5.1 TEORIA DE LA CAPA LIMITE. La teroria de la capa limite fue introducida por Prandtl. Esta teoria establece, que, para un fluido en movimiento, todas las perdidas por friccion tienen lugar en una delgada capa adyacente al contorno del solido (llamada capa limite), y que el flujo exterior a dicha capa puede considerarse como carente de viscocidad. La distribucion de velocidades en la zona proxima al contorno es influencia por la tension cortante en el contorno. En general, la capa limite es muy delgada en la parte de aguas arriba del contorno y va aumentando su espesor hacia aguas abajo por accion continua de las tensiones cortantes. Para numeros de Reynolds bajos, toda la capa limite es gobrnada por la accion de fuerzas viscosas y en su interior el flujo es laminar. Para valores intermedios del numero de Reynolds la capa limite es laminar cerca de la superficie del contorno y turbulenta en la zonas algo mas alejadas. Para valores del numero de Reynolds muy elevados la capa limite es totalmente turbulenta.
Fig. 5 muestra los perfiles mas usuales.
5.1.1 PERFILES DE VELOCIDAD PARA UNA PLACA LISA. PLACAS PLANAS. En el caso de una placa de L m de longitud, mantenida paralela al movimiento relativo del fluido, se aplican las siguientes ecuaciones. 5.1.a ZONA LAMINAR. (hasta numeros de Reynolds alrededor de 500,000.). (a) coeficiente de resistencia medio (CD)=
.2 = .2
(EC. 1)
(b) espesor de la capa limite δ (en m) a una siatncia generica x viene dada por
= .2 = .2
(ec. 2)
(c) tension cortante τ o en (Kg/m2 ) se calcula por:
0.33 2 = 0.33 2 = 0.33 =
(ec.3)
Donde V=velocidad de aproximacion del fluido (velocidad no perturbada) X= distancia al borde de ataque en m L=longitud total de la placa en m, Rex= numero de reynolds local para la distancia x. Como ponen de manifiesto las formulas dadas, el espesor de la capa limite es directamente proporcional a la raiz cuadrada de la longitud x y a la raiz cuadrada de la viscocidad cinematica e inversamnete proporcional a la raiz cuadrada de la viscocidad. Analogicamente la tension cortante en la superficie del contorno τo es directamente proporcional a la raiz cuadrada del producto de ρ y μ y a la potencia tres medios de V e inversamente proporcioanal a la raiz cuadrada de x. 5.1.b ZONA DE TRANSICION De laminar a turbulenta sobre la placa (Re de 500,000 a 20, 000, 000 aprox. ). (a) Coeficiente de resistencia medio
. − ( ).
(CD)=
(ec. 4)
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5.1.c ZONA TURBULENTA (a) coeficiente de resistencia medio
.
(ec.5)
(CD)= para 2x105
.
= (log0.455 )2.
(ec.6)
para 106
Para contornos rugosos, el coeficiente de resistencia varia con la rugosidad relativa ϵ/L y no con el numero de reynolds. K.E Schoenherr ha sugerido el empleo de la formula
= 4.13lg() ecuacion
considerada de mayor precision que las (5) y (6), particularmente para numeros de reynolds por encima de 2x10 7 (b) el espesor δ de la capa limite se calcula mediante
= .. ……….(ec. 7) para 5x10
4
6
6
8
(c ) la tension cortante en la pared se estima por:
= .2( ) = 0.0587 2 ( )/……………… (ec. 9)
Fig. 5.8 espesor de la capa limite, zona lamianar, transicion, turbulenta.
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5.2 FUERZA DE ARRASTRE Puesto que el aire tiene viscosidad existe una fuerza de arrastre de este tipo generada dentro de la capa límite que definiremos a continuación. Se trata de una capa muy delgada de aire que se forma sobre la superficie de los cuerpos en movimiento y en la cual se ha demostrado experimentalmente que la velocidad del aire varía desde el valor cero, sobre la superficie, hasta el valor de la velocidad del flujo de aire libre de obstáculos. Esta capa límite contribuye también a los gradientes de presión cerca de las superficies; es la causante de que los fluidos se separen, se desprendan de los contornos de las superficies generando turbulencia en las partes posteriores, las llamadas estelas. El descubridor del concepto de capa límite fue Prandtl. En la figura 5.9 se hace una definición esquematizada del concepto de capa límite. En la foto 5.10 presentamos un experimento de una placa en el túnel de viento a la cual le llega una traza de humo; se observa claramente una separación en la mitad de la placa. El grosor de la capa límite que es la distancia entre la línea que divide a la sección A de la B, y la placa se le llama .
Figura 5.9: Definición de capa límite para una placa en un fluido viscoso con velocidad constante. En la región A la velocidad es la del fluido libre; en B la velocidad del fluido cambia de cero a 0,99V; en la región C hay turbulencia. En el punto c empieza la inversión de la velocidad cerca de la placa.
Figura 5.10: Experimento con una placa en el túnel de viento del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Chile.
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Una definición útil para las expresiones matemáticas es la de grosor de desplazamiento δ; representa al flujo equivalente de la capa límite cuando la velocidad es la velocidad del flujo libre en el lugar donde el grosor de la capa límite es . Consideremos el gráfico 5.11; se define en el punto donde la velocidad más lejana a la placa es 0,99 (velocidad del flujo sin la placa) y sean iguales, es decir:
se elige de manera que las áreas I y II
(Ec. 10)
Luego: (Ec. 11)
Que corresponde a la reducción total del flujo en la capa límite; finalmente tenemos: (Ec. 12)
Figura 5.11: Definición de y . Calcularemos ahora, usando un método de Von Kármán, la fuerza de cizalla, τ, que una placa ejerce sobre la capa límite; supondremos que no hay gradientes de presión a lo largo de la placa. Para ello tomamos un volumen de control de largo y altura δ1 en Página 4
la entrada del fluido y δ2 en la salida, como presentamos en la figura 5.12. Utilizando la ecuación (ec.15) para el comportamiento de las magnitudes físicas, en el volumen de control tenemos para la masa:
Figura 5.12: Volumen de control en una capa límite para calcular la fuerza de cizalla de un flujo sobre una placa. (ec.13)
de modo que el cambio de momento por unidad de tiempo debido al ingreso de masa por la parte superior del volumen de control, a velocidad V, está dado por: (ec.14)
Por otra parte, la ecuación para el momento es: (ec.15)
Por lo tanto la fuerza neta sobre la placa debido al roce con la capa límite placa será, para un largo : (ec.16)
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Suponiendo ρ constante tenemos: (ec.17)
Siendo muy pequeño tendremos también que la diferencia entre δ1 y δ2 también lo será y por lo tanto el término de la derecha de (ec.18) será una diferencial; en consecuencia escribimos: (ec.18)
τo
(ec.19)
Introduciremos ahora la ley de Newton para la viscosidad. Esta ley establece una relación entre la viscosidad de un fluido y la cizalla (fuerza de corte) entre sus capas. Consideremos el esquema de la figura 5.13. Una tabla de área A se posa sobre la superficie de un fluido viscoso y se la desplaza con velocidad uniforme
aplicando
una fuerza . El fluido tiene una profundidad y. Newton descubrió que la fuerza necesaria para que esto suceda es proporcional a la magnitud de la velocidad y al área de la tabla, y es inversamente proporcional a y. Definiendo τ=F/A y μ la constante de proporcionalidad, llamada viscosidad , tenemos:
Figura 5.13: Ilustración para la ley de Newton para la viscosidad .
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(ec.20)
En la práctica la relación entre la velocidad y la profundidad y no es lineal y un cambio diferencial dy involucra un cambio diferencial como presentamos en la figura 5.14.
Figura 5.14: Relación característica entre la profundidad y la velocidad en un fluido viscoso. De este modo tenemos la ley de Newton para la viscosidad: (ec.21)
Existen dos causas importantes para la viscosidad: la atracción molecular y la transferencia de momento entre las moléculas. Nuestro interés es relacionar esta ley con la fuerza de arrastre debida a la capa límite en el régimen laminar. Tenemos: (ec.22)
Luego, (ec.23)
Suponiendo que la distribución de la velocidad v(y) en función de y es la misma a lo largo de toda la placa tomamos: Página 7
(ec.24)
Que sustituida en (ec.24) nos da: (ec.25)
Definiendo: (ec.26) y Tenemos: (ec.27)
Luego, integrando: (ec.28)
Puesto que
en
. Tenemos entonces: (ec.29)
Y definiendo el número de Reynolds: (ec.30)
Tenemos: (ec.31)
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La función se puede suponer de distintas formas si bien admite una deducción analítica como la realizada por P.R.H. Blasius. En relación a las formas asumidas está la siguiente debida a Prandtl: (ec.32)
Con esta relación se calculan en las (ec.27) resultando A=117/840, B=1.5 y =4.64, luego: (ec.33)
Calcularemos a continuación la fuerza de arrastre (ec.20) tenemos:
para la relación (ec.33); usando
(ec.34)
Que podemos escribir como: (ec.35)
Para la fuerza de cizalla total por unidad de ancho debida a una cara de una placa de longitud , llamada fuerza de piel o arrastre viscoso se tiene: (ec.36)
De manera análoga al arrastre de forma introducimos el coeficiente de fricción de piel
escribiendo: (ec.37)
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O sea: (ec.38)
Experimentos han demostrado que la capa límite permanece laminar siempre que ; a partir de allí el flujo es turbulento. Por ejemplo para una placa en un flujo de aire a se tiene:
(ec.39)
O sea el régimen en la capa límite es laminar hasta límite es:
. El grosor de la capa
(ec.40)
O sea el grosor de la capa límite en el régimen laminar es entre 0 y 2 flujo es turbulento la función
. Cuando el
está dada por la ley de Prandtl llamada potencia-
, es decir: (ec.41)
Con lo cual resulta, haciendo cálculos análogos al caso laminar: (ec.42)
Para la fuerza de arrastre viscoso en el régimen turbulento se tiene: (ec.43)
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Donde es el número de Reynolds basado en el largo total de la placa. Análogamente al caso laminar definimos un coeficiente de arrastre viscoso para el régimen turbulento por la relación: (ec.44)
O sea: (ec.45)
Ahora bien se ha demostrado experimentalmente que la relación (ec.46) es válida para
y que para valores mayores del número de Reynolds vale: (4.70)
5.3 SUSTENTACION Y RESISTENCIA La sustentación es la componente de la fuerza resultante, ejercida por el fluido sobre el cuerpo en dirección perpendicular al movimiento relativo del fluido. Usualmente se da en forma:
= 2 ………… (ec.71) = 2 …………….. (ec.72) Donde CD=coeficiente de resistencia adimensional CL= coeficiente de sustentación adimensional ρ= densidad del fluido, en UTM/m3 A=un área característica, en m2, que normalmente es la proyección del cuerpo sobre un plano perpendicular al movimiento del fluido. V= velocidad relativa del fluido respecto del cuerpo. 5.3.1 COEFICIENTES DE RESISTENCIAS
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Los coeficientes de resistencia dependen del número de Reynolds para las velocidades bajas e intermedias, y se hacen independientes de dicho número para velocidades elevadas. Para velocidades muy altas el coeficiente de resistencia depende del número de Mach, cuya influencia es despreciable a velocidades bajas. 5.3.2 COEFICIENTES DE SUSTENTACION Kutta ha determinado teóricamente los valores máximos de los coeficientes de sustentación para placas planas delgadas, en posición no perpendicular a la velocidad relativa del fluido, por:
= ……… (ec.73) Donde α= ángulo de ataque o ángulo que forma la placa con la velocidad relativa del fluido, para los ángulos normales de funcionamiento. Las secciones de perfiles de alas actuales dan valores de 90% aproximadamente del valor máximo teórico. El ángulo α no deberá exceder de 25° aproximadamente. 5.3.3 NUMERO DE MACH El número de mach es una relación adimensional, que viene dada por el coeficiente de velocidad del fluido, por la velocidad del sonido (llamada más frecuentemente celeridad)
= = =
…………………(ec.74)
5.3.4 RESISTENCIA TOTAL La resistencia total esta originada por la resistencia superficial y la resistencia de forma, debida a la presión. No obstante, muy raramente se presentan ambos efectos simultáneamente con el mismo orden de magnitud. En el caso de objetos, que no sufren una sustentación apreciable, la resistencia del perfil o superficial es sinónima de resistencia total. Objeto
resistencia superficial
de forma
resistencia total
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Fig. 5.15 resistencia de forma, y superficial, dan como resultado la resistencia total.
ANEXOS Ejemplo 1.
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Ejemplo 2.
Ejemplo 3
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Ejemplo 4.
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