Fisica de Radiaciones

Antonio Ferrer Soria María Shaw Martos Amalia Williart Torres

FÍSICA NUCLEAR

UNIVERSIDAD

NACIONAL DE EDUCACIÓN

A DISTANCIA

,

A \ A-I ~.. 1-'~4~- M

.th'()

,

Indice General Introducción

11

I

17

Estructura nuclear

1 El núcleo atómico. Propiedades físicas Objetivos didácticos específicos . . . 1.1 Introducción: El núcleo atómico. . . . 1.1.1 Experimentos históricos .... 1.2 Tamaño y distribución de carga nuclear. Medida del radio de los núcleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Medida del radio de carga de los núcleos 1.2.2 Distribución de materia (masa) nuclear 1.3 Masa y abundancia de núclidos . . 1.3.1 Unidad de masa atómica. . 1.3.2 Medida de masas de núcleos 1.3.3 Abundancia de núcleos . 1.3.4 Energía de ligadura . . . . . 1.3.5 El valle de la estabilidad . . 1.3.6 Energía de separación nucleónica 1.3.7 Fórmula semiempírica de la masa 1.4 Estabilidad nuclear. Parábola de masas. 1.5 Espín, paridad y momentos electromagnéticos nucleares. 1.5.1 Espín y Paridad nucleares . . . . . . . 1.5.2 Espín isotópico del núcleo . . . . . . . 1.5.3 Momentos electromagnéticos nucleares 1.6 Estructura de niveles energéticos nucleares Glosario de términos clave Resumen. . . . . . . . . . . . . 3

19 20 21 23 25 27 35 35 36 36 43 44 47 48 49 52 55 55 57 58 62 65 67

4

2

3

iNDICE GENERAL Ejercicios de auto comprobación . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios de auto comprobación

69 70

La fuerza nuclear: El deuter6n. Interacci6n N- N Objetivos didácticos específicos . . . . . . . . . . . 2.1 Introducción..................... 2.2 El deuterón: Propiedades y función de ondas . . . 2.2.1 Momento dipolar magnético del deuterón . 2.2.2 Momento cuadrupolar eléctrico del deuterón 2.2.3 Función de ondas radial del deuterón 2.3 Difusión N-N. Defasajes . . . . . . . . . . 2.3.1 Desarrollo en ondas parciales .... 2.3.2 Relación entre defasaje y potencial V 2.3.3 Aproximación de alcance efectivo 2.4 Potencial de Yukawa . . 2.5 Potencial N - N . . . . 2.5.1 Potencial OPEP Glosario de términos clave . . Resumen. . . . . . . . . . . . Ejercicios de autocomprobación Soluciones a los ejercicios de autocomprobación

73 74 75 75 78 80 83 86 86 88 90 94 96 98 99 101 . 102

Modelos nucleares Objetivos didacticos específicos 3.1 Introducción........ 3.2 Modelos de partícula individual 3.2.1 Propiedades de los núcleos con A impar 3.2.2 Modelo de capas .... 3.2.3 Modelo de capas esférico 3.3 Modelos colectivos 3.3.1 Modelo del gas de Fermi 3.3.2 Modelo de la gota líquida 3.3.3 Propiedades colectivas de los núcleos par-par. 3.3.4 Modelo vibracional 3.3.5 Modelo rotacional. . . . . . . . . . . . . 3.4 Modelo unificado . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Modelo de capas en núcleos deformados. Glosario de términos clave . . . . . . . . . . . . . . .

105 . 106 . 107 . 109 109 109 111 125 126 . 128 . 129 . 131 . 138 . 144 144 . 147

87

tNDICE GENERAL Resumen . Ejercicios de autocomprobación . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios de auto comprobación

11 Desintegraciones nucleares y radiactividad

5

· 148 · 150 · 151

155

4 Radiactividad y desintegración nuclear 157 Objetivos didácticos específicos 158 4.1 Introducción............ . 159 4.1.1 Generalidades....... . 159 4.2 Ley de desintegración radiactiva . . 161 4.2.1 Periodos de semidesintegración parciales . 163 4.3 Teoría cuántica de la desintegración radiactiva . . 166 4.4 Tipos de desintegraciones nucleares. Fuentes radiactivas más comunes . . . . . . . . . . . . 167 4.4.1 Desintegración alfa. . . . 170 4.4.2 Desintegración beta . . . 170 4.4.3 Desintegración garnma . . 172 4.4.4 Fisión espontánea . . . . 173 4.4.5 Emisión de nucleones . . 173 4.5 Series naturales de elementos radiactivos . 174 4.6 Cadenas radiactivas. Ecuaciones de Bateman . . 174 4.6.1 Aplicaciones del equilibrio radiactivo . 177 4.7 Radiactividad artificial . 178 4.8 Datación radiactiva . . . . . 181 4.8.1 Datación por 14C . . 181 4.8.2 Datación geológica . 181 Glosario de términos clave . . . 184 Resumen. . . . . . . . . . . . . . 186 Ejercicios de auto comprobación . 188 Soluciones a los ejercicios de auto comprobación . 189 5 Teoría de la desintegración alfa Objetivos didácticos específicos . . . . . . . . . . . . 5.1 Propiedades generales de la desintegración alfa . 5.1.1 Balance energético . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Predicción de Q por la fórmula semiempírica .

. . . .

195 196 197 198 199

ÍNDICE GENERAL

6

5.1.3 Regla de Geiger-Nuttal . Modelo de Gamow de la desintegración alfa 5.2.1 Probabilidad de desintegración alfa . 5.2.2 Emisión de otras partículas o núcleos 5.3 Espectroscopía alfa y estructura nuclear .. 5.4 Reglas de selección: Momento angular y Paridad . Glosario de términos clave . Resumen . Ejercicios de autocomprobación . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios de autocomprobación 5.2

.200 .202 .204 .208 .209 .210 .213 .214 .216 .217

6 Teoría de las desintegraciones beta 221 Objetivos didácticos específicos . 222 6.1 Introducción............. . 223 6.1.1 Balance energético .. . . . . 225 6.2 Teoría de Fermi de la desintegración beta . . 228 6.2.1 Probabilidad de transición . . . . . . 228 6.2.2 ** Elemento de matriz en la teoría V-A. . 229 6.2.3 Densidad de estados finales .... . 232 6.3 Forma del espectro beta . . . . . . . . . . . . . . 234 6.3.1 Predicción de la masa del neutrino ... . 234 6.4 ** Periodo comparativo y transiciones prohibidas . 237 6.4.1 Tipos de transiciones y reglas de selección en la desintegración beta nuclear . . . . . . . . . . . . 240 6.5 Experimento de Reines y Cowan. . . . . . . . . . . 246 6.6 Violación de la Paridad en la desintegración beta . 248 6.7 Desintegración doble-beta . 249 Glosario de términos clave . . . . 251 Resumen. . . . . . . . . . . . . . 252 Ejercicios de autocomprobación . 254 Soluciones a los ejercicios de auto comprobación . 255 1 Teoría de la desintegración garnma Objetivos didácticos específicos . 7.1 Introducción............. 7.1.1 Desarrollo multipolar . . . . 7.2 Conservación de la energía en las desintegraciones gamma. 7.3 Vidas medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

. . . . .

259 260 261 263 264 266

ÍNDICE GENERAL

7

7.3.1

Ordenes de magnitud de transiciones garnma multipolares . .266 7.3.2 Regla dorada de Fermi .. .267 7.3.3 Estimadores de Weisskopf .269 7.4 Reglas de selección .... .272 7.4.1 Conversión interna .275 7.5 Espectroscopia garnma .. .278 7.6 Efecto Mossbauer ..... .278 7.6.1 Emisión y absorción de garnmas .278 7.6.2 Aplicaciones del efecto Mossbauer . .284 Glosario de términos clave . .286 Resumen . .287 Ejercicios de auto comprobación . . . . . . . . . .288 Soluciones a los ejercicios de autocomprobación .290

III

Reacciones nucleares

295

8 Reacciones Nucleares Objetivos didácticos específicos 8.1 Introducción . 8.2 Leyes de conservación. . . 8.2.1 Conservación de la energía-momento 8.2.2 Otras leyes de conservación 8.3 Secciones eficaces de reacción . 8.4 Tipos de reacciones . 8.4.1 Difusión y absorción nuclear 8.4.2 Reacciones de núcleo compuesto . 8.4.3 Reacciones directas 8.5 Modelo óptico . . . . Glosario de términos clave . . . Resumen . Ejercicios de auto comprobación Soluciones a los ejercicios de auto comprobación

297 .298 .299 .300 .301 .305 .305 .308 .310 · 313 .314 · 316 · 318 · 319 · 321 .322

9 Procesos de fisión y fusión Objetivos didácticos específicos 9.1 Introducción .

325 .326 .327

ÍNDICE GENERAL

8 9.2

Fisión Nuclear. . . . 9.2.1 Antecedentes 9.2.2 Energética.. 9.2.3 Modelo de la gota liquida para la fisión. 9.2.4 Características de la reacción de fisión inducida 9.3 Reacción de fisión controlada 9.3.1 Tamaño crítico y constante de tiempo. 9.4 Reactores de Fisión. . . . . . . . . . . . . 9.5 FUsión Nuclear 9.5.1 Procesos básicos de fusión nuclear. 9.5.2 Características de la fusión nuclear 9.6 Reactores de fusión . . . . . . . . . . . . . 9.6.1 Reacción de fusión controlada. Criterio de Lawson . 9.7 FUsión solar y neutrinos solares . . . . . . 9.7.1 El Big-Bang. Nucleosíntesis estelar 9.7.2 Los procesos de fusión en el Sol 9.7.3 ** Los neutrinos solares Glosario de términos clave . . . Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios de auto comprobación . . . Soluciones a los ejercicios de autocomprobación

IV

Interacción de la radiación con la materia

10 Interacción de la Radiación con la Materia Objetivos didácticos específicos . . . . . 10.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Interacción de partículas cargadas . . . . . . 10.2.1 Pérdida de energía por ionización. Fórmula de BetheBloch 10.2.2 Consecuencias de la fórmula de Bethe-Bloch 10.2.3 Difusión múltiple o culombiana. Fórmula de Rutherford 10.3 Interacción de electrones y positrones con la materia 10.3.1 Pérdida de energía por colisión 10.3.2 Radiación de frenado . . . 10.3.3 Aniquilación de positrones . . .

. 327 . 327 . 328 . 329 . 331 . 335 . 339 . 341 . 343 . 343 . 345 . 348 . 350 . 351 . 351 . 354 .358 . 362 . 363 . 364 . 365

369 371 . 372 . 373 . 375 375 380 . . . . .

383 385 386 386 390

tNDICE GENERAL

9

10.3.4 Retrodifusión. Albedo 391 10.4 Interacción de fotones con la materia. Fenómenos de Radiación 392 10.4.1 Efecto fotoeléctrico . 392 10.4.2 Efecto Compton. . . . . 393 10.4.3 Creación de pares . . . . 396 10.4.4 Atenuación de fotones . 397 10.5 Efecto Cerenkov. . . . 399 Glosario de términos clave . . . . 401 Resumen. . . . . . . . . . . . . . 403 Ejercicios de auto comprobación . 404 Soluciones a los ejercicios de auto comprobación . 405 11 Detectores

de Radiaciones Nucleares Objetivos didácticos específicos . 11.1 Introducción . 11.1.1 Clasificación de los detectores 11.2 Magnitudes características de los detectores 11.2.1 Sensibilidad . 11.2.2 Respuesta . . . . . . . 11.2.3 Resolución energética. 11.2.4 Eficiencia . . . 11.2.5 Tiempo muerto . . .. 11.3 Detectores gaseosos . 11.3.1 ** Movimiento de cargas en gases 11.3.2 ** Avalancha . 11.3.3 ** Forma del pulso electrónico 11.4 Detectores de centelleo . . . . . . . . . 11.4.1 Características generales . . . . 11.4.2 ** Tipos de materiales centelleadores 11.4.3 Respuesta luminosa . 11.4.4 Eficiencia en el transporte de luz 11.4.5 Fotomultiplicadores (PM) 11.5 Detectores de estado sólido . 11.5.1 Semiconductores . 11.5.2 La unión p - n como detector 11.5.3 Potencial de polarización. 11.5.4 Particularidades ..... 11.6 Detección de partículas neutras .

409 · 410 .411 .411 · 413 · 413 .413 .416 .418 · 421 .422 .427 .427 .428 .429 .430 · 431 .432 .432 .433 .436 .436 .437 .438 .439 .439

10

ÍNDICE GENERAL 11.6.1 Detección de Neutrones por Interacción FUerte. Glosario de términos clave . . . Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios de auto comprobación . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios de autocomprobación

12 Introducción a la Protección Radiológica Objetivos didácticos específicos 12.1 Introducción. . . . . . . 12.1.1 Bases biológicas. 12.2 Unidades. . . . . . . 12.2.1 Actividad (A) . . 12.2.2 Exposición X . . 12.2.3 Dosis absorbida, D 12.2.4 El kerma, K . . . . 12.2.5 Dosis equivalente, H 12.2.6 Tasa de dosis . . . . 12.2.7 Dosis equivalente efectiva. 12.3 Sistema de limitación de dosis 12.3.1 Justificación. . . . . . . . 12.3.2 Optimización . . . . . . . 12.3.3 Limitación de dosis individual 12.4 Medidas de protección 12.4.1 Blindajes 12.5 Ejemplos de dosis . . . . . . . . . . . 12.5.1 Radiactividad natural nociva. El radón Glosario de términos clave . . . Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios de autocomprobación . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios de auto comprobación

. . . . .

440 441 443 444 445

. . . . . . .

447 448 449 450 451 451 452 454

. 455 . 456 . 457 . . . . . . . . . . . . .

458 459 459 460 461 463 465 467 468 470 471 472 473

Unidades

477

Constantes

478

Bibliografía

479

INTRODUCCIÓN

l. Unidades didácticas Las Unidades Didácticas están a medio camino entre un libro de texto clásico y las lecciones presenciales de los profesores frente a la pizarra. En este último caso, el alumno puede preguntar dudas que el profesor le aclara sobre la marcha, además de ponerle después una serie de problemas sobre los temas explicados para que lo comprenda mejor. Los alumnos que estudian a distancia tienen el inconveniente de no tener clase presencial. Por esta razón las Unidades Didácticas pretenden de alguna manera sustituir la clase impartida por el profesor y servirles de ayuda en el estudio. Para ello proponen explicaciones y desarrollos lo más asequibles posibles, intercalan ejemplos sobre lo que se explica y ponen ejercicios de auto comprobación para que el alumno compruebe el grado de conocimiento adquirido. 11

12

Fisice Nuclear

Las Unidades Didácticas son una manera de facilitar el estudio al alumno que no puede acudir a una clase presencial. De ahí su interés especial para los alumnos de la UNED. Es necesario contar con un libro en donde se encuentren todos los temas a estudiar (sin necesidad de más textos) escrito con la suficiente claridad para que no ofrezcan demasiadas dudas y estructurado de manera didáctica. Este no es un texto sólo privativo de los alumnos de la UNED, aunque va dedicado a ellos, ya que creemos que puede ser útil a los demás estudiantes de Física Nuclear de otras Facultades de Ciencias y Escuelas de Ingeniería.

n. Acerca

del libro

Este texto esta basado en unos apuntes de Física Nuclear que el Prof. D. Antonio Ferrer Soria imparte en la Universidad de Valencia y que con su colaboración se han reestructurado para adaptarlo a los alumnos de la UNED, transformandolo en Unidades Didácticas, . Es pues, una Introducción a la Física Nuclear según el temario exigido en la asignatura de Física Nuclear del vigente plan de estudios. El nivel se corresponde con los conocimientos de 5° curso de la carrera de Ciencias Físicas, por lo que requiere una cierta base de Mecánica Cuántica y Relatividad. Las Unidades Didácticas se han estructurado en 4 bloques que abarcan básicamente todos los contenidos establecidos (véase el Esquema General) y que son: 1. Estructura Nuclear lI. Desintegraciones Nucleares y Radiactividad lII. Reacciones Nucleares IV. Interacción de la radiación con la materia

Introducción

13

1- ESTRUCTURA NUCLEAR 1 - EL NÚCLEO ATÓMICO. PROPIEDADES FÍSICAS 2 - LA FUERZA NUcLEAR: EL DEU'IERÓN. IN'IERACCIÓN 3 - MODELOS NUCLEARES

N-N

11- DESINTEGRACIONES NUCLEARES y RADIACTIVIDAD 4 5 6 7

-

RADIACTIVIDAD Y DESIN'IEGRACIÓN NUCLEAR 'IEORÍA DE LA DESIN'IEGRACIÓN ALFA 'IEORÍA DE LA DESIN'IEGRACIÓN BETA 'IEORÍA DE LA DESIN'IEGRACIÓN GAMMA

111- REACCIONES NUCLEARES 8 - REACCIONES NUCLEARES 9 - PROCESOS DE FISIÓN Y FUSIÓN

IV - INTERACCIÓN DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA 10 -INTERACCIÓN DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA 11 - DE'IECTORES DE RADIACIONES NUCLEARES 12 - INTRODUCCIÓN A LA PRO'IECCIÓN RADIOLÓGICA

A cada bloque temático se le ha asignado un color, de manera que el alumno al ver el esquema al comienzo de cada capítulo, se sitúe visualmente en el bloque en que se encuentra en cada momento.

111. Los Temas Cada capítulo consta de los siguientes apartados: • Un esquema pondiente. • Los objetivos • Los contenidos

general

de sus contenidos, del color del bloque corres-

didácticos

marcados para la comprensión del texto.

teóricos.

- Dentro de estos contenidos teóricos aparecen ejemplos desarrollados sobre el contenido de alguna explicación en particular.

14

Ffsica Nuclear

- Los apartados señalados con pueden resultar interesantes.

**

no entrarían en el temario, pero

• Resumen de las ideas básicas para tener un conocimiento mínimo de lo explicado en ese capítulo. • Glosario

con las definiciones de los conceptos más importantes.

• Cuestiones y problemas de autocomprobaci6n, para que el alumno intente resolverlos y pueda comprobar después las soluciones correctas que se dan posteriormente. Además al final del libro se han añadido unos apéndices que consideramos de interés: Propiedades de los diferentes nucleidos, tablas de unidades y constantes más utilizadas.

Introducción a la física nuclear La Física Nuclear es el campo científico que estudia los núcleos atómicos, sus propiedades y las fuerzas que actúan entre sus constituyentes: protones y neutrones, denominados genéricamente nucleones. Al tratarse de entes físicos de dimensiones extraordinariamente pequeñas (entre 2 y 10 fm), su estudio debe abordarse utilizando los métodos y prescripciones de la Mecánica Cuántica, aunque también se recurre, circunstancialmente, a conceptos macroscópicos (como en el caso del modelo de la gota líquida) especialmente en el caso de núcleos con un gran número de nucleones. Hoyes bien conocido que los nucleones están constituidos por entes más fundamentales llamados quarks, que son entes sin estructura. Sin embargo, para el estudio de las propiedades de los núcleos no es necesario recurrir a la estructura de quarks de los nucleones. La mayoría de las propiedades de los núcleos pueden entenderse a partir de las propiedades del protón y neutrón interaccionando a través de un campo de fuerzas. El núcleo es un sistema complejo, formado por un gran número de constituyentes entre los que actúan tres de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza; la fuerza nuclear (también llamada fuerza fuerte por ser la más intensa de las conocidas), la electromagnética y la débil. A pesar del gran desarrollo de la Física Nuclear en el siglo XX, todavía no se dispone

Introducción

15

de una teoría aceptable que describa las propiedades de los núcleos; existe una visión fenomenológica de todos los procesos estudiados. No es posible describir la Física Nuclear de manera coherente, a partir de primeros principios, como la Mecánica Clásica o el Electromagnetismo. Se suele recurrir a modelos nucleares, que a primera vista parecen incompatibles. A lo largo de los temas aquí recogidos, es indispensable adelantar conceptos que posteriormente son ampliados y aclarados. Por eso, el estudio de la Física Nuclear debe realizarse de forma iterativa. A modo de resumen, conviene tener presente que la Física Nuclear tiene tres objetivos: • Escrutar las partículas y sus interacciones; campo muy activo que ha dado origen a la física de partículas. • Clasificar e interpretar las propiedades de los núcleos. • Producir avances tecnológicos que beneficien a la sociedad.

Parte 1 Estructura nuclear

Capítulo 1 El núcleo atómico. Propiedades físicas

• INTRODUCCIÓN: o

EXPERIMENTOS

EL NÚCLEO ATÓMICO HISTÓRICOS

• TAMAÑO Y DISTRIBUCIÓN DE CARGA NUCLEAR. MEDIDA DEL RADIO DE LOS NÚCLEOS o

o

l.II.IEDIDADEL RADIO DE CARGA DISTRIBUCIÓN DE MATERIA NUCLEAR

• MASA Y ABUNDANCIA o o o o o o o

DE NÚCLIDOS

UNIDAD DE MASA ATÓl\IlICA l.II.IEDIDADE MASAS DE LOS NÚCLEOS ABUNDANCIA DE NÚCLEOS ENERGÍA DE LIGADURA EL VALLE DE ESTABILIDAD ENERGÍA DE SEPARACIÓNNUCLEÓNICA FÓRMULA SEl\IlIEMPÍRICA DE MASAS

• ESTABILIDAD NUCLEAR. PARÁBOLA • ESPÍN, PARIDAD Y MOMENTOS ELECTROMAGNÉTICOS NUCLEARES o o o

DE MASAS

ESPÍN Y PARIDAD NUCLEAR ESPÍN ISOTÓPICO DEL NÚCLEO MOl.ll.lENTOS ELECTROMAGNÉTICOS

• ESTRUCTURA NUCLEARES

D E NIVELES ENERGÉTICOS

19

Fisice Nuclear

20

I OBJETIVOS

DIDÁCTICOS ESPECÍFICOS I

• Explicar los conceptos de carga, radio y masa nuclear y describir alguno de los métodos para medir estas magnitudes; analizar los resultados que aportan cada uno de los métodos. • Definir y explicar los conceptos de exceso de masa, energía de enlace de un núcleo y energía de enlace media por nucleón en función del número másico. • Utilizar el diagrama N - Z para analizar la estabilidad nuclear y deducir las consecuencias en relación a las características de los núcleos estables. • Estudiar los momentos nucleares (espín, dipolar magnético, cuadrupolar eléctrico) y la paridad para caracterizar el estado en el que está un núcleo. • Describir la estructura

de los niveles energéticos nucleares.

El núcleo atómico. Propiedades Itsices

1.1

21

Introducción: El núcleo atómico

Los núcleos están compuestos por A nucleones (se entiende por nucleón tanto a protones, p, como a neutrones, n). A es también llamado número másico, siendo Z el número de protones y N = A - Z el de neutrones. Existen núcleos con valores de A que van desde 1 hasta A ~ 260. Se trata pues de entes constituidos por un gran número de nucleones; por eso son sistemas extensos y muy complicados. Suelen denominarse nucleidos y para distinguirlos se emplea la notación ~x. Ejemplos:

Z N

=1 =O

}

1

Z N

= 92 = 143

}

lH,

Z N

=1 =1

}

2

lH,

Z=92 N= 146

235 92 U,

Z=l N=2

}rH

} 238U 92

Existen unos 350 nucleidos estables (no se desintegran espontáneamente) y más de 2000 inestables. Los núcleos con el mismo número atómico Z se denominan isótopos, con el mismo N, isótonos y con el mismo A, isóbaros. Curiosamente los únicos isótopos que han sido bautizados con un nombre diferente al del elemento químico asociado son los del Hidrógeno, llamados Deuterio (~H) y Tritio GH). Más adelante se justificará que para núcleos con A impar suele haber un s610 núcleo estable, mientras que en el caso de los núcleos con A par suelen haber al menos dos isótopos estables. Los nucleones tienen las siguientes propiedades: Masa

Carga

Vida media

mp=

1,67262 x 10 kg 2 938,272 MeV jc

Tp

>5

mn=

1,67492 x 10-27 kg 939,566 MeVj¿

Tn

=

X

1032 años

888, 6 ± 3, 5 s

(00)

qp

= +e

qn

=O

22

Ffsica Nuclear

Por lo tanto, 'Tnn ~ 1840 x me (me = 0,511 MeV /c2), con lo que los núcleos contienen toda la masa del átomo. La unidad de carga utilizada es e = 1,6 X 10-19 e, valor absoluto de la carga del electrón. Los nucleones son también fermiones (es decir tienen espín s = 1/2). Tienen momento dipolar magnético: J.Lp = 2, 7928J.LN Y J.Ln = -1, 9130J.LN siendo J.LN = eli/2mp = 3,152 X 10-14 MeV /T, el magnetón nuclear. La existencia y estabilidad de los núcleos implica la existencia de una fuerza nuclear o fuerte, atractiva, que cohesiona todos los nucleones, de mayor intensidad que la repulsión culombiana y de corto alcance (~ 1 fm). La independencia de carga, responsable de la simetría de carga de la fuerza nuclear para pp y nn, que se deriva, entre otros, de las propiedades de los núcleos espejo (cuya definición aparece en la página 33), permite dotar a los nucleones de un nuevo número cuántico llamado espín isotópico o también isospín. Se considera al protón y al neutrón como si fuesen un mismo objeto: el nucleón. El nucleón tiene isospín total TN = 1/2 Y sus proyecciones son el protón p == T3 = +1/2 y el neutrón n == T3 = -1/2. El sistema N - N podrá formar un estado triplete (T = 1) o singlete (T = O) de isospín. La importancia del isospín quedará clara cuando se estudie la independencia de carga de la interacción fuerte. Los núcleos se consideran sistemas cuánticos con propiedades estáticas bien definidas, M, R, Z, JP, T, J.L, Q,

.

o sea masa M, radio R, número atómico Z (que da su carga eléctrica q = Z e), el espín J, la paridad P y el isospín T. Los momentos multipolares electromagnéticos, el dipolar magnético J.L y el cuadrupolar eléctrico Q. Entre los momentos multipolares electromagnéticos no aparece por ejemplo el momento dipolar eléctrico, que es nulo, ya que no hay asimetría de cargas arriba-abajo. Los núcleos tienen también propiedades dinámicas, como por ejemplo, la vida media T. Las propiedades dinámicas de los núcleos se estudiarán en capítulos posteriores. Otra propiedad muy característica de los núcleos es la eristencia de niveles energéticos discretos En. En condiciones normales un núcleo se encontrará en el estado fundamental, que es el estado de mínima energía; es el más

El núcleo atómico.

Propiedades

23

ffsicas

accesible y por lo tanto el más fácil de estudiar. Suele ser el estado mejor conocido de dicho nucleido. Los niveles En, cuantificados, de mayor energía que el estado fundamental son accesibles a través de reacciones nucleares o como consecuencia de la desintegración de núcleos. La magnitud física que caracteriza las reacciones nucleares es la sección eflcaz!, que representa la probabilidad de reacción y la magnitud que caracteriza las desintegraciones nucleares es la constante de desintegración A (que da la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo) o su inversa la vida media T = l/A o también la magnitud utilizada más frecuentemente en física nuclear: el semiperiodo o periodo de semídesintegracíón", Tl/2 = ln 2/ A.

1.1.1

Experimentos históricos

Antes de iniciar el estudio de las propiedades nucleares es interesante recordar dos históricos experimentos, que marcan el origen de la física nuclear:

• El experimento de Rutherford (1911), que estudió la colisión elástica de partículas a con el oro: (1.1) permitiendo el descubrimiento del núcleo. • El experimento de Chadwick (1932), basado en el estudio de la reacción nuclear a

+

9Be

-t

l2C

+n

(1.2)

que descubrió el neutrón. 1La sección eficaz se describe con detalle en el tema de Reacciones Nucleares. 2En algunas traducciones de textos escritos en inglés puede haber confusión entre estos dos conceptos, Mean life(T) y Half life(T1/2), traduciéndolas ambas como vida medias, siendo magnitudes distintas.

Ftsice Nuclear

24

El experimento de Rutherford 6

10

~

:a

= .g 18= 'Sl:= ~

5

10

Q

'31 ,~ ; t:' a~

4

10

~ 'C 'C~

~ '§

e ,= Z

~ Q.,

3

10

10

1

30

O

60

120

90

Ángulo de difusión,

150

180

8

Figura 1.1 - La sección eficaz diferencial de Rutherford.

~g7

Se trata de la colisión elástica a+ Au, debida a la interacción eléctrica entre la carga de la partícula a y el núcleo de oro. Los proyectiles, con energía cinética T¿ = 7,68 MeV, provenían de una fuente radiactiva de Ra. La sección eficaz diferencial, que expresa la probabilidad de colisión por elemento de ángulo sólido dO. es

(1)2 (da) dO. =

47féo

(

zZe2 ) 4Tsen2 (~)

2 ~ 1

= lfi serr' (~)

(1.3)

siendo do la distancia de máximo acercamiento al núcleo, obtenida al igualar la energía cinética con la potencial,

(1.4)

El núcleo atómico. Propiedades ffsicas

25

La conclusión de las medidas realizadas por Geiger y Marsden fue que el núcleo podía considerarse como si fuese puntual y con toda la carga eléctrica, Ze, concentrada en ese punto.

El experimento

de Chadwick

Consistió en explicar los enigmáticos rayos del Berilio, producidos en la reacción nuclear'

(1.5)

Estos rayos eran desconocidos. Se trataba de neutrones, cuya detección es muy difícil. El método empleado en la época era colocando parafina detrás de la lámina de Berilio, y así se detectaban protones en un detector Geiger cercano. El contador Geiger es sensible a los protones emitidos en la colisión elástica np ---+ pn que tenía lugar en la parafina (material rico en hidrógeno). Las primeras propiedades que interesa estudiar son el tamaño y el radio de los núcleos.

1.2

Tamaño y distribución de carga nuclear. Medida del radio de los núcleos

La forma del núcleo es aproximadamente esférica. Su contorno es impreciso. Su distribución de carga o materia estará caracterizada mediante dos parámetros, el radio R y el parámetro ligado a la anchura de la corteza, t.

3J. Chadwick, Nature, (1932) 312.

26

Ffsica Nuclear

1+----_

o

1

234

5

6

7

8

9

10

r (fin) Figura 1.2 - La distribución

de Saxon-Woods

(R

= 5 fm Y t = 0,5

fm),

Los resultados experimentales realizados para medir la densidad de carga nuclear conducen a una distribución del tipo,

p(r)

= 1

+ ;~-R)/t

(1.6)

llamada de Fermi o de Saxon- Woods; Po es la densidad máxima de carga nuclear y el radio R = roAl/3 (1.7) con ro ~ 1,2 fm y t = 0, 55±0, 07 fm. Este último es un parárnetro relacionado con el tamaño de la corteza nuclear, y es prácticamente el mismo para todos los núcleos. Como suele ser habitual, el radio R representa el valor de r para el que la densidad se reduce a la mitad del valor máximo (se cumple que p(R) = Po/2). El parárnetro t, mide el intervalo de r en el que la densidad pasa del 62,2% al 37,8%. En efecto , estos son los valores de la densidad que se obtienen al hacer r = R ± t/2. Sin embargo, para tener una idea de la anchura de la corteza nuclear se suele tomar por convenio la anchura en la que la densidad

El núcleo atómico. Propiedades itsices

27

nuclear pasa del 90% al 10%. En cuyo caso es fácil comprobar usando (1.6) que la anchura de la corteza nuclear es 4t In 3 (= 4, 39 x t). Toda una serie de experimentos se utilizan para medir esta distribución. • Experimentos para la medida de la carga nuclear: - Difusión electrón-núcleo, (e + N). - Rayos X de isótopos. - b.E en núcleos espejo. • Experimentos para la medida de la materia nuclear: - Difusión de Rutherford

(las desviaciones).

- Desintegración a. - Rayos X de átomos piónicos.

1.2.1

Medida del radio de carga de los núcleos

Difusión elástica e-

+N

Deben utilizarse electrones de momento p 2: 100 Me V / e, para que puedan explorar zonas de tamaño). ::; 10 fm. La difusión e-N es similar a la difracción de la luz por un disco de diámetro D; la posición de los mínimos de la sección eficaz diferencial aparece en los ángulos ()solución de la ecuación: sen () = 1,22), (1.8) D A partir de resultados de experimentos de difusión con electrones llevados a cabo en el laboratorio SLAC 4 se determinó que el radio del núcleo del Oxígeno vale R(160) ~ 2,6 fm, y que el del Carbono es R(l2C) ~ 2,3 fm.

** Factor de forma de carga nuclear. Más cuantitativamente, la densidad de carga nuclear se mide a partir del factor de forma nuclear F(q2), que se define como la transformada de Fourier de la distribución de carga Pch(T). La sección eficaz de Rutherford (:;) R vista en (1.1) explica la difusión culombiana no relativista entre dos cargas puntuales. Se puede reescribir en función del 4H.F. Ehrenberg 113 (1959) 666.

28

Fisice Nuclear

momento transferido entre el electrón inicial y final, if = p.¡ - P¡, que, al tratarse de una difusión elástica (IPiI = IP¡D se cumple q2 = 4p2sen2(B/2). Se tiene entonces:

(1.9) Si se supone un objeto extenso, se introduce el factor de forma F(if), con lo que la sección eficaz de Rutherford se escribe,

da) da) (dO. = (dO.

puntual

[( 2 ]2 F q )

(1.10)

que, en función del momento transferido,

(1.11) Sea carga

'l/J(f} la función de ondas nuclear del estado fundamental. La densidad de (1.12)

J pch(r)r2dr.

siendo la normalización Z = 47f El factor de forma se define como la transformada de Fourier de la distribución de carga,

F(q) = j pch(r)eiq.rdr

(1.13)

que, al tomar la parte radial, queda:

F(q2) Desarrollando el

F(q2) =

47f

q

=

47fj q

pch(r) sen(qr)rdr

(1.14)

sen(qr) se tiene,

jpch(r)[qr

- ~(qr)3 3.

+ ...]rdr =

1 Z[1 - -6q2(r2)

+ ...]

(1.15)

con lo que puede obtenerse el radio cuadrático medio (r2), y que a su vez puede determinar el radio R. Para un núcleo esférico de densidad constante p(r) = Po se cumple,

(1.16)


29

luego,

R=1,29~ Las medidas realizadas

.j(ii)(206Pb)

=

(1.17)

por este método dan'',

y'(r2)(40Ca)

= 3,448 fm y

5,509 fm.

La distribución de medidas y'(r2) / A 1/3 en función del número másico A da lugar a una constante para A 2: 50, obteniéndose, = (0,97

~

± 0,04) Al/3

(1.18)

y se verifica que

R

=

roAl/3

También se podría conocer

ro ~ 1,2 fm

con

pch(r) realizando la transformada

(1.19) de Fourier inver-

sa: 00

pch(r) = -2 12

10

'Ir r o

F(q2) sen(qr)qdq

Este método también se emplea para medir el radio del protón. entonces una forma dipolar

(1.20) Se utiliza (1.21)

siendo qo = 0,84 GeV [e: El factor de forma (eléctrico) del protón se escribe en este caso: (1.22)

Utilizando el mismo desarrollo que en la expresión (1.15), se tiene

(1.23)

o sea, al convertirlo en unidades de longitud,

(r2) = (0,81 fm)2.

5Una compilación de datos y referencias puede verse en C.W. de Jager Atomic Data and Nuclear Tables 14 (1974) 479; Y en la misma revista, 36 (1987) 495.

30

Fisice Nuclear

RayosX de is6topos Introducci6n: Transiciones atómicas. Se trata de estudiar las diferencias en las líneas espectrales de isótopos del mismo elemento. Si los núcleos fuesen puntuales, todos los isótopos del mismo elemento tendrían el mismo espectro de rayos X, ya que todos los electrones sentirían la misma carga nuclear puntual (los efectos de masa son despreciables ya que interviene la masa reducida que es prácticamente f..L = me). El núcleo es extenso y si se supone esférico, el potencial eléctrico en su interior es, 2 V'(r) = __ 1_ Ze [~ _ ~(!:.-)2] (1.24) 47réo R 2 2 R mientras que para r

> R es puntual y vale V(r)=---

1

Ze2

(1.25)

r

47réo

La diferencia en niveles energéticos debida al tamaño del núcleo será: tlE

= E~s,extenso -

E1s,puntual

(1.26)

= (V') - (V)

en donde se supone que las funciones de onda 'l/Jn son iguales en los dos casos (por eso los términos de energía cinética del hamiltoniano se cancelan). Para evaluar esta última expresión, que da el incremento de energía debido a la extensión del núcleo, debe calcularse el valor esperado ('l/JnlVl'l/Jn), tomando como función de ondas 'l/Jn = 'l/Jls, la del átomo hidrogenoide en el estado 18 cuya expresión es (1.27) Se obtiene: tlE

=

4 2 _1_4Z e 47réo

{R e-2~r {~_

a~ lo

r

~

2R

+

(1.28)

~.c} R3 2

r2dr = ~_1_Z4e2 R2 5 47réo a~

en donde ao es el radio de Bohr, ao = n/(meac) = 0,529 A. Sin embargo no se tiene suficiente precisión (es del orden 10-4) con una sola medida. Por ello se miden desplazamientos isotópicos, es decir diferencias respecto a un isótopo dado, como se describe a continuación. rv


31

Desplazamiento isot6pico de rayos X de la capa K. Sea la transición 2p -+ ls, que se comparará entre 2 isótopos A Y A' del mismo elemento. La diferencia de energía de los rayos X de dichos isótopos será, (1.29) (E2p(A) - Els(A))

- (E2p(A')

- E1s(A'))

=

E1s(A') - Els(A) ya que la función de ondas 'l/J210 '" r, lo que implica que 'l/J21O(0) = 0, Y sólo cabe retener la parte del estado 18 cuya función de ondas es la función 'l/Jls vista más arriba.

-~E

(eV) 0.5

204

0.4

202

0.3

0.2

200 ,

,,

0.1

o

A'20! ,

X199 198 34.0

34.5

35.0

A2/3 Figura 1.3 Desplazamientos isotópicos de rayos X de la capa K en los isótopos del Hg. En la figura, se toma la energía de los rayos X de la capa K del isótopo Hg-198 como origen y se calculan las diferencias respecto a él, hasta Hg-204. Los rayos X tienen energías del orden de 10-6. Se ve claramente la dependencia en A 2/3 tanto en los isótopos de A par como en los de A impar (Datos de P.L. Lee et al., Phys. Rev. C17 (1978) 1859).

Ffsica Nuclear

32

Teniendo en cuenta que Epuntual es la misma para los dos isótopos, la diferencia entre las energías del mismo rayo X entre ellos será función del tamaño nuclear dado por R en la fórmula (1.28), con lo que se predice un desplazamiento isotópico óE = EK(A) - EK(A') = ~E(A') - ~E(A), o sea: 4

óE = ~_1_ Z

2

e

2 [A'2/3 _ A2/3]

T

5 41Té:o a~ o

(1.30)

Para los isótopos del mercurio (195 H 9 al 200 H g, que se representan en la figura 1.3), se obtienen valores de óE entre las energías de los mismos rayos X entre isótopos del orden de 0,1 a 0,5 eV, distribuidos en una recta en función de A2/3 y dando un parámetro TO = 1,2 fm. Átomos mu6nicos. Para la medida del radio nuclear es mucho más sensible la utilización de los llamados átomos mu6nicos. Un átomo muónico se caracteriza porque uno de los electrones de la corteza atómica ha sido reemplazado por un muón, una partícula (leptón) que tiene las mismas propiedades que el electrón pero con mayor masa (m¡.¡. = 105,66 MeV /c2) e inestable (T ¡.¡.= 2, 2 J.Ls). Para obtener átomos muónicos, basta con bombardear el material elegido con un haz de muones. La manera de detectar la existencia de un átomo muónico es, precisamente, a través de la emisión de rayos X de mayor energía que en el caso del átomo ordinario. Recuérdese que la energía del electrón en un átomo hidrogenoide es E

= n

_W? (Za)2 2 n2

(1.31)

proporcional a la masa reducida (w?) que en el caso del muón es 211 veces mayor que la del electrón. Sin embargo, las órbitas del átomo muónico están más cerca del núcleo ya que el radio es ~ 211 veces menor. En efecto, los radios medios de la trayectoria del e- y del J.L- en el átomo hidrogenoide están relacionados, _

_ me con m¡.¡.

T¡.¡.= Te-

(1.32)

siendo ao el radio de Bohr. Por ello el J.L- es una sonda más sensible que el e- a una estructura nuclear extensa y los desplazamientos isotópicos son más fáciles de medir, ya que dan lugar tanto a energías como a desplazamientos energéticos de los rayos X mucho mayores.

El núcleo atómico. Propiedades físicas

33

Energía culombiana de núcleos espejo Los núcleos X e Y son núcleos espejo si el número de protones de uno es igual al de neutrones del otro, Zx = Ny Y viceversa. Es como si uno de ellos fuese la imagen especular del otro. Por ejemplo: f H - ~He; ~3N - ~3C; ~gCa - f~K, etc. Restringiéndose a los núcleos espejo impares, que son los únicos que interesan, se tiene la ventaja de que el neutrón impar del uno ocupa el mismo estado cuántico que el protón impar del otro (no habrá cambio de orbitales). La única diferencia entre los dos núcleos vendrá dada por su distribución de carga eléctrica. Se puede calcular la diferencia de la energía culombiana, suponiendo que esos núcleos son esferas cargadas

(1.33)

Si se toma Z como el número atómico del núcleo de mayor carga de los dos núcleos espejo, entonces para cualquiera de los dos núcleos espejo se cumple que A = 2Z -1 y

(1.34)

con lo que queda la siguiente relación entre b.Ee y

TO:

(1.35)

La medida de la diferencia de energía culombiana, b.Ee, se hace a través de la medida de T max (e+) del positrón en la desintegración f3+ entre núcleos espejo.

34

Ffsica Nuclear Ejemplo:

Tómese por ejemplo la desintegración

(1.36) con T1/2 = 10 m y Q{3+ = 2198,4 keV. El valor de Tmax(e+) en la desintegración (1.36) viene dado por el valor Q de la desintegración: Q = Tmax(e+), Y Q por definición es Q = minicial - mfinal, la diferencia entre la masa total del estado inicial y la del estado final". O sea

(1.37) ya que la masa del neutrino es prácticamente nula y no interviene en este balance. La diferencia de masas entre dos núcleos espejo (N y C) vendrá dada por la diferencia de sus energías culombianas corregida por la diferencia de masas entre el neutrón y el protón.

Con todo ello, el valor de la energía máxima del positrón emitido, Tmax(e+), vendrá dado por:

De (1.38) se obtiene el valor de ó'Ec, con lo que se puede calcular TO' Otro método para medir ó'Ec es el de la medida del umbral energético de reacciones entre núcleos espejo (de intercambio de carga); por ejemplo: o bien Los resultados de los experimentos citados, confirman el valor de TO

= 1,22 fm

6En este ejemplo se utilizan masas nucleares, más adelante se verá que este tipo de cálculos se realizan con las masas atómicas.

El núcleo atómico. Propiedades itsices

1.2.2

35

Distribución de materia (masa) nuclear

Para sondar la materia nuclear es necesario utilizar proyectiles sensibles a la interacción fuerte. El método permite detectar no sólo protones (con carga) sino también neutrones, ya que estos últimos sólo tienen interacción fuerte. Se pueden utilizar los siguientes tipos de experimento: a) Colisiones a+ núcleo. Midiendo por ejemplo la probabilidad de difusión, a un ángulo fijado, en función de la energía de la partícula a (es lo que se llama la sección eficaz diferencial), se llega a un valor a partir del cual se vence la repulsión culombiana. A partir de entonces ya no se cumple la ley de Rutherford. El valor de Ea en el que se rompe la ley de Rutherford, está relacionado con el R nuclear. b) Rayos X en átomos rr- ó K - mésicos. c) Absorción de neutrones. Cuya sección eficaz puede escribirse: O"abs =

rr ( R

+

2~)

(1.39)

2

en donde R da el radio de masa del blanco nuclear. d) Difusión rr + N. Estas reacciones son sensibles a la distribución de neutrones en los núcleos. En efecto, la invariancia de isospín conduce a O"(rr+p) 0"(rr+n)

rv

O"(rr-n) 0"(rr-p)

rv

9

(1.40)

ya que rr+p y rr-n son reacciones puras de isospín T = 3/2, y se supone que la amplitud de isospín T = 1/2 es h=1/2 O. La relación anterior se obtiene para las secciones eficaces elásticas si se trabaja a energías cercanas a la producción de la resonancia (1232), debido al valor 2'2 de los coeficientes de Clebsh-Gordan. rv

~-ª -ª

1.3

Masa y abundancia de núclidos

Experimentalmente es mucho más fácil medir masas de átomos que de núcleos. De hecho lo que suele medirse es la masa de átomos ionizados, a los que les falta algún electrón, lo que facilita su manipulación con campos

36

Ffsica Nuclear

eléctricos y magnéticos. Por contra, es muy difícil medir masas de núcleos (a menos que sean muy ligeros), puesto que para aislarlos habría que ionizar los átomos completamente. Por ello en física nuclear es frecuente que se hable de masas atómicas. De hecho es lo que se suele encontrar en las tablas nucleares.

1.3.1

Unidad de masa atómica

Desde 1961 la unidad de masa atómica u, también representada por las iniciales u.m.a., se define tomando como unidad la masa

M (12C)

U

= --'-------'12

siendo M(12C) la masa de un átomo de 12C. Para conocer el equivalente en kg, hay que tener en cuenta cuál es el número de átomos en un mol, 12NA·

U

= 0,012 kg

u = 1,66

=}

X

10-27 kg

lo que permite calcular la energía equivalente E¿ = U· también decir que la unidad de masa atómica vale:

¿

= 931,49 MeV, o

u = 931,49 MeV/c2

1.3.2

(1.41)

Medida de masas de núcleos

La relación entre la masa atómica Ma y la masa del núcleo M¿ es

z Mn(~X) = Ma(~X)

-

z-», + ¿Bi/C2

(1.42)

i=l

donde B, son las energías de ligadura de los electrones, despreciables en la anterior expresión (sus valores pueden encontrarse desde 10 eV hasta 100 keV). Se conoce una estimación empírica del término de energía de ligadura de los electrones:

z

¿Bi = 14,33 x Z2,39 eV

(1.43)

i=l

Hay que insistir de nuevo en el hecho de que en las tablas de propiedades de los núcleos siempre aparecen las masas atómicas.

El núcleo atómico. Propiedades [{sicas Se habla a veces de defecto

37

de masa, que se define como

!:J.=Ma(Z,N)-A·u

(1.44)

en donde M se mide en unidades de masa atómica (u.m.a.). Recuérdese que A = N + Z es un número adimensional, por lo que en el cálculo de !:J.aparece multiplicado por u.

Espectroscopia

de masas

Un espectros copio es un instrumento en el que es posible variar el campo eléctrico E y el magnético B, en el interior de un recinto normalmente al vacío, y en el que manteniendo los dos campos perpendiculares entre sí, se puede realizar una selección de velocidades de iones al igualar las fuerzas eléctrica Fe = qE y magnética Fm = qvB. A la salida del espectroscopio se mantiene únicamente el campo magnético con lo que al cumplirse v = E/B, se puede medir la masa a partir de la medida de la curvatura de la trayectoria en el campo magnético B, o sea, como mv = qBr qrB2

m=-E

(1.45)

Las masas de núcleos se determinan con precisiones del orden de una parte en un millón (1 -;- 106). Para ilustrarlo se describen a continuación los métodos más frecuentes. Primero se describe el método pionero utilizado por Thomson y se completa con métodos más actuales, por ejemplo el del doblete de masas cuya característica más destacada es que se consigue una gran precisión en la medida de masas.

La parábola

de Thomson

El método utilizado por Thomson para la medida de elm; se conoce como el método de la parábola de Thomson. Fue básico, a principios del siglo XX, para la determinación de masas. Este método es el que le sirvió a Aston en 1920 para establecer por primera vez los isótopos de un mismo núcleo N e, 21 N e y 22 N e) y su abundancia relativa.

eo

38

Ffsica Nuclear

iE, B

y

,, ,

/ /

,, ,, ,,

/ / / / / /

,

/

"

x

Figura 1.4 - La parábola de Thomson. Con los campos magnético B y eléctrico f, tal como se representa en la figura, un haz de electrones que atraviese el eje perpendicular a la figura, al incidir en una pantalla, describe la curva a trazos. En efecto, sea un haz de electrones que atraviesa un campo eléctrico y magnético cuya dirección sea la del eje y de la figura 1.4. El campo eléctrico lo crea un condensador de longitud P. La trayectoria que sigue el electrón en el campo E se deduce de (1.46) o sea

ii =

e/m· E que tiene por solución 1ef

y= --t 2m

2

ef p2 2mv2

(1.47)

Después de atravesar el campo eléctrico, entra en el campo magnético, actuando la fuerza de Lorentz F = x B a lo largo de un recorrido de igual longitud que el campo eléctrico, P. La fuerza de Lorentz debe ser igual a la fuerza centrífuga Fe = mv2r/r2; es decir se cumplirá que ma¿ = evB, en el caso de que se trate de un electrón.

qv


Propiedades ffsicas

39

La deflexión en el campo magnético vendrá dada por

(1.48)

luego eBf2 x=-2mv

(1.49)

de forma que la órbita descrita por las partículas será una parábola

(1.50)

independiente de la velocidad de los iones. Según la parábola de Thomson, descrita por la expresión (1.50), la deflexión eléctrica dele = Y (producida por el campo E) y la deflexión magnética, dmag = x, están relacionadas y permiten determinar el cociente el m. Los iones no deflectados (caso de que E = B = O) incidirán en el centro de coordenadas; por el contrario, con campos no nulos, se distribuirán a lo largo de la curva dependiendo de su velocidad. En el caso de la espectroscopia de masas nuclear, la intensidad de las parábolas informa sobre la abundancia relativa de los isótopos.

Método del doblete de masas Este método utiliza un núcleo de masa conocida y se mide la diferencia de masa con el núcleo cuya masa, desconocida, se desea determinar. De hecho se suelen utilizar elementos compuestos. Así por ejemplo, supóngase que se desea determinar la masa del hidrógeno, partiendo del hecho que el Carbono es la referencia. Se puede entonces medir diferencias de masas de compuestos (ionizados) con el mismo número de nucleones.

40

Fisice Nuclear

Ejemplos: La diferencia de masas del nonano (C9H20) y la del naftaleno (ClOH8). Para maximizar la resolución del espectroscopio, se ajusta a la masa aproximada de los dos compuestos (en este caso A = 128). Se obtiene 8 = 0,09390032 ± 0,00000012 u.m.a. entonces dado que la diferencia entre las masas de los componentes se puede escribir:

se llega a:

MC

H) =

Me2C) 12

8

+ 12 = 1,00782503 ± O, 00000001 u.m.a.

es decir, a partir del núcleo de referencia 12 C, que sirve para definir la unidad de masa atómica, se puede medir la masa del hidrógeno. Otro ejemplo es el de la medida de la masa del nitrógeno. Para ello puede medirse la diferencia de masas entre el etano (C2H4) y el propio nitrógeno, N2, los dos con A = 28 8 = 0,02515220 ± 0,00000002 u.m.a. llegándose a que

MC4N) Medida

=

14,00307396

de masas a través

± 0,00000002 u.m.a.

de reacciones

nucleares

Sea la reacción a + A -t b + B. El valor Q de la reacción se define como la diferencia de masas entre el estado inicial y el final

Q es decir,

= Minicial - M final

(1.51)


Q

41

= [M(a) + M(A) - M(b) - M(B)]c2 =

n + TB -

T¿ - TA

(1.52)

que es igual, por conservación de la energía, a la diferencia de las energías cinéticas entre el estado final y el inicial. Generalmente el blanco A está en reposo por lo que en la anterior ecuación, TA = O.

y

... ...

a

... ...

x ... ...

... ...

... ..•

... ..•

..• ~

B Figura 1.5 - Reacción nuclear a + A --t B + b + 14 N --t 3 H + 12 N). En el sistema laboratorio.

(Por ejemplo p

Si O es el ángulo de emisión de b (ver figura 1.5), al eliminar TB (utilizando las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento j!), se cumple Q = n(l + Mb/MB) - Ta(l-

2

Ma/MB) - M JTanMaMbCOS(O) (1.53) B de forma que, conocidos Ma, M¿ Y MB, se puede determinar Q y por consiguiente MA. Este método es imprescindible para medir la masa de núclidos inestables.

Ffsica Nuclear

42 Ejemplo:

Medida de la masa del 12 N, que es inestable y tiene un periodo de semidesintegración T1/2 = 0,01 s. Puede producirse en la reacción p+14 N -t12 N +3 H. Conocido el valor de Q = -22,135 ± O,001 MeV, y conocidas las otras masas, incluída la del tritio Me H) = 3,016049 u.m.a., se obtiene,

Me H) + Me4 N) - M 12,018613

± 0,000001

eH) - Q/ c

2

=

u.m.a.

Medida de la masa del neutrón Un caso interesante es la medida de la masa del neutrón. Al ser una partícula neutra, no puede utilizarse un espectrómetro de masas. Las dos técnicas siguientes utilizan la conservación de la energía en las reacciones nucleares: • Fotodisociación del deuterón:

Por conservación de la energía:

Los fotones 'Yprovenían de una fuente de ~~8Tl con E'Y = 2,62 MeV, y con una cámara de Wilson se midió el recorrido del protón obteniéndose Tp = 0,2 MeV, con lo que mn = 1,00866 u.m.a. • Colisión de neutrones térmicos con núcleos de

14 N


43

Propiedades ffsicas

La energía de los neutrones es T¿ = 0,025 eVo Se mide Tp = 0,585 MeV, se determina T14C/Tp = mp/ M (14C) lo que da Mc - MN = 0,156 MeV obteniéndose finalmente t::.m

= mn -

MnH)

=

0,782 MeV

que por cierto, permitió medir por primera vez la masa del neutrino en la desintegración beta del neutrón, encontrándose que la masa del neutrino es compatible con O.

Hoy se sabe que la masa del neutrón vale mn = 1, 008664904 u

1.3.3

Abundancia de núcleos

La abundancia de cada isótopo sobre la Tierra estará directamente ligada a la nucleosíntesis (la frecuencia con la que cada nucleido fue originalmente producido) y a la estabilidad nuclear (la probabilidad de desintegración de cada nucleido). En la figura 1.6 puede verse la abundancia de los elementos en función de su número másico A. Los elementos naturales aparecen con una abundancia isotópica variable. La proporción de cada núclido existente en un elemento dado se determina mediante medidas espectroscópicas. Por ejemplo, la determinación de los isótopos estables del Kripton 36K r da, en %,

A =

%

78 0,356

80 2,27

82 11,6

83 11,5

84 57,0

86 17,3

con lo que la masa que aparece en las tablas nucleares es M (Kr) = 83,8 u.m.a., entendiéndose que se trata del valor medio de las masas de cada uno de los isótopos ponderado por su abundancia respectiva.

44

Ffsica Nuclear

Abundancia

He

[Si=106]

o

e

Ne

Mg '06

Si

Fe Al

ea

NI

Na

F P

Ti

8

10-2 !:-l'--;,l,::--l-....,.!:,-....L...-::!=-J...."'::-l~,..-L-"""=..J.....,.+:-y,,,.-L-:-:!-:,....L-,:-!-:-l o 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Número másico

A

Figura 1.6 - Abundancia de los elementos en la Tierra y el sistema solar. Se ha tomado como referencia la abundancia del Silicio igual a 106. La abundancia se ha medido en meteoritos por espectroscopia de masas; se supone que es la misma que en todo el universo.

1.3.4

Energía de ligadura

La energía de ligadura o enlace nuclear, EB(Z, N), es la energía necesaria para disociar el núcleo en sus constituyentes, (1.54) en donde M(Z, N) representa la masa atómica del núcleo con Z protones y N neutrones. Por ello aparece la masa del hidrógeno en uno de los sumandos.


45

La energía de ligadura también puede escribirse en función de los defectos de masa 6.: EB(Z, N)

= [Z6.H + N 6.n - 6.(Z, N)]c2

(1.55)

con 6.H = 7,2890 MeV y 6.n = 8,0714 MeV, como puede comprobarse por la definición de defecto de masa dada en (1.44).

Número másico

A

Figura 1.7 - Variación de la energía de ligadura por nucleón, EB/A, en MeV, en función del número masíco A. La curva a partir de A 15 sigue la fórmula de masas. rv

La curva que representa la energía de enlace por nucleón (véase figura 1.7), E = EB/A, es muy instructiva. Tiene un máximo en 8,8 MeV para A ~ 56, en la zona del hierro, y va disminuyendo hasta 7,6 MeV para A 240. El valor medio es E ~ 8 MeV. rv

rv

Ftsice Nuclear

46

Muchas son las consecuencias que se derivan de una inspección de las propiedades estudiadas, 1. Hay saturación, E cte, luego la fuerza es de corto alcance. Si fuese de largo alcance variaría como A2. Pero no hay colapso, ya que el volumen aumenta linealmente con A y la densidad nuclear es constante con A, lo que quiere decir que hay una fuerte repulsión a muy corto alcance « 0,5 fm). rv

2. La fuerza nuclear es fuerte. 3. La fuerza es atractiva y mayor que la culombiana. El valor medio de la energía de ligadura por nucleón es E 8 MeV, y mucho mayor que la repulsión electrostática, E¿ = e2 jd = añcj(2 fm);:::j0,7 MeV. rv

4. El máximo de la curva tiene lugar para A en dos regiones

A

< 60 en donde puede haber

A> 60 "

"

"

"

rv

60 y clasifica los nucleidos

FUSIÓN (Q¡us > O) FISIÓN (Q¡is

> O)

5. La existencia del deuterón (estado ligado p - n), con espín J = 1, y la no existencia de otro estado nuclear ligado de dos nucleones (p - p ó n-n) permite concluir de inmediato que las fuerzas nucleares dependen del espín. 6. La diferencia de valores de E en el caso de los núcleos espejo es prácticamente la diferencia de energía culombiana. Las fuerzas nucleares son independientes de la carga. La consecuencia es que si se excluye la carga se cumple que las fuerzas protón-protón son iguales que las protón-neutrón y neutrón-neutrón. Se cumple, esquemáticamente, que las fuerzas pp = pn = nn. Esta observación dió lugar a la introducción del número cuántico isospín, basado en la simetría de carga (invariancia) del hamiltoniano de la interacción fuerte.


47

1.3.5 El valle de la estabilidad La llamada carta o plot de Segré (ver figura 1.8) muestra, en el plano (Z, N), la presencia de núcleos estables. Como puede observarse, siguen una trayectoria en la que Z ~ N para A < 40. A partir de A 40, el cociente N/ Z va aumentando progresivamente hasta tomar valores de N/ Z 1, 56 (para los uránídos), o lo que es lo mismo, Z/A 1/2,5. Si se representase la masa en el tercer eje, aparecería un valle, cuya línea de máximos es la conocida línea o valle de estabilidad. rv

rv

rv

z 140 o o Z 120 o o::

~ w

z 100 o o:: w 80 ::::E ::::>

z 60 40 20

o

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

NUMERO ATOMICO Z

Figura 1.8 - Carta de los nuc1eidosmás estudiados, con indicación de los números mágicos. La zona central sombreada corresponde a los nuc1eidosestables. De la observación de este gráfico, de las tablas de nucleidos y de las curvas de abundancia de núcleos estables se deducen las siguientes propiedades: 1. El principio de exclusión de Pauli justifica el equilibrio numérico entre

protones y neutrones (Z/N 1 para A < 40), pero para núcleos más pesados (A > 40) la tendencia es al aumento relativo del número de neutrones (Z/A 1/2,5). rv

rv

Ffsica Nuclear

48

Z-N

A par impar impar par

par - par impar - par par - impar impar - impar

Número 165 50 55 4

Tabla 1.1: Número de núcleosestables según el número par o impar de nucleones. 2. Hay muchos más núcleos estables de tipo par-par (ver tabla 1.1). Esto implica que deben existir fuerzas de apareamiento. En particular los núcleos clusters de a (4 He, 8 Be, 12C, 160) tienen valores grandes de la energía de ligadura €.

3. La curva de abundancia muestra gran número de núcleos estables en los números Z ó N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Se llaman números mágicos. Existen también núcleos con números doblemente mágicos (Z y N), por ejemplo, 4He, 80, 40Ca, 208Pb. 4. Más allá del Plomo (Z = 82), la repulsión culombiana rompe la estabilidad nuclear y todos los núcleos son inestables bajo desintegración a.

1.3.6

Energía de separación nucleónica

Se llama energía de separación neutrónica, Sn, a la energía necesaria para arrancar un neutrón de un núcleo. Este proceso puede describirse: AX

z

----t

A-IX

z

+n

(1.56)

entendiendo que hay que suministrar energía al núcleo X inicial para arrancarle el neutrón. El valor de esta energía es: Sn(Z, N) = -[M(Z,

N) - M(Z, N - 1) -

mn]c2

(1.57)

En términos de la Q de reacción Sn = -Qn' También se puede escribir la energía de separación en función de las energías de ligadura quedando,


49

(1.58) variando según los núcleos de 5 a 15 MeV. El valor de Sn es siempre mayor para N par; esto es consecuencia de las fuerzas de apareamiento. La energía de separación protónica se define análogamente, Sp = -Qpj es decir:

Sp(Z, N)

=

-[M(Z,

N) - M(Z - 1, N) - Me H)]c2

(1.59)

que en función de las energías de ligadura queda, (1.60) variando según los núcleos de 1 a 14 MeV. De la misma manera se puede definir SoeZ, N), la energía de separación de una partícula a, e incluso de otros núcleos mayores. Hay picos en los valores de Sn y Sp para ciertos valores de N y Z que corresponden precisamente a los números mágicos. Estas energías son muy similares a las de ionización de los átomos. Reflejan la existencia de capas, puesto que toman valores elevados al pasar por ciertos números Z y/o N, que coinciden con los números mágicos vistos más arriba. Las energías de separación son también mucho mayores para los núcleos con N ó Z par. Esto también confirma la existencia de fuerzas de apareamiento. La fuerza de apareamiento puede determinarse para protones y neutrones separadamente. De hecho lo que se mide es el valor de la energía de apareamiento. Para protones vale Pp = Sp(Z, N) - Sp(Z -1, N), y análogamente para neutrones, Pn. El valor de esta energía se encuentra alrededor de 3 MeV para núcleos ligeros y va disminuyendo siguiendo una dependencia en A-l/2 hasta valer algo menos de 1 MeV para el Plomo. Se suele parametrizar (Bohr, Mottelson; 1969):

Pp

rv

P;

rv

11,2

VA

(1.61)

Otros autores utilizan dependencias con A muy parecidas.

1.3.7

Fórmula semiempírica de la masa

Las conclusiones a las que se ha llegado sobre las propiedades globales de los núcleos, confirman que:

50

Fisice Nuclear

i) Existe saturación de las fuerzas nucleares (EB/A ex A). ii) La distancia media entre constituyentes es constante: d densidad nuclear es constante p (1/7) fm-3.

= 1,9 fm; la

rv

iii) La fuerza que actúa entre ellos es de corto alcance. Todas estas propiedades son las que sustentan los éxitos parciales del sencillo modelo nuclear de la gota líquida, que se estudiará con más detenimiento en el capítulo correspondiente a los Modelos Nucleares. Para calcular las masas atómicas,

M(Z,N)

=

ZMeH)

+ Nm¿

-

EB(Z,N)jc2

(1.62)

Weizsacker propuso un método basado en este concepto de gota líquida, corregido por dos términos microscópicos debidos a la naturaleza cuántica del núcleo. En este modelo, se supone que el núcleo es como una gota incompresible, o sea, de densidad constante e independiente de A; cada nucleón estará ligado con la misma energía de ligadura. Con ello, la energía de ligadura nuclear queda:

conocida por el nombre de fórmula de Bethe- Weiszacker. Los coeficientes (ti, se determinan ajustando las energías de ligadura (o masas) de los núcleos estables. Los tres primeros términos representan las energías de ligadura de volumen, superficial y de repulsión culombiana. Los dos últimos términos, que como se ha dicho no derivan de las propiedades de la gota, se pueden justificar por: a) El principio de exclusión de Pauli, que favorece Z ~ N. Se llama término de asimetría y se parametriza con el término (tA. En efecto, cuanto más diferentes son Z y N, más disminuye la energía de ligadura y el núcleo es más inestable. Si /lE es el intervalo energético entre niveles nucleares en el pozo en el que están ligados los nucleones (uno para Z protones y otro para los N neutrones), puede justificarse que para aumentar el número de uno de ellos respecto al otro exige un aumento de energía que varía (N - Z)2/lEj8. El factor A-1 recuerda que en un pozo de rv


51

potencial, el espaciamiento de niveles es inversamente proporcional al volumen del pozo. b) La energía de apareamiento, ligada a la estabilidad de los núcleos par-par frente a impar-impar. Su valor es

-apA -1/2 par-par

Ó =

{

°+a Ap

1/2

(1.64)

impar-par impar-impar

Los valores de los parámetros ai que conducen a reproducir las masas de los núcleos estables son, en Me V

15,8 15,5 16,0

18,3 0,7 16,8 0,7 17,0 0,6

23,2 23,0 25,0

11,2(A 1/2) 34,0( A -3/4)

25,0(A-1)

Autor Fernow Krane Wong

No todos los autores parametrizan la energía de apareamiento según A-1/2, como puede verse, entre paréntesis, en la tabla anterior. La fórmula de Bethe- Weiszacker (véase la figura 1.7) es válida para núcleos con número másico A ~ 20 Y no puede explicar diferencias entre energías de ligadura de núcleos cercanos. Se limita a reproducir, de manera suave, la masa del más estable de los núcleos con el mismo número másico A. Para predecir masas alejadas del valle de estabilidad se usa la fórmula de KelsonGarvey que se presenta a continuación. Fórmula de Kelson-Garvey Basada en un modelo microscópico, en el que se supone que existen interacciones debidas a uno y dos constituyentes. Se postula que la energía de ligadura es de la forma, EB(Z, N)

=

aN

+ bZ + cN(N - 1)+ dZ(Z -1) + eZN

(1.65)

es decir, una suma de términos de un cuerpo (N y Z) y términos de dos cuerpos, proporcionales a los productos Z(Z - 1), N(N - 1) Y ZN.

52

Ffsica Nuclear

De aquí se llega a la regla, EB(Z + 1, N - 1) + EB(Z, N + 1)+ +EB(Z -l,N) - EB(Z, N -1)-EB(Z + 1, N) - EB(Z - 1, N + 1) = O

(1.66)

obteniéndose predicciones con una precisión del orden de unos 100 keV.

1.4

Estabilidad nuclear. Parábola de masas

La inestabilidad nuclear se manifiesta por la desintegración espontánea del núcleo, dando origen a otro estado nuclear. El proceso físico de la desintegración es posible porque existen núcleos que tienen menor masa (debe cumplirse que la Q de desintegración sea positiva, Q > O). Los procesos de desintegración pueden ser: a, {3, "f, fisión y emisión de nucleones. Todos ellos se estudiarán con más detenimiento en capítulos posteriores. La descripción esquemática de estos procesos es la siguiente: • Desintegración a AX Z

-t

A-4y Z-2

+

4 He 2

(1.67)

• Desintegración {3 - Desintegración {3-

(1.68) - Desintegración {3+ ~X

~-lY

-t

+ e+ + Ve

(1.69)

- Captura electrónica (e.E.) (1.70) • Desintegración

"f

~X*

-t

~X

+ "f

(1.71)

en donde el núcleo X* se encuentra en un estado de mayor energía que el X.

El núcleo atómico. Propiedades Iieices

53

• Fisión inducida (1.72) • Emisión de nucleones

~x ~ ~=iY +p

o también

~X ~

~-lX

+n

(1. 73)

En cada caso intervienen distintos tipos de fuerzas o interacciones. Más adelante se estudiarán con todo detalle los mecanismos de desintegración de los núcleos. Se sabe, experimentalmente, que los núcleos estables cumplen la ley

z . mm

=

1,98

A

(1.74)

+ 0, 015A2/3

en donde Zmin representa el número atómico del núcleo más estable con A nucleones. Puede justificarse si se tiene en cuenta que la fórmula semiempírica es una función parabólica M = f (Z), la conocida parábola de masas, que al calcular el mínimo, 8M/8Z = 0, se obtiene:

(1. 75)

Esta fórmula reproduce los valores observados del cociente Z/ A tanto para núcleos ligeros Z/A 1/2 como para los pesados (A> 40), Z/A 1/2,5. La fórmula de masas reproduce por lo tanto la línea de estabilidad de los núcleos. También podría utilizarse incluso para predecir masas en las llamadas drip lines, es decir las líneas en el plano Z, N en las que Sp = Sn = 0, o sea que los núcleos son tan inestables que se desintegran espontáneamente emitiendo un nucleón. Usando la fórmula de masas también podría calcularse el límite de estabilidad bajo desintegración alfa. Se obtiene Ea = 7,07 + 7, 7 X 10-3A, lo que implica que a partir de A = 151 el valor de Ea supera la energía de ligadura por nucleón E = EB/A y puede tener lugar (energéticamente) la emisión espontánea de una partícula alfa. rv

rv

Fisice Nuclear

54 M

M A

= 125

A

=

128

Xe

54

z

Z

Figura 1.9 - Parábola de masas para núcleos con A = 125 y A = 128. Notar la posibilidad de la desintegración doble {J del 128Te al 128 X e. Cuando se representan las parábolas de masas se llega a dos configuraciones según el número de nucleones. Si A es impar, sólo hay una parábola, mientras que para A par, existen dos parábolas separadas de 28, siendo 8 el coeficiente que da la energía de apareamiento de la fórmula de masas. He aquí varios ejemplos; A = 100

(41Nb, 43Tc, 45Rh, 47Ag) (40Zr, 42M 0, 44Ru, 46Pd)

A = 128

(491n, 51Sb, 531, 55GS, 57La) (50Sn, 52Te, 54Xe, 56Ba)

estos dos últimos casos, representados en la figura 1.9. Sucederá que los núcleos con Z menor que el más estable (el de menor masa) se desintegrarán vía desintegración {J-, y los de mayor Z, vía desintegración {J+, procesos que continuarán hasta llegar precisamente al núcleo más estable de la parábola de masas. Este conjunto de núcleos estables frente a las desintegraciones {J son los que forman el referido valle de la estabilidad.

El núcleo atómico. Propiedades Bsices

55

La conclusión más importante es que para los núcleos con A par pueden darse dos fenómenos que no pueden darse para A impar: 1. Un mismo núcleo puede desintegrarse de dos formas distintas. ejemplo

;~81 ;~81

-t

g8Te por

-t

o bien X e por {3-

Por

{3+

;~8

2. Puede darse el fenómeno de desintegración doble beta, es decir, por ejemplo ;~8Te -t~8 X e + 2{3-. La importancia de este proceso es que permite obtener información sobre la naturaleza del neutrino. Para ello, se investiga si existe desintegración doble {3con o sin neutrinos, lo que implicaría que los neutrinos son de tipo Dirac o de tipo Majorana, respectivamente. A la vista de las dos parábolas para los núcleos con A par, se entiende por qué no existen casi núcleos estables de tipo impar-impar, siempre existen núcleos más estables de tipo par-par y con menor masa. Para núcleos con A par suele haber 2 isóbaros estables y en ciertos casos hasta 3 (por ejemplo para los núcleos con A = 40, 96, 124, 130, 136, 176, 180). Para núcleos con A impar sólo existe un núcleo estable, que no tendrá desintegración beta (ejemplo, el ~1 Ru); pero sucede que si la diferencia de masas es pequeña, la desintegración {3es poco probable (ej: 1§3In,Cd; M5Sn,In; g~3Sb, Te). Se verá más adelante también que para núcleos con Z elevado, la inestabilidad nuclear es debida a la fuerte repulsión culombiana. Esto da lugar a la desintegración a; además, si Z 2: 90 puede existir fisión espontánea, lo que es explicable por la variación de E B con la deformación nuclear.

1.5 1.5.1

Espín, paridad y momentos electromagnéticos nucleares Espín y Paridad nucleares

Los núcleos son sistemas cuánticos complejos, compuestos por nucleones (protones y neutrones). Por lo tanto los núcleos tienen espín-paridad .fP bien

56

Ffsica Nuclear

definidos. Si además se supone que los nucleones se mueven en un potencial central, tendrán un momento angular orbital l:j también habrá que tener en cuenta su espín (o sea, el momento angular intrínseco), Si, y por lo tanto el momento angular total de cada nucleón será h = ~ + Si. El espín nuclear será la suma A

J = L:h

(1.76)

i=l

Se cumple por lo tanto que si A es par, J es entero, y si A es impar, J es semi-entero. Todos los estados nucleares (incluyendo el estado fundamental) tienen un momento angular finito. Para especificarlo, se utiliza un vector cuantizado J, que tiene por módulo (1. 77) IJI = J(J + 1)1i

J

en donde J es el denominado espín nuclear y es un buen número cuántico; es decir, es un número que se conserva en todos los procesos nucleares. Según el principio de incertidumbre, J es inobservable, pero su componente según un eje de cuantización puede medirse, dando mJIi, en donde tri¡ puede tomar uno de los 2J + 1 valores comprendidos en el intervalo J ~ ni¡ ~ -J. La paridad P, es un operador que transforma la función de ondas (espacial) de un núcleo (1.78) siendo Ti las coordenadas espaciales de los nucleones. Tiene dos valores propios: ±1 ya que p2 = 1, es la identidad. Es extremadamente dificil de determinar la paridad de un núcleo a partir de las paridades de los constituyentes. Pero puede obtenerse a partir de las reacciones nucleares en las que intervenga el núcleo, ya que la paridad es un número cuántico que se conserva en las interacciones fuertes ([P, H] = O). La paridad también se conserva en las interacciones electromagnéticas. Como el movimiento de un nucleón en un potencial queda caracterizado por un armónico esférico Yt,m, la paridad valdrá P = (_l)l ya que (1. 79) que es la operación equivalente a la reflexión espacial: r ~ -r. Las partículas y núcleos tienen paridad intrínseca. Se toma por convenio que la paridad intrínseca del protón y del neutrón son P = +1. La paridad


57

Propiedades ffsicas

de un núcleo (intrínseca) es consecuencia pues de las paridades espaciales de todos los nucleones que lo componen. Habitualmente, la paridad suele ser representada sólo por el signo ±. Los núcleos par-par tienen .fP = 0+, consecuencia de las fuerzas de apareamiento entre nucleones idénticos. Puede plantearse un modelo de partícula individual en el que J vendría dado por el nucleón no apareado, con lo que para los núcleos con A impar, J = ;, siendo; el momento angular total del nucleón no apareado.

1.5.2

Espín isotópico del núcleo

Cada núcleo tendrá un espín isotópico f, con lo cual, la tercera componente T3 es un operador que tiene valor propio distinto para cada uno de los 2T + 1 estados de carga del mismo sistema. La interacción nuclear (el hamiltoniano) dependerá sólamente del isospín total f, consecuencia dinámica de la invariancia bajo rotaciones en el espacio de isospín. Para los núcleos se cumple que 1

T3 = -(Z - N)

y

2

Ejemplos: El triplete de A

= 10 (4Be, 5B, 6C)

T3(g°B)

=

O

T3aOC) = +1 El doblete de A = 7 (3Li, 4Be). T3GLi) =-~ T3GBe)

=

+~

(1.80)

Ffsica Nuclear

58

El isospín refleja los estados de carga del sistema. La relación entre el ordinal de carga Q y la tercera componente del isospín viene dada por la fórmula de Gell-Mann-Nishijima, que fue inicialmente propuesta para las partículas elementales. En el caso de núcleos con A nucleones se tiene que

Q

=

T3

A

+ "2

(1.81)

que también es válida para los nucleones simplemente escribiendo A = 1. En física de partículas A se sustituye por la hipercarga Y = B + S, suma de dos cargas: B, el número bariónico, que vale B = 1 para los nucleones y S la extrañeza, que vale S = Opara el protón y el neutrón.

1.5.3

Momentos electromagnéticos nucleares

Informan sobre la distribución de carga y magnetismo nuclear originado por el movimiento de los constituyentes nucleares en el campo nuclear. Los momentos electromagnéticos (carga, momento dipolar, etc ...) son importantes porque determinan el comportamiento del núcleo (sistema de cargas y espines) en presencia de un campo eléctrico y/o magnético. Se describe a continuación el caso eléctrico. Sea una distribución de carga p(r,
e,

v = Va + (Ez)oz+

l(~~) + ... (3z2

-

r2)

(1.82)

La energía U, debida a la interacción de la distribución de carga con el campo exterior será U

=

J

pVdT

=

Vaq + (Ez)dz

+

l(a:;)

eQ

(1.83)

+ ...

con las definiciones clásicas y sus equivalencias cuánticas siguientes: Carga Momento dipolar Momento cuadrupolar

Clásica q = pdr eQ =

p(3z

Cuántica --t q =Ze --t

eQ

=

=2: J W*qi (3z

2

-

r2) WdT


e n

P

-g/tl

59

t:

o.

- g~e)I!f?e

1

g8 +2,00232

O

-3,826

1

+5,586

(n)1!:.iY..¡¡ Sn

g8 gl~f+

g~e)~Sp

Tabla 1.2: Definición del momento magnético de los constituyentes del átomo. Se observa que el neutrón no tiene momento magnético orbital ya que se trata de una partícula con carga eléctrica nula. Momento dipolar magnético El momento dipolar magnético de los constituyentes del átomo, se calcula sumando el momento dipolar orbital (debido al movimiento del nucleón) y el momento dipolar intrínseco (de espín): i1 = i1L + i1s. Los momentos dipolares para los nucleones se definen (1.84) Más concretamente, en la tabla aparecen los momentos dipolares magnéticos de los constituyentes del átomo. El factor g8 es el llamado factor giromagnético, que simplemente da la relación entre momento magnético y espín. Generalizando, ge es el factor giromagnético orbital.

En la tabla 1.2 el valor numérico de los magnetones (atómico y nuclear), como ya se ha visto, es eñ/2me

=

5,787

eñ/2mp = 3,152

X

10-11

MeV /T

X

10-14

MeV/T

Los momentos magnéticos intrínsecos (debidos al espín) son pues, -f..LB; para el electrón, y f..Lp = +2,79 f..LB, f..Ln = -1,91 f..LB; para los nucleones.

f..Le

=

Ftsice Nuclear

60

Siguiendo la Mecánica Cuántica, el momento dipolar magnético es el valor esperado de J-Ls. en el estado con proyección máxima de espín, o sea en el caso de nucleones, el valor esperado del operador J-Ls. en el estado Is,ms >= 11/2,+1/2 >. Los núcleos tendrán momento

dipolar magnético:

-

J-LJ =

9r J-LN ¡-J -

( 1.85)

t

siendo 9J el factor giromagnético del núcleo. Recuérdese que en modelos sencillos de partícula individual puede explicarse como suma de los momentos angulares ];. de los A nucleones o de un reducido número de los mismos.

J

** Predicción

del cociente J-Ln/ J-Lp de momentos dipolares magnéticos

según SU(3).

Según la simetría SU(3) de sabor (de quarks constituyentes), la función de ondas de los nucleones se puede escribir: Ip >= luud > y In >= ludd >. Debidamente simetrizada, y en el caso del protón con espín hacia arriba, por ejemplo,

Ip i>=

1 F10

y18

{2(lu

T u T d t»

I

-Iu

u

id t> +Iu i u i d t>

+...}

(1.86)

en donde se repiten los tres términos, cíclicamente, permutando la posición del quark d. La flecha representa el valor de la tercera componente del espín; l= +1/2 y

t= -1/2.

Para quarks se tendrá i1q = 9~q) SJ-LQ con J-LQ = q/i/2mq. Como las relaciones entre masas son m,. = md se tendrá J-L,. = -2J-Ld' debido a la relación entre las cargas eléctricas de los quarks: q,. = +~e Y qd = -~e. Como la definición de momento magnético es J-Lp = (p i IJ-Llp j), se llega a J-Lp = ~J-L,. - ~J-Ld } 4

(1.87)

1

J-Ln = 3J-Ld - 3J-L,. lo que conduce a J-Ln/J-Lp = -2J-Ld/(3J-Ld) = -2/3. El valor experimental -1,91/2,79 = -0,685. O sea, una buena predicción.

Momento cuadrupolar

es

eléctrico

Hasta ahora se ha supuesto que el núcleo es esférico, y tiene una densidad de carga pch(r), que s6lo depende del módulo de r.


61

El menor de los momentos multipolares eléctricos es el momento dipolar eléctrico. Para los núcleos y las partículas, el momento dipolar eléctrico es prácticamente nulo, ya que no existe asimetría de cargas arriba-abajo. El siguiente momento es el momento cuadrupolar eléctrico, el cual informa de las desviaciones a la estructura esférica de cargas. Clásicamente el momento cuadrupolar eléctrico se define eQo = Iv pch(r)(3z2

-

r2)dV

(1.88)

r.

en donde P depende de Cuánticamente, P viene dada por la amplitud de probabilidad 1'1/112 = '1/1*'1/1. Entonces, deben calcularse los valores esperados: (1.89) denominándose momento cuadrupolar intrínseco, porque se toma como eje z, el de simetría. Tiene dimensión de superficie y se suele medir en barns (10-28 m2). Puede comprobarse que si Qo = O, el núcleo es esférico, si Qo > O es prolato, y si Qo < Oentonces es oblato. Los núcleos con números mágicos (o doblemente mágicos) tienen Qo = O. De hecho si el espín del núcleo es J < 1 entonces Qo = O. Sin embargo, el eje del espín nuclear (O z') que coincide con el eje de simetría del núcleo y permite definir el momento cuadrupolar intrínseco Qo, no coincide con el eje fijo en el espacio (O z), en el que se calcula y se mide el momento cuadrupolar Q J. Se demuestra que para un núcleo de espín J el momento cuadrupolar Q J está relacionado con el intrínseco por la relación, (1.90) y, experimentalmente, toma valores entre -1 y 8 barns. Se ve, además que sólo toma valores Q J =1= O si el espín nuclear es J 2 1. Momento cuadrupolar eléctrico y forma elipsoidal. con semiejes a, b. La excentricidad se define como

Sea un elipsoide,

62

Ftsice Nuclear

siendo Ro el radio del núcleo si fuera esférico. Se demuestra que el momento cuadrupolar, en primera aproximación, es eQo

2

2

= SeZ(a

2

- b )

4

-

(1.92)

= SeZER2

con R2 = ~(a2 + b2). Para un núcleo esférico, E = O. Se observa que para los lantánidos (A ~ 150 - 190) Y para los actínidos (A> 120), la excentricidad suele valer: E E [0,1, 0,2] Se trata pues de núcleos muy desviados de la forma esférica, lo que se suele denominar como núcleos deformados. Por ejemplo, el 6 Lu es el núcleo que tiene mayor momento cuadrupolar, Q = +8 barns, lo que implica que E = 26%, mientras que el deuterón (Q = 0,00282 barns) tiene E = 4%.

n

1.6

Estructura de niveles energéticos nucleares

Un núcleo es una estructura compleja de A nucleones, todos ellos interaccionando. Supóngase H el hamiltoniano del sistema: A

H=

1i,2

A

L-2m.V';+ L V(ri,rj) i=l

•

(1.93)

i
en donde mi es la masa de los nucleones y se han incluido las interacciones de los nucleones entre sí. La ecuación de Schrodinger nuclear (no relativista) se escribe (1.94) siendo k el conjunto de números cuánticos que definen el estado. Existirán estados nucleares bien definidos y distintos, caracterizados cada uno de ellos por una energía Ek, en completa analogía con los niveles excitados de los átomos. Entre estos niveles destaca el estado fundamental, de menor energía, que es el más estable y mejor conocido. Los niveles nucleares de mayor energía que la del estado fundamental, llamados estados excitados podrán desexcitarse emitiendo fotones, al igual que en el caso de los átomos. Este es un proceso electromagnético que se denomina desintegración l' Una forma de estudiar


Propiedades ffsicas

63

estos niveles nucleares es por espectroscopía I nuclear, en estados finales de reacciones nucleares o como resultado de desintegraciones nucleares. El estado de un núcleo, cuánticamente, vendrá dado por una función de ondas que dependerá de las coordenadas: espaciales (Ti), de espín (Si) y de isospín (t:) de los A nucleones. Como esas coordenadas pertenecen a espacios independientes, la función de ondas será un producto

(1.95)

que, además, debe ser una función antisimétrica bajo el intercambio de dos nucleones, como postula el principio de simetrización en el caso de fermiones idénticos. Si además, por ejemplo, se supone un modelo de partícula individual, en un potencial central, podrán definirse estados para cada nucleón de manera independiente, que al igual que en el caso del átomo de Hidrógeno serán funciones separables

(1.96)

en una componente radial y una componente angular; en este último caso representada por los armónicos esféricos., Los números cuánticos que definen el estado de cada nucleón serán n, f, m, el número cuántico principal, el momento angular orbital y la tercera componente de este último. Un ejemplo de estructura de niveles nucleares, que además ilustra las propiedades de los núcleos espejo es el del §7 O y F (ver figura 1.10).

r

64

Ffsica Nuclear

4640 3/2

4553

5/2

3843

3857 1IZ-

3014

112+

495 O

3055

112+

870

5/2+

~5/~2+----------~~O~~~---1-;}(-----

Figura 1.10 Esquema de niveles nucleares de los núcleos espejo 170 y 17F, que forman un doblete de isospín (T = 1/2). Obsérvese la similitud de la estructura de niveles. El valor de la energía de cada nivel se suele representar a la derecha y las unidades suelen ser keV. A la izquierda de cada nivel se suelen representar los números cuánticos de espín y paridad (J'P). La escala relativa entre el Fy el O es ficticia; en realidad la diferencia de masas entre estados fundamentales es: M(l7F) - M(l70) = 2,76 MeV. El 170 es estable y el 17F es inestable {3+con T1/2 = 64,49 s.


65

Propiedades ffsicas

Glosario de términos clave Abundancia isotópica - (página 43) Para cada isótopo determinado, el cociente entre el número de átomos del isótopo y el número total de átomos del elemento al que pertenece. Constante de desintegración - (página 23) Probabilidad desintegre en la unidad de tiempo.

de que un núcleo se

Defecto de masa - (página 37) Para un núcleo determinado, entre la masa atómica y el número másico.

la diferencia

Energía de enlace nuclear - (página 44) Es la energía necesaria para separar al núcleo en sus nucleones constituyentes. Energía de separación - (página 48) Es la energía necesaria para quitar de un núcleo una partícula determinada, por ejemplo un neutrón o un protón. Espín nuclear - (página 56) Momento angular total de un núcleo. Fórmula semiempírica de la masa - (página 49) Se deriva del modelo de la gota líquida con algunas modificaciones mecánico-cuánticas. Fuerza Nuclear - (página 22) Fuerza de atracción de gran intensidad y corto alcance que mantiene unidos a los núcleones dentro del núcleo, es más intensa que la fuerza de repulsión culombiana entre los protones. Es la manifestación en la escala de los nucleones de la interacción fuerte entre los quarks. Isospín - (página 22) Número cuántico asociado al módulo del operador de isospín. Puede tomar valores enteros o semienteros. Diferencia los miembros de cada multiplete de núcleos, con la misma masa y carga eléctrica distinta. Isótopo - (página 21) Son isótopos de un elemento químico de número atómico Z, los distintos nucleidos con el mismo numero de protones (mismo número atómico: mismas propiedades químicas) y con distinto número de neutrones (distinta masa atómica A: distintas propiedades nucleares).

66

Ffsica Nuclear

Línea de estabilidad - (página 47) Es la línea en el plano (Z, N) que sigue la posición media para cada A de los núcleos estables. Masa nuclear - (página 35) Masa del núcleo. Se relaciona con la masa atómica sumándole la masa de los electrones de la corteza del átomo y restándole la energía de enlace de todos los electrones en el átomo. Nivel de energía nuclear - (página 62) Cada uno de los valores discretos que puede tomar la energía de un núcleo. Nucleido o núclido - (página 21) Una especie nuclear determinada con A y Z dados. Nucleón - (página 21) Nombre genérico de los protones y neutrones, hadrones constituyentes del núcleo. Paridad nuclear - (página 56) Paridad de la función de ondas del núcleo. Periodo de semidesintegración - (página 23) Tiempo en el que el número de núclidos se ha reducido a la mitad de su valor inicial. Radio nuclear - (página 25) Para un núcleo determinado y según el método utilizado para medido, radio de carga o radio de materia nuclear. Sección eficaz - (página 24) Magnitud proporcional a la probabilidad de que se produzca una interacción determinada entre dos partículas o entre una partícula y un núcleo atómico. Tiene dimensiones de superficie. Vida media - (página 23) Valor medio del tiempo que tarda un determinado conjunto de radionúclidos en desintegrarse.También es el tiempo para que el número de núcleos se reduzca un factor e.


67

Resumen • Los constituyentes de los núcleos son los nucleones (protón y neutrón, a los que también se les denomina hadrones), tienen aproximadamente la misma masa que es 1840 veces la masa del electrón. • La estabilidad de los núcleos se explica por la existencia de una fuerza nuclear atractiva de corto alcance y mayor que la fuerza culombiana. Esta fuerza es independiente de carga (no distingue entre protones o neutrones). Es una fuerza que se satura, esto quiere decir que el número de nucleones con los que un nucleón puede interaccionar fuertemente es limitado. • De las propiedades estáticas de los núcleos dependerá, en buena medida, la estabilidad o inestabilidad de un determinado isótopo. • El radio nuclear suele utilizarse para parametrizar dos propiedades de los núcleos. Su definición dependerá de la magnitud con la que se relaciona, bien con la carga (radio de carga), que es el radio de la distribución de protones (con lo que también se estudia la distribución de carga nuclear), bien con la materia (radio de materia), que es el radio de la distribución de protones y neutrones. • El radio de los núcleos varía como R

=

roA 1/3, siendo ro ~ 1,2 fm

La distribución de carga pch(r) sigue la forma de Fermi o de SaxonWoods vista en (1.6). La densidad nucleónica es constante y vale nA = Aj(~71R3) = 0,14 X 1045 nucleones/rn"; la densidad másica de los núcleos es PM ~ 2,3 X 1017 kg/m", mientras que la densidad de carga es Po ~ (ZjA)PM· Estas conclusiones implican consecuencias directas que servirán para cimentar las ideas que deberán explicar los modelos nucleares. • Otra propiedad elemental es la distribución de masa nuclear, pues la masa de un núcleo no es igual a la suma de las masas de los nucleones que lo componen, sino algo menor. La diferencia entre estas dos magnitudes es lo que se denomina energía de enlace. Esta energía de

68

Física Nuclear enlace marca la estabilidad o inestabilidad del isótopo. Se puede analizar la estabilidad nuclear relacionando la energía de enlace con otros parámetros como puede ser A, Z o N. Como aparecen en las tablas de isótopos. • Partiendo del modelo de la gota líquida se establece la fórmula semiempírica de masas. Mediante la parábola de masas se puede determinar la estabilidad nuclear. Para A par existen dos parábolas y para A impar sólo hay una parábola, por lo que sólo hay un núcleo estable. • Los núcleos tienen números cuánticos bien definidos, como por ejemplo el espín (momento angular total) y el isospín. • Los núcleos poseen también momentos electromagnéticos, consecuencia de su estructura de carga. Los más importantes son: el dipolar magnético y el cuadrupolar eléctrico (el momento dipolar eléctrico es nulo) • La paridad también caracteriza al estado nuclear, es un número cuántico que se conserva en las interacciones fuertes y en las electromagnéticas. Existen dos valores posibles de la paridad: par (+) o impar (-). Cada nucleido tiene una paridad bien definida. • Un núcleo puede estar en diferentes estados caracterizados por niveles energéticos bien definidos. • En fin, como conclusión final, lo curioso es que hay que recurrir a modelos con ideas totalmente opuestas a las del modelo de la gota líquida visto anteriormente, como por ejemplo el modelo de capas, para poder explicar propiedades tales como el espín, la paridad, los momentos multipolares electromagnéticos, etc. Todo ello es consecuencia de la enorme complejidad del núcleo atómico.


69

Ejercicios de autocomprobación 1. Explique qué significa que la fuerza nuclear es independiente de la carga ¿Qué consecuencia tiene para la existencia de los núcleos?

2. Indique lo que son las propiedades estáticas de los núcleos y cuáles de ellas tienen carácter cuántico.

3. A partir de la masa atómica de los siguientes nucleidos calcule su energía de enlace por nucleón.

(a) ~2C -t M(!2C) = 12,000000 u.m.a. (b)

i~7Ag

-t

M(!~7 Ag) = 106,905093 u.m.a.

4. Utilizando la fórmula semiempírica de la masa de Weiszacker determine el número atómico del núcleo más estable para un número másico dado.

5. ¿Qué significado físico tienen los momentos electromagnéticos núcleos?

de los

70

Ffsica Nuclear

Soluciones a los ejercicios 1. El que la fuerza nuclear sea independiente de carga, significa que su acción, atractiva o repulsiva, no se verá condicionada por la carga de alguno de los nucleones. Cada nucleón sentirá la misma repulsión o atracción por un neutrón (neutro) que por un protón (con carga). Es una fuerza que contrarresta la repulsión coulombiana que existe entre los protones y hace que no se separe el núcleo. 2. Las propiedades estáticas de los núcleos son aquellas que no varían y son constantes de ese núcleo, no dependen del tiempo. Son la masa, la paridad, el radio, el número atómico, el espín, el isospín y los momentos dipolar magnético y cuadrupolar eléctrico. Tienen carácter cuántico la paridad, el espín y el isospín. 3. Por definición (página 45) la energía de enlace por nucleón es EB

E=jf y como según (1.55) EB (Z, N)

=

[Z-Ó.H

+ N -Ó.n -

-Ó.

(Z, N)] c2

-Ó.H = 7,2890 MeV y -Ó.n = 8,0714 MeV. Debemos calcular previamente -Ó. (Z, N) , defecto de masa del nucleido correspondiente. Sabemos que por definición (1.44) -Ó.

(Z, N) = M (Z, N) - A· u

Aplicando las expresiones anteriores a los nucleidos correspondientes se obtiene:

(a)

~2C -Ó.

a2C)

EB

{

A= 12 Z =6 N=6

= (12,000000 - 12) x 931,49 = O

1

Ea2C) = jf = 12 (6 x 7,2890 + 6 x 8,0714) = 7,680 MeV

71

El núcleo atómico. Propiedades iisices (b)

= 107 Z = 47 { N=60 A

!~7Ag

~m

7

MeV /c2

Ag) = (106,905093 - 107) x 931,49 = -88,405

EB

A=

1

107 (47 x 7,2890

+ 60 x

8,0714

+ 88,405)

=

8,554 MeV

(e) A

~~5U

{

= 235 Z = 92

N= 143

~ (~~5U) = (235,043922 - 235) x 931,49

i

= 2~5 (92 x 7,2890

= 40,913 MeV /c2

+ 143 x

8,0714 - 40,913) =

7,591 MeV 4. Según (1.63) la fórmula serniempírica de la masa es EB(Z,A)

=

= ayA - asA2/3 - aeZ(Z - 1)A-1/3

-

aA(A - 2Z)2 A-1

donde 8 = f(A), no depende de Z. Además según (1.62) M(Z, A)

= ZMeH)

+ (A-

Por lo que sustituyendo y haciendo e M(Z, A)

= ZMeH)

Z)mn

-

EB(Z,A)/c2

1

=

+ (A

-(ayA

- Z)mn- asA2/3 - aeZ(Z

-aA(A

- 2Z)2 A-

1 -

8)

- 1)A-1/3

-

-

8

Ffsica Nuclear

72

Para una A dada el núcleo más estable será aquél cuya Z haga mínima la masa, es decir

8M(Z,A) = 8Z

°

8M(Z,A) 8Z =

Me H) - mn - (-aeA-l/3 +4aAA-l (A - 2Zmin))

(2Zmin - 1)

+

Agrupando términos y despejando

Z . = (mn mm

-

Me H)) 2aeA-l/3

+ aeA-l/3 + 4aA + 8aAA-l

Sustituyendo los valores Zmin

=

0,78 + 0, 7A-l/3 + 92 1,4A-l/3 + 184A-l

Para un valor de A dado, por ejemplo A

92, 78A + 0, 7A2/3 1,4A2/3 + 184 =

14 resulta

Zmin = 6, 78 ~ 7 Que es el nitrógeno, efectivamente el

14 N

es estable.

5. En el núcleo existen cargas y corrientes que producen campos eléctricos (E) y magnéticos (B). En general no hay simetría de carga esférica (puramente coulombiana) sino que el campo eléctrico tiene otros términos, que se denominan multipolos de orden l = 0, 1.. .. que van decayendo al aumentar l. El primer término, o sea, el culombiano es monopolar, el segundo es dipolar (que el núcleo es nulo), después está el cuadrupolar. Los momentos multipolares eléctricos son cantidades que caracterizan la forma de la distribución de carga y sirven para calcular el campo eléctrico con grados crecientes de exactitud. Los momentos multipolares magnéticos son equivalentes a los anteriores, respecto a la distribución de corrientes (incluyendo la de espín). El momento monopolar es nulo, porque no existe carga magnética análoga a la eléctrica. Los campos eléctricos más allá del monopolar (es decir la carga total) y los magnéticos, contribuyen con pequeñas correcciones a la energía, a lo que se denomina estructura hiperfina del núcleo.

Capítulo 2 La fuerza nuclear: El deuterón. Interacción N - N

• INTRODUCCIÓN • EL DEUTERÓN: PROPIEDADES Y FUNCIÓN DE ONDAS o o o

MOl\1ENTO DIPOLARMAGNÉTICO MOl\1ENTO CUADRUPOLARELÉCTRICO FUNCIÓN DE ONDAS RADIAL

• DIFUSIÓN N-N. DESFASAJES o o

o

DESARROLLO DE ONDAS PARCIALES RELACIÓN ENTRE DESFASAJE y POTENCIAL V APROXIMACIÓN DE ALCANCE EFECTIVO

• POTENCIAL DE YUKAWA o

POTENCIAL N-N

Física Nuclear

74

I OBJETIVOS DIDÁCTICOS ESPECÍFICOS I • Justificar la necesidad de la presencia de fuerzas nucleares para explicar la existencia de los núcleos. • Estudiar la interacción nuclear en estados ligados (deuterón) y en colisiones nucleón-nucleón. • Describir las principales características

de las fuerzas nucleares.

• Conocer los potenciales que describen este tipo de interacción.

La fuerza nuclear: El deuterón. Interacción N-N

2.1

75

Introducción

El Deuterio es uno de los isótopos del Hidrógeno, cuya abundancia isotópica es 1,5 X 10-4. El otro isótopo del Hidrógeno es el Tritio, inestable, con Tl/2 = 12, 3 años. El Hidrógeno y sus dos isótopos tienen un papel importante en Física Nuclear. Los núcleos respectivos son conocidos por un nombre distinto; protón, deuterón y tritón para el 1H, 2 H y 3H, respectivamente. En este tema se aborda el estudio del deuterón, sistema p - n más elemental ligado por la fuerza nuclear. Tiene mucha importancia porque informa sobre las propiedades de dicha fuerza. El tema se completa con una descripción de las reacciones N - N, que también ayudará a completar el estudio de la fuerza nuclear. Para la Física Nuclear, los constituyentes de los núcleos son el protón y el neutrón, que pertenecen a la familia de los hadrones". También se sabe que los hadrones están compuestos por entes más fundamentales llamados quarks. El modelo de quarks, explica las propiedades del protón y del neutrón como entes compuestos por tres quarks (estados qqq). La interacción fuerte fundamental es la que tiene lugar entre quarks y se explica por el intercambio de gluones (de espín 1). Esta interacción es descrita por la cromodinámica cuántica (teoría QCD), nombre que recuerda que el origen de la fuerza fuerte es una propiedad de los quarks bautizada con el nombre de color. Esta fuerza aumenta con la distancia y confina a los quarks dentro de los hadrones. La interacción entre nucleones es una interacción a muy pequeña distancia (algunos fm) y se explica por el intercambio de.mesones (estados q7j). Se piensa que es una manifestación a gran distancia de la fuerza entre quarks (igual que las fuerzas de Van der Waals, que explican la formación de las moléculas por la interacción a gran distancia entre átomos).

2.2

El deuterón: ondas

Propiedades y función de

El deuterón es un sistema ligado (p, n), único sistema estable formado por dos nucleones, cuya masa atómica es mD=1876,125 MeV/c2 y la energía de 1El nombre de hadrón viene del griego hadros, que significa fuerte, aludiendo partículas que sienten la interacción fuerte.

a que son

Física Nuclear

76

ligadura EB=2,225 MeV, que puede obtenerse, por ejemplo, mediante tres métodos distintos: 1. Por doblete de masas. Ejemplo: Se toman dos compuestos con A = 84 Y usando el método del doblete de masas (descrito en el primer capítulo de este libro) se obtiene la masa del D (deuterón):

M(C6H12)

-

M(C6D6)

M(D)

± O,000024) x

10-3 u.m.a = 2,014101789 ± O,000000021 u.m.a.

{;= (9,289710

M(C5D12)

-

M(C6D6)

(84,610626 ± 0,000090) x 10-3 u.m.a. M(D) = 2,014101771 ± 0,000000015 u.m.a.

{;=

Con los dos ejemplos se obtienen valores muy parecidos para la masa del deuterón. Con esta masa y aplicando la definición de energía de enlace se obtiene:

EB

[Me H)

+ M;

- Me H)]c2

(2,3886 x 10-3 u.m.a.jc''

=

2,22463 ± 0,00005 MeV

2. Por captura radiativa, llamada así a la emisión de fotones siguiendo a la captura de un neutrón térmico (cuya energía es despreciable, ya que vale 0,025 eV); 1H(n, "()2 H. Se mide la energía del fotón emitido, que resulta ser igual a la energía de ligadura del deuterón. 3. Por foto-disociaci6n, reacción inversa a la anterior, "(+2 H -+ 1H +n. La energía del fotón necesaria para romper el deuterón es precisamente igual a la energía de ligadura. Los números cuánticos del deuterón son: espín-paridad isospín

.fP=1+} { T=O

La fuerza nuclear: El deuter6n. Interacci6n N-N

77

Como siempre, la paridad (+) da el comportamiento de la función de ondas espacial Id) bajo una reflexión espacial respecto al origen. Suponiendo que el deuterón es un sistema compuesto por un protón y un neutrón, sus números cuánticos podrán deducirse a partir de los constituyentes; así: • Su momento angular total o espín podrá escribirse

J = s;" + Bn + i .

• Su paridad vendrá dada por P(d) = P(P) x P(n) x P(L). El valor de P(p) = P(n) = +, por convenio/ y P(L) es la paridad debida al movimiento orbital, ligada al comportamiento de los armónicos esféricos

o sea P(L) = (-l)L, por lo que como la paridad del deuterón Pd = +, entonces el momento angular orbital L debe ser par. Esto implica que sólo se tienen dos posibilidades, y el deuterón será mezcla de los dos estados: L =

°

(onda S): estad03S1

y L = 2 (onda D): estado 3D1.

La notación utilizada para los estados es la que se sigue en espectroscopia: 2S+l LJ, siendo L la denominación de la onda que corresponde al valor del momento angular orbital, según la secuencia S, P, D, ..., para L = 0, 1,2, ... Por supuesto, el espín J = 1 es un buen número cuántico, es decir, se conserva; sin embargo, los dos valores del momento angular orbital L = 0, 2 (que se denominan ondas S y D) son posibles y el deuterón puede encontrarse en cualquiera de los dos estados de momento angular orbital. La dinámica de las fuerzas nucleares será la que dará la probabilidad de encontrar al deuterón en cada uno de estos estados. El tamaño del deuterón ha sido medido en experimentos de difusión e- d, obteniéndose R.t = 1,963 fm. Sus momentos electromagnéticos son J.Ld = 0,857J.LN Y Qd = 0,288 fm2 (medido por Kellog et al., 1939). Estos valores implican que el deuterón es una mezcla de estados 3S1 (96%) y 3D1 (4%) como se demostrará más adelante. 2Los nucleones pertenecen al octete 1/2+ de SU(3) de sabor de quarks.

Física Nuclear

78

Un sistema de dos nucleones tipo pp o nn es un sistema de fermiones (son partículas de espín 1/2) indistinguibles cuánticamente. Por lo tanto, como en el caso de sistemas de electrones, su función de ondas debe ser totalmente antisimétrica si se intercambian los fermiones (es el contenido del principio de exclusión de Pauli). Pero, si además se tiene en cuenta el isospín, entonces cualquier sistema nucleón-nucleón, como el caso np, también obedece al mismo principio de exclusión. El isospín del sistema N - N puede tomar, en principio, los valores T = 0,1 (ya que Tp = Tn = 1/2). Pero por los argumentos de simetría expuestos, si se tiene en cuenta el isospín, la función de ondas del deuterón Id) = Icf.¡(f')) IX)J 11/J)T' debe ser totalmente antisimétrica bajo intercambio de los dos nucleones, ya que se trata de dos nucleones idénticos. La función espacial y la función triplete de espín son simétricas. Por lo tanto, la función l1/Jh de isospín debe ser antisimétrica, o sea, singlete: IT=

O,To =

(2.2)

O) 1 v'2 {11/2, 1/2)111/2, -1/2)2 -11/2,1/2)211/2,

-1/2)1}

en donde los nucleones se han representado por la notación IT, To) que representa estados con isospín bien definido. Además, si fuera triplete, existirían los estados ligados (p, p) y (n, n). Por todo ello, el deuterón tiene isospín Td = O, es decir, es un singlete de isospín.

2.2.1

Momento dipolar magnético del deuterón

Tomando como hipótesis que el momento dipolar magnético del deuterón, es la suma del de sus constituyentes, J..Lp = 2,79271 ± 0,00002 J..LN Y J..Ln = -1,91315 ± 0,00007 J..LN' el resultado es 0,87956 ± 0,00007 J..LN' es decir, ligeramente mayor que el valor medido para el deuterón J..Ld'

J..Ld

= 0,8574376

± 0,0000004

J..LN

esto quiere decir que una simple superposición de los dos momentos magnéticos de los constituyentes no explica el valor experimental. En otras palabras, como se demostrará más adelante, el deuterón no es un estado puro en onda S (momento angular orbital entre constituyentes L = O). En efecto, el momento dipolar magnético, en función del momento dipolar magnético de los constituyentes es :


n = (g(P)g s

,..,d

p

79

~L)J."N

+ g(n)g +2 s n

(2.3)

Ti

en donde L es el momento angular del deuterón (L = 2¡;', siendo fp el momento angular del protón respecto al centro de masas, ya que las masas del protón y neutrón son prácticamente iguales). Se puede, por lo tanto, reescribir la expresión anterior (2.3) de la forma,

¡id = ~~ { (gr)

+ g~n)) S + (gr)

- g~n))

(s;, -

S'n)

+ L}

(2.4)

en donde S = s;, + S'n y J = L + S. En la expresión anterior, el término (s;,-S'n) se anula; no puede contribuir ya que el deuterón es un estado triplete de espín (8 = 1) y el término (s;, - S'n) podría conectar el estado 8 = 1 con 8 = 03 Yeste último, el singlete de espín, no existe. Se utilizará un sencillo modelo mezcla de los dos estados posibles que tienen el mismo espín-paridad 1+:

(2.5)

con

El cálculo teórico del momento magnético del deuterón se realiza calculando el valor esperado

(2.6) de la tercera componente del operador momento magnético il, pero calculada en estados con momento angular y espín bien definidos. Así pues al sustituir la función de ondas del deuterón en esta última expresión, aparecerán dos sumandos:

uno con las funciones correspondientes al estado IJ, M) = 1381) y otro con las funciones que representan el estado 1 J, M) = 13 D1). Aplicando el teorema de Landé, (JMIJloIJM)

1

= J(J + 1) (JMI(Jl·

J)JoIJM)

(2.8)

3En efecto, los dos estados, el triplete y el singlete de espín tienen tercera componente Sz = o.

80

F[sica Nuclear

donde Jo la tercera componente del operador quedará,

En el cálculo aparecen los productos

1:

Jo IJ M)

(8. 1) y (L.

=

Mñ IJ M),

1), que se calculan

recordando que J = (L+8), de donde se puede despejar el valor del producto buscado a partir de las expresiones de (J - L)2 y de (J _ 8)2. Queda pues, para cada onda posible, I-lA3S1)

=

Hgr)

+ g~n))I-lN = I-lp + I-ln = 0,880

I-lN

(2.10)

con lo que para explicar el valor experimental I-ld = O,8574376±0, 0000004 I-lN' se encuentra la mezcla de ondas posibles en las proporciones: a~ = O,96 Y a'b = 0,04 adelantadas.

2.2.2

Momento cuadrupolar eléctrico del deuterón

Se sabe que Qd = 2,88 ± 0,02 mb. Los nucleones son partículas con simetría de carga esférica: Qp = Qn = O, lo que obliga a que para obtener un momento cuadrupolar no nulo exista una componente con L =1= O ya que si el deuterón fuese un estado puro en onda S (L = O) sería esférico. Por definición, eQo =

e 3z (

2

- r

2)

=

ey ¡u;; Sr

2

Y20 ( (), 1)

(2.11)

que, caso de existir implica que los números cuánticos del sistema cumplan J2:1yL2:1. Utilizando el mismo modelo mezcla de onda S y onda D para el deuterón según la expresión vista en (2.5) anteriormente,

que es una suma de tres términos.


81

Para calcular lo, se necesita conocer explicítamente la expresión de los estados con J, L Y 8 bien definidos, que se construyen, IL8, JM)

=

¿

(LML8MsIJM) MLMS

ILML) 18Ms)

(2.13)

siendo ILML) = RL(r)YLML la función de ondas espacial, y (LML8MsIJM) el coeficiente de Clebsh-Gordan correspondiente. El primer elemento de matriz se anula (en estados L = O --+ Q = O). El segundo, debe contener la suma de términos posibles para un valor de L dado, o sea, como L = 2, los valores posibles de la tercera componente son ML = 2,1, O, quedando Qd(L) = ¿(LML8MsIJM)2 ML

(LMLIQoILML)

(2.14)

es decir, (2.15)

fa ()

ya que es el resultado de la suma -& () 2,2 + 130() 2,1 + 2,0, cuyos coeficientes son los correspondientes Clebsh-Gordan y las respectivas integrales angulares (de YL,ML con Y20) valen (-1/7, 1/14 y La integral (r2)D = fo"" R'D(r)r2RD(r)·

r2dr.

1/7)j!,

respectivamente.

Tomando (r2)D ~ R~ que-

daría (2.16) La conclusión es que sólo con el término ab (onda D pura) no puede explicarse el valor experimental del momento cuadrupolar eléctrico Qd del deuterón. Esto era de suponer una vez visto el resultado obtenido con el momento magnético dipolar. El tercer término, que conecta estados onda 8 con onda D, es no nulo porque el operador momento cuadrupolar eléctrico transporta L = 2. Lo complicado es calcular (r2) SD. Pero permite acotar ab entre 0,04 y 0,07.

Ffsica Nuclear

82

2

r

1

r 1

a)

b)

Figura 2.1 - Explicación de la deformación prolata debida a una fuerza tensorial en la que a) el espín es paralelo al vector que une los nucleones, como en el caso del deuterón o b) la fuerza es perpendicular y el núcleo sufriría una deformación tipo oblato. Para que exista este tipo de mezcla, es necesario que el Hamiltoniano, que no conmuta con L2, conecte estados 8 y D, o sea (381IHI3D1) i= 0, lo que se consigue con un potencial que contenga un término tensorial, (2.17) El momento cuadrupolar no nulo del deuterón pone de manifiesto la necesidad de fuerzas tensoriales en la interacción N-N. Estas fuerzas favorecen que el espín y el vector posición que une el protón y el neutrón estén alineados (8 11 r); por ello resulta que el deuterón es un núcleo prolato (en forma de aceituna). Ver el ejemplo de la figura 2.1. Uno de los modelos que explican la necesidad de un término como 812 es el modelo de intercambio de un pión, propuesto inicialmente por Yukawa.


83

Por consiguiente, el potencial N - N no puede ser descrito únicamente por términos centrales. La naturaleza de la fuerza nuclear es mucho más compleja que la de las fuerzas electromagnéticas y gravitatorias.

2.2.3

Función de ondas radial del deuterón

V(r),

RO

-r

Figura 2.2 - Sencillo pozo de potencial para explicar el deuterón. Se tomará el potencial más sencillo para describir la fuerza N - N: un pozo cuadrado de profundidad - Va y de alcance R.o. Evidentemente se trata de una aproximación puesto que este pozo tiene simetría esférica por definición y por lo tanto describe fuerzas centrales, lo que no corresponde a las fuerzas presentes en el deuterón, como se acaba de ver, en el que es necesario introducir fuerzas tensoriales (además de las centrales). El deuterón se supone un sistema cuántico no relativista; las masas de sus constituyentes son mucho mayores que las energías de ligadura. Por lo tanto, se aplicará la ecuación de Schrodinger. Al tratarse de un potencial central la solución 'Ij; podrá escribirse de la forma: (2.18)

Ffsica Nuclear

84 siendo Rnt solución de la ecuación radial 2

_ !i 2J.L

(cPdrRnt 2

+ ~dRnt) + r dr

que para el estado fundamental queda

[v(r)

2

+ f(f + 1)!i ]

Rnt

2J.Lr2

= en¿

(f = O), Y tras el cambio u(r)

!i (cPu) - -2J.L -dr2 + [V(r) 2

-

El u(r)

=O

(2.19)

= rRnt(r)

(2.20)

siendo J.L~ Mp/2, la masa reducida del sistema. Al tomar en consideración, para V (r), la forma concreta del potencial de la figura 2.2, las soluciones de la ecuación de Schrodinger son,

(2.21)

quedando únicamente los términos con coeficientes A y finita en r = O Y se anule cuando r ~ oo. Se cumple

e, para

que u(r) sea

(2.22)

en donde la energía de ligadura del deuterón Ed = -2,225 negativa, para recordar que se trata de un estado ligado.

MeV, se toma


85

Figura 2.3 - Función de ondas del deuterón. La condición de continuidad de la función de ondas u(r) y su derivada, (~;)r=~' ambas en Ro, conduce a: (2.23) ecuación trascendental que relaciona Va y Ro. Si se admite que k2 « k1, consecuencia de la pequeña energía de ligadura del deuterón, esta ecuación puede aproximarse: cot a ~ O, lo que implica que k1 Ro ~ ~' con lo que se logra la relación aproximada entre Vo y Ro que se buscaba, (2.24) Tomando Ro = 1,96 fm, radio de carga del deuterón obtenida en los experimentos de difusión e=d, se tiene Vo ~ 30 MeV, profundidad del pozo nuclear. Podrá decirse que el valor 3Va ~ 30 MeV, corresponde al estado

Ffsica Nuclear

86

triplete. No existe estado singlete ligado con este potencial (potencial estimado para el singlete 1Va 200 MeV). Está claro pues que la fuerza nuclear depende del espín. La función de ondas u(r), dará la probabilidad de encontrar el nucleón a una distancia r del cdm: rv

(2.25) Se puede calcular el valor medio de r, que puede aproximarse a la distancia que reduce en un factor l/e la función de ondas vista en la ecuación (2.21), lo que representa la distancia media entre los nucleones:

(r)

1 rv

-

k2

~

4,3 fm

(2.26)

Este valor indica que los nucleones están poco ligados y bastante alejados en promedio, lo que era de esperar ya que los nucleones están poco ligados en el deuterón, vista la energía de ligadura Ed y la profundidad del pozo Va encontrada.

2.3

Difusión N-N.

Defasajes

El sistema N - N ha sido ampliamente estudiado. El método se basa en colisiones pp, np (las fuentes de n suelen ser: reactores o en un acelerador via la reacción 7Li(p, n)7 Be), que se completa con el estudio de colisiones pd y nd. El problema es que debe sustraerse la colisión no deseada (por ejemplo si se quiere estudiar pn utilizando pd, se sustraerá el ruido de fondo debido app).

2.3.1

Desarrollo en ondas parciales

La diferencia entre la presencia de un potencial o no, al resolver la ecuación de Schrodinger, se suele parametrizar introduciendo un defasaje, 8, en la onda que describe a la partícula. Este defasaje da la diferencia de fase entre la onda difundida y la onda antes de la difusión. Informa sobre: • La forma e intensidad del potencial. • La dependencia con la energía de la sección eficaz.


s = O,T = O pp nn np

fm fm fm fm fm fm

-17,1±0,2 2, 794 ± O,015 -16,6 ± 0,6 2,84 ± 0,03 -23,715 ± O,015 2,73 ± 0,03

a Ro a Ro a Ro

87

S = I,T = O -

5,423 ± 0,005 1,73 ± 0,02

frn

fm

Tabla 2.1: Promedio experimental del alcance efectivo (Ro) Y longitud de difusión (a) para el sistema N-N, en experimentos de difusión a baja energía. Con ello se llega a una expresión para la sección eficaz de difusión,

(1

=

J

da 47r ~ dndn = k2 L)2f

+ 1) serr' 81(k)

(2.27)

l=O

que depende de los defasajes 8e, de cada una de las ondas f que intervienen en la difusión. A baja energía (T < 20 MeV), el tratamiento de los defasajes es muy interesante porque si un potencial tiene alcance Ro, el momento angular orbital de la difusión está limitado por

e < IPl· Ro -

fi

(2.28)

con lo que para la difusión p +P a un momento p ::; 100 MeV/ e sólo interviene f = O, la onda s, dando lugar a _ 4 sen280 7r k2

(lo -

(2.29)

luego existe una relación directa entre la sección eficaz de colisión a baja energía y el defasaje 80.

2.3.2

Relación entre defasaje y potencial V

Las soluciones de la ecuación radial de Schrodinger para la difusión por un pozo cuadrado,

Ffsica Nuclear

88

r < R¿ ----- ul(r)

= Asen(k1r)

r > R¿ ----- u2(r)

= Csen(k2r + 8)

(2.30) en donde se observa que la interacción produce un desfasaje 8 (8 > O si el potencial es atractivo). Se cumple

(2.31) y E > O, por supuesto, ya que ahora es un problema de colisión. Como se ve, se ha considerado que el nucleón incidente tiene una energía cinética dada por la ecuación no relativista, (2.32) Para el límite de energía nula (E = O), la solución de la ecuación de ondas sería u2(r) = B + Dr. En el caso en el que hubiesen estados ligados porque Va es suficientemente profundo, se tendría u2(r) = ce+v. o sea, lo visto en el caso del deuterón. La ecuación que relaciona Vo y Ha con E, aplicando de nuevo la condición de continuidad en Ha, es: (2.33) de donde se puede obtener el defasaje 8.

2.3.3

Aproximación de alcance efectivo

En el límite de energía nula E - O, suele utilizarse la parametrización alcance efectivo, cr _ 47ra2

de

(2.34)

siendo a la longitud de difusión, que podría definirse como . l a=lm

k-O

sen 8 -k

0

(2.35)


89

por simple inspección de la fórmula (2.29) anterior y al igual que antes, fi2k2

=

2J1E.

Si se normaliza U2(O)

= 1,

se tiene r

k2 = O

1- -; a

sen (k2r + 150); senóo

(2.36)

k

2

#

O

La dependencia de 150 con la energía la da el alcance efectivo, se obtiene al igualar en Ro las expresiones vistas en (2.36): k cot 150

1

= -~

1

+ 2Rok

2

Ro, que

(2.37)

con lo que los parámetros a, longitud de difusión y Ro, alcance efectivo, caracterizan el potencial nuclear. El significado físico del alcance efectivo corresponde al de la distancia media de interacción entre el neutrón y el protón. La expresión completa para la sección eficaz de colisión que se predice utilizando la ecuación de Schrodinger es: (2.38) que para el límite k -+ O (energía nula) se reduce Los parámetros obtenidos en los experimentos en la tabla 2.1 . Los defasajes son conocidos para el conjunto puede darse en el sistema N - N y que conviene

a (2.34). de difusión N - N se dan de números cuánticos que recordar.

(a) Para el sistema pp ó nn. Se trata de un estado puro de isospín T = 1 (llamado isovector); el principio de simetrización da lugar a las dos posibilidades siguientes,

e

S = O ----4 L par Sod11D2~ { S = 1 ----4 L impar (3 Po, 3 P1,

3 g)

(b) Para el sistema np, si se supone el caso T = 1, isovector, se tendrán los mismos estados que en el caso anterior.

Ftsic« Nuclear

90

(e) Para el sistema np, pero el isoscalar, o sea isospín T = O;por el principio de simetrización se tendrán ahora las posibilidades,

De los datos de la tabla 2.1 anterior para pp y nn se observa que los valores de a y de Ro son similares; se deduce de ello una propiedad de la fuerza nuclear: la simetría de carga. Para que exista independencia de carga, el parámetro a debería ser igual en todas las combinaciones de carga, incluído el caso de np. Pero la diferencia que existe en el valor de a para los datos del estado np se explica en el modelo de Yukawa porque existe un proceso, el intercambio de 7r±, que sólo puede darse en np, al contrario que el intercambio del 7r0 que se da en todos (8m", = 4, 6 MeV). O sea, se puede admitir que efectivamente existe independencia de carga. Se observa que si a > O existe estado ligado (el deuterón). Pero a baja energía, los resultados de las difusiones muestran que hay repulsión. De aquí se deduce la existencia de un hard-core en los nucleones que los hace impenetrables. Deberá reflejarse en el potencial. En efecto, si se resuelve la ecuación radial de Schrodinger vista en (2.20) para un potencial V = 00 si r < a, o sea una fuerza repulsiva, se obtiene: 80

=

-ka

(2.39)

es decir, un defasaje negativo. Por el contrario, si se tratase de una fuerza atractiva, se obtendría un defasaje positivo. Cuantitativamente, para el deuterón se tiene una variante de la expresión (2.37), concretamente: k2

112 = Ot

+ 2Rotk2

(2.40)

y como k2 = 0,2316 fm-1, da lugar a los valores del triplete de espín a; = 5,423 fm y Rot = 1,73 fm que aparecen en la tabla 2.1.

2.4

Potencial de Yukawa

Clásicamente una interacción (a distancia) entre dos partículas es debida a la acción del potencial creado por una sobre la otra.


91

7t

Figura

2.4 - Diagrama de intercambio de

'Ir

de Yukawa.

H. Yukawa (en el año 1934, premiado con el Nobel de Física en 1949) utilizó la idea cuántica de que la interacción es debida al intercambio del cuanto del campo (un bosón) entre ellas. El diagrama que describe esta idea puede verse en la figura 2.4, llamado habitualmente diagrama de Feynman. Así, Yukawa introdujo la idea de que la interacción nuclear es mediada por el intercambio de mesones. Sólo se intercambian bosones, ya que para intercambiar fermiones habría que intercambiar también el correspondiente antifermión y cumplir el principio de exclusión de Pauli. Estas ideas dieron lugar al modelo llamado OPEP (one pion exchange potential) .

Física Nuclear

92 Ejemplo:

Estimación de la masa del mesón intercambiado. La única manera de que un nucleón pueda emitir una partícula de masa m y continúe siendo ese nucleón, sin violar el principio de conservación de la energía, es que tenga lugar en un periodo de tiempo muy corto !:lt y según el principio de incertidumbre !:lt·!:lE <

n

donde !:lE = me? El tiempo !:lt será el que tarda en recorrer la partícula la distancia que hay entre los nucleones (suponiendo que se mueve a la velocidad de la luz), lo que corresponde al alcance de la fuerza, R 1 fm. Teniendo esto en cuenta rv

n·e

R

!:lt

<

-~!:lE
R 22

X

10-

R

23

MeVs x 3 x 10 fm/s lfm

= 200 MeV

De lo que se concluye que la partícula intercambiada debe tener una masa del orden de 200 MeV. Se dice que la partícula intercambiada es virtual, ya que su energía y su momento no cumplen la relación de Einstein E2 = (me?)2 + (PC)2 (lo que equivale a decir que la partícula intercambiada no está en su capa másica), y no es detectable ya que no es una partícula libre; no se trata de una partícula real. A todos los efectos, se supone que la partícula intercambiada es puntual; no tiene estructura. Para calcular el potencial de intercambio de un bosón hay que recurrir a la teoría cuántica de campos relativista. Pero haciendo una sencilla analogía con la electrodinámica, puede encontrarse una expresión para dicho potencial. El potencial electrostático creado por una carga q en el origen cumple la conocida ecuación de Poisson:

v2v;,(r')

= -

[_1_] 47[(:0

47rq8(r')

(2.41)

que tiene por solución el conocido potencial de Coulomb,

v;,(r) =

[_1 ] 47rEo

fJ.

r

(2.42)

La fuerza nuclear: El deuterón. Interaceión N-N

93

Al cuantificar el campo electromagnético, aparecen los cuantos del campo llamados fotones, cuya fuente es la carga eléctrica. Es bien conocido que la fuerza electromagnética tiene alcance infinito y los fotones, cuantos del campo, tienen masa nula. Supóngase ahora el caso del campo nuclear, cuyo cuanto tiene masa m y es el responsable de la fuerza de atracción entre nucleones. El cuanto debe de ser un bosón, emitido y absorbido por una fuente caracterizada por una constante de acoplamiento 9s' Análogamente al caso electrostático la mejor ecuación relativista para el potencial creado por una fuente en el origen, es la ecuación relativista de Klein-Gordon:

V2
=

--¡;; (me)2

válida para partículas de masa m y espín s potencial de Yukawa,

=

O.

(2.43) Tiene por solución el

(2.44) que suele escribirse también

(2.45)

siendo ro = ñfmc. Se observa que si el cuanto del campo tiene una masa m, la intensidad del campo se reduce en l/e a una distancia "» = ñfmc. O sea, ro mide el alcance de una fuerza mediada por un bosón de masa m. El pión, m1r± = 139,57 MeV/ c2, descubierto en 1947 por Lattes, Occhialini, Muirhead y Powell, da para el alcance ro 1,4 fm, representando muy bién la parte de mayor alcance de la fuerza nuclear. rv

Los piones cargados, junto con el pión neutro (m1ro = 134,97 MeV/c2), con vidas medias T 1r± = 26 ns y T 1r0 = 8,4 X 10-17 s, forman un triplete de isospín (lo que asegura la independencia de carga de la interacción nuclear) y son mesones pseudoescalares (.fP = 0-).

Fisice Nuclear

94 Ejemplo:

Para estimar el valor numérico de la intensidad de la fuerza nuclear, gs, pueden utilizarse los parámetros del deuterón R rv 2 fm Y Va rv 30 MeV, sustituyéndolos en la ecuación (2.45), resultando: 2

9s 47r

rv

250 MeV . fm o sea, adimensionalmente: a = s

~ _s_

47rfic

rv

1

que puede compararse al valor de la constante de acoplamiento, adimensional, que mide la intensidad de la interacción electromagnética, la llamada constante de estructura fina e2 47rEOfic

a=---=-

as

a

=

1

137

137

Así se comprende el origen de la denominación de fuerza fuerte.

2.5

Potencial N - N

Los numerosos estudios de las propiedades de la interacción N - N, ya sea a partir del estudio del estado ligado o de los estados de difusión, han conducido a la formalización de varias expresiones, fenomenológicas, del potencial N-N. Se ha visto que es atractivo, que existe saturación (distinto al gravitatorio V = GNM/r, en el que un cohete es más fácil que escape de la Luna!) con una energía de ligadura media E rv 8 MeV y aproximadamente constante. No tiene análogo clásico. Las reacciones nucleares demuestran que tiene un core impenetrable (repulsivo), que puede explicarse por la estructura en quarks al aplicarles el principio de exclusión de Pauli.


95

core (repulsivo)

V(r)

¡

--, , ,

r (fm)

a~activo (OBE)

I I I I

Yukawa Figura 2.5 - Potencial fenomenológico. En línea de trazos se observa el potencial de Yukawa, que efectivamente permite describir el comportamiento a grandes distancias de la fuerza nuclear. Con ello, una buena aproximación al potencial N - N a baja energía es el de la figura 2.5. Si p2/2m < VD' pueden formarse estados ligados. Si no, sólo habrá difusión. La diferencia entre el potencial creado por un n y un p vendrá dada por la existencia en este último caso de una barrera culombiana. La dependencia con el espín viene dada, por ejemplo, por los números cuánticos del deuterón (JP = 1+) Y por las diferencias singlete-triplete en la difusión np a baja energía (f = O): Vat ~ 31,3 MeV Vas ~ 13,4 MeV

a¿ ~ 2,2 fm as ~ 2,7 fm

También es necesaria una fuerza tensorial, que explique el Qd # O del deuterón. A gran distancia (r > 2 fm), el potencial puede ser explicado por el intercambio de un pión. Para 1 < r < 2 fm, son necesarios bosones más

Física Nuclear

96

pesados que el 7r, por ejemplo: P,w, o incluso dos piones. El core repulsivo puede describirse mediante un pozo infinito (V = 00, para r < 0,5 fm); también puede obtenerse mediante el intercambio de muchos piones o de mesones muy pesados. El potencial N - N más general, conteniendo las propiedades descritas, propuesto por Okubo y Marshak, contiene 12 términos. Los 6 primeros son:

V(r) = Vc(r)+

a

v.(r)a\· 2+ VLs(r)L. (al VT(r )812+

+ a2) + (2.46)

VQ(r) {(al· L) (a2· L) Vpp(r) {(al· i!) (a2 . i!)}

+ (al·

L)

(a2·

L)} +

a los que hay que añadir los correspondientes 6 términos dependientes del isospín:

(2.47)

¿;

La notación es L = ~ + §= al + a2, en donde ~ y ai son el momento angular orbital y el espín de los nucleones. Además, habría que tener en cuenta que los términos van divididos por ¡¡?, etc, para que la suma de términos sea dimensionalmente correcta. La dependencia en espín aparece al calcular el valor esperado de al . a2 que para el estado triplete (8 = 1) da 2 /4 y la fuerza es atractiva, mientras que para 8 = O vale -3n2 /4, siendo repulsiva. Lo mismo sucede con los términos de isospín. Se conocen actualmente dos modelos que describen bastante bién la difusión N - N, el modelo de Paris y el de Bonn. Se diferencian en el tratamiento del core y del efecto de la resonancia N7r, la conocida ~(1232) y del antinucleón N en los núcleos.

v,

a .a

n

2.5.1

Potencial OPEP

La generalización del potencial de Yukawa dió origen al modelo OPEp4, que conduce a una expresión analítica para el potencial N - N, aunque también con ingredientes fenomenológicos. Una expresión del potencial OPEP 40PEP un pión.

("One Pion Exchange Potential")

significa potencial debido al intercambio de


97

frecuentemente utilizada es: (2.48)

en donde T es el operador de isospín,

8

12

=

§= al + a2 el de espín y

[3(iJ ;;j2 _

al .

a2]

(2.49)

el término tensorial, justificado por las propiedades del deuterón. El alcance R es un parámetro cuyo valor está comprendido entre 1,4 y 2,0 fm. Una forma de entender la dependencia con el espín (J) y el isospín (T) en el modelo OPEP es a través del intercambio de un mesón; por ejemplo puede tratarse de un pseudoescalar (JP = 0-) o de un vector (JP = 1-). Buenos ejemplos son el rr (pseudoescalar y triplete de isospín, T = 1) Y el w (vector y singlete de isospín, T = O), respectivamente.

98

Física Nuclear

Glosario de términos clave Deuter6n - (página 75) Nucleido compuesto por un protón y un neutrón, 2 H. Es el sistema nuclear ligado más sencillo. Es un isótopo del H. Diagramas de Feynman - (página 91) Diagramas desarrollados por Feynman que representan los mecanismos por los que las partículas elementales interaccionan. FUerzas de intercambio - (página 91) Existen interacciones entre partículas que pueden realizarse mediante el intercambio de partículas mediadoras. Interacci6n - (página 90) Es un término general que indica la posibilidad del intercambio de energía y momento entre partículas o de la posibilidad de crear o aniquilar partículas. Hadr6n - (página 75) Nombre genérico para todas las partículas compuestas de quarks y antiquarks. Partícula virtual- (página 92) Partícula que tiene una existencia transitoria, son absorbidas y emitidas en un intervalo de tiempo b.t más pequeño que b.E/n. No se pueden observar directamente ya que durante su tiempo de existencia no satisfacen la relación. E = +Jm2c4 + p2C2, donde m es la masa en reposo de la partícula. Se utilizan en el tratamiento teórico de ciertos problemas físicos.


99

Resumen • Los núcleos existen debido a la existencia de fuerzas nucleares. • Para comenzar el estudio de las fuerzas nucleares, se debe observar como se manifiestan en sistemas que sólo tengan dos nucleones, sistemas protón-protón, neutrón-neutrón y protón-neutrón. Como sistema ligado sólo es posible el deuterón 2 H (protón-neutrón). • El deuter6n es el estado ligado nuclear más sencillo y se trata de un sistema ideal para el estudio de la interacción nucleón-nucleón. Su energía de enlace es una cantidad que se ha medido de manera precisa, por lo que se puede comparar con las predicciones teóricas. Está formado por un protón y un neutrón con es ín aridad 1+. • El siguiente paso es el estudio de colisiones nucleón-nucleón, ya que aunque el estudio del deuterón proporciona gran cantidad de claves para la comprensión de este tipo de fuerzas, tiene la limitación de que no se puede encontrar en ningún estado excitado (el sistema ligado es tan débil que los "estados excitados" son estados no-ligados que consisten en un neutrón y un protón libre). Para la comprensión de la interacción nucleón-nucleón en otras configuraciones se estudian las colisiones nucleón-nucleón. • El alcance efectivo y la longitud de difusión caracterizan el potencial nuclear del sistema N - N. • Las principales características de la fuerza nuclear obtenidas son: - Es fuerte, los núcleos son estados ligados a pesar de la repulsión culombiana. - Depende del espín, hay un estado 3 SI ligado pero no un 1So de 2 nucleones. - Tiene una componente tensorial, el momento cuadrupolar eléctrico del deuterón es distinto de o. - Tiene corto alcance, no se aprecia fuera del núcleo. - Es independiente de la carga (simetría de carga), no distingue entre protón y neutrón.

100

Física Nuclear - Se satura, la densidad nuclear es casi constante en la tabla periódica . • Yukawa introdujo la idea de que la interacción nuclear se produce por intercambio de partículas. Estas partículas son bosones (no pueden ser fermiones). Son virtuales y no se pueden detectar.


101

Ejercicios de autocomprobaci6n 1. Si la intensidad de las fuerzas nucleares es sólo unas cien veces superior

a las electrostáticas, ¿cómo se explica el hecho de que en las reestructuraciones nucleares se involucren energías del orden del MeV, mientras que en los reajustes atómicos aparezcan energías de sólo algunos eV?

2. ¿De qué manera las características del deuterón reflejan de la interacción fuerte?

las

propiedades

3. ¿Qué conclusión se puede obtener de que el momento cuadrupolar del deuterón sea positivo?

4. ¿Por qué se dice que el deuterón es un estado singlete de isospín?

5. Usando el principio de exclusión de Pauli, encontrar el espín isotópico T del sistema n - p en los estados 3P Y 3D.

Física Nuclear

102

Soluciones a los ejercicios 1. Una explicación elemental de esta diferencia reside en el hecho de que los nucleones se encuentran empaquetados en el núcleo a una distancia del orden de 1fm, unas cien mil veces menor que el radio de las órbitas electrónicas en el átomo (lO-lO m). 2.

(a) Es un sistema ligado, que se puede producir por captura de un neutrón térmico par el núcleo de 1H. (b) La energía de ligadura es grande, del orden de 2,22 MeV. (e) Su tamaño, con R ~ 1,96 fm, es típico de fuerzas de corto alcance, del orden de 1 fm.

3. Su forma, el deuterón, es "amelonado" (técnicamente prolato). Podría se achatado en los polos (oblato) o esférico. Esto se ve con el operador cuadrupolar (2.11)

Qo = 3Z2

-

r2

donde Z2 es la tercera componente del vectar de posición y r es el radio. El momento cuadrupolar es el valor medio de esa cantidad. Si es positivo, el valor medio de Z2 es mayor que x2 o el de y2, por lo tanto el deuterón será prolato, si fuera nulo sería esférico .. 4. Como el protón y el neutrón son dos partículas casi iguales (con diferencias debidas a la estructura electromagnética del protón), resulta conveniente considerarlas como dos estados distintos de la misma partícula, el nucleón, algo así como el electrón con espín positivo y el electrón con espín negativo. Se dice que el neutrón forman un doblete de espín isotópico, con el protón con la tercera componente de isospín + y el neutrón -. Sus estados cuánticos se representan por

Ip) = In) =

I~,~) I~,-~)

Al ser dos estados de la misma partícula, se debe aplicar el principio de exclusión de Pauli. La función de onda debe ser antisimétrica ante el intercambio de sus posiciones o espines. Para los nucleones, el producto


103

de la paridad espacial, la de espín y la de espín isostópico debe ser negativo (para que sea antisimétrica, según el principio de exclusión). Como las dos primeras son + (onda 3 ó D y espín total 1) la tercera, es decir el isospín debe ser -. Es decir espín isotópico 0, por eso se dice que está en un estado singlete de espín isotópico. 5. La función de onda debe ser antisimétrica para fermiones (y simétrica para bosones), en el intercambio de las dos partículas. La antisimetría la constituyen los términos (nl m) de la función de onda, es decir la parte espacial, la de espín y la de isospín. Las tres deben ser antisimétricas (-) o sólo una. (_l)L+S+T

=

-1,

El sistema puede tener isospines paralelos o antiparalelos, luego

T= 0,1 3 = 1, ya que 23 + 1 = 3 (triplete) L = 1 porque es P 3 + L + T = impar, 2 + T = impar

:» T = 1

3 = 1, ya que 23 + 1 = 3 (triplete) L = 2 porque es D 3 + L + T = impar, 3 + T = impar=» T

=

°

Capítulo 3 Modelos nucleares

• INTRODUCCIÓN • MODELOS DE PARTÍCULA INDIVIDUAL o o

PROPIEDADES DE LOS NÚCLEOS CON A IJ.\.1PAR MODELO DE CAPAS

• MODELOS COLECTIVOS MODELO DEL GAS DE FERJ\III MODELO DE LA GOTA LÍQUIDA o PROPIEDADES COLECTIVAS DE LOS NÚCLEOS PAR-PAR o MODELO VIBRACIONAL o MODELO ROTACIONAL o o

• MODELO UNIFlCADO o

MODELO DE CAPAS ENNÚCLEOS DEFORMADOS

106

Ffsica Nuclear

I OBJETIVOS DIDÁCTICOS ESPECÍFICOS

I

• Entender la necesidad de establecer modelos que expliquen las distintas propiedades de los núcleos, basándose en determinadas aproximaciones. • Distinguir entre modelos de partícula individual y modelos colectivos. • Describir, en primera aproximación, el modelo de capas y, a partir de este modelo, definir el estado fundamental y estados excitados del núcleo, así como su espín y su paridad y predecir los momentos dipolar magnético y cuadrupolar eléctrico. • Estudiar el modelo del gas de Fermi y las principales conclusiones que se obtienen de él. • Establecer las bases del modelo de la gota líquida y relacionarlo con la fórmula semiempírica de la masa, basada en este modelo. • Conocer los modelos colectivos rotacional y vibracional, y en qué se basan. • Comprender la necesidad del desarrollo de modelos unificados.

Modelos nucleares

3.1

107

Introducción

El estudio de la estructura nuclear es imposible de abordar de manera exacta. A baja energía (:::;2 MeV) los núcleos pueden considerarse como sistemas cuánticos formados por muchos nucleones que, además, interaccionan entre sí a través de un potencial N-N muy complejo. Para resolver el problema de la estructura nuclear, habría que plantear un conjunto de ecuaciones acopladas describiendo interacciones mutuas de los A nucleones. Incluso no es evidente que sólo existan interacciones a 2 cuerpos. A alta energía, sobre todo para explicar las reacciones entre iones pesados, se suelen utilizar métodos derivados de la mecánica estadística (ecuación de estado). Se sabe que existen núcleos con número atómico Z = 1,2, ..., 111 y N = 0,1, ..., 161. Y recordando lo estudiado anteriormente, sabemos que el radio nuclear es R( A) = ToA 1/3 con TO ~ 1, 2 fm, con lo que los radios nucleares son R ::; 7,5 fm. Ello es una consecuencia de la incompresibilidad de la materia, o lo que es lo mismo, la densidad nuclear, p = AIV, es constante e independiente de A. Estas características nucleares son consecuencia de la .interacción N-N, fuertemente repulsiva a pequeñas distancias (menores que 0,5 fm) y atractiva a gran distancia (entre 1 y 2 fm). La energía de ligadura del nucleón menos ligado vale EB 8 MeV y su energía cinética, que predice el modelo del gas de Fermi, T 33 MeV. Esto equivale a un momento bastante elevado PF 250 MeVle, llamado el momento de Fermi, que implica que los nucleones no están en reposo dentro de los núcleos, sino que se mueven con velocidad muy elevada. Este fenómeno es, de nuevo, consecuencia de la relativamente débil intensidad de ligadura entre nucleones. Dado que la masa de un nucleón es mi? ~ 938 MeVI c2 se podrá abordar con una teoría no relativista. La velocidad de un nucleón en el núcleo es rv

rv

rv

v = Y-:;:;;: fif = eJ me 2T

2

~

0,3 e

(3.1)

y la longitud de Broglie asociada

(3.2)

Ffsica Nuclear

108

del orden del radio nuclear, con lo que los efectos cuánticos sí serán importantes. En cualquier caso, la ecuación básica que describirá los estados propios nucleares será la ecuación de Schrodinger estacionaria: iN!

=

EiJI

(3.3)

Pero el problema será encontrar la expresión del hamiltoniano H. Existen dos vías de tratar el problema; se trata de dos tipos de modelos nucleares, que intentan explicar y predecir un conjunto de propiedades. Se suelen clasificar en: • Modelos microscópicos. En estos modelos microscópicos, la estructura nuclear se describe en función de los grados de libertad de los nucleones constituyentes. La función de ondas del sistema será de la forma iJI(ql, qz, ... , qA), en donde qi representa la posición Ti, el espín Si y el isospín Ti del nucleón i. Con ésto, el hamiltoniano se construye sumando las energías cinéticas de los A nucleones e incluyendo términos basados en interacciones de dos nucleones a través de un potencial de 2 cuerpos: A

A

H

= -

1

ñ,2

L: 2m \7

2

i=l

+ 2 L:V(i,j) i,j

La forma del potencial nucleón-nucleón, V(i,j), no viene dada por ninguna teoría; es fenomenológico y en general depende del problema que se quiere resolver. El problema es que la ecuación de Schrodinger, en los casos A ~ 4 es engorrosa de resolver. Así, el enfoque que suele darse es el de las interacciones efectivas, en las que un nucleón interacciona con un potencial medio nuclear. Este es el concepto que da lugar a la idea de modelos de partícula individual (denominados en la literatura modelos single-particle, abreviadamente sp), más fácil de abordar y que ha logrado muchos éxitos en el marco del modelo de capas. • Modelos

macroscópicos

o colectivos. Los grados de libertad son A

ahora las coordenadas colectivas, como R

=

A-1

¿ ri,

centro de ma-

i=l A

sas del núcleo, y

Q20

=

¿ r?Y2¡.«Di), i=l

momento cuadrupolar, que como

Modelos nucleares

109

puede apreciarse se escriben en función de coordenandas microscópicas (de los constituyentes) y por lo tanto pueden relacionarse ambos enfoques. El hamiltoniano también será función de propiedades colectivas (M,R, V).

3.2 3.2.1

Modelos de partícula individual Propiedades de los núcleos con A impar

Los modelos colectivos o macroscópicos no tienen capacidad predictiva sobre los números cuánticos (espín-paridad) de los estados fundamentales de los núcleos con A impar. Estos núcleos presentan una serie de características que es necesario abordar con otro tipo de modelos. Se puede comprobar que los núcleos con A impar reproducen con bastante precisión la idea extrema de modelo de partícula individual. En éste, se supone a los nucleones apareados en una estructura con fP = o-, de forma que las propiedades del núcleo vienen dadas por el nucleón no apareado. El nucleón individual ocupará un estado con momento angular orbital bien definido. Al tener en cuenta el espín del nucleón, se tendrá un momento angular total i, el espín del núcleo será el del nucleón no apareado, J = i, y como P = (_l)l, la paridad fija el valor correcto del momento angular orbital entre los dos posibles f = j ± ~. Se aborda a continuación el modelo nuclear de partícula individual y se estudian soluciones de la ecuación de Schrodinger. Una vez obtenidas las soluciones de la ecuación de Schrodinger, que da los estados de nucleón individual, para realizar cálculos se podrá utilizar una base de estados con el momento angular del nucleón aislado bien definido: 'lj;jm('ni)

= Rnt(r) ¿)f~jl¡.t(Jm)YtJL(l1,

(3.4)

JLU En lo que sigue, se representará la función de ondas 'lj;jm(nf) por la notación

Ij,m>. 3.2.2

Modelo de capas

El modelo de capas es un modelo que describe las propiedades nucleares a partir de la interacción efectiva de un nucleón con un potencial. No se

FIsica Nuclear

110

consideran las interacciones nucleón-nucleón, sino la de un constituyente con el potencial medio fenomenológico. De aquí el origen de la denominación de modelos de partícula individual

10

•

1--

•

•

1--

E

•

•

a

•

(MeV)

1--

••

•••••

1--

5

•

•••

•• I I

I

I

I

l1S

120

12S

I I

•

•

I

I

130

13S

•

N Figura 3.1 - Energías de partículas a en la desintegración de los isótopos del Rn. Obsérvese el rápido aumento cuando el hijo, Po, tiene N = 126 neutrones. Uno de los hechos experimentales de núcleos con números mágicos,

Z N

bien establecidos es el de la existencia

= 2, 8, 20, (28), 40, 82

=

2, 8, 20, (28), 50, 82,126

cuyas propiedades más destacadas son:

a) Tienen energías de ligadura EB muy elevadas. b) Tienen discontinuidades figura 3.1).

en las energías de partículas

a emitidas (ver

e) Tienen energías de separación Sp y S¿ mayores que en núcleos vecinos.

Modelos nucleares

111

Q ~ 0,

d) Los momentos cuadrupolares mental.

y

son esféricos en el estado funda-

e) Los doblemente mágicos 4He, 160, 40Ca, 9OZr, 208Pb, son muy estables y abundantes en el universo. Trataremos de explicar esta propiedades mediante el modelo de capas. Se trata de buscar un potencial que de lugar a una estructura de niveles (que se llaman capas) y proceder al llenado de los estados teniendo en cuenta el principio de exclusión de Pauli.

3.2.3

Modelo de capas esférico

El modelo de capas esférico es un modelo de partícula individual que describe la interacción de los nucleones con un campo medio que representa la ligadura nuclear. No es necesaria la interacción mutua entre nucleones. El hamiltoniano se escribe

(3.5)

con

siendo V(ri) un potencial central efectivo (tipo Hartree-Fock) que describe la interacción media de un nucleón con el resto de los nucleones del núcleo. Se trata de una interacción a un cuerpo. Este modelo predice niveles energéticos cuantizados. Las discontinuidades energéticas estarán asociadas a las capas. La energía se podrá escribir como suma de términos de partícula individual,

(3.6) en donde E( i) es la energía de cada estado i, y ni = 0, 1 es el operador número de ocupación del estado i. Si se quiere reproducir la densidad nuclear, se puede intuir que la forma del potencial nuclear medio vendrá dada por una expresión de tipo Fermi o Saxon- Woods,

V(r) - _ -

Va

(3.7)

1 + e(r-R)/t

con los valores de los parámetros, Va

rv

50 MeV

R

=

roA1/3

con

ro ~ 1,2 fm

112

Física Nuclear t = 0, 55

± 0, 07 fm

en donde 4t In 3 representa la conocida anchura de superficie (la anchura definida entre el 90% y el 10% de la densidad máxima). Sólo habría que tener en cuenta que para los protones, el potencial cerca de la superficie nuclear será repulsivo, y a gran distancia, igual al potencial de Coulomb (ver figura 3.2). Los niveles energéticos predichos por estos potenciales, serán ocupados por los nucleones cumpliendo el principio de exclusión de Pauli; es decir, no podrá existir más de un nucleón en un estado cuántico.

V(r)

r

Figura 3.2 - Forma de potencial de Fermi o de Saxon-Woods. Para identificar los estados descritos por el modelo de capas, se recurre a la configuración de los nucleones. Esta, informa de manera simplificada cuál es la ocupación de los niveles energéticos. Si es un protón se llama estado 7f y si es un neutrón se llama estado u, Los estados excitados nucleares corresponderán a estados excitados de los nucleones. Así en el caso del 170 que se observa en la figura 3.3, el nivel 1/2- podría provenir de un acopla-

Modelos nucleares

113

miento entre (7rPl/2)¡/2 y (Vd5/2)~ que, efectivamente, dan un nivel! con espín paridad 1/2-. El superíndice k de la configuración, representa el número de nucleones en la subcapa incompleta. El subíndice informa del momento angular total de los k nucleones de la subcapa incompleta. Normalmente, las fuerzas de apareamiento acoplan a J = O cuando se trata de un número par de nucleones. Una de las predicciones más efectivas del modelo de partícula individual en los núcleos con A impar, es que supone que los números cuánticos de espín y paridad del núcleo son los del nucleón no apareado. Se estudiarán a continuación algunos ejemplos de potenciales con solución de la ecuación de Schrodinger conocida, para ilustrar la forma de los espectros obtenidos y poder comparar los con los resultados experimentales.

**

Espectro

del pozo esférico

V(r)

= {

infinito.

-V o, 00,

Se tiene en este caso

05,r5,R r > R

(3.8)

Como el potencial es central, la solución a la ecuación de Schrodinger para h(ri) será de la forma

'l/Jnlm('i'}= Rm(r)Yím(fJ, tP) en donde además Rm(r) _fi2 d?u 2¡.¡, dr?

= unl(r)/r

(3.9)

quedando la ecuación radial,

+ [l (l + 1) fi2 + v(r)] 2¡.¡,r2

u(r)

=

Eu(r)

(3.10)

En este caso, la solución es

(3.11) y

las soluciones para las energías: Eni = fi2 K2 = fi2 X~ 2¡.¡, ni 2¡.¡, R2

(3.12)

en donde X~ son los ceros de la función de Bessel ji(KR) con K = J2¡.¡,E/ñ2, con lo que se obtienen los niveles (orbitales) conocidos, que están definidos por 1El superíndice -1 indica un estado agujero, es decir capa llena menos un nucleón; el subíndice da el espín.

114

Física Nuclear

(ni). La ocupación de cada nivel es 2(2i + 1) dando lugar a una estructura de capas cuyos números de ocupación (2,8,20,40,92), no reproducen los números mágicos.

E (MeV)

--- ---------------------------------------------. 5

3/2I I I

I I I I I

I I I

I I I

-------------------------------------, 5/2-

--

4

- - -- - - - --------- - - - - - - - - - - - - - - - -

1/2

-eeee--.eeeeeee

ia, -eeee-

3

2s" --e&1dsn

2

1p,r. lP:or.

-

1s Ir.

a

8 9

--..I

1/2-~--

0,.....0.....--5/2 17

•• •••••

+

--

--------

-¡

-.

I

-eeee--e&4eeeee

--.e--

-..- -..-

-eeee-

-eeee-

--.e--

..!.ea-

-eeeeeo --.e-

-eeeeeo

--.eee--e&-eeeeee

-----

••••••• ••••••• •••••• --.e-•••••• •••••• ~

--..--

I

----

-..-

I I

17p 9 8

Figura 3.3 - Interpretaciones de niveles nucleares por el modelo de partícula individual. El estado excitado 1/2-que aparece por encima de 3 MeV se describiría como (7rPl/2)1/2

(Vd5/2)~ ~ -. La paridad - es el resultado

del producto de paridades del estado Pl/2 y d5/2.

**

Espectro del oscilador armónico.

El potencial (central) deloscilador

armónico,

V(ri)

122

= 2J.LiWOri

(3.13)

con Wo la frecuencia del oscilador, es una buena aproximación para el potencial efectivo del modelo de partícula individual. Al ser un potencial central (tiene simetría esférica), la función de ondas del sistema podrá escribirse,

(3.14)

Modelos nucleares

115

Las soluciones para las funciones radiales de la ecuación de Schrüdinger, para un oscilador armónico, isótropo y tridimensional son, 2n+l+2

_

Rnt(r) -

{

n!(2n

+ 2e + 1) !!J7f(¡.¡,wjn)

en donde p = r j Jnj f.J,wo y Los niveles de energía,

3/2

} 1/2

i _ip2/2

p e

i+l/2

Ln-1

2

(p)

(3.15)

L los polinomios de Laguerre generalizados.

(3.16) dependen del número cuántico N del oscilador, que a su vez determina los valores posibles de f. El modelo predice nwo ~ 41j.y}1 MeV, energía necesaria para excitar un nucleón a una capa superior. Los estados están caracterizados por dos números cuánticos N y

e,

• N, número cuántico del oscilador (O, 1,2, ...), que caracteriza la capa .

• e = N, N -

2, ... , 1 ó 0, el momento angular orbital permitido.

Además, están relacionados por N = (2n-l) +e, siendo n el número cuántico principal/ (o radial). La degeneración de los estados es D N = 2 L (2f + 1) = (N + 1) (N + 2), dando como número máximo de nucleones (con todas las capas llenas) L D N,

2,8,20,40,70,112,168,

...

es decir, reproduce los primeros cuatro números mágicos. Se utiliza la notación (ni), siendo n el número de nodos de la función de ondas: da el ordinal de la subcapa (n-ésima vez que aparece la onda e). El orden de llenado de las capas según lo visto es,

[ni]

[ls]

[Ip]

[ld,2s]

o

1 6

12

2

2

[lf,2p] 3 20

4

5

[li,2g,3d,4s] .... 6

30

42

56

[lg,2d,3s]

[lh,2f,3p]

2El número cuántico n no tiene las mismas propiedades que en Física Atómica = 1,2, ...

(n ~ i + 1), sino que siempre toma los valores n

g

Ffsica Nuclear

116

Correspondiendo cada capa a N = 0, 1, 2, 3, etc. En la figura 3.4 puede observarse la estructura de capas en función de la energía. Ejemplos de algunas funciones de onda radiales, son

e-vr2/2

R1s

2 (v3/lr)

R1p

";23/3 (v5/1f)1/4re-vr2/2

R1d

";24/15 (v7 /1f)

1/4

1/4 r2e-vr2/2

en donde v = ¡.JJJJo/n es el parámetro del oscilador, que vale se A-1/3 fm-2.

Interacción espín-órbita Es bien sabido que la interacción N-N depende del espín. La inclusión en el hamiltoniano de partícula individual de un término de interacción espínórbita, introducida en 1949 por Mayer y Jensen (PNF 1963), Haxel y Suess, describe correctamente los números mágicos, (3.17) Se suele añadir un término del tipo b{2, para desplazar ligeramente los valores de la energía en función del valor del momento angular f. Con esto se consigue que los resultados se asemejen más todavía a los que produce el potencial de Saxon- Woods. Es decir que el hamiltoniano más correcto sería: (3.18) La interacción espín-órbita desdobla todos los estados con momento angular orbital l > O Y aumenta la diferencia entre esos niveles energéticos a medida que aumenta l, j =l

+~ (3.19)

-~(l+l)

j=l-~

Según Bohr y Mottelson (1969), Ej_ - Ej+ ~ 1O(2f + I)A-2/3 Se verifica experimentalmente que el nivel de mayor j (o sea j = f

MeV. + 1/2)

117

Modelos nucleares

está más ligado. Ello implica que en al· s, el factor a < O. En teoría de perturbaciones, y si el factor a depende de r, la corrección se calcularía:

(3.20)

Incluyendo el término correctivo en (2 los niveles predichos para las energías solución de la Ecuación de Schrodinger serían:

ENlj =

( 3)

lua¿ N

+ - + bl (l + 1) +

{ +~l -~(l+1)

2

j =l

+~ (3.21 )

j = l- ~

Ahora, el orden de ocupación de estados, se encuentra utilizando la notación (nfj): . ls1/2, (lp3/2, 1P1/2), (ld5/2, 2S1/2, 1d3/2), 1h/2, (2P3/2' 1f5/2, 2P1/2, 199/2), (1g7/2, 2d5/2, 1hll/2, 2d3/2, 3S1/2), (lh9/2' 2h/2' 2f5/2, 1i13/2, 3P3/2, 3P1/2), ... El número de estados posibles en la subcapa nfj viene dado por 2j + L Se obtiene una distribución de niveles (véase la figura 3.4) en la que aparecen claramente distanciadas las capas completas que reproducen los números

N

2,8, 20, 28, 50, 82, 126, 184, .

Z

2,8,20,28,40,82,

114, 126, .

prediciendo una isla de estabilidad de núcleos superpesados entre A = 298 Y A = 310, que todavía no se ha encontrado, aunque recientemente (fines de 1998) se han observado indicios de formación del núcleo con Z = 114 Y A = 289. Tres laboratorios en el mundo compiten en la búsqueda de núcleos cerca de la isla de la estabilidad, Dubna (Moscú), LBL (EEUU) y Darmstadt (D). A ellos se debe el descubrimiento de los núcleos con números atómicos comprendidos entre Z = 93 (Neptunio) y Z = 112 (sin nombre todavía). Los periodos de semidesintegración de estos núcleos son muy pequeños.

Ftsice Nuclear

118

7

.

----lj-

.

.. .;:::::::::::: f"

-----4s-···.:··· ----3d---

6

....:,:====== •._-----'

-----

.-_:::::::::::=

2g-:·..•• '

-----li-:··

'.

......

3p1n

.<:.:"-------

====

-----3p---'·····

5

---2f-.·

3p3ll 1'00

1f 512

.. ;.. ·.:~::::··

----1

Zf7/2 Ib912 35

:....

----35-·····

4

---2cJ--·: g-

----1

:"------

·······==== .

.. .

------.. ----------2p---::· .'..----".

3 ----lf--.....

@

4 14

6 8

10 2

112 2d3ll lb1112 2d5l2 Ig7l1

12

199/1

10

2p

..:",._------

2

G

•• 6 8

lfll2 512

1 6

2P3Il

••

lf'/2

8

lt1

G 20

---25-·

_-----_

..,.:'

2 ----Id--::..... ".

N =1---1,--1::::::,

31l

4

112

2

1.512

6

IPI12

2

25

_

IP.lI2

N =0

---ts-·······,-----

2

0) 0

\

I OSCILADOR

!s 112

••

~

FERMI- WOODS

Figura 3.4 - Estructura

WOODS+

SL

de niveles predicha por el modelo de capas esférico con acoplamiento espín-órbita. Los parámetros del potencial de Fermi o de Saxon-Woods elegidos son: Vo:::::; 42 MeV y R:::::; 10 fm.

Modelos nucleares Espín-paridad

119

de núcleos

con A impar

El modelo de capas permite explicar con éxito los números cuánticos .JP del estado fundamental de los núcleos con A impar. Para ello se toma como espín del núcleo J = i, el de la capa en la que se encuentra el nucleón aislado (no apareado), y la Paridad P = (-1Y queda definida por el momento orbital f de dicha capa. Ejemplos: Utilizando el gráfico de la figura 3.4 vamos a deducir el espín y la paridad de los siguientes núcleos: Z = . lad o en 1p1/2, J P N = 87 neutrón ros

=

tz:

8150

{

~5N

Z=7 { N = 8 protón aislado en 1p1/2, JP = 1/2-

k70 {

1 2

l .

Z=8

N

41C Z 20 a { N

= 9 neutrón aislado en 1d5/2, JP = 5/2+ = = 20 21

. ad o en neutrón aisl

1f 7/2, JP

=

7/ 2-

También explica los núcleos con un hueco (capa completa menos un nucleón), en los que predice el mismo .JP que en nucleones aislados. En el caso de núcleos impar-impar, conviene aplicar las reglas de Nordheim. Se define el número de Nordheim por

Las reglas dicen que si si

N = O será J = Ijn - jpl N = ±1 será J = Ijn -F jpl

Aunque existen excepciones a estas reglas, sobre todo en núcleos ligeros. Existen incluso evidencias experimentales de la existencia de capas: a) Estudiando las distribuciones energéticas de los protones emitidos en la reacción de knock-out 12C(p, 2p)11 B, se observa que siguen distribuciones de ondas s y p.

Ftsice Nuclear

120

b) Midiendo la diferencia de la distribución de carga entre ~~5TI y el ~gt'Pb, se observa que sigue la forma esperada por 381/2, es decir, la del protón extra en el Pb (¡onda 8 con tres nodos!). Hay algunas excepciones, en las que se debe recurrir a correcciones no esféricas del modelo de capas. Sin embargo el modelo de capas tiene poca precisión para magnitudes tales como los momentos multipolares electromagnéticos 1-" y Q. Momentos

magnéticos

dipolares:

Líneas de Schmidt

El momento dipolar magnético del núcleo será debido al del nucleón no apareado. El momento magnético vendrá dado por el valor esperado de I-"z (tomando como eje z el de la dirección del campo B), calculado en el estado de máxima proyección mj = j: I-"sp = (j, m

= jlJtzlj,

m

= j)

(3.22)

con

+ gs8z)

Jtz = (gtfz

1-";

(3.23)

Para calcularlo se hace uso de la conocida fórmula de Landé, I-"sp = j(j ~ 1) \j, m = jl(Jt· J)jzlj,

m = j)

(3.24)

J

Un nucleón tiene un momento angular total = l+s, siendo f el momento angular orbital y 8 = 1/2 su espín. Por consiguiente los productos

¡.J = f2 + ~(l-

f2 -

82)

(3.25)

2

s· J = 82 + ~(l - f2

2 siendo fácil comprobar que se obtiene

. {gt ±

1-"8P = J

g8 - gt} 2f + 1

- 82)

(3.26)

I-"N 1i:

(3 27)

.

en donde el signo ± indica cada uno de los valores que puede tomar el momento angular total del nucleón, j = f ± 1/2.

Modelos nucleares Il Il

2

121

1=3 t=4-t=2----

o

~T t

o

•

1/2

3/2

=1* -2

~

.;¡¡.

1

i

+ +

i !t 2

3

712 5/2 E p'in Nuclear

N impar

8

t=5

+ +

+

+ 4

Il

6

Il

4

-

2

o -2

9/2

t=3--

T

t=4

t=2 t = 1-----,,-

~

i¡f

...:!!!L

-:¡¡:-

~

~

~

V

t=4

t=2

t=3

3/2

5/2

:j¡r

:t:t t=5

t=l

1/2

7/2

9/2

Esp'in Nuclear

Z impar

Figura

3.5 - Las líneas de Schmidt: predicciones de momentos magnéticos para núcleos con A impar. Los valores medidos (+) están contenidos entre las predicciones del modelo de partícula individual que supone que el momento dipolar magnético del núcleo es debido al nucleón desapareado.

Las predicciones para las dos paridades posibles da lugar a las llamadas líneas de Schmidt (1937). Los valores experimentales se encuentran cerca de las predicciones de Schmidt, pero hay una diferencia sistemática (ver figura 3.5). Es como si los nucleones ligados tuviesen un factor giromagnético ligeramente distinto. La comparación podría mejorarse si se utilizara el factor empírico 0,6 x gs. El modelo de Yukawa sugiere que los nucleones tienen una nube piónica que podría explicar la diferencia de valor de gs. También se concluye que la función de ondas de partícula individual es una aproximación. Recuérdese que para núcleos con N impar, debe utilizarse los parámetros del neutrón: gs = -3,83 y gt = 0, mientras que para Z impar los del protón: g8 = 5, 59 Y gt = l. En cualquier caso, cuando se miden experimentalmente dipolares magnéticos de los núcleos se encuentra

los momentos

(3.28) siendo gJ el factor giromagnético nuclear, cuyo valor puede deducirse directamente de la fórmula 3.27, teniendo en cuenta que J = j.

Ffsica Nuclear

122 núcleo 15N

150 170

estado

JP

1f1Pli~

1/2 1/25/2+ 5/2+

v1p~/2 v1d5/2 1f1d5/2

17N

Tabla 3.1: Valores teóricos varios núcleos.

y

JLt (JLN) -0,264 +0,638 -1,913 +4,722

JLex (JLN) -0,283 +0,719 -1,894 +4,793

experimentales del momento dipolar magnético para

Ejemplos: 1.

El momento dipolar del tritio: 3H

{ ~:

~ protón impar, 181/2

3

J-L( H)

="21 { 1 + 5,591-

{

1}

El resultado experimental es JLCH) al del protón. I~ /J -:. g2 2. ~Z .tl c::. 1

j = 1/2, l = j = l + 1/2,

signo + en la fórmula (3.27) JLN = 2, 795J-LN

= 2,98 J-LN, muy parecido

El momento dipolar del 3He: Z 3He { N

= =

°

°

2 { j = 1/2, l = 1 neutrón impar, 181/2 j = l + 1/2, signo + en la fórmula (3.27

3 JL(He)="2

1 { 0+ -3,831 -

°}

J-LN=-1,915J-LN

El resultado experimental es J-LCHe) = -2,13 J-LN, parecido al del n.

El acuerdo entre el modelo teórico y los datos experimentales es bastante bueno para núcleos ligeros. La tabla 3.1 contiene una comparación de valores para núcleos con A = 15 y A = 17.

Modelos nucleares Momentos

123

cuadrupolares

eléctricos

El momento cuadrupolar Q, en el modelo de partícula individual en un estado Ij, m >, se calcula:

(Q 20 )

=

lV.m IJ167r5 r 2y:

l· )

= j(j

20 jm.

+ 1) - 3m2 (j + 1)

2j

(

r

2)

(3.29)

J

en donde (r2) = dru*(r)r4u(r) = Qo es el momento cuadrupolar intrínseco. Si se trata de un núcleo con un protón aislado, fijando m = j en la expresión (3.29), Qsp =

(3.30)

y como se puede aproximar (r2) = ~R2, entonces Q A2/3 prediciendo valores comprendidos entre 0,015 barn (para A = 10) Y 0,5 barn (para A = 220), es decir de 2 a 3 veces más pequeños que los valores medidos experimentalmente. En el caso de lantánidos y actínidos la diferencia es mucho mayor, pudiendo llegar a ser de hasta un orden de magnitud. Para núcleos con un neutrón aislado se debería tener Q = ya que el neutrón no tiene carga; sin embargo no sucede así experimentalmente. Se puede suponer que el momento cuadrupolar es debido al movimiento de los Z protones, encontrándose el neutrón aislado en una posición dada r/(A - 1), con lo que rv

°

Z

Qsn o sea, Qsn

rv

A-l/3,

(3.31)

= (A -l)2Qsp

que predice valores de 10-2 a 10-4 barn.

En capas con más de un protón individual, se pueden sumar las contribuciones de cada nucleón, teniendo en cuenta que un "hueco" se comporta como Q = -Qsp. Por lo tanto si se tienen nx protones en una capa (máximo es nx = 2j + 1), 2n (3.32) Q = Qsp ( 1- 2jx _ 1

2)

Física Nuclear

124 ¡;'(/J'N )

Q(barn) -

0,00288 -0,025

57CO

-1,91 2,79 0,857 -1,89 0,09 4,73

61Dy

-

+2,4

93Nb

6,17

-

176Lu

-

+8,0

n p

D 17 0 57pe

-

Tabla 3.2: Valoresexperimentales del momento dipolar magnético y cuadrupolar eléctrico para varios núcleos En la tabla 3.3 se muestran algunos valores experimentales de momentos magnéticos y momentos cuadrupolares eléctricos de algunos núcleos, que ilustran los conceptos desarrollados anteriormente. La figura 3.6 muestra la distribución de momentos cuadrupolares reducidos, (3.33) medidos experimentalmente en núcleos con Z ó N impar. Esta magnitud, permite comparar las deformaciones nucleares, independientemente del tamaño del núcleo. En la figura anterior se observa que Q O cerca de los números mágicos, y que abundan más los núcleos prolatos. En conclusión, los valores de los momentos /1 y Q no los reproduce con precisión el modelo extremo de partícula individual. Sin embargo este modelo da la tendencia correcta de dichos valores y da también las variaciones relativas observadas. Las diferencias entre valores predichos y medidas experimentales aumentan en los lantánidos y actínidos, debido sobre todo a la deformación nuclear. Para Z y/o N elevados las discrepancias con las predicciones de Q en el modelo de partícula individual, llegan a ser de hasta un orden de magnitud. rv

Modelos nucleares

125

Q

0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 \.27.

55Mn

<1

11

s,"

0.05 ~ ~.1.Hg

0.00

\

-0.05

t

126

o Figura 3.6 - Valores experimentales del momento cuadrupolar reducido, cuya definición puede verse en la escala de ordenadas. Ee una magnitud que permite comparar los momentos cuadrupolares de los núcleos, independientemente de su tamaño.

3.3

Modelos colectivos

Los modelos colectivos tratan de explicar propiedades globales de los núcleos. La idea básica en la que se apoyan los modelos de tipo macrosc6pico es la de tratar de describir el núcleo como un fluido, es decir, sólo interesa el movimiento colectivo de los nucleones.

126

3.3.1

Física Nuclear

Modelo del gas de Ferrni

El modelo del gas de Fermi puede considerarse uno de los primeros modelos "colectivos" en el sentido que es capaz de explicar propiedades globales de los nucleones, sin tener en cuenta la forma del potencial nuclear responsable de la cohesión de los nucleones. Responde al concepto estadístico de un gas confinado en un volumen finito V muy pequeño. Como se trata de un gas cuántico (se aplican las leyes de la mecánica cuántica) y son fermiones, debe cumplirse el principio de exclusión de Pauli. Como consecuencia, los nucleones van ocupando estados hasta el de mayor energía (energía de Fermi). El estado fundamental de los núcleos puede ser descrito como un gas de Fermi degenerado. I I

~

••

___

-'''

,I I I

I

p

n

t

. e

-{) ---0 --------0 ---0 --- --.--j- - - ---

--0---0-·

--0--B-·

-0---0-·

-0---0-·

---

r-

1---------------

--0---0--

Figura 3.7 - Pozo nuclear en el modelo del gas de Fermi. Los protones y neutrones tienen diferentes potenciales, ya que los protones, tienen además carga eléctrica. Igual que en átomos con N; electrones, en el caso de los núcleos se sabe que los nucleones (p, n), separadamente, obedecen el principio de simetrización de Pauli, o sea deben cumplir la estadística de Fermi-Dirac. Se supone que los nucleones están confinados en un volumen espacial V y están ligados por una fuerza que se puede representar por un sencillo pozo de potencial como el de la figura 3.7. Para N, Z > > 1 se tiene un número de estados en el espacio fásico =

n

VV¡, = ~A h3 97r

(TOPF)3 ti

(3.34)

Modelos nucleares Separadamente,

127

dado que los nucleones tienen espín 1/2, se podría escribir: V N = 37r2f¡,3

n 3

(PF)

,

V 3 Y Z = 37r2f¡,3 (pj..)

(3.35)

A T = 0°, todos los estados están ocupados hasta el llamado momento de Fermi. Ejemplo: Pp

Suponiendo un núcleo con Z = N = A/2, en el que = rJ;. = PF, como V

=

4

-7rr

3

3

=

4

3

-7rroA

3

teniendo en cuenta la expresión (3.35) se tendrá V Z como Z

=

3

= 37r2f¡,3PF =

~7rr6A 3 37r2f¡,3 PF

A/2

despejando se obtiene (97r) ro 8

_ PF--

f¡,

1/3

(3.36)

que como se ve es independiente de A, tomando f¡, = 197,33 MeV-fm/e y ro = 1,2 fm, resulta PF ~

250 MeV [e

o sea, 2

EF=

p .a: ~33MeV

2M

lo que predice para los nucleones, con energía de ligadura media E 8 MeV, un pozo nuclear de profundidad rv

Ffsica Nuclear

128

Se ha comprobado experimentalmente, al estudiar las colisiones e- + N, que los nucleones se mueven con P F en el interior de los núcleos. Como el gas de Fermi es un gas de fermiones, la energía EF representa la energía del estado de mayor energía ocupado cumpliendo el principio de exclusión. La energía media es

E

ft

F

=

Ep2dp p2dp

3

J~F

= SEF

(3.37)

El modelo del gas de Fermi permite justificar el término de simetría que se incluye en la fórmula semiempírica de masas. En efecto, si se tienen en cuenta, separadamente, la energía de protones y neutrones: (3.38)

E= ~NEp+ZVp

5

A

basta con sustituir las densidades P» = ~p = ~(1 + (Z - N)/A), y la correspondiente a Pn respectivamente, y tener en cuenta la dependencia en Z y N de E~ y Ep para obtener una desviación respecto al valor medio: _ t::.E ~ E[l

5 (Z - N)2

+9

A2

+ .....]

(3.39)

en donde se observa que el segundo término tiene el mismo comportamiento que el de simetría. Sin embargo, hay muchas propiedades nucleares inexplicables por estos modelos, por ejemplo, la estructura de niveles energéticos o los espines y paridades de los estados nucleares, la existencia de números mágicos: núcleos con gran estabilidad y muy abundantes, los momentos eléctrico y magnético, \ etc. Para ello se han utilizado ideas atómicas, debido a las innumerables evidencias de una estructura nuclear en la que los nucleones llenan capas.

I

3.3.2

Modelo de la gota líquida

El modelo de la gota líquida supone el núcleo como un fluido incompresible. Ya se ha visto una de sus predicciones más destacadas, la fórmula semiempírica de masas. Resumiendo: 1. Da cuenta de los términos dominantes de las energías de ligadura EB(Z, N) nucleares, (3.40)

Modelos nucleares

129

vista en el capítulo anterior. Incluidos los términos de simetría y de apareamiento, esta expresión describe las energías de ligadura total de los núcleos con una precisión de ±1O MeV. 2. También predice el número atómico Z del núcleo más estable con número másico A: Zmín = A/(I, 98 + 0, 015A2/3) (3.41) que es el mínimo de la parábola de masas, o sea, la posición del valle de la estabilidad {3. 3. Incluso explica el tamaño nuclear R = roAl/3, debido a la incompresibilidad del fluido de A nucleones.

3.3.3

Propiedades colectivas de los núcleos par-par

El estado fundamental de los núcleos par-par tiene siempre .fP = 0+, debido a las fuerzas de apareamiento de nucleones, cuya energía de ligadura del par o energía de apareamiento es

r; '" Pp

11,2 '"

VA

MeV

(3.42)

y va de unos 3 MeV para núcleos ligeros hasta 0,75 MeV para A = 220. La energía de apareamiento puede determinarse experimentalmente a partir de las energías de separación neutrónica: (3.43) o la fórmula equivalente para Pp en función de Sp para el caso de protones. O ·sea, nucleones idénticos se acoplan dando un estado de espín S = 0, más ligado. Esta fuerza es responsable del término 8 (de apareamiento) de la fórmula de masas. Sin embargo 1. Existe un nivel con .fP = 2+, excitado, de comportamiento muy regular. Todos los núcleos con estado fundamental 0+ tienen como primer estado excitado un nivel 2+ excepto dos núcleos: 40Ca y 208 Pb en los que el primer estado excitado tiene espín paridad 3-. La energía de los niveles 2+ va decreciendo muy suavemente en función de A, y es aproximadamente la mitad de la necesaria para romper un par. Entre A

=

150 y 190, los valores de E(2+) son pequeños y constantes.

Ffsica Nuclear

130 2. Existe también

(ver figura 3.8) un segundo nivel J'P

=

4+ tal que el

cociente E(4+)j

E(2+)

= {

°

2, A < 150, con gran dispersión 3,3 A = 150 ---* 190 Y A > 220

3. Los momentos dipolares magnéticos J.L(2+) son constantes (0,7 ---*1,O)J.LN' 4. Los valores de Q(2+) son pequeños para A < 150 Y grandes para A = 150 ---* 190. Los momentos Q de los estados fundamentales de los lantánidos son también muy grandes.

R

3.5

......................................•............................ ., ••.: . ..c. •

3.0

•••

•

•••••

. ... . ."'."'....

2.5

•

•

2.0 1.5

••

'!."-

••

••

•• •

•

•

• •

..

.............•.........••.....••.............•....•...................•.••........•.............

•• ••

• •

••• • •

•••

•••

•

•

•

•

•

• 120

50

82

~i~:l

N

126

Figura 3.8 - Cociente R = de las energías de los dos primeros estados excitados en núcleos par-par no esféricos, donde se observan propiedades rotacionales. El resultado de estas observaciones es que es necesario estudiar dos tipos de movimientos de tipo colectivo: • Vibraciones alrededor de una forma, en equilibrio, esférica para núcleos ligeros (A < 150).

Modelos nucleares

131

• Rotaciones de sistemas no esféricos (llamados deformados) para núcleos pesados (A = 150 --t 190 Y A > 220). Se verá en primer lugar que estos modelos colectivos dan cuenta de la estructura de niveles energéticos nucleares obtenidos experimentalmente.

3.3.4 Modos

Modelo vibracional de vibración

nuclear

El modelo vibracionaf describe movimientos colectivos de los núcleos, siguiendo la imagen de gota líquida. Se supone que en equilibrio el núcleo es esférico, de radio Ro, aunque es sabido que en la práctica muchos núcleos están deformados en el estado fundamental. El núcleo es un fluido homogéneo y su forma queda descrita por las coordenadas de superficie (también se suelen llamar parámetros de forma) a,X¡.i:

(3.44) Cada modo de vibración viene dado por A, y queda descrito por los 2A + 1 parámetros de forma (a,X,¡.i' ¡.¡, = -A, ..., A), ligados por invariancia rotacional y no todos ellos independientes. Se cumple que los estados correspondientes a estos modos vibracionales tendrán momento angular J = Añ Y paridad p = (-1)'x. Existen pues infinitos movimientos vibracionales. Los más sencillos pueden asociarse al valor de A, y quedarán definidos por el armónico esférico correspondiente: • A = O, modo monopolar, se trata de una excitación radial. El radio del núcleo cambia con el tiempo según a(t) ya que Yoo es constante. Se denomina modo respiratorio (sólo cambia la densidad). Se asocia a la conocida resonancia gigante isoescalar , que se observa en núcleos con A > 16. El valor de la energía, EO, de estos estados varía como 80/~ MeV. Para núcleos par-par es una excitación 0+ --t 0+. Así se encuentra en los doblemente mágicos (l60,40Ca,90 Zr,208 Pb). 3Idea original de Bohr y Mottelson, quienes propusieron el modelo métrico. Más tarde fue desarrollado por Faessler y Greiner.

colectivo

geo-

132

Ffsica Nuclear

• ). = 1, modo dipolar. cambios de forma.

Se trata del primer modo en el que existen

- Isoescalar (T=O), desplazamiento del cdm; la estructura del núcleo no cambia, por lo que este movimiento es insensible a las fuerzas nucleares. - Isovectorial (T=l), se desplazan n y p en oposición. Es la llamada resonancia dipolar gigante (JP = 1-), estudiada desde 1940. La energía del máximo de la resonancia, El, varía en función de A como 78/.lfA MeV (unos 20 MeV para el Fe y unos 18 MeV para el Pb) y tiene una anchura de ~ 6 MeV, independiente de A. • ). = 2, modo cuadrupolar. Este es el modo fundamental del modelo vibracional puesto que da lugar a oscilaciones de formas no esféricas del núcleo. El núcleo oscila entre formas prolato (Q > O) Y oblato (Q < O), pasando por esférico. Al cuantizar estos movimientos, se asocian con estados de un FONÓN (cuanto de energía vibracional) CUADRUPOLAR (JP = 2+). También se han detectado resonancias cuaclrupolares con una energía E2 63A-l/3 MeV. rv

• ). = 3, modo octupolar, ciones más complejas.

con JP = 3-, que corresponde a deforma-

Un hecho general es que los estados asociados a resonancias, ya sean del tipo EO, El, E2, tienen energías muy elevadas. Son estados con números cuánticos bien definidos, pero muy alejados del estado fundamental. **Espectro

vibracional

de energías

El estudio de los movimientos vibracionales de los núcleos se realiza introduciendo los llamados parámetros de forma a),.J1. ya que son mucho más apropiados que manejando las posiciones individuales de los A nucleones. El hamiltoniano vibracional de orden A, en función de estos parámetros de forma (que grosso modo representan las coordenadas de superficie) se puede escribir en el caso de pequeñas amplitudes de vibración como una suma H = T + V, es decir,

(3.45)

Modelos nucleares

133

donde

D>.

pm

=T

(3.46)

siendo p la densidad másica del núcleo, y el radio en equilibrio, Ro, puede aproximarse por Ro = 1,2 X A1/3 frn. Representa el equivalente de la "masa" mecánica, formando parte del término de energía cinética y

C

=

x

~(A 47r

_ l)(A

+

2)

as

A2/3

_

~

A- 1

27r 2A

+ 1ac

Z(Z - 1) A 1/3

(3.47)

es el término de energía potencial (A. Bohr-B. Mottelson), que contiene la energía de superficie (as = 18,3 MeV) y culombiana (ac = 0,7 MeV) del modelo nuclear de la gota líquida que ya se han visto en capítulo anterior. Si los modos de vibración están desacoplados unos de otros, al ser H independiente del tiempo (constante del movimiento), la derivada respecto a t da lugar a la ecuación del movimiento,

d?a>.J.L D>. ----¡j¡2 + C>.a>.J.L= O que es la ecuación de un oscilador armónico esférico (i

w>.=

Ifi

(3.48)

+ w2x

= O) de frecuencia

(3.49)

Se aprecia que la frecuencia del oscilador deriva de las propiedades de la forma del núcleo (gota o fluido nuclear). Al cuantizar el oscilador, los estados vibracionales quedan definidos por tres números cuánticos, IN; A¡.t), donde N es el número de cuantos de energía vibracional de multipolaridad A (el llamado fonón, o cuanto del oscilador, por su parecido a la propagación del sonido en la materia). El fonón es un bosón de espín-paridad J = Añ y P = (-1)>'. En efecto, se trata de un bosón puesto que los valores de A son enteros. El significado de ¡.t es el de la proyección de A. El vacío es el estado 10; 00), y el estado correspondiente a 1 fonón se obtiene aplicando el operador creación, f3tJ.L' a dicho estado vacío. Los operadores creación y destrucción resultan de cuantizar los parámetros de forma, considerados esta vez como operadores, debidamente normalizados y cumplen las reglas de conmutación de los operadores creación y destrucción de bosones.

(3.50)

Ftsice Nuclear

134

El hamiltoniano vibracional correspondiente al modo A es:

(3.51 ) en donde n)..¡.¡ es el operador que da el número de fonones de cada proyección J.L de la multipolaridad A y cuya expresión es n)..¡.¡ = Si se suman las

e:«;

proyecciones,

(3.52) se obtiene el número de fonones de multipolaridad de los estados vendrá dada por

E).. = rnv)..

A. De esta manera, la energía

L (n)..¡.¡ +~)

(3.53)

¡.¡

Puede verse que los niveles están espaciados por la cantidad rnv).., siendo E).. = N)..rnv).. su energía y N).. el número de fonones de multipolaridad A. Sea un núcleo par-par en el estado fundamental 0+. El estado vacío (ausencia de vibraciones), será el estado sin fonones (tendrá .fP = 0+). Las excitaciones vibracionales cuadrupolares (A = 2) producirán los estados que aparecen en la tabla 3.3. N° de fonones cuadrupolares

o (fundamental) 1 2 3

Energía

Valores posibles de JP 0+ 2+ 0+,2+,4+ 0+,2+,3+,4+, 6+

Tabla 3.3: Excitaciones debidas a vibraciones cuadrupolares. En el caso de una vibración correspondiente a dos fonones cuadrupolares, los valores de J posibles van de O a 4, pero la simetría exigida a un sistema de 2 fonones idénticos" excluye los estados 1+ y 3+ con lo que los estados posibles quedan reducidos al triplete 0+,2+,4+ de la tabla anterior . . 4Si se intercambia el fonón 1 con el 2, la función de ondas no debe cambiar de signo ya que se trata de un sistema de bosones.

Modelos nucleares

135

De hecho se cumple que

12;J M)

= ~

L [1+ (-1 )J]

(22JI,./,/'

M) f3tl',f3tl-'" 10; 00)

(3.54)

1-"1-'" luego sólo pueden existir estados con J par.

1.03 I

'.01

.03

1 11 11 1 I

~\:

I l.

11

1 1 1 1 1

1615 1,

'i/

I

I

1286 1270 1165

¡06 488

\ I

l:Cd Figura 3.9 - Ejemplo de estructura

de tipo vibracional

o de niveles en el1l8Cd.

Se habla de triplete (2 fonones) o quintuplete (3 fonones) cuadrupolar. La energía de cada estado de un multiplete depende del número de fonones cuadrupolares que origina el multiplete (por ejemplo en el caso de fonones cuadrupolares, N2), es decir

136

Ffsica Nuclear

E2(N)

=

lüv2

(

5) N2 + 2

(3.55)

El modelo predice que todos los miembros del multiplete tienen la misma energía. O sea, en principio los tres niveles del triplete de 2 fonones cuadrupolares están degenerados en energía. Experimentalmente se observa que los niveles del triplete (quintuplete) de 2 (3) fonones cuadrupolares no aparecen degenerados en energía, sino que tienen energías ligeramente diferentes; ello es debido a la existencia de fuerzas residuales que no se han tenido en cuenta en el hamiltoniano. Un ejemplo es el 114Cd con los niveles (O, 0,558, [1,133, 1,208, 1,283]) MeV, con los números cuánticos esperados (0+,2+, [0+,2+,4+]), o su isótopo 118Cd que puede verse en la figura 3.9. Las transiciones entre niveles vibracionales tienen lugar por emisión de fotones (son transiciones electromagnéticas). Es la espectroscopía gamma la que permite estudiar los niveles energéticos de los núcleos para compararlos a las predicciones de los modelos. Aparte de la estructura cuántica de niveles predichos por el modelo vibracional (los debidos a fonones dipolares o multipletes de fonones cuadrupolares, etc.) existen otras predicciones que pueden entenderse por la propia naturaleza colectiva del modelo. De entre ellas conviene tener presentes: 1. El momento dipolar magnético como rotacionales) se calculará

de estados colectivos (tanto vibracionales

(3.56) Luego para los niveles excitados 2+, estarán comprendidos

entre 0,8 y 1,0

!J,N·

2. El momento cuadrupolar eléctrico del estado fundamental de los núcleos par-par será prácticamente nulo, Q rv O, ya que en equilibrio son núcleos esféricos. 3. La relación entre niveles energéticos E(4+)j E(2+) = 2, O, ya que E ex: N2, número de fonones cuadrupolares, lo que puede observarse para A < 150 (lo que corresponde a N < 82 en la figura 3.8).

Modelos nucleares

137

**Vibraciones cuadrupolares y deformación nuclear De lo visto anteriormente modelo vibracional:

se pueden ampliar las siguientes predicciones del

1. La frecuencia del oscilador, W2, puede determinarse experimentalmente a partir de la diferencia entre niveles energéticos (entre el singlete y el triplete por ejemplo), y a partir de ahí encontrar una relación entre los coeficientes C2 y D2, ya que nw2 = ñJC2/ D2.

2. La deformación media de un núcleo, (a2J.1)

= (N; A¡.¿I&2J.1IN; A¡.¿) = O,

puesto que el operador & es proporcional al operador destrucción y el valor esperado anterior se anula.

3. Al contrario que en el caso de la deformación media, la deformación cuadrática media,

(f32)

=\

N; A¡.¿ I ~ Ia2J.112 IN; A¡.¿ ), está relacionada con la

energía del estado vibracional:

(3.57) En efecto, el teorema virial dice que el valor de la energía está relacionado con el valor esperado de la energía potencial: (E) = 2 (V). Al aplicarlo a las vibraciones cuadrupolares dado que E2 = nw2(N + 5/2), la energía del nivel E~N) se relaciona con la deformación cuadrática media del núcleo según (3.57). Así por ejemplo, para el estado fundamental,

f3~

=

5ñ/(2D2W2).

4. A partir de la definición del radio R, se tiene que la desviación cuadrática media del radio nuclear es (b.R2) = (f32).

m

5. El momento cuadrupolar de un estado excitado se calcula

(3.58) Aquí se trata del momento cuadrupolar eléctrico colectivo, debido a la estructura de carga nuclear. Sea Po la densidad de carga; como la definición del momento cuadrupolar es

(3.59)

FIsica Nuclear

138 resulta

Q

=

_~f32Z R2 357r o e o

(3.60)

El estudio de la estructura de niveles se lleva a cabo mediante espectroscopia ,. La desintegración de un estado cuadrupolar viene dada por el valor esperado del operador cuadrupolar. La probabilidad de desintegración " por ejemplo del estado 0+ del triplete al 2+ del singlete,

(3.61) en donde los factores de espín tienen en cuenta la multiplicidad de estados inicial y final. Se observa algo importante; la probabilidad de desintegración, (o lo que es lo mismo, la vida media del estado) informa también sobre la deformación. Las predicciones de este modelo son bastante buenas para núcleos que en el estado fundamental son esféricos y están situados cerca de capas cerradas; sin embargo, las predicciones para el momento cuadrupolar Q y las probabilidades de desintegración B(E2) no suelen ser muy buenas.

3.3.5

Modelo rotacional

Ya se ha visto que los núcleos con capas cerradas y, por supuesto, los núcleos mágicos tienen simetría esférica. En las regiones alejadas de los números mágicos pueden encontrarse núcleos deformados, cuya forma en equilibrio no es esférica. Ello es consecuencia de la inter-relación entre: • La fuerza nuclear de corto alcance. • La fuerza culombiana, repulsiva, de largo alcance. • La fuerza centrífuga de un núcleo en giro. Típicamente los núcleos deformados suelen encontrarse: • Entre las tierras raras, A '" 170. • Los actínidos, A > 220. • Entre núcleos de la capa s - d, es decir los que tienen número másico A",

24.

Modelos nucleares

139

Los estados excitados de los núcleos de la familia de los lantánidos o tierras raras (150 ::; A ::S 190) Y de los actínidos (220 ::; A ::; 250) son núcleos superdeformados. Se trata de núcleos cuyas formas en equilibrio son no esféricas. Un núcleo deformado podrá tener distintos estados energéticos que corresponderán cuánticamente a los estados posibles de asimetría azimutal. Hamiltoniano rotacional

z Zt

X'

Figura 3.10 - Sistema de referenciapara un núcleo deformado con simetría axial. J es el momento angular total, 1 el intrínseco y M y K las terceras componentes respecto al eje del laboratorio (z) y el eje intrínseco (z'). R es el vector que representa la rotación colectiva que se suma al momento angular intrínseco 1 para dar J. Clásicamente la energía rotacional de un objeto con un momento de inercia T, girando con velocidad angular w es E

J

=

~T 2 2 w

=

~J2 2T

(3.62)

Física Nuclear

140 ya que J

=

Tui. Cuánticamente,

el harniltoniano será 3

H= ",_1 J2

~2I:

'

i=l

'

Si se supone que el núcleo tiene simetría axial y llamando I1 queda

= I2 = I,

(3.63) Para realizar cálculos, pueden tomarse: • Coordenadas intrínsecas (1,2,3). Entonces J31JMK

>= KñlJMK

>.

• Coordenadas laboratorio (x,y,z), en las que J M definen los estados con momento angular bien definidos. Se cumplirá:

J2IJMK

>= J(J + 1)ñ2IJMK

>

Y

JzlJMK

>= MñlJMK

».

En efecto, para definir la orientación en el espacio de un objeto en rotación son necesarios tres parámetros (los ángulos de Euler a, (3, 1). Cuánticamente, se toma I J M K >, siendo K la proyección de J en el eje de simetría del núcleo (el sistema intrínseco). K toma los mismos valores que la proyección de J en el eje del laboratorio (M): de -J a J. Para cada estado intrínseco del núcleo se tiene una banda rotacional, es decir, un conjunto de niveles con momento angular J distinto y dado por: (3.64) siendo EK el valor base de la banda rotacional, que contiene la contribución de la parte intrínseca de la función de ondas. El núcleo deformado quedará caracterizado una vez se conozca el momento de inercia I. El momento angular total J de los estados pertenecientes a una banda rotacional, por conservación de la Paridad, toman una serie de valores que dependen del espín y paridad, KP, de la base, que es lo mismo que decir que dependen del estado intrínseco; así si la banda rotacional comienza a partir de un estado base:

• KP = 0+ dará lugar a una serie de niveles con J = 0,2,4, ... y p = +.

Modelos nucleares • KP

141

= 0- dará lugar a una serie de niveles con

• K> O dará lugar a una serie de niveles con J paridad + ó -.

J =

= 1,3,5, ... Y P = - . K, K

+ 1, K + 2, ... , Y

KeV 827 776 732 680

1Q+

518

307

148

45

o 238 92

U

Figura 3.11 - Ejemplo de estructura tipo rotacional de niveles en el

238U.

Por ejemplo, para los núcleos par-par las bandas rotacionales que surjen del estado fundamental (0+) serán estados con espín-paridad: 0+, 2+ , 4+, 6+ , 8+ , .. Ello se encuentra efectivamente en los espectros de: ~~Er

--t

(O; 91,4; 299,5; 614,4; 1024,6; 1518,1; 2082,7) keV

go H f

--t

(O; 100; 321; 641; 1041; 1500; 2010; 2560) keV

Ffsica Nuclear

142

En estos núcleos par-par, el movimiento intrínseco de los nucleones de valencia tiene momento angular nulo (K = O). En estos casos los niveles nucleares se deben a la rotación colectiva exclusivamente. Se comprueba también que este modelo predice correctamente el cociente E(4+)jE(2+)= 3,33, que se observa en los lantánidos y actínidos (véase por ejemplo el caso del 238U de la figura 3.11). La predicción para el momento dipolar magnético de estos núcleos es la misma que en el caso del modelo vibracional: (3.65) Momentos de inercia nucleares Puede compararse el valor del momento de inercia experimental de los núcleos con algunas formas conocidas. Sea un núcleo de forma elipsoidal. Se introduce el parárnetro de deformación: f3 = ~J167r !:lR ~ R3 - Rl. (3.66)

3

5

R

R

con lo que el elipsoide puede parametrizarse R(B,
(3.67)

Con esta definición, el momento de inercia del elipsoide rígido toma el valor lrig

2

-2

= sM R (1 + O,31f3)

(3.68)

en donde se verifica que si f3 = O se obtiene el momento de inercia de una esfera rígida. Tomando A ~ 170, valor representativo de los núcleos lantánidos, el momento de inercia vale h,2j2Irig ~ 6 keV. Si por el contrario se supone que el núcleo es un fluido (contenido por ejemplo en una vasija elipsoide), su momento de inercia vendría dado por 9

lfluido = 87rM

-2

R f3

(3.69)

con lo que se obtiene, ñ2 j2Tfluido ~ 90 keV. Para núcleos con el primer estado excitado E(2+) = 90 keV, se verifica que el momento de inercia vale unos 15 keV, lo que no coincide con ninguno de

Modelos nucleares

143

los casos anteriores utilizados. El núcleo tiene propiedades que se encuentran entre un sólido rígido y un fluido. También puede relacionarse la deformación nuclear con el momento cuadrupolar intrínseco. Recuérdese que por definición el momento cuadrupolar intrínseco es:

Qo

=

J

(3z2

-

r2)p(r)dr

(3.70)

si, por ejemplo, el núcleo tiene forma de elipsoide rígido, 3 -2 o« = y57r ILR Z{3(l + O,16(3)

(3.71)

que relaciona el parámetro de deformación nuclear {3con el momento cuadrupolar eléctrico intrínseco. Si se utiliza la parametrización de los semiejes del elipsoide (a, b), se demuestra que el momento cuadrupolar es 2

eQo = SeZ(a

2

4

2

-

- b ) = SeZER2

con 2 _1 2 2. R - 2(a +b ),E-

_

a2

-

b2

a2+b2

tJ.R R

(3.72)

(3.73)

Para un núcleo de A nucleones, deformado axialmente y en primer orden de la deformación {3,el momento cuadrupolar vale

(3.74) Experimentalmente, se mide el momento cuadrupolar en el sistema laboratorio. Su relación con el momento intrínseco es:

(3.75) En general, el momento de inercia nuclear puede mantenerse constante. Sin embargo para estados con espín muy elevado (como por ejemplo en el 238 U), sucede que el momento de inercia disminuye con la frecuencia de rotación w, para después volver a aumentar. Es el fenómeno de backbending, relacionado con el apareamiento de los nucleones. Se denomina estado yrast al de mínima energía para cada banda rotacional (cada espín).

144

Ffsica Nuclear

3.4

Modelo unificado

Se denomina así al modelo que trata de asociar predicciones del modelo de capas (de partícula individual) con el modelo colectivo. Se distinguen dos variantes. El modelo de capas de muchas partículas y el modelo de capas en núcleos deformados. En el modelo de capas de muchas partículas se supone que todos los nucleones que se encuentran en una capa no llena, contribuyen, a través de interacciones residuales, a configurar la estructura de niveles.

3.4.1

Modelo de capas en núcleos deformados

La existencia de núcleos deformados en equilibrio, produce desviaciones respecto a las predicciones del modelo de capas esférico, en el que se supone que los estados se obtienen a partir de una partícula individual en un potencial medio esférico. Sea un núcleo deformado axialmente. El hamiltoniano será ahora: (3.76)

-;:Ll

con hc(ri) = i + V(ri), en donde V(ri) = ~J.LW~r2,es el potencial de un oscilador armónico isótropo tridimensional, que caracteriza la parte esférica del potencial y (3.77) representa la deformación'' debida a un campo cuadrupolar. Los estados propios de este hamiltoniano reciben el nombre de orbitales de Nilsson, que fue el físico nuclear que los calculó por primera vez. Ahora, en el caso de núcleo deformado, el momento angular j ya no es un buen número cuántico. Los núcleos esféricos tienen por números cuánticos INij >. En el caso de un núcleo deformado axialmente se denomina n a la proyección del momento angular según el eje de simetría y mj, la proyección de J sobre el eje del laboratorio, sigue siendo un buen número cuántico. 5Recuérdese que Ra-R¡

R

.

Q20

= r2

J!iiY

20,

y el parámetro

de deformación:

f3

=

~J!ii

t:>.RR~

Modelos nucleares

145

Los estados de Nilsson se obtienen al desarrollar

INO >=

L CNljlNRjO

>

(3.78)

tj

donde los coeficientes CNtj dependen de la deformación nuclear {3. Pero para especificar unívocamente un estado se necesitan dos números cuánticos más: • n3 proyección de N según eje de simetría; N

• A proyección de

¡en

=

n3

+ nl. .

eje de simetría; A = ±nl., ±(nl. - 2), ... , ±1 ó O.

Los niveles energéticos vienen dados ahora por la suma de las tres proyecciones 3

ENn3í! = I)ni

+ 1/2){u¡Ji

= (n3

+ 1/2){u¡J3 + [(N -

n3)

+ 1]{u¡Jl. (3.79)

i=1

La frecuencia media del oscilador toma la forma Wo = ~(W1 + W2 + W3) = H2wl. + W3) siendo Wo la misma frecuencia que en el caso esférico. Ahora existe una relación entre la frecuencia y la deformación {3= W.l -W3 wo que es::::::;~R. En el esquema de Nilsson se suele tomar O[Nn3A], o también [Nn3AO] en función de {3(véase la figura 3.12). La conclusión es que ahora, la ordenación energética de niveles no es la del modelo esférico (ver figura 3.4) sino que es función de la deformación {3como acaba de verse en la figura 3.12. Así por ejemplo, núcleos por encima del 160, van llenando las capas sd y son prolatos; al calcular los niveles energéticos, se encuentran diferencias respecto al modelo esférico. Más convincente es la predicción de espín-paridad de núcleos; por ejemplo 19 F, 19 N e, 21 Ne, 23N a, que deberían ser .fP = 5/2+ se encuentran 1/2+,1/2+,3/2+ Y 3/2+ respectivamente, de acuerdo con los resultados experimentales. Si sólo la partícula no apareada determinase TODAS las propiedades nucleares se tendría por ejemplo que 41Ca == 43Ca, lo que no sucede. En el 43Ca deben de contar los 3 neutrones de la capa 1h/2 incompleta. Es evidente que la idea de campo central o de potencial medio nuclear no es suficiente. Por ello se habla de interacci6n residual, como una fluctuación alrededor del potencial medio. En el modelo de capas, ésta es la fuerza de apareamiento.

Ffsica Nuclear

146

4.00

[202.l1l]

E

[200llz

1

"&00

[202m

1

J.5O

[211l1z)

[21b1z)

~

®

~~)

•• •• ••

__

--

__ ln &J/2

•• ----

----

In

--- --

---------,.-_ - - - - - - -1s"

-0.4

QD

-0.2

0.0

Deformación

[1013/1 )

_---------

12- - - - - - - •• _

------

[1011/1)

----_ - -.

1'3/2

2.50

- -

0.2

-.."--

-

[1101/1)

0.4

(p)

Figura 3.12 . Espectro de órbitas de partículas de un potencial esferoidal (N, Z < 20) caculado por Bohr y Mottelson. Los niveles de energías están en números de oscilador y se representan en función del parámetro de deformación {3 = t1R/ R.o.

Modelos nucleares

147

Glosario de términos clave Capas (modelo de) - (página 109) Nombre genérico para indicar los modelos nucleares en los que se considera que los nucleones en el núcleo tienen un comportamiento análogo al de los electrones en la corteza electrónica del átomo. Así se distribuyen en capas (los nucleones) de manera semejante a la estructuración de los electrones en el átomo. Estados rotacionales - (página 131) Estados excitados del núcleo debidos a la rotación de un núcleo deformado. Estados vibracionales - (página 130) Estados excitados del núcleo debidos al movimiento colectivo de sus constituyentes de un modo oscilatorio. Gas de Fermi (modelo del) - (página 126) Considera el movimiento de los nucleones en el núcleo, moviendose independientemente como si fuera un gas degenerado. Gota líquida (modelo de la) - (página 128) Modelo nuclear en el que el núcleo se considera que tiene un comportamiento similar al de una gota de líquido incompresible. Los nucleones del núcleo tienen el mismo papel que las moléculas de una gota. Modelo Nuclear - (página 108) Imagen del núcleo que describe aproximadamente su comportamiento. Cada modelo se basa en diferentes grupos de hipótesis simplificadoras. Número mágico - (página 110) Son los números 2, 8, 20, 28, 50, 82, 116. Cuando un núcleo tiene un número de protones o neutrones igual a un número mágico, tiene una gran estabilidad en relación con sus vecinos, consecuencia de tener llena una capa.

148

F[sica Nuclear

Resumen • Al tratar de generalizar los resultados obtenidos en el estudio de la interacción nucleón-nucleón a núcleos más pesados, se encuentran serias dificultades ya que el tratamiento matemático para un problema de muchos cuerpos es de gran complejidad. • Para el estudio de los sistemas se deben adoptar una serie de aproximaciones que hagan el problema más asequible, matemáticamente hablando, y que los resultados obtenidos tengan significado físico y se aproximen a los resultados experimentales. Cuando se realiza esto se establece un modelo nuclear. • Para que un modelo nuclear sea satisfactorio debe seguir los siguientes criterios: - Estar en buen acuerdo con las medidas previas de las propiedades nucleares. - Predecir propiedades adicionales que pueden ser medidas en nuevos experimentos. • Cada modelo se enfrenta al problema de la sistematización del núcleo desde distintos ángulos y con distintas aproximaciones y los resultados que se obtienen explican determinadas propiedades. • El modelo de capas supone que los nucleones poseen órbitas individuales bien definidas. Describe las propiedades nucleares a partir de la interacción de un nucleón con un potencial. Los niveles energéticos en este modelo deben ocuparse por nucleones que cumplan el principio de exclusión de Pauli. Este modelo predice bien los espines y la paridad de los núcleos con A impar. • La Ititeraccion espín-órbita tiene en cuenta la interacción entre el espín y el momento cinético orbital de un nucleón dentro del núcleo. Cada l y s se combinan para formar un j. • En el modelo del gas de Fermi los nucleones son independientes y se presentan confinados en un volumen nuclear. Se describen por ondas planas, análogamente a los electrones en los sólidos.

Modelos nucleares

149

• El modelo de la gota líquida supone al núcleo como un fluido incompresible. Predice bien la estabilidad de los núcleos a través de la fórmula semiempírica de la masa. Explica el tamaño nuclear R = ToA 1/3 debido a la incompresibilidad de los nucleones. • El modelo vibracional describe el movimiento colectivo de los núcleos, como ocurre con una gota. Se define el fonón cuadrupolar como un cuanto de vibración colectivo, con espín-paridad 2+. Los núcleos deformados en el estado fundamental también presentan estados excitados vibracionales. • El modelo rotacional se aplica a núcleos superdeformados, que pueden tener estados energéticos que corresponden cuánticamente a los estados de asimetría azimutal. • El modelo unificado trata de asociar prediciones del modelo de capas con el modelo colectivo. La energía de los nucleones de una capa varía con la deformación del núcleo.

150

Ffsica Nuclear

Ejercicios de auto comprobación 1. ¿Cómo se explica el acoplamiento espín-órbita en el modelo de capas?

2. ¿Qué significado físico tienen los números mágicos?

3. Determine el espín y la paridad de los siguientes núcleos en el estado fundamental: ~~Cr,~iCo

4. Calcule el momento dipolar magnético de los núcleos del ejercicio anterior.

5. Aplicando el modelo de capas esférico y suponiendo que el núcleo puede ser descrito por un pozo de potencial rectangular de paredes infinitas, con Vo = 20 MeV y radio R = 6 fm, deducir el esquema de niveles energéticos de los estados S.

151

Modelos nucleares

Soluciones a los ejercicios 1. Se considera el acoplamiento espín-órbita en Física Atómica, con la diferencia de que en el caso nuclear la fuerza espín-órbita, se produce entre nucleón-nucleón. Se etiquetan los niveles con un momento angular total; = f+ s. Un nucleón tiene s = 1/2, de manera que los valores posibles de j son j = 1 + 1/2 ó j = 1 - 1/2. La degeneración de cada nivel es (2j

+ 1) que

da lugar a mj valores.

Considerando los niveles de ~5Q en el modelo de capas, los 8 neutrones han llenado las capas, queda en cambio un neutrón desapareado. En el modelo de capas , el nucleón desapareado determina las propiedades del núcleo. El neutrón desapareado está en el nivel Pl/2. Podemos predecir que el estado fundamental del15Q tiene espín 1/2 y paridad impar, puesto que la paridad la determina (_1)1. 2. Se llaman números mágicos a los números de protones y neutrones para los que los núcleos son especialmente estables. Corresponden a un valor alto de energía de enlace, por eso son muy estables . Los números mágicos están relacionados con el modelo de capas, que supone que los nucleones están en órbitas o capas como los electrones en el modelo atómico. Son los números de Z ó N para los que las capas están llenas. 3. 53C { 24 r

Z = 24 N = 29 Desapareado el neutrón que está en

P3/2

===*

P

J =

23 -

7-

~~ Desapareado el protón que está en 17/2 ===* JP = 2

~~Co{ ~: 4. 53 24Cr

{J= = 1~ J = 1

1

1 + 2; gl

= O ===*

1 ¡.t = 2g8

=

-1, 91¡.tN

152

Ffsica Nucleer

5. La ecuación general de ondas radial, expresión similar a (3.10), es

[:2 -

+ 2fi'":(E

l (lr~ 1)

- v(r))]

U(r)

=

O

(3.80)

donde V (r) es el potencial que describe el sistema y m la masa del nucleón. Como se trata de estados S resulta l = O. y para un pozo rectangular de paredes infinitas (3.8)

-Vo V(r) = {

00

05,r5,R r >R

La expresión (3.80) se puede simplificar, quedando

cPU(r) ----:-...,:..-'- K2U(r) = O para

r 5, R

dr2

donde

K2

=

2m(E

+ Vo)

fi2 La solución general de la ecuación diferencial (3.81) es del tipo U(r)

=

Asen(Kr)

(3.81)

(3.82)

- Bcos(Kr)

Si se tiene en cuenta las condiciones en los límites r {

r

= O -t U(O) = O ::::} B = O = R -t U(R) = O::::} Asen(KR)

=

O::::}

KR

= mr::::} K = ni

n es el número cuántico radial, que puede tomar los valores 1, 2, 3....Por lo que n7rr U(r) = Asen(R) La constante A se obtiene de la condición de normalización. Despejando la energía de (3.82) K2fi2

E = -Vo+ --

2m

fi27r2

= -Vo + __

2mR2

n2 = -Vo +En

Sustituyendo los valores correspondientes 10-22 MeV· S)27r2 _ 2 x 939 MeV/c2 x (6 x 10-15 m)2 (6,58

X

6,32 x 1O-17MeV(s/m)2 x (3

X

108 m/s)2 = 5,7 MeV

Modelos nucleares

153

Por lo que En

=

5, 7n2, en MeV

Los primeros niveles energéticos de los estados 8 serán 18

---+

E1s=5,7MeV

28

---+

E2s

38

---+

E3S = 51,3 MeV

= 22,8 MeV

Parte II Desintegraciones nucleares y radiactividad

Capítulo 4 Radiactividad y desintegración nuclear

• INTRODUCCIÓN o

GENERALIDADES

• LEY DE DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA • TEORÍA CUÁNTICA DE LA DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA • TIPOS DE DESINTEGRACIONES NUCLEARES DESINTEGRACION ALFA DESINTEGRACIÓNBETA o DESINTEGRACIÓNGAMMA o FISIÓN ESPONTÁNEA o El\.IIISIÓNDE NUCLEONES o o

• SERIES NATURALES DE ELEMENTOS RADIACTIVOS • CADENAS RADIACTIVAS. ECUACIONES BATEMAN o

APLICACIONES DEL EQUILIBRIO RADIACTIVO

• RADIACTIVIDAD ARTIFlCIAL • DATACIÓNRADIACTIVA o o

DATACIÓNPORC-14 DATACIÓNGEOLÓGICA

157

DE

Ffsica Nuclear

158

I OBJETIVOS DIDÁCTICOS ESPECÍFICOS I • Definir radiactividad, nucleido radiactivo, proceso radiactivo. • Explicar las hipótesis fundamentales de las desintegraciones radiactivas. • Definir de las diferentes magnitudes que caracterizan la evolución temporal de las sustancias radiactivas y las unidades más comunes en las que se expresan. Relacionarlas. • Estudiar las bases de la teoría cuántica de la desintegración radiactiva. • Deducir las leyes de evolución temporal de una sustancia radiactiva en los posibles casos: una sola sustancia, ramificaciones, cadenas. Interpretación y reconocimiento en cada caso de las características más importantes que se pueden obtener de estas leyes. • Estudiar las leyes que rigen la producción artificial de fuentes radiactivas. • Describir algunas aplicaciones de la radiactividad.

Radiactividad

4.1

y

desintegración nuclear

159

Introducción

La Radiactividad es un fenómeno natural por el que un núcleo atómico emite uno o varios tipos de partículas, transmutándose o desexcitándose a un estado de menor energía. Los tipos más frecuentes son las conocidas desintegraciones a, (J y " así como la fisión y la emisión de nucleones. Esta propiedad la poseen unos 40 elementos de la corteza terrestre. Los más activos tienen Z > 80. También se han sintetizado cerca de 2000 nucleidos artificiales radiactivos. Junto con los rayos cósmicos, constituyen las fuentes naturales de partículas. Estos fenómenos han tenido una historia enriquecedora y han influido directamente en el progreso del conocimiento de los átomos, núcleos y partículas. También han servido para desarrollar una metodología de la experimentación, sentando las bases de los modernos detectores. Hoy en día estas fuentes naturales de radiación son utilizadas exhaustivamente en la investigación y la industria. Siempre es necesario disponer en los laboratorios de fuentes naturales de partículas, que se obtienen fácilmente y no son muy caras. Se estudiarán aquí las leyes que gobiernan la producción y desintegración de los materiales radiactivos.

4.1.1

Generalidades

Es lícito pensar que el origen de la física nuclear se debe a las emisiones radiactivas de los minerales naturales de 238U y 232Th, con periodos T1/2 del orden de la edad de la Tierra (propiedades descubiertas en 1896 por H. Becquerel, Premio Nobel de Física, 1903). En 1896, Henri Becquerel estudiaba fenómenos de luminiscencia de sales de uranio bajo excitación luminosa y descubrió 1 la emisión espontánea de radiación penetrante (atravesaba un papel negro) que revelaba papel fotográfico. Dicha emisión provenía de la desintegración (J de elementos de la familia radiactiva del Uranio. Pierre y M arie Curie2 trabajaron intensamente con la pechblenda de la mina de Sto Joachimstahl, Bohemia, y obtuvieron Polonio y Radio, dos elementos con propiedades similares al Bismuto y Bario. ¡Fueron necesarias 10 Tm de pechblenda para obtener 1 g de Ra!' Encontraron en sales de Torio la misma propiedad de las sales de uranio. 1H. Becquerel, Comptes Rendus, (1896) 50l. 2Pierre et Marie Curie, Comptes Rendus, 127 (1898) 175; (1898) 1215

160

Ffsica Nuclear

Pero el físico que más ha aportado al estudio de la Radiactividad es sin duda E. Rutherford (Premio Nobel de Química en 1908). Ya desde 1897, discípulo de J.J. Thomson en el Cavendish Laboratory de Cambridge, se sintió muy atraído por el estudio de las radiaciones del Uranio. Después como profesor de física de la Universidad de McGill de Montreal (1898-1907) realizó muchos trabajos con el Torio, en colaboración con F. Soddy" (Premio Nobel de Química de 1921). De esta época datan los grandes progresos en los estudios de las propiedades de la radiactividad. Recordemos tres grandes descubrimientos con los primeros estudios de la radiactividad: • La primera transmutación (Rutherford, 1919):

donde los protones recorrían unos 40 cm en una cámara de niebla (en vez de los 6 cm que recorrían las partículas a en una colisión elástica) . • El descubrimiento del neutrón (Chadwick, 1932):

Se supo que se trataba de nuevas partículas, porque si estas partículas neutras fueran fotones deberían tener 50 MeV!, una energía enorme para dicho proceso nuclear. r

•

La radiactividad artificial (1. y F. Joliot-Curie, 1934):

El

13 N*

es un núcleo inestable; se desintegra vía 13+

y no existe en la naturaleza. Se constató gracias a la emisión de e+. 3E. Rutherford, F. Soddy. Phil. Mag, (1902) 370; (1903) 576.

Radiactividad

y

161


Posteriormente al descubrimiento de la radiactividad artificial en 1934 por 1. y F. Joliot-Curie (Premio Nobel de Química, 1935). Estos mismos observaron también la reacción

'"+

•..•

Al

27 13

---+

P

30 15

+n

utilizando partículas a de una fuente radiactiva de Po, seguido de la desintegración /3+ del ~~P 30 P ~30 Si + e+ + /1 e 15 14 con T1/2 = 2, 5 m. También es interesante recordar que, gracias a los estudios de la radiactividad, se descubren cuatro elementos no detectados hasta entonces (huecos en la Tabla de Mendeleev): Tecnecio (43Tc), Prometio (61Pm), Astato (85At) y Francio (87Fr).

4.2

Ley de desintegración radiactiva

Se denomina actividad de una sustancia radiactiva al número de átomos que se desintegran por unidad de tiempo,

dN dt

=

->"N

(4.1)

y es proporcional al número de átomos existentes, N. La constante X es la denominada constante radiactiva o constante de desintegración. Da la probabilidad de desintegración de un átomo por unidad de tiempo. De aquí se deduce la ley de desintegración:

(4.2) que es la misma ley que cumple la actividad,

(4.3) La cantidad >"dt da pues la probabilidad de desintegración de un átomo en el intervalo (t, t + dt). El número de desintegraciones esperadas en el intervalo temporal dt es (dN) = >"Ndt que debe ser considerado como un valor medio. Esto quiere decir que en un experimento de medida de actividades se obtendrá

162

Ffsica Nuclear

un número de desintegraciones n en un intervalo de tiempo dt que seguirá una distribución de probabilidad de Poisson con media J.L = AN dt:

(4.4) La vida media de un átomo será

( I

f~ tdN T=

o

foNo dN

=

fa"'" tAN dt t= AN dt

=

Jo

fooo t.e->'tdt t= e->.tdt

Jo

1

=_

A

(4.5)

La semi-vida, semiperiodo o periodo de semidesintegración, Tl/2, se define como el tiempo necesario para que el número de átomos se reduzca a la mitad, N = No/2, que al aplicarlo en (4.2) nos da, sencillamente, ln2

T1/2 =

T

(4.6)

y por lo tanto, Tl/2 = 0,693 x T. Estas magnitudes ya se habían introducido en el primer capítulo de este texto. De esta manera, partiendo de No núcleos de una sustancia con semiperiodo Tl/2, cuando haya transcurrido un tiempo igual a k periodos de semidesintegración, quedarán solamente No/2k núcleos intactos. La unidad tradicional de actividad es el Curio ( 1 Ci = 3,7 x1010 d/s), que es la actividad de 1 g de Radio. La unidad SI es el Bequerelio (1 Bq = 1 des/s). Cuanta mayor masa de sustancia radiactiva, mayor actividad. La masa M de una sustancia cuya actividad es 1 Ci, puede calcularse a partir de

NA

A=AN=AM siendo

A'

(4.7)

NA el número de Avogadro y A' el peso atómico de la sustancia.

La actividad no nos informa de qué tipo de radiación se trata, ni de sus efectos biológicos. La medida de A en varios intervalos ó.t permite medir A (sólo si Tl/2 no es ni demasiado largo ni extremadamente corto).

>

Radiactividad

y


163

Ejemplo:

Un gramo de cloruro de rubidio tiene una actividad de 480 d/s, debida al isótopo 87 Rb, emisor {3-, cuya abundancia en rubidio natural es el 28%. Para obtener la constante de desintegración radiactiva, se tiene que calcular primero el número de moléculas de cloruro de rubidio que hay en 1 gramo (m(Rb) = 85,5 urna y m(Cl)

=

35,5 urna)

85,5 + 35, 5 = 121 urna 6 023 x 1023 21 '121 = 4,98 X 10 moléculas

m(ClRb)

Por lo que habrá 4, 98 x 1021 núcleos de rubidio, de los que el 28% son del 87 Rb N(87 Rb)

= 0,28 x 4,98

X

1021

= 1,39

X

1021 núcleos

Según (4.7)

A = AN

-t

A=

A - = N

480

1,39

X

1021

=34

X

10-19

S-1

'

Y el periodo de semidesintegración se obtiene con (4.6) Tl/2

4.2.1

ln2

=T=2

X

1018

S

= 6,4

X

1010 años

Periodos de semidesintegración parciales

Cuando se estudia la desintegración de una sustancia radiactiva, no siempre se trata de un problema en el que todo queda explicado con una simple ley exponencial de desintegración. He aquí tres variedades de modos de desintegración que conviene tener presentes:,,_ 1 Caso más sencillo: NI las leyes,

-t

N2

+ x,

N2 es estable y NI no se crea. Se tienen Noe-A1t No

y en cada instante se tiene NI

+ N2

(1 = No.

(4.8) e-A1t)

/

Ffsica Nuclear

164

2 Existen dos estados finales (dos modos de desintegración). También se dice que NI, el elemento padre, tiene una desintegración multimodo;

La ley de desintegración viene definida sólo por At

=

Aa + Ab, (4.9)

sea cual sea el canal que se mida. Las constantes Aa y Ab, que por definición son las llamadas constantes de desintegración parciales, sirven para dar las proporciones a cada modo parcial, Aa/ At y Ab/ At, es decir, los cocientes de desintegración (bmnching mtios). Con ésto, las leyes son,

I

NI(t) N2a(t) N2b(t)

Noe-Att

(4.10)

NO(Aa/At) (1- e-Att) NO(Ab/At) (1 - e-Att)

Es muy frecuente encontrar núcleos o partículas con varios modos de desintegración. En general se tendrá

(

(4.11)

o si se expresa en periodos (4.12)

Radiactividad

y


165

Ejemplo: El ~~6Ac(T1/2 = 29 h) tiene tres modos de desintegración y los periodos parciales son: ~~6Ac

-t

~~6Th + e-

-t

~~2Fr + a

+ Ve

T1/2,(3

=

35 h

T1/2,0. = 55 años

= 170 h

T1/2,C.E. Las constantes de desintegración parciales serán:

= ln2/35 = 0,020 h-1 = 5,5

~

)..(3

~

)..0.

~

)..CE

X

10-6

S-l

= ln 2/55 = 0,013 años"! = 4 x 10-10 = ln2/170 = 4, 1 X 10-3 h-1 = 1,1

X

S-l

10-6

S-1

La constante de desintegración total:

x = L)..i = 6,6

X

10-6

s-1

i

y el periodo de semidesintegración

total:

ln2

T1/2

= T = 105.016 s = 29 h

Otro caso aún más complejo es el de los modos de desintegración de las partículas elementales, que cuando se trata de partículas de masa elevada pueden tener muchos modos de desintegración. Por ejemplo el K+(493,7 MeV /2) tiene 6 modos de desintegración con los siguientes cocientes de desintegración (branching ratios B. R.): Desintegración -t

¡'¡'+/I,..

-t

71"+71"0

-t

71"+71"+71"+

-t

71"+71"+71"-

-t

71"0 ¡'¡'+/I,..

-t

71"°e+/le

Frecuencia (B.R.) 0,635 0,212 0,056 0,017 0,032 0,048

g

Física Nuclear

166

3 Mezcla en el estado inicial. Este es el caso de sustancias (como el Cu natural irradiado), que tienen dos isótopos radiactivos químicamente inseparables: 64Cu(12,7 h) Y 61CU(3, 3 h). En este caso la ley de desintegración es una suma de exponenciales. Para identificar la ley de desintegración de cada elemento hay que extraer las dos constantes de desintegración de los dos isótopos. Para ello, utilizando los datos a mayor tiempo, se ajusta la curva y se obtiene la constante mayor, ya que a tiempos elevados sólo existe isótopo con Tl/2 mayor. La exponencial obtenida se extrapola a tiempos pequeños y se sustrae de los datos, con lo que ya se puede obtener la constante del segundo elemento ajustando los datos obtenidos.

4.3 I

Teoría cuántica de la desintegración radiactiva

Una desintegración es debida a una interacción V' < < Vo, siendo Vo el potencial que describe el sistema nuclear estacionario. El potencial del sistema es entonces V = Vo+ V'. Puede aplicarse la teoría de perturbaciones, que dice que la probabilidad de transición entre los estados l'ljIi > y 1'ljI¡ >, soluciones del potenCial no perturbado Vo, viene dada por la regla dorada de Fermi, con

(4.13)

Una función de ondas de un estado estacionario evoluciona con el tiempo según la forma bien conocida:

(

(4.14)

1 \

\

que da una probabilidad, independiente de t, de encontrar el sistema en el estado a y por lo tanto, si se calcula la energía del estado se obtendrá siempre Ea. Si el estado es inestable (se desintegra con vida media T a), la probabilidad podrá escribirse (4.15) IWa(f, t)12 = IWa(f,OWe-t/ra con T a

=

l/Aa. La función de ondas podrá escribirse: wa(r, t)

=

'ljIa(r)e-iEat/líe-t/2ra

(4.16)

Radiactividad

y


167

Es como si la energía fuese ahora Ea - in/2T a· Ya no se tiene un estado estacionario con Ea bien definida, sino con una anchura !::lE = ra = n/T a. El principio de incertidumbre da el significado de esta anchura: para determinar la energía de un estado con una precisión !::lE, debe poder observarse durante un tiempo T, ligados por !::lE~ n/T. El estado físico inestable será una superposición (4.17) con o:(E) la am litud de probabilidad de encontrar al estado con una energía E. La energía media es (E) = Ea Y al igualar las dos anteriores expresiones de Wa se puede ver que L- - r: , • e- t/2

"Ta

=

J

o:(E)e-

t

.

(E-Ea)' /¡

dE

(4.18)

y la transformada de Fourier dará la probabilidad P(E) = lo:(EW de encontrar el estado con una energía entre E y E + dE alrededor del valor medio Ea dE (4.19) P(E)dE = (E _ Ea)2 + r~/4

ni

que es una fórmula de Breit-Wigner, en la que ra = T a es la anchura del estado a. La anchura ra, llamada habitualmente anchura intrínseca del estado Ea, es mucho menor que el espaciado de los niveles nucleares, o sea que se podrá hablar de transiciones entre niveles nucleares. En efecto, como = 6,6 X 10-22 MeV· s, si T > 10-12 S ~ r < 10-10 MeV, que habría que

n

comparar a separaciones entre niveles nucleares

4.4

2: 10-3 MeV.

Tipos de desintegraciones nucleares. Fuentes radiactivas más comunes

Los núcleos se desintegran de manera que siempre tienden al estado energético más estable. A continuación se describen los tipos más frecuentes de desintegraciones nucleares. Las tablas de emisores que se presentan a continuación pueden consultarse en R. B. Firestone y V. S. ShirleYi Table of Isotopes, 8th Edit., John Wiley €3Sons, N. Y, 1996. También se presentan

168

Ffsica Nuclear

más adelante (véase por ejemplo la figura 4.1) algunos esquemas de desintegración, en los que la escala vertical representa la energía explícitamente.

Radiactividad

y


228

0+

90Th

169

s+

••CO

Z7

(1.9\ a.)

3

/

99.93'l1> .

r , 26.7%

2626

0.06% .

2S06

2+

84

2159

'72.7% 1333

0+

O

~a

r

"

0

:Ni

~CS ~Na

3+

7/2 +

(2.60 l.)

(31.07a.)

T ~

CE(9.4U) ~.U 2+

1275

-,

.jt (9O.5'l)

2842

l1/f

662

'",-

\12+

291

't

~ (0.05 1)

0+

(2.55 Din)

SH

--+-

3/2+

~Ne 137

56

I p~"1 Figura 4.1 - Esquemas de desintegración

Ba

GJ nuclear (a, j3±, e.E. y 7)·

Ffsica Nuclear

170 Isótopo

Periodo 433 días

241Am

21OpO

133 días 163 días

242 Cm

Fracción(% ) 85 12,8 100 74 26

Energías (MeV) 5,486 5,443 5,305 6,113 6,070

Tabla 4.1: Características de algunos emisores alfa Los principales modos de desintegración (a, (3, ,) se explicarán más detenidamente en capítulos posteriores. En este capítulo se introducen las nociones básicas de cada uno de ellos.

4.4.1

Desintegración alfa

Es la emisión de núcleos ~He (que se denominan a) por núcleos pesados y es un proceso facilitado, entre otros, por la enorme energía de ligadura de las partículas a. La teoría que describe este fenómeno fue desarrollada por Gamow, Condon y Gourney. Es una brillante aplicación del conocido efecto túnel de la Mecánica Cuántica. En la desintegración a, los números másico (A) y atómico (Z) de los elementos que entran en juego cumplirán:

(

AX Z

----t

A-4y Z-2

+

4He 2

Por ejemplo, 238

92

U

~~6Ra

4.4.2

-+

~4Th

-+ ~~2Rn

+ a (5, 6 MeV) + a (4,8

Tl/2 = 4,47

MeV) T1/2

=

X

109 años

1600 años

Desintegración beta

Conocida como desintegración (3 o de Fermi. Se trata de emisiones de é por parte de núcleos alejados de la línea de estabilidad. El proceso es una interacción débil en la que uno de los nucleones que se encuentran en exceso, ( (n, p), se transforma en el otro (cambio de carga n ~ p), emitiendo un e+

Radiactividad

y

desintegración nuclear Isótopo 3H 14C

171

Periodo 12,33 años 5730 años 14,28 días 24,4 días 87,9 días 3,08x 105 años 165 días 92 años 27,7 años/64 h 2,12x105 años 2,62 años 3,81 años

32p 33p 358

36Cl 45Ca 63Ni 908r/90y 99Tc 147Pm

204Tl

Tmax(MeV) 0,0186 0,156 1,710 0,248 0,167 0,714 0,252 0,067 0,546/2,27 0,292 0,224 0,766

Tabla 4.2: Emisores f3 puros o un e- de forma que se conserve la carga eléctrica. Existen tres variantes de la desintegración (3 nuclear llamadas (3-, (3+ y C E (captura electrónica). Básicamente las tres pueden explicarse mediante transformaciones que tienen lugar entre los nucleones constituyentes:

1. ((3-) 2.

((3+)

n

-t

p + e-

+ De

p-tn+e++ve

¡131 -t 53

X e131 54

+ e- + D e

Al213 5 -t Mg212 5 + e+ + V e 54+ e M n25

-t

Cr24 54+ Ve

T1j2

=

8,0 d

T1j2 = 7,2 s T1j2

= 312 d

En el último caso, después de la captura electrónica (C E) debe haber emisión de un rayo X por parte del átomo, al haber sido capturado uno de los electrones de las capas internas por un protón del núcleo, dejando un hueco en la estructura atómica. Hay que tener claro que estos procesos pueden tener lugar entre nucleones ligados. Sólo así se entiende que el protón pueda transformarse en un neutrón dentro del núcleo, debido a que hay que tener en cuenta las energías de ligadura nuclear en el balance energético. La interacción fundamental que origina esta desintegración es la interacción débil (intercambio de W±) con cambio de sabor de quarks. Así, en

Ffsica Nuclear

172

el caso de la desintegración {3- del neutrón, el proceso, en realidad es el de cambio de sabor del quark d:

l Aunque existen emisores {3puros (tabla 4.2), en la mayoría de los núcleos inestables por desintegración beta, el núcleo final queda en un estado excitado dando lugar a desintegración 'Y.

4.4.3

Desintegración garnma

Es el proceso de desexcitación nuclear por excelencia. La interacción responsable es la electromagnética. Frecuentemente es un proceso rápido (T1/2 ~ 10-9 s). Si TI/220, 1 s, entonces a esos estados se les suele llamar isómeros. Sucede para desintegraciones entre estados con números cuánticos de espín muy diferentes. Los isómeros se representan con una m al lado del número másico del núcleo, por ejemplo el nivel excitado 2+ del 60CO que tiene una energía de 58,59 keV y un periodo T1/2 = 10,47 m y que se denomina 6OmCo. Un proceso competitivo con la emisión gamma es la conversión interna (tabla 4.3), emisión de un e- de las capas atómicas en vez de un fotón. Se trata en este caso de un e- monoenergético. Las fuentes de conversión interna se utilizan sobre todo para la calibración energética de detectores de partículas. El electrón emitido procede de la corteza atómica, como resultado de la desexcitación. Si la energía de ligadura del electrón es Be, la energía del ede conversión interna será (4.20) siendo E, - El la diferencia de energía entre los niveles nucleares. Como puede observarse en la tabla 4.3, existen varios valores de la energía de los electrones emitidos por estas fuentes según la capa electrónica de la que procedan. Van acompañados de rayos X debidos a los huecos dejados en las capas electrónicas.

Radiactividad

y

desintegración nuclear Fuente

173

Energías (keV) 365 266; 319 624 480; 967; 1047

113Sn

133Ba 137CS 207Bi

Tabla 4.3: Fuentes de conversión interna

4.4.4

Fisión espontánea

Suele tener lugar en núcleos transuránidos. (Por ej: ~rCf y ~ggFm). Es un fenómeno debido a las enormes fuerzas de repulsión eléctricas creadas por la deformación nuclear. Este fenómeno, además de la desintegración a, explica porqué no existen núcleos estables con A elevado. A partir de A = 300, los núcleos se fisionarían espontáneamente.

4.4.5

Emisión de nucleones

Se trata de desintegraciones de núcleos que se encuentran lejos del valle de la estabilidad. Este tipo de núcleos aparecen entre los productos de la fisión. Para que la emisión espontánea de nucleones pueda tener lugar, la energía de separación nucle6nica debe ser Sp, Sn < O, ya que, por convenio, se define la energía de separación como la energía que hay que ceder al núcleo para que se pueda arrancar un nucle6n. Un ejemplo de emisor de protones es el ~~Kr. Otro proceso de emisión de neutrones es el de la fisión nuclear, en la que los neutrones se producen además de los fragmentos de fisión. En el caso de los neutrones de fisión, el espectro de energías sigue la distribución de Maxwell, dN/dE = VEexp{ -E/Eo}. Un ejemplo es el ~~2Cf (T1/2 = 265 años) en el que la constante Eo en la ley de desintegración anterior vale Eo = 1,3 MeV. Se tiene entonces una buena fuente de neutrones. Se dispone también de fuentes de neutrones basadas en un montaje tipo sandwich de una fuente (que produce partículas a) y un material (que proporciona el blanco), por ejemplo 241 Am con 9 Be, que producen neutrones a través de la reacción nuclear a+

9 Be

~ 12C + n

precisamente la reacción que fue utilizada por Chadwick en el famoso experimento del descubrimiento del neutrón.

174

4.5

Ffsica Nuclear

Series naturales de elementos radiactivos

La Tierra (y sus elementos constituyentes, Fe, 0, C, Si, ...) tiene una edad estimada en unos 4,5x109 años. El Universo (cuyo origen se sitúa en el instante del Big-Bang) data de unos 15x109 años. Se supone se necesitaron unos 10x 109 años para fusionar H y He en núcleos más pesados, estrellas, novas y supernovas. Puede decirse que la Tierra y todo lo que contiene son los deshechos reciclados de las supernovas. La radiactividad natural es debida a las desintegraciones de las cadenas de elementos pesados: Serie Torio Neptunio Uranio Actinio

Tipo Elemento 232Th 4n 4n+ 1 237Np 238U 4n+2 235U 4n+3

T1/2(añOS) 14,lx109 2,14x 106 (no natural)" 4,47x 109 0,704x109

Estable 208Pb 207Pb 206Pb 207Pb

Son el origen del calor interno de los planetas. Para la salud el único problema es el gas radón (Rn). Otros elementos, producidos en colisiones de rayos cósmicos con los núcleos del aire de la atmósfera, son: el tritio; que se desintegra dando 3 H(12,33 años)-t 3 He + e- + Ve yel Carbono-14, que sigue el mismo tipo de desintegración: 14C(5730 añosj-» 14N + e- + Ve. En estos casos no existen series radiactivas como en los transuránidos. Sin embargo estos dos últimos elementos naturales radiactivos tienen interesantes aplicaciones de datación.

4.6

Cadenas radiactivas. Ecuaciones de Bateman

Es frecuente encontrar series de núcleos que se desintegran dando lugar a una cadena o familia radiactiva. Un caso particular de estas cadenas que conviene estudiar es el que tiene lugar con sólo tres elementos: 1 -t 2 -t 3, siendo 3 un núcleo estable. Las ecuaciones de la cadena radiactiva y sus soluciones para el caso en que t = O no exista ningún núcleo hijo, es decir, N2(0) = N3(0) = O, son: 4 Al ser su periodo de semidesintegraci6n menor que la edad de la tierra, ya no existe esta cadena en estado natural, aunque si se puede obtener en laboratorio.

Radiactividad

y


175

La actividad del núcleo hijo es A2 = A2N2(t) (y no dN2/dt ). El número de núcleos hijo pasa por un máximo, que se obtiene al exigir que dN2/dt = O, que da lugar a (4.22) instante en el que la actividad del hijo está en equilibrio ideal: (4.23) Para cualquier otro valor de t, el cociente entre la actividad del hijo y la del padre vale

(4.24)

distinguiéndose tres casos (ver figura 4.2):

Ffsica Nuclear

176

N(t)

N·3 ...

transiente

··

secular

t

,t ,,

Bl

Al Figura

4.2 - A) Evolución temporal del número de núcleos de cada uno de los miembros de la cadena radiactiva NI ---+ N2 ---+ N3, siendo la sustancia 3 estable. B) Cociente de actividades Ad Al en función del tiempo, para cada uno de los casos descritos en la figura, entre ellos, el equilibrio secular .

• A2 »

Al; es decir, el hijo tiene una probabilidad de desintegración mucho mayor que la del padre. Se tiene equilibrio secular, ya que el cociente A2Nd AlNl se hace ~ 1 rápidamente. Ej: 90Sr

({3-)

Se tiene así una fuente de

27~os

90y

con

90y

({3-)

Tl/2

= 27,7 años (en vez de 64,8

6~

90Zr

h).

El núcleo hijo se desintegra con la misma velocidad con la que se crea, y el número de átomos sigue la ley,

(4.25) • A2 > Al; la probabilidad de desintegración del núcleo hijo es mayor que la del padre. Se alcanza un equilibrio transiente o transitorio; el cociente de actividades va creciendo lentamente, aproximándose a una constante, Ad(A2 - Al).

Radiactividad

y


177

• >'2 < >'1; el cociente de actividades aumenta con el tiempo. Los núcleos de tipo 1 se desintegran rápidamente y los de tipo 2 varían según la ley exponencial: (4.26) En el caso de k generaciones 1 cualquier elemento i de la cadena: dNi

dt

=

-+

2

-+

3...

-+

k, se generaliza para

>'i-1Ni-l(t) - >'iNi(t)

(4.27)

Si se supone que Ni(O) = O para todos los elementos de la cadena (i > 1), excepto NI (O) = No, entonces la actividad del miembro n de la cadena vendrá dada por las ecuaciones de Bateman, n

rr x, i=l

n

Ci

e

-A; t

siendo

Cm

= -n---=----

rr (>'mm#i=l

(4.28)

>'i)

teniendo en cuenta que, en el cálculo de los coeficientes Cm sólo intervienen las n generaciones precedentes (n :s: m). En el denominador anterior el producto significa que deben tomarse todos los valores de i salvo i = m. Se tiene equilibrio secular si >'lN1 = >'2N2 = ... = >'nNn' Si lo que se busca es el número de átomos del elemento n de la cadena radiactiva en el instante t, se podrá obtener a partir de n

Nn(t) = >'1 ... >'n-1N1(0)

e-A;t

L ----=-n--i=l rr (>'mm#i=l

(4.29)

>'i)

pudiendo comprobarse que, efectivamente, las actividades vistas en (4.28) coinciden con (4.30)

4.6.1

Aplicaciones del equilibrio radiactivo

Se dan dos ejemplos sencillos de aplicación del concepto de equilibrio radiactivo.

Fisice Nuclear

178 Ejemplos:

10 Medida de T1/2 Sean dos elementos radiactivos en equilibrio (ejemplo: Ra - U), de los que se conoce la relación de masas entre ellos:

M (

~a)

=

3,4

X

10-7

Si se conoce uno de los periodos, por ejemplo: T1/2(Ra) = 1602 años, se puede calcular T1/2(U) teniendo en cuenta la condición de equilibrio:

NA

y como

N=M

A'

al despejar queda,

T1/2(U)

226 (

= 1602(238)

1

M(IfJ-)

)

9

_

= 4,5 x 10 anos

20 Masa o edad de un material en equilibrio

Para calcular la cantidad de 1 g de 238U en equilibrio,

206

Pb producido anualmente por

dN = ANdt y al tomar T1/2(U) conocido y dt = 1, se puede calcular dN y por lo tanto la masa. Para calcular la edad del material, conocida la masa de Pb existente, dt

4.7

=

dN AN

=

Mpb MuAu

Radiactividad artificial

En la obtención de radioisótopos por bombardeo de material (del que inicialmente se disponen No núcleos) con aceleradores de partículas o con

Radiactividad

y


179

reactores (flujo incidente F [cm-2s-l]) se forma el elemento en la reacción p + No ---t NI + q) a un ritmo,

NI (por ejemplo

(4.31) y este elemento NI es inestable. A continuación el elemento NI se desintegra dando NI ---t N2 + x con constante de desintegración radiactiva Al y el proceso da lugar, finalmente al elemento N2 estable. Típicamente las secciones eficaces (1 en la expresión (4.31) son del orden del barn y los flujos, F, del orden de 1014 cm-2s-\ con lo que R/No ~ F(lOl4) x (1(10-24) ~ 10-10 S-l, tan pequeño que puede suponerse No constante. Se tiene pues,

dNl = Rdt - AlNldt

----t

Nl(t) = ~

(1 -

e->'lt)

}

Al(t) = R (1 - e->'lt)

~~

•••• -..

=

...•U

(4.32)

10

- - - - - equilibrio secular 8

10

~

'e 6

se e

•• ,<

4

2

ciclotrón operativo

---------~ o

10

20 t

30

40

(horas)

Figura 4.3 - Evolución del número de átomos radiactivos producidos por bombardeo de un blanco de Ni en un ciclotrón que acelera deuterones. Los valores numéricos corresponden a la reacción p + 61N ---t 61Cu + n que produce 6lCU radiactivo que tiene un periodo de semidesintegración Tl/2 = 3,3 h.

Ffsica Nuclear

180

El problema queda bien descrito por las dos condiciones límites siguientes: t t

« T1/2 » Tl/2

--t --t

A1(t) ~ R>'lt A1(t) ~ R

(crecimiento lineal cerca de t = O) (equilibrio secular)

Ejemplo: Cálculo de la actividad de los dos isótopos radiactivos 64CU y 66Cu que se producen al irradiar un blanco formado por un gramo de Cu natural, con un flujo F = 109 n/(cm2s) de neutrones de muy baja energía (térmicos) durante 15 minutos. Se tienen los procesos y las secciones eficaces de producción siguientes: 63Cu(69%) n+ { 65Cu(31%)

} --t

{ 64Cu(T1/2 = 12,7 h), a = 4,4 b } 66Cu(T1/2 = 5,1 m), a = 2,2 b + 'Y

El núcleo de 64Cu se desintegra en un 39% vía (3- a un 61% vía captura electrónica a 64Ni. Aplicando

64 Zn

y en

y como en 1 g de material el número de átomos viene dado por N(O) = (NA/A)(a%) x 1 g, en donde a% es la abundancia de cada isótopo, se obtiene finalmente,

°

10,43 J.LCide 64Cu >'1NI (15 m) = { 152, J.LCide 66Cu

El tiempo óptimo de bombardeo puede calcularse utilizando la misma expresión obtenida para tmax en el caso del equilibrio ideal, vista en (4.22). En este caso basta con la condición e-A1t --t0, lo que se consigue en un tiempo de bombardeo inferior a unas 10 vidas medias. O sea, si el elemento tiene un semiperiodo T1/2, no tiene ningún interés bombardear durante un tiempo superior a 10 X T1/2, ya que no aumenta la cantidad de material radiactivo. rv

Radiactividad

4.8

y


181

Datación radiactiva

Es una aplicación importante de la ley exponencial de desintegración. Se suele distinguir entre datación arqueológica, geológica ó cosmológica, según la escala de tiempo que se desee medir.

4.8.1

Dataci6n por

14C

Propuesta por W. Libby (Premio Nobel de Química, 1960). E114C es un isótopo con T1/2= 5730 años que se produce en la atmósfera por el choque de rayos cósmicos con los núcleos (~4N -+~4C). Lo mismo sucede con el tritio H, T1/2 =12,33 años). Se supone que en los últimos 50.000 años, la proporción 14C/C = 1/1012, no ha cambiado; el método podría no funcionar dentro de miles de años por las bombas atómicas en la atmósfera durante las décadas 1950-1960, que han provocado un cambio (que será muy difícil de calcular en el futuro) de su concentración. El Carbono natural, cuya proporción isotópica es 98,89% de 12C y 1,11% de 13C, es absorbido por sustancias orgánicas en forma de CO2. También absorben la pequeñísima cantidad de 14C presente. Al morir el organismo, cesa de adquirir 14C, poniendo en marcha un reloj biológico. Se puede así conseguir la datación de restos orgánicos con edades del orden de milenios (hasta unos 10 xT1/2 ~ 50.000 años) al comparar la actividad específica de muestras similares (antes y ahora). Para hacerse una idea del contenido en 14C presente en un gramo de Carbono natural, piénsese que una medida de la actividad de un gramo de Carbono da 13,6 desintegraciones/rnin o sea ~ 0,23 Bq.

e

4.8.2

Dataci6n geo16gica

Para tiempos geológicos, debe medirse No y no la actividad. elementos para medir tiempos geológicos son Isótopo

Buenos

Física Nuclear

182

Para ilustrar las aplicaciones de datación geológica se estudiará el caso del Rubidio-Estroncio, (Rb - Sr). El Rubidio natural es una mezcla isotópica de 85 Rb(72, 15%), estable, y de un 27,85% de 87 Rb, inestable, que se desintegra en 87 Sr + e- + ¡;e con T1/2 = 4, 8 X 1010 años. El rubidio es llamado núcleo padre, y el estroncio el núcleo hijo. Si se tienen en una muestra actual Np(t1) núcleos de Rb y Nh(t1)de Sr, y suponiendo que en t = O, se tenian Np(to) Y Orespectivamente, o sea,

to tI se cumple, Np(tl)

=

Np(to) Np(tl)

Np(to)e-)..(t¡-to),

6.t

=

.!.ln Np(to) A Np(tl)

O Nh(tl)

luego, =

.!.ln A

(1 + Nh(tl)) Np(tl)

(4.33)

ya que Np(to) = Np(tl) + Nh(tl), o sea, el número de núcleos permanece constante. Medir N (87 Sr) / N (87 Rb) permite medir 6.t. El error vendrá dado por a s; Y aN¡· El método funciona si Nh(tO) = O. En el caso en que Nh(to) # O,hace falta otro dato, conocer la proporción en t¿ de otro isótopo estable. Un buen candidato es el 86 Sr que cumple Nhi(to) = Nhi(tl), y tal que la proporción Nh(tO)/Nh,(tO) es constante, si se trata de minerales del mismo origen. El método consiste en calcular, para distintas muestras, el cociente:

Np(to) + Nh(to) Nh,(tO)

Np(tl) + Nh(tl) Nh,(tl)

(4.34)

de forma que llamando

N(87 Rb) N(86Sr)

y

sustituyendo en (4.34) se obtiene la ecuación de una recta; y = mx + b con pendiente m = e>.t:.t - 1. El ajuste de los datos permite obtener también la ordenada en el origen b = Nh(to)/Nh,(to). Los resultados experimentales conducen a una distribución lineal, obteniéndose (ver figura 4.4), b

= 0,7003

± O, 0004

Radiactividad y desintegración nuclear

183

lo que además de confirmar la validez del método, permite determinar la edad de la Tierra en !:1t = 4,5 x 109años. Lo mismo sucede con la luna y meteoritos, de los que se han medido muestras, obteniéndose los mismos resultados implicando el mismo origen temporal que la Tierra.

87Sr 86Sr 1.0

0.9

0.8

0.7

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

87Rb/86Sr Figura 4.4 - Ajuste lineal del método de datación Rb - Sr, en la que se muestra la exixtencia del 87 Sr en el momento inicial G.W. Wetherill, Ann. Rev. Nucl. Sci. 25 (1975)283.

184

Ffsica Nuclear

Glosario de términos clave Actividad - (página 161) Número de desintegraciones nucleares que se producen en la unidad de tiempo. Bequerelio - (página 162) Unidad de actividad radiactiva en el sistema internacional. 1 Bq = 1 desintegración/segundo. Cadenas radiactivas - (página 174) Serie de nucleidos tales que cada uno de ellos se forma por desintegración radiactiva del anterior (partiendo de un nucleido padre), ya su vez se desintegra dando lugar a otro nucleido, hasta llegar al último de la serie que será estable. Curio - (página 162) Unidad tradicional de actividad de una determinada muestra o material radiactivo. 1 Ci = 3,7x1010 desintegraciones/segundo. Dataci6n radiactiva - (página 181) Determinación de la edad de un material usando métodos radiactivos. Equilibrio transitorio - (página 176) Condición en la que la relación de actividades de 2 radionucleidos o más de misma cadena de desintegración, se aproxima a una constante. Equilibro secular - (página 176) Equilibrio en el que la relación de actividades es la unidad. Fuentes naturales - (página 159) Fuente de radiación que no está originada a causa de una actividad humana. Nucleidos radiactivos artificiales - (página 159) Isótopos que han sido originados a causa de alguna actividad humana. Se conocen también como radionucleidos antropogénicos. Radiactividad - (página 159) Propiedad que presentan algunos núcleos de desintegrarse, de transformarse espontáneamente (sin excitación previa) en otros nucleidos más estables mediante la emisión de partículas o radiación electromagnética. Se puede expresar también con el término Radioactividad, siendo ambos aceptados por el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española.

Radiactividad

y


185

Transmutación - (página 160) En Física Nuclear, conversión de un elemento químico en otro. Supone un cambio en la estructura del núcleo atómico inducido por una reacción nuclear o por una desintegración nuclear.

Ftsice Nuclear

186

Resumen • Este es el primer tema sobre las propiedades dinámicas de los núcleos. Los núcleos se van a estudiar como sistemas dinámicos que varían y se transforman. En este tema se describen las leyes que controlan esta variación en el tiempo, las leyes de desintegración radiactiva, que son esenciales para poder pasar en capítulos posteriores a estudiar cada tipo de desintegración. • La desintegración radiactiva, mediante la cual hay una variación del número de núcleos de una determinada especie o isótopo en la unidad de tiempo, tiene un comportamiento exponencial caracterizado por la constante de desintegración, >., que es una característica de cada isótopo y no depende de condiciones externas como puede ser la presión o la temperatura. • Para la comprensión de las causas por las que un núcleo pueda desintegrarse se debe entender la teoría cuántica de la desintegración, donde se justifica la existencia de estados inestables como posible solución de la ecuación de Schrodinger, siendo esta solución una mezcla de estados estacionarios. • Se realiza una primera exposición de los tipos de desintegración radiactiva, aunque los tres más importantes (a, f3 y ,,) se desarrollan más detenidamente en capítulos posteriores. • En la naturaleza siempre ha existido la presencia de emisores radiactivos, algunos pertenecientes a las series radiactivas naturales. • Una vez conocidas las leyes de desintegración para una especie nuclear, es conveniente el desarrollo de la relación del número de núcleos de la especie hijo con respecto al padre, o los distintos sucesores (cadenas radiactivas), conocer la evolución temporal del número de núcleos de los distintos isótopos que intervienen en el proceso (ecuación de Bateman). También es importante el estudio de los distintos tipos de equilibrio (secular y transitorio). • Además de los radionucleidos naturales, el ser humano es capaz de obtener elementos radiactivos artificiales, producidos en reacciones nucleares.

Radiactividad

y


187

• Una aplicación muy interesante de los procesos radiactivos es la datación radiactiva, mediante la cual se puede obtener la edad de un material aplicando la ley de desintegración nuclear.

Fisice Nuclear

188

Ejercicios de auto comprobación 1. La emisión radiactiva se realiza siguiendo una ley ¿Cuál es el fundamento de esa ley? ¿Qué significado físico tiene la constante de desintegración radiactiva? 2. ¿Qué significado físico tiene el periodo de semidesintegración va?¿Y la vida media?¿Cuál es su relación?

radiacti-

3. El 225 Ac tiene un periodo de 10 días. Si tenemos una muestra de 10 /-lg de masa ¿Cuánto Actinio quedará al cabo de 20 días? ¿Cuánto se habrá desintegrado? 4. El 226 Ra se desintegra por emisión a al 222 Rn. Un 94% va al estado fundamental y el 6% a un estado excitado. At = 1,18 X 10-6 días, determinar los periodos parciales y el periodo total de semidesintegración. 5. Se considera la siguiente cadena radiactiva

140

Ba(T1

=

12,7 d) ~

140 La

(T2

=

40,3 h) ~

140Ce

Al principio hay un mg de 140 Ba y nada de los demás ¿Cuántos núcleos se habrán transformado en estables al cabo de dos días? Determinar la relación de actividad del lantano respecto al bario, en ese momento ¿Qué tipo de equilibrio se alcanzará con el tiempo? 6. Se tiene una lámina de oro (197 Au) de 100 /-lm de espesor y 1 cm2 de superficie, iradiándose con un flujo contínuo rp = 5 X 1015 n/cm2s, produciéndose 198 Au que por emisión (3- (T1/2 = 2,7 días) se transforma en 198 Hg. Determinar la actividad máxima y el tiempo que tarda en alcanzar la. Se supone que sólo se produce la captura de los neutrones por el blanco de 197 Au. p(197 Au) = 19,3 g/cm3 y O"n(197 Au) = 160 b.

Radiactividad y desintegración nuclear

189

Soluciones a los ejercicios 1. Una población de núcleos radiactivos evoluciona de manera exponencial, es decir la relación entre los núcleos iniciales y los que sobreviven es exponencial. La constante de desintegración radiactiva es la probabilidad por la unidad de tiempo de que un nucleido inestable se desintegre. Para una población de núcleos inestables a mayor probabilidad más deprisa se van desintegrando. 2. El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda una población de nucleidos inestables en reducirse a la mitad, mediante emisión radíactiva. No ln2 N = 2 ===} Tl/2 = T

Al cabo de un periodo quedan N /2 núcleos, al cabo de 2 periodos N/ 4, al cabo de 3 quedarán N /8 y al cabo de n N /2n. La vida media r es el tiempo medio de desintegración, el tiempo que tarda la población inicial en reducirse un factor e. 1 T1/2 r=-===}r=--

.x

ln2

3. Aplicando la expresión (4.2)

N(t)

=

Noe-At

donde No es la cantidad de núcleos que existen al principio, y N(t) son los que quedan al cabo de un tiempo t .

.x =

No =

10

X

10-6

N(t) = 2,36

X

~02

6 023 ' 255

X

= 0,0693 d-1

X

1023

1015 x O,25 = 5,9

=}

e-At

= 0,25

= 2, 36x 1015 núcleos de

X

255 Ac

en 10¡.¿g

1014 núcleos quedan al cabo de 20 d.

190

Ffsica Nuclear

Se puede observar que 20 d = 2T1/2, por lo que sin haber hecho ningún cálculo se sabe que al ser el tiempo transcurrido igual a dos periodos, la cantidad se ha reducido a un cuarto de la inicial. Quedarán 5J.Lg. El número de núcleos que se han desintegrado será

No - N(t) = 1,77

1015 núcleos de

X

255 Ac

4. Según (4.11)

Al

O, 94At = 1, 109 X 10-6 d-1

A2 = 0,06At = 7,08 T1/2(1) =

X

ln2 -x;:= 6,25

10-8 d-1 X

105 d

X

106 d

ln2

T1/2(2) = A2 = 9,79

El perido total de semidesintegración se puede calcular con At ln2

Tl/2 = ~

5

= 5,87 x 10 d

O usando la expresión (4.12) 1

1

2

Tl/2 = ~

T1/2(i)

5. Se tienen que usar las expresiones (4.21) N2(t)

=

Radiactividad

y

191


Las constantes de desintegración serán ln2 = 2 27 12,7 x 24 '

X

10-3 h-1

ln2 =17xlO-2h-1 40,3 ' El número de núcleos de 140Ba inicial, de los otras dos especies no hay nada al comienzo, será

No =

10-3

X

6 023 i40

X

1023

= 4,3

X

1018núcleos

Para t = 2 días = 48 h, sustituyendo en la expresión de N3(t), resulta N3(48 h) = 4,3x1018 [ 1-

1 42 X 10-2] ' 0,0149 = 1,94x1017 núcleos de

140Ce

Al cabo de dos días se han transformado en estables 1, 94x 1017núcleos, por lo que 1,94 X 1017 4,3 X 1018 = 0,045

=> 4,5% se han transformado

La relación de actividades es

Al cabo del tiempo se alcanzará el equilibrio transitorio y se observa que A2/A1 se va aproximando a >"2/(>"2- >"1),al aumentar el tiempo transcurrido.

Radiactividad No

=

y

193


0,193 x 6,023 197

X

1023

=

5,9

"

X

..

1020 nucleos iniciales de

197 Au

Sustituyendo valores en (4.36) se obtiene ln(3,71)

5

tmax = 2 17 X 10-6 = 6,044 x 10 s = 7 días

,

El número de núcleos de (4.35) Nl(max) = 2,17

X

198 Au

para ese tiempo será, sustituyendo en

1020 (0,617 - 0, 166) = 9,77

X

1019 núcleos

La actividad máxima alcanzada será Amax

= 9, 77

X

1019 x 2,97

X

10-6 = 2,9

X

1014 Bq

Capítulo 5 Teoría de la desintegración alfa

• PROPIEDADES GENERALES DE LA DESINTEGRACIÓN ALFA o BALANCE ENERGÉTICO o PREDICCIÓN DE Q CON LA FÓRMULA SEl\I.IIEJ\.IIPÍRICA o LEY DE GEIGER-NUTTAL

• MODELO DE GAMOW DE LA DESINTEGRACIÓN AL FA o

PROBABILIDAD DE DESINTEGRACION

• ESPECTROMETRÍAALFA NUCLEAR • REGLAS DE SELECCIÓN: PARIDAD

ALFA

y ESTRUCTURA MOMENTO ANGULAR Y

Ffsica Nuclear

196

I OBJETIVOS

DIDÁCTICO S ESPECÍFICOS

I

• Entender por qué en determinados nucleidos se produce la emisión alía y no otro tipo de emisión. • Describir el proceso de emisión alfa y utilizar el estudio cinemático para interpretar sus características principales. • Comprender los mecanismos de penetración de la barrera de potencial. • Explicar el esquema de desintegración, relacionándolo con la estructura fina del espectro de emisión. • Estudiar la relación entre el periodo y la energía de la radiación emitida. • Conocer las reglas de selección en este tipo de procesos.

Teorfa de la desintegración alfa

5.1

197

Propiedades generales de la desintegración alfa

Rutherford (1903), midiendo el cociente qfm. en campos electromagnéticos en identificar la naturaleza de las partículas a (núcleos de He) emitidas por el Radio. Este descubrimiento fue confirmado en 1909 cuando se encontraron indicios de gas Helio en la cámara del detector que contenía la fuente radiactiva de Ra. ,.

B y E, fue el primero

228

Th

90

3

a a a a a

4+ l-

( 1.91 a.)

0.05% 0.18% 0.4 %

26.7 % 72.7 %

224

Ra

88 Figura 5.1 - Desintegración

alfa del 228Th.

La partícula a, cuya masa es mcr¿ = 3726 MeV, puede existir como tal en el núcleo (cosa que no sucede con los electrones y fotones en el caso de las desintegraciones (3 y,). La gran energía de ligadura (Bcr = 28 MeV), del también llamado cluster a, origina que la mayoría de los núcleos con A> 190 sean energéticamente inestables respecto a la emisión espontánea de partículas a (hecho que también puede tener lugar para algunos núcleos Con 150 < A < 190). Para que sea observable experimentalmente una desintegración a es necesario que:

Ffsica Nuclear

198 • El periodo sea detectable

(T1/2

< 1016 años) .

• Sea más probable que otros procesos, como el de la desintegración (3.

5.1.1

Balance energético

La conservación de la energía en el proceso ~X

~~=~ y +a

(5.1)

suponiendo que el núcleo padre está en reposo, da lugar a: mxc2

=

myc2

+ mac2 + Ty + T¿

(5.2)

Para que la desintegración sea posible, el valor Q de la desintegración Q

= (mx -

my -

ma)c2

= Ty + T¿

(5.3)

debe ser Q > O. Teniendo en cuenta la conservación del momento lineal, POI = Py, y como la energía cinética puede tomarse no relativista, T = p2/2m, queda para la partícula a: f y ~ ~"y = "'" '¡ -: t.,t ¿ ~ -:; f.. ( "'" i11~ 5.c!

fi: -.,

i'-..r

2"'1

t: = (1 + m~/my)

~ Q (1 - :~ ) ~ Q (1 - A ~ 4)

(5.4)

lo que para núcleos con A 200 implica que Ta es el 98% de Q. Aunque la energía de retroceso del núcleo hijo es baja (Ty 100 keV), es suficiente para arrancarlo de su posición en el sólido. f'oJ

f'oJ

Ejemplo: El ~~U puede desintegrarse emitiendo una partícula alfa, según 238U ~

234Th

+a

Sabiendo que Q = 4,27 MeV, la energía cinética con la que sale la partícula a será (según 5.4)

t; = Q

(1 -

a

m ) nvrh

~

4, 27 (1 - ~) 234

= 4,197 MeV

y la energía de retroceso del núcleo hijo TR

= Q - T¿ = 4,27 - 4, 197 = 73 keV


199

La medida de T¿ en espectrómetros, permite determinar Q y por lo tanto medir masas atómicas. La gran energía de ligadura de la partícula a, es la causa de que esta desintegración sea, frecuentemente, la única posible energéticamente. Por ejemplo, en la desintegración del 232U - y + y, los valores posibles de Q se dan en la siguiente tabla, y n

1H 2H 3H 3He

Q(MeV) -7,26 -6,12 -10,70 -10,24 -9,92

y 4He 5He 6He 6Li 7Li

Q(MeV) +5,41 -2,59 -6,19 -3,79 -1,94

A veces incluso es posible que se puedan emitir núcleos como 8 Be o el 12C, pero son procesos con periodo T1/2 muy grande (constante de desintegración A muy pequeña). Otro ejemplo es el de la desintegración del 228Th: Q(MeV)

- ~rAc + p

-6,4

Más adelante, al presentar el modelo de Gamow, se comprenderá que aun siendo Q > O, la desintegración no es instantánea porque lo impide la barrera culombiana. Si el valor de Q fuera superior al de toda la barrera de potencial, la desintegración tendría una vida media del orden de 10-21 s, tiempo de salida de la partícula a en un recorrido igual al radio nuclear.

5.1.2

Predicción de Q por la fórmula semiempírica

El valor de Q escrito en función de la energía de ligadura de los núcleos es, Q

=

EB(4He)

+ EB(Z

- 2, A - 4) - EB(Z, A)

(5.5)

A partir de la fórmula serniempírica de masas, ya se ha visto una expresión para las energías de ligadura en el primer capítulo. Tomando los parámetros propuestos por Krane, se obtiene el siguiente valor de Qcalc en el caso de algunos núcleos par-par:

Ffsica Nuclear

200 Qcal

(MeV)

7,3 6,2 5,2

a; (MeV) 8,95 6,45 4,08

en donde se observa una tendencia bastante correcta, al comparar estos valores con las medidas experimentales. En la práctica hay que tener en cuenta efectos debidos a la estructura de capas nuclear, que no reproduce la fórmula de Weizsacker, simplemente basada en un modelo macroscópico de gota líquida y que necesariamente produce una evolución muy suave de la energía de ligadura en función del número másico A.

5.1.3

Regla de Geiger-Nuttal

Geiger y Nuttal (1911), encontraron una relación sistemática entre el periodo del núcleo y la energía cinética de la partícula o: (conocida a través del alcance, Ro:):

(5.6) en donde el alcance de las partículas o: en el aire (Ro:) viene dado en cm y el semiperiodo Tl/2 en segundos, con las constantes A = 57,5 y B que depende de la serie radiactiva. Por ejemplo, para la serie del 238U, que es del tipo 4n + 2, vale B = 4l. Esta regla fue descubierta como consecuencia de medidas de alta precisión de alcances iniciadas por Bragg en 1906. El recorrido de la partícula o: en un detector gaseoso, como en los detectores Geiger-Müller, sigue una ley bien conocida; en el caso del aire . (5.7)

T¿ está en MeV. Midiendo el alcance se conoce perfectamente la energía To:. La gran calidad de las medidas de T¿ es lo que permitió comprobar la validez de la regla.


201

Ejemplo: Aplicando la expresión (5.7) para obtener el alcance de las partículas a de la desintegración 238 Pu --+

cuya energía es T¿

=

234U

+a

5, 6 MeV

H'ire =

0,3(5,6)3/2

=

3,97 cm

La relación inversa entre el periodo de la desintegración a y la energía de la desintegración (el valor Q, directamente relacionado con T¿ por (5.4)), puede verse en la figura 5.2, donde se muestran varias series de isótopos de núcleos par-par. Su expresión es la siguiente log.¿ Tl/2 =

D

e + -rt; f1f!

(5.8)

20~-----------------------------------,

-2f

10

{I)

5

~ O~------~~~~~~~~~~~----~

;::,•••

= •••

-ff

-10

4

s

6

7

8

9

10

Q (MeV) Figura 5.2 - Ejemplos de la regla de Geiger-Nuttal,

en donde, para varios núcleos par-par se observa la relación inversa entre el periodo y el valor de Q de la desintegración a. Cada línea conecta isótopos del mismo elemento.

Física Nuclear

202

La regla de Geiger-Nuttal puede explicar los casos extremos presentados en la siguiente tabla en la que se dan los valores de Q para dos desintegraciones del 90Th: Q(MeV) 4,08 9,85 con lo que un factor 2 en Q produce un factor 1024 en T1/2. Los núcleos con periodos muy largos son muy difíciles de medir. Así sucede por ejemplo con el ~2Gd (T1/2 1014 años) y con Ta = 2,24 MeV. rv

5.2

Modelo de Gamow de la desintegración alfa

La explicación de la desintegración ex fue la primera confirmación del efecto túnel predicho por la mecánica cuántica. La teoría de Gamow, y de Condon-Gourney (1928), es una teoría de un cuerpo; se supone que la partícula ex está en el pozo de potencial nuclear del núcleo. Para escapar, debe superar la barrera culombiana B responsable de la pared del pozo en la posición del radio (R = a) del pozo nuclear (véase figura 5.3). En lo que sigue, se supondrá que Z es el número atómico de núcleo padre, Z' el del hijo, con lo que se cumplirá Z = Z' + z, siendo en este caso z = 2. El potencial electrostático creado por el núcleo Z' es V(r)

2

= [_1_] zZ'e 47rfo

habiendo expresado potencial es

r

~

r

2,88Z' MeV r

(5.9)

en fm. O sea que la altura máxima de la barrera de B

=

2Z'exlic

(5.10)

a

siendo a el radio nuclear, que como se ha visto en capítulos anteriores es a = roA1/3, con "o ~ 1,4 fm. Por ejemplo B(234U) 30 MeV. Recuérdese también que para el 238 Pu, T¿ = 5,60 MeV y T1/2 = 89,6 años. Como T¿ < B para que la partícula ex pueda escapar del pozo, sólo puede hacerla por efecto túnel. El fenómeno no puede explicarse clásicamente. Se cumple B = V (a) y Ta = V (b), siendo b la distancia a la que la energía de rv

203


la partícula a es igual a la repulsión culombiana. Para denominar la energía cinética de la partícula a se utilizará Ta:, para distinguida de la energía total (cinética más masa). Recuérdese también que Q ~ T¿ con una precisión del

2%. V(r)

B

a

r

-v O Figura 5.3 - Potencial del modelo de Gamow. En la gráfica puede observarse la energía potencial de una partícula a en función de su distancia al núcleo. Más allá del radio nuclear, la curva de energía sigue la forma de Coulomb. Dentro del alcance de la fuerza nuclear, la partícula está ligada y su energía es positiva (Ka:) por lo que puede escapar del núcleo por efecto túnel. El hecho de que la energía de ligadura de la partícula a sea Ea: = 28,3 MeV, o sea 4Sn, siendo S¿ la energía de separación neutrónica, proporciona una energía suficiente para que la partícula a ocupe una posición T¿ > Oen el pozo nuclear (como se ve en la figura 5.3). Como Q > Oel proceso es exotérmico, pero debe vencerse la barrera culombiana. Al ser Q > O, la energía de la partícula a en el interior del pozo es positiva y puede tomarse r-

FIsica Nuclear

204

K¿ rv Q, que obviamente podemos aproximar a Ta, aunque T¿ es la energía cinética de la partícula a una vez expulsada del núcleo, habida cuenta del retroceso del núcleo hijo. Si la barrera B fuese menor que Ta, habría emisión espontánea con una vida media rv 10-21 s. Al tener una energía T¿ < B, la partícula a aparecerá emitida a una distancia b del centro del núcleo hijo y con una energía dada por Ta = V(b).

5.2.1

Probabilidad de desintegración alfa

La teoría de Gamow expresa la probabilidad de desintegración a como un producto: ).= PafP

(5.11)

siendo: • Pa: la probabilidad de que la partícula a preexista como tal en el interior del núcleo padre (empíricamente se estima Pa rv 0,1). • f: la frecuencia de colisión contra la barrera culombiana, (5.12) siendo K¿ la energía cinética de la partícula a dentro del pozo, que se puede aproximar K¿ = Ta. Ejemplo: Si se toma T¿ gración 238Pu ---+

f =

=

5,6 MeV, como en el caso de la desinte+ a y sustituyendo en (5.12)

234U

J(2 x 5,6 MeV)j(4 x 931,49 MeVjc2)

2x1,4xlO-15m 8 = 0,05 x 3 x 10 mjs ~ 5 x 1021S-l 2,8 X 10-15 m

lo que es una frecuencia elevadísima.

205

Teoría de la desintegración alfa • P: coeficiente de transmisión por la barrera, P factor de Gamow

= e-2G, siendo G el

(5.13) en donde J.L es la masa reducida de la partícula

0:,

(5.14) que, al ser Mx' » ma se cumple que J.L ma· Sin embargo, los cálculos deben siempre hacerse empleando J.L ya que su efecto es importante puesto que interviene en el exponente. rv

El factor de Gamow G está directamente relacionado con el coeficiente de transmisión a través de una barrera. En efecto, para un pozo cuadrado de altura B > T y anchura d,

B2

2

P = { 1 + 4T(B _ T) senh (kd) con k = kJ2m(B

- T). En ellfmite kd P

---t 00

}-1

(o sea B »T)

= e-2kd

(5.15) se tiene,

(5.16)

La anterior expresión puede obtenerse aplicando la definición de coeficiente de transmisión a través de una barrera de potencial: T = jSale/ jentra, en donde i. es la densidad de corriente de una partícula. Si W es su función de ondas entonces,

*-

. ñ ( J"7 = -'/, 2m W \7w -

- *) w\7w

s -1

(5.17)

es la densidad de corriente buscada (número de partículas por segundo que atraviesan el punto r). En el caso más general de un potencial culombiano, hay que reemplazar

(5.18)

Física Nuclear

206 siendo

Vi, (r) el potencial culombiano con barrera centrífuga, b r V;()

=

2Z'anc r

f(f+1)11,2 + ---'----=--

(5.19)

2ILr2

Se observa que el momento angular orbital introduce un término en el potencial que varía como r-2• Fijada una distancia (por ejemplo r = b), la barrera es mayor si el momento angular es f > O. Es una barrera que se añade a la puramente culombiana y se denomina barrera centrífuga. Penetrar una barrera centrífuga es más difícil y por lo tanto las probabilidades de desintegración serán más bajas. Probabilidad

a en el caso f = O

de desintegración

Para f = O, la integral que da el factor G visto en la expresión (5.13) es explícita, con lo que:

G ~ zZ'

"J2;::

[axccos v'x

- y'x

(1- x)]

(5.20)

siendo x = a/b = Ta/b. Como x « 1, podemos aproximar! la expresión dentro de los corchetes por [~ - 2vÍX], quedando una expresión de la forma

~Z'

G = 'fray 2ILc2--

VI:

- 4a

VILc2ro ~ --y Z'Al/3 oñc

(5.21)

siendo a = 1/137, la constante de estructura fina. El factor de Gamow queda pues de la forma: G

=

C1--

Z'

VI:

+ D1V Z' Al/3

(5.22)

Si se aplica para la desintegración del 238U, dado que ILe = 3662,6 MeVes la masa reducida de la partícula a se llega a: lnP

= 3 ,487VZ'Al/3 - 3 , 925~VI:

(5.23)

Así pues, como la probabilidad de desintegración es A = Pafe-2G, calcular ellogaritmo, 1En

efecto, la función arccos( x)

-+ ~ -

x - ~ - ... para x

-+

o.

al

207

Teorfa de la desintegración alEa

lag 10 A

=

C2

D2

+ .rt; fFf'

(5.24)

con lo que se reproduce la regla de Geiger-Nuttal. En efecto, para el rango de energías de las partículas a de las sustancias radiactivas y los valores de Z de los emisores a, se cumple la aproximación -lOglO

To; ex:

Z

(5.25)

fFf' .rt;

con lo que la regla de Geiger-Nuttal vista en (5.6) y el modelo de Gamow (5.24) son expresiones equivalentes. Además, queda de manifiesto la dependencia con Z', número atómico del núcleo hijo, en la expresión (5.23) anterior. El periodo del núcleo inestable por desintegración a se calculará sencillamente utilizando TI/2 = In 2/ A, lo que da lugar a:

TI/2

=

0,693- a c

C2exp { 2zZ '~af..LC2 ¡¡gf..L [7f --(Ko;) t; -2 -

2

fio;]B } -

(5.26)

en donde para estimar el factor i, se ha introducido Ko;, la energía cinética de la partícula a en el interior del núcleo. Normalmente se aproxima K¿ ~ To;. También suele tomarse K¿ Q como una buena aproximación (el error cometido es del orden del 2%, como ya se ha visto). La siguiente tabla compara, para los isótopos par-par del Torio, los periodos experimentales con los calculados por el modelo de Gamow, rv

A 220 222 228 232

Q(MeV) 8,95 8,13 5,52 4,08

TI/2(S), calc 3,3xlO 7 6,3xlO-5 2,4x106 2,6xlOI6

TI/2 (s) , exp 10 5 2,8x 10-3 6,Ox107 4,4xlOI7

Se observan discrepancias que pueden llegar a 1 ó 2 órdenes de magnitud. Esto es así porque se han hecho aproximaciones muy simples al realizar el cálculo. Por ejemplo se sabe que los núcleos con A ~ 230 son muy deformados, es decir no son esféricos y la fórmula de Gamow es muy sensible al radio nuclear. En cualquier caso, para una teoría completa de la desintegración a debe usarse la regla dorada de Fermi, incluyendo:

Física Nuclear

208 - FUnciones de onda nucleares

'ljJi, 'IjJ

t:

- Barrera centrífuga. - Núcleos no esféricos. Por ejemplo, un cambio del radio nuclear, a, del 4% produce un cambio en T1/2 de un factor 5.

5.2.2

Emisión de otras partículas o núcleos

Se puede utilizar la teoría de Gamow para calcular probabilidades emisión de otros núcleos, por ejemplo,

de

a) Núcleos más pesados que a.

ggoTh

Proceso -t208 Po 216

-t

Ra

+12

C

+a

Q(MeV) +32,1 +8,95

T1/2 calculado '" 2, 3 X 106 s '" 3,3 X 10-7 S

Recientemente se ha puesto de manifiesto (Rose & Jones, 1984) la desintegración del 223 Ra dando un 14C en el estado final. Las desintegraciones se comparan: Proceso ~3

Ra

209

-t

219

-t

Pb +14 C Rn + a

Q(MeV) +31,8 +11,17

T1/2 medido 2, 7 X 107 años 11,12 días

La detección del 14C se realizó estudiando las desintegraciones de una fuente de 3,3 ¡.¡,Cide 223 Ra en equilibrio con 227 Ac (T1/2 = 21 años), de la serie del 238u. Una explicación para la enorme diferencia entre las vidas medias proviene de la probabilidad de preformación de112C en el núcleo del Ra, que lógicamente es muy pequeña ('" 10-6). En efecto, en la anterior tabla el cociente de probabilidades de desintegración AG / Ao: predicho por el modelo de Gamow es del orden de 10-3, mientras que el medido experimentalmente es de 10-9. b) Emisión de protones. Sólo posible en núcleos muy ricos en protones, para este tipo de núcleos entonces puede darse que Sp < O Y Qp > o. Estos núcleos se obtienen

209


bombardeando iones pesados, por ejemplo 58 Ni + 96 Ru, reacción en la que Hofman et al., (1982) observaron la producción del núcleo 151Lu y su posterior desintegración: 151 Lu

~

150Yb

+P

con T1/2 = 85 ± 10 ms mientras que la predicción utilizando el modelo de Gamow da 1,7 ps; desacuerdo probablemente debido a la complejidad de las funciones de onda nucleares y al momento angular orbital. rv

5.3

Espectroscopía alfa y estructura nuclear 212B· 83 l

6O.6min

1.7

0.15 1.1

20811 81

~

intensidad (~)

Figura 5.4 - Estructura fina de la desintegración alfa. Cuando se mide la energía de las partículas a se observan cinco picos de energía bien definida que corresponden a las cinco desintegraciones. La intensidad de cada desintegración se determinará midiendo el área del pico. Los cálculos de Gamow, usando la expresión (5.7), pusieron en evidencia la llamada estructura fina del espectro a, o sea que aparecen varios niveles nucleares, cada uno con un valor de Ta (o lo que casi es lo mismo

Ffsica Nuclear

210

Qa) diferente y con intensidad diferente (ver figura 5.4). Además aparecían emisiones gamma de los niveles excitados. La espectroscopía alfa es pues muy útil para estudiar la estructura nuclear (de los núcleos hijo). Ayuda a conocer los números cuánticos de los niveles nucleares.

5.4

Reglas de selección: Momento angular y Paridad

El momento angular y la Paridad se conservan en la desintegración a. En efecto, ello es consecuencia de la invariancia del Hamiltoniano de la interacción (fuerte y electromagnética) bajo las rotaciones y bajo la transformación de Paridad. Así pues en el proceso X ---t X' + a se cumplirá (5.27)

Jx

Px ya que los correspondientes números cuánticos de la partícula a son J¡; = 0+. Siempre que exista un momento angular orbital z, =1= O,se cumplirá Jx =1= Jx' y entonces se tendrá (5.28) Las consecuencias de las reglas de selección pueden clasificarse en dos grandes conjuntos de desintegraciones, como son los casos siguientes: a) Transiciones entre núcleos par-par. Entre estados fundamentales será un proceso 0+ ---t 0+, como por ejemplo en ~~2Cm

---t

~~8Pu

+a

(Tl/2 = 162,8 días)

Si los valores de .ea son pares, aparecen bandas rotacionales (estados con espín-paridad 0+,2+,4+ ...) con distintas probabilidades de transición para cada estado debido a los distintos valores de Q y de la barrera centrífuga. También podrán tener lugar transiciones con .ea impar; en este caso la paridad de los niveles cambiará y aparecerán transiciones 0+ -+t 1-,3-,5-, etc (ver el ejemplo de la figura 5.1).


211

Por contra, no podrán existir transiciones prohibidas, como 0+ b) Transiciones

...,<+

2- ,3+,4-.

entre núcleos con A impar.

Las reglas de selección no acotan el valor de fo" pudiendo existir varios posibles. Se recurre entonces a medidas de distribuciones angulares de a, que informan sobre los momentos angulares orbitales.

fa.

He aquí algunos ejemplos de desintegraciones entre estados fundamentales: 253 Es --t249 Bk + a (20, 5 d) 7/2+ --t 7/2+ 251 Fm 229 Pa

ef + a (5, 3 h)

247

--t

225

--t

Ac

+ a (1, 5 d)

9/25/2+

--t

--t

7/2+

3/2-

La medida de los espectros nucleares se realiza mediante técnicas que facilitan la asignación correcta de los niveles iniciales y finales del núcleo. La más popular es ella conocida como coincidencia a - "(: • Se miden intensidades de cada desintegración a midiendo el área de los picos de las distribuciones energéticas de las partículas a . • A continuación, se seleccionan ventanas de Ta., es decir, se selecciona una determinada desintegración a un nivel nuclear definido, y se miden los espectros de "( asociados. Este método puede comprenderse ayudándose de la figura 5.4. La coincidencia a - "( podría emplearse para identificar con precisión los niveles existentes por debajo del estado 5+ de 330 keV, seleccionando las partículas a con la energía de ese estado (que además aparecerá como un pico en el espectro a que representará el 1,7% del total) y representando el espectro de energías de fotones "( asociados, se observarían dos picos: el de 330 keV, transición directa al estado fundamental y el de 290 keV, es decir 330 - 40 keV, que es la transición del nivel 5+ al primer estado excitado, 4+, del Tl. Todo esto da lugar a la detección y medida de espectros rotacionales2. En efecto, la energía de los niveles nucleares pertenecientes a un espectro 2Véase el Tema sobre Modelos

Nucleares.

212

Ffsica Nuclear

rotacional vienen dada por (5.29) el momento angular J puede tomar una serie de valores que dependen de los números cuánticos del núcleo base (cuyo espín es K y su energía E K). En el caso frecuente de núcleos con A impar y estado base con espín-paridad diferente a 0+, se cumple que los valores posibles de J = n, n + 1, n + 2, ..., varían de uno en uno. Ejemplo: En el 247Cf aparecen picos con E"{ = (O; 55; 122, ...) keV, por lo que si se calculan:

se obtiene

n = 3,5±0,2

n

es decir = 7/2, lo que da lugar a la banda rotacional del estado fundamental del 247Cf : 7/2+, 9/2+,11/2+, ... Se puede determinar el valor intrínseco de ñ2 2I = 6,11 ± 0, 02 keV con lo que se puede predecir el valor de los niveles ~E21

= 201,6 keV, etc

Teorfa

de la

desintegración

alEa

213

Glosario de términos clave Alfa (Partícula) - (página 197) Núcleo de ~H e, emitido en un tipo de desintegración radiactiva. Su símbolo es a. Barrera de potencial - (página 202) Región del espacio en que la energía potencial de un campo de fuerzas presenta un máximo relativo. Clásicamente esta barrera es impenetrable, pero en circunstancias en las que la mecánica cuántica se pueda aplicar se convierte en penetrable. Desintegración a - (página 197) Desintegración radiactiva que ocurre mediante la emisión de partículas alfa. Efecto túnel - (página 202) Fenómeno cuántico que consiste en el hecho de que una partícula atraviesa una barrera de potencial cuya altura es superior a la energía de la partícula. Este fenómeno es el responsable de la emisión a. Espectro a - (página 209) Distribución de las radiaciones a emitidas por diferentes emisores en función de la energía. Las partículas a se emiten con valores discretos de energía característicos del radioisótopo emisor. Estructura fina - (página 209) Muchos emisores alfa presentan un espectro de líneas, correspondientes a diferentes energías, ya que existen para una transición dada varios niveles finales. Ley de Geiger-Nuttal - (página 200) Ley empírica que relaciona el periodo de semidesintegración de un emisor alfa con la energía cinética de las partículas a emitidas. Modelo de Gamow (de la desintegración a) - (página 202) Primer modelo que usó el efecto túnel de la mecánica cuántica para explicar una desintegración.

Ftsice Nuclear

214

Resumen • Una vez analizadas, en el capítulo anterior, las leyes de desintegración radiactiva, es imprescindible la descripción de los distintos procesos por los que puede ocurrir. Se comienza por la emisión alía, en la que un núcleo radiactivo puede emitir espontáneamente núcleos de 4 He (partículas a). Las partículas a fueron identificadas como las radiaciones menos penetrantes al comienzo del estudio de las emisiones radiactivas. • Muchos núcleos pesados, A > 150, sobre todo los que pertenecen a las series radiactivas naturales (238 U, 232T h, y actinio (235 U)) se desintegran mediante emisión alía. • La primera cuestión que se debe plantear es por qué un núcleo escoge emitir partículas a, qué razón especial hay para que se emitan en lugar de deuterones (por ejemplo). La emisión alfa es efecto de la repulsión coulombiana, y ésta se hace más importante en los núcleos pesados, ya que aumenta con Z2 mientras que la energía de enlace con A. Por lo que se hace más probable en núcleos con Z alto. Además la partícula alía es un sistema nuclear muy estable, con una energía de enlace por nucleón muy alta. Todas estas consideraciones son las que llevan a la teoría de la emisión alfa. • Para la explicación de la posibilidad de emisión alía es conveniente conocer que existe una determinada probabilidad de penetrar la barrera de potencial generada por el núcleo. Esta probabilidad de penetración de la barrera es un factor crítico para determinar la vida media. • La partícula alía es emitida con una determinada energía cinética (que se puede medir y calcular), esta energía se puede obtener mediante el planteamiento del balance de enerqia para el proceso. • Del estudio de la Ley de Geiger-Nuttal se pueden obtener los periodos de desintegración de un emisor alfa, partiendo de la energía cinética con la que salen las partículas a emitidas en el proceso. • Debido a la posibilidad de que el núcleo hijo quede en algún estado distinto del estado fundamental, al medir el espectro de emisión se puede obtener una estructura fina, con diferentes picos, cada uno de ellos correspondiente a una energía de emisión alfa.


215

• En la desintegración a se conserva el momento angular y la paridad. Existen unas reglas de selección para el espín y la paridad.

Ffsica Nuclear

216

Ejercicios de autocomprobaci6n 1. Explique cómo es el espectro de un emisor a y por qué. 2. ¿Por qué se encuentra con frecuencia que las emisiones alfa van acompañadas de radiación gamma? 3. Conociendo los periodos y alcances de una familia de emisores a, puede determinarse el periodo o el alcance de otro familiar. Se tiene, por ejemplo, la familia radiactiva

= 3,36 cm;

T1/2

= 1.600 años)

210Po

(R = 3,85 cm;

T1/2

=

214 Po

tiene un alcance de 6,97 cm, se desea conocer su

226Ra

(R

y

Sabiendo que el periodo.

138,4 d]

4. Se tiene la desintegración

en donde se ha encontrado experimentalmente que la máxima energía con que salen las partículas alfa es de 3,46 MeV. (a) Conociendo la masa de A, determine la de B. (b) Calcule la energía cinética de las a y la de retroceso del núcleo hijo (c) Si A tiene espín-paridad posible?

0+, ¿qué deberá tener B para que sea

m(A) = 145,913038 urna, m(a) = 4,001603 urna 5. El 246C f decae al 242Cm emitiendo varios alfas a diferentes niveles excitados del hijo. Sabiendo que las energías de los alfas del hijo son Tu = 6,750 MeV, 6,709 MeV y 6,616 MeV. El de mayor energía es el que va al nivel fundamental. Determine la Q de la desintegración y las energías de excitación de los niveles.

Teorfa

de

la desintegración

217

alfa

Soluciones a los ejercicios 1. El espectro de un emisor a es un espectro discreto. Aparecen tantos picos como transiciones a los niveles excitados y al nivel fundamental del núcleo hijo sean posibles, corresponden a una energía de cada grupo de partículas emitidas.

El núcleo hijo puede quedar en estado fundamental o en cualquiera de sus estados excitados. Las a más energéticos corresponden a las transiciones al nivel fundamental del hijo. Las a emitidos tienen energías bien determinadas por eso el espectro es discreto. 2. Esta pregunta está relacionada con la anterior, al no quedarse el hijo en el estado fundamental, los estados excitados tienden a desexcitarse cayendo al fundamental o a otro nivel menos energético, emitiendo radiación 'Y. A través de la medida de esta radiación gamma, se ha comprendido mejor la estrutura fina de las a. 3. Según la expresión de la ley de Geiger-Nuttal (5.6) 10glOTI/2

=

B - A 10glOR¿

Denominando: 226Ra --t (1)

--t

210Po

= 3,36 cm

R(l)

--t

(2)

--t

T(l)

= 1.600 años = 584 x 103 días

R(2) = 3,85 cm

T(2) = 138,4 días

Planteando (5.6) para los dos: 10glOT(l) = B - AloglO R(l) } 10glOT(2) = B - A 10glOR(2) Restando las dos expresiones y despejando A

A = 10gIOT(l) -loglO T(2) = 61 32 10glOR(2) -loglO R(l)

,

y para B

B = 10gIOT(l)

+ A 10glOR(l) = 38,04

Por lo que para esa familia 10gIOTI/2 = 38,04 - 61, 32loglO R¿

Ffsica Nuclear

218 Sustituyendo el valor del alcance para el loglOT1/2e14po)

e

T1/2 4.

14

Po)

214

Po

38,05 - 61, 32loglO(6, 97)

=

= 10-13,67 = 2,14

X

10-14 días

= 1,8

=

X

-13,67

10-9

S

= 1,8 ps

(a) La energía máxima con la que salen las alfa, será aquella en que el núcleo hijo queda en reposo. Es decir, que corresponde con la Q de la desintegración Q

= TB + Ta, si TB = O =* Q = Tmaxa

Teniendo en cuenta la expresión (5.3) Q

(m(A) - m(B) - m(a)) c2

=

y despejando m(B) m(B)

(m(A) - m(a)) - ~ = 141,9143 - 3,71 e 141,90771 urna

X

10-3 =

(b) Usando la expresión (5.4)

t; = Q(l-

::)

= 3,46 (1-

= 3,36 MeV

1:1)

y la energía de retroceso del hijo

TR = Q - T¿ = 0,1 MeV (c) Como en las desintegraciones a se conserva la paridad, el estado final también tendrá paridad +. Además como JA

= JB +fa

y J A = O, J B tendrá que ser también O. El estado final es 0+. 5. Para calcular la Q se emplea la expresión (5.4) con la energía del a que va al nivel fundamental (la mayor) 3 Ta

( A4) =*

= Q 1-

Q

A

246

= T¿ A _ 4 = 6, 750 242 = 6,86 MeV

3La fórmula correcta es Te. = 1+ Q7mA . Aquí se utiliza una aproximación A que puede cambiar ligeramente los resultados. mOr

mA ~

me. ~ 4 Y

219


Para los niveles excitados la expresión (5.4), siendo Eex la energía de excitación del nivel correspondiente, se convierte en

Por lo que

Primer nivel Segundo nivel

246

Eex(1) = 6,86 - 2426,709 = 0,040 MeV = 40 keV 246

Eex(2) = 6,86 - 2426,616 = 0,135 MeV = 135 keV

Capítulo 6 Teoría de las desintegraciones beta

• INTRODUCCIÓN o BALANCE ENERGÉTICO

• TEORÍA DE FERMI DE LA DESINTEGRACIÓN BETA o PROBABJLIDADDE TRANSICIÓN o o

ELEIVIENTO DE MATRIZ ENLA TEORÍA V-A DENSIDAD DE ESTADOS FINALES

• FORMA DEL ESPECTRO BETA o

IVIEDIDADE LA MASA DEL NEUTRINO

• PERIODO COMPARATIVO Y TRANSICIONES PROlllBIDAS • EXPERIMENTO DE REINES Y COW AN • VIOLACIÓN DE LA PARIDAD EN LA DESINTEGRACIÓN BETA • DESINTEGRACIÓN DOBLE BETA

Fisice Nuclear

222

I OBJETIVOS DIDÁCTICOS ESPECÍFICOS

I

• Conocer los tres tipos diferentes de desintegración beta. • Poder realizar los balances energéticos para los tres tipos de desintegración. • Estudiar la teoría de Fermi de la desintegración beta. • Dibujar e interpretar

los diagramas de Kurie.

• Poder decidir el grado de prohibición de una desintegración beta. • Entender el significado de la violación de la paridad en la interacción débil. • Estudiar la desintegración doble beta, que permite poner en evidencia que 1/ =1 v.

Teorfa de la desintegración beta

6.1

223

Introducción

La desintegración {3nuclear es una manifestación de la interacción débil, responsable de la mayoría de las interacciones de los leptones (cargados o neutros) y de las desintegraciones de los leptones y de muchos hadrones (debidas a su vez a desintegraciones de quarks). En los núcleos, los procesos básicos de desintegración {3 pueden identificarse como procesos que sufren los nucleones constituyentes. Pueden clasificarse en tres variantes; se denominan {3-, {3+ y captura electrónica (C E) y se explicitan en la siguiente tabla. Ejemplos

{3+

"p"

CE

p

-+

+ e-

n + e+ -+

+ Ve

25Al -+25

(Joliot-Curie, 1934)

Mg + e+ + Ve

n + Ve (L. Álvarez, 1938)

En todos ellos aparece el neutrino Ve (o su antipartícula, el antineutrino ve), partícula de masa nula y espín 1/2, introducida por Pauli en 1931 para poder explicar la conservación de la energía en la desintegración {3 nuclear. En efecto, el espectro de energías de los electrones emitidos en la desintegración beta tienen una forma parecida al de la figura 6.1, desde Te = O hasta Te = To, que es el valor máximo posible de la energía cinética del electrón. Supóngase la desintegración {3 del neutrón:

El valor

Q

=

(mn - mp - me - mv')c2

=

Tp

+ Te + TVe

(6.1)

Si de momento se toma mv = O, y habida cuenta de que la energía cinética del protón es despreciable (Tp ;:::;:;300 eV) queda que Q

=

Te

+ TVe = O, 782

MeV

y por lo tanto To = (Te)max = Q, siendo Q la magnitud que fija el valor máximo (end-point) de la energía cinética del e-. La medida experimental (Te)max = 0,782 ± O,013 MeV. Así quedó de manifiesto originalmente que la masa del neutrino podría considerarse como compatible con una masa nula.

Ffsica Nuclear

224

(end-point)

To

+ Te Figura 6.1 - Espectro energético de los electrones emitidos en la f3 de los núcleos. La energía cinética máxima To se conoce

desintegración

como punto final (end-point)

del espectro.

También era necesaria la existencia del neutrino para conservar el momento angular total. En efecto, la desintegración del 14C no se podía explicar puesto que el proceso 14C ---t 14 N + e- no conserva el momento angular total ya que el espín del14C es J14G = y el del14N vale J14N = lo Entre partículas, los procesos débiles se clasifican en:

°

• Semileptónicos, por ejemplo 7I"± como en el caso nuclear. • No-leptónicos, por ejemplo ~-

---t

---t

¡.¿±

+ vp.,

n + 71"-; K+

ó K-

---t

---t

KO

+ e- + Ve,

71"+71"0.

• Puramente leptónicos, como en el caso de la desintegración ¡.¿+---t e+ + Ve

+ VI-'"

Lainteracción débil está mediada por los bosones W±(80, 6± 0,4 GeV le?) y ZO(91, 16± 0,03 GeV Ie?), muy masivos, que fueron descubiertos en 1983 en los experimentos UAl (C. Rubbia) y UA2 (P. Darriulat) del CERN (Ginebra, Suiza). Por ello las primeras teorías consideraban que la interacción era puntual ya que el alcance de la fuerza

R¿

10-3 fm me es 3 órdenes de magnitud inferior al caso del intercambio de = ~

I"V

71"

de Yukawa.

Teorfa

de la

desintegración

225

beta

V¡.¡

Figura 6.2 - Diagramas de Feynman para la desintegración f3- del ---+ u + e- + ve), que explica la desintegración f3 del neutrón, y del pión (7r- ---+ J.L - + vp.).

quark d (d

Se distingue entre dos tipos de desintegraciones débiles; las denominadas corrientes neutras, que dan lugar a procesos sin cambio de carga (e+e- ---+ /Jeve) Y corrientes cargadas, que por ejemplo cambian el sabor de los quarks (d ---+ u + e- + ve)' En el lenguaje de fuerzas por intercambio (ver figura 6.2), las corrientes neutras están mediadas por el bosón ZO y las corrientes cargadas por los bosones W±. Inicialmente se postuló que una misma constante de acoplamiento entraba en todos los procesos (hipótesis de universalidad), la llamada constante de Fermi, que vale

Gp = 1,166

X

10-11 (1ic)3 MeV-2

cuyo valor será determinado gracias a las medidas de la desintegración beta nuclear.

6.1.1

Balance energético

Los valores de Q para cada uno de los tres procesos f3 nucleares se calculan a continuación en función de las masas atómicas de los núcleos que entran en juego: • Proceso f3X(Z, N)

---+

Y(Z

+ 1, N

- 1)

+ e- + Ve (6.2)

Q{3-

= [M(Z, N) - M(Z

+ 1, N

- 1)] c?

Ffsica Nuclear

226 • Proceso (3+ X(Z, N) ---* Y(Z

- 1, N

+ 1) + e+ + Ve (6.3)

Qf3+ =

- 1, N

[M(Z, N) - M(Z

+ 1)] c2 -

2me¿

• Proceso C.E.

+ e-

X(Z,N)

---* Y(Z

-l,N

+ 1) + Ve

- 1, N

+ 1)] c2

(6.4) QC.E. = [M(Z, N) - M(Z

-

Be

Be es la energía de enlace del electrón capturado, en la capa electrónica correspondiente. Como Be 10 eV (núcleos ligeros), sólo debe considerarse en el caso de medidas precisas de la masa del u. Podrían haberse utilizado las energía de ligadura, EB(Z, N), en vez de masas, con lo que aparecerían términos ±O, 782 MeV, que es la diferencia entre la M¿ Y Me H). Por conservación de la energía, hay ciertos núcleos que pueden tener captura electrónica y no {3+. En general es más frecuente la C.E. ya que necesita menos energía. rv

Ejemplo: El !Be (T1/2 = 53,4 d) ---* captura electrónica, CEo 7

Be

iu

+ e- ---*

sólo puede desintegrarse vía

7

Li

+ Ve

Si se realiza el balance de energías para esta desintegración, siendo M(1 Be) = 7,016929 u.m.a. y M(1 Li) = 7,016004 u.m.a., se obtiene aplicando la expresión (6.4) QC.E.

(MCBe)-MCLi))c2= = 9,25 x 10-4 x 931,49 = 0,86 MeV > O =

Lo que quiere decir que es posible. Si se obtiene la Q (3+, con la expresión (6.3) Qf3+

= (MCBe) = 9,25

X

- MCLi))

c2

-

2mec2

4

=

10- x 931,49 - 1,022 = -0,162

No es posible la emisión {3+ espontánea.

MeV

227

Teoría de la desintegración beta

En la tabla 6.1 se muestran ejemplos de desintegración beta nuclear de los tres tipos descritos, para distintos emisores beta. Se observa que el rango de valores del periodo de semidesintegración es muy amplio y está ligado al valor de Q. Más adelante se demostrará la regla de Sargent, que relaciona la vida media de la desintegración beta con la quinta potencia de la energía disponible para la desintegración liT Q5. A pesar de ello, es evidente que, en el caso de la desintegración beta, el rango medido de las vidas medias es más reducido que en el caso de la desintegración a. rv

10.67 %

4-

40K 19

9 1.28 10 a.

MeV l.SOS 1.461

2+ 2mc2 e

p

0+ O

+

0.002 %

40 20Ca

0.193

O

40Ar 18 Figura 6.3 - Modos de desintegración del 40 K, unos de los núcleos impar-impar representativos que pueden tener desintegraciones{J- y {J+. La transición {J- (4- ----t 0+) es de las llamadas 3° prohibidas. Un buen ejemplo que ilustra todos los modos de desintegración {J es el del núcleo impar-impar que tiene un periodo de 1,28x 109 años (ver figura 6.3). A la derecha de la figura, se puede apreciar la escala de energías. Se puede observar que el balance energético de la desintegración {J+ requiere una mayor diferencia de energía que en el caso de la captura electrónica, o sea que se necesita al menos una energía igual a 2mec2 para que pueda existir la desintegración {J+, como se ha visto más arriba. El tiene una abundancia isotópica igual a 10-4 en el potasio natural. Es un elemento que tiene una gran importancia para el hombre ya que la transmisión de señales del sistema nervioso se realiza intercambiando iones de potasio. Su presencia hace que contribuya en un ~ 16% a la radiación de origen natural a la que está expuesto el cuerpo humano.

i8K,

i8K

Ffsica Nuclear

228 Desintegración 'l'.>Ne ---+23 Na 99Tc Al

25

Tipo

Q(MeV) 4,38

T1/2 38 S

Ru

+ e- + Ve

(3-

0,29

2,1x105 años

---+25

Mg

+ e+ + u¿

(3+

3,26

7,2

+ e+ + t/¿

(3+

2,14

4,2 días

+ l/e

CE

2,75

1,22

CE

0,43

1,Oxlü5 años

1 ---+124 Te

0

(3

---+99

124

15

+ e- + u¿

+ e-

41Ca + e-

---+15

---+41

N

K

+ u¿

S

S

Tabla 6.1: Ejemplos de emisores beta nucleares

6.2

Teoría de Fermi de la desintegración beta

Aunque se sabe que la desintegración (3, en términos de quarks está mediada por el intercambio de un bosón W virtual, se usará la teoría de Fermi (1934), que supone la interacción débil como una interacción puntual, con una intensidad que es una pequeña perturbación si se compara con los estados estacionarios nucleares.

6.2.1

Probabilidad de transición

Se aplicará la regla dorada con lo que la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo, viene dada por la expresión:

A = 2;

1

UIH'li)

2

1

p(E¡)

(6.5)

Esto es posible porque el Hamiltoniano nuclear puede escribirse H = Ho +H', siendo Ho el término responsable de los estados estacionarios nucleares y H' una pequeña perturbación, con lo que se puede aplicar la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo, que da lugar a la regla dorada de Fermi.


229

Al término Híi = UIH'li) se le llama elemento de matriz nuclear y p(E¡) es el llamado espacio fásico. El estado inicial es un núcleo en un estado estacionario, con momento angular bien definido:

(6.6) en donde ( representa los otros parámetros necesarios para definir completamente el estado nuclear (isospín, coordenadas espaciales, ...). El estado final, considerando que los dos leptones son partículas libres (ondas planas) se describirá como producto de las funciones de onda de las tres partículas del estado final:

(6.7) en donde V es el volumen arbitrario de normalización de las funciones de onda leptónicas y ~ (al igual que ( en el estado inicial) representa el conjunto de funciones que completan el estado final. Se puede desarrollar: eik-r =

L J 47r(2f

+ l)lje(kr)Ylo(B,

O)

(6.8)

e

t.

en donde k = + kv, B es el ángulo entre k y r y como las energías en juego son bajas (Q '" MeV) se puede realizar la aproximación de longitud de onda larga:

. (kr)e Je(kr) ~ (2f + 1)!!

(6.9)

con lo que

6.2.2

** Elemento

de matriz en la teoría V-A

En principio la invariancia relativista permitiría que el elemento de matriz de la transición:

(6.11)

Física Nuclear

230

siendo G la constante de acoplamiento, que da la intensidad de la interacción. Las propiedades relativistas del operador Ox pueden dar lugar a térmínoa' X = S, P, V, A, T. El operador que describe la interacción débil es de la forma V - A, lo que fue probado después de muchos años de estudio e investigación; de aquí el nombre de la teoría. Como de li) a In hay una transformación n f----t p, se puede utilizar el operador T ± de subida/bajada de ísospín". Según la teoría V - A y en el límite no relativista operador de la forma:

el hamiltoniano es un

A

H' = OAI" =

L {GVT:¡:(j)

+ GAO"(j)T:¡:(j)}

(6.12)

j=l

Se trata de una interacción puntual descrita mediante dos términos. El primero es un término vectorial; contiene la constante de acoplamiento Gv y en el límite no relativista se representa por el operador unidad multiplicado por el operador T:¡:. El segundo, con la constante G 4, es un vector axial formado por el producto del operador espín y T:¡:. La notación OAl" recuerda que se trata de un tensor esférico de rango A (el subíndice J-L podrá tomar los 2A + 1 valores A, A - 1, ... , -A, como para cualquier momento angular), que es lo mismo que decir que el operador O transporta un momento angular igual a A. Con ello, H' es un operador cuyo primer término (vectorial), transporta A = y el segundo (axial) transporta momento angular A = 1. De esta manera, utilizando la aproximación de longitud de onda larga vista en (6.10), quedará:

°

(6.13)

en donde aparecen dos tipos de términos, los asociados con el "1", que generan las transiciones permitidas (que corresponden al valor f. = O), y los asociados con el término (kr)l, con f. > 0, que dan lugar a las transiciones prohibidas. El valor de f. da lugar al rango de prohibición; de esta manera se conocen transiciones 1°-prohibidas, 2°-prohibidas, etc. 1Las iniciales informan del tipo de término que se trata: S, escalar; P, pseudoescalar; V vector polar; A vector axial y T tensor. 2Igual que en el caso de los operadores de espín (matrices de Pauli), ahora también se tiene T ± = (Tx ± iTy).


231

ea)

b)

Figura 6.4 - Esquema de dos posibles tipos de desintegración del neutrón: a) Sin cambio de espín entre n y p; corresponde a transiciones Fermi. Los leptones están acoplados con S = O. El término del hamiltoniano es (F). b) Con cambio de espín entre n y p; corresponde a transiciones Gamow- Teller. Los leptones están acoplados con S = 1, es decir un estado triplete de espín. El término del hamiltoniano es (GT). La desintegración del neutrón será una mezcla (suma) de las dos transiciones. En este caso, el momento angular orbital de los leptones es f = O. Por ello la desintegración del neutrón es una transición permitida, mezcla de Fermi y de Gamow- Teller. Dentro de las transiciones

permitidas

Híi ~ ~

aparecen a su vez dos tipos de términos:

L {(JfMf~1

0)..1' I JiMi() } =

(6.14)

I'M¡

G

= ;

~

~ ~

{~

{A(JfMf~1 (J¡M¡f.¡

f;

t

T~(j)

I i; Mi o + gA (JfMf~1

r,,(j) ¡J,M,e) + 9A ~

f;A}

(J¡M¡f.¡

a(j)T~(j)

t

IJiMi()

=

u(j)r,,(j) ¡J,Mie)}

Ffsica Nuclear

232

Por lo tanto, la forma más general del elemento de matriz de la teoría V - A será:

(6.15) en donde la integral (F) corresponde a las transiciones Fermi y la integral (GT) a las de Gamow- Teller. La visualización gráfica de las transiciones tipo Fermi y tipo Gamow- Teller se muestra en la figura 6.4 que representa la desintegración del neutrón. En esta figura aparecen los cambios de espín posibles; si el neutrón no cambia de espín, los dos leptones tienen que ser emitidos en la misma dirección, formando un singlete de espín (transición de Fermi). Por el contrario, si el espín del neutrón y del protón son opuestos, los dos leptones son emitidos en dirección opuesta formando un triplete de espín. Todo ello es debido a que los leptones, cuando participan en la interacción débil, son levógiros (su dirección de espín es opuesta a la dirección de movimiento). Una simplificación importante tiene lugar en las desintegraciones permitidas, ya que IHíil es constante e independiente de Te. Esto simplificará el estudio de la forma del espectro f3 y el cálculo de las vidas medias en dichas transiciones permitidas.

6.2.3

Densidad de estados finales

La densidad de estados finales en el volumen V, de partículas con momento en el intervalo (p, p + dp) en un elemento de ángulo sólido dO es: dn p(E¡) = dEl

(6.16)

can

dn

= V d~;2dP

(6.17)

que efectivamente da el número de funciones de onda discretas, con longitud de onda A = h/Pe que pueden ocupar un volumen V. Las energías totales de los leptones serán y

(6.18)

Teorfa

de la

desintegración

233

beta

y en el caso de que mil = O entonces se simplifica EII la energía total y T la energía cinética.

=

TII

= PIIC, siendo

E

Aplicando lo visto a cada uno de los leptones del estado final:

a) Para el Ve, suponiendo que mil

dn.¿

=

=

Vp~ dplle 21f;n3

O,

V

(

)2

= 21f2n3c3 To - Te dTe

y en caso de que se suponga que mil

(6.19)

-# O,

en donde se ha utilizado el llamado end point (que representa el valor máximo) de las energías cinéticas del electrón, To, en vez de Q, puesto que Q = T N + Te + Elle y como T N O queda To = Te + Tlle. rv

b) Para el e=, denominando Z' el número atómico del núcleo hijo,

(6.21) debe de introducirse la función F de Fermi, que da cuenta de los efectos culombianos del e± al atravesar el núcleo. Es una función bien conocida y tabulada. En el límite no relativista Ve < < e, se tiene F(Z', Te) = x/(1- e-X) siendo x = ~21faZ'/f3 (para e±). Con la densidad de estados finales vista más arriba, la probabilidad transición f3 en función del momento p¿ queda: dA dpe 21f3~7c3 1 Híi

de

(6.22) 2 1

F(Z', Te)p;(To - Teh/(To

- Te)2 - (mllec2)2

234

Ffsica Nuclear

6.3

Forma del espectro beta

El espectro de las beta es un espectro continuo, ya que en cada proceso existe un reparto de energía entre el electrón y el neutrino. La forma del espectro llega a un punto de Temax = Q que corresponde al caso en el que

T,,=O. Suponiendo: a) Que IHfil es constante e independiente de Te, lo que sucede en las desintegraciones permitidas. b) Que la masa del u; es despreciable. Se puede predecir el espectro

f3, ya que al calcular (6.23)

o sea que al representar la cantidad

(6.24) en función de Te se espera una recta cuyo end-point es To. Este es el llamado Plot de Kurie o diagrama de Kurie. En esta última expresión Nexp(Pe) es el número de desintegraciones medidas experimentalmente para cada intervalo de momento del electrón, p.:

6.3.1

Predicción de la masa del neutrino

La desintegración del neutrón en reposo, da inmediatamente una predicción de la masa del Ve. (7n = 889, 0±2, 1 s ó también T1/2(n) = 615, 0±1, 5 s) La medida de la energía cinética máxima del e- es Te,max = 0,782 ± 0,013 MeV. Como Q = (mn - mp - me - m¡;')c2 = (0,782 - m".c2) MeV, se tiene entonces que

m".

=

(O ± 13) keV

Teorfa de la desintegración

beta

235

Figura 6.5 - Plot de Kurie. Se puede observar el denominado end-point, To, es decir el valor máximo de la energía cinética del electrón emitido en la desintegración f3. En principio, se espera el mismo valor en la medida de la masa del neutrino que la del antineutrino. En efecto, el teorema CPT predice'' que las masas de las partículas deben ser iguales a las de sus antipartículas. La determinación más precisa de miJ. se ha realizado con el tritio: 3 H ~ 3 He + e- + Ve (T1/2 = 12,33 años, Q{3 = 18,6 keV). El bajo valor de Q{3 favorece la sensibilidad para detectar miJ e ' Además sólo existe un nivel nuclear, el del estado fundamental del 3H e, aunque dos estados atómicos. También las fuentes de tritio son fáciles de preparar. La resolución experimental modifica el espectro de Kurie cerca del endpoint. En la figura 6.5 las curvas a trazos, representan los casos teóricos m" = O Y mv =1= O. Al tener en cuenta la resolución experimental esas curvas cerca del end-point cambian de forma. El cambio es calculable y se tiene en cuenta. En la figura 6.6 pueden observarse los resultados de los dos experimentos basados en la medida del espectro de los electrones de la desintegración del tritio, que han dado lugar a los valores límites de la masa 3Este teorema se trata al estudiar las simetrías en Física de Partículas.

Ffsica Nuclear

236

del Ve Yen donde aparece con claridad el efecto de la resolución experimental cerca del end point.

Bergkvist (1972)

Tretyakov .t ./. (1976)

100 eV

1----01

"'v:40 eV

O

50

IIIys O

475

100

Ep_

Unidades arbitrarias

(B)

(A)

Figura 6.6 - Medidas de la masa del neutrón por el plot de Kurie. Se observa el efecto de la resolución experimental cerca del end-point. (A) Experimento de Tretyakov. (B) Resultados experimentales de Bergkvist. Las medidas actuales arrojan límites superiores

»», < 7 eV mv" < 0,27 MeV m

VT

< 31 MeV

Si mv > O existen importantes consecuencias físicas, que son de plena actualidad y que todavía no han podido ser establecidas: • Podrían haber oscilaciones de neutrinos (ve --t VIJ.' VIJ. --t vr). Esta es una de las posibles explicaciones a la reducción de un factor 3 del flujo de Ve solares; el conocido déficit del flujo de neutrinos solares.


237

• Podría explicarse la masa oscura del universo (basta con que m; 5 eV). Según la teoría del Big-Bang deben existir 108 v/m3, con lo que se puede "cerrar" el universo. rv

rv

En relación con el problema de la materia oscura del Universo, en nuestra galaxia, la propia distribución de masa visible y su movimiento circular determinan que en la cercanía del Sol, la densidad de masa oscura (dark matter) es pDM ~ 0,3 GeVcm-3. Sea cual sea su naturaleza debe comportarse como un gas sin colisiones, con una distribución maxwelliana de velocidades (v) ~v 300 km-s:". No se conoce la identidad de la materia oscura; hay candidatos (no de tipo bariónico) que se denominan WIMPs (Weak Interacting Massive Particles) y se clasifican en dos grupos: rv

rv

• Materia oscura caliente. Representada por v masivos (de 1 - 10 eV). • Materia oscura fría. Los candidatos podrían ser los neutralinos (fotinos, higgsinos, binos) de las teorías de supersimetría (con masas entre 20 - 350 GeV) y el axión (10-5 - 10-3 eV) que aparece para eliminar propiedades no deseables de CP fuerte en la teoría QC D. En el caso de transiciones prohibidas, hay que incluir también un factor de forma, S (Pe, Pv), función de los momentos de los leptones. Por ejemplo en el caso del 91 Y(1/2-) -t 91 Zr(5/2+), transición 1°-prohibida, el factor de forma se escribe S = p~ + p~.

6.4

** Periodo

comparativo y transiciones pro-

hibidas La probabilidad de desintegración por unidad de tiempo A, que da la vida media del proceso {3se obtiene al integrar: (6.25) en donde (6.26)

Ffsica Nuclear

238

Tomando mv = O y dado que IHíil es constante e independiente de Te (sobre todo para las transiciones permitidas), se puede escribir:

(6.27) que es una función adimensional llamada integral de Fermi, y que se calcula numéricamente (excepto para Z = 1). El valor de la integral de Fermi puede verse en la figura 6.7 para transiciones y f3+ Y para núcleos hijo con número atómico

e:

Z'. 6 fo'!b

S

-...

4

Ñ

~

..sea

~

~ B- /

3 2 1 O -1

-2 -3 -4

·5

r::-

/. Z'=

»:

~

'/4-

~

~

~

V

.>:~ 'P ¡f

~

/~

~/

~ ~

~

V/W

~

-> ->

,/ ,/'

/'~

bY" ~

V ,/

~

~

W V llln

/

-6

0.1

0.2

0.4

1 max

Te

2

4

8 10

(en MeV)

Figura

6.7 - Valores de la integral de Fermi definida por la ecuación (6.27). El número atómico Z' es el del núcleo hijo y las curvas para Z' positivo se refieren a transiciones f3-, mientras que las curvas de Z' negativo se refieren a transiciones f3+.

1

Tomando en el hamiltoniano de la ecuación (6.25) sólo el término de Fermi, 2 1 = G~ 1 Mti 12, en donde 1 Mti 1 es el elemento de matriz nuclear, y suponiendo

Híi


239

F (la función de Fermi) constante e igual a 1 y aproximando muy burdamente

Te > > mec2, se obtiene la regla de Sargent": GtlMI2T8 >. = 27r3,-,7 c3 30

(6.28)

que da la dependencia de >. según la potencia 5 del valor máximo de la energía del e", Fue una regla muy bien verificada experimentalmente, sobre todo en las transiciones permitidas y superpermitidas, que fue utilizada inicialmente para determinar Gv. Se define el periodo comparativo'':

y es la cantidad" más representativa para el estudio de la desintegración (3 nuclear ya que es inversamente proporcional al elemento de matriz nuclear IHíi12, único término del que depende. El valor experimental del producto ft va de 103 a 1020 s y suele utilizarse para clasificar las desintegraciones (3 nucleares en permitidas y prohibidas. De hecho se suele tomar el lag ft, con lo que en el caso de las transiciones superpermitidas (0+ -+ 0+) toma valores lag It= 3-4. Para calcular el proceso de captura electrónica habrá que tener en cuenta: • Sólo se emite una partícula en el estado final (el ve), es decir que la densidad de estados finales es proporcional a p~ oc Q'bE. • El elemento de matriz es idéntico al de la desintegración (3. • Habrá que incluir la probabilidad encuentre en el núcleo (r '" O).

IIJ! K(OW de que un e- de la capa K se

Con lo que

>'CE = G~IMfiI21IJ!K(0)12Q~E y al sustituir el valor de 1 IJ!K (O) 12 queda finalmente 4B.W. Sargent; Proc. of the Royal Society, London 139 (1933) 659-672. 5Denotamos a fT1/2 = ft, resultando más cómodo a la hora de escribir. 6EI valor numérico de In 2/k1 = 1,23 X 10-120 J2 m6 s.

(6.29)

Ffsica Nuclear

240

G~

ACE = 21f3IM¡i

1221fme

c!t4

(Z) ao

3

2

QCE

(

6.30

)

siendo ao el radio de Bohr (ao = 0,529 Á). Si se compara ACE con Af3 se observa que la captura electrónica domina a gran Z, pero que Af3 domina a energía elevada. Las capturas de electrones de la capa K son mucho más probables que las capturas de electrones de otras capas más alejadas. En todo caso, la captura electrónica se detecta gracias a la presencia de un rayo X resultante de llenar el vacío que dejó el electrón capturado en el núcleo hijo.

6.4.1

Tipos de transiciones y reglas de selección en la desintegración beta nuclear

Como siempre, las reglas de selección permiten conocer la relación entre el espín y la paridad. En el caso de la desintegración f3 se trata de conocer los valores del espín y paridad de los estados nucleares inicial y final. La ley de conservación del momento angular obliga a tener en cuenta tanto los núcleos como los leptones participantes. Sin embargo, una de las propiedades más sorprendentes de la interacción débil es que la paridad no se conserva. La paridad no es un buen número cuántico para los leptones. Por ello, sólo tendrá sentido estudiar la relación entre paridades de los núcleos. Recuérdese que el hamiltoniano se puede escribir: IHfil2

=

L 1UIOl,m(f3)li)

12

(6.31)

mM/

El orden de la transición viene dado por el momento angular orbital é, o sea el rango del operador Olm(f3) que interviene en el elemento de matriz nuclear

IHíJ Ya se ha visto que el valor de f del hamiltoniano clasifica las desintegraciones f3 en: permitidas y prohibidas según que f = O ó f =f. O. Ahora bien, para cada tipo de transición deberán tenerse en cuenta las siguientes reglas: 1. La diferencia entre los espines de los estados nucleares: 6.J = IJ¡ - Jil, coincidirá con el momento angular total que poseen los leptones: 6.J = Se + SI/ + .e.


241

2. La relación entre las paridades de los núcleos P, = p¡b.P, en donde b.P = (_l)i, viene definida por el momento angular orbital f. Por lo tanto, para cada orden (o para cada valor de f) se tendrá: • Transiciones I Fermi l· Se cumplirá b.J = f ya que Se + Sy= O; los elementos de matriz serán los que den cuenta del cambio de carga p +---+ n (cambio de la tercera componente del isospín);

(6.32) A

en donde T'f- =

L T'f-(j) , es el isospín nuclear

y T3 representa la componente

j=l

z (o tercera componente) del isospín nuclear. En la expresión anterior (6.32), las deltas de Kronecker contienen explicitamente las reglas de selección de las transiciones Fermi. • Transiciones I Gamow-Teller l· En este caso se tendrá b.J = f+1 puesto que se+Sy= 1. También podrá existir cambio de isospín además del cambio de la tercera componente. Los elementos de matriz serán (6.33) calculables una vez conocidos los estados li) , If). Los cálculos de los elementos UIO"(j) li) pueden realizarse utilizando las componentes esféricas (las matrices de Pauli son tensores esféricos de rango 1) de la matriz 0", relacionadas con las componentes x, y, z: O"±l =

1

=r= J2

(O"x

. ± 1,O"y)

y

0"0

=

a¿

(6.34

)

Habrá transiciones permitidas y transiciones prohibidas en cada uno de los tipos de transiciones beta nucleares estudiadas, Fermi o Gamow-Teller, como se describe a continuación.

242

Ffsica Nuclear

N 60

IIIII! Superper ••• itidas D Perllitidaa

50

a::I !'eroero-prohibidas

prl.aro-prohibidas segundo-prohibidas

cuarto-prohibidas AO

30

20

Figura 6.8 - Distribución de valores observados del lag [t, Transiciones permitidas

(l = O)

Se clasifican en dos tipos. Corresponden a los dos términos del Hamiltoniano:

---+

a) Fermí

s

e

+ ---+ S v

.

1

smg ete,

= O, sr = O, pero f),J

{

If),T3 I = 1,

t; + T¡ # O,

Pi = P ¡ no hay cambio de Paridad entre los núcleos Se llaman transiciones superpermitidas, a las transiciones Fermi puras tipo 0+ -t 0+. Con ellas se puede determinar la constante de acoplamiento de Fermi Gv. En efecto, el elemento de matriz de la transición vale Híi = GvV2 con lo que


243

ln2 jt

= k12G~

(6.35)

Ejemplos de medidas experimentales realizadas con desintegraciones (3 entre núcleos con espín-paridad" 0+, son los siguientes Desintegración lOC -t1O B 140 -t14 N 26Al-t26

Mg

54CO -t54

Fe

jt(s) 3100 ± 31 3092 ±4 3081 ± 4 3091 ± 5

Se obtiene así para la constante de Fermi, Gv = 0,88 X 10-4 MeV fm", que, al eliminar las dimensiones, tomando la masa del protón como unidad (Gv(mpdl)2/(nc)3), queda Gv ~ 1,0

X

10-5

directamente comparable a as ~ 1; a = 1/137 Y GN = 10-39. Ya se verá en su momento (en el estudio de las interacciones débiles entre partículas), que al comparar con otros procesos entre partículas, la constante universal de Fermi, G F, está relacionada con Gv por la expresión Gv = G F cos Be, en donde aparece el ángulo de Cabibbo. Un proceso en el que interviene GF es la desintegración leptónica del ¡.t±, por ejemplo en u: -t e-v¡.¡,ve, puesto que GF es la constante de acoplo universal Wiv. Sin embargo, los procesos de desintegración de hadrones (y núcleos) se explican a través del cambio de sabor de quarks o sea, en el caso del quark u, a través de los acoplos Wud, Wus y Wub que valen respectivamente 0,975, 0,222 y 0,004 y el ángulo de Cabibbo, cos Be = 0,975. Esta propiedad de ausencia de mezcla de generaciones leptónicas, contraria a la posibilidad de mezcla entre generaciones de quarks, tiene consecuencias observables muy importantes; entre ellas, la no existencia de hipernúcleos estables, es decir, núcleos en los que algún nucleón es reemplazado por un hiperón. Estos hipernúcleos se han observado, pero con vidas medias igual a las de los hiperones (AO, por ejemplo}". 7En algunos casos las transiciones que aparecen en la tabla no tienen lugar entre los niveles fundamentales de los núcleos. 8Estos conceptos se describen con más detalle cuando se estudian las interacciones débiles en Física de Partículas.

Fisice Nuclear

244

st e + st

b) Gamow- Teller

~J =

~T

11

triplete,

O, ±1

(O -+t O)

= O,1 pero T¡ + T¡ =1 O,

I~T31 = 1, r. = r¡ no hay cambio de Paridad entre los núcleos Una transición pura Garnow- Teller, permitida, es 6 He ---t 6 Li + e- + Ve, que es de tipo 0+ ---t 1+. En el caso más general en el que se den transiciones mezcla de Fermi y Garnow- Teller, el elemento de matriz nuclear ya se ha visto que vale:

IHíil2 = G~ { (F)2

+ 9~ (GT)2}

(6.36)

Aplicado a la desintegración del neutrón (1/2+ ---t 1/2+), que es un caso en el que existe mezcla de transición Fermi (( F) 2 = 1) y Garnow- Teller

((GT)

1 (xm¡ 1 o p 1 Xmi) 12= 3)

permite determinar 9A· La figura 6.4 permite entender este proceso y el significado de los dos términos. Así pues, en este caso se tiene, 2

= ¿pm¡

In2 ft = kl~

{(F)2

+ 9~ (GT)2}

(6.37)

con In 2/ k1G~ = 6141,2 ± 3,2 s. Para el neutrón, T1/2 = 615, O ± 1,5 s. con ello y tomando el valor de la función integral l, se llega a ft = 1063 ± 21 s, con lo que 19AI = 1,26, y por otras medidas se encuentra signo negativo. La mejor determinación actual de la constante 9A toma el valor, 9A = -1,259

± 0,004

Es por ello por lo que se denomina teoría V - A. Transiciones prohibidas

(f =1 O)

En este caso los operadores O transportarán momento angular orbital f =1 O. Las probabilidades de transición .A serán muy pequeñas ya que con f > O habrá barreras de momento angular que inhibirán la emisión de los leptones. De nuevo habrá dos términos:


beta

245

• Fermi: conteniendo productos rYl,m(B, espines nucleares que cumplen t1J = f.

4» que inducen cambios en los

• Gamow-Teller: que contienen ¡a x rYl,m(B,4»]>.,J.' e inducen cambios en los espines nucleares que cumplen t1J = ± l.

e

Si entre momentos angulares, por ejemplo, se cumple t1J esto implica que lJi - J¡I ~

e~

=

e, entonces

i. + J¡

(6.38)

La Paridad de los estados nucleares deberá cumplir t1P = (-l)l, siendo

e el rango del armónico Yl,m ((1, 4». Las reglas de selección serán consecuencia del valor de e, combinando con singlete de espín para transiciones F y triplete

de espín para las de GT. Si bien, según la relación (6.38) existen una serie de valores del momento angular orbital permitidos, s610 serán importantes aquellos que sean más probables, que son los de menor y se cumplirán las reglas de conservación de la manera que sigue:

e

e,

Primero-prohibidas

(e = 1)

Fermi, It1JI = 0,1 Gamow-Teller, It1JI = 0,1,2

Segundo-prohibidas

(e

Fermi, It1JI = 2 Gamow-Teller, It1JI

Tercero-prohibidas

(e = 3)

=

2)

= 2,3

Fermi, I.6.JI = 3 Gamow-Teller, It1JI = 3,4

En las segundo-prohibidas (tercero-prohibidas) Gamow-Teller no cabe considerar el caso It1JI = 1(2), ya que entonces sería una transición permitida (primero-prohibida).

Ffsica Nuclear

246

Incluso se conoce un caso de 4° prohibidas (lboJI = 4,5), 115In(9/2+) --t 115Sn(1/2+), que cumple Pi = P¡ y cuya transición tiene lugar entre núcleos con IboJI = 4. Para esta desintegración, el valor log ft= 22,7 y, aunque parezca increíble, T1/2 = 6 X 1014 años. Los valores del periodo comparativo log ft, se corresponden bastante bien al nivel de prohibición de las transiciones f3 nucleares dando lugar a una clasificación de acuerdo con la siguiente tabla: Tipo super-permitidas permitidas 1°-prohibidas 2°-prohibidas 3°-prohibidas

6.5

logft 2,9-3,7 4,4-6,0 6-10 10-13 >15

Experimento de Reines y Cowan

En 1995 se concedió el premio Nobel de Física a F. Reines y a M. Perl. Al primero, por la primera evidencia experimental del Ve a través de la detección de las interacciones de antineutrinos procedentes de un reactor nuclear", sobre un blanco de CdCl2 yagua; al segundo por el descubrimiento de otro leptón!", el 7±, leptón que fue detectado gracias a la aniquilación e+e- --t 7+7- estudiada en el colisionador SPEAR del laboratorio SLAC en Stanford (EEUU). Su masa es m; = 1777 MeV/ c2, por lo tanto es el más masivo de los leptones cargados. Tiene una vida media 7 r = 0,295 X 10-12 s. Para realizar el experimento, Reines y Cowan (1959) partieron de un flujo incidente de Ve procedentes de un reactor nuclear (véase figura 6.9). Como se emiten, en promedio, unos 6ve por fisión, en un reactor de 1000 MW que es el que utilizaron (como el de Cofrentes), el flujo útil de Ve era del orden de 1013 cm-2 S-l. La probabilidad de interacción de los neutrinos (o antineutrinos) es extremadamente pequeña; considérese la reacción (6.39) 9F. Reines, C.L. Cowan; Phys. Rev. 113 (1959) 273-279. Perl et al.; Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 1489.

10M.


247

que puede tener lugar porque se conserva el número leptónico electrónico Le, definido para el e y el neutrino (Le = -1 en este caso, en ambos lados de la reacción). La sección eficaz será a = A/ q;i siendo q;i el flujo incidente de neutrinos (proporcional a la velocidad de los neutrinos en el cdm, Vi=C) , o sea: a=

probo de reacción/átomo flujo de v

27r 1 Ii V2

IH'

1247r!-j2Vdp

fi

c/V

h dE

=

1

2 --IH"1 2 4

7rc n

ft

2

P

(6.40)

es decir, a = G~ ((F)2 7rc2n4 ya que (F)2 = 1, g~ (GT)2 del e+ .

.. > haz

~. '.

reactor

(GT)2) p2 ~ 4G~p2

7rc2n4

A

(6.41)

'" 3 Y P representa el momento en el cdm del n ó

.......•.........................

·d~·V:··· del

+l

.

•

.•

Centelleador liquido

y

y

.>

. CdCI2+ agua

Figura 6.9 - Esquema del experimento de Reines y Cowan que detectó antineutrinos procedentes de un reactor nuclear. Se tiene así que para neutrinos de energías del orden de 1 MeV, la sección eficaz vale a ~ 10-43 cnr', o sea tienen un recorrido libre medio en el agua

Ffsica Nuclear

248

rv 100 años luz! de recorrido (en un medio con densidad igual a la del agua, o sea, el 10% del diámetro de nuestra galaxia, la Vía Láctea!). La detección del neutrino a partir de la reacción (6.39) quedó probada al detectar varias reacciones mediante la presencia de 2 pulsos separados entre sí de varios microsegundos. Los pulsos electrónicos corresponden a la interacción de los fotones procedentes de la aniquilación del positrón (rv 10-9 s), fenómeno casi instantáneo, seguidos de un pulso debido al fotón de la desexcitación del Cd*, producido por captura neutrónica (proceso que tiene lugar tras el tiempo necesario de termalización de los neutrones en el agua), es decir unos 10 microsegundos después. En ambos casos los fotones eran detectados a través del efecto Compton o del efecto fotoeléctrico en el centelleador. (f) = 1020 cm

S+

60 27Co (5.27 a.)

+

::........•.•. .;;;.3-.,...

.

---=26=26

4+¡

2506 2159

99.88

1333

o N·

6O

281

Figura 6.10 - Desintegración beta del

6.6

6OCO.

Violación de la Paridad en la desintegración beta

La violación de la Paridad en la desintegración beta (T.D. Lee y C.N. Yang!", 1956) fue puesta en evidencia tras la observación de que la partícula K+(.fP = 0-) podía desintegrarse a dos estados finales de distinta paridad (el llT.D. Lee, C.N. Yang; Phys. Rev. 104 (1956) 254.


249

estado 7[+ 7[0, con paridad P = + 1ó el estado Es lo que se denominó el puzzle ()- T.

7[+7[+7[-,

con paridad P

= -1).

El estudio de la distribución angular de los electrones emitidos por el cobalto (figura 6.10) polarizado a baja temperatura, confirmó experimentalmente que la Paridad no se conserva en los procesos débiles. Se observó una asimetría respecto al espín del Co en la emisión de los electrones (70% de los e- son emitidos en la dirección opuesta a la del espín del 60Co). Este experimento fue realizado por Mme. Wu 12 y colaboradores.

6.7

Desintegración doble-beta

La desintegración doble-beta,

A(Z, N)

---t

A(Z

+ 2, N

- 2)

+ 2e- + 2ve

(6.42)

es un efecto de segundo orden, cuyo interés es profundizar en la naturaleza del neutrino (Majorana, lo que implica 1/ = 17 o Dirac, que supone 1/ # 17). Por el experimento de R. Davis (1955) en reactores, sabemos que el neutrino real, es distinto del antineutrino. En efecto, no se encontró ningún núcleo de 37 Ar radiactivo procedente de la reacción Ve Cl -+t e- +~~Ar. Ello es consistente con la conservación del número leptónico: la reacción Ve + n no puede tener lugar. Pero en la reacción doble-beta, se podría tratar de neutrinos virtuales, que podrían aniquilarse en el caso de ser tipo Majorana. Entonces el doble-beta sin neutrinos sería más rápido que los procesos con neutrinos en el estado final, por cuestiones de espacio fásico.

+~+

Hay dos tipos de medidas que se llevan a cabo en el estudio de las desintegraciones doble beta.

12C.S. Wu et al., Phys. Rev. 105 (1957) 1413.

Ffsica Nuclear

250

- 0.9 MeV 3.0 MeV

~¡Xr Figura 6.11 - Desintegración doble beta del 82SC -t 82 Kr. A través de una ampliación de la zona del mínimo de la parábola de masas A = 82, se muestra la imposibilidad de desintegración del 82Se al 82 Br ya que Q < O. a) Por espectroscopia de masas, contando el número de átomos del núcleo padre e hijo. Por ejemplo, en rocas de Te se encuentran núcleos de X e. La medida de T1/2(Te) se obtiene al comparar los números de átomos de cada tipo: NXe = NTe(l - e->'t) ~ NTe-t In 2 T 1/2 Así se han determinado beta:

por ejemplo los siguientes periodos de doble 128 X

e (3,5

± 1, O)

82Kr (1,7±0,3)

x 1024 años x 1020 años

b)Método directo. Si efectivamente el neutrino y el antineutrino son la misma partícula (ve == ve), entonces puede tener lugar la desintegración doble beta sin neutrinos en el estado final: X -t X" + 2e-. Aparecería un pico correspondiente a la energía de los dos e-, por ejemplo en el 76Ge -t 76 Se el pico estaría situado a una energía E(2e-) = 2,04 MeY. El experimento en el observatorio del Mont-Blanc ha medido la desintegración con neutrinos y ha obtenido T1/2 = 5 X 1021 años. Otros experimentos (uno de ellos español, en el túnel de Canfranc, en los Pirineos aragoneses), están en funcionamiento actualmente. No se tiene evidencia experimental concluyente de la existencia de desintegraciones doble beta sin neutrinos.


251

Glosario de términos clave Desintegración f3 - (página 223) Desintegración radiactiva con emisión de partículas f3. Si se emite un electrón se denomina f3- y si se emite un positrón También se considera proceso beta la captura por el núcleo de un electrón de la corteza electrónica, proceso que se denomina Captura Electrónica, e.E ..

e':

Emisor beta - (página 227) Nucleido que se desintegra por un proceso beta. Se denomina beta puro si no presenta otro tipo de emisión radiactiva. Energía máxima - (página 223) Valor máximo de la energía cinética de los electrones o positrones emitidos en una desintegración beta. Espectro beta - (página 234) Para un radionucleido determinado es el espectro energético de los electrones o positrones emitidos. Es un espectro continuo que va desde la energía cero hasta un valor máximo característico de cada emisor. Inieraccioa débil - (página 223) Es la responsable de la desintegración f3 y otros procesos de desintegración en los que intervienen leptones y quarks. Ley de Sargent - (página 239) Ley empírica que relaciona ellogarítmo de la constante de desintegración del emisor beta con la energía máxima del espectro. Transiciones Fermi - (página 241) Desintegraciones beta en las que el sistema electrón-antineutrino (positrón-neutrino) es un sistema singlete de espín. Transiciones Gamow- Teller - (página 241) Desintegraciones beta en las que el sistema electrón-antineutrino (positrón-neutrino) es un sistema triplete de espín.

Ftsice Nuclear

252

Resumen • En este capítulo se estudia otro tipo de desintegración radiactiva, en la que el núcleo puede emitir espontáneamente un electrón o un positrón (fr o {3+ respectivamente). Existe un tercer tipo de desintegración beta, competitivo con la {3+, que es la Captura Electrónica (e.E.). • El estudio de este tipo de desintegración llevó al descubrimiento neutrino, y es un claro ejemplo de interacción débil.

del

• Para entender los resultados del balance de energía de la emisi6n {3-, donde aparentemente no se conservaba ni la energía ni el momento angular, se llegó al postulado de la existencia del neutrino. • Para la comprensión de la emisión beta se debe desarrollar una teoría que tiene que asumir los siguientes supuestos: - El electrón y el antineutrino (positrón-neutrino en el caso {3+) no existen en el núcleo antes del proceso de desintegración (creación/transformación de partículas). - El electrón y el antineutrino relativista.

tienen que ser tratados

de manera

- El resultado de los cálculos tiene que proporcionar un espectro de emisión contínuo de energía. • Basándose en los puntos anteriores se desarrolla la Teoría de Fermi de la desintegracción beta. • En los diagmmas un electrón entre de Fermi, son su teoría sirven para o prohibido.

de Kurie se relaciona la probabilidad de encontrar a p y p + dp, Y la energía. Están basados en la teoría verificación experimental y además de comprobar la obtener información sobre si el proceso es permitido

• La clasificación de los emisores beta según su probabilidad de transición establece la diferencia entre transiciones permitidas (f = O) o prohibidas (f =1 O), Y la relación con las reglas de selección (espín-paridad) de los procesos. La denominación prohibidas indica que dichas transiciones son mucho menos probables que las permitidas (y por tanto con vida media más larga).


253

• Otra característica esencial de este tipo de desintegraciones es la violación de la conservación de la paridad, pues en la desintegración f3, como en todas las interacciones débiles, esta propiedad no tiene caracter conservativo. • Del estudio de las emisiones doble-beta se pueden sacar conclusiones sobre la naturaleza de los neutrinos y los antineutrinos. La no existencia de doble beta sin neutrinos confirma que /1 # D.

254

Ffsica Nuclear

Ejercicios de auto comprobación 1. Un neutrón libre ¿es radiactivo? ¿Por qué? En caso afirmativo ¿Mediante cuál proceso se desintegra? ¿Y un protón libre? 2. ¿En qué consiste un diagrama de Kurie? ¿Sobre qué nos informa? 3. El

nK decae al ~Ca emitiendo

un electrón. Determine:

(a) Si es posible. (b) El espín y la paridad en ambos núcleos en el estado fundamental. (e) Determine si es una transición permitida y en grado de prohibición tiene. 4. El

37

Ar se desintegra por captura electrónica al

37

caso

contrario qué

Cl. Determine:

(a) La Q de la desintegración. (b) La energía de retroceso del 37Cl. 5. Teniendo en cuenta las reglas de selección, determine qué grado de prohibición presentan las siguientes desintegraciones beta

(a)

(b)

(c)


255

beta

Soluciones a los ejercicios 1. El neutrón libre en

de desintegrarse lo hará según

caso

n~

p+ (3- +ve

Calculando la Q Qn = (mn-mp-me)c2=(mn-mH)C2= (1,008665 - 1, 007825)c2 = 8,4

X

10-4 x 931,49

= 0,78 MeV > O

Como Q es positiva, este tipo de desintegración puede tener lugar. En el

caso

del protón sería p ~

n + (3+ + Ve

y Qp

=

(mp - mn - me) c2

=

(1,007277 - 1, 008665)c2 - 0,511

Por lo que el protón no puede desintegrarse espontáneamente. 2. Un diagrama de Kurie está basado en la teoría de de Fermi de la desintegración beta y representa la relación entre P (número de desintegraciones medias por intervalo de momento del electrón) y la energía del electrón emitido, en relación con la función de Fermi. Sirve para determinar el punto "end point" en la desintegración beta, correspondiente a la energía máxima de la desintegración. La gráfica será lineal para transiciones permitidas, lo que prueba la teoría de Fermi. En las transiciones prohibidas no es una recta, pero puede ajustarse con un factor de forma s. 3.

(a) Aplicando (6.2) Q

=

(M(44K)-M(44Ca))c2=

=

(43,961560 - 43, 955481) c2 = 5,66 MeV

Sí es posible, ya que Q

> O.

>O

256

Fisice Nuclear (b) Z = 19. . N = 25 Impar-Impar

44K { 19

El protón desapareado está en SI/2 (l = 0, j = 1/2). El neutrón está en d3/2 (l = 2, j = 3/2).

I~~I I~-~I

J = 22--22 + > J' >

= 0, luego

Según la regla de Nordheim, N 44 20Ca

{Z N == 2024

====* J = 2' 1

par-par ====*

J"

= 2+.

Jlr =

0+

(c) Como b.J:/:- O, no está permitida. b.J = 2 { b.P = + ====* Segundo prohibida 4.

(a) Según la expresión (6.4)

Q = (M(37Ar)-Me7Cl»)c2= = (36,966776 - 36,965903) c2 =

= 0,81 MeV (b) Por conservación del momento, suponiendo Ar en reposo

P;

= PCI

Se sabe que p2 = T2+2Tm Considerando la masa del neutrino igual a cero T~l

+ 2TclmCl

= T;

Además Q = T; + TCI T~l TCI

=

+ 2Tc1mCl

2 (m~2+ Q)

====* T; = Q - TCI

= Q2

= 8,67

X

+ T~l

- 2QTcl

10-3 MeV

= 8,67

MeV

257

Teotte de la desintegración bete 5.

(a) f=2 62CO

(2+)

---t

62 Ni

(0+)

P.t::.J_ =p2 {

• -

f

Segundo prohibida de Fermi

(b) f=2 88 K

r (0+) -----+

88 Rb

(2-)

t::.J {

(e)

=

2

~=-Pf

Primero prohibida Gamow- Teller

Fisica de Radiaciones

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