ACTIVIDAD DE EVALUACION Tema: Función Cuadrática Problema 1: El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por. por. 2 P (x) = 5000 + 1000x - 5x Donde x es la cantidad (en (en miles de dólares) dólares) ue la empresa !asta !asta en pu"licidad. Encuentre la cantidad# x# ue la empresa tiene ue pasar para maximi$ar su "ene%cio. Encuentra el máximo "ene%cio Pmax.
Ejemplo - Problema 1: El 1: El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por. p or.
P (x) = 5000 + 1000x - 5x
2
donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa asta en pu!licidad.
1.
En cuentre la cantidad" x" que la empresa tiene que pasar para maximi#ar su !ene$icio.
2.
Encuentra el máximo !ene$icio Pmax.
Solución del Problema 1: a.
P %unción que le da el !ene$icio es una $unción cuadrática con el coe$iciente l&der de -5 =. Esta $unción (sin $ines de lucro) tiene un 'alor máximo en x = = -!2a x = * = -1000 2 (-5) = 100
b.
a anancia máxima Pmax" cuando x = 100 miles se asta en pu!licidad" está dada por el 'alor máximo de la $unción P , = c - ! 2 a
c.
a anancia máxima Pmax" cuando x = 100 miles se asta en la pu!licidad" tam!in está dada por P ( = 100)
P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) 2 = 55000.
d.
e.
/uando la empresa asta 100 mil dólares en pu!licidad" el !ene$icio es máximo es iual a 55.000 dólares.
!ao se muestra la rá$ica de P (x)" o!ser'e el punto máximo" el 'rtice" en (100" 55000).
Problema : &e te da la si!uiente in'ormación de precio cantidad. Escri"e una ecuación ue represente la !anancia anual P para un precio s. El costo de producción por artculo es de *0.
Precio de 3entas 100
/antidad 'endida
200
000
500
6000
00
2000
700
0
q
4000
Determina el precio de ,enta ue !enera la máxima !anancia
Problema !: En una cierta industria# el costo total de producción de unidades durante el periodo diario de producción es () = ++00dólares. En un da normal de tra"a/o# se 'a"rican ( t) =25 t unidades las primeras t oras de un periodo de producción. a) Exprese el costo total de producción como una 'unción de t ") 3uánto a"rá !astado en producción al %nal de la tercera ora4 c) 3uándo alcan$ará el costo total de producción & *11.0004 C( q) =q^ 2+q+900 q( t )=25t a) C( t )=( 25t ) ^ 2+( 25t )+900 C( t )=6 25t ^ 2+2 5t+9 00 b) C( 3 )=62 5*3 ^ 2+2 5*3+9 0 0 C( 3 )=66 0 0 c ) 6 2 5t ^ 2+2 5t+90 0=1 1 0 00 6 25t ^ 2+2 5t-1 01 00 Di s c r=( 2 5) ^ 2-4 * 6 2 5* ( 1 01 00 )=62 5+6 25 * 4 0 40 0=62 5*4 04 01 Ra i z ( Di s c )=25*2 01=5 02 5 t=(25+/ -5025) / ( 2* 6 25) Des c ar t a mo sl as ol u ci ó nn eg at i v a t=( 25+5 02 5) /1 25 0 t=4h d) Q' ( t )=12 50t+25 t=25/ 1250=1 / 5 0 Co mon oac e p t a mo sv a l o r e sn eg a t i v o s yQ' ( t )espos i t i v ac uandot>0, c onl oqueQ( t )ess i empr ec r ec i e nt e, e lmí n i mos ea l c a nz aent=0
s al u do s
Problema ": El departamento de in,esti!ación de mercados de una empresa recomendó a la !erencia ue la compa6a 'a"riue ,enda un nue,o producto prometedor. Despu7s de amplias in,esti!aciones# el departamento apoó la recomendación con la ecuación de demanda. x = ' (p )=8.000- 90p# donde: x es el n;mero de unidades ue los distri"uidores comprarán pro"a"lemente cada mes a *p por unidad. Del departamento de %nan$as se o"tu,o la si!uiente ecuación de costo: c (x )=0.000+0x a) Exprese el costo como una 'unción lineal del precio p. ") Exprese el in!reso < como una 'unción cuadrática del precio. c) onstrua la !rá%ca de las 'unciones de costo e in!reso o"tenidas en la parte a) ") en el mismo sistema de coordenadas# e identi%ue las re!iones de utilidad p7rdida. d) alcule los puntos de euili"rio# es decir# encuentre los precios al ,alor más próximo en el cual =. e) alcule el precio ue produce el máximo in!reso.
Problema #: >a 'unción demanda de un producto particular es = ' ( p) =500.000-.000pdonde se expresa en unidades p en dólares. Determine la 'unción cuadrática del in!reso total# donde es una 'unción de p o sea = !( p). a) 3uál es la conca,idad de la 'unción4 ") 3uál es la intersección con el e/e 4 c) 3uál es el in!reso total con un precio de *204 d) 3uántas unidades serán demandadas a este precio4 e) 3? u7 precio se maximi$ará el in!reso total4
@ouAre readin! a 'ree pre,ieB. Pa!e 2 is not soBn in tis pre,ieB.
>eer la ,ersión completa
Problema $: >a 'unción demanda de un producto es = ' (p) =20.000-25p donde se expresa en unidades p en dólares. Determine la 'unción cuadrática del in!reso total# donde es una 'unción de p o sea = ! (p). a) 3uál es la conca,idad de la 'unción4 ") 3uál es la intersección con el e/e 4 c) 3uál es el in!reso total con un precio de *C04 d) 3uántas unidades serán demandadas a este precio4 e) 3? u7 precio se maximi$ará el in!reso total4 5.- El costo# en dólares de una 'á"rica en 'unción del n;mero de unidades producidas ,iene dado por ( ) =1.500+90. &u ni,el de producción es una 'unción del tiempo (oras) ,iene dada por
2 t () t =1Ct -9. Determine: a) El costo en 'unción del tiempo !rá%ca. ") nstante en ue se maximi$a el costo. c) nstante en ue los costos asociados a 10.00 dólares. d) 3En u7 instante los costos son nulos4
Dado el %roblema lineal
&in ' ( )*1 + ,* -.a. "*1 + !*
1 /*
1
*1 0 * ()
determinar -u -olución mediante el al2oritmo del 3I&PLE4. Utili'ar el m5todo de la- do- 6a-e- ante la 6alta de una -olución 6actible bá-ica inicial. ACTIVIDAD DE EVALUACION Tema: Pro2ramación Lineal Problema 1: n 'a"ricante de "om"ones entre!a a sus productos en ca/as de un !.# en dos ,ariantes# ? . >as dos ,ariantes poseen tres tipos de "om"ón a sa"er# de licor# de nue$ de 'ruta. >a ca/a tipo ?# contiene 00 !rs. de "om"ones de licor# 500 !rs. de "om"ones de nue$ 200 !rs. de "om"ones de 'ruta. >a ca/a de tipo contiene 900 !rs.# 200 !rs. 900 !rs. de cada tipo de "om"ón respecti,amente. >a utilidad por cada ca/a del tipo ? es de *29 para la ca/a del tipo de *18. El 'a"ricante dispone de 100 !. de "om"ones de licor# 120 !. de "om"ones de nue$ 100 !. de "om"ones de 'ruta. Determinar en 'orma !rá%ca analtica la cantidad de ca/as ue se pueden armar en esta situación# para ue el "ene%cio sea óptimo. 3Existen so"rantes4. 3De u7 tipo de om"ón4. 3uántos !rs. (puede expresarse en F!# dependiendo la unidad a utili$ar en el pro"lema)4
Problema :
na empresa 'a"rica dos productos: aspiradoras lustradoras. El "ene%cio ue de/a cada aspiradora es de *0 el de cada lustradora es de *20. ?m"os productos su'ren un proceso com;n reuiriendo las aspiradoras 0 min.. por unidad las lustradoras 15 min. por unidad# disponi7ndose de 15000 min. por mes. >os productos de"en procesarse tam"i7n en la sección mauinado# necesitando las aspiradoras 10 min. Por unidad# al i!ual ue las lustradoras# so"re un total de 000 min.. En la sección armado tenemos G000 min. tili$a"les# necesitando las aspiradoras 12 min. las lustradoras 10 min.# por unidad. &e sa"e tam"i7n ue la capacidad máxima del mercado de aspiradoras es de C00 unidades lo máximo ue se puede ,ender en el caso de las lustradoras es de 950 unidades.
Problema !: na cer,ecera produce cer,e$a com;n la de tipo ale. >a cer,e$a se ,ende a 5 dólares el "arril el de ale a 2 dólares el "arril. >a producción de un "arril de cer,e$a com;n reuiere 5 li"ras de ce"ada 2 li"ras de l;pulo. >a producción de un "arril de cer,e$a ale reuiere 2 li"ras de ce"ada 1 li"ras de l;pulo. &e dispone de C00 li"ras de ce"ada de 250 li"ras de l;pulo solo se desea ela"orar como máximo "arriles de cer,e$a ale. Determine !rá%camente la solución ue permita maximi$ar los in!resos.
Problema ": e,co produce una "e"ida con sa"or a naran/a# Hran/e# al me$clar re'resco /u!o de naran/a. ada on$a de re'resco de naran/a contiene 0.5 on$as de a$;car 1 mili!ramo de ,itamina . ada on$a de /u!o de naran/a contiene 0.25 on$as de a$;car mili!ramos de ,itamina . ? e,co le cuesta 2 centa,os producir una on$a de re'resco de naran/a centa,os una on$a de /u!o de naran/a. El departamento de mercadotecnia de e,co a decidido ue cada "otella de 10 on$as de Hran/# de"e contener por lo menos 20 mili!ramos de ,itamina a lo sumo 9 on$as de a$;car. tilice la Pro!ramación >ineal para determinar cómo e,co puede satis'acer los reuerimientos del departamento de mercadotecnia# al menor costo.
Problema #: na 'á"rica de especies (condimentos para distintas comidas) de"e colocar en ca/as pauetes de dos pesos di'erentes (50 !rs. @ 100 !rs.) de un nue,o sa"or dedicado a la alta cocina# de manera tal ue cada ca/a pese exactamente 1#5 F!. su costo sea mnimo.
&e sa"e ue cada pauete de tipo ? (pesa 50 !) ocasiona un costo de *2 cada pauete de tipo (pesa 100 !) de *#8 además ue cada ca/a de"e contener como mnimo 19 pauetes de no más de 20 pauetes de ?. Determinar por el I7todo &implex cuántos pauetes de cada tipo se de"en colocar en cada ca/a para optimi$ar la situación4. D7 una interpretación a los demás resultados encontrados.
Problema $: En una 'á"rica de dulces na,ide6os se preparan dos surtidos para lan$arlos al mercado. El primero se ,ende a *95 contiene 150 !. de pol,orones# 100 !. de mantecados 80 !. de roscas de ,ino. El se!undo se ,ende a *5C contiene 200 !. de pol,orones# 100 !. de mantecados 100 !. de roscas de ,ino. &e dispone de un total de 200 !. De pol,orones# 10 !. de mantecados 109 !. de roscas de ,ino. >a empresa solo dispone de 1200 ca/as de em"ala/e. J Plantear el pro"lema ue permita maximi$ar las utilidades de la compa6a. J
Problema 7: na empresa 'a"rica tres productos ?# . >os analistas %nancieros de la compa6a an in'ormado ue se de"en recuperar *2000 de costos %/os# para ue la compa6a alcance el punto de euili"rio. &e desea determinar la cantidad de cada producto ue se de"e 'a"ricar para ue# cuando la empresa lle!ue al punto de euili"rio# la suma de los costos ,aria"les sea mnima. >as !anancias ue ocasionará la ,enta de cada producto (por unidad) es de *2# *1#50 *1 respecti,amente. >os costos ,aria"les asociados con los productos son *10# *8#50 *5. >os pedidos atrasados ue se tienen para los tres productos son: ? = 00 u.# = 250 u. = 1000 u..
De"en satis'acerse todos los pedidos atrasados lue!o los nue,os pedidos.
Problema ,: n 'a"ricante está tratando de decidir so"re las cantidades de producción óptimas para dos artculos: mesas sillas. &e cuenta con C unidades de
material con G2 oras de mano de o"ra. ada mesa reuiere 12 unidades de material C oras de mano de o"ra. Por otra parte# las sillas usan 8 unidades de material cada una necesitan 12 oras de mano de o"ra por silla. El mar!en de contri"ución es el mismo para las mesas ue para las sillas: 5 unidades monetarias por unidad. El 'a"ricante prometió construir por lo menos 2 mesas. .
Problema /: n comprador está tratando de seleccionar la com"inación más "arata de dos alimentos# ue de"e cumplir con ciertas necesidades diarias de ,itaminas. >os reuerimientos ,itamnicos son por lo menos 90 unidades de ,itamina K# 50 unidades de ,itamina L 9 unidades de ,itamina @. ada on$a del alimento ? proporciona 9 unidades de ,itamina K# 10 unidades de ,itamina L G unidades de ,itamina @M cada on$a del alimento suministra 10 unidades de K# 5 unidades de L G unidades de @. El alimento ? cuesta 5 monedasNon$a el alimento ,ale 8 monedasNon$a.
Problema 1): na compa6a 'a"rica palos de /ocFe /ue!os de a/edre$. ada palo de ocFe !enera un "ene%cio de 9 um con un costo de 2 um. ada /ue!o de a/edre$ entre!a una utilidad de G um. tiene un costo de um. n palo de ocFe reuiere cuatro oras de procesamiento en el centro de mecani$ado ? dos oras en el centro de mecani$ado . n /ue!o de a/edre$ necesita seis oras en el centro ?# seis en el una ora en el . El centro de mecani$ado ? tiene una capacidad máxima diaria de 120 oras# el centro posee G2 oras el 10 oras. &i la empresa desea optimi$ar el "ene%cio# 3cuántos palos de ocFe cuántos /ue!os de a/edre$ de"e 'a"ricar al da4 (I = unidad monetaria).
Problema 11: na empresa ue da ser,icio de limpie$a prepara sus propios compuestos me$clando dos in!redientes. Oace esto para o"tener un compuesto ue tiene lo ue considera una com"inación apropiada de 'os'atos cloruro. n in!rediente tiene dos porciones de 'os'ato cinco porciones de cloruro cuesta 5.0 unidades monetarias el litro. El otro in!rediente tiene cinco porciones de 'os'ato dos porciones de cloruro ,ale 1.5 unidades monetarias el litro. >a %rma necesita ue la me$cla %nal ten!a más de die$ porciones de 'os'ato die$ de cloruro. Determinar la me$cla ue optimi$a el costo total.
Problema 1 : na empresa consultora tiene en cartera reali$ar una serie de proectos de dos tipos ? # cuo coste de desarrollo unitario es el mismo. >as necesidades de analistas# pro!ramadores terminales para cada tipo de proecto se indican en la ta"la si!uiente.
TIPO
Nº de programadores
Nº de analistas
Nº de terminales
A
2
2
3
B
3
6
1
Estos proectos pueden reali$arse "ien total o parcialmente el deseo de la empresa es minimi$ar el coste de desarrollo de los proectos ue se ,aan a e/ecutar. >os condicionantes para el desarrollo de estos proectos son: al menos 10 pro!ramadores 5 analistas de"en estar ocupados en ellos se cuenta ;nicamente con C terminales.
Problema 1! :
2x1
+ x2
sujeto a
z = x1 + x 2
min
x 1 + x 2 ≤
sujeto a +
2x 2
x1 , x 2 ≥
0
≥
2
− x 1 + x 2 ≤
x1 + x 2 ≤ 1
4 x1
z =
6
3 x 1
0
2 x1
+ x 2
sujeto a 3
+ 2 x ≤ 10
x 1 , x 2 ≥
z =
x1 + x 2 ≥ x1
≥
x1 , x 2 ≥
4
2 0
