F´ısica ısi ca Esta Es tad d´ ıstic ıs tica a - Deb De b er 7 *
Alejandro G´ omez omez Espinosa Escuela Polit´ ecnica ecnica Nacional Naciona l Quito - Ecuador
19 de junio de 2011 Libro de Reif. F, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. Cap´ Cap´ıtulo 7. 7.5
Una banda el´astica astica a temperatura absoluta T esta sujetada por un gancho en un extremo y en el otro un peso W . W . Asuma como un modelo microsc´opico opico simple de la banda el´astica astica que consiste en una cadena de pol´ pol´ımeros de N segmentos unidos entre ellos; cada segmento tiene t iene la longitud de a y puede ser orientado paralelo o antiparalelo a la direcci´on on vertical. Halle una expresi´on on para la longitud media l resultante de la banda el´astica astica como una funci´on on de W . W . (Omitir ( Omitir la energ e nerg´´ıa cin´ c in´etica etica o el peso de los lo s segmentos seg mentos o cualquier cua lquier interacci´ on on entre ellos). Soluci´ on: on:
La longitud total de la cadena de pol p ol´´ımeros, si son paralelos o antiparalelos, puede ser expresado
como: aT = (a ( a + aanti ( n1 − (N − n1 ))a ))a = (2n (2n1 − N ) N )a anti )a = (n
(1)
La probabilidad de que n1 segmentos est´en en direccionad dir eccionados os para par a arriba arri ba y N − n1 para abajo es: P N N (n1 ) =
N ! N ! pn (1 − p) p)N − N −n n1 !(N !(N − n1)!
(2)
1
1
cuya multiplicidad para la longitud total es:
g(n1 , n2 ) = Asi la entrop´ıa ıa esta dada por:
N ! N ! n1 !(N !(N − n1 )!
S = kB ln g = kB (ln N ! N ! − ln n1 ! − ln(N ln(N − n1 )!) = kB (N ln N ln N − n1 ln n1 − (N − n1 )ln(N )ln(N − n1))
(3)
Derivando (3 (3) con respecto a n1 :
dS N − n1 = kB ln (4) dn1 n1 Sabemos Sabem os que qu e la entrop´ıa ıa esta e sta relaciona r elacionada da con co n la energ´ıa ıa por p or medio med io de d e dE = T dS − dW . dW . Cuando la masa esta en equilibrio, i,e. en reposo, dE = 0 y tenemos que T dS = dW = F dl = Mgdl. Mgdl. De la ecuaci´on on (1) podemos concluir que dl = daT = 2adn1 . Hallamos que: T dS = M g
dS 2M ga = dn1 T
⇒
(5)
Reemplazando en (4 (4): 2M ga = kB ln T
N − n1 n1
Despejando n1 de (6):
⇒
n1 = N 1 + exp Reemplazando (6 (6) y (7) en (1 (1): aT = *
[email protected]
1 − exp 1 + exp
N − n1 = exp n1
2M ga
kB T
1
2M ga kB T
2M ga kB T
(6)
−1
2M ga
kB T
N a = −N a tanh
(7)
M gL kB T
(8)
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7.11
Asuma el siguiente siguiente modelo sobresimpl sobresimplificado ificado para calcular calcular el calor espec´ espec´ıfico del grafito, grafito, que tiene una estructura cristalina de capas altamente anisotr´opica. opica. Cada ´atomo atomo de carb´on on en esta estructura puede ser considerado como que realiza oscilaciones arm´onicas onicas simples en tres dimensiones. Las fuerzas resultantes en las direccione direccioness paralelas paralelas a una capa son muy grandes; grandes; por p or lo que las frecuencia frecuenciass naturales naturales de oscilaci´ oscilaci´on on en las direcciones x y y sobre el plano de una capa son iguales a un valor w que es m´as as grande que 300k k . Por otro lado, la fuerza de restauraci´on on perpendicular a una capa es muy peque˜na na por lo que w 300 su frecuencia de oscilaci´on on w⊥ de un ´atomo atomo en la direcci´on on perpendicular z a una capa es muy peque˜na na tal que w⊥ 300 300k k . En base a este modelo, cu´al al es el calor molar espec´ espec´ıfico (a volumen constante) del grafito a 300K 300K . La energ en erg´´ıa media m edia del material materia l es: E (x,y,z) x,y,z ) = E (x) + E (y ) + E (z )
(9)
tomando en cuenta que los ´atomos atomos de la red se comportan como un oscilador arm´onico onico en la direcci´on on x y y con la condici´on on que w kT y en la direcci´on on z con la condici´on on w kT tenemos: E (x,y,z) x,y,z ) = N
w
1 + exp(−β w) + w 2
1 1 + exp(−β w) + 2 β
(10)
Con este valor obtenemos la capacidada calor´ıfica ıfica a volumen constante: C v
= = = = =
− − − − − − − − − − − − − ∂E ∂T
∂E ∂β ∂β ∂T
=
V
∂β ∂ N ∂T ∂β
w
+
2 exp( β w) +
1 kT 2
N
2w exp( β w)
1 kT 2
N
2w w exp −kT
1
N w 2w exp 2 kT kT N w = R+ 2w exp 2 kT kT
(12)
β
1 β2
(13)
k2 T 2
(14)
N 2N w + + kN w 2 2 kT kT exp −kT
= kN +
7.16
(11)
V
1
1
(15) (16) (17)
Una soluci´on on acuosa a temperatura ambiente T contiene una peque˜ na na concentraci´on on de ´atomos ato mos magn´eticos, eti cos, 1 cada uno de los cuales tiene un spin 2 y un u n moment m omentoo magn´ ma gn´etico eti co µ. La soluci´on on se encuentra en un campo magn´etico eti co externo exte rno H apuntando en la direcci´on on z . La magnitud de este campo es inhomog´eneo eneo sobre el volumen de la soluci´on. on. Para ser espec esp ec´´ıfico, ıfico , H = H (z) es una funci´on on de z mon´otona otona creciente, asumiendo un valor H 1 al final de la soluci´on on donde z = z1 y un valor grande de H 2 al tope de la soluci´on on donde z = z2 . 1. Sea n+ (z )dz el n´ umero umero medio de ´atomos atomos magn´ eticos eticos cuyo spin apunta en la direcci´ on on z y que est´an an localizados entre z y z + dz. dz . Cual es la relaci´on on n+ (z2 )/n+ (z1 )? Denotando a ρ+ (z) como la densidad de ´atomos atomos con sp´ sp´ın hacia arriba y ρ− (z ) como la densidad de atomos ´atomos con sp´ sp´ın hacia abajo tenemos que el n´ n umero u ´ mero de ´atomos atomos n± (z ) es:
n+ (z ) = ρ+ (z )exp
1 βµ o H (z ) 2 1
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2. Sea n(z )dz el n´ umero medio total de los ´atomos umero atomos magn´eticos eticos (en ambas direcciones direccio nes de orientaci´on on de spin) que est´an an localizados entre z y z + dz. dz. Cual es la relaci´on on n(z2 )/n( /n(z1 )? Es m´as as grande, igual o menos a la unidad? La relaci´on on tomando en cuenta ambas direcciones es: n(z2 ) n(z1 )
n+ (z2 ) + n− (z2 ) n+ (z1 ) + n− (z1 ) ρ+ exp 12 βµ o H 2 + ρ− exp ρ+ exp 12 βµ o H 1 + ρ− exp
=
=
1 2 1 2
βµ o H 2 βµ o H 1
3. Utiliza Utiliza el hecho que µH kT para simplificar las respuestas anteriores. En general se conoce que: x2 exp(x exp(x) = 1 + x + (19) 2 Expandiendo los exponenciales del resultado de la pregunta anterior tomando µH/2 µH/2kT = x y sabiendo que las densidades ρ+ y ρ− son iguales debido a que existe el mismo n´umero umero de ´atomos atomos con polarizaci´on on hacia arriba y hacia abajo (i.e. ρ− = ρ+ = ρ): ρ
n(z2 ) n(z1 )
= ρ =
1 + x2 + 1 + x1 +
x22 2 1 2
x
2
2 2
1+
x
1+
x12
− − + 1
x2 +
+ 1
x1 +
x22 2
x21 2
2 2
x22 1+ 2
x21 2
−
≈
1
Finalmente tenemos que: n(z2 ) n(z1 ) 7.30
2
2
− ≈ 1+
µH 2 2kT
1
2
µH 1 2kT
=
2
µ2 H 2 1 + 2 22 8k T
− 1
µ2 H 12 8k 2T 2
(20)
Las mol´ m ol´eculas eculas de un gas ideal i deal monoat´ m onoat´omico omico se est´an an escapando por efusi´on on a trav´es es de d e un agujero peque˜ pequ e˜no no en una pared de un recinto manteniendo una temperatura absoluta T . T . 1. Por razones f´ısicas (sin c´alculos) alculos ) se espera que la energ´ıa ıa cin´etica etica media ε0 de una mol´ecula ecula en el haz efuso sea igual, mayor o menor a la l a energ en erg´´ıa cin´etica etica media ε1 de una mol´ecula ecula encerrada? encerrad a? Soluci´ on: on: Se espera que la energ´ energ´ıa cin´ etica etica media en el gas de efusi´on on sea mayor al de la mol´ ecula ecula encerrada debido a que las mol´ eculas eculas encerradas van a colisionar entre si, perdiendo energ´ energ´ıa y por ende velocidad. Por el contrario, las mol´ eculas eculas en el haz se encontrar´ encontrar´ıan mayormente mayormente alineadas, por lo que su velocidad velocid ad ser´ ser´ıa mayor y por consiguiente consigu iente su energ´ıa ıa cin´etica etica media. 2. Calcular Calcular ε0 para una molecula en el haz efuso. Exprese su respuesta en t´ erminos erminos de ε1 . umero umero de mol´ eculas eculas por unidad de ´area area y tiempo, es decir su flujo, que salen por el Soluci´ on: on: El n´ agujero es: 1 φ0 = nv (21) 4 Es conocido que: 1 4π ∞ 2 3 2 v = f ( f (v)v d v = dvf ( dvf (v)v4 (22) n n 0 es decir:
m
3/2
∞
mv2
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idem para n2 : v22
m 2πkB T
= 4π = =
3/2
4π v
dv exp
0
3/2
m 2πkB T
4π
3kB T 1/2
m
m 2πkB 4kB T m
∞
dv exp
0
m 2πkB T
3/2
= 4π =
∞
mv2 v4 2kB T
(26)
mv 2 v5 2kB T
(27)
− − 3/2
m 2kB T
∞
−
mv 2 v5 2kB T
dv exp
0
−3
πm 8kB T
(28)
1/2
(29) (30)
Sabiendo que ε0 = 12 mv 2, reemplazamos (25 (25)) y (30 30)) obteniendo:
Finalmente hallamos la relaci´on: on:
ε20 =
1 4kB T m = 2kB T 2 m
(31)
ε20 =
1 3kB T 3 m = kB T 2 m 2
(32)
ε0 2kB T 4 = = ε1 3kB T /2 3
(33)
