FUNGSI TRIGONOMETRI Dosen Pengampu : Puji Rahayu S.pd
Disusun oleh:
1.Nofiani 2.Novitri H 3.Nur Rohmah 4.Puji A 5.Rahmadi 6.Ricky debby 7.Risca H 8.Robiatun 9.Sandy
(08310239) (08310240) (08310241) (08310242) (08310243) (08310244) (08310245) (08310246) (08310247)
IKIP PGRI SEMARANG 2008/2009
A. FUNGSI TRIGONOMETRI 1. Definisi Fungsi trigonometri suatu sdut θ adalah suatu fugsi yang berlaku untuk semua sudut. Sedangkan persamaan yaitu hanya berlaku untuk sudut tertentu. Contoh : Y = sin θ fungsi trigonometri sin θ = 0 persamaan trigonometri 2. Perioditas Fungsi Trigonometri a. pengertian fungsi periodik dan periode fungsi jika pada fungsi f (x), untuk setiap x berlaku f(x) = f(x+p), maka fungsi f(x) tersebut dikatakan fungsi periodik (berulang). Nilai positif terkecil p disebut periode dari fungsi f(x) tersebut. b. periode Fungsi Trigonometri fungsi trigonometri sudut – sudut berelasi antara lain : sin x0 = sin (x+ k.360)0 atau sin x = sin (x+ k.2 π) cos x0 = cos (x+ k.360)0 atau cos x = sin (x+ k.2 π) tan x0 = tan (x+ k.160)0 atau tan x = tan (x+ k.2 π) untuk bilangan bulat. Dengan rumus – rumus diperoleh sebagai berikut : 1. Karena f(x) = sin x 0 = sin (x+k.360)0 maka sin (x+360) 0 dapat dinyatakan sebagai f(x+p)dengan p = k.360. nilai positif terkecil dari p adalah 360 untuk k=1 jadi, f(x) = sin x0 adalah fungsi periodik, dengan periode p=360 2. Karena f(x) = cos(x+k.360) 0, maka sin(x+k.3600) dapat dinyatakan sebagai f(x+p) dengan p = k.360. nilai positif terkecil dari p adalah 360 untuk k=1 jadi, f(x) = cos x 0 adalah fungsi periodik, dengan periode p = 360 3. Karena f(x) = tan x 0 = tan (x+k.180) 0 dapat dinyatakan sebagai f(x+p) dengan p k.180. nilai positif terkecil dari p adalah 180 dengan k = 1 jadi, f(x) = tan x 0 adalah fungsi periodik. Dangan periode p =180. Apabila titik sudut θ berada pusat lingkaran dengan jari – jari arah dengan jarum jam seperti pada gambar segitiga ABC.
r
dan di ukur berlawanan
Fungsi trigonometri sudut dirumuskan dengan persamaan : sin θ = cos θ =
a
cos θ =
r r
b
secθ =
a
tan θ =
r r
cot θ =
b
a b b a
perlu dicatat cos θ = tan θ =
1 sin θ sin θ cos θ
secθ = cot θ =
1
cot θ =
cos θ
1 tan θ
cos θ sin θ
C. Tanda Dari Fungsi Trigonometri Dalam 4 Kuadran Dapat Di Ringkas Sebagai Berikut sin +
sin
cos All II
III +
tan cot
I
tan
VI
cos
+
+
sec
D. NILAI FUNGSI TRIGONOMETRI SECARA GEOMETRI Nilai fungsi trigonometri dapat diperoleh secara geometris dengan menggunakan sudut yang umum di gunakan. Misalnya apabila θ = 450 = ¼ π radian,b = a. •
Menggunakan rumus Phytagoras, r 2 = a2+b2, maka r = a bawah ini
seperti yang ditunjukkan di
jadi sin θ =
a a 2
=
2 2
cos θ =
a a 2
=
2 2
tan θ =
a a
=1
Nilai sinus, cosinus dan tangens tertentu untuk besar sudut yang umum digunakan, nampak dalam tabel di bawah ini. Nilai – nilai tersebut dapat di peroleh secara geometris.
E. Grafik fungsi sinus, cosinus dan tangens Garafik di catat bahwa fungsi sin x sifatnya tertentu dan sinambung untuk semua nilai x. sin x adalah suatu nilai periodik dengan periode 2 π, sehingga sin (x+2 π) = sin x untuk berbagai nilai x. apabila nilai x meningkat dengan 2 π, maka nilai y tidak berubah dan 2 π itu adalah bilangan positif terkecil yang memberikan sifat tersebut. Fungsi cos x juga tertentu dan sinambung untuk semua nilai x dan periodik pula dengan periaode 2 π.
Grafik y= cos x dapat diperoleh dari grafik y = sin x dengan menempuh garis x = ½ π sebagai sumbu y, sehingga grafik y = cos x = menjadi = grafik y = sin x bila mana grafik tersebut di geser ke kanan dengan ½ πradian. Fungsi tg x tidak sinambung untuk semua nilai x, dengan demikian x = (n+½) π, dimana n adalah bilangan bulat positif atau negatif. Tg x adalah periodik dengan periode π. Contoh I: Cari nilai setiap fungsi trigonometri berikut ini: cos 3 π/4 , tan 5π/6, sin 5π/3, sec 7π/6, csc 2π/3, cot (-π/4) cos tan sin
3π 4 5π 6 5π 3
π
π
=
cos(
=
tan(π −
=
sin(2π −
2
+
4
) = −sin
π
6
) = − tan
π
3
π =−
4
π
) = − sin
6
=−
2 2 3 3
π
3
=−
3 2
F. IDENTITAS TRIGONOMETRI Terdapat sejumlah identitas trigonometri yang berguna untuk menyederhanakan hasil yang terdapat dalam fungsi trigonometri.beberapa identitas yang umum digunakan di sajikan di bawah ini tanpa perubahan. Identitas tambahan dan perubahannya dapat di peroleh di dalam buku – buku trigonometri. 1. Rumus Penjumlahan sin2 θ + cos2 θ = 1 sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
tan 2(α + β )
=
tan 2(α − β ) =
tan(α + β ) 1 − tan α tan β tan(α − β ) 1 + tan α tan β
cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β Pembuktian Sin α ± β Dari gambar di samping, O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABCjika diket. ∠ BAC = α, ∠ABC = β, ∠ACB = dan panjang sisi AB = c, BC = a, AC = b
r OA = ½, α + β < π
pada ∆ ADO siku – siku di D:
OA = ½ , AD = c/2 dan ∠AOD = sin = = : sin = c Sehingga dengan cara yang sama sin α = a, sin β = b Pada ∆ AEC : EA = b cos α dan pada ∆ BEC : E = a cos β EA + EB = C c = b cos α + a cos β α + β + = π = π - (α + β) Sehingga : sin (α+β) = sin ( π-(α+β)) = sin =c = b cos α +a cos β = sin β cos α + sin α cos β
Sin (α+β) = sin α cos β = cos α sin β 2. Rumus Sudut Rangkap sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2 cos2x – 1 = 1 – 2 sin2x tan 2 x =
sin
tan
x 2
2 tan x 1 − tan x
=±
x 2
sin 2 x
=±
=
1 2
2
1 − cos x
cos
2 1 − cos x 1 + cos x −
1 2
=
sin x 1 + cos x
cos 2 x
x 2 =
1 + cos x
=±
2
1 − cos x sin x
cos 2 x
=
1 2
+
1 2
cos 2 x
Untuk setiap sudut α berlaku rumus – rumus 1. sin 2α = 2 sin α cos α Pembuktian: Sin 2α = sin (α+α ) = sin α cosα + cosα sin α = 2 sinα cosα 2. cos 2α = cos 2α – sin2α = 2cos2 α – 1 = 1 – 2 sin 2 α Pembuktian: Cos 2α = cos (α+α ) = cos α cosα – sin α sinα = cos2α – sin2 α Dengan menggunakan rumus, cos 2α = 1– sin2α dan rumus sin2α = 1 – cos 2α, Maka akan diperoleh : cos2α – sin2α = cos2α – (1 – cos2α ) = cos2α – 1 + cos2α = 2 cos2α – 1 Atau cos2α – sin2α =1– sin2α – sin2α
=1– 2 sin2α
3. tan 2α =
2 tan α 1 − tan
2
α
Dengan menggunakan rumus, cos 2 α = 1– sin2 α dan rumus sin 2α = 1 – cos 2α, Maka akan diperoleh : pembuktian:
3. tan 2α = tan(α + α ) =
tan α + tan α 1 − tan α tan α
Contoh soal 1 : α fungsi trigonometri sudut lancip Nyatakanlah berikut ini sebagai = c. tan 250 0 a. Sin 8500 2 − α b. Cos 11250 Jawab : a. Sin 8500 = Sin (130 + 2(360)) 0 = Sin 1300 = Sin (180-50) 0 = Sin 500 b. Cos 11250 = Cos (45 + 3(360)) 0 = Cos 450 c. Tan 2500 = tan (70 + 180)0 = tan 700
2 tan
1 tan
Contoh soal 2 : Sederhanakan sin (270 o – A)! Jawab : Sin (270o – A) = sin 270o cos A – cos 270 o sin A = (-1) cos A – 0 . sin A = - cos A o Jadi, sin (270 – A) = - cos A Contoh soal 3 : Tentukan nilai cos 15 o tanpa menggunakan kalkulator atau table trigonometri! Jawab: 15 = 45 – 30 o Cos 15 = cos (45o - 30o) = cos 45o cos 30o + sin 45o sin 30o
= 1 2 1
6
= 4 =
1 4
.
2
1
+
+
3
21
2
2
4
1
2
.
1 2
( 6 + 2)
Jadi, nilai cos 15 o adalah
1 4
( 6 + 2)
Contoh Soal 4 : Dketahui tan α = 1 dan tan β = 2
1,α
dan β sudut lancip
3
Hitunglah : (i) tan α + β (ii) tan α – β Jawab: (i)
1
=
tan (α + β)
tan α + tan β 1 − tan α tan β
=
tan (α + β)
=
tan α − tan β 1 + tan α tan β
=
1
1
+
1
2 3 = 2 3 1 1 1 1 − 1 − 6 2 3 1
(ii)
+
−
1
1
−
5
= 6 =1 5 6
1
2 3 = 2 3 1 1 1 1 + 1 + 6 2 3
1
=
6 7
=
1 7
6
Contoh soal 5 : Diketahui sin A = 4 , untuk A sudut tumpul 5 Tentukan : a. Sin 2A c. tan 2A b. Cos 2A Jawab : Dengan menggunakan rumus cos 2 A = 1 – sin2 A,diperoleh nilai dari cos A sebagai berikut: 2
cos
2
A
4 =1 − 5 16
=1 −
25
cos A
=
9 25
3
3
5
5
=± ⇒cos A =− (karena
4 . − 3 = − 24 5 5 25 2 2 3 4 9 16 7 cos 2 A = − − = − =− 25 5 5 25 25
a. sin 2 A = 2. b.
c. tan 2 A =
sin 2 A cos 2 A
=
− −
24 25 7 25
=
24 7
di kuadran II
)
Contoh soal 6 : Tunjukkan bahwa: a. sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α b. cos 3α = 4 cos3 α − 3 cosα Jawab: a. Dengan menggunakan rumus sudut ganda sin 2 α = 3 sin α cos α dan cos 2α =1-2sin 2α maka diperoleh: sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α sin 3α = sin (2α + α) sin 2α cosα + cos 2α sinα =(2 sinα cosα) cosα + (1 − 2 sin2α) sinα 2 sinα cos2α + sinα − 2sin3α= 2 sinα (1 − sin2α) + sinα − 2 sin3α 2 sinα − 2 sin3α + sinα − 2 sin3α = 3 sin α − 4 sin3 α (terbukti) b. Dengan mengunakan rumus sudut ganda : cos 2 α = 2 cos2α − 1, maka diperoleh: cos 3α = 4 cos3 α − 3 cosα cos 3α = cos (2α + α) cos 2α cosα − sin 2α sinα =(2 cos2α − 1) cosα − 2 sinα cosα sinα 2 cos3α − cosα − 2 sin2α cosα = 2 sin3α − (1 + 2 sin2α) cosα 2 cos3α − (1 + 2 − 2 cos2α) cosα = 2 sin3α − (3 − 2 cos2α) cosα 2 cos3α − 3 cosα + 2 cos3α = 4 cos3 α − 3 cosα (terbukti) Contoh soal 7: Buktikan bahwa : (cos x + sin x) 2 = 1 + 2 sin x cos x Jawab : (cos x + sin x)2 = 1 + 2 sin x cos x cos2 x + 2 sin x cos x + sin 2 x = 1 + 2 sin x cos x (cos2 x + sin2 x) + 2 sin x cos x = 1 + 2 sin x cos x (terbukti) Contoh soal 8: Nyatakan dalam bentuk perkalian a. sin 4α + sin 6α b. sin 4x – sin 8x Jawab: a. sin 4α + sin 6α = 2 sin
1 2
1
(4α + 6α) . cos
2
(4α − 6α)
= 2 sin 5 α . cos (-α) = 2 sin 5 α cos α b. sin 4x – sin 8x = 2 cos
1 2
(4x + 8x) . sin
= 2 cos 6x . sin (-2x)
1 2
(4x – 8x)
= - 2 cos 6x sin 2x
Contoh soal 9: Tentukan nilai dari sin 15o - sin255o Jawab: 1 Sin 15o – sin 255o = 2 cos (15 +255)o sin 2
= 2 cos 135o sin (- 120) = -2 (=
1 2
1
6
2
2) .
1 2
3
1 2
(15 – 255)o
