MATERI POKOK
FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA LOGARITMA MODUL
Tunjung Pambudi, S.Pd.
SMA NEGERI 2 WONOGIRI Jl. Nakula V Wonokarto, Wonogiri
0
Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma A.
Fungsi Eksponen dan Logaritma
1.
Fungsi Eksponen
a.
Pengertian Fungsi Eksponen x
Fungsi f ( x) = a dengan a
>
0 dan a
b.
Grafik Fungsi Eksponen
1)
x Grafik fungsi f ( x) = a ; a > 1
≠ 1 disebut
fungsi eksponen.
Contoh: x
Gambarlah grafik fungsi eksponen f ( x) = 2 . Jawab: Dengan menggunakan nilai-nilai pada tabel berikut kita dapat menggambar x
grafik fungsi f ( x) = 2 . x
…
y
…
−3 1
−2 1
−1 1
8
4
2
0
1
2
3
…
1
2
4
8
…
x
Grafik f ( x) = 2 adalah sebagai berikut: x y = 2
Y
• (3, 8)
• (2, 4) • (1, 2) (0, 1) (–1, ½) (–3, (– 3, ¹/8)
•
(–2, ¼)
•
•
• X
1
2)
x Grafik fungsi f ( x) = a , 0 < a < 1
Contoh: x
Gambarlah grafik fungsi eksponen f ( x) = ( 12 ) . Jawab: Untuk menggambar grafik fungsi f ( x) = ( 12 ) x , dapat kita gunakan tabel berikut: … x y
…
−3
−2
−1
0
8
4
2
1
1 1
2 1
3 1
2
4
8
… …
x
Grafik f ( x) = ( 12 ) atau f ( x) = 2 − x adalah sebagai berikut: Y
y = 2
–x
(–3, 8)
•
(–2, 4)
•
(–1, 2)
•
(0, 1)
•
(1, ½) •
(2, ¼) •
(1,, ¹/ (1 ¹/ 8) •
X
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa: i.
Grafik f ( x) = a x dan f ( x) = a − x saling simetris terhadap sumbu Y .
ii.
Grafik f ( x) = a x dan f ( x) = a − x berpotongan di titik (0, 1).
iii.
Fungsi f ( x) = a x , untuk a > 1 merupakan fungsi naik tetapi untuk 0 < a < 1 merupakan fungsi turun.
iv.
Grafik f ( x) = a x dan f ( x) = a − x selalu berada di atas sumbu X dan sumbu X merupakan asimtot datarnya.
2
c.
Pertumbuhan dan Peluruhan
Pertumbuhan secara eksponensial adalah perkembangan yang bersesuaian x dengan grafik fungsi f ( x) = k ⋅ a dengan k > 0 dan a > 1 .
Jika a = 1 + p dengan p pertumbuhan.
>
x 0 sehingga f ( x) = k (1 + p ) maka p disebut laju
Peluruhan/penyusutan secara eksponensial adalah perkembangan yang x bersesuaian dengan grafik fungsi f ( x) = k ⋅ a dengan k > 0 dan 0 < a < 1 .
Jika a = 1 − p dengan p penyusutan.
>
0 sehingga f ( x) = k (1 − p ) x maka p disebut laju
Contoh: 1. Modal sebesar Rp1.000.000,00 diinvestasikan dengan bunga majemuk 10% pertahun. Tentukan besarnya modal setelah diinvestasikan selama 2 tahun. Jawab: Misalkan,
M 0
= modal awal
M n
= modal pada akhir tahun ke 2
p
= suku bunga pertahun
n M n = M 0 (1 + p) Maka, Setelah modal diinvestasikan selama 2 tahun, diperoleh
M 2
= 1.000.000(1 + 10%) 2 = 1.000.000(1,1) 2 = 1.000.000(1,21)
= 1.210.000 Jadi setelah diinvestasikan Rp1.210.000,00. 2.
selama
2
tahun
modal
menjadi
Kadar radio aktif suatu zat meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 20% setiap jam. Berapa persen kadar radio aktif zat tersebut setelah meluruh selama 3 jam? Jawab: Misalkan,
M 0
= kadar radio aktif mula-mula
M n
= kadar radio aktif setelah 3 jam
p
= laju peluruhan
n M n = M 0 (1 − p) Maka, Setelah 3 jam diperoleh
M 3
= M 0 (1 − 20%) 3 = M 0 (0,8) 3
= 0,512 M 0 Jadi setelah 3 jam dari keadaan mula-mula kadar radio aktif tinggal 51,2%.
3
2.
Fungsi Logaritma
a.
Pengertian Fungsi Logaritma a Fungsi f ( x)= log x
dengan a
>
0, a
≠1
dan x
>
0 disebut fungsi
logaritma.
b.
Grafik Fungsi Logaritma 1.
a Grafik fungsi f ( x)= log x ; a > 1
Contoh: Gambarlah grafik fungsi f ( x)= 2 log x . Jawab: Untuk menggambar grafik fungsi f ( x)= 2 log x dapat kita gunakan tabel berikut: 1 1 1 X … 1 2 4 8 … 8 4 2 … −3 −2 −1 0 1 2 3 … Y Grafik f ( x)= 2 log x adalah sebagai berikut: Y
(8, 3)
•
y=
2 log x
(4, 2)
•
(2, 1)
•
(1, 0)
•
X
• (½, –1) • (¼, –2) • (¹(¹// , –3) 8
2.
a Grafik fungsi f ( x)= log x , 0 < a < 1
Contoh: 1
Gambarlah grafik fungsi f ( x) = 2 log x .
4
Jawab: 1
Untuk menggambar grafik fungsi f ( x)= 2 log x dapat digunakan tabel berikut: 1 1 1 x … 1 2 4 8 … 8 4 2 … 3 2 1 0 −1 −2 −3 … y 1
Grafik fungsi f ( x)= 2 log x adalah sebagai berikut: Y
•
(¹//8 , 3) (¹
•
(¼, 2)
•
(½, 1)
(1, 0)
X
•
(2, 1)
•
(4, 2)
•
(8, 3)
3.
•
y=
½ log
a Hubungan grafik fungsi f ( x ) = a x dengan g( x)= log x
x Perhatikan grafik fungsi f ( x) = 2 dan g ( x) = 2 log x di bawah ini.
y = 2 x
Y
(3, 8)
•
y = x
(2, 4)
•
•
2
y =log
x
(8, 3) (1, 2)
•
•
(4, 2) (0, 1)
•
•
(2, 1)
X
•
(1, 0)
5
x
x Grafik fungsi f ( x) = 2 dan g ( x)= 2 log x adalah saling simetris terhadap garis
, sehingga fungsi invers dari fungsi f ( x) = 2 x adalah g ( x)= 2 log x dan sebaliknya. y
= x
Contoh: x Tentukan rumus fungsi invers dari f ( x) = 3 −1 .
Jawab: Misalkan f ( x) = y sehingga x = f −1 ( y ) . y = 3
x −1 x
⇔
log y = log 3 −1 log y = ( x − 1) log 3
⇔
x − 1 =
⇔
log y log 3
3
⇔
x − 1= log y
⇔
x = 1+ log y
⇔
f −1 ( y ) = 1+ 3 log y
⇔
f − ( x) = 1+ log x
3
1
3
Jadi rumus fungsi invers dari f adalah f −1 ( x) = 1+ 3 log x .
Latihan I.
Soal Uraian 1.
II.
1
Gambarlah grafik fungsi eksponen berikut: a.
f ( x) = 2
x −1
b.
f ( x) = 2
x +1
2.
Pertumbuhan penduduk suatu Negara berjalan secara eksponensial dengan laju pertumbuhan 2% setahun. Misalnya pada awal tahun 2000 jumlah penduduk negara tersebut 200 juta jiwa. Berapa banyak penduduk negara tersebut pada akhir tahun 2002?
3.
Nilai suatu barang menyusut secara eksponensial sebesar 10% setahun. Jika pada saat ini barang tersebut senilai Rp2.000.000,00. Berapa rupiah nilai barang tersebut tiga tahun yang akan datang?
Soal pilihan 1.
x x Grafik fungsi f ( x) = 10 dan g ( x) = 10 − berpotongan di titik ….
A.
1 ( 10 , 10 )
B. C. D. E.
( 1, 10 ) ( 0, 10 ) ( 0, 1 ) ( 1, 0 )
6
2.
x Grafik fungsi f ( x) = 2 dan g ( x)= 2 log x saling simetris terhadap garis ….
A. B.
x = 0 y = 0
C.
y
= x
D.
y
= − x
E.
y = 2 x
3.
Populasi suatu bakteri berkembang secara eksponensial dengan laju pertumbuhan p% setiap jam. Setelah 3 jam populasinya menjadi 8 kalinya. Maka p = .... A. 0,01 B. 0,1 C. 10 D. 50 E. 100
4.
Diketahui f ( x) =
3
A. B. C. D. E.
5.
6.
log x 3
1 − 2⋅ log x
. Nilai f ( x) + f ( x3 ) = ....
−3 −1 1 2 3
x Diketahui f ( x) = 3 . Fungsi invers dari f ( x) adalah ….
1
3
A.
f − ( x) = x
B.
f −1 ( x) = 3 x
C.
f −1 ( x) = ( 13 )
D.
f − ( x)= log x
E.
f −1 ( x) = log x 3
x
1
3
x Fungsi f dan g dirumuskan dengan f ( x) = ( 12 )
x dan g ( x) = 2 . Jika
f ( x) > g ( x) , maka nilai x yang memenuhi adalah ….
A. B. C.
x < 0 x > 0
D. E.
x < −1
x < − 12 −
2 < x < − 12
7
7.
Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar a dalah …. Y y = a x 8
4
2
½ ¼ –3
–2
–1
1
X 1
2
y = 2 log x
A.
1
8.
B.
y = 2 log x
C.
y = 2 log x
D.
y = −2 log x
E.
y = −
1 2
log x
Perhatikan gambar grafik fungsi logaritma berikut ini! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar a dalah …. Y y =
a
log x
(8, 3) (4, 2) (2, 1)
X (1, 0) (½, –1) (¼, –1)
x
A.
y = 2
B.
y = 2 −
C.
y = ( 12 )
D.
y = log x
x x
2
1
E.
y = 2 log x
8
B.
Persamaan Eksponen dan Logaritma
1.
Persamaan Eksponen a.
Sifat-Sifat Sifat-Sif at Pada Bilangan Berpangkat
Sifat 1
: am
×a
n
Sifat 2
: a :a
m
n
Sifat 3
m n : (a )
Sifat 4
: (ab)
n n
Sifat 5
a : b
Sifat 6
: a0
Sifat 7
n : a−
=
= = =
a
a
m+n
a
=
m−n
mn
n
a b a
n
b
n
n
, untuk b ≠ 0 .
=1,
untuk a ≠ 0 1 , untuk a ≠ 0 n a
=
1
Sifat 8
: an
=
n
a , untuk n bilangan asli dan n ≥ 2
=
n
a
m
Sifat 9
: an
m
, untuk m, n bilangan bulat dan n ≥ 2
Contoh: Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dengan eksponen positif. 2
1) 2)
8 3 2 x − 3a 5 b 4 c 2 9ab 2 c 5
Jawab: 1)
8 −2 x
2 3
2
2 3 3 = − 2 x 3× 2 2 3 = 2 −2× 3 x =
22 −
4 3
x
4
= 4 x 3
2)
3a 5 b 4 c 2 9ab 2 c 5
= =
a
5−1
b
4
2
4−2
c
2 −5
3 a b c −3
3 4
=
a b2
3c 3
9
b.
Pengertian Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan yang memuat bilangan berpangkat dimana bilangan pokok dan atau eksponennya memuat variabel. Untuk menyelesaikan persamaan eksponen digunakan prinsip berikut: b Untuk a ≠ 0 dan a ≠ ±1 , berlaku a
c.
Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponen
1)
Bentuk a f ( x )
f x Jika a ( )
= 1,
a
= 1,
a
≠
=
a
c
⇔
b = c.
0 dan a ≠ ±1
0 dan a ≠ ±1 maka f ( x) = 0 .
≠
Contoh: x −6
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 3 2
= 1.
Jawab: x −6
32
=1
x
3 2 −6 = 3 0 2 x − 6 = 0 2 x = 6 x = 3
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
Himpunan penyelesaian (Hp) adalah {3} .
2)
Bentuk a
f x Jika a ( )
=
p
f ( x )
a , a
=
≠
p
a , a
≠
0 dan a ≠ ±1
0 dan a ≠ ±1 maka f ( x) = p .
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4 3− 2 x
1
= 8
2.
Jawab: 1
4
3− 2 x
1 = 8
2
⇔
2 3− 2 x
(2 )
= 2
2
6 − 4 x
⇔
2
6 − 4 x
⇔
6 − 4 x =
⇔
⇔
⇔
⇔
− 4 x
−3 +
−
= 2
=
4 x = x =
= 2
−3
−
⋅ 22
1 2
5 2
5 2
−6−
5 2
17
2 17 8
17 Hp = 8
10
3)
Bentuk a f ( x )
Jika a
f ( x )
=
a
g ( x)
=
a
g ( x)
, a ≠ 0 dan a ≠ ±1
, a ≠ 0 dan a ≠ ±1 maka f ( x) = g ( x ) .
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan: x 2 +3
a)
2
b)
4 x +3
1 = 4 =
3
2 x
8 x +5
Jawab: x 2 +3
a)
2
1 = 4
2 x x 2 +3
⇔
2
⇔
x 2 + 3 = −4 x
⇔
x x1
2
⇔
Hp =
{− 3,
=
x
)2
2
x 2 +3
= (2
−2
⇔
x
2 −4
4x + 3 = 0 = −1 atau x 2 +
= −3
}
−1
x + 5
x +3
b)
4
=
3
8
x +5
x +3
4
⇔
=
8
3
x +5 2 x +3
⇔
(2 )
⇔
2 2 x + 6 = 2 x +5 2 x + 6 = x + 5 x = −1
⇔ ⇔
Hp =
Jika a f ( x )
=
b f
( x)
)
3
{− 1}
Bentuk a f ( x )
4)
= (2
3
=
b
f ( x )
, a ≠ 0 , a ≠ ±1 , b ≠ 0 , b ≠ ±1 dan a ≠ b
, a ≠ 0 , a ≠ ±1 , b ≠ 0 , b ≠ ±1 dan a ≠ b maka f ( x) = 0 .
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 2 3 x − 2
=
33 x − 2 .
Jawab: 2 3 x− 2
=
33 x−2
⇔
3 x − 2 = 0
⇔
3 x = 2 x = 23
⇔
Hp =
{23 }
5)
Bentuk persamaan eksponen yang dapat dikembalikan ke bentuk persamaan kuadrat
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari 3 2 x
x +1
− 2⋅3
=
27 .
Jawab: 3 2 x
x +1
− 2⋅3
Misalkan 3 x
=
27
= p ,
⇔
3 2 x
x +1
⇔
(3 x ) 2
−
⇔
(3 x ) 2
− 6⋅3
− 2⋅3
− 27 =
2 ⋅ 3 x ⋅ 31 x
−
−
0 27 = 0
27 = 0
maka: 11
p 2
− 6 p − 27 =
⇔
p1
=
⇔
x = 2
⇔
0 ( p − 9)( p + 3) = 0 9 atau p2
= −3
Untuk p = 9 , maka: x
3
=
9
Untuk p = −3 , maka: x
3
= −3
(tidak ada x yang memenuhi)
Hp = {2}
6)
g x Bentuk f ( x) ( )
=1
g x Dalam menyelesaikan persamaan bentuk f ( x) ( ) kemungkinan, yaitu: g ( x) = 0 , asalkan f ( x) ≠ 0 i.
=1
ii.
f ( x) = 1
iii.
f ( x) = −1 , asalkan g ( x) bernilai genap
perlu diperhatikan beberapa
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari ( x 2
− 5 x +
5) x + 6
=1.
Jawab: Ada 3 kemungkinan, yaitu:
i. ⇔
x + 6 = 0 x = −6
Pengecekan: x = −6 , maka f ( x) = x
2
− 5x +
5 = (−6) 2
− 5( −6) +
5 = 71 ≠ 0 .
x = −6 memenuhi persamaan. x 2
ii. ⇔ ⇔ ⇔
iii. ⇔ ⇔
− 5x + 5 = 1
2
x − 5 x + 4 = 0 ( x − 1)( x − 4) = 0 x1
=1
atau x2
x 2
− 5 x + 5 = −1
=
4
2
x − 5 x + 6 = 0 ( x − 2)( x − 3) = 0
2 atau x2 = 3 Pengecekan: x = 2 , maka g ( x) = x + 6 = 2 + 6 = 8 (genap) • ⇔
•
x1
=
x = 2 memenuhi persamaan. x = 3 , maka g ( x) = x + 6 = 3 + 6 = 9 (ganjil) x = 3 tidak memenuhi persamaan.
Hp =
{− 6 , 1, 2, 4}
12
Bentuk f ( x)
7)
g ( x )
= f ( x)
h ( x )
Terdapat 4 kemungkinan penyelesaian persamaan bentuk f ( x) g ( x ) yaitu: i. g ( x) = h( x) , dengan syarat:
= f ( x)
h ( x )
,
untuk g ( x) ≤ 0 atau h( x) ≤ 0 , maka f ( x) ≠ 0 . f ( x) = 1
ii.
f ( x) = −1 , dengan syarat:
iii.
g ( x) dan h( x) masing-masing bernilai genap atau g ( x) dan h( x) masing-masing bernilai ganjil.
iv.
f ( x) = 0 , dengan syarat: g ( x) dan h( x) masing-masing bernilai positif.
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian ( x 2
−
x 2 x) 2 +1
=
( x 2
−
x 2 x) −1 .
Jawab: Ada beberapa kemungkinan, yaitu: i. ⇔
2 x + 1 = x − 1 x = −2
Pengecekan: x = −2 , maka:
g ( x) = 2 x + 1 = 2(−2) + 1 = −3 ≤ 0 dan 2
−
2 x = (−2)
( −2) 2
−
4(1)(−1)
f ( x) = x
2
−
2( −2) = 4 + 4 = 8 ≠ 0
x = −2 memenuhi persamaan.
x 2
ii. ⇔
x
2
− 2x = 1 − 2x − 1 =
0
− ( −2) ±
x1, 2
=
x1, 2
=
x1, 2
=
⇔
x1, 2
= 1± 2
⇔
x1
= 1+
x 2
− 2 x = −1
⇔
⇔
⇔
iii. ⇔ ⇔ ⇔
2(1) 2± 4+4 2 2±2 2 2 2 atau x 2
=1−
2
2
x − 2 x + 1 = 0 ( x − 1)( x − 1) = 0 x1
=
x2
=1
Pengecekan: x = 1 , maka: g ( x) = 2 x + 1 = 2(1) + 1 = 3 (ganjil) h( x) = x − 1 = 1 − 1 = 0 (tidak ganjil) x = 1 tidak memenuhi persamaan, sebab (−1) 3
≠ ( −1)
0
.
2
iv. ⇔ ⇔
x − 2 x = 0 x( x − 2) = 0 x1
=
0 atau x2
=
2
13
Pengecekan: x = 0 , maka: •
g ( x) = 2 x + 1 = 2(0) + 1 = 1 > 0 (positif) h( x) = x − 1 = 0 − 1 = −1 ≤ 0 (tidak positif)
x
=
0 tidak memenuhi persamaan.
x = 2 , maka:
•
g ( x) = 2 x + 1 = 2(2) + 1 = 5 > 0 (positif) h( x) = x − 1 = 2 − 1 = 1 > 0 (positif)
x = 2 memenuhi persamaan.
{− 2 , 1 −
Hp =
8)
Bentuk f ( x)
2 , 2, 1 +
h ( x )
=
g ( x)
2
h( x)
h x Untuk menyelesaikan persamaan f ( x) ( )
=
g ( x)
i.
h( x) = 0 , asalkan f ( x) ≠ 0 dan g ( x) ≠ 0
ii.
f ( x) = g ( x ) , dengan syarat:
h( x)
ada 2 kemungkinan, yaitu:
untuk f ( x) atau g ( x) bernilai nol maka h( x) harus bernilai positif. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian ( x 2
+
x 2 x − 8) − 3
= (5 x − 10)
x −3
.
Jawab: Ada 2 kemungkinan, yaitu: i. ⇔
x − 3 = 0 x = 3
Pengecekan: x = 3 , maka: f ( x) = x
2
+
2 x − 8 = 32
+
2(3) − 8 = 7 ≠ 0 dan
g ( x) = 5 x − 10 = 5(3) − 10 = 5 ≠ 0 x = 3 memenuhi persamaan.
ii.
x ⇔ ⇔ ⇔
2
+
2 x − 8 = 5 x − 10
x 2 − 3 x + 2 = 0 ( x − 1)( x − 2) = 0 x1
atau x2
=1
=
2
Pengecekan: x = 1 , maka:
•
f ( x) = x
2
+
2 x − 8 = 12
+
2(1) − 8 = −5 ≠ 0
x = 1 memenuhi persamaan.
2 x − 8 = 2 2 + 2(2) − 8 = 0 dan x − 3 = 2 − 3 = −1 ≤ 0
x = 2 , maka: f ( x) = x
•
h( x) =
2
+
x = 2 tidak memenuhi persamaan.
Hp = {1 , 3}
9)
Bentuk a
f x Jika a ( )
=
b
f ( x )
g ( x)
=
b
g ( x)
, a > 0 , b > 0 , a ≠ 1 dan b ≠ 1
f x , a > 0 , b > 0 , a ≠ 1 dan b ≠ 1 , maka log a ( )
=
log b
g ( x)
.
Contoh: x −1
Tentukan himpunan penyelesaian 53
=
x
32 .
14
Jawab: x −1
53
=
x
32
⇔
3 x ⋅ log 5 − log 5 = 2 x ⋅ log 3
⇔
3 x ⋅ log 5 − 2 x ⋅ log 3 = log 5
⇔
x(3 log 5 − 2 log 3) = log 5
⇔
x =
⇔ ⇔
Latihan
I.
x
⇔
⇔
Hp =
x
log 5 3 −1 = log 3 2 (3 x − 1) ⋅ log 5 = 2 x ⋅ log 3
⇔
x = x =
log 5 3 log 5 − 2 log 3 0,699 3(0,699) − 2(0,477) 0,699
1,143 x ≈ 0,612
{ 0,612 }
2
Soal Uraian
1.
Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah: a.
60
b.
3−
c.
5 −2 0
d.
4 9 3 4
2
e.
2.
1
−3
f.
2 5
−1
g.
1 2
h.
(−4) 2
i.
−3
2
Hitunglah (tanpa menggunakan kalkulator): 1
a.
25
−
2
f.
(0,36)
g.
1 16
3 2
5
b.
81 4 −
c.
8
1 3
−0 , 75
3
d.
4 2 9
e.
1 8
1
h.
(−27) 3
i.
−4
−2 −2
−1
15
3.
Sederhanakanlah. 3 2 n ⋅ 2 n −1
a.
4.
b.
pq + p
⋅5
5
10 2
n
2 p 2q
2
⋅8 ⋅5
2 n −1
4 n + 3 ⋅ 25 2 n −1
x +1
32
5 x
2
=1
−3 x − 4
c.
1 − 2 x
d.
2 2 +3 x 2
2
=1
− x
0
=
= 16
e.
3 x
f.
( 54 )1 2 x = 52 5 (161 )3 x 1 = 2 3 x 2
g.
+4 x
h.
4 x
=
i.
3
x
j.
3
k.
5 x
45 x +1 2
=
2 x+1 =
4
82
x −1
x +1
+ x − 42
=
4 x
2
+ x − 42
1
= 27
x
−
−
l.
+
35
x + 2
27
=
62
x −6
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan di bawah ini. a. b. c.
II.
⋅5
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan di bawah ini. a.
5.
pq + q
5
b. c.
n
18
2 x
+
x +1
2 3
4x +
2
=
20
−x
=
2 x 2 −6 x + 4
3 x 2 −3 x + 2
+ 3⋅ 3
x − 2
d.
( x − 9)
e.
( x 2
f.
(2 x 2
g.
( x + 2) x − 2
=
h.
x ( x − 4)
x ( x − 4)
i.
( x 2
j.
(2 x − 1) x −3
k.
( x 2
− 3 x)
l.
( x 2
+
4
=1
x + 4
− 5)
=1
− 5 x + 1)
=
=
2 x 2 +5 x + 2
( x + 2) 2 x 2
x 2 − x
− 7 x + 11)
= ( x
= ( x − 5)
x −1
=1
= x
x 2 x − 8)
2
2
− 7 x + 11)
x −1
x −3
x −1
− x − 2
=
x ( x − 2)
2
− x−2
Soal Pilihan
3
1.
Nilai
9 ⋅ 3 3 − 2 4 ⋅ 4 −2 3⋅4 9
A.
1 2
B.
2 3
C.
4 3
D. E.
−2
= ....
−5
16
2.
3.
27
3 x −7
x
32−2
=
adalah ….
5
A.
− 4
B.
− 2
C. D. E.
1 2
5
5 2
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari ( 2 ) x x1
A. B. C. D. E.
+
x2
x + 2
5.
Nilai x yang memenuhi 3 x A. −3 atau 1 B. −2 atau 2 C. −1 atau 3 D. 0 atau 3 E. 0 atau 1
6.
Penyelesaian persamaan ( 3 ) 4 x + 4
C. D. E.
2
−3 x + 2
x
+ 8 ⋅ 3 −1 =
x
+3
2
−3 x
( 1 )x
= 9
B. C. D. E.
= (0,25)
−0 , 5
. Nilai
= 10
+3
0 , maka 2 m = ....
adalah ….
adalah ….
−2 2 1 3 −
1 3
4 3
Jika x1 adalah penyelesaian persamaan A.
+1
−1 0 1 2 3
Jika m adalah penyelesaian 3 2 A. −8 B. −6 C. −4 D. 4 E. 8
A. B.
2
= ....
4.
7.
1
Nilai x yang memenuhi persamaan
27 4
=
9 3 x 2 6 x −1
, maka 2 x1
+1 =
....
1 4 1 2 2 3 4 3
2
17
8.
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 4 x dari x1 A. B. C. D. E.
+
x2
=
+
nilai x1 ⋅ x 2
10.
−
+ 8( x +
2)
−6=
0 , maka
1 2
= ....
28 20 16 8 0
x − 2 y
Diketahui 3 A. B. C. D. E.
0 . Nilai
1 2 3 4 5
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari ( x + 2) 2 A. B. C. D. E.
−5=
....
1
9.
x
41−
1
= 81
x − y
dan 2
= 16 .
Nilai x + y
= ....
21 20 18 16 14
18
2.
Persamaan Logaritma
a.
Pengertian Logaritma
Definisi: a
log b = c ⇔ a c = b , untuk a > 0 , a ≠ 1 dan b > 0 . Keterangan: a disebut bilangan pokok (basis) logaritma 1) b disebut numerus (bilangan yang ditarik logaritmanya) 2) c adalah hasil penarikan logaritma 3) 4) Untuk logaritma dengan basis 10, dalam penulisannya tidak perlu mencantumkan basisnya. Jadi,
b.
10
log b ditulis dengan log b .
Sifat-sifat Sifat-sif at Logaritma a
log1 = 0
a
=1
Sifat 1
:
Sifat 2
: log a
Sifat 3
: a log a n
Sifat 4
a a a : log(b × c)= log b+ log c
Sifat 5
: a log
b
=
a
=
c
a
n
log b− a log c
Sifat 6
: log b n
Sifat 7
: a log b =
Sifat 8
: a log b× b log c = a log c
Sifat 9
: a log b =
Sifat 10
:
Sifat 11
: a
am a
=
log b n log b
=
n⋅ a log b
p
log b
p
log a 1
b
log a n a
= m⋅
log b
b
Contoh: 1)
Tentukan nilai dari 6 log 8+ 6 log 9− 6 log 2 .
Jawab: 6
log 8+ 6 log 9− 6 log 2
= 6 log
8× 9 2
6
= log 36 =2 2)
Diketahui 5 log 3 = p . Tentukan nilai 5 log 75 .
Jawab: 5
log 75
5
= log 25 × 3 5
5
= log 25 + log 3 = 2 + p
19
c.
Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma dalam x ialah persamaan yang memuat fungsi x pada bilangan pokok dan atau pada numeriknya. Untuk menyelesaikan persamaan logaritma dapat digunakan prinsip berikut: i.
a
a
log b = log c , maka b = c
a c ii. log b= log b , maka a = c Dan di dalam menyelesaikan persamaan logaritma harus memperhatikan beberapa hal, yaitu: • Bilangan pokok logaritma harus positif tetapi tidak sama dengan 1. • Numerus/numeric harus positif
d.
Bentuk-Bentuk Persamaan logaritma
1)
Bentuk log f ( x)= log p
a
a
Penyelesaian persamaan a log f ( x) = a log p adalah f ( x) = p dengan f ( x) > 0 . Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma di bawah ini. a)
2
b)
log( x − 2) + log( x − 1) = log 6
log(3 x + 1) = 4
Jawab: 2
log(3 x + 1) = 4
⇔
2
log(3 x + 1)= 2 log 2 4
⇔
2
a)
⇔ ⇔ ⇔
log(3 x + 1)= 2 log16 3 x + 1 = 16 3 x = 15 x = 5
Hp = {5}
b) ⇔
log( x − 2) + log( x − 1) = log 6 log( x − 2)( x − 1) = log 6
⇔
log( x 2
⇔
x 2
⇔
2
⇔
− 3x +
− 3x +
2) = log 6
2=6
x − 3 x − 4 = 0 ( x − 4)( x + 1) = 0
4 atau x 2 = −1 Pengecekan: x = 4 , maka x − 2 = 4 − 2 = 2 > 0 dan • x − 1 = 4 − 1 = 3 > 0 x = 4 memenuhi persamaan. ⇔
•
x1
=
x 2
maka x − 2 = −1 − 2 = −3 < 0 x − 1 = −1 − 1 = −2 < 0 x 2 = −1 tidak memenuhi persamaan. = −1 ,
Hp = {4}
20
2)
a
a
Bentuk log f ( x)= log g ( x)
Penyelesaian persamaan bentuk
a
log f ( x)= a log g ( x) adalah f ( x) = g ( x) dengan
f ( x) > 0 dan g ( x) > 0 .
Contoh: Tentukan 3
log( 2 x
2
himpunan +
3
2 x − 5)= log( x
penyelesaian 2
+
persamaan
logaritma
3 x + 1) .
Jawab: 3
log(2 x 2
⇔
2 x 2
⇔
2
+
+
2 x − 5)= 3 log( x 2
2 x − 5 = x 2
+
3x + 1)
+ 3x + 1
x − x − 6 = 0 ( x − 3)( x + 2) = 0
⇔
x1
⇔
=
3 atau x2
= −2
Pengecekan: •
x = 3 , maka:
f ( x ) g ( x)
= 2 x 2
+
2 x − 5 = 2(3) 2
= 18 + 6 − 5
= 19 > 0
= x 2
= 32
+ 3x + 1
= 9 + 9 +1
2(3) − 5
+
+ 3(3) + 1
= 19 > 0
x = 3 memenuhi persamaan. •
x 2
= −2 ,
maka:
f ( x )
= 2 x 2
+
2 x − 5 = 2( −2) 2
= 8−4−5 g ( x)
= x
2
+
2(−2) − 5
= −1 < 0
+ 3x + 1
= 4 − 6 +1 x 2 = −2 tidak memenuhi persamaan.
= (−2) 2
+ 3( −2) + 1
= −1 > 0
Hp = {3}
3)
Bentuk a log f ( x )= b log f ( x)
a b Jika log f ( x) = log f ( x) maka f ( x) = 1 .
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari 4 log( x 2
+
2 x − 7)= 5 log( x 2
+
2 x − 7) .
Jawab: 4
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
Hp =
log( x 2
x
2
+
+
2 x − 7) = 5 log( x 2
+
2 x − 7)
2x − 7 = 1
2
x + 2 x − 8 = 0 ( x + 4)( x − 2) = 0 x1
= −4
atau x2
=
2
{− 4 , 2}
21
4)
h ( x )
Bentuk
log f ( x)=
h( x)
h ( x )
Penyelesaian persamaan
log g ( x)
log f ( x)= h ( x ) log g ( x) adalah f ( x) = g ( x) dengan
f ( x) > 0 , g ( x) > 0 , h( x) > 0 dan h( x) ≠ 1 .
Contoh: x Tentukan himpunan penyelesaian log( x 2
− 3 x +
x
4) = log(2 x − 2) .
Jawab: x
log( x 2
⇔
x 2
⇔
2
− 3 x +
− 3 x +
x
4)= log( 2 x − 2)
4 = 2x − 2
x − 5 x + 6 = 0 ( x − 2)( x − 3) = 0
⇔
x1
⇔
=
2 atau x2
3
=
Pengecekan: •
x = 2 , maka
f ( x )
= x 2
g ( x)
= 2 x − 2
h( x)
= x = 2 > 0 dan h( x) = 2 ≠ 1
− 3x +
4
= 22
− 3( 2) +
4 =2>0
= 2( 2) − 2 = 2 > 0
x = 2 memenuhi persamaan. •
x = 3 , maka
f ( x )
= x 2
g ( x)
= 2 x − 2
h( x)
= x = 3 > 0 dan h( x) = 3 ≠ 1
− 3x +
4
= 32
− 3(3) +
4 =4>0
= 2(3) − 2 = 4 > 0
x = 3 memenuhi persamaan.
Hp = {2 , 3}
5)
Bentuk persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke bentuk persamaan kuadrat
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma di bawah ini. a. b.
2
log 2 x − 2 log x 4 x
x 2⋅log
− 11 ⋅ x
log x
+3=
0
+ 10 =
0
Jawab: 2
a. ⇔
log 2 x − 2 log x 4
( 2 log x) 2
− 4⋅
Misalkan 2 log x ⇔
⇔
2
− 4p + 3 =
p1
=1
0
log x + 3 = 0
= p ,
p 2
+3=
maka
0 ( p − 1)( p − 3) = 0 atau p 2
=
3
Untuk p = 1 , maka 2
⇔ ⇔
log x = 1
2
log x = 2 log 2 x = 2
22
Untuk p = 3 , maka 2
log x = 3
2
log x= 2 log 8 x = 8
⇔ ⇔
Hp = {2 , 8}
b.
x ⇔
2⋅log x
( x )
log x 2
− 11 ⋅ x − 11 ⋅ x x
Misalkan x log ⇔ ⇔
log x
log x
= p
+ 10 = + 10 =
0
0
, maka
p 2
− 11 p + 10 =
p1
= 10
0 ( p − 10)( p − 1) = 0 atau p2
=1
Untuk p = 10 , maka x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
•
•
log x
= 10 log x
= log 10 log x log x ⋅ log x = log10
(log x )2 = 1 (log x )1, 2 = ±1 log x = 1 log x = −1
1
⇔
x = 10
⇔
x = 10
⇔
x = 10 −
⇔
x =
1
1 10
Untuk p = 1 , maka x
x log ⇔
= log 1 log x log x ⋅ log x = 0
⇔
(log x)2
⇔
log x = 0 log x = log1 x = 1
⇔
⇔ ⇔
Hp =
Latihan I
=1 log x
=
0
{101 , 1, 10}
3
Soal Uraian 1.
Hitunglah. a.
3
log 15 3 − 3 log 18+ 3 log 25
b.
2
log 3 16 + 2 log 3 4
(
2
c.
)
log 5+ 3 log 5 6 log 5 2
log 5⋅3 log 5
23
2.
Jika 3 log 2 = p , hitunglah nilai 2 log 6 .
3.
Diketahui 7 log 2 = a dan 2 log 3 = b . Hitunglah 6 log 98 .
4.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan logaritma di bawah ini.
5.
a.
2
log( x 2
b.
3
log x + 3 log( x + 1)= 3 log 2
c.
2
log(1 + x) + 2 log(5 − x) − 2 log( x − 2) = 3
d.
log(7 x − 4) = log 5 + log x
e.
log( 4 x − 3) = 2 log x
f.
2
log(2 x 2
g.
4
log(3 x − 5)= 5 log(3 x − 5)
h.
3
log(5 x − 14)= 2 log(5 x − 14)
i.
3
log( x 2
x) = 1
− 4 x + 6) =
− 2 x + 1) =
4
2
log( x 2
log( x 2
− 7x +
4)
− 2 x + 1)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan logaritma di bawah ini. a.
x
log( x 2
− 5 x + 10) =
b.
x
log( x 2
+
c.
x +1
d.
2 3 log x
e.
x log
f.
II
−
log( x + 2)
x 2 x)= log( 6 x − 3)
log(1 − 3 x)= x +1 log( x 2
(
x
x
x
)+ 2
− 10 x
2 +log x
3
− 2 x − 1)
log x = 1
− log x
−9 =
0
= 1000
Soal Pilihan
1.
2.
log 5 5 + log 3 + log 45 log 15 A.
5 2
B.
3 2
C.
15 2
D.
3 5
E.
15
= ....
Bila 4 log 6 = m , maka 9 log 8 = .... A. B. C. D. E.
2 4m − 3 4 3m − 2 3 4m − 2 4 2m − 3 3 2m − 3
24
3.
p adalah bilangan positif yang merupakan penyelesaian 1 persamaan 2 log x 3 − 2 log = 8 , maka 2 p − 3 = .... x A. 197 B. 17 C. 5 D. 3 E. 1
4.
Himpunan
Jika
penyelesaian
2
log( x 2
− 2 x − 2) −
3
log( x 2
− 2 x − 2) =
0
adalah …. A. {1} B. { −1 } C. {3} D. { −1, 1 } E. { −1, 3 }
5.
Himpunan 6
penyelesaian 6
dari
persamaan
6
log( x − 3)+ log( x + 7) − log(3 x − 1) = 0 adalah …. A. { −5 } B. { −4 } C. {4} D. { −5, 4 } E. {−5, −4 }
6.
Himpunan 1− 2 x
A. B. C. D. E.
7.
2
penyelesaian
log( x − 3 x + 2)− { −2 } {2} {3} { −2, 2 } { −2, 3 }
Diketahui x 1
1− 2 x
dari
log(8 − 2 x)
dan x2
persamaan =
0 adalah ….
adalah akar-akar persamaan logaritma
log log( x + 3) + log 2 = log log16 x . Nilai x1 ⋅ x2 A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 E. 6
8.
logaritma
= ....
x Penyelesaian dari 4 log( x + 2)+ + 2 log 16 = 3 adalah …. A. −2 atau 4 B. 2 atau 6 C. 2 atau 14 D. 6 atau 14 E. 4 atau 16
25
Jika x1 dan x2 adalah anggota himpunan penyelesaian persamaan
9.
1 x + 6
x
+
log x 25 36 49 64 100
A. B. C. D. E.
1 2
log x
, maka ( x1
Penyelesaian persamaan 2 log 2 x + log x 3
10.
A.
=
+
x2 )
2
= ....
9 adalah ….
10 atau atau 1
B. C. D. E.
C.
log( x − 1) = 2 +
10 10 atau 0,001 10 atau 0,01 100 atau 0,1 1000 atau 0,01
Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma 1.
Pertidaksamaan Eksponen
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponen perlu diperhatikan hal-hal berikut ini: a. Untuk a > 1 ,
b.
i.
b Jika a
>
a maka b > c
c
ii.
Jika a
b
<
a maka b < c
c
Untuk 0 < a < 1 , i.
b Jika a
>
a maka b < c
c
ii.
Jika a b
<
c a maka b > c
Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan pertidaksamaan-pertidaksamaan di bawah ini. a)
2 x
>
b)
(13 ) x
c)
22
d)
2
x
7
8
+ x −1
>
x + 2
−2
3− x
− 49
3 −1 ≥
3− x
32 +
42 ≤ 0
Jawab: a)
2 x
>8
⇔ ⇔
2 x > 2 3 x > 3
Hp = { x x > 3}
b)
(13 ) x
2
+ x −1
>
3 −1
2
⇔
(13 ) x
⇔
x
⇔
x 2 + x − 2 < 0 ( x + 2)( x − 1) < 0
⇔
2
+
+ x −1
x −1 < 1
+++
−2<
+++
−−−
−2
Hp = { x
> 13
1
x < 1}
26
c)
x
22
−
x + 2
2
≥ 32
Misalkan 2 x
= p
x
−
⇔
x
(2 )
2
−
2
⇔
(2 ) 2
−
4⋅2
22
⇔
x
x + 2
2
x
− 32 ≥ ⋅2 x
2
0
− 32 ≥ 0
− 32 ≥
0
, maka: p 2
4 p − 32 ≥ 0 ( p − 8)( p + 4) ≥ 0
⇔
−
+++
−−−
+++
−4
8
Diperoleh p ≤ −4 atau p ≥ 8 . •
p ≤ −4 maka:
•
2 x p ≥ 8 maka x
2 ⇔ ⇔
≤ −4
(tidak ada nilai x yang memenuhi)
≥8
2 ≥ 23 x ≥ 3 x
Hp = { x x ≥ 3}
d)
7
3− x
− 49
3− x
+
Misalkan 7 3− x
42 ≤ 0 = p
⇔
7 3− x
−
(7 )
3− x 2
+
42 ≤ 0
maka: p − p 2 2
+
42 ≤ 0
p − 42 ≥ 0
⇔
p
⇔
( p − 7)( p + 6) ≥ 0
−
+++
+++
−−−
−6
7
Diperoleh p ≤ −6 atau p ≥ 7 . •
p ≤ −6 maka:
•
7 3− x ≤ −6 (tidak ada nilai x yang memenuhi) p ≥ 7 maka: ⇔ ⇔ ⇔
7 3− x ≥ 7 3− x ≥1 − x ≥ −2 x ≤ 2
Hp = { x x ≤ 2}
27
Latihan I
4
Soal Uraian 1.
Tentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan di bawah ini. a)
3 x
b)
3
c)
(15 ) x
d)
2
e) 2.
II
1
> 9
x +1
< 13
+2
3
(0,2) 3
≥
x 2 +3 x
5 x
3
<1
3 x
≥
2
− x
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut. a)
4 x
b)
3 2 x +1
+ 5⋅3
c)
4 x − 2
−2
d)
5 −2
e)
54
− 3⋅ 2
x
−
x −3
x
x− 2
6 5 x
+
−4 > x
>
0
2
−2≥
+5<
25 3− 2
x
0
0
>
30
Soal Pilihan 1.
2.
Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan A. x ≤ 1 x ≥ −1 B. C. x ≤ −1 atau x ≥ 3 12 D.
−1 ≤
x≤4
E.
−1 ≤
x ≤ 3 12
Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan A. B. C. D. E.
3.
x 2 +3 x −5
C. D. E.
( 12 )2 x
−5
≤
3
27
x 2 −4
( 1 )3 x 1
> 2
+
adalah ….
adalah ….
x < −6 x < 3 x < 6 x > 5 x > 6
Himpunan penyelesaian dari 3 2 { x x ≤ − 52 atau x ≥ 5} A. B.
x −1
35
≥
81 adalah ….
{ x x ≤ −3 atau x ≥ 32 } { x − 52 ≤ x ≤ 5} { x − 3 ≤ x ≤ 32 } { x x ≥ − 52 } x
4.
Himpunan penyelesaian dari A.
{ x x > 2}
B.
x x
C.
{ x x > 1} { x x > 12 } { x x > 14 }
D. E.
>
4
2
−1 >
0 adalah ….
2
28
x
Himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan 2 2 adalah …. { x x > 8} A.
5.
C. D. E. 6.
Penyelesaian dari 5 ⋅ 4 x x ≥ 2 A. x ≤ 3 B. C. x ≤ 2 D. x ≥ 1 E. x ≤ 1
7.
x Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan 2 2− A. 1< x < 4 B. 0< x<4 C. 0< x<2 x < 2 D. x < 0 atau x > 2 E.
−7⋅2
x
−6≥
0 adalah ….
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
x3
( 5)
<
+
2
2
3
x
25
−
4
x
x
−5<
0 adalah ….
adalah ….
1 < x < 3 atau x > 4 0 < x < 1 atau x > 2 0 < x < 3 atau x > 4 x < 0 atau 1 < x < 3 0 < x < 1 atau x > 3
A. B. C. D. E.
2.
>8
{ x x > 6} { x x > 4} { x x > 3} { x x > 2}
B.
8.
x +1
−2
Pertidaksamaan Logaritma
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma harus diperhatikan hal-hal berikut: a. Untuk a > 1 ,
b.
i.
Jika
a
a log b > log c maka b > c
ii.
Jika
a
a log b< log c maka b < c
Untuk 0 < a < 1 , i.
Jika
a
log b > a log c maka b < c
ii.
Jika
a
a log b< log c maka b > c
Catatan: Dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma harus ada syarat tambahan yaitu numerus (yang ditarik logaritmanya) harus positif. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan di bawah ini. a)
2
b)
log( x 2
log( x − 1) < 3 + 3x ) ≤ 1
1
c)
2
1
log( x
2
− x) > 2 log( x + 8)
29
Jawab: a)
2
log( x − 1) < 3
⇔
2
⇔
2
log( x − 1)< 2 log 2 3
⇔
log( x − 1)< 2 log 8 x − 1 < 8 x < 9 .................... (1)
⇔
x − 1 > 0 x > 1 …………… (2)
⇔
Syarat tambahan:
Dari (1) dan (2) diperoleh:
1
9
Hp = { x 1 < x < 9}
b)
log( x
2
+ 3x ) ≤ 1
2
⇔
log( x
⇔
( x 2
⇔
x 2 + 3 x − 10 ≤ 0 ( x + 5)( x − 2) ≤ 0
⇔
+ 3 x ) ≤ log 10
+ 3 x ) ≤ 10
+++
+++
−−−
2
−5
Diperoleh:
Syarat tambahan: ⇔
−5 ≤
x ≤ 2 ……….…… (1)
x 2 + 3x > 0 x( x + 3) > 0
+++
−−−
0
−3
Diperoleh:
x < −3 atau x
+++
>
0 …….. (2)
Irisan pertidaksamaan (1) dan (2) menghasilkan:
−5
−3
0
2
Hp = { x
−5≤
x < −3} ∪ { x 0 < x ≤ 2} atau seringkali ditulis dengan
Hp = { x
−5≤
x < −3 atau 0 < x ≤ 2}
30
1
c)
2
1
log( x
2
− x)
>
2
log( x + 8)
2
− 2 x <
x +8
⇔
x
⇔
x 2 − 3 x − 8 < 0 ( x − 4)( x + 2) < 0
⇔
+++
+++
−−−
4
−2
Diperoleh:
−
2 < x < 4 ……….. (1)
Syarat tambahan: i.
x 2
−
x>0
⇔
x( x − 1) > 0
+++
0
Diperoleh:
ii.
x + 8 > 0
⇔
+++
−−−
1
x < 0 atau x > 1 ….. (2)
x > −8 ………………………………………. (3)
−8
Irisan dari (1), (2) dan (3) adalah:
−8
Hp = { x
−2 <
−2
0
1
4
x < 0 atau 1 < x < 4}
31
Latihan
I.
5
Soal Uraian Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut: 1.
4
log x < 2
1
II.
2.
2
log( x + 4) > 1
3.
3
log( 2 x − 5) ≥ 0
4.
log( x 2
5.
log 2 x − log x < 6
− 3 x) ≥
log(2 − 2 x)
Soal Pilihan 1.
Batas-batas x yang memenuhi log( 2 − x) > 0 adalah …. A. B. C. D. E.
2.
x < 1 x < 2 1< x < 2 x > −1 − 2 < x < −1
Penyelesaian dari 3 log x ≤ A.
0< x≤ 3
B. C. D.
0≤ x≤ 3 x ≥ 3 x > 3
E.
x ≤
1 2
adalah ….
3 1
3.
Nilai-nilai x yang memenuhi
log( x 2
− 3) ≥
0 adalah ….
x≤2
A.
−2≤
B.
−
C. D.
x < − 3 atau x < −2 atau x > 2
E.
x < − 3 atau x >
3
2
<
x<
3
−2≤
3
<
x≤2
3
4.
Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan …. − 3 < x < −2 atau 3 < x < 4 A. −3< x < 4 B. C. x < −2 atau x > 3 x < −3 atau x > 4 D. −2< x<3 E.
5.
Himpunan penyelesaian log( x 2 A. B. C. D. E.
+
6
log( x 2
−
x − 6) < 1 adalah
4 x + 4) < log(5 x + 10) adalah ….
{ x − 2 < x < 3} { x x < 3} { x − 3 < x < 2} { x x < −2 atau x > 3} { x x > −2} 32
6.
Penyelesaian 2 log x + 2 log( x − 1) < log10 adalah …. A. B. C. D. E.
1< x < 0 −1 < x < 1 −1 < x < 2 1< x < 2 − 1 < x < 0 atau 1 < x < 2
1
7.
8.
Batas-batas nilai x yang memenuhi A.
0< x<3
B.
1 < 3
C. D.
0 < x < 27 1 < x < 27 3
E.
1 < x < 27
3
1
log x + 3 log x 2
0
Penyelesaian pertidaksamaan 2 log(3 x − 1)< 2 log(2 x + 3) adalah …. A. B. C.
x < 4 x > 4
D.
− 1 12 <
E.
−1 2 <
1 < 3
x<4 1
x<4 x<
1 3
Penyelesaian pertidaksamaan A. B. C. D. E.
10.
−3<
x<3
1
9.
2
2
1
log( x
2
− 7 x + 12) > 2 log(3x − 4)
adalah ….
2< x<8 3< x<4 x < 2 atau x > 8 x < 3 atau x > 4 2 < x < 3 atau 4 < x < 8
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 log x ≤ log( 2 x + 5) + 2 log 2 adalah …. 5 − 2 < x ≤ 10 A. B. C. D.
x ≤ 10 0 < x ≤ 10 −2< x<0
E.
− 2 ≤
−2≤
5
x<0
33
