F´ısica ısi ca Esta Es tad d´ ıstic ıs tica a - Deb De b er 6 Alejandro G´ omez omez Espinosa
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Escuela Polit´ ecnica ecnica Nacional Naciona l Quito - Ecuador
23 de mayo de 2011 Libro de Reif. F, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. Cap´ Cap´ıtulo 6. 6.2
Considere de nuevo el sistema del problema 3.2; i.e. N part´ part´ıculas interactuando d´ebilmente, ebilmente, cada una con 1 spin 2 y momento magn´etico etico µ, en un campo magn´ etico etico externo H. Suponga que ese sistema esta en contacto t´ermico ermico con un reservorio de calor a una temperatura absoluta T. Calcule su energ´ energ´ıa media E como funci´on on de T y H. Compare el resultado con la respuesta del problema 3.2. Cada sp´ sp´ın tiene t iene una u na probabili pro babilidad dad exp( ex p(βµH βµH ))/Z de estar alineado con un campo externo y una probabilidad exp(−βµH ) βµH )/Z de no estarlo. De esta manera la energ´ energ´ıa media de cada part´ part´ıcula es: Soluci´ on: on:
E 1 =
µH exp( µH exp(βµH βµH )) − µH exp( µH exp(−βµH ) βµH ) = µH tanh( µH tanh(βµH βµH )) exp(βµH exp(βµH )) + exp(−βµH ) βµH )
(1)
y su valor total es: E = N µH tanh( µH tanh(βµH βµH )) 6.4
(2)
Una muestra de aceite aceite mineral mineral se lo ubica en un campo magn´ etico etico externo H. Cada proton tiene spin 12 y un momento magn´etico etico µ; ´este este puede tener dos posibles posi bles energ´ıas ıas ε = µH , correspondiente a las dos posibles orientaciones de su spin. Un campo aplicado de radio-frecuencia puede inducir transiciones entre estos dos niveles de energ´ energ´ıa si su frecuencia ν satisface la condici´on on de Bohr hν = 2µH . La potencia absorbida de este campo de radiaci´on on es entonces proporcional a la diferencia en el n´umero de n´ ucleos ucleos en estos dos niveles de energ´ energ´ıa. Asuma que los protones en el aceite mineral est´an an en e n equilibr e quilibrio io t´ermico ermico a una u na tempertura T tan alta tal que µH kT . kT . Como depende la potencia absorbida en la temperatura T de la muestra?. La potencia absorbida es proporcional a la diferencia en el n´umero de n´ ucleos en los dos niveles. ucleos Si N es el n´ umero umero total de n´ucleos ucleos entonces: Soluci´ on: on:
n+ − n
−
= =
N exp( N exp(µH/kT µH/kT )) N exp( N exp(−µH/kT ) µH/kT ) − exp(µH/kT exp(µH/kT )) + exp(−µH/kT ) µH/kT ) exp(µH/kT exp(µH/kT )) + exp(−µH/kT ) µH/kT ) N (exp( N (exp(µH/kT µH/kT )) − exp(−µH/kT )) µH/kT )) exp(µH/kT exp(µH/kT )) + exp(−µH/kT ) µH/kT )
Expandiendo los exponenciales hasta la primera potencia: n+ − n
−
≈ N
1+ 1+
µH kT µH kT
− 1 + µH N µH kT = µH kT + 1 − kT
(3)
De (3) se puede concluir que la potencia absorbida es proporcional al inverso de T. 6.6
Un sistema consiste en N part´ part´ıculas que interact´ uan uan d´ ebilmente, ebilmente, cada una puede estar en dos estados de ene en erg´ıa ε1 y ε2 , donde ε1 < ε 2 . 1. Sin c´alculos alculos expl´ıcitos, ıcitos, realice un esquema es quema cualitativo cualit ativo de la energ´ıa ıa media m edia E del sistema como funci´on on de su temperatura T. Cu´al al es el valor de E en los l´ımites de alta y baja temperatura?. Vagamente, qu´e temp te mperat eratura ura cambia cambi a E de su valor bajo ba jo al l´ımite alto? Soluci´ on: on: Sin perder generalidad, se puede tomar a ε1 = −ε y ε2 = ε. De esta manera, a bajas temperaturas la energ´ energ´ıa media seria: E ≈ − N ε y a altas temperaturas un valor cercano a cero. El cambio entre estos l´ımites ımites puede ocurrir o currir cerca de una tempertura t empertura T = ε/kB .
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2. Usando el resultado anterior, realice un esquema cualitativo de la capacidad calor´ calor´ıfica C v (a volumen constante) como una funci´on on de la temperatura T. orica orica es ∂E/∂T entonces su valor es cero tanto a bajas como a altas Soluci´ on: on: Si la capacidad cal´ temperaturas. En el valor de T = ε/kB tendr´ a un m´aximo. aximo. El ancho del pico ser´a del orden de ε/kB , su area a´rea ser´a N ε, mientras que el alto del pico ser´a del orden de N kB . 3. Calcular expl´ıcitamente ıcitam ente la energ´ıa ıa media E (T ) T ) y la capacidad cal´orica orica C v (T ) T ) del sistema. Verifique sus expresiones con las caracter´ caracter´ısticas de los literales anteriores. ıa ıa media en funci´on on de la temperatura para el sistema es: Soluci´ on: on: La energ´ E = −N ε
exp(ε/k exp(ε/kB T ) T ) − exp(−ε/kB T )) T )) = −N ε tanh(ε/k tanh(ε/kB T ) T ) exp(ε/k exp(ε/kB T ) T ) + exp(−ε/kB T ) T )
Y la capacidad cal´orica: orica: C v = 6.10
(4)
N ε2 kB T 2 cosh2 (ε/kB T ) T )
(5)
Una soluci´on on disoluta de macromol´eculas eculas a temperatura t emperatura T se la pone en una ultracentrifugadora que rota con velocidad angular w. La aceleraci´on on centr´ cen tr´ıpet ıp etaa w2 r act´ uando uando en la part´ part´ıcula de masa m puede ser reemplazada reemplaza da por p or una fuerza centr´ centr´ıfuga equivalente mw2 r en el sistema de referencia que rota. 1. Halle como la densidad relativ relativa ρ(r) de las mol´ eculas eculas var´ var´ıa con su distancia radial r desde el eje de rotaci´ on. on. Soluci´ on: on: La densidad relativa es proporcional a la probabilidad de un evento r: ρr = AP r
donde
P r =
exp(−βE r ) Z
(6)
La energ´ıa ıa del sistema es:
1 1 mv2 = mw2 r2 2 2 por lo que nuestra expresi´on on para la funci´on on de partici´on on en todo el espacio es: E r =
∞
Z = exp(−βE ) = r
0
r
mw2 r2 dr exp −β 2
(7)
(8)
integrando la expresi´on on (8):
√
2 Z = √ βmw
√βmwr
mw2 r2 exp −β 2
∞
d
√
0
2
√
1 2π = √ 2 βmw
(9)
Reemplazando (9) en (6 (6) tenemos: ρ(r) =
A
2π
βw 2 m
mw2 r2 exp −β 2
(10)
2. Muestre cuantitativamente cuantitativamente como el peso molecular de las macromol´ eculas eculas puede ser determinado si la fracci´on on de densidad ρ1 /ρ2 de los radios r1 y r2 se miden mediante medios ´opticos. opticos. Soluci´ on: on: Del literal anterior tenemos las densidades para ambos radios: ρ1 =
A
2π 2
βw m
mw2 r12 exp −β 2
;
ρ2 =
A
2π 2
βw m
mw2 r22 exp −β 2
La relaci´on on entre densidades es: ρ1
exp
−β
mw2 r12
2
βmw
2
(11)
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6.13
Suponga que la expresi´on: on: S = −k
P ln P r
(14)
r
r
es aceptada como la definici´on on general de la entrop´ entrop´ıa de un sistema. Los siguientes problemas ilustran que la entrop´ entrop´ıa definida de esta manera tiene algunas muy interesantes propiedades que indican que S es una medida del desorden o aleatoriedad en un sistema. Imagine que un sistema A1 tiene la probabilida probabilidad d P r(1) de ser encontrado en un estado r y un sistema A2 tiene la probabilidad P s(2) de ser encontrado en un estado s. Entonces se tiene que: S 1 = −k
P
(1)
r
ln P r(1)
y
S 2 = −k
r
P
(2)
ln P r(2)
s
(15)
s
Cada estado del sistema compuesto A, que contiene A1 y A2 , puede ser denotado por un par de n´umeros umeros r,s; sea la probabilidad de que A se encuentre en este estado denotado por P rs entrop´ıa esta rs . Entonces su entrop´ definida definida por: (16) S = −k P rs rs ln P rs rs
r
s
(1)
(2)
Si A1 y A2 interact´ uan uan d´ ebilmente ebilmente tal que sean estad´ estad´ısticamente independiente, i.e. P rs rs = P r P s . Demuestre que bajo estas circunstancias la entrop´ entrop´ıa es simplemente aditiva, i.e. S = S 1 + S 2 . Soluci´ on: on:
La entrop´ entrop´ıa del sistema esta dado por: S kB
= =
P P ln P P − P P ln P − − P P ln P P ln P − P P − P P S + P S −
(1)
r
(2)
(1)
s
r
(2)
s
rs
(1)
r
(2)
(1)
s
(1)
r
r
rs
=
(1)
s
(1)
r
(2)
s
S 1 + S 2 kB
De donde podemos concluir que S = S 1 + S 2 .
(1)
r
r
2
kB
(2)
r
r
1
kB
(1)
r
r
s
=
(2)
s
rs
(2)
s
=
(2)
s
s
s
ln P s(2)
