REPUBLICA BOLIVARINA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION EDUCACION SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLEGIA DEL ESTADO BOLIVAR (PNF) sección: 2m
FACILITADOR:
PARTIPANTE:
GABRIEL MATOS
VICTOR PONIETSKY HERNANDEZ ANDRES ESPINOZA MANUEL ROMULO YNFANTE
CUIDAD BOLIVAR, DICIEMBRE 2009
FUERZAS DISTRIBUIDAS
En ocasiones es posible que un área muy grande de un cuerpo esté sujeta a la acción de cargas distribuidas, tales como las causadas por el viento, fluidos, o simplemente el peso de material soportado por la superficie de dicho cuerpo. La intensidad de estas cargas en cada punto de la superficie se define como la presió presión n p (fuerz (fuerza a por unidad unidad de área), área), que que puede puede medirse medirse en unida unidades des de libra/pie2 o pascales (Pa) donde 1 Pa = 1 N/m2. En esta esta secc secció ión n habl hablar arem emos os del del caso caso más más comú común n de carg carga a de pres presió ión n distribuida, la cual presenta uniformidad a lo largo de uno de los ejes del cuerpo rectangular plano sobre el que se aplica la carga.* Un ejemplo de tal carga se muestra en la figura
Figura 1
Figura 2
La dirección de la intensidad de la carga de presión se indica por las flechas mostradas en el diagrama carga-intensidad. La carga completa completa sobre la placa es, por lo tanto, un sistema de fuerzas paralelas, infinito en número y donde cada una actúa sobre un área diferencial separada sobre la placa. Aquí la función de carga, p = p(x) Pa, es sólo una función de x, puesto que la presión es uniforme a lo largo del eje y. Si multiplicamos p = p(x) por el ancho a m de la placa, obtenemos w = [ p(x) p(x) N/m2]a m = w(x) N/m. Esta función de carga, ilustrada en la figura 2 , es una medida de la distribución de carga a lo largo de la línea y = 0, que está en el plano de simetría de la carga; ver figura 1. Ésta se mide como una fuerza por unidad de longitud, más que como una fuerza por unidad de área. En consecuencia, el diagrama carga-intensidad para w = w(x) puede representarse por un sistema de fuerzas paralelas coplanares, vistas en dos dimensiones en la figura 2. Utilizando los procedimientos explicados en la sección 4.9, este sistema de fuerzas puede simplificarse hasta representarse como una fuerza resultante única FR y con ubicación x específica.
Una fuerza distribuida viene medida en cada punto por su intensidad. Así, una fuerza distribuida sobre una superficie recibe el nombre de presión o esfuerzo y se mide como fuerza por unidad de superficie sobre la cual actúa. La unidad básica para la presión o esfuerzo es el newton por metro cuadrado (N/m2), llama llamada da tamb tambié ién n un pasc pascal al (Pa) (Pa).. Esta Esta unid unidad ad es sin sin emba embarg rgo o dema demasi siad ado o
pequeña para la mayoría de las aplicaciones y, resultan más útiles los múltiples kilo-p kilo-pasc ascal al (kPa) (kPa) igual igual a 1000 1000 Pa, y el megap megapasc ascal al (MPa) (MPa) igual igual a 1000 1000 kPa. kPa. Otra unidad de presión o esfuerzo aceptada es el bar (b) igual a 105 Pa o 102 kPa. La palabra presión suele emplearse para designar la intensidad de fuerza distribuida debida a la acción de fluidos, mientras que la palabra esfuerzo se emplea más generalmente para designar la fuerza distribuida interiormente en los sólidos, Las fuerzas distribuidas sobre el volumen de los cuerpos reciben el nombre de fuerzas másicas y se miden como fuerzas por unidad de volumen (N/m3) o por unidad de masa (N/kg). Cuando la fuerza másica se debe a la atracción atracción de la gravedad, gravedad, la intensidad intensidad se escribe escribe ñg, donde donde ñ representa representa el peso peso espe especí cífifico co (pes (peso o por por unid unidad ad de volu volume men) n) y g la acel aceler erac ació ión n de la gravedad. La unidad de ñg es, pues (kg/m3)(m/s2) =(N/m3). En este tema se describen los sistemas equivalentes y el equilibrio de diversos sistemas de fuer fuerza zass dist distri ribu buid idas as.. Los Los prob proble lema mass de este este tipo tipo cont contie iene nen n siem siempr pre e una una variación continua en la región que se considera, por lo que la herramienta analítica adecuada es el Cálculo Infinitesimal.
Centro de gravedad; centro de masa. La fuerza distribuida más conocida es la fuerza de atracción de la Tierra. Esta fuerza másica se distribuye por todas las partes de todos los objetos situados en el campo de influencia de la Tierra. La resultante de esta distribución de fuerza másica se conoce con el nombre de peso del cuerpo, y es necesario determinar su magnitud y posición en el caso de cuerpos cuyo peso sea apreciable. Consideremos un cuerpo tridimensional de tamaño, forma y peso cualesquiera. Sí se le suspende, como se indica en la figura 50, de un punto cualquiera tal como el A mediante una cuerda, el cuerpo se hallará en equilibrio bajo la acción de la tensión de la cuerda y la resultante de las fuerzas másicas o de gravedad que actúan sobre sus partículas. Es evidente que esta resultante tendrá, por línea de acción la recta definida por la cuerda, y se supondrá que puede señalarse su posición, por ejemplo, practicando en el cuerpo un hueco de tamaño despreciable a lo largo de su línea de acción. Se repite este experimente suspendiendo el cuerpo por otros puntos tales como el B y el C, y en todos los casos se marca la línea de acción de la resultante. Para todos los fines prácticos estas líneas de acción concurrirán en un punto al que se da el nombre nombre de centro centro de gravedad gravedad o centro centro de masa del cuerpo. No obstante, obstante, un análisis preciso tendría en cuenta el hecho de que las direcciones de las, fuerzas de gravedad correspondientes a las distintas partículas que constituyen el cuerpo.
Son ligeramente diferentes a causa del hecho de que convergen hacia el centro de atracción de la Tierra. Además, como las partículas se hallan a diferentes distancias de la Tierra, la intensidad del campo de fuerzas de la Tierra no se mantiene exactamente constante sobre todo el cuerpo. Estas consideraciones llevan a la conclusión de que las líneas de acción de las resultantes de las fuerza fuerzass de graved gravedad, ad, en los exper experime imento ntoss antes antes menci menciona onado dos, s, no serán serán exactamente concurrentes y por tanto no existirá, en el sentido exacto, un centro de gravedad. Esta condición carece de importancia práctica mientras se trate con cuerpos cuyas dimensiones sean pequeñas frente a las de la Tierra. Por tanto, se supondrá un campo uniforme de fuerzas (paralelas) debido a la atracción gravitatoria terrestre y esta condición da como resultado el concepto de un centro de gravedad único. Para determinar matemáticamente la posición del centro de gravedad G de un cuerpo cualquiera, figura 5la, deberá escribirse una ecuación que establezca, por el teorema de Varignon, que el momento respecto a un eje de la resultante F de las fuerzas de gravedad es igual a la suma de los momentos respecto al mismo eje de las fuerzas de gravedad dP que se ejerce ejercen n sobre sobre todas todas las partíc partícula ulass consid considera eradas das como como elemen elementos tos infinitesimales del cuerpo. La resultante de las fuerzas de gravedad que se ejercen sobre todos los elementos es el peso del cuerpo y viene dado por la suma P dP. Si se aplica el principio de los momentos respecto al eje y, por ejemplo, el momento respecto a este eje del, peso elemental será x dP y la suma de dichos momentos para todos los elementos del cuerpo es x dP . Esta suma de momentos debe ser igual al momento de la suma Px . Así pues, las' expresiones de los momentos respecto a los l os tres ejes darán, P x dP x P y dP y P z dP z El numerador de cada expresión representa la suma de momentos y el producto de P por la coordenada correspondiente de G representa el momento de la suma. La tercera ecuación se obtiene girando el cuerpo y el sistema de referencia 90° alrededor de un eje horizontal de manera que el eje z quede horizontal.
Centroides de líneas, superficies y volúmenes. Siempre que el peso específico y de un cuerpo tenga el mismo valor en todos sus sus punt puntos os,, será será un fact factor or cons consta tant nte e exis existe tent nte e en los los nume numera rado dore ress y denominadores de las ecuaciones anteriores y por lo tanto se suprimirá. Las expres expresion iones es define definen n entonc entonces es una una propie propiedad dad purame puramente nte geomét geométrico rico del del cuerpo, ya que no hay referencia alguna a sus propiedades físicas. Cuando el cálculo se refiera solamente a una forma geométrica se utiliza el término centroide. Cuando se hable de un cuerpo físico real, se utilizará el término centro de gravedad o centro de masa. Sí el peso específico es el mismo en todo todoss los los punt puntos os,, las las posi posici cion ones es del del cent centro roid ide e y del del cent centro ro de grav graved edad ad
coinciden, mientras que si el peso específico varía de unos puntos a otros, aquellos no coincidirán, en general. En el caso de una varilla delgada o un alambre de longitud L, sección recta de área A y peso específico ã (fig. 52a), el cuerpo puede aproximarse a un segmento de línea y dP g A dL . Sí ã y A son constantes a lo largo de la varilla, las coordenadas del centro de gravedad coincidirán con las del centroide C del segmento de, línea,
SEGUNDO MOMENTO O MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA. Por ejemplo, considérese una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida sometida a dos ares iguales iguales y opuestos que que están aplicados aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas inte intern rnas as en cualq cualqui uier er secc secció ión n de la viga viga son son fuer fuerza zass dist distrib ribui uida dass cuya cuyass magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x como en la figura 9.1, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro de las fuerza fuerzass son iguales iguales a cero. cero. La magnit magnitud ud de la result resultant ante e R de las fuerzas fuerzas elementales _F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene: La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento momento se obtiene multiplicando multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática: Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depó depósi sito to está está sume sumerg rgid ida a bajo bajo agua agua como como mues muestra tra la figu figura ra.. ¿cuá ¿cuáll es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua ( eje x)?. Si la compuerta compuerta fuera rectangular, rectangular, la resultante resultante de las fuerzas fuerzas de presión presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utiliz utilizar ar un método método más genera general.l. Repre Represen sentad tado o por y la profun profundid didad ad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y y la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA. Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas
elementales está dada por: Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre el área de la compuerta, se tiene que Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del área con respecto del eje x.
Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del del área área A, pued pueden en calc calcul ular arse se fáci fácilm lmen ente te si se esco escoge ge para para dA una una fran franja ja angosta paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estén a la misma distancia y del eje x (figura 9.3b); el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el área dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estén a la misma distancia x del eje y (figura); el momento de inercia dIy de la franja es x2dA.
dx dIy = x2dA
ÁREAS Y LÍNEAS
Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse divid irse en n eleme elementos ntos pequeños. pequeños. Las coordenadas coordenadas del pri-me pri-merr eleme elemento nto se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, representadas, respectivamente, respectivamente, con ∆W1, ∆W2,. ∆Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos. para ob para obte tene nerr la lass co coor orde dena nada dass x_ y de dell pu punt nto o G, do dond nde e de debe be ap aplic licar arse se la resultante resul tante W, se escribe que los momentos momentos de W con respecto respecto a los ejes y y x son so n ig igua uale less a la su suma ma de lo loss mo mome ment ntos os co corr rres espo pond ndie ient ntes es de lo loss pe peso soss elementales Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha div dividi idido do la pl plac aca a y si simu multltán ánea eame ment nte e se di dism sminu inuye ye el ta tama maño ño de ca cada da elemento se obtienen, en el límite, Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x_ y del centro de gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar deriv ar las misma mismass ecua ecuacion ciones es para un alambre que se encu encuentra entra en el plano xy Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no está localizado sobre este último. x =
1
L
∫ x dL L
y =
1
L
∫ y dL L
Centroides de cuerpos compuestos
z =
1
L
∫ z dL L
Si puede dividirse una línea, superficie o volumen en partes cuyos respectivos centroides tengan posiciones conocidas, se podrá determinar sin integración el momento de la línea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de los primeros momentos (producto de la longitud, área o volumen por la distancia del centroide al eje o plano) de las partes en que se halla dividido la línea, superficie o volumen. Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por las superficies A 1, A2,…, An
y las las coo coorde rdenadas adas de los los centr entro oide ides de las las res respec pectiv tivas parte rtes son tendremos: M y = ( A1 + A2 + ... + An ) x = A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn n
M y = A x = ∑ Ai xi
o sea
x =
i =1
M y A
=
1 A
n
∑ Ai xi i =1
análogamente n
M x = A y = ∑ Ai yi
o sea
i =1
y =
M x A
=
1 A
n
∑ Ai yi i =1
Ejemplo: En el caso de la figura, como el peso específico de la parte inferior
del cono es mayor que el de la parte superior, el C.D.G., que depende del peso de las dos partes, se hallará por debajo del centroide C que solo depende del volumen de dichas partes.
Flotación
BIBLIOGRAFÍA
MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS ESTÁTICA FERDINAND P. BEER E. RUSSELL JOHNSTON JR. EDITORIAL: MC GRAW−HILL
