Funciones Vectoriales en Ingenieria Civil

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO Facultad de ingeniería ingeni ería – Escuela proesional p roesional de Ing! Ci"il C#lculo I

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO Facultad de ingeniería Escuela profesional de Ingeniería Civil

Año d el aDi v e r s i ﬁ c ac i ó nPr o d u c t i v ayde l Fo r t a l e c i mi e n t od el a

Ed uc a c i ó n Tema APLICACIONES DE FUNCIONES FUNCIONES VECTORIALES VECTORIALES EN INGENIERIA CIVIL

CURSO:

Cálculo II

DOCENTE: Lic. Lisardo Negron Calvo ALUMNOS: V. Seastián !edra"a #a$íre" %ic&el 'uispe (ose Villafuerte )rdoñe"

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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO Facultad de ingeniería – Escuela proesional de Ing! Ci"il C#lculo I

ÍNDICE Introducci*n+++++++++++++++++++++++++++... !ág., #esu$en E-ecutivo++++++++++++++++++++++++.. !ág. %arco /e*rico++++++++++++++++++++++++...+... !ág.0

Cap.1 Definiciones………………………………………………………………...Pá.! 1.1. 1.2.

C"#$as+++++++++++++++++++++++++++!ág.0 S"pe#ficies+++++++++++++++++++++++++3!ág.4

Conclusiones 5 reco$endaciones++++++++..+++.++++++.. !ág.1,

%I%LIO&RA'IA++++++++++++++++++++++++++ !ág.1

$


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In(#o)"cci*n

El $undo de la ingeniería3 re6uiere sie$pre innovaci*n3 creatividad 5 sore todo el ingenio &u$ano3 eso tan solo se co$para con la creaci*n 6ue cada uno de nosotros ingenieros3 pode$os utili"ar a favor de nuestros pro5ectos 5 deseos. !ero sin e$argo nosotros co$o ingenieros3 no dee$os olvidar -a$ás en donde traa-a$os 5 en co$o lo &ace$os. Es por eso 6ue el te$a en lo 6ue respecta funciones vectoriales en ingeniería civil es de su$a i$portancia puesto 6ue gracias a esta3 pode$os sentirnos $ás identificados con nuestra carrera 5 con nuestra pasi*n.

&


Res"men e+ec"(i$o, En general3 las funciones vectoriales de variale vectorial es una regla 6ue asocia a cada punto 7 r7 de una cierta regi*n n S ( 8 un vector 9  $ F r ) 8 5 se denota co$o: F S ) #..;#<$ !ero en general3 vere$os sus aplicaciones en la ingeniería civil3 a-o sus definiciones 5 de$ás.

Ma#co (e*#ico '


Capítulo I: Funciones Vectoriales Las funciones vectoriales =na funci*n vectorial es una funci*n 6ue transfor$a un n>$ero real en un vector: F: # ?@ # , efinida co$o F9t B 99t3 59t3 "9t3 donde 9t3 59t 5 "9t son funciones reales de variale real. Así3 se dice 6ue F es continua3 derivale o integrale3 si lo son 9t3 59t 5 "9t.D 5 ade$ás su derivada 5 su integral se calculan del siguiente $odo:

Algunas reglas de derivaci*n de estas funciones están relacionadas con las operaciones con vectores son:

*


Cur!as Para"etri#a$as Cuando una funci*n vectorial definida en un intervalo aierto de # es derivale indefinida$ente 5 su pri$era derivada no se anula3 deci$os 6ue se trata de una curva regular. Al vector F9t se le lla$a vector de posici*n de la curva 5 a los vectores F9t 5 F9t se les lla$a3 respectiva$ente3 vectores velocidad 5 aceleraci*n.

Lon%itu$ $e un arco $e cur!a La longitud de un arco 9tro"oG de curva entre dos punto F9a 5 F9 viene dada por la f*r$ula.

Cur!atura ada una curva regular F9t se puede repara$etri"ar 9una especie de ca$io de variale3 de $anera 6ue la longitud de la curva entre dos puntos a 5  coincida con la longitud del intervalo con origen en a 5 etre$o en D en este caso se dice 6ue la curva esta para$etri"adas por la longitud del arco3 6ue lla$a$os SG.

En las rectas3 la curvatura es igual a ceroD en las curvas de transici*n3 la curvatura es variale 5 en la curva co$o tal3 la curvatura es constante. En este traa-o de

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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO Facultad de ingeniería – Escuela proesional de Ing! Ci"il C#lculo I investigaci*n3 se intentara eplicar 5 &acer un especial Hnfasis en las curvas de transici*n3 es decir3 con curvatura variale.

La curvatura viene a $edir co$o se tuerce la curva respecto de su longitud. Esta definici*n es astante intuitiva3 pero no es difícil de calcular.

)

Así se puede3 se llega a la conclusi*n de 6ue &a5 diversas for$as de deter$inar la curvatura 5 torsionesG. Funciones !ectoriales $e un par&"etro =na funci*n con valores vectoriales3 o si$ple$ente funci*n vectorial3 es una funci*n cu5o rango o i$agen es un con-unto de vectores. En esta guía traa-are$os con funciones vectoriales3 6ue denotare$os r9t3 cu5o do$inio está en la recta real 9intervalo I cerrado o se$iJcerrado3 o toda la recta 5 cu5o rango o i$agen está for$ado por vectores del espacio o del plano. Se tiene r : I ( # @ Vn donde n B , Ko 2.

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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO Facultad de ingeniería – Escuela proesional de Ing! Ci"il C#lculo I =na funci*n vectorial de un pará$etro representa una regi*n del plano o del espacio 6ue no es una regi*n s*lida ni una superficie3 sino 6ue podría$os decir 6ue es un o-eto unidi$ensionalG: #9t representa una curva para$Htrica en el espacio o en el plano coordenado.

Capítulo II: Aplicaciones en la In%eniería El análisis $ate$ático en la ingeniería civil es necesario esencial$ente por6ue esta nos eplica c*$o pode$os utili"ar las diferentes superficies cuadrícas en la realidad 5 c*$o pode$os $ai$i"ar sus usos3 5a sea en el sector agrícola3 carreteras3 puentes. Etc. En el sector agrícola se ve co$o e-e$plo la ingeniería inca en sus andenes 5 siste$as de irrigaci*n co$o %ora53 /ip*n3 etc. racias a ello se ve un e-e$plo de curvas de contorno 5 $ai$acion de superficies elípticas 5 de la propia área. Andenes defectuosos producirían un prole$a de aasteci$iento de recursos en el i$perio 5 un siste$a de irrigaci*n pHsi$o causaría caos de agua. En la construcci*n de una carretera. Antes de iniciar un proceso constructivo de una carretera3 es necesario 6ue se lleven a cao una gran cantidad de estudios 6ue conllevaran posterior$ente a un diseño preli$inar. En este diseño la curvatura -uega un papel $u5 i$portante para garanti"ar la suficiente seguridad al conductor. Carreteras $u5 inapropiadas3 conllevan a un $u5 alto riesgo de accidentalidad 5endo contra la integridad de cada conductor.

E-e$plo: #uinas de /ip*n3 uicado en Cusco 9!er>. En este co$pendio ar6ueol*gico se ve 6ue oserva diversas for$as elípticas en %ora53 6ue confor$an diversos andenes por niveles desde el centro &acia afuera.

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!uente (uscelino Muitsc&e3 uicado en Orasilia 9Orasil. En esta i$agen se puede oservar una calada con curvas consecutivas3 donde su diseño tuvo 6ue &aer tenido en cuenta las nu$erosas curvaturas en la cal"ada de tal $anera 6ue no se ecedan los valores $ái$os planteados por la regla$entaci*n.

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Conclusiones ' Reco"en$aciones: Al &alar de las aplicaciones de funciones vectoriales a la ingeniería civil3 encontra$os $uc&os e-e$plos 6ue principal$ente se encuentran en la ra$a de la construcci*n de carreteras 5 específica$ente en las curvas. Sin e$argo ve$os 6ue antigua$ente ta$iHn se utili"aa las for$as elípticas para aastecer el i$perio3 al $ando del inca. Llega$os a la conclusi*n de 6ue la aplicaci*n de estas sirve para la opti$i"aci*n 5 calidad de vida de todos los seres &u$anos en general3 5 se reco$ienda seguir aplicando $ás tecnologías para $e-orar.

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