Edwin H. Gutiérrez E.
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FORMULARIO DE FÍSICA PARA EL EXAMEN DE INGRESO A LA U.M.S.F.X.CH. Cap. 1
NOTACIÓN CIENTÍFICA Exp. positivo
Exp. negativo
5 700 000 = 5.7x106
0.0065 = 6.5x10-3
6 lugares
3 lugares
CIFRAS SIGNIFICATIVAS.- En una medición, son los dígitos de los que estamos seguros, más un digito dudoso. 1. Cualquier dígito diferente de cero es significativo. Ejem: 1234.56 (6 cif. signif.) 2. Ceros entre dígitos distintos de cero son significativos. Ejem: 1002.5 (5 cif. signif.) 3. Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos. Ejem: 0.000456 (3 cif. Signif.) 4. Todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos. Ejem: 400.00 (5 cif. signif. 5. Para los números que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o no pueden ser significativos. Ejem: 1000 1, 2, 3, o 4 cif. signif. 0.0010 2 cif. Signif. REDONDEO DE CIFRAS: 1. La última cifra retenida se incrementa en 1 si el dígito descartado es mayor que 5. 5. Ejem: 1.86 1.9
2. El dígito descartado es menor que 5 entonces el retenido no cambia. Ejem: 1.84 1.8
3. Cuando el dígito descartado es justamente 5 y no existen otros dígitos a su derecha. El número retenido se aumenta en 1 para convertirse en par: Ejm: 1.35 1.4; 1.45 1.4
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Edwin H. Gutiérrez E.
Cap. 2
MAGNITUDES Y UNIDADES
MAGNITUD FÍSICA.- Es todo aquello que puede ser medido. Ejem. L = 5 cm cm Magnitud: Longitud
Cantidad: 5
Unidad: cm
Ttoda magnitud física debe expresarse con una cifra y una unidad.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES.- Por su origen: a) MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- No dependen de ninguna otra magnitud y que, en principio se pueden determinar mediante una medida directa. Son siete las magnitudes fundamentales, de las cuales tres son las de mayor aplicación: Magnitud Longitud Masa Tiempo
Dimensión M
Unidad metro kilogramo
T
segundo
L
Símbolo m kg s
b) MAGNITUDES DERIVADAS.- Están expresadas en función de las magnitudes fundamentales. Por ejemplo: Velocidad (v) = desplazamiento/tiempo
v L LT 1
Aceleración (a) = velocidad/tiempo
LT 1 a LT 2 T
Fuerza (F) = masa x aceleración
F MLT 2
T
Nota.- La expresión entre corchetes , significa “ecuación dimensional de …” Las magnitudes físicas se clasifican según su naturaleza en:
a) MAGNITUDES ESCALARES.- Quedan perfectamente determinadas conociendo su valor numérico y unidad. Por ejemplo: Distancia recorrida Tiempo de clases Temperatura ambiente
= 300 m =2h = 20 ºC
Edwin H. Gutiérrez E.
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b) MAGNITUDES VECTORIALES.- Además del valor numérico y unidad; se necesita conocer la dirección y el sentido. Por ejemplo: Desplazamiento realizado Velocidad del aeroplano Aceleración del coche Fuerza aplicada al objeto Peso de una persona
= 300 m al norte = 500 km/h hacia el SE = - 2.5 m/s2 = 80 kp con 30º = 72 kp (Esta dirigido al centro de la Tierra)
MÚLTIPLOS, SUBMÚLTIPLOS Y PREFIJOS PARA LAS UNIDADES MÉTRICAS: Múltiplo 10 1012 109 106 103 10 10
Prefijo petateragigamegakilohectodeca-
Símbolo P T G M k h da
Submúltiplo Prefijo 10deci-2 10 centi-3 10 mili-6 10 micro-9 10 nano10 pico10femto-
Símbolo d c m µ n p f
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI).- Posee siete unidades fundamentales y dos auxiliares: MAGNITUDES FUNDAMENTALES Nombre 1.2.3.4.5.6.7.-
Longitud Masa Tiempo Temperatura termodinámica Intensidad de corriente eléctrica Intensidad luminosa Cantidad de sustancia
UNIDADES BÁSICAS O FUNDAMENTALES Símbolo Nombre Símbolo L metro m M kilogramo kg T segundo s grado kelvin K θ I amperio A J candela cd N mol mol
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Edwin H. Gutiérrez E.
UNIDADES DERIVADAS DEL S. I. Y OTROS SISTEMAS MAGNIT.
SISTEMA SIMB C. G. S.
S. I.
SISTEMA TÉCNICO
SISTEM. SISTEM. INGLÉS INGLÉS TÉCNICO ABSOLUTO
Longitud
L
cm
m
m
ft
ft
Masa Tiempo
M T
g s
kg s
u.t.m. s
slug s
lbm s
Fuerza
F
dyn
N
kp
lbf
pdl
= g cm/s 2
= kg m/s2
= utm m/s2
=slug ft/s2
= lbm ft/s2
Área
A
cm2
m2
m2
ft2
ft2
Volumen Peso
V
cm3 dyn
m3 N
m3 kp
ft3 lbf
ft3 pdl
= g cm/s 2
= kg m/s2
= utm m/s2
= slug ft/s2
= lbm ft/s2
erg
J
kpm
lbf .ft
pdl.ft
= dyn.cm
= N. m
= kp.m
erg/s
W
kpm /s
lbf .ft /s
pdl. ft /s
erg
= J/s J
kpm
lbf .ft
pdl.ft
= dyn.cm
= Nm
= kp m
g/cm3
kg/m3
u.t.m./m3
slug/ft3
lbm /ft3
dyn/cm3
N/m3
kp/m3
lbf /ft3
pdl /ft3
P
dyn/cm
Pa
kp/m
lbf /ft /ft
pdl/ pd l/ft ft
9.8 m/s2
32.2 ft/s2
32.2 ft/s2
Trabajo
Potencia Energía
Densidad Peso específic Presión
w
W
P E
= N/m2
Acelerac. gravedad
g
980 cm/s2
9.8 m/s2
Edwin H. Gutiérrez E.
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Longitud:
Masa:
Fuerza:
ft = pie m = metro cm = centímetro in = pulgada km = kilómetro Å = Ángstrom
u.t.m. = unidad técnica de masa m = metro slug = slug lbm = libra masa kg = kilogramo g = gramo
dyn = dina N = Newton kp = kilopondio lbf = libra fuerza pdl = poundal kgf = kp
Trabajo:
Potencia:
erg = ergio J = Julio kpm = kilopondímetro lbf . ft = libra fuerza pie pdl. ft = poundal pie Btu = unidad térmica británica cal = caloría kW.h = kilovatio hora
W = vatio o watts HP = Horse power ( caballo de fuerza) CV = Caballo vapor kW = kilovatio o kilowatt kpm/s = kilopondímetro kilopondímetro por segundo segundo
EQUIVALENCIAS ENTRE UNIDADES De longitud
De masa
De fuerza o peso
1 m = 100 cm 1 km = 1000 m 1 m = 3.28 ft 1 m = 39.4 in 1 ft = 12 in 1ft = 30.48 cm 1 in = 2.54 cm 1 milla terrestre = 1609 m 1 milla terrestre = 5280 ft 1 milla náutica = 1852 m 1 mm = 10 7 Å
1 kg = 1000 g 1 kg = 2.2 lbm 1 slug slug = 14.59 kg 1 slug = 32.2 lb m 1 utm = 9.8 kg 1 lbm = 453.6 g 1 ton. métrica = 1000 kg
1 N = 105 dyn 1 lbf = 4.45 N 1 kp = 9.8 N 1 kp = 2.2 lbf 1 kp = 1000 gr f f 1 lbf = 32.2 pdl 1 lbf = 0.454 kp 1 tonf = 1000 kp 1 tonf = 9.8 kN
De tiempo 1 hora = 3600 s 1 hora = 60 min. 1 día = 24 horas 1 año = 365 días
De potencia 1 W = 107 erg/s 1 kpm/s = 9.8 W 1 lbf ft/s = 1.36 W 1 HP = 550 lb f ft/s 1 CV = 735.5 W
1 HP 1 CV 1 kW 1 HP
= 76.1 kpm /s = 75.1 kpm /s = 1000 W = 746 watts
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Edwin H. Gutiérrez E.
De trabajo y energía
De área
De volumen
1 J = 107 erg. 1 kcal = 4 186 J 1 kpm = 9.8 J 1 lbf . ft = 1.36 J 1 kpm = 9.8 J 1 lbf . ft = 1.36 J 1 Btu = 1055 J 1 Btu = 778 lbf .ft 1 Btu = 0.252 kcal. 1 cal = 3.09 lb f .ft 1 cal = 4.186 J 1 kW.h = 3.6x106 J
1 m² = 10 4 cm² 1 m² = 10.76 ft² 1 m2 = 1550 in2 1 ft2 = 929 cm2 1 in2 = 6.54 cm2 1 ft2 = 144 in2 1 cm2 = 0.155 in2 1 in2 = 6.94x10-3 ft2 1 ft2 = 9.29x10-2 m2
1 m3 = 106 cm3 1 litro = 1000 cm3 1 m3 = 35.3 ft3 1 m3 = 1000 litros 1 in3 = 16.387 cm3 1 ft3 = 1728 in3 1 galón = 231 in3 1 m3 = 264 galones 1 galón = 3.785 lit. 1 litro = 1 dm3 1 ft3 = 7.48 galones 1 ft3 = 28.3 litros
De ángulos
De temperaturas
180º = π radianes 1 revolución = 2π rad. 1˚ = 60 '
9
5
T F T C 32
T C (T F 32)
T K T C 273
T R T F 460
5
1' = 60"
9
CONVERSIÓN DE UNIDADES.- Mediante los factores de conversión. Ejem: 1m = 100 cm:
factor de conversión:
1m 10 0 cm
o la equivalente
10 0 cm 1m
ALFABETO GRIEGO Α α
Alfa
Β β
Beta
Ρ ρ
Ro
Γ γ
Gamma
δ
Delta
Σ η
Tau
Δ ε
Épsilon
Ε
Dseta
Φ θ
Fi
Ζ
Eta
Θ
Theta
ψ
Psi
Η
Iota
Κ
Kappa
ζ
Sigma
Λ ι
Lambda
Μ κ
My
Τ υ
Ípsilon
Ν λ
Ny
Ξ μ
Xi
Υ χ
Ji
Ο ν
Ómicron
Π π
Pi
Χ ω
Omega
Edwin H. Gutiérrez E.
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FÓRMULAS DE FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SÓLIDOS Cuadrado
Rectángulo Área:
a
A a 2
Perímetro: P 4 a
a
h b
Trapecio
Triángulo Área:
b c
h a
Círculo
d
Área:
a b h 2
A
A
Perímetro: P a b c d Área:
Triángulo rectángulo
A R2
D = 2R
A
Área:
D * d
A
2
Perímetro: P 4 l Cubo
Ap
l R
3 2
l
3 3 2
l 2
Perímetro: P 6 l
Prisma Volumen: V a
Volumen:
3
h
Área: A 6 a
2
T. de Pitágoras: D2 = d2 + a2
Cilindro
Volumen: 2 V 13 R h
V R 2h Al 2 R h At 2 R ( R h)
Área: A 2 (ab ah bh)
b
Cono Área:
V a b h
a
Volumen:
R
2
Hexágono Área:
h
cb
T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2
Rombo
d
2
Perímetro: P a b c
P 2 R
a
bh
Perímetro: P a b c Área: A
Circunferencia:
D
Área: A b h) Perímetro: P 2(b h)
g
h R
Área: Al R g At R ( R g )
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Edwin H. Gutiérrez E.
Pirámide
Volumen:
Esfera Volumen:
V 13 Ab * h
V 43 R3
Área: Al 12 P b * A p a
h r
R
At Al Ab
Ap
Área: A 4 R2
T. de Pitágoras: A p2 ap 2 h 2
ap
a 2 r 2 h 2 Densidad = masa/volumen
Peso específico = peso/volumen
m V
w V
ECUACIÓN DIMENSIONAL.- Es una igualdad de tipo algebraico que expresa las relaciones existentes entre las magnitudes fundamentales y derivadas: d erivadas: MAGNITUD
FÓRMULA
ECUACIÓN DIMENSIONAL
Área ( A )
A = long.x long.
A L2
Volumen (V)
V = V = (long ) 3
V L L L L3
Velocidad ( v)
x v t
v L LT 1
Aceleración (a)
v a t
L T 1 a LT 2 T
Fuerza ( F )
F m a
F MLT 2
Presión ( P )
F P A
MLT 2 P 2 ML1T 2 L
Trabajo ( W )
W F x
W MLT 2 L ML2T 2
Potencia ( P )
W P t
ML2T 2 P ML2T 3 T
T
Edwin H. Gutiérrez E.
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Cap. 3
VECTORES
VECTOR.- El vector es una representación gráfica de una magnitud vectorial, el cual es definido a partir de cuatro de sus componentes: Línea de acción = dirección o u l o M ó d
A
O
L
1. 2. 3. 4.
Módulo, intensidad o magnitud.- Valor numérico del vector, o longitud del mismo (OA) Dirección.- Línea de acción del vector o las líneas rectas paralelas a él ( L ). Queda determinada conociendo el ángulo Sentido.-Está indicado por la punta de la flecha (A) Punto de aplicación.- Es el origen del vector ( O )
NOTACIÓN DE VECTORES:
OA V
V = Vector Vector
Representación rectangular de vectores:
OA V V Módulo Módulo Representación polar de vectores:
V (V x ,V y )
V (V , )
Ordenada
Absisa
Dirección
Módulo
SUMA DE VECTORES.- Sumar dos o más más vectores, es representarlos por uno solo llamado resultante; éste vector produce los mismos efectos que todos juntos. I. MÉTODOS GRÁFICOS: 1.- MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.- Trazar los dos vectores componentes haciendo coincidir sus orígenes, luego se dibujar sus paralelas para formar un paralelogramo, el vector suma (resultante) estará en una de sus diagonales y su punto de aplicación coincidirá con el origen de los vectores.
B
A
B
R
A
- 10 -
Edwin H. Gutiérrez E.
2.- MÉTODO DEL TRIÁNGULO.- Trazar los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector suma (resultante) tiene su origen en el origen del primer vector.
B
R
B
A
A
3.- MÉTODO DEL POLÍGONO.- Trazar los vectores uno a continuación del otro para formar un polígono cerrado con el vector vector resultante, el punto de aplicación aplicación coincidirá con con el origen del primer vector.
D
C
D
B
C
R
B
A
A
En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último vector, la resultante es nula, y se dice que el sistema de vectores está estáen equi l i br i o .
RESTA DE VECTORES.- Es un caso especial de la suma de vectores, se toma en cuenta al vector opuesto y se procede de la misma forma que la suma:
A
B
A
B
A
R
B
R A B -
A
B
R
A
B
R B A
La sustracción de vectores no es conmutativa. Para sustraer vectores, se debe trazar el vector positivo, luego dibujar a continuación el vector negativo. La resultante ( R ), se obtiene de la misma manera que en los anteriores casos de vectores.
Edwin H. Gutiérrez E.
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II. MÉTODOS ANALÍTICOS.- Los más utilizados, de mayor exactitud: 1. VECTORES COLINEALES Y DEL MISMO SENTIDO.- Ángulo entre vectores 0º
El módulo de la resultante está dado por:
A
B
A
B
R A B
R
2. VECTORES COLINEALES DE DIFERENTE SENTIDO.- Ángulo entre vectores 180º
A
B
El módulo de la resultante está dado por:
R
B
A
R A B
3. VECTORES PERPENDICULARES.- Ángulo entre vectores 90º El módulo de la resultante está dado por:
R
B
Teorema de Pitágoras:
R A2 B2
A Su dirección:
tan
cat cat .opuesto cat .adyacente
tan
B A
4. VECTORES QUE FORMAN CUALQUIER ÁNGULO.- Ángulo entre vectores α.
Módulo de R :
N
R
R A2 B 2 2 A B cos
B O
A
180º M
Dirección de R :
sen
B sen R
- 12 -
Edwin H. Gutiérrez E.
RESULTANTE MÁXIMA Y MÍNIMA.- De dos vectores, es: La resultante de dos vectores es máxima cuando estos se encuentran en la misma dirección y sentido ( θ = 0º ) - La resultante de dos vectores es mínima, mínima, cuando estos se encuentran en la misma dirección; dirección; pero de sentidos de sentidos contrarios ( θ = 180º ) -
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES.- Se presentan tres casos diferentes: a) MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.- El producto de una cantidad escalar escalar por un vector, se escribe como k A , es un nuevo vector cuya magnitud es k veces la magnitud de A . El nuevo vector tiene el mismo sentido que A si k es k es positivo y sentido opuesto si k es k es negativo. Ejms:
k A 2 A
A
A
k A A
1 2
k A 2 A
A
b) PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES.- Dos vectores A y B que forman un ángulo entre sí, se pueden multiplicar escalarmente, se lo representa con un punto : A B (Vector A multiplicado escalarmente con el vector B), el resultado es un escalar.
B
A B A B cos
A
B cos El producto pr oducto escalar escalar de dos vector vectore es es es una canti dad escalar escalar
c) PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES.- El producto vectorial de dos vectores A y B se representa con una aspa: A B (Vector A multiplicado vectorialmente con el vector B), da como resultado otro vector C .
B
C A B
A
B
A
' C B A
Edwin H. Gutiérrez E.
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Para calcular el módulo del vector A B se utiliza la siguiente relación:
C A B sen El producto pr oducto vector vectorii al de dos vector vectore es no es es conmu tati vo, es un a canti dad vector vectorii al
'
L a dire dir ección cción de C o C es per per pendi pendi cular cul ar al plano plan o for mado por por A y B , cuyo cu yo sent sentii do es el que avanza avanza un tor ni l l o der der echo sigu i endo el ángul ngu l o de los vector vectore es.
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR.- Son las proyecciones rectangulares de un vector sobre los ejes coordenados. y
Se puede expresar un vector en función de otros dos ubicados sobre los ejes X e Y.
A
A y
R R x R y
Los módulos de éstas componentes se obtienen a partir de las funciones trigonométricas:
x
A x
Componente horizontal
Componente vertical
A x A cos
A y A sen
El módulo del vector, en función de sus componentes:
A
A x 2 Ay 2
SUMA DE VECTORES CONCURRENTES POR DESCOMPOSICIÓN.- Se aplica a varios vectores: -
Descomponer los vectores en sus componentes rectangulares Hallar la resultante en el eje X y Y, por el método de vectores colineales Hallar el módulo del vector resultante aplicando el teorema de Pitágoras.
R
V x
2
V y
2
tan
V y V x
- 14 -
Edwin H. Gutiérrez E.
Cap. 4
CINEMÁTICA TRASLACIONAL
MECÁNICA.- Estudia el movimiento de los objetos. La mecánica por lo general se divide en tres partes: cinemática, dinámica y estática. MOVIMIENTO.- Cambio de posición continúo que experimentan los objetos con respecto a un sistema o punto de referencia. TRAYECTORIA.- Línea que un móvil describe durante su movimiento. Los movimientos con las trayectorias más estudiadas son:
Trayectoria rectilínea
Trayectoria parabólica
Trayectoria circular
DISTANCIA RECORRIDA.- Magnitud escalar, se define como la longitud de la trayectoria. DESPLAZAMIENTO.- Magnitud vectorial, se define como el segmento segmento dirigido que une dos posiciones de un movimiento. Ejem.- Un automóvil avanza 300 km al este y retorna 100 km. la distancia distancia recorrida es de 400 km, mientras que el desplazamiento es de 200 km dirigido hacia el este.
Distancia recorrida = 300 km + 100 km = 400 km
Desplazamiento
= posición final - posición p osición inicial x1 = 300 km – 100 km = + 200 km ∆x = x2 – x
RAPIDEZ.- La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo. RAPIDEZ MEDIA:
Rapidez Rapidez media
dis tan cia rec recorrid rridaa tiempo empleado
Edwin H. Gutiérrez E.
- 15 -
v
x t
m cm km s s h
RAPIDEZ INSTANTÁNEA.- Es la rapidez en cualquier instante. VELOCIDAD.- La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con el tiempo. VELOCIDAD MEDIA: Velocidad Velocidad media media
desplazamiento efectuado tiempo empleado
v x x x0 v t t t 0
x0 , t 0
= Posición y tiempo iniciales
x , t
= Posición y tiempo finales finales
x t
Tomando los valores iniciales: x0 = 0 y t 0 = 0, la ecuación anterior se convierte en:
v
x t
VELOCIDAD INSTANTÁNEA.- Es la velocidad en cualquier instante. Indica Indica qué tan rápido y en qué dirección, va un móvil en un momento mo mento dado. RAPIDEZ Y VELOCIDAD: L a r apidez es mó módul dul o de l a vel vel ocidad Ejm. Un automóvil viaja por una carretera con una velocidad de 20 m/s rumbo al norte: Rapidez: solo módulo V 20 m / s al norte
Velocidad: módulo, dirección y sentido
- 16 -
Edwin H. Gutiérrez E.
ACELERACIÓN.- Es una magnitud vectorial. Relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen. Aceleración debido al cambio en la magnitud de la velocidad:
Aceleración debido al cambio en la dirección de la velocidad: v 10m / s
ac
ac
ac
v 10m / s
v 10m / s
La dirección permanece constante, la rapidez (módulo de la velocidad) varía en forma uniforme.
aceleración
ACELERACIÓN MEDIA:
a
La rapidez permanece constante, la dirección de la velocidad varía continuamente.
v t
a
var iación de velocidad var iación de tiempo
v v0 t
m cm s 2 s 2
CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO SEGÚN LA RAPIDEZ.- Tomando en cuenta la rapidez, los movimientos pueden clasificarse en uniformes y variados. a) MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M. R.U.):
v se caracteriza por tener:
Velocidad = Constante Aceleración = 0
x t
Edwin H. Gutiérrez E.
- 17 -
GRAFICAS DEL M. R. U. Desplazamiento – Desplazamiento – vs vs – tiempo – tiempo
Velocidad – Velocidad – vs vs – tiempo – tiempo
x(m) El punto de corte con el eje x, nos da la posición inicial del móvil x0 = 10 m.
Velocidad positiva
10
0
Recta que pasa por el origen (x0 = 0) t(s)
b) MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M. R. U. V.):
Se caracteriza por: Velocidad = variable Aceleración = cte. v0 = Velocidad inicial a = Aceleración
v = Velocidad final x = Desplazamiento
ECUACIONES DEL M. R. U. V.- Son de tipo vectorial: Si la velocidad y la aceleración tienen sentidos opuestos, el móvil desacelera, va frenando. - Si la velocidad y la aceleración tienen igual sentido, el móvil acelera, aumenta su rapidez. - Si el móvil parte del reposo, la velocidad inicial es cero. - Si el móvil va frenando y se detiene, la velocidad final es cero. -
a) Velocidad en función del tiempo:
v v0 a t
b) Velocidad en función al desplazamiento:
v2 v02 2 a x
c) Desplazamiento en función del tiempo:
x v0 t 12 a t 2
d) Desplazamiento en función del tiempo:
x
d) Velocidad media o promedio:
v
v v0 t 2
x t
v
vo v 2
- 18 -
Edwin H. Gutiérrez E.
GRÁFICAS DEL M. R. U. V. Desplazamiento – Desplazamiento – vs vs – tiempo – tiempo
Velocidad – Velocidad – vs vs – tiempo – tiempo v
x
t
Aceleración – Aceleración – vs vs – tiempo – tiempo a
t
t
CAÍDA LIBRE.- Casi todos sabemos sabe mos que todos los objetos, cuando se sueltan, s ueltan, caen hacia la Tierra con aceleración casi constante. ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD.- Símbolo: g. En los Polos:
9.83 m/s2
En el Ecuador: 9.77 m/s2
El valor promedio de la aceleración de la gravedad, en los diferentes sistemas es:
g = 980 cm/s2 -
g = 9.8 m/s2
g = 32.2 ft/s2
El valor de g sobre la Tierra disminuye ligeramente conforme aumenta la altitud. El valor de g sobre la Tierra disminuye ligeramente ligeramente con con la altura.
ECUACIONES DE LA CAÍDA LIBRE.- Se utilizan las ecuaciones del M.R.U.V. Para establecer una ecuación correcta, debemos tomar en cuenta lo siguiente: - La aceleración de la gravedad , es siempre negativa , ya sea si el objeto se lanza hacia arriba o hacia abajo. - Elegir un nivel o punto de referencia , que será siempre el punto inicial de lanzamiento. - Los vectores velocidad serán positivos, si tienen sentido hacia arriba; y negativos si tienen sentidos hacia abajo. - Los desplazamientos serán positivos si se encuentran por p or encima del nivel de referencia; y negativos si estuvieran por debajo.
v v0 g t v 2 v02 2 g h h v0 t 12 g t 2
Edwin H. Gutiérrez E.
- 19 -
IMPORTANTE.- OTRA FORMA DE RESOLVER PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE, ES CONSIDERANDO COMO: Un movimiento con aceleración positiva cuando el objeto desciende (puesto que su velocidad aumenta); y como - Un movimiento uniformemente retardado cuando sube (puesto que su velocidad disminuye): -
v = vo + g t
v = v o - g t
v 2 v02 2 g h
v 2 v02 2 g h
h v0 t 12 g t 2
h v0 t 12 g t 2
Movimiento en descenso
Movimiento en ascenso
ALTURA MÁXIMA Y TIEMPO DE ASCENSO: Altura máxima:
Tiempo de ascenso:
hmax t
v02 2 g
v0
h ma x
v0 g v0
Tiempo de vuelo:
t V 2
v0 g
v v0
- 20 -
Edwin H. Gutiérrez E.
Cap. 5
ESTÁTICA
FUERZA NETA.- Cuando varias fuerzas actúan sobre un objeto, nos interesa saber el efecto combinado, es decir, la fuerza neta. Fuerza neta es el vector suma o resultante ( F ), de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto o sistema. La fuerza neta es cero cuando fuerzas iguales en magnitud actúan en sentidos opuestos; lo que significa que su su resultante es cero, se dice que tales fuerzas son f uerzas uerzas equi equi li bradas. bradas.
F 2
F 1
F 1
F 2 Fuerza neta cero (Fuerzas equilibradas)
Fneta F1 F 2 F neta 0
L a está estáti ca es estudi tu dia a l as condi condi cion es cuando l a f uerza neta es nu l a.
Una fuerza neta diferente de cero, se refiere a una fu erza no equil ; y una fuerza no equil ibr ada ada equilibrada produce aceleración.
F 2
F 1
F 1
F neta
Fuerza neta diferente de cero (Fuerzas no equilibradas)
F 2
F neta F 1 F 2 0
a
F neta
Fuerza neta diferente de cero produce aceleración
L a di námi ca estu estudi dia a l as condi condi cion es cuando cuan do la l a fuerza f uerza neta es es dif di f er ente nt e de ce cer o.
CONCEPTO DE ESTÁTICA.- Estudia las condiciones que deben cumplir las fuerzas que actúan sobre un objeto o sistema, para que éste se encuentre en equilibrio.
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EQUILIBRIO.- Un objeto se encuentra en equilibrio cuando la fuerza neta o resultante que actúa sobre un cuerpo y el momento resultante son nulos. Existen dos clases de equilibrio. Equilibrio estático
Equilibrio cinético
v 0
v
El objeto no se mueve (en reposo).
a 0 v cte.
v
El objeto se mueve en línea recta a velocidad constante.
PRINCIPIO DE INERCIA: Newton relacionó el concepto de inercia con la masa. En un principio, él llamó masa a una cantidad de materia, pero posteriormente la redefinió como sigue: L a in er cia se def def i ne, como como l a resi resi stencia tenci a que of of r ece un cuerpo a cambiar su estado estado de r eposo poso o de movimi movi mi ento nt o r ectil cti l íneo un i f orme. or me. L a masa masa es es un a medi medida da de la i nerci a
PRIMERA LEY DE NEWTON (Ley de inercia).- Como consecuencia del principio de inercia: “Todo cuerpo permanece en reposo o se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, siempre que la fuerza fuerza neta actuante sobre él sea nula”
1ra. CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.- Un objeto se encontrará en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa sobre él, sea igual a cero.
F F
x
0
y
0
F 1
F 2
R F 0
F 4
F 3
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Edwin H. Gutiérrez E.
TERCERA LEY DE NEWTON (Ley de acción y reacción).- Debe haber dos cuerpos interactuando: “A toda acción le sigue una reacción de igual valor pero de sentido contrario”.
TEOREMA DE LAMY.- Aplicable a tres fuerzas coplanares en equilibrio: Si un sól i do se se encontr ncon tr ase ase en equi l i bri br i o bajo l a acci acci ón de tres f uerzas coplanar coplan ares es y “ Si concur r entes entes, el el valor de cada una de las fu er zas es dir ectamente pr pr oporci onal al seno del ángulo que se le opone”.
F F 1 F 2 3 sen sen sen
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL).- Es representar para cada cuerpo por separado las fuerzas que actúan sobre él é l . 1. Dibujar el objeto que se estudia, con todas las fuerzas sobre él. - Se aísla el objeto de todo el sistema. - Se representa el peso (w ) del objeto mediante un vector vertical hacia abajo. - Si existiesen superficies de contacto, se representa la fuerza normal (N) mediante un vector perpendicular a dichas superficies y empujando hacia el objeto. - Si hubiesen cuerdas o cables, se representa la tensión (T) mediante un vector que está siempre jalando al cuerpo, previo p revio corte imaginario. - Si existiesen barras comprimidas, se representa la compresión mediante un vector que esta siempre empujando al cuerpo, previo corte imaginario. 2. Elegir un sistema de ejes coordenados, para un plano inclinado el eje x paralelo al plano. 3. Descomponer las fuerzas sobre los ejes. 4. Aplicar las condiciones de equilibrio. NOTA: Para resolver un problema de equilibrio se puede elegir una de las tres formas: 1er. Método: Aplicando la 1ra. Condición de equilibrio: 2do. Método: Aplicando el teorema de Lamy:
F x 0 y F y 0
F F1 F 2 3 sen sen sen
3er. Método: Las tres fuerzas sumadas vectorialmente forman un triángulo. Aplicando relaciones trigonométricas:
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FUERZA DE ROZAMIENTO.- Es una fuerza que se opone al movimiento o posible movimiento; se encuentra en las superficies de contacto, depende del grado de aspereza entre ellas. a) ROZAMIENTO ESTÁTICO ( f s ).- Varía desde un valor mínimo (cero) hasta un valor máximo, cuando uno de los cuerpos está a punto de moverse (movimiento inminente) N F 0
f s 0
N
N
No hay rozamiento
F 1
f s1
f s 2
F 2
Hay rozamiento
Hay rozamiento
F 1 f s1
F 2 f s 2 F 2 F 1 ; f s 2 f s1
N F 3
f s max
Movimiento inminente N
La fuerza de rozamiento estática máxima se determina con la siguiente expresión:
F
f s
La fuerza F llega a un valor, tal que el bloque empieza empieza a moverse, en ese instante la fuerza de rozamiento es máxima (movimiento inminente).
f s s N
w 0
f s s N
κs = Coeficiente estático de rozamiento
N = Fuerza normal
b) ROZAMIENTO CINÉTICO ( f k k ).- Al quedar el bloque en movimiento, la fuerza de rozamiento se hace menor que f s s, a esta nueva fuerza se le denomina fuerza de rozamiento cinética, f k . La fuerza de rozamiento cinética es constante. N F
f k k N
f k
w En movimiento
μk = Coeficiente estático de rozamiento
N = Fuerza normal
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ALGUNOS DATOS ACERCA DEL ROZAMIENTO.- Se consideran los siguientes aspectos: -
Las fuerzas de fricción son directamente proporcionales a la fuerza normal. Las fuerzas de fricción pueden variar, seleccionando adecuadamente las superficies que se ponen en contacto. - Para un mismo cuerpo las fuerzas de fricción son independientes del área de contacto. - La fuerza de fricción estática f s s resulta mayor que la cinética f k : f k < f s s además
μk < μs
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUERZA DE FRICCIÓN – VS VS – FUERZA EXTERNA.- El rozamiento estático llega a ser un tanto mayor que el rozamiento cinético.
TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA.- Es una magnitud vectorial . Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r por el vector fuerza F . Y
F
X
O
-
M F r
r
d
El torque o momento, nos da a conocer la capacidad para producir rotación una fuerza sobre el objeto que ej ej erce acción.
La dirección del vector M es perpendicular al plano de rotación y se encuentra en el eje de rotación, el sentido se determina con la regla de la llave y el tornillo, o la regla de la mano derecha. El módulo del torque o momento se determina multiplicando el módulo de la fuerza ( F ) y el brazo de palanca ( d ). d ). Se define brazo de palanca ( d ), d ), a la distancia mínima que existe entre el eje de rotación y la recta de acción de la fuerza. ( F ) F ) y ( d ) d ) deben ser siempre perpendiculares entre sí.
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M F d
Momento positivo
Momento negativo
CASOS ESPECIALES.- Para mayor comprensión sobre el cálculo de los brazos de d e palanca: F
L sen F
d
M
L
F
L
M
M F d
M F d F L sen sen
M F d F (0) 0
TEOREMA DE VARIGNON.- Establece lo siguiente: “El momento de la fuerza resultante de dos o más fuerzas concurrentes o paralelas, con
r especto pecto a un pun to cual qui er a del del cuerpo af ectado, es es i gual a la l a sum suma a de l os momentos de de cada fuerza respecto del mismo punto”
Momento resultante = Suma de momentos individuales ( M R ) 0
(M i )
0
RESULTANTE GRÁFICA Y ANALÍTICA DE DOS FUERZAS PARALELAS.- El método gráfico para encontrar la resultante de dos fuerzas paralelas tiene dos formas de solucionar: 1ra. Forma: -
Trazar el vector mayor cambiado de sentido, en el punto de aplicación del vector menor. Trazar el vector menor manteniendo su sentido, en el punto de aplicación del mayor. Unir con una línea recta los extremos de los vectores trasladados. La intersección de la línea trazada y la recta de unión entre los vectores, dará el punto de aplicación del vector resultante.
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Edwin H. Gutiérrez E.
FUERZAS PARALELAS EN EL MISMO SENTIDO:
Módulo del vector resultante: R = F1 + F2
x O
d - x
d
Punto de aplicación: Teorema de Varignon:
( M R )0
(M i )
F 1
0
R
F 2
CUPLA O PAR DE FUERZAS.- Se denomina así a un sistema de dos fuerzas paralelas, de igual módulo y de sentidos contrarios. La suma de las fuerzas es cero, sin embargo el momento resultante no es nulo.
M
F
M F d
d
F
2da. CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.- Un cuerpo sólido y rígido permanece en equilibrio, cuando la sumatoria de todos los momentos respecto a un punto es igual a cero. ΣM o = 0 Un objeto se encontrará en equilibrio mecánico , cuando se cumplan las dos condiciones de equilibrio: “La suma de fuerzas es igual a cero” “La suma de momentos es igual a cero”
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Cap. 6
DINÁMICA
SEGUNDA LEY DE NEWTON.- Una fuerza neta diferente de cero, se refiere a una fuerza ; una fuerza no equilibrada produce aceleración. no equil equil ibr ada ada a) Relación entre la fuerza y la aceleración: a m
2a
F neta
2 F neta
m
a F
“A mayor fuerza, mayor aceleración”
b) Relación entre la masa y la aceleración: a m
1 2
F neta
a
m
“A mayor masa, menor aceleración”
a
F neta
m
1
m
“La aceleración que adquiere una partícula sometida a una fuerza neta, es directamente
proporci onal a la f uerza uerza re r esul tante e i nver nver samente amente proporcion al a l a masa masa de dicha partícula, y tiene la misma dirección y sentido sentido de la fuerza”
a m
F neta
F uerza r esul tante = masa masa * ace aceleración leración F neta = m a
Fuerzas a favor de “a” - Fuerzas en contra de “a” = masa * aceleración
F Σ F
= m a
CONCEPTO DE DINÁMICA.- Es una parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos tomando en cuenta las causas que lo produce. pro duce. MASA (m ).).- De manera más inmediata, la masa puede definirse como la cantidad de materia contenida en un cuerpo. Es una magnitud escalar.
- 28 -
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MASA INERCIAL,- Medida de la inercia de un cuerpo; es decir, la resistencia que ofrece un objeto a cambiar su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. mi
La masa según 2da. Ley de newton:
F 1 F 2 F 3 cte. a1 a 2 a 3
UNIDADES DE MASA: Magnitud
Sistema c. g. s. gramo
S. I. kilogramo
(g)
( kg )
Masa 1 kg = 1000 g 1 slug = 32.2 lbm 1 ton. métrica = 1000 kg
Sistema Técnico unidad técnica de masa ( u. t. m. )
1 kg = 2.2 lbm 1 lbm = 453.6 g
S. Inglés Técnico slug
S. Inglés absoluto libra masa
( slug )
( lbm )
1 slug = 14.59 kg 1 utm = 9.8 kg
UNIDADES DE FUERZA.- Al ser la fuerza una magnitud derivada , sus unidades son una combinación de las unidades fundamentales, cuyos nombres son: Magnitud Fuerza ó peso
Sistema c. g. s. dina ( dyn ) = g cm/s 2
1 N = 10 dyn 1 kp = 2.2 lbf 1 lbf = 32.2 pdl1
S. I. Newton (N)
Sistema Técnico kilopondio ( kp )
S. Inglés Técnico libra-fuerza ( lbf )
S. Inglés Absoluto poundal ( pdl )
= kg m/s2
= utm m/s2
= slug ft/s 2
= l bm ft/s 2
1 kp = 9.8 N 1 gf = 980 dyn
1 kp = 1000 gf l lbf = 4.45 N
Una fuerza de 1 N le proporciona a una masa de 1 kg una aceleración de 1 m/s 2
NOTA: El kilopondio ( kp ) se denomina también kilogramo fuerza ( kg f ) , que tiene un submúltiplo llamado gramo fuerza ( g f ) o pondio, que es el peso de 1 gramo masa. PESO (w ).).- Es una magnitud vectorial , se define como la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce un planeta sobre los cuerpos que se encuentran sobre sobr e ella. w = m g
w = Peso m = Masa g = Aceleración de la gravedad
w
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MEDICIONES DE PESOS Y MASAS.- Experimentalmente: Masas: Balanzas de doble platillo, basado en el equilibrio de un cuerpo rígido .
M
O
Pesos: Balanzas monoplatillo, basado en el equilibrio de una partícula .
F y 0
0
w L2 w1 L2 0
T m g 0 T m g
m m1
w w1
T w
m g m1 g
DIFERENCIAS ENTRE MASA Y PESO -
CARACTERÍSTICAS DE MASA Es la cantidad de materia que tiene un cuerpo. Es una magnitud escalar. Se mide con la balanza. Su valor es constante, es decir, independiente de la altitud y latitud. Sus unidades de medida son el gramo (g) y el kilogramo (kg). Sufre aceleraciones
-
CARACTERÍSTICAS DE PESO Es la fuerza que ocasiona la caída de los cuerpos. Es una magnitud vectorial. Se mide con el dinamómetro. Varía según su posición, es decir, depende de la altitud y latitud. Sus unidades de medida en el S.I. son la dina y el Newton. Produce aceleraciones.
PLANO INCLINADO.- Se descompone el peso; se calcula la normal (fuerza); se determina la fuerza de rozamiento y se aplica la segunda ley de Newton.
F x
ma
w x f k m a w sen k N m a m g sen k m g cos m a g sen k g cos a a g (sen k cos )
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Cap. 7
Edwin H. Gutiérrez E.
TRABAJO POTENCIA Y ENERGÍA
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE ( W ).).- Mecánicamente, trabajo comprende fuerza y desplazamiento . El tr abajo (W) r eali zado por por u na f uerza constante constante (F) (F ) al mover mover u n objeto es es igu al al producto pr oducto de l as magni magn i tude tu dess del del des desplaz pl azami ami ento (x) ( x) y l a componente de l a fuerza f uerza paral el a al des desplaz pl azami ami ento. nt o.
W F x Fx cos cos
Es una magnitud escalar:
CASOS PARTICULARES.- El valor numérico del trabajo puede ser positivo, negativo o nulo: a) Si la fuerza se encuentra en sentido del movimiento (Ej. Fuerza aplicada a un objeto), el trabajo es: F
movimiento
x
W F x cos F x cos 0º
= 0º ; cos 0º = 1
W F x
b) Si la fuerza es perpendicular al movimiento (Ej. Fuerza normal), el trabajo es: F
movimiento
x
= 90º ; cos 90º = 0
W F x cos F x cos90º
W 0
c) Si la fuerza se encuentra e ncuentra en sentido contrario al movimiento (Ej. Fuerza de rozamiento), el trabajo es:
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movimiento
F
x = 180º ; cos180 º = – 1
W F x cos F x cos180º
W F x
Nota: Para determinar el trabajo no debe olvidarse que deberá haber simultáneamente una fuerza y un desplazamiento. TRABAJO NECESARIO PARA ELEVAR UN OBJETO.- Se debe aplicar una fuerza vertical hacia arriba igual al peso del cuerpo. W W
F
F x cos w h cos 0º
F w movimiento
wh m g h
Trabajo = peso x altura
h
w
TRABAJO NETO.- Llamado también trabajo total, es la suma algebraica de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas de manera independiente. UNIDADES DEL TRABAJO: Magnitud
Trabajo
Sistema c. g. s.
S. I.
Sistema Técnico
S. Inglés Técnico
S. Inglés absoluto
ergio ( erg )
Julio (J)
kilopondímetro ( kpm )
libra-pie ( lbf. ft )
poundal-pie ( pdl.ft )
= dyn*cm
= N*m
= kp*m
= lbf *ft
= pdl*ft
El Joul e es el trabajo tr abajo re r eali zado por por una un a fuerz f uerza a de 1 N al produci r un des desplazami plazamie ento de 1 m en l a dir ección cción de la l a fu er za.
1 J = 107 erg. 1 lbf .ft = 32.2 pdl.ft
1 J = 0.102 kpm 1 lbf .ft = 1.36 J
1 kpm = 9.8 J 1 kpm = 9.8x107 erg
FUERZAS CONSERVATIVAS.- El trabajo realizado no depende de la trayectoria seguida, sino solamente de la posición inicial y posición final. Ejemplos de estas fuerzas son las fuerzas gravitatorias, eléctricas y elásticas.
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Edwin H. Gutiérrez E.
FUERZAS NO CONSERVATIVAS.- El trabajo realizado depende de la trayectoria seguida, Ejemplos de estas fuerzas son las fuerzas de rozamiento. ro zamiento. POTENCIA (P ).).- La potencia es una magnitud de tipo escalar que nos indica la rapidez con que una máquina o un sistema de fuerzas realiza un trabajo.
P
W t
P F v
UNIDADES: Magnitud Potencia
Sistema c.g.s. erg/s
S. I. ( Watt o vatio ) W = J/s
1 Watt Watt = 10 erg erg /s 1 kpm/s = 9.8 Watt
Sistema Técnico
S. Ingles Técnico
S. Ingles absoluto
kpm/s
lbf .ft/s
pdl.ft/s
1 lbf . ft /s = 32.2 poundal. ft /s 1 lbf .ft /s = 1.36 Watt
1 Watt es l a potenci potenci a que se des desarr ar r oll ol l a al r eali al i zar u n tr abajo de 1 jou l e en cada se segun do
El Watt es una unidad muy pequeña, por eso, a veces se utilizan otas unidades u nidades mayores: kilowatt ( kW ) Caballo fuerza ( HP) Caballo vapor ( CV )
1 kW = 1000 Watt 1 HP = 746 Watt = 550 lb f . ft / s 1 CV = 735.5 Watt = 75 kpm / s
EL KILOWATT-HORA.- Unidad de trabajo y energía, corresponde a la potencia que desarrolla una máquina de 1 kW durante 1 hora: 1 kW-h = (1 kW)(1 h) = (1000 W)(3600 s) = 3600000 J = 3.6x10 6 J
EFICIENCIA O RENDIMIENTO ( η ).- Es el trabajo útil generado por la energía suministrada. La eficiencia ( η ) esta dada por una fracción ( o porcentaje ):
PU P.U . *100% P.E
W salida *100% W entrada
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LA ENERGÍA.- La energía es una propiedad de los cuerpos que produce transformaciones en ellos mismos o en otros. L a ener energí gía nos i ndi ca la capacidad capaci dad que ti ene un objeto obj eto o si si stema fí f ísi co para r eali zar u n trabajo.
ENERGÍA MECÁNICA Y TRABAJO.- La energía mecánica se manifiesta de dos formas: energía cinética y energía potencial ENERGÍA CINÉTICA ( E k k ).- Forma de energía que tienen los cuerpos en movimiento. 1
Ek m v 2 2
E k k = Energía cinética m = Masa v = Velocidad
En movimiento A ma mayor yor veloci velo cidad, dad, ma mayor yor energí energ ía ci ci né ti ca
ENERGÍA POTENCIAL ( E P P ).- Forma de energía que depende de la posición de un cuerpo con respecto a un nivel de referencia. Existen dos tipos de energía potencial. a) ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA ( E PG PG ).- Forma de energía que posee un cuerpo debido a la altura que se encuentra, con respecto a un nivel de referencia.
E P m g h
En reposo
E P w h
E PG = Energía potencial gravitatoria m = Masa h = Altura g = Aceleración de la gravedad w = Peso
A mayor altu al turr a, mayor energía potencial
b) ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA ( E PE PE ).- Forma de energía que posee un cuerpo sujeto a un resorte comprimido o estirado. 1
E PE k x 2 2
E PE = Energía potencial elástica k = Constante de elasticidad del resorte x = Deformación del resorte A mayor def def orm ación del del r esorte, or te, mayor energía potencial potenci al
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Edwin H. Gutiérrez E.
La suma de la energía cinética y potencial se denomina energía mecánica : E M = E k k + E P
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA.- El trabajo es el que se realiza sobre los objetos, mientras que la energía es algo que los objetos tienen . m v0 m
E p
v F
m
h
x
F w m
M ovim ovim iento sin f ri cción cción
W Ek Ek 0 Ek
E p 0
W E P EP0 EP
“La suma de los trabajos de las fuerzas externas sobre un objeto, es igual a la variación de nergías cinética y potencial” nergías l as e
W F W fr Ek EPG EPE
W F W fr
1 2
m v 2 12 m v02 m g h m g h0 12 k x 2 12 k x02
SISTEMA CONSERVATIVO DE FUERZAS.- Para un sistema conservativo (sin rozamiento) y donde no existe fuerza externa, la energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica final. v
v0 h0
h
Ek 0 EP0 Ek E P
F
Energía inicial = Energía final
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.- Cualquier forma de energía se transforma en otra porque: “La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma de una clase a otra”
UNIDADES DE ENERGÍA.- Son las mismas que las del trabajo: J, erg, kpm, etc.
Edwin H. Gutiérrez E.
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Cap. 8
MOVIMIENTO CIRCULAR
INTRODUCCIÓN.- Movimiento circular como cuya trayectoria es una circunferencia .
Rotación: Un objeto rota cuando gira alrededor de un eje que forma parte del objeto.
Revolución: Un objeto efectúa revoluciones cuando gira alrededor de un eje que no forma parte del objeto.
DISTANCIA LINEAL ( s s).- Magnitud escalar. Es la longitud recorrida por una partícula a lo largo del arco de circunferencia en un movimiento circular. arco = ángulo * radio
s
r
s = r θ
r
s = Longitud del arco, medido en en m, m, cm, ft, etc. etc. r = longitud del del radio, medido en m, m, cm, ft. etc. etc. θ = Angulo subtendido medido en radianes.
DESPLAZAMIENTO ANGULAR ( ).- Es una magnitud vectorial . -
El módulo es el ángulo formado por un cuerpo rígido o una partícula respecto de un centro y el radio, mientras va girando. La dirección es perpendicular al plano de rotación, y se encuentra en el centro de la circunferencia. El sentido se obtiene con la regla de la mano derecha .
REGLA DE LA MANO DERECHA.- Determina el sentido de vectores rotacionales.
El vector en un movimiento de rotación
El vector en un movimiento circunferencial
“si supone upon emos que tomamos el ej e de r otació otaci ón del del cuerpo con l a mano man o der der echa de modo que los dedos dedos apunten apun ten en en el sent sentii do de l a rotación, rot ación, el el pul gar col ocado par paral ale el o al eje i ndi caráel senti nt i do del vector vector des desplaz pl azami ami ento nt o angul an gul ar ”.
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Edwin H. Gutiérrez E.
UNIDADES DEL DESPLAZAMIENTO ANGULAR.- Es el radián (rad). Existen otras unidades como ser ( º ) grados sexagesimales, revoluciones. U n r adián, es l a medida del del ángu l o cent centrr al de un a cir cun f er enci a subtendi subtendi da por u n ar co de longi tud igual al r adio adio de dicha curva.
s = r θ
θ = s/r = r/r = 1 rad = 360º /2π = 57.3 º
π = 180º ; 2 π = 360º ; 1 revolución = 1 Vuelta = 2π rad.
Note que s , significa que una medición en radianes radianes es sólo una cifra adimensional. r
VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL ( v ).- Es una magnitud vectorial , señala la dirección en que gira un cuerpo o partícula: -
El módulo es la rapidez lineal (o tangencial) La dirección es siempre tangente a la trayectoria circular y por ende perpendicular perpendicular al radio. El sentido es según el movimiento.
RAPIDEZ LINEAL O TANGENCIAL ( v ).- Es el escalar de la velocidad tangencial, se define como la razón de cambio del arco recorrido en una unidad de tiempo.
Rapidez Rapidez lineal
s
v
arco tiempo
v R R
v
v
s t
Unidades: v m s
VELOCIDAD ANGULAR ( ).- Es una magnitud vectorial que señala la dirección en que gira un cuerpo o partícula: -
El módulo es la rapidez angular. La dirección es perpendicular al plano de rotación, y se encuentra en el centro de la circunferencia. El sentido se obtiene con la regla de la mano derecha.
Edwin H. Gutiérrez E.
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RAPIDEZ ANGULAR ( ).- Es el escalar de la velocidad angular, se define como la razón de cambio del ángulo girado en una unidad de tiempo.
Rapidez Rapidez angular angular
ángulo tiempo
t
Unidades: rad s Si 1 0 , t 1 0 entonces: 2 1 t t2 t 1
t
La rapidez angular es la misma para todos los puntos de un cuerpo rígido que gira.
OTRAS UNIDADES DE LA VELOCIDAD ANGULAR: Otras unidades son:
rpm (revoluciones por minuto = revol/min) rps (revoluciones por segundo = revol/seg)
VECTOR VELOCIDAD ANGULAR
El vector en un movimiento de rotación
El vector en un movimiento circunferencial
ACELERACIÓN TANGENCIAL ( a ).- Es una magnitud vectorial , que se presenta en una partícula con movimiento circular: -
El módulo nos indica el aumento o disminución de la rapidez tangencial en cada unidad de tiempo. La dirección es siempre tangente a la trayectoria circular y por ende perpendicular al radio. El sentido es según el movimiento si la rapidez aumenta; contrario al movimiento si la rapidez se reduce.
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Edwin H. Gutiérrez E.
El módulo de la aceleración media tangencial es:
Ace Acelerac leració n tan genc gencial ial
Variación de velocidad lineal tiempo empleado a
s a
a
v
v t
v0
a
v v v0 t t t 0 a
Movimiento acelerado
t 0 0 , se tiene:
v v0
a
t
s 2
Movimiento retardado
a
a
v
v
m
Si v > v0 ; a y v son del mismo sentido
Si v < v0 ; a y v son de sentido contrarios
ACELERACIÓN ANGULAR ( ).- Es una magnitud vectoria l, cuyo vector nos señala la dirección en que se produce el cambio de velocidad angular . MOVIMIENTO ACELERADO
MOVIMIENTO RETARDADO
0
0
Si ω > ω 0 (acelerando) y son del mismo sentido
La velocidad y la aceleración angular tienen el mismo sentido.
Si ω < ω 0 (frenando) y son de sentidos contrarios
La velocidad y la aceleración angular tienen sentidos opuestos.
Edwin H. Gutiérrez E.
-
- 39 -
El módulo nos indica el incremento o disminución de la velocidad angular en cada unidad de tiempo. La dirección es perpendicular al plano de rotación, y se encuentra en el centro de la circunferencia. El sentido se obtiene con la regla de la mano derecha si la rapidez angular aumenta; es de sentido contrario si la rapidez angular disminuye.
El módulo de la aceleración angular es:
Ace Aceleració leració n angular
Variación de velocidad angular tiempo empleado
t
0
t
rad s 2
MAGNITUDES LINEALES Y MAGNITUDES ANGULARES:
s R
a R
v R
CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO CIRCULAR SEGÚN LA RAPIDEZ: a) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M. C. U.).- Se caracteriza por tener rapidez lineal constante, pero no velocidad lineal constante PERÍODO ( T ).- Tiempo que demora una partícula con movimiento circular uniforme en completar una vuelta. Tiempo total T Nro. de vueltas FRECUENCIA ( f ).- Número de vueltas dado por una partícula con movimiento circular uniforme en cada unidad de tiempo, también se le puede definir como la inversa del período. f
Nro. de vueltas Tiempo total
Otras unidades:
revolución min
f r p m
1
T
1 Hertz Hz s
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Edwin H. Gutiérrez E.
Relación con el periodo y la frecuencia:
v
2 R
v 2 R f
T
2
T
2 f
ACELERACIÓN CENTRÍPETA ( ac ).- En el M. C. U., existe siempre una aceleración dirigida hacia el centro, llamada aceleración centrípeta, radial o normal.
El módulo de de la aceleración centrípeta se determina con la siguiente ecuación:
v
ac
ac
v
v2 ac R
ac
ac
ac 2 R
v
v
b) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M. C. U. V.).- La velocidad angular varía siendo constante la aceleración angular. ECUACIONES DEL M. C. U. V.- Son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente variado: MOVIMIENTO LINEAL s
v
a
v t
v0
v v0 t
v v 0 a t v2
MOVIMIENTO ANGULAR
v 02 2 a s
s v 0 t 12 a t 2 v 0 v t 2
s
0
0 t t
0 t 2
02 2
0 t 12 t 2
0 t 2
Edwin H. Gutiérrez E.
v
v
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s t v0 v 2
t 0 2
FUERZA CENTRÍPETA.- Llamada también fuerza normal ( F n ) o fuerza radial . m
v
v2 F m ac m R
F c
R
m = Masa del cuerpo que gira v = Velocidad lineal R = Radio de la circunferencia
Fc Fuerzas Fuerzas hacia hacia el centro centro Fuerzas Fuerzas hacia hacia afuera afuera Ejemplo
D. C. L.
Ecuación
Satélite en rotación alrededor de un planeta.
Balde de agua que gira en un plano vertical. (en la parte superior)
F atracción m a c v t
F c m ac
v t R
w
ac
w T m ac
T
F c m ac
Piedra atada a una cuerda que gira en un plano horizontal.
T m ac
¿FUERZA CENTRÍFUGA?- La fuerza centrífuga como resultante no existe en un movimiento circular uniforme . FUERZA GRAVITACIONAL.- Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza: F G
M m r 2
G 6.67 10
11 N m
2
kg 2
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Edwin H. Gutiérrez E.
Cap. 9
HIDROSTÁTICA
FLUIDO.- Sustancia capaz de fluir y presentar baja resistencia al cambio de forma cuando este se encuentra bajo una presión. Se encuentra en estado líquido o gaseoso.
Los gases tienden a ocupar todo el volumen del recipiente que los contiene, mientras que los líquidos adoptan la forma de éste pero no ocupan la totalidad del volumen. Los gases son compresibles, por lo que su volumen y densidad varían según la presión; los líquidos tienen volumen y densidad constantes para una cierta temperatura (son incompresibles). Los líquidos son prácticamente incompresibles , los gases son muy fáciles de comprimir .
DENSIDAD ( ).- Se designa con la letra griega Rho. ( ρ).
masa volumen
densidad
m V
UNIDADES DE DENSIDAD: Se designa con la letra griega Rho: Magnitud c. g. s. S. I. g
Densidad
cm3
S. Técnico S. Inglés técnico S. Inglés absoluto
kg m3
u.t .m. m3
sl u g ft 3
l bm ft f t 3
PESO ESPECÍFICO ( γ ).).- Se designa con la letra griega gamma:
peso pes o específico
peso pes o volumen
w V
UNIDADES DEL PESO ESPECÍFICO: Magnitud Peso específico
c. g. s. S. I. g f cm3
N m3
S. Técnico S. Inglés técnico S. Inglés absoluto pd l kp lb f ft 3 m3 ft f t 3
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DENSIDAD RELATIVA ( r).- La densidad densidad r el ativa ati va de una sustancia es la razón de su densidad a la densidad del agua: r
agua
RELACIÓN ENTRE DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO:
w m g V V
g = 9.8 m/s2 = 980 cm/s2
g
F de la fuerza aplicada perpendicularmente PRESIÓN (P).- El cociente entre la intensidad F de sobre una superficie dada y el área A de dicha superficie se denomina presión que es una magnitud del tipo escalar y se mide en N/m 2. P r esión
F A
P
Fu erza erz a Área Á rea F A
“A mayor área, corresponde menor presión, a menor área le corresponde mayor presión”
UNIDADES DE PRESIÓN.- En el S.I. la unidad de presión es el Pascal: 1 Pa = 1 N/m2 1 atmósfera (atm) = 1.033 1 atmósfera (atm) = 1.7
kg f
760 mm de Hg (Torr)
cm lb f
(psi) = 101300
in
1 Pascal (Pa) = 1.45x10 -4
=
2
2
lb f in 2
1 bar = 1000 mbar = 10 6
N m
2
(Pascal)
(psi) = 7.5x10-3 torr (mm de Hg) = 10
dy n cm
2
= 100 Pa
dy n cm 2
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Edwin H. Gutiérrez E.
PRESIÓN HIDROSTÁTICA.- La presión aumenta con la profundidad en el interior de un líquido.
P
peso del líquido Área de la base
P g h
h
P h
P A
tática que ejerce un líquido en reposo depende del peso específico (γ) del tática L a presión presión hi dros l íqui do y de l a prof pr ofun un didad di dad (h).
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA.- Considerando dos puntos A y B a diferentes profundidades de una columna de líquido en equilibrio: "L a dif di f er enci a de pre pr esi ón entr e dos pun tos de un a masa masa lí l íqui da en en equi l i bri br i o, es es i gual al produ pr oducto cto del peso peso es especí f i co del del l íqui do por l a dif di f er enci a de ni vel vel entr nt r e ambos puntos pun tos " Dos puntos situados a una misma prof un didad en en el i nteri or de un líqui do soportan oport an l a m mii sma pre pr esi ón hi dros dr ostá táti ca. h A
P A PB h
hB
B
h h
A
PARADOJA HIDROSTÁTICA.- La presión ejercida en el fondo de un recipiente que contiene un líquido depende del peso específico y de la altura siendo independiente de la forma del recipiente y de la cantidad de líquido contenido en él. FUERZA Y PRESIÓN.- La fuerza ejercida por un líquido en equilibrio sobre una superficie cualquiera es perpendicular a la superficie:
F P A h A L a pr esi ón es una un a magn i tud tu d que qu e se se tran tr anssmi te a tr avé s de los lí l íqui qu i dos, en en cambi o l a f uerz uer za se tr ansmi an smi te a tr avé s de los l os sól sól i dos.
PRINCIPIO DE PASCAL.- L a presi presi ón apli cada cada a un f l ui do ence encerr r ado es es tr ansmi ansmi tida ti da con con l a mis mi sma int i nte ensidad a todos l os puntos pun tos del del f l ui do y a l as paredes paredes del del r ecipi ente.
PRENSA HIDRÁULICA.- Es una aplicación del Principio de Pascal, se utiliza para obtener grandes fuerzas en el émbolo mayor aplicando fuerzas pequeñas en el menor. Es una
Edwin H. Gutiérrez E.
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máquina multiplicadora de fuerzas constituida por dos cilindros de diferentes diámetros conectados entre sí:
F1 F 2 A1 A2
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES.- Cuando un cuerpo se sumerge en un líquido, desaloja una cierta cantidad de líquido. La fuerza de empuje es el peso de ese volumen de líquido desalojado. gi do en en un u n l íqui do recibe un empuj mpu j e de abajo haci a arr i ba igual igu al al “Todo cuerpo sumer gido peso del volumen de líquido desalojado”
Empuje = Peso del líquido desalojado
Fuerzas que actúan E
Vs w
líquido
E = Empuje E l V s l g V s
w = Peso
Empuje = Peso real – Peso aparente
PRESIÓN ATMOSFÉRICA.- La atmósfera es un fluido de varios kilómetros de altura, que producto de su peso, su peso, ejerce presión sobre todos los objetos sumergidos en ella. Esta presión p resión se denomina presión atmosférica. BARÓMETRO DE TORRICELLI.- Instrumento para medir la presión atmosférica. La presión a nivel del mar es conocida como 1 atm. pat g h
pat 13.6
1 atm = 76 cm de Hg = 760 mm de Hg
g cm 9 8 0 76 cm cm3 s 2
P at 1 01 012 928
dyn 6 dyn 1 . 0 1 3 1 0 cm2 cm 2
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Edwin H. Gutiérrez E.
La presión atmosférica disminuye con el aumento de la altura y aumenta con la presencia de vapor de agua (humedad)
MANÓMETRO.- Instrumento que sirve para medir la presión de un gas que esta encerrado en un recipiente. P = Pat + ξ g h
PRESIÓN ABSOLUTA.- Suma de la presión atmosférica y la presión manométrica (presión medida de un gas o un líquido) P ab s. P at . P m
DENSIDADES DE SÓLIDOS Sustancia Acero Aluminio Cinc Cobre Cromo Estaño Hierro Magnesio Níquel
Densidad (g/cm3) 7.7 - 7.9 2.7 7.15 8.93 7.15 7.29 7.88 1,76 8.9
Sustancia Oro Plata Platino Plomo Silicio Titanio Vanadio Arena Hielo
Densidad (g/cm3) 19.31 10.5 21.46 11.35 2.3 4.5 6.02 2.32 0.92
DENSIDADES DE LÍQUIDOS 20 ºC Sustancia Aceite H2SO4 Agua pura (a 4 ºC) Agua de mar Alcohol etílico
Densidad (g/cm3) 0.8-0.9 1.83 1.00 1.01-1.03 0.79
Sustancia Sangre Gasolina Glicerina Mercurio Tolueno
Densidad (g/cm3) 1.06 0.68-0.72 1.26 13.60 0.866
Edwin H. Gutiérrez E.
Cap. 10
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TEMPERATURA Y DILATACIÓN
CALOR.- El calor es una forma de energía que hace aumentar la temperatura. -
Con el calor los cuerpos se dilatan o cambian su estado físico. El calor provoca que los sólidos pasen a líquidos líquidos y de líquidos a gases. El calor hace variar la temperatura.
TEMPERATURA.- Desde el punto de vista de la física, calentar una cosa significa hacer que sus moléculas se muevan (vibren) más rápido. Esa medida de la agitación de las moléculas se llama temperatura . L a temperatu temperatu r a es es el grado gr ado de calor en l os cuerpos.
TERMÓMETRO.- Instrumento empleado para medir la temperatura. El termómetro más utilizado es el de mercurio, formado por un capilar de vidrio de diámetro uniforme comunicado por un extremo con una ampolla llena de mercurio. ESCALAS TERMOMÉTRICAS.- La escala oficial de temperatura para el S. I. es el grado Kelvin, Llamada también escala absoluta: CELSIUS
FAHRENHEIT
KELVIN
RANKINE
Punto de ebullición del agua.
672
Punto de fusión del hielo
492 0
CUADRO COMPARATIVO ENTRE LAS DIFERENTES ESCALAS Escala
Cero Absoluto
Fusión del Hielo
Ebullición del Agua
Kelvin Rankine Centígrada Fahrenheit
0 K 0 R -273 °C -460 °F
273 K 492 R 0 °C 32 °F
373 K 672 R 100 °C 212 °F
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Edwin H. Gutiérrez E.
Se conoce como el cero absoluto al 0 K que equivale aproximadamente a -273 ºC, temperatura a la cual la materia no posee movimiento vibratorio.
CONVERSIONES.- Para la conversión de temperaturas en las diferentes escalas: C 5
F 32 9
K 273 5
R 492 9
DILATACIÓN DE LOS CUERPOS.- Cambio de dimensiones que experimentan los sólidos, líquidos y gases cuando se varía la temperatura. Los cuerpos aumentan sus dimensiones cuando se aumenta la temperatura . a) DILATACIÓN LINEAL.- Aumento en la longitud debido al incremento de su temperatura (una sola dimensión). L0 = Longitud inicial Lf = Longitud final T0 = Temperatura inicial Tf = Temperatura final α
= Coeficiente de dilatación
lineal del
material [1/ ºC] L = Variación de longitud: T = Variación de temperatura:
L = Lf – L0 T = Tf – T0
L f L0 (1 T )
b) DILATACIÓN SUPERFICIAL.- Aumento en el área debido al incremento de su temperatura (dos dimensiones). A0 = Área inicial Af = Área final T0 = Temperatura inicial Tf = Temperatura final β = Coeficiente de dilatación superficial [1/ ºC]
Donde: 2 A = Variación de área: T = Variación de temperatura:
A = Af – A0 T = Tf – T0
A f A0 (1 T )
A f A0 (1 2 T )
Edwin H. Gutiérrez E.
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c) DILATACIÓN CÚBICA.- Aumento del volumen de un cuerpo cuando éste se calienta. V0 = Volumen inicial Vf = Volumen final T0 = Temperatura inicial Tf = Temperatura final
γ = Coeficiente de dilatación volumétrica [1/ ºC]
Donde: 3 V = Variación de volumen: T = Variación de temperatura:
V = Vf – V0 T = Tf – T0
V f V0 (1 T )
V f V 0 (1 3 T )
DILATACIÓN DE LÍQUIDOS.- Los líquidos se dilatan obedeciendo las mismas leyes que los sólidos. Como los líquidos no tienen forma propia, sólo presentan dilatación cúbica. COEFICIENTES DE DILATACIÓN LINEAL (α) Material Acero Dulce Acero Níquel Alpaca Aluminio Bismuto Bronce Cadmio Cinc Cobre Cuarzo Estaño Esteatita
Coeficiente (1/°C) 0.000012 0.0000015 0.000018 0.0000238 0.0000135 0.0000175 0.00003 0.00003 0.0000165 0.0000005 0.000023 0.0000085
Material Hierro Fundido Latón Molibdeno Níquel Oro Plata Platino Plomo Porcelana Tungsteno Vidrio Común Vidrio Pirex
Coeficiente (1/°C) 0.0000105 0.0000185 0.0000052 0.000013 0.0000142 0.0000197 0.000009 0.000029 0.000004 0.0000045 0.000009 0.0000003
COEFICIENTES DE DILATACIÓN DE LÍQUIDOS ( γ ) Material Coeficiente (1/°C) Material Coeficiente (1/°C) Agua 0.00018 Glicerina 0.0005 Aguarrás 0.001 Mercurio 0.000182 Alcohol Etílico 0.0011 Petróleo 0.001 Bencina 0.001 Tolueno 0.00108 Éter 0.0016
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Cap. 11
Edwin H. Gutiérrez E.
ELECTROSTÁTICA
CARGAS ELÉCTRICAS:
Existen dos tipos de carga y que cargas similares se repelen y cargas diferentes se atraen. Los protones, tienen carga positiva (el tipo de carga con que q ue se electrifica el vidrio), Los electrones, tienen carga negativa (el tipo de carga con que se electrifica la ebonita) Los neutrones, carecen de carga eléctrica. La car ga elé el é ctr ct r i ca siempr si empr e se con ser ser va , cuando un cuerpo es frotado contra otro, no se crea carga en el proceso, sino que existe una transferencia de cargas entre un cuerpo y el otro. Aislante; existen materiales en los cuales los electrones están firmemente unidos a sus respectivos átomos, estas sustancias no poseen electrones libres y no será posible el desplazamiento de carga a través de ellos. El vidrio, la ebonita o el plástico son ejemplos Conductores; los electrones se pueden mover libremente en su masa. Ejemplos los metales y el cuerpo humano.
FORMAS PARA ELECTRIZAR UN CUERPO.- Manualmente existen tres maneras de producir cargas eléctricas en los cuerpos: a) ELECTRIZACIÓN POR FROTAMIENTO.- Una varilla de vidrio frotada con tela de seda o una varilla de plástico frotada con una piel fina se cargan eléctricamente.
ELECTRIZACION POR FROTAMIENTO
La frotación es un método en el cual unos materiales pierden electrones y otros los ganan. El número de cargas antes y después es constante. El vidrio frotado con tela de seda, se carga positivamente. El plástico (o la ebonita) frotado con paño de lana, se carga negativamente. Algunos automóviles transportan combustibles tienen una cadena colgando hasta el piso, cuya función es “descargar” eléctricamente y evitar incendios.
b) ELECTRIZACIÓN POR CONTACTO.- Consiste en cargar un cuerpo neutro poniéndolo en contacto con otro previamente cargado. Ambos quedarán cargados con el mismo signo. c) ELECTRIZACIÓN POR INDUCCIÓN.- La inducción es un proceso de carga de un objeto sin contacto directo. Aparece carga de signo contrario al inductor.
Edwin H. Gutiérrez E.
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I
Si se acerca un inductor I, con carga positiva,
Manteniendo el inductor I fijo, se efectúa una conexión T a tierra. (Esto se puede hacer tocando c).
a un conductor C en estado neutro, aparecen las cargas inducidas A y B.
Hay, así, un flujo de electrones libres hacia C que anula la carga positiva inducida y produce un exceso de carga negativa.
Al terminar termina term inarr la conexión conexión a tierra tierra y retirar retirar el inductor, el exceso de electrones se distribuye por el cuerpo.
LEYES DE COULOMB: 1ra. ley: Cargas Car gas del del mi smo signo sign o se r epel pel en, y cargas car gas de si si gnos contr ari ar i os se se atraen. +
+
REPULSIÓN -
+
ATRACCIÓN
2da. ley: L a f uerz uer za de atracci atr acció ón o de repul repu l si ón entr e dos cargas car gas el el é ctr i cas es es, di r ectame ctam en te proporcional al producto de los valores absolutos de las cargas e inversamente proporci onal al cuadrado de la distanci distanci a que las separa. F
El módulo de la fuerza es:
q1
q2
r
F K
F
q1 q2 r 2
F = Es la fuerza con con que se accionan las cargas, expresada en N o dyn K = Es la constante constante de proporcionalidad proporcionalidad o de Coulomb Coulomb q1 = La cantidad de la carga 1 expresadas expresadas en C o stC
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Edwin H. Gutiérrez E.
q2 = La cantidad cantidad de carga 2 expresadas en C o stC r = Distancia de separación desde el centro de una carga carga al centro de la otra en m o cm
S.I.
c.g.s.
K 9 109
N m2 C 2
K 1
La constante K se escribe también como: Donde la constante
0
K
dyn cm2 st C 2
1 4 0
se conoce como permitividad del vacío , tiene el valor:
S.I. 12
0 8.85 10
c.g.s. C 2 N m2
La ley de Coulomb queda:
0 7.96 5 10
F
2
stC st C 2 dyn cm2
q1 q2 4 0 r 2 1
F = Fuerza entre dos cargas colocadas en el vacío. F’ = Fuerza entre dos cargas colocadas en un medio diferente al vacío
F K d F '
CONSTANTE DIELÉCTRICA DE ALGUNOS MATERIALES
F '
K q1 q2 K d r 2
Material
K d
Aceite Agua a 20 ºC Aire Baquelita Mica Neopreno
2.24 80 1.0006 4.9 5.4 6.9
Material Papel Parafina Plexiglás Porcelana Vidrio pyrex
UNIDADES DE CARGA ELÉCTRICA: 1 C 3 10
9
1e 1.602 1019 C
stC st C
1C 6 1018 electrones
Submúltiplos:
1 e 4.803 80 310
10
stC st C
milicoulomb:
1 mC = 10 -3 C
microcoulomb: 1 κC = 10-6 C
nanocoulomb:
1 nC = 10-9 C
picocoulomb:
1 pC = 10 -12 C
K d
3.7 2.3 3.4 7 5.6
Edwin H. Gutiérrez E.
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PARTÍCULAS Y CARGA ELÉCTRICA PARTÍCULA
CARGA ELÉCTRICA
MASA
Electrón:
e
1.602 1019 C
9.11 1031 kg
Protón:
p
1.602 60 21019 C
1.672 1027 kg
Neutrón:
n
0
0
1.674 1027 kg
CAMPO ELÉCTRICO.- Es todo el espacio que rodea a una carga eléctrica, en donde se observa la acción de una fuerza sobre cualquier carga eléctrica que se encuentre dentro de él. INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO.- La intensidad del campo en un punto, es una magnitud vectorial, que nos indica la fuerza que recibiría la unidad de carga positiva colocada en dicho punto. Q
q
Q
E
F
q
E
F
El módulo de la intensidad:
E
F q
E
N ; V ; dyn C m stC
INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA CARGA r es: PUNTUAL.- El campo que crea una carga puntual carga puntual Q a una distancia r es: Q
q
r
F
E
E K
Q r 2
El módulo se determina con las ecuaciones anteriormente deducidas. La dirección es una línea radial a la carga que genera el campo. El sentido es saliente para una carga positiva, y entrante para una carga negativa.
Campo creado por una carga positiva
Campo creado por una carga negativa
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA.- La energía potencial eléctrica W de W de un sistema formado por una carga fuente puntual q1 y una carga de prueba positiva q2 situada a la distancia r de r de q es una magnitud escalar que se mide por el trabajo que debe realizar un
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Edwin H. Gutiérrez E.
q2 con rapidez constante desde una
agente externo para desplazar la carga de prueba distancia infinita hasta la distancia r de q1:
U na carga car ga ti en e ener energí gía potenci al elé ctr i ca cuan cu ando do se encuentr encuent r a dentr o de un campo elé el é ct r i co. qq W K 1 2 r
W = Energía potencial potencial eléctrica ( J ) q1 = Carga eléctrica ( C ) r = Distancia entre entre cargas ( m )
K = Constante de Coulomb q2 = Carga eléctrica eléctrica ( C )
La energía potencial eléctrica puede ser positiva o negativa, dado que la fuerza entre dos cargas puede ser atractiva o repulsiva, dependiendo de los signos de las cargas.
POTENCIAL ELÉCTRICO.- Al igual que el campo eléctrico, sólo es una propiedad de la carga, o cargas que lo produce, y no de la carga de prueba “q”.
E l potenci al el é ctr i co en un u n punt pu nto o de un campo el é ctr i co es u na magn i tud tu d escal escalar ar que se mi de por el tr abajo que debe debe r eali al i zar u n agente exte xt er no para par a des desplaz pl azar ar l a uni un i dad de carga posi posi ti va des desde el i nf i ni to hasta es ese pun to.
V
Voltio
La unidad en el S. I:
W q
Julio Jul io culombio
V
J C
El volti o es es el potenci potenci al exis exi stente tente en en u n pun to tal que qu e para tr ansportar ansportar una un a carga de un Coulomb Coul omb des desde el i nf i ni to hasta es ese pun punto to se se requi requi er e un tr abajo de un j oul e.
La unidad en el c. g. s:
La equivalencia es:
1V
sta s tatvo tvolt ltio io 1 J
10 7
ergio sta s tatcu tculo lomb mbio
erg 1 stV st V 1 C 3 10 9 stC st C 30 0
st s t V
erg er g stC s tC
st V 300 30 0V 1 stV
POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL.- El potencial eléctrico en un punto de un campo eléctrico creado por una carga puntual carga puntual Q a una distancia “r”, es:
V K
Q r
Edwin H. Gutiérrez E.
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DIFERENCIA DE POTENCIAL (d.d.p.) .- La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico es una magnitud escalar que se mide por el trabajo que debe realizar para desplazar la unidad de carga positiva desde un punto a otro. o tro. V A
V B V A
r A
Carga en movimiento q = W AB = Trabajo realizado V B V A V = Diferencia de potencial
Q VB
r B
W AB q
TRABAJO ELÉCTRICO.- Despejando de la expresión de diferencia de potencial:
W AB q (VB VA )
también:
W qV
ELECTRÓN – VOLTIO VOLTIO.- Un electrón-voltio es la energía transportada por un electrón que se desplaza dentro de un campo eléctrico. 1 eV 1.6 1019 J
POTENCIAL E INTENSIDAD ELÉCTRICA DE UNA ESFERA CONDUCTORA. La carga en una esfera conductora se distribuye uniformemente en la superficie. super ficie. En el interior de la esfera:
E 0
En el exterior de la esfera:
E K
Q r 2
Q V K R Q V K r
Considerando “r” la distancia medida desde el centro de la esfera hasta el punto.
RELACIÓN ENTRE EL VECTOR CAMPO Y LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICA.- Un campo eléctrico uniforme se tiene cuando la intensidad del campo es el mismo en todos los puntos
V E d
d
A
B
q V
F
E
V
La diferencia de potencial entre dos puntos en un campo elé ctr i co un i f or me es igual al producto del módulo de la intensidad por la distancia entre los puntos.
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Edwin H. Gutiérrez E.
CAPACIDAD ELÉCTRICA.- La capacidad eléctrica de un conductor cargado y aislado es una magnitud escalar que se mide por el cociente entre su carga y su potencial eléctrico. C
La unidad en el S. I: La unidad en el c.g.s: La equivalencia es:
Q V
culombio C F voltio V stat st atcul culom ombbio stC s tC stat st atfa fara radi dio stF s tF stat st atvol volti tioo stV s tV Fara Fa radd io
1 F
Submúltiplos: milifaradio: microfaradio: nanofaradio. picofaradio:
1C 1V
3 109 stC st C 1 / 300 30 0 stV st V
st F 9 1011 stF
1 mF = 10 -3 F 1 µF = 10-6 F 1 nF = 10-9 F 1 pF = 10-12 F
CAPACIDAD ELÉCTRICA DE UNA ESFERA CONDUCTORA.- La capacidad o capacitancia de una esfera conductora de radio r adio R aislada y carga Q, es:
C 4 o R La capacidad de una esfera cargada es proporcional a su radio e independiente tanto de la carga como de la diferencia de potencial.
CONDENSADOR.- Un condensador es un dispositivo constituido por dos conductores aislados próximos, con cargas iguales y de signo contrario, que permiten almacenar una gran cantidad de energía, y por consiguiente energía con un pequeño potencial. CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS.- Es un sistema de dos conductores planos que poseen cargas iguales y opuestas. Su capacidad se define como:
C o
A d
Q = Carga de una de las placas V = V = Diferencia de potencial entre placas C = C = Capacidad del condensador d = Distancia entre placas
Edwin H. Gutiérrez E.
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CONDENSADORES CON DIELÉCTRICO.- La mayor parte de los condensadores tiene entre sus armaduras un dieléctrico.
C k d o
k d = Constante dieléctrica del material
A d
C > C 0 ya que k d > 1 Confirmado.
ENERGÍA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR ..- Un condensador cargado es capaz de efectuar trabajo porque contiene energía.
W qV 1 2
q2 W C 1 2
W 12 C V 2
ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES.- La capacidad equivalente de ciertas combinaciones: a) CONDENSADORES EN PARALELO O DERIVACIÓN.- Es aquella en la cual se unen las placas del mismo signo. Todos ellos se hallan sometidos a una misma diferencia de potencial. C = C = C 1 + C 2 + C 3 qt = q1 + q2 + q3 V t t = V 1 = V 2 = V3 La capacidad equivalente de una asociación de condensadores condensadores en par ale al el o es es i gual a la l a sum suma a de l as capacidades capaci dades de todos y cada un o ell os.
b) CONDENSADORES EN SERIE.- Es aquella en la cual se unen sucesivamente las placas de distinto signo de los condensadores. Cada armadura de uno de ellos se halla unida con una armadura del siguiente, de modo que la diferencia de potencial del sistema es la suma de las diferencias de potencial de cada condensador. 1
C
1
C 1
1
C 2
1
C 3
qt = q1 = q2 = q3 V t t = V 1 + V 2 + V3 E n un a asociaci asociaci ón de condens condensadores adores en en ser i e, el i nverso de la capacidad equi valente es es i gual a la l a sum suma a de l os i nvers nver sos de l as capacidades capaci dades de cada uno un o de el l os.
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Edwin H. Gutiérrez E.
Cap. 12
ELECTRODINÁMICA
CORRIENTE ELÉCTRICA.ELÉCTRICA.- Se llama corriente eléctrica al movimiento ordenado y permanente de las partículas cargadas en un conductor bajo la influencia de un campo eléctrico. Sentido real: Dado que los electrones son los que se mueven en los cables de un circuito, el electrón experimenta una fuerza del polo negativo al polo positivo exteriormente al generador. generador. Sentido convencional: El sentido convencional de la corriente tiene dirección en la cual las cargas positivas deben fluir, o la dirección opuesta a los electrones.
L a dir ección de l a cor cor r i ente nt e es l a del del movim m ovimii ento nt o de l as cargas posi posi ti vas
Sentido convencional:
Sentido real (de electrones):
Del mayor al menor potencial
Del menor al mayor potencial
INTENSIDAD DE CORRIENTE.- Si ( q ) es la carga neta que pasa a través de (A) en un intervalo de tiempo ( t ), la intensidad de la corriente ( I ) se expresa como:
I
q t
La unidad en el S. I:
o simplemente:
I
Amper Am perio io
Un submúltiplo es el miliampere:
q t
culombio segun seg undo do
A
C s
1 mA = 10 -3 A
L a i ntensidad de corr i ente nt e el el é ctri ctr i ca ( I ), es l a canti dad de carga ( q ) que qu e atr atr aviesa aviesa un a sección de un conductor condu ctor en l a uni un i dad de ti empo ( t ).
Edwin H. Gutiérrez E.
- 59 -
RESISTENCIA ELÉCTRICA Y LA LEY DE OHM.- Existen sustancias conductoras y materiales aislantes, no todos los materiales conducen con igual facilidad la corriente eléctrica. Es decir, unos ofrecen más resistencia a su paso que otros. “La razón entre la diferencia de potencial V aplicada a
los extr extr emos de un conductor y l a intens i ntensidad idad I que, que, cir ci r cul a por é l es u na can ti dad constante constan te denom denom i nada resistencia del conductor”.
La resistencia de un conductor se representa por R:
La unidad de R en el S. I:
ohmio
V I
R
voltio amperio
1
1V 1 A
Un ohmi o es es l a re r esi stenci tencia a de un conductor qu e bajo un a dif er enci a de potenci potenci al de un volti volt i o per per mi te el paso de un amper amper i o.
Despejando I Despejando I en la ley de Ohm, se obtiene:
I
V R
L a inte int ensidad que cir cula cul a por por u n conductor es dir ectamente ctamente pr pr oporcional oporcion al a la dif er encia nci a de potenci potenci al exi stente ent entrr e sus sus ex ex tr emos, e i nversament nversamente e proporcion propor cion al a la l a re r esi stencia del del mismo.
= Resistencia eléctrica
LEY DE POUILLET.- La resistencia de un conductor depende de sus características: l R A
l = Longitud del conductor, dada en metros metros (m ( m) A = Área de su sección transversal, dada en ( m2) o (mm (mm2) mm 2 ) ρ = Resistividad del material , dada en (Χ m) o ( m
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L a r esi stenci tenci a de un conductor es di di r ectamente ctamente proporci onal a su su l ongitud ongit ud e in ver ver samente amente proporcional al área de su sección recta, siendo ρ la constante de proporcionalidad p roporcionalidad que se
ll ama resi resi sti vidad del del conductor.
RESISTIVIDADES A 20 ºC DE ALGUNAS SUSTANCIAS CONDUCTORES Sustancia
m
-
Plata Cobre Oro Aluminio Wolframio Níquel Hierro Platino Plomo Niquelina Mercurio Nichrome Tungsteno
1.59x10 1.7x102.44x102.82x105.65x106.84x109.71x1010.6x1020.65x104.4x109.4x101.11x105.6x10-
Vidrio Cuar Cu arzo zo Azufr ufre Teflón Caucho Madera
m 10 - 10 7.5x1 7.5x100 10 10 10 - 10 10 - 10
m
0.0159 0.017 0.0244 0.0282 0.0565 0.0684 0.0971 0.106 0.2065 0.44 0.94 1.11 0.056
AISLANTES Sustancia
Coefic. de dilatac. ºC-1 3.8x103.9x103.4x103.9x104.5x106.0x105x103.93x104.3x102.3x109x104x104.5x10-
mm2
SEMICONDUCTORES
mm2
1 0 - 10 7.5x1 7.5x100 10 10 1 0 - 10 1 0 - 10
Sustancia
m
m
Silicio Germanio
2500 0.46
mm2
m
2.5x10 4.6x10
AMPERÍMETRO: Se denomina amperímetro a cualquier aparato de medida destinado a medir la intensidad de la corriente eléctrica. Se conecta en serie con el receptor de corriente, tiene una resistencia interna muy pequeña (cero si fuese ideal).
VOLTÍMETRO: Se denomina voltímetro a cualquier aparato de medida destinado a medir la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito eléctrico.
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Se conecta en paralelo entre los dos puntos que queremos medir su diferencia de potencial. Tiene una resistencia interna muy grande (infinita si fuese ideal).
GENERADORES DE ELECTRICIDAD.- Todo dispositivo que suministre una diferencia de potencial se llama fuente de voltaje . ANALOGÍA CORRIENTE DE AGUA – AGUA – CORRIENTE CORRIENTE ELÉCTRICA
Para Par a mantene man tenerr un a corr i ente nt e el el é ctri ctr i ca en en el i nteri nter i or de un conductor con ductor es pre pr ecis ci so que exi exi sta un a dif er enci a de potenci potenci al cons con stante tant e entr nt r e sus ext extrr emos.
CORRIENTE CONTINUA: C.C.- Proporcionan las pilas, acumuladores, baterías, dínamos, la corriente que circula es en un solo sentido, manteniéndose constante la polaridad de los bornes o polos del generador. CORRIENTE ALTERNA: A.C.- Proporcionan los alternadores, la corriente que circula cambia de sentido (unas 50-60 veces por segundo), debido a que la polaridad de los bornes o polos cambia periódicamente. FUERZA ELECTROMOTRIZ DE UN GENERADOR (f.e.m.).- No se mide a través de la fuerza eléctrica sino por medio de la energía que estos aparatos utilizan para mover una unidad de carga. Símbolos
Pila
Batería
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: Fuerza electromotriz de una pila (fem), (fem), generador de corriente corriente continua. Re : Resistencia del circuito externo. La resistencia del conductor o conductores que van conectados a los polos del generador. interna del generador (pila, batería, etc.) r : Resistencia interna
L a f uerza uerza elec electromotri tromotri z ( ε ) de un generador de corr corr i ente nt e conti conti nu a (pi l a, bater bater ía, acumu l ador, di namo, etc) es es un a magni tud qu e se mi de por el tr abajo o energía ( W ) que debe debe sum sumii ni str ar el generador genera dor para par a tr ans an sportar por tar u na u ni dad de carga elé el é ctr i ca ( q ) a tr t r avé s de todo el el cir cui to.
W q
L a f em de una un a baterí bat ería o pi l a es l a di f erenci eren cia a má m áx i ma de d e potenci al a tr t r avé s de sus term i n ales al es,, es esto ocur ocu r r e cuand cua ndo o la l a baterí bater ía no está estáconectada a un cir ci r cui to externo. exter no.
La unidad en el S. I:
voltio
Jul io culombio
1V
1 J 1 C
VOLTAJE TERMINAL.- Se denomina así a la diferencia de potencial en los bornes de la pila cuando se encuentra en circuito circuito cerrado. Reemplazando el trabajo y la carga:
V I r D ebido bi do a l a r esi stencia tenci a i nterna nter na (r ) el voltaj volt aje e ter ter mi nal , cuan do l a batería está estáen oper oper ación, es menor que la f em.
Si la resistencia interna del generador es despreciable ( r = 0 ), se tiene:
V
El voltaje voltaj e de de sali sali da sobre sobre los ter ter minal mi nal es de de la pil a ( V ) es i gual a su fem ( ε ).
CORRIENTE EN CORTOCIRCUITO.- Se denomina de esta forma a la corriente eléctrica máxima que puede pasar por el generador: ( Re = 0 ): I
r
a) CONEXIÓN DE PILAS EN SERIE.- El terminal positivo de una pila se conecta con el terminal negativo de la otra. se suman todas las fem individuales, todas las pilas deberán tener la misma corriente.
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t
1.5 V 1.5 V 1.5 V 1.5 V
i
rt r i 6.0 V
La fem ( ε ) de una combinación serie es la suma de las fem de las pilas individuales, y la resistencia interna total es la suma de las resistencia ( r ) r ) de cada pila.
b) CONEXIÓN DE PILAS EN PARALELO.- El terminal positivo de una pila se conecta con el terminal positivo de la otra. Se suman todas las corrientes individuales, todas las pilas deberán tener el mismo voltaje. t 1.5 V
1.5 V
1.5 V
1.5 V
1.5 1.5 V de sali salida da
r t
r n
La ventaja de la conexión en paralelo es la mayor capacidad de corriente que en una sola pila.
POTENCIA ELÉCTRICA.- La potencia eléctrica de un generador (pila, batería, etc.) es una magnitud que se mide por el trabajo o energía eléctrica que suministra el generador por unidad de tiempo. 2 V 2 P I R P I V P R La unidad en el S.I de potencia eléctrica se llama Watio (W)
LEY DE JOULE.- Cuando una corriente eléctrica pasa a través de un conductor metálico, éste se calienta y desprende calor:
Q I 2 Rt
Q 0.24 I 2 R t cal
ENERGÍA DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA.- Para conocer la energía eléctrica consumida en una casa, fábrica, etc, se obtiene de la potencia:
W IV t Las compañías que suministran electricidad toman como unidad de potencia el kilowatio (kW) y como unidad de tiempo la hora (h). En consecuencia, si se tiene P = 1 kW y t = 1 hora, se obtiene ob tiene la unidad de energía llamada Kilowatio-hora (kWh)
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CONEXIÓN DE RESISTENCIAS.- El conjunto se comporta como si fuese una resistencia única, cuyo valor se denomina resistencia equivalente de la asociación. a) CONEXIÓN EN PARALELO.- Dos o más resistencias están conectadas en paralelo o derivación entre dos puntos de un circuito cuando cada resistencia ofrece un camino diferente al paso de la corriente eléctrica entre dichos puntos. 1
R
1
R1
1
R2
1
R3
I I 1 I 2 I 3 V V1 V2 V3 En un a asociaci asociaci ón de re r esi stencias conectadas conectadas en par ale al el o, el el i nverso de l a re r esi stencia tenci a equi valente del del si stema es es igual igu al a l a sum suma a de los in ver ver sos de de cada cada un a de el el l as. as.
Rt
Para “n” resistencias iguales conectadas en paralelo, se demuestra que:
Para el caso particular de dos resistencias en paralelo:
R
R n
R1 R2 R1 R2
b) CONEXIÓN EN SERIE.- Dos o más resistencias están conectadas en serie entre dos puntos de un circuito cuando las resistencias ofrecen o frecen un camino único al paso de la corriente eléctrica entre dichos puntos.
R R1 R2 R3 I I1 I 2 I 3
V V1 V2 V3 L a re r esi stencia tenci a equi equi valente de un a asociaci asociaci ón de resi resi stencias tenci as en ser ser i e es igual a la l a sum suma a de l os val valor ores es de todas ell as. as.
LEYES DE KIRCHHOFF.- Sirven para calcular el valor de la intensidad de corriente que circula por cada resistencia en circuitos complejos.
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Rama: Es la parte de la red donde circula una corriente de la misma intensidad. Nudo: Es un punto de la red donde concurren tres o más conductores o ramas. Malla: Es cualquier trayectoria cerrada.
1ra. LEY: DE NUDOS.- Llamada también ley de corrientes L a suma suma algebrai algebrai ca de l as i ntensidade ntensidadess que que concur concur r en a un nudo nu do es es igual a cer cer o.
I (llegan)
I 3
I 1
I (salen)
Nudo
I 4
I 0
I 1 I 2 I 3 I 4
I 2
2da. LEY: DE TENSIONES.- Llamada también ley de mallas. L a sum suma a alge al gebr brai aica ca de l as f .e.m. .e.m. en en u na mal m alll a, es es i gual a la l a sum suma a algebrai ca de l as caídas de tensi tensi ón en l as r esi esi stencia de la mi m i sma mal l a
V 0
en cualquier malla de la red.
Si se recorre una resistencia en la dirección de la corriente, el cambio de potencial a través de la resistencia es – IR Si una resistencia se recorre en la dirección opuesta a la corriente, el cambio de potencial a través de la resistencia es + IR + IR Si una fem se atraviesa en la dirección de la fem (de – a + en las terminales), el cambio de potencial es +ε Si una fem se atraviesa en la dirección opuesta de la fem (de + a – en las terminales), el cambio de – ε potencial es – ε
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APÉNDICE SOBRE TRIGONOMETRÍA CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS.a) Según sus lados: a) Equiláteros.- Sus tres lados iguales
b) Isósceles.- Dos lados c) Escaleno.- Tres lados desiguales iguales y uno desigual
Isósceles
Equilátero
Escaleno
b) Según sus ángulos: a) Rectángulos.- Un ángulo recto
b) Acutángulos.- Tres ángulos agudos
Rectángulo
c) Obtusángulos.- Un ángulo obtuso
Obtusángulo
Acutángulo
SISTEMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS. Sistema sexagesimal.- Divididos en grados, minutos y segundos. 360º = Un giro completo alrededor de una circunferencia
1º = 60’
1’ = 60”
Sistema circular.- La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. Longitud del arco de circunferencia circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia] circunferencia] S R
1 radian = 57.29º
360º = 2 radianes
180º = radianes
Sistema centesimal.- Poco utilizado, un giro completo posee 400 g centesimales. 360º = 400g
400g = 2 radianes
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.- Se definen utilizando un triángulo rectángulo. De las seis funciones establecidas definiremos tres que son las más utilizadas: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS sen
cat cat .opuesto a hipotenusa c
cos
cat cat .adyacente hipotenusa
b c
tag
cat cat .opuesto cat cat .adyacente
a b
TEOREMA DE PITÁGORAS: (Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2 c2 = a2 + b2
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
sen θ
0º
30º
0
1 2
1
cos θ
0
3
60º
2
3
2
90º
37º
53º
1
3
4
5
5
4
3
5
5
3
4
4
3
2
0
1
2
3 2
tag θ
45º
2
2
1
3
infinito
3
TRIÁNGULOS NOTABLES
30º 30º 1
37 º
45º
1
60º
60º 1 2
1 2
Triángulo equilátero , para definir funciones de 30º y 60º
5
4
2
1
53º
45º 1
Triángulo rectángulo isósceles, para definir funciones de 45º
3
Triángulo rectángulo 3, 4 y 5, para definir funciones de 37º y 53º
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RELACIONES FUNDAMENTALES -Identidades trigonométricas usuales: sen2 cos2 1 sen
2
2
2
1 tan sec
1
cos
csc
2
1 cot csc
1
tan
sec
sen cos
-Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos, ángulo doble: sen ( ) sen cos sen cos
sen 2 2 sen cos
cos( ) cos cos sen sen
cos 2 cos2 sen2
tan ( )
tan tan 1 tan tan
tan 2
2 tan 1 tan 2
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Todo triángulo que no posee ángulo recto. Se resuelven utilizando los teoremas de los senos y cosenos.
-Teorema de los cosenos:
-Teorema de los senos:
a 2 b 2 c 2 2 b c cos
a b sen sen
b2 a2 c2 2 a c cos c2 a 2 b2 2 a b cos
- Ángulos interiores: + + θ = 180º
c sen