´ Tarea 3 - Atomo de Hidr´ ogeno ogeno F´ ısic ısica a de Radia Rad iaci cione ones s Jorge Jor ge E. Garc Gar c´ıa ıa Farieta ari eta,, Jos´e Ignaci Ign acioo Ordo˜ Ord o˜nez nez Universidad Nacional de Colombia Depart Dep artame amento nto de F´ısica ısi ca 12 de marzo de 2013 TEXTO: F´ F´ısica Moderna, Mo derna, R. Serway Ser way,, C. Moses y C. Moyer, Ed. Thompson, 3a 3 a ed. PREGUNTAS: 1, 3, 4, PROBLEMAS: 13, 16, 18, 19, 24, 29, 30
Preguntas Preg. 1: ¿Por qu´e son necesarios tres n´ umeros umeros cu´ anticos para describir el estado de un atomo anticos a´tomo con un electr´ on? on? ´atomo de hidr´ ogeno es un sistema de tres dimensiones (espaciales) se ogeno RTA. Dado que que el atomo requieren tres n´ umeros umeros cu´ anticos para describir una funci´ anticos o n de onda y con ello el estado de on un atomo a´tomo de un electr´ on. on. Estos n´ umeros umeros cu´ anticos anticos (n, l , ml ) surgen matem´ aticamente aticamente a partir de las condiciones de contorno sobre la funci´ on de onda, expresada como un producto de una on funci´on o n radial que depende de r, y una funci´on o n angular que depende de θ y ϕ. El n´umero umero cu´antico antico principal n denota los valores propios de la parte radial del Hamiltoniano, dando cuenta de la cuantizaci´ on on de la energ´ energ´ıa. Los n´ umeros umeros cu´ anticos anticos l y ml denotan los valores 2 propios de L y Lz (el momento angular al cuadrado y la componente z del del mismo). Preg. 3: Como puede saberse si un electr´ on on 2 p de un ´atomo atomo tiene ml = 0, +1, 1 ¿Que valor de ml caracteriza a un orbital dirigido como [ψ2 p ]x en la ecuaci´on on 8.50? on o n en la subcapa 2 p (n = 2, l = 1) se puede identificar en uno de los valores RTA. Un electr´ de ml mediante la representaci´ on o n de la distribuci´ on de probabilidad ψnlml 2 , pues con ello se caracteriza la orientaci´ on espacial del orbital como se puede la observar en la Fig. 1. Esto es on consistente consi stente dado que ´el el n´ umero umero cu´ antic ant icoo magn´ ma gn´etic et icoo ml asociado a la componente z del del momento angular orbital, determina la orientaci´ on de los orbitales dentro de una subcapa (s, p, d, etc), no on 1 afectando el valor de la energ ene rg´´ıa. En tanto a la ecuaci´ ec uaci´ on 8.50: [ψ2 p ]x = √ ψ211 + ψ21−1 , el valor 2 de m l que caracteriza al orbital [ψ2 p ]x est´a dado por una combinaci´ on lineal de las funciones de on ondas asociadas a m l = +1 y m l = 1 como se ratifica en la Fig. 1 y en la respectiva ecuaci´ on. on.
−
|
|
{
−
1
}
Figura 1: Distribuciones de probabilidad (configuraciones orbitales) para atomos ´ de hidrogenoides Preg. 4:Para estados at´ omicos omicos s, la densidad de probabilidad Ψ 2 es mayor en el origen, aunque la probabilidad de encontrar el electr´ o n a una distancia r del n´ on ucleo, ucleo, dada por P (r), se hace cero con r. Explique su respuesta.
| |
RTA
En general la densidad de probabilidad, que da informaci´ on sobre el volumen que encierra la on zona en la cual es mas probable encontrar el electr´ on on viene dada por: 2
|Ψ| = |R
n,l (r)Y l
ml
(θφ) 2
(1)
|
para el caso de los estados at´ omicos s, la parte angular correspondiente el arm´ omicos onic on icoo esf´ e sf´eric er icoo Y 00 tiene simetr´ simetr´ıa esf´erica, erica, debido a que no hay dependencia dep endencia de las coordenadas coordenad as angulares θ y φ, como podemos ver a continuaci´ on: on: Y 00 =
1 √ 2 π
(2)
de tal manera, que la forma del orbital tendr´ a unicamente u ´nicamente una dependencia radial, dependiendo en el caso de los estados at´ omicos s, de las funciones radiales R n,0 omicos n,0 (r ), que viene dada en general por: Rn,l (r ) = N nl nl
l
2r
na0
− r e na Ln2l++1 l 0
2r
na0
(3)
donde L n2l++1 on; on; para nl es el factor de normalizaci´ l son los polinomios asociados de Laguerre y N nl los primeros casos, la funci´on on radial viene dada por:
2
Rn l(r )
Designaci´ on on
1s
Z a0 3/2
2
1 √ 2 2
2s 1 √ 9 3
3s
3/2
− − Z a0
Z a0
3/2
− naZr
e
0
6 2naZr +
6
− naZr
2Zr na0
2
0
e
2Zr na0
0
2
− naZr
e
0
De donde se puede observar que cuando r 0 siempre siempr e sobrevive un t´ermino ermino exponencial que depende de r, el cual producir´ a un mayor valor en ese caso.
→
Por otro lado la funci´ on on de distribuci´on on de probabilidad radial P (r), nos proporciona la densidad de probabilidad probabilidad de encontrar el electr´ on en un cascar´ on on esf´ e sf´erico erico de grosor gr osor dr a una distan d istancia cia 2 r del n´ ucleo, al integrar la densidad de probabilidad Ψnlm (r,θ,φ) para todos los angulos ucleo, a´ngulos de la siguiente manera:
|
P (r )dr = P (r )dr P (r )dr
=
|
2π π Ψ (r,θ,φ)Ψnlm (r,θ,φ)r2 sin θdθdφ φ=0 θ=0 nlm 2π π 2 Φ( φ ) dφ Θ(θ) 2 sin θdθ R(r) 2 r2 dr φ=0 θ=0 2 2
|
∗
|
|
| = r |R(r)| dr
|
|
(4)
De tal manera que la funci´ on on de distribuci´ on on radial es P (r) = r2 R(r) 2, de donde podemos observar que va a haber ha ber un t´ermino ermino dominante, corresp ondiente a r2 , que para cuando r 0, la funci´ on on de distribuci´on on radial tambi´ en en tiende a cero.
|
|
→
Por tal motivo para estados at´ omicos s, a pesar de que la densidad de probabilidad φ 2 es omicos mayor en el origen, la probabilidad de encontrar el electr´ on a una distancia r del n´ on ucleo, ucleo, dada por P (r), se hace cero con r 0
| |
→
Problemas Prob. 13: Determine los n´ umeros umeros cu´ anticos anticos l y m l para el ion H e+ en el estado correspondiente a n=3. n =3. b) Cual es e s la energ´ energ´ıa de este estado. e stado. RTA
El n´ umero umero cu´ antico orbital viene dado por l = 0, 1,..,n 1 y el n´ antico umero umero cu´ antico anti co magn´ mag n´etico eti co ml = 0, ..., ..., l, de tal manera que para este caso con n = 3 tenemos que:
−
±
l = 0
;
l = 1 l = 2
ml = 0
;
ml = 0,
;
ml
−1, 1 = 0, −1, 1, −2, 2
(5)
Para el ion H e+ z=2, de tal modo mo do que la energ en erg´´ıa del atomo a´tomo vendr´ a dada por E n = E n =
−
ke2 2a0
Z 2 n2
−13,6 49 eV = −6,04eV 3
(6)
La energ´ ene rg´ıa ıa del i´ on on ser´ a de -6.04eV Prob. 16:16. Calcule los valores posibles de la componente z del momento angular para un electron en una subcapa d. RTA
La componente z del momento angular viene dado por la relaci´ on: on: Lz = ml
(7)
por lo tanto necesitamos los valores del n´ umero umero cu´ antic ant icoo magn´ ma gn´etic et icoo m l el cual esta determinado por el n´ umero umero cu´ antico antico orbital l como ml = 0, ..., ..., l
±
Teniendo en cuenta que las subcapas se relacionan con el numero cuantico orbital l de la siguiente manera: l Subcapa
0 1 2 3 4
s p d f g
podemos observar que l = 2 para la subcapa d y por lo tanto, los valores posibles del n´ umero cu´antico antico magn´etico etico son: ml = 2, 1, 0, 1, 2, de tal manera que, los valores posibles de la componente z del momento angular para un electr´ on en una subcapa ser´ a: a:
− − ml
Lz = ml
-2 -1 0 1 2
−13, 16 × 10− eV · · s −6,58 × 10− eV · · s 0eV · · s − 6,58 × 10 eV · · s 13,16 × 10− eV · · s
16
16
16
16
Prob. 18:Un atomo de hidr´ ogeno ogeno est´ a en el estado 6g. RTA
a)Cual es el n´ umero umero cu´ antico antico principal? De acuerdo a la notaci´ on on espectrosc´ opica utilizada para indicar los valores de los estados coropica respondientes al n´ umero umero cu´ antico antico principal n y el n´ umero umero cu´ antico antico orbital l, el primer valor corresponde al n´ umero umero cu´ antico principal, que en este caso corresponder´ antico a a n = 6. b)Cual b)Cua l es e s la energ´ıa ıa del atomo? a´tomo? La energ´ ene rg´ıa ıa del atomo a´tomo vendr´ a dada por E n E n =
=
−
−13,6
ke2 2a0
1 eV 36
4
Z 2 n2
=
−0,38eV
(8)
La energ´ ene rg´ıa ıa del atomo a´tomo sera de -0.38eV c)Cuales son los valores para el n´ umero umero cu´ antico orbital y la magnitud del momento angular antico orbital del electr´ on? on? El n´ umero umero cu´ antico orbital viene dado por l = 0, 1,...,n 1 y la magnitud del momento antico = (l(l + 1)), de tal modo que, sus valores angular orbital del electr´ on o n esta dada por L posibles para el numero cuantico principal n = 6 s´on on
| |
l
0 1 2 3 4 5
−
|L | 0 √ 2 √ 6 √ 12 √ 20 √ 30
Pero como el atomo se encuentra en el estado 6g, la subcapa g corresponde al n´ umero umero cu´ antico antico = 2 5 orbital l = 4 y la magnitud del momento angular orbital sera L
| |
√
d)Cuales son los valores posibles para el numero cu´ antico antico magn´etico? etico? Para cada vector, encuentre la componente z correspondiente del momento angular orbital del electr´ on y el ´angulo angulo que forma con el eje z el vector de momento angular orbital. Los valores del n´ umero umero cu´ antico antico magn´etico etico vienen dados por ml = 0, ..., ..., l, la componente z del momento angular orbital del electr´ on on esta dada por Lz = ml y el angulo que forma con el eje z el vector de momento angular orbital es: θ = arc cos cos |LL z| , de tal manera que estos valores son:
±
ml
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Lz
θ
−4 −3 −2 − 0
2 3 4
arccos 2−√ 45 = 153,43 arccos 2−√ 35 = 132,13 arccos 2−√ 25 = 116,56 arccos 2−√ 15 = 102,92 0 arc cos 2√ = 90 5 1 arc arc cos cos 2√ 5 = 77,08 2 arc arc cos cos 2√ = 63,43 5 3 arc arc cos cos 2√ = 47,87 5 4 arc arc cos cos 2√ = 26,56 5
Prob. Prob . 19:Demue 1 9:Demuestre stre que el n-´esimo esimo nivel de energ ener g´ıa de un atomo ´ posee una degeneraci´ on on igual 2 an RTA
La degeneraci´ on on hace referencia a los estados con una misma energ´ energ´ıa. Para cada nivel de energ´ erg´ıa n, el numero numero cuantico cuantico orbital puede tomar los siguientes siguientes valores l = 0, 1, 2,...,n 1
−
5
y para cada n´ umero umero cu´ antico orbital, se tiene los numeros cuanticos magneticos dados por antico ml = 0, 1, 2,... l , de tal manera que cada numero cuantico orbital tendra 2l + 1 estados, de tal manera que la cantidad cantidad de estados de igual energ´ energ´ıa para un n dado sera:
± ±
±
n 1
(2(0) + 1) + (2(1) (2(1) + 1) + (2(2) + 1) + ... + (2(n
− 2) + 1) + (2(n − 1) + 1) = 2
ahora, teniendo en cuenta que: n
i =
i(i + 1)
l=0
l+
1 (9)
i=0
(n 1)n 2
−
(11)
1 = n
(12)
l =
l=0
y con
−
(10)
n 1
−
n 1
2
i=0
por lo tanto
−
n 1
−
i=0
tenemos entonces que la suma de la serie es igual a: n 1
2
−
n 1
−
l=0
l +
1
=
1)n 2 (n 21)n
−
n2
= 2
+n
2
i=0
= n 2
− n + n = n
− n + n
2
(13)
queda demostrado por p or lo tanto que el n-esimo n-esimo nivel nivel de energ´ energ´ıa de un atomo ´ posee una degeneraci´on on igual a n2 . Prob. 24: Calcule las energ´ energ´ıas potencial y cin´etica etica medias para el electr´ on en el estado base del hidr´ogeno. ogeno. on on de la distancia f (r) se obtiene al ponderar el RTA. El valor intermedio de cualquier funci´ valor de la funci´ on a cada distancia con la probabilidad a dicha distancia: on
f =
∞
f (r )P (r )dr
0
siendo P (r) la densidad de probabilidad, y P (r)dr la probabilidad de encontrar el electr´ on on en cualquier parte de la capa esf´erica erica de radio r y “grosor” dr. El valor de P (r) se obtiene a partir de la intensidad de la onda de materia de la siguiente forma: P (r ) = r 2 R(r) 2
|
con Rnl (r) =
2 Z
naµ
3
|
(n l 1)! −Zr/naµ e 2n(n + l)!
− −
l
2Z r naµ
Ln2l−+1 l −1
2Z r naµ
La soluci´on on a la parte radial de la ecuaci´ on on de Schr¨ odinger odinger para atomos a´tomos de hidrogenoides. Se 2 2 tiene entonces que P (r)dr = ψ 4πr dr, y para el ´atomo atomo de hidr´ ogeno ogeno en estado base (n = 1, l = 0 ∴ 1s): 4 P 1s (r) = 3 r2 e−2r/a
| |
0
a0
6
Adem´as as U (r) = medio:
−
ke2 r
es la energ´ en erg´ıa ıa potenci po tencial al con Z = = 1 a partir de la cual se obtiene su valor
U
∞
=
U (r )P 1s (r )dr =
−
0
− 4ke a
=
− kea
=
2
a0
∞
3 0 2
2
2
=
0
4ke2 a30
∞
re−2r/a dr 0
0
ze −z dz siendo
= z =
0
2r a0
−2(13,6 eV ) = −27,2 eV
para encontrar K (el promedio prome dio de d e la energ ener g´ıa cin´ c in´etica) etica ) se debe deb e tener te ner en cuenta c uenta que K + U = E = 13,6 eV de donde K = 27,2 eV 13,6 eV = +13,6 eV
−
− −
Prob. 29: Como se demostr´ o en el ejemplo 8.9, la distancia media del electr´on o n al prot´ on o n en el estado base del hidrogeno es igual a 1.5 radios de Bohr. Para este caso, calcule ∆r, la incertidumbre en la distancia alrededor del valor medio, y comp´ arela con el promedio mismo. arela Comente la significancia de su resultado. RTA
Para encontrar ∆r, utilizamos su definici´on: on: ∆r = ( r2
1
2
− r )
(14)
2
primero calculamos r2 usando la densidad de probabilidad radial para el primer estado del hidrogeno:
P 1s (r) =
luego 2
r =
∞
4
− ar
r2 e 3 a0
4
2
r P 1s (r )dr =
a30
0
haciendo un cambio de variable, tomando z = = 4
2
r = a
3 0
2r , a0
∞
5
2
0
∞
(15)
− ar dr
r4 e
2
0
(16)
0
obtenemos:
a0
2
z 4 e−z dz
(17)
0
Integral que corresponde a la definici´ on integral de una funci´ on on on gamma:
∞
tz e−t dt = Γ(z + 1)
(18)
z 4 e−z dz = Γ(5) = 4!
(19)
0
de tal modo que:
∞
0
obtenemos asi:
4
2
r = a
a0
3 0
2
5
4! = 3a20
(20)
ya conociendo r2 y r , puedo encontrar el valor de ∆r
∆r = ( r2
2
− r )
1 2
= [3a20 7
2
− (1,5a ) ] 0
1 2
= 0,866a0
(21)
Puesto que la incertidumbre obtenida ∆r = 0,866a0 es un valor cercano al valor medio de la distancia del electron al proton en el atomo de hidrogeno, podemos concluir que para este caso la ubicaci´on on del electron tiene un rango de posibilidades muy grande y por lo tanto su valor exacto es muy dificil de acotar, con lo que no se puede decir que exista una alta certeza de su ubicacion y por el contrario, es bastane desconocido el lugar en donde se pueda encontrar. Prob. 30: Calcule el producto de la incertidumbre ∆r∆ p para el electr´ on on en el estado 1s de un ´atomo atomo hidrogenoide cuyo numero at´ omico omico es Z (Sugerencia: use p = 0 por p or simetr´ıa ıa y deduzca deduz ca 2 energ´ıa cin´etica etica media, calculada como en el problema 24.) p a partir de la energ´
RTA.
Los valores promedios r y r2 se encuentran mediante la ponderaci´ on o n de la densidad de 4Z 2 −2Zr/a probabilidad para este estado P 1s (r) = a r e
0
3 0
∞
r =
4Z
rP 1s (r)dr =
a30
0
∞
2
r =
4Z
2
r P 1s (r )dr =
a30
0
Sustituyendo z = =
2Zr a0
r = 4 2
r = 4 y ∆ r = (r − r ) = 2 1/2
3
Z a0
3
−
a 0 2Z
4
a 0 2Z
4
1/2
∞
0
0
∞
=
0
3! a0 3 a0 = z e−z dz = 3
4
0
∞
r4 e−2Zr/a dr
z 4 e−z dz =
0
2
Z
=3
a0 Z
Z
4! a0 8 Z
2
2
3 49 = 0,866 aZ . La incertidumbr incertidumbree en el momentum se deduce a partir de la energ´ energ´ıa potencial promedio (calculada (calculada en el ejercicio ejercicio n´ umero 24): 2
U
=
∞
a0 Z
Z a0
r3 e−2Zr/a dr
0
resulta
∞
U (r)P 1s (r)dr =
0
3
0
2
−4kZ e
∞1
0
=
−
Puesto que para el nivel 1s, E = momentum al cuadrado:
−
k(Ze) Ze )2 1 , 2a0
=
kZ e −4kZe
2
Z a0
a 0 2Z
2
−4kZ e
k(Z e)2 a0
2
r
P 1s (r)dr =
2
y a0 =
2
me ke2
2me k(Z e)2 U ) = = 2a0
e
Z a0
∞
re−2Zr/a dr 0
0
se obtiene el valor promedio del
p = 2m K = 2m (E − e
3
2
Z a0
Ahora, asumiendo (como el enunciado del ejercicio lo sugiere) que p = 0 por simetr´ simetr´ıa, el principio de incertidumbre se escribe como:
∆ p = ( p2 )1/2 =
por lo que ∆r∆ p = 0,866 1
Z a0
a0 Z = 0,866 = = 5,7 Z a0
−
En general la energ´ energ´ıa de un atomo a ´tomo hidrogenoide es E =
8
2
2
ke Z 2a0 n2
× 10
16
con n = 1, 2, 3, ...
