FORMULARIO CÁLCULO VECTORIAL Unidad 1. Vectores en el espacio
Ing. César Omar Corona Castro
ESPACIO BIDIMENSIONAL
ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Vector posición
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃 = 〈𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 〉
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃 = 〈𝑥1 , 𝑦1 〉
Vector de desplazamiento
El vector de desplazamiento ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 desde el punto inicial 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) hasta el punto final 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 ) es ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 = 〈𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 〉
El vector de desplazamiento ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃1 𝑃2 desde el punto inicial 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) hasta el punto final 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) es ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈𝑥 𝑃1 𝑃2 = 2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 〉
Adición de vectores
Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 〉 y 𝒃 = 〈𝑏1 , 𝑏2 〉 en el espacio bidimensional, entonces 𝒂 + 𝒃 = 〈𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 〉
Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 〉 y 𝒃 = 〈𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 〉 en el espacio tridimensional, entonces 𝒂 + 𝒃 = 〈𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 〉
Multiplicación escalar
Negativo de un vector
Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 〉 en el espacio bidimensional, entonces 𝑚𝒂 = 〈𝑚𝑎1 , 𝑚𝑎2 〉 Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 〉 en el espacio bidimensional, entonces −𝒂 = 〈−𝑎1 , −𝑎2 〉
Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 𝑎3 〉 en el espacio tridimensional, entonces 𝑚𝒂 = 〈𝑚𝑎1 , 𝑚𝑎2 , 𝑚𝑎3 〉 Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 𝑎3 〉 en el espacio tridimensional, entonces −𝒂 = 〈−𝑎1 , −𝑎2 , −𝑎3 〉
Resta de vectores
Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 〉 y 𝒃 = 〈𝑏1 , 𝑏2 〉 en el espacio bidimensional, entonces 𝒂 − 𝒃 = 〈𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 〉
Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 〉 y 𝒃 = 〈𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 〉 en el espacio tridimensional, entonces 𝒂 − 𝒃 = 〈𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 , 𝑎3 − 𝑏3 〉
Vector cero
𝟎 = 〈0, 0〉
𝟎 = 〈0, 0, 0〉
Norma de un vector
Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 〉 en el espacio bidimensional, entonces ‖𝒂‖ = √𝑎1 2 + 𝑎2 2
Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 𝑎3 〉 en el espacio tridimensional, entonces ‖𝒂‖ = √𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2
Vector unitario
Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 〉 en el espacio bidimensional, entonces el vector unitario 𝒖 en la misma dirección que 𝒂 es 𝒂 𝑎1 𝑎2 〉 𝒖= =〈 , ‖𝒂‖ ‖𝒂‖ ‖𝒂‖
Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 𝑎3 〉 en el espacio tridimensional, entonces el vector unitario 𝒖 en la misma dirección que 𝒂 es 𝒂 𝑎1 𝑎2 𝑎3 〉 𝒖= =〈 , , ‖𝒂‖ ‖𝒂‖ ‖𝒂‖ ‖𝒂‖
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Ing. César Omar Corona Castro
Producto punto Sean los vectores a = 〈a1 , a 2 , a 3 〉 y b = 〈b1 , b2 , b3 〉 en el espacio tridimensional, entonces a ∙ b = a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 Forma alterna: El producto punto de los vectores a y 𝒃 es a ∙ b = ‖a‖‖b‖ cos 𝜃 donde u es el ángulo entre los vectores tal que 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋.
Producto cruz Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 〉 y 𝒃 = 〈𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 〉 en el espacio tridimensional, entonces 𝒊 𝒂 × 𝒃 = |𝑎1 𝑏1
𝒋 𝑎2 𝑏2
𝒌 𝑎3 | 𝑏3
Forma alterna: Sean 𝒂 y 𝒃 dos vectores distintos de cero que no son paralelos entre sí. Entonces el producto cruz de 𝒂 y 𝒃 es 𝒂 × 𝒃 = (‖𝒂‖‖𝒃‖ sen 𝜃) 𝒏 donde 𝜃 es el ángulo entre los vectores tal que 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 y 𝒏 es un vector unitario perpendicular al plano de 𝒂 y 𝒃 con dirección dada por la regla de la mano derecha.
Triple producto escalar Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 〉, 𝒃 = 〈𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 〉 y 𝒄 = 〈𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 〉 en el espacio tridimensional, entonces 𝑎1 𝒂 ∙ (𝒃 × 𝒄) = |𝑏1 𝑐1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎3 𝑏3 | 𝑐3
Ángulo entre vectores El ángulo 𝜃 más pequeño de los dos ángulos posibles entre los vectores 𝒂 y 𝒃 es 𝜃 = cos −1
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𝒂∙𝒃 ‖𝒂‖‖𝒃‖
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Ing. César Omar Corona Castro
Cosenos directores
Para un vector distinto de cero 𝒂 = 〈𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 〉 en el espacio tridimensional cos 𝛼 =
𝑎1 ‖𝒂‖
cos 𝛽 =
𝑎2 ‖𝒂‖
cos 𝛾 =
𝑎3 ‖𝒂‖
Componente de un vector sobre otro
Sean los vectores 𝒂 y 𝒃 en el espacio tridimensional, entonces 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑏 𝒂 =
𝒂∙𝒃 ‖𝒃‖
Proyección de un vector sobre otro Sean los vectores 𝒂 y 𝒃 en el espacio tridimensional, entonces 𝒃 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑏 𝒂 = (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑏 𝒂) ( ) ‖𝒃‖
Criterio para vectores ortogonales (perpendiculares) Dos vectores distintos de cero 𝒂 y 𝒃 son ortogonales si y sólo si 𝒂 ∙ 𝒃 = 0.
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Ing. César Omar Corona Castro
Criterio para vectores paralelos Primer criterio Dos vectores distintos de cero son paralelos 𝒂 y 𝒃 si y sólo si uno es un múltiplo escalar distinto de cero del otro. Segundo criterio Dos vectores distintos de cero 𝒂 y 𝒃 son paralelos si y sólo si 𝒂 × 𝒃 = 𝟎.
Áreas de un paralelogramo y de un triángulo
El área de un paralelogramo con lados 𝒂 y 𝒃 es 𝐴 = ‖𝒂 × 𝒃‖ y el de área de un triángulo con lados 𝒂 y 𝒃 es 𝐴=
‖𝒂 × 𝒃‖ 2
Volumen de un paralelepípedo
El volumen de un paralelepípedo con lados 𝒂, 𝒃 y 𝒄 es 𝑉 = |𝒂 ∙ (𝒃 × 𝒄)|
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Ing. César Omar Corona Castro
Rectas en el espacio tridimensional Una recta en el espacio se determina especificando un punto 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y un vector distinto de cero 𝒗 = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 paralelo a ella. Ecuación vectorial 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 〉 + 𝑡〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉
Ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡,
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡,
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡
Ecuaciones simétricas 𝑥−𝑥0 𝑎
=
𝑦−𝑦0 𝑏
=
𝑧−𝑧0 𝑐
Si uno de los números direccionales 𝑎, 𝑏 o 𝑐 es cero, se emplean las dos ecuaciones restantes para eliminar el parámetro 𝑡. Por ejemplo, si 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 y 𝑐 ≠ 0 entonces 𝑥 = 𝑥0 ,
𝑦−𝑦0 𝑏
=
𝑧−𝑧0 𝑐
Planos
Un plano se determina si se especifica un punto 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y un vector distinto de cero 𝒏 = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ortogonal a él. Ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 Identificando a 𝑑 = −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 .
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