
E
= V. P
E = (0.13 m)' . 7,74 . 103 N/m3
3 N
F2 = 0,30 m. 9, 8 • lO
a=13an=0,13m
Rpta:
E = 17,ON
F, = 29.4N
e)
En cada una de las caras laterales:
F,=h,pA
PROBLEMA 3.
¿ Cuál es el peso especf. flCO (r) del hierro si un
trozo de esle metal pesa en el aire 0,363 N Y en el agua. O.317N?
FlSICA GENERAL
Sea: W = peso
RESOLUCIÓN :
W, = O,363N
I!fllre dos punlos suner-
P = 1
gidos en un Iiquído, sólo depende de la diferencia de prolurddad y del peso específico del líquido y nada más, puede haber oIros liquidos encima o no. puede ser el mismo Ifqtj-
Wz = O,317N Sabemos q.Je' Empl4e
=Pér
do en unvobnen a altura muy grande O muy pequeña, no in1eresa.
E = W, - Wz E
l>P = PN - PN = p(h N- hN)
= 0,036 N -0,317 N = 0,046 N
CáIctJlo del volumen de agua desalojada por el trozo de hierro: E b)
E z V . p=>V= -
P
sustituyendo valores:
v = ~046N_ =4,7 . 10-6 m' 3 9,8 _ 10 N/m'
CáJCU10 deI ·p· del hierro: peso en elair. p = V
0.0363 N 4 , 10-6
m3
l>P
Un reap¡ente contlllOO líquidos no rnosc:tJles, como
se iOOica en la flgUl"a, cuyos pesos
oosson:
PROBLEMA 5_
El empuje producido por el agua sobre Un cuerpo es de 0,08 N. Se sumerge en el mercurio, se pregunta, ¿cuánto será el errpuje de es1e líqUIdo? Peso especihco del merClJnO: 133,3 . IO'N/m'
RESOLUCIÓN: EI9-'I = 80 9
e e
r
10un
L
1-
3
= 1,0 -g/cm3
-
-
PROBLEMA 6.
60 cm' de una sustancia tiene una masa de 42 g.
RESOLUCiÓN : f:-.,.
,.. - -
-
-
3
Rptac EHg = 1,008 N
Calcular: a) La densidad absoluta b) La densidad relativa
5cm
,Ocm M
PHg
Eag.¡a Pav-a
= 0 .06 N. 133,3 . 10 N/m EHg 9,8 . lO' N/m'
r- 30m
DI
~. V ' PHg E19-'1 V . P19-'1 EHg =
especílico es P =133 416 N/m" , 1-
= 13,6 g/om3
especff~
¿Qué áferencla de presión existe entre los ¡wtosMyN? . B líquido del fondo es mercurio cuyo peso
A
p~
=?
Se sabe:
PA = 0,8 g1cm 3 Pe = 0,9 !jI cm3 Pe
= 1334'6N/m'(O,10m)
P = 13341,6 N/nt ApIa.: P = 13341,6 Pa
E~
PROeLEMA 4.
Ladilerenciadepresiones
RESOLUCIÓN :
a) /) = '!' = 42 g2 = 0,7 g/cm'
V
b) /)
6000
_ densidaddelruerpo cll9J8 den6ldaddelagua
ESTÁTlCADEFLUIOOS
326
/)<1.....
es decir:
0,7
2
PESO IR AGUA
PROBLEMA 7,
Una columna de a-ceite de SOcm de altura cuyo p.e. es 8,23 . 10' N/m' ejerce una presión igual a la de una columna de otro IIqooo cuya altura es 2B cm. Calcular el p.e, del liquido.
DESAlOJADA
V , O~" • V ~
~
p = ?
= 2Bcm = O,28m
a
de donde:
p, = 8,23.103 N/m3 Sabiendoque: de donde:
a
h, . p, - h . P
P = tI, . p,
=
Rpla.: a
h
Susti1uyerdo datos:
p =
oe =
pesocoerpo . a O
V. li e .a V. IillllJl . V . Oc = - _ 9
RESOLUCIÓN :
ti, = IiOcm = O,60m
PESO DEL
(Ii~: Oc )-0
=
(1 0,5 . 0,5) . 9
;
a = 9
= 9,8 mls2 Una esfera de 1,2 m' de
PROBLEMA 9.
voJumen Y 20 000 N de peso está suspendida de un dina-m6metro y SLIllerglda en un liquido cuyo p.e. es 6,86 .
O,IiO m . 8,23 . 103 N/m 3
0,28 m
10' NIm' ¿Cuánto marcará el dinamómetro?
Aptac p = 17,63 . 10 3 N/m 3 PROBLEMA 8.
Un objeto cuya densidad es 0,5 glcm' es sumergi· do en agua hasta una proIundidad de 4.5 m y se le suelta ¿Con qué aceleración asciende? El oqeto tiene una masa "m" y LIl volumen V . la densidad del agua es 1 glcm'
T
= 0,5 gl cm'
RESOlUCIÓN :
Oc
v = ?
Ii. = I,Og/cm3
E
p
E
~Fy
h
E = V.d
= 0,7g/cm3' ; =
T
=?
T + E· W = O
Q ;
= W·E
dedonde~
T
donde:
W = 20 000 N
Y' Sabiendo que:
W = 20 000 N
RESOlUCIÓN :
h = 4,5m
(1)
E = Ve ' PIqucIo
E = 1,2 m3
.
6,86. lo' N/m'
E = 8232N
RSICA GENERAL
En (1):
T" 20 000 N-8232N
pPa.:
T" 11768N
La masa de 0,5 btros de leche es516g. El 4%deI votOOlel\ es nata con una densidad relativ.l de 0,865. Calcular la densidad de la leche sin nata.
PROBLEMA 10.
v"
RESOlUCIÓN : grasa ,,4% en volumen
0.5 litros
m: 516 9
consideran sin peso. Sobre el pistón mayor hay un peso de 13 348 N. La diferencia de alturas de los pislones es de 5 m y está lleno con un llqudo cuyo p.e. es 8 232 N/m'. calCularla fuerza necesaJia que debe apt'carse sobre el ént>oIocHco para eqo.ílbrar el sistema. Área de tos émbolos:
RESOlUCIÓN :
A", = 300 cm' = 3.10" m'
AN
= 20cm' = 0,2.10"m'
V de nata" 0,4 . 0,51
FM
Vde nata " 0,2 1ft = 20 cm'
h
= 13348 N ; F = 7 = 5 m : PIo¡uido = 8232 N/m]
15, : 0,866
15 : ?
Masa de la nata " V . do
(1)
/in
Para que haya equilibrio debe cumplirse que:
0= " 15,
pero:
P", = PN
~
..
15.
= 15, 15~
FIA F A lO = A N
Es decir:
sustituyeRIo en (1):
13448N
-
:> . 10-2 m2
Masadelanal. = VI5,I5 . . =
t
F 0,2. 10'
~ • p licJ,odo
2rr1- tSm .
= 20 an3 , 0,865 . 1 g/ cm3 Masa de la nala = 17,39
CálaJIo de la densidad de la leche sin nata:
15: Rpta.:
d
m: 516g-17,39 V 5OOcm3 _ 20 cm]
= 1 039 kglm>
PROBlEMA 11.
En una prensa hidráulica las secciones de los émbolos son 300 cm' Y20 cm'. los pistones se F
13348 N
...,.-N Sm
~~M--L
Efectuando operaciones: Apta.:
F
= 894, 21 N
Un cilindro metálico se sumerge dentro de un recipiente que contiene mercurio y 1l9U8. El cilindro tiene una ahura de 30 cm y de los cuales 16 cm se sumergen en el mercurio, como se muestra en la figura. Calcular el peso es· peciflCXl de la pie2B metálica. r... = 133,28 . 10'N1m' PROBLEMA 12.
RESOlUCIÓN :
h
,,3Ocm = 0,30 m
,,16cm = 0,16m l1l hl1:20 = 14 cm e 0,14 m
h
ESTATlCADEFlUlDOS
328
Recordando que el voI\IT1ef1 de agua desarrollada es igual al volumen del cuerpo sumel!l~ do.
En este caso sólo una parte del cuerpo está Slmergido; esa parte es los 213; por cansíguienleelvolumen de agua desalojada es los 213 del lIo!tmen del ruerpo, así:
V. p Peso del cilindro
=Empuje del Hg .. Empuje
SimpliflCaJido V : P =
delH,O.
Siendo 'Y' el volumen del ciliJidro:
pero:
Ah P = A.hl
P_ = 9,8 . 10 3 Nfm' P = 6.53 . 10 3 Nfm 3
V. P = VHg 'PI
~ P agua
En al segunda figura el cuerpo entra 'entre dos aguas', lo que quiere decir que el peso especifico del cuerpo es igual al del liquido, de acuerdo a lo planteado en la página 458.
srnpIificando A Ysustituyendo los datos:
= 6,53 . lO' N/m'
p_
Rpta:
0.30 m P = 0.16m .133.28 . 10' Nfm' + DedoJide'
+ 0.14 m. 9.8 . 10' Nfm' Rpta.: p = 75.6 . 103 Nfm 3 Una esfera hueca de 10
PROBLeMA 13.
cm de radio ontenor y 12 cm de radio eX'lenor se quiere utirozar para detenronar el peso específiCO de un líquido. En e! agua se sumerge 213 partes de la esfera, y enelliqo..idose hunde Y'1klta' sumergida.Ca~ ruar la densidad del liquido.
Una esfera pequeña de peso especillco29,4 . 10' N/m', se suelta justo en la superficie de una
pisana. Calcular cuánto liempo demorará en llegar allondo que está a Bm. RESOlUCIÓN : PH"O
P
W
r
Cálculo de! peso espacfIlco de la esfora Peso estera = Empuje agua
~ ~ s
1:lIq
= 9.8. lO' Nfm 3
,,,,.. = 29.4 . lO' N/m'
= 100m = O,10m R • 12cm = O.12m
RESOlUCIÓN :
V. p
PROBLEMA 14.
= peso de la eslera
f
f Bm
r
Recordando que: entOl1CeS:
L fy
- .-
= ma
W-E = ma
( I)
RSJCA GENERAL
B
E ~ V... . p~
Pero:
...
E _ peso estera .
-
E:
P
Nólese que este.peso sólo oorresponde allíqúdo.
p.,O
W
3
3 3 ·9,8 ·10 N/m 29,4 . 10 N/m
") Con el cuerpo denIro del liquido. la bao lanza B marcará:
3
a)
W
3"
E:
= 3Q
Diagrama de cuerpo libre del txJque de peso 2Q introducido en el liquido:
Susti1uyendo en (1) :
w
W
: 3" : a
W
9,8m/s2
,a
= 6,53m/s2
Como la esfera parte del reposo:
h:~aI2;>
I=Pa
T
sustituyendo lOS datos: I =
Ppa.:
= '3o
(rrerca el dnam6rretro)
fu ~iliblÍO:
2.8m 6.53m/s2
(1)
I = 1.57 s
PROBLEMA 15. Anles de introducir en el UQI.ido. lXl cuerpo de peso '2Q', mateado pcr el a-mómetro, la balanza
b)
B marca '30' para ellfquldo solo. ¿Cuánto marcarála balanza despuésde i1trodudrel cuerpo 'A' si arora el dnaJ I iánebo man:a 'Da'?
Diagrama de cuerpo libre eo-
E
rrespon-
3.0
diente al sistema balanza 'S' y liquido' A' :
PQr equilibrio:
B'=E+3Q
A
(1)
en (2):
Apta.: B' RESOLUCIÓN : I ) Sin el cuerpo dentro dellfQuido, la balanz.a B marca:
s·
(2)
B' = ; O + 30
= 14 O 3
un cubo de madera de lado ' a' y peso especifico 'Pm' seencuen1Ia f1olandoen agua. enla par-
PROBLEMA 16.
330
ESTATlCA DE FlUIOOS
te interior se le adidona un cubo de fiMO de lado"b° Yde peso específICO r". Hallary =al b pata que el CIbode madeIa se sumerja oom~menle en el agua:
~SOLUCIÓN :
Al adiCIonársele el cubo de fierro al cubo de ma· dera. y al sumerglrseCOfTlllelamente ambos rubos. por equilibrio se tiene: z
~ + EH~
De la figura:
v, . PHg
P.. > Pm
ErorAl
RESOlUCIÓN :
+ V2 . PtI¡O = Pe · Ve
(a 2 _ x) 133,28 . 10 3 a2 + a2 X 9,8.10 3 =
= a3.76.44 .103
133,28 a - 133,28 x + 9,h
56.84 a x = 123,48
Vm P..,a + VFe PH¡O = Vm Pm + V.. PFe a3 PH¡O + b3 P..,o = a3 Pm + b3 PFe a3 (1'1<,0 • Pm) = b3 (PFe - P..,a)1
1
E = [~~y Unl*lquecúbicodeacero de 76,44 x 100Nlm'de peso, nota en merOJriodel33.28x lO' NI"" de densidad. Se vierte agua sobre la supertiCIe del mercuno. Delerminar en funaón de la allUra del bloque. el espesor que debe tener la capa de agua para que cubra juslamenle la caplI supenor del OJbo. PROBLEMA 17.
v,
Rpta.: x = 46% de a Una esferita de mGlaI de densidad 5.. se posa en un r~ienle de altura oH", el OJal conIiEne un liquido de densidad °6,'. Hallar la aceferación de la estera y el bl!f1'1'O que demora en llegar al fondo. Se desprecia la resistencia delliqlido al IllOVImienlo y 6no > 6,.
RESOLUCIÓN:
Cornolaesferasedesplaza hada el fondo del reOpíenle, se cumple:
=
Sea: m masa de la esferila
m.g- E = m. a
. ---c-:-
Por CInemática:
!
1E,
(E= Empuje)
= m.a
v,
Hg
a
En porcentaje (se muniplic
¡w le,
0'6
= .'
PROB LEMA 18.
a3 P", - P!<,o b3 = P..,o - Pm
-
=76,44 a
123,48 x = 56.84 a
WroTAl
E", + EFe = Wm • WF•
H1Q
= We
de donde:
I =
J
2H a
FIS/CA GENERAL
pectivamente. Se sabe que 'o' es la densidad de un líquido en un recipoenle. El C\..
2H
I =
331
PROBLEMA 19, Un cuerpo de dens~ dadl,6g1cm3, se posasua_ t e sobre la Sl.p8rfioe del agua, y se dJservaquelartla en legar al fordo del
RESOLUCIÓN : La aceleración para el cuelpo más pesa-
1)
do es:
a
=
,
9(1 _._ ) o0 + E
a, =g(¡¡: i)
(1)
RESOLUCiÓN : del problema anterior:
11) La aceleración para el cuerpo más 6gero es:
2H
I =
..
Luego, para cada uno de los casos: 2H
lercaso: t
=
(
9 I-
..!. 1,6
a
2= g(O~lJ
(1 )
)
(1) . a, (2)' a2
2d:l caso:
(2)
"
a2
=
Jg.(:~ ~)
EI!Mlndo al ruadrado, simplificando y despejando&
o=
(e)
o+i
De aquf se concluye que la aceleración del cu ... po más pesado es menor que ladel más
Igualando (1) Y (2) :
9(12_Hl~6)
g(¡¡~E) = 9 (o ~ e)
¡; , E
=
(2)
ngero. 111) Supongamos que se crucen en un cierto pt.nto "O'. Y COf1SIderando que arrilos parten del reposo y simultáneamente,
tenemos; 32 93 = t,l 3 29 an en
1
kg Rpta.: O = 1 lOO 3 m PROBLEMA 20, Se tienen dos cuerpos de masas y lIOfúmenes dife,enles, de densidades' ó + e ' y' e ' res-
o-
2
(a)
1 2 e2 = 2 azl
(/3)
e, = 2 a,'
(a) , (JI) ,
8,
82
~
a, a2
(y)
ESTÁTICA DE FlUIDOS
Igualando (e) y (y), tenemos: =
!l'E Ó+E
Fonalmente de esta relación se concluye que el cuerpo de mayor peso recorrerá menor espado. Por lo tanto: RpIa~
e, < .2
P((OBUNAS P((OPUESTOS l.
L\1 cuerpo de densidad de se suelta desde lJ'Ia aHura "ti" con respecto al borde SI.lJI!riorde un reaJl16'1te que rontiene un liqúdo de densidad ÓL' ¿Qué prolundidad alcanza el cuerpo? (~ > óJ
Apta:
h
óe = -- H ól . Se
En.., trozo de cera de densidad 0,9 g/ un' Ypeso 0.49 N, se incrusta un rojeto de plata, de peso 0,078 N Y el conjunto permanece en equill>ño totalmente sumergKlo en agua salada de densidad 1,03 g/un'. Hallar la densidad de la plata
2.
Apta: ¡¡ = 10,6 9
cm3
3. Una esfera metálica, de radio 5 cm está e""alrada en un trozo do vrcIno de densidad 2,5 glun'. El conjunto pesa 52 N, Yse coloca fIolardo en un baño de mercuno de denSldad 13,6 g/cm', Y queda sumergida los 215 de su volumen. Hallar la densidad del metal. Rp1a: ¡¡ = 9,27 glcm3
En un rea~nte de forma cillndrica y de un área transversal'gual a S, se deposita un poco de agua en el cual Ilota un pedazo de tieIc con una bofita de plomo en su interior. El vo!lITlen del pedazo de hielo junto con la bolita es igual a V; sobre el nivel sobresale 1120 de dicho volumen. ¿Qué anura desciende el nivel del agua en el recipiente, lJ'I8 vez que hielo se haya derretido? Las densidades del agua, del hielo Ydel ploroo se consideran conoodas.
5. Unfloladorciindr'códelJ'lcarburadOfliene 1 cm de diámetro y 4 cm de altura. CalclAar su peso. sabiendo que necesita un peso suplementario de 0,02 N para quedar sumergido las 3/4 partes de su aHura, en ga· solina de D,n g/cm' de densidad. Rpta:
h =0,05
(~)
o:
0.851 N
Una esfera metálica de peso específICO p o: 4 900 N/m' se suelta en la supeñlCie de un reci>ien!equecontieneagua ¿Cuárto tar-
6.
da la esfera en legar al b"do, si la altura d
t
o:
2s
Un alindro de corcho. cuya densidad es cuya longitud es 1,4 m y de secx:i6n S: 1 dm', está lastrado en uno de sus extremos pauna masa de metal ~8 pesa 7 800 N Y cuyo volumen es 1 dm'. Se deja hbre a la profundidad h = 100m y se desea saber: al El tiempo que mvertirá en asoender hasta la superficie del lago. bl La .1ongitud'" del ciijndroque emerge al quedar en equilibrio.
7.
Óo: 0,3 g/cm',
4.
RpIa.:
w
Se deS!J<'l!'Ía la resistercia del agua en
rnovimento a) I : 2,ge s b) x : 4,2an
Apta.:
8.
al
Se t,me 1 t ,5 m' de alum,nio que peSa 39,7 N. Calcular:
La densidad. El pesoespecHico. eJ La densidad relativa. Apta.: a) 2.7 • 10 3 kglm3
b)
b) 26-467Nlm 3 ; e) 2,7
FISICA Gf'Nf'FIAL
9.
¿Cuál es la presión sdlre el fondo de una vasija de 76 an de altura llena de mercu-
cuerpo anerge?
oo?
(o... ~ 13,6 glcm') Rpta.:
~:
10,13 N/ crif
10. ¿Cuál es la lenslÓn de un cable que soporta un casco submarino, si el casco pesa 29 400 N. llene un vdumen de aoo dm" y está a una prof\Kldidad de 500 m? La densidad de agua de mar es apmximadamenle 1,02
glcm'. Ppta: 21 204 N
11. Hallar el periodo de oscilaciones libres de un barco. estando el agua en calma, si et peso del barco es ' p' toneladas fuerza. S área de su seodón horizontal es ' S' m' y no depende de la altura de la seodón; el peso de 1 ni' de agua es 1 lonelada fuerza Las fuerzas condicionadas por la vlscosidlad del aguasedespreaan.
ApIa.: T
~2
14. En un lago lIola un témpano de hielo. ¿Qué porcentaje del volumen de dicho
10%
, 5. Calcular ellio que tarda una esterilla (~~ 800 kglm') pam llegar a la superfi. cie. si fue soltada en el fondo de un pozo de agua de 20m de profundidad.
Rp1a.: I
~
4s
16. Una esfera de 2 kg de masa cuyo volumen es 5 .10· m' se encuenlm atacla, tal como se muestm se la figura. dentro del agua..Calcutar la tensí6n en las cuerdas.
"J ~
S.g
12. ¿A qué prolundidad dentro de un lago se encuentra wnergtdo un buzoque soporta una presión de 3,5 alm? ~
Apta.: 25m
Rpta.: T
13. Un cuerpo cilíndrico compaclo y homogéreo Hcla sumergido parcialmenle en un liqUIdo cuya der1Sldad es990kglm'. Elvolumen sumergido es el 70% de su volumen total. Calct.lar la denSIdad del cilindro.
17. En el fondo de un recipiente de agua se encuentra una boIila de lecnopor, se la suelta YIloga a la supertlCie dol agua con una rapidez de 12 rrVs y en 2 s. Calcular la densi· dad de la bolita
R¡ja.:
~ ~ 643 kglm'
Rpa:
30 N
625 kglm'
NEUMOI..OGIA
334
CAPíTULO 12
NEUMOLOGÍA DEFINICiÓN Es el estudio del estado gaseoso. Para COIT'jlrender el comportamiento de lOs gases es precloo compararlo oon los estados sólido Yliquido.
tatlClas", están muy 'alejadas' unas de otras, no conservando ningún orden en su desplazamiento. sus movimentos son redilineos y elásticos (no varia su velocidad mientras no varia la temperatura)
En el estado sóUdo:
Las moIécuIases1án VIbrandoaltede
,L /
En el estado liquido: las moiéclAas están vibrando a1rededorde Ln pulto y desplazándose, haciendo un rodamiento 'casi tangenaal', es decir manteniéndose a lI\a distancia constan1e entre alas aÜt1 cuando no conservan nD1gÜt1 orden en su movmenlo
EXPERIENCIA DE TORRICEUI Llenando completamente un tubo, de aproximadamente t m de longitud, con mercurio. tapando la boca lo voiteó y sumergió dentro de una cubeta con men:uño. retiró la lapa y notó que el nivel del mercuño bajó un poco pero se detuvo.
Habla que explicarse porqué no cont~ nUÓ cayendo el me!CUrio del libo, habia una fuerza que lo Impedía, esa fuerza es la preSIOn almosfér.ca que saporta la superficie de mercurio en la ctJbela, razón que ltT1pIde que el mercuno del tubo Siga balando. A niVel del mar la ahura del merwrio que queda en el tubo, con respecto al nivel del nercutlo del reciplCllte es siOOlpte aproximadamente 0,76 m.
En el estado gaseoso: Las moIécul,~ están II1btadoalredOOorde un punto y ademasdesplazándose"grandes di&-
La presión que hace esta columna está equtlibra1a por la preSIón que hace la atmósfera sobre la superlicM! Ibre del mercuno, por
FISlCA GENERAL
eso se d... que la presión atmosféncaa nivel del mar es 0 ,76 m Hg, se le Dama " 1 ATMÓSFERA" de presión y sirve como unidad para medir la presión neumábca. Por olro lado como: P h . li
1,
=
Aun
1 "'
I I
:J
I O,76mó ' ....m
-1
Eslralósfera 80 km 15 km
Tr
Presión Relallva O Manométrica ' Pm' :
Es la dile,anaa de preSIón entre la presión de un sistema cerrado y la presión del medio arrtJiente.
.
'-r- ()
ctt: () :)
J ( b (() , ) 1... L (,,1 ( (1
t ) gBS
(
Pm
(
()(J() l í e, r.r C,,>e
A
B
l\
Para el caso explicado:
\..Hg Presión en A = Presión en B
P = 0,76 m • 133,28 • 103
P = 101 300 NIm2 = 101300 Pa
.
~
P = 1033,6g/cm 2
\1
(J"-lr) '''~'' (o )
~()(l'\r)
Oueredoorque " ArMÓSFEAA" de presión equMlle a la tuerza ejerCIda por 1 033,6 9 sctJre cada ~.
'- <..) (1 ( ( l l), gas"l ( ( ,
)\.. {) . -. ':r
<) () '" c) (J 1..(.. L~, t
Pb. Pm
B
T h
-~
j
OTRAS EQUIVAlENCIAS: 1 aIm= 7601Tl11 Hg=O,76m Hg , aIm=101300Pa= 10,33mH20
=
-+
, atrn 29.9 puIg Hg= 14,7 iblp~2
CLASES DE PRESiÓN GASEOSA
Pregón 00 A ,.. Pre&a1on 8
La diferenCIa de presiones dentro del por la dW erenaa de altura '" del nIVel de un liquido coolenidoen el lubo en ' U' (manómelro) instalado allanque. Ellrquido puede ser (ylo es cen frecuenCia) merruno, en razón de su alto peso especiliro.
.----...., Ipm =h· pl
Presión AtmOSlérlca o Barométrica "Pb" :
Es la preSIón que ejElI'C6la atmóslera en toda la superficie terrestrll. La mayor presión la sq>Orta la Sl.perfiae del mar, su valor se loma como unodad para medir la preSIón y se llama "UNA ArMÓSFEAA DE PRESIÓN".
Presión Ab$oIuta OPa" : Es la presión total que soporta el gas encerrado en un recipiente:
Las capas en que se divide la atmósfera
Exósfera Mes6s1era ICI1ÓSfera
PROBLEMA
CaIco.Aar el desnivel en las ramas de .... manómelro
NEUMOLOGIA
abierto, de mercurio. cuando la presión (preSlón absoluta) del gas es '56 eoo Pa.
Que es la Ley General de los Gases
Pa = Pb + Pm
RES
de donde;
Pm = Pa - Pb
pero:
Pm=h , r
o o o o o o o o o o ~ o
h,p = Pa - Pb h = h =
o o o o o o
o
o o o " o o o 0 0° o o o o o o o 0 0
.x
Pa - Pb
P 156 800 Pa ' 101 Pa
A IGUAL TEMPERAnJRA
133,28 10' h
UN VOLUMEN
MENOS VOlUMEN
= 0,42 LEY DE BOYLE Y MARIOTTE
LEY GENERAL DE LOS GASES
Se ha comprobado experimentalmente que d volumen de un gas aumenta oon la temperatura, pero dlsrrnnuye cuando aumenta la presIÓn, es deo, el YOIumen es dlredamente popoocooal B la lemperatura absoluta, pero onversamenIe proporoonaJ a la preSIón abso-
lula Esdear
• A UFIa temperatura constante, el volu-
men de un gas es inversamente proporclonal a su presl6n .solut.·,
P = K
Si.
P" V , = p. V 2
=>
(1)
v
(2) p
o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o
LEY DE CHARLES
o
0°80 ° 0
o o o °0 o o °0
o
·A presión constante, el voll-fllen de un gas
es directamente proporcooal a su temperaturaasolUla·, Si:
.... PRESIÓN
MAS PRESIÓN
.... _nn
"n.w. TfltIf'ERI\l\J\\
lNYWJ.EH
I.EN)S lI(ll.UJI
De (1) Y (2)' V = K,Kz
~
[B
ósea :
P=K
v
/
p
337
FIS/GA GalffiAL
LEY DE GAY LUSSAC
•A voUrnm constante, la presIÓn ab-soIuta de 1I1g3S es directarnmtepropolcmal a su temperatura absduta"
V= K
Si:
la olra rama es cerrada y ccnloene gas Que ClJIl'4lIirá la Ley de 80yIe (a lerrperalUra ronstante). Cuando Iapreso6ndel gas eneltanqJe es mayor, el rivel del Hg en la olra rama cerrada stbe Y prestOna el gas. Cuando el VOlumen del gas en el tanque se reduce, por etempIO a la rmad, SlJ presoón será doble, cuar>:lo se reduce a la len::era parte, su presIÓn será t"pIe, etc. la preslón en el tanque será la de la rama cerrada más la dilefenaa de abura de los ..veles de Hg:
p
Pm + h
Pa "
Pb
P _
T
Para mayor ulfonnaci6n consultar: QUfMICA GENERAl, de Juan Goni GaJar2ll, capitulo de
--
GASEs. TIPOS DE MANÓMETROS
lDs maráneIros son aparatos que SIrven pa¡a medir la presoón rranométnca o relallva de un
gas cerTlIdo en un reapH!nle. Manómetro Abierto :
AESQUCtÓN :
Es un tubo en U, que conliene mercurio, una rama eslá coneclada al tanque que contiene gas y la otra con la atmósfera, las dos ramas es1án grawadas. Cuando la presión del gas es igual a ladelaalmósfera, el rweldel Hg en los dos brazos del tubo es igual. Cuando la presión en ellanque es mayor, el nivel del Hg en contacto con la almósfera sube. Cuando la presión en el tanque es menor, el nivel del ~ ro cortado con la atrnósfera baja la áferen. ca de altura de los nveIes de ~ por el peso específDl, mde la di1erenaa de pregcroes:
Ipa.Pb~
la presión del gas de 1I1 tanque es 900 mm Hg. ¿Cuál será la diferenoa de nivel de las ramas del manómetro?
PROBLEMA.
h
pi
Manómetro Cerrado: Es un tubo en U, que contienemercuño, una rarra conectadaal tanque que contiene a gas,
de donde:
Pa " Pb + Pm
Pm=Pa+Pb h. P ~ Pa· Pb h ~
Pa · Pb p
h " 900 mm Ilg • 760 mm Hg - 133.28- . 'OJ -N /ma h " __I.:..;40~mm::.:.;,:Hg,--= 133280
x
103 N/m"
pero: t40 lMlHg ~ 140mmHg 760mmHg
x
• 101 300 N/m]
NEUMOLOGiA
338
140 nvn Hg = t8 660 N/m 2
h
't8 660 Nlm2 = 13úao N/ m3
h
Apta:
efectuando:
PINque
= 2alm + O,19.1m
= 0,1 4 m
PROBLEMA. Un man6metm cetrado tiene unasecci6ndelcni'. Cuando la presión es de I.f\a atmósfera et voILmeI1 de aire en la rama cerrada es de 30 cm'. Calcular la presión del gas cuando en la rama cerrada sube 15 cm el nivel del Hg.
11
l 3)cm
:J RESOLUCIóN : En el tubo cerrado el gas tenfa una altura de :JJ cm porque su \
2 P = 2alm + 19992N/m "'101300 (N /m2 )/ alm
=
281m + h.p
=
2alm+O.15 x 133280N/m3
1 15cm j :~:
p .......
= 2.19atm
Manómetros Metálicos: Son manómetros Que medlllflte un sistema de engranales.lTlJelles y dia·fragmas. tienen una aguja que se mueve para marcar la presión en un dlSCC IJ3duado; generalmente marcan la p'esiál en 1ib'pUg', son Simllaresa un relci. VARIACIONES DEL PESO ESPECíRCO .,. DE LOS GASES El P varía con la p
~' I
'BhooiJreserágrande. wantomásgrande sea su amor por sus semejantes'
J. Goñi Galarza
339
FiSJCA GENERAL
CAPíTULO 13
CALOR
En este capitulo examlnarerros lenómenos reladonados con el calor y la temperatura, tales como los electos que produce el calor en los cuerpos, la propagaCIón y las propiedades térrocas de algunas sustancias.
la energía cinética de las partlculas referidas a un sistema físico. Por Ejemplo. si el Sistema fíSICO es un ~ecor.tEll"Aendo líqlJido, entonces el sOstema de relerencia está ligado a las paredes del r,q,iente.
O
ENERGiA INTERNA (U)
En un sis1ema llsico, sedenomna EnergIa Inlema a las energías potenc.ales debido a la intetaCCl6n entre las partículas mismas y
~o
•
Pero medir experiment¡llmente esla energía es muy dtficü, la misma larea de calcularla teóricamente es i""",silIe, dado que el movimiento caótico de las moléculas, sus ""lores de velocidad cambian con el tiempo y lo ffilSmo Sus energías potendales. Par ello es necesario buscar otros parárretros que nos indiquen rorectamente la situadón energética del sistema físico. Es así que se recurre a la medida de temperatura
TERMOMETRÍA TEMPERATUflA Es un parámetro macrosc6p4co del SIStema IIslco que nos informa la sttuaci6n energética del conjunto de moléculas ylo átomos
que lorman parte del sistema flsleo. En otros términos sólo es posilIe hablar de ter11J9<"lura ClJando estudiamos un conjunto o una 00lección de partículas. de allí que se dice tam-
CALOR
340
bién que es un concepto estadístico. Concretamente: te~tura es la medida del Hujo
delcaJor.
rato hasta que se fije flr1'ocl\II el rival del mercuno. marcando a este Pl"0 con el nlrnero O.
la cualidad prircipal de la temperatura es que está ligada a la energía Interna, se dice que "la temperatura es función creci ente de la energla Interna'. Esto significa que cuando la temperatura de un cuerpo aumenta SU energía intema también aumenta o viceversa. cuando su energfa interna aumenta, su ter\l)eratura también.
Utilizándola temperatura de los a..males se encoraró un promedio, al rual se le asignó el nUmero l OO; de! Oal 100 se civide en l OO partes y se prosogue hada arriba y hada abajo con las mismas magnitudes de d'oviSlÓn, af1o. lB. este termómetro. asl graduado introduciendo en el hielo machacado marca la ~sión 32 e Introduciendo en el agua en ebulliaón marca la dIvisión número 212_Cada parte se llama grado Farenheil y Su símbolo es 0F.
CONSTRUCCtÓN DE UN TERMÓMETRO DE MERCURIO
ESCALAS KElV1N Y RANKINE
Se utiliza un lubo muy delgado (capilar) cerrado por un extremo y abierto por el otro. Se calIenta la parte cermóa y luego iMOeÓialamente la parte abierta se sumerge en una aiJeta con mercuno el cual ingresa al tubo capolar al enlnarse este, luego con pequeños goIpecitos se logra que e! mercurio baje hasta e! tondo, se repite las veces que sea necesano para llenare! dep6$~odel tubo ene! extramo cerrado. Luego se CIerra la parte abierta funóiéndola con fueQO-
Se construyen sobre la base de las dos anteriores. A la temperalura -273 'C ó -460 'F, que es lo mismo, es la temperatura en la cual no hay fluJO de calor, es decir que un cuerpo ha perdido absolutarnenle SU calor, tanto en la escala KeIvon como en la Rankíne se marca con O (es e! cero absoluto); luego la rnsma división que para la escala Centlgrada se usa para la escala KeMn, oorno la escala FarenheiI para la escala Ranki'lEt
ESCALA CELCIUS O CENTÍGRADA
Para graduare! termómetro en blanco, se Introduce, un buen rato, en hielo machacado, hasta que el nivel del mercurio pare y no se desplace; este Jllf1to se marca con cero; luego se introduce en agua en ebullición, a nivel del mar, y se mantiene un buen ralo así. hasta que el nivel del mercurio no se desplace a este pl6\to y se marca con 100; e!trecllo entre Oy 100 se divióe en 100 partes iguales y cada parte se llama grado Celslus o centígrado, y su simbolo es oC.
313 r
212
100
672
ebUllición
de'sgua
273
O
3'i
492
O
460
460
O
_ g¡ngelac1On del agua
O
273
cero
abSoIuoo
'K
'C
'F
'R
ESCALA FAREN HEIT
Para graóuar al termómetro en blanco se hace lo siguiente: al hielo machacado se le añade una sal arooniacal, con lo que se consigue bajar la terrperatura de esta mezeta, se mantoene suroorgido en esta mezcla un buen
RELACIÓN ENTRE ' 1<, ' C, ' F, y °R
Sea una terrperatura cualquiera, que en cada uno de los term6me1ros indica su valor . con una letra que corresponde a la letra inicial de su nombre.
F(SICA GENERAL
R
f(
100
373
lI
B
21
e
F
R
m
o
32
492
C60 460
R - 492
5 = - 9-
e
·273
De la igualdad (1):
RESOLUCIÓN :
492
K
o
341
e
Sebene:
Apta.:
5 = ¡¡(A-492)
5
e
= 9 (300 . 492)
106,67 C'
s
o PROBlEMA 3. LatE!fT1)el"31Urade e-b.AIici6n de !Xl metales5000'F ¿QJálserá el vaneo K?
Igualando para todos los casos la re la-
ción: !
b
; se tiene;
K-273
-¡¡j¡)
AE50.UCIÓN : De la 19.J3ldad (1): K-273
e
= 100 =
- 5-
F·32 R-492 180 = 180
5 K = 9(F-32)+273
S.,.-poticando:
I
K-:73
=
K =
~ = ~ = !!:P I
PROBLEMA 1.
Transformar·26'Ca ' R
RE5a.UClOO .
De la igualdad:
e
PROBLEMA 4.
Se transforma °F a 'C o \Iiceveosa para ~rar. Por ejemplo transformando ' F a ' C.
De la igualdad ( 1):
e
F· 32
5=-9-
e = 9~ (F-32) = 9~ (-42 -32)
5
59 (·26) .. 492
C =-41, I I'C
R = 445,2 ' A PROBLEMA 2.
¿Cuál temperatura es mayor -42 'C Ó -42 ' F?
RESOLUCIOO :
R = ~C+492 R =
(5000 - 32) +273
R·492
5= - 9Sebe,..,:
~
K = 3033 K
Apta.: SegJn el problema que se presente, par.! msolver, se lonnara og..oatdadcon dos mienilros con lo que es dato y con lo que es ino5gnita.
F-32
= - 9-
Pero como:
CalaJarel~rtede
300 ' A a ' C.
Luego:
-41,1 1 'C:> -42 ' C
-42 °F es mayor que · 42"C
DILATACIÓN TÉRMICA Ese! aumento que expenmenta un ruerpo en sus dimensiones por acción del calor.
Paraanahzaresle tenómeoo lérmocollamos a esbozar el siguiente modelo moleoJar de una
CALOR
342 varilla molecular.
ratora aumenta, pues esto origina a su vez alejamiento entre sus moléculas componentes. \leamos una misma varilla con te~ra tura ba¡a yoontemperatura elevada. Al Inicio: con temperatura baja
va"'1a meláltca
Donde cada esferita representa a una moIéaJIa y el resorte a la lerma como van a Interactuar las moléculas (se sabe que las moléculas oscilan en tomo a posiciones de equolibrio).
¿Qué ocurre con la energla cinética de las moléculas si calen1amos uniformemente a la varilla?
A esta vanlla se le suministra "Q', en calorias aumenta su temperatura y se dilata r.J IlnaI:
()
/>J recibircalorlas moléculas van a vibrar
con mayor intensidad, es decir van a tooer mayor energra cinétICa, lo cuaJo a su vez. impflCillá un aumento de Ia!empera tura del sistema ITlOIe<:Uar (varilla).
0a1de: Q
Es el calor transmitido a ta varilla
Como aumentó la vibración mollH:lllar,
di Separación entre rooIéculas al il'liciod: Separaaón entre moléculas luego de suministrar calor a la varilla \,: Temperalln lriaal de la varilla. t,: Temperatura !Inal, las moléculas de la
entonces las moléculas se separan más y al
vanlla aumentan su energía interna por
¿Qué ocurre con la energía potoocial interrooIerular al calentar urolormemente la varilla?
separarse más dismirouyen la onteracciéin entre ellas y por oonsiguienle aum anta la energía potenciallntermolecular en todo el sistema (varilla). En el modelotomadooomo re!erero., 01 01"",1SO las moléculas, aumente la deformación del 'resorte' y por consiguiente aumenta la energía potencial. ¿Qué implica que la energia potencial interrooIerular aumerte? Implica un alejamiento molecular, lo cual vaa generar un ¡¡]argamiento de la varilla, fe.. nómeno al cual denominaremos dil8tación
térmica ¿Ouées dilatación térmica?
electo del calo<.
Según la forma priropal de los cuerpos lisicos, al recdJlr calo<, éstos pueden expe<~ mentar: Dilalaci6nlineal'!.l' Dilatación superflCiaf 'liS' Dilataciéin lIolumétnca '6V" ¿Cómo hallar la dilatación linea! l1L de une varilla metálica? Consideremos una varilla "L": T 'C Al lrOCIo Lo
Al nnal
L,
Es el aumento de dimensiooos que expe! ;11131 fa un cuerpo frsico cuando su !empe-
TI> T o
~
+Q
L&l] T, · C
FiSlCA GENERAL
/>J darle calor "O" a la varilla de longitud "lo' ésta aumenta hasta "1," y su terrperatura también, desde 1,en ' C" hasta len ' C',
343
Experimentalmente, para calcular el aumento de Sl.lpet1icie o diataaón supeñlCial se ha delern'inado la fórrruJa:
l as=~ , so, atl
Experimentalmente se ha deduado la si-
gt.iente fórmoo para calctlar la dilatación ftneaI
Donde:
tJS : Es la variaaón de la superttda 6S = SI - SO Dorde: &:
Es la vañaáón de longitud, es decir: t.L
ex:
= LI
cial de la lámina y depende de sus propiedades térmicas. 13 en : 1rC; 111<,
,Lo en metros "m"
Es el coeficiente de dilatación lineal propioda cada material. a en: 1rC; l/K.
at
13 : Es el coefICIente de dilatación superfi-
= 1, - to: lnc:rementodetemperatura, en
at
ti - t o: In cremento de temperalu ra, en 10C.
=
~C".
OBSERVACIóN :
•
El wlor del coeflClOOte da dilataaón lineal'a' nos eoq¡resa la vanación en la unidad de loogrtud que expenmenta una barra cuando su lerJ1l6flIlura cambia en 1 · C. la dilatación depeI ida da la vanaClón de la temperatura, de la Iongttud Yde la cabdad (propoedades) de! material, cada matorial tiene su propio cceficientede dilataaón cuyos valores por unidad de longitud se deleminaron en forma e)(!l9ri-
mertaf,
OBSERVACfÓN : El valor del coefICiente de dilatación superficial '!l' nos expresa, la variación en la unidad de ~1Cie que expertmenta una lámina cuandosu temperatura aumenta en 1 ' C. Si el material es isotróplCo (es deor que presenta iguaJes propiedades lérmicas en todas sus cllrecciones) entonces se considera:
(Dilatación en dos direcciones)
¿Cómo se determina la dilatación superficial t.S de un plBca metálica? Cmsidefemos una lámina: Allnldo
~z S.
Al Onal ~ 'C
,...--- ...
, I
'I
'
l _ _ _1
L _ _ _-lS,
¿Cómo determinamO$Ia dilatación volumétrica t.V de un cuerpo "&ico sólido? Cmsideremos una esfera rorrpac.ta, hamogénea e isotr6ptca, Al final
~
\I.'C
Y
AI~
/>J darle calor 'O' a la lámina la supeñcie 'S; aurnerm hasta 'S,'y su temperatura tanbén, desde \ en ' C" hasta '~ en ' C',
z ~.Q~---
I
Vo
•
y
AV
CALOR
• E1ca1orentregsdoprOOUcel.iodetemperatura 61; lo wallella consogo l.
I
6 V : y Vo ' 6 t
I
Ocrde:
ca propto de cada cuerpo, el cual depende de las propoedades térmicas del cuerpo. 9 en: 11'C; 1/K. 2
t, ' lo: Eselincrementodetempera-
m
(2)
V,
OMdiendo (2).,. (1) : Sesabe~:
6v' Es el carrbio ~experimenta ehamen. 6V =V,-V,. y. Es el coeficiente de ddatadén \tOlumétri-
Al
Ii, •
~ Ii.
= V, Vo
(3)
AV = y , Vo 61
V, - VD (1 + y .1\ t)
luego:
En (3) :
tum. cesEAVAClÓN : El ""Ior del coelicierte de dílataaón I/OI0000trica nos eJ(!)resa la vertaClÓn, pot untdad de volumen, ~ expenmenta un cuerpo cuando su tem-
peratura cambia en 1' C. Si el material es isotrtpoco (iguales propiedades lérmteaS en todas sus dlrecctones) ent!J1OOSse rumpk..
I
y
= 3 o:
I
¿Guardo un sólido se dilata qué ocurre ron su densidad? ISi un sólido se dilala SU densidad carr/:>ia!
Ala IerTlpenIlln micial \ ' defintmos una denstdad tnidal:
Cuando se le entrega calor, hasta la temperatura ,,", su densidad sero!:
liD
1- (1 +y.6 1)
Esla ecuación nos expresa que al aumenlar la temperatura 1\ T la densldlad del cuerpo dISminuye. COEACtENTES DE
DILATACiÓN UNEAL "8"
dilalaClÓll en tres
direcciones
Ii -
De donde:
DE ALGUNOS METALES
Aluminio
Plomo
24 .1cr"I'C 63.1O"I'C 17. lcr"rc 12.1 cr"I'C 9.10""I'C 3O.10""I'C
Metcurio
6O.10""rc
Cinc
Cobre Hiero Pta~no
NOTA:
AprO>
PROBLEMAS RESUELTOS A3O'Clalongttudooooa barra de anc es de 80 cm ¿Cuál será la Iongrtud de la barra a 130 oC?
PROBLEMA 1.
Para a = 63,10" ,oC RESOLUCiÓN .
ti = 30'C
FlSlCA GéNERAL
345
• L, =?
L; =SOan
ót = _
t, = 130 ' C Se sabe que:
L, = Li (1 + Q
L, = SO cm (1 + 63 • 10-6
.
x
11. t) lOO)
L, = 8Oan(1 + 63 x lo-') = 80 cm
• 504 • 10.3 cm
= SO cm
t
0,504 cm
L, = 80.504 cm
A 30 ' C el peso específ. 00 del cobre es 83,38 • , O' NIm' ¿Cuál será a 80 ' C? CoefICiente de dilataáón lineal delcobre 17.'0· ,rC.PROBLEMA 2.
6t = · t8.18 · C Temperatura final: t, 2O ' C - 18,18 ' C
=
Rpta: t r = 1.82 · C PROBLEMA 4,
0.=24 . to-6¡OC. Calcular;
al b)
Aumentodal volumen. Variación de su peso especiTIC:O.
~ ~ IO'C
RESOlUCIÓN :
P, = ?
P, = 83.38 . 103 Nfm3
a)
V = Ah = nr' h
IJ = n (10 cm)' • 50 cm
t, = 8O'C
IJ = 15 707,693 cm3
(Ióm'llla) AhoIa:
83:!:.3=. 8 1:.:0:,.'--:-:'0 Pr : -:-~--::= 83,38 . la' PI = 1 + 4080 . 10"
f'¡lIa..
=
63,38 . la' 1,004 060
61J = a . V . ót
ólJ= 3a _V . AI = 3 . 24 . x 10-6rc x 15 707,963an3 • lOO oC
1+(3 . 17 . 10-6 . 80)
P,
Rpta.: A V = 113,0973 cm 3 b)
Por lórmula se ccnoce el peso especifico al final (r,):
83,05 . IIl' N/m'
PROOLEMA 3.
A3O'C lalongituddet.na balTa de acero es 10m. CalcLiar la lemperatura a la cual la barra ter>drá .....a 100gitlXlde 9.996 m. ElcoeficienIede dllataciOn lineal del acero es 11 x IO
Sabiendo que: ól=Q . L . ót , dedonde
11. I =
L = (9,998 m - 10,00 m) aL 11 . 10-6/DC . lOrn
Ó
Un ciindro sólido, de alu-
minio, de 10 cm de radio de la base y 50 cm de a~ura se calienle de o ·c a 100 · C_ Si para el aluminio
RESOlUCIÓN :
P, = t +~ . id
0,002 m
11 (10-61"C) . 10m
P, Por otro lade;
P = 1+ yól
(1)
6 P = P - P,
Sustituyenclovalorde (1): ~P
= p - I.yP. ~t
~P
= 1 +y . <'d
p.y.AI
Sustituyendo valores datos y tomando y del allXlllnio dal cuadrado:
CALOR
3
26,46 x 10
N iif
x
3
•
1 + 3 x 24 x 10'" x x
24
o~
)(
Dos platinas t.na de latón. y otra de hierro. estén soldadas en sus extremos y separadas 2 mm t.na de ára. S, se aunerta la tllll'4"""tura de 1o OC a 200 ' C. caIrutar el radio del aoco que se fonna como consecuencia delcalenlamiento.
Sobre una cierta pOrejón de mercurio flota uncilindro de fierro en posición vertical. A O 'C el cirndro está sumergodoO,573 de su altuoa . Si la tempe'lltura se eleva a 200 OC, ¿en cuanto se sumerge el cilindro?
aF. " O,ooo012¡OC
0.0000121"C
aHg "
LaIDn
I:S::;::;;;;;;;;:;;:;;;;;;;:;;;;;;;:;;;;;;;::::;¡I T
2 mm
0.000 180¡OC
h, "0573 h
.l-
c'
1,000361 . , 1.000228
PROBLEMA 6.
~"
R
R = 15,05m
PROBLEMA 5.
t:. 1. a I'iem>
R = 15048,908 mm 6
Apta.:
~ p " 189,14 N/m3
Rpta;
1•
1 + 190 • 0,000019 1 + 190 • 0,000012
2 1+R •
100 ce
100,5 N I,0072m 3
t:. P ;
1 .t:.1.
Simplifocando y sustituyendo datos:
x 10"' · C x l00 · C )(
R 2 - +R R
Osea:
•.
RESOlUCIÓN :
-----
Hierro
---
--------
r - ---- ~- :---
\
h
R \
1
\
~
RESOLUCIÓN :
i - -
h, ~
hieoro por tener mayor coeflCienle de cfolata-
Llamando:
se arquea como muestra la figura
A: h:
Engeometria. los aoros son proporcionales a sus oadlOS
R.2
___
-
-
--
-
Como al calentarse, el latón se dilata más que el
ción. rcsU\a "'" el por de pl.tinas pooa!elas
-R "
': -
~
L (1 • II 1.
Sección del ahndro
AItLra Peso específico del fieoro h,: La porte de la altura sumergida aO °C P,: Peso especifico del rnercuno a OoC h ' la parte de la al1ura sumergida a 2OO ' C Peso especifICO de! mercurio a 2OO ' C
ó:
pi
FISICA GENERAL EmpuJe = peso voIurren de Hg desalojado.
Recordando que;
OoC ;
E = A, .h,.p,
(1)
A 200 oC ;
E = A, .h:z .p,
(2)
A
CQmoel peso del cilindro defieno escons1ante, ruaJquera que sea la t~ el 00lJUl9 del ~Ido SlBIfllI8Iiene el mism:> valor.
347
Sea:
RESOLUCIÓN :
L Longitudtnicial
L, Longitud final L, = L(t • a . 6 t) L¡ = L .. loa . L1t
luego:
L, - L
=
L.(1. LI t
(1 )
1
Pero:
L,.L=5OO
Igualando (1) Y (2) ;
A, .h"p, = A, .h, .p,
(A)
Para 200 oC ;
de donde:
A, = A¡(1 .. 20: . t.l)
y:
_ p, -
(3) L11= _ '
p, 1 .. 3a . L1 t
f'
A, (1 .. 2a LI tI h:z 1 • a , LI t =
= A,.h:z .p, Si1TJlllfocando;
1,. 2a LI t _ h t. 3a LI 1 - ,
h.
'~
5(1). a
(4)
Sustituyendo (3) Y (4) en (A) :
de donde:
1 5OO=a . L1t
Luego, en (1) :
h:z = h,(l .. 3a . LI t) (1.2a,L1t)
Sustituyendo datos:
Rpta:
=
LI 1 = 100.26·C
Sea una baria de latón de Jongtud B Ycoeficiente de diataOOn LEsta barra se quera usar como dagonaI de 00 cuadrado de lado "C" OJ)/Orod"..... >1ededilataciMes "a",latemperatura r'icialesO 'C. ¿A quétemperatura deben elevarse? PROBLEMA 8.
RESOLUCIÓN:
Por geometría, la 10ngltud de la diagonal del cuadradocuanda se ha llegado a la temperatura pedidaes:
(tI
h _ 0,573 • h (1 .. 3 x 0,000 18 • 2(0) 2 (1 .2 • 0.000 18-;;-~
,, ,
h:z = 0,591 h
Luego. eI'*'áo de tlerro se sumerge 00 poco más, una altura dada por la diferencia:
T
h, • h, = 0,591 h - 0,573 h
e
Apta.: se 5lImerge 0,018 h más.
PROSLEMA 7,
pero:
,~
-------
B I
t I
t I
1
Una baria de latón de lar
gitud "L" se estira lJ500 con el calor que se lesuninistra Si su coeficien. te de ~tacIón tineal es 0,000 019 re, calcular la leO , "'" att.ta que se I\a increrrmtada.
1
500.0,000 0191· C
t t
B, = B (1 .. A. L\ tI
'>
,r
,,
348
CALOR
C I = C(1 + a . 6')
aHg
SUStituyendo estos valores en (1):
B(' +J...6')=C(1 B. B. A Al
HJ•.
= 60.10-6 ¡Oe
Por Arqufmedes, a OoC
6'),f2
=C,f2 + C.a
Vat.rnen
Peso especifICO de! men:urio
E"l'40 = del cuerpo'
AI,/2
C. a 61,f2 - B. J.. . 61 = B - C,f2 Oedorde: ~
61
B· e '2 = C. a,/2 v· - B. J..
PROBLEMA 9.
Elpesoespecilicodelhierro a la lemperatura de 10
_
VI
Por Arqulmedes, a 60 ' C: Eo = Vo P 2Hg
RESOlUC1ÓN :
Pi = 76,93 .10' N/m' 1, = 10 · e ;
de donde:
;
PI =
?
E
Vo = - o P2Hg
I , = 120 °C V2
~
a = 12 . 10" I"C
0.971 N
(2)
P 2Hg
P,
PI=I.3a . 61
PI ::
(1)
PIHg
OC es 76,93 x 100NlrrI' ¿Cuál será su peso especllico a 120 OC? Para el hierro: a = 17 x 10" I"C.
O~N
-
76,93 . 103 -6 1 • 3 • 12 • 10 • 110
pero elvolLfllflO final de la pieza metálica, o
seaV. es: V2 = V, (1 .3u m t.l) Sust~uyendo el valor de V,:
Aj1a '
PI
= 76627 N/m'
PROBLEMA 10. Cuando una pieza metálica se surrerge en el mera.noexpet me fa una pénida de peso deO,91 N ata lemperatura deO"eydeO,971 N a 60 'c. Calcular el ooeftclenle de dilatación lineal de la pteZ8 metálica, si el COfrespondíente al del merCU'io es a = 60 K 10"1"C.
RESOLuaON :
E,
=0,98 N
E2
= 0,971 N
um=?
t,=o ·e 12 = 60 ' e
v 2 =!l.,98N(1.3am 60 °C)
(3)
P IHg
Además el peso especifico hnal del mercurio es:
-
PIHg
Esdea,: P 2Hg - 1. 3aHg ' 6O'C Sustituyendo (3) y (4) en (2);
(4)
349
98N (I.3 a oo.e); _ -,0"".9,,71:..:N , ,-_ m P'Hg P 'Hg 1 t 3 aHg SOoC
PElO:
1) 2 =
I + 3 aHg ' 6t
masa
V2 =
"
O.98 N(I • 3a m OO · C) ;
6,
lt3nHg . AI
; 0.911 N(1 + 3 aHg 60 · C)
pero:
IlHg
= SO .
Igualando. (1) Y (2):
lo-6rc
V,(1+ 3 a
Suslituyendo.yeleduando:
Al '
1 t3aHg . 61
= 0,971 N (1 + 3 • 00 • 10-6
x
SO)
masa (1 + 3 aHg ' Al) 6,(1 +3al'J . ~t)
0.971 + 0.971 " 3 • 00 • a m= ISO oC ••
• SO • 10-6 • 0.98
=
masa
61) = -":':;:::1)= , '---
0.9IIN(I + 31l mSO oC) =
(1 m
(2)
6,
Sustrtuyendo. datls: VI
10481 • 10" • 0.009 1764
_
2009 (1·3. 00. 10-6 . 50)
-
13.6 ~ (I.3 .24 . 10-6 . 50) cm
R¡JIa: PROBLEMA 11. UnciUndrodealurríniose llena totalmenle con 2 kg de me!tU1lO a la temperatura de 60 oc. ¿Cual será la capacidad de/cülndro a lO OC? aH!¡
= SO . 10-ErC
aAl
= 24 . lo-Erc
V, = 146.26cm9
PROB LE MA 12. Un CIlindro tiene un diámetro de 50 cm exactos. Se quiere rodear al cilindro con un aro de acero de 49.92 cm de dulmetro. El coeficiente de dilatación lineal del acero es 12> 1000rc. SI la temperatura en el momento de la medida es 17 OC. calclJarhasta qué temperatlradebe caJerlarse el aoco para poder ajustar el elirdro.
1) , = 13.6g/cm9 ; a IO · C(de! Hg)
RESOLUCIÓN : Sean:
'""
V, : VOk.mena 10 · C V2 : Volmena IiO · C V2 = VoIl
+ 3a Al
..r-,
. ~I)
(1) ~
Por otro lado, para el Hg:
RESOLUCIÓN ,
Co.nsiderando la dilatación lineal del diámetro:
350
CALOR
DI = 0,(1 +'0: . .11)
Pero:
(1)
= 50
DI
(1)
DI = 49,2
(2)
Sustituyerdo (1) y (2) en (1):
50 = 49,92(1 + 12
PROBLEMA 14.. Un recipiente de vidrio, cerrado. se encuentra loo talmenle lleno de agua. Si se enfría a -2"C, ¿qué se puede afirmar'?
la'" x 61)
61 = 133,5"C
De donde: luego:
x
1I = 17 ·C + 133,5 ·C
Al soIidirocarse el agua, es decir, al convertirse en hielo, su volumen aumenta, en este caso a Un volumen mayor que el recipiente, debido a la mayor separación de los espacios imermole.uanas, delal manera que:
RESOLUCiÓN:
Apta.: 1, = 150,5'C
PROBLEMA 13. Dos bamls metálicas superpueslas y soldadas poi' un sOO extremo presentan B cualquier1empera1ura la misma diferencia de longitud. Ca· lentando ambas barras a t oC la razón enlre sus Iongtudes es:
~ l2
= n
SabiendoqlJésus coefcentes de dilalaciónson a, ya.,. halar 'n' en funCIón de T, IX, Ya.. RESOLUCIÓN :
dakls:
6 L, = 6l:!
lera. barra;
L, = l¡.(1 +0.,1)
2da. barra:
.... =
L, 2 (1 + ... I)
(1) (2)
PROBLEMA 15. Un péndulo " L," tiene ~ perlodo"I,', ¿Cuál será el rueYO periodo si su~!U'a se 01Clef'l6t .. la en X·C? El c::oeficienle de dilatación tineal
es '"a:.
~
1)
6 L, = 6
L, , . a, . I = L,
erb1ces:
L, ,
que:
a,
2"f¡
(1)
L, = L¡(1 + a . X)
t, = 2"
(2)
~
(3)
Reemplazando (2) en (3)
2 ' a 2 .I
~ = 0:2
~ndo
L,
=
11)
también:
ó:
V...,...... .....
El reCIpienle '" rompe
ó:
~
Como por dalo:
>
RESOLUCiÓN :
parelra parte, setieoo:
(1) enlre (2) :
V_
(4)
(4) en (3) y considefando
" = 2"
ti .JI
(4)
+ o.X
Reemplazando (1) en (2) : I
" = 1; (1 + a . X1 2
ASICA GENERAL
351
CALORIMETRíA del caiof. Para el estudio de la medida del ca-
Calorimetria es e! estudio de la medida
en escala atómtea. A esto se llama interacción térmica.
lor analicemos e! siguiente hed1o: Se tienen dos bloqUes a drterenles te,,"
CAlOR TRANSFERIDO ' 0 "
peraturas.
Al 1100;
Sa denomina caiortransferido a la energía nlema ",e se transfiere de .... aJerpo caliente
U.>U.; t.>t"
A
((((((.»)))))
'A :: 100 "C
EJ
(de mayorlempernlura) a olrofrio (de menor terrperallra). B
le: 15'C
UA : Energía interna de A
Ue : Energía interna de B ¿Qué sucede aJando los bloques eSlando a
UNIDADES DEMEDIDA :
joule 'J' caloría 'cal'
Enel SI.: En la práctica:
CALORíA ' cal" : Se define 'Una calorfa' como la cantidad de calor ",e neCBS~a la masa de un gramo de agl)B pura para elevar su temperatura de 14,5 · Ca 15.5 oC.
dilerer1es leJ11l€f3turas, se ponen en contacto?
1•• 5 OC
Los bloques inleractúan térmi-camen1e. esdecir. intefcarrbian energía interna meáante ondas a través de sus fronteras, como se ondea en la figtxa sig[jente
.. -- --- - -- - -
Ttene .c( calorias
15.S · C
llena -q + 1&calanas
_ "-
1 g H.,O
R&clp¡ent. témbmente al5lado
k.
es el tAoque de mayortemperatura (más 'caliente').
B: ese! tAoque demenorlemperatura (más 'frlo1- Luego: • A' perde calor => B : gana calor
Se observa q.¡e los bI~s intercam-bian energía. la transmisoón de la energía se prodUce
ECllJVALENCIk.
11 J = 0,24 cal I 11cal " 4,18J I
Volviendo at ejerTlllO de los bIo(JJes, ¿el intercambo de calor es lndelinKlo1¡ No! El Inter-
CALOR
352
cambio de calor cesa cuando los bIo
llt: Esel cambio de tOOlperatura, en oC llt: ~ - t". Ce: Es el calor especmco de la sustancia y depende de las propiedades térmicas de cada ruerpo. Se mide en: calIg . oC Ó kcal/kg.' C. CALOR DE COMBUsnÓN
Es la cantidad de calor, en calorías o en jooles, que necesita 1 moI- 9 de una susta~ cía para decomponerse por combuslión. (ConiJustión es la reacción química de una sustancia con el oxigeno). CALOR ESPECíFICO ·Ce"
t r: : Tempctatute de equilibrio
la
< tE < lA
Por el principio de conservación de energía seruflllle que: a........,~
0......0
CONCWSlÓN: Cuando una suSlancia gana calor, se observa que el ruerpo se calienta, es decir aumenta su lemperatura Para una determinada cantidad del calor, el valor del cambio de temperatura dependerá de la masa del cuerpo y de sus cualidades térmicas, las cuales dependerán de la estructura molecul"r de la sustancia ¿Cómo haQar la cantidad lleca!or "O" que un cl.lelJlo gana o pierde al variar su temperatura?
Nos indica la cantidad de calor que se debe suministrar a 1 9 de una sustancia para cambiar de temperatura en 1 °C.
lee &1 =
=
¿Qué nos quiere decir lo si;¡Uente: Ce.. 0,11 calIg . 'C?
Nos expresa que 1 9 de Fe necesi1a O, 11 cal para SltJir su temperatura en t 'C y los pierde ruando 1 9 de Fe baja su lemperatura en 1 cc. CALORES ESPECIFlCOS en caU(g.'C) LlaUIDOS:
Agua Agua de mar AIcohd Mercurio
Experimentalmente se ha deducido la sig\.ierle fórmula:
rl-a-=-ee-.-m-.-t;.---'t Donde: Q: Es la cantidad de calor ganado o pero,..
do, enjoule 'J'.
1,00 0,95 0,60 0,033
SÓUDOS:
Alurrinio
0,212
Cobre Foerro
0,093 0,11 0,53 0,031 0,093
Hielo Plomo Zinc
FlSlCA GENERAL
Ejemplo:
¿Cuántas caloríassene-
cesrtan para calOOtar BOO gamos de agua de 15 oC a 85 OC?
RESOlUCIÓN : m=9:Xlg
O=?
t, = 15 oC
a
= 4520x4 ,18J " 18893,6J
Ejemplo:
¿Cuánto calor pierde un trozo de fierro de masa 3 kg cuando se enfría de aoooc a 17"C? Ce Fe ; 0,11 caVg .'C.
RESOLUCIÓN :
t,=as oc
O = Ca .m.ó t
0= (0.11 cal/g x'C) . 3000g x
• (17 ·c - 800 oC)
Por defintáón de caloría: .. Para Slbr 1 oC de temperatura:
a = -258 390 cal
19
de agua necesita
1 cal
800g
de agua necesitará
a,
a
= -258.39 kcaJ 6 :
=·258390X4,16J " ·108x10'J
El signo negativo indica que el cuerpo pierde
a, ;
calor_
56 000 cal
Ahora, se calculará cuántas calorías serán necesanas para subir Jos 800 g de agua de 15 OC a85 OC o se;¡ 70 oC:
Luego, para SI.Ü:
1 OC
se necesila
BOOcal
70 ' C
se neceSItará
a
a;
56 000 cal
CAPACIDAD CALORRA ·Ce • Es la cantidad de calor que absorbe cierta cantidad de masa para elevar su te"""",l1Xa 1 °C.
ce -m .c..
1
Una masa de 400 g de alumtnio se calentó de 70
Ejen'c)lo :
OC 8120 'c, calrular 18 cantidad de calor que aboorboó en calorías y enjOUIes.Ce~;O,226
caL'g. O. Ca .m.l> t
RESOLUCIÓN .
a = (0,226",,1/9 . 'C) .
4009 '
• (12O ' C - 70 ' C)
a = 4520cal 6 :
TEMPERATURA DE EQUlUBRlO DE
UNA MEZCLA (Temperal\Xa Fflal) Bajo el prirqloo de que en .... mezcla de cuero pos de temperaturas diferentes. 01 calor el)tregado por lrIOde1os cuerpos es igual al caJor rocitiOO por el olro, lo que origina una t~ ralUra ,ntermedia de la mezcla, se tiene:
-c,
=+0,
(1)
Donde:
·c : Calor entregado o perdido por uno de I.os cuerpos. +C : CaJor recibido o ganado por el otrocuerpo.
SUpóngase que un peda20 de hierro a la IenlJeratura "t,. se intro
=calor cedido por el hierro
Esdedr: 0 1 = Ca,. m, (1 1 -1,)
(a)
CALOR
y:
a. = calo< abSOlllido por el agua
sustancsa:
Esdeor:
0z = Cez · ~. (t, - Iz)
Sea (1) el agua y (2) la
RESOLOOÓN :
(b)
Sustituyendo (a) y (b) en (1) :
-Ce""(',- 1,) ~ Cez _m. (1,-1.)
m,
1, = 17 ' C
= 1200g
'. = SO ' C Tz = SO'C
T,=17'C
Ce, = I,Ocal/O _' C
Ce z =?
Recordando que: - a, = +
De donde:
-Ca"
de donde:
En \.I1l101umen de 2 litros de ag..¡a a 27 · C se SlJflefge una pieza de hieITo caJienle a 250 'C con una masa de 300 9- Calcular la temperatura final media
Ce del agua: 1,0cal/g .' C Ce delrnerro: 0,11 callg ·c
Ce, m,ll,-I,)
Ce. = -
cal 1,0 g x ' C x2 0009(31'C-I7"C) Ce. =
1200g(5O"C-31'C)
Ce.
Ce, m, . t, + Ce • . m••I. Ce, . m,+Ce • . m.
1,0 ca:C . 2000g x27 · C+ g. 1, = cal 1,0 oC · .2000 g+O,11x
g.
-.,.:.-=-.,...:.. (I 2 -t,)
m2
SustilUyendo valores:
RESOlUC1ÓN : -':<--'--'--;;--=---=--"'-
a.
m, (1,-1,) = Ce 2 . m. (1,-1 2)
Ejemplo:
t, =
m2
= 2000g
z
cal
1,228 --Oc 6: gx
= 1.228 4,18J = 513 _ J _
Ce •
g .oC ·
g x'C
El CALORrMETRO
Es un recipienle térmicamente aislado. para evitar la tuga del calor. Se le utüiu para calcular los calores especfficos de lo metales.
+0,11 ca:C.300gx2SO'C
gx
cal
BaQUela
• gx .c x 3009 1, =
62250 ' C
2033
1, = 3O,62'C Malenal le"""",
Ejemplo: 1 200 9 de un ruerpo a una Iero-
pembJra de 50 ' C se sumergen en 2 litros de agua que eSlá a 17 ' C_/>J cabo de un lien1>o la lemperalura de ~ilt>rio es de 31 °C. Calcular el Ce de la sustanaa
¡aislantel
Su mecanismo: Contiene una porción medida de agua y un termómetro ,nstalado En él se sumerge la
FIS/CA GENERAL
sustancia cuyo Cese busca, de masa ytemperallsa CXJI1OQdas: se a9i1a haslallegar a la tefll)elatura de equiübrio la Que se rociará
355
cuando ya no varie la terTllEfatura en el termómetro Instalado. Con los datos obtenidos se procede al cálculo.
PROBLEMAS RESUELTOS PROBlEMA , _
En un calorimetro que contiene l ,81i1ros deagua s2O'C, se sumerge2,4 kg de trozos de tierro que están a 100°C. Cuando lega al eql.ilibrio ej lermómetro marca 3O"C.Calrular el Ce del hierTo.
latOO es un aleación de cobre y zinc) para subir su lerTllEfalUra de 17 OC a 300 OC. El Ce dellalOO es 0,09 caIIg x OC m
a=?
1, • 17 · C
RESQUClÓN :
1, = JOO · C
Ce, = l
m,
call~ x
'C
= lBOOg
Sabiendo que: gx
a
Rpta.:
Ce. = ?
m2
hierro
=1400~
'. • lOO oC CALOR GANAOO POR ELAGlJA
=
-0 2 =
CALOR PeRDIDO
POR EL H'ERRO
a,
-Ce 2 - m2 (1,-lz) = Ce" m,(I,-I,)
SustJtuyendo valores: 1,0 Ce 2 =
Un calorímetro cuyo e
~Ie:
Eq.e. • lOO 9 de agua
mAgua = liOO 9 IAgJa
cal Caz = 0.11 g . . C Ó : 4,18J J Ce z • 0,11 g x' C - = 0,46 g . ' C
CalcUlar el calor que consumirá 200 9 de latón (el
Equivalente en agua del
calorímetro:
~c x lBOO~(JO ·C - 20.C)
2400g(IOO °C-:J) °C)
= 5 094 cal 6 21 293 J
PROBLEMA 3,
gx
PROBLEMA 2.
a.Ce . m . DI
0=0,09 E !c x2OOQ(300 · C-Ir °C)
ro oc
1, =
Para .1
= 200 9
RESG.UCtÓN :
t,
me = 200g
=ro oC
le = 150 · C
= 6O · C
Ca = 7
Calor entregado por el cuerpo • CaJor absortlido poi' el agua + Calor absortlido poi' el calorimelro
Sabtendoque :
Es decir.
-o, = +Q2
CALOR
356
LuegosahaceCltoular800kgdea~rnau800
(m," 100 9 masade agua eqI.ivaIenIe al caIorimetro. 600g masadea~enelcalorimetro)
litros. Como en cada segLI11lo clf'CUa 2 litros, el tierrpo necesario paraerlnara 10 · C sem: 600 In
SUstrtuyendo datos:
Ce
1
'[ = 21n/5 = 400.
~C(100g+600g)(60·C-2O'C)
g.
, = """'--=-=2""00""g""('"'1SO=·C.......,.6O=='C"')"--
= 6 min 40 s
¿ Cuánto de carbón se conSlXTlirá para calentar una tonelada de cobre de 2O'C a 400 .C? El Ce de cobre es 0,09 caVg .·C. Cada kg de ca!b6n proporcionará 8 000 kcal. PROBLEMA 5,
Ce, =1,56 caIIg . oC
Apta.:
t
Apta.:
Para enfnar 100 litros de agua de 9O
~d~oe&éalO·C?
agua a 90 ' C
~QL~ .
Ce OO1 c..W',>a!/g .·C
t, = 20 °C If = 400·C CálCUlo de la cantidad de calor consumido al calentar una tonetada.de oobre de 20 OC a 400 ' C (1 ton 10"9)
=
Sabemos que: Q agua a 10 «)
agyo. O«)
RESOLUCiÓN :
m, " 100 lit
t 2 = O' C
t, = 00 · C
m, =
·Ce,. m, (t"
t,)
= Ce •. m. (t,' l.)
Simplificando y despejando
m,:
~C . l06 g.
g.
360·C
= 34,2. 103 I
Cerno cada kg de carbón proporciona 6 000 ""al. una simple regla de Ires pennitirá cabJlar la canbdad de ca!b6n que prodUCIrá 34,2 x 10'kcaJ. mCOltMln
masa de agua que CIIQJIa
Sabiendo que: Galor perdido por el agua del depósito = Calor ganado por el agua que <",:ula
00,09 Q
1, ,,10'C Sea
Q " Ce .m. l>T
Rpta,
m-." 4,275 k9
En un recipien1e de hierro de 80 9 de masa hay 200 g de agua a 10 · C. Untrozodecobrede SOg, que ~tá a 250 ' C, se introduce en el agua. PROS LEMA 6.
357
FlSICA GENERAL
CaIclAarIa t~tura de equiibrio.
t, = 15,23 ' C
Rpta~
= 0.11 caVg . oC Para el CU : Ce, = 0,093 caVg . 'C
Para el Fe : Cel
Para calertarO,SI~rosde
PROBlEMA 7.
Fo
11,0
agua de IS ' Ca:J) ' C se COIlS<.me 80 g de combustible. El agua está depositada en 00 recipiente cuyo equivalente en agua es de 3OOg. CaJaAaref 'caIordecan-
ttJsti6n" del cornWstiJIe utilizado. Sabiendo Que:
RESOlUCIÓN : Cu
RESQUCIÓN:
Al inlroducir el cobre ca· lienle en el agua, el cobre se enfrla pero el agua y ef recipienle de hierro se calienlan hasta que ef corjunto lenga una t~lura com.ln. Esta terrperalura
piente
me • calor de wmbu$1ión
CaIo4' perdido por el Cu = Calor ganado por el H ,o .. Calor ganado por el Fe. '1 2) = Ce .m(l,· 1,) +
.. Ce,.m, (1, • 1,) EIectuardoope:adonesy~por·1 :
Ce2 .m2 .t, -Ce2 ."'2 .12 = ·Ce.m.I, .. +Ce.m.t,-Ce,. m, . t, +Ce, .m,.I,
t, = Ce2·"'2 12 +Ce.m.I, +Ce, .m,I, Ce, ,"'2 +Ce.m.. Ce, .m, SusIiIuyendo los datos:
80 9 x calor de comIlusIión = = 1 cal I g . ' C . 500 9 (:Il' C-15 ' C) + + 1 cal/g.' C . 300 9 (:Il'C-15 'c)
Apta.: Calor de corrb.Jstión = 150 caVg En un calorlmelro de ca-
PROBLEMA 8.
bre de equivalenle en
agua Igual a:J) g, se tiene 400 9 de agua a 1S
' c, Delerminar a qué te"llf'tatura debe ingresar un bloque de plomo de 500 9 a fin de que la te"llf'ratura de equilibrio sea 18 'C. El Ce del plomo es 0,031 caVg .'C y el del cobre 0,093caVg .'C. RESOLUCIÓN :
Calor Perdido -caPl¡ ' mPI¡ (1,
.(~ -~)
t = 0,093 caI!g,'C.50g. 250' C+
r
0,093 cal/g,'C.50g+ I cal/g.'C .200g x IO' C+ .. lcallg x' C.200 g+ 0,11cal/g.'C 0,11 caWC.80gx IO' C 80g - 1,
=
=Catar Ganado
. 11) = Ceog,ra .m_. + CeQ,.mQ, (11 ·Ii )
SUstituyendo los datos:
500
x
0,031 (1, ·18) = 400 x l •
• (18-15) + 30 x 0,093 x (18-15)
dedorde:
3ZSO,SO ' C 213,45
~
= Ce . m. 111 .. Ce, . m, . 111
se lIa·
ma de equilibrio.
~ , m2(t,
Calor enlregado por el combustible =CaIo4' ganado por el agua + Calor ganado por el reci-
PROBLEMA 9,
~
= 96 ' C Se echan 31rtros de agua
CALOR
358
a 30 oC en l.O ,~ente esféoco de cobre. cuya capacidad es de 31iIros. a OOC. La temperatura final es de 20 oC ¿Cuáles el espeso' del ,eQpieote a OOC? La densidad del agua a 3O'C es 0.9957
Cakular la temperatura de eqtjlibrio o t~ ratura final.
Ce Al = 0,212ca1/g .·C Ce", = 0.11 cal/g .·e
=8.8
liCIJ
Al
CeCIJ = 0,095 cal/g ' C Calo, ganado .par el reci, piente = Calor pe,dido pare/agua
RESOlUCIÓN :
-.- - 1\0 Fe RESOLUCiÓN:
Calor perdido por el Fe = Calo, ganado par el agua + Calor ganado por el Al.
VCIJ li Al CeCIJ 6 t = VlIIJMlli_ Ce_ 61
~ ,,(R', ,3)li CIJ .CeQ¡(t,. t,) = : V.o Aguo • Ce Aguo (t, ' t,) ~ ,,( R3 ,
8.8 x 0.095 • 20 =
(3) •
• ,3 x l . 1 • (-10) R',,' = 0,857 dm'
(1)
,o""
2"r3
de donde:
=
31tn'
OFe = Ce m. (I,·I,) = 0.11 x 200(1,· 12O °C)cal'°C
0Fe = 22 (t, • 120 oC) caV"C
0HozO
=Ce . m(I, ' 1,) =
a..". = 3000 (t,' 2O°C)cavoC
(b)
0Al = Ce . m(I, '1,)
R' , 1. 492dm' = O.B57dm'
R = 1.329
= 0,212
Sustituyendo (a),
PROBLEMA 10. En l.O reoptente de a1L1Tl> nio de 100 9 de masa hay 3 I~ros de agua a 20 oC. Se calienta 200 9 de h,erro a 120 OC Y se introduce en el agua.
100 (1,· 20°C;) cal/oC
lb)
(e)
y (e) en (1):
·22 (1, • 120 OC) call'C = 3000
e = R"
e = 0,202 dm
x
CAl = 21,2(t,' 2O°C)caV"C
x
• (t, ·20 °C)caIl'C +21,2 •
e = 1.329dm·l.127dm Apta.:
(a)
= 1 3000 (1, ' 20' C) cal/oC
r' = 1,432 dm"
sustituyendo en (1) :
Espesor:
( 1)
Cálculo de estos valores:
Porooa parte, ~ "'problema, a OOC la capaQdad del ~ es de 3 itros, es decir: 3
= O~. + 0Al
• (t, . 20 oC) call'C ·22t,
+ 2880 oC = 30001, • . 6000 oC + 21.21, . 424 oC
Agrupando: 3043,2 t,
Rpta.:
t,
= 19.74 oC
= 60 064 oC
FlSICA GENERAL
3S9
CAMBIOS DE FASE FASE
Es 1$1 estado de bsruerposque se caraclef1za parla presencia de moef1o agregado de
11',,~/.#'/,#r'~1
.,,'
.#" ' . '~,'I,,.,'tI,,
sién Ywlrnen que tiene et cuerpo. Las fases másCOfTlJ!l9S SOO sólido, líqt.ido y gaseoso.
EJ
CAMBIO DE FASE
EBULLICIÓN
Es la transtormación en el ordenarriento moIerular que experimenta 16l cuerpo. Por
Es el paso de un liquido 8 vapor, prodlrido en loda la mase del liquido porque la energia de todas las moléculas del liquido vencen la presión que sobre su superfiCIe se ejerce. Vaporiza en torbellino manteniendo la temperatura constante.
mcIéaJIasYQJ8dependedelat~pre
acción del calor lodos los cuerpos cambian defase. Cuaqier sólido puedetransfonnarse en liquido y después en gas. aumentando pro~ecaJory disIroinI.yendo la presión. Oet mismo modo, cualquier gas puede transforma..e en liquido y después en sólido, ql.itándoIe progreSl\'amente calor y disminuyendo la preSlÓll.
P"~~'"
-
----
Los cambios de fase se denominan; 1. 2.
3. 4. 5. 6.
Fusión: Paso de la fase sólida a la fase liquida. Sotldiflcación: De líquida a sólida. Vaporización: De liquida a gas. Licuefacción: De gas a liquida. Sublimación: De sólIda a gas. Sublimación regresiva: De gas a sótKJa. FUSiÓN O LICUACiÓN Es el paso de la fase sóida a la fase tiqlida.
manteniendola~!XI1SIanIe.
Punto de luslón:
Es el punto o terrperatura en el cual el s6Iido irkIa su fuSIÓn.
Punto de ebullición :
Es el punto o temperalura en el cual ellrquido empieza su ebuHición. CONDENSACIÓN O LICUEFACCIÓN
al
Es el paso de \.11 vapor estado liquido. manteniendo la temperatura constante. Punto de condensación : Es el punto Otemperatura en el cual el vapor inicia su lransformación a liquido. SOLlDIACAClÓN O CRISTALIZACiÓN Es el paso, de la fase liquida a la fase sólida o cnstalizada, manlentendo la lefTlJ8f8tIXa constante.
VAPORIZACiÓN O GASlRCACIÓN
Es el paso de Un líquido a vapor, electuado sólo en la supeñ.,ie det liquido. la vaporización ocurre a diferentes temperatLra5.
Punto de solidificación : Es el punto o temperatura en el cual ellfquido inicia su solidificación.
•
360
CALOR
VOLATIUZACIÓN O SUBUMACIÓN
Q
= 49 caIIg . I 000 g
Es el paso de \.f1 sólido a gas, sin pasar porel es1ado intenne
Es el P\.fl\l) O temperawra en el cual el sólido lmoa SU \/OlaUllZaaón O vaponzaci6n.
SUBUMACIÓN REGRESIVA
Es el paso de un vapor a sólIdo. manteniendo
su terrperatura constante.
Q
= 49 000 cal
Ejemplo: ¿CuánDsgranosdet-ielosepueden lundircon 100 kcaI, ruando el hielo está a OOC? C, hielo =49 caVg.
RESOLUCIÓN . C,helo = SOcal/g m = ?
Q
m--º- 100 000 cal - 1250g - C, - 80cal/g -
De (1) :
Punto de sublimación regresiva:
= lOO kcal
CALORES LATENTES DE FUSiÓN
Es el punto o temperatura en el cual el vapor empieza a soI,dohcarse.
SUSTANCIA CALORES LATENTES
SelamacaJorlatente, alcaJorque requiere un gramo de lJ'\a SlJSIancia para carrt>iarde fase, manlenlendow terTl>eraturaconstante dJrarte estecani>n 1. Calor latenle de fusión: Es la cantidad de caJor que necesita 1 9 de sórldo, para transformarse Integramente a líquido. U'la vez alcanzada su temperatura de
fuso6n.
I
C,
C, Q
m
=~
2.
I
(1)
Calor latenle de fusión, en 'caVg' Calorccnsl.n\ldo, en "cal" Cenlldad de masa que se funde.
A1umnio Cinc
94
Cobte HlOOo Hielo
41 49
Plomo
5,5
ro
Es la canbdad de calor que necesita 1 9 de U'l liquido, para translormarse íntegramente a vapor, una vez alcanzada su temperatura de vaporización (ebullición).
Ic,= ~ I
¿ Cuánlas calorías se necesi-
la para fundir 1 000 9 de r...
rrocuando ha llegado a su lemperalura de fuSIÓn? C, Fe 49 caVg.
=
m = lOOOg CI = 49ca11g
REScx.UCIÓN : a =?
De (1) :
23
Calor latente de vaporización:
en·g· Ejemplo :
caVg
Q
= C, .m
CALORES LATENTES DE VAPORIZACIÓN SUSTANCIA
Agua Mercurio
caIIg
540 356
(U)
361
F/SICA GENERAl.
Ejemplo:
Calcular la cantidad de calorque consume' litro de agua liquida que está a 100 OC para transo formarse rnfegramente en vapor a 100 ' C, C. agua = 540 caVg.
5,6 5,6
476 475
RESOLUCIÓN : m=l000m
TEMPERATURAS DE EBULUCIÓN
(a , alm y en 'C) 100
AJcohoI etílico
76,3
Éter
34,5
Orocema
291
Cobre
2310 2611
a = C. ' m = 540callg x kgl OOOg 0= 540kcat = 2263 " 10 3 J
Ejemplo:
Caicl.Car la cantidad de calor consumido por 3 kg de hielo que está a -20 'C para transformar1o Integra· mente en vapor y calentar10 hasta 150 OC.
3,35
Plata Cloro
Ntrógeno
1948 -34.6 -268.9 -252,9 -195,7
Oxigero
-'62.9
Helio
HIdrógeno
C = 540C81/g
De (I) :
I>fpa
Oro F'leITO
a=7
Ce_ = 0.5 call 9 .·C
Ce_ = 0.45 cal/g ,' C
C,_
= SO caI/g
C'IP
• 540 callg
Ceaguo = , cal/g la temperatura de ebullición (wponzacicín en torbellno) depende de la presión exterior. AsJ por ejemplo los puntos de ebullición del agua a diferentes presiones son : TEMPERATURA OE
PRESlON EN
EBllllClON EN ' C
nvnHg
-10
1,96
O
4.56
La cantida~ total de calor que consumen los 3 kg de agua hielo para llevarlo hasta agua vapor a 150 ' C será la suma de
RESOLUCiÓN :
a, =
a. =
9,21
50 , ,00
92.60 760,00
374
165450,00
20 ' C hasta O · C.
Calor para lundilSe. manlenléndose aO · C.
a, =
4,92 10
Calor para subir su temperatura de -
Calor para subor la temperatura del liquido de O' C a'OO ' C,
a. =
Calor para vaporizarse. manteniérldo-
se a 100 · C. 0 5 = Calor para subir la temperatura del vapor de l00 ' C a 150 ' C.
CALOR
3Ii2
a = a, .. O2 .. 0 3
..
Q ...
O.
(a)
Z~b:
ca'- • o, = Ce.m.61 = 0,5gx· c x3000g x 20 · C
o, = JOkcal
Pu'lIo de fusión: empieza a !undirse el sólido. cada gramo consume 80 cal y lermina de fundirse en el punto
B.
cal
Punto de ebullición; empieza la ebullición, cada gramodealP' consume 540 cal y termina de vaporizarse en O Punto C:
x 3000g .IOO·C
JOOkcal
•
TOllo sólido. Se está disolviendo el sólido: sóIido + líquido. Todo líquido. Se eslá vaporizando el liquido: 11· quido+vapor. lodo gas.
Pl1"ltoA:
= Ce .m.61 = '-,cx gx 03
Zonac: Zanad:
Zalae:
cal O2 = C •. m = 80 - .3OOOg 9 O2 = 240kcal
03
Z~a:
a. = c• . m= 540 -
Cuando el vapor regresa a líquido V luego a sólido, la secuencia es asl:
a. = • 620 kcal
Punto O:
cal x 3000 9 9
as = Ce . m. Al. 0,45 -g.cal. C x x 3000g • 5O · C
05 = 67.5 kcal Reemplazando en (a) y sumando:
Punto de oondensación; erlllÍeza la oonOOnsación, cada gramo de vapor pierde 540 cal yterminadecondensarseen C. P...,lo de solidificación: ~eza la solidificación del liquido. Cada gramo pierde 80 cal Ytermina de soidificarse en el punto A.
Punto B:
0 = 2257,5 kcal = 9459 • 10 3 J
CURVA REPRESENTATIVA DE LOS CAMBIOS DE FASE DEL NJ,UA ·C
Graf1co; Temperatura vs Calor
'00 - - - - - - -
e 540 cal
50
e B
a (ca,) Aquí se rTlJeSlran las dos fases del agua: líquida y gaseosa
FJSICA GENERAl.
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
Calcular la cantidad de
calor que necesita 1Tone-
mH,O = 180g
1""" = 1
m.=2Og
O =?
lada de cobre que está a 17 cC para lundllh Ce Cu 0,093 ca1Ig _oC; C, eu = 41 callg. Tempe
=
=
Balance Ténnico 0,
REsa.ueIÓN : o = O, + 0 2
(1)
= Calor tOOiL Calor para subir su temperatura deI7'Ca2310'e. 0,- Calor para lundir los 1 000 kg, manteniéndose a 2 310 °C
Q
0,=
O, - Ce .m.l>1
cal =0,093 --c x 9.°
O, = 213 249 • ,CJÓ cal
O2 = C, x m . = 41
C21 U
(1)
...
iO'. + O',) = (O, + O2 ) + 0 3 + O. vapor hiao agua calm.
.Ce 6 t).(mCe l> I)H,O .(mCe6t)
(2)
Sustituyendo (1) V (2) en ( I ):
= [100.00. 100 . 1(1,.0)].
+ 180 . 1(1,'0) + 2O . 1(t,'0) 10600 ·20 1, + 2000 = 8000. + loot, + 180t, . 2Ot,
0= 213249 kcal + 41 OOOkcal Q
"*"
.[-20 . 540.20.1(1,.100)] =
= 41 000 . 103 cal
R¡:ta.:
= (Calor ganado)
·(m, C, + m. Ce 61) = (m. C,.. +mh .
x lu' 9 r
O2 =41 000 ka:
,OO ' C
T,
·(Calor perdido)
" 1~6 g(2 3tO ' C • 17 ' C)
O, = 213249 kcaI
o·e
= 254 249kcal
PROBlEMA 2.
En Lfl calo1imetro de eqojvalenle en agua ig.JaI a 20 g, se encuentran en eQUIlibrio térmico 100 g detieloy 160g de agua. S, se inyecta 20 g de vapor a 100 'C, calcular la temperatua de eq.ilibrio y a calor lransferido en el proceso. e, •= 80 callg; C... = 540 caVg "0°
3201,
= 4600
,. Aptac 1, = 15 oc Cálculo del calor transferido:
O = m,C, + (m . Ce . M) _
O = 20. 540 • 20 • 1 (100 . O)
RESQ.OOÓN : m... =2O g
C' h= 80
mh = 1oog
C,H,O=54Ocalg
2' A¡m; 0= 12800cal 63062J
PROBLEMA 3.
En un recipienlo do equ~
valente de agua despre-
CALOR
dable. se ~ene 2SO 9 de hielo a O'C Determ" nar ¿qué masa de 4!1-" a SO "C dEbe ¡rqesar para delrelJral hteIololalmente?
a '" Cator perdido por el vapor de agua
RESOLUCIóN :
a, '" Calor para elevar la temperatura del hielo de ·30 ·c a O ' C
mh· 25O g
t,
~
50 DC
CI
ti
=
O· C
~
8OcaI/g
m..,o ~ ?
Ce = lca1/p .DC 0OANADO h
Sea:
O2
'"
Calor para fundir los 50 9 de hielo
0 3 ", Calor para subír la temperatura de los 50 g de agua lIquida de O 'C a 20 DC
Batance Térmico Q, '"
Cator absorbido por el hierro para pasar de -30 oC a 20 oC
Luego: O = O, + O2 + 0 3 + O.
( I)
Cálculo de cada uno de estos valores;
so 'e
O"C
-(Calor perdido)t<,O = (Calor ganado)HzO .(m..,o. Ce.ót) ~ mh ,C I
""H,o' 1 (0- 50) Rpta.:
~
250 . 80
a = Calor perdido para bajar su temperatura de lSO"C a IOO ' C. Calor perdido para con· densarse!amasa 'm" de agua +caJorperdido por el agua liqUIda para bajar la terrperatura desdel00 ' C a20 D C. Siendo 'M' la masa de vapor que se requiere:
°
mt<,O = 400 9
PROBLEMA 4.
Em.l'l recipiente de hierro
de 40 9 de masa hay SO 9 de hielo a ·30 ' C. Calcular la cantidad de vapordeaguaa ISO ' Cque trene que inyectarse para pasar et conjunto a 20 'C. CedellliekJ
~
O.scal/g .DC
C I del t-oeto = 80 cal/ 9
=
C. del agua 540catlg Ce. delh,erro = 0.12/g .' C Ce. del vapor de agua", O.46ca1/g .·C
°
= 0.46 • m • 50 • 540 • m + +1 )( m x 80
= 643.m
o, =
0.5.50.30 = 7SO
(1)
O2 = 80 . 50= 4 000
(2)
0 3 = 1.50 .20= 1000
(4)
O. : 0.12 ,40.50 ", 240
(5)
Sustituyendo estos valores en (1) : 643 x m = 4000 + 1000.240
RESQuaÓN :
Evidentemente que el caIorperdido por el vapor de agua benequ6Sér '!1-"lal calor ganado pO< el hielo y el rectpiente de hierro. h¡¡sla que su temperatura suba a 20 ' C.
Apta.:
m = 9.32 9 de agua
PROBLEMA 5.
¿Ouécantidaddet-ielooo
safoodesaa 1,5 kg de hie-
365
Fls/CA GENERAL
lo a O' C cCIlterodoen un r~nte de a1um~ roo de masa 1009. se le añade 1 litro de agua calierte a 70 "C?
m
= 875 g
Lo que qLiere decir que se mantiene baJo la forma de hielo:
m_ m_
Ce A! = 0,212 caI/g .·C
ee",o = 1 cal/g .·C ~
RESOLUCIÓN :
=?
PROBLEMA 6.
m_ =15009
Al llenar con 5 litros de agua a 30 C un recipien le semlesfénco de aluminio que está a O· C. se logra la terrperaturadeequlbioa 25 OC. CalClJarel espesordel recipiente de aluminio a O·C.
= tOO 9
= O· C = O· C
mH¡O = l000g
1= 70·C
mAl
= 1500g - 8759
= 62S 9 no se funde
Apta..
C I ..... = 80calIg · C
(hielo se funde)
CeAl = 0,212callg x·C
CaIorque necesita todo el hieloparafunárse:
a = CI Q
Densidad del Al
m = 8Ocal/g . 1500g
= 2.7 g/crri'
Densidad del agua a 3O ·C = 0.996 g/crri'
= 120000cal
(1)
calor absortJIdo por el reapente de aluminio: nada. porque no sube sutEifr4lE'ratura Calor entregado por los 1 ()()() g de agua para bajar la lerrperalura a O'C: cal m . ;'.t=1 9 . C x
xl OOOg{70 · C· O'C)
a2 = 70000 cal Como la can1idad de calor que necesita 1500 9 de hielo para fundirse es 120 000 cal. El "IJ.I8cahente al ba¡arsu terrperatura sólo proporaora 70000 cal. que no son suflClElnles para fundir todo el hielo, por CCIlS1guiente, al final hay agua liquida y hielo, esa mezda está a la lEifr4lE'ratura de O·C.
RESOlUCiÓN :
v
e =?
tHp=30·C
lA! = O·C
t i = as "C
y:
e = A- r
de donde;
m = O = 70 000 cal CI 8Ocal/g
(1)
Cálculo de r: Basado en el volumen de una
sen-ieslera:
1 2 de donde:
Cálrulo de la cantidad de hielo que se funde cm el calor que entrega el agua caliente:
0= CI.m
= 5L
x
4 7t ,J • 5dm3 3
r='~ V27t .. " r = 1,337dm
Se puede calcular la masa del recopiente de a1L1mnio:
m = V.l) = 1 x 4 7t(A3. ,3).2,7 9 2 3
CJlLOR
3S6
calorcedidopor los 700g de agua:
a = m . Ce.ót
Por otro lado: CAlOR GNWlO POR
=
El AlUlllNO
a = 700 x 1 (60 a = 42000 cal
CAlOR PEJmI)() POR
El AGUA
Ce", .mAl ·ÓI = CeH,O ·mKzO · t.t
a =
m.......
Al_ r3 = 0,83
=
(2)
-C- I HioIo
Rl = 0.83 + (1 ,337)3
reemplazando (1) en (2) :
Al = 3,22 => A = 1,4800 ; luego:
m_
= A - r = 1,48dm-l ,337dm
e" 0,143dm
=
42000 80 = 525 9
mHIelO = 525 9
-
lA¡ cantidad de hielo que no
PROBLEMA 7.
SecolocaLl\aboladehoeno a 4OO · C en una cavidad pr.IC1icada en un ~ de hielo a OOC. ¿Cuántos gramos do agua ICquida se obtienen? Ce F• = D,11 AESOlUCIÓN :
C,-. Q
mH~1O
Rl = 0,83 + r3
~a.:
(1 )
Cálculo de la cantidad de hielo fundido con este calor:
29,97 (R l .,3) = 24,9 mol
e
O)
Sea m, la cantidad de hielo Que se funde. de tal for-
maque:
Rpta. · m
se fundirá:
= 580 9 - 525 9 =55 9
PROBLEMA 9.
Se inlro
lo a -20 · C en un calorímEtro de 25 9 cuyo Ce es 0,2 caVg . ·C. El caJorimetro conbene 100 9 de agua a 3S · C, ia temperatura final resulta ser 7,2 OC. ¿Cuál es el Ce del hieto? RESOLUCiÓN :
Sea X el Ce del hielo.
0CWlAllOlm ,) " -OPEFllIOO(Fe) 1 QGANAIlOS e
m •. C 1Htokl
~
m, . SO = -200 x 0.11 (O - 400) m • . 80
Apta.:
m
•
= 200 x 400 x 0,11
= 110 g de agua líquida
Calor para sooir el hielo a O· C ... Calor para fUldirse el hielo + Calor para subir su temperatura a 7.2·C = -(Calor para enfriarse el calorímetro de 35 · C a 7,2 oC + Calor para erlriarel agua de 35 oC a 7,2 oC) 3O . X.[0-(-20)]+BO . 30+30. 72 =
PROBLEMA B. ¿Cuántos gramos de hielo quedarán después de mezclar 5BO 9 de hielo a O · C con 700 gramos de agua a 50 OC?
RESOLUCIÓN :
-10 PERlIOOS
4omFII·CeFe·Ot
Cálculo de la cantidad de
=-[25.0,2 (7,2-35)+100(7,2 - 35)) Efectuando operaciones: Rpta:
X
= 0,5 g.caloC
367
FISICA GENERAL
TRANSMISIÓN OTT?ANSFERENCIA DE CALOR 8ca1of puede transmitirse o transferirse paCONVECOÓN. porCONOUCClÚN o por IRRADIACIÓN. En esta obra sólo se trata la
1_ la cantidad de caIor'O' transmbda a Iravés de un cuerpo, es directamente proporoonal a la sección 'S'_
tmnsmislón del calor por conducción.
= ele. (1) TRANSMISIÓN DEL CALOR POR CONDUCCIÓN
Es el calor que pasa a través de la masa de un cuerpo.
2.
la cantidad de calor 'CX' que pasa a través de .., cuerpo es dIrectamente proporcional a la gradienle o ca ida 'G'.
COEFICI ENTE DE CONDUCTlBIUDAO TÉRMICA
0,
0,
Es la cantidad de calor "O' que pasa por unodad de SI..plñlOe 'S' (1 cm') en cada unidad de tierrpo ''['' (1 s) si la gooenteo caida de la temperatura 'G' es la unidad (leC/cm).
IK=& I
a a,
O2 (j=G,=G2 =
K : CoefICiente de conductibilidad térmica ¡:ropo de cada cuerpo.
Gradiente:
Q : Cantidad de calor que pasa. en cal.
S : Seoci6n del conductor. en cm'. G : Gradiente. o caida de la temperatura, en
"CIcrn
= ele. (2)
Es la disrmnución o calda de temperatura. entre la dislancia o espesor que separa dos pultas.
IG=\12\
e : Espesor del conductor. o longitud del conductor. en cm I : TierTlXl ruranle el cual se está transm~ bendo calor. en segundo 's' DEDUCCIÓN DE K
" --r--~---'--() '/
r¡
6'
I
G= l l
I
G = ~t
e
e
I
I
Experirnentalmerte se ha c.orrprOOado que si el espesor del cort
3.
la cantidad de calor 'o" que atraviesa un cuerpo 1amblén depende de la caidad del material.
CALOR
368
4.
La cantidad de calor "a" que atraviesa el cuerpo es directamente proporcional al tíerrpo .." que se demora en surrinistrarle calor.
CONSTANTES DE CONDUCTlBIUDAD
(~
O,
r--t
l l l l l l ll l ¡
cal ) 2 cc an · s an
Aluminio
0,48 0,92 0.16 0,14 0,08 O,(J(l¡ 0,001 0,000055
Cobre F.mo
at ~ a, t,
~ O2 ~ . ~ ele t 2
Mercurio
Ptorro
(3)
Vidrio
(»servando las igualdades (1), (2) Y (3) se llega a la conclUSIón que la cantidad de calor que atraviesa un conduelor es direáamente prcporcional a la sea::i6n del conductor a la gradierie y al tie"1lO de sumimstro de ';"Ior esdeoc '
a = a,
S .G.l
Esta constanle es el coefICiente de conducti-
bt1idad 'érmlca.
=
CANTIDAD DE CALOR TRANSMITIDO
~
O2 = _cte S,. G, .l, 52 G2·1: 2 ._ - .
K
P{¡.Ja
Aire
a
Es la cantidad de calor que J13S8 de un punto a otro punto a través de un conductor cual· qUIera. su valor se deduce de (1):
!0=K , 5 . G.tl
( I)
S,G . ~
( 11 )
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
Calcular la cantidad de calor que aIJaIIesatá en 10 minutos por una plancha de aluminio de 40 cm' de ~de y un espesor de 5 cm si la temperatura en una cara es 12O'C y en la otra cara 70 8 K del aluminio es 0.48.
e
~ San
Recordando:
a
= 7 ~
a
~
= 10mln
I
s
= 4Oan2
t, ~ TO'e
120 'e
a = kSG t
Sust~uyendo los datos:
ce.
RESOlUCIÓN :
KAj = 0,48
= 0.48
2-:6 ·s x40an an ·
2
•
an
- TO 'C )( 10 KUVS "" )( 12O"C5c:m
369
FlSICA GENER"'-
0= 115200 cal
R¡:ta.:
= 115,2kcal
Q
¿Cuéntotiempoderoora. rá en pasar 100 kcal a bao lié!; de una plancha de hierro de 13 cm x 14 a1'I x 5 cm, si la temperal"", entre una cara difiere en 60 ' c?
PROBlEMA 2.
KFe = 0,16
cm2
cal oC
cm
100000 cal cal looan . 0,18 - oC .2.605 an 2 xS an 2
46,3 oC/cm
Se calcula el valor del gra· diente:
RESOlUCIÓN :
= 100 kcaI
t =
= 13 . t4an2 e = San
Sabi!J1do que: K =
G =
?
6t = 5O'C
a
G= Donde:
G
Rpta:
e
61
"" e= G-
= 16,7cm
Dos planchas de 100 cm' de sección están super· puestas. Una es de cobre K, = 0,92 Yla otra de plomo K, 0.08 ; la primera tiene ~ espesor de 6 cm y la segunda de 4 cm. Si la Iemperatura que recibe la plancha de cobre t!S de l00"C, la cantidad de calor que pasa a la par· te superior de la plancha de cobre es de 184 kcaI Y la que pasa a la parte SLperior de la plancha de piorno es de 20 kcal en 4 minutos. ¿ Cuál es la temperatura en la cara superior de la plancha de piorno?
PROBLEMA 5.
an2
cal oC an
•s
, = 286,17.
= 4 min 46,17 s
¿Cuál será la gradiente de una plancha metálica que tiene una superfICie de 100 cm' si en 1OmlntJlos pasa 100 !
PROBLEMA 3.
e
e = - 3'C/an-
= SGK
100000 cal 2 6O'C 13xl4an San .0,16
t
= 61
80°C·30 · C
a
t
a SG.
200000 "C=3'C 460 . 0,48 .5.60 an cm
SGt
susli1uyendodalos:
R¡ía:
-
¿Cuál es el espesa "e" de una plancha de aluminio de 460 cm" de espesor, SI al calenlar un lado a 00 OCia otra cara tiene sólo 30 ' C.Además, para pasar 200 kcal demora 5 minutos. El K del aluminio es 0,48,
•
"t -
o
PROBLEMA 4.
T
de donde:
G
K = SGt
G = 5Gt
de donde:
RpIa:
·s
RE8a.UCIÓN :
a s
a
RE8a.UCIÓN :
=
RESOlUCIÓN :
CALOR
370
K = 0014 cal , cm.oC .s
Apta:
ó:
J C.s K " 5,866 m.. PROBLEMA 7.
Sea a, la cantJdadde caloryt, la temperatura que pasa a la cara superior de la plancha de cobre. Con la fórmula: Q
O,
¿Qué gradiente térmica exis •rá en lI\8 pIancI1a de alUlTllnio si transmite 8 caVs x ·C? K.. 0,5 caVcm x ·C x s ; S = 1 cm'.
=
= KS G 1:
100· t ~ 0,92.100 - 4- ' . 4 . 60
O
De donde:
G "
1 cm2 •
t, = 50 · C Sea o, la cantidad de calor que pasa de la cara iríerior a la cara 5l4JOOOrdela plancha de plomo, Ysea 1, la t~tura en SU cara rleríor y t,1a \errpEr.ltura de su cara SlWÍX
t, . t2 4
- " 4 • 60
Apta : G
x 1$
16 ·C/cm
Calcular la cantidad de agua alOa oC que se podria evaporar, por hora y cm', con el calor que se transmfte de una plarcha de acero de 0,2 cm de espesorquetrene unadiferenaa detemperatlXa entre sus caras de 500 oc.
K"""", = 0,11 cal/ cm . oC . s
1, = 8,33 · C
RESOLUCIóN .
PROBLEMA 6.
Unaplanchadeniqueltiene 0,08 cm de espesor y una diferenCIa de lemperatura entre sus ca· ras de 64 ·C. Se transm~e 6,67 kcaVmin a través de 100 cm'. Calcular la conductibilidad témica del níquel.
RESOlUCIóN : Donde:
c
O,Scal
cm.oC,s
PROBlEMA 8.
ó;
Rpla.:
SK't
G = _ _--=8==ca"'I....,...__
ISO . 10' = 31lBO (100 · t,)
0 2 = 0,08 . 100 -
O K = SGl
RESOLUCIóN :
K=
O
(1)
SG. oC
64 · C G = 0.8an e SO an
Sustituyendo valores en (1):
K=
Se calcula la cantidad de calor que pasa en 1 hora (3600 s) porcada cm' de la plancha. Q=KSG ~
cal
an
SOO oc
= 0,11 -oC- x 1 an- x 1
Q
= 198000cal
ano .s
an
. 3600s
Cálculo de la masa de agua 1MI¡lOIada: 540 cal
vaporiza
198 000 cal
vaporizará
Rpta.:
6,67 " 10 3 cal/ro s 100 an2 " 80 · C
__ •
a
19
w
w =367 9 de agua vaporizada
PROBLEMA 9.
Una mamposteria transmite 100 calih a través de
371
ÁS/CA GENERAL
0,1 m'de~ccnunagradientedetem perattn de 0,5 'Clan. CalcUar el calor que transrrrorá po( dia una placa de 2 m' de área y 0,2 an de espesOl' si las lemperaluras de sus caras son de S."C Y20 oC. RESOLUCIÓN :
Cálculo de la constante 'K" de la memposteña:
a
K = SG't K_
- 1 OOOc.m2
•
HlOcal 0,5 · C x 3eeos lJ1l
Por otra parte:
Q
20000
leal
cm
= 7 2OOI
a= NOTA:
301,39 x
ó:
tOS J
1 cal = 4,1B6J
PROBLEMA 10. ¿Cuál es la capacidad de transporte calorífico de una pared de hierre de2 cm de espesor ruando entre sus caras hay terrperaturas de BOO "C y 200 OC? K"" = 48 eallm.·C.s
= KSG't (A) Come no. de ha dado la superficie yel tJerrpo al que está sorneti:lo el calenlarrientede la plancha se toma 1 m'y 1 s.
RESOLUCiÓN :
=K S G t
Q.: 5x3t500cm..0C.s K
a
f1¡ta.:
Q
a = c:al.l m2 . 300 °C.2OO"C. 1 s m.oC.s
2
10-2 m
)C
Apta: Q = 48 000 kI:al ó:
15 · C
x 0,2 cm . 24. 3eeos
a = 200,93 x loS J
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Elradiadordeun aUlomóllilcontlene 18,5 l~rosde8gua. Si se suminlstran 300000 cal al sistema de enlriamiente, y todo. el caler se utiliza para elevar la lemperatura delliquido, ha lie el aumente en la te"lleratura.
que la tefT4l"ralura del agua y de la vaSIja es de 66 · C. A partir de esta información, deler·
Apta: 15 oC
5.
mne la masa del recipiente de cobre.
Apta: 3,87 kg
ro a 100C. ¿Cuál será su longM a 30 'C?
Un caIorlmelro de cobre de 300 9 conti&ne 100 9 de hielo. El sistema está inicial· mente a O ·C. SI se introduce al calerlmetro 50 9 de vapor 8 100 oC a 1 a1m de presión. determine la temperatura final del contenido.
Apta.: 50,006 cm
RpIa.: l00 ' C
2.
Una barra de cobre mide 50 cm de longi· tud CUBndo se mide con l.fl8 cinta de ace-
3.
A2Q · C,ladensid<>ddel oro es de 19,3 91
an'. Encuentre su densidad a l00"C. Ape.: 19,23g1an' 4.
Un estUÓl8nle desea medir la masa de un recipiente de cobre y para ebe vierte 5 kg de agua a 70 OC en el recipienle. que inicialmente estaba a 10 ·C. Luego. enctJenlIa
6.
Se coloca un recipiente con agua a O Oc al alfe Ibre, cuando la 1€fT4l"raIura am-
biental es de ·10 · C. Si el área del recipiente es de 500 an' Y el agua tiene 5 cm de prolundidad, ¿cuánto. tiempo necesita el agua para coogelruse totalmente? Desprecie los efectos debido. a la capacidad térmica del recipiente. Rpta.: 11.6h ·
CALOR
"(?ABAJO MECÁNICO YCALOR EQUIVALENTE MECÁNICO DEL CALOR El calor puede lransfonnarse en trabajo mecánico y viceversa, Al frotamos tas manos el trabalo mecaruro ros calienta Al dobIarwrias IleCeS un alambre por el mismo sítio, al cabo de un tiempo se calienta,YVlCe\lersa, en los motores de combustiál (carros) etcalor prodlridoportacombustiOO de la gasolina mueve los carros. Esto qUléle decir que el trabajo produce calory también el cator produce trabajo. •
Construyó un recipoente témlicamenteaisla· do [calorímetro), al Que le Instaló un termómetro, un iOOgo de paletas lilas al caloñmetro y un juego de patetas mÓVIles fi¡edas a su eje, accionadas por un peso el cual pende a tra· vés de una polea de un hMO que está enrolta· do en un tambor conectado af ele de las paletas móviles como se ve en ta figura: Al bajar el peso realiza un trabajo. Como consecuencia, tas paletas giran, provoca turbulencia y logran aumentar la temperatura del
agua
EXPERIMENTO DE JOULE
EQUIVAlENTE MECANtCO DEL CALOR EN JOULES S.1. La unidad SI para medir el calor es el JOULE 'J", también se acepta como lridad de rneddataCALORIA 'car.Sus eqtivaIEflCias:
PalEtaS
móviles
11 cal ~ 4,l86J I
~=O
11.._____
Peso
11J ~ 0.24 cal
fijas Paletas
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA l. Un cuerpo de 2Ton de masa se desplaza a 30 mls¿ Cuál es el equivalente mecánico de su energía cinética, en calorlas cuando para bruscamente? (Se estrella contra una pared) RESOLUCIóN :
Q
m = 2000kg
v = :l() mIs
Se sabe:
E=~
=?
E = ~ mV 2 2
• 2000kg. (:l()m/s) 2
m E = l00(J.OOOkg x 2'. m s
E = 9 . tOS. N " m E = 9 " 105 J
Pero:
1J
~
O,24cal
E = 9 " lOS" O,24J E = 2,16 . 105 rol PROBLEMA 2.
CaJcutarla altura desde la cual debe dejarse caer una masa de l00g de plomo, Que está auna temperatura de 27 · C, para que con el impacto del choque se funda. El calor de lusión del plomo es 5,5 caVg, su Ce es 0.03 caVg .oC y
373
FlSICA GENERAL
.... PIfio de fus1Ól1327 ·C. RESOLUCIÓN:
"h'.anlesdecaer.
La energla poIenctal se mIde por ta energía que ha desarrollado hasta el momento del
m = 1009
t, = V ' C C I = ~.5ca1/g 11,
irfllaclO:
h =?
Ce = O,03cal/g oC
dedcnde:
La cantidad de calor que necesita los 100 g para fundirse tolalmentees: a)
h
-
Calor 'O,' para liegar a 327 'C (punto de
6069.7 J 0.1 kg • 9.8 m/s 2
h =
Calor "O; para fundir los 100g. manlenléndose a 327 oC (calor talenle de lusión).
6069,7 N . m
0.980 kg Rpta.:
O, = 0,03
cal e • too g (327°C - 27' C) 9 x·
x
mi 52
h = 6 193.57 m
PROBLEMA 3.
o, = Ce .m. IIT
m . g.h=E
= mE 9
h _
fusión) .
b)
o:
P .h;E
= 321°C
En un tanque de agua se
acoona unas paletas por un molor de 150 HR El agua se renueva a razón de 100 litros por rrinuto. Sí el agua "" grasa al tanque a 15 ' C ¿a qué lemperatura sale?
(1)
cal
O2 = 5,5 - · 100g 9 (2)
O2 = 550caI
SusllbJyendO (1) Y (2) en (A) : Q = 1450 cal
RESOLUCIÓN :
Esta canIKIad de caJordebe ser producidO por
el irr4Jacto al caer de LI13 altura "h". es decir al realzar lJl trabajo. Selransfonna las caIorias en¡oUes.
E = 1450
x
4,1B6J
E = 6069.1 J
Cálculo del trabajo realizado por el motor. en un minuto. (1)
Pero: P = 150 HP = 150 . 745W p; 111750W
Esta energía mecánica que tiene que deserralar el cuerpo es la energla polenctal que
y:
debe estar almacenada al estar a una altura
Sustituyendo eslos valores en (1 ) :
1;60s
374
CALOR
W ~ 11750W . 60s
T = 1 620 • 103 x 4.186 J T = 6781 ,3 • 10 3 J
W ~ 6705000W . s W 6:
~
6705000J
b)
Q = 6705OOOJ
1 J = 0,24 cal
l..1Jego:
O = 6 705 000 J
Luego: T = 6781.3 • 1010 erg
=>
= 1 609 200 cal = 1 609.2 kcal
Este es el calor que ha absorbido el agua que ha pasado por ellanque en 1 minuto y que ha elevado Su temperatura. Recordando qIIe:
El trabajo realzado al tras1adar20 I<{¡ de masa a una distancia de 1 km, ¿a ruánlas kcal eqUIVale? PROBLEMA 5.
RESOLUCiÓN :
T = F,
Ce . m . IJ. t
Q =
1 J = 101 erg
Se sabe que:
Ahora:
Q
Transformando a ergios:
~ = m. Q . ~
m
T=20kg . 9,B 2 , lkm S
dedon:le: IJ.t
IJ.I
= Cea. m =
kcal
t
IJ. I = 15 oC
t
16,09 oC
PROBLEMA 4.
Un cuerpo cuya masa es de 60 kg eleva su tempe' ratura de 10 OC a 100 oC. Su calor especifICO es 0,3 caVg . oC. CalcUar el trabajo que se reqtiere:
RESOlUCIÓN :
;
=196000Nxm
pero:
bl En ergios Calor absorbido por el cuerpo:
cal Q = Ce . m. lJ.t ~ 0,3 -.--C ' oo.
g.
Q
R¡lIa.:
= 196 000 • 0,24 cal
a = 47000 cal
6
47keal
A 90kmIh se desplaza un automóllil de 1 200 kg de masa. Calcúarlacan1idaddecalorque se desprende cuando se le frena hasta deleneoo
PROBLEMA 6.
RESOLUCIÓN:
V = SO km/h
m=l200kg Cálculo de la energla cinétlC8:
Ec =
1
:11rn2 V =2
x 1 200 kg •
... , 60kg(loo oC - 10 oC)
a = 1 620 •
x
103 cal
al Transformando a joules, para expresar el \I9b8jo:
2) ' rn
1 J = O,24cal
a:
= 31 ,09 oC
al En ¡oulios
s
T = 196000J
Este es el incremento que ha experimentado el agua; porconsiguiente la temperatura final cal la que sale el agua será:
1,
T
1 kg .oC1ookQ
= 16,09 oC
t, = I
m
T = 196OOO(kg .
1 609. 2 keal
Ec
(~:~)2 m2 s
= 296296kg. 2' =
375
= 296296(kg. Ee
~)m
Q = 012
•
Q
Transformando a caIorlas:
~a.:
Q Q
ID'
= 19110 .
Apta.:
103 kcaI
= l,96kcaJ
E, = 52B8.3 J
Un cuerpo oeIeste (meteorilo) de 10 9 penetra a laa1m6s1era a la temperatura de -150 oC y a la velocidad de 30 kmls. Calcular:
PROBLEMA 5.
a) b)
lI) b)
l1lenergiaeílébca. Qué parte dees1a energlaseempiea para
ru.nentar su la IIperalura de -150 OC a 1 SOOOC ~~del\caJtdescetlCiadel rneIeOriIo~Cede medoO.12cal1g. OC.
¿Qué vetocidad debe lle-
var una bala de plomo para que al chocar contra una pared completamenle dura: Alcancesu 19f1ll'lratura delusi6n327 "C: Para que lodo el plomo se kúe?
La tempemtura irkoal es 10 OC. El Ce ~ pi<>mo es 0,031 caVg . ·C y su calor de fusión es 5.37caVg.
RESOlUCIÓN :
m = 10~
TI = ·150 oC
y = 30km/s
RESOlUCIÓN :
T2 ·15OO °C
Ce = 0.12
a)
Calculo de la energla cinética:
.
CálaAo de la energla cinéllca de la bala de masa m: Ee =
10 • 10.3 kg •
•(oo . ~03
r
m
~ mv~
. 103 • (kg . ~) m
Ee = 4500 •
Apta:
103 N •
Ec = 4500
x
(1)
Cálculo de la canlidad de CIIlor Que debe absorber para QUe eleve su le~ralura de 10 OC a 327 · C:
CeCe . m. 6T Ee • 4500
kg •
E, = 1,98 x 4,186 x 103 J
= 71111 cal = 71 ,1 kcaJ
Ee = 1 my2 = ! 2 2
x
Perol kcaI = 4.186xIO'J.Iufl9O:
=296 296 x 0,24 cal
PROBLEMA 7.
a}
10
• (15OO.C • (·150 0(;))
=296296 N . m =296296J Q
'
kcaJ
kg °c
(2)
Bala
m
103 J Pared
b)
CáIcuIodelaenergia. enioule. consumida para elevar su le~ratura de -150 oC a 15000C
a = Ce
m 61
Pero como la anergr. CInética debe transformarse en calor. igualando (1) y (2). se tiene:
CALOR
376
V~
de donde:
=127,2 ~ " 9
1272 N . m
9
v~" 2Ce.At
de donde:
vf = 2 . 0,31 g~C (327 °C-l0°C) . V~ = 19,654 caJlg
Pero 1 cal " 4,186 J,
Apta:
luego:
V~ = 19,654 • 4,1116 J = 82,27 ~ 9
V2
1
9
=82,27~ 10-3 kg
V2 = 356,65mls
PROBLEMA 9.
En un recipiente cuyo eqtivalenteen agua es de 200 g hay 1 eoo cm' de agua. Desde una altura de 4 m se deja caer, sobre el agua, una masa de 20 kg. CalclAar la elevación de la temperatura del agua. RESOLUCIÓN :
Al caer el cu€lpO al agua toda su energía potencial ha sido transformada en energia cinética, y ésta a su ve.z ha sido absortJida por el agua en forma de calor par aumentar su terrpera-
2
m
2
VI = 822702 S
Apta..: VI = 2116,83 mis
tura
b)
Del mismo modo se calcula la velocidad que debe Ilevarpam fundirse totalmente al chocar con la pared, es decir: calor para subir su temperatura a 327 oC +calor par fun
W=P ,h=m . g,h W
= 2Okg. 9,8 m2 . 4 m s
W
Energía cinética. Ce. m. Ó t
t
e, • m = 21 m V22
Pero:
= 764J
(1)
1 J " 0,24 cal
PaJa transformar a joules, los sumandos del
luego, el agua absoroe la energ(a (1) en forma de calonas:
pnmer miembro que salen en calorías, se multiplican por el factor de conversión 4,1 86 joules/cal .
a " 784 x0,24 cal a " 188,16ca(
Sustituyendo Ysimplificando: 4,186 J I . 0,031
ca
~c . (327 oC·
g.
-10 · C) + 537 cal "
'
J
J 41,t3 cal + 22,48 9
9
!2 V22
"21 V22
(1)
Estas caloñas han provocado el aumento de temperatura del agua y del recipiente cuyo valor se calculará así: Ce , m , Dt Igualando (1) Y (11) : Ce . m . t.t" 188,16
( (1 )
3n
FIS/CA GENERAL
nando el at.mento de temperatura
fol ~ 188,16
de donde:
Cálculo de la energía cinética de B:
Ce . m f.t
..
=
Ec;
188,16 1.(200 + 1 800)
i
mv2 :
~ Q,2kg(30m/s)2
Ee = OOJ
f'4>ta.:
6 t ; 0,094 OC
Energia polencial de A :
PROBLEMA 10. Un cuerpo "A" de masa 200 9 está en la posición que indica la ftgura, 10 m arrba de.., calorímetro que contiene500cm'de agua; el equivaIenIe del calorímetro en agua es 100 cm'. Sobre el ClJerpo "A" hace irrpac1o.., proyectil de masa también igual a 200 9 que llega a una velocidad de 30 mis. ¿Cuál es el aumenlo de lOOl)eralurn del agua cuando "A" cae cano se Indica en la figura?
La energla cinética que lleva el p'oyecI1l al hacer el impacto transnvte integramente al cuerpo
RESQUC1ÓN:
Ep ; P.h : m , g,h m Ep = O,2kg. 9,8"2 .10m 5
Ep = 19,6J
La energ1a lotal del cuerpo A, al caer al agua
ser.l:
Er : Ec + Ep
tl = lO
1
m
/
,
109,6 J
Q = 109,6 J = 109,6 , 0,24 cal Q
r-------~~-~ =)
;
Cuyoequivaiente en calores:
en reposo. A
(11)
= 26,304 cal
B Galor absorbido por e! agua:
= Ce . m.fo!
Q
~
L!J
fot =
de donde:
6t
Ccn esta energra absorbtda cae 10 m y aumenta su energia /IJ liegar a sumergirse en el agua el calor es absorbido por ésta, ocasicr
Rpta.:
61
=
a-
Ce . m
26,304 cal cal 500 9 1 -O g, c
= O,053·C
PROBLEMAS PROPUESTOS 1,
Una ba"" de cobre de 3 m de longitud eleva su terTfl€ratura de 5
metro se calienta deO ' Ca 300 · C. ¿Cuál es el aumento de su voh-lmen?
a = 11 , 1o-" C ¿cuál es su longitud final? Apta. 3,004 59 m 2_ Una esfera de alu mimo de 10 cm de diá-
Rpta.: 3.
11 ,31 cm'
Una barra de 99,7 cm de longitud se alarga en 0,3 cm cuando se calienta de
CALOR
10 ·C a 100 ' C, ¿Cual es el coeficiente de dilalaclcin lineal?
Apta.: a 4,
=33,4 X 10·/"C
Los coeficientes de dilataClcin lineal de dos varillas son:
a, = 9. 10~PC
a2 =
17. 10-6¡oC
¿Cuá.lesdeben sersLlS long~udes paraquea cualquier temperatura su dilerencia de longi· tudes sea de 50 cm? Apta: l, = 56.25m
L2 = 106,25 m
5.
Se llenen dos vannas de hierro y zinc
cuyas longitudes son 61.2 cm y 61,0 cm, respEdlvamenle 8 O· C ¿A qué tamperalUra las dos var,llas tendrán la misma longitud?
Ufo = 12 . 10-6,.C
sus intenores dos espirales de pCaOOo por las cuales puede paser una misma cantidad de comente. El calorímetro ' A' conttene94,40 g de ague; el calorímetro 'B' contiene 00,34 9 de esenCIa de trementina. El equivalente en agua de la espiral y de los accesorios es igual para los dos calorimelros y vale 2,21 g. Se hace pasar co"lenle eléclríca durante cierto tiempo y la lemperatura de 'A' se eleva en 3,17 OC Yla de 'B' en 8,36 · C. Calcular el Ce de la esenos de trementina. Rpta.: 0.427 7 caUg . · C Calcular la cantidad de calor que se neo cesita para cambiar 40 kg de hierro de · 10 ·C a vapor de agua a 100 'C, El Ce del hierro es 0,51 caVg . · C.
9.
Apta: 29004 kcal
10. ¿CuánlosgradospordebaJodesupunlo de fusión hay que enfriar el fósforo para que por su solidificación brusca y completa slba su temperatura al punlo de fusión? Para el fósforo:
UZo = 63 . to-6¡oC
e, =
5,4caVg Ce= O,20caVgx OC
Rpta: t = 64,3·C
6,
A 30 OC de lemperatura, un lislón de madera mide 1,50 m, medido con una regla de cobre que fue graduada a20·C. ¿Cuál será la longítud de la regla a 20 ·C? El coeficiente de dilatación lineal del cobre es 14. 10· .C-' Rpta.: 1,499 79 m Un tubo de vidrio de un cm de longitud está cerrado por uno de sus extremos. Calcularla altura del mercurio a O· C, que hay en el t\bo para que el \'O/umen no ocupado por el mercurio permanezca constante cual, quiera que sea la temperatura. 7.
()( \IIIJFIIO
= 10 )( 10" · C·'
R¡1a.: h = 0.5 m 8.
Dos calorímetros 'A' y ' B" conüenen en
Temperatura de fusión
=44 ·C.
Rpta: p OC
•
11. Una caldera de acero pesa 7 840 N Y contiene 400 litros de agua Calcular el calor nacesario pa ra elevarla temperatura del conJlMllo de 10 ' C a 100 oC sabiendo que el rendimiento es del 80%
Ce ACERO = 0,11 cal/g .oC Ce AGUA = 1 callg .oc
RpIa.: Q = 54.9 . 103 kcaI ó: Q
= 230 . 108 J
12, Una plancha de nrquel de 0,4 cm de espesor tiene una daerencia de temperatura de 32 oC snlre sus caras opuestas. De una a oIra transmiten 200 kcaVh a trav~s de 5 cm
379
FISlCIt GENERAL
de superfioe. Hanar la con-ductividad térmica del níquel.
R¡¡ta:
K = O.14caí/an .·C.s 6: K = 58,6J/m."C.s
13. Una plancha de c:orcro tr.nsmiIe 1,51 ruando la gra· diente de temperat\I'B vale 0,5 oC/cm. Hallar la canlKlad de calor transmi1idad por dia q.Je tiene lugar en lJ'l8 plancha de oordlo de 2 ro' Y0,5 cm de espesor si una de sus caras está a O· C y la otra a 15 · C.
Rp1a:
a = 1600 kcalldia o = 75,42 •
ó:
lOS J/dta
14. Una esfera de plomo de 96,6 N, está susperdda al ex1reme de una cuerde~. El periodo de este péndlAo es 4 TI .¡ 10 . Guardo está en reposo choca coo ella un pro- . yectiI de 40 g que se incrusta por efecto del choque y desprende 24 cal, al mismo ~ ~ el pénó.Jlo se desvia 60" de la \IerIicaL Cal· aJar la vetoodad con que choca el pro,oectiI.
Ce MARTI.J.() = 0,1 cal I 9 .·C No hay pérdidas (g = 10 mis') Apta ~
O,024 · C
16. Dos cuerpos de 40 kg Y 12 kg demase chocan Iront.llmeme con ve-Iocidades de 4 mis y 6 mis. El choque es inelástlCO. Calcu· lar la canbdad de calor que produce. Apta:
Q
= 111 cal =464,65J,
11. Una bala de l00g impacta sobre un blo· que de hielo que está a DoC. La enlrada tiene una velocidad de 600 mis y la salida 400 mis. Calcular la cantidad de hielo que se ha Imdido. Apta.:
309
lB. Un destJlador es de paredes de aluminio de 3 mm de espesor, cuyas paredes tienen las temperaturas de 250 "C y 125 OC. Calcular qué cantidad de agua destilada se puede obtener por hora. Siendo:
KAl\NNlO = 200 kcal/m .·C. h
R¡:ta.: 122 mis 15. ¿En cuénto subirá la lel'l'j)Cratura de un martillo de 980 N al caer de 1 m de altura
sobre 1.ll3 PIeza de cobre de 30,2 N. Ce caH
=0,09 cal/g .OC
C r AGUA
= 540 call 9
Sl4)e~ICle de calefaCCIÓn: 1,5 m' Presión del ambien1e: 700 mm Hg
Apta.: 23184,1 kg
"En la llida hayquesudarpara Iograrsusob¡e/illos, ese sudor el el motor que te leva al éxino. suda la 1IJda, súdala" J Goñ, Gal
TERMODINAMICA
CAPíTULO 14
TERMODINÁMICA {INTR.QI!II.C.Q.IÓNj
OEFlNICIÓN 'Es el estudio de la fue128 mecánica del
caIof", o también: 'Es el esludio de la relación que exlste entre la energía mecánica y la energra calorífica',
TRABAJO REAUZAOO POR UN GAS
De acuerdo e la ley de ChaMes: 'A presión constante, el voIunen de un gas es dllectamente propon:ionaI a su lert'4>etatuta absotu-
ta', En la figuta 1, mostrada a continuación, la posmn del émbolo de sección A, con una lef11ll!llllura T, Yun volumen V, es la que se grafica; pero aJando el gas se calienta a tempera!u", T, su volumen aumenta a V.. desplazándose el émbolo una altura h, según la flgura 2. p
'h', el peso del émbolo que ejerce presión sobre el gas es invanable,llamando 'W' al1rabajo realizado:
pero:
=F . h F =P , A
• luego:
W= P . A . h
W
P = Presión
donde:
pero: Esto quiere decir que IJ. V es la variación del volumen det gas,
w=
P , IJ.V
Como la presrón se mide en atmósferas yel volumen en I~ros, el trabajo realizado por un gas que se expande se mide en: Unidad de Trabajo = alm ,l Esla es, pues una nueva unidad para medirel trabajo provocado por la expansión de un gas a presión contante, UNIDADES SI.
las unidades para medir este trabaj o son el JOUlE'.r y la CAlORIA 'cat' , Recadando
El gas ha ",afilado un trabajo al haber desplazado el émboto la altura
1 atm = 101 300 Pe 1 l = I D-' m'
38' Se tiene:
luego:
W " 2,01. 101,3 J
1 alm , 1 L = 101
:n> Pa . 10" rn" latm , l l " I01 ,3 N , ms 2
Apta.:
m
1 atm . L
= 101.3 J
I
alm . L = 24.31 cal
I
(a)
(b)
Un gas soporta l.I18 presión constante de 3 alm y se caienta de 27 ' C a ff7 ' C. Si su volumen Ej&qllo :
iniciaJ es de S litros, calcular el trabajo ~za do en joules.
RESOLUCIÓN :
P = 3 atm
W= 1
',= 27 °C
SabIendo que:
W = P .DV
T,
ce
ce.
gas se enlña de 127 8 O Calcular: a) Cuántos joules ha perdido. b) Cuántas caIorIas.
RESOLUCIÓN:
p" 900 nm Hg
'2 =O"C
',.127"C
V,
=20L
Sabiendo que:
W=P . DV
(I)
Cálculodet volumen final:
~-~ dedoode:
T
T2,
T,
AV = 6.35l Su:¡I~uyendo
W
valores en (1) :
= 900 mm Hg . 6.3SL
900mmHg " 760nmHg/atm .6,35l W = 7.S2atm . L
(a)
Luego. por haberse enfriado el gas pierde:
al
Sustituyendovaloresen (1): W = :lalm . O.ff7 L = 2.01 alm . L
T2
Luego: l'. V = V, - V2 " 20 L • 13.65 L
W
AV = O.67L
V,
V, = 13.65 L
67 · . 273 ' C V2 = 5L 27 • • 273 , C "S.6H
AV" Vi - V, = 5.67L - 5l
"
a'c. 273 'C V2 = 20l 127'C. 273 "C
(1)
V,
V2
= T2
V2 " V,
luego:
A la presión cons'"n'e de 900 rrvn Hg. 20 litros de
T, - T2
CéIcuIo del voUnEn "nal:
V,
= 200.6 J
EjemplO :
1 alm. L = 101 ,3 xO,24ca1
l'
W
b)
W " 7.52 ~ 101,3J W = 761.78J W = 761.78. 0.2A cal W " 182.83 cal
3S2
TERMODINÁMICA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TRABAJO DE UN GAS
El trabajo se representa por un área en un s.S1ema de eles coordenados, preslÓn VC>I\.IT1eI1, cuando VIlria la temperatura, manleo IiélIdose la presión constante.
aumentar su volumen (trabajo realizado), mientras que cuando se calienta manteniendo el VC>Iurnen coostante. el calor absortlido SItV8 sólo para aumentar la tempera1Ura del gas (energla interna).
I
P18tm)
r- ___ ;11:!1_ _ _--'1c:;21
Ejemplo: Un álindro con un émbolo contiene 500 9 de aire que ocupa un volumen deSOOLa 1 atmy 17 "C. Se calienta
1
mASAJO
a 37 ·C. Calcular:
P
El calor absolbido cuando el volumen eS
a)
I
constante. y
11111
B trabajo realizado está representado POf la parte oomIlfea
b)
El calor absortJIdo cuando la presión es constante.
e)
El trabajo realizado por et gas al aumentar su volumen y compararlo con la dile-
I w:p .Dvl
renoa de calor de las preguntas a y b. tal
= O.168 -o g.
CALOR ABSORBIDO POR UN GAS
C
Es la canbdad de calor que abso
CIII
= O,24 --o-
g. C
r-msu pn!SIÓn o su wlumen constante.
la:
Ce . m . t.t
I
Cepo > Ce Yo
I
RESOLUCIÓN :
CALOR ESPECfFICO DE UN GAS Es la cantidad de calor que neces~a 1 9 de gas para subir su temperatura en 1 ' C.
0v =0,168
•
cal
.c x 5809 < lO "C
9·
ay. :
(I)
1948,8 cal
b) NOTA:
El calor especflico de un gas que se caierta a presi6nconslarte, es mayor que el calor especifICO de un gas que se calienta a IoOIumen constante. La razón: Cuando se calienta a presIÓn constante el calor absorbtdo sirve para aumentar la tef11leralura del gas (energla Inlema) y para
O~.
el
= 0,24
cal • x 5809 x lO"C g. C
w •
P AV
(a)
RS/CA GENERAL
383
Seria necesario calcular /l V, para lo cual se calcula el yolume n del gas a 37 oC.
PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA
= ~ T, T2
bajo, la cantidad de calor entregado a un sistema es igual al trabajo realizado. mas el au-
'En toda transformaci60, entre calor Ytra-
v,
mento de su energla interna'_
de donde:
~2 = 500 L
(37 + 27~.rs
x
(10 + 273) K
V2 = 534.5L
Suslituyerdo valores en (x) : W
Q : Calor entregado W : Trabajo realizado dE : Aumento de la energla interna por aumento de temperatura
= 101m . 34.5L
W = 34,5alm.L
Translonnando en calorías: W
= 34,5 . 24.31 cal W = 838,7 cal
(A)
La
cm volumen constante es:
A pre5lÓnconstante el calor entregado ha servido para remar el trabajo 'W' al subir el érrbolo una altura ' h', yen aumentar su te mper¡¡turao energfa irltenna'/l E'_ OTRO EXPERIMENTO DE JOULE
Con este experimento demuestra que la acci60 interna sólo depende de la temperatura.
/la = Op~ - Ov~ = 2784 cal -1948,8ca1
6o
=OP. - aY. =835.2 cal
(B)
Corrparando (A) y (B) son sensiblemente iguaJes. luego:
,
OP. - Oy. = W, de donde:
OP. = W, + aY.
.,,",.o. r. .....
Lo que quiere decir que: El calorabsorbídoa presión ronslante sirve para _rIZar un Irabajo W y para calentar el gas a volumen constante -0,,:, que constituye un aumento de su energla Interna.
.0 ...
J::::~ .. "
0
•• o o
" " •• ~ 1-_000
A
o.
Oee
D
M
". o •
0·0
0.0.0 0 11
o O. o" a
384
Dosci/indros, conectados entre$r Porl.ll tubo, están dentro de un calorímetro al c.JaI se le ha instalado un termómetro.
formado en traba¡o.
~
El primer cilindro se ha Denado ron gas. y el en segunOO se ha realizado 00 cuidadoso va-
000 O O 00
O O 00
cIo. Se abre la llave M, pasa el gas de A a B y $9 Menan los dos cilindros, el volumen aumenta, la presión cismiruye pero ta temperatura no varia, ésto se observa en el termómetro instalado. Análisi$ razonado:
p.
::1(
T,
------]
P (Olm)
P,
Recordando que:
O=W+LlE 1.
Al pasar el gas de A a B no realiza ningún trabajO eN =O) porque nada se opa-
P,
V (lü)
ne a su EllCp8tlS1ón.
2.
3.
Corro la terrperatura no ha variado ~ie re decirque no ha habido ingreso ni salida decalor,luego Q '" O. Corro ronsecuenaa la energía interna no ha variado, LI E '" O.
v T...".,ormac!OO r.obárica de un gas (P '" cte,)
2.
L
v,
De las tres vanables de un gas P. V, T sólo la temperatlr.l se mantuYll constante, es1e heello indujo a Joule a sostener que 'la energía Intema de un gas sólo depende de la temperaIIsa'.
O O O O
oooooe
,
h
v. o o O
o
O O 0 o O0
T,
FORMAS Y DERIVACIONES DE
P (alm)
TRANSFORMACiÓN DEL CALOR
EN EL TRABAJO P
1.
- - - r------,
Transformación Isométrk:a da un gas (V", cte.)
Cuando el volumen permanece cons1anle no hay trabajo (W O). sólo hay aumento de energra interna dentro del gas = LlEl·
=
(a
En el sistema cartesiano, su representaci6n es una recta cuya área es cero. El calor entregado sólo ha aumentado la energía intema del gas. mas no se ha trans-
v (lit)
v, Cuando la presión no varia, el calor entregado 'O' realiza el trabajo "W' de aumentar el VOlumen del gas y aumentar también la temperatura del gas. es decir aumentar la energra intema, 'LI E'. (O=W+ LlEl
385
FfslCA GENERAL
3.
TItIIlsformacl6n Isotérmica de un gas (T = cte.)
Cuando la tEmperatura no varra, para vanar el volumen, es decir para realizar un trabajo "W". debe variarlapt'esión. pero como ro varia la temperawra la variación de la energia intema esO(to E = O). Luego: a =w
P'
ktbf
Ltz::JP. o o o
debe a la vañaoón de su presi6n, sobre la base de la variación de su energía intema. P
, I I I
I I
P,
h
00001 0000
o o
v
I W = ·6E I Sin embargo como 6 E ". O significa que ha habido vañaci6n de temperatura, a pesar que no se le ha dado ni quitado calor, qui"", decir que el trabajo que realiza lo hace a expenses de su propia energla
I
I ---t---
I
V (lit)
I
a=w
El trabajo 'W' que es el área achurada se calrula asr:
p,::::1atll'
o Jo o o o o o o o o o o 00 o o o o o o o o
..... .....~CAU(J(tA
lJOERIoMEl
Pt = 6atm
I
""""""" T!W).U)
Y2
V
1
I de moles contenidos de gas. = Constante unMlrsal de los gases. V. = \klIumen en el estado final. Y, = \klIumen en el estado iniciaL n A
4.
v, W.toE=O
Condusión:
v,
P (alm)
W = 2,3 .".R .T.log
I
V.
000
v,
Conclusión:
-,.. ---
Esto es: si pierde energra interna produce tra· bajo, si gana energra Interna consume traba· jo.
ta Presión, Temperatura y\\:llurnen en un proceso adiabático están relacionados asl:
Transformación adiabática
(AdIabático se dice del cuerpo impenetrable al calor). Cuando el gas no gana ni pierde calor (a = O) sin embargo se realiza un trabaJO, eso se
Donde:
• TERMODINAMICA
386
- - - - - - --
PROBLEMAS RESUELTOS C81cularla vanaaóll de la energia Inlemade60g de H,. cuando secallerta deSO·C a loo · C. PROB~EMA
1.
Ce v.
H:I
-
P2 = 7alm
(al
= 2,4 9 ' C
_ pT2 350 K 'T, = Salm 300 K
P2
Luego. la vanaaónde lapreSlÓll sera:
RESOLUCIÓN
m = 60 9
l>P = P2 • P,
AE = ?
Al = 5O · C
AP
El cálculo se hace 'ndependientemenle, si el proceso ha SIdo isométñco o isobárico:
= Cevo .m. l>1
l>E
l>E = 2,4 _cal_. 60 9 .sO·C
g ·C
AE
B
7200cal
300 9 de 0, a 27 oC y 6 alm, se caloen1a isomélrtcamente hasta 77 ·C. CaJcuIar. al El calor entregado. bl Trabajo realizado. el Aumento de la presión del agua
PROBLEMA 2.
El Ce
m = 300 9
12 =77'C
Un CIlindro con un ém· bolo conliene 200 9 de N, que ocupa un volumen de 20 L a 10 alm. Sin vanar la temperatura (,so-léIm,csmentel. se le expande hasla un lIOIumen Igual al triple del anlerior. Si lag 3= 0,477 12, calcular.
al La lempetalUra, bl La p
el
El trabajo realizado. La venaCIón de la energra. El calor que ha inlervenido.
RESOLUCIÓN : al
Elasado en la ecuación uníversal de los gases. PV
a = 2335 cal b)
el
nA
T_
-
3009 ' SO"C g~IC' .
El trabatO realizado es cero: W = Oporque el proceso es isom
P, • P2 T, T2
= n RT
T = PV
de donde:
a = Ce v. ' m. l> I 0=0,157
1 aIrTI
PROBLEMA 3.
v. del 02 es 0.157 (al/g ,oC
RESOLUCiÓN: 1, • 27'C
al
=
= 781m· s.1m
10aim . 20l 200g alm • l 28 g/roo! • 0,82 mol . K T = 341,6K 6:
t
= 341,6·273 = 68.6 OC
V, 20l de donde: P2 = P, V; = 10alm 3. 20l
Fis/CA GelERAL
387
6:
P(alm)
Se notará la diferenaa de las respuestas. La plimera una forma rooy aprclXlll18da, la segunda más precssa. La dedUCCIón de la fórmula usada en el 2" método no se hooo en osla obra por ser sólo una trsica Introductoria y el estudiante desconoce matemábcas superio-
::~-~ I
W = 53",18ca1
I I I
V(l)
res que conducen a su deduCCIÓn.
PROBLEMA 4.
el
El trabajo es un proceso isolétmico está dado por el área accurada de la ligura, ~ va/()( aproximadamente
seria
PI' P
2 W= -2(V2' V,) + P2(V2' V,l
P, + P2 W= - 2 (V2 , V,1
Un Cilindro con un érrbolo que pesa 196 N tiene 30 9 de O,. S8 deja resbalar el émbolo unos B cm eoo lo cual se comprime el gas adiabáti, camente (no gana ni pierde calor). ¿Cuánto aumenta la temperatura del oxígeno?
Ce y.02 = 0,157 ca)/g .' C
m = 30 g
RESOLUCIóN :
W - 10alm +3,33 aún (60 L ' 20 L)
-
h = Bcm
2
Peso del étrboIo
W = 2G6,6a1m . L W
= 2G6,6 .
Q = 6451,64 cal
Q
OTRO MÉTODO : Con la 16rrrula: . V2
,
W= 2,3n ,R. T.iog v
200g
W = 2,3
28 g/mol "
= 0,157ca1/g .oC
Como el proceso esa adiabático, no hay desplazamienlo de calor, esdear:
W = 27006,58 J
6:
Ce y.02
101,3 J
=196 N
=O
=>
W = '6E
(A)
Como con el émbolo que resbala el \/Olumen
disminuye, se realiza ell/abajoW:
alm . L 0,062 moI~"
W =,F. h
(1)
60L " 341 ,46 K . iog 20l W • 2,3 .
t~4 . 341.46 • Iog 3
'!lEN
W = 459.99 . O,4n 12 atm . L
C1Cf~ .o
W = 219,47 atrn • L
O 'O - O
éJ' O ft
W = 219,47 • 101,3J W = 22 232,61 J
Además:
6E
= Ce v. ' m. 61
(2)
TERMOD/NAMICA
388
Sus1Jt~ndo
(1) Y (2) en (A) :
·F . h
de donde:
= ·Ce V•
• m. 61
61=
F. h
RESOLUCIÓN :
VI = 4l
w =?
V2 =5L P = 2alm
Ce".' m
W=P .6V
1geN x 0,08 m C
61 =
0,157
= 2alm(5L-4L)
W
W = 2xatm . L
g ., c . 309
=2
W
61 =
2,87N~m . 'C
61 = 2,87 61
R
(1 )
.101,3J
W = 202,6J
J¡ • 'c
PROBLEMA 6.
¿Cuánlovaria la ene'9ía inlema de un gas que recibe 200 cal y realiza un lrabajo de 8 joules?
287 0,24 cal 'C , cal •
a = 200 cal w ,,6J
RESOLUCIÓN :
61 = O,69'C
6E
=?
De:
T
Q
= W+DE áE
..
6E
= Q·W
= 2OOC
óE = 200 cal • 6 • 0,24 cal 6E - 196,56cai
El agua hierve a l00 ' Cy 1 atm de presión Si 1 9 de agua al vaporizarse ocupa un volumen de 1 640 cm' Calcular ' PROBLEMA 7.
PROBLEMA 5.
Un cilindro con unémbolo oontiene41~rosde9as a la preSIón de 2 atm. Se le calienta isobáricamente y su volumen aumenta a 5lrtros. ¿Cuál es el trabajo reanzado por el gas? 2 al.."
281m
J. v,
-r ".
t9 u-
r
-ro
o
El trabaiO en catarias realizado por el gra-
mo de agua contra el medio ambiente. b) La variacI6n de la energra interna RESOLOOÓN :
I
a
h
a)
o~
m" 1 gdeH.o a)
W
= P . 6'1
= P ('12 • V,)
éJ
W = 101.3 Pa • 1 639 • 10-3 m3 W = 166 Pe . m3
"1.l
W = 166 J
F/s/CA GENERAL
ó.
AE = Q-W
W = 166 . 0,24 cal W = 40cal
....E = 540~ - 40 cal .... E = 500~
b)
.... E
o:
= 119,45J
8f
Son aquellas que lransforman el calor en trabajo mecánico y viceversa. Pueden Sér.
1. Máquinas de cOl'llbtJstión extema: Cuando la fuente de energía caloriflCa está en el exterior de la máquina. Ejemplo: la locomotora de vapor.
Ión (3) y otra parte pasa al condensador (4) Sin realizar lrabajo, lo que quiere decir que no loda la energía entregada al cilindro se transo forma en Irabajo , sólo una parte, lo que indica que el (endimientode laooerglaentregada al cilindro nunca es 100%. Cuatro tiempos da la máquina A VAPOR SON p
2. Máquinas de combusUón Inlema:
Cuando la fuente de energiacalorifocapertenece a la máquina ~Io: motores de ex· pIosión y Diesel
A
:~ I eo
I
I E
...,......
v
I
I
1¡:::::::::::::===i:*l==f ~==={l=
válwlade escape
gas
,
Rueda o
V&wb1;:I~~tl--:'~-¡io~~~ ',0 I I I adrntsiOn I
1. MÁOUINAS DE VAPOR O DE COMBUSTiÓN EXTERNA
B
P,stOn
Clguoñal
l ' tiempo: Admisión: AB
caldero
Se Inslala I.rl caldero junto a una máqui· na B calor entregado at caldero vaponza el ag.¡a contenida en el caldero, el cual por una Itberiaadecuada (se despreaa la pérdida de energia, en este transporte), ingresa al ciUndro de la máquina a través de una válvula de aánisIón (1) DeI' vapor que llega al CIlindro una parte realiza el trabajo de levantar del pis-
Ingresa el vapor a atta presión por la válvula de admISión que está aboerta y ocupa aproximadamente 1/4 de la carrera del piSlón, se realiza a presiÓn conslante, es decir isobáricamenle (AB). La válwla de escape (2) está cerrada
2" tiempo: Expansión: BC
Se CIerra la váIvuta de admisión. Es un prooeso aDabático.HayLl1 aumento devaumen con
TFRMODINÁMICA
3" Tiempo: Expulslón: CO + OE Comienza cuando el pistón alcanza su máDma carrera (C), en este instante se abre la válvula de escape Y se produce un brusco descenso de presIÓn (CO) al haberse expulsado una parte del gas por la válvula de escape, el proceso de barrido O eJ
a, : Calor entregeoo,
a. : Calor absorbido por la luente tria o calof no aplOlleChado en reaJi.
zar lrabajo. También se puedecalcularel rendimiento así:
T,
; Temperatura absOluta mayor : Temperatum absoluta menor
4" tiempo: Cor'rllresión aálabática del saldo de los vaporea: EA
T,
COmienza cuando se cierra la válvula de escape y se produce una ~rensión (EA) de los vapores restantes por la Inercia del mgreso del piStón adiabá-licarrente.
EJemplo :
RENDIMIENTO O EF1C1ENCIA Es la relación entre el trabajo rearrzaoo por una máquN. y el caIorlolal entregado.
lA: ~
X
lOO
RESOLUCIÓN: A : 7
· C, s¡ se le suministra 10kcal, ¿Qué cantidad de calor entregaoo se transforma en trabajo útil? RESOlUCIÓN :
t, = 127 °C
R=?
t 2 : 27"C
a = 10kca
I R=
EjemplO: A una máqoina se le entrega 50 kcaI yse realiza un trabajo de 156 OOOJ. Calcular su rendimiento. O : SOkcal W = 156BOOJ
Una máquina térmica funciona entre 'll "C y 127
t, . t 2 • tOO TI
R = 400 K • 300 K • 100 = 25% 400 K Luego. calor trasformado en trabajo útil: W
A=
W
a
. 100: SO~caI . 100
A - _ 156000J . 100 - 50000 . 4,l86J
Apta.: R = 75%
8 rendimiento de una máquina lérmica tamboén se calcula así:
= 0,25 , 10 kcal
156000J
""ta: W = 2,5 kcal SEGUNDA LEY DE LA TERMÓDINÁMICA Esta ley fue enunciada por el akmán RudoII Clausius, en el año 1 850.
Se enunca de varias manems, pero en todas ellas se plantea que una máquina térmica no puede rendir ell 00%, siempre hay una variedad de factores que ímpiden este óptimo rendlnvenlo.
391
FiSICA GENERAL
Otra cosa tarrbén irrportante es que. no soempre atoonsumorcalor sevaa producirtrabajo. si asifuerasiempre, en e! elCpenmentodeJo. tJe al enlnarse el agua calentada por el mcMmiento de las paletas, el peso que bajó para realozar e! trabapde """",r tas paletas debería $lbr, stl embargo esto no sucede. La ley puede erunciarse asi:
'En l.f1a máqLina térmica es irrpositle el molIirniEflIo contillJO, que sin recibir calor de! ex-
DA: Compresión adiabática. Interpretación de las areas delcteIo: ABNS :
Calor 'O" lomado de la fuente caliente para realizar e! trabajo.
8CMN:
Calor abSOlbido por la sustancia motora (vapor) al enfriarse de T,
al, CMRD :
Calor absortido por la fuente fria, calor que no se convierte en tra· bajo, calor perdido '0.'.
DRSA :
GaIorabsorbidodeJaméqJinapor la sustancia motora (gas) al subir Jaterrperatura deT. a T, .
tería pueda transferir calor de LIl loco 'rio a
otro caliento", CICLO DE CARNOT
Sadi Camot, de naaonalidad francesa, el año 1 828, realizó un estudio sobre la 'Potencia
rrotnz del fuego'; afirmaba Yreoterabaquepara q.oe l.f1a máqt.Wla to!mlica pueda Imcionar, era necesano la existenaa de dos fuentes tétmicas con desnM¡l de calor, de tal manera que haya ftujo de calor de la de rM)IOI' calor a la de menor calor (la Irla) y sólo de este modo se podrá producir trabajO, por elltuJO de calor. p
w
e
s
0, , R
N
BCMN8
=ADRSA
¿Porqué? Porque BCMNB es e! calor entregado al sistema frío Q máquina, YADRSA es el calor recogido de la máquIna ya calentada. ABeDA: Calor corovertido en ltabajo útil
_T..;,_!!...O_'_..B o
Para que el rendimiento sea e! máximo o lo ideal, deoocurl'lllirse que:
I
V
a,:
Calor que entrega la fuente de calor a la sustancia motora (gas)
a,:
CaJor absorbido por la máquina o foco lrío, es el calorperdidooener-
gia perdida.
M
El cido de Cam~, para el h.rdonamiento de l.f1a máquona térmICa. conSISte en plantear e!
hecho de que si se podría construir una maqtina de acuerdo a este ciclo, e! rendimiento de la máquina seria superior a cualquierotra, sin errbargo SI se consideraría e! Ciclo de CarrdcorroLllcaso'per1edo'su rendrrienlo IIegaña al 100%.
N3: Expansión i50Iérmica (T, = de.) Be: Expansión adiabática CD: Carpresi6n isoIérrrica (T. = cte.).
2.
MÁaulNA DE OOMBUSTlÓN INTERNA O DE EXPLOSIÓN
Básicamenle Ul moIor de explOsión es igual que un moIor O máquina de vapor. La diferencia es que, en el motor de explosión o comI1Jstión interna, COO1O su norrore lo in
TERMODINÁMICA
la combustión de una mezcla de aue y 9asol~ na puhierizada. la chispa que inicia la combustión de esta mezcla proviene de una bujía a la cual llega coniente eléctnca enviada por un distribuidor de corriente. El motor de combustión interna también tiene 4 tiempos:
te I.fl proceso le6ncamente adiabático, la temperatura de la mezcla es alta, cerca al punto de combustión. Compresión
'~ O
ter rH!mpo: Admisión El pistón está en el 'Punto Muerto SLperiO<" (P.M.S.) El pistón empieza a baja, por acción del cigOei'ial. al cual está conectado por un brazo que se llama biela. en este mismo ins· tante se abre la válvula de admisión que comll1ica con el cartlurador. Como el pSl6n baja se produce un vacio en el CIlindro; ésta es la razón por la Que ing,esa la mezda de aire y gasolina al cilindro a la presión atmosférica. Ha habido pues ..-,a expansión isobárica. válvula de
"""-
001'·
\., biela
3er Tiempo: Encendido, Exptosión y Expansión Cuando la mezcla está comprimida en la cámara de combustión. llega et chispazo de la bujia enviada por el distribuido, de corriente. el calor se propaga instantáneamente en toda la mezcla y se enciende. produciendo una explosión de la mezcla gaseosa. esta explosión da lugar a Un aumento violento de gas y temperatura. originando un aumento formidable de ta presión. antes que baje et pistón, este instante se considera Isométrlco.
pislOn
clgDenal p
AdmisiÓn
A
O
B
.j...::==:=::"-
V
2daTiempo: Compresión La válvula de adlT1si6n se cierra. la válvula de escape está cerrada, el pistón sube acciCfl3do por el dgOei\aI y comprime la mezda has.ta regresa, el pistón a su P.M.S.• en este momento la mezcla liene I.fla presión aproo
Luego, esta luerza empujada al pistón produciéndose la segunda parle de este 3er. tiempo, la e.pansión, proceso que que se considela adiabático. 4to. T1e mpo: Escape Cuando el pistón ha cumplido su carrera de bajada, es decir, cuando está en su 'Punto Muerto Inferior" (P.M.I.), la presión del gas es muy baja, casi igual a la atmosférica, en ese
FISJCA GENERAL
lIlS1arte se abre la válvula de escape y la presión baja bruscamente isométricamen-te, es decir, tan rápido que el pislÓf1 no ha logado roove
393
MOTOR otESEL
Una reseña muy elementat de lo que es un motor Diesel es la siguiente: ler_Tiempo: Admisión Seabre la válvula de admISión e Ingresa aire puro (AS) a arerencia de los maores de explosión que ingresa al clindro mezcla de aire COn gasolina putvenzada, p
Admisión
A p
o
~:,
El primer movmerto, el de adrrislÓn, debe ser 5Un1ns\rado por una máquina exterior, como la baterfa de tos motores de autom6W que da el rrovimiento inicia! o como la 'manivela', con el cual los carros antiguos 'arrancaban-,
C1CLO REAL DE UN MOTOR OE EXPLOSiÓN 20
B
o
V
200, rl!mpo: Compresión
Se cierra la válvula de adrrisión y el émbolo st.be comprYniendo el aire puro (BC), la compresión se hace hasta reducir10 u ocuparsimplemente la cámara de combustión a lJ'laS 30 alm, razÓf1 por la que alcanza una muy alta terrperatu-a.
p
e A
~O$ón B
v
(3) EJcpIoslón P( _.~~ _ o
3er, Tiempo: CambusUón y expanslÓf1 1 \..-_ _~,:.; I (2) Cor1l>resión
E
4
2
A~I~_>.::--,--..v (4) Escape I
'B (1) AdmisiCn
v
Cuando el pistÓf1 llega a su Punto Muerto Superior se inyecta el corrbustlbte pulverizado (petróleo), en este momento se enciende y se produce un brusco aumen\O de VOlUmen isobáricamente (CO) y como la i1yecci6n de contJusli>le contrua, la COTbuSlIÓn contirus, y se produce la expansión (DE)
TERMODINÁMICA
394
pro
p
v
p
c~
410. Tiempo: Escape
E
OA~B
ItEtanlas antes que el pistón llegue a su PunlO Muerto se abre la váll/lJla de escape y se
"Estuda,
medita. razona y practica' Juan Goñt Ga/arza
v
FfS/C1I GENERAl.
395
CAPíTULO 15
ELECTRICIDAD -
_
..-
INTRODUCCiÓN
los términos 'eloclnadad' y 'corriente eléclnca' sen usuales por cada persona. En la wltura actual de nuestro rrvndo nos e& cooIJamos rodeadosde aparatos eléctncos de dIVersas clases, desde lámparas. relojes de bateria. hornos mcrocndas. equipos de audio, teolonia celiJar, robots. computadoras y rruchomas Pero ¿qué es electñadad? y ¿wál es su nabnIeza? Para respondereslas pregurcas hay que CXlIlOOef' un conjunto de fenómenos Uamados eléctricos: empezamos por analizar partículas y objetos coo cargas en reposo y
------
en el vacio (Electrostática). Luego eswcllaremoslascargas eléctricas en mowniento(Elec· trodinámiCa). Los lenómenos eléctricos fueron descubiertos por los etefltíflCOs de la anbgua Grecia, quienes ubllzaban con frecuencia una sus· tancia llamada 'ámbar. Ellosadvirneron que allrotare/ 'amba'" coo lana, aquél oomenza· ba a atraer diferentes cuerpos muy livianos. • Cabe señalar que 'ámbar' es un término árabecooel cual se designa a una resina fósil de un vegetal que CreCIÓ en la Tierra hace m~ les de años. Además los griegos Uamaban al 'ámbar" con el término equrvalente 'electrón". De aq.JÍ seO<9'>a la derorrinaci6n'eIedricidad".
ELECTROSTÁTICA Es la parte de la eIecb icidadquelXllTp"" de eleslUdode lascargaselé<:lncas en reposo, IosClllrlllOSeIéctncosasociados, las rteracclo-
nes elédricasysucaracteristica energética.
En seguida recordemos que todo QJerpo sustancial está Iormado por partículas. cada partlcula a su vez está formada por mOléculas y cada mOlécula la conbrrnan ¡nrnielad de
ELECTRICIDAD
396
=1
átomos. Mola recordemos tos puntos más
Z
irrp:lrtantes de la teoría atómca de la matera
A 1 N: O
=
ÁTOMO
La fórma común del átomo de Hidrógeno n 1. Todo átomo está conformado por dos zaras: la zona nudearonúcleocon car ga positiva y una zona extranuclear, que rodes al rU:Ieo, en la OJal se dslriluyen los elec-
trones. Los electrones de todos los átomos soo idénticos y cada electrón tiene la misma cantidad de carga negativa y la misma masa, 3, En todo átomo la zona nuclear o núcleo 2.
se compone de protones y neutrones. Los protones tienen casi 2 000 veces más
masa que los electrones, pero poseen carga positiv8lgual en vaklr a la negativa de los electrones. Los neutrones !lenen masa un pooo mayor que la de los protones pero soo eIéctrica-mEnte neutros.
Todo átomo normal, neutro 6 basal, posee el mIsmo número de prolones y electrones. 5. 8 rúnero aIórricode un átomo eslá dado por el número de protooes o electrones Y sale repesenta por "l". La lUna de protOneS Yneutrones o (nudeones) da el número de masa y se le representa por la letra "A". lue90 el número de neutrones se le representa por la letra "N"; se cumple la siguiEiflte relación;
4,
N ", A - Z Porej9l1lJlo: et átomo de Hidrógeno está constItuido por un protón y un electrón, por lo que:
posee neutrones. es la única excepción 6.
Se llama ión al átomo Que ha ganado o perdido etectrones.
Cuando un átomo neutro pierde uno o más elecVones q~ "ionzado posi1ivamente' . El álamo que gana uno o más elec" trones queda 'ionizado negativarnente'.
7.
CARGA ElÉCmlCA 'q'
¿Oué nos expresa ta carga eléctrica? La carga eléc1rica es una magnitudffsica escatar cuyo vator expresa si los átomos de un cuerpo han ganado o perdido electrones. Asirrismo la carga eléctrica es una propiedad de ta materia que se caracteriza por generar alrededor suyo SU respec1ivo campo eléctrico. del cual se tralará más adetante. El campo eklctrico permite las in4eraociones eléctricas. UNIDAD DE MEDIDA : La UI1Idad de medida de la carga eléctrica en el SI es el COULOMB ' CLos submúhiplos usuates de la carga eléctricasoo: 10" e 1 m~icouIomb t 1 mIcroooulorrt> 1 10' e 1 nanocotAomb 1 n e = 100 e 1 picocoulorrtl 1 pe : 10-12 e
me= me:
CARGA ElECll'UCA y MASA DE LAS PARTfCULAS SUB ATÓMICAS Carga eléctrica, en couIorrb 'CElectrón Protón
Neutrón
= -1,6 . 10-" e" = +1 .6 . 10''' e'
cero 1 coulomb < > 6,25.10" e
Masa,enkg 9.1 1 . 10'" 1,673. l O'" 1,674. 10-"
397
F(SlCA GENERAL
¿Cómo se logra la electrización de los cuerpos?
Anafocemos el caso de una lIllñlla de vidrio la aJaJ lrotaremos con un pedazo detela de seda ALINlClO: Antes de lrotar todos los cuerpos, se enruentran en estado neutro, por lo tanto el vidño como la seda, se encuentran tarrtJién en es-
tado neutro. virlrin
IAlranteel frotamlenlodel vidrio Y la seda se incrementa la energía interna de los cuerpos. IAlrante esle proceso ocurre una translerencia de electrones superfICiales del vidrio hacia 1aseda,lOquedetermina que arrbos cuerposadquieran carga eléctrica.
En esta interacción eléctrica entre dos cuerpos uno de ellos se carga en forma positiva Yet otro en forma negabva y ¿de qué depende que un cuerpo adquiera carga pos~iva o negativa? Depende del canlcter electronegativo de sus átomos; es decir, los átomos de mayor electronegatividad mantienen a sus electrones lillados al núcleo con mayor fuerza eléc· trica, esta propiedad les da también la posibifldad de ganar electrones (cargarse negativamente). Experimentalmente se verifica que el grado de electronegativiclad de los áTomos de la seda es mayor que et grado de etectronegatividad de los átomos del vidriO. De ahi que durante el frotamiento ocurre que la seda gana eIec1rones (se carga negatinamente) mienbras que el vidrio pierde electrones (se carga positivamente). AL FINAl: B vidrio perdió electrones lUego adquiere carga positiva: '(l. La seda ganó electrones luego adquiere carga negatillll : 'q. vidrio
seda
Fro1omien1o
------;...
...., = -+q
(1.,.
¿Cómo cuantifICar la carga que adquiere un
AnlvlH rnicToocójHco
cuerpo electrizado? Lacarga que adquiere un cuerpodepende del rúnero de electrones transferidos y se le determina mediante la siguiente ecuación:
Iq=
do electrones
Un étomo 00 la seda
nle' l
I
Donde: n : Es el número de electrones transferidos. Siempre es un número entero y positivo.
aECTAlCIDAD
398
I el : Es el valor de la carga del electrón medida en coulomb ·C·.
e· = ·1.6 )( 10.19 C NOTA,
Cabe señalar que actualmente se investiga sobre la posi:>ilidad de la existencia de partfClS:Isque~ tenerLn tercio o dos teráos de la carga del electrón. Cuieneses1udianf~ SICa rudeary los fenómenos de alta energía suponen que debe mastirLna carga más pequeña que la carga del electrón; la cual. por ciero, aún no se corrvueba. pero en los estudio leóricos se le llama cuan. O quar1<. PJ realizar experimentos con varios cuerpos electrizados, estos se pueden clasificar en dos
I1l4lOS. ler. Grupo: Son aquellos que como el viOOo se caIgan po5I1JvamenIe (porque pierden electrones).
sitivas y negativas) y que la interacción entre los cuerpos electrizados es diferenle, Los cuerpos de cargas eIéc1ncas de igual signo se repelen mientras que los cue!pOS de cargas eléctr'cas de signo contrario se atraen. TABlA TRIBO ELÉCTRICA
¿Oué esma taIlIa libo eléctrica? Es aquella taIlIa obIenida expenmentamenle, donde se Indica algunas sustancias ordenadas de manera crecienle de acuerdo a su elec· tronegalividad. 1. 2.
Plexiglás VIdio
3. 4 5.
Lana
6. 7.
8.
-
..
Madera Papel Seda Azufre
De rrodo que cualquiera de enas adquiere carga posiIivacuando se te IrDla con aquellas que le SIguen y viceversa adql.irirá carga n& gatrva cuando sea frotada con las sustancias que le preceden.
- -
CUERPOS CONDUCTORES Y NO CONDUCTORES
sedo
Con respecto at comportamiento eféctri.
2do. Grupo
Son aquellos que como la seda o la resma se ca
resina
Mari~
..
+
+
+
+
+
..
..
+
lana
Es así como los expenrnentos han mostrado Que existen dos ~ de cargas eléctncas (po-
ca, los materiales pueden ctasificarse, en 99nerat, en dos ctases: conductores y no conductores (aJsladoreso dieléctricos) de la electricidad. los conductores; son sustancia metálicas como'" CObre. la plata, el hierro, etc. los cuales se caractenzan por poseer un gran número deelectronesRltes aIrededordel á~ me, los cuales son portadores de carga. Estos portadores de carga se mueven libremente en el conductor. los no conductores, llamados tambIén aIsladores o dieléctricos, son materiales ..., los que las partlcutas cargadas no se mueven debtdo a que está fuertemente ligadas a los
399
fÍSICA GENERAL
átomos de las que loonan parte, por ejemplo tenerros el vidrio, el pláStico, la porcelana, el caucho. etc. LEY FUNDAMENTAL DE LA ELECTROSTÁTICA LEY DE COULOMB
lijas, situadas en el vado experimentan una fuerza de Interacción eléctnca que es directamente propordonal al prodUC1O de los valores de las cargas e Inversamente proporcional al cuadrado de la dIstancIa de separaCloo-. ¿A
F
~-
1
~
¡
d
a
:a ~
-q
1 I 01.1 ql 4ltEo
¡¡-
N m' = - 1 - = 9. 109 '2-
4ltEo
C
Donde:
r"
. Eslaconstanledieléc11icadelvacio
El valor de E, para el aIre y el vado es: EO = 8.86 < 10" 2
~ N. m
En un medio ambiente dieléc1rico dIferente del vaclo y el aire se cumple:
F
=
1
101.Iql
4ltE m
d'
Donde: Eslaconstantedepermi1ividadeléctrica del medio material (dilefente al vacío y al aire), donde se encuentran las cargas eléctricas. El valor de .... nos indica el grado de djf~ cullad que ofrece el medio material al paso de la corriente eléctnca En otro medio matenal diferente al vacío o al aire, la constante de perm-lividad del medioEm eSlT18yo quer,,; experimentalmente se cumple:
E :
..
.Fq
Donde: F
=
El valor del coellClentede la LeydeCou1ornb está dada por:
K
Establece que: 'Dos cargas puntuafes y
F
F
: Es la fuerza eléctrica. en newton
I . . ~ c. c. I
'N'. 101 ylql . VaJoresde las cargas punlualeS, en ooulomb .C'. d : Distancia enfre las dos cargas puntuales, en metfO "m". K : CoefICIente de la ley de Coulomll El valor de K depende del medio material que rodeaa las cargas eléctncas. El valor de K en el 31 re ylo vacío es:
K=9 x l09N~,! Cabe señalar que a nivel de educacioo superior la ecuación de la ley deCoubrbtarrbitln lapodellmesaibírasl:
Donde: L :
Es la constante dieléctrica relativa del medIO material. es adimensional.
Em
E= -
Eo
UNIDADES EN EL SISTEMA cgs
Dado que todavla se usan, ciIamos a continuación las unidades del sistama cgs. Q
NOTA :
d
F
Yq ' unidades electrostáticas de carga ·u.e.q.' también llamadas statcoulomb'S1c' o franldin 'F" DistanCIa en cm Fuerza en dina
ELECTRICIDAD
400
K ,01 d" •
m:
(ue.~)
1 u.e.q. ~ 0,33 • 10-9 (en el aire ylovacio)
Para valorar cada una de estas unidades ohsérvese deteridamente estas eqlivalencias: (e' ; 1 electrón)
e
1 u.e.q. = 2.062 5 • 109 e' 1 e' = 0,48 • 10.9 u.• .~ 1 u.e.q. ; 'stal coulomb
NOTA:
1 C ~ 6,25 . 10 '8 e'
6 1 u.e.q. '" 1 franklin
1 C = 3 x 109 u.e.q.
1 C = 10' u. e.q. Ó sIc. 6 frank.
1 (-e) = 1,6 . 10" . C
Masa 1 e'
1 (+e) = 1.6 . 10.19 C
Masa 1 prolón
= 9,11 .10'"
kg
= 1,67. 10-'" kg
PfiOBLEMAS fiESUELTOS PROBLEMA ,.
Calcularla fuerza con que
se repelen dos electrores que están a 0,2 . 10~ m.
RESOLUCIÓN . Sabtendo que la carga 'q" de un eleclrón 1,6. 10"C:
b)
RESOLUCIÓN : a = +60 u.e.q.
q = ·IOOu.e.q.
F = K a . q = 9 . 109 N x m! x rfZ el
.
di
(0.2 " 10-8
m¡2 a)
¿ Con qué fuerza se alraen una masa de 4 protones con una masa de 12 electrones que es l~nseparadosl'ladlSlancia de2. lO' m?
RESOLUCIÓN: La carga de un protón es igual a la carga de unelectrOn igual a 1,6. 10-" C.
a
F -- K rfZ q -_ 9 x ,., N x
.
m'1
lf" C2'
(4 . 1,6 . '0" 9 CH12 . 1,6 x 10. 19 C) (2 • lO" m'f-
--
Apta: F = 276,48 . 10'" N
PROBlEMA 3.
Dos esferitas iguales tienen cargas de +60 u.e.q. y ·100 u.e.q Calcular: a) ¿Con qué 'ueI23 se atraen o se repelen SI se les pone en contacto?
Oan K=l di1
Apla.: F = 576 x 10"" N
PROBLEMA 2.
~
d z ~ 200m
(1 6 < 10,'9 C)2 '
¿Con qué fuerza si después de junlartos se separan a 20 cm de distancia?
,an'
(.u.. e.q-f Si se ponen en contacto la fuerza de atraoci6n nela viene a ser la SI.m8 de las cargas;
(+60) + (-100) = -40 u.e.q. Pero apenas se Junlan se establece un equil~
brío de carga con -20 u.e.q. para cada uno y se produce una lepulsión. b) Comoalentraren contacto. la carga ne\a se reparte enlre las dos esferilas, la fuer· za a 20 cm de distancia es de repAsión, y su valor es: F = K ~q Reerrplazando valores:
F=,din , cnf. (u.e.q.¡2
401
F(SICA GENERAL
Apta.:
F
= 1 din = 10"" N Luego:
PROBLEMA 4.
Un álomo da t-idr6geno (un probo) lime Lr1 protón Vun electrón: cada una de estas partlclJlas posee 1,6. 10 " C. Suponiendo que la 6rtlita que recorre el eIedrón esdrctJar Vque la dsIancoa entrearrbas partículas es de 5,3. 10'" m. GaIcuIar. a) La fuerza etéctrica de alracción entre el prolón y el electrón.
v= pero: N =
b) La veIoc1dad lineal del electrón. Masadal e' = 9,11 .10·' kg
RESOLUCiÓN : d = 5,3 . 10.11 m
O
m
1,6 . 10"~ e
e
m = 9,11 • 10'3' kg F = K~
F = 9 . 10'
N x m2
c2
o
F = 8,2 . 10~ dIn
b)
~
A
,
Fc · F I
\
\
,
,,
,
-
V = 2.2. lOS mis
En lOS ""tremes de la ti· poIenlJSa de un triángulo, ClJYos catelOS IT1Iden 3 cm y 4 cm, rey dos cargas positivas de 18 u.e.q. y de 100 u.e.q. PROBLEMA 5..
b)
La fuerza que ejercen sobre una carga positiva de 2 u.e.q. situada en el vértice del ángulo recto. CaIruIar también con qué fueaa se
chazan entre ellas.
-- -'
,
d'.3=3cm
q, = lOOu.e.q.
d'.2 = 4cm
q3 = 2u.e.q. a) F = ?
---- , ,
f."v;~\ ~ (
luego:
RESOLUCIÓN : ql = 18u.e.q.
La fuerza da alracción enlre el protón y el electrón es cenlripela, por conslgLiente su aceleración es centrípela.
,
Rpta.:
a)
m'f
F = 8,2 . 10" N
7
CaIctAar.
•
(1,6 . 10.18 C'f • (5,3 " 10.11 Apta:
43,46 • 10.19 N • m 9,11 • 10·3i kg
v"
q = 1,6 . 10.19
Recordando que:
8,2 • 10" N • 5,3 • 10.11 m 9,11 • 10-31 kg -
v=
,
I
b) F, ., " ?
......
4crn
-%,:----------qz
.......
I
F=m.ac
y2. pelO· ac=R' "
_ m.y2 R
F-
Recordandoque: F • K Oq d2
I q3
El -
re-
B.ECTRIClDAD
cin • 0112 F'.3 = 1 {u.e.q.¡'"
(18 u.e.q.)(2 u.e.q.) (3an)"
x
•
RESOlUCiÓN : x
F, . , =
~c:In
(1) F
F2. 3 = 1 din • crrf '" x {u.e.q., )(
F2 • 3
(lOO u.e.q.) (2 u.e.q.) --(4 cm)2 12.5 din (2)
=
F
w -
w
las fuerzas (1) y (2) son C01llJOI1em8sde las fuenas de repulsIÓn de q, Y q, sobre q,; mecianle la diagonal del para·lelogramo se halla la rapulg6no rechazo lolal.
La fuerza F que Iossepara se debe a CM' cada esfera tiene una carga del mismo signo y se calcula porla ley de Coulomb; (I)
F = J{F,.3)2 + (F2 . 3)2 F =
J(4 dil¡á + {12,S din)2
Por la posición que adquieren las esleras.1a F enfurlC1Óndel pesoW seca!cula así:
fueru¡
'd,n~ -- ,
~ -------- q,
F
: 12,5 din I I I I
Rpla.: F = 13,12 din
an2 •
{u.e.q.)2
(18 u.e.q.) (lOO u.e.q.) x
PROBlEMA 6.
F = O,3kg x 9,8
pmtomediartedos~losdecedaCadaesfe.
ra ~ene una masa de 300 g. Calcular la carga que deben poseer las esferas para que al separarse los hilos hagan un ángulo de 30·. Ig IS· = 0,27.
S
0,7938 N = 9 • 109 N •
(a)
m2
2'
e
x
q2
2 d
de donde: q2 =
rfl •
0,882 • '0"0
e2 m2
(11)
Cák:tJo de el:
Dos esferas eslán sus· pendidas de un mismo
m 2 x 0,27
Este es el valor de recl1azo de las fuerzas e1ec. trostáticas que existen en las esleras, cuyo valores Igual a la fuet2a de redlazodada en (1 ). Susliluyendovaloresen (l),pordatoQ = q
{5 cm)2
~ F'-2 = 7200
= m. 9 ,
= m. 9 . Ig lS·
F
luegO:
Pero: W
F = 0,793 B N
q,O F, . 2 = 1 din x
F = W . 1g ISo;
d = L sen 15° ; d = 2 Lsen 15° 2 300
d=2LP '0: =2Lp .~,87 pero:
L = 0,30 m
d = 0,15m
AS/CA GENERAL Sustituyendo en ( 11 ):
= m. g
w
rf = (o.I5m~ x 0,882 x 10-10 ~
w = 1,404 x to-6 kg x 9,8 mis' w
de donde:
10-6 kg • mis'
w " 13,76 x 10-6 N Cák:uIo de la masa eléctrica que debe tener
e
Apta: q = 1.41 x 10 6
= 13.16 .
PROBLEMA 7,
Unaesfemdeah.miriode 10" m de diámelro, está debajo de otra del mismo tamaño caro gada posilivamente de 2. 10-" C. Ambas están en el vatio. ¿Cuál será la carga negati· vade la estera C/lJe es1á debajO, a 60 cm, para que por atracción por la de arriba la cual no se rrueve, se mantenga en equilibrio? La den· sidad del Al es 2,7 glcm', RESOLUCIóN :
"q" que pesa 13,76 • lO" N, para que no se . caiga:
Se sabe que:
F = K ~q
De donde:
q
q =
13,76
=
Fcr KO
10-ll'N x (0,00 m)1
x
I
9 • lo"
!i.:;;'-. 2 • 1O·" e e
Rptac q = 0,2152. 10·' C PROBLEMA 8.
d = OOm
cósmic:osltegan a la Tierra ara~ón de 6 prole-
O = 2 • 10-" e q=?
neslan' • S. promediando toda la supemcie de la T!erra. ¿Qué carú:lad de carga recibe el globo tenestre de fuera de su a1n1ó5fel a. en for· ma de proICX18S de raáao6n oósrrica inaden1e?
CálaAo del \IOtumen de la esferila: V
= 7! cf3
=
6
7!
(10-3 m)3 6
V = 0,52 . 10-9 m9
Masa malerial de la esferita: m
Los protones de los rayos
Ii = 10-3 cm
=V . /i
m = 0,52 .1O.9 m3 • 2,7'lolkg/m3
m = 1.404 • lo-" kg La esfera !lende a caer por su propio peso, la fuerza C/lJe la sostiene y evita su calda es la fuerza de atraa;i6n que ejerce la carga elécInca "Cf de la esfera cargada poSl1Mlmente y que eslá en la parte St4)ef1or. Cálct.1o de la fuerza con C/lJe tiende a caer la esfenta:
Radio lerrestre =6,4. 10' m AESOlUCIÓN : Cálculo de la superficie de la Tierra en cm' : S = 4 7! RI = 4 7! (6,4 • 108 cm)1 S = 514,7 x 10'6 cm! Total de proIones "n" que recibe la superficie terrestre:
;tDreSs x
n = 6
514,7 • 10'6 cm2
x
n = 3,09 x 10" protones s Corno cada protón tiene una carga de 1,6 • 10-" C,la carga total que recibe laTierra será: q = 3,09. 10'9 prulones
s
x
• t 6 • 10-'~ _ C_ ,
Apta.: q = 4,95 C/S
protones
ELECTRICIDAD
404
PROBLEMA 9.
¿Oué separación de-be haber entre dos protones para que la fuerza repulsiva eléctrica emre elloo sea ¡gua! al peso de un protón? q = 1,6 x 10·'9
RESOLUCIóN . Poremnciado: F = Peso sustituyendo por Sl.'S equivalentes:
q d'
K.9.:. '" m.g q22 '" m.g
d '" 1,6
K
Ahora. en una molécula de agua hay: 2 átomos de H, tOlal 2 protones 1 átomos de O, tOlaI 8 protones luego en \Xl3. rnoIé<:Ua de agua hay 10 protones. Entonces la carga de un protón es 1,1i02.1 O· G.tuego la carga tOla! en una moIeo.iade agua sera 10.1,602.t0 " G.
Apta.:
e~
q, = 5 360,45" O"' C
PROBLEMA 11,
1,67 • 10.27 kg x 9,8 mi s2 d = 1,6 x 10-'U
ex
Enlosllérticesdeunoua-
drado hay cuatro caras, conlorme lo ,ndica la figura En el centro del
cuadrado hay una quinta carga. ¿Cuál es la f\Jerza sobre la carga central y qué sentido tiene?Todas tas cargas son coulombs.
9 x 109 N • r,f
IKlcm
e
x
.6 } - - -- ---{ + 7
1.67 x 9,8 x 10.27 kg. ~
s
,
,
'\;«. A
,,/
de donde:
d = 1,18
Rpta.: d
= O,116m
x
lO" m
PROBLEMA 10. Calcular la carga positiva que hay en un litro de a g..apura. RESOLUCiÓN: Cálculo del número de moléculas de agua que hay en un litro
de agua: • '" n • 6.023 xl023moléaJlas/mcl # =~
x
6,023
K
x
=
Jm.g K
10"'9
6,023
Cal1la total de 1 litro de agua '" 334,61, 10'''moIéctJlas de agua x • ,0, 1,602, 10 "C/moIécula
d
d '" q
de donde:
x
x , 023motécu1as 1I00I f '" 33
e
masa del protÓl1 = 1,67 ~ 10.27 kg
K
l000g • '" 18 g/mol
t023moléo.ias/mol
F
eoem
~,
·6 } - - - - - - - I
~
6
RESOLUCIóN : Las dos cargas.s se arutan por ser iguates y de signo contrario y no ejercerán ninguna inlluencia sobre la carga -2 del centro. Las cargas +7 y ~ actúan sobre la carga central de -2 en el mismo sentido, dirigido hacia la carga ..7 que la ahaey la ~que la rechaza y la envla hacia +7. Su Italor será: FT=F,+F¡
405
FlS/CA GENERAL
CalcOO del valor de la diagonal del cuadrado
J
d = (SO an)2 + (80 an~ d 113,14 an 1,1314 m Cálculo de la fuerza F, :
=
=
K; Wde donde: =
2
F = 9 x loS N x m x 6 e • 2 e
----cr
- ,¡
Igualando (1) Y (2):
- K O.q F,jo
1
_ K
F
Tamtién:
C,13~4mr
F, = 337,5. loS N
. (1)
Cálculo de la fuerza F.:
P¡¡ta.: d = q
J!
PROBLEMA 13.. Si el sistema de la rtgura se mantiene en equitibrio. ¿Cuál será el valQrdeW?
F - K 2:..
d2
Ag.
T
'a,
T
T
F,
= 393,75 x ,oS N
(2)
Fr Fr
= F, + F2
= 731 ,25
-----
q,~d -f'
Sunando (1) Y (2) : Apta.:
53"
0 -----
x
109 N
w
RESOLUCIÓN :
PROBLEMA 12. S8 tienen esterillas iguales de cargas iguales 'q' y pesos iguales 'vi'. ¿A qué distancia vertical debe estar una de ellas encima de la otra fija, dela1 rranera QUe se equilibren? RESOLUCiÓN :
~~ . q,
----4t
d
Fog, lb)
De la Fig. (a): 1: F,
2T = W
=O W T= 2
..,
(1)
De la FIQ. (b) : 1:F, =0 d
TCOS53"=F=Kq~2 Reerf1Jlazando (1) en (2): q
w .~ 2
5
=
K~ (J"
(2)
ELECTRICIDAD
SUstituyendo (2) Y (3) en (1):
= m·g . sen 8
Ko.' PROBLEMA 14. Para el siguiente sistema en equilibrio, mostrado en la figura, calcutar el valar
de '0. 2' .
(d + 2 Lsen 8)2
cos9
De donde: R¡lta.:
q2_m.g.tg9(d+ 2Lsen6r' K
...
cuatro cargas iguales, de valor "q"cada una, estan situadas eo los vér1icesde un cuadrado. ¿Cuál será la carga "Q' de signo contrario que será necesaño coIocareoe! centrodelcuadradopara que todo e! sistema se encuentre en equiliri>?
PROBLEMA 15.
,
,
l
I
l.- d -..J.
'-----1
f----J
'q
'q
'q
RESOLUCtÓN : DIagrama libre para la esfera de la izquierda:
,
a
-
a
YI 'q
,
/
/
A
• ,
45'-
•
F
RESa.UCIÓN :
fY I
m.g
Del gráfico, como el sistema está en equili-
brio: rF, = O F
= Tsen8
r Fy =
(1)
O
EntreF, yF. dan una resuttanteF, cuyo valor
TcosO = m. g T " ~g cos9
está dado por:
Por otro lado, en la rlgura del problema, CcUorrb: F=
Kef (d + 2Lsen6)'
(3)
= JFf + F:
(1)
F, = F. = Ka·r
(2)
F3
(2) por
pero:
(2) en (1); F3 = K.o.2 a2
J2
($)
RSJCA GENERAL
F; + F, = F.
Porolrolado:
F4 =
t
a .q)
a 2
(3)
407
(90 . 1,6 . lO,tiC) (2.1,6. lO·IIC)
(9.,0.1S m¡2
x (4)
~:
b)
= 2 K ~,q a
(5)
F . S12N F
Se sabe que: a o = mo. 512N 4 • 1,6 x 10-27 kg
2
Reemplazando
(~), (4) Y
(5) en (3):
512 kg • m/s2 4 • 1,6 • ,0-27 kg
K.q2 + K.q2 .fi = 2 K.a .q 2 a2
a2
a2
ac> ~ 7,66 .
q.fi+~=20
,028 m/s2
En la figura. el sistema se encuentra en equHlbrio y carece de fricción. Hallarla expresión de Q PROBLEMA 17.
0= q(2.fi + 1) 4
1
PROBlEMA 16.. En la desintegración atómica de un núcleo de Uranio(lP), resulta un núdeode Torio(Tl1"")
I
y una partlcuta a (rúleo de helio). Si en Ul instante dado la sepII!lICÍÓ!' que existe entre los núcleoses de 9. 10' A determinar: a) la fuerza de repulsión. b) laaceleraci6n de la partfcula a.
h
,
RESOLUCIóN :
RESOLUCIóN : En el nudo "" T
T T
WI2
•
al La
estructura atómica de cada núcleo es la slQUiente:
lP{ AplicandO:
92 p'
;
nf3<{ 90 p' ; (l4{ 2 p'
146 nO
144 n"
2nO
"" N.m2
a
T
De la figura:
W T = -2 seca
F = K q~qo
F=9 .t v- ~.
WI2
w
(1)
Ha~endo el dagrama de cuerpo Ubre de una
carga:
ELECTRICIDAD
408
w
·V
F T
Delafigua: (1) 91 (2):
F = Tsooa F ~
2"ssca .sena
F =
~ tg a : ó tarrilién
3a
=+O).
/
, ,,
/
F,
/
/
+O
1: Fy = 2 (F, sen a
- F3 sen.)
(A)
Porolra parte:
F
K.h
K
K
(1)
, = (3. ,[i)' = 18.'
carga.o,
F. _ Ka' _ K02 2 - (5a¡2 - 25.'
(2)
3. ,[i sena=3aJ2=T
(3)
sen41
.0
,
-o
PROBLEMA 18. Se dispone de 5 caIgas pun1Uales tal como se mJeSIJa en la figura. ¿Dónde debe colocarse una carga puntual de +20 para que la fuerza que ac1úe sobre la se pueda arLlar?
(+O,
'
, , ,,
l:Fy ~ 2 F, sena - 2F3S8f1~
4 h
2
,
~/ ..a,
F..
R la.; Q = d JW .d
P
3a
La fuerza resuHante será:
= W d
" Despejancb:
•
(2)
rP
~
3a
W
K. Q . Q = W d/2 2 h K
-o
.0
-Q
3.
3
= 58 = 5
(4)
Sustituyendo (1), (2), (3) Y (4) en (A) :
l:~ ~ 2[K02 .,[i _ K
8
38
---I-'~_---"::=--4~..a,
18 a'
2
25 a
5
De donde: •
_ K
l:Fy -
Como tO, =.0 permanece en reposo. en su 1flIersecciOn con +20 se cumpirá:
K4
de F, YF. son iguales. del rrismo modo F, YF" Analizando se raa que la resu~ tanta de estas fuerzas debe estar so-bre el eje y ya que las componentes horizontales se anulan mutuamente. ll'ÓÓ.JO$
rP
=
K
.'
18 • 25
De donde, s~ndo yelecluando se tiene:
Apta. : d = 5,14 a Es decir (+20), se deberá ubocarpor encima
de .0,. y sobre la vertical.
409
FISlCA GENERAL
PROBLEMAS PROPUESTOS 000 cargas de 0,1 9 de masa, están suspendidas de un mismo pun10 mediante dos hilos de seda de 13 cm de longitud Como están cargadas con cal!l3S positiVas se separan 10cm ¿CuáJ es la carga de cada una?
1.
Apta: 2,1 . 10' C
Cuatro cargas iguales de valor "q" cada .no. están en los vértices de un cuadrado de lado ' a'. ¿Cuál es el valor de la fuerza de repulsión en cada vértice? (resuHante). 2.
Apla.:
Kcf(2 J2+11
2.
2
¿Cuáles la fuerza eléctrica de repulsión entre dos electrones separados un dis· lanaad = 10 00 m? 3.
Apta.: 2,313.10' N Cuatro cargas están colocadas en los vér1ices de un cuadrado de lado 20 cm. 000 de +5 e, dl3metramen1e ~stosyde2 e y +2 e también diametralmente opuestos. Al centro va una carga de ·1 C. ¿Cuál es la Iuefza qua actúa sobre es1a carga?
4.
Rpta.: 1,6.10" N (hacia+2) Dospequel\as esferas de 0,1 gdemasa cada una, están suspendidas en el aire de un mismo punto. con hilos de 30 cm de longitud. Cuando las esferas benen igual carga se separan unaás1ancia de 1.8cm caIcUar: a) Cuál es la fuerza repulsiva b) Cuál es la carga de cada esfera
5.
Apta.: a) 2,94 • 10-6 N b) 1,03 • 10"
6.
e
Hallar la fuerza de repulsión enlre dos
cargas iguales de 2 C separadas en el aireSOOm.
Apla.: 1,44,10' N
Dos pequeñas esteras metálicas se encuentran cargadas eléctrlcamente y Se sitúan a 8 cm una do la otro. recha2ándose con una fuerza de 2 N. Si la carga de una de las esferas es 18 . 10-' C. calcUarel número de eIec1rones en exceso en la segunda estela.
7.
Rpta.: 6.28 .10 12 e' Si cada kilogramo de IasmasasdelaTerra y la Luna se tornan como una carga de 1 C. positiva la de la Tierra y negativa la de la luna. ¿Cuálesla relación entre las fuerzas de atracción graVItatoria y elec-lrost¡jlica?
8.
Rpta.: 7,4 . 10"" Una persona apoya sobre su estómago una barra aisladora en cuyo extremo celoca una carga puntual "q,' y se sitúa a una distancia"d" de una carga puntual ' q,; . ¿Qué fuerza resuHa 8pÜCada sobre el estómago de la persona?
9.
Rpla~ F = K q~1l:2 10. En los vértices de un cuadrado secolocan cualrocargas +Q Iguales ¿Ouécarga se deba colocar en el centro geométrico del cuadrado con la finalidad de que las demás se encuentren en equiibrio?
Rpla~ q = .~ (2.12 • 1) 11. Una carga "O' se divide en dos cargas de valOres: ' O,' y "O - O,", las cuales se colocan en una distancia de 1 m una de la otra. Hallar la relación entre dichas cargas de modo que la fuerza de repulsión entre dichas cargas sea máxima.
Rpta.:
O
= 2 a,
ELECTRICIDAD
410
CAMPO EJ.lcTRJCQ 8
campo 8éctrico es aquel espacio que
rodea a toda carga eléctrica. Es una forma ele existir de la materia en forma 00 sustancial. es rnperceplible para los sentJdos del ser hu-
mano y se le
-o
<'das por el físico inglés Michasl Faraday; eslas líneas sirven para represenlar en forma grálica al campo eléc1rico. Convencionalmente se representa mediante lineas de campo salientes si la carga del cuerpo. creador del carrpo. es positiva y Irneas de ca~ entrantes si la carga del cuerpo es negativa.
+O : Es la carga
-_OflIdoti!- del ~ eIéqrIco
Todacarga Iliéctrica tiene asociadosu ca~ eléctrico. el cual es responsable de que ocunan las lntemociones eléWicas.
En el primer caso las Irneas de campo son salientes ¡lO( que siguen la dirección de una carga puntual positiw +
REPRESENTACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO ¿Cómo se representa. en forma gráfICa al ~ eléctrico? Se le representa mediante las "amadas ,rneas de campo" O"lineas de fuerza" ¿En qué consiste la 'IIneas de fuerza' O "lineas elecampo'? Son Uneas imaginarias ideadas y suge-
-
-
-( .0
É
Mientras que en el segundo caso las líneas de campo son entrantes por que siguen la dirección de una carga pun!tJaI +q soltada dentro ele un campo eléc1rico generada ¡lO( una carga negatiIIa • Q .
411
FÍSICA GENERAL
MAGNIT\JD DE CAMPO ELÉCTRICO
, Jj)q
FI/e /
¿cómo se mide la magnitud del campo eléc1rico en un punto? Para ello vamos a definirlo que es Inlensiclad de Campo EIéctrioo. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO" E" Es una magnitud física l18C\orial que ex-
presa la fuerza eiéctflca que e>lP8rimenta una Representación de las lineas de campo para dos cargas puntuales de ta misma
magnitud 1.
Para cargas de signos contrariOS: las lineas de call'pO se drigen desde la carga positiva hacia la carga negativa.
carga de prueba positiva +q, ubicada en el calflJO. Consideremos una carga positiva ~Q y su call'pO eléctrioo aSOCIado. luego ubiquemos una carga puntual muy pequeña +q situadaen"A". dentro del calTl>O-
Cargas de stgoos contraoos
2.
Para cargas de slgnos iguales: las lineas de C8Il'pO se rechazan.
La intenSIdad de call'pO etéctrico la carga Q en ese punto se define asi:
1 1[\1 = I~I I
E de
(1)
Da1de: 1F1= F : Es el valor de la fuerza eléctrica. en newIOn"N" ~
: Es la carga puntual de prueba. en ooulomb "C". 1EA1= EA : Es la intensidad de call'pO eléc· cargas de slgr
trico en el pU1lo "A". se te mide
ELECTRICJDAD
412
en "NIC". También en voltio sobre metro "V/m". ¿Cómo se manifiesta el campo etéctrico? El carrpoelécn::ose mamesta medante una fuerza de naturaleza eléctñca que actúa sobre cualquier OIra carga que se encuentre dentro del campo. De la ecuaoión anlerío< (1) se define:
la carga "q" del electrón es 1,6 • 10-'· Y su masa 9,1.1Q41 kg_Calcular: a) Aleares máxirro que se desplaza el eIec\rOn. bl El tierllX' que demorará para delenerse mornentáneamen\a RESOlUCIÓN: V, = 6. 107 mis
E = 2 ~ 10· Nle
Donde F es la fuerza de campo con la que el carllX' elécIricoaC1Úa sobre lila carga eléctñca Lblcada dentro de él. Ejemplol .
Calcular la inlensidad del carllX' eléctrico, de manera que un electrOn cofocado en el campo, experimenta una luerza eléctñca igual a su peso.
= 1,6 • 10-'9 e
d=?
m = 9,1 • 10 3' kg
I=?
Q
I IFI " IEI . Q I o I F " E · Q I
W -Q 8
r- d -¡
/ I ""
O-
v,
V, c
o
RESOlUCIÓN : IEI = 11'1 Q
Sea +O la carga auadora del carllX' eléc1rico la que por alraceión etectr06lálica frenará el despla2aniento del éectrtrl hasIa su deterrión.
(I)
Pero según el problema I F I debe ser igual al peso del electr6n Sabiendo Que: F = W " m . g sustituyendo en (1):
al El alcance máximo se calculará asr: vf =VF-2ad Pero cuando logra el alcance máximo:
V, = O
IEI " m, g
..
Q
sustitUyendo valores: IEI • (9,1 ~ 10-31 kg) (9,8mls2) I,e . 10-'9 e m
kg . 2"
IEI = 55,7375. 10-'2 Rpla -:
e
S
lE I = 557375 • 10-'2 N , e
-NOTA: IEI
O"
.-
d
28
PI
Cálculo de la aceleración: Para calcular la aceferación, tMjor dicho la desaceleración del eectrOn:
E " F
Q
Pero: F
= m ,a
luego, reemplazando:
=E
Un electrOn que se mueve a lila veIoádad de6.10' cmts, es disparado siguiendo la dirección radial de un carllX' eléctrico cuya intensidades 2.10' NIC, de modo que relarde su movimiento_ Si
Ejemplo 2.
vF - 2 ad vF = -
Luego:
de donde:
a" E_Q m
v~_m
En {tI: d = 2E _Q
(2)
FlSICA GENERAL
d ~ (6
x
2
K
f\:Jta.: b)
107 m/sf • 9,I • 10'31 I(g 2 K 1~ ~ • 1,6 K 10. 19 C
413
vamos a probarlO, sabemos que:
d = 51,18 (]ll
V, = VI' a I
EA
VI = O
->
O=V,.81
1=
V,
a Sustituyendo el valor de a dado en (2): VI·m
1= 6 x 107 mis. 9,1 • 10'31
R¡n.: I
~
~
Q
I
= K I~I
¡ La intensidad de C8rrco eléclrico en un pon10 es independien1e de la carga puntual +q l. Oepende sólo del valor abSOlUto de la carga "O" y la distancia ·d·.
Donde:
Susl valor de (2): I " -E .q 2 x la·
rfI
Q
CáIcUo dellierT1x>:
..
K~
F
EA :: - ::
• 1,6 x lO·IU C
0,17 . 10 " 5
INTENSIDAD DE CAMPO EL~CTRlCO
EN UN PUNTO DEL CAMPO ¿La inler6idad de c:atll)O en un pllllO, depende de la carga de prueba "q" Lt>icada en dicIIo pLnIo? ¡No!
EA : Es la inlensidad de campo eléctriro en el punlo A, serrKIeen'N/C" 6"V/m' qUeSB
'JerA más adelante. 101 : Es el valor de la carga 'generadora' del campo eléctrico, se mide en "C" d : ~ncia entre el centro de la carga O y el punlo A. se mide en 'm' Esta ecuación nos expresa que la intensidad de campo eléctrico en un punto de d;. cho C3r1"4JO es directamente proporoiooal al valor de la carga Q, e inversamente proporcional al cuadrado de la dislallcia
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1,
Se liene una carga Q = 5
x 10' C, que está en el aire y crea un carrpo eléctrico. Calcular:
a)
La inlensidad del campo a 30 cm de la
b)
La fuerza con que actúa sobre Lm carga
Apla:
lEI = 500 N/C =>
b)
masa-O'.
-F=4x",C,500 '" N
C
q,,4.1Q-IOC
F" 2 x
RESOLUCIÓN :
O = 5 x 1009 C
Rpla.:
E= ? F=?
q " 4 • 10.10 C
PROBLEMA 2.
al
-
IEI = K
d = 30cm Q
rfI
gNxm2
= 9 . 10 ~x
5 .1O'9 C x (0.30 m)2
F ~ q.E
7
10 N
¿CuáIe6tacargaeléc1ri-
ca "O' cuyo cameléclrico a 50 cm de ella tiene una magnitud de2 NIC?
RESOLUCiÓN : E
~
K~
Se trala de calcular la carga eléctrica creadora del carrco:
ELECTRICIDAD
414
EcP Q a
Rpta.: Q
~
K ~
2~ x
(O.50m~
9 x l09
~
ó: m.y
m=~
=E.q
9
sustitU)'eOdo los datos:
5.5. 10-" C
=
1El : 1FI
m~ Apta.: m
~
PROBLEMA 5.
¿Cuáleslaintensidaddel campo eléctrico de un punto'A'queestáa 10m deunacargaeléclrica "B" de·50 ya 1Smde una carga eIéclrica 'C' de +90 C, sabiendo que "B' Y 'C' están a 20 m de distancia?
e
, A/ ~-_~E
e
N ..JI IFI = 1 . 13 . lu- u.e.q.
IFI
x
lr1"
/ /
15m , ,~
1 C..JI 3" lu-
,
= 4.33N
/
~Om
,,
/
+90C,.'
Rpta.: I FI = 4,33
e
16,3kg = 16300g
IFI = IEI xq
1F1 = 1 N - • 13 C
" 2 " 10-1
9,8 m/s2
q
de donde:
~
8 " lr1
CalWar la fueI'2a con que repele una ca rga eléctrica creadora de un campo eléctrico a lJ1a carga puntual de 13 .1~ u.e.q. situada dentro de ese campo. Calcular en dinas si la intensidad de{ campo es 1 NIC. (1 N 10' din) RESOlUCIÓN : Se calcula la luerza de repulsión en N y luego, se transforma a dinas:
PROBLEMA 3.
\ .50C
I'L _____ .so_C______ ~
x
lOS dn
.,..
PROBLEMA 4.
Dentro de una campo cuya imensidad es E~ a x 109 N/C hay una carga eléclllca, de signo contrario a la carga eléctrica creadora del campo de2x 1000C de carga. Calcular su masa expres
20m
C
B
RESOLUCIÓN : Cálculo de la Intensidad de campo en "A', creado por 'C'
-
O
IE11=K ..¡
-
Campo
rjNxnf
..
90C
"'C2 x (15m¡2 ..JI N I E,I ~ 3,S. 11.- e
I E,I = 9 x 1
Cáb.Jo de la iltensIdad de carT1Xl en "A' creado por 'C': mg
RESOLUCIO'l :
de donde:
F = E.q
415
RSICA GENERAL
Cálculo de la intoosidad resultante: IEI =
J IE~ I+IE~I+2IEIIIE2I x
x cos (180 • a) Cálculo del ánglAoa: En el triángufoA8C: r.-=","-. tg ~ _ (p -b) (p oc) 2p(p-.)
tg ~2 =
..
a
7,5
x
(1)
"
Intensidad de "N, es impulsiva:
-
a
dl
1E,I = K
12,5 = 129
22,5 • 2,5
•
IE,I = 9.109 N. rr?- • 900
02
104,43" Sostituyendo los datos en ( I ): IEI=
RESOlUCIóN : Cáb.Jlo de la intensidad de campo Ede cada una de las cargas sobre el punto ceniral 'P", Las intensidades de "S" y "C" son atractivas , la intensidad de "N es expulsiva, conforme se ha indicado en la figura.
=
dl
Cálculo de "d', o sea AP:
d=~AM=~Lf3
e + (4,5.109(;N)2 (3,6.10tN)2
3
~ .2f3 •
d '" 1E,I
3
= 9. 109
.t;
=2
~. se
(2 m
lo-
• cos 75.28" I
2
É., 1 - 13.5
x
9
10
~
(1)
Intensidad de '6". es atractiva: 18
. 10
~
-
+ 8.23 . 10'8
1E 1 = S,44 • 109
•
-
~
-
e
caJga
puntual
e
dedoode:
Calcular la inteosidad de campo en el clrcul1Cll!llro deuntriánguto equfláterodeladoL=2J3 m cuyas cagas en los vértices tienen los wJores " lOGIl ados en la ne que en el cer1ro dellIiángula hay una
_oN.rr?-
3e
I E,I = 9. hr - - 2 - ' - .:1
N
PROSLEMA 6.
fgn. Se SI.po-
a
1Etl = K I!
·3C
x
-
.Q
1E2 1 = 6,75 • hr
"
(2mr
eN
(2)
Intensidad de 'C', atractiva: -
~.
-
N
lEal = IE 21 = 8,75 .1u- O Para ercontrar la resultante de estos tres veclores se traza un sistema 'x Y', y sobre este sistema se proyectan los vectores para calctr lar LE. y LE. '
:L h = IÉ,I+I ~I COS6QO+IEalcos SO"
pooitiva.
.=
:L E A
C
IE,I+2IÉ2Icos6QO
1: E• = 13,5. 109
~
+ 2 • 6,75 •
416
El.ECTRICIDAD
jo(
109 )( -N
e
e N
:t Ex = 20,5 x 10"
1
jo( -
2
(a)
:tE, = 1~lseo6O".IE3Iseo6()" -
Pero:
-
IE21 = IE31
Luego:
E(, = O
Como: IE 21
= J(EEi + (EEl
,..-__._--,c
RESOlUCIóN :
El valor del C3r1lJO E en el punto 'PO es la resultante de los vaIo
Ahora por otro lado, como las cargaS "q" son l!jUales pero de signo contrario sus valores modulares son ígtales, es deor: -
I E,I = 20,25 x 10' NfC
Rpla.:
-
q
q
IE,I = IE2 1 = K2' = -2--2 d • +b
IÉ21• J(20,25 x 109 N/C¡2+ O
Pero en el paralelogramo la resultante se cal· culaasf:
Cálculo del ángtJo q.Je forma, con el eje Y el \'eCtor resul1ante E de la Intensidad de campo creada por las carg'lS A. By C.
IF O t~ a = ::2. = =O I F• 20.25 x 109
Apla.:
a
= O"
PROBLEMA 7.
Sobre Uf! mismo plano hay dos cargas iguales 'q', unaposi1iva y la otra rlIlgati\lll.la separa· cIóo de las cargas 'q' es de 2 a. este ~o se llama 'dipolo eléctñco'. Sobre la mediatriz de la recta QlJe los une y a una distancia b (donde b > a) se encuentra un punto 'P' de carga positiva. Calcuiar el valor del campo E en ese punto debido a las cargas +q y '
,
-¡ __ _~~~-q
,
I ,
I
'
bl I _ I E
"\ d '
, \
I "
1
'
/ d lit
,
IEr' = 21E,¡2+2IE,r'oosa IEr' = 2IE,¡2(1 HXlS2a) pero:
1 + cos a = 2 cos2 a
iIJego:
tEI = 21E,Icosa
Sus1ituyendo ( I ) en ( 11 ): IE t = 2K
.
..
IEI-
,,
p
E, '
2
2kq
~ IEI
=
q
2 cosa;
+b )
. _8_
2akg (a2 +
ifi* =
La carga q, 2 X lO' coulombios y la carga q. = 4 . 1~ COldombios están a una ástancia de 1 000 m. ¿A qué distancia de Q, la intens~ dad de campo esnufa? PROBLEMA 8.
\
(a
- (a2 + b2)V2 a2 + b2
\.
"
(11)
FlS/CA GENI'RAL
417
F = m,g F = E. q
tarrbién: E
1-- -
L
Q, ..
t _ _ _~J
Q.
E.q
~
m.g
2. '0.3 kg. 9,8m/s2 q~ SOONIC
RESOlUCIóN :
Sea P el ptI1Io dorde lasirtensidades ele campo son nulas; O en otras palabras, el puntO en el cual se anulan los campos por SIlf iguales,
Apta.:
esdedr:
PROBLEMA 10.
IE,I
~
luego :
q, q2 IE21, ó: K"2 = K--,:, •
Sustituyendo datos
(L-.¡
y simplilicando:
q
= 3,92 x 10.5
e
¿Qué ángulO forman la
cU9fda quesosliene a lila carga de 4 e ymasa Igual a 2 kg, con la vertical, SI actúa un campo eléctrico de 4,9 NJC?
AESOLUClóN :
= de donde:
.¿. .2.·
t = O
Apta: x = 0,41 m
¿ ClJál es la carga de una partlcula de masa 2 9,
PROBLEMA 9.
permanezca en reposo. en ellaborabio, al ubicarse donde el campo eléctrico está dirigido hacia abajo y es de intensidad igual a 500 NIC?
par.! QUII
Diagrama de cuerpo libre de +q: yI
T
RESOLUCIÓN : D.C.L partícula
E
I
F_E ;:.:. '!. .• ___-tl:.--:..-
F
q
Taena
mu I
• )
• Paraquehaya 1ePOSOO eqUIlibriO la carga de la pequeña masa debe ser de signo contrario al del campo. Sálre esta base: l:F y =0
(11. (2r
l:f, = o
T . sena=E.q
{tI
1: Fy = O
T . cosa - m.g
{21
Iga =
E.q m.g
ELECTRIClDAO
418
Iga =
4,9 x 4 2 x 9,8
ello mediante dos hilos, y que poseen una masa ·m·. ¿ Cuál será la carga .q" que deben tener dichas esteras para que estén en la posícIón mostrada?
=
Apta.: a = 45" PROBLEMA 11. En la figura, un ascensor abe COI\ una aceleración ·a·.Oootrodel etevact>rhay un ca"lJO eIéctrico 1ribme·E" q;ehaceq;e la 0Jefda bme lrl árguIo "9" con la vertical,Halar el vaJor de "E".
f· O.C.L de +q
RESOLUCIÓN :
, y T
Tsena
RESOlUCIÓN: QC.Ldeq
I y
--t~......
-- • Teosa
mg
1: Fy = m.a
a) Taena
q
Tsena · m.g = m.a (1) Tsena m(g+a)
=
m.g
b)
l:F,=O
; T.sene=E .q
1:F,=m.g ; T.cos e=m(gu)
(1).
(2)' ~
(1)
IF, = O
Tcosa
(2)
Eq tge = m(g+a)
t
tga =
m(g + a)
KQ2
L2
E = m(g+8) . tge q
cf PROBLEMA 12. Un etevact>rsl.Decomm acetera.ciónCOl1S1anle "a·. Si deI1tro de él, hay dos esleras atadas alle-
= \q
ApIo.:
=
q =
~ (g -+ a)~ K . Iga
m(g + a)
L Klga
(2)
RSICA GENERAL
PROBLEMA 13. Dentro de dos placas caro gadas positiva y neg~. mente, ruyocarrpo 1iereuna Intensidad' E', giralrifonnel11ente una esferita de masa '111' y carga "+q', suspendida de un hilo de Iongi-
b)
419
:H,=O T . cosa = E . q+m . g
(2)
Sustituyendo (a) en (2) '
!Ud " ', como Indoca la flgUlll. Calcular:
a) La tensión del hilo. b) La energla cinética de la esfenta.
+
+
+
~ ,
É
/"~
/
-
mV2 = L.sena . lga(Eq+mg) L
1-\ !! - _Il. - 4~q -,
l/
"'-
- RESOlUCIÓN :
+
T
Teosa
- ....I--- -
.
I I I
rAf _--0-R '
I EF. = m.• ,
•
(1) \....
a. = !le
Obsérvese que:
y:
a(Eq+mg) 2
I
F=E . q
m g
a)
Ec= l..ena. t
PROBLEMA 14. Dentro de un ascensor que sube con una aceleración "a" se encuentra una esferita de masa '111' y carga 'q'. suspendida en el techo de U1 hIode kx1!J1Ud"'; gra alrededor de U1a carga oc( irrróVi. Detll'ml"lr la velocidad a-lQUa,'w" c;onstarte, con que 9"8 pa1! que el ángUo 'Pl lame el hIocon la VEr1icaI sea Igual a 'ci'.
QC.L de +q:
T_a
Rpta:
Q
'"
v2
ac=R RESOLUCIÓN :
Además en la fogura propuesta:
R
= L. sena
VI
QC. L.deq:
T
I
Teosa
Be = l.sena I
SusIi1uyendO valOres en (1) :
....... - - ¡ - .....
/
m.V!
T. sena = ;L ~""7 . sena
I
-
q
F
.. - - - - -'---(jj~~ , Tsena,..
, _- ....
(a)
a
m· u
•
ELECTRICIDAD
=m.• c pero: .c =w 2 .A .. Tsena· F =m. w 2.R a)
l:F.
~
donde: F = K
l·
"1
(1)
y. A = Lsena
Reemplazando en (1):
T sena· 2Kcf, = mw2 Loena t serra dividierdo entre sen a y despejando T:
. Ka2
T=
;r.:3:: .. mw2 L t
b)
~en
l:F y
a
(2)
= m(g +a)
l:Fy = m.a
Como:
F, = E.q,
y:
F2 = E·Q2
(m,' ~)g. E(q,'q2)
K Q2 =m(g+a) L2 senla rosa
mw2 L= m(g.a). K Q2 ros a L2 sen3 a Loosa
Para el conjunto:
luego:
iguaJardo (2) Y (3) :
w2 = (9 +a).
al
(3)
rosa
mw2 L+
RESOLUCIóN :
m, . g+F,·~.g·F2 = (m,·~)a
= m.a y
Trosa· m.g = m.a
T
m, . g
Kcf m L3 sen'a
~, a= (1T1j.~)g+E(q,·Q2) (1) 1T1j+rt\:¡ b)
D.CLdeq, T
•I
1
Rpta:
(J)=[~:'ml:!n3aY
PROBLEMA 15. Dos esferitas de masas m, y m, con cargas +<1, y +
=(m,' ~)a
E q,
+
I m· u,
l:Fy = m.a
m,.g + E.Q, • T
=
m,.'
T = m,.g. E.q,· lT1j.a
(2)
Reemplazando (1) en (2):
Apta.: T = 2m,m,o· E(rt\:¡q, .m,G2)
""+~
421
FlslCA GENERAL
PROBLEMA 16. Si en cada uno de 3 vértices de ¡., cuMrado de lado'!..' se coloca ¡.,a carga p!X1tual. todasiguales; dEmosIrar que la irCensidad de campo en el ruarto vérticetiene por magnitud: E
~ 12[~~~
Kq.J2
ElOlAl -
(a) : _Kq
-¡:¡- + 212
ElOTAl=.j2[~(4+J2)]
.-_
(4.12)]
en
Reefl'4l\az.andO (e) y (B)
I.q.q.d.
PROBLEMA 17. En un campo aec-trostático uniforme de intensidad ° E° y cuyas lineas de fuerza están dirigidas verticalmente hacia arriba. puede girar, en el pIanoverlical, atada a un hiJo do Iong~ud °Lo, una esferita de masa °mo y carga o.q".
, I
m. g
E
" 11
RESOlUCIÓN :
Pordalo:
q , - q2: q3 - q
.q
m g
Eo (RestJtante de E, yE 2 ): (a)
El OTAl = Eo + E 2
¿Cuál es la wIocidad horizontal que hay que COITlI.f1Ica~e a la esferita, en el punto más ele-
Cálculo de Eo'
Eo = JE~ •
E~
(1)
de la esferita?
CálcUo de E. y 1:,:
RESOLUCiÓN :
El = K ~
(2)
~ t:
(3)
~
E3 = K
vado de su tJayecIOria, para que la tensión dal hilo en el punto más bajo sea 1O\'0005 el peso
1.
De la figUla. para la posición (2) :
m . V~ FR : - R-
SusbtJJyerIlo (2) y (3) en (1) : Eo =
~.J2
CáIcUo de E.: E - K q = 2 (l.j2)2
(B)
T2 + E.q - m.g
Por dato:
m . V~
=-
L-
m _ v~ L-
=-
T. ," 10m . g
De tal manera que: E.q+9m.g =
m .v~ L
422
aECTRICIDAD
. (E .q + 9 m.g) L 6. 2 11.
= m .V~ - 2-
(a)
F = m . a·
(a)
F=-e . E
(b)
Porconservac:ión de la energía:
WF
(EXTEAIORI
-e.E = m.a
=AEKtAE p +
-e .E
a = -
de dorde:
( 1)
m
• W(REAl.IZAOO COHrRA El CAMPO ElCIDIORI
Sabtendo que: Y = VOy I
~ando:
O=
!
m.V! -
~ m V~ •
t
~ a 12
=
Pero V O ; además sustituyendo "a" por su valor dado en (1) :
m.g (O) -
- m.g.2l + E.q.2l
m.V!
-
m.Vf
=-
2
2
lA
.m.g.2L -E.q.2L \p) Para el movimienlo horizontal:
Reemplazando (a) en (P) :
X
Apta: V, = rL(m. ~. E.q)
¡;;;:
VOl
1= -
X
(3)
VOl
PROBLEMA 18. Un electrón que se mueve a una velocidad de 10' mis en la dirección .X pasa por el punto X =y = Oen I = O. Si existe un carrpo eléctrico de 10' NIC en la direcaón +Y. ¿Cuál será la coordenada "Y" del etectrón cuando pase por el pLrrto X 20 cm?
=
RESOlUCiÓN :
Reemplazando (2) en (3) .
x2 y = '2 ' m vS I
El slgno(-) u1dica que su posiCIÓn vertical es por debajo deY =0. Reemplazando dalos numéricos:
Para el movimienlo wrtical:
.,
Y--
y
1
- 2
v -o
---< ,,).--b--I-+-f---f-+, Vo .... 0
e.E
,
1,6 . 10"'9 . lO' 9,11 x 10'3'
e
(0,2)2 72 (10 )
= 1 ,~.!.0·'9C =1.756xl0 9,11 .10 3'kg
kg.IC
"
A escala alómica \as fuerzas gravi-taeicr naJes soo completamenle despreciables por escsehace:
rn , g« e . E « : Mucho mano< m . g« e . E
x
Efectuando: RpIa: Y =-35 cm m
Diagrama de cuerpo libre del electrón:
•
423
FfSlCA GENERAL
PROBlEMAS PROPUESrQ$. CalcUlar 18 intenSIdad ele caJll)O en el cljD.lro de untriángulo equilálero de lado L _ ,¡ 3 m. La. carga. están en los vértices enA;2 C. en B=2C, enC = 4 C.
,.
nes del flujo electrostático y el eje del dipolo.
La separación de las cargas es ',. ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA 'U·'
•
Rpta.: 18.10' N/C 2.
CaicWlt la Intensidad del campo en un punto situado a3 m de una carga de ~ C
Rpta.: ·JO.IO'N/C
En el vértice de un triángulo equilá·tero se pone una carga de 1 C. ¿Cuál es la intensidad del ~ en el punto medio del lado Be? 8 lado del triángulo mide 30 cm. 3.
Es una magn~ud flsica escalar ~ está VInculada al ~ eléctrico UNIDAD: En el SI. es el joule 'J' Consideremos una carga positiva +O fija y su respectivo campo eléctrico asociado. tal como se muestra (se desprecia los efectos gravitatorios).
Rpa: 133,3.10' NIC A LIla carga de +1001' C se le aplica LIla carga de ladinas. Calcularla lI1Iensidad en el punto donde está lbicada la carga. 4.
R¡ta.: 1 NIC ¿Cuál e la intensidad del campo ele una carga de 3 C 8 una dIStancia de 8 pies? t pI8 0,304 8 m
5.
=
Apta: 4,54. lO' NIC Una esterilla de masa 'm' y de carga 'c¡' está suspendida de un hilo delgado de t~~ud"L', dentro de un condensador plano de láminas horizontales. La intenSIdad del campo del coodensador es igual a E. las lineas de fuerza están dingidas hacia abajo. Se pide haDar la frecuencia de las oscilaciones de este péndoo
6.
Demostrar que culW1do un dipolo se enruentra bajo la acción de un campo eIéctrico uniforme actúa sobre él un par de fuerzas. cuyornot'l19ntO es' M _ E q rsene, en la Que9es el ángulo formado entre las direccio-
7.
¿Qué sucede cuando una carga de prueba +Q se suela en el punto 'A', dentro del campo? Sobre dicha carga de prueba +Q actúa la
fue= eléctrica del campo F, la cual le transmfte rTlOIIlnientO. ¿ Qué actividad reahza la fuerza eléctrica del campo sobre la carga de prueba +Q? La fuerza del campo realiza un trabajo
W:.a.
mecénico: ¿La fuerza del campo hasta Qué momento actúa? La luerza del campo actúa hasta que su valor se hace cero. ¿En qué Iug¡lr la I]tenSldad del campo eIécIricoesnula E ; O? En un lUgar donde no llega el electo del C8Jll)O eléctrico. A ese lugar le "amaremos infinIto· 00 ti. El infinllo es una posición relativa y depende del valor de la carga generadora a,
424
ELECTRICIDAD
a
sí la carga es pequeña su '.lfintlo' está en un punto relabvamente cercano. n ieo lb as que Si la carga a es gande su 'infl"lito' está en un pullo relabwmenCe lejano. FlIl8ImEr'lte: SI el campo eléctrico tiene ~d para raallZartrabajO l1l9Cár«:o; en!mees ¿posee o no energía? IEI campo eléctrico sí posee energía!
CONCLUSIÓN . Si el campo eléctrico es capaz de realizar Irabajo mecánico es por que posee energla llamada 'energía potencial eléctrica: U".
Entonces la conclusión es que: UA
UA
F
B:_
,
Ue
= ~-o6
La energía potencial eléctrica para un sistema de 2 cargas lijas (a y q) y separadas una distancia 'd' se define asl: U
-t-"c.-¡--
'
De la Ley de conservac&6n Y transloonaci6n de la energía se puede dearque: Energía poIencl8l el6ctnca en 'A' = Trabajo rnecánoco de la tuerza eIécInca apficada sobre la carga de prueba, para desplazarla desde 'A' hasta '8" (o de B hasta A).
A·
T F
A.8:
K IOl.Iql
-d-
Dorde;
U. : Energla potencial eféctnca del sistema medido en joule •J'. 101 YIql : Valores de las cargas puntuales medidas en cct.brb 'C'. d . Distancia entlll a y q, en 'm'
En el pullo A_del carTlJO, la f1IensIdad decampodécttlcoE~ es mayor que cero, aSlln¡smo taenergia potencial eléctrica U. del SIstema de cargas a y Q es también mayor que cero.
EA> O
Y
UA> O
En el punto B del campo (infin~o). la intensidad del campoeféctrico es cero (por estar muy lE(os de a) y la energla potencial eléctrica tam-
b,,!nescem.
E,,=o
y Ue=o
K," 9·to9
N-rr: e
El trabajo que se realiza para trasladarlacarga 'q' deAhastaBes equivalente al trabajo para trasladar de B hasla A. soto que cuando se traslada de B hasta A, el lrabajo es realizado por un agenleexterno al campo eléctrico para vencer la fuerza repUlslV8 que el campo ejerce sobre la carga 'q', Cuando 'q' pasa de A a B PI ERDE ener, g/a. cuardo pasa deBaA, ACUMULA energía. NOTA :
POTENCIAL ELÉCTRICO "VA" Recordemos, primero, que IOdo ptX1Io del campo está caractenzado por una magnitOO vectOll"lllamada Intensidad de campo electnco 'E', Del rrlsmo modo lodo punto del caropo larrtlién se caracteriZa por una magmtud escaJar llamada potenC181 eléc\nco V ,
El potencial eléctrico, pues, mide la
energía que posee el campo por unidad de carga pero en forme escalar, En forma m81emátJca se le define como el cociente de la energla potencial eléctrica y el valor de la ce rga de prueba lbcada en el
FíSICA GENERAL
pu1Io doooe se desea conocer el poleOOsL
425
I Voltio =
Unidades:
1 joJe 1 CCIJorrb
OBSERVACIÓN:
*)}-:
B paenciaIV puede serposilM>, negaIMlo rúo V (+) : Si la carga Q es positiva V (-) : Si la carga es negativa V (O) : Si la carga Q es mJa Cuando la dis-
a
tancia d tiende al inlin~o.
CONCLUSIONES :
I
VA
=~
I
Todo campo etéct~o se manifiesta por su fuerza eléctrica F y su energía poten-
1,
¿ Cótro hallar el potencial eléctrico "V" en el
ciaI U, corno se dijo antenormenle Todo earT1lO eléctñco posee dos ca-raelerlsticas:
2.
pmloA?
Ubicardo lS18 carga de prueba "+q" 00 el pun-
VECTORIAL
to A. sadéfine:
K9..:..9
V,
º
= UqA =__ d_ =K q d
¿8 po(enaaJ "V.. en el puniD A depende nacesariamente de la carga de prueba "rf? ¡No! Depende directamente de la catga Q creadora del carT1lO. e inversamente de la c';slanas "d" de A a Q,
r,-v--=-K--::-~-',
~ E =
F
q
ESCALAR
I v=*1
RELACiÓN ENTRE CAMPO "tE" y POTENCIAL EL~CTRICO "V"
Se sabe que todo punto perteneciente a un campo eléctrico .!le caracteriza por la inlensidad de campo EAyel po1enciaI elécIñco V. en dcha punto.
p
Donde: v. : Potencial eléctrico en el punlo A. en vo ~ oos "1/' (1/ =JIC), d : Distancia de Q a A, en metros "m", O : Carga generadora delcarrpo, en coúorrb
"C",
K NOTA :
= 9 . 10t~
En la tórmula se considera el signo de la carga. como sa IlE!m pos-
teriormer'(e: La ecuación de no& ináca qoo el valor del pota-rial es directamente proporcional al valor de la carga Q generadora del campo. Asimismo el I18Iar del potencial vana en forma inversa-mente proporciOOal a la distancia
Sea E.la ontensidad del carrpo eléctñco en el punteA:
a
"1/"
EA = K di
o:
EA =
(K~H
(1)
•
ELECTRICIDAD
426
Pero:
V.
~
o
Kd
(2) •
¿Cómosedetemina la diferenciade pctercial?
La d~erencia de potencial: R~
(2) en (1):
EA ~ VA
.d
Donde: V. : Potencial eléctrico en el punto A, en I'O~ tios 'V"
E.: Intensidad de carrpo eléctrico en el pun0
(d.d.p.: V. -Va = V.J, sé detemúnáaplicandc la ley de conservación y transformaá6n de la energfa: 'La _rgfa potencial en el punto A es Igual a la energfa potencial eléctrica en el punlO B más ellrabajo reaflZ8dopor la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba q para tras· ladal1a desde A hasta B-. Es decir: ENERGíA POTe.cIAL
=
ELeCTRICA EN A
• lO A, en 'NIC o "V/m'.
a
d : Distarcia de a A. ffiOOda en metros 'm'.
ENERGIA POTENCIAl EL1cmICA EN B
+
TRABAJO REAI.I.ZAOO POR LA FUERZA
+
DIFERENCIA DE POTENCIAL VAS
Se llama Diferencia de Poterrial al traba· jo eléctrico "T .' que debe realiZarse para mover, a llelocidad constante, una carga de prueba positiva 'q' desde 00 punto A hasta un punto B situados en el mismo campo.
ELtCTRICA DESOE A HASTA B
u. ~ Ua + wLa VA · q=V. ·q· wt..a
(V •• Ve) Q ~
wLoII
a-
Sea una carga y su carrpo dentro del cual soltamos una carga de pru9Jaq- situado enA Donde:
q
Sabemos:
EA' Ea
u. > UB V. > Ve
Es la carga de prueba positiva que se traslada po( aCCIón de la fuerza del campo. se mide encaJoniJ "C'. V•• Va: Es I.a dijerencia de potencial. se mide en voltios 'V". \if..... : Eseltrabajomecánicoreaizadopor la fuerza del campo. se mide en joule wJ•. Unidades C.a.5. que aún se usan :
¿Qué existe entre dos ¡x¡ntos pertenecientes
a:
a un campo eIéc1riro?
K
Entre dos ¡x¡ntos A Y B de un mismo campo eléctñco existe lS1a 'áferencia de polencial' (V. , V,).
~
u.e.Q.
d : cm
1 dina an2 (aire o vacio) (u.e.q.)~
V= l erg~ , u,e,v.
u.e.q.
FISJCA GENERAL
427
PR08lf.MAS PRQPIIE$lQ$ Un cuerpo tiene una carga de 50.10-'" C. ¿Cuál
PROBLEMA 1.
de = 10cm
es el poteooaJ 8 una distanaa de 25 mm? AESCllJCIÓN :
= 50
x
d = 25
x
Q
Q
V = Kd
Se sabe:
¿
V = 9 x 109 N x
x 50 x 10'0
c2
V
10" 0 e 10.3 m
~
l000
N
25
;m
=
x
e
10-3 m
w,., = q (Ve' V~)
1800~
pe"'; VA
f1Jta: V = 1 BOO voltios
=K.Q. 'A
: I\¡
=K .9. ro
Una esfera está cargada con 200 u.e.q. ¿ClJáI será su potencial a 2 mm de distancia?
PROBLEMA 2.
RESOLUCIÓN:
Q
= 200 u.e.q.
d = 2 • lO"
cm
w,.,
Recordando que:
V
_ 1 di" x cm2
-
.2
(U•• •q.,
x
= 9 • 109 • 5 x 10-11
200 u.e.q. 2 x 10' 1 cm
V = l000dn xcm = 1000 erg .. e.q. u.e.q.
x
Apta.: W",
ex2x
1) 10-6(1 O,tOm' O,5Om
e
= 7,2. 10~ J
Determinar, seg«11a figura, los potenciales en o A" y "80 debido 8 la carga a . y calcular el trabajo que se realiza para transpoflar una carga de +150 u.e.q.desde "S" hasta "A".
PROBLEMA 4.
Apta.: V = 1000 u.e.V.
Calcular el trabajo necesano pera trasladar la carga"qO =5. 100C. desde 1I1 ¡:tJnto "A" en el aire, a50cm de la carga a = 2.10' C, hasta otro punto "BO a 10cm de ésta~ma. PROBLEMA 3.
AESa.UClÓN :
w= ?
q = 5 x 10-11 e
= 2 x 10-6 e dA = 50cm Q
+ sou.e.q
A
0 --
B
-0 -----------0
L,ocm
1
2Ocm-1
aECm/CIOAD
426
q ~ ~15Ou.e.q.
RESOlUCIóN :
RESOLUCiÓN: Vp = ?
WN) = ?
a)
Potencial en A: VA = 1 di1 •
x
ler8 C
O2 ~ 8 x 10-6 C
di : 0,3Om
VA = K ~ r
ar?-
01 = 6
d2
~0,80m,O,3m=0,5Om
+50 u.e.q. 10 un
(u.e.q.)2 x VA = 5 din x
un
u.e.q.
= 5 u.e.q. erg
VA
b)
(a)
Potencial en B: Va = K 9
Los potenciales creados para ambas cargas positillOS. luego:
r
VD = 1 din •
ar?- •
{u.e.q.f
pos~ivas son
+50 u.•. 920 an .
Vp = Ka'
r1
+K~r2 = K(O'1 ~ Or22)
VA = 2,5
u.e.q.
Va
= 2,5
erg u.e.q.
v"
(bl
... N.m2
= 9 x lux
el Obsérvese que se quieJt! calcular ellfa-
~ •
(6 . e• 10-11
8 • 10-"
0.30 m
e)
0.50 m
bajopara trasladar la carga de ' B" hasta 'A' Y no de 'A' hasta 'B', luego:
Recordando:
VA - Va =
", N .m
Vp = 145.8 x 11,.. - C-
W
qBA
Vp = 145,8
WBA = q ~A - Va)
Rpla~
x
Vp = 145,8 x 103
103
t
v
Suslituyerdo dalos:
En una recia hay un pur¡. to'P", a30an de este punto una carga O. :+3 e ya 80 an de esta ca;ga a, =-4 C. Calcular el potencial del punto·P", PROBLEMA 6,
WBA = 15() u.e.q.(5-erg- -2,5~I u.e.q. u.e.Q. Rpta.: WAa = 375 erg
PROBLEMA 5.
Se tiene una carga O. de
6x 10" C y una ytnacar98 de 8 x 10" C las cuales están separadas lI'18 distancia de BO cm. A 30 cm de
a,
a,
hay \.rl punto en la recta que une las cargas a. ya~ ¿CUál es el potencial en el punto P?
RESOLUCIÓN :
d, = 0,00 m d2
=0,30 m + 0,110 m
d 2 = 1,10m
a, =
+3 e
~ =
-4C
v,,=?
FISlCA GENERAL
3C
.. C
--- @-
~
429
o
-----@ 8Ocm .~
1.10
------J
c:rn
a)
Cálculo de po'enaal en A: VA
=
VA =
O,
K-
d,
.
O, d2
K~
K(O,d, + al) d 2
~. N x m2 v.p=9 x hr -2 .
VA
e
X
Ii> = 9 ,09 X
Ii> = Rpla.:
Ii>
01,21 . s
3e 4C ) ( O.30m· 0.50m
5 • (B • 10. C • -4 • 10-1> 0,30 m 0,50 m
2 N x m • 2,IOC O,33m
Apta: y.
cr ,09 N
bl X
e
fil :;'7 w 109
d,
v
a,
lO·SC d, = 0,30 m ~ = -4 • 10.5 e
d, = 0,10 m
= K(O, d.
t
+02 )
!l3
Sustituyendo los datos:
Va = 9 . 109 N • m2 x
C2
' (S ' lO· e..4 . '
a.
d 3 = 0,20 m
d3
/ Ve
= t8 •
(1 1
Va = KO'+K~
En la figura se rruestra una carga de +S. IO" Cy ocracarga a, de-4 . 10" C aSO cm de la anterior. CalculBr' al Potencial del punlo °AO. que está entre las cargasya30cmde a,. bl PoIErClal de 08" que está a la derecha de ya 20 em de ésta. el ¿M es el trabajo que se requiere para trasladarde Aa B una carga de 2.10' C?
d2 =O,2Om
= 6.IOSV
e)
Cálculo de poteooaJ en B:
m
PROBLEMA 1.
RESCtUCIÓN: O,
m2 = 9.10gN-C. . 2
Apta: Y.
el
S
S
0,10 m
0,20 m
= -1.1.IOSV
(2)
Cálculo dellrabajo para traslBdar2.10" COlJomb de A hasta B: WI!=q(VA-Vel
Sustituyendo los dalos: WAa = 2 . ,0-6C [-ll . ,OSV-(-7,T.1OSVl]
ELECTRlaDAD
WJ,B = -O,34C. V = -O,34C
Se sabe que:
eJ
RpIa.' WNJ = -O,34J
V. = 1«0,
PROBleMA 8.
En los extremos de la base mayor de un trapeCIO de e m de Iongnud hay dos cruyas D, = +10 C y 0.=-15 C. La base rnenordel trapecio mide 4 m. CaJctJar la diferencia de potencial en los extret1"QS de la base menor
a,
RESOLUCION,
Apta: V.
= 4m
4m
= 3 . 1000V
B
Va
0, 02 = 1< Be .K BD
9 N x m2 Va = 9.10 ~.
Se calcula el potencial p¡esente en ' A' y en
• ('OC
4J3rñ
'a, y-o.,
"S" por la influencia de las cargas para ello, porGeometria se calC1Ja las distancias de "A' y "8', a cada una de las cargas.
Rpta: V.
Cálculo de la diagonal AO,
z.,f3 m
• -ISC) 4m
= -20,7. IO"V
Cálculo de la áfereooa de potencial enlreAyS:
CMc CO - AB ;2m 2 AM = J(4 mr - (2m)2 =
-15C)
tOC -( 4m + 4J3m
Cálcutodepotencial en B:
am
Q.
AV
C
= .10e
02 = -tSC
O2 )
t
m2 VA = 9 x 109 N x 2 • x
CO = 8m AS
AC
V. - V.
= 3.10'V - (-20,7 . 10"V)
Apta: VA - V.
= 23,7.10"V
Ene! triángtJo rectángulo AMO:
JAM 2 t
1.40 2
M)
=
M)
= J(2./3mr - (6m)2
AD=4J3m
Pero, -
AO =
ca
El potencial de una cruya puntual a una cierta di$!ancla es 600Vy el call1JO eIéctJicoes 200 NI PROBLEMA 9.
C. Cak:ular: a) ¿Cuáles la distancia a la carga puntual? b)
= 4J3m
Cálculo del potencial de A:
¿Cuáles la magnitud de la carga?
RESOlUCIÓN : a) Se sabe que:
V = E, d
FISICA GENERA4
= ~ =:
d b)
= 3m
v,.=K(~+~)
(1)
Por otra parte:
o
431
= 9 . 109 (50 x 10-6 . l44xl0-6)
V,
"
= Vd
5x10-2
12xl0'2
(2)
K
(3)
Vu = -18 .100V
e)
Rpla.: Q
Cálwlo del po1encial en P:
~ .
= 2 ,10-' e
PROBLEMA 10. Ene1triángulorect\rgulo mostrado en la figura, dortde: a =5c:m,b= 12 cm, 0 , = 5O,1o<'C y a, = 144. 10<' C. detemllnar el trabajo que se realiza para transportara la carga q = 4 , IO~ e desde el punto "P" hasta el punto "M',
,
Por P~ágoras:
..
~
+o,~-o, e
I
e = Ja 2 + b2
WPIA
la)
q
= V" - ~
lb)
de la) y (b) : VPN = b)
Dedorde:
lVN - Vp) q
n
13
144
n •
Para P:
= 25 13
= e - m = 13 - -25 13
Vp
13
Ka 8
Vp
= 9 xl09 [5OXI0-6 . 144 X10-6J
~ x 10.2 ~44 x 10.2 13
a
V - K d
~
..
e 52
m= Ahora:
.2
=
ll)
CálculodelpoCencial en M:
Para M:
m
m
Su~uyendo datos :
Satiendo:
"
=e
a
Por áreas:
deescóbir:
VPIA
2
I
La carga se transporta de P a M, sepoo-
VI'toA = -
= 13an
e
RESa.OOóN : a)
(2)
Ka
~ +~
13
Vp = 9 x 109(26 . 10~- 13 • lO·) De donde se tiene:
RECTAlellJAD
(4)
Vp = 117 , IC)fV
RESOluaÓN +
Aeerrpazando (4) Y (3) en (1) :
•+
Wpw = (·18.10$·117 . 105).4.10-6 ~:
+
+
= ·54J
W...
+
•
m
+ +
PROBLEMA 11. En una de las esferas de la figura, calcular la rela· ción de las inleosidades del calT"4Xl elécIfco.
cm
Diagrama de cuerpo libre de 'm' t y . I
T
T 000 lO'
RESO-UCIÓN :
Al ponerse en contacto
q
ambas esferas mediante
el conductor (a lambre) se rull'4lle q.¡e:
VI
= V2
.......!&-- - - • Tsen 10·
(1)
Adem!s:
V, = E, r,
1-
V2
,mg I
1:F. = O
= ~r2
Eq - Tsenl0· = O
Reempla2ando en (1) :
Tsen lO"
E,r, = E2 r¡ E, d, ~ =
R2
Y
mg · TcoslO"
rl
= RI
(1).
(2r
se tiene finalmente: R2
PROBLEMA 12.. Una pequeña esfera de 0.2 g, cuelga por medio de una ruerda entre dos placas paralelas separadas 5 cm. La carga de la esfera es de 6 , 10I C. ¿Cuál es la dderencia de potencial entre las placas SI el hilo lorma un ángulo de 10"
con la vertical?
Ig t"" v
E=
f11ta: El = ~ ~
(1)
=O
TcoslO" = O
Considerando (JJe:
=
= Eq
1: Fy = O (2)
¡¡;-
r2
Eq
POI otra parte:
(2)
=~ mg
mQtgl00 q
V = E. d
(3) (4)
V : ciferencia de potenciales entre las placas.
Reefllllazando (3) en (4) : V = mgd Ig 100 q
tglO" = 0,176
(5)
RS/CA GENERAL
d.S.1lTz m
VrorAl = -180 V
Rpta:
q = 6 . 10-9 e m ; 2
<
10-4 kg
Sustitu).endo los datos en (5) :
PROBLEMA 14. Demostrar q.Je la expresión que representa el trabajo rec¡uendo para colocar las tres cargas
tal como se muestra en la figura es: V = 2 . 10-4 . 9,8 . 5 . 10.2 . 0176 6 • 109 ' Apta_ V = 2.88
x
~
81tEoa
(1 - 4,/2)
1().3 V
PROBLEMA 13. Oos esferas metálicas poseen una carga de 10" e y ·3 • 10" C. respectIvamente, unIformemente cisltibuidas en sus superfICies. Si Sus certms estan separados 200 cm, el potencial a la mitad de sus centros vale:
\
•
~.q
•
RESOlOOÓN:
,, , ~h I
I I
RESOLUCIÓN ' Las esferas metálicas se
C
q, = IO-f
e
q2 = -3 . 1~
Porformuta se sabe: WA-IJ
e
d = 200 cm = 2m e (ptno medio)
= K -q,qz d-
Por aIro lado: WTOTAl
=W,.Z + W2·3 + W'.3
(a)
K (2q)(-q) __ 2 K
V = KQ
a,/2 -
d
a,/2
Kq2 .[2
W"2 W
2-3
= K (2 q) (-q) a ,/2
WZ-3
(1)
=-8]2 = .~ a .[2
K
=-8]2
W = K (-q)(-q) '3 . 2.
(2)
=_Kq2 2a
(3)
,
ELECmlClDAO
434
ROOf'r4lIazando (1) ,(2) Y (3)
Ilfl
(0:):
SUPERFICIES EQUffOTENCIALES
rf
W = -2 K r! J2 + K TOTAl 8 2a WTOTAl =
-2 Kr! J2
-+Kr!-
•
2a
SustiTuyendo Kpor su valor: -4 1
ltEo
Rptac WTOTAl = _r1-_ (1-4 altEo·
Se denomina superficie equipotllflcial al lugar espacial que equidista del centro dorIde está
J2) \ \
PROBLEMA 15. Dadas 3 cargas "Q" iguales, situadas en los vértices de un tri
3Wo2
Ó
a
\ I
302 4ltE oa
RESa.LCIÓN : (2)
~ •
(')
O
PoIlórmula:
Entre1y2: Ertre2y3 :
Se sabe que los puntos A y B del campo, poseen el msmo potencia/:
•
•
W _ K Q,Q2 d
O
VA (3)
Luego: la diferencia de potencial entre dos pLI1tos pertenecientes a una superficie equipotencial es caro: VAS = VA - Ve = O
También se observa que el trabajoque sedebe realIZar para llevar una carga de prueba "q" entre dos pootos de una supetflCÍe eq~en ciaI es il tdepet Idiente de la trayectoria que se siga y es igual a cero.
Se sabe que: ErCre1y3 '
= Va = K ad
pero:
W• .,.. = v.. _q VAS = O
W~
=O
Esto se CUI1"f)Ie para cualquiera de las trayectorias I , 11 o 111.
435
FlslCA GéNERN..
POTENCIAL ESTABLECIDO POR UNA ESFERA ELECTRIZADA El potenc.al eslableado por una osi"", electrizada puede IiJicarse fuera de la es1ela. mla ~ocie o en el interio< de la esfera.
.,
Ejemplo ; Se tienen dos esfems conducIolaS de radios 0,2 m y 0,3 m, respectivamet1le, y de cargas 70 ¡¡ e y 60 ¡¡ e, Las esferas están rruy ale¡adas enlre sí. Hallar la carga que almacena cada esfera en el estado de equaibrio cuando son conecIadas medianle un hilo conduelor, RESOLUCiÓN ;
Se liene un "sistema cerrado' formado
A
.
• •
por dos esferas cargadas posItlVlllnente .
d "
'
'· O
•
(1)
+
•
• •
•
= 7CIlC
Q,
Potencial en un punto externo"A";
•
R, = 2. 10-' m
O
VA = K -
·+
dA
Potet1Cial m un puno de la S4Jerficle;
Ve =
•
(2)
+
a KA
+
PoIencoal en cualquier pLrto exterior.
Vo
irieroryen la ~de la esfera conductora electrizada el potencial es el nismo (oonstante). moentras que pala punlos exteriores el potenaal varia m forma inversamente proporcional con la distancia.
v (V)
+
R2 = 3
los punios si1uados en el
POTE>lC'~
+ +
q2 = 6O"C
= Ve = K OR
OBseRVACiÓN: Se observa que en todos
GRAFICO ,
0
•
vs. D1STA"IC .... do Q
x
10-' m
Al Inicio: La carga neta es: QfoETA "
Q, + Q2 " 130IlC
Calculamos los potenciales de las esferas
V,,, K ~
Pam (1):
~
v " 9.
loP 70 • 10"
,
V : constan••
2
K
lO"
V. " 31,5 V I \1 O.P. -
Para (2) ; V "K
d
·2
q~
R
2
d (m)
o
radio
R ,. radio
V " 9,loI' . IiO , 10" 2 3 . 10"
ELECTRICIDAD
V. = 18 . lO' V Corrparandolospolenciales se observaque: V, > V" kJego entre las esteras existe una diIerencia de poIenciaL
Se sabe que en los QJeIjlO5 conductores son los electrones libres los que pueden desplazarse. Las cargas negabvas, como los electJooeS. tJenden 8 desplazarse en un hilo cmdJdOr de las zonas de menor potencial hacia las zonas de mayor potencial. De ah! que ruando se ootablece contacto mediante un hilo conducto! entre las esferas los elec!rooes se desplazan de la esfera (2) de menorpolencialhacia la esfera (1).
(2)
(')
Luego de proWcirse la transferencia de carga de una esfera a otra, se igualan los potenciales. Para el sistema cerrado: q_~q~+q'2=t90IlC
(1)
Pol eq u ~ibrio electrostático:
•
/< '3R,.!.J.
=
/< ~ Rz
Reemplazando datos:
q"
q,.
2 " 10" ~ 3 . lO"
(' 1
3
q'2 = 2 q" Debclo a esta transfererda de electrones,las
cargas q, y q, as! como los potenciales V,
Reempla2ando (2) en (1) : 3
Y V. se modífican y habrá un instante en que
q" + 2 q" = I30Jl C
los potenc18tes en ambas esferas sean igua-
5
les: V, , = V, 2 ; en ese instante Ce58lá la transfereroa de electrones.
Al final:
(2)
2 q" = I30JlC
q" = S2JlC En (2):
q,. = 7ellC
PROBLEMAS PROPUESTOS 1_ ¿Cuál será el potencial de un punto situado a 20 cm de una carga de S C. sobre una recta en la cual a 1 mde la última carga ya 1,20 m dej p..r1IO exista otra carga de -2 C?
es el trabajo necesario pata moJer una carga de lOe entre estos dos puntos?
Apta: 210 . 10' V
3.
2.
Dos puntos de un campoeléctrico tiener1 una dilerencia de potencial de Sv. ¿Cuá)
Apta: 50J Un cidOCrOn produce una diferencia de potencial de l 00megavoltios 'MV" ¿Cuál es la energía de un electtOn que se acelera con esta ""quina?
437
FfSlCA GENERAL
Apta : W=5,9J
Carga de 1 e = 210.10"'V Apta: 16.10" J
9.
Dos placas metálicas paralelas distan 3 cm. Entre slTbas existe un campo eléctrico lriformede ilteosidad9, 10" Nit.¿Cuál es la
Rpta : 6. 10· C
4.
Apta: 27.10'V
5.
Sobre una rec\s PBC hay una carga de
0.031' e en el ptnIo B qL
Se tiene una eslera cuyo radio de 3 m. Oeterminarsucarga, sabiendo que su poIencial es de 60 U.e,v.
10. CaIo.AaT el poIenciaI restitafte en el ptrto de iI1tetSeCCión de dos diagonales del OC1aedro regular de arista "s'. si se sabe que en cada vértice se colocan cargas iguales de
'O' coulolrb. Rpta;
_ VR-
Apta. 5175V
Dos IáIlllnSS paralelas están srtuadas a 2 cm una de la
NOTA :
6.
Rpta.: 2,51.10' mis 7,
Una eslera de 2 cm de radio se carga negativamente has1a el poCenaal de 2 OOJ
V. Hallarla masa de lodos los electrones qLC.
o,
l
I
l--~
Q·~ ;:-------
L
Al I I
I
0,
..........
3.0
J2·1t·EcJ·a
Las cargas están lfispuestas en ..... medio ronespondiente al aire
1" Una esfersconductora de l00cmde ladio tiene una carga 'q'. ¿A qué distancia del cenlro, el poIencial que produce esta caro ga es la tercera parte del que existe en el i"leriordela esfera?
Apta.: R = 57,73 cm 12, El potencial Que una carga de 1,5. 10" C, produce en un punto de su campo. en el aire, es de 4500 V. Si en ese mismo punto se coloca otra carga y la energia del sistema de las dos cargas es 45. lO" J. ¿Cuál es la magnitud de la segunda carga? Apta.:
111
e
13. El potencial eIéctJioo a una cierta ástancía de una carga puntual es 1 flOOV y el valor de la iI1tensidad de<:arl1Xl eIécInco es 800 NIC. ¿Cuál es la cistancia a la carga puntual?
Rpta.: 2 m " .......
I
........ ..,¿ B I
1c--------~
14. calcular el trabajo desarrollado para 10(· mar un tnángulo equilátero de 1 m de lado con 3 cargas idénticas cada una de 2 me Ubicadas en sus vértices. Apta.:
108 kJ
EUiCTR/CICJi!lD
15. Dos cargas Idénticas +0, están separadaslXl8 dtstancia 'd". Dele
tes aoerc6 entre si hasta una separación d/4,
3 K 02 d
,"nI .. a
CAPACIDAD E~ÉCTRICA CAPACIDAD DE LOS CONDUCTORES
1
Es la cantldad de carga eléclnca que es capaz de 'guardar" un conduelor, porunidad de dilerencia de potencial.
e
a
(1)
= -
v
UNIDADES SI
rl-fa-ra-óo--=-CC-~-Iio--'
(b)
Sustituyendo (a) y (b) en (1):
1 faradio
= 3. 10· U.e q. 1 300 u.e.v.
luego: 1'--1-F-~-9-.-'-0-II-u.-e-.e.-'
(A)
I t ¡¡ F = 9. lOS u.e.e. Otra IIlldad más pequeña aún, es el picofaladio que es la millonésima de Uf1 mic;rofaradio (104fl F = lO" F)
En e4 c.g.s.
u,e.e. us.e. :::
u.e v
1 YOIbo = 300
= u.e.q
rl-,
P- F-=-O,g-u-. e.c.'¡
u.e..v.
frarü1 . o ue,c. :;: o.e. ~.
CAPACIDAD DE IJNA ESFiF?A
Fk -
u,e.v.
SI se co/1Sldera ef pocencial en la s~
Como la unidad de capaCIdad, faradio, "F" es una ullIdad rruy grande, se usa submúl~pIos . PorE!Je~m F (mero faradio) cuyo vaJor es 10" F.
cie esfética, y recordando que la capacidad
EOUIVALENClA :
Sea Q la carga de la esfera
1 falilÓO
= 1 coOOrnblQ I YOItio
e
= 3.10'u.e.q
1 YOIbo = .,-'-J~":=7 1 coulorrb 1
-c
a V
C=K~ (a)
1 :..}-"
1 voltio
=
10 8f!l'O -3 x 1(i~ u.e.q
(1)
8 potencial de un punto (centro de la esfera) en un campo con respecto a la carga Q es:
(1)
sabiendO que: 1 coulomb
de rualquler COndueIor es:
o
(2)
RSICA GENERAL
Sustituyendo (2) en (1) : c=
O
-O K
R
R
K
C =
cuando R en cm
=C
u.e.c.
Pero K en el vaclo o en el aire yen el sistema e.g.s. es: 1
cm = R
PROBLEMAS RESUELTOS ¿Cuál es la capacidad de un conductor que con una car¡¡a de 800 franklin eleva su potencial en 2000 1IOitios?
PROBLEMA 1.
C =
Además:
RESOLUCiÓN : C = O V 800 Fk 8 C=2000V = 20 "
RESOLUCiÓN : Como la capacidad de una
esfera es igual nurréricamente al radin C = 5 U. 8 .C.
de donde:
Fk 1
av ,~C
O
e
V
300 u.. v.
= e = 5 u.e.e.
V = 10-1 x 3 " 109 Fk
5u.e.c.
Rpla: C = 120 u.e.C. PROBLEMA 2.
¿OJé potencial adquiere un conductor que tiene u-
na capacidad de 3 u.e.c., cuando se le sumi·
ni stra 1O" C? RESOLUCIÓN '
=>
V =
v = Rpla
C =
a e
O
V 1()-5
e
= 3 u.e.e.
10-5 x 3 • 109 Fk
Apta.:
6 x 102 u.e.v.
Dos esferas conductoras de 5 Y 10 ¡J F de capacidad están cargadas con 12,10' e y 8, 10" C, respectivamente; se les pone en contacto. Calcular:
al
¿Ouécargaposeera cada esfera?
b)
El potencial final de cada una
RESOlUCIÓN :
3 u.e.e.
¿Cuál es el potencial de una esfera de 10 cm de diámetro cuando se le inyecta una carga de 10' C?
=
PROBLEMA 4.
O, = 12 x 10<6 e
v = 10' U.e.V.
PROBLEMA 3.
V
O2 = 8 x 10~ C
aJ
La carga que posee cada esfera será pro-
poroonal a su capacidad, ya que al ponerlas en contacto la diferencial de potencial será cero. es decir. los potencia·
440
pectivamente. Se pone en con1aCto y luego se separa n. Calcular la carga de cada esfera
les serán iguales.
= V;
V,'
, a', .
v, =
, o; _ ~
y:
C'
RESOLUCIÓN :
Q~
•
~= C2
Conáaones ruaales:
A
= O,10an
A,
~
O,I5an
q = 10.1 e
e, - e2
Susti1uyendo vaIotes de las capaodades e, y
e,
o;
o~ =-_.20 lo-eF
5 K l0<;F
K
q, = 2
(1) Por otro lado, la carga total será la suma de lascargas:
10·)
x
Condriones finales: q' • q; = 3
' . G
10.7 e
x
a; • ~ = 12 • 10<; C • a', + o~ = 20 x
• ex 10<; e
10<;
e
(2)
Susti1uyendo (1) Y (2) :
(l)en (2):
" 0,.40, = 20 x 10.e C a,, 4 x 10<; C
=
y: b)
0'2 = 16
K
Menús:
v-v;
osea:
1 _~ .
C'-C;'
, V2
a; =
K
~
= 5x
v;
= O,8V
O~ :=
4
e
2
v;
=
lo-e
A
q; - ~
K
e
10~ F
16. 10"
20 ;:-10"
A
q -. = A, q,
e
A. A,
F
z~
= O,8V
, q, = 1,8
PROBLEMA 5.
Ooseslerascorductoras, de raóosO,10 cm yO, 15 cm tienen cargas de 10" e y 2. 10·' e res-
,
x
10·)
Apta.: q, _ 1,8 x 10.1
,
q,
peto: C = R K
.9' _.K.
cada una de la esleras:
v,
(1)
10<; C
va se dijo que el potencial será igual para ,
e
e
(1)
441
FlslCA GENERAL
R~lazando
(2) en (1):
AlU.: q' = 1,2 x 10-1 e PROBLEMA 6.
R = -
e
Se sabe que:
K
Para e.g.s., K = 1, luego:
e = R (medio aire o vacio)
Se sabe que la capacidad
de U'1e eslero es de 1 la· rndio. Hallar la relación entre el radio de dicha esfera y el radio del planeta, de diámetro 0,9.
Como R = lB cm:
100km
Sustituyendo (3) Y (2) en (1):
RESOLUCIÓN:
Apta.: Q = 36 sIC
Sabiendo que 1 faradio equivale a 0,9.10" stF, y CJ.l91a capacidad de una esfera conductora es numéncamenle igual a su radio, expresado en cm, yen un medio aire o vacio, de tal manera
que:
Al ponerse en contacto y luego separar ambas esferas, se tiene:
,8
9 • lO" sil' <> 9 • 1011 en =
9.
1011 km
El radio de la esfera conductora: R = O,9.10'km El radIO del planeta:
v,
Ap = 0,45 • lO· km
Q1 R
Ap
(3)
Esla carga posee ta pñmera esfera antes de tocar con la segunda (La segunda esfera está descargada inidalmenle.)
b)
C=R
o
e = 18sIF
9 x 10· km = 0,45 x 1011 km
C,
= V2 q2
=
C:! R
S",
B.=20 Rp
Q2
=
e, =K el r
=
R
K
PROBLEMA 7.
Una esfera conductora de 36 cm de diámetro que se encuentra al poIenaal de 600 voltios, se pone en contacto con otra esfera metálICa de 4 cm deciámetro~edescargada y Bistada¿CAJécarga relienecada eslera al sepa/lII1as? Por fOrrrula se tiene: Q = CV V
= 6OOvoIIIios = 2 slV
Q1 + Q2 =
a
= 36 sIC
AplIcando proporciones en (1)':
r+R = --
(1 ) Q2 (2)
(1 )'
Se tiene por otra parte que:
Además: 300 VOltiOS = 1 slV
..
r
~
RESOlUCiÓN ' a)
= ~
Si
Rpta.
q2
=
3,651C
=
20 2
(2)
ELECTRJCIDAO
442
Reerrplazando en (2) : fl¡Jta.:
Q,
= 32,4 stC
m Q¡
=n+ 1
Q¡
= n. I
q,
= ñ+1
=>
m
Se tiene una esfera cargada con 'm' unidades de carga en CIJ}O contacto se pone ara esfera ruyo racio es ' n' veces menor. Hallar el valor de sus cargas cuando se las separa.
Apta.:
RESOLUCIÓN :
Se tienen dos gotas de agua esféricas e idénticas que tienen en su superficie 'los potencialeSV, yV, ,espec1ÍVamente. Sí las dos golas se unen pa,a forma, una sola. haUaref potencial en fa
PROBLEMA 8.
a)
mn
PROBLEMA 9.
Condiciones intciales
-Rr = n
y
=m
qo
superficie de esla gola. RESOLUCiÓN: Sea eI ' A" el racio de la gOta resultante, .... el radío de fa primera y segunda gOlas y v, el wlumen total b)
"', =
Condiciones fnales:
ComD:
e,
c.
··8 ql + qz
C,
R
!!J. Q2
C2
y
q,
..
CI
R ,
q. C2
V=
q, + q.
q2
= n +1 1
~
°
KR
KC
-R" (VI + VI'
Donde e es la capacidad igual de cada gota. V =
R= n
= r
=
R
K
K
Q¡
:ItR3 = 2(~7tr1) , I (1)
V=¡¡(Ot+02'
= C2 = Ji
q,
"1 ;:: Y2
v --
=K =
C;
OedOnde:
+ v2
Por olra parte, el pOlencialV de la gota resullante:
= qo = m
=K
VI = V2
Qq,
\1,
V
K
r
R ' K(v, + V2,
, (V, + V )
= ji
Sustituyendo (1) en (2): Apta.:
2
(2)
RSlCA GENERAL
CONDENSADORES Son aparatos o dOSposllMls que sirven para almacenar cargas elé<:tricas por poco
pIaC
li8rpO. Oieléctr1co
Un condensador lo forman dos conduclores, y entre' ellos existe 'un campo eléctrico' y 'una dlerencia de potenCal'
COleCtOr G
e-
CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR
Como en cualquier conduclor, la capaCidad de un condensador esta dada por la car>tidad de carga eléctrica 'Q' que puede guard,r por unidad de diferenCia de potencial "V"
El] UNDADES OUE SE EMPLEAN: En el sIstema c.g.5.
I
u.e.c. = u.e.q. u.e.y.
1
=
~
11erra
El prinCipio de lodo condensador es el siguiente: el 'ooectot" recibe electrOnes del generadorG, al cual está conectado y se carga negativamente; el "condensador" sufre una "inducción" o rechazo a sus electrones por acción del campo eléctñco creado por el calector, y como esta conectado a berra fugan sus electrones a tierra, como consecuenCia queda cargado posttrVamenle_ INDUCCIÓN:
¿Quécargaadqt:iere un condensadorde 0, 15 F. si se le conecta a ma diferenCia de potencial de l00V? Ejemplo :
I;CI ~
1 micro larado (f! F) = 1~ F 1 ptCO farado (p F)
0-=
Deltatín Ptnducere', Slgrirtea (JJBuncampo eléctQco produce fenómenos eléctñcos en otro. situado a Cierta distanCia de él.
En el SI.
11 !arado
COndensador
+
e
10-12 F
los cordensadotes son 2 placas cargadas con IQUiII canltdad de electriCIdad, pero de SIgno conllanO y que entre ellos siempre hay un aIslante que Impide el Hujo nmedlilto de electricidad_ de lo contrario se aruiaria la dlerenCia de potenctal que debe e>CJStir entre las placas. Esta sustancia aislante entre tas placas paralelas se llama 'dIeléctrico'. Sustancialmente, oomo se dijo. un condensador consta de 2 ptaC
RESOLUCiÓN:
C = 0,15 F
O = ?
V = lVOV
c
Sabiendo:
a
V
de donde:
a
= C.
v=
O
= 15 (F.V) = 15C
0,15 F •
too v
Ejemplo:
¿Oué capacidad tiene un condensador si una carga de 10-3 ongina, en el condensador una d~erencla de potencial de 106 V?
e
RESOLUCiÓN :
O = 10.3 C
C=?
V=IO&V
ELECTRICIDAD
e=
e
=
~
10'3
e
= 10.9
lr:f> v
e: e= CAPACI~D
~
v
10-9 F 10"j!F
DE UN CONDUCTOR PLANO
Un condensador plano consta de dos láminas metálicas paralelas separadas enlle si por U1 aislante o dieléc·trico que puede ser el alfe u otra sustarda dieléctrica. Como en todo condensador, una placa, el coIe<:1or, está cenectada a un generador y el condensador a
A : Área de la placa, en 0m'" d : Distancia entre las placas, en melrOs°mo Si se calcula la capacidad de U1 condensador con esta fórmUla. Se enCOntrarla la capacidad en melros; esta ooidad no se usa para medir la capacidad de un condensador.loque se usa son faradios. Se ha encontrado experimentarnenteque la capacidad de 1 m' es igual a la capacidad de8.as, 10-" faradios que se llama ' ...',
I €o
x 10,12
~
I
Luego, la capacdad de U1 condensador plano se ca/cula así:
I"--C-=-t-E-o-:--'I
tierra. ,..---{G
= 8,85
e : capactdad del condensador. en faradios 'P
: Constante dieléctrica del material que separa las placas del condensador; para el aire y el vacío ~ = 1 r,, : Factor de conversión.
~
++ + + ++
¿CÓMO SE CALCULA ""[O?
llomo
La constante dteléctrica 't". de un aislanle, es la relaáón entre la capacidlad C' de un condensador con ese aislante, y la capacidad C del mismo condensadorcon aislante de aire
Ote'Ad:nco
ovacfo.
Tierra
Ejemplo :
La capacidad de un condensador plano es dire<:1amente proporCIOnal a la supeñlCie de sus placas e inversamente proporcional a la dts1arda que los separa.
I
C =
~
I
C : Capacidad de un condensador, en metros·m"
Calcular la capacidad de U1 COndenSadorlormadopor dos planos de 160 cm' cada uno, separados por un espacio de 3 om. Oieléc1lico aire.
RESOLUCIÓN : C = ?
A = 160rof d = 3an
T = 1
Sabendo:
C=tEo Ad
RSICA GENERAL
2
F 0,016 m e : : 1 )(.)( 8 85 10-'2 -)( oro m ,m
445
r = O,12m
RE5a.UCIÓN :
e=
?
d = O,OO3m t = 1
C = 4,71 • 10"2 F
A C:tEo¡¡
C:4,71pF
e = 1 .885 .10·'2 ~ . 1t,z , m d
CONSTANTES DIELÉCTRICAS
Vacfo Aire Agua Alcohol Bakelíta Azufre Vidrio Ebonita Gutapercha Mármol M,ca Resina Madera seca
C = 8,85 . 10·'2 ~ • 3,14. (0.12 m)2 m 0,003 m
1
1 81 27
e
= 133,38 . 10"12 F
Pero:
5,0
C = 133,38pF
3,6
4,5 2,5
CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR ESFÉRICO
4,5
8,0 5,0 2,5 4,5
I
C =
U
RR~r
o
I
Ejemplo: Calcular la capacidad de un condensador plano formado por dos placas de 600 cm> , separados por un espa· cio de 2 mm, utiftZando como aislante entre plMOS la bakelita (t: 5).
RESCLUClóN : t
=5
Sabiendo:
A = 0,06 m2 d = O,OO2m C = ? A
CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR CIlÍNDRICO
C = tEo d
Susliruyendo los datos;
,,
C = 5 • 8.85 • 10"2 F • 9.06 ro" m o,o02m , I
C = 1327.5 x 10"2 F E'¡emplo : Uncondensadorestáformadopor dos láminas circulares de 12 cm de radio, separadas por 3 m'm de aire. Calcular SU capacidad en microfaradios (l 1).
=
I I
,
,
J-
_'_
",- I
1 ..... ,
L)
h
ELECTRICIDAD
h
nO
t~
3)
::-:-R 21n
r
h
4.61og
1 1 1 ;;; - + - + -
C,C,
C.
+ ..... .
b) Enlace en Paralelo: Se enlazan vanos oondensadores. todoS los colectores entre sI y todos los condensadores entre sI
~I
La representaOOn COOi8I1CionaIde
NOTA :
1
e
~q:,odec:ondensalores:
J;J;J;
v.
Tc.Tc,Tc,
v,
Sus características:
+ "
2)
V = V, = V2 = Va = " .•. 0=0,+° 2 +°3 + ",,-
3)
C=Cl+~"Ca+-,,-
1)
La placa 'colectora' es la placa negativa. La placa "condensadora' es la placa po-
srova.
e)
AAJCJICIÓNDE CfJNDENSNJ()RE$
Se puede asociar oenlazal conductores
Enlace en Bateria o Mixto: Dos o mas grupos de condensadores enlazados en sene se conectan o enlazan a su wz en paralelo.
de tras maneras: a) En serieocascada b) En paralelo el M,xto o batería a)
Enlace en Serie o Cascad.:
Se enlazan varios condensadores, de modo que la placa condensadora de la primera se conecte con l. placa colectora de la segunda y la condensadora de ésta con la colectora de la te~ra y as! sucesivamente.
v,
v. Sus características:
v2 • v3 • •_"
1)
V = V, •
2)
0 = 0, = ° 2 = ° 3 =_-,
v,
La capacidad de los coodensadoras que es· tan en serie será: 1 1 1 1 CA = C, + ~ .. Ca .. _. En esta obra se trata sólo et caso en que la capacidad de lodos los condensadores son iguales, luego: 1 1 CA = n C,
e. decir:
CA
= Sn
(1)
FiS1CA GENERAL
Del mismo modo:
Ca = Sn
Ce=
(2)
e,
(3)
n
Como estos grupos (t), (2) Y (3) están =ectados en paralelo:
e
~
CA •
Ca • Ce •
447
efT"4lÍ8Zli descargado, 0 = 0, porconsigLiente la diferencia de poIenoaItamblén es cero, es decirV=O.A medida que secarga, la diferenCia de potencial va subiendo de Oa V y el vaIor medio de esta diferencia enlra el estado inicial y final es VI2. El trabajo necesario para trasladar un carga ' O' a través de una diferencia de potenCial media VI2 es pues:
'l-w -= -i-v-o'l
._...
(1)
SustihJyendo sus valores:
e = el ~ e, ~ e, ~ . ,_. n
n
n
le=N~11
que es la energra almacenada en un condensaOor con la carga ' Q ' y una dnerencia de potencial "\1". Sustituyendo en (1) O =
Da-de: C : Capacidad total. e,: CapacIdad de cada condensador. N : NúmerodeOOlleXionesenserie, n : /Iünero de CO"densadoresencada serie.
ev :
1 CV2
(11)
2
o larrbién: V =
ae
ENERGÍA DE UN CONDENSADOR
(111)
Cuando un condensador se call1a, evidentElJlef1te que al pnnClpio el condensador
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA t,
Dos condensadores de capaCIdades 3 p F Y6 P F están en sene y conectados a una tensión de 1 ooov. Calcular:
al
La capacidad del sistema. b} La carga total y la carga de cada condensadcr. e) La d~erencia de potencial en los bornes de cada condensador d) La energía almacenada en el sistema. RESOLUCIóN : V = 1000 V
e, = eZ a
3 PF
6pF
al
Sabiendo: 1 1
1
-::::- + -=:
e
C,
e2
1
1
1
1
3pF + 6pF 1
C=6pf=2pF
e = 2pF b} Sabiendo:
O = O,
= a.
Luego. cálculo de O: 0=
ev
= 2pFx 1 000 V
aR;TR/CIDAD
o:
2 . 10-12 F • lo' V
al
O " 2 . 10-9 F K V O : 2 . 10-9 e
eO
e)
v, = 667V 2 . 10-1) e 6 . 10" 2 F
d)
V, = 333,3V e)
laenefgla:
e . ° = cv
0 , = 2OOJ.LF . 220V
e
Apla.:
0, = 44. 10-3
Rpta:
O2 = 4001-L F. 220 V O2 " 88 x 10-3 e
b)
la carga lotal del sistema en paralelo es igual a la suma de las cargas:
°
0=0, .0,
44. 10-3 C + 88 x 10-3 e Apta.: 132. 1()-3 e =
la capacidad del sistema cuando están en paralelo es ta suma de tas capacidades de cada uno de los condensadores:
e)
w= W =
e=
0.:
Con esta fórmula:
Se sabe en general que: V:
Como están en paralelo las cargas de cada condensador son diferentes:
~
!VO 2
C = C,.C, = 2OOJ.LF.400J.LF
x lal V . 2 x 10" C
W
= 10~ V x e
W : 10· J
Dos coodensadores están conectados en paralelo, son de 200 Jl F Y400 Jl F de eapacidad cada
PROBLEMA 2.
uno; se cargan con una diferencia de potencial de 220 VOltios. Calcular: a) la carga de cada uno b) la carga total del sistema e) la capaCidad del sistema
e, = 200 Jl F e2 = 400J.LF
RESOlUCIóN :
V = 220V
l
000" F
T
Apta.: 600Jl F Se líene un condensador
PROBLEMA 3.
de dos placas paralelas de 200 cm' cada una, separadas en 0.4 cm con aire. Ca lcular: al Su capacidad, en farads bl Si se COflIlc1a al condensador una luente de tensión, de 200 V; hallar °0°, la energla W y la intensidad "E", del campo eléWico. el Si se intercala entre las placas una lam~ na de trica, de 0.4 cm cuya, = 5, hallar fa energfa tolal almacenada. -
RESOlUCIóN :
al
A = 2OOan!
d,¡.. = 004 cm
V = 220V
dma -
't =
0,4an
Cálculo de la capaddad:
C='tEoS
5
FlSICA GENERAL
C =1"
8,25 • 10.12 F " m
200 • 10" rrf • 0,4 " 1¡r2 m
E = 5476
Rpla.:
e)
C'
C2 C : 44,25 " 10. 12 N
_m
e = 44.25 " 10',2 ~2
Además:
C = 44,25 x 10" 2
ec; v
C = 44,25 x 10. ,2
~
e =
(3)
T -
w~ = ~ e (V')2 =~ (t C)
m
.! ..!cv2 t
2
(4)
2
Sustituyendo (3) en (4):
1W
Wr = 1 · r ~o:
10., 2 F _ 220 V
Q =
44,25
a:
9735 _ 10.12 F _ V
x
' _ 107,065 _ 10-8 WT 5
Wr, = 21,417 x 10.. J
Apta.: Q : 97.35" 10·\0 C
Rpla.:
b,) Cálculo de la energla Inicial:
PROBLEMA 4.
1
w" 2va = 2"22OV. _97,35 _ 10·\0 C W • 10708,5 . 10·\0
e•v
Rpta; W = 107,085 _ 10-.11 J b,) Cálculo de la inlensidad del campo eIéctriro del conductOr: E : k
a ,z
E = 9 _ 109 N_rrf _ 97,35 _10"\0 e 2 (0,4 _ 10.2 m)2
e
E =
(1)
1 cv2 2
W -
o: cv
V
1
=,c
,
o
eN (2)
b,) Cálculo de O:
e
103
_'l=tS y v='i V C "t
W' : T
~ 44,25 " 10·'2 F
x
9. 97,35 _ 1("\ _ N _ rrf .C 0,16 . 10' e2xm2
Calct.lar la capacidad de un conductor Cilíndrico construido con dos láminas dlfndricas de 4 Y 2 cm de diámetro, de 5 cm de allo y utilizando como aislante lana de vidrio,,, 5,5. RESOLUCIÓN:
R = 2 cm
1=5,5
h = 5cm
C=7
r : lcm 91 = 8,85 " 10·\2
~
Recordando~e:
C : 191
h
A
4,61og r
• 5 cm F C : 5.5 x 8,85 _ lO" 12 " 2cm m 4,E lag 1 cm
450
ELECTRiCIDAD
e=
411,675 " 10·'2
e = 48,675
x
~
x
0= 24IJ-F x 220 V
4,~: 2
10. 12 loban
a = 52tlOf-Ie Como los condensadores están conectados en serie, las cargas son iguales, luego:
x
San • ~,...:c.:"'== 4,61og 0,30103
e = 1.76 x 10.,2 F Apta: e = 1,76 P F Un generador de 220 V eslá conectado a dos condensadores en serie de 6011 F y40"F de capaadad. Calcular: a) La carga de cada condensador. b) La energía to1aJ almacenada.
e, = 60 f-I F
RESQUCIÓN :
~ ev2
Sabiendo:
W =
x 24"F x (220v¡2
W = 580eoo f-I F • V2 W
= 580800 x 10-6 F x
~
x V
W = 580eoo . I0-6e x v
Apta.: W = 0,580 8 J Las capacidades de tres condensadores conecta dos en serie son: 4 " F. 6" F Y 9 " F Y están conectados 8 un generador de 240V. CaJoJar la caída de potencial producida en cada condensador.
V = 220V
H
b)
to-6
PROBLEMA 6.
e2 = 4Of-IF
SOI/-F
x
w= ~
PROBLEMA S.
e
Apta.: 0 , = ~ = 5260
+
<4()I/-F
' - - - - ---j G ) -- - - - - - - '
220 v
a)
G ) -_
Recordando que: (I)
0= CV
Cálculo de la capacidad total:
1 -
e
1 -
;;:
,
e_
1
e, -t e2
•
De donde:
a,
t
1
6Of-IF
4OIJ-F
e=
lOO 2400f-IF
e =24" F
Sustituyendo valores en (1):
2<4() V
RESQUClóN: Cuando los condensadores' están conectados en serie:
1 -
- = -- + -
_ _...J
-
= O2 = 0 3 =
a
PaJI) también se puede escribir:
C, V, = Cz V2 = e3 V3 = e V (1) Cálculo de la capacidad total C: En serie: 1
e=
F/SICA GENERAL
451
1
1 1 1 = . +e 41lF 61lF 91lF 1
19
e
= 36I1F
e
= 1,89IlF
e=
0,31lF • 1,2 11Ft 21lF
e= b)
3,51lF
Carga total: 0= CV = 3,5 .10~Fx 110V
o=
-
e2 v2
V2
=
e
V] = Va
(1)
e
Carga da cada UnO:
De (1) :
ev
o 365 x 10-6 e a, = e, e = O,3I.l F 3,5!;lF o, 33. 10~ e ~ _ 9 De (1) : a
75,6V
el":! = ev ev
e,e2 ea
41lF
V, = 133,4 V
De (1) :
e
O'z02=~=Q
ev _ 1,69 11 F x 240 V V,
De (1) :
1~
x
Pero:
De (1) : V, =
385
1,89!;lF
x
e2
240 V
BIlF
o 385 lO" e =e2 e =1,2!;lF 3,5!;lF K
O2
Vl = 56,7V
Seoonectan 3C01H1ensadores en paralelo de 0,3 " F. 1.2!;l F Y211 F.Conectadosaun generador de 110V. Calcular. a) La CSIlacidad total. b) La carga de cada uno. c') La caída depotenoal de cada uno. di La energfa total almacenada.
e
-
O2 ~ 132 x 10-6
e
PROBLEMA 7.
De (11 :
o
a
=
e a 3
e
= 2
!;l
F 385 x 10-6 3,5!;lF
e
0 3 = 220.,0 6 e
el
v, = V2 = V3 = V
=
eo
V = 385. 10-6 e = 110V 3,5 K 10~ F d)
Cálculo de la energra total almacenada. W=
RESCUJCIÓN :
al
C = C , + C. + Ca
W=
! ev2 2
i.3,5.tO~F.(110V)2
El.ECTRICJOAD
W. 21,175 . 10,3 . F . V2
~
W . 21,175 . 10-3.
1 C
. V2
e = 7,51lF
Doscoodensadoresde2
l' F Y 3 fl F están coneelados en paralelo y este conjunl0 a su vez conectado a 3 oondensadores de 3 fl F, 5 fl F Y 71l F en serie. 8 COfljuntO está eoneclado a La capacidad resuHanle La carga de cada uno Laeardadepoleocaaldecadauno La enE!l'gia total almacenada en lo!¡ 5 CQl-
C = 1,151lF
De donde: b)
Carga totat
ev =
0=
1,151lf x 220 V
0=253 x l0~C
un generador de 220V. Calcular: a) b) e) d)
C.
6.5
1
W = 21 ,175 . 10.3 J
a
Cp
1 1 1 = --+-C 51lF l ,51lF
W = 21 ,175 . 10.:1 C x V
PROBLEMA
= -1- t -1
Como los oonjUltos están en serie:
Op Corno~,
ciJctores.
O.
= O. = 253 x 10"' e
• y 5 están en sane:
=0 3 = O. = 0 5 =253 •
10~
e
Cema 1 y 2 están en paralelo:
a, O2 e, - e, 22QV
a
~F =
G
0t 31l F
(a)
Además Op •
a, + 02 = 253 • 10-6 e
(b)
RestJMendo las ecuaciones (a) y (ll):
a)
a, = 101,2 x
En paralelo:
e
0 2 = 151,8 • la"' e
Cp =G,+C 2 Cp = 21lF+31lF = 51lF Enserie;
e)
Cálculo de la carda del potencial en el conjLrlto en paralelo: 0p
1
1
1
C. =~·C4·Cs
e, :
lO"'
1 1 1 31lF + 51lF + 71lF
C, = 1,51lF
Como los conjunlos o asooiaciones a su vez están conectados en serie:
V, = V2 = Vp = e
p
V = 253 . 10"' e = 5O,6V p 5 x lO"'F Cálculo de la carda de palencial en el con~ toensene
FfsIcA GENERAL V3 = 84,3 V
Q = 10u • .c. x 100 000 V
1 Pero: 1 V = 300 u.e.v. luego:
253 . 10-6 e
O.
V. =
c.
=
V,
e
5 x 10-6 F 1
5O,6V
05
C;
453
253
=
x
0 = 10 u.•.c. . l00ooo . 300 u.ev. 10-G
e
7 x 10"6 F
Q
1..
Vs = 36,1 V
1
Q = 3
el) LA eneIQla latal:
W= w
=
~
i ev2
x 1,15 . 10-6 F .
.
= 3 x lu' u.e.c. • u.e.•. x 10' u.' .q.
Sustituyendo valores en (1) : din •
,220V¡2
F=l
cm2
2 x (u.e.q.)
G
x 10' u.e.qJ 2 (50 cm)
W = 27,83 . 1O.J F • V2 W = 27,83 x 10.3
K
e.
Apta.:
V2
F" : x 10' dll1
W = 27.83 . 10'1 e x V
PROBLEMA 10. Dos discos laminares y
W = 'lT,83
den sador, son de 20 cm de recio y están se-
K
paralelos forman un con-
10'1 J
Dos esferas de 20 cm de
PROBLEMA 9.
diámetro se cargan con U'l8lensióndel00000V. ¿Cuál será la fuerza se repulsión a 50 cm de dislancia entre ellas?
d = 50 cm F= ?
RESOlUCIÓN : 0= 20cm
RESOlUCIÓN : Recordando que la capaodad para un co,," densador planc se calcula asi:
e
=
'tE0oA
(1)
Doode:
V = 100000 Saboendo que:
parados por 4 nvn de aire. calcWlr su capacidad.
t
F = K O, ° i
= 1 (conslanle dieléc1rica del aire en un condensador)
~
r" =8,85 . 10" F/m
=r =
(1)
lB capacidad de una esfera es igual numéricamenteaJ \IaIor del radio en el sistemac.g.s. O C " '2 " 10 u.e.c.
Porolrofado:
a = cv
Sustituyendo los dales:
A r 3,14 . (20 cm)" A =1256cm' d =4mm"O,4cm Sustituyendo estos valores en (1) :
e = 1. 8,85 . 10"2 f: .1 ~,6 cm2 m
Rpta.:
e= e
287 . 10"2 F
= 287pF
.4cm
ELECTRICIDAD
PROBLEMA ". Tres oondensadores. ro· yas capaCIdades en el va-
cío son C, ; 3 ~ F. c. ; 5 ~ F YC, ; 7 11 F. l!$Ián conectados como indica la figula Si a cala uno se le ant"FO'l" un dieléctrico, de valorest,; 2. "1.,=5 Y't,,=4.5 respectivamen-
te. caIcolar sucapaci
PROBLEMA 12. ¿QuepotenáalenVOllios adquinria la TIElITa, SI se cargase con t coulomb?
(Ay_ ; 6 370 km) RESOLUCIÓN : RT = 6370km = 637.10' m
I
o,.
= te
Por lormuIa:
e,
(1 )
0---1
c,
También:
I
(2) (2) en (1):
AESOlUCIÓN : (3)
Recordando que las capacidades son directamente proporcionales a los dieléctricos:
C', ; 't,C, = 2. 3)1F = 61lF
VT = 1412,85V
C~ = ~C:I = 5 . 5)1F= 25IlF
Apta.;
e~ = 'le 3 = 4,5 71lF = 31.51lF
PROBLEMA 13. Une esfera conductora aislada de radiO 'A-tiene, una carga "(J'. ¿Cuál es 18 energfa tola! amecenada? ¿Cuál es el radio'" de la esfeta en la que está contemda la mHed de la energía aknacenada?
La capacidad de los dos u~imos Que están conectados en paralelo es:
--
ROOfI1lla2ando datasen (3) :
Cp = C; •
e2 = 25)1 F + 31,5 J.I. F e. = 56.511 F
Este conjunto está asociadlo con el primero enserie, luego: t
1
e = e,
+-
RESOLUCIÓN a)
W
Cp
e
(1 )
47tEoR
(2)
2
Pero:
e;
(2) en (1):
1 a2 w= -811E R
b)
= 5,42 11 F
=1d
1
1 I 1 = +-e 6)1F 5II,5 1lF
Rpla: C
la energia almacenada se da:
o
W 2
Dedonde:
r; 2A
FfSICA GE/'IERAL
PROBLEMAS PROPUESTOS ¿CUál será la carga de un condtJctor esférico de 60 cm de rado conectado a un potencial de SOOV?
1.
Apta.:
100 u.e.q. 6
i.
10-7 e
2. Se conectan a potenciales de 4 000 Y 1 000 voltiOS, dos conductores de 10~ F y 20 11 F respectivamente. Cuando ya están cargados se conectan entre sr. Calcular: a) El potencial de cada uno al final. b) la carga de cada uno. Apta.: a) 2 000 V
12OV. Calcular la carga y la drferenaa de potendal pera cada uno. ~:
1) 24O~C ; 40V
2) 320"C ; 40V 3) 4OOI1C ; 40V 4) 960I1C ; 80V Se carga un condensador plano de 4 11: cm" y separados en 2 cm a 2 000 V en el vacio. ¿ Cuál será su nuevo potencial si se le introduce, une vez cargado. un pieléctrico de llidrio e=5,5?
6.
Apta.: 363,6 V
Apta.: b) 20 . 10"' C y 40 . 10"' C ¿Cuál es la dilerenáa de potencial entre Ay B de la figura, cuando se conecta el conjunto a 1 OOOV? 7. Tres condensadores de 3 ~ F. 6 J1 F Y 9 ~ F está1 en sene. ¿Cuáles la carga de cada LnOcuarál se cooectan a 1 OOOvátios? 3.
Apta: l,64 . 10"C
4.
Tresoondensadoresde6~F.12~Fy18
" F están.., paralelo: a) ,Cuál será la carga en cada condensador? b) ¿Cuál será la carga del condensadorresul· tante cuando se conecta a un potencial de 2OCXJV? Ppta.: a) 12 . 10" C
24 . 10~ C 36 . 10"C b) 72 . 10"C 5.
Apta: 181,6V
8.
En el sigtiente sistema, determinar la capacidad equivalente enlre A y B.
las capacidades de los condensadores de la figt.rason 6" F. 8 ~ F. 10 ~ F Y 12
2~ F
~ F.EI S&SIomo está conccledo e une cmge de o
"
, B
2 11
11---11
2~F
2J1F~HQ
"'IH~'" 1---1 2~F
2 J1F
ElECTRICIDAD
13_ Calcular la carga total almacenada en el SlQUiente orcurto: ,Qué carga máxima adrTllle una asiera de 30 en de radio, supuesta en el vacío? ,Qué potenaalle corresponde y cuál es su capaadad?
9.
Q.,..; 30 j.l
A¡iIa
•
e
v
= g . 10"
v
C
= 0.33 . 10"0 F
10. Se define 1 stal.voltiocomoel potencial que produce en la SUperfICIe de una esle ra de 1 cm de radio, la carga 1 u.e.q. 09/OO5trarque: 1 stV
= 300V
11_ Ocho gotas de agua de 1 mm de radio con 10''' e cada una se funden en una gota Hallar el potencial de la gota gmnde.
14. Dentro de un condensador da armaduras paraJelas. de sección ciraJar de diámetro 'O. se coloca una placa metálica de espesor 'e'. ¿Cuál serála capacidad al íntmducirlaplaca?
Apta. V = 3600V 12. CalctAar la capaddad equivalente en el slQUll!nle gráfICO SI e = 1 11 F
I ~
e
e
e
e
~--n-, II ---'-\ I I It.. ~
L
i1 + + + +++++
I
+ ++ ++ + ++
W ¿
_II~ I!--'---le I f e 11,,;;; B
e
e
e
e
dltmetto
:n:E 0 2
Apta.: c= -- O -
4 e (d-e)
Apta.. C. =1.27 11 F
[Kd-(K- l)e]
L
I •
T
~o-
FlslCA GENERAL
457
CAPíTULO 16
ELECTRODINÁMICA Es lJ1a parte de la electricidad dorde se esludia el movirriento de las cargas y sus efeclOS en los circu~os. ¿Por qué se caraderi2an los conrudores melárlCOS? Se caractenzan por permitir el desplazamientode las cargas eléctricas, ¿Qué son cargas eléctricas? Se sabe que los á10m0s de los metales presentan efeclrones libres, los cuales se muelIElrl caé.ticamente debido a la ag~aci6n térmica y están rruy débimente ligados al riJdeo atómoc:o. Es\e>s electrones Ibres son la "carga eléctrica", \os cuales al ser "ooenIados y empujados' por un generador dan lugar a la 'comente eléctrICa', a través de conductores. SENTIDO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA
Analicemos el caso de lJ1 alambre metálico conectado en sus extremos a 'los bornes de unabaterfa (fuente de energla). É
-
+...lrc:;-=--o-,= Tr"Ir"-o--=-o""""l .~' _-
+1 Borne pooItIvo
I
J
Borne nogaU""
L----1--'
¿Qué ocurre al ccnectar los extremos del condueIor a los terminales de la balería?
Debido a las reaccionesquimicas que se producen en el interior de la batería (Iuente de energia eléctrica por reacción qulmica), esta es capaz de mantener una Diferencia de Potencial entre sus bornes o terminales. La diferencia de potencial origina un campo eléctrico undorme dentro y alo largo del alambre. el ruaI se manifiesta con lJ18 fuerza eféc. !rica sobre \os etectrones libres del conductor melálico que ocasiona el desplazamiento inmediato de \os electrones en una misma
recOOn. ¿En qué dirección se mueven los electrones libres? Dado que los eleclrones llenen carga negativa, se mueven de las zonas de menor potencial hacia las zonas de mayor potencial. es decir de polo negativo al polo positivo. siguiendo ul)!I dirección contraria al campo eléctrico E,
CORRIENTE ELÉCTRICA ¿A qué se denomina comente eléctrica? Se denomina comente eléctrica al flujo ordenado de los portadores de carga eléctrica (electrones) a lo largo de un medio llamado conductor, que está sometido a una citerancia de polencia/_ Convencionalmente se considera la circulación de la corriente eléctJiea del polo positivo al polo negativo, sin embargo como hemos visto, lo real es que la circulación de la corrientede electrones es del polo negalM> al polo positivo como se ve en el gráfICO.
aECTRODINAMICA
458
1 C < > 6,25 . 10. 8 e
Sentido convencional
~
(+)--b
;J SeocIOn roeta
--..
9-(-)
...
-
Sentido real
I : TIempo que dura el flujo de la carga, medido en segundo ' s' I : Inlens.dad I
=~
de corriente eléc-
lrica, medida en amperios "A'O ¿CAlé 'sentido' se asume para la corriente eIédrica? En forma convencional se asume la dirección del campo, es decir que los portadores de carga (electrones) se diñgen de las ZOI1aB de mayor potencial hacia las zonas de menor potencial, o sea del polo positivo al polo negativo. ¿Cómo medir la corriente eléctrica? Para ello veamos lo siguiente INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA 'EL AMPERE"
Es una magnitud física escalar que mide la "cantidad de carga eléctrica" que pasa pcr la sección recta de un conductor en la unidad de tiempo (LJuvia deelectrones que fluyen por el conductor).
Cono.oc1o< Área de socdOn
recta
DIFERENCIA DE POTENCIAL 'EL VOLTIO' Para que haya circulaoón de electrones debe haber una diferencia de carga de electrones o una diferencia en la cantidad de ,electrones en los extremos de un conductor, eslo es lo que origina una diferencia de fuerza eléctrica o una diferencia de potencial que provoca el flujo de electrones. La U"lidad de cfiferencia de potenciales es el VOLTIO. Se deline as!: VOLTIO:
'La unidad de ciferencia de potencial 'E' es el voltio, y está dada por el trabajo 'W desplegado por un joule para trasladar la carga 'O' de un coulomb'.
I
E =
~
I
E : Diferencia de potencial, en vonias "V' W: ooergíadesplazada, 00 joules 'J' O : carga eléctrica desplazada, en coulombios 'C' Por convención, la corriente eléctrica en los conductores se da de las zonas de maycr potencial a las zOI1aSde menor potencial y su
1 voI1i
1 jooIlo o = I OOIu1orrbío
valor se cuantifica asl: ~re
1 '
coutomb
= --
segundo
=~
I
q : Cantidad de carga que atraviesa por la sección rect a del conductor, medida en coulomb 'C'.
RESiSTENCIA ELÉCTRICA "EL OHMIO' Resistencia eléctrica: Es una característica que lienen los matenales de ofrecer difiouttad al fluido de la corrien1e eléctrica a tmvés de ese material. Cuando pasa la corriente por la resistencia
459
FISJCA GENERAL
ésta se calienta. cualquiera que sea la direc· ción de la comente.
En honor al físico alemán Jorge Sl-món Ohm. quien estudió la relación que existe entre la "fuena electromotriz' o "ItoHajs" de una corriente y su intensidad. le unidad pera m& dir la resistencia de un conductor eléc1rico lleva su nombre: ' otrn" cuyo símbolo es 'n' Reóstato: Es un aparaIo construido con un matelialaislarte al ruaJ se le ha enrolledo un elambre siguiendo el curso de tos hitos de un tomillo; un CU'SOr coneclado al circuito so hace deslizar sobre el reóstato y la intensidad de la corrienle que pasa per la lámpara varia Es prácticamente una resistencia que gradúa la IntensIded de la corriente.
E E' E' 1 = 1' =1' = ...._. R
~....L...,
_ Gene<1I
fI
R =
R : Resistencia del conductor. o del apa· rato eléctrico. en ohmios "W" E : Diferencia de potencial. en voltios "V" I : Intensidad de corriente. expresada en amperios •A-.
I .
voltio --o ampeno
OIlrrio =
In ~ I =
6
NOTA:
t . Al voIta¡e o diferencia de polencial. tam2.
AnlDorimutro
I
Osea:
bién se le llama 'carda de polencial". 8 ohmio patrón es la resistencia que 0Irece un a1arrbre de rrtercurio (Hg) de 1.063 m de Ion!itud, de 1 mm' de sección a C1' C. al paso de 1 amperio de corriente, cuando la diferencia de potencial es 1
voltio.
f-- R --1
PROBlEMA 1. Un calentadorestáconeclado a una corriente de 220 V Y tiene una resistencia de 14.660. ¿Cuáles la intensidad de la corriente? RESOLUCIÓN: E = 220 V I = 220V R = 14,660 E
R= I E
I= R Las líguras anteriores muestran que. cuando se corre el cursor del ,eós-tato bajar>do la resistencia. la intensidad decomente que
llega a la lámpara y la caída de potencial de la lámpara aumentan. Lo que qutere decir que. aL.mentando la intensidad aumenta la calda de potencial. Haciendo varios experimentos se llega a la siguiente concIusí6n: "Las caídas depotencial son proporcionales a las intensidades'.
de donde:
220 V = 14.660 = 15 nV
Apta.: I = 15 A PROBLEMA 2.
¿Cuál es la resistencia de un conductor si con una corriente de 20 arT4JE'rios, se produce una caida de-polencial de 22OV? RESOLUCIÓN : E = 220 V I = 220V R = ?
E
=T = R = 110
R
Apta..
20A = lt ~ A
220 V
LEY DE POUlLLET O DE LA RESISTENCIA DE CONDUCTORES
Losconci.c1oms dmoen resistencia al paso de la COi I .. i\e eléc1rica. segú1 la c:aIidad del matenal y según sus dimensiones. La ley ~ r~ esta carac1eristica se erUlCia así: 'la n!SlStenc;¡a de l.Il conductor es directamente proporcional a su Icn¡jtud "L' e inversamente proporcIOnal a su seCCIÓn "A".
I
R= P
~
I
R : ReSIstencia del conductor, en ohmios 'O' p: Rt!SIstMdad o resistencia especifica de cada material, en 'ohmIOS , cm" L . Longttud del conductor en 'cm". A . Área de t8 sección del conductor, en
AISl.AOORES Ambar Azufre Baquelita Cuarzo Madera seca MIca Vidrio Agua pura
5.10" 10" 2 • lO" 7 , 10'" 10' 10 12
10.1 5,10'
PROBLEMA 1,
Un conductor de atambre de cobre bene LIla Iongi· tud de 10 km y una sección de 3 rrm'. Su resIstividad es de 1,720 , 10" O m. Hallar sureslstencla. RESOLUCiÓN:
l = tOkm p
A =3..."z
L
=1,72 . 1O-a Om
e
IO xl03 m
R = P A = 1,72. 11)" O m.. -
" .•
3.10 nr
'cm2". CONDUCTANCIA Es la Inversa de la _stellCla:
I
G =
~
I
G Conductancia, en mhos o siemens 'S"
Rpta.:
R = 57,33 n
Pata cargar una batería de12V seconecta a la comente con un reóstato de 4OW. Calcular la cantidad de comente que pasa en 15 minutos
PROBLEMA 2.
RESOlUCiÓN :
R : Resistencia, en otvnios 'O' RESIS11V1DADES O RESISTENCIAS ESPECIACAS "p" DE ALGUNOS (en n. m) CONDUCTORES Alummio Cinc Cobre Hierro Nlquel Mercurto Oro Plomo
2,63.10" 6,00 .10" 1,72 • 10" 10,0.10" 12,0.10" 94,0.10" 2,20.10" 22,0.10"
E = 12 V t '" 15 min = 900 s R = 400 t
E
=R =
12V Cl = O,3A
4()
461
FISiCA GENERAL
raolro lado. Q", It
Apta.: Q
(- = l+a.AI
= O,3A.900s
= 270C
Igualando (4) y (5):
R ~
¿ Qué resistencia será necesaria graduar en un reóslato para cargar una balería de 6 V con 120 C en 10 min? RESOLUCiÓN : CákUo de la intensidad de
PROBLEMA 3.
A, - R,
Q=
120C = 0,2A I 600 s Cálcuto de la resistencia que debe graduarse en et reóstato:
(Forma genera~ Reemplazando valores: A' = 41" C ti = 2O'C + 4JOC
El enrollanierto de cobre
de un motor loene una resistencia de 50 O a 20' C cuando el motor está quoeto. Después de operar durante varias horas la ress1enCIa se eleva en eo. ¿Cuáles la terrpera1lradelemlllarr1enlOdees1ecaso? = 3,9 . lcr3¡ ' c
RESa.UCIÓN :
Sea; y sea:
L,
Ai = P -A¡
Al
(2"
~
= P A,4
LI ' A, R-, = LI . A,
Al
1, = BI ' C
PROBLEMA 5-
Una barra cuadrada de al ......nro 'iene 1 mde largo y 5 mm de lado. Calcular. a) La res.steraa entre sus extremos. b) El dráme'ro de una barra dlfndrica de cobre de 1 m de largo, para que tenga la misma resistencia que la de alumirio.
P.. = 2,63. 10-8 O • m
(1)
Pe.. = 1,72. 10-3 O •
(2)
m
AESa.UCIÓN;
a)
D,vldlendo (2)"" (1) :
(11.
eo = SOO. 3,9.10-3 A,rC De donde:
Apta.: A = 30 O
lXcoeAE
= R, .a . A 1
lAR", A, .a.A'
E 6V 30 V R = 1 = 02A = A
PROBLEMA 4.
= 1 + a.AI
RI = R, + A,.a.AI
comerte que requoere: I =
(5)
Cálculo de la resislencia del alumirio: L
R., = p., A
(3)
-3 1m R.. = 2.63 . 10 O . m. 25 . ,0-lirn2
Puesto que el alall'b!e es lTIJy largo en comparación con su diámetro se puede decir que:
A., =
A¡ = Al
A, LI A, =
r;
Pero por cila1aci6n: L,= L,(I+a.At)
(4)
1,052.10'3 O l
b)
R.. = P.. A.,
y:
Re., = Po. A
L
e..
(1)
(2)
462
ELEcrRODlNÁM/CA
RESOLUCIÓN : I = ?
luego:
Sabemos q.J8:
de dende:
= 15 .60s
Sustituyendo valores: • 25 mm2 1,72 " 10-11 (l ftr::ll 2.63 " 10-11 n
Apta.: "
m
•m
De donde : r; 2,2S mm Luego: Rpta.:
O; 4,56 mm ~ 4,56 . 10'3 m
APARATOS DE MEDIDA DE LA CORRIENTE ELÉCTR1CA
PROBLEMA 2.
¿Cuál será la carga eléc· tOCa tran5poI1atadaen 1.5 hOras cuando la intensidad es de 20 ~?
RESOLUCiÓN: t O=? t
Se sabe: I =
Voltímetro : Mide la diferencia de poterdal (diferencia de carlidad de ele.:trones) entre dos pu1los, pOriendo en paralelo entre arriJos pl.f1tos. Se considera que el voltímetro tiene resisterda irlirita, saNo que se diga lo contrario.
Amperímetro : MídelaontensCaddelacomerte (UNia deelec· trones) h;1alárdoIo en serie. Su resisIEncia se COIISIdera cero salvo que se diga Ioccntrarn VOItlmeuo
; 0,22 A
.. a
= 1,5 h = 20A
a
t
de donde
a = loa . 10' A• s a = loa . 10' e PROBLE MA 3.
A llaves de un conductor pasa 10" e' en 2 s. ¿Cuál
es la intensodad? RESOLUCiÓN: Q • 1016 e' I = ? I = 2s
=
I
= 9
10\6
I
e'
2s
G8IvllIII'~melro
5 . 1015
Galvanómetro : Mide las mtensldades rruy baj~s, se instala 'SOOo!ado', es decir m sene en el crruto, pero con ~ resistencia en pemlelo enlre sus borres, de rmnem que por él pase sólol.f1aparte de la comente. ¿Cuál set<1la intensidad de la conienIe de200cruIorro, q.JE!pesa porll1 corductor, en 15 mirotos?
PROBLEMA l.
= l. t
= 'l!JIJA . 1,5 . 3600s
Se sabe que:
A"1'erfrnetJo
a
.!. s
Esta unidad es rruy incómJda pam expr~r la intensidad. Sin embargo dariflCa la idea de lo que es la Intensidad. El probIet I e SlQuierne llevará a COnclUSIOneS sorprendentes, PROBLEMA 4-
¿Qué lierrpo lardarán \odos lo eIecItones del pro bIema anlerior en recorrer 1 cm de un conductor de cobre de 0,05 cm de diámetros? En 1 cm' de cobre hay aprooomadamente S,5 • 1<>'" e libres,
=
RESOLUCIÓN :
a
= 8,5 .
,022
e' Icm3
h Icm d = O,05cm
FISICA GENEPAL
C.llrulo del vOOtnerl del alambre de robre de 1 ande longitud yO.05an de diámetro:
V=B _ h=,,'¡h 4
V = 3,14 (0.05
cmr • 1cm
4
no o o o o o o 0 0 00 y o o o o o o o o 01' oOooooool
I d
J.
h
V = 0,001 96 cm3 V = 196 _ 10,5 cm 3 CálcUo del número de electrones libres que hay en este volumen:
I = 196 " 10-5 • e,5 • 1022 e' Icm3
, = 1666 • 10" e' La intensidad de comente del problema antenor dice que la velocidad dellluJo de los eIec, trones es de 5. 10" e' por segundo a través de una sección recta; con esta veIocidall se calculará aJánlo tieIrflo lardarán los lO" e' para recorrer 1 cm. que es la lor9\ud del alambre en el aJal están estos electrones. 5.10"e'
pasan en
1 666. lO" e ' pasarán en I
463
madamente la velocidad de la luz, esdecir300 ()()() kmlS; pero el resultado obIerido en este problema, nos da LI'l8 áferencta aslronó-mica. Lo que orurre es que l.W\a cosa esveloeldad de la energill eléctrica y otra cosa es veJo. ddad del fluJO de tos electrones que onginan esa energia eIéctríca,
GENERADOR DE FUERZA ELECTRO MOTRIZ O FUENTE DE ENERGIA Son aparatos que convierten la energla eléctrica en Olro tipo de energía. Así por ejemplo: un dínamo transforma la energía rnecán~ ca en energla eléc1rica; pero si se hace circu, Iarcorrier1le eléctrica en sentido contTanO, ese dinamoft.nciona como motoreléctncoyproduce energía mecánica, es decir, la energía eféctrica y la energfa mecárica son reversi, bIes.lo mismo orulre con lOs acurruladores o balerías, en el periodo de descarga la energIa qtirrica se IrIInsIorma en energia eIédrica. Lo que quiere decir, que la energfa qufmica y la energIa eIédnc:a tarrbén son IeII!!fSiJIes. REPRESENTACIÓN DE UNA RESISTENCIA R
1s
Las pilas, baterfas V motores ofrecen resis,
I
tencias inlemas
= 333.2 x 102 s
I = eh 15rrin 20s Lo que quere decir que van a una velocidad
Pila
Bal8ria
de 1 anpor333,2.10's
FUERZA ELECTRO MOTRIZ
lan v = 333,2 _
102 s
lan
v = ---------.333,2 . 102 -
3~
cm
v = 0,108 h
Este ~do es sorprendente y debe ser estudiado con rruc:ho cuidado porel estudiante, se dice quela energfa eIóctrica Iiere aproxi-
los generadores de comente eléctrica se caractenzan por su tuerza electromotriz (F.E.M.) V es la energl" que su!TifllSlra a la unidad de carga eléctrica para hacerla arru' larde un punto de menor potencial a un puniD de mayor potenCIal. la F.E.M. se mide por la diferencia de potenCIal entre los bornes de un generador. CcnYendonalmente si la unidad de ca rga atraviesa la fuente de -a., cada unidad de carga
ganará una cantldad de energia i!JJal a la F.E.M. En caso con1rano, perderá una cantidad de energía igual a la F.E.M.
NOTA: La "fuerza electromotriz" y la ' diferenaa de potencial' se miden en voltios. ¿Cuál es el voltaje de t.na corriente que produCe un trabajo de 8 .1r:fi joUes con una in1ensidad de lO ~ durante 30 minutos?
costaria usar la plancha durante 3 horas sí el k watl . hora cuesta SI.8,50? RESOLUCiÓN : 1=2A
V = 220V t ~ 3h
PROBLEMA ,_
t = 30mín
W
I
Pero:
a
al
=
p
Sabierdo que:
Pero:
201\
En (1)
= I .t
Q
= W I
(1)
W = E.O "" W = E.I.I P = E.; .t
""
P
= E.I
P = 22OV.2A = 440 V A
E= W
luego:
Rpta.:
1.1
E=
bl
8 x lOe J
36 x 103 A • s E = 0,222 • 103
Un motor eléctrico está
En todo cira.ito con resistencias por las
conectado a una comen-
que d rrua la corriente, se produce lM12 caída de tensión que vtene a ser una disminudón
RESOlUCiÓN .
E =
a
I = 3h ;
I = 10 A
W = Ea
Pero: Q = 1. t , luego: W
= E . 1.1
W
=
22OV . tOA . 3 x3000 s
W
=
2 376 x 10· V • 1\ ••
W = 2376. 10· V •
de la F.E.M. Esta carda de tensión puede ser e>rterna o interna. a) Calda de tensión Externa: Es origÍ1ada por la resistencia que ofrecen los aparatos Instalados en un arcuito. es decir la caída de tensión entre uno y airo borne del gegenerador. No incluye la reSIsteros interna de la fuente que produce la energía eléctrica
lE •. I.R.I =
e
W = 2376 x 10' J
¿Qu é pOlencla tiene una plancha eléctrica que trabaja con 2 A a 220 V Y cuánto PROBLEMA 3.
=
CAlDA f)f TENSIÓN
te de 220Vy 10 ampenos. Calcular ellrabajo que realiza en 3 horas.
W
=
Apta: costo = SI. ",22
Apta. E = 222V
E = 220 V ,
Cálwlo del costo:
costo = 1,32 kW . h x 8,50 k:: h
á
PROBLEMA 2.
P = O,440kW W P.t O.440kW.3h W = l,32kW . h
2OA x 30 x OOs
E=
Apta
= SI_8,50kWIh
W = 8 x 1r/ J
RESQUCtÓN :
E =
Precio
b)
Caída de tensl6n lntema : Está dada porlal1lSlSleOOa nema que airece la fuente que produce la energía eIécInca E, = 1'1
Fls/CA GENERAL e)
carda ele tensión 10181 : Incluye la resistencia o caída ele tensión externa e intema.
IET
RESC'llJCIÓN : a)
caída de potencial,ntema: El " 1.1, = 1 .~A x 111
= E~
E, = 1,5V
PROBLEMA ,_
Sea un circtito co" tres resistenaa. el.. 2, 4 Y 6 ohmios. Calcular la resiSleroa del conjunto:
a) b)
bl
caidadepoteroalex1erna:
E.
E¡.
Ez
= I.R, + I . ~
E. = 3AO + 6AO
RESa..UCIÓN ;
E. " 9V R = ?
Al" 20
e)
carda de potencial total:
Az • 411
El = E¡.E. = 1,5V+9V
As " 611
El = 10,5 V
R"RI+~+As
Una bateria de eeutruladores liene una F.E.M.de 121101tios y su resastencia IOIema es de 0,22 Q, sus bornes se conectan meáante un cond:JcIor que tiene una Il!SIstenoa de 511. ca~
PROBLEMA 3.
R = 20 +40.611
A = '211
Apta;
bl
=
E. " 1,5A . 20 .I,5A. 411
Cuando están en serie. Cuando están en paralelo_
al
466
1 A
, Al
1
1 As
ruar.
-:;:;- + - + 1
~
1
1
1
A = 211 + 411 + SO 1
al La rntensklad de la comente que circula_ bl La óferenda de poIencl8l entre los bornes A y BdeI generador cuando el circuilO está cerrado. IntenSIdad de cada acu-
mulador 1,5 A.
R
el La diferenca de potencial entre los bornes cuando el circuito esta abierto.
Rplac R = 12 11
RESOLUCIÓN ;
"
.
PROBLEMA 2. En la figura adjunta calcular la caída de potencial inlema, externa y lolal.
Ro •
...
. . . . 'H
E,
E
1,, - 10 ,1 E
+
I
"
1- 1.5A
" - -- ---1+
;;¡
4D
= 12V
12V
r, -
0.220
I~ ~-+t------' '¡ = 0,220
al Cálculo de la inlensidad:
I = El El R,=r,+R.
aECTIlOOINÁJ./1CA
466
12 V
12 V 5,22 O
=-O,22~0~.=--=-50= :
I :
RpIa.: I = 2.3 A
t:+ Se trata de calcular la caída de pctenciaI ruando hay cirtUaOOn de lXXliente, luego:
ET = de donde:
E.
E. • El
PARTES DE QUE CONSTA UN CIRCUITO ELÉCTRICO
= Er • El
E¡ = 1. rl
Pero:
E. :
Er' I.r,
Sustituyendo datos: E. = 12V ·1.SA . 0,221]
f\:>Ia.:
E.
~
11,67 V
E.
a) Generador: Desempaña una l\IlCi6n si'nilar al de una bomha de agua, el Generador no prcxhJ::e electn:>nes. cerno tarrpoco la bomba de agua produce
agua,sroquelohaceclrclJlar.Cirt:lJanloselec>
trenes Iilfes ",e están a lo laJgo del condudor. Receptor : AeOOe el1lJl de electrooes oro lieI rte eIéc1rica yes1e flLjo realiza 161 trabajo "'" se marifiesIa b)
e) Cuando el circu~o está abierto la resistencia del generador no actúa, es decir: E¡ : O ,~: E" = El
f1¡Ia.:
Resistencia : Es parte de 161 ciro.ito eIécIrioo "'" drece ólfi. cUtad al paso de la corriente eIécVica y como consec:ueroa secaimta Cuak¡tiera "'" sea la direcaón de la comente eléctrica. la resste ocia se caienIa, parte de la energía eIédri;a sebansforma en energía caIorffica y no es reverslJIe
bajo la bma de luz, caIor,lT1OYÍli!!f1IOS ele.
e)
= 12 V
CIRCUITO ELÉCTRICO
Conductores :
Son los medios a lo largo de los cuales fluyen los electrones que el genefadorhace ciraJlar. Int8f1Ulltor
ASOCIACiÓN DE RESISTENCIAS
Generador
Circuito Eléetrlco :
Es 1I1 SIStema a travésdelcual circula la rorJien.
::- Receptor
te eIédrica. COi1SIa de los sjguienles elementos: a) Resistencias. b)
Gererador de F.E.M. o fuente de energía Conductor
eléctnca.
PROBLEMAS PROPUESTOS ,.
Calcular la resistencia eléctrica cuando a través de 161 conductor cl,cUa 60 mili8Jlllerlos con l61a diferencia de potencial de 3OV. Apta.:
2.
5000
Calcular la resrstencia de 161 conductor
de cobre cuya IongM es de 2 m y sección 1,55 mm'.
Peotn = 1,72 . 10'¡¡ 1] • m
Rpta;
2,22)( 10-5
(1
Se tiene una linea de aka tensión con alambre de cobre de 3 cm de diámetro Y 5OO~m ele Iong~ud. Calcularla resistencia del
3.
conductor SI:
P_o e 1,72 x 10-11
n
xm
FlSJCA GENERAL
.bdemas. calcular el dlámeuo de unaJambre de aJumnio que lo puede sustituir manleróendo la msma resistencia.
p _ ; 2.63.10-8 n Apta.:
4.
al
12,17 n
bl
0;"3,7600
.m
467
decir. se inlernJJ11:l8 el paso de altriente mediante un "interrupto!"'. es como una especie de puente lelladjzo que Impide la circulación de electrones. Se dice que un circuito eslá "cerrado" cuando hayclrculací6n de comerte eIéc1rica. R
El electrón de un átomo rEllXlfre l.Ol6rbtla de 6,2, lO''' m de radto con m8 \lelo-
cidad de 3 ~ 10' ms. Se pide calcYlar:
al La frecuencia en Hz
b) La IntenSIdad de la corriente de un electroo 1 ,6, 10''' C. NOTA:
1 hertz "Hz"
= 1 .' Circuno ablano; • • Int.f\CJIOr
Apea.: a) 7,7 x 1023 Hz bl 0,768 x 10-2 A
5.
Alolargode un alarrtlre dec:obrede 0,05 arf de sección recta. cirWa ...... corrienle de 20 at\'l)eJios. Calcular la velocidad meda de los electrones que se desplazan por el hio supoIlÍeI ido que cada átomo de cobre contrbJye con un electrón al proceso de la conducción. La densidad del cobfe es 8,92 gf~ ; la masa de un átomo ~ cobre 63,S. En el cobfe: 8,5 x 10" eJ~
Apta.: 0,0296 anls 6.
Una estufa eléctrica absorbe 12 amperios cuando se conecta a U18 tensión de 22OY. Cala.lar la resistenciade la estufa.
Apta.: 18,33 n 7.
,yyyyy
e +
• Clrcufto cerT8do: 1" Into~
ASOCIACiÓN UE RESJSTENCIM al Asociación en serie : Se llama as! a la as0dad6n de resistencias ccIocadas unas a continuación de las otras a lo largo del circuito.
R,
La I.e.m de una pila seca 9S de 1,5 V.
¿Cuál es su resistEJlOa Í1\ema si se hace ciro.Jar U18 allTlEflte de 20 a~?
r:;,ta.: 0,075 n E
CIRCUITO ABIERTO Y CIRCUITO CERRADO Se dice que un cirru40 está "abierto" cuando no hay circulación de corriEf1te, es
L -______~ - ,I~+~----~
,I
Sus características:
11 I
= 1, =
1,
=
l.
= ......
2) A ~ A, + Rz + Aa + "-, 3) E : E, + E2 + Eg • _. b) Asoclaci6n en paralelo: Se llama asr cuando todas las ,esistencias salen de .., msmo ¡:unto y luego todas se vuelven a juntar en otro punto, Asr po, ejemplo en 10$ pVr(O$ A YB,
A
'.
f\ E,
R.
~
+
,
F,
A, F
'3
8
"
"
",
1,
"
.
E
o
ción del problema, indicará rruy daramente
que ésta eIeccí6n está equivocada. Se cambiará de signo.
PRIMERA lEY DE KIRCHOFF O REGLA DE LOS NUDOS E
+
a cero' o 'La suma de las intensidades que Began a un rudo es igual a la suma de las intensidades que saJen del nudo", As/:
Sus caracteristicas: 1) I : 1, •
1
2)R 3)
E
2
~
I~
• 1, • _
1
I
1
,
l
3
E,
= ~ =
jf+i1+i1+ '--
E3 = •• ",
4} las intensidades en cada ramal son irwer· samenta proportiOIlalesa sus resistmcias.
De (3):
ó:
E, ~ ~
R"I, "
"La suma algebraica de las inlensidadeS de las corñenIes que llegan a l.f'I nudo es igual
Rz,I2
I ~ ~ I~ 2
EnetRldoB:
t 2 • l.
Enet1UklE:
1,
~
e
1,
12 + 13
SEGUNDA LEY DE KlACHOFF O DE LAS MAllAS "La suma algebraica de las fuerzas electromotrices de una malta cualquiera, es igual a la suma algebraica de los prodUctos de las intensidades por las respectivas resistencias', Asf, para la malla ABEF:
E, + E2
=
I"A, + Iz ,r; +
• Iz ,Rz • 1, ' Aa .1",;
(1)
Pata la malla ACOF:
CORRIENTES DERIVADAS LEVES DE KIRCHOFF Corrientes derivadas son las corrlen· les que circulan por las redes de un circuito conectados en paralelo, B sentido que se 18 asigna ala corriel1te en cada rudo es artJitrarió, Si la eI8
E,~ ~ , R,.13 , R4.1 .. R3+" ,r;
(2)
Para la malla BCDE:
,~ ~ '.,R. ' 'z'Rz . PROBLEMA 1.
',z";
(3)
Calcular cada una de las intensidadeS de la red an-
teríor con lOs siguienles datos:
FiSICA GENERAL
= aV
E, = 4 V
~
R, = 0,50
Rz "'
A:I
" = 0,1
n
r,
= 3,589A;
1,
1,50 R, = 20
= 0,50
469
PROBLEMA 2.
En la ftgura moSllada, se pide calcular: ¿Cuánlo marcan! el a~rimetro tnStalado. COI'\ los siguientes datos: E = 10Y Rz 2 60
a)
= 0.20
ootos
RESOLlJCIÓN : Reemplaz¡lndo los en cada una de las 3 igualdades anteriores; MallaABEF:
R,
= 30
Rs
perlmetro con la fuente de la energla?
+ 12 1.50.1,0,50.1,0,10
(a¡
IOV = 1,11,0 + 1,71 2 O MalIaACOF:
4 V = 1,0,5 O + 13 2 O + 1,0,5 O +
e
~
"
"
F\ A,
1,
"(b)
a
A
1
+ 1,0.10 4 V = 1,11, O +219 O
= 90
¿Qué sucedera SI se inlercarnbta el am-
b)
4 V + 6 Y = 1, 0.5 O + 12 °.2 O +
= 0.026/\
13
e
o
M
MalaBCOE:
RESOLUCiÓN:
-6V = 13 2ll-1 2 1,Sll·1 2 0.2ll -6V = 21 3 0-1,71 2 0
(e)
P,esardiendo de las lJ1idades V y íl para agdizar la soIuo6n algebraica: lO = 1,11, + 1,71 2 (a)
4 = 1,11, + 213
"lb)
-6 = 213 -1,71 2
(e)
Apicando la p!inera Ley de Kirchoff al nudo E;
1,=1 2 +l s
De (c~
Para el generador.
RE
(1)
R, + RA9CI)
(2)
1, =
•
Cálrulo de R. :
1\ =
(d)
Por olro lado: De (a),
Se elige una dirección arbitraroa para la 00menta, conforme se muestra en la ligura_la fuente de energfa tiene que vencer todas las resíslencias que haya entre sus bornes, esto es lo que se Dama resistencia elrtema,luego:
En la malla ASCD10-1,71 2 1, = 1,1
13 =
Sus1J\uyendo (e)
1,71 2 -6 2
y (1) en (d) :
10 - 1,71 2
(e)
1 RA9CI) =
(r)
A9CO -
1 IIzRs Rs = R2 + A:I
R R3 2
Sustituyendo en (2) :
1.1 12 = 3..56 A Sustotuyendo (e) y en (1):
+
_Rz+R3
R --
1
lIz
R
...
De donde
Con datos:
A.
2R
A2+Rs
,+ R R
2 3
= 6,6 O
B..EC1RODINAMICA
470 susI~uyendo datos en
=
1,
tOV 6.60
(1) :
= t,SIA
~lasegLl1daleydeKid1áf en la maJa
la =
3
@)
Luego: 1, = 13 Cuando se intercamboan ro seal!era laintensidad del sistema.
E + 1, R,
PUENTE DE WHEATSTONE
Rs
tO + 1,51 • 3 9 13 = O,BA
13 = b)
10- 0,91 x 9
1, = O.6A
I-BCM:
De donde'
=
R,
(a)
Intercambio de la fuente del.e.m. VeI at11lElJÍmetro: A
Es l.I"l cin:ui1o que se usa paI3 medir resistencias, corro se rruesb"a en la figtn.er.os· la de 4 resistencias A, ' R, ' R, y R, conecta· das a un generador de t.e.m. En el ramal CD se instala un galvanómetro, aparato que detecta, mide la intensidad ydelermina elsentido de la comente eléctrica por medo de la desviación que sufre una aguja imantada situada en el interior de un canete rodeado de cobre envuelto en CUIIndo pasa la comente por dicho alanilre.
sede;
"
D
"
e
A
B
Procediendo en forma totalmente simlar al catculo anterior; observando que R, y f\ es· tán en paralelo:
+
(1)
E
R,~
R. = Rl ' ~ + Ilz R, = 90 t
3 0 . 60 = tln 30 + sn 10V
"el
= O,SIA
Aplicando la segunda Ley de Klrchoff en la maUaNBCM :
E de donde:
de Whea1store está en eq.¡iIiJrio; es decir los EJ por tanto, sus caídas de potencial son iguales, po\encIaIes enC y Oson igJales (E., =
Sustrtuyendo en (1) :
1, =
Para ciertos valores adecuados. de resistencia, el gaJvanómetro no marca pasade cofrieo. te eléctrica lo que qlÍere decir que el PJl'nte
= I,A, + IJR,
asf:
y:
EA • Ec = EA • E¡¡
(a)
Ec-Es=E¡¡·Es
(b)
y por la Ley de Ohm: a) I,.R, = 12.R.
(1)
FlSICA GENERAL
NOTA: Al pasar comen1e porCD, las intensidades 1, e 1, son iguales. Tanilién por la ley de Olm:
b)
1,.R2
"
12 .R3
(2)
OMdierdo (1)", (2) :
dedorde:
471
Lo que qtiere decir que: 'Si el puente de Wheatstone se halla en eqúlibrio, los productos de tas resistencias opuestas son iguales E'¡emplo: ¿Calc:tJ1ar cuál es el valor de la resistencia R,. sabiendo que R,=20,R,=30 y f\=4n?
~ • R~ R2 R3 R, . R3 = R•. R~
20 . 40
- 3n-
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
Sisecoml>nan3resistendasde3; 4 Y 5 ohmios de resistencia. ¿entre qué IIm~es está la reSislenc:ia total?
A
B
RESOLUCIÓN : Las tres resistencias se pueden combinar en serie, o en paralelo. En sene:
R. " R1 + R2 + R, R•• 30 + 40 + 5 O t20
(1 )
1 1 1 Rp = R,+R +R 2 3 1 1 1 1 Ap " 30 + 40 + 50
Ap = 1,2HI
(2)
a
e
RESOLUCIÓN : Sea 'l'la intensidad que drcUa; corno las resistencias están en paralelo a partir de 'a'. las intensidades serán iguales a 112, quiere decir que la caída de potencial entre ah Yae son iguales ( iguales a R.II2}, poroonsigLiente la dnerencia de potencial entre b y e será cero (V.. O) lo que qtiere decir que por el ramal be no circula corriente, entonces se calcula sólo la calda de potencial que sufre la corriente que drcula por abd yacd.
=
RIIbd LOqJe qUere ooaqJecuando se ronecta en
¿Cuál es la resistercia eqiMlerne entrelos terninales A y B del circtito de la fogua. suporiendo """ todas las resistencias son iguales a8chnios?
= R+ R =2R
Roed = R + R = 2 R
serie ofrecen la resistenaa máxima. 1211 ; Y cuando se oonectan en pa¡aJelo, ofrecen la resistErcia nirWna, 1,280. que son los ti.mes. PAOIllEMA 2.
d
1 1 1 1 RAS " 2R + 2R " R Donde:
RAS = R " 80
PROBLEMA 3. Calcular ta corriente eléctrica que circula por la resistencia A.
472
el
La calda depotenciaJ en tos bornes dela batería cuando orcu1a comente.
RESOLUCIÓN : Se señala lfiI dirección aobctrana de la intensidad de la corriente. conforme se rruestra en la liglla. Las rBSlstencias de 3 n y6 n eslán en paralelo. luego la resistencia equMliente es: 1 I I 1 - = -+-=R, SO 60 2n dedonde: R, = 20 Ahora el orcuito equivalente será: 20
®
10n
50:
RESOLUCIÓN : En primef lugar, como todas las resistencias están en sene, lamslstencia 10lal será: R = 10 a • 5 a • 1,1 a = 16.1 O E
al I
=
ApIa.: bl
3QV
CD
r, .. 10
R
20V
V
= 16,1 n = 1,24 n
t = 1,24 A
Carda de polenctal en (1) :
E, = IR, = 1,24A . lon E, = 12,4A " O = 12,4V Carda de potencial en (2):
y la resistenca total será: R = 20+20+10 = 50 Luego:
E :IlV I = R = Sr! = tiA
e)
La caida de potencial en lasreslstenciasasoetadas en paralelo, es:
E2 • IR2 = 1.24A.Sn E2 = 6,20A . n = 6,20V La caída de potencial en los bornesde la batería: E. ~ ET • Ir
Como en una asociación de resislencias en paraleto las caídas de potencial en todas son iguaJes,la caída en la rE!$istencia ' A' será 12 V. LLegO. la intensidad en ' A' será: lA = _~ RA
= 12V 30
de donde: Rpta ' PROB~MA
5.
4.
a) La inlensidad de la oorrien1e. b) La caída de tensión en cada una de las resistencias.
= 18.636 V
Hallar la intensidad de'1a ooniente en el cirruitoque 40
30
= 4V O
En la figura que se muesIra, calcular:
E.
se rruestra en la ItgUla.
lA = 4A PROB~MA
n
E. = 2OV· 1,24A • 1,1
E, = IR, = tiA x 2n = 12V
30 v
>
~
+
-=:;:-', _0.5n
•
...eo
.1
\AA
~
50 ~
60
..
'AA
60
FfSICA GENERAL
473
AE5a.UClóN : La intensidad se calcula asi: 1=
20 A
~
o--VVV"v--,.t.A- - - - - , o
(1)
Doode R, es la resistencia total del circUlo, la aJa! se calcula asr:
Las resistencias de 4 ; 5 Y6 ohmios estan en serie,luego su ,esistencia equivalente
es: A, = 40.50.60 = 150 Esta resistencia de 15n,las resistencias de 3 O, 8 O Y0,5 O del generado, están en serie, luego la resistencia total es: AT .. 4,770 .. 30 .. 8 O .. 0,50
AT - 16,2HI Su!;tiIuyendo valores en (1) : I Apta: 1,84 A
PROBLEMA 6.
_ _ _ __ _ _ _
N
~
_ _ _ _- - J
tremos de la resistencia de 3 íl.
..
20
..
20
t.A
•
•
:N
vvvv
30
o
T
AhIlm, en eltramoMOTN,las resistencias de 6 O Y2 O están en paralelo, luego su eqt.ivalerneas: 1 1 1
R = 30. + 60 de donde: A = 20 Yse puede expresa, gráfICamente asr: 20
Ao-__~~~-----,
EnlaligLraadpJnladeler-
de4íl.
e
~
60
20
mnar:
el la dtferencla de potenciales entre los ex-
• -===- 30 11
B
30V
16.270
a) La resisterv::ia ~e eme A y B, si se conectan a tmésde Lfl generadorde ~v. b) la corriente que cirrua porla resistencia
A
ao
Bo---------------~
Finalmente estas resistencias están en serie yel valor de su eql.ivalente es: A ~ 20 .. 20 = 40 Que es la resistencia equivalente y se puede expresar gráficamente asi:
10. 0 - - - - - - - ,
~
40::
T
40
e
(>----------'
b) La intensidad eqlivaJente en el circtito es: RESQUCIÓN :
a) CálcUode la resistencia eqúvalenteenlreAyB. En ef tramo MOT las resistenaas están en SErie, luego su eqlivalerne es la SlSTIa de las resistencias: R=20.4U=SO yse puede expresar gráficamente asr:
I =
E
R=
SOV
4 U = 7,5 A
De aqur ellIOItaje o calda en la primera resislenciaes: E1 = I ~ = 7,5 A • 2 O E1 .. 15 V Por consiguiente ellIOIlaje que "ega al punto M es de 15V.
474 En el tramo MOl las Intensidades que pasan por la resistencias de 2 O Y 4 fl son iguales. que están en sene: 1 = 1, = ~ su valor es:
va
1 = E, =
As
15V = 1650V 2fl+40
36V 1 = 4,420 = 8,15A b)
E¡o = 22,f68 A • fl E¡o • 22, 168 V el E, = 1R, = 8,ISA x 0,80 E, = 6,52A
=
1 2.5A e) Por la l'8Sistenaa de 3 fl hay un poIenaal ot'JaJ al de 2 fl Y4 fl juntos, del circu~o MOl, por emr en paralelo y la leSlstencoa en paralelo tienen igual ca Ida de potencial, ese polenclal es de 15 V. Un generadO( de 36 V Y O,90de resistencia interna. SLITlÍristra corriente a un sistema como se mueslra en la ~gura. calcular: a) LB intensodad de la corrien1e en el arcuito. b) LB caída que sufre la tens.6n en la asooaa6n en patalelo el LB caklade potencial en el bomede O,SO, d) calda de tensión de los bOfnes del ge-
PROBLEMA 7,
nerad«,
'~I::11
x
O
E, = 6,52V d) Se puede calcular de dos maneras: 1) E=Caida de potencial en el grupo exterior:
E = 22,I68V.6,52V E = 28,668 V 2) E =Voltajedel generador-calda interior: E =36 V-lr
E = 36V-8,15AxO,90 E = 36V -7;335V E
~
28,665 V
PROBLEMA 8. a)
36V
E¡o = I'\. = 8,ISA x2,nO
b)
En el ciraito de la figura calcular LB corriente que drrula por la resistencia de 6 otwnios. La óferenaa de poIenoaI en1m los extremos de la misma resoslencia. 3í1
Ar-____~~Ar----~ 8
ISU
30V
O.9 n
+
RESOLUCIÓN:
E 1= R
al
(1)
CálcUo de la resislencia R: Resostencia de laasooaci6n en paralelo: 1 -=
Rp
1 1 1 11 + +=50 100 15fl 30fl
de
D'~--------------~ C
RESOLUCIÓN :
En el ci'culto BCD. las resistencias están en paraIeIo.luego sueqUvalente es: 1 Rp
l
= 6fl
=
l 1 + 30 = 20
de 1Dnde: Rp 2O Oue es la resistencia eqUIvalente y gráficamenleseindoca8sl:
rlSICA GENERAL
475
I= E
(1)
R
Cák:Uo de la fuerza elecb CA IdI iz o voltaje total en las pilas: . E=6V+6Vt6V
E = lBV Este equivalente, y la resistencia de 3ílestán en sane, kJego la resistencia total es: As e 3íl .. 20 5íl Cálculo de la intensidad de la corriente;
=
I = ~ = :!JV = 6A R,
SO
a) Como la coniente que circula es de 6 A, a partir del nudo B el circuito es paralelo y !as intensidades son inversamente proporcionales a sus resisten<:ias:
t,
R;
12
=
R,
de donde, por propsedad de proporciones: S'4JCfliendo que la R, 3 íl Y R, 6 O: 1, 12 " + 12 R; = R, = R,. R2 dedorde: I 1 • A ' · ' 2 _ 30 6A _ 2A 2 IFI ,+A 90 2 Ahota: b) E2 = ' 2 Rz = 2Ax611
=
=
(a)
Resistencia de las ptIas: Rv = 0,2 0+ 0,2 O +0,2 íl .. 0,6
Q
Resistencia en la asociación de resistencias en paralelo: 1
1
=
Ro
3O
1
8
+ 5 O = 15 O
de donde: R,.= 1,90 Resistencia tOOlI del circuHo: Las pilas Yla resistenoa equivalenle de la asociaci6n en paralelo están en serie, luego: R = 0,60 .. 1,90 = 2,50 (b) Sustrtuyendo (a) y (b) en (1): 1
=
= 7.2 V
18 V
n
2,50 R¡:(a: 1= 7,2A
PROBLEMA 10. Calcularla mtenssdad de comente que circula por el circUto de la f'9tra. Cada pila tiene un volI
E2 = 12 V PROBLEMA 9.
Calcl.jar la intensidad en El arCIllo de la figura Ca· da pila tiene una F.E.M. de 6 v y una resistercia interna de 0,2 Cl.
'--1--1+:
20
~ ~ 1-----, RESOLUCIÓN: I =
(1)
Voltaje de las 4 pilas en serie: E = 4x5V = 6,OV
30 .hh··
~
I
60
RESa.UClóN : Recordardo que:
El voltaje del circuito senl también 6,0 V porque elllQ"aje es igual en el circLilo total y en cada uno de 10$ que estén en para· lelo, es decir: E=E,.Ez=6V (a)
476
Reslstenaa de las pslas.., serie:
1
4> 0,2 O " 0,8 O Resi$lenaa total depilas: 1
1
1
1
R,,"
1
1
1
+ Az = 0.20 + 0,20
de donde. Rp = 0.10 Resistencia IOIaI .., el circuito:
1
- = - + - =--+-Rp ~ Rz 0.80 0.8n de donde :
1
Rp = ~
Ar
1 =T1+2 +0,1 =3.80
lb)
3+4
0 .4 O
al y
Resis1encia lolal: A ~ 0,40 + 20" 2,40 (b) SuslltUyendo (a) y (b) en (1):
I=~
b) .., (1):
3.en
Rpta.: I = 1,57 A
I,,~ 2,40
Apta.: 1 = 2.5 A PROBLEMA 1,. Hallar la inlensidad de la
conienle que circula por el cirrurto de la fi9ura Cada pita tiene LI'I voltaje de l,5V yU1a resas1enda de O,OS o.
PROBLEMA 12. Enelgn!fico¡peserruesIra. calcular: al Las intensidades 1, ,I.~} bl Las intensidades Yel VOOBje en los bornes de laasociad6n eo paralelo del ramal CD.
sov
1t-j t-j 1----- - ,1,'-,9
A .--_ ~1
F
2
30
00
411
(1)
RESOLUCiÓN :
RESOLUCIóN: Se indica con 1Iect.as una dirección artlhrana de la corriente. a) EqtivaIenle de las resistencias en paralelo. 1 I 1 1 EnCfr A, 2Qñ+ISO+120
=
CáIcuto de E : el palencial de la PIla.., serie: E" 4 . 1,5V" 6V Como las dos aSOClilClOneS en serie están a su vez unidas en paralElo, qoiere decir que la fuerza eIec1romolriz en cada uno es igua! a!
EnEF:
Al = 5,10 1 1 1 Rz=60+40
Rz
= 2,40
8ci'cUtopuederepreserda/Se gráIicamen1e así:
toIBI, esto es: Er " 6 V
(a)
Cálculo de R. ResiStencia de las pilas.., serie: R, = O.()!;O " 4 = 0.20 Res!stenciade los dos osoc:illQone$de las pias en serie, oooec\adas en paralelo (R, =R,):
"1
A
e E
5'~f
'"
... .. 80
t--j -
'~v
B
A l~~A
o
. ..
F
2.411
FfSICA GENERAL
luego, la resistencia ~lenIe:
b)
EnEF: flu = 8U .2.4 0= 10,Hl
Alz = 100 . 1,7A = 17V La cardla de potenaal en el mismo raIWI para
30V
A
La intensidad del ramal CD es 1,1 A, la diferencia de potenaal en la resistencia de 100será:
Aro = 5,1 U .10U = 15,10
EnCO:
.-------1' t-j 1---
_
B
el~paraleloserá:25,aV'11V
l' _ 8,8V = 044A
cl-----'WW\r-- - - j o 15,' n
200
10,4n
Resistenciasequill8lentes en CD y EF: 1
1" = e,8V • 055A ISO ' Intensidad dela resistencia de 12f.l:
f\, =
12U
PROBLEMA 13. En la fJ9ura adjunta. cal· cular las inlensidades de corrien1e QUe pasan por cada una de las re-
6,1S0 30V
.----1+
I--j ~ 1-- ---,
= 073A '
1'" = a,8V
1
-=--+ - Rp '5,H1 10.4í1 dedonde
'
Intensidad de la resistencia de 16 n: F
1
B
sistencias externas. Despféoese el valor de las IllSIStenaas ,nlemas.
av A,, " 8,16 0
e E
= a,av
Intensidad de la resistencia de 200:
L...--JV\N\f V\r--
3V
B
-
o
+ 1----, e
F
e
20
30
4í!
Irtensidlad de la bateria: 30V 42A ' " 10.6,160 = , Tensiál en los bornes de la balería; I
o
F
E
E • 25,8 V CO'noIa balería y los ramalesCDy EF están en paralelo SUS tensiones larrbén serán 25,8
RESOLUCIÓN : Se ha elegido una dire<:clón arbitranadelacorrienle,la cual se ha marcado con Itechas en el Circuito (cuando se proponen rl!Juras como problemas, no se indica con flechas el sentidodelacomente),
v,tuego:
Ira. Ley de Kirchoff para el nudo B:
E = 30 V - 10 • 4,2 A
1
25,8 V
z = Reo
25,8 V = 15,10
' 2 = 1,7 A 13 = 25,8V = 25,8V AEF 10,4 O
13 = 2,5A
13 =1,+1 2 (1) 2da Ley de Kirchoff paJa la malla ASEDA: -3V = '2UI, + 301 3 (2) 2da Ley de Kirchoff para la malla BCFEB: 5V = -301 2 -401 3 (3)
De (1) ;
12
~
13 .1,
(4)
478
ELECTFCJO/NAMICA
SUsIituymdo en (2) y (3) : En (2): -3V = -2n l , + 3Cl(la -1,) (5) -3V = -501" 3Cll 3 En (3) : 5V = .3Cl(1 3 -1,) ·4Cll a
5V=3ClI,-7ClI 3
(6)
De (5) Y (6) ' 1, = 0.231 A 13 = 0,615 A Los SIgIlOS regabvos que salgan, signfican que el sentido de la corriente que se ha supuesto. es contrario al verdadero. F"",lmente sustituyendo los valores de 1, e ~
en (4) :
12 " 0,384 A PROBLEMA 14. En el gráli
., -
Sustituyendo en (5) : 5 = 8(3 '71113) + 71
..
13 " ·0,282 A
8 signo negativo Indica que el senlido de la comente ~ es conIraJlo al que se~. Sus· ,ituyendo en (6) :
1, " 0,87'2 A Sustituyendo estos valores en (1) :
12 = O,590A Como lo 3 ramales est\n en paralelo, sus
b)
voltajes son iguales, cuyos valores se
obtienen asl: PB: E:2V·I,r
E = 2 V . 0,872 A • 1 Cl
2Y
A
B
, r. ~ ' o
1,
E " 1,13V
CO: E = -3V
3Y
e
,
r :. 20
o
50
E
IVV , •
"
sentido de la comente. 1ra Ley de Klrchoff, nudo e :
(4~
1,,, - 7 -
r 1 - 20
E ,", 40V
(2)
E r
(3)
(5) (6)
E, e '5 y F
2
a
J
n
R
1,
I
RESOLUCIÓN :
200
'.
2
SusIiIuyendo (1) en (2) yen (3): 3=71,+111 3 (4)
De
B
A
2da Ley de Kircholl para la malla A8OC: 2+3 = 21 2 +51 2 + 1,
3 - 1113
En la figura que serrues,ra a continuación se pide
hanar l, , 1, e 1,.
3 = 5 12 + 413 + 21 2
5=81,,71,
E " la Ra
(i)
2da Ley de Kird10H para la malla CDFE:
5 = 71 2 + 1,
1,13V
PROBLEMA 15,
RESa..UCIÓN : Se elige altliltanamenle un
3 = 71 2 +41 3
+ r2)
E = 0,282 A . 40 " 1,lan
F
40
12 =1,+1 3
~
EF:
A..
E
·12(~
E " -3 V + 0,59 A • (5 + 2) O
-11: ,...
,A.H
~
3
En primer lugar llene que
SLpOf1erse un sentido para la cooiente. Ese sentido es arbíI rano. 1ra Ley de Kird10H para el nudo D :
12 = 1, + 1,
(1)
FlS/CA GENalAL
2da ley de KirchoH para la mana ABDEA: E, + E2 ~ 1,', + 1, R 1 + 12 '2
Sus1i1lJyendo dalas: :Jl + 40 = 1, K 2 + 1, x 20 + 12 K 3 (2) 70 = 221, .31 2 2da ley de Kl,chOIf para la mana OEFCD:.
E¡ + E3 = 12 '2 + 13 '3 + 13 R 2 SustI1IJyendo datos: 40+15 = 12 x 3+1 3 x 3+1 3 x 5 de donde:
55 = 31 2 • 81 s
(3)
479
1, e l. de la corriente que circula por cada
tramo del arourto mostrado en la ('!jUra. RESOLUCIÓN :
Se asigna un sentido arbitrario al sentido de la corriente, como el que se ha indicado en la
figura. (Cuando la fogura fue proptJesta como problema, no se indicaba el sentido con las nechas).
',a ley de KirchOlf para el nudo C : 1,=12+13
2da ley de Kirchofl para la malla ABCFA: E,+E,.EJ
00 (2):
70.31 2 1, = 22
(4)
00 (3):
13 =
55 • 91 2 8
(5)
12 ~
32
+
SUs1ituyendo datos: 6+8+9 = 1,.21,.91,+ +21 2 +61 2 +31, 23 151,.81 2
55.31 2 8
=
2da ley de Kird1of1, para la mana FCOEF:
de donde: 12 • 6,654 A
E3. E. = ·13r. ·13A2
Susll1uyendo en (4) y (S):
13 = 4.379A
1, = 2,274 A;
90
e R,
e, -
,on
9V
17
E
= 21 2 ,71 3
00 (2):
t, =
00 (3);
19 =
23 ' 81 2 15 21 2 ' 17 7
(3) (4)
(5)
sustituyendo (4) Y (5) en (1) : 23.81 2 21 2 .17 15 ~ '2 + 7
de donde:
3e
+ 12 '3
9+8 = .313,1013+613+212
PROBLEMA 16. Hallarlas intensidades 1,.
se
= 1,',.1,',+
• t, R, + 12 '3 + 12 Rs + 1, A,
Sustituyendo (4) Y (5) en (1):
70.31 2
(1)
12
= 2,18A
Sustituyendo en (4) y (5):
•
E. _8V
"
o
1, = O,alA; IJ = ,1,81 A
a.ECTROO/NAM/CA
400
1.
PROBLEMAS PROPUESTOS HaDaria lI1lensidad de la oorriente del cr· en el galvanómetro es cero ¿Cuál es la resiso tenda de la botllna?
cuita propuesto. 70
30v 100
80 0,40
80
30
Apta.: ,;: 2,08 Á Cada serie de pilas consta de4 pilas de 1,5 V cada una y 0,08 Q de resistencia interna Tomando en cuen1a la resistencia e::1ema, hallar la Intensidad del circuito,
d
2.
Rpta,: 6.
Re = 16 Q
En el siguiente gráfICO, cak:tdar: a) la Intensidad, b) la diferencoa de polencial en los boro nes de la baterfa, e) la diferencia de potenciaN •• V. d) El potencial en A
50
R¡JIa,: le 1,9A
250
Un coroUC1or de resistencia 5 n y .., galvanómetro de resIStencia 12 n se ponen en paralelo, ¿Cuál es la propol'Cl6n de las intensidades que pasan por cada uno?
200
3.
fl>Ia.:
'e= 'G
0,2491
'.".
e
¿Cuál será la resistencoa quedebeookr carse en paralelo para que por un lIrr4Je" rimelro de 0,1 Q de resistencia pa.5e ell 0%
:jo aberra, índoca
Rpta.: a) I = 3,3 A
b) V = 163,3V
de la corriente?
e) VA' Ve = 6S,6V
Flflta.:
d) VA • Ve = 100 V
Q = 0,01 Q
Para calcular la resistencia de una bobina "8" se usa un piJente deWheatstone. Las cxras resistencias se conocen. La IecIlJra
5.
B
ElheChoqueeipuntoCes1éurisolamente que el potenCIal en ese punlo es ceno.
NOTA:
= 0,7061
4,
100
7.
En la figura:
al ¿Cuál es la resoster1aa eqUv.ilertede la rOO?
481
b) ¿Cuál es la comente en cada resistencia?
10. ¿Entre qué puntos se tiene la meror resistencia eqLivaIente? R
E 6V
R
Ajú; R = 118.75 íl
t 2 = 13 = O.02A
1, = O.OSA
l.
= 2.105 A RpIa.:
8.
R
Calcular las cntensidades de las diferentes partes del Clrcu~o.
f!C,
11. La resistencia medda entre 2 pares terminales es de B [ Dar la resistencia R.
" e,- 20V '2 ::;
1---
20
Iz
R
B
Rpta.: R 1,
~
e
12 r
12. Un alarrbre de cobre de longftud 'l' Y
R.. - SO
resistencia 'R' sedivideen'n"partesi·
Apta; 11 = 1,578 A 12 = 3.684 A
gua"'" Luego los "n° segmentos se juntan for-
13 = 3.158 A
mando un conductor de longhud Un. Determ-
l. = 2.IOS A
nar su resistencia.
Halar la resisle"lOa efectiva (entre los 1AlrlTWIaIes a y b) de una serie Indefnda de re5ISlenciasconecladas como se indica en la figura. si todas tienen un mismo valor R.
9.
Apta;
R, =
R
rf
13. Hallar la resistencia equivalente vis-
ta desde abo
• R R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
d
R
R
R
A
Al tomarse la res.stenoa equivalente entre a y b, no cirrula rorriente por "gc" y por lo tanto se puede sacar esa rama SIn alterar el CII"ui1o. La rama "hd" se puede sacar tarrbén.
NOTA :
B
14. En el álCU~o mostrado el arrpeoimetro A marca 6arrperios. ¿Qué resistencia debe quitarse para q.Je A marque 4 a"1'erios1
E
~--~----~A~---
17. En el CIICUltO dado: a) HlIllar la resistencia de la red entre los bornes "8" y "h". b) Calcular la diferencia de potencial entre "a" y "b", cuando circula una romente de 1 A en la resistencia de 5 Q
IUl
9 'l
18.0
•
=
Rpta: Se debe qui1ar R 12 Q
-
•
,ov
rl-
lO
311
IU
BV
211
~
-> lA
20
211
->
.l.
SU
2U
20
.... ... ..
20
e
~
'20
1,
f-
••
'
b
20
2Cl
ajen
20
...'
211
d
b)30V
18. Hallar la diferencia de potencial entra lOS puntos"A" Y"S" del circuito que se rruestra.
lO
A
+
211
.. .1. ; 60
Rpta.:
12V
•
20
->
15. En el cil'Clitoque se rruestra: a) HaRar la dtleroocia de potencial entre -s" y"". b) Si "a" y "b" se conectan, calcular la COITienteen la PIla de 12V. +
+
8<1
-
'0
Apta;
60
a) 0,22 V
12 <1
b) 0,46 V 16. En el ClICUOO mostrado. hallar R, si:
V",=OV, además: R, = IOn, R.=SQ yAs=15Q
Apta: R, =30 n
8
Rpta: VAS = 120 V
19. Halarla resisterdaequhialenle(R.,lIlis1a desde A -8-
FlSICA GENEIW..
483
,. ~
B
A
~a:
• E ~~
R,:!!
R,
R.
R
•
R.. =40 a)I,=12A
20. En el diagrarre adjunto: r = t O R,=SO R.=4n R2 =140
'Rs=ln
R 3 =SO
R,=5n
R, = 120
E =l05V
Oeteminarla intensidad a travésdecada resistor y su calda de patenaai.
'\ ~
l. = 2,5 A
Iz = 3A
1,:7,SA
13 = 3A
le=17=5A
Apta, b) V,,, 60V V. ,,30V Vz
=42V
V3 = 18V
V, = 30V
Ve" 5V V, = 25 V
'\
ENERGIA Y POTENCIA DELA COFlAIENTE a.tcrRICA
CAP'lUlO 17
ENERCíA yPOTENCIA DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA ENERGÍA ELÉCTRICA Es la capacidad qll
- - -....
Ascensor Eléctrico
tricos; Y ' b) Energía producida por un generador Las unidades SI de energía eJéc. !rica o trabaJO eléctrico Ypotencia eIéctnca, son las msmas l.Olldades erT4)Ieadas en Meclnca y calormetria.
NOTA:
a)
Enetgla consumida o disipada Laenergla C01Sl.Ilida es la energía aprovechada o usada por un aparato o elemento del cin:urto. V
setiene;
w V
a
w
D
O
Iw=v.al
( 1)
Energía consurTVda. en JOUles "J" 0i1erenCl8 de potenciales, en voltios 'V' Carga eIéctnca, en ooUombs 'C"
¡olAe = voltio. cOLlomb
I J =V .C I la fórmJla ( 1) puade tomar otras formas en fulción de otras medICIOneS de la OOITiente. Así: Q=1.t .. W=V.1.t (11)
.-
-_. -
FfSICA GENERAL
W=V~I(III)
I=~
A
W = r.R .t (IV)
Energls producida por un genentdor Es la que sale del generador para ser a· provechada. Recorda-ldo el valor de la f.e.m. (E) ; b)
E
=-ER =I.A
(1)
W : Energla de la fuenle, en joules "J" E : Fuerza elctromolnz. en voltios 'V Q : Carga surrinislrada por la luente. en rolAorOOs "C"
I joule ~ 1IOItio. coUomb I Tarrtlién puede tomar olras formas como: 2
E .t
W =EJ.! ; W =R
;
W =r .R.t
POTENCIA ELÉCTRICA
Es e1ltabajo oene'9la desarrollada en la wídad de llempo.
~
(1)
p = potencia. en wans "W W = energla o trabajo. en ¡cules "J" = liempo, en segundos 's"
..
P=
..
P
( 111)
E2
R
( IV)
=r .A
(V)
tica es el kilowan.
I 1 kW = l000W I
- Q
I
P
La unidad de potencia que se usa en la prác-
E_ W de donde: IW=I: . Q
=I.E
..
Q =tI
1
V= I.R
485
Cuando la potencia es1á en kwattye1 t~ en horas, la unidad de energla o trabajo es: kW . h Su equivalente en joules:
1kW . h = 1 OOOW. 3600 s
= 3.6 x 105 W x
1 kW . h
1kW . h = 3.8.<106J PROBLEMA 1.
s
I
¿Qué energia producirá \J>a corrien1e de 15 atY'fl&-
nos durante 2 horas con una diferencia de polenaal de 220 voltios?
AES
I = ISA I = 2h
Sabiendo: W = Q .V Pero: Q = 1. 1. luego: W Sustituyendo valores:
= I.V.I
W = t5A . 221lV .2.3600s W = 23760 000 A x V x S J W = 23760 000 A " x s
e
Apta: W
= 23.76 x 106 J
PROBLEMA 2.
Calcular la cantidad de cO
..
P = ~Q
(" )
I = 15A
RESOLUCIÓN :
t Q
~
tO,,*,
= I.l = 15 A • 10 • 60 S
Rpea.: Q = 9
x
10 3 e
&JERGI... Y POrENC,... DE U. CXJRRIENTE ElÉCTR/C'"
PROBLEMA 3.
Unhomoeléctricoftrociona durante 24 horas con l.I1a corriente de 25 amperios Y220 voltios. El prncio del kwalt . hora es de SI.8,SO. CaIcUar el costo del furcionarrOento diario.
RESOlUCIóN : E;22CV
I ~ 24 h 1=25A
PteCio = SI. 8,50 I kW . h
Costo = ? soles Se calcula ellnlbalO en kwalt , hora: W" P . t Pero: p" E , I, luego: W" E , I , ! W " 22CV.25A . 24h
Aplicaciones más Importantes del "efeclo joule"
1.
2.
Calelacc:ión eléctrica: planchas. cocinas, hornos,etc. Fus~s o corta - circuitos: son conductores de rruy corta Iong~ud, que resisten sólo en lorma medida el paso de cierta cantidad de corriente, pasado ese lim~e 3LIl'leflta tanto su lef1'lletatura que se funde ycorta el circu.to, los fusiJles los más corrunes son de alarrbre de plomo.
+
W " 132 . 103 W. h
W " 132kW , h
FUSlBtE
Cálculo del coslo: 132 kW , hora • 8,SO soles I kW , h ~ :
Costo: 1122,OOsolesdianos EFECTO JOULE O lEY DE JOULE
El calor desprendido en un circu~o por electo del paso de la corrieote se Hama "efeclo Joule" y se enl.J')Cia asr:
PROBLEMA 4.
Porun conductor de 5 oh,,",os de resisteoaa circula una corriente de 10 a"1l"rios durante 15 rrinutos. Esta resistencia está sunergida en 2000 g de agua contenida en un caJorimetI'o cuyoeq.ivalenteen agua es 10 g.¿Qué temperatura habráelewdo el agua?
"El calor "O" producido en un conductor al pasar la corriente a través de él, es di reciamente proporcional a la energia eléctrica "W" gastada para \IeI1C8r la resistencia del con-
ti
m (, t
(1)
; 2000g agua =? Resistencia
Pero: W ; 12.R,t , luego:
!a " 0,24¡2,R.1 I
I " IDA = 15min
Eq. m " 10g agua
<1.cIor'. ,--_ _-,
IO:O,24WI
R " 5n
RESOLUCIóN :
(U)
02,4: Factor de c:onwr.;íón de joUes a calonas (0,24 caV'pAe). a : calor producido, en calorlas I : intensidad de la corriente, en ~os. t : tiempo que circula la corriente, en seglI1dos
r!I-J-,,-e-,2Il---01 caI
El calor que produce la resistencia es aprowchado o absortlido por el agua y en muy pequeña cantidad por las paredes rneriores del calorimelro,
F/SICA GENERAL
487
Calor ganadO =Calor perdido
~
Esdecir:
Calorgmado por el aglll + calor ganado por el caIoómetro = Calor perdido por la resistencia m••Ca.t.t + me.Ce.6t = O.241'.A .1 (1)
pero c;omo el equlI/Illente del calorim&-tro en
agua es 10g.
~
..
P : Rendimienlo, adirnensional P . Potencia U11lizada, en watt o kwatt P, ; Potencia producida, en wal1 o kwatt
Como: p. = P, ' Potencia perdida en el generador Pu = E.I - 12.r
SustJluyendo valores en (1' : 1 cal 2ooog" - - x At + 10g"
Sus1i1uyendo en (1):
E.I - 12.r E.I
9 x'C
x -
leal -)(
9 x oC
= 0.24 ~ x (lO A)2 •
p = -ft.1 =
5 O • 15 x líO s
cal cal 61 , 2010 oC = 0,24 J x 450000J ~;
61
caJcIAar cu4ntos jou-Ies serán necesanos para en cendef una lámpara de 400 ohmios de resistencia CQfl una comenle de 1 amperio durarr te 30 minutos. PROBLEMA S.
R = 4000 I = 30min I = 1A
W=
Ip=I·~1 Donde:
p : Rendimien\o, I : Intensidad de lacon'tenle. en arrpffios' A'.
R : ResIstencia Interna del generador E : Fuerza elec1romo1r1z del generador, en lIOItios Y .
PROBLEMA l.
Un melor eléctrico, con
rer>
SI.e,so.
12.R.1
W = (1 A)2 " 400 O " 30 " 60.
W = 720000A . s . A .
V A
W = 72 " 10' e " V R¡:u.; W = 72 . 10' J
RENDIMIENTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA
Se llama asl a la relación en1re la potencía utilizada Yla potencia loIal producida por el generador de un sistema.
(11'
enotmios -n-.
= 53,73'C
RESOLUCIÓN :
(t)
RESOlUCiÓN :
=Ih PIICio
=
p 0,25 v=2m/s E = 220V
= 8,50 soIes/kW. h
488
ENEROI" Y POTENCIA DE lA CORRIENTE ELÉCTRICA
al
IN resislerria de OCO íl por el Que circulan 20 A ó.JTanIe 1 hora.
CálclAode la p. :
P
AE50..UClÓN :
F.d • 980N . 2m
%
1
u
CabAarelcalor~""
PROAI EllA 8.
Peso ~ 980N Costo = ?
R
15
a
De donde'• Pu ~ 1960 N.$ m
a
= 800
1~2O A
t=lh
~ 0,24 r .R,1 (e1edoJooteI cal' = 0,24 J x (2OA)" • 80000 • • 3600 s
a
Dedonde:
1960~
p p ~ ...! ~
$
'p
0,25
= 276,48 • loe ~ • A •
Pero: A ••
~7840N.m 5
Luego:
a
-e y
s
A.íl= V
= 276,48. 106
~
•
e•V
e.v = J
pero:
J P, ~ 7840 -
o •$
.. a
= 276,48 . loS
~
• J
ó: P, = 7840W Por olro lado:
P, '" I.E P, ~
1
bl
22CV
= 35.6 A
= Pr
. 1
= 7.84kW
AE50..UCIÓN: R
SabIendo:
Costo = 7,84kW.h • 8,50 $OIe$/kW .~ PROBLEMA 7.
= SI. 66,64 Un elemento está coneolado 8 una diferencia de
potencial de 110 V. circl.Ia IN COf1'ienIe de 5 A. ciJ'arte 2 rrrutos;cala.larla energIa di~ E ~ 110 V
RESO..lJCIáII: t
= 2l1li1
w= E.1.1 ~
t = 5A
110V
x
= W =66 x 103 V x e
SA. 2 . 60s
w
= 66. I o" J
A.l 2 •
I
= 20 A
800 eh (20 A>'
• A• A
P = 32. 10' V • A Apta.:
P
= 320 kW
PROBLEMA 10.
Com.l1adrfer8flC1ade~
o lIOItajede 220 vottios, pasa a través de un foco, 40 couJorrb. Calcular: tencial,
al La energra consumida por el foco. b)
El cos1o, si el kW ,hora cuesta SI. 8,50.
AE50..uaóN :
al
W =
v.a
= 220 V . 40e
W = 8800V.
W 66 • 103 V • A • s
f'4>tac
P =
= 800 O ;
P ~ 32 . 10· n
.lh
W = 7.84 kW h Costo
276.48. 10' cal
A través de una resistenOS de OCO íl pasa '-"" (:()rrienIe de 20 A. CalcUar la poIen:ia d~
Cálculo de la ener¡¡ra toIal desarrollada por el motor: W
a =
PROBLEMA 9.
7840W
~ --
dedonde' I = T
RpIa.:
e
W = 8800J
b)
TransIorrnando los joules en kW.h: J ~ w. s
RSlCA GENERAl
J = l000W 1000
J =
K
fu. = 106,67 kW
_ h_
3600
Diferencia de potencial: V = VT - V,
W = 69:lO
K
W = 2444
K
V, = I R = 1.2P · A V = 500Ax2xl,72.10~nK
kW . h 3.6 . 106
o
5
10~ kW . h
Sustituyendo valores en (1) :
V = SOOV· 286,7 V e)
V = 213,3 V Cálculo de la energía, en calorías, perdida por el eteclo Joule:
O = 0,24
SOOA
K
P, = 25 . 10' W PT = 250kW Potencia perdida: fp = r .R
(Il
l R =2p¡¡
a = 0,24 K (SOOA)2 K 2 -ti
K
1,12 . 10 n
~
x 1,72 x 10
Pp
el
n
x an K
5 > 10' an 3 cm2
= 143,33 k W
Potencia que llega:
Pu. : PT·p p = 250kW·143.33kW
18005 K
5 K 105 an
3 cm2
619,2 . 102 kcal Este calor debe ser ganado por el agua para hervir de O·C a 100 ·C, es decir el calor perdido por el conductor debe ser igual al calor ganado por el agua:
o=
619,2 de donde:
K
,02 kcal
m=
= t2 . 2P · ~ = (SOOAr K2
an K
K
K
= 619.2 • 10' cal
= Ca
K
m
K
lit
619,2 K 102 kcal Ca • lit
por~SOI12a1ambres.luego:
Pp
r .R.1
K
2 L 0=O,241 . 2p ' j\ . t
a
RESOlUCIÓN : PotenciatransrMlda: P, = V.I = SOOV
105 an 3cm2
K
K an .
Vp = 266,7 V
Uncablegemelodeener· gia eléctrica, está conectado a.., generador de 500 voI1ios.la sección de cada alarrbrees de 3 00, su krgitud es de 5 km Ysu reszstivIdad r : 1.72 x 11)' n • cm. y cord.ceU18 rnensidad de SOOA.CaIcuIar. al la potercia transnlbda. bl la palencia perdida por el efeC10 Joule. el la palencia ""e llega. d) la diferencia de potencial en el extremo de llegada. el la cantidad de agua que se podría calentaren media hora de o· C a l00"C con la energia peráoda por el efecloJO\lIe.
PROBLEMA 11.
P-.
(1) L
donde:
CostoS: 0.02 soles
~a.:
bl
d)
kW . h 3,6 K 108
luego: W = 8 !lOO J ; será:
al
489
619,2
m = 1
cal.
K
gK C
102 kcal x 100 oC
Rpta.: 619,2 kg de agua 6619,2 lit PROBLEMA 12.
Un motorestáconeC1ado durante 3 horas a una ce!Tienle de 15 Ay 220 V. Calcular:
ENERGIA Y POTENCIA DE LA CORRIENTE ELECTRICA
490
al bl
Eltraba)o realizado en kW . h El costo del funcionamiento: 8,SO soles IkW , h
RESOLUaÓN :
I = 3h
al Sabtendo:
I = 15A
E = 220V W=E . I.I
W = 22OV . t5A . 3.3600s
W • 3564 x 10' V x A x s W = 3564 x 10' J
pero:
1J
=
kW. h 3,5 • 106
.'. W = 3654 . 10' .
kW.h 3.5 • lOS
1=
Transformando a minutos: 50000 1 . 1 ; -,:¡¡- - liO rron t
RpIa..
ee,."" = 0,5 --o g- c Cf_ = 80 ; CIIogua = 1
RESOLUCIÓN .
0.24¡2,R l = m_.Ce ...... t.t.
+rn",¡..Cf_ + ~ . Ce. .. t.r+
PROBLEMA 13. Calcular cuánto tarda un calentador ~ para eI8Yar la terrperalura de SOO 9 de agua desde 20 OC a 80 OC. El calentador liene una resistencia de 40 íl YllJlQOrla con 120 voltios. RESOlUCIÓN : Por conservación de la ener-
+ m~.CII~ t
t' = t', -
= 0.24 · A l = 0,24 ·12c)/ l
I = 500 60 · 40
1, = l 00 "C • OoC = tOO oC
0,24 • le)! • R • 15 • SO
v2
40
= 1, - 1, = Ooc· (-4 q = 4 oC 0
~ando datos m.méricos:
gía:
500 .1(80 - 20)
47 s
coloca un caJcntador de inmersión por el cual Circula una comente de 10 A. ¿Cuál será la resistencia del calentador para que en 15 minulos se vaporice 01 hielo? cal
Apta.: Costo = 84.15 soles
mllllJl Ce'9" t. l
= 5mn
PROBLEMA 14. EnlJlcaloñmettodeeQlÍvalenle en a~ deGPfecl8ble, se tiene 500 9 de hielo a -4 oc. Se
Apta.: W = 9.9 kW . h soles b) Cesto = 9,9 kW.h x 8,50 kW .h
50000 -,:¡¡s
. 0,5 )t " +
5(0)(
= 500 •
80 + 500)( 1 )(
x 100 •
500
x 540
21 600 A = 361000 R~. :
R = 16,7 íl
0,24 , 12c)/
PROBLEMAS PROPIJESTOS ¿ Cuál es el trabajo y la potencia que se daa un moIoreléctricoduranle 3 holas en ul18comel'1te de 10 Ay 22OV?
1.
RPa.:
P = 2.2 kW W • 2376 • 10' J
2.
¿Cuál es eltrabajo y rualla potencia que proIIOCa el pa so de 120 000 couIorrb
ro
rante 2 horas por un conductor con una dilereneia de potencial de 110 IIOItJOS? Apta:
W = t32 x 10 5 J
mICA GENERAL p
~
1,833kW . h
Calcular el costo para caJen1ar 100 litros de agua de 20 ' Chasta l00 ' C. Laempresa eléctrica cobra por cada I
3.
A~a.:
COSlo = 33,44 soles
Una comente de 25 a"l'erios circtJa por una reSIstencia de 3On.¿Cuál será el caIof desprrodido en 2 horas? 4.
Apla.: 323 . 105 cal 5.
Unhomoeléctricodel0nfmcionacon
a)
<.na corriente de 20 A. Calruar la potencia que desarrolla en
bl
wa\1s. El 00510 de funcionamiento duranle 5 horas a 3,60 soles ell
RpIa: al 4 • 103 w b) 72 soles 6.
Con una corriente de 25 8"l'erjos y 220 voIbos fmaona un motor para elevar una
491
Se quiere ccnstruir un horno para calentar 50 litros de agua de 10 ' C a , 00 ' C en 15 rTinutos utilizando Una f.e.fTl de 220 voltios. Si el nendimiento es de 90%. ,cuál será la longihxI del alambre de, mm de diámetro y ~ 30. 10-0 n . m de reSlS1illidad que se em7.
pleará?
Apta.:
L
= 5,47 m
HaDarlaresislenciade uncalentadcreléc· trice empleado para elevar la te"l'8ratu ra de 500 g de agua desde la temperatura de 28 "C hasta su te"l'eratura de ebullICión en un intervalo de tiempo de 2 minutos, se sabe que existe unas pérdidas caloríficas de125%, la diferenda de polenciaJ de funcionamiento es de 100 voI1ios.
8.
Apta:
9.
6n
Calculareltraba¡oeléctrco~se~
re para transportar 10" electrones a IralIés de una resistencia de 4 n, la cual puede soportar una intensidad de coniente de 25 A.
Apta: 160J
mis. Calcular. al La potencia entregada at motor en Hf' bl Lapolenciaproducida por el motor en H.f' e) El rendimiento del sistema
10. Se tiene una lámpara de 40 W y 120 V. ¿Qué resistencia co"l'lementaria hay que conectar en sene a la lá"l'ara para que su funcionamiento sea normal cuando la red tenga una tensión eléctrica de 220V?
Apta" al 7,38 H.P. ;
Apta: 300n
=ga de 310neladas a una vekx:idad de O,,
el
54 %
bl 4 H.P.
MAGNET/SMOY ELECTROMAGNETlSNO
492
CAPíTULO 18
MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO MAGNETISMO DEFINICiÓN Es ta propiedad que tienen algunos cue/pos de atraer al fierro de acuer· do a cienas leyes fíSIcas.
El imán natural es el óxido ferroso fémco o "magnetita" (Fea que abunda en Asia Menor, especialmente en el lugar denominado Magnesia, de ahf su nombre de -magnetita- .
0.>
Los imanes artifi· ciales se fabrican frotando una barra de .. Brujula hiemarina rro
IMAN Es un cuerpo general mente de la forma de una barra, dota do de la
o ¡ice· ro, en una mis-
ma dirección. con un imán natural_También se fabrican O
c apa-
const r uyen,
cidad de atraer al fierro y de onentarse de Norte a Sur al delarlo en libre oscilación horizontal sobre su punto medIO. Los imanes pueden ser naturales y anili<:lales.
enrroHando un delgado alambre de cobre a una barra metálica, luego se conecta los extremos del alam· bre a los bornes de una pila o generador de comen· te eléctrica, entonces la barra se
convierte en un imAn.
FlslCA GENERAL
Ellierro se imana más rápido que el acero , pero larrbén poerde más rápido está propiedad.
493
nético de la Tierra se llama COIM!nCionalmelePOLO NORTE y al otro, POlO SUR. Sin embargo, si se razona un poco, se Uegará a la condusión que estos polos debenán non1lIarse al revés, ya que los polos iguales se mchasan y los contrarios se alraen, pero para ..,;. lar confusión se ha corwenldo en lo dicho. lJ12
--;
(
~
--;
~
11-
IMANTACIÓN PCR mOTACIÓN
U12
.
!5lJ&
~
----41
L
PoIoNorto
NortII
IMANTACIÓN ELtcTRICA
Los irrsnes artífic1a1es presentan civersas Iormas, Siendo los más COIT1Jnes: barras. t'em!dura y a9485.
p,*, &Jr
DECUNACIÓN
IUGNtl1cA
POLOS MAGNrncOS
Cuando unabamlde imán natural Oartificial se recutre con limaduras de hierro. una masa de ~maduras queda adherida en los exIremos de la barra, no asr en la parte central, esto ardica que el m!n solo \lene fuerza atractiva en sus extremos, a estos extremos se les
'La Tierra es tI1 gran imán, pero su 'Polo Norte Magnético' no ooioode con su 'Polo Norte ~fico', entonc:es cuando tI1 imán se orientaal Polo Norte señala el 'Norte Magnétlco de la Tierra', y no el 'Norte G.eográfi. co', estadesviaaón de dirección es tI1 éngu-
~POLOSyala~em~ZONANE~
TRA Se ha podido determinar que los 'ceo-
Iros de gravedad" de los polos eSlán separados en 516 de la longitud de la barra o lo que es lo rrismo que cada polo está concentrado a 1/12 del extremo. Si se suspende Ibemente del centro de !abarra Yse de¡a OSCIlar hasta que se deten-
ga, ésta qJeda onentada magné1lcamerte del Norte al Sur. 8 Polo que señala el Nor1e mag-
N
MAGNETrSMOY ELECTROMAGNETrsNO
494
10 que se lama 'Dednaa6n MagnébCa" yque lugar de IaToerra En lima por e~ es aproxrnadamenle 2" al N-O, '«' es el árg.Ao dededinacoón m8!1lélx:a dej pmto"P-.
varia~ el
INCUNACIÓN MAGNrncA
54 aleje dej imán es horizontal, el imán 05CI1a verbCalmente; SI se le deja osCIlar hasla que se onente res&AIa que su el" no coinade con la honzontal, hace un ángulO con la honzonlal, este ángulo se llama ',nd,naClÓfl ~'.
En el grálico la inclinacIÓn magnétICa del punto ' P" es el ángtAo .~"
UNEAS DE FUERZA DE UN CAMPO MAGNrnco:
Son lineas 'magtnanas que pueden ser diseñadas objetrvamente mediante la 5iguieole e~penenoa: sobre LI1a hola de papel se espolvorea limaduras de hierro y debajo de la hoja, pegada a ésta, se coloca un Imán de barra, se dan pequeños gOlpecrtos a la hoja con el propiO Imán. pElro en al mismo sitio, y se observa que las hmaduras empiezan a onentarsey diseñarse en Irneas que salen de un polO y llegan alolro, como se rruestra en lafrgura, estas Ifneas se llaman 11neas de fuer· za de un campo magnético'.
p
Sobre esIa base se diseña las líneas de fuerzas del campo magnéllCO creado por polOs rg..aIes y polOs contrariOs.
,
,
\
\
NOTA:
No existe un
lR1an con un soto
pokl. Si un imán se divide por su
miad, cada mitad se convoerte en un nuevo imln con PelO Norte y PelO Sur.
•
- \ N
I
I
'
J
Ff -:'"
;;) r \ ' • J , \ I I , ,
1S
s
N
I
I
I
I
\ \ ~
I
.
" t3E (~ ~~/
Ir " '. I
,. \
I
\
,
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"'om.
S
Ea
s
I , I
Linea de magné_ en un campo creado por poklS 9mles
N
ES
I
I
s
,
N
N
EEl S
H
N
s
I N
CAMPO MAGNÉTICO 'B"
Es la propredad o caracterisllca FUNDAMENTAL del magnebsmo. Es el espacio que rodea a LC\ imln, en el cual éste pone de 018rlfiesto su poder de alraccKr1 o repulsión;tooricamente beneun alcance nfinno;sOl erroar· go, sus efectos se perCiben COn claridad sólo en laS rnmedracrones cercanas al ,mán.
Unea da juerta$ magnélicaa en un campo creado
pof poIOi
COflIrar1os
PROPIEDADES DE LAS ÚNEAS DE FUERZA DEL CAMPO MAGNrncO
al Las tlneas
de tuerza de un campo van del Polo Nof'te 1I Polo SIM'.
FlSICA GENERAL
b)
e)
d)
La intensidad del campo magnético en cada punto, es tangente 8 la linea de fuerza que pasa por ese punto.
495
2da Uy : Cuantitativa o Coulomb MagnétiIX)
"La fuerza de atraccIÓn o repulsIón enlre dos polos magnéticos es directamenteproporaonaI a las masas magnéticas de los polos magn€Iico5 e Inllersamente proporcional al cua· drado de la distancia que las separa'.
Las lineas de fuerza de un mismo campo no se interfieren. A mayor Intensidad del campo, mayor densidad de las !fneas de fuerza.
F FUERZAS MAGNÉTICAS
La fuerza de atracc:ión OrepulSIón. de los polos de un mismo Imán siempre es igual, de manera que. mando la fuerza magné\Jca de un polo se conoce la del otro polo. La "",stencia de la luerza magnética de 106 polos se puede probar por expenmenlos rruysenallo,comoen lahgtraque SIgue
: Fuerza de atraCCIón o repulsión, en new1ons ol N· m, ro. . Masa magnétICa de los polos, en
d
1<,.
amperios·A . m' . DIstancia entre polos, en melros "m' : Conslanle magnética, cuyo valor es:
NOTAS:
Para que la ley sea válida debe suponerse que los imanes son lo sufICientemente largos como para despreciar la potencia de los polos 00 considerados. 2. La ley cuantitativa (de CoulOmb), fue enunciada y analizada sólo en el sistema c.g.S., en un sistema típico de laboratorio, en la práctica no se usa el SI. 3. La definición de "A.m" es la siguiente: • Si un polo que está 8 una distancia de 1 m de otro poto de Igual masa magnética, lo atrae o repele con la fuerza de 10" N, se dice que ambos polos llenen una masa de 1 amperio , metro"A.m", 1.
F
Fog. (b) Aechaso
-t
fF [¡:..lCN ±ps=::::¡J. .F
INTENSIDAD DE CAMPO MAGNÉTICO " B"
Es el poder magnebco de un punto en las Ira Ley : Cualitativa "Polos 9Ji!les se repelen, polos contrarios se alraen'
cercan las de un Imán. Sea 'm' la masa magnética en un punto de un campo, la intensidad se expresa as!:
MAGNETTSMOYELECTAOMAGNETISNO
M
m
-
B F
B : Intensidad del campo ma!7lébco a la distancia "d", en teslas "T" M : Masa magnética del polo en amperio.
metro·Am-
1<,. - Constante de permeabilidad magnética de Coulorrb. en el .¡re:
I ~,,10-7 ::r I
B (tasias) =
F (newtons) m (amper . metro)
d : Dislancia del polo 8 un punto del campo, en metros 11 m-
N
FLUJO MAGNÉTICO ','
A.m
Se llama flujo maglético '~' al número lotal de lineas magnélicas 'S' que pasan perpendICUlarmente por una sección detenmnada ' S".
T= -
BES UNA MAGNITUD VECTORIAL SI El campo es Creado por una ma-sa
magnétlca S (rur), B está apJntando a la mesa creadora de campo. SI el carrpo es creado porlamasamagnetica N (nor1e) Bestá apuntando hacia afuera de la maSé! creadora del
C3TlJO
ii
I~=B.S I
I/
-13 /
I
(1)
Cuando el planc a1raYesa
/
INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTlCO 'S' PRODUCIDA POR UN POLO
Rec:ord
~=B.S.co5al
F - K M_m -
1-
M
.p
B= F m
(2)
UNIDADES EN El SI : ~enT . mZ
Sustituyendo (1) en (2) :
es:
(11)
(1)
K..
¡
Al producto"T.rn'" también se leftama weber'Wb'. - El weber 'Wb' es una unidad m.oy grande entonces a veces se usa el rnaxwell'Mx'
FJSICA GENERAL
lMx=10-8Wb
497
magnético, Yla densidad del 1140 se igualan.
DENSIDAD DE FlUJO MAGNÉTICO "9/S"
UNIDADES EN EL SI :
Es I!I flujoeH¡ lineas de fuerza magnética que atraviesa una unidad de área
B : Inducción magnética o intensidad de lIujo magn : Flujo magnético, en teslas metro ruadra· do'Tm" S: Área perpeodicutar at flujo magnético, en metros ruadrados 'm'"
IB =~ I
De (1):
Convencionalmente, la InWcción
NOTA:
ma~ética
o intensidad de fl40
PROBLEMAS RESUELTOS PROeLEtvIA 1.
Calcular la fuerza de atracción entre des polos eH¡ 1 200 Y 2 000 amperio.metro cad uno, si estánseparadcs por an. y a 5 cm de cis1ancia. RESOLUC1ÓN :
Ku
10.7 N ir?= (A .
(3)
Sustiluyende (1) ,(2) Y (3) en (1) : 8 • 10. 3 N • 9 • 10-8 ir?-
m, = 111"
7 F = 1O' N .ir?-.
mr
Nf1l2
• 103 A. m
(A . m
(AmI'
•
1200A . m. 2000A , m (5 • 10-2 m)
PROBLEMA 3.
Rlia: 96N PROBLEtvIA 2,
¿Cuál es el valor de una masa magnética ~ está a una distancia de 3 mm de olra, cuya masa rT'I8!J'Iética es de 1 000 A m y ~ la rechaza con una fuerza de 8. 10" N, estandc en el aire?
En un punto de un campo magnético hay una masa
rnagrética de 300 A . m y sobre ella actúa una fuerza de 5 N. Calcutar la Intensidad del campo ma~ético en ese punto.
RESOLUCIóN : B . B =
F
m 5N
3 000 A.m
RESOLUC1ÓN :
B = 1,67 . 10.3 T de 00nde:
F& fllt = - m,Ku
(1 )
En un punto de un C8/1llO magnético positivo hay ... na Intensidad de 50 teslas. ¿Con qué fuerza ac1uará el C8/1llOen esepumo sobra una masa ma~ pos~iva de 400 A , m?
PROBLEMA 4.
Adecuando los datos: F = 8 . 10,3 N
(1 )
& = (3mmr = (3 . 10" m)2 ~ = 9x 10-8
m2
(2)
RESOLUCIÓN :
B
F
=M
de doode:
498
MAGNETISMOYEl.ECTROMAGNrnSNO
F = BM = SOT
x
400A .m
N F = SO x 4OO x A.m A.m
CalctJarla IflIensidad del C8lTl>O magnético creado en el rore por el polo de ~ Imán de 10 000 A . m pala l.Il p!Jnlo siluado a 5 cm del polo.
B _ 107 (Nm2 B
=
t
(A .m)2
N
0,4 A
=
.m
F
-
m
F
= SOOA.m. 1ST
F.9000A.m x T
PROBlEMA S.
B
a
De donde: F., mB
F=2 x lo"N
RESOLUCiÓN:
B
RESOLuaÓN:
= KM; 10000A m (5 ~ 10.2 m¡2 0,4 T
pero:
T = -
N
A.m
: luego:
Apta.: F., 9000 N
Dos masas magnéticas de40A . m y l00A . m están en los vértiCeS agudos D y C de un triángLlo rectángulo de 3 Y 4 cm de catetos. CaletJar la In1ensidad resUtarte en el vértice recto.
PROBLEMA 6.
RESOlUCIÓN : D
PROBLEMA 6.
Dos masas magnétICas de200A . m y 3OA . m
se atraen con ~a fuerza de l O" N. ¿Cuál es
Jan
la distanoa que las separa?
RESOlUCIÓN : Como el problema d'1Ce que
se alrllen qu¡ere decir que se trala de polos q¡uestos:
B
I
" Intensidad delcarrpo en el punto A, creado parla masa magnética B:
dedonde:
BD = KM lO'T Nnf2 x 200 A.mx 30 A.m
(A.mr Be = 4,4
P¡lta. ~
d =
40A.m
(3 • 10-2 m)! x
lO" T
(1)
o,n m
En ~ PLfllO donde hay una masa magnética de 500 A m hay una ontenSldad de 18 teslas. ¿Cuál es la tuerza (de a!racQón o rechazo). en ese ca~ dentro de! cuat está el punto
PROBLEMA 7.
mag>étJco?
di
Be = 10'7 Nm2 x
(A m)
d=
Me
Intensidad delC8J1lXIen el punto A, aeado par la masa magnébca C:
Me
Be = KM ~ = 10"7 N nf x
Be
(A.mr
100 A.m
(4
x
10" m)'
AS/CA GENERAL
Be = 25 . 10.3 T Intensidad resultante
(2)
499
cuya masa magnétJca es de 25 A . m, para que se origine una ruerza magnétial cuya magl1ud sea capaz de acelerar ..... masa de
~ =
J(Bn'i' + (8c'i'
5ga3m1s?
El¡¡ =
J(4,h 10-3'j' + (25" 10-3 T'i'
RESOLUCiÓN : De acuerde al problema:
F " K".
El¡¡ = 25,38 . 10-3 T En un campo magnético creado por una masa de 80 A. se ¡nlerpone una lámina permeable de ft'*> magnétICO. La lámina es de 40 cm> de área y esti! a 10 cm de la masa magnética. Calcular el flujo que 10 atraVIesa. PROBLEMA 9.
RESOlUCIÓN: Sabiendo que el ftujolota1 es: '" = 8 . S CáIcu10 de B : (como
~
=1 )
BOA.m
x
(lO x 10-2 m'j'
B = 8 " 10.. ..!I-
A.m
ct2 = 25. 10" m2 Rpta~
d. 5
N '" = 8 . IO.. A.m x 40" 10" m2
= 32 . 1O,7Tm2
PROBLEMA 10. En el problema antenor, ¿cuál será la densidad del
Sea 'x" la dlstancta medida con respecto al polo norte, donde se cumple por dato que: 8, = 8 2 (t)
Se toman S, y 8, como los campos producidos porlos polos Norte y Sur. Regresando a (1):
KM~ .¡z
RESOLUCIÓN : 8 " ~ = 32 . 10. T m2 7
x
10-3 T
;
10
O:
.¡z
B = 8G
PROBLEMA
1,.
40 = (90· x'i'
9O·x=2x 3x = 90
¿Aquédistanciadelpolo
norte de 15 A . m de un imán se debe colocar el polo sur de otro imán,
KII~ (90 • X)2
=
ReerrpIaz:ando datos:
40 . IO"m2
A
R¡l1a.;
10.2 m = O,05m
El polo norte de un imán y el polo sur de otro. tienen masas magnéticas iguales a 10 A • m y 40 A • m, respectIVamente. Determinar a qué distancia del polo norte, sobre la línea que lXle arrbos polos, las intensidades de ~ son iguales en magntud. La distanoa entre los polos es de 90 an
f\.!o?
8 " 0,80
x
RESOLUCIÓN .
Su&tiiuyendo en (1) '
~
. 15A.m. 25 A.m
(A.m'j' 5 . 10-3kgx3m/s2
PROBLEMA 12.
8=K".~ (A.m)2
" 10.7 N m2
(1)
M
B = H,,7 Nm2
m.a
~"~M ~ ma
de donde:
~
T "
Rpla: x
= 30 cm = 0,30 m
MAGNEnSMOY ELECTROMAGNErISNO
500
ElECTROMAGNETISMO DEFINICiÓN
~
magnético representaCo por drcunferen·
das concénlne. s al rededor del corductor
Es el estudto de la relaa6n que hay entre la comente eléctrica y el magnetismo. ¿Qué fe"ómalOS puede originar la rorrienle eléctrica a su paso? Puede originar los siguientes:
Fenómeno Ouímico: En trla solución JÓnica. al paso de la comente eléctrica, mediantv dos electrodos su-
1.
mergidos en la solución, los iones son atraldos unos al cátodo, por eso se llaman cationes. y otros al ánodo, por eso se llaman aniones. Este proceso se nama electrólisis.
2.
Fe"ómeno Térmico:
Al paso de la comente eléctrica a través de un conductor, éste se calienta y libera una canbdaddeenergia térmca_deloonductor. A este fenómeno se le conoce ccrno Electo Joule.
3. Fenómeno Magf1QUco: Que es el que esWan¡mos a conliluaCIÓI'l-
FENOMENO MAGNÉTICO
En el año 1820, el danés Oersied descvbríO que, alrededorde un conductor etéctlico. por donde circula comente etectrica. se crea un campo magnético. Una pequeña lJnjjula oscilatoria hOIizontal, colocada Iongitudinalrnmte sobre un conductor eléctrico por donde pasa comente eléctrica, se orienta transversal a la dirección del conductor, esto hizo pensar a Oersted que las lineas de fuerza de un ca"l'" elédriro son vectores tran!Mlrsales a la dirección de la corriente eléctTlC8. Entonces cuando por'" conductor rectilineo circula comente eléctrica. genera un carrpo magnético, el cual se representa me!liante CII'Ctr1ferenoasconcéntricas al cmdJctor, éstas circunferencias están contenidas en un plano perpendicular al conductor.
Si una bnijula se ubica cerca y enema de un conductor, en forma paralela. OCUlTen tres casos: ,. No hay n lngtSUl desviaaón si por el conductor no pasa comente eléctrica. 2. Cuando por el conductor pasa corriente eléctnca. la bn:!ula gota alrededor de su eje y se pone transversal al conductor. 3. Cuando se cambia el sentido de la 00mento que cjroula por el conductor, la ~ula también gira pero en sentido contratio. N
Hg. 2
Cuando por 91 conductor no cwcuta coIñefl18 la bnJjtAa no l . dcsvla.. Cuando cba.dl corriente se
pone 111II\&V8lI ~ .
EFECTO OERSTED
Oersted, como rest1tado de '" investigaciOO. planteó: 'Siempre que por un conduc-
501
FISICA GENERAL
lor (generalmente alambre de CQb(e) pasa corriente eJé<:1rlca, aJrededor suyo se crea un campo magnético, cuyo sentido u orien1ación depende del sentido de la comente y cuya dirección esperpendiculara la direoción de la comente'.
REGLA DE LA MANO DERECHA (DE AMPERE) Poruendo la palma de la mano estirada srore l.Il oonductor, con la punta del dedo p¡jgar apl.lllando el sentido de la corriente, los otros dedos al empuñar el conductor indican la dirección y el senlldo de las lineas magnéticas del campo eleetroma(,l'létioo
que en el campo eléc1rico las lineas de fuerza e~ezan
en las cargas positivas y terminan
en las negatillas_ El CBJr4lO eléc1rico se caraClefiza por una magn~ud física wctorial, la 'Inleosidad de carrpo eléctrico: E'. Del mismo modo el carl'1Xl magnóCico se caracteriza por una magndud fislca vectorial llamada 'Inducción magné1ica B', Las !amadas 'lineas de fuet2as' del campo magnético son en realidad 'I(neas de inducción magnélica'. _ El vector inducción magnélica B es tangenle a la linea de induoción magnética, Tal como se muestra en la Fig, 5. _ ¿Cómo secuanlifica la inducción magnética a? Se ruartiftea medianle la Ley de Siot YSavart
LEY DE BIOTY SAVART
lig. 3
REGLA OEL TORNILLO (DE MAXWELL)
O TIRABUZÓN
El sertJdode las lineas de luet2a del campo magnético, es la del tornillo o dellira!Juzón que gira para avanzar, s,endo el sentido de la comenle el del.vanee del tirabuzón
'La intensidad del campo electromagnético o irducción magnética creada a su alrededor por un conduc\lrrec1ilíneo por donde circula coniente eléctrica, es directamente proporcional a la intensidad de corriente e irMlrsamente proporcional a la distancia del punto cons>demdo al conductor' Biot y Savart fueron más allá de lo cuaJ~ laliw del descubrimienlo de Oersted, dieron la ',nlenstdad relabva del campo magnético' en fulción de la CQIl1Ilnle e~ y en func06n de la posición relativa respecto al condJctcr,
DEDUCCiÓN DE LA LEY DE BIOT - SAVAffT l'
El módulo de la Inducción magnética B es direclamenle proporcional a la ¡oler>stdad de la corriente eJéc1rica 'i', es decir.
a "9 4
Las 'ineas de fuerza' del campo magnébcocarecen de principIO y de hn porque estas Uness son sierrpre cerradas, A estos campas cuyas lineas de 1uet2a son Cemldas se denorrinan ' campos rotacionales' _Recordemos
2·
a ,
(1)
Esta observación es válida sólo ruando el CBJr4lO ma(,l'léticoes producido poruna corriente que fluye por l.Il conductor roo-
blineo. La indJcctón magnética Bdecrece al aumentar la dIStancia ',. enlre el conductor yel punto donde se mide S, es decir.
MAGNFrlSMOYELECTROMAGNETrSNO
B a -
(2)
La direcci6n de B ro varia al valiar la intensidad de comen1e eléctrica o.
r
: Es la dIStancia desde el punto O hasta el punto P; se mide en metros "m" _4
fl o- n . Ag5
10.7 T.m
A
T : testa m: metro A : amperio
Oelas reladones(l) y (2), seobliene:
~
SimboIogla de B saliente y enttante:
LEY DE BlOf - SAVART PARA UN SEGMENTO DE CONDUCTOR
So la cooienle eléctrica es 'o', la dostanda entre el segmento de recta MNy el punto P donde se reeUza la medida de la inducción magnébca Bes '(', enlooces su valores:
®
o
6 antia al ¡jaro deesta hoja. Significa que Bsale del plano de esta
SiglIfica que
hoja.
~ o
I
Bp =
tfr
(setl a + sen (3)
I
• El 68I'1Udo de
8K
seliente de e5l4 hQtíl de papel
Dalde:
!lo
: Esla constante de permeabilidad eleetromagnétca del aire o \lacio.
a y ~ : hogJos 10lTT]!l00s por la perpenólCUlar al vector B Itazado desde el con-
du:tor (pullo O) y los segmentos tra· zados, desde P, a los extremos M y N del conductor (Fog. 6). Módulo de la induoco6n magnética en el punto P. se mode en leslas "l' : Intensodad de corriente elllctrica, se mde en amperios" A'
s.. :
El senQdo de B es entrante de esta tqa de pape
RELACIóN ENlJI E !lo y t"
Il. es el análogo magné4ico de la permeabilidad eléctI1ca E, en el aire o \lacio. Sin embargo existe una dilerenda en la manera
FlS/CA GENERAL
r..
cómo se determman sus valores. se determilla experimenlalmeote, mientras que 110 se elige medlilflte una detirición arbttrana. Sin embargo existe una relaCIÓn entre ligo E" y e (velocidad de la luz).
se aleja allnhnito y 11 -> 90· , entonces
sena =0 y sen~-1
I ~=~ I Dtrde:
"" : Permeabiidad ma!Jlética del espaCIO Iba r.. : PerrnitMdad eléetrica del espaCIO libre. e : Velocidad de la luz.
B
APUCACIONES DE LA LEY DE BIOT-SAVART
1.
B
"-v-'
O
PARA UN CONDUCTOR RECTILíNEO INFINITAMENTE LARGO:
B=
SI el segmento cooductcf (alambre) de la ligua, ao.men1a sulcJr9tud hacia arrb:ls extrelT1OIS, entonces a y pbenden a 90' (MNP 11 MN)
1
~I 4 lt .r
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE CAMPOS Si en W1 punlo dado del espacio varios vectores generan campos magrébCos cuyas Inducoones son é, , ~ ,83 ' etc; la IflduocIÓn resultante en este punto será:
--
S = S, • 8¡ • S3 • -..,
é
5& ef cxnluctor es lI1finrtamente largo se OJmpleque: (X=9O'
;
p=9O"
Con este principio se demuestra Que la inducx:i6n
De la Ley de Biot-Savart !l ol
B = --
4ft .r
(sen 90" ~
S_ +
1
sen 90")
-.,.-.... 1
B = !lo I 2lt.r 2.
sen 90') = .,-,!l-nO·1.t (sen O" + "'-w----'
PARA UN CONDUCTOR IGUAL A UNA SEMIRECTA
En el segmento de recta MN , el punto Mseacercaacero, a bendeacero( a=O );N
3.
=
S..,. ..... + S...,; lOda
PARA UN ARCO CONDUCTOR MUY PEQUEÑO
MN
1·
2'
Considerando un pequeñismosegm
senuau y sen(}=p Ahora, Ramando a + !3 =0 (tarrbién rruy pequeño)
M.
504
Para cualqu~r arco O< a< 2 Jt El arco conductor se encuentra en el piano del papel del libro. enlonces el vedor inducción Bes saliente del plano.
a r
r
4_ PARA UNA ESPIRA CIRCUNFERENCIAL
B(vectOf sa6ente del plano del papel del libro). Se lleOe:
li o' B = - - (sen a + sen ¡l) 41t .r
B=
~oi (?-;~ It .r e
I 3'
lio·1
B = -41t.r
e
Un conductor circular por donde circula oorriente eléctrica es \.I11191'dadero imán. Un expet'menIosencilo derruestra esta afirmación. Un alambre circular que atraviesa una cartuNna. COfIforme se muestra en la figura siguiente, es un conductor por donde está pasandc comente eléctrica. Si scbre la cartulina se espolO\Orea limadura de hierro se diseña un espectro, o lineas de 1uel2l!, exactamenle igual al que aparecerra cuando debajo de la cartl./ina. con limadura encima, se colocaria un imán de barra. El alambra circutar por donde circula comente eléctrica se convierte en un imán cuyos polos norte y surSOfl Ioscosladcs laterales del conductor circular.
Para cualqUIer vaJor dee muy pequeño: Por el pnncip
B= B
s
B •
) I
I
Recuérdese que las lineas defuena salen del polo Norte Yentran al polo Sur. El valor de la inducción de campo ele<;tromagnélico o lI'lduccIón magnética de una espira en su centro, creado por una corriente circular se calcula asf: del caso anterior. (3) cuando e = 2 Jt rad, el arco es una circUllerencia. es decir: Si:
11.; 8= - · 9 41t .r
B =
1 411 0. (21t) It. r
flSICA GENERAL
I10 j B=ES1e es el valor de la indLCCión magneti-
ca en el centro 'C' de la espira Ahora, en un punlo cualquiera del eje de la espira, a una distancia 'x' del cen1ro es:
p
5.
• 10'" T.m ,71 . A 271
B=
2r
B =
505
I10 .~
. 2 r (xl + r"):v.!
8
= 5 x 10-6 T ; ó:
8 = 5. 10-6 (10' G)
8 . 5.1O-2 G Ejemplo 2.
¿Cuál es la intensidad de la corriente que circula por un conductor lineal si a 0,56 m c,ea una induc:·
PARA UN SEGMENTO DE RECTA EN UN PUNTO COLINEAL AL SEGMEN-
ción~20G?
TO
RESOLUCiÓN :
Si del pt.ntop, que eS1á en la misma Irnea del segmento, se trazan rectas a los extremos del rrosmo segnento, a = 11 = O, esto es: sena = O y senP=O.
20A 0,8 m
x
De donde:
110 I
B = -,. 271 r
I = 21t.r.B
11 0
i = 2071 . 0,56 . 20 . 10" 471 . 10.7
p
de donde:
i = 56 De la ley BioI-Savart
(sena + sen 11) ; flp=O 71 .r - - o O
I 8p
=
O
I
la induccioln magnética en el punto P es nula, cuando el punto P es un ounto del conductor. NorA: Como la unidad ,estas' es rruy grande, a veces se usa larrbién Lrl sliJnütiplo: el gauss 'G' . lG=10"T
6:
1 T = 10' G
Ejemplo 1.
Por .... aiambrerectodelgado Circula una corriente de 20 amperios, ¿cuál es el valor de la fd.J:ci6n magnética en el campoa una aslanda de 0,6 m? REsa..uc1ÓN :
1()2 A
EJef11l1o 3.
11 0 .i
Bp ' 4
x
Bp
=
11 0 I
271 ,
Cak:ularla inducción del campo magléboode una corriente lineal de 4 C y 20 V 8 Lrl8 diSta neia de 30 cm del alambre conduelor. RESQUCI ÓN : 8 = _Il o ..i 211 , Adecuando los datos:
(A)
11 = 411 .10- 7 T.m
•
A
=q . V =40 e x 20 V = 8 x 1()2 A r =3 x 10~ m
I
Sustituyendo en (A) : 8 = 471 . 10-7 T.m 8 . 1()2A 271 · A · 3 . 1~m
B=
!;
1
B = 16 . 10G 3
MAGNrnSMOYElECTROMAGNETlSNO
506
LEY DE .AMPEREY LAPLACE
Sobre la base de la ley de Biot y Savart, Arr'pere VLaplace dedujeron 16Ia ley para calcotarla intensidad electromagnética o inducción magnética en traroospequeños de cualqlJÍer forma de conductores eléctricos y la enll1Ciaron así: -La inducción magnética 'S' en un ptrto 'p". es directamente proporcional a la constante 'Ilo', a la intensidad eléctrica 'i' que circula por un conductor. a la long~ud '''' L' del tramodelconductoryal senodel ángulo 'Q' que hice el tramo delconduclorcon la rectatTa2ada al punto oonsideIado. e inversameote proporcional a la cis1ancia .... del tramo 11 L al prnto'.
renciales o espiras unidos. es un alaOOre enrollado 8 semejanza de los hilos de un perno o como un resorte. ClJando por aste alantlre. asl enrollado. circula corriente eléctrica, se origina un campo magné~oo cuya intensidad es igual a la 5UJT1a de las intensidades de los campos magnéticos de cada uno de los conductores circunferenciales o espiras.
Al
CARACTERiSTlCAS DEL CAMPO DE UN SOlENOIDE
AS =
liD 4lt
1. t.L -2-
a) sen
r
o:. bl
MULTlPUCAOOR
Cuando se quiere aumentar la intensidad elecltomagnélica o inducción magnética se ell1Jlea el MULTIPUCAOOR que se foIma juntando y conectando varias espiras por donde pasa la misma intensidad de corriente. de manera que el campo eslasuma deloscampos de cada espira. Su intensidad depende pues del número de espiras.
Ii o i Be = - ·_ · N 2
r
Dorde: N : número de espiras SOLENOtDE O BOBINA
Se llama solenoide o bobina a un conductorlormado porvarlos alambrescircunfe-
el
Et campo magnético de un solenoide es rrucho más intenSo en el ¡ntenarque en la parte exterior del solenoide. 8 campo tiene su valor máximo de inteflSldad en el punto centro del campo Interior del solenOIde. Las líneas de fuerza del campo entran por el polo sur y salen por el polo norte. CARACTERfSTlCAS DE LA INTENSIDAD O INDUCCiÓN MAGNÉTICA 'B" DE CAMPO DE UN SOLENOIOE EN SU INTERIOR
1.
2. 3.
És directamente proporcional al número 'N' de espirasqJecontorman el soIendde. Es directamente proporcional a la intensidad de la corriente "j' que circula. Es il1\l8rsamente proporcional a la Iong~ tud 'L' del solenoide.
LEY DE LA CIRCULACiÓN DE AMPERE
Sobna la base de la leydel3iol y SavarL Ampere planteó la ley para calcular la intensidad magnética en 01 centro de un solenoide:
FlSJCA GENERAL
N.I B = ¡io l
507
BOBINA, SOLENOIDE ANULAR O SOLENOIDE TOROIDAL DE RONLAND
(A)
Cuando se JUrmn los extremos de un solenoide. arqueando. para hacer una rorooa o anillo, ocurre que: 1. En el ex1enor el campo magné!Jco es cero. 2. En el imenor el campo magllétlco "B" es igual en cualquer punto. 3. El radIO para los cálc:uIos es el radIO medio "'r."
'.
B : Intensidad del campo electromagnético O inducción magnélico en el centro del sdenoide, en teslas "T" N : Número lolal de esporas i : IntenSIdad de la corriente, en amperios "A" L : Longitud del sdenoide. en metros "m" Permeabilidad del espacio libre o vacio
m.:
~ = 4ft.U)"7 T . m
'1 + r2 '. = - 2 -
A
Si en la fórmula (A) se tiene que:
~
= n
Oalde: n = número de esporas por metro. La fórmula (A) será:
INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO EN EL INTERIOR DE UN SOLENOIDE CERRADO O TOROIDAL
rlB - c- ¡io- n .-; i I
Por un solenoide que tiene 200 espitas por cm, or" rula una comente de 20 ampenos. ¿Cuál es la ",tensadad del carrpo electromagnético en el certro del solenoide? PROBLEMA , .
RE5a.uaÓN
N = 200 espiras
L=lan=l~m
I = 20A
B = 110 B = 2ft
N. i
T
. '0·7 T.m ._ 200 · 20A A lO':> m
B = 16n . 1()'2T ó:
Apta.: 8 = 16ft" 102G
En el interior de un solenoide toroidal, el carrpo magnético queda cerrado. pudiendo apfocarse la Ley de Ampere. con el CUidado de que l=2Jtr. , entonces'
¿Cuál será el valor de la Intensodad del carrpo de un solenoide cerrado o lorotdaI cuya bobina nene 400 e!piras, o vueltas, por el cual pasa una comente de 10 afr4l8oos? El radio medio de la bobtna es de12 cm.
PROBLEMA 2.
= 400
RESOLUCIÓN
N
r. " 12cm = t2. 10-!lm
I = lOA
MAGNETlSMOYELECrROMAGNETISNO
508
B=
~
~ N·; 2 7t . r.
5x102G
NOTA:
No confundlrque 'N" en la fórm.r la es e! número de espiras del to roidal, en este problema N =400, nc es la uni-
dadnewtofl. FLUJO A TRAVÉS DE SOlENOIDE
cuando el núcleo del solenoide es aire AecOfdandoque e! flLjomagnético ytambién el flujo electrcmagnétic:o se calcula asl-
1.
~
RELATIVA '11,' Hasta ahora, lodo lo ~e se ha estudiado de magnelisrro y elctromag-nel'smo, St.pOne que el medio en e! ~ese ha proQJodo el can>pomagnétioo es e! aire o e!vacfo. en tal caso la permeabilidad ma!1'ética relativa '¡i; tiene valor 1. PefO 51 el ambiente es dilerente al aire o al vaclo, es necesario inCluir en las fórmUla el Iacb''¡i; esconsiderablemente mayor que "1". U. permeabilidad relativa es la retación entre elwlerdel flujoma!1'ético en un material y el valor de! flujo magnético en el ai,e o
vacío.
. 8.S
B '" ~o . n .
Pero:
PERMEABILIOAD MAGNÉTICA
= ~ x l0-l! T ; ó:
B =
I
•
1 111 =
luego:
1~=1I0 · n.s1
n =
~. rairrelo de espiras por rre\rO
RESa.UClÓN :
L = 1m
N = loooespiras , = lOA
r
= 16 cm = 16 .10-2 m
Entonces las fómnulas de ilducción magnética se pueden escrtllr as!:
1.
Inducción magnoltica de una corriente rectifnea 8=2 . 10.1 11 . 1
2.
Inducción magnétoca de una corriente cir·
i
cutar. B 3.
S;6:
~=1I0NiS L z
, r
= 2 n . 10.1 . 11 , . !,
1rdK:aál ma!1'ébca de un SOlenOide 8 = 4 1t 10.7 11 , . f'L:I ; ; ó:
~=lIon
•
I
~
PROBLEMA 3.
Por un solenoide. obobi· na de 1 m de laIgo Y32 cm de diámetro, con 1 000 espiras, circoJa una corriente de 10 amperios. Calcular el Hujo ma!1'étlCo que pasa.
~f
ó: ~
~: ~en teslas'Tm'"oweber"Wb'
; : Intensidad de la corriente que cimAa. en arrporios 'A' S : Area orcUar de la bobina, en m'
10-5 Trrf' ; &.
~ = 10,241t' 10-5 Wb
7 B = 41t . 10. 400 lO 2 n . 12 . 10'2 B
= 1O,241t'
~ n 10-7 1 000 10 · n (16 10-212 1
B = 110 11, n i
4.
IrdJcción ma!1'élica de un solenoide toroidal. '
8 = 2 10 1 II, ·.!... N ; ó: r.
FlSlCA GENERAL
I B = /Lo !I . _ - . N , 2n r. )1. : ~d
relalNa de.., material. 9. : Rujo magnético en un material 9 . Aujomagnéticodelvacio. JI, : Permeabilidad del aire o vaclo.
RES
11, = 100
l = 1 en = 10.2 m
S = San2 N=60espuas
i = 5A
Sabiendo que: 4> = 110 11,
AhoIa que ya se tiene ef concepto de lo que es se tiene ef ftujo para el SOlenoide:
"j¡:.
2.
509
lO""
es el aire
= !lo
4> = 96
!Ir
"
I S
6:
4> • 110 !I,
N l r
6:
N 4> = 11 . -l
S
Donde:
I
.sl
I
l
41 = 41t . l0·7 · 100 ~ . 5 . 8 . '0"
Cuando el núcleo del solenoide no
41
N i· S
It · 10.5
Tm' ; ó: 5 4> = 96 It .10. Wb A través de un alambre circular de 60 cm de diámelro circula una comente de 25 amperios. Calcular la intensrdad del C3fr4X) efecIromagn ético creado por la comente en el centro del circulo. PROBLEMA 5.
RES
11 = 110 11,
Permeabilidad magnética del material del ródeo.
FlWO INDUCIDO Si un soIenoode tiene un núcleo distinto al aire. de permeabilidad m, el cafr4X) del solenoide crea magnetismo inducido en el núcleo. es deor que el núcleo tambrén se corMerte en un imán. Como este ";c1eo ahora está magnetizado porinducctón. crea a su \leZ su pqlIOcafr4X) magnético, lo que quiere deor que ahora pasan por el solenoide Irneas de fue!2a. de su propro C3fr4X) Ylineas de fuerza del caflllO producido por el núcleo. Elftujode fuerzas mag"!trcas def conjurOO se Rama flUJO INDUCIDO. Calcufar la rntensidaddel li.fJO de rnduccicin con ródeo de hiefTo 11. = 100 de unsolenoide toroidal de 60 espiras por cm y 8 cm' de sección por el que araJa l6la conientede 5 2I1lJeños-
PROBLEMA 4.
Recordando que B
Donde:
2 It KM
z
Il . _ ter7 T. m A
"M -
i = 25A r=3 . 1O""m
•.
B =2Jt 1<)"7 T . m
A
!!JA
3 . l0-2m
R¡:ta.: B = 5 It 10.5 T 3
¿ Cuántas esplras debe tener un solenoide de 20 cm de Iongrtud para que con una corriente de
PROBLEMA 6.
510
MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISNO
20 amperios se cree ooa inlensidad magnética de 2000gauss?
Sustituyendo valores en (1): 20 A 500 B = 2 10.1 T m A 45.10.zm
RESOlUCIÓN : RllCOt'dando que:
B ~ ~o deda1de:
lIi
B = O.04 . 10-6 T
L
N = Bl
(1 )
~o l
1 G = 10-< T
Recordar que:
2000 10-4 T . 20 . 1(1·2 m = =:........:.:......;r==:......:..:~ 411 . 10.1
B
a
4.10-4 T
T. m. 20A A
Porunaboblnaplanacir-
cUar de 15 espi,as de radio 20 cm. circula una comente de 30 ampe-
rios. ¿Cuál es la densidad electromagnética que fluye en el centro de la bobina? RESOlUCIÓN :
1002 lO' N", 2lt . 10-6 = 2it
I B=2nKIoI - · N
fa
Apta.: N = 1 592 espiras
K,. " 10" T~m
Recuérdese que: ~ soIenoideloroidalruya
PROBLEMA 7.
6:
B ~ 4. 10-8 G PROBLEMA 8.
Sustituyendo dalos en (1): N
RpIa~
bobina tiene 500 vueltas Ypasa una comente de 20 A El radio exterior es 50 cm y el radio interior es 40 cm. Calcular la Í1Iensdad del campo electromagnético dar soIenc>de.
B=2rt . 1(r,T . m . 30A 15 A 20 . 10.zm Peta.- 1.4 . 10.3 T ; 6: 14 10.3 Wb
,.
~
Convencionalmente se igualan la induccicln magnética Yla densidad del flujo rnagné1JCO.
NOTA:
Por un hilo recto y largo circula una comente eIéc· tncade 25 amperios. ¿Cuál es la densidad de ti'*> en l.fl punlo. a 3 cm del hilo? PROBLEMA 9.
RESOLUCIÓN : I
n = 500 lIS¡lKas
= 20A
'.
= SOcm
r, '" 40cm (1)
'1 +'.40+50
'. = - - = -
2
r. '"
02
45 . 10
m
2
= 45 cm
RESOLUCIÓN . B =
Doode:
~
:
~o = 4 lt . 10.1
R88fTllIazando:
B '" 2 10-' T. m 25 A A 3 . 1o.zm B ~ 1.ti7. 10-4 T ó:
511
FISlCA GENERAL
.. Wb B = 1,67 . 10 """2 m
PROBLEMA 10. Calcular el flujo magnético de un solenoide con núdoo ferromagnético que está ell\lUeho por un conductO( alínaico de 20 mm de radio y 40 an de longitud Y OJen1a con 360 espiras por las que pasa una comeme de 25 amperios (¡l, " 2 000) RESOLUCIóN :
r
J.I, = 2000 L = O,4m i = 2S A Sabiendo que:
N = 360espiras
PI!ro:
el>
e
(1)
N ·I
L
0,4
B = 56.55 T Sustituyendo en (1) :
(2)
RESOLUCIÓN : Sea P el punto donde las intensidades son iguales. Por condici6n: 8, = ~
= 56,55 T . 1< (0,02 m)2
el> - 0.071 T m2 ~:
31
San
(1)
B = 41< ' 10'7 . 2000 . 360 . 2S
el>
iguales.
O,02m
= 8.S
B = J.lo 1', '
PROBLEMA 12. Laflgura muestra conduc> tores rec!ilrneos infinita· mente largos con corrientes"r y "3i". La disIarria entre ellos es de 6 cm. CaIo.Aar a qué distancia del conductor (1) la imensidad del carrpo ~de arrI:Jos oonductores son
Si"ll'"rfteandoyllamando:
el> " 0.071 Wb
PROBLEMA 11.
Una bobina loroidal tiene 3000 espiras. Los diámetros interior y exterior son 22 y 26 cm respectivamente. Calcular la densidad de flujO en el imenor de la bobina cuando ¡lO( ella circula una corriente de 5 amperios. .
RESOLUClON : 8
Donde:
i
= 2" KM - . N
'.
R.' I ~ r, = 0,12 m B = 21< . 10.7
2... 0,12
8 = 79 10-3 T , ó: 8 • 79 . 10-3 Wb
m2
x
=
x +6
Apta.: x = 3 cm
PROBLEMA 13. A través de un segmento de recta de 30 cm cirrula una comente de 15 amperios en un punto P. según la figura
· 3000 1
, l 30an I A _ _ _ _...J.I ___...,..,--'.:.." 8 ..-- 30 cm
---t
,,
-
I
,
MAGNEnSMOYELECTRQMAGNEnSNO
512
RESOlUCIÓN : Por la regla de la manO derecha se delermna la inducción, bene un sen!ido de la hoja afuera 0, ~o la figura se calaJla los ángulos a y p,
nética en el eje de la espira a 60an de suoentm.
RESOlUCIÓN : Sea el gráfico q.¡e indica el
suceso: P
Pt;\
2[iJ"
,,
)-T', I
:
"
'
... ",SO
,30
...
I
; l'
A " a
- ---r
... ,
PC.
:
B
30
Mora, reoordando la lÓ1Tl1u1a de Biot YSavar1: Bp
Donde;
~ ~o ' i (SIIfl a uen p) ~
r
z
lt r
(1)
/lo = 4 1( , IO'7T- , m
30 cm = 0,30 m
A
I • 15A
sena
30, = 2J3Q , senp
=
I = 30A r ~ SOcm
3
5
Sustituyendoen (1) : 7
Bp = 41( , 10' . 15 (~ +~) 0,30
2~
5
~
O,SOm
• = 60cm = O,60m Sustituyefldo estos datos : 411 10'7 T ,m Bp ~ _---=---'A>2
Bp = 209,78 , 10.e T
30A
Por una espira da 0,5 m de radio circula una ce!Tiente de 30 A. Calcualr la inducción mag-
[ (0,60 m)2 + (O,SO mf]!ii2
PROBLEMA 14.
Bp ~ 392,7 . 10.7 T
CI~UIT6 MACNlrfCOS Son CAMPOS ELÉCTRICOS INDUCIDOS porcatllXlS magnéticos variables y tambiÉfl son CAMPOS MAGNÉTlCOS INDUa-
DOS por campos eléctricos vanables. oerrados. de IlUjo magné1i<:o indUCIdo. Para el
LEY DE ROWLAND Se refiere a los arruítos cerrados de f1u-
jo magnébco tnduado. tomando en cuenta el maleñal que se usa. su sección recta. la intenSldad de la corriente eJéctnca. el número de espiras de la bobina, la permeablidad del malerial, ele, etc, para la conslrucción de máql.inas etewomagnéticas, oomo motores, etectroimanes, bmbres, etc.
8 fluJo a través de un solenoide toroidal con malerial de permeabilidad" es:
513
FtslCA GENERAL
A2
~=~.~iS
esta un.dad se llama 're" R . en'-' Nm'
que se puede escribir así:
..
(A)
Tl
S
JI.
IN. i = F I
l.Iamar1OO a: I
¿Cuál es el 1Iujo magnético que pasa a través de un torOIdal con rúcleo de Il, = 120. de 50 cm de longitud, 300 esporas. 5 cm de diámetro y una comenle de 1,2 3flllE!oos? PRO BlEMA 1.
N.'
... =
Donde:
. F . Fuerza IT'agnetomottíl, en ampeno lI\JeIla 'A v' Yllamando a:
I~ ~ ~ R I
RESOlUCIÓN :
r
F
R: Reluctancia magnética, en: rel = -
A2
N.m
Sustiluyendo en A:
~ 'En un arMo magnéticQ. el 1Iujo es di'ectamente proporcional a la Fuerza IT'agnetancr triz e II1WI'Samente proporcional a la ReIuctanela' Esta ley es oorrprabIe a la ley de Olvn donde t (huJO magnético) es como I (intenSIdad): F (fuerza magnetomOlriz) es como E (tuerza eIectrorncl4riz): R (retuGtancia) es como R (resistmcla) 4> =
R
~
e
(1 )
= N.I = 3OOe.I,2A = 380 A e (1)
R = l l = _ '_ l ji. S !lo 1', S
R1 0,5 m m 7T - 41t .l0· . . l20 A ,,(2,5 .10·2mf
Que es la ley de RowIand Y se enunoa as!:
....... oo,'"'" a
= 120 l = O,5m N e 30espiras
, = 1,2 A Sabemos que: 4>
Donde:
F
=
(.1,
2,5.10.2 m
..
R
c.
F , enaflllel'iOvueIta'Ay"o~es¡lia'Ae'
4n'
.
Al
05 '
-
120 .6,25 Nm 2
e
168, '0' N.m A
....
360 A .8
.. e
(2)
Al
158,00 . lO< N m ~ Rpta~
.. N
-'
= 2,13 . ID Am nr
Q e 2,13. 11)'4 T rr?-
Q = 2,13 . 10'4 Wb PROBlEMA 2.
UNIDADES SI: $ • en weber 'Wb'
lO"
Sustituyendo (1) y (2) en ('):
E
R
R
..
I = ¡¡ E
,----t 1-+'----,
T - ...!:!.. - A.m
Recordarque:
Calcular la fueaa rnagnelomotnzen A .e nec:e-
salia para prOÓJarun flujo en un cirou~o con unmaterialdell, 20 una armadura de 100 cm de largo y 4 cm' de secciOno
=
MAGNETlSMOY ElECTROIMGNCTrSNO
514
Calcular:
11, - 20
a)
Campo magnético en el centro del solenoide. b) Aujo a IIlNés del solenoide si llene una sooción de 4 cm'. RESOLUCIÓN : a)
F: • . R RESOlUCIÓN : (1) CálaJlodeR: 1 L 1 L R = l' S = 11011, . S 1 1 R = 47< 10.7. 20 . 4 _10" 2 R = g,95 107 . A Nm Sustituyendo en (1 ) : R = 2 . 10"Wb · g95 . 107 . ~ , Nm
,,2
R : 19,9 103 Tm2 · Nm R
=
N A2 19,9 · 103- - m2 · A.m Nm
R = Ig,9 10 3 Ae
Calcularelflujo que atr.Me-sa '" SQIenoide 50 eIan, usando una corriente de 10 amperios, si el diámetro del niJcleo, 1-', = 5, es de 6 cm.
PROBLEMA 3.
RESOLUCIÓN:
o>
= 1'0·1',·n. I. S
Sustituyendo datos:
.m
m2
B = f.lo,f.I,.n.1 B = 4 n . 1()'7 . 2,5 . ~ . 20 . 10.2 B = 9425.10-6 . 2,5T
b)
. : 8.S
o> = 37700 . 10-9 Wb APUCACIONES DEL EFECTO OERSTED ,.
Camparilla etéctrica.
2. 3.
TeCégados.
Relais o relevadores.
6.
Motores. Galvanómetros. Arrp.../rnetros.
7.
Vo~ímetros. etc.
4.
5.
EFECTO FARADAY Es un efecto comrario al de Oersled El año 1631 Faraday co"","obó que ala<:ercar y alejar un imán a un solenoide se crea, en el so/eooide, una corriente a la que llamó ' 00nierte inducida'. S experimento fue el siguiente: sea un imán 'A' con sus lineas de fuer2a y un soIeOOde-5-. A
'" = B8 826,4 10-6 T m2 ; ó:
Una comente de 20 BIT>-
perios recorre un solenáde de 15 espiras por cm. B núcleo liene una permeabilidad de 11: 5.
1. IM1Ó\III A. '"no circula comenle· en el adenokJe
515
RSICA GENERAL
'i1ducido', swrPementevan¡¡rdo la inlen!;idad ... _ -r-_
_
~A-=d-...,
,- - L_""L~--l-'
de la corriente en eI'primario' se vaña la ir>ducci6n magnética en el 'secundario' Y por oonsigljenle la corriente inducida. Fuenle do EMtgi8
Beblna Secundal'ta
Bobina PtlrnaM
A
En oordusión el 'efecto Faraday' indica q.¡e: 'Todo ruerpo magnético variable crea Lt'1a corriente eléctrica', Es oportuno insistir que: la corriente in-
ducida es más intensa ruando más rápido varia el nujo de inducción atra\leSante, o llamado larrbién concatenado. Sea .. el flujo inICial Ysea 9. el flujo final de mayor valor, la \lariad6n del flujo es :
1.
SI ~ imán no se mueve, el número de lineas que atra~ el solenoide no va· ria; ro hay corriente inducida
2.
S, el miln se acerca, ~ n~mero de líneas que atraviesa el solenoide aumellla; hay
conienIe. 3. Si ~ mM se aleJa, el número de lineas que alraviesa el solenoide disminuye: hay corriente de sentido conlrano al anterIOr, 4, S.eI ománse acerca y se aleja repetida y rápidamente, el número de lineas que all3Viesa el soIeooide varia tarrbién rápidamente, la ontensidad de la comente t1ducida aumenta. La corrien1e que circula por el solenoide es alterna.
a 41
~
41, • 4\
la IIeIocidad de variación del flujo sera: v = a$
al
LEY DE FARAOAY
"la fuerza electrorrotriz ,nducida en un solenoide es directamente proporcional, pero
de signo oonIJallo, al número de espiras del soleooide y a la rapidez con que carroia el flujo rnagnéIicoque endena',
a4>
E = ·N· 61
INDUCCIÓN
ELECTROMAGNrnCA
El rTlSITlO electo anterior se puede produciroon un 'solenoide primario', por doncle pasa oorrienIe y que desempeña la función de ¡moIn, sobre olro 'solenoide serundario' o
¡:; : Fuena electromotriz. en VOltios "V' N : Ntinero de espiras del solenoide lnducO:Io. A • : Variación del flujo magnético, en weber 'Wb'
At : Peñododel tiempo, en segundos 's'
516
MAGNET/SMOV ELECTROMAGNé715NO
LEYOE lENZ
'la 00 le rteincU:ida aparece en U1 serIido tal que se opone a la causa que la produce"
El signo menos en la Ley de Fara-day indica matemálicamente esta oposición. Si se imprime al imán un moviTlienlo de vaJllén. se produc;e en el solenoide U1a "00mente aHema". Esta es una conseaJef1Cla de la Ley de Lenz.
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
El flujo magnético que pasa pot" Una esfera 1»locada perpendoctAarmente a un campo mag· nético varia según la relación.
. ~, = 6'~ + 7', + 1 Estando" expresado en miliwebers y"r en segundos. ¿ De qué magnitud es la f.e.m. induida en la estera, cuando, = 2 s RESOLUCIÓN: Por Ley de Faraday.
E= _N , 6~ til
(A)
Donde: N= 1
=
t.~ ~".p¡ t.1 = t,-I,
t, = ti +t.t
..
t.~ = 16(1, + t.1¡2 + 7(1, + t.t) + + 1]- (6 ~ + 71, + 1)
t.q, = 12I, . til+7t.t+6(t.t¡2 Luego, sustituyendo en (A) y s~ificando: E -121¡. 7 ' 6 t. 1
=
Cerno se desea conocer la te.m. "cada instante", entonces Al = O; luego:
Para
~ =
2s :
,(1 2~ + 7)
=-31 m V (miao voftio)
PROBLEMA 2.
Un solenoide largo tiene 200 vueItasIcrn YllENa una eotrientede 1,5 A;su diámetro es de 3,0 cm . en SU centro se coloca una bobina de 100 espiras muy cerradas de 2,0 cm de diámetro. Esta bobina se coloca de tal manera que "B" en el centro del SClIenoide sea paralelo al eje. la corriente en el solenoide se reduce a cero y después aün'lenta 1,5 A en sentido conttario Y con rapidez constante, en un penodo de 0,050 s. ¿Qué f.e.m. IndUCIda aparece en la bobina rtientras ésta carrbiando la corriente? RESOlUCIÓN : la inducción del centro del solenoide es:
B = Ita.n.i
(1)
Sustituyendo los valores dados de ( 1) en la relación del ¡l
E=
E
B = (41< . 1()"1)(200 . 1()2). 1.5 B = 1,5 .10'2 : El área de la bobina, no del solenoide, es 3,14 . 10" rn', El ftujo iOOal. qUe pasa por cada vuelta de la bobina es: • = B, S = 13,8 ,10-2)(3,14 .10-")
• = 1.2 .10.5 Wb De acuerdo al enunciado del problema, el flujo va desde un valor iridaJ 1,2. 10" Wb hasta un valor final de -1,2. 1O~ Wb, luego:
t. ~ = -1,2 . 10-5 • (+1,2 . 1 ~)
,ti.
= 2,4 .10·5 Wb
517
Por la Ley de Faraday:
PROBLEMA 4.
UnabobonadeBOesporas tarda 0,04 s en pasar en!re los extremos de los polos de un imán, desde un lugar en el que el flujO magnétICO es de S , I~WD hasta otro en elque el",*, magnétiro vale 2 , 1~ Wb. Calcular el valor de la f.e.m. inducida en la bobina.
E = .N , tl4> tll
E = .100 (·2,4 1~) v.b 0,055
E; 48mV Un soIenolde de 96 esp~ ras de hio, un largo deBcm y lfla secCIÓn lransversal de San', transpor· ta una comente de 0,25 A. Se arrolla sobre el soIerode secundano de 2 espiras, Cuando se abre el interru¡:ior, el campo magné1lco en el solenoide se anula en O,OS s ¿Qué f e,m, Induce en las dos esporas? PROBLEMA 3.
RESOlUCIÓN : De acuerdo a la Ley de Faradaye E = .N 60 = .2.64>
(1)
61 O,OS& De la delinición de flujo: 64> = 6(8. S) Pero como S es oonslante e 'gual a6 . 111', se tiene:
10~
RESOLUCIÓN : E = N
E = 80 (6, 10·~· 2 10.5) ~ 4 . 10'2
Un dISCO de cobre de 10 cm de raóo gira alrededor de su eje oon una \I9IoCIdad de 40 rps y está situado en un plano perpendlQJlar a un can>po magnétICO uniforme de inducción 0,3 T. Haaar la dlferenoa de po1enaal entre un pu~ lo de su periferia y el centro. RESOlUCIÓN : En 1140 segundos cada ra· dio corta una vez todas las líneas de OUJOque alraviezan el disco. lJ.Jego: el! = B.A
PROBLEMA 5.
41
64> = 6, 10" (O • 8,)
Cálculo de S,:
·6 , 10" BI
=
B,
( 11 )
Pero:
E =
= 37,68,10'5
5
E = 18,46 V PROBLEMA 6.
SustibJyendo en ( 11 ):
rrr
= ·6 IIl" 37 68 1O" v.b
E = 9 . 100S V
5
E = 40 . 147. 10" Wb
~
Sus1iIuyendo en ( 1)
64>
'XI 40
0,06
,
" (0,7 m¡2
1
(h . 10.7 ) (0,25)(96)
B,
~
E = 147 . 10~ Wb
L
=
641
= 0,3
4> = 147 · Jt 10-3 Wb
llo·I.N
BI
S
E = O,06V
64>= S.68=A(B,.B;)
641 =
~?
Una varina delgada de 1 m de longitud gira alrededor de un eje que pasa por un ex1remo y es perpendicular a la varilla oon una velOCIdad anglAar de 2 ffIV/s. 8 plano de rotaaóo de la varilla es perpendicular a un campo magnéticounWormededensidaddellujoB = 0.5Wb1
IMGNrnSMOYaECTROMAGNrnSNO
518
m'. ¿Qué I.e.m. se induce entre los extremos de la varilla?
•
•
•
•
•
•
•
•
, '-.~ \.
•
•
I
•
· , /,. · , '--
•
•
L
I
•
- ---h<"s+-
•
•
• s
RESQUCIÓN : Por Faraday:
Ti =
pero:
it
T
(I)
cjI = 8 . 5 = B. n . L2
En~)'. Ti =
2
B. n . L t
MlJI4:lIicando ycfrvidiendo POf 2: " =
pero:
= O,03rrf
s
I )
\
•
s = 0,12. m 0,25 m
21t
"1
4>1 = B, S c:os45"
!.a. (2tlt) L
cjI, = B . S
2
64> = 4>1- 4>¡ = B.S(I-00545")
= !Jl , luego:
6cj1 = 2
E =
! . B . !Jl . L2
2 SusIiIuyendo los datos proporcionados por el
mrodado: E =
1
'2
Wb 2 . 2n _. ' 0,5 rrf . - . - . 1 !Ir
6cj1 = 0,01758 Wb 61
E
= _ 50 esp . 0,017 58 Wb 0,1 s E = . 8,79 V
PROBLEMA 7.
densidad de Ik.jo de2Wb/m'has1a Lnaposici6n P"'l"" ácUar al C8lll>O> en un tierrpo de 0,1 s. ¿Cuál es la I.e.m.meáa iná.ocIa en el cuadro?
,,= _N. t.cj1
Se sabe que:
Ti = 3,14V Un cuadro I'ada s apreladamentetiene Uflas dimensiones de 12 cm • 25 cm. El plano de la bobina del cuadro gra desde una posición GIl la cual fonna Ufl árguIo de 45" con el ca~ magnético de
~ • 0,03 rrf (1 -1)
E = 8,79V PROBLEMA 8.
Una bobina de 50 cm de
largotiene un OOcIeode aire, 20 cm' de sección y tiene 1 000 espiras. Por la bobma circula una coniente de 10 A Y después se léaurnentaa 16AenO.2s.ca~
cular:
RESOLUCIÓN.
a) b)
Siendo el a,ea de las bObmas:
el
La variación del flujo. La wIocidad de variación del 1140. La te.m. inducida.
FfSIcA GENERAL
519
RESOLUCIÓN : "~=91-~,
a)
(1)
CálcUo de 9, y Q, :
e)
~I = S. S
Si = 11 · n . ;
E
(1) donde:
11
S
¿Cuál será la f.e.m. inducida en una bobina de rodeo de perrneabirodad Il, = 10, de 20 cm de largo, Bcm' de sección con 400espiras? Por la bobina circula una corrienle de 4 amperios y en un momen1o se eleva la intensidad en 50% en O,08S. PROBLEMA 9..
BI = 2,5 · 10-2 T Sustituyendo en (1): ~ i = 2.5. 10.2 T . 20 . 10" m2
RESOlUCIÓN :
~, = 50 . lO"' T nf (a)
L = 20 . 10'2 m
Por oIro lado:
S = 8 . 10"
(2)
BI = ¡.l . n.1 1
= "" '"
:. BI
= 4lt · 10' / -
pero:
1000-2 . 16 50 . 10
" 1
...
Sustituyendo valores en (2) : ~I = 4,02 . 10.2 T . 20 . 10" m2
411 = 'BO,4 , lO"' T nf
"1
= 50% (1)
"cil = ~I - ~I
(11 )
1l0 · fi, · n . II · S
= 4 n . 10-7 . 10 .
400 2 20 . ID'
. 4 ' 8 . 10" ~I
= 0,8 . 10" Wb
(a)
'1>1 = 1l0 , 1l, · n ·; 1 S (b)
SustíbJyendo valores en (1) : "411 = 80,4 . 10"' Wb - 50 , 10~ Wb
"411 = 30,4 Wb
= 152 . lO"'
donde:
il
= il ~ 50% =4A + 2A
11 = 6A
Luego: .1 = 4x . 10'7 . 10 · ~ .
"v = ~ 111
"v = 30,40,2Wbs
= 4A
E • . N ~j,
~i =
BI = 4,02 10.2 T
b)
m2
I¡
Al
11 = 1
~I • 80,4 , lO"' Wb
N = o4OOe
11. = lO
~ ; = 50 . 10"' Wb
donde: 11 Pero por enunciado:
= -N· A V
E = 0,152 V
1000 . ,0 50. 10-2
~I = BI· A
"1
E = -1000.0,152 . 1Cr3 Wb
=1'0'"
Pero por enunciado: 11 = 1 8 1 = 110· n . ; BI =4 n . l0·7 .
= -N ·Acil --
20 . 10-2
·6· 8 · 10"
Wb
s
411 • 1,2,10" Wb
MAGNEnSMOYEL~C~GNETISNO
520
Sus1ituyendo valores en (11) '
E. = _400 e 0,4 . 10" Wb 0,08 s
lI4I = 1,2 . 10" Wb - 0,8 . 10" Wb
Wb
lI~ = 0,4.10" Wb
SustiM'endo valcves en
E = -0.2 -
s
E=-0.2V
(1) ;
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
En la figura se rruestra un conductor rectílineo de 80 cm de tongitlJd el cual se desplaza can una rapidez de 60 mis en un C8fTllO magnéticc unllorme de inductión magnética 0,5 T. CalaJlar el ángulo "a"llf1Ire los vecIores_inWcción magnética B y la "",Iocidad V . Se sabe que entre los ext,emos del cooductor se origina una f.e.m. de 12V.
entre sI. Rpta:
3.
2V
Un condu<:Ior lineal de 20 cm de Ioogitud se desplaza en un ~magnético un;. fOI'me de inducc06n magnética 0,025 T, eon una rapodez de 2 mfs de modo tal que el coróJctor y el vedorde velocidad pertenecen al mosmo planc, el rual es perpendicular a las lineas de ~. B ""Clo, wlocidad forma
Apta.: 5mV
4_
R¡:(a.: Cl = 30° 2.
Un avrón se desplaza de Este o Oeste con una rapidez de 200 mis en un lugar dorde la decinaci6n magnética es aa. la iraJccjón magnética del ca~ terrestre en dicho kJgar es 5 . 10· T. Calcular la dfeI et ICII de potencial que BXJSte entre los extremos de las alas, que distan 20 m
En un cafTllO magnético unWorme y vertical, de inducción magnética 1; se desplaza un alambre COI1duC1or, srtuado horizorrtalmente, de 0,5 m de longitud can una rapodez de 16 mis, de modo tal que el vector velocidad torma con las lineas de ~ 30" Y con el conduelor 600. Calcular la f.e.m. inó.Jcida en el condue-
J3
lO'.
Rpta.:
6V
521
FISJCA GENERAL
CAPíTULO 19
ÓPTICA La Óptica es la parte de la Física que est1..dialaluz y todos los fen6menos relacionados CXlfl ella Durante m.JChos siglos la tuz fue un telioy l.fl enigma para el hombre. ¿Qué es la luz? ¿C6moselransrnte? ¿Cómonegadesde el Sd a la Toerra, si entre ellos hay una dístar<:ia de 150'000,000 de km? ¿En qué tom-e viaja? los griegos Suponran que la luz era un espectro. pero no e! espectro de la luzblanca. sro que aelan qLe ea l.fl tan\as!T'e horTilIe para los ojos. qLe irradiaba delOsOOjelcs YqLealllEgar alOsqosnos permhía ver
mis-
Iosot;etos. Una de las primeras teoñas científICaS la sustentó NewIon, QLJen sostenía que la luz era una emisión oorpuscular de los cuerpos y que al lie9ar a los ojos los daña yescas lo que hace pembir los objetos. Aproxlmadamefl\e en la misma época, HuygEns. aentiflCO holandés, emitIÓ una teoña scs1enoendo que la luz era un fenómeno orWIatorio. SIn errbargo, la enorme autaidadoontífica queeo .... 1OOS tenia Newton echó por tiefTa esta teoría.
Según la teoría c()(¡lUSCtJlar de Newtoo. la luz aumenta su velocidad al pasar de l.fl medio menos denso a otro más denso. La teoña oo:!lJatorla de Huygens sostiene lo contrario, que la luz clsminuye su velocidad cuando pasa de lXl medo menos denso a otro más denso. Estadametral diferencia atrajo la atención de los sabios_ Fueron Fizeau y Foucault, qLienes demostraron que la luz se propaga más rápido en l.fl medio menosden&O que en otro más denso. Esta demostración resUt6fatal para la leona de
Newton.
Baño 1887, el frsico Alemán Enrique Rudolfo Hertz, profesor de la LriveIsidad de 8om, desabre el fenómeno conoeido romo "efecto fotoeléctrico", este efecto se logra emrtoendo los ray05 ullraviQ!e\as del espectro de la luz blanca sobre un cuetpO cargado·eléctricamente. Al recibir el impacto de la luz el cuerpo cargado elédri:amenle emite electrones que se desplazan en lorma ondulatona Derrostró el carácler onduIatoro de las errosiones y estudió experimentalmente sus propiedades. certiltcando de esta manera la teoría electromagnética de Maxwel.
522
ÓPTICA
MaxwelI, en el año 1873, sostuvo que la luz estaba consti!uida por ondas transversales de naluraleza electromagnétICa, y prod\Joda por a~eraciones del campo magnético y eléctriCo de los álomos y que podra producir ondas semejantes a la de la luz por medio de circules oscilatorios. En el año 1900, PIanck propone la leoría da los "quanta" para expIic¡lr la propagacien de la luz. Según esta teoría la energla de 111 haz luminoso está concentrada en paquetes constit~ndo corpúsctJlos energéticos o lotones; estos fotones tendrán naturaleza endUlaIOria. pues estarán asooados a una onda portadora.Según la teoría, la longitUd de onda yelfaónconstitu}'en lIl"quantum de luz", con lo QLe se e¡q:ica el electo loIoeIéctnco como la transferencia deenerga dellot6n al electrón. Todas estas considefaoones y teorías tal llevado a los físicos a acepIar una doble nawraleza de la luz COfJlIJscular y ondula-
toña.
UNIDAD DE INTENSIDAD: CANDELA "cd" Para medir algo, se elige una unidad de medida; para medirla intensidad de iluminación se eligecomo unidad de medida..,a delennlnada intensidad k.rninosa. Cuando 111 metal alcanza su Pl6110 de h.nción su temperal.... permanece constlnte hasta que lermne de fLndir.;e lodo el cuerpo El año 1884, eff.ancéj; Luis Julio Gabriel Vlolle, presenló a la Conlerencia Inlemaci
YEJ.OCIPAD DE LA LIII La tuz es propagada en Irnea recta. las pnrneras cbservaciones indu¡eron a pensar qt.e la luz se propagaba nstantánearnent sin errbaIgo, ya GaJiteose habla prI!OCI.pado por 8\11!r91J8f1a llek>adad dela luz, no llegando a nInguna concIusicin finita, creyó que la velocidad de la luz era infinita. Posterioonente onveSIigadores como 0Iaf Romer, el año 1670; ellrancésFlzeau, el año 1849: león FoucauIt, el año 1850; el premio NdJeI delisrca de 1913. el americano Alberto Mrchelson. el año 1931; tlegaron a la CXJI1du. SIÓI'l qt.e la luz tiene LIl8 veIoddad finita de 300 000 kmls. Sin eniJargo, la veloCIdad de la luz es diferente según la sustancia a través de la cual se propague. siendo slerrpre menO( en cualquier sustancia que no sea el aire o ellIilcfo.
FOTOMETRíA Es el estudio de la medida de Intensidad de ik.minacicin.
CANDELA: "00" SIIl embargo, la lIlidad de inlensidad de intenSldadtumosadel Sf es la eANDB.A 'cx1'. cuya def. ri;ión dada porc.I.P."" el año 1971 es: "La candela es la inlens idad Iuninosa, en drecclón perpend'JCUlar. de L<1a superficie de 11600000 ",. (1,67 • 100 m') de 111 cuerpo negro a la temperatura de fusicin ptalíoo bajo la presión de 101325 NI"" (1 alm). Su símbolo "cd". EQUIVAlENCIAS: 1
ro
=
..!. víoIIe 20
= 1 bulla
FISJCA GENERAL
523
ILUMINACIÓN ILU"'NACIÓN: 'E" Es la iflcideroa de los ra)CS lumno-sos que experimenla un cuerpo. o es la cantidad de luz que Kega a un área. Pantala
PantaHa
1 11
Cd = -1lCd = t ..." m2 mol.
A.WO LUMINOSO
Es la intensidad de eoorgia Il.mnosa que recibe una Sup9lficie. La I.flidad SI del flujo luminoso es el LU' MEN"lm",
E : Ik.mnadón. en IU)( "Ix" I : Inlensldad. en candela "00" d :
Distanciadelocoalasuperficieil~.
da. en melros "m" 11 :
ÁngLlodedesviacióndeL.lll'aYOCOOrespecto a la normal del plano ~\.IT1inado,
LEYES DE LA ILUMINACIÓN PrImera Ley : La lI~inacl6n de I.fla super· lic1e es directamente proporcionaIa la "tensldad"l" de la fuente k.mnosa Segunda Ley :La iluminación de una super· fióe es inversamente proporcional al ruaOOIdode la ásIancia entre la fuenle Yla ~ ftumínada. Tercera Ley: Cuando los rayos sin irdnados, la auminacl6n es propor cionaI al cosero del ángIAolOlmadopor el rayo luninoso con la normal del plano iluminado.
UNIDAD DE ILU"'NAClÓN: LUX "Ix' Representa la iumínación de un "loco p!.f'tIuaI", que incide sobre una """"nlde a 1 m de distancia
f
=E , A
: Flljo luminoso, en lunen "1m" E : Ih.minación. en lux "Ix" A : Área iluminada. en metros "."..
111m = llx .lm' =11x.mt
I
PROBLEMA l.
Se quiere iluminar con una IM"para de 800 Ix una Sl.perfiOe de 1 000 cm', ¿Cuántos lúmenes debe emitir la I~ra? RESOLUCIÓN: f EA
=
I = BOO Ix . ar¡2 1= BOOIx . m2 f
= BOrn
INTENSIDAD LUMINOSA
Es la cantidad de lIujo emitido por un manantial por cada unidad de ánguto SÓlido.
524
b) 1= E.A =tOOlx . 4nf = 400lm e) 1= 1: Intensidad luminosa, en candela 'c:d' f: Rujo luninoso, en Il.I'Tlen '1m' (D: Áng0..40sólido, en esterooradián 'sr"
.!. = ~ = IOOOOcd . w 0,04 sr FOTÓMETI3QS
Son aparatos que permiten conooer1a intensidad luminosa de un foco. FOTÓMETRO DE BUNSEN' Este Iotómelro permite conocer la intensidad luminosa '1' de un loco, conociendo la intensidad luminosa de otro foco.
Se coloca una mancha de ace~e sobre una pantalla de papel que está entre los dos locos luminosos. se hace desplazar a esta panta.a a lo largo de la corredera que une los dos locos luminosos, ycuando la mancha de aceite no sea vista es pOItlue las dos caras tienen igual ilumi· nac;6n.
PROBLEMA 2.
Una fuenle luminosa ilumina ~ panlBlla de 4 rri' situada a 10m de la fuente. Calcular: al El ángulósólido slbterido pore! haz de luz que llega a la pantalla , b) Si la üumlnaci6n que reabe dicha panta, lIa es de 100 Ix áelerminar elllujo que recibe la misma. e) la intensidad luminosa de la fuente.
Manchada
aceita
~d, -.,¡..... ¡ Esto es:
osea:
L
10m
- -....¡
A
I,
df,
=
12 d 22
FluJO TOTAL DE INTENSIDAD
RESOLUCIÓN : al F'()( Geome1ría: ro =
E, = Ez
4nf
~ = (10mf = O,04st
Es el flujo total que em~e la fuente alr&dedor suyo, Considenmdo como si estuviera ubocado en el centro de ~ esfera hueca, iIumna toda la parte interior de ena
525
FlSICA GENERAL
CálcUo de la intensidad luminosa:
~
Sabiendo que: E =
; de donde:
1= Er' = 2OO1~(15m¡Z = 45
x
103 cd
Sustituyendo en (a):
'r = 4 x 3,1416 x 45 • 103 CId x sr
RpIa.:
'r =
565 488 Lm
Lapartaladelaligurase desliza sobre lIliI reglade 2 m, Hallarla distancia en que debe toIocarse la pantalla con fespecto a' fcx:o A para que arrOOs lados sean 19ualmenle ~umínados.
PROBLEMA 4.
Sabiendo que: f = E x A
l, pero: E =
-;z:.
LA =7"
() a
Además: A de una superllCie estética esnt' : sustit~en(a):
RESCí.UClóN : Porerul1Clado: EA = Ea
1~=41t.11
t. : Rujo total de ~umnaciOO. en Iumeoes ,, : En radianes I InIensidad luminosa. en candela.
I
H TI = 1 CId lsr
E
1 CId sr
lA = 200 al
I
Una fuente lum,,1OSH, i.... rma Lnapanta!lade 16 '", Slluado a 15 m del loco. Calcular el flt..jo 10Ia! errvIido por dicha luente si la pantalla recibe una ilumnación de 200 Ix RESa.UCIÓN . A = 16m2 ; d = 15m : E = 2001~
PROBlEMA 3.
t6=5 ~l8S
"~"
f{ e
x
--1--
-
2m
l2.
j
Pero como los rayos inciden perpendirularmenle a la panlaJla a = O",'uegooos O' = 1, luego:
'A
15 m ------IJ'
x'-
=
'e
(1)
(2 ••)2
lA = 200 CId
le
= 5 VIOIIes = 5 x 20 CId = 100 CId
En (1) :
200 CId
T
100 CId
= (2·x)2
2(2 • 1)2 = xl
Sabiendo que: Ir = 41t1
(a)
.2·6x+8=0
ÓPTICA
526
d~
x = 4 ±.J16:8 x, • 6,83 (no es respuesta) ~
Rpta.:
,
lB = lA d 2
'" 1,17 m
" = 100 a! (O,80m¡2 = 16a! (2,Om)'-
PROBLEMA 5.
na con
CalctJar el flUJO luminoso de una Iárrpata que ilurrj. 120 be una panlalla de 50 cm2.
I
Apta.: 1= 0,6 1m
De una fuenle luminosa se em~e 15 lúmenes so-
brel.l1 área deGOan'. CalcUarlaituminaci6n que experimenta la panlPUa, RESOlUCIÓN :
I = E, A .. E -
de donde:
151m
- O,OO6rrf
Rpta: E
16a!
6
,
E = -
A
RESOlUCiÓN : SablendoqiJe:
Ir =
41t,1
'T = 4" 3.14 = 70" sr
= 879,6 a! •
nr
=2 500 Ix
la intensidad de un loco es de lCOC(!, está auna dlStanaa de 2 m de una panlalla, en un rotómellO de Bunsen. Por la espalda, la pantaHa recibe una iluminación igual de airo loco situado a OOan. CaJaAar la inlensidad del segundo loco. PROBLEMA 7.
Una lámpara emite una intensidad de 8Ob.fas so-
bre una pantalla srtuada a una distancia de 1,50 m. CaictJar a) la iluminación, si los ra'JOS caenperpeodicutares a la pantalla. b) Enl.l1lugardonde los rayoscaenoon3O" de incinaci6n
\ 1' d
8
,'/ /1'
d.,:: 0.8 m
RESOlUCIÓN : Pordalo: Osea:
lA d2
1
lB
= d-22
sr
Apta: IT = 879,61m PROBLEMA 9.
= 2500 ~
d,=2m
16 bt.jips
8 filamento luminoso de una lámpara emite una intensidad luminosa de 70 od. Calcular el flujo total dela lámpara.
=120 ,• . 0,0050 rrf =0,61• . rrf
PROBLEMA 6.
,,=
PROBLEMA 8.
I = E.A
RESOlUCIÓN :
RpIa;
Normal -
RESOlUCIÓN : 80IiIJjía
,=
al
I
E =
?
30'
-'1--
= BOa! ;
r = 1,50m.
80 a!
= (I,SOm)l
cd E = 35,55;;¡r = 35,55 l.
FfSlCJI GENERAL
b)
527
E _ lcosa
- d2
EA
E = SO cd • ces 60"
Ee=
cd
= 17,77 rrf = 17,771.
d
le
(2)
2
ET
= EA + Ee
=
I"cosa le -- +d~ dij
E _ l00cd 0,60 + T - (1,60 m)2 . J(O,60)2 ~ (1 .50)2
200cd + "'(O"",80 "m:O )2
= 60 km
Recordandoque la velocidad de la luz 300 000 kmIs Además: I = d
•
60 km I = 300 000 km/s = 0,000 2 s
I
(t)
2
dA
dA La ilUmlr'\8ci6n lolal sobre P:
PROBLEMA 10. Lascumbresdedosrnootañas están a 60 km de dislaooa. [)oo¡ personas en las cumbres se hacen señales de luz, c:ua 000 elliempo está despejado, ¿Qué tiempo después de encender la lá"lJilra una, recepciona a la otra? RESQUCIÓN :
I"cosa
lIumnación de B sobre P:
(1,50 mj2
E
=
= 2 x lo-" s
PROBLEMA 11. [)oo¡ lámparas de lOO y 200 candela iluninan IN pantalla de 1,5 m de alto. La primera está a la al1Ura de la parte superlOf' y la segunda a la alMa de la pane inferior de la pantalla, a 60 y 80 cmde distancia de la pañtalla, respectivamente. Calcular la iluminaCIÓn de la pantalla en la pane inlerior.
1
Rpta,: E = 327 l. PROBLEMA 12. Una lámpara está 3 m delante de una pared. ¿A qué distancia de la pared debe acercarse para que la iluminación sobre la pared sea el lriple que al principio? RESOLUCIÓN : De aruerdo al p
E2 = SE, I I :2 = 3 2 r2
Apta.:
~
r1
2
",. r 2
•
1 2 3 r,
= 1,73m
PROBLEMA 13. Dos focos de 150cdy20 cd, p
l ,5m
RESQUCIÓN :
llununación de A sobre P :
" ----f
52B
RESOLUCIÓN : Sean r. y r, las distancias de los focos. Segt:rl el problema:
E, = E2 1,
l.
,2 .. r2
,
2
'2 = O,62 m
r, = 4m + 0,62 m ~
= 4,62m
UNIDADES FOTOMÉTRICAS SI Propiedad Que se mide
Unidad SI
Símbolo
Intensidad tuminosa ( t )
candela
cd
Ftujo luminoso (1)
lumen
1m
lIumínaaón (E)
lux (Imlm')
be
Iluminación (l)
cdJm'
cdlm'
IlEREXlÓN DE lA LIJl Al incidir los rayos luminosos sobre una
SLpe
Reflexión Difusa
REGLl.AR. ÁNGULO DE INCIDENCIA
Si la svperfioe en que r.ciden los rayos luminosos paralelos. es rugosa o áspera, los rayos reftejados se difunden. Este tipo de relIexión se Haroa DIFUSA
Es el ángulo que un rayo incidente hace con la normal al plano en el punto de ioodencia
529
AS/CA GENERAL
ÁNGULO DE REFl.EXIÓN
d) Simétrico con respecto al espejo
Es el ángulo que hace un rayo reflejado cm la noonaf al plano de incidencia
Otljeto
N
o
NORMAL Esuna meta perpendicular al plano en el pUllO de incidencia del rayo luminoso
R,
R,
1
e
Imagon
ASOCIAaóN DE ESPEJOS PLANOS
Asodaclón Paralela: Cuando 2 espejos est.á.n paralelos, el nú' mero de imágenes es infinito. a)
1 = Ánguto de incidenci8
9" ,
, - ÁngUlo
I
\
LEYES OE LA REFlEXJÓN
,,
Primera Ley:
8 ángulo de incidencia es Igual al ángulo de reflexión cuando la SI.p
,
\
El rayo de incidencia, el rayo de reflexión y la normal están en un mismo plano perpendicular al plano de incidencia. fSIfJ()$
Son supelflCies pulimentadas que sirven para producirreflexión ,eguaryproducir rná-
geres Los espejos pueden ser planos y esféricos. Estos últimos pueden ser: cóncavos y
b)
I
\ \
,
\
\
\
I
\
.-'0
I
I
O \
\
I
I
¡:W.a Segunda Ley:
I
1,
Asociación Angular: Cuando 2 espejos forman un ángulo a,
en tal caso el número de imágenes está dado por la expresi6n:
n = 360" . I . cuando 360" es par a' a 360"
n= -
c:uando 360" es impar
a
a
Ejemplo: ¿Cuántas imágenes forman dos espejos que hacen un ánglJo de
corMlXos. ~---.
"
ESPEJOS PLANOS
Soo st.petfiáes pufimentadas planaS que al inc:idr los rayos Winosos pr opotdoI oan lI18 imagen con las siguientes carac1errsticas: a)
Derecha
b)
Virtual; es decir detrás del espejo
e)
Del mismo tamaño del objeto
'3
I I
,
O
I \ I / \ I I
1,
1,
ÓPTICA
530
3W' 60
RESCUJCIÓN :
. es par, EJlIOf'(;eS.
3W'
n
= 60 - 1 = 6-1
n
=5
7. EJESECUNDAAIO,escuatquierejeque no sea el principal Yque pasa por el oentro 'C. del espejo
ESPEJOS ESFÉRICOS:
Espejo esférico es un casquete esférico pulido. Si está p
RAYOS PRINCIPALES
t. TcKIo rayo paralelo al eje principal se relIeja pasando por el foco.
)
v
e
o
2.
Todo rayo que pasa por elfoco se refleja paralelo al eje pmc;pat.
3.
Todo rayo que pasa por el oentro de curvatura se refleja sobre si mismo.
Elementos de un espejo esfét1cos: 1. CENTRO DE CURVATURA es el centro 'C" de la es1era. 2. POLO CASQUETE, es el lIértice 'V". 3. EJE PRINCI PAl, es la recta que \.rle el vértice V Yel cenlro de curvatura
oa
e
I
, r
t ----...
4. ABERTURA, es el ángulo a formado por el eje pmeipal yel radio que pasa por el boIde del espejo. NorTnamente los espejo eónC8\<)$ no benerl més de trI' de abertura, lo que sig1iIica que SU radio sienp
V
II-_ ---''-_,;.c'''-_ -''--_
POSICIONES DEL OBJETO Y LA IMArGEN DE UN ESPEJO CÓNCAVO
la imagen de LIlobje!oenlJ1 espejocóncavo se obtiene trazardo LI1 rayo paralelo al
531
FISlGA GENERAL
ele principal el cual se refleja por el loco, y una recta que pasa por e! centro de curval\.>ra; la intersección del raye reflejado y la leda que pasa pare! porto es la imagen ,', Se presentan los Slg,jentes casos:
4.
El objeto está sobre el foco
e
1. , El objeto está más
.ná del centro de
curvatura. l.Cls I
Zona feal ( + )
El objeto está entre el foco y el vért~
5. Imagen
2.
ce del espelo,
R'" Invertida
{ De
mer'lOf
rayoo l1!I1ejadoS no
cor'l8n. luego no hay magon Imagen. o la imagen está { en 91ln1nno &8
": 'oc.-
:.~~
tamaño
El objeto está sobre el centro de curo
--.-.. . .--. v
vatura.
o F
e
¡
Virtual (por que se 00t1an en la
,
n
maga
6.
~delrayo~,
al airo lacio del 95P8fO) Oerec:::ha 00 moyo< lamaf10 _ el objIlIO
Cuando se trata de un punto que está en el eje principal
3. El objeto está entre el foco y el centro ele curvatura.
Real "-tilla '-
{
Del mismo tamaI\o_e1
obtoto
Se supone un punto a, que no pertenece al eje pero que esta en la perpenócularlevanlada o bajada del punto Q Se traza la imagen de la magnitud de esta perpendicular como en e! caso 1 y e! pie de esa imagen sobre el eje ptincipaI es la imagen del punto.
532
IMAGEN DE UN ESPEJO CONVEXO
21 - 1
en (A) :
o = 0 - 21 Mulllplicamo medio y extremo: 10 -2il = 201- 10
o
2io = 201 + lil
e
210 201 2" 210' :;; 2iof + 2iot Rnalmente' r - t,- =-1- -1 ~
Vir>.Jal ~
{
DIvidiendo cada uno entre 2iot
I.
Derecha ~
cI1I
¡+o
NOTA: Esta es la lórmula de Descartes. POSICiÓN DE LA IMAGEN FÓRMULA DE DESCARTES Cuando el objelo se acerca al espejo la rmgen se aleja, ylIIaMlrSa;a esta oorñción se lega observardo lodosloscasos...,¡er'orl!S. Saa el objeto .0" alejado, e ·1· Su imagen, basado en el trazado de la reflexión de t.n r:unto lumnoso. B rayo lumnoso de ·0· Incide en el espejo "T", Y se refleja lormando ángulos iguales con la normal. TC = radio.
1) 2)
3)
Esta t6rlTlJla es válida para espejos cóncavos y convexos. SIgnos de las imágenes: Imagen real .+i lmagenwtual : - , SIgnos de las magritudes: Para espejo cóncavo "R" y"P es (+) Para espe¡oconvexo "R"y"P es (-)
Ubocarellugardondeformará Imagen un OOjelo colocado a 10 cm de un espejo c6ncavo con 30 cm de dlS1ancla focal EJEMPLO :
-'> '
e
SetJene: En el triángulo lTo, TC es la b
le
10 = ca
(A)
Como sólo se consideran espejO de muy p&-
queña abertlJla, esdeClrcaso planos, se tiene que, aproxirrv¡damenle: TI = i TO = o Además: le = 21, I ca = 0-2 1
RESOlUCIÓN :
i = ?
= 10 a-n , = :lO an
o
FíSICA GENERAL
i = · 15an
Pero:
El siglo negativoquier8 decir Que la ~ gen es ~t1ual, está a la IZquierda del ~
S33
FH, =· 1 FH=O
En (a):
NA=o
·1
O
T =o
TAMAÑO OE LA IMAGEN Sean los triángulos semejantes AFN y BFM de la figura
FH, = FH Me NA N
~
H
i
I = ·0 .
de donde:
o
Se deftne como aumento la relación: I , A = - =.
(a)
____- .________~~,
=i
MB
O
I : O: i : o:
o
Tamai\o de la Imagen Tamaño del objeto Distancia del espejo a la imagen distancia del espejo al objeto
M
PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1.
Un oqeto pequeño de 3 cm de altura se coloca a 50 an del vértice de un eSPejo cóncavo de eo cm de radío. calcular. a) La lbIcación de la imagen. b) E1lamaño de la Imagen.
la imagen real sea el triple del tamaño del objelc?
RESOLUCIÓN : o = ?
I - 25cm = :lOan
l
1 1 1 , +f = o
,
RESOLUCIóN : 1
a)
1
1
T=¡ . o
= - +i o
de donde
1
i
.1 = ..
b) I
Por otro lado
:=
10 2000
i = 200cm (ma!J9'l real)
= .O .!o =. 3 cm. ?OO o. 500.
I =-12 cm (Invertida) PROBLEMA 2.
Un espejo cóncavo tiene una distancia focal de 25 cm. ¿Dónde debe coloCarse el oIljeto para Que
I I = ·0· o
(1)
(a)
Seglil el erunctado: I = ·3. O (b) (a)
= (b):
i
·3 · O = -O i
De donde:
=3 . 0
1
1
o • '
En (1 ): ..
0:=
o
41
'3
3·o
=
o ;: 33an
4·25cm 3
ÓPTICA
534
Un objeto de 6 cm de al-
PROBLEMA 3,
tura se encuentra delante de..., espejo cóncavo de 4 m de radiodec:ur· llatura, Cak::ular el tamaño de la imagen si la dlSIanoa del objeto al espejO es 1m.
RE5a.UCIÓN : o = 1m SabteOO
R = 4m I
I = •O
PROBLEMA S.
¿ Qué tamaño debe tener y a qué altura del suelo debe estar un espejo para reproducir la ima· gen completa de un horrbre de 1,70 m que está a 4 m del espejo? los ojos del hombre están a 1,60 m del suelo. RESQUCIÓN : Sea E la posición del espejo Ycn su tamaño.
(1)
o
(imagen derecha)
111
TarrDén: 1
O = 6m
I =·10 cm
= •• I o
I 1
1
1
1
1 2
¡=¡'¡;=2'¡= ¡ = ·2 (Imagen virtuaQ En (1):
I = .6an x ·2 m 1m I = 12an (deredla)
Un objelO de 2 cm de altulllestéa 20cm deun espe¡oc:onvexo de 40 cm de radio de curvatura, Cak::ular el tamaño de la .magen,
PROBLEMA 4,
AH 11M' CO = MF; de donde: MF CO = A'H' 11M'
-
,,_ ..F _1
e
-- -
,-1 -
2'
--1
-_o
=.,
70
4m
m Bm
CD = O,B5m
Sea DE la altura a la que debe estar sobre el suelo.
El triángulo MH'H es semejanle al triángulo
o•
RESOLUCIÓN : R =40an
2m
o = 20an
I=-o! 1
Cálculodet: I == -i .. -o
DE = O,Bm 1
·20' 20
=·20 i = ·10 cm Qmagen virtual)
Como el espejo es cóncavo f Sustituyendo en (1):
En(I):
I-fi' DE = EH' =>
DE - MHEH' 160 4m HH'.' m 8 m
1
1 1 I i = ¡. ¡; =
t.1H
(1)
o
1
OH'E, luego:
= .2an. ·10an
20an
PROBLEMA 6.
Un espejo cóncavo es-férico tiene un radia de 2 In. Catrulare! tamaña de la imagen de un objeto de 15 cm situado a 1,20 m del espejo. RESQUCIÓN, O = t5 cm r :: 2m o = 1,2Om
535
FISICA GENERAL
pero: O = 4 _1, luego sus\. valores:
= -50 cm _.!... = -12,5cm 4 .1 2
1 1 , = -12,5 + 50
En (1):
Apta: r = -33,33 cm (espejo COfl\leXO)
PROBLEMA 8.
CaIclAa, el radio de curvatura de un espejo cóncavo para que dé imágenes derechas y1rip!es que el objeto, cuando éste se halle colocado a 30 cm de distancia del espejo.
1 1 1 j = -I + -o 1 11: 1m i i '" 6m
1 !,2Om
o4o -
RESOLUCIÓN :
Oeoorde: Tamañode la imagen: -1
I
0 =0
Por datos se deduce que el objeto está entre el vértice yel loco. I = -0 ' 0
FórmJIa:
6m 1,2Om
1 = -15om . --
A
Cak:lAar el radio y el tipo de espejo esférico, si rolocado a 50 de .., objeto da una imagan derecha y 4 veces meno, que el objeto. RESOlUCIÓN : la imagen es derecha en un espejo eslérico cuanoo éste es COfMll
PROBLEMA 7_
=
-
o R = 2f
+;
(1)
I
(2)
=!o =-oI =3, pero: I =-3.0
(3)
y: o '" 30cm Sustituyendo (4) en (3):
(4)
1=-90=
(5)
(5) Y (4) en
<,): 1 2 j = 90
Reemplazando en (2): R '" 90 cm
, ..... _- ... _ l ' c- Lo IJ , ,F, --- , -"',,.-....
,2 :
!
= 450m
,
-.:,
o
=
Pordatos:
f1:lIa : I = -75 cm rll"Mlrtida)
.,
1
1 1 - +I o
(1 )
PROBLEMA 9_
•
Unaimagen derecha de Ln espejo esférico es \/ir1UaJ, por lo tanlo: I O I I = -0 ·- . o
O'
Un cfavo de 4 cm de Iongill.d se coloca a 2 de un espejo cóncavo cuyo radio es 10 cm_Si el clavo está colocado en forma perpendicular al eje pñncipal, indica, SI la imagen es vi 1tUa1, rea~ derecha, Invertida, etc. El tamaño y edemás la dIStancia de la imagen al espejo,
=
RESOlUCIÓN : R
1)
O
= 10cm 1
j =
o
I t o" i
= 4 om = 2cm (1)
536 RESOLUCIÓN :
A
'=2~5cm
(2)
De la figura se liene :
ReerJ1llazando valores en (1):
" 1
=
1 1 5 2 3 10
i = -3,33cm 1 i I =.- ... 1 = -- O (3) O o e ~rdovaloresen (3): .. I ~ -6,66 cm (4)
11) A = -
En el espejo cóncallD: t
f "
VlfllJaI - Para i (.): lmagan Derecha { Detrás del espejo
o1 + It
(16rmJa) 1
1
í-X
=
(1) PROBLEMA 10.
Oada la distancia focal "f-
de 1Il espejo esfériooy el aln1efllo "M", demostrar que las posIdones do! objeto y de la imagen son:
e = I(M - 1) Y i M
.~ o
=M
Por aira parte:
i = ·Me
:.
lit
f " ;;
e i
A = --
= ·IIM· 1)
+T
En el e$pe¡o convexo: 1 1 1 - " - +1 o 1
(1)
1
--1 =
(2)
o· - M -
1'"
SusIltuyendo en (1):
Lqq.d.
AlJnen10:
Unespejoconvexoyctro
cóncavo de igual dostanaa focal f = 36 cm, están uno frente al airo, de \al manera que cóncidan sus ejes,
y
la dstanc.a entre los espejos es d = 100 cm. ¿A qué cislancia ")(" del espejo cóncavo ha· brá que colocar un espejO de anura -h" para
que arTtlas .máger.es lengan .guallamaño?
1
-'OO - x + -::;I 1
I(M - 1)
PROBLEMA 11.
1
(1ómUa) ~
1
Reemp. (1) en (2) y despejando o:
i = -I(M-l)
(2)
X
RESCUJCIÓN . Sabemos pordalo que: A=
j
A = .-
Aurrerto:
100 .
x
f (100 • x) (x • lOO - 1) i'
(16rnúa)
A = o' j'
A = --
(4)
100· •
•
(3)
Por enunciado (2) = (4) ¡
j'
I
,
- x • 100-, ... - ji = 100.x Div.diendo (1) enlre (3):
(5)
537
FlSICA GENERAL
i l' •
X(X • lOO • Il fx· 1)(100 . xl
A = • (d - x) • d ' . 17.03 x x 7,97
(6)
A = 2,1
Ree!r4)lazando (6) entre (5): • x(x· lOO - Il (x • Il (lOO - xl
x (lOO -
x)
2x = 100 + 21
-x + 100 + I • x . 1 x = 50+1
•
PordalO: f=3C
• = 86cm PROBLEMA 12. Un espejo cóncavo para ale~arse . tiene una distanela focal de 15 cm. Halar la distancia óptica de una po¡~ al espejo si la distancia de IIISIÓnnitida es de 25an. ¿Cuáles ehul1ento?
PROBLEMA 13. UnespefOcóncavoprodlr ce una Imagen realll1Vef!ida tres veces mayor que el objeto V a una átstancia de 28 cm del objeto Hanar la distancia focal del espejo. RESOLUCiÓN . Por ser la Imagen real e invertida de acuerdo al problema: A = -3
(ll
~- ~
t
'.,./-- e
e
e
F
I
A= o
(2)
= 3.0 1- o = 28
(3)
PorI6m1Ja: RESOlUCIÓN : d =2Scm i = -{2S - xl o = x
(1) = (2):
Por datos:
(4)
Por 16rrn.4a: 1 1 I = o + ¡ osea:
Reemplazando (3) en (4) se tiene: 1~ =
x
2S - x
Bectuando y simplificando: x(25 - x) = 15(25 - x) - 15 i' - 55. + 375 = o Dedonde: XI = 47,02 cm ;
"2'
7,97 cm
Como 't" debe ser menor que 25, se acepta el vak>r de X, de tal manera que la ástancia
óplcaes: x = 7.97cm El atrnen10 está dado por. A = - i ; sustituyendo los dalos:
o
o = 14cm
sushlUyendo en (4):
i = 4200 POi' 1óm1uJa:
=
t
o
1 + I
1 1 1 = 14 • 42 .. f = IO,5cm
PROBLEMA 14. Probar que si dos e~ JOs planos forman un ángulo "OC', un ~ InCidenle es deSVIado un ángula "2 o" después de reflejarse en ambos espE!IOS.
ÓPTICA
53B
360" 3IiO" n=·1; aJando par (1)
o
n
5
=
o
360"
360"
o ;
ClJantb -
o
I~ (2)
Si se divide 360° entre 24°, ef número es impar, po< COOSIguien1e se u1iza la fórTnJla (2) : n
1)
1
=r
r
=r
..
II} De la ligura; O~i
S = 21 • 2i' = 2(1 + i') S = 2(1 + i')
(1)
111) De la figura; 90°· r + 90"·1' + r' + o = 180"
Endosespejosanguares se cbservan 9 imágenes. ¿ Cuáles son los valores posibles del ángulo enlre los espejos? RESOLUCiÓN: Del problema anlerior: a)
(2) en (1); S = 2 a
a)
Lq.q.d.
PROBLEMA 15. Un espejo gira con una velocidad ángular "(fJ". ¿Cuáleslaveloc:idad~lardel rayo reflejado? RESOLUCIÓN ; En el problema anleñor se demos1r6 que el ángulo que se desvla el rayo reflejado es el doble del espejo (0= 2 a)
(fJ"
Ill,
o ' a = 36°
(2)
+ i'
{O
Porfórmula (1) :
360" 360" n = - · 1 . 9 = --1
(X:;~+r;::r+i
POffómUa:
O 24° n = 15 imágenes
PROBLEMA 17.
.. r ... i' .. r·
ex :. i
= 3IiO" = 3IiO" = 15
=
9
I
a
PorfÓffilula (2) : 3IiO" -o:
n;::
a' = 4QO PROBLEMA 18. DemosIrarquecuandose r~a un espejo plano en un ángulo (a), el rayo reftejado rota un ángulo deble, es decir ~ 2a
=
(velocklad angulardel espeJo) (velocidad angular del rayo reflejado) (¡J.
=
(¡J
o = t
20 t
(1)
f f
•
N
I
(2)
(1) en (2) :
J
_.,.~Ii_ ' J
PROB LEMA 16, ¿Cuántas imágenes pueden~seendoses·
pejos angulares cuando el ángulo emre ellas es 24"'1 RESOlUCIÓN ; Sabiendo que:
1
1 1
f
~f 11
RESOLUCiÓN : SI el espejo gira un ángulo 'a" la normallambién. VerflQura
FfSICA GENe ·AL
II
539
', .x2
l=r;1= r'
11) De la figura. (En un triángulo la suma de los ángulo interiores no adyacentes es
igual exterior).
=
r2
Esto se denomina la Ecuación de Newton. ¿Puede Ud. condui'enIOnoes que el objetoysu imagen están ~ del mismo lado del loco?
Ihr.i=i'+~
11 = 2(1-1) 111) De la 1igl,J"a: .. (2) en (1):
(1+
(1)
i =¡
a=f·1
11
= 2a
(2) Lq.q.d
¡PROBLEMA 19. Demostrar que si se desplaza un espejo plano a sr mismo una cistancia 'x' según la normal, la imagen se mueve una distancia '2 x'.
I
10
I
+- P+.t P
E
c:a:::a
I ----p+x I
==
RESOlUCiÓN: Por datos:
i
9
De la figura:
01' -01 = 2p.2x-2p
0I'·01=2x
• O l' - O t: DesplazamienlO de la imagen. Lq.q.d.
PROBLEMA 20. Si x, y X. seó las distan· cias del objeto y su ima· gen, medidas desde el loco de un espejo es· férico, demostrar que:
r
=. o 1 i
1 1 o" j
1
sust datos: 1
= I+x, + f+'2
=
I .
P¡ + 1(x.
21+x,+'2 12 + I (x ... x2) + x2X' +X2) + x2 x, = 21' +1(x, + '2)
r2 = Xz·x. Oue es lo que queríamos demoslrar.
01' = 2p+2x
1
I = 1 + x2
1
~1 ===jllK
01 = 2p
..
I • f = x2 1
o..'-
RESOLUCIÓN: 1)
o
1 ; I
= l . x,
0-1 = x,
Como el producto x, . x,. siempre es posótivo, tanto el objeto como su imagen deben estar ltlicados ya sea hacia la derecha o izquierda del loco. Si se gralica las diversas posiciones del objeto frente a un espejo esférico CÓf'CaVO o convexo, se nota que objeto e imagen están LPcados a la derecha e izquierda delfoco y si se miden las distancias a la derecha: x, y x,. son positivos y a la izquierda x, y X. negativos obteniéndose siempre positivo el producto de:
.. conx.
da:
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
Un oo,eto se tbcaa 80 cm del vét1Jcede e.ipejo cóncavo de 60 cm de radio. Calcularla
2.
Apta.: 48cm
Apta.: 42cm
Un objeto se coloca a 30cm de un espejo COI1W!J(O cuya distancia local es 2Ocm. ¿A qué ástancia del objetose t.tJica la magen?
ÓPTICA
540
Se hene un espejo cóncavo de 80 cm de radio de curvatura. ¿A qué distanaa del espeJO se debe colocar el ob¡eto para que su omagen sea real y se ubique a líO cm del espeJO? 8 obreIo tiene 40 cm de altura. 3.
Apta.: 42 cm Un obJeto es ulJicado lrente a un espejo esféncoobteroéndose de esta manera una imagen virtual y de altura triple. si la cistancia entre el obje1o Y la .megen es 40 cm.
4.
Calcular la distaroa local del espeJO.
Ap1a.: !i.
15cm
ConsIruiry determnarlascaracteríslicas de la unagen Iorma
cavo si el objeto se lbca a una dIstancia "d' delllérbce del espejo. Siendo -r la distancia local. analice los soguoentes casos: a)d>2f dl d=f b) d = 2 f el d
I(EFRACCIÓN DE LA Ll/Z Es el fenómeno físico que consiste en ef carrbio de direcaón que experirrel1ta un rayo fumnoso al incidir en fa superficie de separa· cuando pasa de un medio a airo de deoSÓld cisbnta. debodo 8 que el rayo lUminoso cambia su yefoc:idad. La relraccoón se prcdJce cuando un rayo lUrmotio.nade en forma oblicua a la superficíe de separación entre dos medios distir1os.
cm.
In ~ I =
n : lrócede refracción C: \AlIoctlad de la luz en ef vaclo 300000kmls
V : VeIoadad de la luz en el otro medio PROBLEMA 1,
CaIcUar 1avekJcida:J de fa luz en el agua sabiendo
que 0=1.333
r,
de donde:
RESOlUCIÓN : n • e V
Al,. ,l;goa, -
.'r -
v
rf
3OO000km/s
1.333
Rpta.: V
= 225 000 kmIs
-
•
gyo inddBnl8
r, •
~f6f'1eiado
rI
e • n
- t
1_
e
INOICE DE REFRACCIÓN RElATIVO
Es la relación entre la vefocidad de la luz en un medIO y la velocidad de la luz en otro rnedn
INDIce De REFRACCiÓN ABSOLUTO
Es fa relaClÓll entre la velocidad de la luz en el vaclo y fa vetocidad de la luz en otro medto
I
"Aa
=
~:
I
LEYES DE LA REFRACCION
1.s. ley (Ley cualitativa)
541
8 rayo Inc;;dente, la normal y el rayo re-
¡ = alOO5OOO.54
Iractado están en e! mismo plano, llamado pIa,
f = 32" 41' 0,1"
no de IllCIdellClS, 2e1a Ley o de Snell (ley cuantltatlva) '1..a relación de' . eno del án!P<>de mcidencia ye! se-lodel ángulo de refracaón esconstante e igual al indice de refraCCIón relativo", I
I Normal
I I
B
-@
Dalde "n" es el fndce de reffllCCi6n del medo B con respecto al medio A.
Cuando el rayo incidente pasa del vadooel aire, a otro me
ÁNGULO LIMITE V REFlEXIÓN
TOTAL Cuando un rayo lunvnoso pasa de un medio más tenso a oIro menos denso. parle de la luz se refleja y parte de la luz se refracta: a medda que el ángulo de incidencia va aumentando, el ángIJode refraGCión también va aumentando, hasta que llega un momenlo en que la; rayos se refraclan langentes a la superficie de separación, haciendo un ángulo de 90' con la normal, en ese momento el ángulo de incidencia tiene un valor y se llama "ángulo irme'. Cualquier rayo que lenga un ángulo de incidencia mayor que el ángulolfmite ya no se refracta, es decrr ya no pasa al otro medio, todo se reflelB, La figura adjunta muestra este fen6meno. Sea que el rayo de luz saJe del agua.
NOTA:
N
i =
n = 1,6
seni , =n
De donde:
sen,
=
sen ¡ n
=
sen 60" t,6
J'j
sen, = ..2.... = 1,6
.
054
I
I
- o
L I RenS¡adOs I • Agua
8 rayo 1 pasa de fren1e, no se refrecta ni se 60"
¡ = ?
senr
N"
o
Un rayo de luz del a~re incide sobre una superocie de Vidrio. con Un ángulo de 60", para el cual e! fndlCe de refracdón es 1,6. ¿Cuál es el ángulo de refraca6n de la luz en e1l1Ídrio?
PROBLEMA 2.
RESOLUCIÓN '
N'
AIro
refleja. El rayo 2 se refrada y se refleja. El rf1'Jo 3 se refleja a 90" y se refracta. 8 rayo41odo se refleja potque e! ángulo de oncidencoa es mayor que el ánglAo límile. 1.. ángtJo límite,
CÁLCULO DEL ANGUlO LÍMITE 8 rayo "3" tiene un ángulo lImite 'L' luego se refleja con 90"; "n' es el Indice de refracciÓn del liquido, lJegoporSnell:
ÓPTICA
542
senL 1 ---= • -; pero el sen 90" = 1: sen "" n
LÁMINA DE CARAS PARALELAS
Es, porejetTlJlo. el Vldriodemavenlana ¿Qué sucede con los rayos de luz que e
loJro
o
NOTA:
Sólo se produce o presenta orefle>oón totar aJando el rayo de luz inade desde 1X1 medio rnés denso a otro menos denso y cuando:
áng.Ao i = an~
e
Calcular el ángulo lím~e para el medio vidrio - aire. EHndicede refracción del vidrio es 1.414,
Rayo
PROBLEMA 3.
RESOLUCIÓN : 1 sen L = n
1
= 1.4;4
• 0.7072
Sea la figura mostrada un pedazo de VIdrio de espesor 'h", que es atravesado por 1X1 rayo Itminoso qoo al atravesar al vidrio se desvía una cistl rn:ia °d". Primera refracción:
L • artO sen 0.7072 => L. 45°
seni
Ira relracx:i6n:
sen 1
PRISMA DE REA.EXIÓN TOTAL Para todovalor superior al ánglio limite, el rayo se refteta toCalmente, regresando al meó<> de ongen. esto se llama °rellexión lO-
taro Para el medio vidrio - aire el ángvto Irmite vale45",de manera que, si en un !nángl.lode vidrio rectángulo, Isósceles se hace incidir 1X1 rayo en uno de sus catetos en forma perpendtcular, pasa de Irente y llega a la hipoleruS8 con un ángulo de oncidenclB 45°, se refle¡a igualrrenle con 1X1 ángulo de 45°,
.. / s
~-+--
sen ¡,
21la re~acción:
pero:
soné
nIW =
:: nA/V
(t)
= nVlA (2)
luego:
sen ;Pero en la ligura: nos.luego sen i
¡
seni en coosecuencia:
i, por aHernos inter-
=
= sen j', quedando: =
sene
f:. ti
i = éngUIo, de Ilddencia
i = árgub de emergenda
Esto es lo que se Uama 'prisma de rellexió<1
totar
Lo que quiere decir que un rayo Incidente en una lámina de caras paralelas se desplaza paralelamente una (listancia 'd" y no cambia de dirección al cruzar 16 Lámina
543
RSICA GENER/>J.
CÁLCULO DEl DESPLAZAMIENTO "d' Del RAVO
CÁLCULO DEl ÁNGULO DE DESIIlAC1ÓN ' O'
Los ángo..ios A y a son suplementarios por tener SUS lados respectillameote perpencirulares. el ángulo A agudo y'n' obtuso, luego: A + n = 180" ( 1)
En el tnángulo rectángulo ABe: d = ABsenn (1)
En el triángulo rectánguloANB: AH =
d =
Por otro lado en el triángulo: II'T :
r-r ; en (1):
n =
OOserveque:
.J!... cesr
h
ces r
l' = ti - ;,
D. por ser un ángulo externo al triángulo II'T. es ;gual a la suma de los interiores no adya-
sen(1-f)
En una una cuyo espesor
PROBLEMA 4.
centes.
es 0,1 cm re tiene:
¡ = 60", f = 30". ¿Cuánto se desvía el rayo krninoso?
Es decir.
O=
RESCUJOÓN : d =
~.~ sen ( 60" - 30")
o
=
D = 1+ l'
o sea:
(i - f) + (e - Í') r + é - (r. ¡')
6:
Pero en el triánguto I r M:
d = O,058c:m
(f. ¡').a = 180" Sal dos Iámires que se cortan, o es 1.1"1 WIIIpOtransparante IrntaOO por dos caras que
se COfIan; estos constituye 1.1"1 ' prisma óptico', nobene que ser necesariamente unprisf11lI geométrico_Laarista 'A' quelorman las caras se llaman 'ansta refringente' y el ángu· todiedroquelormanlas rrismas caras se laman 'ánguto reflingente" o 'ángulo del prisma'. Se tiEnl que:
sen i sen e senr - seni
-
:
n
(111)
Corrparando ( 1) cen ( 111 ) :
en(lI)
FÓfrrola que indica que la desviación que experimenta un rayo luminoso que atraviesa un prisma, depende del 'ángulo de incidencia', del 'ángulo de emergencia' y del 'ángulo del prisma' ¿Cuál será la desviación que experimenta un ~ ILrrinosoque incile 001.1"1 prismaccn 35", amergecen 40". si el ángUo del prisma es de fU'? PROBLEMA 5_
N
RESOLUCiÓN :
D =T +e-A A =
iIIlO-'O rot'lngenlo
(11)
O = 35° + 40" - 60" = 15°
DESVIACIÓN MÍNIMA E fNDICE DE REFRACCIÓN DE UN PRISMA
seo
Se a comprobado que la desviación es mlnrna cuando:
sen
0m + 00' 00' 2 • 1,5 sen 20m + 00'
2
= 0,75
luego la fórmJIa de desviación mirWna, será: (1)
i .
0m + A 2
Además se currpieque i
Rp1a.:
(1)
= í laque quiere
decirqoe: • A ::) •r 2r.:
= -A2
(2)
PorconsigUen1e con (1) y(2l reco
seni.
-
san r
Se tiene:
PROBLEMA 7.
B Indice de refracción de un vidrio con respeclo al aire es 7/4 y el indice de refracción del agua con respecto al aire es 413, CalCUlar: al rnclce de refracción de vidrio con respecto al agua, . b) Angula llmile entre el vidrio y el agua RESOLUCiÓN :
0m + A 2 = n A sen 2
(11 )
¿Cuál seré el ángulo de desviación mfníma de un "'fa de luz que incide en un prisma de vidrio de 5O' y l ,5de Indicede refracción? PROBLEMA 6,
~
sen L = _ 1_ = - '- = 0,76
0m + A
1,31
nvla
Apta,: L = 49' 45' 40"
RESOlUCIÓN :
n
senl =
SusIJ1uyendo valores:
4
'3
PROBLEMA 6, El [ndice de refracción del diamante es 2,42. Calcular el ángulo límite de un rayo luminoso que posa del diamante al aire
A = 00' n • 1,5
san - 2-
"a':
Rpta.: nv/. = 1,31 b)
0m = 7
;
= n
sen
RESa.UCIÓN:
0m = 37' 12'
n
= 2,42
; l
=1
~ = 2,~ = 0,41
A
= n sen "2
L = 24' 24' 27'
PROBLEMA 9.
Un "'fO luminoso rdde
FI~ilCA
srore una supercie de un vidrio con un ángulo de .ncidenoa de 40°. Calcularlos ángulos de ref!exJón y refracci6n. El índICe de refracCIÓn dellIidno es 1,5. RESOlUCiÓN
a)
,,=
luego:
Cálculo del ángulo limile:
senL=.!= n
= 40"
i
son L
Po< ta pnmera ley de reftexrón:
i =, ; b)
= ' ,5:
N,
sen r
•
sen.
sen 40"
pero:
(1 )
sen L
=
IgL
1 • SIlf12 L
0.75
=
n
J,. (0,75)2
= 1,134
0.64
1-:5 = 0,43
S~trtuyendovaloresen
R
Apta.. í = 25° 22' 26" PROBLEMA lO,
IgL
-
= - 1,5- =
• 0.]5
CN = R = h . Ig L
sen.
de donde; sen; =
;34
triángulo CON .
40"
n
=-
4 3
Cálculo del radio del circulo ,turn/nado. En el
Cálculo del ángulo de refracción:
son!
545
GENfiRAL
lk1po..ntoltmnosoestáal fondodeun~con
agua. cuyo ¡nclrce de refraCCtÓll es 413, ya 50 cm de plQlundrdad. Los nayos Que se retraetanformanen la SlpI!f1rcre del aguaundrculo luminoso fuera del cuatros rayos se reflejan y regresan al agua Calcular el área del circulo
il.rTlinado. RESOLUCiÓN . ~ =
4
SO cm
= SOcm . 1,134 = 56.70cm S = n R2 = n (56.70)2
Apta: S = 10099,87 an2 PROBLEMA 11. Un ángulo de desvración minoma en un priSma de 50· vale 45°, en el caso de la luz de un solo color (morocrornábca). Calcular el Indiee de retracción del prisma. RESOLUCIóN ;
n = 3
,
Nl e p Rl:N ~
L--_--'--''''''-'---=---=---'
J
L O
(1) :
'
sen
2
n=
A
sen 2
:
Los !ayos se rene¡an y refractan hasta el me>-
Dm + A
n=
sen 45° + sao = _ _~2¡.....-
SO·
senT
san 47· 30' 0,737 3 sen 25' = 0,422 6
=
men1oenqJeelángulodeinodenaadelrayo Apta.: n 1,745 es el árYJulo lim~e, más allá de este ángulo todos los rayos se retlejan, regresan at agua y PROBLEMA 12. Un pri$t1'\8 tiene un ánglr ya no pasan al otro rredio, es decir. ya no se • le re!nngente de 74° cuyo refractan. fndicede retrllCC16n es 1.5. ¿Cuál debe ser el
ÓPTICA
546
ángLlo deoncidenoa del rayo para que la desviaci6n sea minima?
RESOLUCIÓN: A = 14°
T=
n = 1,5
Dm = ?
?
se construye un posma cuyo ángulo refringente A es 60", produciendo un ángulo mínima de desviación de 30". ¿Cuál es su fndice de refracción?
RESOLUCIÓN: A = 60" ;
La desvoación mínima en un prisma se proru-
Dm = 30"
n =
ce cuando:
i =9 Luego:
Ademis:
= 2 r-A Dm = 2i-]4< Dm
n
=
n (a)
sen i sen f
(b)
seni
n = --A
sen -
2
Gen i
1)
= J2
2
Rpea.:
n = 1,41
PROijLEMA 14.
24· es la desviacióll minima de un rayo que incide en 111 prisma de 66· de ángulo refringente. Calcular: a) ¿ Cuál es el ángulo de IOCidenda; Y b) Cuál ellndice de refracQón?
1.5=-W
A
senT sen i = 1.5 · sen 37°
J2
sen 45 n = - - - = -"-1 sen 30" 9
Para que la de$viaci6n sea mfnirna: r = r. lo que quoere dear que: A 2, = A => r = 2
En (b):
=
,N
3
= 15. · -5
sen f = 0,9 1';)13.: ; =
arco sen 0,9
r = 64· 09'
6:
(por tablas)
Usando la expresión (a)
Om = 2; - A
o'"
RESOLUCIÓN:
= 2. 64°,09 - 74° a)
PROBLEMA 13.
Conunacalidadsellidrio
Dm = 24°
=?
A = 66"
n = ?
Está probado QU,!! la ~viaci6n mlnima sucede cuando I s e, de ahf: 0m • 2i - A
FfslCA GENERAL
Dm + A 24' • 66' = -2-;
de donde:
f1¡ta.:
j
b)
n =
2
547
tancoas apa rElrlles p. y P"
De la figura (1) Ó (11) :
·PB .. AS = p, .lg i P,
= 45'
tgi = -
.AS
.. PB = P• . tgf
tgr= -
p.
n =
son
2 66" 2
(2)
NI
J2
sen 24' • 66"
(1)
= .L
I
0,54
P
~"",""
...
• IYo"
-
I P I J'
L o • n,_'"
Apta.: n = 1,3
Ro
PROBLEMA 15. Un rayo de luz incide sobre la s'4>"flicie de sepa' ración de dos medil¡!¡ lransparenles de rnóces de refraccoón J3 y 1 con lI"l angula de 30'. Hallar el ángUo de refracción. RESCl.OOÓN :
"1
¡ = 30"
"2 =
=
(1)
Ro 1111
Igualando (1) Y (2) : P, . t9 i = p • . 19 r Ig j
..
J3
Igf
p. P,
=
(3)
~ los ángulos ¡ y; son muy pequenos:
sani = Ley de Snel:
19; ;
san; = tgi
Podemosexpresar (a) delasiguientefomoa: ....
':
"' t
senr = senl ' -
n.
sen r•
=
•
./3 "2
senr =
sen i
(1 )
sen3()G· -./3
sen f
sen r : sen f
-
r = 60"
IMliJENES POR REfRACCIÓN Considerando un objeto '0', situado en un medKlde índice de refracción nl' separado ¡x¡r una superficie ptana de otro medio transparente, de Indice de relracción n,. Si sólo tenemos en OJeI1la los rayos luminosos procedentes del objeto que fofman ángulos peque-
ños oon la normal, podemos deteminar dis·
p.
P,
(4)
Por la ley de Snell:
1
~
=
(4) = (5) :
SI
I~
P, =
n2
n,
(5)
"21 n,
n, > n., la Imagen está más cerca de la
s~rficie que el obíeI~ (F¡g.I).Pero si n, <
n,.
la Imagen está más lelOS de la superficie que el objeto (F¡g. It). (P. " profundidad aparente, P, = profLndidad reaO.
óPrrcA PROBLEMA 16,
Unpe;¡est\a.\,fi"prof"," didad de 1,5 m ¿CUáles su proIlfllidad aparente? Para el agua saladan,: 1,4
p.
(1 )
P, =
n,
. : 2,75 m
(11) en (1):
Un rayo de IU2 incide en un medo cuyo ["!lice de ¡efiacciól1 es 'n', Iormandc l{1 ánglio i . ¿Qué relación deberá haber entre i y 'n' para que el
rayo rellejadc sea perpen
= 1,4
Porlaley de Snell:
RESOLUaóN:
P, = 105m En(I)'
(11 )
PROBLEMA 18.
Por fOrmJIa:
RESOLUOÓN :
p. = O,15m
1
p. = I,07m
_1
nsen,
=
I IN
, PROB LEM A 17. Un observador que se encuentra en la misma vertical de la posición de una moneda ubicada en el fondo de un recipiente de 1 m de altura, completamenle lleno de agua. La distancia entre el observador y el nivel de separación aire agua es 2 m. Hallar la distancia aparente de la moneda para el observador.
rayo
rollojado
I 'i
...
i
i
,l ''.
..... @ i'
I
I
"-
rayo
...
refractadO
= ángulo de r.fraca6n
= ánl,lJlo de rel\eca6n sen i seni'
n = -Pordalos:
f + f'
..
r + r-
(1)
= 90"
pero
i =f
= 90"
f' =90"-1 RESOLUCIÓN :
n,
4
=n. . =:3
Reemplaz.ando (2) en (1) :
y n2
=n... =1 n
1)
Para el observador:
• = 2 + p. x
11)
p. p.
(1)
=distancia aparente n
= -n,2
(2)
=> P,
n2
= p' .-n,
= sen senT (90" :-¡¡
=
seo i CO$ i
n = Ig j En la figura se muestra dos poráones de vicm de índice de relracción 'n' y'n,' Si el rayo de luz incide eco ángulo 'Q', igual al ángoo limite de la lámina de Indice 'n', sigLiendo la trayecPRO BLEMA 19,
FlSlCA GENt;RAL
549
10lla rrostrada para reflejarre totalmente sobre la cara vertical "ab·, calcular el índice de N'
dedonde, porcálculos con ~a :
I
I
oos 1, =
-
2 7s 0,
(5) en (4) :
.
(5) 2 7s
_ J5 '2
Rpla. n, -
RESOLUCIÓN:
PROBLEMA 20.
La luz incide con un ángulo de 45° sobre la superficie superior de un CIbo de vidrio como el de la figura mostrada. El índice del vidrio es 1.414. ¿Se refleja totalmente el rayo en la cal< vertical?
r, I
N'
r......
:® I
oseoL = osen a = 2sena = 1 sena =
1 2
RESOLUCiÓN :
Medio aire· sustancia (n) :
naire sen o: ;;;;: nsenf
•
nsenr
1
=2
(1)
Sustancia (n) - sustancia (0,) :
nsenr (1)=(2) :
= n,ssni,
o, sen"
=
(2) 1 2
(3)
sen; = n,
n, sen (90" ", ) = = 1
~
sen i
Suslancia (n,) - aire :
n, oos"
1) Aplicando la Ley de Snell para medio aire-vidrio:
n
(4)
senr = -2 · sen
ni
!
I
(1 )
ÓPTICA
550
RESOLUCiÓN: Reemplazando datos en (1):
_
1
senr = -
N'
r = 30°
2
N"
11) Vidno - ane ;
@
®
Primero se calcula el ángulo límite, Sí
(90' - r) es menor que el ángulo limite el rayo se refracta; pero si es mayor se relleja,
1)
Aire - vidrio (n);
Ley de Snell:
111) Aplicando la Ley de Snel! (ángulo
. "2 sen r " n, sen i
sen 30' sen f
Ifmíte), sen (
.
n. L
.
_
senr
sen 90'
senL " "
1
=
11) 1,41
n
n
sen j' pero:
=
(1)
sen (90' - 1) = n'
45°
PROBLEMA 21, En la figura se muestra dos porciones dellidrlo de índice de relracci6n n y n', Si un rayo de luz incide con un ángulo 0qO como se Indica en la figura, siguiendo la trayectoria mostrada para reflEjarse totamente sobre la cara vertical °ab°, Si Q 30' Y n' 1,25, caJcuIar '00
.-
sen 30'
= -
VidriO (n) - aire (n') :
Conclusión: el rayo se refleja debido a que:
=
n
=1
sen (90° -
r)
* cosr
CC$; n' sen ¡, = n 111) Vidrio (n') • aire ;
sen jo (2) . (3);
cos f =
sen ¡,
sen 90"
(2)
= ñ'
= r1'1
(3)
(4)
n
(5)
,e
I
@ @
b,-_,---,
(4)
=(5):
(1) en (6);
(6)
J
1-
sen2 3O'
n2
1
=n
FISICA GENERAL
Pj'ta.:
551
= 1,12
n
PROBLEMA 22. ¿Cuál es la desviación mínima que experimenta l)"1 rnyoque inodesobre un pnsma eqLilátero de indice igual a 1.73? (J3 = 1.73)
RESOLUCIÓN : n =
A=
Por datos:
liCl" Y n = 1,7.1
sen liCl" n = sen4S" Apta.: n
J6
=T
PROBLEMA 24. En la figura se muestran dos láminas de llidrio de espesor "d" Y de indices de refracción "n" y ·n;. El ángulo de incidercla"a" es igual al ángUo !irme de la lámila de indice "n,", ¿Cuál será el desplazamiento "1" del rnyo al pasar a IIaves de las dos láminas? N
Aire r-----~~------__,_;
En( 1 )
d
_(Ó
-t m;
sao)
= ;; = san6O< Alfe
Óm + 2
sao
= liCl"
RESOLUCIÓN :
••
Ó." : liCl" PROBLEMA 23. ¿Cuál es el indice de .... fracción de un prisma 6pIioo~ is6sceIessisesabequeladesvIaci6n mlnima es 1/3 del ánglJo en el vértice?
RESOLUCIÓN : a) • A=9O'
Por ooa parte:
Por datos: 1• D"'=JA=SO"
;
n
=
sen(~) sen -A
Se tiene:
(1 )
1) Por enunciado:
=
senil
2
n.,
(2)
Medio (aire) • medo (n,) :
sen Il n =
.
nI sen P
(3)
Igualando (2) y (3) : 1
senil = -n~
(4)
ÓPTICA
De la flQUla! sen (a -~) = d, = sen (a
11) Medio (n,) - medio (aire) :
d, =
n2 sen S = sena
00
-P) . 00'
1
n2 senS = -
(5)
n,
En ellnángulo OPO' :
senS =
00 = _ d_ eos P
IgS =
Reerrplazando (6) en (5) :
M-I
cosa ::s - -
De (4):
tg
~
=
Por otra parte en el triángulo ORS :
d2 = 0'0' sen (a - S)
(7) COmo:
n,
(2)'
I
(4)'
ro': S
entonces:
J(n ~ )2 - I
dz = ces S (sena.cosl> -seoS.cosa) dz
=]
, d, = d[.!..n, _--.==' n, Jn~ + 1
=
d (sena . tgS.cosa)
~ando datos:
-d[.!.. _ 1 .~] - n, J(n~)2 _ I n, "
=
0 '0'
d
Rl!ef11'Iazando (2) , (2)' Y (4)' en (7):
el,
1
J(n, nz)2 -,
'" = d sen a ,ces P . sen ~ . ces a ros 13 el, = d (sen ex -Ig ~ . cos a) De (2):
1
nzn,
(5)
,
dz=d [ n, R~lalando
(8)
1
[nri]
J(n, nz)2-1 '- n,-
(9)
(8) y (9) én (1):
I-n, _~ [2.Jnf+, 1 _,,__ n.:. ~-",...] (n,nz)2-1
LENTES Una lenle es un cuerpo rehaclante, refringen1e o transparente, limitado por dos ~ o caras, ambas esféricas o una esférica y la olra plana. CLASES DE lENTES
Pueden ser convergenles o dillergentes.
CONVERGENT1:S O POSITIVAS cuando es més gruesa en el _
-8 ---D---m* 6icorweu
Plaro CC)I"nI8X8
COncavoconwxa o menisco coovergonta
ASICA GENERAL
DIVERGENTES O NEGATIVAS
Cuando es 1M. gruesa "" los booI6s
E K--{(I-~ Bio6ncava
Plano
Convexa CÓfK:8va o
eóncaVII
menisco divergente
4. Foco principal : Punto del eje pMCipaI por donde pasan tos rayos refractados que looden a la lente para· lelos al eje prinopaJ: (F). Toda lente tiene dos locos: uno a la izquierda y otro a la derecha. a)
Eje principal :
Recta q.Je une los centros de curvatura delas caras esféricas de la lente (CC,).
'Focoobjeto' es el punto delejePnncipaI
tal que. todo rayo que pasa por él, al incidir sobre la lente, se refracta paralelo al b)
ELEMENTOS DE LAS LENTES
1.
553
eje pnnapal. 'Foco Imagen' es el punto del eje prinópal por donde pasan todos los rayos que del otro lado Inciden en la lente paralelos al eje princpal.
5.
Distancia focal: Distancia enlre el centro clptico y el toco principal:
2. Centres de curvatura : Puntos SItuados en el eje prinCIpal y que son centros de curvatura de las caras CC, C,).
RAYOS PRINCIPALES EN LAS LENTES
Para lentes convergenles y divergentes: 1.
C
- - .... - -
Todo rayo paralelo al eje prinapal, en lI"liI lente convergente, se refracta pasando porelloco. Si la tenle es dlVergenle, la prolongaCión del rayo refractado es la que pasa por el foco.
Zona lAnual (+l
Zona lAnuall ' )
F
2.
Todo rayo que pasa po< el cenlro óptico no se desvia, sea la lente cóncava o con-
vexa. Centro óptico : Es un p!rIIo centro de la lente; tiene la prCfliedad de que tos ~ que pasan por este p"'"
3.
to no se desvlan (O).
ÓPTICA
554
3.
Todo rayo que pasa por el foco de una lente OJIlYeI!jenle, que Incide en la lente, se refracta paralela alete principal. Todo rayo que nóde en una lente divergente, cuya prolongación pasa por el foco se refracta paralelo ale,e pnncipal.
o e
F
Ro" 1m agen
{
3.
CONSTRUCC'ÓNY POSICIÓN DE LA IMAGEN DE UNA lENTE CONVERGENTE
Invertida , _ , _ que el 00je1O
Imagen de un objete entre el centro de curvatura y el loco: 2. f> P > f
o
e
Bastará trazar, desde Un punte del obje-
to, dos de los rayos pnnc~les, la ""ersección de éstos será la magen del punto. SI la Imagen está al otro lado del objete es 'rear, Si está al mismo. lado es "IIirtuar. llamando.. 'p' distancia del Objete y'q' distancia de la imagen al centre 4>tico.
4.
Imagen de lJ1 Objete en el foco principal: p =1
Imagen de lJ1 oIljeto más allá del centre de curvatura, es decir, p>2.r
1.
o
e
Imagen: No "av imagen o &SIá
F
S.
2.
Imagen de ..., ~te en" centro de cur2f
\l8tura. es deOr: p
=
Gt1 ..
infinito.
Imagen de un objete entre el foco principal Yel centre 4>1ico f > p.
555
FiSICA GENERAL
Imagen
11=~+il Fórmula de Descarte&
P : Distancia del objeto a la lente. q : DIstancia de la imagen a la lente.
1
=1 t q
..
q
1
1
P 1
= 60
= ·120 cm
de~i:
susI. datos.
1 12C Imagen vr1LJaI
1 40
=
PROBLEMA 2.
Sehene LIlIIJenIe COrNergente de eo cm de radio. Calcular la ubicación de la imagen cuando el objeto está a 60 cm de la lenle. RESOLUCIÓN : R = 8000 => 1 = 4000
R I : DistancIa focal = 2
p = 60an
Esta fórmula es válida cuando: a) 8 objeto está a la izquierda de la lente,
ertonces:
= -+q P
-q
La expresión algebnuca O fórmja para caJcular la posia6n de una omagen es sirriIar a la de los espejos esféricos. asi:
1
1 f
q
Rpta.:
q =
q = ?
1 t I p = 40·60 Imagen real 120 cm
=
b) Como el lente convergente f> O, es decir 1(+)
Cuando la omagen es1á a la derecha de la IEnleq >0, esdec,rq(+),la imagen es real, d) Cuando la ,magen está a la IZQUierd
CONSTRUCCIÓN Y UBICACIÓN DE LA IMAGEN DE UNA LENTE DIVERGENTE
e)
virtual.
PROBLEMA 1,
Unalenteconvergentetiene Una distancia local
de 60 cm. Calcular la ubicación de la imagen cuando el objeto está a 40 cm de la lente
---
...F -
RESCl.UCIÓN : q
=?
Hay un SOlo caso. CualqJlera que sea la poslci6n del objeto: la imagen es W1uaI, derecha y de menor !amaño que el objeto.
o
8 cáb.tl algebraico de laposición de LIlII imagen es igual que para las lentes conve
P
= 4000
I~=~+~I FOrmula de O..... n85
ÓPTICA
NOTA: En el caso de las lentes divergentes, téngase presente que: S~
1<0 es decir f(-). LadlSlirda ' p' delobjetoalalente.siempee es de signo contrario al de la distancia "q" de la imagen
a) b)
La dis1ancia focal de una lente divergente es -40 cm. ¿A qué dslanCla de la lente estará laimagen de 111 objetoClJ'! está a 30andel espejo?
Donde:
P : Potenaa de la lente. en dioplrlas. r : Distancia focal, en metros.
11~ña= ~IO
PROBLEMA 3.
Q
=?
P
-1, = -QI + -P1 1 Q
=
1 ,
+
1 P
~
PROBLEMA 5.
tancia 'ocal, y otra de 0,2 m? RESOLUCIÓN : I I = 2m
= 30cm
de aquf: 1
-
..¡()
-
P= ? a) Para', = 2 m
I 7 :-30 120
PI = 1 =
= -17,14cm
q
1 = 0,5.!
'12m
CoIro la lente es divergente, "q" es de signo
Una ler1e divergente tiene una distancia focal de
m
PI = 0,5 dicIltrias
ccrirano a .p•. PROBLEMA 4.
¿Cuál será la potencia de una lente de 2 m de dis-
, = .40cm
RESOLUCiÓN :
I
b)
Para '.
= 0,2 m I 0,2 m
= 5 m1
-11100. La distanda de la imagen al centro de la lente e&tá a 213 dedistanci.ad
P2 = 5 dloplrlas
RESOLUCIÓN :
AUMENTO DE LA LENTE 2
Por datos Iql = 3 1p i
-q =
luego:
P
=>
2 3
q =- - P
1 1 de donde: + q P ,
Tarrblén.
!
2
aP
Es el factor que mukiplicado por el tama· ño del obtelo reproduce el tamaño de la imagen.
= 1 _ ~ = .100. _ 1_ 'q "2 p 3
De donde:
p
= 0,005
POTENCIA DE UNA LENTE Esládada por la inversa de la dtS1ancia
focal.
Sea "O' ellam8ñodelobjetoe"I", eltamaño delaimagen.LostriánguIosABCyA'B'C'son se/l19l8l1t es; lUego:
FiSICA GENERAL
~
pos¡ci6n de la imagen de un objeto de 20 cm, situado a 30 cm de la lente drlergente, cuya dIStancia focal es 25 ano
~ Llamando a la relación
~ = .A, que quiere
RESCl..UCIÓN:
decir aumento pero con el signo negativo, por estar la imagen JnVertida,luego:
9P :,
de donde:
I
~
·A •
A= •
557
Unalentedelgadacmvergente llene U1a cislancia focal de 30 cm. Un Obfeto está a 10 cm de la lente. Calcular la posu:'ón y el aumento de la
P
I = ·25an 1
1
1
1
- • I Q ..
p
P = 10cm
•
t
q
+
1 -25
q = - t 3.6 cm
1
P 1 30
= • 55 750
(imagen virtual)
Cálculo del tamaño :
A
= . 9 = .:!3.6 = 0.45 P
magan. RESCl..UCIÓN : I = 30cm
= 30an
I = ?
q = ?
¡ =
I
PROBLEMA 6.
O. 20 cm
30
I = O,45 xO I = O,45 x 20an. 9cm
=
q ? A= ?
LENTES EQUIVALENTES
al
1 I
1 q
1
1
I
= •P
Lente eqtivalen1e es una lenIe que te-
enlJIaZa a un COflUI1to de 2 o más lentes que t
• I + P • 30 10 q = ·15an (virtual)
q
b)
A=
.9
P
están una frente a la otra • Haydos casos: ~ = Iistancia local del cor-;..rto). a)
Lentes de contacIo
-15 cm = -- 10 cm
A PROBLEMA 7.
= 1,S
Calcular gráfica yanalíti·
camente el tamaño y la t,
1
I b)
::
t . " '2
-t
Lentes separados
558
d
1,
q - 2Scm
1,
RESOLUCIÓN: La lenle será ccnvetgente:
1
lid
-1I :: -q1 ... P-1
;=1;+;;-1,1; Se juntan dos lentes delgadas de -5 cm y -8 cm de distancia locales. ¿Cuál es la distancia local del conjunto?
PROBLEMA 8.
RESOLUCIóN .
,
1 f
1,
1
+(8 + 5) ;
f
1
,
"
Sustituyendo los datos: 1 1 1 25+-40
,=
f = 66.6 cm
p -
= 1 = O.67m =
.
1 - +-
+-
-5
'2
-8
~
Luego:
1
1
15
= 1000
0.67 m 151
, .,¡¡
f1¡ta.: Potencía = 1.5 diop!rias.
dedolde:
-40
= ·3.1cm
(divelgente)
PROBLEMA 11. Una persona miope no distngue con CIarxlad ob-
jetos situados más allá de los 50 cm de sus
<*lS- ¿Cuál será la potencia de sus lentes para PROBLEMA 9.
Se corrbinan dos lentes defgadasde..a y ·13 diopmas. ¿Cuál será la polencia y la distancia local de la combinación? RESOLUCIóN,
que vea con nlMez los objetos situados más allá de los 50 cm?
PoI. = +8. 13 " -5 dioptrías
Cálc:uto de 1: POI =
¡;
so cm
de donde:
1 1 1 1= Pol = .5 dIopI. = ·0.2 diopl = ·0.2 m
RESOLUCIÓN : La lente será divergente: 1
..
PROBLEMA 10. Un présbita se comprue-
I
baquenove bien objetos a lJ18 distancia menor de 40 cm. Calwlar la potencia de sus lentes para que vea con niti·
dez LI1 cuerpo srtuado a 25 cm
=o
1 1 +q P
-
SI el objeto está muy alejado o es !11Inde, por consigtJier(e 1/P1iende a cero; entarees: p= Ga.
F/~/CA
De donde:
l • O -SOan
-
1
'-O,Sm
f1l/a :
(4) en (1):
m
(4)
q " -+O.639 6 cm
Unale1teCOl"l'lelgerteliene una dlstaneta local de 60 cm. Hanar la postCÍÓn de un objeto para producir una imagen real y tres vecos mayor. PROBLEMA 14.
Una lente convergente
que tiene una
RESOlUCIÓN : a) Como la imagen es real, el aumento debe ser negativo y porlo tanto:
RESOLUCIÓN :
b)
p " 1.066m
Para q (+) indtea que fa imagen se encuentra en el otro lado de la lente y por COInSigutente su imagen es real.
= -2 1
Poteooa = -2 dioptrfas
PROBLEMA 12.
al "
559
Reemplazando (4) en (1)
= -o,SOm
PoIenaa = 1 =
GENERAL
=San y ,~= l Oan
A = -3 = - q p
(1)
q
Por fórmula:
l
f
1
= - +I f, I~
(2)
b}
= 3p 1
Porfórmula:
i "
(1)
t 1 p+q
(2)
Reernpfazando (1) en (2) y COInSiderando
Reemplazando (1) en (2) '
1 " 6Ocm :
1 = 3.33 cm
p " BOcm
Unaterteconvergentebene una distancia focal de 40 cm. Hallar la posición de un objeto y la naturaleza de fa ,magen si el aumento es .0,6.
PROBLEMA 13.
RESOlUCIÓN : Por datos:
al
A=
q p
·0.6
s
-q p
b)
= <4Ocm
Por fórmula:
t
1 = pf
(2)
.1 q
(3)
ReertlJIazando (1) Y (2) en (3) : 1 1 -- = + 40cm p 0.6p
¿Dónde se debe colocar
un objeto respecto 8 una lente convergente para que la Imagen sea el doIlIe de tamaño que el objeto? Exprese su respuesto en términos de 1. ¿La imagen es real o virtual?
RESOLUCIÓN :
(1)
q = 0,6p
PROBLEMA 15.
ParaLW1alerleca1V
Ob¡eto, se puede obtener una imagen real mayor, y ubicándolo entre el foco objeto Yel
centro 6pIico se obtiene una imagen virtual mayorque el oI:ieto.
f)
Objeto entre"C" y"P' : la imagen es real
1
A " -2
(1 )
ÓPTICA
560
Por atta parte:
(2)
(1) = (2):
q = 2p 1 1 1 :::: - + f P q
Por l6m1ula:
11)
(3)
P
= 1.51
t.
A=2
(1)'
=.Q
(2r
P
(1)' = (2)':
q = ·2 P
(3)'
1 1 1 - :: - + -
IV) Por 16m1uIa.
t
P
q
(4)'
ReerTl'lazando (3)' en (4)' : 1
j
t
t
= ji + 2p =
(A;'. tI) R;
Indice de refracción de la lente con respecto al medio en que se encuertra.
Foco resultante de lacombinaci6n de len-
tes.
Como la imagen es llirtual:
A
, = (n • 1)
n:
111) O:ljelo enlre 'F' y ' O' :
f'1lr olra parte:
1
(4)
1 1 = P .2p
(3) llI1 (4) .
La ecuación que a continuación se indio ca, sin deducción, es lo que se llama: 'Ecua· ción del fabricante de lentes'. Por claridad. se exagera el gr1lSOt' 'L' de la lente en la figura:
f P = 2
Si R, o R. son trazados desde la zona real, se considera (+, pero si son trazados desde la zona virtual, se consIdera (.) . POTENCIA DE LENTES DELGADAS DE CONTACTO
Lentes de contacto son dos lentes de ra· dio de curvatura ligeramente d~erentes. dependiendo la dlferencoas de Illdoo de la polencia
Para un a\.lllel'lto doble, el objeto se ubica en dosposidonespara una imagen real yw1UaI. LENTES GRUESAS DE DOS CARAS DE CURVAruRA (COMBINACIÓN DE LENTES)
La figum rruestra l.r13lm1e guesa de dos radios de curvalura.
.
Si una lente es muy gruesa. fos rayos de luz
o
¡
que pasan cerca a los boroes se descom¡xr nen, formando .mágenes coloreadas, conociéndose este electo como AbefTllCión Cramática de una lente.
e Cristal
L
PROBLEMA , .
Una lente está formada
por una lente convexa de
561
FfSlCA GENERAL
30 cm de radio y otra cóncava de 60 cm de raáo. El Indice de refrooción del cristal es 1,6. Hallar la distancia focal de la lente y deor si es convergenle o divergenle,
1 . 0- 1 = _ 1 _
RES
R" .~A,) + 1 ; o = 1(Rz
A,~JOcm
R, Rz
a)
¡= ~ f
PROBLEMA 3.
d, .R~ J
= (1 ,6.1)
1
¡ b)
(n· 1) (
(_1 _ . _1_) JOcm 60cm
0.6
= 60an
=> f = lOO '11
Como 1 es posilivo la lente es convergente.
Una lente boconvexa, tiene 20 y 25 cm de radio. Se coloca un objeto a 30 cm de distancia de la lente y se fama una imagen a 40 cm de la
a) la dislanda focal, b) Indice de refracción. RESOLUCIÓN :
p = JOan
q = 40an 1
f
¡ .. b)
1 q
. = - + f
al
1
P
1
1 = - - + - - = 270crn 40cm JOcm
I =+ 17,14 cm 11 =(~- 1) el) --R, Rz
da
lo:
Una lente biconvexa, be-
ne 25 cm de radio decur· valura de sus dos caras, El IndICO de re lrae· ción del cristal es 1,54. Calcular a) La distancia focal de la lente b) La distancia focal cuando se sumerge en el suHuro de carbono n = 1,65 RESOLUClÓ'l :
n, a)
At = R2 =25 cm 11:1 . \65
= 1,54
1 : (n'l)(I. 1) 1 R, R2 = (1,54 . t) ( _ 1_
PROBlEMA 2.
lente.Calcular:
S'J. ._.
o = 1,65
Az = 60cm
cornergenle o divergEnte = 1
D.
,"'2
LJ.. r (Rz . R,)
~?
n = 1,6
R
:
25crn
•
_1 _) ·25cm
1, : 23,15 cm Cuando se introduce en el sulfuro de caro bono, como el cristal es menos relr1ngente que el sulluro de carbono (1 ,54 < 1.65), la lente en el medio de sulfuro de cartlono se convierte en divergente, entonces su distancia focal secaiaJlará sobre la base del Indice de re1
b)
Cálculo del Indice de refraCCIÓn relativo: n01!iIaI
1 54
nr = - - = -'- :: ns,c U5 = (n,'
0,93
1) (~1 . ~)
1 = (093 . 1) ( _ 1_ . __1_ ) f ' 25cm ·25cm f = · 178,57 O'/l
5Il2
ÓPTICA
APLICACIÓN DE LAS LENTES EN APARATOS ÓPT1COS
PROBLEMA 4,
Los lIlSIrumentos que aoercan los objetos alejados o que agrandan los otjetos pequeños cercanos se llaman 'Aparalos Ópticos',Ejem. Telescopio. mtCtOscopIo. INSTRlJMENTOS DE APROXIMACIÓN
Forma ináganes virtuales de objetos ITJJ)'
Unalentebicóncavatiene 20 Y 30 cm de radio. Se coloca un ob¡eto a 40 cm y se forma ~ ..nagen real de SOc:m de la lente_Cak:ulare! indico de mfracción,
- 1 (1 ,)
AESOlUCION: - ,,(o-t) - - f , Al A2
(1)
Cálculo de I :
alejados, por ejem.:
t
1
1
1
1
9
- .::; + - = - + - ;¡;: Iqp5040200
f
- -ojo
1
En (1):
22,2
_ ,_ 22,2 EL TELESCOPIO:
Apta_:
~
n
~
22,2crn ~
(n-l) ( 1 - 1- ) 20 30
(n- l) (-'-- - -'--) 20 30
= 1,54
Es ~ aparato que bene una lente que se llama ' objebvo' porque sirve para captar los rayos procedentes del obreto y formar ..,.. magen' 1" es1a imagen a su \/eZ Sirve de
Son instrumentos que forman imagen de
Una lente COI'M!XOCÓllCavabane 3Oy40cm de radio, n!Spectivamente, su índice de refracción es de 413, CalCular: PROBLEMA 5.
a) b)
DistanQa focal La lenle es convergente y divergente?
RESQUCIÓN :
tamaño aumentado y virtual de los objetos, pore¡errplo:
n :
EL MICROSCOPIO:
4 3
Az
= 40an
1 = (n-l) ( - 1 - 1) 1 Al Rz
Está ccnst~uido por dos lentes colwergentes, un ' objebVO' que se coloca cerca del obje1000n una dcstancia focal pequeña y un ' ocular" de una distanc1a focal mayor,
1 1 7 .- = 3 120 360
Apta.: b)
1 : 51,4 cm
Corro la ás1ancia local es positNa,la lente es convergente.
FiSICA GENERAL
563
CAPíTULO 20
EL fENÓMENO ONDULATORIO Gran parte de lo que se llama energía se transmte por movimentos ondulatcms; la luz,
el sonido. la televisión, ete. CuandocaeVERTICAU.1ENTEunapequei\a ptedra en un pozo de aguas IrarqJilas se prodLCen ondas al rededor del punto de caidacomoc:irCU1loolnciasc:onoét lIñcas. unas Iras otras, ",e van aumentando su raáo, ya medida que van aumentando su radio se hacen cada vez más IlTfl8IoeptilIes. SI en las irmedl3dones del punto dorde cayó la piedra hay unot,eloflotando, el obIetonoes·arrastrado· por las olas, pero si adquiere un mo";" mienlo de stbe y baja sobre la misma VQ(\jcat, en otras palabras aclQuiere un mownierr lo oscilatorioo vibratono.
esle movimiento se Iransm~eaolra partícula que está JUnto a ella, produciéndose también en ésta un rrovimiento vbatonoy así sucesi-
vamente.
La transmisión del movimiento lo realiza cada par1ícula a la aira por la creación de una espeóe de·carrpo energétJco· que es el ",e Irensn"ite el movimiertovbatorio. transmitiéndese de esta manera la energía ondu-latoria ChnstJan Huygens descltlnó este fenómeno yenunQosu~
"Todo punto perturnado por un moVUTlento ondulatorio se convierte en un centro productor de ondas·. Sean tres partíCUlas que vibran (1) (2)
(3), 6A, B ye.
Cae la pklcIfa vet1lcakTlente
~-tT _IÓn
objeto Iivoano
10
-
(2)
I - - -1-...
I
,~
,~
"'~B
PRINCIPIO DE HUYGENS
Al ser ~ada una partírula del medio en que sepropaga la energía ondulatoria, esta partfrula Bfr4lÍeza a llib.-ar armónicamente,
e Ag. 2
Ag. ,
PROPAGACIÓN DE UNA ONDA
13)
cada partioula vibra sobre una vertical con un mowruenloarmónico cuya eIongadón se calculará igual a la de mowniento alTllÓricoya enunciado e" su oportunidad.
Ix
=
R·_~I
a
FENÓMENO ONDl.Jl.ATORIO
Si la onda se des¡:laza de izquierda a derecha,la partícula B elTlJezará a vibrar IIJ tierrpo "r después Qusem-pezó A. depende de la \lelocidad con que se propaga la onda
6t :
~ V
Cuando la onda se está propagandoocurre los siguiente:
x.
~
R....,
2nt
T
En ese mismo instante la elonga-ci6n de
Periodo -T- : Es el beflllO que demora un ocio.
Velocidad :
Es la rapidez con que una onda se propaga en un me
• = dt = ),T
Ó, =
Al
Cresta : Es el punto más elevado de una onda.
Bserá: xB
= R ....,
2 n (t - 61)
T
Segú11a direca6n del movimiento onduatoño y las partículas que las generan. las ondas pueden ser transversale$ y Iong~u anales: ONDAS TRANSVERSALES
Son aQUellas ondas que se desplazan tranvefsalmente a la dtrección del rnovirr'jento de la partícula que genera la energra ondUlatoria
Valle : Es 01 punto rnás bajo de una onda
Amplitud "A" : Eslaahura de una cresta o la profundidad de
unvaJle. longitud de onda ")." :
Es la cislancia medida entre dos puntos co". secutivos de posición semejante. Es la longitud de un ciclo.
Ejetrpo: los mencionados anteriormenle que sirvieron para explicar la propagaCión de la onda.
ONDAS LONG/T\IDINALES
Cuando el movimiento de la onda, sigue la direcci6n de la partiOJla que genera el moVImenIo onduatono. Ejemplo: una partícula de un resorte que oscila ELEMENTOS DE UNA ONDA Ciclo:
EsellTl
Frecuencia de onda: Es 01 número de veces que se re~e la Iongi!ud de onda en la unidad de bampo
MalM1áticamente es igual a la i'Nersa del periodo.
FíSICA GENERAL
565
Que es la ecuación de la onda.
t
FASE DE UNA ONDA
Es el áI1gJo que hace la trayectoria de la onda con la horizonlaI en delerrTWlado nstante. Su vabres el ángulo de la ecuación de la arda.
1 Una partlcula 'P' empieza a vibrar con movimiento oscilalorio de 1,2 cm de amplitud y de 0,6 s de periodo, propagán-dose a una velocidad de 10 an/s. Si una partictJla 'N' está a 4 cm de "P' y a la derecha, calcular: PROBLEMA 1.
En la figura anterior se producen dos longitUdes deoodaen 1 S. Ysi el perlodo esdeO.5s qUera deCifque la frecuencia es de 2 ordas/s. EJemplo:
I • 1 onda = 2 ondas
0.5s
a)
s
ECUACIÓN DE LA ONDA
La ecuaCIÓn de eIorgación de un punto en una onda es:
x. A scn 21t1 T
Donde: A = Arrfllitud de onda LaeouaOOlde airo pullo. que es1á en la rrisrna onda pero n1ás alá yen elll1ISI'nO instante es: _ A
x_
·sen
21t (1 - LI 1)
T
b) e)
La eIongaci6nde P, después de 1,13 s de haber comenzado su vibración.
d)
La elongación de N, después de 1,0 s de haber comenzado la vibración de P.
el ¿Cuánto tiempo después deempezarsu vibración, N tendré la misma elongación quetenra Pa los 1,1 s después de haber iniciado su vibracf6n?
RESOLUCIÓN : A = 1,2
d v
21t(I-
Pero: y T
T
dI
A . sen~ T
x = A·sen2n
=A
a)
6:
, luego:
= O,06s
v
vT
bl
d = 4.0an
v
=
10an/.
Cálculo del tiempo en que la onda Hega dePa N: 61 = ~ =
(l _..!!..) T
La elongación de P cuando la onda Raga aNo
Pero: ó I = - , Liego:
x =
¿Después de cuánto tiempo de iruciada la vibración de P ert1lieza a vibrar N?
4,Oan
10 <:mIs
= O,4s
CálcUo de la eIorgación de P en el roomento en que la onda llega a N: Xp =
A.sen 2;'
El. FENÓMENO ONDUU.TORIO
566
Xp = 1,2 an . sen
21t 0,45 0,00
Xp = 1,2crn . (·O,866)
Xp = -1,04an
401t
Xp = l,2crn · sen-
CáIcuto del tienl>O qJe pasa desde el roomeoo que errpezó a vb-arN para que su elongación sea -1 ,04 an.
3
Xp = 1,2 an (·O,SEE) Xp = -1,04
De donde:
e)
Elongación de P a los 1,13 s de iniciada la vibración: 2nl Xp = A·sen TXp" 1,2 an . sen Xp
= l,2cm
sen
21t · I,13s 0,00 2,261t 0,00
el)
T
..
2ltt
"N = Asan-=¡ 211 . 0,6 s cm . sen
0,00
¿Cuálserálalasederna onda de 0,5 s de período, a los 2 s, a una ClStarda de 7 cm de iniciado el movimiento ondulatorio, si la longitud de ondaesO,OI cm?
PROBLEMA 2.
RESOLUCION :
z
= 211(2S 0.55
7an)
0.01 an
Q " 21t (~) = -1392n
O
CáIcUo de la elongación de P después de 1,1 s: Xp
'
Ir = 0,41s
Q
... = 1,2cm O
e)
De donde:
Como para negar la vibración a B larda 0,4 s, quere deor que la elongación de B será de 1,04 cm. pasandoO,4s.0,OI So esdear:
XN ::;: 1,2aT1 . sen20n
~
= 1.047
21t
qoorG deárque recién empieza a \'ÍbI3r N, enionCes mientras P está vibrando hace ya 1 s, N recoén hace 0,6 s (1.0 0,4) que empezó a \librar.
...
2; I
= ~7T "OOls
la vbaOÓfl de N haS1a P es de 0,4 s,
12
A
l,2cm
·1,04
Como el tiempo que demOla para llegar
..."
T
sen 2 It I " 1,04 cm = 0,867 Clll
Xp = 1,2 an (-O,SEE) Xp •
sen~=~
De_:
A·sen
21t1 T
Xp" 12 ,cm · sen
Como se trata de l.Il nLmero par de pi, quiere deor Que el ángulo es rt'. Q
211 · 1,ls 0,06 s
"" • 1,2cm . sen36,671t
= O radianes
ONDAS SUPERPUESTAS Son ondas que se pueden reforzar o se pueden i1terferir. Sean dos ondas que legan al punto A.
FISICA GENERAL
1.
Puede sucederquetergan la misma Icrgitud de onda, el rrismopeóodo yUE-
GANEN f1\SEaJ p<.no .... EI'ICIralsseREfUffi ZAN y la onda resultante contrua REFORZADA, es dear con rTS)'OI' amplítJd de cnda. Onda reforzada
S67
PlEde ser que teniendo la misma longitud de onda, el mismo período, pero que Uegan al PlI'llo A en OPOSICiÓN DE FASE, entorces se INTERFIEREN o seanulanydesaparece el mowrientoondUaroro, DESAflI\.RECE LAONDAo la onda qtEda INTERFERIDA.
2-
FENÓMENOS ONDULATORIOS DE LA L/JI l . DISPERSiÓN
la luz monocromática tiene una sola lon-
Es la d8SCOlTlp05ición de la luz bIarca en sus colores corrponentes. El primero que observó que la luz blanca se descorr1loora en sus colores componentesfué Isaac Newton, qUIen en un cuarlo osClIO en un día de gran sol, hizo un hueco de 1 cm de diámetro en la puerta; a la luz del sol que entraba por ese hueco le interpuso un prisma de cnstal y observó Que en la pared de enfrente y en la parte a~a se proyectaba los colores que contenía la luz blanca, a ese maliz de colores proyectado en forma de abanicc se llama 'espectro de la luz blanca",
la desviación que experimentan los dff... rentes colores de la luz solar se debe a las dfferenles Iongtudes de onda da cada uno da
los colores.
gitud de onda: roja, verde, etc.
Hay colores invisibles al ojo humAno oomo el -infrarrojo" cuya Iongrtud de onda es almdeoorde 30 000 A' yel ultravioleta cuya longitud de onda es alrededor de 3000A".
VALORES DE LAS LONGITUDES DE ONDA DE COLORES VISIBLES
Rqo Anaranjado Amarillo Verde Azul Violeta
8,5.103 AO 8,0. t03 AO 5,8.103 AO 5,2.103 A' 4,7 do" A' 4,1. 10" A'
Inlrarrojo Rojo Anaranjado
I<'ógo
Violeta Utttavioleta
2. DIFRACCiÓN E INTERFERENCIA
la presencia de estos dos fenómenos en la luz prueba que ésta es una conienle ondulaloria porque una corriente capuscular no origina estos fenómenos,
DIfracción : Es el fenómeno que consiste en la propaga·
EL FENÓMENO ONouu.mRIO
568
ción de la onda mediante pequeñas porcionesdeonda Sea por ejemplo tri foco "F" que em~e ondas lumirosas que inciden en la pantalla "P", asta tiene unapequeñisimaabertura "A" por donde pasa, a la derecha de la pantalla una pequeña porci6n de onda, De acuerdo al pmripio de Huygens, esta pequeña onda, es el origen de nuevas ondas que se prvpagan y se van alejando de la aber-tura "A" con la misma veIoddad ycon iguaJIongitud de onda. Esta propiedad que tienen las ondas de propagarse por la presencia de pequeñas porciones de ondas se llama DIFRACCIóN de las endas.
, ~4~-"
~l'
-
A
'"
.... ,
las ondas luminosas al interterirse pueden hacet10 en lase O desfasadas. las ondas que se inlflrfieren en FASE, por ejerrplo cresta con cresta o valle con va· le, se refuerzan e iluminan cuando inciden en la pantalla "P,"; pero las ondas queseínte
P,
p.
r ~ -
~ ~_
F
los ruales emiten ondas de luz. ondas que al expandirse se interfieren.
\
I 1
-,_ --
.
\'
Lo mismo ocurre con la pantalla P ,. con una pequeña abertura "A, "tomando como foco fuminoso "A", las ondas se propagarán por dífracci6n a la derecha de la pantalla P,
Ag. 1
p
P,
Inlerierencla : Fig. 2
Es el fenómeno luminoso que consiste en la inlerferencia de las ondas luminosas prove"",ntesde dos focos para sumar su electo luminoso o para anularse mutuamente.
"'año
Frenta de la pantalla P,
Alá por 1 B03¡:romás'lbung reaizó tri expet; I e iIoque consiste en lo ~:
3. POLARIZACiÓN
Sea tri foco luminoso "P, figura 1, cuyos rayos (emisión de ondas), llegan a la pantalla "P"donde hay pequeñas aberturas "A, .y"A," por donde pasa la luz. y de acuerdo al princiPIO de Huygens. estas pequeñas porciones de ondas de luz se convierten en ntJe\'OS focos •
Los rayos de la luz son como un eje al rededor del cual se realizan vibraciones en dnerente dirección. En otras palabras son endas que tienen diferentes planos de vilraci6n, planos que se cortan en la linea que marca la dirección de las ondas, La poIarizaoon de la
FISICA GENERAL
,.., consisle en reducir todas estas vibracicr
569
Ftgura 2
nas a una poslOón plana definida que puede servertical, honzontal o cualquier otra defilllda InClInaCIÓn. Esta polanzacaón plana es el tipo más sencillo de poIañzaet6n, Se puede polarizar rruy '~dlmente un rayo de luz haaénddo pasar a través de un aistaJ de tur-
rN!Ilna.
.... Sean "F" los locos en las foguras 1 y 2 , los rayos salen con vibraciones alrededor suyo
en vañas direcdones obligada
En la figura 1 la onda que pasa queda obI'¡gada a oscilar vertICalmente, ésta es una onda polarizada en un plano; en la figtra 21a Ondas vEr1lcales
onda que pasa queda obligada a oscitar horizontalmerlte, esta es tarrbillrl una onda potañzada en Un plano.
El FENÓMENO ClfIDLUoTORIO
570
BIBUOCRAFÍA 1.
ASCAPARA ESruDlANTES DE CIENCIAS E INGENlERfA
Robert AesnidI· David HoIlJday, 2.
Ed~oriaI CECSA México
INTRODUCCIÓN A LA ASICA Marcelo Alonso yVirgilio Acosta, Ediciones CU~LraL Colombia
3.
FISlCA PARA CIENCIAS E INGENIERíA
JoIv1 P. Me kelvey· Howard Grotch, Editorial HARLA MéxICO 4.
FfSlCAGENERAl Beatriz Alvarenga - Artonio Máximo, Editorial HARlA. México
5.
CURSO DE ASICA GENERAl
S. Frish - A. TIITlOreVa, Editonal MIR. Moscú
6.
FíSICA GENERAl
Maiz1egui - Sábalo, Editorial Kape!uz. Buenos Aires 7.
ÁSICA FUNDAMENTAl Mario Vetascc - Alejandro Estrada. Eitorial CECSA
8.
CURSODEASICA Jorge Vidal, Ed'rtorial Slela Buenos Aires
TEXTOS ESPECIALES DE CONSULTA BASE MATEMATICA ARITMETICA PRACTICA ARITMETICA RAZONADA (curso nuevo) ALGEBRA GEOMETRIA GEOMETRIA PRACTICA TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA MODERNA FISICA GENERAL FISICA FUNDAMENTAL OUIMICA GENERAL TEORIA DE CONJUNTOS FORMULARIO MATEMATlCO OUIMICA ORGANlCA NOMENCLATURA'(Ouimica Inorgánica) HABILIDAD VERBAL (Letras) APTITUD ACADEMICA EL RAZ, MAT. en la modernización Educ, RAZONAMIENTO MATEMA EL ARTE DE RAZONAR (Cálculo Diferencial Geometría Analítica) PROBLEMAS SELECTOS Aritmética, Algebra, GfJometría. Trigonometría. Física, Ouímica EXAMEN DE ADMISION (Solucinario), Aritmética, Algebra, Geometría, Trigonometría. Física. Ouímica,
nco