Fungsi Gamma, Fungsi Beta…
BA B
FUNGSI GAMMA, FUNGSI BETA DAN FUNGSI ERROR, DERET ASIMTOTIK, RUMUS STIRLING, FUNGSI DAN INTEGRAL ELLIPTIK
PENDAHULUAN Dalam pokok bahasan ini anda akan mempelajari pengetahuan tentang Deskripsi Mata Ku
Menge Mengenal nal defin definisi isi integ integral ral dari dari Fungsi Fungsi Gamma Gamma,, Meng Mengena enall defin definisi isi Fungsi Fungsiliah Faktorial umum, Mengenal definisi Fungsi Beta, Dapat mempergunakan definisi fungsi Gamma dan Beta untuk dalam perhitungan Mengenal fungsi Error, deret asimtotik, rumus stirling, serta fungsi dan integral elliptik.
Relevansi mata Kuliah
Fungsi gamma dan Beta merupakan pokok bahasan yang merupakan dasar dari pokok bahasan fungsi khusus. Pada akhir pertemuan ini mahasisa diharapkan akan dapat !
Tujuan Instruksi Fung Fungsi si Fakt Faktor oria iall umum umum,, Meng Mengen enal al defi defini nisi si Fung Fungsi si Beta Beta,, Dapa DapattOnal khusus
". Menge Mengenal nal definis definisii integ integral ral dari Fungsi Fungsi Gamma Gamma,, Mengen Mengenal al defini definisi si
memper mempergu gunak nakan an defin definisi isi fungsi fungsi Gamma Gamma dan dan Beta Beta untuk untuk dalam dalam perhitun perhitungan gan Mengenal Mengenal fungsi fungsi Error, Error, deret deret asimtotik asimtotik,, rumus rumus stirling stirling,, serta fungsi dan integral elliptik. #. Menj Menjel elas aska kan n defi defini nisi si inte integr gral al dari dari Fung Fungsi si Gamm Gamma, a, defi defini nisi si Fung Fungsi si Faktorial umum, definisi Fungsi Beta, Dapat mempergunakan definisi fungsi Gamma dan Beta untuk dalam perhitungan, fungsi Error, deret asimtotik, rumus stirling, serta fungsi dan integral elliptik.
PE$%&'(&$ 4.1. Fungsi Faktorial Fungsi Fungsi deret deret dan dan integ integral ral dalam dalam bab bab ini ini serin sering g mun)ul mun)ul di dalam dalam perum perumusa usan n persoalan fisika. Definisi dan beberapa hubungan sederhana dibahas disini. α
*ntuk + , -."/
∞
∫ e 0
−α x
dx
=−
1
e −α x
α
∞ 0
=
1
α
Buku &jar Fisika Matematika (( - 1
Fungsi Gamma, Fungsi Beta…
Diferensiasi terhadap
α ∞
d
0 Diferensiasi kedua,
∫
d α 0
0 dan diferensiasi ketiga
d
α
∞
= −∫ xe − x dx α
1
d
∞
2
= −
d α α
1 0
α 2
∞
∫ed −dx1= −=∫ 1 x⋅ 2e
2
d α
−α x
−α x
2
3 α ∞ d d −α d ∫ =1 ⋅−2∫ e dx 1 2 ⋅ ⋅ x3 d α d α = − 4 kali, d α α 3 α 0
d α ∞
2
0 Bila diteruskan n diperoleh
e − x dx
α
2
x
3
2
0
∫ x
*ntuk , maka , n 0 ",#,1,...2
0
-.1/ *ntuk n 0 ,
e
−α x
dx
0
∞
-.#/
dx
0
n
e −α x dx
α = 1=
n! n +1 α
∞
∫ x
n
e −x dx = n!
0
3 0
-./
Persamaan -.1/ fungsi faktorial n.
disebut
∞
∫ e
− x
= −e − x
dx
∞ 0
=1
0
4.2. Fungsi Gamma *ntuk pangkat n tak bulat, n
+ , → p didefinisikan
∞ p + -.4/ Γ ( p ) = ∫ x p −1e −x dx yang disebut fungsi Gamma. 0 Dari definisi ini, diperoleh
∞
p x p e −x dx = p! (ntegralkan, dengan u 0 Γ ( +1) = ∫ 0
5p, e65 d5 0 d5, atau du 0 p 5p6" d5, y 0 6e65
x
0 0p Persamaan ini
Γ ( p +1) = − x
p ∞
e
− x ∞ 0 p − 1
∫ Γ ( pe)
p x
untuk p
0
dx
0
-.7/ Γ ( P +1) disebut hubungan rekursi -pengulangan/ dari fungsi . Fungsi
− − −−∫ − e x ) px p 1 dx ( x
= P Γ ( P )
didefinisikan dari ≤ 0 hubungan rekursi -.7/, Γ
Γ ( P ) =
1
Γ ( P +1)
8arena, definisi semula 11 p1 1− p pΓ + = = berlaku untuk p + , ini berarti 22 2 -sebagai )ontoh/ ada. Dari persamaan -.7/, jika , maka -.9a/ 1 1 Γ − = − Γ( 1 ) juga ada. 'uga
2
1 2 2 1 4 1 Γ −1 = − Γ (− 122) = Γ 3 2 2 3 Buku &jar Fisika Matematika (( - 2
Fungsi Gamma, Fungsi Beta… -.9b/ dan seterusnya. :etapi, untuk -.;/ lim Γ p Penerapan
hubungan
p →0
p
→0
( ) = Γ ( 0) = Γ (1) = ∞ 0
rekursi terus6menerus memberikan harga tak hingga pada
untuk semua p
negatif. Berikut ini kita hitung
1 mun)ul Γ 2
yang sering
fisika. Dari definisi -.4/,
dalam perhitungan sistem
∞ -.2/ 1 1 −t e dt &ndaikan t 0 5 , maka dt 0 #5 Γ 2 = 0 t d5, sehingga pers.-.2/ menjadi
∫
#
∞
0 -."/ 'ika dikuadratkan
1 1 − x 2 xdx Γ e ∞ = −x x 2 2 ∫ ∫ 0 e dx 2
0
∞ 1 Γ = 2∫ e − x 2 ∞∞ 0 2
0 -.""/ Gambar daerah pers.-.""/,
2
integrasi
4
∫∫ e
2
∞ −y dx 2 ∫ e 0
−( x 2 +y 2 )
2
dy
dxdy
0 0
Gambar .". (ntegrasi persamaan -.""/ Bila diungkapkan dalam koordinat polar, pers.-.""/ menjadi π
0 0 0
∞
2 −r 2 1 ∞ Γ 4(π − e1 rdrd θ =) 4e∫∫ ∫ e0−0 )2 ∞dr 2(− 2 π 2
r 2 r 2
0
2
0
π
Dengan demikian -."#/ 4.3. Fungsi Beta
1 Γ = 2
π
Fungsi Beta didefinisikan dengan integral tertentu ! 1 -."1/ q −1 p −1 dx Bentuk trigonometri dari β ( p, q ) = x = xsin 2(1 θ − x )
∫ 0
Buku &jar Fisika Matematika (( - 3
Fungsi Gamma, Fungsi Beta… fungsi Beta dapat diperoleh dari pengambilan , sehingga
(1 − x ) = 1 − sin 2 θ = cos 2 θ d5 0 # sin )os d
→
50" 0
π
Maka
2 π
0 β ( p, q )
-."/
2
p −1
q −1
= ∫ (2sin 2 θ ) 2 p −(1cos 2 θ ) 2 q−21 sin θ cosθ d θ ( cos θ ) d θ 20 ∫ ( sin θ )
-."4/
π
0
x
maka -."7/
= ∞
y 1 + y p 1 y −
= ∫ 0
(1 + y ) p+q
dy
dan d5 0 6 dy substitusi ke persamaan definisi -."1/, 1
∫
q −1
p −1 0 β 0( p, q ) = p −1 x (1 − x ) q−1dx y] ) dy 0 − (11− y ) 0 (1 − [1p− −1 q −1 y β − y p)) dy (1( q, 1 0
∫
-.";/ Berikut ini diperlihatkan
∫ 0
hubungan
→ antara fungsi Beta dan fungsi Gamma.
Dari definisi -.4/, lakukan pergantian 5 > #, 5 0 ># maka 0
( )
∞
p −1
Γ p ∞ = ∫ ( z 2 ) e −2 dz 2 1 −z 0 2 p − 2 z e dz
-."2/ :uliskan kembali dalam 5, -> 5/, maka
∫
2
2
→
0
∞
2 p −1 −x Γ x e dx ( p ) =2∞ ∫ 2 q −1 −y 0 Γ (q ) =2∫ x e dy 2
2
Perkaliannya menghasilkan
∞
Dalam polar
koordinat
Γ ( p )Γ (q ) =4∫∫ x 2 p −1 y 2 q −1 e −( x
Maka -.#/
2
+y 2 )
dxdy
0
∞
0 0
0
π
2
2 q −1 −r π 2 p −1 θ ( ) sin Γ ( p∞) Γ ( q ) = 4∫ ∫ ( r cos θ θ 2) r e rdrd p + q ) β ( q, p2 q)−1 2 p −1 2 ( p +q ) −1 −r Γ ( e0 0 dr 2 ∫ ( sin θ ) d θ ( cosθ ) 2∫ r 0 0 Γ ( p )Γ ( q) β ( p, q ) = Γ ( p + q) 2
2
Langkah mula terbaik bagi pencari kebenaran adalah meniru orang terbaik, terpandai serta memperdalam pengetahuannya. Al-Ghazali
Buku &jar Fisika Matematika (( - 4
Fungsi Gamma, Fungsi Beta…
Conto 4.1. ! ?itung perioda sistem pendulum berikut Energi kinetik m ∗ : 0 m@# 0 ρ -&."/ 1 A 2 Energi potensialnya !
A
0 6 mgl )os
-&.#/
agrangian sistem ! 0:=A0
1
-&.1/
2
∗
+ mgl cos θ
ml 2 θ 2
Persamaan geraknya diperoleh dari persamaan Euler6agrange -&./ ⋅⋅ d *ntuk sudut ke)il, pers.-&./ sin θ menjadi -&.4/ l ⋅⋅ d dan solusinya sebanding sin dan ω t g θ l )os dengan sehingga perioda :, ω = -&.7/ l l π = T 2 :etapi untuk besar, persoalannya g π menjadi sedikit lebih rumit. 2 Misalkan massa m bergerak dari 0 ke 0 , solusinya diberikan oleh ! atau -&.9a/ •• • g • • -&.9b/ θ θ == −− g sin θ θ sin θ d θ θ d •θ 2 integrasinya memberikan -&.;/ 1 g l l θ •= cos karena simpangan 2 π θ + C π l θ θ = = 0 maksimum , yaitu , maka 2 2 0C 0 2 sehingga atau -&.2a/ g 1 • = θ cosθ atau -&.2b/ d θ 2 g l 2 = d θ cosθ -&.2)/ dt l l = dt π T integralkan atau 2 g cos θ 2 4 π l -&."/ l d θ 2 =d θ dt 4 Bandingkan integral -&."/ T 2= g 0 2 g cos0θ cos 0 θ pada pers. -."/, diperoleh
θ = −
θ = −
∫ ∫ ∫
?arga
B
-"#,
/
l
1
1
dapat T = 2 2 g B 2 , 4
diperoleh dari tabel. 4.4. Fungsi Error !an !eret Asimtotik Dari pers.-."/ dan -."#/ diperoleh ∞ -.#"/ π −x Dari persamaan ini didefinisikan e dx = 2 0
∫
2
Buku &jar Fisika Matematika (( - 5
Fungsi Gamma, Fungsi Beta… integral tak tentu -.##/ yang dikenal sebagai
x
erf ( x)
"ungsi error . *ntuk 5
∫ e
−t 2
∫ e
−t 2
=∞
dt
ke)il ungkapan -.##/
2
x
∫ e π
=
0
−t 2
dt
0
dt
0
ini dapat diekspansi dalam deret 0 yang
2 t 2 t 6 dt 1 erf ( x) = 3 − t 5+ 7− + ⋅ ⋅ ⋅ -.#1/ ∫ x x x 3! 2 2 π x −0 + − + ⋅ ⋅ ⋅ kon@ergen 3 10 42 π 2
x
dengan )epat. Misalkan f-5/ terdefinisi untuk 5 )ukup besar, deret terbentuk -.#/ a1 a 2 a3 + + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ a dengan a, a", a#, a1, ... 0
x
konstan,
disebut
x
x
deret
asimtot dari f(x) jika untuk setiap n = !"!#!$!%%% dipenuhi
→ ∞ a n n a1 x a 2 ( ) − + + + ⋅ ⋅ ⋅ + f x a x → 0 0 2 n x x x ( xa) a f 1 2 + 2 + ⋅⋅⋅ a0 +
untuk -.#4/ dan dituliskan ∼
'ika
-.#7/ suatu
fungsi
x
f-5/
x
mempunyai ekspansi asimtotik maka ekspansi ini unik, karena koefisien a , a", a#, ... unik,
a 0 = lim f ( x) x →∞ a1 = lim[ f ( x) − a0 ] x x →∞ 2 a2 = lim[ f ( x) − a0 − a1 ] x x →∞
an
f ( x) − a − a1 − ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x n = xlim 0 n −1 →∞ x x
8embali pada bahasan fungsi error -.##/. *ntuk 5 >>", lebih tepat fungsi -.##/ ditulis dalam bentuk 0 erf ( x) -.#9/ (ntegrasi -by parts/ integral ruas
∞ −t ∞ −t ∞e − e 2 ∫ −t ∫ π 0 dt 1 − 0∫ e
=
2
2
2
2
dt
π x
kanan -.#9/ memberikan ∞
∞
2 1 1 e dt de −t ∫ −t 2 = − ∞ 0 ∫ 2 x t 1 −t 2 ∞ 1 x 1 e e dt ∞ 0 − 21 et − x 2 x − 1 2 1t 2 −t 2 +− x2 x 3 de ∞ − x 2 1 e 2 x1 e 4 t 1 1 −t 3 2 x e dt + ∞ − x − 3 3e x 1 −t 2 −1 1t ⋅33 ⋅ 5 ⋅ ⋅(2n −1) n 2 4 4 x x e dt + 5 − ⋅ ⋅ ⋅ + (−1) n −1 n 8 x 2 t x
−t 2
0
1e
2 x
)
∫
-.#;/ − x2
(
−
1e
− x 2
4 x 3
∫
∫
∫
Buku &jar Fisika Matematika (( - 6
Fungsi Gamma, Fungsi Beta… 0
3
+
4 x
2
− ⋅ ⋅ ⋅
fungsi error. 4.#. $umus %tirling 8embali pada definisi fungsi
-.4/ Γ ungkapan fungsi ini dapat dituliskan ∞
0 -.1/
Γ ( p +1∞) = p! = ∫ x p e −x dx
∫ e
@ariabel
p ln x −x 0
dx
0
-.1"/
x
= p +t
p
maka dx = p dt -.1#a/ x = 0 →t = − p -.1#b/
p dt
−
t ln( ) ln 1 p + t p = p + 0 t p ln p + ln 1+ 2 0 -.1/ t t p + ⋅ ⋅ ⋅ ln p + −
∞ p ln p +t
∫
0 e
2! p
e p ln p − p − p e ∞
p ln p − p
p −t
2
p
−t p ∫ e −∞
2
2
− p⋅t
p
∞
2
−t
e ∫ dt −
−
p dt pdt −t
2
∫
-.14/ −∞ (ntegral pertama -perlihatkan/ ∞ t -.17a/ − 2 e dt = 2π
∫
−
p
2
2
e
dt
2
∫
Γ ( p +1) = p!= p
4.&.
Fungsi
e
2π p 1 +
12 p
+
1 288 p
2
+ ⋅ ⋅ ⋅
!an 'ntegral Elli(tik (ntegral lain yang sudah ditabelkan adalah inte&ral elliptik . Bentuk legendre dari
Buku &jar Fisika Matematika (( - 7
Fungsi Gamma, Fungsi Beta… integral elliptik jenis pertama Φ -.12/ d θ (k , Φ) = dan jenis kedua 2 2 1 − k sin θ ϕ 0 -./ 2 2 dengan dan k disebut ! (k , Φ) =0 ≤1k −≤k 1 sin θ d θ
∫ ∫ 0
modulus dan ϕ disebut amplitudo dari integral elliptik. (ntegral elliptik lengkap adalah harga F dan E jika , ϕ = π π -."/ 22 d θ dan " (k ) = k , π = 2 2 -.#/ 1 − k 2 sin 2 θ 0 # Mengingat sin θ ! (k ) = ! ( k , π ) = 1 − k 2 sin 2 θ d θ
(
periodik
) ∫ π
∫
2
dengan
0
perioda π, Menggunakan definisi integral elliptik lengkap, maka didapat ! ( k , nπ ±ϕ ) = 2n" ± (k , ϕ ) -.1/ 'ika batas baah tak ! (k , nπ ±ϕ ) = 2n! ± ! (k , ϕ )
nol, ϕ 2
∫
ϕ2
d θ
∫
ϕ 1
d θ
∫
d θ
=(k , ϕ 2 ) −2 (k 2 , ϕ −1 ) 0 -./ 2 2 1 − k sin θ 0 1 − k 2 sin 2 θ 'ika dilakukan ϕ 1 1 − k sin θ 0 pergantian @ariabel d θ =
maka -.4/ -.7/ dan
ϕ
xd = θ sin θ , dx
cosθ
=
1− x
2
d θ dx (k , ϕ ) = ϕ = 2 2 2 2 2 2 21 − k x 2 2 1 − x 1 − k x − k sin ! (k , ϕ ) 0= 1 −1k sinθ θ d 0θ = 2 1 − x 1 0 0 -.9a/ dx " = k , π = 1 2 2 -.9b/ 2 1 − k 2 x k 2 x 2 ! k , π = 0 1 − x 1 − dx
∫
∫
( (
∫
∫
) ∫ ) ∫ ( 1 − x )( 2 2
)
Penguasaan Matematika tidak dapat 0dikesampingkan dalam upaya memiliki pengetahuan yang tepat mengenai kebenaran spiritual demikian pandangan al-farabi
Conto 4.2 ) ?itung perioda pendulum jika π simpangan maksimum ≠ . Dari )ontoh ". diperoleh solusi dari 2 persamaan gerak yaitu pers.-&.B/ ∗2 -&.;/ 2 g ' 'ika simpangan maksimum θ = l cosθ + # adalah d , maka -B."/ ∗ 2 2 g ' cos θ + # θ (d ) = 0 = maka l
Buku &jar Fisika Matematika (( - 8
Fungsi Gamma, Fungsi Beta… -B.#/
#'
(ntegrasikan seperempat perioda α -B./ (ntegral ini dapat diubah menjadi bentuk standard
=
=−
2 g
l
2 g
l
cos d
(cosθ − cos d )
d θ
∫ cosθ − cosα
2 g T α
=
l
0
4
F. :uliskan )osinus dalam bentuk , θ cosα maka 0 cos θ -B.4/
-B.7a/
( (
2 − cos α = 2 sin α
2
(
2 − sin θ
( ) 2 2 sin (α ) 1 − 2 θ sin (α ) 2 x = θ d θ α ( ) dx = 2 sin2 θ
2
2
2
sin
2
cos 1 sin
22 θ = 1 − 2 sin α
=
dan
2 2 2 sin α 2 sin α 2 sin α dx 2 2 2 dx = 2 α 2 cos θ 1 sin − x 2 2
( )
( )
( )
-B.7)/ ke ruas kiri persamaan -B./ d θ
α
∫ 0
cosθ − cos α
=
2 sin(α / 2)
dx
1
∫ 2 sin(α / 2) 0
(1 − x )(1 −sin (α / 2) x ) 2
2
2
-B.9/ = 2 " (sin α / 2)
∫
= ∫
-B.2/ integral ini dapat dihitung dengan mudah. *ntuk integral eliptik lengkap fungsi sinus yang sur@i@e dengan batas integrasi dan J# hanya bagian non6)osinus. sin θ = 1 / 2 −1 / 2 cos 2θ 2
sin θ = 3 / 8 −1 / 2 cos 2θ +1 / 8 cos 4θ 4
Buku &jar Fisika Matematika (( - $
Fungsi Gamma, Fungsi Beta… dan seterusnya maka " (k )
π / 2 1 3 3 4 = (k , π / 2) = ∫ 0 k + ....... d θ 1 + k 2 (1/ 2) + 8 2.2.2 2
-B."/ untuk k 0 sin K# diperoleh , T α
= 2π
1 3 π / 2 = θ + k 2θ + ( ) 2 k 4θ + ....... π 4 2.4 1.3 = 1 + (1 / 2) k + k +....... 2
2
2
2
T
4
2.4
3 2 5 2 l 2 2 4 6 1 + (1 / 2) sin (α / 2) + ( ) sin (α / 2) + ( ) sin (α / 2) + ... 8 16 g
-B.""/ bila K ke)il, bandingkan hasil -B.""/ dengan -&.7/. Fungsi eli(tik* integral berikut dx x -.;/ = arcsin + # kemudian definisikan a a 2 − x 2 x dt -.2/ = arcsin x & = ini berarti 5 0 sin u 0 2 1 − t
∫
∫
serupa dengan -.2/, definisikan u 0 F -k,I/ sebagai -.4/ sehingga 5 0 sin u
'
dt
x
= ∫ 0
1 − t 2 1 − k 2 t 2
= sin −1 x
-.4"/ karena I adalah amplitudo dari integral eliptik u 0 F -k,I/ dan 5 0 sin I, maka sin u 0 sin I 0 sin -amp. */
-.4#/
fungsi sin u adalah fungsi eliptik definisikan juga -.41/ dn'
dn'
= cos ϕ = cos(amp.' )
2 2 2 d ϕ 1 2 ) = = 21'−= x 2 1 − k 2 x 2 ϕ 1−−sin = = =1 −sin = (1amp − k .2'sin 1 − k ' sin
d'
d'
d ϕ
dan
-.4/ Latihan
LATIHAN SOAL
PE+UN,U- ) 'aablah dengan singkat pertanyaan berikut di baah ini, jika anda dapat menjaab se)ara terperin)i anda telah menguasai 2 L bahan dari Bab (A. PE$+ANAAN ) n 1+ )n n(!n) ". Buktikan baha dan Γ (Γ n(+ ) 1= =Γ ∞
∫ x 0
3
e −x dx
#. selesaikan persamaan 1.
∞
∫ x 0
6
e
−2 x
persamaan
Buku &jar Fisika Matematika (( - 1%
dx ()ka 2 x = y
Fungsi Gamma, Fungsi Beta…
PENU+UP Tes Formatif
TES FORMATIF
Petun/uk ' ) 'aablah pertanyaan berikut se)ara singkat3 ". Buktikan baha
Γ ( 1 ) =
π
2
∞
− y #.
(− Γ *( − dz ) ∫ )3danΓ 0 2
. Buktikan 4.
) 2Γ (m)Γ (n) 2 dx β (m, n#) )=1 m, n 1 + ∫ 0 Γ ( m n ) ln x x) 3 dx a ) x 4 (− 1−
∫ x dx *) ∫ xθ 2− a) ∫ sin θ d a dx dyπ − y= 16 − x * θ cos θ d θ ∫ )∫ x∫ y8sin 9 3 0
persamaan berikut!
2
7.
>0
π / 2 0
0 a 2 4 π 3/ 2 0 0 0
∞ cos x
∫ 0
2
6
4
2 3
2 5
π
π dx = 4 d Γ (θ p) cos( pπ / 2) x#) 0 cos 2θ p
∫
+aftar P',taka
DAFTAR PUSTAKA
&rfken and ?.'. eber ! Mathemati'al Methods for hsi'ist , 4th ed., G.B., &)ademi) Press, "224. Boas, M., Mathemati'al Methods in The hsi'al *'ien'es, 'ohn iley, "2;1
Buku &jar Fisika Matematika (( - 11
Fungsi Gamma, Fungsi Beta… Nutline
Buku &jar Fisika Matematika (( - 12
