Fisica de Resnick Ejercicios Resueltos Oscilaciones

Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería – UdelaR

TITULO

OSCILACIONES

AUTORES

Guillermo Corvo, Juan Andrés Giorello, Agustín Hernández, Gonzalo Gonzalo Matos

INTRODUCCIÓN

En este proyecto nos encargamos de realizar el ejercicio cinco del practico once donde se nos presenta un sistema formado por un disco que se desplaza entre dos resortes comprimiéndolos alternativamente. En primer lugar verificamos que describía un movimiento periódico compuesto por un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento armónico simple; para luego calcular el periodo del mismo y graficar su posición en función del tiempo. En la segunda parte incluimos una fuerza de rozamiento constante en el tramo entre los resortes que hace que la energía total disminuya gradualmente. Para hallar el tiempo que demora en recorrer el primer ciclo; calculamos la energía inicial y consideramos una fuerza de rozamiento que la disipe en un solo ciclo. Graficamos la posición nuevamente y finalmente llegamos a algunas conclusiones que desarrollaremos al final del informe. FUNDAMENTO TEORICO

Para definir el movimiento oscilatorio o vibratorio necesitamos definir previamente el movimiento periódico. Decimos que un movimiento periódico es aquel que tiene toda partícula cuyo movimiento se repite en intervalos iguales de tiempo. A esto le agregamos que este tipo de movimiento puede escribirse en términos de senos y cosenos, y a es tas expresiones (sen y cos) se le aplica el término de armónico. Como consecuencia, al movimiento. Periódico, podemos también llamarlo, movimiento armónico. Una vez definido el movimiento periódico, vamos a definir el movimiento oscilatorio según capitulo 15 del libro de física de los autores Robert Resnick y David Halliday parte 1. DEF:“ SI UNA PARTÍCULA EN UN MOVIMIENTO PERIÓDICO SE MUEVE DE IDA Y VUELTA SOBRE LA MISMA TRAYECTORIA, DECIMOS QUE EL MOVIMIENTO ES OSCILATORIO O VIBRATORIO.” ALGUNOS EJEMPLOS DEL MISMO: 1 2 3 4

OSCILACIONES DE UN BALANCIN DE UN RELOJ DE UNA CUERDA DE UN VIOLIN UNA MASA SUJETA A UN RESOSTE LAS MOLECULAS DE AIRE CUANDO POR ELLAS PASA UNA ONDA SONORA, ETC…

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE:

Para hablar del movimiento armónico simple vamos a considerar una partícula oscilante osc ilante entorno a su posición de equilibrio, la cual tiene una energía potencial que varia según la siguiente ecuación:

-1-

Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería – UdelaR U ( x ) =

1 2

kx

2

donde k es una constante. F ( x ) = −

dU

=−

 1  d  kx 2   2 

= − kx

dx dx A su vez tenemos que: A esta partícula que oscila la llamaremos oscilador armónico simple y de ahí que el movimiento de ésta se denomina movimiento armónico simple.

Como se muestra en grafica anterior, vemos que la energía potencial varía según el desplazamiento (medido desde la posición de equilibrio). Además, si graficáramos la fuerza F , en función de la posición, veríamos claramente que la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional al desplazamiento pero con sentido opuesto al mismo. Otro punto importante a observar en esta gráfica es que los límites de oscilación están equiespaciados de la posición de equilibrio , los cuales nos i ndican la amplitud del movimiento.

ACONTINUACION DEDUCIREMOS LAS ECUANCIONAS DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE A PARTIR DE UN EJEMPLO CLÁSICO:

֏ x

-2-


En la figura se muestra un sistema masa - resorte para el cual plantearemos la segunda ley de NEWTON: **

− kx =

**

( m )x = 0 donde k m = w

m x ⇒ x + k

2

Esta ecuación se resuelve mediante ecuaciones diferenciales, herramienta que no está a nuestro alcance por el momento, por lo que tomamos la solución del libro como válida sin justificarla, la misma es:

x(t ) = A cos(ω t + ϕ ) ω t + ϕ Donde A es la amplitud, w es la velocidad angular, la fase, y inicial.

ϕ

la fase

Derivando con respecto al tiempo obtenemos la velocidad: v=

dx dt

= Aω cos(ω t + ϕ )

Análogamente, volvemos a derivar con respecto al tiempo y obtenemos la aceleración: a=

dv dt

2

= − A.ω

.sen(ω .t + ϕ ) ⇒ a max = −ω x 2

RESOLUCIÓN EJERCICIO 5 PRACTICO 11: LETRA DEL EJERCICIO:

Un disco de hockey de m = 0.3Kg se desliza sobre una superficie horizontal del hielo entre 2 N resortes, cada uno con una constante k = 1.2 m . Cuando ambos resortes no están deformados, la distancia entre sus extremos es de 1.0m .Demuestre que el movimiento del m disco es oscilatorio. Si su velocidad en el punto medio es de 1.5 s , determine su periodo.

-3-


RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO:

PRIMERA PARTE: Para demostrar que es un movimiento oscilatorio tenemos que demostrar que el movimiento del disco describe una trayectoria que se repite cada cierto intervalo de tiempo que llamaremos periodo (T ) . El movimiento del disco lo vamos a separar básicamente en dos partes, cuando el disco está en contacto con alguno de los resortes y cuando el disco se separa de uno de los resortes y alcanza el otro luego de un intervalo. 1 2

Mientras el disco no está en contacto con ninguno de los resortes describe un movimiento rectilíneo y uniforme, ya que no hay fuerzas disipativas que lo hagan perder velocidad. Por otro lado cuando el disco toca uno de los resortes comienza lo que definimos anteriormente, un M.A.S (movimiento armónico simple). Describiremos claramente el movimiento del disco con el bosquejo a continuación:

Movimiento rectilineo con v=cte 0,6 0,4 ) 0,2 m ( n ó i 0 c i s o P -0,2

-0,4 -0,6 Tiempo(s)

-4-


Movimiento Armonico Simple 1 ) m 0,5 ( n o 0 i c s o -0,5 P

-1 tiempo(s)

Posición(t)

M.R.U.+M.A.S.

1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5

1 2

Las partes rectilíneas (entre -0,5 m y 0,5 m) describen el movimiento rectilíneo y uniforme, mientras que las partes curvas describen el movimiento armónico simple. Uniendo estos dos movimientos obtenemos un movimiento que se repite cada cierto intervalo de tiempo, por lo que decimos que es un movimiento oscilatorio.

-5-


SEGUNDA PARTE: Para calcular el periodo nuevamente separo el sistema en los dos movimientos, por un lado el MRU y por otro lado el MAS. 1

Movimiento rectilíneo y uniforme, mientras el disco recorre la pista sin tocar ninguno de los resortes:

Planteamos las siguientes ecuaciones: v

=

∆ x ∆ t

⇒

∆ t =

∆ x

v

Teníamos los datos de distancia y velocidad de la letra entonces sustituyendo en la ecuación obtenemos fácilmente el tiempo que demora el disco en recorrer este tramo. ∆t =

2

1.0m ⇒ ∆t = 0.66 s 1.5 m s

Movimiento armónico simple, mientras el disco esta en contacto con cualquiera de los dos resortes:

Planteo Newton para el disco unido al resorte y obtengo: − kx =

ɺɺ de donde deduzco como explique anteriormente que w 2 m x

obtengo el valor de . ω = 2.0 rad / s Luego de las ecuaciones del MAS tenemos que T = Entonces el tiempo total seria: T tot

=

2t MRU + 2

T MAS 2

=

2π

w

⇒ T = 3.14

2(0.66 ) + 3.14 = 4.46 seg

-6-

=

k m

⇒ ω =

k m

de ahí


RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO AGREGANDO UN ROZAMIENTO ENTRE EL LOS 2 RESORTES.

1m k

k’

A

B

C

D

E

m = 0.30kg k = 1.2 N / m

El cuerpo parte del punto C, que consideramos la posición x=0. Como en el tramo de C a D existe una fuerza de rozamiento en sentido contrario al movimiento, por segunda ley de Newton; ** fr **  x = − f r − fr = m x m Como entonces, y m son constantes entonces la aceleración también es constante.

fr x(t ) = − .t + vi m Integrando tenemos que *

x(t ) = − y

fr .t 2 2m

+ vi .t .

La única fuerza no conservativa que actúa en el tramo C-D es la fuerza de rozamiento. Entonces el trabajo que efectúa dicha fuerza es igual a la diferencia entre la energía mecánica en C y en D. O sea,

E D

= E C − Wfr C − D

mvC  2

E C E D

=

=

⇒ v D

 2   ⇒ v D 2 mv D  2   =

2

mvC =

2

− fr ∆ xC − D

m

2

=

mvC 2 − 2mg µ k ∆ xC − D m

vC 2 − 2 g µ k ∆ xC − D

Y como en el tramo D-E se produce una oscilación libre e ideal, cuya velocidad máxima es ω =

y de frecuencia angular

k m , podemos calcular el periodo de dicha oscilación ya que:

-7-

vd


T =

2π ω

. Como ω es constante y característico de nuestro sistema masa-resorte, el periodo T

también lo es. Para ir de D hasta E y de E hasta D el objeto demora 2 . Como en el tramo D-E y E-D no hay fuerzas no conservativas ( Wfnc = 0 ) entonces la energía mecánica se conserva. Para resolver el ejercicio, vamos a hallar el periodo del sistema para cuando la energía total del sistema sea nula al completar un ciclo. Para hallar cuanto demora en recorrer los tramos C-D, D-C, C-B y B-C, sabemos que la velocidad del disco en D al entrar en contacto con el resorte va a ser igual que la velocidad en D al salir del resorte, y lo mismo cuando llega a B. Podemos suponer que el recorrido total se mueve bajo un patrón de movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. mv

2

EcC = Wnc ⇒ = Froz∆ x 2 Entonces tenemos que: donde el ∆ x es la distancia que recorre para completar 1 ciclo ( igual a 2m). Por t anto: m.v

2

mg µ k ∆ x ⇒ µ K

=

Teniendo entonces a µ K

=

2

=

*

anteriormente

x(t ) = −

v

2

2 g∆ x

=

0.06

0.06 , sabemos que la Froz

=

0.17 N y como dedujimos

fr .t + vi m . Para saber el tiempo que demora en recorrer ∆ x y como

EcC = Wnc dijimos que la entonces la velocidad en el punto C cuando ya recorrió el ciclo es 0. De lo cual si despejamos el tiempo de la ecuación mencionada obtenemos que:  *   x(t ) − vi m   ⇒ 1.5 × 0.3 = 2.6 s t = − Fr

0.17

Y para hallar el período total del sistema falta sumar a este tiempo el tiempo que demora el disco cuando está en contacto con los resortes que como ya dijimos es π . En resumen el período es 2.6s + π .s = 5.74s y comprando el período del sistema con y sin rozamientos vemos que hay una diferencia de 1.3s aproximadamente. Al introducir la fuerza de fricción el sistema empieza a disipar energía por lo que la energía cinética inicial del sistema disminuye hasta ser nula.

-8-


M.R.U.A. con M.A.S. 1,5 ) m ( n ó i c i s o P

1 0,5 0 -0,5 -1

Tiempo(s)

CONCLUSIONES:

Primera parte: 

 

En la primera parte comprobamos que el disco determinaba un movimiento periódico ya que no actuaban fuerzas no conservativas que hicieran que el disco se detuviera, por lo tanto la energía mecánica permaneció constante. El disco según los datos originales demoraba 4.46 seg. en realizar un ciclo completo y lo podría realizar infinitas veces a lo largo del tiempo. Además podemos ver que el sistema tiene dos tipos de energía, cinética y potencial elástica, cuya suma es constante, como dijimos anteriormente el disco posee energía cinética mientras no esta en contacto con ninguno de los resortes, contrariamente cuando toca las resortes tiene energía potencial elástica.

Segunda parte: 





En la segunda parte agregamos otro parámetro, el rozamiento, el cual es una fuerza no conservativa, disipando la energía deformando el movimiento descrito por el disco disminuyendo su amplitud hasta que la misma es nula, que es cuando el disco se detiene completamente. En los tramos de movimiento armónico simple el periodo es el mismo en la primer y en la segunda situación ya que no depende de la energía del sistema sino que es característico del mismo. Como consecuencia del ítem anterior la diferencia entre el periodo total entre la primer y segunda parte se debe únicamente a los tramos donde la ficha no está en contacto con los resortes.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS •

RESNICK, R., HALLIDAY D. Física – Parte uno. Compañía Editorial Continental, S.A. Primera Publicación, cap. 15, p. 313-319, 1980.

-9-

Fisica de Resnick Ejercicios Resueltos Oscilaciones

Recommend Documents