Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
1
TEMA 5 – FUNCIONES FUNCIONES ELEMENTAL ES II Rectas EJERCICIO EJERCICIO 1 . Halla Halla la pendiente, la ordenada en en el ori gen y lo s pun tos d e corte con los ejes de coo rdenadas de la recta 5 x 6y 6y 2 0. Represéntala gráfic amente. Solución: Para calcular la pendiente, despejamos despejamos la y: 5 2 5 x 6 y 2 0 6 y 5x 2 y x 6 6 1 La ordenada en el origen es n . 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3
Eje X
y
5 6
x
1 3
0 2 5 x 6 y 2 0 5 x 2 0 x
y
5
EJERCICIO EJERCICIO 2 : Representa Representa gráfic amente las sigui entes fun cion es: a) y
2 5
x2
b) y
3 2
c) y
5 3
x
Solución:
a Hacemos una tabla de valores: x
0
5
y
2
0
3 Es una recta paralela al eje X que pasa por 0, . 2 2 3
b) y
c) y
x Pasa Pasa por el 0, 0.
5 3
Basta dar otro punto para representarla: Si x 3
y 5
5
La pendiente es m . 6
Luego
2 ,0 5
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2
EJERCICIO EJERCICIO 3 : Dadas Dadas las si guientes r ectas, identif ica cuáles so n paralelas y represéntalas: a) y
x5 2
b) y
1
c) 2x + 5y = 3
2
d) 2y – x + 3 = 0
Solución:
Calculamos la pendiente de cada una de ellas: x5 1 5 1 y x ma y 2 2 2 2 1 mb 0 y 2 3 2 2 2 x 5y 3 5 y 3 2 x y x mc 5 5 5 1 3 1 md 2 y x 3 0 2y x 3 y x 2 2 2 Son paralelas la a y la d por tener la misma pendiente. Representamos ambas haciendo una tabla de valores: a
y
x 5 2
d
y
1
3
2
2
x
EJERCICIO EJERCICIO 4 : Representa la sig uiente rect a tomando la escala adecuada en cada eje: y
x 25
3
Solución: Observando que la pendiente de la recta es m
1 25
, lo más adecuado es tomar la escala enel eje X de
25 en 25. Hagamos una tabla de valores para ver cuál es la escala más adecuada en el eje Y:
En el eje Y, tomamos la escala de 1 en 1.
EJERCICIO EJERCICIO 5 : Representa las rect as si guientes: a) y = -3,5x + 1
b) y
5 4
¿Qué ¿Qué relación relación hay entre las las rectas a y c? Solución: a Hacemos una tabla de valores:
c) y = -
7 2
x
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO b Es una recta paralela al eje X que pasa por
c y
0,
3
5
.
4
7
x 2
a y c son rectas paralelas, puesto que tienen la misma pendiente, m 3,5. EJERCICIO EJERCICIO 6 : Halla la ecuación de l a recta que pasa por lo s pu nto s A(1, A (1, 3) y B (5, 1). 1). ¿Cuál es la ord enada enada en el origen? Solución: Empezamos hallando su pendiente: m
1
3 4 1 5 1 4
Ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y cuya pendiente es m 1 y x 4
y + 3 1.( x 1)
La ordenada en el origen es n 4. EJERCICIO EJERCICIO 7 : Observando las gr áficas, indi ca cuál es la ord enada enada en el origen de las sig uientes rectas y h alla la ecuación de cada una de ell ell as:
Solución: observar el punto de corte de cada una de las rectas Para calcular la ordenada en el origen, basta con observar r 2 n2 2 r 3 n3 1 con el eje Y: r 1 n1 1 Calculamos la pendiente pendiente de cada una de ellas: r 1 m1 0 0 2 2 r 2 pasa por 0, 2 y 2, 0 m2 1 20 2
r3 pasa pasa por por
0, 1
y
3 , 0 m 0 1 1 2 3 2 3 3 3 0 2
2
La ecuación de cada recta será: será: r 1
y 1
r 2
y x – 2
r3
2
y x 1 3
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4
EJERCICIO EJERCICIO 8 : Halla Halla la ecuación d e la recta que pasa por el p unto medio del s egmento de extremos A( A (1, 3) y B (5, 2) y es paralel a a la recta 7 x 2y 2y 1 0. Solución: Empezamos calculando el punto medio del segmento de extremos A(1, 3) y B(5, 2): 32 5 1 5 2, 5 2 Punto medio: P 2, x y 2 2 2 2 La recta tiene la misma pendiente que 7x – 2y + 1 0 por ser ser paralelas: 7 1 7 m 2y 7 x 1 y x 2 2 2 Ecuación de la recta pedida: 5 7 7 14 5 7 9 y x y x2 Ecuación en la forma punt unto-p o-pend endiente y x 2 2 2 2 2 2 2
EJERCICIO EJERCICIO 9 : Indic a cuál es la pendi ente de la recta que pasa por l os pu ntos A(0,-1 A(0,-1)) y B
3 ,0 2
Escribe su ecuación y la de la paralela a ella que pasa por el origen de coordenadas. Solución: 1 2 3 3 2 Observamos que los puntos puntos que nos dan son los puntos de corte con los ejes; concretamente, de A(0, 1) se obtiene que n 1. 2 Así, la ecuación d e la recta es: y x 1 3 2 La recta paralela a la anterior que pasa por (0, 0) será: y x 3
Pendiente: m
EJERCICIO EJERCICIO 10 : La gráfica de una funci ón lin eal eal determina con l os ejes coor denados el triángul o rectángu lo que se vé en en la figu ra. Halla la expresión expresión analític analític a de dich a función .
Solución: Como corta al eje Y en (0, 3), entonces, n 3. 3 Pendiente: m 4 3 La ecuación de la recta es: y x 3 4
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5
Parábolas EJERCICIO EJERCICIO 11 : Representa Representa gráfi camente las s igu ientes p arábolas a) y
1 2
x2
3
x
b) y
2
1 4
x2
2x 4
c) y 2x 2x
2
2 2 25x 75x 75x e) y x 2x 2x 1 x 3 d) y 25x
Solución: a)
Vértice: x
b
1
1
1 y
2a 1 Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y Con el eje X
x0
2
y
1
y 0
1
2
x2
3 2
1
2 2
3 0, 2 2 3
x
3 2
0 x 2 2x 3 0 x
Puntos próximos próximos al vértice: -2 5/2
0 -3/2
2 4 12 12 2
3, 0 y 1, 0
Puntos de corte con el eje X:
X Y
2 El vértice es V1, 2.
Representación
1 -2
2 -3/2
3 5/2
b)
Hallamos su vértice: vérti ce: x
2
1 2 4 Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X 8 64 64 2 Con eje Y x
4 y
y 0
8 4 2 x 0
1 4
x2
1 4
16 8 4 0 V 4, 0
2x 4 0 x 2 8x 16 0
ógicamente, con el vértice. 4, 0, que coincide, l óg
y 4 0, 4
Puntos próximos próximos al vértice: X Y
2 1
3 1/4
Representación
4 0
5 1/4
6 1
c)
Calculamos su vértice: vérti ce: x
1 4
Puntos de corte con los ejes:
y
2 16
1
25
4
8
3
1 25 V , 8 4
24 2
3
1
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
6
Con eje Y x 0 y 3 0, 3 Con eje X y 0 2x2 x 3 0 x Los puntos de corte con el eje X son:
Puntos próximos próximos al vértice: X Y
-1 0
0 -3
1/4 --25/8
1 -2
1 1 24 4
1 25 4
1 5 4
3 2
1
3 , 0 y 1, 0 2 Representación: 2 3
d)
75 3 225 225 225 3 225 y V , 50 2 4 2 4 2 4
Hallamos el vértice: x
Puntos de corte con los ejes: Con eje Y x 0 y 0 0, 0 Con eje X y 0 25 x 75 x 0 25x x 3 0 2
Tabla de valores para obtener puntos próximos al al
0
0, 0
x
3
3, 0
Representación:
vértice: X Y
0 0
1 50
3/2 3/ 2 225/4
2 50
4 -100
e)
Hallamos su vértice: vérti ce: x
2 1 y 1 2 1 0 V 1, 0 2
Puntos de corte con los ejes: Con eje Y x 0 y 1 0, 1 Con eje X el único punto de corte será el vértice: 1, 0 Puntos próximos próximos al vértice: X Y
-1 -4
0 -1
1 0
Representación: 2 -1
3 -4
x
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EJERCICIO EJERCICIO 12 : Hall Hall a las expresio nes analíticas de estas parábol as: a) b) c)
Solución: 2
a) La expresión analítica de ambas parábolas será de la forma y ax bx c, donde a, b, c son números reales que tenemos que calcular a partir de las gráficas. Ecuación de la parábola I: Punto de corte con el eje Y: 0, 6 c 6 Vértice: V3, 3, que además es un punto de la parábola. b 3 b 6a Así: 2a 3 9a 18a 6 9 9a a 1 b 6 2 3 3 a 3 b 6
La ecuación de la parábola I es: y x2 6x 6 Ecuación de la parábola II: Corta al eje Y en 0, 1 c 1 b 1 b a 2a 2 1 a 1 a 1 a 2a 4 1 2 Vértice V , 0 : 4 2 1 1 1 1 a b 1 2 0 a b 1 2 4 2 2 a 4 b 4 2 La expresión analítica de la parábola II es: y 4x 4x 1 2
b) Sus ecuaciones serán de la forma y ax bx c, a, b, c, números reales. Ecuación de la parábola I: Corta al eje Y en el punto 0, 5, luego: c 5 1 El vért vértic ice e es V 3, , que que así así mismo mismo es un punt punto o de la pará parábo bola la.. Lueg Luego o de aquí aquíobtendremos dos 2 ecuaciones cuyas incógnitas son a y b: b 3 b 6a 1 9 18 5 2a a a 1 1 2 2 3 a 3 b 5 9a 3b 5 2 2 1 1 9a 5 1 18a 10 9 18a a b 3 2 2 1 La ecua ecuaci ción ón de la pará parábo bola la I es: es: y x 2 3x 5 2
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Ecuación de la parábola II: Corta al eje Y en 0, 2 c 2 b 3 1 1 1 b 2a a 2a V 1, a 2a 2 2 2 1 3 1 a b 1 a b 2 a b 2 2 2 1
La ecuación de la parábola II es: es: y x 2 x 2
2 2 c) Observamos que ambas son parábolas, luego sus ecuaciones serán de la forma y ax bx c, donde a, b, c son números reales. Ecuación de la parábola I: c 4 porque pasa pasa por 0, 4. Vértice V4, 0, de donde sacamos dos ecuaciones: b 4 b 8a 1 b 2 2a 16a 32a 4 16a 4 a 4 0 16 16a 4b 4 1
La ecuación de la parábola I es: y x 2 2x 4 4
Ecuación de la parábola II: c
3 2
porque pasa por 0,
3
.
2
b 1 1 V , 1 b a 2a 2 2 2 a a 2 b 2 1 1 3 1 a b 4 a 2b 6 4 2 2 La ecuación de la parábola II II es e s: y 2x 2 2x
3 2
EJERCICIO EJERCICIO 13 : Compl eta las expresiones d e estas estas do s gráfi cas:
Solución: Parábola a Punto de corte con el eje Y: 0, 10
a y
x2
12 x
b y
x2
c 10
2, 2 b 2 12 4a a 3 b 12 2a 2 Ecuación de a: y 3x 12x 10 Parábola b 2 c 4 la ecuación será será de la forma y ax 4. Un punto de la parábola es el 1, 1, así: a 3 1 a 4 2 La ecuación buscada es: y 3x 4 V
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EJERCICIO EJERCICIO 14 : Aso cia a cada una de las gráficas una de las si gui entes expresion es:
a
Solución:
IV
b
I
c
II
a y
x 52
b y
8x 1 2x 2 8x
c y
4x 2 4
d y
8x 7 x 2 8x
d
III
EJERCICIO EJERCICIO 15 : Relaciona cada una de las sigu ientes expresion es con su g ráfica corr espondi ente: a y
2x 2 8
b y
3x 10 x 2 3x
c y
x 22
d y 2x 2x
2
3x 1 3x
a
Solución:
I
b
III
c
IV
d
II
EJERCICIO EJERCICIO 16 : Relaciona cada gráfica con una de las sigu ientes expresio nes: a y
2x 3 x 2 2x
b y
x 12
c y 3x 3x
2
1
d y 2 x
Solución:
2
a
III
b
I
c
II
d
IV
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
10
EJERCICIO EJERCICIO 17 : Aso cia a cada una de las gráficas una de las si gui entes expresion es: a y
b)
2x 4 x 2 2x
1 y x 2
c) y
d) y =
1 4
x2
2
2
7 x 2
2
a
Solución:
III
b
II
c
IV
d
I
EJERCICIO EJERCICIO 18 : Relaciona cada una de las sigu ientes expresion es con su g ráfica corr espondi ente: a y
3x x 2 3x
b y
x 32
c y
2 3x 2 3x
d) y =
1 3
x2
Solución:
x1
a
I
b
IV
c
II
d
III
Rectas Re ctas y p arábolas EJERCICIO EJERCICIO 19 : Resuelve gráfica y analític analític amente los si stemas sig uientes: a)
y x 2 2x 3 y 1 x
b)
y x 2 4x 5 x y 3 0
c)
y 2x 2 8x 11 y 3 0
Solución: a) Resolución analítica: Despejamos y de cada ecuación e igualamos: 2
x
2
2x 3 1 x x 3x 4 0 x
Si x 4 Si x 1
y 1 4 5 y0
3 9 1 6 2
3 5 2
4 1
Las soluciones son: x 4, y 5 ; x 1,
Resolución gráfica Representamos la parábola y x2 2x 3: b 2 1 y 1 2 3 4 V 1, 4 Vértice: x 2a 2 Cortes con los ejes: Eje Y x 0 y 3 0, 3
y 0
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
Eje X
y 0 x 2x 3 0 x 2
2 4 1 2
2
2 4 2
11
1
1, 0 y 3, 0 3
Valores en torno al vértice: X Y
-4 5
-2 -3
-1 -4
0 -3
2 5
Representamos la recta y 1 x: x
1
0
y
0
1
Observamos en la gráfica que la parábola y la recta se cortan en
4, 5 y 1, 0.
b) Resolución Resolución analítica : Despejamos y de cada ecuación e igualamos: x 3 y x 2 4 x 5 2 x 4x 5 3 x3 y 2 2 3 x 12x 15 x 3 3x 13x 18 0 3
x
13 169 216 6
13
47 6
El sistema no tiene solución.
Resolución gráfica Representamos la parábola y x2 4x 5: b 4 2 y 4 8 5 1 V2, 1 Vértice: x 2a 2 Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y x 0 y 5 0, 5 2 Con el eje X y 0 x 4x 5 0 x
X Y
4 16 20 20 4 4 2 2 Puntos próximos al vértice:
0 5
1 2
2 2
La parábola no corta al eje X .
3 2
Representamo s la recta y
4 5 x 3 3
1
y x 1. 3
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO x
0
3
y
1
0
12
Se observa en la gráfica que la parábola y la recta no se cortan. c) Resolución Resolución analítica : Se despeja y de cada ecuación y se igualan:
y 2x 2 8 x 11 2 x 2 8 x 11 3 y 3 2 x 2 8 x 8 0 x 2 4 x 4 0 x
4 16 16 1 6 4 2 La solución del sistema es: x 2, y 3 2 2
Resolución gráfica Se representa la parábola y 2x2 8x 11: b 8 2 x Vértice: 2a 4 V 2, 3 y 8 16 11 3
Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y x 0 y 11 0, 11 2 Con el eje X y 0 2x 8x 11 0 8 64 88 88 8 24 No corta al eje X . x 4 4 Puntos próximos al vértice: X Y
0 -11
1 -5
2 -3
3 -5
4 -11
Por otro lado, se representa la recta recta y 3, constante.
Hay un único punto de corte entre la recta y la parábola, que corresponde al punto
2, 3.
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
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Funciones a trozos EJERCICIO EJERCICIO 20 : Representa las funci ones cu yas expresion es analíticas son :
a)
2 y x 1 0
si - 1 x 2
b)
si x 2
x 3 y 3 x - 6
3 si x 1 2 y 5x - 1 si 1 x 2 2x 1 si x 2
d)
2x 5 2 y x 1 3
f)
si x -1
si 0 x 4 si x 4
c)
e)
si x -1 2 y 2x 4 si - 1 x 1 6 si x 1
g)
4 1 y ( 4 x 4) 3 x 2 4
si x -1 si - 1 x 2
si x 0
x 1 2 y - 1 - 2x 7
si x 2
Solución: a) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
si x 3 si - 1 x 2 si 2 x 6
si x -2 si - 2 x 1 si x 1
en los mismos Representamos los tres trozos en ejes:
X Y
- -2
-2 -2
-1 -2
-1 0
2 3
2 0
3 0
+ 0
b)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
en los mismos Representamos los tres trozos en ejes:
X Y
- -
-1 2
0 3
0 3
4 3
4 -2
5 -1
+ +
c)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: X
-
-5
-3
0
2
2
6
Y
-
-3
-2
-1
-1
3
-5
Representamos los tres trozos en en los mismos ejes:
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
14
d)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
en los mismos Representamos los tres trozos en ejes:
X Y
- 1
0 1
1 1
1 4
2 9
2 5
+ +
3 7
e)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: X Y
- 2
-2 2
-1 2
-1 2
1 6
1 6
Representamos los tres trozos en en los mismos ejes:
+ +
2 6
f)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: X Y
- -
-2 1
-1 3
-1 0
-1/2 -3/4
0
1 0
2 3
Representamos los tres trozos en los mismos ejes: 2 3
3 3
+ 3
g)
Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:
Representamos los tres trozos en los mismos ejes:
X Y
- -4
-3 -4
-2 -4
-2 -4
1 0
1 -3
2 0
+ +
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
15
EJERCICIO EJERCICIO 21 : Halla las expresio expresio nes analíticas de las func ion es cuyas gráfi cas son las s igui entes: a)
b)
c)
d)
Solución: a) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas que forman la función: Para x < 3, la recta es y = 2. recta pasa por (3, 2) y (5, 1): Para 3 x 5, la recta 3 3 3 15 3 13 y 1 x 5 y x 1 y x m 2 2 2 2 2 2 Para x > 5, la recta es y 1. si x 3 2
3 13 si 3 x 5 Así pues, la expresión expresión analítica de esa función es: y x 2 2 1 si x 5
b) recta, buscamos la ecuación: De cada tramo de la recta,
Para x < 0, la recta pasa por (1, 0) y (3, 2): m Si 0 x 2, la recta pasa por (0, 1) y (2, 2): m
2 1 y x 1 2
3 2
3
3
2
2
y 1 x y x 1
Para x > 2, la recta es y 2. si x 0 x 1 3 La expresión analítica de la función es: y x 1 si 0 x 2 2 si x 2 2
c)
Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de recta que forman la función: Para x < 1, la recta pasa por los puntos (2, 2) y (3, 3): m 1 y x Para 1 x < 1, la recta es y 1. 1
1 y 1x 2 y x 2 1 si x 1 x La expresión si 1 x 1 expresión analítica pedida es: y 1 x 2 si x 1
Para x 1, la recta pasa por (1, 1) y (2, 0): m
d)
Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas observando que hay dos que son constantes: constantes: Si x < 2, la recta es y 3. Si x 2, la recta es y 1. Si 2 x 2, la recta pasa por los puntos (1, 2) y (0, 1): m
1
1
1 y 1 x y x 1
si x 2 3 La expresión analítica de la función es: y x 1 si 2 x 2 1 si x 2
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
16
EJERCICIO EJERCICIO 22 : Observa Observa l a gráfica de la fu nció n f , com pleta la sigu iente tabla de valo valo res y halla su expresión analítica:
Solución: Completamos la tabla observando la gráfica: 5 0 1 3 x 3 1 2
2
y
1
0
0
1
3
Para hallar la expresión analítica de la función f , buscamos la ecuación de cada tramo de recta: 5 Si x < 2, la rect recta a pasa pasa por por ( 3, 2) y , 0 : 2 2 5 4 y 4 x y 4 x 10 m 1 2 2
Si x 2, la recta pasa por (0, 0) y (1, 1): m 1 y x 4 x 10 si x 2 La expresión expresión analítica de la función f es: y si x 2 x Funciones de proporc ionalidad inversa EJERCICIO EJERCICIO 23 : Representa gráficamente las si gui entes func ion es: a) y
3 x4
b) y
1 2 x3
c) y
Solución: a) Dominio de definición: R – {-4}
Tabla de valores X Y
- 0
-7 1
-5 3
-4
-
+
+
-4
-
-3 -3
-1 -1
+ 0
Las asíntotas son la recta y 0 y la recta x 4.
b) Dominio de definición: R – {3}
X Y
- -2
1 -1,5
2 -1
-
+
3
3
+
-
4 -3
Las asíntotas son las rectas x 3 e y 2.
5 -2,5
+ -2
x7 x5
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
y
c)
X Y
- -1
x7 x 5 3 -2
2
y 1
x 5
-
4 -3
+
5
5
-
+
Dominio de definición: R – {5}
6 1
7 0
+ -1
. Las asíntotas son las rectas x 5, y 1.
Funciones radicales EJERCICIO EJERCICIO 24 : Representa gráficamente las si gui entes func ion es: a) y = 1
3x
b) y =
3x 1
c) y =
2x 3
1
Solución: a) Dominio de definición: (-,0]
Hacemos una tabla de valores: X Y
- -
-3 -2
-2 -1,45
b) Domin ominiio de defi efinic nición:
-1 -0,73
0 -11
1, 3
Hacemos una tabla de valores: X Y
1/3 0
1 1,41
c) Dominio de definición:
2 2,24
3 2,83
+ +
3 , 2
Tabla de valores: X Y
-3/2 -1
-1 0
1/2 1
3 2
+ +
Funciones radicales radicales y de proporcion alida alidad d in versa
EJERCICIO EJERCICIO 25 : Resuelv Resuelv e gráficamente el sig uiente si stema:
y 2 x 2 2 y x4
Solución: Representamos gráficamente cada una de las funciones:
y 2 x 2 Es una función radical.
17
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
18
Dominio de definición: 2, Tabla de valores: X Y
2 -1
3 2
6 4
+ +
11 6
2 Es una función de proporcionalidad inversa. x4 Dominio de definición: 4 Tabla de valores:
y
- 0
X Y
2
3
4
-
4
+
5
6
1
2
+
-
-2
-1
+ 0
Las asíntotas son las rectas x 4, y 0.
En la gráfica se observa que el sistema tiene una solución: x 3
y 2
EJERCICIO 26 a) De la sigui ente hipérbo la, di cu ál es es su domin io, cuáles son sus asíntot as y represéntala: y = b) Halla Halla el valor de k para que el el do minio de la función y = gráfica. Solución: a Domi Domini nio o de defi defini nici ción ón::
xk
- -3
-2 -3,5
-1 -4
0
-
+
0
0
-
+
1 -2
2 -2,5
+ -3
Luego las asíntotas son las rectas x 0, y 3.
b Para que el el dominio de defini definición ción sean los valores de x 4, se necesita tomar k 4 así, x 4 0. Hacemos una tabla de valores X Y
4 1
5 2
8 3
13 4
+ +
1 x
Haz la representació n 1 sea [4,+). Haz
Tabla de valores en puntos próximos a x 0: X Y
3
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
19
Exponenciales Exponencia les y logarí logarítmicas tmicas EJERCICIO EJERCICIO 27 : Representa las sigu ientes fun cion es haciendo en cada caso una tabl a de valores: valores: 0,5x 0,5x a y 2 b y lo g 6 x Solución: x
a) y
20,5 x equivale a y 22
- 0
X Y
-4 1/4
-2 1/2
0 1
2 2
4 4
+ +
Se observa en la gráfica que es una función creciente, cosa que ya sabíamos puesto que a
1 2
2 2 1.
b
X x
6 + 0 -
6 1/36
-2
6 1/6
-1
6 1
0
6 6
1
6 36
2
6 +
y
+
+2
1
0
-1
-2
-
+
EJERCICIO 28 0,5x 0,5x 0,5x a Pon en en forma expon expon encial 4 y representa la función y 4 . b Comprueba si pertenecen a la gráfica de y
1 5
(25,2) Solución: 0,5 x
a) 4
4
0,5
x
x
1 42
4 2 x
x
0,5x
Representar la función y 4
x
equivale a representar la función y 2 .
Hacemos una tabla de valores: X Y
- 0
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
log 5 x los puntos 1, 2, 5, 1, ,1 , (3,-2) y
+ +
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
20
b El dominio dominio de definición de y log5 x es 0, , luego el punto 1, 2 no pertenece al dominio por ser x 1 0. El resto de puntos tienen abscisa positiva, posit iva, luego pueden pertenecer a la gráfica de la función: 1 log5 5 51 5 5, 1 Pertenecen a la gráfica. 1 1 1 , 1 1 5 1 log5 5 5 5
3, 2
2 log5 3 52
2
5 25
1 25
3 No pertenece a la gráfica.
Pertenece a la gráfica. 1 Los puntos que pertenecen a la gráfica son: 5, 1, , 1 y 25, 2 5 25, 2
2 log5 25 52
1
EJERCICIO 29 a Hall Hall a el valor de k y a para que la gráfica de y
3
ka x pase por los puntos 1, 6 y 2, . 4
Indic a razonadamente razonadamente si la funci ón obt enida será creciente o decrecient e, sin r epresentarla. b Representa Representa la func ión y 2 lo g 7 x . Solución: a) y
3 kax pasa por los puntos 1, 6 y 2, : 4
6 ka 1
2
ka ka ka 1
3 4
2
3 4 6
a3
3 24
a3
1 8
a
1 2
6k
1 a
k 6a k 6
1 2
k 3
x
1 1 funciión decr La funci unción ón es y 3 , func decrec eciiente ente por por ser ser a 1. 2 2
b
X x
7 0 -
7 1/49
7 1/7
-1
7 1
0
7 7
7 49
2
7 +
y
-
0
1
2
3
4
+
-2
1
+
x
EJERCICIO EJERCICIO 30 : Escri be el el do mini o de la funci ón y 4 y represéntala represéntala gráficamente. Escri be la x expresión analítica y representa la función inversa de y 4 . Solución: y 4x es una función exponencial
Hagamos una representarla: X Y
- 0
-2 1/16
tabla
-1 ¼
0 1
de
su dominio son todos los números reales.
valores
1 4
2 16
para
+ +
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
21
La expresión analítica de la función inversa de y 4x es y log4 x, cuya tabla de valores será: X Y
0 -
1/16 -2
¼ -1
1 0
4 1
+ +
16 2
EJERCICIO 31 x x a Constr uye la gráfic a de y 0,7 y, apartir apartir de ella, representa la func ión y 0,7 2. b Indica cuál cuál es el el dominio de la función y log x y escrib e tres punto s que pertenezcan a la gráfica. Solución: x
a y 0,7 : función exponencial de base a 0,7 1, luego decrece en su su dominio, que es .
Hagamos una tabla de valores: X Y
- +
-2
-1
0
1
2
2,0
1,43
1
0,7
0,49
+ 0
x
La función y 0,7 2 se obtiene desplazando dos unidades hacia hacia arriba la gráfica anteri or, o lo que es igual, sumando 2 unidades a los valores obtenidos anteriormente para y. b y log10 x dominio de definición: 0, 1 log10 10 10, 1
100, 2
2 log10 100 102 100
1 1 1 , 1 1 10 1 log10 10 10 10 EJERCICIO EJERCICIO 32 : Calcula, usando la defini ción d e logaritmo, y si n calcu ladora:
1
1
a) log 3 5 81
b) log lo g 0,001 0,001
c) log 4
g) log 7 3 49
h) log 2 512
i) log 5 0,008 j) log 2 4 4
0,01 n) log 6
m) log
5
d) log 5
64
25
e) log 5 4 5
f) log 5 25
k) log 2 0,5
l) log 2 256
ñ) log 3 243
30
Solución: 4
a log 3 5 81 log 3 5 34 c log 4
1 64
d) a log5
4 5
log 3 3 5 l og 3 3 1
4 5
b log 0, 001 log 103
3 l og 1 0 3 1
l 64 log 4 43 3 log 4 4 3 og 4 1 log 4 64 0
1 25
1
25 log5 55 2 log 5 5 2 l og5 1 log 5 25 0
1 1 4
e) b log 5 4 5 log 5 5
1 1 log 5 5 4 1 4
3
f log5 125 log5 5
3 log5 5 3
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO 2
g) a log 7 3 49 log7 3 72 log 7 7 3 i) c log 5 0, 008 log 5
8 1000
log5
2 2 log7 7 3 1 3
1 125
2
1
1 1 2
j) a log 2 4 4 log 2 4 2 2 log 2 2 log 2 2 1
h) b log 2 512 log 2 29 9 log 2 2 9
log5 53 3 l og5 5 3
2 4
k) b log 2 0, 5 log2
22
1
log2 2
2
1
1 2
log 2 21 1log 2 2 1
8
l)c log2 256 log2 2
8 log2 2 8
1
2 1 2 1 m) a log 0, 01 log log 102 l og 10 1 2 2 100 1 5 30
n) b log 6
log 6
1 6
log6 61 1l og 6 6 1
ñ) c log 3 243 log3 35 5 log 3 3 5
1
1
EJERCICIO EJERCICIO 33 33 : Resuelve estas ecuacio nes: a) 5 e)
2 x2 1
125
49 7 x 2 8 x
5
i) 4
x2
b) log 3 ( 5x 3) 3
c) 2
f) log 2 (x 1)
g) 3
2x 6
0,25 x 1
d) log 5 ( 2x
2
x) 0
6 25
1
2
3x-1
x+6
2
= 9
h) log 2 (x -5x+8) = 2
j) log (11x (11x – 1) = -1
Solución: a Expresamos como potencia de 5 el segundo miembro e igualamos los exponentes: 5 2x
2
1
125 52 x
2
1
53
2x 2 1 3 2x 2 2 x2 1 x 1
b Aplicamos la definici definición ón de logaritmo: 3 log3 5x 3 3 5x 3 3 5x 3 27 5x 30 x 6 3 Comprobación de la solución log3 5 6 3 log3 27 log3 3 3 log3 3 3
Solución válida
c Expresamos el segundo segundo miembro como potencia de 2. A continuación, igualamos exponentes: x 1
1 2 4 x 1 2 x 2 1 2 2 x 2 1 2 x 6 2 x 6 2 2 22 x 6 21 22 x 6 22 x2 2 2 2 x 6 2 x 2 4 x 8 x 2 2 2 0 d log5 2x x 0, aplicando la definición de logaritmo, equivale a 2x x 5 2x 6
2
2
2x x 1 2x x 1 0 x
1 1 8 4
1
1 3 4
2 4
1 2
Comprobación de las soluciones Si x 1 log5 2 1 log5 1 0 x 1 es solución. 1 1 1 1 1 1 log5 2 log5 log5 1 0 x Si x también es solución. 2 2 4 2 2 2 e) Expresamos el primer miembro como potencia de 7 e igualamos exponentes: 6 6 2 6 x2 x2 x2 2 6 2 6 5 2 5 25 25 5 25 7 7 7 7 x2 x2 49 7 5 25 5 25 4 2 x2 x 25 5 f Aplicando la defini definición ción de logaritmo, se obtiene: 1 1 5 x 1 x log2 x 1 2 x 1 22 x 1 4 4 4
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
23
1 5 1 log 2 log 2 22 2log 2 2 2 válida 4 4
Comprobación de la solución: log2 La solución es: x
5
4 g Expresamos como potencia de 3 el segundo miembro e igualamos exponentes: x 5
33 x 1
9x 5 33 x 1 32 33 x 1 32 x10 3 x 1 2x 10 x 11 2 2 2 h log2 x 5x 8 2 x 5x 8 2 hemos aplicado la definición de logaritmo 2
2
x 5x 8 = 4 x 5x 4 = 0 x
5 25 16 2
5 9 2
5 3 2
4 1
Comprobación de las soluciones 2 Si x 4 log2 16 20 8 log2 4 log2 2 2 log2 2 2 x 4 es solución. 2 Si x 1 log2 1 5 8 log2 4 log2 2 2 log2 2 2 x 1 es solución.
1 equivale a 4x 3 x 40 2 Igualando exponentes: x 3x 0 x x 3 3 0 Luego x 0 y x 3 son las soluciones.
i) a 4 x
2
3 x
2
j log 11x 1 1 1 equivale a 11x 1 10 hemos aplicado la definición de logaritmo 1 1 11 1 11x 1 11x x 11x 1 10 10 10 10 1 11 1 log log 101 1 log 10 1 log 10 10 Comprobación de la solución 1 La solución x es válida. 10 1
Problemas EJERCICIO 34 : Colocamos en el banco 25 000 € al 5 de int erés erés anual. a Escribe la función que expresa expresa el capital capital acumulado en en fun ción del tiempo, t , que perm anezca el dinero en el banco. b ¿Cuánto ¿Cuánto tardará el el dinero en dupl icarse? Solución: a C capital acumulado 5 de interés anual significa que el capital que hay a principios de año se multiplica por 1,05 al final. La expresión que da el capital acumulado al cabo de t años es: C 25 000 1, 05t t 0
b Nos piden calcular t para que el capital se se duplique: t t 25000 25 000 1,05 50000 1,05 2 t 15 años Tardará en duplicarse, aproximadamente, 15 años. EJERCICIO 35 : Se cerca una finca rectangular de área A con 42 m de alambrada, sin que sobr e ni falte n ada. a Expresa el el área de la finca en en fun ción de uno de sus lados b Representa Representa gráficamente la expresi expresi ón anterio anterio r. c ¿Cuál ¿Cuál es es el dominio de definición? d ¿Para ¿Para qué valor de los lados ob tenemos la finca de área área máxima? Solución: Las dimensiones de la finca son x, 21 x. a A área de la finca 2 La expresión analítica buscada es Ax x 21 x Ax x 21x, que es una función cuadrática. b Será una parábola abierta hacia hacia abajo: 21 441 441 441 Vértice: x 110, 25 V 10,5; 110,25 y 2 4 2 4
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
24
Puntos de corte con los ejes: Eje X
y 0 x 21x 0 x x 21 0 2
0
x
0, 0 y 21, 0 x
21
Eje Y x 0 y 0 0, 0 Tabla de valores: X Y
5 80
10 110
10,5 110,25
15 90
20 20
c Por ser x una longitud y Ax un área, la gráfica gráfica corresponde solo al al primer cuadrante. Dominio de definición: 0, 21 2 d El área es máxima en el el vértice, y mide 110,25 m . Se obtiene tomando como lados x 10,5 m y 2110,5 = 10,5 m es decir, el área es máxima si la finca es cuadrada. EJERCICIO EJERCICIO 36 : Expresa el lado de un c uadrado en fu nció n de su área. área. ¿Qué tip o de fun ción obtienes? ¿Cuál es su dominio? Represéntala gráficamente. Solución: A área del cuadrado
A l l lado del cuadrado
2
l A
La función obtenida es una función radical. Dominio de definición 0, Para representarla gráficamente, hacemos una tabla de valores: X Y
0 0
1 1
4 2
9 3
+ +
EJERCICIO EJERCICIO 37 : Una central nucl ear ear ti ene 1 kg de una sus tancia radiacti va que se desint egra reduci éndose a la mitad cada 5 años. años. a ¿Qué ¿Qué cantidad de esa esa sust ancia tendremos al cabo de 10 10 años? años? b ¿Cuál ¿Cuál es la función que da la cantidad cantidad de sustancia radiactiva radiactiva según los años transcurridos , suponi endo q ue el ritmo d e desintegración desintegración se mantiene? Solución: a Al cabo de 5 años habrá 0,5 kg de sustancia radiactiva, luego al cabo de 10 años habrá 0,25 kg 250 g de sustancia radiactiva. b Llamamos C cantidad de sustancia radiactiva kg t tiempo años t
1 5 La función que describe el problema es: C t 1 2
C t 0, 55 2
EJERCICIO EJERCICIO 38 : María María se quiere co mprar u na parcela rectangul ar que t enga como área 1 200 m . a Escribe la función que da el el ancho de la finca en función del largo. b Haz la gráfic a correspo ndient e. Solución: a Llamamos
x y
largo de de la finca ancho de la finca
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO El área de la finca será
x y = 1200 y
25
1200
x b Puesto que x e y son longitudes, ambas han de ser positiv positivas, as, luego el dominio de definición será 0,
Hacemos una tabla de valores para representarla: +
X
0
200
400
600
Y
-
6
3
2
+ 0
Recopilación EJERCICIO 39 : a Representa Representa esta esta función : 2x 2x 5y 5y 2 0 b Asoc ia a cada una de las gráfic as, una de las sigui entes expresiones
1. y
x 2
2. y
x 12
3. y
4x 2 2
4. y 2x 2x
2
x
Solución: a 2x 5y 2 0 Hacemos una tabla de valores:
b 1 II
2 IV
3 III
4 I
EJERCICIO 40 : a Calcul Calcul a la ecuación de la recta que pasa por los punt os A1, 3 y B5, 4, y haz su gráfic a. b Halla la ecuació ecuació n de la siguiente parábola:
Solución:
a Calculamos el valor de la pendiente: m
34
1 5
7
6
7 6
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
La ecuación será de la forma: y 3
7
x 1 6
La representación gráfica de la recta y
7 6
x
y 11 6
7 6
x
26
11 6
es:
2
b Por ser una parábola, su ecuación será será de la forma: y ax bx c Por ser el punto de corte con el eje Y el 0, 10 c 10 Para calcular a y b, observamos que la parábola pasa por los puntos 2, 0 y 0 4a 2b 10 2a b 5 0 25a 5b 10 10
5a b
2 7
7a
5, 0:
a 1
Luego b 5 2 3 b 3 2 Por tanto, la ecuación de la parábola es: y x 3x 10 EJERCICIO 41 : a Hall Hall a la ecuación ecuación d e la recta representada:
b Representa Representa esta esta parábola: parábola: y
8x 9 x 2 8x
Solución: a Por ser una recta, su ecuación será será de la forma: y mx Como pasa por 0, 1 n 1 Además, (3, 3) es un punto d e la gráfica
La ecuación buscada es: y b
3 3m 1
2 3
x 1 3 2 Calculamos el vértice que tiene la parábola y x 8x 9 : b 8 4 y 16 32 9 25 V 4, 25 x 2a 2 Puntos de corte con los ejes: Eje Y x 0 y 9 0, 9 Eje X
y
0
x
2
8x 9 0 x
La parábola corta al eje X en 9, 0 y
Tabla de valores en torno al vértice: X Y
m
2
n
1 -16
2 -21
4 -25
5 -24
6 -7
1, 0.
8 64 36 2
8 10 2
9
1
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
27
EJERCICIO 42 : a Calcul Calcul a la ecuació ecuació n de la recta que pasa por (1,2) (1,2) y cuy a pendiente es m = 2/3. 2/3. Represé Represéntala ntala gráficamente. b Asoc ia a cada gráfi ca una de las sigu ientes expresiones:
1. y 2x 2x
2
1
2. y
x2
3. y 5x 5x
2
2
2x 1 2x
4. y
Solución:
a Ecuación punto-pendiente:
b 1
II
2
y
2
2
x 1 3
III
2
2
3
3
y 2 x
3
IV
2
4
3
3
y x
4
I
EJERCICIO 43 : a Hall Hall a la ecuación ecuación d e la recta dada por la sigu iente gráfica:
b Representa Representa la parábola siguiente: y
x 2 8x 12
Solución: a La ecuación de la recta será de la forma: y mx n 1 1 Por ser el punto de corte con el eje Y 0, n 2 2 1 m Además, la recta recta pasa pasa por 1, 0, luego: 0 m 2 1 1 x Por tanto, la ecuación es: y 2 2 2 b y x 8x 12 b 8 Vértice x 4 y 16 32 12 4 2a 2 Puntos de corte con los ejes: Eje Y x 0 y 12 0, 12 Eje X
y
0
x2
Los puntos de corte con el eje X son 6, 0 y 2, 0.
2
V 4, 4
8 64 48 2 6 84 2 2
8 x +12 0 x
1
8 16 2
x 32
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
28
Tabla de valores en torno al vértice: X Y
1 5
3 -3
4 -4
5 -3
7 5
EJERCICIO EJERCICIO 44 : Aso cia cada gráfic o co n una de estas expresion es: a) y =
4 x1
2
Solución: a) II
b) y
1 c) y = 3
lo g 2 (x (x 1) log
b) IV
c) III
x
d) y =
2x 1 2
d) I
EJERCICIO EJERCICIO 45 : Asign a a cada cada gráfi ca, la expresi expresi ón qu e le corresp onde: a) y 3,2
x
Solución: a) III
b) y 3 logx
b) IV
c) y =
c) II
2 2x 5
d) y = -1 +
4x 2
d) I
EJERCICIO EJERCICIO 46 : Relacion Relacion a cada gráfi ca con su expresión cor respond iente: a) y =
5x 3
Solución: a) I
4 b) y = - 9
b) III
x
c) y
c) IV
lo g 3 (x (x 1) log
d) II
d) y =
1 4x 1
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO
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EJERCICIO EJERCICIO 47 : Aso cia cada gráfica con una de estas expresion es: a) y
lo g 5 2x 2x 1 log
Solución: a) IV
b) y
1,7x
b) III
x 7
c) y = 2
c) I
d) y =
2 3 x1
d) II
EJERCICIO EJERCICIO 48 : Aso cia cada gráfic a con l a expresió expresió n que le cor respond a: a) y
0,8x
b) y = 1 -
Solución: a) III
b) I
x 5
c) y =
c) II
1 x2
d) IV
EJERCICIO EJERCICIO 49 : Aso cia a cada gráfica la expresión que le cor responde:
x 1
a) y = 3 + b) y = -2 +
1 3
c) y = d y
1 x3 x
lo g 3 x log
Solución: a
I
b
IV
c
III
d
II
EJERCICIO EJERCICIO 50 : Asoci a a cada gráfica una de estas expresio nes: a) y = -
x 3 4
2
b) y =
x
x
c 1,7 d y
log lo g 5 x
Solución: a
III
b
IV
c
I
d
II
d) y 3 log lo g 6 (x (x 2)
Tema 5 – Funciones elementales – Ejercicios resueltos – Matemáticas B – 4º ESO EJERCICIO EJERCICIO 51 : Aso cia a cada gráfica una de las sig uientes expr esiones: a y
lo g 7 x x 1
b) y = c) y
d) y =
2 1 x
2 3
x
Solución: a
III
b
I
c
IV
d
II
EJERCICIO EJERCICIO 52 : Asoci a a cada gráfica una de estas expresio nes:
x
a) y = 1 + b y 5 c y
x
lo g 3 x 1
d) y =
3 x
Solución: a
II
b
III
c
I d IV
EJERCICIO EJERCICIO 53 : Relaciona cada gráfica con la expresión analítica corresp ondi ente: a y 2,5 b) y =
x
2 1 x1
c y 1 log lo g 2x d) y =
0 ,2 x
Solución: a
II
b
I
c
III
d
IV
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