Fundamentos Energia Electrica

UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores / Secção de Energia

FUNDAMENTOS DOS SISTEMAS DE ENERGIA ELÉCTRICA

José Pedro Sucena Paiva Prof. Catedrático

ÍNDICE 1

Introdução 1.1 Evolução Histórica

1

1.2 Tendências Recentes

1

1.3 A Energia Eléctrica no Contexto Energético

4

1.4 O Sistema de Energia Eléctrica

7

1.5 Classificação das Redes Eléctricas

2

10

1.5.1 1.5 .1 Nível de Tensão

11

1.5.2 Função

11

1.5.3 Estrutura Topológica

12

1.6 A Rede Eléctrica Eléctri ca Portuguesa Portugue sa

14

1.7 Sumário

14

Conceitos Básicos

17

2.1 Energia e Potência. Diagrama de Carga.

17

2.2 Potência em Sistemas de Energia Eléctrica

19

2.2.1 Potência Activa e Reactiva

19

2.2.2 Potência Complexa e Aparente

22

2.3 Sistema Eléctrico Trifásico

24

2.3.1 2.3 .1 Tensão e Corrente

24


27

2.3.3 2.3 .3 Carga Ligada em Triângulo

28

2.4 Representação Representaç ão do Sistema de Energia

28

2.5 Valores por Unidade

30

2.5.1 Sistemas Monofásicos

31

2.5.2 Sistemas Trifásicos

32

2.6 Transmissão de Energia

33

2.6.1 Em Corrente Alternada

33

2.6.2 2.6 .2 Em Corrente Contínua

36

2.7 Sumário

3

1

Máquinas Rotativas e Transformador

37

39

3.1 Máquina Síncrona

39

3.1.1 3.1. 1 Introdução

39

3.1.2 Princípio de Funcionamento

40

ii

Fundamentos dos Sistemas de Energia Eléctrica 3.1.3 Modelo Matemático

44

3.1.4 Características em Vazio e em Curto-Circuito

47

3.1.5 Características em Carga

49


49

3.1.7 Efeito da Saliência

51

3.1.8 Modos de Operação

54

3.1.9 Estabilidade da Marcha Síncrona

57

3.2 Transformador

60

3.2.1 Introdução

60


61

3.2.3 Corrente de Magnetização

63

3.2.4 Esquema Equivalente

64

3.2.5 Transformador com Três Enrolamentos

67

3.2.6 Autotransformador

69

3.2.7 Transformador Trifásico

70

3.2.8 Transformador com Regulação de Tensão

75

3.3 Máquina Assíncrona

78

3.3.1 Introdução

78


78

3.3.3 Modelo Matemático

79

3.3.4 Potência e Binário

81

3.3.5 Funcionamento como Gerador

84

3.4 Caracterização das Cargas

85

3.4.1 Tipologia

85

3.4.2 Elasticidades

86

3.4.3 Elasticidade em Relação à Tensão

88

3.4.4 Elasticidade em Relação à Frequência

91

3.5 Sumário

4

J. Sucena Paiva

Linha Eléctrica de Energia

91

93

4.1 Introdução

93

4.2 Resistência e Condutância Transversal

94

4.3 Reactância

96

4.3.1 Linha Monofásica

97

4.3.2 Linha com n Condutores

100

4.3.3 Linha Trifásica

103

4.3.4 Linha Trifásica com Dois Condutores em Feixe

106

4.4 Admitância Transversal

107

J. Sucena Paiva

iii

4.4.1 Linha Monofásica

108

4.4.2 Linha com n Condutores

110

4.4.3 Influência da Terra

110

4.4.4 Linha Trifásica

113

4.4.5 Linha Trifásica com Dois Condutores em Feixe

115

4.4.6 Cabo Subterrâneo

116

4.5 Modelo da Linha em Regime Estacionário

117

4.5.1 Modelo Exacto

117

4.5.2 Esquema Equivalente em π

121

4.5.3 Esquema Equivalente em π Nominal

123

4.5.4 Modelo da Linha Curta

124

4.6 Linha Terminada pela Impedância de Onda

126

4.7 Capacidade de Transporte

129

4.7.1 Limite Térmico

129

4.7.2 Limite de Estabilidade Estática

129

4.7.3 Limite de Estabilidade de Tensão

133

4.8 Sumário

5

Índice

Correntes de Curto-Circuito

135

137

5.1 Introdução

137

5.2 Corrente e Potência de Curto-Circuito

138

5.2.1 Teorema da Sobreposição

139

5.2.2 Teorema de Thévenin

140

5.3 Curto-Circuito de um Gerador Síncrono

141

5.4 Modelos dos Elementos da Rede

145

5.4.1 Gerador

145

5.4.2 Transformador e Linha

146

5.4.3 Cargas

146

5.5 Cálculo das Correntes de Curto-Circuito Simétrico

147

5.5.1 Redução da Rede

147

5.5.2 Impedância Equivalente a Montante

148

5.5.3 Matriz das Impedâncias Nodais

148

5.6 Sumário

153

CA PÍTU L O 1

INTRODUÇÃO

1.1 Evolução Histórica Em 1882 foi inaugurada a primeira central eléctrica em Pearl Sreet, Nova Iorque, alimentando uma rede de iluminação pública com 400 lâmpadas de 83 Watt cada, dentro de uma área com 1,5 km de raio. Esta data marca o início da era da energia eléctrica, cuja produção mundial atingiu 15 500 mil milhões de kWh em 2000, exibindo uma taxa de crescimento médio anual de 3,8% desde 1971 1 – uma das maiores indústrias à escala mundial. As primeiras centrais eléctricas eram accionadas por máquinas a vapor e geravam corrente contínua por meio de dínamos, tipicamente à tensão de 110 Volt. A invenção (por Ferranti) do transformador, que permite variar facilmente a tensão para níveis adequados ao transporte, distribuição e utilização de energia, bem como do motor de indução (por Tesla), que exibe vantagens consideráveis nos accionamentos eléctricos em relação ao motor de corrente contínua, resultou na adopção generalizada da corrente alternada, não sem que o debate entre os defensores dos dois tipos de corrente eléctrica atingisse, na época, níveis de grande acrimónia. Uma vez estabelecido o domínio incontestado da corrente alternada, no virar do século, iniciou-se o desenvolvimento continuado das centrais eléctricas e redes de distribuição associadas, implantadas em cada cidade ou centro de consumo e funcionando isoladamente. A etapa seguinte, cujo início se pode situar nos anos 20 (em Portugal nos anos 40), consistiu na construção da rede de transporte em alta e posteriormente, muito alta tensão, ligando todos os centros produtores. Esta rede permitiu o aproveitamento de recursos

1

Nos países da OCDE, a taxa de crescimento anual é actualmente da ordem de 2% (em Portugal, excede

5%)

2

Fundamentos dos Sistemas de Energia Eléctrica

J. Sucena Paiva

energéticos distantes – hidroeléctricos ou carvão à boca da mina – tendo a potência das centrais sido continuamente aumentada, a fim de tirar partido das economias de escala. No tocante à produção térmica, a turbina de vapor emergiu como tecnologia dominante. A Segunda Guerra Mundial provocou uma destruição alargada dos sistemas eléctricos na Europa. Dado o carácter estratégico e a natureza de serviço público do abastecimento de energia eléctrica, em muitos países europeus a tendência no pós-guerra foi a de constituir empresas verticalmente integradas, em muitos casos nacionalizadas 2, assegurando a produção, o transporte e a distribuição. Na década de 60, a tendência para a centralização reforçou-se, cresceram as potências dos centros produtores e surgiram as primeiras centrais nucleares. A taxa de crescimento anual nos países industrializados atingiu 7% – o que significa a duplicação em 10 anos. Chegou-se assim ao modelo tradicional do sector eléctrico, suportado em dois pilares: 1. Grandes centrais eléctricas – com potências instaladas atingindo em alguns casos os milhões de kW – afastadas dos centros de consumo e ligadas a uma rede em corrente alternada com elevada capacidade de transporte; 2. Concessão monopolista para construir, financiar e explorar o sistema.

1.2 Tendências Recentes Este modelo tem, desde o final da década de 70, vindo a ser questionado. A inovação tecnológica está a pôr em causa o primeiro pilar; a inovação institucional está a abalar o segundo. A inovação tecnológica resulta do advento de novas tecnologias de produção, mais eficientes e menos capital intensivas, nomeadamente: a turbina de gás, que possui uma gama alargada de potências (o limite inferior situa-se actualmente nos 20 kW); o ciclo combinado (turbina de gás associada à turbina de vapor), usando gás natural, que permitiu atingir rendimentos superiores a 55% e reduziu substancialmente as economias de escala; a expansão da cogeração (produção combinada de electricidade e calor), que proporciona uma significativa melhoria do aproveitamento da energia primária dos combustíveis e permite descentralizar a produção para junto dos locais de consumo; o apro-

2

Em Portugal, o sector eléctrico só foi totalmente nacionalizado em 1976, tendo sido constituída a EDP-

Electricidade de Portugal , que veio a ser parcialmente privatizada em 1997 e 1998.

J. Sucena Paiva

Introdução

3

veitamento das energias renováveis (eólica, minihídrica, solar), que têm um impacte ambiental insignificante. Num futuro que se antevê próximo, a pilha de combustível, alimentada a gás natural ou hidrogénio, conjugada com a electrónica de energia – que permite um melhor controlo da electricidade em todas as fases do seu ciclo – promete alterações ainda mais radicais. A inovação institucional resulta da vaga de liberalização iniciada nos anos 70, que está a transformar o modelo monopolista (público ou privado) – baseado na lógica do serviço público, assegurado pelos governos – visando alcançar ganhos de eficiência e consequente redução de preços, em benefício dos consumidores. Hoje reconhece-se a bondade do mercado e procura-se introduzir um clima de competição sempre que possível, mesmo em sectores como a electricidade, tradicionalmente considerados monopólios naturais. A exigência de maior transparência nos preços e a eliminação da subsidiação cruzada, põe em causa o modelo dominante de empresa concessionária integrada. Por outro lado, assiste-se a uma crescente pressão para a internalização dos custos ambientais resultantes da produção e consumo da energia eléctrica, tendo a integração da vertente ambiental passado a ser um dos objectivos principais da política energética. Neste contexto, a eficiência energética assume importância crucial, quer a nível da produção quer do consumo. A emissão de dióxido de carbono – resultante da queima dos combustíveis fósseis – para a atmosfera tem sido apontada como responsável pelo aquecimento do planeta, sendo substancial a quota-parte da produção de energia eléctrica neste processo. Acompanhando o movimento de liberalização que se desenvolve à escala global, em Portugal foi em 1995 publicada legislação, que estabeleceu um novo modelo organizacional do sector eléctrico. Esta legislação veio criar as condições para uma progressiva liberalização do sector, com a introdução de competição a nível da produção, possibilidade de acesso de terceiros às redes, criação do Sistema Eléctrico Independente coexistindo com o Sistema Eléctrico de Serviço Público e ainda da Entidade Reguladora do Sector Eléctrico, com um vasto leque de competências. Também a EDP foi reestruturada, tendo sido separadas no plano jurídico as actividades de produção, transporte e distribuição, passo essencial para a criação de um mercado concorrencial. O grupo EDP foi parcialmente privatizado a partir de 1997, sendo a participação actual do Estado de 30% do capital social. Em 2000, a empresa concessionária da rede nacional de

4


J. Sucena Paiva

transporte (REN – Rede Eléctrica Nacional, S.A.) foi autonomizada, face à sua qualidade de monopólio natural, mantendo-se maioritariamente na posse do Estado.

1.3 A Energia Eléctrica no Contexto Energético Na Figura 1.1 apresenta-se a evolução da produção mundial de energia eléctrica 3, expressa em TWh (10 12 kWh) – bem como as respectivas fontes primárias. As taxas de crescimento anual, verificada no período 1971-1997 e prevista para o período 1997-2020 são da de 3,9% e 2,7%, respectivamente.

30.000

25.000

20.000 Outras renováveis Hídrica (inc. mini-hídrica) Nuclear

h W15.000 T

Gás natural Petróleo Carvão

10.000

5.000

0 1971

1997

2010

2020

Figura 1.1 – Produção mundial de energia eléctrica.

Em termos da sua contribuição para o consumo de energia final, a electricidade representava cerca de 17,0% em 1997, prevendo-se que atinja 20,2% no ano 2020, conforme se observa na Figura 1.2.

3

Fonte: International Energy Agency: World Energy Outlook 2000.

J. Sucena Paiva

Introdução

5

100%

80%

Renováveis Calor Electricidade

60%

Gás natural Petróleo Carvão

40%

20%

0% 1971

1997

2010

2020

Figura 1.2 – Consumo mundial de energia final.

Em Portugal (continente), a produção total de energia eléctrica atingiu 45 467GWh em 2001, tendo exibido uma taxa de crescimento anual média de 5,3% no período 1980-2001, a qual se prevê venha a manter-se num patamar superior a 4% até 2010. As fontes primárias a partir das quais foi produzida constam da Figura 1.3. No ano em apreço, no qual o índice de produção hidráulica foi 1,19 (o valor em ano médio é unitário), esta origem representou 30% do total. A produção térmica – carvão, fuel-óleo e gás natural – foi 66%, verificando-se a predominância do carvão (30%) e uma quota já significativa (14%) do gás natural. Finalmente, o contributo das fontes renováveis descentralizadas – biomassa, minihídrica e eólica – foi de 4% 4.

Gás natural 14,2%

Hidrica 29,8%

Fuel-óleo 22,0%

Biomassa e resíduos 2,0% Minihídrica 1,5% Carvão 30,1%

Eólica 0,5%

Figura 1.3 – Produção bruta de energia eléctrica em Portugal, 2001.

4

Incluindo as grandes e médias centrais hídricas, as fontes renováveis representaram 34%.

6


J. Sucena Paiva

A participação da electricidade no consumo de energia final, cifrava-se em cerca de 21%, conforme se observa na Figura 1.4. Neste contexto avulta o consumo de petróleo e seus derivados, representando 66% do total, que resulta essencialmente do sector dos transportes.

Outros(*) 5,9%

Carvão 1,4%

Electricidade 20,7%

Gás natural 6,3%

Petróleo e gás de cidade 65,7%

(*) Lenhas e resíduos, gás de coque e gás de alto forno

Figura 1.4 – Consumo de energia final em Portugal, 2001.

A energia primária destinada à produção de electricidade representou, contudo, 40 % da energia primária total em 1998, ilustrando-se na Figura 1.5 a respectiva repartição por fontes. Esta majoração da parcela referente à electricidade, em termos de energia primária, resulta de o rendimento energético da conversão nas centrais térmicas ser da ordem de 40%5.

Gás natural 11,6%

Hídrica, eólica e geotérmica(*) 32,5%

Petróleo 22,5%

Carvão 30,7%

Outros(**) 2,7%

(*) Energia térmica equivalente (**) Lenhas, resíduos, gás de coque e gás de alto forno

Figura 1.5 – Energia primária destinada à produção de electricidade, 2001.

5

Nas modernas centrais de ciclo combinado, a gás natural, pode atingir 55%.

J. Sucena Paiva

Introdução

7

Na Figura 1.6 apresenta-se a estrutura empresarial do sector eléctrico português (continente) em 2001. A produção total líquida foi de 43 826 GWh, cabendo à EDP 63%, à Tejo Energia6 9%, à Turbogás 7 14%, e a restante (14%) aos produtores independentes em regime especial (PRE)8.

Prod. Reg. Especial 13,9% Cogeração 11,9%

Turbogás 13,6%

Minihídrica Eólica 1,5% 0,5%

Tejo Energia 9,2% EDP-hídrica 30,6%

EDP-térmica 32,7%

Figura 1.6 – Estrutura Empres arial do Sector Eléctrico Português na produção(1998).

A potência instalada total dos grupos geradores do sistema produtor cifrava-se em 10 791 MW, no final de 2001, com a composição que se ilustra na Figura 1.7 – a hídrica (incluindo a minihídrica) representando 41 % e a térmica (incluindo a cogeração) 58%. A produção em regime especial (cogeração, minihídrica e eólica) representava 16% da potência instalada.

6

Detentora da Central do Pego, alimentada a carvão.

7

Detentora da central da Tapada do Outeiro (ciclo combinado), alimentada a gás natural.

8

Produtores descentralizados que utilizam energias renováveis (minihídrica e eólica) ou a cogeração (pro-

dução combinada de energia eléctrica e térmica).

8


J. Sucena Paiva

Prod. Reg. Especial 16,2%

Turbogás 9,2%

Cogeração 13,0%

Minihídrica Eólica 2,1% 1,1%

Tejo Energia 5,4%

EDP-hídrica 38,8% EDP-térmica 30,4%

Figura 1.7 – Potência instalada no sistema produtor, 2001.

A potência de ponta máxima anual em 2001 foi 7443 MW 9, ou seja 69% da potência instalada. Dado que a produção total líquida foi de 43 826 GWh, as utilizações anuais da potência instalada e da ponta anual foram 4061 e 5888 horas, respectivamente – 46% e 67% do número de horas de um ano comum (8760 horas). Observe-se que a energia produzida nas centrais hídricas (bem como nas eólicas) representa uma percentagem inferior à da respectiva potência instalada – confronte-se com a Figura 1.6 – o que resulta de os caudais disponíveis (ou as velocidades do vento) não permitirem o seu funcionamento à plena carga ao longo do ciclo anual. As centrais térmicas (incluindo as de cogeração), em contrapartida, produzem energia em percentagem superior à da potência instalada, uma vez que a sua utilização anual é mais elevada. Na Figura 1.8 mostra-se a evolução da emissão anual de energia eléctricapara a rede pública (continente), que atingiu 40 500 GWh em 2001 10 . Adicionando a energia utilizada para autoconsumo, produzida por produtores independentes (3400 GWh) e deduzindo a energia utilizada em bombagem nas centrais hidroeléctricas (500 GWh), os consumos próprios e as perdas nas redes (3900 GWh) obtém-se o consumo final que, no ano em apreço, se cifrou em 39 500 GWh 11 .

9

Incluindo 300 MW de produção em regime especia l (valor estima do).

10

Fonte: R.E.N.–Rede Eléctrica Nacional: Relatório e Contas 2001.

11

Cerca de 4000 kWh por habitante.

J. Sucena Paiva

Introdução

9

45.000 40.000 35.000 30.000 Saldo import. PRE Turbogás Tejo Energia EDP-térmica EDP-hídrica

25.000 h W20.000 G

15.000 10.000 5.000 0 1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

-5.000

Figura 1.8 – Emissão anual de energia eléctrica para a rede, 1992-2001.

1.4 O Sistema de Energia Eléctrica No modelo tradicional dos sistemas de energia eléctrica, os centros produtores de energia eléctrica, de grande porte, não estão localizados na proximidade dos consumidores, por razões técnicas e económicas, nomeadamente, disponibilidade do recurso energético primário e restrições na sua localização. Para estabelecer a ligação entre uns e outros, são necessárias redes de transporte e distribuição, com diversos níveis de tensão, conforme se apresenta, a título exemplificativo, na Figura 1.9.

Figura 1.9 – Sistema de Energia Eléctrica.

10


J. Sucena Paiva

Os ramos de uma rede de energia eléctrica são constituídos por linhas e transformadores, que se ligam entre barramentos. Estes corporizam os nós da rede, aos quais se ligam os geradores e as cargas. Os centros produtores de grande porte, constituídos por vários geradores cada, ligam-se à rede de transporte, em muito alta tensão; a produção descentralizada, à rede de distribuição em alta ou média tensão. Os transformadores e barramentos, bem como a aparelhagem de manobra (disjuntores, seccionadores) estão localizados em instalações designadas subestações (ou postos de transformação). Além destes destes elemen elementos, tos, percor percorridos ridos por corren correntes tes elevadas elevadas,, as subesta subestações ções são dotada dotadass de equipamento de medida e contagem bem como de controlo, regulação e protecção. A gestão global global da produção produção e do transporte transporte é assegurad assegurada a por sofisticados sofisticados sistemas sistemas de supervisão e controlo em tempo real, apoiados em potentes computadores e telecomunicações avançadas. O Sistema de Energia Eléctrica funciona continuamente, desempenhando uma função vital para a sociedade moderna, dependente em alto grau da energia eléctrica para a satisfação das suas necessidades nos domínios económico e social. Um SEE bem concebido deve satisfazer os seguintes requisitos:

• A energia eléctrica deve ser fornecida em qualquer local onde seja solicitada; • A produção deve em cada instante igualar exactamente o consumo (ao qual se adicionam as perdas), uma vez que a energia eléctrica não pode ser armazenada;

• A energia eléctrica deve obedecer a critérios de qualidade bem definidos: frequência constante; tensão dentro de limites estreitos; forma de onda sinusoidal; fiabilidade elevada;

• Os custos de produção da energia fornecida devem ser minimizados; • O impacto ambiental da produção da energia eléctrica deve ser limitado.

1.5 Classificação das Redes Eléctricas Entre os diferentes critérios possíveis de classificação das redes eléctricas, apresentamse três, cujo interesse i nteresse é evidente.

J. Sucena Paiva

Introdução

11

O primeiro diz respeito à tensão nominal (ou de serviço), que é a grandeza que determina a capacidade de transporte e fixa as dimensões das linhas e da aparelhagem das subestações. O segundo, que é o mais importante, prende-se com a função que o sistema deve assegurar. O terceiro está ligado com a topologia da rede, fixando o seu modo de exploração normal, e as possibilidades de socorro em caso de falha.

1.5.1 1.5 .1

Nível de Tensão

A tensão tensão nomina nominall de uma uma rede rede eléctr eléctrica ica pode pode variar variar das deze dezenas nas de de Volt Volt até ao ao milhão milhão de Volt, distinguindo-se as classes seguintes:

• Baixa Tensão (BT), (BT), abaixo de 1000 V. Como valores típicos, tem-se 400/231 V (trifásica, fase-fase e fase-neutro) na Europa e 240/120 V (monofásica) nos EUA.

• Média Tensão (MT), (MT) , entre 1 e 45 kV. Nas redes de distribuição urbana ou rural usam-se, em Portugal, 10, 15 e 30 kV (em outros países europeus é também comum a tensão de 20 kV); em redes industriais usa-se ainda a tensão de 6 kV.

• Alta Tensão Tensão (AT) (AT),, entre 45 e 110 kV. Neste nível, utiliza-se, em Portugal, a tensão de 60 kV, por vezes designada de repartição ou grande distribuição.

• Muito Alta Tensão (MAT), (MAT) , acima de 110 kV. Este nível de tensão é usado nas redes de transporte, sendo usados em Portugal 150, 220 e 400 kV (os dois últimos níveis são correntes em toda a Europa). Nos E.U.A usamse 230, 345, 500 e 765 kV.

1.5.2

Função

As funções funções especificas especificas das das redes eléctricas permitem classificá-las classificá-las em:

12


J. Sucena Paiva

• Redes de distribuição A função destas redes é levar a energia até junto dos consumidores, domésticos ou industriais, para o que se usam três níveis de tensão: a baixa tensão, à qual estão directamente ligados os aparelhos; a média tensão, que alimenta os postos de transformação; a alta tensão, que fornece energia às subestações. Estas redes também recebem a energia produzida pelos produtores independentes, que usam fontes renováveis (minihídrica, eólica, solar) ou cogeração.

• Redes de transporte Estas redes, em muito alta tensão, cobrem um espaço geográfico alargado (por exemplo, um país), assegurando o transito de elevados volumes de energia, entregue pelos grandes centros produtores, até às subestações de interface com as redes de distribuição.

• Redes de interligação Este tipo de redes assegura a ligação entre redes de transporte (eventualmente de distribuição), exploradas por empresas distintas cobrindo, por exemplo, dois países ou regiões vizinhas. Todas as redes europeias funcionam interligadas em 220 e 400 kV com uma frequência comum de 50 Hz, situação que apresenta diversas vantagens. Por um lado melhora a segurança das redes interligadas, por via do socorro recíproco em caso de perda de unidades geradoras. Por outro lado, melhoram a economia da exploração, pois permitem aproveitar a energia produzida a preços mais baixos em ambas as redes, tirando partido da diversidade de ocorrência das cargas e, além disso, reduzir o número de unidades de reserva, quer estática quer girante.

1.5.3

Estrutura Topológica

Um aspecto de importância fundamental na exploração dos SEE é o da respectiva fiabilidade. Os elementos das redes estão naturalmente sujeitos a avarias, que originam interrupções no fornecimento de energia, se não houver redundância. Esta implica aumento dos custos de investimento, havendo que estabelecer um compromisso entre estes custos e os benefícios que acarretam, o qual se reflecte na estrutura topológica da rede.

J. Sucena Paiva

~

Introdução

~

~

~

13

~

a

b

c

Figura 1.10 – Estrutura topológica: a) Rede radial; c) Rede malhada; c) Rede malhada (anel) com exploração radial.

Na Figura 1.10 mostram-se as estruturas topológicas usuais:

• Rede radial Uma rede radial é constituída, a partir de um ponto de alimentação, por linhas que se vão ramificando sem jamais se encontrarem num ponto comum (Figura 1.10a). Correspondem à menor fiabilidade e também ao menor custo, sendo tipicamente usadas na distribuição. Se não existir produção a elas ligada, o sentido do transito de energia é do ponto de alimentação para a carga.

• Rede malhada Com este tipo de rede todos os consumidores podem ser alimentados por várias linhas, que são ligadas de forma a constituírem malhas fechadas (Figura 1.10b). Os geradores estão ligados de forma que o trânsito de energia até aos consumidores se pode fazer por vários percursos. Todas as linhas devem estar dimensionadas para transmitirem a potência necessária em caso de avaria de outra linha (designado critério de segurança n -1). Estas redes asseguram uma maior fiabilidade, naturalmente, com um custo mais elevado, usando-se obrigatoriamente para as redes de transporte.

• Rede malhada (anel) com exploração radial Nas redes de distribuição em áreas urbanas com elevada densidade de carga pode usarse uma estrutura malhada (anel) com exploração radial, para o que se utilizam interruptores normalmente abertos, que podem ser fechados em caso de indisponibilidade de um troço de linha por forma a assegurar a continuidade do serviço (Figura 1.10c).

14


J. Sucena Paiva

1.6 A Rede Eléctrica Portuguesa A rede eléctrica é uma infraestrutura fundamental ao funcionamento de uma sociedade moderna, que requer um elevado investimento e uma engenharia sofisticada na sua construção e operação. A Figura 1.11 ilustra a rede nacional de transporte em muito alta tensão (150, 220 e 400 kV), detida e operada pela REN-Rede Eléctrica Nacional, S.A., com cerca de 6 200 km de linhas, cobrindo a totalidade do território continental e 125 transformadores com uma potência total de 17 000 MVA. As redes de distribuição – operadas pela EDP-Distribuição – compreendem 6 600, 48 700 e 90 300 km de linhas aéreas em alta (60 kV), média (10, 15 e 30 kV) e baixa tensão, bem como 360, 9 300 e 21 700 km de cabos subterrâneos nas três classes de tensão, respectivamente. O número de postos de transformação atinge 44 638 com uma potência total instalada de 11 663 MVA.

1.7 Sumário Neste capítulo fez-se uma breve referência à evolução histórica da energia eléctrica, desde o início do seu uso há mais de um século, bem como às mais recentes tendências de evolução, impulsionada pela inovação tecnológica e institucional. Ilustrou-se a posição da electricidade no contexto energético, quadro no qual representa cerca de 20% do consumo de energia final e 40% da energia primária, com tendência crescente. Apresentou-se a estrutura do Sistema de Energia Eléctrica bem como os seus principais componentes – as centrais, as linhas de transporte e distribuição, os transformadores, as instalações de consumo e os sistemas de supervisão, controlo e protecção – e especificaram-se os exigentes requisitos que deve satisfazer. Propôs-se ainda uma classificação das redes eléctricas segundo três critérios: tensão, função e topologia. Finalmente, ilustrou-se o traçado da rede eléctrica portuguesa de transporte em muito alta tensão e indicaram-se alguns elementos quantitativos desta infraestrutura.

J. Sucena Paiva

Introdução

Figura 1.11 – Rede nacional de transporte em muito alta tensão (REN, S.A.).

15

CA PÍTU L O 2

CONCEITOS BÁSICOS Neste capítulo apresentam-se alguns conceitos básicos necessários à modelação e análise de Sistemas de Energia Eléctrica (SEE), admitindo-se que o leitor já está familiarizado com os fundamentos da teoria dos circuitos e das redes eléctricas. Os conceitos fundamentais de energia e potência são ilustrados com recurso a um diagrama de carga do sistema eléctrico português. Em sistemas de corrente alternada, a potência tem de ser qualificada, definido-se as diversas modalidades: activa, reactiva, complexa e aparente. Dado que a energia eléctrica é produzida, transportada e distribuída em corrente alternada trifásica, este tipo de sistema eléctrico é abordado de seguida. Refere-se o uso do esquema monofásico equivalente e do esquema unifilar para representar o sistema trifásico simétrico, e classificam-se as redes eléctricas segundo a tensão, a função e a estrutura topológica. O uso do sistema por unidade para exprimir as grandezas eléctricas de forma adimensional é hoje universal, pelas vantagens que a prática evidenciou. Trata-se assim de um tópico que o engenheiro de sistemas de energia deve dominar perfeitamente, e que será utilizado ao longo de todo este livro. Numa rede síncrona em corrente alternada, a transmissão de energia é condicionada por diversos factores, os quais são identificados e analisados. A título comparativo, aborda-se também a transferência de energia em corrente contínua.

2.1 Energia e Potência. Diagrama de Carga. Um Sistema de Energia Eléctrica fornece energia aos consumidores que a utilizam, assegurando o nível de potência que estes requerem para alimentar o conjunto dos equipamentos ligados – a carga do sistema. A energia e a potência são contabilizados separa-

18


J. Sucena Paiva

damente na factura de electricidade, já que os custos associados a uma e outra são diferentes. A relação básica entre energia e potência exprime-se matematicamente por: P =

d E d t

(2.1)

onde E denota a energia, P a potência e t o tempo. Sendo a potência a derivada da energia em ordem ao tempo, tem-se inversamente:

∫

E = P d t

(2.2)

Em unidades do Sistema Internacional, a energia exprime-se em Joule (J) e a potência em Watt (W). Estas unidades correspondem a quantidades muito pequenas, face às que estão em jogo nos sistemas de energia eléctrica, pelo que se usam de preferência os respectivos múltiplos. Assim, para a potência usam-se Kilowatt (1kW=10 3 W), Megawatt (1 MW=106 W), Gigawatt (1 GW=10 9 W) e Terawatt (1 TW=10 12 W). Para a energia, a unidade utilizada na prática é Watt.hora (1 Wh=3 600 J) e os seus múltiplos: kWh, MWh, GWh e TWh. A carga de um SEE varia significativamente ao longo do dia, acompanhando a actividade humana. Na Figura 2.1 apresenta-se o diagrama de carga do Sistema Eléctrico nacional visto de rede de transporte, no dia 5/1/2000, em que se verificou uma potência máxima ( ponta) de 6287 MW, às 19.00 horas, e um consumo de energia de 117 GWh (área sombreada). Para um diagrama de carga, define-se utilização diária da ponta como a relação entre a energia e a potência máxima; e factor de carga diário como a relação entre a potência média e a potência máxima. Estas grandezas também podem ser definidas para outros períodos de tempo, por exemplo, o ano: utilização anual da ponta e factor de carga anual .

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Conceitos Básicos

19

4ªfeira 5/1/2000 7000

Pmax=6287 MW

6000 5000 4000

W M

3000

E=117 GWh

2000 1000 0

0

2

4

6

8

10

12 14 Horas

16

18

20

22

24

Figura 2.1 – Diagrama de carga visto da rede de transporte, 5/1/2000.

2.2 Potência em Sistemas de Energia Eléctrica Os sistemas de energia eléctrica actualmente existentes funcionam, na sua quase totalidade, em corrente alternada – com uma frequência de 50 Hz na Europa de 60 Hz nos EUA12 – existindo contudo casos especiais em que se utiliza a corrente contínua.

2.2.1

Potência Activa e Reactiva

Considere-se um sistema monofásico de corrente alternada representado na Figura 2.2, constituído por um gerador e uma carga. Admite-se que o gerador aplica uma tensão v à carga, representada por uma impedância constante Z . i

e

+

~

v

Z

-

Figura 2.2 – Sistema monofásico em corrente alternada.

12

Em alguns países – nomeadamente o Japão – coexistem as duas frequências.

20


J. Sucena Paiva

Admita-se que os valores instantâneos da tensão v e da corrente i são sinusoidais, com valores eficazes V e I , respectivamente, e frequência angular ω: v = 2 V sen ω t

(2.3)

i = 2 I sen ( ω t − φ )

(2.4)

ω

= 2 π f

(2.5)

onde f é a frequência, e φ o ângulo de desfasagem entre a tensão e a corrente, considerado positivo quando a carga é indutiva. A potência instantânea p transferida do gerador para a carga é o produto da tensão v pela corrente i : p = v i = 2 V I sen ω t sen (ω t − φ ) = V I cos φ − V I cos (2 ω t − φ )

(2.6)

Estas grandezas estão representadas na Figura 2.3a. A equação anterior pode ser transformada em: 2 ω t ) − V I sen φ sen 2 ω t (12−4cos p = V I cos φ4 144 4 4 4 4 3 144 4 244 4 3 p1 p2

A representação gráfica de p e das componentes p1 e p2 consta da Figura 2.3b. p v

i

VI cosφ ωt

p p1

p2

P=VI cosφ ωt Q=VI sen φ

Figura 2.3 – Tensão, corrente e potência num circuito monofásico.

(2.7)

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Conceitos Básicos

21

A componente p1 oscila em torno do valor médio V I cos φ com frequência angular 2 ω, nunca mudando de sinal. A componente p2 oscila com idêntica frequência, possui um valor médio nulo e um valor máximo V I sen φ . Definam-se agora as grandezas: •

•

Potência activa P = V I cos φ

(2.8)

Q = V I sen φ

(2.9)

p = P (1 − cos 2 ω t ) − Q sen 2 ω t

(2.10)

Potência reactiva

Então, a equação (2.7) escreve-se:

A grandeza cos φ designa-se por factor de potência. A potência activa P é o valor médio da potência instantânea e corresponde por conseguinte à potência que é efectivamente transferida. A potência reactiva Q é o valor máximo da componente da potência que oscila entre o gerador e carga, cujo valor médio é nulo, resultante da variação da energia magnética ou eléctrica armazenada nos elementos indutivos ou capacitivos, respectivamente, da impedância de carga. A unidade de potência é, como já referido, o Watt=Volt.Ampere. Na prática dos SEE, no entanto, distinguem-se as unidades de potência activa e de potência reactiva. Para a primeira, reserva-se o Watt (W) e seus múltiplos (kW, MW, GW, TW); para a segunda usase o Volt.Ampere reactivo (VAr) e seus múltiplos (kVAr, MVAr, GVAr, TVAr). Regressando às equações (2.8) e (2.9) e notando que φ pode variar de + π /2 (carga indutiva pura) a – π /2 (carga capacitiva pura) verifica-se que, enquanto P é sempre positivo, Q pode ser positivo ou negativo. Será positivo se a carga for indutiva ( φ >0), negativo se a carga for capacitiva ( φ <0) e nulo se a carga for resistiva ( φ =0). Na prática dos SEE diz-se, convencionalmente, que uma carga indutiva absorve potência reactiva e uma carga capacitiva gera potência reactiva.

22


2.2.2

Potência Complexa e Aparente

J. Sucena Paiva

Usando a notação simbólica, a tensão e a corrente escrevem-se (admitindo argumentos arbitrário δ e β para a tensão e corrente, respectivamente) 13 : V = V e j δ

(2.11)

I = I e j β

(2.12)

O diagrama de fasores correspondente está representado na Figura 2.4. Im

V

δ

φ β

I

Re

Figura 2.4 – Diagrama de fasores para a tensão e a corrente.

A potência complexa S é definida pelo produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente S = V I ∗

(2.13)

Substituindo as equações (2.11) e (2.12) em (2.13) obtém-se: I e − j β = V I e j ( δ −β ) = V I e j φ = V I cos φ + j V I sen φ

S = V e j δ

(2.14)

Atendendo à definição de potência activa e reactiva, tem-se: S =

P + j Q

(2.15)

A potência complexa S é, assim, uma grandeza complexa cuja parte real é a potência activa P e cuja parte imaginária é a potência reactiva Q.

13

Os fasores (grandezas complexas) são representados em tipo carregado; os respectivos módulos (bem

como outras grandezas reais) em tipo normal.

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Conceitos Básicos

23

O módulo da potência complexa é a potência aparente, ou seja, o produto dos módulos da tensão e da corrente: S = P 2 + Q 2 = V I

(2.16)

A potência aparente exprime-se em VA (Volt.Ampere) e nos seus múltiplos kVA, MVA, GVA e TVA. O factor de potência já atrás referido corresponde ao quociente entre a potência activa e a potência aparente. Se relacionarmos a tensão e a corrente por meio da impedância de carga Z (ou admitância Y =1/ Z ), obtemos expressões alternativas para a potência complexa. Com efeito: V = Z

(2.17)

I = Y V

(2.18)

Substituindo na equação (2.13): ∗

∗

S = V Y V

S = Z I I ∗

= Y ∗ V 2

(2.19)

= Z I 2

(2.20)

Admitindo que a carga é constituída por uma resistência R em paralelo com uma reactância X , por aplicação da equação (2.19) os valores das potências activa e reactiva consumidas são: V 2 R

(2.21)

V 2 Q= X

(2.22)

P =

Admitindo que a carga é um condensador de capacidade C , a utilização da equação (2.19) fornece o valor da potência reactiva gerada: Q = −ω C V 2

(2.23)

Se a carga for constituída por uma resistência R em série com uma reactância X , a aplicação da equação (2.20) conduz aos valores das potência activa e reactiva consumidas:

24


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P = R I 2

(2.24)

Q = X I 2

(2.25)

Se, ao invés, forem conhecidas as potência activa e reactiva de carga para um dado valor da tensão ou da corrente, as equações (2.19) e (2.20) permitem calcular o valor da admitância ou impedância correspondente, respectivamente: Y =

Z =

∗

S

P − j Q V 2

(2.26)

P j Q = +2

(2.27)

= 2

V

S 2

I

I

2.3 Sistema Eléctrico Trifásico 2.3.1

Tensão e Corrente

A energia eléctrica é produzida, transportada e distribuída em sistemas eléctricos trifásicos. As máquinas trifásicas – geradores e transformadores – fazem um melhor uso dos materiais – cobre e ferro – o que reduz as dimensões e o peso, conduzindo a uma relação custo/potência menor. As linhas eléctricas trifásicas de alta ou média tensão são constituídas apenas por três condutores, não sendo necessário o neutro, uma vez que o retorno da corrente numa fase é assegurado pelas outras. Daqui resulta uma economia significativa, se compararmos uma linha trifásica com três linhas monofásicas, transferindo a mesma potência. Como vimos na secção anterior, a potência eléctrica num sistema monofásico tem natureza oscilante, o que não sucede em sistemas trifásicos, como se mostrará à frente. Esta característica, se não tem inconvenientes em muitas aplicações, como sejam aquecedores, aparelhos de iluminação ou equipamento electrónico, é indesejável em motores eléctricos – que constituem a parcela mais significativa da carga ligada à rede – por conduzir a um binário motor também oscilante. Um gerador trifásico com os enrolamentos ligados em estrela – Figura 2.5a – produz três forças electromotrizes (tensões em vazio) com frequência angular

ω

= 2 π f , iguais em

módulo e desfasadas de 2π /3 (=120º) – Figura 2.5b – na qual as três fases são designa-

J. Sucena Paiva

Conceitos Básicos

25

das por a, b e c (a fase a, dita de referência, possui argumento nulo). O diagrama de fasores correspondente está representado na Figura 2.5c.

-

-

ea

~ eb

~ ec

~

+

+

a

ea

eb

Ec

ec

b

o

120 2π

+

c

ωt

ωt

120

Ea

120

Eb n

a

b

c

Figura 2.5 – Gerador trifásico: a) Esquema equivalente; b) Variação no tempo das f.e.m.; c) Diagrama de fasores.

A sequência de fases é tal que a fase b está em atraso em relação à fase a e a fase c em atraso em relação à fase b. Esta sequência é importante em algumas aplicações: num motor eléctrico, ela determina o sentido de rotação. Na Figura 2.6 representa-se um sistema de corrente alternada trifás ica constituido por um gerador e uma carga simétrica, representada por uma impedância igual em cada uma das fases. Admitiu-se que, como é normal, o ponto neutro n está ligado à terra. ea

-

~

-

eb

~ ec

~

+

a

i a

Z

+

b

i b

Z

+

c

i c

Z

v c v b v a n

Figura 2.6 – Sistema trifásico simétrico.

As três tensões simples ou fase-neutro são:

26


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v a = 2 V sen ω t v b = 2 V sen ( ω t − 2 π 3 )

(2.28)

v c = 2 V sen ( ω t + 2 π 3 )

onde V é o valor eficaz . Em notação simbólica: V a = V e j 0 V b = V e − j 2π V c = V e

3

(2.29)

j 2π 3

Num sistema trifásico, o valor nominal é definido para as tensões fase-fase (ou tensões entre fases ou tensões compostas,) representadas na Figura 2.7: V ab = V a − V b V b c = V b − V c

(2.30)

V ca = V c − V a Vca Vc

Ic

φ Va

φ Ia Ib

30

o

Vab

φ

Vb Vbc

Figura 2.7 – Fasores de tensão (simples e composta) num sistema trifásico simétrico.

O valor eficaz das tensões fase-fase é: V c = V ab = V bc = V ca = 2V cos π 6

= 3 V

(2.31)

Sendo a carga simétrica, as correntes nas três fases escrevem-se: i a = 2 I sen ( ω t − φ ) i b = 2 I sen ( ω t − 2 π 3 − φ ) i c = 2 I sen ( ω t + 2 π 3 − φ )

(2.32)

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Conceitos Básicos

27

A soma das correntes nas três fases é nula, logo não é necessário um condutor ligando o neutro do gerador com o da carga. Os dois neutros estão ao potencial da terra, quer no gerador quer na carga, ainda que porventura não estejam fisicamente ligados a ela. Num sistema trifásico simétrico, todas as tensões simples podem ser medidas em relação a um neutro, que tem o mesmo potencial – zero – ao longo de todo o sistema.

2.3.2


A potência transferida do gerador para a carga será: p = v a i a + v b i b + v c i c

(2.33)

Substituindo as equações (2.28) e (2.32) na equação (2.33), após alguma manipulação, vem: p = 3 V I cos φ

(2.34)

A potência trifásica instantânea é portanto constante e igual a três vezes a potência activa por fase. Em termos da tensão entre fases – equação (2.31) – a potência activa trifásica escreve-se: P = 3 V c I cos φ

(2.35)

Em face deste resultado poder-se-ia supor que a potência reactiva é irrelevante num sistema trifásico, o que não é o caso. Em cada uma das fases, a potência é do tipo descrito pela equação (2.10) sendo nula a soma das respectivas componentes oscilatórias, tal como se verifica para as correntes. A potência reactiva trifásica é definida como a soma algébrica das potências reactivas em cada fase, ou seja: Q = 3 V I sen φ

= 3 V c I sen φ

(2.36)

As potências complexa e aparente para sistemas trifásicos são calculadas, respectivamente, por: S = 3 V I ∗

= 3 V c I cos φ + j 3 V c I sen φ = P + j Q

(2.37)

28


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S = 3 V c I = P 2 + Q 2

2.3.3

(2.38)

Carga Ligada em Triângulo

A carga trifásica representada na Figura 2.6 está ligada em estrela, ou seja, a tensão aplicada a cada impedância de carga Z é a tensão fase-neutro. Outra forma de ligar a carga é em triângulo, como se mostra na Figura 2.8 (o gerador não está representado), situação em que cada impedância de carga Z ∆ está sujeita à tensão entre fases. i a

a v ab

I ab

i b

v ca b

c

Z ∆

I bc v bc ic

Z ∆ Z ∆

I ca

Figura 2.8 – Carga ligada em triângulo.

As correntes I ab e I ca são: I ab

= V ab

(2.39)

I ca

= V ca

(2.40)

Z ∆

Z ∆

A corrente na linha I a é, por conseguinte: I a

3 = V ab − V ca = V a Z ∆

Z ∆

(2.41)

Admitindo Z ∆=Z , a amplitude da corrente I a é três vezes maior que na ligação da carga em estrela, e o ângulo de desfasagem é idêntico. A potência absorvida pela carga ligada em triângulo é então três vezes maior que a correspondente à ligação em estrela, para o mesmo valor da impedância de carga.

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Conceitos Básicos

29

2.4 Representação do Sistema de Energia Devido à simetria existente nas três fases num sistema trifásico equilibrado, é suficiente determinar a tensão, a corrente e a potência na fase de referência. Nas outras duas fases afectam-se as grandezas eléctricas (tensões e correntes) por uma desfasagem de ±120º. É assim suficiente o uso de um esquema monofásico equivalente – no qual se representa uma fase e o neutro – para analisar o sistema. O esquema (ou diagrama) unifilar constitui uma representação ainda mais simples do sistema de energia eléctrica. Ainda que a rede seja trifásica (excepto nos troços finais em baixa tensão, que podem ser monofásicos ou trifásicos), usa-se apenas um traço para representar os respectivos elementos – donde a designação de esquema unifilar. Omitese a representação do neutro por não conter informação relevante, pelo menos para o cálculo em regime estacionário. No esquema unifilar usam-se símbolos normalizados: o gerador é representado por um círculo contendo um til (que indica corrente alternada 14 ); o símbolo do transformador é constituído por dois círculos parcialmente sobrepostos, que correspondem aos dois enrolamentos; uma linha é representada simplesmente por uma recta entre dois barramentos; o símbolo de carga é uma seta que indicia o fornecimento de energia aos consumidores ligados a um barramento. Na Figura 2.9 representa-se a título de exemplo um sistema simples constituído por um gerador alimentando uma carga através de uma linha terminada por um transformador, usando um esquema unifilar para representar os diversos componentes. Os barramentos são os elementos físicos que correspondem aos nós da rede. Transformador Linha

~ Gerador

Transformador

Barramento

Carga

Figura 2.9 – Gerador alimentando uma carga através de uma linha e dois transformadores.

14

Para corrente contínua, usa-se o sinal de igual (=).

30


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2.5 Valores por Unidade Na análise dos SEE, em vez de quantificar as grandezas eléctricas (impedâncias, admitâncias, correntes, tensões e potências) nas respectivas unidades, é preferível exprimi-las como fracções (designadas valores p.u.) de valores de referência (designados valores de base), tais como valores nominais ou de plena carga. O uso de valores p.u. possui vantagens significativas, nomeadamente:

• Os SEE contêm numerosos transformadores, que complicam apreciavelmente a análise. Os valores p.u. permitem eliminar do modelo do transformador a parte referente à relação de transformação (ou seja, o transformador ideal);

• A existência de transformadores implica a partição do SEE em áreas com diferentes níveis de tensão. Uma tensão expressa em por unidade – por exemplo 0,95 p.u. ou 1,08 p.u. – indica imediatamente que ela está 5% abaixo ou 8% acima do valor nominal (tomado como referência), que é 1,0 p.u.;

• Os parâmetros característicos dos componentes do SEE, que variam substancialmente em dimensão, expressos em p.u., caem dentro de determinadas gamas de valores, que se podem identificar como normais, o que facilita a detecção de erros;

• O uso do factor 3 em sistemas trifásicos é consideravelmente reduzido; • Os valores p.u. situam-se frequentemente em torno da unidade, valor próximo do óptimo para o cálculo digital e para a apresentação de dados. O valor p.u. de uma grandeza obtém-se pela fórmula básica: valor p.u. =

valor da grandeza valor de base

(2.42)

O valor da grandeza pode ser uma quantidade expressa em unidades do Sistema Internacional, um fasor ou número complexo referente a um circuito de corrente alternada ou um valor instantâneo. O valor de base é um número real, escolhido de forma a obter as vantagens do sistema p.u.. O valor p.u. é uma quantidade adimensional, um fasor ou número complexo, ou um valor instantâneo. O valor de base pode ser de dois tipos:

• Base postulada;

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Conceitos Básicos

31

• Base derivada. 2.5.1

Sistemas Monofásicos

Em SEE de corrente alternada monofásica, postula-se:

• Base de tensão ( kV)

V b

• Base de potência (MVA)

Sb

Os valores de base derivados são:

•

Base de corrente (kA )

I b =

•

•

Sb V b

(2.43)

Base de impedância (Ω) V b V b2 Z b = = I b Sb

(2.44)

I b S b = V b V b2

(2.45)

Base de admitância (S) Y b =

Em valores p.u., obtém-se então: V pu

=

I pu

S pu

=

S

Sb

Z pu

=

=

V

=

I

V b I b

Z b

(2.47)

Ib

V I *

Z

(2.46)

V b

= V pu Sb V b2

= Z

∗ I pu

(2.48)

(2.49)

32


J. Sucena Paiva

V b2 = Y Y pu = Y b Sb

(2.50)

Y

Por vezes é necessário converter uma impedância ou uma admitância expressa em p.u. numa dada base (designada por ‘) para outra base (designada por ‘’). Atendendo às equações (2.49) e (2.50), é fácil verificar que: 2

2.5.2

Sb' ' V b' ′ ′ ′ Z pu = Z pu Sb' V b' ' 2

(2.51)

Sb′ V b′ 2 ′′ = Y pu′ Y pu Sb′′ V b′2

(2.52)

Sistemas Trifásicos

Para sistemas trifásicos, toma-se para base a potência trifásica e a tensão entre fases: Sb = 3 V b I b

(2.53)

Daqui resulta, para a corrente de base: Sb 3 V b

I b =

(2.54)

A impedância de base é dada pela equação: V b V b V b2 Z b = = = Sb Sb 3 I b 3 3 V b

(2.55)

que é idêntica à equação (2.41). A tensão e corrente em p.u. exprimem-se por: V pu

=

I pu

e a potência complexa por:

3 V V b

=

I

I b

(2.56)

(2.57)

J. Sucena Paiva

Conceitos Básicos

3 V I ∗ 3 3 V I ∗ ∗ = = = V pu I pu S pu = Sb 3 V b I b 3 V b I b S

33

(2.58)

Note-se que, usando valores p.u., esta equação coincide com a que se aplica a um sistema monofásico. Quanto à impedância e admitância também se mantêm as equações (2.49) e (2.50).

2.6 Transmissão de Energia 2.6.1

Em Corrente Alternada

Considere-se o circuito da Figura 2.10, que representa o esquema monofásico equivalente de uma linha de transmissão de energia ligada entre os nós 1 e 2 – a qual numa primeira aproximação se modela por um elemento indutivo com reactância X .

I

jX S 21

S 12 V 1

V 2

Figura 2.10 – Transmissão de energia através de um elemento indutivo.

Pretende-se estabelecer a relação entre as potências activa e reactiva que transitam na linha e as tensões nos nós entre os quais ela está ligada. A corrente que percorre a linha, definida como positiva quando flui do barramento 1 para o 2 , é dada por: I =

V 1 − V 2

j X

(2.59)

A potência complexa na emissão S 12 , convencionalmente positiva no sentido 1 →2, será: ∗

∗

V 12 − V 1 V 2 * S = 12 = V 1 I = V 1 − j X − j X ∗

V 1 − V 2

(2.60)

34


J. Sucena Paiva

Uma vez que: e j δ1

(2.61)

V 2 = V 2 e j δ2

(2.62)

V 1 = V 1

resulta: j ( δ1 −δ 2 )

V 1 V 2 = V 1 V 2 e *

j δ

= V 1 V 2 e onde

δ

(2.63)

= δ 1 − δ 2 é o ângulo de desfasagem entre as tensões no nó 1 (emissor) e no nó 2

(receptor). Substituindo a equação (2.60) na equação (2.57), obtém-se: V 12 − V 1 V 2 (cos δ + j sen δ ) S 12 = j X V V sen δ V 2 − V V cos δ = 1 2 + j 1 1 2 X X

(2.64)

As potências activa e reactiva na emissão são então dadas por: P 12 =

V 1 V 2 sen δ X

V 12 − V 1 V 2 cos δ Q12 = X

(2.65)

(2.66)

De forma análoga se deduzem as potências activa e reactiva na recepção, convencionalmente positivas no sentido 2 →1, obtendo-se: P 21 = −

Q 21

V 1 V 2 sen δ X

V 2 2 − V 1 V 2 cos δ = X

(2.67)

(2.68)

Somando as equações (2.62) e (2.63) com (2.64) e (2.65), respectivamente, obtém-se: P L = P 12 + P 21 = 0

(2.69)

V 12 + V 2 2 − 2 V 1 V 2 cos δ Q L = Q12 + Q21 = X

(2.70)

J. Sucena Paiva

Conceitos Básicos

35

P L e QL são respectivamente as perdas de potência activa e reactiva na linha. Dado que desprezamos a resistência, as perdas de potência activa são nulas. As perdas de potência reactiva não correspondem na realidade a perdas energéticas, dada a natureza deste tipo de potência. Contudo, o balanço de potência reactiva tem de ser fechado, tal como o de activa. A equação (2.65) indica que o sentido do trânsito de potência activa é essencialmente determinado pelo ângulo de desfasagem δ entre as tensões nos barramentos de emissão e de recepção: se δ >0, ou seja, se a tensão na emissão estiver em avanço em relação à tensão na recepção, o trânsito é no sentido 1 →2; se δ <0, o trânsito é no sentido 2 →1. As amplitudes das tensões V 1 e V 2 não determinam o sentido do trânsito de potência activa. Em contrapartida, influenciam o sentido do trânsito de potência reactiva, cujo valor médio, usando as equações (2.63) e (2.65), é: Q med

Q12 − Q 21 V 12 − V 2 2 = = 2 2 X

(2.71)

Verifica-se assim que, se V 1 >V 2 , o trânsito de potência reactiva é no sentido 1 →2; se V 1
(2.72)

Embora a potência média seja nula, o mesmo não se passa com a potência reactiva nos extremos, que as equações (2.66) e (2.68) mostram ser iguais: V n2 ( 1 − cos δ ) Q12 = Q 21 = X

(2.73)

Então, a respectiva soma corresponde às perdas de potência reactiva, que é consumida na reactância da linha: 2 V n2 ( 1 − cos δ ) QL = X

(2.74)

O valor das perdas de potência reactiva pode em alternativa ser calculado pela equação (2.25). Sendo a amplitude da corrente no circuito dado por: I =

V 1 − V 2

X

= V n e j δ1 − e j δ 2 = V n [2 (1 − cos δ )]1/ 2 X

X

(2.75)

36


J. Sucena Paiva

obtém-se: 2V n2 (1 − cos δ ) Q L = I X = X 2

2.6.2

(2.76)

Em Corrente Contínua

A corrente contínua tem aplicação em casos específicos, nomeadamente, o transporte a longa distância e a interligação assíncrona de redes (que podem mesmo ter frequências diferentes). Uma linha em corrente contínua, em regime estacionário, é simplesmente caracterizada pela sua resistência R não tendo aplicação os conceitos de reactância e de potência reactiva. Então, se as tensões nos extremos emissor e receptor forem V 1 e V 2 , respectivamente, a corrente na linha é dada por: I =

V 1 − V 2 R

(2.77)

As potências nos dois extremos são: V 12 − V 1V 2 P 12 = V 1 I = R P 21 = −V 2 I =

V 2 2 − V 1V 2 R

(2.78)

(2.79)

Somando P 12 e P 21 , obtêm-se as perdas: ( V 1 − V 2 )2 = R I 2 P L = P 12 + P 21 = R

(2.80)

O valor médio da potência transitada é dado por: P med

P 12 − P 21 V 12 − V 2 2 = = 2 2 R

(2.81)

Constata-se desta equação que o trânsito de potência (activa) é regulável através da tensão nos extremos da linha, ao invés do que sucede em corrente alternada. Assim, se V 1>V 2 , o trânsito de potência é no sentido 1 →2; se V 1
J. Sucena Paiva

Conceitos Básicos

37

2.7 Sumário Neste capítulo foram apresentados alguns conceitos básicos de engenharia electrotécnica, com interesse para a análise de redes e sistemas de energia eléctrica. Os SEE existem para disponibilizar energia e potência aos consumidores, donde estas grandezas assumem importância primordial. Dado o uso universal da corrente alternada, torna-se necessário estabelecer os conceitos de potência activa, reactiva, complexa e aparente. Pelas vantagens que apresentam, os sistemas trifásicos são o padrão na produção, transporte e distribuição de electricidade – exceptuando a baixa tensão na qual são também usados sistemas monofásicos. Os conceitos de tensão simples (fase-neutro) e composta (fase-fase), bem como de potência trifásica activa e reactiva foram estabelecidos e aplicados a redes simples. Foi ilustrada a representação de sistemas trifásicos por meio de esquemas monofásicos equivalentes e de esquemas unifilares. A expressão das grandezas eléctricas em valores por unidade apresenta vantagens inquestionáveis na análise de sistemas eléctricos de energia, das quais resulta a sua adopção generalizada e, por conseguinte, a sua inclusão neste capítulo. Analisou-se a finalizar a transmissão de energia em corrente alternada, evidenciando-se a relação da potência activa com os argumentos das tensões, e da potência reactiva com as respectivas amplitudes. Comparou-se com a transmissão em corrente contínua, na qual as tensões nos extremos definem a potência transmitida e o respectivo sentido.

CA PÍTU L O 3

MÁQUINAS ROTATIVAS E TRANSFORMADOR Neste capítulo trataremos da máquina síncrona, universalmente utilizada como gerador (podendo também ser usada como motor), do transformador, que permite alterar o nível de tensão ao longo da rede, e ainda da máquina assíncrona, de uso generalizado como motor (e limitado como gerador). Estabeleceremos os princípios de funcionamento e os modelos matemáticos simplificados destes componentes, aplicáveis à análise do sistema eléctrico em regime estacionário. Serão ainda tipificadas as cargas ligadas à rede, e formulados os modelos matemáticos pertinentes.

3.1 Máquina Síncrona 3.1.1

Introdução

A quase totalidade da energia eléctrica é produzida por geradores síncronos ou alternadores trifásicos, que assim se constituem como os elementos – matriz dos Sistemas de Energia Eléctrica. A máquina síncrona é um equipamento complexo e versátil, baseado na lei da indução electromagnética, devida a Faraday. A designação síncrona resulta de este tipo de máquina rotativa, em regime estacionário, funcionar com velocidade e frequência constantes, em sincronismo com todas as outras ligadas à mesma rede. Um gerador recebe energia mecânica da máquina motriz – turbina hidráulica, de vapor ou de gás para potências elevadas, motor térmico alternativo, turbina de gás ou turbina eólica para potências mais baixas – e entrega energia eléctrica à rede à qual está ligado, com

40


J. Sucena Paiva

um rendimento energético muito elevado. A máquina síncrona pode no entanto também funcionar como motor – absorvendo energia eléctrica da rede e fornecendo energia mecânica a uma carga ligada ao seu veio. Neste modo de funcionamento, a máquina recebe a designação de motor síncrono15 . Numa instalação eléctrica de produção – designada usualmente por central eléctrica – existem um ou mais geradores síncronos em paralelo, cuja potência unitária pode atingir as centenas – ou mesmo o milhar – de MVA. A designação usual radica na filosofia de produção centralizada, de grande escala, que tradicionalmente caracteriza o SEE. Notese contudo que em anos recentes se tem expandido a produção em escala mais reduzida, e próxima dos centros de consumo, usando a cogeração – produção combinada de energia eléctrica e térmica – e as energias renováveis.

3.1.2

Princípio de Funcionamento

Uma máquina síncrona é constituída por uma massa metálica fixa – estator – na qual está instalado o enrolamento induzido e por uma massa metálica rotativa – rotor – no qual está bobinado o enrolamento indutor ou de excitação. Na Figura 3.1 representa-se esquematicamente uma secção transversal de uma máquina trifásica com um par de pólos. c

b’ N

a’

a S

c’

b

Figura 3.1 – Máquina síncrona trifásica elementar.

O enrolamento indutor é percorrido por uma corrente contínua, fornecida por uma fonte auxiliar a qual dá origem a um fluxo magnético, que se fecha através do entreferro e do estator. Devido à forma construtiva da máquina, a distribuição espacial da indução magnética é aproximadamente sinusoidal, como se mostra na

Figura 3.2a. Uma vez que o

rotor, accionado pela máquina motriz, roda com velocidade constante, cria-se no entreferro um fluxo magnético girante.

15

O tipo de motor eléctrico de uso generalizado é o motor assíncron o.

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41

e

B

0

π

2π

t

θ

a

b

Figura 3.2 – a) Distribuição espacial do fluxo magnético; b) Tensão induzida.

O enrolamento do estator é constituído por bobinas, alojadas em cavas, que cobrem toda a sua superfície interior. A bobina pertencente a uma fase é colocada em cavas diametralmente opostas, sendo os condutores longitudinais paralelos ao veio da máquina. De acordo com a lei de Faraday, o fluxo magnético girante induz uma tensão nessa bobina, representada na Figura 3.2b, a qual dará origem a uma corrente num circuito exterior ligado entre os respectivos terminais. Dado que está sujeito a um fluxo magnético variável, o estator é constituído por lâminas de ferro, por forma a reduzir as perdas por correntes de Foucault. Os enrolamentos das três fases estão espacialmente desfasados de 120º para que, com a rotação uniforme do rotor, sejam produzidas tensões induzidas desfasadas de 120º no tempo, constituindo um sistema trifásico simétrico. Para uma máquina com um par de pólos, a frequência da tensão induzida em ciclos por segundo (Hz) iguala a velocidade do rotor em rotações por segundo. Assim para a frequência de 50 Hz, a velocidade de rotação será 3000 r.p.m. (rotações por minuto)

16

.

A máquina síncrona pode ter um número mais elevado de pares de pólos. Na Figura 3.3 mostra-se uma máquina com 4 pólos, na qual cada fase consiste de um par de enrolamentos ocupando quatro cavas na superfície do estator – a1 a1′ e a2 a′2 .

16

Para 60 Hz, seria de 3600 r.p.m.

42


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a2 N S

a'2

S N

' 1

b1 c1

a1

Figura 3.3 – Máquina síncrona com 4 pólos.

Em cada instante, são induzidas tensões iguais nos dois enrolamentos de cada fase, as quais se somam, uma vez que aqueles estão ligados em série. Nesta situação, a distribuição espacial da indução magnética é a que se representa na Figura 3.4, havendo dois ciclos completos ao longo da periferia do estator. Em consequência, a frequência da tensão induzida é duas vezes a velocidade em rotações por segundo.

B a1

a2

a’1

a’2

π 2π

0

2π 4π

θm θ

Figura 3.4 – Distribuição espacial da indução magnética para uma máquina de 4 pólos. (θm – rad. mecânicos; θ – rad. eléctricos).

Em máquinas com mais de um par de pólos, exprimem-se os ângulos em graus eléctricos em vez de graus mecânicos. Um par de pólos corresponde a 2 π radianos eléctricos, donde: θ

= p θ m

(3.1)

onde θ é o ângulo eléctrico, θm o ângulo mecânico e p o número de pares de pólos. A frequência da tensão induzida é então, no caso geral, dada por: f = p

n 60

onde f é a frequência em Hz e n a velocidade em r.p.m.

(3.2)

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43

A frequência angular ω da tensão relaciona-se por seu lado com a velocidade angular do rotor ωr – ambas expressas em rad/s – pela expressão: ω

= p ω r

(3.3)

Os rotores representados nas Figura 3.1 e Figura 3.3 são de pólos salientes, sendo o enrolamento de excitação constituído por bobinas enroladas em torno das peças polares. Esta forma construtiva é usada para velocidade de rotação relativamente baixas, que é o caso de geradores movidos por turbinas hidráulicas. Estas máquinas rodam com uma velocidade baixa – 150 a 300 r.p.m. – o que torna necessário um número de pares de pólos elevado – 20 a 10, respectivamente. Sendo a máquina motriz uma turbina de vapor ou de gás, rodando a velocidades elevadas – 3000 ou 1500 r.p.m. – a força centrífuga resultante exclui o uso de pólos salientes. Usase então um rotor cilíndrico, de aço maciço, com dois ou quatro pólos, com um enrolamento semelhante ao do estator, instalado em cavas talhadas na respectiva superfície, como se mostra na Figura 3.5. c

b’ N

a’

a S

c’

b

Figura 3.5 – Máquina síncrona de rotor cilíndrico com 2 pólos.

Enquanto os geradores de rotor cilíndrico – turbogeradores – são máquinas de eixo horizontal, esbeltas e longilíneas, os geradores de pólos salientes são em geral máquinas de eixo vertical, com maior diâmetro e menor comprimento axial. Neste último caso, a turbina está colocada por baixo do gerador, sendo o peso descarregado numa chumaceira de impulso. Além dos enrolamentos já referidos a máquina síncrona ainda possui – excepto para potências muito baixas – um enrolamento amortecedor que consiste numa gaiola em curtocircuito, semelhante ao enrolamento do rotor da máquina assíncrona. Num gerador de pólos salientes, o amortecedor está embebido nas faces das peças polares; num turbogerador instala-se nas cavas que albergam o enrolamento de excitação.

44


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Em regime estacionário, o amortecedor não desempenha qualquer função, uma vez que não é percorrido por corrente. Em regime transitório, no qual a velocidade do rotor difere da de sincronismo, as correntes que nele são induzidas dão lugar a um amortecimento que contribui para a estabilidade da marcha síncrona.

3.1.3

Modelo Matemático

Sendo sinusoidal a distribuição espacial da indução magnética B ao longo do entreferro, tem-se, com referência à Figura 3.6: B = B max cos α

(3.4)

onde Bmax é o valor máximo medido no centro da cabeça do pólo e α o ângulo medido em radianos eléctricos a partir do eixo magnético do rotor. α a r

N

eixo magnético do rotor

θ=ωt eixo magnético da fase a do estator

S

a’

Figura 3.6 – Máquina síncrona bipolar com bobina estatórica de N espiras.

O fluxo magnético por pólo é o integral da indução magnética ao longo da área polar: Φ

=

π

∫

2

−π 2

Bmax cos α l r d α = 2 B max l r

(3.5)

onde l é o comprimento axial do estator e r o seu raio no entreferro. Para uma máquina com p pares de pólos: Φ

=

2 B max l r p

(3.6)

porque a área polar é 1/p vezes a de uma máquina bipolar com o mesmo diâmetro e comprimento.

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45

O fluxo ligado com a fase a do estator λ, admitindo que o enrolamento do estator tem N espiras, é dado por: λ

= N Φ cos θ

(3.7)

onde θ é o ângulo do eixo magnético do rotor, medido a partir do eixo magnético do enrolamento da fase a do estator. Quando o rotor roda com a velocidade angular ω, tem-se: θ

= pω r = ω t

(3.8)

λ

= N Φ cos ω

(3.9)

logo:

Pela lei de Faraday, a tensão induzida é o simétrico da derivada do fluxo ligado em ordem ao tempo: d λ = ω N Φ senω t d t = ω N Φ cos (ω t − π 2 )

e=−

(3.10)

A tensão induzida – designada força electromotriz (f.e.m.) – é sinusoidal com frequência angular ω e valor eficaz: E =

ω N Φ

(3.11)

2

Trata-se da f.e.m. fase-neutro. O correspondente valor entre fases obtém-se multiplicando por 3 . Sendo tanto o fluxo como a f.e.m. grandezas sinusoidais, podemos representá-las por fasores, como se pode observar na Figura 3.7, na qual se definiram os eixos directo d e de quadratura q, desfasados de 90º eléctricos. eixo d Φ

E eixo q

46


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Figura 3.7 – Representação por fasores do fluxo e da f.e.m.

Estando o gerador em carga, alimentando um circuito exterior trifásico simétrico, o enrolamento estatórico é percorrido por um sistema de correntes trifásicas simétricas. Ora, um sistema de correntes iguais em módulo e desfasadas temporalmente de ±120º, circulando em três enrolamentos desfasados espacialmente de ±120º, dão lugar a um campo girante no entreferro à velocidade de sincronismo, o qual se adiciona ao campo devido à corrente de excitação. Este fenómeno é designado reacção do induzido. O fluxo resultante da reacção do induzido, visto do enrolamento aa’ , é uma combinação dos três fluxos individuais devidos às correntes no estator i a, i b e i c , podendo exprimir-se por: λ r

= L i a + M ab i b + M ac i c = L i a + M i b + M i c

(3.12)

onde L e M=M ab =M ac são respectivamente, as indutâncias própria e mútua (iguais devido à simetria da máquina). Em regime trifásico simétrico a soma das três correntes no estator é nula: i a + i b + i c = 0

(3.13)

donde resulta: λ r

= (L − M ) i a

(3.14)

A tensão induzida devida a este fluxo magnético é: e r = −

d i d λr = −(L − M ) a d t d t

(3.15)

A tensão aos terminais do gerador em carga obtém-se somando a f.e.m. devida ao indutor com a queda de tensão devida à reacção do induzido: v = e + er = e − (L − M )

d i a d t

(3.16)

Dado que se trata de grandezas sinusoidais, podemos representá-las por fasores (para simplificar a notação, deixou-se cair o índice a da corrente na fase de referência): V = E − j ω (L − M )I

= E − j X s I

(3.17)

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47

A grandeza X s recebe o nome de reactância síncrona. Note-se que nesta grandeza está incluída a reactância de dispersão do enrolamento do estator, a qual não foi considerada na análise anterior. A máquina síncrona em regime estacionário (trifásico simétrico) pode então ser representada pelo esquema monofásico equivalente da Figura 3.8a – uma f.e.m. em série com a reactância síncrona – ao qual corresponde o diagrama de fasores da Figura 3.8b. XS

d I E q

+

V

~

E

I

-

S

V

I

∆ Referência

b

a

Figura 3.8 – Gerador síncrono: a) Esquema monofásico equivalente; b) Diagrama de fasores.

A reactância síncrona é normalmente expressa em p.u., referida aos valores nominais da potência aparente Sn (MVA) e da tensão V n (kV) da máquina. O respectivo valor expresso em Ω pode obter-se por: X s = X s pu

V n2 Sn

(3.18)

Desprezou-se a resistência dos enrolamentos – cujo valor é pequeno face à reactância – e admitiu-se que a corrente I está desfasada em atraso do ângulo φ relativamente à tensão aos terminais V . O ângulo δ entre a tensão V e a f.e.m. E designa-se por ângulo de potência.

3.1.4

Características em Vazio e em Curto-Circuito

A característica em vazio é a curva da f.e.m. (tensão em vazio) em função da corrente de excitação, estando a máquina a rodar à velocidade nominal (de sincronismo), movida pela máquina de accionamento.

48


J. Sucena Paiva

A característica em curto-circuito, por seu lado, é a curva da corrente no estator em função da corrente de excitação, com a máquina rodando à velocidade síncrona e os enrolamentos do estator em curto-circuito. Na Figura 3.9 apresentam-se formas típicas destas características, que se podem determinar experimentalmente. A característica em vazio exibe uma zona linear (cuja tangente é a recta de entreferro), para valores relativamente baixos da corrente de excitação. Após esta zona, quando o fluxo magnético excede um determinado valor limite, manifesta-se a não-linearidade resultante da saturação do ferro. A característica em curto-circuito é linear, uma vez que, tendo o fluxo magnético um valor muito baixo nesta situação, não se manifesta o fenómeno da saturação. Para a operação próxima da tensão nominal – em que se manifesta a saturação – assume-se que a máquina é equivalente a uma outra sem saturação, caracterizada por uma recta de magnetização, passando pelo origem e pelo ponto correspondente à tensão nominal (1,0 p.u.), tal como se mostra na Figura 3.9. Da equação (3.17), sendo nula a tensão aos terminais V , obtém-se para a reactância síncrona saturada (em p.u.): X s =

E 1 = I cc I cc

(3.19)

O valor da reactância síncrona não saturada, superior ao da reactância não saturada pode calcular-se pelo inverso da corrente de curto-circuito correspondente à corrente de excitação que conduz à tensão nominal em vazio, usando a recta de entreferro: X sns =

1 I ′cc

(3.20)

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Máquinas Rotativas e Transformador F.e.m.(pu)

49

Corrente de curto circuito (p.u.) Recta do entreferro

Característica em vazio

1,0 Característica em curto-circuito

Icc I’ cc

Corrente de excitação (p.u.)

Figura 3.9 – Características em vazio e em curto-circuito de uma máquina síncrona.

3.1.5

Características em Carga

Estando a máquina síncrona a rodar à velocidade de sincronismo (que se mantém constante) e excitada de forma a apresentar em vazio a sua tensão nominal, admita-se que a corrente de carga vai aumentando a partir de zero até atingir o seu valor nominal, com um factor de potência constante. Do diagrama de fasores da Figura 3.8, podemos retirar as equações: E sen δ = X s I cos φ

(3.21)

E cos δ = V + X s I sen φ

(3.22)

Resolvendo em ordem a V e eliminando o ângulo δ, obtém-se: V = E 2 − X s2 I 2 cos 2 φ − X s I sen φ

(3.23)

Supondo constante a corrente de excitação, a f.e.m. E também o é, logo a tensão aos terminais V vai experimentar uma variação. Se se pretender manter constante a tensão aos terminais, então há que actuar sobre a corrente de excitação.

3.1.6


Tomando a tensão aos terminais V como referência, podemos calcular a potência complexa fornecida pelo gerador por:

50

Fundamentos dos Sistemas de Energia Eléctrica S G = P G

J. Sucena Paiva

+ j QG = V I ∗ = V e j 0 I e j φ = V I e j φ

(3.24)

donde se retiram os valores das potência activa e reactiva: P G = V I cos φ

(3.25)

Q G = V I sen φ

(3.26)

Substituindo as equações (3.21) e (3.22) nas equações (3.25) e (3.26) respectivamente, obtém-se: E V sen δ X s

(3.27)

V (E cos δ − V ) X s

(3.28)

P G =

QG =

As duas equações acima revelam importantes características do gerador síncrono. A primeira diz-nos que o valor máximo teórico (na prática limitado a cerca de metade) da potência activa que a máquina pode fornecer ocorre para δ =π /2 e é dado pela expressão: P max =

E V X s

(3.29)

Sendo o gerador um conversor mecano-eléctrico, a potência activa fornecida é (aparte as perdas) igual à potência mecânica entregue pela máquina motriz: o ângulo de potência δ é o que resulta da aplicação da equação (3.27). A potência reactiva depende da diferença: ∆

= E cos δ − V

(3.30)

Admitindo constante a tensão aos terminais V , a potência reactiva é controlável através da corrente de excitação, que determina a f.e.m. E . A excitação normal é definida para

∆

= 0 ,

ou seja: E cos δ = V

(3.31)

Se a corrente de excitação for aumentada, resulta: E cos δ > V

(3.32)

J. Sucena Paiva


51

Nesta condições, a máquina fica sobreexcitada e fornece potência reactiva. Em contrapartida, se a máquina estiver subexcitada, absorve potência reactiva, uma vez que: E cos δ < V

(3.33)

Na Figura 3.10 mostra-se a curva limite de funcionamento de um gerador síncrono. A curva é constituída por três zonas, respectivamente (a), (b) e (c). A primeira corresponde à corrente de excitação máxima, limitada pelo aquecimento do enrolamento de excitação. A segunda é o lugar geométrico de corrente do estator (ou potência aparente) máxima, limitada pelo aquecimento deste enrolamento. Na terceira, na qual a máquina se encontra fortemente subexcitada, o limite resulta da exigência de manutenção da estabilidade da marcha síncrona (ver adiante Secção 3.1.9).

Q (p.u.) (a)

(b) 1,0

P(p.u.)

(c)

Figura 3.10 – Diagrama P-Q de um gerador síncrono (curva limite).

3.1.7

Efeito da Saliência

O modelo desenvolvido não tem em conta a diferença entre a relutância do circuito magnético segundo os eixos directo d e de quadratura q, que assumem particular importância nas máquinas de pólos salientes. Esta diferença resulta de que o corpo do rotor tem uma permeabilidade magnética muito mais elevada que a do ar. Mesmo para máquinas de rotor cilíndrico, a relutância do circuito magnético não é rigorosamente igual segundo os dois eixos, devido às cavas que albergam o enrolamento de excitação.

52


J. Sucena Paiva

A desfasagem da corrente em relação à f.e.m. ( φ +δ na Figura 3.8b) afecta por conseguinte o fluxo magnético devido à reacção do induzido, o qual pode ser decomposto em duas componentes, conforme é aparente na Figura 3.11.

eixo q

eixo d

B1

Bq B2

a

a’

Bd

Figura 3.11 – Decomposição do fluxo magnético em duas componentes.

Definem-se assim duas reactâncias síncronas X d e X q, segundo os eixos d e q, respectivamente. Decompondo igualmente a corrente I em duas componentes I d e I q : I = I d +I q

(3.34)

A tensão aos terminais V é igual à f.e.m. E , adicionada das quedas de tensão − jX d I d e

− jX q I q : V = E − j X d I d − j X q I q

(3.35)

Esta equação está traduzida graficamente no diagrama de fasores da Figura 3.12. d

j(Xd-X q)Id Iq

Vq

E q

δ φ Id

E qd XqI

XqI q

I

Vd V

XdId Referência

Figura 3.12 – Diagrama de fasores para uma máquina de pólos salientes.

A equação (3.35) pode rescrever-se:

J. Sucena Paiva

Máquinas Rotativas e Transformador V = E − j X d I d − j X q (I - I d ) =

53

(3.36)

= E − jX q I − j ( X d − X q )I d Definindo o fasor E q d por: E q d

(3.37)

= V + j X q I

obtém-se: E = E q d + j(X d − X q ) I d

Uma vez que j(X d − X q ) I d é colinear com E , o mesmo sucede a

(3.38) E q d . Então, em módu-

lo: E = E qd + (X d − X q ) I d

(3.39)

Tomando a tensão aos terminais V como referência, o argumento δ da f.e.m. E coincide com o de

E q d .

Da Figura 3.12 obtém-se: E − X d I d = V cos δ

(3.40)

X q I q = V sen δ

(3.41)

I q = I cos (φ + δ )

(3.42)

I d = I sen (φ + δ )

(3.43)

e também:

Multiplicando a equação (3.42) por cos δ e a equação (3.43) por sen δ , e somando-as; multiplicando a equação (3.42) por sen δ e a equação (3.43) por cos δ , e subtraindo-as, obtém-se: I cos φ = I q cos δ + I d sen δ

(3.44)

I sen φ = I d cos δ −I q sen δ

(3.45)

Substituindo estas últimas equações nas equações (3.25) e (3.26) e fazendo uso das equações (3.40) e (3.41) obtêm-se as potências activa e reactiva geradas:

54


J. Sucena Paiva

 V E V 2   1 − 1  sen 2 δ P G = sen δ + X d 2  X q X d  

(3.46)

 2 V E sen 2 δ  2  cos δ  QG = cos δ − V  +  X d X X q   d

(3.47)

O primeiro termo destas equações é dominante; o segundo é devido ao efeito da saliência. Se se desprezar o efeito desta, obtém-se: V E sen δ X s

(3.48)

V (E cos δ − V ) X s

(3.49)

P G =

QG =

onde X s é a reactância síncrona (que se pode tomar aproximadamente como a média aritmética de X d e X q ). Estas equações coincidem com as derivadas anteriormente na Secção 3.1.6. No Quadro 3.1 apresentam-se valores típicos de X d e X q para diversos tipos de máquinas síncronas, expressos em p.u. na base da potência aparente nominal das mesmas. Quadro 3.1 – Valores Típicos das Reactâncias das Máquinas Síncronas (p.u.).

3.1.8

Rotor Cilíndrico 2 pólos

Rotor Cilíndrico 4 pólos

Pólos Salientes

X

0,85 – 1,45

1,00 – 1,45

0,6 – 1,5

X

0,92 – 1,42

0,92 – 1,42

0,4 – 0,8

Modos de Operação

O gerador síncrono pode alimentar uma carga isolada ou, mais usualmente, estar integrado numa rede à qual estão ligados outros geradores, rodando em sincronismo. Na primeira situação – que ocorre raramente 17 – o gerador tem, por si só, que manter aproximadamente constante a frequência e a tensão aos terminais, por meio da acção de reguladores de velocidade e de tensão, respectivamente.

17

É o caso, por exemplo, de um gerador de socorro, quando falta a ali mentação da rede.

J. Sucena Paiva


55

Quando uma carga é ligada ao gerador – suposto em vazio, rodando à velocidade nominal e apresentando a tensão nominal aos seus terminais – a corrente no estator dá lugar a um binário resistente T (negativo), o qual impõe uma desaceleração do rotor, de acordo com a equação: d ω T = I r d t

(3.50)

onde I é o momento de inércia do grupo gerador (incluindo a máquina de accionamento) e ωr a velocidade angular do rotor.

Uma vez que a frequência é proporcional à velocidade do rotor, a frequência vai baixar, efeito que tem de ser corrigido através do aumento do binário fornecido pela máquina motriz, ou seja da potência mecânica P M, que está relacionada com aquele pela equação: P M = T ω r

(3.51)

A ligação da carga origina também uma queda de tensão apreciável, devida à reactância síncrona da máquina, a qual tem de ser compensada por um aumento da corrente de excitação, que eleva o valor da f.e.m. A potência activa e reactiva fornecida pelo gerador deverá ser igual à pedida pela carga, adicionada das perdas nos circuitos de ligação. No caso de o gerador estar integrado numa rede síncrona, antes de ser ligado pelo respectivo disjuntor, tem de ser sincronizado – por meio de um dispositivo designado sincronizador – o qual assegura as seguintes condições:

• A frequência do gerador e da rede são iguais; • A sequência de fases do gerador coincide com a da tensão da rede; • A f.e.m. do gerador e a tensão da rede têm a mesma amplitude e fase. Uma vez o gerador ligado à rede, há que colocá-lo em carga, isto é, a fornecer potência. Para tal, actua-se sobre a válvula de admissão da máquina de accionamento, manobra que requer um servomotor hidráulico devido à elevada força necessária. Se a potência do gerador for muito menor que a potência girante da rede – potência total das máquinas em serviço – como é habitualmente o caso, a frequência do conjunto não será significativamente afectada pelo facto de aquele ser colocado em carga. Na verdade, a regulação de frequência é uma tarefa executada pelo conjunto dos geradores em paralelo, podendo contudo ser atribuída prioritariamente a alguns dentre eles.

56


J. Sucena Paiva

Note-se que a máquina síncrona pode também funcionar como motor, recebendo energia eléctrica da rede e fornecendo energia mecânica a uma carga, como é, por exemplo o caso das centrais hidroeléctricas com bombagem. Neste tipo de centrais, a água pode ser bombada de uma cota mais baixa para outra mais elevada nos períodos de vazio, para ser turbinada nos períodos de ponta. Esta operação tem interesse técnico e económico, pois a energia tem um valor consideravelmente superior nas horas de ponta. Nos períodos em que se procede à bombagem, o gerador funciona como motor. Usada especificamente como motor, a máquina síncrona tem uma limitação importante: necessita de uma máquina auxiliar para a levar do repouso até à sincronização com a rede que a alimenta. No que respeita à potência reactiva, a máquina síncrona pode fornecê-la ou consumi-la, tal como já foi analisado na Secção 3.1.5. A tensão no barramento da central pode ser regulada automaticamente por meio do regulador de tensão, situação em que a potência reactiva a fornecer ou consumir se torna uma variável dependente. Em alternativa, o gerador pode ser operado com potência reactiva (ou factor de potência) constante, o que não assegura uma tensão constante. Em qualquer dos casos, o regulador de tensão – que é de facto um regulador de tensão-potência reactiva – actua sobre a corrente de excitação. Das equações (3.27) e (3.46) resulta que, se

δ

= 0 , a potência activa é nula. Tal não si-

gnifica contudo que o mesmo suceda quanto à potência reactiva, a qual pode ser positiva ou negativa (ou nula). Este é um modo de funcionamento possível para uma máquina síncrona, que então recebe a designação de compensador síncrono. Um compensador síncrono permite uma variação contínua da potência reactiva fornecida à (ou absorvida 18 da) rede, através da actuação sobre a corrente de excitação – a qual pouco afecta a potência activa. Este é um poderoso meio de regulação de tensão, que pode ser implementado com recurso a grupos geradores que, para o efeito, funcionam como motores em vazio, consumindo apenas uma potência activa igual às perdas. Embora de uso muito limitado, a máquina síncrona também pode ser instalada para funcionar exclusivamente como compensador síncrono. Na Figura 3.13 apresentam-se os diagramas de fasores correspondentes aos seis m odos de funcionamento de uma máquina síncrona: gerador ou motor sobre ou subexcitado, compensador síncrono ou reactância síncrona, respectivamente.

18

Neste caso, pode designar-se por reactância síncrona.

J. Sucena Paiva


Gerador sobreexcitado PG >0 Q G >0

57

Gerador subexcitado PG >0 QG <0

E

I E

δ φ

δ

φ

V

V

I 0< δ < π/2 - π/2< φ < 0

0< δ < π/2 0< φ < π/2

Motor subexcitado PG <0 Q G <0

Motor sobreexcitado PG <0 QG >0

I

V

δ

V

φ I

δ

φ

E

E -π/2< δ < 0 π < φ < 3π/2

-π/2< δ < 0 π/2< φ < π

Reactância síncrona PG=0 Q G<0

Condensador síncrono PG=0 QG >0 E

φ

V

I

φ I

E V

δ=0 φ = π/2

δ=0 φ = -π/2

Figura 3.13 – Modos de funcionamento de uma máquina síncrona.

3.1.9

Estabilidade da Marcha Síncrona

Considere-se o gerador ligado a uma rede infinita – rede de grande potência, cuja frequência e tensão não são afectadas por variações das potências activa e reactiva geradas, respectivamente – através de um circuito com reactância X L, como se representa na Figura 3.14.

58


xs

J. Sucena Paiva

xL

+ E

V

~

–

Figura 3.14 – Máquina síncrona ligada a uma rede infinita.

Sendo a reactância total X s+ X L, a potência activa gerada, desprezando a saliência, é dada por (ver equação (3.27)): P G =

E V sen δ X s + X L

(3.52)

onde V é a amplitude da tensão da rede (suposta constante) e δ o argumento da f.e.m. E , definido em relação àquela tensão. Na Figura 3.15 representa-se a variação da potência gerada com o argumento δ . Quando este é positivo, a potência é positiva e a máquina funciona como gerador; quando é negativo, a potência é negativa e a máquina funciona como motor. O valor máximo da potência ocorre para

δ

= π 2 (funcionamento como gerador) ou para

δ

= − π 2 (funcionamento

como motor).

PG Pmax

-π/2

π/2

δ

-P max Motor

Gerador

Figura 3.15 – Potência activa em função do argumento δ .

J. Sucena Paiva


59

A ligação eléctrica do gerador com a rede assemelha-se a uma ligação mecânica elástica. Define-se a rigidez eléctrica ou coeficiente de sincronismo pela derivada da potência gerada em ordem ao ângulo de potência: C s =

∂ P G E V cos δ = ∂ δ X s + X L

(3.53)

Este coeficiente é máximo quando a máquina está em vazio ( δ=0), diminuindo à medida que vai sendo carregada, em virtude do aumento de δ. O valor máximo teórico de δ é π /2 – ponto em que a máquina perde o sincronismo com a rede – não devendo na prática exceder 30-40º. Par uma máquina de pólos salientes, considerando a saliência, a potência activa é dada por (ver equação (3.46)):

 V E V 2  1 1   P G = sen δ + −  X q + X L X d + X L  sen 2δ X d + X L 2  4 4 3 144 244 3 14 4 4 4 4 4 244 4 4 a

(3.54)

b

A curva correspondente a esta equação está representada na Figura 3.16. O valor do argumento δli m, que corresponde à perda de sincronismo, pode obter-se por solução da equação:

∂P G = 0 ∂δ

(3.55)

Verifica-se que δ li m<π /2 e que o valor da potência correspondente é superior ao que se obtém ignorando a saliência. PG a

-π

0

π

δlim

δ

b

Figura 3.16 – Potência activa em função do argumento δ , considerando a saliência.

60


J. Sucena Paiva

Da equação (3.52) constata-se que, para a mesma potência activa produzida, quanto maior for a f.e.m. E , tanto menor é o ângulo de potência δ. Da equação (3.53), conclui-se que o coeficiente de sincronismo aumenta, o que significa que a estabilidade da marcha síncrona vem aumentada. Quando a máquina está sobreexcitada, o funcionamento é por conseguinte mais estável, e inversamente: uma máquina subexcitada é menos estável.

3.2 Transformador 3.2.1

Introdução

O transformador é um dos componentes mais úteis dos Sistemas de Energia Eléctrica, permitindo alterar a tensão de uma rede para o nível mais adequado à função que desempenha. A tensão produzida pelos geradores situa-se na gama da média tensão – salvo os de potência muito baixa, que podem operar em baixa tensão – porque esta é a tensão que optimiza técnica e economicamente o projecto destes equipamentos. Assim, é usual a instalação de transformadores à saída das centrais, os quais elevam a tensão para o nível adequado ao transporte – ou à distribuição para a produção de baixa potência. Acresce que estes transformadores protegem os geradores contra as sobretensões atmosféricas com origem na rede aos quais estão ligados. A rede de transporte opera em muito alta tensão, conforme já anteriormente assinalado. Esta tensão tem de ser reduzida para média tensão para efeitos de distribuição e para baixa tensão a nível da utilização. O transformador pode ainda ser dotado de um comutador de tomadas, o que lhe permite ser utilizado como regulador de tensão. O transformador é uma máquina estática, constituído essencialmente por dois (ou três) enrolamentos de cobre, montados em torno de um núcleo de ferro. Este é construído em chapa laminada, a fim de reduzir as perdas por histeresis e correntes de Foucault. O fluxo de energia eléctrica é bidireccional, sendo designado por primário o enrolamento que recebe energia e secundário o que a entrega.

J. Sucena Paiva

3.2.2


61


Considere-se um transformador monofásico ideal (sem perdas nem dispersão), representado esquematicamente na Figura 3.17 (observe-se o sentido convencional das correntes correspondentes aos enrolamentos primário e secundário).

1

i 2

i 1

2

Φ

N 1

v 1

N 2

v 2

secundário

primário

Figura 3.17 – Transformador ideal.

A aplicação de uma tensão alternada v 1 ao enrolamento primário dá lugar a um fluxo ligado λ1, que com ela se relaciona pela lei de Faraday: v 1 =

d λ1 d t

(3.56)

O fluxo ligado λ1 é igual ao produto do número de espiras do enrolamento N 1 pelo fluxo φ que circula no núcleo: λ1

= N 1Φ

(3.57)

donde: v 1 = N 1

d Φ d t

(3.58)

O fluxo Φ é o mesmo para os dois enrolamentos, uma vez que não há dispersão. A f.e.m. induzida no enrolamento secundário (tensão em vazio) v 2 é então: v 2 =

d λ2 d Φ = N 2 d t d t

(3.59)

onde N 2 é o número de espiras do enrolamento secundário. Em regime alternado sinusoidal, o fluxo Φ e as tensões v 1 e v 2 têm a mesma frequência angular ω . Usando a notação simbólica:

62


J. Sucena Paiva

V 1

= j ω N 1F

(3.60)

V 2

= j ω N 2F

(3.61)

V 1

= V 1 = N 1

(3.62)

Dividindo as duas últimas equações:

V 2

V 2

N 2

Uma vez que desprezámos as perdas, a potência complexa é igual nos dois lados do transformador: ∗ = V 2 I 2 ∗ V 1 I 1

(3.63)

donde: ∗

I 1 ∗

I 2

=

V 2 V 1

(3.64)

ou seja: I 1 I 2

=

I 1 N 2 = I 2 N 1

(3.65)

A relação de transformação m é o quociente entre o número de espiras N 1 do primário (enrolamento que recebe energia) e do secundário N 2 (enrolamento que cede energia): m=

N 1 V n1 kV/kV = N 2 V n 2

(3.66)

onde V n1 é a tensão nominal primária e V n2 a tensão nominal secundária. Tomando para tensões de base dos lados primário e do secundário, as respectivas tensões nominais: V b1 = V n1 V b 2 =V n 2

(3.67)

= V n1 V b 2 = 1,0 p.u.

(3.68)

a relação de transformação em p.u. é: m=

V n 1 pu V n 2 pu

V b1 V n 2

Uma vez que a relação de transformação é unitária, o transformador ideal pode ser ignorado no esquema equivalente da rede em que esteja integrado.

J. Sucena Paiva

3.2.3


63

Corrente de Magnetização

Para assegurar um boa ligação magnética entre os dois enrolamentos do transformador, o fluxo magnético é estabelecido num núcleo de ferro (circuito magnético), cuja permeabilidade é muito superior à do ar. Na Figura 3.18 mostram-se dois tipos construtivos de transformadores (monofásicos): o tipo core (a) e o tipo shell (b). No primeiro, o núcleo é um anel fechado, em torno do qual são montados os enrolamentos; no segundo, o núcleo envolve os enrolamentos. Núcleo

Núcleo

φ

Enrolamentos Enrolamentos

b

a

Figura 3.18 – Tipos construtivos do transformador: a) Tipo core b) Tipo shell

O núcleo de ferro possui uma característica B–H não-linear (B e H são a indução ou densidade de fluxo e o campo magnéticos, respectivamente): a partir de um certo valor do campo, manifesta-se a saturação. Acresce o fenómeno da histeresis, que resulta em que as trajectórias B–H são distintas para valores crescentes ou decrescentes do campo magnético, conforme se representa na Figura 3.19. B

H

Figura 3.19 – Característica magnética do núcleo do transformador.

64


J. Sucena Paiva

O fluxo magnético alternado dá lugar a perdas de energia no núcleo de ferro, devidas: (a) à histeresis e (b) a correntes de Foucault. As primeiras resultam da dissipação de energia usada para orientar os domínios magnéticos do material na direcção do campo; as segundas são devidas a perdas de Joule provocadas pelas correntes induzidas no ferro. Para reduzir estas, o circuito magnético é construído em chapa de ferro laminada. Devido à não-linearidade acima referida a corrente em vazio do transformador não é uma sinusóide perfeita, antes contém algumas harmónicas. A componente fundamental à frequência nominal – designada corrente de magnetização – representa-se na Figura 3.20, na qual se observa que pode ser decomposta numa componente em fase com a tensão, que resulta das perdas, e numa componente em quadratura.

V

im +

v ~ -

Im

φ Figura 3.20 – Transformador em vazio.

A corrente de magnetização – da ordem de 2 a 5% da corrente nominal – e as perdas em vazio (perdas no ferro) – da ordem de 0,1 a 0,5% da potência nominal – podem obter-se por meio de um ensaio em vazio do transformador.

3.2.4

Esquema Equivalente

Um primeiro esquema equivalente do transformador é o que se representa na 3.21. I1

1

R1

X1

R2

I’2 N1

V1

Gm

Bm

E1

X2 I2

N2 E2

V2

2

Figura

J. Sucena Paiva


65

Figura 3.21 – Esquema equivalente do transformador.

À tensão V 1 aplicada ao enrolamento primário é subtraída a queda de tensão R 1 I 1 devida à resistência R 1 dos condutores bem como a queda de tensão devida à reactância de dispersão X 1, resultando a f.e.m . E 1 . A corrente I 1 é a soma da corrente de magnetização I m com

a corrente I 2 ′ que é transformada pela relação de transformação resultando na

corrente I 2 no secundário. As componentes em fase e em quadratura da corrente de magnetização circulam através da condutância Gm e da susceptância Bm, respectivamente. A f.e.m. no secundário do transformador ideal é E 2 =E / 1 m onde m = N 1 N 2 é a relação de transformação. A tensão aos terminais do secundário V 2 obtém-se a partir de E 2 subtraindo as quedas de tensão R 2 I 2 e jX 2 I 2 devidas à resistência e à reactância de dispersão do respectivo enrolamento. Usando valores p.u., o transformador ideal desaparece, uma vez que a relação de transformação m é unitária. Chegamos assim ao esquema equivalente em T , representado na Figura 3.22. I1

1

R1

X1

I1

V1

2

2

I2

2

Im Gm

m

V2

Figura 3.22 – Esquema equivalente em T do transformador.

No funcionamento normal, o fluxo no núcleo mantém-se substancialmente constante, pelo que as admitâncias do ramo transversal que modela a corrente de magnetização se podem considerar igualmente constantes. Dado que a corrente de magnetização é pequena, o ramo transversal pode ser levado para um dos extremos do esquema, conforme se representa na Figura 3.23, onde R t = R 1 + R 2 e X t = X 1 + X 2 .

66


Rt

I1

1

J. Sucena Paiva

Xt

I2

2

Im V1

Gm

Bm

V2

Figura 3.23 – Esquema equivalente em L do transformador.

Na maioria das aplicações em sistemas de energia, pode desprezar-se a corrente de magnetização, o que permite simplificar o modelo para o representado na Figura 3.24. Rt

I1

1

Xt

I2

2

V2

V1

Figura 3.24 – Esquema equivalente aproximado do transformador.

Recorde-se que as grandezas eléctricas estão expressas em p.u., referidas à potência aparente nominal do transformador e às tensões nominais do primário e do secundário, consoante se refiram àquele ou este enrolamento. Uma vez que as correntes expressas em p.u. nos dois enrolamentos são iguais, I 1

= I 2 = I , a relação entre as tensões primária e secundária exprime-se pela equação: V 1

onde

Z t

= V 2 + Z t I

(3.69)

= R t + j X t .

Através de um ensaio em curto-circuito do transformador pode medir-se a impedância Z t . – razão pela qual é normalmente designada impedância de curto-circuito do transformador. Neste ensaio, representado na Figura 3.25, aplica-se um curto-circuito a um dos enrolamentos e alimenta-se o outro com uma tensão reduzida – designada tensão de curtocircuito – que faz circular a corrente nominal em ambos os enrolamentos.

J. Sucena Paiva


67

Zt =Zcc

In

Vcc

Figura 3.25 – Transformador em curto-circuito.

A tensão de curto-circuito V cc é dada por: V cc = Z cc I n

(3.70)

V cc = Z cc

(3.71)

Uma vez que I n = 1,0 , tem-se:

Em valores p.u., com a base postulada, a tensão e a impedância de curto-circuito do transformador exprimem-se pelo mesmo valor. Para decompor a impedância de curto-circuito nas suas componentes resistiva e reactiva, há que medir a potência consumida, a partir da qual se calcula a resistência. Uma vez que se conhece já o módulo da impedância, o cálculo da reactância é trivial. As perdas em curto-circuito do transformador (perdas no cobre) situam-se tipicamente na gama 0,5 a 2,5% da potência nominal.

3.2.5

Transformador com Três Enrolamentos

Tratando-se de um transformador com três enrolamentos instalados em torno do mesmo núcleo, representa-se na Figura 3.26 o respectivo esquema equivalente, o qual inclui um nó fictício interno ao transformador. No caso de se pretender representar a impedância de magnetização, ela ligar-se-ia entre o nó fictício e o neutro.

68


J. Sucena Paiva

I2 Z2

V1

N2

V2

N3

V3

1

I1

2

Z1 V2

N1 V1

Z3

I3

3

V3

Figura 3.26 – Transformador com três enrolamentos.

Neste caso, definem-se três impedâncias (ou tensões) de curto-circuito, relativas a igual número de combinações dois a dois, dos três enrolamentos. Dado que a potência aparente nominal dos três enrolamentos não é a mesma (ainda que, em geral, dois deles tenham potências nominais idênticas), a impedância de curto-circuito referente a um par de enrolamentos vem referida à menor das potências nominais. Há assim que convertê-las a uma base de potência comum. As impedâncias do esquema monofásico equivalente, admitindo uma relação X/R idêntica para os três enrolamentos 19 , podem ser obtidas a partir dos três ensaios de curto-circuito – primário-secundário, primário-terciário e secundário-terciário – nos quais se medem Z 12 , Z 13 e Z 23 , respectivamente, sendo:

 Z 12 = Z 1 + Z 2  Z = Z + Z  13 1 3  Z = Z + Z 2 3  23

(3.72)

Z 12 + Z 13 − Z 23 2 Z + Z − Z 13 Z 2 = 12 23 2 Z + Z 23 − Z 12 Z 3 = 13 2

(3.73)

Daqui resulta: Z 1 =

Dado que a resistência dos enrolamentos é em geral muito menor que a reactância, pode modelar-se aproximadamente o transformador apenas pelas reactâncias de curtocircuito.

J. Sucena Paiva

3.2.6


69

Autotransformador

Num autotransformador a ligação entre os dois enrolamentos é eléctrica e magnética. Assim, os enrolamentos não estão isolados electricamente – conforme se ilustra na Figura 3.27. I1 V1

N1

V2

I2 N2

V1′

I′2

V2

Figura 3.27 – Autotransformador.

Sendo válidas as relações: V 1 N 1 = =m V 2 N 2

(3.74)

I 1 N 2 1 = = I 2 N 1 m

(3.75)

a potência aparente fornecida ao autotransformador é: S1′ = V 1′I 1 = (V 1 + V 2 )I 1 = V 1 I 1

m +1 m

(3.76)

m +1 m

(3.77)

m 1 = S1 + m

e a potência cedida por este é: S2 ′ = V 2 I 2 ′ = V 2 (I 1 + I 2 ) = V 2 I 2

+ = S2 m 1 m

Observa-se que a potência nominal do autotransformador é mais elevada que a correspondente à configuração com dois enrolamentos separados ( S1 = S2 ). Uma vez que a

19

Em geral, despreza-se a resistência.

70


J. Sucena Paiva

corrente em cada enrolamento é a mesma nas duas configurações, as perdas são iguais, donde resulta um aumento do rendimento energético. Esta vantagem, que resulta numa apreciável redução de custo, é tanto maior quanto mais próxima da unidade for a relação de transformação. Por esta razão, em geral usam-se autotransformadores quando a relação de transformação é inferior a 3:1. Duas desvantagens do autotransformador são a ausência de isolamento galvânico entre os enrolamentos e uma corrente de curto-circuito mais elevada, uma vez que a impedância de curto-circuito é menor. Para o auto transformador representado na Figura 3.27, pode verificar-se que a impedância de curto-circuito se reduz para 1 (1 + m ) Z cc .

3.2.7

Transformador Trifásico

Em sistemas trifásicos, pode usar-se um conjunto de três transformadores monofásicos (muitas vezes designado banco de transformadores) ou um transformador trifásico, que se representa na Figura 3.28.

φa

b

φc

Figura 3.28 – Transformador trifásico (tipo core).

Uma vez que as tensões fase-neutro têm simetria trifásica, o mesmo sucede aos fluxos magnéticos no núcleo, cuja soma é nula em qualquer instante. Não é por conseguinte necessário um circuito magnético de retorno, à semelhança do que sucede para a corrente em sistemas trifásicos simétricos. Comparando os dois arranjos, verifica-se que o transformador trifásico é mais compacto e requer menos ferro que o banco de três transformadores sendo, por conseguinte, mais barato. Em contrapartida, do ponto de vista da fiabilidade, o segundo esquema é mais económico, uma vez que é suficiente uma reserva de um transformador monofásico. Já vimos anteriormente que duas configurações são possíveis em sistemas trifásicos: estrela (Y) e triângulo (∆). Daqui resultam os quatro tipos de ligações para os transforma-

J. Sucena Paiva


71

dores trifásicos que se mostram na Figura 3.29: Y/Y, Y/ ∆ ,∆/Y e ∆/∆20 . Nos enrolamentos ligados em estrela o neutro pode ou não estar ligado à terra; nos enrolamentos ligados em triângulo, não existe um ponto neutro. A relação de transformação de um transformador Y/Y ou ∆/∆ é sempre um número real, uma vez que as tensões primárias e secundárias em vazio estão em fase, tal como sucede num transformador monofásico. Note-se que os enrolamentos têm polaridade, assinalada na Figura 3.29 com uma pequena bola preta, aspecto da maior importância em transformadores trifásicos.

20

Os enrolamentos podem ainda ser ligados em zig-zag, o que por vezes se usa em transformadores de

distribuição..

72


J. Sucena Paiva

a

a

n

n c

b

b

c

a

a a

b

n b c

c

b

a

a

c

n b

b

c c a

a

c

b

b

c d

Figura 3.29 – Tipos de ligações de transformadores trifásicos.

J. Sucena Paiva


73

Em transformadores Y/ ∆ ou ∆/Y, contudo, existe uma desfasagem entre as tensões primária e secundária, razão pela qual a relação de transformação é complexa. Considerese o transformador Y/ ∆ representado na Figura 3.30a, ao qual corresponde o diagrama de fasores da Figura 3.30b. Do diagrama de fasores observa-se que : V 2 ac = V 2 a − V 2 c

(3.78)

Tomando V 2 a como referência e a sequência de fases normal a-b-c , temos: V 2 c = V 2 a e120 º

(3.79)

Substituindo esta equação na equação (3.78): ac

V 2

= V 2 a 1 − e j 120 º = 3 V 2 a e − j 30 º

(3.80)

Sendo N 1 e N 2 o número de espiras dos enrolamentos primário e secundário, respectivamente, tem-se: N 1 ac V N 2 2 N = 3 1 V 2 a e − j 30 º N 2

V 1 a =

(3.81)

Concluímos assim que a tensão fase-neutro secundária está desfasada de 30º em avanço, em relação à correspondente tensão primária. Definindo a relação de transformação complexa por: m =

3

N 1 − j 30 º e N 2

(3.82)

a equação (3.81) pode escrever-se: a a V 1 = m V 2

(3.83)

Se porventura fossem trocadas as polaridades das três fases de um dos enrolamentos, o argumento da relação de transformação passaria a ser de +30º.

74


a

J. Sucena Paiva

I1a

Ia2

V1a Iac 2 n

c V1c b

V2a Iba 2

V2ac I1c

a

Ib2

b V2b

Icb 2 Ic2

Ib1

V1b

c V2c

a

V2c

V2a 30º 60º

− V2c

V2b

V1a

V2ac

b

Figura 3.30 – Transformador Y/∆: a) Esquema de ligações; b) Diagrama de fasores.

A relação entre a corrente na fase a do enrolamento primário e a corrente na fase correspondente do enrolamento secundário é: N 1 a I N 2 1

(3.84)

N 1 b N 1 a − j 120 º I = I e N 2 1 N 2 1

(3.85)

ac I 2 =

Por analogia: ba I 2 =

A corrente na linha a do lado secundário é:

J. Sucena Paiva


a I 2 = I 2 ac − I 2 b a =

N 1 a I 1 (1 − e − j 120 º ) N 2

N = 3 1 I 1 a e j 30 º N 2

75

(3.86)

ou seja: a = m ∗ I 1 a I 2

(3.87)

Combinando as equações (3.83) e (3.87) obtém-se: ∗

∗

a 3 V 1 a I 1 a = 3 V 2 a I 2

(3.88)

Esta equação traduz a igualdade entre as potências complexas trifásicas fornecida ao primário e cedida pelo secundário, respectivamente, válida para um transformador ideal.

3.2.8

Transformador com Regulação de Tensão

A regulação de tensão por meio de transformadores consegue-se fazendo variar a relação de transformação, por meio de um comutador de tomadas instaladas num dos enrolamentos, em geral, no de tensão mais elevada – o qual é percorrido pela corrente mais baixa. A comutação das tomadas faz variar a relação de transformação, uma vez que altera o número de espiras do enrolamento. Admitindo que o comutador está instalado no enrolamento primário, tem-se: m=

V 1n ± ∆V 1 V 2n

(3.89)

Em valores p.u.: m = 1 ± ∆V 1

(3.90)

A margem de regulação ∆V está em geral limitada a 10–15% (0,10–0,15 p.u.), tipicamente em escalões de 1%.

76


J. Sucena Paiva

A comutação de tomadas pode ser em vazio ou em carga. Neste último caso, o comutador, accionado por um motor, pode estar integrado num sistema de controlo que automaticamente mantém a tensão num barramento especificado dentro de limites estreitos 21 . Na Figura 3.31a representa-se um transformador com um comutador de tomadas instalado no enrolamento ligado ao nó 1. O transformador pode ser modelado por um transformador ideal com relação de transformação m em série com a impedância de curtocircuito Z c c , conforme se representa na Figura 3.31b. m = 1 ± ∆V 1 2

1 a

1

′ m : 1 I 1

I 1

Z cc

′ V 1

V 1

I 2

2 V 2

b Figura 3.31 – Transformador com regulação de tensão: a) Esquema unifilar; b) Esquema monofásico equivalente ;

Da Figura 3.31b obtêm-se as equações: V 1 V 1′ I 1 I 1′

=m

(3.91)

1 m

(3.92)

=

V cc I 1′ =V 2 +Z 2

(3.93)

Combinando as equações (3.91) e (3.93), obtém-se: V 1

= m (V 2 + Z cc I 2 )

(3.94)

Da equação (3.92), atendendo a que I 1′ = I 2 , vem:

21

Uma vez que a variação da relação de transformação não é contínua, não é possível regular a tensão

J. Sucena Paiva


I 1 =

I 2

77

(3.95)

m

O transformador com regulação de tensão pode ainda ser modelado por um esquema equivalente em π , conforme se representa na Figura 3.32.

1 V 1

m Z c c

I 1

1  1  1  −1  m  m  Z cc

I 2

1 1  1 −    m  Z cc

2 V 2

Figura 3.32 – Esquema equivalente em π do transformador com regulação de tensão.

Do esquema em π retiram-se as equações:

   

V 1 = V 2 1 −

I 1

 1  1  + I 2  m Z cc + V 2 m  Z cc 

1 1 1 1 1 = V 1   − 1   + V 2  1 −   + I 2 m  m  Z cc  m  Z cc

(3.96)

(3.97)

A equação (3.96), após manipulação, devem: V 1

= m (V 2 + Z cc I 2 )

(3.98)

Substituindo na equação (3.97) obtém-se: I 1

=

I 2

m

(3.99)

As últimas duas equações são idênticas às equações (3.94) e (3.95), o que comprova a validade do esquema equivalente em π .

para um valor exacto.

78


J. Sucena Paiva

3.3 Máquina Assíncrona 3.3.1

Introdução

Os motores eléctricos representam uma parcela muito significativa da carga servida pelo Sistema de Energia Eléctrica. O motor de uso corrente nas mais variadas aplicações industriais, comerciais e domésticas é o motor assíncrono – também designado motor de indução – devido à sua simplicidade, robustez, fiabilidade e baixo custo. Um motor assíncrono recebe energia da rede eléctrica e fornece energia mecânica a uma carga: é um conversor electromecânico. A velocidade de rotação em vazio é próxima da de sincronismo – velocidade do campo magnético girante no entreferro – diminuindo à medida que aumenta a potência cedida à carga mecânica – daqui resulta a designação de assíncrono. Em motores trifásicos, o sentido de rotação depende da sequência de fases, que determina o sentido do campo girante: se aquela for invertida – o que se consegue trocando duas fases – o motor passa a rodar em sentido contrário. O motor de indução pode ser trifásico ou monofásico, sendo o último utilizado em aplicações de baixa potência. Tal como a máquina síncrona, a máquina assíncrona é reversível, podendo funcionar como motor ou como gerador. No funcionamento como gerador, a máquina recebe energia mecânica de uma máquina de accionamento e converte-a em energia eléctrica, que é entregue à rede à qual está ligada. A máquina roda com uma velocidade superior à de sincronismo, que aumenta com a potência eléctrica fornecida.

3.3.2


A máquina assíncrona é constituída por um estator, no qual está instalado um enrolamento semelhante ao da máquina síncrona, e um rotor que pode ser de dois tipos. O rotor bobinado possui um enrolamento semelhante ao do estator, cujos terminais estão ligados a anéis metálicos isolados, montados sobre o veio, sendo a corrente conduzida ao exterior através de escovas de carbono que deslizam sobre os anéis. No rotor em gaiola de esquilo – de uso muito mais generalizado, o enrolamento é composto por barras condutoras embebidas em cavas e ligadas em curto-circuito em cada extremo por anéis condutores. Da aplicação de um sistema trifásico de tensões ao enrolamento do estator, resulta no entreferro um fluxo magnético girante à velocidade de sincronismo, o qual induz no enro-

J. Sucena Paiva


79

lamento do rotor uma f.e.m., à semelhança do que se passa num transformador. Uma vez que o rotor está em curto-circuito (rotor em gaiola) ou fechado através de circuito exterior (rotor bobinado), esta f.e.m. dá origem a correntes que circulam no rotor, produzindo um binário motor. Estando o motor em repouso, as correntes no rotor têm uma frequência igual à da tensão de alimentação; à medida que o rotor acelera, por acção do binário motor, aquela frequência vai diminuindo. Se o motor estiver em vazio, a frequência e a amplitude das correntes no rotor são muito próximas de zero, só atingindo este valor devido às inevitáveis perdas mecânica por atrito. Estando o motor a accionar um carga mecânica – que oferece um binário resistente – a frequência e a resultante amplitude das correntes rotóricas terão um valor correspondente ao binário motor necessário para estabilizar a marcha da máquina, a uma velocidade inferior à de sincronismo. Em termos de balanço energético, a energia recebida da rede eléctrica é transferida para o rotor por efeito indutivo, deduzida das perdas no ferro do estator e no cobre do enrolamento respectivo. Subtraindo as perdas no rotor e as perdas mecânicas, obtém-se a potência mecânica final fornecida à carga.

3.3.3

Modelo Matemático

Sendo o estator alimentado por uma tensão trifásica com frequência f e p o número de pares de pólos do enrolamento do estator, a velocidade de sincronismo ns expressa em r.p.m. é: ns =

60 f p

(3.100)

A diferença entre a velocidade de rotação do rotor e a velocidade de sincronismo – que é muito pequena quando o motor está em vazio e vai subindo à medida que a carga aumenta – designa-se por escorregamento s, grandeza que é expressa em p.u. (ou em percentagem): s=

n s − nr ns

(3.101)

Devido à diferença entre a velocidade do campo girante e a do rotor, são induzidas neste tensões com a frequência de escorregamento f r: f r = s f s

(3.102)

80


J. Sucena Paiva

A máquina assíncrona apresenta semelhanças com o transformador (o enrolamento secundário é rotativo), podendo ser modelada pelo esquema equivalente em T , que se representa na Figura 3.33 (as grandezas estão expressas em unidades do Sistema Internacional). Is

jXs

Rs

jXr

Ir Im

Vs

R r s

Gm

jBm

Es

Figura 3.33 – Esquema equivalente em T da máquina assíncrona.

Aplicando a tensão V s ao enrolamento estatórico e subtraindo as quedas de tensão R s I s devida à resistência dos condutores e jX s I s devida à reactância de dispersão, resulta a f.e.m. E s . A corrente de magnetização, tal como no transformador, tem duas componentes – uma em fase e a outra em quadratura – que são tomadas em consideração através da condutância Gm e da susceptância Bm. A f.e.m. induzida no rotor é: E r =

s E s

(3.103)

Sendo R r e X r a resistência e a reactância do rotor (a última referida à frequência do estator), respectivamente, podemos estabelecer a equação: E r =

s E s = I r R r + j (sX r ) I r

(3.104)

 R r + j X  I  r  r  s 

(3.105)

ou ainda: E s =

Esta equação justifica a modelação do rotor no esquema equivalente da Figura 3.33.

J. Sucena Paiva

3.3.4


81

Potência e Binário

A potência consumida na resistência fictícia R /s r corresponde à potência transferida para o rotor P r – igual à potência fornecida pela rede menos as perdas no estator e no circuito magnético: P r = 3

R r 2 I s r

(3.106)

A potência mecânica (desprezando as perdas por atrito) é, por seu lado, igual a P r deduzida das perdas no rotor: P M = P r − 3 R r I r 2 = 3

1 −s R r I r 2 s

(3.107)

Face a este resultado, o esquema equivalente pode ser modificado conforme se mostra na Figura 3.34, no qual a resistência R r( 1-s)/s modela a carga mecânica. Tal como no esquema equivalente do transformador, deslocou-se o ramo transversal para o lado da fonte de tensão, obtendo-se um esquema em L. Note-se que a corrente de magnetização da máquina assíncrona é substancialmente maior que a do transformador, face à corrente de carga, pelo que esta aproximação é aqui mais grosseira. O valor daquela corrente calcula-se por: I m = (Gm

+ jBm )V s

s r Ir R +R

Is

(3.108)

j(Xs+Xr )

Im Rr Vs

Gm

1− s s

jB m

Figura 3.34 – Esquema equivalente em L da máquina assíncrona.

A corrente no rotor I r pode calcular-se por: I r =

V s

R R s + r + j ( X s + X r ) s

(3.109)

82


J. Sucena Paiva

A corrente no estator I s é a soma desta com a corrente de magnetização I m : I s = I m + I r

(3.110)

Note-se que o motor assíncrono representa uma carga indutiva para a rede de alimentação, consumindo potência reactiva dada por: Q r = −3 BmV s2 + 3 ( X s + X r )I r 2

(3.111)

Para além da potência, interessa calcular o binário fornecido pelo motor assíncrono: T =

P M ω r

=

P M ω s (1 − s )

(3.112)

Substituindo a equação (3.106), vem: 3 R r I r 2 T = sωs

(3.113)

donde: I r 2

=

V s2 2

R    R s + r  + ( X s + X r )2 s  

(3.114)

Substituindo na equação (3.113), vem finalmente para o binário:

T =

3 V s2 ωs

R r s 2

R  R s + r   + ( X s + X r )2 s  

(3.115)

A forma geral da característica binário – velocidade para uma máquina assíncrona está traçada na Figura 3.35. A região de funcionamento como motor corresponde a s>0 ou seja, a velocidade de rotação é inferior à de sincronismo; o funcionamento como gerador é caracterizado por s<0, uma vez que a velocidade de rotação é superior à de sincronismo.

J. Sucena Paiva


83

T

Motor

1

0

ωs

0

-1

s

s

ω

Gerador

Figura 3.35 – Característica binário – velocidade da uma máquina assíncrona.

O binário de arranque corresponde a s=1: T arr =

3 V s2 ωs

R r (R s + R r ) + ( X s + X r ) 2

(3.116)

2

Quanto ao binário máximo, pode calcular-se analiticamente derivando em ordem a s, obtendo-se: sT max =

T max

R r R s2

(3.117)

2

+ ( X s + X r )

3 V s2 1 = 2 ω s R + R 2 + ( X + X )2 s s s r

(3.118)

Tem ainda interesse conhecer a corrente de arranque do motor, que pode atingir valores da ordem de seis a sete vezes a corrente nominal. Nesta situação

ω r

= 0 , logo s = 1 . Do

esquema equivalente, desprezando a corrente de magnetização, obtém-se: ar r = I s

V s

R s + R r + j ( X s + X r )

(3.119)

Para reduzir a corrente de arranque, o que é especialmente importante para motores de potência elevada, pode usar-se um arrancador estrela-triângulo, um autotransformador ou ainda um dispositivo electrónico. Em todos os casos, a intenção é reduzir a tensão e, por conseguinte, a corrente, no instante de arranque, em que o motor está parado. Reduz-se

84


J. Sucena Paiva

contudo também o binário de arranque, o que pode ser um inconveniente para alguns tipos de carga mecânica. Estando o enrolamento do motor normalmente ligado em triângulo, o arrancador estrelatriângulo liga-o inicialmente em estrela, pelo que a tensão aplicada a cada fase vem reduzida do factor 3 . O binário vem por consequência reduzido a um terço – ver equação (3.115). Após o motor atingir uma velocidade suficiente, o enrolamento é automaticamente ligado em triângulo. Tanto o autotransformador como os dispositivos electrónicos permitem controlar de forma mais gradual e precisa a tensão aplicada ao motor, sendo o seu custo contudo mais elevado.

3.3.5

Funcionamento como Gerador

Conforme já referido, a máquina assíncrona também pode funcionar como gerador, sendo usada em alguns tipos de centrais de baixa potência, alimentadas por fontes renováveis (em particular, centrais eólicas). A corrente de magnetização necessária ao estabelecimento do campo magnético no entreferro é fornecida pela rede eléctrica, contrariamente ao que se passa na máquina síncrona que possui um sistema de excitação próprio. O funcionamento como gerador é caracterizado por s<0, a resistência equivalente R r (1 − s ) s devém negativa, e o mesmo sucede à potência mecânica – equação (3.107)

e à potência activa. A máquina assíncrona recebe por conseguinte energia mecânica (de uma máquina motriz) e fornece energia eléctrica à rede. Do esquema equivalente da Figura 3.34 verifica-se que, embora a potência activa absorvida da rede se torne negativa, a potência reactiva se mantém positiva. O gerador assíncrono é por conseguinte, um consumidor de energia reactiva, a qual deve ser compensada por meio de uma bateria de condensadores. Esta pode ser dimensionada para tornar o gerador um fornecedor líquido de potência reactiva, se as condições de funcionamento da rede o exigirem. Um gerador assíncrono rodando em vazio com um condensador ligado aos seus terminais pode autoexcitar-se, dependendo do valor da respectiva capacidade. Na Figura 3.36 mostra-se a característica em vazio da máquina (f.e.m. em função da corrente de excitação) – na qual é visível o efeito da saturação do ferro – bem como a recta V = I ω C que caracteriza o condensador. O cruzamento das duas linhas define o ponto de funcionamento da máquina, caracterizado pela f.e.m. E e pela corrente de magnetização I m.

J. Sucena Paiva


V

85

Característica em vazio

E

Condensador

I

Im

Figura 3.36 – Autoexcitação da máquina assíncrona.

A ligação do gerador assíncrono à rede pode ser levada a cabo, quer directamente com a máquina rodando a uma velocidade próxima da nominal – que dá lugar a um pico de corrente resultante de o campo magnético no entreferro ser nulo – quer autoexcitando-a por meio de uma bateria de condensadores de valor adequado e fazendo o paralelo de forma semelhante ao de uma máquina síncrona – que não dá origem a qualquer sobrecorrente.

3.4 Caracterização das Cargas 3.4.1

Tipologia

Denomina-se carga um equipamento ou conjunto de equipamentos ligado á rede, que absorve energia eléctrica. As cargas típicas têm carácter indutivo, e são especificadas pelas potências activa P C e reactiva QC ou pela potência activa P C e factor de potência cos φ (em alternativa, pode usar-se a tan φ ): cos φ =

P C P C 2 + QC 2

tan φ =

QC P C

As cargas agrupam-se em quatro grandes tipos:

(3.120)

(3.121)

86


J. Sucena Paiva

• Motores; • Iluminação; • Aquecimento e refrigeração; • Aparelhos electrónicos. A carga servida por um SEE é influenciada por um grande número de factores, que se podem classificar em dois grandes grupos: factores temporais e factores climáticos. Os primeiros relacionam-se com a periodicidade diária, semanal e sazonal, períodos de férias e ainda com as tendências de crescimento (ou diminuição) anual. Os segundos incluem a temperatura, a humidade, a visibilidade e a velocidade do vento. Para além destes, existem factores aleatórios, devidos à própria natureza estatística das cargas, a acontecimentos especiais e avarias inesperadas. São correntemente utilizados modelos para a previsão do valor da carga em cada barramento da rede, bem como da carga total, quer num horizonte de curto quer de médio ou longo prazo.

3.4.2

Elasticidades

Um aspecto importante, que caracteriza as cargas, é a sua dependência em relação à tensão e à frequência: P C = f ( V , f ) QC = g ( V , f )

(3.122)

Para pequenas variações da tensão e da frequência em torno de um valor de referência: V = V o + ∆V f = f o + ∆ f

(3.123)

resulta: P C = P C o + ∆P C QC = QC o + ∆QC

onde:

(3.124)

J. Sucena Paiva


87

∂ P C V + ∂ P C f ∆ ∆ ∂ V ∂ f ∂ QC ∂ QC ∆QC ≈ ∆V + ∆f ∂ V ∂ f

(3.125)

P C V o ∆V ∂ P C f o ∆f ∂ ≈ + P C o ∂ V P C o V o ∂ f P C o f o ∆QC ∂ QC V o ∆V ∂ QC f o ∆f ≈ + o QC ∂ V QC o V o ∂ f QC o f o

(3.126)

∆P C ≈

ou ainda: ∆P C

Definem-se as elasticidades das potências activa e reactiva em relação à tensão e à frequência (grandezas adimensionais):

• Elasticidade da potência activa em relação à tensão ∂ P C V o ε v = ∂ V P C o

(3.127)

• Elasticidade da potência reactiva em relação à tensão ∂ QC V o ηv = ∂V QC o

(3.128)

• Elasticidade da potência activa em relação à frequência ε f

=

∂ P C f o ∂ f P C o

(3.129)

• Elasticidade da potência reactiva em relação à frequência ηf

∂ QC f o = ∂ f QC o

(3.130)

Fazendo uso destas grandezas e tomando para valores de referência da tensão e da corrente os valores nominais as equações (3.126) transformam-se em: ∆P C

≈ ε v ∆V pu + ε f ∆f pu P C o ∆QC ≈ ηv ∆V pu + ηf ∆f pu o QC

(3.131)

88


3.4.3

Elasticidade em Relação à Tensão

J. Sucena Paiva

Esta é a grandeza mais importante, uma vez que em redes interligadas com elevada potência girante, a frequência é regulada dentro de limites muito estreitos. Um modelo frequentemente adoptado exprime as potências activa e reactiva como uma potência da tensão: P C = C P V k P

(3.132)

QC = C Q V k Q

(3.133)

Da equação (3.132), derivando em ordem a V : k  ∂ P C  C P V o P o k P −1   = k P  = k P C P V V o  ∂ V  V o

=

(3.134)

P o k P C o V

donde, por substituição na equação (3.127): ε v

= k P

(3.135)

Para a potência reactiva, podemos deduzir uma expressão análoga: ηv

= k Q

(3.136)

• Carga Modelada por Impedância Constante Para uma carga passiva, modelada por uma admitância constante, ligada a um barramento com tensão V , a potência absorvida calcula-se por: ∗ ∗ ∗ S C + j QC = V I C = P C = V Y C V

= Y C ∗ V 2

(3.137)

As potências activa e reactiva de carga são especificadas para o valor da tensão nominal (igual a 1,0 p.u.). Então, a admitância equivalente, em valores p.u. calcula-se por: ∗ = Y C = S C

Da equação (3.137), atendendo a que

P C − j QC

(3.138)

Y C = GC + j BC , retira-se:

P C = GC V 2

(3.139)

J. Sucena Paiva


QC = − BC V 2

89

(3.140)

Estas equações revelam que P C e QC variam com o quadrado da tensão. Das equações (3.135) e (3.136) conclui-se então que:

=2 ηv = 2 ε v

(3.141)

Para uma carga modelada por impedância constante, as elasticidades em relação à tensão são iguais a 2.

• Carga Modelada por Corrente Constante Para uma carga modelada por uma corrente com amplitude I C e desfasagem em relação à tensão φ C constantes, retirada de um barramento com tensão V , a potência absorvida calcula-se por: S C + j QC C = P

= V I C e j φC

(3.142)

O ângulo φ C considera-se positivo quando a corrente está em atraso relativamente à tensão. Admitindo, como é normal, que as potências activa e reactiva são especificadas para o valor nominal da tensão (V=1,0 p.u.), os valores de I C e φ C são calculados por: 2 I C = P C 2 + QC

φC

 Q  = a tan  C   P C  

(3.143) (3.144)

Para valores variáveis da tensão, as potências activa e reactiva de carga são então dadas por: P C = V I C cos φC

(3.145)

QC = V I C sen φC

(3.146)

Estas equações revelam que P C e QC variam linearmente com a amplitude da tensão, uma vez que I C e φ C são constantes. Das equações (3.135) e (3.136) conclui-se então que:

90


J. Sucena Paiva

=1 ηv = 1 ε v

(3.147)

Para uma carga modelada por corrente constante, as elasticidades em relação à tensão são unitárias.

• Carga Modelada por Potência Constante Nesta hipótese, as potências são constantes, não variando com a tensão, logo:

=0 ηv = 0 ε v

(3.148)

Para uma carga modelada por potência constante, as elasticidades em relação à tensão são nulas.

• Carga Composta A carga ligada a cada barramento do sistema eléctrico é composta por parcelas com elasticidades diferentes, podendo com generalidade ser descrita pela equações: P C =

∑C V i

QC =

P i

ε vi

∑C V i

Qi

ηvi

(3.149)

(3.150)

O número de termos do somatório e o valor das constantes podem ser determinados a partir de modelos físicos das cargas ou por dados experimentais. Na prática, usam-se muitas vezes valores médios aproximados, obtidos empiricamente para uma carga típica22 , considerando-se unitário o número de termos do somatório:

= 1 ,0 ηv = 1,3 ε v

22

(3.151)

Para uma carga típica é determinante o peso dos motores de indução, cuja elasticidade da potência

activa em relação à tensão é praticamente nula .

J. Sucena Paiva

3.4.4


91

Elasticidade em Relação à Frequência

Para uma carga modelada por uma impedância constante, é possível calcular analiticamente a elasticidade em relação à frequência. Das equações (3.139) e (3.140), tendo presente que: GC =

R c 2 R C + X C 2

BC = −

X c 2 R C 2 + X C

X C = ω L = 2 π f L

(3.152)

(3.153) (3.154)

e usando as equações (3.129) e (3.130), obtém-se: X C 2 = −2 sen 2φC ε f = −2 2 2 R C + X C

(3.155)

2 R C − X C 2 = 1 − 2 sen 2 φC ηf = 2 2 R C + X C

(3.156)

Note-se que a elasticidade da potência activa em relação à frequência tem sempre um valor negativo para cargas deste tipo. Contudo, para uma carga típica, devido ao peso dos motores de indução, a elasticidade em relação à frequência é positiva, uma vez que a sua velocidade e, por conseguinte, a potência fornecida, é proporcional àquela. Um valor empírico habitualmente utilizado é: ε f

= 1,0

(3.157)

A elasticidade da potência reactiva em relação à frequência não tem interesse prático, não se indicando, por conseguinte, um valor típico.

3.5 Sumário Neste capítulo apresentaram-se os princípios de funcionamento e os modelos matemáticos das máquinas rotativas mais usuais – síncrona e assíncrona – e do transformador, componentes básicos do Sistema de Energia Eléctrica. A máquina síncrona, o elemento mais complexo e versátil, foi abordado em primeiro lugar. Apresentou-se o princípio de funcionamento e o modelo matemático em regime estacio-

92


J. Sucena Paiva

nário, bem como as respectivas características em vazio e em curto-circuito. Deduziramse em seguida as expressões das potências activa e reactiva trocadas entre a máquina e a rede e discutiu-se o efeito da saliência, o qual dá lugar à distinção entre as reactâncias segundo os eixos directo e de quadratura. Finalmente analisaram-se os modos de operação da máquina, em particular quando está integrada numa rede síncrona. O transformador, elemento omnipresente em redes eléctricas é uma máquina estática, cujo princípio de funcionamento e modelação matemática é mais simples que o da máquina síncrona. Dado que funciona com fluxo magnético no núcleo essencialmente constante, é possível usar um modelo linear – representado por esquema equivalente em T – no qual em muitas aplicações se despreza o ramo transversal, resultando numa simples impedância longitudinal. Analisaram-se os vários tipos de transformadores, nomeadamente, trifásicos, de três enrolamentos, autotransformadores e com regulação de tensão. Foi ainda abordada a máquina assíncrona, usada generalizadamente como motor nos mais diversos accionamentos electromecânicos, graças à sua simplicidade, robustez, e baixo custo. Estabeleceu-se o respectivo modelo matemático e esquema equivalente em T , o qual exibe semelhanças com o do transformador. A potência e o binário mecânicos foram obtidos deste modelo, válido quer para o funcionamento como motor quer como gerador. Formulou-se o cálculo da corrente de arranque de um motor assíncrono, a qual origina na rede de alimentação perturbações que se amplificam com a potência do motor. A concluir, abordou-se sumariamente o funcionamento desta máquina como gerador. A finalizar, analisou-se a natureza das cargas ligadas à rede eléctrica, introduziu-se o conceito de elasticidade da potência activa e reactiva em relação à tensão e à frequência e apresentaram-se os modelos correntemente utilizados na análise de sistemas de energia.

C A PÍTU L O 4

LINHA ELÉCTRICA DE ENERGIA

4.1 Introdução As linhas linhas asseguram asseguram o transport transporte e e distribuiçã distribuição o da energia energia eléctrica eléctrica desde as centrais centrais produtoras até aos consumidores finais. A transmissão de energia é realizada pelo campo electromagnético criado pela tensão entre os condutores e pela corrente que neles flui. Na maioria dos casos, as linhas são aéreas, constituídas por condutores – de alumínio alumínio ou ou de cobre – apoiados em ou suspensos de isoladores em postes de madeira, de betão ou metálicos. Sujeitos ao seu próprio peso e a uma força longitudinal, os condutores descrevem uma linha designada catenária – a qual para vãos (distância entre postes) relativamente curtos se aproxima de uma parábola. Em zonas urbanas as linhas podem ser enterradas, sendo designadas por cabos subterrâneos; quando atravessam troços de mar são referidas por cabos submarinos. Note-se que a distância máxima a que é possível transportar energia eléctrica em corrente alternada por meio de cabos subterrâneos subterrâneos ou submarinos é limitada a poucas dezenas de quilómetros 23 . A tensão tensão nominal nominal de uma linha linha condiciona condiciona a sua capacidade capacidade de transpo transporte: rte: quanto quanto mais elevada for aquela, maior é a potência transportável. As tensões mais altas exigem naturalmente níveis de isolamento mais elevados, bem como (para as linhas aéreas) maiores distâncias entre condutores e entre estes e a terra; as estruturas de suporte são correspondentemente de maiores dimensões. Embora o cobre tenha uma condutividade quase dupla do alumínio, este material prevalece na construção de linhas por razões de custo e de peso mais baixos. Acresce que um condutor de alumínio tem um diâmetro superior ao do equivalente em cobre, o que reduz

23

Por este motivo, usa-se a corrente contínua, quando a distância a vencer é demasiado grande para o

transporte em corrente alternada.

94


J. Sucena Paiva

o campo eléctrico na respectiva superfície. Quando este campo excede um dado valor (da ordem dos 3 000 kV/m), manifesta-se o fenómeno da disrupção e ionização do ar envolvente, designado efeito de coroa – que provoca perdas adicionais e interferências nas comunicações. Para tensões acima de 220 kV, é de regra usar condutores em feixe – ou seja dois a quatro condutores por fase – o que reduz consideravelmente o campo eléctrico à superfície dos condutores bem como a reactância da linha, aumentando a sua capacidade de transporte. A forma const construtiva rutiva dos conduto condutores res para para linhas linhas aéreas aéreas mais mais usual usual consiste consiste de um um núcleo núcleo central de fios de aço entrançados, que proporcionam resistência mecânica, envolvidos por várias camadas de fios de alumínio igualmente entrançados, que asseguram a condução da corrente eléctrica – designado condutor de alumínio-aço. Para os cabos subterrâneos – que podem ser monofásicos ou trifásicos – usa-se o alumínio ou o cobre, sendo o isolamento assegurado modernamente por plásticos da família dos polietilenos (no passado usava-se o papel impregnado de óleo). Envolvendo os condutores isolados, existe em geral uma bainha de chumbo, para protecção contra a humidade. Os parâmetros que caracterizam as linhas eléctricas são a impedância longitudinal e a admitância transversal. transversal. A resistência e a reactância longitudinais são utilizados na generalidade dos modelos; a susceptância transversal quando o comprimento da linha excede determinados limites; a condutância transversal é em geral ignorada. Estes parâmetros são distribuídos ao longo da linha, exprimindo-se em Ω/km ou S/km, consoante se trate de impedância ou admitância, respectivamente. A circunstância de ser caracterizada por parâmetros distribuídos, distingue a linha de um circuito de parâmetros concentrados: o tempo de propagação do campo electromagnético – que viaja à velocidade da luz – é não nulo.

4.2 Resistência e Condutância Transversal A resistência resistência de uma linha linha é o parâmet parâmetro ro que condic condiciona iona as as perdas perdas (por (por efeito efeito de Joule), Joule), donde a sua importância. Em corrente contínua, a resistência R , expressa em Ω/m é dada pela expressão:

J. Sucena Paiva

Linha Eléctrica Eléc trica de Energia

R =

ρ

95

(4.1)

S

onde ρ é a resistividade do material ( Ω.m) e S a secção do condutor (m 2). A resistência resistência varia com a temperatu temperatura, ra, sendo sendo em geral geral especificada especificada para para 20º C. A qualqualquer outra temperatura, pode obter-se pela expressão: R 2 = R 1 [1 + α (T 2 − T 1 )]

(4.2)

R 1 e R 2 2 são as resistências às temperaturas T 1 e T 2 2 , respectivamente e α o coeficiente de temperatura. temperatura. No Quadro 4.1 indicam-se indicam- se os valores da resistividade resistividade a 20º C e o coeficicoeficiente de temperatura temperatura para vários materiais materiai s condutores. Quadro 4.1 – Resistividade e Coeficiente de Temperatura para vários Materiais Condutores

Material

Resistividade (µΩ.cm )

Coef. Temperatura

Aço

12-88 12-88

0,0010,001-0,0 0,005 05

Alumín Alumínio io

2,83 2,83

0,0039 0,0039

Bronze Bro nze

13-18

0,0005

Cobre

1,77

0,00382

Prata

1,59

0,0050

As variaçõe variaçõess da resist resistência ência com a temperatur temperatura a não são muito muito signif significati icativas. vas. Por exemplo, exemplo, para o cobre uma variação de temperatura de 0º para 40º C resulta numa variação de resistência de 17%. O cálculo da resistência pela equação (4.1) tem algumas limitações, nomeadamente:

• Sendo habitualmente os condutores entrançados e não sólidos, o comprimento de cada fio é ligeiramente superior ao do próprio condutor.

• A corrente alternada não se distribui uniformemente pela secção do condutor, fenómeno conhecido por efeito pelicular , que resulta da distribuição não uniforme do fluxo magnético no interior do condutor. A resistência em corrente alternada é por este motivo superior à resistência em corrente contínua, devido à redução efectiva da secção.

96


J. Sucena Paiva

• Além deste, existe ainda um efeito de proximidade, que reforça a distribuição não uniforme do fluxo dentro do condutor, devido à indução mútua entre os condutores de uma linha. Este efeito é em geral desprezável à frequência nominal de 50 Hz.

• A resistência de condutores magnéticos (como seja o aço em condutores de alumínio-aço), varia com a intensidade da corrente, uma vez que o fluxo e as perdas magnéticas dependem daquela. Na prática, a resistência dos variados tipos de condutores usados é obtida com recurso às tabelas fornecidas pelo fabricantes. Para a condutância transversal G não existe uma fórmula utilizável na prática. Esta condutância é devida à corrente de fuga entre os condutores e a terra, a qual flui essencialmente pela superfície das cadeias de isoladores. Ela depende fortemente das condições atmosféricas, em particular da humidade, da poluição e da sujidade em geral, que condicionam igualmente o efeito de coroa. Em condições normais de operação, a condutância transversal das linhas é desprezada, em parte devido ao seu reduzido valor e em parte devido à deficiente caracterização da física do fenómeno.

4.3 Reactância A reactância longitudinal (ou simplesmente reactância) X = ω L – onde L é o coeficiente de auto-indução (ou indução própria) e

ω

= 2 πf é a frequência angular – é o parâmetro

mais importante de uma linha eléctrica de energia. A reactância tem a maior influência na capacidade de transporte e na queda de tensão na linha. O coeficiente de auto-indução L de um circuito é a relação entre o fluxo magnético λ ligado e a corrente I que percorre o circuito: L=

λ

I

(4.3)

Recorde-se que o fluxo se exprime em Weber (Wb), e que a unidade do coeficiente de indução é o Henry (H). Em linhas eléctricas, devido ao seu carácter de circuitos com parâmetros distribuídos, o coeficiente de auto-indução calcula-se por metro de comprimento, exprimindo-se por conseguinte em H/m.

J. Sucena Paiva

4.3.1


97

Linha Monofásica

Vamos em primeiro lugar calcular o coeficiente de indução de uma linha monofásica com dois condutores, representada na Figura 4.1. Consideram-se por razões de generalidade que os dois condutores têm raios diferentes, ainda que na prática eles sejam normalmente iguais. 2r 2

2r 1

2

1 D

Figura 4.1 – Linha monofásica com dois condutores.

O coeficiente de auto-indução do circuito correspondente ao condutor 1 é soma de duas componentes: uma devida ao fluxo interno ao condutor; a outra devida ao fluxo que se fecha no exterior do condutor. Para o cálculo da primeira componente, considere-se o condutor de raio r , representado na Figura 4.2.

B

x

dx r

Figura 4.2 – Fluxo no interior de um condutor maciço de raio r .

Sendo I a corrente total no condutor e admitindo uma densidade de corrente uniforme (o que equivale a ignorar o efeito pelicular), a corrente dentro do cilindro de raio x é dada por: x 2 I ( x ) = 2 I r

(4.4)

98


J. Sucena Paiva

As linhas de densidade de fluxo são concêntricas com o eixo do condutor. Aplicando a lei de Ampere, obtém-se o campo magnético H : H ( x ) =

1 x I ( x ) = I 2 π x 2 π r 2

(4.5)

Sendo µ a permeabilidade relativa do material do condutor e µ0 a permeabilidade do ar, a indução magnética, expressa em Tesla ( T = Wb/m 2), é: µµ 0 x

B( x ) =

2 π r 2

(4.6)

I

O fluxo ligado d λ devido à corrente I(x), circulando num elemento tubular de espessura dx , por unidade de comprimento da linha, é: d λ =

µµ0 x x 2

2 π r 2 r 2

3

I dx =

µµ0 x

2 π r 4

I dx

(4.7)

Integrando entre x=0 e x=r , obtém-se o fluxo total, expresso em Wb/m: λ

=

3

r

µµ 0 x

0

2 π r 4

∫

I dx =

µµ0

8 π

I

(4.8)

Usando a equação (4.3), substituindo o valor de µ 0 = 4π x 10 − 7 H/m e admitindo que a permeabilidade relativa µ do condutor é unitária, obtém-se finalmente para o coeficiente de auto-indução devido ao fluxo interno, expresso em H/m: 1 Lint = x 10 −7 2

(4.9)

Note-se que este coeficiente não depende da secção do condutor. Quanto ao coeficiente de auto-indução devida ao fluxo exterior ao condutor, calcule-se em primeiro lugar o campo magnético à distância x do eixo respectivo ( x>r ): H ( x ) =

1 I 2 π x

(4.10)

O fluxo d λ ligado com a corrente total I , circulando num elemento tubular de espessura dx , por unidade de comprimento da linha, é: d λ =

µµ 0

I dx 2 π x

(4.11)

J. Sucena Paiva


99

O fluxo total entre dois pontos à distância D1 e D2 , respectivamente, conforme representado na Figura 4.3, calcula-se por integração: λ

=

D2

∫

D1

µµ D I dx = 0 ln 2 I 2 π x 2 π D1 µµ 0

B1

(4.12)

B2

r D1 D2

Figura 4.3 – Fluxo exterior ao condutor.

Fazendo uso da equação (4.3) e substituindo os valores de µ=1 e µ 0 = 4π x 10 −7 H/m, vem finalmente: Lext = (2 x 10 −7 )ln

D2 D1

(4.13)

Reconsiderando a linha monofásica de dois condutores da Figura 4.1, fazendo D1 = r e D2 = D , o coeficiente de auto-indução correspondente ao fluxo exterior ao condutor 1 é

dada por: L1 ext = (2 x 10 −7 )ln

D r 1

(4.14)

O coeficiente de auto-indução total é então a soma das duas componentes:

 1  + ln D  r 1   4 

(4.15)

 1  + ln D  r 2   4 

(4.16)

L1 = (2 x 10 −7 ) 

Quanto ao condutor 2, tem-se: L2 = (2 x 10 −7 ) 

100


J. Sucena Paiva

O coeficiente de auto-indução total da linha L = L1 + L2 , admitindo que os dois condutores são iguais ( r 1 = r 2 ), é dada pela expressão:

 1 + ln D   r   4

L = (4 x 10 −7 ) 

(4.17)

Definindo o raio equivalente 24 do condutor r’ por r ′ = r e −1 4

(4.18)

vem finalmente: L = (4 x 10 −7 )ln

D r ′

(4.19)

Note-se que, devido à função logaritmo, o coeficiente de auto-indução varia relativamente pouco com o distância entre condutores e o respectivo raio. Também, o contributo do fluxo interno do condutor representa em geral menos de 5% do valor total.

4.3.2

Linha com n Condutores

Para alargar a análise a linhas com n condutores, é útil considerar que os dois condutores da linha equivalem a dois circuitos eléctricos magneticamente acoplados, conforme se representa na Figura 4.4. v1

1

i 2r 1

D

L11 M12

2

i 2r 2

L22 v2

Figura 4.4 – Linha monofásica considerada como dois circuitos magneticamente acoplados.

24

Também desig nado raio médio geométrico.

J. Sucena Paiva


101

Ignorando a resistência, e sendo i a corrente que percorre a linha, a queda de tensão por unidade de comprimento ∆v em cada condutor pode escrever-se: d i d i − M 12 d t d t

(4.20)

d i d i − L 22 d t d t

(4.21)

∆v 1

= L11

∆v 2

= M 12

onde L11 e L22 são os coeficientes de indução própria de cada condutor e M 12 o coeficiente de indução mútua entre eles:

 1 1  L11 = (2 x 10 −7 ) + ln  r 1   4 

(4.22)

 1 1  L22 = (2 x 10 −7 ) + ln  r 2   4 

(4.23)

M 12 = (2 x 10 −7 )ln

1 D

(4.24)

Em regime alternado sinusoidal, usando a notação simbólica, as quedas de tensão em cada condutor são: ∆V 1 = j ω

(L11 − M 12 ) I =

  = j ω (2 x 10 −7 )  1 + ln 1 − ln 1   I = 4 r D 1    1 D  = j ω (2 x 10 −7 )  + ln  I r 1   4 

(4.25)

∆V 2 = j ω (L22 − M 12 ) I =

 1 1 1  = j ω (2 x 10 −7 )  + ln − ln   I = 4 r D 2    1 D  = j ω (2 x 10 −7 )  + ln  I  4 r 2  

(4.26)

Usando as equações (4.15) e (4.16), vem: ∆V 1 = j ω L1 I

(4.27)

∆V 2 = j ω L2 I

(4.28)

102


J. Sucena Paiva

L1 e L2 são os coeficientes de auto-indução dos condutores 1 e 2, respectivamente, que já têm em conta a influência da indução mútua entre eles: L1 = L11 − M 12

(4.29)

L2 = L22 − M 12

(4.30)

A queda de tensão total na linha é: ∆V = ∆V 1 + ∆V 2 = j ω (L11

+ L22 − 2 M 12 ) I

(4.31)

Substituindo os valores de L11 , L22 e M 12 : ∆V = j ω (2 x 10

−7

)   1 + ln 1 + 1 + ln 1 − 2 ln 1    I =

r 1 4 r 2  4  1 D   I = j ω (4 x 10 −7 )  + ln 4 r 1 r 2   

D 

(4.32)

Admitindo que os dois condutores são iguais ( r 1 = r 2 ) vem: ∆V = j ω (4 x 10

−7

)   1 + ln D   I =  4

r 

= j ω (4 x 10 −7 )ln D I r ′

(4.33)

onde r’ é o raio equivalente do condutor, dado pela equação (4.18). Esta equação confirma – confronte-se com a equação (4.19) – que o coeficiente de autoindução total da linha é: L = (4 x 10 −7 )ln

D r ′

(4.34)

Generalizando ao caso de uma linha com n condutores, que se representa esquematicamente na Figura 4.5, os coeficientes de indução própria e mútuas são:

 1 1  1 −7 = Lii = (2 x 10 −7 ) + ln  2 x 10 ln r i  r i ′  4  M ij = (2 x 10 −7 )ln

1 D ij

(4.35)

(4.36)

J. Sucena Paiva


103

L11 1

1 ii

i

ii

ij

ij

2r i

jj

j

Lnn n

Figura 4.5 – Linha com n condutores.

A queda de tensão

∆V i

por metro de condutor escreve-se, por analogia com as equações

(4.25) ou (4.26), e considerando o mesmo sentido positivo das correntes nos n condutores: n

∆V i = j ω Lii I i +

∑ j ω M I

(4.37)

ij j

j =1 j ≠i

4.3.3

Linha Trifásica

Vamos agora aplicar ao caso de uma linha trifásica, com os condutores colocados nos vértices de um triângulo equilátero, conforme ilustrado na Figura 4.6a.

ia D

ib

ib

ic

ic

D D

D

D

Figura 4.6 – Linha trifásica: a) Condutores equidistantes; b) Condutores em esteira.

A queda de tensão por unidade de comprimento do condutor da fase a é: ∆V a = j ω L aa I a

+ j ω M ab I b + j ω M ac I c 1 1 1  = j ω (2 x 10 −7 )   ln I a + ln I b + ln I c  D D   r ′

(4.38)

104


J. Sucena Paiva

Admitindo simetria das correntes: I a + I b + I c =

(4.39)

0

vem: ∆V a = j ω (2 x 10

−7

)   ln 1′ I a − ln 1 I a   =  r

D



= j ω (2 x 10 −7 ) ln D I a r ′

(4.40)

Expressões análogas se podem escrever para as fases b e c : ∆V b = j ω (2 x 10 −7 )ln

D I r ′ b

(4.41)

∆V c = j ω (2 x 10 −7 )ln

D I r ′ c

(4.42)

A queda de tensão em cada fase só depende da corrente nessa fase, o que permite a análise por fase usando o esquema monofásico equivalente: L = (2 x 10 −7 )ln

D r ′

(4.43)

Note-se que este coeficiente de indução própria é metade da correspondente a uma linha monofásica – veja-se a equação (4.34). Se os condutores não forem equidistantes e sendo Dab , Dbc e Dac as distâncias entre os três condutores tomados dois a dois, as quedas de tensão nas três fases escrevem-se: ∆V a = j ω Laa I a

+ j ω M ab I b + j ω M ac I c  1 1 1  I b + ln I c  = j ω (2 x 10 −7 )  ln I a + ln  ′ r D D   ab ac + j ω M bc I c + j ω M ac I a  1  1 1 I c + ln I a  = j ω (2 x 10 −7 )  ln I b + ln Dbc Dac   r ′ 

(4.44)

∆V b = j ω L bb I b

∆V c = j ω Lcc I c + j ω M ac I a

(4.45)

+ j ω M bc I b

 1  1 1 I a + ln I b  = j ω (2 x 10 −7 )  ln I c + ln D ac D bc   r ′ 

(4.46)

J. Sucena Paiva


105

Neste caso existe acoplamento entre fases, resultante de a linha não ser um elemento simétrico, o que em princípio impossibilita a análise monofásica equivalente. Contudo, a transposição dos condutores da linha – que se representa na Figura 4.7 – permite torná-la aproximadamente simétrica. Com esta técnica, os condutores vão sendo permutados circularmente, em troços equidistantes, de forma que cada um ocupa sequencialmente as três posições possíveis.

a

c

b

b

a

c

c

b

a

∆V a′

V a′′

∆V a′′

Figura 4.7 – Linha trifásica transposta.

Para cada troço da linha transposta aplicam-se as equações (4.44), (4.45), e (4.46). A queda de tensão na fase a é então a média das quedas de tensão em cada troço: ∆V a =

∆V a ′ + ∆V a ′′ + ∆V a ′′

3

=

  1 1 = 1 j ω (2 x 10 −7 )  3 ln 1 I a + ln I b + ln I c  3 Dab Dbc Dac Dab Dbc Dac   r ′ 

(4.47)

Atendendo à equação (4.39), vem: ∆V a =

 1  1 1  j ω (2 x 10 −7 )  3 ln − ln  I a = ′ 3 r D D D ab bc ac  

= j ω (2 x 10 −7 )ln

3

(4.48)

Dab Dbc Dac I a r ′

Concluímos que, para a linha transposta, é válida a análise monofásica equivalente, uma vez que a queda de tensão em cada fase depende apenas da corrente nessa fase. O coeficiente de auto-indução por fase (H/m) calcula-se então por: L = (2 x 10 ) ln −7

3

DabDbc Dac r ′

(4.49)

Confrontando com a equação (4.43), verifica-se que se usa a média geométrica das distâncias entre os três condutores, tomados dois a dois.

106


J. Sucena Paiva

Para uma linha com configuração em esteira – Figura 4.6b – a média geométrica das distâncias entre condutores é 3 2 D D D = 3 2 D , pelo que a equação anterior devém: L = (2 x 10 )ln −7

4.3.4

3

2 D r ′

(4.50)

Linha Trifásica com Dois Condutores em Feixe

Consideremos por último uma linha trifásica com dois condutores em feixe – Figura 4.8 – que é usual para o nível de tensão de 400 kV. Vamos calcular o coeficiente de autoindução para uma configuração em esteira, transposta, sendo d a distância entre os condutores da mesma fase e D a distância entre fases. 1

5

4

3

2

c

b

a

6

d D

D

Figura 4.8 – Linha trifásica com dois condutores em feixe.

Admitindo que a corrente por fase se reparte igualmente pelos dois condutores, a queda de tensão por unidade de comprimento no condutor 1 25 (fase a) no primeiro troço é:

 1 I a + ln 1 I a + ln 1 I b + ln 1 I b + ln 1 I c + ln 1 I c   (4.51) ′ r 2 d 2 D 2 D d 2 2 D 2 2 D d 2 + +  

′ = j ω (2 x 10 −7 ) ln ∆V a

Dado que d<
′ = j ω (2 x 10 ∆V a

−7

)   ln 1 + ln 1   I a + ln 1 I b + ln ′  r

d  2

D

1  I 2 D c 

(4.52)

No segundo troço da linha transposta, a queda de tensão para os condutores ocupando as posições 3 ou 4 é:

25

O mesmo valor se obteria para o condutor 2 .

J. Sucena Paiva


1 I a ′ r d

′′ = j ω (2 x 10 −7 ) ln ∆V a

107

(4.53)

No terceiro troço, a queda de tensão para os condutores ocupando as posições 5 ou 6 é:

′′′ = j ω (2 x 10 ∆V a

−7

)   ln 1 + ln 1   I a + ln ′  r

d  2

1 1  I b + ln I c  2 D D 

(4.54)

Tomando a média destes três equações, vem para a queda de tensão na fase a: ∆V a = j ω (2 x 10

−7



)  ln

3



2 D   I a ′ r d  

(4.55)

O coeficiente de auto-indução por fase é, por conseguinte; L = (2 x 10

−7

) ln

3

2 D r ′d

(4.56)

O cálculo numérico do coeficiente de auto-indução de uma linha com dois condutores em feixe revela um valor da ordem de 30% inferior ao de uma linha com um condutor por fase. No caso geral de uma linha trifásica com m condutores em feixe por fase, sendo Dab , Dbc e Dac as distâncias entre os centros dos feixes e R o respectivo raio, o coeficiente de auto-indução por fase é dada por: L = (2 x 10 −7 ) ln

3

Dab D bc D ca

m m r R m−1

′

(4.57)

A relação entre o raio do feixe R e a distância d entre os condutores é: d = 2 R sen

π

m

(4.58)

4.4 Admitância Transversal A admitância transversal de uma linha reduz-se na generalidade dos casos à respectiva susceptância B = ω C , onde C denota a capacidade electrostática entre os condutores, uma vez que se despreza a condutância.

108


J. Sucena Paiva

A capacidade define-se como o quociente entre a carga electrostática Q e a tensão (diferença de potencial) V entre dois objectos metálicos separados por um dieléctrico: C =

Q V

(4.59)

A carga exprime-se em Coulomb (C) e a capacidade em Farad (F), que corresponde ao Coulomb/Volt . Em linhas eléctricas, devido ao seu carácter de circuitos com parâmetros distribuídos, a capacidade calcula-se por metro de comprimento, exprimindo-se por conseguinte em F/m (em geral, em µF/m).

4.4.1

Linha Monofásica

Consideremos uma linha monofásica de comprimento infinito, com dois condutores de raios r 1 e r 2 separados pela distância D, conforme se representa na Figura 4.1. A teoria do campo electromagnético diz-nos que o potencial V à distância x de uma carga eléctrica pontual Q é: V =

onde ε 0 =

Q 4πε 0 x

(4.60)

1 x 10 −9 (F/m) é a constante dieléctrica do vácuo. 36 π

Numa linha a carga eléctrica q (expressa em C/m) está distribuída ao longo dos condutores, considerando-se positiva no condutor 1 e negativa no condutor 2. Pode demonstrarse que o potencial num ponto P , situado à distância d 1 do condutor 1 e d 2 do condutor 2 se exprime pela equação: V P =

q d ln 2 2 π ε 0 d 1

(4.61)

O potencial é constante ao longo de linhas para as quais a relação d 2 /d 1 é constante, designadas círculos harmónicos, que se representam na Figura 4.9. As superfícies equipotenciais são então cilíndricas e as linhas de força do campo eléctrico são círculos, ortogonais àquelas. O potencial V 1 à superfície do condutor 1 obtém-se fazendo d 1 = r 1 e d 2 = D (r 1 << D) : V 1 =

q D ln 2 π ε 0 r 1

(4.62)

J. Sucena Paiva


109

De igual modo o potencial V 2 à superfície do condutor 2 obtém-se fazendo d 2 = r 2 e d 1 = D (r 2 << D ) :

V 2 =

q r − q ln D ln 2 = 2 π ε 0 D 2 π ε 0 r 2

(4.63)

Equipotencial Linha do campo eléctrico

2r 1

2r 2 d1

d2 P V>0

V<0 D

V=0

Figura 4.9 – Linhas de força e equipotenciais.

A diferença de potencial (tensão) entre os dois condutores é, por conseguinte: V 12 = V 1 − V 2 =

q π ε 0

ln

D r 1r 2

(4.64)

A capacidade entre os dois condutores – quociente entre a carga por unidade de comprimento e a tensão entre eles – vem então: C 12 =

π ε 0

D ln r 1 r 2

(4.65)

Sendo os dois condutores iguais ( r 1 = r 2 ), a capacidade (expressa em F/m) é: C 12 =

π ε 0

D ln r

=

1 1 x 10 − 9 D 36 ln r

(4.66)

O cálculo apresentado não considera a presença da terra, que altera as superfícies equipotenciais e as linhas do campo eléctrico e, por conseguinte, a capacidade entre os condutores.

110


4.4.2

Linha com n Condutores

J. Sucena Paiva

Vamos agora generalizar os resultados obtidos para uma linha com n condutores. A equação (4.61) pode reescrever-se: V P =

q 1 − q ln 1 ln + 2 πε 0 d 1 2 πε 0 d 2

(4.67)

Para n condutores com cargas q1, q2 , …,qn respectivamente, o potencial num ponto P às distâncias d 1, d 2 , …,d n dos condutores – Figura 4.10 – é dado por: V P =

q1 q q 1 1 ln + 2 ln + L + n ln 1 2 πε 0 d 1 2 πε 0 d 2 2 πε 0 d n

(4.68)

A soma de todas as cargas tem necessariamente de ser nula. Se assim não fosse, dado que os condutores têm comprimento infinito, teríamos um excesso (ou defeito) infinito de carga eléctrica, o que é fisicamente impossível. Então: q1 + q 2 + L + q n = 0

(4.69) q1

d1 q2

d2 P

dn qn

Figura 4.10 – Linha com n condutores.

4.4.3

Influência da Terra

A terra constitui uma superfície ao potencial zero, podendo o seu efeito ser considerado usando a teoria das imagens das cargas. Estas imagens são da mesma grandeza que as cargas físicas, mas de sinal contrário, estando colocadas a idêntica distância relativamente à terra que aquelas, como está representado na Figura 4.11. O campo eléctrico resultante das cargas reais residentes nos condutores, na presença da terra, é equivalente ao que teria origem naquelas e nas respectivas imagens, ignorando a terra.

J. Sucena Paiva


111

q H

H

-q

Figura 4.11 – Imagem de uma carga.

Considerando uma linha de n condutores na presença da terra, representada na Figura 4.12, o potencial do ponto P será: q1 q q 1 1 ln + 2 ln + L + n ln 1 2 πε 0 d 1 2 πε 0 d 2 2 πε 0 d n −q −q −q + 1 ln 1 + 2 ln 1 + L + n ln 1 2 πε 0 d 1′ 2 πε 0 d 2 ′ 2 πε 0 d ′n

(4.70)

q1 d ′ q d ′ q d ′ ln 1 + 2 ln 2 + L + n ln n 2 πε 0 d 1 2 πε 0 d 2 2 πε 0 d n

(4.71)

V P =

ou seja: V P =

q1 d1 d2 P

q2

dn qn

′n ′2

-qn

′1

-q2

-q1

112


J. Sucena Paiva

Figura 4.12 – Linha com n condutores na presença da terra.

Para uma linha monofásica com dois condutores – Figura 4.13 – o potencial do condutor 1 é: q 2 H − q D′ ln ln = + 2 πε 0 r 2 πε 0 D q 2 H D ln = 2 πε 0 r D′

V 1 =

(4.72)

Analogamente, o potencial do condutor 2 é: q D ′ − q 2 H = ln + ln 2 πε 0 D 2 πε 0 r ′ = q ln D r 2 πε 0 D 2 H

V 2 =

(4.73)

D -q

q 1

2

H D’

H

-q 1’

q 2’

Figura 4.13 – Linha com dois condutores na presença da terra.

A diferença de potencial entre os dois condutores vem: V 12 = V 1 − V 2 =

q

2 H D  ln    πε 0  r D ′ 

(4.74)

A capacidade entre os dois condutores será: C 12 =

q V 12

(4.75)

J. Sucena Paiva


113

Substituindo V 12 da equação (4.74), vem: C 12 =

1 1 x 10 −9  D 2 H  36  D 2 H  ln  ln     r D′   r D′  πε 0

=

(4.76)

Confrontando com a equação (4.66), constata-se que a diferença reside no factor 2H/D’ no argumento da função logaritmo. Para valores normais dos parâmetros de configuração da linha, verifica-se que a influência da terra no valor da capacidade é diminuta (inferior a 1%). A capacidade em relação ao neutro (terra) obtém-se por: C =

q V 1

(4.77)

Substituindo V 1 da equação (4.72), vem: C =

2 πε 0 1 1 = x 10 −9  D 2 H  18  D 2 H  ln  ln     r D′   r D′ 

(4.78)

A capacidade em relação ao neutro é dupla da capacidade entre os dois condutores.

4.4.4

Linha Trifásica

Considere-se agora uma linha trifásica não simétrica e transposta, com um condutor por fase, com a configuração apresentada na Figura 4.14. a

Dab

b

Dac

Dbc

c

Figura 4.14 – Linha trifásica com espaçamento entre condutores não simétrico.

Ignorando a presença da terra, o potencial do condutor a no primeiro troço de linha é:

114


J. Sucena Paiva

V a′ =

 1  q a ln 1 + q b ln 1 + q c ln 1  2 πε 0  r Dab Dac  

(4.79)

V a′′ =

 1  q a ln 1 + q b ln 1 + q c ln 1  2 πε 0  r Dbc Dab  

(4.80)

V a′′ =

 1  q a ln 1 + q b ln 1 + q c ln 1  2 πε 0  r Dac Dbc  

(4.81)

No segundo troço,

No terceiro troço,

Tomando a média aritmética: V a′ + V a′ + V a′′ 3

(4.82)

q a + q b + q c = 0

(4.83)

V a =

e tendo presente que:

resulta: V a =

3 D D D qa ln ab bc ac 2 πε 0 r

(4.84)

A capacidade ao neutro (terra) é por conseguinte: C =

2 πε 0 3 D D D ln ab bc ac r

(4.85)

Tratando-se de uma linha com condutores em esteira à distância D, vem: C =

2 πε 0 1 1 −9 x 10 = 3 3 2 D 18 2 D ln ln r r

(4.86)

Se se considerar o efeito da terra – Figura 4.15 – pode demonstrar-se que: C =

2 πε 0

 3 2 D  2 H  ln  ′ D′ac   r 3 Dab′ Dbc

(4.87)

J. Sucena Paiva


115

ou, substituindo os valores de D′ab , D′bc e D ′ac : C =

2 πε 0

D  2 H   ln 2  r 6 2 (D + 4H 2 ) (D 2 + H 2 )  

=

1 x 10 − 9 18

D

a

1

D  2 H   ln 2  r 6 2 (D + 4H 2 ) (D2 + H 2 )  

(4.88)

D

b

D′ab

c

′ac

′bc

H

H

a’

b’

c’

Figura 4.15 – Linha trifásica em esteira na presença da terra.

4.4.5

Linha Trifásica com Dois Condutores em Feixe

Consideremos agora a linha trifásica transposta com dois condutores em feixe da Figura 4.8. Admitindo que a carga na fase a é qa, distribuída uniformemente pelos dois condutores, e que d << D , o potencial de qualquer um dos condutores desta fase, no primeiro troço, ignorando a presença da terra, é: V a′ =

1  q a 1 q a 1 1 1   ln + ln + q b ln + q c ln  2 πε 0  2 r 2 d D 2 D 

(4.89)

V a′′ =

1  q a 1 q a 1 1 1   ln + ln + q b ln + q c ln  2 πε 0  2 r 2 d D D 

(4.90)

No segundo troço:

e no terceiro troço:

116


V a′′′ =

J. Sucena Paiva

1  q a 1 q a 1 1 + q c ln 1   ln + ln + q b ln  2 πε 0  2 r 2 d 2 D D 

(4.91)

Tomando a média e usando a equação (4.83), vem: V a =

3 qa 2 D ln 2 πε 0 r d

(4.92)

A capacidade por fase é por conseguinte: C =

2 πε 0 1 1 −9 x 10 = 3 3 2 D 18 2 D ln ln r d r d

(4.93)

No caso geral de uma linha trifásica com m condutores em feixe por fase, sendo Dab , Dbc e Dca as distâncias entre os centros dos feixes e R o respectivo raio, a capacidade por fase é dada por: C = ln

4.4.6

2 πε0 1 = x 10 −9 3 D D D 18 ab bc ca m

m−1

m r R

ln

1 3D D D ab bc ca

(4.94)

m m r R m−1

Cabo Subterrâneo

Os cabos subterrâneos podem ser trifásicos ou monofásicos, também designados tripolares ou monopolares. Em qualquer dos casos, os condutores são isolados por meio de papel impregnado de óleo ou polietileno cruzado e envolvidos por uma bainha metálica (de chumbo ou alumínio), para protecção contra a humidade e os choques mecânicos. Para tensões acima dos 10 kV, usam-se quase exclusivamente cabos monopolares; contudo, para as muito altas tensões, os cabos são instalados dentro de um tubo metálico, não possuindo bainhas individuais. Para cabos monopolares com bainhas individuais, a capacidade calcula-se pela expressão: C =

onde

ε r

2 πε 0 ε r 1 ε = x 10 −9 r R 18 R ln ln r r

(4.95)

= 3 − 3 ,5 é a constante dieléctrica relativa do material isolante, r o raio do condu-

tor e R o raio da bainha.

J. Sucena Paiva


117

Para cabos tripolares com bainha ou cabos instalados em tubos, pode-se recorrer a dados empíricos. A capacidade dos cabos subterrâneos é consideravelmente superior à das linhas aéreas devido à maior proximidade dos condutores.

4.5 Modelo da Linha em Regime Estacionário 4.5.1

Modelo Exacto

O modelo de uma linha arbitrariamente longa – também designado modelo exacto – pode ser deduzido por aplicação das leis de Kirchoff a um troço incremental da mesma, considerando a natureza distribuída dos parâmetros R , L, C e G (valores por unidade de comprimento). Considere-se então o troço de uma fase de uma linha trifásica com comprimento infinitesimal dx , representado na Figura 4.16a, ao qual corresponde o esquema monofásico equivalente da Figura 4.16b, onde v é a tensão fase-neutro e i a corrente por fase, as quais são função da distância x medida a partir do extremo emissor Usando a segunda lei de Kirchoff (lei das malhas) obtém-se a equação 26 :

∂ i ( x ) ∂ t

v ( x ) − v ( x + dx ) = R dx i + L dx

(4.96)

A aplicação da primeira lei (lei dos nós), por seu lado, resulta em:

∂ v ( x ) ∂ t

i ( x ) − i ( x + dx ) = G dx v + C dx

26

A menos de infinitésimos de 2ª ordem.

(4.97)

118


i (x)

x

Ldx

i (x) Rdx

i (x+dx)

v (x)

J. Sucena Paiva

v (x+dx)

dx

v (x)

Gdx

i (x+dx)

Cdx

v (x+dx)

dx

x

a

b

Figura 4.16 – Representação de uma linha monofásica com parâmetros distribuídos: a) Troço de linha com comprimento dx; b) Esquema monofásico equivalente.

Sendo a tensão e a corrente funções da distância x , pode escrever-se: v ( x + dx ) − v ( x ) =

∂ v ( x ) dx ∂ x

(4.98)

i ( x + dx ) − i ( x ) =

∂ i ( x ) dx ∂ x

(4.99)

Substituindo nas equações (4.96) e (4.97) e aligeirando a notação, obtêm-se as clássicas equações diferenciais da linha: v i − ∂ = R i + L ∂ ∂ x ∂ t

(4.100)

i v − ∂ = G v + C ∂ ∂ x ∂ t

(4.101)

Em regime estacionário, a tensão e corrente são sinusoidais, podendo ser representadas por fasores. As equações (4.100) e (4.101) escrevem-se neste caso: d V = (R + j ω L ) I d x

(4.102)

− d I = (G + j ω C )V

(4.103)

−

d x

Uma vez que se trata de um regime estacionário, a variável t não consta destas equações, pelo que as equações às derivadas parciais se transformaram em ordinárias.

J. Sucena Paiva


119

Derivando a equação (4.102) em ordem a x e substituindo na equação (4.103); derivando a equação (4.103) em ordem a x e substituindo na equação (4.102), obtém-se: d 2 V = (R + j ω L )(G + j ω C )V d x 2

(4.104)

d 2 I = (R + j ω L )(G + j ω C ) I d x 2

(4.105)

d 2 V = z y V d x 2

(4.106)

d 2 I = z y I d x 2

(4.107)

ou ainda:

onde

z = R + ω L

e

y = G + j ω C .

Definindo agora a impedância de onda 27 Z 0 (Ω)e a constante de propagação γ (m-1) por: Z 0 =

z

=

z y

γ

y

(4.108)

(4.109)

as equações (4.106) e (4.107) rescrevem-se: d 2 V 2 = γ V d x 2

(4.110)

d 2I 2 = γ I d x 2

(4.111)

As soluções destas equações diferenciais ordinárias são: -γ x + C 2 e γ x V = C 1 e

27

Também designada impedância característica de onda.

(4.112)

120


I =

C 1 e

- γ x

− C 2 e γ x

Z 0

J. Sucena Paiva

(4.113)

As constantes C 1 e C 2 podem ser calculadas a partir das condições iniciais, para x=0 (extremo emissor, designado pelo índice e): V e = C 1 + C 2

I e =

C 1 − C 2 Z 0

(4.114) (4.115)

donde: C 1 =

C 2 =

V e + Z 0 I e

2 V e − Z 0 I e

2

(4.116)

(4.117)

Torna-se mais conveniente o uso de funções hiperbólicas: e θ + e −θ coshθ = 2

(4.118)

eθ − e −θ senhθ = 2

(4.119)

As equações (4.112) e (4.113), após substituição de C 1 e C 2 e subsequente rearranjo, devêm: V = V e cosh γ x − Z 0 I e senh γ x

I =

V e I são

−

V e Z 0

senh γ x + I e coshγ x

(4.120) (4.121)

as tensões à distância x da emissão. No extremo receptor, x= l, designado pelo

índice r , tem-se: V r = V e cosh γ l − Z 0 I e senh γ l

(4.122)

− V e senh γ l + I e cosh γ l

(4.123)

I r =

Z 0

J. Sucena Paiva


121

Sob forma matricial: − Z 0 senhγ l V e  V r   coshγ l  =        coshγ l   I e   I r  − 1 Z 0 senhγ l

(4.124)

Por inversão da matriz, obtém-se: V e   coshγ l  =     I e  1 Z 0 senh γ l

Z 0 senhγ l V r 

      I r 

coshγ l

(4.125)

Esta equação pode apresentar-se sob a forma: V e   A  I  = C  e  

B  V r 

(4.126)

 

D   I r 

Os parâmetros A , B , C e D são dados pelas expressões: A

= D = cosh γ l = cosh

B = Z 0 senh γ l =

C =

onde

Z = z l

e

Y = y l

senh γ l Z 0

=

Z Y

Z senh

Z Y

Z Y

Y senh

Z Y

Z Y

(4.127)

(4.128)

(4.129)

denotam a impedância longitudinal e a admitância transversal to-

tais, respectivamente.

4.5.2

Esquema Equivalente em π

Para a modelação da linha numa rede interligada é conveniente usar um esquema equivalente em π , que se representa na Figura 4.17. O ramo longitudinal possui uma impedância B e

os dois ramos transversais uma admitância (A-1)/B . Da aplicação da lei dos nós a

este esquema, obtém-se: I e =

I r =

A

− 1 V + V e − V r =

B

e

V e − V r B

B

−A−

1

B

V r

=

A V e − V r B V e − A V r B

(4.130)

(4.131)

122


B

Ie

Ir

A − 1 B

Ve

J. Sucena Paiva

A − 1 B

Vr

Figura 4.17 – Esquema equivalente em π de uma linha.

Da equação (4.131) retira-se: V e = AV r + B I r

(4.132)

Da equação (4.130), substituindo V e dado pela equação anterior e tendo presente que A

= D e que ( A 2 − 1 ) / B = C , vem: I e = CV r + D I r

(4.133)

As duas últimas equações são equivalentes à equação matricial (4.126), o que valida o esquema da Figura 4.17. As funções hiperbólicas podem expandir-se em série, obtendo-se:

2 2 3 3   Z Y Z Y Z Y   + + + L B = Z 1 +  6  120 5040 

(4.135)

2 2 3 3   Z Y Z Y Z Y   L + + + C = Y 1 +   120 5040  6 

(4.136)

24

+

Z 3 Y 3

(4.134)

2

+

Z 2 Y 2

+L

A

= D = 1 +

Z Y

720

O número de termos da série a considerar depende do comprimento da linha e da precisão requerida. Para linhas até 500 km basta tomar dois termos da série: A

= D = 1 + Z Y 2

 

B = Z 1 +

Z Y 



6 

(4.137)

(4.138)

J. Sucena Paiva


 

C = Y 1 +

4.5.3

Z Y 

123

(4.139)



6 

Esquema Equivalente em π Nominal

Para linhas até 250 km, é suficiente usar os dois primeiros termos da série para o parâmetro A e o primeiro termo para o parâmetro B . A impedância do ramo longitudinal e as admitâncias das ramos transversais do esquema equivalente em π devêm, respectivamente:

A

B = Z

(4.140)

−1 = Y

(4.141)

2

B

O esquema da Figura 4.17 reduz-se ao esquema equivalente em π nominal, representado na Figura 4.18. Z

Ie

Ve

Y 2

Ir

Y 2

Vr

Figura 4.18 – Esquema equivalente em π nominal de uma linha.

Este esquema poderia estabelecer-se quase intuitivamente, assumindo que a impedância longitudinal é concentrada e que metade da admitância transversal é colocada em cada extremo da linha. As equações do esquema em π nominal escrevem-se: Z  V r  V e   1 + Z Y 2   =         I e  Y (1 + Z Y 4 ) 1 + Z Y 2   I r 

(4.142)

124


4.5.4

Modelo da Linha Curta

J. Sucena Paiva

Para linhas aéreas curtas (até 80–100 km) pode em geral desprezar-se a admitância transversal, sendo a linha modelada unicamente pela sua impedância longitudinal, conforme se representa na Figura 4.19 28 . Z

Ie

Ve

Ir

Vr

Figura 4.19 – Esquema equivalente de uma linha curta.

Supondo que a linha entrega na recepção uma potência complexa S r =P r+ jQr e considerando fixa a tensão na recepção V r, torna-se relativamente simples calcular a tensão na emissão V e e a queda de tensão na linha. Por definição de potência complexa tem-se: P r + j Q r = V r I ∗

onde I =

(4.143)

I r = I e é a corrente que percorre a linha.

Tomando a tensão na recepção para referência (argumento nulo), o valor da corrente é: P r − j Qr V r

(4.144)

P r − j Qr = V r R P r + X Qr X P R Q = V r + + j r − r V r V r

(4.145)

I =

A tensão na emissão é dada por: V e

= V r + (R + j X )

onde R e X são a resistência e reactância totais da linha, respectivamente. Esta equação está traduzida graficamente no diagrama de fasores da Figura 4.20.

28

Nos cabos subterrâneos a capacidade é substancialmente mais elevada que nas linhas aéreas, não

sendo legítimo desprezar a admitância transversal no esquema equivalente.

J. Sucena Paiva


125

Ve X Pr − RQ r Vr

Vr

R Pr + X Qr Vr

Figura 4.20 – Diagrama de fasores das tensões nos extremos de uma linha curta.

Para valores baixos do ângulo δ – situação normal para linhas curtas e médias – a queda de tensão ∆V , definida como a diferença entre as amplitudes das tensões V e e V r, obtémse por: ∆V = V e

−V r ≈

R P r + X Qr V r

(4.146)

Esta equação é válida usando valores por unidade. Usando unidades do sistema internacional, tem-se para um sistema trifásico: ∆V ≈

R P r + X Q r 3 V r

(4.147)

obtendo-se o resultado em kV se a potência estiver expressa em MW (MVAr) e as impedâncias em Ω. Em alternativa, a última equação pode escrever-se: ∆V ≈

R I cos φ + X I senφ

(4.148)

onde cos φ é o factor de potência da carga. Esta equação mostra que a queda de tensão depende fortemente da potência reactiva transmitida pela linha, uma vez que (salvo para linhas de baixa tensão) a reactância é dominante face à resistência. Por este motivo, a potência reactiva deve ser gerada localmente, por meio de baterias de condensadores. A nível da distribuição, esta técnica é designada por compensação do factor de potência. Em linhas de muito alta tensão, em que X >>R, tem-se aproximadamente: ∆V ≈

X Qr V r

(4.149)

pelo que a queda de tensão depende essencialmente do trânsito de potência reactiva.

126


J. Sucena Paiva

Em circuitos de baixa tensão, a resistência é dominante, pelo que s e pode calcular a queda de tensão aproximadamente por: ∆V ≈

R P r = R I cos φ 29 V r

(4.150)

4.6 Linha Terminada pela Impedância de Onda Se a linha for terminada pela impedância de onda Z 0 , a relação entre as tensões e correntes ao longo da linha simplifica-se consideravelmente. Tem-se neste caso: V r = Z 0 I r

(4.151)

Substituindo nas equações (4.125), obtém-se: V e = I e =

(cosh γ l + senh γ l )V r = eγ l V r

(4.152)

(senh γ l + cosh γ l ) I r = eγ l I r

(4.153)

Dividindo as duas equações anteriores e atendendo à equação (4.151), vem: V e I e

=

V r I r

= Z 0

(4.154)

Este resultado mostra que na emissão a linha oferece, tal como na recepção, a impedância de onda, o mesmo se verificando em qualquer ponto da linha. Das equações (4.152) e (4.153) pode também obter-se: V r

= I r = e -γ l

(4.155)

V e I e

A constante de propagação é um número complexo V r I r = = e -αl V e I e

29

γ

=α +

β

. Substituindo, vem: (4.156)

Deixa-se ao cuidado do leitor verificar que as perdas em por unidade da potência de carga P L são dadas

por P L =

∆V V r

cos 2 φ

.

J. Sucena Paiva


arg (V e ) − arg (V r ) = arg (I e ) − arg (I r ) = β l

127

(4.157)

Destas últimas equações conclui-se que a tensão e a corrente ao longo da linha se vão atenuando da emissão para a recepção com o factor de atenuação α , ao mesmo tempo que vão sofrendo uma rotação no sentido negativo, com o factor de desfasagem β consoante se representa na Figura 4.21. Note-se que a impedância de onda é tipicamente capacitiva (argumento entre 0º e – 15º), pelo que a corrente está avançada em relação à tensão.

φ

I e V e

φ

I r

V r

Figura 4.21 – Tensão e corrente numa linha terminada pela impedância de onda.

Admitindo uma linha sem perdas, a impedância de onda devém resistiva pura: L C

Z 0 =

(4.158)

e a constante de propagação imaginária pura: γ

= j β = j ω L C

(4.159)

Pode demonstrar-se que o parâmetro ν , dado por: ν

=

1 L C

(4.160)

é a velocidade de propagação das ondas electromagnéticas ao longo da linha (ver Capítulo 8). Para linhas aéreas, esta velocidade é muito aproximadamente igual à velocidade da luz no ar (3x10 8 m.s -1).

128


J. Sucena Paiva

Da equação (4.159), substituindo a equação (4.160) resulta: β

=ω ν

(4.161)

Uma vez que a atenuação é nula, a tensão e a corrente ao longo da linha – que estão em fase – mantêm-se constantes em módulo. Diz -se neste caso que a linha transporta a sua potência natural P n: V n2 P n = Z 0

(4.162)

Nestas condições, a potência reactiva gerada pela capacidade da linha iguala a absorvida pela respectiva reactância: ω C l V 2

= ω L l I 2

(4.163)

donde: V L = = Z I C 0

(4.164)

Se a impedância de carga for superior a Z 0 – potência entregue inferior à potência natural – a corrente diminui, o mesmo sucedendo à potência reactiva absorvida; uma vez que a tensão se mantém sensivelmente constante, a potência reactiva gerada pouco varia. A linha comporta-se então como um gerador líquido de potência reactiva e a tensão sobe ao longo da linha, sendo na recepção superior à emissão. No caso de a potência ser superior à natural – impedância de carga inferior a Z 0 – a linha é um consumidor líquido de potência reactiva e a tensão baixa ao longo da linha, sendo na recepção inferior à emissão. As linha aéreas são normalmente operadas com uma potência superior à potência natural (salvo eventualmente em períodos de vazio). Os cabos subterrâneos, cuja impedância de onda é da ordem de um décimo da das linhas aéreas – uma vez que os respectivos coeficiente de auto-indução e capacidade são substancialmente menor e maior, respectivamente – funcionam com potências inferiores à natural.

J. Sucena Paiva


129

4.7 Capacidade de Transporte A potência transitada numa linha deve ser compatível com a capacidade de transporte da mesma, a qual tem necessariamente um limite, que importa estabelecer. Este limite é determinado pela temperatura máxima admissível dos condutores, pela estabilidade da marcha síncrona, quando existem geradores ligados nos dois extremos da linha e ainda pela estabilidade de tensão, quando não existe suporte de potência reactiva na recepção.

4.7.1

Limite Térmico

Uma linha eléctrica possui uma capacidade de transporte condicionada pela elevação de temperatura resultante das perdas por efeito de Joule, provocadas pela passagem da corrente eléctrica. A temperatura aumenta até que a taxa de dissipação de calor equilibre a potência de perdas, tendo o seu valor máximo de ser limitado. O limite térmico determina a capacidade de transporte nos cabos subterrâneos e nas linhas curtas ou médias (menos de 150-200 km), que constituem a grande maioria das existentes. Os cabos subterrâneos são isolados, sendo o isolamento danificado se a temperatura exceder determinado valor máximo (por exemplo, 120º C). Os condutores das linhas aéreas dilatam por efeito da elevação da temperatura, o que aumenta a sua flecha, reduzindo a distância a objectos vizinhos, que tem de obedecer a mínimos regulamentares. Note-se que o limite térmico das linhas aéreas depende da temperatura exterior, sendo a 35º C cerca de 2/3 do respectivo valor a 15º C. A constante de tempo térmica é da ordem de vários minutos, razão pela qual se definem limites térmicos da capacidade de transporte de curta duração e de longa duração, sendo o último superior ao primeiro.

4.7.2

Limite de Estabilidade Estática

Considere-se o diagrama da Figura 4.22, que representa um sistema com dois barramentos, ambos com geração e carga, ligados por uma linha.

130


J. Sucena Paiva

Figura 4.22 – Sistema com dois barramentos com geração e carga.

Admita-se que os geradores são dotados de reguladores de tensão que mantêm constantes as amplitudes das tensões nos barramentos V 1 e V 2 . Ignorando a admitância transversal da linha (a qual influencia apenas o trânsito de potência reactiva), a corrente na linha, convencionalmente positiva no sentido 1 →2 é: I =

V 1 − V 2

R + j X

(4.165)

onde R e X são a resistência e a reactância da linha, respectivamente. A potência complexa na emissão calcula-se por: V 12 − V 1V 2 e j δ S 1 I = 12 = V R − j X ∗

(4.166)

onde δ é o ângulo de desfasagem entre as tensões nos extremos da linha, convencionalmente positivo quando V 1 está em avanço em relação em relação a V 2 . As partes real e imaginária desta equação, após alguma manipulação, fornecem as potências activa e reactiva, respectivamente: P 12 = V 12

R X sen δ − Rcos δ + V 1V 2 2 R + X R 2 + X 2

(4.167)

Q12 = V 12

X X cos δ + Rsen δ − V V 1 2 R 2 + X 2 R 2 + X 2

(4.168)

2

Para a recepção tem-se: V 22 − V 1V 2 e − j δ S 21 = −V 2 I = R − j X ∗

donde:

(4.169)

J. Sucena Paiva


P 21 = V 22

Q 21 = V 22

R

131

X sen δ + R cos δ R 2 + X 2

(4.170)

X X cos δ − Rsen δ V V − 1 2 R 2 + X 2 R 2 + X 2

(4.171)

2

2

R + X

− V 1V 2

As perdas de potência activa e reactiva na linha calculam-se pela soma de P 12 e P 21 e de Q12 e Q21 , respectivamente: P L = P 12 + P 21 =

R V 2 V 2 V V cos δ ) 2 2 ( 1 + 2 −2 1 2 R + X

(4.172)

Q L = Q12 + Q 21 =

X 2 2 2 2 (V 1 + V 2 − 2V 1V 2 cos δ ) R + X

(4.173)

A potência activa média transmitida pela linha, convencionalmente positiva no sentido 1→2, é: P med

P 12 − P 21 R V 12 − V 22 X V 1V 2 sen δ = = 2 + 2 2 2 2 R + X R + X 2

(4.174)

Admitindo que os reguladores de tensão dos geradores mantêm as tensões nos extremos no seu valor nominal V 1 = V 2 = V n , resulta: X 2 2 2 V n sen δ R + X = P max sen δ

(4.175)

X V n2 2 V n ≈ = 2 X R + X 2

(4.176)

P med =

onde: P max

Para uma relação X R > 5 , o erro na aproximação é inferior a 4%. Esta equação revela que a tensão desempenha um papel determinante na capacidade de transporte de uma linha, que aumenta de forma quadrática com aquela grandeza. Por outro lado, a capacidade de transporte é inversamente proporcional à reactância X – o produto da reactância por km pelo comprimento da linha. Este último parâmetro não é naturalmente susceptível de manipulação, pelo que, para aumentar a capacidade de transporte, há que reduzir a reactância por km. Este desiderato, que assume especial impor-

132


J. Sucena Paiva

tância no transporte a longa distância, pode conseguir-se usando circuitos em paralelo, condutores em feixe (dois a quatro condutores por fase) ou compensando a linha por inserção de condensadores em série. Na Figura 4.23 representa-se graficamente a relação entre a potência activa média transmitida e o ângulo de desfasagem entre as tensões nos extremos da linha.

Figura 4.23 – Potência transmitida em função do ângulo de desfasagem.

Para uma dada linha, o valor máximo do trânsito de potência activa ocorre para

δ

= ±π 2 ,

que corresponde ao limite de estabilidade estática da marcha síncrona dos dois geradores. O coeficiente de sincronismo, já definido no Capítulo 3 (Secção 3.1.9), é definido por: C s =

Quando

δ

∂ P = P cos δ max ∂δ

(4.177)

= ± π 2 o coeficiente anula-se, perdendo-se o sincronismo entre os geradores.

Na prática, prevalece o limite de estabilidade transitória, na determinação do qual se consideram grandes variações da potência transmitida devidas a perturbações na rede, o qual é consideravelmente mais baixo (veja-se o Capítulo 7). Assim não é recomendável operar uma linha com ângulos de desfasagem entre as tensões nos dois extremos superiores a 30–40º, a fim de garantir uma margem de estabilidade suficiente. Este limite da potência máxima transportável determinado pela estabilidade da marcha síncrona dos geradores só intervém em linhas longas, transportando potências elevadas de centrais afastadas para centros de consumo com geração local, ou em linhas de interligação entre sistemas vizinhos com uma capacidade de transporte reduzida, face à potência girante desses sistemas.

J. Sucena Paiva

4.7.3


133

Limite de Estabilidade de Tensão

Considere-se um sistema com dois barramentos ligados por uma linha curta com resistência R e reactância X , no qual um gerador ligado a um barramento alimenta uma carga ligada ao outro – conforme se representa na Figura 4.24.

Figura 4.24 – Rede com dois barramentos e um gerador.

Considerando fixa a tensão no barramento 1, pretende-se calcular a variação da tensão no barramento 2 quando a carga aumenta progressivamente, mantendo constante a relação QC /P C = tan φ . Desprezando a admitância transversal da linha, tem-se: V 1 = V 2 + (R + j X ) I

(4.178)

onde I é a corrente definida como positiva no sentido 1 →2. Sendo V 1 = V 1 e j 0 e V 2 = V 2 e − j δ : I =

∗

S C ∗

V 2

=

P C − j QC V 2 e

(4.179)

j δ

Substituindo na equação (4.178) obtém-se: V 1 = V 2 e

− j δ

+ (R + j X )

P C − j QC V 2 e

j δ

(4.180)

ou ainda: V 1V 2 e

j δ

= V 2 2 + (R + j X )(P C − j QC )

(4.181)

Decompondo em parte real e imaginária, vem: V 1V 2 cos δ = V 2 2 + R P C + X QC

(4.182)

V 1V 2 sen δ = X P C − R QC

(4.183)

134


J. Sucena Paiva

Quadrando e somando estas equações, obtém-se:

) − V 12 V 2 2 + (R 2 + X 2 )(P C 2 + QC 2 ) = 0 V 2 4 + 1 2 (4 R 4 P C 4 X Q + C 4 244 4 4 3 144 4 244 4 3 b

(4.184)

c

Trata-se de uma equação bi-quadrada, cuja solução é:

V 2 =

− b ± b 2 − 4c

(4.185)

2

Existem duas soluções para a tensão V 2 (não considerando as soluções negativas, que não têm significado físico). O argumento δ pode obter-se da equação (4.183):

δ

 X P − R QC   = asen  C  V V   1 2

(4.186)

Para valores crescentes da potência de carga P C, mantendo-se constante o factor de potência, a tensão V 2 varia como se representa na Figura 4.25. Observa-se o fenómeno do colapso de tensão, quando a potência activa de carga atinge um valor limite, a partir do qual o sistema se torna instável. O limite de instabilidade de tensão resulta da falta de suporte de potência reactiva na recepção da linha. V2

PC

Figura 4.25 – Colapso de tensão.

Na situação de carga activa pura (QD=0), e desprezando a resistência da linha, é possível calcular analiticamente o valor da potência activa que a linha pode transportar, correspondente ao limite de estabilidade de tensão. A Figura 4.26 representa o diagrama de fasores da corrente na linha e das tensões na emissão e recepção, observando-se que: V 2 = V 1 cos δ

(4.187)

J. Sucena Paiva


135

Figura 4.26 – Diagrama de fasores das tensões na emissão e recepção.

Da equação (4.167), desprezando a resistência, obtém-se: V 12 P 12 = sen δ cos δ X V 12 sen 2 δ = 2 X

O valor máximo da potência transitada na linha ocorre para

(4.188)

δ=π

4 ; admitindo que V 1=V n,

tem-se: P max

V n2 = 2 X

(4.189)

Este valor é metade do que prevalece quando a tensão é mantida no valor nominal em ambos os extremos da linha, conforme a equação (4.176).

4.8 Sumário Neste capítulo estudámos a linha eléctrica de energia e estabelecemos os modelos matemáticos relevantes. O estudo foi iniciado com o cálculo dos parâmetros da linha: resistência, condutância transversal, reactância longitudinal e admitância transversal, para as várias configurações usualmente utilizadas. Estabeleceu-se seguidamente o modelo exacto de uma linha longa, que envolve o uso de funções hiperbólicas de variável complexa. A partir do qual se evoluiu para o esquema equivalente em π nominal, válido para linhas médias, e para uma simples impedância lon-

136


J. Sucena Paiva

gitudinal, aplicável para linhas curtas. Analisou-se ainda o comportamento da linha terminada pela respectiva impedância de onda. A capacidade de transporte de uma linha eléctrica constituiu o tópico seguinte, tendo sido referido o limite térmico e analisados o limite de estabilidade estática – de base electromecânica – e o limite de estabilidade de tensão – de origem electromagnética

CA PÍTU L O 5

CORRENTES DE CURTO-CIRCUITO 5.1 Introdução Curto-circuito designa um percurso de baixa impedância, resultante de um defeito, através do qual se fecha uma corrente, em geral, muito elevada. Trata-se de uma situação anormal em Sistemas de Energia Eléctrica, que requer acção imediata, face aos danos que dela podem resultar. A grande maioria dos curto-circuitos num SEE ocorrem nas linhas aéreas, devido à sua grande exposição aos fenómenos físicos naturais. Em particular, as descargas atmosféricas provocam sobretensões elevadas, as quais podem resultar em contornamentos dos isoladores. Também embates de aves e de ramos de árvores podem dar lugar a curtocircuitos nas linhas. Em cabos subterrâneos, transformadores e máquinas rotativas, os curto-circuitos resultam de defeitos no isolamento dos condutores, devidos à deterioração das suas propriedades físicas, causada por temperaturas excessivas ou campos eléctricos demasiado intensos. Os curto-circuitos trifásicos afectam simultaneamente as três fases do sistema, sendo simétricos no caso de a impedância do defeito ser igual em todas as fases. Se esta impedância for nula, o curto circuito designa-se franco (ou sólido). Os curto-circuitos assimétricos podem envolver uma fase e a terra – curto-circuito faseterra ou monofásico – que é o mais habitual, ou duas fases – curto-circuito fase-fase – ou ainda duas fases e a terra – curto-circuito fase-fase-terra. Conforme já se frisou, as correntes de curto-circuito podem atingir valores muito superiores às correntes em regime não perturbado, pelo que, se persistirem, causam fadigas térmicas que danificam os equipamentos por elas percorridos. Também os esforços electrodinâmicos causados pelas correntes elevadas podem ser prejudiciais, em especial para máquinas e barramentos.

138


J. Sucena Paiva

Torna-se, por conseguinte, importante desligar no mais curto tempo possível a secção da rede onde se deu o defeito. Esta manobra exige a utilização de interruptores capazes de cortar as correntes de curto-circuito, o que é tanto mais difícil quanto mais elevada for a tensão. Estes interruptores com poder de corte elevado, designados disjuntores, disjuntores , são accionados por dispositivos chamados relés, relés , que constituem, em sentido figurado, o cérebro de um sistema em que os disjuntores são o músculo. músculo. Note-se que os defeitos causados por descargas atmosféricas são maioritariamente fugitivos, isto é, desaparecem quando a corrente de curto circuito é interrompida. A razão para esta característica, reside na desionização e consequente recuperação das propriedades isolantes do ar envolvente, após a interrupção da corrente. Por este motivo utilizam-se em geral para as linhas aéreas disjuntores com religação automática, ou seja, disjuntores que, após cortarem a corrente de defeito, fecham novamente após um curto intervalo de tempo, por actuação dos respectivos relés. Caso o defeito persista, o disjuntor abre definitivamente após duas ou três tentativas de religação. O cálculo das correntes de curto-circuito é necessário para dimensionar os relés de protecção e o poder de corte dos disjuntores, bem como os esforços electrodinâmicos nas máquinas e barramentos. barramentos. Interessa ainda conhecer o perfil das tensões na vizinhança do defeito, uma vez que elas vão variar significativamente, perturbando o funcionamento dos aparelhos ligados à rede. O cálculo deve ser efectuado sequencialmente para curto-circuitos em todos os barramentos da rede, o que requer o uso de um programa de cálculo digital. Note-se, contudo, que para casos simples, é possível um cálculo rápido simplificado, usando meios rudimentares.

5.2 Corrente e Potência de Curto-Cir Curto -Circuito cuito Um curto-circuito representa uma mudança estrutural na rede, causada pela ligação de uma impedância de baixo (ou nulo) valor no ponto de defeito. Considere-se um defeito trifásico simétrico no barramento i – i – Figura 5.1 – com uma impedância Z def def , do qual resulta uma corrente de curto-circuito igual igual em módulo nas três fases e desfasada desfasada de ±120º. Ainda que o defeito envolva a terra, não existe corrente de neutro uma vez que a soma das três correntes nas fases é nula.

J. Sucena Paiva

Corrente Correntess de Curto-Circuito Curto-Circuito

139

Barramento i

a b c cc

cc

I a i

I bi

Z def def

Z def def

cc

I c i

Z def def

I n =0

Figura 5.1 – Curto-circuito trifásico simétrico no barramento i .

Uma vez que a corrente de curto-circuito é simétrica, podemos usar o esquema monofásico equivalente equival ente que se representa represe nta na Figura 5.2a. Este esquema é equivalente ao da Figura 5.2b, no qual se inseriram em série no percurso de defeito dois geradores fictí fictícios, ligados em série, com a mesma f.e.m.

V i 0

– a tensão no barramento i antes i antes da ocorrên-

cia do defeito – e polaridades opostas.

cc I i

V i cc

i +

Z def def

-cc V i

i

I i cc

~

V i

~

V i

+

0 0

Z def def

a

b

Figura 5.2 – Esquema monofásico equivalente para o defeito no barramento i .

5.2.1 5.2 .1

Teorema da Sobreposição

Usando o Teorema da Sobreposição é possível considerar o estado da rede após o defeito como a sobreposição dos dois estados representados na Figura 5.3. O estado 1 corresponde à situação pré-defeito e inclui todos os geradores reais ligados à rede (não representados); uma vez que a f.e.m. do gerador fictício é igual à tensão no barramento, a corrente que o percorre é nula – pelo que pode ser retirado. O estado 2 corresponde 2 corresponde à

140


J. Sucena Paiva

ligação do gerador fictício com a polaridade invertida (o pólo positivo está ligado ao neutro); os geradores reais são representados unicamente pelas respectivas impedância internas.

I = 0 0 V i

i

+

I cc i

–

+ ~ V i 0 –

V i T

+

i

~ V i 0 Z def def

Z def def

Estado 2

Estado 1

Figura 5.3 – Aplicação do Teorema da Sobreposição.

As tensões tensões nodai nodaiss e as correntes correntes nos nos ramos ramos pós-defeit pós-defeito o obtê obtêm-se m-se pela soma soma das das correncorrentes e tensões obtidas nos dois estados. A corrente no ramo que simula o defeito é a que se obtém do estado 2 , uma vez que no estado 1 tal ramo não existe.

5.2.2 5.2 .2

Teorema de Thévenin

O estado 2 corresponde 2 corresponde à aplicação do Teorema de Thévenin, o qual permite estabelecer para uma rede eléctrica, vista de um qualquer nó i , o esquema equivalente representado na Figura 5.4. V i 0

– ~ +

i

Z T

cc i

Z def

Figura 5.4 – Esquema equivalente de Thévenin.

A imped impedânc ância ia Z T i quando se T é a impedância equivalente (de Thévenin) da rede vista do nó i quando anulam as fontes de tensão e/ou de corrente. Se no nó i ocorrer i ocorrer um defeito com impedância Z def def (representado a traço interrompido na Figura 5.4), 5.4), a corrente de curto-circuito

I i cc

obtém-se obtém-se por:

J. Sucena Paiva


141

0

=

cc

I i

V i

(5.1)

Z d ef + Z T

Para um sistema trifásico será: 0

cc

I i

Sendo nula a impedância de defeito

V i

=

3 (Z d ef + Z T )

Z d ef

(5.2)

(curto circuito franco): 0

cc

I i

=

V i

(5.3)

3 Z T

Define-se a potência de curto circuito Si cc no nó i por: 2

Si cc

=

3 V i 0 I i cc

V i 0 = Z T

(5.4)

Se se tomar para V i 0 a tensão nominal V n : Si cc

V n 2 = Z T

(5.5)

Em valores p.u.: Si cc = I i cc =

1 Z T

(5.6)

isto é, a potência de curto-circuito é o inverso da impedância equivalente da rede vista do ponto de defeito.

5.3 Curto-Circuito de um Gerador Síncrono Considere-se um gerador síncrono rodando à velocidade nominal em vazio, excitado com uma corrente constante de forma a apresentar aos seus terminais a f.e.m. E , e admita-se que no instante t = 0 a se dá um curto-circuito trifásico franco. Desprezando a resistência, pode demonstrar-se que a corrente na fase de referência a é dada por: E E 1 1 E 1 1 i cc = 2 ' cos ( ωt + α o ) − ( ' + ) cos α o − ( ' − ) cos ( 2 ωt + α o ) (5.7) X d 2 X d X q 2 X d X q

142


J. Sucena Paiva

onde: X ′d – reactância transitória segundo o eixo d

X q – reactância síncrona segundo o eixo q

E – f.e.m. da máquina (tensão em vazio) ω

– frequência angular nominal

αo

– ângulo do rotor com o eixo da fase de referência no instante de curto-circuito

Da equação (5.7) verifica-se que: 1. A corrente de curto-circuito tem três componentes: uma componente à frequência fundamental; uma componente unidireccional (continua); uma componente com frequência dupla da fundamental; 2. A componente contínua varia com

αo

isto é, com a posição do rotor no instante em

que se dá o defeito. 3. Dado que desprezámos as resistências dos enrolamentos, as componentes da corrente de curto-circuito são constantes (veremos adiante a influência das resistências); 4. O valor eficaz da componente à frequência fundamental é E / X d ′ . Em regime estacionário a corrente terá um valor E / X d onde X d é a reactância síncrona segundo o eixo d . Dado que X d ′ < X d a corrente de curto-circuito transitória é maior (de três a dez vezes) que a corrente de curto-circuito estacionária; Oferece-se de seguida uma explicação qualitativa do fenómeno em apreço, uma vez que a análise quantitativa está fora do âmbito deste texto. Quando o gerador está excitado, rodando em vazio, existe no seu entreferro um fluxo magnético girante, ao qual está associada energia magnética. Quando se dá o curtocircuito, a tensão aos terminais da máquina cai bruscamente para zero. Dado que a energia magnética não pode anular-se instantaneamente, o fluxo magnético no entreferro manter-se-á após o curto-circuito no seu valor inicial, o mesmo sucedendo à f.e.m.. Resulta assim uma corrente de curto-circuito no estator limitada apenas pela reactância de dispersão dos enrolamentos, substancialmente inferior à reactância síncrona, que corresponde ao fluxo ligado. O efeito desmagnetizante desta corrente, que tende a enfraquecer o fluxo, é compensado por um aumento da corrente do enrolamento de excitação, que tem efeito magnetizante.

J. Sucena Paiva


143

Dado que este enrolamento tem uma resistência não nula, esta corrente vai diminuindo com uma constante de tempo T d ′ ≈ X d ′ / X d .T r (T r é a constante de tempo do enrolamento de excitação, da ordem de vários segundos), originando um enfraquecimento do fluxo no entreferro e portanto da tensão do gerador. A corrente no estator vai por consequência diminuindo também até atingir o seu valor em regime estacionário com a constante de tempo T d ′ (cerca de 1 a 2 s para máquinas de potência elevada). Na Figura 5.5 representa-se a variação no tempo do fluxo ligado, da corrente no rotor e da corrente no estator, tendo-se admitido que a componente contínua é nula ( α o = π / 2 ) .

Figura 5.5 – Corrente de curto-circuito de um gerador síncrono.

No que ficou dito até aqui ignorou-se a presença do enrolamento amortecedor, constituído por um conjunto de barras de cobre, localizadas na superfície do rotor e curto-circuitadas por anéis. Em regime estacionário este enrolamento não é percorrido por corrente, contudo, quando a máquina experimenta oscilações resultantes de desequilíbrios de potência, induzem-se nele correntes que têm um efeito amortecedor. Durante um curto-circuito, para além da corrente induzida no enrolamento de excitação já referida, estabelecem-se também correntes no enrolamento amortecedor, com o resultado que a corrente no estator sofre um aumento substancial, ainda que limitado aos primei-

144


J. Sucena Paiva

ros dois a três ciclos, uma vez que a constante de tempo deste enrolamento é bastante inferior à do enrolamento de excitação. Define-se assim uma reactância subtransitória X d ′′ , inferior à reactância transitória X d ′ , que permite calcular o valor eficaz do primeiro

ciclo da corrente pelo quociente E / X d ′′ . A componente contínua da corrente de curto-circuito tem importância para a definição do poder de corte dos disjuntores, dado que estes têm de interromper a corrente total. Na Figura 5.6 representam-se as correntes no rotor e no estator no caso de o curto-circuito se dar para

αo

= 0 (componente contínua máxima), observando-se uma assimetria impor-

tante nos primeiros ciclos da corrente estatórica, que contudo se desaparece muito rapidamente (alguns ciclos). Por outro lado a componente contínua que circula no estator comporta-se como alternada em relação ao rotor. Gera-se assim no circuito de excitação uma f.e.m. alternada enquanto dura a componente contínua no estator, que dá origem a uma ondulação na corrente de excitação. A presença da componente contínua acarreta um aumento significativo do valor de pico das primeiras alternâncias da corrente de curto-circuito, o qual pode atingir na primeira 1,8 2 = 2,55 vezes o valor eficaz da componente alternada ( I max na Figura 5.6).

Figura 5.6 – Corrente de curto-circuito com componente contínua máxima.

J. Sucena Paiva


145

5.4 Modelos dos Elementos da Rede 5.4.1

Gerador

Em face das considerações feitas na secção anterior, o modelo da máquina síncrona para o cálculo de correntes de curto-circuito simétrico é o que se representa na

Figura

5.7. j X d ′ (ou j X d ′′ )

+ E’

~

-

a Figura 5.7 – Modelo do gerador síncrono.

Em relação a este modelo, fazemos as seguintes observações: 1. Desprezou-se a resistência dos enrolamentos; 2. Desprezaram-se todas as componentes da corrente de curto-circuito, para além da componente à frequência fundamental; 3. Embora a componente à frequência fundamental decresça exponencialmente, dado que a constante de tempo é da ordem do segundo (50 ciclos), considera-se o regime como quase-estacionário; 4. Para disjuntores rápidos, tipicamente usados na rede de transporte (1,5 a 2 ciclos), deve usar-se a reactância subtransitória, que conduz a um valor mais elevado da corrente de curto-circuito. Para disjuntores mais lentos ( 4 a 5 ciclos), usados na distribuição, é suficiente utilizar a reactância transitória; 5. Para o cálculo dos esforços electrodinâmicos provocados pela corrente de curtocircuito, usa-se a reactância subtransitória, uma vez que interessa determinar o respectivo valor máximo.

146


5.4.2 5.4 .2

Transformador e Linha

J. Sucena Paiva

O modelo do transformador não difere do que se utiliza no trânsito de energia. Desprezase o ramo transversal correspondente à impedância de magnetização e retém-se o ramo longitudinal longitudinal com a impedância de curto-circuito curto-circuito (ignorando-se muitas vezes a resistência). resist ência). Se se considerar a rede em vazio no estado pré-defeito, toma-se uma relação de transformação unitária, ainda que o transformador possua um comutador de tomada s. O modelo da linha também é idêntico ao usado no trânsito de energia, ou seja, o esquema equivalente em π . Note-se que a admitância transversal tem uma influência reduzida, pelo que se pode desprezar sem cometer um erro significativo. Quanto à resistência, pode também desprezar-se em linhas de muito alta tensão, mas não em linhas de média e baixa tensão.

5.4.3

Cargas

No cálculo da corrente de curto-circuito, muitas vezes desprezam-se as cargas, que afectam o valor daquela corrente de forma pouco significativa. Nesta hipótese, considerase a rede em vazio, com um perfil de tensão uniforme, desprezando-se igualmente todos os elementos transversais (capacidades das linhas e baterias de condensadores ou reactâncias indutivas). Quando se modelam as cargas, consideram-se em geral como sendo passivas (ou seja, de elasticidade igual a 2), o que permite representá-las por impedâncias constantes. Naturalmente, uma carga passiva não contribui para a corrente de curto-circuito. curto-circuito. Note-se que as impedâncias equivalentes das cargas possuem valores elevados quando comparadas com as impedâncias dos elementos el ementos da rede, e apresentam forte componente resistiva, ao invés destas, que exibem carácter reactivo dom inante. inante. Em casos especiais, por exemplo, instalações industriais com motores (síncronos ou assíncronos) com potências elevadas, devem modelar-se estes de modo mais rigoroso – o que significa usar um modelo semelhante ao da máquina síncrona (f.e.m. em série com a reactância transitória). Com efeito, nos instantes que se seguem ao defeito, os motores funcionam como geradores usando a energia cinética armazenada nas respectivas massas girantes, gi rantes, contribuindo contribuindo para para a corrente de curto-circuito.

J. Sucena Paiva

Corrente Correntess de Curto-Circuito Curto-Circuito

147

5.5 Cálculo das Correntes de Curto-Circu Curto -Circuito ito Simétrico 5.5.1 5.5 .1

Redução da Rede

Em sistemas de reduzida dimensão, é possível determinar as correntes e potências de curto-circuito, usando meios de cálculo rudimentares, por meio da redução da rede em etapas sucessivas. Ao invés do que sucede no trânsito de energia, o modelo matemático do sistema é representado por equações algébricas lineares, cuja solução não requer o uso de métodos iterativos. Neste cálculo, considera-se a rede em vazio antes da ocorrência do defeito, com um perfil de tensão uniforme (igual à tensão nominal ou, por segurança, 5% acima deste valor), o que corresponde ao desprezo de todas as cargas. Retêm-se apenas as impedâncias dos geradores, transformadores e linhas aéreas (ou cabos subterrâneos). A fim de evitar evitar o uso de álgebra álgebra de números números complexos, complexos, desprezam-se desprezam-se as resistências dos geradores, transformadores transformadores e linhas ou, considerando-as, considerando-as, somam -se algebricamente os módulos das impedâncias. Note-se que, se a parcela resistiva não exceder 33% da parcela reactiva, o erro no valor da impedância é inferior a 5%. Uma vez determinadas as impedâncias dos elementos do sistema numa base comum, compõem-se de acordo com a respectiva topologia, procedendo-se procedendo-se de seguida à redução da rede até à obtenção da impedância equivalente de Thévenin vista do ponto de defeito. Obtido o valor desta impedância, calcula-se a corrente de curto-circuito. A potênci potência a de curto-cir curto-circuit cuito o num dado ponto ponto depende depende da potên potência cia girante girante dos gerador geradores es em serviço e da configuração topológica topológica da rede. Quanto maior for a primeira e mais densa for a segunda, maior a potência de curto-circuito. Definem-se assim as potências de curto-circuito máxima e mínima, as quais correspondem grosso modo aos períodos de ponta e de vazio, respectivamente. A potênci potência a de curto-circui curto-circuito to máxima tem interes interesse se para o dimensiona dimensionamento mento do poder poder de corte dos disjuntores e esforços electrodinâmicos; a mínima para o cálculo das perturbações resultantes da ligação de geradores e/ou cargas e da sensibilidade das protecções contra curto-circuitos. Quanto maior for a potência de curto-circuito (menor a impedância a montante) mais “forte” é a rede – maior é a sua capacidade de absorção de variações no perfil de geração ou de carga.

148


5.5.2 5.5 .2

Impedância Equivalente a Montante

J. Sucena Paiva

Em redes com uma estrutura radial, pode substituir-se a rede a montante de um barramento pela sua impedância equivalente de Thévenin (também designada por impedância de curto-circuito). Esta impedância Z cc cc calcula-se a partir da potência de curto-circuito Scc imposta pela rede a montante no barramento em questão. Em valores p.u.: Z cc =

1 S cc

(5.8)

Se a potência de curto-circuito no barramento for muito maior que as potências em jogo na rede a jusante (ou se for desconhecida, presumindo-se que seja elevada), por vezes admite-se que ela é infinita, o que corresponde a uma impedância a montante nula. Diz-se neste caso que o barramento (ou a rede a montante) é infinito(a). Nesta hipótese, cometemos um erro no cálculo da corrente de curto-circuito, mas porque esse erro é por excesso, estamos do lado da segurança.

5.5.3 5.5 .3

Matriz das Impedâncias Nodais

O cálculo das correntes de curto-circuito em redes de grande dimensão em computador digital utiliza um modelo da rede baseado nas equações nodais. Para uma rede com n nós, ilustra-se il ustra-se na Figura 5.8 um barramento genérico i , ligado a outros, mostrando-se o esquema equivalente em π da linha i-j . O gerador é modelado por uma fonte de corrente I i i em paralelo com a admitância transitória (ou subtransitória) Y G G i . A carga ligada ao barramento, considerada passiva (elasticidade 2) está representada pela admitância Y C C i i .

I i i

Y G G i i

i

Y C Ci i

V i i

Y s ij s ij

j

Y p p ij

Y p p ij

2

2

V j

Figura 5.8 – Barramento genérico i , com geração, carga e linha ligada ao barramento j. barramento j.

J. Sucena Paiva


149

Aplicando a primeira lei de Kirchoff (lei dos nós) ao barramento i , obtém-se: I i = Y G i V i + Y C i V i +

n

∑

Y p ij

j =1 j ≠ i

=

n

∑

j =1 j ≠ i

2

V i +

n

∑Y (V − V ) j =1 j ≠i

s ij

i

j

n Y p ij   Y G i + Y C i + (− Y s ij ) V j + Y s ij  V i +   2  j =1

(5.9)

∑

j ≠ i

Se o ramo i-j for um transformador, a admitância

Y s ij

é a respectiva admitância de curto-

circuito e a admitância

Y p ij

é nula. Caso o barramento i não esteja ligado ao barramento j ,

ambas as admitâncias

Y s ij

e Y p ij são nulas.

Definindo:

y ii

=

n

∑

j =1 j ≠ i

Y   Y G i + Y C i + p ij + Y s ij     2 

y ij

= y ji = −Y s ij

(5.10)

(5.11)

a equação (5.9) escreve-se: n

I i = y ii V i +

∑ y V

ij j

j =1 j ≠ i

=

(5.12)

n

∑ y V ij j

j =1

Os parâmetros y i j são os elementos da matriz de admitâncias nodais representativa da rede:

 y 11 [Y ] =  M y n1

L y 1n 

  y nn  M

L

(5.13)

Trata-se de uma matriz simétrica, com dimensão nxn. O elemento diagonal y ii é a soma das admitâncias de todos os ramos ligados ao nó i (o seu valor é sempre diferente de zero); o elemento não diagonal y ij (i ≠ j) é o simétrico da admitância do ramo que liga os nós i e j (o seu valor é nulo se estes nós não estiverem ligados por um ramo). Definindo o vector das correntes injectadas :

150


J. Sucena Paiva

I 1  [I ] =  M  I n 

(5.14)

V 1  [V ] =  M  V n 

(5.15)

e o vector das tensões nodais :

as equações nodais (5.12) podem escrever-se sob forma matricial:

[I ] = [Y ][V ]

(5.16)

Uma formulação alternativa usa a matriz [Z ] = [Y ]−1 , designada matriz das impedâncias nodais:

[V ] = [Z ] [I ]

(5.17)

Por aplicação do Teorema da Sobreposição, o vector das tensões nodais após o curtocircuito [V c c ] é dado pela soma do vector das tensões pré-existentes [ V 0 ] com o vector das variações de tensão [V T ] resultantes da ligação do gerador equivalente de Thévenin no nó i , no qual se dá o defeito 30 : V cc

=

V 0

+

V T

(5.18)

O vector [ V T ] pode obter-se a partir da equação:

[I ] = [Y ][V ] cc

T

(5.19)

ou: V T

= [Z ] I cc

(5.20)

A matriz [Z ] é simétrica, sendo contudo muito menos esparsa 31 que a matriz [Y ], pois a inversão afecta negativamente a esparsidade.

30

Não se considera a ocorrência de defeitos simultâneos.

31

Uma matriz diz-se esparsa quando o número de elementos nulos é muito elevado em face do número

total de elementos.

J. Sucena Paiva


151

[I c c ] é o vector das correntes de curto-circuito injectadas, cujos elementos são nulos à excepção do que corresponde ao nó de defeito i :

 0   M    cc cc [ I ] = − I i   M     0 

(5.21)

Note-se o sinal negativo para a corrente injectada, resultante da polaridade do gerador equivalente de Thévenin. Substituindo a equação (5.20) na equação (5.18) obtém-se:

[V ] = [V ] + [Z ][I ] cc

0

cc

(5.22)

Expandindo esta equação matricial nas suas componentes:

V 1cc = V 10 − z 1i I i cc   LLLLLLL  V i cc = V i 0 − z ii I i cc  LLLLLLL  cc V n = V n0 − z n i I i cc Nesta fase, a corrente de curto-circuito la com a tensão

V i cc

I i cc é

cc

Z d ef

desconhecida. Contudo, podemos relacioná-

através da equação: V i

na qual

(5.23)

= Z de f I i cc

(5.24)

é a impedância do defeito.

Combinando a i -ésima das equações (5.23) com a equação (5.24) obtém-se o valor da corrente de curto-circuito: cc

I i

=

V i 0 z ii + Z d ef

(5.25)

Sendo o curto-circuito franco ( Z d ef = 0 ) é V i cc = 0 , e a equação anterior reduz-se a: cc

I i

=

V i 0 z ii

(5.26)

152 z ii ,


J. Sucena Paiva

o elemento diagonal da matriz de impedâncias nodais correspondente ao barramento

i , coincide com a impedância equivalente de Thévenin da rede vista desse barramento. Conhecida a corrente de curto-circuito no barramento i , as tensões nos outros barramentos obtêm-se a partir das equações (5.23): cc 0 V j = V j −

z ji z ii

(5.27)

V i 0

Conhecidas as tensões nos barramentos, podem calcular-se as correntes nos ramos da rede, interessando em geral, conhecer apenas as que circulam nos que convergem no nó de defeito i . Sendo este franco, a corrente no ramo i-j junto ao nó i , considerada positiva no sentido j →i , é dada por (ver Figura 5.9): cc

I ji

= Y s ij V j cc (5.28)

z   = Y s ij V j 0 − ji V i 0   z ii  

cc

V i

cc

Y s ij

j

Y p ij

I ji

i

Y p ij

Figura 5.9 – Corrente no ramo que converge no nó de defeito.

Note-se, a finalizar, que para o curto-circuito no barramento i é necessário conhecer apenas os elementos da coluna [Z i ] = [z 1 i L

T

z ii L z ni ]

da matriz de impedâncias no-

dais – como se observa na equação (5.23) – a qual pode ser obtida sem recurso à inversão completa da matriz [Y ] , operação computacionalmente pesada para redes de grande dimensão. As diversas colunas podem calcular-se uma a uma, à medida que se percorrem sequencialmente os barramentos da rede, nos quais se pretende calcular a corrente de curto-circuito.

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