FUNGSI NON - LINEAR
Fungsi berderajat 2 atau fungsi kuadrat adalah bentuk fungsi non-linear yang paling sering diterapkan dalam bidang bisnis dan ekonomi. Fungsi kuadrat mempunyai 4 kemungkinan bentuk, yaitu: a.
LINGKARAN
Bentuk umum persamaan lingkaran :
dimana
dan
setanda dan sama besar (
) sedangkan nilai
dan
dapat bernilai
positif maupun negatif dan tidak harus sama besar, begitu juga dengan
dapat bernilai
positif maupun negatif. Pusat dan jari-jari lingkaran dapat dicari dengan memanipulasi bentuk umum persamaan lingkaran menjadi bentuk:
dimana
dan
mencerminkan koordinat pusat lingkaran, sedangkan
lingkaran. b.
dalah jari-jari
ELIPS
Bentuk umum persamaan elips :
dimana
dan
setanda tetapi tidak sama besar (
), sedangkan ,
, dan
dapat
bernilai positif atau negatif. Pusat dan jari-jari elips dapat dicari dengan cara memanipulasi bentuk umum persamaan elips menjadi bentuk :
dimana dan menggambarkan menggambarkan koordinat pusat elips, sedangkan elips.
dan
adalah jari-jari
c.
PARABOLA
Bentuk umum persamaan parabola:
Atau
Bentuk yang pertama adalah persamaan parabola yang sumbu simetrisnya sejajar sumbu
, sedangkan bentuk yang kedua adalah persamaan parabola yang sumbu simetrisnya
sejajar sumbu .
Setiap parabola mempunyai satu titik ekstrim atau titik puncak. Letak titik ekstrim ini mengandung empat kemungkinan tergantung dari bentuk parabolanya. Apabila sumbu simetris parabola sejajar dengan sumbu vertikal, letak titik ekstrimnya mungkin di atas (parabola terbuka ke bawah) dan mungkin di bawah (parabolanya terbuka ke atas). Sedangkan apabila sumbu simetris parabola sejajar dengan sumbu horizontal, letak titik ekstrimnya mungkin di kiri (parabolanya terbuka ke kanan) dan mungkin di kanan (parabolanya terbuka ke kiri).
Berikut adalah gambar-gambar parabola dengan kemungkinan letak titik puncaknya. puncaknya.
(a)
(b) y = f(x)
(c)
(d) x = f(y)
Titik puncak parabola :
( )
Titik potong parabola dengan sumbu-sumbu koordinat pun dapat dicari dengan cara memisalkan d.
HIPERBOLA
dan / atau
.
Bentuk umum persamaan hiperbola :
Dimana a tidak setanda dan tidak sama besar dengan b. Setiap hiperbola mempunyai satu titik pusat serta masing – masing dua asimtot datar dan asimtot tegak. Asimtot – asimtot itu dapat berupa garis miring
, ataupun berupa garis lurus horizontal
dan garis lurus vertical
dan ,
dimana b adalah suatu konstanta. Asimtot – asimtot dari suatu hiperbola tidak selalu berpotongan dengan sumbu – sumbur koordinat. Contoh hiperbola dengan asimtot datar dan asimtot tegak :
Contoh hiperbola dengan hiperbola dengan asimtot – asimtot miring :
e.
FUNGSI KUBIK
Bentuk umum persamaan fungsi pangkat tiga :
Fungsi kubik dengan bentuk persamaan seperti di atas mempunyai satu titik minimum, dan juga titik belok (inflexion point) ; kurvanya berpotongan di sumbu
vertikal y pada posisi pangkal
. Andaikan
.
, maka kurvanya akan bermula dari titik
Cara mencari titik maksimum dan titik minimum serta titik belok dari suatu fungsi kubik akan diterangkan tersendiri pada bab tentang diferensial. Tidak semua fungsi kubik mempunyai titik ekstrim (titik maksimum atau titik minimum), ada yang hanya mempunyai sebuah titik belok. Hal ini tergantung dari besar kecilnya harga – harga
persamaan persamaan kubik yang bersangkutan. bersangkutan. Dengan demikian, selain seperti kurva
– kurva pada kedua gambar di atas, kurva fungsi kubik dapat pula berbentuk seperti berikut :
f.
FUNGSI PANGKAT DAN FUNGSI EKSPONEN
Bentuk umum persamaan fungsi pangkat :
Bentuk umum persamaan fungsi eksponen :
Perbedaan pokok antara fungsi pangkat pangkat dengan fungsi eksponen eksponen adalah bahwa untuk
= bilangan positif, kurva fungsi eksponen selalu bermula dari suatu penggal
pada sumbu vertikal y, sedangkan kurva fungsi pangkat tidak selalu bermula dari suatu penggal kecuali jika di dalam persamaan fungsinya memang tercermin harga sesuatu penggal. Bandingkan kurva-kurva dari fungsi pangkat dan fungsi eksponen di bawah ini:
0
1
2
3
4
0
1
4
9
16
0
1
2
3
4
0
1
4
9
16
1.
PENERAPAN EKONOMI 1.1.
Fungsi Permintaan dan Fungsi Penawaran
Bentuk non-linear dari fungsi permintaan dan fungsi penawaran dapat berupa potongan parabola, potongan hiperbola, fungsi pangkat atau fungsi eksponen.
Bentuk – – bentuk fungsi permintaan non linear :
1) fungsi permintaan berupa potongan parabola
2) fungsi permintaan berupa potongan hiperbola
3) fungsi permintaan berupa fungsi pangkat dan fungsi eksponen
Bentuk – – bentuk fungsi penawaran non - linear :
1) Fungsi penawaran berupa potongan parabola
2) Fungsi penawaran berupa potongan hiperbola
3) Fungsi penawaran berupa fungsi pangkat dan fungsi eksponen
1.2.
Keseimbangan Pasar
Pasar suatu barang dikatakan berada dalam keseimbangan ( equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. ditawarkan. Secara matematis, sepeti halnya pada kondisi linear, hal ini ditunjukan oleh kesamaan
, yakni pada perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.
P
Pc
E
0
Keseimbangan Pasar :
Q
: jumlah permintaan : jumlah penawaran : harga keseimbangan : titik keseimbangan
: jumlah keseimbangan
CONTOH 1:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan
sedangkan penawarannya
. Berapa harga keseimbangan dan jumlah
keseimbangan yang tercipta di pasar ?
Solusi.
Keseimbangan pasar :
Jadi,
1.3
Pengaruh Pajak dan Subsidi
Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang ditawarkan oleh produsen berubah, ini dicerminkan oleh berubahnya fungsi penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar pun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan sedikit lebih mahal dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya, subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih murah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.
CONTOH 2:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan sedangkan penawarannya
. Jika terhadap barang dikenakan pajak
sebesar 2 per unit, berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sesudah pajak ? Solusi.
Penawaran sebelum pajak :
√ Penawaran sesudah pajak :
Keseimbangan Pasar :
√
(
tidak dipilih karena harga negatif adalah irrasional)
Jadi setelah dikenakan pajak,
dan
dan
. Sedangkan, sebelum pajak
. (Penyelesaian contoh 1).
Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen dan produsen.
Beban pajak yang ditanggung konsumen
Besarnya adalah selisih antara harga keseimbangan sesudah pajak dengan harga keseimbangan sebelum pajak.
Beban pajak yang ditanggung produsen
Besarnya adalah selisih antara besarnya pajak yang di kenakan dengan bagian pajak yang ditanggung konsumen. Dalam contoh di atas, besarnya bagian dari beban pajak yang ditanggung konsumen adalah
pihak produsen adalah
; sedangkan, besarnya pajak yang menjadi beban masing-masing untuk setiap unit barang.
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah. Jumlah pajak yang diterima oleh
pemerintah. adalah jumlah barang yang terjual dikalikan besar pajak per unit. Dalam contoh tersebut, jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah
Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen dan produsen.
Bagian dari subsidi yang dinikmati oleh konsumen kons umen
Besarnya adalah selisih antara harga keseimbangan sebelum subsidi dengan harga keseimbangan sesudah subsidi.
Bagian dari subsidi yang dinikmati oleh produsen produ sen
Besarnya adalah selisih antara besarnya subsidi dengan bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen. Jumlah subsidi yang diberikan oleh pemerintah. Jumlah subsidi yang diberikan
oleh pemerintah adalah jumlah barang yang terjual dikalikan dengan besarnya subsidi per unit.
1.4.
Fungsi Biaya
Selain pengertian biaya tetap, biaya variabel, dan biaya total, dalam konsep biaya dikenal pula pengertian biaya rata-rata ( average cost ) dan biaya marginal (marginal cost ). ).
Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau output yang merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah output yang dihasilkan.
Biaya marginal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan output.
Dengan cara lain :
Bentuk non-linear dari fungsi biaya dapat berupa potongan parabola, fungsi
pangkat, fungsi eksponen, atau fungsi kubik. Hubungan secara grafis antara biaya total dan bagian-bagiannya dapat dilihat sebagai berikut. a. Biaya total merupakan fungsi kuadrat Misal Maka
– – – –
Karena biaya total
maka dapat dihitung tingkat produksi minimum serta besarnya
dan biaya variabel
minimum dan
merupakan fungsi parabola,
yang memberikan
minimum dan
minimum tersebut.
b. Biaya total merupakan fungsi kubik Misal Maka
– – –
Kurva biaya tetap produksi rata-rata
sebab
selalu berupa sebuah garis lurus sejajar sumbu jumlah
adalah suatu konstanta. Sementara itu, kurva biaya tetap
selalu berupa sebuah asimtot terhadap kedua sumbu koordinat.
CONTOH 3:
Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh
. Pada tingkat produksi berapa unit, biaya total minimum? Hitunglah
besarnya biaya total minimum tersebut. Hitung pula besarnya biaya tetap, biaya
variable, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variabel rata-rata pada tingkat produksi tadi. Solusi.
C minimum terjadi pada
unit
Besarnya C minimum
Biaya tetap (FC)
Biaya variabel (VC) = Biaya rata-rata (AC
Biaya tetap rata-rata (AFC) =
Biaya variabel rata-rata (AVC) = 1.5.
Fungsi Penerimaan
Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang, yaitu hasil kali antara jumlah barang yang dihasilkan atau terjual dengan harga barang per unit. Seperti halnya dalam konsep biaya, dalam konsep penerimaan pun dikenal pengertian ratarata dan marjinal. Penerimaan rata-rata ( Average Revenue/AR) adalah penerimaan yang diperoleh dari setiap unit output, merupakan hasil bagi penerimaan total terhadap jumlah barang. Penerimaan marginal ( Marginal Revenue/MR) adalah penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit output yang dihasilkan atau terjual.
Dengan cara lain : Dan karena
, berarti
Secara grafis, kurva permintaan adalah juga kurva
. Bentuk fungsi penerimaan
total (Total Revenue/R) yang non-linear adalah berupa suatu fungsi parabola terbuka ke bawah. Fungsi penerimaan ini dihadapi oleh produsen yang beroperasi di pasar monopoli.
CONTOH 4:
Permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen dicerminkan oleh
.
Bentuklah fungsi penerimaan totalnya. Pada tingkat produksi berapa unit penerimaan total mencapai maksimum. Berapa besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata pada tingkat produksi tersebut ? Solusi.
Mengingat
, sedangkan dalam soal di atas fungsi permintaannya
masih dalam bentuk
maka fungsi permintaan ini harus diubah dulu
menjadi bentuk
Karena R merupakan fungsi parabola, maka nilai R maksimum dapat dicari dengan pendekatan titik ekstrim parabola.
R maksimum terjadi pada
unit
Besarnya R maksimum
1.6.
Keuntungan, Kerugian dan Pulang – pokok
Tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan, kerugian, dan keadaan pulang pokok secara grafis dapat dilihat sebagai berikut :
Tingkat produksi
dan
mencerminkan keadaan pulang pokok ( break-
even), sebab penerimaan total sama dengan pengeluaran/biaya total (
disebelah kiri
dan disebelah kanan
dan
). Area
mencerminkan keadaan rugi, sebab
penerimaan total kurang dari pengeluaran total (
). Sedangkan area diantara
mencerminkan keadaan untung, sebab penerimaan total lebih dari
pengeluaran total (
). Tingkat produksi
mencerminkan tingkat produksi
yang memberikan penerimaan total maksimum.
Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif antara R dan C. Secara grafis, ditunjukkan oleh jarak antara kurva R dan kurva C. Jarak positif terlebar antara kurva C dan kurva C akan terjadi saat lereng (slope) dari kedua kurva tersebut sama besar, dan ini mencerminkan keuntungan terbesar atau maksimum. Dalam gambar, R mencapai maksimum pada positif terlebar terjadi pada
, sedangkan jarak
. Jadi, R maksimum/atau C minimum tidak selalu
menghasilkan keuntungan maksimum.
CONTOH 5:
Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaaan ditunjukkan oleh
persamaan
sedangkan biaya total yang dikeluarkannya
. Hitunglah keuntungan perusahaan ini jika output
yang dihasilkan dan terjual sebanyak 15 unit.
Solusi.
,
1.7.
Fungsi Produksi
Bentuk fungsi produk total ( Total Product/P) yang non-linier adalah berupa suatu fungsi kubik yang mempunyai titik belok dan titik puncak. Produk total merupakan fungsi dari jumlah input yang digunakan. Dalam konsep produksi juga dikenal pengertian rata-rata dan marginal. Produk rata-rata ( Average product/AP) adalah jumlah output atau produk yang dihasilkan dari setiap unit input yang merupakan hasil bagi produk total terhadap jumlah input. Sedangkan produk marginal ( Marginal Product/MP) adalah produk tambahan yang dihasilkan dari setiap tambahan satu unit input yang digunakan. Jika dalam suatu kegiatan produksi dianggap hanya ada satu input variabel katakanlah
, sementara input-input lainnya merupakan input tetap, maka fungsi
produksinya dapat dinyatakan dengan
Secara grafis, kurva produk total
produk marginal
titik belok kurva maksimum AP.
. Sedangkan,
. Kecuali itu, kurva
mencapai puncaknya tepat ketika kurva mencapai puncaknya tepat pada posisi memotong kurva
pada posisi
CONTOH 6:
Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh
. Carilah fungsi produk rata-ratanya dan hitunglah produk total serta produk
rata-rata tersebut jika digunakan input sebanyak 6 unit. Berapa produk marjinalnya kalau digunakan tambahan input sebanyak 2 unit?
Solusi.
P P
AP X AP X MP
, maka :
Untuk
Jika
1.8
,
,
Fungsi Utilitas
Fungsi utilitas total ( Total Utility/U ) berbentuk parabola terbuka kebawah. Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Utilitas marginal ( Marginal Utility/MU ) adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dikonsumsi.