Introducción Al presentar este tema hay muchas cosas de las que hay comentar antes de irnos directamente al tema principal el cual es “Vector de Poynting”, es por eso que en el siguiente trabajo no solo presentaremos una simple vista al tema ya dicho, sino que daremos a conocer principalmente datos previos al vector de poynting, esto quiere decir que explicaremos entre muchas cosas, lo referido al creador de este teorema y por consecuencia el vector, esto permitirá a los que quieran conocer y leer este trabajo poder entender el tema presentándolo de una manera distintas y conocer los antecedentes de la creación y desarrollo de dicho vector. Al presentar en si lo que es el vector de poynting, hablaremos tanto de lo que representa en si dicho vector, como las demostraciones matemáticas respectivas al desarrollo de este tema y para ayudar a tener una mejor idea y que el lector de este trabajo pueda plasmar de alguna manera los conocimientos adquiridos con esta lectura presentaremos una serie de ejemplos que le permitirán ver de forma practica los distintos modelos de el vector poynting.
John Henry Poynting Como previamente habíamos dicho para entender mejor el tema hablaremos de sus antecedentes. El mas importante sin duda hablar del creador y de Los aportes de J. H. Poynting dejo a la física se observan a partir del año 1884, cuando desarrolla la ley conservación de energía para los campos eléctricos y magnéticos (teorema de Poynting), observando que el vector flujo de energía, que transporta la onda electromagnética, depende solo de los campos. Este vector es llamado vector de Poynting en su honor y es muy usado en la construcción de antenas. Teorema de poynting Expresa la ley de conservación de la energía esta ley afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema físico aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. Establece que la disminución de energía electromagnética en una región se debe a la disipación de potencia en forma de calor (por efecto Joule) y al flujo hacia el exterior del vector de Poynting. Relaciona la derivada temporal de la densidad de energía electromagnética con el flujo de energía y el ritmo al que el campo realiza un trabajo. Puede resumirse mediante la fórmula:
Donde U es la densidad de energía, S es el vector de Poynting, J la densidad de corriente y E el campo eléctrico. Dado que el campo magnético no realiza trabajo la parte derecha de la ecuación incluye todo el trabajo realizado por el campo electromagnético. De forma integral, se puede expresar como:
Donde: Pd : potencia disipada por efecto Joule W : energía electromagnética
Demostración del teorema de Poynting
El trabajo realizado por las fuerzas viene dado por:
Dado que la fuerza magnética no realiza trabajo sobre las cargas tenemos que:
El trabajo por unidad de tiempo y volumen será por tanto:
Aplicando la ecuación de Maxwell:
Tenemos que:
Aplicando la relación vectorial:
Y la ecuación de Maxwell:
Obtenemos finalmente que:
Vector de Poynting Dando esta breve reseña acerca de los acontecimientos previos a este vector, podemos desarrollar lo que es. El vector de Poynting es un vector cuyo modulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética que fluye a través de una unidad de área superficial perpendicular a la dirección de propagación de la onda y cuya dirección es la de propagación de la onda electromagnética. De una manera más general el vector de Poynting puede definirse como: El producto vectorial del campo eléctrico y el campo magnético y cuyo módulo nos da la intensidad de la onda. Denotaremos el vector con el siguiente símbolo:
Donde: Representa el campo eléctrico Intensidad del campo magnético Campo de inducción magnética La permeabilidad magnética del medio
.
.
Unidades: Sus unidades en el SI son los Vatios sobre metro cuadrado. Dado que los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética oscilan con la frecuencia de la onda, la magnitud del vector de Poynting cambia en el tiempo. El promedio del vector de Poynting sobre un período muy superior al periodo de la onda es llamado irradiancia, I :
.
La irradiancia representa el flujo de energía asociado a la radiación electromagnética en la dirección perpendicular a su dirección de propagación.
Ejemplo de ejercicios de vector de poynting Un cable coaxial ideal está formado por un cilindro interior, de radio a , perfectamente conductor, y una superficie cilíndrica exterior, de radio b , también perfectamente conductora. Los cilindros se extienden indefinidamente a lo largo de su eje. El cilindro interior se encuentra a una tensión V 0, mientras que la superficie exterior se encuentra a tierra. Simultáneamente, por la superficie del núcleo fluye una corriente I 0 en la dirección del eje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que hay distribuida uniformemente una corriente − I 0. 1. Halle los campos eléctrico y magnético en todos los puntos del espacio. 2. Calcule las densidades de energía eléctrica y magnética por unidad de volumen, así como la energía total almacenada en una porción de longitud h del cable coaxial. 3. Determine el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. ¿En qué dirección fluye la energía? Halle el flujo de energía a través de una sección del cable coaxial.
Grafico:
Campos eléctrico y magnético Dado que la situación es estática, pues ni V 0 ni I 0 dependen del tiempo, los problemas eléctrico y magnético están desacoplados. Por tanto pueden resolverse independientemente. Campo eléctrico Dada la simetría cilíndrica del problema, escogeremos estas coordenadas, con el eje z coincidente con el eje central del cable. Al ser el campo magnético estacionario el campo eléctrico es irrotacional en todo el espacio, . Resolveremos entonces la ecuación del potencial electrostático en cada región definida por los conductores. Este apartado se reduce al estudio de un condensador coaxial.
Por simetría el potencial en cada región sólo puede depender de la coordenada radial cilíndrica ρ. ρ < a : El núcleo de cable está sometido a un potencial. Al ser un conductor perfecto es equipotencial. a < ρ < b : En esta región no hay densidad volumétrica de carga. El núcleo está a un potencial y la carcasa exterior a tierra. Entonces el problema de potencial queda:
Con las condiciones:
Siendo la solución final
El campo eléctrico en esta región es:
ρ > b : Aquí tampoco hay carga en volumen, por lo que el potencial es armónico. Las condiciones de contorno son
homogéneas, pues φ(ρ = b ) = 0 y . Entonces el potencial es nulo y por tanto el campo eléctrico también.
Campo magnético El problema magnético es similar en varias aspectos al eléctrico. Por simetría el campo magnético sólo depende de la coordenada ρ. Por la similitud con la geometría de un hilo infinito, podemos suponer que es acimutal, es decir, . Podemos entonces utilizar la ley de Ampère integral para resolver el problema, Siendo I S la corriente que atraviesa una superficie apoyado en el contorno de circulación de . Consideramos circunferencias contenidas en planos perpendiculares al eje z , concéntricas con él de radio ρ. Dada la forma del campo magnético se tiene, para cualquier valor de ρ La corriente que atraviesa los círculos que definen esas circunferencias sí depende de su radio. Así:
ρ < a En este caso I S = 0, pues el enunciado dice que la corriente fluye únicamente por la superficie del núcleo del cable. Entonces B (ρ < a ) = 0. a < ρ < b Ahora el círculo es atravesado por la corriente que fluye por la superficie del núcleo, es decir I S = I 0 y
por tanto . ρ > b El circulo es atravesado por la corriente que fluye por la superficie y por la carcasa. Como son iguales y de sentido contrario se tiene I S = 0 y B (ρ > b ) = 0.
Vemos que tanto el campo eléctrico como el magnético son no nulos sólo en el espacio entre los cilindros, siendo además ortogonales entre sí. Vector de Poynting y flujo de energía El vector de Poynting se calcula a partir del campo eléctrico y el magnético. Este vector es nulo en el núcleo y el exterior del cable, mientras que en la región interior vale Si V 0 es positivo, la energía se transmite entonces en el sentido positivo del eje z , es decir, en la dirección en que fluye la corriente en el núcleo del cable. Para calcular la potencia transmitida a través de una sección del cable hay que calcular el flujo del vector de Poynting en esa sección. El vector de superficie será, usando coordenadas cilíndricas, . Como es no nulo sólo en la región entre conductores la potencia es
Conclusión Finalizando ya se han cumplido los objetivos de este trabajo que era mostrar y desarrollar el tema de vector de Poynting, no solo hablar de eso sino que también conocer previamente quien fue su creador, el teorema en que se basa este vector y por supuesto el desarrollo del tema que también incluyo un ejercicio para saber aplicar y usar el vector de Poynting.
