BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI 2.1 Fungsi 2.2 Grafik Fungsi 2.3 Barisan dan Deret 2.4 Irisan Kerucut
2.1 Fungsi
Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi. Sebagai 4 contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi V ! T r 3 . Contoh yang lain, tempat 3 kedudukan titik-titik ( x, y) yang jaraknya 1 satuan dari titik pangkal
O
adalah x 2 y 2 ! 1 . Ada hal
penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan himpunan semua absis lebih dari atau sama dengan 1 dan kurang dari atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan ordinat lebih dari atau sama dengan 1 dan kurang dari atau ata u sama dengan 1. Maka elemen elem en-elemen -ele men pada
X berkorespondensi
dengan satu atau lebih elemen pada Y . Selanjutnya, korespondensi x 2 y 2 ! 1 disebut relasi dari X ke Y . Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosong R A v B . A a1 a2 a3
B b1 b2 b3 b4
Gambar 2.1.1 Relasi dari himpunan
A
ke B
23
Jika R adalah relasi dari A ke B dan x A berelasi R dengan y B maka ditulis: (a, b) R
atau
a Rb Rb
atau
b ! R( a )
Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang mendasar. Pada contoh yang pertama setiap r " 0 menentukan tepat satu V " 0 . Sementara pada contoh yang ke dua, setiap x [1,1] berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai x [1,1] yang berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut fung si.
Dik etahu etahuii R relasi d ari ari A k e B. Apabila Apabila setia p setia p x A berelasi Definisi 2.1.1 Di
R
d eng an
te p te pat at sat u y B mak a R d isebu isebut fung fung si d ari A ari A k e B.
Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap
x A
terdapat tepat satu
y B
sehingga
b ! R( a ) .
Sebagai contoh, misalkan
!
_1, 2 adan Y ! _3, 6 a. Himpunan _(1, 3), ( 2, 3)a merupakan fungsi fungsi dari
ke Y , karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y . Demikian pula, himpunan _(1, 6), (2, 3)a merupakan fungsi dari X ke Y . Sementara himpunan _(1, 3), (1, 6), (2, 3)a bukan merupakan
X
fungsi dari X ke Y , karena ada anggota a nggota X , yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y . Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f , g , h, F , H , dst. Selanjutnya, apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan: f : A p B Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domai domain n atau d aerah aerah d e f inisi atau d aerah aerah asal , sedangkan himpunan B dinamakan kodomai kodomain n atau d aerah aerah k awan awan fungsi f . Domain fungsi f ditulis dengan notasi D f , dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f terdefinisikan terdefinisikan atau ada. Jadi: D f ! _ x R
Himpunan semua anggota fungsi f , ditulis
R f
B
:
f ( x )
ada ( terd terdee inis inis ikan )a
yang mempunyai kawan di
atau Im( f ) (Perhatikan Gambar Ga mbar 2.1.2).
24
A
dinamakan
rang rang e
atau
d aerah aerah hasil
A
B
R f
Gambar 2.1.2
Jika pada fungsi f : A p B , sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan ³ y merupakan bayangan x oleh f ³ atau ³ y merupakan nilai fungsi f di x´ dan ditulis y = f ( x). A
B f
x
y
Gambar 2.1.3 f fungsi dari himpunan
Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan = f ( x) disebut r umu s fung s fung si f . Contoh
2.1.2 Tentukan
a. f ( x ) !
ke B.
A
variable bebas
dan
tak bebas . variabel tak
domainnya.
1
b. f ( x ) !
x 2
x
2 x
c. f ( x ) !
1
1 x 5
ln( x 2 x 6)
Penyelesaian:
a. Suatu hasil bagi akan memiliki memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena kar ena itu, ® °
D f ! ¯ x R
b.
:
1 x 2
terdefinisikan ¾¿ ! _ x R : x 2 { 0a! R {2} À
arena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka: K arena
25
Sedangkan
y
D f ! ¯ x R ! _ x R
:
¾
x
x
¾
ada ¿ ! ¯ x R : 2 u 0¿ x 2 1 x 1 À À : 1 x e 0 atau x " 1a! (1,0] (1, g).
c. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga: D f ! ¯ x R
:
! ¯ x R
:
_
1 x 5
ln( x 2
1 x 5
x 6)
ada ¾¿ À
ada dan ln( x 2 x 6) ada ¾¿ À
0 dan ( x 2 x 6) " 0a : x { 5 dan ( x 2 atau x " 3)a a x _ R : x { 5 dan : x { 5 dan x 2 atau
! x R : x 5 { ! _ x R ! x _ R
x " 3)
a
= (g,5) (5,2) (3, g ) .
Contoh
2.1.3 Jika f ( x) ! 3 x 2 (1 x) , maka tentukan:
a. f (1)
b. f ( x 2)
c. f (1 x)
d. f ( x ( x)
Penyelesaian:
a. f (1) ! 3.(1) 2 (1 1) ! 2 . b. f ( x 2) ! 3( x 2) 2 1 ( x 2) ! 3 x 2 12 x 12 1 ( x 2) . c. f (1 x ) ! 3.(1 x ) 2
1 ! 3 x 2 x . 1 x
d. f ( x ( x ) ! 3.( x ( x ) 2 1 ( x ( x ) ! 3 x 2 6 x.( x (( x ) 2 1 ( x ( x) .
2.1.1 Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat syarat-syarat tertentu . Diberikan fungsi f : A p B . (i). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan fung si surjek rjek ti ti f atau fung si pa pad a (ont o functi functio on ).
26
A,
maka f disebut
A a1 a2 a3 a4
B b1 b2 b3
Gambar 2.1.4 f fungsi fungsi surjektif dari himpunan
A
ke himpunan B
(ii). Apabila setiap anggota anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fung si in jek jek ti ti f atau fung si 1-1 (int o functi func tio on ). A
B b1 b2 b3 b4 b5
a1 a2 a3
Gambar 2.1.5 Fungsi injektif dari A ke B
(iii). Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fung si bijek ti f ti f atau kores kores pod pod en si 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif. A a1 a2 a3 a4
Gambar 2.1.6
B b1 b2 b3 b4 K orespondensi orespondensi 1 ± 1.
27
2.1.2 Operasi Pada Fungsi
Diberikan skalar real E dan fungsi-fungsi f dan g . Jumlahan
f g ,
selisih
f g ,
hasil kali skalar
E f , hasil kali f . g , dan hasil bagi f g masing-masing didefinisikan sebagai berikut:
( f g )( x ) ! f ( x) g ( x)
( f g )( x) ! f ( x) g ( x )
(E f )( x) ! E f ( x)
( f . g )( x) ! f ( x). g ( x)
f
f ( x)
g
g ( x)
( )( x) !
, asalkan g ( x) { 0
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g , kecuali untuk
_
f g ,
a.
D f g ! x D f D g : g ( x ) { 0
Contoh
2.1.4 Jika f dan g masing-masing: f ( x ) !
maka tentukan:
g ( x) !
x 1
f g , f g , f . g , dan f g
1 x 5
beserta domainnya. domainnya.
Penyelesaian:
f g ( x ) ! f . g ( x ) !
arena D f ! [1, g) K arena
x 1 x 1.
dan
1 x 5
1
f g ( x ) !
x 5
D g ! R
f g ( x ) !
{5} , maka
x 1
1 x 5
x 1 x 5
f g , f g , f . g ,
dan
f g
masing-masing mempunyai mempunyai
domain: [1, g) .
2.1.3
Fungsi Invers
Diberikan fungsi
f :
p Y . K ebalikan ebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X . Pada
umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di bawah ini.
28
A
B f
Gambar 2.1.7
Apabila
f :
p Y meru merupa pakkan kores orespo pond nden ensi si 1 ± 1, mak makaa mud mudah ah ditun itunju jukkkan kan bahw ahwa inv inveers f juga
merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fung si in invers, ditulis dengan notasi
f 1 .
Perhatikan Gambar 2.1.8
berikut. X
f
Y
y
x f 1
Gambar 2.1.8
Jadi: x ! f 1 ( y ) y ! f ( x)
Contoh
2.1.5 Tentukan f 1
dengan
jika diketahui f ( x ) ! 1
x 1
3 x 2
29
D
.
1 ! R f
f
dan R f 1
! D f
Penyelesaian:
y ! f ( x) ! 1
1 y !
x 1
3 x 2
x 1
3 x 2 (1 y )(3 x 2) ! x 1 3 x 3 xy 2 y 2 ! x 1 2 x 3 xy ! 2 y 3 2 y 3 x ! ! f 1( y ) 2 3 y
Jadi,
f 1 ( x) !
Contoh
2 x 3 . 2 3 x
di ketahui: 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui: ® x
± ± ± 1 f ( x) ! ¯ ± ± 1 ± x 1 °
Penyelesaian:
jika
x 0
jika
x ! 0
jika
x
"
0
(i). Untuk x 0 , y ! f ( x) ! x " 0 . Sehingga: 1 ( y )
x ! y ! f
y
"
0
(ii). Untuk x ! 0 , f (0) ! 1 . Sehingga, diperoleh: 0 ! f 1 (1) .
(iii).Untuk x " 0 , y ! f ( x) !
1 1 ! 1 x 1 0 1
atau: x !
1
y
1!
1 y y
! f 1 ( y )
Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:
30
y
1
x
± ± 0 ± 1 f ( x) ! ¯ ± ± 1 x ± x °
ika
x " 0
ika
x ! 1
ika
x
.
1
2.1.4 Fungsi K om omposisi
Perhatikan u ! g ( x) ! x 2 1
fungsi
2 x 1.
y !
maka dengan substitusi diperoleh
yang pertama disebutkan. Proses demikian ini disebut
Apabila
y ! f (u ) ! f ( g ( x )) !
kompo sisi.
berikut. Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang dikerjakan pada g ( x) dan diperoleh fungsi baru ditulis
didefinisikan 2
x 1 ,
x D g .
Apabila g ( x ) D f maka f dapat
Definisi 2.1.7 Fung si kompo sisi d ari f ari f d da n g , d it it ulis f Q g , d id e f inisik isik an seba g seba g ai ai:
f Q g ( x) ! f ( g ( x)) , d eng an domai domain n D f Q x D g : g ( x ) D f a. g ! _ f Q g
z ! f ( g ( x))
g
f
g Gambar 2.1.9 Fungsi komposisi f Q
31
dan
yaitu rumus fungsi
h( x ) ! f ( g ( x)) . Ini disebut fung si kompo sisi
y ! g ( x)
u
Secara umum dapat diterangkan sebagai
f Q g .
x
y ! f (u ) !
dari f dan g ,
Jika f ( x) = x2 dan g ( x) = x1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut beserta domainnya. a. f Q g b. g Q f c. f Q f d. g Q g
Contoh
2.1.7
Penyelesaian:
a. f Q g ( x ) ! f ( g ( x)) ! f ( x 1) ! ( x 1) 2 , dengan domain D f Q g ! R . b. g Q f ( x ) ! g ( f ( x)) ! g ( x 2 ) ! x 2 1 , dengan domain D g Q f ! R . c. f Q f ( x) ! f ( f ( x)) ! f ( x 2 ) ! x 4 , dengan domain D f Q f ! R . d. g Q g ( x) ! g ( g ( x)) ! g ( x 1) ! ( x 1) 1 ! x 2 , dengan domain D g Q g ! R .
Contoh
2.1.8
Jika
domainnya. a. f Q g
1 x 2 dan
f ( x) !
g ( x) ! 2 x 2
maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta
b. g Q f
Penyelesaian:
a.
f Q g ( x ) ! f ( g ( x )) ! f (2 x 2 ) ! 1 (2 x 2 ) 2
_
!
a
1 4 x 4 , dengan domain:
_
D f Q g ! x D g : g ( x) D f ! x R
_
! x R
b.
: 0 e x 2 e 1 2a! ¯ x R °
: 1 e 2 x 2 e 1a 1 1 : 2 e x e 2 2
2 ¾¿ À
g Q f ( x ) ! g ( f ( x )) ! g ( 1 x 2 ) ! 2(1 x 2 ) , dengan domain:
_
a
D g Q f ! x D f : f ( x ) D g ! _ x R : 1
Contoh
2.1.9 Tentukan f Q g
1 x
±
1a.
jika diketahui:
ika
x u 0
ika
x 0
f ( x ) ! ¯
± 1 x °
x
® x
± x 1 ± g ( x) ! ¯ ±2 x 1 ± °
32
jika
x
jika
x e 1
"
1
.
Penyelesaian:
(i). Untuk x " 1 , g ( x ) !
x x 1
!
x 1 1 x 1
! 1
( f Q g )( x) ! f ( g ( x)) ! 1 g ( x) ! 1
1 x 1
" 1 " 0 . Sehingga:
x x 1
(ii).Untuk x e 1 , g ( x) ! 2 x 1 e 2.1 1 ! 1 . K arena arena g ( x) e 1 , maka dapat dibedakan menjadi 0 e g ( x) e 1 dan g ( x) 0 . Selanjutnya, (a). 0 e g ( x) e 1 apabila 0 e 2 x 1 e 1 atau 1 2 e x e 1 . Hal ini berakibat, untuk 1 2 e x e 1 , ( f Q g )( x ) ! f ( g ( x)) ! 1 g ( x) ! 1 (2 x 1) ! 2 x (b). g ( x) 0 apabila 2 x 1 0 atau x 1 2 . Ja Jadi, di, untuk x 1 2 diperoleh: ( f Q g )( x ) ! f ( g ( x )) ! 1 g ( x ) ! 1 (2 x 1)
Dari (i) dan (ii), diperoleh: diperoleh: 1 ±
x x 1
± ± ± 2 x ( f Q g )( x ) ! ¯ ± ± 1 ± 2 x 1 ± °
ika
x " 1
ika 1 2 e x e 1 ika
x 1
2
2.2 Grafik Fungsi
Diberikan fungsi f . Himpunan _( x , y) : 2.2.1
adisebut g ra f ra f ik fungsi f .
y ! f ( x ), x D f
Grafik Fungsi Dala m Siste m K oo oordinat Kartesius
Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi: (a). Fungsi Aljabar (b). Fungsi Transenden Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak. Sebagai contoh, fungsi f dengan rumus:
33
f ( x) !
3 x x 2 ( x 1) 2 3 x 2 1
merupakan fungsi aljabar. Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fung si tran tran sen send en. Beberapa contoh fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, trigonometri, fungsi logaritma, dsb. Fungsi Aljabar
Fungsi Aljabar meliputi : (1). Fungsi rasional : a. Fungsi bulat (fungsi suku banyak) b. Fungsi pecah. (2). Fungsi irasional. Fungsi Suku Banyak
Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan n f ( x) = P n( x) = a0 + a1 x + . . . + an x dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan bilangan-bilangan real dan da n an { 0. (a). Fungsi konstan: f ( x) ! c . Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar s ejajar sumbu X . 3
Y f ( x) = 3
a0
f ( x) = a0
0
X f ( x) = 1
1
Gambar 2.2.1
34
(b). Fungsi linear: f ( x)= m x + n Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik (0, n) .
y = x + 2 y = x
2
2
y = x 3
3
0
3
y = x
Gambar 2.2.2
(c). Fungsi kuadrat: f ( x) ! a x 2 b x c,
a {0.
Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: kuadrat ini dapat digambarkan sebagai s ebagai berikut:
35
D ! b 2
4ac . Secara umum, grafik fungsi
D>0 a>0 D>0 a<0
(a)
(b)
D= D=0 a>0
D= D=0 a<0
(c)
(d)
D<0 a>0
D<0 a<0
(e)
(f)
Gambar 2.2.3
Perhatikan pula gambar berikut ini.
36
Y
2
y = x
2
y = ¼ x
2
X
4
2
y = 4 x ± x x
Gambar 2.2.4
(d). Fungsi kubik:
f ( x) ! a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 , a3
{
3
y = x
Y
1 1
Gambar 2.2.5
37
0.
3
y = ( x 1)
X
Fungsi
Pecah
Fungsi f ( x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak f ( x ) !
n a 0 a1 x ... a n x m b0 b1 x ... bm x
disebut fung si pe pecah. Grafik beberapa fungsi pecah sederhana, seperti: 1 x f ( x) = dan f ( x) ! x x 1 diperlihatkan dalam gambar berikut.
y =
x x 1
y = 1 y = 1/ x x
x=1
Gambar 2.2.6
Fungsi Irasional
Beberapa contoh fungsi irasional beserta grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut ini.
38
y ! x
(a)
a
y !
a x
2 a
a
a
a
y !
a x 2
a (c)
(b) Gambar 2.2.7
Fungsi Transenden
Fungsi transenden meliputi: Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri, Fungsi Eksponen, dan Fungsi Logaritma. (a). Fungsi trigonometri Ditinjau titik sebarang P ( x, y y) pada bidang koordinat seperti terlihat dalam gambar berikut ini.
39
x
P ( x, y y)
r
y Q
Gambar 2.2.8
Apabila r menyatakan jarak titik P ke O dan U menyatakan besar sudut antara OP dengan sumbu X (arah berlawanan dengan jarum jam), jam), maka berturut-turut berturut-turut didefinisikan sebagai berikut: sin U = y/r cos U = x/r tan U = y/ x x
cot U = x/ y y
sec U = r / x csc U = r / y y Dari definisi mudah ditunjukkan hubungan-hubungan berikut: sin U cosU tan U = , cosU ! cos U sin U 1 1 sec U = , csc U ! cos U sin U dan: sin2 U + cos2U = 1 1 + tan2 U = sec2 U
1 + cos2 U = csc2 U
Berbeda halnya dengan dengan geometri yang biasanya biasanya besar sudut diukur diukur dalam derajat, maka dalam kalkulus besar besar sudut dinyatakan dalam radian. Besar sudut satu radian sama dengan besar besar sudut pusat juring lingkaran OPQ yang panjang busurnya sama sa ma dengan jari-jari jari-jari lingkaran (perhatikan Gambar 2.2.9).
40
Q
r O
r
P
Gambar 2.2.9 Besar sudut POQ 1 radian
Oleh karena itu, 2 T radian = 360 o
atau
180 1 radian = ¨© ¸¹ derajat. ª T º
Selanjutnya, dapat dibentuk fungsi-fungsi fungsi-fungsi trigonometri. trigonometri. Beberapa grafik fungsi trigonometri trigonometri dapat digambarkan sebagai berikut (lihat (lihat Gambar 2.2.10 dan Gambar Gambar 2.2.11):
Gambar 2.2.10 (b) Grafik y ! cos x
Gambar 2.2.10 (a) Grafik y ! sin x
Untuk ± T e /4 dan x = 5T /4. /4. T e x e 2T , grafik y = sin x dan y = cos x berpotongan di x = T /4
41
Gambar 2.2.11 (a) Grafik y ! tan x
Gambar 2.2.11 (b) Grafik y ! cot x
Gambar 2.2.11 (c) Grafik y ! sec x
Gambar 2.2.11 (d) Grafik y ! csc x
(b). Fungsi Siklometri Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri juga merupakan fungsi. Invers fungsi 1 trigonometri trigonometri dikenal dengan nama fung si sik si k l l ometri ometri . Invers fungsi sinus ditulis dengan sin atau arcsin dan didefinisikan sebagai berikut:
42
