Tarea area 7 - In Inter teracc acci´ i´ on on Radiac Radiaci´ i´ on on EM-Materi EM-Materia a F´ısic ısica a de Radia Rad iaci cione ones s Jorge Jorg e E. Garc´ Garc´ıa ıa Farieta, arie ta, Jos´e Ignacio Ignac io Ordo˜ Ordo ˜nez nez Universidad Nacional de Colombia Depart Dep artame amento nto de F´ısica ısica 30 de mayo de 2013 TEXTO: The Physics of Radiology, Harold Johnes & John Cunningham, cap. 5
Problemas Prob. 1: Un haz de fotones tiene un coeficiente de atenuacion linear de 0, 0,03cm 03cm 1 Calcule la fraccion transmitida a traves de diferentes capas de material, de 5mm, 1.5 cm y 20 cm de espesor. primero utilizando la ecuacion ∆N ∆N = −µN ∆ µN ∆x, luego utilizando la ecuacion N = N e µx . Analice la diferencia en su respuesta −
−
RTA.
Utilizando la primer ecuacion, la fraccion transmitida estara dada por: f 1 = 1 +
∆N ∆ N = 1 − µ∆x N
(1)
Y para la segunda ecuacion, la fraccion transmitida sera: f 2 =
N = e N 0
−
µx
(2)
Calculamos entonces las fracciones transmitidas a traves de las diferentes capas. f 1 f 2 0.985 0. 0.985 0.955 0. 0.956 0.400 0. 0.549
Grosor
0.5 1.5 20
Podemos de los datos observar que para capas con grosor peque˜ no la fraccion transmitida es no igual con las dos ecuaciones, la diferencia se observa para grosores mayores, en donde la primer ecuaci´on on ya se aleja del modelo mas adecuado que es aquel correspondiente a f a f 2 = e µx . Por lo tanto se puede utilizar el primer modelo f modelo f 1 cuando se calcula calcula la fraccion transmitida transmitida en grosores peque˜ nos, pero para mayores grosores se debe utilizar f 2 nos, −
1
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Prob 2. Encuentre el HVL en Kg/m en Kg/m2 de fotones de 100KeV en aluminio, cobre, plomo y agua. Utilice los coeficientes dados en las tablas A-3 y A-4 en el apendice. RTA.
Sabemos que el HVL viene dado por H V L = X h = ln2 ln2/µ = 0,693/µ 693/µ,, teniendo estos valores consultamos, los coeficientes de atenuacion lineal en las tabalas A-3 y A-4 para fotones de 100 KeV para los diferentes materiales y aplicando la expresion para el HVL tenemos que: Material
Al Cu Pb Agua
µ(cm2 /g) /g ) µ(m2 /K /Kgg ) H V L(Kg/m2 ) 0.1706 0.01706 40.62 0.4549 0.04549 15.23 5.461 0.5461 1.269 0.1706 0.01706 40.62
Prob 3. Un acelerador lineal produce un espectro de radiacion con fotones de 0 a 24MeV. Asumiendo que esto es equivalente a 8.0MeV, encuentre el grosor de plomo requerido para reducir la tasa de dosis desde 2Gy/min a 10 5Gy/h. Gy/h. −
RTA.
Sabemos que la atenuaci´ on on viene dada por: D = D = D 0 e
−
µx
(3)
Con D la tasa de dosis, calculamos el factor de atenuacion que nos piden como: D 1h = f rac rac10 5 Gy/min2 Gy/min2Gy/h = 8,33 × 10 D0 60min 60min −
−
8
(4)
De la tabla en el apendice del libro A-4, se tiene que para el plomo y con fotones de 8.0 MeV, el coeficiente de atenuaci´ on o n es de 0, 0,0454cm 0454cm2 /g y /g y la densidad del plomo es 11, 11,34g/cm 34g/cm3 . Por lo tanto la atenuacion lineal para el plomo en este caso sera de µ = 0,515cm 515cm 1 , despejando x de la ecuacion de la atenuacion tenemos que: −
D = D = D 0 e µx ln( ln(D/D 0) = −mux −
x =
1 1 ln( ln(D0 /D) /D) = ln(1 ln(1//(8, (8,33 × 10 8)) = 31, 31,7cm µ 0,515 −
(5)
Por lo tanto el grosor de la lamina de plomo que se necesita para atenuar la tasa de dosis a 10 5 Gy/h es Gy/h es de 31.7cm. −
Prob 4. El aluminio aluminio tiene una densidad densidad de 2699Kg/m 2699Kg/m3 . El coeficiente Compton por atomo dado en la tabla A-4 para fotones de 1.5MeV es de 2, 2,232 × 10 28 m2 /atomo. /atomo. Exprese este coeficiente 2 2 en m /electron, /electron, cm c m /g y m 1 −
−
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el cual corresponde a Z y para el aluminio es 13, de tal manera que: 2,232 × 10 28 m2 atomo 1 = 1,72 × 10 13ele 13electr ctron ones es atom atomoo 1 −
−
−
29
−
m2 electron
−
1
(6)
Ahora para obtener el coeficiente masico de Compton, se tiene que multiplicar el coeficiente electronico de Compton por la densidad electronica, la cual de acuerdo a la tabla A-4e corresponde a 2, 2,902× 902 × 1026 elec electr tron ones es Kg 1 . Luego pasamos las unidades a cm a cm2 y a g. De tal manera tenemos que: −
1,72× 72×10
−
29
m2electron 1×2,902× 902×1026 elec electr tron on Kg 1 ×10 3 K gg −
−
−
−
1
×104 cm2m
−
2
= 4,98× 98×10 2 cm2 g (7) −
Ahora para obtener el coeficiente lineal de Compton, tenemos que multiplicar el coeficiente masico de Compton por la densidad de masa que es 2699K 2699K gm 3 . Utilizando Utilizando las mismas unidades, tenemos que: −
0,0498cm 0498cm2g
−
1
× 2699K 2699K gm
−
1
× 103 gK g
−
1
× 10 4 m2 cm −
−
As´ As´ı tenemo ten emoss que: que : El coeficiente electronico de Compton es 1, 1,72 × 10 29 m2 electron El coeficiente masico de Compton es 4, 4,98 × 10 2 cm2 g 1 El coeficiente l´ıneal de Compton es 13, 13,45m 45m 1 . −
−
−
2
= 13, 13,45m 45m
−
1
(8)
1
−
−
Prob 5. Un haz de fotones con energ´ıa ıa de 100KeV 1 00KeV se enfrenta a colisiones c olisiones Compton. Encuentre el m´ınimo de la energ ener g´ıa dispersa disp ersada da de la radiaci´ radia ci´ on. on. el m´aximo aximo de la energ´ energ´ıa de d e retroceso que el electr´on on puede adquirir adquirir y la energ´ energ´ıa promedio de retroceso del electr´ on. RTA.
La m´axima axima transferencia transferencia de energ´ energ´ıa al electron ocurrira o currira cuando el electr´ on es dispersado con direccion hacia el frente y el foton es dispersado d ispersado hacia atras. La energ´ energ´ıa m´ınima ınima de d e dispersion de la radiaci´ on on esta dada por: hν min min =
1 hν 1+2 α
1 hν min min = 100K eV 1+2
100 511
hν min min =
100 K eV 1,391
hν min min =
71, 71,9K eV
La ernergia m´ axima de retroceso del electron que este puede adquirir sera: axima hν max max =
2α hν 1+2 α
(9)
−
1
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Se puede notar que la suma de estas dos energ´ energ´ıas calculadas previamente previamente es igual a la energia del haz incidente de fotones. Ahora para obtener la energia promedio del retroceso del electron utilizamos la expresion: σtr σE ¯tr tr = hν σ
(11)
Para fotones de 100KeV en un gas libre de electrones tenemos. 0,0680 σ E ¯tr tr = 100K eV 0,4927 σ E ¯tr 13, 13,8Ke KeV V tr =
(12)
Prob. Prob. 6: Un bloque de carbono con espesor de 3 × 1023 electrones por cm por cm 2 es bombardeado por 106 fotones foto nes de energ´ıa ıa de 1,0 M eV . eV . Calcular el n´umero umero de interacciones Compton, la energ´ energ´ıa desviada desvia da (dispersad (disp ersada) a) del haz, la energ´ıa ıa transferid trans feridaa a la energ ener g´ıa cin´etica etica de part´ıculas ıculas cargadas, carg adas, y la energ ener g´ıa dispersa disp ersada. da. Hacer un balance balan ce de energ´ıa. ıa. RTA
El n´ umero de fotones que no producen interacciones por efecto Compton esta dado por N = umero N 0 e µx , de aqu´ aqu´ı (de manera complementaria), co mplementaria), el numero de fotones que interact´ uan mediante µx efecto Compton es N Compton ). De la tabla A-2a del libro, el coeficiente µ del Compton = N 0 (1 − e efecto Compton para fotones de 1 MeV es µ = 0,2112 × 10 28 m2 ; realizando realiz ando expl´ expl´ıcitamente ıcitam ente los c´alculos alculos se tiene: −
−
−
µx = 0,2112 × 10
−
N Compton Compton
= = = =
0,0634 106 · (1 − e 106 · 0,0614 6,14 × 104
−
28
2 m2 2 electron 4 cm · 3 × 10 3 · 10 electron cm2 m2
0,0634
)
Es de tener en cuenta que bloque (blanco) es “grueso” por lo que no es del todo adecuado utilizar una aproximaci´ on on lineal. La energ´ energ´ıa dispersada por el blanco es la energ´ energ´ıa del haz de 1.0 MeV multiplicada por el n´umero umero de interacciones Compton, esto es 6, 6,14 × 104 M eV . eV . Ahora, la energ´ energ´ıa transferida transferida a part´ part´ıculas cargadas es la energ´ energ´ıa transferida transferida por medio de efecto efecto Compto Compton n mult multip ipli licad cadaa por el n´ umero u mero de inter interac acci cione oness con que que ocurri ocurri´ o´ ´este este efecto. efect o. La energ´ energ´ıa transferida por una interacci´ on Compton para fotones de 1.0 MeV se determina seg´ un la Tabla A-2a como 0.440 MeV, con ello la energ´ un energ´ıa transferida t ransferida a part´ part´ıculas cargadas es 4 4 E tr eV . tr = 6,14 × 10 · 0,440 M eV = 2,70 × 10 M eV .
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Encuentre el n´ umero relativo a los procesos de Compton y pares y compare con la tabla 5-5. umero RTA
De las tablas se tienen los siguientes valores para las secciones eficaces del hidr´ ogeno y el oxigeno (con las cuales se calcula la del agua en total): Para Para el Hidr´ ogeno: σ ogeno: σComp = 0,0512× 0512 × 10 28 m2 /at, /at, 28 2 y κ = 0,0033 × 10 m /at Para el Oxigeno: σComp = 0,4092 × 10 28 m2 /at, /at, y κ = 0,1459 × 10 28 m2 /at −
−
−
−
2 (0, (0,0512 × 10 28 m2 /at) /at) + 18 = 3,694 × 10 29 m2 /at 2 = (0, (0,0033 × 10 28 m2 /at) /at) + 18 = 1,3005 × 10 29 m2 /at
σComp |H O = 2
σComp |H O 2
κ|H O 2
κ|H O 2
16 (0, (0,4092 × 10 18
−
−
28
m2 /at) /at)
−
28
m2 /at) /at)
−
16 (0, (0,1459 × 10 18
−
−
(σComp + κ + κ))|H O = 4,995 × 10 29 m2 /at 100σ 100σComp %Comp = = 73, 73,9 % 4,9947 × 10 29 m2 /at −
2
−
Prob. 8 Un haz tiene 1000 fotones por cm2 , cada uno con energia de 50KeV, el cual incide en una masa de carbono de 10g. Encuentre el numero Compton de electrones y fotoelectrones puestos en movimien movimiento to RTA.
Convertimos la masa del carbono a atomos: moles = moles = M M/m /mmol = 10/ 10/12, 12,01 = 0, 0,833moles 833moles
(13)
y calculamos el numero de atomos que habra en este numero de moles: N atomos (0,833)(6, 833)(6,023 × 1023 ) = 5,01 × 1023atomos atomos = (0,
(14)
El numero de electrones vendra dado por:N por:N electrones electrones = 6η · N fotones fotones · N atomos atomos : N electrones 6(0,5615 × 10 electrones = 6(0,
−
28
)(107 )(5, )(5,01 × 1023 ) = 1688electrones 1688electrones
(15)
Y el numero de fotones sera entonces 7 N fotones )(5,01 × 1023 )(0, )(0,1725 × 10 fotones = (10 )(5,
−
28
) = 86fotones 86fotones
(16)
Prob. 9. Para radiaci´on on de fotones de 5 MeV en plomo, ocurren todos los procesos: Thomson (dispersi´on on coherente), coherente), Compton, fotoel´ectrico ectrico y pares. Las secciones secciones eficaces en m2/atom se dan en las columnas 2, 3, 4, y 5 de la tabla A-4i. 10 6 fotones, cada uno con energ´ energ´ıa 5 MeV 21 2 atraviesa una l´amina amina de plomo con espesor de 10 atom/cm . Encuentre el n´ umero umero de fotones para los procesos: dispersi´on on coherente, Compton, fotoel´ectrico, ectrico, y pares. Encuentre la energ´ energ´ıa media convertid ´ in´etica etica cada n ello ell o determi de termine ne la energ´ıa ıa transf t ransferida erida
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eficaz para cada proceso en particular y multiplicado por el espesor del material absorbente. Las secciones eficaces de cada proceso en el plomo se tomaron de la tabla A-4i del libro. N Thom T hom N Comp Comp N fotoe f otoe N pares
= = = =
106 · 0,0373 × 10 24 cm2 /atom 1 · 1021 atom cm 2 = 0,0373 × 103 = 37, 37,3 fotones 106 · 6,805 × 10 24 cm2 /atom 1 · 1021 atom cm 2 = 6,805 × 103 = 6805 fotones 106 · 0,4096 × 10 24 cm2 /atom 1 · 1021 atom cm 2 = 0,4096 × 103 = 409, 409,6 fotones 106 · 7,288 × 10 24 cm2 /atom 1 · 1021 atom cm 2 = 7,288 × 103 = 7288 fotones −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Para obtener la energ´ energ´ıa cin´etica etica transferida para cada proceso se tiene: • En
la dispersi´on on de Thomson (dispersi´on on coherente) no hay transferencia t ransferencia de energ´ energ´ıa E ıa E tr tr =
0. • En
Compton, de la gr´ a fica 5-8 del libro se tiene que la fracci´on afica on para la energ´ energ´ıa media transferida transferida con fotones de 5 MeV, es aproximadam aproximadamente ente 0.62. Con ello la energ´ energ´ıa media 3 transferida es: E es: E tr 0,62 · 5 · 6805 = 21, 21,096 × 10 M eV tr = 0 = 0,
• Para
el efecto fotoel´ectrico, ectrico, toda la energ´ energ´ıa incidente menos la energ´ energ´ıa de ligadura de la capa interna del ´atomo, atomo, corresponde correspon de a la energ´ energ´ıa cin´etica etica transferida. La energ´ energ´ıa de ligadur ligadura, a, para la capa K es de 88 keV. keV. Con ello ello la energ energ´ıa transfer transferida ida ser´ a E tr tr = (5 − 3 0,088) · 409, 409,6 = 2,012 × 10 M eV
• En
la producci´on on de pares, toda to da la energ´ energ´ıa del fot´ on on incidente menos la energ´ energ´ıa umbral de la producci´on on de par se transfiere como energ´ energ´ıa cin´etica etica al par positr´ on-electr´on. o n. La 3 transfere tran sferencia ncia de energ´ e nerg´ıa ıa estar´ e star´ a dada por E tr 28,992 × 10 M eV tr = (5 − 1,022) · 7288 = 28,
De esta manera la energ ene rg´´ıa total tot al transferida t ransferida ser´ a 21 2 1,096× 096 × 103 M eV + + 2,012× 012 × 103 M eV + + 28, 28,992× 992 × 103 M eV = 52, 52,100 × 103 M eV . eV . El n´ umero total de interacciones es 0, umero 0,0373 × 103 + 6, 6,805 × 103 + 0, 0,4096 × 103 = 14, 14,540 × 103 . Y la energ´ energ´ıa promedio transferida transferida por interacci´ interacci´ on es 52, 52,100/ 100/14, 14,540 M eV = 3,58 M eV , eV , que es comprable (similar) al valor de la tabla del libro que es de 3, 3,60 M eV . eV .
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Prob. 11: Un peque˜ no n o haz tipo l´apiz apiz con area a´rea de secci´ on o n eficaz de 10 mm2 tiene 106 fotones, cada uno de energ´ energ´ıa de 1,0 MeV, MeV, ´estos estos pasan pasan a lo largo largo de un cilind cilindro ro de carbono carbono de area ´ 2 3 20 cm 20 cm y longitud 10 cm. El carbono tienen una densidad de 2.25 g/cm y contiene 3, 3,01 × 1023 electrones/g. electrones/g. Calcule el numero numero de interaccione interaccioness de Compton, la energ´ energ´ıa desviada desviada del haz, la energ ener g´ıa transferi tran sferida da a energ´ıa ıa cin´etica etica de las part´ıculas ıculas cargadas carg adas y la energ´ıa ıa dispersad disp ersada. a. Haga un balance de energ´ energ´ıa. Discuta como se alteran estas respuestas respuestas si el area ´ del absorbente es mucho mayor. RTA −3
El ´area area transversal del haz es: A es: A haz = 10 mm2 · ( 101mmm )2 = 10 5 m2 − El ´area area transversal del cilindro es: Acilin = 2,0 cm2 · ( 101cmm )2 = 2,0 4 m2 −
2
−
como el ´area area transversal del cilindro es mayor que la del haz, todos los fotones del haz entran en el cilindro de carbono. • Numero
de interacciones Compton: el n´ umero umero de fotones que interactu´e ser´ a igual al numero de fotones inicial menos los transmitidos y corresponder´ a al numero de interacciones Compton (N (N Comp ello N Comp siendo N 0 el numero de fotones incidentes, y Comp ). Con ello N Comp = N 0 − N , siendo N as se ha de considerar la ley de atenuaci´ on on expoN el numero de fotones transferidos, adem´ n nencial N nencial N = N 0 e µx , con µ con µ = = σ σ Comp na ρ = σ = σ Comp Z ρ. ρ. Donde: σ Donde: σComp = 1,268 × 10 24 cm2/at ne = 3,01 × 1023 electr/g Z = 6 electr/g ρ = 2,25 g/cm 25 g/cm3 con lo que se obtiene µ = 0,1431 cm 1 . De D e aqu´ aqu´ı se desprende despr ende que µx 6 0,1431cm− 10cm N Comp = N 0−N = N 0 −N 0 e = 10 (1− (1−e ) = 760930, 760930,26 interacciones Compton ≈ Comp = N 76093 interaccione interaccioness Compton −
−
e
−
−
−
1
·
Energ´ıa • Energ´
desviada desviada del haz: es aquella que tienen los fotones que interact´ interact´ uan por efecto Compton a una energ´ energ´ıa de 1 MeV (la ( la incidente). inc idente). E desviada eV = 76093 M eV desviada = N Comp Comp · 1 M eV =
E nerg´ıa ıa • Energ´
transferid trans feridaa a energ´ıa ıa cin´etica etica de las part´ıculas ıculas cargadas: carga das: que corresp corr esponder onder´ a´ con ¯ la energ´ energ´ıa absorbida al medio, esto es E ab = N Comp ab = N Comp E ab ab , que de acuerdo con la tabla A-4b E ¯ab ab = 0,440 M eV E ab (760930)(0,440 M eV ) eV ) = 334809, 334809,2 M eV ab = (760930)(0,
E nerg´ıa ıa • Energ´
dispersad disp ersada: a: ser´a E dispersada 334809,2 M eV = dispersada = E desviada desviada − E ab ab = 760930 M eV − 334809, 426120 8 M eV
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RTA
El volumen que se irradio corresponde a todo el cilindro, tal volumen es: 20 cm V = A base ∗ Altura = Altura = 2 cm2 · 10 cm = cm = 20 c m3 La densidad del carbono es ρC = 2,25 g/cm3 , de dond dondee se deduce deduce la masa masa a trav´ trav´ es es de la definici´on on m = ρC V = 2,25 g/cm 25 g/cm3 · 20 cm3 = 45g 45g. Para estimar la temperatura del cilindro radiado, se considera considera que toda la energ´ energ´ıa absorbida absorbida (de la radiaci´ radiacion ´ incidente) se transforma 1 en calor, esto es : Q = E = E ab 334704,04 M eV = 1,2808 × 10 8cal ab = 334704, −
Para determinar el aumento de la temperatura en el cilindro se utiliza la definici´on on de calor especifico, de la cual se ha despejado justamente ∆T ∆T ,, como se muestra a continuaci´ on: on: Q 1,2808 × 10 8 cal ∆T = = mc 45 g · 0,17 cal/g 17 cal/g C −
◦
⇒ ∆T = 1,6743 × 10
−
9
◦
C
