Autora: Srta. Rosa Montaño
Variables Aleatorias Discretas Función de Probabilidad o Cuantía
Dada una variable aleatoria discreta X que toma los valores ( x1 , x 2 ,.. ,......, x n ,.. ,......) se denomina función de probabilidad o función de masa masa a la
Definici ón:
función: P : R → [ 0,1]
P ( x ) = P ( X = x ) = P ({ω ∈ Ω : X (ω ) = x }) Que verifica que: 1. P ( X = x ) = 0 ∀x ∉ Rec( X ) 2.
∑ P ( X = x ) = 1 Re c ( x )
En el ejemplo correspondiente al lanzamiento de la moneda:
P ( 0) = P ( X = 0) = P ({ s, s}) =
1 4
P (1) = P ( X = 1) = P ({ c, s}) + P({ s, c}) = P ( 2) = P ( X = 2) = P ({ c, c}) =
P ( X = x ) = 0
1 2
1 4
∀x ∉ {0,1, 2}
Función de Distribución variable aleatoria discreta que toma los valores ( x1 , x 2 , .. ...., x n , .. ....) tal que x1 ≤ x 2 ≤ .... ≤ x n ≤ .... se define la funció n de distribució n
Definici ón:
Dada
una
asociada a X como:
F : R → [ 0,1] F X ( x ) = P ( X ≤ x ) =
∑ P ( x ) i
xi ≤ x
Ejemplo: Para la función de distribución de la variable aleatoria X : Número de Ejemplo: Para caras, cuyo Rec(X)={0,1,2} la función de distribución e s:
⎧ 0 ⎪ 1 / 4 ⎪ F X ( x ) = ⎨ ⎪3 / 4 ⎪⎩ 1
si
x < 0
si 0 ≤ x < 1 si 0 ≤ x < 2 si 2 ≤ x
Propiedades: Si F X ( x ) es la función de distribución de una variable aleatoria discreta X , esta debe satisfacer (1) F X ( x ) es escalonada y los puntos de salto son los xi (2) lim F X ( x ) = 0 ; lim F X ( x ) = 0 x →−∞
x →∞
(3) F X ( x ) es no decreciente, es decir, si x ≤ y ⇒ F X ( x ) ≤ FY ( y ) (4) F X ( x ) es contínua por la derecha
Ejemplo: Dado un experimento que consiste lanzar un dado cargado 100 veces se obtiene la siguiente función de Probabilidad: ⎧ 0.1 si x = 1, 3
⎪ 0.4 si x = 2 ⎪ ⎪ 0.2 si x = 4 P X ( x ) = ⎨ ⎪0.05 si x = 5 ⎪0.15 si x = 6 ⎪ ⎪⎩0 en otro caso
Determine la función de distribución. Solución: De acuerdo a la definición debemos ir acumulando las probabilidades tal que: ⎧ 0 si x < 1
⎪ 0.1 ⎪ ⎪0.5 ⎪ F X ( x ) = ⎨ 0.6 ⎪ 0.8 ⎪ ⎪ 0.85 ⎪ ⎩1
si
1 ≤ x < 2
si
2 ≤ x < 3
si
3≤ x < 4
si
4 ≤ x < 5
si
5 ≤ x < 6
si
6 ≤ x
Representaciones gráficas: Función de Cuantía
Función de Distribuci ón 1
0,50
0,9
0,40
d a d i l i
0,30 Probabilidad
b a
0,20
b o r
0,10
P
0,00 1
2
3
4
5
6
a 0,8 d a l 0,7 u m u 0,6 c A d 0,5 a d i 0,4 l i b a 0,3 b o r P 0,2 0,1 0
Valores de la variable
0
1
2
3
4
5
6
7
Valor de la variable
8
9
Esperanza Matemática Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores ( x1 , x 2 , ...., x n , ....) se define la esperanza de X como:
Definici ón:
∑
E ( X ) =
xi ⋅ P ( X = xi )
Re c ( x )
Es decir como la suma de cada uno de los valores que puede tomar la variable multiplicado por su probabilidad. Propiedades : (a) Si X es una variable aleatoria y h( X ) una función de dicha variable, se define la esperanza de h( X ) como: E [ h( X )] =
∑
h( xi ) ⋅ P ( X = xi )
Re c ( x )
(b) E ( aX + b ) = aE ( X ) + b (c) E [ h( X ) + g ( X )] = E [ h( x ) ] + E [ g ( x ) ] (d) E [ aX
+ bY ] = aE [ X ] + bE [Y ]
(e) E [ a ] = a
∀a ∈ R
Ejemplo: Sea X una variable discreta cuya función de probabilidad esta dada por
⎧ 0.2 si x = 1 ⎪0.3 si x = 2 ⎪ P X ( x ) = ⎨ ⎪0.5 si x = 3 ⎪⎩ 0 en otro caso Determine la esperanza o el valor esperado de X . Solución: Paso 1: Aplicando la definición se tiene: E ( X ) = xi ⋅ P ( X = xi ) = 1⋅ 0, 2 + 2 ⋅ 0, 3 + 3⋅ 0, 5 = 2, 3
∑
Re c ( x )
Varianza Definici ó n:
Se define la
Varianza de
una variable aleatoria discreta X como:
V ( X ) = E ⎡⎣ ( X − μ )2 ⎤⎦ =
∑
2 ( xi − μ ) ⋅ P ( X = x i )
Re c ( x )
2 2 2 Desarrollando, se tiene que V ( X ) = E ⎡⎣( X ) ⎤⎦ − μ .Tambien se denota V ( X ) = σ X . A la Raiz cuadrada positiva de la varianza de X se le denomina desviación estándar y se denota por σ X
Propiedades : (a) V ( X + b ) = V ( X )
+ b ) = a 2V ( X ) (c) V [ a ] = 0 ∀ a ∈ R, Cte. (b) V (a X
Definici ón:
denotan por
μ r
Se definen los momentos centrales de orden r como E ⎡⎣( X − μ X )r ⎤⎦ y se .
Como casos particulares se tiene:
μ 0
=1
μ 1
=0
μ 2
= V ( X )
r Se definen los momentos respecto del origen de r como E ⎡⎣( X ) ⎦⎤ y se denotan por m r .
Definici ón:
Como casos particulares se tiene: m1 Definici ón:
= μ = E ( X )
Se definen la moda de una variable
X
como
M 0 = xk
P ( X = x k ) = ma ′xP ( X = x i ) Definici ón:
Se definen la mediana a de una variable X r como M e
F ( x k −1 ) <
1 2
y F ( x k ) ≥
1 2
= xk si
si
