fungsi-invers-dan-turunan-fungsi-invers

asimtot.wordpress.com [email protected]

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa fakultas ekonomi dalam menentukan biaya optimum produksi dan penentuan keuntungan maksimum. Atau menentukan panjang maksimum suatu balok oleh mahasiswa fakultas teknik, dan sebagainya.

Suatu fungsi juga sangat banyak macamnya. Salah satu cara untuk memperbanyak fungsi yaitu dengan membalikkan (invers) fungsi tersebut. Invers yaitu balikan suatu fungsi. Bagaimana mahasiswa bisa mencari turunan suatu fungsi yang semakin banyak itu? Apakah harus dicari dengan cara menghitung yang cukup panjang? Apakah tidak ada cara yang lebih mudah dan cepat untuk menghitungnya?

Semakin banyak fungsi akan menyulitkan kita dan membuat kita menjadi lebih lama untuk mencari differensial atau turunannya. Karena hal ini, orang berusaha mencari cara cepat mencari turunan pada fungsi balikan. Sehingga pada kesempatan kali ini akan kami coba mengemukakan tentang mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara lebih cepat. Yaitu menggunakan teorema turunan fungsi invers. Hal ini akan memudahkan kita untuk menemukan diferensiasi fungsi invers tanpa membalikkan fungsinya terlebih dahulu dan kemudian mencari inversnya. Sehingga mahasiswa akan lebih mudah dalam menentukan turunan suatu invers.

Di samping itu, selain mempermudah juga akan mempercepat dalam menentukan turunannya. Berangkat dari sini maka kami menyusun makalah ini untuk mengetahui bagaimana cara mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara yang lebih cepat dan efisien.

1


1.2 Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan fungsi balikan? 2. Bagaimana cara menentukan suatu fungsi balikan? 3. Apakah setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan? 4. Bagaiman cara mencari turunan fungsi balikan?

 

5. Mengapa jika ( ) = 0 di suatu





dalam , maka tidak berlaku teorema fungsi

balikan?

1.3 Tujuan

1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan. 2. Mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan. 3. Mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak. 4. Mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan.

 

5. Mengetahui jika ( ) = 0 di suatu





dalam , maka tidak berlaku teorema

fungsi balikan.

1.4 Manfaat

1. Agar mahasiswa mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan. 2. Agar mahasiswa mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan. 3. Agar mahasiswa mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak. 4. Agar mahasiswa mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan.

 

5. Agar mahasiswa mengetahui jika

( ) = 0 di suatu





dalam , maka tidak

berlaku teorema fungsi balikan.

2


BAB II PEMBAHASAN

2.1 Fungsi Balikan



Jika

 

adalah fungsi dari himpunan

fungsi dari himpunan



ke himpunan

ke himpunan

A

B



B

  − 

     −  

−

1

.

menghasilkan output ,



 ,

.

dan kodomainnya adalah



. Kemudian, jika ada kebalikan dari fungsi

dan kodomain

1

menghasilkan sebuah output

adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan

himpunan

adalah

A

dan inversnya

dimasukkan ke dalam fungsi

kemudian dimasukkan ke dalam fungsi invers

 



maka invers fungsi

,

.

Gambar 1. Sebuah fungsi

Jika sebuah input



adalah

−

1

dengan domain

, dengan aturan.

Jika ( ) = , maka

1

=

Tidak semua fungsi mempunyai invers. Tetapi, fungsi yang tidak mempunyai invers



itu akan mempunyai invers jika kita membatasi himpunan nilai-nilai

-nya. Fungsi

yang mempunyai invers adalah fungsi bijektif, yaitu: Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif. Sehingga sering dinyatakan sebagai "sebuah fungsi bijective jika dan hanya jika memiliki fungsi invers".

3


2.2 Cara Menentukan Fungsi Balikan

− 

Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk

− 

tentukan terlebih dahulu

1

1

( ) untuk melakukan itu, kita

( ), kemudian kita menukarkan

  dan

dalam rumus

yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk

− 

pencarian

1

( )

1.

Langkah 1 : Selesaikan persamaaan

2.

Langkah 2 : Gunakan



Langkah 3 : Gantilah

1

dengan .

kita bahwa menukar peranan

 

   

dan

dan . Sedikit pemikiran meyakinkan

pada grafik adalah mencerminkan grafik

= . Jadi, grafik =

( ) terhadap garis



( ) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan

Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan

terhadap garis



= ( ) untuk dalam bentuk .

−         − 

dalam . 3.

  

1

( ) adalah gambar cermin grafik



=

= .

Contoh soal Carilah invers dari

 − − =

1

3

4


Jawab :

  

 − − − −   − 1

=






Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan 3

1

3=

=

1

+3

−  1

Langkah 2 : menggunakan

 −  −  1

=

1

+3

Langkah 3 : mengganti

−  −  1

=

1

( ) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam





dengan .

+3

2.3 Keberadaan Fungsi Balikan

Teorema



Jika



monoton murni pada daerah asalnya, maka

Fungsi monoton

 

   ∈                 ≥       ≤    ≠     

Misalkan ( ) terdefinisi pada suatu himpunan



dikatakan:

memiliki balikan.

<



monoton naik, jika



monoton turun, jika untuk

1

<

2



monoton tak naik, jika untuk

1

<



monoton tak turun, jika untuk



monoton datar, jika untuk

1

2

maka

1

1

< (

1

maka 2

<

2

. Untuk semua

1

maka

2

maka

maka

2

, fungsi

2)

> (

2)

1

(

1

1

1,

= (

(

2)

2)

2)

Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik.

5


Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun. Monoton naik jika

            1

Monoton turun jika

<

1

2

<

maka

2

1

maka

<

1

.

2

>

2

.

Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk

   ≠   setiap

1,

2

  1

<

2

   

maka berlaku

pada daerah asalnya.

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika

(

1

2)

untuk setiap

 1,

2

 ≠ 1

2

1

< (

2)

untuk

maka berlaku

pada daerah asalnya.

Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.

Bukti teorema

Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki balikan

 → 

Kita ambil : Jika



monoton murni maka

satu-satu dan onto

Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik.



Bukti untuk

 

Diketahui

satu-satu.

Dengan kata lain : Terbukti

⟷   →      ≠  →   ≠  

monoton naik 1

1

2

<

2

1

1

(

< (

2)

2)

satu-satu.

Bukti untuk onto

Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya.

6


     ⊆  =

Onto artinya Untuk

  ⊆   ⊆  

, yang ekuivalen dengan

( )

dan

sudah sangat jelas.

Sekarang akan dibuktikan untuk

 ⊆  

( )

Andaikan

∃ ∈    ∉   ∃  ∈  ∋        →    →   ≠  ≠  →  →          ∴ ∃  ∈  ∋   ∴  ∈    ∉    1,

Maka

Untuk lim

1

=

1

lim

Maka

,

2

<

2

,

= lim

= lim

1

<

<

Menurut teorema apit

2

2

1

2

( )= ( )

<

=

maka haruslah

=

( )

Kontradiksi bahwa Jadi,

adalah Onto.

Contoh soal



Perlihatkan bahwa

   −

memiliki balikan. Untuk ( ) = 2

7

5



+ 12 .

Jawab : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu

   −       −    ( )=14

′

6

′

Dimana nilai ′

Jadi

= 14

5

6

4

+ 12



selalu lebih besar nol untuk setiap .

5

4

+ 12 > 0 untuk semua



naik pada seluruh garis real.

sehingga

memiliki balikan di sana.

−

Kita tidak selalu dapat memberikan rumus sederhana untuk

1

7


2.4 Turunan Fungsi Balikan

Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni.

Teorema

   ≠

Andaikan Jika

′

( )



terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang .

  

0 di suatu

yang berpadanan

=



−

1

tertentu dalam . Maka

 −   

dalam daerah hasil 1

(

)

′

terdiferensiasikan di titik

dan

1

=

′

( )

Untuk lebih mudah memahami teorema. Perhatikan gambar disamping!

−       

Kita anggap,

1

= ( ).

Garis singgung fungsi adalah turunan pertama yaitu ( )

  ′



Gambar 2. Turunan

di di

   

Garis singgung fungsi ( ) di adalah turunan pertama ( ) di

invers

   −   −  

Menurut definisi invers. Yaitu, jika

yaitu

= , maka

Dengan melakukan substitusi kita dapatkan

1

′

( )

1

= .

= .

8


Kita perhatikan untuk

−   1

=

Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh :

  −  =     (− ) . ( () ) = 1 (− )  =   Yang ekuivalen dengan ( − )  =   1

1 1

′

′

1

′

′

( )

1

1

′

′

( )

Bukti resmi teorema

  ⊆     →           →     ∈     ≠   

Interval [ , ]

:[ , ]

, dan

, fungsi monoton murni dan kontinu pada

[ , ].

[ , ] = ([ , ]) dan

:

,

invers fungsi

yang monoton murni dan

kontinu.

[ , ] dan

Fungsi

terdiferensial di titik

Fungsi

terdiferensial di titik =

′

( )

0.

lebih lanjut,

      ∈   ≠ ∶    −   −     ≠    ≠    ∶   →        −  −  ′

Ambil sembarang

  →

[ , ]

dengan

1

=

′

( )

[ , ] dengan

=

1

′

, selanjutnya didefinisikan fungsi

=

Diketahui

∈ 



monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap

[ , ] dengan

, maka ( )

well define. Demikian halnya jika berdasarkan definisi fungsi

= (

. dengan kata lain

) dan

= (

[ , ]

,

) maka

diperoleh

=

( )

9


∈   ≠   ≠ →         ∈  –     −  −     −       ∈   –   −           –    −    −  ∈   ∈   –   −   −    −  −     →    [ , ] dengan

Mudah dipahami bahwa untuk setiap

,

( )

maka

0.

Selanjutnya dibuktikan bahwa

lim

Diberikan bilangan bilangan

> 0 dan jika

′

=

( )

terdiferensial di

> 0 sehingga untuk setiap

= ( ), maka terdapat

[ , ] dengan sifat 0 < |

|<

berlaku

( )

Diketahui bilangan

′

kontinu di titik =

′

( ) <

( ), artinya untuk setiap bilangan

> 0 sehingga untuk setiap

[ , ] dengan 0 < |

> 0 terdapat

|<

, maka

berlaku

( ) <

Karena

fungsi invers dari

surjektif.

injektif dan

maka

, maka

= ( ), maka diperoleh; jika 0 < |

( ) =

<

Oleh karena itu untuk setiap ′

Untuk sebarang

 −  = −   ( )

[ , ] dengan 0 < |

′

≠

′



maka

=

|<

|<

( ) =

=

injektif dan

[ , ]

untuk setiap

> 0. Jadi lim

Perhatikan bahwa karena

bijektif, dengan kata lain

berakibat

( ) <

( )

− − 

( )

≠

0 , sehingga diperoleh

1

( )

∈   ≠  −    → − →   →    

Dapat disimpulkan, untuk setiap ′

= lim

[ , ] dengan

( )

= lim

1

( )

, berlaku

=

1

lim

( )

=

1

′

( )

10


Terbukti

      ′

1

=

′

( )

1

=

′

Ketika kita membuktikan seperti itu. Mungkin kita akan kebingungan dengan langkah-langkah yang ada tersebut. Sehingga kelompok kami menyajikan bukti menurut kelompok kami sendiri. Yang mungkin akan lebih mudah kita pahami.

Bukti mudahnya menurut kelompok kami

   ≠

Andaikan Jika

′




( )

  

0 di suatu

yang berpadanan



=

 −   

dalam daerah hasil

(

Menurut definisi limit

−


1

)

′

=

1


dan

1

′

( )

   → −  − ′

Akan dibuktikan

( )

= lim

−    (

1

)

′

=

1

′

( )

Dengan definisi limit, kita peroleh

− − −   −    = → lim −() Karena  −    =  dan  −   =  1

1

1

′

1

1

Maka kita bisa menuliskan

− −   →  −  1

′

= lim

( )

11


 ≠ 

Karena f kontinu dan monoton murni, sehingga

 −  ≠ ( )

sehingga

,

0. Sehingga kita boleh melanjutkan proses.

maka kita bisa menuliskan

−    −  →  − −     1

′

1

=

( )

lim

1

′

1

=

′

Dengan ini kita mendapatkan

−     1

  =

Dimana

′

1

=

′

, diperoleh

−     1

′

=

1

′

Terbukti.

Contoh soal

− ′ 1

Carilah

  

(2) jika diketahui

Jawab : Kita akan mencari nilai

             ′    ′    ′   =

+1

yang berpadanan dengan



=2

+1

=

+1

2 =

+1

4=



=

+1

=3

′ 

Kemudian kita cari

=

=

3 = 3 =

( )

+1

1

2

+1

1

2 3+1 1 4

12


− 

−   −   −   (

1

(

1

) 2 =

(

1

) 2 =4

′

) 2 =



′

1

(

Kita selesaikan dengan menggunakan teorema

)

′

=

1

  ′

( )

1 ′

(3)

1 1 4

′

Bagaimana jika kita menyelesaikannya dengan cara mencari inversnya kemudian kita turunkan?

     − ∞   ∞ −      ∞   − ∞ − ′  −   =

+1

1

(

2

=

1

=2

1

) 2 =4

=

1,

+1

= [0,

= 0,

)

= [ 1,

)

′

Hasilnya sama.

  ≠   ≠    ′

( )

2.5 Mengapa

Syarat

′

( )

=

. Artinya, jika



( )

0 maka fungsi invers

  

terdiferensial di titik =

tidak



dan jika

untuk dapat

=

1

1=

′

Lebih jelas terlihat jika kita masukkan

=

= ( ) dan diperoleh

terdiferensial di titik

Terjadi kontradiksi, oleh karena itu

  



       ↔              ′

′

′

, maka dapat diterapkan teorema tersebut pada fungsi

menyimpulkan bahwa fungsi

Diperoleh

  ≠

0 sangatlah penting . Apabila

terdiferensial di invers fungsi

0?

′

.

′

=0

tak terdiferensial di titik

′

= 0 ke dalam

′

=

=

.

1

′

1 0

13


Contoh

   ∀∈ −  −   ∀∈    −              −   ∀∈

Diberikan fungsi bernilai real

yang didefinisikan dengan 3

=

Diperoleh

1

=

1 3

,

,

Ambil titik = 0 , diperoleh Dengan demikian 1 =

′

′

,

=3

= ( ) = 0 dan

.

′

2

, dan

1

′

′

=

=

2 3

3

′

( ) = 0.

= 0

Terjadi kontradiksi, sehinggga dapat disimpulkan bahwa

1

=

1 3

,

tidak terdiferensial di 0

14


BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan

Suatu fungsi dapat diperbanyak. Salah satunya dengan cra membalikkannya (inversnya). Langkah-langkah untuk membalikkan suatu fungsi yaitu : 1.

Langkah 1 : Selesaikan persamaaan

2.

Langkah 2 : Gunakan

−   



dalam . 3.

Langkah 3 : Gantilah

1

  






( ) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan

dengan .

Sehingga fungsi tersebut akan semakin banyak. Dengan banyaknya fungsi-fungsi yang kita punya. Dan untuk mencari turunan suatu invers. Kita mempunyai teorema. Dengan adanya teorema turunan fungsi balikan. Yaitu : Teorema

   ≠

Andaikan Jika

′

( )




  

0 di suatu

yang berpadanan

=



−


1


 − 

dalam daerah hasil

dan (

1

)

′

=

1

  ′

( )

itu akan sangat membantu kita untuk mendapatkan turunan dengan lebih cepat. Sehingga akan memudahkan kita dalam menentukan turunan suatu fungsi. Tetapi kita juga sangat perlu untuk memperhatikan syarat-syaratnya. Yaitu fungsi tersebut harus kontinu dan fungsi tersebut monoton murni.

3.2 Saran

Perlu diperhatikan dalam menentukan turunan dari invers suatu fungsi. Karena disitu terdapat syarat fungsi yaitu harus kontinu dan monoton murni. Terkadang kita tetap melakukan itu padahal fungsi tersebut tidak kontinu. Sehinga perlu adanya ketelitian. Dan disarankan melihat syaratnya dalam menggunakan suatu teorema. Karena kebanyakan dari kita adalah tergesa-gesa dalam menyelesaikan soal dengan suatu teorema. Padahal soal itu tidak memenuhi syarat di teorema tersebut.

15

fungsi-invers-dan-turunan-fungsi-invers

Recommend Documents