GENEL FİZİK I DERS NOTLARI Hazırlayanlar: Prof. Dr. Mustafa POLAT Prof Dr Prof. Dr. Leyla TATAR YILDIRIM
2012
BÖLÜM-1 Ölçme
M I IR
D L I Y Bu bölüm kapsamında aşağıdaki başlıklar üzerinde durulacaktır: A L Y E L . Bir fiziksel niceliğin ğ ölçülmesi ç R D e v Birimler,Tbirim sistemleri A L O Mekanikte temel birimler P A F A Birim dönüşümleri T S U M Ölçümlerdeki duyarlılık . R
D
(1-1)
Ölçme: miktar belirleme işlemidir. Fizikte, nicelikleri ölçmek için birtakım deneyler yapar ve ölçülen Fizikte M I nicelikler arasında bir bağ kurmaya çalışırız. Bu bağlar Igenellikle R D matematiksel eşitlikler yoluyla ifade edilir. edilir L I
Y
A L Buna en iyi örnek Ohm Yasası Yasası’ dır. dır Bu yasanın özü bir iletkenin iki özü, Y ucu arasına uygulanan potansiyel fark L ileE iletken üzerinden akan . elektrik akımının ölçülmesi esasına dayanır. R D e v Uygulanan potansiyel fark (V) ile elektrik akımı (I) arasındaki ilişki T A çizgiseldir ve aşağıdaki L matematiksel form ile verilir O P A V AF R T Constant sabit I S U M . Bu eşitlik “Ohm Ohm Yasası Yasası” olarak bilinir bilinir. R D Eşitlikteki R, iletkenin “direnci” dir.
(1-2)
Birimler: Fiziksel bir büyüklüğü tam olarak tanımlayabilmek için o büyüklüğün nasıl ölçüleceğini bir kurala bağlamak ve bir birim ile ifade etmek gerekir. Böylece büyüklükleri bir standarda bağlamış oluruz.
M I IR
D
D L I Y Temel Büyüklükler: Büyüklüklerin tümü birbirinden bağımsız değildir. A Bazı büyüklükler temel büyüklük, büyüklük diğerleri ise Y buLtemel büyüklüklerden E türetilmiş büyüklüklerdir. L . R D Temel büyüklükler için bir standart saptanır ve diğer büyüklükler e v temel büyüklükler cinsinden birimlendirilir. T A L O Temel büyüklüklerinPbelirlenmesi amacı ile, 1875 yılında kurulan ve A halen Paris’teFbulunan Uluslararası Ağırlık ve Ölçmeler Bürosu A (IBWM S =T International Bureau of Weights and Measurements) 1971 U yılında bir toplantı yapmış ve Tablo 1’de verilmiş olan 7 büyüklüğü temel M . R bü üklük olarak büyüklük l k seçmiştir. i ti
(1-3)
Bu 7 büyüklük uluslararası birim sistemini (The International Systems of Units = SI) oluşturur.
Tablo 1. SI temel büyüklükleri Büyüklük
Adı
. KilogramDR e Saniye v T A Amper LA
Uzunluk
Metre
Kütle Zaman El kt ik k Elektrik akımı Sıcaklık
O P
kg s A K
Madde dd miktarı k
Moll
moll
Işık şiddeti
Kandela
Cd
A T
D L YI
A L Sembolü Y LEm
Kelvin
A F
M I IR
R D
S U . MMekanikte sadece üç tane niceliğe ihtiyaç duyulur. Bunlar uzunluk, zaman ve kütledir.
(1-4)
Metre:
M I Başlangıçta metre, kuzey kutbu ile ekvator arasındaki R I D mesafenin on on-milyonda milyonda biri olarak tanımlanmıştır (1792). (1792) L YI A AB L 1m ; (R 6370 km) km) Y 10 E L . P tik nedenlerden Pratik d l dDR ötürü ötü ü daha d h sonra metre, t e yapılmış standart bir ölçüm çubuğu platin-iridyumdan v T üzerindeki iki çizgi arasındaki mesafe olarak A L tanımlanmıştır. O P A F 7
R D
S U .M
A T
Dünya
1983’ ten beri metre, 1/299792458 s’ lik zaman aralığında ışığın boşlukta aldığı yol olarak tanımlanmıştır. Bu yeni tanımın sebebi, ışık hızının çok hassas bir şekilde ölçülebiliyor olmasıdır. olmasıdır
(1-5)
Saniye:
M I IR
Başlangıçta saniye, Dünya’nın kendi ekseni etrafındaki tam bir dönüş süresinin (24x60x60)’ ta biri olarak aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
1 1 saniye 24 60 60 Bu tanımdaki B t d ki problem, bl şekilde kild gösterildiği gibi, bir günlük sürenin sabit olmayışıdır. olmayışıdır
A F
A T
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
D L YI
P
R D
S U Bu nedenle 1967’ den beri saniye, Cessium-133 elementinin yaydığı .M
bbelli lli bir bi ddalga-boyundaki l b d ki ışığın ğ 9192631770 tit titreşimi i i için i i geçen süre ü olarak tanımlanmaktadır.
(1-6)
Kilogram:
M I IR
D L YI
SI birim sisteminde kütle standardı olan bir p platin-iridyum y silindir aşağıda ş ğ verilmiştir.
R D
S U .M
A T
A F
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
P
Bu silindirin B ili di i kütlesi kü l i 1 kilogram kil olarak l k kabul k b l edilmiş dil i ve Paris’ P i ’ teki ki Uluslararası Kütle Ölçüm Bürosu’ nda tutulmaktadır. Hassas kopyaları da başka ülkelere gönderilmiştir. gönderilmiştir (1-7)
Birimdönüştürme: Birim dönüştürme:
M I IR
D Çoğu zaman fiziksel niceliklerin birimlerini değiştirmeye ihtiyaç duyarız. duyarız Bunu L I
Y yapmak için, iki birim arasındaki dönüşüm faktörünü bilmemiz gerekir. A L Y E L . Örnek: karayolu y hız limiti olan 65 mil/saat' i m/s cinsinden ifade ediniz. R D 1 mil = 1609 m ve 1 saat = 3600es v T A Bu durumda, L O P A mil A m F 1609 m 65x 29 65 T S saat 3600 s s U M . R D bulunur. Bu hız limitini km/sa cinsinden bulunuz.
(1-8)
Ölçümlerdeki Duyarlılık :
M I Rbelirlenebilir. I Belli bir nicelik, örneğin bir cismin uzunluğu L, değişik duyarlılıklarda D L Duyarlılık ölçüm yöntemine ve ölçüm aletine bağlıdır. YI A L En küçük ölçeği 1 mm olan bir cetvel ile ölçüm yapıyorsak L uzunluğunu, uzunluğunu Y E L = 1.234 m şeklinde vermek gerekir. L . R Yani L uzunluğu nl ğ dört anlamlı sa sayıı ile verilmelid erilmelid ir. D e v Cetvel üzerindeki en küçük T ölçek 1 mm olduğundan, olduğundan A L L' yi L = 1.2346 m biçiminde vermek anlamsız olacaktır. O P A Diğer taraftan, duyarlılığı 0.1 mm olan verniyeli kumpas kullanıyorsak, F A Tşşeklinde verilebilir ve bu durumda beşş anlamlı sayıy ile ifade edilir. L = 1.2346 m S U M nicelikteki anlamlı sayı, hesaplamalarda kullanılan niceliklerin anlamlı Hesaplanan . R
D sayılarından fazla olamaz.
(1-9)
Örnek: Sabit v hızıyla hareket eden bir araç d = 123 m' lik yolu t = 7.89 7 89 s' de alıyor. alıyor Aracın hızını bulunuz.
Aracın hızı :
M I IR
D L YI
d 123 m A m/s v= = =15.5893536 L Y t 77.89 89 s
E L . R v' yii if ifade d etmek k için i i dokuz d k rakam k D kullanmak k ll k anlamlı l l değildir. d ildi e v Çünkü, v' nin hesaplanmasında kullanılan d ve t nicelikleri T A sadece üç anlamlı sayıLile verilmiştir. O P A F A Dolayısıyla v' de üç anlamlı sayı içerecek şekilde verilmelidir: T S U M . R v = 15.6 m/s.
D
(1-10)
Birimlerin alt ve üst katları: Bazı büyüklükler aynı birim ile ifade edildiği halde sayısal değerleri birbirinden çok farklı olabilir. Örneğin, bir atomun yarıçapı ile Dü ’ nın yarıçapı metre Dünya’ t olarak l k ifade if d edilir, dili ancakk sayısall değerleri d ğ l i çokk farklıdır. f kl d Bu nedenle SI birimlerin alt ve üst katlarını gösteren işaretler kullanılır.
R D
S U .M
Faktör 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10-1 10-22 10-3 10-6 10-99 10-12 10-15 18 10-18 10-21 10-24
A T
A F
İsim Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo H t Hecto Deka Deci C ti Centi Milli Micro N Nano Pico Femto Att Atto Zepto Yocto
P
A L O
Sembol Y Z E P T G M k h da d c m m n p f a z y
e v T
. R D
D L YI
Günlük dildeki adı Günlük dildeki adı 1 septilyon 1 sekstilyon 1 kentilyon 1 katrilyon 1 trilyon 1 milyar 1 milyon bin yüz ü on onda bir yüzde ü d bir bi binde bir milyonda bir milyarda il d bir bi trilyonda bir katrilyonda bir k til kentilyonda d bir bi sekstilyonda bir septilyonda bir
A L Y LE
M I IR
(1-11)
M I IR
Bazı Ölçme Aletleri
S U .M
A T
A F
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
D L YI
P
R D
(1-12)
M I IR
Cetvel
S U .M
A T
A F
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
D L YI
P
R D
(1-13)
Verniyeli y Kumpas p
S U .M
A T
A F
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
M I IR
D L YI
P
R D
(1-14)
M I IR
Mikrometre
S U .M
A T
A F
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
D L YI
P
R D
(1-15)
BÖLÜM-2 V ktö l Vektörler
M I IR
D L YI
Fizikte sadece büyüklükleri y ile tanımlanan niceliklere “skaler” nicelikler diyoruz. Sıcaklık, kütle, enerji bunlardan bazılarıdır.
A L Y LE
Büyüklük yanında ayrıca yön bilgisi içeren veya gerektiren diğer fiziksel niceliklere ise “vektörel” nicelikler diyoruz. Yer-değiştirme, hız, ivme, kuvvet bunlardan bazılarıdır.
e v T
. R D
Bu bölüm kapsamında, aşağıdaki konulara değineceğiz:
A L O
Vektörleri geometrik toplama ve çıkarma işlemi
P
Vektörleri bileşenlerine ayırma
A F
Birim vektör notasyonu
A T
S U . Mİki vektörün skaler (dot veya nokta) çarpımı Bileşenler yardımıyla toplama ve çıkarma Bir vektörün bir skaler ile çarpılması
R D
İki vektörün vektörel (cross) çarpımı (2-1)
Bir vektörün üç elemanı vardır.
M I IR
D L YI
A L Uygulama Noktası (başlangıç noktası):EYVektörel büyüklüğün L başlangıç noktası denir. uygulandığı noktaya uygulama ya da . R Yukarıdaki k d ki vektörün k uygulama l noktası k D O noktasıdır. k d e v Büyüklüğü: y ğ Vektörün sayısal y T değerine ğ o vektörün büyüklüğü y ğ denir. A L Şekilde verilen a vektörünün büyüklüğü a AB' dir. O P A Yönü:VektörelFbüyüklüğün yönü, doğru parçasının ucuna konulan A T okun yönündedir. Şekildeki a vekötürnün yönü O O' dan A' ya yöneliktir S U veya doğu yönündedir. M . R
D
(2-2)
M I IR
A noktasından B noktasına hareket eden bir cismin yer yer-değiştirme değiştirme vektörü A noktasından B noktasına çizilen bir okla gösterilir.
D L I Y Okun yönü ise yer-değiştirmenin yönü ile ilgilidir. A L Y Şekilde A dan B ye, A' den B' ne ve A'' nden B'' ne çizilen E L aynıdır. vektörlerin büyüklükleri ve yönleri . R D Vektörler, büyüklükleri ve doğrultuları değiştirilmeden e v istenildiği gibi kaydırılabilir. T A L Kitaplarda vektörler sembolik olarak iki şekilde gösterilir: O P A (niceliğin üzerine bir ok çizilir) a F A T a (nicelik S ( i lik koyu k yazılır) l ) U M . R D Vektörün büyüklüğü de a veya a biçiminde sembolize edilir. Ok n uzunluğu Okun nl ğ yer-değiştirmenin er değiştirmenin büyüklüğü bü üklüğü ile orantılıdır. orantılıdır
(2-3)
Vektör işlemleri
• Vektörlerin Eşitliği • Bir Vektörün Negatifi
M I IR
A L Y LE
D L YI
. R • Vektörlerin ToplanmasıD e v • Vektörlerin Çıkarılması T A L O • Vektörün P Bileşenlerine Ayrılması A F • Vektörün Büyüklüğünün Bulunması A ST• Vektörün V ktö ü bi bir eksenle k l yaptığı t ğ açının bulunması b l • Vektörün Taşınması
R D
U .M
• Vektörlerin bileşenleri ş cinsinden toplanması p devam
(2-4)
Vektör işlemleri • Vektörlerin Çarpılması: 1. Bir Vektörün Bir Skaler ile ÇarpılmasıA
D
. R
M I IR
D L YI
L Y 2. İki Vektörün Skaler (dot veya nokta çarpım) Çarpılması E L . R 3 İki Vektörün Vektörel Çarpılması 3. D e v T A Bölünmesi L • Vektörlerin Skalere O P • VEKTÖRAVEKTÖRE BÖLÜNMEZ !!! F A T S U M (2-5)
Vektörlerde Geometrik Toplama :
M I IR
D L YI s aA b L Y LE
R. b vektörünün ktö ü ü bbaşlangıç l noktası kt Da vektörünün ktö ü ü e v ucuna gelecek şekilde b Tvektörü kaydırılır.
A L a vektörünün başlangıç noktasından b vektörünün O P uç noktasına k çizilen iAil vektör k s vektörüdür. k d F A T
R D
S İ vektör İki arasındaki açı olmak üzere, s vektörünün büyüklüğü, U . Ms =a +b +2abcos 2
2
2
ile verilir (kosinüs teoremi).
(2-6)
Vektörlerde Geometrik Toplama :
M I IRB
A
A R=A+B=?
B
A
B
S U .M
A T
A F C
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
R=A+B
C
P
D
D L YI
R=A+B+C+D=?
D
B A
R=A+B+C+D R A+B+C+D
R D
(2-7)
Vektörel top toplama lama işleminin "değişme özelliği" vardır: a b b a
b vektörünün negatifi (-b ), ve T A b vektörü ile aynı büyüklükte L O fakat ters yöndedir.P
S U .M
M I IR
. R D
A L Y LE
D L YI
A F
A T
R D
(2-8)
Örnek : Kuzeye y doğru ğ yyönelmişş 20 km' lik bir vektör ile 60o M I kuzey-batıya doğru yönelmiş 35 km' lik vektörün bileşkesini bulunuz. IR
D L YI
İki vektör arasındaki açı 60 o ' dir. A L Y Kosinüs teoremine göre bileşke vektörün büyüklüğü, E s a 2 +b 2 +2abcos
e v T
L . R D
o A 20 + 35 +2 20 35 cos 60 L 2
2
= 48.2 48 2 km
A T
A F
O P
sin i Usin iS b 35 sin sin sin(120 ) 0.629 48.2 bM s s . R 38.9o D (2-9)
Vektörlerde Geometrik Çıkarma:
M I IR
d a b
D L YI
A L d a b a b Y biçiminde yazılabilir. yazılabilir
E
L . R D
b vektöründen b vektörü bulunur ve a vektörü e
A F
A T
v ile toplanır. pT A L O P
Not: U N VSk ö l i bileşenleri Vektörleri bil l i vasıtasıyla l toplamak l k veya çıkarmak k k mümkündür. Uygulamada bu yöntem çok daha kullanışlı ve kolaydır. .M
R D
(2-10)
Vektörlerde Geometrik Çıkarma: -B
A R=A-B=?
B
A
S U .M
B
C
A T
A F
O P
LA
e v T
A L Y LE
R=A-B
. R D
R=A-B+C=? R AB C ?
M I IR B
D L AYI
B
R=A-B+C A C -B
R D
(2-11)
Vektörün bileşenleri ve bir eksenle yaptığı açı:
Bir i vektörün k bi bir eksen k yönündeki d ki bil bileşeni, i vektörün k o eksen k IM R I ğ ax , a vektörünün xD- ekseni üzerindeki izdüşümüdür. Örneğin L I Y üzerindeki izdüşümüdür. Vektörün ax bileşeni, başlangıç ve uç A L noktalarından x - eksenine çizilen dikmeler mesafedir Yarası mesafedir.
E L . a vektörünün x- ve y-bileşenleri R D ax a cos ve e ay a sin .
v eşitlikleri ileTverilir. A L a O ve a bileşenleri biliniyorsa, vektörün büyüklüğü P x
R D
S U .M
y
A T
A F ve sırasıyla x ve y ekseni ile yaptığı açı bulunabilir. ABC di dikk üçgeninden: 2 x
a a a
2 y
olarak bulunur.
ve tan x
ay ax
; tan y
ax ay (2-12)
Birim vektörler :
M I IR
Herhangi bir doğrultuda, doğrultuda büyüklüğü "1" 1 olan vektöre "birim vektör " denir. denir
Birimsizdir ve sadece sadece yön göstermek amacıyla kullanılır.
A L x, y ve z - eksenleri yönündeki birim vektörler, vektörler Y E L ˆ ˆ ˆ sırasıyla, i , j ve k ile gösterilirler. . R D e v Tüm vektörler birim vektörler cinsinden yazılabilir. T A ˆ ˆ Şekildeki vektörler: a aLi a j ; b b ˆi b ˆj O P A birim vektörler: a ve b yönündeki F A a ˆT b ˆa = ; S b= ile verilir. verilir U a b M . RBu durumda a ve b vektörleri,, x
D
y
a aaˆ ; b bbˆ biçiminde de yazılabilir.
x
D L YI
y
(2-13)
Bileşenleri Yardımıyla Vektörlerin Toplanması:
M I IR
D ˆ ˆ L a a x i a y j YI r a b ? A L b bx ˆi by ˆj Y . LE rR ax bx ˆi a y by ˆj
D e
v T
Bileşenleri Yardımıyla A Vektörlerin Çıkarılması:
D
. R
OL ˆ aP ax i a y ˆj A d a b ? F A ˆi b ˆj b b T x y S ˆi a b ˆj U d a b x x y y M (2-14)
Örnek : Bir cisim üç ardışık yer-değiştirme yapıyor. Bunlar sırasıyla, M I ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cm d1 = 15i + 30j+12k cm, d 2 = 23i 14 j 5k cm ve d3 = 13i + 15j R I
D L olduğuna ld ğ göre, ö toplam t l yer-değiştirme d ği ti vektörünün ktö ü ü bileşenlerini bil I l i i ve Y A büyüklüğünü bulunuz. L Y E L . R d1 d 2 d3 15 23 13 ˆi + 30 14 +15 ˆj + 12 5 kˆ R D ˆ ˆ ˆ e = 25i + 31j + 7k cm v T A L O Rx 25 cm ; RP y 31 cm ; Rz 7 cm A F A T S 2 2 2 U 2 2 2 RM Rx + Ry + Rz 25 31 7 40.4 cm . R D
(2-15)
Örnek: A şehri B şehrinin 46 km batı ve 35 km güneyinde yer almaktadır Bu iki şehir arasındaki en kısa mesafenin büyüklüğünü almaktadır. ve yönünü bulunuz.
M I IR
D L I Y 46 km A L Y E
R 46iˆ – 35 ˆj
R = 57.8 km
e v T
A L O P km 35 tan AFA 46 km T S U . M = 37.30
R D
35 km
R (46 km) 2 (35 km) 2 . L
B
R=? A
R D
(2-16)
Örnek: Bir erkek çocuğu bir kıza, şekildeki gibi, 240 N’ luk bir kuvvet uygulamaktadır. Kızın kolu yatayla 28 açı yaptığına göre bu kuvvetin bileşenlerini bulunuz.
M I IR
D L I Y F = 240 N A L Y E F
L O
T A
P
A F
ve
FLy . R D
A F = -|(240 |( S N)T ) cos 28 | = - 240*0.88= -212 N U M . F = +|(240 |( N)) sin 28 | =240*0.47= +113 N R D x
y
0
0
280
Fy
Fx
Birim vektörler cinsinden
F 212 N iˆ 113 N ˆj (2-17)
Örnek: Bir kaplumbağa aşağıda verilen ardışık üç yerdeğiştirme ve yer değiştirmelerin ğş yyatayla y yyaptığı p ğ açı ç verilmiştir. ş Kaplumbağanın p ğ bu y toplam yer değiştirme vektörü R’ nin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. C=0 0.5 5m A = 5 m, 00 R
M I IR
D L YI
B = 2.1 m, 200 C = 0.5 0 5 m, m 900 cos 200= 0.94 0 94
A L O
e v T
A L B=2 2.1 1m Y 20 LE . R DA = 5 m
sin 200= 0 0.34 34
Vektör
f
A=5 m
0 A T
A F0
X-bileşeni P ş ((i)) +5m
B=2.1m B 2U 1S 200 +(2.1 (2 1 m)) cos 200
D
M . RC=0.5 m
0
900
0
Rx = Ax+Bx+Cx
Y-bileşeni ş (j) 0 +(2.1 (2 1 m)) sin i 200 + 0.5 m Ry = Ay+By+Cy
(2-18)
Örnek devam: Verilen üç ç vektörün toplamını p bulunuz. A = 5 m,00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5 m, 900R . IM
I D
x-bileşeni (i) Ax = + 5.00 5 00 m Bx = +1.97 9 m Cx = 0
P
A L O
A = 5.00 i +
R D
S U .M
e v T
L I y-bileşeni (j) Y A L Ay = 0EY L . BR 0 8m y = +0.718 D Cy = + 0.50 m
0j
A T
A FB = 1.97 i + 0.718 j C=
0i+ 0 0.50 50 j
R=
6 6.97 97 i + 1 1.22 22 j (2-19)
Bi Vektörün Bir V k ö ü Bir Bi Skalerle Sk l l Çarpımı Ç :
M I IR
D L I s bir skaler nicelik ve a ' da bir vektör olmakYüzere, A L bunların çarpımı b sa ile verilen yeni bir vektördür. vektördür Y E L . B yenii vektörün Bu k ö ü büyüklüğü bü üklüğüD bR = s | a | il ile verilir. ili ve s 0 ise, b vektörü aTile aynı yöndedir. A L s 0 ise, b vektörü a ile ters yöndedir. O P A F A Örnek : F ma T S U .M
R D
(2-20)
İki Vektörün Skaler Ç Çarpımı p :
M I IR
D L İki vektörün ktö ü skaler k l çarpımı, "dot "d t veya nokta" çarpım Iolarak l k da d bili bilinir. i Y A L a ve b vektörlerinin skaler çarpımı a b =abYcos ifadesi ile verilir verilir. E L . R D e v Örnek: İş T A L O W Fx P A F A T S U M . R
D
(2-21)
Bileşenleri Cinsinden Skaler Çarpım : a b = a x ˆi a y ˆj a z kˆ bx ˆi by ˆj bz kˆ
ˆi ˆj kˆ olduğundan,
e v T
. R D
A L Y LE
M I IR
D L I Y
ˆi ˆi ˆj ˆj kˆ kˆ 1 A L ˆi ˆj ˆj ˆi 0 O P a b axbx a yby az bz bulunur. bulunur A ˆi kˆ kˆ ˆi F 0 A T S ˆj kˆ kˆ ˆj 0 U
M . R
D
(2-22)
Örnek : A = 2iˆ + 3jˆj + kˆ ve B = 4iˆ + 2jˆj kˆ vektörleri arasındaki M I açıyı bulunuz. IR
D L I iki Bu soruda, iki vektör arasındaki açıyı bulmak için vektörlerin Y farklı yolla skaler çarpım işleminden yararlanacağız. İki sonucu A L birleştirerek açıya geçeceğiz geçeceğiz. Y E L . R I. Yol : A B ABcosθ = (2) e (3)D (1) (4) (2) (1) cosθ v T = 14 21 cosθ cosθ A L O P II Y II. Yoll : A B AAB A B A B (2)(4) (3)(2) (1)(1) 3 F A T S U A B 3 3 M cos θ= 0.175 θ = 100 . R AB 2
x
x
y
y
2
z
2
2
2
2
z
o
D
14 21
294
(2-23)
Örnek : A ve B vektörlerinin büyüklükleri aynı ve 5 birimdir. M I ˆ A+ B = 6i olduğuna göre, bu iki vektör arasındaki açıyı Rbulunuz. I D 2 2 L Kosinüs teoremine göre: A+B A + B + 2 AY IB cos ' dır.
A L 6 5 + 5 +Y 2 5 5 cos E Buna göre, L . (6 0) (5) (5) (6.0) 14 R cos D 0.28 106.3 bulunur. e50 2(5)(5) v T LA Örnek : A 6iˆ 8jˆ O ; B 8iˆ + 3jˆ ve C 26iˆ +19jˆ vektörleri veriliyor. AP aA+bB+C =F0 eşitliğini sağlayan a ve b sayılarını hesaplayınız. TA ˆ + ( 8a 3b 19)jˆ 0 S aA+bB A+bB +C (6 a 8 b+ 26)i U M 6a 8b 26 . R 2
2
D
2
2
2
2
b l a 5 ve b 7 bulunur. 8a 3b 19
o
(2-24)
Vektörel Çarpma:
M I R c a b a ve b vektörleri arasındaki vektörel çarpma işlemi, I D L I ile verilen yeni bir vektör oluşturur. c vektörünün büyüklüğü Y A oluştur L c ab sin ile verilir ve a ile b vektörlerinin ş duğğu Y düzleme diktir. Yönü "sağ-el-ku LEralı" ile belirlenir: . R D
Vektörel çarpım,e"cross" çarpım olarak da bilinir.
v T
D
. R
A Sağ el kuralı: L O i. a ve bPvektörlerinin başlangıç noktalarını birleştiriniz. FA iiA . a vektörünü parmak uçlarınız onun yönünü gösterecek T şekilde S kild sağğ avuç içine i i yatırınız. t U M iii. a vektörünü küçük açı yönünde b ' nin üzerine süpürünüz. iv. Baş parmağınız c vektörünün yönünü verir. (2-25)
Sağ el kuralı:
M I IR
S U .M
A T
A F
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
D L YI
P
R D
(2-26)
M I IR
A L Y LE
D L YI
. R D
D
. R
e c a xb Vektörel çarpımın özellikleri: v T 1 c abb sin 1. i A L O 2. a ve b birbirine y antiparalel p ise c 0'dır. P pparalel veya FA 3. c Aa ğ düzleme diktir. T c vektörü a ve b ' nin bulunduğu S 4. c b U M 5. c ( b x a ) vektörel çarpımda değişme özelliği yoktur. (2-27)
Bileşenleri Cinsinden Vektörel Çarpma : a b a x ˆi a y ˆj a z kˆ b x ˆi by ˆj bz kˆ
M I IR
ILD
Y
A L Y E olduğundan L . kˆ ˆi ˆj ; ˆi kˆ ˆj R D ˆj kˆ ˆi ; kˆ ˆj ˆi ve T a b a y bz az byLAˆi az bx ax bz ˆj ax by a y bx kˆ O P A Not : a b, aşağıdaki determinant yolu ile de belirlenebilir. F A T i j k S U a b ax a y az ; Not : a b b a M . ˆi ˆi ˆj ˆj kˆ kˆ 0 ˆi ˆj kˆ ; ˆj ˆi kˆ
R D
bx
by
bz
(2-28)
ˆ B = 4iˆ + 2jˆ kˆ ve C 5iˆ 2jˆ vektörleri verilsin. Örnek : A = 2iˆ + 3jˆ + k, M I a ) A B = ? , b) C (A+B) C A+C B olduğunu gösteriniz. R a )
b )
I D
ˆi ˆj kˆ A B 2 3 1 = 5iˆ 2ˆj +16kˆ 4 2 1
e v T
ˆi ˆj kˆ C (A+ B ) 5 2 0 = 21kˆ 2 5 0
A F
A L O
. R D
P
ˆi ˆj kˆ ˆ ˆ ˆ C A 5 2 0 = 2i 5j +19k ve C B 2 3 1
S U .M
R D
A T
A L Y LE
L I Y
ˆi ˆj kˆ 5 2 0 = 2iˆ + 5jˆ + 2kˆ 4 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ C A C B = 2i 5j +19k 2i + 5j + 2k 21k C (A+B)
(2-29)
M I IR
S U .M
A T
A F
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
D L YI
P
R D
(2-30)
M I IR
S U .M
A T
A F
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
D L YI
P
R D
(2-31)
M I IR
S U .M
A T
A F
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
D L YI
P
R D
(2-32)
M I IR
R D
S U .M
A T
A F
A L O
e v T
. R D
A L Y LE
D L YI
P
=0 cos (2-33)
BÖLÜM-3 Bir Doğru Boyunca Hareket
M I IR
D L B bölümde, Bu bölü d cisimlerin i i l i bir bi doğru d ğ boyunca b h k ti i inceleyeceğiz. hareketini i I l ği Y Aşağıdaki fiziksel nicelikleri ayrıntılı bir şekilde tanımlayacağız. A L Y Konum ve Yer-değiştirme E L . Ortalama Hız R D Ortalama Sürat e v Anlık Hız T Ortalama O ve Anlık ALA İİvme O Pherhangi bir andaki hızı ve konumu Sabit ivmeli hareket için, için A F veren bağıntıları türeteceğiz. A T S Ayrıca, yer yüzeyine yakın noktalarda yerçekimi etkisi altında cisimlerin U hareketini M inceleyeceğiz. . R D olarak da, ivmenin sabit olmadığı durumlarda, cismin hareketini eğri Son altındaki alanın hesaplanması yöntemiyle inceleyeceğiz.
(3-1)
M I IR
Kinematik, Ki tik cisimlerin i i l i hareketini h k ti i inceleyen i l mekaniğin k iği bir bi alt lt dalıdır. d ld Bir cismin konumu zamanla değişiyorsa o cisim hareketlidir deriz.
D L I Y Hareketli cisimlerin noktasal parçacıklardan oluştuğunu ve hepsinin de A aynı y şşekilde hareket ettiğini ğ kabul edeceğiz. ğ L Y E L Bu bölümde, harekete neyin sebep olduğuyla. ilgilenmeyeceğiz. R D x-ekseni boyuncae hareket eden bir cisim düşünelim. v Herhangi birTt anında, orijine göre cismin konumu x(t) ile tanımlanır.Ax-ekseninin hangi tarafında bulunduğuna göre, L cismin koordinatı negatif veya pozitif olabilir. O P A KONUM: Bir cismin yerinin bir referansa göre F A belirlenmesidir. T S U Bir cismin “konum vektörü”, bulunduğu koordinat M sisteminin orijininden cismin bulunduğu noktaya çizilen . R vektördür. ktö dü D
(3-2)
Not: Yer-değiştirme ile gidilen toplam yol aynı şey değildir !!
M I IR
S U
M . R
A T
A F
P
A L O
v T
D e
. R
A L Y LE
D L YI
B
A
D
(3-3)
B
Yer değiştirme 50 m
. R
A
A L O
M I IR
Yol=100 m
v T
D e
A L Y LE
D L YI
Örnek: x1 5 m konumundan pozitif yönde x2 200 m konumuna giden ve oradan tekrar başlangıçtaki konumuna dönen bir cisim dü ü li düşünelim.
S U
A T
A F
P
Cisim toplam olarak 390 m yol aldığı halde,
M . ğş Δx 0’ dır. Ryyer-değiştirmesi
D
(3-4)
Yer-değiştirme Vektörü: Bir cisim x1 konumundan x2 konumuna
M I IR
hareket etmişse, konumundaki değişim yer yer-değiştirme değiştirme ile tanımlanır.
x
x2 x1 yer değiştirme son konum
ilk konum
SI sisteminde birimi (m)
D e
. R
A L Y LE
D L YI
Örneğin, Ö ği ilk konumu k x1 5 m ve son konumu k x2 12 m olan l bir bi cismin i i yerdeğiştirmesi Δx 12–5 7 m olacaktır. Δx’ in pozitif olması, yerğş +x yyönünde olduğunu ğ ggösterir. değiştirmenin
v T
A L O Cisim x 5 m konumundan x 1 m konumuna hareket etseydi, yerP d ği ti değiştirme Δ 1–5 Δx 1 5A – 4 m olurdu. l d Δx’ Δ ’ in i negatif tif olması, l yerF olduğunu gösterir. değiştirmenin –x A yönünde T S U Yer-değiştirme, hem büyüklüğü hem de yönü olan vektörel bir niceliktir. M . R T Tek k boyuttaki b tt ki hareketi h k ti incelediğimiz i l diği i bu b bölümde, bölü d yer-değiştirme d ği ti yönü ö ü Dolarak Δx’ in işaretini kullanacağız. 1
2
(3-5)
Konum-zaman Grafiği ve Ortalama Hız:
M I Bir cismin hareketini tanımlamanın bir yolu, cismin konumunu zamana R I bağlı ğ olarak ççizmektir. D L YI Herhangi bir t anı ile t anı arasında, canlının x konumundanAx konumuna ne L kti k d hızlı kadar h l gittiği ittiği konusunda k d “ortalama “ t l h ” bize hız” bi bir bi fikir fiki Y verecektir. E L . Konum-zaman ggrafiğinde ğ ((t , x ) noktasından ((t R , x ) noktasına ççizilen doğrunun ğ D eğimi, cismin t ve t aralığındaki v hızına eşittir. e v AT Lx2 x1 x vortO ortalama hız P t2 t1 t A F A T S U M . R D 1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
ort
(3-6)
M I IR
Hareket ve konum-zaman konum zaman grafiği x
t
P
Cismin hareketini tanımlayınız. Ci i duruyor. Cisim d
S U
M . R
A T
A F
A L O
v T
D e
. R
A L Y LE
D L YI
Duran bir cismin konum-zamana grafiği.
D
(3-7)
M I IR
Hareket ve konum-zaman konum zaman grafiği x
t
A L O
v T
P Ci i hareketini Cismin h k ti i tanımlayınız. t Al F hızla gidiyor. Cisim +x yönündeA sabit T S U M . R D
D e
. R
A L Y LE
D L YI
Değişen bir hızla hareket eden bir canlının konum-zaman grafiği (3-8)
M I IR
Hareket ve konum zaman grafiği x (m)
B
x
x
A
A F
vort T xA / t
S U
D
M . R
A L O t
t
P
v T
. R
D e
A L Y LE
D L YI
Bir cismin konum-zaman grafiği ggrafiktee verilmiştir. ve ş . Bu u ccismin s ortalama hızı hesaplayınız. vort = x/ t=2.0/6.0=1/3 t=2 0/6 0=1/3 m/s (3-9)
Örnek: Şekilde bir cismin t1 = 1 s ve t2 = 4 s anlarındaki konumları x1 = 4 m ve x2 = 2 m’dir. Cismin ortalama hızını bulalım. bulalım
v T
D e
x2 x1 2 (4) 6 m vort 2 m/s t2 t1 4 1 3s
S U
M . R
A T
A F
P
A L O
. R
A L Y LE
M I IR
D L YI
D
(3-10)
Ortalama Sürat (vsürat_ort):
vsürat_ort
toplam yol t
M I Ortalama sürat, Δt zaman aralığında alınan “toplam yol” cinsinden tarif edilir.IR D Ortalam sürat ortalama hızın büyüklüğü değildir. L YI A L Ö rnek : Şekildeki otomobilin, otomobilin A ve F Y E noktaları arasındaki, ortalama hızını L . ve süratini hesaplayınız ( t = 0 ve R D = 30 m ; = 50 s ve = 53 m). x t x e v T x x 53 30 A v L 50 0 O t t P 83 A 1.66 m/s F 50 A T S x x x 22+52+53 U v M 50 50 . R D 127 2.54 m/s A
A
F
ort
F F
F
A
A
AB
sürat_ort
50
BD
DF
(3-11)
Örnek : x-ekseni boyunca hareket eden bir cismin
M I IR
konum-zaman grafiği yanda verilmiştir. Cismin 0 2 s ; 0 4 s ; 0 7 s ; 0 8 s aralıklarında ortalama hızını bulunuz. 0 8 s aralığında ğ cismin hız-zaman graf g iğini ğ çiziniz. ç
. R
A L Y LE
D L YI
Konum-zaman grafiğinden; 10 0 50 vort(0-2) 5 m/s ; vort(0-4) 1.25 m/s 20 40 5 0 00 vort(0-7) 0.714 m/s ; vort(0-8) 0 70 80 v
A T
A F
P
A L O
v T
D e
dx 10 0 5 10 v(0-2) 5 m/s ; v(2-4) 2.5 m/s dt 20 42 55 5 5 v(4-5) 0 ; v(5-7) 5 m/s 54 75 0 (5) v(7-8) 5 m/s 87
S U
M . R
D
(3-12)
Anlık Hız:
M I IR
Ortalama O t l h bir hız, bi cismin i i t1 ve t2 zaman aralığında lğ d ne kadar hızlı olduğu bilgisini içerir. Herhangi bir t anında cismin ne kadar hızlı olduğu bilgisi “anlık anlık hız” tanımıyla verilir.
D L YI
S U
M . R
A T
A F
A L Y E hızın Δt →0 Anlık hız, ortalama L . durumundakiRlimitidir. D e x dx v v lim T t 0 t dt A
L O
PBu B
tanımdan d anlık l k hız, h cismin i i x konumunun k zamana göre birinci türevidir.
Yani, konum-zaman grafiğinin herhangi bir andaki eğimidir.
D Anlık sürat anlık hızın büyüklüğüdür.
(3-13)
Örnek : x-ekseni boyunca hareket eden bir cismin konumu x(t ) 4t +2t 2
M I IR
D L YI
ifadesine göre değişmektedir (t saniye, x metre cinsindendir).
A L a ) 0 1 s ve 1 3 s aralıklarında cismin ortalama hızını a bulunuz bulunuz. Y E L . R b ) t 2.5 2 5 s anındaki d ki hızını h bbulunuz. l D e v T A 4 2 0 dx L b ) v(t ) 4 + 4t m/s a) v O 2 m/s dt P 1 0 A F A v((2.5)) 4 + 4(2.5) ( ) 6 m/s S 12T 18 4 2 v U 4 m/s 3 1 M . R D ort(0-1)
ort(1-3)
(3-14)
Ortalama İvme:
M I IR
t1 ve t2 anları l arasındaki d ki ortalama t l iivme:
v2 v1 v aort t2 t1 t Anlık İvme:
D e
. R
2
m// s
A L Y LE
D L YI
Anlık ivme, ortalama ivmenin Δt→0 durumundaki limitidir ve herhangi bir t anında hızın ne kadar hızlı değiştiğini gösterir. gösterir
S U
D
M . R
A T
A F
P
A L O
v T
v dv dv d dx d 2 x a lim ; a 2 t 0 t dt dt dt dt dt
Bu tanımdan B t d anlık l k ivme, i cismin i i hızının h zamana göre birinci türevidir. Yani, hız-zaman grafiğinin g bir andaki eğimidir. ğ herhangi (3-15)
Sabit İvmeli Hareket : t 00'da da cismin hızı v0 ve konumu x0 olsun olsun.
M I IR
D L YI
A dv L a dv d adt dt ddv adt dt a dt vE(tY ) v0 att dt L 0 0 v0 v
t
t
. R
(E (Eş-1) 1)
D e x
t t v dx v dx vdt v0 atATdt dx v0 dt a tdt dt L 0 0 x O P 1 2 A x(t ) x0 Av0Ft at (Eş-2) 2 T S U M Bu iki. eşitlikten t yok edilirse: v 2 v02 2a x x0 (Eş-3) R D 0
(3-16)
Konum x(t ), hız v(t ) ve ivmenin a(t ) zamanla değişimleri :
S U
M . R
A T
A F
M I R bir Konum-zaman grafiği, düşeyi x x0’ da kesen I D L paraboldür. paraboldür YI A 1 2 L x x0 v0t att Y E 2 L . R D Hız-zaman grafiği, düşeyi v v0’ da kesen ve e v eğimi ğ ivmeye y ((a)) eşit ş bir doğrudur. ğ T A L O P v v0 at Burada ivme (a) sabittir.
D
(3-17)
Sabit İvmeli Hareket Denklemleri :
v vL0D a YI A t
1. v v0 at 1 2 2 x x0 v0t at 2. 2
3. v v 2a ( x x0 ) 2
2 0
S U
M . R
A T
A F
P
M I IR
ve D
. R
L Y LE
L O
T A
1 4. x x0 vort t (v0 v)t 2
D
(3-18)
Örnek : x-ekseni boyunca y ilerleyen y bir sürücü, t 10 s içinde ç hızını düzgün g
M I IR
olarak 10 m/s' den 30 m/s' ye çıkarıyor. D a) Sürücünün ivmesini bulunuz. bulunuz L I Y b) Bu ivmelenme sürecinin ilk yarısında otomobil ne kadar A yol alır?
L Y c) Bu ivmelenme sürecinde otomobil ne kadar yolE alır? L . R D 30 10 2 e a ) aort 2 m/s v 10 0 T A L 1 PO 1 b ) x x x v t at 10 (5) (2) (5) 75 m A 2 2 F A T S 1 1 U c ) x x x v t at 10 10 (2) (10) 200 m M 2 2 . R D 2
s
i
2
i
2
s
i
2
i
(3-19)
Örnek : Durgun halden harekete başlayan bir cismin ivme-zaman grafiği yanda verilmiştir. a ) t 10 s ve t 20 s anlarında cismin hızı nedir?
M I IR
D L YI
b ) İlk 20 s içinde cisim ne kadar yol almıştır?
A L Y a) t 0 10 s a 2 m/s v v at v 20 m/s E L 10-15 s aralığında a 0 olduğundan hız sabittir. ve 20 m/s' dir. R D e hız 20 m/s' dir. 15-20 s aralığında a 3 m/s vevilk T v v at v 20 A(3)) ((5)) 5 m/s / L O (20) (0) b) 0-10 0 10 s aralığında: v v P 2a x x x = =100 m A 2(2) F A 10-15 s aralığında: a 0 ve v 20 m/s x =20 (5)=100 m T S U (5) (20) M 15-20 s aralığında: v v 2a x x x = = 62.5 m . 2 (3)) R Dx x x x 262.5 m 2
0
2
0
2
2
2 0
0
2
1
2
2
1
2
3
2 0
2
0
2
3
(3-20)
Serbest Düşme:
M I IR
Dünya yüzeyinin yakınlarında tüm cisimler büyüklüğü 9.8 m/s2 ve yönü dünyanın merkezine doğru olan bir ivmenin etkisinde hareket ederler. Serbest düşmede cisimlerin ivmesi sembolik olarak “g” ile gösterilir.
D L YI
S U
M . R
A T
A F
A L Y y-ekseni düşeyde ve yukarı yönde alınırsa, E L ivmesi a = g olur. serbest düşmede cismin . R D e v vA vT0 gt (Eş 1) (Eş-1) L O P y y0 v0t 1 gt 2 (Eş-2) 2 v2 v02 2g y yo
(Eş (Eş-3) 3)
D
(3-21)
Örnek : 50 m yüksekliğinde bir binanın tepesinden bir taş düşey
M I IR
d ğ lt d yukarı doğrultuda k ddoğru ğ 20 m/s / hhızla l ffırlatılıyor. l tl (g 10 m / s 2 ) a ) Taş maksimum yüksekliğe ne kadar zamanda çıkar?
D L YI
b) Bu nokta yerden ne kadar yüksektedir? c) Taş fırlatıldığı seviyeye ne kadar zamanda gelir? Bu noktada hızı ne olur? d ) t 5 s anında taşın hızı ve konumu nedir?
. R
A L Y LE
a ) M Maksimum ki yükseklikte ük klikt cismin i i hhızı sıfırdır: Df d v v0 gtt t 2 s
e v b ) v v 2 g y y y yT 20 m h 70 m A L O 1 1 2 (20) P c ) y y 0 v t gt g t (v gt g )0t 4s 2 A 2 10 F A v v gt 20 10 (4) 20 m/s T S U d ) v v gt 20 10 (5) 30 m/s M . v v 900 400 R Dy 50 2 (10) 20 25 m y 25 m 2
2 0
o
o
2
0
0
0
0
0
2
2 0
(3-22)
Örnek : Bir helikopterin yerden yüksekliği y 3t 2 ile veriliyor. Burada t saniye y ve y metre cinsindendir. t 2 s anında helikopterden p bir paket p M I serbest bırakılıyor. IR
a) P Paket k t ne kkadar d zamanda d yere ulaşır l (g 10 m / s )? b) Paket yere ulaştığı anda hızının büyüklüğü kaç m/s'dir? LA 2
c) Paketin ivmesi için ne söyleyebilisriniz?
. R
D e
Y LE
D L YI
dyy a ) v 6t paket k t serbest b t bırakıldığı b k ld ğ andaki d ki hhızı v0 12 m/s / dt ve y yerden yyüksekliği ğ y0 12 m' dir.
v T
A L 1 2 12 384 2 y y0 v0t gt O 3.16 s 0 12 12t 5t t P 2 10 A Fzamana bağlı fonksiyonu: v(t ) 12 gt b ) Paketin hızının A T 3 16 19 v 12 S 10 3.16 19.66 m/s U M
dv . c )R Paketin ivmesi a g 10 m/s D dt
2
dir ve sabittir. sabittir (3-23)
Duran bir cismin M I konum-zaman, hız-zaman, ivme-zaman grafikleri: IR
x
v t
A Konum-zaman o u aSaT U M . R D
A F
P
A L O
v T
. R
D e
Hız-zaman Hız zaman
A L Y LE a
D L YI
t
t İvme-zaman
(3-24)
Sabit hızla hareket eden bir cismin M I konum-zaman, hız-zaman, ivme-zaman grafikleri: IR
x
v t
A Konum-zaman o u aST a U M . R D
A F
P
A L O
v T
. R
D e
Hız-zaman Hız zaman
t
A L Y LE a
D L YI
t İvme-zaman İvme zaman
(3-25)
Sabit ivme ile hareket eden bir cismin M I konum-zaman, hız-zaman, ivme-zaman grafikleri: IR
x
v t
S U
A T
Konum-zaman
M . R
A F
P
A L O
v T
. R
D e
Hız-zaman
A L Y LE a
D L YI
t
t İvme zaman İvme-zaman
D
(3-26)
İvmenin Sabit Olmadığı Durum :
M I IR
Cismin Ci i ivmesi i i sabit bit değilse, d ğil cismin i i hızını h v (t ) ve kkonumunu x (t ) integrasyon yoluyla bulabiliriz.
D L YI
A L d dv a dv adt dv adt v v adt vEYv adt L dt . R D e v kalan alan adt a(t) t grafiğinde eğri altında T A L O P A F dx A v dx vdt dx vdt T dt S U M . x R D x vdt x x vdt vdt v(t) t grafiğinde eğri altında alan İntegrasyon analitik olarak veya grafik yaklaşımı ile yapılır. v1
t1
t1
1
v0
0
t0
t1
1
t0
0
t0
t1
t0
x1
t1
x0
t0
t1
1
0
1
t0
t1
t1
t0
to
0
(3-27)
x (t )), v (t ) ve a (t ) arasındaki ilişki:
x (t )
Türev
İntegral
v (t )
v T
D e
A L Y Türev E L . R
M I IR
D L YI
İntegral
a ((t )
D
A L O t dx A P x (t ) x0 v(t) (t)dt v F 0 A dt T S U t M dv . v (t) v 0 a ( t ) d t R a dt
0
(3-28)
BÖLÜM-44 BÖLÜM İki ve Üç Boyutta Hareket
M I IR
D L I Y Bu bölümde, tek boyut kısıtlaması olmadan, bir düzlemde ve uzayda A cisimlerin hareketini incelemeye devam edeceğiz. edeceğiz YL E L . Dü l d harekete Düzlemde h k t örnek ö k olarak l k “eğik “ ğikDR atış” t ” ve “düzgün “dü ü dairesel d i l e hareket” ayrıntılı bir şekilde incelenecektir. v T A L O P göre sabit hızla hareket eden referans Son olarak da, da birbirlerine A sistemlerine göre A birFcismin hareketi incelenecektir. (Bağıl hareket) T S U M . R D
(4-1)
Konum Vektörü M I Bir parçacığın konum vektörü r , bulunduğu koordinat sisteminin IR
D
merkezinden parçacığın bulunduğu noktaya çizilen vektördür. vektördür IL
. R
A L Y LE
Y
Örnek : Şekilde P noktasında bulunan cismin konum vektörü
LA
P
M . R
S U
A T
A F
O P
v T
D e
r xˆi yˆj zkˆ
r 3iˆ 2ˆj 5kˆ (m)
D
(4-2)
Yer-değiştirme Vektörü
M I IR
r1 konumundan r2 konumuna hareket eden bir cismin yer-değiştirme vektörü, r r2 r1 biçiminde tanımlanır. r1 ve r2 konum vektörleri bileşenleri cinsinden ˆ ˆ ˆ r x i y j z k ve r x ˆi y ˆj z kˆ biçiminde ifade edilirse, yer-değiştirme 1
1
1
1
2
2
2
2
vektörü ktö ü de d bileşenleri bil l i cinsinden i i d
. R
A L Y LE
D L YI
r x2 x1 ˆi y2 y1 ˆj z2 z1 kˆ xˆi yˆj zkˆ olur.
S U
M . R
A T
A F
P
A L O
v T
D e
x x2 x1 y y2 y1 z z2 z1
D
(4-3)
Ortalama ve Anlık Hız
M I IR
Bölüm 3’ de tanımlandığı gibi, Yer-değiştirme Ortalama Hız = biçiminde verilir. Zaman r xˆi yˆj zkˆ x ˆ y ˆ z ˆ vort j k i t t t t t
v T
S U
D
M . R
A T
A F
P
D e
. R
A L Y LE
D L YI
A L O Anlık hız ise, ortalama hızın
t 0
d durumundaki d ki li limitidir. itidi
r dr v lim t 0 t dt (4-4)
t ' nin sıfıra gitmesi durumunda: 1. r2 vektörü r1 vektörü üzerine doğru kayar ve r 0 durumu gerçekleşir.
A L Y LE
M I IR
D L YI
r 2. vektörü (yani vort ), "1" noktasında yörüngeye çizilen teğet yönündedir. t 3. vort v 3
A L O
v T
D e
. R
dx ˆ dy ˆ dz ˆ d ˆ ˆ ˆ j k v xi yj zk i dt dt dt dt v v ˆi v ˆj v kˆ x
y
z
S U
H bileşenleri Hız bil l i şu eşitliklerle itlikl l verilir: ili dx dy dz dr vx ; vy ; vz v dt dt dt dt
M . R
D
A T
A F
P
(4-5)
Ortalama ve Anlık İvme
v2 v1 v RIM Hızdaki değişim I Ortalama ivme aort Zaman t LtD
YI
A L Anlık ivme ise, ise ortalama ivmenin t 0 durumundaki limiti olarak tanımlanır : Y E L dv dv ˆ dv ˆ v dv d ˆ ˆ ˆ ˆ . a lim v i v j v k i R j k a ˆi a ˆj a kˆ t dt d dt d ddt D ddt dt d e v Not: İvme vektörünün, vektörünün hızdaki gibi gibi, izlenilen yörüngeyle özel bir ilişkisi yoktur. yoktur T A L İvme bileşenleri şu eşitliklerle verilir: O P A F A T dv y dv dv x dv z S a ax ; ay ; az U dt dt dt dt M . R D x
t 0
x
y
z
y
z
x
y
z
(4-6)
Örnek : Bir cisim, ilk hız bileşenleri v0 x 20 m/s ve v0 y 15 m/s olacak
M I IR
şekilde, t 0 anında orijinden harekete başlıyor. xy -düzleminde hareket eden cismin ivme bileşenleri de a x 4 m/s 2 ve a y 0 ' dır. dır a ) Cismin herhangi bir andaki hızını bulunuz. b ) Ci b Cismin i herhangi h h i bir bi andaki d ki kkonumu nedir? di ?
D e
. R
A L Y LE
D L YI
a ) vx v0 x ax t 20 4t m/s ; v y v0 y a y t 15 m/s v 20 4t ˆi 15jˆ m/s b ) t 0 x0 y0 0:
P
A L O
v T
A 1F x(t ) x v t A a t 20t 2t T2 S r 20t 2t ˆi 15t ˆj U 1 y v t a t 15t y (t )M . 2 R D 2
0
0x
2
x
2
m
2
0
0y
y
(4-7)
Eğik Atış
M I IR
Bir cismin yer-çekimi kuvvetinin etkisi altında düşey düzlemdeki hareketi “eğik eğik atış” atış hareketi olarak adlandırılır. Cisim hareketine v0 ilk hızıyla başlar.
D L YI
A L İlk hızın h yatay t ve düşey dü bileşenleri bil l i şu ifadelere if d l sahiptir: hi ti Y E L . R D e v v0x v0 cos0 ; v0 y v0 sinT0 A L O P A F A T S U Eğik atış hareketi, x-ekseni ve y-ekseni boyunca ayrı ayrı incelenecektir. Bu M . iki hareket birbirinden bağımsızdır. x-ekseni yönündeki hareketin ivmesi R sıfır, D y-ekseni yönündeki hareketin ivmesi ise a g’ dir. (4-8)
Yatay y Hareket : ax 0' dır ve x-ekseni yönündeki hız değişmez. vx v0 cos 0
(Eş-1)
ve
x x0 v0 cos 0 t
M I IR
(Eş-2)
D L Düşey Hareket : a g' dir ve y-eksenindeki hareket serbest düşmedir. YI A L 1 v v sin gt (Eş-3) ve y y v sin t gt Y (Eş-4) 2E L . Eş-3' Eş 3 ten t bulunup Eş-4' Eş 4 te kullanılırsa; v R v sin 2 g y y D e bağıntısı elde edilir. v T A L Bu eşitliklerdeki x ve y , cismin harekete O P b l d ğ noktanın başladığı kt kkoordinatlarıdır. di tl d A F A T Çoğu problemde hareketin başladığı nokta S U orijin olarak alınır (x 0 ; y 0). M . R D y
2
y
0
0
0
0
0
2 y
2
0
0
0
0
0
0
0
(4-9)
Yörünge denklemi : (Eş - 1) ; x v0 cos 0 t
vx v0 cos 0
M I IR
D (Eş - 2) L I Y
A 1 2 L v y v0 sin 0 gt (Eş - 3) ; y v0 sin 0 Yt gt (Eş - 4) E 2 L . R D Eş-2' den t çekilip Eş-4' te kullanılırsa, e v T g y tan x xA L 2 v cos O P A bulunur ve bu eşitlik cismin izlediği yörüngenin denklemidir. F A T S U M Yörünge denklemi y = ax + bx formundadır ve bir parabolü tanımlar. . R D 2
0
2
0
0
2
(4-10)
v02 sin 2 0 Yatay Menzil ( R ) : R g Cismin harekete başladığı nokta ile yere düştüğü nokta x -ekseni ekseni üzerindeyse (y0 y 0), cismin yatayda aldığı yol (R ) menzil olarak bilinir. bilinir Eş-4 Eş-4' ten
v0 sin 0 t
. R
A L Y LE2v sin
1 2 1 gt 0 t v0 sin 0 gt 0 t 2 2
0
M I IR
D L YI
0
D bulunur. t , cismin uçuş süresidir ve Eş-2ve[x v cos t ]' de T yerine konursa A2v L v sin2θ O R sin cos R = bulunur. P g g A F A Cisim yatayla 45 ' lik açı yapacak şekilde atılırsa T t S A O v U R = maksimum menzile ulaşır. M g . R R D 0
g
0
2 0
2 0
0
0
0
0
2 0
max
(4-11)
Maksimum Yükseklik (H):
v02 sin 2 0 H 2g 2g
v y v0 sin 0 gt
A noktasında, v y L 0: A
H y (t )
P
A L O
D L YI
Y E v L v sin .gt 0 t R D e v T 0
0
M I IR
0
sin 0 g
v0 sin 0 1 v0 sin 0 1A 2 H v0 sin 0 t F gt v0 sin 0 g A 2 g 2 g T S U 2 v0 M sin 2 0 H R. 2 D 2g
2
(4-12)
Örnek : Bir taş, yükseklği 45 m olan bir binanın
M I IR
tepesinden yatayla 30o açı yapacak şekilde v0 20 m/s' lik ilk hızla fırlatılıyor. a ) Taş, ne kadar sürede yere düşer? b) Taş, atıldığı noktadan ne kadar uzakta yere düşer? c) Taş, yere hangi hızla çarpar?
A L O
v T
D e
. R
A L Y LE
D L YI
1 a ) y y0 v0 y t gt 2 5t 2 20 sin(30)t 45 0 t 4.22 s 2
A F
P
1 2 b ) x x0 v0 x t a x t x 20 cos(30)t 73 m 2
A T
S c ) v v U 20 cos(30) 17.3 m/s M . v v gt 20 sin(30) (9.8) (4.22) 31.4 m/s R D x
0x
y
0y
v 17.3iˆ 31.4ˆj m/s
(4-13)
Örnek : Bir kurtarma uçağı yerden 100 m yükseklikte, 40 m/s yatay hızla giderken, mahsur h kkalmış l bi grubun bir b bbulunduğu l d ğ noktaya kt yardım d paketi k ti ulaştırmak l t k istiyor. i ti
D L YI
a ) Paketin grubun bulunduğu noktaya düşmesi için geçen süre nedir? b ) Hangi yatay ata uzaklıktan aklıktan bırakılmalıdır? c ) Paket hangi hızla yere çarpar?
D e
1 2 1 a ) y y 0 v0 y t gt 100 (9.8) t 2 2 2 t 4.52 s
v T
. R
A L Y LE
M I IR
A L 1 O b) x x v t a t x v t 40 (4.52) 181 m 2 P A F c ) v v 40 m/sA T S v v gt (9.8) (9 8) (4.52) (4 2) 44.3 44 3 m/s / U Mˆ 44.3jˆ m/s v .40i R D 2
0
0x
x
0x
y
0y
x
0x
(4-14)
Örnek : Bir kayakçı, şekildeki gibi 25 m/s' lik yatay bir hızla atlayış yapıyor
M I IR
ve rampanın alt lt ucuna düşüyor. dü ü Rampanın R eğim ği açısı 35 o ' dir. di a ) Kayakçı ne kadar süre havada kalır? b )R b Rampanın uzunluğ l ğ u ( d ) ne kkadardır? d d ?
A L Y 1 E a ) x v t 25t d cos(35) ; y gt 4.9t d sin(35) L . 2 R 4.9t 25 tan(35) tan(35) t 3.57e s D 25t 4.9 v T A L 25 (3.57)O b) 25t d cos(35) d P 109 m cos(35) A F A T; c ) v v 25S m/s v v M gtU (9.8) (3.57) 35 m/s R.ˆ v 25i 35jˆ m/s / D c ) Kayakçı rampaya hangi hızla çarpar? 2
D L YI
2
0x
2
x
y
0x
0y
(4-15)
Düzgün Dairesel Hareket: Yarıçapı r olan çembersel bir yörüngede sabit v hızıyla hareket eden cisim “düzgün düzgün dairesel hareket hareket” yapıyor denir. Yörüngenin her noktasında cismin hızının büyüklüğü aynı fakat yönü ö ü farklıdır. f kl d
M I IR
A L Y LE
D L YI
. Hızın değişmesi ivmenin sıfır olmadığı anlamına gelir. gelir. R D e Düzgün dairesel harekette ivme şu vözellikleri taşır: T A çemberin merkezi olan C 1. Çember üzerindeki her noktada L doğrudur ve bu nedenle “merkezcil ivme” olarak adlandırılır. O P vFA 2. Büyüklüğü a A bağıntısı ile verilir. r T S U Cisim bir tam turunu bir periyotluk sürede (T) alır ve M . R D T 2 r ile ifade edilir.
noktasına
2
v
(4-16)
M I IR
v vx ˆi v y ˆj v sin ˆi v cos ˆj
P noktasında konum, hız ve ivme : yP r sin , xP rcos y P ˆ xP ˆ dv = v v i v j ; a r r dt
v T
A F
A T
P
A L O
D e
. R
A L Y LE
D L YI
v dyP ˆ v dxP ˆ i j r dt r dt
2 ˆ v2 ˆ v v2 a cos i sin j ; a ax2 a y2 r r r
S U
M . v / r sin a R tan ivme, C' ye doğrudur. Dtan 2
y
ax
v 2 / r cos
(4-17)
Örnek : Bir taş, taş 00.5 5 m uzunluğundaki bir ipin ucuna asılmış ve şekildeki gibi düşey düzlemde çembersel bir yörünge üzerinde salınım yapmaktadır yapmaktadır. İp İp, düşey eksenle 20o ' lik açı yaptığında, taşın hızı 1.5 m/s' dir. a) T Tam bbu anda, d radyal d l ve teğetsel t ğ t l yönlerdeki ö l d ki iivme nedir? di ? b) Tam bu anda, net ivmenin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz?
v T
v2 (1.5)2 a) ar 44.50 50 m/s2 r 0.5 at g sin( ) 9.8 sin(20) 3.35 m/s2
S U
A T
A F
P
A L O
. R
D e
A L Y LE
M I IR
D L YI
b ) a a a (4 (4.50) 50) 2 (3 (3.35) 35) 2 55.61 61 m/s 2 2 r
.M
tan 1 (
R D
2 t
3.35 ) 36.7 o (ivmenin ip doğrultusu ile yaptığı açı) 4 50 4.50 (4-18)
Bir Boyutta Bağıl Hareket: Hareket:
M I IR
Bir P cisminin, Bi i i i birbirine bi bi i göre ö hareketli h k tli A ve B gözlem ö l çerçevelerine l i göre ö ölçülen hızları birbirinden farklıdır. B gözlemcisinin durgun olan A gözlemcisine göre sabit bir vBA hızı ile hareket ettiğini varsayalım. varsayalım Herhangi bir anda A ve B gözlemcileri, sırasıyla, P cisminin konumunu xPA ve xPB olarak ölçsünler. ç xBA’de B g gözlemcisinin A g gözlemcisine g göre konumu olsun.
D L YI
A L Y E L d d dR. xPA xPB xBA xPA xPB D xBA vPA vPB vBA dt dt ve dt T A L dvBA O 0 aPA aPB P dt A F A T Not: A ve B ggözlemcileri P S cisminin hızını farklı ölçerler U M fakat ivmesini aynı ölçerler. . R D
(4-19)
İki Boyutta Bağıl Hareket :
M I R I B gözlemcisinin A gözlemcisine göre xy - düzleminde sabit bir v hızı ile D L I hareket ettiğini varsayalım. Herhangi bir anda, A ve B gözlemcileri Y P A L cisminin konum vektörünü, vektörünü sırası sırasıyla, yla r ve r olarakYölçsünler. ölçsünler r ise B E L gözlemcisinin A gözlemcisine göre konum vektörü olsun. . d d d DR rPA rPB rBA rPA rPB vreBA vPA vPB vBA dt dt dt T A L O P A F dv BA A 0 a PA a PB T S dt U M . R D BA
PA
PB
BA
(4-20)
Örnek : Genişliği 3 km olan ve doğu yönünde 5 km/sa düzgün hızla akan bir nehirde, nehirde kayıkçı rotasını tam olarak kuzeye yönlendirmiş ve suya göre 10 km/sa hızla ilerlemektedir. a) Karadaki d ki bir bi gözlemciye l i göre, kayıkçının k k hhızını bulunuz. b l b) Kayıkçı ne kadar sürede karşı kıyıya ulaşır? c) Tam karşıdaki bir noktaya ulaşması için rotası ne olmalıdır? a ) v KY v KN v NY 10 Nˆ 5 Eˆ m/s
A L O
D e
. R
A L Y LE
M I IR
D L YI
v T 5
vKY = 10 5 11.2 11 2 m/s ; tan 1 26.6 26 6 o 10 2
2
A F
P
3 b ) d vKN t t 0.3 sa 18 dk 10
S U
A T
2 2 c ) vKY = vKN + vNY vKY = vKN vNY 102 52 8.66 m/s
D
M . R
5 o ttan 30.2 30 2 8.66 1
(4-21)
PRATİK: Hızların başlangıç noktalarını birleştir, bakandan bakılana vektör çiz. vbakılan Çizdiğin Ç ğ bu vektör bağıl ğ vektördür.
vbakan vbağıl
M I IR
D L YI
A L Örnek: Şekilde, Şekilde bir dörtyol kavşağına aynı v Y hızı ile E gelmekte olan K, L, M ve N araçları görülmektedir. L . R ae)D K’ dan bakan L’ yi nasıl görür? v T A v L v O v v 2 P v v A v F A T b ) M M’ den bakan K K’ yı nasıl görür? S U vK M v M . L
K
M
K
L
LK
N
R D
vKM=2v
(4-22)
Örnek: Doğuya doğru v hızıyla gitmekte olan bir aracın içindeki yolcu yere düşen yağmur damlasını güneye v hızıyla gidiyormuş gibi görüyor. Buna göre yağmur damlasının yere göre hızı nedir?
vbakan
varaç-yer= v vbağıl
vbakılan
vyağmur-yer
P
A L O
v T
D e
. R
M I vyağmur-yer R=? I D L varaç-yer YI A L Y LE
vyağmur-araç= v
vDY = vDA + v AY vDY vˆj vˆi vDY =
A T
S U
M . R
A F
y
v v v 2v ; tan 45o v 2
2
vyağmur-yer =v 2 ğ
1
x
D
(4-23)
M I IR
Örnek: Doğuya ğ y doğru ğ g gitmekte olan X aracındaki ggözlemci Y aracını doğuya doğru, Z aracını batıya doğru gidiyormuş gibi görüyor. Buna göre, Y ve Z araçlarının hareketleri hakkında neler söylenebilir?
A L Y LE
D L YI
Y kesinlikle doğuya doğru gidiyor ve hızı X’in hızından büyüktür.
Buna göre,
A F
P
A L O
v T
D e
. R
1) Z, X’ in hızından daha düşük bir hızla doğuya gidiyor olabilir.
S U
A T
2) Z ddurgun olabilir. l bili
M . y doğru ğ gidiyor g y olabilir. R3)) Z batıya
D
(4-24)
M I IR
Nehir Problemleri:
D L YI
1 Suya göre hız: Su durgun iken yüzücünün veya kayığın sahip 1olduğu hızdır.
A L Y 2- Kayığa göre hız: Kayık durgun iken kayığınEiçindeki L hareketlinin hızıdır. . R D e hızının vektörel 3- Yere göre hız: Suya göre hız ilevakıntı T bir gözlemciye göre hızdır bileşkesi olan hız. hız Yani yerdeAduran hızdır. L O P yere göre hız ile işlem yapılır. NOT: Nehir problemlerinde A F A T S U M . R D
(4-25)
Örnek: Akıntı hızının 5 m/s olduğu bir nehirde, bir kayık K noktasından L noktasına, suya göre sabit hızla 10 s’de gidiyor idi ve 20 s’de ’d gerii dönüyor. dö ü Buna B göre K-L uzaklığı kaç cm’dir?
KL=LK
vsu=5 m/s
D L YI L
vkayık
A L Y LE
K
D e
. R
M I IR
(vkayık 5) 10 (vkayık 5) 20
v T
vkayık 15 m/s
A L O
KL (vkayık 5) 10 (15 5) 10 200 m
S U
M . R
A T
A F
P
D
(4-26)
İki Boyutta Nehir Problemleri: L
M I IR
M
vsu vkayık-su k k
vkayık-yer
K
Not 1: Her hız kendi yolunu alır.
A L O
v T
D e
. R
A L Y LE
D L YI
Not 2: Kayık karşı kıyıya her zaman yere göre hızı doğrultusunda çıkar.
P
A KL=(vF kayık-su) t A T
S LM=(v LM U ( su) t
D
M . R
KM=(v ( kayık-yer) t (4-27)
BÖLÜM-5 Kuvvet ve Hareket I
M I IR
D L YI
Şu ana kadar hareketli bir cismin konum, konum hız ve ivmesini tanımladık. tanımladık Cismin Hareketine neyin sebep olduğuyla ilgilenmedik. Bu ve sonraki bölümde ise, klasik mekaniğin temeli olan ve geniş bir aralıkta pek çok fiziksel olguyu açıklayan Newton yasalarını öğreneceğiz.
D e
. R
A L Y LE
Örneğin, Ö ği yıldız ld ve gezegenlerin l i hareketleri h k tl i Newton N t yasalarına l uyar. Ancak, aşağıdaki iki koşulda bu yasaların geçersiz olduğunu akılda tutmak gerekir. gerekir
P
A L O
v T
1. Cisimlerin hızlarının ışık ş hızına ççok y yakın olduğu ğ durumlarda ((% 99 veya üzeri). O zaman Einstein’ in özel görelilik teorisini (1905) kullanmamız gerekecek.
S U
M . R
A T
A F
2. İncelenen cismin boyutlarının çok küçük olduğu durumlarda (elektron proton, (elektron, proton nötron veya atom). atom) O zaman da, da Kuantum mekaniğini (1926) kullanmamız gerekecek. (5-1)
D
Newton’un Birinci Yasası = Eylemsizlik Yasası
M I IR
Newton’ dan önce, bir cismin sabit bir hızla hareket etmesi için bir kuvvetin etkimesi gerektiği düşünülüyordu. Bir cismin durgun olması onun “doğal durumu” olarak biliniyordu. Ancak bu hata, “sürtünme” nin de bir kuvvet olduğunun anlaşılmasından önceydi.
D L YI
A L Y Örneğin, bir cisim pürüzlü yatay bir düzlemdeLvE 0 ilk hızıyla harekete . başlarsa ş bir süre sonra duracaktır. R D e daha pürüzsüz bir yüzeyde Diğer yandan, aynı cisim aynı ilk vhızla T harekete başlarsa çok daha sonra duracaktır. duracaktır A L Newton bu fikri ay ve gezegenlerin hareketlerine uyguladı. Uzayda O Pdoğruluğu kesin olan “Newton’ un birinci sürtünme olmadığı için, için A F oldu. Buna göre, yasası” ortaya çıkmış A T S Bir cismeUnet bir kuvvet etkimiyorsa, cisim durumunu korur. M durmaya, hareketliyse aynı hızla düzgün doğrusal . Durgunsa R hareketine devam eder. D
(5-2)
M I IR
K Kuvvet: t Bir i cisme i etkiyen ki k kuvvet, sebep b olduğu ivmenin ölçülmesi ile belirlenebilir.
. R
A L Y LE
D L YI
Sürtünmesiz bir yüzey üzerine kütlesi m = 1 kg olan bir cisim koyalım ve uygulanan bir F kuvvetinin oluşturduğu a ivmesini ölçelim.
P
A L O
v T
D e
Kuvvet, cismin ivmesi a = 1 m/s2 olacak şekilde ayarlanırsa, uygulanan kuvvet, F = 1 newton (N)’ dur denir.
S U
D
M . R
A T
A F
(5-3)
Kütle: Cisme özgü bir sabittir ve cisimdekiIM
F
R I madde miktarının bir ölçüsüdür. Bir cismin a D L I kütlesi, cisme etki eden F kuvveti ile bu kuvvetin Y F sebep olduğu a ivmesini birbirine bağlayan cisme A m L ö ü bir özgü bi niceliktir. i likti Y a E L . Kütl i m0 = 1 kg Kütlesi k olan l bir bi cisme i F = 1 ND kR t uygulayalım. kuvvet l l e Bu kuvvet cisme a0 = 1 m/s2 ivmesinivkazandırır. T Acisme uyguladığımızda cisme Aynı kuvveti, kütlesi mX olan bir L O Bu durumda, kazandıracağı ivme de aX P olsun. a m FA a m m A Tm a a S U MBöylece, aX ivmesi ölçülerek herhangi bir cismin mX kütlesi bulunur. . R belirlenebilir. D m0
0
X
X
X
0
X
0
X
0
0
X
(5-4)
Newton’un İkinci Yasası
M I IR
Bir cisme etki eden net kuvvet (Fnet), bu kuvvetin cisme kazandırdığı ivme (a) ve cismin kütlesi (m) arasındaki ilişki “Newton’un ikinci yasası” olarak adlandırılır ve şöyle tanımlanır:
A L Y LE
D L YI
y net kuvvet ile cisme kazandırdığı ğ ivme Bir cisme etkiyen doğru orantılıdır ve orantı sabiti de o cismin kütlesine eşittir.
. R
Fnet
D Fnet ma ve
m
a
T A
Not : Cisme FA , FB ve FC gibi çok sayıda
P
L O
kuvvet etkiyorsa, net kuvvet bunların vektörel toplamıdır ve Fnet FA FB FC ile verilir verilir.
S U
M . R
A T
A F
Üç boyutlu uzayda (xyz-koordinat sistemi) bileşenleri cinsinden Newton’ un ikinci yasası:
D
Fnet, x max ; Fnet, y ma y ; Fnet, z maz
(5-5)
Mekanik Problemlerinde Çok Sıklıkla Karşılaşacağımız Kuvvetler ve Bunların Özellikleri:
M I IR
Yer-çekimi ç Kuvveti: Bir cisme Dünya y LD tarafından
YI
uygulanan kuvvettir. Dünyanın merkezine doğrudur ve Newton’ un ikinci yasasına göre şöyle verilir.
Fg ma mgˆj
S U
M . R
A T
G, kütle çekim sabitidir.
D
A F
v T
D e
. R
A L EY LF mg g
Newton’un evrensel kütle çekim yasasının mekanizması; bir nokta kütle (m1) diğer bir nokta kütleyi (m2), iki kütlenin çarpımı ile doğru, aralarındaki (r) uzaklığının karesi ile ters orantılı olacak büyüklükteki bir F kuvveti ile çeker.
P
A L O
Kütlelerden Kütl l d ve bu b kütl l i kütlelerin aralarındaki l d ki uzaklıktan bağımsız olarak |F1| ve |F2| y her zaman birbirine kuvvetlerinin büyüklükleri eşittir.
(5-6)
Ağırlık: Bir cismin ağırlığı, cismin serbest düşmesini Ağ
D L YI
engelleyecek kuvvetin büyüklüğü olarak tanımlanır. g
W
y
. R
D mg e v T A
A L Y LE
M I IR
L O
Fnet, PW mgg 0 W mgg net y ma y
A F
A T
S Not: Ağırlık ve kütle farklı niceliklerdir. Yer-çekiminin U Molduğu yerlerde (örneğin ayda, gm = 1.7 m/s2), farklı . R Dkütle değişmezken ağırlık değişir.
(5-7)
Değme Kuvveti: İsminden de anlaşılacağı gibi, bu kuvvetler birbirleriyle temas halindeki y yüzeyler y arasında oluşur. ş İki tür temas kuvveti vardır. Birincisi temas yüzeyine dik yöndeki “normal kuvvet”, ikincisi de temas yüzeyine paralel olan “sürtünme kuvveti” dir.
M I IR
A L O
v T
D e
. R
A L Y LE
D L YI
P bulunduğu yüzeye bir baskı uygularsa, Normal Kuvvet: Bir cisim uygularsa yüzey
A F temas yüzeyine dik yönde, ismine “normal kuvvet” deforme olur ve cisme, A diyeceğimiz y ğ birTkuvvet uygular. yg Bir masa üzerinde duran kütlesi m olan bir S U blok düşünelim. M . F R ma F mg 0 F mg D net, t y
bulunur.
y
N
N
(5-8)
Sürtünme kuvveti: Bir cismi bulunduğu yüzey
D L YI
ü e de harekete üzerinde e e e zorlarsak o s b bir d dirençle e ç e karşılaşırız. ş ş . Bu direnç “sürtünme” olarak bilinir ve kayma eğilimine ters yöndedir.
S U
D
M . R
A T
A F
P
A L O
v T
D e
. R
A L Y LE
M I IR
(5-9)
G il Gerilme: Bir i cisme i bağlı b l olan l ipte i oluşan l bir bi kuvvettir k IMi
R I D
ve şu özelliklere sahiptir:
A L Y LE
L I Y
1. Her zaman ip boyunca yönelir. 2. Her zaman cismi çekecek yöndedir. 3. İp üzerinde A ve B noktalarında aynı büyüklüktedir.
v T
D e
. R
Şu kabullenmeler yapılacaktır:
P
A L O
a. İpin kütlesi, bağlı oldukları cisimlerin kütlesine göre ö çokk küçüktür. kü ük ü
S U
D
M . R
A F
A T
b İp uzamasızdır b. uzamasızdır. c. Makara a a a kullanılması u a as durumunda, du u u da, makara a aa sürtünmesizdir ve kütlesi ihmal edilebilir. (5-10)
Newton yasalarını uygularken takip edilecek yol: 1. İncelenecek sistemin basit bir şeklini çizin. 2. Probleme uygun bir koordinat sistemi seçin.
A L 3 Sistemdeki tüm kuvvetleri belirleyin ve serbest-cisim 3. serbest cisim Y E diyagramı üzerinde gösterin. L . R D 4. Newton yasalarını sisteme uygulayın. e v T A L O P A F A T S U M . R D
M I IR
D L YI
(5-11)
Örnek : Kütlesi 0.3 kg olan bir hokey diski sürtünmesiz bir yüzey üzerinde k kaymaktadır. kt d Diske, Di k şekildeki kild ki gibi ibi F1 = 5 N ve F2 = 8 N' lluk k iki kuvvet k t etkimektedir. a) Diskin ivmesinin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. b) Diskin ivmesini sıfır yapacak üçüncü kuvvet ne olmalıdır? a ) a x
F
x
ay
m Fy
5 cos(20) 8 cos(60) 29 m/s 2 03 0.3
v T
. R
D e
m
5 sin(20) 8 sin(60) 17.4 m/s 2 0.3
2 x
2 y
A L Y LE
M I IR
D L YI
A L a a a 29 17.4 33.8 m/s O P 17 4 17.4 tan ( ) 31 A F 29 A T ˆ ˆ S b) a a i +a U j 0 F F F F 0 F 5 cos(20) (20) 8 cos(60) (60) 88.7 N M F F F F 0 F 5 cos(20) 8 cos(60) 5.2 N . R ˆ ˆ ˆ ˆ D 1
x
y
2
2
2
o
x
y
1x
1y
2x
2y
3x
3y
3x
3y
F3 F3x i + F3y j 8.7i 5.2j N
(5-12)
Örnek : Ağırlığı 125 N olan trafik ışıkları şekildeki gibi
M I IR
iplerle asılı durmaktadır. Üstteki kabloların yatayla
D L YI
yp yaptıkları açılar ç 37o ve 53o olduğuna ğ ggöre, her üçç teldeki gerilme kuvvetlerini hesaplayınız. Hangi durumda T1 T2 olur?
A L Y E L Sistem dengede olduğuna göre, T F 125 N bulunur. . R D F T cos(37) T cos(53) 0 (Eş-1) e v F T sin(37) T sin(53) T 0 T (Eş-2) A L cos(53) O 0.8 TP= T bulunur. Eş-1' den: T cos(37) 06 0.6 A F 0.6 A T 125 0 T 75.1 N Bunu Eş-2' de yerine koyarsak: T (0.6) T 08 0.8 S U 0.6 T . TM 99.9 N bulunur. 08 0.8 R D 3
1
x
y
2
1
2
1
3
2
2
1
2
g
1
1
1
Eş-1' e göre, iplerin yatayla yaptıkları açılar aynı olsaydı, T1 T2 olurdu.
(5-13)
Örnek : Kütlesi m olan bir sandık, eğim açısı olan sürtünmesiz eğik bir düzlem üzerinden serbest bırakılıyor. aa)) Sandığın ivmesini bulunuz. b) Sandık eğik düzlemin tabanına ne kadar sürede A ulaşır l ve bu b anda d hhızı ne olur? l ? YL
M I IR
D L YI
E L .
F F
a )
x y
mg sin max v axe=g sin
T A
N mg cos L0
A F
O P
1TA 2 b ) x x0 S a x t t U 2
M . Rv 2 v 2 + 2a Δx
D
s
R D
i
x
2d bulunur bulunur. g sin
vs 2 g sin d olur. (5-14)
Newton’un Üçüncü Yasası: Etki-Tepki Yasası
M I IR
İki cisim arasındaki etkileşme kuvvetlerinin büyüklükleri aynı, doğrultuları ters yöndedir.
A L Y LE
Şekildeki gibi C bloğuna yaslanmış bir B cismi düşünelim. C bloğunun B cismine uyguladığı kuvveti FBC , benzer şekilde B cisminin C bloğuna uyguladığı kuvveti de FCB ile gösterelim.
v T
D e
Newton' un üçüncü ç yyasası ggereği, ğ , FBC FCB
S U
D
M . R
A F
P
A L O
. R
D L YI
olur.
A T İkinci bir örnek ise yandaki şekilde verilmiştir. Newton' un üçüncü yasası gereği, FCE FEC olur.
(5-15)
Newton Yasalarının Uygulanması/Serbest-Cisim Diyagramları: Newton yasalarını uygulayarak mekanik serbest-cisim diyagramını çizmekle başlar.
problemlerinin
M I IR
çözümü
D L I yapılır. Bu, incelenen sistem bir bütün olarak veya her cisim için ayrı Y ayrı A L Daha sonra her cisim için uygun bir koordinat sistemi Y seçilir seçilir. E L . Aşağıda verilen örneği gözönüne alalım. Sürtünmesiz bir sistem R D A ve B gibi iki blok ve A bloğuna etkiyen bir F kuvveti içermektedir. e v T A L O P A F Şöyle "sistem" lerA düşünebiliriz: T S a. Sistem Si t = blok bl k A + block bl k B. Yatay Y t kuvvet k tF . U M . b. System = blok A. Cisme etkiyen iki yatay kuvvet vardır: F ve F . R D c. System = blok B. Cisme etkiyen yatay kuvvet F . dış
dış
dışş
BA
AB
(5-16)
Örnek : Kütleleri m1 ve m2 olan iki blok yatay sürtünmesiz bir
IM düzlemde temas halindedir. m1 kütlesine sabit bir F kuvveti uygulanıyor. R I D
a ) Blok sisteminin ivmesini bulunuz. b ) Bloklar arasındaki temas kuvvetini bulunuz. b bulunuz
a )
A F
P
A L O
v T
) F (m m )a F (sistem A T x
S U
1
2
x
. R
D e
A L Y LE
L I Y
F ax m1 m2
M . R
b ) m2 bloğu için Newton' un ikinci yasasından:
D
m2 Fx F21 m2 ax F21 m m F F12 bulunur. 1 2
(5-17)
Örnek : Bir kişi elindeki m kütleli balığı asansörün içinde ta tavana ana asılı yaylı a lı bir tera terazii ile tartmak istiyor. isti or Asansör ister yukarı ister aşağı doğru ivmelensin, balığın gerçek kütlesinden daha farklı bir değer ölçer. İspatlayınız. İspatlayınız Asansör yukarı doğru ivmelensin:
. R
D F T mg ma T m ( g y e a)
Asansör aşağı doğru d ivmelensin: i l iA
F
y
L O
v T
A L Y LE
M I IR
D L YI
T mg ma P T m(g a)
A F
A Asansör sabit hızla T hareket etsin: S U
FM T mg 0 T mg . R Görüldüğü gibi, ivmeli hareket durumunda balığın ağırlığı (T ), D y
gerçek ağırlığından farklı ölçülür.
(5-18)
Örnek : Kütleleri farklı iki cisim, ağırlığı ihmal edilebilir sürtünmesiz bir makara üzerinden bir iple şekildeki gibi asılmıştır. Bu sisteme "Atwood düzeneği" diyoruz. Sistem serbest bırakıldığında, kütlelerin ivmesi ve ipteki gerilme kuvveti ne olur?
m2 m1 olduğunu kabul edelim:
D e
. R
A L Y LE
M I IR
D L YI
m1 ve m2 için Newton Newton' un ikinci yasası yasası, sırasıyla:
F F
y
T m1 g m1a
y
T m2 g m2 a
A F
(Eş-1)
P
A L O (Eş-2)
v T
Bu iki denklemden T' yi yok edersek ivme ivme,
A T
m2 m1 a ş de yerine y koyarsak, y , g bulunur. Bunu da Eş-1' m2 m1
S U
M . R
m2 m1 2m1m2 TD m1 a g m1 1 g b l g bulunur. m2 m1 m2 m1
(5-19)
Örnek : Kütleleri m1 ve m2 olan iki blok, sürtünmesiz ve ağırlıksız bir makara üzerinden ağırlıksız bir iple birbirine bağlıdır. m2 bloğu, eğim açısı olan sürtünmesiz eğik düzlem üzerindedir üzerindedir. Sistem serbest bırakıldığınd m2 bloğu eğik düzlemden aşağıya doğru kaydığına göre, hareketin ivmesini ve ipte oluşan gerilme kuvvetini bulunuz. bulunuz
m1 ve m2 için Newton' un ikinci yasası, sırasıyla:
Fy T m1 g m1a F F
(Eş-1)
x'
m2 g sin T m2 a
y'
N m2 g cos 0
A F
P
v T
A L O(Eş-3)
(Eş-2)
. R
D e
A L Y LE
M I IR
D L YI
Eş-1 ve Eş-2 denklemlerinden T' yi yok edersek ivme,
A T
m sin m1 a 2 bulunur g bulunur. m2 m1
S U
M . R
2m1m2 1 sin B Bunu da d E Eş-1' 1' dde yerine i koyarsak, k k T g bbulunur. l m2 m1
D
(5-20)
BÖLÜM-6 Kuvvet ve Hareket-II
M I IR
D L YI
A L B bölüm Bu bölü kapsamındaki k d ki temel t l amaçlarımızı l şöyle ö l Y sıralayabiliriz: l bili i E L . R • İki cisim i i arasındaki d ki sürtünme ü tü k kuvvetini ti i ttanımlamak. l k D e v T • Statik St tik ve kinetik ki tik sürtünme ü tü k kuvvetlerini tl i i anlamak l k ve bunların b l A L özelliklerini öğrenmek. O P A Fsürtünme katsayılarını tanımlamak. • Statik ve kinetik A T S U • Merkezcil kuvvet açısından düzgün dairesel harekete tekrar M . bakmak bakmak. R D
(6-1)
Sürtünme : Yatay zeminde duran bir sandık düşünelim.
M I R hareket etmediği sürece, temas yüzeyinde, uyguladığımız I D L F kuvvetini dengeleyen bir f kuvveti oluşur. YI Bu kuvvet A "statik sürtünme kuvveti" olarak tanımlanır. L Y de artar. Uygulanan F kuvveti arttıkça, fEkuvveti L . R D Uygulanan F kuvvetiebelli bir eşik değere ulaştığında, v T hareket başlar ve sandık sola doğru ivmelenir. ivmelenir Sandık harekete A L başladıktan sonra, sandıkla zemin arasındaki kuvvet artık O P "kiA tik sürtünme "kinetik ü tü kuvveti k ti" dir di ve f ile il gösterilir ö t ili ( f f ). ) F A T S d ğ sola Sandığı l ddoğru ğ artan t bi bir kkuvvetle tl çekelim. k li S Sandık dk
s
s
k
S U
D
M . R
k
s
Sandığın sabit bir hızla harekete devam etmesini istiyorsak, uyguladığımız F kuvvetini f k ' yı dengeleyecek şekilde düşürmemiz gerekecektir.
(6-2)
Sürtünmenin Kuvvetinin Özellikleri :
M I IR
D L YI
Özellik -1: 1: Temas eden iki yüzey birbirlerine göre hareketli değillerse, değillerse statik sürtünme kuvveti f s , uygulanan F kuvvetini dengeler.
. R
A L Y LE
Özellik - 2 : Statik sürtünme kuvveti f s ' nin büyüklüğü sabit değildir.
D e
0' dan f s ,max s FN değerine kadar değişir.
v T
Burada, s statik sürtünme katsayısıdır.
A L O
Uygulanan F kuvveti, f s ,max kuvvetini aştığı anda
P
ş sandık harekete başlar.
S U
A T
A F
Özellik - 3 : Sandık harekete başladıktan sonra, sürtünme kuvveti artık "kinetik sürtünme kuvveti" f k ' dır ve büyüklüğü f k k FN
D
M . R
eşitliği i liği ile il verilir. ili Bu B rada d k kinetik ki ik sürtünme ü ü katsayısıdır. k d (6-3)
f s ,max s FN
0 f s s FN
A L Y EN f k k F L . R D e v T
M I IR
D L YI
A L Not - 1 : Statik ve kinetik sürtünme kuvvetleri temas yüzeyine paraleldir. O P harekete ters yöndedir. Kinetik sürtünme kuvveti yöndedir A F A kuvveti kayma eğiliminin tersi yönündedir. Statik sürtünme T S U M . Not - 2: Kinetik sürtünme katsayısı , hareket eden cismin hızına bağlı değildir. R D k
(6-4)
Örnek : m kütleli bir blok sürtünmeli eğik bir düzlem üzerindedir. Eğim açısı , blok hareket edinceye kadar artırılabiliyor.
M I IR
Bloğun kaymaya başladığı kritik açı k olduğuna göre, ILD zeminle blok arasındaki statik sürtünme katsayısı A s
Kritik durumda . R D (kayma başlamadan hemen önce): e
F F
L Y LE
Y nedir?
v T
mg sin f s
P
A L O ma
0
A Fcos ma y 0 y N mg A T S N U f s mg sin sin N tan M . cos R D x
x
f s,max N tan k s N s tan k
(6-5)
Örnek : Donmuş bir gölet üzerinde, bir buz hokeyi diskine 20 m/s' lik bir ilk hız veriliyor. Disk, buz üzerinde 115 m yol aldıktan sonra durduğuna göre, zeminle hokey diski arasındaki kinetik sürtünme kaysayısı k nedir?
F
F
. R
y
D e
A L Y LE
M I IR
D L YI
N mg ma y 0 v N mg
f k max
P
T A
L O
f k k N k mg FA ax k g x
S U
A T
2 20 40 2 2 vs vi M 2ax x ax . ( ) 23 2(115) R D ax k g k (9.8) k 0.177
(6-6)
Örnek : Pürüzlü bir yüzey üzerindeki m1 kütleli blok,
M I IR
hafif bir iple sürtünmesiz sürtünmesi vee kütlesi ihmal edilebilir bir makara üzerinden m2 kütleli küresel cisme bağlanmıştır.
D L YI
m1 bloğuna şekildeki gibi yatayla açısı yapan bir F
A L Y sürtünme katsayısı ise, sistemin ivmesini bulunuz.E L . R D m bloğu: F F cos T ve f m a (1) T A m g 0 N m g F sin FL sin F N O P f k k NA k m1 g F sin i F A T S m bloğu: F T m g m a U M . F ((cos sin ) g (m m ) R B if Bu ifadeleri d l i (1) denkleminde d kl i d yerine i koyarsak, k k a D kuvveti uygulanıyor. Blok ile zemin arasındaki kinetik k
1
x
k
1
y
2
y
1
2
1
2
2
k
(m2 m1 )
k
1
(6-7)
Örnek : Kütlesi 40 kg olan bir kalas sürtünmesiz yatay düzlemde, üzerinde 10 kg' lık blok ile birlikte hareketsiz durmaktadır. Blok ile kalas arasındaki statik ve kinetik
M I IR
D L YI
sürtünme katsayıları sırasıyla 0.6 ve 0.4' tür. Bloğa 100 N' luk bir F kuvveti şşekildeki ggibi uygulanmaktadır. yg Bloğun ğ ve kalasın ivmelerini bulunuz.
v T
D e
. R
A L Y LE
Eğer iki kütle arasındaki sürtünme kuvvetinin maksimum değeri 100 N’ dan küçük ç ise m2 bloğu ğ kalas üzerinde sola doğru ğ hareket edecektir.
A L O
P ( )( ) 58.8 N f s ,max max s N ' s m 2 g 0.6(10)(9.8) A F
F f s ,max olduğuna A göre, iki kütle arasındaki sürtünme
T S k kuvveti ti kinetiktir. kiU tikti M . R D
(6-8)
Şimdi herbir kütlenin serbest cisim diyagramını çizerek h k tl i i inceleyelim: hareketlerini i l li
N ' m2 g 10 9.8 98 N f k k N ' 0.4 9.8 39.2 N
m1 kalası: m1a1 f k 39.22 39 a1 0.98 m / s 2 40
P
A L O
v T
. R
D e
A L Y LE
M I IR
D L YI
m2 bloğu: m2 a2 FFA f k
A T 100 39.2 60.8 S 6 08 m / s a U 6.08 10 10 M .
2
2
R D
(6-9)
Düzgün Dairesel Hareket, Merkezcil Kuvvet:
M I IR
Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin herhangi bir andaki ivmesinin büyüklüğü
D L YI
A L di ve dairenin dir d i i merkezine k i doğrudur. d ğYd E L . Newton’ nun ikinci yasasına göre cismeRetki eden kuvvet Newton D de dairenin merkezine doğrudur ve büyüklüğü e v T mv A F L r O P A kuvvete “merkezcil kuvvet” diyoruz. ifadesi ile verilir.FBu A T MerkezcilSkuvvet yeni bir kuvvet değildir, değildir C noktası etrafında U dönen cisme etkiyen net kuvvettir. M . R D göre ö merkezcil k il kuvvet k b bazen sürtünme, ü ü b bazen normal, l D Duruma a = v2/r
2
bazen de yer-çekimi kuvveti olabilir.
(6-10)
Örnek: Kütlesi m olan bir yarış arabası düz (yatay) bir yolda R yarıçaplı bir virajı v hızıyla dönmek istiyor. istiyor Araba ile yol arasındaki sürtünme kuvvetini belirleyiniz.
M I IR
P
A L O
v T
. R
D e
A L Y LE
D L YI
Arabanın serbest-cisim diyagramı y g ççizilirse,, virajın j merkezine doğru ğ olan net kuvvetin statik sürtünme kuvveti fs olduğu görülür. Dolayısıyla, statik sürtünme kuvveti fs merkezcildir. Arabanın virajdan savrulmadan dönmesini sağlar.
S U
D
M . R
A T
A F
2
mv Fnet ,r fs R
(6-11)
Örnek : Eğimli viraj :
M I IR
Tamamen buzla T b l kaplı k l (sürtünmesiz), ( ü tü i ) 50 m yarıçaplı bir viraji 13.4 m/s hızla geçmek için, yolun eğim açısı kaç derece olmalıdır?
P
A L O
v T
. R
D e
A L Y LE
mv2 ((1 ) F r N sin R F y N co s m g 0 N co s m g
S U
A T
A F
D L YI
Araba
(2 )
(1 ) ve (2 ) d en k lem lerin d en N ' yi yo k ed ersek ,
Mv . tanR gR D 2
b u lu n u r.
(1 3 .4 ) 2 0 .33 6 6 4 (9 .8)(5 0 )
2 0 .1 1o
(6-12)
Örnek: Rotor, ekseni etrafında v hızıyla dönen R yarıçaplı içi boş bir silindirdir. silindirdir Kütlesi m olan bir çocuk, çocuk sırtı silindirin iç duvarına yaslanmış bir şekilde ayaktadır. Silindir dönmeye başlıyor ve önceden belirlenmiş bir hız değerine ulaştığında, silindirin tabanı aniden düşmesne rağmen çocuk silindir duvarında tutulu kalmaktadır. Rotor duvarıyla çocuk arasındaki statik sürtünme katsayısı μs olduğuna göre, Rotor’ un minimum hızı ne olmalıdır. l ld
M I IR
v T
D e
. R
A L Y LE
D L YI
Çocuk için serbest-cisim diyagramı çizilirse, normal kuvvet FN ’ nin i merkezcil k il kuvvet k olduğu ld ğ görülür. ö ülü
Fx ,net
mv 2 FN ma = (Eş (Eş-1) 1) R f s mg 0, f s s FN mg s FN (Eş-2)
S U
Fy ,,net
.M
P
A L O
A T
A F
mv 2 Rg 2 Eş-1 ş ve Eş-2 ş bbirleştirilirse, eş se, mg s v vmin R s
R D
Rg
s
bu bulunur. u u.
(6-13)
M I IR
Örnek: Çember şeklindeki platformun yarıçapı R’ dir. Platformun en tepesinde sürücünün düşmemesi için o andaki v hızı ne olmalıdır.
A L Y E Sürücü platformun tepesinde iken serbest-cisim L . diyagramını çizersek, çizersek sürücüye etki edenRyer yer-çekimi çekimi D kuvveti Fg ve normal kuvvet FN aşağı yöndedir. e v T A hıza sahip olması O noktada sürücünün minimum L O durumunda, platformla teması kesilir ve FN = 0 olur. P Bö l Böylece, sürücüye üü ü etki tki eden d t k kuvvet tek k t Fg’ dir di ve A F merkezcildir. Bu durumda, A T S U mv F . M mg v Rg R R D bulunur. net , y
2 min
D L YI
min
(6-14)
Örnek : Kütlesi 0.5 kg olan bir taş, 1.5 m uzunluğundaki bir ipin
ucuna bağlanmış ve yatay bir düzlemde döndürülmektedir. Taşın RIM I D bağlı olduğu ip en fazla 50 N N' luk bir kuvvete dayanabildiğine L göre, I Y ipin kopmadan hemen önceki hızı ne olur? A
mv .M
TR
D
S U
r
2
A F
A T
P
A L O
v m ax
v T
. R
D e
rT m ax m
L Y LE
1.5(50) 12.2 m /s 0.5 (6-15)
Örnek : Kütlesi m olan bir cisim L uzunluğundaki bir ipin ucunda şekildeki gibi yatayda r yarıçaplı çembersel bir yörüngede v hızı ile dönmektedir (Konik sarkaçç)). Cismin hızını bilinen nicelikler cinsinden ifade ediniz.
T cos mg mv Tsin = r
S U
D
M . R
v
A F
A Tv
ta n
g r ta n
2
P
A L O
v T
D e
. R
A L Y LE
M I IR
D L YI
2
gr g L s in ta n
(6-16)
Örnek : Kütlesi m olan bir cisim uzunluğu R olan
M I IR
bir ipin ucunda, şekildeki gibi düşey düzlemde O noktası etrafında dönmektedir. İpin düşeyle açısı yaptığı bir anda cismin hızı v ise, ipteki gerilme kuvveti ne olur? g
. R
Teğetsel kuvvet
F mg sin ma t
t
D e
A L Y LE
D L YI
at g sinv (hızdaki değişimin kaynağı)
T A
L O
v2 Fr T mg cos ma P r T m R g cos A
F A T
Radyal kuvvet
v S Üst noktada ( 180 ) T m g U M R . R v D Alt noktada ( 0 ) T m g 2
o
üst
2
o
alt
R
(6-17)
Örnek : Kütlesi m olan bir cisim, sağa doğru ivmeli hareket yapan bir yük vagonunun içinde tavana asılıdır asılıdır. M I a) Vagonun dışındaki durgun bir gözlemciye göre aracın ivmesi nedir? IR
D L b )V b Vagonun içindeki i i d ki bir bi gözlemciye öl i göre ö ddurumu iinceleyiniz? l i i ?I Y A L Y E a ) Fx T sin ma L . R D Fy T cos mg e v T a g tan A L O P A F A b ) F ' T sin f 0 T S ' U T cos mg FM . f mg tan ma R D x
hayali
y
hayali
(6-18)
BÖLÜM-77 BÖLÜM Kinetik Enerji ve İş Bu bölümde şu konulara değineceğiz:
A L Y LE
M I IR
D L YI
. Hareket eden bir cismin kinetik enerjisi R D Bir kuvvetin yaptığı iş e v Güç T A L O P A Ek olarak, iş-kinetik enerji teoremini öğrenip değişik problemler çözeceğiz. F A T S Hız ve ivme gibi vektörel nicelikler yerine iş ve kinetik enerji gibi skaler U nicelikleriM kullanarak problemleri çözeceğimiz için, bu yöntemle işlemler . olacaktır daha R kolay olacaktır. D
(7-1)
Kinetik Energy: Bir cismin hızından dolayı y sahip p olduğu ğ enerjidir. j Hızı v, kütlesi m olan bir cismin kinetik enerjisi şu ifadeye sahiptir:
M I IR
D L I Y SI sistemindeki birimi 1 A g L/s = jjoule kg.m K mv Y 2 ve sembolik olarak J ile gösterilir. E L . R Kütl i m = 1 kg Kütlesi k olan l bir bi cisim i i v = 1 m/s / hızına h sahipse, hi ki tik enerjisi kinetik ji i K = 1 J’ dür. dü D e v İşş ((W): ) Kütlesi m olan bir cisme bir FTkuvveti uygulandığında yg ğ cisim ivmelenir A (K) artırabilir veya azaltabilir. ve hızını (v) dolayısıyla da kinetikLenerjisini O P değişim miktarı, Cismin kinetik enerjisindeki miktarı F kuvveti tarafından cisme A Fdışarıya alınan enerji (W) kadardır. aktarılan veya cisimden A T S Ci Cisme enerji ji aktarılmışsa kt l W pozitiftir itifti (W > 0) ve F kuvveti k ti cisim i i üzerinde ü i d pozitif itif U iş yapmıştır denir. M . Ak iR cisimden Aksine, i i d dışarıya d enerji ji alınmışsa l W negatiftir tifti (W < 0) ve F kuvveti k ti D cisim üzerinde negatif iş yapmıştır denir. 2
2 2
(7-2)
İş: Şekilde kütlesi m olan cisim sürtünmesiz bir yüzeyde x-ekseni yönünde hareket edebilmektedir. Cisme yatayla açısı yapacak şekilde bir F kuvveti uygulanıyor.
M I IR
D L YI
A L Y Newton' un ikinci yasası gereği: F ma ' dır. Cismin başlangıçtaki hızının v E L ve d kadarlık bir yer-değiştirme sonundaki hızının .da v olduğunu varsayalım. R D ev v 2a d eşitliğinden, Kinematiğin üçüncü denklemi: v T A L m F m m PO m v v 2a d 2 d F d F cos d 2 m 2 2A 2 F A 1T 1 S KU mv ; K mv K =K K Fd cos 2 2 M . W K W Fd cos W F d R D x
x
0
2
2
i
2 0
2 0
s
2 0
x
x
x
2 s
x
s
i
İşin birimi, kinetik enerjinin birimiyle aynıdır (J).
(7-3)
M I IR
Not-1: İİş iiçin i bulunan b l bağıntıyı, b F kkuvvetinin i i sabit bi olduğu ld d durum için i i türettik. ik Not-2: Cismin noktasal olduğunu kabul ettik. N t 3 0 90 W 0 ; 90 180 W 0 Not-3:
D L YI
A L Y E NET İŞ: Cisme birden fazla kuvvet etkiyorsa (örneğin L F , F ve F ), . R net iş (W )' ) in hesaplanması: D e v T A (W , W ve W ) ayrı ayrı hesaplanır ve Yol-1: Herbir kuvvetin yaptığıLişler sonra da toplanır (P WO W W W ). A F A T Yol 2: CisimS Yol-2: üzerine etki eden net kuvvet (F F F F ) bulunur ve U M sonra da net kuvvetin yaptığı iş hesaplanır (W F d ). . R D A
B
C
net
net
A
A
B
C
B
C
net
A
B
net
C
net
(7-4)
Örnek : xy -düzlemindeki düzlemindeki bir cisim F 5.0i 5 0iˆ + 2.0j 2 0jˆ (N) kuvvetinin etkisiyle d 2.0iˆ + 3.0jˆ (m) ile verilen bir yer-değiştirme yapıyor. a)) Kuvvetin yyaptığı p ğ işi ş
M I IR
D L YI
A L Y E açıyı bulunuz. b) Kuvvetle yer-değiştirme vektörü arasın daki L . R D e v a ) W F d (5 (5.0) 0) A(2.0) (2 (2 0) (3.0) (3 0) 16 J T 0) (2.0) L O P 29 13 cos b ) F d Fd cos A F A 1 T16 cos S( ) 35o U 377 M . R D
(7-5)
Örnek : İki blok hafif bir iple, sürtünmesiz ve ağırlıksız bir makara üzerinden birbirlerine bağlanmıştır. ğ ş Sistem serbest bırakıldığında, ğ ,
fk
T
M I IR T
D L YI
bloklar sabit hızla hareket etmektedirler. A L A bloğu sağa doğru doğru, B bloğu aşağı doğru 75 cm hareket ettiğinde, ettiğinde Y E L bloklara etkiyen kuvvetlerin yaptıkları işleri.bulunuz.
R D
e v Blok A: F T f T 0 T f 12N A TL 12 0 Blok B: F O P A Blok A: W 12 (0.75) cos(0) 9 J ; W 12 (0.75) cos( ) 9 J F A W 20T (0.75) cos( /2) 0 ; W 20 (0.75) cos( /2) 0 S U Blok B: M W 12 (0.75) cos( ) 9 J ; W 12 (0.75) cos(0) 9 J . R N Not: t kt sabit bit hızla h l hareket h k t ettiği ttiği iiçin, i hher iki bl blok k üüzerine i etki tki D HHer iki blblokta Hız sabit ise ivme sıfırdır. x
k
k
y
T
fk
g mg
N
T
mg
eden kuvvetlerin yaptığı net iş=0’ dır.
(7-6)
İş - Kinetik Enerji Teoremi :
M I R I Bir cisim üzerine yapılan net işin W K K olduğunu daha önce D L I bulmuştuk. Y A L Y E dikkate alınırsa, Kinetik enerjideki değişimin de K K K Lolduğu . R iş kinetik enerji teoremi: iş-kinetik D e v T K KLAK W O P A kinetik Bir cismin F = Cisim üzerinde yapılan net iş A enerjisindeki j T değişim ğ S U M W 0 K K 0K K . R W 0 K K 0K K D net
s
s
s
i
i
i
net
net
s
i
s
i
net
s
i
s
i
(7-7)
Örnek : Kütlesi 6 kgg olan bir blok sürtünmesiz bir düzlemde duruyorken, 12 N' luk sabit bir yatay kuvvetin etkisiyle harekete başlıyor. başlıyor Blok yatayda 3 m yol adıktan sonra hızı ne olur?
A L Y LE1
M I IR
D L YI
W = F d = 12 3 cos(0) = 36 J K s K.i mvs2 0 36 J R 2 D e v 72 vs 12 3.5 m/s T 6 LA
O P
A Aynı problemi kinematikten yola çıkarak tekrar çözelim: F S U
A T
12 2 F 12 ma a 2 m/s M x x x 6 . R Dvs2 vi2 2ax x 2 2 3 12 vs 12 3.5 m/s
(7-8)
Örnek : Kütlesi 6 kg olan bir blok kinetik sürtünme katsayısı k = 0.15 olan
M I IR
bir düzlemde bi d l d dduruyorken, k 12 N' lluk k sabit bi bir bi yatay kkuvvetin i etkisiyle ki i l hharekete k başlıyor. Blok yatayda 3 m yol adıktan sonra hızı ne olur? W = F d = 12 3 cos(0) = 36 J
A L Y LE
( F' nin yaptığı iş)
. R
D L YI
f k k mg 0.15 6 9.8 8.82 N W f = f k d = k mg cos( ) = 8.82 3 = 26.5 J ( f k ' nın yaptığı iş)
v T
D e
A L 1 1 1 O 19 W W mv mv Pmv 9.5 v 1.8 m/s 2 2 A 2 6 F yola çıkarak tekrar çözelim. A Aynı problemi kinematikten T S U 3.18 M FR. 12 f 12 8.82 = 3.18 = ma a 6 0.53 m/s D v v 2a x 2 0.53 3 3.18 v 3.18 1.8 m/s W W f 36 26.5 26 5 99.5 5 2 s
f
x
2 s
k
2 i
x
2 i
2 s
s
x
2
x
s
(7-9)
Yerçekimi Kuvvetinin Yaptığı p ğ İş :
M I Kütlesi m olan bir cism A noktasından v ilk hızıyla R I D yukarı doğru fırlatılsın. fırlatılsın L YI Cisim yükseldikçe, yer-çekimi kuvveti (L FA mg ) tarafından Y E bir v hızına sahip olur. yavaşlatılır ve B noktasında dahaL düşük . R D Cisim A noktasından B noktasına giderken, e v yer-çekimi kuvvetinin yaptığı iş: T A L W A O B F .d mgd cos180 mgd P A F A noktasına dönerken, Cisim B noktasından A T tarafından yapılan iş: yer-çekimi kuvveti S U M . R W D B A F .d mgdd cos 0 mgdd 0
g
g
g
g
g
(7-10)
Yükseltme Kuvvetinin Yaptığı İş :
M I IR
Kütlesi m olan cismi bir F kuvvetiyle (dış kuvvet) A noktasından B noktasına y yükseltmek isteyelim. y Cisim harekete başladığı ş ğ
D L I Y A noktasında ve ulaştığı B noktasında durgun olsun. Bu A L aralıkta uygulanan F kuvvetinin sabit olması gerekmiyor. gerekmiyor Y E L . R Cisme etki eden iki kuvvet vardır. vardır Biri yerçekimi kuvveti F , diğeri D edışardan uyguladığımız F kuvvetidir. de cismi yukarı kaldırmak için v T A W K 0 L W W 0 W W O P mgd W mgd cos180 W mgd A F A T S Al lt Alçaltma K Kuvvetinin ti i Y Yaptığı t ğ İş İ : U M cisim B noktasından A noktasına hareket etmektedir. Bu durumda . WDR mgd cos 0 mgd W W = mgd g
net
dış
g
dış
g
g
g
dış
dış
g
(7-11)
Değişken K uvvetin Yaptığı İş :
M I R verilmiştir. Bu kuvvetin x ile x noktaları arasında I D L yaptığı t ğ iişii ( W ) bbulmak l k iisteyelim. t li YI Bunun için x , x aralığı, genişliğiLAx olan N tane Y ince şerite bölünür. E L . R D j. aralıkta yapılan v işe W F x kadardır. T A L Bu durumda toplam iş, W F x olur. O P A x 0 (N ) durumunda, F A T Şekilde konuma bağlı olarak değişen bir F kuvveti Şekilde, i
i
s
s
j
j , ort
N
j 1
R D
.M
S U
N
xs
j 1
xi
j , ort
W lim Fj ,ort x F ( x)dx x 0 xs
W F ( x)dx F ( x) x grafiği altında kalan alan xi
(7-12)
Örnek : Bir cisim üzerine etkiyen kuvvetin cismin k konumuna bbağlılığı ğl l ğ şekildeki kild ki gibidir. ibidi a ) x = 0 8 m, b ) x = 8 12 m A c ) x = 0 12 m L Y aralıklarında bu kuvvetin yaptığı işi bulunuz. LE
b ) W812
D L YI
. R
D e
8 v6 a ) W08 = F ( x)dx = F ( x)dx T = 24 J A 2 xi 0 xs
M I IR
8
P
L O
A 4( 3) = F ( x)A dxF F ( x)dx = = 6 J 2 T S U M xs
12
xi
8
x = 0 - 8 m aralığıdaki üçgensel bölgenin alanı
x = 8 - 12 m aralığıdaki üçgensel bölgenin alanı
c ) W .= W0 8 W8 12 24 6 18 J
R D
(7-13)
Örnek : Bir cisme etkiyen kuvvet, x metre cinsinden olmak üzere, F = (8 x 16) N ifadesine göre değişmektedir. IM
R I D
L I Y a ) x = 0 3 m aralığında kuvvetin yaptığı işi bulunuz. A L b ) Kuvvet-konum Kuvvet konum grafiğini çiziniz ve x = 0 Y 3 m aralığında E L kuvvetin yaptığı işi grafikten bulunuz.. R D xe a ) W = F ( x)dx = (8 x 16)dx 8 v 16 x 12 J T 2 A L O P A F A T 2((16)) 1 8 S b) W =W W U+W = = 12 J 2 2 M . R D xs
3
xi
0
0 2
2
3
0
23
(7-14)
Örnek : F = ((4xˆi + 3yyˆj) N' luk kuvvetin etkisindeki bir cisim
M I orijinden başlayarak x = 5 m noktasına hareket etmektedir. R I D L K Kuvvetin ti yaptığı t ğ işi i i bbulunuz. l YI A L Y ˆ ˆj E W = F dr = ; dr dxi + dy L . R D r e v W = (4 xiˆ A3T yjˆ).( ) (dxiˆ dyjˆ) L r O r P 5 0 A WF= (4 xdx 3 ydy ) 4 xdx 3 ydy A T r 0 0 S U 2 5 M x . W = 4 50 J R D 2 0 rs
ri
s
i
s
i
(7-15)
Yay Kuvveti :
M I IR
Denge durumundaki bir yaya (uzamamış veya sıkışmamış yay) bir blok bağlı bulunsun.
D L I doğru Yayı d kadar gerecek şekilde bloğuYsağa Aters doğrultuda bir miktar çekelim. Yay elimize L Y bir direnç kuvveti (F ) uygular. E L . R Yayı d kadar sıkıştıracak şekilde bloğu sola doğru D e yine ters doğrultuda bir direnç itersek, yayvelimize kuvvetiT (F ) uygular uygular. A L O Her iki durumda da,, yyay yP tarafından elimize uygulanan yg F kuvveti yayı yy A F doğal uzunluğuna getirecek yönde etkir. Büyüklüğü ise, uzama veya A T S sıkışma miktarı (x) ile orantılıdır. orantılıdır U M . Eşitlik olarak F kx bağıntısı ğ ile verilir. Bu eşitlik "Hooke y yasası" , R D k ise "yay sabiti" olarak bilinir.
(7-16)
Yay Kuvveti Tarafından Yapılan İş :
M I IR
Yay sabiti k olan bir yayın boyunu, kuvvet uygulayarak xi ' den xs ' ye getirmiş olalım. Yayın elimize uyguladığı
D L kuvvetin yaptığı işi (W ) hesaplamak isteyelim. YI A L Y Yayın kütlesiz olduğunu ve Hooke yasasına uyduğunu varsayalım. E L . R D Değişken kuvvetin yaptığı iş bağıntısından, e v T x 1 1 A W F ( x ) dx kxdx L k xdx k kx kx 2 2 2 O P A bulunur. F A Tuzamasız durumda ise (x 0) ve yayı x kadar Yay başlangıçta S U germiş veya M sıkıştırmış isek( x x), yay kuvvetinin yaptığı iş . R 1 D W kx olarak bulunur. yay
xs
xs
xs
2
xs
2 i
yay
xi
xi
xi
2 s
xi
i
s
2
yay
2
(7-17)
Örnek : Kütlesi 1.6 kg olan bir blok, yay sabiti k = 1 10 3 N/m olan M yatay bir yaya bağlıdır. Yay 2 cm sıkıştırılıp durgun halden serbest I R I bırakılıyor. (Yüzey sürtünmesizdir). D L YI a ) Blok denge noktasından (x = 0) geçerken hızı ne olur? A L bb ) Aynı soruyu soruyu, sabit ve 4 N büyüklüğünde birYsürtünme kuvveti E L olması durumunda tekrar cevaplayınız..
R D
1 2 1 3 2 2 e a) Wyay = kxm 110 2 10 v 0.2 J 2 2 T
P
A L O 2W
1 2 1 2 Wyay = mvs mvi vs = 2 2
yay
2(0.2) = = 0.5 m / s 16 1.6
m A F A b) W = f x S=T4 2 10 00.08 08 J sürtünme kuvvetinin yaptığı iş. ş U M . 1 2 (0.12) R 0 2 00.08 08 v = = 00.39 m / s DK W W 2 mv 0.2 1.6 2
f
k m
yay
f
2 s
s
(7-18)
Örnek : Kütlesi 5 kg olan bir blok sürtünmesiz
M I IR
bir yüzeyde, bi ü d yay sabiti biti k = 500 N/ N/m olan l yatay bir yaya v0 = 6 m/s hızla çarpıyor ve yayı sıkıştırıyor. a ) Yaydaki sıkışma ne kadardır?
A L Y LE
D L YI
b) Yay en fazla 15 cm sıkışabiliyorsa, v0 hızı . en fazla ne olur?
R D
1 2 1 2 1 ve2 1 2 a ) W yyayy = kxi kxm Tmvs mvi 2 2 2 2 A L 1 2 1 2 PO m 5 k m = mvi A xm = kx vi = (6) = 00.6 6m 2 2 AF k 500
T S U
b ) x . =M R D m
m k 500 vi vi = xm (0.15) 1.5 m / s k m 5 (7-19)
Üç-Boyutlu Uzayda Kuvvetin Yaptığı İş :
M I IR
Üç-boyutlu Üç boyutlu uzayda tanımlı bir F kuvveti genel olarak LD I Y F F x, y, z ˆi F x, y, z ˆj F x, y, z kˆ A x
y
z
biçiminde tanımlanabilir.
. R
L Y LE
D Böylesi bir kuvvetin etkisinde, bir cismiekoordinatı xi , yi , zi olan v T
A noktasından koordinatı xs , ys , zs olan B noktasına, noktasına belirli bir
A L yol boyunca, hareket ettirmek için yapılacak iş, O P dW F dr F dx FFAdy F dz A T S W dW d U F ddx F ddy F ddz M . Rili il Dverilir. ile x
B
xs
y
ys
x
A
xi
z
zs
y
yi
z
zi
(7-20)
Değişken Kuvvet ve İş - Kinetik Enerji Teoremi :
M I R I Değişken bir F (x ) kuvveti yardımıyla kütlesi m olan bir cismi D A (x x ) L I noktasından B ( x x ) noktasına hareket ettirelim. Newton' Y un ikinci A dv L Y yasasına göre, ö F ma m ' di dir. E dt L . R D Eşitliğin her iki tarafını dx ile çarpıpvxe ve x aralığında integralini alırsak, T Adv dv dx dv dv dx dv L dx vdv dx O Fdx m dt dx P dt dx dt dt dx dt A F A m 1 1 T W m vdvS v mv mv K K K bulunur. 2 2 2 U M . NotR: Görüldüğü ğ ggibi iş-kinetik ş enerji j teoremi, D i
s
i
xs
xs
xi
xi
xs
2
xi
xs
xi
2 s
s
2 i
s
kuvvetin sabit olduğu durum ile aynıdır.
i
(7-21)
Örnek : Kütlesi 0.1 kg olan bir blok hava-rayı üzerinde yay sabiti k = 20 N/m
M I IR
olan yatay bir yaya bağlıdır bağlıdır. Blok denge noktasından sağa doğru 11.5 5 m/s hızla geçiyor geçiyor. a) Hava-rayı sürtünmesiz ise, blok ne kadar sağa gidebilir?
D L YI
b)) Hava Hava-rayı rayı sürtünmeli ise (k = 00.47), 47) blok ne kadar sağa gidebilir?
A 1 2 1 2 1 2 1 2 L a ) W yay = kkxi kx k m mvs mvi Y E 2 2 2 2 L . R 1 2 1 2 m 01 0.1 D kxm = mvi xm = vi = (1.5) = 0.106 m 2 2 k v20e
T A b ) W = f x = mg x Lsürtünme kuvvetinin yaptığı iş. O 1 P 1 K W W Amv kx mgx İş-kinetik İ enerji teorimi F2 2 A T 1 1 S 0 1 vU (1.5) (1 ) 20 x 0.47 0 4 00.1 1 99.8 8x 0.1 2 M 2 . 10 x 0.461x 0.113 = 0 x = 0.086 m 8.6 cm R D f
k
yay
m
k
2 i
f
2
2 m
m
2 m
2 m
m
k
m
m
m
(7-22)
Örnek : Salıncağa binmiş w ağırlığındaki bir çocuğu, i l düşeyle ipler dü l 0 açısı yapana kadar k d (burada (b d çocuk k
M I IR
D L YI
durgundur) yatay bir F kuvvetiyle ittiğinizi düşünün. Bunun için uygulamanız gereken kuvveti, sıfırdan
LA değere başlayarak ş y ççocuk dengeye g y ggelene kadar belirli bir maksimum ğ kadar
Y E işi bulunuz. artırmanız gerekir. Uyguladığınız F kuvvetinin yaptığı L . R D 0 ; F = T sin Denge durumunda : Fx = F Tesin v w Fy L=ATTcos ağırlık 0 ; T w / cos O P A F = w tan AWF= F dl F ( Rd ) cos wR sin d T S U W =M wR cos wR 1 cos . R D 0
0
dl
0
0
0 0
0
(7-23)
Güç :
Gü F kkuvveti Güç, ti tarafından t f d birim bi i zamanda d yapılan l iş i veya F kkuvvetinin tiIM i
iş yapma hızı olarak tarif edilir.
R I D
L I Y ma güç F kuvveti t zaman aralığında W kadar iş yapmışsaA , ortala L Y W E P L . t R D e Anlık güç ise v T A dW L P O ile tanımlanır. P dt A F SI sistemindeki birimi "J/s = watt" tır. A T"kilowatt kilowatt-sa saat" (kW) iş birimidir. idir S U M . Örneğin, Ö eğ , 1000 000 W gücündeki gücü de bir b motor o o 1 saat s sü süreyle ey e R D ort
çalışıyorsa yaptığı iş W =Pt =1000 3600 3600 kJ bulunur.
(7-24)
H Bağlı Hıza B ğl Gü Güç İf İfadesi d i:
A L Y E açısı yapacak şekilde bir F kuvveti uygulayalım. L . R D Uygulanan F kuvvetinin iş yapma hızı e v T A L dW F cos dx O dx P F cos Fv cos P dt dt A dt F A ST P F U v M . verilir. R D Hareket eden bir cisme, hareket doğrultusu ile
M I IR
D L YI
(7-25)
Örnek : Bir asansörün kütlesi 1000 kg' dır ve toplam 800 kg taşıyabilmektedir. Asansör yukarı çıkarken
M I IR
D L YI
4000 N' luk sabit bir sürtünme kuvveti etkimektedir. a) Asansör 3 m/s' lik sabit hızla yukarı çıkıyorsa,
A L b)) Asansör 1 m/s ' lik ivme ile yukarı çıkıyorsa, b çıkıyorsa Y E L Asansör motorunun sağladığı güç ne olur? . R D a) v sabit a 0 : F = T ve f w 0 T T f w (1000 800) A 9.8 9 8 4000 22.16 16 10 N L O 2.16 10 3 6.48 10 W P = T .v = T v cos0 P A F A b ) a 0 : F = T f Mg Ma T S T fU M ( g a ) 4000 1800*10.8 2.34 10 N M . P = T .v = T v cos0 = 2.34 2 34 10 v W (burada v anlık hızdır) R D 2
y
4
4
4
y
4
4
(7-26)
BÖLÜM-8 M I Potansiyel Enerji ve Enerjinin Korunumu IR Bu konu kapsamında şu konulara değineceğiz:
. R
A L Y LE
D L YI
Potansiyel enerji Korunumlu ve korunumsuz kuvvetler Mekanik enerji Mekanik enerjinin korunumu
A T
A F
P
A L O
v T
D e
Birçok problemi “enerjinin korunumu” teoreminden çözeceğiz.
S U
M . R
Burada vektörel nicelikler yerine iş, kinetik enerji ve potansiyel enerji gibi ğ için ç işlemler ş daha kolayy yyapılabilecektir. p skaler nicelikler kullanacağımız
D
(8-1)
İş ve Potansiyel Enerji:
M I R I noktasından • Kütlesi m olan bir cisim v ilk hızıyla A D L I yukarı doğru fırlatılıyor. Y • Cisim ve yer bir sistemdir. A L • Yerçekimi kuvvetinin etkisiyle cisim yavaşlayarak Y Etamamen duracaktır. yükselecek ve B noktasında L . • Sonra da, aşağı doğru hareket ederek orijinal v hızıyla R D A noktasına ulaşacaktır. e v Ci i Cisim A noktasından k d B noktasına k AT giderken id k F kuvvetinin k i i yaptığı ğ iş i L F kuvveti cismin kinetik enerjisini W = mgh’ dir. Bunun O anlamı, P (U) dönüşmüştür. yerçekimi potansiyel enerjisine A FA noktasına düşerken ise, F kuvvetinin yaptığı iş Cisim B noktasından A TBunun anlamı da, W = mgh ’ dir. dir da F kuvveti cismin yerçekimi potansiyel S U enerjisini kinetik enerjiye dönüştürmüştür. M . R Sistemin potansiyel enerjisindeki değişim şu ifadeyle verilir: U W D Yer-çekimi potansiyel enerjisi: 0
0
g
1
g
g
2
g
(8-2)
Yay potansiyel enerjisi: •
M I IR
Kütlesi l i m olan l blok, bl k yay sabiti bi i k olan l bir bi yaya bağlıdır. b ld
D L I • Herhangi bir anda A noktasından geçerkenYki hızı v olan A ve yayı x blok, yay kuvvetinin etkisiyle yavaşlayacak L Y k d sıkıştırarak kadar k k B noktasında k d tamamen d duracaktır. k E L . • Sonrada, yay kuvvetinin etkisiyle ters yönde harekete R h l geçecektir. b l başlayacak k ve A noktasından k Dd v hızıyla ki e v Blok A noktasından B noktasına hareket ederken yyayy kuvveti F tarafından T A anlamı, yay kuvveti F cismin kinetik yapılan iş W = kx /2’ dir. Bunun L enerjisini potansiyel enerjiye O P(U) dönüştürmüştür. A Blok B noktasından AFnoktasına hareket ederken ise, yay kuvveti F tarafından A kx /2’ dir. Bunun anlamı da, yay kuvveti F cismin potansiyel yapılan iş W = T S enerjisini kinetik enerjiye dönüştürmüştür. U M . R D potansiyel enerjideki değişimi yine U W ifadesine sahiptir. Sistemin •
Yay ve kütle bir sistemdir.
0
0
2
1
2
yay
2
yay
yay
yyayy
(8-3)
Korunumlu ve Korunumsuz Kuvvetler:
M I Cismin sadece kinetik ve potansiyel enerjileri R I arasında bir dönüşüme ş neden oldukları için, ç , D L I yerçekimi kuvveti ve yay kuvvetiY“korunumlu” A kuvvetlerdir. L Y E L Buna karşın, sürtünme kuvveti “korunumlu olmayan” bir kuvvettir. . R D e Sürtünmeli bir yüzey üzerinde A noktasından v0 ilk hızıyla harekete v başlayan bir blok düşünelim. düşünelim BlokTile zemin arasındaki kinetik sürtünme Asürtünme kuvveti f etkisiyle d kadar yol L katsayısı μk olsun. Blok, kinetik k O aldıktan sonra B noktasında P duracaktır. A F A A ve B noktalarıTarasında sürtünme kuvvetinin yaptığı iş Wf = μkmgd olacaktır. l kt U SüStü Sürtünme k kuvveti, ti bloğun bl ğ tü tüm ki tik enerjisini kinetik ji i i “ısı “ enerjisi”M ne dönüştürmüştür. Bu enerji tekrar kinetik enerjiye . dönüştürülemez ve bu nedenle sürtünme kuvveti korunumlu bir R D kuvvet değildir.
(8-4)
1. Kapalı bir yol boyunca, korunumlu bir kuvvetin bir cisim üzerinde yaptığı net iş sıfırdır (Şekil-a).
Wnet 0
M I IR
D L YI
A L Y Esistemi buna Yerden yukarı doğru fırlatılan taş ve kütle-yay L . birer örnektir. Wnet = Wab,1 + W = 0 ab 1 ba 2 ba,2 R D e v 2. a’dan b’ye giden bir cismin üzerine etki eden korunumlu T A yoldan bağımsızdır. bir kuvvetin yaptığı iş gidilen L O P Şekil - a' dan : W Wab,1 = Wba,2 net = Wab ,1 + Wba ,2 = 0 A F A Şekil - b' den : Wab,2 = Wba,2 T S U M . W W R ab,1 1 ab,2 2 D
(8-5)
Potansiyel Enerjinin bulunması :
M I Bir cisme etkiyen korunumlu kuvveti biliyorsak,IR D x ve x gibi iki nokta arasında cismin potansiyel L YI A enerjisindeki değişimi (U ) hesaplayabiliriz. L Y E L . Korunumlu bir F kuvvetinin etkisindeki bir cisim x-ekseni R D boyunca xi noktasından xs noktasına hareket ediyor olsun. e v T üzerinde yapılan iş F kuvveti tarafındanA cisim L x O P W F ( x)A dx d eşitliği ile verilir. verilir F x A T S Böylece, l potansiyel i l enerjideki jid ki değ d işim ii U M . R U W F ( x)dx d bulunu b l r. D i
s
s
i
xs
xi
(8-6)
Yerçekimi Potansiyel Enerjisi :
M I IR
Düşey doğrultuda (y-ekseni boyunca) yukarı doğru yi noktasından
D L I Y Cisme etki eden yerçekimi kuvveti nedeniyle cisim-yer sisteminin A L ld ğ sonucu potansiyel t i l enerjisinde ji i d değişim d ği i olacaktır. l kt Az AY öönce bbulduğumuz E L kullanarak, cismin potansiyel enerjisindeki değişimi hesaplayacağız. . R D U F ( x)dy mg dy mgv e dy mg y mg y y mg y T A L Cismin bulunduğu son noktayı genelleştirirsek U ( y) U mg y y O P b l bulunur. A F A Genellikle, hareketin başladığı konum y 0 ve bu noktadaki T S U potansiyel U 0 olarak seçilir. Bu durumda, M . U (R y ) mgy D ys noktasına hareket eden m kütleli bir cisim düşünelim.
yf
ys
yi
yi
ys
ys
s
yi
yi
i
i
i
i
i
bulunur.
(8-7)
Örnek : Yerden h kadar yükseklikten m kütleli bir cisim serbest bırakılıyor. Cismin herhangi bir andaki hızını, hızını yerden olan yüksekliğine bağlı olarak bulunuz.
Ki Ui Ks U s
D e
. R
A L Y LE
M I IR
D L YI
v 1 2 T 0 m g h m v Ls A m g y 2 PO A v s 2 g A( Fh y ) T S U
D
M . R
(8-8)
Örnek : Şekilde L uzunluğundaki bir ipin ucuna bağlı m kütlesinden oluşan bir basit sarkaç verilmiştir. verilmiştir Cisim A açısal konumundan serbest bırakılmıştır ve dönme ekseninin geçtiği P noktası sürtünmesizdir.
M I IR
D L YI
a )) Cisim en alt noktadan (B noktası)) ggeçerken ç hızı nedir? LA
Y E nedir? b) Cisim en alt noktada iken ipteki gerileme kuvveti L . R 1 eD a) Ki Ui K s U s mgh vmvB2 vB 2 gL(1 cos A ) T 2 A L O PmvB2 A b ) Fr TB mg TB mg 2mg (1 cos A ) F A L T S TB U mg 3 2 cos A M . R D
(8-9)
Yaydaki Potansiyel Enerji :
Bi kütl Bir kütle-yay sisteminde, i t i d bl blok k xi noktasından kt d xsIM
IR) noktasına hareket etsin. Yay kuvveti bir işD (W
L I yapacaktır ve kütle-yay sisteminin potansiyel Y A enerjisinde bir değişim meydanaLgelecektir. Y E L 1 . 1 W F ( x)dx kxdx kx kx R D 2 2 e v 1 1 T U WA U ( x ) U kkx kx k L 2 2 O Pbaşladığı konum x 0 ve bu noktadaki Genellikle hareketin A F potansiyel U A 0 olarak seçilir. T S U Denge noktasından herhangi bir x uzaklığında, M . 1 2 R d ki potansiyel i l enerji ji: U kx k Dyaydaki xs
xs
2 s
xi
2 i
xi s
i
2 s
2 i
i
i
2
(8-10)
Mekanik Enerjinin Korunumu :
M I IR
Bir sistemin mekanik enerjisi, o sistemin kinetik ve potansiyel enerjilerinin p olarak tarif edilir toplamı (Mekanik enerji = Emek K U )
D L YI
A L Y Si Sistemin i çevresinden i d izole i l olduğunu, ld d kuvvetlerin dış k l i olmadığını l d E L . ve sistemdeki kuvvetlerin ise korunumlu olduğunu kabul ediyoruz. R D Sistemdeki iç kuvvetin yaptığı iş sistemin e kinetik enerjisinde v T bi değişim bir d ği i meydana d getirecektir. ti kti A L K W (Eş-1) PO A Fsistemin potansiyel enerjisinde de bir Bu, aynı zamanda A T S d ği i meydana değişim d getirecektir ti kti U M . U W (Eş-2). R D
(8-11)
Bu iki eşitlik birleştirilirse, K U K s K i U s U i
M I IR
D L YI
A L Ki U i K s U s Y E L sonucuna ulaşılır. . R D Bu, "mekanik enerjinin korunumu" yasasıdır ve şu şekilde özetlenebilir. e v E ATK U 0 L O Korunumlu ve korunumsuzPkuvvetlerin olduğu izole bir sistemde bu yasa A E W F A formundadır. T S U M , sistemdeki tüm korunumsuz kuvvetler tarafından yapılan iştir. Burada.W R D mek.
mek.
korunumsuz
korunumsuz
(8-12)
M I Rolduğu Şekilde m kütleli bir cisim ve asılı I D ipten oluşan basit sarkaç verilmiştir. verilmiştir L YI A L Y Cisim-yer sisteminin mekanik enerjisi E L salındıkça, sistemin sabittir. Sarkaç . R kinetik ve potansiyel enerjileri D e sürekli bir dönüşüm olacaktır. arasında v T LA Cisim en alt noktadayken potansiyel
S U
D
M . R
A T
A F
O P
enerjiyi j y “sıfır” seçersek, ç , bu noktalarda kinetik enerji maksimum olacaktır (a ve e durumu).
c ve g durumlarında ise potansiyel enerji maksimum kinetik enerji sıfır olacaktır. (8-13)
Örnek : Yaylı bir oyuncak tabancanın yay sabiti bilinmemektedir.
M I IR
Yay 12 cm sıkıştırılıp düşey yönde ateşlendiğinde, ateşlendiğinde 35 g' g lık bilye atıldığı noktadan 20 m yukarıya yükseliyor. Tüm sürtünmeleri gözardı ö d ederek, d k a) Tabancanın yay sabitini bulunuz. b) Bilye tabancayı hangi hızla terkeder?
. R
A L Y LE
D L YI
c) Bilye atıldığı noktadan 10 m yukarıdayken hızı nedir?
v T
D e
2mgh 1 2 A a) EA EC kx mgh k 953 N/m L O 2 x P
1 F2A 1 2 k 2 b ) E A EB Akx mgx mvB vB x 2 gx 19.7 m/s 2 m ST2
U M
1. 2 1 2 k 2 c )R kx mgh ' mvh ' vh ' x 2 gh ' 14 m/s D 2 2 m
(8-14)
Örnek : İki blok hafif bir iple, ağırlıksız ve sürtünmesiz bir makara üzerinden şekildeki gibi birbirine bağlanmıştır. Sistem durgun g halden serbest bırakılıyor. y 5.00 kg' g lık blok yere çarptığında, 3.00 kg' lık bloğun hızı ne olur?
. R
D 2 1 2 e1 Ei Es m1 gh m2 gh m2v v m1v 2 AT 2
L 2 m1 m2 gh PO 2 2 9.8 4 v A 8 m1 m2A F T S U M . R D
A L Y LE
M I IR
D L YI
19 6 4.43 19.6 4 43 m/s
(8-15)
Potansiyel Enerjiden Kuvvetin Bulunması :
M I IR
D Bilinmeyen bir F kuvvetinin etkisi altında x-ekseni ekseni boyunca hareket L I eden bir
Y cismin potansiyel enerjisinin konuma bağlılığı U (x) biliniyor olsun. A L Y E Cisim koordinatı x olan bir A noktasından koordinatı x + x olan çok yakındaki L . bir B noktasına hareket etsin. etsin Kuvvetin cisim üzerinde yaptığı iş R D W F x (Eş-1) e v T ile verilir. verilir A L O Kuvvetin yaptığı bu iş, sistemin P potansiyel enerjisinde bir değişim meydana getirir. A U W (Eş-2) F A T Bu iki eşitlik birleştirilirse, S U MU dU ( x) F . bulunur. x 0 durumundaki limit değeri ise F ( x) x dx R D olur.
(8-16)
Potansiyel Enerji Eğrisi:
M I IR
Cismin potansiyel enerjisinin konuma bağlı değişimini çizersek, F kuvvetinin etkisi tki i altındaki lt d ki cismin i i h k ti hareketi konusunda detaylı bilgiler elde etmek mümkün olur. olur Cisme etki eden kuvveti aşağıdaki bağıntı yardımıyla konumun fonksiyonu olarak bulabiliriz.
A F
P
A L O
v T
. R
D e
A L Y LE
D L YI
dU ( x) F ( x) dx
Örnek olarak yukarıdaki grafiği inceleyelim:
A T
x2 , x3 ve x4 noktalarında potansiyel eğrisinin türevi sıfırdır. Dolayısıyla bu noktalarda cisme etkiyen kuvvet de sıfır olur. olur
S U
M . R
x2 ve x3 noktaları arasında dU/dx pozitif olduğundan, kuvvet –x yönündedir.
D
x3 ve x4 noktaları arasında dU/dx negatif olduğundan, kuvvet +x-yönündedir. (8-17)
Dönüm Noktaları :
M I IR
Sistemin toplam mekanik enerjisi Emek. K ( x) U ( x).
D L I Y ile gösterilmiştir. Herhangi bir x noktasında U ( x) A L belirlenip yukarıdaki denklemd denklemdee yerine konur ve cismin Y E K kinetik enerjisi bulunabilir. L . R Ki ik enerji, Kinetik ji tanımı gereği ği negatif if olamaz. l D Böylece B l cismin, i i x-ekseninin k i i e v hangi bölgesinde hareketli olduğunu belirleyebiliriz. T A L K ( x) E U ( x) O PU ( x) E K 0 E U ( x) A 0 Hareket izinlidir. F A K 0 E U ( x) 0 U ( x) E Hareket yasaklıdır. T S U E UM ( x) olduğu noktalar, "dönüm noktaları" dır. . R Yukarıdaki grafiğe göre, göre x dönüm noktasıdır ve bu noktada K 0 'dır dır. D p mekanik enerji j sabittir (5 ( J)) ve yyatayy bir çizgi ç g Toplam
mek.
mek
mek.
mek
mek.
mek.
1
(8-18)
Yandaki grafikte Emek. = 4 J durumunu gözönüne alalım.
M I IR
Buna göre dönüm noktaları (Emek. = U ) x1 ve x > x5 noktalarıdır. x > x1 bölgesinde hareket izinlidir. Eğer mekanik enerjiyi 3 J veya 1 J’ e düşürürsek, dönüm noktaları ve hareketin i i li olduğu izinli ld ğ bölge böl de d değişecektir. d ği ki
A L Y LE
D L YI
. Denge Noktaları: Potansiyel enerji eğrisindeReğimin sıfır (dU/dx = 0) ve D dolayısıyla da kuvvetin sıfır (F = 0) noktalar denge noktalarıdır. Kuvvetin e v sıfır olduğu bölgeler de (x > x5) doğal denge bölgeleridir. T A L Mekanik enerjiyi Emek. = 4 JO seçersek, kinetik enerji K = 0 olur ve cisim P olur. x > x5 bölgesinde hareketsiz olur A F A Potansiyel enerji-konum eğrisinde minimumlar, kararlı denge konumları, T S U M enerji-konum eğrisinde maksimumlar, kararsız denge Potansiyel . R konumlarıdır. konumlarıdır D
(8-19)
Not: Şekil üzerindeki mavi oklar,
dU ( x) d F ( x) dx
M I IR
D L bağıntısı uyarınca cisim üzerine YI etkiyen A kuvvetlerin yönünü göstermektedir. L Y E L Kararlı Denge Konumları: Potansiyelin minimum olduğu x4 noktasını . gözönüne alalım. alalım Mekanik enerji Emek. =D1RJ olsaydı, olsaydı bu noktada cisim e hareketsiz olacaktı (K = 0). Cismi x4 v noktasının çok az soluna veya sağına çekersek cismi denge noktasına getirmek çekersek, için bir kuvvet oluşur. oluşur Bu nokta T A L kararlı denge noktasıdır. O P A Kararsız Denge F Konumları: Potansiyelin maksimum olduğu x3 A noktasını gözönüne alalım. Mekanik enerji Emek. = 3 J olsaydı, bu T noktada k d cisim iUi Shareketsiz h k i olacaktı l k (K = 0). 0) Cismi Ci i x3 noktasının k çok k az soluna M veya sağına çekersek, her iki durumda da cismi bu noktadan . R daha fazla uzaklaştıracak şekilde bir kuvvet oluşur. oluşur Bu nokta kararsız D denge noktasıdır.
(8-20)
Örnek : Bir moleküldeki iki nötr atom arasındaki etkileşme kuvveti ile ilgili potansiyel Lennard-Jones potansiyel, Lennard Jones potansiyel enerji fonksiyonu ile verilir: 12 6 U ( x ) 4 x x x atomlar arasındaki mesafe,, ve ise deneysel y sabitlerdir.
M I IR
D L YI
A L Y İki tipik atom için, 0.265 nm ve 1.51 10 LE J' dür. . R uzaklığı bulunuz Atomlar arasındaki etkileşme kuvvetini ve D minimum bulunuz. e v dU d Fx = 4 12 x12 AT6 x6 = 4 12 12 x13 6 6 x7 dx dx L O 12 6 P 12 6 A Fx 4 13 F7 x TAx S 12U 6 F 4. M 0 x 2 0.3 nm x x R D 22
12
x
13
6
1/6
7
(8-21)
M I IR
Örnek : İki boyutlu uzayda bir kuvvetle bağlantılı potansiyel enerji fonksiyonu, U ( x, y ) 3 x y 7 x ile veriliyor. y Cisme etkiyen y kuvveti bulunuz. 3
A L Y LE
D L YI
. dU d 3 Fx = 3 x y 7 x = DR 9 x 2 y 7 dx dx ve T A
dU d L 3 Fy = 3 x yO 7 x = 3 x3 dy dy A P
F A T
S 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ U F FxM i Fy j 7 9 x y i 3 x j
D
. R
(8-22)
M I olmadığıIRizole D dışILkuvvetlerin Y
Dış Kuvvetin Bir Sistem üzerinde Yapılan İş: Şu ana kadar, dış kuvvetlerin sistemleri ele aldık. aldık Şimdi de, de etkidiği bir sistemi ele alalım.
D e
. R
A L Y LE
Bir oyuncu tarafından fırlatılan bowling topunu göz önüne alalım. alalım Bowling topu ve dünya bir sistem oluşturur.
v T
A L Oyuncu tarafından topa uygulanan kuvvet dış kuvvettir. Bu durumda O P sabit değildir, sistemin mekanik enerjisi değildir dış kuvvetin yaptığı iş kadar A F değişir. A T S U K U W E M mek. . R D
(8-23)
Örnek : Uzunluğu 1 m olan 30o ' lik eğik düzlemin
M I IR
en üst noktasından noktasından, kütlesi 3 kg olan bir kutu durgun halden aşağıya doğru kaymaya başlıyor. Kutuya 5 N' lluk k sabit bi bi bir sürtünme ü ü kkuvvetii etkimektedir. ki k di a) Eğik düzlemin tabanında kutunun hızı ne olur? b) Kutunun ivmesi nedir?
. R
A L Y LE
D L YI
1 2 a ) Ei K i U i = mgh = 3(9 3(9.8)(0.5) 8)(0 5) =D 14 14.7 7 J ; Es K s U s = mv 2 e
E = f k d = 5(1) 5 A J
L O
v T
1 2 P 2(9.7) ( ) A14.7 Es Ei mvF 14 7 5 v 22.54 54 m / s 2 A 3
T S U
3(9.8)(0.5) 5 2 sin(30) 3.23 m / s b) . FM mg f ma a x 3 R
D
(8-24)
Örnek : Kütlesi 20 kg olan bir çocuk, 2 m yüksekliğinde düzgün olmayan bir kaydırağın tepesinden ilk hızsız kaymaya başlıyor. a)) Sürtünme olmadığını ğ varsayarak, y , kaydırağın y ğ en alt noktasında çocuğun hızı nedir?
A L Y LE
M I IR
D L YI
b ) Sürtünme olması durumunda, çocuğun en alt noktadaki b) hızı 3 m/s olduğuna göre sistemin mekanik enerjisindeki kayıp ne kadardır?
. R
D e
1v 2 a) Ki Ui = Ks Us mgh mgh=T mvs LA 2
O P
vs = 2gh = 2 99.8 8 (2) = 6.26 6 26 m / s
A T
A F
b ) E =U ES E M . R D s
i
1 2 1 2 mvs ' mghh = (20) 3 20(9.8)(2) 20(9 8)(2) 302 J 2 2 (8-25)
Örnek : Bir kayakçı 20 m yükseklikteki rampadan
M I IR
ilk hızsız kaymaya başlıyor. Rampanın alt ucundan sonra, düz olan bölgede kayakçı ile zemin arasında
D L YI
sürtünme katsayısı 0.21' dir.
A L Y Esahip olsaydı, b) Eğik düzlemin kendisi de aynı sürtünme kaysayısına L . (a) şıkkının cevabı ne olurdu? R D e v 1 a ) K U = K U mgh = mv v 2 gh 19.8 9.8 m / s T 2A L v 1 PO E E E = 0 mv = mgd d 95 95.22 m A 2 2 g F A 1 T S b ) mgh mg cos L mv v 2 gh 1 cot(20) 12.9 12 9 m / s U 2 M . v R 40.3 40 3 m Dd a) Kayakçı, y ç rampanın p alt ucundan duruncaya y kadar ne kadar yyol alır?
i
i
s
C
B
2 B
s
2 B
B
2 B
k
k
k
2 B
B
k
2 B
2k g
(8-26)
Örnek : İki blok hafif bir iple, sürtünmesiz ve ağırlıksız bi makara bir k üzerinden ü i d bi birbirine bi i bağlıdır. b ğl d Yatayda Y t d bbulunan l m1 kütleli blok, yay sabiti k olan bir yaya bağlıdır. Yay uzamasız durumda iken serbest bırakılıyor ve m2 kütleli
A L Y LE
blok h kadar düşünce bir an için duruyor. m1 kütleli blok ile zemin arasındaki sürtünme katsayısı nedir?
K 0
ve
. R
M I IR
D L YI
E U gD+ U yay k m1 gh
R D
e v U g U s U i 0 m2 gh T A 1 2 L k m1 gh kh m2 gh 1 O 2 2 U yay P kh A 2 F 1 A m2 g kh T S 2 k U m1 gh .M
(8-27)
Örnek : Bir blok, h yüksekliğindeki sürtünmesiz ü tü i bir bi rampadan d ilk hhızsız kaymaya başlıyor ve karşıda bulunan ve eğim açısı olan bir eğik düzlemi tırmanıyor Blok ile eğik düzlemin tırmanıyor. arasındaki kinetik sürtünme katsayısı . R k olduğuna göre, blok bu düzlemdeD ne kadar yükselir?
A L O
U g U s U i T A mgymax mgh
S U
y M mg. cos mgy R sin D k
max
max
A L Y LE
e v T
K 0 ; E U g P k mg cos L
A F
L
mgh ymax
M I IR
;
D L YI
ymax L= sin i
h 1 k cot (8-28)
Örnek : Kütlesi 10 kg olan blok, ilk hızsız h olarak l k A noktasından k d bırakılıyor. Uzunluğu 6 m olan
M I IR
sürtünmeli bir bölgeyi ( BC arası) geçtikten g ç sonra,, yay y y sabiti k = 2250 N/m yaya çarparak 30 cm sıkıştırıyor.
. R
D e
A L Y LE
D L YI
BC arası bölgenin sürtünme katsa katsayısını ısını bbulunuz. l n
v T
K 0 ; E U g UAyay k mgL
L O
1 P U U U 0 A mgh ; U kx 0 F 2 A T 1 S mghh kx k U 1 2 M mgL 0.328 kx mgh . 2 mgL R D g
k
s
i
yay
2 m
2 m
2 m
k
(8-29)
Örnek : Eğik düzlem üzerindeki m1 = 20 kg'lık blok, hafif bir iple, m 2 = 30 kg'lık başka bir bloğa bağlıdır. m 2 bloğu da, şekildeki gibi yay sabiti
M I IR
D L YI
250 N/m olan bir yaya bağlıdır. Bu haliyle yay uzamasızdır ve eğik düzlem sürtünmesizdir. m1 bloğu eğik düzlemden
A L Y E yüksekte) ilk hızsız aşağı doğru 20 cm çekilip (m bloğu yerden 40Lcm . R bırakılıyor Yay uzamasız hale geldiğinde bırakılıyor. blokların hızı ne olur? D e v E K U U 0 (TümTkuvvetler korunumlu olduğu için) A L 1 1 1 O K m v m v P ; U (m gL sin m gL) ; U kL 2 2 2 A F 1 1 A L=20 cm m m v T(m sin m ) gL kL 0 2 2 S k=250 N/m U M m1=20 kg kL 2(m m sin ) gL 10 67.2 . v R 1.24 m/s m2=30 kg m m 50 D 2
g
yay
2
2
1
2
g
2
2
1
1
2
yyayy
2
2
1
2
2
2
1
1
2
(8-30)
BÖLÜM-9 M I Kütle Merkezi ve Çizgisel MomentumIR
A L Y LE
Bu bölümde aşağıdaki konulara değinilecektir:
D L YI
Bir parçacık sisteminin kütle merkezi Kütle merkezinin hızı ve ivmesi Bir Bi parçacığın ğ ve parçacık k sistemlerinin i t l i i çizgisel i i l momentumu t
v T
D e
. R
A L Kütle merkezinin nasıl hesaplanacağını ve çizgisel O P ilkesini öğreneceğiz. momentumun korunumu ğ ğ A F A Son olarak, T çizgisel momentumun korunum ilkesi yardımıyla S bi ve iki bir b boyutta çarpışma problemlerini bl l i i çözeceğiz. ö ği U M . R D
(9-1)
Kütle Merkezi :
M I m ve m kütlelerine sahip iki noktasal cismin kütleIR merkezi, D L m x m x I x Y m m A L b ğ bağıntısı ile il verilir. ili Y E L . x-ekseni üzerine yerleştirilmiş n tane parçacık durumunda bu bağıntı: R D m x m x m x ... m x m x m x m x ... m x 1 x ve mx m m m ... m M M T A toplam kütlesidir. olur. Burada M sistemdeki parçacıkların L O P sistemi) parçacık sisteminin kütle Üç-boyutlu Üç boyutlu uzayda (xyz -koordinat koordinat A merkezi de, kütlesi A mFolan parçacığın konum vektörü r olmak üzere, T ola daha genel bir ifade olan n S U 1. M r m r bağıntısına sahiptir. R DM x-ekseni ekseni üzerinde ü erinde x1 vee x2 noktalarında bulunan, b l nan sırasıyla, sırası la 1
km
2
1 1
1
1 1
2 2
3 3
n n
2 2 2
1 1
2 2
3 3
km
1
2
3
i
n
n n
i 1
n
i i
i
n
kkm m
i 1
i i
(9-2)
Konum vektörü rkm xkm ˆi y km ˆj z km kˆ biçiminde de yazılabileceğinden, kütle
M I IR
merkezinin k i i koo k rdinatları di l 1 n xkm m i xi M i 1 ile verilebilir.
R D
.M
S U
y km
1 M
n
m y i 1
i
i
z km
1 M
n
m z i 1
i i
D L YI
A L Bir parçacık sisteminin kütle merkezi, merkezi sistemdeki tüm Y E L parçacıkların toplandığı bir nokta ve sistem üzerine etki . Rkt etkiyormuş eden d tüm tü dış d kuvvetler k tl oDnoktaya tki gibi ibi e düşünülebilir. v T A şekildeki gibi havaya fırlatıldığını Bir beyzbol sopasının L O ve yyer-çekimi çP kuvvetinin etkisi altındaki hareketini düşünelim. ş A Sopanın kütle merkezi siyah bir nokta ile işaretlenmiştir. F A T Kütle merkezinin hareketine bakıldığında, ğ , bunun bir eğik atış hareketi olduğu kolayca görülür.
Ancak, kütle merkezi dışındaki noktaların hareketleri oldukça karmaşıktır.
(9-3)
Örnek : Konumları şşekilde verilen m1 = m2 = 1.0 kg ve m3 = 2 kg kütleli
M I IR
üç parçacıktan oluşan sistemin kütle merkezini bulunuz.
A L Y rE ) L . R
D L YI
km
n
xkm
m x
m1 x1 m2 x2 m3 x3 (1)(1) (1)(2) (2)(0) 0.75 0 75 m m1 m2 m3 11 2
i i
i 1
M
A F
n
ykm
m y i
i 1
v T
D e
i
M . R
A T
m y m2 y2 m3 y3 (1)(0) (1)(0) (2)(2) 1 1 1 m m1 m2 m3 11 2
S U
M
P
A L O
rkm 0.75iˆ ˆj m
D tan
1
1 ( ) 53.1o 0.75
(9-4)
ˆ Örnek : xy -düzlemindeki konumları r1 12 j (cm), r2 12iˆ (cm) ve r 12iˆ 12ˆj (cm) olan cisimlerin kütleleri de sırasıyla, m = 0.4 kg ve 3
1
M I IR
D L YI
m2 = m3 = 0.8 kg ile veriliyor. Sistemin kütle merkezini bulunuz.
A L m x m x m x m x (0.4)(0) (0.8)(LE12)Y (0.8)(12) 0 x . M m m m 0.4 0.8 0.8 R D e v m y m y m y m y AT (0.4)(12) (0.8)(0) (0.8)( 12) L 1.2 cm y O m 11 2 M m m P A F A r x ˆi y Tˆj 1.2ˆj cm S U M . R D n
km
i 1
i i
1 1
2 2
1
3 3
2
3
2
3 3
n
km
i 1
i
i
1 1
2
1
km
km
2
3
km
(9-5)
Katı Cisimlerin Kütle Merkezi :
M I Maddenin, içinde homojen bir şekilde dağıldığı sistemlere katı cisimler diyebiliriz. R I Böyle cisimlerin kütle merkezlerini bulmak için, için kesikli toplama işlemiIyerine LD Y sürekli toplama işlemi olan integrali kullanacağız: A L Y 1 1 1 E x xdm y ydm L z zdm M M M . R D Cisimlerin simetrisi (simetri noktası, simetri ekseni, simetri düzlemi) uygun ise integral e v alma işlemine ş ggerek kalmayabilir. y Kütle merkezi simetri elemanı üzerinde olacaktır. T A L O P Örneğin bir kürenin kütleAmerkezi, kürenin merkezidir. C F A T S U Bir dikdörtgenin kütle merkezi, karşılıklı köşegenleri M C . birleştiren doğruların kesişim noktasıdır. R D km
km
km
(9-6)
Katı cisim L uzunluğuna ve M kütlesine sahip
M I IR
bi çubuk bir b k ise, i kü kütle l yoğunluğu ğ l ğ çizgiseldir: i i ldi dm M 1 xkm x dx k dl L M
D L YI
A L Y Katı cisim i i A yüzey alanına l ve M kkütlesine l i sahip hi E L ince bir plaka ise, kütle yoğunluğu yüzeyseldir: . R D dm M 1 1 x x dA ;vye y dA M M dA A T A L O Katı cisim V hacmine ve M kütlesine P sahip ise, A kütle yoğunluğu hacimseldir: F A T S U dm M 1 1 1 M x x dV ; y y dV ; z z dV . dV V M M M R D M,A
dm
km
dA
km
M,V
dm dV
km
km
km
(9-7)
Örnek : a ) Kütlesi M ve uzunluğu L olan homojen bir çubuğun kütle merkezini bulunuz. b) Çubuğun Ç b çizgisel i i l kütle k l yoğunluğu l = x iise, kütle k l merkezini bulunuz. (x çubuğun sol ucundan olan uzaklık, da bir sabittir). a ) xkm
1 M
1 xdm M
b ) xkm
1 M
1 xdm M L
e v T
L
3
km
L
L
3
0
0
L
x 0 2 2
M . L L 2M 2 xR L 3 M 3 M L 3 D 0
D L YI
2 L M L 2 0 x dx 2 M x 0 2 M 2 M L 2 L
M dx x dx 0
2 L D
A L Y LE
A L 1 xPdxO M x x dx 3M x A AF L
T S U
L
. R
M I IR
2
L 0
L3 3M
2
3
2
(9-8)
Örnek : Kütlesi M ve boyutları şekilde verilen dik üçgen bi i i d ki plakanın biçimindeki l k k l merkezini kütle k i i bulunuz. b l M 2M y b dm d ( ydx d ) ( ydx d ) ve ab x a 1 ab 2 xkm
dm
ykm
1 M
. R
D L YI
2 2 2 x b x x dx xydx a 2 ab b0 ab b 0 a a 3 0 3 a
3
a
A L O
v T
D e
M 2M b y b (a x)dy (a x)dy ve ab ax a 1 ab 2
1 M
A F
A T
P
b
b
2 2 a ydm abb 0 y(a x)dy abb 0 y b (b y)dy
S U
y .2 M
b
y 1 b b 2 b 2 3 0 3
R D
ykm
xdm
a
A L Y E L 2
M I IR
2
3
(9-9)
Parçacık Sistemlerinde Newton'un İkinci Yasası : Kütleleri m1 , m2 , m3, ..., mn ve konum vektörleri r1 , r2 , r3 ,..., rn
M I IR
olan n parçacıklı bir sistem düşünelim. Kütle merkezinin konum vektörü şu ifadeyle verilir: m1r1 m2 r2 m3r3 ... mn rn rkm M Her iki tarafın zamana göre türevi alınırsa,
. R
D e
A L Y LE
D L YI
d 1 d d d d rkm m1 r1 m2 r2 m3 r3 ... mn rn dt M dt dt dt dt Mvkm m1v1 m2 v2 m3 v3 ... mn vn bulunur. Burada vkm kütle merkezinin hızı, vi ' de i. parçacığın hızıdır.
A L O
v T
P H iki tarafın Her t f bir bi kez k ddaha h zamana göre ö türevi tü i alınırsa, l A F A 1 dT d d d d v mS v m v m v ... m v dt M U dt dt dt dt M Ma .m a m a m a ... m a R D bulunur. Burada a kütle merkezinin ivmesi, a ' de i. parçacığın ivmesidir. km
km
1
1 1
1
2 2
km
2
3 3
2
3
3
n
n
n n
i
(9-10)
i. parçacığa etkiyen kuvvet Fi ' dir ve Newton'un ikinci yasası gereği, i mi ai Fi Makm F1 F2 F3 ... Fn yazılabilir.
A L Y LE
M I IR
D L YI
dış i ç Fi kuvveti k i ddış ve iç i olmak l k üzere ü iki bileşene bil ayrılabilir: l bili Fi Fi Fi
. R
Bu durumda yukarıdaki eşitlik şöyle bir forma dönüşür: dış i ç dış i ç dış i ç dış i ç Makm F1 F1 F2 F2 F3 F3 ... Fn Fn ddışş ddışş ddışş ddışş iç iç iç iç M km F1 F2 F3 ... Fn F1 F2 F3 ... Fn Ma
ve D T A L
O P
Eşitliğin sağındaki ilk parantez, sistem üzerine etki eden net kuvvettir (Fnet ).
A F
İkinci parantez ise, Newton'un üçüncü yasası gereği sıfırdır. Bu durumda, kütle merkezinin hareket denklemi Makm Fnet ' dir ve bileşenler cinsinden
S U
A T
M . bağıntıları ğ R ile verilir. D Fnet, x Makm, x
Fnet, y Makm, y
Fnet, z Makm, z
(9-11)
Yandaki eşitlikler, bir parçacık sisteminin kütle merkezinin, sistemdeki tüm parçacıkların toplandığı ve tüm dış kuvvetlerin etkidiği bir noktasal kütle gibi hareket edeceğini göstermektedir. Şekildeki örneği ele alalım. Yerden ateşlenen bir roket yerçekimi kuvvetinin etkisi altında p parabolik bir yol y izler.
D e
. R
Makm Fnet
M I F Ma R I D L F I Ma M Y AF Ma L Y LE net, x
km, x
net, y
km, y
et, z net,
km,, z
Belli bir anda roket patlar ve birçok parçaya ayrılır. Patlama olmasaydı, roketin izleyeceği yol kesikli çizgiyle gösterilen yörünge olacaktı. Patlamada ortaya çıkan kuvvetler iç kuvvetler olduğundan vektörel toplamı sıfır olacaktır.
A T
A F
P
A L O
v T
Roket üzerinde etkin olan kuvvet hala yerçekimi kuvvetidir.
S U
Bunun anlamı, patlamada ortaya çıkan parçalar da yerçekimi kuvveti etkisiyle parabolik bir yörüngede hareket ederler.
D
M . R
Dolayısıyla D l l kütle tl merkezinin k i i yörüngesi, öü i patlamadan tl d önceki ö ki yörüngesiyle aynı olacaktır.
(9-12)
Çizgisel Momentum : p mv
Kütlesi m ve hızı v olan bir cismin çizgisel momentumu p mv il tanımlanır. ile t l SI sistemindeki i t i d ki bi birimi i i kg.m/s' k / ' dir. di
M I IR
A L Y LE
D L YI
Momentum ifadesinin her iki tarafının zamana göre türevi alınırsa, dp d dv mv m ma Fnet p mv dt dt dt dp Fnet bulunur. dt
v T
D e
. R
A L Bu ifade Newton' un ikinci yasasının bir başka ifade şeklidir. O P Sözlü olarak: "Bir cisminAçizgisel momentumunun değişim hızı, o cisme etkiyen F A net kuvvetin büyüklüğüne eşittir ve onunla (net kuvvetle) aynı yöndedir. T S Bu eşitlik, U bir cismin çizgisel momentumunun ancak bir dış kuvvetle M . değişebileceğini göstermektedir. Dış kuvvet sıfır ise, cismin çizgisel R D momentumu değişmez.
(9-13)
Parçacık Sistemlerinin Çizgisel Momentumu:
i. parçacığın kütlesi mi , hızı vi ve çizgisel momentumuIM R I pi oolsun. su . n tane ta e parçacıktan pa çac ta oluşan o uşa bir b sistemin s ste LD çizgisel ç g se
YI
A L Y P p p p ... p m v m v m v ... LmEv Mv . R Bir parçacık sisteminin çizgisel momentumu, momentumu sistemdeki parçacıkların D e toplam kütlesi (M ) ile kütle merkezinin hızının (v ) çarpımına eşittir. v T A Her iki tarafın zamana göre türeviLalınırsa, O P dP d Mv F M M Ma A dt dt F A bulunur. Bu eşitlik, parçacık sisteminin çizgisel momentumunun ancak bir dış T S U kuvvetle değişecebileceğini göstermektedir. M . R Dış Dkuvvet sıfır ise, parçacık sisteminin çizgisel momentumu değişmez. momentumu şu şekilde verilir:
1
2
3
1 1
n
2 2
3 3
n n
km
km
km
km
net
(9-14)
ˆ m/s ve kütlesi 3 kg olan bir cismin Örnek : Kütlesi 2 kg olan bir cismin hızı (2iˆ 3j) ˆ m/s' dir. İki parçacıktan oluşan bu sistemin kütle merkezinin hızını ve hızı da (iˆ + 6j)
M I IR
momentumunu bulunuz. m v ii N
vkm
A L Y LE
ˆ + 3(iˆ + 6j) ˆ 2(2iˆ 3j) 1.4i 1 4iˆ 2.4 2 4ˆj m/s 23
i 1
M
. R
D L YI
Pkm Mvkm 5 11.4i 4iˆ 22.4 4ˆj 7iˆ 12ˆj kg m/s
D e
v Örnek : Yerden y yukarı doğru ğ ateşlenen ş birTroket 1000 m y yükseklikte 300 m/s hıza sahipken p A L patlayarak üç eşit parçaya bölünüyor. Birinci parça 450 m/s hızla aynı yönde, ikincisi O P parçanın hızı nedir? 240 m/s hızla doğuya gidiyor. gidiyor Üçüncü A F A M T mS m m 3 U M Mv m v m v m v v v v v 3 . R v 900 450 Kˆ 240 Dˆ 450 Kˆ 240 Dˆ m/s D 1
2
i
3
1 1
2 2
3 3
3
i
1
2
3
(9-15)
Çarpışma ve İtme : Bir cisme sıfırdan farklı bir dışş kuvvet etkidiğinde ğ cismin çizgisel ç g momentumunun değişebileceğini öğrendik.
M I IR
D L Bu kuvvetlerin şiddetleri çok büyük ancak, etkime süreleri çok kısadır. YI A Çarpışan cisimlerin çizgisel momentumlarındaki değişimin kaynağıdırlar. L Y E L İki cisim arasındaki çarpışmayı. düşünelim. Çarpışma, R cisimlerin temas ettiği t D anında başlar ve temasın kesildiği e t anında biter. Cisimler çarpışma süresince birbirlerine F (t ) v T bi kuvvet il verilen ile il değişken d A i k bir k uygularlar. l l Bu kkuvvetin i L değişimiO Şekil-a' da verilmiştir. P A F dp A F (t ) ile verilir. Burada p, cisimlerden birisinin çizgisel T dt S momentumudur. U M . dp F (t )dt dp F (t )dt R D İki cismin ççarpışması pş sürecinde böyle y kuvvetler ortaya y ççıkar.
i
s
ts
ts
ti
ti
(9-16)
ts
dp p p p momentumdaki değişim s i ti
J F (t )dt " itme" veya "impuls" olarak tanımlanır. ts
M I IR
D L I Y İtme, çarpışan bir cismin çizgisel momentumundaki değişime eşittir: J p A L Y Genellikle, çarpışma süresince cisimler arasındaki etkileşmeEkuvvetinin zamanla L nasıl değiştiğini bilemeyiz. Ancak, itmenin büyüklüğü .kuvvet-zaman grafiğinde R eğri altında kalan alana eşittir. D e v Aynı alanı verecek şekilde ortalama bir kuvvet (F ) bulursak, T A cisimlerin birbirlerine uyguladığıLitmeyi, O J F t F (t t ) P A şeklinde yazabiliriz. F A T S G Geometrik t ik olarak, l k F (t )) t grafiği fiği altında lt d kalan k l alan l U ile F -tM grafiği altında kalan alan aynıdır (Şekil-b) . R D ti
ort
ort
ort
s
i
ort
(9-17)
Seri Çarpışmalar :
Kütlesi m ve +x-yönünde y hızı v olan özdeşş pparçacıkların ç sürekli bir şekilde sabitlenmiş bir hedefe çarptığını düşünelim.
M I IR
D L I Y momentumundaki değişim p olacaktır. Herbir çarpışmada A p kadarlık bir L Y momentum hedefe h d f aktarılacaktır. k l k E L t süresince hedef üzerindeki itme ((impuls) p ) JR .np olduğundan, ğ D J np n e v, çarpışma nedeniyle F mv olur. Burada v t t t T A miktarıdır. Dolayısıyla, L herbir parçacığın hızındaki değişim O P m F v A F t A T m S yazılabilir. l bili Buradaki BU d ki , parçacıkların kl hedefe h d f çarpma hızıdır. h d t M . Çarpışmadan sonra parçacıklar duruyorsa duruyorsa, v 0 v v olur olur. R D
t süresince n tane parçacığın hedefe çarptığını varsayalım varsayalım. Herbir parçacığın
ort
ort
Çarpışmadan sonra parçacıklar tam olarak yansıyorsa, v v v 2v olur.
(9-18)
Örnek : Kütlesi 400 g olan bir top 30 m/s hızla, şekildeki gibi bir duvara doğru fırlatılıyor. Top duvara çarptıktan sonra geliş doğrultusunun tersi yönünde 20 m/s hıza sahiptir. a) Duvarın topa p uyguladığ yg ğı itme nedir?
D L YI
A L Y Euyguladığı b) Topun duvarla temas süresi 10 ms ise, duvarın topa L . ortalama kuvvet nedir? R D e v T ˆ 20iˆ kg m/s a) J P mv mv 0.4 20iˆ (30i) A L O P J 20iˆ A b ) J F t F F 2000iˆ N A t 0.01 T S U M . R D s
ort
M I IR
i
ort
(9-19)
Örnek : Kütlesi 400 g olan bir top 20 m/s hızla yatay doğrultuda sola doğru geliyor. Oyuncu topa geliş
M I IR
D L YI
doğrultusunun tersi yönünde yatayla 45o ' lik bir açıyla vuruyor ve topa 30 m/s' lik bir hız kazandırıyor. Top ile oyuncu ğ ggöre,, arasındaki temas süresi 10 ms olduğuna
A L Y LE
a ) Oyuncunun topa uyguladığı itme nedir? b )) Oyuncunun topa uyguladığı ortalama kuvvet nedir?
. R
D e
v ˆ + 30sin45jˆj ( 20i) ˆ) a ) J P mvs mvi 0.4 30 cos 45i T A L ˆ ˆ O J 16.5i + 8.5j kgP m/s
A F
A T
J 16.5iˆ + 8.5jˆ b) J Fort t Fort 1650iˆ + 850jˆj N t 0.01 2 2 o 1 850 Fortt 1650 850 =1856 1856 N ; tan =27.25 27.25 1650
S U
D
M . R
(9-20)
Çizgisel Momentumun Korunumu :
M Bir parçacık sistemi üzerine etkiyen net kuvvet I R I D dP L Fnet 0 Fnet 0 P sabit biI Y dt A
L Y E Bir parçacık sistemi üzerine dış kuvvet etkimiyorsa, L . R toplam çizgisel momentum P değişmez. değişmez D e bir t anındaki Herhangi bir t anındaki vHerhangi çizgisel momentum AT = çizgisel momentum L O P A Çizgisel momentumunFkorunumu önemli bir ilkedir ve çarpışma problemlerinin A Tkolaylık sağlar. çözümünde büyük sağlar S U M üzerine etkiyen dış kuvvet F 0 ise, iç kuvvetler ne kadar Not : Bir sistem . R bü ük büyük l olsun, l çizgisel i i l momentum t her h zaman korunur. k D olursa i
s
net
(9-21)
Örnek : Bir nişancı 3 kg' lık bir tüfeği geri tepmesine izin verecek şekilde tutuyor. tutuyor Yatay doğrultuda M I R nişan alarak 5 g' lık mermiyi 300 m/s hızla eteşliyor. I D L a) Tüfeğin f i gerii tepme hızını, h YI A b) Merminin ve tüfeğin momentumunu, L Y c) Merminin ve tüfeğin kinetik enerjisini bulunuz.LE . mv DR 0.005 0 005 ˆ ˆ a ) P mv MVR 0 VR e 300i = 0.5i m/s M v 3 T A b ) Pm mv (0.005)300iˆ L1.5iˆ kg m/s O P PR MVR (3) A 0.5i 0 5iˆ 1.5i 1 5iˆ kg k m/s /
F A
1 S2 T 1 c ) K m U mv = (0 (0.005)(300) 00 )(300) 2 =226 226 J 2 2 M . R 1 1 2 DK R mVR = (3)(0.5)2 =0.375 J 2 2
(9-22)
Çarpışmalarda Momentum ve Kinetik Enerji : Kütleleri m1 vee m2 , ilk hızları hı ları v1i vee v2i , çarpışmadan sonraki hızları da v1s ve v2s
olan l iki cisim i i düşünelim. dü ü li Sistem izole ve Fnet 0 ise, çizgisel momentum korunur. Bu kural, çarpışmanın türüne bakılmaksızın doğrudur.
D e
Çarpışmaları Ça p ş a a iki sınıfta s ta top toplamak a a mümkündür. ü ü dü .
v T
. R
A L Y LE
M I IR
D L YI
"Esnek (elastik)" ve "Esnek olmayan" olmayan çarpışmalar.
A L Kinetik enerjide bir kayıp varsaO (K K ), çarpışma esnek olmayan çarpışmadır. P dönüşmüştür deriz. Bu kayıp başka bir enerji formuna formuna deriz A F A İki cisim çarpıştıktan sonra birbirine yapışıp birlikte hareket ediyorsa, T S cisimler "tamamen esnek olmayan" veya "esnek olmayan tam çarpışma" U Mderiz. Bu tür çarpışmalar esnek olmayan çarpışma türüdür ve yapmıştır . R kinetik D enerjideki kaybın en fazla olduğu çarpışma türüdür. Kinetik enerjide bir kayıp yoksa (K i K s ), ) çarpışma esn esnek ek çarpışmadır. çarpışmadır s
i
(9-23)
Bir - Boyutta Esnek Olmayan Çarpışma : Bu tür çarpışmalarda, çarpışan cisimlerin çizgisel momentumları korunur: p1i p2i p1s p2 s m1v1i m2v2i m1v1s m2v2 s
M I IR
D L YI
A L Bir - Boyutta Tamamen Esnek Olmayan Çarpışma : Y E yapışır ve çarpışmadan Bu tür çarpışmalarda, çarpışan cisimler L . sonra birlikte hareket ederler. ederler R Soldaki resimde, resimde D v 0 özel durumu için: e v m T m v m V mA V V v m m L bulunur.PO A Ftür çarpışmalarda kütle merkezinin hızı Bu A T 2i
1 1i
1
1
2
1
S U
D
M . R
vkm
1i
2
p1i p2i m1v1i P m1 m2 m1 m2 m1 m2
il verilir. ile ili
(9-24)
Örnek : Kütleleri 0.5 kg ve 0.3 kg olan iki blok şekildeki gibi birbirine doğru 2 m/s' m/s lik hızlarla hareket ediyorlar ediyorlar. Çarpışmadan sonra iki blok birleşip birlikte hareket ettiklerine göre, çarpışmadan sonra blokların ortak hızı nedir? Sistemin çarpışmadan önceki ve sonraki kinetik enerjisini kıyaslayınız. kıyaslayınız
A L O
v T
. R
D e
A L Y LE
M I IR
D L YI
m A v A1 mB vB1 m A mB v AB 2 v AB 2
F A T
S U 1
0.5 0.3
0.5iˆ m/s
1 1 2 2 K1 m v mB vB1 1.6 J ; K 2 m A mB v AB 2 0.1 J 2 2 2 K K 2 K1 1.5 1 5 J' lük enerji kaybı vardır vardır.
M . R
D
P A
ˆ (0.5) 2iˆ (0.3)( 2i)
2 A A1
(9-25)
Örnek : Kütlesi m olan bir mermi, kütlesi M olan tahta bloğa doğru ateşleniyor ve tamamen esnek olmayan çarpışma yapıyorlar. Blok+mermi sistemi maksimum y yüksekliğine çıkıyor. Merminin geliş hızını, bilinenler cinsinden bulunuz.
mv mv m M V V mM . R 1 D m M V 2 m M gy V 2 e2 gy 2 v
S U
D
M . R
A T
A F
P
A L Y LE
M I IR
D L YI
T A
L O
2
m 2 mM v 2 gy v 2 gy mM m (9-26)
Örnek : Bir tüfekten ateşlenen 8 g kütleli mermi yatay, sürtünmesiz bir yüzeyde ü d bbulunan l ve bi bir yaya bbağlanmış ğl 0.992 0 992 kg k kütleli kütl li ttahta ht bl bloğa ğ saplanıyor. Blok+mermi yayı 15.0 cm sıkıştırıyor. Yayı 0.25 cm uzatmak
M I IR
D L için gerekli kuvvet 0.75 N olduğuna göre, çarpışmadan hemen sonra I Y blok+mermi sisteminin hızı nedir? A L Y E L Merminin çarpışmadan önceki hızı nedir? . R D e 0.75 v k 300 N /m T 0 25 10 0.25 A L mv O m v m M V VP Blok+merminin çarpışmadan sonraki hızı mM A F1 1 k A x 2.6 m /s m M VST kx V 2 2 mM U M . mM R V 325 m/s / MD i i çarpmadan Merminin d öönceki ki hhızı: v 2
2
2
m
(9-27)
Bir - Boyutta Esnek Çarpışma :
Kütleleri m1 ve m2 , ilk hızları v1i ve v2 i , çarpışmadan sonraki hızları da v1s ve v2 s
M I IR
D L YI
olan l iki cisim i i düşünelim. dü ü li
A L Bu tür çarpışmalarda hem çizgisel momentum, momentum hem deY kinetik enerji korunur. korunur E L R. Çi i l momentumun Çizgisel t korunumu: k m v mD v mv m v (E 1) (Eş-1) e v 1 1 1 1 Kinetik enerjinin korunumu : Tm v m v m v m v (Eş-2) A2 2 2 2 L O İki bilinmeyenli (v ve v P ) bu iki denklem çözülürse, cisimlerin çarpışmadan A sonraki hızları için şu ifadeler elde edilir: F A m m T 2m v vS v U m m m m M R. 2m m m vD v v m m m m 1 1i
2 1 1i
1s
1s
1
2
1
2
1
2s
1
2
1 1s
2 2 2i
2 2s
2 1 1s
2 2 2s
2s
2
1i
1
1i
2 2i
2i
2
2
1
1
2
2i
(9-28)
Esnek Çarpışmada Özel Durum v = 0 : 2i M I Az önce elde edilen eşitliklerde v2i 0 yazarsak, R I D L v1s ve v2 s : I
m m2 2m2 m m2 v1s 1 v1i v2i v1s 1 v1i m1 m2 m1 m2 m1 m2 v2 s
. R
2m1 m2 m1 2m1 v1i v2i v2 s v1i m1 m2 m1 m2 m1 m2
v T
D e
A L Y LE
Y
bulunur. Aşağıdaki ğ özel durumlara göz g atalım:
A L O
1. m1 m2 m
P m m m mA v v F v 0 A m m m m T 2m US 2m v v v v M m. m mm R D cisimler hızlarını değiştirirler. Çarpışan 1s
1
2
1
2
1
2s
1
1i
1i
1i
1i
1i
2
(9-29)
m1 2. m2 m1 1 m2
D L YI
m1 1 m1 m2 m2 v1s v1i v1i v1i m1 m1 m2 1 m2
A T
A F
P
. R
A L Y LE
M I IR
m1 2 m m1 2 m1 2 v2 s v1i v1i 2 v1i m1 m1 m2 m2 1 m2
A L O
v T
D e
m1 cismi (küçük cisim) aynı hızla geliş yönünün tersi yönünde hareket eder.
S U
m2 cismi (büyük cisim) ileri yönde çok küçük bir hızla hareket eder (
D
M . R
m1 1). m2
(9-30)
m2 3 . m1 m 2 1 m1 v1 s
D L YI
m2 1 m1 m 2 m1 v1 i v1 i v1 i m m1 m 2 1 2 m1
v2 s
A L O
M I IR
v T
. R
A L Y LE
2 m1 2 v1 i v1 i 2 v1 i m2 m1 m 2 1 m1
D e
P m cismi i i (büyük (bü ük cisim) i i ) neredeyse d aynı hızla h l yoluna l devam d eder. d A F A m cismi (küçük cisim) gelen cismin yaklaşık iki katı bir hızla hareket eder. T S U M . R D 1
2
(9-31)
Örnek : Kütleleri 0.50 kg ve 0.30 kg olan A ve B blokları birbirine doğru 2.0 2 0 m/s hızlarla yaklaşıp çarpışıyorlar çarpışıyorlar. Çarpışmadan sonra
M I IR
B bloğu aynı hızla ters yönde giderken A bloğunun hızı ne olur? Ç Çarpışmanın türü ü ü ne olabilir? l bili ?
. R
D L YI
A L Y LE
ˆ) 0.50v 0.30(2.0i) m A v Ai mB vBi m A v As mB vBs 0.50(2.0i) ( ˆ) 0.30(( 2.0i) ( ˆ) As 0.20iˆ v As 0.40iˆ m/s 0 50 0.50
v T
Ki Ks
D e
A L 1 1 1PO 1 m v m v (0.50)(2.0) (0.30)( 2.0) 1.6 J A 2 2 2 2 F 1 1TA 1 1 m v S m v (0.50)( (0 50)( 00.40) 40) (0 (0.30)(2.0) 30)(2 0) 00.64 64 J U 2 2 2 2 M . R Ki ik enerji ji korunmuyor k "esnek k olmayan l çarpışma" D Kinetik 2 A Ai
2 B Bi
2 A As
2 B Bs
2
2
2
2
(9-32)
İki - Boyutta Çarpışma :
M I IR
Kü l l i m1 and Kütleleri d m 2 olan l iki cismin i i xy -düzleminde dü l i d çarpıştıklarını gözönüne alalım.
D L YI
Sistemin çizgisel momentumu korunur: p1i p2i p1s p2 s
A L Y E Çarpışmadan önce m parçacığının durgun olduğunu, çarpışmadan sonra da L . m cisminin geliş doğrultusuyla , m cismininR de açısı yaptığını varsayalım varsayalım. D e korunum ifadeleri: Bu durumda, momentumun ve kinetik enerjinin v T x ekseni: m v m v cos A m v cos (Eş-1) L O y ekseni: 0 m v sin P m v sin (Eş-2) A 1 1 1 (Eş-3) mv mv A Fm v 2 2 T 2 S olur. U M . Yedi R bilinmeyenli (m , m , v , v , v , , ) üç tane denklemimiz var var. Bunlardan D
Çarpışma Ç p ş esnek ise kinetik enerji j de korunur: K1i K 2i K1s K 2 s
2
1
1
1 1i
1 1s
1
1 1s
2 1 1i
2 1 2s
2
1
2
2 2s
2 2s
2
2
2 2 2s
1
2
1i
1s
2s
1
2
herhangi dört tanesinin verilmesi halinde, diğer üçü kolaylıkla bulunabilir.
(9-33)
Örnek : Kütlesi 20 kg bir oyuncak robot (A) +x yönünde 2 m/s hızla giderken, yolu üzerinde durgun halde bulunan
M I IR
ve kütlesi 12 kg olan başka bir robota (B ) şekildeki gibi çarpıyor Çarpışmadan sonra A robotu geliş doğrultusu ile çarpıyor.
A L Y LE
30o açı yapacak şekilde yukarı yönde 1 m/s hızla hareket ediyorsa B robotunun hızı ne olur? ediyorsa,
D L YI
. MomentumunR korunumu D e v P P 20(2i) ( ˆ) ((20 cos 30)i )ˆ T (12 ( v cos ))iˆ v cos 1.89 A L Oˆj (12v sin )jˆ v sin 0.833 30) P P 0 (20sinP A F A T S 0 833 0.833 00.833 833 U tan ( ) 23.8 v 2.06 m/s M 1.89 sin . R D
m A v Ai m B v Bi m A v As m B v Bs xi
yi
xs
B
ys
B
1
B
B
o
B
(9-34)
Örnek : Kütlesi 0.5 kg olan bir bilye (A) +x yönünde 4 m/s hızla giderken yolu üzerinde durgun halde bulunan ve kütlesi 00.3 giderken, 3 olan başka bir bilyeye (B ) esnek olarak çarpıyor. Çarpışmadan sonra A bilyesi geliş doğrultusu ile bilinmeyen bir açısı yapacak
A L Y LE
şekilde 2 m/s hızla hareket etmektedir. B bilyesinin hızını, ve açılarını hesaplayınız hesaplayınız.
M I IR
D L YI
1 1 1 1 . 2 2 2 2 mAvAi mBvBi mAvAs R A mBvBs B Kinetik enerjinin korunumu D 2 2 2 2 e v mA 2 0.5 2 vBs (vAi vAs ) (16 4)AT 4 47 m/s 4.47 mB 0.3 L
O P
Momentumun korunumu mAv Ai mB vBi mAv As mB vBs ˆ 0.5(2 cos )iˆ 0.3(4.47 cos )iˆ cos 1.341cos 2 Pxi Pxs 0.5(4i) P P 0 0.5(2sin )ˆj 0.3( 4.47 sin )jˆ sin 1.341sin 0
S U
M . 36.8 36 8 ve R D yi
ys
o
A F
A T
26.5 26 5o (9-35)
BÖLÜM-10 Dönme Bu bölümde, bölümde katı cisimlerin bir eksen etrafındaki dönü hareketi incelenecektir. Bu konu kapsamında aşağıdaki konulara değinilecektir:
Açısall yer-değiştirme A d ği ti Ortalama ve anlık açısal hız (ω) Ortalama ve anlık açısal ç ivme ((α)) Dönme eylemsizlik momenti (I) Tork (τ)
Ayrıca, j , dönen katı cisimlerin kinetik enerjisi, dönen cisimler için Newton’ un ikinci yasası dönme hareketi için iş-kinetik iş kinetik enerji teoremi üzerinde de durulacaktır.
(10-1)
Dönmedeki Değişkenler: Katı K t cisim, i i üzerindeki ü i d ki tüm tü noktaların kt l bi bi l i göre birbirlerine ö hareket etmediği cisimlerdir. Bir eksen Bi k etrafında t f d dönen dö k t bir katı bi cismi i i tek t k bir bi değişkenle tarif edebiliriz. Dönme ekseninin k i i z-ekseni k i olduğu ld soldaki ld ki katı k cismi i i göz önüne alalım. Cisim içinde ve dönme eksenine dik bir referans çizgisi seçelim. Katı cismin üstten görünüşü hemen alttaki resimde verilmiştir. Herhangi bir t anında referans çizgisinin açısal konumu, t = 0 anındaki açısal konumuyla θ kadar bir açı yapıyor olsun. Katı cisim üzerindeki noktalar birbirlerine göre hareketsiz olduklarından, olduklarından θ referans çizgisi üzerindeki tüm noktaların açısal konumudur ve dönme ekseninden r kadar uzaktaki bir noktanın çizdiği yay uzunluğu s’ ye şu şekilde bağlıdır:
s r
Not: θ radyan cinsindendir. (10-2)
Açısal Yer -değiştirme: Soldaki resimde t1 ve t2 anlarındaki referans çizgileri gösterilmiştir. Bu zaman aralığında katı cismin yaptığı açısal yer-değiştirme 2 1 kadardır.
Açısal Hız :
t1 , t2
zaman aralığında ortalama açısal hız: ort
2 1
t t2 t1
ile tanımlanır ve SI sistemindeki birimi rad/s' dir. Anlık açı ç sal hız ise,, ortalama açısal ç hızın t 0 durumundaki limitidir: d lim t 0 t dt
(10-3)
Açısal İvme: Dönen katı cismin açısal hızında bir değişim oluyorsa, bu değişimin ne kadar hızlı olduğu açısal ivme ile açıklanabilir.
Üstteki resimde referans çizgisinin t1 ve t2 anlarındaki durumları verilmiştir. Katı cismin t1 anındaki açısal hızı 1 ve t2 anındaki açısal hızı da 2' dir.
t1, t2
2 1
zaman aralığında ortalama açısal ivme: ort t2 t1 t
ile tanımlanır ve SI sistemindeki birimi rad/s2 ' dir. Anlık açısal ivme, ortalama açısal ivmenin t 0 durumundaki limitidir: d lim t 0 t dt (10-4)
Açısal Hız Vektörü : Açısal hız vektörü, katı cisim saat ibrelerinin tersi yyönünde dönüyorsa y pozitif, saat ibreleri p yönünde dönüyorsa negatif alınır.
Açısal hız vektörü dönme ekseni doğrultusundadır ve kesin yönü "sağ sağ-el-ku el kuralı" na göre belirlenir.
S ğ - ell - kuralı Sağ k l : Dönme eksenini, k i i parmakk uçlarınız l d dönme yönünü gösterecek şekilde sağ avcunuza alın ve dönme yönünde bir tur atın. Başparmağınızın yönü açısal hız vektörünün ( ) yönünü verir.
(10-5)
Örnek : Bir döner kapının açısal konumu (t ) = 5+10t + 2t 2 rad ifadesi ile veriliyor. t = 0 ve t = 3 s anlarında anlarında, kapının açısal hızını ve açısal ivmesini bulunuz. bulunuz
d (t ) 10 4t (0) 10 rad/s ve (3) 22 rad/s dt d (t ) 4 (0) ( ) ((3)) 4 rad/s 2 d dt Örnek : Bir mil 65 rad/s hızla dönerken, t 0 anında (t ) 10 5t (rad/s 2 ) ile verilen il ivmeli i li bir bi harekete h k başlıyor. b l d ki açısall hızını h ve bbu 3 s'' lik t 3 s anındaki süredeki açısal yerdeğiştirmesini bulunuz.
d (t ) d dt (t ) 65 10t 2.5t 2 (3) 12.5 rad/s dt 0 0 (t )
3
3
d 5 d dt (65 10t 2.5t 2 ) 65t 5t 2 t 3 dt 6 0 0 0 0 3
3
117.5 rad
(10-6)
Örnek : Kütlesi 6 kg olan bir blok sürtünmesiz eğik bir düzlem üzerindeki A noktasından serbest bırakılıyor. Blok P noktasında iken sahip olduğu ivmenin teğetsel ve radyal bileşenlerini bulunuz.
1 2 mgh mgR mv v 2 g (h R) 2(9.8)(5 2) 7.67 m/s 2 v2 2 ˆ Ft mat mg gj at 9.8jˆj m/s 2 ar 29.4 m/s R Radyal ivme
Teğetsel ivme
(10-7)
Sabit Açısal İvme ile Dönme: Dönme hareketinin açısal ivmesi sabit ise, ise cismin açısal hızını ve açısal konumunu zamana bağlayan basit eşitlikler bulmak mümkündür. Benzer bağıntıları ötelenme hareketini incelerken çıkarmıştık. çıkarmıştık Ötelenme hareketi ile dönme hareketi arasındaki benzerlik, aşağıdaki nicelikler arasındaki bağlar dikkate alınarak kolayca kurulabilir.
Ötelenme Ö x v a v v0 at 1 2 x xo v0t at 2 v 2 v02 2a x xo
Dönme
0 t 1 2 0 0 t t 2 2 02 2 0
(Eş-1) (Eş 2) (Eş-2) (Eş-3) (10-8)
Ö e : Bir tekerlek Örnek e e e 3.5 rad/s d/s 2 ' lik sabit s b açısal ç s ivme v e ilee dönmektedir. dö e ed . Tekerleğin t = 0 anındaki açısal hızı 2 rad/s olduğuna göre, a ) ilk 2 s içinde ne kadarlık açısal yer a yer-değiştirme değiştirme yapmıştır? b) t = 2 s anındaki açısal hızı nedir?
1 2 1 a ) 0t t 2(2) (3.5)(2) 2 11 rad 2 2 11 1.75 tur yapmıştır. N 2
b ) 0 t 2 3.5(2) 9 rad/s
(10-9)
Örnek : Bir CD-çalarda, bilgi okuyucu lensin yüzeye temas ettiği noktanın çizgisel hızı 1.3 m/s' dir ve sabittir. CD' nin boyutları şekilde verilmiştir. a ) CD' nin iç ve dış kenarlarında iken, lens bilgiyi h hangi i açısall hızlarla h l l okur? k ? b ) Müzik çalma süresi 74 dak+33 s olduğuna göre, CD kaç defa döner? c ) İvmenin sabit olduğunu varsayarak, bu zaman aralığında CD' nin ortalama açısal ivmesini bulunuz.
a ) v r iç
v 1.3 v 1.3 22.4 rad/s 56.5 rad/s ; dış 3 3 riç 23 10 rdış 58 10
1 i b) s i t i t s 2 t
2 s i t 2
t
22.4 56.5 74 60 33 28100 tur n 2 2 2
c ) s i t
s i t
22.44 56.5 22 56 5 7.6 103 rad/s 2 74 60 33
(10-10)
Çizgisel ve Açısal Değişkenler Arasındaki İlişki : Bir eksen Bi k etrafında t f d dö dönen katı k t cisim i i üzerindeki ü i d ki bir bi P noktasını ele alalım. t 0 anında referans çizgisi x -ekseni üzerinde ve P noktası da A noktasında bu lunsun. lunsun P noktası t kadarlık bir sürede, AP yayı boyunca hareket ederek s yolunu alır. Bu sürede referans çizgisi (OP ) açısı kadar döner.
Açısal Hız ve Çizgisel g Hız arasındaki ilişki : r OP olmak üzere, yay uzunluğu s ve açısı arasındaki ilişki s r eşitliğine uyar.
ds d r d P noktasının çizgisel hızı: v r r dt dt dt
Hareketin periyodu: T
çevre 2 r 2 r 2 r hız v
Açısal hız:
2
1 2 f T f
(10-11)
İvme : P noktasının ivmesi iki bileşenlidir. ş Birincisi "radyal y " yyönde O noktasına doğrudur ve merkezcil ivme olarak adlandırılır. Büyüklüğü, v2 2r ar r if d i sahiptir. ifadesine hi ti
İkinci bileşen ise, P noktasının izlediği çembersel yörüngeye "teğet" yöndedir ve teğetsel bileşen diye adlandırılır. Büyüklüğü, dv d r d at r r dt dt dt ifadesine sahiptir. Dolayısıyla ivme vektörü a at t ar rˆ ve büyüklüğü de, a at2 ar2 ile verilir.
(10-12)
Dönme Kinetik Enerjisi : Soldaki dönen katı cismi, kütleleri m1 , m 2 , m3 ,..., mi ,.... olan çok küçük parçalara bölelim. P noktası, kütlesi mi olan i. parçacık olsun.
Katı cismin dönme kinetik enerjisi, noktasal cisimlerin kinetik enerjilerinin toplamına eşittir: 1 1 1 2 2 K m1v1 m2 v2 .... mi vi2 2 2 i 2 1 1 1 2 2 2 2 i. elemanın çizgisel hızı vi ri K mi ri mi ri I 2 i 2 i 2 I mi ri 2 terimi, katı cismin dönme eksenine göre "eylemsizlik momenti" dir. i
Eylemsizlik momenti katı cismin kütlesine ve dönme ekseninin konumuna bağlı olduğu için, bilinmelidir. Katı bir cismin eylemsizlik momenti, katı cismin kütlesinin dönme eksenine göre nasıl dağıldığını tanımlar. 1 I mi ri 2 ; I r 2 dm ; K I 2 2 i
(10-13)
Örnek : xy-düzleminde bulunan bir oksijen molekülü O2 olsun ve ortasından dik olarak geçen z-ekseni ekseni etrafında dönsün. dönsün Herbir oksijen atomunun kütlesi 2.66 1020 kg' dır ve oda sıcaklığında aralarındaki mesafe f 1.21 1 211010 m'' di dir. a) Molekülün z-eksenine göre dönme eylemsizlik momenti nedir? b) Molekülün dönme açısal hızı 4.6 1012 rad/s ise, dönme kinetik enerjisi nedir? 2
d 20 1.2110 a) I mr i i mr m r 2m 2 2.66 10 2 2 2
2 11
2 2 2
10
2
I 1.951040 kg m2
1 2 1 40 12 2 b ) K I 1.95 10 4.6 10 20.6 1016 J 2 2 (10-14)
Örnek : Dört adet küçük küre şekildeki gibi hafif çubukların uçlarına tutturulmuş l ve sistem i xy-düzlemine d l i şekildeki kild ki gibi ibi yerleştirilmiştir. l i il i i a) Sistem y ekseni etrafında açısal hızı ile döndürülürse, sistemin dönme eylemsizlik momenti ve dönme kinetik enerjisi nedir? b) Sistem z ekseni etrafında açısal hızı ile döndürülürse, sistemin dönme eylemsizlik momenti ve dönme kinetik enerjisi nedir?
a ) I y mi ri 2 2Ma M 2 1 1 2 K y I y 2Ma 2 2 Ma 2 2 2 2 b) I z mi ri 2 2 Ma 2 2mb 2 1 1 2 K z I z 2 Ma 2 mb 2 2 Ma 2 mb 2 2 2 2 (10-15)
Bazı katı cisimlerin dönme eylemsizlik momentleri:
(10-16)
Eylemsizlik Momenti Hesabı : Noktasal p parçacıklardan ç oluşan ş sistemlerde: I mi ri 2 bağıntısından ğ hesaplanır. p i
Katı cisimlerde: I r 2 dm bağıntısından hesaplanır.
Paralel - Eksen Teoremi : Eylemsizlik momenti dönme ekseninin konumuna bağlı olduğundan, her farklı dönme ekseni için I' yı tekrar hesaplamamız gerekir.
Bunun için, çok kolay bir yöntem olan "par p alel-eksen teoremi" ni kullanacağız. ğ Üstteki M kütleli katı cismin kütle merkezinden geçen ve sayfa düzlemine dik olan eksene göre eylemsizlik momentini (I km k ) bildiğimizi varsayalım.
Bu eksene paralel ve h kadar uzaktaki bir P noktasından geçen eksene göre eylemsizlik momenti (I ) şu ifadeyle verilir: I I km M h 2
"paralel-eksen teoremi"
(10-17)
Paralel - Eksen Teoreminin İspatı : Soldaki katı cismin, koordinatları (a,b) olan bir P noktasından sayfa düzlemine dik olarak geçen y momentini (I ) bulalım. eksene ggöre eylemsizlik A noktasında seçilen bir elemanın kütlesi dm ve koordinatları da (x, y ) olsun. A ve P noktaları arasındaki uzaklık r
x a y b 2
olur.
2 2 I P r 2 dm x a y b dm
2
2 ax a 2 y 2 2by b 2 dm
IP
2
b 2 dm
x
2
y2
x dm 2 a xdm 2b ydm a
2
İkinci ve üçüncü integraller kütle merkezinin x ve y koordinatlarına karşılık geldikleri için sıfırdır. sıfırdır
İlk integral I km ' ye eşittir. a 2 b 2 h 2 olduğundan dördüncü integral, h 2 dm Mh 2 bulunur. Buradan da, I I km Mh 2 sonucu elde edilir. (10-18)
Örnek : Kütlesi M ve yarıçapı R olan çembersel bir halkanın, aa ) yüzeyine dik ve merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti nedir? bb ) yüzeyine paralel ve çapı boyunca olan bir dönme eksen ine göre eylemsizlik momenti nedir?
a ) I dmR 2 M R 2 b ) I dmy dl R sin R 3 sin 2 d 2
2
1 cos 2 2 R 3 2 0
1 3 d R sin 2 2 0
1 M 3 2 I R MR 2 R 2 (10-19)
Örnek : Kütlesi M ve uzunluğu L olan bir çubuğun merkezinden dik olarak geçen y eksenine göre eylemsizlik momenti nedir? I dmx 2 M I L
M
2 2 dx x x L dx
M 3 L /2 M L3 1 2 x dx x 2 ML L /2 / 3 L 3 L 8 12 L /2 L /2
2
Örnek : Kütlesi M , yarıçapı arıçapı R vee yüksekliği üksekliği L olan katı bir silindirin eksenine göre eylemsizlik momenti nedir? Silindirle aynı boyda, r yarıçaplı ve dr kalınlığında silindirik bir kabuk seçersek, dm dV L 2 rdr bulunur. M 3 Buna göre, I dmr 2 L 2 rdr r 2 L 2 r dr 2 R L R 2M 3 2M R 4 1 I 2 r dr 2 MR 2 R 0 R 4 2
(10-20)
Örnek : Paralel-eksen teoremini kullanarak, kütl i M ve uzunluğu kütlesi l ğ L olan l bir bi çubuğun b ğ sol ucundan dik olarak geçen y eksenine göre eylemsizlik momenti nedir? 2
I I km
1 1 L 2 Mh ML M ML2 12 3 2 2
Örnek : Aynı çubuğun kütle merkezinden L /4 kadar k d uzaktan k geçen ve y eksenine k i paralel bir eksene göre eylemsizlik momenti nedir? 2 1 7 L 2 2 2 I I km Mh ML M ML k 12 48 4 (10-21)
Tork :
Katı bir cisim, O noktasından r kadar uzaktaki P noktasına uygulanan bir F kuvvetinin etkisiyle O noktası etrafında rahatça dönebilmektedir (Şekil-a ). Ş kil b' de Şekild F kuvveti k i radyal d l ve teğetsel ğ l bileşenlerine bil l i ayrılmıştır. l
O noktasından geçen çizgi boyunca etkidiği için kuvvetin Fr bileşeninin dönmeye katkısı yoktur.
Ancak, kuvvetin teğetsel bileşeni (Ft F sin ) O noktası etrafında dönmeye sebep olur. F kuvvetinin döndürme etkisi, OP r uzaklığına ve teğetsel ğ kuvvet bileşeninin ş (Ft ) büyüklüğüne y ğ bağlıdır. ğ (10-22)
T k rFt rF Tork, F sin i r F bağıntısı b ğ il ile tanımlanır. l r uzaklığı, kuvvetin O noktasına olan dik uzaklığıdır ve kuvvet kolu olarak adlandırılır.
r F rF rFt
Torkun yönü, cisme etkiyen kuvvet, cismi saat ibrelerinin tersi yönünde döndürüyorsa "pozitif" saat ibreleri yönünde döndürüyorsa "negatif" alınır.
(10-23)
Örnek : Yarıçapları R1 ve R2 olan iki silindir şekildeki kild ki gibi ibi birleştirilmiştir bi l i il i i (R1 R2 ). ) Yarıçapı R1 olan silindir üzerine sarılmış ip sağa doğru F1 , yarıçapı R2 olan silindir üzerine sarılmış ip aşağı doğ ru F2 kuvvetiyle çekiliyor.
z eksenine göre oluşan net tork nedir?
R1 F1 (kˆ) R2 F2 (kˆ) R1 F1 R2 F2 kˆ F1 5 N N, R1 1 m m, F2 15 N N, R2 00.5 5 m ise ise, net torkun büyüklüğü ne kadardır?
5 7.5 kˆ 2.5kˆ 2.5 N m
Sili di hhangii yönde Silindir ö d dö döner?? z-ekseni k i etrafında f d saatin i tersii yönünde ö ü d döner. dö (10-24)
Örnek : Makaraların sürtünmesiz ve ihmal edilebilir kütlelere sahip olduğunu varsayarak varsayarak, kütlesi M 1500 kg olan aracı dengeleyecek bloğ n m kütlesini bulunuz. bloğun b l n
K üçük m akarayı gözönüne alalım : 2 T1 M g sin i 1500 9.8 sin(45) i ( ) T1 5197 N
0
T1
T2
T1 rT1 3rT2 T2 1732 N 3
T2 T2 mg m 176.8 kg g (10-25)
Dönmede Newton'un İkinci Yasası : Ötelenme hareketinde, hareketinde Newton Newton' un ikinci yasası cisme etkiyen kuvveti cismin ivmesine bağlar. Benzer bir ilişki, kuvvetin katı yg ğ tork ile cismin açısal ç ivmesi arasında cisim üzerine uyguladığı da vardır. Bu ilişki, Newton' un ikinci yasasının dönmedeki karşılığıdır.
Kütlesi m olan bir cisim r uzunluğunda ağırlıksız bir çubuğun ucuna yapıştırılmıştır. Cisim üzerine uygulanan F kuvveti ile sistem, orijinden geçen eksen etrafında dönsün. Daha önceden olduğu gibi F kuvvetini radyal ve teğetsel bileşenlerine ayıralım. Radyal kuvvetin dönmeye katkısının olmadığını biliyoruz.
Ft mat Ft r mat r m r r mr 2 I
I bulunur (F ma ile karşılaştırınız).
(10-26)
Dönen Katı Cisimler İçin Newton'un İkinci Yasası : r uzunluğunda ğ ağırlıksız ğ bir ççubuğun ğ ucuna bağlı ğ m kütleli pparçacık ç özel durumu için, Newton' un ikinci yasasının dönme hareketindeki karşılığını bulduk. Ş Şimdi ise,, bunu ççok daha genel g durumlar için ç tekrarlayalım. y
Net bir torkun etkisiyle ( net ) O noktasından geçen eksen etrafında dönebilen çubuk benzeri katı bir cisim olsun olsun. Çubuğu, O noktasından olan uzaklıkları r1 , r2 , r3 ,..., rn ve kütleleri m1 ,m2 , m3 ,..., mn olan küçük parçalara bölelim. bölelim
Her bir parçaya, dönme için Newton' un ikinci yasasını uygularsak;
1 I1 ; 2 I 2 ; 3 I 3 ; .... eşitliklerini elde ederiz. Cisme etki eden toplam tork,
net 1 2 3 ... n I1 I 2 I 3 ... I n
olacaktır. l kt
Burada, I i mi ri 2 i. elemanın dönme eylemsizlik momentidir ve I1 I 2 I 3 ... I n t l toplamı d katı da, k t cismin i i dönme dö eylemsizlik l i lik momentidir. tidi
Buradan da, net I yazılır.
(10-27)
Örnek : Yarıçapı R, kütlesi M ve eylemsizlik momenti I olan bir tekerlek şekildeki kild ki gibi ibi ortasından t d geçen sürtünmesiz ü tü i yatay t bir bi aksa k bağlıdır. b ğl d Tekerlek Tk lk etrafına sarılmış hafif bir ipin ucuna da m kütlesi asılmıştır. Sistem serbest bırakıldığında m kütlesinin çizgisel ivmesini, ipte oluşan gerilme kuvvetini ve tekerleğin açısal ivmesini bulunuz.
Ia mg T ma ; I TR I T 2 R a
g I 1 2 mR
a g R I R mR
I mg T 2a R mR 2 1 I
(10-28)
Örnek : Kütleleri m1 ve m2 olan iki blok hafif iplerle, y ç p R ve eylemsizlik y momenti I olan Kütlesi M , yarıçapı sürtünmesiz iki özdeş makara üzerinden birbirine bağlanmıştır. ğ ş
Sistem durgun halden serbest bırakıldığında, blokların ivmesi ne olur?
m1 g T1 m1a T1 T3 m1 m2 g m1 m2 a (Eş-1) T3 m2 g m2 a
I T T R I T T 2I a R I T T R I 1
2
1
2
3
2
(Eş-2)
3
(Eş-1) (Eş-2) a
m1 m2 g I m m 2 1 2 R2
(10-29)
Örnek : Kütleleri m1 =2 kg ve m2 = 6 kg olan iki blok hafif bir iple, yarıçapı R = 0.25 m ve kütlesi M = 10 kg olan disk şeklindeki bir makara üzerinden birbirine bağlanmıştır. Tüm yüzeylerde kinetik sürtünme katsayısı 0.36' dır ve m2 bloğu 30 o ' lik eğik düzlem üzerindedir.
Sistem serbest bırakıldığında blokların ivmesini ve makaranın her iki yanındaki iplerde oluşan gerilme kuvvetlerini bulunuz.
T1 k m1 g m1 a ;
m 2 g sin k m 2 g cos T2 m 2 a
T1 T2 m1 m2 a g k m1 k m2 cos m2 sin
I T1 T2 R
T1 T2
I 1 a R MR 2 0.5 Ma R R 2
g m2 sin k m1 k m2 cos a 0.309 m/s 2 m1 m2 0.5M
T1 m1 ( k g a) 7.67 N
T2 T1 0.5Ma 9.22 N
(10-30)
İş ve Dönme Kinetik Enerjisi : Bölüm-7' de, bir kuvvetin bir cisim üzerinde yaptığı işin (W ), o cismin kinetik enerjisindeki değişime (K ) eşit olduğunu gördük. Benzer şekilde, bir torkun dönen bir cisim üzerinde yaptığı iş, o cismin dönme kinetik enerjisindeki değişime eşittir. Kütlesi m olan cisim, r uzunluğunda ağırlıksız bir çubuğun ucuna yapıştırılmıştır. Katı cismin d kadar dönmesi için F kuvvetinin yaptığı iş: dW Ft rd d ile verilir. Kuvvetin radyal bileşeni Fr harekete dik yönde olduğu için iş yapmaz.
i ve s aralığında l ğ d kuvvetin k i yaptığı ğ toplam l iş: i s
W Ft rd d i
olur. İş-enerji teoreminden kinetik enerjideki değişim de şu ifadeye sahiptir:
1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 K W mvs mvi mr s mr i I s I i 2 2 2 2 2 2
(10-31)
Örnek : Kütleleri M ve m olan iki cisim L uzunluğunda ağırlıksız bir çubuğun ğ uçlarına yyapıştırılmıştır. p
Çubuğa dik bir eksene göre eylemsizlik momentinin minimum olduğu noktayı ve bu noktadan geçen eksene göre eylemsizlik momentini bulunuz.
I mi ri 2 I Mx 2 m( L x) 2 Mx 2 mx 2 2mLx mL2 dI 0 2( M m) x 2mL L0 dx m x L M m
m2 2 2m 2 I (M m )x 2m Lx m L mL M m M m mM 2 I L M m 2
2
(10-32)
Örnek : Kütlesi M ve boyu L olan çubuk, bir ucundan geçen eksen etrafında düşey düzlemde dönebilmektedir. Çubuk şekildeki gibi yatay konumdan serbest bırakılıyor. a ) Çubuğun bırakıldığı andaki açısal ivmesi, kütle merkezinin ve uç noktasının çizgisel ivmesi nedir? b ) Çubuk düşey konuma geldiği anda açısal hızı, kütle merkezinin ve uç noktasının çizgisel hızı nedir?
a ) I rF at r
at ,km
L 1 2 ML Mg 2 3
L 3g 3 g 2 2L 4
;
3g 2L 2L
3g 3 at ,uç L g 2L 2
L 1 2 11 3g 2 2 b ) Ei Es Mg I ML L 2 2 23 3g L 3g 1 vuç L 3 gL v r vkm 3 gL L L 2 L 2 (10-33)
Örnek : Kütlesi m1 ve m2 (m1 m2 ) olan iki blok şekildeki gibi hafif bir iple, p , yyarıçapı ç p R ve eylemsizlik y momenti I olan sürtünmesiz bir makara üzerinden birbirine bağlanmıştır. Sistem durgun halden y serbest bırakılıyor.
m2 bloğu h kadar alçaldığı anda hızı ne olur? Tam bu anda makaranın açısal ç hızı nedir? 1 1 1 I 1 K = K s K i = m1v 2 + m 2 v 2 + I 2 0 m1 m 2 2 2 2 2 R 2
U = U s U i = m1 gh m2 gh
2 v
v R
1 I 2 K U 0 m1 m2 2 v m1 gh m2 gh 0 2 R 2(m2 m1 ) gh v I m m 1 2 R2
v 1 2(m2 m1 ) gh I R R m m 1 2 R2
(10-34)
Güç : Güç, bir kuvvet tarafından işin yapılma hızı olarak tarif edilir. Güç edilir Dönme durumunda ise güç, tork tarafından işin yapılma hızı olarak tarif edilir. Cisim d kadar döndüğünde, torkun yaptığı iş dW d olduğuna ğ göre, g , ggüçç ifadesi dW d d d P dt dt dt şeklinde elde edilir. (P F v ile karşılaştırınız).
İş-Dönme ş kinetik enerjisi j teoremini özetleyecek y olursak: s
W d
;
tork sabit ise
W s i
i
1 2 1 2 I s I i 2 2 Güç
W K P
İş-Dönme Kinetik Enerjisi Teoremi (10-35)
Ötelenme ve Dönme Hareketleri Arasındaki Benzerlik : Ötelenme Dönme x v a v v0 at at 2 x xo v0t 2 v 2 v02 2a x xo 1 2 mv 2 m F ma
K
F W= F .dx P F v
0 t 0 0 t
t2
2 2 02 2 0 K
1 2 I 2
I
I
W= .d
P
(10-36)
BÖLÜM-11 BÖLÜM 11 M I R I Yuvarlanma, Tork ve Açısal Momentum D Bu bölümde şu konulara değineceğiz:
D e
. R
A L Y LE
L I Y
Çembersel cisimlerin yuvarlanması ve sürtünmeyle olan ilişkisi
Tork’ a genel bir bakış
Parçacık ve parçacık sistemlerinin açısal momentumu
Dönmede Newton’ un ikinci yasası
P
A L O
v T
A F korunumu Açısal momentumun A T Açısal S momentumun korunumu ile ilgili uygulamalar U M . R D
(11-1)
Ötelenme + Dönme = Yuvarlanma
M I IR
Bir yüzey üzerinde kaymadan yuvarlanan çembersel kesitli bir cisim düşünelim.
D L YI
A L Y Cismin bu hareketini, kütle merkezinin ötelenmesi ile kütle merkezi E L . etrafındaki dönme hareketinin bir toplamı olarak düşünebiliriz. R D e t = 0 ve t = t anlarında çekilmiş Kaymadan yuvarlanan bir bisiklet tekerleğinin v T resimleri yukarıda verilmiştir. verilmiştir A L O P i ttekerleğin Y d ddurgun olan Yerde l bir bi gözlemci, ö l k l ği kütle kütl merkezi k i O noktasının kt v hızıyla h l A F ilerlediğini görecektir. A T S U M zeminle temas ettiği P noktası da aynı hızla hareket edecektir. Tekerleğin . R D 1
2
km
(11-2)
M I IR
. R
D e
A L Y LE
D L YI
t1 ile t2 zaman aralığında O ve P noktalarının her ikisi de
v T
s kadarlık bir çizgisel yol alırlar. Dolayısıyla,
vkm
S U
s R
ds d R =R dt dt
(E (Eş-2) 2)
Bu iki eşitlik B itlik birleştirilirse, bi l ti ili kaymadan k d yuvarlanan l bi bir cisim i i iiçin: i vkm R
M . R
D
P (E A (Eş-1) 1) ; F A T
ds dt
A L O
eşitliği elde edilir.
(11-3)
M I R I v DR L I Y km
A L Y E v / R açısal hızıyla Yuvarlanmanın, v hızıyla ötelenme ve kütle merkezi etrafında L . p olduğunu ğ biliyoruz. y dönme hareketlerinin toplamı R D ehareketin hızlarının vektörel toplamıdır. Cisim üzerindeki her noktanın hızı, bu iki v Saf S f dö dönme hhareketinde, k ti d hhız noktadan kt dATnoktaya kt değişmektedir d ği kt di ve büyüklüğü bü üklüğü L O noktasından olan uzaklık rO olmak üzere, r' ye eşittir .Yönü de, her noktada P çembere teğettir (Şekil-A a). F A Saf ötelenme hareketinde, her noktanın hız vektörü ( v ) aynıdır (Şekil-b). T S YuvarlanmaU hareketinde hız, bu iki hızın vektörel toplamıdır. Buna göre, P noktasının M hızı her zaman sıfır, O noktasının hızı v (r 0) ve en üstteki T noktasının hızı da . R 2v ' dır. D km
km
km
km
km
(11-4)
Yuvarlanma Hareketi ve "Saf Dönme":
M I Bu hareket, tekerlekle yolun temas ettiği P noktasından Rdik I D v L I "saf dönme" olarak geçen eksene göre açısal hızı olan Y R A L hareketi olarak değerlendirilebilir. ğ Y E bulmak için, hızın Tekerlek üzerindeki her noktanın hızını L . o noktadaki büyüklüğünü ve yönünü bilmemiz gerekir gerekir. R D e v Hızın yönü, çembere her noktada teğettir. Örneğin, A noktasının hızı v , A ve P T Açizgilerle gösterilen doğruya diktir. noktalarını birbirine bağlayan, kesikli L O r , P noktasına olan uzaklığı göstermek üzere, tekerlek üzerindeki her noktanın P çizgisel hızı v r ile verilir. A F A T r 2R olduğundan, Örneğin, ğ , T noktasında ğ , v 2 R 2v , S O noktasındaUr R olduğundan, v R v ve M . P noktasında r 0 olduğundan, ğ , v 0' dır. R D Yuvarlanma hareketine değişik bir bakış şekildeki gibidir. gibidir
km
A
T
O
km
km
P
(11-5)
Yuvarlanmada Kinetik Enerji :
M I IR
Solda, yuvarlanan Solda arlanan bir cisim verilmiştir. erilmiştir Bu B cismin P değme noktası etrafında "saf dönme" hareketi yaptığını düşünürsek, ki ik enerjiyi kinetik ji i hhesaplamak l k çok k kkolay l olacaktır. l k Cismin kütlesi M ve yarıçapı da R olsun.
D L YI
A L Y E I , P noktasına göre dönme eylemsizlik momenti olmak üzere, kinetik enerji L . R 1 K I bağıntısı ile verilir. D 2 e v I paralel paralel-eksen eksen teoreminden bulunabilir, bulunabilir T A L 1 1 1 1 1 I I MR K I O MR I MR I Mv P 2 2 2 2 2 A bulunur. F A T , kütle Buu ifadedeki adede ilkSte terim, üt e merkezi e e O etrafında et a da aç açısal sa hızıyla y a dö dönen e ccismin s kinetik et U enerjisini, ikinci terim ise v hızıyla ötelenen cismin kinetik enerjisini temsil eder; M . 1 1 K RI Mv M D2 2 P
2
P
P
2
P
2
km
km
2
2
km
2
2
2
km
2 km
km
2
km
2 km
(11-6)
Örnek : Yarıçapı r olan katı bir küre, R yarıçaplı yarım kü şeklindeki küre kli d ki bir bi kabın k b içinde i i d düşeyle dü l açısı yapacak k şekilde ilk hızsız serbest bırakılıyor. Küre kaymadan yuvarlandığına göre, kabın en alt noktasındaki açısal hızı ne olur?
A L Y LE
Ei E s
M I IR
D L YI
. R Referans noktamız O noktası (r yarıçaplı kürenin merkezi) olsun olsun. D 1 1 ve 1 12 mg R r (1 cos ) mv I mr mr T 2 2 2 25 A L O 10 g R r (1 cos ) 7 P g R r (1 cos ) A r 10 7r F A T S U M . R D 2 km
2
2
2
2
2
2
2
2
(11-7)
Sürtünme ve Yuvarlanma :
M I IR
Sabit bir hızla yuvarlanan bir cisim (şekil - a) durumunda durumunda, değme noktası P' nin kayma eğilimi yoktur ve dolayısıyla bu noktada
D L I Y Yuvarlanan cisme net bir kuvvet etkimesi A durumunda, kütle L Y merkezi k i sıfırdan f d ffarklı kl bi bir a iivmesine i sahip hi olur l (Ş (Şekilkil b). ) E L . Yuvarlanan cisim sağa doğruR ivmeleniyorsa, P noktası sola D Bu nedenle, statik sürtünme doğru kayma eğilimindeeolurdu. v kuvveti f sağa ğ doğru ğ olacaktır. f f olduğu ğ sürece T A L hareket düzgündür, yani kayma yoktur. O Kaymadan yuvarlanan bir cisimP için v R' dir. Her iki tarafın zamana göre türevi A F kütle merkezinin çizgisel ivmesi (a ) ile açısal ivmesi ( ) alınırsa, yuvarlanan cismin A T arasındaki ilişkinin: S dvMU d a . R R dt dt R D sürtünme kuvveti yoktur. yoktur
km
s
s
s ,max max
k km
km
km
km
olduğu görülür.
(11-8)
Eğik Düzlemden Aşağı Doğru Yuvarlanma :
M I eğim açısı olan eğik bir düzlemden aşağı doğru kaymadan R I yuvarlanmaktadır x -ekseni yuvarlanmaktadır. ekseni boyunca ötelenmeIL veD dönme Y hareketi için Newton' un ikinci yasasını A uygulayarak cismin L abiliri kütle merke merkezinin inin ivmesini i mesini (a ) hesaplayabiliriz. hesapla Y E L . x -ekseni y yönünde ötelenme için Newton' un ikinci y yasasından: R f Mg sin Ma (Eş-1) e D v T ANewton' un ikinci yasasından: Kütle merkezi etrafında dönme için L a PO a a Rf I , Rf I f I (Eş-2) (Eş 2) A R R R F A aT g sin Buradan da, da I S Mg sin Ma a I R U 1 M MR . R sonuc sonucuna ulaşılır. D una ulaşılır Kütlesi M ve yarıçapı R olan yuvarlak düzgün bir cisim cisim,
km
s
km
s
km
k km
k km
km 2
s
kkm
kkm
km
s
km k
km 2
k km
km
2
(11-9)
akm
I km MR 2
akm akm akm
I km
g sin 1 I km / MR 2
g sin 1 MR 2 / MR 2 g sin 11 1 g s in 2
S U
M . R
D
. R
Silindir
Çember
akm
M I IR
g sin I 1 km 2 MR
MR 2
D e
2
v gTsin a A L 1 I / MR O P g sin km
2
A L Y E LKüre
A T
km
akm akm
1 MR 2 / 2 MR 2 g sin 1 1/ 2 2 g sin 3
2 MR 2 5 g sin 1 I km / MR 2
I km akm
km
a A F
D L YI
g sin 1 2 MR 2 / 5MR 2 g sin 1 2 / 5 5 g sin 7
akm akm k akm
(11-10)
Yo - Yo :
M I bir ip boyunca aşağıya doğru yuvarlanarak iniyor. Daha Rönceki I D problemde olduğu gibi gibi, y-ekseni ekseni boyunca ötelenme ve dönme L I Y cismin hareketi için Newton' un ikinci yasasını uygulayarak A L kütl merkezinin kütle k i i iivmesini i i (a ) hhesaplayabiliriz. l bili i Y E L . y -ekseni boyunca y ötelenme için ç RNewton' un ikinci y yasasından: D Mg T Ma (Eş-1) e v T Kütle merke merkezii etrafında dönme için Newton' Ne ton' unn ikinci yasasından: asasından: A L a a RTP IO , T I (Eş-2) R R A Fa g A Buradan da, MgT I Ma a S I R U 1 M MR . R Sonucuna ulaşılır. D Kütlesi M , yarıçapı R ve aksının yarıçapı da R0 olan Yo-Yo
km
km
0
km
km
km
0
km
km 2 0
km
km
km 2 0
km
2
0
(11-11)
Tork :
M I hesapladık. Şimdi de, herhangi bir doğrultuda hareket eden bir cismeIR D etkiyen torku belirli bir noktaya göre hesaplayacağız. hesaplayacağız L I Y A göre konum Bir cisme etkiyen F kuvvetinin uygulanma noktasının belirli bir noktaya L Y vektörü r ise, bu kuvvetin oluşturduğu tork r F ifadesi ile verilir. E L . Aşağıdaki şekilde, r ve F her ikisi de xy -düzlemindedir. Sağ-el kuralından, torkun R z -ekseni yönünde olduğunu kolayca görebiliriz. D e v T r F A L O P A F A T S U M r ile F.arasındaki açı olmak üzere, torkun büyüklüğü rF sin ' dir. R OD AB üçgeninden, r sin r r F bulunur ve Bölüm 10' daki tanımı ile uyumludur. Bölüm 10 10' da, da bir eksen etrafında dönen katı bir cisme etkiyen torku ( )
(11-12)
Açısal Momentum :
Çi i i l momentumun (p mv ) dö Çizigisel dönme hhareketindeki k i d ki
S U
A T
M I karşı-geliri açısal momentum vektörüdür. Bu yeniIR vektör, D L r p ile tanımlanır. YI Adüzlemindedir. Soldaki resimde, r ve p her ikisi de L xy -düzlemindedir. EY Sağ-el kuralını uygulayarak L' nin z -ekseni yönünde . R olduğunu kolayca bulabiliriz. bulabiliriz D e v r ile p arasındaki açı olmak üzere, T A açısal momentumun büyüklüğü L O P rmv sin ' dir. A O F AB üçgeninden: r sin r r mv bulunur.
Not : Açısal momentum, orijinin nerede seçildiğine bağlıdır. Orijini kaydırırsak,
M . açısal momentum için farklı bir değer buluruz. SI sistemindeki birimi kg m / s R D J s ' dir. veya 2
(11-13)
Örnek : xy düzleminde hareket eden 1.5 kg kütleli bir cismin hızı v = 4.2iˆ 3.6ˆj (m/s) il veriliyor. ile ili Cismin Ci i konumu k r = 1.5i+2.2 1 5iˆ 2 2ˆj (m) ( ) olduğunda, ld ğ d açısall momentumu ne olur? l ?
M I IR
p = mv = 1.5 1 5( 44.2i 2iˆ 33.6 6ˆj ) = 66.3i 3iˆ 55.4 4ˆj ˆi
ˆj
kˆ
A L Y LE
D L YI
l r p 1.5 2.2 0 1.5 (5.4) 6.3 (2.2) kˆ = 22kˆ (kg m 2 /s) 6.3 5.4 0
v T
. R
D e
Örnek : xy düzleminde hareket eden 2.0 kg kütleli bir cismin herhangi bir andaki konumu ˆ r = 6.0i+5.0 tˆj (m) ile veriliyor. Cismin açısal momentumunu bulunuz.
dr v 5.0ˆj dt ˆi ˆj l r p 6.0 5.0t 0 10.0
S U
D
M . R
A T
A F
P
A L O
p mv 2.0 5.0ˆj 10.0ˆj kˆ 0 60.0 kˆ (kg m 2 /s) 0 (11-14)
Örnek : Uzunluğu L olan hafif bir ipin ucuna bağlı m kütlesi, şekildeki kild ki gibi ibi yatay t düzlemde dü l d dairesel d i l hareket h k t yapıyor (konik sarkaç). Hareket süresince ipin düşeyle yaptığı açısı sabit olduğuna göre, cismin açısal momentumunu bulunuz. v2 T sin m v2 R tan R gR T cos mg
v gR R tan
D e
D L YI
p mv m gR R tan
l r p lr ,net 0 lz l sin
A L O
v T
. R
A L Y LE
M I IR
A T
A F
P
radyal yönde net açısal momentum sıfırdır. sıfırdır
z -ekseni yönünde net bir açısal momentum vardır.
S U
4 sin 2 3 M lz . Lp sin(90) sin Lm gR tan sin m gL cos R
D
l
R L sin
(11-15)
Newton'un ikinci yasasının açısal formu :
M dp I Ötelenme hareketi için Newton' un ikinci yasası: Fnet ' dir. IR dt D L Bunun dönme hareketindeki karşı-geliri nedir? YI
A L Y LE
d d dr dv mr v m r v m v r m v v r a dt dt dt dt d v v 0 m r a r ma r Fnet net dt
. R
D e v T A L
A F
O P
d Dönme hareketinde Newton' un ikinci yasası: net ' dir. A dt ST
D
. R
U M
(11-16)
Parçacık Sistemlerinin Açısal Momentumu:
M n tane parçacıktan oluşan bir sistemde, parçacıkların I R I ç momentumları 1, 2 , 3 ,,...,, n olsun.LSistemin açısal D YI
A L Y E ile verilir. L ... L . R D Her iki tarafın zamana göre türevinden, e v n n d i d i AT dL dL = , L net,i net,i net O dt i 1 dt dt dt i 1 P A bulunur. Bu tork, sistem üzerine etki eden dış torktur. F A T S Newton'U un üçüncü yasası gereği, parçacıkların birbirlerine M . uyguladıkları torkların (iç tork) toplamı sıfırdır. R D toplam açısal momentumu:
n
1
2
3
n
i 1
i
(11-17)
Bir Eksen Etrafında Dönme, Katı Cismin Açısal Momentumu :
M I IR
Dönme eksenini z -ekseni ekseni olarak alalım ve katı cismi kütleleri mi , konum vektörleri ri olan n tane parçaya bölelim. i. elemanın açısal momentumu i ri pi ve büyüklüğü de i ri pi sin 90 ri mi vi
D L YI
A L Y E vardır ve büyüklüğü, Açısal momentumun sadece z -bileşeni L . sin r sin m vR r m v D e bulunur. v A Açısal l momentumların l ATz -bileşenlerinin bil l i i toplamı l d da: L O L P r m v r m r m r A F A olacaktır. T S mMr Utoplamı, katı cismin dönme eylemsizlik momenti olduğundan: . R D Lz I ifadesine sahiptir.
i iz
i
i
n
z
n
i 1
i 1
i
i
n
iz
i 1
i
i i
n
i
i i
i 1
i i
n
i
i
i
i 1
2 i i
2 i i
(11-18)
Örnek : Kütlesi 6 kg g ve yyarıçapı ç p 12 cm olan bowling g topu p M I kendi ekseni etrafında saniyede 10 defa dönmektedir.IR Topun açısal momentumu nedir?
L I
S U
A T2
A F
P
A L O
v T
D e
. R
A L Y LE
D L YI
2 I mR R 2 (6)(12 102 ) 2 345.6 345 6 104 kg m 2 5 5
D
M . RL I L
4 2 345 345.6 6 10 10 2 2 2.17 17 kg m /s
(11-19)
Örnek : Kütlesi M ve uzunluğu l olan çubuk, kütle merkezinden dik olarak geçen eksen z -ekseni ekseni etrafında rahatça dönebilmektedir dönebilmektedir. İki ucuna m1 ve m2 kütlelerine sahip bilyeler monte edilmiş sistem düşey düzlemde dü dü l d hhızı ile il dönmektedir. dö kt di a ) Sistemin açısal momentumu nedir?
M I IR
D L YI
A L b ) Çubuk yatayla açısı yaptığı bir anda sistemin açısal ivmesi ne olur? Y E L . R 1 l l D l M a ) L I I Ml m m e m m 12 4 3 2 2 v T l M A L I m m L 4 3 O P A F l A l T m g cos m g cos 2 m m g cos S 2 2 U b ) I M l M M . l m m R m m 3 4 3 D 2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
(11-20)
Örnek : Şekildeki gibi, bir noktadan sabitlenmiş hafif iple sarılmış R
M I IR
yarıçaplı, M kütleli bir disk verilmiştir. Sistem serbest bırakıldığında, a) ipte oluşan gerilme kuvvetini ve diskin kütle merkezinin ivmesini bulunuz.
D L YI
b) disk h kadar alçaldığı andaki hızını bulunuz.
A L a 1 Y a 1 a ) Mg T Ma ; I TR I T E MR Ma R 2 2 L R . 1 Mg 2R Mg Ma Ma a D g 1 e 2 3 v M M T 2 A L 2 1 O T M ( g a) M ( gP g) Mgg 3 3 A F1 A T Mv 1 I 1 Mv 1 1 MR 3 Mv b ) E E SMgh 2 2 2 22 4 U M . 4 R vD gh h 3 2
2
2
i
2
2
2
2
2
s
(11-21)
Örnek : Kütlesi M , yarıçapı R olan bir çim biçme silindirine yatay doğrultuda şekildeki gibi bir F kuvveti uygulanıyor. Silindir yatay düzlemde kaymadan yuvarlanmaktadır. Kütle merkezinin ivmesinin 2F F ik sürtünme ü ü kkatsayısının ld ğ gösteriniz. ö i i ve statik olduğunu 3Mg 3M
a I fs R I R
s
D L YI
A L Y L2E a 1
1 . f s MR 2 Ma R 2 D2 R
e v T
A 2F 1L F f s Ma M P OM a F a 3M 3M A 2 F A T S 22F F F F U f Mg F Ma F M M 3M 3 3Mg . R D s
M I IR
s
(11-22)
Örnek : Kütlesi m, yarıçapı r olan bir küre, eğik bir düzlem üzerinden şekildeki gibi h yüksekliğinden ilk hızsız bırakılıyor (h > r ) ve kaymadan yuvarlanarak R yarıçaplı
M I IR
çembersel bir yola giriyor. a) Çembersel yoldaki turu tamamlayabilmesi için minimum h yüksekliği ne olmalıdır.
a ) Ei Es
A L Y LE
1 2 12 2 2 1 2 I mr mv 2 25 5
D L YI
1 1 mgh 2mgR mv 2 I 2 2 2 1 1 7 7 2 mgh 2mgR mv 2 mv 2 2mgR mv 2 h 2 R v 2 5 10 10 g 10g Çemberin içinde dairesel hareket yapan küre çemberin en tepesinde iken üzerine etki
. R
D e
v v eden d merkezcil k il kuvvet: k t N mg mAT olacaktır. l kt h' nin i minumum i olması, l h hızın dda R L O mimumum olmasını sağlayacaktır. P Bu noktada hızın minumum olması için N 0 olmalı. A 7 v 2R 7 gR 2 7 R 2.7 R v gR ve hF 2 R A 10 g 10 g 10 T S b) h = 3R durumunda, P noktasında küreye etki eden merkezcil kuvvet nedir? U M7 v 3R 2R 7 v v 10 gR h 2.R 10 g 10 g 7 R D 2
min
min
2
P noktasında merkezcil kuvvet: Fmer
2 min
2
2
v2 10 gR 10 m m mg 7R 7 R
(11-23)
Açısal Momentumun Korunumu :
M I IR
K t cisimlerde Katı i i l d dahil, d hil tüm tü parçacıkk sistemleri i t l i için i i Newton' N t ' un dL ikinci yasasının açısal formu: net ' tir. tir dt
D L YI
A L Eğer sistem üzerine etkiyen net tork sıfırsa ( 0): Y E L dL . 0 L sabit olur. Bu, açısal ç momentumun korunum R d dt D e ilkesidir. v T A Bir başka deyimle; L O gPbir t anındaki Herhangi g bir t anındaki Herhangi A = net açısal momentum net açısal momentum F A L L ST net
i
. R
U M
i
s
s
Not : Dış torkun belli bir eksen yönündeki bileşeni sıfırsa, açısal momentumun o eksen yönündeki bileşeni değişmez (korunur).
D
(11-24)
Resimdeki öğrenci, düşey eksen etrafında dönebilen
M I R I yana açan öğrencinin ellerinde özdeş ağırlıklar D L varken açısal hızıyla dönmektedir. IBu durumdaki Y A ekseni boyunca açısal momentum vektörü L dönme L Y yukarı yöndedir (Şekil-a ).E L . R Öğrenci belli bir anda kollarını topluyor (Şekil-D b) ve bu hareket sonucunda, dönme e v eylemsizlik momenti, I ' den daha düşük bir değer olan I ' ye düşüyor. Öğrenci ve T A tabure sistemi üzerine dış bir tork L etkimediğinden, açısal momentum korunur. O Pt anında: L I olduğundan, t anında: L I ve olduğundan A F A I T L L IS I bulunur. I U M I . I IR 1 . Öğrenci son durumda daha hızlı döner. döner D I bi taburenin bir b i üzerinde ü i d oturmaktadır. k d Kollarını K ll iki
i
i
i
i
i
s
i
s
s
s
s
i
i
s
i
i
s
s
s
i
s
i
s
i
s
i
s
(11-25)
Örnek : Düşey eksen etrafında rahatça dönebilen bir taburenin
M I R I dönen ve eylemsizlik momenti 1.2 kg m olan bir D bisiklet L I tekerleği vardır. Öğrenci, belli bir anda tekerleği Y aynı açısal yönde dönecek şekilde ş çeviriyor. ç yLABunun sonucunda, hızla ters y Y öğrencinin açısal hızı ne olur? LE . Öğrenci (öğ) + tabure tabure (t) R D birleşik sisteminin toplam dönme eylemsizlik momenti e v I + I = 6.8 kg m T A L I 1.2 kg m ; 3.9O dev/s ; I 6.8 kg m ? P A L L L L F L L 2L A T S U 2I 2 1.2 3.9 M 2 I . I 1.4 dev/s I 68 6.8 R D üzerindeki öğrencinin elinde, 3.9 devir/s' lik bir açısal hızla 2
2
öğ
t
2
2
bt
öğ t
bt
i
s
bt
bt
bt
öğ t
öğ t
bt
öğ t
bt
öğ
öğ
bt
bt
öğ
öğ t
(11-26)
Örnek : Yarıçapı R 2 m, kütlesi M 100 kg olan disk şeklindeki bi platform, bir l tf merkezinden k i d dik olarak l k geçen eksen k etrafında t f d rahatça ht dönebilmektedir. Kütlesi m 60 kg olan bir öğrenci platformun dış kenarı üzerindeyken platformla birlikte 2 rad/s hızla dönmektedir.
A L Y LE
Öğrenci daha sonra platformun merkezine doğru yürümeye başlıyor. r 0.5 m noktasına geldiğinde öğrenci+platform hangi hızla döner?
Ii Li Ls I ii I ss s i I s ve
T A
D
. R
M I IR
D L YI
1 1 2 2 2 I i MR mR ; I s MR 2 m r 2 2
A F
P
L O
1 2 2 MR mR 200 240 2 s i ((2)) 4.1 rad/s 2 1 200 15 2 MR m r 2
S U
D
M . R
A T
(11-27)
Örnek : Kütle merkezinden dik olarak geçen eksene göre eylemsizlik l i lik momentii 12 kg k m 2 ve uzunluğu l 4 m olan ince bir çubuk şekildeki gibi düşey olarak durmaktadır. Kütlesi 2 kg olan bir cisim 15 m/s yatay
A L Y yönde yoluna devam ediyor. Çarpışmadan sonra cismin E L . çizgisel hızı ve çubuğun açısal hızı nedir? R D v e L L rmv rmv I v rmv I T r A L m 2 O v v 15 6 m/s P I A 12 m 2 F r A 4 T S vsMU 6 s . 3 rad/s r 2 R D hızla çubuğun tepe noktasına esnek olarak çarpıp aynı
M I IR
D L YI
s
i
s
i
s
s
s
i
2
(11-28)
Örnek : Kütlesi M olan tahta bir blok sürtünmesiz yatay bir
M I IR
masa üzerinde ü erinde kütlesi ihmal edilebilir l uzunluğuna nl ğ na sahip ince bir çubuğa monte edilmiştir. Çubuk diğer ucundan geçen
D L YI
dik eksen etrafında serbes serbestçe tçe dönebilmektedir. dönebilmektedir Kütlesi m olan bir mermi çubuğa dik doğrultuda v hızıyla tahta bloğa çarpıp saplanıyor. Mermi+blok
A L sisteminin çarpışmadan sonraki açısal hızı hı ı ne ol olur? r? Bu B çarpışmada hangi oranda bir Y E L kinetik enerji kaybı olmuştur? . R L L D e v lmv mv lmv I T M m l LA M ml O P 1 1 mv I A M m l K K I m 2 2 F 1 1 A 1 T K m v m M m l mv S 2 U K K M m M . 1 KR M m M m D i
s
2
2
i
2
2
2
2
s
2
i
i
s
i
(11-29)
Ötelenme ve Dönme Hareketleri Arasındaki Benzerlik : Ötelenme x v a p
D
1 2 K mv 2 m
1 2 K I 2 I
F ma F
P
A T
v T
A I L O
A F
P Fv dp Fnet dt p mv
S U
M . R
Dönme
D e
. R
A L Y LE
M I IR
D L YI
P
d net dt L I
(11-30)
BÖLÜM-12 Titreşimler Bu bölümde şu ana başlıklara değinilecektir:
D L YI
A L Basit harmonik harekette yer yer-değiştirme değiştirme, hız ve ivme Y E L Basit harmonik salınıcının enerjisi . R Harmonik salınıcılara örnekler: D e v i. Kütle Kütle-yay yay sistemi T A L ii. Basit sarkaç O P A iii. Fiziksel sarkaç F A T S iv Burulma sarkacı iv. U M .Sönümlü harmonik hareket R D Zorla salınımlar/rezonans
M I IR
(12-1)
Basit Harmonik Hareket :
M I IR
Şekil-a ' da basit harmonik hareket yapan bir cisim resmedilmiştir.
A T
A F
P
A L O
v T
. R
A L Y LE
x(t ) x D e
m
D L YI
cos t
Cismin yer-değiştirmesi x(t ) xm cos t bağıntısı ile verilir ve zamanla
S U
nasıl değiştiği Şekil-b' de resmedilmiştir.
D
M . R
(12-2)
x(t ) xm cos t
Konum fonksiyonu = cismin denge noktasına olan uzaklığı
M I x niceliği "genlik" olarak bilinir ve cismin maksimum yer-değiştirmesidir.R I D niceliği de hareketin "açısal frekans" ıdır ve L I Y 2 A 2 f L T Y ifadesine sahiptir ve SI sisteminde birimi rad/s' dir. LE . R birimi radyandır. ır t ise t anındaki faz açısıdır ve SI sisteminde D e v niceliği, salınıcının "faz sabitidir" ve salınan cismin t 0 anındaki x(0) T A SI sisteminde birimi radyandır. konumuna ve v(0) hızına bağlıdır. L O P Hareketin zaman içinde kendisini tekrarladığına dikkat ediniz. ediniz A Fgeçen süre "period (T )" olarak tarif edilir. Bir tam salınım için A T S SI sistemindeki i t iU d ki bi birimi i i saniye i dir di . M . Birim zamandaki salınım sayısı y "frekans (f )" olarak tanımlanır. R Dsistemindeki birimi hertz (s )' dir. SI m
-1
(12-3)
x ( t ) x m cos t
0 durumunda x(t ) xm cos t' dir
M I IR
ve ŞekilŞ kil a' da d çizilmiştir. i il i ti
D L B it H Basit Harmonik ik S Salınıcının l H I: Hızı Y dx(t ) d x cos t L x sin t v(t ) A Y d dt dt d E L . x çarpımı hızınRalabileceği maksimum D değerdir (v v).e 0 durumunda v(t ) A vT sin i t' di dir ve Şekil Ş kil-b' dde çizilmiştir. i il i ti L O P m
m
m
m
m
A Basit Harmonik Salınıcının İvmesi : F
A dv (t ) d T a (t ) S x sin i t x cos t x (t ) U dt dt M . xRivmenin alabileceği ğ maksimum değerdir ğ (a )). D 2
m
2
m
2
m
m
0 durumunda a(t ) 2 xm cos t' dir ve Şekil-c' de çizilmiştir
(12-4)
Basit Harmonik Hareket İçin ç Kuvvet Yasası : Basit harmonik salınıcı için a (t ) x(t ) olduğunu biliyoruz. 2
M I IR
D L I Y Newton' un ikinci yasasına göre: F ma m x A m x olur. L Y E L . "Bir cisme etkiyen y net kuvvet ile cismin y yer-değiştirmesi ğş arasında,, R D Hook Yasası olarak bilinen, F Ce x şeklinde bir ilişki varsa v T (burada C bir sabit) sabit), o cisim basit harmonik hareket yapıyor yapıyor" denir. denir A L O P B durumda, Bu d d basit b i hharmonik ik salıcının l periyodu i d A F A m T S m C T 2 olarak bulunur. lunur U C M . R D 2
2
2
(12-5)
M I IR
D L YI
A L Üstte sürtünmesiz bir düzlemde, yay sabiti k olan bir Y E L yaya bağlı m kütleli cismin hareketi resmedilmiştir. . R D eHooke yasasına uyar: F kx. m kütleli cisme etkiyen net kuvvet v T B Bunu, F Cx C il ile karşılaştırırsak k l A k C = k bbulunur. l L O P B d dda, hhareketin Buradan k ti açısall frekansı f k ve periyodu i d A F A CST k m m U ve T 2 2 m m C k M . R l k hesaplanır. h l D olarak
(12-6)
Basit Harmonik Hareketin Enerjisi :
M I anda cismin potansiyel enerjisi U ile kinetik enerjisi K' nın toplamıdır. IR D L I Y 1 1 Potansiyel Enerji: U kx kx cos t LA 2 2 Y E L . R D 1 1 1 k e v Kinetik Enerji: K mv m x sin t m x sin t 2 2 2 m T A L 1 1 kx cos t sin t kx Mekanik Enerji: E U P KO 2 2 A F A Şekilde potansiyel enerji "yeşil", kinetik enerji "kırmızı" ve mekanik T enerji de "U siySah" çizgi ile gösterilmiştir. U ve K zamanla değişirken, M . E sabittir. Salınım yapan cismin potansiyel ve kinetik enerjileri R D Basit harmonik hareket yapan bir cismin mekanik enerjisi E , herhangi bir
2
2
2 m
2
2 m
2 m
2
2
2
2 m
2
arasında dönüşüm olurken, toplamları sabit kalmaktadır.
2
2 m
(12-7)
Örnek : x -ekseni üzerinde basit titreşim hareketi yapan bir cismin konumu
M I IR
x (t ) = 4cos(3 4 (3 t + ) if ifadesi d i il ile veriliyor ili (t saniye i ve x cm cinsindendir). i i d di ) a ) Hareketin frekansını ve periyodunu bulunuz. b ) Hareketin genliğini ve faz sabitini bulunuz. c ) Cismin t = 0.25 s anındaki konumunu bulunuz.
. R
a ) 3 2 f 3 f 1.5 hertz 1 2 T 0.67 s f 3
A L O
v T
D e
A L Y LE
D L YI
b ) x(t ) xm cos(t ) xm 4 cm ve
A T
A F
P
1 c ) x(0 (0.25) 25) 4 cos(3 ) 22.83 83 cm 4
S U
D
M . R
(12-8)
Örnek : Yay sabiti 8 N / m olan bir yaya bağlı 0.5 kg kütleli cisim, genliği
M I IR
10 cm olan basit harmonik hareket yapıyor. yapıyor a ) Cismin maksimum hızı ve ivmesi nedir?
D L YI
b ) Cisim denge noktasından 6 cm uzakta iken hızı ve ivmesi nedir? b
A L Y k 4 rad/s L ;E a) x(t ) x cos(t ) ; x 10 cm . m R D v(t ) 40sin(4vt )e v 40 cm/s 0.4 m/s x(t ) 10 cos(4t ) T a (t ) 160 cos(4t ) a 160 cm/s 11.66 m/s A L O cos (0.6) P b ) x(t ) 10 cos(4t )A 6 t 0.23 0 23 s 4 F A v((0.23)) T 40sin(4 ( 0.23)) 32 cm/s 0.32 m/s S U a (0.23) 160 cos(4 0.23) 97 cm/s 0.97 m/s M . R D
c ) Cisim x = 8 cm' den x = 0' a ne kadar zamanda gider? m
m
m
2
2
m
1
2
2
(12-9)
c ) x(t ) 10 cos(4t )
M I IR
cos 1 (0.8) 0.161 s x1 8 t1 4 cos 1 (0) x2 0 t2 0.392 s 4 t t2 t1 0.231 s
S U
D
M . R
A T
A F
P
A L O
v T
D e
. R
A L Y LE
D L YI
(12-10)
Örnek : Yay sabiti 25 N / m olan bir yaya bağlı 1.0 kg kütleli bir cisim x - ekseni üzerinde basit harmonik hareket yapıyor. yapıyor Cisim t = 00' da, da x = 3 cm noktasından
M I IR
serbest bırakıldığına göre,
D L I Y b) Cismin konumunu, hızını ve ivmesini zamanın fonksiyonu olarak bulunuz. A L c ) Cismin maksimum hızı ve ivmesi nedir? Y E L . k 25 2 2(3.14) a) 5 rad/s ; T 1.256 1 256 s R 1.0 5 m TD e v T b ) x(t ) x cos(t ) t 0 'da x 3 cm vee v 0 0 A L x(t ) 3cos(5t ) O P d dx A c ) v 15sin(5t ) 15 cm/s 0.15 m/s ) v(t ) 15sin(5 t F A dt T S dUx dv a 75cos(5t ) 75 cm/s 0.75 m/s a (t ) 75cos(5t ) M dt dt . R D a ) Hareketin periyodu nedir? a
0
m
m
1
2
2
2
2
m
1
(12-11)
Örnek : Yay sabiti 20 N / m olan bir yaya bağlı 0.5 kg kütleli cisim x - ekseni
M I IR
üzerinde ü i d genliği liği 3 cm olan l bbasit i harmonik h ik hareket h k yapıyor. a) Sistemin mekanik enerjisini ve cismin maksimum hızını bulunuz.
D L YI
b ) Cisim denge noktasından 2 cm uzakta iken hızı nedir? c ) Cisim bu noktadayken kinetik ve potansiyel enerjisi nedir?
. R
A L Y LE
1 2 1 a ) E K U kx m (20)(0.03) 2 9 10 3 J 2 2
v T
D e
1 x 0 U 0 E m v m2 v m 2
P
A L O
2(9 10 3 ) 0.19 m /s 05 0.5
1 2 1 2 2 E kx 2 b ) E mv kkx v 00.141 141 m/s / 2 2 m
A T
A F
1US 2 1 2 c ) K mv (0.5) 0.141 5 103 J M2 2 . R D U E K 9 103 5 103 4 103 J
(12-12)
Örnek : Sürtünmesiz yatay bir yüzeyde bulunan P bloğunun üzerinde i d m kütleli k l li bbaşka k bir bi bl blok k ( B bl bloğu) ğ ) bbulunmaktadır. l k d Blokların temas yüzeylerinde statik sürtünme katsayısı s = 0.6' dır. P bloğu bir yaya bağlıdır ve f = 1.5 Hz frekansında basit harmonik
M I IR
A L Y LE
D L YI
hareket yapmaktadır. B bloğunun P' nin üzerinden kaymaması için, harmonik hareketin maksimum genliği ne olmalıdır?
. R
D e
B bloğu da P bloğu ile birlikte basit harmonik hareket yapar.
v T
Fy N mg 0 N mg f s ,m s mg mam
P
A L O
Basit harmonik harekette, am 2 xm ile verilir.
A F
s mg mam sA g am 2 f
T S U
M . R
2
s g xm xm 2 2 f
xm 0.0662 m 6.62 cm
D
(12-13)
Örnek : Kütlesi m ve yarıçapı R olan katı bir küre, 5 R yarıçaplı l silindirik ili di ik bir bi yüzeyde ü d kaymadan k d yuvarlanarak, düşey eksen etrafında küçük salınımlar yapıyor. Salınım periyodunun T 2
28 R 5g
olduğunu göste gösteriniz? riniz?
v T
. R
D e
A L Y LE
θ
M I IR
4R
D L YI
v 4 RO O : küçük kü ük kürenin kü Ai O noktasına kt göre ö açısall hızı h L 4O O v R : küçük kürenin P kendi eksenine göre açısal hızı
A F
1 1 A E mg 4 R (1 cos ) mv I T S 2 2 U M . R D 2
2
bulunur.
U
K
(12-14)
v 4 RO ve 4O ifadelerini enerji eşitliğinde yerine yazar ve zamana
M I I2R
göre türev alıp sıfıra eşitlersek (enerji korunduğu için zamanla değişmez) 1 1 2 2 2 E mg 4 R(1 cos ) m 4 RO mR 4O 2 5
D L YI
2 küre için I mR 5
A L Y d d 32 dE d 4 g sin 16 R R 0LEsin 5 dt dt dt dt . R 32 D 4 g 16 R R 0 e v 5 T A L 20 g 5 gO P 2 112 R 28 R A F A 5g 2T 28 R S T 2 bulunur. 28 RU T 5g M . R D O
O
O
O
O
O
küçük açı
O
(12-15)
Örnek : Kütlesi M olan bir cisim, O noktası etrafında serbestçe dönebilen
M I IR
L uzunluğunda ağırlıksız bir çubuğa monte edilerek şekildeki gibi fiziksel bir sarkaç yapılmıştır. Sarkaç, bağlantı noktasından h kadar aşağıdaki bir
D L YI
noktadan da yay sabit k olan bir yaya bağlanmıştır. bağlanmıştır Sistem bir miktar sola çekilip serbest bırakılıyor ve basit harmonik hareket yapıyor. Salınımın frekansını bulunuz.
Enerjinin korunumundan, 1 1 2 2 E M gL (1 cos ) M v kx 2 2
A L O
v T
. R
D e
A L Y LE
yazılabilir.
v L , x h sin ve cos 1 ifadelerini yukarda yerine yazar ve zamana göre türev alırsak,
A F
P
MgL kh cos 2 ML bulunur. Küçük açı cos 1 yaklaşımı ile birlikte, 2
S U
D
M . R
A T
1/2
MgL kh 2 f 2 ML 2
kh 2 f gL elde edilir. 2 L M 1
(12-16)
Örnek : Kütlesi m ve uzunluğu L olan ince bir çubuk, bir ucundan g geçen ç mil etrafında serbestçe ç dönebilmektedir. Çubuğun diğer ucu da yay sabiti k olan bir yaya bağlanmıştır. Çubuğun sağ ucu şekildeki gibi küçük bir açısı kadar kaldırılıp serbest bırakılıyor ve sistem basit salınım hareketi yapıyor Salınımın periyodunu bulunuz. yapıyor. bulunuz Enerjinin korunumundan,
D e
. R
2
A L Y LE
M I IR
D L YI
1 1 1 11 1 1 v E kx 2 I 2 kx 2 mL2 kx 2 mv 2 2 2 2 23 2 6 L yazılabilir.
A F
P
A L O
v T
Her iki tarafın zamana göre türevini alır sıfıra eşitlersek, eşitlersek 1 3k kxv mva 0 a x bulunur. 3 m m 2 3k T 2 Buradan da periyoda geçersek, elde edilir. T m 3k
S U
D
M . R
A T
(12-17)
Burulma Sarkacı :
Eylemsizlik E l i lik momentii I olan l disk, di k bi bir tell ile il asılmış l ve ekseni kIM i R I etrafında salınım yapmaktadır. Diskin açısal yer-değiştirmesi D
L I olduğunda telin diske uyguladığı geri çağırıcı Y tork ABurada telin olur. Bu,, Hooke yyasasının açısal ç formudur. L Y E burulma sabitidir. L . R D ile F C x ifadelerini karşılaştırırsak, C buluruz. e v Kütlenin de dönmede eylemsizlik y momentine karşılık ş geldiğini g ğ T A ve periyodu, L hatırlarsak, salınımın açısal frekansı O P A C I I F ; T 2 2 A I I T C S olarak bulunur. Burada I, diskin tele göre eylemsizlik momentidir. U M Açısal. yer-değiştirme de (t ) cos t ifadesine sahiptir. R D m
(12-18)
Basit Sarkaç :
M I m noktasal cisminden oluşur. Kütle denge konumundan Rbir I D miktar uzaklaştırılıp serbest bırakılırsa bırakılırsa, basit harmonik hareket L I Y yapacaktır. A L Bi i yerçekimi, Biri ki i diğeri diğ i de d iipteki ki gerilme il Y olmak l k üzere, ü cisme i E L etkiyen iki kuvvet vardır. Bu kuvvetlerin oluşturduğu net . t k r F Lmg tork L sin iDR ' dır. d Burada B d , radyan d cinsindendir i i d di eyaptığı açıdır. 1 ( <10) durumunda, ve ipin düşey eksenle v T sin yaklaşımı yapılabilir ve Lmg bulunur. A L O Bunu P Bunu, F C x ile karşılaştırırsak karşılaştırırsak, C Lmg buluruz. buluruz Kütlenin A F
Sabit bir noktaya bağlı L uzunluğundaki ip ile ipin ucuna bağlı
S U
M C . R D I
g
de dönmede eylemsizlik momentine karşılık geldiğini hatırlarsak, A T
mgL I
olarak bulunur.
salınımın açısal frekansı ve periyodu periyodu
;
I I mL2 L T 2 2 2 2 C mgL L mgL L g
(12-19)
Küçük-açı yaklaşımında, 1 ve dolayısıyla sin
M I IR
k b ll kabullenmesini i i yaptık. tk
“küçük” küçük açı? Neye göre? Nasıl karar vereceğiz?
(derece) ( )
(radyan) ( )
5
0 087 0.087
10
0.174
15
0.262L
20
0 349 0.349 A F
A T
S Sonuç: U 10o M . R D
O P
v T
A
A L sin i EY L . 0R087 0.087 D e
D L YI
0.174
0.259 (~% 1’lik fark) 0 342 ((~% 0.342 % 2’lik fark) f k)
durumunda, küçük-açı yaklaşımını kullanabiliriz.
(12-20)
Fiziksel Sarkaç :
M I IR
Bir O noktasından asılmış ve yerçekimi etkisiyle bu nokta etrafında salınım yapan katı cisimdir. Cisme etkiyen net tork, mgh sin ifadesine sahiptir. Burada h, katı cismin kütle merkezi ile O noktası arasındaki mesafedir.
D L YI
A L Y Küçük-açı yaklaşımı ( 10) yaparsak, net tork E L . mgh olur. R D Bunu, F C x ile e karşılaştırırsak C mgh buluruz. v T i karşılık K l i dde dönmede Kütlenin d d eylemsizlik l i likAmomentine k l k geldiğini ldiği i hhatırlarsak, l k L O salınımın açısal frekansı ve periyodu P A C mgh F I I A ; T 2 2 T I I C mgh S U Burada I M , katı cismin O noktasından geçen eksene göre dönme eylemsizlik . R momentidir( D idi (I I mhh ).) 2
km
(12-21)
Örnek : Kütlesi M ve uzunluğu L olan ince bir çubuk, bir ucundan geçen
M I IR
mil il etrafında t f d serbestçe b t dönebilmektedir. dö bil kt di Küçük Kü ük salınımlar l l için i i hareketin h k ti
D L YI
periyodunu bulunuz.
I. Yol : Enerjinin korunumundan,
A L L L 1 1 E1Y E Mg (1 cos ) I Mg (1 cos ) L ML 2 2 2 23 . R yazılabilir. D e v Her iki tarafın zamana göre türevini T alır sıfıra eşitlersek; A L L 1 3g 2 3g O Mg sin ML 0 T 2 P 2 3 2L T 2L A F II. Yol : A T L S U Mg sin 3g 2 3g M 2 . I T 2 R 1 2L T 2L D ML 2
2
2
3
2
2
2L 3g
2L 3g
(12-22)
Basit Harmonik Hareket ve Düzgün Dairesel Hareket : Bir cismin, yarıçapı xm olan çembersel
M I IR
D L bi yörünge bir öü üüzerinde i d sabit bit bi bir v hhızıyla lI Y A hareket ettiğini düşünelim. L Y E x-ekseni P noktasında bulunan cismin L . üzerindeki izdüşümü R P noktasıdır. noktasıdır Bu D e da noktanın koordinatı v T x(t ) x A cos t L O olacaktır. P A F m
S U
D
M . R
A T
P noktası çembersel yörünge üzerinde d düzgün ddairesel i l hareket h k yaparken, k izdüşümü olan P ise x-ekseni üzerinde basit harmonik hareket yapacaktır.
(12-23)
P noktasının v hızı, xm çarpımına eşit ve IM R I ççembere her noktada teğettir. ğ v hızının D L I Y x-ekseni üzerindeki izdüşümü:
A L v(t ) x sin i t if ifadesine dYi sahiptir. hi ti E L . R D e v İvme a ise, her noktada çemberin merkezi olan O T A L noktasına doğrudur ve x-ekseni üzerindeki izdüşümü O P a ( t ) x cos t ifadesine sahiptir. sahiptir A AF m
2
m
T S U
M . R
Sonuç : İster yer-değiştirmeye, ister hıza, isterse de ivmeye bakalım, düzgün dairesel h k t yapan bi hareket bir cismin i i x-ekseni k i üüzerindeki i d ki izdüşümü i dü ü ü basit b it harmonik h ik hareket h k t yapar.
D
(12-24)
Örnek : Bir cisim 3 m yarıçaplı bir çember etrafında 8 rad / s sabit açısal hızla dönmektedir. t = 0 anında cismin x koordinatı 2 m noktasıdır ve sağa doğru hareket etmektedir etmektedir. Cismin x koordinatını, çizgisel hızının ve ivmesinin x bileşenlerini bulunuz.
8 rad/s ve xm 3 m olarak verilmiştir. Buna göre, x (t ) xm cos( t ) 3 cos(8t ) LA
t 0 ' da, x 2 m olduğuna göre, 1 2 2 3cos( ) cos ( ) 48.2o ve 3 T
D
. R
Y LE
M I IR
D L YI
A L dx Cisim t 0 anında sağa doğruO hareket ettiği için, 0 P dt A Fde, 48.2 0.841 rad alınmalıdır. olmalıdır. Bu nedenle A T S U vx 24sin(8t 0.841) M x(t ) . 3cos(8t 0.841) R 0 841) ax 192 cos(8t 0.841) D t 0
o
(12-25)
DERS NOTLARININ HAZIRLANMASINDA YARARLANILAN KAYNAK KİTAPLAR
Fiziğin Temelleri (Ders Kitabı) (David HALLIDAY, Robert RESNICK, Jearl WALKER)
Üniversite Fiziği (Yardımcı Kitap) (Hugh D. YOUNG ve Roger A. FREEDMAN)
Fen ve Mühendislik İçin FİZİK (Yardımcı Kitap) (Raymond A. SERWAY ve John W. JEWETT)
