Fisica de Radiaciones UNAL Tarea5-Electrodinamica Clasica

Tarea area 5 - Electr Electrodina odinamic mica a Clasic Clasica a F´ısic ısica a de Radia Rad iaci cione ones s Jorge Jorg e E. Garc´ Garc´ıa ıa Farieta, arie ta, José Ignacio Ignac io Ordo˜ Ordo ñez nez Universidad Nacional de Colombia Depart Dep artame amento nto de F´ısica ısica 1 de mayo de 2013 TEXTO: Introduction to Electrodynamics - Griffiths

Problemas 1. 10.25: Una part´ part´ıcula de carga q esta viajando a una velocidad constante constante v a lo largo del eje x. Calcule la potencia total pasando a traves del plano x = a, en el momento la part´ part´ıcula en si misma esta en el origen. RTA.

La potencia que cruza el plano viene dada por: P =

 ·

 da S

(1)

El vector de pointing es:  = 1 (vecE S µ0

× B )

(2)

con  = 1 (v B c2

× E  )

(3)

de tal manera que:  = S

1  [E µ0 c 2

× (v × E  )])] =  [E v − (v · E  )E  ] 0

2

(4)

con da = da = 2πrdrˆ πrdrx ˆ, por lo tanto, la potencia vendra dada por: P =  0



(E 2 v

1

2 x

− E v)2πrdr )2πrdr

(5)

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

con E x = E cos cos θ, asi que E 2

2 x

− E

= E 2 sin2 θ P = 2π0 v



E 2 sin2θrdr

(6)

teniendo en cuenta que el campo c ampo eléctrico ectrico vendr´ a dada por:  = E donde γ donde γ =

1 , 1−v 2 /c2

√

q 1 4π 0 γ 2 R2 [1

−

ˆ R (v/c) v/c)2 sin2 θ]3/2

(7)

reemplazando el campo eléctrico ectrico P = 2π 0 v

2

∞

   q 4π0

1 γ 2

0

ahora puesto que r = a = a tan θ, dr = dr = a a cos1 θ dθ, dθ,

1 R

2

v q 2 1 P = 4 2γ 4π0 a2

=

π/2 π/2

 0

r sin2 θ dr (v/c) v/c)2 sin2 θ]3

R4 [1

−

cos θ , a

con lo que obtenemos

(8)

sin3 θ cos θ dθ [1 (v/c) v/c )2 sin2 θ]3

(9)

−

haciendo el cambio de variable u = sin2 θ con du = du = 2 sin sin θ cos θdθ, θdθ , tenemos vq 2 P = 16π 16π 0a2 γ 4

1

 0

[1

−

u vq 2 du = du = (v/c) v/c)2 u]3 16π 16π 0a2 γ 4

γ 4 2



(10)

asi obtenemos que la potencia total que pasa a traves del plano x = a = a es: vq 2 P = 32π 32π 0a2

(11)

2. 11.13: 11.13: a) Supon Suponga ga un electro electron n que se desaceler desaceleraa a una tasa constan constante te a a a partir de una velocidad inicial v0 hasta v = 0. Que fracción on de su energ´ energ´ıa cinética etica inicial se pierde en radiaci´ on?. on?. Asuma v0 << c de tal manera que la formula de Larmor pueda usarse. RTA.

La potencia de acuerdo a la formula de Larmor para velocidades v velocidades v << c viene c viene dada por: µ0 q 2a2 P = 6πc

(12)

y el tiempo que le toma al electron para llegar al reposo vendra dado por t = v 0 /a, /a, asi que la energ´ ene rg´ıa ıa radiad rad iadaa es: e s:



La energ´ ene rg´ıa ıa cinética eti ca inicia ini ciall fue U k = 21 mv02 , as´ as´ı que la fracci´ frac ción on radiada es U rad µ0 q 2 a rad = U k 3πmv 0 c

(14)

b)Para tener una idea de los valores involucrados, sup onga que la velocidad inicial es térmica, ermica, 5 (al rededor de 10 m/s) m/s) y la distancia que el electron recorre son 30A. Que se puede concluir sobre la perdida de radiación on para el electron en un conductor ordinario. Teniendo en cuenta que t = v0 /a y a partir partir de las ecuacion ecuaciones es de la cinem´ cinem´ atia atia obtenemo obtenemoss la aceleraci´ on on como: 1 1 v2 v2 d = at2 = a 02 = 0 2 2 a 2a de tal manera que a =

v02 , 2d

(15)

luego la radiación on perdida ser´ a: a:

U rad µ0 q 2 µ0 q 2v0 (4π (4π 10− 7)(1, 7)(1,6 rad 2 = fracv0 2d = = U k 3πmv 0 c 6πmcd 6π(9, (9,11 10−31 )(3

× ×

−19

2

5

× 10 ) (10 ) × 10 )(3 × 10 8

−9

)

=2

× 10

−10

(16)

Por lo que podemos podemos conclui concluirr que la perdida perdida de energ energ´ıa del electr´ electr´ on por la radiación o n en un conductor ordinario es despreciable 3. 11.14: 11.14: En la teoria teoria de Bohr del atomo a´tomo de hidrogeno, el electr´ on en su estado base se supone que on viaja en un circulo de radio 5 10−11m, se mantiene en la orbita por la atraccion coulombiana del protón. on. De acuerdo a la electrodinamica cl´ asica, asica, este electr´ on on deber´ deber´ıa radiar, y por lo tanto dirigirse en un movimiento en espiral hacia el nucleo. Muestre que v que v << c en c en la mayor´ıa ıa del viaje, de tal manera que se puede utilizar la ecuaci´ on de Larmor, y calcule el tiempo de vida on del atomo a´tomo de Bohr. (Asuma cada revolucion como esencialmente circular).

×

RTA.

A partir de la relación on entre la fuerza el´ ectrica ectrica y la ecuaci´ on de movimiento de Newton, podemos encontrar una relaci´ o n para la velocidad a partir de la expresi´ on on on para la aceleraci´ on on v cent ce ntrr´ıpet ıp etaa a = r 2

1 q 2 v2 = ma = F = ma = m m 4π0 r 2 r

(17)

de aca obtenemos una expresi´ on on para la velocidad: v=



1 q 2 4π0 mr

(18)



y cuando el radio sea una centesima centesima menor, la relacion v/c unicamente unicamente se vuelve 10 veces veces mayor (0.075), de tal manera que se puede concluir que en la mayor parte del viaje la velocidad no es relativista, relativista, por lo que se puede usar la formula de Larmor, as´ as´ı que teniendo en cuenta cuenta que v a = r , la potencia vendrá dada por: 2

µ0 q 2 a2 µ0 q 2 P = = 6πc 6πc La potencia viene dada por P = 1 U = mv 2 2

µ0 q 2 = 6πc



1 q 2 4π 0 mr2

2



(20)

dU/dt, donde la energ´ energ´ıa total del electr´ on on es: −dU/dt,

1 q 2 1 = 4π0 r 2

−

2

v2 r

 

1 q 2 4π0 r

1 q 2 = 4π 0 r

−

−

1 q 2 8π 0 r

(21)

as´ı que: qu e:

−

dU = dt

−

1 q 2 dr µ0 q 2 = P = 8π 0 r2 dt 6πc



1 q 2 4π0 mr2



2

(22)

despejando dr/dt despejando dr/dt tenemos: tenemos: dr = dt

−

1 3c



q 2 2π 0 mc



2

1 r2

(23)

r2 dr

(24)

haciendo separacion de variables: dt = dt =



2π0 mc 3c q 2

−



2

e integrando encontramos una expresi´ on para calcular el tiempo: on t =

−



2π 0 mc 3c q 2

2

0

 

2

r dr = dr =

r0



2π0 mc 3c q 2

−



2

r03

(25)

sustituyendo los valores encontramos: t = (3

8

× 10 )[

2π(8, (8,85

× 10

−12

)(9, )(9,11 10−31 )(3 (1, (1,6 10−19 )2

×

×

8

× 10 ) ] (5 × 10 2

−11

) = 1,3

× 10

−11

s (26)

Se puede notar que ser se r´ıa un tiempo extremadamente corto. 4. 11.15: Encuentre el angulo ańgulo θmax al cual la radiación on máxima axima es emitida. emitida. En el ejemplo ejemplo 11.3. Muestre que para velocidades velocidades ultrarelativi ultrarelativistas, stas, θ θ max (1 β )/2. Cual es la intensidad de la radiación on en esta direcci´ on maximal, en proporción on on a una misma cantidad para una particula instantaneamente en reposo. Exprese su respuesta r espuesta en términos erminos de γ .

≈

 −



el máximo aximo se da para d sin2 θ =0 dθ (1 β cos cos θ)5





−

(28 )

derivando tenemos 2sin θ cos θ (1 β cos cos θ)5

−

−

5sin2 θ(β sin sin θ) =0 (1 β cos cos θ)6

(29)

−

y despejando cos θ tenemos: 2cos θ(1 β cos cos θ) = 5β sin sin2 θ 2cos θ(1 β cos cos θ) = 5β (1 (1 cos2 θ) 2cos θ 2β cos cos2 θ = 5β 5β cos cos2 θ 3β cos cos2 θ + 2 cos cos θ 5β = 0

− − −

−

−

−

(30)

por lo que:

−2 ± cos θ =



4 + 60β 60β 2 1 = ( 6β 3β

±

Se elige la solución on positiva, puesto que θm θmax para v para v



1 + 15β 15β 2

− 1)

(31)

→ 90(cos θ = 0) cuando β → → 0, entonces: ± 1 + 15β 15β − 1 = arccos m

 



2

3β

(32)

<< 1, expandemos a primer orden en  ≈ c, β ≈ ≈ 1, y tomando β = 1 − , donde  << 1,

 ± 

15β 15β 2

1+ 3β

1 3(1

− )

[

1 + 15(1

 − 1

2

=

− ) − 1] ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈

1 [ 3(1−)

 − −  − − √ − −   −− −−   −  −≈ −

1 (1 +  + )[ )[ 3

) 2

1 + 15(1

1 + 15(1

1 (1 +  + )[ )[ 3

16

30 30

1]

2 )

1]

1]

1 (1 +  + )[4 )[4 1 15/ 15/88 1] 3 1 15 (1 +  + )) 4 1 16  1 3 1 (1 +  + )) 3 15  3 4 1 (1 +  + )) 1 45  1 +  +  45  3 1 41 

−

(33)



de aca tenemos que: 1 2 θmax =  2

  −

θmax

/2 /2 =

≈

(1

(35)

β )/2

(36)

ahora sea: f

≡ ≡

(dP/dΩ dP/dΩ θ ) sin2 θmax = (dP/dΩ dP/dΩ θ )reposo (1 β cos cos θmax )5

|

|



m

m

−



(37)

puesto que sin2 θmax

/2 y que ≈ /2

(1

− β cos cos θ

max )

≈ 1 − (1 − )(1 − 41 ) ≈ 1 − (1 −  − 41 ) = 45 

(38)

Asi que



/2 /2 f = = (5/ (5/4) 4)5

4 5

5

1 24

(39)

√ 12

(40)

pero: γ =

1

=

 −  −  β 2

1

De donde tenemos que  =

1 , 2γ 2

f =

1

1 (1

por lo tanto: 4 5

5

 − 

2

− )

1 1 (2γ (2γ 2)4 = 2 4

≈

8 5

1

1 (1

− 2)

=

5

γ 8 = 2,62γ 8

(41)

Finalmente, la intensidad de la radiación on en la dirección on maximal, en proporci´ on on a una misma cantidad para par a una particula instantaneamente en reposo, en términos erminos de γ , es 2, 2,62γ 62γ 8 5. 11.16:E 11.16:En n el ejemplo ejemplo 11.3 11.3 se asumio que la velocidad velocidad y la aceleracio aceleracion n eran al menos menos instan instantataneamente colineales. Haga el mismo analisis para el caso donde ellas son perpendiculares. Elija sus ejes de tal manera que v se subtienda a lo largo del eje z y  y a a lo largo del eje x, de tal manera que  que v = v z zˆ , a = a = a x ˆyα  = sin θ cos φxˆ + sin θ sin φyˆ + cos θz zˆ . Verifique que la potencia P es consistente con la formula de Lienard. RTA.

Tenemos que:





Sea β

v/c, podemos escribir ≡ v/c, ≡ u = c = cˆ rˆ

= cˆ rˆ − v z zˆ − v = c

(43)

entonces: rˆ u = c = c

·

= c − v(ˆr · z zˆ ) = c − v cos θ = c

− 1

v cos c os θ = c = c(1 (1 c



cos θ) − β cos

(44)

(45)

adicionalmente: a u = ac = ac((xˆ rˆ)

av (xˆ · z zˆ ) = ac sin θ cos φ · − av(

·

u2 = u u = c = c 2

·

cv (ˆr · z zˆ ) + v + v − 2cv(ˆ

2

= c2 + v 2

− 2cv cos θ

(46)

resolviendo el producto cruz, tenemos que: rˆ

× (u × a) = |rˆ × (u × a)| = 2

(rˆ a)u (ˆr u)a (ˆr a)2u2 2( 2(u a)(ˆr a)(ˆr u) + (ˆ r u)2a2 = (c2 + v 2 2cv cos θ)(a )(a sin θ cos φ)2 2(ac 2(ac sin θ cos φ)(a )(a sin θ cos φ)(c )(c v cos θ) +a2 c2 (1 β cos cos θ)2 = a2 [c2 (1 β cos cos θ)2 + (sin2 θ cos2 φ)(c )(c2 + v 2 2cv cos θ 2c2 + 2cv 2cv cos θ)] = a2 c2 [(1 β cos cos θ)2 (1 β 2 )(sin θ cos φ)2 ] ( 47 )

−

·

−

· − · − · · · − − − − − −

·

−

−

reemplazando en la ecuaci´ on o n 42 dP µ0 q 2 a2 [(1 = dΩ 16π 16π 2c

2

2

− β cos cos θ) − (1 − β )sin (1 − β cos cos θ)

La potencia total radiada, en todas las direcciones es:

5

2

θ cos2 φ]

(48)





de tal modo que: a

2

2

v2 = (1 c2

    − × − v c

a

y asi la formula de Lienard dice:

= a

2

1

2

2

− β )a

=

1 2 a γ 2

(52)

(53)

µ0 q 2 γ 6 a2 P = 6πc γ 2

1  =  3(P  rˆ)ˆr 6. Dado el campo electri electrico co de un dipolo: dipolo:E P 4π r Demuestre que esta fórmula ormula coincide con la expresi´ on: on:

−

E  dip dip (r, θ ) =

0

3

{ − −

· · }

p (2 cos cos θrˆ + sin θθˆ) 4π0 r 3

RTA.

r +

z +q

 r θ

d

r −

y

-q

→

p = q d rˆ = sin θ cos φxˆ + sin θ sin φyˆ + cos θz zˆ p = qdˆ qd z zˆ

(54) (55) (56)





sustituyendo z zˆ y (z zˆ rˆ) se tiene:

·

p [cos θrˆ sin θθˆ 3cos θrˆ] 4π0 r 3 p  = E [ 2cos θrˆ sin θθˆ] 3 4π0 r p E  [2 cos cos θrˆ + sin θθˆ] dip dip (r, θ ) = 4π0 r 3  = E

−

−

→

(62)

−

(63)

−

(64)

 , del dipolo oscilante esta dada por 7. La expresi expresi´ oń para el vector de Poynting S on 1 ω 2 p0 sin θ  S = cos(kr cos(kr 0 c 3 4πr



ωt) − ωt)



2

e r

Demuestre que la potencial total promediada en el tiempo esta dada por 1 ω 4 p20 P = 4π0 3c3

  RTA.

 = de la definición. on. S

1  E µ0

× B 1 ω 2 p0 sin θ  S = cos( cos(kr 0 c3 4π r ω4 p20 sin2 θ S = 32π 32π 20 c3 r2



 P  P  P 

=



2πr 2 S sin θdθ





− ωt) ωt )

2

e r

(66)

ω4 p20 2πr 2 π 3 = sin θdθ 32π 32π 20 c3 r 2 0 π ω4 p20 = sin3 θdθ 3 16π 16π0 c 0 por integraci´ on directa se sab e que: π 4 3







(65)

(67)

(68) (69) (70 ) (71)





que varia con el tiempo, con ello dicho campo se puede aproximar como una superposici´ on de ondas planas. La ecuaci´ on relativista se obtine de esta manera: on d2 W dld( dld( ω )

q 14 q 22 16 1 2γγ  me c2 n2 ln (4π (4π0 )3 3c3  m21 v02  ω 2 me 16 me c = n2 Z 14 Z 22 αre2 ln Λ m1 3 m1 v02

   

≈

 

(74) (75)

donde γ  = γ m ωc es el factor relativista gama del electr´ on una vez se ha emitido el fot´ on on, on, y v0 c , ya que esta es una colisión on relativista. relativista.

≈

−

e

2

9. Calcule la energ´ energ´ıa radiada por radiaci´ on de frenado por un electr´ on on on interactuando interactuando con un atomo a´tomo de carbono (en una s´ ola ola interacción, on, tenga en cuenta solamente la interacci´ on o n con el n´ ucleo, ucleo, considere todos los valores posibles para el parámetro ametro de impacto) RTA. La

energ´ e nerg´ıa ıa radiada ra diada por po r radiaci´ ra diaci´ on de frenado por un electr´ on on interactuando con un atomo on a´tomo es la energia irradiada en un unico choque con un parametro de impacto b. Multiplicandola por la densidad de objetivos n e integrandola sobre todos los posibles parametros de impacto tenemos que: dW = n dl

bmax



bmin

q 14q 22 2 3 1b v0 m21 2πbdb 3 3 (4π (4π0 ) 3c

(76)

Haciendo bmax y bmin = m v para tener en cuenta todos los parametros de impacto, desde el l´ımite cuantico c uantico hasta hast a el infinito, infin ito, tenemos t enemos que:

→∞

1

0

dW q 14 q 22 4π 1 m1 v0 q 14 q 22 4π 1 = = dl (4π (4π0 )3 3c3 m21v0  (4π (4π0 )3 3c3 m1 

(77)

teniendo en cuenta que la constante de estructura fina viene dada por: e2 α = 4π0  c

(78)

y que el radio clásico asico del electr´ on on es: r =

e2 4

2

(79)





10. Calcule la energ´ıa ıa emitida, por radiaci´ on de frenado por un prot´ on on que gira en un acelerador on circular (radio=100m) con una energ´ energ´ıa total de 10GeV. RTA. Utilizando

la ecuación on relativista para la potencia radiada, en el caso relativista se

tiene: 2 4

P =

q γ 6πε 0 c



 ˙β 2 + (β 1

· −

 ˙ )2 β β 2



dado que se tiene un acelerador circular, la aceleraci´ on es perpendicular a la velocidad en cada on ˙  β  = punto de la trayectoria del prot´ on, on, por lo que β = 0. Con ello se obtiene:

·

P a⊥v = =

q 2 a2 γ 4 6πε 0 c3 e2a2 γ 4 6πε 0 c3 2K e2 (γ 2 vr ) 2 3c3 2K e2 γ 4 v 4 3c3 r2 y c on 2K e2 γ 4 4c6 (γ 1)2 3c3 r2 8K e2 c3 γ 4 (γ 1)2 3r 2

(82)

(83)

2

= =

= = además: as: γ = sustituyendo se tiene:

1

 − 1

P a⊥v P a⊥v

v 2/c2

− −

=

(84)

(85) (86)

(87)

(88)

(89)

E 10 GeV = = 10 m p c2 1 GeV

8K e2 c3 104 (10 1)2 = 3r 2 = 13, 13,437 W/proton 437 W/proton

la energia emitida en cada vuelta estar´ a dada por:

−

(90)

Fisica de Radiaciones UNAL Tarea5-Electrodinamica Clasica

Recommend Documents