Gentil Lopes - LIVRO - Programando a HP Prime - Com Aplicações

PROGRAMANDO A HP Prime ˜ ES) (COM APLICAC ¸O Gentil, o iconoclasta

Boa Vista-RR Edi¸cão do autor 2018

c 2018 Gentil Lopes da Silva Copyright

Todos os direitos reservados ao autor Site do autor → docente.ufrr.br/gentil.silva email → [email protected]

Editora¸ c˜ ao eletrˆ onica e Diagrama¸ c˜ ao: Gentil Lopes da Silva Capa: Adriano J. P. Nascimento

Ficha Catalogr´ afica S586d

Silva, Gentil Lopes da Programando a HP Prime : com aplica¸ c~ oes Gentil Lopes da Silva.Manaus/Boa Vista: Editora Uirapuru/Autor, 2018. x, 343 p. il. 16x23 cm [e-book] [Pseud^ onimo: Gentil, o iconoclasta] ISBN 978-85-63979-17-9 1. Computa¸ c~ ao. 2. Matem´ atica. 3. Programa¸ c~ ao. 4. Gentil, o iconoclasta. I. T´ ıtulo. CDU: 519.682

(Ficha catalográfica elaborada por Bibliotec´ aria Zina Pinheiro CRB 11/611)

2

Pref´ acio “A motiva¸c˜ ao para escrever o presente livro foi tripla. Em 1996 eu me encontrava na UFSC quando fui solicitado, pelos alunos da f´ısica e engenharia, a ministrar um curso de programa¸cão da HP ; quando, na ocasi˜ ao, tive a oportunidade de escrever uma apostila ‘Programando a HP 48’ para conduzir o curso. Em 2009 encontro-me na UFRR ministrando a disciplina C´ alculo Numérico, na qual decidi adotar a HP 50g . Reescrevi a apostila adaptando-a para a HP 50g e postei uma vers˜ ao em minha homepage. Num per´ıodo de dois anos aproximadamente recebi email’s de várias partes do Brasil de usuários do meu trabalho − devo admitir que a apostila fez bastante sucesso. Isto me motivou a transformar o referido trabalho no presente livro. Este trabalho foi escrito tomando por base ‘a velha apostila’, sua adapta¸cão e o Guia do Usu´ ario-HP. No que diz respeito ` a eficiência da maioria dos alunos em utilizar os recursos dispon´ıveis na calculadora − pelo que tenho observado − é a mesma de um proprietário de uma possante ferrari que, no entanto, se desloca em um monociclo.” (Extra´ıdo do pref´ acio do livro “Programando a HP 50g ”) De todas as calculadoras da fam´ılia HP a HP Prime é a de programa¸cão mais fácil; depois de mais de 20 anos trabalhando com estas calculadoras ainda hoje fico pasmo com a potência de cálculo destes − por assim dizer − computadores de bolso, agora incluindo-se a computa¸cão algébrica. Apenas para exemplificar, fórmulas n˜ ao muito simples de serem manipuladas na m˜ ao, aqui s˜ ao programadas em um u ´ nica linha!, por exemplo esta

7→

∆m f (n) =

m X

(−1)k

k=0

m k

f (n − k + m)

Muitos dos programas que constam neste livro ocupam no m´ aximo uma tela da HP Prime , como esta acima. Para aqueles que desejam “apenas” aprender a programar a HP Prime o cap´ıtulo 1 deste livro é mais do que suficiente; no cap´ıtulo 2 temos alguns temas matem´ aticos inéditos − por mim desenvolvidos (sou “compositor”) − e mais programa¸c˜ ao; o cap´ıtulo 3 é para os alunos do C´ alculo Numérico. ´ E com grata satisfa¸c˜ ao que deixo aqui consignado meus agradecimentos ao meu (ex-) aluno Adriano J. P. Nascimento que com grande competência, boa vontade e desprendimento produziu as capas da maioria dos meus livros, e ainda se incumbiu da divulga¸cão dos mesmos, a ele minha gratid˜ ao!. Gentil, o iconoclasta/Boa Vista-RR, 02.03.2018 3

Foto-Ariovaldo (p. 96)

Caro prof. Gentil, boa tarde. Sou professor do curso de engenharia elétrica da Universidade S˜ ao Francisco, Campinas/SP. Gostaria de pedir a sua autoriza¸cão para usar, como base para um curso de programa¸c˜ ao de calculadoras cient´ıficas HP, a sua apostila. Desde já, independentemente da sua autoriza¸cão, agrade¸co a sua aten¸cão e fa¸co elogios a sua apostila e site. Abra¸co fraterno. Luiz Carlos de Freitas J´ unior Professor do Curso de Engenharia Elétrica/Campus Campinas Professor Gentil, Chamo-me Cleber e sou acadêmico do Curso de Engenharia Qu´ımica da Universidade Federal do Paran´ a. Estou escrevendo para parabeniz´ a-lo pela sua obra “Programando a HP 50g ”. Esse livro é fantástico! Tem me ajudado muito. [. . . ] O seu livro fez toda a diferen¸ca no caminho que percorri para adentrar no fant´ astico mundo da programa¸cão. [. . . ] (p. 97) Cleber Pertel Ol´ a, ˆ Sou Angelo Polloto aluno de Engenharia Eletrônica da UTFPR (Univ. Tecnol´ ogica Federal do Paran´ a)− Campos Toledo. Li uma parte do seu trabalho ensinando a programar na HP 50g . Sou muito grato por você tê-lo publicado já que o mesmo me ajudou, e ajudar´ a muito, durante a minha gradua¸cão. Pe¸co-lhe gentilmente se posso recomendá-lo para amigos da Universidade. Grato pela aten¸c˜ ao 4

Sumário

1 Programando a HP Prime 1.1 Introdu¸c˜ ao ` a programa¸c˜ ao da HP Prime 1.1.1 Programa¸c˜ ao numérica . . . . . . 1.1.2 Como executar um programa . . 1.1.3 Programa¸c˜ ao algébrica . . . . . . 1.2 Expressões e Fun¸c˜ oes . . . . . . . . . . . 1.3 Listas e Matrizes . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Listas . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 O comando MAKELIST . . . . . . 1.3.3 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 O comando MAKEMAT . . . . . . . 1.4 Somat´ orios e produt´ orios . . . . . . . . ´ 1.5 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subrotinas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Estruturas de Programa¸caõ . . . . . . . 1.6.1 Estruturas c´ıclicas . . . . . . . . 1.6.2 Estruturas condicionais . . . . . • Tra¸cando gr´ aficos . . . . . . . . 1.7 Operadores l´ ogicos relacionais . . . . . . 1.8 Algumas fun¸c˜ oes especiais . . . . . . . . 1.8.1 A fun¸c˜ ao apply . . . . . . . . . . 1.8.2 A fun¸c˜ ao REPLACE . . . . . . . 1.8.3 A fun¸c˜ ao Map . . . . . . . . . . 1.8.4 A fun¸c˜ ao Zip . . . . . . . . . . . 1.8.5 A fun¸c˜ ao remove . . . . . . . . . 1.8.6 A fun¸c˜ ao solve . . . . . . . . . . • Tabela-Resumo . . . . . . . . . . . . 1.9 Polinˆ omios . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 N´ umero inteiro . . . . . . . . . . . . . . 5

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7 8 10 15 19 24 28 28 30 35 38 41 46 50 51 52 62 65 67 71 71 72 76 77 78 79 80 82 90

2 Aplica¸ co ˜es - Mix 2.1 C´ alculo de combina¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Desenvolvimento N -ário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Progress˜ ao aritmética bidimensional . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Fórmula do termo geral de uma PA-2D . . . . . . . 2.3.2 Soma dos termos de uma PA-2D . . . . . . . . . . . 2.3.3 Lineariza¸cão de sequências duplas . . . . . . . . . . 2.4 Progress˜ ao aritmética tridimensional . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Fórmula do termo geral de uma PA-3D . . . . . . . 2.4.2 Soma dos termos de uma PA-3D . . . . . . . . . . . 2.4.3 Lineariza¸cão de sequências triplas . . . . . . . . . . 2.5 Progress˜ ao aritmética de ordem m . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Fórmula do termo geral de uma P.A.m . . . . . . . 2.5.2 Soma dos termos de uma P.A.m . . . . . . . . . . . 2.5.3 Diferen¸cas de ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Progress˜ ao geométrica de ordem m . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Fórmula do termo geral de uma P.G.m . . . . . . . 2.6.2 Produto dos termos de uma P.G.m . . . . . . . . . . 2.6.3 Quocientes de ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Uma aplica¸cão das P.G.m : C´ alculo de combina¸cões 2.7 Um pequeno interregno cultural . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 A Curva de Peano e o Cubo Hiperm´ agico . . . . . . . . . . 2.8.1 A curva de Peano no cubo . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 O cubo hiperm´ agico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 C´ alculo da taxa de juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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99 100 103 107 111 116 120 134 140 149 151 157 159 170 174 179 180 188 189 195 199 205 229 233 237

3 Aplica¸ co ˜es ao C´ alculo Num´ erico 3.1 Interpola¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Interpola¸cão de Lagrange . . . . . 3.1.2 Interpola¸cão de Newton . . . . . . 3.1.3 Interpola¸cão de Gregory-Newton . 3.2 Integra¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Regra dos trapézios generalizada . 3.2.2 Primeira regra de Simpson . . . . 3.2.3 Segunda regra de Simpson . . . . . 3.2.4 Quadratura gaussiana . . . . . . . 3.2.5 Integral dupla . . . . . . . . . . . . 3.3 Equa¸c˜ oes Diferenciais Ordinárias . . . . . • Fórmula de Taylor . . . . . . . . . 3.3.1 Problema de valor inicial (PVI) . . 3.3.2 Método de Euler . . . . . . . . . . 3.3.3 Método de Taylor de ordem p = 2 3.3.4 Métodos de Runge-Kutta . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

255 256 261 269 277 287 288 291 293 295 307 314 315 324 327 332 334

6

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Cap´ıtulo

1

Programando a HP Prime A despeito da cr´ıtica de Laplace, a vis˜ ao de Leibniz, pela qual o mundo é criado a partir dos 0’s e 1’s, recusa-se a sair de cena. De fato, ela come¸cou a inspirar alguns f´ısicos contemporˆ aneos, que provavelmente nunca ouviram falar de Leibniz. (Gregory Chaitin/Metamat!)

Introdu¸ c˜ ao: Uma diferen¸ ca (evolu¸ ca ~o) abissal! Como eu conhe¸co − apenas parcialmente, observo − o poder de cáculo numérico e algébrico da HP Prime gostaria apenas de registrar nesta introdu¸cão que fico deveras embasbacado (pasmo, estupefato) com o seguinte aspecto da evolu¸c˜ ao computacional humana:

Leibnitz (1646-1716)

Pascal (1623-1662)

7

− HP Prime (2013)

1.1

Introdu¸ c˜ ao ` a programa¸ c˜ ao da HP Prime

A calculadora gr´ afica HP Prime é uma potente e sofisticada ferramenta computacional, n˜ ao apenas numérica como, ademais, algébrica − e também gr´ afica. A seguir a legenda do teclado∗

→

→

A calculadora é um universo praticamente inesgot´ avel, apresentaremos aqui material suficiente para iniciar o leitor no fascinante universo da programa¸c˜ ao, daremos os primeiros passos na programa¸ c~ ao num´ erica e alg´ ebrica; muitos outros programas s˜ ao apresentados no desenvolver do presente livro − do cap´ıtulo 1 em diante. A HP Prime utiliza uma linguagem de proc˜ ao da HP grama¸c˜ ao pr´ opria conhecida como “linguagem de programa¸ Prime ”: Uma potente e sofisticada linguagem de programa¸ca õ. A base da calculadora é a vista de In´ıcio ( ), aqui podemos realizar todos os c´ alculos num´ ericos. Os c´ alculos simb´ olicos (ou alg´ ebricos) ), a ser exemplificado oportunamente. s˜ ao realizados na vista do CAS ( Escrevi um livro sobre programa¸cão da calculadora HP 50g no qual adotei o modo pilha (RPN− Reverse Polish Notation), na HP Prime o modo RPN foi praticamente banido, já que n˜ ao podemos utiliz´ a-lo em programa¸cão, sendo assim adotaremos em todo este livro o modo alg´ ebrico. ∗

Retirado do manual “Guia de consulta r´ apida”.

8

Inicialmente, coloque sua calculadora no modo de entrada alg´ ebrico

7−→ Nota: Enfatizamos que do in´ıcio ao fim deste livro a calculadora estar´ a fixada (configurada) no modo de entrada alg´ ebrico. Pois bem, voltando ` a Vista de In´ıcio (

) destacamos

→ Linha de entrada

Linha de entrada

A linha de entrada (de dados) no modo algébrico é “unidimensional” teremos a tela da direita. (em uma linha); ap´ os pressionar

9

1.1.1

Programa¸c˜ ao num´ erica

Programar a calculadora significa introduzir em sua mem´ oria (RAM− Random Access Memory − mem´ oria de acesso aleatório) uma série de instru¸c˜ oes e comandos para que ela os execute sequêncialmente, cumprindo alguma tarefa espec´ıfica. Por exemplo, resolver uma equa¸cão, multiplicar ou dividir polinˆ omios, imprimir textos, elaborar um gr´ afico, construir tabelas trigonométricas, etc. Para tanto é necessário que as instru¸cões e os comandos sejam digitados no padrão sint´ atico da linguagem da calculadora e dispostos sequêncialmente na ordem em que devem ser executados. A fim de que a execu¸cão seja perfeita e apresente os resultados objetivados com precisão, n˜ ao basta atender ´ preciso que o programa n˜ estes requisitos. E ao contenha erros de lógica, cuja deteçc˜ ao n˜ ao é feita pela calculadora, que est´ a preparada para apontar somente erros de sintaxe. Os recursos de programa¸cão postos à nossa disposi¸cão pela calculadora HP Prime s˜ ao excepcionalmente valiosos e variados e a melhor forma de conhecê-los, entender sua finalidade e alcance e fixá-los em nossa mem´ oria é através da pr´ atica. Embora mencionada como uma calculadora por causa de seu formato compacto similar aos dispositivos de cálculo manuais t´ıpicos, a HP Prime deve ser vista como um sofisticado computador programável/gr´ afico. Antes de se iniciar a programa¸cão de determinado problema é importante que se tenha bem claro em mente quais s˜ ao os dados de entrada e quais s˜ ao os dados de sa´ıda; por exemplo: ao quadr´ atica ax2 + bx + c = 0. 1o ) Resolver a equa¸c˜ √ −b ± b2 − 4ac x= 2a Temos:

a b c

r1 r2

REQ

Onde: − Dados de entrada: a, b e c. − Dados de sa´ıda: r1 e r2 (s˜ ao as ra´ızes).

− REQ: Vari´ avel que ir´ a armazenar o programa (e que ser´ a referenciada sempre que o programa for executado). 10

Observa¸ c˜ ao: o nome REQ é apenas um exemplo, o nome poderia ser um outro, a seu critério. A bem da verdade existem algumas restri¸cões na escolha do nome de uma vari´ avel. O modo mais pr´ atico é tentar um nome, caso a calculadora reclame (erro) mude-o. 2o ) Calcular o n−ésimo termo de uma progressão aritmética: an = a1 + (n − 1)r Temos a1 r n

an

PA

Onde: − Dados de entrada: O primeiro termo a1 ; a raz˜ ao r da P.A. e a posi¸cão n do termo que desejamos encontrar. − Dados de sa´ıda: O n−ésimo termo an .

− PA: Vari´ avel que ir´ a armazenar o programa (e que ser´ a referenciada sempre que o programa for executado). ormula para a soma dos n primeiros termos de uma pro3o ) Obter uma f´ gressão aritmética: n(n − 1) r S n = n a1 + 2 Temos a1 FSPA

S(n) = n a1 +

r

n(n−1) r 2

Onde: − Dados de entrada: O primeiro termo a1 e a raz˜ ao r da P.A.. − Dados de sa´ıda: A fun¸c˜ ao soma dos termos, S(n).

− FSPA: Vari´ avel que ir´ a armazenar o programa (e que ser´ a referenciada sempre que o programa for executado).

11

Nosso primeiro programa Inicialmente vamos fazer um programa para calcular as ra´ızes de uma equa¸c˜ ao do 2 o grau √ √ −b − b2 − 4 a c −b + b2 − 4 a c e r2 = r1 = 2a 2a Entre na ´ area de programa¸cão digitando as teclas

A calculadora exibir´ a a seguinte tela (esquerda):

↑ Estamos no Cat´ alogo de programas. Pressione a tecla virtual New, para um novo programa. A tela do centro ser´ a exibida. Escolha um nome para o programa − No caso escolhemos o nome REQ (Resolu¸cão Equa¸cão Quadrática). Pressione OK, a tela da direita ser´ a exibida. ao marcamos a caixa CAS. Nota: Na programa¸c˜ ao numérica n˜ Pressionando OK novamente, a seguinte tela ser´ a exibida ↓Aqui

Dentro dos parênteses digite os dados de entrada do programa, separados por v´ırgula − como na tela do centro. Após digite a primeira raiz, como na tela da direita.

12

Adendo: Declaramos as vari´ aveis r1 e r2 como sendo locais, s˜ ao vari´ aveis utilizadas exclusivamente numa determinada fun¸cão. A utiliza¸cão de vari´ aveis locais permite-lhe declarar e utilizar vari´ aveis que n˜ ao ir˜ ao afetar o resto da calculadora. Ao contr´ ario, uma vari´ avel dita global, é globalmente vis´ıvel − vis´ıvel onde quer que se esteja na calculadora. O comando

:=

é de atribui¸ c˜ ao. Atribui um valor a uma vari´ avel. Ademais, existe uma outra forma de se armazenar (Sto) um valor em uma vari´ avel, por exemplo, 3 ◮ a. A sintaxe é Value◮Var; ou seja, o valor à esquerda é armazenado na vari´ avel à direita. Este operador pode ser acessado na tecla

As linhas em um programa na HP Prime s˜ ao separadas por ponto e v´ırgula; ou ainda, ao término de uma instru¸cão, e ao iniciar a digita¸cão da seguinte, separe-as por ; Por oportuno, vamos copiar o que já foi digitado na tela a seguir

r1 =

−b +

r2 =

−b −

√

b2 − 4 a c 2a

√

b2 − 4 a c 2a

para digitar a segunda raiz. Posicione o cursor no in´ıcio da linha a ser copiada, assim:

7→

ap´ os digite a sequência de teclas do centro, acima. A tela da direita ser´ a exibida.

13

Posicione o cursor no final da linha a ser copiada, assim:

↑

↑

Ao clicar na tecla virtual End a linha a ser copiada é marcada, como na tela do centro. Após clique na tecla virtual Copy. Na tela da direita já posicionamos o cursor onde a linha ser´ a copiada, fa¸ca isto. Pois bem, estando na tela a seguir

↑ digite a sequência de teclas do centro (Colar). A tela da direita ser´ a exibida, com a linha a ser copiada marcada. Após clique na tecla virtual Ok, a tela a seguir ser´ a exibida

↑

Fa¸ca as altera¸c˜ oes constantes na tela do centro. Após concluir a digita¸cão clique na tecla virtual Check para verificar se h´ a algum erro de sintaxe. para retornar ao catálogo de programas, Pressione em seguida OK e onde consta o programa que acabamos de construir.

14

1.1.2

Como executar um programa

Temos mais de uma alternativa para executar um programa, iremos apresentar apenas a que utilizaremos até o final deste livro. Executaremos o programa diretamente da vista de in´ıcio, primando a tecla

estamos na vista de in´ıcio, tela do centro. Nota: quando eu esque¸co o nome do programa, os dados de entrada e a ordem destes dados, costumo tirar um print da tela, como na tela da direita acima. Pois bem, vamos executar o programa para a seguinte equa¸c˜ ao do 2 o grau x2 − 7 x + 10 = 0 Digite na linha de entrada o nome do programa e, entre parênteses, os dados requeridos pelo programa − observe a ordem −, como na tela a seguir

7−→ Após, pressione e teremos a tela da direita, com o resultado desejado. A seguir fazemos mais uma simula¸cão

x2 + 1 = 0,

a = 1, b = 0, c = 1

∆ = b2 − 4 a c ∆ = 02 − 4 · 1 · 1 = −4 < 0 A calculadora acusa um erro. Oportunamente veremos como sanar esta falha. 15

Vejamos mais um exemplo de programa¸cão numérica. Vamos fazer um programa para calcular o n-ésimo termo de uma progress˜ ao aritmética, a partir da fórmula do termo geral an = a1 + (n − 1) r Entre novamente na ´ area de programa¸cão

↑ Pedindo um novo programa, agora escolhemos o nome PA. Após pressionar OK estamos na tela a seguir

completamos como na tela do centro. Na tela da direita executamos o programa − a partir da vista de in´ıcio −, para a progressão aritmética a seguir 1

3

5

7

9

11

13 |{z}

15

17

...

n=7

Confira na fórmula an = a1 + (n − 1) r

a7 = 1 + (7 − 1) · 2 = 13 Como nosso u ´ ltimo exemplo de programa¸cão numérica, vamos programar a fórmula n(n − 1) r S n = n a1 + 2 da soma dos n primeiros termos de uma P.A.

16

Entre novamente na ´ area de programa¸cão

↑ Vamos fazer diferente, ao invés de pedir um novo programa, vamos pegar um “atalho”, salvaremos o programa anterior (PA) com um novo nome. Clicando na tecla virtual assinalada (More) temos a tela da direita. Clicando em Save estaremos na tela a seguir, onde salvamos o programa PA com o novo nome de STPA

Ao clicar OK estaremos na tela do centro. Fazemos as altera¸cões conforme tela da direita. Na tela a seguir executamos o programa para a mesma P.A. do exemplo anterior.

Sn = n a1 +

n(n−1) r 2

S6 = 6 · 1 +

6 (6−1)·2 2

= 36

Portanto, a soma dos seis primeiros termos da P.A. é 36, confira 1|

3

5

{z 7

S6 = 36

9

11} 17

13

15

17

...

As duas fórmulas seguintes s˜ ao bastante u ´ teis em Análise Real. Exemplo: O maior de dois n´ umeros. A seguinte fórmula matem´ atica max{ a, b } =

a + b + |a − b| 2

nos fornece o maior de dois n´ umeros. Por exemplo max{ 2, 5 } =

2 + 5 + |2 − 5| =5 2

Exemplo: O menor de dois n´ umeros. A seguinte fórmula matem´ atica min{ a, b } =

a + b − |a − b| 2

nos fornece o menor de dois n´ umeros. Por exemplo min{ −1, 0 } =

−1 + 0 − | − 1 − 0| = −1 2

Nas duas primeiras telas a seguir programamos estas fórmulas

Na tela da direita temos algumas simula¸cões (exemplos). ∗

∗

Algumas fun¸c˜ oes para n´ umeros reais

18

∗ (p. 32)

1.1.3

Programa¸c˜ ao alg´ ebrica

Na programa¸c˜ ao algébrica, que ser´ a bastante utilizada ao longo de todo este livro, além de n´ umeros podemos ter fórmulas na sa´ıda de um programa. Estes programas pertencem ` a vista do CAS − Computer Algebra System ´ (Sistema de Algebra Computacional).

Modo CAS Aproximado e Exato No modo CAS existe uma importante configura¸cão, acesse assim

←− Ademais, pe¸ca isto

Aqui

Se Exact estiver marcado as opera¸cões simb´ olicas ser˜ ao calculadas como express˜ oes algébricas, caso contr´ ario como numéricas. Ou ainda, com Exact ativo (marcado) as constantes ser˜ ao tratadas simbolicamente, caso contr´ ario, numericamente (i.e., aproximadas por seus valores numéricos). Por exemplo, na tela a seguir

entramos com as respectivas constantes com Exact ativo, na tela do centro desativamos Exact e entramos novamente com as mesmas constantes. Pois bem, vamos iniciar a programa¸cão algébrica por um programa bem simples. Antes, volte a tivar Exact.

19

Nosso primeiro programa alg´ ebrico Vimos na p´ agina 15 que o programa para resolu¸cão de uma equa¸cão quadr´ atica a x2 + b x + c = 0, REQ, acusa um erro quando ∆ < 0. Com a programa¸c˜ ao algébrica podemos corrigir esta falha. Entre na ´ area de programa¸cão digitando as teclas

A calculadora exibir´ a a seguinte tela

pressione a tecla virtual New, para um novo programa. Na tela do centro nomeamos nosso novo programa, REQ C ; na tela da direita mostramos como ter acesso a diversos caracteres. Na programa¸c˜ ao algébrica assinalamos a caixa CAS. Após pressionar OK na tela do centro, acima; digitamos o programa como na tela a seguir ւ

−→

Este programa ser´ a executado a partir da Vista do CAS. Pressione a tecla . Na tela do centro resolvemos a equa¸cão x2 + 1 = 0

a = 1, b = 0, c = 1

∴

cujas ra´ızes s˜ ao os n´ umeros complexos i e −i. Na tela da direita mostramos a configura¸c˜ ao apropriada na Vista de In´ıcio − para que um n´ umero complexo seja exibido na forma algébrica a + b i.

20

Exemplo: Considere a fórmula do termo geral de uma P.A.:

an = a1 + (n − 1) r Faremos um programa onde entraremos com o primeiro termo a1 e a raz˜ ao r e na sa´ıda teremos a fórmula do termo geral − e n˜ ao um termo em particular, como anteriormente. O programa é como na tela a seguir 7→

Na tela da direita executamos o programa para a seguinte progressão aritmética 1

3

5

7

9

11

13

15

17

...

onde, a1 = 1 e r = 2. Confira an = a1 + (n − 1) r an = 1 + (n − 1) · 2 = 2 n − 1 Nota: Caso seu programa n˜ ao tenha saido com o resultado desejado é poss´ıvel que tenha algum valor previamente armazenado na vari´ avel n; por exemplo, na tela a seguir armazenamos 2 nesta vari´ avel

→

→

ao executar novamente o programa obtivemos um n´ umero e n˜ ao uma express˜ ao algébrica. Para saber se existe um valor armazenado em uma vari´ avel basta digit´ a-la na linha de entrada e d´ a Enter, como na tela da direita (no caso da vari´ avel ser n, evidentemente). Caso exista algum n´ umero armazenado na vari´ avel este ser´ a mostrado. Na p´ agina seguinte mostramos como resolver este − eventual − problema. 21

Como resetar uma vari´ avel

Adendo: avel CAS, acesse a mem´ oria da calculaPara resetar (deletar) uma vari´ dora a partir das teclas:

Em seguida selecione CAS Vars

7−→

7−→

7−→

pe¸ca para ver as vari´ aveis do CAS; selecione a que deseja deletar, clique na tecla virtual Delete.

A bem da verdade, existe um método alternativo para se resetar algumas vari´ aveis: Escreva o comando purge com a vari´ avel entre parênteses. Por exemplo, na tela a seguir

armazenamos um valor na vari´ avel n, para deletar este valor escreva na linha de entrada como na tela do centro. Ao d´ a Enter, na tela da direita a calculadora mostra o valor que se encontrava armazenado na vari´ avel n, esta encontra-se agora resetada. Por exemplo, ao digitar n na linha de entrada e d´ a Enter esta aparecerá “limpa”. Podemos resetar várias vari´ aveis simultaneamente, separe-as por v´ırgula no comando purge. 22

Exemplo: Vamos ver mais um exemplo de programa¸cão algébrica. A partir da fórmula n(n − 1) r S n = n a1 + (1.1) 2 da soma dos n primeiros termos de uma P.A. vamos elaborar um programa que sair´ a com esta fórmula para uma dada P.A.. Entre novamente na ´ area de programa¸cão

Pressionando New escolhemos o nome FSPA, digitamos como na tela da direita. Após Check, o programa n˜ ao contém erros. Vamos executá-lo, a partir da vista do CAS, para a P.A. 1

3

5

7

9

11

13

15

17

...

onde, a1 = 1 e r = 2. Pressione a tecla

→ na linha de entrada digite o nome do programa e, entre parênteses, os dados e teremos a tela da requeridos pelo programa. Após, pressione direita (acima). Da tela ` a direita temos que Sn = n2 é a fórmula para a soma dos n primeiros termos da P.A. do exemplo dado. Vamos confirmar a sa´ıda do programa, a partir da fórmula (1.1) Sn = n · 1 +

n(n − 1) 2 = n2 2 23

1.2

Express˜ oes e Fun¸c˜ oes

Na HP Prime existe uma importante distin¸cão a ser feita: express˜ ao e fun¸ c˜ ao. Para os exemplos seguintes antes execute purge(x, y). Na tela a seguir criamos uma express˜ ao e mostramos como avaliá-la para um dado valor da vari´ avel

Na tela do centro criamos uma express˜ ao de duas vari´ aveis e a avaliamos para x = 1 e y = −1. O comando subst substitui uma vari´ avel (ou mais) em uma express˜ ao por um dado valor. Na tela da direita mostramos outra alternativa para se avaliar uma express˜ ao: atribua antes os valores das vari´ aveis, depois entre com a express˜ ao. Uma fun¸ c˜ ao para a HP Prime possui um ou mais argumentos entre parênteses, separados por v´ırgula. A tela a seguir mostra como definimos a fun¸c˜ ao f (x) = x2 + 2 x + 1

Após Enter teremos a tela do centro; à direita avaliamos esta fun¸cão para x = 1. A propósito, um programa é visto como sendo uma fun¸cão. A seguir definimos a fun¸cão de duas vari´ aveis f (x, y) = 2 x3 + 4 y − 1

Após Enter teremos a tela do centro; à direita avaliamos esta fun¸cão para x = 1 e y = −1. 24

Um pequeno interregno cultural Pergunte ao seu professor de matem´ atica quanto vale “o quadrado de uma torre do xadrez mais três vezes um telefone adicionados à raiz quadrada da torre dividida pelo telefone”. − quanto vale esta singela opera¸cão? Se por acaso ele n˜ ao souber a HP Prime sabe; sen˜ ao vejamos, inicialmente definimos a seguinte fun¸c˜ ao de duas vari´ aveis

ao d´ a Enter teremos a tela do centro, acima. Na tela da direita temos uma das (infinitas) respostas poss´ıveis para o desafio proposto!

. . . e George Boole tinha toda raz˜ ao “Mais importante até que sua l´ ogica matem´ atica era a concep¸cão que Boole tinha da pr´ opria matem´ atica. Na Introdu¸cão a sua An´ alise Matem´ atica da L´ ogica o autor faz obje¸c˜ oes ` a concep¸cão então corrente da matem´ atica como ciência da grandeza e do n´ umero (defini¸cão ainda adotada em alguns dicion´ arios inferiores). Defendendo uma visão mais ampla, Boole escrevia: Poder´ıamos com justi¸ca tomar como caracter´ıstica definitiva de um verdadeiro C´ alculo, que é um método que se ap´ oia no uso de S´ımbolos, cujas leis de combina¸ca õ s˜ ao conhecidas e gerais, e cujos resultados ad´ com base nesse princ´ıpio geral mitem uma interpreta¸ca õ consistente . . . E que eu pretendo estabelecer o C´ alculo da L´ ogica, e que reinvindico para ele um lugar entre as formas reconhecidas da An´ alise Matem´ atica. ´ A Algebra de Peacock de 1830 tinha sugerido que os s´ımbolos para objetos na ´ algebra n˜ ao precisam indicar n´ umeros, e De Morgan arg¨ uia que as interpreta¸c˜ oes dos s´ımbolos para opera¸cões eram também arbitrárias; Boole levou o formalismo ` a sua conclusão. A matem´ atica já n˜ ao estava limitada a questões de n´ umero e grandeza cont´ınua. Aqui pela primeira vez est´ a claramente expressa a idéia de que a caracter´ıstica essencial da matem´ atica é n˜ ao tanto seu conte´ udo quanto sua forma. Se qualquer tópico é apresentado de tal modo que consiste de s´ımbolos e regras precisas de opera¸cão sobre esses s´ımbolos, sujeitas apenas ` a exigência de consistência interna, tal tópico é parte da matem´ atica.” (Carl B. Boyer/Hist´ oria da Matem´ atica)

25

Adendo Matem´ atica: Esta “ciência vazia” que − espantosamente − se aplica a todas as contingências fenomenol´ ogicas, apesar de ser um puro formalismo reflexivo. O objetivo deste adendo é exemplificar o sentido da seguinte afirma¸cão: ´ “A Algebra de Peacock de 1830 tinha sugerido que os s´ımbolos para objetos na ´ algebra n˜ ao precisam indicar n´ umeros, e De Morgan arg¨ uia que as interpreta¸c˜ oes dos s´ımbolos para opera¸cões eram também arbitrárias.” Com efeito, consideremos a seguinte express˜ ao simb´ olica: “Uma torre mais duas vezes um cavalo menos três vezes uma tesoura” como vemos em destaque na tela a seguir

Esta express˜ ao, por si s´ o, n˜ ao faz o menor sentido, ou ainda, é vazia de significado e, por isto mesmo, ela é potencialmente infinita, isto é, pode comportar infinitas interpreta¸cões. Por exemplo na tela da direita atribuimos o n´ umero 4 ` a torre, o n´ umero 5 ao cavalo e o n´ umero 8 à tesoura; nestas condi¸c˜ oes a express˜ ao torna-se igual ao n´ umero −10.

Mas podemos fazer diferente, vamos atribuir matrizes a estes três objetos, como na tela a seguir

as opera¸c˜ oes agora também s˜ ao diferentes, o resultado é uma matriz. Vejamos ainda uma terceira alternativa; na tela da direita os objetos agora s˜ ao polinˆ omios, de igual modo, agora as opera¸cões s˜ ao entre polinˆ omios, o resultado da express˜ ao é um polinˆ omio. Em resumo: somos n´ os mesmos que escolhemos o que a express˜ ao deve significar; podemos generalizar e afirmar: “assim se d´ a com os infinitos significados que atribuimos ao mundo”. 26

Exemplo: Retomando, Vamos Editar o programa algébrico FPA (p. 21)

↑

para sair com uma fun¸c˜ ao, como na tela do centro. Na tela da direita rodamos o programa para a progressão aritmética 1

3

5

7

9

11

13 |{z}

15

17

...

a(7)

Na sa´ıda temos a fun¸c˜ ao a(n) = 2 n − 1 e, a seguir, calculamos a(7) = 2 · 7 − 1 = 13 Exemplo: A partir da fórmula da soma dos termos da P.A. n(n − 1) r 2

S n = n a1 +

vamos elaborar um programa para sair com esta fórmula. O programa é mostrado na tela a seguir (S é reservada pela HP Prime )

Na tela do centro excutamos o programa para a seguinte P.A. 1|

3

5

{z 7

9

S(6)

e, a seguir, calculamos em St(n) = n2 :

11}

St(6) = 62 = 36 27

13

15

17

...

1.3

Listas e Matrizes

Com o objetivo de aumentar ainda mais nosso poder (potência) de programa¸c˜ ao é que incluimos nesta seçcão dois importantes recursos para programa¸c˜ ao: listas e matrizes.

1.3.1

Listas

Uma lista é constituida de objetos (n´ umeros, letras, matrizes, etc.) entre chaves e separados por v´ırgula. Uma lista é o que comumente conhecemos por conjunto, na matem´ atica. Exemplo de lista: { 1, 5, a, { b, c } } Lista é um recurso muito importante para manipula¸cão de objetos. Criando listas As listas podem ser criadas a partir da linha de entrada, veja:

Nota: Antes de digitar a lista: purge(a,b,c)

Após, pressione

para obter a tela da direita.

Importante: Estamos na vista do CAS; para que a letra a, por exemplo, apare¸ca como elemento da lista nesta letra n˜ ao deve constar nenhum valor previamente armazenado, deve estar resetada. Veja adendo, p´ agina 22. A mesma observa¸c˜ ao vale para as demais letras, obviamente. As listas podem ser armazenadas (guardadas) em uma vari´ avel. Por exemplo, escreva L1:= na linha de entrada, clique sobre a lista, como na tela a seguir

agora clique em Copy para obter uma cópia; ap´ os Enter teremos a tela da direita, agora a lista encontra-se armazenada na vari´ avel L1. 28

Acessando os elementos de uma lista Podemos ter acesso aos elementos de uma lista digitando o nome da lista e a posi¸c˜ ao do elemento entre parênteses. Por exemplo, considere a lista anterior (tela esquerda a seguir)

na tela da direita acessamos cada um dos elementos da lista.

Pedindo o comprimento e a dimens˜ ao de uma lista Existem dois comandos, SIZE e DIM, que nos d˜ ao o comprimento e a dimensão de uma lista, respectivamente. Por exemplo, na tela a seguir criamos uma lista e a guardamos na vari´ avel L2

na tela do centro pedimos o comprimento da lista (n´ umero de elementos, como na matem´ atica) e na tela da direita sua dimensão. Nas telas a seguir

mostramos como acessar os dados desta lista. 29

1.3.2

O comando MAKELIST

Um importante comando em programa¸cão é MAKELIST, cuja sintaxe é vista a seguir MAKELIST (express˜ ao, vari´ avel, inicio, fim, incremento) Cria uma lista a partir da express˜ ao à medida que a vari´ avel assume valores do in´ıcio ao fim, tendo em conta o incremento. Exemplo: Nas telas a seguir vemos três exemplos

Nota: Na vista do CAS digite o comando MAKELIST − na linha de entrada − em letras mai´ usculas, caso contr´ ario pode dar problemas. Parti¸ c˜ ao de um intervalo Para obter uma parti¸cão (regular) do intervalo numérico [ a, b ] em N subintervalos de mesmo comprimento h, fazemos h = b−a N , no que resulta xn = x0 + n h,

[ a = x0

x1 h

x2

n = 0, 1, 2, . . . , N.

...

xn−1

h

] xn = b

x

h

Por exemplo, para x ∈ [ a, b ] = [ 0, 1 ] e N = 4 subintervalos, temos h=

1−0 1 b−a = = = 0. 25 N 4 4

A discretiza¸c˜ ao do intevalo fica: p x0 = 0

p x1 =

(n = 0, 1, 2, 3, 4)

p 1 4

x2 =

p 1 2

30

x3 =

p 3 4

x4 = 1

x

Utilizando o comando MAKELIST vamos elaborar um programa que recebe a, b e N , e sai com uma lista contendo a parti¸cão do intervalo [ a, b ]. O programa é como a seguir

Na tela da direita temos uma simula¸cão, confira geometricamente p

p

x0 = 0

x1 =

p 1 4

x2 =

p 1 2

x3 =

x

p 3 4

x4 = 1

Amostragem de uma fun¸ c˜ ao nos pontos de uma parti¸c˜ ao y

f yn

p

s

.. . y1

p

s

p

y0

0

s

p x0 = a

p x1

p

···

x2

p

x

xn = b

O programa a seguir usa o comando MAKELIST para amostrar uma fun¸cão nos pontos de uma parti¸c˜ ao do intervalo [ a, b ] 2

1

−1

0

1

Na tela do centro amostramos a fun¸cão f (x) = x2 + 1 no intervalo [ 0, 1 ], com h = (1 − 0)/4 = 0.25. 31

O menu Math/List Menus Toolbox Os menus Toolbox ( ) (Caixa de ferramentas) s˜ ao uma cole¸c˜ ao de menus que oferecem fun¸cões e comandos u ´ teis em matem´ atica e programa¸c˜ ao. Na figura a seguir vemos os menus

→ De momento o que nos interessa é o (sub)menu List, para isto prima a tecla “caixa de ferramentas”. Digite a tecla virtual assinalada acima (Math). Em seguida des¸ca até o item 6 (List), como na tela a seguir

Selecionando este item comparecem vários comandos para se operar com listas, veja tela da direita. Os menus Matemática, CAS e Cat´ alogo (Catlg) oferecem mais de 400 fun¸c˜ oes e comandos.

32

Nas telas a seguir, temos algumas simula¸cões

MAKELIST gera uma lista, como já vimos; SORT classifica os elementos de uma lista na ordem crescente; REVERSE reverte a ordem da lista; CONCAT concatena duas listas; POS nos d´ a a posi¸cão de um elemento que est´ a numa lista. Na tela a seguir

SIZE nos d´ a o comprimento de uma lista, como já vimos; ∆LIST cria uma nova lista composta pelas primeiras diferen¸cas de uma lista; isto é, as diferen¸cas entre elementos consecutivos na lista. A nova lista tem um elemento P a menos queQa lista original; LIST calcula a soma de todos os elementos numa lista; LIST calcula o produto de todos os elementos numa lista. Na tela da direita DIFFERENCE apresenta a lista de elementos n˜ ao comuns de duas listas; UNION apresenta a uni˜ ao das listas como um vetor; INTERSECT apresenta a interseçc˜ ao de duas listas como um vetor∗ . Observei que ), a uni˜ ao e a interseçcão de duas listas é uma lista, na vista de in´ıcio, ( como deve ser.

∗

Logo mais veremos o que é um vetor para a HP Prime .

33

Um Belo Desafio! − A quem interessar possa. Introdu¸ c˜ ao: 12

Considere a sequência dos quadrados dos naturais

22

32

42

52

62

72

...

No diagrama a seguir 1

4

9

16

25

36

49

...

3

5

7

9

11

13

...

2

2

2

2

2

...

produzimos duas diferen¸ cas entre os termos da sequência dos quadrados dos naturais. Considere a sequência dos cubos dos n´ umeros naturais 13

23

33

43

53

63

73

...


8

27

64

125

216

343

7

19

37

61

91

127

...

12

18

24

30

36

...

6

6

6

6

...

...

es diferen¸ cas entre os termos da sequência dos cubos dos produzimos trˆ n´ umeros naturais. A calculadora HP Prime possui uma fun¸cão ∆List que produz a diferen¸ca entre os termos de uma lista

Desafio: Considere a sequência dos naturais à m-ésima potência: 1m

2m

3m

4m

5m

6m

7m

...

prove que m diferen¸cas entre os termos desta sequência resulta sempre numa constante igual a m! . Gentil, o iconoclasta [email protected]

Boa vista-RR/06.08.2016

34

1.3.3

Matrizes

Uma das potências da HP Prime é o trato com matrizes, tanto numéricas quanto simb´ olicas. Por exemplo, veja

Podemos até multiplicar duas matrizes simb´ olicas, como aparece na tela da direita. Reiteramos: Estamos na vista do CAS; para que a letra a, por exemplo, apare¸ca como elemento da matriz nesta letra n˜ ao deve constar nenhum valor previamente armazenado, deve estar resetada. Veja adendo, p´ agina 22. Criando matrizes As matrizes podem ser criadas a partir da linha de entrada, veja como criamos as telas anteriores, respectivamente

Em cada caso ap´ os primar teremos as (respectivas) matrizes expostas no in´ıcio. Um computador foi apenas programado, ele n˜ ao sabe o que diz!

Assim acontece com muitos seres humanos! − foram apenas programados; seus discursos podem até envolver alguma “lógica”, mas no final n˜ ao significam nada!. Eva mordeu uma ma¸cã . . . por isso toda a humanidade se ferrou! Este discurso n˜ ao faz mais sentido que a opera¸cão . . . pasmém!.

35

Da mesma forma que fizemos com as listas, podemos guardar uma matriz em uma vari´ avel. Por exemplo, considere a matriz na tela esquerda a seguir

escreva o nome da matriz na linha de entrada e clique na matriz (tela do centro), pe¸ca uma c´ opia (Copy), ap´ os Enter teremos a tela da direita, com a matriz já armazenada na vari´ avel MT1.

Acessando os elementos de uma matriz Podemos ter acesso aos elementos de uma matriz digitando o nome da matriz e a posi¸c˜ ao do elemento entre parênteses − exatamente como na matem´ atica. Por exemplo, considere a matriz anterior, na tela a seguir pedimos alguns elementos

na tela do centro pedimos a soma dos elementos da segunda linha, na tela da direita pedimos o produto dos elementos da terceira coluna.

36

C´ alculo de Matrizes com Elementos Alg´ ebricos Um estudante de engenharia civil (Liercio Feital) me escreveu com a seguinte d´ uvida∗ : Como fazer um programa para gerar matrizes tipo: # " 12E/L 10E/2L 8E/L

5E

“onde eu entraria com os valores E = 10 e L = 2, o programa mostraria a matriz resultante”: # " 60 25 40 50

Antes do programa vejamos como resolver este problema diretamente na vista do CAS, na tela a seguir

→ criamos uma vari´ avel − na verdade uma fun¸cão − de dois parˆ ametros (E e teremos a tela da direita. MLF pode ser vista como uma L), ap´ os fun¸cão de duas vari´ aveis. Na tela a seguir

fazemos uma simula¸c˜ ao, isto é, digitamos na linha de entrada MLF(10,2), teremos o resultado. Na tela da direita, temos o programa ap´ os equivalente. ∗

Ainda na HP 50g .

37

Pedindo as dimens˜ oes de uma matriz Um importante comando em programa¸cão é DIM, que nos devolve o tamanho de uma matriz, na tela a seguir

temos uma matriz de ordem {2, 3}; na tela da direita armazenamos uma matriz na vari´ avel MTZ, depois pedimos a dimensão da matriz.

1.3.4

O comando MAKEMAT

Um importante comando em programa¸cão é MAKEMAT, cuja sintaxe é vista a seguir MAKEMAT (express˜ ao, linhas, colunas) Cria uma matriz com a dimensão linhas × colunas, utilizando a express˜ ao para calcular cada elemento. Se a express˜ ao contém as vari´ aveis I e J, então, o c´ alculo para cada elemento substitui o n´ umero de linha atual para I e o n´ umero da coluna atual para J. A seguir vemos dois exemplos

na tela da esquerda construimos uma matriz 2 × 2 com termo geral dado por aij = j − i2 ; na tela da direita construimos uma matriz 3 × 4 com termo geral dado por aij = i − 2 j. Devemos usar letras mai´ usculas na express˜ ao da matriz, o i min´ usculo é reservado para a unidade complexa. Nota: Na vista do CAS (a que estamos trabalhando) digite o comando − na linha de entrada − em letras mai´ usculas: MAKEMAT.

38

A propósito, vejamos um exemplo um pouco mais sofisticado. A matriz a seguir

aij = ( −1 )

i−1 j−1 2

serve para o c´ alculo de combina¸co˜es, como pode ser visto na referência [6]. O s´ımbolo ⌊ x ⌋ representa a fun¸caõ m´ aximo inteiro (que n˜ ao supera x), ou fun¸cão piso. Na HP Prime é denotada por FLOOR, na tela a seguir vemos alguns exemplos

Na tela da direita construimos a matriz aij , 4 × 2, dada pela equa¸cão acima. Na tela a seguir usando a equa¸c˜ ao aij construimos uma fun¸cão de duas vari´ aveis (programa): m, n´ umero de linhas e n, n´ umero de colunas.

Nas telas do centro e direita temos duas simula¸cões. Observe que os programas na HP Prime resultam bastante compactos − simples, enxutos, estéticos. Perguntamos se em outras linguagens de programa¸c˜ ao obter´ıamos este mesmo n´ıvel de simplifica¸cão (?).

39

Vetores Vetor na HP Prime é uma matriz unidimensional (uma linha), por exemplo [ −1, 2, 5, 7 ]

´ importante fazer distin¸cão entre um vetor e uma matriz de uma u E ´ nica linha na hora de acessar um elemento. Por exemplo, na tela a seguir

criamos uma matriz unidimensional e um vetor, com os mesmos elementos. Na tela do centro tentamos acessar o quarto elemento da matriz com apenas um ´ındice, veja no que deu. Na tela da direita acessamos corretamente o quarto elemento da matriz; ademais, tentamos acessar o quarto elemento do vetor a partir de dois ´ındices, a calculadora n˜ ao reclamou (erro), no entanto, forneceu o valor errado!, em seguida acessamos corretamente o quarto elemento do vetor. ∗

∗

∗

Importante: Há de se observar que um mesmo comando devolve objetos distintos, na vista de In´ıcio e na vista do CAS, por exemplo: m:=SIZE([2, 1, 1, −1, 3]) ⇒ m := { 5 }, Na vista de In´ıcio. m:=SIZE([2, 1, 1, −1, 3]) ⇒ m := 5,

40

Na vista do CAS.

1.4

Somat´ orios e produt´ orios

Somat´ orios Um outro importante recurso para programa¸cão é o somat´ orio. Acesse o somat´ orio primando a tecla

A sintaxe do somat´ orio é X (express˜ ao, vari´ avel, in´ıcio, fim)

Por exemplo, observe a equivalência

X (express˜ ao, vari´ avel, in´ıcio, fim)

⇐⇒

5 X

k2

k=1

Ou ainda X (k ∧ 2, k, 1, 5) | {z }

⇐⇒

na HP Prime

5 X

k2

k=1

Por exemplo, digitando na linha de entrada

pressionando

teremos o resultado na tela da direita. Isto é 5 X

k2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

k=1

41

Somat´ orio e resultados alg´ ebricos Nota: Para os exemplos que se seguem, certifique-se de que a vari´ avel n est´ a resetada − adendo, p. 22.

O somat´ orio produz até resultados algébricos, digitando na linha de entrada k variando de 1 a n

pressionando

teremos o resultado na tela da direita. Portanto n X

k2 =

k=1

2n3 + 3n2 + n 6

Caso se queira o resultado fatorado, escreva factor() na linha de entrada, clique na express˜ ao e pe¸ca uma cópia

pressionando

teremos o resultado na tela da direita. Portanto n X

k=1

k2 =

n (n + 1) (2 n + 1) 6

42

Podemos até criar fun¸c˜ oes envolvendo somat´ orios; por exemplo, digitando na linha de entrada X f (m, n) := (k ∧ m, k, 1, n) temos uma fun¸c˜ ao de duas vari´ aveis 1 |1

21

1| 2

22

31 {z 41 51 6 X f (1, 6)= k1 = 21 k=1

f (2, 5)=

3{z2 5 X

42 k2 = 55

k=1

52}

61}

62

Na tela vemos duas simula¸c˜ oes. Somat´ orio e s´ eries Podemos até somar algumas séries, por exemplo, considere a progressão geométrica infinita 1 1 1 1 , , , , ... 2 4 8 16 na tela a seguir digitamos a soma dos termos desta P.G.

na tela do centro temos o resultado, portanto ∞

X 1 1 1 1 1 + + + + ... = = 1 2 4 8 16 2k k=1

43

Produt´ orios O produt´ orio é acessado de modo semelhante ao somat´ orio, ver tela na p´ agina 41; a sintaxe é a mesma. Aqui vamos t˜ ao somente ilustrar como podemos explorar a computa¸cão algébrica (CAS) para obter fórmulas que n˜ ao encontram-se nos livros did´ aticos de matem´ atica. Por exemplo, os livros sobre progressão aritmética n˜ ao trazem uma fórmula para o produto dos seus termos. A partir da fórmula do termo geral an = a1 + (n − 1) r vamos encontrar uma fórmula para o produto dos n primeiros termos Pn = a1 · a2 · a3 · . . . · an =

n Y

k=1

ak =

n Y

k=1

a1 + (k − 1) r

Como dissemos nenhum autor de livro did´ atico nos apresenta uma tal fórmula, a HP Prime poder´ a nos fornecer uma, veja como é fácil: digitando como na tela da esquerda

dando Enter a fórmula é como na tela da direita!. Nota: Reset todas as vari´ aveis envolvidas. Observe que podemos até nos d´ a ao luxo de n˜ ao anotar nada, para isto õ produto, Pt(a1 , r); assim, escreva na linha de entrada basta criar uma fun¸ca Pt(a1 , r) e clique sobre a express˜ ao, como na tela a seguir

pe¸ca uma c´ opia (Copy), ao d´ a Enter na tela da direita já temos a fun¸cão!. Nota: Poderiamos ter criado uma fun¸cão de três vari´ aveis, incluindo n, preferimos assim para ilustrar como a partir desta fórmula podemos deduzir várias outras como corol´ ario. 44

Exemplo: Encontre uma fórmula para o produto a seguir 1 · 2 · 3 · ··· · n Solu¸ c˜ ao: Aqui temos o produto dos n primeiros termos da P.A. em que a1 = 1 e r = 1; substituindo na fórmula Pt(a1 , r), resulta

1 · 2 · 3 · · · · · n = n!

Exemplo: Encontre uma fórmula para o produto a seguir 2 · 4 · 6 · ... · 2n Solu¸ c˜ ao: Aqui temos o produto dos n primeiros termos da P.A. em que a1 = 2 e r = 2; substituindo na fórmula Pt(a1 , r), resulta

2 · 4 · 6 · . . . · 2 n = 2n · n!

Exemplo: Encontre uma fórmula para o produto dos n primeiros ´ımpares 1 · 3 · 5 · ... · 2n − 1 Solu¸ c˜ ao: Aqui temos o produto dos n primeiros termos da P.A. em que a1 = 1 e r = 2; substituindo na fórmula Pt(a1 , r), resulta

Na tela do centro criamos uma nova fun¸cão, FPI(n), na tela da direita fazemos alguns testes . . . tudo isto contribuindo para a preserva¸cão do meio ambiente!, digo, sem usar um u ´ nico lápis para anota¸cões!. 45

1.5

´ Algebra

Menu CAS Nas telas a seguir mostramos como acessar alguns comandos para manipula¸c˜ oes algébricas.

Vejamos alguns comandos. 1) Simplificar Apresenta uma express˜ ao simplificada. simplify(Expr) 2) Colecionar Recolhe termos semelhantes numa express˜ ao polinomial (ou numa lista de express˜ oes polinomiais). Decomp˜ oe os resultados, consoante as defini¸cões CAS. collect(Poly)

ou

collect({Poly1, Poly2,..., Polyn})

Exemplos:

46

3) Expandir Apresenta uma express˜ ao expandida. expand(Expr) 4) Decompor Apresenta um polinˆ omio decomposto (fatorado). factor(Poly) Exemplos:

Nota: Para estes exemplos a configura¸cão CAS da sua calculadora deve ser como na tela da direita. 5) Substitue Substitui um valor por uma vari´ avel numa express˜ ao. subst(Expr,Var=valor) 6) Fra¸ c˜ ao parcial Realiza a decomposi¸c˜ ao de uma fra¸cão em fra¸cões parciais. partfrac(RatFrac) Exemplos:

47

Mudando a configura¸cão da Vista de In´ıcio e do CAS como nas telas a seguir

aqui

−→

na tela da direita repetimos os dois exemplos anteriores, ou seja, agora temos a decomposi¸c˜ ao sobre os Complexos.

Extra¸ c˜ ao 7) Numerador Numerador simplificado. Para os n´ umeros inteiros a e b, apresenta o numerador da fra¸c˜ ao a/b ap´ os a simplifica¸cão. numer(a/b) 8) Denominador Denominador simplificado. Para os n´ umeros inteiros a e b, apresenta o denominador da fra¸c˜ ao a/b ap´ os a simplifica¸cão. denom(a/b) Exemplos:

48

9) Lado esquerdo Apresenta o lado esquerdo de uma equa¸cão ou a extremidade esquerda de um intervalo. left(Expr1=Expr2)

ou

left(Real1..Real2)

10) Lado direito Apresenta o lado direito de uma equa¸cão ou a extremidade direita de um intervalo. right(Expr1=Expr2)

ou

right(Real1..Real2)

Exemplos:

Uma aplica¸c˜ ao interessante destes comandos é que podemos extrair a base e o expoente em uma potência de expoente fracionário, como na tela da direita. Funciona até mesmo com potências algébricas, veja:

Na tela da direita mostramos como fatorar o expoente do numerador da seguinte fra¸c˜ ao 2 2x −1 x3 − 1 Então 2 2x −1 2(x−1)(x+1) = x3 − 1 x3 − 1

49

Subrotinas Um recurso (ou técnica) bastante utilizado em programa¸caõ é o que se chama de subrotina, que consiste na possibilidade de um programa ser acessado por um outro. Uma situa¸c˜ ao em que é recomendável o uso de subrotina é quando temos um conjunto de instru¸cões que é utilizado em diversas partes de um programa e para que n˜ ao seja reescrito diversas vezes, é colocado em um programa ` a parte onde o primeiro programa (podemos cham´ a-lo de principal) acessa o segundo (subrotina). Podemos resumir a ideia no seguinte diagrama:

P.P.

Subrotina

Aten¸ c˜ ao!: Os dados requeridos pelo programa subrotina s˜ ao passados pelo programa principal. Oportunamente estaremos exemplificando este conceito.

50

1.6

Estruturas de Programa¸c˜ ao

Introdu¸ c˜ ao Uma estrutura de programa¸ c˜ ao permite a um programa tomar uma decis˜ ao sobre como ele deve ser executado, dependendo das condi¸cões dadas ou dos valores de argumentos em particular. Um uso cuidadoso e inteligente destas estruturas torna poss´ıvel a cria¸cão de programas com extraordin´ aria flexibilidade. Diriamos que a programa¸c˜ ao propriamente dita come¸ca aqui com estruturas de programa¸c˜ ao, pois o que fizemos anteriormente foi praticamente a programa¸c˜ ao de fórmulas apenas. Estas estruturas que iremos estudar s˜ ao comuns a várias linguagens de programa¸c˜ ao, como por exemplo, PASCAL, FORTRAN, C++ , MATLAB, etc. Quero dizer: você entendendo-as neste contexto, também estar´ a apto a executá-las em qualquer outra linguagem em que estas se fa¸cam presentes; da´ı a importˆ ancia de entendê-las nesta aqui, isto é, na HP Prime .

Estruturas de programa¸c˜ ao As estruturas que iremos estudar s˜ ao as seguintes:

• Estruturas c´ıclicas :

• Estruturas condicionais :

  FOR   

FOR - STEP

   

WHILE - REPEAT - END

  IF - THEN - END

 IF - THEN - ELSE - END

Existem outras estruturas, mas estas s˜ ao suficientes para os nossos prop´ ositos.

51

1.6.1

Estruturas c´ıclicas

FOR Apenas para exemplificar o uso desta estrutura vamos construir um programa para calcular a soma dos N primeiros n´ umeros Naturais. Isto é, queremos o valor de: N X

i=1

i = 1 + 2 + 3 + ··· + N

Devemos fornecer ao programa o valor de N (até onde queremos que o mesmo some) e este deve nos devolver o valor da soma correspondente. Vamos iniciar o programa de acordo com a tela a seguir

↑ Nota: Via de regra iniciamos a vari´ avel que vai acumular a soma com o valor 0. Para inserir a estrutura FOR no programa pressione a tecla virtual assinalada (Tmplt); des¸ca até o item 3Loop; vá para a direita. Estamos na tela da direita acima. Agora pressione ; ap´ os, teremos a tela a seguir

complete o programa conforme tela da direita. Ademais, por uma questão de legibilidade coloque o END na mesma vertical do FOR, é o que chamamos de identa¸ca õ. Podemos executar o programa diretamente da vista do CAS.

52

Estando na vista do CAS digite o nome do programa e, entre parênteses, os dados requeridos pelo programa; como, por exemplo, na tela a seguir

→ Isto significa que 5 X

I = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

I =1

Como funciona a estrutura FOR  FOR contador FROM in´ıcio TO fim DO    cl´ ausula c´ıclica Loop    END

Esta estrutura executa uma por¸cão do programa por um n´ umero definido de vezes usando o conte´ udo de uma vari´ avel local como contador, a qual pode ser usada dentro do loop para cálculos ou outros propósitos. No final ao o contador é do loop o contador é testado se já atingiu o fim, caso n˜ incrementado de uma unidade e a cla´ usula c´ıclica é executada mais uma vez; este processo se repete até que o contador atinja o fim, quando então o loop é abandonado. No programa ao lado temos: I: contador, 1: in´ıcio do contador, N: fim do contador, S:= S+I: cl´ ausula c´ıclica. Neste caso o contador est´ a sendo utilizado dentro do loop. No caso deste programa a vari´ avel S é inicializada com 0, e, a cada ciclo, S é atualizada adicionando-se o valor de I ao seu valor anterior.

53

FOR-STEP Esta estrutura funciona de modo semelhante a anterior (FOR) exceto que a vari´ avel de controle pode ser incrementada de um valor diferente da unidade.

FOR - END’s concatenados O que chamamos de concatena¸cão de FOR - END’s é o mesmo que encaixe (ou aninhamento) de FOR - END’s que, dependendo do programa, pode tomar diversas configura¸cões. Por exemplo, assim: FOR FOR

a)

b)

FOR FOR FOR

FOR FOR

c)

END END END

END END

END FOR END END

Dentre muitas outras aplica¸cões a concatena¸cão é u ´ til para se trabalhar com matrizes. Vejamos o seguinte exemplo: (U.E.LONDRINA - 84) Dada a matriz A = ( amn )2×2 onde amn = 2n−m , a soma de todos os elementos que comp˜ oe a matriz A2 é igual a: a ) 81/4

b ) 10

c)9

d ) 25/4

e) − 6

Motivados pelo desafio acima vamos fazer um programa para construir uma matriz (quadrada de ordem N ) e que, em particular (N = 2) tenhamos a matriz do problema anterior. O programa consta da tela a seguir

na tela da direita temos duas simula¸cões. Observe que o programa foi elaborado na vista de in´ıcio − e n˜ ao na vista do CAS. Observe que temos uma concatena¸cão tipo a ). O primeiro FOR (ou ainda, o primeiro la¸co) fixa a linha e o segundo varia as colunas, de modo que a matriz vai sendo construida linha a linha e de cima para baixo. Para obter a resposta da questão do vestibular, clique na primeira matriz (tela anterior), pe¸ca uma cópia para a linha de entrada, eleve ao quadrado e some os elementos. 54

O programa anterior foi feito apenas para ilustrar a concatena¸cão de FOR - END’s, no entanto, na tela da esquerda a seguir criamos − na vista do CAS − um programa equivalente

Na tela da direita temos uma simula¸cão para N = 3. Digamos que você queira os elementos da matriz n˜ ao na forma de fra¸cão, mas aproximados (approx) com três decimais; o caminho é este

Aqui

Executamos novamente o programa, como na tela da direita.

55

Exerc´ıcios Nota: Alguns dos exerc´ıcio a seguir devem, preferencialmente, ser implementados com a estrutura “FOR”. 1) Fa¸ca um programa para sair com os N primeiros termos de uma P.A. (progress˜ ao aritmética), de dois modos distintos: ( a ) em uma lista ( b ) em um vetor. 2) Fa¸ca um programa para calcular o produto dos N primeiros termos de uma P.A. 3) Fa¸ca um programa para calcular a soma dos N primeiros termos de uma P.G. n X i2 . 4) Fa¸ca um programa para calcular o seguinte somat´ orio: i=1

5) Seja a sequência 1,

1,

−1,

−1,

1,

1,

−1,

−1,

1,

1,

−1,

−1,

...

cuja fórmula do termo geral e do produto s˜ ao, respectivamente an = (−1)

(n−1)(n−2) 2

e Pn = (−1)

n(n−1)(n−2) 6

Fa¸ca um programa para sair com um vetor contendo os N primeiros termos desta sequência e mais ainda o produto destes N primeiros termos. n X im ; onde m e n s˜ ao 6) Fa¸ca um programa para calcular o somat´ orio: i=1

valores arbitrários que devem ser fornecidos ao programa. 7) Fa¸ca um programa para calcular a soma, 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n · (n + 1)

8) Fa¸ca um programa para calcular o produto interno canˆ onico de dois vetors, assim: [ a1

a2 . . . an ] · [ b1

b2 . . . bn ] = a1 · b1 + a2 · b2 + · · · + an · bn

9) Fa¸ca um programa para sair com um vetor contendo os N primeiros termos de uma P.A., usando a fórmula de recorrência (defini¸cão) de uma P.A.:   a1 = a a

n

= an−1 + r, n ≥ 2.

56

10) Fa¸ca um programa para sair com um vetor contendo os N primeiros termos de uma P.G., usando a fórmula de recorrência (defini¸cão) de uma P.G.:   a1 = a a

= an−1 · q, n ≥ 2.

n

11) Fa¸ca um programa para sair (em lista ou vetor) com os N primeiros termos das seguintes sequências : ( i ) a1 = 4; an = (−1)n · an−1 . ( ii ) a1 = −2; an = (an−1 )2 .

12) (U.F.CE -81) Os termos da sucessão a1 , a2 , . . . , an , est˜ ao relacionados pela fórmula an+1 = 1 + 2 · an , onde n = 1, 2, 3, . . .. Se a1 = 0, então a6 é: a ) 25

b ) 27

c ) 29

d ) 31

13) (PUC-SP - 81) Na sequência (a1 , a2 , . . .) tem-se: a1 = 1 e an+1 =

2 + a2n 2an

Qual dos n´ umeros abaixo est´ a mais pr´ oximo de a3 ? √ √ d) 3 a)1 b)2 c) 2

√ e) 5

Nota: Lembramos que nestes exerc´ıcios queremos que você fa¸ca um pouco mais do que o exerc´ıcio pede. Queremos que você fa¸ca um programa para listar os n primeiros termos das sequências dadas. 14) (U.F.BA. - 81) sejam as sequências   a1 =4 e a = 1 + a2 n+1 n

Se P = an · bn , tem-se: a) P < 0

b) 0 ≤ P < 1

 b1 b

c) 1 ≤ P < 2

=5

n+1

=

1 1+bn

d) 2 ≤ P < 3

e) P ≥ 3

15) (U.F.PR. - 80) Seja f uma fun¸cão tal que f (1) = 2 e f (x+1) = f (x)−1, para todo valor real de x. Ent˜ ao f (100) é igual a: a ) − 99

b ) − 97

c ) 96

d ) 98

e ) 100

Nota: Aqui o leitor dever´ a fazer um programa para fornecer f (N ) onde N > 1 é um um n´ umero natural. 57

16) (PUC - SP - 85) Na sequência (a0 , a1 , a2 , . . .) onde a0 = 1 e an+1 = an + n, para todo n ∈ N, a soma dos 7 primeiros termos é a ) 41

b ) 42

c ) 43

d ) 63

e ) 64

Nota: O leitor dever´ a sempre resolver os problemas de forma generalizada. Por exemplo, aqui fa¸ca um programa para calcular a soma dos N primeiros termos da sequência . 17) (PUC - SP - 70) Sendo f : R → R definida por f (x) = 2x + 3, então f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (25) é igual a: a ) 725

b ) 753

c ) 653

d ) 1375

e ) 400

18) No c´ alculo numérico de integrais I=

Z

b

f (x) dx a

A primeira regra de Simpson generalizada estabelece que, Rx

n x0

f (x) dx ∼ =

h 3

[ f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + ··· +2f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (xn ) ]

Fa¸ca um programa que calcule a seguinte integral Z 1 x2 dx I= 0

O programa deve receber n. Depois calcule o valor exato da integral e compare com os resultados do programa para alguns valores de n. Sugest~ ao: Inicialmente determine uma fórmula para gerar os coeficientes numéricos em destaque na express˜ ao: 1f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + · · · + 2f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + 1f (xn ) 19) Programe a fórmula para o produto dos termos de uma P.A. de primeiro termo a1 e raz˜ ao r

n

Pn = a1 r ·

(a1 + n r) (a1 + n r)

58

1 r a1 r

!

!

WHILE - REPEAT - END Esta é uma outra estrutura c´ıclica bastante utilizada. Para exemplificar o uso desta estrutura vamos resolver o seguinte problema: (UNESP - 84) Seja Sn = 211 + 212 + · · · + 21n , n um n´ umero natural diferente de zero. O menor n´ umero n tal que Sn > 0, 99 é: a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

A ideia aqui é variar n (a partir de 1) e ir somando os termos o resultado da soma seja maior que 0, 99. Veja alguns exemplos, n

Sn

1

1 2

= 0, 5

2

1 2

+

1 22

= 0, 75

3

1 2

+

1 22

+

...

1 23

1 2n

até que

= 0, 875

........................

Vamos fazer melhor: o programa vai receber como entrada um n´ umero L (0 < L < 1) que, em particular, pode ser L = 0, 99. Vamos iniciar o programa de acordo com a tela a seguir (Vista de in´ıcio)

Para inserir a estrutura WHILE, vá para a tela da direita acima. Agora ; ap´ os, complete como na tela a seguir pressione

Na tela da direita temos duas simula¸cões do programa. 59

Exemplo: Digitando na linha de entrada (vista do CAS) SUN(n) := criamos uma fun¸c˜ ao de n, esta Sn =

P

(1/2 ∧ k, k, 1, n)

1 1 1 + 2 + ··· + n 1 2 2 2

As telas a seguir

mostram Sn para alguns valores de n. Para os valores aparecerem como na tela acima em deve estar desmarcada (tela da direita).

a caixa Exact

Como funciona a estrutura WHILE  WHILE      cla´ usula de teste   Loop DO    comandos     END

Esta estrutura executa uma por¸cão do programa (comandos) enquanto a cla´ usula de teste for verdadeira. No programa ao lado temos: cla´ usula de teste: S ≤ L. comandos: n:=n+1; S:=S+1/2 ∧ n. O loop s´ o é abandonado quando S for tal que S>L.

60

Exerc´ıcios 20) Determine n tal que

Pn

i=1

2i = 4088.

21) Resolva o problema anterior utilizando a fórmula para a soma dos tera ·q n −a mos de uma P.G.: Sn = 1 q−1 1 . 22) Resolva a quest˜ ao da UNESP (p. 59) utilizando a fórmula para a soma dos termos de uma P.G. 23) Elabore um programa onde entramos com o primeiro termo e a raz˜ ao de uma P.A., e ainda com um n´ umero L (maior ou igual ao primeiro termo), e o programa saia com n, a quantidade m´ axima de termos que podemos somar para que a soma n˜ ao ulrapasse L. 24) Encontre o valor de k de modo que: 30 k X X

(−2i + 3j) = 300

j=1 i=1

25) Quantos termos devem ser somados na sequência , 2

−1

2

−1

−1

2

−1

2

2

−1

...

3

...

a partir do primeiro termo, para que a soma seja 15? Dado: Sn = [ 2n − 3 · (−1)n + 3 ] · 14 .

26) Quantos termos devem ser somados na sequência , −1

−1

3

−1

3

−1

3

−1

3

a partir do primeiro termo, para que a soma seja 13? Dado: Sn = (−1)n + n − 1.

27) Fa¸ca um programa que que recebe n e sai com o n-ésimo termo da sequência 0

1

2

0

1

2

0

1

2

...

28) Fa¸ca um programa que que recebe n e sai com a soma dos n primeiros termos da sequência do exerc´ıcio anterior. 29) A soma dos dos n primeiros termos da sequência 3

3

6

6

9

9

12

é

12

15

15

...

6n2 + 12n − 3(−1)n + 3 8 Inicialmente resolva a equa¸c˜ ao S(n) = 60, na m˜ ao mesmo. Fa¸ca um programa onde dado um inteiro m > 0 ele resolva a equa¸cão S(n) = m, caso n˜ ao haja solu¸c˜ ao o programa deve dizer. Sn =

61

1.6.2

Estruturas condicionais

IF - THEN - END Para exemplificar o uso desta estrutura vamos construir um programa que nos diz se um dado n´ umero é par ou n˜ ao. Faremos este programa de dois modos distintos, para ilustrar dois comandos da HP Prime : FP e MOD. O comando FP nos devolve a parte fracion´ aria de um n´ umero, na tela a seguir temos alguns exemplos (desmarque a caixa Exact)

Nota: O duplo sinal = = é de compara¸cão. Na tela do centro temos o programa. Na tela da direita como acessamos a estrutura IF - THEN - END. A estrutura IF - THEN - END executa uma sequência de comandos somente se o teste é verdadeiro. A palavra IF inicia a cláusula-de-teste, a qual deixa o resultado do teste (0 ou 1). THEN remove este resultado. Se o valor é 1, a cl´ ausula verdadeira é executada. Caso contr´ ario, a execu¸cão do programa prossegue com a instru¸cão seguinte a END. umero inteiro a O comando MOD nos devolve o resto da divisão de um n´ por um n´ umero inteiro b. A seguir temos dois exemplos 5 1

2 2

20 6 2 3 տ 20 MOD 6

տ 5 MOD 2

Na tela a seguir temos os dois exemplos acima; o segundo programa consta na tela do centro a seguir

Na tela da direita temos duas simula¸cões deste programa. 62

IF - THEN - ELSE - END Esta estrutura condicional é bem mais interessante e u ´ til que a anterior. Para exemplific´ a-la faremos um programa para sair com os N primeiros termos da sequência n  se n é par;  ,   2 an =     n + 1 , se n é ´ımpar. 2 Inicie o programa como a seguir (Vista de In´ıcio)

complete-o como na tela do centro. Na tela da direita temos duas simula¸cões do programa. Vejamos mais um exemplo de aplica¸cão desta estrutura. (PUC- SP - 76) Se A é uma matriz 3 por 2 definida pela lei  1, se i = j; aij = 2 i , se i = 6 j.

Então A se escreve:       1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 4 9 e)  4 1  a) b)  4 1  c)  1 4  d) 1 4 9 1 1 9 6 6 9 9 9 9

Vamos resolver este problema para uma matriz de dimensão genérica M × N . O programa é como a seguir

na tela da direita temos três simula¸cões. 63

Como funciona a estrutura IF - THEN - ELSE - END  IF      cla´ usula-de-teste        THEN cla´ usula-verdadeira Estrutura    ELSE      cla´ usula-falsa     END Esta estrutura executa uma sequência de comandos se o teste resultar verdadeiro e outra, caso seja falso. A palavra IF inicia a cláusula-de-teste, a qual sai com o resultado (0 ou 1). THEN verifica este resultado. Se o valor é 1, a cláusula-verdadeira é executada; caso contr´ ario, a cláusula-falsa é executada. Após ter executado a cl´ ausula apropriada, o programa prossegue com a instru¸cão seguinte à END. No programa ao lado temos: cla´ usula de teste: FP(n/2)==0 cla´ usula verdadeira: TS(n):=n/2 cla´ usula falsa: TS(n):=(n+1)/2

64

Tra¸cando gr´ aficos com IF - THEN - ELSE - END Vamos exemplificar como esta estrutura pode ser utilizada para construir gr´ aficos de fun¸c˜ oes definidas por várias senten¸cas. Inicialmente considere a fun¸caõ f : R → R dada por   se x < −1;  −x, f (x) =   x2 − 1, se x ≥ −1.

Na tela a seguir programamos esta fun¸cão

na tela da direita simulamos alguns exemplos. Ao atribuir o nome f ao programa caso esta vari´ avel esteja ocupada então purge(f ) é uma sugestão. Pois bem, nosso objetivo agora é plotar o gr´ afico desta fun¸cão. Inicialo que vai nos levar para a seguinte tela mente prima a tecla

→

↑ em seguida clique no aplicativo assinalado (Function), o que nos leva para a tela da direita. Clique na tecla virtual Edit

65

escreva na linha de entrada f (X) (este X deve ser mai´ usculo); ap´ os clicar em OK estaremos na tela da direita

→

↑

Agora vamos dimensionar os eixos para plotagem, para isto clique em

vamos para a seguinte tela (configura¸cão na minha calculadora)

configurando como na tela do centro, ap´ os clique em teremos a tela da direita. Como mais um exemplo, para o gr´ afico da fun¸cão dada por   −x − π2 , se x < − π2 ;     g(x) = | cos 2 x |, se − π2 ≤ x < π2 ;      x − π2 , se x ≥ π2 . o programa fica assim

66

1.7

Operadores l´ ogicos relacionais

Um outro recurso − n˜ ao menos importante − que a programa¸cão nos oferece s˜ ao os operadores l´ ogicos booleanos: OR, AND, XOR, NOT, etc., estes operadores est˜ ao definidos pelas respectivas tabelas-verdade:

p

q

p OR q

p

q

p AND q

p

q

p XOR q

p

p¯

V V F F

V F V F

V V V F

V V F F

V F V F

V F F F

V V F F

V F V F

F V V F

V F

F V

Ou ainda, na forma em que a HP Prime entende e opera:

p

q

p OR q

p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

p AND q 1 0 0 0

p

q

p XOR q

p

p¯

1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 1 0

1 0

0 1

Estes operadores booleanos s˜ ao acessados assim:

Na tela da direita mostramos como acessar outros s´ımbolos u ´ teis, como, por exemplo, as letras gregas. A seguir fazemos um exemplo.

67

Vejamos um exemplo de aplica¸cão destes operadores: (CESGRANRIO - 76) Seja H o conjunto { n ∈ N : 2 ≤ n ≤ 40 }, n m´ ultiplo de 2, n n˜ ao m´ ultiplo de 3. O n´ umero de elementos de H é: a ) 12

b ) 14

c) 7

d ) 13

e) 6

Observe, na defini¸c˜ ao do conjunto em questão: n é m´ ultiplo de 2 e n n˜ ao é m´ ultiplo de 3. Aqui temos uma tarefa para o operador lógico AND. Vamos fazer melhor, faremos um programa que recebe dois n´ umeros naturais M e N (N < M ) e devolve todos os m´ ultiplos de 2, e n˜ ao de 3, entre N e M ; na tela a seguir temos o programa:

Na tela da direita temos a solu¸cão da questão do vestibular. O programa seguinte sai com os m´ ultiplos de 2 ou 3 entre N e M .

Na tela da direita uma simula¸cão, aqui reproduzida: [ 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 36, 38, 39, 40 ]

68

Exerc´ıcios 30) (F. SANTANA - 83) Dadas as matrizes A = ( aij )2 , tal que  1 + i, se i = j; aij =  0, se i 6= j. e B = ( Bij )2 , tal que bij = 2i − 3j, então A + B é igual a: a)

−1 4 −1 −2

b)

1 −4 −1 −2

c)

−1 4 1 2

d)

1 −4 1 2

e)

1 4 1 2

31) Fazer um programa para sair com a matriz identidade de ordem N :  1, se i = j; aij =  0, se i = 6 j.

32) (U. MACK. - 80) Dada a matriz A = ( aij )2 tal que  sen π2 j, se i = j; aij =  cos πj, se i 6= j. Então A2 é a matriz:

a)

−1 −1 1 0

b)

0 −1 1 1

c)

−1 1 0 1

d)

0 1 −1 1

e)

0 1 −1 −1

33) (UFRS - 83) A = ( aij ) é uma matriz de ordem 2 × 2 com aij = 2−i se i = j e aij = 0 se i 6= j. A inversa de A é:   # " 1 # " 1 2 0 0 0 − 2 0 −2 0 2 2  b) c) d) e)  a) 1 1 1 0 4 0 −4 0 4 0 −4 0 22 34) (FCM STA CASA - 81) Seja   1    aij = k     −1

a matriz A = ( aij ), de ordem 3, tal que se i < j; se i = j e k ∈ R; se i > j.

Se o determinante de A é igual a zero, então k pertence ao conjunto: a ) k ∈ { −3, 1, 3 } √ √ d ) k ∈ { − 3, 3 }

b ) k ∈ { −2, 1, 2 }

e ) k ∈ { −1/3, 1/3 } 69

c ) k ∈ { 0, 1/3, 1/2 }

35) (U. MACK - 80 ) Seja a fun¸cão f : R → R definida por   |x| + 3 se |x| ≤ 2; f (x) =  |x − 3| se |x| > 2

O valor de f (f (f (. . . f (0) . . .))), a ) é 0

b ) pode ser 1

c ) é 3

d ) pode ser 3

e ) é imposs´ıvel de calcular.

Neste exerc´ıcio fa¸ca um programa onde entra-se com N e o mesmo sai com uma lista com as N composi¸cões de f em 0. Exemplo, Se N = 1 então f (f (0)) Se N = 2 então f (f (f (0))), etc. 36) (PUC CAMP. - 80) Considerando N = { 0, 1, 2, 3, . . .} e, ainda, A = { x ∈ N/

24 = n, x ∈ N } x

B = { x ∈ N/ 3x + 4 < 2x + 9 } podemos afirmar que, a ) A ∪ B tem 8 elementos

d ) A ∩ B possui 4 elementos

b) A∪ B = A b ) n.d.a.

c) A ∩ B = A

37) (ITA - 66) Quantos n´ umeros inteiros existem, de 1000 a 10000, n˜ ao divis´ıveis nem por cinco nem por sete? 38) (UFRN - 84) O n´ umero de m´ ultiplos de sete entre 50 e 150 é: a)9

b ) 12

c ) 14

d ) 16

e ) 23

39) (CESCEA - 75) Quantos n´ umeros ´ımpares h´ a entre 14 e 192? a ) 88

b ) 89

c ) 87

d ) 86

e ) 90

40) (FGV - 81) A soma dos n´ umeros naturais n˜ ao superiores a 1000, n˜ ao divis´ıveis por 7, é: a ) 429429

b ) 500500

c ) 500500/7

d ) 999999/7

e ) n.d.a.

41) (CESGRANRIO - 84) A soma dos n´ umeros naturais menores que 100 e que divididos por 5 deixam resto 2 é: a ) 996

b ) 976

c ) 990

70

d ) 991

e ) 998

1.8

Algumas fun¸ c˜ oes especiais

Neste t´ opico vamos arrolar mais algumas fun¸cões da HP Prime que julgamos relevantes no contexto da programa¸cão.

1.8.1

A fun¸c˜ ao apply

Aplica um vetor (ou lista) − do dom´ınio de uma fun¸cão − no cálculo dos valores da fun¸c˜ ao Sintaxe apply ( Var → f(Var),

vetor)

Por exemplo

Na tela da direita mostramos como acessar a setinha − ver p. 67.

No lugar do vetor pode ser uma lista. Nas telas a seguir utilizamos esta fun¸cão para calcular duas “tabelas trigonométricas”, do seno e do cosseno:

Nota: Sua calculadora deve estar fixada no modo Exact, p. 19. As tabelas trigonométricas constantes nos livros n˜ ao trazem alguns “arcosπ metade”, como, por exemplo, 15o = 12 , na HP Prime é fácil, veja:

71

1.8.2

A fun¸ c˜ ao REPLACE

Esta é uma fun¸c˜ ao important´ıssima, ser´ a utilizada em diversos programas até o final deste livro. REPLACE Substitui parte de uma matriz ou vetor guardados em nome por um objeto a partir da posi¸cão in´ıcio. In´ıcio para uma matriz é uma lista que contém dois n´ umeros. Para um vetor, é um u ´ nico n´ umero. REPLACE também funciona com listas, gr´ aficos e strings. Sintaxe REPLACE(nome, in´ ıcio, objeto) Nas telas a seguir, vemos dois exemplos. Lembrete: Não esque¸ca de resetar as letras, se necessário.

Observe mais duas substitui¸cões

72

Tabela trigonom´ etrica Como mais uma aplica¸c˜ ao da fun¸cão REPLACE vamos montar uma tabela trigonométrica do seno. Considere novamente a tela a seguir

à direita criamos uma matriz, que vai ser a tabela ao final. A seguir, criamos uma matriz que contém os valores do dom´ınio

à direita calculamos o seno para esta matriz. A seguir, crie uma vari´ avel VC, clique em cima do u ´ ltimo vetor (matriz) e guarde uma c´ opia nesta vari´ avel

na tela da direita substituimos a primeira coluna da matriz MTR pelo transposto do vetor VD.

73

Este u ´ ltimo resultado salvamos em MTR

na tela da direita substituimos em MTR o transposto do vetor VC. A seguir salvamos esta u ´ ltima matriz em MTR

na tela da direita colocamos uma “legenda” na tabela. Opcionalmente, podemos ver a tabela na horizontal, tomando o transposto, assim

Clique em cima da tabela e pe¸ca para ver (Show)

74

Vamos encimar a tabela com grau, no lugar de radiano. Para isto salvamos a tabela em uma nova vari´ avel. Digite na linha de entrada como a seguir

Apenas a t´ıtulo de curiosidade, veja como nos “tempos primitivos” calculavaπ . Vamos partir da fórmula se, por exemplo, o seno de 15o = 12 sen

a 2

=

r

1 − cos a 2

Substituindo nesta fórmula a = 30o , obtemos 30o r 1 − cos 30o = sen 2 2

Então

Simplificando

sen 15o =

s

1− 2

√

3 2

√ 2− 3 sen 15 = 2 Na tela a seguir, pedimos para a HP Prime calcular o seno de 15o o

p

mude sua calculadora para grau (Degrees) na tela da direita pedimos para simplificar o resultado obtido pela fórmula − para efeito de compara¸cão. 75

1.8.3

A fun¸ c˜ ao Map

Segundo o manual (da HP Prime ): Existem duas utiliza¸cões para esta fun¸cão, nas quais o segundo argumento é sempre um mapeamento de uma vari´ avel para uma express˜ ao. Se a express˜ ao for uma fun¸caõ da vari´ avel, a fun¸cão é aplicada a cada elemento do vetor ou matriz (o primeiro argumento) e é apresentado o vetor ou matriz resultante. Se a express˜ ao for um teste booleano, cada elemento do vetor ou matriz é testado e os resultados s˜ ao apresentados como um vetor ou matriz. Cada teste apresenta 0 (falha) ou 1 (aprova¸cão). Sintaxe map ( Matrix, Var → Fun¸ c~ ao) Ou map ( Matrix, Var → Teste) Em seguida o manual fornece os dois exemplos seguintes

Na tela da direita acrescentei mais um exemplo. O manual n˜ ao fornece nenhum exemplo de um caso onde o primeiro argumento da map seja uma matriz; fiz algumas tentativas, no entanto, pelas respostas, n˜ ao encontrei uma “l´ ogica”, um padrão. Por exemplo, na tela a seguir

apliquei a fun¸c˜ ao x → 2 x à matriz de entrada, o resultado foi o esperado: cada elemento da matriz é multiplicado por 2. Quando apliquei a fun¸cão 76

x → x−1, eu esperava que cada elemento da matriz fosse subtraido de 1, isto aconteceu apenas com os elementos da terceira coluna. Na matriz da direita temos duas outras simula¸c˜ oes, apenas a segunda me é intelig´ıvel; de formas que a explica¸c˜ ao do manual para mim ficou um tanto quanto nebulosa; cansado de tentar encontrar uma lógica decidi criar a minha pr´ opria fun¸cão “map”, isto é, uma que atenda ao enunciado “Se a express˜ ao for uma fun¸ca õ da vari´ avel, a fun¸ca õ é aplicada a cada elemento da matriz (o primeiro argumento) e é apresentado a matriz resultante.” A fun¸c˜ ao que criei tem a seguinte: Sintaxe mapii ( Matrix, Var → express~ ao) ei-la:

à direita temos duas simula¸c˜ oes.

1.8.4

A fun¸c˜ ao Zip

Aplica uma fun¸c˜ ao bivariada aos elementos de duas listas ou vetores e apresenta os resultados num vetor. Sem o valor predefinido, o comprimento do vetor é o m´ınimo dos comprimentos das duas listas. Com o valor predefinido, a lista mais curta é preenchida com o valor predefinido. Sintaxe: zip(‘function’ , List1, List2, Default)

77

1.8.5

A fun¸ c˜ ao remove

Dado um vetor ou lista, remove as ocorrências de Valor ou remove os valores que tornam o Teste verdadeiro e apresenta o vetor ou lista resultante. Sintaxe: remove(Value, List) ou remove(Test, List) Veja os dois exemplos seguintes

Aqui cabe uma pergunta: e se quisermos eliminar na lista do exemplo os x tais que x ≤ −2 e x ≥ 2 ?. Basta concatenar remove, assim:

78

1.8.6

A fun¸c˜ ao solve

A fun¸c˜ ao solve − e outras que nos interessam − pode ser acessada na caixa de ferramentas, assim:

Ademais, escolha a configura¸c˜ ao da tela à direita. Solve: Apresenta uma lista das solu¸cões (reais e complexas) de uma equa¸cão polinomial ou de um conjunto de equa¸cões polinomiais. Sintaxe: solve(Eq,[Var])

ou

solve(Eq1, Eq2,. . . , [Var])

Nas telas a seguir, temos alguns exemplos

Como um outro exemplo, na tela a seguir pedimos para resolver a equa¸cão quadr´ atica, a x2 + b x + c = 0

Na tela da direita criamos uma fun¸cão (programa) para resolver uma equa¸cão quadr´ atica, vemos uma simula¸c˜ ao. 79

Tabela-Resumo Comando

Sintaxe

p.

MAKELIST

MAKELIST (express˜ ao, vari´ avel, inicio, fim, incremento)

30

MAKEMAT (express˜ ao, linhas, colunas) P Somat´ orio (express˜ ao, vari´ avel, in´ıcio, fim)

41

FOR

FOR contador FROM in´ıcio TO fim DO cla´ usula c´ıclica END

53

FOR-STEP

FOR variavel FROM in´ıcio TO fim STEP h DO cla´ usula c´ıclica END

54

WHILE

WHILE cla´ usula de teste

60

IF-THEN

usula de teste IF cla´

THEN comandos END

62

IF-THENELSE-END

IF cla´ usula de teste

THEN cla´ usula verdadeira ELSE cla´ usula falsa

64

MAKEMAT

DO comandos END

38

END apply

apply ( Var → f(Var),

map

map ( Matrix, Var → Fun¸ c~ ao)

76

REPLACE

REPLACE(nome, in´ ıcio, objeto)

72

Zip

zip(‘function’ , List1, List2, Default)

77

remove

remove(Test, List)

78

solve

solve(Eq, Var)

79

vetor)

80

71

Um Belo Desafio! - II − A quem interessar possa. Introdu¸ c˜ ao: 12

Considere a sequência dos quadrados dos naturais

22

32

42

52

62

72

...


4

9

16

25

36

49

3

5

7

9

11

13

...

2

2

2

2

2

...

...

produzimos duas diferen¸ cas entre os termos da primeira sequência. Considere a sequência dos cubos dos n´ umeros naturais 13

23

33

43

53

63

73

...


8

27

64

125

216

343

7

19

37

61

91

127

...

12

18

24

30

36

...

6

6

6

6

...

...

produzimos trˆ es diferen¸ cas entre os termos da primeira sequência.

Desafio: Considere a sequência dos naturais à m-ésima potência: a(n) = nm , onde m é um natural arbitrariamente fixado. Fa¸ca um programa onde entramos com m e j e o mesmo saia com uma fórmula para a sequência que corresponde ` a diferen¸ca de ordem j da sequência a(n) = nm . Nota: Resolvemos este Desafio na HP Prime . Na tela da esquerda fazemos duas simula¸c˜ oes para o primeiro diagrama acima, a(n) = n2 . Na tela do centro fazemos duas simula¸c˜ oes para o segundo diagrama acima, a(n) = n3 . Na tela da direita, a partir da fórmula dada geramos os 10 primeiros termos das respectivas sequências.

Gentil, o iconoclasta [email protected]

Boa vista-RR/07.08.2016

81

1.9

Polinˆ omios

Coeficientes Dado um polinˆ omio em x, apresenta um vetor que contém os coeficientes. Se o polinˆ omio estiver numa vari´ avel que n˜ ao x, então, declare a vari´ avel como o segundo argumento. Com um n´ umero inteiro como terceiro argumento opcional, apresenta o coeficiente do polinˆ omio cujo grau coincide com o n´ umero inteiro. Sintaxe: coeff(Poly, [Var], [Integer]) Exemplos:

p(x) = x2 + 0 x − 2

p(y) = y 2 + 0 y − 2

Divisores Dado um polinˆ omio, apresenta um vetor que contém os divisores do polinˆ omio. Sintaxe: divis(Poli) ou divis(Poli1, Poli2,...) Exemplos:

82

Lista de fatores Apresenta um vetor com os fatores primos de um polinˆ omio ou uma lista de polinˆ omios, com cada fator seguido pela respectiva multiplicidade. Sintaxe: factors(Poly) ou factors(Poly1, Poly2,...) Exemplos:

MDC Apresenta o m´ aximo divisor comum a dois ou mais polin´ omios. Sintaxe: gcd(Poli1,Poli2...) Exemplos:

MMC Apresenta o m´ınimo m´ ultiplo comum a dois ou mais polinˆ omios. Sintaxe: lcm(Poli1, Poli2,...) Exemplos:

83

Polinˆ omio – Criar Poli. → Coef.

Dado um polinˆ omio, apresenta um vetor que contém os coeficientes do polinˆ omio. Com uma vari´ avel como segundo argumento, apresenta os coeficientes de um polinˆ omio relativamente à vari´ avel. Com uma lista de vari´ aveis como segundo argumento, apresenta o formato interno do polinˆ omio. Sintaxe: symb2poly(Expr,[Var]) ou symb2poly(Expr, Var1, Var2,...) Exemplos:

Coef. → Poli.

Com um vetor como argumento, apresenta um polinˆ omio em x com coeficientes (por ordem descendente) obtidos a partir do vetor do argumento. Com uma vari´ avel como segundo argumento, apresenta um polinˆ omio semelhante nessa vari´ avel. Sintaxe: poly2symb(Vetor, [Var]) Exemplos:

84

Ra´ızes → Coef.

Apresenta um vetor que contém os coeficientes (por ordem decrescente) do polinˆ omio de uma u ´ nica vari´ avel, cujas ra´ızes s˜ ao especificadas no vetor do argumento. Sintaxe: pcoeff(Lista) Exemplos:

→

p(x) = x2 − 1

p(x) = x2 − 2

Na u ´ ltima linha da tela da direita observamos que podemos concatenar (compor) estes comandos.

Ra´ızes → Poli.

Assume um vetor como argumento. O vetor contém cada raiz ou polo de uma fun¸c˜ ao racional. Cada raiz ou polo é seguido pela respetiva ordem, tendo os polos uma ordem negativa. Apresenta a fun¸cão racional em x que possui as ra´ızes e polos (com as respetivas ordens) especificados no vetor do argumento. Sintaxe: fcoeff(Vetor) em que em que Vetor tem a forma [Root1, Order1, Root2, Order2...]). Exemplo:

85

Incluimos a tela da direita para facilitar o entendimento deste comando. Calculamos as ra´ızes do numerador (da fun¸cão racional) e o fatoramos. No vetor do argumento, [1, 2, 0, 1, 3, −1] temos que 1 é ra´ız do numerador, com multiplicidade 2; 0 é ra´ız do numerador, com multiplicidade 1 e, como é fácil ver, 3 é ra´ız do denominador (por isto chama-se p´ olo da fun¸cão racional) com multiplicidade 1.

´ Polinˆ omio – Algebra Quociente. Apresenta um vetor que contém os coeficientes do quociente euclidiano de dois polin´ omios. Os polin´ omios podem ser escritos como uma lista de coeficientes ou em forma simb´ olica. Sintaxe: quo(List1, List2, [Var]) ou quo(Poli1, Poli2, [Var])

Resto. Apresenta um vetor que contém os coeficientes do resto do quociente euclidiano de dois polinˆ omios. Os polinˆ omios podem ser escritos como uma lista de coeficientes ou em forma simb´ olica. Sintaxe: rem(List1, List2, [Var]) ou rem(Poli1, Poli2, [Var]) Antes de exemplificar na Calculadora, vejamos um exemplo, “na m˜ ao”; vamos dividir os dois polinˆ omios a seguir, x4 + 2x3 + 3x2 + 4x

e

− x2 + 2x

Veja como fica, x4 + 2x3 + 3x2 + 4x

−x2 + 2x

−x2 − 4x − 11 ← (quociente)

−x4 + 2x2 4x3 + 3x2 + 4x

+ :

−4x3 + 8x2 11x2 + 4x

+ :

−11x2 + 22x + :

26x

← (resto) 86

Na HP Prime fica assim

Na tela da direita temos um outro exemplo.

Grau. Apresenta o grau de um polinˆ omio. Sintaxe: degree(Poli) Exemplos:

Coef. MDC. Apresenta o m´ aximo divisor comum (MDC) dos coeficientes de um polin´ omio. Sintaxe: content(Poli,[Var]) Exemplos:

87

ratnormal Reescreve uma express˜ ao como uma fra¸cão racional irredut´ıvel. Sintaxe: ratnormal(Expr)

Fra¸c˜ ao parcial Realiza a decomposi¸cão de uma fra¸cão em fra¸cões parciais. Sintaxe: partfrac(RatFrac) Exemplos:

Adendo polar− point

Dados o raio e o ˆ angulo de um ponto na forma polar, apresenta o ponto com as coordenadas retangulares na forma complexa. Sintaxe: polar− point(Radius, Angle)

rectangular− coordinate

Dado um vetor que contém as coordenadas polares de um ponto, apresenta um vetor que contém as coordenadas retangulares do ponto. Sintaxe: retangular− coordinate(vector) Exemplos:

88

Zeros Com uma express˜ ao como argumento, apresenta os zeros da express˜ ao, ou seja, as solu¸c˜ oes quando a express˜ ao é definida como igual a zero.

Resolver complexa Apresenta uma lista das solu¸co˜es complexas de uma equa¸caõ polinomial ou de um conjunto de equa¸c˜ oes polinomiais. Independentemente da configura¸cão do CAS.

Zeros de complexa Com uma express˜ ao como argumento, apresenta um vetor que contém os zeros de complexa da express˜ ao, ou seja, as solu¸cões quando a express˜ ao é definida como igual a zero.

Nota: Esteja atento para a diferen¸ca entre equa¸cão e express˜ ao.

89

1.10

N´ umero inteiro

Divisores Apresenta a lista de divisores de um n´ umero inteiro ou uma lista de n´ umeros inteiros. Sintaxe: idivis(Integer) ou idivis({Intgr1, Intgr2,...}) Exemplos:

Fatores Apresenta a decomposi¸cão dos fatores primos de um n´ umero inteiro. Sintaxe: ifactor(Integer) Exemplos:

90

Nota: Em alguns casos, ifactor pode falhar. Nestes casos, ir´ a dar o produto de -1 e o oposto da entrada. O-1 indica que a decomposi¸caõ falhou.

Lista de fatores Apresenta um vetor com os fatores primos de um n´ umero inteiro ou uma lista de n´ umeros inteiros, com cada fator seguido pela respetiva multiplicidade. Sintaxe: ifactors(Integer) ou ifactors({Intei1, Intei2,...}) Exemplo:

MDC Apresenta o m´ aximo divisor comum a dois ou mais n´ umeros inteiros. Sintaxe: gcd(Intei1, Intei2,...) Exemplo:

91

MMC Apresenta o m´ınimo m´ ultiplo comum a dois ou mais n´ umeros inteiros. Sintaxe: lcm(Intei1, Intei2,...) Exemplo:

N´ umero inteiro – Primo Testa se ´ e Primo Testa se um determinado n´ umero inteiro é ou n˜ ao um n´ umero primo. Sintaxe: isPrime(Integer) Exemplos:

N-´ esimo Primo Apresenta o n-ésimo n´ umero primo. Sintaxe: isPrime(Integer) Exemplo:

92

Primo seguinte Apresenta o primo ou pseudo-primo seguinte ap´ os um n´ umero inteiro. Sintaxe: nextprime(Integer) Exemplo:

Primo anterior Apresenta o n´ umero primo ou pseudo-primo mais pr´ oximo de, mas inferior a, um n´ umero inteiro. Sintaxe: prevprime(Integer) Exemplo:

93

N´ umero-Divis˜ ao Quociente Apresenta o quociente inteiro da divisão euclidiana de dois n´ umeros inteiros. Sintaxe: iquo(Intei1, Intei2) Exemplo:

63

23

17

2 ← (quociente)

Resto Apresenta o resto inteiro da divisão euclidiana de dois n´ umeros inteiros. Sintaxe: irem(Intei1, Intei2) Exemplo:

23

63 17

94

տ

2 ← (quociente) (resto)

an MOD p Para os três n´ umeros inteiros a, n e p, apresenta an m´ odulo p em [0, p−1]. Sintaxe: powmod(a, n, p,[Expr],[Var]) Exemplo:

52

13

42

3

12

1 ← (quociente)

1

5 ← (quociente)

տ

(resto)

տ

(resto)

Resto chinˆ es Teorema do Resto Chinês de n´ umeros inteiros para duas equa¸cões. Pega em dois vetores de n´ umeros inteiros, [a, p] e [b, q], e apresenta um vetor de dois n´ umeros inteiros, [r, n], de modo que x ≡ r mod n. Neste caso, x é tal que x ≡ a mod p e x ≡ b mod q; também n = p ∗ q. Sintaxe:

ichinrem([a,p],[b,q]) Exemplo:

95

∗

∗

Gentil, bom dia!

∗ (email: 11/06/2012)

Aproveitei esses feriados estendidos em SP e li bem seu livro. Pratiquei todos os exerc´ıcios propostos e pratiquei todos os programas. Foi muito bom mesmo. Aprendi muito! [. . .] N˜ ao sou matem´ atico, sou engenheiro mecˆ anico formado em 1975. Na minha época de faculdade, n˜ ao havia calculadoras ainda. Tudo era feito na régua de c´ alculo ou no l´ apis e borracha. A minha Aristo tenho até hoje. [. . .] Apesar de eu j´ a me encontrar no fim da linha (fim de carreira - 60 anos), ainda tenho disposi¸ca õ para aprender. Pedir ao Ariovaldo (Siqueira) para que me enviasse uma foto da sua régua para que eu pudesse mostrá-la aos meus alunos. Ele respondeu: Em anexo encontra-se para sua aprecia¸ca õ o seu pedido. Tenho duas réguas de c´ alculo, a Aristo e a Sterling Slide Rule. Na época eu fazia tudo com elas em engenharia, ambas eu comprei em 1970 e as usei até 1978. Depois aposentei as duas e comprei minha primeira Texas.

Foto-Ariovaldo

96

Gentil Lopes

Livro HP50g 1 mensagem

Cleber Pertel 9 de maio de 2013 22:11 Para: [email protected] Professor Gentil, Chamo-me Cleber e sou acadêmico do curso de Engenharia Qu´ımica da Universidade Federal do Paran´ a. Estou escrevendo para o senhor para parabeniz´ a-lo pela sua obra “Programando a HP - 50g”. Esse livro é fantástico! Tem me ajudado muito. Confesso que quando necessitei comprar a referida calculadora, senti-me extremamente ignorante. Tinha a ferrari, mas me sentia andando num monociclo. O seu livro fez toda a diferen¸ca no caminho que percorri para adentrar no fantástico mundo da programa¸cão. Embora meus passos ainda sejam modéstos, tornaram-se firmes gra¸cas à sua preciosa ajuda. Embora n˜ ao seja seu aluno fisicamente, sinto-me tal e qual, pois o senhor, através do seu livro, tornou-se indispens´ avel em minha vida acadêmica, da mesma forma que os mestres que possuo na universidade. Infelizmente n˜ ao estamos pr´ oximos, pois eu gostaria muito de um aut´ ografo seu, mas, de qualquer forma, receba com estas palavras meu carinho e gratid˜ ao por uma obra t˜ ao rica que, humildemente, fala aos iniciantes (categoria na qual estou inclu´ıdo) e, mais do que isso, nos abre as portas do interesse e da curiosidade para adentrar nesse mundo ´ımpar que o seu livro conduz-nos os primeiros passos, quando estes ainda s˜ ao vacilantes. Que Deus o aben¸coe! Um forte abra¸co, com votos de paz, Cleber Pertel

97

98

Cap´ıtulo

2

Aplica¸cões - Mix Até ent˜ ao a ciência se caracterizara por duas abordagens. “Aqueles que trataram de ciência foram ou homens de experimento ou homens de dogma. Os homens de experimento s˜ ao como a formiga; apenas colhem e usam; os raciocinadores assemelham-se a aranhas, que fazem teias com sua pr´ opria substˆ ancia. Mas a abelha adota o meio-termo; colhe seu material das flores do jardim e do campo, mas o transforma e digere por um poder que lhe é pr´ oprio.” ( Paul Strathern/“O sonho de Mendeleiev”)

Introdu¸ c˜ ao Como se sabe, no universo da m´ usica existem os compositores e os intérpretes, na ciência, e em particular na matem´ atica, acontece o mesmo; na matem´ atica sou intérprete e compositor, já perdi as contas do n´ umero de fórmulas que demonstrei (construi) na matem´ atica, dentre elas uma que os matem´ aticos tentaram por muito tempo (p. 172) − fórmulas brotam da minha mente aos borbot˜ oes!. Neste cap´ıtulo veremos algumas fórmulas de minha lavra, concomitantemente com mais aplica¸c˜ oes para a HP Prime . O leitor eventualmente interessado nas demonstra¸c˜ oes matem´ aticas dever´ a consultar nosso livro citado na referência [6]. Apenas a t´ıtulo de informa¸c˜ ao, trabalho com a fam´ılia de calculadoras HP h´ a muitos anos (h´ a mais de 20), escrevi um livro sobre programa¸cão da HP 50g e até hoje ainda me surpreendo com a potência de cálculo destes computadores de bolso; a potência se refere n˜ ao apenas a cálculos numéricos mas, sobretudo, algébricos. Pois bem, desta vez fiquei pasmo por ter resolvido um desafio matem´ atico que comparece na se¸cão 2.3 “sem pegar no lápis”, apenas via manipula¸c˜ oes algébricas na pr´ opria calculadora (sem “anotar nada”, reitero); com o objetivo de provar que a HP Prime supera muitas das outras linguagens de programa¸cão − como creio − deixo aqui o desafio aos estudantes de Ciência da Computa¸ca õ, ou a quem interessar possa, que o resolvam (p. 127) na linguagem de suas preferências!. 99

2.1

C´ alculo de combina¸ c˜ oes

Introdu¸c˜ ao: A conhecida fórmula da an´ alise combinat´ oria n n! = r (n − r)! r! nos fornece o n´ umero de combina¸cões dos n elementos de um conjunto, tomados r a r. Mas esta fórmula n˜ ao nos fornece as tais combina¸cões. O nosso objetivo nesta se¸caõ é exibir uma fórmula que tem precisamente esta finalidade. A matriz a seguir nos fornece todas as combina¸cões poss´ıveis para um conjunto com quatro elementos { a1 ,

a4 }

a2 ,

a3 ,

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

{

}

{ a1 }

{ a2 }

{ a1 , a2 } { a3 }

{ a1 , a3 }

{ a2 , a3 }

{ a1 , a2 , a3 } { a4 }

{ a1 , a4 }

{ a2 , a4 }

{ a1 , a2 , a4 }

{ a3 , a4 }

{ a1 , a3 , a4 }

{ a2 , a3 , a4 }

{ a1 , a2 , a3 , a4 }

Onde convencionamos que onde ocorre 1 o elemento entra na combina¸cão, onde ocorre 0 o elemento n˜ ao entra na combina¸cão. Esta matriz pode facilmente ser generalizada para um conjunto com um n´ umero arbitrário de elementos, digamos n. Lembramos que o s´ımbolo ⌊ x ⌋ representa a fun¸cão m´ aximo inteiro (que n˜ ao supera x), ou fun¸c˜ ao piso. Na HP Prime é denotada por FLOOR.

100

Uma f´ ormula para a matriz de combina¸c˜ oes Em nosso livro citado na referência [6] demonstramos a seguinte fórmula para a matriz de combina¸c˜ oes

 k j i−1  é par;  0, se j−1  2 aij = k j   i−1  1, se é ´ımpar. j−1 2

Na tela a seguir programamos esta matriz, entramos com n e o programa sai com a respectiva matriz de combina¸cões

nas duas outras telas temos duas simula¸cões. Nas telas a seguir temos um (´ unico) programa que recebe um conjunto e sai com o conjunto das partes (conjunto de todos os subconjuntos)

101

Nas telas a seguir

temos duas simula¸c˜ oes do programa; na tela da esquerda entramos com o conjunto { a, b, c } e na tela da direita com o conjunto { a1 , a2 , a3 , a4 } .

Nota: Não esquecer de resetar as letras (p. 22) − se necessário. Ademais, evite incluir a letra e em um conjunto, esta letra é reservada para a base do logaritmo neperiano. Nas telas a seguir

entramos com um conjunto e r, o programa sai com todas as combina¸cões dos elementos do conjunto tomados r a r. Observe que o programa anterior (MTXC1) é utilizado. Na tela da direita vemos uma simula¸cão para o conjunto { a1 , a2 , a3 , a4 } e r = 3.

102

2.2

Desenvolvimento N -´ ario

Matriz Bin´ aria Sabe-se que dados dois inteiros a e N , com a ≥ 0 e N > 1, existem (e s˜ ao u ´ nicos) inteiros c0 , c1 , . . . , cn ; de tal modo que a = c0 + c1 · N + c2 · N 2 + · · · + cn · N n com 0 ≤ ci < a (i = 0, 1, . . . , n). A express˜ ao anterior é chamada expans˜ ao N -ária do inteiro a. O sistema de numera¸c˜ ao de base 2 obtém-se escolhendo um conjunto com dois s´ımbolos: S = { 0, 1 }. Na matriz seguinte temos a expans˜ ao bin´ aria dos inteiros 0, 1, 2, . . . , 15. 20 21 22 23

=⇒

20 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

21 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

22 23 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 = 0·20 + 0·21 + 0·22 + 0·23 1 = 1·20 + 0·21 + 0·22 + 0·23 2 = 0·20 + 1·21 + 0·22 + 0·23 3 = 1·20 + 1·21 + 0·22 + 0·23 4 = 0·20 + 0·21 + 1·22 + 0·23 5 = 1·20 + 0·21 + 1·22 + 0·23 6 = 0·20 + 1·21 + 1·22 + 0·23 7 = 1·20 + 1·21 + 1·22 + 0·23 8 = 0·20 + 0·21 + 0·22 + 1·23 9 = 1·20 + 0·21 + 0·22 + 1·23 10 = 0·20 + 1·21 + 0·22 + 1·23 11 = 1·20 + 1·21 + 0·22 + 1·23 12 = 0·20 + 0·21 + 1·22 + 1·23 13 = 1·20 + 0·21 + 1·22 + 1·23 14 = 0·20 + 1·21 + 1·22 + 1·23 15 = 1·20 + 1·21 + 1·22 + 1·23

Em nosso livro [6] demonstramos a seguinte fórmula

anj =

j n k j n k − 2 j j+1 2 2

que nos fornece o desenvolvimento bin´ ario de um inteiro positivo n.

103

Para programar a matriz bin´ aria necessitaremos da varia¸cão de j. Observe que se n 1 n n · j = j+1 < 1 ⇒ anj = 0. ⇒ j < 1 2 2 2 2 Portanto, devemos considerar apenas os valores de j, satifazendo a desigualdade n j ⇐⇒ 2 ≤ n. Isto é, j = 0, 1, 2, . . . , ⌊log2n ⌋. j ≥ 1 2 Exemplo: Encontre a expans˜ ao bin´ aria de 20. Solu¸ c˜ ao: ⌊log20 ⌋ = 4. Para j = 0, 1, 2, 3, 4; obtemos 2 j=0

⇒ a20,0 = ⌊ 200 ⌋ − 2⌊

20 20+1

⌋ = 20 − 2 · 10 = 0

j=1

⇒ a20,1 = ⌊ 201 ⌋ − 2⌊

20 21+1

⌋ = 10 − 2 · 5

=0

j=2

⇒ a20,2 = ⌊ 202 ⌋ − 2⌊

20 22+1

⌋=5−2·2

=1

j=3

⇒ a20,3 = ⌊ 203 ⌋ − 2⌊

20 23+1

⌋=2−2·1

=0

j=4

⇒ a20,4 = ⌊ 204 ⌋ − 2⌊

20 24+1

⌋=1−2·0

= 1.

2

2

2

2

2

Logo, 20 = (0 0 1 0 1)2 . Ou ainda 20 = 0 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 Na tela a seguir programamos a matriz bin´ aria

na tela da direita temos algumas simula¸cões.

104

Matriz Tern´ aria O sistema de numera¸c˜ ao de base 3 obtém-se escolhendo um conjunto com três s´ımbolos: S = { 0, 1, 2 }. Na matriz seguinte temos a expans˜ ao dos inteiros 0, 1, 2, . . . , 26, na base 3.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

30 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2

31 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2

32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 = 0 · 30 + 0 · 31 + 0 · 32 1 = 1 · 30 + 0 · 31 + 0 · 32 2 = 2 · 30 + 0 · 31 + 0 · 32 3 = 0 · 30 + 1 · 31 + 0 · 32 4 = 1 · 30 + 1 · 31 + 0 · 32 5 = 2 · 30 + 1 · 31 + 0 · 32 6 = 0 · 30 + 2 · 31 + 0 · 32 7 = 1 · 30 + 2 · 31 + 0 · 32 8 = 2 · 30 + 2 · 31 + 0 · 32 9 = 0 · 30 + 0 · 31 + 1 · 32

10 = 1 · 30 + 0 · 31 + 1 · 32 11 = 2 · 30 + 0 · 31 + 1 · 32 12 = 0 · 30 + 1 · 31 + 1 · 32 13 = 1 · 30 + 1 · 31 + 1 · 32 14 = 2 · 30 + 1 · 31 + 1 · 32 15 = 0 · 30 + 2 · 31 + 1 · 32 16 = 1 · 30 + 2 · 31 + 1 · 32 17 = 2 · 30 + 2 · 31 + 1 · 32 18 = 0 · 30 + 0 · 31 + 2 · 32 19 = 1 · 30 + 0 · 31 + 2 · 32 20 = 2 · 30 + 0 · 31 + 2 · 32 21 = 0 · 30 + 1 · 31 + 2 · 32 22 = 1 · 30 + 1 · 31 + 2 · 32 23 = 2 · 30 + 1 · 31 + 2 · 32 24 = 0 · 30 + 2 · 31 + 2 · 32 25 = 1 · 30 + 2 · 31 + 2 · 32 26 = 2 · 30 + 2 · 31 + 2 · 32

Uma fórmula para a matriz tern´ aria é dada a seguir

anj =

j n k j n k − 3 3j 3j+1 105

O sistema de numera¸cão de base N > 1 obtém-se escolhendo um conjunto com N s´ımbolos: S = { s0 , s1 , . . . , sN−1 }. No sistema de base 10 usualmente toma-se S = { 0, 1, 2, . . . , 9 }. Se N ≤ 10, utilizam-se os s´ımbolos 0, 1, 2, . . . , 9 e se N > 10 utilizam-se os s´ımbolos 0, 1, 2, . . . , 9 e se introduzem s´ımbolos adicionais para representar 10, . . . , N − 1. Por exemplo, o sistema de numera¸cão hexadecimal (base 16), largamente utilizado em eletrˆ onica digital, usa 16 s´ımbolos: S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } A fórmula a seguir generaliza as matrizes bin´ aria e tern´ aria para uma base N qualquer j n k j n k − N anj = Nj N j+1 Onde (fixado n), j = 0, 1, 2, . . . , ⌊logNn ⌋. Exemplo: Obter o desenvolvimento de 538 na base hexadecimal. Solu¸ c˜ ao: Para N = 16, temos ⌊log16538 ⌋ = 2. Então, j 538 k j 538 k a538, j = − 16 , j = 0, 1, 2. 16j 16j+1 Temos j = 0 ⇒ a538, 0 = ⌊ 5380 ⌋ − 16⌊

538 160+1

⌋ = 538 − 16 · 33 = 10

j = 1 ⇒ a538, 1 = ⌊ 5381 ⌋ − 16⌊

538 161+1

⌋ = 33 − 16 · 2

=1

j = 2 ⇒ a538, 2 = ⌊ 5382 ⌋ − 16⌊

538 162+1

⌋ = 2 − 16 · 0

=2

16 16 16

Como 10 ≡ A, resulta, 538 = (A 1 2)16 . Na tela a seguir programamos a matriz N -ária

na tela da direita algumas simula¸cões na base N = 3 e N = 16. Nota: Deduzi a matriz N -ária em abril/1999 (Ver [6]).

106

2.3

Progress˜ ao aritm´ etica bidimensional

Nesta se¸c˜ ao estudaremos as Progress˜ oes Aritméticas Bidimensionais − uma generaliza¸c˜ ao das progress˜ oes aritméticas − que nos possibilitará algumas aplica¸c˜ oes interessantes, bem como novas aplica¸cões na HP Prime . Lembramos que N = { 1, 2, 3, . . . }

No¸c˜ oes iniciais: sequˆ encias duplas Uma sequência dupla é uma aplica¸cão do tipo: a(m, n) : N × N → R Em uma sequência dupla qualquer, cada elemento é indicado por aij . O ´ındice i indica a linha e o ´ındice j a coluna às quais o elemento pertence. Com a conven¸c˜ ao de que as linhas sejam numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita, temos: a11

a12

a13

a14

...

a21

a22

a23

a24

...

a31

a32

a33

a34

...

a41

a42

a43

a44

...

............................ Exemplos de sequências duplas: a) Seja a sequência a : N × N → R dada por aij = (−1)i+j . Segundo a conven¸c˜ ao feita, temos: 1

−1

1

−1

1

...

−1

1

−1

1

−1

...

1

−1

1

−1

1

...

−1

1

−1

1

−1

...

1

−1

1

−1

1

...

..................................

107

b) Seja a sequência a : N × N → R dada por  1, se i − j = 1;     aij = −1, se i − j = −1;     0, nos demais casos.

segundo a conven¸c˜ ao feita, temos:

0

−1

0

0

0

...

1

0

−1

0

0

...

0

1

0

−1

0

...

0

0

1

0

−1

...

0

0

0

1

0

...

.................................

− Uma sequência dupla limitada em linhas é a que possui um n´ umero finito M de linhas; uma sequência dupla limitada em colunas é a que possui um n´ umero finito N de colunas; uma sequência dupla limitada em linhas e colunas − ou simplesmente limitada − é a que possui M linhas e N colunas, assim: a11

a12

a13

...

a1N

a21

a22

a23

...

a2N

a31

a32

a33

...

a3N

............................... aM 1

aM 2

aM 3

...

aM N

− Uma sequência dupla quadrada de ordem N é aquela em que M = N , isto é, uma sequência com igual n´ umero de linhas e colunas.

108

Vamos agora definir um tipo especial de sequência dupla: Defini¸ c˜ ao 1. Chama-se progress˜ ao aritmética bidimensional ( PA-2D) uma sequência dupla dada pela seguinte fórmula de recorrência:   a11 = a    a1j = a1(j−1) + r1 , j ≥ 2;     aij = a(i−1)j + r2 , i ≥ 2, j ≥ 1. Onde: a11 = a, r1 e r2 s˜ ao constantes dadas. Vejamos a ideia que est´ a por tr´ as desta defini¸cão. Inicialmente s˜ ao dados: a11 •

r1

r2 Agora construimos a progress˜ ao aritmética da linha 1, assim: a11 •

r1 •

•

•

• ...

r2 Agora podemos descer com “com passos de r2 ” por qualquer coluna, assim:

r2

r1

a11 •

•

•

•

• ...

•

•

•

•

• ...

•

•

•

•

• ...

•

•

•

•

• ...

··························· · ·

109

Exemplos: (a) a11 = 1, r1 = 2 e r2 = 1. Temos a seguinte PA-2D: 1

3

5

7

9

...

2

4

6

8

10

...

3

5

7

9

11

...

4

6

8

10

12

...

5

7

11

13

14

...

............................. (b) a11 = 5, r1 = −1 e r2 = 1. Temos a seguinte PA-2D: 5

4

3

2

1

...

6

5

4

3

2

...

7

6

5

4

3

...

8

7

6

5

4

...

9

8

7

6

5

...

..........................

Nota¸ c˜ ao: Adotaremos a seguinte simbologia para uma PA-2D: a11

r1

r2

As PA-2D dos dois exemplos anteriores s˜ ao representadas por 1

5

2

1

1

110

−1

2.3.1

F´ ormula do termo geral de uma PA-2D

Não seria razo´ avel − nem mesmo sensato − recorrermos à defini¸cão para encontrar um termo qualquer de uma PA-2D. A seguir damos uma fórmula que nos d´ a acesso direto a qualquer termo de uma PA-2D. Teorema 1 (Fórmula do termo geral de uma PA-2D). Na PA-2D em que o primeiro termo é a11 , a raz˜ ao das linhas é r1 e a raz˜ ao das colunas é r2 o (i, j)-termo é: aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 Exemplo: Calcule os termos a41 , a14 e a33 da seguinte PA-2D: 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

..........................

Solu¸ c˜ ao: Do diagrama tiramos: a11 = 5, r1 = 1 e r2 = −1. Então aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 5 + (j − 1) 1 + (i − 1) (−1) = −i + j + 5 Logo a41 = −4 + 1 + 5 = 2, a14 = −1 + 4 + 5 = 8, a33 = −3 + 3 + 5 = 5.

111

F´ ormula do termo geral na HP Prime O que me faz entusiasta da calculadora HP Prime − além da computa¸cão algébrica − é a possibilidade de se fazer programas extremamente compactos, veja por exemplo a fórmula do termo geral de uma PA-2D em apenas uma u ńica linha!: aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2

Neste programa entramos com a11 r1 e r2 e obtemos a PA-2D de ordem 6 × 6. Na tela da direita temos a PA-2D do exemplo anterior. Propriedades numa PA-2D Decorrem da fórmula do termo geral de uma PA-2D aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 as seguintes propriedades:

(Exerc´ıcio)

P1) Qualquer linha ou coluna em uma PA-2D resulta em progressão aritmética. P2) Dado qualquer “retˆ angulo” em uma PA-2D a soma de dois vértices opostos é igual ` a soma dos outros dois vértices:

ai

1 j1

+ ai

2 j2

= ai

1 j2

+ ai

2 j1

Veja um exemplo: 5

6

7

8

9

...

a22

4

5

6

7

8

...

5

6

7

3

4

5

6

7

...

5

6

2

3

4

5

6

...

4 a32

1

2

3

4

5

...

a24

a34

a22 + a34 = a24 + a32

.......................... 112

Duas consequências imediatas desta propriedade s˜ ao: Em qualquer PA-2D , qualquer termo é a soma do primeiro termo de sua linha com o primeiro termo de sua coluna menos o primeiro termo da PA-2D . 1a )

aij = ai1 + a1j − a11 Exemplo: 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

a34 = a31 + a14 − a11 6= 3 + 8 − 5

.......................... 2 a ) Em uma PA-2D vale ainda:

aij = a(i−1)j + ai(j−1) − a(i−1)(j−1) Exemplo: 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

a34 = a(3−1)4 + a3(4−1) − a(3−1)(4−1)

a34 = a24 + a33 − a23 6= 7 + 5 − 6

..........................

113

Observe o mês de janeiro de 2017:

1

1

7

temos na matriz acima uma PA-2D onde a11 = 1, r1 = 1 e r2 = 7. Confira as propriedades anteriores. Nos telefones de teclas, e também ha HP Prime, podemos discernir uma PA-2D:

A propósito, em projeto de computadores existe a necessidade de se conhecer o valor de uma tecla em fun¸cão de sua posi¸cão no teclado.

aij = 3i + j − 3

114

P3) Os elementos da diagonal principal de uma PA-2D quadrada est˜ ao em P.A. de primeiro termo a11 e raz˜ ao r1 + r2 . Confira esta propriedade nas seguintes PA-2D: −1

1

3

5

7

...

1

3

5

7

9

...

3

5

7

9

11

...

5

7

9

11

13

...

7

9

11

13

15

...

...............................

P4) Os elementos da diagonal secundária de uma PA-2D quadrada de ordem N est˜ ao em P.A. de primeiro termo a1N e raz˜ ao r2 − r1 . Confira esta propriedade nas seguintes PA-2D:

−1

1

3

5

7

1

3

5

7

9

3

5

7

9

11

5

7

9

11

13

7

9

11

13

15

N = 3, a13 = 9 N = 3, a13 = 3 ւ

115

2.3.2

Soma dos termos de uma PA-2D

Vamos exibir uma fórmula para calcular a soma Si×j dos i×j “primeiros” termos de uma PA-2D. Teorema 2 (Soma dos termos de uma PA-2D). Em uma PA-2D a soma Si×j dos i × j termos iniciais vale Si×j =

[ 2a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

Corol´ ario 1. Em toda PA-2D tem-se:

Si×j =

(a11 + aij ) i × j 2

Exemplos: (a) Calcule S2×3 para a PA-2D: 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

5

1

−1

..........................

Solu¸ c˜ ao: Basta substituir os dados da PA-2D na fórmula acima: S2×3 =

[ 2 · 5 + (3 − 1) 1 + (2 − 1) (−1) ] 2 × 3 = 33 2

116

Utilizando a propriedade P2: ai

1 j1

(p. 112)

+ ai

2 j2

= ai

1 j2

+ ai

2 j1

a11 + aij = a1j + ai1 e a equa¸c˜ ao Si×j =

(a11 + aij ) i × j 2

Si×j =

(ai1 + a1j ) i × j 2

podemos escrever:

Isto é, em uma PA-2D , a soma dos n´ umeros dentro de um “retˆ angulo” de dimenões i × j, é o semiproduto da soma dos n´ umeros de quaisquer dois vértices opostos pela “´ area do retˆ angulo”. Observe isto nas PA-2D seguintes:

S2×3 =

(1 + 6) 2 × 3 = 21 2

S3×2 =

(7 + 2) 3 × 2 = 27 2

S2×6 =

(1 + 13) 2 × 6 = 84 2

S2×3 =

(4 + 3) 2 × 3 = 21 2

S3×2 =

(1 + 8) 3 × 2 = 27 2

S2×6 =

(8 + 6) 2 × 6 = 84 2

Observe que como as linhas e as colunas em uma PA-2D est˜ ao em P.A., nas “propriedades da soma” n˜ ao é necessário que o vértice superior esquerdo do retˆ angulo esteja fixo em a11 . Por exemplo, na figura ao lado,

S2×3 =

(4 + 9) 2×3 2

117

= 39

Exemplo: Calcule o somat´ orio duplo abaixo: 10 X 5 X

j=1 i=1

(3 i + 2 j − 1)

Solu¸ c˜ ao: Fa¸camos aij = 3 i + 2 j − 1. Vamos usar a equa¸cão Si×j =

(a11 + aij ) i × j 2

Ent˜ ao, a11 = 3 · 1 + 2 · 1 − 1 = 4 e a5, 10 = 3 · 5 + 2 · 10 − 1 = 34 Logo, S5×10 =

(4 + 34) 5 × 10 = 950 2

Portanto, 5 10 X X

j=1 i=1

(3 i + 2 j − 1) = 950

Generalizando este exemplo, temos: m n X X

(a i + b j + c) =

j=1 i=1

[ (m + 1) a + (n + 1) b + 2 c ] m × n 2

(c) Determine a soma de todos os inteiros que figuram na tabela abaixo: 1

2

3

...

n

2

3

4

...

n+1

3

4

5

...

n+2

.......................................... n

n+1

n+2

...

n + (n − 1)

Solu¸ c˜ ao: O leitor n˜ ao ter´ a dificuldades em perceber que a soma pedida é equivalente ` a soma do n × n termos da seguinte PA-2D: a11 = 1, r1 = 1 e r2 = 1. Ent˜ ao: Sn×n =

[ 2 · 1 + (n − 1) 1 + (n − 1) 1 ] n × n = n3 2 118

Uma outra propriedade de uma PA-2D est´ a na seguinte proposi¸cão: Proposi¸ c˜ ao 1. Considere uma PA-2D em que a11 , r1 e r2 s˜ ao inteiros. Se i e j s˜ ao ambos ´ımpares, ent˜ ao a11 + aij = ai1 + a1j é par. Veja dois exemplos: 5

6

7

8

9

...

5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

1

2

3

4

5

...

..........................

..........................

Observe que a contrapositiva da proposi¸cão acima é: Se a11 + aij = ai1 + a1j é ´ımpar então i ou j é par. Exemplos: 5

6

7

8

9

...

5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

1

2

3

4

5

...

..........................

..........................

Observe que esta propriedade é menos trivial − menos imediata − que as anteriores.

119

2.3.3

Lineariza¸c˜ ao de sequˆ encias duplas

Nesta se¸c˜ ao exibiremos o conceito de lineariza¸ c˜ ao de uma sequência dupla, o qual aumentar´ a substancialmente o espectro de aplica¸cões das progressões aritméticas 2D. O que chamaremos de lineariza¸ca õ de uma sequência dupla − limitada em colunas − é o procedimento de transformá-la em uma sequência simples (an ), colocando as linhas uma ap´ os a outra. Nota: Sempre que falarmos em lineariza¸cão de uma sequência dupla, fica subentendido que a mesma tem N colunas. Exemplo: Linearizar a sequência dupla abaixo: a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

................ Solu¸ c˜ ao: Basta escrever uma linha ap´ os a outra, assim: a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

...

Equa¸ co ˜es de lineariza¸ c˜ ao No estudo da lineariza¸cão de uma sequência dupla surgem dois problemas a serem resolvidos: ao (i, j) de um termo qualquer na sequência dupla , deter1 o ) Dada a posi¸c˜ minar sua posi¸c˜ ao n na sequência linearizada; e, inversamente: 2 o ) Dada a posi¸c˜ ao n de um termo na sequência linearizada, determinar sua localiza¸c˜ ao (i, j) na sequência dupla . Para a solu¸c˜ ao do primeiro problema temos n = aij = N (i − 1) + j Para a solu¸c˜ ao do segundo problema temos  n−1  i= N +1

  j = n − N n−1 N 120

Exemplo: Linearizando-se uma sequência dupla com cinco colunas, qual a nova posi¸c˜ ao ocupada pelos termos a32 , a24 , a35 e a21 ? Solu¸ c˜ ao: Para N = 5, utilizando a fórmula n = aij = N (i − 1) + j temos: n = 5(i − 1) + j, logo a32

⇒

n = 5(3 − 1) + 2 = 12

a24

⇒

n = 5(2 − 1) + 4 = 9

a35

⇒

n = 5(3 − 1) + 5 = 15

a21

⇒

n = 5(2 − 1) + 1 = 6

Confira a11

a12

a13

a14

a15

a21

a22

a23

a24

a25

a31

a32

a33

a34

a35

a41

a42

a43

a44

a45

.................................. O programa seguinte recebe uma matriz e utiliza a fórmula n = aij = N (i − 1) + j para transfer´ı-la para um vetor

Na tela da direita vemos um exemplo de aplica¸cão do programa.

121

Exemplo: Para a PA-2D seguinte 1

1

−1 calcular os termos a7 , a11 e a14 (sequência linearizada), com N = 5. Solu¸ c˜ ao: Com N = 5, temos:  n−1  +1 i= 5

  j = n − 5 n−1 5

Ent˜ ao n=7

⇒

i=

n = 11

⇒

i=

n = 14

⇒

i=

7−1 5

11−1 5

14−1 5

j = 7 − 5 7−1 =2 5

+ 1 = 2,

j = 11 − 5 11−1 =1 5

+ 1 = 3,

j = 14 − 5 14−1 =4 5

+ 1 = 3,

Na fórmula do termo geral, temos

aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) (−1) = −i + j + 1 Portanto

a22 = −2 + 2 + 1 = 1 a31 = −3 + 1 + 1 = −1 a34 = −3 + 4 + 1 = 2

Confira 1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

−1

0

1

2

3

−2

−1

0

1

2

............................. 122

Soma em uma sequˆ encia linearizada Agora vamos exibir uma fórmula para a soma Sn dos n termos iniciais de uma sequência linearizada, conhecidos a1 , r1 , r2 e N .

Sn =

[ 2a1 + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

+ j(a1 + (i − 1) r2 ) +

j(j−1) r1 2

Exemplo: Calcule a soma dos n primeiros termos da sequência 1

1

2

2

3

3

4

4

...

Solu¸ c˜ ao: A sequência em quest˜ ao pode ser vista como a lineariza¸cão da seguinte PA-2D: 1

1

2

2

3

3

4

4

a11 = 1

r1 = 0

N =2 r2 = 1

...... Sendo assim, temos:

Sn =

[ 2a1 + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

Sn =

[ 2·1 + (2−1) 0 + (i−2) 1 ] (i−1)×2 2

+ j(a1 + (i − 1) r2 ) +

+ j(1 + (i − 1) 1) +

j(j−1) r1 2

j(j−1) 0 2

Simplificando Sn = i (i − 1) + j i Substituindo   j = n − N (i − 1)  i = n−1 + 1 N

⇒

e simplificando, chegamos a

  j = n − 2(i − 1)  i = n−1 + 1 2

n − 1 2 n−1 +n − Sn = (n − 1) 2 2 123

Na tela a seguir programamos a equa¸cão

Sn =

[ 2a1 + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

+ j(a1 + (i − 1) r2 ) +

j(j−1) r1 2

Na tela da direita temos o exemplo anterior. Como valorizar seus conhecimentos matem´ aticos Exemplo: Calcule a soma dos n primeiros termos da sequência dos naturais 1

2

3

4

5

6

7

8

...

Solu¸ c˜ ao: Escolhendo um N arbitrário, digamos N = 3, a sequência em quest˜ ao pode ser vista como a lineariza¸cão da seguinte PA-2D:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a11 = 1

r1 = 1

N =3 r2 = 3

.............. Portanto, a soma dos n primeiros n´ umeros naturais − via lineariza¸cão de sequências duplas − vale Sn =

n (n + 1) 2

124

Exemplo: Encontre as fórmulas do termo geral e da Soma para a sequência 0

1

2

0

1

2

0

1

2

...

Solu¸ c˜ ao: A sequência em quest˜ ao pode ser vista como a lineariza¸cão da seguinte PA-2D: 0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

a11 = 0

r1 = 1

N =3 r2 = 0

.......... Temos: a(n) = aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 0 + (j − 1) 1 + (i − 1) 0 = j − 1 Substituindo   j = n − N (i − 1)  i = n−1 + 1 N

⇒

temos

Portanto

  j = n − 3(i − 1)  i = n−1 + 1 3

n−1 a(n) = n − 3(i − 1) − 1 = n − 3 −1 3 n−1 a(n) = n − 1 − 3 3

Na tela a seguir programamos este exemplo, confira na tela do centro

125

Na u ´ ltima tela acima obtemos a soma dos termos da sequência, vale n−1 2 + n2 − n (9 − 6n) + 9 n−1 3 3 Sn = 2 Na tela a seguir fizemos uma ligeira altera¸cão no programa da fórmula do termo geral

Agora o programa sai com a fun¸cão e n˜ ao com a express˜ ao do termo geral, na tela da direita usamos o comando MAKELIST para, a partir da fórmula do termo geral, gerar os termos da sequência do exemplo, confira 0

1

2

0

1

2

0

1

2

...

Na tela a seguir fizemos uma ligeira altera¸cão no programa da soma

Agora o programa sai com a fun¸cão e n˜ ao com a express˜ ao da soma, na tela da direita calculamos alguns exemplos de soma dos n primeiros termos da sequência acima. Observamos na tela direita que ST(3) = 3 e ST(9) = 9, o que nos sugere elaborar o seguinte desafio ao leitor: Desafio: Para que valores de n teremos Sn = n para a sequência (?): 0

1

2

0

1

2

0

Ou melhor, para a sequência acima teremos

Sn = n

⇐⇒

Prove matematicamente sua conclusão!

126

n =?

1

2

...

Um Singelo Desafio Condidere a seguinte sequência: 0

1

2

0

1

2

0

1

2

...

ou seja, a tripla 0, 1, 2 se repete indefinidamente. Considere a sequência Sn da soma dos termos desta sequência, por exemplo: S1 = 0,

S2 = 1,

S3 = 3,

S4 = 3,

S5 = 4,

S6 = 6,

S7 = 6.

como é fácil ver. Desafio: Para que valores de n teremos Sn = n para a sequência em ques-

tão?. Ou melhor, para a sequência acima teremos

Sn = n

⇐⇒

n =?

Prove matematicamente sua solu¸ c˜ ao, n˜ ao aceitamos “argumentos heur´ısticos”.

Nota: Resolvi este desafio com o aux´ılio da calculadora HP Prime; desconfio que a HP Prime é superior a muitas das outras linguagens de programa¸cão, para confirmar (ou n˜ ao) minha suspeita deixo este desafio aos estudantes de Ciência da Computa¸c˜ ao, que podem pedir aux´ılio de qualquer linguagem de suas preferências. Ademais, observe a dupla seta ⇐⇒ .

Boa Sorte!

Boa Vista-RR/23.02.2018 [email protected]

127

Exemplo: Considere a sequência dos n´ umeros naturais. Retire desta sequência todos os m´ ultiplos de p (p ≥ 2, natural arbitrariamente fixado). Encontre para a sequência resultante: (a) Uma fórmula para o termo geral; (b) Uma fórmula para a soma dos n primeiros termos. Solu¸ c˜ ao: Inicialmente temos N:

1

2

3

4

5

6

7

8

...

Se p = 2 teremos a sequência dos ´ımpares. Consideremos p > 2. Neste caso, temos: 2 ... p −1

1

p

p+1

p + 2 . . . 2p − 1

2p

2p + 1 . . .

Claramente esta sequência pode ser arranjada no seguinte quadro: 1

2

...

p−1

p+1

p+2

...

2p − 1

2p + 1

2p + 2

...

3p − 1

............................................. que nada mais é que a seguinte PA-2D limitada em colunas: a11 = 1

r1 = 1

N =p−1 r2 = p

Logo a(n) = aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) p = j + (i − 1) p 128

Substituindo   i = n−1 +1 N

  i = n−1 p−1 + 1

⇒

 j = n − N (i − 1)

 j = n − (p − 1)(i − 1)

simplificando, chegamos a

an = n +

j

n−1 p−1

k ←−assim

Pois bem, para a soma dos termos, temos:

Sn =

[ 2a1 + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

Sn =

+ j(a1 + (i − 1) r2 ) +

[ 2·1 + ((p−1)−1) 1 + (i−2) p ] (i−1)×(p−1) 2

+ j (1 + (i − 1) p) +

j(j−1) r1 2

j(j−1) 1 2

Simplificando, temos: j n − 1 k2 p(p − 1) jn−1 k j(j + 1) Sn = + + pj p−1 2 p−1 2 n−1 Substituindo j = n − (p − 1) p−1 , obtemos: n(n + 1) p − 1 j n − 1 k2 p − 1 − 2n j n − 1 k Sn = − − 2 2 p−1 2 p−1 Não parece cr´ıvel, mas podemos encontrar Sn pela calculadora, veja:

n2 + 2n

j

n−1 p−1

k

+n−p

j

n−1 p−1

k2

−p

j

n−1 p−1

k

+

j

n−1 p−1

k2

+

j

n−1 p−1

k

2 Até por inspe¸c˜ ao direta vemos que os dois resultados s˜ ao equivalentes.

129

Apˆ endice: Para n˜ ao perder de vista, deixamos registrado aqui como resolvemos o desafio da p´ agina 127. Pois bem, tendo em conta que para a sequência 0

1

2

0

1

2

0

1

2

...

temos Sn =

n−1 3

2 (9 − 6n) + 9 n−1 + n2 − n 3 2

desejamos resolver a equa¸cão Sn = n, ou ainda n−1 n − 1 2 (9 − 6n) + 9 + n2 − 3 n = 0 3 3

Vamos necessitar do seguinte conceito: Parti¸ c˜ ao dos naturais Para os seguintes subconjuntos de N: N1 = {1, 3, 5, 7, . . .},

n = 2k − 1,

k = 1, 2, 3, . . .

N2 = {2, 4, 6, 8, . . .},

n = 2k,

k = 1, 2, 3, . . .

temos N1 ∪ N2 = N e N1 ∩ N2 = ∅. Por esta raz˜ ao dizemos que os conjuntos N1 e N2 formam uma parti¸cão de N. Isto é, todo natural pertence a um e somente um destes conjuntos. Os três seguintes subconjuntos de N: N1 = { 1, 4, 7, 10, . . .},

n = 3k − 2,

k = 1, 2, 3, . . .

N2 = { 2, 5, 8, 11, . . .},

n = 3k − 1,

k = 1, 2, 3, . . .

N3 = { 3, 6, 9, 12, . . .},

n = 3k,

k = 1, 2, 3, . . .

formam uma outra parti¸cão de N. Para resolver o desafio utilizaremos esta u ´ ltima parti¸cão; ademais, poderiamos fazê-lo “na m˜ ao”, no entanto, utilizaremos os recursos da calculadora, a t´ıtulo de exemplo. Antes

130

Listaremos agora algumas propriedades da fun¸cão maior inteiro: Proposi¸ c˜ ao 2. Se x e y s˜ ao n´ umeros reais, então: (i) ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1. (ii) x ≤ y

⇒

⌊x⌋ ≤ ⌊y⌋.

(iii) ⌊x + m⌋ = ⌊x⌋ + m, para todo m ∈ Z. (iv) ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋ ≤ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + 1. x (v) ⌊x⌋ m = m , para todo m ∈ Z. (vi) 0 ≤ ⌊x⌋ − 2 x2 ≤ 1.

Pois bem, iniciamos digitando a express˜ ao correspondente ao lado esquerdo da equa¸c˜ ao n−1 n − 1 2 (9 − 6n) + 9 + n2 − 3 n = 0 3 3

isto é feito na tela a seguir

salvamos a express˜ ao na vari´ avel SD, para efeitos de manipula¸cão algébrica. Considerando a parti¸c˜ ao a seguir N1 = { 1, 4, 7, 10, . . .},

n = 3k − 2,

k = 1, 2, 3, . . .

N2 = { 2, 5, 8, 11, . . .},

n = 3k − 1,

k = 1, 2, 3, . . .

N3 = { 3, 6, 9, 12, . . .},

n = 3k,

k = 1, 2, 3, . . .

na tela do centro pedimos para substuituir na express˜ ao SD n = 3k − 2. Na tela da direita temos o resultado. Observe que a calculadora n˜ ao simplifica − e com raz˜ ao − a express˜ ao ⌊−1 + k⌋ = FLOOR(−1 + k) mas n´ os sabemos tratar-se de um n´ umero inteiro. Utilizaremos a propriedade ⌊x + m⌋ = ⌊x⌋ + m, 131

para todo

m∈Z

Vamos colaborar com a calculadora na simplifica¸cão da express˜ ao da u ´ ltima tela acima, para isto pediremos que ela fa¸ca a seguinte substitui¸cão FLOOR(−1 + k) = −1 + k Observe a linha de entrada na tela a seguir

com o cursor posicionado antes da v´ırgula pedimos uma cópia da express˜ ao, o resultado é a tela da direita. Isto significa que o valor da express˜ ao

para

n − 1 2 n−1 (9 − 6n) + 9 + n2 − 3 n 3 3 n = 3k − 2

(k = 1, 2, 3, . . .)

N1 = { 1, 4, 7, 10, . . .}

é −2. Portanto, para todos os naturais do conjunto N1 , temos n−1 n − 1 2 (9 − 6n) + 9 + n2 − 3 n = −2 6= 0 3 3

Vejamos as duas outras possibilidades. Na tela a seguir vamos substituir n = 3k − 2 por n = 3k − 1

a segunda das possibilidades em N1 = { 1, 4, 7, 10, . . .},

n = 3k − 2,

k = 1, 2, 3, . . .

N2 = { 2, 5, 8, 11, . . .},

n = 3k − 1,

k = 1, 2, 3, . . .

N3 = { 3, 6, 9, 12, . . .},

n = 3k,

k = 1, 2, 3, . . .

132

O resultado é a tela do centro acima. Vamos colaborar com a calculadora na simplifica¸c˜ ao da express˜ ao da u ´ ltima tela acima, para isto pediremos que ela fa¸ca a seguinte substitui¸c˜ ao 3k − 2 3k − 2 = FLOOR =k 3 3 O resultado é como na tela a seguir

Portanto, para todos os naturais do conjunto N2 , temos n−1 n − 1 2 + n2 − 3 n = 4 6= 0 (9 − 6n) + 9 3 3 Na tela do centro e da direita temos o mesmo procedimento para a terceira alternativa a seguir N1 = { 1, 4, 7, 10, . . .},

n = 3k − 2,

k = 1, 2, 3, . . .

N2 = { 2, 5, 8, 11, . . .},

n = 3k − 1,

k = 1, 2, 3, . . .

N3 = { 3, 6, 9, 12, . . .},

n = 3k,

k = 1, 2, 3, . . .

Portanto, para todos os naturais do conjunto N3 , temos n − 1 2 n−1 + n2 − 3 n = 0 (9 − 6n) + 9 3 3 Esta é a solu¸c˜ ao do desafio: n é m´ ultiplo de 3. Na tela a seguir executamos novamente o programa da soma

na tela da direita listamos os 20 primeiros valores da soma, obtendo 12 , 12, 13, 15, 15, 16, 18, 18, 19 } 9 , 9, 10, |{z} 6 , 6, 7, |{z} { 0, 1, |{z} 3 , 3, 4, |{z} S3

S6

S12

S9

133

2.4

Progress˜ ao aritm´ etica tridimensional

Uma sequência tripla é uma aplica¸cão do tipo: a(m, n, p) : N × N × N → R Em uma sequência tripla qualquer, cada elemento é indicado por aijk . O ´ındice i indica a linha, o ´ındice j a coluna e o ´ındice k a cota (altura) às quais o elemento pertence. Com a conven¸cão de que as linhas sejam numeradas de cima para baixo, as colunas da esquerda para a direita e as cotas de baixo para cima, temos: a113

a123

a213

a133

a223 a112

a233 a122

a313

a132

a323

a333

a212

a222 a111

a232 a121

a131 k

a312

a322

a332

a211

a221

a231 j

a311

a321

i

a331

Veja esta figura de uma outra perspectiva: a113

a123

a213

a223

a313

a233

a323

a333

a112

a122

a212

a132

a222

a312

a232

a322

a332

a111

a121

a211

a311

a133

a131

a221

a321

a231

a331

134

Em uma sequência tripla temos alguns planos a definir: • Plano-linha: é todo plano em que i = m (m ∈ N fixado); • Plano-coluna: é todo plano em que j = n (n ∈ N fixado); • Plano-cota: é todo plano em que k = p (p ∈ N fixado).

− Plano-linha

− Plano-coluna

− Plano-cota

Em uma sequência tripla de base quadrada definimos: • Plano-diagonal principal (P.D.P.): é o plano em que i = j; • Plano-diagonal secundário (P.D.S.): é o plano em que i + j = N + 1.

− Plano P.D.P.

− Plano P.D.S.

135

Vamos agora definir um tipo especial de sequência tripla: Defini¸ c˜ ao 2. Chama-se progressão aritmética tridimensional (PA-3D) uma sequência tripla dada pela seguinte fórmula de recorrência:  a111 = a        a1j1 = a + r1 , j ≥ 2; 1(j−1)1 i ≥ 2, j ≥ 1.

  aij1 = a(i−1)j1 + r2 ,      aijk = aij(k−1) + r3 ,

i ≥ 1, j ≥ 1, k ≥ 2.

Onde: a111 = a, r1 , r2 e r3 s˜ ao constantes dadas.

a113

a123

a213

a133

a223 a112

a313

a233 a122

a323 a212

a132 a333

a222 a111

a232 a121

a131 z

a312

a322 a211

a332 a221

a231 y

a311

a321

x

a331

Observe como se d´ a a dinˆ amica desta constru¸cão,

r3

k

r1

j i

aijk = aij(k−1) + r3

r2

a111

a1j1 = a1(j−1)1 + r1

aij1 = a(i−1)j1 + r2

136

Vejamos a ideia que est´ a por tr´ as desta defini¸cão. Inicialmente s˜ ao dados: r3 • a111

r1

r2 Agora construimos a progress˜ ao aritmética da linha 1, assim: r3

k

r1

• a111

a1j1 = a1(j−1)1 + r1

j i

r2 Isto é, a111

a121

a131

a partir daqui podemos construir qualquer coluna, assim: a111

a121

r1 ...

a131 ...

a211 ...

a311 r2

aij1 = a(i−1)j1 + r2

... ..

.

..

.

..

.

..

.

a partir daqui podemos construir qualquer cota, assim: .. .

.. .

.. .

.. .

.. . .. . .. .

r3

a111 a211

a121

a131

... ...

a311 r2

r1 ...

... ..

.

..

.

..

.

..

.

137

aijk = aij(k−1) + r3

r1 ...

Exemplos: (a) A seguir temos uma PA-3D em que a111 = 4, r1 = 2, r2 = 3 e r3 = 1. 6

8

9

10

11

13

5

7

12

14

9 16

8

10

12

4

6

11

13

8 15

7

9

10

11

12

14

(b) A seguir temos uma PA-3D com a111 = −1, r1 = 1, r2 = 3 e r3 = 2. 5

6

8

9

11 14

12

15

16

10

11 14

11

9

8

9

7

3

1 4

7 10

r3 = 2

10

0

6

4

13

−1

5

3 6

12

2

12 15

5 8

6 9

2

4

10

5 8

1

7

14

17

7

13

8 11

4

6 9

10 13

3

12

7

2 5

8 11

138

−1

r2 = 3

r1 = 1

Por uma quest˜ ao de curiosidade observe que todos os planos (plano-linha, plano-coluna ou plano-cota) resultam em em uma PA-2D. Por exemplo, para o plano k = 1, temos aij1 = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = −1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 Isto é, a fórmula do termo geral do plano k = 1 é aij1 = 3i + j − 5. Para o plano k = 2, temos aij2 = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 Isto é, a fórmula do termo geral do plano k = 2 é aij2 = 3i + j − 3. Veja

1

2

4

5

7 11

12

8

0 3

6 9

10 13

−1

5

1 4

7 10

aij2 = 3i + j − 3

7

9

2

4

6

8

10

3

2 5

8 11

Isto pode ser provado (Exerc´ıcio).

139

aij1 = 3i + j − 5

2.4.1

F´ ormula do termo geral de uma PA-3D

Teorema 3 (Fórmula do termo geral de uma PA-3D). Na PA-3D em que o primeiro termo é a111 , a raz˜ ao das linhas é r1 , a raz˜ ao das colunas é r2 e a raz˜ ao das cotas é r3 o (i, j, k)-termo é: aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 Exemplo: Calcule os termos a222 , a323 e a343 da PA-3D em que a111 = −1, r1 = 1, r2 = 3 e r3 = 2. Solu¸ c˜ ao: Substituindo os dados na fórmula do termo geral, temos aijk = −1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 + (k − 1) 2 Simplificando aijk = 3i + j + 2k − 7 Sendo assim, temos a222 = 5,

a323 = 10,

a344 = 14

Confira no diagrama a seguir 5

6

8

9

11 14

12

15

9

16

7

8

r3 = 2

10 13

3

1 4

7 10

4 7

0

6 9

3

9

−1

5

12

6

12

2

9

2

5

11

6

15

↓

8

10

14

8

14 1

11

5

11

13

8

17

7

↓

4

↓

4

10

12

10 13

3 6

7

2 5

8 11

140

−1

r2 = 3

r1 = 1

Exemplo: Obter a PA-3D em que a131 = 3, a123 = 8, a234 = 14, e a333 = 13. Solu¸ c˜ ao: Para obter a PA-3D é necessário encontrar a111 , r1 , r2 e r3 . Então a131 = 3

⇒ a111 + (3 − 1) r1 + (1 − 1) r2 + (1 − 1) r3 = 3

a123 = 8

⇒ a111 + (2 − 1) r1 + (1 − 1) r2 + (3 − 1) r3 = 8

a234 = 14 ⇒ a111 + (3 − 1) r1 + (2 − 1) r2 + (4 − 1) r3 = 14 a333 = 13 ⇒ a111 + (3 − 1) r1 + (3 − 1) r2 + (3 − 1) r3 = 13 Simplificando temos o seguinte sistema linear 

1 2 0 0

 1 1 0 2    1 2 1 3 1 2 2 2



a111

 r  1    r2 r3





3



  8      =   14  13

Resolvendo este sistema, encontramos 10

11

12 14 16

17

18 8

9 11

10 12

7 9

r3 = 3

11

↓

1

3

5 7

9

7 9

2 4

6 8

6

13

1

7

12

8

12

3

10

14

10

11

9

5

6

5

19 ւ

16

4

10

17

13

15

13 15

11

↓

14

8

14

16

7

13

↓

13 15

12

4

r2 = 2

6 8

10

141

r1 = 1

(FUVEST-SP) Os n´ umeros inteiros positivos s˜ ao dispostos em “quadrados” da seguinte maneira: 1

2

3

10

11

12

19

4

5

6

13

14

15

7

8

9

16

17

18

·· ··

··

·· ··

··

·· ··

···

O n´ umero 500 se encontra em um desses “quadrados”. A “linha” e a “coluna” em que o n´ umero 500 se encontra s˜ ao, respectivamente: a) 2 e 2

b) 3 e 3

c) 2 e 3

d) 3 e 2

e) 3 e 1

Solu¸ c˜ ao: Podemos considerar os quadrados como planos em uma PA-3D: 19 22 25

20 23

26

16

11 14 18

1

2 5

8

12 15

17

4 7

24 27

10 13

21

r3 = 9 3

1

r1 = 1

r2 = 3

6 9

Neste caso, temos aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 + (k − 1) 9 Logo, aijk = 3i + j + 9k − 12. Fazendo 3i + j + 9k − 12 = 500

⇒

k=

512 − (3i + j) 9

Observe que 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3. A u ´ nica combina¸cão de i e j que produz k inteiro é i = j = 2. Para estes valores descobrimos ainda que o n´ umero 500 se encontra no “quadrado” (plano) de n´ umero k = 56. 142

Concatena¸c˜ ao da fun¸ c˜ ao map Vamos considerar a fun¸c˜ ao map vista na p´ agina 76. O interessante é que “concatenando” esta fun¸c˜ ao podemos trabalhar com fun¸co˜es de duas ou mais vari´ aveis. Exemplo: Consideremos a seguinte PA-2D 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

.......................... cuja fórmula do termo geral é, aij = −i + j + 5. Digitando a tela a seguir

dando Enter teremos a tela do centro. Aplicamos novamente a fun¸cão map ao resultado anterior, s´ o que agora j varia, como na tela da direita. Dando Enter teremos a tela a seguir

agora basta tomar a transposta (comando transpose) da matriz anterior e teremos a tela da direita, que é a PA-2D acima.

143

Concatenando duas vezes a fun¸cão map podemos obter uma matriz 3D; por exemplo, considerando o programa seguinte (duas primeiras telas)

aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 Na tela da direita temos uma simula¸cão para a PA-3D da questão da FUVEST (p. 142). Nota: duplicamos os ´ındices no programa por que estava dando problema.

19 22 25

20 23

26

16

11 14 18

1

2 5

8

12 15

17

4 7

24 27

10 13

21

3 6

9

aijk = 3i + j + 9k − 12

Na primeira tela acima salvamos a matriz 3D na vari´ avel FUV, na tela abaixo mostramos como podemos acessar individualmente os elementos desta matriz, ou ent˜ ao, cada linha e cada plano da matriz.

144

Na figura seguinte adaptamos o programa anterior para sair com quatro planos de uma PA-3D 5

6

8

9

11 14

12

15

16

10

11

7

8

8

10 13

3

1 4

7 10

4 7

0

6 9

3

9

−1

5

12

6

12

2

9

2 5

11

6

15

1

10

5 8

14

4

11

17

7

13

8

14

4

6 9

10 13

3

12

7

2 5

8 11

Na tela da direita fizemos uma simula¸cão para a PA-3D da esquerda. Caso se queira ver a PA-3D plano a plano basta digitar o plano desejado, por exemplo, veja:

Ainda conseguimos introduzir uma melhoria no programa anterior.

145

O programa seguinte 10

11

12 14 16

13 15

17

18

12

13

8

9

9 11

2

3 5

7 9

7

13

4 6

8

6

10 12

3

7

14

8

1

5

12

5 7

11

10

16

4

10

9 11

15

6

15

19

10

14

13

17

8

9 11

14 16

7

13

12

4 6

8 10

sai com uma PA-3D plano a plano, em uma lista.

Propriedades numa PA-3D Decorrem da fórmula do termo geral de uma PA-3D aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 as seguintes propriedades:

(exerc´ıcio)

P1) Qualquer plano (linha, coluna ou plano cota) em uma PA-3D resulta em progress˜ ao aritmética plana.

− Plano-linha

− Plano-coluna

146

− Plano-cota

P2) Em uma PA-3D o plano cota k = p est´ a em PA-2D de primeiro termo a11p e raz˜ oes r1 e r2 .

10

11

12 14 16

13 15

17

18

12

13

8

9

7

9 11

2

3 5

7 9

7

13

4 6

8

r2 6

10 12

3

a11p r1

14

8

1

5

12

5 7

11

10

16

4

10

9 11

15

6

15

19

10

14

13

17

8

9 11

14 16

7

13

12

4 6

− Plano-cota

8 10

P3) Em uma PA-3D de base quadrada o plano diagonal principal est´ a em PA-2D de primeiro termo a111 e raz˜ oes r1 + r2 e r3 .

r3 a111

r1 + r2

− Plano P.D.P. 147

P4) Em uma PA-3D de base quadrada o plano diagonal secundário est´ a em PA-2D de primeiro termo a1N1 e raz˜ oes r2 − r1 e r3 .

r3

r1 r2 −

a1N1

− Plano P.D.S.

P5) Dado qualquer “paralelep´ıpedo” em uma PA-3D, a soma dos termos das arestas verticais opostas de um dos planos diagonais é igual a soma dos termos das arestas verticais opostas do outro plano diagonal. Veja um exemplo: 6

8

9

11 5

12

14

11

13

8

13

↓

16

12

10

15 9

11

↑12

11

↑

15 9

12

14

12 6

7

9

13

11

16 10

4

10

13 7

8

↓

10

14

14

No paralelep´ıpedo em destaque na figura da direita, temos: (11 + 16) + (10 + 15) + (9 + 14) = (12 + 11) + (13 + 12) + (14 + 13)

Esta propriedade é decorrência da propriedade P2 das PA-2D (p. 112) e do fato de que todo plano-cota é uma PA-2D.

148

2.4.2

Soma dos termos de uma PA-3D

Vamos exibir uma fórmula para calcular a soma Si×j×k dos i × j × k “primeiros” termos de uma PA-3D. Teorema 4 (Soma dos termos de uma PA-3D). Em uma PA-3D a soma Si×j×k dos i × j × k termos iniciais vale Si×j××k =

[ 2a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 ] i × j × k 2

Corol´ ario 2. Em toda PA-3D tem-se:

Si×j×k =

(a111 + aijk ) i × j × k 2

Exemplo: Calcule o somat´ orio triplo abaixo: 3 2 X 2 X X

k=1 j =1 i=1

(3 i + j + 9 k − 12)

Solu¸ c˜ ao: Fa¸camos aijk = 3 i + j + 9 k − 12. Vamos usar a equa¸cão Si×j×k =

(a111 + aijk ) i × j × k 2

Então a111 = 3 · 1 + 1 + 9 · 1 − 12 = 1 e a322 = 3 · 3 + 2 + 9 · 2 − 12 = 17 Logo (1 + 17) 3 × 2 × 2 = 108 2 Generalizando o resultado anterior, para: S3×2×2 =

S =

p X m n X X

(a i + b j + c k + d)

k=1 j =1 i=1

temos S =

[ (m + 1) a + (n + 1) b + (p + 1) c + 2d ] m × n × n × p 2 149

Exemplo: Calcule S2×2×3 para a PA-3D dada por a111 = 4, r1 = 2, r2 = 3 e r3 = 1. Solu¸ c˜ ao: Calcularemos de dois modos, temos:

Si×j×k =

[ 2a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 ] i × j × k 2

S2×2×3 =

[ 2 · 4 + (2 − 1) 2 + (2 − 1) 3 + (3 − 1) 1 ] 2 × 2 × 3 = 90 2

Na outra alternativa, temos: Si×j×k =

(a111 + aijk ) i × j × k 2

S2×2×3 =

(4 + a223 ) 2 × 2 × 3 2

Na fórmula do termo geral temos aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 a223 = 4 + (2 − 1) 2 + (2 − 1) 3 + (3 − 1) 1 = 11 Substituindo, obtemos S2×2×3 = 90. Ao calcularmos S2×2×3 estamos somando, simultaneamente, todos os n´ umeros dentro do “volume” 2 × 2 × 3. No caso do exemplo em questão, observe geometricamente:

6

8

10

S2×2×3 9

11 5

12

14 8

10

9

16

13

7

8

8

15 9

12

11 5

12 6

7

8

9

10 4

11

6

13 7

7

14

150

10 4

11

6

9

2.4.3

Lineariza¸c˜ ao de sequˆ encias triplas

A exemplo do que foi feito para as sequências duplas, também é de interesse linearizar uma sequência tripla. O que chamamos de lineariza¸ c˜ ao de uma sequência tripla, limitada em linhas e colunas, é o procedimento de transformá-la em uma sequência simples (an ), colocando as linhas plano a plano, uma ap´ os a outra. Nota: Sempre que falarmos em lineariza¸cão de uma sequência tripla fica subentendido que a mesma tem M linhas e N colunas (ordem M × N × ∞). Exemplo: Linearizar a sequência tripla abaixo (M = N = 3): a113

a123

a213

a133

a223 a112

a233 a122

a313

a323

a132 a333

a212

a222 a111

a232 a121

a312

a322

a131 a332

a211

a221

a311

a231

a321

a331

Solu¸ c˜ ao: Basta escrever uma linha ap´ os a outra, assim: a111

a121

a131

a211

a221

a231

a311

a321

a331

...

a112

a122

a132

a212

a222

a232

a312

a322

a332

...

a113

a123

a133

a213

a223

a233

a313

a323

a333

...

Observe o leitor que a segunda linha no diagrama acima vem logo ap´ os a primeira, e a terceira logo ap´ os a segunda.

151

Equa¸ co ˜es de lineariza¸ c˜ ao No estudo da lineariza¸cão de uma sequência tripla surgem dois problemas a serem resolvidos: ao (i, j, k) de um termo qualquer na sequência tripla de1 o ) Dada a posi¸c˜ terminar sua posi¸c˜ ao n na sequência linearizada; e, inversamente: 2 o ) Dada a posi¸c˜ ao n de um termo na sequência linearizada, determinar sua localiza¸c˜ ao (i, j, k) na sequência tripla. A solu¸c˜ ao do primeiro problema acima é:

n = aijk = N (i − 1) + j + M N (k − 1) A solu¸c˜ ao para o segundo problema é:

j  k n−1  k = +1  MN      k j P −1 + 1, i = N        j = P − N (i − 1)

onde P = n − M N (k − 1)

152

Exemplo: Linearizando-se uma sequência tripla de ordem 4 × 4 × ∞, qual a nova posi¸c˜ ao ocupada pelos termos a222 , a323 e a344 ?. Solu¸ c˜ ao: Para M = N = 4, temos n = N (i − 1) + j + M N (k − 1) = 4(i − 1) + j + 4 · 4 (k − 1) Simplificando n = 4 i + j + 16 k − 20 Logo a222

⇒ n = 4 · 2 + 2 + 16 · 2 − 20 = 22

a323

⇒ n = 4 · 3 + 2 + 16 · 3 − 20 = 42

a344

⇒ n = 4 · 3 + 4 + 16 · 4 − 20 = 60

Interprete estes resultados para a sequência tripla a seguir: 5

6

8

9

11 14

12

15

9

16

8

r3 = 2

10 13

3

1 4

7 10

4 7

0

6 9

3

9

−1

5

12

6

12

2

9

2

5

11

6

15

↓

8

10

8

14 1

7

5

11

13

14

17

7

↓

4

↓

8 11

4

10

12

10 13

3 6

7

2 5

8 11

153

−1

r2 = 3

r1 = 1

Exemplo: Considere a sequência dos n´ umeros ´ımpares 1

3

5

7

9

11

13

15

17

...

armazenando esta sequência em uma PA-3D de ordem 3 × 3 × ∞ encontre a nova posi¸c˜ ao ocupada pelos ´ımpares 13, 27 e 51. Solu¸ c˜ ao: Substituindo M = N = 3 nas equa¸cões da lineariza¸cão, temos: j k  n−1  k = +1  3·3      j k i = P 3−1 + 1,        j = P − 3(i − 1)

onde P = n − 3 · 3(k − 1)

Necessitamos encontrar a posi¸cão n de cada um dos termos na sequência dada por an = 2n − 1. Então 13 ⇒ 13 = 2n − 1 ⇒ n = 7; 27 ⇒ 27 = 2n − 1 ⇒ n = 14; 51 ⇒ 51 = 2n − 1 ⇒ n = 26 Sendo assim, temos k  j 7−1  +1 k =  9      j k P −1 n=7 ⇒ i = + 1, 3        j = P − 3(i − 1)  k j 14−1  +1 k =  9      k j P −1 n = 14 ⇒ + 1, i = 3        j = P − 3(i − 1)  j k 26−1  k = +1  9      k j P −1 n = 26 ⇒ + 1, i = 3        j = P − 3(i − 1)

onde P = 7 − 9(k − 1)

onde P = 14 − 9(k − 1)

onde P = 26 − 9(k − 1)

154

 k=1    ⇒ i=3    j=1

⇒

 k=2    i=2

  

j=2

 k=3    ⇒ i=3    j=2

Ent˜ ao, os ´ımpares 13, 27 e 51 ocuparão na PA-3D as seguintes posi¸cões (i, j, k) = (3, 1, 1); 37 43 49

39 45

51

31

21

↑

1 7 13

23 29

35 3

9 15

41 47

27 33

(i, j, k) = (3, 2, 3)

53

↑ 19 25

(i, j, k) = (2, 2, 2);

5 11

17

↑ Aproveitamos o espa¸co sobrando na figura acima para fornecer um programa que implementa as equa¸c˜ oes da lineariza¸cão; na tela inferior resolvemos o exemplo em quest˜ ao. Exemplo: Como mais um exemplo de aplica¸cão das equa¸cões de linearização, podemos resolver a quest˜ ao da FUVEST-SP, p. 142. Naquela questão temos: M = N = 3 e n = 500. j  k n−1  k = +1  MN      k j P −1 + 1, onde P = n − M N (k − 1) i = N        j = P − N (i − 1)

Então  k j 500−1  + 1 = 56 k =  3·3      k j 5−1 + 1 = 2, i = 3        j = 5 − 3(2 − 1) = 2

onde P = 500 − 3 · 3(56 − 1) = 5

155

Soma em uma sequˆ encia linearizada Agora exibiremos uma fórmula para a soma Sn dos n termos iniciais de uma sequência linearizada (oriunda de uma PA-3D), conhecidos a1 , r1 , r2 , r3 , M e N .

← plano k

r3 r1

a1

r2

M N

Temos   SM ×N×(k−1) =             

S(i−1)×N k =

[ 2a111 + (N −1) r1 + (M −1) r2 + (k−2) r3 ] M ×N ×(k−1) 2

[ 2a11k + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

Sijk = jai1k +

j(j−1) r1 2

Sendo

S(n) = SM ×N×(k−1) + S(i−1)×Nk + Sijk Fórmula esta facilmente programável. Nota: Na referência [6] mostramos mais aplica¸cões deste tema.

156

2.5

Progress˜ ao aritm´ etica de ordem m

Este foi mais um dos temas que desenvolvemos. Aqui comparecem várias fórmulas inéditas. Existem pelo ao menos duas formas de se definir o que s˜ ao progress˜ oes aritm´ eticas de ordem m, aqui nesta se¸cão vamos optar por uma delas. Inicialmente consideremos a sequência dos cubos dos n´ umeros naturais: 13

23

33

43

53

63

...

216

...

Ou ainda 1

8

27

64

125

Fa¸camos sucessivas diferen¸cas entre os termos consecutivos desta sequência para obter a seguinte sequência: 7

19

37

61

91

...

Procedamos da mesma forma em rela¸cão a sequência acima, para obter: 12

18

24

30

...

E ainda mais uma u ´ ltima diferen¸ca: 6

6

6

...

Obtivemos uma sequência constante. Vamos resumir isto em um s´ o diagrama, assim: 1

8

27

64

125

216

...

7

19

37

61

91

...

∆1 an

12

18

24

30

...

∆ 2 an

6

6

6

...

∆ 3 an

Onde anotamos: ∆m an = m - ésima diferen¸ca da sequência an .

157

∆0 an

Agora estamos em condi¸cões de estabelecer a seguinte: Defini¸ c˜ ao 3 (Progress˜ ao aritmética de ordem m). Uma sequência (an ) é uma progress˜ ao aritmética de ordem m se e somente se ∆m an = constante 6= 0 Usaremos da seguinte nota¸cão:

P.A.m para uma progress˜ ao aritmética de ordem m (m = 0, 1, 2, . . .). Uma P.A.0 é qualquer sequência constante, com a exigência de que esta constante seja diferente de 0. Observe as duas primeiras diferen¸cas dos quadrado dos n´ umeros naturais 1

4

9

16

25

...

3

5

7

9

...

P.A.1

2

2

2

...

P.A.0

P.A.2

Ou ainda 1

8

27

64

125

216

...

7

19

37

61

91

...

P.A.2

12

18

24

30

...

P.A.1

6

6

6

...

P.A.0

P.A.3

Observe que a rigor − isto é, matematicamente falando − os diagramas acima n˜ ao provam que a sequência an = n2 dos quadrados dos naturais, ou a sequência an = n3 dos cubos dos naturais s˜ ao progressões aritméticas de ordem 2 ou 3, respectivamente. Oportunamente veremos como através da HP Prime podemos provar isto!

158

2.5.1

F´ ormula do termo geral de uma P.A.m

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética vale an = a1 + (n − 1) r Vamos exibir uma fórmula que generaliza a fórmula acima para uma P.A. de ordem m qualquer. Antes faremos uma conven¸cão: necessitaremos de dois ´ındices para localizar um termo qualquer nestas sequências, um que se refira ao pr´ oprio termo e, outro, que se refira à ordem da sequência. Sendo assim, convencionamos:

anm = n - ésimo termo da P.A. de ordem m. Por exemplo, observe a disposi¸cão dos ´ındices no diagrama a seguir a13

a23

a33

a43

a53

a63

...

a12

a22

a32

a42

a52

...

P.A.2

a11

a21

a31

a41

...

P.A.1

a10

a20

a30

...

P.A.0

P.A.3

Nota: Em toda esta se¸c˜ ao consideraremos n ∈ N = { 1, 2, 3, . . . }

e

m ∈ N ∪ { 0 },

a menos que o contr´ ario seja explicitado. Teorema 5 (Fórmula do termo geral de uma P.A.m ). Em uma P.A.m o n − ésimo termo vale

anm =

m X n−1 j

j=0

159

a1(m−j)

Observe na fórmula do termo geral anm =

m X n−1

j =0

j

a1(m−j)

que para calcular o n-ésimo termo de uma P.A.m necessitaremos conhecer, a priori, o primeiro termo de todas as sequências anteriores, é o que nos diz o coeficiente a1(m−j) (j = 0, 1, . . . , m) No caso particular de uma P.A.3 , por exemplo, isto implica em que para conhecermos qualquer termo do retˆ angulo em destaque na horizontal a13

a23

a33

a43

a53

a63

...

a12

a22

a32

a42

a52

...

P.A.2

a11

a21

a31

a41

a10

a20

a30

...

P.A.3

P.A.1

P.A.0

...

deveremos conhecer os termos em destaque na vertical − como se observa na equa¸c˜ ao de an3 , veja: an3 = a13 + (n − 1) a12 +

(n − 1)(n − 2)(n − 3) (n − 1)(n − 2) a11 + a10 2 6

Algoritmo Vamos sugerir um algoritmo para se obter os termos a1(m−j) ,

para j = 0, 1, . . . , m.

Dada a P.A.m (m ≥ 1) fazemos diferen¸cas sucessivas entre termos consecutivos das P.A.s de ordem m, m − 1, . . . , 1 e tomamos o primeiro termo de cada uma destas diferen¸cas. Oportunamente faremos um programa para implementar tal algoritmo. Nota: Oportunamente faremos com que a HP Prime nos forne¸ca a fórmula do termo geral de uma P.A. de ordem qualquer − mas antes faremos na m˜ ao, para exemplificar os detalhes.

160

Exemplo: (a) Encontre a fórmula do termo geral da seguinte P.A.2 : 1

3

6

10

15

21

...

Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 2 na fórmula do termo geral, obtemos: an2 =

2 X n−1 j

j=0

=

a1(2−j)

n−1 n−1 n−1 a1(2−0) + a1(2−1) + a1(2−2) 0 1 2

Simplificando, obtemos: an2 = a12 + (n − 1)a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 2

(2.1)

Esta é a fórmula do termo geral de uma P.A.2 . Para encontrar os coeficientes a11 e a10 aplicamos o algoritmo, assim:

1 2 1

3 − −

3 1

−

6

10

15

4

5

...

1

...

...

Ou ainda a12 → 1

3

6

10

15

a11 → 2

3

4

5

...

a10 → 1

1

1

...

...

Substituindo estes resultados na equa¸cão (2.1) e simplificando, obtemos: an2 =

n(n + 1) 2

161

(UFRGS 04) Considere a disposi¸cão de n´ umeros abaixo. 1 2

3

4 7

5 8

11

6 9

12

13

10 14

15

····································· O primeiro elemento da quadragésima linha é a) 777

b) 778

d) 780

e) 781

c) 779

Solu¸ c˜ ao: Vamos obter a fórmula do termo geral da sequência 1

2

4

7

11

16

...

Aplicando o algoritmo, resulta a12 → 1

2

4

7

11

a11 → 1

2

3

4

5

a10 → 1

1

1

1

...

16

...

...

A sequência em questão é uma P.A.2 ; logo, substituindo estes dados na equa¸c˜ ao (n − 1)(n − 2) an2 = a12 + (n − 1)a11 + a10 2 temos (n − 1)(n − 2) 1 an2 = 1 + (n − 1) 1 + 2 Simplificando n2 − n + 2 an2 = 2 Ent˜ ao 402 − 40 + 2 a40,2 = = 781 2

162

Um dos teoremas mais importantes é dado a seguir. Teorema 6 (Teorema da Unifica¸cão). A fórmula do termo geral de uma P.A.m é um polinˆ omio de grau m e, reciprocamente. Observe que o “reciprocamente” do teorema significa que toda sequência que tem como fórmula do termo geral um polinˆ omio de grau m é uma P.A.m − da´ı o nome de teorema da unifica¸cão. Perceba que isto n˜ ao é pouco; por exemplo, a sequência (an ) dada por m an = n (m natural arbitrariamente fixado) é uma P.A.m e, por conta disto, oportunamente obteremos uma fórmula geral e n˜ ao recursiva para a soma de potências dos n primeiros n´ umeros naturais. Esta ser´ a uma fórmula inédita.

P.A.m em fun¸c˜ ao dos seus pr´ oprios termos Observe a fórmula do termo geral de uma P.A.m ,

anm =

m X n−1

j=0

j

a1(m−j) | {z } ↑

o termo assinalado nos diz que para se obter um termo qualquer da P.A.m deveremos conhecer o primeiro termo das progressões de ordens inferiores − como já haviamos mencionado antes (p. 160). Em nosso entendimento isto é um incˆ omodo, por exemplo, se quisermos escrever um programa computacional para encontrar este n-ésimo termo − com resultado numérico ou simb´ olico. A fórmula seguinte resolve nosso problema: Teorema 7 (Gentil). Em uma P.A.m é válida a seguinte identidade:

a1(m−j) =

j X

j (−1)k a(1−k+j)m k

k=0

a1(m−j) ,

para j = 0, 1, . . . , m.

163

Exemplo: Escrever a P.A.2 em fun¸cão dos seus pr´ oprios termos. Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 2 na equa¸cão j X

a1(m−j) =

(−1)k

k=0

temos a1(2−j) =

j X

j a(1−k+j)m k

j (−1) a(1−k+j)2 , k k

j = 1, 2.

k=0

Ent˜ ao j=1

⇒

1 X

a11 =

(−1)k

k=0

1 a(1−k+1)2 = 1 · a22 − 1 · a12 k

e j=2

⇒

a10 =

2 X

2 (−1) a(1−k+2)2 = 1 · a32 − 2 · a22 + a12 k k

k=0

Portanto an2 = a12 + (n − 1) a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 2

= a12 + (n − 1)(a22 − a12 ) +

(n − 1)(n − 2) (a32 − 2 · a22 + a12 ) 2

1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

1 5 10 10 5 1 ···································· · · • Tri^ angulo Aritm´ etico de Pascal 164

P.A.m em fun¸c˜ ao dos seus pr´ oprios termos na HP Prime Na tela a seguir

(REPLACE, p. 72)

temos o programa que implementa a fórmula a1(m−j) =

j X

j (−1) a(1−k+j)m k k

k=0

Neste programa entramos com os m + 1 primeiros termos de uma P.A.m e na saida teremos a1(m−j) ,

para j = 0, 1, . . . , m.

que s˜ ao os termos apontados na fórmula do termo geral a seguir

anm =

m X n−1 j

j=0

a1(m−j) | {z } ↑

Na tela da direita (acima) exemplificamos para a sequência dos cubos

1

8

27

64

125

216

...

7

19

37

61

91

...

P.A.2

12

18

24

30

...

P.A.1

6

6

6

...

P.A.0

165

P.A.3

A f´ ormula do termo geral na HP Prime Com o programa anterior temos condi¸cões de construir um programa para implementar a fórmula do termo geral de uma P.A.m anm =

m X n−1 j

j =0

a1(m−j)

isto é, desejamos construir um programa no qual entramos com os termos a1(m−j) ,

para j = 0, 1, . . . , m.

e na saida teremos a fórmula algébrica da P.A.m correspondente. Antes, vejamos alguns detalhes; por exemplo, considere a fórmula do termo geral de uma P.A.2 an2 = a12 + (n − 1)a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 2

Considere a seguinte P.A.2

a12 → 1

4

9

16

25

a11 → 3

5

7

9

...

a10 → 2

2

2

...

...

Substituindo na fórmula acima, temos an2 = 1 + (n − 1) 3 + ↑ ↑ j=0 j=1

(n − 1)(n − 2) 2 2 ↑ j=2

Quando j = 0 deveremos usar o terceiro termo do vetor [2, 3, 1], quando j = 1 deveremos usar o segundo termo e quando j = 2 deveremos usar o primeiro termo. Tendo esta observa¸cão em conta o programa fica assim

166

Na tela a seguir assinalamos a fórmula de saida

e montamos uma lista com os 10 primeiros termos da sequência do exemplo. Vejamos mais um exemplo de aplica¸cão do programa, vamos obter a fórmula do termo geral da P.A.2 seguinte a12 → 1

3

6

10

15

a11 → 2

3

4

5

...

a10 → 1

1

1

...

...

Entrando com os dados no programa obtemos a tela seguinte

Confira com a solu¸c˜ ao dada na p´ agina 161. A propósito, com este programa podemos obter uma fórmula polinomial para quantos n´ umeros primos desejarmos, por exemplo para os cinco primeiros a14 →

2

3

5

7

a13 →

1

2

2

4

a12 →

1

0

2

a11 → −1

2

a10 →

11

3 167

Propriedade fundamental de uma P.A.m Em uma progress˜ ao aritmética a diferen¸ca entre dois termos consecutivos quaisquer é constante e igual à pr´ opria raz˜ ao, isto é an+1 − an = r Este fato é uma decorrência imediata da pr´ opria defini¸caõ. Pois bem, perguntamos se existiria uma rela¸cão equivalente para uma P.A.m (?). A resposta encontra-se no seguinte Teorema 8 (Propriedade Fundamental das P.A.m ). m + 1 termos consecutivos de uma P.A.m est˜ ao relacionados pela seguinte identidade:

m X

(−1)k

k=0

m k

a(n−k+m)m = a10

Nota: A rela¸c˜ ao acima se aplica a toda sequência (an ) que tem como fórmula do termo geral um polinˆ omio de grau m. Exerc´ıcio: Mostre que a10 = m! am onde am é o coeficiente de nm no polinˆ omio p(n) de grau m. Exemplo: (a) Três termos consecutivos de uma P.A.2 satisfazem 2 X

2 (−1) a(n−k+2)2 = a10 k k

k=0

Isto é 2 2 2 1 2 (−1) a(n−0+2)2 + (−1) a(n−1+2)2 + (−1) a(n−2+2)2 = a10 0 1 2 0

Simplificando 1 a(n+2)2 − 2 a(n+1)2 + 1 an2 = a10 Ou ainda, abandonando o segundo ´ındice 1 an+2 − 2 an+1 + 1 an = a10 168

Exemplo: Seja a sequência (an ) dada por an = n3 . Mostre que a seguinte identidade se verifica: 3 X 3 k (−1) a(n−k+3) = 3! k k=0

Solu¸ c˜ ao: Temos 3 X

3 3 3 0 1 (−1) a(n−k+3) = (−1) a(n−0+3) + (−1) a(n−1+3) k 0 1 k

k=0

3 3 3 + (−1) a(n−2+3) + (−1) a(n−3+3) 2 3 2

Simplificando a express˜ ao ` a direita obtemos 3 X

3 (−1) a(n−k+3) = 1 (n + 3)3 − 3 (n + 2)3 + 3 (n + 1)3 − 1 n3 = 6 k k

k=0

Apenas a t´ıtulo de curiosidade, veja que interessante, na calculadora HP Prime

3 X

3 (−1) (n − k + 3)3 k {z } |k = 0 k

Digitando esta expressão

primando esta tecla obtemos este resultado

purge(n)

169

2.5.2

Soma dos termos de uma P.A.m

Para uma progress˜ ao aritmética temos a seguinte fórmula para a soma dos seus n primeiros termos S n = n a1 +

n(n − 1) r 2

Esta fórmula é generalizada no seguinte Teorema 9 (Soma dos termos de uma P.A.m ). Em uma P.A.m a soma Snm dos n termos iniciais vale

Snm

m X n a = j + 1 1(m−j) j=0

Exemplo: Considere a sequência dada por an = n2 , dos quadrados dos naturais. Encontre uma fórmula para a soma dos seus n primeiros termos. Solu¸ c˜ ao: Pelo teorema da unifica¸cão (p. 163), a sequência dada é uma P.A.2 Ent˜ ao 2 X n n n n a1(2−j) = a12 + Sn2 = a11 + a10 j+1 1 2 3 j=0

Do diagrama seguinte

(Algoritmo, p. 160)

a12 → 1

4

a11 → 3

5

9

a10 → 2 Obtemos Sn2 Simplificando, obtemos

n n n = 1+ 3+ 2 1 2 3

12 + 22 + 32 + · · · + n2 =

n(2n + 1)(n + 1) 6

Resultado este já conhecido por outros métodos.

170

A f´ ormula da soma na HP Prime Comparando a fórmula da soma Snm

m X n a = j + 1 1(m−j) j=0

com a fórmula do termo geral

anm =

m X n−1 j

j=0

a1(m−j)

modificamos o programa a seguir

como na tela do centro. Na tela da direita simulamos o exemplo anterior. Exemplo: Os n´ umeros triangulares n(n + 1) ... 2 est˜ ao em P.A.2 . Encontre uma fórmula para a soma de seus termos. 1

3

6

10

15

...

Solu¸ c˜ ao: Temos Sn2

2 X n n n n a1(2−j) = a12 + = a11 + a10 j+1 1 2 3 j =0

Do diagrama seguinte a12 → 1

3

a11 → 2

3

6

a10 → 1 Obtemos Sn2 Simplificando, obtemos

n n n = 1+ 2+ 1 1 2 3 Sn =

n(n + 1)(n + 2) 6 171

Uma f´ ormula in´ edita “Gostei da sua f´ ormula” Carlos Gustavo T. de A. Moreira (Gugu/IMPA) Durante muitos anos − possivelmente séculos − os matem´ aticos estiveram ` a procura de uma fórmula para a soma de potências dos n´ umeros naturais, ninguém teve êxito, coube a mim materializar esta aspira¸cão. Teorema 10 (Gentil/1997). Sendo m um n´ umero natural arbitrariamente fixado, é válida a seguinte identidade:

m

1

m

+2

m

+3

Onde: a(m−j) =

+ ··· + n j X

k=0

m

m X n = a(m−j) j+1 j=0

j (−1) (1 − k + j)m k k

Prova: Ver referência [6].

Vejamos um exemplo de aplica¸cão desta fórmula (m = 3): 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

3 X n a j + 1 (3−j) j=0

n n n n = a3 + a2 + a1 + a 1 2 3 4 0 Onde: a(3−j) =

j X k=0

j 3 (−1) (1 − k + j) ; k k

( j = 0, 1, 2, 3. )

Substituindo e simplificando chegamos a 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n2 (n + 1)2 4

Nota: Com o uso da HP Prime a manipula¸cão − numérica ou algébrica − desta fórmula fica extremamente simplificada.

172

− A f´ ormula in´ edita na HP Prime Nas telas a seguir

1m

+

2m

a(m−j) =

+

3m

j X

k=0

+ ··· +

nm

m X n = a(m−j) j+1 j=0

j (−1)k (1 − k + j)m k

temos os programas que implementam a fórmula da direita. O segundo programa, CFI, é subrotina do primeiro e calcula a(m−j) , repassando para FINED, que sai com a soma 1m + 2m + 3m + · · · + nm na forma algébrica, isto é, como fun¸cão de n. Nas telas a seguir temos dois exemplos de simula¸c˜ ao do programa (purge(n))

7−→ Jacques Bernoulli − e nenhum seu contemporˆ aneo − jamais sonhou com esta possibilidade (desenvolvimento). A bem da verdade, n˜ ao precisamos ir muito longe, mesmo ap´ os deduzir esta fórmula − por volta do ano de 1991 − jamais sonhei que isto um dia seria poss´ıvel.

173

2.5.3

Diferen¸cas de ordem m

A no¸c˜ ao de operador Operador é um s´ımbolo que, anteposto a fun¸cões, indica abreviadamente as transforma¸c˜ oes que devem sofrer essas fun¸cões. Usando a terminologia de sistema um operador pode ser entendido como uma caixa. No lado esquerdo, a seta representa a fun¸cão que entra na caixa, e no lado direito, a seta representa a fun¸c˜ ao correspondente que sai da caixa, ap´ os ter sido operada ou transformada, segundo uma lei matem´ atica. Representando um operador genérico por T , temos a seguinte figura f

T

Tf

Desde já enfatizamos a importˆ ancia de se ter bem claro que f e T f s˜ ao as fun¸c˜ oes de entrada e sa´ıda, respectivamente; enquanto que f (x) e T f (x) s˜ ao valores numéricos destas fun¸cões. O caso em que estaremos interessados no presente contexto é aquele em que o dom´ınio e o contradom´ınio de um operador é o conjunto R∞ = (a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .) : ai ∈ R

de sequências de n´ umeros reais. Isto é, definiremos operadores que transformam sequências de n´ umeros reais em sequências de n´ umeros reais. Defini¸ c˜ ao 4. Dada uma sequência f : N → R definimos a Diferen¸ ca de ordem m de f pela seguinte fórmula de recorrência:   ∆0 f (n) = f (n), 

∆m f (n) = ∆m−1 f (n + 1) − ∆m−1 f (n), m ≥ 1, n ≥ 1.

Observe que ∆m é um operador de R∞ em R∞ . Por exemplo, para m = 1, temos f

∆

∆f

Onde ∆1 f (n) = ∆1−1 f (n + 1) − ∆1−1 f (n) 174

Ou ainda ∆ f (n) = ∆0 f (n + 1) − ∆0 f (n) Isto é ∆ f (n) = f (n + 1) − f (n)

(2.2)

Para m = 2, temos f

∆2

∆2 f

Temos ∆2 f (n) = ∆ f (n + 1) − ∆ f (n) Utilizando a equa¸c˜ ao (2.2), resulta ∆2 f (n) = ∆ f (n + 1) − ∆ f (n) = [ f (n + 2) − f (n + 1) ] − [ f (n + 1) − f (n) ] = f (n + 2) − 2 f (n + 1) + f (n) Exemplo: Mostre que a diferen¸ca de ordem 1 (ou Primeira Diferen¸ca) de uma P.A.1 resulta em uma P.A.0 . Isto é, mostre a seguinte identidade ∆ an1 = an0 Solu¸ c˜ ao: Temos, an1 = a11 + (n − 1)a10 . Então: ∆ an1 = a(n+1)1 − an1 = [ a11 + (n + 1) − 1 a10 ] − [ a11 + (n − 1)a10 ] = a10 = an0

175

Exemplo: Mostre que a diferen¸ca de ordem 1 de uma P.A.2 resulta em uma P.A.1 e que a diferen¸ca de ordem 2 resulta em uma P.A.0 . Isto é, mostre as seguintes identidades (ii) ∆2 an2 = an0

(i) ∆ an2 = an1 Solu¸ c˜ ao: (i) Temos an2 = a12 + (n − 1)a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 2

Ent˜ ao: ∆ an2 = a(n+1)2 − an2 i (n + 1) − 1 (n + 1) − 2) a10 = a12 + (n + 1) − 1 a11 + 2 h

i h (n − 1)(n − 2) a10 − a12 + (n − 1)a11 + 2

= a11 + (n − 1)a10 = an1 (ii) Temos

∆2 an2 = a(n+2)2 − 2 a(n+1)2 + an2 = a10 = an0 Os c´ alculos ficam por conta do leitor. A fórmula seguinte

an(m−j) = ∆j anm =

j X

j a(n−k+j)m (−1)k k

k=0

nos fornece a P.A. de ordem m − j (j = 1, 2, . . . , m) a partir da P.A.m . Recorrer ` a defini¸c˜ ao 4 (p. 174) para o cálculo da m-ésima diferen¸ca é enfadonho. A fórmula seguinte nos fornece a m-ésima diferen¸ca sem recursividade.

176

Teorema 11 (m-ésima Diferen¸ca). Dada uma sequência f (n) para todo n´ umero m, natural arbitrariamente fixado, a seguinte identidade se verifica:

∆m f (n) =

m X

(−1)k

k=0

m k

f (n − k + m)

Exemplos: (a) Para m = 1, a primeira diferen¸ca resulta: 1

∆ f (n) =

1 X

1 (−1) f (n − k + 1) k k

k=0

1 1 1 = (−1) f (n − 0 + 1) + (−1) f (n − 1 + 1) 0 1 0

= f (n + 1) − f (n) (b) Para m = 2, a segunda diferen¸ca resulta: ∆2 f (n) =

2 X

(−1)k

k=0

= (−1)0

2 f (n − k + 2) k

2 0 f (n

− 0 + 2) + (−1)1

2 1 f (n −

1 + 2) + (−1)2

2 2 f (n

− 2 + 2)

= 1 · f (n + 2) − 2 · f (n + 1) + 1 · f (n) Na tela a seguir programamos a fórmula para ∆m f (n)

←− purge(f, n)

177

Considermos a defini¸cão de uma P.A.m dada na p´ agina 158 Defini¸ c˜ ao (Progress˜ ao aritm´ etica de ordem m) Uma sequência (an ) é uma progressão aritmética de ordem m se e somente se ∆m an = constante 6= 0 Reconsideremos o diagrama dos cubos dos naturais que consta na p. 158 1

8

27

64

125

216

...

7

19

37

61

91

...

∆1

12

18

24

30

...

∆2

6

6

6

...

∆3

∆0

naquela ocasi˜ ao afirmamos que, a rigor, este diagrama n˜ ao prova − pela defini¸c˜ ao − que a sequência dada por an = n3 é uma P.A.3 . Vejamos como efetivar esta prova utilizando a HP Prime , faremos isto através dum programa ultra curto. O programa que consta na tela a seguir recebe a express˜ ao de uma fun¸c˜ ao f (n) e a ordem m da diferen¸ca desejada

a prova encontra-se na tela do centro . . . Pasmém!. Na tela da direita fazemos mais algumas simula¸c˜ oes do programa. Observe que a prova “feita na m˜ ao” foi aquela do exemplo que consta na p´ agina 169, cujo resumo é dado a seguir 3 X

3 (−1) a(n−k+3) = 1 (n + 3)3 − 3 (n + 2)3 + 3 (n + 1)3 − 1 n3 = 6 k k

k=0

178

2.6

Progress˜ ao geom´ etrica de ordem m

Antes de definir as progress˜ oes geométricas de ordem m vamos, a t´ıtulo de esclarecimento, dar dois exemplos de tais sequências , deixando a prova para momento oportuno. Qualquer progress˜ ao geométrica serve como exemplo de uma progressão geométrica de ordem um; Um exemplo de uma progress˜ ao geométrica de ordem dois é dado pela sequência a seguir: 1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

...

Um outro exemplo é dado pela sequência seguinte: 22

1

43

84

165

2n(n−1)

...

...

O que estas sequências têm em comum é o fato de os quocientes sucessivos entre seus termos consecutivos resultar em uma sequência constante, veja: 1

1

−1

−1

1

1

...

1

−1

1

−1

1

...

∆1

−1

−1

−1

−1

...

∆2

1

22

43

84

165

326

...

22

24

26

28

210

...

∆1

22

22

22

22

...

∆2

∆0

Ainda ∆0

Estamos convencionando:

∆m an = m − ésimo quociente da sequência an

179

Agora estamos em condi¸cões de estabelecer a seguinte: Defini¸ c˜ ao 5 (Progress˜ ao Geométrica de ordem m). Uma sequência (an ) é uma progress˜ ao geométrica de ordem m, se, e somente se ∆m an = constante 6= 1 Usaremos da seguinte nota¸cão:

P.G.m para uma progress˜ ao geométrica de ordem m (m = 0, 1, 2, . . .). Uma P.G.0 é qualquer sequência constante, com a exigência de que esta constante seja diferente de 1.

2.6.1

F´ ormula do termo geral de uma P.G.m

A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica vale an = a1 · q n−1 Vamos exibir uma fórmula que generaliza a fórmula acima para uma P.G. de ordem m qualquer. Antes necessitaremos de uma conven¸cão: necessitaremos de dois ´ındices para localizar um termo qualquer nestas sequências, um que se refira ao pr´ oprio termo e, outro, que se refira à ordem da sequência. Sendo assim, convencionamos:

anm = n - ésimo termo da P.A. de ordem m. Por exemplo, observe a disposi¸cão dos ´ındices no diagrama a seguir a13

a23

a33

a43

a53

a63

...

a12

a22

a32

a42

a52

...

P.G.2

a11

a21

a31

a41

...

P.G.1

a10

a20

a30

...

P.G.0

180

P.G.3

Teorema 12 (Fórmula do termo geral de uma P.G.m ). Em uma P.G.m o n − ésimo termo vale:

m Y ( n−1 j ) = a1(m−j)

anm

j=0

Observe que para calcular o n-ésimo termo de uma P.G.m necessitaremos conhecer, a priori, o primeiro termo de todas as sequências anteriores, é o que nos diz o coeficiente a1(m−j)

(j = 0, 1, . . . , m)

Algoritmo Vamos sugerir um algoritmo para se obter os termos a1(m−j) ,

para j = 0, 1, . . . , m.

Dada a P.G.m (m ≥ 1) fazemos sucessivos quocientes entre termos consecutivos das P.G.s de ordem m, m − 1, . . . , 1 e tomamos o primeiro termo de cada um destes quocientes. Exemplo: Encontre a fórmula do termo geral da seguinte∗ P.G.2 : 1

1

−1

−1

1

−1

1

−1

...

Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 2 na fórmula do termo geral, obtemos: an2

2 Y ( n−1 j ) a1(2−j) = j=0

Simplificando, obtemos: ( n−1 ( n−1 ( n−1 0 ) 1 ) 2 ) an2 = a12 × a11 × a10 Para encontrar os coeficientes a11 e a10 aplicamos o algoritmo, assim: 1 1 −1 ∗

1 ÷ ÷

−1

÷

−1

−1

−1

1

1

−1

...

−1

...

No momento oportuno provaremos que de fato trata-se de uma P.G.2 .

181

...

Ou ainda a12 →

1

1

−1

−1

1

...

a11 →

1

−1

1

−1

...

P.G.1

a10 → −1

−1

−1

...

P.G.0

P.G.2

Substituindo estes resultados na equa¸cão ( n−1 ( n−1 ( n−1 0 ) 1 ) 2 ) an2 = a12 × a11 × a10 e simplificando, obtemos:

an2

( n−1 2 ) = (−1)

P.G.m em fun¸c˜ ao dos seus pr´ oprios termos Na determina¸c˜ ao do n-ésimo termo de uma P.G.m existe um certo incˆ omodo em ter que recorrer ao primeiro termo das progressões de ordens anteriores; além do que, se quisermos escrever um programa computacional para encontrar este n-ésimo termo isto ser´ a uma complica¸cão adicional. A fórmula seguinte nos permite obter uma P.G.m em fun¸cão apenas de seus pr´ oprios termos. Teorema 13. Em uma P.G.m é válida a seguinte identidade:

a1(m−j) =

j Y

(−1)k

( kj )

a(1−k+j)m

k=0 a1(m−j) ,

para j = 0, 1, . . . , m.

182

P.G.m em fun¸c˜ ao dos seus pr´ oprios termos na HP Prime Na tela a seguir

(REPLACE, p. 72)

temos o programa que implementa a fórmula a1(m−j) =

j Y

j (−1)k ( ) k a(1−k+j)m

k=0

Neste programa entramos com os m + 1 primeiros termos de uma P.G.m e na saida teremos a1(m−j) ,

para j = 0, 1, . . . , m.

que s˜ ao os termos apontados na fórmula do termo geral a seguir

anm

m ( n−1 Y j ) = a1(m−j) {z } | j=0 ↑

Na tela da direita (acima) exemplificamos para a sequência a12 →

1

1

−1

−1

1

...

a11 →

1

−1

1

−1

...

P.G.1

a10 → −1

−1

−1

...

P.G.0

183

P.G.2

Vejamos mais uma simula¸cão do programa, para a sequência a seguir 1

22

43

84

165

326

...

22

24

26

28

210

...

∆1

22

22

22

22

...

∆2

∆0

obtemos

A f´ ormula do termo geral na HP Prime Com o programa anterior temos condi¸cões de construir um programa para implementar a fórmula do termo geral de uma P.G.m

anm

m Y ( n−1 j ) a1(m−j) = j=0

Observe que os nosso programas s˜ ao extremamente compactos, estéticamente agrad´ aveis, procuramos − sempre que poss´ıvel − ocupar uma u ´ nica tela!

184

O programa fica assim

Na tela da direita simulamos a sequência a12 →

1

1

−1

−1

1

...

a11 →

1

−1

1

−1

...

P.G.1

a10 → −1

−1

−1

...

P.G.0

P.G.2

Na tela a seguir assinalamos a fórmula de saida

e montamos uma lista com os 10 primeiros termos da sequência do exemplo. Vamos tentar simplificar o expoente na fórmula do termo geral, considere a tela a seguir

ap´ os assinalar a fórmula escreva right na linha de entrada (p. 49), pe¸ca uma cópia da fórmula, o expoente nos é devolvido já na forma simplificada,

185

continuamos nas três telas a seguir, onde montamos uma fun¸cão, a2(n), a partir do expoente simplificado

na tela da direita listamos os 10 primeiros termos da P.G.2 . Vejamos mais um exemplo de aplica¸cão do programa, vamos obter a fórmula do termo geral da P.G.2 seguinte 1

22

43

84

165

326

...

22

24

26

28

210

...

P.G.1

22

22

22

22

...

P.G.0

P.G.2

Entrando com os dados no programa obtemos a tela seguinte

na tela do centro simplificamos o expoente, na tela da direita montamos uma fórmula do termo geral

a(n) = 4

n2 −n 2

e listamos os 6 primeiros termos da P.G.2 .

186

Propriedade fundamental de uma P.G.m Em uma progress˜ ao geométrica o quociente entre dois termos consecutivos quaisquer é constante e igual ` a pr´ opria raz˜ ao, isto é an+1 / an = q Este fato é uma decorrência imediata da pr´ opria defini¸cão. Pois bem, perguntamos se existiria uma rela¸c˜ ao equivalente para uma P.G.m (?). A resposta encontra-se no seguinte Teorema 14 (Propriedade Fundamental das P.G.m ). m + 1 termos consecutivos de uma P.G.m , (anm ), est˜ ao relacionados pela seguinte identidade:

m Y

(−1)k

( mk )

a(n−k+m)m = a10

k=0 Exemplo: Três termos consecutivos de uma P.G.2 satisfazem a seguinte rela¸cão

2 Y

(−1)k

( k2 )

a(n−k+2)2 = a10

k=0 Isto é

(−1)0 ( 2 (−1)1 ( 2 (−1)2 ( 2 0) 1) 2) a(n−0+2)2 · a(n−1+2)2 · a(n−2+2)2 = a10

Simplificando

1

1

−2

a(n+2)2 · a(n+1)2 · an2 = a10 Ou ainda, abandonando o segundo ´ındice −2

an+2 · an+1 · an = a10 = q

187

2.6.2

Produto dos termos de uma P.G.m

Para uma progress˜ ao geométrica temos a seguinte fórmula para o produto dos seus n primeiros termos Pn = an1 · q

n(n−1) 2

Este resultado é generalizado no seguinte: Teorema 15 (Produto dos termos de uma P.G.m ). Em uma P.G.m o produto Pnm dos n termos iniciais vale

Pnm

m n Y ( j+1 ) a1(m−j) = j=0

Exemplo: Encontre o produto dos n termos iniciais da seguinte P.G.2 : 1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

...

Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 2 na fórmula acima, obtemos: Pn2 =

2 n Y ( j+1 ) a1(2−j)

j =0

Simplificando, obtemos: ( n1 ) ( n2 ) ( n3 ) Pn2 = a12 · a11 · a10 Do algoritmo retiramos os coeficientes, assim: a12 →

1

1

−1

−1

1

...

a11 →

1

−1

1

−1

...

P.G.1

a10 → −1

−1

−1

...

P.G.0

P.G.2

Substituindo estes resultados na equa¸cão precedente e simplificando: ( n3 ) Pn2 = (−1) Deixamos como exerc´ıcio a programa¸cão da fórmula do produto. 188

2.6.3

Quocientes de ordem m

Aqui estaremos definindo um novo operador, podemos dizer que é o dual do operador ∆m definido na p´ agina 174, dentre outras utilidades este operador nos permitirá demonstrar se uma dada sequência é (ou n˜ ao) uma P.G.m Defini¸ c˜ ao 6 (Quociente de ordem m). Dada uma sequência f : N → R (f (n) 6= 0, ∀ n ∈ N) definimos o Quociente de ordem m de f pela seguinte fórmula de recorrência:   ∆0 f (n) = f (n), 

∆m f (n) = ∆m−1 f (n + 1) / ∆m−1 f (n), m ≥ 1, n ≥ 1.

∞ Observe que ∆m é um operador de R∞ ∗ em R∗ . Por exemplo, para m = 1, temos

f

∆f

∆

Onde ∆1 f (n) = ∆1−1 f (n + 1) / ∆1−1 f (n) Ou ainda ∆ f (n) = ∆0 f (n + 1) / ∆0 f (n) Isto é ∆ f (n) = f (n + 1) / f (n) Para m = 2, temos f

∆2 f

∆2

Onde ∆2 f (n) = ∆ f (n + 1) / ∆ f (n) = [ f (n + 2) / f (n + 1) ] = f (n + 2) ×

.

f (n + 1) 189

[ f (n + 1) / f (n) ]

−2

× f (n)

Exemplos: (a) Mostre que o Quociente de ordem 1 (ou Primeiro Quociente) de uma P.G.1 resulta em uma P.G.0 . Isto é, mostre a seguinte identidade ∆ an1 = an0 n−1

Solu¸ c˜ ao: Temos, an1 = a11 × a10 . Então: ∆ an1 = a(n+1)1 / an1 (n+1)−1

= [ a11 × a10 = a10 = an0

]

.

n−1

[ a11 × a10 ]

(b) Mostre que o Primeiro Quociente de uma P.G.2 resulta em uma P.G.1 e que o Segundo Quociente resulta em uma P.G.0 . Isto é, mostre as seguintes identidades (ii) ∆2 an2 = an0

(i) ∆ an2 = an1 Solu¸ c˜ ao: (i) Temos, n−1

(n−1)(n−2) 2

an2 = a12 × a11 × a10 Ent˜ ao:

∆ an2 = a(n+1)2 / an2 Isto é, (n+1)−1

∆ an2 = a12 × a11

((n+1)−1)((n+1)−2) 2

× a10

Fazendo as devidas simplifica¸cões, obtemos:

.

n−1

(n−1)(n−2) 2

a12 × a11 × a10

n−1

∆ an2 = a11 × a10 (ii) Temos,

∆2 an2 = a(n+2)2 × a(n+1)2 = a10 = an0

−2

× an2

Os c´ alculos ficam por conta do leitor. Recorrer ` a defini¸c˜ ao 6 (p. 189) para o cálculo do m-ésimo Quociente é um tanto quanto enfadonho. A fórmula seguinte nos fornece o m-ésimo Quociente sem recursividade. 190

Teorema 16 (m-ésimo Quociente). Para todo n´ umero m, natural arbitrariamente fixado, a seguinte identidade se verifica:

∆m f (n)

m Y

=

(−1)k

( mk )

f(n−k+m)

k=0 Exemplo: O Terceiro Quociente vale: ∆3 f (n) =

3 Y

3 (−1)k ( k ) f(n−k+3)

k=0

Desenvolvendo, temos (−1)0 ( 3 (−1)1 ( 3 (−1)2 ( 3 (−1)3 ( 3 0) 1) 2) 3) ∆3 f (n) = f(n−0+3) × f(n−1+3) × f(n−2+3) × f(n−3+3)

Ou ainda ∆3 f (n) = [ f (n + 3) ]1 · [ f (n + 2) ]−3 · [ f (n + 1) ]3 · [ f (n) ]−1 De outro modo ∆3 f (n) =

f (n + 3) [ f (n + 1) ]3 [ f (n + 2) ]3 f (n)

Apenas a t´ıtulo de curiosidade, observe que os coeficientes 1, 3, 3, 1 encontram-se na terceira linha do tri^ angulo aritm´ etico de Pascal, veja: 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

1 5 10 10 5 1 ···································· · ·

191

Quocientes de ordem m na HP Prime Na tela a seguir

∆m f (n)

=

m Y

(−1)k

( mk )

f(n−k+m)

k=0

temos um programa que expande a fórmula da direita. Por exemplo, na tela

purge(f, n)

rodamos o programa para m = 3. Considermos a defini¸cão de uma P.G.m dada na p´ agina 180 (Progress˜ ao Geom´ etrica de ordem m:) Uma sequência (an ) é uma progress˜ ao geométrica de ordem m, se, e somente se ∆m an = constante 6= 1 Reconsideremos o diagrama a seguir dado, na p´ agina 186 1

22

43

84

165

326

...

22

24

26

28

210

...

P.G.1

22

22

22

22

...

P.G.0

P.G.2

A rigor, este diagrama n˜ ao prova que a sequência a seguir é uma P.G.2 a(n) = 4 192

n2 −n 2

O programa a seguir, dentre outras utilidades, nos permite provar se uma dada sequência é (ou n˜ ao) uma P.G.m

Este programa calcula ∆m f (n). Na tela do centro calculamos o primeiro quociente da sequência a(n) = 4

n2 −n 2

na tela da direita encontramos o segundo quociente, o que prova − pela defini¸cão − que a(n) é uma P.G.2 . Vejamos mais um exemplo de aplica¸cão do programa anterior com o intuito de evidenciar uma situa¸c˜ ao bizarra apresentada pela calculadora. Reconsidere o diagrama que comparece na p´ agina 182 a12 →

1

1

−1

−1

1

...

a11 →

1

−1

1

−1

...

P.G.1

a10 → −1

−1

−1

...

P.G.0

onde

P.G.2

( n−1 2 ) an2 = (−1)

nas telas a seguir temos o primeiro e o segundo quocientes desta sequência

O que sucedeu? O que acontece é que a resposta envolve n´ umeros comple2 xos, provavelmente devido a que i = −1. Não obstante, n˜ ao devemos nos intimidar com isto, ainda aqui devemos confiar na calculadora. 193

Ainda assim podemos trabalhar com estas bizarras criaturas sem precisar pegar no l´ apis para anot´ a-las, por exemplo, na tela a seguir

geramos uma lista a partir da express˜ ao assinalada, de igual modo na tela da direita geramos uma outra lista a partir da express˜ ao assinalada, o que concorda como o diagrama a12 →

1

1

−1

−1

1

...

a11 →

1

−1

1

−1

...

P.G.1

a10 → −1

−1

−1

...

P.G.0

P.G.2

pelo ao menos até aonde a vista alcan¸ca! A fórmula seguinte

an(m−j) =

∆j

anm =

j Y

(−1)k

( kj )

a(n−k+j)m

k=0

nos fornece a P.G. de ordem m − j (j = 1, 2, . . . , m) a partir da P.G.m . Exemplo: Obter an1 a partir da sequência

( n−1 2 ) an2 = (−1) Solu¸ c˜ ao: (m = 2, j = 1). Temos: 1 Y

an(2−1) =

1 (−1)k ( k ) a(n−k+1)2

k=0

Ent˜ ao Isto é

(−1)0 ( 1 (−1)1 ( 1 0) 1) an1 = a(n−0+1)2 × a(n−1+1)2 1

−1

an1 = a(n+1)2 × an2

Portanto 1

an1 = (−1)

) ( (n+1)−1 2

−1

× (−1) 194

( n−1 2 )

n−1

= (−1)

Uma aplica¸c˜ ao das P.G.m : C´ alculo de combina¸c˜ oes

2.6.4

Introdu¸c˜ ao: A conhecida fórmula da an´ alise combinat´ oria n n! = (n − r)! r! r nos fornece o n´ umero de combina¸cões dos n elementos de um conjunto, tomados r a r. Mas esta fórmula n˜ ao nos fornece as tais combina¸cões. O nosso objetivo nesta se¸c˜ ao é estabelecer uma fórmula que tem precisamente esta finalidade. Certa feita, desenvolvendo um trabalho de matem´ atica deparei-me com a necessidade de calcular algumas combina¸cões, teria que desenvolver um programa computacional com esta finalidade. Por onde come¸car? Do meu curso de eletrˆ onica digital sabia que tabelas como, por exemplo, esta a seguir A

B

C

D

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

¯ B ¯ C D → A ¯ B C ¯ D → A

se prestam para encontrarmos todas as combina¸cões poss´ıveis de vari´ aveis (digitais). Fiz algumas tentativas para encontrar uma fórmula que gerasse estas tabelas, todas fracassaram. Foi quando me veio a ideia de substituir 0 por −1, assim:

195

1

1

1

1

−1

1

1

1

1

−1

1

1

−1

−1

1

1

1

1

−1

1

−1

1

−1

1

1

−1

−1

1

−1

−1

−1

1

1

1

1

−1

−1

1

1

−1

1

−1

1

−1

−1

−1

1

−1

1

1

−1

−1

−1

1

−1

−1

1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

Até ent˜ ao eu já contava com o desenvolvimento das progressões geométricas de ordem m. Pois bem, observe que os termos da coluna um (j = 1) est˜ ao em P.G.1 , onde an1 = (−1)n−1 . Os termos da coluna dois (j = 2), ( n−1 2 ) est˜ ao em P.G.2 , onde an2 = (−1) . Vamos mostrar que os termos da coluna três (j = 3) est˜ ao em P.G.4 , assim: 1

1

1

1

−1

−1

−1

...

1

1

1

−1

1

1

...

∆1

1

1

−1

−1

1

...

∆2

1

−1

1

−1

...

∆3

−1

−1

−1

...

∆4

Deste diagrama, tiramos (primeira coluna de cima para baixo): a14 = 1, a13 = 1, a12 = 1, a11 = 1, a10 = −1. Substituindo em an4 =

4 Y ( n−1 j ) a1(4−j)

j =0

196

∆0

Ou ainda, em ( n−1 ( n−1 ( n−1 ( n−1 ( n−1 0 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) an4 = a14 × a13 × a12 × a11 × a10 Obtemos para a sequência da coluna j = 3, ( n−1 4 ) an4 = (−1) Visando a uma generaliza¸c˜ ao, escrevemos: − Coluna j = 1, temos:

n−1

n−1

an1 = (−1)

( 1−1 ) ( n−1 1 ) = (−1) = (−1) 2

− Coluna j = 2, temos: an2

n−1

( 2−1 ) ( n−1 2 ) = (−1) = (−1) 2

− Coluna j = 3, temos: an3

n−1

( 3−1 ) ( n−1 4 ) = (−1) = (−1) 2

Agora fica fácil generalizar: o n-ésimo termo na sequência é o i-ésimo termo na matriz. Sendo assim, temos: i−1

( j−1 ) aij = (−1) 2 Onde, para j = 1, 2, . . . , n e i = 1, 2, . . . , 2n , teremos a matriz (tabela) da p´ agina 196. Claro que tudo isto n˜ ao passa de uma dedu¸cão emp´ırica − indu¸cão vulgar −, contudo na referência [6] damos uma prova de nossas afirma¸cões. Deixamos como exerc´ıcio, a quem interessar possa, provar que os termos j−1 da coluna j da matriz aij acima est˜ ao em P.G.2 A propósito, terminamos por encontrar uma fórmula que gera a matriz agina 195, esta: digital da p´

aij =

   1, se

  0, se 197

i−1 2j−1 i−1 j−1 2

é par; é ´ımpar.

Nota: A bem da verdade, para obter a matriz que comparece em eletrˆ onica digital precisamos “inverter” a matriz da esquerda a seguir A

B

C

D

A

B

C

D

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

obtendo a matriz da direita. A fórmula para gerar a matriz digital é:

aij =

   1, se

i−1 N−j 2

  0, se

i−1 N−j 2

é par;

é ´ımpar.

onde N é o n´ umero de vari´ aveis lógicas. Para N = 4 teremos a matriz da direita, acima. A propósito, a quem interessar possa, deixamos um outro desafio: provar que a sequência a seguir

an = ( −1 ) j−1

é uma P.G. de ordem 2

n−1 j−1 2

, para todo j arbitrariamente fixado.

198

2.7

Um pequeno interregno cultural

Abaixo Euclides! S´ o se ouve falar das revolu¸c˜ oes causadas na f´ısica pela teoria da relatividade de Einstein e pela f´ısica quântica

no entanto, os leigos desconhecem que na matem´ atica também houve uma revolu¸cão de igual magnitude e importˆ ancia, falamos do advento das geometrias n˜ ao euclidianas no século XIX

A propósito foi de uma destas novas geometrias (n˜ ao euclidianas) que Einstein se utilizou para levantar o edif´ıcio teórico de sua relatividade geral. Além da importˆ ancia em si destas geometrias elas deram uma grande contribui¸c˜ ao ` a filosofia da matem´ atica (e n˜ ao matem´ atica), à compreensão da natureza da matem´ atica. De fato, a cren¸ca de milênios de que a matem´ atica oferece verdades eternas foi esmagada. Essa inesperada rebeli˜ ao intelectual foi causada pela emergência de novos tipos de geometrias, atualmente conhecidas como geometrias n~ ao euclidianas. [. . . ] O ilustre fil´ osofo alem˜ ao Immanuel Kant (1724-1804) nem sempre concordou com Hume, mas também exaltava a geometria euclidiana a um status de certeza absoluta e validade inquestion´ avel. (Mario Livio/Deus é Matem´ atico?)

199

Distˆ ancias n˜ ao euclidianas Quando o esp´ırito se apresenta à cultura cient´ıfica, nunca é jovem. Aliás é bem velho, porque tem a idade de seus preconceitos. Aceder à ciência é rejuvenescer espiritualmente, ´ e aceitar uma brusca muta¸ c˜ ao que contradiz o passado. (Gaston Bachelard/grifo nosso)

No bojo das geometrias n˜ ao euclidianas sugiram as assim denominadas distˆ ancias n˜ ao euclidianas. Aqui estaremos exibindo uma delas e mostrando que quase nada est´ a imune à programa¸cão na HP Prime . Medindo distˆ ancias Dados dois pontos em um plano, como a seguir A

•

B

•

a matem´ atica admite n˜ ao apenas uma mas várias maneiras de se medir a distˆ ancia entre estes dois pontos. Apenas para contextualizar tentaremos convencer o leitor de que surgem de maneira natural diferentes modos de se medir a distˆ ancia entre estes pontos. De outro modo: em matem´ atica (e também na f´ısica) n˜ ao existe uma u ´ nica maneira de se medir distˆ ancias. Em outras palavras, a régua vendida em nossas livrarias, ou as trenas vendidas em nosso comércio, n˜ ao s˜ ao os u ´ nicos instrumentos de medida. Vejamos um exemplo trivial do nosso dia a dia: o t´ axi. Suponhamos que alguém queira se deslocar (em um táxi) do ponto A ao ponto B − separados por uma esquina − e que o ponto B esteja a uma distˆ ancia de quatro unidades para a direita e três unidades abaixo do ponto A, assim: A

A

•

4

•

5

•B

3

•B

200

Pois bem, existem duas distˆ ancias entre os pontos A e B: a que é seguida pelo taxista, 4 + 3 = 7; e a que seria mais econˆ omica para o passageiro (“em linha reta”): 5. Se o leitor refletir um pouco se dar´ a conta de que vez ou outra, mesmo numa simples caminhada, teremos que optar (por uma questão de conveniência) por uma ou outra destas duas distˆ ancias − como por exemplo, ao “cortar caminho”. Resumindo, entre os pontos A e B no plano a seguir

A

A

B

B

− Distância usual (euclidiana)

− Distância do táxi

mostramos dois modos de medir a distˆ ancia entre os mesmos. Na verdade, podemos ter muitas alternativas para medir a distˆ ancia entre dois pontos em um conjunto qualquer.

A distˆ ancia quˆ antica Considere o intervalo unit´ ario [ 0, 1 [ e a seguinte aplica¸cão d : [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ −→ R definida por

d(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y|

min signfica m´ınimo, min{ a, b } significa o menor dos n´ umeros a e b; na tela a seguir mostramos como acessar esta fun¸cão na HP Prime

Na tela do centro mostramos como definir a fun¸ca õ distˆ ancia quˆ antica, dando Enter teremos a tela da direita. 201

Como funciona a distˆ ancia quântica? Funciona de modo bem simples, n˜ ao é necessário nenhum manual de instru¸cão, veja: dados dois pontos x e y, ambos no intervalo [ 0, 1 [, entre chaves obteremos dois valores, escolhemos o menor deles como sendo a distˆ ancia entre os pontos x e y. Por exemplo d(0; 0, 4) = min |0 − 0, 4|, 1 − |0 − 0, 4| = min 0, 4; 0, 6 = 0, 4 d(0; 0, 6) = min |0 − 0, 6|, 1 − |0 − 0, 6| = min 0, 6; 0, 4 = 0, 4 d(0; 0, 8) = min |0 − 0, 8|, 1 − |0 − 0, 8| = min 0, 8; 0, 2 = 0, 2

(Nota: distˆ ancia ou m´ etrica, d´ a no mesmo). Na HP Prime fica assim

Observe a localiza¸c˜ ao geométrica destes pontos: t 0, 4

0

q1 2

t

t

0, 6

0, 8

1

Por oportuno, observe que d (0; 0, 4) = d (0; 0, 6) > d (0; 0, 8). ´ isto mesmo que o leitor testemunha!: os dois primeiros pontos (0, 4 e 0, 6) E est˜ ao a uma mesma distˆ ancia da origem, e, como se n˜ ao bastasse, o terceiro ponto (0, 8) est´ a mais pr´ oximo da origem que os dois primeiros . . . pasmém! Poder´ıamos, com inteira raz˜ ao, cham´ a-la de “métrica maluca” ou até, quem sabe, “métrica hipermaluca”. No entanto, vejamos o que o eminente fil´ osofo tem a nos dizer a este respeito: Tudo isso, que a ` primeira vista parece excesso de irraz˜ ao, na verdade é o efeito da finura e da extens˜ ao do esp´ırito humano e o método para encontrar verdades até ent˜ ao desconhecidas. (Voltaire)

202

A r´ egua quˆ antica A partir da fórmula que define a distˆ ancia quântica

d(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y|

derivamos a equa¸c˜ ao

d (x, 0) =

  x, 

se 0 ≤ x ≤ 12 ;

1 − x,

se

1 2

≤ x < 1.

que nos d´ a a distˆ ancia de um ponto x ∈ [ 0, 1 [ à origem d (x, 0)

a partir da qual constru´ımos a régua quântica, assim:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Esta régua serve para medir a distˆ ancia entre um ponto qualquer do intervalo numérico [ 0, 1 [ para a origem. Veja dois exemplos

0

p

p

0,1

0,2

p✉ 0,3

p

p

p

0,4

0,5

0,6

↓

0

p✉ 0,7

p

p

0,8

0,9

↓

1 2

p

1

1

ր

Origem 0

0,1

0,2

0,3

0,4

203

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Qu^ antica

Usual

Na figura a seguir colocamos as duas réguas − usual (ou euclidiana) e quântica − lado a lado para efeitos de compara¸cão, veja:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Observe que a régua quântica coincide com a régua usual s´ o até a metade, a partir da´ı as duas diferem radicalmente. Na p´ agina 202 mostramos as seguintes rela¸cões: d (0; 0, 4) = d (0; 0, 6) > d (0; 0, 8). Vejamos isto diretamente na régua quântica: 0

p

p

p

p

p

p

p

p

p

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

A

1 2

t

p

B

0,4

0,5

0,4

0

C

t

1

1

t

ր

Origem 0

0,1

0,2

0,3

0,3

0,2

0,1

0

Temos dA = 0, 4 , dB = 0, 4

e

dC = 0, 2.

De outro modo dA = 0, 4 = dB

e

dC = 0, 2 < dA

Em palavras: Contrariando a régua euclidiana, a régua quˆ antica nos diz que os pontos A e B, na figura acima, est˜ ao a uma mesma distˆ ancia da origem, e, “o que é pior”, ela nos diz que o ponto C est´ a mais pr´ oximo da origem que o ponto A . . . pasmém! Nota: Um estudo mais detalhado e rigoroso deste tema − a quem interessar possa − encontra-se em nosso livro [7], onde mostramos algumas aplica¸cões da régua quântica ` a f´ısica quântica. 204

2.8

A Curva de Peano e o Cubo Hiperm´ agico

A curva de Peano O século XIX se iniciou com a descoberta de que curvas e fun¸cões n˜ ao precisavam ser do tipo bem comportado − o que até então se acreditava. Peano∗ em 1890 mostrou até que ponto a matem´ atica podia insultar o senso comum quando publica a sua famosa e bizarra curva cobrindo totalmente a superf´ıcie de um quadrado. A curva de Peano hoje possui aplica¸cões em compressão de imagens digitais. Para o que segue consideramos I = [ 0, 1 ] o intervalo numérico unit´ ario. M = I × I, quadrado unit´ ario, d a distˆ ancia euclidiana. Defini¸ c˜ ao 7 (Curva de Peano). Chama-se curva de Peano num espa¸co métrico (M, d) a uma aplica¸c˜ ao cont´ınua χ : I → M tal que χ I = M .

Uma sobreje¸ca õ cont´ınua. Existem na literatura várias formas de se construir uma curva de Peano, a que apresentaremos aqui é inédita − foi o que denominamos “Curva de Peano simplificada”. Pois bem, iremos construir a seguinte curva de Peano: 1

1

1 2

2 3

s

p

χ

p

z s

p

1 3

0

0

p

p

1 3

2 3

1

A bem da verdade, aqui neste livro iremos deixar de lado os aspectos topológicos† da curva, o leitor interessado na constru¸cão completa dever´ a consultar a referência [7]. Ademais, s˜ ao duas − ou melhor três − as raz˜ oes para que eu decidisse incluir este t´ opico neste livro sobre programa¸cão da HP Prime. Primeira, para exemplificar como funciona a curva de Peano utilizamos muita programa¸c˜ ao na HP Prime; segunda, aproveito para divulgar um trabalho meu, já que deliberadamente n˜ ao escrevo artigos de divulga¸cão (escrevo livros); terceira, todo este conte´ udo já encontrava-se pronto em um outro livro meu, s´ o fiz as devidas adapta¸cões. ∗

Giuseppe Peano (1858 − 1932), natural de Cuneo, It´ alia, foi professor da Academia Militar de Turin, com grandes contribui¸c˜ oes ` a Matem´ atica. Seu nome é lembrado hoje em conex˜ ao com os axiomas de Peano dos quais dependem tantas constru¸c˜ oes rigorosas da ´ algebra e da an´ alise. † S˜ ao os aspectos que envolvem a no¸c˜ ao de distˆ ancia e continuidade.

205

Nosso objetivo agora ser´ a construir a aplica¸cão χ

2 3

1 3

s

p

1 2

χ

p

z s

p

1

1

0

0

p

p

1 3

2 3

1

Perguntamos: como transferir um ponto do intervalo para o quadrado?

Pr´ e-requisitos Desenvolvimento bin´ ario Iremos necessitar do desenvolvimento na base bin´ aria de um n´ umero real do intervalo [ 0, 1 ]. Se 0 ≤ x ≤ 1, a express˜ ao x = 0, x1 x2 . . . xn . . . de x na base 2 significa que x=

x1 x x + 22 + · · · + nn + · · · 2 2 2

por exemplo

3 0 1 1 0 0 0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· 8 2 2 2 2 2 2 Desde já evidenciaremos um importante detalhe: do ponto de vista de convergência de séries, também temos

1 0 1 1 1 0 3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· 8 2 2 2 2 2 2

Deveremos fazer uma escolha: que sequência bin´ aria ser´ a a representa¸ c˜ ao bin´ aria∗ da fra¸cão 83 ? Esolheremos a primeira sequência, a qual chamaremos de Verdadeira codifica¸cão; em fun¸cão desta escolha a segunda sequência, isto é, 0 1 0 1 1 1 . . ., ser´ a chamada de Falsa codifica¸cão, ou pseudo 3 codifica¸c˜ ao da fra¸c˜ ao 8 . ∗

c˜ ao bin´ aria, gosto mais deste u ´ ltimo termo. Representa¸c˜ ao bin´ aria ou codifica¸

206

Algoritmo Como obter a representa¸c˜ ao bin´ aria de x ∈ [ 0, 1 ]? Iremos fornecer um algoritmo. Inicialmente vejamos um exemplo: Obter o desenvolvimento bin´ ario de x = 1/3 com uma precisão ε = 0, 01. Solu¸ c˜ ao: Inicialmente calculamos n0 e depois m, assim 1 m = ⌊2n0 · x⌋ n0 = log2ε ,

Nota: ⌊ x ⌋ é o maior inteiro que n˜ ao supera x. Fun¸cão piso.

Então

6 1 n0 = log = 21. =6 ⇒ m= 2 · 3 Agora desenvolvemos o inteiro m = 21 na base bin´ aria: 1 0,01 2

21 = 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20

Dividindo a equa¸c˜ ao anterior por q = 2n0 = 26 , temos 21 1 0 1 0 1 6 = 2 + 3 + 4 + 5 + 2 2 2 2 2 26 1 0 1 0 1 0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 2 2 2 2 2 2 Conclusão: (010101)2 é o desenvolvimento bin´ ario de x = 1/3 com erro menor que um centésimo. Observe que 21 1 6 − = 0, 005208 . . . < ε. 3 2 Para que possamos “automatizar” todo o processo anterior fornecemos a seguinte fórmula:

xn =

   1, se

  0, se

m

n −n 2 0

m

n0 − n

2

é ´ımpar; (n = 1, 2, . . . , n0 ) é par.

Exemplo: Considere o exemplo anterior em que n0 = 6 e m = 21. Então: m 21 = n=1 ⇒ = 0 ⇒ x1 = 0 n0 − n 6−1 2

2

n=2 ⇒

m

n −n 2 0

=

21 26−2

=1

⇒ x2 = 1

.................................................. m 21 = = 21 ⇒ x6 = 1 n=6 ⇒ n0 − n 6−6 2

2

207

Alternativamente, podemos escrever a fórmula anterior sob a seguinte nota¸c˜ ao:

xn = mod

j

m n0 − n

2

k

,2

Leia-se: xn = resto da divisão de

(n = 1, 2, . . . , n0 )

j

m n0 − n

2

k

por 2.

O programa a seguir

nos devolve a representa¸cão bin´ aria de um x ∈ [ 0, 1 [ com uma precisão ε. Na tela do centro temos os desenvolvimentos bin´ arios de 1 x= , 3

ε = 0.01

e

ε = 0.001

e na tela da direita temos os desenvolvimentos bin´ arios de 1 x= √ , 2

ε = 0.01

208

e

ε = 0.001

Demultiplexa¸ c˜ ao e Multiplexa¸c˜ ao Estas s˜ ao duas opera¸c˜ oes com sequêcias bin´ arias, muito utilizadas em inform´ atica, vejamos do que se trata. Demultiplexa¸ c˜ ao Dada uma sequência de digitos x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 . . . a opera¸c˜ ao de demultiplexa¸ c˜ ao consiste em separá-la nas subsequências de ´ındices ´ımpares e pares, assim:

x1 x3 x5 x7 x9 . . . x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 . . . x2 x4 x6 x8 x10 . . .

Apenas a t´ıtulo de informa¸c˜ ao, na eletrˆ onica digital existe um circuito eletrˆ onico (Chip) que realiza a demultiplexa¸cão de uma sequência bin´ aria. Na tela a seguir

mostramos um programa que realiza a demultiplexa¸cão de uma sequência; na tela do centro temos um exemplo; na tela da direita obtivemos o desenvolvimento bin´ ario da fra¸c˜ ao 53 e ap´ os sua demultiplexa¸cão. Nota: A sequência a ser demultiplexada deve ser fornecida em uma lista, a sa´ıda é uma matriz de duas linhas.

209

Multiplexa¸ c˜ ao Dadas duas sequências (xn ) e (yn ) x = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 . . . y = y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 . . . a opera¸c˜ ao de multiplexa¸ c˜ ao consiste em entrela¸cá-las, assim:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 . . . x1 y 1 x2 y 2 x3 y 3 x4 y 4 . . .

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 . . .

Apenas a t´ıtulo de informa¸cão, na eletrˆ onica digital existe um circuito eletrˆ onico (Chip) que realiza as duas opera¸c˜ oes: multiplexa¸c˜ ao e demultiplexa¸cão de sequências bin´ arias.

Na tela ao lado mostramos um programa que realiza a multiplexa¸cão de duas sequências.

A seguir vemos uma simula¸cão do programa:

101010 ... 10011100... 011000 ...

Nota: As sequências a serem multiplexadas devem devem constar em duas linhas de uma matriz, a sequência resultante é fornecida em uma lista. 210

Pois bem, vamos retomar a constru¸cão da curva de peano χ

1

1

χ

s

p

1 2

2 3

p

z s

p

1 3

0

0

p

p

1 3

2 3

A curva de Peano se resume no quadro a seguir

B

1

z

Ψ

{ 0, 1 }N

η

1

(ver p. 212)

1

ξ

s(x, y)

s η2

s

0

s

η1

0

{ 0, 1 }N

1

• Curva de Peano simplificada A composi¸c˜ ao destas várias transforma¸cões é a transforma¸cão procurada. Resumindo, temos 1

1

1 2

2 3

s

p

χ

p

z s

p

1 3

0

0

p

p

1 3

2 3

1

onde χ : I −→ I × I é tal que

z 7−→ (x, y)

χ = ξ ◦ η ◦ Ψ ⇒ χ(z) = ξ ◦ η ◦ Ψ (z) = ξ ◦ η Ψ(z) = ξ η(Ψ(z)) 211

η

Ψ

Os programas acima implementam as respectivas fun¸cões.

B

1

Ψ

{ 0, 1 }N

η

ξ

1

s(x, y)

s z

η2

s

s

0

η1

{ 0, 1 }N

0

1

• Curva de Peano simplificada Vejamos qual o papel de cada uma destas transforma¸cões: • Ψ recebe um ponto do intervalo [ 0, 1 ] e nos devolve sua representa¸cão bin´ aria: B 1

Ψ : [ 0, 1 ] −→ B

xr

Ψ

r(xn )

x 7−→ (xn ) 0

O seguinte produto cartesiano: { 0, 1 }N = { 0, 1 } × { 0, 1 } × { 0, 1 } × · · · é o conjunto das sequências infinitas de 0 s e 1 s. B (conjunto das codificaao têm todos os termos ¸co ˜es) é o subconjunto de {0, 1}N cujos elementos n˜ ∗ iguais a 1, a partir de alguma posi¸cão . Por exemplo: 0101010101... ∈ B ∗

e

1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 . . . 6∈ B

Com a u ´ nica exce¸c˜ ao feita para a sequência 1 1 1 1 . . . a qual incluimos neste conjunto.

212

• A aplica¸c˜ ao (η) é definida assim: B

η: B (xn )

N

✿

N

{0, 1} × {0, 1} η1 (xn ), η2 (xn )

{0, 1}N

η

q (η

1 ,η2 )

(xn ) q N

{0, 1}

Onde ηi : B −→ {0, 1}N (i = 1, 2) s˜ ao dadas por η1 (xn ) = η1 (x1 x2 x3 . . .) = x1 x3 x5 . . .

η2 (xn ) = η2 (x1 x2 x3 . . .) = x2 x4 x6 . . . Isto é, η1 toma de xn sua subsequência de ´ındices ´ımpares e η2 toma de xn sua subsequˆ encia de ´ındices pares, ou seja, a aplica¸cão η demultiplexa a sequência xn . • A aplica¸c˜ ao ξ é definida assim: N

N

ξ : {0, 1} × {0, 1} (xn ), (yn )

onde

(x, y) =

∞ X x

n n

n=1

∞ X y n n

2 n=1

ξ

N

{0, 1}

(yn )

2

,

I×I (x, y)

1

✒ r

(xn )

(1,1)

r (x, y)

{0, 1}N

0

1

Ou seja, a aplica¸c˜ ao ξ toma um par de sequências bin´ arias e converte para sua representa¸c˜ ao decimal. Informamos ao leitor que esta contru¸cão da curva de Peano é uma das mais simples; ademais, estamos deixando de fora os aspectos topológicos. A seguir damos alguns exemplos com o objetivo de clarear o que vimos anteriormente. 213

Exemplo: 1) Calcule a imagem, por χ, de z = 0.8.

B

1

Ψ

{ 0, 1 }N

η

1

ξ

s(x, y)

s

zs

η2

s

0

η1

0

{ 0, 1 }N

1

Solu¸ c˜ ao: Desenvolvendo 0.8 na base 2, temos 0.8 = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . . ent˜ ao Ψ(0.8) = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .. Aplicamos η à sequência anterior:

11001100110011...

↓Ψ

1 0 1 0 1 0 1 01 . . .

η1 η2

101010101...

↑

η

Temos η1 , η2 ∈ {0, 1}N × {0, 1}N . Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 : ξ (η1 , η2 ) = (x, y), onde x=y=

Portanto χ(0.8) =

1

2 2 3, 3

0 1 0 2 1 1 + 2 + 3 + 4 + ··· = 3 2 2 2 2

. A geometria do exemplo fica 1 2 3

χ p

1 2

ξ

s

p

0.8 s

p

1 3

0

0

p

p

1 3

2 3

214

1

Exemplo: Quais pontos do intervalo chegam no ponto

1 1 4, 2

Solu¸ c˜ ao: Iniciamos com a curva de Peano,

B

1

Ψ

{ 0, 1 }N

η

ξ

?

1

s(x, y)

s η2

zs

0

s

η1

{ 0, 1 }N

0

1

da figura a seguir

{ 0, 1 }N

(a, b) s

1 4 1 2

s

( 14 , 21 )

{ 0, 1 }N

concluimos que a e b s˜ ao sequências que devem convergir para 1/4 e 1/2, respectivamente. Tendo em conta que 1 2

= 10000...

1 4

= 01000...

1 2

= 01111...

1 4

= 00111...

Interregno: Estas igualdades devem ser entendidas no sentido de convergência e n˜ ao de codifica¸c˜ ao (representa¸cões). Se bem que as duas primeiras s˜ ao também codifica¸c˜ oes − por pertencerem a B. Nota: Consulte em nosso livro [7] o item “O Mito das Ambiguidades nas Representa¸ co ˜es Decimais”.

215

Pois bem, temos as seguintes possibilidades para o par (a, b): 1 4

1 2

↓

↓

(0 1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 . . .) (0 1 0 0 0 . . . , 0 1 1 1 1 . . .) (0 0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 0 . . .) (0 0 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 1 . . .)

(Multiplexa duas sequ^ encias)

Multiplexando cada um destes pares de sequências, obtemos: 010000 ... 01100000...

100000 ... 010000 ...

00110101...

011111 ... 001111 ...

01001010...

100000 ... 001111 ...

00011111...

011111 ...

6∈ B

Au ´ ltima sequência n˜ ao pertence ao conjunto das codifica¸cões − pode ser ignorada. Convertendo as outras três para decimal, obtemos: 01100000... =

3 , 8

00110101... =

10 , 48

01001010... =

7 24

Portanto estes s˜ ao os três pontos do intervalo que ser˜ ao guardados na posi¸c˜ ao 41 , 12 do quadrado. Isto é, χ

3 8

=χ

10 48

=χ

7 1 1 = , 24 4 2

Ou ainda, uniformizando os denominadores 10 14 18 1 1 =χ =χ = , χ 48 48 48 4 2 216

Imaginando o intervalo como sendo uma das arestas do quadrado, temos

)=χ( 14 )=χ( 18 χ( 10 )=( 14 , 21 ) 48 48 48

s( 1 , 1 ) 4

2

χ

sss Observe que um outro modo de interpretar χ é que ela transfere os pontos da aresta do quadrado, para o pr´ oprio quadrado, de modo que toda a superf´ıcie do quadrado é coberta e, como se n˜ ao bastasse, podemos ter até três pontos da aresta transferidos para uma mesma posi¸cão do quadrado. ∗

∗

∗

)=( 14 , 21 ) )=χ( 14 )=χ( 18 χ( 10 48 48 48

s( 1 , 1 ) 4

2

χ

sss

10 48

=

14 48 18 48

5 24

= 0.208 . . .

=

7 24

= 0.292 . . .

=

3 8

10 48

= 0.375

217

ր ↑ տ 18 14 48

48

Encontrar os pontos do intervalo que s˜ ao levados no ponto 12 , 43 . Solu¸ c˜ ao: Da experiência adquirida no exemplo anterior, podemos escrever:   VV : (1 0 0 0 0 . . . , 1 1 0 0 0 . . .) −→ 1 1 0 1 0 0 0 0 0 . . .      VF : (1 0 0 0 0 . . . , 1 0 1 1 1 . . .) −→ 1 1 0 0 0 1 0 1 0 . . .  1 3 , → 2 4   FV : (0 1 1 1 1 . . . , 1 1 0 0 0 . . .) −→ 0 1 1 1 1 0 1 0 1 . . .      FF : (0 1 1 1 1 . . . , 1 0 1 1 1 . . .) −→ 0 1 1 0 1 1 1 1 1 . . . 6∈ B

Onde: V significa a verdadeira codifica¸cão (da fra¸cão) em bin´ ario e F a falsa (apenas no sentido de convergência). As sequências ap´ os cada seta foram obtidas pela multiplexa¸cão das sequências em cada par ordenado. Sendo assim temos:

39 48

(1 0 0 0 0..., 1 1 0 0 0...)

Ψ

η

concluimos que λ

=

1 3 2, 4

{ 0, 1 }N

ξ

. Da alternativa seguinte { 0, 1 }N

( 12 , 34 )

1 1 0 0 0 1 0 1 0...

ր 0

39 48 B

1 37 48

( 12 , 34 )

1 1 0 1 0 0 0 0 0...

ր 0

{ 0, 1 }N

B

1

(1 0 0 0 0..., 1 0 1 1 1...)

Ψ

η

concluimos que λ

37 48

=

1 3 2, 4

{ 0, 1 }N

. Da alternativa seguinte { 0, 1 }N

B

1

ξ

( 12 , 34 )

0 1 1 1 1 0 1 0 1... 23 48

0

(0 1 1 1 1..., 1 1 0 0 0...)

Ψ

concluimos que λ

η 23 48

=

1 3 2, 4

{ 0, 1 }N

. 218

ξ

A multiplexa¸c˜ ao na u ´ ltima alternativa ( FF ) n˜ ao resulta em B, portanto n˜ ao é considerada. Resumindo, temos

1, 3) (2 4

)=( 12 , 43 ) λ( 23 )=λ( 37 )=λ( 39 48 48 48

s χ

s

ss

Seja (x, y) um ponto do quadrado. Com um pouco de reflexão o leitor chegar´ a` as seguintes conclusões: 1a ) Se ambas as coordenadas, x e y, forem fra¸cões di´ adicas∗ então, neste ponto s˜ ao colocados três pontos da aresta do quadrado. De outro modo: a curva passa três vezes por pontos com ambas as coordenadas fra¸cões di´ adicas; ao forem fra¸cões di´ adicas então, neste 2a ) Se ambas as coordenadas, x e y, n˜ ponto é colocado apenas um ponto da aresta do quadrado. De outro modo: a curva passa uma u ´ nica vez em pontos com ambas as coordenadas n˜ ao di´ adicas; 3a ) Se apenas uma das coordenadas, x ou y, é uma fra¸cão di´ adica então, neste ponto é colocado dois pontos da aresta do quadrado. De outro modo: a curva passa duas vezes em pontos com apenas uma coordenada fra¸cão di´ adica; Uma quarta propriedade, menos evidente, é a que segue 4a ) O conjunto dos pontos duplos e triplos é infinito enumer´ avel e denso no quadrado. Infinito enumerável significa que podemos “cont´ a-los ”, assim como contamos os Naturais: N : 1,

2,

3,

4,

5, . . .

Denso significa que: fixado qualquer ponto no quadrado; arbitrariamente pr´ oximo − ou t˜ ao pr´ oximo quanto se queira − deste ponto fixado existirá um ponto duplo ou triplo.

∗ Uma fra¸c˜ ao di´ adica é aquela cujo numerador é um n´ umero inteiro e cujo denominador é uma potência de 2.

219

O quadrado hiperm´ agico O exorcismo do fantasma das ambiguidades ([7]) nos permitiu definir e construir uma espécie de “volta” da curva de Peano. Defini¸ c˜ ao 8 (Quadrado hiperm´ agico). Chama-se quadrado hiperm´ agico num espa¸co métrico M, d uma aplica¸cão ϕ : M → I cont´ınua e injetiva.

A curva de Peano é uma aplica¸cão χ : I → M cont´ınua, sobrejetora e n˜ ao injetora; o quadrado hiperm´ agico é uma aplica¸cão ϕ : M → I cont´ınua, injetora e n˜ ao sobrejetora. O que h´ a de paradoxal no quadrado hiperm´ agico é que conseguimos guardar (armazenar) injetivamente todos os pontos do quadrado no intervalo unit´ ario e ainda sobra espa¸co. Imaginando o intervalo como sendo uma das arestas do quadrado, ϕ guarda o quadrado em uma de suas arestas, sem sobrepor um ponto a outro e, “o que é pior”, ainda sobra espa¸co na aresta!. − como estaremos mostrando oportunamente. Pois bem, o quadrado hiperm´ agico resume-se na composi¸cão das aplica¸c˜ oes mostradas na figura a seguir:

B B

(1,1)

1

ν

µ y

s

0

x

1

r

σ

r

1

B

rz

0

• Quadrado hiperm´ agico

µ

ν

220

σ

• µ é a seguinte aplica¸c˜ ao µ : I × I −→ B × B (x, y) 7−→ (xn ), (yn ) B B

(1,1)

1

ν

µ y

s

0

x

1

r

σ

r

1

rz

0

B

• A aplica¸c˜ ao ν executa uma multiplexagem das sequências (xn ) e (yn ). • Definimos a aplica¸c˜ ao σ como σ = Ψ−1 .

(p. 212)

Resumindo o quadrado hiperm´ agico temos (1,1)

1

ϕ

r

0

1

rz

0

1

onde ϕ : I × I −→ I é tal que

(x, y) 7−→ z

ϕ = σ ◦ ν ◦ µ ⇒ ϕ(x, y) = σ ◦ ν ◦ µ (x, y) = (σ ◦ ν) µ(x, y) = σ ν µ(x, y)

Vejamos agora, através de exemplos, como essa transforma¸cão atua.

221

Exemplos: 1) Como um primeiro exemplo, vamos transferir o centro do quadrado para 1 1 o intervalo. O centro do quadrado é dado pelo par ordenado 2 , 2 . B B

(1,1)

1

ν

µ y

s

0

x

1

r

σ

r

1

rz

0

B

Solu¸ c˜ ao: A transforma¸c˜ ao µ obtém a representa¸cão bin´ aria de um ponto do quadrado (codifica-o), ou seja µ

1 1 = (1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) , 2 2

A transforma¸c˜ ao ν faz uma multiplexa¸ca õ destas duas sequências, veja: 100000 ... ν

11000000...

100000 ...

A transforma¸c˜ ao σ converte esta u ´ ltima sequência em um n´ umero do intervalo (decodifica), assim: 3 1 1 0 0 0 σ(1 1 0 0 0 0 0 0 . . .) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = 4 2 2 2 2 2 3 1 1 Finalmente, ϕ 2 , 2 = 4 . Vamos resumir o que aconteceu: B

B

s 11000...

1

µ y

0

s1

(

x

1 2, 2

1000...

ν

s

1

σ

s3

4

) 1

1000...

222

B

0

2) Como mais um exemplo, vamos transferir o ponto

1 1 3, 3

para o intervalo.

B (1,1)

1

ν

B

µ y

s

0

x

1

r

σ

r

1

rz

0

B

Solu¸ c˜ ao: Aplicando a transforma¸cão µ a este ponto obtemos 1 1 µ , = (0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . . , 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) 3 3 Aplicando ν a este ponto obtemos:

010101010... ν

001100110011...

010101010...

Entregando esta u ´ ltima sequência a σ, obtemos 0 0 1 1 0 0 1 1 + ··· 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 2 2 2 2 2 2 28 1 1 1 1 1 1 = + 7 + 11 + · · · + + 8 + 12 + · · · 23 2 2 24 2 2

σ(0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .) =

=

Portanto ϕ

1 1 3, 3

2 1 1 + = 15 15 5

= 15 . Geometricamente, temos B B

s 00110011...

1

µ

0101...

ν

s

1

σ

y

s

( 13 , 13 )

s1 5

0

x

1

0101...

223

B

0

Imagem real e imagem virtual Dentro do contexto de desenvolvimento do quadrado hiperm´ agico surgiu a necessidade de considerarmos o que vamos chamar de “imagem virtual de um ponto” − que s˜ ao pontos do intervalo que n˜ ao s˜ ao imagens por ϕ de pontos do quadrado, mas que, no entanto, s˜ ao “geradas” por estes, num sentido a ser exemplificado a seguir. Inicialmente consideremos, por exemplo, a sequência a(k) dada assim a(k) = 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . . Essa sequência pertence a B. A multiplexagem a seguir

0111111... 0000000...

001010101010... ∈ B

mostra que a sequência a(k) n˜ ao é imagem, por ν, de nenhum ponto do espa¸co B × B, observe B 00101010...

B 01111... 6∈ B

µ

0

ν

σ σ(a(k)) =

00000...

1

1

sa(k)

1

B

0

1 6

Logo, nenhum ponto de B × B chega na sequência a(k). Isso implica dizer que a imagem, por σ,de a(k), n˜ ao ser´ a ocupada por nenhum ponto do quadrado. Digo, σ a(k) , n˜ ao ser´ a imagem, por ϕ, de nenhum ponto do quadrado. Este é um exemplo do que vamos definir logo mais como sendo uma “imagem virtual”. Para encontr´ a-la, calculamos: σ(0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) =

=

0 1 0 1 0 1 0 0 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ··· 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 + 5 + 7 + ··· = 6 2 2 2

224

A partir do quadrado hiperm´ agico a seguir

B

y

0

x

σ

r

1

B

rz

0

    

µ s

1

r

     

(1,1)

1

ν

B

bije¸caõ

definimos: Defini¸ c˜ ao 9 (Imagem real e imagem virtual). As imagens de pontos de B, por σ, dividem-se em reais e virtuais; um ponto de B gera uma imagem real se ele ao ser demultiplexado suas sequências componentes pertencem a B × B, caso contr´ ario dizemos que este ponto gera uma imagem virtual.

225

Exemplo: Vamos considerar o ponto

1 1 4, 2

Como visto anteriormente, temos

, do quadrado.

1 4

1 2

↓

↓

V V : (0 1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 . . .) V F : (0 1 0 0 0 . . . , 0 1 1 1 1 . . .) F V : (0 0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 0 . . .) F F : (0 0 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 1 . . .) Multiplexando cada um destes pares de sequências, obtemos: V :

010000 ...

V :

100000 ...

V :

010000 ...

F :

011111 ...

F :

001111 ...

V :

100000 ...

F :

001111 ...

F :

011111 ...

01100000...

֌ gera imagem real

00110101...

֌ gera imagem virtual

01001010...

֌ gera imagem virtual

00011111...

6∈ B

Volvendo ao exemplo dado na p´ agina 215: 01100000... =

3 , 8

00110101... =

Ent˜ ao ϕ

1 1 3 , = 4 2 8

os outros dois pontos s˜ ao imagens virtuais.

226

10 , 48

01001010... =

7 24

Imaginando o intervalo como sendo uma das arestas do quadrado, temos, 18 ϕ( 14 , 21 )= 38 = 48

֌ ponto

10 48

֌ buraco

s( 1 , 1 ) 4

2

ϕ 14 48

֌ buraco

s

Nota: Aqui estamos usando buraco como sinˆ onimo de imagem virtual (“vazio”). Observe que um outro modo de interpretar ϕ é que ela transfere todos os pontos do quadrado para uma de suas arestas, sem sobrepor um ponto a outro e, “o que é pior”, ainda sobram lugares vazios na aresta . . . Pasmém!. ∗

∗

∗

Repetimos aqui − para efeito de compara¸cão − a figura da p´ agina 217:

)=χ( 14 )=χ( 18 χ( 10 )=( 14 , 21 ) 48 48 48

s( 1 , 1 ) 4

2

χ

sss

10 48

=

14 48 18 48

5 24

= 0.208 . . .

=

7 24

= 0.292 . . .

=

3 8

10 48

= 0.375

227

ր ↑ տ 18 14 48

48

De uma outra perspectiva:

s( 1 , 1 ) 4

s( 1 , 1 )

2

4

2

ϕ

χ

sss

s

χ B

1

z

Ψ

{ 0, 1 }N

η

1

ξ

s(x, y)

s η2

s

s

0

η1

0

{ 0, 1 }N

1

B B

(1,1)

1

ν

µ y

s

0

x

1

r

σ

r

1

rz

0

B

ϕ A pergunta que colocamos é: ao guardarmos um ponto do quadrado na aresta, teremos como recuperar este ponto? Ou ainda

ϕ s (x, y)

χ sz

?s (x, y)

A resposta é pela afirmativa, observe que σ = Ψ−1 e que, ao demultiplexarmos uma sequência de B obtemos uma sequência de B × B e, ademais, µ é uma bije¸c˜ ao. Para um exemplo, veja a figura no topo desta p´ agina.

228

2.8.1

A curva de Peano no cubo

De modo inteiramente an´ alogo, podemos construir uma curva de Peano χ entre o intervalo unit´ ario e o cubo unit´ ario [ 0, 1 ]3 , assim:

η3 B

1

Ψ p

1

{ 0, 1 }N

s

η2

s

0

1

{ 0, 1 }N

η1 0

ξ

s

η

{ 0, 1 }N

1

• Curva de Peano no Cubo Nesta figura η faz uma demultiplexagem de uma sequência xn ∈ B. Isto é, η toma uma sequência xn e a separa em três subsequências, η (xn ) = η1 (xn ), η2 (xn ), η3 (xn ) Então podemos tomar:

η1 ( x1 x2 x3 . . . ) = x1 x4 x7 x10 . . . η2 ( x1 x2 x3 . . . ) = x2 x5 x8 x11 . . . η3 ( x1 x2 x3 . . . ) = x3 x6 x9 x12 . . . Veja, x1 x4 x7 x10 . . . x1 x2 x3 x4 x5 . . .

x2 x5 x8 x11 . . . x3 x6 x9 x12 . . .

η

Ψ

Os programas acima implementam as respectivas fun¸cões. 229

Exemplos: 1) Calcule a imagem, por χ, de p = 0.5.

η3 B

1

Ψ p

1

{ 0, 1 }N

ξ

s

η

s

η2

s η1

0

0

1

{ 0, 1 }N

{ 0, 1 }N

1

Solu¸ c˜ ao: Desenvolvendo 0.5 na base 2, temos 1 0 0 0 0 . . . = 12 . Ent˜ ao Ψ(0.5) = 1 0 0 0 0 0 0 . . .. Agora aplicamos η à sequência anterior: η1 (1 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .) = 1 0 0 0 0 0 0 . . .

η

η2 (1 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .) = 0 0 0 0 0 0 0 . . . η3 (1 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .) = 0 0 0 0 0 0 0 . . .

Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 , η3 , então ξ (η1 , η2 , η3 ) = (x, y, z), obtendo λ 21 = 12 , 0, 0 .

2) Calcule a imagem, por χ, de p = 2/3.

Solu¸ c˜ ao: Desenvolvendo 2/3 na base 2, obtemos

2 3

= 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . ..

Ent˜ ao Ψ(2/3) = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .. Aplicamos η à sequência anterior: η1 (1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . .) = 1 0 1 0 1 0 1 . . . η2 (1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . .) = 0 1 0 1 0 1 0 . . .

η

η3 (1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . .) = 1 0 1 0 1 0 1 . . . Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 , η3 , então, ξ (η1 , η2 , η3 ) = (x, y, z), obtendo χ 32 = 23 , 13 , 23 . Graficamente, temos 1

1 z 1 2

s s

χ y

1 x

0 1

230

3) Encontre todos os pontos do intervalo que s˜ ao transferidos, por χ, para o centro do cubo. Isto é, resolva, para p, a equa¸cão χ(p) = 21 , 21 , 12 .

Solu¸ c˜ ao: Temos as seguintes alternativas:

1 1 1 2, 2, 2

→

                                

VVV : (1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 1 0 0 0...)→ 1 1 1 0 0 0 0 0 0... =

49 56

VVF : (1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1... )→ 1 1 0 0 0 1 0 0 1... =

43 56

VFV : (1 0 0 0..., 0 1 1 1..., 1 0 0 0... )→ 1 0 1 0 1 0 0 1 0... =

37 56

VFF : (1 0 0 0..., 0 1 1 1..., 0 1 1 1... )→ 1 0 0 0 1 1 0 1 1... =

31 56

FVV : (0 1 1 1..., 1 0 0 0..., 1 0 0 0... )→ 0 1 1 1 0 0 1 0 0... =

25 56

FVF : (0 1 1 1..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1... )→ 0 1 0 1 0 1 1 0 1... =

19 56

FFV : (0 1 1 1..., 0 1 1 1..., 1 0 0 0... )→ 0 0 1 1 1 0 1 1 0... =

13 56

FFF : (0 1 1 1..., 0 1 1 1..., 0 1 1 1... )→ 0 0 0 1 1 1 1 1 1... =

7 56

Nota: As sequências ap´ os a seta foram obtidas via multiplexa¸caõ das três sequências ` a esquerda. Os digitos na cor vermelha, em cada sequência, representam o per´ıodo; isto é, s˜ ao os três digitos que se repetem em seguida. Para ilustrar a finalidade do diagrama acima consideremos, por exemplo, a segunda das combina¸c˜ oes (VVF), assim:

η3 B

1 43 56

1

{ 0, 1 }N

s

Ψ

s

ξ

s

η

↑

η2

1 1 0 0 0 1 0 0 1... η1 0

0

1

{ 0, 1 }N

{ 0, 1 }N

1

(1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1... )

Deste diagrama concluimos que, χ

43 56

=

1 1 1 2, 2, 2

.

Das combina¸c˜ oes anteriores apenas uma (FFF) n˜ ao pertence a B, portanto n˜ ao é oriunda da codifica¸c˜ ao de nenhum ponto do intervalo [ 0, 1 ], sendo assim temos: χ

43 37 31 25 19 13 1 1 1 49 =χ =χ =χ =χ =χ =χ = , , 56 56 56 56 56 56 56 2 2 2 231

Podemos imaginar o intervalo unit´ ario como sendo uma das arestas do cubo unit´ ario. Na figura seguinte plotamos os sete pontos da aresta que s˜ ao transferidos para o centro do cubo

χ

z x y

Observe que em duas dimensões (quadrado) três pontos da aresta s˜ ao transferidos para o centro do quadrado. Em três dimensões (cubo) sete pontos da aresta s˜ ao transferidos para o centro do cubo. Seja (x, y, z) um ponto do cubo. Com um pouco de reflexão o leitor chegar´ a` as seguintes conclusões: adicas então, neste ponto 1a ) Se as três coordenadas, x, y e z, forem fra¸cões di´ s˜ ao colocados sete pontos da aresta do cubo (digo, do intervalo unit´ ario). a adicas ent˜ ao, neste ponto 2 ) Se apenas duas coordenadas forem fra¸cões di´ s˜ ao colocados quatro pontos da aresta do cubo. 3a ) Se apenas uma coordenada for fra¸cão di´ adica então, neste ponto s˜ ao colocados dois pontos da aresta do cubo. 4a ) Se nenhuma das coordenadas é di´ adica então, neste ponto é colocado um u ´ nico ponto da aresta do quadrado. 5a ) O conjunto dos pontos m´ ultiplos é infinito enumerável e denso no cubo. As telas a seguir referem-se à figura da p´ agina 231.

Ψ

η

232

ξ

2.8.2

O cubo hiperm´ agico

A exemplo do que foi feito para o quadrado também podemos transferir todos os pontos do cubo para uma de suas arestas. Sendo que esta transforma¸cão cumpre as mesmas condi¸c˜ oes que a do quadrado: é cont´ınua, injetiva e n˜ ao sobrejetiva. B

1

B

η3

µ 0

1

sp

s

ν s

σ

η2

1

B

0

η1 B 1

• Cubo hiperm´ agico Chamaremos de γ a composta de todas estas transforma¸cões. Exemplos: 1) Calcule γ 0, 0, 12 . Solu¸ c˜ ao: Temos µ 0, 0,

1 2

= 1 0 0 0 0 0 0 0 . . .. Logo,

1 = (0 0 0 0 0 0 . . . , 0 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) 2

Agora aplicamos ν ao ponto anterior. Observa¸ c˜ ao: Dadas três sequências xn , yn e zn , ν faz uma multiplexagem das mesmas, isto é x1 x2 x3 x4 . . . y1 y2 y3 y4 . . .

x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 x4 y4 z4 . . .

z1 z2 z3 z4 . . .

ν

Portanto 000000 ... 000000 ...

001000000 ...

100000 ...

233

Temos ν(0 0 0 0 0 0 . . . , 0 0 0 0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 0 . . .) = 0 0 1 0 0 0 0 . . . Agora, aplicamos σ ` a sequência anterior, obtendo 0 0 1 0 0 0 1 σ(0 0 1 0 0 0 0 0 0 . . .) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · = 8 2 2 2 2 2 2 1 1 Portanto, γ 0, 0, 2 = 8 . 2) Calcule γ 21 , 12 , 21 .

Solu¸ c˜ ao: Temos 21 = 1 0 0 0 0 0 0 0 . . .. Logo 1 1 1 = (1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) µ , , 2 2 2 Agora aplicamos ν ao ponto anterior, obtendo ν (1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) = 1 1 1 0 0 0 0 0 0 . . .

- Agora aplicamos, ` a sequência anterior, σ. Então, 1 1 1 0 0 1 1 1 7 σ 111000000... = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· = + + = . 2 4 8 8 2 2 2 2 2 7 1 1 1 Portanto, γ 2 , 2 , 2 = 8 . Graficamente, temos 1 1

s7

z

8

γ y

0

1

x

s1 8

0 1

Deste exemplo e do exemplo 3 (p. 231) concluimos que o centro do cubo vai para o ponto 7/8 e gera seis buracos na aresta do cubo (ou no intervalo unit´ ario). Observe que paradoxal: A exemplo do que ocorreu no quadrado aqui também conseguimos, por γ, transferir o cubo para uma de suas arestas, com a “agravante” de que agora “mais” buracos ser˜ ao gerados na aresta. 2 Por exemplo um ponto (x, y) ∈ [ 0, 1 [ com ambas as coordenadas di´ adicas gera dois buracos na aresta do quadrado; por outro lado um ponto (x, y, z) ∈ [ 0, 1 [3 com duas coordenadas di´ adicas gera quatro buracos na aresta do cubo e com três coordenadas di´ adicas gera seis buracos. Resumindo: estamos transferindo para a aresta um “volume” maior de pontos enquanto o n´ umero de lugares vazios na aresta aumenta. Naturalmente que, o que foi feito para o quadrado e o cubo, se estende sem dificuldade ao “hipercubo”. 234

Buracos na aresta do cubo: O centro do cubo vai, por γ, para o ponto 7/8 ∈ [ 0, 1 ] e “gera” seis buracos (imagens virtuais) no intervalo. Veja isto no diagrama:

1 1 1 2, 2, 2

→

                                

VVV : (1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 1 0 0 0...)→ 1 1 1 0 0 0 0 0 0... =

49 56

VVF : (1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1... )→ 1 1 0 0 0 1 0 0 1... =

43 56

VFV : (1 0 0 0..., 0 1 1 1..., 1 0 0 0... )→ 1 0 1 0 1 0 0 1 0... =

37 56

VFF : (1 0 0 0..., 0 1 1 1..., 0 1 1 1... )→ 1 0 0 0 1 1 0 1 1... =

31 56

FVV : (0 1 1 1..., 1 0 0 0..., 1 0 0 0... )→ 0 1 1 1 0 0 1 0 0... =

25 56

FVF : (0 1 1 1..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1... )→ 0 1 0 1 0 1 1 0 1... =

19 56

FFV : (0 1 1 1..., 0 1 1 1..., 1 0 0 0... )→ 0 0 1 1 1 0 1 1 0... =

13 56

FFF : (0 1 1 1..., 0 1 1 1..., 0 1 1 1... )→ 0 0 0 1 1 1 1 1 1... =

7 56

Por exemplo, a pseudo codifica¸ca õ V V F “gera” um buraco no espa¸co B3 e este, por sua vez, gera um buraco em B: 1 1 0 0 0 1 0 0 1 . . ., que, por sua vez, gera um outro buraco em [ 0, 1 [: 43/56.

B

1

B

1 43 56

η3

µ 0

ν

σ

η2

1

0

B η1 B

1 (1 0 0 0 ..., 1 0 0 0 ..., 0 1 1 1 ...)

Ψ

ν

235

σ

Nos seis pontos seguintes: 43/56 = 0, 7679; 37/56 = 0, 6607; 31/56 = 0, 5536; 25/56 = 0, 4464; 19/56 = 0, 3393; 13/56 = 0, 2321. localizam-se os buracos na aresta do cubo (ou no intervalo unit´ ario),veja:

γ

z

χ

x y

Na figura da esquerda plotamos a imagem do centro do cubo, bem como os buracos “reservados” na aresta − pelo centro. Na figura da direita repetimos, para efeitos de compara¸cão, a figura da p´ agina 232.

χ η3 B

1

Ψ p

1

{ 0, 1 }N

ξ

s

η

s

η2

s η1

0

0

{ 0, 1 }N

1

B

1

B

η3

µ

1

{ 0, 1 }N

ν

1

sp

s

σ

s 0

η2

1

B η1 B

1

γ 236

0

2.9

C´ alculo da taxa de juros

Polinˆ omios e Matem´ atica Financeira Introdu¸c˜ ao

× Veremos que, mesmo em casos onde se deve ter um n´ umero como sa´ıda de um programa a programa¸c˜ ao algébrica pode facilitar bastante; apenas para contextualizar, vejamos um importante exemplo da matem´ atica financeira: “Um congelador no valor de $ 950, 00 a vista é vendido em 12 pagamentos mensais e sem entrada no valor de $ 100, 00 cada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?” Ao tentar resolver esse problema nos deparamos com a seguinte equa¸cão: 100 i(1 + i)12 = (1 + i)12 − 1 950

Como isolar i (taxa) nesta equa¸cão? O sentimento generalizado nos livros de matem´ atica financeira é que n˜ ao é poss´ıvel isolar a taxa nesta equa¸cão. Por exemplo∗ , “Se é poss´ıvel uma fórmula especial para o cálculo de n, tal n˜ ao acontece para o c´ alculo de i, quando se conhecem P V , P M T e n. O cálculo de i s´ o é poss´ıvel por aproxima¸c˜ oes sucessivas. Calcula-se o valor de P V com várias taxas até que se consigam valores pr´ oximos do valor dado para P V . Em seguida, com o aux´ılio da regra de três, faz-se uma interpola¸cão para determinar a taxa correspondente a esse valor dado.” Este é um método tosco de resolu¸cão − comparado com o que aqui vamos apresentar. Vamos mostrar que é poss´ıvel sim obter “uma fórmula especial para o c´ alculo de i”. Veremos como, através da computa¸cão algébrica, obter uma fórmula para o c´ alculo da taxa e sem aproxima¸cões − num sentido a ser esclarecido oportunamente. ∗

Veras, Lilia Ladeira. Matem´ atica Financeira 6. ed. S˜ ao Paulo: Atlas, 2009.

237

C´ alculo de presta¸c˜ oes Quando compramos um artigo a prazo efetuamos geralmente seu pagamento em uma série de presta¸cões igualmente espa¸cadas no tempo. Essa série de presta¸c˜ oes é equivalente a um pagamento u ´ nico, que seria o pagamento ` a vista. A fórmula − deduzida nos livros de matem´ atica financeira − a ser utilizada é a seguinte:

V = P ·

1 − ( 1 + i )−n i

(2.3)

Essa fórmula nos fornece o valor à V ista de uma compra feita em n parcelas iguais a P quando embutida uma taxa de juros de valor i. Vamos passar esta fórmula para a linguagem da calculadora financeira HP 12C , temos

V =P ·

1−( 1+i )−n i

P V = P MT ·

1−( 1+i )−n i

Onde: P V = Valor Presente e P M T = Pagamento = Presta¸cões.

S´ eries postecipadas e antecipadas Nos pagamentos peri´ odicos, os pagamentos podem ser feitos no in´ıcio do per´ıodo de capitaliza¸c˜ ao, quando s˜ ao chamados de antecipados, ou no final do per´ıodo, quando s˜ ao chamados de postecipados. Por exemplo, os sal´ arios, por serem pagos no fim do mês, s˜ ao rendas postecipadas; as mensalidades escolares, por sua vez, s˜ ao rendas antecipadas. P

P

P

P

···

p

p

p

p

0

1

2

3

···

− Antecipados

P

P

p

p

p

p

0

1

2

3

− Postecipados

238

··· ···

Temos a seguinte fórmula:

PMT = PV ·

i(1 + i)n−1 (1 + i)m (1 + i)n − 1

como uma generaliza¸c˜ ao da fórmula (2.3) (p. 238). Quando m = 0 temos as séries antecipadas e m = 1 as séries postecipadas. Obviamente que a fórmula acima contempla outras possibilidades. Por exemplo, se a primeira parcela for paga no final do segundo per´ıodo (ou in´ıcio do terceiro) (m = 2): P

P

P

p

p

p

p

p

0

1

2

3

4

··· − Postecipados, m = 2

···

C´ alculo da taxa de juros Reconsideremos o seguinte problema: Um congelador no valor de $ 950, 00 a vista é vendido em 12 pagamentos mensais e sem entrada no valor de $ 100, 00 cada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? Substituindo os dados na fórmula a seguir, temos: PMT = PV · temos 100 = 950 · Ou ainda

i(1 + i)n−1 (1 + i)m (1 + i)n − 1

i(1 + i)12−1 (1 + i)1 (1 + i)12 − 1

i(1 + i)12 10 = 12 (1 + i) − 1 95

Para isolar i nesta equa¸c˜ ao iremos iniciar com o binˆ omio de Newton: (a + b)n =

n X n k=0

k

an−k b k

Tomando nesta equa¸c˜ ao a = 1 e b = i, resulta: n

(1 + i ) =

n X n k=0

239

k

ik

Vejamos um caso particular desta equa¸cão: 3 X 3 k 3 0 3 1 3 2 3 3 (1 + i) = i = i + i + i + i k 0 1 2 3 3

k=0

= 1 + 3i + 3i2 + i3

Resulta um polinˆ omio do terceiro grau em i. Polinˆ omios é uma das especialidades da HP Prime , como já vimos. Apenas para pegar intimidade com o somat´ orio, n

(1 + x ) =

n X n k=0

k

xk

vamos criar uma fun¸c˜ ao na HP Prime , como na tela a seguir

ap´ os , teremos a tela da direita, onde vemos duas simula¸cões. Lembramos que todas as vari´ aveis envolvidas (n, k, x) devem estar resetadas. Lembramos que a letra i é reservada para a unidade imagin´ aria. Ademais, observe o seguinte

←−

Vamos manipular algébricamente a fórmula PMT = PV ·

i(1 + i)n−1 (1 + i)m (1 + i)n − 1

para obter: (1 + i)n − 1 − i(1 + i)n+m−1 · P V /P M T = 0 240

Ou ainda, tendo em conta n

(1 + x ) =

n X n

k

k=0

xk

temos n X n k=0

k

k

i −1−i·

n+m−1 X k=0

n+m−1 k

i k · P V /P M T = 0

Sendo n X n k=0

k

e n+m−1 X k=0

n+m−1 k

n n n 1 0 i + ··· + in i = i + 1 n 0 | {z } k

=1

k

i =

n+m−1 0

0

i + ··· +

n+m−1 n+m−1

i n+m−1

Observe que temos uma diferen¸ca entre dois polinˆ omios em i: n X n

|k=1

k {z

p1 (i)

k

i − P V /P M T · }

|

n+m−1 X k=0

{z

p2 (i)

n+m−1 k

i k+1 = 0 }

Para o pr´ oximo programa fixe a seguinte configura¸cão em sua calculadora (Vista de in´ıcio e Vista do CAS):

241

O programa seguinte calcula a taxa de juros

de acordo com a fórmula

PMT = PV ·

i(1 + i)n−1 (1 + i)m (1 + i)n − 1

Problema: Um congelador no valor de $ 950, 00 a vista é vendido em 12 pagamentos mensais iguais e sem entrada no valor de $ 100, 00 cada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? O diagrama de fluxo de caixa da opera¸cão é visto a seguir: VP

PMT

PMT

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Solu¸ c˜ ao: Entrando no programa anterior com os dados: P V = 950,

P M T = 100,

n = 12,

m = 1 (sem entrada)

o programa nos devolve a seguinte lista:

{ −178.6066 0.0000 3.7909 }

Ou seja: o polinˆ omio resultante do problema em questão possui três ra´ızes reais. A que nos interessa é: i = 3.7909. 242

Vamos modificar o programa anterior para sair apenas com a taxa que nos interessa, isto é, entre 0 e 100. Tentando resolver este problema de “forma compacta” (e elegante) é que fui levado a uma nova e interessante fun¸cão da Calculadora, ei-la: remove Dado um vetor ou lista, remove as ocorrências de Valor ou remove os valores que tornam o Teste verdadeiro e apresenta o vetor ou lista resultante. Sintaxe: remove(Value, List) ou remove(Test, List) Antes dos exemplos, volte sua calculadora para as configura¸cões

−→ −→

Veja os dois exemplos seguintes

Aqui cabe uma pergunta: e se quisermos eliminar na lista do exemplo os x tais que x ≤ −2 e x ≥ 2 ?. Basta concatenar remove, assim:

Pois bem, agora volte a sua Calculadora para a configura¸cão anterior aos exemplos (p. 241). 243

Ent˜ ao, o programa para o cálculo da taxa de juros modificado, fica assim:

Na tela da direita recalculamos o problema do congelador. Vejamos mais dois exemplos. Problema: Uma loja de decora¸cões anuncia a venda de um objeto de arte por $ 600, 00 a vista ou em 1 + 8 (isto é, com uma entrada e oito parcelas mensais) de $ 80, 00 cada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? Solu¸ c˜ ao: O diagrama de fluxo de caixa da opera¸cão é visto a seguir: PMT

p 0

PMT = $ 80, 00

p

p

p

p

p

p

p

p

1

2

3

4

5

6

7

8

PV = $ 600, 00

Entrando no programa com os dados: P V = 600,

P M T = 80,

n = 9,

o programa nos devolve: i = 4.8598 (a.m.).

244

m = 0 (com entrada)

Problema: Um aparelho de som é anunciado com um pre¸co a vista de $ 1200, 00 ou em três parcelas mensais iguais a $ 500, 00. Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, supondo que a primeira parcela seja paga: a) b)

no ato; 30 dias ap´ os a compra.

Solu¸ c˜ ao: a) n = 3, b) n = 3,

Entrando no programa com os m = 0, o programa nos devolve: Entrando no programa com os m = 1, o programa nos devolve:

dados: P V i = 27.4659 dados: P V i = 12.0444

= 1200, P M T = 500, (a.m.). = 1200, P M T = 500, (a.m.).

Conclus˜ ao: Pela “dedu¸c˜ ao” do programa podemos dizer que o valor da taxa de juro é um valor “l´ ogicamente exato”, embora, eventualmente, possa n˜ ao ser numéricamente exato, uma vez que no cálculo das ra´ızes do polinˆ omio, pela HP Prime , introduz-se aproxima¸cões nos algoritmos numéricos. Este programa pode ser visto, efetivamente, como uma fórmula para o cálculo da taxa de juros; é uma fun¸cão (fórmula) de quatro vari´ aveis. Contrariando a afirmativa da autora citada na p´ agina 237: “Se é poss´ıvel uma fórmula especial para o cálculo de n, tal n˜ ao acontece para o c´ alculo de i, quando se conhecem P V , P M T e n. O cálculo de i s´ o é poss´ıvel por aproxima¸c˜ oes sucessivas. Calcula-se o valor de P V com várias taxas até que se consigam valores pr´ oximos do valor dado para P V . Em seguida, com o aux´ılio da regra de três, faz-se uma interpola¸cão para determinar a taxa correspondente a esse valor dado.”

245

Capitaliza¸c˜ ao composta em per´ıodos fracion´ arios Os exemplos apresentados até agora − com respectivos fluxos de caixa − foram para transa¸c˜ oes financeiras em que os juros come¸cam a acumular no in´ıcio do primeiro per´ıodo de pagamento regular. No entanto, muitas vezes os juros come¸cam a acumular antes do in´ıcio do primeiro per´ıodo de pagamento regular − pode ser o caso de um empréstimo banc´ ario, por exemplo. O per´ıodo referido, durante o qual os juros come¸cam a acumular antes da data do primeiro pagamento, é denominado per´ıodo fracion´ ario. PMT VP

···

n

p0

p1

p2

Antecipado

p3

Per´ıodo fracionário

PMT VP

···

n

p0

p1

p2

Postecipado

p3

Per´ıodo fracionário

Consideremos o seguinte problema: Um empréstimo de $ 3 950 por 42 meses para comprar um carro come¸ca a acumular juros 13 dias antes do in´ıcio do primeiro per´ıodo de pagamento. Pagamentos de $ 120 s˜ ao feitos no final de cada mês. Calcule a taxa de juros do financiamento considerando os dias extras. Solu¸ c˜ ao: O diagrama de fluxo de caixa é visto a seguir: VP= $ 3 950

PMT

PMT= $ 120

··· n

p0

p1

p2

p 42

p3

13 dias

O n´ umero de per´ıodos que devemos utilizar no exemplo é: n = 42 +

13 = 42. 43 30

246

Substituindo os dados do problema na fórmula

PMT = PV ·

120 = 3950 ·

i(1 + i)n−1 (1 + i)m (1 + i)n − 1

i(1 + i)42. 43−1 (1 + i)1 (1 + i)42. 43 − 1

Simplificando ligeiramente, temos i(1 + i)42. 43 =

120 (1 + i)42. 43 − 1 3950

E n˜ ao podemos aplicar a fórmula do binˆ omio de Newton para desenvolver o binˆ omio acima posto que o expoente n˜ ao é um n´ umero natural. O desenvolvimento matem´ atico que se segue é com vistas a construir um algoritmo (programa) para resolver problemas do gênero. Antes precisamos generalizar o coeficiente binomial, assim: Defini¸ c˜ ao 10. Se m for qualquer n´ umero real e k um n´ umero natural, ent˜ ao definimos o coeficiente binomial, assim:   se k = 0;  1, m =  k  m(m − 1)(m − 2) · · · m − (k − 1) , se k ≥ 1. k! Por exemplo, a ) Calcule

4 2 .

Solu¸ c˜ ao: Sendo m = 4 e k = 2, temos, m − (k − 1) = 4 − 1, então 4·3 4 4(4 − 1) = =6 = 2! 2 2 b ) Calcule 4.35 . Solu¸ c˜ ao: Sendo m = 4, 5 e k = 3, temos, m − (k − 1) = 4, 5 − 2, então 4. 5 4. 5 (4. 5 − 1)(4. 5 − 2) 4. 5 · 3. 5 · 2. 5 = = = 6. 5625 3 3! 6

247

c ) Calcule

−4 2 .

Solu¸ c˜ ao: Sendo m = −4 e k = 2, temos, m − (k − 1) = −4 − 1, então −4 −4(−4 − 1) −4 · (−5) = = = 10 2 2! 2 A HP possui uma fun¸cão, COMB, que calcula combina¸cões COMB(m, k), no entanto se m n˜ ao for inteiro ou se for negativo a calculadora acusará um erro. Vamos contornar esta limita¸cão. . . Espere! Isto foi o que escrevi no meu livro sobre a programa¸cão da calculadora HP 50g, na PRIME, neste momento, observei que ela calcula sim o “binomial generalizado”, como na defini¸cão 10, acima. Isto facilita nossa vida, veja:

−→

Retomando, iremos necessitar da série binomial (estudada no C´ alculo), ei-la: m(m − 1) · · · m − (k − 1) k m(m − 1) 2 x + ··· + x + ··· 1 + mx + 2! k! Pode-se provar, que se m n˜ ao for um n´ umero Natural, então a série binomial converge para (1 + x)m para |x| < 1. Sendo assim, m(m − 1) · · · m − (k − 1) k m(m − 1) 2 m x +···+ x +··· (1+x) = 1 + mx + 2! k! Tendo em conta nossa extensão do coeficiente binomial, temos: +∞ X m m (1 + x) = xk k k=0

Esta identidade vale se m n˜ ao é um n´ umero natural. Na verdade é o caso que nos interessa agora, uma vez que para m natural já tratamos anteriormente. A t´ıtulo de exemplo, vamos substituir x por i e m por −n para obter: ∞ X −n k −n (1 + i) = i (2.4) k k=0

248

Vejamos dois casos particulares: ∞ X −2 k −2 0 −2 1 −2 2 −2 (1 + i) = i = i + i + i + ··· k 0 1 2 k=0

= 1 + −2i + 3i2 + · · ·

e −3

(1 + i)

∞ X −3 k −3 0 −3 1 −3 2 = i = i + i + i + ··· k 0 1 2 k=0

= 1 + −3i + 6i2 + · · ·

Na tela a seguir definimos na linha de entrada uma fun¸cão de duas vari´ aveis

na tela do centro algumas simula¸cões, configura¸cão do CAS como na tela da direita. Vamos manipular algébricamente a fórmula, PMT = PV · para obter:

i(1 + i)n−1 (1 + i)m (1 + i)n − 1

(1 + i)n − 1 − i(1 + i)n+m−1 · P V /P M T = 0 Considerando que n n˜ ao é um n´ umero Natural, podemos escrever: +∞ +∞ X X n+m−1 k n k i · P V /P M T = 0 i −1−i k k k=0

k=0

Ou ainda,

+∞ X n k=0

k

k

i − 1 − P V /P M T · i

+∞ X n+m−1 k=0

k

ik = 0

O programa para esta fórmula muda muito pouco em rela¸cão ao programa da p. 244. Devemos estabelecer um limite N para o somat´ orio (N = 10 no programa a seguir). 249

A seguir temos o novo programa que implementa a equa¸cão +∞ X n k=0

k

k

i − 1 − P V /P M T · i

+∞ X n+m−1 k

k=0

ik = 0

Este é o programa que calcula a taxa de juros para capitaliza¸cão composta, incluindo per´ıodos fracionários. Entrando no programa com os dados: P V = 3950,

P M T = 120,

(p. 246)

n = 42.43,

m = 1 (postecipada)

o programa nos devolve a seguinte taxa: i = 1.2279 (a.m.). Nota: A sua calculadora deve estar na configura¸cão da p´ agina 241. Vejamos mais um exemplo: Um empréstimo de $ 4 500 por 36 meses come¸ca a acumular juros 15 dias antes do in´ıcio do primeiro per´ıodo de pagamento. Pagamentos de $ 157, 03 s˜ ao feitos no in´ıcio de cada mês. Calcule a taxa de juros do financiamento considerando os dias extras. Solu¸ c˜ ao: O diagrama de fluxo de caixa é visto a seguir: VP= $ 4 500

PMT

PMT= $ 157, 03

··· n

p0

p1

p2

p 35

p3

15 dias

O n´ umero de per´ıodos que devemos utilizar no exemplo é: n = 36 +

15 30

= 36. 5

PV=4500 PMT=157.03 n=36.5 m=0

250

Apˆ endice: Algoritmo para plotar pontos no espa¸co Interregno cultural: Precisamente no ano de 1988 senti a necessidade de fazer um programa computacional para tra¸car o gr´ afico de superf´ıcies z = f (x, y). Na época n˜ ao existiam os potentes softwares algébricos existentes hoje e que tra¸cam gr´ aficos com a maior facilidade. Inicialmente, para desenvolver meu programa consultei dois ou três livros sobre computa¸cão gr´ afica, entretanto achei os algoritmos − constantes nestes livros − um tanto quanto complicados para serem implementados; foi quando decidi criar meu pr´ oprio algoritmo.

Dedu¸c˜ ao do meu algoritmo Após alguns instantes de reflex˜ ao me coloquei o seguinte problema: Como plotar um ponto (x, y, z), do espa¸co tridimensional, em uma superf´ıcie bidimensional (a tela do computador ou uma folha de papel, por exemplo)? Para resolver meu problema devo construir a seguinte transforma¸cão T : R3 → R2 z

z

t (x, y, z)

t (X, Y )

y

y

x

Observe que o ponto a ser plotado é “o mesmo” nas duas figuras. Digo, para plotar o ponto de coordenadas (x, y, z) “no espa¸co” basta plotar o ponto de coordenadas (X, Y ) no plano − de modo que esta plotagem nos dê a ilus˜ ao de que o ponto encontra-se no espa¸co, entenderam? Pois bem, s´ o nos resta agora relacionar as “coordenadas virtuais” X e Y com as coordenadas reais x, y e z. Isto pode ser feito a partir das figuras z z

t (X, Y )

` θ

t (X, Y ) ≡ (x, y, z) y

y x

x

251

` θ

տ

Nota: θ é um ˆ angulo entre o eixo x e o eixo z (negativo). O nosso interesse estar´ a centrado na figura da direita. Desta figura destacamos o seguinte triˆ angulo (ver seta): y−X ⊡ z−Y

θ a

sen θ =

y−X x

⇒ X = y − x · sen θ

cos θ =

z−Y x

⇒ Y = z − x · cos θ

x

Ent˜ ao, o “menor algoritmo do mundo” para o tra¸cado de superf´ıcies, é: (x, y, z) ≡ (X, Y ) = ( y − x · sen θ, z − x · cos θ )

(2.5)

Aplica¸c˜ oes do algoritmo Por exemplo, as figuras 3D na se¸cão das progressões aritméticas tridimensionais (p. 134) foram produzidas com este algoritmo. Também as figuras 3D na subse¸c˜ ao 2.8.1 (p. 229).

Morte e ressurrei¸c˜ ao de um algoritmo Alguns anos depois da concep¸cão do meu algoritmo surgem os poderosos softwares computacionais para o tra¸cado de gr´ aficos (inclusive superf´ıcies), devo confessar que, com muito pesar, vislumbrei a morte de meu rebento. Entretanto, alguns anos depois as circustâncias me levaram a utilizar o processador de texto LATEX 2ε e neste existe um ambiente (picture) para o tra¸cado de figuras que trabalha com as coordenadas cartesianas bidimensionais (X, Y ). Somente então me dei conta de que a finalidade principal de meu algoritmo n˜ ao estava no tra¸cado de superf´ıcies mas sim em plotar um ponto no espa¸co R3 e, em fun¸cão disto, o mesmo se revelaria de grande utilidade dentro do ambiente de figuras do referido processador de texto. Por exemplo, os seguintes paralelepipedos foram tra¸cados com o algoritmo (2.5).

252

Nosso algoritmo pode ser visto como uma transforma¸cão linear Y = F (X) = A X onde "

X Y

#

=

"

−sen θ 1 0

− cos θ 0 1

#

 x    y  z 

Observe que G(0, y, z) = ( y − 0 · sen θ, z − 0 · cos θ ) = (y, z). Ou seja, os pontos do plano yoz s˜ ao “invariantes”. Observe como o algoritmo transforma as coordenadas reais, (x, y, z), de um paralelepipedo em coordenadas “virtuais” (X, Y ): G (x, y, z) −→ (X, Y )

G (x, y, z) −→ (X, Y )

(0, 0, 0) −→ (0, 0)

(1, 0, 0) −→ (−0.6428, −0.7660)

(0, 1, 0) −→ (1, 0)

(1, 1, 0) −→ (0.3572, −0.7660)

(0, 1, 1) −→ (1, 1)

(1, 1, 1) −→ (0.3572, 0.2340)

(0, 0, 1) −→ (0, 1)

(1, 0, 1) −→ (−0.6428, 0.2340)

z

(0, 0, 1) (1, 0, 1)

(1, 0, 0)

r r

r

(0, 1)

r(0, 1, 1)

r

r

Y

G : R3 → R2

r

(0, 1, 0)

r

y

r(1, 1)

r r r

r(1, 1, 0)

r

↑

x

r

(1, 0)

X

r(0.3572, −0.7660)

(−0.6428, −0.7660)

Nesta figura fixamos θ = 40o e arredondamos as cordenadas em (X, Y ) para quatro casas decimais.

253

Uma diferen¸ ca (evolu¸ ca ~o) abissal!

O Absoluto contém todo o experienci´ avel. Mas sem o experimentador eles s˜ ao como nada. Aquilo que faz a experiência poss´ıvel é o Absoluto. Aquilo que a faz atual é o Ser. (Sri Nisargadatta Maharaj)

254

Cap´ıtulo

3

Aplica¸cões ao Cálculo Numérico A matemática é um campo demasiadamente árduo e inóspito para agradar ` aqueles a quem n˜ ao oferece grandes recompensas. Recompensas que são da mesma ´ındole que as do artista. . . . Acrescenta ainda que é no ato de criar que o matemático encontra sua culminância e que “nenhuma quantidade de trabalho ou corre¸caõ técnica pode substituir este momento de cria¸caõ na vida de um matemático, poeta ou m´ usico”. (Norbert Wiener)

Introdu¸ c˜ ao Apenas lembramos que este n˜ ao é um livro de C´ alculo Numérico, mas de Programa¸ca õ da HP Prime ; caso seja do interesse do leitor as demonstra¸cões das várias fórmulas que comparecem neste cap´ıtulo podem ser encontradas nas referências, nosso objetivo prec´ıpuo ser´ a programar estas fórmulas na calculadora. Ademais, o leitor ter´ a oportunidade de observar que os nossos programas resultarão simples, compactos e estéticos. Uma observa¸c˜ ao que julgamos de alguma relevância é a de que o nome “C´ alculo Numérico” remonta a uma época na qual nem se sonhava com a possibilidade do advento da computa¸cão algébrica, raz˜ ao porque acreditamos que um nome mais apropriado a esta disciplina − atualmente − seja “C´ alculo Numérico e Algébrico”, como teremos ocasi˜ ao de observar em vários dos programas que aqui comparecem, a come¸car do pr´ oximo tópico: Interpola¸c˜ ao.

255

3.1

Interpola¸c˜ ao

Introdu¸c˜ ao: Em muitas situa¸c˜ oes de interesse necessitamos aproximar uma fun¸cão de “aspecto complicado”, como por exemplo∗ , C(θ) = 3θ −3

Z

θ 0

x3 dx ex − 1

por uma outra fun¸c˜ ao mais simples de manipular. A integral a seguir† Z 1r 1 + (k2 − 1)x2 dx 1 − x2 0 é conhecida como integral el´ıtica, para 0 < k < 1 é imposs´ıvel encontrar explicitamente uma primitiva da fun¸cão r 1 + (k2 − 1)x2 f (x) = 1 − x2 Ainda em outras situa¸cões, dispomos apenas de um conjunto de dados tabelados − colhidos “no campo” −, como por exemplo, os dados a seguir x

0

3

y

2, 38

7, 78

6

9

11, 43 13, 57

12

15

18

21

24

27

30

15, 79

12, 78

10, 31

6, 88

4, 44

2, 98

1, 35

para o c´ alculo da abscissa x ¯ do centro de gravidade de uma placa, dado pela fórmula, Z b xy dx x ¯ = Za b y dx a

Em situa¸c˜ oes tais como estas − e em muitas outras − necessitaremos do importante conceito de

∗

Esta é conhecida como fun¸c˜ ao de Debye, encontrada em Termodinˆ amica Estat´ıstica no c´ alculo do calor espec´ıfico a volume constante de certas substˆ ancias. † Que representa a quarta parte do per´ımetro da elipse de semieixo maior 1 e semieixo menor k.

256

Interpola¸ c˜ ao Polinomial Considere uma fun¸c˜ ao f (x) conhecida (ou “amostrada”) em n + 1 pontos distintos: x0 , x1 , . . . , xn , de um intervalo [ a, b ] contido em seu dom´ınio. Tomemos a seguinte nota¸c˜ ao yi = f (xi ), i = 0, 1, . . . , n; como no gr´ afico a seguir, y

f yn

p

s

.. . y1

p

s

p

y0

0

s

p x0 = a

p x1

p x2

···

p

x

xn = b

Interpolar por um polinˆ omio a fun¸cão f − com x0 , x1 , . . . , xn ∈ [ a, b ], n + 1 pontos distintos − significa determinar um polinˆ omio P (x), de grau menor ou igual a n, que coincida com f em todos estes pontos, isto é, tal que: P (xi ) = f (xi ) = yi ,

para i = 0, 1, . . . , n.

Geometricamente, temos y

yn

p

s

.. . y1

p

s

p

y0

s

f

···

s

P 0

p x0 = a

p x1

p x2

···

p

x

xn = b

O teorema a seguir afirma a existência e unicidade do polinˆ omio interpolante.

257

Teorema 17 (Existência e unicidade). Seja f (x) definida em x0 , x1 , . . . , xn , (n + 1) pontos distintos de um intervalo [ a, b ], ent˜ ao existe um u ńico polinˆ omio P (x) de grau menor ou igual a n de modo que P (xi ) = f (xi ) = yi ,

para i = 0, 1, . . . , n.

(3.1)

Prova: Considere o polinˆ omio P (x), de grau n, da forma P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 Vamos provar que existem (e s˜ ao u ´ nicos) os coeficientes an , an−1 , . . . , a1 , a0 , tais que P (x) satisfaz as condi¸cões dadas em (3.1), isto é an xn0 + an−1 x0n−1 + · · · + a1 x0 + a0 = y0 |{z} | {z }

⇒

i=0

f (x0 )

P (x0 )

an xn1 + an−1 x1n−1 + · · · + a1 x1 + a0 = y1 |{z} {z } |

⇒

i=1

f (x1 )

P (x1 )

............................................................

⇒

i=n

an xnn + an−1 xnn−1 + · · · + a1 xn + a0 = yn |{z} {z } |

f (xn )

P (xn )

Sendo assim, temos:

 a xn + an−1 x0n−1 + · · · + a1 x0 + a0 = y0    n 0     n−1 + · · · + a x + a = y  a xn + a n 1 n−1 x1 1 1 0 1

Ou ainda

  ·············································       an xnn + an−1 xnn−1 + · · · + a1 xn + a0 = yn 

xn

xn−1

· · · x0 1 0 0   xn xn−1 · · · x 1 1  1 1   ......................  xnn xnn−1 · · · xn 1





an

 an−1    ....     a1  a0

258





y0

    y   1    =  ....       yn−1   yn

         

No que resulta em um sistema de equa¸cões lineares da forma AX = B, onde A é a matriz dada por:   n x0 x0n−1 · · · x0 1    xn xn−1 · · · x 1  1   1 1 A=   ......................    xnn xnn−1 · · ·

xn

1

O determinante da matriz A é conhecido como Y determinante das potências ou de Vandermonde e, é dado por: det A = (xi − xj ). i
Como, por hip´ otese, os pontos xi , i = 0, 1, . . . , n, s˜ ao distintos dois a dois, segue que detA 6= 0, donde concluimos que o sistema linear possui uma u ńica solu¸c˜ ao. Isto é, os coeficientes do polinˆ omio em (an , an−1 , . . . , a1 , a0 ) s˜ ao u ´ nicos e podem ser calculados pela resolu¸cão deste sistema; sendo assim demonstramos que o polinˆ omio P (x) existe e é u ´ nico. Considera¸ co ˜es sobre erros Pela constru¸c˜ ao do polinˆ omio interpolante P (x) dada no teorema 17 temos que este coincide com a fun¸cão f (x) em todos os pontos x0 , x1 , . . . , xn , fora destes pontos certamente estaremos cometendo um erro porquanto, é de se esperar que P (¯ x) 6= f (¯ x) para x ¯ 6= xi , i = 0, 1, . . . , n. Definimos o erro cometido na aproxima¸cão por E(¯ x) = f (¯ x) − P (¯ x),

onde x ¯ ∈ [ a, b ].

Geometricamente fica assim: y

yn

p

s

.. .

s

s

p

y0

0

p

E(¯ x) = f (¯ x) − P (¯ x)

P

s

x0 = a

f

···

p

p

x ¯

xn = b

259

x

Teorema 18 (Erro na interpola¸cão). Seja f (x) uma fun¸ca õ definida em x0 , x1 , . . . , xn , (n + 1) pontos distintos de um intervalo [ a, b ] e (n + 1) vezes diferenci´ avel. Se P (x) interpola f (x) nestes pontos, ent˜ ao o erro cometido E(x) é dado por:

E(x) = f (x) − P (x) =

n Y

(x − xi )

i=0

(n + 1)!

f (n+1) (ξ)

(3.2)

onde ξ ∈ [ x0 , xn ].

Prova: Veja, por exemplo, [4]. Observe que quando x = xi , i = 0, 1, . . . , n, o erro cometido é nulo, como era de se esperar. Limitante superior para o erro A existência do ponto ξ que comparece em (3.2) é garantida pelo Teorema de Rolle do C´ alculo∗ , no entanto n˜ ao existe uma regra para encontrarmos este ponto o que tem como consequência a impossibilidade de calcularmos o erro cometido, no entanto podemos determinar uma estimativa superior, como segue: “modulando” a equa¸cão (3.2), temos n n Y Y (x − x ) (x − x ) i i f (n+1) (ξ) = i = 0(n+1)! M |E(x)|= i = 0(n+1)! |f (n+1) (ξ)| ≤ i = 0(n+1)! 0nde estamos convencionando que M = max f (n+1) (x) : x ∈ [ x0 , xn ] . n Y

(x − xi )

A existência do m´ aximo é assegurada pelo Teorema de Weierstrass† dado a seguir:

Teorema 19 (Weierstrass). Toda fun¸ca õ cont´ınua f : [ a, b ] −→ R é limitada e assume valores m´ aximo e m´ınimo. Sabemos do C´ alculo que diferenciabilidade implica em continuidade, da´ı a exigência no enunciado do teorema 18 de que f seja (n + 1) vezes diferenci´ avel. Lembramos que a HP Prime calcula derivadas de qualquer ordem − o que pode facilitar no c´ alculo de M , como estaremos mostrando oportunamente. Ademais, observe que somente podemos calcular uma estimativa para o erro quando dispomos da express˜ ao anal´ıtica da fun¸cão f ; nos casos em ∗

Se a fun¸c˜ ao f é cont´ınua no intervalo [ a, b ] e diferenci´ avel no intervalo ] a, b [ e f (a) = f (b), ent˜ ao existe um ξ ∈ ] a, b [ tal que f ′ (ξ) = 0. † Karl Weierstrass (1815 − 1897) foi durante muitos anos professor em Berlim, e exerceu profunda influência no desenvolvimento da An´ alise. Sempre insistindo em demonstra¸c˜ oes rigorosas, elaborou, mas n˜ ao publicou, uma introdu¸c˜ ao ao sistema de n´ umeros reais. Deu também importantes contribui¸c˜ oes ` a An´ alise Real e Complexa, ` as equa¸c˜ oes diferenciais e ao c´ alculo das varia¸c˜ oes.

260

que temos apenas a fun¸c˜ ao tabelada em um n´ umero finito de pontos n˜ ao podemos estimar o erro. A prova do teorema 17 (p. 257) é construtiva no sentido de que nos mostra como obter o polinˆ omio interpolatório, no entanto existem outras técnicas − computacionalmente mais eficientes − para o cálculo do polinˆ omio. Observe que qualquer que seja a técnica escolhida obteremos sempre o mesmo polinˆ omio interpolador uma vez que o já citado teorema nos garante um u ´ nico polinˆ omio. Na sequência estudaremos três das mencionadas técnicas: Lagrange, Newton e Gregory-Newton

3.1.1

Interpola¸c˜ ao de Lagrange

Seja f (x) definida em x0 , x1 , . . . , xn , (n + 1) pontos distintos de um intervalo [ a, b ] e yi = f (xi ), i = 0, 1, . . . , n; a fórmula de Lagrange para o polinˆ omio interpolador de grau menor ou igual a n é dada assim: Pn (x) =

n X

i=0

yi ·

n Y (x − xj ) (xi − xj ) j=0

(3.3)

j 6= i

Para demonstra¸c˜ ao desta fórmula, veja, por exemplo, [2]. Vamos abrir esta fórmula tomando n = 3, por exemplo. Então, para i = 0, 1, 2, 3; expandindo apenas o somat´ orio,temos P3 (x) = y0 ·

3 3 3 Y Y Y (x − xj ) (x − xj ) (x − xj ) + y1 · + y2 · + (x0 − xj ) (x1 − xj ) (x2 − xj ) j= 0 j= 0 j= 0 j6=0

j6=1

j6=2

+ y3 ·

3 Y (x − xj ) (x3 − xj ) j= 0 j6=3

Agora, expandindo todos os produt´ orios, temos P3 (x) = y0 ·

(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) + (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 )

+ y1 ·

(x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) + (x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 )

+ y2 ·

(x − x0 )(x − x1 )(x − x3 ) + (x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 )

+ y3 ·

(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ) 261

Implementa¸ c˜ ao do polinˆ omio interpolador de Lagrange O programa seguinte recebe como dados de entrada dois vetores, um contendo os xi (i = 0, 1, . . . n) e o outro contendo os yi (i = 0, 1, . . . n), e sai com o polinˆ omio de Lagrange dado pela fórmula (3.3):

Pn (x) =

n X

i=0

yi ·

n Y (x − xj ) (xi − xj ) j=0 j 6= i

Vamos fazer um teste com três exemplos. 1o ) Encontre uma lei algébrica para a tabela abaixo i

xi

yi

0

0. 0

−0. 5

1

0. 1

0. 0

2

0. 3

0. 2

3

0. 5

1. 0

Neste caso entramos com os vetores: [ 0, 0.1, 0.3, 0.5 ]

e

[ −0.5, 0, 0.2, 1 ]

Antes de executar o programa configure na sua calculadora a vista do CAS como na tela a seguir

Na tela do centro temos uma simula¸cão − observe que antes resetamos a vari´ avel x (p. 22). Na tela da direita pedimos para expandir o polinˆ omio, obtemos 125 3 91 1 x − 30 x2 + x− 3 12 2 262

Vamos editar o programa para sair n˜ ao com a express˜ ao do polinˆ omio, mas com uma fun¸ca õ polinomial, assim

←− aqui

Au ´ nica altera¸c˜ ao feita est´ a indicada pela seta. Executando novamente o programa obtemos a tela a seguir

Agora temos na saida a fun¸c˜ ao polinomial plg(x) =

91 1 125 3 x − 30 x2 + x− 3 12 2

Na tela da direita confirmamos os pontos da tabela que originou o polinˆ omio. Confira: i

xi

yi

0

0. 0

−0. 5

1

0. 1

0. 0

2

0. 3

0. 2

3

0. 5

1. 0

263

2o ) Encontre o polinˆ omio de Lagrange para a tabela abaixo xi

i

yi

0

0. 0

0. 000

1

0. 2

2. 008

2

0. 4

4. 064

3

0. 5

5. 125

Neste caso entramos com os vetores: [ 0, 0.2, 0.4, 0.5 ]

e

[ 0, 2.008, 4.064, 5.125 ]

para obter a seguinte fun¸cão polinomial plg(x) = x3 + 10 x Na tela da direita confirmamos os pontos da tabela que originou o polinˆ omio. 3o ) Com este exemplo vejamos como a HP Prime pode nos auxiliar no cálculo da estimativa do erro. Considere a fun¸cao f dada por f (x) = sen x, amostrada nos pontos da tabela abaixo:

xi

0

f (xi )

0

π 4 √

2 2

π 2

1

Determine o polinˆ omio interpolador de Lagrange, avalie f limitante superior para o erro.

264

3π 8

e um

Entrando com os dados da tabela

o programa nos devolve a seguinte fun¸cão polinomial √ ! √ ! 8−8 2 2 −2 + 4 plg(x) = x x2 + 2 π π na tela do centro pedimos apenas o lado direito desta equa¸cão (p. 49). Na tela da direita temos (calculadora fixada em 4 decimais) 3 π 3 (√2 + 1) 3 π ≈ plg = ≈ 0. 9053 f 8 8 8 Vejamos agora uma estimativa para o erro segundo o algoritmo (p. 260)

|E(x)| ≤

n Y (x − xi ) i=0

(n + 1)! (n+1) Onde: M = max f (x) : x ∈ [ a, b ] .

M

Adaptando ao nosso problema em particular (n = 2), temos

|E(x)| ≤

2 Y (x − x ) i i=0

(2 + 1)! (3) Onde: M = max f (x) : x ∈ [ a, b ] .

M

Isto é

|(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )| M 3! Desejamos uma estimativa do erro no ponto de abscissa x = p. 259). Substituindo todos os pontos, temos 3π 3π π 3π π E 3 π ≤ |( 8 − 0)( 8 − 4 )( 8 − 2 )| M 8 6 |E(x)| ≤

Logo

3 E 3 π ≤ π M 8 1024 265

3π 8

(ver fig.

A propósito, fa¸camos um programa para o cálculo do produt´ orio coeficiente de M , na desigualdade a seguir n Y (x − xi ) |E(x)| ≤

i=0

(n + 1)!

M

Uma importante observa¸ c˜ ao Antes faremos uma importante observa¸cão. Nos livros de C´ alculo Numérico os ´ındices s˜ ao contados a partir do 0, na HP Prime a partir do 1, por exemplo π π Livros C.N. : 0 , , |{z} 4 |{z} 2 |{z} x0 x1 x2 ←− n = 2 HP Prime :

0 , |{z} x1

π π , 4 |{z} 2 |{z} x2 x3 ←− n = 3

Na hora de programar devemos levar em conta este detalhe. Pois bem, o programa a seguir calcula o coeficiente de M , na desigualdade acima∗

Na tela da direita temos a simula¸cão do nosso exemplo. Agora precisamos calcular M = max onde

n o f (3) (x) : x ∈ [ a, b ]

π [ a, b ] = 0, 2 Vamos necessitar da terceira derivada de f . Nota: Neste caso a terceira derivada de f é imediata, no entanto, faremos pela HP Prime para servir de exemplo a eventualmente uma outra fun¸cão mais complicada. f (x) = sen x

∗

e

Para acessar o produt´ orio e ver sua sintaxe, p´ agina 41.

266

A seguir como acessamos a derivada

Na tela da direita resetamos a vari´ avel x para definir f , em seguida mostramos duas alternativas para calcular a terceira derivada. Sendo assim, temos f ′′′ (x) = − cos x ∴ |f ′′′ (x)| = cos x Portanto, o m´ aximo valor que f (3) (x) assume no intervalo 0, π é 1. 2

Retomando a desigualdade 3 E 3 π ≤ π M 8 1024

Logo

3 E 3 π ≤ π · 1 ≈ 0. 03028 8 1024

Portanto, um limitante superior para o erro é E 3 π ≤ 0. 03028 8

Para efeito de compara¸c˜ ao na tela a seguir rodamos novamente o programa PIL

na tela do centro definimos a fun¸cão f (x) = sen x e mostramos como obter a fun¸cão Erro(x) = ∆(x) = f (x) − plg(x), na tela da direita calculamos esta fun¸c˜ ao no ponto x = 38π , obtendo ∆

3π 3π 3π =f − plg = 0. 01855 8 8 8 267

Para completar nossa an´ alise, na tela a seguir colocamos a três fun¸cões na a ´rea de plotagem

[−2 π, 2 π] → π 4

→

Na tela da direita dimensionamos os eixos para plotagem. Na tela a seguir plotamos as duas primeiras fun¸cões, f (x) e plg(x)

∆(x) →

sen x ↑ 3π 8

↑π 2

plg(x)

na tela do centro apenas rotulamos o gr´ afico à esquerda e na tela da direita incluimos a fun¸c˜ ao erro, ∆(x) = f (x) − plg(x).

268

3.1.2

Interpola¸c˜ ao de Newton

Conceito de Diferen¸ca Dividida Nesta se¸c˜ ao estudaremos uma fórmula, alternativa à de Lagrange, para a constru¸c˜ ao do polinˆ omio interpolatório − a fórmula de Newton − que fará uso das diferen¸cas divididas. Seja f (x) uma fun¸c˜ ao cont´ınua, (n + 1) vezes diferenci´ avel e definida em x0 , x1 , . . . , xn , (n + 1) pontos distintos do intervalo [ a, b ]. Defini¸ c˜ ao 11 (Diferen¸ca dividida de ordem zero). Definimos diferen¸ca dividida de ordem zero de uma fun¸cão f (x) definida nos pontos xi , i = 0, 1, . . . , n por: ∆0 f (xi ) = f (xi ) = yi

i = 0, 1, . . . , n.

A diferen¸ca dividida de primeira ordem é definida em fun¸caõ da diferen¸ca dividida de ordem zero, assim: ∆ yi = f [ xi , xi+1 ] =

∆0 yi+1 − ∆0 yi xi+1 − xi

Nota: f [ · ] é uma outra nota¸c˜ ao para diferen¸ca dividida.

As diferen¸cas divididas de ordens superiores s˜ ao definidas recursivamente, como segue: Defini¸ c˜ ao 12 (Diferen¸ca dividida de ordem n). Definimos diferen¸ca dividida de ordem n de uma fun¸c˜ ao f (x) definida nos pontos xi , i = 0, 1, . . . , n por: ∆n yi = f [ xi , xi+1 , . . . , xi+n ] =

f [ xi+1 , xi+2 , . . . , xi+n ] − f [ xi , xi+1 , . . . , xi+n−1 ] xi+n − xi

=

∆n−1 yi+1 − ∆n−1 yi xi+n − xi

Podemos dispor as diferen¸cas divididas em uma tabela, observando que as diferen¸cas de ordem 1 s˜ ao calculadas a partir das diferen¸cas de ordem zero, as diferen¸cas de ordem 2, a partir das diferen¸cas de ordem 1 e, assim sucessivamente, veja:

269

i

xi

Ordem 0

0

x0

f [x0 ]

1

x1

f [x1 ]

Ordem 2

Ordem 1

Ordem 3

f [x0 , x1 ] f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 ] x2

2

f [x2 ]

f [x0 , x1 , x2 , x3 ] f [x1 , x2 , x3 ]

f [x2 , x3 ] 3

x3

f [x3 ]

As diferen¸cas sendo calculadas assim: f [x0 , x1 ] = e

f [x2 ] − f [x1 ] f [x3 ] − f [x2 ] f [x1 ] − f [x0 ] , f [x1 , x2 ] = , f [x2 , x3 ] = x1 − x0 x2 − x1 x3 − x2

f [x0 , x1 , x2 ] =

f [x1 , x2 ] − f [x0 , x1 ] f [x2 , x3 ] − f [x1 , x2 ] , f [x1 , x2 , x3 ] = x2 − x0 x3 − x1

ainda f [x0 , x1 , x2 , x3 ] =

f [x1 , x2 , x3 ] − f [x0 , x1 , x2 ] x3 − x0

Veja se a figura seguinte ajuda a divisar um padrão no cálculo das diferen¸cas acima:

i

xi

Ordem 0

0

x0

f [x0 ]

Ordem 2

Ordem 1

Ordem 3

f [x0 , x1 ] 1

x1

f [x1 ]

f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 ]

2

x2

f [x2 ]

f [x0 , x1 , x2 , x3 ] f [x1 , x2 , x3 ]

f [x2 , x3 ] 3

x3

f [x3 ]

270

Exemplo: Construir a tabela de diferen¸cas divididas da fun¸cão f dada por f (x) = 1/x para os pontos x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4 e x3 = 5. Solu¸ c˜ ao: Diferen¸cas divididas de ordem zero:

f [x0 ] = f (x0 ) = f (1) = 1 f [x1 ] = f (x1 ) = f (2) = 1/2 f [x2 ] = f (x0 ) = f (4) = 1/4 f [x3 ] = f (x1 ) = f (5) = 1/5

Isto é suficiente para construirmos a tabela − conforme algoritmo dado anteriormente:

i

xi

0

1

1

2

1 2

1 2 3

4 5

Ordem 0

1 4 1 5

Ordem 1 1 −1 2

2−1 1 1 − 4 2

4−2

1 1 − 5 4

5−4

Ordem 3

Ordem 2

= − 12

− 18 −(− 21 ) 4−1

= − 81

1 −(− 81 ) − 20

5−2

1 = − 20

271

=

1 8

=

1 40

1 −1 40 8

5−1

1 = − 40

Teorema 20. Seja f (x) uma fun¸cão cont´ınua, (n + 1) vezes diferenci´ avel no intervalo [ a, b ]. Sejam x0 , x1 , . . . , xn , (n + 1) pontos distintos de [ a, b ]. Nestas condi¸c˜ oes temos:

∆n y0 = f [ x0 , x1 , . . . , xn ] =

n X

j= 0

f (xj ) n Y

k= 0 k6=j

(3.4)

(xj − xk )

Prova: Veja [4].

A t´ıtulo de ilustra¸c˜ ao, vamos abrir esta fórmula para n = 3, por exemplo: ∆3 y0 = f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] =

3 X

j= 0

f (xj ) 3 Y

k= 0 k6=j

(xj − xk )

Ent˜ ao ∆3 y0 =

f (x0 ) 3 Y

k= 0 k6=0

(x0 − xk )

+

f (x1 ) 3 Y

k= 0 k6=1

+

(x1 − xk )

f (x2 ) 3 Y

k= 0 k6=2

(x2 − xk )

+

f (x3 ) 3 Y

k= 0 k6=3

(x3 − xk )

Ou ainda ∆3 y0 =

+

y0 y1 + + (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) y2 y3 + (x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 )

272

O programa a seguir implementa a fórmula (3.4).

∆n y0 =

n X

j= 0

(p. 272)

f (xj ) n Y

k= 0 k6=j

(xj − xk )

Armazene o programa acima na vari´ avel DDYO, pois ser´ a utilizado subsequentemente como subrotina de um outro programa. Para implementar a fórmula de Newton posteriormente, iremos necessitar das seguintes diferen¸cas: ∆1 y0 , ∆2 y0 , ∆3 y0 , . . . , ∆n y0

(3.5)

Para encontrar cada uma destas diferen¸cas iremos necessitar dos seguintes vetores de pontos: [ x0 , x1 ] ⇒ ∆1 y0

[ x0 , x1 , x2 ] ⇒ ∆2 y0

[ x0 , x1 , x2 , x3 ] ⇒ ∆3 y0 .............................. Além do vetor correspondente [ yi ], claro. O programa seguinte recebe os vetores [ xi ] e [ yi ] e sai com um vetor contendo todas as diferen¸cas divididas em (3.5).

Armazene o programa acima na vari´ avel DDTO − ser´ a uma subrotina. Na p´ agina seguinte temos uma simula¸cão deste programa. 273

Por exemplo, para a tabela a seguir:

i

xi

yi

∆2 yi ∆3 yi ∆4 yi

∆ yi

0

0. 00

1. 000 10. 010

1. 300

10. 000

10. 000

1

0. 10

2. 001 10. 400

7. 300

20. 000

−−

2

0. 30

4. 081 14. 050

25. 300

−−

−−

3

0. 60

8. 296 31. 760

−−

−−

−−

4

1. 00

−−

−−

−−

21. 000

−−

Entrando com os vetores: [ 0. 00 0. 10 0. 30 0. 60 1. 00 ] → x [ 1. 000 2. 001 4. 081 8. 296 21. 000 ] → y Recebemos de volta o vetor:

(Calculadora fixada em 3 decimais)

[ 10. 010 1. 300 10.000 10.000 ]

que é o vetor em destaque na tabela acima.

F´ ormula de Newton A fórmula de Newton para o polinˆ omio interpolador é dada assim:

Pn (x) = y0 +

n X

∆i y0

i= 1

i−1 Y

j= 0

(x − xj )

Para demonstra¸c˜ ao desta fórmula, veja por exemplo [2].

274

(3.6)

A t´ıtulo de ilustra¸c˜ ao vamos abrir a fórmula

Pn (x) = y0 +

n X

∆i y0

i−1 Y

j= 0

i= 1

(x − xj )

para n = 3, por exemplo: P3 (x) = y0 +

3 X

i

∆ y0

i= 1

i−1 Y

j= 0

(x − xj )

Ou ainda P3 (x) = y0 + ∆1 y0

1−1 Y

j= 0

2−1 Y

(x − xj ) + ∆2 y0

j= 0

(x − xj ) + ∆3 y0

3−1 Y

j= 0

(x − xj )

Então P3 (x) = y0 + ∆ y0 (x−x0 ) + ∆2 y0 (x−x0 )(x−x1 ) + ∆3 y0 (x−x0 )(x−x1 )(x−x2 ) O programa seguinte implementa a fórmula de Newton; recebe os vetores [ xi ] e [ yi ] e sai com o polinˆ omio dado por (3.6).

Pn (x) = y0 +

n X

i

∆ y0

i−1 Y

j= 0

i= 1

(x − xj )

A seguir o fluxograma da implementa¸cão do algoritmo de Newton :

Newton [ xi ], [ yi ]

Equa¸caõ (3.6) (p. 274)

X, Y Subrotina DDYO

[ xk ], [ yk ]

Eq. (3.4), p. 272

∆k y0

275

Pn (x)

[ ∆1 y0 , . . . , ∆n y0 ] Subrotina DDTO

Exemplo: Para a tabela a seguir: x

3

0

9

4

y

−2

15

5

3

687

47

O programa devolve o seguinte polinˆ omio: x3 − 5 · x + 3.

J´ a para esta outra tabela: x y

−2

1

2

4

5

16

−2

−4

−2

2

o programa devolve o seguinte polinˆ omio: x2 − 5 · x + 2. Veja:

276

3.1.3

Interpola¸c˜ ao de Gregory-Newton

Conceito de Diferen¸ca Finita Considere, por exemplo, a sequência dos cubos dos naturais 13

23

33

43

53

63

...

aplicando o operador ∆ (Diferen¸ca), obtemos f (n) : 1

8

27

64

125

216

∆ f (n) : 7

19

37

61

91

...

...

onde a sequência ∆ f é obtida tomando-se diferen¸cas sucessivas entre termos consecutivos da sequência f . A calculadora já faz esta diferen¸ca através do comando ∆LIST conforme vimos na p´ agina 33, por exemplo, na tela a seguir

armazenamos em uma vari´ avel por nome LST a sequência dos cubos, na tela do centro aplicamos nesta lista o operador ∆LIST. Podemos aplicar este operador sucessivamente , por exemplo, assim f (n) :

1

8

27

64

125

216

∆ f (n) :

7

19

37

61

91

...

∆2 f (n) : 12

18

24

30

...

como na tela da direita acima.

277

...

Na referência [6] demonstramos a seguinte fórmula

m

∆ f (n) =

m X

k

(−1)

k=0

m k

f (n − k + m)

que nos fornece a m-ésima diferen¸ca, sem recursividade. O programa a seguir recebe uma sequência e a ordem m da diferen¸ca que se deseja

na tela do centro temos duas simula¸cões. Na tela da direita geramos duas listas a partir das fórmulas constantes na tela do centro. No diagrama seguinte f (n) :

1

8

27

64

125

216

∆ f (n) :

7

19

37

61

91

...

∆2 f (n) : 12

18

24

30

...

temos: ∆ f (n) = 3 n2 + 3 n + 1 ∆2 f (n) = 6 n + 6 Formalizando as Diferen¸cas Finitas, temos: I) de ordem zero:

∆0 y i = y i

II) de primeira ordem:

∆ yi = yi+1 − yi

III) de segunda ordem: IV) de ordem n:

∆2 yi = ∆ yi+1 − ∆ yi

∆n yi = ∆n−1 yi+1 − ∆n−1 yi 278

...

De momento nos interessa o caso em que a sequência de pontos é dada numa tabela, por exemplo i

xi

yi

0

3. 5

9. 82

1

4. 0

10. 91

2

4. 5

12. 05

3

5. 0

13. 14

4

5. 5

16. 19

Vejamos um algoritmo para encontrarmos todas as diferen¸cas finitas: iniciamos com os dados yi na horizontal, assim: 9. 82

10. 91

12. 05

13. 14

16. 19

Em seguida vamos fazendo diferen¸cas sucessivas entre termos consecutivos, até obtermos um u ´ nico n´ umero, veja: 9. 82 1. 09 0. 05 −0. 10

10. 91 − − −

1. 14 − 0. 05

12. 05 − − −

1. 09

13. 14 − −

−

16. 19 : ∆0 yi

3. 05 : ∆1 yi

1. 96 : ∆2 yi

2. 01 : ∆3 yi

−

2. 11 : ∆4 yi Estas diferen¸cas podem ser alocadas em uma tabela assim: ∆2 y i ∆3 y i ∆4 y i

i

xi

yi

∆ yi

0

3. 5

9. 82

1. 09

0. 05

−0. 10

2. 11

1

4. 0

10. 91

1. 14

−0. 05

2. 01

−−

2

4. 5

12. 05

1. 09

1. 96

−−

−−

3

5. 0

13. 14

3. 05

−−

−−

−−

4

5. 5

16. 19

−−

−−

−−

−−

O nosso objetivo agora ser´ a “automatizar” o cálculo destas diferen¸cas finitas − as quais ser˜ ao utilizadas oportunamente na obten¸cão do polinˆ omio interpolante de Gregory-Newton. 279

Vamos por partes − devagar − a fórmula m X

m

∆ f (n) =

k

(−1)

k=0

m k

f (n − k + m)

para m = 1 resulta

(3.7)

(denotando a posi¸caõ n por i) 1

∆ y(i) =

1 X k=0

1 (−1) y(i − k + 1) k k

Na tela a seguir programamos esta fórmula

Na tela da direita temos uma simula¸cão, confira na tabela a seguir i

xi

0 1 2

∆2 y i ∆3 y i ∆4 y i

yi

∆ yi

3. 5

9. 82

1. 09

0. 05

−0. 10

4. 0

10. 91

1. 14

−0, 05

2. 01

−−

4. 5

12. 05

1. 09

1. 96

−−

−−

2. 11

3

5. 0

13. 14

3. 05

−−

−−

−−

4

5. 5

16. 19

−−

−−

−−

−−

Observe que a fórmula (3.7) pode ser vista como uma matriz que calcula todas as diferen¸cas finitas; como, por exemplo, a matriz vista a seguir: 9. 82

10. 91

12. 05

1. 09

1. 14

1. 09

0. 05

− 0. 05

−0. 10

13. 14

16. 19 : ∆0 yi

3. 05 : ∆1 yi

1. 96 : ∆2 yi

2. 01 : ∆3 yi

2. 11 : ∆4 yi

280

Na fórmula m

∆ f (i) =

m X

k

(−1)

k=0

m k

f (i − k + m)

temos a seguinte varia¸c˜ ao para os ´ındices: m = 0, 1, 2, 3, . . .

e

i = 1, 2, 3, . . .

(m linha, i coluna), veja: (m, i)

m

i (0, 1)

(0, 2)

(0, 3)

(0, 4) · · ·

∆0 y i

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4) · · ·

∆1 y i

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4) · · ·

∆2 y i

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4) · · ·

∆3 y i

.......................................... Nos valendo desta observa¸c˜ ao, construimos o programa a seguir que recebe o vetor [ yi ] e sai com uma lista cujos elementos s˜ ao vetores contendo todas as diferen¸cas finitas. (Ver importante observa¸caõ, p. 266)

Observe que N é o n´ umero de pontos no vetor [ yi ]. O primeiro la¸co FOR

m

FROM

1

TO

N −1

DO

calcula as diferen¸cas ∆1 , ∆2 , . . . , ∆N −1 . O segundo la¸co FOR

I

FROM

1

TO

calcula, em cada diferen¸ca, todos os termos.

281

N −m

DO

Para o caso da tabela i

xi

0

3. 5

∆2 y i ∆3 y i ∆4 y i

yi

∆ yi

9. 82

1. 09

0. 05

−0. 10

2. 11

1

4. 0

10. 91

1. 14

−0, 05

2. 01

−−

2

4. 5

12. 05

1. 09

1. 96

−−

−−

3

5. 0

13. 14

3. 05

−−

−−

−−

4

5. 5

16. 19

−−

−−

−−

−−

entrando com o vetor [ 9. 82 10. 91 12. 05 13. 14 16. 19 ] recebemos de volta a lista: { [ 1. 09 1. 14 1. 09 3. 05 ] [ 0. 05

− 0. 05 1. 96 ] [ −0. 01 2. 01 ] [ 2. 11 ] }

Na qual temos: { [ 1. 09 1. 14 1. 09 3. 05 ] [ 0. 05 | {z } |

− 0. 05 1. 96 ] [ −0. 01 2. 01 ] [ 2. 11 ] } {z } | {z } | {z } ∆ 2 yi

∆ yi

F´ ormula de Gregory-Newton

∆ 3 yi

∆ 4 yi

No caso em que os n´ os da interpola¸cão x0 , x1 , . . . , xn s˜ ao igualmente espa¸cados∗ inicialmente procedemos a uma mudan¸ca de vari´ avel, assim: z=

x − x0 , h

ou ainda x = x0 + zh

Observe a correspondência entre os ´ındices nas duas vari´ aveis:

p

x1

x2

h

  

p

 

x0

h

  

    

 

h

···

p

p

xn−1

x

xn

  

 

h=1

0

p

p

1

2

···

p

p

n−1

n

z

Os pontos x0 , x1 , . . . , xn , com espa¸camento h, possuem uma correspondência u ´ nica (bije¸c˜ ao) com os pontos 0, 1, . . . , n, com espa¸camento h = 1, o que acarreta simplicidade nos cálculos − e na programa¸cão. ∗

Isto é, xi+1 − xi = h, para i = 0, 1, 2, . . . , n, sendo h uma constante.

282

Com esta mudan¸ca de vari´ avel o polinˆ omio de Newton (p. 274) Pn (x) = y0 +

n X

∆i y0

i= 1

i−1 Y

j= 0

(x − xj )

toma a seguinte forma: Pn (x) = y0 + z ·

∆ y0 ∆2 y 0 ∆n y 0 + z(z −1)· + · · · + z(z −1) . . . (z −(n−1))· 1! 2! n!

Para a dedu¸c˜ ao desta fórmula, veja, por exemplo, [2]. A fórmula anterior pode ser reescrita de forma compacta, assim: Pn (x) = y0 +

i−1 n Y X

i= 1 j=0

(z − j) ·

∆i y 0 i!

Observe que vamos necessitar apenas do primeiro termo de todas as diferen¸cas finitas; por exemplo, veja isto no caso da tabela a seguir i

xi

yi

∆2 y i ∆3 y i ∆4 y i

∆ yi

0

3. 5

9. 82

1. 09

0. 05

−0. 10

1

4. 0

10. 91

1. 14

−0. 05

2. 01

2. 11 −−

2

4. 5

12. 05

1. 09

1. 96

−−

−−

3

5. 0

13. 14

3. 05

−−

−−

−−

4

5. 5

16. 19

−−

−−

−−

−−

Isto significa que podemos fixar i = 1 na fórmula m

∆ f (i) =

m X

k

(−1)

k=0

m k

m y1−k+m k

f (i − k + m)

(3.8)

obtendo portanto m

∆ y1 =

m X

k

(−1)

k=0

Nota: Lembramos que o ´ındice i na fórmula (3.8) é contado a partir de 1 (i = 1, 2, 3, . . .), (p. 281), enquanto nas tabelas do C´ alculo Numérico (como a tabela anterior) é contado a partir de 0 (i = 0, 1, 2, . . .).

283

O programa a seguir recebe o vetor [ yi ] e sai com um vetor contendo o primeiro termo de todas as diferen¸cas, segundo a fórmula m X m k m ∆ y1 = (−1) y1−k+m (3.9) k k=0

Na tela da direita temos uma simula¸cão para a tabela a seguir i

xi

0

3. 5

∆2 y i ∆3 y i ∆4 y i

yi

∆ yi

9. 82

1. 09

0. 05

−0. 10

2. 11

1

4. 0

10. 91

1. 14

−0. 05

2. 01

−−

2

4. 5

12. 05

1. 09

1. 96

−−

−−

3

5. 0

13. 14

3. 05

−−

−−

−−

4

5. 5

16. 19

−−

−−

−−

−−

Para o c´ alculo do polinˆ omio de Gregory-Newton, os livros de C´ alculo Numérico, calculam todas as diferen¸cas finitas (como na tabela acima); ora, mas isto n˜ ao é necessário uma vez que s´ o utilizamos o primeiro termo de todas as diferen¸cas e, estes, podem ser calculados pela fórmula (3.9). Isto significa, no caso a seguir 9. 82

10. 91

12. 05

1. 09

1. 14

1. 09

0. 05

− 0. 05

−0. 10

13. 14

16. 19 : ∆0 yi

3. 05 : ∆1 yi

1. 96 : ∆2 yi

2. 01 : ∆3 yi

2. 11 : ∆4 yi que para encontrarmos os termos em destaque na vertical, s´ o necessitamos dos termos yi − em destaque na horizontal. 284

O programa a seguir recebe o vetor [ yi ], o primeiro termo xi , isto é, x0 , e o passo h; e sai com o polinˆ omio de Gregory-Newton Pn (x) = y0 + z ·

∆ y0 ∆2 y 0 ∆n y 0 + z(z −1)· + · · · + z(z −1) . . . (z −(n−1))· 1! 2! n!

Na tela do centro fizemos uma simula¸cão para a tabela abaixo ∆2 y i ∆3 y i ∆4 y i

i

xi

yi

∆ yi

0

3. 5

9. 82

1. 09

0. 05

−0. 10 2. 01

−−

−−

−−

1

4. 0

10. 91

1. 14

−0. 05

2

4. 5

12. 05

1. 09

1. 96

2. 11

3

5. 0

13. 14

3. 05

−−

−−

−−

4

5. 5

16. 19

−−

−−

−−

−−

Na tela da direita aplicamos ao resultado o comando expand obtendo ao final o polinˆ omio 211 4 −3607 3 91961 2 −257639 45509 ·x + ·x + ·x + ·x + 150 150 600 600 100 Vejamos mais dois exemplos: i

xi

yi

0

0

1. 00

1

1

1. 50

2

2

2. 20

3

3

3. 10

4

4

4. 60

−1 3 17 2 18 1 · x4 + ·x + ·x + ·x + 1 60 10 60 60 285

i

xi

yi

0

1

5

1

4

9

2

7

18

3

10

32

Limitante superior para o erro para pontos equidistantes Nas mesmas condi¸c˜ oes (hip´ oteses) do teorema 18 (p. 260) temos o seguinte atalho para o c´ alculo de um limitante superior para o erro, para pontos equidistantes: ([4], p. 137) |E(x)| ≤ onde,

hn+1 M 4(n + 1)

n o (n+1) M = max f (x) : x ∈ [ x0 , xn ]

Compare este resultado com o seguinte:

|E(x)| ≤

n Y (x − xi ) i=0

(n + 1)! Onde: M = max f (n+1) (x) : x ∈ [ a, b ] .

286

M

3.2

Integra¸ c˜ ao

Introdu¸c˜ ao: Nesta se¸c˜ ao implementaremos as principais regras de integra¸cão numérica − as quais constam nos livros de C´ alculo Numérico. Para a dedu¸cão das fórmulas consulte um dos livros de nossas referências. No c´ alculo numérico de integrais Z I=

b

f (x) dx

a

efetuamos uma parti¸ca õ do intervalo [ a, b ] em n subintervalos e “amostramos” a fun¸c˜ ao f no pontos desta parti¸cão, assim: yn−1 y3

y0 y2

yn−2

y1

x0 = a

yn

y4

p

p

x1

x2

p

x3

p

x4

p

···

xn−2

p

xn−1

xn = b

Onde: y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), . . . , yn−1 = f (xn−1 ), yn = f (xn )

f (x)

h

0

a = x0

...

h

x1

x2

h

xn−1

xn = b

x

C´ alculos aproximados da integral I acima podem ser obtidos a partir da integra¸c˜ ao do polinˆ omio interpolador da fun¸cão f (x), em pontos equidistantes do intervalo [ a, b ]. Este processo é conhecido como fórmulas de quadratura de Newton-Cotes. Existem também outras fórmulas aproximadas para integra¸c˜ ao numérica como veremos a seguir. 287

3.2.1

Regra dos trap´ ezios generalizada

Na regra dos trapézios em cada subintervalo da parti¸cão o gr´ afico da fun¸c˜ ao é aproximado por segmentos de reta.

f (x)

h

0

a = x0

...

h

x1

x2

h

xn−1

xn = b

x

A fórmula para a regra dos trapézios generalizada é como a seguir: Z

xn

x0

h f (x) dx ∼ = [ f (x0 ) + 2f (x1 ) + 2f (x2 ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (xn ) ] 2

Erro: Et = −

h2 (x − x0 ) f (2) (ξ) , 12 n

ξ ∈ [ x0 , xn ]

Limitante superior para o erro: O ponto ξ no intervalo [ a, b ] n˜ ao tem como ser determinado, raz˜ ao porque o erro n˜ ao pode ser calculado com precisão, no entanto, podemos calcular um limitante superior para o erro: |Et | ≤

o n h2 (xn − x0 ) max f (2) (x) : x0 ≤ x ≤ xn 12

288

Implementa¸c˜ ao da regra dos trap´ ezios generalizada O programa seguinte

recebe n (o n´ umero de subintervalos) e sai com um vetor contendo os coeficientes numéricos em destaque na express˜ ao: 1f (x0 ) + 2f (x1 ) + 2f (x2 ) + · · · + 2f (xn−1 ) + 1f (xn ) que comparece na fórmula Z xn h f (x) dx ∼ = [ f (x0 ) + 2f (x1 ) + 2f (x2 ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (xn ) ] 2 x0 Na tela da direita temos alguns exemplos. A seguir o programa que implementa a regra dos trapézios

→

Configurando a vista do CAS como na tela do centro, na tela da direita vemos uma simula¸c˜ ao para a seguinte integral Z 4 √ √ x dx ∴ f (x) = x 1

para n = 6 subintervalos.

289

Limitante superior para o erro Vamos calcular um limitante superior para o erro, segundo a desigualdade: o n h2 (2) |Et | ≤ (xn − x0 ) max f (x) : x0 ≤ x ≤ xn 12 Para este caso particular, temos: h = (b − a)/n = (4 − 1)/6 = 0.5. Substituindo os valores já dispon´ıveis, obtemos: |Et | ≤ Ou ainda

n o 0.52 (4 − 1) max f (2) (x) : 1 ≤ x ≤ 4 12

n o (2) |Et | ≤ 0.0625 · max f (x) : 1 ≤ x ≤ 4

Na tela a seguir definimos duas fun¸cões √ e f (x) = x

(3.10)

g(x) = f ′′ (x)

Na tela da direita plotamos o gr´ afico de |g| no intervalo [ 1, 4 ]; g(x) é decrescente neste intervalo, o m´ aximo que a fun¸cão g assume ocorre no extremo esquerdo, isto é: √ √ n o x 1 (2) : x ∈ [ 1, 4 ] = = 0.25 max f (x) : x ∈ [ 1, 4 ] = max 2 4·x 4 · 12 Substituindo este valor na desigualdade (3.10), temos: |Et | ≤ 0.0625 · 0.25 = 0.0156

290

3.2.2

Primeira regra de Simpson

A primeira regra de Simpson generalizada − ou regra 1/3 de Simpson − estabelece que R xn x0

f (x) dx ∼ =

h 3

[ f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + · · · + 2f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (xn ) ]

Onde n é um n´ umero par de subintervalos. O erro é dado por: Et = −

h4 (x − x0 ) f (4) (ξ) , 180 n

ξ ∈ [ x0 , xn ]

Ou, alternativamente, tendo em conta que h = Et = −

(xn − x0 )5 (4) f (ξ) , 180 n4

xn −x0 n

ξ ∈ [ x0 , xn ]

Limitante superior para o erro: Como ξ ∈ [ x0 , xn ] n˜ ao é conhecido, podemos, no entanto, calcular um limitante superior para o erro: |Et | ≤

o n h4 (xn − x0 ) max f (4) (x) : x0 ≤ x ≤ xn 180

Implementa¸ c˜ ao da regra de Simpson generalizada

Inicialmente vamos determinar uma fórmula para gerar os coeficientes numéricos em destaque na express˜ ao: 1f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + · · · + 2f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + 1f (xn ) Uma fórmula para o termo geral desta sequência é:  1, se I = 0 ou I = n; aI = 3 − (−1)I , se 1 ≤ I ≤ n − 1

O programa seguinte calcula estes coeficientes

291

A regra de Simpson generalizada R xn x0

f (x) dx ∼ =

h 3


est´ a implementada pelo seguinte programa:

Na tela do centro fazemos uma simula¸cão para a integral Z 1 1 1 dx ∴ f (x) = , a = 0, b = 1, n = 8. 2 1 + x2 0 1+x Na tela da direita comparamos nosso resultado com o valor da integral dado pela calculadora. Exemplo: Na tela a seguir fazemos uma simula¸cão para a integral Z 3 (x ex + 1) dx ∴ f (x) = x ex + 1, a = 0, b = 3, n = 2, 4, 6. 0

para n = 2, n = 4 e n = 6 subintervalos

Na tela da direita comparamos os respectivos erros tomando como referência a integral encontrada pela calculadora.

292

3.2.3

Segunda regra de Simpson

A segunda regra de Simpson generalizada − ou regra 3/8 de Simpson − estabelece que R xn x0

f (x) dx ∼ =

3h 8

[ y0 + 3y1 + 3y2 + 2y3 + 3y4 + 3y5 + 2y6 + · · · + 3yn−2 + 3yn−1 + yn ]

ultiplo de 3 e h = (b − a)/n. O erro é dado por Onde n é um m´ Et = −

h4 (x − x0 ) f (4) (ξ) , 80 n

ξ ∈ [ x0 , xn ]

Antes de implementar a regra de 3/8 de Simpson generalizada vamos fazer um programa para gerar a sequência dos coeficientes: I:0

1

2

3

4

5

6

...

n−2

n−1

n

aI : 1

3

3

2

3

3

2

...

3

3

1

Esta sequência é gerada com o seguinte programa:

O programa da segunda regra de Simpsom muda muito pouco em rala¸cão ao programa da primeira regra (RSG, p. 292), salve aquele programa com um novo nome, RSG2, assim

Na tela do centro fizemos as (poucas) altera¸cões necessárias. Na tela da direita fazemos uma simula¸c˜ ao para a integral Z 4 p p ln(x3 + (ex +1)) dx ∴ f (x) = ln(x3 + (ex +1)), a = 1, b = 4, n = 9. 1

293

Na tela a seguir exibimos o valor dado pela calculadora

Na tela da direita observamos que com n = 18 obtemos o mesmo valor da calculadora (com 4 decimais). Exemplo: Calcule o valor aproximado da integral Z 7 ln (x + 9) dx 1

usando a regra 3/8 de Simpson para 3, 6 e 9 subintervalos; ademais, encontre os respectivos erros − comparado com o resultado da calculadora. Solu¸ c˜ ao: Na tela a seguir temos as integrais pedidas

Na tela da direita, os respectivos erros.

294

3.2.4

Quadratura gaussiana

A fórmula de quadratura de Gauss, ou simplesmente quadratura gaussiana, é mais uma alternativa que se conta para o cálculo numérico de integrais: Z b f (x) dx I= a

Este método fornece um resultado bem mais preciso que os anteriores − embora s´ o possa ser aplicado quando se conhece a fun¸cão dada por f (x); n˜ ao se aplica a partir de pontos definidos por experimentos (tabelados). Inicialmente, o intervalo de integra¸cão [ a, b ] deve ser “transladado” para o intervalo [ −1, 1 ]; isto se consegue através de uma mudan¸ca de vari´ avel, fornecida pela seguinte bije¸c˜ ao: x(t)

x−a =

−1 p

[

(−1, a)

(1, b)

[

b

b−a 1−(−1)

a

p1

0

t

Encontrando a equa¸c˜ ao da reta por dois pontos, temos: 1 1 x = (b − a) t + (b + a) ⇒ dx = 2 2 Expressando t em fun¸c˜ ao de x, temos   x = a, 2x − (b + a) ⇒ t=  x = b, b−a

1 (b − a) dt 2 t = −1; t = 1.

Por outro lado, temos

f (x) = f

1 1 (b − a) t + (b + a) 2 2

portanto f (x) dx = f

1 1 (b − a) t + (b + a) 2 2

1 (b − a) dt 2

Sendo assim, temos: I=

Z

b

f (x) dx =

a

Z

1

−1

295

F (t) dt

(t − (−1))

Onde:

1 1 1 (b − a) t + (b + a) F (t) = (b − a) · f 2 2 2 A propósito, o programa a seguir recebe f (x) e sai com F (t)

Na tela do centro temos um exemplo com f (x) = 3 ex

e

[ a, b ] = [ 1, 3 ]

portanto F (t) = 3 et+2 Na tela da direita temos um exemplo com f (x) = e−x

2 /2

e

portanto

[ a, b ] = [ −2, 2 ] 2

F (t) = 2 e−2 t

Retomando, A fórmula de Gauss para n + 1 pontos é da forma: Z 1 F (t) dt = A0 F (t0 ) + A1 F (t1 ) + · · · + An F (tn ) I= −1

onde os coeficientes Ai e os pontos ti (i = 0, 1, . . . , n) s˜ ao inc´ ognitas a serem determinadas. Observe que temos 2n + 2 inc´ ognitas: A0 , A1 , . . . , An ; t0 , t1 , . . . , tn . Escolheremos os coeficientes Ai e os pontos ti de tal forma que a fórmula forne¸ca um valor exato da integral para polinˆ omios de graus ≤ 2n + 1. Vamos por partes, para dois pontos, a fórmula de Gauss é: Z 1 F (t) dt = A0 F (t0 ) + A1 F (t1 ) I= −1

Neste caso os parˆ ametros A0 , A1 , t0 , t1 , devem ser determinados de modo que esta fórmula seja exata para polinˆ omios de graus ≤ 2 · 1 + 1 = 3.

296

Sendo assim, basta exigir que seja exata para os polinˆ omios∗ F0 (t) = 1, F1 (t) = t, F2 (t) = t2 , F3 (t) = t3 .

(3.11)

tendo em vista que qualquer outro polinˆ omio de grau ≤ 3 pode ser escrito como: (combina¸caõ linear) P3 (t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 = a0 F (t0 ) + a1 F (t1 ) + a2 F (t2 ) + a3 F (t3 ) Sendo assim, se a fórmula Z 1 Fk (t) dt = A0 Fk (t0 ) + A1 Fk (t1 ),

k = 0, 1, 2, 3

−1

é exata para estes polinˆ omios, ent˜ ao teremos: Z 1 P3 (t) dt = A0 P3 (t0 ) + A1 P3 (t1 )

(prove isto)

−1

Ou seja, a fórmula também é exata para P3 (t). Portanto, considerando os polinˆ omios dados em (3.11) as quatro inc´ ognitas A0 , A1 , t0 , t1 podem ser encontradas por: Z 1 tk dt = A0 tk0 + A1 tk1 , k = 0, 1, 2, 3. −1

Desdobrando, temos:

k=0 ⇒

Z

k=1 ⇒

Z

k=2 ⇒

Z

k=3 ⇒

Z

1 −1 1 −1 1 −1 1 −1

t0 dt = A0 t00 + A1 t01 t1 dt = A0 t10 + A1 t11 t2 dt = A0 t20 + A1 t21 t3 dt = A0 t30 + A1 t31

Resolvendo as integrais obtemos o seguinte sistema de equa¸cões n˜ ao-lineares: A0 + A1 = 2 A0 t0 + A1 t1 = 0 A0 t20 + A1 t21 = 2/3 A0 t30 + A1 t31 = 0 ∗ ´ S˜ ao os polinˆ omios da base canˆ onica: B = { 1, t, t2 , t3 }, na linguagem da Algebra Linear.

297

Resolvendo este sistema obtemos A0 = A1 = 1

(exerc´ıcio)

1 1 t0 = − √ , t1 = √ 3 3

e

Substituindo na fórmula de Gauss para dois pontos Z 1 F (t) dt = A0 F (t0 ) + A1 F (t1 ) I= −1

obtemos IG =

Z

1 −1

√

3 F (t) dt = F − +F 3

√

3 3

(3.12)

Esta fórmula é exata para polinˆ omios de grau ≤ 3, por constru¸cão.

Exemplo: Calcular, Z 2 utilizando a quadratura gaussiana para dois pontos, o 2 e−x /2 dx. valor da integral −2

Solu¸ c˜ ao: Inicialmente procedemos à mudan¸ca de vari´ avel. Do enunciado 2 retiramos: a = −2, b = 2 e f (x) = e−x /2 . Substituindo em F (t), temos: 1 1 1 (b − a) t + (b + a) F (t) = (b − a) · f 2 2 2 1 1 1 = 2 − (−2) · f 2 − (−2) t + 2 + (−2) 2 2 2

Sendo assim:

2 /2

F (t) = 2 f (2 t) = 2 e−(2 t) Logo

√

√ 3 2 3 = 2 e−2 (− 3 ) F − 3 Substituindo em (3.12) resulta

;

F

2

= 2 e−2 t √

√ 3 2 3 = 2 e−2 ( 3 ) 3

IG = 4 e−2/3 = 2.0537 O programa a seguir implementa a fórmula (3.12)

Na telas do centro e direita temos dois exemplos. 298

O erro para o algoritmo de Gauss é dado por: En =

22n+1 (n!)4

(2n) (ξ), 3 · F (2n + 1) · (2n)!

−1 < ξ < 1.

Se tentarmos obter a fórmula de Gauss para três pontos Z 1 I= F (t) dt = A0 F (t0 ) + A1 F (t1 ) + A3 F (t3 ) −1

teremos um sistema n˜ ao-linear com seis inc´ ognitas: A0 , A1 , A3 ; t0 , t1 , t3 :   A0 + A0 + A0 = 2        A0 t0 + A1 t1 + A2 t2 = 0        A t2 + A t2 + A t2 = 2/3 0

0

1

1

2

2

  A0 t30 + A1 t31 + A2 t32 = 0        A0 t40 + A1 t41 + A2 t42 = 2/5       A0 t50 + A1 t51 + A2 t52 = 0

de dif´ıcil resolu¸c˜ ao, convenhamos. Existem livros∗ que apresentam a fórmula para a quadratura gaussiana com até n = 2 (3 pontos): r ! r ! Z 1 3 3 8 5 5 + F (0) + F F (t) dt = F − I= 9 5 9 9 5 −1 outros livros costumam tabelar valores das constantes Ai e ti para um certo n´ umero de pontos. Por exemplo, na p´ agina seguinte apresentamos uma tabela para n = 7 (8 pontos). A seguir programamos a fórmula anterior e simulamos um exemplo

na tela da direita temos, para efeito de compara¸cão, o valor da calculadora. ∗

Como, por exemplo, [4].

299

Existem livros que trazem algumas tabelas tais como n

i

ti

1

1; 0

±0. 57735027

1

2

0; 1

±0. 77459667

5/9

0

8/9

±0. 86113631

0. 34785484

2 3

4

0; 1 2; 3

±0. 33998104

0. 65214516

0; 1

±0. 90617985

0. 23692688

2; 3 4 5

0; 1 2; 3

6

±0. 53846931

0. 47862868

0

0. 53888889

±0. 93246951

0. 17132450

±0. 66120939

0. 36076158

4; 5

±0. 23861919

0. 46791394

0; 1

±0. 94910791

0. 12948496

2; 3 4; 5 6 7

Ai

0; 1 2; 3 4; 5 6; 7

±0. 74153119

0. 27970540

±0. 40584515

0. 38183006

0

0. 41795918

±0. 96028986

0. 10122854

±0. 79666648

±0. 52553242

±0. 18343464

0. 22238104 0. 31370664 0. 36268378

Por exemplo, como vimos, para n = 1 (dois pontos) A0 = A1 = 1,

1 t0 = − √ = −0.57735027, 3

300

(p. 298)

1 t1 = √ = 0.57735027 3

Existem vários inconvenientes em se trabalhar com tabelas como a da p´ agina anterior∗ , em raz˜ ao disto vamos envidar esfor¸cos para programa a fórmula da quadratura gaussiana Z 1 F (t) dt = A0 F (t0 ) + A1 F (t1 ) + · · · + An F (tn ) I= −1

para um n arbitrário de pontos e sem utilizar tabelas. Iniciamos com os polinˆ omios ortogonais, definidos a seguir: Defini¸ c˜ ao 13 (Conjunto ortogonal). Um conjunto de polinˆ omios P = pn (x) : n = 0, 1, 2, . . . ,

(onde n é o grau do polinˆ omio) é dito ortogonal em rela¸ca õ ` a fun¸ca õ peso ω(x), num intervalo [ a, b ] se: Z

b

ω(x) pm (x) pn (x) dx = 0 a

para m 6= n

Existem vários conjuntos de polinˆ omios ortogonais − como, p. ex. polinˆ omios de Hermite, de Laguerre e de Legendre −, dependendo da escolha da fun¸c˜ ao peso ω(x). Quando ω(x) = 1 e o intervalo de integra¸cão [ a, b ] é o intervalo [ −1, 1 ], os polinˆ omios s˜ ao chamados polinˆ omios de Legendre − dispon´ıveis na HP Prime . O seguinte teorema é de importˆ ancia decisiva para o algoritmo de Gauss. Teorema 21. Fixado arbitrariamente um natural n, o pontos ti para a quadratura gaussiana é a i−ésima raiz (zero) do polinˆ omio de Legendre de ordem n: pn (t). Os coeficientes Ai , s˜ ao obtidos pela fórmula: Ai =

(1 −

t2 ) i

2 · [ p′n (ti ) ]2

(3.13)

onde p′n (ti ) é o valor da derivada de pn (t) avaliada no ponto ti . Prova: [5].

O nosso objetivo agora ser´ a implementar (programar) a quadratura gaussiana. Posto o nosso problema vejamos agora alguns recursos que a calculadora nos disponibiliza para resolvê-lo.

∗ Por exemplo, o livro citado na referência [2] ao elaborar o programa da quadratura gaussiana digita a tabela dentro do programa (p. 526).

301

Os polinˆ omios de Legendre podem ser acessados na calculadora a partir da caixa de ferramentas, assim:

Aqui

←−

Por exemplo, vimos, para n = 1 (dois pontos) que √ √ 1 1 3 3 A0 = A1 = 1, t0 = − √ = − , t1 = √ = 3 3 3 3 e para n = 2 (3 pontos): I=

Z

(p. 299)

1

F (t) dt = −1

(p. 298)

5 F 9

r ! 8 5 3 + F (0) + F − 5 9 9

r ! 3 5

Segundo o teorema 21 (p. 301) temos que “Fixado um natural n, o ponto ti para a quadratura gaussiana é a i−ésima raiz (zero) do polinˆ omio de Legendre de ordem n”. Nas telas podemos confirmar os dados anteriores

com a ressalva de que na calculadora é n + 1 no lugar de n. Agora s´ o nos resta encontrar os coeficientes Ai dados pela fórmula: Ai = onde

p′

n

(1 −

2 [ p′n (ti ) ]2

t2 ) · i

(ti ) é o valor da derivada de pn (t) avaliada no ponto ti .

302

Na tela a seguir

programamos a fórmula Ai = onde

p′

n

(1 −

t2 ) i

2 · [ p′n (ti ) ]2

(ti ) é o valor da derivada de pn (t) avaliada no ponto ti .

Nas telas do centro e direita confirmamos os Ai que aparecem em √ √ 1 1 3 3 A0 = A1 = 1, t0 = − √ = − , t1 = √ = | {z } 3 3 3 3 Aqui

e

I=

Z

1

−1

5 F (t) dt = F 9

r ! 8 5 3 + F (0) + F − 5 9 9

r ! 3 5

Observe que em cada caso ao digitarmos t na linha de entrada teremos uma lista com os respectivos coeficientes ti , veja:

Após todo este esfor¸co − e ainda n˜ ao terminamos − fazemos questão de confirmar alguns dados constantes na tabela da p´ agina 300, fazemos isto na p´ agina seguinte:

303

Nas telas a seguir

confirmamos as linhas n = 1 e n = 2 na tabela a seguir n

i

ti

1

1; 0

±0. 57735027

1

2

0; 1

±0. 77459667

5/9

0

8/9

±0. 86113631

0. 34785484

2 3

0; 1 2; 3

Ai

±0. 33998104

Nas telas a seguir

confirmamos a linha n = 3 na tabela acima.

304

0. 65214516

Programando a f´ ormula da quadratura gaussiana Creio que já dispomos das principais ferramentas para implementar a quadratura gaussiana. Na tela a seguir temos o programa que faz isto

no centro e ` a direita temos duas simula¸cões. Nota: A instru¸c˜ ao QGL(n) assinalada a seguir

−→

tem por objetivo gerar as listas dos coeficientes Ai e ti , como vemos na tela da direita. Como mais um exemplo de aplica¸cão do programa, vamos calcular a integral Z 4 log x + x2 dx (x + 3)2 2 Nas duas primeiras telas a seguir

calculamos a integral para n = 2 e n = 3, respectivamente. Na tela da direita temos o valor dado pela calculadora. Observe que com apenas n = 3 (4 pontos) já obtemos o valor da calculadora. 305

No quadro a seguir

R. Trap´ ezios

Simpson 1/3

Q. Gaussiana

HP Prime

Simpson 3/8

Trap´ ezios Simpson 1/3 Simpson 3/8 Gauss

↑ erros

comparamos o valor da integral Z 4 2

log x + x2 dx (x + 3)2

em todas as técnicas vistas (com n = 6), na u ´ ltima tela temos os erros cometidos − tomando-se o valor da calculadora como referência.

306

3.2.5

Integral dupla

Seja o problema de calcular a integral dupla a seguir: Z Z I= f (x, y) dx dy D

onde D é o retˆ angulo delimitado por: a≤x≤b c≤y≤d O teorema seguinte afirma que o cálculo da integral dupla de uma fun¸cão cont´ınua é realizado por meio de uma integral iterada, e em qualquer ordem. Teorema 22 (Fubini). Se f : [ a, b ] × [ c, d ] → R é uma fun¸cão cont´ınua, então Z Z

f (x, y) dA = [ a, b ]×[ c, d ]

Z bh Z

d

i

f (x, y) dy dx =

c

a

Z

c

dh

Z

a

b

i f (x, y) dx dy

Veremos que as regras apresentadas anteriormente podem ser usadas no presente contexto. Inicialmente fazemos uma parti¸cão do retˆ angulo anterior em nx subintervalos em [ a, b ] e em ny subintervalos em [ c, d ], assim: y

p

yn = d

p

yn−1

.. .

.. .

(xi , yj )

p

yj

.. .

···

.. .

s

···

p

y1

p

y0 = c

p

x0 = a

p

x1

p

x2

···

p

xi

···

p

xn−1

p

x

xn = b

Na verdade o n que comparece no eixo x é nx e o n que comparece no eixo y é ny (n˜ ao s˜ ao necessáriamente iguais).

307

Pois bem, supondo f cont´ınua podemos utilizar o teorema de Fubini e escrever Z d Z Z Z b f (x, y) dy dx I= f (x, y) dx dy = D

Chamando

Rd c

c

a

f (x, y) dy de G(x), isto é G(x) =

podemos escrever: I=

Z

Z

d

f (x, y) dy

(3.14)

c

b

G(x) dx

a

Para resolver esta integral simples aplicaremos a segunda regra de Simpson R xn x0

f (x) dx ∼ =

3h 8

[ y0 + 3y1 + 3y2 + 2y3 + 3y4 + 3y5 + 2y6 + · · · + 3yn−2 + 3yn−1 + yn ]

Ent˜ ao I=

3h G(x0 ) + 3G(x1 ) + 3G(x2 ) + 2G(x3 ) + 3G(x4 ) + 3G(x5 ) + 2G(x6 ) 8 · · · + 3G(xn−2 ) + 3G(xn−1 ) + G(xn ) (3.15)

Da equa¸c˜ ao (3.14), temos: G(xi ) =

Z

d

c

f (xi , y) dy ;

(i = 0, 1, 2, . . . , nx)

(3.16)

Para cada i fixo, devemos calcular a integral da fun¸cão (de uma u ´ nica vari´ avel) f (xi , y) no intervalo [ c, d ]. y

p

yn = d

p

yn−1

.. .

.. .

(xi , yj )

p

yj

.. .

···

.. .

s

···

p

y1

p

y0 = c

p

x0 = a

p

x1

p

x2

···

308

p

xi

···

p

xn−1

p xn = b

x

Para resolver esta integral em y G(xi ) =

Z

d c

f (xi , y) dy ;

(i = 0, 1, 2, . . . , nx)

utilizaremos a primeira regra de Simpson: R xn x0

f (x) dx ∼ =

h 3


Então G(xi ) =

h f (xi , y0 ) + 4f (xi , y1 ) + 2f (xi , y2 ) + 4f (xi , y3 ) + 2f (xi , y4 ) 3 + · · · + 2f (xi , yn−2 ) + 4f (xi , yn−1 ) + f (xi , yn )

Observe que temos nx + 1 desta equa¸cões; ademais, observe que como estamos particionando o intervalo [ c, d ] em ny subintervalos y

p

yn = d

p

yn−1

.. .

.. .

(xi , yj )

p

yj

.. .

···

.. .

s

···

p

y1

p

y0 = c

p

x0 = a

p

x1

p

x2

···

a rigor temos G(xi ) =

p

xi

···

p

xn−1

p

x

xn = b

(i = 0, 1, 2, . . . , nx)

h f (xi , y0 ) + 4f (xi , y1 ) + 2f (xi , y2 ) + 4f (xi , y3 ) + 2f (xi , y4 ) 3 + · · · + 2f (xi , yny−2 ) + 4f (xi , yny−1 ) + f (xi , yny )

309

Pois bem, substituindo G(xi ) =

(i = 0, 1, 2, . . . , nx)

h f (xi , y0 ) + 4f (xi , y1 ) + 2f (xi , y2 ) + 4f (xi , y3 ) + 2f (xi , y4 ) 3 + · · · + 2f (xi , yny−2 ) + 4f (xi , yny−1 ) + f (xi , yny )

nesta equa¸c˜ ao I=

(eq. (3.15), p. 308)

3h G(x0 ) + 3G(x1 ) + 3G(x2 ) + 2G(x3 ) + 3G(x4 ) + 3G(x5 ) + 2G(x6 ) 8 · · · + 3G(xn−2 ) + 3G(xn−1 ) + G(xn )

e tendo em conta que G(xi ) =

obtemos: I= 3hx 8

hy 3

h f (xi , y0 ) + 4f (xi , y1 ) + 2f (xi , y2 ) + 4f (xi , y3 ) + 2f (xi , y4 ) 3 + · · · + 2f (xi , yn−2 ) + 4f (xi , yn−1 ) + f (xi , yn )

F (x0 , y0 ) + 4F (x0 , y1 ) + 2F (x0 , y2 ) + 4F (x0 , y3 ) + ···+ 4F (x0 , yn−1 ) + F (x0 , yn )

+ 3· hy F (x1 , y0 ) + 4F (x1 , y1 ) + 2F (x1 , y2 ) + 4F (x1 , y3 ) + ···+ 4F (x1 , yn−1 ) + F (x1 , yn ) 3 F (x2 , y0 ) + 4F (x2 , y1 ) + 2F (x2 , y2 ) + 4F (x2 , y3 ) +···+ 4F (x2 , yn−1 ) + F (x2 , yn ) + 3· hy 3 + 2· hy F (x3 , y0 ) + 4F (x3 , y1 ) + 2F (x3 , y2 ) + 4F (x3 , y3 )+···+ 4F (x3 , yn−1 ) + F (x3 , yn ) 3 F (x4 , y0 ) + 4F (x4 , y1 ) + 2F (x4 , y2 ) + 4F (x4 , y3 )+···+ 4F (x4 , yn−1 ) + F (x4 , yn ) + 3· hy 3 + 3· hy F (x5 , y0 ) + 4F (x5 , y1 ) + 2F (x5 , y2 ) + 4F (x5 , y3 )+···+ 4F (x5 , yn−1 ) + F (x5 , yn ) 3 F (x6 , y0 ) + 4F (x6 , y1 ) + 2F (x6 , y2 ) + 4F (x6 , y3 )+···+ 4F (x6 , yn−1 ) + F (x6 , yn ) + 2· hy 3

····································································· hy

+ 3·

3

F (xn−2 , y0 ) + 4F (xn−2 , y1 ) + 2F (xn−2 , y2 ) + 4F (xn−2 , y3 )+···+ F (xn−2 , yn )

+ 3· hy F (xn−1 , y0 ) + 4F (xn−1 , y1 ) + 2F (xn−1 , y2 ) + 4F (xn−1 , y3 )+···+ F (xn−1 , yn ) 3 +

hy 3

F (xn , y0 ) + 4F (xn , y1 ) + 2F (xn , y2 ) + 4F (xn , y3 )+···+ 4F (xn , yn−1 ) + F (xn , yn )

310

Arrumando a casa obtemos: hy

I= 3hx · 8

1· F (x0 , y0 ) + 4F (x0 , y1 ) + 2F (x0 , y2 ) + 4F (x0 , y3 ) + ···+ 4F (x0 , yn−1 ) + F (x0 , yn )

3

+ 3· F (x1 , y0 ) + 4F (x1 , y1 ) + 2F (x1 , y2 ) + 4F (x1 , y3 ) + ···+ 4F (x1 , yn−1 ) + F (x1 , yn )

+ 3· F (x2 , y0 ) + 4F (x2 , y1 ) + 2F (x2 , y2 ) + 4F (x2 , y3 ) +···+ 4F (x2 , yn−1 ) + F (x2 , yn ) + 2· F (x3 , y0 ) + 4F (x3 , y1 ) + 2F (x3 , y2 ) + 4F (x3 , y3 )+···+ 4F (x3 , yn−1 ) + F (x3 , yn ) + 3· F (x4 , y0 ) + 4F (x4 , y1 ) + 2F (x4 , y2 ) + 4F (x4 , y3 )+···+ 4F (x4 , yn−1 ) + F (x4 , yn ) + 3· F (x5 , y0 ) + 4F (x5 , y1 ) + 2F (x5 , y2 ) + 4F (x5 , y3 )+···+ 4F (x5 , yn−1 ) + F (x5 , yn ) + 2· F (x6 , y0 ) + 4F (x6 , y1 ) + 2F (x6 , y2 ) + 4F (x6 , y3 )+···+ 4F (x6 , yn−1 ) + F (x6 , yn )

·····································································

+ 3· F (xn−2 , y0 ) + 4F (xn−2 , y1 ) + 2F (xn−2 , y2 ) + 4F (xn−2 , y3 )+···+ F (xn−2 , yn ) + 3· F (xn−1 , y0 ) + 4F (xn−1 , y1 ) + 2F (xn−1 , y2 ) + 4F (xn−1 , y3 )+···+ F (xn−1 , yn )

+ 1· F (xn , y0 ) + 4F (xn , y1 ) + 2F (xn , y2 ) + 4F (xn , y3 )+···+ 4F (xn , yn−1 ) + F (xn , yn )

Na matriz acima podemos obervar − pelos ´ındices de yj − que temos ny + 1 parcelas em cada linha e − pelos ´ındices de xi − observamos que temos nx + 1 linhas. Para programar esta equa¸c˜ ao vamos antes fazer um programa que calcule uma matriz com os valores da fun¸cão em todos os vértices da malha de parti¸cão, isto é F (xi , yj ) ; (i = 0, 1, 2, . . . , nx), (j = 0, 1, 2, . . . , ny)

Ou ainda



F (x0 , y0 )

F (x0 , y1 )

F (x0 , y2 )

...

  F (x , y ) F (x , y ) F (x , y ) . . . 1 0 1 1 1 2    ... ... ... ...  F (xnx , y0 ) F (xnx , y1 ) F (xnx , y2 ) . . .

311

F (x0 , yny )



 F (x1 , yny )     ...  F (xnx , yny )

O programa a seguir calcula a matriz anterior

Nota: Ver concatena¸c˜ ao da fun¸cão map, p. 143. Na tela da direita temos uma simula¸cão para a seguinte integral dupla I=

Z

0

π/2 Z 0,4

(y 2 + y) cos x dy dx

0

onde f (x, y) = (y 2 + y) cos x

e

  0 ≤ y ≤ 0, 4

D:

 0 ≤ x ≤ π/2

Recebemos na saida do programa a seguinte matriz: 



0.0000

0.1100

0.2400

0.3900

0.5600

  0.0000   0.0000  0.0000

0.0953

0.2078

0.3377

0.0550

0.1200

0.1950

0.0000

0.0000

0.0000

 0.4850   0.2800   0.0000

− Na figura a seguir plotamos (esquerda) a malha da parti¸cão e, na figura da direita, os valores f (xi , yj ) de acordo com a matriz anterior, assim: f (x, y)

r

0 π 6 π 3 π 2

x

r

f (x, y)

0,1 r 0,2 r 0,3 r 0,4 r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

y π 6

r π 3 π 2

x

312

y

r

r

r

r r

r

r

r

Finalmente, para o programa que calcula a integral dupla podemos salvar o programa anterior com outro nome, digamos, I− Dupla, e completar como na tela a seguir

Na tela da direita temos uma simula¸cão para a seguinte integral dupla I=

Z

0

π/2 Z 0,4

(y 2 + y) cos x dy dx

(3.17)

0

Nota: No programa acima CPRS é programa que calcula os coeficientes da primeira regra de Simpson (p. 291), lembramos que n (no caso ny) deve ser m´ ultiplo de 2; por outro lado, CSRS é programa que calcula os coeficientes da segunda regra de Simpson (p. 293), lembramos que n (no caso nx) deve ser m´ ultiplo de 3. Na tela a seguir mostramos a sintaxe para o cálculo da integral dupla pela calculadora

na tela do centro calculamos a integral dada em (3.17), na tela da direita pedimos uma aprroxima¸ca õ com quatro decimais, para efeito de compara¸cão. Nas telas a seguir vemos mais um exemplo

313

3.3

Equa¸c˜ oes Diferenciais Ordin´ arias

Introdu¸c˜ ao: Nesta se¸c˜ ao implementaremos as principais regras para a resolu¸cão numérica de equa¸c˜ oes diferenciais ordinárias− as quais constam nos livros de C´ alculo Numérico. Antes, veremos alguns resultados do C´ alculo que ser˜ ao necessários posteriormente.

Regra da Cadeia Para Derivadas Teorema 23 (Regra da Cadeia de Duas Vari´ aveis). Se x = x(t) e y = y(t) forem diferenci´ a veis em t e se z = f (x, y) for diferenci´ avel no ponto (x, y) = x(t), y(t) , ent˜ ao z = f (x(t), y(t)) é diferenci´ avel em t e dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt

onde as derivadas ordinárias s˜ ao calculadas em t e as derivadas parciais em (x, y).

Deriva¸ c˜ ao impl´ıcita Considere o caso especial em que z = f (x, y) é uma fun¸cão de x e y e y é uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel de x. Então a equa¸cão anterior passa a ser: ∂f dx ∂f dy ∂f ∂f dy dz = + = + dx ∂x dx ∂y dx ∂x ∂y dx

(3.18)

Nota: O material a seguir − Fórmula de Taylor − foi retirado de um outro livro nosso ([7]), aqui fazemos apenas um resumo, para mais detalhes e provas dos teoremas sugerimos, a quem interessar possa, a citada referência.

314

F´ ormula de Taylor Os polinˆ omios est˜ ao entre as fun¸cões mais simples que se estudam na Análise. S˜ ao adequados para c´ alculos computacionais porque os seus valores s˜ ao obtidos pela efetiva¸c˜ ao dum n´ umero finito de multiplica¸cões e adi¸cões. P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn Muitas fun¸c˜ oes que surgem nas aplica¸cões da Matemática a outras áreas da ciência n˜ ao s˜ ao fun¸c˜ oes polinomiais. Nesta se¸cão mostraremos como aproximar uma fun¸c˜ ao por polinˆ omios; se a diferen¸ca entre uma fun¸cão e sua aproxima¸c˜ ao polinomial é suficientemente pequena, então podemos, com vistas às aplica¸c˜ oes pr´ aticas, operar com o polinˆ omio em vez de o fazer com a fun¸cão original. Ademais, e n˜ ao menos importante, os circuitos aritméticos dos computadores realizam apenas a opera¸ca õ de adi¸ca õ (as outras opera¸co ˜es podem ser implementadas a partir de circuitos somadores). Como ent˜ ao realizar c´ alculos mais complicados?. Vamos iniciar por passos, vejamos o caso mais simples.

Polinˆ omio de Taylor de Ordem 1 Seja f uma fun¸c˜ ao deriv´ avel em x0 e seja T dada por T (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) O gr´ afico de T é a reta tangente ao gr´ afico de f no ponto x0 , f (x0 ) . y

x0 , f (x0 )

f

⇓

f (x) T

f (x0 )

T (x) − f (x0 ) = f ′ (x0 ) (x − x0 )

s

x0

x

x

315

Para cada x ∈ Df (dom´ınio da fun¸cão), seja E(x) o erro que se comete na aproxima¸c˜ ao de f (x) por T (x), assim: E(x) = f (x) − T (x),

x ∈ Df

Ou ainda E(x) = f (x) − f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) ,

x ∈ Df

Geometricamente, temos

y

x0 , f (x0 ) ⇓

f (x)

T (x) − f (x0 ) = f ′ (x0 ) (x − x0 )

E(x) T (x)

E(x) = f (x) − T (x) f (x0 )

s

E(x) = f (x) − f (x0 ) − f ′ (x0 ) (x − x0 )

f x0

T

x

x

O polinˆ omio P (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) omio de Taylor de ordem 1 de f em torno de x0 . denomina-se polinˆ O pr´ oximo teorema fornece-nos uma express˜ ao para o erro E(x) = f (x) − f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) , x ∈ Df em termos da segunda derivada de f .

Teorema 24. Seja f derivável até 2.a ordem no intervalo I e sejam x0 , x ∈ I. Ent˜ ao, existe pelo ao menos um ponto c¯ no intervalo aberto ] x0 , x [ ( ou ] x, x0 [ ) tal que f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) +

f ′′ (¯ c) (x − x0 )2 2

Comparando com

temos

E(x) = f (x) − f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) ,

f ′′ (¯ c) (x − x0 )2 2 para algum c¯ no intervalo aberto ] x0 , x [ ( ou ] x, x0 [ ). E(x) =

316

x ∈ Df

Polinˆ omio de Taylor de Ordem 2 O polinˆ omio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x0 é dado por P (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +

f ′′ (x0 ) (x − x0 )2 2

Vamos mostrar, através de um exemplo, que o polinˆ omio de Taylor de ordem 2 aproxima melhor f do que o polinˆ omio de Taylor de ordem 1. Exemplo: Seja f (x) = ex . Determine os polinˆ omios de Taylor de ordem 1 e 2, de f em torno de x0 = 0. Esboce os gr´ aficos de f e dos polinˆ omios. Solu¸ c˜ ao: Indiquemos por P1 e P2 os polinˆ omios pedidos. Então P1 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) e P2 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +

f ′′ (x0 ) (x − x0 )2 2

Temos f (x) = ex ,

f ′ (x) = ex ,

f ′′ (x) = ex

logo, f (0) = f ′ (0) = f ′′ (0) = 1. Fazendo as substitui¸cões devidas, temos P1 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) = f (0) + f ′ (0)(x − 0) = 1 + x e P2 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + = f (0) + f ′ (0)(x − 0)

ex

P2 P1

P2

f ′′ (x0 ) (x − x0 )2 2 f ′′ (0) 1 (x − 0)2 = 1 + x + x2 2 2

+

f (x) = ex P1 (x) = 1 + x

ex

P2 (x) = 1 + x + 12 x2 P1

317

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor a an´ alise das seguintes tabelas:

0+ ← x

x → 0−

onde Erro1(x) = |f (x) − P1 (x)|

Erro2(x) = |f (x) − P2 (x)|

e

Seja P2 o polinˆ omio de Taylor de ordem 2 de f numa vizinhan¸ca de x0 . Para cada x em Df seja E(x) o erro cometido na aproxima¸cão de f (x) por P2 (x). Por exemplo

y

x0 , f (x0 ) = (1, ln 1) = (1, 0) f (x) = ln x

f f (x)

P2 (x) = x − 1 − 21 (x − 1)2

E(x)

P (x)

s

x0

x

x

E(x) = f (x) − P2 (x)

P2

Assim, para todo x ∈ Df , temos f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +

f ′′ (x0 ) (x − x0 )2 + E(x) 2

De outro modo E(x) = f (x) −

f ′′ (x0 ) f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 2 ′

O pr´ oximo teorema fornece-nos uma express˜ ao para o erro E(x) em termos da terceira derivada de f . 318

Teorema 25. Seja f deriv´ avel até 3.a ordem no intervalo I e sejam x0 , x ∈ I. Então, existe pelo ao menos um ponto c¯ no intervalo aberto ] x0 , x [ ( ou ] x, x0 [ ) tal que f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +

f ′′ (x0 ) f ′′′ (¯ c) (x − x0 )2 + (x − x0 )3 2 3!

Comparando com a equa¸c˜ ao f ′′ (x0 ) 2 ′ (x − x0 ) E(x) = f (x) − f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 temos

f ′′′ (¯ c) (x − x0 )3 3! para algum c¯ no intervalo aberto ] x0 , x [. E(x) =

Limitante para o erro: Seja f derivável até 3.a ordem no intervalo I e seja x0 ∈ I. Suponha que existe M > 0 tal que |f ′′′ (x)| ≤ M para todo x ∈ I, então para todo x em I se verifica |f (x) − P (x)| ≤

M |x − x0 |3 3!

onde P (x) é o polinˆ omio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x0 , isto é P (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) + ∗

∗

f ′′ (x0 ) (x − x0 )2 2 ∗

Taylor Devolve a expans˜ ao da série de Taylor de uma express˜ ao num ponto ou no infinito (por predefini¸c˜ ao, em x = 0 e com ordem relativa=5). S´ıntaxe taylor(Expr, [Var=Value], [Order])

319

Exemplo: Vamos calcular − para efeitos de compara¸cão − os polinˆ omios 1 de Taylor P1 e P2 para a fun¸cão f dada por f (x) = no intervalo 1−x |x| < 1 e em torno de x0 = 0.

Solu¸ c˜ ao: Temos

P1 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) e P2 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +

f ′′ (x0 ) (x − x0 )2 2

Temos f (x) =

1 , 1−x

f ′ (x) =

1 , (1 − x)2

f ′′ (x) =

2 (1 − x)3

ainda f ′ (0) = 1,

f (x0 ) = f (0) = 1,

f ′′ (0) = 2

Sendo assim, temos P1 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) = 1 + 1 (x − 0) = 1 + x e P2 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + = 1 + 1(x − 0) +

f ′′ (x0 ) (x − x0 )2 2

2 (x − 0)2 = 1 + x + x2 2

A seguir temos a representa¸cão geométrica de f , P1 e P2 .

y f

P2

f (x) = P1

1 1−x

P1 (x) = 1 + x s

P1 (x) = 1 + x + x2 ¬−1

¬1

x

320

Nas tabelas a seguir comparamos os erros quando aproximamos f por P1 e por P2 − em pontos numa vizinha¸ca de x0 = 0.

↑

↑

onde e1(x) = |f (x) − P1 (x)|

e2(x) = |f (x) − P2 (x)|

e

e1 Na u ´ ltima linha da tabela exibimos o quociente entre os dois erros. Por e2 exemplo, observe que no ponto x = −0.05 temos e1 = 20 · e2, e no ponto x = 0.025 temos e1 = 40 · e2. ∗

∗

∗

Taylor do quociente Apresenta o polin´ omio de Taylor de grau n para o quociente de dois polinˆ omios. S´ıntaxe divpc(Poly1,Poly2,Integer)

321

Polinˆ omio de Taylor de Ordem n Seja f deriv´ avel até a ordem n no intervalo I e seja x0 ∈ I. O polinˆ omio P (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +

f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!

denomina-se polinˆ omio de Taylor, de ordem n, de f em torno de x0 . O polinˆ omio de Taylor, de ordem n, de f em torno de x0 é o u ´ nico polinˆ omio de grau no m´ aximo n que aproxima localmente f em torno de x0 de modo que o erro E(x) tenda a zero mais rapidamente que (x − x0 )n , quando x → x0 . (Verifique).

O polinˆ omio de Taylor, de ordem n, de f em torno de x0 = 0 denomina-se também polinˆ omio de Maclaurin, de ordem n, de f . Exemplo: Determine os polinˆ omios de Taylor de ordem 1 até a ordem 4, de f (x) = ex em torno de x0 = 0. Plote os gr´ aficos. Solu¸ c˜ ao: Observe que calculando o polinˆ omio de Taylor de ordem 4 obtemos todo os anteriores. Temos P4 (x) = f (0)+f ′ (0)(x−0)+ Ent˜ ao

f ′′′ (0) f (4) (0) f ′′ (0) (x−0)2 + (x−0)3 + (x−0)4 2! 3! 4!

f (x) = ex

⇒

f (0) = 1

f ′ (x) = ex

⇒

f ′ (0) = 1

f ′′ (x) = ex

⇒

f ′′ (0) = 1

f ′′′ (x) = ex

⇒

f ′′′ (0) = 1

f (4) (x) = ex

⇒

f (4) (0) = 1

322

Substituindo, resulta P4 (x) = 1 + x +

1 1 1 2 x + x3 + x4 2 3! 4!

y

y f

f

P2 (x) = 1+x+ 12 x2

P1 (x) = 1+x

s

s x

0

x

0

y

y f

P3 (x) = 1+x+ 21

1 x2 + 3!

f x3 1 3 1 4 P4 (x) = 1+x+ 21 x2 + 3! x + 4! x

s

s x

0

0

x

Nota: Os polinˆ omios de Taylor vão colando cada vez mais no gr´ afico de f a` medida que n aumenta. Teorema 26 (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange). Seja I = [ a, b ] e seja f : I → R tal que f e suas derivadas f ′ , f ′′ , . . . , f (n) existam e sejam cont´ınuas em I, e f (n+1) exista em ] a, b [. Seja x0 ∈ I um ponto fixado. Dado x em I, x 6= x0 existe um ponto c entre x e x0 tal que f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + + ··· +

f ′′ (x0 ) (x − x0 )2 2!

f (n) (x0 ) f (n+1) (c) (x − x0 )n + (x − x0 )n+1 n! (n + 1)!

323

Defini¸ c˜ ao 14. Uma equa¸cão diferencial ordinária de ordem n é uma equa¸cão da seguinte forma F x, y(x), y ′ (x), y ′′ (x), . . . , y (n) (x) = 0 onde constam a fun¸c˜ ao inc´ ognita y = y(x) e suas derivadas até a ordem n.

Exemplos: A seguir vemos algumas equa¸cões diferenciais ordinárias, onde: y′ = a)

d2 y dy , y ′′ = 2 , . . . dx dx

dy = 2x + 3, de ordem 1; dx

b) y

d2 y dy + 3x = x − 2, de ordem 2; 2 dx dx

d2 θ g + sen θ = 0. 2 dt L Esta equa¸c˜ ao, de ordem 2, e n˜ ao linear − devido a presen¸ca do termo sen θ − modela a oscila¸cão de um pêndulo.

c)

d)

d3 y d2 y dy d4 y + 3+ 2+ + y = 1, de ordem 4. 4 dx dx dx dx

3.3.1

Problema de valor inicial (PVI)

Defini¸ c˜ ao 15. Um problema de Valor Inicial (PVI) de primeira ordem consiste de uma equa¸c˜ ao diferencial y ′ = f (x, y), x ≥ x0 , e uma condi¸cão inicial y(x0 ) = y0 , onde y0 é um valor dado, chamado de valor inicial. Resumimos da seguinte forma: ( PV I :

y ′ = f (x, y) y(x0 ) = y0

(3.19)

Não é poss´ıvel, em geral, encontrar a solu¸cão anal´ıtica y = y(x) do PVI por manipula¸c˜ ao simb´ olica da equa¸cão diferencial, da´ı a necessidade de métodos numéricos como os que ser˜ ao aqui desenvolvidos. Para resolver numericamente um PVI devemos inicialmente discretizar o intervalo [ a, b ]: a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b Ao conjunto acima denomina-se uma parti¸ca õ do intevalo [ a, b ]. 324

Para obter uma parti¸c˜ ao (regular) do intervalo [ a, b ] em N subintervalos de mesmo comprimento, fazemos h = b−a N , no que resulta xn = x0 + n h,

[ a = x0

x1 h

...

x2

n = 0, 1, 2, . . . , N.

xn−1

h

x

] xn = b

h

Importante: Convenciona-se usar a nota¸cão y(xn ) (n = 0, 1, 2, . . .) para indicar a solu¸c˜ ao exata do PVI nos pontos da parti¸cão, graficamente: f (x) y(x)

y(xn ) y(x0 )

h

0

a = x0

...

h

x1

x2

h

xn−1

x

xn = b

Por outro lado a nota¸c˜ ao yn (x) é reservada para a solu¸cão numérica aproximada do PVI.

f (x)

ւ

y(xn )

y(x)

solu¸caõ exata

←− yn (x) solu¸caõ aproximada

y(x0 ) = y0

... 0

a = x0

x1

x2

xn−1

xn = b

x

A solu¸c˜ ao numérica yn (x) é a fun¸cao linear por partes, cujo gr´ afico é uma poligonal com vétices nos pontos (xn , yn ), onde yn ser´ a calculado utilizandose algum dos métodos numéricos que ser˜ ao dados logo mais. 325

´ um resultado da Análise Matemática que dada qualquer fun¸cão Nota: E cont´ınua em um intervalo fechado [ a, b ] esta fun¸cão pode ser aproximada − com qualquer precisão que se deseje − por uma “fun¸cão poligonal”. De outro modo: dada qualquer f , cont´ınua em um intervalo [ a, b ], existe uma poligonal g arbitrariamene pr´ oxima de f no seguinte sentido: d(f, g) = max |f (x) − g(x)| : x ∈ [ a, b ] < ε

onde ε > 0 é qualquer precisão arbitrariamene fixada. d(f, g) é a distˆ ancia entre as fun¸c˜ oes f e g. Erro local: o erro local, cometido nas aproxima¸cões em cada ponto da parti¸c˜ ao, é a diferen¸ca entre o valor exato da solu¸cão da equa¸cão diferencial e o valor numérico aproximado, isto é: e(xn ) = y(xn ) − yn ,

n = 0, 1, 2, . . . , N.

(3.20)

Observe a “geometria do erro” no gr´ afico anterior.

M´ etodos baseados em s´ erie de Taylor Vamos adaptar os resultados da série de Taylor, vista anteriormente, aos nossos propósitos. Considere f uma fun¸cão cont´ınua e, ademais, suponhamos que todas as suas derivadas existam no ponto x = x0 = xn . A série de Taylor nas vizinhan¸cas do ponto x0 = xn é reescrita como∗ f (x) = f (xn ) + f ′ (xn )(x − xn ) +

f ′′ (xn ) (x − xn )2 2!

+ ··· +

f (k) (xn ) (x − xn )k + · · · k!

Vamos truncar o desenvolvimento da série de Taylor no p-ésimo termo, e, por um “abuso de nota¸cão”, vamos continuar usando o sinal de igualdade, assim: f (x) = f (xn ) + f ′ (xn )(x − xn ) +

f (p) (xn ) f ′′ (xn ) (x − xn )2 + · · · + (x − xn )p 2! p!

Vamos agora considerar nesta express˜ ao x = xn+1 = xn + h, ou ainda, x − xn = h, ent˜ ao: f (xn+1 ) = f (xn ) + f ′ (xn ) h +

f (p) (xn ) p f ′′ (xn ) 2 h + ··· + h 2! p!

(3.21)

∗ H´ a um teorema do C´ alculo que afirma que a igualdade em quest˜ ao é verdadeira em um ponto x se e somente se lim Rn (x) = 0. Portanto, estamos admitindo que este seja n → +∞ o caso.

326

Vamos reconsiderar o PVI: (

y ′ = f (x, y) y(x0 ) = y0

Admitindo como hip´ otese que a solu¸cão y(x) do PVI tenha derivadas cont´ınuas para todo x ∈ [ a, b ], então substituindo em (3.21), temos y(xn+1 ) = y(xn ) + y ′ (xn ) h +

y ′′ (xn ) 2 y (p) (xn ) p h + ··· + h 2! p!

Usando a nota¸c˜ ao, d yn ∼ f (xn , yn ), . . . = y(xn ), yn′ = f (xn , yn ), yn′′ = dx Observe, yn ∼ = y(xn ) ⇒ yn+1 ∼ = y(xn+1 ), então yn+1 = yn + yn′ h +

yn′′ 2 y (p) h + · · · + n hp 2! p!

Ou, reconfigurando a nota¸c˜ ao: yn+1 = yn + h yn′ +

hp (p) h2 ′′ yn + · · · + y 2! p! n

(3.22)

que é o m´ etodo de Taylor de ordem p.

3.3.2

M´ etodo de Euler

O método de Euler para a solu¸cão aproximada do PVI consiste no desenvolvimento da série de Taylor para p = 1: yn+1 = yn + h yn′ como yn′ = f (xn , yn ), resulta:

(3.23) (Método de Euler)

yn+1 = yn + h f (xn , yn ) ,

(n = 0, 1, 2, . . .)

Interpreta¸ c˜ ao Geom´ etrica: O método de Euler, desenvolvido por volta de 1768, é também conhecido como o m´ etodo da reta tangente. Vamos considerar como poder´ıamos aproximar a solu¸cão y = y(x) do PVI (3.19) (p. 324) pr´ oximo de x = x0 . Sabemos que o gr´ afico da solu¸cão (p. 325) contém o ponto (x0 , y0 ) e, da equa¸cão diferencial (do PVI), sabemos, também, que a inclina¸cão da reta tangente ao gr´ afico nesse ponto é y ′ = f (x0 , y0 ). Sendo assim, podemos 327

escrever uma equa¸c˜ ao para a reta tangente à curva solu¸cão em (x0 , y0 ), isto é: y = y0 + f (x0 , y0 )(x − x0 )

f (x)

reta tangente - solu¸caõ aproximada: yn (x)

y1 y(x1 ) y0

y(x)

solu¸caõ exata

0

x0

x

x1

A reta tangente é uma boa aproxima¸cão para a curva solu¸cão em um intervalo suficientemente pequeno. Se x1 estiver suficientemente pr´ oximo de x0 , podemos aproximar y(x1 ) pelo valor obtido substituindo-se x = x1 na equa¸c˜ ao da reta tangente no ponto x = x0 ; isto é, y1 = y0 + f (x0 , y0 )(x1 − x0 ) Para prosseguir, podemos tentar repetir o procedimento. Infelizmente, n˜ ao conhecemos o valor y(x1 ) da solu¸cão em x1 . O melhor que podemos fazer é usar o valor aproximado dado acima, y1 , em seu lugar. Encontramos, ent˜ ao, a reta passando no ponto (x1 , y1 ) com coeficiente angular f (x1 , y1 ), isto é, y = y1 + f (x1 , y1 )(x − x1 ) Para aproximar y(x) no pr´ oximo ponto x2 , usamos esta u ´ ltima equa¸cão, obtendo: y2 = y1 + f (x1 , y1 )(x2 − x1 ) Continuando este processo (algoritmo), usamos o valor de y calculado em cada etapa para determinar o coeficiente angular para a aproxima¸cão seguinte. Generalizando os passos anteriores obtemos uma express˜ ao geral para yn+1 assim: yn+1 = yn + f (xn , yn )(xn+1 − xn ) fazendo xn+1 − xn = h, obtemos: yn+1 = yn + h f (xn , yn ) , 328

(n = 0, 1, 2, . . .)

Algoritmo Dado o PVI: (

y ′ = f (x, y) y(x0 ) = y0

podem ser adotados os seguintes passos para sua resolu¸cão: 1) Declare: (i) A fun¸c˜ ao f (x, y); (ii) condi¸c˜ oes iniciais: y(x0 ) = y0 ; (iii) intervalo [ a, b ], onde a = x0 ; (iv) n´ umero de subintervalos N e calcule h = 2) Para n = 0, 1, . . . , N − 1, fa¸ca:

b−a N ;

Calcule:

in´ıcio xn+1 = xn + h yn+1 = yn + h f (xn , yn ) fim Exemplo: Calcule, pelo método de Euler, a solu¸cão aproximada do seguinte PVI: ( y ′ = f (x, y) = y − x y(x0 ) = y(0) = 2

para x ∈ [ a, b ] = [ 0, 1 ] e N = 4 subintervalos. Solu¸ c˜ ao: Inicialmente temos: h=

b−a 1−0 1 = = = 0. 25 N 4 4

A discretiza¸c˜ ao do intevalo fica: p

p

x0 = 0

x1 =

(n = 0, 1, 2, 3, 4)

p 1 4

x2 =

p 1 2

x3 =

p 3 4

x

x4 = 1

O método de Euler consiste no algoritmo: yn+1 = yn + h f (xn , yn ) Sendo f (x, y) = y − x, temos f (xn , yn ) = yn − xn , sendo assim resulta: yn+1 = yn + 0. 25 (yn − xn ) = − 0. 25 xn + 1. 25 yn 329

Ent˜ ao: n = 0 ⇒ y1 = −0. 25 x0 + 1. 25 y0 = −0. 25 · 0 + 1. 25 · 2 = 2. 5000 n = 1 ⇒ y2 = −0. 25 x1 + 1. 25 y1 = −0. 25 · 0.25 + 1. 25 · 2. 5 = 3. 0625 n = 2 ⇒ y3 = −0. 25 x2 + 1. 25 y2 = −0. 25 · 0.50 + 1. 25 · 3. 0625 = 3. 7031 n = 3 ⇒ y4 = −0. 25 x3 + 1. 25 y3 = −0. 25 · 0.75 + 1. 25 · 3. 7031 = 4. 4414 Observe a geometria: y4 y2

y1

y0

p

p

x0 = 0

x1 =

y3

p 1 4

x2 =

p 1 2

x3 =

p 3 4

x

x4 = 1

Apenas para efeitos de compara¸cão, a solu¸cão anal´ıtica (exata) da equa¸c˜ ao diferencial proposta é: y(x) = ex + x + 1. No gr´ afico fica assim: y

y

y(x)

p

p

2

1

1

yn (x)

p

p

2

p

p

p1

0

−1

y(x)

4.7183

p

4.7183

x

p

−1

p1

0

x

A tabela a seguir exibe a solu¸cão exata − calculada nos pontos da parti¸c˜ ao −, a solu¸c˜ ao encontrada pelo método de Euler e o erro local. n

xi

0

0. 00

Sol. exata y(xn )

Sol. aprox. yn

Erro = y(xn ) − yn

2. 0

2. 0

0. 0

1

0. 25

2. 5340

2. 5000

0. 0340

2

0. 50

3. 1487

3. 0625

0. 0862

3

0. 75

3. 8670

3. 7031

0. 1639

4

1. 00

4. 7183

4. 4414

0. 2769

330

A seguir temos o programa que implementar o método de Euler

Nota: A fun¸c˜ ao REPLACE encontra-se na p´ agina 72. Na tela direita temos a simula¸cão do exemplo visto anteriormente, compare n

xi

Sol. exata y(xn )

Sol. aprox. yn

Erro = y(xn ) − yn

0

0. 00

2. 0

2. 0

0. 0

1

0. 25

2. 5340

2. 5000

0. 0340

2

0. 50

3. 1487

3. 0625

0. 0862

3

0. 75

3. 8670

3. 7031

0. 1639

4

1. 00

4. 7183

4. 4414

0. 2769

Nas tela a seguir

temos um outro exemplo, alteramos a fun¸cão para f (x, y) = x − y + 2 na tela da direita rodamos o programa para [ a, b, ] = [ 0, 1 ], N = 10 e y0 = 2. Na saida temos [ 2., 2., 2.01, 2.029, 2.0561, 2.0905, 2.1314, 2.1783, 2.2305, 2.2874, 2.3487 ]

331

3.3.3

M´ etodo de Taylor de ordem p = 2

Truncando o desenvolvimento da solu¸cão y(xn ) do PVI, em série de Taylor, na ordem p = 2, obtemos um outro método ainda mais preciso que o de Euler: (eq. (3.22), p. 327) yn+1 = yn + h yn′ +

h2 ′′ y 2! n

(3.24)

No PVI (

y ′ = f (x, y) y(x0 ) = y0

(3.25)

fa¸camos a seguinte mudan¸ca de nota¸cão: z = y ′ = f (x, y). Sendo z = f (x, y) uma fun¸cão de x e y e y é uma fun¸cão x, isto é, y = y(x), podemos usar a fórmula (3.18): (p. 314) ∂f ∂f dy dz = + dx ∂x ∂y dx para obter:

d ′ ∂f ∂f dy (y ) = + = fx + fy y ′ dx ∂x ∂y dx

Ou ainda: yn′′ = fx (xn , yn ) + fy (xn , yn ) yn′ Sendo que de (3.25), temos: fornecem:

y′

n

(3.26)

= f (xn , yn ). Estes resultados em (3.24) nos

yn+1 = yn + h f (xn , yn ) +

h2 [ f (x , y ) + fy (xn , yn ) f (xn , yn ) ] 2! x n n

Exemplo: Calcule, pelo método de Taylor de ordem p = 2, a solu¸cão aproximada do seguinte PVI: ( y ′ = f (x, y) = x − y + 2 y(x0 ) = y(0) = 2

para x ∈ [ a, b ] = [ 0, 1 ] e N = 5 subintervalos. Solu¸ c˜ ao: Inicialmente temos: h=

b−a 1−0 1 = = = 0. 2 N 5 5

Para f (x, y) = x − y + 2, temos: fx (x, y) = 1 e fy (x, y) = −1. Portanto: f (x, y) = x − y + 2

fx (x, y) = 1

fy (x, y) = −1

⇒

f (xn , yn ) = xn − yn + 2

⇒

fx (xn , yn ) = 1

⇒

fy (xn , yn ) = −1 332

Substituindo estes resultados na equa¸cão deduzida anteriormente, temos: yn+1 = yn + h f (xn , yn ) +

h2 [ f (x , y ) + fy (xn , yn ) f (xn , yn ) ] 2! x n n

yn+1 = yn + h (xn − yn + 2) +

h2 [ 1 + (−1) · (xn − yn + 2) ] 2!

Substituindo o valor de h = 0.2 e simplificando, obtemos: yn+1 = 0.18 xn + 0.82 yn + 0.38 Então, para n = 0, 1, 2, 3, 4, obtemos: y1 = 0.18 x0 + 0.82 y0 + 0.38 = 0.18 · 0 + 0.82 · 2 + 0.38 = 2.0200 y2 = 0.18 x1 + 0.82 y1 + 0.38 = 0.18 · 0.2 + 0.82 · 2.0200 + 0.38 = 2.0724 y3 = 0.18 x2 + 0.82 y2 + 0.38 = 0.18 · 0.4 + 0.82 · 2.0724 + 0.38 = 2.1514 y4 = 0.18 x3 + 0.82 y3 + 0.38 = 0.18 · 0.6 + 0.82 · 2.1514 + 0.38 = 2.2521 y5 = 0.18 x4 + 0.82 y4 + 0.38 = 0.18 · 0.8 + 0.82 · 2.2521 + 0.38 = 2.3707 O programa a seguir implementa o método de Taylor de ordem p = 2:

Na tela da direita resolvemos o exemplo anterior. Vejamos mais um exemplo de aplica¸cão do programa. Exemplo: Calcule, pelo método de Taylor de ordem p = 2, a solu¸cão aproximada do seguinte PVI:  2y  + (x + 1)3  y ′ = f (x, y) = x+1   y(x0 ) = y(0) = 3

para x ∈ [ a, b ] = [ 0, 1 ] e h = 0.2.

333

Solu¸ c˜ ao: Temos N = b−a = (1 − 0)/0.2 = 5. Alteramos o in´ıcio do h programa anterior para que possamos entrar com a fun¸cão, assim

Na tela da direita resolvemos o exemplo, o programa nos devolve o seguinte vetor: [ 3.0000 4.6200 6.7779 9.5976 13.2222 17.8141 ] A solu¸c˜ ao exata do PVI é dada por: y(x) = Por exemplo, y(1) =

3.3.4

1 2

1 [ (x + 1)4 + 5(x + 1)2 ] 2

[ (1 + 1)4 + 5(1 + 1)2 ] = 18.

M´ etodos de Runge-Kutta

Se tentarmos prosseguir no método de taylor de ordem p (p. 327) surgem alguns incovenientes computacionais; por exemplo, deveremos tratar simultˆ aneamente com várias fun¸cões − f e suas derivadas −, o que aumenta significativamente o espa¸co ocupado na mem´ oria do computador. Apenas para contextualizar, se, por teimosia, formos considerar a potência seguinte (p = 3), além da equa¸c˜ ao (3.26) (p. 332), teremos ainda que considerar yn′′′ = fxx + 2fxy f + f 2 fyy + fy fx + fy2 f (x , y ) n

n

que, convenhamos, até para a HP Prime torna-se oneroso.

Estaremos agora considerando uma outra classe de métodos para a resolu¸c˜ ao do PVI: Métodos de Runge-Kutta∗ . Esses métodos possuem precisão equivalentes aos métodos de Taylor com a vantagem de que evitam a necessidade do c´ alculo de derivadas de ordem elevada.

∗

Carl David Tolmé Runge (1856-1927) e Wilhelm Kutta (1867-1944).

334

M´ etodo de Runge-Kutta de ordem 1 O método de Runge-Kutta mais simples é o de primeira ordem dado por: yn+1 = yn + h k1 ,

k1 = f (xn , yn )

Ora, mas este método nada mais é que o de Euler dado à p. 327.

M´ etodo de Runge-Kutta de ordem 2 Este método consiste no seguinte algoritmo∗ :  y = yn + h2 (k1 + k2 )    n+1  k1 = f (xn , yn )     k2 = f (xn + h, yn + h k1 )

o qual também é conhecido como m´ etodo de Euler aperfei¸ coado. O programa seguinte implementa o método em questão

Na tela da direita resolvemos o seguinte Exemplo: Usando o método de Euler aperfei¸coado, calcule a solu¸cão do PVI dado por: ( y ′ = f (x, y) = x − y + 2 y(x0 ) = y(0) = 2

para x ∈ [ a, b ] = [ 0, 1 ] e N = 5 subintervalos.

∗ Para a dedu¸c˜ ao (ou justificativa) deste, e dos métodos seguintes, o leitor poder´ a consultar alguma das obras listadas nas referências.

335

M´ etodo de Euler modificado Um outro método de Runge-Kutta também bastante utilizado é:   yn+1 = yn + h f xn + h2 , yn + h2 k1 

k1 = f (xn , yn )

o qual é conhecido como método de Euler modificado. O programa a seguir implementa este método

Nota: Observe que, diferentemente dos programas anteriores, agora estaõ e n˜ ao como express˜ ao (p. 24) − tanto faz. mos definindo f como fun¸ca Na tela da direita resolvemos o

Exemplo: Usando o método de Euler modificado, calcule a solu¸cão do PVI dado por: ( y ′ = f (x, y) = x − y + 2 y(x0 ) = y(0) = 2


Utilizando a solu¸c˜ ao exata, y(x) = e−x + x + 1, construimos a seguinte tabela − comparando os diversos métodos. n

xi

Sol. exata

Euler

Euler modificado

Euler

0

0. 0

2. 0

2. 0

2. 0

2. 0

2. 0

1

0. 2

2. 0187

2. 0000

2. 0200

2. 0200

2. 0200

2

0. 4

2. 0703

2. 0400

2. 0724

2. 0724

2. 0724

3

0. 6

2. 1488

2. 1120

2. 1514

2. 1514

2. 1514

4

0. 8

2. 2493

2. 2096

2. 2521

2. 2521

2. 2521

5

1. 0

2. 3679

2. 3277

2. 3707

2. 3707

2. 3707

aperfei¸coado

Taylor

ordem 2

Inferimos que os métodos Euler modificado, Euler aperfei¸coado e Taylor de ordem 2 nos fornecem os mesmos resultados; comparando com a solu¸cão exata vemos que estes três métodos s˜ ao superiores ao de Euler (Taylor de ordem 1), como era de se esperar.

336

M´ etodo de Runge-Kutta de ordem 3 Este método consiste no seguinte algoritmo:   yn+1 = yn + h9 (2k1 + 3k2 + 4k3 )        k1 = f (xn , yn )        

k2 = f (xn + 12 h, yn +

1 2 hk1 )

k3 = f (xn + 34 h, yn +

3 4 hk2 )

O programa seguinte implementa o método em questão

Na tela da direita resolvemos o Exemplo: Usando o método de Runge-Kutta de ordem 3, calcule a solu¸caõ do PVI dado por: ( y ′ = f (x, y) = x − y + 2 y(x0 ) = y(0) = 2


337

M´ etodo de Runge-Kutta de ordem 4 Dentre os métodos de Runge-Kutta o mais popular é o de ordem 4, dado a seguir:  y = yn + h6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )    n+1      k1 = f (xn , yn )    k2 = f (xn + 12 h, yn + 21 h k1 )       k3 = f (xn + 12 h, yn + 21 h k2 )      k4 = f (xn + h, yn + hk3 ) Este método é muito difundido nas rotinas de cálculo de computadores. O programa seguinte implementa o método em questão

Na tela da direita resolvemos o Exemplo: Usando o método de Runge-Kutta de ordem 4, calcule a solu¸cão do PVI dado por: ( y ′ = f (x, y) = x − y + 2 y(x0 ) = y(0) = 2


338

Utilizando a solu¸c˜ ao exata, y(x) = e−x + x + 1, construimos a seguinte tabela − comparando alguns métodos, incluindo os dois u ´ ltimos de Runge-Kutta.

n

xi

Sol. exata

Euler modificado

ordem 2

Taylor

Runge-Kutta Runge-Kutta

ordem 3

0

0. 0

2. 0

2. 0

2. 0

2. 0

ordem 4 2. 0

1

0. 2

2. 0187

2. 0200

2. 0200

2. 0187

2. 0187

2

0. 4

2. 0703

2. 0724

2. 0724

2. 0702

2. 0703

3

0. 6

2. 1488

2. 2514

2. 1514

2. 1487

2. 1488

4

0. 8

2. 2493

2. 2521

2. 2521

2. 2492

2. 2493

5

1. 0

2. 3679

2. 3707

2. 3707

2. 3677

2. 3679

A melhor precisão foi obtida com o Runge-Kutta de ordem 4 que coincide com a solu¸c˜ ao exata − com quatro casas decimais.

Vejamos mais um exemplo de aplica¸cão do programa. Exemplo: Usando o método de Runge-Kutta de ordem 4, calcule a solu¸caõ do PVI dado por:  2y  + (x + 1)3  y ′ = f (x, y) = x+1   y(x0 ) = y(0) = 3

para x ∈ [ a, b ] = [ 0, 1 ] e h = 0.2.

Solu¸ c˜ ao: (Re)declarando a fun¸c˜ ao no in´ıcio do programa, assim

executando o programa com os dados do problema teremos na saida a tela da direita: [ 3.0000 4.6365 6.8203 9.6759 13.3476 17.9984 ]

339

Considerando a solu¸cão exata

y(x) =

1 2

[ (x + 1)4 + 5(x + 1)2 ]

temos: yn (x) : [ 3.0000 4.6365 6.8203 9.6759 13.3476 17.9984 ] y(x) : [ 3.0000 4.6368 6.8208 9.6768 13.3488 18.0000 ]

Compare com Taylor (p = 2) (que envolve derivadas): yn (x) : [ 3.0000 4.6200 6.7779 9.5976 13.2222 17.8141 ] y(x) : [ 3.0000 4.6368 6.8208 9.6768 13.3488 18.0000 ]

340

(p. 333)

Referências Bibliográficas

[1] Manual: Calculadora Gr´ afica HP Prime. [2] Barroso, Leˆ onidas C. et alii. C´ alculo Numérico (com aplica¸co ˜es), 2a edi¸cão. S˜ ao Paulo: editora HARBRA ltda, 1987. [3] Ruggiero, Márcia A. Gomes & Lopes, Vera L´ ucia da Rocha. C´ alculo ao Paulo: Numérico: aspectos te´ oricos e computacionais, 2a edi¸cão. S˜ Pearson Makron Books, 1996. [4] Arenales, Selma & Darezzo, Artur. C´ alculo Numérico: Aprendizagem com Apoio de Software. S˜ ao Paulo: Thomson Learning, 2008. [5] Cl´ audio, Dalc´ıdio Moraes & Marins, Jussara Maria. C´ alculo Numérico ao Paulo: Atlas, 1994. Computacional: teoria e pr´ atica, 2a edi¸cão. S˜ [6] Silva, Gentil Lopes. Novas Sequências Aritméticas e Geométricas (Com programa¸ca õ na HP Prime ). 2 a Edi¸cão, 2016. Publica¸cão Eletrônica. [7] Silva, Gentil Lopes. An´ alise Real (com espa¸cos métricos). 1 a Edi¸cão, 2017. Publica¸c˜ ao Eletrônica.

341

Índice Remissivo

´ Algebra abstrata, Boyer, 25 A curva de Peano, 205 A Métrica Quˆ antica, 201 A régua quântica, 203 Algoritmo, plota ponto no R3 , 251 Binˆ omio de Newton, 239 Boole, 25

Email Cleber, 97 Eva mordeu a ma¸cã, 35 Fórmula de Taylor, 315 Fórmula inédita, 172 Fun¸cão Max, 18 Fun¸cão Min, 18

Gaston Bachelard Brusca Muta¸cão, 200 Chaitin, 7 Gentil Combina¸c˜ oes, 100, 195 Algoritmo bin´ ario, 207 Concatenando map, 143 Fórmula bin´ aria, 208 Cubo hiperm´ agico, 233 Fórmula inédita, 172 Curva de Peano no cubo, 229, 230, George, Boole, 25 236 Gr´ aficos, 65 Gregory Chaitin, 7 Defini¸c˜ ao Curva de Peano, 205 HP PRIME quadrado hiperm´ agico, 220 Adendo (Resetar), 22 Demultiplexa¸c˜ ao, 209 apply, 71 Desafios Binômio de Newton, 240 Um Belo Desafio, 34 Caixa de Ferramentas, 32 -II, 81 FOR, 52, 53 Desenvolvimento N -´ ario, 103 FOR-STEP, 54 Diferen¸ca dividida, 269 Fra¸cão irredut´ıvel (limite), 88 Diferen¸ca Finita, 277 Fra¸cão parcial, 88 IF - THEN - ELSE - END, 63, E.D.O. 64 Método de Euler, 327 IF - THEN - END, 62 Métodos de Runge-Kutta, 334 Listas, 28 PVI, 324 MAKELIST, 30 Taylor p = 2, 332 Email Ariovaldo, 96 MAKEMAT, 38 342

map, 76 mapii, 77 Matemática Financeira, 237 Matrizes, 35 Menus Toolbox, 32 N´ umero inteiro, 90 Polar-Complexo, 88 Polar-Retangular, 88 Polinˆ omio de Taylor, 319, 321 Polinˆ omios, 82 remove, 78, 243 REPLACE, 72 Resetar vari´ avel, 22 SIZE (distintos), 40 Solve, 79 Somat´ orios e produt´ orios, 41 Tabela seno, 73 Tabela-Resumo, 80 Vetores, 40 WHILE, 59, 60 Zip, 77

Matriz Binária, 103 Matriz digital, 198 Matriz Tern´ aria, 105 Multiplexa¸cão, 210 Norbert Wiener, 255 Peacock, 25 Plotando gr´ aficos, 65 Polinˆ omio de Taylor de Ordem n, 322 Produt´ orios, 44 Produto dos termos P.A., 58 Produto termos P.A., 44 Quadrado hiperm´ agico, 220 Régua quântica, 203, 204 Réguas de C´ alculo, 254 Regra da Cadeia, 314 Resolver complexa, 89 Runge-Kutta, 334

Imagem real e imagem virtual, 224, 225 Imagem virtual, 225 Integra¸c˜ ao Dupla, 307 Primeira regra de Simpson, 291 Quadratura gaussiana, 295 Regra dos trapézios, 288 Segunda regra de Simpson, 293 Interpola¸c˜ ao De Gregory-Newton, 277 De Lagrange, 261 De Newton, 269 Fórmula de Gregory-Newton, 283 Fórmula de Newton, 274 polinomial, 257

Sequências duplas, 107 Subrotinas, 50 Um pequeno interregno cultural, 199 Voltaire, 202 Zeros, 89 Zeros de complexa, 89

Lineariza¸c˜ ao de sequências duplas, 120 Lineariza¸c˜ ao de sequências triplas, 151 Métrica Quˆ antica, 201 Maharaj, 254 Matriz N -´ aria, 106 343

Gentil Lopes - LIVRO - Programando a HP Prime - Com Aplicações

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