Genel Matematik

T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINI NO: 2518 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINI NO: 1489

GENEL MATEMATİK

Yazarlar Doç.Dr. Serkan Ali DÜZCE (Ünite 1) Doç.Dr. Nevin MAHİR (Ünite 2) Yrd.Doç.Dr. Derya ÇELİK (Ünite 3) Yrd.Doç.Dr. Şenay BULUT (Ünite 4) Prof.Dr. Hüseyin AZCAN (Ünite 5) Prof.Dr. Mahide KÜÇÜK (Ünite 6) Yrd.Doç.Dr. Barış ERBAŞ (Ünite 7) Prof.Dr. Nedim DEĞİRMENCİ (Ünite 8)

Editörler Prof.Dr. Şahin KOÇAK Doç.Dr. Nesrin ALPTEKİN

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

i

Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Anadolu Üniversitesine aittir. “Uzaktan Öğretim” tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Copyright © 2012 by Anadolu University All rights reserved No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic, tape or otherwise, without permission in writing from the University.

UZAKTAN ÖĞRETİM TASARIM BİRİMİ Genel Koordinatör Doç.Dr. Müjgan Bozkaya Genel Koordinatör Yardımcısı Doç.Dr. Hasan Çalışkan Öğretim Tasarımcıları Yrd.Doç.Dr. Seçil Banar Öğr.Gör.Dr. Mediha Tezcan Grafik Tasarım Yönetmenleri Prof. Tevfik Fikret Uçar Öğr.Gör. Cemalettin Yıldız Öğr.Gör. Nilgün Salur Kitap Koordinasyon Birimi Uzm. Nermin Özgür Kapak Düzeni Prof. Tevfik Fikret Uçar Öğr.Gör. Cemalettin Yıldız

Dizgi Açıköğretim Fakültesi Dizgi Ekibi

Genel Matematik

ISBN 978-975-06-1187-2

2. Baskı

Bu kitap ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Web-Ofset Tesislerinde 33.000 adet basılmıştır. ESKİŞEHİR, Mayıs 2013

ii

˙Içindekiler

iii

˙Içindekiler 1 Kümeler ve Sayılar 1.1 Küme ˙I¸slemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Sayılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3 Üslü Sayılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4 Köklü Sayılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.5 Aralıklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.6 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.7 Çıkarın Ka˘ gıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.8 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2 Denklemler ve E¸sitsizlikler

6

29

2.1 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 ˙Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli E¸sitsizlikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 ˙Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli E¸sitsizlikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.5 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51


52

2.7 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3 Fonksiyonlar

38 47

55

3.1 Fonksiyonlarla Tanı¸sma Partisi! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.2 Gerçel Sayı Havuzunda Yüzen Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.3 Fonksiyonların Resmine Bakmak

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.4 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81


82

3.6 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

85

4.1 Üstel Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.2 Logaritmik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ne ˙I¸se Yarar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 99

4.4 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

iv 4.5 Çıkarın Ka˘ gıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.6 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5 Yüzde ve Faiz Hesapları

109

5.1 Yüzde Hesapları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.2 Aritmetik ve Geometrik Diziler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.3 Bile¸sik Faiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.4 Borç Amortismanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.5 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.6 Çıkarın Ka˘ gıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.7 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 131 6.1 ˙Iki Bilinmeyenli Do˘ grusal Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2 Üç Bilinmeyenli Do˘ grusal Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3 Matrisler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.4 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5 Çıkarın Ka˘ gıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.6 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7 Türev ve Uygulamaları

159

7.1 Türevin Tanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.2 Türev Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.3 Artan ve Azalan Fonksiyonlar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.4 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.5 Çıkarın Ka˘ gıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.6 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8 ˙Integral ve Uygulamaları

185

8.1 Alan Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.2 Ba¸ska Problem, Yine Toplamlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.3 Belirli ˙Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.4 Belirsiz ˙Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.5 Temel Teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.6 Ortalama De˘ ger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.7 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.8 Çıkarın Ka˘ gıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.9 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Kaynakça

213

Dizin

214

v

Önsöz Sevgili Ö˘ grenciler, Matematik ille de asık suratlı olacak diye bir ¸sey yok. Ö˘ grenme ille de eziyetli olacak diye bir ¸sey de yok. Anlama süreci neden haz dolu bir eylem olamasın? Birçok insan tarafından kolaylıkla kavranan bir ¸sey neden ba¸skaları tarafından da kavranamasın? Matemati˘ gin ya da bir ba¸ska bilimin ileri konuları zihnimize meydan okuyan zorlukta da olabilir. Ama okul müfredatı düzeyine inen bilgi, insanlık kazanımlarının en çok süzgeçten geçmi¸s, en yalın formlara ula¸smı¸s ve faydalı oldu˘ gu sabit olmu¸s kısımlarıdır. Bu bilginin, do˘ gru dürüst aktarıldı˘ gı ve sunuldu˘ gu takdirde her dünya vatanda¸sı tarafından kolaylıkla anla¸sılabilmesi gerekir. Bu inançla matematik ö˘ grenimini zevkli bir u˘ gra¸sa dönü¸stürmek istedik ve elinizdeki kitabı ürettik. Ne kadar ba¸sarılı olaca˘ gımızı ¸süphesiz zaman gösterecektir, ama sizlerden de aktif bir okuma bekliyoruz. E˘ ger bu kitabın herhangi bir pasajı ile yarım saat sıkılmadan ve bir ¸seyler ö˘ grenerek vakit geçirebilirseniz kendimizi mutlu sayaca˘ gız. Bir yandan Mete Hoca ile Pınar Hoca, di˘ ger yandan da meraklı ö˘ grencilerimiz Zeynep, Gökçe, Selçuk ve Engin, tartı¸sa tartı¸sa, belki bazen birbirlerine de takılarak, matemati˘ gin temel kavramlarını ö˘ grenmek istiyorlar. Burada bir parça da Platon’un okuluna özenmedik desek yalan olur. Monolog yerine diyalogun hem daha zihin açıcı oldu˘ gunu, hem de insana daha yakı¸stı˘ gını dü¸sünüyoruz. Sizin de kendinizi bu sınıfın bir parçası olarak hissetmenizi, okurken aklınıza gelen soruları ya da katkıları bize iletmenizi diliyoruz. Hocalarımız da her zaman yeni bir ¸sey ö˘ grenmeye hazırdırlar ve örne˘ gin Gökçe’nin ya da Selçuk’un bir sorusundan yeni bir bakı¸s açısı kazandı˘ gımız az olmadı. Diyalog formatının kendine has bir dinami˘ gi var, soru soruyu üretiyor ve sözü bazen birkaç sayfada kestirip atamıyoruz; yani bu kitap açılıp da yarım sayfası okunabilecek bir kitap de˘ gil. Bu nedenle, üniteleri okurken en az bir alt-bölümü kendi bütünlü˘ gü içinde okumanızı öneriyor ve iyi okumalar diliyoruz. Kitabın üretim süreci bizim için de keyifli bir serüven oldu ve kitabın ruhuna uygun olarak, yazar ve editörlerden olu¸san ekibimiz devamlı bir diyalog içinde çalı¸stı. Matematik ö˘ greniminde yenilikçi bir deneme olarak bize bu olana˘ gı veren Üniversite Yönetimimize, bizi her a¸samada destekleyen Prof.Dr. Levend Kılıç, Prof.Dr. Tevfik Fikret Uçar, Doç.Dr. Müjgan Bozkaya, Prof.Dr. Cengiz Hakan Aydın ve Ö˘ gr.Gör. Cemalettin Yıldız’a; kitabın özgün LATEX stil dosyalarını hazırlayıp, dizgide ve ¸sekil çizmede hocalarımıza rehberlik eden Doç.Dr. Emrah Akyar, Doç.Dr. Ali Deniz, Doç.Dr. Serkan Ali Düzce ve Yrd.Doç.Dr. Yunus Özdemir’e ve her imdat ça˘ grısında yardıma ko¸san Yrd.Doç.Dr. Yunus Özdemir’e te¸sekkürlerimizi sunarız.

Editörler S ¸ ahin Koçak ve Nesrin Alptekin

Soru, görü¸s ve önerileriniz için ileti¸sim adresimiz: [email protected]

Gökçe

Zeynep

GENEL MATEMAT˙IK Engin

Selçuk

Pınar Hoca

Mete Hoca

Kümeler ve Sayılar

Didim Altınkum sahilindeki kum tanelerinin sayısı nedir?

1

1.

GENEL MATEMATİK

ÜNİTE

2

3

SAYI

KÜME

4 BOŞ KÜME KESİŞİM ARALIK

BİRLEŞİM

5

6

SAYININ KUVVETİ

2

1 Kümeler ve Sayılar

Giris¸ Merhaba arkada¸slar... Matematik ile ilgili bazı konuları gözden geçirmek amacıyla bundan böyle burada bulu¸saca˘ gız. ˙Ilkö˘ gretimde matematik, lisede matematik, burada da matematik... Bir türlü yakamızı kurtaramadık Mete Hocam. Nedense kendisiyle aramız pek iyi de˘ gil.

Ben de Gökçe gibi dü¸sünüyorum. Oldum olası matematik dersini sevemedim. Matemati˘ gin zor oldu˘ gunu dü¸sünmenizi anlıyorum. Matematik gerçekten uçsuz, bucaksız bir konudur. ˙Insano˘ glunun yeryüzündeki en büyük eserlerinden biri, binlerce yıllık bilgi birikimi ve deneyimin en saf halidir.

Ben matemati˘ gi bir tür ¸sifreli konu¸sma gibi görmü¸sümdür. Galileo da “Evrenin dili matematiktir” demi¸s. Evet Engin, gerçekten matemati˘ gin bir dil oldu˘ gunu da dü¸sünebiliriz. Hem de, hemen hemen herkesin, ¸su ya da bu ¸sekilde bildi˘ gi, ortak bir dildir. Biz de, bir anlamda bu dilin bazı temel dilbilgisi kurallarını, olmazsa olmaz kelimelerini ö˘ grenmek amacıyla buradayız.

Ben matemati˘ gin hayatın her alanında oldu˘ gunu dü¸sünüyorum.

Evet Zeynep matemati˘ gin ne kadar önemli, ne kadar hayati oldu˘ gunu kabul ederiz ama pek az insan onun ta¸sıdı˘ gı güzelli˘ gin, derinli˘ gin bilincine varabilir. Güzel mi? Kusura bakmayın hocam ama bir güzelli˘ gi oldu˘unu zannetmiyorum. Aksine, matemati˘ g gi bir tür kâbus gibi görüyorum. Matematik ile ilgili en basit sorularda bile kalakalıyorum.

3 Do˘ grusunu söylemek gerekirse, ben de ço˘ gunlu˘ gun matemati˘ ge yakla¸sımının böyle oldu˘ gu dü¸süncesindeyim. Ama kendinize haksızlık etmeyin. Aslında dü¸sündü˘ günüz kadar da bilgisiz, hiçbir ¸sey yapamaz durumda de˘ gilsiniz. Örne˘ gin kümeler konusunu ele alalım. Küme dedi˘ gimde aklında biraz da olsun bir¸sey canlanmıyor mu Selçuk?

Hımm... Bunu cevaplayabilirim. Nesnelerin toplulu˘ guna küme diyoruz.

Hemen bir örnek vereyim. Selçuk, Engin, Zeynep ve ben “matemati˘ gi anlamayan ö˘ grenciler” kümesini olu¸sturuyoruz. Bu söyledi˘ gin bir küme olu¸sturur mu Gökçe? Ben bu kümede oldu˘ gumu dü¸sünüyor muyum acaba? Hadi bu kümede oldu˘umu kabul ettim diyelim. Matemati˘ g gi anlamayan tek ö˘ grenciler bizler miyiz?

Zeynep do˘ gru bir belirlemede bulundu Gökçe... Küme kavramını ifade ederken toplulu˘ gun “iyi tanımlanmı¸s” nesnelerden olu¸smasına dikkat etmeliyiz.

Gördünüz mü hocam gene olmadı, bu soruyu bile do˘ gru dürüst cevaplayamadım.

Hemen moralini bozmak yok Selçuk. Dedi˘ gim gibi biraz sabır gerekecek. Daha ilk hatamızda vazgeçmeyece˘ giz.

Burada “iyi tanımlı” ile anlatmak istedi˘ gimiz, bir nesnenin bu kümeye ait olup olmadı˘ gını kesin olarak ayırt etmemiz için yeterli bilginin verilmi¸s olmasıdır.

Pınar Hoca haklı arkada¸slar... “Matemati˘ gi anlamayan ö˘ grenciler” bir küme olu¸sturur mu? Kime matematikten anlıyor, kime anlamıyor diyece˘ giz? Gökçe’ye göre “matemati˘ gi anlamayan ö˘ grenciler”, Zeynep’e göre de “matemati˘ gi anlamayan ö˘ grenciler” midir? Bunu ayırt etmek hiç de kolay de˘ gil. Böyle bir topluluk olu¸sturulurken büyük olasılıkla farklı ki¸silerce farklı seçimler olacaktır. Bu nedenle bir

4

1 Kümeler ve Sayılar kümeyi belirlerken, bir nesnenin o kümeye ait olup olmadı˘ gı, herkes tarafından net olarak anla¸sılacak biçimde ifade edilmelidir. Peki bu “iyi tanımlı” olma i¸sini nasıl çözece˘ giz? Söylediklerinizden sonra bana “iyi tanımlı” nesneler ifade etmek oldukça zor göründü Mete Hocam... Kümelerimizi, ne oldu˘ gu hakkında kimsenin ¸süphe duymayaca˘ gı nesnelerle olu¸sturmak i¸simizi kolayla¸stıracaktır. Burada genel olarak sayı kümeleri ile u˘ gra¸saca˘ gımız için bu konuda bir endi¸seniz olmasın.

E˘ ger a nesnesi, A kümesinin elemanı ise

Küme kavramını ifade etti˘ gimize göre kümeler ile ilgili bir takım temel bilgileri artık ifade edebiliriz. Anla¸sma kolaylı˘ gı

a∈A

açısından kümeleri A, B, C, . . . gibi büyük harflerle gösteriyoruz. Bir kü-

ve b nesnesi, A kümesinin

meyi olu¸sturan nesnelere kümenin elemanı diyoruz ve kümenin eleman-

elemanı de˘ gilse

larını da a, b, c, . . . gibi küçük harflerle gösteriyoruz. E˘ ger a nesnesi A

b ∈ A olarak gösterilir.

kümesinin bir elemanıysa bu durumu a ∈ A, e˘ ger b nesnesi A kümesinin

elemanı de˘ gilse bu durumu b ∈ A olarak gösteriyoruz.

Kümeleri ifade etmek için bir takım gösterimler kullanıyorduk. Mesela, elemanlarını tek tek yazarak bir küme verebiliriz de˘ gil mi? Evet Engin haklısın. Bir kümeyi belirtmenin bir yolu elemanlarını {

}

biçiminde iki parantez arasına, aralarına virgül koyarak tek tek ifade etmektir. Bu gösterime “liste gösterimi” diyece˘ giz. Örne˘ gin bir, iki, üç ve dört sayılarından olu¸san bir küme {1, 2, 3, 4} biçiminde gösterilir.

{a, b, c, d} de bir küme örne˘ gi olabilir de˘ gil mi? Elbette, neden olmasın.

Peki eleman sayısı çok fazla ise ne olacak? Örne˘ gin 100’den küçük do˘ gal sayılar kümesini de yine tek tek mi yazaca˘ gız?

5 Elbette eleman sayısı fazla olan bir kümeyi ifade etmek için bu yöntemi kullanmak pek akıllıca olmaz. Her bir elemanı tek tek yazmak yerine bu kümeyi {1, 2, . . . , 99} biçiminde ifade edebiliriz. Aradaki sayılara ne oldu, uçtular mı? Burada ilk birkaç eleman ile kümenin hangi elemanlardan olu¸stu˘ gu anla¸sılıyorsa geri kalan elemanları tek tek yazmak yerine “. . .” (üç nokta) ile ifade ediyoruz. Kümenin elemanları bir yerde son buluyorsa, son bir ya da birkaç elemanı da yazıyoruz.

Bu yöntemi bir adım daha geli¸stirerek bu kümeyi

x | x sayısı 100’den küçük do˘ gal sayı

biçiminde de ifade edebiliriz. Bu ¸sekilde, kümeyi olu¸sturan elemanları tek tek saymak yerine sa˘ gladıkları özelliklerle bu kümeye dahil ediyoruz. Bu gösterime de “ortak özellik gösterimi” veya “kapalı gösterim” diyece˘ giz. Bu son söyledi˘ giniz en iyisi sanki Pınar Hocam. Bir de yuvarlaklar çizip, kümenin elemanlarını bu yuvarla˘ gın içine yazıyorduk. Çok haklısın Gökçe. Kümeleri göstermek için bir ba¸ska yöntem de küme elemanlarını düzlemde daire, elips, dikdörtgen vs. biçiminde bölgeler içine yazmaktır. Bu yönteme kümelerin “Venn ¸seması ile gösterimi” denir.

Örne˘ gin A = {1, 2, 3, 4} kümesini Venn ¸seması ile S ¸ ekil 1.1’deki gibi

gösterebiliriz.

Sözkonusu

problemde

birden

çok

küme ile ilgileniliyorsa Venn ¸seması kullanılarak kümeler arasındaki ili¸skiyi görmek kolayla¸smaktadır. A 4

1

2

3

S ¸ ekil 1.1: A kümesinin Venn ¸seması ile gösterimi.

6


Küme ˙Islemleri ¸ Tanım A ve B iki küme olsun. Her x ∈ A için x ∈ B

S ¸ imdi kümelerle ilgili bazı temel tanımları ifade edelim. Elimizde A ve B gibi iki küme olsun. E˘ ger A kümesinin her ele-

ise A kümesine B kümesinin altkümesidir denir ve

manı, B’nin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin altkümesidir

A⊂ B

A⊂ B

diyoruz ve bu durumu

olarak gösteriyoruz.

ile gösterilir.

Peki A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3, 4} ise A kümesi... B 3 4

1 2

A

S ¸ ekil 1.2: A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3, 4} ise

A ⊂ B olur.

A kümesi B kümesinin altkümesidir, de˘ gil mi?

Evet Selçuk, haklısın. Az önce Pınar Hoca’nın söyledi˘ gi gibi, bir kümeye ait her eleman bir ba¸ska kümeye de ait ise ilk küme, ikincinin altkümesidir. Burada hem 1, hem de 2, B kümesinin de elemanı oldu˘ gu için A ⊂ B olur. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 2, 1} kümeleri için ne diyebilirsiniz

arkada¸slar?

A kümesi B kümesinin altkümesidir. B kümesi de A kümesinin altkümesidir.

Do˘ gru söylüyorsun Zeynep. Peki C = {1, 1, 1} ve D = {1}

kümeleri için ne dersiniz?

Burada da benzer durum var. 1 hem C kümesinin, hem de D kümesinin elemanı, ba¸ska eleman da yok.

Küme ˙I¸slemleri

7

˙Ilk örnekteki A ve B kümeleri ve ikinci örnekteki C ve D kümeleri e¸sittir. ˙Ilk verdi˘ giniz örnekte elemanların yazılı¸s sırası farklıydı,

Tanım E˘ ger A ⊂ B ve B ⊂ A ise A ve B kümeleri e¸sittir denir ve A= B

ikinci örnekte de bir eleman birden fazla yazılmı¸stı. O halde bir kümenin elemanlarının yazılı¸sında sıranın de˘ gi¸stirilmesi ya da elemanların tekrar edilmesi kümeyi de˘ gi¸stirmiyor. Tebrikler Engin, haklısın. S ¸ unu da ekleyelim, A ve B kümelerinin e¸sit olmaması durumu da A = B olarak gösterilir. Ayrıca A ⊂ B ve A = B ise A kümesi B kümesinin öz altkümesidir denir.

olarak gösterilir.

Örnek “LEBLEB˙I” kelimesinin harfleri kümesi {B, E, ˙I, L} olur. Bu küme aynı zamanda “BELL˙I” kelimesinin harfleri kümesine de e¸sittir.

Mesela az önce Mete Hoca’nın verdi˘ gi örnekteki A = {1, 2}

kümesi B = {1, 2, 3, 4} kümesinin öz altkümesidir.

Çok güzel Selçuk, tebrik ediyorum. Peki arkada¸slar, A = {1, 2} kümesinin tüm altkümelerini sayabilir misiniz?

Ben sayayım hocam... {1}, {2}... Galiba bu kadar... {1, 2} kümesi de A kümesinin altkümesidir. A kümesinden her-

hangi bir eleman seçti˘ gimizde bu eleman yine A kümesine ait oldu˘ gundan A kümesi kendisinin altkümesidir. Do˘ gru söylüyorsun Zeynep. Bunu daha önceden farketmemi¸stim ama A = {1, 2} kümesi kendisinin altkümesi oldu. O za-

man cevabımı {1}, {2}, {1, 2} olarak de˘ gi¸stiriyorum.

Evet, A kümesinin altkümeleri arasında {1, 2} kümesi de ol-

malı. Ama sorunun cevabını tamamlayamadınız. Bir altküme daha var.

Hımm, ba¸ska ne kaldı ki? Ben geride kalan bir¸sey göremiyorum.

A herhangi bir küme olmak üzere A ⊂A olur.

8

1 Kümeler ve Sayılar Peki ¸söyle sorayım. Hiç elemanı olmayan bir kümeyi nasıl ifade ederiz? Hatırlayanınız var mı?

Bo¸s küme diyorduk. Tanım Hiçbir elemanı olmayan kümeye bo¸s küme denir.

Haklısın Engin. Hiç elemanı olmayan kümeye bo¸s küme denir

Bo¸s küme

ve

simgesiyle gösterilir. ˙I¸ste unuttu˘ gunuzu söyledi˘ gim küme de bo¸s küme

simgesiyle gösterilir.

idi. Çünkü bo¸s küme her kümenin altkümesidir.

A herhangi bir küme olmak üzere

O nedenmi¸s?

⊂A olur.

Hımm... Böyle olmasaydı, yani bo¸s küme bir A kümesinin altkümesi olmasaydı, bo¸s kümede A kümesine ait olmayan bir eleman oldu˘ gunu ifade etmi¸s olurduk. Ancak bo¸s küme hiç eleman içermedi˘ gine göre bu iddiamız anlamsız olurdu. A = {1, 2} kümesinin tüm altkümeleri

O halde A = {1, 2} kümesinin tüm altkümeleri de , {1}, {2}, {1, 2}

, {1}, {2}, {1, 2}

olur. Sanıyorum sonunda do˘ gru cevabı verebildim.

olur.

Evet Engin, sorunun do˘ gru cevabı bu olmalıydı.

E = {1, 2, . . . , 9}, A = {2, 4, 6} ve B = {6, 7, 9} ise Venn ¸seması ¸söyle olur: E

Bu konuyu kapatmadan önce evrensel kümenin de ne demek oldu˘ gunu hatırlayalım. ˙Ilgilendi˘ gimiz problemde verilen kümeleri, uygun bir kümenin altkümelerinden seçmek kimi durumlarda i¸simizi kolayla¸stırır. Herhangi bir problemle ili¸skili tüm kümeleri kapsayan böyle bir kümeye “evrensel küme” diyoruz. Evrensel küme genel

A 4 2

5 1

8

6

B

olarak E ile gösterilir. Az önce söyledi˘ gim gibi evrensel küme seçilen

9

probleme göre de˘ gi¸sebilen bir kümedir. Örne˘ gin yalnız 10’dan küçük

7 3

do˘ gal sayıları kullanacaksak E = {1, 2, . . . , 9} olarak belirlemek yeterlidir.

Küme ˙I¸slemleri

9

Bu konuda epey çok ¸sey bildi˘ ginizi gösterdiniz. S ¸ imdi de küme i¸slemleri ile ilgili bir takım konuları gözden geçirelim. Kümelerin birle¸simi, kesi¸simi gibi i¸slemleri mi kastediyorsu-

Tanım A ve B kümelerinden en az birine ait elemanların

nuz? Birle¸simi ben söyleyeyim. Verilen kümelere ait eleman-

olu¸sturdu˘ gu kümeye A ve B kümelerinin birle¸simi denir

ların tümünün olu¸sturdu˘ gu kümedir.

ve A∪ B

Evet Engin, A ve B kümelerinden en az birine ait elemanların olu¸sturdu˘ gu kümeye “A ve B kümelerinin birle¸simi” diyoruz ve bu kümeyi A∪ B ile gösteriyoruz. Örne˘ gin A = {2, 4, 6} ve B = {6, 7, 9} için

ile gösterilir. deyi¸sle

olur.

A 4 2

Keyfi A, B, C kümeleri için birle¸sim ile ilgili ¸su özellikler geçerlidir.

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Birle¸sme özelli˘ gi)

ba¸ska

A∪B = x| x ∈ A veya x ∈ B

A ∪ B = {2, 4, 6, 7, 9} olur.

• A ∪ B = B ∪ A (De˘ gi¸sme özelli˘ gi)

Bir

B 6

7 9

S ¸ ekil 1.3: A ∪ B = {2, 4, 6, 7, 9}

• A ∪ = A ve A ∪ E = E • A ⊂ A ∪ B ve B ⊂ A ∪ B Bo¸s küme eleman içermedi˘ ginden A kümesi ile birle¸simi A olacaktır. Evrensel küme, ilgili probleme ait tüm kümeleri içerdi˘inden A kümesi ile birle¸simi yine evrensel küme olacaktır. g Burada iki kümenin birle¸simini tanımladık. Peki üç, dört veya

Örnek

daha fazla sayıda küme verilseydi, bunların birle¸simini nasıl

A = {1, 2}, B = {2, 3}, ve C = {3, 4} kümeleri için

belirleyecektik? ˙Ikiden çok küme verildi˘ ginde birle¸sim kümesi, yine bu küme-

A ∪ B = {1, 2, 3}, B ∪ C = {2, 3, 4},

lerden en az birine ait olan elemanların kümesidir. De˘ gi¸sme ve birle¸sme özellikleri sayesinde ikiden çok kümenin birle¸simi için, birle¸simleri hangi sırada dü¸sündü˘ gümüzün bir önemi kalmıyor.

(A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4} ve A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4}

˙Iki kümenin kesi¸simi de bu kümelerin her ikisine ait elemanların kümesidir.

olur.

10

1 Kümeler ve Sayılar Do˘ gru söylüyorsun Zeynep. A ve B kümelerinin her ikisine

Tanım Hem A hem de B ye ait elemanların olu¸sturdu˘ gu kümeye A ile B nin kesi¸simi denir ve

de ait elemanların olu¸sturdu˘ gu kümeye “A ile B kümelerinin kesi¸simi” diyoruz ve bu kümeyi A ∩ B ile gösteriyoruz. Yine A = {2, 4, 6} ve B = {6, 7, 9} kümeleri için A ∩ B = {6} olur.

A∩ B ile gösterilir. deyi¸sle

Birle¸sime benzer olarak keyfi A, B, C kümeleri için kesi¸sim ile Bir

ilgili ¸su özellikler do˘ grudur.

ba¸ska

• A ∩ B = B ∩ A (De˘ gi¸sme özelli˘ gi)

A ∩ B = {x| x ∈ A ve x ∈ B} olur.

• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Birle¸sme özelli˘ gi) • A ∩ = ve A ∩ E = A

A 4 2

B 6

7 9

• A ∩ B ⊂ A ve A ∩ B ⊂ B Kümelerin kesi¸siminde de yine de˘ gi¸sme ve birle¸sme özelli˘ gi

A∩ B

var. O halde ikiden çok kümenin kesi¸simini de dü¸sünürken

S ¸ ekil 1.4: A ∩ B = {6}

verilen kümelerin kesi¸simlerini hangi sırada dü¸sündü˘ gümüzün bir önemi yok.

A kümesine ait olan ancak B kümesine ait olmayan elemanların kümesine ne diyorduk arkada¸slar? A 4 2

B 6

7 9

A fark B kümesi diyoruz. Benzer olarak B’ye ait olan ancak A’ya ait olmayan elemanların kümesine de B fark A kümesi diyoruz.

A\ B S ¸ ekil 1.5: A \ B = {2, 4}

A 4 2

B 6

7 9 B\A

Tanım A’ya ait olan ancak B’ye ait olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve bu küme A \ B ile gösterilir. A \ B = {x| x ∈ A ve x ∈ B} Benzer olarak B \ A = {x| x ∈ B ve x ∈ A} olur.

S ¸ ekil 1.6: B \ A = {7, 9}

S ¸ imdi de küme i¸slemleri ile ilgili biraz örnek yapalım.

Küme ˙I¸slemleri

11 A

Örnek A = {1, 3, 5} ve B = {1, 2, 3, 4} kümeleri için

B 3

• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

5

2 4

1

• A ∩ B = {1, 3} S ¸ ekil 1.7: A = {1, 3, 5} ve

• A \ B = {5} ve B \ A = {2, 4} olur.

B = {1, 2, 3, 4} kümeleri için

Örnek A = {1, 2, 3} ve B = {4, 5, 6} kümeleri için

A \ B = {5}, B \ A = {2, 4} ve

A ∩ B = {1, 3} olur.

• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • A∩B = olur, çünkü hem A hem de B kümesine ait olan eleman yoktur.

A

B

2 3

Son örnekteki kümelerin ortak elemanı yok.

1 6

5 4

S ¸ ekil 1.8: A = {1, 2, 3} ve

B = {4, 5, 6} kümeleri için

Evet Engin, ortak elemanları olmayan, bir ba¸ska deyi¸sle kesi-

A ∩ B = olur.

¸simleri bo¸s olan kümelere “ayrık kümeler” denir. Son örnekteki A ve B ayrık kümelerdir.

Tanım Kesi¸simleri bo¸s olan kümelere ayrık kümeler denir.

Bir kümenin evrensel kümeye göre tümleyenini de ¸söyle tanımlıyoruz.

Tanım E evrensel kümesi ve bunun bir A altkümesi verilsin. E kümesine ait olup A kümesine ait olmayan elemanların kümesine A kümesinin E kümesine göre tümleyeni denir ve bu küme At ile gösterilir. E A 5 Örnek E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve A = {2, 4, 6} kümeleri için At = {1, 3, 5, 7} olur.

E evrensel küme olmak üzere A ve B kümeleri için t = E

ve

t t

Et =

(A )

=

A

(A ∪ B) t

=

At ∩ B t

(A ∩ B) t oldu˘ gunu söyleyebiliriz.

=

At ∪ B t

1

7

4 2 6 3

S ¸ ekil 1.9: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve

A = {2, 4, 6} kümeleri için At = {1, 3, 5, 7} olur.

12

1 Kümeler ve Sayılar Az önce Venn ¸semalarından bahsetmi¸stik. Venn ¸semalarını kullanarak kesi¸sim ve birle¸sim ile ilgili ilk anda karı¸sık görünen problemleri kolayca çözebiliriz. Bu konuda birkaç örnek verelim.

Örnek 30 ki¸silik bir sınıfta, belli bir sınav döneminde bütün ö˘ grenciler Türkçe veya Matematik sınavlarının en az birinden ba¸sarılı olmu¸stur. 12 ö˘ grenci yalnızca Matematik, 10 ö˘ grenci yalnızca Türkçe sınavında ba¸sarılı oldu˘ guna göre hem Matematik hem de Türkçe sınavlarında ba¸sarılı olan kaç ö˘ grenci vardır?

Evet, yeterince karı¸sık görünüyor hocam. Aslında o kadar da zor de˘ gil. Türkçe sınavında ba¸sarılı olan Hem Matematik, hem de Türkçe sınavında ba¸sarılı ö˘ grenciler Türkçe sınavında ba¸sarılı, Matematik sınavında ba¸sarısız ö˘ grenciler

T T\M

M T∩M

M\T

ö˘ grencilerin kümesini T , Matematik sınavında ba¸sarılı olan ö˘ grencilerin kümesini M ile isimlendirelim. Her ö˘ grenci T ∪ M kümesinin bir elemanıdır. Yalnızca Türkçe sınavında ba¸sarılı ö˘ grenciler, Matematik sınavında ba¸sarısız

oldu˘ gu için T \ M kümesini olu¸sturur. Benzer olarak, yalnızca

Matematik sınavında ba¸sarılı ö˘ grenciler M \ T kümesini olu¸sturur. Bu durumda soldaki gibi bir Venn ¸seması çizebiliriz.

Matematik sınavında ba¸sarılı, Türkçe sınavında ba¸sarısız ö˘ grenciler

Kesi¸sim kümesi hem Türkçe, hem de Matematik sınavında baT 10

M ?

12

¸sarılı ö˘ grencilerin kümesidir. Yalnızca bir dersten ba¸sarılı olan 10 + 12 = 22 ö˘ grenci vardır. Sınıfta toplam 30 ö˘ grenci oldu˘ guna göre her iki sınavda da ba¸sarılı olmu¸s ö˘ grenci sayısı 30 − 22 = 8 olur. Örnek 45 ki¸silik bir sınıfta belli bir sınav döneminde Türkçe dersinden ba¸sarılı olanlar 29 ve Matematik dersinden ba¸sarılı olanlar 23 ki¸sidir. Her iki dersten ba¸sarılı olanlar 17 ki¸si oldu˘ guna göre her iki dersten de ba¸sarısız olan kaç ki¸si vardır?

Ben de bu soruyu çözmeye çalı¸sayım. Türkçe dersinden ba¸sarılı olan ö˘ grencilerin kümesini T , Matematik dersinden ba¸sarılı olan ö˘ grencilerin kümesini M ile isimlendirelim. Her iki dersten ba¸sarılı olan ö˘ grenciler T ∩ M kümesini olu¸sturur. Her

iki dersten de ba¸sarısız ö˘ grenciler T ∪ M kümesinin tümleyenine aittir. Bu kümede kaç ö˘ grenci oldu˘ gunu bulmak istiyoruz.

Sayılar

13

Kesi¸sim kümesinde 17 ki¸si oldu˘ guna göre T \ M , yani yalnızca

Türkçe dersinden ba¸sarılı ö˘ grencilerin kümesi 29 − 17 = 12 ki¸sidir. M \ T yani yalnızca Matematik dersinden ba¸sarılı ö˘ grencilerin kümesi de 23 − 17 = 6 ki¸sidir.

E T 12 ?

Bu derslerin herhangi birinden ba¸sarılı ö˘ grencilerin kümesi T ∪ M olur ve bu kümenin 12 + 17 + 6 = 35 elemanı vardır.

Sınava giren 45 ö˘ grenci, en az bir dersten ba¸sarılı 35 ö˘ grenci oldu˘ guna göre, her iki dersten ba¸sarısız olan ö˘ grenci sayısı 45 − 35 = 10 olur.

Sayılar Kümeler kadar tanıdık bir ba¸ska konu da sayılar de˘ gil mi arkada¸slar? Hatta belki kümelerden de tanıdık. Üstelik az önce kümeler konusundan bahsederken sayıları kullandık. Aranızda do˘ gal sayılar kümesini bilmeyen var mı?

Do˘ gal sayılar kümesini kim bilmez! Adı üstünde hocam, 1, 2, 3, . . . diye giden sayı kümesine do˘ gal sayılar kümesi diyoruz.

Evet Selçuk, do˘ gru söylüyorsun. Bu kümeyi özel olarak ile gösteriyoruz. Bazı kaynaklar, do˘ gal sayılar kümesine sıfır sayısını dahil etse de, sayıların tarihsel geli¸simi itibariyle sıfır, rasyonel ve hatta irrasyonel sayılardan sonra sayı sistemine dahil olmu¸stur. Biz do˘al sayılar kümesini g = {1, 2, 3, . . . } olarak alalım. Peki do˘ gal sayılar kümesini içeren hangi sayı kümelerini biliyoruz? ˙Ilk olarak do˘ gal sayılara bu sayıların negatiflerini ve bir de sıfır sayısını katarak elde edece˘ gimiz tamsayılar kümesini örnek verebiliriz.

M 17

6

14

1 Kümeler ve Sayılar Tamsayılar kümesini ile gösteriyoruz. Engin’in dedi˘ gi gibi bu küme = { 1, 2, 3, . . .} ∪ {0} ∪ {−1, −2, −3, . . .} = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} biçimindedir. Bir de iki tamsayının oranı biçiminde ifade edilen rasyonel sayılar kümesi var tabii...

Evet Zeynep, a ve b iki tamsayı olmak üzere a/b biçimindeki sayılara da rasyonel sayı diyoruz. Ancak burada b = 0 olması

gerekti˘ gine de dikkat edelim.

Rasyonel sayılar kümesini de ile gösteriyoruz. O halde rasyonel sayılar kümesini a = | a, b ∈ , b = 0 b biçiminde ifade edebiliriz. Dikkat ederseniz tamsayılar kümesi de rasyonel sayılar kümesinin altkümesidir. Tamsayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesinin altkümesi mi? O nasıl oluyor anlamadım.

Anlamayacak ne var canım! Herhangi bir a tamsayısını

a

1 biçiminde de ifade edebiliriz. Yani her tamsayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.

Do˘ gal sayılar kümesi tamsayılar kümesinin, tamsayılar kümesi de rasyonel sayılar kümesinin altkümesidir. ⊂⊂

Yani do˘ gal sayılar kümesi tamsayılar kümesinin, tamsayılar kümesi de rasyonel sayılar kümesinin altkümesidir. S ¸ imdi sayıları bir do˘ gru üzerine yerle¸stirdi˘ gimizi dü¸sünelim. Öncelikle 0 sayısını sayı do˘ grumuza yerle¸stirelim.

0 0 noktasına ba¸slangıç noktası diyelim. Ba¸slangıç noktasından sa˘ ga ˙ do˘ gru e¸sit adımlarla ilerlemeye ba¸slayalım. Ilk adımda 1 sayısını,

Sayılar

15 0

1

0

1

ikinci adımda 2 sayısını yerle¸stirip, 2

bu ¸sekilde devam ederek tüm do˘ gal sayıları sayı do˘ grusu üzerinde gösterebiliriz.

0

1

3

2

4

S ¸ imdi tekrar ba¸slangıç noktasına, yani 0 sayısına dönüp, yine e¸sit uzunlukta adımlarla sola do˘ gru ilerlemeye ba¸slarsak ilk adımda −1 −1

0

1

3

2

4

ve az önce yaptı˘ gımıza benzer ¸sekilde devam ederek tüm negatif sayıları sayı do˘ grusu üzerine yerle¸stirip, tamsayıları da sayı do˘ grusu üzerinde göstermi¸s oluruz. −4

−3

−2

−1

0

1

3

2

4

Peki 5/2 sayısı bu do˘ gru üzerinde nereye denk geliyor? Evet sıra kesirli sayılara geldi. Acaba 5/2 gibi kesirli sayıları sayı do˘ grusuna nasıl yerle¸stirece˘ giz? “Kesir” demi¸sken hemen bir açıklama yapayım. 1 tamsayısı 1 = 2/2 oldu˘ gundan aynı zamanda rasyonel sayıdır. 1/2 ise rasyonel sayıdır ancak tamsayı de˘ gildir. ˙I¸ste bu türden sayılara “kesirli sayı” diyoruz. Neyse, 5/2 kesrini sayı do˘ grusuna yerle¸stirelim. Bu defa da adımları parçalayarak ilerleyece˘ giz. 5/2 için sa˘ ga do˘ gru, attı˘ gımız her bir adımı iki e¸s parçaya bölerek, be¸s parça ileri gidece˘ giz ya da bir ba¸ska ifadeyle, sıfırdan sa˘ ga do˘ gru önce iki adım, sonra yarım adım daha ataca˘ gız. −4

−3

−2

−1

0

1 1 2

3

2

4

5 2

3 2

O zaman −4/3 sayısı için de her bir adımımızı 3 e¸s parçaya

bölerek 4 parça ilerleyece˘ giz ya da önce bir adım, sonra 1/3 adım daha ataca˘ gız. Sayı negatif oldu˘ gu için bu sefer yönümüz sa˘ ga de˘ gil, sola do˘ gru olacak. −4

−3

−2

−1

− 43

0

1

2

3

4

16

1 Kümeler ve Sayılar Evet Gökçe haklısın. Verilen sayı pozitif ise ba¸slangıç noktasından sa˘ ga, negatif ise sola ilerliyoruz. Bu ¸sekilde ister tamsayı ister kesirli sayı, hepsini sayı do˘ grusu üzerinde gösterebilirim. Peki tüm rasyonel sayıları alıp bu sayı do˘ grusu üzerine yerle¸stirsek bu do˘ gruyu tamamen doldurmu¸s olur muyuz? Doldurmak ne demek, bence ta¸sar bile... ˙Ilk anda dolduraca˘ gını dü¸sünebilirsiniz ama tüm rasyonel sayıları bu do˘ gru üzerine yerle¸stirdi˘ gimizde de bu do˘ gruda bo¸s

Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende iki dik kenarın

yerler kalacak.

uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün karesine

Yapmayın hocam, ben inanmıyorum. O kadar çok sayıyı yer-

e¸sittir. Yani a, b, c üçgenin

le¸stirdik, nerede bo¸sluk kaldı?

kenar üzere

uzunlukları

olmak

O zaman tüm rasyonel sayıları yerle¸stirdikten sonra bu sayı do˘ grusu üzerinde bo¸s kalan noktalardan birini hep birlikte c

b a

görelim. Sayı do˘ grumuz üzerinde kenar uzunlu˘ gu 1 birim olan bir kare ve bu karenin kö¸segenini çizelim.

·

a 2 + b2 = c 2

0

olur.

1

Sonra merkezi ba¸slangıç noktası ve yarıçapı, bu kö¸segenin uzunlu˘ gu ka-

Örnek

dar olan çemberin sayı do˘ grusunun pozitif tarafını kesen noktayı i¸saretc

1 1

·

leyelim. Her iki dik kenarının uzunlu˘ gu 1 birim olan üçgenin hipotenüs gunu hatırlıyorsunuzdur. uzunlu˘ gunun 2 oldu˘

2

c 2 = 12 + 12 = 2 oldu˘ gundan c = 2 olur.

0

2

Bu nedenle sayı do˘ grusu üzerinde i¸saretledi˘ gimiz nokta 2 sayısına kar¸sılık gelmektedir. 2 rasyonel bir sayı de˘ gildir. Dolayısıyla bu sayı do˘ grusu üzerinde herhangi bir rasyonel sayıya kar¸sılık gelmeyen noktalar da vardır. Bu türden sayılara “irrasyonel sayı” diyoruz. Hımm, bu

2 de ne ki?

Sayılar

17 ˙I¸ste rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birle¸simi de “gerçel sayılar” kümesini olu¸sturmaktadır. Gerçel sayılar

kümesini ile gösteriyoruz. Rasyonel sayılar kümesinin, gerçel sayılar kümesinin bir altkümesi oldu˘ gu açıktır. Evet, çünkü iki küme için bu kümelerden herhangi biri, bu kümelerin birle¸siminin altkümesiydi. Yani kümelerimiz A ve B ise hem A ⊂ A ∪ B hem de B ⊂ A ∪ B idi. Rasyonel sayılar gerçel sayıların altkümesi oldu˘ guna göre ⊂ ⊂ ⊂ yazabiliriz. Do˘ gru söylüyorsun Zeynep, konuyu bu ¸sekilde özetleyebiliriz. Artık elimizde gerçel sayılar kümesi var. Herhangi iki gerçel sayıyı toplayabilir ya da çarpabiliriz. Sonuç yine bir gerçel sayı olacaktır. S ¸ imdi bize a ve b gibi iki gerçel sayı verilmi¸s olsun. a sayı-

a = b veya a < b ise

sının sayı do˘ grusundaki konumu b sayısınınkine göre solda

a≤b

ise “a sayısı, b sayısından küçüktür” diyece˘ giz ve bunu a < b olarak gösterece˘ giz.

olarak gösterilir ve a, b’den küçük e¸sittir denir.

Az önce verdi˘ gim örne˘ ge göre −2 sayısı −4/3 sayısından kü4 çüktür. Yani −2 < − olur. 3

Örnek

4 3

≤ 2 olur.

Bu duruma bir ba¸ska açıdan bakacak olursak, b sayısı da sayı do˘ grusunda konum olarak a sayısına göre sa˘ gda kaldı˘ gı için “b sayısı, a sayısından büyüktür” diyebiliriz ve bunu b > a olarak gösteririz. O halde “−4/3 sayısı, −2 sayısından büyüktür” de diyebili4 rim. Yani − > −2 olur. 3

a = b veya a > b ise a≥b olarak gösterilir ve a, b’den büyük e¸sittir denir. Örnek 1 ≥ 1 olur ancak 1 > 1 de˘ gildir!

Buna göre

2 sayısı da 1 sayısından büyüktür. Yani 2 > 1

diyebiliriz. Mete Hocam,

2 dediniz, irrasyonel sayı dediniz, geçtiniz.

Homurdandım ama duymadınız. Benim zihnimde bir¸sey canlanmıyor. ˙Irrasyonel sayıları biraz daha açıklasanız.

18

1 Kümeler ve Sayılar 2 sayısını ve daha genel anlamda irrasyonel sayıları gözü nüzde çok da büyütmeyin. 2 dedi˘ gimiz, karesi 2 olan pozitif gunu söyledi. 2’nin karesi 4 olsayıdır. Engin 2’nin 1’den büyük oldu˘ du˘ guna göre 2 sayısı 1 ile 2 arasındadır. 1,5’in karesi 2,25 oldu˘ guna göre 2 sayısı 1 ile 1,5 arasındadır. Bu ¸sekilde hesap yapmaya devam edersek 1, 41421356 . . . biçiminde sonsuz ondalıklı açılım elde ederiz.

Ben de sonsuz ondalıklı açılımı olan bir sayı söyleyebilirim. 1/3 = 0, 333 . . . Evet Engin, do˘ gru söylüyorsun ama bu iki sonsuz açılımda bir fark var. Söyledi˘ gin sayının ondalık kısmında 3 durmadan tekrar ediyor. Bu türden, ondalık açılımı belli bir basamaktan sonra tekrar eden basamak gruplarından olu¸san sayılara devirli ondalık sayı diyoruz ve örne˘ gin senin sayını 0, 333 . . . = 0, 3 olarak gösteriyoruz. De virli ondalık sayılar da rasyonel sayıdır. Ancak 2 = 1, 41421356 . . . sayısında ondalık kısım, hesabımızı ne kadar hassasla¸stırırsak hassasla¸stıralım, tekrar eden basamak gruplarına ula¸smaz. ˙I¸ste, irrasyonel sayılar, ondalık açılımı belli bir basamaktan sonra tekrar eden basamak grupları bulundurmayan sayılardır diyebiliriz. Hımm... Zaman zaman gazetelerde “Pi sayısının bilmem kaç milyar basama˘ gı hesaplandı” gibisinden gördü˘ gümüz haberlerin nedeni bu demek ki!

3, 141 592 653 589 793 . . . S ¸ ekil 1.10: π sayısının ondalık açılımının ilk 15 basama˘ gı.

Evet Selçuk, çemberin çevresinin çapına oranı olan π sayısı da irrasyonel bir sayıdır. Di˘ ger tüm irrasyonel sayılar gibi π sayısı da virgülden sonra kaç basama˘ gı hesaplanırsa hesaplansın, kendini tekrar eden basamak gruplarına ula¸smayacaktır. Bu nedenle benzer haberleri, basamak sayısı artmı¸s olarak, gelecekte de göreceksiniz. Son olarak mutlak de˘ ger kavramından biraz bahsedelim. Bir a

−3

5

0

noktasına, yani sıfıra olan uzaklı˘ gıdır ve |a| ile gösterilir. Buna göre −3

| − 3| −3

sayısının mutlak de˘ geri, sayı do˘ grusunda o sayının ba¸slangıç ve 5 sayılarının mutlak de˘ geri nedir Selçuk?

5

0 |5|

S ¸ ekil 1.11: | − 3| = 3, |5| = 5

−3 sayısının mutlak de˘ geri 3 ve 5 sayısının mutlak de˘ geri de 5 olur. Bunu

| − 3| = 3, |5| = 5 olarak ifade ederiz.

Üslü Sayılar

19

Sıfır dı¸sındaki her sayı için, sayı pozitif de olsa, negatif de olsa mutlak de˘ geri hep pozitif çıkıyor. Sıfır noktasının kendine uzaklı˘ gı da sıfır olaca˘ gından |0| = 0 olur.

Üslü Sayılar Bir a gerçel sayısının kendisiyle çarpımını a2 ile a · a · a sa-

yısını a3 ile gösteriyoruz ve bu sayılara sırasıyla a sayısının

“kare”si ve “küp”ü diyoruz. Genel olarak n ≥ 2 do˘ gal sayısı için, n tane a sayısının çarpımını a n ile gösteriyoruz. Yani a2

= a·a

a3 = a · a · a .. . an

= a · a. . . a n tane

a n sayısına “a sayısının n. kuvveti” diyoruz. Peki arkada¸slar, yine n ≥ 2, m ≥ 2 olmak üzere n, m do˘ gal sayıları için a n ile

a m sayılarını çarptı˘ gımızda ne olacak?

a n sayısı n tane, a m sayısı da m tane a sayısının çarpımı oldu˘una göre bu ikisinin çarpımı n + m tane a sayısının çarpımıg dır. Engin do˘ gru söylüyor. an

= a · a. . . a ve a m = a · a. . . a n

tane

m

tane

oldu˘ gundan a n · a m = a · a. . . a · a · a. . . a n

tane

m

tane

= a · a. . . a n+m

tane

= a n+m oldu˘ gunu elde ederiz. Bu kadar hesap yaptık ama a1 ve a0 ne demek?

Her a sayısı için |a| ≥ 0 olur.

20

1 Kümeler ve Sayılar a0 = 1 ve a1 = a olarak tanımlıyoruz Selçuk. Ayrıca a = 0

a0 = 1 ve a1 = a

Tanım

sayısı ve n do˘ gal sayısı için a−n sayısını da

olarak tanımlanır. Tanım a = 0 ve n ∈

a−n =

olmak üzere

an

olarak tanımlıyoruz.

1

a−n =

1

an

Özel olarak a−1 =

ve özel olarak a−1 =

1

oldu˘ gunu da söyleyebiliriz. Dikkat edera seniz, negatif tamsayı üsler için de üslü sayıların ne anlama

1 a

geldi˘ gini ifade etmi¸s olduk.

olarak tanımlanır.

Yani negatif kuvvetin sayının negatif olmasıyla alakası yok

Örnek

mu? Ben hep öyle oldu˘ gunu dü¸sünürdüm. −2

3

=

(−3)−2

=

−3−2

=

1 32

=

1 9

1 (−3)2 −

1 32

=

=−

1

Üssün negatif olması sayının negatif olmasını sa˘ glamıyor. Me-

9 1

sela 2−3 = 1/23 = 1/8 olur. Tabii sayının kendisi negatif ise o

9

ayrı... Örne˘ gin (−2)−3 = 1/(−2)3 = −1/8 olur. Son olarak n ≥ 2 ve m ≥ 2 olmak üzere m, n do˘ gal sayıları

için a n sayısının m. kuvvetini, yani (a n )m sayısını bulalım. Bir sayının m. kuvveti o sayıdan m tanesinin çarpımı oldu˘una göre a n sayısının m. kuvveti, yani (a n )m sayısı, m tane g a n ’nin çarpımı olacaktır. Bu durumda n (a n )m = a n · a . . . an m tane (n + . . . + n) = a

= a n·m olur. Evet Zeynep, do˘ gru söylüyorsun. Çok güzel ilerliyoruz. Genel durumda a ve b gerçel sayıları ve m, n tamsayıları için ¸su özellikler do˘ grudur. i. a m · a n = a m+n ii. a = 0 olmak üzere

am an

= a m−n

iii. (a m )n = a m·n iv. (a · b)m = a m · b m v. b = 0 olmak üzere

a m b

=

am bm

Köklü Sayılar

21

Pınar Hocam, siz de kurallar budur diye sıralıyorsunuz. Biraz örnek çözelim.

Peki Selçuk, o zaman seninle ba¸slayalım. 26 sayısının kaç oldu˘ gunu söyler misin?

Neyse ucuz kurtuldum. Bilemeyecek bir¸sey yok zaten. 6 tane 2’nin çarpımıdır. Yani 26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64 ediyor.

Bir soru da ben sorayım. 23 · 24 sayısını hesaplayın. Aaa, bu da kolaymı¸s. Bunu da ben yapayım. 23 · 24 = 23+4

olur. O halde bu sayı 27 ’dir. Selçuk 26 sayısının 64 oldu˘ gunu hesaplamı¸stı. 27 = 26 · 2 = 64 · 2 = 128 olur.

23 = 8 ve 24 = 16 oldu˘ gundan 23 · 24 = 8 · 16 = 128 de diyebilirdin.

Köklü Sayılar S ¸ imdi de köklü sayılara ili¸skin bir takım temel bilgilerimizi gözden geçirelim. Öncelikle a ≥ 0 ve n bir do˘ gal sayı olmak

üzere n. kuvveti a olacak biçimdeki negatif olmayan sayıya “a sayısının n. dereceden kökü” diyoruz ve n a ile gösteriyoruz. Özel olarak n = 2 ise 2 a yerine a yazıyoruz ve bunu “karekök” olarak adlandırıyoruz.

a ≥ 0 ve n bir do˘ gal sayı olmak üzere n a sayısı n.kuvveti a olan b ≥ 0 sayısıdır.

n = 2 ise

2

a yerine

Yani n tane

n

a sayısının çarpımı a olur.

yazılır.

a

22

1 Kümeler ve Sayılar Kesinlikle...

Örnek

a=

3 · 3 = 9 oldu˘ gu için 9 = 3,

n a · n a... n a n tane

olur. 2 · 2 · 2 = 8 oldu˘ gu için 3

8=2

Hımm... Peki (−5) · (−5) = 25 oldu˘ guna göre

olur.

25 = −5 mi?

Mete Hoca kökün negatif olmayaca˘ gını söylemi¸sti. Bu nedenle söyledi˘ gin yanlı¸s oluyor. Do˘ grusu 5 · 5 = 25 oldu˘ gu için 25 = 5 olmalı. Peki neden a sayısını negatif almadık?

a sayısının negatif oldu˘ gu her durum, örne˘ gin

−2, anlamlı

de˘ gildir. Bildi˘ giniz gibi bir gerçel sayı pozitif de olsa, negatif

de olsa karesi pozitiftir. Sayı 0 olsa, karesi de 0 olur. Yani b2 = −2 olacak

biçimde bir b gerçel sayısı yoktur.

Ama anlamlı oldu˘ gu bazı durumlar da var de˘ gil mi? Ben köklü ifadeler içine negatif sayılar yazdı˘ gımızı hatırlıyorum.

Do˘ gru hatırlıyorsun Zeynep. Örne˘ gin

Çünkü (−2)3 = −8 olur. O halde Tanım m ve n birer do˘ gal sayı ve a > 0 olmak üzere a m/n

=

a−m/n

=

n

am 1 n am

olarak tanımlanır.

Örnek 3 8 = 2 oldu˘ gu için −1/3

8 olur.

1 1 = = 3 2 8

3

−8 anlamlıdır.

3 −8 = −2’dir.

O halde bu sefer (−5) · (−5) · (−5) = −125 oldu˘ gu için 3 −125 = −5 oldu˘ gunu söyleyebiliriz. Evet Selçuk, çok haklısın. Daha genel olarak, m ve n birer do˘ gal sayı ve a > 0 olmak üzere a m/n =

n

1 a m ve a−m/n = n am

biçiminde yazılır. Bu durumda artık sayıların rasyonel kuvvetlerini de tanımlamı¸s oluyoruz.

Aralıklar

23 Daha önce sayıların tamsayı kuvvetleri için ifade etti˘ gimiz özellikler rasyonel kuvvetleri için de geçerlidir. Özellikle

a, b > 0 ve n ∈ olmak üzere a¸sa˘ gıdakiler köklü sayılar için sıkça

kullanılan kurallardır.

n a·b= n a· b n a a n ii. = n b b i.

n

Örnek

Örnek 27

= =

108

= = =

108 + 27

= =

32 · 3 32 · 3 = 3 3 4 · 27 4 · 27 2·3 3= 6 3

3

27

= =

3 3 3 1 3

ya da

3

27

6 3+3 3 (6 + 3) 3 = 9 3

= = =

3 27 1 9

1 3

Aralıklar S ¸ imdi biraz da aralıklar ile ilgilenelim.

Aralıklar, gerçel sayılarda seçilen iki sayı arasındaki tüm sayıların olu¸sturdu˘ gu kümeler de˘ gil miydi? Evet Engin, dedi˘ gin gibi... a, b herhangi iki gerçel sayı ve a < b olsun. {x | a ≤ x ≤ b, x ∈ } kümesine “kapalı aralık” diyoruz ve bu kümeyi [a, b] olarak gösteriyoruz. Dikkat ederseniz, a ve b sayıları bu kümeye aittir. Bu nedenle aralı˘ ga kapalı diyoruz. a ve b sayılarına aralı˘ gın uç noktaları diyoruz. [a, b] kapalı aralı˘ gı sayı ekseni üzerinde uçları a ve b olan do˘ gru parçası ile gösterilir.

a

b

S ¸ ekil 1.12: [a, b] aralı˘ gı.

24


Bunun kapalısı varsa açı˘ gı da vardır. Evet Selçuk, açık aralıkları da a

b

S ¸ ekil 1.13: (a, b) aralı˘ gı.

(a, b) = {x | a < x < b, x ∈ } olarak tanımlıyoruz. a ve b noktaları, yani uç noktalar kümeye ait olmadı˘ gından bu aralı˘ ga “açık aralık” diyoruz. Aralı˘ gın bir ucu kümeye aitse o tarafı kö¸seli, de˘ gilse bildi˘ gimiz parantez i¸saretiyle yazıyoruz. Bu durumda aralıkların bir ucunun kümeye ait, di˘ gerinin ait olmadı˘ gı iki aralık daha tanımlayabiliriz.

a

b

Evet Gökçe, gerçekten de yarı-açık aralıkları da senin söyledi˘ gin gibi tanımlıyoruz.

S ¸ ekil 1.14: [a, b) aralı˘ gı.

[a, b) = {x | a ≤ x < b, x ∈ } a

(a, b] = {x | a < x ≤ b, x ∈ }

b

S ¸ ekil 1.15: (a, b] aralı˘ gı.

Örnek 1

5 7

3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

S ¸ ekil 1.16: [1, 5] ile [3, 7] aralıklarının kesi¸sim kümesi [3, 5] aralı˘ gıdır.

Bu örnekte verilen aralıkların birle¸simi de [1, 7] olur de˘ gil mi? Tebrik ederim Selçuk, [1, 5] ∪ [3, 7] = [1, 7] olur. Bakıyorum da, sen de, Gökçe de hızlandınız.

Peki, bir a sayısından büyük bütün gerçel sayıların kümesini de bir aralık olarak gösteremez miyiz?

Aralıklar

25 Evet Zeynep, bu türden aralıklar da tanımlayabiliriz. (a, ∞) = {x | x > a, x ∈ } (−∞, a) = {x | x < a, x ∈ }

Elbette burada a sayısı kümeye ait de olabilir. Bu durumda a sayısının bulundu˘ gu ucu kö¸seli parantez ile kapatıyoruz. Ancak ∞ simgesinin bulundu˘ gu tarafta kö¸seli parantezi kullanmıyoruz.

Son yazdı˘ gınız aralıklardaki yan yatmı¸s sekiz nereden çıktı? Dayanamamı¸s, yere mi yıkılmı¸s? Ben de ¸simdi ona de˘ ginecektim. Didim, Altınkum sahilindeki kum tanelerini dü¸sünelim. Sizce ne kadardır?

Ooo, bence sonsuzdur. Belki uygulamada sayılamayacak kadar çok oldu˘ gunu dü¸sündü˘ günüz çoklukları sonsuz olarak adlandırabilirsiniz. Ancak, ne kadar oldu˘ gunu sayamasak bile, bırakalım yalnız bir sahildeki kum tanelerini, dünya üzerindeki tüm sahillerdeki kum tanelerinin miktarı bile sonludur. ∞ simgesini “sonsuz” anlamında kullanıyoruz. Bu konuda

pek çok ¸sey söylenebilir ancak sonsuzlu˘ gun matematikteki gerçek an-

lamını burada tartı¸smayaca˘ gız. ∞ simgesinin, aralı˘ gın kullanıldı˘ gı ucu

yönündeki tüm sayıların kümeye ait oldu˘ gunu gösterdi˘ gini söylemekle ˙ yetinelim. I¸slem yaparken bu simgeyi bir sayı gibi kullanmak bir takım hatalara neden olabilir. O nedenle ∞ simgesiyle kar¸sıla¸stı˘ gınızda biraz daha dikkatli olmakta fayda var.

Özet Bu ünitede, kümeler ve sayılar hakkındaki temel kavramlara de˘ ginilmi¸stir. Kümeler ile ilgili temel tanımlar ifade edildikten sonra küme gösterimleri ve birle¸sim, kesi¸sim gibi küme i¸slemleri hatırlatılmı¸stır. Sayılarla ilgili bölümde ise sayı kümelerine dair temel bilgiler gözden geçirilmi¸s, üslü ve köklü sayılarla ilgili temel i¸slemler verilmi¸stir. Son olarak aralıklar ile ilgili temel tanımlar ifade edilmi¸stir.

a S ¸ ekil 1.17: (a, ∞) aralı˘ gı.

a S ¸ ekil 1.18: (−∞, a) aralı˘ gı.

26


Okuma Parçası İLK HESAP MAKİNELERİ Herkes sayı saymaya on parmağıyla başladığından, şu anda varolan sayılama dizgelerinin çoğu on tabanına dayanır. On iki tabanını seçmiş bazı ilginç örnekler de olmuştur. Mayalar, Aztekler, Keltler ve Basklar, bir parça eğilince ayak parmaklarıyla da sayılabileceğini fark etmişler, böylece yirmi tabanını benimsemişlerdir. Bilinen en eski yazının icatçısı olan Sümerlere ve sırf tarihin en eski sıfırını keşfettikleri için sonsuza dek kayıtlı kalmayı hak eden Babillilere gelince, onlar nedendir bilinmez, altmış tabanıyla sayıyorlardı. Bütün okul çocuklarının bildiği, aynı zamanda pek korktuğu şu ünlü zamanı saatlere, dakikalara, saniyelere bölme sorunlarını, aynı şekilde 60 dakikaya bölünmüş dereceleri ve 60 saniyeye bölünmüş dakikaları olan, tuhaf bir biçimde 360 dereceye bölünmüş o daireyi bize bırakan onlardır. Ama burada zaten ince hesaplar söz konusudur. Batı Avrupa'da keşfedilmiş, 20.000 – 35.000 yıllık, üzerinde bir ya da birçok kertik dizisi bulunan bir sürü önkol kemiği ve başka hayvan kemikleri, kazıbiliminin şimdiye dek bilinmezlikten kurtarabildiği en eski ``hesap makinelerini'' oluşturuyor. Bu kemik çubukları kullanmış olanlar belki müthiş avcılardı. Ne zaman bir hayvan öldürseler bir kemik üzerine bir kertik atıyorlardı. Her hayvan türü için farklı kemikler kullanılabiliyordu: Biri ayılar için, bir başkası bizonlar için, yine bir başkası kurtlar için vb. Böylece saymanlığın ilk kavramlarını icat etmişlerdi, çünkü gerçekte rakamları olabilecek en yalın sayısal işaretleme dizgesiyle yazıyorlardı. Çok ilkel ve geleceği olmayan bir teknik diye düşünülecektir. Gerçi ilkel, ama kesinlikle gelecekten yoksun değil. Hemen hemen hiçbir değişikliğe uğramadan bize kadar ulaşmış. Bu tarihöncesi insanları tüm çağların en uzun ömürlü rekorlarından birini oluşturacak bir icat ortaya koymuşlar. Tekerlek bile bu kadar eski değildir. Bu icatla yalnız ateşin kullanımı yarışabilir ve belki yarışı kazanabilir. … Aritmetik tarihinde aynı şekilde ihmal edilemez bir önem taşıyan başka bir eski dizge de çakıl yığını dizgesidir; insan onun sayesinde hesap sanatına başlamıştır. Abaküslerin, rakamların henüz bilinmediği çağlarda işlem yapmak için kullanılmış şu boncuklu çerçevelerin kökeninde de bu yöntem vardır. Ayrıca, hesap (calcul) dediğimiz zaman, sözcüğün kendisi bizi uzak çağlardan gelen bu yönteme gönderir, çünkü Latince calculus (hesap) sözcüğü ``küçük çakıl'' anlamına gelir. Kaynak : Bir Gölgenin Peşinde, Rakamların Evrensel Tarihi -I-, G. Ifrah (Çev., K. Dinçer), Tübitak Popüler Bilim Kitapları, Sayfa: 11 - 13, 1995.

Çıkarın Ka˘ gıtları

27

˘ Çıkarın Kagıtları 1. A = {1, 3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} ise A ∩ B

a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? A) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} B) {2, 4, 6, 8} C) {1, 3, 5, 7}

p

144 sayısı a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? p 81 1 3 B) −3 C) A) 3 4 4 D) 3 E) 3

7.

olmak üzere At a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir?

A) a < b < c < d

D) c < d < a < b

C) {1, 3, 5, 7}

E) c < d < b < a

D) ; E) {1, 2, 3, 5, 8}

A

B

3. 34 a¸sa˘ gıdakilerden hangisine e¸sittir? C) 12

D) 27

E) 7

2

3

9.

4

C = {3, 6, 9} kümeleri için C ∩ (A ∪ B) kümesi

a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir?

a¸sa˘ gıdakilerden

hangisidir? C

A) A ∪ B

E) C ∩ (A ∪ B)

D) {2, 4, 6, 8} E) {3}

10.

sayısı a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? C) 8

D) 4

E) 2

0, 2 · 103 + 1, 6 · 102

0, 6 lerden hangisidir? A) 6 B) 60

(2, 5)

açık

aralıklarının

kesi¸simi a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? A) [−8, 1] B) (−1, 8) C) (2, 5) D) (−1, 5)

küme

verilen

D) B ∩ (A ∪ C)

C) {1, 3, 5, 7}

ve

olarak

C) A ∩ B ∩ C

B) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

6. (−1, 8)

Taralı

B) B ∩ C

A) {3, 6}

B) 16

1

7 6 5

4. A = {1, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 2, 3, 6, 8} ve

92 A) 32

1 4

C) d < a < b < c

B) {2, 4, 6, 8}

64

c = − 14 ve d =

B) d < c < b < a

A) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

5.

3 , 4

dakilerden hangisidir?

2. E = {x | x ≤ 8, x ∈ N} ve A = {1, 3, 5, 7}

B) 9

b =

sayılarının küçükten büyü˘ ge sıralanı¸sı a¸sa˘ gı-

E) {1, 2, 3, 5, 8}

A) 81

3 , 2

8. a =

D) ;

E) (2, 8)

C) 36 D) 600 E) 360

sayısı a¸sa˘ gıdaki-

28


Çözümler 1. A = {1, 3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} küme-

lerinin ortak elemanı olmadı˘ gından A ∩ B = ;

6. (−1, 8) = {x| − 1 < x < 8, x ∈ R} ve (2, 5) = {x| 2 < x < 5, x ∈ R}

olur.

kümeleri için (2, 5) ⊂ (−1, 8) oldu˘ gundan

Do˘ gru cevap D ¸sıkkıdır.

(2, 5) ∩ (−1, 8) = (2, 5)

t

2. A kümesi, E kümesine ait ancak A kümesine ait olmayan elemanların kümesi oldu˘ gundan At = {2, 4, 6, 8}

olur. Do˘ gru cevap C ¸sıkkıdır. p 144 p 81

7.

olur.

p

=

Do˘ gru cevap B ¸sıkkıdır. 3.

122 p 92 12

=

9 4

=

34 = 3 · 3 · 3 · 3

3

Do˘ gru cevap E ¸sıkkıdır.

= 9·9 = 81

8.

olur.

−1

0 − 14

Do˘ gru cevap A ¸sıkkıdır. 4. A = {1, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 2, 3, 6, 8} ve

C = {3, 6, 9} kümeleri için

−

1 4

1 3 4

1 4

<

2

1 4

<

3 2

3 4

3

<

2

olur. Do˘ gru cevap E ¸sıkkıdır.

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve C ∩ (A ∪ B) = {3, 6}

9. Taralı bölge ile verilen küme hem A, hem B, hem de C kümesine ait olur. Do˘ gru cevap C ¸sıkkıdır.

olur. 10.

Do˘ gru cevap A ¸sıkkıdır. 5.

6

4

92

4

=

(2 · 3)

=

24 · 34

(32)2

= 2

34

4

0, 2 · 103 + 1, 6 · 102 0, 6

= =

0, 6 200 + 160 6 10

=

360 ·

=

600

= 16 Do˘ gru cevap B ¸sıkkıdır.

0, 2 · 1000 + 1, 6 · 100

Do˘ gru cevap D ¸sıkkıdır.

10 6

Denklem ve Eşitsizlikler 1

2.

Diophantos kaç yıl yaşamıştır?

GENEL MATEMATİK

ÜNİTE

2

3

1. DERECEDEN DENKLEMLER

HAREZMÎ YÖNTEMİ

42. DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER 2. DERECEDEN DENKLEMLER

1. DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER

ÇÖZÜM KÜMESİ

5

6

CEBİRSEL İFADE

30


Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Arkada¸slar bugün Themis heykelindeki e¸sitlik ve objektifli˘ gin simgesi olan terazi ile geldim.

Hocam Themis kim? Yunan mitolojisinde Themis adalet ve düzen tanrıçası olarak bilinir (¸ Sekil 2.1). Themis heykeli, bir elinde terazi di˘ ger elinde ise kılıç olan gözleri ba˘ glı bir kadını temsil eder. Bir elindeki terazi, adaleti ve bunun dengeli bir biçimde da˘ gıtılmasını simgelemektedir. S ¸ imdi hatırladım hocam. Adalet Bakanlı˘ gının logosunda da terazi vardı. Biz i¸sin hukuk kısmına girmeden, terazinin e¸sitlik özelli˘ gi ile ilgilenelim. Size 4 tane 100 gr, 4 tane de 50 gr getirdim. Bunların hepsini, terazinin kefelerine, her kefede e¸sit a˘ gırlık olacak ¸sekilde S ¸ ekil 2.1: Themis Heykeli.

yerle¸stirebilir misiniz?

Her iki kefeye iki¸ser tane 100 gr, iki¸ser tane de 50 gr koyarsak a˘ gırlıkları e¸sit olur. Terazi de dengede kalır. 2 × 100 + 2 × 50 = 2 × 100 + 2 × 50 200 + 100 = 200 + 100 300 = 300 Ba¸ska türlü terazi dengede olacak ¸sekilde gramları yerle¸stirebilir miyiz? Evet yerle¸stirebiliriz. Toplam 600 gr oldu˘ guna göre birinci kefeye üç tane 100, gr di˘ ger kefeye de kalanları koyarsak, 3 × 100 = 1 × 100 + 4 × 50 300 = 100 + 200 300 = 300 ¸seklinde terazi dengede olur.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

31

Madem Pınar Hoca mitolojiye uzandı, ben de tarihten bir örnek vereyim. E¸sitli˘ gi ünlü ressam Albrecht Dürer’in sihirli karesinde de görebiliriz (¸ Sekil 2.2).

Sihirli kare mi?

Evet Gökçe. S ¸ imdi sihirli karedeki sihiri görmeye çalı¸sın.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

S ¸ ekil 2.2: A. Dürer’in Sihirli Ka-

Birinci yatay sıradaki sayıların toplamı otuz dört ve di˘ ger ya-

resi.

tay sıradakilerin toplamı da aynı sayı. 16

3

2

13

16+3+2+13

=

34

5

10

11

8

5+10+11+8

=

34

9

6

7

12

9+6+7+12

=

34

4

15

14

1

4+15+14+1

=

34

Aaa, dü¸sey sıradaki sayıların da toplamı otuz dört.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

+ 4

+ 15

+ 14

+ 1

34

34

34

34

Süper! Albrecht Dürer bir dahi olmalı. Sanki Themis’in terazisini kullanmı¸s. Terazinin bir kefesine bir kö¸segendeki sayıları, di˘ ger kefesine de di˘ ger kö¸segendeki sayıları koyarsak terazimiz yine dengede kalır. Çünkü her iki kefedeki sayıların toplamı otuz dört olur.

32

2 Denklemler ve E¸sitsizlikler 16

13 10

11 7

6 1

4

S ¸ ekil 2.3: Sihirli karedeki e¸sitlik durumu.

Çok güzel, karedeki sihri çözdünüz! S ¸ imdi e¸sitlik kavramını matematiksel olarak inceleyelim. Bunun için cebirsel ifadelerin e¸sitli˘ ginden bahsedece˘ gim.

Hocam, cebirsel ifade ne demektir?

Bilinmeyen dedi˘ gimiz x, y, z, . . . gibi de˘ gi¸skenleri, 1, 2, 3, . . . gibi sayıları ve +, −, ×, . . . , kök alma gibi i¸slemleri içeren

ifadelerdir. Örne˘ gin,

2x − 1, x + 3, x 2 + y 2 , gibi ifadelerdir. S ¸ imdi, 2x − 1 ile

x + 5, . . .

x + 3 cebirsel ifadelerinin e¸sit

olması durumunu dü¸sünelim. Söyleyin bakalım, 2x − 1 = x + 3 e¸sitli˘ gi x’in hangi de˘ geri için do˘ grudur?

2×4−1

=

7

4+3

=

7

x = 4 için do˘ grudur hocam.

x = 4 için bu iki ifadenin e¸sitli˘ gini, S ¸ ekil 2.4’de verilen dengedeki terazi gibi dü¸sünebiliriz.

2×4−1

4+3

S ¸ ekil 2.4: Terazideki e¸sitlik durumu.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Bu ¸sekilde, bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin bazı de˘ gerleri için gerçeklenen e¸sitliklere denklem diyece˘ giz. Bilinmeyenin denklemi sa˘ glayan de˘ gerine denklemin çözümü denir. Denklemin çözümlerinin kümesine de çözüm kümesi denir. Denklem bilinmeyenin hiçbir de˘ geri için sa˘ glanmıyorsa, çözüm yok ve çözüm kümesi bo¸s kümedir diyece˘ giz.

O zaman x = 4 de˘ geri, 2x − 1 = x + 3 denkleminin çözümü-

dür.

Evet Gökçe. Denklemleri, günlük hayatımızda kar¸sıla¸stı˘ gımız ço˘ gu problemlerin çözümünde kullanırız.

Hocam, geçen gün amcam bana bir halk bilmecesi sordu. Onu da denklemle çözebilir miyiz?

Söyle bakalım bilmeceni Selçuk. Hep birlikte çözmeye çalı¸salım. Yerde bir topal kaz varmı¸s. Havada uçan bir grup kaza, topal kaz seslenmi¸s: "Hey yüz kaz nereye gidiyorsunuz?" Havadaki kazlardan bir tanesi, "Biz yüz kaz de˘ giliz! Bize bizim kadar, bizim yarımız kadar, yarımızın yarısı kadar eklenirse ve bir de sen olursan ancak o zaman yüz kaz oluruz" demi¸s. Acaba havada uçan kaz sayısı kaçtır?

Selçuk güzel bir bilmece sordun. Denklemler yardımıyla bu bilmeceyi çözebiliriz. Bu bilmeceyi çözebilmek için buna uygun bir matematiksel model olan denklem kurmalıyız. Uçan kazların sayısına x diyecek olursak, kaz bilmecesine kar¸sılık gelen denklem, x+x+

x 2

+

x 4

+ 1 = 100

olur.

Peki, bu denklemdeki x bilinmeyenini nasıl bulaca˘ gız?

33

34

2 Denklemler ve E¸sitsizlikler Gökçe aslında bir denklemin nasıl çözülece˘ gini soruyorsun. Bunun için, e¸sitli˘ gi bozmayan i¸slemlerden yararlanaca˘ gız. Bu i¸slemler, bir e¸sitli˘ gin iki tarafına aynı sayının eklenmesi veya iki tarafından aynı sayının çıkarılması ya da iki tarafının aynı sayı ile çarpılması veya iki tarafının sıfırdan farklı bir sayıya bölünmesidir.

Sanırım bu i¸slemler dengedeki terazi için de geçerlidir. S ¸ üphesiz. S ¸ imdi bu i¸slemleri kullanarak, x+x+

x 2

+

x 4

+ 1 = 100

denklemini çözmeye çalı¸salım.

Denklem biraz kalabalık görünüyor. E¸sitli˘ gin sol tarafındaki x’leri toplayıp sadele¸stirebiliriz. 2x 1

(4)

+

x 2

x

+

(2)

4

+ 1 = 100

(1)

8x + 2x + x 4 11 4

+ 1 = 100

x + 1 = 100

E¸sitli˘ gin her iki tarafından 1’i çıkaralım: 11 4

x + 1 − 1 = 100 − 1 11 4

x

= 99

˙Iyi gidiyorsun Zeynep, devam et istersen.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler S ¸ imdi e¸sitli˘ gin iki tarafını 4’le çarpıp, 4×

11

x

= 99 × 4

11x

= 99 × 4

4

sonra iki tarafı 11’e bölelim: 11x 11

=

99 × 4 11

99

x

=

x

= 9×4

x

= 36

11

×4

buluruz.

Denklemlerin hepsini böyle i¸slemler ile çözebilir miyiz?

Hayır Gökçe. Denklemlerin hepsi aynı türden olmadı˘ gından bunu genelleyemeyiz. Bunun için denklemleri bilinmeyen sayısı ve bilinmeyenlerin en yüksek kuvvetine göre sınıflandırıp, çözüm arayaca˘ gız. Biz ¸simdilik bir bilinmeyenli denklemlerle ilgilenece˘ giz. Bir bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin kuvveti bir olan denkleme, birinci dereceden bir bilinmeyenli (veya kısaca birinci dereceden) denklem denir. Bu denklemlere örnek olarak, 3x + 1 = 0,

2x − 1 = x + 5, . . .

gibi denklemler verilebilir. Bir bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin kuvveti iki olan bir denkleme, ikinci dereceden bir bilinmeyenli (veya kısaca ikinci dereceden) denklem denir. Bu denklemlere de örnek olarak, x 2 + 6x + 9 = 0,

x 2 − 3x + 7 = 0, . . .

gibi denklemler verilebilir.

O halde, kaz bilmecesinin denklemi birinci dereceden denklem olur.

35

36

2 Denklemler ve E¸sitsizlikler Evet. Genel olarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler a, b iki gerçel sayı ve a = 0 olmak üzere, ax + b = 0 ¸seklindedir. Bu tür denklemlerin çözümü daha önce bahsetti˘ gim, e¸sitli˘ gi bozmayan i¸slemlerle kolayca çözülür. ax + b = 0 a x + b − b = −b = −b b = − a a b x = − a b Buradan denklemin çözüm kümesi Ç= − olarak bulunur. a ax ax

Tanım Bir denklemde e¸sitli˘ gi sa˘ glayan bir sayıya, denklemin bir çözümü denir.

Gökçe yine mi! Hani cep telefonunu derse girerken kapatacaktın? Özür dilerim hocam. Karde¸sim kaz bilmecesine benzer bir mesaj göndermi¸s. Okuyorum okuyorum anlamıyorum. Lütfen yardımcı olabilir misiniz?

Neymi¸s söyle bakalım? Hocam biliyorsunuz indirimler ba¸sladı. Karde¸simle babamdan para istemi¸stik. Ona vermi¸s, bana da ona verdi˘ gi kadar verecekmi¸s. Fakat beni meraklandırmak için, babamın verdi˘ gi parayı bulmamı istiyor. Bu paranın be¸ste ikisine kot, dörtte birine kazak aldıktan sonra 35 lirasının kaldı˘ gını yazıyor.

Haydi yine iyisin. 35 liradan fazla alacaksın. Ne istersen alırsın!

S ¸ akayı bırak Selçuk, babam fazla para vermez.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Haydi bakalım. Gökçe’ye babasının kaç lira para verece˘ gini bulmaya çalı¸salım ve onu meraktan kurtaralım. Önce probleme kar¸sılık gelen denklemi yazmamız gerekiyor. Gökçe’nin babasının karde¸sine verdi˘ gi paraya x dersek, denklemimiz x=

2x 5

+

x 4

+ 35

¸seklinde olur.

Anladım, bu denklemi çözüp, babamın verdi˘ gi parayı bulabiliriz. S ¸ u denklemi bir an önce çözüp x’i bulmak istiyorum. Ben de kotun fiyatını merak ettim. x

=

2x 5

+

(4)

x

=

x

=

x

+ 35

4

(5)

8x + 5x

+ 35 20 13x + 35 20

oldu˘ gundan, x−

13x

20 20x − 13x 20

7x 20 7x x

= 35 = 35 = 35 = 35 × 20 =

35 × 20

x

7 = 5 × 20

x

= 100

olur. Gökçe baban sana 100 TL verecek. Benim merak etti˘ gim 2 kotun fiyatı ise 100 × = 40 TL’dir. 5

Oh be rahatladım. Hepinize te¸sekkür ederim.

37

38


˙Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Geçen hafta, Almanya’dan bir hoca seminer vermek üzere matematik bölümüne geldi. Hocamız ülkesine dönmeden önce, bir halı aldı.

Nasıl bir halı aldı hocam?

Ününü duymu¸s oldu˘ gu Hereke halısı aldı.

Hereke halılarının çok pahalı oldu˘ gunu duymu¸stum. Ne kadar büyüklükte bir halı aldı acaba? Çok merak ettim.

Dikdörtgen ¸seklinde bir halı aldı. Halının alanı 6 m2 ve uzun kenarı kısa kenarından 1 metre fazlaydı.

Hocam, ama halının boyutlarını söylemediniz.

Ben bu halının boyutlarını bulabilirim. Dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımına e¸sittir. Buna göre, halının kısa kenarına x dersek, uzun kenarı x + 1 olur. Buradan, x(x + 1) = 6 x2 + x

= 6

ya da

x2 + x − 6 = 0 denklemini yazabilirim. Bu denklemde x 2 var. Pınar Hoca böyle denklemlere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem demi¸sti ama çözümünü anlatmamı¸stı.

˙Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

39

Matematik tarihine baktı˘ gımızda, ˙Islam dünyasının büyük bir matematikçisi olan Harezmi, bu tür denklemleri geometrik yakla¸sımla çözmü¸stür. S ¸ imdi, Harezmi’nin x 2 + 10x = 39 denklemini nasıl çözdü˘ günü görelim. Önce, kenar uzunlu˘ gu x birim olan bir kare alalım (¸ Sekil 2.5). Sonra bu kareye iki kenarından, kenar

x

uzunlukları 5 ve x birim olan iki dikdörtgen ekleyelim (¸ Sekil 2.5).

x2 x 5

Hocam, ekledi˘ giniz dikdörtgenlerin kenarlarından birini ne-

x

den 5 birim aldınız?

x2

5x

x

x 2 + 10x = 39 denklemini x 2 + 5x + 5x = 39 ¸seklinde yazabiliriz. Dikkat ederseniz 5x br2 ekledi˘ gimiz dikdörtgenlerin

5

5x

alanına kar¸sılık geliyor. Yani, denklemimizde 10x terimi oldu˘ gu için, her birinin alanı 5x olan iki tane dikdörtgen ekledik. 5

Sanırım sa˘ g alt kö¸sedeki bo¸slu˘ gu doldurursak, ¸seklimiz daha

x

x2

5x

güzel görünecek. x

O zaman ¸seklimizi, alanı 5 × 5 = 25 br2 olan kareyle tamamlayalım (¸ Sekil 2.5). Olu¸san bu ¸sekil size tanıdık geldi mi?

Evet hocam, olu¸sturdu˘ gumuz bu ¸sekil, kenarı x + 5 olan bir karedir ve bu karenin alanı da (x + 5)2 olur. Dikkat ederseniz, bu karenin alanını, (x + 5)2 = x 2 + 5x + 5x + 25 = x 2 + 10x + 25 ¸seklinde de yazabiliriz. Harezmi’nin ele aldı˘ gı denklem, x 2 + 10x = 39 oldu˘ gundan, yukarıdaki e¸sitlikte x 2 + 10x yerine 39 yazarsak, (x + 5)2 = 39 + 25 (x + 5)2 = 64 x + 5 = ∓ 64 x +5 = 8 x + 5 = −8

veya

5

5x

5 × 5 = 25

S ¸ ekil 2.5: Kareye tamamlama.

40

2 Denklemler ve E¸sitsizlikler olur. Artık x kenar uzunlu˘ gunu bulabiliriz. x + 5 = 8, buradan da x = 3 elde ederiz. Peki, x + 5 = −8 alabilir miyiz? Hayır alamayız. Çünkü, x + 5 olu¸sturdu˘ gumuz karenin kenar uzunlu˘ gudur ve dolayısıyla negatif bir sayı olamaz. Ama bu eksili sayılar zorla kapıdan bacadan içeri giriyorlar i¸ste. x + 5 = −8 dersek, x = −13 olur. Bunu denklemde ye-

rine yazarsak, x 2 + 10x = (−13)2 + 10 · (−13) = 169 − 130 = 39 oluyor,

yani -13 sayısı da pekala bir kök. Ama Harezmi onlara itibar etmiyordu. S ¸ imdilik biz de bir kenara bırakıp, Alman hocanın halısına dönelim. Halının boyutlarını bulmak için, x2 + x = 6

x

1 2

x

denklemini, Harezmi’nin geometrik yakla¸sımı ile çözelim. ¸ ekil 2.6’da görüldü˘ gü gibi Hocam, x 2 + x = 6 denklemini, S bir karenin alanı ile iki dikdörtgenin alanları toplamı olarak dü¸sünebiliriz. Sonra, alanı

1 2

x 1 2

yerek, kenar uzunlu˘ gu x + x

1 2

x2

1 x 2

1 x 2

Selçuk’un buldu˘ gu karenin alanı (¸ Sekil 2.6) ise, x+

1 4

S ¸ ekil 2.6: Kareye tamamlama.

1 × 12 = 14 metre2 olan kare ekle2 1 olan kareye tamamlamı¸s oluruz. 2

x+

1

2

2 1 2 2

= =

x2 +

1

x+

2

x2 + x +

1 2

x+

1 4

1 4

2 gundan, x + 12 = 6 + 14 = olur. x 2 + x = 6 oldu˘

25 4

bulunur.

Her iki tarafın karekökü alınarak, x+ x+ x+

1 2 1 2 1 2

= ∓ =

4

5

veya

2

= −

25

5 2

elde edilir. Böylece, x = 2 veya x = −3 buluruz. Ama uzunluk negatif olamayaca˘ gı için x = 2 metre halının kısa kenarıdır.

Uzun kenarı ise, bunun 1 metre fazlası oldu˘ gundan 3 metre olur.

˙Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

41

S ¸ imdi, kareye tamamlama fikrini kullanarak a x 2 + bx + c = 0 genel denklemini çözmeye çalı¸salım. Yani, a x 2 + bx + c = 0

Tanım a, b, c gerçel sayılar ve a = 0 olmak üzere, a x 2 + bx + c = 0

e¸sitli˘ gini sa˘ glayan x de˘ gerlerini ara¸stıralım. Bu e¸sitli˘ gi a = 0 oldu˘ gu için,

b

2

x +

a

x+

a

¸seklindeki denklemlere

c

ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

=0

a

¸seklinde yazabiliriz. Bu e¸sitli˘ gin her iki tarafına a’ya bölerek elde etti˘ gimiz, x2 +

b

x+

c

=0 a a e¸sitli˘ gini sa˘ glayan x de˘ gerlerini ara¸stıralım. Bunun için (x + y)2 = x 2 + 2x y + y 2

(x + y)2 = x 2 + 2x y + y 2

özde¸sli˘ ginden yararlanaca˘ gız. Bu özde¸sli˘ gin her iki tarafından y 2 teri-

(x − y)2 = x 2 − 2x y + y 2 e¸sitlikleri herhangi iki x ve y

mini çıkartarak,

gerçel sayıları için do˘ grudur. Böyle e¸sitliklere özde¸slik de-

x 2 + 2 y x = (x + y)2 − y 2 özde¸sli˘ gini elde ederiz. Burada y yerine x +2

2

x +

b

2

2a b a

x=

x+

x=

x+

b

b 2a

alalım.

2

−

2a

2

b

−

2a

b

nir.

2

2a 2

b 2a

Böylece, x2 +

b a

x+

c a

=0

e¸sitli˘ gimizde x 2 + ab x yerine e¸sitini koyarsak, x+

b

2 −

2a

b 2a

2 +

c a

=0

e¸sitli˘ gini elde ederiz. Buradan, x+

b

2

2a

=

b 2a

2 −

c a

=

b2 4a2

−

c a

=

b2 − 4ac 4a2

¸seklinde yazabiliriz.

Hocam, e¸sitlikte sol taraf bir tam kare oldu˘ gu için her iki tarafın karekökünü alırsak x de˘ gerlerini bulabiliriz.

42

2 Denklemler ve E¸sitsizlikler Evet, ama dikkatli olmamız gerekiyor. Bunun için x 2 = −1

denklemi üzerinde tartı¸salım. Bu denklemin köklerini sorsam ne dersiniz?

gil mi hocam? x = ∓ −1 de˘ Negatif sayıların gerçel sayılar içinde karekökü olmaz. Çünkü bir gerçel sayı pozitif de olsa, negatif de olsa, karesi pozitiftir. Sıfırın karesi de sıfırdır. O halde karesi −1 olan bir gerçel sayı yoktur. Hocam o zaman bazı ikinci dereceden denklemlerin çözümü yoktur.

Arkada¸slar, demek ki bir sayının karekökünü alırken sayının i¸saretine dikkat edece˘ giz. Hem Zeynep’e hem de Selçuk’a birer aferin. Artık, e¸sitli˘ giti˘ gimiz

mize geri dönüp, yarım kalan i¸simizi bitirebiliriz. Elde et 2 −4ac b 2 x + 2a = b 4a e¸sitli˘ ginde sa˘ g taraf negatif de˘ gilse, yani 2

b2 − 4ac ≥ 0 ise,

x+

b

=∓

b2 − 4ac

2a 2a 2 yazabiliriz. Karekök içinde bulunan b −4ac de˘ geri, diskriminant olarak isimlendirilir ve ∆ (Delta) ile gösterilir.

S ¸ imdi, ∆ = b2 − 4ac’nin i¸saretine göre durumu özetleye-

lim.

• b2 − 4ac > 0 ise, x1 = − x1 =

b 2a

+

−b +

b2 − 4ac 2a

b2

2a

− 4ac

,

x2 = −

,

x2 =

b2 − 4ac − 2a 2a 2 −b − b − 4ac

x2 =

−b −

yazabiliriz, yani denklemin −b + ∆ x1 = , 2a ¸seklinde iki tane çözümü vardır.

b

2a

∆

2a

˙Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler • b2 − 4ac = 0 ise

43

∆ = 0 olaca˘ gından, x1 =

−b + 0 2a

x1 = −

b 2a

Tanım a, b, c ∈ ve a = 0 olmak üzere,

−b − 0

,

x2 =

,

x2 = −

a x 2 + bx + c = 0

2a b

2a

olup, denklemin kökleri e¸sit olur. Bu durumda denklemin tek kökü

ikinci dereceden minde,

• ∆ > 0 ise iki kök var-

vardır. (Ya da iki kat kökü vardır da diyebiliriz.)

dır.

• b2 − 4ac < 0 ise denklemin kökü yoktur.

x1 = x2 =

Demek ki ∆’nın üç durumuna göre verilen denklemlerin çözümlerini belirleyebiliriz. S ¸ imdi, ikinci dereceden bir denklemin çözümünü veren formülü kullanarak, 2x 2 − 3x + 1 = 0 denkleminin köklerini

bulabilirsiniz.

Bunu ben çözmek istiyorum. Önce ∆’yı bulaca˘ gım. ∆ =

b2 − 4ac

= 32 − 4 · 1 · 2 = 9−8 = 1 ∆ pozitif oldu˘ gu için iki kökü vardır. Bunlar, −b + ∆ −(−3) + 1 3+1 x1 = = = 2a 2·2 4 −b − ∆ −(−3) − 1 3−1 x2 = = = 2a 2·2 4 1 dir. olup, Ç= 1, 2

= =

1 1 2

Aferin Zeynep. Gerçekten de, denklemde önce x yerine 1, 1 sonra yazarsak: 2 2 × 12 − 3 × 1 + 1 = 0 2 1 1 2× −3× +1 = 0 2 2 olur.

denkle-

−b +

∆

2a −b − ∆

,

. 2a • ∆ = 0 ise tek kök varb dır. x 1 = x 2 = − . 2a • ∆ < 0 ise kök yoktur.

∆ = b2 − 4ac

44


Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Esitsizlikler ¸ Artık terazimizin dengesini bozalım arkada¸slar.

O zaman terazinin bir kefesi a¸sa˘ gıda bir kefesi yukarıda olacak. Aslında terazinin dengesini korumak zor, bozmak çok kolaydır. Pınar Hoca’nızın daha önce verdi˘ gi 2x −1 = x +3 denkle-

mini tekrar ele alalım. Hatırlarsanız, bu denklemin çözümü olan x = 4’ü denklemde yerine koydu˘ gumuzda terazi dengede kalmı¸stı (¸ Sekil 2.4). Söyleyin bakalım 2x − 1 ile x + 3 ifadelerini, x yerine 5 koyarak kefe-

lere yerle¸stirdi˘ gimizde, terazinin durumu ne olur?

x = 5 için 2x −1 ifadesi 9 de˘ gerini ve x +3 ifadesi ise 8 de˘ ge-

rini alır. x = 5 için 2x − 1 > x + 3 olur. Dolayısıyla terazinin durumu S ¸ ekil 2.7’de oldu˘ gu gibidir.

5+3 2×5−1

S ¸ ekil 2.7: Terazideki e¸sitsizlik durumu.

Acaba terazinin yönünü de˘ gi¸stirebilir miyiz? Sen de bu sefer x = 3 için dene bakalım.

x = 3 için 2x −1 ifadesi 5 de˘ gerini ve x +3 ifadesi ise 6 de˘ ge-

rini alır. x = 3 için 2x − 1 < x + 3 olur. Dolayısıyla terazinin durumu S ¸ ekil 2.8’de oldu˘ gu gibidir. 2×3−1 3+3

S ¸ ekil 2.8: Terazideki e¸sitsizlik durumu.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli E¸sitsizlikler

45

Terazinin dengesini bir bozdunuz ki tahterevalli gibi oldu. Dengede olmayan terazide, bir e¸sitsizlik durumu söz konusudur. Böyle e¸sitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli

Tanım a, b gerçel sayılar ve a = 0 olmak üzere,

e¸sitsizlikler denir.

ax + b

>

0

Denklemlerin çözümünde oldu˘ gu gibi, e¸sitsizliklerin çözümünde de e¸sit-

ax + b

≥

0

sizliklerle ilgili bazı özellikler kullanılır. Bunlar,

ax + b

<

0

ax + b

≤

0

• Bir e¸sitsizli˘ gin iki tarafına aynı sayının eklenmesi veya iki tarafından aynı sayının çıkarılması durumunda e¸sitsizlik bozulmaz.

• Bir e¸sitsizli˘ gin iki tarafının pozitif bir sayı ile çarpılması veya bölünmesi durumunda e¸sitsizlik bozulmaz.

• Bir e¸sitsizli˘ gin iki tarafının negatif bir sayı ile çarpılması veya bölünmesi durumunda e¸sitsizlik yön de˘ gi¸stirir.

Negatif sayılarla kar¸sıla¸stı˘ gım zaman kafam karı¸sıyor. E¸sitsizli˘ gin son bahsetti˘ giniz özelli˘ gini anlayabilmem için örnek verebilir misiniz? Gökçe, −3 < −1 oldu˘ gunu biliyorsun. Her iki tarafı −2 ile

çarparsan,

(−2)(−3) > (−2)(−1) 6 > 2 olur.

S ¸ imdi a x + b > 0 e¸sitsizli˘ ginin çözüm kümesini ara¸stıralım. E¸sitsizli˘ gin her iki tarafına −b eklersek, ax + b − b > 0 − b ax

> −b

buluruz. Hocam x’i bulmak için her iki tarafı a’ya bölece˘ giz ama, e¸sitsizli˘ gin bölme ile ilgili özelli˘ gini dikkate almamız gerekiyor sanırım.

¸seklinde yazılabilen bir e¸sitsizli˘ ge birinci dereceden bir bilinmeyenli e¸sitsizlik denir.

46

2 Denklemler ve E¸sitsizlikler Bravo Selçuk.

−

b ∞

a

S ¸ ekil 2.9:

b

− ,∞ a

aralı˘ gı.

−

−∞

S ¸ ekil 2.10:

−∞, −

b a

b

b • a > 0 ise x > − . Bu durumda e¸sitsizli˘ gin çözüm kümesi, a b b aralı˘ gıdır (¸ Sekil 2.9). − , ∞ = x | x ∈ , x > − a a b • a < 0 ise x < − . Bu durumda çözüm kümemiz, a b b −∞, − = x | x ∈ , x < − aralı˘ gıdır (¸ Sekil 2.10). a a

a

aralı˘ gı.

Hocam, bir örnek verirseniz daha iyi anlayaca˘ gım.

Örnek −5x + 3 > 0 e¸sitsizli˘ ginin çözüm kümesini bulalım. −5x + 3

>

0

−5x + 3 − 3

>

0−3

−5x

>

−3

−5 negatif oldu˘ gundan, −5 ile böldü˘ gümüzde e¸sitsizlik yön de˘ gi¸stirecek. −5x

<

x

<

−5

−3

−5 3 5

buluruz. Buna göre e¸sitsizli˘ gin çözüm kümesi

−∞,

3 5

aralı˘ gıdır.

3 −∞

5

Di˘ ger e¸sitsizliklerin çözüm kümelerini de benzer ¸sekilde bulabiliriz. ˙Ikinci dereceden e¸sitsizliklere ba¸slamadan önce bir ara verelim isterseniz arkada¸slar.

Arkada¸slar bugün çaylar benden.

Hepimize çay ısmarlayabilecek misin Engin?

˙Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli E¸sitsizlikler

47

20 TL param var. Ama 10 TL ile kitap alaca˘ gım. Bir bardak çay 75 kuru¸s oldu˘ guna göre, kaç ki¸siye ısmarlayabilirim? Onu da siz bulun.

Bize bir e¸sitsizlik problemi sordun, farkında mısın? E¸sitsizlik konusunu yeni ö˘ grendik. Sanırım ben bunu çözebilirim. Çay için 10 TL para kalıyor. Engin’in çay alabilece˘ gi ki¸si 3 sayısına x dersek, 75 kuru¸s da TL’ye denk oldu˘ gundan, 4 3

x 4 3x x

Örnek 6x − 18

≤

0

6x − 18 + 18

≤

0 + 18

6x 6x

≤

18 18

≤ 10

≤

6 x

≤ 40

¯ ≤ 13, 3

bulunur. E¸sitsizli˘ gin çözümüne göre en fazla 13 ki¸siye çay ısmarlayabileceksin Engin.

≤

6 3

e¸sitsizli˘ gin çözüm kümesi (−∞, 3] aralı˘ gıdır. −∞

0

3

O zaman gelsin çaylar!

Pınar Hoca’ya söyleyelim. Ders arasında bile e¸sitsizlik problemi çözdük.

˙Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Esitsizlikler ¸ a, b, c gerçel sayılar, a = 0 ve x herhangi bir gerçel sayı

olmak üzere, a x 2 + b x + c > 0, a x 2 + bx + c < 0, a x 2 + b x + c ≥ 0 veya a x 2 + b x + c ≤ 0 ¸seklinde yazılabilen e¸sitsizliklere

ikinci dereceden bir bilinmeyenli e¸sitsizlikler denir. Böyle bir e¸sitsizli˘ gi

x2 − x − 2 = 0

sa˘ glayan x de˘ gerlerinin kümesine de bu e¸sitsizli˘ gin çözüm kümesi denir.

Arkada¸slar, x 2 − x − 2 > 0 e¸sitsizli˘ ginin çözüm kümesini bir2

x

=

likte bulmaya çalı¸salım. Önce x − x − 2 ifadesini sıfır yapan

x1

=

x = −1 ve x = 2’dir. Bu sayılar sayı do˘ grusunu üç aralı˘ ga ayırır. Bunlar,

x2

=

2

gerler de˘ gerleri bulalım. Yani, x − x − 2 = 0 denklemini çözelim. Bu de˘ (−∞, −1) , (−1, 2) ve (2, ∞) aralıklarıdır. Bu aralıkların her birinde, x 2 − x − 2 ifadesi ya hep pozitif ya da hep negatif de˘ ger alır.

−b ∓ 1+

b2 − 4ac

2a 1+8

2 1− 1+8

Ç={−1, 2}

2

=2 = −1

48

2 Denklemler ve E¸sitsizlikler −∞

−1

2

∞

Hocam, bu aralıkların herhangi birisinde x 2 − x − 2 ifadesi, neden hep pozitif ya da hep negatif de˘ ger alır?

Aferin Selçuk, çok dikkatlisin. x 2 − x −2 ifadesi, bu aralıkların

birisinde farklı i¸saretli de˘ gerler almı¸s olsaydı bu aralıkta en

az bir noktada sıfır de˘ gerini alması gerekirdi. Ancak -1 ve 2’nin dı¸sında ba¸ska bir noktada sıfır de˘ gerini alamayaca˘ gını biliyoruz. Bu nedenle -1 ve 2 noktalarında x 2 − x − 2 ifadesi, ya pozitif de˘ gerden negatif de˘ gere ya da negatif de˘ gerden pozitif de˘ gere geçer.

Peki hocam, x 2 − x − 2 ifadesinin, bu aralıkların hangilerinde

pozitif ya da negatif de˘ ger aldı˘ gını nasıl bulaca˘ gız?

x 2 − x − 2’nin i¸saretini belirlemek istedi˘ gimiz aralıktan bir

sayı seçeriz. Bu sayıyı, x 2 − x − 2 ifadesinde yerine yazarız.

Buldu˘ gumuz de˘ gerin i¸sareti x 2 − x −2’nin bu aralıktaki i¸saretidir. Çünkü bu aralıkta, x 2 − x − 2 ifadesinin i¸saret de˘ gi¸stirmedi˘ gini biliyoruz. O zaman, belirledi˘ gimiz mavi, siyah, turuncu renkli aralıklarından birer de˘ ger alırım. Bu de˘ gerleri x 2 − x − 2 ifadesinde

yerine yazarım. Örne˘ gin, Mavi aralıktan −2’yi seçersem, x 2 − x − 2 = (−2)2 − (−2) − 2 = 4 + 2 − 2 = 4, Siyah aralıktan 1’i seçersem, x 2 − x − 2 = (1)2 − (1) − 2 = 1 − 1 − 2 = −2, Turuncu aralıktan 3’ü seçersem, x 2 − x − 2 = (3)2 − (3) − 2 = 9 − 3 − 2 = 4

bulurum. Mavi ve Turuncu aralıklarda x 2 − x −2 ifadesi pozitif de˘ ger alır.

˙Ikinci Dereceden Bir Bilinmeyenli E¸sitsizlikler

49

Gökçe bize, x 2 − x − 2 > 0 e¸sitsizli˘ ginin çözüm kümesini

bulmu¸s oldu. Verilen e¸sitsizli˘ gin çözüm kümesi: Ç=(−∞, −1) ∪ (2, ∞). −∞

−1

2

∞

S ¸ ekil 2.11: (−∞, −1) ∪ (2, ∞) aralı˘ gı

O zaman, Siyah aralık da x 2 − x − 2 ≤ 0 e¸sitsizli˘ ginin çözüm kümesidir diyebilir miyiz?

Siyah aralı˘ ga −1 ve 2 de˘ gerlerini de dahil edersen evet derim. O zaman x 2 − x − 2 ≤ 0 e¸sitsizli˘ ginin çözüm kümesi [−1, 2]

olur.

−∞

−1

2

∞

S ¸ imdi de x 2 − 4x + 4 ≤ 0 e¸sitsizli˘ gini çözelim. Gökçe sen

gerleri bulabilirsin. x 2 − 4x + 4 ifadesini sıfır yapan de˘ Formülden hemen bulurum. x 2 − 4x + 4 = 0, x=

−b ∓

b2 − 4ac

= 2a ∆ = 0 oldu˘ gu için x 1 = x 2 = 2 dir.

4∓

16 − 16 2

Arkada¸slar gördü˘ günüz gibi tek kök bulduk. Buldu˘ gumuz 2 de˘ geri sayı do˘ grusunu ikiye ayırır. −∞

2

∞

x 2 − 4x + 4 ifadesi, Mavi aralıktan x = 1’i seçersem 1 − 4 + 4 = 1 > 0

olur. Turuncu aralıktan x = 3’ü seçersem 9 − 12 + 4 = 1 > 0 olur. Her ikisinde de pozitif de˘ ger alır.

Aaa, iki aralıkta da x 2 −4x +4 ifadesi pozitif. Ne olacak ¸simdi?

50

2 Denklemler ve E¸sitsizlikler x 2 −4x +4 ifadesi, hiç bir noktada negatif de˘ gil ama x = 2’de

ginin çözüm kümesi Ç={2} sıfırdır. x 2 − 4x + 4 ≤ 0 e¸sitsizli˘ olur.

Hocam x 2 + 1 > 0 e¸sitsizli˘ ginde, x 2 + 1 = 0 denkleminin kökünün olmadı˘ gını biliyoruz. Bu durumda, sayı do˘ grusunu nasıl bölece˘ giz? Kök yoksa, x 2 + 1 ifadesi tüm gerçel sayılarda aynı i¸saretli de˘ geri alır. Çünkü, x 2 +1 ifadesi i¸saret de˘ gi¸stirmi¸s olsaydı, en az bir noktada sıfır de˘ gerini alırdı. Yani kökü olurdu. Ama x 2 + 1 = 0 denklemini sa˘ glayan bir x gerçel sayısı olmadı˘ gını biliyoruz. Bundan dolayı, x 2 + 1 ifadesinin i¸saretini belirleyebilmemiz için herhangi bir sayı seçebiliriz. Tamam o zaman, sıfırı seçelim i¸simiz kolay olsun. x = 0 için, 02 + 1 = 1 > 0 olur. Buradan, tüm gerçel sayılarda x 2 + 1 ifadesinin pozitif oldu˘ gunu söyleyebiliriz. Böylece, bu e¸sitsizli˘ gin çözüm kümesi gerçel sayılar kümesidir diyebilir miyiz hocam? Aferin Zeynep. Söyledi˘ gin gibi, x 2 +1 > 0 e¸sitsizli˘ ginin çözüm kümesi gerçel sayılar kümesidir.

Özet Bu ünitede, günlük hayatımızda kar¸sıla¸stı˘ gımız problemlerin ço˘ gunun çözümünde kullandı˘ gımız denklemler ve e¸sitsizlik konuları üzerinde durduk. Denklemlerle ilgili olarak, birinci ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler ve çözümlerinden bahsettik. E¸sitsizliklerle ilgili olarak, birinci ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli e¸sitsizlikleri ve çözümlerini örneklerle tartı¸stık.

Okuma Parçası

51

Okuma Parçası

İskenderiye’li Diophantos “Ne zaman yaşamış olduğu kesin belli değildir. Diophantos, Bombelli’ye göre Antoninus Pius (M.S. 150), Ebülfarac’a göre Mürted Julianus (M.S. 350) zamanında yaşamıştır. Fakat Psellus’a göre, 270 yılında Laodikea piskoposu olan İskenderiye’li Anatolios adlı bir bilgin Diophantos’a bir kitap ithaf etmiştir. Bundan dolayı çok defa Diophantos’un M.S. 250 civarında yaşadığı kabul edilir. Anthologia Palatina’da rastlanan bir cebirsel bilmece-şiirinde Diophantos’un hayatı şöyle anlatılmaktadır:

Şu mezar Diophantos’u örtmektedir. Mucizeye bak! Mezar taşı ölenin sanatı sayesinde onun hayat hikayesini öğretiyor. Ömrünün altıda birini ona Allah çocukluk çağı için verdi; ömrünün onikide biri daha geçince yüzünde sakallar bitti; hayatının yedide biri daha geçtikten sonra evlilik bağını kurdu; beş yıl sonra da bu birleşmeden bir oğlu oldu. Yazık ki çok sevdiği çocuğunun babanın yarı ömrü kadar yaşadıktan sonra ölmesi mukadderdi. Ondan sonra dört yıl büyüklüklerle uğraşmak suretiyle acısını unutmaya çalışarak en sonunda o da her faninin hedefine ulaştı. Diophantos’un esas eseri olan Arithmetika ‘çok muhterem Dionysios’ a ithaf edilmiştir. Bu şahsın 247 civarında İskenderiye piskoposu olan Aziz Dionysios olması muhtemeldir. Girişinde eserin 13 kitap olacağı bildirilmektedir, ama bunlardan ancak altısı zamanımıza gelebilmiştir. Bu altı kitap çözümleriyle birlikte 189 problemi kapsamaktadır.” (1)

Diophantos’un mezar taşında yazılı olan bilmeceye göre; Diophantos kaç yıl yaşamıştır? Bu bilmeceye karşılık gelen denklem: üzere,

, Diophantos’un yaşamış olduğu yılı göstermek

olur. Bir bilinmeyenli birinci dereceden olan bu denklem çözülürse, çözümün olduğu görülür. Buna göre, Diophantos yıl yaşamıştır.

(1)

: Bilimin Uyanışı, Eski Mısır, Babilonya ve Eski Yunan Matematiği (s. 460), B.L. Van Der Waerden, Çev. Orhan Ş. İçen ve Yılmaz Öner, Türk Matematik Derneği, İstanbul, 1994.

52


˘ Çıkarın Kagıtları 1. Bir ö˘ grenci parasının

3 ’ini 5

harcadıktan

6. x 2 + 2x + 1 = 0 denkleminin çözüm kü-

sonra 20 lirası kalıyor. Bu ö˘ grencinin harcama

mesi a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir?

yapmadan önceki parası a¸sa˘ gıdakilerden han-

A) {3}

B) {0, 2}

D) {−1}

E) {−2, 2}

gisidir? A) 100

B) 60

D) 40

E) 30

C) 50

C) {1}

7. Efe’nin 40 TL’si var. Bu paranın 17 TL’si ile bir kitap alıyor. Efe geriye kalan parası ile,

2. 2(x + 3) + 3(x − 1) = x + 7 denkleminin

çözümü a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? A)

1

2 D) 2

B)1

C)

tanesi 4 TL olan defterlerden en fazla kaç tane satın alabilir?

3

A) 3

B) 4

2

D) 6

E) 7

E)3

3. Bir annenin ya¸sı o˘ glunun ya¸sının 5 katıdır. 3 yıl önce annenin ya¸sı o˘ glunun ya¸sının 8

8. 3(x − 1) + 2 > x + 5 e¸sitsizli˘ ginin çözüm

kümesi a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir?

katı oldu˘ guna göre, çocu˘ gun ya¸sı a¸sa˘ gıdakiler-

A) (3, ∞)

B) (4, ∞)

den hangisidir?

C) (−∞, 3)

D) (−∞, 4)

A) 7

B) 8

D) 12

E) 15

C) 10

C) 5

E) (−3, ∞) 9. Yarısının 8 fazlası 11’den büyük olan sayıların kümesi a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir?

4. x 2 − 3x + 4 = 0 denkleminin çözüm kü-

mesi a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? A) {0, 1}

B) {−1}

D) {2}

E) ;

C) {1, 2}

5. Ece odasına dikdörtgen ¸seklinde olan 8 m2 bir kilim aldı. Bu kilimin uzun kenarı, kısa kenarından 2 metre fazla oldu˘ guna göre kısa kenar uzunlu˘ gu a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C) 3

A) (−∞, 3)

B) (−∞, 6)

C)(6, ∞)

D) (3, ∞)

E) {6} 10. x 2 + 5x − 6 < 0 e¸sitsizli˘ ginin çözüm kü-

mesi a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? A) [−6, 1)

B) (−∞, −6)

C) (1, ∞)

D) (−6, 1)

E) (−6, 1]

Çözümler

53

Çözümler 1. x ö˘ grencinin harcama yapmadan önceki

önce ∆ hesaplanır.

parası olsun. Bu durumda, x=

3 5

4. x 2 − 3x + 4 = 0 denklemini çözmek için,

= (−3)2 − 4 · 1 · 4

denklemi yazılabilir. x 1

(5)

3

−

5

= 9 − 16 = −7 gundan gerçel çözüm ∆ = −7 negatif oldu˘

= 20

x

yoktur.

(1)

5x − 3x

Do˘ gru cevap E ¸sıkkıdır.

= 20

5

2x

5. Kilimin kısa kenarına x dersek uzun ke-

= 20

5 x

narı x + 2 olur. Kilim dikdörtgen ¸seklinde ol-

= 50 TL

du˘ gundan, x(x + 2) = 8

Do˘ gru cevap C ¸sıkkıdır. 2.

b2 − 4ac

∆ =

x + 20

2(x + 3) + 3(x − 1) =

x +7

2x + 6 + 3x − 3 =

x +7

5x + 3 =

x +7

4x

= 4

x

= 1

denklemi yazılabilir. x 2 + 2x − 8 = 0 ikinci de-

receden denklem olup, ∆ =

b2 − 4ac

= 4 − 4 · 1 · (−8) = 4 + 32 = 36 dır. x1

=

Do˘ gru cevap B ¸sıkkıdır. = 3. Çocu˘ gun bugünkü ya¸sına x dersek anne=

sinin ya¸sı 5x olur. 3 yıl önce ise çocuk x − 3 ve

anne 5x − 3 ya¸sındaydı. Buna göre, 5x − 3 = 8(x − 3)

denklemi kurulabilir. Bu denklem çözülürse, 5x − 3 = 8(x − 3) 5x − 3 = 8x − 24 3x x x

= 21 21 = 3 = 7

x2

−b +

∆

2a p −2 + 36 2 −2 + 6

2 = 2 p −b − ∆ = 2a p −2 − 36 = 2 −2 − 6 = 2 = −4

x 1 = 2 ve x 2 = −4’dür. Uzunluk negatif ola-

mayaca˘ gından x = 2 metre kilimin kısa kenarının uzunlu˘ gudur. Do˘ gru cevap B ¸sıkkıdır.

bulunur. Do˘ gru cevap A ¸sıkkıdır.

p

54 6.

2 Denklemler ve E¸sitsizlikler x 2 + 2x + 1 = 0

Ç=(3, ∞) aralı˘ gıdır.

Do˘ gru cevap A ¸sıkkıdır. ∆ =

x

b2 − 4ac

x

9.

= 4−4·1·1

x

= 4−4=0

2

=

−b ∓

p

= =

−2

2

+ 8 − 8 > 11 − 8 x

zebilirdik: x 2 + 2x + 1 = (x + 1)2 özde¸sli˘ gi geçerlidir. O halde, (x + 1)2 = 0 x +1 = 0 = −1

bulunur.

Ç=(6, ∞) aralı˘ gıdır.

Do˘ gru cevap C ¸sıkkıdır.

x 2 + 5x − 6 = 0 denkleminin kökleri bulunur. p −b ∓ ∆ x = 2a p −5 ∓ 25 − 4 · 1 · (−6) = 2 −5 ∓ 7 = 2 −5 − 7 x1 = 2 −12 x1 = 2 x 1 = −6

7. Efe’nin defterler için 40 − 17 = 23 TL’si

x2 =

kalıyor. x defter sayısını göstermek üzere,

x

≤ 23 23 ≤ 4 ≤ 5, 75

olur. Böylece Efe en fazla be¸s defter alabilir. Do˘ gru cevap C ¸sıkkıdır. 8.

> 6

için önce,

Do˘ gru cevap D ¸sıkkıdır. Bu soruyu ¸söyle de çö-

x

> 3

2 x

10. x 2 + 5x − 6 < 0 e¸sitsizli˘ ginin çözümü

2 = −1

4x

+ 8 > 11

∆

2a p −2 ∓ 0

x

2

−5 + 7

x2 =

2 2

2 x2 = 1

−6 ile 1 arasında bulunan x de˘ gerleri için x 2 + 5x − 6 ifadesinin i¸saretini bulmak için

(−6, 1) aralı˘ gından x = 0 seçilip, x 2 + 5x − 6 ifadesinde yerine konulursa 02 + 5 · 0 − 6 =

−6 < 0 olur. Böylece x 2 + 5x − 6 ifadesinin bu

3(x − 1) + 2 >

x +5

3x − 3 + 2 >

x +5

gu görülür. aralıkta negatif oldu˘

3x − 1 >

x +5

−6

2x 2x 2 x

> 6 6 > 2 > 3

Ç=(−6, 1) aralı˘ gıdır. Do˘ gru cevap D ¸sıkkıdır.

1

Fonksiyonlar

3.

Belgrad Ormanı’nda yaprak sayıları eşit olan iki ağaç var mıdır?

GENEL MATEMATİK

ÜNİTE

BİRE-BİR FONKSİYON

TANIM KÜMESİ

DEĞER KÜMESİ TERS FONKSİYON BİLEŞKE FONKSİYON

DOĞRU DENKLEMİ

FONKSİYON GRAFİĞİ

56

3 Fonksiyonlar

Fonksiyonlarla Tanısma ¸ Partisi! S ¸ airim, Zifiri karanlıkta gelse ¸siirin hası, Ayak seslerinden tanırım. Ne zaman bir köy türküsü duysam, S ¸ airli˘ gimden utanırım... demi¸s ¸sair. Peki kimdir bu ¸sair biliyor musunuz?

Ben biliyorum hocam. Bedri Rahmi Eyübo˘ glu. Çok da severim bu ¸siiri.

Bravo Engin! Gençler bugün size ünlü ¸sairlerin ¸siirlerinin bulundu˘ gu güzel bir ¸siir kitabı getirdim.

Ya¸sasın! Arkada¸slar bugün matematikten kurtulduk.

Olur mu Gökçe? Matemati˘ gin olmadı˘ gı bir yer var mı? Ünlü Bilim insanı Galileo bu konuyla ilgili bak ne güzel söylemi¸s: "Kainat dedi˘gimiz kitap, yazıldı˘gı dil ve harfler ö˘grenilmedikçe anla¸sılamaz. O, matematik dilinde yazılmı¸s; harfleri üçgen, daire ve di˘ger geometrik ¸sekillerdir. Bu dil ve harfler olmaksızın kitabın bir tek sözcü˘günü anlamaya olanak yoktur." Vay be hocam, bir de biz görebilsek evrendeki matemati˘ gi çok güzel olacak. O bizimle saklambaç oynuyor sanki. Mesela bu ¸siir kitabının neresinde matematik var çok merak ettim do˘ grusu.

Sabırlı ol Selçuk. Birazdan elimdeki bu kitapla bir fonksiyon tanımlayaca˘ gız. Fonksiyon mu! Oldum olası sevemedim gitti ¸su fonksiyonlar konusunu! Bana kalırsa kesin fonksiyonlarla ilgili bir ¸siir var o kitapta, ba¸ska ne olabilir ki?

Fonksiyonlarla Tanı¸sma Partisi!

57

Her zamanki gibi atladın yine Gökçe! Önce bir dü¸sün bakalım, bir fonksiyon tanımlamak için neler gerekliydi?

Tanım Bo¸s kümeden farklı A ve B kümeleri alalım. A kümesinden B kümesine bir f

Öncelikle, fonksiyonun tanım kümesi dedi˘ gimiz bir küme ile fonksiyonun de˘ ger kümesi adını verdi˘ gimiz bir küme olmalı.

fonksiyonu, A kümesinin her elemanına B kümesinin bir tek elemanını kar¸sılık getirir.

Bravo Zeynep! Sonra da tanım kümesindeki her elemana de˘er kümesinden bir eleman kar¸sılık getirilmeli. Fakat bir nokg

Burada A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, B

tayı vurgulayalım. Bu gönderimde tanım kümesindeki bir elemana de-

kümesine ise de˘ ger kümesi denir. A kümesinden B kü-

˘er kümesinde birden fazla eleman kar¸sılık getirilmemeli. g

mesine bir f

Örne˘ gin, A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} kümeleri için, a¸sa˘ gıdaki e¸sle-

f : A → B veya A −→ B ¸sek-

meler A kümesinden B kümesine birer fonksiyon olamaz. A 1 2 3

B a b c d

A 1 2 3

fonksiyonu, f

linde gösterilir.

B a b c d

Fonksiyonun tanım kümesine kalkı¸s kümesi diyebildi˘imiz gibi, de˘ g ger kümesine de varı¸s kümesi diyebiliriz.

A

f

Bu e¸slemelerin neden fonksiyon olmadı˘ gını açıklayın bakalım.

a

1

b

2

Hocam soldaki e¸slemede A kümesinin elemanı olan 2, B kü-

c

3

mesinin hem b hem de c elemanıyla, yani birden fazla elema-

B

d

nıyla e¸slendi˘ ginden bir fonksiyon olamaz. Di˘ ger e¸slemede ise A kümesinin elemanı olan 3, B kümesinin hiçbir elemanıyla

S ¸ ekil 3.1: {1, 2, 3} kümesinden

e¸slenmemi¸stir. Bu yüzden bu e¸slemeler fonksiyon olamaz.

yon.

Güzel! Hadi bakalım ¸simdi de siz bana A = {1, 2, 3} kümesinden B = {a, b, c, d} kümesine birer fonksiyon tanımlayın.

{a, b, c, d} kümesine bir fonksi-

A 1 2

Ben bir f fonksiyonu tanımladım, ama yer kaplamasın diye vitrine yerle¸stirdim, malum daha ö˘ grenece˘ gimiz çok ¸sey var. S ¸ ekil 3.1’e bakabilirsiniz.

3

g

B a b c d

S ¸ ekil 3.2: {1, 2, 3} kümesinden

{a, b, c, d} kümesine bir ba¸ska fonksiyon.

Bir fonksiyon da ben tanımlayayım, adı da g olsun. Ben de vitrine koydum, S ¸ ekil 3.2’de.

58

3 Fonksiyonlar Bravo size! Söyleyin bakalım 1’in f altında görüntüsü olan f (1) ve g altında görüntüsü olan g(1) nedir?

Bir f : A → B fonksiyonunu

ve A kümesinin bir a elemanını dü¸sünelim. f fonksiyo-

nunun tanım kümesindeki a elemanını, de˘ ger kümesinde

Hocam ne var ki bunda, ben bile biliyorum bunu! 1’den çıkan oku takip edince sonucu buluruz. f (1) = a ve g(1) = b’dir. Benzer ¸sekilde,

e¸sledi˘ gi elemana, a’nın f altındaki görüntüsü diyece˘ giz

f (2) = c ,

f (3) = b ,

ve f (a) ile gösterece˘ giz.

g(2) = b ,

g(3) = c.

Tanım f : A → B fonk-

Tamam çok iyi. S ¸ imdi de Engin ve Gökçe’nin verdi˘ gi fonk-

siyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki gö-

siyonların görüntü kümelerini bulalım. Görüntü kümesi de-

rüntülerinin olu¸sturdu˘ gu kümeye, f ’nin görüntü kümesi

yince, tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntüleri-

denir ve bu küme f (A) olarak gösterilir. O halde f ’nin

alt kümesi oldu˘ guna da dikkat ediniz.

görüntü kümesi, f (A) = { f (a) | a ∈ A} kümesidir.

nin olu¸sturdu˘ gu kümeyi anlıyoruz. Görüntü kümesinin de˘ ger kümesinin

Hocam, o zaman bu fonksiyonların görüntü kümelerini ben bulayım. f (A) = { f (1), f (2), f (3)} = {a, b, c} kümesidir. S ¸ imdi de g’nin görüntü kümesini bulayım: g(A) = {g(1), g(2), g(3)} = {b, c}.

S ¸ imdi gelelim ¸siir kitabımıza ve onun yardımıyla verece˘ gimiz fonksiyon örne˘ gimize. Tanımlayaca˘ gımız fonksiyonun tanım kümesi bu kitaptaki ¸siirlerin kümesi olsun. Peki, ¸simdi size “˙Istanbul’u dinliyorum gözlerim kapalı” desem, hangi ¸sair gelir aklınıza?

Orhan Veli gelir tabii ki hocam.

Hımm, benim zihnimde ı¸sıklar yanmaya ba¸sladı sanki!

Fonksiyonlarla Tanı¸sma Partisi! S ¸ iirsever Engin’e bravo. Tanımlayaca˘ gımız fonksiyonun de˘ ger kümesi de, bu kitapta ¸siirlerine yer verilen ¸sairlerin kümesi olsun. Bir fonksiyon verebilmek için ba¸ska neyi belirtmeliyiz?

Tanım kümesindeki herhangi bir elemanı, de˘ ger kümesinin hangi elemanıyla e¸sleyece˘ giz onu söylemedik.

Tabii ya, kalkı¸s kümesinden yola çıktık, o e¸sleme bize her elemanın varı¸s kümesinde nereye varaca˘ gını söyleyecek.

Tanım kümesinden aldı˘ gım bir ¸siiri, de˘ ger kümesindeki ¸sairiyle e¸sleyelim. Bu durumda hem tanım kümesinde her eleman e¸slenmi¸s olur, hem de tanım kümesindeki bir eleman, de˘ ger kümesindeki birden fazla elemanla e¸slenmemi¸s olur.

Hocam, yalnız o kitapta mü¸sterek yazılmı¸s ¸siirler yok de˘ gil mi? Ondan emin olalım da! Yoksa tanım kümemizdeki bir eleman, de˘ ger kümesinin birden fazla elemanıyla e¸slenmi¸s olur ki bu durumda da fonksiyon olamaz.

Yok tabii ki Zeynep, her ¸siirin tek ¸sairi var bu kitapta. Bakın i¸ste size pırıl pırıl bir fonksiyon örne˘ gi. Bu kitaptaki ¸siirler kümesinden, bu kitapta ¸siirleri olan ¸sairler kümesine, ¸siirleri ¸sairleriyle e¸sleyen...

˙Iyi de hocam, bu nasıl bir fonksiyon ¸simdi? ˙Içinde ne rakam var ne dört i¸slem!

Gökçe, biz fonksiyon kavramını tanımlarken içinde illa ki toplama, çıkarma, çarpma, bölme olsun dedik mi?

Dü¸süneyim, hayır demedik hocam. Tamam o zaman, ben de ¸sairler kümesinden ¸siirler kümesine bir fonksiyon tanımlayayım. Fonksiyonum, her ¸sairi yazdı˘ gı ¸siirle e¸slesin.

59

60

3 Fonksiyonlar Dur bakalım Gökçe! Daha dikkatli olman gerekiyor. Öyle kafana göre kümeler alıp, aradaki ili¸skiyi de kafana göre veremezsin. S ¸ air kime denir, ¸siir neye denir? Bunları halletsen bile, ço˘ gu ¸sairin birden çok ¸siiri var zaten.

Tanım kümesindeki her elemana, de˘ ger kümesinde bir tek elemanın kar¸sılık getirilmesi gerekirdi, yine olmadı!

Hocam benim aklıma da ¸söyle bir örnek geldi. Tanım kümesi yine kitaptaki ¸siirler kümesi olsun, ama de˘ ger kümesini do˘ gal sayılar olarak de˘ gi¸stirelim. Kalkı¸s kümesinden bir ¸siir alalım, o ¸siir kaç mısradan olu¸suyorsa, varı¸s kümesindeki o sayı ile e¸sleyelim.

Evet Selçuk güzel, bu da ba¸ska bir fonksiyon örne˘ gi oldu. Tanım f : A → B fonksi-

S ¸ imdi yine ¸siirlere ¸sairlerini kar¸sılık getirdi˘ gimiz örne˘ gimize

yonu A kümesinin her elemanını B kümesinin aynı ele-

dönelim. Orhan Veli Kanık’a ait bütün ¸siirleri, Orhan Veli Kanık ile e¸sle-

manı ile e¸sliyorsa f ’ye sabit fonksiyon denir.

e¸sleme ile, tanım kümesinde birden fazla eleman, de˘ ger kümesinin aynı

Yani c ∈ B olmak üzere, A kümesinden alınan her a elemanı için f (a) = c ise f ’ye

sabit fonksiyon denir.

dik hatırlarsanız. Bir fonksiyon için bunun bir sakıncası yok. Verdi˘ giniz elemanına gönderilebilir. Hatta tanım kümesinin bütün elemanları bile, de˘ ger kümesinin aynı elemanına gönderilebilir. E˘ ger bir fonksiyon, tanım kümesinin tamamını, de˘ ger kümesinin aynı elemanı ile e¸sliyorsa, o fonksiyona sabit fonksiyon diyorduk de˘ gil mi hocam?

A 1 2 3

f

B a b

Evet Engin, öyle diyorduk. S ¸ imdi de biraz bire-bir fonksiyonlar ne demekti onu hatırlayalım gençler.

c d Hocam bunu hatırlasa hatırlasa Zeynep hatırlar!

S ¸ ekil 3.3: A = {1, 2, 3} kümesin-

den B = {a, b, c, d} kümesine bir sabit fonksiyon.

Hazırlanıp geliyoruz derse hayatım. Bire-bir fonksiyon, tanım kümesindeki farklı elemanları, de˘ ger kümesinde farklı elemanlarla e¸sler.


61

Peki, bire-bir olan bir fonksiyon örne˘ gi dü¸sünün bakalım.

Kalkı¸s kümemiz Türkiye’deki iller kümesi, varı¸s kümemiz de do˘ gal sayılar kümesi olsun. Tanım kümesindeki her ili, de˘ ger kümesindeki ilgili ¸sehirlerarası telefon kodu ile e¸sleyelim. Ör-

Tanım f : A → B fonksi-

yonu verilsin. x 1 , x 2 ∈ A olmak üzere x 1 = x 2 iken f (x 1 ) =

f (x 2 ) oluyorsa,

ne˘ gin, Eski¸sehir’i 222 ile, Ankara’yı 312 ile...

f fonksiyonuna bire-bir(1-1) fonksiyon denir. Buna denk

Engin bugün formundasın. Farklı illerin ¸sehirlerarası tele-

olarak f (x 1 ) = f (x 2 ) iken x 1 = x 2 ise f ’ye bire-bir

fon kodları birbirinden farklı oldu˘ gundan, tanım kümesindeki farklı iki elemana, de˘ ger kümesinin aynı elemanı kar¸sılık gel-

fonksiyon denir.

mez. Evet bu tür fonksiyonlar, piyanonun tu¸slarından çıkan sesler gibidir gençler! Basılan her tu¸stan mutlaka bir notanın sesi çıkar, fakat bir tu¸stan birden fazla notanın sesi de çıkmaz; çünkü fonksiyondur o her¸seyden önce! Ayrıca farklı yerlerde bulunan herhangi iki tu¸sun sesi de farklıdır, i¸ste bu da bire-birli˘ gi temsil eder. Hocam, de˘ ger kümesinde neden ihtiyacımız kadar olan elemanları almıyoruz da fazladan, gereksiz elemanlarla u˘ gra¸sıyoruz? Mesela Engin’in örne˘ ginde de˘ ger kümesi do˘ gal sayılar kümesi olmasın, Türkiye’deki bütün illerin ¸sehirlerarası telefon kodları neyse o sayıların olu¸sturdu˘ gu küme olsun, yani do˘ gal sayıların seksen bir elemanlı alt kümesi olsun, gerisini atalım gitsin. Ne güzel söylüyorsun Gökçe. Senin söyledi˘ gin bu türden fonksiyonların bir adı bile var.

Evet, örten fonksiyon diyorduk galiba... Tabii ya, örten fonksiyon diyoruz. De˘ ger kümesi görüntü kümesine e¸sit olan fonksiyonlardır onlar. O zaman de˘ ger kümesini, do˘ gal sayılar kümesi de˘ gil de, onun bir alt kümesi olan, seksen bir ilin ¸sehirlerarası telefon kodlarının olu¸sturdu˘ gu küme olarak de˘ gi¸stirelim.

Tanım f : A → B fonksi-

yonu verilsin. Her b ∈ B için f (a) = b olacak ¸sekilde bir a ∈ A varsa, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Ya da buna denk olarak, görüntü kümesi de˘ ger kümesine e¸sit olan fonksiyona, örten fonksiyon denir. Yani f : A → B fonksiyonu için f (A) = B ise f örtendir.

62

3 Fonksiyonlar Fonksiyonu de˘ gi¸stiriyorsun yani ¸simdi, öyle mi?

f , g : A → B fonksiyonları ve-

rilsin. E˘ ger tanım kümesinden aldı˘ gımız her a elemanı

Hayır hocam fonksiyonu de˘ gi¸stirmedim ki, sadece onun de˘ ger kümesini daralttım.

için, f (a) = g(a) oluyorsa, f ile g fonksiyonları e¸sittir.

Gökçe, de˘ ger kümesini de˘ gi¸stirince fonksiyonu da de˘ gi¸stirmi¸s ˙ oluyorsun. Iki fonksiyonun e¸sit olması demek, tanım kümelerinin, de˘ ger kümelerinin ve tanım kümesindeki elemanların e¸slenme biçimlerinin aynı olması demektir. Bunlardan birisini de˘ gi¸stirdi˘ gin anda, artık o iki fonksiyon aynı de˘ gildir. Evet, mesela az önce verdi˘ gim, iller kümesinden do˘ gal sayılar kümesine, her ili ilgili ¸sehirlerarası kodu ile e¸sleyen fonksiyon

Tanım f : A → A fonksiyonu A kümesinin her a elemanını yine a ile yani kendisi ile e¸sliyor ise f ’ye A kümesinin bi-

örten de˘ gildi ama, Gökçe’nin de˘ ger kümesini de˘ gi¸stirmesiyle olu¸san yeni fonksiyon, Türkiye’deki illerin kümesinden, ¸sehirlerarası telefon kodlarının olu¸sturdu˘ gu kümeye tanımlı örten bir fonksiyon oldu.

rim fonksiyonu denir. Birim fonksiyon genelde f yerine I ile, veya tanım kümesini vurgulamak için IA ile gösterilir.

Evet Engin haklısın. Demek ki bakın, sadece de˘ ger kümesini de˘ gi¸stirmek bile fonksiyonun özelli˘ gini de˘ gi¸stiriyor. Bu yeni fonksiyonda oldu˘ gu gibi, bir fonksiyon hem bire-bir hem de örten ise o fonksiyona bire-bir örten fonksiyon diyoruz arkada¸slar. Hadi bakalım,

I

A

A

1

1

2

2

3

3

bana bir tane daha bire-bir örten fonksiyon söyleyin.

Birim fonksiyonlar hocam. Evet Zeynep, güzel bir örnek. Tanım kümesi ile de˘ ger kümesi

S ¸ ekil 3.4: A = {1, 2, 3} kümesinin

birim fonksiyonu.

aynı olan ve tanım kümesindeki her bir elemanı kendisiyle e¸sleyen fonksiyona, o kümenin birim fonksiyonu diyoruz.

Elinizde bire-bir örten bir fonksiyon varsa, o fonksiyon yardımıyla hemen ba¸ska yeni bir fonksiyon tanımlayabilirsiniz gençler.

Nasreddin Hoca’nın do˘ guran kazanı gibi yani desenize.


63

Yine i¸si dalgaya vuruyorsun Selçuk! Hepinizin kendine has parmak izi var de˘ gil mi? Farklı ki¸silerin parmak izleri de farklıdır. Bu nedenle herhangi bir suç i¸slendi˘ ginde, olay yerindeki parmak izlerinden ¸süpheli ki¸silere ula¸sılmaya çalı¸sılır.

Tanım f : A → B, bire-bir

örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda, f fonksiyonunun ters fonksiyonu f −1 ile gös-

Benzer ¸sekilde, Nüfus ve Vatanda¸slık ˙I¸sleri Genel Müdürlü˘ gü tarafından, Türkiye Cumhuriyeti vatanda¸slarına, on bir haneli T.C. kimlik numarası verilir ve farklı ki¸silerin numaraları da farklıdır. Bu durumda, e˘ ger siz bir ki¸sinin T.C. kimlik numarasını biliyorsanız, o ki¸sinin kim oldu˘ gunu da biliyorsunuz demektir.

Engin’in Türkiye’deki illerin kümesinden, ¸sehirlerarası telefon kodları kümesine tanımladı˘ gı fonksiyon da bire-bir örten oldu˘ gundan, o fonksiyonun ters fonksiyonunu, ¸sehirlerarası telefon kodlarının kümesinden, Türkiye’deki illerin olu¸sturdu˘ gu kümeye tanımlayabiliriz.

terilir. f −1 : B → A fonksiyonu b ∈ B için f −1 (b) = a

olarak tanımlanır. Burada a, f (a) = b e¸sitli˘ gini sa˘ glayan

yegane elemandır.

A

f

B

1

x

2

y

3

z

Genel olarak bire-bir örten bir f : A → B fonksiyonu verildi˘ gi takdirde, o fonksiyonun f −1 : B → A ters fonksiyonu, B kümesinden alınan bir b

elemanını f (a) = b özelli˘ gine sahip a elemanına gönderen bir fonksi-

S ¸ ekil 3.5: A = {1, 2, 3} kümesin-

den B = {x, y, z} kümesine 1-1 örten f fonksiyonu.

yondur.

˙Iyi de hocam, neden sadece bire-bir ve örten fonksiyonların ters fonksiyonundan söz edebiliyoruz? Di˘ ger fonksiyonların ne günahı var?

f −1

B

A

x

1

y

2

z

3

Gökçe, f : A → B fonksiyonu örten de˘ gilse, o zaman B kümesinde, A kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü olarak or-

taya çıkmayan en az bir eleman vardır. Bu durumda ters fonksiyonu tanımlarken bu elemanı nereye göndereceksin? Demek ki örtenlik ¸sartı zorunlu. Di˘ ger yandan fonksiyon bire-bir de˘ gilse, A kümesinde a1 ve a2 gibi öyle farklı iki eleman vardır ki, bunların görüntüleri aynı b elemanı olur. Bu durumda da, ters fonksiyonu tanımlarken b elemanını hangi elemana göndereceksin? a1 veya a2 ’den birini nedensiz bir ¸sekilde seçmek biraz keyfilik olmaz mı? Demek ki bire-birli˘ ge de ihtiyacımız var. ˙I¸ste bu nedenlerle, ters fonksiyonları ancak bire-bir örten fonksiyonlar için tanımlarız. S ¸ imdi de fonksiyonların bile¸skesinden bahsedelim. Öncelikle bile¸ske fonksiyon deyince ne anlıyorsunuz?

S ¸ ekil 3.6: f fonksiyonunun ters fonksiyonu.

64

3 Fonksiyonlar

Kümelerin birle¸simini görmü¸stük ama, fonksiyon bile¸skesi daha farklı bir ¸sey galiba. Tamamen birbirinden farklı ¸seyler Selçuk. Bu sefer elimizde iki tane fonksiyon olsun ve birinin de˘ ger kümesi, di˘ gerinin tanım kümesine e¸sit olsun. Bir örnekle açıklayayım: f fonksiyonunun Tanım f : A → B, g : B → C fonksiyonları verilsin. Bu du-

tanım kümesi, sınıfımızdaki ö˘ grencilerin kümesi, yani Gökçe, Engin, Selçuk ve Zeynep’ten olu¸san küme; de˘ ger kümesi ise Türkiye’deki iller kümesi olsun. f fonksiyonu, tanım kümesindeki her bir elemana do˘ gdu˘ gu

rumda g ◦ f : A → C,

¸sehiri kar¸sılık getirsin. Bildi˘ gim kadarıyla aranızda yurt dı¸sında do˘ gan

(g ◦ f )(a) = g f (a)

yok herhalde. g fonksiyonu da, Türkiye’deki iller kümesinden Türk alfa-

fonksiyonuna, f ile g fonksi-

besinin harfleri kümesine giden bir fonksiyon olsun ve her ili ba¸s harfi

yonunun bile¸ske fonksiyonu denir.

ile e¸slesin.

f

A

a

f ’nin de˘ ger kümesi ile g’nin tanım kümesi e¸sit oldu. Yani Tür-

B

kiye’deki illerin kümesi.

f (a)

lım, yani bizim sınıftan birini, örne˘ gin Selçuk’u alalım. f

C g◦f

Evet Zeynep, ¸simdi f ’nin tanım kümesinden bir eleman alafonksiyonu Selçuk’u neyle e¸sledi?

g g( f (a))

Antep do˘ gumluyum hocam, Gaziantep! Tamam Selçuk. Bu durumda, f fonksiyonu seni Gaziantep ile e¸sledi. g fonksiyonu da, Gaziantep’e G harfini kar¸sılık getirdi. Dolayısıyla f ’nin tanım kümesinden seçilen Selçuk’a kar¸sılık, g’nin def : A → B bire-bir ve örten fonksiyonu için, f −1 ◦ f = IA

˘er kümesinden bir eleman bulmu¸s olduk. Bile¸ske fonksiyon Selçuk’u g G harfi ile e¸sler. Bunu f ’nin tanım kümesinde bulunan her eleman için yapabilirsiniz. ˙I¸ste, f ’nin tanım kümesinden, g’nin de˘ ger kümesine giden bu fonksiyona f ile g fonksiyonunun bile¸skesi denir ve g ◦ f olarak gösterilir.

ve f ◦ f −1 = I B oldu˘ guna dikkat ediniz.

S ¸ imdi bire-bir ve örten bir f f

−1

: A → B fonksiyonu ile bunun

: B → A ters fonksiyonunun bile¸skesini alın bakalım.

O fonksiyonla ters fonksiyonunun bile¸skesi birim fonksiyon olur hocam.

Gerçel Sayı Havuzunda Yüzen Fonksiyonlar Güzel Zeynep, ama bile¸ske alırken sıraya dikkat etmek gerekir. Hangi birim fonksiyonu elde ediyorsun? f : A → B bire-bir

ve örtense,

f −1 ◦ f = IA ve f ◦ f −1 = I B olur.

65

A

f

B

f −1

A

1

x

1

2

y

2

3

z

3

f −1 ◦ f

Gerçel Sayı Havuzunda Yüzen Fonksiyonlar

1

1 y

Arkada¸slar, artık bu a¸samadan sonra gerçel sayıların bir alt

2

2 z

kümesi üzerinde tanımlı, de˘ ger kümesi de gerçel sayıların bir alt kümesi olan fonksiyonlardan söz edece˘ giz.

x

3

3

Fonksiyonun tanımlı oldu˘ gu küme sonsuz elemanlı da olabilir de˘ gil mi hocam?

Evet Selçuk. ˙I¸ste bu kısımda tanım kümesinde bulunan sonsuz tane elemanın, de˘ ger kümesinde hangi elemanlara gönderildi˘ gini söyleyen reçeteler ya da kurallar söz konusu olacak. Örne˘ gin her sayıyı 2 fazlası ile e¸sleyen fonksiyonun kuralını f (x) = x + 2 olarak yazabilece˘ giz. x dedi˘ gimiz ¸sey, tanım kümesinin her hangi bir elemanını temsil edecek.

Ayrıca, bu reçete bazen y = f (x) olarak da yazılabilir. y = f (x) ifadesinde x’e ba˘ gımsız de˘ gi¸sken, y’ye ise ba˘ gımlı de˘ gi¸sken de denilmektedir. Örne˘ gin, y = f (x) = x 2 −3 ifadesinde y ba-

˘ımlı de˘ g gi¸skeni, x ba˘ gımsız de˘ gi¸skeninin bir fonksiyonudur ve bu fonksiyon her sayıyı kendisinin karesi olan sayının 3 eksi˘ gi ile e¸sler. Evet arkada¸slar demek ki, fonksiyonun kuralı verildi˘ gi takdirde, tanım kümesindeki her sayının görüntüsünü bulabilirsiniz. Mesela, f : → , y = f (x) = x 2 + x − 2 kuralı ile verilen fonksiyon için,

x = 3’e kar¸sılık gelen y = f (3) de˘ gerini nasıl bulabiliriz sizce? gümüz yere 3 yazarsak f (x) = x 2 + x − 2 ifadesinde, x gördü˘ f (3) = 32 + 3 − 2 = 9 + 3 − 2 = 10 olarak buluruz.

˙Ilk üniteden, negatif olmayan her sayının karekökünden söz edebildi˘ gimizi hatırlarsınız. Bunu, negatif olmayan gerçel sayılar kümesinden gerçel sayılar kümesine giden bir fonksiyon olarak da dü¸sünebiliriz. Bu fonksiyon, f : [0, ∞) → , f (x) = x

¸seklinde yazılabilir.

66

3 Fonksiyonlar Güzel Zeynep. Selçuk söyle bakalım, f : →

Mutlak de˘ ger fonksiyonunu, parçalı tanımlı bir fonksiyon

f (x) =

olarak ifade edebiliriz: |·|:→ −x |x| = x

2x + 3 , 3

x −5

,

x < 1 ise x ≥ 1 ise

fonksiyonu için f (−2) ve f (2) nedir? ,

x < 0 ise

,

x ≥ 0 ise

Hocam bu fonksiyonda iki tane kural var ama, hangisine göre bulayım istersiniz?

Hangisini kullanman gerekiyorsa onu kullanacaksın! Bu bir parçalı tanımlı fonksiyon örne˘ gidir arkada¸slar. Fonksiyon 1’den küçük olan bir x sayısını 2x + 3 sayısına; 1’e e¸sit ya da 1’den büyük olan bir x sayısını da x 3 − 5 sayısına gönderiyor. Anladım. −2 sayısı 1’den küçük oldu˘ gundan (−2 < 1), f (−2) = 2 · (−2) + 3 = −4 + 3 = −1 dir. f (2)’yi de bulayım. 2 sayısı 1’den büyük oldu˘ gundan (2 ≥ 1),

f (2) = 23 − 5 = 8 − 5 = 3

olur.

Arkada¸slar ¸simdi fonksiyonlar arasında yapılan i¸slemlerden biraz bahsedelim. f : A ⊆ → ve g : A ⊆ → fonksiyon-

larını dü¸sünelim. Bu durumda bu iki fonksiyonun toplamından, farkın-

dan, çarpımından söz edebiliriz. Hatta, e˘ ger tanım kümesinden alınan f her a elemanı için g(a)’nın sıfırdan farklı oldu˘ gunu biliyorsak, bölüm g fonksiyonundan da söz edebiliriz.

Öncelikle herhangi bir a ∈ A için f (a) ve g(a) hangi kümenin elemanıdır?

Gerçel sayılar kümesinin elemanıdır tabii ki hocam!


67

Evet Gökçe, güzel. Peki f (a) ile g(a)’yı toplayabilir miyiz?

Tabii ki toplayabiliriz, onlar birer gerçel sayı. Sayıları toplamasını da biliyoruz yani hocam! Hiç ¸süphem yok Selçuk. Evet arkada¸slar, A kümesinden keyfi

Tanım f : A ⊆ → ve g : A ⊆ → fonksiyonları verilsin. Bu fonksiyonların toplam, fark ve çarpımları, a ∈ A olmak üzere, f + g : A → ,

bir a elemanını aldıktan sonra, o sayıya f (a) + g(a) ¸seklinde bir sayı kar¸sılık getirdik. ˙I¸ste f ile g fonksiyonlarının toplam fonksiyonu

( f + g)(a) = f (a) + g(a)

diye, A kümesinden gerçel sayılara tanımlı, bir a elemanını f (a) + g(a) f ile e¸sleyen fonksiyonu anlarız. Benzer biçimde, f − g, f · g ve fonksig yonlarını da tanımlayabilirsiniz. S ¸ imdi bunlarla ilgili bir örnek yapalım.

f − g : A → , ( f − g)(a) = f (a) − g(a),

f , g : → , f (x) = x 2 + 1, g(x) = x − 2 fonksiyonlarını dü¸sünelim. f Bu durumda f + g, f − g, f · g ve fonksiyonlarını bulabilir misiniz? g

f · g : A → , ( f · g)(a) = f (a) · g(a)

Ben bulayım hocam. Öncelikle f + g, f − g ve f .g fonksiyon-

kümesinin her a elemanı için g(a) = 0 ise bölüm fonksi-

larının tanım kümesi, f ile g’nin tanım kümeleri ile aynıdır,

yani gerçel sayılar kümesidir. O halde bu fonksiyonların her biri ’den ye fonksiyonlardır. S ¸ imdi de bu fonksiyonların kuralını bulayım. ( f + g)(x) = f (x) + g(x) = x 2 + 1 + x − 2 = x 2 + x − 1

( f − g)(x) = f (x) − g(x) = x 2 + 1 − (x − 2) = x 2 − x + 3

( f · g)(x) = f (x) · g(x) = (x 2 + 1) · (x − 2) = x 3 − 2x 2 + x − 2 f x = 2 için g(2) = 2 − 2 = 0 oldu˘ gundan, fonksiyonunu g üzerinde tanımlayamayız.

Kayıp ˙Ilanı: f (x) =

1 x

’in Tanım Kümesi Aranıyor!

E˘ ger bir fonksiyonu tanımlamaya yarayabilecek bir kural verilmi¸s, fakat tanım kümesi açıkça verilmemi¸sse, o zaman bu fonksiyonun tanım kümesi olarak, bu kuralın anlamlı oldu˘ gu en geni¸s 1 küme alınır ve bu küme D f olarak gösterilir. Örne˘ gin f (x) = kux ralı ile verilmi¸s bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak istesek D f ne olurdu? Bu kuralın anlamlı olması için payda sıfırdan farklı olmalıdır. 1 ifadesi, sıfırdan farklı bütün x’ler için anlamlı sayılar Yani x verir. O halde D f = \{0}’dır.

olarak tanımlanır. Ayrıca A

yonu da, f

: A → , g f (a) f (a) = g g(a) olarak tanımlanır.

68

3 Fonksiyonlar Güzel. Peki size gerçel sayıların tamamı üzerinde tanımlı bir fonksiyon tanımlayın desem aklınıza ilk neler geliyor?

Sabit fonksiyon geliyor hocam. Örne˘ gin f : → , f (x) = 2

sabit fonksiyonu gerçel sayıların tamamında tanımlıdır.

Gerçel sayılar kümesinin birim fonksiyonunu da dü¸sünebiliriz. Yani f : → , f (x) = x.

f (x) = x 3 + 1 fonksiyonu da olur.

Arkada¸slar, verdi˘ giniz örneklerin hepsi, birer polinom fonkTanım n negatif olmayan bir tam sayı, a0 , a1 , a2 , . . . , an gerçel sayılar ve an = 0 olmak üzere, p : → ,

p(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 biçiminde ta-

siyon örne˘ gidir. Polinom fonksiyonlar gerçel sayıların tamamında tanımlı fonksiyonlardır. Polinom fonksiyonların genel tanımı için vitrinimize bakabilirsiniz. Örne˘ gin, p(x) = x 4 − 2x 3 + 5x − 7 polinomu dördüncü dereceden bir

polinom fonksiyondur ve gerçel sayıların tamamında tanımlıdır.

nımlanan fonksiyona n. de-

receden bir polinom fonksiyon denir.

Dikkat ederseniz, polinom fonksiyonlarda, x de˘ gi¸skeninin negatif olmayan tam sayı kuvvetleri alınmaktadır. Bu durumda, f (x) =

x, g(x) =

1 3x

birer polinom fonksiyon de˘ gildir. Fakat, f (x) =

1 3x, g(x) = x 3

birer polinom fonksiyondur.

En geni¸s tanım kümesi bulmakla ilgili bir soru daha sorayım. g(x) = x + 1 fonksiyonu için D g nedir?

Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. O halde x + 1 ≥ 0 yani x ≥ −1 olmalıdır. Dolayısıyla, D g = [−1, ∞).


69

Ters Yöne Yürümek! Biraz da bire-birlik kavramını peki¸stirelim. f : → , f (x) = x 2 fonksiyonu bire-bir midir, ne dersiniz? Her gerçel sayıyı karesi ile e¸sliyoruz. 1’in karesi 1; 2’nin karesi 4; 3’ün karesi 9; 12 ’nin karesi 14 ; farklı sayıların karesi farklı, o halde bire-birdir hocam. Olur mu Gökçe, negatif sayıları unuttun galiba, −1’in karesi de 1’dir. Yani, −1 = 1’dir ama kareleri birbirine e¸sittir. Dolayısıyla bu fonksiyon bire-bir olamaz.

Güzel Zeynep. Peki, f : [0, ∞) → , f (x) = x 2 fonksiyonu

bire-bir midir?

Aynı fonksiyonu tekrar soruyorsunuz hocam! Dalgınlı˘ gınıza geldi herhalde. Hayır Selçuk! Bu fonksiyonun tanım kümesi farklı. Fonksiyonların e¸sitli˘ gine bir bak istersen. Bu fonksiyon bire-birdir hocam. Tanım kümesinde, görüntüsü aynı olan iki farklı eleman yoktur çünkü. Bravo Engin! Peki size gerçel sayıların tamamı üzerinde birebir olan bir fonksiyon söyleyin desem?

üzerinde tanımlı birim fonksiyonu söylerim hocam.

f (x) = x + 1 de gerçel sayıların tamamında bire-birdir. Selçuk ve Engin’in örneklerini genelleyebiliriz. a ve b gerçel sayılar, a = 0 olmak üzere, f : → , f (x) = a x + b fonksi-

yonu bire-birdir. Peki söyleyin bakalım, neden a’nın sıfırdan farklı olmasını istedik? Hocam a = 0 olursa fonksiyon sabit fonksiyon olur, sabit fonksiyon da üzerinde bire-bir de˘ gildir.

Bir fonksiyonun bire-bir olmadı˘ gını göstermek, birebir oldu˘ gunu göstermekten ço˘ gu zaman daha kolaydır. Çünkü, birbirinden farklı tek bir tane sayı çifti için, fonksiyon altında görüntülerinin aynı oldu˘ gunu göstermek, bire-bir olmadı˘ gını söylemek için yeterlidir.

70

3 Fonksiyonlar Çok güzel Zeynep. Biraz da örtenlikten söz edelim. f : → , f (x) = x + 5 fonksiyonu örten midir, ne dersiniz?

Görüntü kümesi de˘ ger kümesine e¸sit mi yani? Bunun için de˘ ger kümesinden keyfi y elemanı alıp, f (x) = y olacak biçimde x’in olup olmadı˘ gına bakaca˘ gız. Aldı˘ gım keyfi y için bu özellikte bir x varsa, fonksiyon örtendir diyece˘ giz. y = x + 5 denkleminden x = y − 5 olur. Yani x = y − 5 için

f (x) = y’dir. O halde, f örtendir.

Güzel! Örten olmasının yanında bire-bir de. Dolayısıyla bu fonksiyonun ters fonksiyonundan bahsedebiliriz.

Hocam ters fonksiyonunu nasıl bulaca˘ gız? Çok basit Gökçe, geldi˘ gin yoldan geri dönerek bulacaksın! ger kümesinden, f ’nin tanım kümesine tanımlı f −1 , f ’nin de˘ bir fonksiyondur ve y’yi f (x) = y olan x ile e¸sler. Az evvel bize de˘ ger kümesinden verilen bir y için, f (x) = y olan x elemanını bulmu¸stuk. O gi¸sken halde, f −1 ( y) = y − 5 ¸seklindedir. Fakat biz fonksiyonlarda de˘

olarak daha çok x sembolünü kullandı˘ gımız için gelin bu ters fonksiyondaki y de˘ gi¸skeni yerine x sembolünü kullanalım. Bu durumda, f −1 : → , f −1 (x) = x − 5 olarak elde ederiz. y = f (x) denkleminden x’i y cinsinden çektik mi i¸s biter hocam! Tabii ki fonksiyon bire-bir ve örtense Selçuk! S ¸ imdi de fonksiyonların bile¸skesini bir örnekle peki¸stirelim. f : → ,

f (x) = 3x 2 + 1 ve g : → , g(x) = x − 3 fonksiyonları için sıra-

sıyla g ◦ f ve f ◦ g fonksiyonlarını bulalım.

(g ◦ f )(x) = g( f (x)) oldu˘ gundan g fonksiyonunda x gördü˘üm yere f (x) yazarsam, g ◦ f : → , g

g( f (x)) = f (x) − 3 = 3x 2 + 1 − 3 = 3x 2 − 2 elde ederim.

Fonksiyonların Resmine Bakmak

71

( f ◦ g)(x) = f (g(x)) oldu˘ gundan, f fonksiyonunda x gördü˘üm yere g(x) yazarsam, f ◦ g : → , g

f (g(x)) = 3g(x)2 + 1 = 3(x − 3)2 + 1= 3(x 2 − 6x + 9) + 1 = 3x 2 − 18x + 28

elde ederim. Gayet güzel arkada¸slar. S ¸ imdi biraz da fonksiyonların grafiklerinden söz edelim.


Hocam, fonksiyonların grafi˘ gine neden ihtiyaç duyarız? S ¸ öyle açıklayayım Selçuk, ¸simdi ben sana kumral, kıvırcık saçlı, mavi gözlü, uzun boylu vs. ¸seklinde tanımadı˘ gın birini tasvir etmeye çalı¸ssam, hayal dünyanın elverdi˘ gi ölçüde zihninde bir ki¸si olu¸sturursun. Fakat bahsetti˘ gim ki¸sinin bir foto˘ grafını eline versem, her¸sey berrakla¸sır de˘ gil mi? ˙I¸ste fonksiyonun grafi˘ gini görmek, foto˘ grafa bakmak gibidir. Bir fonksiyonun grafi˘ gine bakarak onunla ilgili özellikleri saptayabilirsin. Hem bizler görerek daha iyi anlarız de˘ gil mi?

Hiç ¸süphesiz hocam! y

Arkada¸slar, önce grafik çiziminde bir araç olarak kullanaca˘ gımız kartezyen koordinat sisteminden söz edece˘ giz. 1. üniteden gerçel sayılar kümesi ile sayı do˘ grusu arasındaki ili¸skiyi hatırlarsınız. S ¸ imdi de gerçel sayıların kendisiyle kartezyen çarpım kümesi denilen ve 2 ¸seklinde gösterilen kümeyi tanımlayaca˘ gız ve düzlemle ili¸ski-

0

x

lendirece˘ giz. Sıralı sayı çiftlerinin kümesine ’nin kendisiyle kartezyen çarpım kümesi diyoruz ve bu kümeyi ¸söyle ifade ediyoruz: × = 2 = (x, y) | x, y ∈ . Ayrıca (x, y) sıralı ikilisinde x’e sıralı ikilinin birinci bile¸seni; y’ye de ikinci bile¸seni diyoruz. Bile¸senlerin sırası çok önemli. Örne˘ gin (3, 4) ikilisi, (4, 3) ikilisinden farklıdır. Zeynep Demir’le Demir Zeynep’in farklı olması gibi.

S ¸ ekil 3.7: Kartezyen koordinat sistemi.

72

3 Fonksiyonlar S ¸ imdi de kartezyen koordinat sistemini tanıyalım. ˙Iki sayı do˘ grusunun, sıfır noktalarında dik olarak düzleme yerle¸stirilmesi sonucunda

y

kartezyen koordinat sistemi olu¸sur. Burada yataydaki sayı eksenine (x 0 , y0 )

y0

x ekseni ya da apsisler ekseni, dü¸seydeki sayı eksenine ise y ekseni ya da ordinatlar ekseni diyoruz. Ayrıca sayı do˘ grularının kesi¸stikleri noktaya ba¸slangıç noktası adını veriyoruz.

0

x

x0

2 ’nin elemanları sıralı sayı ikililerinden olu¸stu˘ guna göre, her

S ¸ ekil 3.8: Kartezyen koordinat sisteminde (x 0 , y0 ) ikilisine kar¸sı-

iki sayıyı da temsil etmek için iki tane sayı do˘ grusuna ihtiyaç duymamız do˘ gal tabii. Peki yerle¸stirme i¸sini nasıl yapıyoruz hocam?

lık gelen nokta.

y

Gayet kolay Selçuk. × kümesinden herhangi bir (x 0 , y0 )

elemanını alalım. Kartezyen koordinat sisteminin yatay ek-

(2, 3) 3

seninde x 0 , dü¸sey ekseninde de y0 noktasını bulalım. Daha sonra, bu

(3, 2)

noktalardan eksenlere paralel do˘ grular çizelim. Bu do˘ gruların kesi¸sim

2

yeri bir tek noktadır. Bu nokta, (x 0 , y0 ) ikilisinin düzlemdeki yeridir. 0

2

3

x

Az evvelki i¸slemde bandı geri sararak izlersek, bu sefer düzS ¸ ekil 3.9: Kartezyen koordinat

lemdeki bir noktaya kar¸sılık bir sıralı ikili buluruz!

sisteminde (2, 3) ve (3, 2) ikililerine kar¸sılık gelen noktalar.

Aynen senin dedi˘ gin gibi Selçuk. Bu sefer düzlemden bir nokta alalım. O noktadan geçen ve y ve x eksenine paralel do˘ gruları dü¸sünürsek o do˘ grular x ve y eksenlerini birer noktada kesecektir. Böylece bulunan x 0 ve y0 sayılarına, verilen noktanın apsisi Tanım f : A ⊆ → fonksiyonu verilsin. A kümesinin

ve ordinatı, (x 0 , y0 ) ikilisine de bu noktanın koordinatları denir.

her bir x elemanı için x ile onun görüntüsü olan f (x)’in

Böylece her sıralı ikiliye kar¸sılık düzlemde bir nokta ve düzlemdeki her noktaya da bir sıralı ikili kar¸sılık getirdik. Bu ne-

olu¸sturdu˘ gu (x, f (x)) sıralı ikililerinin kümesine f ’nin grafi˘ gi denir ve bu küme G f

2

denle ile düzlemin noktaları arasında fark gözetmiyoruz. Alt yapıyı tamamladık. S ¸ imdi grafik çizmek için hazırız!

ile gösterilir. G f = (x, f (x) | x ∈ A)

f : A ⊆ → fonksiyonunun tanım kümesindeki bir ele-

man ile o elemanın görüntüsünün olu¸sturdu˘ gu sıralı ikiliyi dü¸sünelim. ˙I¸ste tanım kümesindeki her x elemanı için (x, f (x)) sıralı

ikililerinin olu¸sturdu˘ gu kümeye f ’nin grafi˘ gi diyece˘ giz ve G f ile gösterece˘ giz. Böylece bir fonksiyonun grafi˘ gini kartezyen koordinat sistemine yerle¸stirip, fonksiyonun foto˘ grafına bakabilir duruma gelece˘ giz.


73

Hocam önce sabit fonksiyonun foto˘ grafına baksak mı?

Tabii ki Engin, bak bakalım ne görüyorsun?

Gerçel sayılar kümesinin her elemanını 1’e gönderen fonksiyonu alayım. Yani, f : → , f (x) = 1 olsun. Sonsuz tane (x, f (x)) ikilisi var. Bunları nasıl ta¸sıyayım?

Hepsini ta¸sımaya ömrümüz yetmez tabii, bunun için öncelikle G f kümesinden uygun sayıda eleman alıp, o elemanları düzleme ta¸sıyaca˘ gız. Ardından, bu noktaları uygun bir ¸sekilde birle¸stirece˘ giz. Nokta sayısını ne kadar artırırsak, fonksiyonun gerçek grafi˘ gine o kadar yakla¸smı¸s olaca˘ gız. S ¸ imdi Engin’in sabit fonksiyonunun grafi˘ gini çizmeye çalı¸salım. Öncelikle, {(x, 1) | x ∈ } kümesinden bazı noktaları i¸saretleyelim...

y 1

−3 − 5 −2 − 3 −1 − 1 2 2 2

0

1 2

1

3 2

2

5 2

3

7 2

4

1 2

1

3 2

2

5 2

3

7 2

4

x

Ve bu noktaları birle¸stirelim... y 1

−3 − 5 −2 − 3 −1 − 1 2 2 2

0

x

S ¸ ekil 3.10: f : → , f (x) = 1 sabit fonksiyonunun grafi˘ gi.

S ¸ imdi de f : → , f (x) = x − 2 fonksiyonunun grafi-

˘ini çizelim. Önce G f = {(x, x − 2) | x ∈ } kümesinden bazı g

noktaları i¸saretliyoruz:

74

3 Fonksiyonlar y 2 3/2

y 3

1 2

1/2 1 −3

−2

−1 0

1

2

3

x

3 −2 − 2

1 −1 − 2

1 2

1

3 2

0

2

−1/2

−1 −2

−1

−3

−3/2

5 2

3

7 2

4

3

7 2

4

x

−2

S ¸ ekil 3.11: f (x) = x’in grafi˘ gi.

−5/2

−3 3

y

−7/2

2

−4

1 0 −3

−2

−1

1

2

3

x

−1

S ¸ imdi de bu noktaları birle¸stiriyoruz.

−2 −3

S ¸ ekil 3.12: f (x) = −x’in grafi˘ gi.

y

y 2

4

3/2

1

2

1/2 3 −2 − 2

−2

−1

0 1

2

x

1 −1 − 2

1 2

0

−1/2

1

3 2

2

5 2

−1 −3/2

−2

−2 −5/2

−4

S ¸ ekil 3.13: f (x) = 2x fonksiyo-

−3 −7/2

−4

nunun grafi˘ gi. S ¸ ekil 3.14: f (x) = x − 2 fonksiyonunun grafi˘ gi.

x

Fonksiyonların Resmine Bakmak Gördü˘ günüz gibi f (x) = x − 2 fonksiyonunun grafi˘ gi düz-

75

lemde bir do˘ grudur. Düzlemde do˘ grular cebirsel olarak bi-

Düzlemde bir noktadan son-

rinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerle ifade edilebilir. Yeri gel-

suz çoklukta do˘ gru geçmesine kar¸sın, farklı iki nokta-

mi¸sken biraz da do˘ gru denklemlerinden söz edelim.

dan bir tek do˘ gru geçer.

Evet arkada¸slar ¸simdi, düzlemde farklı iki noktadan bir tek

y

do˘ gru geçer gerçe˘ ginden yola çıkarak, farklı iki noktadan geçen do˘ grunun denklemini, o noktaların koordinatlarına ba˘ glı olarak ifade edece˘ giz. Öncelikle verilen iki noktanın apsisleri e¸sit ordinatları farklı olsun. Bu

x

durumda bu noktalardan geçen do˘ gruyu dü¸sünsek ve o do˘ gru üzerinde ba¸ska bir nokta alsak, o noktanın koordinatları hakkında ne söylersiniz?

O do˘ gru üzerindeki bütün noktaların apsislerinin e¸sit oldu˘unu söyleyebiliriz. g

S ¸ ekil 3.15: Ba¸slangıç noktasından geçen sonsuz çokluktaki do˘ grulardan bazıları.

Evet Zeynep, düzlemde apsisleri x 1 ’e e¸sit olan bütün (x, y)

y

ikililerine kar¸sılık gelen noktalar bu do˘ gruyu olu¸sturdu˘ gu için, bu do˘ gruyu x = x 1 denklemi ile ifade edebiliriz. Peki verilen noktaların ordinatları e¸sit apsisleri farklı olsaydı, o zaman do˘ gruyu cebirsel olarak nasıl ifade ederdiniz?

Bu sefer de do˘ gru üzerinde aldı˘ gımız her hangi bir noktanın

y2

(x 1 , y2 )

y1

(x 1 , y1 ) 0

x

x1

ordinatı, di˘ ger iki noktanın ordinatına e¸sit olacaktır. Dolayısıyla, düzlemde ordinatları y1 ’e e¸sit olan bütün (x, y) ikililerine kar¸sılık gelen noktalar bu do˘ gruyu olu¸sturdu˘ gu için bu do˘ gruyu y = y1 do˘ grusu olarak ifade edebiliriz.

S ¸ ekil 3.16: x = x 1 do˘ grusu.

y

Bravo Engin! Peki arkada¸slar verilen iki noktanın ne apsisleri ne de ordinatları e¸sitse, bu durumda bu noktalardan geçen

(x 1 , y1 )

(x 2 , y1 )

y1

do˘ gruyu cebirsel olarak nasıl ifade edebiliriz sizce? x1

Di˘ gerleri gibi bakar bakmaz bir ¸sey söylemek kolay de˘ gil gibi!

0

x2

S ¸ ekil 3.17: y = y1 do˘ grusu.

76

3 Fonksiyonlar Thales Teoremi

Karı¸sık görünmesine ra˘ gmen, Thales teoreminden faydalanarak bu do˘ grunun denklemini kolayca bulabiliriz.

A

x 1 = x 2 ve y1 = y2 olmak üzere (x 1 , y1 ) ile (x 2 , y2 ) noktalarından geçen

do˘ gruyu dü¸sünelim ve (x, y) bu do˘ gru üzerinde ba¸ska bir nokta olsun. D

E

(x, y)

y

B

C

Yukarıdaki ¸sekilde BAC açısının kolları arasında kalan

(x 2 , y2 )

y2

DE do˘ gru parçası ile BC do˘ gru parçası paralel olsun

y1

(DE//BC). Bu durumda a¸sa˘ıdaki e¸sitlikler geçerlidir. g |AD| |AB|

|AE|

=

|AC|

=

x − x1

|DE|

x1

|BC|

Do˘ gru üzerinde alınan farklı

x2

x

x

S ¸ ekil 3.18

Thales teoreminden a¸sa˘ gıdaki e¸sitli˘ gi yazabiliriz.

her hangi iki noktanın, ordinatları farkının apsisleri farkına oranı sabittir. Bu orana do˘ grunun e˘ gimi diyoruz.

y2 − y1

x2 − x1

(x 1 , y1 )

y − y1

y − y1

x − x1

=

y2 − y1

x2 − x1

Bu e¸sitli˘ gi düzenleyecek olursak, y=

y

y2 − y1

x2 − x1

(x − x 1 ) + y1 y2 − y1

oranına bu x2 − x1 noktalardan geçen do˘ grunun e˘ gimi diyoruz ve m harfi ile gösteriyoolarak do˘ grunun denklemini elde ederiz. Burada,

b

a

0

x

ruz. Bu durumda e˘ gimi m olan ve (x 1 , y1 ) noktasından geçen do˘ grunun denklemini, y = m (x − x 1 ) + y1 olarak elde ederiz.

a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, x ekse-

Örnek olarak, (1, 2) ve (2, 3) noktalarından geçen do˘ grunun denklemini bulalım.

nini x = a noktasında, y eksenini de y = b noktasında

Ben bulayım hocam. (x 1 , y1 ) = (1, 2) ve (x 2, y2 ) = (2, 3) ol-

kesen do˘ grunun denklemi,

du˘ gundan do˘ gru denkleminde x 1 = 1, y1 = 2, x 2 = 2 ve

x a

+

y b

=1

¸seklinde yazılabilir.

y2 = 3 yazarsak, y=

3−2

2−1

(x − 1) + 2

olur. Bu e¸sitli˘ gi düzenlersek, y = x + 1 olarak do˘ gru denklemini elde etmi¸s oluruz.

Fonksiyonların Resmine Bakmak Aferin Gökçe, peki bu do˘ grunun e˘ gimi nedir?

77 Düzlemde e˘ gimleri e¸sit olan do˘ grular paraleldir.

m=

y2 − y1

x2 − x1

=

3−2

2−1

= 1 oldu˘ gundan do˘ grunun e˘ gimi 1’dir. y

y = 2x + 4 y = 2x

Güzel. Do˘ gru denklemini y = mx + n olarak yazdıktan sonra 4

artık e˘ gimin m oldu˘ gunu hemen söyleyebilirsin. Örne˘ gin y = 3x + 1 do˘ grusunun e˘ gimi kaçtır?

2

Bu ifadede x’in katsayısı 3 oldu˘ gundan bu do˘ grunun e˘ gimi 3 0

olur.

x

1

Evet Engin. S ¸ imdi de düzlemde birbirinden farklı her hangi iki do˘ gru alalım. Bu durumda bu do˘ grular ya kesi¸sirler, ya da paraleldirler. Paralel do˘ grular e˘ gimleri birbirine e¸sit olan do˘ grulardır.

S ¸ ekil 3.19: Düzlemde birbirine paralel iki do˘ gru.

Örne˘ gin y = 3x − 4 do˘ grusu ile y = −5x + 4 do˘ grularını göz önüne alalım. Bu do˘ grular sizce paralel olabilir mi?

˙Ilk do˘ grunun e˘ gimi 3, di˘ ger do˘ grunun e˘ gimi −5’tir. Bu do˘ g-

y y = 3x

4

ruların e˘ gimleri e¸sit olmadı˘ gından paralel de˘ gildirler.

Evet Zeynep, bu do˘ grular kesi¸sen iki do˘ grudur. Bu do˘ gruların kesi¸sti˘ gi noktanın koordinatlarını bulabilir misiniz? 1

Kesi¸sim noktası her iki do˘ grunun da üzerindedir. O halde hem birinci denklemi hem de ikinci denklemi sa˘ glayan (x, y) sıralı ikilisini bulmalıyız. Bu yüzden 3x − 4 = −5x + 4 olmalıdır.

x

0 −1

Buradan x = 1 olarak elde ederiz. Bu de˘ geri denklemlerden her hangi birisinde örne˘ gin y = 3x − 4 denkleminde yerine

yazarsak, y = −1 olarak elde ederiz. O halde kesi¸sim noktası, (1, −1) noktasıdır.

−4

y = −5x + 4

Bravo Engin! S ¸ imdi kaldı˘ gımız yerden fonksiyonların resmine bakmaya devam edelim arkada¸slar. f : → , f (x) = x 2

fonksiyonunun grafi˘ gini çizelim.

S ¸ ekil 3.20: Düzlemde (1, −1) noktasında kesi¸sen iki do˘ gru.

78

3 Fonksiyonlar Bunun için önce yine bazı noktaların yerlerini i¸saretliyoruz:

y 4

49/16

9/4

25/16

1 9/16 1/4

0

7 5 3 3 1 −2 − 4 − 2 − 4 −1 − 4 − 2

1 2

3 4

1

5 4

3 2

7 4

2

3 2

7 4

2

x

Sonra da bu noktaları birle¸stiriyoruz... y 4

49/16

9/4

25/16

1 9/16 1/4

7 3 5 3 1 −2 − 4 − 2 − 4 −1 − 4 − 2

0

1 2

3 4

1

5 4

S ¸ ekil 3.21: f (x) = x 2 fonksiyonunun grafi˘ gi.

x


79

Hocam parçalı fonksiyonlara haksızlık etmeyelim. Biraz da onların foto˘ grafına bakabilir miyiz? Tabii ki Selçuk, ben de ¸simdi ona örnek verecektim. g : → ,

 g(x) =

x +1

,

x <0

  x

+1 , x ≥0 5 fonksiyonunun grafi˘ gini çizelim. Yine önce bazı noktaları i¸saretleyelim.

y 2 (1, 65 )

1 −3 − 52 −2 − 32 −1

(3, 85 )

(2, 75 )

(4, 95 )

(5, 2)

1/2 − 12 0

1

2

4

3

5

x y

−1/2

3

−1

2

−3/2

1

−2

−3

Sonra da bu noktaları birle¸stirelim:

−2

−1

y 2

1 1/2 − 12 0

1

2

4

3

5

x

−1/2

−1 −3/2 −2

S ¸ ekil 3.24: üzerinde tanımlı, x < 0 için x + 1 ile, x ≥ 0 için

parçalı fonksiyon grafi˘ gi.

1

2

3

x

S ¸ ekil 3.23: f (x) = |x| fonksiyonunun grafi˘ gi.

−3 − 52 −2 − 32 −1

0

x 5

+ 1 olarak tanımlanan

80

3 Fonksiyonlar Bu grafi˘ ge ¸su gözle de bakabiliriz: x < 0 (hatta x ≤ 0)

y=

x 5

için y = x + 1 do˘ grusunun grafi˘ gini alıyoruz; x ≥ 0 için de

+ 1 do˘ grusunun grafi˘ gini alıyoruz.

S ¸ imdiye kadar çizdi˘ gimiz grafiklerde, aslında gere˘ ginden fazla yardımcı nokta kullandık. Ama bu sizin grafik çizme olayına ısınmanızı, hatta grafik çizmekten zevk almanızı sa˘ glamak içindi. Mümkün oldu˘ gunca fazla sayıda noktanın ta¸sınması, grafi˘ gi gerçe˘ gine yakla¸stırmak için her zaman faydalıdır, ama bir do˘ gru için buna gerek yok tabii. Bir do˘ gruyu iki noktasını belirledikten sonra çizebilirsiniz. S ¸ imdi bu örne˘ gimizi bir de bu ¸sekilde çizelim.

y 2

1 −3

−2

−1 (−1, 0)

(−2, −1)

0

1,

1

6 5

2, 58

2

3

4

5

x

−1 −2

Özet Bu ünitede, bir fonksiyonun tanım kümesi, de˘ ger kümesi, görüntü kümesi gibi kavramlar üzerinde durduk. Bire-bir fonksiyon ve örten fonksiyon kavramlarını tanımlayıp, bunlara ili¸skin örnekler çözdük. Bir fonksiyonun ters fonksiyonundan hangi durumlarda söz edebilece˘ gimizi, e˘ ger varsa nasıl bulaca˘ gımızı tartı¸stık. ˙Iki fonksiyonun bile¸ske fonksiyonundan söz ettik. Ayrıca gerçel sayılar üzerinde tanımlı ve gerçel sayı de˘ gerli fonksiyonlardan söz edip, bu tür fonksiyonların özelliklerini inceledik. Polinom fonksiyonları, parçalı tanımlı fonksiyonları tanıdık ve bu tür fonksiyonların grafiklerini çizmeye çalı¸stık. Bunların yanı sıra, düzlemde do˘ gruların denklemlerini konu¸stuk.

Okuma Parçası

81

Okuma Parçası

Çekmece ya da Güvercin Yuvası İlkesi Bir sihirbaz sahnede yaptığı numarayla küçük dilinizi yutturabilir ama nasıl yaptığını öğrendiğinizde numaranın bütün havası kaybolur. Numaranın gerçekten sihirbazlık olmadığını anlarsınız! Bu bir düş kırıklığı yaratır. Onun için sihirbazlar, numaralarını nasıl yaptıklarını açıklamazlar. Nedendir bilinmez insanoğlu sihirbazlığı bilime yeğler, sihirbazlığı daha eğlenceli bulur. Matematikte de ilk bakışta zor görünen bazı problemlerin çözümü çok basit olabilir, şaşırtıcı derecede basit bir matematiksel ilkeye dayanabilir. Matematikçilerin sırlarını paylaşmaması (en azından günümüzde) söz konusu olmadığından, bu ilkelerden birini açıklayacağız: Çekmece İlkesi, namı diğer Güvercin Yuvası İlkesi. İlke gerçekten çok basit. Ama önce numaramızı yapalım: Küçük Gauss babasıyla ormanda gezerken sormuş: -Bu ormanda yaprak sayısı aynı olan iki ağacın olması için herhangi bir koşul söyleyebilir misin? Baba Gauss böyle bir koşul düşünemeyince yanıtı küçük Karl vermiş: -Eğer ormandaki yapraklı ağaç sayısı, bu ormanın en çok yaprağı olan ağacın yaprak sayısından daha fazlaysa, en az iki ağacın yaprak sayısı aynıdır… Bu öykü büyük olasılıkla uydurmadır. Ama küçük Gauss’un büyüdüğünde dünyanın gelmiş geçmiş en büyük matematikçisi olacağı gerçektir. Gauss’un yanıtı karışık gibi görünebilir ilk bakışta. Ama çok kolay olduğunu şu açıklamayı okuyunca fark edeceksiniz: Güvercin beslediğinizi düşünelim, her akşam da güvercinler yuvalarına girsinler. Eğer güvercin sayısı güvercin yuvası sayısından fazlaysa, örneğin 4 yuva ve 5 güvercin varsa, en az bir yuvada birden fazla güvercin vardır. İlkeye Güvercin Yuvası adı verilmesinin nedeni bu açıklamadır. Bu ilke değişik ama denk ifadelerle de verilebilir. Örneğin,

1. Belli sayıda güvercin aynı sayıda yuvaya yerleştirildiğinde yuvalardan birinin boş kalması için gerek ve yeter koşul, en az bir yuvada birden fazla güvercin olmasıdır.

2. İki sonlu küme arasında birebir eşleme olması için gerek ve yeter koşul, bu iki kümenin eleman sayısının eşit olmasıdır. Ormana ve ağaçlara dönelim. Ne demişti Gauss? Ormandaki yapraklı ağaç sayısı en fazla yaprağı olan ağacın yaprak sayısından fazlaysa… Ormanda 5 ağaç olsun ve her ağaç en fazla 4 yapraklı olsun. İlk dört ağacın yaprak sayıları 1, 2, 3, 4 olarak farklı olabilir. Ama sona kalan ağacın yaprak sayısı bu sayılardan birine eşit olmak zorunda kalacaktır. Kaynak: Matematik Dünyası 2003 Kış Sayısı. Yazar: Haluk Oral

82

3 Fonksiyonlar

˘ Çıkarın Kagıtları 1.

f : R → R, f (x) = 2x + 1 fonksiyonu

veriliyor. f (1) − 2 f (0) kaça e¸sittir? 2.

f (x) =

B) (3, 2)

D) (2, 4)

E) (3, 4)

8.

f : R → R, (

A) (2, 3)

f

−1

y = −2x + 1 do˘ grusunun grafi˘ gi a¸sa˘ gıda-

kilerden hangisidir? x +2 , 2

,

x > 0 ise

y

A)

x ≤ 0 ise

1

olmak üzere, f (−1) + f (1) kaça e¸sittir? 3.

y

B)

b b

b

0

1 2

0

− 12

x

x

−1 b

f : R → R, f (x) = 3x + 1 olmak üzere

(13) =?

y

C)

A) 3 4.

C) (4, 5)

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

1

f : R → R, f (x) = 2x + 3 ve g : R → R,

D)

1

b

− 21 0

g(x) = 5 − x olmak üzere f ◦ g ve g ◦ f fonk-

y

b

b

x

x

b

0

2

siyonlarını bulunuz.

f , g : R → R olmak üzere f (x) = 3x − 4 2x − 1 olsun. ( f ◦ g)(5) kaçtır? ve g(x) = 3 5.

A) 1

B) 3

C) 5

D) 7

E)

y 1 b

E) 10

6. a ve b sıfırdan farklı sayılar olmak üzere, x eksenini x = a noktasında, y eksenini de

x

b

−2

0

9. Grafi˘ gi verilen fonksiyon a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir?

y = b noktasında kesen do˘ grunun denklemini

y

elde ediniz.

3

7. S ¸ ekildeki do˘ gruların kesi¸sim noktasının koordinatları nedir? b

y

y = 2x − 2

−2

y = x +1

0 b

A) f (x) = x 2 + 1 C) f (x) = x − 1

1

2

x

−1

B) f (x) = x 2 − 1

D) f (x) = x + 1

2

E) f (x) = −x − 1

1 b

b

b

−1

0

−2

b

−1

b

1

x

¨

10.

f : R → R, f (x) =

x +1 2

fonksiyonunun grafi˘ gini çiziniz.

, ,

x < 1 ise x ≥ 1 ise

Çözümler

83

Çözümler 1.

f (x) = 2x + 1 ifadesinde x yerine 1 ya-

zarsak, f (1) = 2 · 1 + 1 = 3 olarak elde ede-

fonksiyonu altında görüntüsünü bulaca˘ gız. Bu durumda,

riz. Benzer olarak x yerine 0 yazarsak da,

( f ◦ g)(x) =

f (0) = 2 · 0 + 1 = 1 olarak elde ederiz. Bize

= 2(g(x)) + 3

f (1) − 2 f (0) soruldu˘ guna göre buldu˘ gumuz

bu de˘ gerleri yerine yazarsak,

= 2(5 − x) + 3 = 13 − 2x

f (1) − 2 f (0) = 3 − 2 · 1 = 1 olarak elde ederiz.

f (g(x))

olarak elde ederiz.

2. Fonksiyon sıfırdan küçük ya da sıfıra e¸sit

Benzer ¸sekilde (g ◦ f )(x) = g( f (x)) oldu˘ gun-

olan sayıları 2 ile e¸sledi˘ ginden ve −1 ≤ 0 ol-

verilen g fonksiyonu altında görüntüsünü bu-

du˘ gundan, f (−1) = 2’dir. Fonksiyon sıfırdan

büyük x de˘ gerlerini x + 2 ile e¸sledi˘ ginden ve

dan bu sefer, f (x)’in g(x) = 5 − x kuralı ile laca˘ gız. O halde,

1 > 0 oldu˘ gundan f (1) = 1 + 2 = 3 olur. Bize

(g ◦ f )(x) =

f (−1) + f (1) soruldu˘ guna göre buldu˘ gumuz

= 5 − f (x)

bu de˘ gerleri yerine yazarak,

= 5 − (2x + 3)

f (−1) + f (1) = 2 + 3 = 5 olarak buluruz. 3.

f : R → R, f (x) = 3x + 1 fonksi-

yonu birebir ve örten fonksiyon oldu˘ gundan bu fonksiyonun ters fonksiyonundan bahsedebiliriz. Fakat bu soruyu ters fonksiyonun genel kuralını bulmaya gerek kalmadan çözebiliriz. Çünkü bize f altında görüntüsü 13 olan ele-

g( f (x))

= 2 − 2x olarak elde ederiz. 5.

f : R → R ve g : R → R oldu˘ gundan

f ◦ g fonksiyonunun da R’den R’ye tanımlı ol-

du˘ gunu söyleyebiliriz. ( f ◦ g)(5) soruldu˘ guna göre, ( f ◦ g)(5) = f (g(5)) oldu˘ gundan önce

g(5)’i bulaca˘ gız, daha sonra da buldu˘ gumuz

de˘ gerin f altındaki görüntüsünü bulaca˘ gız.

man sorulmaktadır. Bunun için de f (x) = 13 olan x’i bulmalıyız. Burada f (x) = 3x + 1 ol-

g(5) =

du˘ gundan, 3x + 1 = 13 e¸sitli˘ ginden x = 4 olarak elde edilir. Do˘ gru yanıt B seçene˘ gidir.

2·5−1 3

=3

olur. S ¸ imdi buldu˘ gumuz bu de˘ gerin yani 3’ün f altında görüntüsünü bulalım. f (3) = 3·3−4

4.

f ve g, R’den R’ye tanımlı fonksiyonlar

oldu˘ gu için her iki taraftan bile¸ske anlamlıdır ve f ◦ g ile g ◦ f de R’den R’ye tanımlı fonksi-

oldu˘ gundan f (3) = 5 olarak elde ederiz. O halde do˘ gru yanıt C seçene˘ gidir.

yonlar olacaktır. S ¸ imdi sırasıyla bu fonksiyon-

6. Do˘ gru x eksenini x = a noktasında, y ek-

ların kurallarını bulalım. Her hangi bir x ger-

senini de y = b noktasında kesti˘ ginden bu

çel sayısı için ( f ◦ g)(x) = f (g(x)) oldu˘ gun-

do˘ grunun, (a, 0) ve (0, b) noktalarından geç-

dan g(x)’in f (x) = 2x + 3 kuralı ile verilen f

ti˘ gini söyleyebiliriz.

84

3 Fonksiyonlar

(x 1 , y1 ) = (a, 0) ve (x 2 , y2 ) = (0, b) diyecek

olarak elde ederiz. Aynı denklemde bu sefer x

olursak do˘ grunun denklemini,

yerine sıfır yazarak y eksenini kesti˘ gi noktayı,

y y y y

y2 − y1

(x − x 1 ) + y1 x2 − x1 b−0 = (x − a) + 0 0−a b = − (x − a) a b = − x+b a

=

olarak elde ederiz. Bu denklemi daha ¸sık bir hale de getirebiliriz:

y

= −0 · 1 + 1

y

= 1

olarak buluruz. Verilen do˘ gru x eksenini

1

2 noktasında, y eksenini de 1 noktasında kes-

ti˘ ginden do˘ gru yanıt A seçene˘ gidir. 9. Verilen grafikten fonksiyonun bazı noktalardaki de˘ gerlerini hemen söyleyebiliriz. Örne˘ gin, f (−1) = 0, f (0) = −1, f (1) = 0

b y =− x+b , a

oldu˘ gunu söyleyebiliriz. Bu noktalardan geçen fonksiyon ise, B seçene˘ ginde bulunan f (x) = x 2 − 1 fonksiyonudur.

yani y+

b a

x=b

e¸sitli˘ ginin her iki tarafını b’ye bölersek, x a

+

y b

=1

10. Bir parçalı fonksiyon grafi˘ gi çizece˘ giz. Bu fonksiyon 1’den küçük bir x sayısını x + 1 sayısına; 1’den büyük ya da 1’e e¸sit olan x sayısını da 2 sayısına göndermektedir. Bu nedenle (−∞, 1] aralı˘ gında f (x) = x + 1 do˘ grusunun; [1, ∞) aralı˘ gında da f (x) = 2 sabit

denklemi elde edilir.

fonksiyonunun grafi˘ gini çizece˘ giz. 7.

y = 2x −2 do˘ grusu ile y = x +1 do˘ grula-

rının kesi¸sim noktası her iki do˘ gru üzerinde de

olaca˘ gı için, bu noktanın koordinatları iki do˘ grunun denklemini de sa˘ glamalıdır. Bu yüzden,

x = 0 için f (0) = 1 ve x = −1 için f (−1) = 0

oldu˘ gundan f (x) = x + 1 do˘ grusu (0, 1) ve (−1, 0) noktalarından geçer.

2x −2 = x +1 olmalıdır. Buradan x = 3 olarak

y

elde edilir. Bu de˘ geri do˘ gru denklemlerinden

2

her hangi birisinde yazarak y = 4 olarak elde 1

ederiz. O halde kesi¸sim noktasının koordinatları (3, 4) olup, do˘ gru yanıt E seçene˘ gidir.

−3

−2

b

−1 b

0

y = −2x +1 do˘ grusunun eksenleri kesti˘ gi

−1

y yerine sıfır yazarsak x eksenini kesti˘ gi nok-

−2

8.

noktaları bulalım. y = −2x + 1 denkleminde tayı, −2x + 1 = 0 −2x x

= −1 1 = 2

1

2

3

x

2

3

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

4.

Abant Gölü’ne bir nilüfer çiçeği bıraksak, çiçek çoğalıp gölün yarısını 15 gün sonra kaplarsa, tamamını kaç günde kaplar?

GENEL MATEMATİK

ÜNİTE

4

5

6

TABAN

ÜSTEL ARTIŞ

ÜSTEL AZALIŞ LOGARİTMA DOĞAL LOGARİTMA

e SAYISI

BAYAĞI LOGARİTMA

86


Üstel Fonksiyonlar

Yaz gelse de artık tatil yapsak. Ooo! Selçuk, sen tatil hayali kurmaya ba¸slamı¸ssın. Muhtemelen sen tatil yapaca˘ gın yeri de planlamı¸s, hatta rezervasyonunu bile yaptırmı¸ssındır.

Elbette! Aylar öncesinden hem de. Tatilde havuzdan çıkmayı dü¸sünmüyorum. Siz tatil planı yapmıyor musunuz sanki.

Tabii ki biz de dü¸sünüyoruz, tatilimizi önceden ayarlıyoruz.

Ben dü¸sünmüyorum Selçuk. Çünkü bizim tatil yapaca˘ gımız yer belli. Her zamanki gibi yazlı˘ gımıza gidece˘ giz.

Bizim de gidece˘ gimiz yer belli. Her yıl tatile nilüferlerle kaplı gölün kenarındaki, ye¸sillikler içindeki köyümüze gideriz. Gökçe, nilüfer çiçeklerinin her gün katlanarak ço˘ galdı˘ gını bilirsin o zaman. Evet hocam, bir gün gölün üzerinde sadece birkaç tane nilüfer çiçe˘ gi varken çok geçmeden gölün büyük bir kısmının bu çiçeklerle doldu˘ gunu görebilirsiniz. Çok ¸sa¸sırtıcı de˘ gil mi? Bu artı¸s çok düzenli bir biçimde olur aslında. Göldeki çiçeklerin sayısı, her günün sonunda iki katına çıkar. Mesela, ba¸slangıçta 1 tane, bir gün sonra 2 tane, iki gün sonra 4 tane, üç gün sonra 8 tane. . . . Peki size bir soru, bu ¸sekilde devam ederek 15 gün sonunda gölün yarısı çiçeklerle kaplanıyorsa, acaba çiçekler gölün tamamını kaç günde kaplar? Ba¸slangıçta

1. gün

2. gün

3. gün

1

2

22

23

··· ···

15. gün 215

Üstel Fonksiyonlar

87

Bunda ne var ki Mete Hocam! Çok kolay, tabii ki 30 günün sonunda. . . Hemen her ¸seye atlıyorsun Selçuk! Önce dü¸sünelim. Her günün sonunda göldeki çiçeklerin sayısı iki katına çıkıyor. 15 gün sonra, gölün yarısı çiçeklerle kaplanıyorsa gölün yarısındaki çiçek sayısı 215 olur.

Gölün tamamının kaplanması için gerekli çiçek sayısı 215 sayısının 2 katı olacaktır.

Yani, 216 . Gölü kaplayan çiçek sayısı 216 oldu˘ guna göre 16 günün sonunda gölün tamamı dolacaktır. Aaaa! Evet. Bir gün hala gölün yarısı bo¸s oldu˘ gu halde sadece bir gün sonra gölün tamamının nilüferlerle kaplanması ne kadar da ilginç. Evet Selçuk. Sanki gölün yarısı 15 gün sonunda çiçeklerle kaplandı˘ gında tamamının 30 gün sonunda çiçeklerle kaplanaca˘ gı gibi bir izlenim do˘ guyor. Aslında bu, beynimizin dü¸sünme tuzaklarına dü¸stü˘ günün güzel bir göstergesi. Gölün yarısı kaplandıysa, bir gün sonra tamamı kaplanır.

Örnekte gördü˘ günüz gibi 2’nin do˘ gal sayı kuvvetlerini kullandık. 2’nin gerçel sayı kuvvetlerini de alabiliriz. O zaman kar¸sımıza üstel fonksiyon kavramı çıkar. a pozitif bir gerçel sayı ve a = 1 olmak üzere her x gerçel sayısı için

f (x) = a x ¸seklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon diyoruz. Bu fonksiyonun tanım kümesi gerçel sayılar kümesidir; de˘ ger kümemizi de yine gerçel sayılar kümesi olarak alabiliriz. Biz daha çok a > 1 durumu ile ilgilenece˘ giz.

Hocam bu tanımda a = 1 olursa ne olur?

Tanım a pozitif bir gerçel sayı ve a = 1 olmak üzere f (x) = a x ¸seklinde tanımla-

nan fonksiyona üstel fonksiyon denir.

88

4 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar O zaman her x gerçel sayısı için a x = 1 x = 1 olaca˘ gından bu fonksiyon sabit fonksiyona dönü¸sür.

Ben de neden a > 0 aldı˘ gımızı anlayamadım. Mesela a = −2

alamaz mıydık?

(−2) sayısının tamsayı kuvvetlerini alabiliriz. Mesela, (−2)2 = 4, (−2)3 = −8 ¸seklinde tamsayı kuvvetleri anlam-

lıdır. Ancak herhangi bir gerçel sayı kuvvetini aldı˘ gımızda bu anlamlı 1 olmayabilir. Örne˘ gin, (−2) 2 = −2 olur. Ancak −2 bir gerçel sayı

de˘ gildir. Çünkü hiçbir gerçel sayının karesi −2 de˘ gildir.

Verdi˘ gim tanıma göre bir üstel fonksiyon örne˘ gi verebilir misiniz arkada¸slar?

Mesela, f (x) = x 2 fonksiyonunu verebiliriz. Bu fonksiyonu daha önce fonksiyonlar ünitesinde gördük diye hatırlıyorum.

Üstel fonksiyon kavramını, polinom fonksiyon kavramıyla karı¸stırmayalım. Senin verdi˘ gin fonksiyon örne˘ ginde x de˘ gi¸skeni tabandadır. Ancak bizim verdi˘ gimiz üstel fonksiyon tanımında x de˘ gi¸skeni üs’tedir. Engin, çok çalı¸smaktan her¸seyi karı¸stırmaya ba¸sladı Pınar Hocam. Ben, f (x) = 2 x ve g(x) = 10 x fonksiyonlarını verebilirim. Çok Güzel. Peki f (x) = 2 x ve g(x) = 10 x fonksiyonlarının 1 −1, 1, 2 ve noktalarındaki görüntülerini bulabilir misiniz? 2 Elbette. x = −1 için f (−1) = 2−1 = x =1

1 2

1

için f (1) = 2 = 2

için f (2) = 22 = 4 1 1 1 x= için f = 22 = 2 2 2 x =2

Üstel Fonksiyonlar

89

Aaa! Ne kadar kolaymı¸s. O zaman g(x) = 10 x fonksiyonunun 1 −1, 1, 2 ve noktalarındaki görüntülerini de 2 x = −1 için g(−1) = 10−1 = x =1

1 10

1

için g(1) = 10 = 10

için g(2) = 102 = 100 1 1 1 x= için g = 10 2 = 10 2 2 x =2

¸seklinde hesaplayabiliriz. Çok güzel Gökçe. S ¸ imdi de üstel fonksiyonları irdeleyelim. Her x gerçel sayısı için a x sayısı daima pozitif bir gerçel sayı olacaktır. Ayrıca x = 0 için a0 = 1’dir. a > 1 ve x’ler pozitif gerçel sayı ise a x hakkında ne söyleyebiliriz? Mesela, 2 x fonksiyonunu dü¸sünelim. x = 1 için 21 = 2, x = 2 için 22 = 4, x = 3 için 23 = 8 ¸seklinde artarak gider.

x’ler pozitif iken 2 x > 1 olur. Hiç ¸süphesiz Engin. a > 1 ve x’ler pozitif gerçel sayı ise a x > 1’dir. x’ler negatif gerçel sayı olsa ne olurdu?

Hocam ne de˘ gi¸sirdi ki? a > 1 ve x pozitif gerçel sayı ise

Ne de˘ gi¸sir dü¸sünün bakalım.

ax > 1

gerler verelim: y = 2 x üstel fonksiyonunda x’e negatif de˘ x = −1

için

2−1 =

x = −2

için

2−2 =

x = −3

için

2

−3

=

1 2 1 4 1 8

¸seklinde giderek sıfıra do˘ gru yakla¸sıyor sanki.

dir.

90

4 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Evet çok güzel. a > 1 ve x < 0 ise 0 < a x < 1’dir.

a > 1 ve x negatif gerçel sayı ise x

0
Pınar Hocam, üstel fonksiyonların özelliklerinden bahsedebilir miyiz?

dir.

Tabii ki Selçuk. Üstel fonksiyonların özelliklerini ¸su ¸sekilde sıralayabiliriz. a ve b pozitif sayılar, x ve y gerçel sayılar olmak üzere, ¸su özellikler geçerlidir: 1. a−x =

1 ax

2. a x+ y = a x a y 3. a x− y =

ax ay

4. (a x ) y = a x y 5. (a b) x = a x b x

Peki, bu fonksiyonların grafiklerini nasıl çizebiliriz?

Fonksiyon grafi˘ gini nasıl çizece˘ gimizi ö˘ grenmi¸stik ya Gökçe! Pınar Hocam, Gökçe yine unutmu¸s. y 4

Zeynep sen hatırlıyorsun galiba.

2

Evet hatırlıyorum Pınar Hocam. 1

O zaman 2 x üstel fonksiyonunun grafi˘ gini çizebilir misin Zey−2

−1

0

1

2

x

nep?

S ¸ ekil 4.1: y = 2 x üstel fonksiyonunun grafi˘ gi.

Tabii ki. x’e bazı de˘ gerler vererek bu de˘ gerlerin fonksiyon altındaki görüntüleri olan y de˘ gerlerini buluruz. Sonra buldu˘ gumuz (x, y) ikililerine kar¸sılık gelen noktaları düzlemde belirleriz. Bu noktaları düzgün bir e˘ griyle birle¸stirerek fonksiyon grafi˘ gini bulmu¸s oluruz. Nokta sayısını artırırsak daha gerçekçi bir grafik elde ederiz.

Üstel Fonksiyonlar

91

Aferin sana Zeynep. O halde f (x) = 2 x fonksiyonunda x’e bazı de˘ gerler vererek y de˘ gerlerini bulalım: x 2

x

2

−2

−2

=

1 4

2

−1

−1

=

0 1 2

0

2 =1

1 1

2 =2

2 2

2 =4

Buldu˘ gumuz bu de˘ gerlerden faydalanarak, f (x) = 2 x fonksiyonunun grafi˘ gini çizebiliriz (¸ Sekil 4.1).

Fonksiyon grafi˘ ginde dikkatinizi çeken bir¸sey var mı? gine baktı˘ gımızda x de˘ gerleHocam, 2 x fonksiyonunun grafi˘ rini artırdıkça fonksiyonun aldı˘ gı de˘ gerler de artıyor. Mesela, 1 < 2 iken 21 < 22 ’dir. Çok güzel bir gözlem. Bunu genel olarak da söyleyebiliriz. f (x) = a x üstel fonksiyonunda, a > 1 ise x 1 < x 2 için

a > 1 ise a x fonksiyonu artan fonksiyondur.

a x1 < a x2 y = 4x

y

oldu˘ gundan fonksiyon artan bir fonksiyondur.

4

y = 3x y = 2x

S ¸ imdi bazı üstel fonksiyonların grafiklerini aynı koordinat sis3

teminde görelim. Örne˘ gin, y = 3 x ve y = 4 x fonksiyonlarının grafiklerini S ¸ ekil 4.2’de görebilirsiniz.

2

Hocam, bu grafiklerde fonksiyonun grafi˘ gi hep x ekseninin

1

üstünde kalıyor. Ayrıca tüm grafikler hep (0, 1) noktasından geçiyor.

0

1

2

x

S ¸ ekil 4.2: y = 2 x , y = 3 x ve y = 4 x üstel fonksiyonlarının gra-

Neden acaba! Aferin Selçuk. Çünkü, her x gerçel sayısı için a x > 0 oldu˘undan üstel fonksiyonun grafi˘ g gi, daima x ekseninin üstünde kalır. Ayrıca x = 0 de˘ gerine kar¸sılık y = a0 = 1 de˘ geri kar¸sılık geldi˘ ginden grafik daima (0, 1) noktasından geçmelidir. Her x gerçel sayısı için a x > 0 oldu˘ gundan üstel fonksiyonun görüntü kümesi (0, ∞) açık aralı˘ gıdır, diyebilir miyiz?

fikleri.

92

4 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Haklısın Engin. Üstel fonksiyonların görüntü kümesi (0, ∞)

açık aralı˘ gıdır. S ¸ imdi de geçmi¸s ünitedeki bilgilerimizi hatırla-

yalım. Fonksiyonlar ünitesinde bire-bir ve örten fonksiyon kavramlarını ö˘ grendiniz. Bu kavramların ne oldu˘ gunu hatırlayan var mı? Evet hocam, bire-bir fonksiyonda, farklı noktalara farklı fonksiyon de˘ gerleri kar¸sılık gelir. Örten fonksiyonda fonksiyonun de˘ ger kümesinde açıkta eleman kalmaz.

E˘ ger fonksiyon grafi˘ gi veriliyorsa bu grafi˘ ge bakarak fonksiyonun bire-bir mi örten mi oldu˘ gunu nasıl anlarız?

Bunu daha önce ö˘ grenmi¸stik sanki! y = 4x

y 4

y = 3x y = 2x

Evet Selçuk. f : → fonksiyonunun grafi˘ gi verildi˘ ginde,

her y ∈ noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir

do˘ gru, fonksiyonun grafi˘ gini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon

3

bire-birdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir. Buna göre

2

üstel fonksiyonlar hakkında ne söyleyebilirsiniz? 1

O zaman bizim tanımladı˘ gımız üstel fonksiyonlar bire-birdir. Çünkü, üstel fonksiyonun grafi˘ ginde yatay do˘ grular grafi˘ gi en 0

1

2

x

fazla bir noktada kesiyor.

S ¸ ekil 4.3: x eksenine paralel olarak çizilen bir do˘ gru üstel fonksiyonun grafi˘ gini en fazla bir nok-

Üstel fonksiyonlar aynı zamanda örtendir, öyle de˘ gil mi?

tada keser.

De˘ ger kümesi olarak gerçel sayıları aldı˘ gımızda üstel fonksiyonlar örten olmaz. Örne˘ gin, sıfır veya negatif sayılar, üstel fonksiyonun de˘ geri olarak ortaya çıkmaz. Ancak de˘ ger kümesini pozitif sayılar olarak alırsak üstel fonksiyonlar örten olur. Dolayısıyla üstel fonksiyonu bundan sonra f : → (0, ∞) f (x) = a x ¸seklinde fonksiyonlar olarak dü¸sünece˘ giz. (0, ∞) aralı˘ gını + ile de gösteriyoruz. Bu ¸sekilde dü¸sündü˘ gümüzde, üstel fonksiyonlar, bire-bir ve örten olur. Bu sayede a x ’in ters fonksiyonunu tanımlayabilece˘ giz.

Logaritmik Fonksiyonlar

93

S ¸ imdi de özel bir üstel fonksiyonla tanı¸saca˘ gız. y = e x üstel fonksiyonu.

Mete Hocam, tabanda bir sayı olmayacak mıydı? O e harfi de nedir?

e = 2, 7182818284590 . . . ¸seklinde bir irrasyonel sayıdır. Bu e gösterimi, ilk kez ˙Isviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından 1727 yılında exponential kelimesinin ilk harfi e oldu˘ gu için kullanılmı¸stır. Leonhard Euler(1707-1783)

Hocam yoksa Euler’in ilk harfi e oldu˘ gu için olmasın?

Selçuk, sen de ne kadar art niyetlisin!

y

y = 3x

y = ex y = 2x

Bu nasıl bir üstel fonksiyondur ben anlamadım?

e sayısı da sonuçta bir sayıdır ve 2 ile 3 arasındadır. Bu üstel

1

fonksiyonun grafi˘ gi, yanda gördü˘ günüz gibi y = 2 x ve y = 3 x üstel fonksiyonları arasındadır.

0

x

S ¸ ekil 4.4: y = e x üstel fonksiyonunun grafi˘ gi.

Logaritmik Fonksiyonlar Size bir soru arkada¸slar: 2 x = 16 e¸sitli˘ gi verildi˘ ginde x de˘ gerini nasıl bulabiliriz? Gayet kolay. 2’nin hangi kuvvetini alırsak 16 eder sorusunun yanıtını aramalıyız. 2’nin 4. kuvveti 16 olaca˘ gından x sayısı 4 olmalıdır.

94

4 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Aferin Engin. Peki 3 x = 12 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan x de˘ geri ne olur?

Pınar Hocam, bu x de˘ gerini bulamayız ki! Neden? 3 sayısının 2. kuvvetini alırsak 9 sayısını buluruz. 3. kuvvetini alırsak 27 sayısını buluruz. Yani, x sayısı 2 ile 3 arasında bir yerdedir. a > 0 ve a = 1 olmak üzere

f : → + , f (x) = a x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir ve loga ile gösterilir. Buna göre

biliriz ki! ˙I¸ste bu noktada kar¸sımıza logaritma fonksiyonu çıkıyor. Üstel fonksiyonların de˘ ger kümesini (0, ∞) açık aralı˘ gı aldı˘ gı-

loga : + → y = loga x ⇔ x = a

Evet çok do˘ gru söylüyorsun Gökçe. x sayısını nasıl belirleye-

mızda üstel fonksiyonların bire-bir ve örten fonksiyonlar oldu˘ gunu göry

dük. O halde f (x) = a x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonundan bahsedebiliriz. ˙I¸ste bu ters fonksiyona logaritma fonksiyonu diyece˘ giz ve f −1 (x) = loga x ¸seklinde gösterece˘ giz. Bu fonksiyonu kısaca y = loga x ¸seklinde de yazıyoruz.

Bu logaritma fonksiyonunun tanımında a = 1 olabilir mi? y = a x üstel fonksiyonunda a tabanı 1’den farklı pozitif bir gerçel sayıydı. Bunun tersi olan logaritma fonksiyonunda da a tabanı 1’den farklı pozitif bir gerçel sayı olmalıdır. Söyleyin bakalım y = 10 x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?

y = 10 x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu y = log10 x’dir. Hocam y = e x üstel fonksiyonunun tersi de y = loge x’dir.


95

Harikasın Engin! e tabanına göre logaritmaya do˘ gal logaritma denir ve ln ile gösterilir. 10 tabanına göre logaritmaya baya˘ gı logaritma denir. 10 tabanına göre logaritma, çok kullanılan bir logaritma oldu˘ gundan log10 x gösterimi yerine tabana herhangi bir¸sey yaz-

Tanım 10 tabanına göre logaritmaya baya˘ gı lo-

madan log x gösterimi kulanılır. Sayılar 10 tabanında yazıldı˘ gı için 10

garitma, e tabanına göre logaritmaya do˘ gal loga-

tabanına göre logaritma sayısal i¸slemlerde büyük kolaylık sa˘ glar. Hesap

ritma denir.

makinelerinde genellikle 10 tabanına ve e tabanına göre logaritma tu¸sları bulunur (¸ Sekil 4.5).  

 

Mete Hocam, 102 = 100 oldu˘ gunu biliyoruz. Bu durumda log10 100 = 2 diyebilir miyiz? Elbette. x > 0 için loga x sayısı, a tabanının x sayısını vermesi için gerekli olan üs’tür. Yani, x = aloga x yazabiliriz. Ba¸ska örnekler verebilir misiniz arkada¸slar?

Mesela, 25 = 32 oldu˘ gundan log2 32 = 5’dir. 

3

Ben de verebilirim, 10 = 1000 oldu˘ gundan log10 1000 = 3 6

gundan log10 1000000 = 6’dır. olur. 10 = 1000000 oldu˘

S ¸ ekil 4.5: Hesap makinelerinde 10 tabanında ve e tabanında logaritma tu¸sları vardır.

Sen de kaptırdın gidiyorsun Selçuk. Çok sevdin bu fonksiyonları galiba. y

y = ax

Evet Pınar Hocam, çok zevkliymi¸s bu fonksiyonlarla i¸slem

y=x

a

yapmak!

1

y = loga x

0

Logaritma fonksiyonunun grafi˘ gini çizebilir miyiz Mete Ho-

1

a

x

cam?

Önce logaritma fonksiyonunda x’e bazı de˘ gerler vererek logaritma fonksiyonunun aldı˘ gı de˘ gerleri bulalım.

S ¸ ekil 4.6: a > 1 için y = a x ve y = loga x fonksiyonlarının grafikleri.

96

4 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Hesaba kitaba gerek yok Zeynep. a > 1 için y = a x üstel y

fonksiyonun grafi˘ gini biliyoruz. Bu grafi˘ gin y = x do˘ grusuna

y = 10 x

10

y=x

göre yansıması bize y = loga x fonksiyonunun grafi˘ gini verecektir (¸ Sekil 4.6).

Burada neden y = a x ’in grafi˘ ginin y = x do˘ grusuna göre

y = log x 1 10

0 1

x

yansımasını aldık anlamadım?

S ¸ ekil 4.7: y = 10 x ve y = log x

Bir fonksiyonun grafi˘ gini biliyorsak, ters fonksiyonunun grafi-

fonksiyonlarının grafikleri.

˘ini bulabilmek için y = x do˘ g grusuna göre yansımasını almak yeterlidir. S ¸ ekil 4.8’deki a > 1 de˘ gerleri için bazı logaritma fonksiyonla-

y y = log2 x

1

y = log10 x

rının grafiklerine bir bakın bakalım. Neler gözlemliyorsunuz? Grafiklerde taban ne olursa olsun logaritma fonksiyonları (1, 0) noktasından geçmektedir. Yani bu da loga 1 = 0 oldu˘ gu

log10 2 1

2

3

x

anlamına gelir. Ayrıca grafiklerde x’e artan de˘ gerler verdikçe fonksiyon de˘erleri de artmaktadır, yani logaritma fonksiyonları artan g fonksiyonlardır.

S ¸ ekil 4.8: y = log2 x ve y = log10 x logaritma fonksiyonlarının grafikleri.

Ne kadar kolaymı¸s! Artık tüm logaritma fonksiyonlarının grafiklerini çizebiliriz. Örne˘ gin, ln x fonksiyonunun grafi˘ gi nasıl acaba? ln x fonksiyonunun grafi˘ gi, y = e x üstel fonksiyonunun y = x do˘ grusuna göre yansımasıdır (¸ Sekil 4.9).

y

y = ex

Üstel fonksiyonların özelliklerinden daha önceden bahsetmi¸s-

e y=x

tiniz. Bunlardan faydalanarak logaritmik fonksiyonların özel-

y = ln x

liklerinden de bahsedebilir miyiz?

1

Elbette Engin. Örne˘ gin, 0

1

2

e 3 x

log x y = log x + log y oldu˘ gunu üstel fonksiyonlara geçi¸s yaparak kolaylıkla görebiliriz. S ¸ ekil 4.9: y = ln x do˘ gal logaritma fonksiyonunun grafi˘ gi.

Nasıl kolaylıkla görebiliriz Mete Hocam? Size göre her ¸sey kolay tabii.


97

U˘ gra¸smazsan göremezsin zaten Gökçe.

Sen u˘ gra¸s bakalım, nasıl buluyorsun?

log x = u ve log y = v diyelim. Bu durumda x = 10u ve y = 10 v ’dir. Üstel fonksiyonların özelliklerini kullanırsak, x y = 10u 10 v = 10u+v oldu˘ gunu görürüz. Logaritma tanımından da log x y = u + v = log x + log y e¸sitli˘ gini buluruz.

Evet, gayet kolaymı¸s!

Kendiniz de rahatça ke¸sfedebiliyorsunuz. Di˘ ger bir özellik, log

x y

= log x − log y.

Bunu da ke¸sfedin bakalım. x ve y pozitif gerçel sayıları için

Bunu ben yapmak istiyorum Mete Hocam. log x = u ve log y = v diyelim. Bu durumda x = 10u ve y = 10 v ’dir. Üstel fonksiyonların özelli˘ ginden, x y

=

10u 10 v

= 10u−v

dir. Logaritma tanımından, log

x y

e¸sitli˘ gini elde ederiz.

= u − v = log x − log y

1. loga x y = loga x + loga y x 2. loga = loga x − loga y y 3. loga x y = y loga x

98

4 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Benzer ¸sekilde ¸su özelli˘ gi de gösterebilirsiniz: log x y = y log x

Mete Hocam, logaritma fonksiyonu için tanımladı˘ gımız özellikler ln x fonksiyonu için de geçerli midir? Tabii ki Selçuk, ln x fonksiyonu da sonuçta bir logaritma fonksiyonudur. Konuyu peki¸stirmek adına biraz örnek yapabiliriz artık. Örne˘ gin, log 50 + log 8 − 2 log 2 ifadesinin belirtti˘ gi sayı kaçtır acaba? Logaritma özelliklerini sırasıyla kullandı˘ gımızda log 50 + log 8 − 2 log 2 = log 50 · 8 − log 22 = log 400 − log 4 400 = log 4 = log 100 = 2 sonucunu buluruz. Bravo Gökçe! Peki, log 50 kaçtır acaba?

Hımm. . . 50 sayısı 10 ile 100 arasında oldu˘ gundan log 50 sayısı da 1 ile 2 arasındadır. Ama acaba kaçtır?

Bunu

bilmeyecek

ne

var.

Tu¸sa

bastın

mı

çıkıyor:

1, 69897000 . . .

Peki ln 50 kaç o zaman?

O da kolay hayatım. S ¸ imdi de ln tu¸suna basayım: 3, 91202300 . . .

Ne ˙I¸se Yarar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar? Süpersiniz Arkada¸slar! Ö˘ grendiniz bu i¸si.

Ne ˙Ise ¸ Yarar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar? Hocam, üstel ve logaritmik fonksiyonları ve bu fonksiyonların özelliklerini anlattınız. Bunlar nerelerde kullanılıyor, ne i¸simize yarayacak?

Hiçbir i¸simize yaramayacak, ö˘ greneceksiniz diyorlar ö˘ greniyoruz i¸ste. Bu zamana kadar hiçbir yerde kullanmadım. Olur mu Gökçe? Aslında farkında olmadan kullanıyoruz. Mesela, 5000 TL paranız var ve bu parayı yıllık %15 bile¸sik faiz oranıyla bankaya yatırdı˘ gınızda kaç yıl sonra bankadaki hesap tutarının iki katına çıkaca˘ gını hesaplayabilir misiniz?

Böyle bir param olmadı˘ gı için hesaba kitaba gerek yok. S ¸ u an gerekli olmayabilir ama belki ilerde ihtiyaç duyabilirsin! Faiz hesaplarında üstel ve logaritmik fonksiyonlar kullanılmaktadır. Faiz hesapları daha sonraki ünitelerde ayrıntılı olarak ele alınaca˘ gı için burada bu hesaplara girmeyece˘ giz. Ancak üstel ve logaritmik fonksiyonların nasıl kullanıldı˘ gını görmeniz için biraz önceki örne˘ gi hesaplayabiliriz. Hocam bile¸sik faiz de neymi¸s? ˙Ilk defa duydum. Bile¸sik faiz, belirli zaman aralıklarında kazanılan faizin, anaparaya eklenmesiyle elde edilen tutarın faizidir.

1 yıl sonra hesaptaki para ne kadar olur? Ba¸slangıçtaki para 5000 TL oldu˘ gundan 1 yıl sonra hesaptaki para 5000 + 5000 · olur.

15 100

= 5000 + 50 · 15 = 5750

99

100


15

Bunu 5000 · 1 + olarak da dü¸sünebiliriz. Yani elimiz100 15 ile çarpıyoruz. Peki, 2 yıl sonra hedeki parayı 1 + 100 saptaki para ne kadar olur?

15

Bir yıl sonraki hesaptaki para 5000 · 1 + oluyor. O 100 15 ile çarpmahalde 1 yıl daha geçerse bu parayı da 1 + 100 mız gerekecek. Demek ki elimizde 2 yıl sonra 15 15 15 2 = 6612, 5 5000· 1 + · 1+ = 5000· 1 + 100 100 100 kadar para olacaktır.

Hocam, sanki bu ¸sekilde devam etti˘ gimizde t yıl sonra hesaptaki para

15 t 5000 · 1 + 100

olacak gibi geliyor.

Haklısın Engin. O halde t yıl sonra hesaptaki paranın iki katına çıkması için t’nin ne olması gerekti˘ gini bulun bakalım. t yıl sonra hesaptaki para 10000 olmalıdır. Yani,

15

t

5000 · 1 + 100 15 t 1+ 100

= 10000 = 2

olur. Burada t’yi bulabilmek için logaritmayı kullanmamız gerekir. Her iki tarafın 10 tabanına göre logaritmasını alırsak

15

t

= log 2 log 1 + 100 15 t · log 1 + = log 2 100 log 2 t = log (1, 15) ≈ 4, 96 yıl

Ne ˙I¸se Yarar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar? Harikasın Gökçe. Bu hesaplardan sonra 5000 TL’nin yıllık %15 bile¸sik faiz oranıyla iki katına çıkabilmesi için 5 yıla yakın bir süre beklenmesi gerekti˘ gi sonucu çıkıyor.

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, bile¸sik faiz dı¸sında, nüfus artı¸sının hesabında da kullanılmaktadır. Belli bir zaman ba¸slangıcında nüfus y0 , birim zamandaki nüfus artı¸s yüzdesi x olsun. t zaman sonra, ba¸slangıçtaki nüfus ile nüfus artı¸ olan topsının toplamı x t lam nüfus y t olsun. Nüfus artı¸sını, y t = y0 · 1 + formülü ile 100 hesaplayabiliriz.

Bunu bir örnekle açıklayalım. Ya¸sadı˘ gınız ¸sehrin nüfusunu biliyor musunuz?

Elbette. Yakla¸sık 600 bin diyebiliriz. Ortalama yıllık nüfus artı¸s yüzdesi %1, 2 olarak dü¸sünülürse 10 yıl sonra ya¸sadı˘ gınız ¸sehrin nüfusu ne kadar olacaktır? Ba¸slangıçtaki nüfus y0 = 600000, artı¸s yüzdesi x = 1, 2 oldu˘undan 10 yıl sonraki nüfus g 1, 2 10 600000 · 1 + ≈ 676015 100 olur.

Yani, ¸sehrimizin nüfusu 10 yıl sonra 676015 mi olacak? Artı¸s yüzdesi bu ¸sekilde olursa evet, ancak artı¸s yüzdesi dü¸serse yani daha yava¸s artma olursa nüfus, 676015’den daha az olacaktır. Artı¸s yüzdesi yükselirse yani daha hızlı bir artı¸s olursa nüfus, 676015’den daha fazla olacaktır.

Vay canına! Üstel ve logaritmik fonksiyonları daha ba¸ska nerelerde kullanıyoruz?

101

102

4 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Aslında bilimde pek çok alanda kullanılır. Mesela, ülkemizde ve dünyada birçok yerde deprem gerçe˘ giyle kar¸sı kar¸sıya kalmaktayız. Haberlerde duyuyoruz "Richter ölçe˘ gine göre 5, 5 büyüklü˘ünde deprem meydana geldi" diye. Ama bu 5, 5’in nereden geldi˘ g gini ˙ bilmiyoruz. I¸ste bu de˘ ger, 10’luk tabandaki logaritma kullanılarak bulunan bir de˘ gerdir.

 S ¸ ekil 4.10: Sismograf.

Mete Hocam, bu büyüklü˘ gü logaritmayı kullanarak nasıl buluyoruz?

100 km Dı¸s merkez

Amerika Birle¸sik Devletleri’nden Profesör Charles F. Richter, dı¸s merkezden 100 km uzaklıkta ve sert zemine yerle¸stirilmi¸s

Odak noktası

özel bir sismografla kaydedilmi¸s zemin hareketinin, mikron (1 mikron 1/1000 mm) cinsinden ölçülen maksimum genli˘ ginin 10 tabanına göre S ¸ ekil 4.11: Depremin büyüklü˘ gü,

logaritmasını depremin büyüklü˘ gü olarak tanımlamı¸stır. Richter ölçe˘ gi

dı¸s merkezden 100 km uzaklıkta

logaritmik oldu˘ gundan, ölçekteki her tamsayı farkı deprem genli˘ ginde

ve sert zemine yerle¸stirilmi¸s özel bir sismografla hesaplanır.

10 kat artı¸sa denk gelir. Yani, örne˘ gin Richter ölçe˘ gine göre 5 büyüklü˘ündeki bir depremin genli˘ g gi, 4 büyüklü˘ gündeki bir depremin genli˘ ginin 10 katı, 3 büyüklü˘ gündeki depremin genli˘ ginin ise 100 katıdır.

Müthi¸s! Gerçekten, bunu bilmiyordum.

S ¸ ekil 4.12’de gördü˘ günüz gibi depremin genli˘ gi 23 mm olarak ölçülmü¸stür. Acaba depremin büyüklü˘ gü kaç olabilir?

S ¸ ekil 4.12: Sismografda genli˘ gin hesaplanması.

Öncelikle 23 mm’yi mikron’a çevirmemiz gerekir. 1 mikron 1/1000 mm oldu˘ gundan 23 mm 23000 mikrondur. 23000 mikronun 10 tabanına göre logaritması log 23000 ≈ 4, 3 olaca˘ gından Richter ölçe˘ gine göre büyüklü˘ gü yakla¸sık 4, 3 olur.

Harikasın Engin! Deprem hakkında bu kadar konu¸stu˘ gumuz yeter. Deprem hakkında daha ayrıntılı bilgiyi okuma parçasında bulabilirsiniz.

Ne ˙I¸se Yarar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar? Ben de kimyadaki kullanım alanından bahsetmek istiyorum. Marketlerden aldı˘ gınız pet ¸si¸sedeki suların üzerine baktı˘ gınızda mineral de˘ gerleriyle birlikte pH de˘ geri de yazmaktadır. ˙I¸ste hergün içilen suyun kalite ve sınıflandırma faktörlerinden biri olan pH deri¸siminin hesaplanmasında logaritma kullanılır. Sulu çözeltilerdeki [H+] veya [OH-] deri¸simleri genellikle çok küçük sayılar oldu˘ gundan i¸slemlerde kolaylık sa˘ glaması için deri¸simlerin 10 tabanına göre eksi logaritmalarını alarak deri¸simler tamsayılarla ifade edilir. pH de˘ geri, sulu çözeltideki [H+] iyonu deri¸siminin 10 tabanına göre eksi logaritmasıdır, yani, pH= − log[H+]’dır. pOH de˘ geri ise, sulu çözeltideki [OH+] iyonu deri¸siminin 10 tabanına göre eksi logaritmasıdır, yani,

pOH= − log[OH+]’dır. Örne˘ gin, ¸sehrimizdeki kaynak suyunun pH de˘eri 7, 15’dir. g

Kimya demi¸sken, lise yıllarımdayken yaptı˘ gımız deneyler aklıma geldi. Evet ben de hatırlıyorum. Bakteri popülasyonundaki ço˘ galmayı mikroskopla inceliyorduk ve bakteri popülasyonu çok hızlı bir ¸sekilde artıyordu. O zaman hayalimizde ¸söyle bir deney yapalım: Bir besi ortamındaki bakteri popülasyonunu dü¸sünelim. Belli zaman aralıklarında örnekler alarak bakteri popülasyonunun her saatte bir üç katına çıktı˘ gını belirledi˘ gimizi dü¸sünelim. Ba¸slangıçtaki bakteri sayısı 100 olsun. t saat sonra bakteri popülasyonunu y(t) ile gösterirsek, t saat sonraki bakteri popülasyonunu hesaplayabilir misiniz? Ba¸slangıçtaki bakteri sayısı 100 oldu˘ guna göre y(0) = 100’dür. y(1) = 3 · y(0) = 3 · 100

y(2) = 3 · y(1) = 3 · 3 · 100 = 32 · 100

y(3) = 3 · y(2) = 3 · 32 · 100 = 33 · 100

Buradan y(t) = 100 · 3 t ¸seklinde bir genelleme yapabiliriz. Yani, bakteri popülasyonu artı¸s fonksiyonu, bir sabit ile y = 3 t üstel fonksiyonunun çarpımıdır.

103

104


Ne kadar hızlı bir artı¸s! Çok geçmeden bakteriler tüm dünyayı kaplayabilir.

Yeterli besin, sınırsız alan gibi ideal ko¸sullar altında t zaman sonraki artı¸sı hesaplıyoruz aslında. Yani, teorik olarak ka˘ gıt üstü hesaplamalarımızda böyle astronomik sonuçlara ula¸ssak da, do˘ ga, bakterinin ço˘ galarak dünyayı kaplamasına izin vermez neyse ki.

Pınar Hocam, bu zamana kadar yaptı˘ gımız örneklerde hep üstel artı¸s söz konusuydu. Üstel azalı¸sın söz konusu oldu˘ gu örnekler var mı?

Olmaz mı? Üstel azalı¸sın en güzel örne˘ gi radyoaktif bozunmadır. Maddenin ba¸slangıçtaki kütlesi y0 olsun. t zaman sonra kalan kütle y(t) olmak üzere y(t)’yi y(t) = y0 · e kt formülüyle buluruz. Burada k, üstel azalı¸s katsayısıdır.

S ¸ u örne˘ ge bakalım: Bizmut-210’un yarı-ömrü 5 gündür. Ba¸slangıçtaki kütlesi 1600 miligram ise 3 hafta sonra kalan kütleyi bulabilir misiniz?

Yarı-ömür de neymi¸s?

Ne ˙I¸se Yarar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar? Maddenin yarısının bozunması için gereken süredir.

Tamam o zaman, ben bulabilirim. Ba¸slangıçtaki kütlesi 1600 miligram ise y0 = 800’dür. Yarı-ömrü 5 gün oldu˘ gundan 1 y(5) = · 1600 = 800 olacaktır. 2 Miktar t gün sonra Kalan Miktar 1600

5

800

800

5

400

400

5

200

200

5

100

Yani, 1600 miligram Bizmut-210’un 20 gün sonra kalan kütlesi 100 miligramdır. 25 gün sonra 50 miligram kalaca˘ gına göre, 3 hafta da 21 gün oldu˘ guna göre. . . Hımm. . . Demek ki 100 miligramdan az 50 miligramdan fazla madde kalacaktır.

Kesin de˘ geri bulmak isterseniz biraz önce yazdı˘ gımız formülü kullanmanız gerekecek. Haydi biraz çalı¸sın bakalım.

Bravo Gençler! Böylece üstel ve logaritmik fonksiyonların nerelerde kullanıldı˘ gını ö˘ grenmi¸s oldunuz. Bundan sonra "Bu fonksiyonlar ne i¸simize yarayacak?" ¸seklinde serzeni¸ste bulunmazsınız umarım.

Özet Bu ünitede, y = a x ¸seklindeki üstel fonksiyonların tanımı, üstel fonksiyonların özellikleri ve grafik çizimleri üzerinde durduk. y = a x üstel fonksiyonun ters fonksiyonu olan y = loga x logaritmik fonksiyon kavramını verdik ve logaritmik fonksiyonun özellikleri ve bu fonksiyonların grafik çizimleri üzerinde durduk. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, matematiksel modellemede ve bile¸sik faiz hesapları, nüfus artı¸sı, radyoaktif bozunma gibi birçok problemlerin çözümünde yaygın ¸sekilde kullanılmaktadır. Bu fonksiyonların nerelerde kullanıldı˘ gına dair örnekler vererek konunun peki¸stirilmesini sa˘ gladık.

105

106


Okuma Parçası

DEPREM ve LOGARİTMA Yerkabuğu içindeki kırılmalar nedeniyle ani olarak ortaya çıkan titreşimlerin dalgalar halinde yayılarak geçtikleri ortamları ve yer yüzeyini sarsma olayına "DEPREM" denir. Deprem, insanın hareketsiz kabul ettiği ve güvenle ayağını bastığı toprağın da oynayacağını ve üzerinde bulunan tüm yapıların da hasar görüp, can kaybına uğrayacak şekilde yıkılabileceklerini gösteren bir doğa olayıdır. Odak noktası, yerin içinde depremin enerjisinin ortaya çıktığı noktadır. Gerçekte, enerjinin ortaya çıktığı bir nokta olmayıp bir alandır, fakat pratik uygulamalarda nokta olarak kabul edilmektedir. Episantr (Dış Merkez), odak noktasına en yakın olan yer üzerindeki noktadır. Burası aynı zamanda depremin en çok hasar yaptığı veya en kuvvetli olarak hissedildiği noktadır. Aslında bu, bir noktadan çok bir alandır.

Odak noktası, dış merkez ve sismik deprem dalgalarının yayılışı

Depremin dış merkez alanı depremin şiddetine bağlı olarak çeşitli büyüklüklerde olabilir. Bazen büyük bir depremin odak noktasının boyutları yüzlerce kilometreyle de belirlenebilir. Bu nedenle "Episantr Bölgesi" ya da "Episantr Alanı" olarak tanımlama yapılması gerçeğe daha yakın bir tanımlama olacaktır. Şiddet, herhangi bir derinlikte olan depremin, yeryüzünde hissedildiği bir noktadaki etkisinin ölçüsü olarak tanımlanmaktadır. Diğer bir deyişle depremin şiddeti, onun yapılar, doğa ve insanlar üzerindeki etkilerinin bir ölçüsüdür. Bu etki, depremin büyüklüğü, odak derinliği, uzaklığı yapıların depreme karşı gösterdiği dayanıklılık dahi değişik olabilmektedir. Şiddet, depremin kaynağındaki büyüklüğü hakkında doğru bilgi vermemekle beraber, deprem dolayısıyla oluşan hasarı yukarıda belirtilen etkenlere bağlı olarak yansıtır. Magnitüd, deprem sırasında açığa çıkan enerjinin bir ölçüsü olarak tanımlanmaktadır. Enerjinin doğrudan doğruya ölçülmesi olanağı olmadığından, Amerika Birleşik Devletleri'nden Prof. C. Richter tarafından 1930 yıllarında bulunan bir yöntemle depremlerin aletsel bir ölçüsü olan "Magnitüd" tanımlanmıştır. Prof. Richter, episantr’dan 100 km. uzaklıkta ve sert zemine yerleştirilmiş özel bir sismografla (2800 büyütmeli, özel periyodu 0.8 saniye ve %80 sönümü olan bir Wood-Anderson torsiyon Sismografı ile) kaydedilmiş zemin hareketinin mikron cinsinden (1 mikron 1/1000 mm) ölçülen maksimum genliğinin 10 tabanına göre logaritmasını bir depremin "magnitüdü" olarak tanımlamıştır. Bugüne dek olan depremler istatistik olarak incelendiğinde kaydedilen en büyük magnitüd değerinin 8.9 olduğu görülmektedir (31 Ocak 1906 Colombiya-Ekvator ve 2Mart 1933 Sanriku-Japonya depremleri). Gözlemevleri tarafından bildirilen depremin magnitüdü, depremin enerjisi hakkında fikir vermez. Çünkü deprem sığ veya derin odaklı olabilir. Magnitüdü aynı olan iki depremden sığ olanı daha çok hasar yaparken, derin olanı daha az hasar yapacağından arada bir fark olacaktır. Yine de Richter ölçeği (magnitüd) depremlerin özelliklerini saptamada çok önemli bir unsur olmaktadır. Depremlerin şiddet ve magnitüdleri arasında birtakım ampirik bağıntılar çıkarılmıştır. Bu bağıntılardan şiddet ve magnitüd değerleri arasındaki dönüşümleri aşağıdaki gibi verilebilir. Şiddet Richter Magnitüdü

IV 4

V

VI

4.5

5.1

VII

VIII

5.6

6.2

IX

X

XI

XII

6.6

7.3

7.8

8.4

Kaynak: T.C. Başbakanlık Afet ve Acil Durum Yönetimi Başkanlığı Deprem Dairesi Başkanlığı, www.deprem.gov.tr


107

˘ Çıkarın Kagıtları 1. log2 32 kaçtır?

7. loga 32 = 5 ise a’nın de˘ geri kaçtır? A)

2. Bir milyarın 10 tabanına göre logaritması kaçtır?

3. Richter ölçe˘ gine göre 6 büyüklü˘ gündeki bir deprem ile, 3 büyüklü˘ gündeki bir depremi mukayese edebilir misiniz?

1

2 B) 2

C) 4 1 D) 4 E) −2 8. 1 ay süreli bir i¸se giren bir ki¸si için a¸sa˘ gıdaki ücret alma ¸sekillerinden hangisi en avantajlıdır?

4. Milyonda birin 10 tabanına göre logaritması kaçtır?

A) 1000 TL B) ˙Ilk hafta 6 TL, ikinci hafta 62 TL gibi 6’nın

A) −5

kuvvetleri ¸seklinde artan bir ücret

B) −6

C) ˙Ilk 15 gün 450 TL, son 15 gün 600 TL

C) −7

D) ˙Ilk 10 gün 300 TL, ikinci 10 gün 400 TL,

D) −8 E) −9 5. log 2 ≈ 0, 3 ise log 8 kaçtır? A) 1, 2 B) −0, 4 C) 0, 6 D) 0, 9 E) 1, 6 6. log2 x = 6 ise x’in de˘ geri kaçtır?

son 10 gün 500 TL E) Her 5 günde bir 150 TL 9. A¸sa˘ gıdaki sayıların hangisi en büyüktür? A) log2 16 B) log3 9 C) log5 25 D) log 10 E) log 1000 10. A¸sa˘ gıdaki sayılardan hangisi en küçüktür?

A) 4

A) 210

B) 8

B) 102

C) 16

C) 2−10

D) 32

D) 10−2

E) 64

E) 0

108


Çözümler 1. 25 = 32 oldu˘ gundan log2 32 = 5’dir. 2. Bir milyar sayısı 1 000 000 000 = 109 oldu˘ gundan bir milyarın 10 tabanına göre loga9

ritması log10 10 = 9 olur. 3. Richter ölçe˘ gine göre depremin büyük-

üsler e¸sit oldu˘ gundan tabanlar da e¸sit olmalıdır. Yani a = 2 olmalıdır. Do˘ gru cevap B ¸sıkkıdır. 8. A ¸sıkkında aylık ücret 1000 TL, C ¸sıkkında aylık ücret 450 + 600 = 1050 TL, D ¸sıkkında aylık ücret 300 + 400 + 500 = 1200

lü˘ gü, dı¸s merkezden 100 km uzaklıkta ve sert

TL’dir.

zemine yerle¸stirilmi¸s özel bir sismografla kay-

E ¸sıkkında her 5 günde bir 150 TL kazanaca˘ gın-

dedilmi¸s zemin hareketinin, mikron (1 mikron

dan ayda 150 × 6 = 900 TL kazanır.

1/1000 mm) cinsinden ölçülen maksimum gen-

Ancak B ¸sıkkında üstel artı¸s söz konusudur. ˙Ilk

li˘ ginin 10 tabanına göre logaritması idi. Rich-

hafta 6 TL, ikinci hafta 62 = 36 TL, üçüncü hafta

ter ölçe˘ gi logaritmik oldu˘ gundan, ölçekteki her

63 = 216 TL ve son hafta 64 = 1296 TL alacak-

tamsayı farkı deprem genli˘ ginde 10 kat artı¸sa

tır. Bu durumda aylık ücret

denk gelir. Yani, Richter ölçe˘ gine göre 4’lük bir deprem, 3’lük bir depremden 10 kat daha büyük, 5’lik bir deprem, 4’lük bir depremden 10 kat daha büyük ve 6’lık bir deprem, 5’lik bir depremden 10 kat daha büyük oldu˘ guna göre

6 + 36 + 216 + 1296 = 1554 TL olur. Yani, en avantajlı olanı B ¸sıkkıdır. 9. A ¸sıkkında log2 16 = log2 24 = 4,

6’lık bir deprem, 3’lük bir depremin 1000 katı-

B ¸sıkkında log3 9 = log3 32 = 2

dır.

C ¸sıkkında log5 25 = log5 52 = 2

4. Milyonda biri

1 106

= 10−6 ¸seklinde yazabi-

liriz. Bu sayının 10 tabanındaki logaritması log 10−6 = −6 ¸seklinde bulunur. Do˘ gru cevap B ¸sıkkıdır.

D ¸sıkkında log 10 = 1 E ¸sıkkında log 1000 = log 103 = 3 e¸sitlikleri vardır. O halde bu sayılardan en büyük olanı 4 oldu˘ gundan cevap A ¸sıkkıdır. 10. A ¸sıkkındaki sayı 210 = 1024 ve B ¸sıkkındaki sayı 102 = 100 oldu˘ gundan 1’den

5. log 2 ≈ 0, 3 ise log 8 = log 23 = 3 · log 2 ≈ 3 · 0, 3

büyük sayılardır. C ¸sıkkındaki sayı 2−10 =

= 0, 9

1 210

=

1 1024

ve D ¸sıkkındaki sayı 6. log2 x = 6 ise logaritmanın tanımından 6

x = 2 = 64 olmalıdır. Do˘ gru cevap E ¸sıkkıdır. 7. loga 32 = 5 ise üstel fonksiyonlara geçersek a5 = 32 olur. Buradan a5 = 25 e¸sitli˘ ginde

10−2 =

1 102

=

1

100 0 ile 1 arasındadır. Dolayısıyla en küçük sayı E ¸sıkkındaki 0 sayısıdır.

oca

Yüzde ve Faiz Hesapları Gökçe

5.

Zeynep

Selçuk

100 liralık haftalığımı önce %10 indirdiler, sonra %10 Engin arttırdılar, oldu 99 lira. Nerde benim 1 lira?

GENEL MATEMATİK

ÜNİTE

BİLEŞİK FAİZ

YÜZDE ORAN

FAİZ BORÇ AMORTİSMANI TAKSİTLENDİRME

DİZİ

ÖDEME TABLOSU

110

5 Yüzde ve Faiz Hesapları

Yüzde Hesapları Biraz da uygulama arkada¸slar! S ¸ imdiye kadar her derste yeni bir matematiksel kavramla tanı¸stık. Bu derste yüzde ve faiz hesaplarının nasıl yapıldı˘ gını ö˘ grenece˘ giz. Yüzde hesaplarını ö˘ grenmemiz ne kadar iyi olur hocam. YılBir büyüklü˘ gün %60’ı demek, e˘ ger o büyüklük 100 birim olsaydı 60 birimi demektir.

ba¸sına do˘ gru her yerde indirim vardı. Bazıları yarı fiyatına, bazıları %20, bazıları %60, hatta daha fazlası da vardı!

Kocaman indirim ilanlarıyla dükkanların vitrinlerini süslüyorlar. Üstelik yüzde i¸saretini de kimi sayının önüne kimi de ardına yazıyor. Hocam, bu yüzde gösterimine neden gerek duyuluyor? Arkada¸slar, aslında %20 demek 0, 20 demektir. Ama hepimiz bir nedenle kesirli ya da ondalık sayıları pek sevimli bulmayız. Bu, belki tamsayıların bize daha tanıdık olmasındandır.

Ne olurdu yalnızca tam sayılar yeterli olsaydı! Hayat o kadar kolay de˘ gil arkada¸slar. Yüzde hesaplarında, hatta genel olarak oranlarda, her zaman de˘ gilse de büyük ço˘ gunlukla birden küçük sayılardan bahsederiz. Bundan dolayı muhteYüzdeler

büyüklük

de˘ gil,

yalnızca orandır! Yani bir büyüklü˘ gün ne kadarından bahsetti˘ gimizi ifade eder.

melen insanlar 0,20 demek yerine

20 100

ya da %20 demeyi tercih ediyor.

Yani bu yüzde gösterimi paydası 100 olan bir baya˘ gı kesirden ba¸ska bir ¸sey de˘ gildir. Yüzde gösterimleri ba˘ gıl de˘ gi¸simlerin söz konusu oldu˘ gu durumlarda faydalıdır. Ama bir de mutlak de˘ gi¸simler var tabii. Örne˘in, bir malın fiyatının 20 TL artmasından ya da 40 TL azalmasından g söz edebiliriz. Bunlar malın fiyatı üzerindeki mutlak de˘ gi¸simlerdir. Bu sayılar ¸süphesiz de˘ gi¸simin de˘ geri hakında bilgi verir, hatta de˘ gi¸simin ne oldu˘ gunu tüm açıklı˘ gı ile söyler.

Tamam i¸ste! Sayı ne kadar artmı¸s ya da azalmı¸s bildi˘ gimize göre, ne gerek var ba¸ska bir ¸seye?

Yüzde Hesapları

111

Ama bu mutlak sayılar, söz konusu de˘ gi¸simin mahiyetini tam anlamıyla ifade etmez arkada¸slar. Bu durum, örne˘ gin menkul kıymetler borsasında, sıkça görülür. Borsada iki farklı ka˘ gıt dü¸sünelim. Bir ay içinde bunlardan birinin fiyatı 5 TL’den 12 TL’ye, di˘ gerinin fiyatı da 100 TL’den 180 TL’ye yükselsin. Mutlak olarak bakıldı˘ gında birinci ka˘ gıdın fiyatı 7 TL ve ikinci ka˘ gıdın fiyatı da 80 TL artmı¸stır. Yani ikinci ka˘ gıdın de˘ geri mutlak olarak kat be kat fazla artmı¸stır. Ama gerçekte durum böyle midir, hangisi daha fazla kâr getirir? Bir yatırımcı elindeki 500 TL ile fiyatı 5 TL olan ka˘ gıttan alsaydı bunlardan

500 5

= 100 tane

alıp ay sonunda parasını 100 × 12 = 1200 TL’ye yükseltir, yani 700 TL kâr ederdi. E˘ ger di˘ ger ka˘ gıttan alsaydı bunlardan

500 100

= 5 tane alıp ay

sonunda parasını 5 × 180 = 900 TL’ye yükseltir, dolayısıyla 400 TL kâr

ederdi. Buradan görülüyor ki, fiyatı mutlak olarak daha az artan ka˘ıt çok daha fazla kâr sa˘ g glayabilir. Yani bir kısım de˘ gi¸simlerin mevcut büyüklü˘ gün ne kadarı oldu˘ gunu bilmek o de˘ gi¸simin mutlak miktarını bilmekten çok daha anlamlı olabilir. ˙I¸ste yüzde gösterimi bu ba˘ gıl de-

3 5

kesirli sayısı hem "üç bölü

be¸s" olarak hem de "be¸ste üç" olarak okunur. Bu kesri 20 ile geni¸sletirsek 60 olur. ˙I¸ste 100

%60 budur.

˘i¸simleri ifade etmek için çok faydalıdır. Örne˘ g gin bir hisse senedinin de˘ geri 100 TL’den 180 TL’ye yükseldiyse hissenin de˘ geri, ba˘ gıl olarak 80 180−100 = oranında artmı¸stır. ˙I¸ste bu artı¸sı %80 olarak gösteriyoruz. 100

100

Yani, %p demek

p 100

demenin ba¸ska bir ¸seklidir.

Ben de bu % gösterimini hep ba¸ska bir ¸sey sanırdım hocam. Yani %12 derken

12 100

kesrini sadece ba¸ska türlü okuyormu-

¸suz! Sayının yarısı, üçte biri ya da çeyre˘ gi derken bunlara bir çözüm bulmu¸suz, di˘ gerlerini de bu yüzde oranlarla ifade ediyoruz. S ¸ imdi bir sayının yarısı derken bu sayıyı yarıma kar¸sılık gelen 1 2

kesri ile çarpıyoruz. O halde bir sayının %25’i dedi˘ gimizde

de bu sayıyı

25 100

=

1 4

kesri ile çarpaca˘ gız.

Yüzde hesapları günlük hayatın ayrılmaz bir parçasıdır. Bir büyüklü˘ gün %p’si deyince, bu büyüklü˘ gün 100 kısmından p kısmının kastedildi˘ gini anlıyoruz. 25 Örne˘ gin 12’nin %25’i olan sayı 12 × 100 = 3’dür. Önceki derslerde denk-

Bir sayının %p’si

lemleri de ö˘ grendi˘ ginize göre %20’si 15 eden sayıyı da bulabilirsiniz,

sayı ×

de˘ gil mi? sayısıdır.

Bundan kolay ne olabilir hocam! Yani sayı ×

lıymı¸s. Buradan sayı =

15×100 20

= 75 bulunur.

20 100

= 15 olma-

p 100

112

5 Yüzde ve Faiz Hesapları Bravo Zeynep, sessiz duruyorsun ama her ¸seyi de bir güzel anlamı¸ssın. Bir de bir büyüklü˘ gün bir yüzde oran artı¸sı ya da azalı¸sı sonucu olu¸san yeni de˘ geri de çok konu edilir. Örne˘ gin 50 sayısını %4 artırdı˘ gımızda yeni sayı ne olur? Bu da çok fazla zor olmamalı hocam. Ba¸slangıçta verilen sayıya yüzde oran artı¸sı kadar eklenmeli ya da yüzde oran eksili¸si kadar çıkarılmalı sanırım, de˘ gil mi?

Haklısın Selçuk. 50 sayısını %4 artırdı˘ gımızda olu¸san sayı 50 + 50 ×

4 100

= 52’dir. Bu durumda bir genelleme yapılırsa,

bir sayı %p artırıldı˘ gında olu¸san yeni sayı, sayı + sayı ×

S ¸ ekil 5.1: Fatih’in altın sikkeleri.

p 100

olur. Benzer ¸sekilde bir sayı %p azaltıldı˘ gında olu¸san yeni sayı, sayı − sayı ×

p 100

olur. a bir sayı ve b de bu a sayısını %p artırdı˘ gımızda olu¸san yeni sayı

p ise b = 1 + 100 a olur. Benzer ¸sekilde, bu a sayısının %p azalı¸sı sonu

p cunda olu¸san sayı da 1 − 100 a olur. Bir a sayısını %p artırsak so

p nuç 1 + 100 a olur. Aynı a sayısını %p azaltırsak sonuç

p 1 − 100 a olur.

Örne˘ gin, haftalık harçlı˘ gı 50 TL olan bir çocu˘ gun harçlı˘ gı %20 oranında azaltılırsa bu çocu˘ gun haftalık harçlı˘ gı ne olur arkada¸slar? Harçlı˘ gın azalma oranı %20 oldu˘ gunda, bunun harçlıkta meydana getirdi˘ gi mutlak azalma 50 ×

20 100

= 10 TL’dir. Yani

yeni harçlık 50 − 10 = 40 TL olur.

˙In¸sallah bu çocu˘ gun harçlı˘ gını yine %20 oranında artırırlar da, çocuk eski harçlı˘ gına kavu¸sur. Bakalım! 40’ın %20’si 40 ×

20 100

= 8’dir. Dolayısıyla harçlık,

aynı oranda artırılırsa yeni harçlık 50 TL olmaz, 48 TL olur. Ortada 2 liralık bir kayıp var. Yüzde hesapları yaparken hangi sayının gi¸sim o büyüklüyüzdesinin alındı˘ gı çok önemlidir. Çünkü, yüzde de˘ ˘ün kendisiyle orantılı bir de˘ g gi¸simdir.

Aritmetik ve Geometrik Diziler

113

Ben de buna son bir örnek vereyim. Geçenlerde bir ceket aldım. Ceketin sezon fiyatı 200 TL olmasına kar¸sın ucuzlukta 130 TL ye dü¸smü¸s, ben de kaçırmadım. Acaba bu ceketin fiyatında yüzde kaç indirim yapılmı¸stır, bulabilir misiniz? Zevkle hocam. Aldı˘ gınız ceket mutlak olarak 200 − 130 = 70

TL ucuzlamı¸s. Bu durumda "70 sayısı 200 ün yüzde kaçıdır?", sorusunu yanıtlamak yeterli. Yani 70 = 200 ·

x 100

denklemini çözmeliyiz. Bu denklemden x = lunur. ˙Indirim oranı %35 olmu¸s hocam.

70×100 200

= 35 bu-

Te¸sekkürler Zeynep.

Aritmetik ve Geometrik Diziler S ¸ imdi de belli orandaki artı¸sların tekrar tekrar gerçekle¸sti˘ gi durumları ele alalım. Bunun için de dizi kavramına de˘ ginmemiz yerinde olacaktır. Dizi denilen ¸sey her n do˘ gal sayısına, belli bir kuralla, bir sayı kar¸sılık getirme i¸sidir. E˘ ger n do˘ gal sayısına kar¸sılık getirilen sayıyı an ile gösterirsek, bazı dizilerde n ne olursa olsun an+1 − an sayısı sabit olabilir. Hiç de˘ gi¸smeyen

bu sayıya ortak fark ve böyle bir diziye bir aritmetik dizi denir. Örne˘ gin an = 3n + 2 ¸seklinde verilen dizi, ortak farkı 3 olan bir aritmetik dizidir. Bu dizinin ilk bir kaç terimi a1 = 3 · 1 + 2 = 5,

a2 = 3 · 2 + 2 = 8,

a3 = 3 · 3 + 2 = 11

¸seklindedir. Bazı dizilerde de

an+1

oranı sabit olabilir. Bu sabit orana ortak çarpan ve an böyle bir diziye de bir geometrik dizi denir. Örne˘ gin an = 10n ¸seklinde verilen dizi de, ortak çarpanı 10 olan bir geometrik dizidir. Bu dizinin ilk bir kaç terimi a1 = 101 = 10,

a2 = 102 = 100,

a3 = 103 = 1000

¸seklindedir. Biz daha çok geometrik dizilerle ilgilenece˘ giz.

114

5 Yüzde ve Faiz Hesapları Ben de ba¸ska bir geometrik dizi örne˘ gi vereyim hocam. bn = 3 × 10n ¸seklinde verilen dizi de bir geometrik dizidir ve bn+1 bn

= 10 oldu˘ gundan ortak çarpanı da 10’dur. Diziye ait bir

kaç terim ise b1 = 3 · 10 = 30,

b2 = 3 · 102 = 300,

b3 = 3 · 103 = 3000

olarak verilebilir.

Aslında geometrik diziler çok yaygındır. Örne˘ gin üstel ve logaritmik fonksiyonlar dersinde gördü˘ günüz, gölü kaplayan nilüfer çiçeklerinin sayılarının olu¸sturdu˘ gu dizi de ortak çarpanı iki olan bir gi sayısını gösteriyogeometrik dizidir. (an ile n’inci gündeki nilüfer çiçe˘ ruz.) S ¸ ekil 5.2: Matematikçi Euler’in resmini ta¸sıyan 10 ˙Isviçre Frangı.

Dizilerle ilgili son olarak, geometrik bir dizinin ve aritmetik bir dizinin ilk n terimlerinin toplamından bahsedelim arkada¸slar. an dizisi ortak farkı k olan bir aritmetik dizi olsun. Bu durumda gından, dizinin bütün terimleri a1 ve k her n için an+1 − an = k olaca˘

cinsinden yazılabilir. Bazılarını açık olarak yazarsak: a2 − a1 = k oldu˘ gundan a2 = a1 + k a3 − a2 = k oldu˘ gundan .. .

a3 = a2 + k = a1 + 2k .. .

gundan an = a1 + (n − 1)k an − an−1 = k oldu˘

olur. Bu gözlemden sonra aritmetik bir dizinin ilk n teriminin toplamı,

a1 + a2 + · · · + an = a1 + (a1 + k) + (a1 + 2k) + · · · + (an + (n − 1)k) = a1 + (n − 1).a1 + [1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)] k = n.a1 + [1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)] k

olarak elde edilir.

Hocam, o uzun toplamı ne yapaca˘ gız?

Aritmetik ve Geometrik Diziler

115

Gauss 10 ya¸sındayken bu toplam için, zekice bir manevrayla, kısa bir formül bulmu¸s. Size bu hikayeyi anlatayım. Gauss ilkokuldayken sınıfın gürültüsünden sıkılan ö˘ gretmen, sınıfı bir süre me¸sgul edip kafasını dinlemek için, ö˘ grencilerden 1’den 100’e kadar olan sayıları toplamalarını istemi¸s. Kısa bir süre sonra küçük Gauss’un bir ¸sey yapmadan oturdu˘ gunu görünce ¸sa¸skınlıkla "ne oldu, neden yapmıyorsun?" diye sormu¸s. Fakat, Gauss’un "bitirdim" yanıtı, ö˘ gretmeni çok ¸sa¸sırtmı¸s. Gauss’un zekâ dolu yöntemi aslında çok basitti. 1 + 2 + 3 + · · · + 98 + 99 + 100 = S olsun. E˘ ger bu toplamı ters sırada yazarsak 100+99+98+· · ·+3+2+1 yine S olur, çünkü ters sırada yazmak toplamın de˘ gerini de˘ gi¸stirmez. S ¸ imdi bu iki toplamı a¸sa˘ gıda görüldü˘ gü gibi alt alta yazıp toplayalım.

+

1

+

2

+

··· +

98

+

99

+

100

=

S

100

+

99

+

··· +

3

+

2

+

1

=

S

101

+

101

+

··· +

101

+

101

+

101

=

2S

S ¸ ekil 5.3: Matematikçi Gauss’un resmini ta¸sıyan 10 Alman Markı.

Görüldü˘ gü gibi son satır 101’lerin toplamı oldu. Son satırda 100 tane 101 oldu˘ gundan 100 × 101 = 2S olur. Yani S =

100.101 2

= 5050 dir.

Bu küçük çocu˘ gun yönteminin aynısını kullanarak S = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n toplamını da bulabiliriz. Aynı i¸slemi uygularsak bu defa son satırda n tane (n + 1)’in toplamı çıkacak. Yani 2S = n(n + 1), dolayısıyla S=

n(n + 1) 2

elde edilir. Bu formülü kullanarak aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamını artık ¸söyle yazabiliriz: a1 + a2 + · · · + an = na1 + [1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)] k (n − 1)((n − 1) + 1) = na1 + k 2 (n − 1)n k. = na1 + 2

Benzer basitlikte bir toplam ifadesi geometrik diziler için de elde edilebilir mi hocam?

1+ 2+ 3+ · · · + n =

n(n + 1) 2

116

5 Yüzde ve Faiz Hesapları Evet Gökçe. Geometrik dizilerin toplam formülü ilerde i¸simize de yarayacak. an dizisi ortak çarpanı k olan bir geometrik dizi olsun. O halde a2 = k oldu˘ gundan a2 = a1 k a1 a3 = k oldu˘ gundan a3 = a2 k = a1 k2 a2 a4 = k oldu˘ gundan a4 = a3 k = a2 k2 = a1 k3 a3 .. .. . . an = k oldu˘ gundan an = a1 k n−1 an−1 olur. S ¸ imdi ilk n terimin toplamı a1 + a2 + · · · + an = a1 + a1 k + a2 k2 + · · · + a1 k n−1 = a1 (1 + k + k2 + · · · + k n−1 )

olarak bulunur.

Hocam, burda da yine uzun bir toplam var. S ¸ ekil

5.4:

Matematikçi

Cahit

Arf’ın resmini ta¸sıyan 10 Türk Li-

Evet Gökçe, yine bir kurnazlık gerekiyor.

rası.

1 + k + k2 + · · · + k n−1 ifadesini k ile çarpalım: (1 + k + k2 + · · · + k n−1 )k = k + k2 + · · · + k n−1 + k n S ¸ imdi bu e¸sitli˘ gin sa˘ g tarafına 1’i ekleyip, çıkaralım: (1 + k + k2 + · · · + k n−1 )k = 1 + k + k2 + · · · + k n−1 + k n − 1 olur. E˘ ger 1 + k + k2 + · · · + k n−1 = T dersek,

1+k+k2 +· · ·+k n =

k n+1 − 1 k−1

T · k = T + k n − 1, yani T k − T = k n − 1 ya da T (k − 1) = k n − 1 olup, buradan T=

kn − 1

T=

1 − kn

k−1 elde edilir. E˘ ger k sayısı 1’den küçükse bu formül daha estetik olsun diye 1−k

¸seklinde de yazılır. Demek ki a1 + a2 + · · · + an toplamını a1 ·

¸seklinde ifade etmi¸s olduk.

1−k n 1−k

Bile¸sik Faiz

117

Okul yıllarımda, geometrik diziyle tanı¸stı˘ gımda, ö˘ gretmenim ¸söyle bir soru sormu¸stu: Önümüzde bir tas çorba ve elimizde bir ka¸sık, bu çorbayı içmek istiyoruz; ama belli bir kuralla. Kural da ¸söyle: içti˘ gimiz her ka¸sık çorba bir önceki ka¸sı˘ gın yarısı kadar olacak. Yani ilk hamlemiz bir dolu ka¸sık, ikinci hamle yarım ka¸sık, üçüncü hamle 1 4

ka¸sık, dördüncü hamle

1 8

ve bu ¸sekilde sürüp gidecek; soru da bu

tastaki çorbanın ne zaman bitece˘ giydi.

˙Iki dakikada biter o çorba hocam!

Biz de, o zamanlar öyle dü¸sünmü¸stük! ˙Ilk hamlede 1 ka¸sık çorba içiyoruz. ˙Ikinci hamle sonunda 1 + 1 = 3 ka¸sık çorba içiyoruz. Üçüncü hamle sonunda 1 + 12 + 14 =

7 4

2

2

ka¸sık çorba içiyoruz. Bu

¸sekilde n + 1 hamle yaptı˘ gımızı dü¸sünelim. n + 1’inci hamle sonunda, 1+

1 2

+

1 4

+

1 8

+ ···+

1 2n

1−k n 1−k

ka¸sık çorba içeriz. 1 + k + k2 + · · · + k n−1 =

oldu˘ gunu görmü¸stük.

Burada n yerine n + 1 alırsak,

1 + k + k2 + · · · + k n = olur. Burada da k yerine

1+

1 2

+

1 4

+

1 2

1 8

1 − k n+1 1−k

koyarsak,

+ ···+

1 2n

=

1 2n+1 1 2

1−

=2−

1 2n

olur. Bu son elde edilen sayı da gördü˘ günüz gibi 2’den küçüktür. Yani ne kadar u˘ gra¸sırsak u˘ gra¸salım, de˘ gil tası bitirmek, 2 ka¸sık çorba bile içemeyiz.

Bilesik ¸ Faiz Arkada¸slar, üstel ve logaritmik fonksiyonlar dersinde bile¸sik faizi tanımlayıp faiz hesaplarının ilk örneklerini görmü¸stük. Bu hesapların nasıl yapıldı˘ gını tekrarlamayalım isterseniz. O derste 5000 TL’nin %15 yıllık bile¸sik faizle bankaya yatırıldı˘ gında, t yıl sonra

15 t 5000 · 1 + 100 TL’ye ula¸stı˘ gını elde etmi¸stik.

118 Gösterimler sözcüklerin ingi-

5 Yüzde ve Faiz Hesapları Bunun bir genellemesini yapalım. Yani 5000 TL yerine P TL ve faiz oranı

lizce kar¸sılıklarının ilk harflerinden geliyor. P "princi-

olarak da %15 (yani 0, 15) yerine keyfi bir r oranı alınırsa formülde

pal" sözcü˘ günden, r "rate" sözcü˘ günden ve t de "time"

geçecek para miktarı P(1 + r) t TL olur.

yalnızca bunları de˘ gi¸stirmek yeterlidir. Bu durumda t yıl sonra elimize

sözcü˘ günden.

Tabii yılın da öyle pek önemi yok; yıl yerine ay, üç ay ya da ba¸ska bir zaman dilimi alınabilirdi.

Evet, yıl yerine dönem terimini kullanarak bu ili¸skiyi ¸söyle ifade edebiliriz: P TL tasarrufumuzu bir bankada, dönemlik r bile¸sik faizle de˘ gerlendirirsek n dönem sonra tasarrufumuzun ula¸saca˘ gı de˘ ger nedir? E˘ ger paramızın n dönem sonra ula¸saca˘ gı de˘ geri Pn ile gösterirsek Pn = P(1 + r)n olur.

˙Isterseniz ¸simdi benim kar¸sıla¸stı˘ gım bir problemi tartı¸salım. Geçenlerde e¸simle bir otomobil almak istedik, hatta birini be˘endik, fiyatı da 30000 TL idi. E¸sim ve ben ayda ancak 1000 TL biriktig rebiliyoruz. Bir banka ayda %0, 50 faiz veriyormu¸s birikimlerimize. Biz her ay biriktirdi˘ gimiz bu parayı o bankaya yatırsak ve aldı˘ gımız faizleri de üzerine eklesek kaç ay sonra o otomobili alacak paramız olur?

Çözüme ba¸slamadan önce ¸sunu belirtelim arkada¸slar, faiz hesaplarında sayıları virgülden sonra iki hane olacak ¸sekilde yuvarlayaca˘ gız. Nihayetinde kuru¸stan daha küçük bir para birimimiz yok. Zaten bankalar da bu ¸sekilde kullanıyor.

S ¸ imdi problemi çözmeye çalı¸salım arkada¸slar. Bu yöntemle n ayda kaç lira biriktirebilece˘ gimizi hesaplayalım. Ba¸slangıçtaki 1000 liramız n ay sonra 1000·(1+0, 005)n olacak. 2’nci ay yatıraca˘ gımız 1000 lira ise n−1 ay bankada kalaca˘ gı için sonuçta 1000·(1+0, 005)n−1 liraya ula¸sacak. 3’üncü ay yatıraca˘ gımız 1000 lira n−2 ay bankada kalaca˘ gı için sonuçta 1000 · (1 + 0, 00)n−2 liraya ula¸sacak. Bu ¸sekilde devam

edersek (n − 1)’inci ayda yatıraca˘ gımız para bir ay faizde kalaca˘ gı için 1000 · (1 + 0, 005) lira olacak. Ve nihayet n’inci ayda da 1000 lira o ayın

birikimi olarak elimizde olacak. Demek ki n ay sonra elimizde toplam,

Bile¸sik Faiz

119

1000 · (1, 005)n + 1000 · (1, 005)n−1 + · · · + 1000 · 1, 0050 + 1000

= 1000 · [(1, 005)n + (1, 005)n−1 + · · · + 1, 005 + 1] TL

olacak. Yine aynı toplam kar¸sımıza çıktı, hocam! 1 + k + k2 + · · · + k n =

k n+1 −1 k−1

formülünü kullanaca˘ gız.

k = 1, 005 için

1000 · [(1, 005)n + · · · + 1, 005 + 1] = 1000 · = 1000 ·

(1, 005)n+1 − 1 1, 005 − 1 (1, 005)n+1 − 1 0, 005

olur.

Biz bu miktarın n’nin hangi de˘ geri için 30000 TL’ye ula¸saca˘ını arıyorduk. Yani, hangi n için ilk defa g 1000 ·

(1, 005)n+1 − 1 0, 005

≥ 30000

(1, 005)n+1 − 1

= 30000

olur. Önce, 1000 ·

0, 005

e¸sitli˘ gini göz önüne alalım. Buradan (1, 005)n+1 − 1 = 0, 15

ya da

(1, 005)n+1 = 1, 15

olur. S ¸ imdi her iki tarafın logaritmasını alıp, hesap makinasına bakarsak (n + 1) log 1, 005 = log 1, 15

⇒

n+1=

log 1, 15 log 1, 005

≈ 28, 02

bulunur. Demekki n ≈ 27, 02 olup, 27’nci ay sonunda, hemen hemen 30000 TL’ye ula¸smı¸s oluruz.

Hocam, "hemen hemen" dedi˘ giniz ne oluyor?

120

5 Yüzde ve Faiz Hesapları Peki Selçuk, onu da tam hesaplayalım. 27’nci ayın sonunda elimizde 1000 ·

(1,005)28 −1 0,005

= 29974, 52 TL olur.

Hocam, bu kadar ay para biriktirip bekleyece˘ ginize, otomobil kredisi çekseniz daha iyi olmaz mı? Bir taraftan arabanızı kullanırken, di˘ ger taraftan da borcunuzu ödersiniz.

Borç Amortismanı Gökçe bizi borç amortismanı konusuna getirmi¸s oldu. Ben de zaten bu konudan bahsetmek istiyordum. Borç amortismanından kastımız, uygun bir faizle borç alınan bir paranın, taksitler ˙Itfa sözcü˘ gü günlük hayatta pek kullanılmamasına ra˘ gmen bundan türeyen itfaiye ne kadar yaygın bir kullanıma sahip. ˙Itfa borcu sön-

halinde geri ödenmesidir. Eskiden borcun itfası denilirdi. Sanırım, amortisman daha yaygın kullanılan bir terim.

Geri ödeme desek daha kolay olmaz mıydı hocam?

dürürken, itfaiye de yangın söndürüyor!

Belki de olurdu. Ama burada asıl vurgulanan ¸sey borcun taksitler halinde geri ödenmesi. Pınar Hoca’nın otomobil kredisine biraz sonra döneriz, ba¸slangıç olarak ¸söyle daha basit bir problem dü¸sünelim arkada¸slar. Bankadan aylık %1, 37 faizle 5000 TL kredi aldı˘ gımızı varsayalım. Bu borcu da aylık 1000 TL e¸sit taksitlerle bankaya geri ödemek istersek bu borç kaç ayda biter? Bu problemi, genel duruma daha rahat hakim olabilmek için adım adım çözelim. Borcu aldıktan bir ay sonra aldı˘ gımız borç için aylık bir faiz uygulanacak ve bu faiz de 5000×0, 0137 = 68, 50 TL olacaktır. Aylık taksit 1000 TL’yi ödedikten sonra kalan borç miktarı 5068, 50 − 1000 = 4068, 50 TL olacaktır. Bankaya birinci ay için ödenen 1000 TL’nin 68, 50 TL’si faiz ödemesi ve geri kalan

1000 − 68, 50 = 931, 50 TL’si ise anapara ödemesidir. Birinci ayın sonu itibarı ile Devreden borç

5000 TL

Faiz ödemesi

5000 × 0, 0137 = 68, 50 TL

Aylık taksit

1000 TL

Anapara ödemesi

931,50 TL

Kalan borç

5000 + 68, 50 − 1000 = 4068, 50 TL

Borç Amortismanı

121

olacaktır.

˙Ikinci ay daha az faiz ödeyece˘ giz arkada¸slar. Devreden borcumuz 4068, 50 TL oldu˘ gundan bu miktar için faiz verece˘ giz, bu da 4068, 50 × 0, 0137 = 55, 74 TL’dir. Aylık taksit 1000

TL’yi ödedikten sonra kalan borç 4068, 50 + 55, 74 − 1000 = 3124, 24 TL olur. Bu ay sonunda ödedi˘ gimiz 1000 TL’nin 55, 74 TL’si faiz ödemesi ve kalan 1000 − 55, 74 = 944, 26 TL’si anapara ödemesidir.

˙Ikinci ayın sonu itibarı ile Devreden borç

4068,50 TL

Faiz ödemesi

4068, 50 × 0, 0137 = 55, 74 TL

Aylık taksit

1000 TL

Anapara ödemesi

944,26 TL

Kalan borç olacaktır.

4068, 50 + 55, 74 − 1000 = 3124, 24 TL

Üçüncü ayın sonunda ne olaca˘ gını da ben hesaplayabilir miyim? Devreden borç 3124, 24 TL oldu˘ gundan bu miktar için faiz ödeyece˘ giz, bu da 3124, 24 × 0, 0137 = 42, 80 TL’dir. Faiz

biraz daha a¸sa˘ gıya çekildi! Aylık taksit 1000 TL’yi ödedikten sonra, kalan borç 3124, 24 + 42, 80 − 1000 = 2167, 04

TL olur. Bu ay ödenen taksidin 42, 80 TL’si faiz ve kalan

1000 − 42, 80 = 957, 20 TL’si anapara ödemesidir. Özetleyecek olursak:

Üçüncü ayın sonu itibarı ile Devreden borç

3124,24 TL

Faiz ödemesi

3124, 24 × 0, 0137 = 42, 80 TL

Aylık taksit

1000 TL

Anapara ödemesi 1000 − 42, 80 = 957, 20 TL

Kalan borç

3124, 24 + 42, 80 − 1000 = 2167, 04 TL

olacaktır.

Sanırım olay anla¸sıldı arkada¸slar. Her ay bir önceki aydan devreden borca %1, 37 faiz uyguluyoruz. Sonra da 1000 TL taksit ödedikten sonra kalan miktar bizim yeni borcumuz oluyor. Kısalık için bunları do˘ grudan yazalım.

Her defasında kalan borcumuz için yalnızca bir dönemlik faiz ödüyoruz.

122

5 Yüzde ve Faiz Hesapları Dördüncü ayın sonu itibarı ile Devreden borç

2167,04 TL

Faiz ödemesi

2167, 04 × 0, 0137 = 29, 69 TL

Aylık taksit

1000 TL

Anapara ödemesi

1000 − 29, 69 = 970, 31 TL

2167, 04 + 29, 69 − 1000 = 1196, 73 TL

Kalan borç

Be¸sinci ayın sonu itibarı ile Devreden borç

1196,73 TL

Faiz ödemesi

1196, 73 × 0, 0137 = 16, 39 TL

Aylık taksit

1000 TL

Anapara ödemesi

1000 − 16, 39 = 983, 61 TL

Kalan borç

1196, 73 + 16, 39 − 1000 = 213, 12 TL

Altıncı ayın sonu itibarı ile Devreden borç

213,12 TL

Faiz ödemesi

213, 12 × 0, 0137 = 2, 92 TL

Ödeme

216,04 TL

Sonuç olarak altıncı ayın sonunda borcumuz bitmi¸s oldu. Altıncı ay sonunda bir önceki aydan devreden 213, 12 TL ile bu miktara uygulanan bir aylık faizin toplamı 213, 12 + 2, 92 = 216, 04 TL’yi ödeyip borcu bitirdik; çünkü son çıkan miktar aylık taksitten daha küçüktür. Son ay ödenen 216, 04 TL bizim bu borç için fazladan

Bütün bunları bir tabloda özetleyebiliriz arkada¸slar, banka-

ödedi˘ gimiz para, yani ödedi˘imiz toplam faiz oldu. Faiz g

larda benzer ödeme tabloları vermiyorlar mı zaten! Devreden Faiz Aylık Kalan

miktarı da borç azaldıkça azaldı˘ gı için ilk aylarda en yüksek seviyedeydi, zamanla gittikçe azaldı.

Borç

Ödemesi

Taksit

Borç

1. ay sonunda

5000

68,50

1000

4068,50

2. ay sonunda

4068,50

55,74

1000

3124,24

3. ay sonunda

3124,24

42,80

1000

2167,04

4. ay sonunda

2167,04

29,69

1000

1196,73

5. ay sonunda

1196,73

16,39

1000

213,12

6. ay sonunda

213,12

2,92

216,04

Bu tablo ve hesaplar için bir kaç noktayı açıklı˘ ga kavu¸sturalım. Tabloda gördü˘ günüz gibi (hesaplarda da) bir ayın sonunda kalan borç miktarı (tabloda son sütun) devam eden ay için birinci sütunda olup, bu devreden borçtur. Her ay için bu devreden borca bir aylık faiz ödüyoruz.

Borç Amortismanı

123

S ¸ imdi bu örnekten sonra genel durumu anlamaya çalı¸salım arkada¸slar. Yine bu hesapta da borcun ne zaman bitece˘ gini ara¸stırıp buradan genel duruma geçelim. Bir bankadan A TL borcu dönemlik r faiz oranı ile alalım. E˘ ger bankaya bu borcu her dönem B TL lik e¸sit taksitlerle ödemek istersek borcu hangi dönemde amorti etmi¸s oluruz?

Biz bir önceki problemde dönemi ay olarak almı¸stık de˘ gil mi hocam?

Evet Engin. Ama yıl ya da ba¸ska bir zaman dilimi de olabilir, bunun önemi yoktur.

Her dönemin sonunda B TL miktarı bankaya ödüyor ve borcumuzu bir miktar azaltıyoruz. Yani her dönemin sonunda borç miktarımız de˘ gi¸sime u˘ gruyor. n dönem sonra borcumuzun sıfırlanaca˘ını varsayalım ve k = 1, 2, . . . , n olmak üzere, k’ıncı dönem sonundaki g borcumuzu Ak ile gösterelim. Yani, A1

=

Birinci dönemin sonunda kalan borç miktarı

A2 = ˙Ikinci dönemin sonunda kalan borç miktarı .. .. . . Ak = k’ıncı dönem sonunda kalan borç miktarı .. .. . . An = 0 olur.

O zaman Ak ’yı Ak−1 cinsinden hesaplarsak i¸simizi kolayla¸stırmı¸s oluruz. (k − 1)’inci dönem sonunda borcumuz Ak−1 ol-

du˘ gundan k’ıncı dönemde yalnızca bu miktar için faiz ödeyece˘ giz. Bir dönem için faiz oranı r oldu˘ gundan k’ıncı dönemde r × Ak−1 kadar faiz

ödemeliyiz. Di˘ ger yandan dönemin sonunda da B TL taksit ödeyece˘ gimizden, k’ıncı dönem sonunda kalan borç: Ak = (1 + r)Ak−1 − B olur. Bunu küçük bir tablo ile daha anla¸sılır hale getirelim.

124

5 Yüzde ve Faiz Hesapları Dönem k−1 k

Devreden

Faiz

Aylık

Kalan

Borç

Ödemesi

Taksit

Borç

...

...

...

Ak−1

Ak−1

rAk−1

B

(1 + r)Ak−1 − B

S ¸ imdi arkada¸slar, A1 = (1 + r)A − B oldu˘ gunu biliyoruz. O halde buldu˘ gumuz denklem bize A2 ’yi verir. Yani A2

= (1 + r)A1 − B = (1 + r)[(1 + r)A − B] − B

= (1 + r)2 A − B[(1 + r) + 1)] olarak bulunur. Artık A2 ’yi bildi˘ gimize göre A3 ’ü de bize yine aynı denklem verir. Belki A3 ’ü yazarsak bir tahminde bulunabiliriz! Bu hesabı da ben yapayım hocam. A3 = (1 + r)A2 − B

= (1 + r)((1 + r)2 A − B[(1 + r) + 1)]) − B

= (1 + r)3 A − B[(1 + r)2 + (1 + r) + 1] olur. Her bir k için

Ak = (1 + r)k A − B[(1 + r)k−1 + (1 + r)k−2 + · · · + (1 + r) + 1] olur. Bu tahminimizin do˘ gru oldu˘ gunu tümevarımla hemen gösterebiliriz, ama ¸simdi buna hiç girmeyelim. B nin katsayısı olan toplamı daha önce ö˘ grendi˘ gimiz formül yardımıyla 1 + (1 + r) + (1 + r)2 + · · · + (1 + r)k−1 = ¸seklinde ifade edebiliriz. Buradan da Ak = (1 + r)k A − B bulunur.

(1 + r)k − 1 (1 + r) − 1

(1 + r)k − 1 r

=

(1 + r)k − 1 r

Borç Amortismanı

125

Biz An = 0 olan n de˘ gerini aradı˘ gımız için (1 + r)n A − B

(1 + r)n − 1 r

= 0 yani

r(1 + r)n A = B[(1 + r)n − 1]

ili¸skisine ula¸smı¸s oluruz. ˙I¸ste bu denklem borç amortismanına hükmeden denklemdir. Bu denklem gördü˘ günüz gibi dört de˘ gi¸skene ba˘ glıdır. Bunlar A, B, r ve n’dir. E˘ ger bunlardan üçünü bilirsek dördüncüsünü denklemden çözeriz. Bizim için önemli olan aylık taksit miktarıdır; anapara, faiz oranı ve dönem sayısı verildi˘ ginde bu denklemden aylık taksidi hesaplayabiliriz: B=A

r(1 + r)n (1 + r)n − 1

S ¸ imdi benim otomobil kredisine dönebiliriz artık.

Hocam ben de bu arada otomobil kredisi faizinin %1, 14 oldu˘ gunu cep telefonundan ö˘ grendim. Gökçe’nin söyledi˘ gi faiz oranıyla 30000 TL kredi çekelim. E˘ ger ayda 1000 TL taksitle bu borcu geri ödersek kaç ayda bitece˘ gini formülümüzle hesaplayalım. r = 0, 0114, B = 1000 ve A = 30000 de˘ gerleri formülde yerlerine yazılırsa 1000 = 30000 · = 30000 ·

0, 0114(1 + 0, 0114)n (1 + 0, 0114)n − 1 0, 0114(1, 0114)n (1, 0114)n − 1

olur. (1, 0114)n = x denilirse 1000 = 30000 · olur. Buradan x = (1, 0114)n =

1 0,658

1 0,658

(0, 0114)x x −1

yani

x − 1 = (0, 342)x

bulunur. x = (1, 0114)n oldu˘ gunu anımsarsak

olur. Her iki tarafın logaritmaları alınırsa

n log 1, 0114 = − log 0, 658 ⇒ n = −

log 0, 658 log 1, 0114

≈ 36, 94

elde edilir. O halde banka kredisi ile arabayı alırsak borcumuz ancak 37’nci ayda biter. Yani bankaya faiz olarak hemen hemen 7000 TL fazladan ödeme yapmı¸s oluruz. Fakat otomobilimizi de hemen almı¸s olaca˘ gımız için bir an önce de istedi˘ gimizi elde etmi¸s olaca˘ gız. Tabii bu zor bir karar, bu faizi mi ödemeli yoksa paranın birikmesini mi beklemeli?

126

5 Yüzde ve Faiz Hesapları Son olarak amortisman formülümüz için ¸su örne˘ gi yapalım ve dersi bitirelim arkada¸slar. Bir arkada¸sım bir bankadan ihtiyaç kredisi kullandı. Aldı˘ gı kredi miktarı 10000 TL, vadesi 24 ay ve aylık bile¸sik faiz %1, 27 idi. Buna göre arkada¸sımın aylık taksidi ne kadar olacak? Ben hesaplayayım hocam. Formülümüz B=A

r(1 + r)n (1 + r)n − 1

¸seklindeydi. Burada A = 10000, r = %1, 27 = 0, 0127 ve n = 24 alırsak: B = 10000 · bulunur.

0, 0127(0, 0127 + 1)24 (0, 0127 + 1)24 − 1

= 486, 01 TL

Özet Bu bölümde ya¸santımızın bir parçası olan yüzde ve faiz hesaplarını inceleyip, bile¸sik faiz uygulamaları yaptık. Sonrasında bankalardan kredi kullanırken i¸sin en önemli ö˘ gesi olan borç amortismanı formülünü elde edip uygulamadan örnekler verdik.

Okuma Parçası

127

Okuma Parçası

Kaime Osmanlı İmparatorluğu'nda ilk banknotlar idari, sosyal ve yasal reformların gündeme geldiği tanzimat döneminde tedavüle çıkarılmıştır. Banknotlar bu dönemde esas olarak reformların finanse edilmesi amacıyla basılmıştır. İlk Osmanlı banknotları Abdülmecit tarafından 1840 yılında "Kaime-ı Nakdiye-ı Mutebere" adıyla, bugünkü dille "Para Yerine Geçen Kağıt", bir anlamda para olmaktan çok faiz getirili borç senedi veya hazine bonosu niteliğinde olmak üzere çıkarılmıştır. Bu paralar matbaa baskısı olmayıp, elle yapılmış ve her birine de resmi mühür basılmıştır. Kaimelerin zaman içerisinde taklidinin kolayca yapılması ve kağıt paraya olan güvenin azalması nedeniyle 1842 yılından itibaren matbaada bastırılmasına başlanarak, el yapımı olanlarla değişimi sağlanmıştır. Osmanlı İmparatorluğu'nda 1862 yılına kadar çeşitli şekil ve miktarlarda kaime ihraç edilmiştir. Osmanlı İmparatorluğu'nda, 1856 yılında İngiliz sermayesi ile kurulan Osmanlı Bankası "Bank-ı Osmani", 1863 yılında Fransız ve İngiliz ortaklığında "Bank-ı Osmanii Şahane" adıyla bir devlet bankası niteliğini kazanmıştır. Osmanlı İmparatorluğu'nun sık sık Avrupa piyasalarından borçlanmak zorunda kaldığı dönemlerde İngiltere ve Fransa, devletten ziyade, kendi idaresi altındaki bu bankaya güven duymuş ve mali ilişkilerini bu banka kanalıyla yürütmeyi tercih etmiştir. Osmanlı İmparatorluğu, Osmanlı Bankası'na hükümetin hiç bir biçimde kağıt para basmayacağı ve başka bir kuruma da bastırmayacağı taahhüdünde bulunarak, 30 yıl sür e ile kağıt para ihracı imtiyazını vermiştir. Osmanlı Bankası ilk olarak 1863 yılında, istendiğinde altına çevrilmek üzere, Maliye Nezareti ve kendi mühürlerini taşıyan banknotları tedavüle çıkarmış, 1863-1914 yılları arasında da çeşitli şekil ve miktarlarda banknot ihraç etmiştir. Yukarıda belirtilen taahhüt verilmekle birlikte, Osmanlı yönetimi Osmanlı Bankası ile anlaşarak, halk arasında "93 Harbi" olarak bilinen 1876-1877 Osmanlı-Rus Savaşı sırasında, savaş masraflarını karşılayabilmek amacıyla kaime ihraç etmiştir. Kaimeler, 30 Mart 1915 yılında çıkarılan bir kanunla "Evrak-ı Nakdiye"ye dönüştürülmüştür. Kuruluş yıllarında Türkiye Cumhuriyeti Hükümetinin kendine ait madeni ve kağıt paraları olmadığından 1927 yılına kadar Osmanlı İmparatorluğu döneminden devren kalan madeni paralarla "Evrak-ı Nakdiye"ler tedavülde kalmıştır. 2O kuruşluk kaimenin ön yüzü ve arka yüzü

Kaynak: http://www.tcmb.gov.tr/

128

5 Yüzde ve Faiz Hesapları

˘ Çıkarın Kagıtları 1. Bir bankadan %1, 25 aylık faiz oranı ve

senedi alıyor. Bir ay sonra fiyatı 5 TL olan ka-

12 ay vade ile 5000 TL tüketici kredisi çeki-

˘ıt 7 TL’ye ve fiyatı 20 TL olan ka˘ g gıt 25 TL’ye

lirse, aylık geri ödeme taksitleri ne kadar olur?

yükseliyor. Bu yatırımcının toplam kârı yüzde

A) 453, 12

B) 450, 55

C) 470, 70

D) 440, 46

E) 465

kaç olmu¸stur? 7. Bir bankanın aylık faiz oranı %1, 2 ise yıllık faiz oranı a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir?

2. Bir bankadan %1, 25 aylık faiz oranı ve

A) %10

B) %18


C) %13

D) %21


E) %15

A) 252, 25

B) 250, 50

C) 245, 11

D) 242, 43

8. Aylık enflasyon oranının %0, 8 oldu˘ gu bir ülkede yıllık enflasyon oranı nedir?

E) 160, 74 9. Bir bankadan %1, 25 aylık faiz oranı ve 3. Bir bankadan %1, 25 aylık faiz oranı ve



lirse, borcun amortismanı sonucunda ödenen


toplam faiz miktarı a¸sa˘ gıdakilerden hangisi-

A) 185, 65

B) 160, 50

C) 184, 25

D) 165, 70

E) 173, 32

dir? A) 830, 99 TL

B) 830, 20 TL

C) 850, 60 TL

D) 835, 50 TL

E) 840, 45 TL 4. Bir sayının %17’si ile %25’inin toplamı 21 oldu˘ guna göre, bu sayı a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? A) 30

B) 40

C) 50

D) 100

E) 200 5. Ortak çarpanı 2 ve ilk terimi 3 olan bir geometrik dizinin dördüncü terimi a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? A) 24

B) 30

C) 26

D) 32

E) 28 6. Bir yatırımcı 10000 TL parasının %70’i ile fiyatı 5 TL olan bir hisse senedi alıyor. Kalan parası ile de fiyatı 20 TL olan ba¸ska bir hisse

10. Sezon fiyatı 180 TL olan bir ayakkabının fiyatı indirimde 135 TL’ye dü¸smü¸stür. Bu durumda ayakkabıdaki indirim oranı a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? A) %20

B) %35

C) %25

D) %40

E) %30

Çözümler

129

Çözümler 1. Geri ödeme için buldu˘ gumuz borç amor-

r = 0, 0125, A = 5000 TL de˘ gerlerine yerle-

tismanı formülünde B = A·

borç amortismanı formülünde n = 36,

r(1 + r)n

rine yazılırsa:

(1 + r)n − 1

idi. n = 12, r = 0, 0125, A = 5000 TL de˘ ger-

(1 + 0, 0125)36 − 1 = 173, 32 TL

lerini formülde yerlerine yazarsak:

B = 5000 · = 5000 · = 5000 · = 5000 ·

0, 0125(1 + 0, 0125)36

B = 5000 ·

0, 0125(1 + 0, 0125)12 (1 + 0, 0125)12 − 1 0, 0125(1, 0125)12 (1, 0125)12 − 1

0, 0125 · 1, 16 1, 16 − 1 0, 0145 0, 16

elde dilir. Do˘ gru yanıt bu nedenle E seçene˘ gidir. 4. Aranan sayıyı x ile gösterelim. Bu sayının, %17’si

= 453, 12

x·

17

%25′ i

ve

100

x·

25 100

oldu˘ gundan toplamları, bulunur. Do˘ gru yanıt bu nedenle A seçene˘ gi-

17x

dir.

100

2. B = A·

r(1 + r)n (1 + r)n − 1

25x 100

=

42x 100

bulunur. Bu toplam da 15 olarak verildi˘ gine göre 42x 100

borç amortismanı formülünde n = 24, r = 0, 0125, A = 5000 TL de˘ gerleri yerlerine ya-

+

den x = 100 ·

21 42

= 21

= 50 olarak bulunur.

Do˘ gru yanıt C seçene˘ gidir.

zılırsa:

5. Bu geometrik dizinin ilk terimi 3 ve ortak B = 5000 ·

0, 0125(1 + 0, 0125)24 (1 + 0, 0125)24 − 1

= 242, 43 TL

elde edilir. Do˘ gru yanıt bu nedenle D seçene˘idir. g 3. B=A

r(1 + r)n (1 + r)n − 1

çarpanı da 2 oldu˘ gundan ilk dört terimi: a1

= 3

a2

= 2 · a1 = 6

a3

= 2 · a2 = 2 · 6 = 12

a4

= 2 · a3 = 2 · 12 = 24

olarak bulunurlar. Dördüncü terim 24 olur. Do˘ gru yanıt A seçene˘ gidir.

130

5 Yüzde ve Faiz Hesapları bile¸sik faiz formülünü P = 1, r = 0, 008 ve

6. Bu yatırımcının parasının, %70’i 10000 ·

70 100

n = 12 alarak kullanabiliriz. Sonuçta P12 − 1

= 7000TL

yıllık enflasyon oranı olur.

dir. Bu miktar ile 5 TL’lik hisse senedinden 7000 5

P12 = (1 + 0, 008)12 − 1 = 0, 1

= 1400 tane, kalan 3000 TL’si ile 20

TL’lik hisse senedinden

3000 20

= 150 tane

yani yıllık enflasyon oranı %10 olur.

alır. Bir ay sonra birincisinin de˘ geri toplamda 9. Öncelikle 12 ay vade ve %15 faiz oranı

1400 · 7 = 9800 TL ye ula¸sırken, ikincisinin

ile alınan 10000 TL’nin aylık taksidini hesap-

Yani toplam parası 9800 + 3750 = 13550 TL

layalım.

de˘ geri toplamda 150 · 25 = 3750 TL’ye ula¸sır.

B=A

olur. Bu yatırımcının kârı 3550 TL’dir. Bu kârın anaparaya oranı

3550 10000

= 0, 355’dir. Yani yatı-

rımcı %35, 5 kâr etmi¸stir.

(1 + r)n − 1

formülünde A = 10000, r = 0, 0125 ve n = 12 alınırsa,

7. Faiz oranının ne oldu˘ gunu tekrar anımB = 10000

sayalım: Bankaya yatırılan P1 lira bir zaman dilimi sonunda P2 liraya ula¸sıyorsa bu zaman dilimi için uygulanan faiz oranı

r(1 + r)n

P2 −P1 P1

0, 0125(1 + 0, 0125)12

= 902, 58

(1 + 0, 0125)12 − 1

dir. Burada ba¸slangıçta ne kadar paranın ban-

bulunur. Buradan, toplam ödenilen para mik-

kaya yatırıldı˘ gının da bir önemi yoktur, dolayı-

tarının 902, 58 × 12 = 10830, 99 TL oldu˘ gu

sıyla bankaya 1 lira yatırıldı˘ gını dü¸sünebiliriz.

görülür. Dolayısıyla fazladan ödenilen miktar

S ¸ imdi aylık %1, 2 faiz oranı ile 1 liranın 12 ay

10830, 99 − 10000 = 830, 99 TL olup bu da

sonra kaç lira olaca˘ gını bulalım. Bunu da bul-

ödenen toplam faizdir.

du˘ gumuz

Do˘ gru yanıt A seçene˘ gidir. Pn = P(1 + r)n

formülünde faiz oranı r yerine 0, 012, n yerine 12 ve P yerine de 1 alırsak P12

= (1 + 0, 012)12 = 1, 01212 = 1, 15

olur. Bu durumda bir yılda 1 lira 1,15 liraya yükselmi¸stir. Dolayısıyla yıllık faiz 0, 15 olur. Yani yıllık faiz %15 dir. Do˘ gru yanıt E seçene˘ gidir. 8. Enflasyon da aynen faiz mantı˘ gı ile çalı¸sır. Faizin ne kadar getirisi varsa enflasyonun da o kadar götürüsü vardır. Yani yine Pn = P(1 + r)n

10. Ayakkabının fiyatında olu¸san mutlak de˘ gi¸sim 180 − 135 = 45 TL’dir. Dolayısıyla

yüzde de˘ gi¸sim oranı 45 180

=

25 100

45 180

TL’dir. Bu ise

dir. Yani ayakkabı fiyatındaki indi-

rim oranı %25 dir. Do˘ gru yanıt bu nedenle C seçene˘ gidir.

e

Doğrusal Denklem Zeynep Engin SistemleriSelçuk ve Matrisler

6.

O bùr’lu gur’lu soru nasıl çözülür?

GENEL MATEMATİK

ÜNİTE

KARE MATRİS

DENKLEM SİSTEMİ

MATRİS MATRİS TOPLAMI MATRİSİN TERSİ

MATRİS ÇARPIMI

KATSAYILAR MATRİSİ

132

6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

˙Iki Bilinmeyenli Dogrusal ˘ Denklem Sistemleri Gökçe, bugün seni biraz ne¸sesiz gördüm. Canını sıkan bir¸sey mi var?

Evet hocam, uzun süredir görmedi˘ gim bir arkada¸sımı gördüm ve bana çok kilo aldı˘ gımı söyledi. Moralim çok bozuldu.

Diyet yap sen de o zaman Gökçe. Son zamanlarda diyet yapmak gündemde biliyorsun. Kitaplar, televizyon programları, internet bunlarla dolu.

Haklısın Zeynep. Uygun bir diyet listesi bularak bir an evvel diyete ba¸slayayım.

Eee, bu kadar diyet sözü ettiniz madem. Size diyet ile ilgili bir problem söyleyeyim.

Hocam, diyetin de problemi mi olurmu¸s?

Evet, diyelim ki diyetisyene gittiniz ve o size her ö˘ gün için yiyecek listesi vermek yerine her ö˘ günde almanız gereken protein ve karbonhidrat miktarlarını yazan bir liste; beraberinde de yiyeceklerin protein ve karbonhidrat miktarlarını gösteren bir tablo verdi. Kolaylık olsun diye ya˘ gları bir kenara bırakalım. Varsayalım ki ö˘ gle yeme˘ ginde 8 gr protein ve 36 gr karbonhidrat almanız gerekiyor ve iki çe¸sit yiyece˘ giniz var.

Tabii ki hocam. Ö˘ grenci bütçesiyle bir ö˘ günde be¸s çe¸sit yiyecek halimiz yok!

˙Iki Bilinmeyenli Do˘ grusal Denklem Sistemleri

133

Haklısın belki Selçuk. Ancak her ö˘ grenci ekmek ve çorba bulabilir herhalde. Bir dilim ekmekte 2 gr protein ve 12 gr karbonhidrat, 1 kâse çorbada 4 gr protein ve 12 gr karbonhidrat var olsun. Diyetteki bir ki¸si ö˘ gle yeme˘ ginde kaç dilim ekmek yeme ve kaç kâse çorba içme hakkına sahiptir? Hocam, bence bu problem denklem kurmadan çözülemez.

Haklısın Engin. Bu problem denklem kurmadan hatta iki tane denklem kurmadan kolay çözülemez. Ekmek

Protein

Karbonhidrat

(gr)

(gr)

2

12

4

12

8

36

(dilim) Çorba (kâse)

Haydi o zaman denklemlerimizi kuralım artık!

Önce protein ile ilgili denklemimizi kuralım mı arkada¸slar? x ile dilim sayısını, y ile de kâse sayısını gösterirsek; bir dilim ekmekte 2 gr protein varsa x dilim ekmekte 2x gr protein olacaktır. Bu kadar basit. O halde çorbanın da bir kâsesinde 4 gr protein varsa y kâse çorbada 4 y gr protein olacaktır. Üstelik ö˘ gün için gerekli protein miktarı 8 gr oldu˘ gundan ekmek ve çorbadaki proteinlerin toplamı da 8 gr olmalıdır. O halde denklemimiz 2x + 4 y = 8 olmalıdır, de˘ gil mi arkada¸slar?

Denklemimizin biri kuruldu bile. Evet Engin. Bu kadar i¸ste. Gökçe, sen de karbonhidrat hesabına uygun denklemi söyleyebilirsin bize artık. Çok basit hocam! Hemen söylüyorum: Bir dilim ekmekte 12 gr karbonhidrat varsa x dilim ekmekte 12x gr karbonhidrat ve 1 kâse çorbada 12 gr karbonhidrat varsa y kâse çorbada 12 y gr karbonhidrat olur. Ö˘ gün için gerekli olan karbonhidrat miktarı 36 gr idi. O halde bu denklem de 12x + 12 y = 36 olur.

Ö˘ gün için gerekli miktar

134

6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Bravo Gökçe! Gerçekten bu kadar basit. O zaman ko¸sullarımız bize iki bilinmeyenli iki denklem vermi¸s oldu de˘ gil mi?

˙Iyi de hocam, iki denklem varken x ve y’yi nasıl bulalım? Çözüme hangi denklemden ba¸slayaca˘ gız? ˙Iki veya daha fazla denklemimiz varsa bunlara denklem sistemi diyoruz Gökçe. Denklem sistemimiz 2x 12x

+

4y

+ 12 y

= 8 = 36

oldu˘ guna göre bu denklemlerin ortak çözümünü ara¸stıralım.

Ortak çözüm mü? Bu da nereden çıktı? S ¸ imdi anlayacaksın Selçuk. Kurdu˘ gumuz denklemlerin her ikisinde de bilinmeyenlerin yani x ile y’nin derecelerinin bir oldu˘ guna dikkat edelim. O halde geometrik olarak bu denklemlerden her biri düzlemde birer do˘ gru gösterir. Bunu biliyorsunuz de˘ gil mi?

Ben bu do˘ gruları çizebilirim hocam. Daha önce farklı iki noktadan bir tek do˘ gru geçti˘ gini ö˘ grenmi¸stik. Tamam o zaman. Hemen birinci denkleme kar¸sılık gelen do˘ grudan ba¸sla Engin. y

2

4

x

S ¸ ekil 6.1: 2x + 4 y = 8 do˘ grusu.

˙Ilk olarak bu do˘ gruların eksenleri kesti˘ gi noktaları bulayım ˙ hocam. Ilk denklemimizde x = 0 alırsak 2 · 0 + 4 y = 8 ol8 du˘ gundan y = = 2 bulunur. S ¸ imdi de y’ye sıfır vereyim; 4 8 2x + 4 · 0 = 8 oldu˘ gundan x = = 4 olur. ˙I¸ste size iki nokta; 2 (0, 2) ve (4, 0). Bu noktalardan geçen do˘ gru ilk denklemimizi belirten do˘ grudur, de˘ gil mi hocam?


135

Evet öyle. Sıra ikinci denklemde. y 3

Benzer biçimde ikinci do˘ grunun eksenleri kesti˘ gi noktaları sırayla x ve y’ye sıfır vererek (0, 3) ve (3, 0) olarak elde ederiz.

Do˘ gruların çizimlerini yaptık. Tamam ama, bunlar tek tek ne

x

3

i¸se yarar ki? Biz ortak çözüm aramıyor muyuz?

S ¸ ekil 6.2: 12x + 12 y = 36 do˘ g-

Çok haklısın Gökçe. Haydi gelin bunları bir de aynı düzlemde

rusu.

çizelim. Bakalım ne çıkacak? y

Aaaa hocam, do˘ grular tek bir noktada kesi¸stiler (¸ Sekil 6.3).

3

Yoksa bu kesi¸sim noktası denklem sisteminin çözümü mü? 2 (x, y)

Kesinlikle Engin.

x 3

4

˙Iyi güzel de bu ortak noktanın yani iki do˘ grunun kesi¸sti˘ gi nokS ¸ ekil 6.3: 2x + 4 y = 8 ve 12x +

tanın koordinatlarını nasıl bulaca˘ gız? Milimetrik ka˘ gıt mı kul-

12 y = 36 do˘ grularının kesi¸sim-

lanaca˘ gız?

leri.

Milimetrik ka˘ gıdı nereden bulaca˘ gız hocam? Bunun bir ba¸ska yolu yok mu?

Tabii ki var, hatta birden fazla yolu var Gökçe. Bunlardan biri ilk denklemdeki bilinmeyenlerden birini çekip ikinci denklemde yerine yazmaktır. Bu durumda ikinci denklem tek bilinmeyenli bir denkleme indirgenecektir. Böylece bulunan denklemin çözümünden bir bilinmeyenin de˘ geri elde edilecektir. Önce bunu gerçekle¸stirelim. Biliyorsunuz denklem sistemimiz 2x 12x

+

4y

+ 12 y

= 8 = 36

idi. Birinci denklemden y’yi çekelim isterseniz. y = olur.

8 − 2x 4

= 2−

1 2

x

136

6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler S ¸ imdi de bunu di˘ ger denklemde yerine yazalım arkada¸slar.

1 Ben yazdım bile hocam. 12x + 12 2 − x = 36, yani 2 12x + 12 · 2 − 12 ·

1

x 2 12x − 6x

(12 − 6)x 6x x

= 36 = 36 − 24

= 12 = 12 = 2

buldum.

y = 2−

1

x bulmu¸stuk, ¸simdi bu denklemde buldu˘ gumuz x 2 de˘ gerini yani 2’yi yerine yazalım.

y =2−

1 2

· 2 = 2 − 1 = 1 oldu hocam.

˙I¸ste bu kadar. Gördünüz mü? ˙Iki do˘ grunun kesi¸sim noktası olan (x, y)’yi (2, 1) olarak buldunuz arkada¸slar.

O halde hocam bu sonuç, diyet yapan ki¸sinin ö˘ gle yeme˘ ginde 2 dilim ekmek ve 1 kâse çorba hakkının oldu˘ gunu söyler de˘ gil mi? Ne güzel! Hem ucuz hem kolay diyet. Hemen ba¸slıyorum.

Bu çözüm yöntemine yerine koyma yöntemi denir.

˙Iki Bilinmeyenli Do˘ grusal Denklem Sistemleri Bu i¸si kavradınız, haydi ¸simdi de ¸su sistemin çözümüne bakalım: 4x + 3 y

= 18

6x − 3 y

= 12.

Bunu ben deneyeyim hocam. Denklemleri taraf tarafa toplarsak +

4x

+ 3y

= 18

6x

− 3y

= 12 = 30

10x olur. 3 y ile −3 y sadele¸siverdi ve x =

30 10

= 3 çıktı i¸ste. Bunu

da denklemlerden birinde yerine yazabilir miyim hocam?

Evet Engin. Hiç farketmez istedi˘ gin birinde yerine yazabilirsin.

Birincide yazayım. 4 · 3 + 3 y = 18, 12 + 3 y = 18, 3 y = 6, y = 2 çıktı. O halde sistemin çözümü (3, 2) noktası oldu.

Böylece yeni bir çözüm yönteminiz oldu arkada¸slar. E˘ ger verilen iki denklemde de bilinmeyenlerden birinin katsayıları e¸sit ise ya da uygun bir sayıyla denklemlerden birinin her iki yanı çarpılarak katsayılar e¸sitlenebiliyorsa bu bilinmeyeni yok edebiliriz. Bu yolla sistemin çözümünü bulmaya da yok etme yöntemi denir.

Arkada¸slar Mete Hoca’nın söylediklerini kullanarak 2x − 3 y x + 6y

= −7 = 34

do˘ grusal denklem sistemini çözebilir miyiz? Ne dersiniz? Artık olayı kavradık. Bunu ben bile çözebilirim. ˙Ilk olarak her iki denklemde de bir bilinmeyenin katsayılarını e¸sit hale getirece˘ giz de˘ gil mi Pınar Hocam?

137

138

6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Evet Selçuk. Katsayıları e¸sit hale getirirseniz, denklemleri taraf tarafa çıkartırsınız; katsayıları zıt i¸saretli hale getirirseniz, denklemleri taraf tarafa toplarsınız.

Tamam hocam. Sistemin birinci denkleminin her iki yanını 2 ile çarpıyorum.

Neden denklemin her iki yanını da 2 ile çarptık? Bilinmeyenler sol tarafta, sadece sol tarafı çarpsak olmaz mı?

O zaman e¸sitli˘ gi bozardık.

Aferin Selçuk.

O halde devam ediyorum: 2 · (2x − 3 y) = 2 · (−7) x + 6y

4x − 6 y

x + 6y

= 34

= −14 = 34

olur. S ¸ imdi de denklemlerin her iki yanını taraf tarafa toplarsak 4x +

x

− 6y + 6y

5x

= −14 = 34

= 20

ve x = 4 buluruz.

Bu x de˘ gerini denklemlerimizden birinde yerine yazmak y’yi bulmak için yeterli de˘ gil mi Selçuk?

Evet Zeynep. x = 4 de˘ gerini ben ikinci denklemde yerine yazdım ve y = 5 buldum. O halde denklem sisteminin çözümü (x, y) = (4, 5) olur.


139

Mete Hocam, kafama bir soru takıldı: ˙Iki bilinmeyenli her denklem sisteminin her zaman bir çözümü var mıdır? Varsa hep tek midir? Bu sorunun cevabı olumsuz Engin. Sistemdeki her bir denklem düzlemde bir do˘ gruya kar¸sılık geldi˘ ginden, bu soru geometrik olarak iki do˘ gru her zaman kesi¸sir mi, kesi¸sirse tek noktada mı kesi¸sir sorusuna dönü¸sür ki bunun cevabını grafikle verebiliriz. Örne˘ gin yandaki grafikteki 1 ve 2 paralel do˘ grularını göz

y

önüne alalım. 1 ve 2 do˘ grularının hiçbir ortak noktası olma-

1

1

dı˘ gından bu do˘ gruların denklemlerinden olu¸san sistemin çözümü yok-

2

1 //2

tur. -1

1

x

Grafikleri verilen bu do˘ gruların denklemlerini kolayca yazabiliyorduk hocam. 1 : 2 :

x −1 x 1

+

+

y 1 y

−1

-1

=1

⇒

−x + y = 1 yani y = x + 1 S ¸ ekil 6.4: Birbirlerine paralel olan

=1

⇒

x − y = 1 yani y = x − 1

1 ve 2 do˘ gruları.

do˘ gruların denklemleri olur, de˘ gil mi? 1 : y = m1 x + n1 2 : y = m2 x + n2 olmak üzere m1 = m2 ve n1 = n2 ise do˘ grular paralel;

Bu do˘ gruların e˘ gimleri aynı çıktı! Tabii, paralel do˘ gruların e˘ gimleri aynıdır.

gm1 = m2 ve n1 = n2 ise do˘ rular çakı¸sık olur. y

Bir de −x

−2x

+

y

= 1

+ 2y

= 2

denklem sistemini olu¸sturan do˘ gruların grafiklerini çizin bakalım.

Bu iki denklem de aynı do˘ gruyu verdi hocam. Bu durumda ne diyece˘ giz? Bu durumda bu iki do˘ grunun bütün noktaları ortak oldu˘ gundan sistemin sonsuz çözümü vardır deriz (¸ Sekil 6.5).

1

-1

x

S ¸ ekil 6.5: Çakı¸sık olan −x + y = 1 ve −2x + 2 y = 2 do˘ gruları.

140


˘ Üç Bilinmeyenli Dogrusal Denklem Sistemleri S ¸ imdi size geometriden bir problem sorayım. ˙Iki¸ser iki¸ser bir-

A

birine dı¸stan te˘ get olan ve merkezleri A, B ve C olan üç tane çember ve bu çemberlerin merkezlerinin arasındaki uzaklıklar |AB| = 16

16 b

r

18 br

r1

birim (br), |AC| = 18 br ve |BC| = 10 br olarak verilirse her bir çemberin

yarıçapını bulabilir misiniz?

r2 r3

B

10 b

r

C

S ¸ ekil 6.6: ˙Iki¸ser iki¸ser birbirine dı¸stan te˘ get olan üç çember ve çemberlerin merkezleri arasındaki

Burada üç çember var. O zaman üç yarıçap var. Üstelik üçünü de bilmiyoruz!

Bravo Gökçe, bunu anladım da asıl i¸s bu yarıçapları bilinmeyen kabul eden denklemleri bulmakta.

uzaklıklar.

Tela¸slanmayın arkada¸slar. Bir ¸sekil yardımıyla bu denklemleri kurabiliriz. A merkezli çemberin yarıçapına r1 , B merkezli çemberin yarıçapına r2 ve C merkezli çemberin yarıçapına r3 dersek merkezler arasındaki uzaklıklar her defasında iki yarıçapın toplamı olaca˘ gından r1 + r2

= 16

r1 + r3

= 18

r2 + r3

= 10

olur. Böylece üç bilinmeyenli üç denklemden olu¸san bir sistem bulmu¸s oluruz.

Üç denklem, üç bilinmeyen. Oley! Aferin Selçuk. Peki bu üç bilinmeyenli do˘ grusal denklem sistemini nasıl çözeriz? Yerine koyma yöntemini denesek? Onu ö˘ grenmi¸stik. Örne˘ gin, birinci denklemden r2 ’yi, ikinci denklemden r3 ’ü çekip son denklemde yerine yazsak (16 − r1 ) + (18 − r1 ) = 10 denklemini bulmu¸s oluruz, hem de tek bilinmeyenli. Buradan 34 − 2r1 = 10, 2r1 = 24, yani r1 = 12 bulunur.

Üç Bilinmeyenli Do˘ grusal Denklem Sistemleri

141

O zaman, gundan r2 = 4 r2 = 16 − r1 oldu˘ gundan r3 = 6 r3 = 18 − r1 oldu˘

olur. Mükemmel! Böylece çemberlerin yarıçapları da r1 = 12 br, r2 = 4 br ve r3 = 6 br oldu. Sistemin tek çözümü de (r1 , r2 , r3 ) = (12, 4, 6)

Üç bilinmeyenli üç denklemden olu¸san bir denklem sisteminin çözümleri sıralı üçlüler biçiminde yazılabilir.

olarak bulunmu¸s oldu.

Hocam, üç bilinmeyenli denklem sistemleri ile ilgili bir örnek daha yapabilir miyiz? Tabii ki Engin. Haydi x −x 2x

− 2y

+ 3z

− 5y

+ 5z

+ 3y

=

9

= −4

=

17

sistemini çözelim. Engin soruyu sen sordun, dene bakalım yok etme yöntemiyle çözebilecek misin? Hay Allah! Sormasa mıydım acaba bu soruyu? ˙Iki bilinmeyenli denklem sistemlerinden farklı olarak bir bilinmeyen ve bir denklem fazla. Bir dü¸süneyim...

Engin’i fazla yormayalım. Birinci denklemle ikinci denklemi

Birinci denklemle ikinci denk-

taraf tarafa toplayıp sonra bunu ikinci denklemin yerine ya-

lemi taraf tarafa topladık:

zalım: x 2x

− 2y

+ 3z

=

9

y

+ 3z

=

5

− 5y

+ 5z

= 17

S ¸ imdi de birinci denklemi −2 ile çarpıp üçüncü denklemle taraf tarafa toplayalım, onu da üçüncü denklemin yerine yazalım: x

− 2y −

+ 3z =

y

+ 3z =

y

−

z

+

= −1

− +

+

2y 3y y

= =

3z +

9 −4 =

3z

5

Birinci denklemi -2 ile çarpıp üçüncü denklemle taraf tarafa topladık:

9 5

x −x

+

−2x 2x

+

4y

−

5y −y

−

+

6z

=

5z

=

−

z

=

−18 17

−1

142


Mete Hocam, son iki denklemdeki x’li terimler yok oldu. Daha sistemi çözmedik ama arkada¸slar. Yeni elde edilen sistemin son iki denklemini toplayıp üçüncü denklemin yerine yazalım: x − 2 y + 3z = y + 3z =

9 5

2z = 4. Artık bu sistemin kolayca çözülebilece˘ gini görüyorsunuzdur. Üçüncü denklem bize do˘ grudan z bilinmeyeninin de˘ gerini verir, 2z = 4’ten z = 2 olur. Bunu ikinci denklemde yerine yazarsak y + 3 · 2 = 5’ten

y = −1 olur. Son olarak da birinci denklemde z yerine 2 ve y yerine −1

yazılırsa x −2·(−1)+3·2 = 9’dan x = 1 bulunur. Demek ki çözümümüz x = 1, y = −1 ve z = 2’dir.

Yani basamak basamak a¸sa˘ gıdan yukarı yerine yazarak sistemin çözümünü bulduk. Bir denklem sistemini çözmek için sırasıyla a¸sa˘ gıdaki i¸slemler uygulanırsa sistemin çözümü de˘ gi¸smez. 1. ˙Iki denklemin yeri de˘i¸stirilebilir, g 2. Sistemdeki bir denklem sıfırdan farklı bir

Mete Hocam, iki bilinmeyenli do˘ grusal denklem sistemlerinde oldu˘ gu gibi üç bilinmeyenli denklem sistemlerinde de her zaman çözüm olmayabilir de˘ gil mi? Haklısın Engin. S ¸ imdiye kadar yaptı˘ gımız örneklerde çözüm var ve tekti. S ¸ imdi de

sayı ile çarpılabilir, 3. Bir denklem bir sayı ile çarpılıp, sistemdeki di˘ ger bir denkleme ek-

3x

+ 5y

+ 7z

= 10

2x

+ 4y

z

= 6

2x

+ 4y

−

z

= 7

−

sistemini dü¸sünelim.

lenebilir.

Hocam, son iki denklemin sol yanları e¸sit fakat sa˘ g yandaki sayılar farklı. Aynı ifade farklı iki sayıya e¸sit olur mu hiç? Bizden imkansızı bulmamızı istiyorsunuz herhalde! Çok iyi gördün Zeynep! Bu çeli¸skiden dolayı sistemin hiçbir çözümü yoktur.

Matrisler

143

Matrisler Biraz önce bir do˘ grusal denklem sistemini çözerken yok etme yöntemini kullandınız. Bu i¸slemi yaparken de dikkat ettiyseniz x, y, z bilinmeyenleri ile de˘ gil de bunların katsayıları ile i¸slem yaptınız. S ¸ imdi x

+

y

2x

−

y

4x

+ 2y

−

z

=6

+ 3z = 11 − 3z = 14

sistemini göz önüne alalım. Bakalım neler olacak?

Sihirli de˘ gne˘ ginizi sisteme dokunduracaksınız ve sistem çözülmü¸s olacak, de˘ gil mi hocam?

O kadar olmasa da benzer i¸sleri ba¸ska yoldan yapaca˘ gız Selçuk. Böylece sistem kolayca çözülmü¸s olacak. Bir an için x, y, z bilinmeyenlerini ve e¸sitlik i¸saretini görmeyip sadece katsayıları yazalım: 1

1 −1

2 −1 4

6

3

11

2 −3

14

Böyle yaparak bana göre sadece bir sayı yı˘ gını elde ettik hocam.

Gökçe biraz dikkat edersen bunun bir sayı yı˘ gını olmadı˘ gını, her satırı sistemin bir denklemine kar¸sılık gelen bir tablo oldu˘ gunu hemen göreceksin. Birinci sütun x’in, ikinci sütun y’nin ve üçüncü sütun da z’nin katsayılarından olu¸suyor. Son sütun da e¸sitliklerin di˘ ger yanındaki sayılardan, de˘ gil mi hocam?

Aynen öyle Engin. Dahası da var: Bu tabloyu, denklem sistemini çözmek için yok etme yöntemini uygularken x, y, z’leri sürekli ta¸sımadan do˘ grudan kullanabiliriz.

144

6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Ayrıca Pınar Hoca’nın olu¸sturdu˘ gu tablo kö¸seli iki parantez içine alınırsa 

1

1 −1

  2 −1 3  4 2 −3

6



 11   14

tablosu elde edilir. Üç satır ve dört sütundan olu¸san bu tabloya 3 × 4 boyutunda bir matris denir. Bu tablonun sütunları x, y ve z’nin katsa-

yılarından olu¸san üç sütun ile e¸sitli˘ gin ikinci yanını veren bir sütundan olu¸stu˘ gu için buna özel olarak sistemin geni¸sletilmi¸s matrisi denir. Sa-

Tanım Bir matristeki düz yatay bir sıraya matrisin bir satırı, dikey bir sıraya matri-

dece x, y, z’nin katsayılarından olu¸san   1 1 −1    2 −1  3   4 2 −3 matrisine sistemin katsayılar matrisi denir. Bu matrisin içindeki her bir sayıya da bu matrisin elemanı denir.

sin bir sütunu adı verilir.

Tanım Sadece bir satırdan olu¸san matrise satır matrisi, sadece bir sütundan olu¸san matrise sütun matrisi adı verilir.

Artık yok etme yöntemini uygulayabilir miyiz hocam? Evet Zeynep. Ancak ba¸slamadan önce sizi matrisler üzerinde üç de˘ gi¸sik i¸slem yapma hakkınız oldu˘ gu konusunda uyarmak isterim. Bu i¸slemler: iki satırın yerlerinin de˘ gi¸stirilmesi; bir satırın sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılması; bir satırın bir sayı ile çarpılıp bu çarpımın ba¸ska bir satırla toplanmasıdır.

Geni¸sletilmi¸s matrisin birinci satırındaki elemanları −2 ile

çarpıp, ikinci satırdaki elemanlarla toplarsak matrisimiz   1 1 −1 6    0 −3  5 −1   4 2 −3 14

matrisine dönü¸sür. Elde etti˘ gimiz bu matriste birinci satırdaki elemanları −4 ile çarpıp üçüncü satırdaki elemanlarla toplarsak, bu durumda   1 1 −1 6    0 −3 5 −1    0 −2 1 −10 matrisini elde ederiz.

Matrisler

145 Gördü˘ günüz gibi birinci satırda ilk eleman 1 oldu˘ gu için ikinci ve üçüncü satırdaki sayıların zıt i¸saretlisi ile birinci satırı çar-

pıp sırasıyla ikinci ve üçüncü satırlara ekledik ve bu satırların ilk terimleri 0 oldu.

S ¸ imdi bir alt satıra geçelim. Burada 0’dan farklı ilk terimi bulalım ve öncelikle bu terimi 1 yapalım. Bu i¸slem bize bu terimin altındaki elemanları 0 yapmada büyük kolaylık sa˘ glar. Bunun 1 için ikinci satırı − ile çarpalım. Bu durumda 3     1 1 −1 6 1 1 −1 6     1  5  matrisinden  0  0 −3 1 − 5 −1    3 3  0 −2 1 −10 0 −2 1 −10 matrisini elde ederiz. Böylece ikinci satırda 0’dan farklı ilk terim 1 olur. Hocam, isterseniz geriye kalan i¸slemi ben tamamlayayım. ˙Ikinci satırı 2 ile çarpıp üçüncü satıra eklersem, bu durumda   1 1 −1 6   1   0 1 −5  3 3  0 0 − 73 − 28 3 matrisini elde ederim.

Evet Engin. Söyledi˘ gim tam olarak buydu. Hocam, son bir adım daha devam edersek, son satırı − 37 ile

çarparsam  1 1 −1   0 1 −5  3 0 0 − 73

6 1 3 − 28 3





−1

1 1

   matrisinden  0 1 − 5   3 0 0 1

6 1 3

   

4

matrisini elde ederim.

Zeynep’in son yaptı˘ gıyla, satır i¸slemleri kullanılarak denklem sistemimiz x

+

y y

−

−

z

=

6

5 z 3

=

1 3

z

=

4

146

6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler ¸seklini alır. Burada z = 4 ile ba¸slayıp, basamak basamak a¸sa˘ gıdan yukarıya do˘ gru yerine koyarak sistemin çözümü (x, y, z) = (3, 7, 4) olarak bulunur. Her ne kadar biz do˘ grusal denklem sistemlerinin çözümlerini bulmak için matrislerden söz ettikse de matrisler konusu oldukça geni¸s bir konudur. Ayrıntılara girmeden en azından matrisler üzerindeki bir kaç temel i¸slemin tanımını verip özelliklerini inceleyelim.

A=

a11

a12

a21

a22

b11

b12

B=

Temel i¸slemlerle neyi kastediyorsunuz hocam?

2×2

Toplam, fark, çarpım gibi i¸slemlerden bahsediyoruz. Bir mat-

b21 b22 2×2 matrisleri verilsin. A = B yani A matrisinin B matrisine e¸sit olması demek

risin boyutundan daha önce söz etmi¸stik hatırlarsanız. Öncelikle ¸sunu belirtelim ki yalnızca boyutları aynı olan matrislerin toplamından ve farkından bahsedebiliriz. ˙Iki matrisin toplamı ya da farkı, elemanları bu iki matrisin kar¸sılık gelen elemanlarının toplamı ya da

a11 = b11 , a12 = b12 a21 = b21 , a22 = b22 olmasıdır. A ve B’nin toplamı olan matris a11 + b11 a12 + b12 A+B= a21 + b21 a22 + b22

farkı olan yeni bir matristir. Örne˘ gin,     2 −1 −3 4  ve B =   ise A= 0 5 2 −5     2 −1 −3 4 +  A+ B =  0 5 2 −5 = 

matrisidir. Tanım Bir matrisin bütün elemanları sıfır ise bu matrise bir sıfır matris denir. Örne˘ gin,



 2 + (−3) (−1) + 4 0 + 2 5 + (−5) 

 = 



−1 3 2 0



yazılabilir. Özel bir durum olarak bir matrisin tüm elemanları sıfır ise O=

O= O=

0 0

0

0 0

1×1

0 0 0 0

2×2

0 0

bu matrise sıfır  matris denir ve  2 −1 0  A= ile O =  0 5 0 2×2    2 −1 0 + A+ O =  0 5 0

O harfi ile gösterilir. Bu durumda  0  matrislerini toplarsak, 0 2×2    0 2 −1 =  = A olur. 0 0 5

2×3

farklı boyutlarda sıfır matrislerdir.

O zaman O matrisi gerçel sayıların sıfırına çok benziyor.

Matrisler

147 Evet Zeynep. Sıfır matrisi, kendisiyle aynı boyuttaki matrislerin toplama i¸sleminin etkisiz elemanıdır. Ayrıca

A + B = B + A = O özelli˘ gine sahip B matrisine A matrisinin toplamaya göre tersi denir ve −A ile gösterilir. Biraz da çarpma i¸sleminden söz edelim. Bir matrisi bir k sayısı ile çarpmak demek matrisin tüm elemanlarını k sayısı ile çarpmak demektir. Özel olarak bir A matrisini (−1) ile çarparsak (−1)A çarpımı −A olacaktır. Hocam, siz çarpımdan söz edelim deyince ben de iki matrisin

Tam da sıra ona gelmi¸sti Selçuk. Bunu bir örnekle açıklamaya çalı¸sayım. K, L, M gibi üç ülke ve bu ülkelerin sırasıyla K1 , K2 ; L1 , L2 , L3 ; M1 , M2 gibi havaalanlarının oldu˘ gunu varsayalım. Bu havaalanları ve aralarındaki günlük uçu¸s sayısı ile ilgili a¸sa˘ gıdaki çizelgeyi olu¸sturalım. Havaalanları arasındaki çizgiler uçu¸s hattını ve üzerindeki sayılar da günlük uçu¸s sayısını göstersin. L1

3 2 K2

1

2

L2 2

1

L3 3

M1 2

1

2

M2

Hocam, biryerlere tatile mi gideceksiniz yoksa? Ne yapıyorsunuz?

Bir dakika Selçuk. Ne yapaca˘ gımı biraz sonra göreceksin. Bu verilere göre K ülkesinden L ülkesine uçu¸s bilgilerini bir tablo ¸seklinde de ifade edebiliriz. Varı¸s h. Kalkı¸s h.

a  11 A=  a21 a31

L1

L2

L3

K1

3

2

1

K2

2

0

1

a12 a22 a32

 a13  a23   a33

matrisi ve k ∈ için  ka11 ka12 ka13   kA =  ka21 ka22 ka23 ka31

birbiriyle çarpımını anlamı¸stım.

K1



ka32

   

ka33

matrisine A matrisinin k sayısı ile çarpımı denir.

148

6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Bu tabloyu da bir matris olarak görebiliriz:  

 3 2 1 2 0 1



Bu matris K’dan L’ye uçu¸s bilgilerini kodlamaktadır. Benzer ¸sekilde L’den M ’ye uçu¸s bilgilerini de 

1 2



   2 2    3 0 U=

3 2



1   V = 2 3

2 0

1 1 2



 2   0

matrisi ile ifade edebiliriz. Uçu¸s bilgilerini içeren bu matrislerden birincisini U ve ikinci matrisi de V ile gösterelim. Peki K ülkesinin belli bir havaalanından M ülkesinin belli bir havaalanına L ülkesinde aktarma yaparak uçmak isteyenlerin uçu¸s seçeneklerinin sayısını da bulabilir miyiz?

Evet hocam. Örne˘ gin, K ülkesinin K2 havaalanından M ülkesinin M1 havaalanına gitmek isteyen bir ki¸sinin seçenek sayısı çizelgeye bakarak hesaplanabilir. L1 havaalanı üzerinden 2 seçenek ve L3 havaalanı üzerinden 3 seçenek var. L2 üzerinden bir ba˘ glantı yok. Demek ki toplam 5 seçenek var.

Ancak bu sayıyı U matrisinin ikinci satır elemanları ile V matrisinin birinci sütun elemanlarını kar¸sılıklı çarpıp toplayarak hemen elde edebiliriz. Yani  

 3 2 1



1

  2 2 0 1  3

2



 2   0

2·1+0·2+1·3 = 5 olur. Bu mantı˘ gı kullanırsak K’nın Ki (i = 1, 2) havaalanından L’nin herhangi bir havaalanını kullanarak M ’nin M j ( j = 1, 2) havaalanına uçmak isteyen birinin uçu¸s seçeneklerinin sayısını bulmak istersek, U’nun i. satırı ile V ’nin j. sütununun elemanlarını kar¸sılıklı çarpıp toplamak yeterlidir.

Matrisler

149 Peki bunların olu¸sturdu˘ gu yeni matris nedir bu durumda?

Mete Hocam anlatırken ben bir yandan hesapladım. U ve V ’den elde edilen bu yeni matrise T dersek     1 2  3 2 1   2 2  T =   2 0 1  3 0  = 

 3·1+2·2+1·3 3·2+2·2+1·0

2·1+0·2+1·3 2·2+0·2+1·0

 = 



 10 10 5

4



olur. Bravo Zeynep! Böylece K ülkesinden L ülkesinde aktarma yaparak M ülkesine uçmak isteyenlerin uçu¸s seçeneklerinin sayısını veren matris

 

 10 10 5

4



¸seklinde olur. Bu matrisi elde ederken U matrisinin birinci satır elemanları ile V matrisinin birinci sütun elemanlarını kar¸sılıklı çarpıp toplayarak T matrisinde birinci satır birinci sütuna kar¸sılık gelen yere yazıyoruz. Sonra U matrisinin birinci satır elemanları ile V matrisinin ikinci sütun elemanlarını kar¸sılıklı çarpıp toplayarak T matrisinde birinci satır ikinci sütundaki yere yazıyoruz. Benzer i¸slemlerle T matrisinin ikinci satırını olu¸sturuyoruz. Bu yeni matrise bir isim verelim artık. Bu T matrisine U ile V matrislerinin çarpım matrisi denir ve bu matris U · V ile gös-

terilir. Bu örne˘ gimiz belki çok gerçekçi olmayabilir ama matris çarpımı

olgusunun kendili˘ ginden kar¸sımıza çıktı˘ gı bir örnektir. Benzer ¸sekilde uygun ba¸ska matrisleri de çarpabilirsiniz.

Hocam, her zaman iki matrisi çarpabilir miyiz?

150

6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Tabii ki hayır Engin. Ancak çarpım sırasındaki ilk matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına e¸sitse bu iki matris çarpılabilir. Bu durumda çarpım matrisinin i. satır ve j. sütunundaki elemanını bulmak için birinci matrisin i. satırındaki elemanlar ile ikinci matrisin j. sütunundaki elemanları kar¸sılıklı olarak çarpıp toplayacaksı-

Am×n · Bn×p = A · B = Cm×p

nız.

e¸sit

 Örne˘ gin, A = 

rak AB = BA’dır.



 −1

1 0

 ile B =   matrisleri 2 0 1 −1 2 çarpılabilir. Bunları çarpalım ve A·B çarpım matrisini bulalım.

Matris çarpımının de˘ gi¸sme özelli˘ gi yoktur, yani A ve B matrisleri için AB ve BA tanımlı oldu˘ gunda genel ola-

 1 3

A matrisinin sütun sayısıyla B matrisinin satır sayısı aynı oldu˘ gundan A ile B matrisleri çarpılabilir matrislerdir, de˘ gil mi hocam?

Evet Zeynep. Bu yüzden A · B matrisi tanımlıdır. Bu matrise C

dersek, C’nin satır sayısı iki, sütun sayısı üçtür; yani C, 2 × 3

boyutunda bir matris olacaktır. Bu durumda  C = A· B = 

 1 3 2 0



 −1

1 0

1 −1 2



matrisini bulalım. Matris çarpımının biraz önce verdi˘ gimiz kuralını kullanarak      1 3 −1 1 0 1 · (−1) + 3 · 1 1 · 1 + 3 · (−1) 1 · 0 + 3 · 2   =  2 0 1 −1 2 2 · (−1) + 0 · 1 2 · 1 + 0 · (−1) 2 · 0 + 0 · 2 buluruz. Yani gördü˘ günüz gibi  C =

 2 −2 6

−2

2 0

 2×3

olur.

O halde ¸simdi size bir sorum olacak. a11 x

+ a12 y

=

b1

a21 x

+ a22 y

=

b2

do˘ grusal denklem sistemini matris çarpımı kullanarak nasıl yazabilirsiniz?

Matrisler

151

E¸sitli˘ gin her iki yanını bir matris olarak dü¸sünsek hocam? Yani



 

a11 x + a12 y a21 x + a22 y



=

 b1 b2



olarak yazsak bu bir matris e¸sitli˘ gi olur, de˘ gil mi? Evet, sol yandaki matrisi de matris çarpımını kullanarak      x a11 x + a12 y a11 a12  =   a21 x + a22 y y a21 a22 biçiminde yazabiliriz. O halde sistem      x b1 a11 a12  =   y a21 a22 b2 ¸seklinde ve üç matris yardımıyla ifade edilebilir.

Bu da matris denklemi gibi bir¸sey mi oluyor hocam? Gerçekten öyle Gökçe. Her do˘ grusal denklem sistemi, A katsayılar matrisi, X de˘ gi¸skenlerin sütun matrisi ve B e¸sitli˘ gin ikinci yanındaki sayıların sütun matrisi olmak üzere E

AX = B

:

Elektrik kullanımı

S : Su kullanımı D : Doˇ galgaz kullanımı olmak üzere

biçiminde yazılabilir. Peki denklem sistemlerinin çözümü dı¸sında matris çarpımı kullanılarak çözülebilen ba¸ska problemler var mı Mete Hocam? Tabii ki Engin. Örne˘ gin, bir apartmanın her dairesinin har-

1.

2.

3.

4.

Daire

Daire

Daire

Daire

E (kwh)

210

180

220

230

S (m3 )

10

8

12

9

D

250

210

240

260

(Sm3 )

cadı˘ gı elektrik, su, do˘ galgaz miktarları ve bunların birim fiyatları bilinirse her bir dairenin elektrik, su ve do˘ galgaz giderlerinin

1 Sm3 do˘ galgaz 15◦ C ve

toplamı, matris çarpımı kullanılarak kolayca bulunabilir. Bunu yandaki

1, 01325 bar mutlak basınçgalgaz hacmine taki 1 m3 do˘

verilerle 4 daireli bir apartman için ¸söyle ifade edebiliriz.   210 180 220 230    10 8 12 9 30 400 76    250 210 240 260 =

29300 24560 29640 30260

e¸sittir.

Birim Fiyat (Kuru¸s)

E

S

D

30

400

76

152

6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler olur. Bu durumda 1. Daire için giderler toplamı 29300 kuru¸s yani 293 TL 2. Daire için giderler toplamı 24560 kuru¸s yani 245, 60 TL 3. Daire için giderler toplamı 29640 kuru¸s yani 296, 40 TL 4. Daire için giderler toplamı 30260 kuru¸s yani 302, 60 TL’dir.

Tanım Satır ve sütun sayıları e¸sit olan bir matrise bir

Gördü˘ günüz gibi matris çarpımı hayatın içinden bir probleme

kare matris denir. Örne˘ gin,

de uygun dü¸sebiliyor. Son olarak denklem sistemlerinin mat-

A=

a11 a21

a12 a22

rislerle ilgili bir problemin çözümünde nasıl kullanılabilece˘ gine bir örnek görelim. Satır ve sütun sayıları e¸sit olan bir matrise bir kare matris denir. Örne˘ gin, 

matrisi 2 × 2 boyutunda bir kare matris ve  b b12  11  B =  b21 b22 b31

b32

 b13  b23   b33

A=

 a11

a12

a21

a22



matrisi 2 × 2 boyutunda bir kare matristir.  I =

matrisi 3 × 3 boyutunda bir kare matristir.

 1 0 0 1



matrisi de 2 × 2 boyutunda bir kare matristir. Bu matrise de bir birim matris denir ve

A· I = I ·A = A oldu˘ gunu hemen görebilirsiniz. Matrislerle ilgili ilginç bir problem, bir kare matrisin çarpımsal tersini bulma problemidir. Örne˘ gin, A matrisi için öyle bir  B=

 x

y

z

t



matrisi bulabilir miyiz ki, A· B = B · A = I olsun. Problemi daha da somutla¸stırmak için  A=

 1 2 0 3



alalım. Böyle bir B matrisi bulabilir miyiz?

Matrisler

153

Hocam, bir deneyeyim. 

 

1 2 0 3



 x

y

z

t



 1 0

=

0 1



olmasını istiyoruz. Matris çarpımından  

 x + 2z

y + 2t

3z

3t



=

 1 0 0 1



olur. Öte yandan iki matrisin e¸sitli˘ ginden x + 2z = 1 3z = 0 ve y + 2t

= 0

3t

= 1

denklem sistemlerini elde ederiz. Önce birinci sistemi çözelim. Bu sistemin ikinci denkleminden z = 0 oldu˘ gu görülüyor. Buldu˘ gumuz z de˘ gerini birinci denklemde yerine yazarsak x + 2 · 0 = 1’den x = 1 bulunur. ˙Ikinci denklem sistemini de ben çözeyim hocam. 3t = 1 denk1 leminden t = elde edilir. Bu de˘ ger birinci denklemde yerine 3 2 1 yazılırsa y + 2 · = 0 denkleminden y = − elde edilir. O 3 3 halde  

 x

y

z

t



=

1 − 23

0

1 3

 

matrisine ula¸sırız.

Her ikinize de aferin. Ama sizler AB = I e¸sitli˘ ginden hareketle B matrisini buldunuz. Ama ben aynı zamanda

154

6 Do˘ grusal Denklem Sistemleri ve Matrisler BA = I olmasını da istemi¸stim. O zaman BA çarpımına bir bakalım hocam.  B·A=

1 − 23

0

1 3

 

 1 2 0 3



=

 1 0 0 1

=I

oldu. Çok ¸sanslıyız, o özellik de kendili˘ ginden sa˘ glandı.

Evet Zeynep. Bu matrise A matrisinin çarpımsal tersi veya kısaca tersi diyoruz ve A−1 ile gösteriyoruz. Artık 2 × 2’lik

herhangi bir matrisin tersini de bu yolla bulabilirsiniz. Ama e˘ ger varsa tabii!

Özet Bu ünitede iki ve üç bilinmeyenli do˘ grusal denklem sistemlerinin kurulu¸su ve çözüm yöntemleri üzerinde durduk. Ayrıca matrisleri tanıtarak denklem sistemlerini matrisler yardımıyla ifade ettik. Ünitede son olarak matrislerle yapılan toplam, fark ve çarpım gibi bazı temel i¸slemleri verdik. Buna ek olarak 2×2 boyutunda kare matrislerin varsa terslerinin nasıl bulunabilece˘ gini gördük.

Okuma Parçası

155

Okuma Parçası BABİLONYA CEBRİ HAMMURABİ (MÖ. 1795-1750) ZAMANI

Hammurabi zamanındaki matematikçilerin düşünceleri hakkında bütün bildiğimiz eski Babilonya çivi yazılı metinlerdedir. Bunlardan biri O. Neugebauer’in “Mathematische Keilschrifttexte (Çivi Yazılı Matematik Metinleri)” adlı eserinden alınmış aşağıdaki örnektir. Ancak orijinal örneğe geçmeden önce Babilonya cebrinde geçerli bazı birimleri ve bunların birbiri cinsinden ifadesini vermek uygun olacaktır. bùr alan birimi ve ͳܾî‫ ݎ‬ൌ ͵ͲǡͲܵ‫ܴܣ‬, gur ölçü birimi ve ͳ݃‫ ݎݑ‬ൌ ͷǡͲ‫ ݈ܽ݅ݏ‬olarak verilmiştir. (SAR ve sila resmi birimler, bùr ve gur

pratikte kullanılan birimlerdir.) Buradaki ͵ͲǡͲ ve ͷǡͲ sayıları 60’lı sayı sisteminde yazılmıştır.

Yani ͵ͲǡͲ ൌ ͵Ͳ ‫ ڄ‬͸Ͳ ൌ ͳͺͲͲ ve ͷǡͲ ൌ ͷ ‫ ڄ‬͸Ͳ ൌ ͵ͲͲ olmaktadır. “Bir tarladan ܾî‫( ݎ‬alan birimi) başına Ͷ݃‫ ݎݑ‬hububat elde ettim. Diğer bir tarladan bùr başına ͵݃‫ ݎݑ‬hububat elde ettim. Birinci tarladan aldığım ürün ikinci tarladakinden ͺǡʹͲ‫ ݈ܽ݅ݏ‬fazladır.Tarlaların alanlarının toplamı ͵ͲǡͲܵ‫’ܴܣ‬dır. Tarlaların her birinin alanı nedir?”

Eski Babilonya Çivi Metni

Eski Babilonya Çivi Metni

Tarlaların bilinmeyen alan değerlerine ‫ ݔ‬ve ‫ ݕ‬diyelim. Bu durumda aşağıdaki iki denklem söz konusu olur: Ͷ‫ ݔ‬െ ͵‫ ݕ‬ൌ ͺǡʹͲ‫݈ܽ݅ݏ‬ . ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ͵ͲǡͲܵ‫ܴܣ‬ Şimdi eşitliğin sağ tarafındaki ‫ ݈ܽ݅ݏ‬ve ܵ‫ ܴܣ‬birimlerini ܾî‫ ݎ‬ve ݃‫ ݎݑ‬cinsinden ifade edelim. ͺǡʹͲ‫ ݈ܽ݅ݏ‬ൌ ͺ ‫ ڄ‬͸Ͳ ൅ ʹͲ‫ ݈ܽ݅ݏ‬ൌ ͷͲͲ‫ ݈ܽ݅ݏ‬olup, ͳ݃‫݈ܽ݅ݏͲͲ͵ݎݑ‬olduğundan ͺǡʹͲ‫ ݈ܽ݅ݏ‬ൌ

ହ଴଴ ݃‫ݎݑ‬ ଷ଴଴

ହ ଷ

ൌ ݃‫ ݎݑ‬olur.

Diğer yandan ͵ͲǡͲܵ‫ ܴܣ‬ൌ ͳܾî‫ ݎ‬olarak verilmiştir. Bunları yerine koyarak aşağıdaki ܾî‫’ݎ‬lu ݃‫’ݎݑ‬lu denklemi elde ederiz: ͷ Ͷ‫ ݔ‬െ ͵‫ ݕ‬ൌ ͵ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ͳ ଶ

ଵ

olur. Bu denklem sistemi çözülürse ‫ ݔ‬ൌ ଷ ܾî‫ݎ‬ve ‫ ݕ‬ൌ ଷ ܾî‫ ݎ‬bulunur.

Kaynak: B. L. Van Der Waerden, Bilimin Uyanışı, Eski Mısır, Babilonya ve Eski Yunan Matematiği, Çeviren: Orhan İçen ve Yılmaz Öner, Türk Matematik Derneği, İstanbul, 1994

156


˘ Çıkarın Kagıtları

1.

−

3x

= 13

y

4x + 3 y = 26 koyma yöntemi ile çözünüz. − 2y

3x

sistemini yerine

= −1

sistemini yok x − y = −3 etme yöntemi ile çözünüz.     2 5 1 0  ve B =   mat3. A =  4 −3 0 2 risleri için A − B matrisi a¸sa˘ gıdakilerden han2.

gisidir?

A) 

 1 4 −5 4

 C) 

1

5

4 −5

 E) 

2

4

4 −5

4. A = 

B) 





 D) 

 C) 





−5 4

−1 2 0

0

 1 3 2 5



kız karde¸sim var demi¸s. Ahmet’in kız karde¸si



Ay¸se’ye kaç karde¸sin var diye sormu¸slar. Ay¸se de erkek karde¸slerimin yarısı kadar kız karde-

7. Bir seminere katılan bir grup ö˘ grenci se-

 ise 3A matrisi a¸sa˘ gı-

rurlarsa 3 sıra bo¸s kalıyor. Bu seminere kaç ö˘ g-







B)  



D) 

 0

6 15



miner salonundaki sıralara 5’er 5’er otururlarsa 7 ö˘ grenci ayakta kalıyor. 6’¸sar 6’¸sar otu-



 9 −3



cuk vardır?

9 15

1 5 3

1 2

¸sim var demi¸s. Bu ailede kaç kız kaç erkek ço-

3 5



 D) 

 3 5

Ahmet ne kadar erkek karde¸sim varsa o kadar 

2 5

5 26



6. Ahmet’e kaç karde¸sin var diye sormu¸slar.

 1

6 −3

3

−5 4

 3 15





E) 

sisteminin katsa2x + 5 y = 26 yılar matrisi nedir?     1 2 1 15   A)  B)  3 5 2 26

 1 5

= 15



2 −1 0 dakilerden hangisidir? 3







C) 

+ 3y

E)  

A) 

x

5.

 1

3 5

6 −3 0

8. A·B 6= B·A olacak ¸sekilde iki matris örne˘ gi

 3

9 15

2 −1

renci katılmı¸stır?



0



veriniz. 

 3 0



 −1 0

 ve   matrislerinin 0 5 0 7 çarpımını bulunuz.     1 −1 4 0      matrisi ile  1  sü10.  2 0 1     3 −2 5 1 tun matrisinin çarpımını bulunuz. 9. 

Çözümler

157

Çözümler 1. Birinci denklemden y’yi çekersek

4. 

y = 3x − 13

3A = 3 

elde edilir. Bu ikinci denklemde yerine yazı-

lırsa

=

4x + 3(3x − 13) = 26

13x − 39 = 26

9

15

6

−3

0



sistemin çözümü (5, 2) olur.



 1 3 2 5



matrisidir. Do˘ gru cevap E seçene˘ gidir.

2. ˙Ikinci denklem −3 ile çarpılıp birinci ve

ikinci denklemler taraf tarafa toplanırsa

=

6. Bu ailedeki erkek çocukların sayısına x kız çocukların sayısına y diyelim. Ahmet hariç erkek ve kız çocukların sayısı aynı olaca˘ gından

= −1

+ 3y

3



olu¸san matris

denkleminden de y = 2 elde edilir. O halde

−3x

2 −1 0

5. Bu denklem sisteminin katsayılarından

y = 3x − 13

− 2y

3 5

olur, do˘ gru cevap A seçene˘ gidir.

olur. Buradan x = 5 bulunur.

3x

 1

birinci denklemimiz

9

x −1= y

buradan da y = 8 bulunur. Birinci denklemde

olur. Öte yandan Ay¸se hariç kızlar erkeklerin

y = 8 alınırsa

yarısı kadar olaca˘ gından ikinci denklemimiz 3x − 2 y

= −1

de

3x − 2 · 8 = −1

y −1=

x

2 olur. Bu denklemleri çözerek, x = 4 ve y = 3

olur. Buradan

bulunur.

3x = 15

7. Seminer salonundaki sıraların sayısını S

yani x = 5 elde edilir.

ile, ö˘ grenci sayısını da Ö ile gösterelim. Ö˘ grenciler sıralara 5’er 5’er oturdu˘ gunda 7 ö˘ grenci

3.  A− B = 

 2

5

4 −3

 = 

1

5

4 −5



−

 1 0 0 2

ayakta kaldı˘ gı için Ö = 5S + 7



e¸sitli˘ gi geçerlidir. Öte yandan ö˘ grenciler 6’¸sar 

6’¸sar oturdu˘ gunda 3 sıra bo¸s kalıyorsa ö˘ gren-



ciler S − 3 sıraya oturuyor demektir. Bu du-

olur, do˘ gru cevap C seçene˘ gidir.

rumda da

Ö = 6(S − 3)

158


denklemi geçerlidir. Bu iki denklemden

oldu˘ gundan A · B 6= B · A

5S + 7 = 6S − 18

olur.

7 + 18 = 6S − 5S 25 = S

9.

bulunur. Ö˘ grenci sayısını da

 

Ö = 5S + 7 denkleminden

 3 0 0 5



 −1 0 0 7



 = 

Ö = 5 · 25 + 7 = 132

 3 · (−1) + 0 · 0 3 · 0 + 0 · 7 0 · (−1) + 5 · 0 0 · 0 + 5 · 7

 olarak buluruz.

= 

 −3

0

0 35



8. Örne˘ gin,  A= ve

 1 2 1 0

 B=

10.





0 1





olsun. Bu durumda    1 2 0 2   A· B =  0 1 1 0

 =  

 1·0+2·0 1·2+2·1

1·0+0·0 1·2+0·1

 = 



 0 4 0 2



ve  B·A = 

 0 2 0 1



 1 2 1 0



 = 

 0·1+2·1 0·2+2·0

0·1+1·1 0·2+1·0

 = 

 2 0 1 0



0



1 · 0 + (−1) · 1 + 4 · 1 2·0+0·1+1·1

3 · 0 + (−2) · 1 + 5 · 1 

 = 



    2   0 1    1  3 −2 5 1

 0 2

1 −1 4



3



   =  1   3

   



Türev ve Uygulamaları Bir fonksiyonun artışının yavaşlaması da ne demek?

1

7.

GENEL MATEMATİK

2

ÜNİTE

3

ANLIK HIZ

ORTALAMA HIZ

4

TÜREV TEĞET DOĞRUSU YEREL MAKSİMUM

5

6

YEREL MİNİMUM

İKİNCİ TÜREV

160

7 Türev ve Uygulamaları

Türevin Tanımı Merhaba arkada¸slar! Bugün nasılsınız? Herkesin keyfi yerinde mi?

Hocam, biz iyiyiz de, Selçuk pek tuhaf görünüyor.

Vallahi hocam, dün gece bir kâbus gördüm; kapkaranlık bir denizin ortasında, inin cinin top oynadı˘ gı yerde, küçücük bir teknede yapayalnızdım. Nereye, nasıl gidece˘ gimi bilemedim!

Ondan kolay ne var Selçuk, yıldızlara baksaydın!

Çok güzel bir öneri Engin. Biliyor musunuz arkada¸slar, bugünkü teknolojinin, hatta pusulanın bile olmadı˘ gı zamanlarda denize açılan insanlar da yollarını kutup yıldızına bakarak bulurlardı.

Hocam, ¸saka mı yapıyorsunuz Allah a¸skına? Yıldızla yolun ne alakası var?

S ¸ aka de˘ gil Selçuk. Hatta bugünkü konumuzun çıkı¸s noktalarından biri olarak bile ele alınabilir bu konu.

Abdala malum olurmu¸s!

Arkada¸slar, binlerce yıl boyunca insanlar de˘ gi¸sik sebeplerle yıldızları izlemi¸s ve bunlara isimler vermi¸s, yıldızların hareketlerini anlamaya çalı¸smı¸slardır. Uzun gözlemler sonucunda Kutup Yıldızı adını verdi˘ gimiz yıldızın gökyüzünde her zaman kuzeyde oldu˘ gunu gözlemlemi¸slerdir. Bunu da denizciler yön bulmak için kullanmı¸slardır.

Türevin Tanımı

161

Ama yön bulmak i¸sin sadece ba¸slangıcı! Merak i¸ste! Gökcisimlerinin hareketi birçok filozofu dü¸sündürmü¸s.

Hah i¸ste! Bir filozofumuz eksikti!

Merak etme Engin, biz sadece i¸sin bizi ilgilendiren kısmına de˘ ginece˘ giz.

Hocam, bu gökcisimlerinin konumuzla ne alakası var anlamadım ben.

Ben de tam oraya geliyordum Zeynep. Bilimadamları gökcisimlerinin izledikleri yolları matematiksel olarak ifade edebilmek için i¸se giri¸smi¸sler, ancak yüzyıllar boyu süren çabaya ra˘ gmen o günlerin matemati˘ ginin yetersiz olu¸sundan istenilen sonuca tam olarak ula¸sılamamı¸stır. Bu büyük problemin çözümü nihayet Isaac Newton’a kısmet oldu. Sir Isaac Newton 1642 - 1727 Hocam, bu kafasına elma dü¸sen adam de˘ gil miydi?

Ta kendisi Selçuk! Bugün tanı¸saca˘ gımız ve hayatımızın birçok alanında farkında olarak ya da olmayarak kullandı˘ gımız türev kavramını matemati˘ ge Newton kazandırmı¸stır.

Tamam da hocam, nedir bu türev?

Türev bir niceli˘ gin bir ba¸ska niceli˘ ge göre de˘ gi¸sim oranını ifade eden kavramdır. Örne˘ gin, hava sıcaklı˘ gının yere ve zamana göre de˘ gi¸simini; bir uça˘ gın ya da otomobilin konumunun de˘ gi¸simini; elde edilecek gelirin üretilen mal miktarına göre de˘ gi¸simini; biraz önce bahsetti˘ gimiz durumda ise gökcisimlerinin birbirlerine göre konumlarının de˘ gi¸simini ifade etmek için türev kavramından yararlanmamız gerekir.

162


Ben hâlâ bir¸sey anlamadım! Gelin tanıdık bir örnekle i¸se ba¸slayalım. Ortalama hızın ne oldu˘ gunu hatırlayanınız var mı?

Tabii ki hocam, ortaokulda az hız problemi çözmedik.

Ortalama hızı, alınan toplam yolun geçen toplam süreye oranı olarak tanımlamıyor muyduk? Evet Zeynep, haklısın. Bir do˘ gru üzerinde hareket eden bir cismin katetti˘ gi yolu zamanın fonksiyonu olarak f (t) ile gösterirsek -ki buna konum fonksiyonu diyece˘ giz- [t 1 , t 2 ] gibi bir zaman aralı˘ gındaki ortalama hızı vort =

f (t 2 ) − f (t 1 ) t2 − t1

oranı ile hesaplayabiliriz. Konum fonksiyonu f (t) = 16t 2 (metre) olan bir cismin [0, 2] saniyelik zaman aralı˘ gındaki ortalama hızı ne olur? Az önce yazdı˘ gımız formülde t 1 = 0 ve t 2 = 2 alırsak vort =

f (2) − f (0) 2−0

=

16 × 22 − 16 × 0 2−0

=

16 × 4 2

= 32 m/sn

ortalama hızını elde ederiz. Peki bu cismin keyfi bir t anındaki hızı için ne derdiniz?

Bu kadarı bizi a¸sar hocam. Ben ortada sayı yokken hesap yapamıyorum.

Ortalama hızdan bahsetti˘ ginize göre, bununla bir alakası var herhalde.

Türevin Tanımı

163

Evet çok do˘ gru Zeynep. Önce Pınar Hoca’nın verdi˘ gi örnek için birkaç hesap yapalım isterseniz.

Ben hesabı hızlı yaparım hocam, sorun siz. O halde Selçuk, sen bize t = 2 saniye ile t 1 = 2, 1 saniye arasındaki ortalama hızı hesaplar mısın? Hocam, böyle küsuratlı bir sayı verece˘ ginizi bilseydim hiç niyetlenmezdim. Ama bir deneyeyim: vort = =

16 × (2, 1)2 − 16 × 22

=

16 × 4, 41 − 16 × 4

2, 1 − 2 0, 1 16 × 0, 41 = 16 × 4, 1 = 65, 6 m/sn 0, 1

oluyor. Zeynep, sen de t = 2 saniye ile t 2 = 2, 01 saniye arasındaki ortalama hızı bulabilir misin? Tabii ki hocam. vort = =

16 × (2, 01)2 − 16 × 22

16 × 4, 0401 − 16 × 4

= 2, 01 − 2 0, 01 16 × 0, 0401 = 16 × 4, 01 = 64, 16 m/sn 0, 01

dir.

tn

vort

t 1 =2,1

65,6

t 2 = 2,01

64,16

t 3 = 2,001

64,016

t 4 = 2,0001

64,0016

Tablo 7.1: t = 2 saniye ile t n arasındaki ortalama hız tablosu.

S ¸ imdi hesap makinesinden de destekle t = 2 saniye ile t 3 = 2, 001 saniye arasındaki ve t = 2 saniye ile t 4 = 2, 0001 saniye arasındaki ortalama hızları da hesaplayarak yandaki tabloyu olu¸sturabiliriz.

Benim

gördü˘ gümü

siz

de

görüyor

nuz?

Hocam, benim gördü˘ güm ¸sey, t zamanı 2. saniyeye yakla¸stıkça ortalama hızın 64 m/sn de˘ gerine yakla¸stı˘ gı.

musu-

164

7 Türev ve Uygulamaları ˙I¸ste bu yakla¸sma sözü en can alıcı söz. Tablodaki de˘ gerlere dikkat ederseniz t zamanı 2’ye yakla¸stıkça ortalama hızın de˘erinin 64 sayısına çok yakla¸stı˘ g gını görürsünüz. Aslında, t zamanını 2’ye yeterince yakın seçerek, ortalama hızın de˘ gerini 64 sayısına istedi˘ gimiz

y

kadar yakla¸stırabilirmi¸siz gibi görünüyor. Bu söylediklerimizi, t de˘ gi¸s-

f

keni 2’ye yakla¸sırken vort de˘ gerinin limiti 64’e e¸sittir diyerek ifade ede-

L

biliriz. Bu ifadeyi lim vort (t) = 64

t→2

x0

x

biçiminde gösteririz ve t de˘ gi¸skeni 2 sayısına yakla¸sırken vort ’un limiti 64’tür deriz.

S ¸ ekil 7.1: lim f (x) = L. x→x 0

Limit adını verdi˘ gimiz bu yakla¸sma kavramını keyfi bir f (x) fonksiyonu için de tamamıyla benzer bir ¸sekilde tanımlayabiliriz. x de˘ gi¸skenini x 0 dan farklı de˘ gerlerle, her iki yandan da x 0 nokta-

y

sına yeteri kadar yakla¸stırdı˘ gımızda, f (x) fonksiyonunun alaca˘ gı de˘ gerg

ler bir L sayısına yeteri kadar yakla¸sıyorsa, o zaman bu L sayısına f (x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki limitidir deriz. Sembolik olarak

L

lim f (x) = L

x0

x→x 0

x

gösterimini kullanırız.

S ¸ ekil 7.2: g(x) fonksiyonu x 0

Arkada¸slar, çok önemli bir noktayı açıklamama izin verin. Ön-

noktasında tanımlı olmadı˘ gı halde x → x 0 iken limiti L dir.

celikle, bir x 0 noktasına her iki yandan da yakla¸sıyoruz dedi˘imizde hem x 0 ’dan küçük de˘ g gerlerle, hem de x 0 ’dan büyük de˘ gerlerle gı de˘ gerden yakla¸stı˘ gımızı kastediyoruz. Ayrıca, fonksiyonun x 0 ’da alaca˘ ziyade, x 0 noktasına çok yakın yerlerde alaca˘ gı de˘ gerler ile ilgilendi˘ gigildir. mizden, fonksiyonun x 0 noktasında tanımlı olması bile gerekli de˘ O yüzden de tanımı verirken x noktalarının x 0 noktasından farklı oldu˘unu belirtiyoruz. g

Bu x 0 noktasına sadece bir taraftan yakla¸ssak olmuyor mu?

y

Neden i¸simizi iki katına çıkarıyoruz?

3 y = −2x + 5

2

Tanımı verirken x 0 noktasına her iki yandan da yakla¸sırken fonksiyonun aldı˘ gı de˘ gerlerin tek bir L sayısına yakla¸smasını 1 y = x +1

S ¸ ekil 7.3: lim f (x) yoktur. x→1

x

istedik. Oysa ki kimi fonksiyonlar için bu durum sa˘ glanmayabilir. Örne˘in g

f (x) =

x +1 −2x + 5

x ≤1

x >1

ise ise

Türevin Tanımı

165

fonksiyonunu ele alalım ve x 0 = 1 noktasında limitini bulmaya çalı¸salım. Fonksiyonun grafi˘ ginden de görebilece˘ gimiz gibi 1 noktasına 1’den küçük sayılarla yakla¸stı˘ gımızda limit de˘ geri 2 sayısına yakla¸sacaktır. Öte taraftan, 1 noktasına 1’den büyük sayılarla yakla¸sırsak, fonksiyon de-

y 7

y = x2 + x + 1

˘erlerinin 3 sayısına yakla¸stı˘ g gını görürüz. Fonksiyonun 1 noktasına 1 sayısından büyük ve küçük sayılarla yakla¸sırken aldı˘ gı de˘ gerler bir tek L sayısına yakla¸smadı˘ gından bu noktada limit yoktur. ˙Isterseniz bir iki örnek daha ele alalım. ˙Ilk olarak f (x) = x 2 + x + 1 fonksiyonunun x 0 = 2 noktasındaki limitini hesaplayalım. Fonksiyonun grafi˘ ginden de görülece˘ gi gibi x sayısı 2 de˘ ge-

2

x

S ¸ ekil 7.4: lim f (x) = 7. x→2

rine yakla¸sırken, fonksiyonun aldı˘ gı de˘ gerler de fonksiyonun x = 2 noktasında aldı˘ gı de˘ gere yani 7 sayısına yakla¸sacaktır. Bu durumda söylediklerinizi yaparsam

lim x 2 + x + 1 = 22 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7

x→2

sonucunu elde ederim. Gayet iyi Zeynep. Bir de ¸su fonksiyonu ele alalım: f : \ {1} → , f (x) = x + 1 fonksiyonunun x = 1 nok-

tasındaki limiti nedir?

y

Bu fonksiyon x = 1 noktasında tanımlı de˘ gil ki hocam. Biliyorum Selçuk, ama daha önce de belirtti˘ gimiz gibi, fonk-

2

siyonun, limiti aranan noktada tanımlı olması ¸sartı yok. Limit

y = x +1

alaca˘ gımıza göre x noktaları 1 de˘ gerine yakla¸sacaklar ama hiçbir zaman 1

1 de˘ gerini almayacaklar. O zaman 1’den küçük sayılarla 1 sayısına yakla¸stı˘ gımızda fonksiyonun aldı˘ gı de˘ gerlerin 2 sayısına; 1’den büyük sayılarla 1 sayısına yakla¸stı˘ gımızda da fonksiyonun aldı˘ gı de˘ gerlerin yine 2 sayısına yakla¸stı˘ gı görülüyor. O halde bu limiti ¸söyle yazabiliriz: lim f (x) = lim x + 1 = 2.

x→1

x→1

S ¸ ekil 7.5: lim f (x) = 2. x→1

x

166

7 Türev ve Uygulamaları Evet, limit hesabını burada noktalayalım. Artık, sorumuzun cevabını verebiliriz. ˙Ilk olarak konumu f (t) = 16t 2 fonksiyonu ile verilen cismin t = 2 anındaki hızını bulmaya çalı¸salım. Bu hız h → 0 iken t = 2 ile t = 2 + h zamanları arasındaki ortalama hızların, varsa, limitidir. Di˘ ger bir deyi¸sle, lim

h→0

f (2 + h) − f (2) (2 + h) − 2

= = = =

lim

h→0

lim

16(2 + h)2 − 16 × 22

h 16(4 + 4h + h2 ) − 16 × 4 h

h→0

lim

16(4h + h2 )

h lim (64 + 16h) = 64 m/sn

h→0 h→0

de˘ geridir. Ama unutmayın, h de˘ geri sıfır noktasına her iki yandan da yakla¸sıyor. O halde ortalama hızı aldı˘ gımız zaman aralı˘ gımız h sayısı negatif de˘ gerlerle sıfıra giderken [2 + h, 2] aralı˘ gına, h sayısı pozitif de˘erlerle sıfıra giderken [2, 2 + h] aralı˘ g gına kar¸sılık gelecektir. Peki, ¸simdi t = 1 anındaki hızı hesaplayabilir misiniz? Biraz önce t = 2 anındaki hızı hesaplarken t = 2 ile t = 2 + h zamanları arasındaki ortalama hızın limitini hesaplamı¸stık. O halde t = 2 de˘ gerini t = 1 ile de˘ gi¸stirirsek, verdi˘ giniz limit ifadesini hesaplamak yeterli olur gibi geldi bana.

Kesinlikle! Yapılması gereken tam da bu. Bu durumu genellersek keyfi t anındaki anlık hız (de˘ gi¸sim hızı), t ile t + h zamanları arasındaki ortalama hızların h → 0 iken limiti olarak tanım-

lanır:

v

= = =

lim

h→0

lim

f (t + h) − f (t)

h 16(t + h)2 − 16t 2

h lim (32t + 16h) = 32t.

h→0 h→0

Böylelikle artık her t zamanında hızın ne olaca˘ gını söyleyebiliriz.

Bu hız problemlerinden kurtulu¸s yok anla¸sılan.

Türevin Tanımı

167

Aksine, bu örnekte ele aldı˘ gımız konum fonksiyonu yerine farklı fonksiyonlar, zaman yerine de farklı de˘ gi¸skenler alınabilir. O zaman anlık hız kavramı, belli bir yıldaki i¸ssizlik oranının de˘i¸sme hızı, üretilecek mal miktarına göre bir firmanın elde edece˘ g gi ge˙ lirin de˘ gi¸sme hızı gibi pek çok farklı anlamlara gelebilir. I¸ste tüm bu (anlık) de˘ gi¸simleri türev olarak adlandırıyoruz.

Hocam, bu türev i¸sinden gözüm korktu benim! Anla¸sılan türevin girmedi˘ gi yer kalmamı¸s.

Çok do˘ gru Gökçe. Bugün artık sosyolojide bile türev kullanılabiliyor dersem sanırım bir fikir verebilir size bu. ˙Isterseniz türevin matematiksel tanımını yazabiliriz artık. Bir x 0 noktasını içeren bir aralıkta tanımlanan bir f (x) fonksiyonu verilsin. E˘ ger lim

f (x 0 + h) − f (x 0 ) h

h→0

limiti varsa bu limit de˘ gerine f (x) fonksiyonunun x 0 noktasında türevidir deriz. Türev için f (x 0 ) ya da

df (x 0 ) dx

gösterimlerinden biri kullanı-

labilir. E˘ ger fonksiyon tanım kümesi üzerindeki her noktada türevlenebiliyorsa, bu fonksiyona türevlenebilir fonksiyon diyece˘ giz.

Yukarıda limit ifadesinden ¸sunu söyleyebiliriz: bu limitin var oldu˘ gu her x sayısına bir f (x) sayısı kar¸sılık gelir. Bu ise gu f ifadesinin yukarıdaki limit ile tanımlanan yeni bir fonksiyon oldu˘ anlamına gelir. Belirli bir x 0 noktasındaki türevi ¸söyle de tanımlayabiliriz: f (x 0 ) = lim

x→x 0

f (x) − f (x 0 ) x − x0

.

Dikkat ederseniz, burada da x de˘ gi¸skeni türev alınacak nokta olan x 0 noktasına yakla¸smaktadır. x − x 0 de˘ gi¸sme miktarını ∆x ile gösterirsek, x < x 0 iken ∆x < 0, x > x 0 iken ∆x > 0 olur. Bu ∆x = x − x 0

artmasına kar¸sılık fonksiyonun de˘ gerlerindeki artma miktarı ise ∆ y = f (x) − f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )

gından türevin bir ba¸ska olacaktır. O halde x → x 0 iken ∆x → 0 olaca˘

168

7 Türev ve Uygulamaları tanımı da f (x 0) =

=

=

lim

f (x) − f (x 0)

lim

f (x 0 + ∆x) − f (x 0)

x − x0

x→x 0

∆x

∆x→0

lim

∆y

∆x→0

∆x

¸seklinde ifade edilebilir. Bu tanımlarda fonksiyonun türevini aldı˘ gımız noktayı vurgulamak için x 0 gösterimini seçtik. Ama bundan sonra seçilen noktayı ço˘ gu kez sadece x ile gösterece˘ giz ve f (x) = lim

f (x + h) − f (x)

h→0

h

yazaca˘ gız.

Hocam, verilen her fonksiyonun türevini bu limitleri kullanarak mı hesaplayaca˘ gız? Bu i¸s çok zahmetli gibi.

Türev Kuralları Hem evet, hem hayır. Öncelikle birlikte temel bazı basit fonksiyonların türevlerini tanımı kullanarak hesaplayalım ve buny

lar yardımıyla da daha karma¸sık fonksiyonlar için türev alma kurallarını elde etmeye çalı¸salım. ˙Ilk örne˘ gimiz sabit fonksiyon olsun: c sabit bir

c

0

x

sayı olmak üzere f : → , f (x) = c sabit fonksiyonunun bir x nokta-

sındaki türevi için ne diyebiliriz? Hocam, tanımı kullanırsak f (x) = lim

f (x + h) − f (x)

h→0

h

= lim

h→0

c−c h

=0

de˘ gerini elde etmez miyiz?

Evet, do˘ gru. Türevin de˘ gi¸sim hızını ifade etti˘ gini söylemi¸stik. x de˘ gi¸skeninde bir de˘ gi¸sim oldu˘ gunda sabit fonksiyonun de˘ gerinde herhangi bir de˘ gi¸sme olmadı˘ gından sabit fonksiyonun türevi sıfırdır.

Türev Kuralları

169

Bu biraz kolay oldu. Sınavlarda da bu kadar kolay sorular sorsanız ke¸ske.

Sabit fonksiyonun her noktada türevi sıfırdır.

Hiç umutlanma Gökçe. Sınav soruları hiç de böyle ¸sirin olmuyor.

Merak etme Gökçe, tanım ve kuralları iyi kavradıktan sonra

y

tüm sorular bu kadar ¸sirin görünecek. Biz i¸simize devam edelim. S ¸ imdi de f : → , f (x) = x kuralı ile verilen birim fonksiyonu-

y=x

nun türevini hesaplayalım. Engin ne dersin?

0

x

Hocam, Zeynep’in yaptıklarına benzer bir limit hesabı yapabiliriz sanırım:

f (x) = =

lim

h→0

lim

S ¸ ekil 7.6: f (x) = x fonksiyonu.

f (x + h) − f (x)

h (x + h) − x h

h→0

= lim

h→0

h h

= 1.

Bu bize birim fonksiyonun her noktada türevlenebildi˘ gini ve türevin de˘ gerinin 1 oldu˘ gunu söylüyor.

Hocam, x 2 ve x 3 gibi fonksiyonlar için de bu i¸si tekrar mı edece˘ giz? Bunun kısa bir yolu yok mu?

Gökçe do˘ gru söylüyor arkada¸slar. Bu ¸sekilde devam edersek her yeni fonksiyon için tanımı kullanmak zorunda kalırız. Ama biz x 2 ve x 3 fonksiyonları için yine de tanımı kullanalım ve bir kural var mı görelim. f (x) = x 2 fonksiyonu için türev f (x) =

lim

h→0

(x + h)2 − x 2

h x + 2hx + h2 − x 2 2

= =

lim

h→0

lim

h→0

h h(2x + h) h

f

: → , f (x) = x

birim fonksiyonunun türevi f (x) = 1’dir.

= lim (2x + h) = 2x h→0

olarak elde edilir. f (x) = x 3 fonksiyonun türevi de benzer ¸sekilde he-

170

7 Türev ve Uygulamaları saplanabilir: f (x) = = =

(x + h)3 − x 3

lim

h (x 3 + 3x 2 h + 3xh2 + h3 ) − x 3

h→0

lim

h h(3x + 3xh + h2 )

h→0

2

= =

lim

h lim (3x + 3xh + h2 )

h→0

2

h→0 2

= 3x . Buradan genel bir kural gören var mı?

Sanki x de˘ gi¸skeninin kuvveti çarpan olarak a¸sa˘ gıya iniyor gibi. Kuvvet de bir azalıyor öyle de˘ gil mi? O zaman ¸su tahminde

f (x) = x n , n ∈ , kuvvet

bulunabiliriz: f : → , f (x) = x n ile verilen fonksiyonun

fonksiyonunun türevi

f (x) = nx

n−1

türevi f (x) = nx n−1 ’dir. Birazdan bahsedece˘ gimiz türev kurallarını kullanarak bu tahminimizi do˘ grulayabiliriz.

dir.

S ¸ u ana kadar bahsetti˘ giniz tüm fonksiyonların türevlenebilir oldu˘ gunu gördük. Türevi olmayan fonksiyonlar da olacak mı? Hani tanımda “bu limit varsa” demi¸stiniz ya, o yüzden merak x > 0 ve r ∈ olmak üzere f (x) = x r kuvvet fonksiyo-

ettim.

nunun türevi

f (x) = r x dir.

Tam da böyle bir fonksiyon örne˘ gi verecektim Selçuk. Tüm r−1

gerçel sayılar üzerinde tanımlı olan mutlak de˘ ger fonksiyonunun x = 0 noktasında türevine bakalım. Tanımı kullanırsak lim

h→0

|0 + h| − |0| h

= lim

h→0

|h| h

ifadesini elde ederiz. S ¸ imdi h > 0 seçelim. O zaman |h| = h olur ve limitimiz

h

=1 h elde edilir. Aksine h < 0 seçersek, o zaman |h| = −h olur ve limit de˘ gelim

h→0

rimiz

−h

= −1 h olarak bulunur. Bu limitler birbirlerinden farklı oldukları için mutlak lim

h→0

de˘ ger fonksiyonunun x = 0 noktasında türevinin olmadı˘ gını söyleriz.

Türev Kuralları

171

Arkada¸slar, ¸su ana kadar ele aldı˘ gımız fonksiyonların hepsi

y y = |x|

de sürekli fonksiyonlardı. Bu tür fonksiyonlar grafiklerini kalemimizi ka˘ gıttan hiç kaldırmadan çizebildi˘ gimiz, di˘ ger bir deyi¸sle grafiklerinde herhangi bir kopma ya da sıçrama olmayan fonksiyonlardır. 0

Dikkat ederseniz mutlak de˘ ger fonksiyonunun grafi˘ ginde hiçbir kopma yoktur. Bu fonksiyon x = 0 noktasında süreklidir. Oysa ki bu fonksiyonun x = 0 noktasında türevinin olmadı˘ gını gördük. Fonksiyonun grafi˘ine dikkat ederseniz x = 0 noktasında bir kö¸se yaptı˘ g gını görürsünüz. ˙I¸ste genel olarak fonksiyonların bu tür kö¸se noktalarında türevleri olma-

f (x) =

x

x

,

−x

,

x ≥0

x <0

yacaktır. O halde her sürekli fonksiyonun türevlenebildi˘ gi yanılgısına dü¸smeyin.

f ve g fonksiyonları türevlenebilen fonksiyonlar olmak üzere, bu fonksiyonların toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün türevlerini f ve g’nin türevleri yardımıyla nasıl hesaplayaca˘ gımızı görelim. f ve g fonksiyonları bir x noktasında türevlenebilsinler. Bu durumda bu iki fonksiyonun toplamının x noktasındaki türevi, türevlerinin toplamına e¸sit olur: ( f + g) (x) = f (x) + g (x) 3

Toplamın türevi, türevlerin toplamına e¸sittir.

2

Bu kuralı kullanarak f (x) = x + x fonksiyonun türevini kim söyleyebilir? Hocam, anla¸sılan burada x 3 ve x 2 terimlerini iki farklı fonksiyon gibi dü¸sünece˘ giz. Bu fonksiyonların türevlerini biraz önce hesaplamı¸stık. O halde f (x) = (x 3 ) + (x 2) = 3x 2 + 2x olmalıdır. Çok güzel Gökçe. Bu arada bu kural sadece iki fonksiyonun de˘ gil, sonlu tane fonksiyonun toplamına da hiçbir de˘ gi¸siklik yapmadan geni¸sletilebilir.

S ¸ imdi de çarpım kuralını verelim. Sen söylemeden ben söyleyeyim Selçuk; tesadüfler dı¸sında çarpımların türevi ne yazık ki türevlerin çarpımı olmuyor. f ve g fonksiyonları x noktasında türevlenebilir ise bu kural ( f · g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) e¸sitli˘ gi ile verilir.

Çarpımın türevi, türevlerin çarpımına e¸sit de˘ gildir! “tesadüfler dı¸sında!”

172

7 Türev ve Uygulamaları c bir sabit olmak üzere c f (x) çarpım fonksiyonunun türevi ne olabilir? Hocam, sabit fonksiyonun türevinin sıfır oldu˘ gunu biliyoruz. Biraz önceki çarpım kuralından

Bir fonksiyonun sabit sayıyla çarpımının türevi, türevinin aynı sabitle çarpımına e¸sittir.

(c f ) (x) = c f (x) + c f (x) = 0 · f (x) + c f (x) = c f (x) elde ederiz.

Benim aklıma bir örnek geldi hocam. ˙Iki sabit fonksiyon için çarpım kuralını uygulasak?

Neden olmasın? Sabitlerin çarpımı da bir sabit olaca˘ gına göre türevi sıfır olur. Sabitlerin türevi sıfır oldu˘ guna göre, bu türevlerin çarpımı da sıfır olur ki bu da çarpımın türevinin, türevlerin çarpımına e¸sit olaca˘ gı “tesadüfi” bir durumdur. Bir de ¸su fonksiyonun türevini hesaplayalım: h(x) = (2x − 1)(x 2 − 6x). Burada f (x) = 2x − 1 ve g(x) = x 2 − 6x alabilirim.

h(x) = f (x) g(x) biçiminde olur ve çarpım kuralını hemen uygulayabilirim: h (x) = (2x − 1) (x 2 − 6x) + (2x − 1)(x 2 − 6x) = 2(x 2 − 6x) + (2x − 1)(2x − 6)

= 2x 2 − 12x + 4x 2 − 14x + 6

= 6x 2 − 26x + 6

Bu kuralı sevdim. ˙I¸sleri baya˘ gı kolayla¸stırıyor gibi.

˙I¸sleri kolayla¸stırmaya devam edelim öyleyse. S ¸ imdi de bölüm fonksiyonu için bir kural verelim. Yine f ve g fonksiyonları x noktasında türevlenebilir olsunlar ve tabii ki bölümden bahsedebilmek için g(x) = 0 olsun. O zaman f g kuralı geçerlidir.

(x) =

f (x)g(x) − f (x)g (x) 2 g(x)

Türev Kuralları

173

Bu kuralda f (x) = 1 alırsak ne elde ederiz?

1 sabit fonksiyonunun türevi sıfır olaca˘ gına göre, paydaki ilk terim sıfır, ikinci terim ise sadece g (x) olacak. O halde (1) g(x) − 1 · g (x) 2 g(x) 0 · g(x) − g (x) = 2 g(x) g (x) = − 2 g(x)

(1/g) (x) =

e¸sitli˘ gini elde ederiz. Öyle de˘ gil mi?

Evet Zeynep. Peki f (x) = 1 ve g(x) = x alırsak?

1/x fonksiyonunun türevini hesaplamamızı istiyorsunuz. Yukarıda elde etti˘ gimiz sonucu kulanırsak: 1 x

=−

(x) x2

=−

1 x2

buluruz.

Bir soru da ben sorayım: f (x) = nedir?

2x x2

+1

fonksiyonunun türevi

Bunu da ben deneyeyim. Bölüm kuralını aynen uygulayaca˘ım: g

2x

x2 + 1

=

(2x)(x 2 + 1) − 2x(x 2 + 1) (x 2 + 1)2 2(x + 1) − 2x(2x) 2

=

(x 2 + 1)2 2x + 2 − 4x 2 2

= = Do˘ gru mu hocam?

(x 2 + 1)2 2 − 2x 2

(1 + x 2 )2

174

7 Türev ve Uygulamaları Evet Gökçe. Gördün mü? Tanımları ve kuralları iyi kavrayınca i¸sler kolayla¸sıyor.

S ¸ imdi bu kuralları kullanabilece˘ gimiz iktisadi bir örnek yapaR

R(x) = 200x − x

lım: x satılan mal miktarını ve p fiyatını göstermek üzere, bu

2

malın miktarı ve fiyatı arasındaki ili¸ski p = 200 − x ¸seklinde veriliyor.

Buna göre bu malın aylık gelir fonksiyonu

R(x) = x · p = x(200 − x) = 200x − x 2 ¸seklinde ifade ediliyor. Satılan mal miktarı x = 50 birimden x = 51 0

100

200

x

birime çıktı˘ gında gelirdeki de˘ gi¸sim ne kadar olur? Bu soru türevle alakalı görünmüyor hocam. x = 51’deki gelir ile x = 50’deki geliri hesaplayıp farkını alırsak gelirin ne kadar de˘ gi¸sti˘ gini buluruz. O halde R(51) − R(50) = (200 × 51 − 512) − (200 × 50 − 502) = 99 TL olur. Evet Zeynep, i¸slem sonucun do˘ gru. S ¸ imdi de türevle olan ili¸skisini görelim. Türevin anlık de˘ gi¸simi verdi˘ gini biliyoruz. O halde gelir fonksiyonumuzun x = 50 için türevini hesaplarsak R (x) = 200 − 2x

olmak üzere R (50) = 100

elde ederiz. Bu de˘ ger Zeynep’in elde etti˘ gi de˘ gere oldukça yakındır ve yukarıda elde edilen de˘ ger yerine kullanılabilir. ˙Iktisadi uygulamalarda gelir fonksiyonunun türevine marjinal gelir fonksiyonu denir ve satılan mal miktarındaki bir birimlik artı¸s için gelir fonksiyonundaki artı¸sı (belki de azalı¸sı) ifade eder. Gelirdeki de˘ gi¸simi hesaplamak için gelir fonksiyonunun türevinden yararlanırız.

S ¸ imdi bile¸ske fonksiyonlar için zincir kuralı olarak da bilinen kuralı konu¸salım. f ve g türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere f ◦ g bile¸ske fonksiyonunun bir x noktasındaki türevi ( f ◦ g) (x) = f (g(x)) · g (x) ¸seklinde bulunur. Bu e¸sitli˘ gi kullanaca˘ gımız bir örnek ele alalım ¸simdi. h(x) = (1 + 3x)3 fonksiyonunun türevini hesaplayalım. Bu fonksiyonu

Türev Kuralları

175

f (x) = x 3 ve g(x) = 1 + 3x fonksiyonlarının f ◦ g bile¸skesi olarak

alabiliriz. f (x) = 3x 2 ve g (x) = 3 oldu˘ gundan

h (x) = ( f ◦ g) (x) = f (g(x)) · g (x) = 3(1 + 3x)2 · 3 = 9(1 + 3x)2, buluruz.

˘ Denklemi Teget T1

S ¸ imdi de türevi, önemli bir geometrik problemin çözümünde kullanalım. Bu problem bir e˘ griye bir noktasında te˘ get olan do˘ grunun denklemini elde etme problemidir. Ama önce te˘ get deyince

T2

ne anladı˘ gınızı bana söyler misiniz?

Hocam, lisede biz çemberin te˘ geti diye bir¸sey ö˘ grenmi¸stik.

Bir e˘ griyi bir tek noktada kesen, yani de˘ gip geçen do˘ gru de˘ gil miydi? Aslında, çember ya da elips için bu tanım uygun görülebilir. Ama keyfi bir f (x) fonksiyonunun grafi˘ gi olan bir e˘ gri için bu tanım yeterli de˘ gildir. En basitinden y = x 2 e˘ grisini tek noktada kesen do˘ grulardan birisi y eksenidir. Ama bu do˘ gru te˘ get do˘ grusu olarak alınamaz.

O halde hangi do˘ grunun te˘ get do˘ grusu olaca˘ gını matematiksel olarak tanımlayalım. Bunun için y = f (x) fonksiyonun grafi˘ gi üzerinde sabit bir P = (x 0 , f (x 0 )) noktası ile de˘ gi¸sen bir

Q

f (x)

Q = (x, f (x)) noktası alalım. Bu iki noktadan geçen do˘ grunun e˘ gimi m PQ =

f (x) − f (x 0) x − x0

olur. S ¸ imdi Q noktasını P noktasına yakla¸stıralım. Bu yakla¸sımın her adımında yeni bir kesen do˘ grusu elde ederiz. Q noktasının P noktasına yakla¸sması x noktasının x 0 noktasına yakla¸sması anlamına gelir. x → x 0

iken m PQ e˘ gimleri bir m sayısına yakla¸ssın. Bu durumda P noktasından geçen ve e˘ gimi m olan do˘ gruya y = f (x) e˘ grisinin P noktasındaki te˘ get do˘ grusu denir.

f (x 0 )

P

0 x0

x

S ¸ ekil 7.7: Kesenler ile te˘ get do˘ grusuna yakla¸sma.

176


Hocam, türevi nerede kullandık?

Engin, kesenlerin e˘ gimlerinin limitinden bahsettik. Bunu açıkça yazarsak m = lim m PQ = lim x→x 0

y

x→x 0

f (x) − f (x 0 ) x − x0

ifadesini elde ederiz ki bu da f (x) fonksiyonunun x = x 0 noktasındaki türevinden ba¸ska bir¸sey de˘ gildir. Fonksiyonlar ünitemizde e˘ gimi m olan (x 0 , y0 )

ve bir (x 0 , y0 ) noktasından geçen do˘ gru denkleminin y − y0 = m(x − x 0 )

y = m(x − x 0 ) + y0 x

oldu˘ gunu görmü¸stük. E˘ gimi türev ile ifade etti˘ gimize göre y = f (x) get do˘ grusufonksiyonunun grafi˘ gine (x 0 , f (x 0 )) noktasında çizilen te˘

S ¸ ekil 7.8: (x 0 , y0 ) noktasından

nun denklemi de

geçen ve e˘ gimi m olan do˘ grunun

y − f (x 0 ) = f (x 0 )(x − x 0 )

denklemi y = m(x − x 0 ) + y0 ile verilir.

e¸sitli˘ gi ile verilir.

Gelin ¸simdi f (x) =

1 2 x 2

+ x parabolüne x = 1 noktasında

te˘ get olan do˘ gru denklemini yazalım. Hocam, bize te˘ get do˘ grusunun e˘ gimi lazım. Yani, f (x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevini hesaplamalıyız. f (x) = x + 1 oldu˘ guna göre e˘ gimi m = f (1) = 1 + 1 = 2 y

olarak bulurum. Fonksiyonun x = 1 noktasındaki de˘ geri ise y = 2x − 1/2

1, 32

f (1) = (1,

3 ) 2

1 (1)2 2

+1 =

3 ’dir. 2

noktasından geçen te˘ get do˘ gru denklemimiz y−

x

O halde e˘ gimi m = 2 olan ve

3 2

= 2(x − 1)

olup, bu e¸sitli˘ gi düzenlersek y = 2x − do˘ gru denklemini elde ederiz.

S ¸ ekil 7.9: f (x) = 12 x 2 + x parabo-

lünün grafi˘ gine (1, 32 ) noktasında çizilen te˘ get do˘ grusu.

1 2

Türev Kuralları

177

Arkada¸slar, biz ¸su ana kadar verilen bir f (x) fonksiyonunun sadece bir kez türevini aldık ve bu türevi f (x) ile gösterdik. Bu türeve birinci mertebeden türev denir. Do˘ gal olarak ¸su soruyu sorabiliriz: f (x) fonksiyonunun türevinden bahsedebilir miyiz?

Hocam hiç bahsetmesek? ˙I¸sleri iyice karı¸stırmasak?

Çok ¸sakacısın Selçuk! Hatırlarsanız hızı, konum fonksiyonunun zamana göre de˘ gi¸simi, yani birinci türevi olarak tanımlamı¸stık. Benzer bir yakla¸sımla hızın zamana göre de˘ gi¸simini de hesaplayabiliriz. Elde edilen niceli˘ ge ivme denir ve bu nicelik konum fonksiyonunun zamana göre ikinci mertebeden türevinden ba¸ska bir¸sey de˘ gildir:

ivme =

d v(t) dt

.

Gökcisimlerinin arasındaki ili¸skileri incelerken Newton, belli bir kütleye sahip, bir kuvvetin etkisinde hareket eden bir cisim için ikinci hareket yasası adı verilen “kuvvet = kütle × ivme” ili¸skisini ifade etmi¸stir. Bu ili¸skide yer alan ivme kavramı konumun ikinci türevinden ba¸ska bir¸sey

de˘ gildir. Newton bu yasayı matematiksel olarak ifade edebilmek için türev kavramını icat etmek zorunda kalmı¸stır. Bugün birçok bilim alanındaki problemlerin matematiksel modellerinde ikinci, hatta daha yüksek mertebeden türevler kullanılmaktadır.

˙Ilk defa ˙Italyan Fizikçisi Galileo tarafından açık bir ¸sekilde tarif edildi˘ gi bilinen ivme, belirli bir yönde hareket etmekte olan bir cismin hızının belirli bir zaman aralı˘ gındaki de˘ gi¸sim miktarıdır. Ba¸ska bir deyi¸sle ivme, bir cismin hızının de˘ gi¸sim hızıdır.

E˘ ger f (x) türev fonksiyonunun bir x 0 noktasında türevi varsa, bu türeve f (x) fonksiyonunun x 0 noktasındac ikinci mertebeden türevi denir ve f (x 0 ) ya da d 2 f (x 0 )/d x 2 biçiminde gösterilir. Eliniz alı¸ssın diye ¸su fonksiyonların ikinci mertebeden türevlerini hesaplar mısınız? f (x) = x 2 + 3x + 4 ve g(x) = 1/x.

Hocam f (x) fonksiyonu kolay görünüyor. Onu ben yapayım: f (x) = 2x + 3 oluyor.

ve

f (x) = 2

178

7 Türev ve Uygulamaları ˙Ikincisi de benim olsun. Bu fonksiyonun birinci türevini hegunu söylemi¸stik. O halde bölüsaplamı¸stık ve −1/x 2 oldu˘ mün türevi kuralını tekrar kullanırsak g (x) = −

(1) x 2 − 1(x 2) (x 2)2

=−

−2x x4

=

2 x3

olarak buluruz.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar S ¸ imdi de bir fonksiyonun türevi ile fonksiyonun artan veya

y

azalan olması arasındaki ili¸ski üzerinde duralım. Bir f (x)

y = f (x)

fonksiyonunun tanım kümesinden alınan keyfi x 1 , x 2 noktaları için f (x 2 )

x 1 < x 2 iken f (x 1 ) < f (x 2 ) oluyorsa f (x) fonksiyonuna artan fonksiyon; e˘ ger, x 1 < x 2 iken f (x 1 ) > f (x 2 ) ise bu durumda da f (x) fonk-

f (x 1 )

siyonuna azalan fonksiyon diyece˘ giz. x1

x2

x

S ¸ ekil 7.10: y = f (x) fonksiyonu

Türevlenebilen bir f (x) fonksiyonunun artan ya da azalan olması ile türevin i¸sareti arasında önemli bir ili¸ski vardır. Bu ili¸skiyi ¸su ¸sekilde ifade edebiliriz: f : [a, b] → fonksiyonu sürekli ve (a, b) aralı˘ gında türev-

artan fonksiyondur.

lenebilir olsun. (a, b) aralı˘ gından alınan her x noktası için f (x) > 0 ise f (x) fonksiyonu [a, b] aralı˘ gında artan, benzer olarak (a, b) aralı˘ gın-

y

gında azalandaki her x için f (x) < 0 ise f (x) fonksiyonu [a, b] aralı˘

y = f (x)

dır. Bu özellik yardımıyla bir fonksiyonun artan ya da azalan oldukları aralıkları ço˘ gu kez rahatlıkla tespit edebiliriz.

f (x 1 ) f (x 2 ) x1

x2

S ¸ imdi de daha önce inceledi˘ gimiz R : [0, 200] → ,

x

S ¸ ekil 7.11: y = f (x) fonksiyonu

R(x) = 200x − x 2 gelir fonksiyonunun artan ve azalan ol-

du˘ gu aralıkları bulalım.

azalan fonksiyondur.

R (x) = 200 − 2x oldu˘ gundan x = 100 için R (100) = 0’dır. 0 < x < 100 için R (x) > 0 ve 100 < x < 200 için R (x) < 0 olur. Burada R(x) fonksiyonunun [0, 100] aralı˘ gında artan, [100, 200] aralı˘ gında ise azalan oldu˘ gunu söyleyebiliriz.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

179

Bu bilgileri yandaki tablo ¸seklinde de ifade edebiliriz. O halde gelirimiz satılan mal miktarı [0, 100] aralı˘ gında iken artmakta, [100, 200] aralı˘ında iken azalmaktadır. Demek ki satı¸s miktarı 100 birim oldu˘ g gunda

100

x 0

+

R

en çok gelir elde edilir.

0

200

−

R

Biraz da yerel minimum ve maksimum noktalarından bahsedelim. Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir x 0 noktasının civarında yer alan her x için f (x) ≤ f (x 0 ) oluyor ise bu noktaya fonksiyonumuzun yerel maksimum noktası ve fonksiyonun bu noktada aldı˘ gı

de˘ ger olan f (x 0 ) sayısına da yerel maksimum de˘ geri diyece˘ giz. Aksine, x 0 civarında f (x) ≥ f (x 0 ) oluyor ise x 0 noktasına yerel minimum nok-

tası ve fonksiyonun bu noktada aldı˘ gı de˘ ger olan f (x 0 ) sayısına da yerel

y

minimum de˘ geri diyece˘ giz. Yerel minimum ve yerel maksimum noktalarına bir fonksiyonun ekstremum noktaları denir ve ¸su önemli özellik sa˘ glanır: f : [a, b] → fonksiyonu sürekli ve (a, b) aralı˘ gında türevlenebilir bir

fonksiyon ve x 0 ∈ (a, b) bir ekstremum nokta ise o zaman f (x 0 ) = 0

x0

x

x1

dır. Bu nedenle bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları aranırken fonksiyonunun türevinin sıfır oldu˘ gu noktalara bakılır.

S ¸ unu da belirtelim ki fonksiyonun grafi˘ gine ekstremum noktalarda çi-

S ¸ ekil 7.12: x 0 noktası f (x) fonksiyonunun yerel maksimum noktası, x 1 noktası f (x) fonksiyonu-

zilecek te˘ get do˘ gruları x-eksenine paralel olur ve bu te˘ get do˘ grularına

nun yerel minimum noktasıdır. Bu

fonksiyonun yatay te˘ getleri deriz.

noktalarda fonksiyonun grafi˘ gine yatay te˘ getler çizilebilir.

Ama ¸su hataya dü¸smeyin arkada¸slar; bir fonksiyonun türevinin bir x 0 noktasında sıfır olması o noktayı ekstremum noktası yapmaz. Buna en güzel örnek her yerde artan oldu˘ gunu bildi˘ gimiz f (x) = x 3 fonksiyonudur. x 0 = 0 noktasında fonksiyonunun türevi sı-

y

fırdır. Ancak, f (0) = 0, x < 0 iken f (x) < 0 ve x > 0 iken f (x) > 0

y = x3

oldu˘ gundan bu nokta bir ekstremum noktası olamaz.

Bir ba¸ska ilginç örnek ise

f (x) = |x| fonksiyonudur.

x

gını bilix 0 = 0 noktasında bu fonksiyonun türevinin olmadı˘ yoruz. Ancak [−2, 2] aralı˘ gında |x| en küçük de˘ gerini x 0 = 0 noktasında

alır ve bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Demek ki ekstremum noktası türevin var olmadı˘ gı bir nokta da olabilir. S ¸ ekil 7.13: f (x) = x 3 fonksiyonunun grafi˘ gi.

S ¸ imdi de bir f (x) fonksiyonunun ikinci mertebeden türevinin i¸sareti ile fonksiyonun grafi˘ gi arasındaki ili¸skiden bahsedelim. Öncelikle ikinci mertebeden türevi mevcut ve sürekli olan bir

180

7 Türev ve Uygulamaları f (x) fonksiyonu alalım. Peki, fonksiyonun türevlenebildi˘ gi bir aralıkta f (x) > 0 ise f (x) türevinin davranı¸sı hakkında ne derdiniz? Fonksiyonun türevi pozitif oldu˘ gunda, fonksiyonun artan ol˙ du˘ gunu söylemi¸stik. Ikinci türev pozitif ise, o zaman da bi-

y f (x) > 0

rinci türevin artan oldu˘ gunu söyleyebiliriz sanırım.

f (x) > 0

Evet Engin, f (x) = ( f ) (x) oldu˘ gundan f (x) > 0 ise f (x) fonksiyonunun artan oldu˘ gunu söyleriz. Bu ise f (x) fonksi-

x

yonun grafi˘ gine çizilecek te˘ get do˘ grularının e˘ gimlerinin giderek arttı˘ gı S ¸ ekil 7.14: y = f (x) fonksiyonun

anlamına gelir. E˘ ger, birinci mertebeden türevin pozitif oldu˘ gu bir ara-

artı¸sı hızlanmaktadır.

lıkta ikinci mertebeden türev pozitif ise, o zaman fonksiyonun artmasının giderek hızlandı˘ gını söyleriz. Bu da fonksiyonun grafi˘ ginin yukarıya do˘ gru kıvrıldı˘ gı anlamına gelir.

y

Bir fonksiyonun artı¸sı hızlandı˘ gı gibi, yava¸slayabilir de. Birinci mertebeden türevin pozitif oldu˘ gu bir aralıkta ikinci f (x) > 0

mertebeden türev negatif ise bunu fonksiyonun artı¸sının giderek azal-

f (x) < 0

dı˘ gı ¸seklinde ifade edebiliriz. Bu ise fonksiyonun a¸sa˘ gı do˘ gru kıvrıldı˘ gı anlamına gelir. x

Hocam, paydos zili çalmak üzere ve kafamız artık pek bir¸sey S ¸ ekil 7.15: y = f (x) fonksiyonun

almıyor. Ben bir fonksiyonun artı¸sının yava¸slaması ne demek

artı¸sı azalmaktadır.

anlamadım. Bu son söylediklerinizi bir örnek üzerinde görsek olmaz mı? Tabii ki Gökçe. f : [0, ∞) → , f (x) = 2x 3 − 6x 2 + 6x kuralı

ile verilen f (x) fonksiyonun davranı¸sını inceleyelim. Bunun

için fonksiyonun birinci ve ikinci mertebeden türevlerini hesaplamamız lazım. Önce birinci mertebeden türevi hesaplayalım hocam: f (x) = 6x 2 − 12x + 6 = 6(x − 1)2 . gu görülür. x = 1 noktası Buradan x = 1 için f (x) = 0 oldu˘ dı¸sında f (x) her yerde pozitiftir. Fonksiyonun ikinci mertebeden türevi ise f (x) = 12(x − 1) dir. ˙Ikinci mertebeden türevin i¸sareti 0 ≤ x < 1 aralı˘ gında negatif, (1, ∞) aralı˘ gında ise pozitiftir.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

181

O halde [0, 1) aralı˘ gında birinci mertebeden türev pozitif,

y

ama ikinci mertebeden türev negatiftir. Dolayısıyla bu aralıkta f (x) fonksiyonunun artı¸sının yava¸sladı˘ gını söyleyebiliriz. f (x) = 2x 3 − 6x 2 + 6x

Anladım. Bu durumda (1, ∞) aralı˘ gındaki durumu da de˘ gerlendirebiliriz. Bu aralıkta hem birinci hem de ikinci mertebe-

0

x

1

den türevler pozitif oldu˘ gundan fonksiyonun artmasının gi-

S ¸ ekil 7.16: f (x) fonksiyonunun

derek hızlandı˘ gı sonucunu elde ederiz.

0 < x < 1 için artı¸sı yava¸slarken x > 1 için artı¸sı hızlanmaktadır.

Evet arkada¸slar, hepinizin aklına sa˘ glık. Ke¸ske zamanımız daha uzun olsaydı da türevi daha da derinlemesine ele alabilseydik. Bu kısa süre içerisinde türevin ne oldu˘ guna ve nasıl kullanıldı˘ına dair temel bilgileri vermeye çalı¸stık. Bir sonraki derste görü¸smek g üzere.

Logaritmanın türevi: f (x) = ln x = loge x için f (x) =

1 x

Özet

Üstel fonksiyonun türevi:

Bu bölümde matemati˘ gin en önemli kavramlarından biri olan türev ile

f (x) = e x için f (x) = e x f (x) = e kx için f (x) = ke kx

tanı¸stık. Öncelikle ortalama hız ve ortalama hızın limiti olarak anlık hız kavramlarını ele alıp, bunlardan hareketle türev kavramını bir fonksiyonun bir noktadaki de˘ gi¸sim hızı olarak tanımladık. Türevin geometrik anlamını tartı¸stık ve fonksiyonların türevlerine dair temel kuralları ifade ettik. Türev yardımıyla bir fonksiyonun artanlı˘ gını, azalanlı˘ gını karakterize ettik ve bu kavramlar yardımıyla yerel ekstremum noktaları tanımladık.

182


Okuma Parçası

Bilimin Öncüleri Newton (1642-1727) Cemal YILDIRIM (...) Aristoteles geleneğinde, göksel nesnelerin çembersel devinimleri açıklama gerektirmeyen “doğal” bir olaydı. Dünyanın diğer gezegenlerle birlikte Güneş çevresinde döndüğünü ileri süren Copernicus bile, çembersel devinim öğretisine karşı çıkmadığı gibi bu devinimi açıklama arayışı içine de girmemiştir. Galileo ile Newton mekaniğinde ise yalnızca aynı doğrultuda tekdüze devinim doğaldır; devinimin yön ya da hız değiştirmesi, ancak bir dış kuvvetin etkisiyle olasıdır. Kepler, gezegenlerin Güneş çevresindeki devinimlerini Güneş’ten kaynaklanan manyetik türden bir kuvvete bağlamış, yer çekimi kavramına ipucu hazırlamıştı. Newton’un “gravitasyon” dediği kuvvet, gezegenlerin eliptik yörüngeleriyle yer küredeki serbest düşmeyi açıklayan evrensel bir güçtür. Buna göre, evrende var olan herhangi iki nesne birbirini kütlelerinin çarpımıyla doğru, aralarındaki mesafenin karesiyle ters orantılı olarak çeker. İlişkinin matematiksel ifadesi: ݉ଵ ݉ଶ ‫ ܨ‬ൌ ‫ܩ‬ ݀ଶ (Denklemde ‫ ܩ‬yer çekimi sabitini, ݉ kütleyi ݀ mesafeyi simgelemektedir)., Newton’un gençliğinde ulaştığı ama yayımlamaktan kaçındığı bu sonuç, bir hipotez olarak başkalarınca da tartışılmaktaydı. Nitekim, Kraliyet Bilim Akademisi’nin üç üyesi (Robert Hooke, Edmund Halley ve Christopher Wren) eliptik yörüngelerin yer çekimiyle açıklanabileceği savındaydılar; ancak bu savı kendi aralarında kanıtlayamamaktaydılar. 1684’te Halley, sorunu Newton’a iletir. Yer çekimi hipotezini yıllarca önce oluşturan Newton, bu arada, hipotezin matematiksel yoldan kanıtlanmasını da gerçekleştirmişti. Böylesine önemli bir çalışmanın yayımlanmadan kalmasını doğru bulmayan Halley, tüm basım masraflarını yüklenerek Newton’u daha fazla zaman yitirmeden kitabını (Principia’yı) yazmaya ikna eder. Bilim dünyası hayranlıkla karşıladığı bu ölmez yapıtta, ilk kez, mekaniğin diğer yasalarıyla birlikte yer çekimi kuramının, tüm kanıt ve içeriğiyle, matematiksel olarak işlendiğini bulur. Kitapta, ayrıca, sıvı deviniminden Güneş ve gezegenlerin kütlelerinin hesaplanmasına, Ay’ın devinimindeki düzensizliklerden denizlerdeki gelgit olaylarına değin pek çok sorunsal konuya açıklık getirmiştir... Kaynak: Bilim ve Teknik Dergisi, Şubat, 1993.


183

˘ Çıkarın Kagıtları 1.

f (t) = 5t 2 kuralı ile hareket eden bir cis-

min [1, 3] aralı˘ gındaki ortalama hızı nedir? 2.

f (x) = x 2 − 6x − 4 fonksiyonun grafi˘ gine

(2, −12) noktasında çizilecek te˘ get do˘ grusu-

nun denklemini bulunuz.

6.

f (x) = x 2 − 4 fonksiyonunun x = 3 nok-

tasındaki ikinci mertebeden türevi nedir? A) 2 B) 4 C) 6

A) y = 2x − 4

D) 8

B) y = x − 4

E) 10

C) y = −2x − 8

7.

D) y = −x − 8

lan oldu˘ gu aralı˘ gı bulunuz.

E) y = −2x 3.

f (x) = −x 2 + 4x + 6 fonksiyonunun aza-

8.

f (x) = (1 − 2x)2 fonksiyonunun x = 2

noktasındaki anlık hızı nedir?

f (x) = 4x − x 2 fonksiyonunun artı¸sının

yava¸sladı˘ gı aralık a¸sa˘ gıdakilerden hangisidir? A) (−∞, 0)

A) 2

B) (−2, 2)

B) 4

C) (2, ∞)

C) 8

D) (−∞, 2)

D) 12

E) R

E) 8 4.

f (x) = x 2 −

9. 1 x

ise f ′ (1) de˘ geri nedir?

f (x) = x 2 − 8x + 15 fonksiyonunun yerel

minimum de˘ geri nedir?

A) −2

A) −1

B) −1

B) 0

C) 3

C) 1

D) 6

D) 2

E) 9

E) 3

5.

f (x) = x 3 − 2x 2 ise f ′ (1) de˘ geri nedir?

A) −3 B) −2 C) −1 D) 1 E) 3

10. Gelir fonksiyonu f : [0, 400] → R,

R(x) = 1200x −3x 2 ile verilen bir maldan kaç adet satılırsa en çok gelir elde edilir?

184


Çözümler 1. Ortalama hızın tanımını kullanırsak vor t =

f (3) − f (1) 3−1

=

= 20

2

tasıdır. x > 2 iken f ′ (x) < 0; x < 2 iken

8.

her zaman negatiftir. Dolayısıyla (−∞, 2) ara-

lı˘ gında birinci mertebeden türev pozitif, ikinci mertebeden türev negatif oldu˘ gundan bu ara-

y + 12 = −2(x − 2)

lıkta fonksiyonun artı¸sı yava¸slar. Cevap D se-

olup, bu denklem düzenlenirse y = −2x − 8 elde edilir. Cevap C seçene˘ gidir.

kar¸sılık

fonksiyonun

türevi

çene˘ gidir. 9. Bu soruda ise yerel minimum de˘ ger sorul-

2 noktasındaki anlık hız, o türeve

f ′ (x) = 4 − 2x olup, birinci mertebeden

türev x < 2 iken pozitif, x > 2 iken negatiftir. ˙Ikinci mertebeden türev f ′′ (x) = −2 olup,

olur. O halde aranan denklem

bile¸ske

nokta

yani (2, ∞) aralı˘ gında azalandır.

m = f (2) = 4 − 6 = −2

noktadaki

oldu˘ gu

f ′ (x) > 0 oldu˘ gundan fonksiyon x > 2 iken,

′

=

sıfır

ginden x = 2 nokf (x) = −2x + 4 = 0 e¸sitli˘

45 − 5

f ′ (x) = 2x − 6 oldu˘ gundan

3. x

türevin

′

olarak elde edilir. 2.

7. Birinci

geldi˘ ginden

maktadır. Bunun için birinci mertebeden türevin sıfır oldu˘ gu noktaları inceleyelim. f ′ (x) = 2x − 8 = 0

kuralından

f ′ (x) = 2(1 − 2x)(−2) = −4(1 − 2x) = 8x − 4

ifadesinden f ′ (2) = 8(2) − 4 = 12 elde edilir.

Cevap D seçene˘ gidir.

e¸sitli˘ ginden x = 4 noktasının bir kök oldu˘ gu görülür. x > 4 iken türev fonksiyonu pozitif, x < 4 iken negatif oldu˘ gundan bu nokta bir

4. Kuvvet fonksiyonu ve bölümün türevi ku-

yerel minimum noktasıdır. Yerel minimum de˘eri ise bu noktayı fonksiyonda yerine koyarak g

ralından ′

f (x) = 2x − −

1 x2

= 2x +

1 x2

bulunur. Buradan f ′ (1) = 2 · 1 + 1/(12 ) =

elde edece˘ gimiz f (4) = 42 − 8 · 4 + 15 = 16 − 32 + 15 = −1 de˘ geridir. Cevap A ¸sıkkıdır.

2 + 1 = 3 elde edilir. Cevap C seçene˘ gidir.

10. Bu soruda da gelir fonksiyonunun ye5.

′

2

f (x) = 3x − 4x oldu˘ gundan x = 1 de′

2

˘eri için f (1) = 3(1) − 4 · 1 = 3 − 4 = −1 g olur. Cevap C seçene˘ gidir. 6.

f ′ (x) = 2x ve f ′′ (x) = 2 oldu˘ gundan

rel maksimum noktası sorulmaktadır. Yine türevi sıfır yapan noktaları kontrol edelim. R′ (x) = 1200 − 6x oldu˘ guna göre türevi sıfır

yapan de˘ ger x = 200 de˘ geridir. 0 < x < 200 iken R′ (x) > 0 ve

200 < x < 400 iken

ikinci mertebeden türev her x sayısı için 2 de-

R (x) < 0 oldu˘ gundan en çok gelir satılan mal

˘erine sahip olur. Özel olarak x = 3 için de g

miktarı x = 200 olursa elde edilir.

gidir. f ′′ (3) = 2 dir. Do˘ gru cevap A seçene˘

′

e

İntegral ve Uygulamaları Zeynep

8.

Selçuk

Engin

Hocam kilometre saatiniz bozuk olduğu halde kaç kilometre gittiğinizi nasıl bilebiliyorsunuz?

GENEL MATEMATİK

ÜNİTE

ALAN

BELİRSİZ İNTEGRAL

DEĞİŞİM ORANI BELİRLİ İNTEGRAL RIEMANN TOPLAMI

ORTALAMA DEĞER

FONKSİYONUN İLKELİ

8 ˙Integral ve Uygulamaları

186

Alan Problemi b

Arkada¸slar içinizde dikdörtgenin alanını bilmeyen yoktur herhalde! a A = ab

Evet hocam, taban çarpı yükseklik, bazen de en çarpı boy denir. Peki bir üçgenin alanı nasıl hesaplanır?

h

a

A=

a ·h 2

O da kolay, taban çarpı yüksekli˘ gin yarısı. Bir be¸sgenin, ya da bir altıgenin alanını sorsam. Bir be¸sgen be¸s tane üçgenden olu¸sur, üçgenin alanını hesaplayabildi˘ gimiz için bunların alanları toplamı be¸sgenin alanını verir. Altıgenin alanını hesaplamak için de aynı mantık geçerlidir.

Bence bütün çokgenlerin alanını benzer ¸sekilde hesaplayabiliriz. Tanım Düzlemde sonlu sayıda do˘ gru parçasının uç uca eklenmesiyle olu¸sturulan kapalı bölgeye çokgensel bir bölge denir.

Evet, Engin do˘ gru söylüyor. Benzer mantıkla tüm çokgensel bölgelerin alanları da hesaplanabilir. Benim bir ¸sey dikkatimi çekti, bunların hepsinin kenarları düz. Ya kenarları do˘ gru parçalarından olu¸smayan, kıvrımlı bir bölge olsaydı ne yapacaktık?

Mesela daire gibi.

Ben onun alanını da biliyorum. π çarpı yarıçapın karesi.

Alan Problemi

187

Antik ça˘ glardan beri matematikçiler bir takım düzlemsel bölgelerin alanlarını hesaplamak için çok çaba sarf etmi¸slerdir. Ar¸simed dairenin alanını hesaplamak için daireye içeriden ve dı¸sarıdan yakla¸san çokgenler kullanmı¸stır.

Ar¸simed, bilinmeyeni bilinenlerle ku¸satmı¸s.

S ¸ ekil 8.1: Birim daireye içeriden ve dı¸sarıdan çokgenlerle yakla¸sım.

Biz bugünkü dersimizde bir [a, b] kapalı aralı˘ gı üzerinde tanımlı, sürekli ve negatif de˘ gerler almayan bir f (x) fonksi-

y y = f (x)

yonu tarafından belirlenen bir D bölgesinin alanını hesaplamaya çalı¸saca˘ gız. Alanını hesaplamaya çalı¸stı˘ gımız D bölgesi y = f (x) e˘ grisinin altında, [a, b] aralı˘ gının üstünde , x = a do˘ grusunun sa˘ gında ve x = b do˘ grusunun solunda kalan bölgedir.

D a

Bu D bölgesine Ar¸simed’in yöntemini mi uygulayaca˘ gız?

x

b

S ¸ ekil 8.2: y = f (x) fonksiyonunun belirledi˘ gi D bölgesi.

Evet, D bölgesine çok özel tipte çokgenlerle yakla¸saca˘ gız.

y y = x2 1

Kolay anla¸sılması için incelememize [0, 1] aralı˘ gı üzerinde f (x) = x 2 fonksiyonunu alarak ba¸slayalım.

Hocam bence bu bölgenin alanı 1’den küçüktür, çünkü bu

Selçuk do˘ gru söylüyor arkada¸slar. Bir adım daha ileriye gidelim. Öncelikle [0, 1] aralı˘ gını 0, 12 , 1 noktaları yardımıyla 1 1 ga ayıralım. Buradaki 0, 12 , 1 nokta0, 2 , 2 , 1 ¸seklinde iki alt aralı˘ larına [0, 1] aralı˘ gının bir bölüntüsü denir. Sonra ¸sekildeki gibi 0, 12 gı aralı˘ gı üzerinde yüksekli˘ gi f ( 12 ) = 14 olan dikdörtgeni ve 12 , 1 aralı˘

x

1

bölge bir kenarı 1 birim olan karenin içinde kalıyor.

S ¸ ekil 8.3: y = x 2 fonksiyonunun belirledi˘ gi D bölgesi.

y 1

üzerinde yüksekli˘ gi f (1) = 1 olan dikdörtgeni gözönüne alalım. Bu iki dikdörtgenin alanları toplamı 5 1 1 1 · + ·1= 2 4 2 8 olup, D bölgesinin alanı

5 ’den 8

küçüktür.

1 4

1 2

1

x

S ¸ ekil 8.4: D bölgesine iki dikdörtgenle yakla¸sım.


188

y

Hocam ben bu i¸si bir adım daha devam ettirebilirim. Önce gını 0, 13 , 13 , 23 0, 13 , 23 , 1 noktaları yardımıyla [0, 1] aralı˘ ve 23 , 1 alt aralıklarına ayırırız. Sonra ¸sekildeki gibi 0, 13 aralı˘ gı üzerinde yüksekli˘ gi f 13 = 19 olan dikdörtgeni, 1 2 2 4 aralı˘ g ı üzerinde yüksekli˘ g i f = 9 olan dikdörtgeni , 3 3 3 2 gı üzerinde yüksekli˘ gi f (1) = 1 olan dikdörtve 3 , 1 aralı˘

1

4 9

1 9 2 3

1 3

1

x

S ¸ ekil 8.5: D bölgesine üç dikdörtgenle yakla¸sım.

geni göz önüne alırsak, bu üç dikdörtgenin alanları toplamı 1 1 1 4 1 1 14 1 4 · + · + ·1= · + +1 = 3 9 3 9 3 3 9 9 27

y 1

yani yakla¸sık olarak 0, 52’dir.

9 16

Bence bundan sonra [0, 1] aralı˘ gındaki 0, 14 , 12 , 34 , 1 noktala-

rını seçmek uygun olur. Bu noktalar yardımıyla tabanları 14 1 birim uzunlukta ve yükseklikleri de sırasıyla f 14 = 16 , 1 9 ve f (1) = 1 olan dikdörtgenler alıf 2 = 14 , f 34 = 16

1 4 1 16 1 4

1 2

3 4

1

x

S ¸ ekil 8.6: D bölgesine dört dik-

nırsa kar¸sılık gelen alan 1 1 1 1 1 9 1 1 1 4 9 16 15 · + · + · + ·1 = · + + + = 4 16 4 4 4 16 4 4 16 16 16 16 32

dörtgenle yakla¸sım. y 1

dir ve bu da yakla¸sık olarak 0, 47 olur. Böylece gerçek alan de˘ gerine biraz daha yakla¸sılmı¸s olur.

Bu ¸sekilde devam edilirse, her bir adımda gerçek de˘ gere biraz daha yakla¸sılır. 1

x

A¸sa˘ gıdaki tabloda birinci satırdaki n ile alt aralıkların, dolayısıyla dikdörtgenlerin sayısı gösterilmi¸stir. ˙Ikinci satırdaki An

S ¸ ekil 8.7: D bölgesine 10 dikdörtgenle yakla¸sım. y

ise olu¸sturulan n tane dikdörtgenin alanları toplamını temsil etmektedir.

1

Dikdörtgen sayısı sonsuza do˘ gru arttırıldı˘ gında, kar¸sılık gelen alanlar toplamı

1 3

= 0, 3333 . . . sayısına yakla¸smaktadır. Bunun sebebini belirli

integral konusunda açıklayaca˘ gız.

1

x

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

...

20

...

An

1

0,625

0,52

0,47

0,44

0,42

0,41

0,4

0,39

0,38

...

0,358

...

Hocam dikdörtgenleri olu¸stururken niçin sol uçları kullanmadık?

S ¸ ekil 8.8: D bölgesine 20 dikdörtgenle yakla¸sım.

Ba¸ska Problem, Yine Toplamlar Do˘ gru söylüyorsun Selçuk, alt aralıklardaki sol uç noktaları seçerek de, hatta orta noktaları seçerek de aynı i¸slemleri yapabilirdik. Her bir adımda hesaplanan de˘ gerler farklı olurdu ancak bu ¸sekilde hesaplanan de˘ gerler de adım sayısı arttıkça gerçek alan de˘ gerine yakla¸sırdı. Sa˘ g uç noktaları seçmek benim tercihim oldu, ama bu seçim sonucu etkilemiyor.

Baska ¸ Problem, Yine Toplamlar Benim arabayı biliyorsunuz, artık kaç bin kilometrede oldu˘unu bile bilmiyorum, kilometre göstergesi çalı¸smıyor. g

Hocam böyle zor olmuyor mu? Neyse ki hız göstergesi çalı¸sıyor.

Hız göstergesi ba¸ska, kilometre göstergesi ba¸ska! Mesela evden okula kaç kilometre oldu˘ gunu nasıl bileceksiniz? Biraz hesapla idare ediyorum. Tabii ki bu arada kızımdan da birazcık yardım alıyorum.

Hocam nasıl oluyor bu i¸s? ˙Ilk hareketimde saate bakıyorum, bundan sonra düzenli aralıklarla kızım hız göstergesine bakıp ilgili hızı not alıyor.

Hocam gene benim kafamı karı¸stırdınız.

189


190 Hız km/saat

Evle okul arası a¸sa˘ gı yukarı 7 dakika, dakikalara göre aracın

90

hızı km/saat cinsinden ¸su tablodaki gibi:

80 70 60 50 40

zaman

1.dk.

2.dk.

3.dk.

4.dk.

5.dk.

6.dk.

7.dk.

hız

30

70

80

90

80

50

20

30 20

1

2

3

4

5

6

7

Zaman

Ben anladım.

Bakıyorum da, konu hız ve araba olunca çok çabuk anlıyorsun.

Aferin Selçuk, hadi arkada¸slarına da anlat. Tabloda km/saat cinsinden verilen hızları km/dakika’ya çevirirken do˘ gru orantı kullanılır. 1. dakikada 30 km/saat olan hız a¸sa˘ gıdaki

zaman

1. dk.

2.dk.

3.dk.

4.dk.

5.dk.

6.dk.

7.dk.

hız

0,50

1,16

1,33

1,50

1,33

0,83

0,33

¸sekilde km/dakika’ya dönü¸stürülür. 1 saat 60 dakika

Önce km/saat türünden verilmi¸s olan hızları, yukardaki tab-

oldu˘ gu için:

dilimindeki hızı sabit kabul ederek bu zaman diliminde alı-

60 dakikada

30 km gidilirse

1 dakikada

x km gidilir.

lodaki gibi km/dakika’ya çevirelim. S ¸ imdi de her bir zaman nan yolu yakla¸sık olarak hesaplayabiliriz. Buna göre

30 60

= 0, 5 olup Buradan x = 1. dakikada 0, 5 km yol alınmı¸stır. Di˘ gerleri de benzer ¸sekilde hesaplanır.

1. zaman diliminde alınan yol 0, 50 km, 2. zaman diliminde alınan yol 1, 16 km, 3. zaman diliminde alınan yol 1, 33 km, 4. zaman diliminde alınan yol 1, 50 km, 5. zaman diliminde alınan yol 1, 33 km, 6. zaman diliminde alınan yol 0, 83 km, 7. zaman diliminde alınan yol 0, 33 km

Hız

km/dk

olur. Her bir zaman diliminde alınan yollar toplanırsa

1, 5 1, 3 1, 1

0, 5 + 1, 16 + 1, 33 + 1, 5 + 1, 33 + 0, 83 + 0, 33 = 6, 98

0, 8

olur. O halde evden okula mesafe yakla¸sık olarak 7 km olur.

0, 5 0, 3

1

2

3

4

5

6

7 Zaman

Buradaki zaman dilimlerini otuzar saniyeye indirseydik gerçek mesafeye daha da yakla¸sırdık.

Belirli ˙Integral Arkada¸slar burada dikkat ederseniz, belli aralıklar ve her bir aralı˘ ga kar¸sılık gelen bir sayısal de˘ ger var. Sonra da bu sayıları aralık boyu ile çarpıp topluyoruz. Bu size tanıdık geldi mi?

Biraz önceki alan hesabındaki toplama benziyor ama burada fonksiyon yok hocam.

˙Iyi dü¸sünün.

Bence burada olsa olsa hız fonksiyonu olur.

Burada de˘ gi¸skenimiz zamandır ve [0, 7] aralı˘ gında de˘ gi¸smektedir. Fonksiyonumuz ise zamana ba˘ glı olarak aracımızın hızıdır. Birer dakikalık zaman dilimleri [0, 7] aralı˘ gımızın bir bölüntüsü olup, dakikada bir kaydetti˘ gimiz hızlar da hız fonksiyonumuzun alt aralı˘ gın sa˘ g uçlarındaki de˘ geridir.

Hocam fonksiyonun uç noktalardaki de˘ gerini anladım da, ben hâlâ fonksiyonun kendisini göremedim. Adı var kendisi yok!

Engin’i memnun etmek için her andaki hızımızı kaydetmemiz gerekiyor. Ama günlük hayatta pek çok durumda bir fonksiyonun her noktadaki de˘ gerinden ziyade fonksiyonun yeterince çok noktadaki de˘ gerini bilmek yeterlidir. E˘ ger burada hız fonksiyonumuzun zamana ba˘ glı formülü açık olarak verilmi¸s olsaydı, aralı˘ gımızın bölüntüsündeki noktaları arttırarak ¸süphesiz daha hassas hesaplamalar yapabilirdik.

Belirli ˙Integral Arkada¸slar alan probleminde de, yol probleminde de kar¸sımıza birtakım toplamlar çıktı. Bu i¸slemlerde gözönüne aldı˘ gımız fonksiyonlar negatif de˘ gerler almayan fonksiyonlardı. Aslında fonksiyon üzerindeki bu ko¸suldan vazgeçip [a, b] kapalı aralı˘ gı üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonunu alarak da aynı i¸slemleri yapabiliriz.

191


192

Bunun için [a, b] kapalı aralı˘ gını her birinin boyu ∆x = parçaya bölelim. Kar¸sılık gelen bölüntünün noktaları x0 = a , x1 =

b−a n

, x2 = 2 ·

b−a n

, . . . , xi = i ·

b−a n

b−a n

olan n e¸sit

, . . . , xn = n ·

b−a n

=b

olur.

y

x i −1 x0 = a

y = f ( x)

x1

xn = b b −a n

∆x = [a ,b ] aralı˘gının n e¸sit parçaya bölünmü¸sü

b a

xi

x

i. alt aralı˘ gın sa˘ g ucunu x i ile gösterelim. Bu verilere göre a¸sa˘ gıdaki toplamı olu¸sturalım: S ¸ ekil 8.9: y = f (x)’in Riemann

f (x 1)∆x + f (x 2 )∆x + · · · + f (x n)∆x.

toplamındaki dikdörtgenler.

Bu toplamı ortak bir parantezleme ile

f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f (x n) ∆x

¸seklinde de yazabiliriz. Bu toplam bir gerçel sayıdır, bu sayıya f fonksiyonunun bir Riemann toplamı denir.

Hocam benim bu toplamlardan gözüm korktu. Her i¸sin bir zorlu˘ gu vardır. ˙Integral i¸sinin de en zor evresi burasıdır.

Yukarıda olu¸sturdu˘ gumuz toplamda bölüntüdeki nokta sayısı arttırıldıkça kar¸sılık gelen de˘ gerler sabit bir sayıya yakla¸sır. Bu sabit sayıya f fonksiyonunun [a, b] aralı˘ gı üzerindeki belirli integrali denir ve bu sayı

b

f (x) d x a

sembolüyle gösterilir.

Belirsiz ˙Integral

193

b

Daha matematiksel bir dille söylemek gerekirse

b

f (x) d x = lim

n→∞

a

f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f (x n ) · ∆x

a

f (x) d x ifadesinde • sembolüne integral • a’ya integralin alt sınırı

olur.

• b’ye integralin üst sınırı

Hocam, bu belirli integral hesabı hakikaten çok zor gözükü-

• f (x)’e integrand

yor. Bu hesabı kolay kılmanın bir yolu yok mu?

• d x’e diferansiyel

Tabii ki var, ancak bunun için temel bir dü¸sünceye daha ihtiyacımız olacak.

Belirsiz ˙Integral Türevle ilgili dersimizde, bir fonksiyon verildi˘ ginde bu fonksiyonun türevini hesaplamı¸stık. S ¸ imdi bu i¸sleme tersten bakaca˘ gız, yani türevi verilen fonksiyonun kendisini bulmaya çalı¸saca˘ gız.

Niçin türevi bilinen fonksiyonun kendisini bulmaya çalı¸sıyoruz? Hatırlarsanız, türev demek de˘ gi¸sim oranı ya da hız demekti. Fonksiyon verildi˘ ginde bunları hesaplayabiliyorduk. S ¸ imdiki problemimizde bir olayın hızını ya da de˘ gi¸sim oranını biliyorken, olayın kendi formülünü bulmaya çalı¸sıyoruz.

Türevi 2x olan bir fonksiyon söyleyebilir misiniz?

Çok kolay, x 2 fonksiyonunun türevi 2x olur.

Hocam, x 2 + 1 fonksiyonunun da türevi 2x olur.

denir. Buradaki d x ifadesi Riemann toplamındaki ∆x’ten esinlenerek yazılmaktadır ve integralin hangi de˘ gi¸skene göre hesaplandı˘ını belirtir. g


194 y c=

2

Arkada¸slar her ikinizin de söyledi˘ gi do˘ gru. Bunların her birine 2x fonksiyonunun bir ilkeli denir. Genel olarak, c sabit

1

2 c=

ger yandan bir sayı olmak üzere x 2 +c fonksiyonunun da türevi 2x’tir. Di˘

c=

0

1

−1

−1

c=

−2

x 2

ifadeler c sayısına ba˘ glı bir fonksiyon ailesidir. Bu aileye 2x fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve bunun için

c=

−2

−1

1

2x’in tüm ilkelleri, uygun bir c için x 2 + c formundadır. x 2 + c ¸seklindeki

−2

2x d x = x 2 + c 2

S ¸ ekil 8.10: y = x + c ailesinin bazı üyeleri.

gösterimi kullanılır. Tanım F (x) fonksiyonunun türevi f (x) fonksiyonuna e¸sit ise, yani F (x) = f (x)

Bazen y = x 2 + c ailesinin özel bir üyesini seçmek gerekebilir.

oluyorsa, F (x) fonksiyonuna f (x)’in bir ilkeli denir.

Mesela bu aileye ait olan ve (0, 1) noktasından geçen üyeyi bulabiliriz. (0, 1) noktasından geçen özel üyeyi bulmak için y = x 2 + c formülünde x yerine 0 ve y yerine 1 yazılırsa

F (x) ve G(x) fonksiyonlarının bir aralık üzerinde türevleri e¸sit ise, yani

F (x) = G (x) oluyorsa

bu

1 = 02 + c e¸sitli˘ ginden c = 1 bulunur. O halde (0, 1) noktasından geçen üye y = x 2 + 1 parabolü olur.

fonksiyonlar

arasında G(x) = F (x) + c ili¸skisi vardır.

Tanım F (x) fonksiyonu, f (x) fonksiyonunun bir ilkeli ise, F (x) + c ailesine f (x) in belirsiz integrali de nir ve f (x) d x = F (x) + c ¸seklinde gösterilir. Bunu

Arkada¸slar, bir fonksiyonun ilkelini bulma problemi gözünüzü korkutmasın. Bizim genelde kullanaca˘ gımız fonksiyonların belirsiz integralleri a¸sa˘ gıdaki ¸sekildedir: k, n, c sabit sayılar olmak üzere, 1. Sabit kuralı: k d x = k x + c n+1 2. Kuvvet kuralı: x n d x = xn+1 + c , n = −1 3. Logaritmik kural: 1x d x = ln x + c 4. Üstel fonksiyon kuralı: e kx d x = 1k e kx + c , k = 0

F (x) d x = F (x) + c ¸seklinde de yazabiliriz.

Türevdeki gibi, integral bulmanın da formülleri var mı hocam?

Belirsiz ˙Integral

195

Tabii ki, belirsiz integral için a¸sa˘ gıdaki kurallar geçerlidir: 1. Sabitle çarpma kuralı: k f (x) d x = k f (x) d x, (k sabit sayı) 2. Toplam Kuralı: ( f (x) + g(x)) d x = f (x) d x + g(x) d x 3. Fark Kuralı: ( f (x) − g(x)) d x = f (x) d x − g(x) d x

Hocam bir örnek yapsak?

Mesela

(6x 2 − 5) d x

integralini hesaplayalım.

Önce fark ve sabitle çarpma kurallarını kullanırsak (6x 2 − 5) d x = 6

x2 d x −

5 dx

yazabiliriz. Sonra da kuvvet kuralı ve sabit kuralı kullanılırsa aradı˘ gımız belirsiz integral 6·

x3 3

− 5x + c

olarak bulunur. Buradan (6x 2 − 5) d x = 2x 3 − 5x + c elde edilir.

Söyleyin bakalım, sonucun do˘ gru olup olmadı˘ gını nasıl anlarız?

Bulunan sonucun türevini alırız. E˘ ger ba¸sta verilen fonksiyonu elde edersek do˘ gru yapmı¸sız demektir.


196 Evet Engin, gerçekten

(2x 3 − 5x + c) = 6x 2 − 5 dir. S ¸ imdi de ba¸ska bir örnek verelim. Söyleyin bakalım 3e2x d x integralinin de˘ geri nedir? Sabitle çarpma kuralını ve üstel fonksiyon kuralını kullanırsak 3 1 2x 3e d x = 3 e2x d x = 3 · e2x + c = e2x + c 2 2 olarak bulunur. Söyleyin bakalım

2 x

dx

integralinin de˘ geri nedir? Sabit kuralını ve sonrasında logaritmik fonksiyonun integrali kuralını kullanırsak 2 1 dx = 2 d x = 2 ln x + c x x sonucuna ula¸sırız. Türev konusundaki zincir kuralını hatırlayan var mı?

Hocam integral konusunu i¸sliyorduk! Demek ki ihtiyaç olacak. Zincir kuralı bile¸ske fonksiyonunun türevi ile ilgili bir kuraldı. f ve g fonksiyonları verildi˘ ginde, ( f ◦ g)(x) bile¸ske fonksiyonunun türevi ( f ◦ g) (x) = f (g(x)) · g (x) olur.

Belirsiz ˙Integral

197

S ¸ imdi bunu bir integral kuralına çevirebiliriz:

f (g(x)) · g (x) d x =

( f ◦ g) (x) d x = ( f ◦ g)(x) + c

olur.

f (g(x)) · g (x) d x integralinde, iki tane fonksiyon türevi

ve bile¸skeler oldu˘ gu için Pınar Hoca’nın söyledi˘ gi formülü uygulamakta bazen güçlük çekilebilir. Bu yüzden de˘ gi¸sken de˘ gi¸stirme ya da yerine koyma formülü dedi˘ gimiz bir yöntem çok faydalıdır. Verilen integralde u = g(x) denilirse u’nun diferansiyeli du = g (x) d x olur, bunları f (g(x)) · g (x) d x integralinde yazarsak

f (g(x)) · g (x) d x =

f (u) du = f (u) + c

e¸sitli˘ gini buluruz. Verilen bir integrale bu gözle bakıp, sonra x de˘ gi¸skenine geri dönebilirsiniz.

Hocam ¸sunu bir örnek üzerinde açıklasanız.

Peki Gökçe, (2x + 1)4 d x integralini hesaplayalım.

Önce (2x + 1)4 ifadesinin açılımını yaparız sonra da biraz önceki yöntemleri kullanarak integrali hesaplarız.

4.dereceden bir ifadenin açılımını yapmak zor olmayacak mı?

u = g(x) türevlenebilir fonksiyonu için du = g (x) d x ifadesine u’nun diferansiyeli denir ve integral hesaplarında kullanı¸slı bir araçtır.


198

Engin’in dü¸süncesi do˘ gru ancak Selçuk’un da söyledi˘ gi gibi 4.dereceden ifadenin açılımını yapmak çok fazla i¸slem gerektirir. O nedenle burada de˘ gi¸sken de˘ gi¸simi yapmak uygun olur. Sizce nasıl bir de˘ gi¸sken de˘ gi¸simi yapmalıyız?

Bence u = 2x +1 de˘ gi¸sken de˘ gi¸simi yapmak uygun olur. Buna göre du = 2 d x olur, buradan da d x =

1 2

du olur. Bu ifadeler

integralde yerine yazılırsa 1 1 5 1 1 u5 4 4 (2x + 1) d x = u du = u4 du = +c = u +c 2 2 2 5 10 e¸sitli˘ gi elde edilir.

Bu çözümde x yok, oysa integralini hesaplamak için yola çıktı˘ gımız fonksiyon x’e ba˘ glıydı!

Evet, Selçuk do˘ gru söylüyor arkada¸slar. Selçuk’un söyledi˘ gi ¸sey ö˘ grencilerin sıklıkla yaptı˘ gı ihmallerden biridir. S ¸ imdi son ifadede u gördü˘ gümüz yere 2x + 1 yazacak olursak istenilen integral (2x + 1)4 d x =

(2x + 1)5 10

+c

olarak bulunur.

Arkada¸slar ben de sizlere fizik içerikli bir soru sorayım. x ekseni boyunca hareket eden bir cismin t anındaki hızı metre/saniye türünden v(t) = 1 + 2t deklemiyle veriliyor. E˘ ger bu cisim t = 0 anında ba¸slangıç noktasında ise bu cismin x ekseni üzerindeki konumunu zamana ba˘ glı olarak veren bir fonksiyon bulabilir misiniz?

Türev konusunu i¸slerken hız, yolun yani konumun zamana göre türevi olarak kar¸sımıza çıkmı¸stı. Burada bize hız verilip yol denklemi soruldu˘ gu için bir integral hesabı söz konusudur.

Belirsiz ˙Integral

199

Bulmaya çalı¸stı˘ gımız konum fonksiyonuna F(t) diyelim. F(t) hakkında F(0) = 0 oldu˘ gunu ve F (t) = v(t) = 1 + 2t oldu˘ gunu biliyoruz. O halde hızın integrali alınırsa F(t) =

v(t) d t

= =

(1 + 2t) d t t + t2 + c

bulunur. Konum fonksiyonu F(t) = t + t 2 + c ¸seklindedir. Bu ifadede F(0) = 0 oldu˘ gu kullanılırsa c = 0 olur. Sonuç olarak konum, ba¸ska bir deyi¸sle yol fonksiyonumuz F(t) = t + t 2 ¸seklindedir.

Peki bu cisim t = 1 ve t = 3 saniyeleri arasındaki zaman diliminde ne kadar yol gitmi¸stir?

Yol formülünü kullanarak hemen hesaplayabiliriz. t = 3. saniyede alınan yol F(3) = 3 + 32 = 3 + 9 = 12 metre olur. Bize [1, 3] zaman aralı˘ gında alınan yol soruldu˘ gu için t = 1. saniyeye kadar alınmı¸s olan yolu çıkarmalıyız. 1.saniyede alınan yol F(1) = 1 + 12 = 2 metre olup, [1, 3] zaman diliminde alınan yol F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10 metredir. Bu cismin aldı˘ gı yol, yol fonksiyonunun [1, 3] aralı˘ının uç noktalarında aldı˘ g gı de˘ gerler farkıdır.


200 hı z

Bir ba¸ska noktaya daha dikkat çekmek istiyorum.

7

v(t) = 1 + 2t hız fonksionunun grafi˘ gi yandaki ¸sekilde verilmi¸stir. [1, 3] aralı˘ gının üstünde ve v(t) = 1 + 2t’nin grafi˘ ginin altında kalan bölgenin alanı nedir? y = v (t )

Bu bölgeyi tabanı 2 birim ve yüksekli˘ gi 3 birim olan dikdörtgen ile tabanı 2 birim ve yüksekli˘ gi 4 birim olan üçgenin birle¸simi olarak dü¸sünebiliriz. Dikdörtgenin alanı 2 · 3 = 6 birim

3

kare ve üçgenin alanı

2·4 2

= 4 birim karedir. Buna göre söz

konusu bölgenin alanı 6 + 4 = 10 birim kare olur. 1

Son iki örne˘ gimizi kar¸sıla¸stırın bakalım. Dikkatinizi çeken bir durum var mı?

zaman

0

1

3

Her ikisinde de hesaplanan de˘ gerler aynı. Yani [1, 3] aralı˘ında hız fonksiyonunun altında kalan alan, yol fonksiyonug nun [1, 3] aralı˘ gının uç noktalarındaki de˘ gerleri farkına e¸sittir. y v (t 2 )

Hocam bu bir tesadüf de˘ gildir herhalde.

y = v (t )

Do˘ gru söylüyorsun Selçuk. Yukarıda [1, 3] zaman diliminde yaptı˘ gımız incelemeyi, herhangi bir [t 1 , t 2 ] zaman diliminde de yapabiliriz. gının uç noktalaYani yol fonksiyonu F(t)’nin [t 1 , t 2 ] aralı˘

v (t 1 )

rında aldı˘ gı de˘ gerler farkı olan F(t 2 ) − F(t 1 ) sayısı, y = v(t)

1

nin grafi˘ ginin altında kalan alana mı e¸sittir?

t t1

Evet farklı ¸sekillerde elde edilen bu sayılar e¸sittir. Bu örnek

t2

bize alan bulma problemi ile türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulma problemi arasındaki bir ili¸skiye i¸saret ediyor. Bu ili¸ski bizi matematikteki en önemli teoremlerden biri olan a¸sa˘ gıdaki teoreme götürür.

Temel Teorem

201

Temel Teorem Arkada¸slar, belirli integrali tanımladıktan sonra hesabının oldukça zor oldu˘ guna i¸saret etmi¸s ve bunu kolayla¸stırmanın bir yolu oldu˘ gunu söylemi¸stik. Bize bu kolayla¸stırmayı “Temel Teorem” adı verilen bir teorem sa˘ glar. Bu teorem sayesinde, yukarıdaki hız örne˘ ginde oldu˘ gu gibi, bir fonksiyonun belirli integrali o fonksiyonun bir ilkeli yardımıyla kolayca hesaplanabilir. Temel Teorem: f (x), [a, b] aralı˘ gı üzerinde sürekli bir fonksiyon ve F (x) fonksiyonu da f (x)’in bir ilkeli, yani F (x) = f (x) olsun. Bu durumda

b

a

f (x) d x = F (b) − F (a)

olur.

Artık belirli integrali Temel Teorem yardımıyla hesaplayabiliriz. Bir f (x) fonksiyonunun [a, b] aralı˘ gı üzerindeki belirli integralini hesaplamak için öncelikle f (x)’in bir ilkelini, yani glayan bir F(x) fonksiyonu bulaca˘ gız. Sonra F (x) = f (x) ko¸sulunu sa˘ da F(x)’in aralı˘ gın uç noktalarında almı¸s oldu˘ gu de˘ gerler farkı olan F(b) − F(a) sayısını hesaplayaca˘ gız. Bu sayı hesaplamak istedi˘ gimiz beb ˙ lirli integrale e¸sittir. Integral hesaplarında bu fark için F(x)| gösterimi a

kullanılır. Bu gösterime göre Temel Teorem

b

f (x) d x = F(x)|ab a

y y = x2

¸seklinde de yazılabilir.

1

Hocam, ba¸slangıçta bahsetti˘ gimiz [0, 1] aralı˘ gının üstünde, f (x) = x 2 e˘ grisinin altında kalan, sa˘ gdan x = 1 do˘ grusu ile sınırlı bölgenin alanını hesaplayabilir miyiz? 1

x

2

Bana f (x) = x fonksiyonunun bir ilkelini söyler misiniz? S ¸ ekil 8.11: Üstten y = x 2 , alttan x ekseni ve sa˘ gdan x = 1 do˘ grusu

F(x) =

x

ile sınırlı bölge.

3

3

fonksiyonu.


202

Evet do˘ gru, belirli integralimizin de˘ geri bu fonksiyonun aralı˘ gın uç noktalarında aldı˘ gı de˘ gerler farkı olur. Yani

1 2

0

x d x = F(1) − F(0) = 1 3

olup, söz konusu bölgenin alanı

13 3

−

03 3

=

1 3

birim karedir. Hatırlayacak olursanız

dikdörtgenleri kullanarak hesapladı˘ gımız de˘ gerler, bölüntü sayısı artb a

tıkça 13 ’e yakla¸sıyordu. f (x) d x belirli integra-

lini hesaplarken, f (x) fonksiyonunun F (x) ilkeli yerine G(x) = F (x) + c ilkeli de seçilebilir. Bu durumda uç

Ama hocam F(x) =

x3 3

+ 1 fonksiyonu da f (x) = x 2 ’nin bir

ilkelidir. Temel Teorem’de bu ilkeli kullanırsak ne olur?

noktalardaki de˘ gerler farkı G(b) − G(a) = (F (b) + c) −

Güzel soru Selçuk, bir de senin söyledi˘ gin ilkel fonksiyon ile hesap yapalım. Bu fonksiyonun [0, 1] aralı˘ gının uç noktala-

(F (a)+c) = F (b)−F (a) olup

rındaki de˘ gerler farkı

sonuç de˘ gi¸smez.

F(1) − F(0) =

13 3

+1−

03 3

+1

=

1 3

+1−0−1 =

1 3

olup sonuç de˘ gi¸smedi. Bu genelde de do˘ grudur. Temel Teorem’i uygularken hangi ilkeli kullandı˘ gımız önemli de˘ gildir.

Hocam belirli integralin de˘ geri her zaman bir alana mı kar¸sılık gelir? Hayır Engin, e˘ ger fonksiyon negatif de˘ gerler almıyorsa bu do˘ grudur, ama fonksiyonumuz negatif de˘ gerler alıyorsa do˘ gru olmaz. Mesela f (x) = x 2 − 2x fonksiyonunun [0, 2] aralı˘ gı üze-

rindeki integralini hesaplayalım. y

1 y = x 2 − 2x

1

2

x

-1

S ¸ ekil 8.12: f (x) = x 2 −2x in gra-

fi˘ gi.

0

2 x 2 = −2· 3 2 0 3 3 2 2 0 02 2 − = −2· −2· 3 2 3 2 4 = − 3

2

(x 2 − 2x) d x

x3

olup negatif bir sayıdır. Bu sayı bir alan de˘ gerine kar¸sılık gelmez. Ama ¸sekildeki taralı bölgenin alanının negatifidir.

Temel Teorem

203

Haydi bakalım,

2 1

y

e−2x d x belirli integralini hesaplayın.

Gayet kolay. e−2x fonksiyonunun bir ilkelinin − 12 e−2x oldu-

1

˘unu biliyoruz. Temel Teorem’i uygularsak g

2 = − e 2 1 1 1 −2·2 − − e−2·1 = − e 2 2 1 1 = − e−4 + e−2 2 2

2

e

−2x

dx

1

1

y = e −2x

1

−2x

2

x

S ¸ ekil 8.13: y = e−2x in altında ve [1, 2] aralı˘ gının üstünde kalan bölge. y y = x1

sonucu elde edilir.

a

S ¸ imdi de a > 1 olmak üzere 1

1 x

1 x

1

d x integralini hesaplayın.

fonksiyonunun bir ilkelinin ln x oldu˘ gunu biliyoruz. Buna göre

a 1

1 x

S ¸ ekil 8.14: y =

=

dx

ln

= ln a − ln 1 = ln a sonucu elde edilir. Tabii ki burada ln 1 = 0 oldu˘ gunu kullandım. ˙Integral yardımıyla iki e˘ gri arasındaki alanı da hesaplamak mümkündür. [a, b] aralı˘ gı üzerinde tanımlı sürekli f (x) ve g(x) fonksiyonları verilsin ve bu aralık üzerinde 0 ≤ f (x) ≤ g(x) olsun.

Bu durumda y = f (x) e˘ grisinin üstünde ve y = g(x) e˘ grisinin altında kalan bölgenin alanına A diyecek olursak, bu alan

b

A= a

(g(x) − f (x)) d x

formülü ile hesaplanır.

Hocam, bu formülün bir gerekçesi var mı?

1 x

x

e˘ grisinin al-

tında ve [1, a] aralı˘ gının üstünde kalan bölge.

x|1a

a

1


204 y

Bunun sebebini yandaki ¸sekilden hemen görebiliriz. y = g(x)

y = g (x )

e˘ grisiyle x ekseni arasında kalan bölgenin alanına A1 ve y = f (x) e˘ grisiyle x ekseni arasında kalan alana da A2 diyelim. Buna göre

A1

b

A1 =

g(x) d x a

a

ve

x

b

b

A2 =

S ¸ ekil 8.15: g ve x ekseni arasın-

f (x) d x a

daki bölge. y

olur. O halde ¸sekilden de görüldü˘ gü gibi söz konusu iki e˘ gri arasındaki alan A = A1 − A 2

y = f (x )

= a

x

S ¸ ekil 8.16: f ve x ekseni arasın-

b

f (x) d x a

b

= b

g(x) d x −

a

A2

a

b

(g(x) − f (x)) d x

olur.

daki bölge. y

Buna bir örnek yapalım. 0 ≤ x ≤ 1 olmak üzere y = x do˘ g-

y = g (x )

grisinin üstünde kalan bölgenin rusunun altında ve y = x 3 e˘ alanını hesaplayalım. Bu bölgenin alanı

A = A1 − A2

A=

y = f (x )

a

1 0

¸seklindeki integralle bulunur. Bu integrali hesaplarsak

x

b

(x − x 3 ) d x

S ¸ ekil 8.17: f ve g arasındaki

3

bölge. 0

(x − x ) d x

y 1

y =x

1 x 4 = − 2 4 2 0 2 4 1 1 0 04 = − − − 2 4 2 4 1 = 4

1

x2

birim kare olur. y =x3

Bu son örnekte incelenen tipteki bölgeler ve alanları uygu1

x

lama açısından önemlidir. Bununla ilgili açıklamayı okuma parçası kısmında bulabilirsiniz.

Ortalama De˘ ger

205

˘ Ortalama Deger Bu sınıfın en genci kim?

Engin. En ya¸slısı da ben oldu˘ guma göre, Engin ve ben uçlardayız. Peki bu sınıfın hocalarla birlikte ya¸s ortalaması nedir? Toplam 6 ki¸siyiz, hepimizin ya¸slarını toplayıp 6’ya böldü˘ gümüzde ortalama ya¸sı bulmu¸s oluruz. Bu sınıftaki ki¸silerin ya¸sları 20, 21, 22, 23, 38 ve 50’dir. O halde 20 + 21 + 22 + 23 + 38 + 50 6

= 29

olup, bu sınıfın ya¸s ortalaması 29’dur. Peki bize x 1 , x 2 , . . . , x n gibi n tane sayı verilse bunların ortalaması nasıl hesaplanır? O da kolay. . . Önce bu sayıları toplarız sonra da sonucu n’ye böleriz. Yani x 1 , x 2 , . . . , x n sayılarının ortalaması x1 + x2 + · · · + x n n

olur. S ¸ imdiki amacımız buradan hareketle bir fonksiyonun ortalama de˘ gerini tanımlamak.

Hocam sayılar tamam da, bir fonksiyonun ortalama de˘ geri olur mu? Söyleyin bakalım bir günün ortalama sıcaklı˘ gını nasıl tanımlarsınız? Gece 00:00’dan itibaren her saat ba¸sı termometreden o anki sıcaklı˘ gı ölçer not alırız. Gün bitiminde 24 kez bu i¸si yapmı¸s oluruz. Bu sıcaklık de˘ gerlerini toplayıp 24’e böleriz.


206

Biraz dikkat edecek olursak, Zeynep’in bu hesapta bir fonksiyonun belli noktalardaki de˘ gerleri toplamını hesaplayıp, 24’e böldü˘ günü görürüz. Benzer hesabı [a, b] kapalı aralı˘ gı üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyon için de yapabiliriz. Bunun için önce [a, b] aralı˘ını x 0 = a < x 1 < · · · < x n = b noktaları yardımıyla n tane e¸sit alt g

aralı˘ ga ayıralım. Bu durumda alt aralıkların boyları ∆x =

b−a n

olur. f

fonksiyonunun alt aralıkların sa˘ g uçlarındaki de˘ gerlerini hesaplarsak, f (x 1 ), f (x 2 ), . . . , f (x n) sayılarını elde ederiz. Bu sayıların ortalaması f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f (x n) n

olur. Nokta sayısı arttırıldı˘ gında bu ortalama de˘ gerin nasıl davrandı˘ gını b−a ∆x

belirlemek istiyoruz. Burada n = f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f (x n )

=

b−a ∆x

oldu˘ gu kullanılırsa

1 b−a

[ f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f (x n)]∆x

e¸sitli˘ gi elde edilir.

Son e¸sitli˘ gin sa˘ g tarafındaki [ f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f (x n)]∆x ifadesi size tanıdık geldi mi?

f fonksiyonunun verilen bölüntüye göre Riemann toplamıdır. Demek ki nokta sayısı arttırılırken yukarıdaki fonksiyon de˘erlerinin ortalaması g

1

b

f (x) d x

b−a

a

sayısına yakla¸sır. Buna göre f fonksiyonunun [a, b] aralı˘ gı üzerindeki ortalama de˘ gerini f or t =

1 b−a

¸seklinde tanımlamak uygundur.

b

f (x) d x a

Ortalama De˘ ger

207

Mete Hoca’nın söyledi˘ gi ortalama de˘ ger formülünü b

4

f (x) d x = f or t · (b − a)

a

¸seklinde de yazabiliriz. f fonksiyonumuzun negatif de˘ gerler almaması

y = 4 −x2

3 f or t

durumunda son e¸sitli˘ gi; “ y = f (x) e˘ grisinin altında ve [a, b] aralı˘ gının üstünde kalan bölgenin

2

alanı, tabanı [a, b] aralı˘ gı ve yüksekli˘ gi f or t olan dikdörtgenin alanına e¸sittir.” ¸seklinde yorumlayabiliriz.

1

S ¸ imdi f (x) = 4 − x 2 fonksiyonunun [0, 2] aralı˘ gı üzerindeki

ortalama de˘ gerini hesaplayalım.

1

2

S ¸ ekil 8.18: [0, 2] aralı˘ gının üstünde ve y = f (x) in altında ka-

Artık formül belli, bunu ben hesaplayabilirim. f or t

=

=

= = = =

1 2

2 0

li˘ gi f or t olan dikdörtgenin alanına e¸sittir.

4− x

2

dx

2 x 3 4x − 2 3 0 23 03 1 4·2− − 4·0− 2 3 3 1 8 8− 2 3 1 16 · 2 3 8

1

lan alan, tabanı 2 birim ve yüksek-

3

olur. Demek ki fonksiyonun ortalama de˘ geri yakla¸sık olarak 2, 66’dır. Söyleyin bakalım, elektronik e¸sya satan bir ma˘ gaza televizyon satı¸slarını arttırmak için bir kampanya ba¸slatmı¸stır. Bu kampanya ba¸sladıktan x ay sonraki televizyon satı¸sları S(x) = 90 x fonksiyonu ile veriliyor. ˙Ilk 6 ay sonunda, ayda ortalama kaç televizyon satılmı¸stır? Bu problemin çözümü S(x) = 90 x fonksiyonunun [0, 6] aralı˘ gı üzerindeki ortalama de˘ gerini bulmaktan ibarettir.


208

Do˘ grudan bir fonksiyonun ortalama de˘ geri formülünü kullanırsak 6 1 f or t = 90 x d x 6 0 6 1 x dx · 90 = 6 0 2 3 6 = 15 x 2 3 3 0 = 10 6 2 − 0 = 10 6 6 − 0 = 60 6 olur. Bu da yakla¸sık olarak 147 televizyon demektir.

Özet Bu bölümde, öncelikle kenarları do˘ gru parçaları ¸seklinde olmayan bazı düzlemsel bölgelerin alanlarının nasıl hesaplanabilece˘ gi üzerinde fikir yürüttük. Sonra elimizdeki hız bilgisinden yol bilgisine nasıl ula¸sabilece˘ gini gördük. Bunların uzantısında, kapalı aralık üzerinde tanımlı, sürekli bir fonksiyonun belirli integralini tanımladık. Türev kavramının bir manada tersi olan belirsiz integralden ve önemli bir integral hesaplama yöntemi olan de˘ gi¸sken de˘ gi¸stirme yönteminden bahsettik. Daha sonra matemati˘ gin en önemli teoremlerinden biri olan Temel Teorem’e de˘ gindik. Temel Teorem yardımıyla bazı belirli integral hesaplamaları yaptık. Düzlemdeki iki e˘ gri arasında kalan alanın hesaplanması üzerinde durduk. Son olarak da bir fonksiyonun ortalama de˘ gerinden bahsettik.

Okuma Parçası

209

Okuma Parçası

Lorenz Eğrisi ve Gini Katsayısı Türkiye’nin Gini katsayısı 2010 yılı hane halkı kullanılabilir gelir dağılımına göre 0.402 olarak açıklandı. Gini katsayısı, Lorenz eğrisine dayalı olarak hesaplanır. Ülkelerin Gini katsayısı birbirininki ile karşılaştırılarak gelir dağılımının nasıl olduğu konusunda bilgi edinilir. Sayın okuyucularıma basitleştirerek Lorenz Eğrisi ile Gini Katsayısı’nı anlatacağım. Böylece neyin ne olduğunu daha iyi izleyebilirler. TÜİK her yıl milli gelirin hane halkı arasında (en fakirinden en zenginine) nasıl dağıldığını gösteren bilgileri yayınlıyor. 2010 yılı hane halkı gelir dağılımı tablosuna göre nüfusun ilk yüzde 20’lik dilimi (14 milyon kişi) milli gelirin yüzde 5.8’ini paylaşırken, yüzde 20’lik en zengin dilim (14 milyon kişi) milli gelirin yüzde 46.4’üne sahip oluyor. İşte bu gelir dağılım tablosundaki oranlara dayalı olarak Lorenz Eğrisi çiziliyor. Bir kareyi çaprazlama bir köşeden öbür köşeye bağlayan çizgiye tam gelir eşitliği çizgisi deniliyor. Eğer her yüzde 20’lik nüfus dilimi milli gelirin yüzde 20’sini almış olsa gelir dağılımı çizgisi, tam eşitlik çizgisi ile birleşecek. Halbuki, birikimli olarak nüfus dilimlerinin milli gelirden aldıkları pay farklı. İşte onun için tam eşitlik çizgisi altında bir çizgi oluşuyor. Buna da Lorenz Eğrisi deniliyor. Lorenz Eğrisi tam eşitlikten ne kadar uzaklaşır ise (A alanı ne kadar büyür ise) gelir dağılımı o kadar bozuk demektir. Tam eşitlik olsa, Lorenz Eğrisi ile tam eşitlik eğrisi birbiri üzerine binecek. 1/1 Eşitlik ortaya çıkacak. Lorenz Eğrisi tam eşitlik çizgisinden uzaklaşıyor da ne kadar uzaklaşıyor? İşte bu da Gini Katsayısı ile ölçülüyor. Eşitsizlik alanı olan A alanı, Lorenz Çizgisi altında kalan ஺ ஺ ൌ ൌ ʹ‫ ܣ‬sayısına Gini alanla (B alanıyla) toplanırsa sonuç ½ ´dir. Bu durumda ஺ା஻

ଵȀଶ

Katsayısı deniliyor. Gini katsayısı 0 ile 1 arasında bir sayıdır. Gini Katsayısı 0’a ne kadar yakın ise gelir dağılımı o kadar iyidir, 0’dan ne kadar uzak ise o kadar kötüdür. Bizim Gini Katsayımız 2002’de 0.44 idi. 2003’te 0.42 oldu. 2004’te 0.40 oldu. 2005’te 0.38 oldu. 2007’de 0.43 oldu. 2008’de 0.405 oldu. 2009’da 0.415 idi. 2010’da 0.402’ye geriledi. Gini Katsayısı’nın küçülmesi, gelirde eşitsizliğin düzeldiğini gösteriyor. Gini Katsayısı ne kadar küçük ise ülkede gelir dağılımı o kadar iyi demektir. Gini Katsayısı’nda dünya ortalaması 0.399, OECD ülkeleri ortalaması 0.310, AB ülkeleri ortalaması 0.304’tür. Matematiksel gösterimlerle ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬fonksiyonunun grafiği tam eşitlik eğrisidir. Lorenz eğrisi ‫ ݕ‬ൌ ‫ܮ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ଵ fonksiyonu ile verilirse, ‫ ܣ‬ൌ ‫׬‬଴ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ܮ‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ݀‫ ݔ‬dir ve buna göre Gini katsayısı ଵ ‫ܣ‬ ൌ ʹ‫ ܣ‬ൌ ʹ න ሺ‫ ݔ‬െ ‫ܮ‬ሺ‫ݔ‬ሻሻ݀‫ݔ‬ ‫ܣ‬൅‫ܤ‬ ଴

integrali ile hesaplanır.

Kaynak: Güngör Uras’ın Milliyet Gazetesi’ndeki 21 Aralık 2011 tarihli yazısından uyarlanmıştır.


210

˘ Çıkarın Kagıtları f : [0, 1] → R fonksiyonu f (x) = x

1.

¸seklinde tanımlanıyor. [0, 1] aralı˘ gının 0,

1 ,1 2

noktalarından olu¸san bölüntüsüne göre Ri-

6.

R3

1 dx 2 x

integralinin de˘ geri nedir?

A) ln 3 B) 0

emann toplamı nedir? 2. Eski¸sehir-Ankara hızlı treninin 1 dakika-

C) ln 5 − ln3

lık bir zaman diliminde onar saniyelik ara-

D) ln( 32 )

larla ölçülen hızları km/saat cinsinden tab-

E) 1

lodaki gibidir. Bu 1 dakikalık sürede hızlı tren yakla¸sık olarak kaç kilometre gitmi¸stir? zaman

10.sn

20.sn

30.sn

40.sn

50.sn

60.sn

hız

160

170

180

190

180

170

A) 10 km.

7. F ′ (x) = 12 e x ve F(0) = 1 olan F(x) fonksiyonunu bulunuz. A) B)

1 x e + 12 2 − 12 e x + 1 x

C) e

B) 1 km.

1

D) e 2 x

C) 5 km.

E) e2x

D) 3 km.

8.

E) 2 km.

f : [0, 2] → R , f (x) = x 3 fonksiyonu-

nun ortalama de˘ geri nedir? 3. 4. A)

R1 0

R

(x − 2)d x integralinin de˘ geri nedir?

(x − 1)3 d x integralinin sonucu nedir?

x4 4

+x+c

B) x 4 + x 3 + c C)

x3 3

− 2x + c

D) 2x + c E) 5.

(x−1)4 4

R

+c

(e3x +5x)d x integralinin sonucu nedir?

A) 3e3x + 5 + c B)

1 3x e 3

+ 25 x 2 + c

9. 0 ≤ x ≤ 1 olmak üzere, üstten y = x 2 + 2

e˘ grisi ve alttan y = x + 1 do˘ grusu ile sınırlı bölgenin alanı nedir? A) 10/3 B) 1 D) 3

E)5/6

10. x ekseni boyunca hareket eden bir cismin t anındaki hızı v(t) = 12 t + 1 formülü ile veriliyor. Bu cisim t = 0 anında orjinde oldu˘una göre, bu cismin konum fonksiyonu a¸sag ˘ıdakilerden hangisidir? g A) 4t B)

1 2 t 4

+t

C) 3x e3x + c

C) 2t + 1

D) x e3x + e x + c

D)

E) x e x + e x + c

C) 7/6

1 3 t 6 3

+t

E) t + t 2 + 1

Çözümler

211

Çözümler 1. Bölüntü 0, 12 , 1 noktalarından olu¸stu˘ gu 1 1 1 için her birinin boyu 2 olan 0, 2 ve 2 , 1 alt aralıkları söz konusudur. Riemann toplamı denildi˘ gi için fonksiyonun alt aralıkların sa˘ g uç noktasında aldı˘ gı de˘ gerler dikkate alınır. Buna göre ilgili Riemann toplamı 1 1 1 1 1 1 · + f (1) · = · +1· f 2 2 2 2 2 2 1 1 = +1 · 2 2 3 1 = · 2 2 3 = 4 olur.

5. dilimde alınan yol 0, 05 · 10 = 0, 5,

6. dilimde alınan yol 0, 047 · 10 = 0, 47

olur. Her bir zaman diliminde alınan yollar toplanırsa 0, 44 + 0, 47 + 0, 5 + 0, 53 + 0, 5 + 0, 47 = 2, 91 kilometre olur. O halde 1 dakikada alınan mesafe yakla¸sık olarak 3 km’dir. 3. Öncelikle fark kuralı, kuvvet kuralı ve saR bit kuralı kullanılarak (x − 2) d x belirsiz in-

tegrali hesaplanırsa R R R (x − 2) d x = x d x − 2 d x =

x2 2

− 2x + c

olur. Burada c = 0 alınıp belirli integrale geçi-

lirse Z

2. Önce tabloda km/saat türünden verilen hızları km/saniye’ye çevirmek gerekir. Bu-

0

(x − 2) d x

nun için do˘ gru orantı kullanılır. 10. saniyede 160 km/saat olan hız a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde km/saniye’ye dönü¸stürülür. 1 saat 3600 saniye oldu˘ gu için: 3600 saniyede 160 km gidilirse 1 saniyede Buradan x =

160 3600

2 45

4.

olup 10. saniyedeki

hız yakla¸sık olarak 0,044 km/saniye’dir. Di˘erleri de benzer ¸sekilde hesaplanarak a¸sa˘ g gı-

R

(x − 1)3 d x integralinde u = x − 1

¸seklinde de˘ gi¸sken de˘ gi¸simi yapılırsa du = d x olur. Buna göre Z 3

Z

(x − 1) d x =

daki tablo elde edilir. zaman

10.sn

20.sn

30.sn

40.sn

50.sn

60.sn

hız

0,044

0,047

0,05

0,053

0,05

0,047

S ¸ imdi de her bir zaman dilimindeki hız sabit kabul edilerek bu zaman diliminde alınan yol kilometre cinsinden yakla¸sık olarak hesaplanırsa: 1. dilimde alınan yol 0, 044 · 10 = 0, 44,



x2

olur.

x km gidilir.

=

1 − 2x = 2 2 0 1 = −2·1 −0 2 3 = − 2

1


3

u du =

u4 4

+c

olur, burada u = x − 1 yazılırsa aradı˘ gımız in-

tegral

(x−1)4 4

+ c olarak bulunur.

5. Önce toplam formülü, sonra üstel fonksiyonun integrali ve kuvvet kuralı kullanılırsa R R R (e3x + 5x) d x = e3x d x + 5 x d x = 13 e3x + 52 x 2 + c elde edilir.


212 1 x

6.

fonksiyonunun bir ilkeli ln x fonksiyo-

9. Bu bölgenin alanı

nudur. Buna göre Temel Teorem’den Z

3

2

Z

1

A = 1 x

d x = ln x|32 = ln 3 − ln 2 = ln

3

0 Z1

2

=

(x 2 + 2) − (x + 1)

x2 − x + 1

0

olur. 7. Önce

dx

dx

formülü ile hesaplanır. Bu integral hesaplaR

1 x e dx 2

nırsa, istenilen bölgenin alanı belirsiz integralini hesap-

lamak gereklidir, bunun için sabitle çarpma kuralı ve üstel fonksiyonun integrali kuralı

Z

1 0

1 − +x = 3 2 0 3 12 1 − +1 −0 = 3 2 5 = 6

x2 − x + 1

dx

kullanılırsa R

1 x e dx 2

R

1 ex d x 2 1 x e +c 2

= =

olur. F(x) = 12 e x + c ¸seklinde bir fonksiyondur.

x3

x2

birim-kare olur.

Bu fonksiyonun F(0) = 1 ko¸sulunu sa˘ glaması

10. Burada hız verilip yol denklemi sorul-

için gerekli c yi bulmalıyız. Fonksiyonda x = 0

du˘ gu için bir integral hesabı söz konusudur.

yazılıp 1 e¸sitlenirse

Bulunmak istenilen yol fonksiyonu F(t) ile gösterilirse, F(t) hakkında F(0) = 0 oldu˘ gu

1 0 e +c 2 1 +c 2

olur. Buradan c =

1 2

ve

= 1

F ′ (t) = v(t) =

elde edilir. c’nin bu de˘ geri

yerine yazılırsa F(x) = 12 e x +

1 2

rali alınırsa

bulunur.

Z F(t) =

8. Do˘ grudan f or t =

1 b−a

Rb a

f (x) d x formülü

f or t

=

Z

= =

2 3

x dx 2−0 0 2 1 x 4 = 2 4 4 0 1 2 = −0 2 4 = 2

1 2

1 4

t +1

dt

t2 + t + c

bulunur. Konum fonksiyonu F(t) = 14 t 2 + t + c ¸seklindedir. Bu ifadede F(0) = 0 oldu˘ gu kullanılırsa c = 0 olur. Sonuç olarak yol fonksiyonu F(t) = ¸seklindedir.

olur.

v(t) d t Z

kullanılırsa 1

1

t +1 2 oldu˘ gunu bilinmektedir. O halde hızın integ-

= 1

1 4

t2 + t

Kaynakça

213

Kaynakça [1] M. L. Bittinger, D. L. Ellenbogen, S. A. Surgent, Calculus and Its Applications, 10. ed., Addison Wesley, 2012. [2] M. Goshaw, Concepts of Calculus with Applications, 1. ed., Pearson Addison Wesley, 2007. [3] M. Gö˘ gü¸s, S ¸ . Koçak, M. Üreyen, Matematik I, ˙Iktisadi Uygulamalı, Birlik Ofset, 1995. [4] L. D. Hoffmann, G. L. Bradley, K. H. Rosen, Calculus: For Business, Economics, and the Social and Life Sciences, 8. ed., McGraw Hill, 2004. [5] R. Kaya (editör), Genel Matematik, 10. Baskı, Açıkö˘ gretim Fakültesi Yayınları, 1997. [6] M. L. Lial, J. Hornsby, Algebra for College Students, 4. ed., Addison Wesley Longman, 2000. [7] O. Özer (editör), Genel Matematik, 10. Baskı, Açıkö˘ gretim Fakültesi Yayınları, 2009. [8] J. Stewart, Kalkülüs: Kavram ve Kapsam, 2. Baskı, Tüba Yayınları, çeviri, 2007. [9] K. Sydsaeter, P. Hammond, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice-Hall, Inc., 2008. S ¸ ekil 2.1: www.itusozluk.com/gorseller/themis/130213 S ¸ ekil 2.2: www.soyutcizgi.com/wp-content/uploads/2011/03/melankoli1X.jpg S ¸ ekil 4.10: mimoza.marmara.edu.tr/ hseker/kavram S ¸ ekil 4.12: www.ibb.gov.tr/tr-TR/SubSites/DepremSite/Pages/DepremParametreleri.aspx S ¸ ekil 5.1: www.darphane.gov.tr/tr/content.php?parent_id=179&content_id=179 Sayfa 113: 1 YTL ön ve arka yüzü: www.tcmb.gov.tr/ytlkampanya/banknotlar/madeni-para.zip Sayfa 127: Kaime ön ve arka yüzü tarihvemedeniyet.org/wp-content/uploads/2009/08/Enflasyon.-kaime.arkayuz.jpg tarihvemedeniyet.org/wp-content/uploads/2009/08/Enflasyon.-kaime.onyuz1.jpg Sayfa 155: Eski Babilonya çivi metni en.wikipedia.org/wiki/File:Cyrus_cylinder_extract.svg Sayfa 160: Yelkenli www.etsy.com/listing/79697190/boat-ship-sail-night-sky-stars-moon-cut Sayfa 160: Galaksi www.infobarrel.com/media/image/31666.jpg Sayfa 161: Newton eminem-friant.blogspot.com/2011/06/sir-isaac-newton.html Sayfa 182: www.xtimeline.com/__UserPic_Large/1216/ELT200708122309454250611.JPG

214

Dizin

Dizin altküme, 6 anlık hız, 166 apsisler ekseni, 72

paralel do˘ grular, 77 do˘ grusal denklem sistemi, 137 üç bilinmeyenli, 140

aritmetik dizi, 113 artan fonksiyon, 178

e sayısı, 93

azalan fonksiyon, 178

e¸sitsizlikler, 44 birinci dereceden bir bilinmeyenli, 45

ba˘ gımlı de˘ gi¸sken, 65

ikinci dereceden bir bilinmeyenli, 47

ba˘ gımsız de˘ gi¸sken, 65

Euler, 93

bakteri popülasyonu, 103

evrensel küme, 8

belirli integral, 192 belirsiz integral, 194

fark, 10

bile¸sen, 71

fonksiyon, 57

bile¸sik faiz, 99, 117

bile¸ske fonksiyon, 64, 70

birle¸sim, 9

bire-bir fonksiyon, 60, 69

borç amortismanı, 120

birim fonksiyon, 62

borç itfası, 120

en geni¸s tanım kümesi, 67 fonksiyon grafi˘ gi, 71

çokgensel bölge, 186 de˘ ger kümesi, 57 de˘ gi¸sken de˘ gi¸stirme, 197 denklem, 33, 133 birinci dereceden bir bilinmeyenli, 35 çözüm, 33 diskriminant, 42 ikinci dereceden bir bilinmeyenli, 35 özde¸slik, 41 denklem sisteminin çözümü, 137 deprem, 102, 106 genlik, 102 do˘ gru, 75

fonksiyonların bölümü, 67 fonksiyonların çarpımı, 67 fonksiyonların farkı, 67 fonksiyonların toplamı, 67 örten fonksiyon, 61, 70 parçalı fonksiyon, 66, 79 polinom, 68 sabit fonksiyon, 60, 73 ters fonksiyon, 63, 65 fonksiyonun ilkeli, 194 geometrik dizi, 113 Gini katsayısı, 209 görüntü kümesi, 58

do˘ gru denklemi, 76 e˘ gim, 76

ikinci mertebeden türev, 177, 180

kesi¸sen do˘ grular, 77

integralin temel teoremi, 201

Dizin

215

ivme, 177

türev, 167

kartezyen çarpım kümesi, 71

üstel fonksiyon, 87

kartezyen koordinat sistemi, 71 kesi¸sim, 10 limit, 164 logaritma baya˘ gı, 95 do˘ gal, 95 logaritmik fonksiyon, 94 Lorenz e˘ grisi, 209

Venn ¸seması, 5 yatay te˘ get, 179 yerel maksimum, 179 yerel minimum, 179 yerine koyma yöntemi, 136 yok etme yöntemi, 137 yüzde artı¸s, 112 yüzde oran, 111

matris, 144 matris çarpımı, 149 birim matris, 152 geni¸sletilmi¸s matris, 144 kare matris, 152 katsayılar matrisi, 144 matris toplamı, 146 matrisin boyutu, 144 matrisin tersi, 152 sıfır matris, 146 mutlak de˘ ger, 18 nüfus artı¸sı, 101 ordinatlar ekseni, 72 ortalama de˘ ger, 205 ortalama hız, 162 Pisagor Teoremi, 16 Richter ölçe˘ gi, 102 Riemann toplamı, 192 sıralı ikili, 71 sonsuz çözüm, 139 sürekli fonksiyon, 171 tanım kümesi, 57 te˘ get do˘ grusu, 175 Thales Teoremi, 76 tümleyen, 11

zincir kuralı, 174

Genel Matematik

Recommend Documents