1. FUNGSI DAN OPERASI PADA FUNGSI
Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan yang memetakan setiap objek x di suatuhimpunan D ( daerah asal ) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E ( daerah ). Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g. Lambang f : D → E hasil ). berarti f adalah fungsi dari D ke E. Fungsi yang akan dibahas di sini adalah fungsi dengan daerah asal D R dan daerah hasil E R, yang sering dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti y = x2 atau f (x) (x) = x2, x є R sifat fungsi yakni sebagai berikut : 1. Injektif (Satu-satu)
Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka m aka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’) maka akibatnya a = a’.
2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B. Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”.
3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam
korespondensi satu-satu”
2. CONTOH SOAL FUNGSI,LIMIT,KEKONTINU FUNGSI,LIMIT,KEKONTINUIAN,TURUNAN IAN,TURUNAN DAN INTEGRAL
1. Diketahui : fungsi f (x) = x² Tentukan : a. Daerah asal / Df, Daerah hasil / Rf dan sket grafiknya. b. Lim f(x)
∫ ∫
h
c. Periksa apakah f(x) kontinu dititik x = 1? d. f’ (x)
e. jawab :
=
a. F(x) = x² Df = R dan Rf = [0,+∞) Daftar nilai f X X²
..... .....
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
SKET GRAFIK
4
1 -2
b. Lim x² = lim h
-1
h
= lim h
= lim h
= lim h
= lim h
= lim h
1
= 2+ 4 = 6
c.
Diket : f(x)
F (x) = lim
f(x)
x
= lim
x² = (1)² = 1
x
f(x) = lim x
lim x
f(x)
†
x =1
2
jadi fungsi f (x) = x² kontinu dititik x =1 d. f (x) = x² f’ (x) = 2x
atau f(x) = lim h
= lim h
= lim h
= lim
2x + 2h
h
= 2x ∫
e.
√ ⋁
2. Diketahui fungsi f (x) = a. f(x) =
x=0
Daftar nilai f x
.............
-3
-2
2
3
............
x²
............
3
0
0
3
............
Sket grafik :
(-2,0)
b. lim x
f (x) = lim x
= lim X
(2,0)
×
= lim X
[ ]
= lim X
()
= lim X
= lim X
= -1
{
c. Diketahui f (x) =
Periksa apakah f (x) kontinu dititik x = 1 ? Lim
f(x) = x²-2x = 1-2 = -1
x
f(x) tidak kontinu dititik x = 1,karena limit
lim x
f(x) = 1
kanan dan kiri berbeda.
d. f (x) =
misal u = 1
’=0
v = (x²-2x)½
v’ = ½ (x²-2x)¯½ (2x-2) =
f’ (x) = u’ v + u v’
= 0 ((x²-2x)½) + 1 ( =
E.
∫
dx
)
Misal u = x²-2x
= 2x-2 du
∫ ∫ ∫
dx du
u½ dD + C
(X²-2X) + C 3. Diketahui fungsi f (x) =
a. Tentukan Df, Rf dan sket grafiknya Jelas Df = R dan Rf = Daftar nilai f X x²
............. .............
-2 -2
-1 0
Sket grafik : 9
4
-2
-1 -1 -2
b. Tentukan limit dari f(x)
= X = Lim
1
2
0 0
1 4
2 9
=
c.
Tentukan apakah f(x) kontinu dititik x = o Diketahui f(x) = Lim X
x+1=1
Lim X
f (x) kontinu dititik x = 0
1=1
d. Turunan f (x)
Misal u = x V = (x +1)² F’(x) = = = = F(x) =
e. Integral fungsi f(x)
∫∫ } } Misal u = x + 1
dx
u¯² du
+ c
4. Diketahui f (x) =
= x + 1, x
a. Jelas Df = R -
dan Rf = R -
Daftar nilai f : x x
Sket grafik f :
..... .....
-2 -1
-1 0
0 1
1 2
2 3
...... .......
2 1 -1
1
b. Tentukan limit dari
= lim
Lim
X
x
= lim
2.1
x
=2
c.
Tentukan apakah fungsi f(x) kontinu di titik x = 1 F(x)=
Lim
f(x) = lim
X
x²-1
x
= lim
1-1 = 0
X
Lim
f(x) = lim
x
fungsi f(x) kontinu dititik x = x-1
x
=0
Fungsi f (1) =
d. F(x) =
= = 0
Misal u = x² -1 maka u’ = 2x V = x-1 maka v’ = 1
) ( = = = =1 ∫ dx F’(x) =
e.
Misal u = x-1
1,karena limit kanan = kiri dan nilai limit dan fungsi sama
1 maka du =dx (x²-1) u ² + c (x²-1) (x-1)² + c 5. Dipunyai f(x) = x + 1, tentukan : a. Df, Rf dan grafik Jelas Df = R dan Rf = R Daftar nilai f: X x
.... ....
-1 0
0 1
1 2
..... .....
Grafik f:
2 1 -1
b. Lim X c.
x + 1 = lim
1
1+1 = 2
{ x
Apakah nilai f(x) kontinu dititik x = 0 F (x) = Lim
f (x)
x
lim
x +1 = 0 + 1 = 1
x
lim
x² = 0
x
f (0) = 0 + 1 = 1 d. F (x) = x + 1 F’(x) = 1
fungsi f (x) tidak kontinu dititik x = 0
e.
∫
dx = x ² + x + c
3. sket grafik dari soal no 2
1. F(x) = x²
Df = R dan Rf = [0,+∞) Daftar nilai f X X²
..... .....
-2 4
-1 1
0 0
1 1
SKET GRAFIK
4
1 -2
2.
f(x) =
-1
1
2
√ ⋁ x=0
Daftar nilai f x
.............
-3
-2
2
3
............
x²
............
3
0
0
3
............
Sket grafik :
(-2,0)
(2,0)
3. Tentukan Df, Rf dan sket grafiknya Jelas Df = R dan Rf =
2 4
Daftar nilai f X x²
............. .............
-2 -2
-1 0
0 0
1 4
2 9
Sket grafik : 9
4
-2
-1
1
2
-1 -2
4. Jelas Df = R -
}
dan Rf = R -
Daftar nilai f : x x
..... .....
}
-2 -1
-1 0
0 1
1 2
2 3
...... .......
0 1
1 2
2 3
...... .......
Sket grafik f :
2 1 -1
a. Jelas Df = R -
}
dan Rf = R -
Daftar nilai f : x x
..... .....
-2 -1
1
} -1 0
Sket grafik f :
2 1 -1
1
5. Beri 3 contoh penggunaan turunan dan/atau integral dalam fisika atau bidang lain, disertai contoh perhitungannya.
1. Sebuah roda berputar menempuh sudut Ө radian dalam waktu t sekon sehingga Ө = 120 t – 2
6O t . Kecepatan sudut pada t = 2 sekon adalah . . . .
a. 56 rad/s b. 35 rad/s c.
48 rad/s
d. 76 rad/s e. 96 rad/s 2.
Suatu persegi panjang dengan x dan lebar y, dengan x + y = 2a. Luas persegi akan maksimum jika . . . .
Y= a
a. X = a b. c.
Y = x = 2a
d. Y = x = a e. Y = ax 2
3. X = titik (1, 2) pada kurva f(x) = x + 2x, garis singgungnya akan . . . . a. mempunyai gradien 4 b. mempunya gradien c.
mempunyai persamaan garis y = 4 x – 2
d. mempunyai persamaan garis y = 4 x – 4 e.
mempunyai gradien 2
Penyelesaian : 2
1. Ө = 120 t – 6 t kecepatan sudut =
= 120 – 12t
Untuk t = 2 maka
= 120 – 12(2)
= 96 rad/s 2. Y = 2a – x Luas (L) = x . y = x(2a – x) 2
= 2ax – x
Syarat maksimum : L’ =
= 0 dan L” > 0
L’ = 2a – 2x = 0 dan L” = -2 X = a
Jadi, y = 2a – x = 2a – a = a 3. Gradien suatu garis (m) = f’ (x) =
Jika f(x) = x 2 + 2 x ; maka m = f’ (x) = 2 x + 2 Untuk x = 1, maka m = 4 Persamaan garis singgung dengan gradien (m) = 4 di titik (1,2) adalah (y – 2) = 4( x – 1) Y = 4 x - 2
