Cálculo Vectorial Capítulo 1 Funciones de Varias Variables 1.1.- Funciones de varias variables
Definición: El conjunto de n-adas ordenadas de números reales se llama espacio numérico n-dimensional y representada por ℜ n . Cada n-ada ordenada ( x1 , x 2 ,K , x n ) se considera como un punto en el espacio numérico n-dimensional. ℜ1 ⇒ puntos en la recta numérica
-3
-2
-1
0
1
2
ℜ 2 ⇒ Puntos en dos dimensiones
3
ℜ 3 ⇒ Puntos en tres dimensiones
z y
(-2, 1)
(2, 2)
(1, 0, 1) x y
(3, -1)
(-3, -2)
(-1, 2, -3) x
Ejercicios 1.1 1.- Graficar los siguientes siguientes puntos: a) (-1, 3, 2)
b) (2, -3, 1)
c) (3, 2, -4)
d) (-2, -2, 2)
e) (-1, 3, -2)
f) (2, -2, -3)
g) (-1, -3, -2)
h) (0, 2, 3)
i) (4, 0, -2)
j) (-2, -3, 0)
k) (2, 0, 3)
l) (0, -2, -3)
c) z = 0
d) 2x + 4y + 3z = 8
2.- Graficar los planos a) x = -3
b) y = 2
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e)3x + 2y - 6z = 0
Página 1
Cálculo Vectorial Recordando ecuaciones cuadráticas:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 A = B ⇒ Circunferencia A ≠ B (mismo signo) ⇒ Elipse A ≠ B (signo contrario) ⇒ Hipérbola A ó B = 0 ⇒ Parábola Definición: Una función de n-variables es un conjunto de pares ordenados (P, w) en el cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer elemento. P es un número en el espacio numérico n-dimensional n-dimensional y w es un número real. El conjunto de todos los valores posibles P se llama dominio dominio de la función, y el conjunto de los posibles valores de w recibe el nombre de contradominio, rango o imagen de la función.
Definición: Si f es una función de dos variables, entonces la gráfica de f es una superficie forma por el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en ℜ 3 para los cuales (x, y) es un punto en el dominio dominio de f y z = f ( x , y ) . Supóngase que una superficie dada por f ( x , y ) es intersectada por el plano z = k, y la curva de intersección se proyecta en el plano xy. Esta curva proyectada tiene como ecuación f ( x , y ) = k y la curva proyectada se le llama curva de nivel o curva de contorno. z f ( x , y ) = 1 + 25 − x 2 − y 2
x
Z=6
Z=3 Z=2 Z=1
2
+ y
2
=
0 Punto (0,0)
=
21
x
2
+ y
2
x
2
+ y
2
=
24
x
2
+ y
2
=
25
Z=0 Z=3
x
Z=2
y 2
y
2
D = {( x, y ) | 25 − x − y ≥ 0}
Z=1
Curvas de Nivel
I = [1,6] x Definición:
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Página 2
Cálculo Vectorial Recordando ecuaciones cuadráticas:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 A = B ⇒ Circunferencia A ≠ B (mismo signo) ⇒ Elipse A ≠ B (signo contrario) ⇒ Hipérbola A ó B = 0 ⇒ Parábola Definición: Una función de n-variables es un conjunto de pares ordenados (P, w) en el cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer elemento. P es un número en el espacio numérico n-dimensional n-dimensional y w es un número real. El conjunto de todos los valores posibles P se llama dominio dominio de la función, y el conjunto de los posibles valores de w recibe el nombre de contradominio, rango o imagen de la función.
Definición: Si f es una función de dos variables, entonces la gráfica de f es una superficie forma por el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en ℜ 3 para los cuales (x, y) es un punto en el dominio dominio de f y z = f ( x , y ) . Supóngase que una superficie dada por f ( x , y ) es intersectada por el plano z = k, y la curva de intersección se proyecta en el plano xy. Esta curva proyectada tiene como ecuación f ( x , y ) = k y la curva proyectada se le llama curva de nivel o curva de contorno. z f ( x , y ) = 1 + 25 − x 2 − y 2
x
Z=6
Z=3 Z=2 Z=1
2
+ y
2
=
0 Punto (0,0)
=
21
x
2
+ y
2
x
2
+ y
2
=
24
x
2
+ y
2
=
25
Z=0 Z=3
x
Z=2
y 2
y
2
D = {( x, y ) | 25 − x − y ≥ 0}
Z=1
Curvas de Nivel
I = [1,6] x Definición:
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Página 2
Cálculo Vectorial Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas con ecuaciones f ( x , y ) = k , donde k es una constante (en el recorrido de f). Ejercicios Determina el dominio, imagen imagen y gráfica las siguientes funciones: funciones: 3
a) f ( x, y ) =
2
1 3
36 − 9 x − 4 y
2
2 1
2
2
D f = {( x, y) | 36 − 9 x − 4 y ≥ 0} ;
-2
-1
1
2
-1
I f = [0,2]
-2 -3
Curvas de Nivel
!! !
A 13
!! 8
36 − 9 x2 − 4 y2 , x, −2, 2 , y, −3, 3
ContourPlot
< 8
Suponer
z = 0
3
1 3
36 − 9 x 2 − 4 y 2 = 0 ⇒
x
2
+
9
y
2
4
=1
2
1
z = 1
z = 2
1 3
1 3
36 − 9 x − 4 y = 1 ⇒ 2
2
x
2
3
+
y
2
6.74
0
=1
2 2 36 − 9 x 2 − 4 y 2 = 2 ⇒ 9 x + 4 y = 0
-1
Punto (0,0)
-2
-3 -3
-2
-1
0
1
2
Gráfica
A 13 3! 6 − 9 x!2!−! 4 y2! , 8x, −2, 2<, 8y, −3, 3<, BoxRatios → 81, 1, 1<, Plot PlotRa Rang nge e → 8−1, 3<, PlotPoints → 50E
Plot3D
2 0 -2
3
2
1
0 -1 -2 -1 0 1 2
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Página 3
3
Cálculo Vectorial 2
b) f ( x, y ) = y − x
2
D f = {( x , y ) | x ∈ R; y ∈ ℜ} ; todo el plano cartesiano I f = ℜ Curvas de Nivel
ContourPlot y2 − x2, x, −20, 20 , y, −20, 20
A
8
< 8
Suponer
z = −4 y 2 − x 2 = −4 ⇒
z = −1 y 2 − x 2 = −1 ⇒ z = 0
x − y = 0 ⇒
z = 1
y 2 − x 2 = 1 ⇒
z = 4
y − x = 4 ⇒
2
2
2
2
x 2
−
4
y 2
4
x 2
−
y 2
=1
20
=1
10
y = x; y = − x
0
1
1
y 2
1 y 2
−
−
4
x 2
1 x 2
4
=1
Z<0 hipérbolas horizontales
-10
-20
=1
-20
-10
0
10
20
z>0 hipérbolas verticales
Gráfica
Plot3D y2 − x2, x, −20, 20 , y, −20, 20 ,
A
8
8
< 8
<
<
BoxRatios → 2, 2, 2 , PlotRange →
E
8−400, 400<,
PlotPoints → 50
20 10 0 -10 -20 0 400
200
0
-200 -400 -20 -10 0 10 20
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Página 4
Cálculo Vectorial c) f ( x, y ) = y
2
D = {( x, y ) | x ∈ ℜ; y ∈ ℜ} I = [0,+∞) Plot y2,
A
8y, −10, 10<, AxesLabel → 8"y", "z"<, PlotStyle →
[email protected] z 100 80 60 40 20 y -10
-5
5
10
Para cualquier valor de x la gráfica es la misma parábola.
A2 8
< 8
<
8
<
Plot3D y , x, −5, 5 , y, −5, 5 , BoxRatios → 1, 1, 1 , PlotRange →
E
8−1, 30<,
PlotPoints → 50
A
2
ContourPlot y ,
8x, −10, 10<, 8y, −10, 10
5
0
-5
-10 -10
-5
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0
5
10
Página 5
Cálculo Vectorial 2
d) f ( x, y ) = 4 x + y
2
D = {( x, y ) | x ∈ ℜ; y ∈ ℜ} I = [0,+∞) ContourPlot 4 x2 + y2, x, − 6, 6 , y, −6, 6 , ContourShading → False
@
z = 0
8
⇒ 4 x 2 + y 2
=
z = 1 4 x + y = 1 ⇒ 2
2
< 8
0
<
6
Punto (0,0)
x 2
+
y 2
0.25
D
4
=1
1
2
0
z = 4
4 x 2 + y 2 = 4 ⇒
x
2
y
+
1
2
=1
4
-2
-4
z = 9
4 x + y = 9 ⇒ 2
2
x
2
+
y
2.25
2
9
=1
-6 -6
-4
-2
0
2
4
6
Plot3D 4 x2 + y2, x, − 6, 6 , y, −6, 6 , BoxRatios −> 1, 1, 1 , PlotRange −>
@
8
< 8
<
8
<
8
− 1,
<
5 2.5 0 -2.5 -5 30
20
10
0 -5 -2.5 0 2.5 5
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D
30 , PlotPoints −> 50
Página 6
Cálculo Vectorial 2
e) f ( x, y ) = 4 x − y
2
D = {( x, y ) | x ∈ ℜ; y ∈ ℜ} I = ℜ 2
A
ContourPlot 4 x Suponer
2 −y ,
z = −4
4 x 2 − y 2 = −4 ⇒
z = −1
4 x − y = −1 ⇒
z = 0
4 x − y = 0 ⇒
z = 1
4 x − y = 1 ⇒
2
2
8x, −50, 50<, 8y, −100, 100<, ContourShading → FalseE 2
y
−
4 y
2
2
1 x
−
1
x
100
=1 50
2
0.25
=1
z>0 hipérbolas horizontales
0
2
2
2
2
y = 2 x; y = −2 x x 2
0.25
−
y 2
1
-50
=1 -100
4 x 2 − y 2 = 4 ⇒
z = 4
x
2
−
y
1
2
4
-40
=1
-20
0
20
40
z<0 hipérbolas verticales
Plot3D 4 x2− y2, x, −50, 50 , y, −100, 100 ,
@
8
8
<
<8
BoxRatios −> 1, 1, 1 , PlotRange −>
<
8 1000,1000<, PlotPoints −
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D
−> 50
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Cálculo Vectorial
( , )=
f) f x y
25− x2− y2 4
x
2
2
-4
2
D f = {( x, y ) | 25 − x − y ≥ 0; x ≠ 0} ;
-2
2
4
-2
I f = ℜ
-4
Curvas de Nivel
A
! !! !
ContourPlot
A
ContourPlot 25− x 2 − y 2
z = −4
x
25 − x 2 − y 2
z = −1
x
25 − x 2 − y 2
z = 0
x
25 − x 2 − y 2
z = 1
x
25 − x 2 − y 2
z = 4
x
!
25 − x2 − y2
è
x 25 − x2 − y2
! !!
x
= −4 ⇒
= −1 ⇒
=0⇒
=1⇒
=4⇒
x 2
+
0.93 x 2
25 +
12.5 x 2
y 2
25
+
y 2
25 x 2
y 2
25 −
y 2
12.5
1
x 2
y 2
0.93
−
4
8
< 8
, x, 1, 5 , y, − 5, 5
8
< 8
<
, x, −5, − 1 , y, −5, 5
4
4
=1 2
2
0
0
-2
-2
-4
-4
=1
=1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
=1
=1
Gráfica
A
è 25 − !x2! − y2
< BoxRatios → 82, 2, 2<, PlotRange → 8−50, 50<, PlotPoints → 50E
Plot3D
x
8
< 8
, x, −5, 5 , y, −5, 5 ,
4
2 0 -2 -4
40
20 0 -20 -40
-4 -2 0 2 4
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Cálculo Vectorial Ejercicios por equipos de 5 personas. 1.- Obtenga los valores específicos de la función.
2.- Dada la función
a) b) c) d) e) f) g) h)
Obtenga el dominio de la función. Determine la Imagen de la función. Describa geométricamente que nos representan las curvas de nivel. Encuentre la frontera del dominio de la función (Grafique el dominio). Determine si el dominio es una región abierta, cerrada o ninguna de las dos. Indique si el dominio está acotada o no. Grafique la función. Utilizando Maple grafique la función y compare con la grafica que obtuvo.
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Cálculo Vectorial Tarea VIII
1.- Obtenga los valores de las funciones dadas en el punto indicado. 2
1) f ( x, y ) = 4 x − y + 3 3) h( r , s, t , u ) =
rs 2
t − u
2
2
2) g ( x, y ) = 3 x − 4 y
; f (1,2)
4) I (r , s , t , u ) =
; h( −3,3,5,4)
;
g (2,−1) I (1,0,−3, e 2 ) ;
ln(ru )
2.- Obtenga dominio, imagen, algunas curvas de nivel y gráfica de las siguientes funciones a) en forma manual y b) con Maple.
2
1) f ( x, y) = x + y 4) h( x, y) = 7) z = x
2
25 − x 2
2
−y
2
2
3) g ( x, y ) = − x + y
2
2
6) 2x+3y+z=6
5) I ( x, y ) = x + y − 16 8) x = z
2
2
2) f ( x, y ) = 2 x − y
2
2
9) x+2y+2z=6
3.- Utilizando Maple obtenga las curvas de nivel o contorno y su gráfica. 2
1) x = y + 4 z 4) z =
4 − x2
2
2) z = 2 sen ( x )
5) z=
sen 2 ( y) − x 2
3) z=ln(xy)
6) z =
− x
8 + x 2 + y 2
Funciones de varias variables dentro de la Ingeniería Química. 1.- Sea la función de dos variables que nos representa la presión atmosférica de una región especifica o la presión de un gas almacenado en un reciente, entonces las curvas de nivel de la gráfica se les llama curvas isobáricas, es decir curvas de nivel de presión constante. Cuando es función de tres variables las curvas de nivel pasa a ser superficies de nivel y si la función representa la presión, entonces le llamamos superficies isobáricas. 2.- Si la función de dos variables nos representa la temperatura entonces las curvas de nivel o contorno se les llama isoterrmas, es decir curvas de nivel de temperatura constante. En caso de que la temperatura es una función de tres variables entonces las curvas de nivel pasa a ser superficies isotérmicas.
Diseño de tanques de almacenamiento: 1.- Se construye un silo para almacenar propano, adosando dos hemisferios a los extremos de un cilindro circulas recto. Expresar el volumen V de este depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h.
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Cálculo Vectorial Ley de los gases ideales La ley de los gases ideales establece que siendo P la presión en atmósferas, V el volumen en litros, T la temperatura en grados Kelvin, n el número de moles de gas y R la constante universal de los gases . Si el depósito contiene 2,600 pulgadas cúbicas de nitrógeno a una presión de 20 libras por pulgadas cuadradas y a una temperatura de 300 °K. a) b) c) d) e) f) g)
Determine la constante de , justifique porque es una constante. Determine a la temperatura T como una función de P y V , es decir Determine las tres curvas isotermas siguientes T = 200 °K, T =300 y T =400. Grafique la función . Determine a P como una función de T y V , es decir Determine las tres curvas isobáricas siguientes P= 1,600 pulgadas cúbicas, P = 2, 600 pulgadas cúbicas y P = 3,600 pulgadas cúbicas. Grafique la función
Lluvia acida La siguiente mapa de una población, muestra las curvas de nivel del PH del agua de lluvia en esa región. Los expertos de este fenómeno (IQ) indican que este mapa proporciona la evidencia de que siguiendo el viento de las áreas muy industrializadas, la acidez va creciendo. Utilizando estas curvas de nivel determine en donde se encuentra la zona industrial y cuál sería la dirección más dominante del viento. 5.60 5.00
4.70
4.52 4.22
4.30 4.40
4.70
4.52
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Cálculo Vectorial Derivadas Parciales
Si z = f (x,y), entonces la derivada parcial con respecto a x es δ z δ x
=
δ f δ x
= Z x = f x ( x, y ) = D x f ( x, y ) = Lim
f ( x + ∆ x, y ) − f ( x, y ) ∆ x
∆ x → 0
y la derivada parcial con respecto a y es δ z
y δ
=
δ f
y δ
= Z y = f y ( x, y) = D y f ( x, y ) = Lim
f ( x, y + ∆ y ) − f ( x, y ) ∆ y
∆ y →0
Cuando se quiere derivar a una función con respecto a una variable, entonces las demás variables permanecen constantes.
sea Z = f (x,y) que tenga la siguiente curva. Z
Y
X
La derivada parcial con respecto a x ; y es constante.
Z
X
Z
Y x x
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Cálculo Vectorial La derivada parcial con respecto a y ; x = CTE z Z
Recta Tangente
dz dy
= mt
Y
X
y
y Ejemplo: Obtener las derivadas parciales de las siguientes funciones. 3
2
2
6
1. f(x,y) = 4 x y − 4 x + 6 y + 1 derivada parcial con respecto a x ; y = CTE fx = 12 x 2 y 2 − 8 x
derivada parcial con respecto a y ; x = CTE fy = 8 x 3 y + 36 y 5
3
2. f(x,y) = x y δ z δ x
= y
10
10
cos( xy 2 )
cos( xy 2 )[3 x 2 ] + x 3 y 10 [− sen( xy 2 )( y 2 )]
δ zδ 2 3 3 1012 z= 10 x 3 y 2 910 ( xy2 )2 )(2 xy) xy sen cos( ) x ( xy = 3 x y cos( − x y y −sen xy)2 + δ yδ x
[
z δ y δ
3
= 10 x y
9
]
cos( xy 2 ) − 2 x 4 y11 sen( xy 2 )
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Cálculo Vectorial
3. δ f δ x δ f δ x
f δ x δ
f δ y δ δ f δ y
f(x,y) = xe
[
x 3 y
]
x 3 y
(3 x 2 y ) + e x
3
x 3 y
= x e
= 3 x ye
3
x y
=e
3
y
x 3 y
+e
(3 x 3 y + 1) 3
x y
= xe
( x 3 )
4 x 3 y
= x e
4. w = xy ln(xz)
a)
b)
c)
5. f(x,y) =
δ w
x δ
w δ y δ δ w
z δ
= xy
1 xz z + (ln xz ) y ⇒
= xy
1 xz x ⇒
= y + y ln( xz )
δ w
z δ
=
yx z
3 x − y x + 2 y
( x + 2 y )(3) − (3 x − y )(1) ( x + 2 y ) 2
z x =
7 y ( x + 2 y ) 2
z y =
x δ
xz) = x ln(
z x =
z y =
δ w
( x + 2 y )( −1) − (3 x − y )(2) ( x + 3 y ) 3 − 7 x
z x =
z y =
3 x + 6 y − 3 x + y ( x + 2 y ) 2
− x − 2 y − 6 x + 2 y
( x + 2 y ) 2
( x + 2 y ) 2
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Página 14
Cálculo Vectorial 2
2
3
2
6. f ( u, v, x, t) = u w − uv + vw cos( wt 2
2
3
2
f ( u, v, x, t) = u w − uv + vw cos( wt
fu = 2uw − v
) + (2 x 2 t ) 4
) + 16 x 8 t 4
3
fv = −3uv 2 + w cos(wt 2 ) fx = 128 x 7 t 4
2
8
3
ft = vw ( − sen ( wt )( 2 tw ) + 64 x t 2
2
8
3
ft = − 2 vw tsen ( wt ) + 64 x t 2
7. g ( p, q, r , s) = ( p q
3 r 4 s 5
)
a) g p
g ( p, q, r , s) = ( p 2 q 3 )
g p = 2r s p 4
g p =
5
2r 4 s 5 p
r 4 s 5
= p
q 3r s
2 r 4 s 5
4 5
−1
2 r 4 s 5
4 5
* q 3 r s
2r 4 s 5 p
2 r 4 s 5
=
q 3 r s
4 5
=
p
2r 4 s 5 p
4 5
( p ) (q ) r s
2
4 5 3 r s
r 4 s 5
( p q ) 2
3
b) g q
g ( p, q, r , s) = ( p 2 q 3 )
r 4 s 5
= p
2 r 4 s 5
3r s q 4
g q = 3r s q 4
g p =
5
3r 4 s 5 q
32 r 4 s 5
p 2 r s
−1
4 5
=
4 5
* q 3 r s 5
32 r 4 s 5
q
p 2 r s
4 5
=
3r 4 s 5 q
4 5
( p ) (q ) 2
r s
4 5 3 r s
r 4 s 5
( p q ) 2
3
(D.R. 1996) M.C. Juan Manuel Calderón Cortés
Página 15
Cálculo Vectorial c) g r 2
da u
3 r 4 s 5
g ( p, q, r , s) = ( p q )
dx
=a
u
[ln(a)]u '
=a
u
[ln(a)]u '
g r = ( p 2 q 3 ) r s [ln( p 2 q 3 )]4r 3 s 5 4 5
g r = 4r 3 s 5 ( p 2 q 3 ) r s [ln( p 2 q 3 )] 4 5
d) g s 2
da u
3 r 4 s 5
g ( p, q, r , s) = ( p q )
dx
g s = ( p 2 q 3 ) r s [ln( p 2 q 3 )]5r 4 s 4 4 5
g r = 5r 4 s 4 ( p 2 q 3 ) r s [ln( p 2 q 3 )] 4 5
2
2
2
st
2
2
2
8. Si r = r = x + y z ; x = uve ; y = u − v + st ; z=sen(mvst). Evalue
dr ds
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r (u , v, s, t ) = (uve ) + (u − v + st ) ( sen(uvst )) = u v e + (u − v + st ) ( sen(uvst )) st
dr ds dr ds
2
2
2 st
2
2
=u v e
= 2tu v e
st
2t + 2(u 2 − v 2 + st 2 )(t 2 )( sen(uvst )) 2 + (u 2 − v 2 + st 2 ) 2 * 2 sen(uvst ) cos(uvst )uvt
2 st
2
2
2
2
3
+ (2t u − 2t v + 2 st ) sen
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2
(uvst ) + 2uvt (u 2 − v 2 + st 2 ) 2 sen(uvst ) cos(uvst )
Página 16
Cálculo Vectorial Derivadas de orden superior y Mixtas
Derivadas de segundo orden 2 2 δ δ z δ δ δ δ f z f δ fx = = = fxx = Zxx = = 2 2 δ δ x δ x δ x δ x x δ δ x x 2
δ f
y δ
2
2
=
δ z
y δ
2
=
δ δ f
δ δ z δ fy = = y δ y δ y δ y δ y δ
= fyy = Zyy
Derivadas parciales de tercer orden 2 2 fxx δ δ z δ = = = = = fxxx = Zxxx y δ x δ x x 3 x 3 δ x 2 δ x 2 δ δ δ 3 3 2 z 2 δ fyy δ f δ z δ δ f δ δ = = = = = fyyy = Zyyy 3 3 2 2 y δ y δ y δ δ δ y δ y y δ y 3
δ δ f
3
δ f
δ z
Derivadas parciales de segundo grado mixtas. fx δ fy δ = = fxy = fyx = Zxy = Zyx y x δ δ Derivadas parciales de tercer grado mixtas.
fxx δ y δ fyy δ
=
=
fxy δ x δ fxy δ
x y δ δ Ejemplo: 2
2
=
=
fyx δ x δ fyx δ y δ 3
= fxxy = fxyx = fyxx
= fyyx = fxyy = fyxy
4
Si Z = x y − y + 3 x + 5 obtener fx, fxx, fy, fyy, fxy, fxxx, fyyy, fxxy, fyxx 2
a) fx = 2 xy + 12 x
3
2
b) fxx = 2 y + 36 x 2
c) fy = 2 x y − 3 y 2
2
d) fyy = 2 x − 6 y
f) fxxx = 72 x 2
g) fyyy = −6 h) fxxy = 4 y i) fyyx = 4 x
e) fxy = 4 xy
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Página 17
Cálculo Vectorial Instrucciones para obtener la derivada parcial en mathematica.
f := x2 y2 − y3 + 3 x4 + 5 ∂x f ∂x,xf ∂y f ∂ y,yf ∂x,y f ∂x,x,x f ∂ y,y,y f ∂x,x,y
f
∂ y,y,x
f
La salida de las derivadas parciales son: 3
12 x
2
36 x
2
+
2xy
+
2y
2
2 2
2x y− 3y 2
2x 4xy 72 x -6 4y 4x
−
6y
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Página 18
Cálculo Vectorial Máximos y Mínimos Relativos
1. Obtener las derivadas parciales de cada variable fx, fy 2. Igualar a cero las derivadas y resolver las ecuaciones simultáneamente y así obtener el(los) punto(s) críticos (x 0,y0)… 3. Obtener la segunda derivada y la mixta fxx, fyy, fxy 4. Evaluar en todos los puntos críticos D(x0,y0) = fxx(x0,y0) fyy(x0,y0)-[fxy (x0,y0)] si D(x0,y0) >0 y fxx (x0,y0) >0 entonces f(x0,y0) es un mínimo relativo si D(x0,y0) > 0 y fxx(x0,y0) <0 es un máximo si D(x0,y0) < 0 no es un extremo relativo es un punto llamado silla. si D(x0,y0) = 0 No se puede decidir nada.
2
Ejemplos: Obtener los Máximos y mínimos de 3
3
1. f ( x, y ) = x + y − 27 x − 12 y 2
fy = 3 y 2 − 12
a) fx = 3 x − 27 b) fx = 0
3 x 2
− 27 =
fy = 0
3 y 2 − 12 = 0
0
2 x = 9
2 y = 4
x = ±3
y ± 2
los puntos críticos son (3,2), (3,-2), (-3,2) (-3,-2) c) fxx= 6x
fyy = 6y
fxy=0
Para el punto (3,2) tenemos fxx (3,2) =18
fyy(3,2) = 12
fxy (3,2) = 0
D(3,2) = 18(12)-(0) ⇒ D(3,2) > 0; fxx(3,2) > 0 entonces el punto (3,2) hay un mínimo relativo 2
Para el punto (3,-2) tenemos fxx(3,-2)=18
fyy(3,-2) = -12
fxy (3,-2)=0
D(3,-2) = 18(-12)-(0) ⇒ D (3,−2) < 0 entonces hay un punto silla. 2
Para el punto (-3,2) tenemos fxx(-3,2)=-18
fyy(-3,2) = 12
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fxy (-3,2)=0
Página 19
Cálculo Vectorial D(-3,2) = -18(12)-(0) ⇒ D (−3,2) < 0 entonces hay un punto silla. 2
Para el punto (-3,2) tenemos fxx(-3,-2)=-18
fyy(-3,-2) = -12
D(-3,-2) = -18(-12)-(0) ⇒ D(−3,−2) > entonces hay un máximo relativo. 2
fxy (-3,-2)=0
0; fxx(−3,−2) < 0
Instrucciones para obtener el máximo relativo en mathematica
A
3
NMaximize x
3 + y − 27 x − 12 y,
8x, y
La salida entrega el valor máximo relativo de la función y el punto (x,y) donde se encuentra {70.,{x →-3.,y→-2.}}
Instrucciones para obtener el mínimo relativo en mathematica
NMinimize x3 + y3 − 27 x − 12 y, x, y
A
8
La salida entrega el valor mínimo relativo de la función y el punto (x,y) donde se encuentra {-70.,{x →3.,y→2.}}
2
2
2. f (x,y) = 4 x + 2 y − 2 xy − 10 y − 2 x a) fx = 8 x − 2 y − 2 b) 8x-2y-2=0 …..1
fy=4y-2x-10 -2x+4y-10=0 …..2
8x - 2y - 2=0 -8x+16y-40=0 Multiplicando la ecuación 2 por 4 14y-42=0 y=
42 14
y=3
sustituyendo el valor de y en la ecuación 2 tenemos − 2 x + 4(3) − 10 = 0 ⇒ − 2 x + 2 = 0 ⇒ x = 1 c) fxx = 8 fyy = 4 fxy = -2 d) fxx (1,3) = 8 fyy (1,3) = 4 fxy (1,3) = -2
∴ el punto crítico es (1,3)
D(1,3) = 8(4) -(-2) ⇒ D (1,3) > 0; fxx (1,3) > 0 ∴ es un mínimo relativo. 2
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Página 20
Cálculo Vectorial 2
2
3. f (x,y) = 6 xy − x − y + 10 a) fx = 6 y − 2 x
fy=6x-2y
b) 6y-2x=0…..ec. 1
6x-2y=0…..ec. 2
6y-2x=0 -6y+18x=0 16x=0
Multiplicando la ecuación 2 por 3 tenemos
x=0
Sustituyendo x=0 en la ec. 2 obtenemos y=0
Tenemos el punto (0,0) c) fxx = -2 fyy = -2 fxy = 6 d) fxx (0,0) = -2 fyy(0,0) = -2 fxy(0,0) = 6 2
D(0,0)=(-2)(-2)-(6) D (0,0) < 0 ∴ es un punto silla. Multiplicadores de Lagrange
Este procedimiento es para calcular los máximos y mínimos bajo una restricción Z
Plano
Y
Máximo bajo Restricción
X Para evaluar los extremos de z = f(x,y) sujeta a la restricción g (x,y)=0 desarrolla el siguiente procedimiento. a) obtenga fx, fy, gx, gy (derivadas) b) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones fx = λ g x − − − − − 1 fy = λ g y − − − − − 2 g(x,y) =0-----------3 c) el punto obtenido en el sistema de ecuaciones (x,y) es un extremo relativo.
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Página 21
Cálculo Vectorial Ejemplo: 2
2
1. Encuentre el máximo de f(x,y) =9- x − y sujeta a x+y=3 2
f(x,y)=9- x − y g(x,y)=x+y-3=0 fx=-2x ; gx = 1 -2x= λ …..ec. 1
2
fy=-2y g(y)=1 ; -2y= λ ….ec. 2
De le ec. 1 λ x = − …..ec.4
; x+y=3…..ec. 3
de la ec. 2 λ y= − …ec.5
2
2
sustituyendo “x” y “y” en la ec. 3 tenemos −
λ
2
−
λ
2
⇒ − λ =3
=3
Sustituyendo el valor de ∴
x =
∴ el punto (
l
∴ λ = −3
en la ec. 4 y 5 tenemos
3 2
;
y =
3 2
3 3 , ) es el punto máximo. 2 2
Instrucciones en mahtematica
A99− x2 − y2, x + y− 3 == 0=, 8x, y
NMaximize
La salida entrega el valor máximo relativo de la función y el punto (x,y) donde se encuentra {4.5,{x →1.5,y→1.5}}
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Página 22
Cálculo Vectorial x 2 + y 2 + z 2 , sujeta a 2x-2y-z = 5
2. Obtenga el o los puntos críticos de f(x,y,z) = 2
2
f(x,y,z) = x + y + z
2
g(x,y,z) = 2x-2y-z-5 = 0 fx = 2x
gx = 2
fy = 2y
gy = -2
fz = 2z
gz = -1
2 x = 2λ
⇒ x = λ
2 y = −2λ
⇒ y = −λ ……2
2 z = −λ
⇒z=−
2x-2y-z-5 = 0
10 ; 9
λ =
y = −
λ
2
……3
⇒ 2λ + 2λ +
……4
9λ −5 = 0 2 ∴ x =
……1
10 ; 9
λ
2
−5 =
0
10 9
z = −
5 9
Instrucciones para encontrar el(los) punto(s) crítico(s)
f := x2 + y2 + z2 g := 2 x − 2 y − z − 5
@8∂x f λ ∗∂x g, ∂y f λ ∗ ∂y g, ∂z f λ ∗ ∂z g, g 0<, 8x, y, z, λ
Solve
::x
→
10 9
, y→
−
10 9
,z→
−
5 9
,λ
→
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10 9
>>
Página 23
Cálculo Vectorial
2
3. Obtenga el o los puntos críticos de f(x,y,z) = xyz, sujeta a g(x,y,z) = x + fx = yz
gx = 2x
fy = xz
gy =
fz = xy
y
2
4
+
z
2
9
−1 = 0
y
2
gz =
2 z 9
yz = 2 xλ ------------------1
yλ
xz =
2
xy =
2
x +
------------------2
2 zλ ----------------3 9 y
2
+
z
4
2
4
−1 =
de 2
x =
0 -------4 de 3
yλ
x =
2 z yλ
2 z
=
de 1
2 zλ 9 y
z =
de 2
2 xλ y
z =
2 zλ 9 y
4 x 2 = y 2
9 y2 -------5 z = 4
x 2 = y
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2 x
2 xλ yλ = 2 x y
9 y 2 = 4 z 2 2
yλ
2
4
-----------6
Página 24
Cálculo Vectorial
2
sust. y en 5 y 6
sust 5 y 6 en 4
2
2
9( 2
2
(9 y 4) + + −1 = 0 4 4 9
y
y
y
2
4
+
y
2
4
+
y
z =
4
−1 = 0
4
=
3)
4
=
9 =3 3
z = ± 3
(4 ) 1 x = 3 = 4 3 2
4 3
1 3
x = ±
y = ± 4
y= ± 2
9( 4
2
3 y 2 =1 4 2 y =
3
2
)2
3
∴ los puntos son
3 (
1 3 (
2
,
3
1 3
,
, 3 ) ; (−
−2
3
, 3) ; (
−1 − 2
1 3 1 3
,
,
−1
2 3 2 3
, 3)
,− 3 )
2 ,− 3 ) 3 3 3 3 1 −2 1 −2 ( , ,− 3 ) ; ( − , ,− 3 ) 3 3 3 3 (
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,
, 3) ; (
,
Página 25
Cálculo Vectorial
3
Determinar las dimensiones relativas de una caja rectangular sin tapa y con volumen de 100 pies , si se quiere usar la mínima cantidad de material en su manufactura
z y x V = x*y*z = 100 Volumen del cubo z=
100 …..ec. 1. xy
A = x*y+2yz+2xz; área del material del cubo sin tapa
Sustituyendo z (ec.1) en la ecuación de área tenemos A = x*y+2y (
A = x*y +
Ax = y-
200 200 + x y
200 x 2
=
0 …. ec. 2
Ay = x-
de la ec. 2 y=
200 x 2
100 100 ) + 2 x( ) xy xy
200 y 2
=
0 ….ec. 3
Sust. “y” (ec.4) en la ec. 3 …ec.4
⇒
200 200 ( 2 )2
x-
=
0
x
x-
x
4
200
x(1-
=0
x3
200
)=0
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Página 26
Cálculo Vectorial
x=0
ó
1-
x
3
200
No procede
=0
1=
x
3
x 3 = 200
200
x = 3 200 = 5.848
Sustituyendo el valor de x en la ec. 4 y en la ec. 1 tenemos
y =
200 3 ( 200 ) 2
Axx =
Ayy =
=
400 x
3
400 y
3
3
200
=
5.848
z =
Axx(5.848, 5.848) =
Ayy(5.848, 5.848) =
Axy = 1 D = 2*2-1 2 >0
100 (3 200 ) 2
400 ( 200 ) 2
=
=
2
=
2
3
400 ( 200 ) 2 3
2.9240
Axy (5.848, 5.848) = 1 Axx=2>0 ⇒ mín rel.
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Página 27
Cálculo Vectorial
Resolviendo el problema de la caja sin tapa por multiplicadores de Lagrange V=xyz=100
entonce g(x,y,z)= x*y*z-100=0 es la restricción
A= x*y+2yz+2xz Ax = y+2z Ay = x+2z Az = 2y+2x
gx = yz gy = xz gz = xy
y + 2z = lyz --------1 x + 2z = l xz --------2 2y+2x = l xy----------3 xyz-100 = 0-----------4 restando la ec. e 2 a la ec. 1 y-x=lyz-lxz y-x=lz(y-x) (y-x)- l z(y-x)=0 (y-x)(1-lz)=0 y-x = 0
1-lz = 0
y = x ----5
λ =
1 z
------6
Sust 6 en 1 y +2z =
1 ( ) yz z
y+2z=y 2z = 0
z = 0 por lo tanto No procede
sust 5 en 3 2x+2x =lx(x)
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Página 28
Cálculo Vectorial 4x = λ x
2
4 x − λ x 2 = 0 x( 4 − λ x) = 0 x=0
o
No procede
4-lx = 0 λ =
4 x
-------7
sust 7 en 2 x+2z =
4 x
( xz )
x+2z=4z x =2z z=
x
2
-------8
sust 5 y 8 en 4 x (x)(
x
2
)-100 = 0
x 3 = 200
x = 3 200 = 5.848 Sustituyendo el valor de x en la ec. 5 y = 5.848 Sustituyendo el valor de x en la ec. 8 z = 5848/2 = 2.924
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Página 29
Cálculo Vectorial
3
Determinar las dimensiones relativas de una caja rectangular con tapa y con volumen de 100 pies , si se quiere usar la mínima cantidad de material en su manufactura
z y x f(x,y,z)=2xy+2yz+2zx
g(x)=zxy-1000=0
fx=2y+2z
gx=zy
fy= 2x+2z
gy=xz
fz= 2y+2x
gz=xy
2y+2z = λ zy----------1 2x+2z = λ xz----------2 2y+2x = λ xy---------3 xyz-1000=0 -----------4 Ec.1 menos ec 2 tenemos 2y-2x = λ zy- λ xz 2(y-x) = λ z (y-x) 2(y-x) - λ z(y-x) = 0 (y-x) ( 2- λ z) = 0
y=xóz=
2 λ
λ =
2 z
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Página 30
Cálculo Vectorial
sust λ =
2 z
2y+2z = (
2 z
en la ec. 1
) zy
2y+2z = 2y 2z = 0 z = 0 no procede ec. 2 menos ec. 3 2z-2y = λ xz- λ xy 2(z-y) = λ x (z-y) 2(z-y)- λ x(z-y) = 0 (2- λ x)(z-y) = 0 λ =
z=y
sust λ =
2 x
2x+2z = (
2 x
2 x
en la ec. 2
) xz
2x+2z = 2z 2x = 0 x = 0 No procede como y=x y z=y concluimos que ∴x = y = z
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Página 31
Cálculo Vectorial
Sust. en la ec. 4 tenemos
x 3 = 1000 x = 10 y = 10 z = 10
Diferencial Total
Sea f ( x1 , x 2 ,...., xn ) una función de varias variables, entonces se define la diferencial total como
df ( x1 , x 2 ,...., x n ) =
f δ x1 δ
∆ x1 +
f δ x 2 δ
∆ x 2 + ... +
f δ x n δ
df ( x1 , x 2 ,...., x n ) = fx1 ∆ x1 + fx 2 ∆ x 2 + ... + fx n
∆ x n
f δ x n δ
∆ x n
Ejemplos: 1.- Obtenga la diferencial total de las siguientes funciones a) 2
2
f ( x, y ) = x y − 8 x − 9 y 2
2
df ( x, y ) = ( 2 xy − 8)∆ x + ( 2 x y − 9) ∆ y b)
2 xy z
f ( x, y, z ) = ln
f ( x, y, z ) = ln(2 xy) − ln( z )
df ( x, y, z ) =
1 1 1 ∆ x + ∆ y − ∆ z x y z
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Página 32
Cálculo Vectorial 2.- Un jardín rectangular de 30 yardas de largo y 40 de ancho está rodeado por un camino de cemento de 0.8 yardas de ancho. Emplee la diferencial total para estimar el área del camino.
y=30
x=40 0.8
0.8
A( x, y ) = xy ∆ x = ∆ y =
2(0.8) = 1.6
dA = Ax∆ x + Ay∆ y dA = y∆ x + x∆ y dA = 30(1.6) + 40(1.6) dA = 112
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Página 33
Cálculo Vectorial 1
1
3.- En cierta fábrica la producción diaria es Q ( k , l ) = 60 k 2 l 3 unidades, donde k representa la inversión de capital y l el tamaño de la fuerza laboral. Aplique la diferencial total para determinar el porcentaje en el cual cambiará la producción diaria si la inversión de capital aumenta en un 1% y la mano de obra en un 2%.
Considerando que las condiciones actuales de la inversión de capita y el tamaño de fuerza laboral son
(k 0 , l 0 ) entonces tenemos que: ∆k =
0.01k 0
∆l =
0.02l 0 1
Q( k , l ) = 60k 2 l dQ = 60l
1 3
(
1 2
1
1 3
− 12
k
)∆k + 60k ( 1 2
−1
1
dQ = 30l 3 k 2 ∆k + 20k 2 l
−2
1
dQ( k 0 , l 0 , ∆k , ∆l ) = 30l0 3 k 0 1
1 3
1
1 3
dQ = 0.3k 0 2 l 0 dQ = 0.7 k 0 2 l0 porcentaje
de
% Incremento =
1
+ 0.4k 0 2 l 0
3
1 3
l
−2
)∆l
3
∆l
− 12
1
(0.01k 0 ) + 20k 0 2 l0
−2
3
(0.02l 0 )
1 3
incremento
dQ Q
1
* 100 =
0.7 k 0 2 l0 1
60k 0 2 l 0
1 3 1 3
* 100 = 1.16%
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Cálculo Vectorial Tarea III
I.- Obtener la derivada parcial fx, fy, fxx, funciones. Verifique su respuesta con Maple. 3
5
4
fyy, fxy, fxyx y fxyy de las siguientes
7
a) f ( x, y ) = x − xy + 3 x y + y + 200
c) f ( x, y ) =
4 x 2
+ 4 y
d) g ( x, y ) = e
y − 3 x 2
e) h( x, y ) = ( x + 3 y
2
3
)e 3 x + 4 y
2
2
b) f ( x, y ) = x y + 2 y x − 6 xy + 4 y
f) I ( x, y) =
3− x
ln(7 − y )
ln( xy) cos( x) − x cos( y )
II.- Obtener los máximos y mínimos relativos y puntos silla de las siguientes funciones. 1.- Sea P una función de producción dada por
P(l , k ) = 0.54l 2 − 0.02l 3 + 1.89k 2 − 0.09k 3 Donde l y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P es la cantidad producida. Encontrar los valores de l y k que maximizan P. 2.- En cierto proceso manufacturero automatizado, las máquinas M y N se utilizan m y n horas, respectivamente. Si la producción diaria Q es una función de m y n, dada por
Q(m, n) = 4.5m + 5n − 0.5m 2 − n 2 − 0.25mn Encuentre los valores de m y n que maximizan a Q. 3.- Suponga que un monopolista practica la discriminación del precio de venta de un producto, cobrando diferentes precios en dos mercados separados. En el mercado A la función de demanda es p A = 100 − q A , y en B es p B = 84 − q B , donde q A
p A y
y
q B son las cantidades vendidas por semana de A y B, y
p B son los precios respectivos por unidad. Si la función de costos del monopolista es
c = 600 + 4(q A + q B ) ¿Cuánto debe venderse en cada mercado para maximizar la utilidad?¿Qué precios de venta dan la utilidad máxima? Encuentre la utilidad máxima. III.- Problemas (Multiplicadores de Lagrange). Verifique su respuesta con Maple. 1.- Suponga que una empresa ha recibido un pedido d e 200 unidades de su produ cto y desea distribuirlo su fabricación en dos de su s plantas. Sean x e y las producciones de las plantas 1 y 2, respectivamente y suponga q ue la función de costo total está dada por:
f ( x, y ) = 2 x 2 + xy + y 2 + 200 ¿Cómo debe distribuirse la producción para minimizar los costos? 2.- La función de p roducción de una empresa es:
(D.R. 1996) M.C. Juan Manuel Calderón Cortés
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Cálculo Vectorial f ( x, y ) = 12 x + 20 y − x 2 − 2 y 2 Donde el costo de x e y es de $4 y $8 por unidad, respectivamente. Si la empresa quiere que el costo total de insumos sea $88, encuentre la producción máxima posible sujeta a este control presupuestario.
3.-Una empresa de computadoras tiene un presupuesto mensual publicitario de $60,000. Su departamento de ventas estima que si gastan $ x cada mes en publicidad en periódicos y $ y cada mes en publicidad por televisión, las ventas mensuales estarán dadas por la función: 1
3
f ( x, y ) = 90 x y 4 4
Si la utilidad es del 10% de las ventas menos el costo de la publicidad, determine cómo asignar el presupuesto publicitario para maximizar la utilidad mensual.
4.- Cuando se invierten x unidades de trabajo e y unidades de capital, la producción esta dada por la función: 1
4
f ( x, y ) = 5 x 4 y 5 Cada unidad de trabajo cuesta $11 y cada unidad de capital $33. Si se van a gastar exactamente $11,880 en la producción, determine las unidades de trabajo y de capital que deben invertirse para maximizar la producción. 5.- Un cilindro cerrado tendrá un volumen de 1000cm 3, la tapa y la b ase se hacen de un metal que cuesta $2 po r cm 2 y la cara lateral se cubre con un material que cuesta $2.5 por cm 2. Calcule el radio y la altura del cilindro que d an un costo de construcción mínimo. 6.- Encontrar las dimensiones que nos d an el área máxima de la sección transversal de una viga rectangular que se corta de un tronco circular de 1 pie de radio. IV.- Diferencial Total. 1.- En cierta fábrica la producción Q esta relacionada con los insumos x e y por la función
Q( x, y ) = 2 x 3 + 3 x 2 y + y 3 . Si los niveles de insumos son x=20 e y=10 , aplique diferencial total para determinar el cambio que debe hacerse en el insumo x para compensar un incremento de 0.5 unidades en el insumo de y, de manera que la producción se mantenga en el n ivel actual.
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