FORMULARIO TRANSFERENCIA DE CALOR

Transferencia de calor

Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES

1. CONVECCIÓN

y

y

(Concepto general).

w(y)

w(y) w(y)

Tf

qC

TS

Ty

Ty

Desarrollo de las capas limite de velocidad y térmica, en la transferencia de calor por convección entre n flujo y una superficie plana

⇒ El término "Convección" indica la transferencia de calor entre una superficie y un-fluido en movimiento, cuando éstos se encuentran a temperaturas diferentes. Por consiguiente el mecanismo físico de la transferencia de calor por convección - -implica difusión de energía debida al movimiento caótico molecular mas la transferencia de energía debido, Al movimiento másico. ⇒ La transferencia de calor por convección -se clasifica en: • "Convección natural", (Qc)n, (flujo del fluido debido a variación de ρ). • "Convección forzada", (Qc) f, (flujo de fluido inducido por fuerzas externas) (Qc)f > (Qc)n ⇒ La energía transferida por convección es en general, "energía sensible del fluido". En procesos con cambio de fase (ebullición condensación), en adición se tiene transferencia de "calor latente". ⇒ La ley que gobierna este modo de transferencia de calor, es la "Ley de enfriamiento de Newton".

[W ] Qc = hcA(Ts − Tf ) ⎡ W ⎢

q c = hc(Ts − Tf )

⎣

(1.4) ⎤ M 2 ⎥⎦

(1.5)

⇒ El coeficiente de transferencia de calor-por convección (he) depende de las condiciones de las capas limite (geometría y -rugosidad de la superficie, naturaleza del movimiento del fluido, y propiedades-de transporte). Tabla (1.1) Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor por convección

hc

Procesos

(W / m 2 k)

Convección natural. Convección forzada. Gases líquidos. Convección con cambio de fase: ebullición o condensación.

5-25 25-250 50-20 000

259A

2 500-100 000


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES Toda sustancia cuya superficie se encuentre a una ⇒ temperatura finita, emite ondas electromagnéticas. ⇒ En la ausencia de un medio intercurrente (vacío), el calor neto entre dos superficies a temperaturas finitas diferentes, será transferido por el modo "radiación térmica". ⇒ La emisión de radiación térmica, se atribuye a los cambios en configuración de los electrones de los átomos constituyentes de la materia de la superficie emisora. Esta energía es transportada por ondas electromagnéticas y originadas a expensas de la energía interna de la materia emisora. La transferencia por radiación térmica se realiza con mayor eficiencia en un vació. ⇒ El flujo máximo de calor, emitido por radiación térmica (radiador ideal o "cuerpo negro"), está definido por la "Ley de Stefan - Boltzmann"

2. RADIACION TERMICA (Conceptos generales).

Emisión de radiación térmica desde una superficie (sólido, líquido o gas) a una temperatura finita (Ts)

T1

[W ]

Q r = σA Ts 4

T2

q r = σ Ts 4 ⎡ W 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ La constante de Stefan – Boltzmann

[

σ = 5.67 × 10 −8 W / m 2 K 4

⇒ La radiación térmica emitida desde la superficie de una sustancia real, será:

Intercambio neto de radiación térmica entre dos superficies a temperaturas finitas diferentes.

[W ]

Qr = ε σ A Ts 4

⇒ La propiedad "emisividad" (E), indica la eficiencia de emisión de una sustancia real, comparada con el radiador ideal. ⇒ Para el caso en el que una superficie pequeña es rodeada por otra mucha mayor, el intercambio neto de radiación se determina mediante la expresión siguiente.

Área Tf , hc Alrededor es (TA).

Intercambio neto de

qr

]

Transferenci a de calor por qconvección C

(

)

Qr = εAσ Ts4 − TA4 [W ]

(

)

qr = εAσ Ts4 − TA4 ⎡ W 2 ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦

Superficie de emisividad (ε) y área (A) a una temperatura (TS).

⇒

Intercambio de radiación térmica entre una superficie pequeña y otra mayor que la rodea completamente.

La expresión anterior también se puede expresar cono

Qr = hrA(Ts − TA )

qr = hr (Ts − TA ) ⇒ es

[W ]

[W / m ] 2

El coeficiente de transferencia de calor por radiación

(

)[

hr = εσ(Ts + TA ) Ts 2 + TA 2 W / m 2 k

]

(hr) depende fuertemente de la temperatura. ⇒ Para el caso en el que (Qc) sea equivalen te a (Qr), (Ts >> TA y hc pequeño), la expresión para determinar el flujo de calor en el modo combinado convección radiación térmica, será:

Qcr = Qc + Qr Qcr = {[hcA(Ts − Tf )] + [hrA(Ts − TA )]}[W ]

Para valores más moderados de (Ts), en relación a (TA), y valores altos de (hc) (convección forzada), se puede despreciar la radiación térmica.

260A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES ⇒ 3.1 Concepto General. El término "Conducción" refiere la transferencia de calor que ocurre a través de un medio estacionario (so1ido, líquido o gas), cuando existe un gradiente de temperatura (diferencia de temperaturas a través de una distancia). El mecanismo físico de la Conducción es la difusión de energía debido a la actividad caótica molecular o atómica de la materia.

3. CONDUCCIÓN

⇒ 3.2 Ecuación general coordenadas cartesianas. Volumen de control diferencial (dx,dy,dz) para análisis de conducción en coordenadas cartesianas.

de

conducción

en

⇒ El balance de energía en el volumen de control será: .

E e + E g − E s = E a ; Eg = q Ax

[(qx ) + (qy) + (qz)] + [q dxdydz] − [(qx + dx ) − (qy + dy) − (qz + dz)] =

Tabla (2.1). Condiciones limite para la ecuación de difusión de calor en la superficie (x=0). (2.20)

T(x, θ)

⇒ La forma general de la "ecuación de difusión de calor (ecuación de calor), en coordenadas cartesianas" será :

x 2. Flujo de calor constante en la superficie: a). Flujo de calor finito.

∂T −k dx

x =0 =

∂T ∂x

∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ . ∂T ⎜⎜ k ⎟⎟ + ⎜ k ⎜k ⎟+ ⎟ + q = ρC p ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂θ

(2.21) T(x, θ)

qx

qs

b). Superficie adiabática o aislada.

x

∂ 2T ∂x T(x, θ)

x

∂T −k x =0 = ∂x hc[T∞ − T(0, θ)]

⇒ Si la conductividad térmica (k) es una constante independiente de la posición o la temperatura, la ecuación anterior se puede expresar como:

(2.22)

x =0 = 0

3. Condición de convección en la superficie.

∂T ⎡ ⎤ ⎢ρC p ∂θ dxdydz⎥ ⎣ ⎦

Ts

1. Temperatura constante en la superficie. T(0,∞)=Ts

T (0, θ) (2.23) T(x, θ)

T∞; hc x

⇒

(

2

+

∂ 2T ∂y

2

+

Donde α = k / ρC p

∂ 2T ∂z

)

2

+

q 1 ∂T = k α ∂θ

es la "difusividad térmica".

Un valor alto de (α) implica que-un medio es más eficaz en la transferencia de energía por conducción que en el almacenamiento de energía (Ea). ⇒ Para las condiciones de "estado continuo" no se tendrá cambio en la energía almacenada, y la ecuación de difusión de energía se reduce a:

∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ . ⎜k ⎟ + ⎜k ⎟+q =0 ⎜k ⎟+ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ⇒ Para condiciones de "estado continuo unidimensional"; esto es, no se tiene cambio en (Ea) y no se tiene (Ég), la "ecuación-de difusión de energía en coordenadas cilíndricas" se reduce a,

∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎜k ⎟=0 ∂x ⎝ ∂x ⎠

261A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES ⇒ 3.3 Ecuación General de Conducción en Coordenadas Cilíndricas. La forma general de la "ecuación de difusión de calor en coordenadas cilíndricas" será:

⎡ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞⎤ ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞⎤ ⎡ ∂ ⎛ ∂T ⎞⎤ ∂T ⎤ ⎡ ⎜⎜ k ⎟⎟⎥ + ⎢ ⎜ k ⎜ kr ⎟⎥ + ⎢ 2 ⎟⎥ + q = ⎢ρCp ⎥ ⎢ ∂θ ⎦ ⎣ ⎣ r ∂r ⎝ ∂r ⎠⎦ ⎣ r ∂φ ⎝ ∂φ ⎠⎦ ⎣ ∂z ⎝ ∂z ⎠⎦

Volumen diferencial se control, (dr, rdθ, dz) para análisis de conducción en coordenadas cilíndricas.

⇒ Para "condiciones de estado continuo"; esto es, sin cambios en la energía almacenada (Éa), y sin generación de calor "la ecuación general de difusión en coordenadas cilíndricas", será:

1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎜ kr ⎟=0 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ⇒ 3.4 Ecuación General de Conducción en Coordenada Esféricas. ⇒ La "ecuación general de difusión de calor en coordenadas esféricas" es,

(

)

−1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎤ ⎡ 1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞⎤ ⎡ 2 2 ⎟⎥ + ⎜k ⎜ kr ⎟⎥ + ⎢ r sen ψ ⎢ 2 ∂φ ⎜⎝ ∂φ ⎟⎠⎦ ∂r ⎠⎦ ⎣ ⎣ r ∂r ⎝ ⎡ 2 −1 ∂ ⎛ ∂T ⎤ ∂T ⎞⎤ ⎡ ⎟⎟⎥ + q = ⎢ρCp ⎜⎜ ksenψ ⎢ r senψ ∂θ ⎥⎦ ∂ψ ⎝ ∂ψ ⎠⎦ ⎣ ⎣

(

Volumen de control diferencial (dr . r senψ dØ.rdψ) para análisis de conducción en coordenadas esféricas (r, Ø, ψ)

(T1>T2)

T1

)

⇒ Para "condiciones de estado continuo unidimensional"; esto es (∆ Ea=0) y (Eg=0) la "ecuación de difusión de calor en coordenadas esféricas", será:

∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ ⎟=0 ⎜r ∂x ⎝ ∂r ⎠

T2

Qx

⇒ x

3.5 Conducción Unidimensional, Estado Continuo.

∆x

Conducción continua unidimensional a través de una barra de material sólido.

⇒ 3.5.1 Ecuación de Conducción para condiciones de Estado Continuo Unidimensional ⇒ La ecuación de conducción para condiciones de estado continuo unidimensional, (∆ Ea=0 y Eg=0) es la "Ley de Fourier"

⎛ dT ⎞ Qx = −kA⎜ ⎟[W ] ⎝ dx ⎠ ⎛ dT ⎞ 2 qx = −k⎜ ⎟ W/m dx ⎝ ⎠

[

]

La ley de Fourier es una generalización basada en evidencia experimental. . Esta es una expresión vectorial, la cual indica que el flujo de calor es normal a una isoterma y en la dirección del decrecimiento de la temperatura. Esta ley es aplicable para toda la materia, independiente mente de su estado (sólido, liquido, o gas).

262A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES ⇒

T(x)

(dT/dx)<0 ; (-) qx>0 ; (+)

3.5.2 Conductividad Térmica (k).

⇒ La "Conductividad térmica" (k), es una propiedad de transporte la cual indica la velocidad a la cual es transferida la energía térmica en el proceso de difusión (K), depende de la estructura física dé la materia.

(dT/dx)>0 ; (+) T(x) qx<0 ; (-)

k=-qx/(dT/dx) [W/mk] qx

x

(a)

T(x)

(dT/dx)>0 ; (+) qx<0 ; (-)

qx

x

⇒ El flujo de calor por conducción se incrementa al incrementarse la conductividad térmica. (b)

⇒

(dT/dx)<0 ; (-) T(x) qx>0 ; (+)

qx

k=ke+kr ⇒ Para metales puros: (ke>>kr) y (ke) es determinada por la ley de Wiedeman–FranzLorez

qx

x

(c)

x

(d)

ke=Lo T/ρe; ρe=ρo+ρ’(T)

Relación entre el sistema de coordenadas, dirección del flujo de calor, y el gradiente de temperatura en una dimensión. Zinc Plata METALES PUROS Níquel Aluminio ALEACIONES Hielo Óxido Plásticos SÓLIDOS NO METALICOS Fibras Espumas SISTEMAS ISLANTES Mercurio Aceite Agua LIQUIDOS Anhídrido Carbónico Hidrógeno GASES

0.01

0.1

1

10

(k). Para el estado sólido.

(Ke) es independiente de (T) ⇒

Para só1idos no metálicos

k=f(kr) (k) se incrementa al incrementarse (T) hasta 100 °C , para valores cercanos a esta temperatura, (k) alcanza su valor máximo. ⇒

Para aleaciones:

(ke) es menor que para metales puros. En general, el efecto neto es de que-al incrementarse (T), se incrementara (k).

100 1000 [W / m ºK]

Rangos de conductividad térmica (k) para varios estados de la materia a condiciones normales de temperatura y presión.

⇒

(k). Para sistemas aislantes.

Estos sistemas están compuestos de materiales de baja conductividad térmica, e incluyen los modos de transferencia de calor de conducción, convección y radiación.

263A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES Un parámetro importante cara estos sistemas es su "densidad en masa" ( ρm )

ρm = ⇒

masa del solido volumen total

(k). Para el estado fluido (gases y líquidos)

⇒ La conductividad térmica (k) de los gases y líquidos, generalmente es más pequeña que la de los sólidos.

kα(ηϖmλ) Conductividad térmica de sólidos selectos a diferentes temperaturas

⇒

Para los gases:

( ϖm ) se incrementa al incrementarse (T) y decrecer (μ); por lo cual (k) se incrementa al incrementarse (T) y decrecer (μ) ⇒ Puesto que (nαp) y (λ=p-1), (k) es independiente de (P) a presiones no muy - elevadas. ⇒

Para los líquidos no-metálicos:

(k) decrece al incrementarse (T), con excepción del agua y la glicerina. También generalmente se observa que (K) decrece al incrementarse (μ). Conductividad térmica de algunos gases seleccionados, a presión normal y a diferentes temperaturas.

Conductividad térmica de líquidos no-metálicos, condiciones de saturación y a diferentes temperaturas.

⇒ Para los líquidos metálicos: El valor de (k) es mucho mayor que el de los líquidos nometálicos.

bajo

264A


Formulario CONCEPTO ∆

x=0

EXPRESIONES ⇒ 3.5.3 La pared plana. Las expresiones que se definen a continuación son para el estado

x=x+∆x Qxc

T∞1

continuo unidimensional; esto es,

Ts1

Fluido en movimien to T∞1, hc

T∞2

(x)

Qxc

T∞1

⎧ x ⎤⎫ ⎡ T(x ) = ⎨Ts 1 − ⎢(Ts 1 − Ts 2 ) ⎥ ⎬ Δ x ⎦⎭ ⎣ ⎩

Fluido en movimien to T∞2, hc Ts2

Ts1 1/hc1A (Rtc)1

⇒ Distribución de temperatura. (Tx). Para condiciones de stado continuo, unidimensional y conductividad térmica constante, (k), la temperatura a través de la pared plana varia linealmente con (x). Por tanto la expresión que define la distribución de temperatura en la pared plana es:

Ts2

k

x/kA (Rtx)

⇒ Resistencia térmica (Rt). Existe una analogía entre la difusión de calor y la carga eléctrica. La resistencia eléctrica esta definida por el coeficiente de la diferencia de potencial y el flujo de energía eléctrica. La resistencia térmica, en general esta definida por el cociente de la diferencia de temperatura y el flujo de calor.

T∞2 1/hc2A (Rtc)2

Transferencia de calor, condiciones de estado continuo unidimensional, a través de una pared plana. (a). Distribución de temperatura; (b). Circuito térmico equivalente.

qxc =

(T∞1 − Ts 1 ) (Ts 1 − Ts 2 ) (Ts 2 − T∞ 2 ) =

⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ hc1 ⎠

⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎝k⎠

=

⎛ 1 ⎜⎜ ⎝ hc 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

⇒ La resistencia térmica de conducción (en base a la figura anterior):

⎡⎛ Ts − Ts 2 R tx = ⎢⎜⎜ 1 Qx ⎣⎝

⎡W⎤ ⎢ 2⎥ ⎣m ⎦

⎡⎛ T − Ts 1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ −1 ⎡ k ⎤ ⎟⎟⎥ = ⎜ R tc = ⎢⎜⎜ ∞1 ⎟ ⎢ ⎥ Qc ⎠⎦ ⎝ hcA ⎠ ⎣ W ⎦ ⎣⎝

⎡⎛ Ts − T∞ 2 R tc = ⎢⎜⎜ 2 Qc ⎣⎝

(Ts 1 − Ts 2 ) RT

⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟⎥ = ⎜ ⎟ ⎠⎦ ⎝ hcA ⎠

−1

⎡k⎤ ⎢W⎥ ⎣ ⎦

⇒ Circuito térmico equivalente. ⇒ El circuito térmico equivalente provee una herramienta útil para la conceptualización y cuantificación de los problemas de transferencia de calor. En base a lo anterior, la cantidad de calor transferido debe determinarse considerando por separado cada elemento del circuito.

Q qxc = A Qc = hcA(Ts − T∞ ) (W) Donde la resistencia térmica total, será: n ⎡ oK⎤ R T = ∑ R ti ⎢ ⎥ ⎢⎣ W ⎥⎦ i =1 x R tx = kA 1 R tc = hcA

Qxc =

(T∞1 − Ts 1 ) (Ts 1 − Ts 2 ) (Ts 2 − T∞ 2 ) Rtc 1

=

Rtx

=

Rtc 2

O en términos de la “diferencia total de la temperatura”, (∆T), y la “resistencia térmica total”, (RT).

⎞ Qxc = ⎛⎜ ΔT ⎟ ⎝ RT ⎠ ⎡ (T − T∞ 2 ) ⎤ Qxc = ⎢ ∞1 ⎥ [W ] RT ⎣ ⎦ (T − Ts 1 ) (Ts 1 − Ts 2 ) (Ts 2 − T∞ 2 ) Qxc = ∞1 = = ⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎝ kA ⎠ ⎝ hc1 A ⎠ ⎝ hc 2 A ⎠

⇒ Para el caso de circuito térmico, equivalente (serie), conducción – convección, de la figura anterior, se tendrá:

⎡ (T − T∞ 2 ) ⎤ Qxc = ⎢ ∞1 ⎥ [W ] RT ⎦ ⎣

RT =

⎞⎤ ⎛ x ⎞ ⎡ k ⎤ ⎟⎟⎥ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎠⎦ ⎝ kA ⎠ ⎣ W ⎦

⇒ La resistencia térmica de convección (en base a la figura anterior):

qxc=Parámetro especifico que no depende del área total si no que es por unidad de área.

qx =

(ΔE a = 0), y (E g = 0) .

n =3

⎡ oK⎤

i =1

⎣⎢

∑ [Rtc1 + Rtcx + Rtc 2 ]⎢ W ⎥ ⎦⎥

Qxc=Parámetro de tipo extensivo que depende del área.

⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎟⎟ + ⎜ R T = ⎢⎜⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎣⎢⎝ hc1 A ⎠ ⎝ kA ⎠ ⎝ hc 2 A ⎠⎦⎥

265A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES ⇒ 3.5.4. La pared plana múltiple. Para sistema múltiple es conveniente trabajar con un “coeficiente total de transferencia de calor”, (U), y la expresión para determinar el flujo de calor será:

T∞1 T∞4 ; hc2 TS1

T∞1 ; hc1

Qxc = [UAΔT ] [W ]

TS2 Fluido en movimiento.

Qxc

T∞1

ka

kb

xa

xb

TS1

⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ hc1A ⎠

TS2

⎛ xa ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ kA ⎠

⇒ Caso flujo serie. La ecuación anterior es análoga a la ley de enfriamiento de Newton; por tanto, el coeficiente total (U) esta relacionado a la resistencia térmica total (RT), esto es:

Fluido en

TS3 movimiento. kc T∞4

xc TS3

⎛ xb ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ kA ⎠

⎡ W ⎤ U = [R T A ]−1 ⎢ 2 o ⎥ ⎣m K⎦

T∞4

⎛ xc ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ kA ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ hc 2 A ⎠

⎡ oK⎤ R T = (UA )−1 ⎢ ⎥ ⎣⎢ W ⎦⎥

Transferencia de calor, condición de estado continuo unidimensional a través de una pared plana múltiple (caso flujo serie).

Para la figura del “caso flujo serie”,

⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ x a ⎟⎟ + ⎜⎜ U = [R T A ]−1 = ⎢⎜⎜ ⎣⎢⎝ hc 1 ⎠ ⎝ k a

ΔT = (T∞1 − T∞ 2 )

Qxc

b kb c kc ka xa xb (Rtx)b

Yb TS1

a

Yc Y X Qxc

TS1

(Rtx)a

TS2

kd xc

TS4

TS4

TS3

(Rtx)d

(Rtx)c

TS1

(R tx )b

⎡ x ⎤ ⎡m2 o K ⎤ =⎢ b ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Yb k ⎦ ⎢⎣ W ⎦⎥

(R tx )c

⎡ x ⎤ ⎡m2 o K ⎤ =⎢ c ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Yc k ⎦ ⎢⎣ W ⎦⎥

⎧ ⎪ ⎪ (Yb + Yc ) =⎨ ⎡ ⎪ ⎛⎜ k b Yb ⎞⎟ ⎛⎜ k c Yc ⎪ ⎢⎜ x ⎟ + ⎜ x ⎩ ⎣⎢⎝ b ⎠ ⎝ c

⎧ ⎪ ⎞ ⎪ (Yb + Yc ) ⎟+⎨ ⎟ ⎡ ⎠ ⎪ ⎛ k b Yb ⎞ ⎛ k c Yc ⎪ ⎢⎜⎜ x ⎟⎟ + ⎜⎜ x ⎩ ⎣⎢⎝ b ⎠ ⎝ c

⎞ ⎛ 1 ⎟+⎜ ⎟ ⎜ hc ⎠ ⎝ 2

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦⎥

−1

[ K] o

⇒ Caso flujo serie – paralelo. Los arreglos serie – paralelo no son unidimensionales, en realidad este es un caso de flujo bidimensional. La medida de desviación del caso unidimensional depende de las resistencias térmicas relativas, en las trayectorias alternas. Se puede obtener soluciones aproximadas para los casos serie – paralelo, utilizando las “herramientas unidimensionales”, siempre y cuando las conductividades térmicas (k) de los materiales en paralelo no sean sustancialmente diferentes. La solución unidimensional aproximada consiste en reducir el circuito serie – paralelo a un caso serie. Considerando el caso de la figura anterior: (Rtx)d Qxc (Rtx)a (Rtx)bc

Continuación 1.

⎧ ⎪ ⎪⎪⎛ x U = ⎨⎜⎜ a ⎪⎝ k a ⎪ ⎪⎩

⎞ ⎛ xc ⎟+⎜ ⎟ ⎜k ⎠ ⎝ c

d

Transferencia de calor por conducción a través de una pared plana múltiple (caso flujo serie – paralelo).

(R tx )bc

⎞ ⎛ xb ⎟+⎜ ⎟ ⎜k ⎠ ⎝ b

TS4

TS3

Qxc = [UAΔT ] [W ]

RT =

n =3

ó

⎫ ⎪ ⎪ ⎡m2 o K ⎤ ⎥ ⎬ ⎢ ⎞⎤ ⎪ ⎣⎢ W ⎦⎥ ⎟⎥ ⎪ ⎟ ⎠⎦⎥ ⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎛ xb ⎬ + ⎜⎜ ⎤ ⎞ ⎪ ⎝ kb ⎟⎥ ⎪ ⎟ ⎠⎦⎥ ⎭

TS2

⎫ ⎪ ⎞⎪⎪ ⎡ m 2 o K ⎤ ⎟⎬ ⎢ ⎥ ⎟ ⎠⎪ ⎣⎢ W ⎦⎥ ⎪ ⎪⎭

∑ (R tx )i = [(R tx )a + (R tx )bc + (R tx )d ] i =1

(R tx )a

⎡x ⎤ =⎢ a⎥ ⎣ ka ⎦

⎡m2 o K ⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢ W ⎦⎥

(R tx )b

⎡x ⎤ =⎢ b⎥ ⎣ kb ⎦

⎡m2 o K ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ W ⎥⎦

⎡⎛ 1 ⎢⎣⎝ R tx

(R tx )bc = ⎢⎜⎜ (R tz )bc Continuación 1.

266A

⎞ ⎛ 1 ⎟ +⎜ ⎟ ⎜R ⎠ b ⎝ tx

⎞ ⎤ ⎟ ⎥ ⎟ ⎠ c ⎥⎦

−1

⎡ (R tx )b (R tx )c ⎤ =⎢ ⎥ ⎣⎢ (R tx )b + (R tx )c ⎦⎥

ó


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES ⇒ Resistencia térmica de contacto (Rtco). En los sistemas múltiples la caída de temperatura a través de la interfase entre materiales puede ser apreciable. Esta caída de temperatura se atribuye a la resistencia térmica de contacto.

Qcontact Q

⎡⎛ (T − Tb ) ⎞⎤ ⎟⎟⎥ R tco = ⎢⎜⎜ a Q ⎠⎦ ⎣⎝

Ta a

∆ T

b Tb

T

Qhueco a

b

X

Caída de temperatura debido a la resistencia térmica de contacto. Tabla (2.2). Rango aproximado de valores de resistencia térmica para interfases metálicas bajo condiciones de vacío. RESISTENCIA TÉRMICA, (Rico)x104m2 ºK/W Presión de contacto 100 kN/m2 10 000 kN/m2 Acero inoxidable 6 – 25 0.7 – 4.0 Cobre 1 – 10 0.1 – 0.5 Magnesio 1.5 – 3.5 0.2 – 0.4 Aluminio 1.5 – 5.0 0.2 – 0.4 Fuente: Fried, E., “Termal Conduction Contibution to Heat Transfer at Contacs”

⎡m2 o K ⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢ W ⎦⎥

La existencia de una resistencia térmica de contacto finita, es función de la rugosidad de las superficies en contacto y la presión de la unión. La transferencia de calor en la interfase se realiza por conducción a través de los puntos de contacto y convección y/o radiación a través de los huecos, siendo estas dos resistencias en paralelo. La experiencia térmica de contacto. (Rtco) decrecerá al decrecer la rugosidad superficial e incrementar la presión de unión. No obstante las teorías que se han desarrollado para la predicción de la (Rtco), los resultados más confiables son los obtenidos experimentalmente.

Tabla (2.3). Variación de la resistencia térmica para interfase en aluminio–aluminio (10μm rug–sup.) bajo 105Pa de presión contacto. FLUIDO Resistencia térmica (Rtco)x104m2 ºK/W Aire 2.75 Helio 1.05 Hidrogeno 0.720 Aceite de silicio 0.525 Glicerina 0.265 Misma fuente. Aislante

Qx

Superficie Adiabática

T1

To, A(x) Z Y

X

⇒ 3.5.5. Alternativa para análisis de conducción. Para el análisis de la conducción a través de la materia se puede usar un procedimiento alternativo el cual consiste en partir de las ecuaciones de cambio en forma diferencial e integrar; esto es:

Qx+dx

X1 Xo

X

Qx

⎛ dT ⎞ Qx = −kA⎜ ⎟[W ] ⎝ dx ⎠ ⎛ dT ⎞ 2 qx = − k⎜ ⎟ W/m dx ⎝ ⎠

dx

Transferencia de calor por conducción a través de un sólido con (k)T y A(x). ⎫ ⎧ ⎪⎪ πa 2 k (T1− T2 ) ⎪⎪ Qx = ⎨ ⎬[W ] ⎪ 4⎡X1−1 − X 2 −1 ⎤ ⎪ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎢⎣

[

]

Si (k) es independiente de la temperatura y (A) es uniforme, la expresión toma la forma ya conocida.

⎧⎪ ⎫ ⎡ 4Qx ⎤ ⎡ −1 −1 ⎪ T(x ) = ⎨(T1) − ⎢ ⎥ ⎢X1 − X ⎤⎥ ⎬[°K ] 2 ⎣ ⎦ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎣⎢ πa k ⎦⎥ ⎡ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ T(x ) = (T1) − (T1 − T 2) ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣⎢

1 1 − X1 X 1 1 − X1 X 2

⎤⎤ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎦⎥

⎡ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ T(x ) = (T1) + (T1 − T 2) ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎣

1 1 − X X1 1 1 − X1 X 2

⎤⎤ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎥⎦

Qx = ∫

x

x0

T dx = − ∫ k (T )dT T 0 A(x )

Para resolver problemas de difusión de calor (conducción) con formas integradas de las ecuaciones respectivas, solo puede hacerse para las condiciones de estado continuo unidimensional con (k9 constante y (A) uniforme.

267A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES

Fluido en Ts1 Movimiento. T∞1 , hc1

Fluido en movimiento T∞2 , hc2

r

Ts2 Ts1 r1

L r2

(Qxc)r T∞1

Ts1

1 hc1 2πr1L

Ts2

Ts2

T∞2

1 h (r2 r1 ) 2 π k L hc 2 2πr21L

⇒ 3.5.6 El Cilindro Hueco. Los sistemas cilíndricos frecuentemente experimentan gradientes de temperatura solo en la dirección radial, por lo cual pueden ser tratados como unidimensionales Además, bajo condiciones de estado continuo (Éa = 0) y sin generación de calor (Éa = 0), estos sistemas pueden analizarse usando el método normal (ecuaciones integradas) o el método alternativo (sección 3.5.5). ⇒ Distribución de temperatura, T(r). A partir de la ecuación general de difusión en coordenadas cilíndricas, para condiciones de estado continuo unidimensional (sección 3.3), la distribución de temperatura en el cilindro hueco, en -el sentido radial, será

⎧ ⎡ ⎪ ⎢ (Ts − Ts ) ⎛ r ⎪ 2 ln⎜⎜ T(r ) = ⎨Ts 2 + ⎢ 1 r ⎢ 1 ⎝ r2 ⎪ ln ⎢ ⎪⎩ r2 ⎣

Transferencia de calor condición convección a través de un cilindro hueco. Ts4 Ts3 Ts2

T∞1 hc2

T∞1 hc2

La distribución de temperatura asociada con la conducción radial, T(r), a través del cilindro es logarítmica. ⇒ Ecuación de Conducción Radial.

Ts1 T∞1 hc2

r1 r2 r 3 r4 T∞1

(Qxc)r

Ts1

A

Ts2

⎤⎫ ⎞⎥ ⎪⎪ ⎟⎟⎥ ⎬ ⎠⎥ ⎪ ⎥⎪ ⎦⎭

B

Ts3

L

C

Ts4

(Qx )r

⎛ dT ⎞ = − kA⎜ ⎟ ⎝ dr ⎠

(Qx )r

= − k (2πrL )

dT (dr / r )

Integrado para el caso del cilindro hueco simple, con (k) independiente de la temperatura, la expresión para calcular la can ti dad del calor transferido por conducción, será:

T∞4

(Qx )r

(Rtc)1 (Rtc)A (Rtc)B (Rtx)C (Rtc)4

Distribución de temperatura para un cilindro hueco de capas múltiples.

=

2πkL(Ts1 − Ts 2 ) ⎛r ln⎜⎜ 2 ⎝ r1

⎞ ⎟⎟ ⎠

[W ]

⇒ Resistencia Térmica (Rt)r Considerando el caso del cilindro hueco -simple de la figura anterior: ⇒ La "resistencia térmica de conducción radial", será:

(R tx )r ⇒

⎡ ⎛ r2 ⎞ ⎤ ⎢ ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ r1 ⎡ K ⎤ = ⎢⎢ ⎝ ⎠ ⎥⎥ ⎢ ⎥ 2πLk ⎣ W ⎦ ⎢ ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥

"resistencia térmica de convección radial", será:

(Rtc1)r = [hc12πr1L]−1 [K / W ]

(Rtc 2)r = [hc 22πr 2 L]−1 [K / W ] ⇒ 3.5.7 El Cilindro Hueco de Capas Múltiples Como se estableció anteriormente, para sistemas múltiples es conveniente trabajar con el coeficiente total de transferencia de calor (U). En general, se tendrá:

(Q)r = [ΔT / RT ] = [UAΔT ] = [U(2πrL)ΔT ][W ] (q )r = [(Q)r / L] = [U(2πr )ΔT ][W / m]

268A


Formulario CONCEPTO Ts4

EXPRESIONES

T∞1 hc2

Ts3 Ts2

T∞1 hc2

Ts1 T∞1 hc2

r1 r2 r

T∞1

(Qxc)r

3

r4

Ts1

A

Ts2

B

Ts3

L

C

Para coordenadas cilíndricas (utilizando U) se debe tener cuidado de especificar la superficie de transferencia de calor (A) con la que se trabajará (interior o exterior); esto es, UiAi=UeAe=[RT]-1 Para el caso de la pared cilíndrica de capas múltiples de la figura anterior, se tendrá: ⇒ Considerando la superficie interior (Ai), (Qxc)r=UiAi∆T=[Ui(2πriL)(T∞4–T∞1)] [W] ó (qxc)r=[(Qxc) r/L]=[Ui(2πriL)(T∞4–T∞1)] [W/m2] ⎡⎛ 1 Ui = ⎢⎜⎜ ⎣⎢⎝ hci

Ts4

T∞4

⇒

(Rtc)1 (Rtc)A (Rtc)B (Rtx)C (Rtc)4

ó

Distribución de temperatura para un cilindro hueco de capas múltiples.

⎞ ⎛ r1 r2 ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ka ln r 1 ⎠ ⎝

⎞ ⎛ r1 r3 ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ kb ln r 2 ⎠ ⎝

⎞ ⎛ r1 r4 ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ kc ln r 3 ⎠ ⎝

⎞ ⎛ r1 1 ⎞⎤ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ r hc ⎟⎥ ⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎥⎦

−1

Ui=[W/m2 ºK] Considerando la superficie exterior (Ae). (Qxc)r=Ue∆T=[Ueπre)(T∞4–T∞1)] [W] (qxc)r=[(Qxc) r/L]=[Ue2πre)(T∞4–T∞1)] [W/m2]

⎡⎛ 1 Ue = ⎢⎜⎜ ⎢⎣⎝ hci

⎞ ⎛ r1 r2 ⎟ + ⎜ ln ⎟ ⎜ ka r 1 ⎠ ⎝

⎞ ⎛ r1 r ⎞ ⎛r r ⎞ ⎛ r 1 ⎞⎤ ⎟ + ⎜ ln 3 ⎟ + ⎜ 1 ln 4 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎜ kb r ⎟ ⎜ kc r ⎟ ⎜ r hc ⎟⎥ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎥⎦ ⎠ ⎝

−1

Ue=[W/m2 ºK] Otra forma de las expresiones anteriores, será: (Qxc)r=[(2πL∆T) / RT] [W] (qxc)r=[(Qxc)r / L]=[(2π∆T) / RT) [W/m2] RT =

n

∑ (R Ti )r i =1

Para el caso de la pared cilíndrica múltiple de la figura anterior, se tendrá: (Qxc)r==[2πL(T∞4–T∞1)] / RT [W] (qxc)r=[2π(T∞4–T∞1)] / RT [W / m ] RT =

n

∑ (R Ti )r = [(Rtc)1 + (Rtx )A + (Rtx )B + (Rtx )C + (Rtc)2] i =1

⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ ln r2 r1 ⎞ ⎛ ln r3 r2 ⎟+⎜ R T = ⎢⎜⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟ ⎢⎣⎝ hc1r1 ⎠ ⎝ ka ⎠ ⎝ kb

⎞ ⎛ ln r4 r3 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟ ⎠ ⎝ kc ⎠ ⎝ hc 2 r4 ⎠⎥⎦

RT=[ m ºK/ W]

269A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES

re ri

⇒ 3.5.8. Radio crítico (rcr). Sistemas cilíndricos. En sistemas cilíndricos de capas múltiples se tiene que al agregar o incrementar el espesor de material aislante, aparentemente se reducen las perdidas de calor de este. Sin embargo, el efecto de agregar material aislante, sobre la transferencia de calor en el cilindro, es doble; esto es el agregar material aislante de baja conductividad térmica, incrementará la resistencia a la conductividad (Rtx), pero también incrementará el área convectiva de transferencia de calor, reduciendo en consecuencia la resistencia térmica de convección (Rtc). Dado lo anterior, de la ecuación de calor y de la segunda derivada, se obteniene el “radio critico”. rcr=[k/hc] [W] El “radio critico” (rcr) es el radio exterior (re) para el cual se tendrá el máximo flujo de calor y la mínima resistencia térmica total; esto es, para: ⇒ (re = rcr ) → (Qxc )r = (Qxc ) max . y (R T ) = (R T min )

Fluido hc; T∞

TSi TSe Aislamiento (k) (Qxc)r TSi

TSe (Rtx)

T∞ (Rtc)

(Qxc) R [W] [mºK/W] (Qxc)max

(RT)

(RT)min

(Rtx) (Qxc)

⇒ (re > rcr ) → (Qxc )r decrecerá y (RT) se incrementará, al incrementarse el radio de aislamiento (r). ⇒ (re < rcr ) → (Qxc )r se incrementara y (RT) decrecerá, al incrementarse el radio de aislamiento (r). ⇒ 3.5.9. La esfera hueca (Coordenadas Esféricas). ⇒ Distribución de temperatura a través de la esfera hueca esta determinada por la expresión:

(Rtc)

⎡⎛ re ⎞⎛ r − ri ⎞ ⎤ ⎫⎪ ⎪⎧ T(r ) = ⎨Tsi − ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟(Tsi − Tse )⎥ ⎬[K ] ⎪⎩ ⎦ ⎪⎭ ⎣⎝ r ⎠⎝ re − ri ⎠

ri

⇒ Ecuación de conducción en coordenadas esféricas. La ley de Fourier en forma diferencial para condiciones de a = 0) y estado continuo unidimensional, esto es, (ΔE

r (Qxc)r

re

(Qxc)r+dr

(E g = 0) , será:

TSe dr

TSi

Transferencia de calor por conducción a través de una esfera hueca.

(Qx )r = −kA(dT dr )[w ]

Utilizando el método alternativo para análisis de conducción, para condiciones de estado continuo unidimensional; y la conductividad térmica como función de la temperatura k(t), la expresión será:

(Qxc)r re dr 4π ∫ r 2 ri

Tse

= − ∫ k (T )dT Tsi

Suponiendo independientemente de la temperatura a la conductividad térmica (k), la expresión resultante de la integración, será:

(R t ) = ΔT Q

⎡oK ⎤ W ⎥⎦ ⎢⎣

⇒ La resistencia térmica de conducción en coordenadas esféricas, será:

( ri)− (1re)

⎧⎡ 1

⇒ La ecuación de calor utilizando esta forma de las resistencias será:

(Qxc)r =

4π(Tsi − T∞ )

{[(1ri)− (1re)] k}+ [hc r ]

2 −1 e

[W ]

(Rtx )r = ⎪⎨⎢ ⎪⎩⎢⎣

⇒

270A

⎤ ⎫⎪ o ⎥ ⎡ K ⎤ k ⎥ ⎬ ⎢⎣ W ⎥⎦ ⎦ ⎪⎭

La resistencia térmica de convección será: (Rtc)r=[hc re2]-1 [ºK/W]


Formulario CONCEPTO

€

EXPRESIONES

r3 r2 r1

(Qxc)r T∞2 (Rtc)1 Ts1 (Rtx1)r Ts2 (Rtx2)rTs3 (Rtc)2 T∞2 Circuito térmico equivalente para un sistema esférico de capas múltiples con transferencia de calor, conducción–convección.

⇒ La esfera hueca de capas múltiples. ⇒ Ecuación de conducción. La ecuación general de conducción para condiciones de estado a = 0 ) y (E g = 0 ) , para una continuo unidimensional con (ΔE esfera hueca de capas múltiples, será: (Q)r=[4πU∆T] [W] Donde el coeficiente total de transferencia de calor (U), para el sistema esférico del circuito térmico equivalente con dos resistencias de convección y dos de conducción, será:

⎡n ⎤ U = [R T ] − 1 = ⎢∑ (Rti )r ⎥ ⎣ i =1 ⎦ ⎡⎛ 1 U = ⎢⎜ ⎢⎣⎜⎝ hc r12

−1

⎞ ⎛ (r1 )−1 (r2 )−1 ⎞ ⎛ (r2 )−1 (r3 )−1 ⎞⎛ 1 ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ hc r 2 k1 k2 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦

−1

U=[W/ ºK]

Esfera hueca de capas múltiples, con (re=rcr).

⇒ 3.5.11. Radio Crítico (rcr). Sistemas Esféricos. En sistemas esféricos de capas múltiples se presenta la misma situación que en los sistemas cilíndricos de capas múltiples (sección 3.5.8). De manera similar a como se determina para el cilindro; para la esfera, en base a la ecuación de conducción en coordenadas esféricas para condiciones de estado continuo unidimensional, (∆Ėa)=0 y (Ėg=0), Y es la segunda derivada, el "radio critico" para la esfera es. rcr =[2 k/hc] [m] El "radio critico" es el radio exterior para el cual se tendrá el máximo flujo de calor y la mínima resistencia térmica total esto es, para: ⇒ (re= rcr)→(Qxc)r=(Qxc)max y ⇒ (RT)=(RT)min ⇒ (re> rcr)→(Qxc)r decrecerá y (RT)se incrementara al aumentar el radio de aislamiento (r) ⇒ (re< rcr)→ (Qxc)r se incrementara y (RT) decrecerá, al incrementarse el radio de aislamiento (r)

271A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES A

T∞ ; hc

T∞ ; hc

Qc=hcA(Ts–T∞)

Ts

Ts, A a). Superficie lisa.

b). Superficie aletada.

Uso de “Aletas” para incrementar la transferencia de calor desde una pared plana.

⇒

Transferencia de Calor en Superficies Extendidas.

⇒ Concepto General. El término "superficie extendida" es común mente usada en referencia a un sólido, el-^ cual experimenta la transferencia de energía en forma de calor, por conducción dentro de sus limites, así como transferencia de calor por convección y / o radiación entre sus limites y los alrededores. La aplicación más frecuente de las "Superficies extendidas" es para incrementar la difusión de calor entre un sólido y un fluido contiguo (Líquido o gas). Tal "superficie extendida" es referida como "Aleta". El dispositivo "Aleta" es la opción más viable, desde el punto de vista técnico económica, para incrementar la cantidad de calor a transferir, al incrementar (con la "Aleta" el área de la superficie en la cual ocurre la convección; esto es, reduciendo la resistencia térmica de convección. ⇒ Ecuación General de Energía para la “Superficie Extendida” o “Aleta”. Suponiendo "condiciones unidimensionales" en la dirección longitudinal (x), ya que los cambios de temperatura en la dirección-longitudinal son mucho mayores que los existentes en la dirección transversal. Adicionalmente se consideran condiciones de "estado continuo", con conductividad térmica (k) constante, (Ég=0), se desprecia porradiación (qr=0), y (hc) uniforme sobre la superficie.

Ejemplos de tubos Aletados típicos para intercambio de calo

El balance energía será: Qx=[Qx+dx+dQc] donde, Qx=-kAt+(dT/dx) Qx+dx=Qx+dQx/dx (dx) Tipos de Aletas; a) Aleta recta de sección transversal uniforme; b) Aleta recta de sección transversal no-uniforme; c) Aleta anular; d) Aleta espiga

dAs

Qx

dQc=[hc dAs (T-T∞)] Sustituyendo en la ecuación del balance de energía, se obtiene la forma general de la ecuación de energía para las condiciones antes citadas

dQc

⎧⎪⎡ d ⎛ ⎫ dT ⎞⎤ ⎡ hc dAs (T − T∞ )⎤⎥ ⎪⎬ = 0 ⎟⎥ − ⎢ ⎨⎢ ⎜ A t dx ⎠⎦ ⎣ k dx ⎪⎩⎣ dx ⎝ ⎦ ⎪⎭

At(x) Qx+dx dx Z

Y X

X

ó

⎧⎪⎛ d 2 T ⎞ ⎡⎛ 1 dAt ⎞ dT ⎤ ⎡ 1 hc dAs ⎫ (T − T∞ )⎤⎥ ⎪⎬ = 0 ⎟ ⎨⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎢⎜ ⎥−⎢ ⎦ ⎪⎭ ⎩⎪⎝ dx ⎠ ⎣⎝ At dx ⎠ dx ⎦ ⎣ At k dx

Balance de energía para una superficie extendida.

272A


Formulario 3.6.3. Aletas con área de sección Trasversal Constante. T∞; hc

At T∞; hc

e

Tb

Tb a

Qx

L

y x

At P=2a+2e At=ae

Qx

D P=2πr P=πD At=(πD2/4)

L

Tabla (2.4). Distribución de temperatura y pérdidas de calor para aletas de sección transversal constante.

CASO A

CONDICIO DEL EXTREMO (x=L)= Transferencia de calor por convección:

hcθ(L ) = −k (dθ / dx ) x = L

DISTRIBUCION DE TEMPERATURA (θ/θb)= ⎧ ⎡⎛ hc ⎞ ⎤⎫ ⎪ [cosh (m(L − x ))] + ⎢⎜⎜ ⎟⎟senh (m(L − x ))⎥ ⎪ ⎪ ⎣⎢⎝ mk ⎠ ⎦⎥ ⎪ ⎬ ⎨ ⎡⎛ hc ⎞ ⎤ ⎪ ⎪ [cosh(mL)] + ⎢⎜⎜ ⎟⎟senh(mL)⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎣⎝ mk ⎠ ⎥⎦ ⎩ ⎭

⎧ cosh[m(L − x )]⎫ ⎨ ⎬ ⎩ cosh (mL ) ⎭

Adiabático:

(dθ dx ) x = L = 0

B

Temperatura prescrita:

D

ηa =

Aleta infinita

(L → ∞ ) :

At

tanh (mL )

[hcP kAt ]

12

2.87

2.89

e − mx

θ(L)=0

2.80

2.85

⎫ ⎧ ⎡⎛ θL ⎞ ⎤ ⎪ ⎢⎜⎜ ⎟⎟senh (mx )⎥ + [senh (m(L − x ))] ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣⎝ θb ⎠ ⎥⎦ ⎬ ⎨ [senh(mL)] ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

θ(L ) = θ L

C

ECUACION No.

TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA ALETA (Qa)=

ECUACION No.

⎧ ⎡⎛ hc ⎞ ⎤⎫ ⎪ [senh (mL )] + ⎢⎜⎜ ⎟⎟ cosh (mL)⎥ ⎪ ⎪ ⎣⎢⎝ mk ⎠ ⎦⎥ ⎪ M⎨ ⎬ ⎡⎛ hc ⎞ ⎤⎪ ⎪ ⎪ [cosh (mL)] + ⎢⎜⎜ mk ⎟⎟senh (mL)⎥ ⎪ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎭ ⎠ ⎩

2.82

tanh (mL)

2.86

⎡ ⎛ θL ⎞ ⎤ ⎟⎥ ⎢ cosh (mL ) − ⎜ ⎝ θb ⎠ ⎥ ⎢ M ⎢ ⎥ senh (mL ) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ M

2.88

2.90

⇒ 3.6.4. Eficiencia de la aleta (εa) La eficiencia de la aleta (εa) sirve para determinar si el uso de una determinada aleta sirve para incrementar la dispersión de calos.

Lc

Atb=e(2πr1) P=[2πr2+e]2

⎡Qa ⎤ ⎢⎣ (hcAtb θb )⎥⎦ D

En cualquier diseño racional el valor de (εa) debera ser tan grande como sea posible. En general el uso de aletas raramente se justifica a menos que (εa≥2) ⇒ Para aletas de sección trasversal uniforme: (εa)puede obtener dividiendo la expresión apropiada de (Qa) , de tabla (2.4) por (hc Atb θb ) .

L

⇒

e Fluido ambiente hc; T∞

Aleta anular de sección transversal rectangular.

(tb)

273A

Para la aproximación de la “ aleta infinita (caso D): ⎤ εa = ⎡(kP) (hcAt)⎥⎦ ⎢⎣

0.5


Formulario CONCEPTO QT=Qa+Qc; N • ηa =

EXPRESIONES

Qa Q max

⇒ Redimiendo de la Aleta (ηa). Otra media del comportamiento térmico es el “Rendimiento de la aleta” (ηa) (implica el grado de eficiencia)

Qa=NηaQmax; As=[H(N(e))](2πr1) Qc=hcAs(Tb – Tα) As=[H(2πr1), área sin aletado en el cilindro por convección. As=a[H – Ne] [m2], para una aleta recta de perfil real.

H

η a = (Qa Qmax ) = {Qa [hc(A TA ) θb]}

Aleta anular de perfil rectangular.

La ecuación anterior ha probado ser particularmente útil para tratar aletas con área de sección transversal no uniforme Para numerosas configuraciones de aleta se dispone; en forma grafica de la soluciones de la ecuación de (ηa)

Tb

⇒

Para aletas rectangulares, triangular y parabólica

e

⇒

Para “aletas anulare”

r1

L

η a ≡ (Qa Qmax )

Fluido T∞ hc

Qmax = [hc P Lc θb] [W ]

[

(

)]

Qmax ≡ 2π hc r 2 2c - r 21 [W ]

Qa= flujo relativo de calor (transferencia de calor en la aleta o perdida de calor real por aleta).

r2

Y~X

Lc=L Ap=L e/3

Y

e/2 L

Fig. (2.27). Rendimiento de aletas rectas perfil rectangular, triangular y parabólico.

ηa(%) Lc=L+e/2 Ap=Lc e

e/2

Lc=L Ap=L e/2

Lc3/2(hc/kAP)1/2

Fig. (2.28). Rendimiento de anulares de perfil rectangular.

ηa(%)

r1 r2

r2c=r2+e/2 e Lc=L+e/2 L Ap=Lc e

Lc3/2(hc/kAP)1/2

274A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES 4. INTERCAMBIADORES DE CALOR.

(a)

4.1 Conceptos Generales. El proceso de intercambio de calor entre dos fluidos que se encuentran a temperatura diferentes y separadas por una pared sólida se lleva a cabo utilizando el dispositivo denominado "Intercambiador de Calor" Existen diversos tipos de intercambiadores de calor, los cuales pueden ser clasificados de acuerdo a (revisar anexo 5B "Clasificación de los Intercambiadores -de Calor): - Los procesos de transferencia - La compactibilidad (densidad de la superficie) . - Las características de construcción - Los arreglos de flujo Número de fluidos diferentes - Mecanismo de transferencia de calor

(b)

Intercambiador de calor; (a) Flujo paralelo; (b) Contra flujo

Intercambiadores de calor con flujo cruzado, (a) ambos fluidos sin mezclarse; (b) un fluido mezcla do y el otro sin mezclarse

⎡ 1BTU ft ∗ hr ∗ º F ⎤ ⎢ ⎥ ⎣1.73073 W m º k ⎦ ⎡1BTU ft ∗ hr ∗ º F ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ 5.678 W m º k ⎦

Intercambiadores de calor del tipo "carcaza y tubos", con un paso en carcaza y un paso en tubos.

Intercambiadores de calor del tipo "carcaza y tubos"; (a) un paso en carcaza y dos pasos en tubo; (b) dos pasos en carcaza y cuatro pasos en tubo.

275A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES

x

hc(i)

k1

k

hc(e)

hc(i) re ri

hc(e)

(b)

(a)

Nomenclatura para el coeficiente total de transferencia de calor asociado con: (a) una pared plana; (b) una pared cilíndrica

⇒ 4.2 Factor de Ensuciamiento. ⇒ La parte esencial y más incierta en el análisis de un intercambiador de calor, es la determinación del "coeficiente total de transferencia de calor" (U), las ecuaciones anteriormente definidas para este parámetro son aplicables solo para "Superficies limpias". ⇒ Durante la operación de los intercambiadores, sus superficies sufren ensuciamientos debido a impurezas en el fluido, formación de herrumbre y otras reacciones entre el fluido y el material de la pared. Este depósito sobre la superficie puede incrementar sustancialmente la resistencia a la transferencia de calor. Este efecto puede ser tratado introduciendo en la ecuación de (U), una resistencia adicional denominada "Factor de ensuciamiento", (RE). ⇒

Para la pared cilíndrica:

⇒

Para la superficie exterior

Tabla 5.1. Factores representativos de ensuciamiento. Fluido RE (m2 ºK/W) Agua de mar y agua tratada de 0.0001 alimentación para caldera (menor de 50º C). Agua de mar y agua tratada de 0.0002 alimentación para caldera (mayor de 50º C). Agua de río (menor de 50º C). 0.0002 – 0.0001 Aceite combustible. 0.0009 Liquido refrigerante. 0.0002 Vapor (sin aceite de cojinete). 0.0009 Referencia: “Standards of the Tubular Exchange Manufactures Association” Ltd. Ed. Tubular Exchanger Manufaturers Association, New Cork, 1978.

⇒ El valor de (RE) de la temperatura de operación, la velocidad del flujo-y el tiempo de servicio del intercambiador de calor.

Tabla 5.2. Valores representativos del coeficiente total de transferencia de calor.

⇒

Fluido • Agua con Agua. • Agua con Aceite. • Condensador de vapor (agua en los tubos). • Condensador de amoniaco. (agua en los tubos). • Condensador de alcohol. • Intercambiador de calor de tubos aletados (agua en los tubos, aire en flujo cruzado).

•

mc Tc(e)

Tf(e)

⇒

⇒

Para el fluido frío

⇒ Las temperaturas indicadas en las expresiones anteriores, son los valores medios de las mismas, en las localizaciones designadas.

25 – 50

Tf(S)

Para e flujo caliente:

Q = {mf (Cp )f [(Tf ) s − (Tf ) e]} [W ]

800 – 1400 250 – 700

Fluido frío. Q

4.3 Balance de Energía.

Q = {mc(Cp )c[(Tc ) e − (Tc ) s ]} [W ]

1000 – 6000

Tc(S)

−1

⇒ El balance de energía, considerando el -intercambiador de calor con dos fluido:, considerando que la transferencia de ---calor hacia los alrededores, el cambio en energía cinética y potencial, son despreciables, será

U (W/m2 ºK) 850 – 1700 110 – 350

Fluido caliente. Q

•

mf

⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ re re ⎞ ⎛ re ⎞⎛ re 1 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎟⎟ + (R E )e + ⎜ ln ⎟ + ⎜ (R E ) i ⎟⎜⎜ Ue = ⎢⎜⎜ ri ⎠ ⎝ ri ⎝k ⎠⎝ ri (hc ) i ⎠⎦ ⎣⎝ (hc )e ⎠

Área de la superficie de (A) transferencia de calor.

Balance total de energía para los fluidos caliente y frió de un intercambiador de calor con dos fluidos.

276A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES ⇒ Diferencia Medida Logarítmica de Temperatura (DMLT). ⇒ La Diferencia de temperatura entre el-fluido caliente y frió, varía con la -posición en el intercambiador de calor por lo anterior, y dada la conveniencia de trabajar con una ecuación de la forma:

Q = [UA(Δ Tm )]

Donde (Δ Tm) es un "valor medio" de la diferencia de temperatura a través del intercambiador de calor. ⇒ En base a lo anterior y realizando un-balance de energía, y teniendo que:

dQ = [U(Δ T ) dA ] dQ = - Cc dTc dQ = Cf dTf

donde las "capacidades caloríficas" de los fluidos caliente (Ce), y frió (Cf),son:

Cc = [mc (Cp ) c] [J kg - s]

Cf = [mf (Cp ) f ] [J kg - s]

la diferencia inedia logarítmica de temperatura (DMLT), en forma diferencial, será:

d

(ΔT ) = - U[(1 Cc ) + (1 Cf )] dA ΔT

Integrando se obtendrá:

⎡ ΔT2 ⎤ ln ⎢ ⎥ {- UA[[(Tc )e - (Tf )e ] − [(Tc )s − (Tf )s ]]} ⎣ ΔT1 ⎦ ⇒

Q

Tc ; Cc

Tc+dTc dA

Tf ; Cf

dQ

Área de la superficie de transferencia de calor.

Tf+dTf

Tc(e) Tc ; Cc 1 ∆T1 ∆Tm

Área de la cantidad de energía transferida.

Q = UA (DMLT) FP [W ]

dTc

(Δ T 2 - Δ T 1) [K ] ln(Δ T 2 Δ T 1) (Δ T 1)FP = (Tc 1 - Tf 1) = [(Tc ) e - (Tf ) e] [K ] (Δ T 2)FP = (Tc 2 - Tf 2) = [(Tc ) s - (Tf ) s] [K ]

(DMLT) FP =

Tc(S)

∆T2

dQ

Tf(S)

dTf Tf(e)

⇒ 4.4 Intercambiador de Calor con Flujo Paralelo. En un intercambiador de calor con "flujo paralelo", la diferencia de temperatura (ΔT) es inicialmente grande pero decae rápidamente al incrementarse (x) aproximándose a cero asintótica mente Para un intercambiador de calor con -"Flujo Paralelo", la temperatura de -salida del flujo frió nunca excederá la del fluido caliente. En las expresiones siguientes se consideran valores promedio para (Cp)f , (Cp)c y (U).

dx

T

La forma general de la (DMLT), será :

(DMLT ) = (Δ T2 - Δ T1) = (DMLT ) = (Δ T1 - Δ T2 ) ln (Δ T2 Δ T1) ln (Δ T1 Δ T2 )

2

1

Tf ; Cf

x 2 Distribución de temperatura para un intercambiador de calor con " flujo paralelo".

277A


Formulario CONCEPTO 1

Tc ; Cc

2

Tf+dTf

dx Tc ; Cc

Tc(e) ∆T1 ∆Tm

Área de la superficie de transferencia de calor.

Tf

dQ

T

⇒

Tc+dTc

Q

Cf

EXPRESIONES

Q = UA (DMLT) FP [W ]

dQ

(DMLT) FF = [((ΔT2 − ΔT1 ) ln (ΔT2 ΔT1 ) )] [K ]

(Δ T 1)FF = (Tc 1 - Tf 1) = [(Tc ) e - (Tf ) s] [K ] (Δ T 2)FF = (Tc 2 - Tf 2) = [(Tc ) s - (Tf ) e] [K ]

Tc(S)

dTf

∆T2 Tf(S)

x 2 1 Distribución de Temperatura para un Intercambia donde Calor a Contra flujo

T

⇒ En el intercambiador de calor a "Contra flujo" se tiene en cuenta la transferencia de calor entre las porciones calientes de los dos fluidos en la entrada, así como entre las porciones frías en la salida. ⇒ Para esta configuración de flujo, la temperatura de salida del fluido frió puede exceder la temperatura de salida del fluido caliente. ⇒ En las expresiones siguientes se consideran valores promedio para (Cp)f , (Cp)c y (U).

dTc

(Cc>>Cf) condensación

ó

⇒ 4.6 Evaluación de las configuraciones de flujo paralelo y contra flujo paralelo y contra flujo. ⇒ Para las mismas condiciones de temperatura de entrada y salida en un intercambiador de calor, se tiene que: (DMLT) FF > (DMLT) FP En consecuencia a lo anterior, considerando el mismo valor de (U) y un valor dado de (Q), se tendrá que el área retransferencia de calor necesaria para un intercambiador de calor con arreglo a contra flujo (A) será más pequeña que la necesaria para un arreglo con flujo paralelo (A)FP (A)FF < (A)FP ⇒ En conclusión la configuración de "Contra flujo" es más eficiente que la de "Flujo Paralelo"

Vapor ⇒ 4.7 Condiciones Especiales de Operación. Existen ciertas condiciones especiales bajo los cuales pueden operar los intercambiadores de calor, las cuales se muestran en las figuras siguientes:

Cc T2 Agua

Cf

T1

1

4.5 ínter cambiador de calor a Contra flujo.

2

x

Condición especial de un intercambiador de calor (Ce » Cf) ó condensación de un vapor.

278A


Formulario CONCEPTO

T

EXPRESIONES ⇒ 4.8 Intercambiadores de calor de pasos múltiples Para propósito de análisis para este tipo de intercambiadores de calor se pueden usar las ecuaciones anteriores, y la única modificación es en cuanto a la corrección de la (DMLT), incluyendo un factor de correlación (F); esto es, (DMLT)CF = F (DMLT) CF El “factor de corrección”, (F) se puede obtener de su representación grafica en las figuras siguientes: Te

Gases de combustión.

(Cc<
Cc dT=0

(Cc → ∞).

Cf

1

Fluyendo agua. 2

ts te

x

Ts

Condición especial de un intercambiador de calor. Un liquido en evaporación (Cc<
T F

(Cc=Cf) ∆T1=∆T

Cc

Te − Ts RR Te − Ts tsts−−tete

Cf

P=

1

2

x

Condición especial de un intercambiador de calor a contra flujo con capacidades caloríficas equivalentes de los fluidos (Cc=Cf).

ts − te Te − Ts

Figura (5-12). Factor de corrección para un intercambiador de calor del tipo carcaza y tubos con un paso en carcaza y pasos múltiples de dos tubos (dos, cuatro, etc., pasos en tubo). Te ts te Ts

F

R

Te − Ts ts − te P=

ts − te Te − Ts

Figura (5-13). Factor de corrección para un intercambiador de calor del tipo carcaza y tubos con dos pasos en carcaza y cualquier multiplo de cuatro pasos en tubo (cuatro, ocho, etc., pasos en tubo).

279A


Formulario CONCEPTO

EXPRESIONES

Te te

⇒ 4.9 Análisis de ínter-cambiadores de Calor. Método Eficiencia-NUT". En el análisis de Intercambiadores de calor, en los cuales solo se conocen las temperaturas de entrada, la utilización del método con (DMLT) Implica un -proceso iterativo. En tales casos es preferible usar un método que proporcione una solución aproximada, siendo éste el denominado "Método EficienciaNUT". ⇒ 4.9.1 Cantidad Máxima de Calor, (Qmax). La cantidad máxima de calor que se puede transferir, (Q max), en un intercambiador de calor, se determina para el fluido (caliente o frío), que experimente la máxima diferencia de temperatura; esto es. Qmax= {Cmin [(Tc)e-(Tf)e]} Donde (Cmin) será igual a (Ce) ó (Cf) -cualquiera que sea el menor, y (Cmax) -será cualquiera de los dos que sea el mayor. Cc= mc (Cp) c [W/°K] Cf= mf (Cp) f [W/°K]

ts Ts

F R

Te − Ts ts − te

P=

ts − te Te − Ts

Figura (5-14). Factor de corrección para un Ínter cambiador de calor con flujo cruzado de un solo pasó con ambos fluidos sin mezclarse Te

ε = (Q / Q max) ε = {[Cc((Tc)e − (Tc)s)] /[C min((Tc)e − (Tf )e)]} ε = {[Cf ((Tf )s − (Tf )e)] /[C min((Tc)e − (Tf )e)]} Q = [εC min((Tc)e − (Tf )e)]

ts

te

⇒ 4.9.2 Eficiencia (ε). La eficiencia (ε), se define como el cociente de la cantidad real de calor transferido (Q) y la cantidad máxima que se puede transferir (Qmax); esto es,

Ts

CcΔTc CcΔTc ∈= C min ΔT max C min ΔT max C min C min C = Cr = C = Cr = C max C max N = NUT N = NUT

∈= F R

Te − Ts ts − te

P=

ts − te Te − Ts

Figura (5-15). Factor de corrección para un intercambiador de calor con flujo cruzado de un solo pasó con un solo fluido mezclado y el otro sin mezclarse.

⇒ 4.9.3 Numero de unidades de transferencia (NUT). El (NUT) es un parámetro adimensional usado extensivamente, para el análisis de los intercambiadores de calor, definido por el cociente de la cantidad de calor transferido por grado de diferencia promedio de temperatura entre los fluidos y la cantidad de calor transferido por grado de cambio de temperatura para el fluido de mínima capacidad calorífica. (NUT) = [(UA)/Cmin]

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FORMULARIO TRANSFERENCIA DE CALOR

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