APUNTES DE APOYO A LOS TRABAJOS PRÁCTICOS (Segundo Cuatrimestre) Cuatrimestre)
Prof. Ing. Brandsen M. GRONDA Prof. Exp. Laura G. de LUCIANI
CLASE TEÓRICA Nº 1 Eleen!"s ne#esar$"s % - L&'$( : Para los traa!os a l"pi# el mismo dee tener la punta $on%enientemente afilada & su dure#a la ade$uada para el os'ue!o o ien para la termina$in.
-
Confor Conforme me a las ne$esid ne$esidade adess del diu!o diu!o se utili# utili#ar" ar"n n es#)adras* re+las* #"'&s* e!#.
Cara#!er,s!$#as de l"s !ra("s % Las l*neas tendr"n $ara$ter*sti$as diferen$iales $onforme dean representar : a) L*neas L*neas del o!eto o!eto a la %ist %ista. a. ) L*neas L*neas del o!eto o!eto o$ulta o$ultas. s. $) L*neas L*neas 'ue repres represent entan an e!es e!es.. d) L*neas L*neas 'ue indi'u indi'uen en $ort $ortes. es. e) L*neas L*neas prin$ipales prin$ipales & auxilia auxiliares res del diu!o diu!o (Norma (Norma I+A, -/0) -/0) L,nea de !ra(" #"n!$n)" % Se utili#an para representar aristas %isiles del o!eto. Cuan Cuando do es ne$esa ne$esari rio o se util utili# i#an an tra#o tra#oss de ma& ma&or espe espeso sorr para para las las l*ne l*neas as prin$ipales & de menor espesor para las l*neas se$undarias o $omplementarias del diu!o. E!emplo : L,nea de !ra("s % Se utili#a para representar aristas & $ontornos no %isiles & l*neas $on%en$ionales (n1$leo de tornillos $ir$unferen$ias de ra*# en ruedas dentadas). E!emplo : L,ne L,neaa de !ra(" !ra(" - ')n! ')n!" " % Se utili#a utili#a para para represen representar tar e!es e!es & $ir$un $ir$unfer feren$ en$ias ias primiti%os. 2ami3n 2ami3n para representar las tra#as de planos en Geometr*a 4es$ripti%a. E!emplo : L,nea de !ra(" - d"s ')n!"s % Se utili#a para indi$ar indi$ar $ortes. $ortes. E!emplo :
L&$na Nº 1 % Ra-ad"s - re!$#)lad"s D$ens$n /0"ra!" de la l&$na % 056 x -0/ mm (exterior)7 89 x 066 mm (interior). R!)l" % 4eer" diu!arse primero en la o!a de papel milimetrado & despu3s a$erlo en la l"mina de traa!os pr"$ti$os. 4imensin de los $ontornos : ;/ x / mm. Cuadro donde dee $onsignarse
?> (- di%isiones) : / x 8/ mm. Cuadro para $onsignar Es$ala (0 di%isiones) : 8/ x 0/ mm. Cuadro para $onsignar 2ema (0 di%isiones) : 8/ x 0/ mm. Cuadro para $onsignar de L@,INA (0 di%isiones) -/ x 0/ mm. Re#a)d"s a "2ser3ar 'ara la e4e#)#$n del d$2)4"
Una %e# diu!ados los ;0 $uadros $onforme a las indi$a$iones 'ue se dar"n en $lase dee tenerse espe$ial $uidado 'ue la distan$ia de las l*neas entre s* sea de mm. Para ello deer" tra#arse primero una l*nea gu*a $on la in$lina$in angular indi$ada en la referen$ia. Posteriormente se ui$ar" la es$uadra de la manera sealada en el os'ue!o para el tra#ado de una l*nea auxiliar (a 5/> de la l*nea gu*a) donde se mar$ar"n los mm sealados pre$edentemente. Por esos puntos deer"n pasar las restantes l*neas 'ue $omponen el diu!o.
/1 Es$uadra /5 L*nea gu*a /6 L*nea auxiliar
/5 /1 B/>
/6
R!)l" / d$ens$"nes 178
9e#:a %
9a#. de C$en#$as E;a#!as Na!)rales - A+r$ens)ra
Al)n" %
<º Bº Es#ala %
Carrera % In+en$er,a Ele#!rn$#a Tea %
LAMINA Nº
68
=8
>8
CLASE TEÓRICA Nº 5 N"#$"nes +enerales s"2re 'r"-e##$"nes para 'ue exista exista una pro&e$$ pro&e$$in in es ne$esa ne$esario rio 'ue Eleen!"s Eleen!"s #"'"nen #"'"nen!es !es % para inter%engan $uatro elementos fundamentales a saer : a) Cent Centro ro de de pro&e pro&e$$ $$i in n ) +a& +a&os pro&e pro&e$t $tan ante tess $) !e !eto to a pro pro&e &e$t $tar ar d) planos planos de pro&e pro&e$$i $$in n Conforme sea la ui$a$in de estos estos elementos entre s* $onfigurar"n $onfigurar"n los %ariados sistemas de pro&e$$in 'ue iremos anali#ando en el desarrollo de las $lases.
B1
B 8
A
C
A1
C1
D D1 O $entro de pro&e$$in Ra-"s 'r"-e#!an!es (??;)7 (44;)......... O24e!" (A?C4) O24e!" 'r"-e#!ad" (A;?;C;4;) Plan" de 'r"-e##$n Pr"-e##$n "r!"+"nal : (,NGE) Condi$iones 'ue dee reunir : ;) Centro Centro de pro&e$$i pro&e$$in n ui$ado ui$ado en en el infinit infinito o 0) +a&os +a&os pro&e pro&e$tant $tantes es parale paralelos los entre s* 8) +a&os +a&os pro&e$tant pro&e$tantes es perpendi$u perpendi$ulares lares a los planos planos de pro&e$$i pro&e$$in n
4 ? A 4;
?; A;
Pr"-e##$"nes Pr"-e##$"nes de ')n!"s en 0$+)ra es'a#$al - des#r$'!$3a Cuadrante II
Cuadrante I
85
85 85
8
T 88
81
8
L
T
L π;
Cuadrante III
81
Cuadrante I=
π0
(El punto / est" en el $uadrante I)
9$+)ra es'a#$al
9$+)ra des#r$'!$3a
2al $omo est" representado el punto en la figura espa$ial & des$ripti%a puede extraerse 'ue para pasar de la figura espa$ial a una des$ripti%a deer" aatirse el plano π0 sore el plano π; teniendo $omo e!e de giro a la 2 (l*nea de tierra). 4e esa manera 'uedar"n alineados / ; D / D /0 $omo se puede apre$iar en la figura des$ripti%a. 4ee desta$arse desta$arse 'ue en en la representa representa$in $in espa$ial espa$ial apare$e apare$e el el o!eto o!eto (/). (/). En En la representa representa$in $in des$ripti%a des$ripti%a solamente solamente se traa!a $on el plano π0 &a aatido & las pro&e$$iones /; & /0 del punto. Cuadrante II 8
81
Cuadrante I
85 81 85
T
85
88
88
L
L π;
Cuadrante III
Cuadrante I=
π0
9$+)ra es'a#$al
9$+)ra des#r$'!$3a
El punto (/) est" en el $uadrante II
T
π0
O1
π0
O1 O8
L
T
L
88
T
;
85 O
O5 π;
9$+)ra es'a#$al
9$+)ra des#r$'!$3a
Pro&e$$in del punto (/) ui$ado en el 8> $uadrante Como se podr" apre$iar al produ$irse la rota$in del plano %erti$al teniendo $omo e!e la l*nea de tierra asta soreponerse al plano ori#ontal (aatimiento) / 0 'uedar" por dea!o de la l*nea de tierra. sea 'ue finalmente esta pro&e$$in representada en
π0 π0
T π;
L
81 L 85
88
81?85 π;
Pro&e$$in del punto (/) ui$ado en el -> $uadrante En este 1ltimo $aso el ale!amiento (distan$ia de / al plano %erti$al) tiene la misma longitud 'ue la $ota (distan$ia de / al plano ori#ontal por lo tanto en la representa$in en
Clase !er$#a Nº 6 Pr"-e##$"nes de re#!as - se+en!"s. P"s$#$"nes 'ar!$#)lares /M"n+e
A5
0
B5
A
B
B5
A5
T π;
A1 L
L
B1
T B1
A1
π0
π;
/1
/5
Pro&e$$in del segmento A? en figura espa$ial (;) & des$ripti%a (0) 2ra#as de una re$ta : (Primer Cuadrante) 4efini$in : Se denomina tra#as de una re$ta a a'uellos puntos en 'ue una determinada re$ta $orta a los planos de pro&e$$in. 0 Cuadrante
; Cuadrante
<5
0
T
<5
π0
<5
<1
@5
@5
<1
π;
L
@?@1
@1
8 Cuadrante
π;
- Cuadrante Como se podr" apre$iar =F=0 es la tra#a %erti$al de una re$ta. F ; es la tra#a ori#ontal. 0 es la pro&e$$in %erti$al de la tra#a ori#ontal. A su %e# = ; es la pro&e$$in ori#ontal de la tra#a %erti$al.
a5
a5 a <5 @1
0
T
@1
a1
<1 @5
π;
<5
@5 <1 L
T
L
a1
π0
π;
8 Cuadrante
0 ; Cuad. Cuad.
Segmento de re$ta (AH?) paralelo al plano ori#ontal
π0
B5 A5
π0
A
B
A5
B5
T L
B1
A1
L
T A1 B1
;
π;
Pro&e$$in de dos re$tas 'ue se $ortan
0
L
a0 a 0 0 a ; O 2 ; ;
T π;
π0
a0 0 0
L ;
T
a; ;
π;
π0 B2 B
A2
A?C4 al plano ori#ontal por lo tanto su pro&e$$in sore Pi; es una re$ta.
A
D2 T D C2 C
B1=D1
L
Pro&e$$in de una figura plana
A1=C1
π1
Como podr" apre$iarse se pro$ede de igual manera 'ue para la pro&e$$in de puntos & re$tas.
π0
π8
=ista anterior
%ista lateral i#'uierda (aatida) 0 8 -
;
0
L
T B
π;
; 0 8-
π-
Pro&e$$in de una pir"mide exagonal %ista superior
π; F Plano ori#ontal π0 F Plano %erti$al π8 F Plano de perfil 'ue es %erti$al
tami3n & perpendi$ular tanto π; $omo a π0.
2+AJAS 4E UN PLAN Se denomina tra#a de un plano $ual'uiera α a las re$tas determinadas por la interse$$in de este plano α $on los planos de pro&e$$in π; ori#ontal & π0 %erti$al. α0
L
T α;
+EC2A PE+2ENECIEN2E A UN PLAN α
α2 a2
Va
L Ha
a1
Va = Traza vertical de la recta α 2 = traza vertical del plano α1 = horiz..del plano T Ha = traza horizontal de la recta
α1
Para 'ue una re$ta pertene#$a a un plano α deen $oin$idir la tra#a de esa re$ta $on la tra#a del plano men$ionado.
N"ra IRAM >785 DIBUJO TCNICO L,neas No%iemre de ;56-
;. N+,AS A CNSUL2A+ a. Para la apli$a$in de esta norma no es ne$esario la $onsulta espe$*fi$a de ninguna otra. 0. ?KE2 a. Estale$er las $ara$ter*sti$as de las l*neas a utili#ar en diu!o t3$ni$o. 8. CN4ICINES GENE+ALES a. 2IPS. Los tipos de l*neas la propor$in de sus espesores & su apli$a$in ser"n los indi$ados en la tala I
LINEAS TIPO
REPRESENTACION
DESIGNACION ESPESOR PROPORCION
A
Continua
gruesa
;
B
$ontinua
fina
/0
APLICACIÓN
Contorno =isile ;. L*nea de $ola & auxiliares 0. +a&ados en $ortes & se$$iones 8. $ontornos & ordes imaginarios -. $ontornos de se$$iones reatidas interpoladas et$.
C
Interrup$in en "reas grandes
D
Interrup$in par$iales
E
4e tra#os
media
/
9
2ra#o largo & tra#o $orto
fina
/0
G
2ra#o largo Gruesa & tra#o $orto & media 2ra#o largo & tra#o $orto gruesa
@
; / ;
en
$ortes
Contornos o$ultos ;. E!es de simetr*a 0. Posi$iones extremas de pie#as m%iles 8. L*neas de $entros & $ir$unferen$ias primiti%as de engrana!es Indi$a$iones de $ortes & se$$iones. Indi$a$in de in$remento o demas*as.
Corresponde a la re%isin de la edi$in de no%iemre de ;56; 8.0 CA+AC2E+IS2ICAS. Las dimensiones de los tra#os & los grupos est"n indi$ados en la 2ala II. 8.8AG+UPA,IEN2. En $ada diu!o e$o en una misma es$ala se usar" la propor$in 'ue determina $ada grupo. La ele$$in del mismo se asar" en las $ara$ter*sti$as de la representa$in a e!e$utar & de la es$ala adoptada. 8.-LMNEAS 8.-.; L*nea $ontinua AO. se utili#ar" para la representa$in de $ontornos & aristas %isiles.
8.-.0 L*nea $ontinua ?O. Se utili#ar" para la representa$in de l*nea de $ota l*neas auxiliares de $ota ra&ados en se$$iones & $ortes di"metro interior de ros$a orde & empalmes redondeados & en los $asos 'ue su uso se $onsidere $on%eniente. 8.-.8 L*nea EO. Se utili#ar" para la presenta$in de $ontornos & aristas no %isiles & en todos los $asos en 'ue su uso se $onsidere $on%eniente. 8.-.- L*nea
ACOTACIÓN DE PLANOS NORMAS A CONSULTAR I+A, -/0 -8//;Q/8/
L*neas S*molos de perfiles Sistemas de 2oleran$ias & A!ustes Cara$ter*sti$as de las ros$as
C2A : =alor num3ri$o de una medida. LMNEA 4E C2A : L*nea $on la 'ue se indi$a una $ota. ;) 0) 8) -) )
A$ota$in en $adena A$ota$in en paralelo A$ota$in $ominada A$ota$in progresi%a A$ota$in por $oordenadas
Unidad de medida : ser" en mm
B aproximadamente en rela$in a las restantes a efe$tos de $larifi$ar la a$ota$in en $asos parti$ulares. Cota : =alor num3ri$o 'ue se ui$a sore la l*nea de $ota (parte media) o en las formas 'ue se indi$an $uando las $ara$ter*sti$as del $uerpo as* lo a$onse!an. Para el $aso de las l*neas 'ue se $ortan (e!es) : 4ee e%itarse ui$ar los n1meros $ortandoO l*neas.
4etalles a oser%ar : Las l*neas de $ota deen ser paralelas a la l*nea 'ue dee medir. -.;6 DETALLES . Los detalles de una pie#a 'ue no puedan ser representados ni a$otados $laramente se diu!ar"n aparte en ma&or es$ala. El detalle a ampliar se $ir$uns$riir" $on un $*r$ulo de tra#o fino & $on una letra de identifi$a$in. -.;9 METODOS PARA ACOTAR -.;9.; A#"!a#$n en #adena -.;9.;.;. La figura 9 indi$a una $apa de forma re$tangular. La apli$a$in de la a$ota$in en $adena est" referida a las $otas de sentido longitudinal superior e inferior & la disposi$in de las par$iales de B/ mm dee ir en la parte inferior.
-.;9.;.0. La a$ota$in en $adena puede efe$tuarse en forma ori#ontal %erti$al o in$linada sin %ariar las $ondi$iones del m3todo -.;9.;.8. La pie#a $il*ndri$a 'ue indi$a la figura 96 es otro e!emplo de a$ota$in en $adena : la superfi$ie exterior est" a$otada en la parte superior de la pie#a mientras las longitudes 'ue determinan sus formas interiores an sido $olo$adas en la parte inferior de la representa$in. -.;9.;.-. En el e!e de transmisin las $otas indi$adas en la parte superior del e!e se refiere a las longitudes de los distintos mientras en la inferior se determinan la ui$a$in de los di"metros & detalles. -.;9.0 A#"!a#$n en 'aralel" -.;9.0.;. En la pie#a (fig.95) se a indi$ado una $antidad de agu!eros fresados di$a pla$a tiene forma re$tangular siendo ne$esario determinar medidas de largo & de an$o. Se a elegido el "ngulo superior i#'uierdo $omo punto ini$ial para las distintas medidas. -.;9.0.0. La figura 5/ representa un u!e7 las medidas 'ue se indi$an son las distintas longitudes 'ue $orresponden a los diferentes rea!es 'ue es ne$esario me$ani#ar.
4.18.3 Acotación combinada. Eta !or"a de acotar e la aplicaci#n i"$lt%nea de lo do ite"a &a decripto' en !or"a independiente' en cadena & en paralelo.
-.;9.-. A#"!a#$n 'r"+res$3a -.;9.-.;. Las $otas progresi%as se representar"n por l*neas (tipo ?O I+A, -/0) terminadas $on fle$as 'ue parten desde las ases de medidas o referen$ias.
-.;9.-.0. Las $otas $orrespondientes se $olo$ar"n desde las ases de medidas & se interrumpir"n en las l*neas auxiliares 'ue $orresponden a las su$esi%as dimensiones 'ue se desean a$otar. 4esde $ada una de 3stas l*neas auxiliares se $omen#ar" a a$otar nue%amente. -.;9.-.8. Para simplifi$ar la indi$a$in de $otas se apli$a la a$ota$in progresi%a (fig.50)7 en el $aso presente se indi$ar" el $omien#o o $ero $on un punto notale o ennegre$ido & las medidas se es$riir"n en sentido %erti$al.
NORMA IRAM >787 DIBUJO TCNICO Es#alas l$neales 'ara #"ns!r)##$"nes #$3$les - e#&n$#as 1. NORMAS A CONSULTAR ;.; Para la apli$a$in de esta norma no es ne$esario la $onsulta espe$*fi$a de ninguna otra. 5 OBJETO 0.;Estale$e las es$alas lineales 'ue deen usarse en el diu!o t3$ni$o para $onstru$$iones $i%iles & me$"ni$as. 8. DE9INICIONES 8.;. Es#ala. +ela$in aritm3ti$a en la $ual el denominador es la $antidad a representar & el numerador la longitud del segmento 'ue la representa. 8.0. Es#ala l$neal. Es$ala en la 'ue la $antidad a representar $orresponde a una magnitud lineal. 8.8. Es#ala na!)ral. Es$ala lineal en la 'ue el segmento a representar & el 'ue lo representa son iguales. 8.-. Es#ala de red)##$n. Es$ala lineal en la 'ue el segmento a representar es ma&or 'ue el 'ue representa. 8.. Es#ala de a'l$a#$n. Es$ala lineal en la 'ue el segmento a representar es menor 'ue el 'ue lo representa.
>.
CONDICIONES GENERALES -.;. En las es$alas lineales la unidad de medida del numerador & denominador ser" la misma deiendo 'uedar en $onse$uen$ia indi$ada en la es$ala solamente por rela$in de los n1meros simplifi$ada de modo 'ue el menor sea la unidad. E!emplo : -.0. -.8.
-.-. -..
;/ $m // $m
F
; $m / $m
F
; /
F
1%78
Las es$alas lineales 'ue se usar"n son las indi$adas en la 2ala I En el rtulo del diu!o se indi$ar"n todas las es$alas usadas en el mismo desta$"ndose la es$ala prin$ipal $on n1meros de ma&or tamao. Las es$alas se$undarias se indi$ar"n adem"s !unto a los diu!os $orrespondientes. Se sura&ar"n las $olas parti$ulares de $ual'uier %ista 'ue no est3n diu!adas a la misma es$ala 'ue las dem"s de esa misma %ista. No se indi$ar"n en el diu!o las dimensiones no espe$ifi$adas en el mismo.
Ta2la I
Clase
+edu$$in
C"ns!r)##$"nes C"ns!r)##$"nes #$3$les e#&n$#as Es#alas Es#alas
;: ; : ;/ ; : 0/ ; : / ; : ;// ; : 0// ; : // ; : ;///
; : 0 ; : / ; : ;// ; : 0// ; : // ; : ;/// ; : 0///
Natural
;:;
;:;
Amplia$in
0:; :; ;/ : ;
0:; :; ;/ : ;
N"ra IRAM >786 DIBUJO TCNICO Le!ras - Ner"s 1. NORMAS A CONSULTAR ;.; Para la apli$a$in de esta norma no es ne$esario la $onsulta espe$*fi$a de ninguna otra. 5. OBJETO 0.; Estale$er los tamaos & $ara$ter*sti$as de las letras & n1meros a utili#ar en diu!o t3$ni$o. 6. CONDICIONES GENERALES 8.; AL2U+AS ESPES+ES 8.;.; Las alturas nominales de las letras & n1meros de los espesores optati%os AO & ?O ser"n los indi$ados en la 2ala I. 8.;.0 Las letras ma&1s$ulas min1s$ulas los n1meros & los renglones se rela$ionar"n entre s* ( o 5/> (
5*7
6*7
7
18
1>
Espesor del A (;Q;- ) 2ra#o (d) (;Q;/ )
/;9 /0
/0 /8
/8 /
/ /6
/6 ;
; ;-
58 ;0
Ta2la II Cara#!er,s!$#as
Altura de la letra ma&1s$ula Altura de la letra min1s$ula 4istan$ia entre las letras seg1n el espa$io disponile 4istan$ia entre renglones
C"la
Es'es"r AF BF
$ a
; /6 /;-
; /6 /0
;B
;B
N"ra IRAM >78
DIBUJO TCNICO Re'resen!a#$n de se##$"nes - #"r!es en d$2)4" e#&n$#" 1. NORMAS A CONSULTAR IRAM -/; -/0 -/5
TEMA 4efini$in de %istas m3todo IS (E) L*neas +a&ados indi$adores de se$$iones & $ortes
5. OBJETO 0.; Estale$er las defini$iones generales sore se$$iones & $ortes e indi$a$iones de $ortes en diu!o me$"ni$o. 6. DE9INICIONES Se##$n. . CONDICIONES GENERALES -.; IN4ICACINES 4E PLAN 4E C+2E -.;.;. Los planos de $orte se indi$ar"n mediante l*neas de tra#os largos & tra#os $ortos $u&os extremos se diu!ar"n $on tra#os gruesos & los tra#os restantes ser"n de grosor medio (l*nea GO D I+A, -/0). -.;.0. La l*nea de indi$a$in de $orte podr" ser re$ta 'uerada o $ur%a. (
fle$as 'ue se anteponen a la l*nea de $orte indi$ando la dire$$in & sentido de la %isual. En todos los $asos las letras se es$riir"n en la posi$in de la le$tura normal & preferentemente sore la l*nea de la fle$a o en el $ostado de ella ( sore el lugar mismo de se$$ionamiento & preferentemente la se$$in interpolada no ser" atra%esada por ninguna l*nea llena (
INTRODUCCIÓN Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la más compleja maquinaria, planta industrial, obra civil, etc, son concebidos inicialmente en forma mental, y antes de su fabricación deben ser descritos con toda precisión para resolver con exactitud cualquier problema relacionado con su forma, tamaño y funcionalidad. En respuesta a esta necesidad surge la Geometría Descriptiva, la cual se encarga de definir correctamente las tcnicas de la representación plana !proyección" de los objetos tridimensionales antes ó despus de su existencia real. #e manera que estudiar $eometr%a #escriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, es describir la forma de& tornillos, resortes, engranajes' relojes' sillas' mesas' televisores' carros' casas' urbani(aciones, carreteras, represas, planetas, galaxias, en fin, todos los objetos f%sicos que nos rodean pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de los mismos, y es la $eometr%a #escriptiva la que define las reglas que rigen la elaboración de estas proyecciones.
BREVE RESEÑA HISTÓRICA )unque los hombres no han podido ponerse de acuerdo para llegar a un lenguaje mundial de palabras y frases, ha existido un lenguaje realmente universal desde los tiempos mas remotos& el lenguaje gráfico. *a idea de comunicar los pensamientos de una persona a otra por medio de figuras existió desde la antiguedad. Esto se evidencia en las figuras sobre pieles, piedras, paredes de cavernas, etc. hechas por los hombres primitivos para registrar sus ideas. En cuanto a la escritura, los registros mas antiguos son figuras como lo prueban los jerogl%ficos egipcios. +as adelante, estas figuras fueron simplificadas y transformadas en los s%mbolos abstractos que dieron origen a la escritura actual, la cual tiene por lo tanto su fundamento en el dibujo. ) manera de ejemplo se muestra en la figura como a partir de los jerogl%ficos egipcios& Aleph !buey" y Nahas !serpiente", pueden haber evolucionado los caracteres latinos !A y N" respectivamente.
En trminos generales la representación gráfica se desarrolló básicamente en dos direcciones distintas& a) la art%stica y b) la tcnica. on respecto a la representación art%stica puede reseñarse que en la antiguedad prácticamente todo el mundo era iletrado, no exist%a la imprenta, por lo tanto no hab%a periódicos ni libros, y los pocos que hab%a eran manuscritos reali(ados en papiro o pergamino y no eran asequibles al p-blico. En general la gente aprend%a escuchando, mirando esculturas, dibujos, cuadros, expuestos en lugares p-blicos. El artista no era simplemente un artista, era tambin un maestro, un filósofo, un medio de expresión y comunicación. En cuanto a la representación tcnica, se desarrolló desde los comien(os de la historia registrada ante la necesidad de representar los objetos diseñados para su posterior construcción o fabricación. En efecto, de las ruinas de antiguos edificios, acueductos, puentes, y otras estructuras de buena construcción se deduce que no pudieron haberse levantado sin la previa elaboración de dibujos cuidadosamente preparados que sirvieran de gu%a a sus constructores. En una breve cronolog%a pueden citarse como aspectos mas determinantes los siguientes& El dibujo tcnico mas antiguo que se conoce es un grabado reali(ado sobre una loseta de piedra que representa el diseño en planta de una fortale(a, reali(ado alrededor del año /// a.. por el 0ngeniero caldeo $udea. En el año 1/ a.., el )rquitecto romano 2itruvius escribió un tratado sobre )rquitectura. 3e atribuye, a principios de siglo quince, a los )rquitectos italianos )lberti, 4runelleschi y otros el desarrollo de la teor%a de las proyecciones de objetos sobre planos imaginarios de proyección !proyección en vistas". 5emontándonos a tiempos mas recientes *eonardo da 2inci usaba dibujos para transmitir a los demás sus ideas y diseños de construcciones mecánicas y aunque no está muy claro que haya hecho dibujos en los que aparecieran vistas ortográficas es muy probable que los hubiera hecho. #e hecho, el tratado de *eonardo da 2inci sobre pintura, publicado en 6786, se considera como el primer libro impreso sobre la teor%a de dibujo de proyecciones' pero esta enfocado a la perspectiva, no a la proyección ortográfica.
En cuanto a la geometr%a !parte de la matemática que se ocupa de las propiedades, medidas y relaciones entre puntos, l%neas, ángulos, superficies y cuerpos", tuvo su origen en Egipto hacia el año 69// a.., y su desarrollo se debió a la necesidad práctica de la medición de terrenos. :acia el año 7// a.. Tales de +ileto la introdujo en $recia y fundó la escuela jónica. 3u disc%pulo ;itágoras fundó la escuela pitagórica que dio gran avance a la geometr%a demostrando, entre otros su famoso teorema para los triángulos rectángulos !a <=b<>h<". ?tros personajes destacados en este campo fueron& @enón, :ippias, ;latón, :ipócrates, Eudoxio, )rqu%mides, etc. ;osteriormente, en el siglo tres a.., Euclides, en su obra AElementosA, culmina una prolongada evolución de las ideas y establece de forma sistemática los fundamentos de la geometr%a elemental. #urante la edad media se observó poco avance en el campo de la geometr%a, contrariamente al desarrollo extraordinario que se observó en la edad moderna, en la cual #esargues estableció los fundamentos de la geometr%a proyectiva y +onge los de la geometr%a descriptiva, la cual es la gramática del lenguaje gráfico. on respecto a la geometr%a descriptiva sus comien(os están asociados en los problemas que se encontraron en el diseño de edificios y fortificaciones militares en Brancia en el siglo dieciocho. 3e considera a $aspar +onge !697C6D6D", ya citado, como el AinventorA de la geometr%a descriptiva, aunque precedieron a sus esfuer(os varias publicaciones sobre estereotom%a !arte y tcnica de tallar la madera o piedra con fines constructivos", arquitectura, y perspectiva donde ya se aplicaban muchos de los conceptos de la geometr%a descriptiva. Bue a finales del siglo dieciocho cuando +onge, siendo profesor de la Escuela Tecnológica de Brancia, desarrolló los principios de la proyección que constituyen la base del dibujo tcnico de hoy en d%a. ;ronto se reconoció que estos principios de la geometr%a descriptiva ten%an gran importancia militar y se obligó a +onge a mantenerlos en secreto hasta 698, año a partir del cual se convirtieron en parte importante de la educación tcnica en Brancia y )lemania. ;osteriormente en los Estados Fnidos. 3u libro *a $omtrie #escriptive, se considera aun como el primer texto para exponer los principios básicos del dibujo de proyectistas. *os principios de +onge llegaron a los Estados Fnidos en 6D67 y los trajo el 3r. laude ro(et, profesor de la )cademia +ilitar de Gest ;oint. El profesor ro(et publico en 6D<6 el primer texto en ingls sobre geometr%a descriptiva. En los años siguientes se convirtieron estos principios en parte regular del plan de estudios de los primeros años de ingenier%a en el 0nstituto ;olitcnico 5ensselaer, en la Fniversidad de :arvard, en la Fniversidad de Hale, y en otras, convirtindose de esta forma hoy en d%a la geometr%a descriptiva en materia de estudio en los primeros años de las carreras de 0ngenier%a y )rquitectura en la gran mayor%a de las universidades del mundo.
capítulo 1
CONCEPTOS BÁSICOS ualquier objeto puede sinteti(arse mediante sus elementos geomtricos mas simples& puntos, l%neas, superficies, ángulos, etc. Es por lo tanto necesario que el estudiante de $eometr%a #escriptiva domine y exprese estos conceptos en forma correcta, ra(ón por la cual se inicia la presente obra con este tema, en el cual se describen en forma simple los conceptos geomtricos básicos de mayor uso en el estudio de la $eometr%a #escriptiva. )demás, pensando en la ejercitación práctica del estudiante en la resolución de problemas de $eometr%a #escriptiva, se incluyen en este punto las nociones básicas de tra(ado y manejo de escuadras y compás, finali(ando con una breve descripción del concepto de escala. 3e supone que todo el contenido antes descrito es del conocimiento previo del estudiante de $eometr%a #escriptiva, ra(ón por la cual se presenta este cap%tulo en forma concisa y con carácter principalmente informativo.
CONCEPTOS GEO!TRICOS Pu"to Es la representación de una posición fija del espacio. Io es un objeto f%sico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.
al+)nas 0"ras de re'resen!ar )n ')n!"
*as l%neas se clasifican basicamente en& • • •
re#!a, '"l$+"nal, #)r3a.
!$'"s de l,nea
R#cta *%nea de dirección constante. Fna recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia.
Pa$t#% u"a R#cta' • •
se$rre#!a& cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos, se+en!"& porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos.
'ar!es de )na re#!a
Po%(c(" R#lat(*a #"t$# &o% R#cta% 3eg-n la posición relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como& • • •
re#!as )e se #"r!an& si tienen un punto en com-n. En este caso están contenidas en un plano, re#!as 'aralelas& si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso están contenidas en un plano, re#!as )e se #r)(an& si no se cortan ni son paralelas. En este caso no están contenidas en un plano
'"s$#$n rela!$3a en!re d"s re#!as
Pol(+o"al
*%nea formada por segmento rectos consecutivos no alineados. 3e clasifican en& • •
'"l$+"nal a2$er!a& si el primer y -ltimo segmentos no están unidos, '"l$+"nal #errada& si cada segmento esta unido a otros dos.
'"l$+"nal
Cu$*a *inea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. *as curvas se clasifican en&
C"(ca urva que se genera al seccionar un cono recto de revolución con un plano. *a cónicas son cuatro y su formación depende de la relación entre los ángulos ! & ángulo que forma el plano seccionante ! " con el plano base del cono" y ! & ángulo que forman las generatrices del cono con el plano base del mismo " como se describe a continuación& •
• • •
#$r#)n0eren#$a& se forma cuando el plano seccionante ! " es paralelo al plano base del cono, por lo tanto >//, el$'se& se forma cuando J , , 'ar&2"la& se forma cuando :$'Hr2"la& se forma cuando ,
#n$#a
El estudio de las cónicas es de gran importancia en los campos de la óptica, astronom%a, f%sica, biolog%a, informática e ingenier%a, entre otras, ya que son la base del diseño de lentes, espejos, y superficies el%pticas, circulares parabólicas e hiperbólicas' componentes esenciales de& microscopios, telescopios, radares, antenas parabólicas, teodolitos, distanciómetros y muchos otros instrumentos de gran uso en estas ciencias.
Cu$*a at#,-t(ca. /í%(ca. E%ta&í%t(ca. #tc Estas curvas son generadas por ecuaciones propias de cada una de estas ciencias y su estudio es de gran utilidad en la solución de problemas relacionados con las mismas.
#)r3a !r$+"n"H!r$#a
E%p($al A$0uí,(%
urva del plano, generada por un punto !;" que se mueve con velocidad lineal constante !v", a lo largo de una recta !a"' mientras esta gira, con velocidad angular uniforme ! ω", alrededor de un punto fijo contenido en ella.
es'$ral de Ar),$des
I"*oluta E"*ol*#"t#) urva del plano, generada por un punto fijo !;" de un hilo, mientras este se desenrolla a partir de un segmento, pol%gono regular ó circunferencia. *a involuta de un c%rculo se utili(a en la construcción de los dientes de engranajes.
$n3"l)!a " en3"l3en!e
C(clo( urva del plano, generada por un punto fijo !;" de una circunferencia, que ruede sin desli(arse a lo largo de una recta !a". *as cicloides tienen aplicación en la construcción de los dientes de engranajes.
#$#l"$de
Cat#"a$(a urva plana que forma, por la acción de su propio peso, un hilo, completamente homogneo, flexible e inextensible, cuando se fijan dos de sus puntos. *a catenaria, tiene gran aplicación en el diseño de l%neas de telefrico, l%neas elctricas y puentes colgantes, entre otros, ya que los cables, al ser suspendidos, generan este tipo de curvas y su estudio, permite determinar los esfuer(os a que serán sometidos, por la acción de su propio peso y demás fuer(as que pudieran estar aplicadas sobre ellos.
#a!enar$a
H2l(c# urva del espacio, generada por un punto !;", de una recta !a"' la cual se despla(a, con velocidad constante !v" y a su ve( rota, con velocidad constante !ω", sobre otra recta !e", con la que se corta. *as hlices se clasifican en& • •
:Hl$#e #$l,ndr$#a. 3i el punto !;" que la genera, es un punto fijo de la recta !a", :Hl$#e #n$#a. 3i el punto !;" que la genera, se mueve, con velocidad lineal constante !v o", a lo largo de la recta !a".
Entre otras aplicaciones, las hlices se utili(an en ingenier%a mecánica, para el diseño de roscas de tornillos y tornillos sin f%n y en ingenier%a civil y arquitectura en el diseño de escaleras en espiral !escaleras de caracol".
:Hl$#e
Á"+ulo ;orción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen com-n.
Cla%(3(cac(" lo% Á"+ulo%. %#+4" %u #&(&a Á"+ula$ 3eg-n su medida ángular en grados sexagesimales ! un grado sexagesimal es la 5/a. parte del "ngulo re$to", un ángulo se define como&
Á"+ulo% Co"%#cut(*o% 3on dos ángulos ubicados uno a continuación del otro. 3e denominan& • •
&n+)l"s #"'leen!ar$"s& si suman //, &n+)l"s s)'leen!ar$"s& si suman 6D/ /.
&n+)l"s #"nse#)!$3"s
Á"+ulo% Opu#%to% 5 Á"+ulo% A&5ac#"t#% #os rectas que se cortan definen cuatro ángulos, los cuales, tomados en pares se definen como& • •
&n+)l"s "')es!"s& si no poseen ninguna semirrecta com-n. En este caso sus medidas angulares son iguales, &n+)l"s ad-a#en!es& si poseen una semirrecta com-n. En este caso son ángulos suplementarios.
&n+)l"s "')es!"s - &n+)l"s ad-a#en!es
Á"+ulo% Alt#$"o% 5 Á"+ulo% Co$$#%po"&(#"t#% 3i dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho ángulos, los cuales, considerados en pares de igual medida ángular, se denominan& •
&n+)l"s al!ern"s, clasificados a su ve( en& "ngulos alternos internos "ngulos alternos externos &n+)l"s #"rres'"nd$en!es. o o
•
&n+)l"s al!ern"s
&n+)l"s #"rres'"nd$en!es
Polí+o"o Bigura geomtrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a si misma.
Cla%(3(cac(" lo% Polí+o"o% *os pol%gonos se clasifican básicamente en& • •
'"l,+"n"s re+)lares '"l,+"n"s $rre+)lares
Polí+o"o R#+ula$ ;ol%gono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vrtices están circunscritos en una circunferencia. 3e clasifican en& • • • • • •
!r$&n+)l" e)$l&!er": pol%gono regular de 1 lados, #)adrad": pol%gono regular de lados, 'en!&+"n" re+)lar & pol%gono regular de 8, :e;&+"n" re+)lar : pol%gono regular de 7 lados, :e'!&+"n" re+)lar : pol%gono regular de 9 lados, "#!&+"n" re+)lar : pol%gono regular de D lados,... y as% sucesivamente.
'"l,+"n" re+)lar
Polí+o"o I$$#+ula$ ;ol%gono en el cual sus lados no son de igual longitud yKo sus vrtices no están contenidos en una circunferencia. #e acuerdo al n-mero de sus lados, se denominan& • • • • • •
!r$&n+)l": pol%gono de 1 lados, #)adr$l&!er": pol%gono de lados, 'en!&+"n"& pol%gono de 8 lados, :e;&+"n": pol%gono de 7 lados, :e'!&+"n": pol%gono de 9 lados, "#!&+"n": pol%gono de D lados,... y as% sucesivamente.
'"l$+"n" $rre+)lar
T$(-"+ulo
;ol%gono de tres lados. #e acuerdo a la magnitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en& • • • • •
!r$&n+)l" $ss#eles& < ángulos iguales, !r$&n+)l" es#alen"& 1 ángulos diferentes, !r$&n+)l" re#!&n+)l"& 6 ángulo recto, !r$&n+)l" "2!)s&n+)l"& 6 ángulo obtuso, !r$&n+)l" a#)!&n+)l"& 1 ángulos agudos.
!r$&n+)l"% '"l,+"n" de 6 lad"s
Cua&$(l-t#$o ;ol%gono de lados. 3e clasifican en& •
'aralel"+ra"& cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos, se denominan a su ve(& re#!&n+)l"& paralelogramo en el cual los cuatro ángulos son rectos, pero los lados adyacentes no son de igual longitud, r"2"& paralelogramo que no tiene ángulos rectos, pero sus lados son de igual longitud, r"2"$de& paralelogramo que no tiene ángulos rectos y sus lados adyacentes no son de igual longitud, !ra'e#$"& cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos, se definen a su ve( como& !ra'e#$" re#!&n+)l"& trapecio que tiene dos ángulos rectos, !ra'e#$" $ss#eles& trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual longitud, !ra'e("$de& cuadrilátero que no tiene lados paralelos. o
o
o
•
o o
•
#)adr$l&!er"% '"l,+"n" de > lad"s
Sup#$3(c(# onfiguración geomtrica que posee solo dos dimensiones.
s)'er0$#$e
Cla%(3(cac(" la% Sup#$3(c(#%
Entre las superficies principales se pueden mencionar& • • •
#,r#)l" s)'er0$#$e re+lada s)'er0$#$e de #)r3a!)ra d"2le
Cí$culo 3uperficie plana limitada por una circunferencia.
#$r#)n0eren#$a* #,r#)l" - s)s 'ar!es
Sup#$3(c(# $#+la&a 3uperficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatri(, mantenindose en contacto con otra u otras l%neas, denominadas directrices, cumpliendo además en su despla(amiento ciertas condiciones particulares.
s)'er0$#$e re+lada
Entre las superficies regladas se pueden mencionar& • • •
'lan", s)'er0$#$es de #)r3a!)ra s$'le, s)'er0$#$es ala2eadas.
Pla"o 3uperficie reglada generada por el movimiento de una generatri( !g", que se mantiene en contacto con una directri( !d" recta, siendo paralelas todas las posiciones de la generatri(.
'lan"
Sup#$3(c(# cu$*atu$a %(,pl# 3uperficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatri( !g" son coplanares !son paralelas o se cortan".
*as superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, pueden extenderse sobre un plano. Ejemplos de estas superficies son& •
s)'er0$#$e #$l$ndr$#a& superficie generada por el movimiento de una generatri( !g" que se mantiene en contacto con una directri( !d" curva, siendo además paralelas todas las posiciones de la generatri(' se clasifican en& s)'er0$#$e #$l$ndr$#a de re3"l)#$n& superficie cil%ndrica en la cual todas las posiciones de la generatri( !g" equidistan de un eje !e", paralelo a ella, s)'er0$#$e #$l$ndr$#a de n re3"l)#$n& superficie cil%ndrica en la cual no es posible definir un eje !e" que equidiste de todas las posiciones de la generatri( !g", s)'er0$#$e #n$#a& superficie reglada generada por el movimiento de una generatri( !g", mantenindose en contacto con una directri( !d" curva, teniendo, todas las posiciones de la generatri( !g", un punto com-n !2", denominado vrtice' se clasifican en& s)'er0$#$e #n$#a de re3"l)#$n& superficie cónica en la cual, todas las posiciones de la generatri( !g", forman el mismo ángulo con un eje !e", que pasa por el vrtice !2", s)'er0$#$e #n$#a de n re3"l)#$n& superficie cónica en la cual no es posible definir un eje !e", que forme el mismo ángulo con todas las posiciones de la generatri(. o
o
•
o
o
s)'er0$#$e de #)r3a!)ra s$'le
Sup#$3(c(# alab#a&a Es una superficie reglada nó desarrollable, es decir, en la cual, dos posiciones sucesivas de la generatri( no son coplanares. Entre este tipo de superficies, se puede citar& •
•
#$l$ndr"$de& la generatri( !g" se despla(a mantenindose paralela a un plano director !δ" y apoyada sobre dos directrices !d 6 y d<" curvas, #"n"$de& la generatri( !g" se despla(a mantenindose paralela a un plano director !δ" y apoyada sobre dos directrices, siendo una de ellas recta !d6" y la otra curva !d<".
•
S)'er0$#$e d"2leen!e re+lada& 3uperficie alabeada en la cual por cada uno de sus puntos pasan dos generatrices !g 6 y g<". Entre ellas se pueden citar& 'ara2"l"$de :$'er2l$#"& la generatri( !g" se despla(a mantenindose paralela a un plano director ! δ" y apoyada sobre dos directrices rectas !d6 y d<" que se cru(an, :$'er2"l"$de de re3"l)#$n& la generatri( !g" se apoya sobre dos directrices !d6 y d<" circulares, paralelas, y se mueve manteniendo constante el ángulo ! α0" que forma ellas. o
o
Sup#$3(c(# cu$*atu$a &obl# 3on superficies generadas por el movimiento de una generatri( !g" curva. Estas superficies no contienen l%neas rectas y por lo tanto no son
desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las cuádricas, las cuales son superficies generadas por la rotación de una curva cónica alrededor de uno de sus ejes. *as cuádricas son& • • • •
es0era& la generatri( !g" es una circunferencia, el$'s"$de& la generatri( !g" es una elipse, 'ara2"l"$de& la generatri( !g" es una parábola, :$'er2"l"$de& *a generatri( !g" es una hiprbola.
s)'er0$#$e de #)r3a!)ra d"2le
Sl(&o Espacio limitado por superficies.
Cla%(3(cac(" lo% Sl(&o% *os seól idosc se clasifican basicamente en& • •
'"l$edr"s #)er'"s red"nd"s
'"l$edr" - #)er'" red"nd"
Pol(#&$o 3ólido limitado por superficies planas !pol%gonos". 3us partes se denominan& • • •
#aras& pol%gonos que limitan al poliedro, ar$s!as: lados de las caras del poliedro, 3Hr!$#es& puntos donde concurren varias aristas.
Cla%(3(cac(" lo% Pol(#&$o%
*os poliedros se clasifican básicamente en& • •
'"l$edr"s re+)lares '"l$edr"s $rre+)lares
Pol(#&$o R#+ula$ ;oliedro cuyas caras son pol%gonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud' en consecuencia, todos sus vrtices están contenidos en una esfera. *os poliedros regulares son cinco y se denominan& • • • • •
!e!raedr" re+)lar & poliedro regular definido por triángulos equiláteros iguales, :e;aedr" re+)lar /#)2"& poliedro regular definido por 7 cuadrados iguales, "#!aedr" re+)lar & poliedro regular definido por D triángulos equiláteros iguales, d"de#aedr" re+)lar & poliedro regular definido por 6< pentágonos regulares iguales, $#"saedr" re+)lar & poliedro regular definido por triángulos equiláteros iguales.
'"l$edr"s re+)lares
Pol(#&$o I$$#+ula$ ;oliedro definido por pol%gonos que no son todos iguales.
Cla%(3(cac(" lo% Pol(#&$o% I$$#+ula$#% *os poliedros irregulares se clasifican básicamente en& • • •
!e!raedr"* 'en!aedr"* :e;aedr"* :e'!aedr"* "#!aedr"* '$r&$de 'r$sa
den"$na#$n de l"s '"l$edr"s $rre+)lares* se+n el ner" de s)s #aras
P($-,( ;oliedro definido por un pol%gono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vrtice com-n ! <", denominado 3Hr!$#e de la '$r&$de, que no está contenido en el plano base. *a recta que pasa por el vrtice de la pirámide y el centro geomtrico de la base se denomina eje de la pirámide ! e". *as pirámides se clasifican en& • • •
'$r&$de re#!a& el eje es perpendicular al pol%gono base, '$r&$de "2l$#)a& el eje no es perpendicular al pol%gono base, '$r&$de re+)lar & la base es un poligono regular, '$r&$de re+)lar re#!a& la base es un poligono regular y el eje es perpendicular al pol%gono base. '$r&$de re+)lar "2l$#)a& la base es un poligono regular y el eje no es perpendicular al pol%gono base. o
o
'$r&$des
P$(%,a ;oliedro definido por dos pol%gonos iguales y paralelos ! 2ases" y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. *a recta que une los centros geomtricos de las bases se denomina e4e del prisma ! e". *os prismas se clasifican en& • • •
'r$sa re#!"& el eje es perpendicular a los pol%gonos base, 'r$sa "2l$#)"& el eje no es perpendicular a los pol%gonos base, 'r$sa re+)lar & las bases son poligonos regulares, 'r$sa re+)lar re#!"& las bases son poligonos regulares y el eje es perpendicular a los pol%gonos base. 'r$sa re+)lar "2l$#)"& las bases son poligonos regulares y el eje no es perpendicular a los pol%gonos base. 'aralele'$'ed"& prisma cuyas bases son paralelogramos. ;ueden ser a su ve( rectos u oblicuos o
o
•
'r$sas
Cu#$po R#&o"&o 3ólido que contiene superficies curvas.
Cla%(3(cac(" lo% Cu#$po% R#&o"&o% *os cuerpos redondos se clasifican básicamente en& • • •
#$l$ndr" #"n" sl$d" de re3"l)#$n
C(l("&$o uerpo redondo limitado por una superficie cil%ndrica y dos bases planas paralelas. *a recta que pasa por los centros geomtricos de las bases se denomina eje del cilindro !e", y es paralela a la generatri( !g" de la superficie cil%ndrica. *os cilindros pueden ser& • • •
#$l$ndr" re#!"& si el eje !e", es perpendicular a las bases, #$l$ndr" "2l$#)"& si el eje !e", no es perpendicular a las bases, #$l$ndr" de re3"l)#$n& si está limitado por una superficie cil%ndrica de revolución. ;ueden a su ve( ser&
o
o
#$l$ndr" de re3"l)#$n re#!"& si el eje !e", es perpendicular a las bases, #$l$ndr" de re3"l)#$n "2l$#)"& si el eje !e", no es perpendicular a las bases.
#$l$ndr"
Co"o uerpo redondo limitado por una superficie cónica y por una base plana. *a recta que pasa por el vrtice !2", de la superficie cónica y el centro geomtrico de la base se denomina eje del cono !e". *os conos pueden ser& • • •
#"n" re#!"& si el eje !e", es perpendicular a la base, #"n" "2l$#)"& si el eje !e", no es perpendicular a la base, #"n" de re3"l)#$n& si está limitado por una superficie cónica de revolución. ;ueden a su ve( ser& #"n" de re3"l)#$n re#!"& si el eje !e", es perpendicular a la base, #"n" de re3"l)#$n "2l$#)"& si el eje !e", no es perpendicular a la base. o
o
#"n"
Sl(&o $#*oluc(" uerpo redondo limitado por una generatri( !g" curva, que rota alrededor de un eje !e". Entre ellos se pueden mencionar& •
sl$d"s l$$!d"s '"r s)'er0$#$es #)adr$#as& es0era& la generatri( es una circunferencia, el$'s"$de& la generatri( es una elipse, 'ara2"l"$de& la generatri( es una parábola, :$'er2"l"$de& la generatri( es una hiprbola, !"r" /an$ll". 3u superficie la genera una circunferencia ó una elipse, que gira alrededor de un eje !e", coplanar con ella, y situado fuera de ella. o o o o
•
sl$d"s de re3"l)#$n
TRA6ADO T(po% T$a7a&o
El 8u#+o E%cua&$a% Fn juego de escuadras se compone de una escuadra y un cartabón. 3iendo la hipotenusa de la escuadra de igual longitud que el cateto mayor del cartabón.
4)e+" de es#)adras
T$a7a&o R#cta% co" la% E%cua&$a% !ra(ad" de re#!as 'aralelas
!ra(ad" de re#!as 'er'end$#)lares
!ra(ad" de re#!as a 178
!ra(ad" de re#!as a 688
!ra(ad" de re#!as a >78
!ra(ad" de re#!as a 88
!ra(ad" de re#!as a 78
D#t#$,("ac(" l Pu"to #&(o u" S#+,#"to ;ara determinar el punto medio del segmento !)C4"& • • •
trace dos arcos de igual radio, uno con centro en !)" y otro en !4", trace la recta !r" definida por los puntos de corte de ambos arcos, la recta !r" es perpendicular al segmento !)C4" y lo corta en el punto medio !+" buscado.
de!er$na#$n del ')n!" ed$" de )n se+en!"
D(*(%(" u" S#+,#"to #" ") Pa$t#% I+ual#% e4e'l"% d$3$s$n de )n seen!" en 7 'ar!es $+)ales
T$a7a&o u"a R#cta Ta"+#"t# a u"a C($cu"3#$#"c(a '"r )n ')n!" /T de ella
'"r )n ')n!" /A e;!ern" a ella
T$a7a&o Polí+o"o% R#+ula$#% !r$&n+)l" e)$l&!er"
#)adrad"
'en!&+"n" re+)lar
:e'!&+"n" re+)lar
"#!&+"n" re+)lar
:e;&+"n" re+)lar
H!"d"s +enerales de d$2)4" de '"l,+"n"s re+)lares de #)al)$er ner" /n de lad"s
D(bu9o u" T$(-"+ulo E0u(l-t#$o
#"n"#$d" )n 3Hr!$#e /A - s) #en!r" +e"H!r$#" /O
#"n"#$d" )n lad" /AB T utili#ando $omp"s
#"n"#$d" )n lad" /AB T utili#ando es$uadras
D(bu9o u" Cua&$a&o #"n"#$d" )n 3Hr!$#e /A - s) #en!r" +e"H!r$#" /O
#"n"#$d" )n lad" /AB
D(bu9o u" P#"t-+o"o R#+ula$ #"n"#$d" )n 3Hr!$#e /A - s) #en!r" +e"H!r$#" /O
#"n"#$d" )n lad" /AB
D(bu9o u" H#:-+o"o R#+ula$
#"n"#$d" )n 3Hr!$#e /A - s) #en!r" +e"H!r$#" /O
#"n"#$d" )n lad" /AB
D(bu9o u" H#pt-+o"o R#+ula$ #"n"#$d" )n 3Hr!$#e /A - s) #en!r" +e"H!r$#" /O
#"n"#$d" )n lad" /AB
D(bu9o u" Oct-+o"o R#+ula$
#"n"#$d" )n 3Hr!$#e /A - s) #en!r" +e"H!r$#" /O
#"n"#$d" )n lad" /AB
2to&o% G#"#$al#% T$a7a&o Polí+o"o% R#+ula$#% Cual0u(#$ N4,#$o ;a&o% ) continuación se describen algunos mtodos generales de tra(ado de pol%gonos regulares seg-n se cono(ca& • •
)n 3Hr!$#e del '"l,+"n" re+)lar - la #$r#)n0eren#$a )e l" #$r#)ns#r$2e )n lad" del '"l,+"n" re+)lar
T$a7a&o u" Polí+o"o R#+ula$ Cual0u(#$ N4,#$o ;a&o%. Co"oc(&o u" V2$t(c# 5 la C($cu"3#$#"c(a 0u# lo C($cu"%c$(b# e4e'l"% d$2)4" de )n :e;&+"n" re+)lar* #"n"#$d" )n 3Hr!$#e /A - s) #en!r" +e"H!r$#" /O% nFB 8B//QBFB//
e4e'l"% d$2)4" de )n :e;&+"n" re+)lar* #"n"#$d" )n 3Hr!$#e /A - s) #en!r" +e"H!r$#" /O% nFB
T$a7a&o u" Polí+o"o R#+ula$ Cual0u(#$ N4,#$o ;a&o%. Co"oc(&o u" ;a&o e4e'l"% d$2)4" de )n :e;&+"n" re+)lar* #"n"#$d" )n lad" /AB% nFB ;9//QBF8//
ESCA;A Es la proporción de aumento o disminución que existe entre las dimensiones reales y las dimensiones representadas de un objeto. En efecto, para representar un objeto de grandes dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por un factor mayor que uno, en este caso denominado es#ala de red)##$n' y para representar objetos de pequeñas dimensiones, todas sus medidas se multiplican por un factor mayor que uno, denominado es#ala de a'l$a#$n. *a escala a utili(ar se determina entonces en función de las medidas del objeto y las medidas del papel en el cual será representado. El dibujo hecho a escala mantendrá de
esta forma todas las proporciones del objeto representado, y mostrará una imagen de la apariencia real del mismo. Binalmente, deben indicarse sobre el dibujo las dimensiones del objeto real, y la escala en que ha sido elaborado. ) manera de ejemplo se presenta la ilustración comparativa de un cuadrado de < cms. de lado dibujado en sus dimensiones reales !escala natural ó escala 6K6"' multiplicando sus medidas por dos !escala
#)adrad" d$2)4ad" a 6 es#alas d$0eren!es
9a#!"res de Es#alas de Red)##$n - A'l$a#$n es$alas de redu$$in
es$alas de amplia$in
longitud de longitud de fa$tor de fa$tor de es$ala representa$in de es$ala representa$in de redu$$in aumento ; metro ; $m. ;Q; ; ;// $ms.;Q; ; ; $ms. ;Q;0 ;0 9/ $ms.;88Q; ;88 ;88 $ms. ;Q0 0 / $ms.0Q; 0 0 $ms. ;Q0 0 -/ $ms.-Q; - $ms. ;Q 0/ $ms.Q; $ms. ;Q6 6 ;888 $ms.9Q; 9 9 $ms. ;Q;/ ;/ ;/ $ms;/Q; ;/ ;/ $ms.
E%cala%
;ara evitar la reali(ación de multiplicaciones ó divisiones en la elaboración de un dibujo a escala, se trabaja con reglas graduadas denominadas escalas, las cuales son construidas en base a los factores de reducción ó ampliación de las respectivas escalas.
es#alas
E%calí,#t$o Es una regla o juego de reglas que contiene simultaneamente varias escalas diferentes. 3on muy comunes los escal%metros triangulares que contienen seis escalas.
es#al,e!r"
capítulo <
SISTEAS DE PRO=ECCIÓN En este cap%tulo se hace una breve descripción de los sistemas de proyección mas utili(ados en 0ngenier%a y )rquitectura, describiendo el fundamento básico de la ejecución de proyecciones en estos sistemas. El objetivo principal del cap%tulo es que el estudiante cono(ca estos sistemas de proyección, y sepa identificar cuando un objeto esta representado en cada uno de ellos. )l igual que el cap%tulo anterior, el carácter del presente capitulo es básicamente informativo por lo tanto se presentan las caracter%sticas mas esenciales de estos sistemas de proyección sin entrar en descripciones profundas de sus mtodos de trabajo.
SISTEA DE PRO=ECCIÓN Fn sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie. omo puede observarse en la fig.6, en todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos, denominados&
a O24e!" . E el o()eto *$e e deea repreentar. +$ede er $n p$nto' recta' plano' $per!icie' #lido' etc, en !in c$al*$ier ele"ento eo"trico / o()eto en . 2 P)n!" de "2ser3a#$n . +$nto dede el c$al e o(erva el o()eto *$e e *$iere repreentar. E $n p$nto c$al*$iera del epacio. # S)'er0$#$e de 'r"-e##$n. E la $per!icie o(re la c$al e pro&ectar% el o()eto. 0eneral"ente e $n plano, a$n*$e ta"(in p$ede er $na $per!icie e!rica' cilndrica' c#nica' etc. d Pr"-e#!an!es. on recta i"ainaria *$e $nen lo p$nto del o()eto con el p$nto de o(ervaci#n.
0$+.1.K S$s!ea de 'r"-e##$n
a pro&ecci#n P5 de c$al*$ier p$nto P5 del o()eto e o(tiene interceptando $ plano de pro&ecci#n.
pro&e$tante con el
PRO=ECCIÓN CI;>NDRICA e o(tiene c$ando el p$nto de o(ervaci#n e enc$entra a $na ditancia tan rande del o()eto' *$e per"ita coniderar *$e la pro&ectante on paralela al interceptare con el plano de pro&ecci#n !i.25. o principale tipo de pro&ecci#n cilndrica on6
0$+.5.K Pr"-e##$n #$l,ndr$#a
1 Pr"-e##$n "r!"+"nal. Ta"(in deno"inada pro&ecci#n ortor%!ica. e o(tiene c$ando la pro&ectante on perpendic$lare al plano de pro&ecci#n. a pro&ecci#n ortoonal e "$& $tilizada en el die7o de pieza "ec%nica & "a*$inaria !i.2 a. o principale tipo de pro&ecci#n ortoonal on6 $ Pr"-e##$n en 3$s!as l!$'les. Cada vita e $na pro&ecci#n ortor%!ica. +ara o(tener $na vita e coloca el plano de pro&ecci#n pre!erente"ente paralelo a $na de la cara principale del o()eto !i.3.
0$+.6.K <$s!a "r!"+r&0$#a
o o()eto e repreentan eneral"ente en tre vita ortor%!ica. o "todo $tilizado para deter"inar eta vita on6 A Pr"-e##$n en el sH'!$" !r$edr" /sH'!$" "#!an!e. 9ado en lo Etado 9nido & Canad%. !i.4.
0$+.>.K Pr"-e##$n en 3$s!as l!$'les en el sH'!$" !r$edr"
B Pr"-e##$n en el 'r$er !r$edr" /'r$er "#!an!e. 9ado en todo el "$ndo' e:cepto en lo Etado 9nido & Canad%. !i.;.
0$+.7.K Pr"-e##$n en 3$s!as l!$'les en el 'r$er !r$edr"
$$ Pr"-e##$n a#"!ada. E $na pro&ecci#n ortoonal o(re la *$e e acotan en cada p$nto' lnea' $ o()eto repreentado la alt$ra cota5 del "i"o con repecto a c$al*$ier plano de re!erencia *$e ea paralelo al plano de pro&ecci#n !i.<. a pro&ecci#n acotada e "$& pr%ctica c$ando e neceario repreentar r%!ica"ente r%!ica"ente o()eto irre$lare, raz#n por la c$al e $a !rec$ente"ente para el die7o de techo de vivienda, contr$cci#n de p$ente' reprea' ac$ed$cto' aod$cto' carretera' deter"inaci#n de %rea de parcela' trazado de lindero' & di($)o topor%!ico de planta & per!ile de terreno' entre otro.
0$+..K Pr"-e##$n a#"!ada
$$$ Pr"-e##$n a;"n"H!r$#a. e o(tiene c$ando el plano de pro&ecci#n no e paralelo a nin$no de lo tre e)e principale del o()eto !i..
0$+..K Pr"-e##$n a;"n"H!r$#a
La pro&e$$in axonom3tri$a dependiendo de los "ngulos 'ue forman entre s* los e!es axonom3tri$os (pro&e$$iones (pro&e$$iones de los e!es prin$ipales del o!eto) se denomina: A Pr"-e##$n $s"H!r$#a. Se $s"H!r$#a. Se otiene $uando los tres "ngulos 'ue forman los e!es axonom3tri$os son iguales. Al representar o!etos en pro&e$$in isom3tri$a se mide en una misma es$ala sore los tres e!es isom3tri$os.T fig.9 0$+.=.K Pr"-e##$n $s"H!r$#a
B Pr"-e##$n Pr"-e##$n d$H!r$#a. d$H!r$#a. Se otiene $uando solo dos de los tres "ngulos 'ue form forman an los los e!es e!es axon axonom om3t 3tri ri$o $oss son son igua iguale les. s. Al repr repres esen enta tarr un o!e o!eto to en pro&e$$in dim3tri$a dee medirse en dos de los e!es axonom3tri$os $on una misma es$ala & $on una es$ala diferente en el ter$er e!e axonom3tri$o. La forma gr"f gr"fi$ i$a a de dete determ rmin inar ar la rela rela$i $in n entr entre e las las es$a es$ala lass sor sore e los los tres tres e!es e!es axonom3tri$os axonom3tri$os para $ual'uier distriu$in de los mismos se muestra en la fig.;/. No ostante en la fig.5 se muestran tres distriu$iones mu& usadas de e!es dim3tri$os $on sus respe$ti%as es$alas estas propor$iones propor$iones difieren mu& po$o de los %alores teri$os reales los $uales de ser usados difu$ultari"n grandemente la e!e$u$in de la dimetr*a. 0$+..K Pr"-e##$"nes d$H!r$#as
C Pr"-e##$n Pr"-e##$n !r$H!r$#a. !r$H!r$#a. Se Se otiene $uando los tres "ngulos 'ue forman los e!es axonom3tri$os son diferentes. En la pro&e$$in trim3tri$a $ada e!e axonom3tri$o posee su propia es$ala diferente a la de los otros dos.T fig.;/ 0$+.18.K Pr"-e##$n !r$H!r$#a
5 Pr"-e##$n "2l$#)a. e o(tiene c$ando la pro&ectante no on perpendic$lare al plano de pro&ecci#n !i.25. +re!erente"ente al di($)ar en pro&ecci#n o(lic$a e coloca el plano de pro&ecci#n paralelo a $na de la cara principale del o()eto, &a &a *$e de eta !or"a dicha cara e pro&ectar% en verdadero ta"a7o ta"a7o !i.11.
0$+.11.K Pr"-e##$n "2l$#)a
Al definir una pro&e$$in oli$ua el e!e re$edente (e!e de profundidad profundidad del o!eto) se puede o pro& pro&e$ e$ta tarr form forman ando do $ual $ual'u 'uie ierr "ngu "ngulo lo ( α ) $on respe$to a los otros dos7 e independientemente de este "ngulo ( αo) la profundidad del o!eto se puede pro&e$tar tami3n en $ual'uier longitud (teri$amente asta una longitud infinita). Por lo tanto al diu!ar en pro&e$$in oli$ua se tra#a el e!e re$edente a $ual'uier "ngulo & se miden las profundidades profundidades sore el en $ual'uier es$alaT fig.;0. 0$+.15.K Pr"-e##$n "2l$#)a
in e"(aro' la ecala a $tilizar para el e)e recedente de(e eleire en !or"a int$itiva' en !$nci#n del %n$lo en *$e e di($)e' de "odo *$e la repreentaci#n del o()eto "$etre $na apreciaci#n real de $ !or"a & proporcione. Entre la pro&eccione o(lic$a "a $tilizada e p$eden "encionar6 $ Pr"-e##$n #a2allera e oriin# en el di($)o de la !orti!icacione "edievale. !i.13
0$+.16.K Pr"-e##$n #a2allera
$$ Pr"-e##$n de +a2$ne!e >eci(e ete no"(re de(ido a *$e e $# rande"ente en la ind$tria del "$e(le. !i.14
0$+.1>.K Pr"-e##$n de +a2$ne!e
$$$ Pr"-e##$n "2l$#)a aHrea. E $na pro&ecci#n o(lic$a realizada o(re $n di($)o en planta de $na edi!icaci#n' $r(ani"o' etc. con la !inalidad de apreciar $ !or"a tridi"enional !i.1;.
0$+.17.K Pr"-e##$n "2l$#)a aHrea
PRO=ECCIÓN CÓNICA Deno"inada ta"(in perspe$ti%a. e o(tiene c$ando el p$nto de o(ervaci#n & el o()eto e enc$entran relativa"ente cercano !i.1<.
0$+.1.K Pr"-e##$n #n$#a
0eo"trica"ente' $na !otora!a e $na perpectiva, raz#n por la c$al la pro&ecci#n c#nica o(repaa en e:celencia a lo de"% ite"a de pro&ecci#n por er la *$e "a e acerca a la vita real o(tenida por el o(ervador. El di($)o en perpectiva e "$& $tilizado en el die7o ar*$itect#nico' civil' ind$trial' p$(licitario' etc. a perpectiva p$eden er6
1 Pers'e#!$3a de )n ')n!" de 0)+a. e o(tiene c$ando el plano de pro&ecci#n e paralelo a $na de la cara principale del o()eto el plano de pro&ecci#n e paralelo a do de l o tre e)e principale del o()eto5 !i.1.
0$+.1.K Pers'e#!$3a de )n ')n!" 0)+a
5 Pers'e#!$3a de d"s ')n!"s de 0)+a. e o(tiene c$ando el plano de pro&ecci#n e paralelo a ola"ente $no de lo tre e)e principale del o()eto !i .18.
0$+.1=.K Pers'e#!$3a de d"s ')n!"s de 0)+a
6 Pers'e#!$3a de !res ')n!"s de 0)+a. e o(tiene c$ando nin$no de lo tre e)e principale del o()eto e paralelo al plano de pro&ecci#n !i.1?.
0$+.1.K Pers'e#!$3a de !res ')n!"s de 0)+a
a perpectiva de $no' do' & tre p$nto de !$a' p$eden di($)are en !or"a encilla a partir de la pro&eccione en vita "/ltiple' co"o e "$etra en la !i .2@, !i.21, & !i.22' repectiva"ente.
0$+.58.K D$2)4" de )na 'ers'e#!$3a de )n ')n!" de 0)+a
0$+.51.K D$2)4" de )na 'ers'e#!$3a de d"s ')n!"s de 0)+a
0$+.55.K D$2)4" de )na 'ers'e#!$3a de !res ')n!"s de 0)+a
capítulo ?
PRO=ECCIÓN DI!DRICA 3e inicia en este cap%tulo el estudio del sistema de Pr"-e##$n D$Hdr$#a, tambin denominado sistema de D"2le Pr"-e##$n Or!"+"nal, omen(ando con la descripción de este sistema de proyección, que se basa en definir la proyección ortogonal de los objetos, en forma simultánea, sobre dos planos principales de proyección, perpendiculares entre s%. #e esta forma se obtienen dos proyecciones ortogonales del objeto e estudio, por medio de las cuales se puede concebir la forma tridimensional del mismo.
Fna ve( que el estudiante comprenda los fundamentos del sistema de doble proyección didrica, será capa( de representar objetos, y podrá resolver cualquier problema relacionado con la forma tridimensional de los mismos, sin necesidad de elaborar complicadas perspectivas o representaciones en otros sistemas de proyección mas laboriosos.
SISTEA DE PRO=ECCIÓN DI!DRICA El sistema de proyección didrica se compone básicamente de dos planos de proyección, perpendiculares entre s%, denominados& planos principales de proyección' y en forma particular& plano vertical de proyección !;2" y plano hori(ontal de proyección !;:". *os componentes principales del sistema de proyección didrica son& • • • • • • •
P< /'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n, P@ /'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n& forma // con el ;2, LT /l,nea de !$erra& es la intersección entre los planos vertical y hori(ontal de proyección, O /"r$+en& punto com-n a los tres ejes de coordenadas, a partir del cual se miden las coordenadas de los puntos, /e4e de #""rdenadas x & eje sobre el cual se miden las coordenadas ! x " de los puntos' coincide con la l%nea de tierra, Y /e4e de #""rdenadas y & eje sobre el cual se miden las coordenadas !y " de los puntos, /e4e de #""rdenadas z & eje sobre el cual se miden las coordenadas ! z " de los puntos,
•
d$edr" /#)adran!e& cada una de las porciones en que dividen a a todo el espacio los planos principales de proyección. 3e denominan& I C /'r$er #)adran!e& porción del espacio comprendida por encima del ;: y por delante del ;2, II C /se+)nd" #)adran!e& porción del espacio comprendida por encima del ;: y por detrás del ;2, III C /!er#er #)adran!e& porción del espacio comprendida por debajo del ;: y por detrás del ;2, I< C /#)ar!" #)adran!e& porción del espacio comprendida por debajo del ;: y por delante del ;2. o
o
o
o
Pla"o ;at#$al Es un plano auxiliar de proyección que esta definido por los ejes de coordenadas !H" y !@". 3obre este plano, cuando sea necesario, se proyectan ortogonalmente los objetos, denominándose estas proyecciones& 'r"-e##$"nes la!erales.
D(bu9o #" P$o5#cc(" D(2&$(ca la proyección didrica se obtiene rotando el plano hori(ontal de proyección alrededor de la l%nea de tierra, hasta hacerlo coincidir con el plano vertical de proyección, como lo muestra las figuras !6 a ". En la figura !8" se muestra el mismo esquema en proyección frontal. H finalmente, la figura !7", muestra el esquema de trabajo en proyección didrica' este se obtiene sustituyendo los ejes de coordenadas por una recta hori(ontal !l%nea de tierra, ó eje !L"", en la cual se señala el origen con un pequeño segmento vertical que la corta. Es muy importante tener presente que en la representación definitiva figura !7", los ejes de coordenadas y el origen no dejan de existir' si no que han sido substra%dos de la representación, por lo tanto, aunque no se vean dibujados o falten sus nomenclaturas, ellos existen en las posiciones que indica la figura !8".
d$2)4" en 'r"-e##$n d$Hdr$#a
PRO=ECCIÓN DI!DRICA DE PUNTOS P$o5#cc(" D(2&$(ca u" Pu"to 3e denomina as% a la representación de las proyecciones ortogonales de un punto, sobre los planos vertical y hori(ontal de proyección en forma simultanea. los puntos se denominan con letras may-sculas !),4,,...@" o con n-meros !6,<,1...".
Coo$"a&a% u" Pu"to 3on las distancias expresadas en mil%metros, que al medirse sobre los ejes de coordenadas, a partir del origen, permiten definir con exactitud la ubicación de un punto en el espacio. En proyección didrica, las coordenadas se denominan& • • •
@& d$s!an#$a al 'lan" la!eral, =& 3)el" ó ale4a$en!", 6& #"!a ó al!)ra.
*as coordenadas de un punto se expresan siempre en orden y separadas por punto y coma !'". ;or ejemplo, la notación A/78 8 8, identifica a un punto !A" con las siguientes coordenadas& • • •
A& distancia del punto /A al plano lateral& 78 s, A Y& vuelo del punto /A& 8 s, A& cota del punto /A& 8 s.
*as coordenadas de un punto, tambin representan las distancias desde el punto a los planos principales de proyección y al plano lateral. El punto A/78 8 8, ya mencionado, se encuentra a distancias de& • • •
78 s. del 'lan" la!eral* 8 s. del 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n* 8 s. del 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n.
En la figura !6" se muestra un esquema en perspectiva de la proyección didrica de este punto !)", y en la figura !<", la proyección didrica propiamente dicha del mismo. *as coordenadas no se acotan, de forma que la representación definitiva, en proyección didrica, es la mostrada en la figura !1".
Po%(c(o"#% Pa$t(cula$#% u" Pu"to #ependiendo de la posición que ocupe un punto con respecto al origen, sus coordenadas pueden tener signo positivo ó negativo, o un valor de cero. #e manera que observando lestos valores se puede conocer si el punto está ubicado en& • • • • •
)n #)adran!e, )n 'lan" 'lan " 'r$n#$'al 'r$n# $'al de 'r"-e##$ ' r"-e##$n n, el 'lan ' lan" " la!er la !eral al, el "r, "r,+e +en n, )n e4e de #""rde #""rdenadas nadas.
Pu"to Ub(ca&o #" u" Cua&$a"t#
Pu"to Ub(ca&o #" u" Pla"o P$("c(pal P$o5#cc("'
Pu"to #" #l Pla"o ;at#$al'
Pu"to #" #l O$(+#"'
Pu"to #" u" E9# Coo$"a&a%' Pu"to #" u" E9# :)'
Pu"to #" u" E9# 5)'
Pu"to #" u" E9# 7)'
P$o5#cc(" ;at#$al u" Pu"to 3e llama as% a la proyección ortogonal de un punto sobre el plano lateral. En este sistema de proyección, el punto de observación se encuentra a una distancia infinita del plano lateral, en dirección del eje !L", el cual se proyecta en su totalidad en el punto de origen !?".
El punto de observación, puede tambin ubicarse en sentido opuesto al eje !L", resultando en esta caso, la proyección lateral, como se muestra&
En el sistema de proyección lateral, los planos vertical !;2" y hori(ontal !;:" de proyección, se encuentran totalmente proyectados sobre los ejes !@" e !H" respectivamente, los cuales se observan cortándose a / /.
R#p$#%#"tac(" Pu"to% #" P$o5#cc(" ;at#$al En la figura !a" se representan las proyecciones laterales de los puntos !),4, y #", ubicados en los cuadrantes !0' 00' 000 y 02", respectivamente, y en la figura !b" se representan las proyecciones laterales de los mismos puntos, cambiando el sentido del eje !H".
Obt#"c(" la P$o5#cc(" ;at#$al u" Pu"to a pa$t($ %u P$o5#cc(" D(2&$(ca $eneralmente la proyección lateral de un punto se obtiene a partir de su proyección didrica. ;ara determinar la proyección lateral !) l" de un punto !)", a partir de sus proyecciones vertical !)v" y hori(ontal !)h" figura !a", se sigue el procedimiento siguiente& •
se definen los ejes de proyección, figura !b"& eje !@"& perpendicular a la l%nea de tierra, y por cualquier punto !?" de ella, eje !H"& coincide con la l%nea de tierra, y se dirige hacia la derecha ó i(quierda !en el ejemplo hacia la derecha", se trasladan la cota !)@" y el vuelo !) H" del punto !)" hacia el eje !@", figura !c", o
o
•
se rota, mediante un arco con centro en el punto !?" y recorriendo un cuadrante par !en el ejemplo el 02 ", el vuelo !) H" del punto !)", desde el eje !@" hasta el eje !H", figura !d"' y se define la proyección lateral !)l" del punto !)" por medio de rectas paralelas a los ejes !@ e H".
E4e'l" 1& definir las proyecciones laterales de los puntos !)'4'' y #", figura !a". S"l)#$n& en la figura !b", se muestra como obtener las proyecciones laterales de estos puntos' ubicando el eje !@" a igual distancia al plano lateral que el punto !4", y dirigiendo el eje !H" hacia la derecha. ;uede observarse en la figura !b", que los arcos han s%do tra(ados recorriendo sólo los cuadrantes pares !00 ó 02 ". *a ra(ón de esto es mantener el signo del vuelo de los respectivos puntos en ambos sistemas, ubicando sus proyecciones laterales en el cuadrante correcto.
E4e'l" 5& definir la proyección lateral del triángulo de vrtices !)'4'", figura !a". S"l)#$n& figura !b".
Po%(c(" R#lat(*a #"t$# &o% Pu"to% En la figura !a", se señalan los nombres dados a los sentidos de avance de cada uno de los ejes de coordenadas. En base a estos sentidos, se puede expresar, en forma relativa, la posición de un punto con respecto a otro.
E4e'l" !er$#"& expresar la posición relativa entre los puntos !) y 4". S"l)#$n& la posición relativa entre los puntos !) y 4" puede expresarse, entre otras, de las siguientes maneras& •
•
el punto !)" se encuentra a la i(quierda !tiene menos distancia al plano lateral"' por debajo !tiene menos cota"' y por delante !tiene mayor vuelo" del punto !4". el punto !4" se encuentra a la derecha !tiene mas distancia al plano lateral"' mas alto !tiene mayor cota"' y por detrás !tiene menor vuelo" del punto !)".
En res)en& • • •
comparando las distancias al plano lateral de dos puntos, puede decirse cual de ellos está a la i(quierda ó a la derecha del otro, comparando los vuelos de dos puntos, se define cual de ellos está por delante ó por detrás del otro y, comparando las cotas de dos puntos, puede determinarse cual de ellos está por encima o por debajo del otro.
e4e'l" 'r!$#"& definir las proyecciones de los puntos& • • • • •
• • • •
) ! 8' C' /8" 4 ! M' <8' M" ) 6/ mms del plano lateral' y 8 mms por encima de !)"' ! M' M' M" 68 mms a la derecha de !4"' 1/ mms delante de !)"' y 68 mms por encima del plano hori(ontal de proyección' # ! 7/' M' M" En el 02 cuadrante' a 68 mms del plano hori(ontal de proyección' y a mms del plano vertical de proyección' E ! M' M' M" ontenido en el plano vertical de proyección' <8 mms a la i(quierda de !#"' y 68 mms debajo del plano hori(ontal de proyección' B ! M' M' M" En el eje !@"' y 18 mms por debajo de !"' $ ! 78' M' M" /8 mms delante de !)"' y 1/ mms mas alto que !#"' : ! M' 6/' " En el plano lateral' 0 ! M' M' M" En la l%nea de tierra y a 68 mms del origen.
s"l)#$n&
PRO=ECCIÓN DI!DRICA DE RECTAS P$o5#cc(" D(2&$(ca u"a R#cta *as rectas se designan con letras min-sculas !a' b' c'...". Fna recta !r" puede ser definida por medio de dos puntos !) y 4"
Pr"-e##$n d$Hdr$#a de )na re#!a
Pu"to Co"t#"(&o #" u"a R#cta 3i un punto !;" esta contenido en una recta !r", entonces las proyecciones vertical !;v" y hori(ontal !;h" del punto están contenidas en las proyecciones vertical !rv" y hori(ontal !rh" de la recta, respectivamente.
')n!" #"n!en$d" en )na re#!a
#e esta forma, es posible determinar las proyecciones de un punto conocida una sola de sus tres coordenadas, si se establece que esta contenido en una recta dada
)2$#a#$n de )n ')n!" /A en )na re#!a /r
T$a7a% u"a R#cta 3on los puntos donde la recta se intercepta con los planos principales de proyección' se denominan& • •
t$a7a *#$t(cal& punto donde la recta se intercepta con el plano
vertical de proyección. $eneralmente se designa con la letra !2". t$a7a o$(7o"tal& punto donde la recta se intercepta con el plano hori(ontal de proyección. $eneralmente se designa con la letra !:".
!ra(as de )na re#!a
D#t#$,("ac(" la% T$a7a% u"a R#cta *as tra(as de una recta se determinan, en doble proyección ortogonal, interceptando sus proyecciones con la l%nea de tierra
de!er$na#$n de las !ra(as de )na re#!a
V(%(b(l(&a& #" R#cta% #ebido a que los planos principales de proyección tapan a los objetos contenidos en los cuadrantes dos, tres y cuatro, solamente pueden ser visibles al observador los elementos geomtricos que se encuentren en el primer cuadrante, como puede observarse en la figura.
*as partes invisibles se representan, en proyección didrica con l%neas de contorno invisible' aunque tambin es frecuente, en el desarrollo de problemas en proyección didrica, representarlas con l%neas de procedimiento.
Cua&$a"t#% 0u# At$a*(#%a u"a R#cta onsiderando la extensión infinita de una recta, ella puede& • • •
an!enerse en )n #)adran!e a!ra3esar d"s #)adran!es a!ra3esar !res #)adran!es
R#cta 0u# %# a"t(#"# #" u" Cua&$a"t# 3i una recta es paralela a la l%nea de tierra, se mantiene en un cuadrante. En este caso la recta no posee tra(as.
R#cta 0u# %# At$a*(#%a &o% Cua&$a"t#% 3i una recta es paralela a uno solo de los planos principales de proyección, o se corta con la l%nea de tierra !sin estar cotenida en un plano principal de proyección", entonces atraviesa dos cuadrantes' en este caso la recta tiene una sola tra(a.
R#cta 0u# %# At$a*(#%a t$#% Cua&$a"t#% 3i una recta no es paralela a ninguno de los planos principales de proyección, ni se corta con la linea de tierra, entonces atraviesa tres cuadrantes. En este caso la recta tiene dos tra(as.
D#t#$,("ac(" lo% Cua&$a"t#% 0u# At$a*(#%a u"a R#cta
*as tra(as de una recta son tambin los puntos donde la recta cambia de cuadrante, por lo tanto, para determinar que cuadrantes atraviesa una recta !r", figura !a", puede seguirse el siguiente procedimiento& •
• •
se definen las tra(as vertical !2" y hori(ontal !:" de la recta !r" y se acotan las dos semirrectas y el segmento en que la misma queda dividida, figura !b", se ubican tres puntos !6' < y 1" arbitrarios, cada uno de ellos situado en una de estas tres partes de la recta, figura !c", se determina en que cuadrante se encuentra ubicado cada uno de los puntos anteriores, los cuales se corresponden al cuadrante en que se encuentra la parte de la recta que lo contiene, figura !d".
De!er$na#$n de l"s #)adran!es )e a!ra3$esa )na re#!a
T$(-"+ulo% R#bat(,(#"to 3on dos triángulos rectángulos por medio de los cuales puede determinarse la longitud de un segmento de recta y los ángulos que este forma con los planos principales de proyección. 3e denominan& • •
!r$&n+)l" de re2a!$$en!" :"r$("n!al y !r$&n+)l" de re2a!$$en!" 3er!$#al.
T$(-"+ulo R#bat(,(#"to Ho$(7o"talD(3#$#"c(a Cota #"t$# &o% Pu"to% *a diferencia de cota ! ∆@)C4" entre dos puntos !) y 4" es, matemáticamente, el valor absoluto de la resta de las cotas de ambos puntos !∆@)C4 > N)@C4@N". $ráficamente, se determina tra(ando, por uno de los puntos !)", una recta !a" perpendicular al plano hori(ontal de proyección, y por el otro !4", una recta !b" paralela al mismo plano, que se corte con la primera. Estas dos rectas, son en consecuencia perpendiculares y junto con la proyección real de la recta !r" forman un triángulo rectángulo denominado& triángulo de rebatimiento hori(ontal.
*a nomenclatura utili(ada en las figuras representa& ∆@)C4 & #iferencia de cota entre los puntos !) y 4". ∆H)C4 & #iferencia de vuelo entre los puntos !) y 4". αο & Ongulo que forma el segmento !)C4" !la recta !r""
con el plano
hori(ontal de proyección. βο & Ongulo que forma el segmento !)C4" !la recta !r"" con el plano vertical de proyección. Ar & ;royección rebatida del punto !)". Br & ;royección rebatida del punto !4". dA-B & *ongitud real !verdadero tamaño" del segmento !)C4" !distancia entre los puntos !) y 4". El triángulo de rebatimiento hori(ontal de un segmento !)C4" generalmente se dibuja, en doble proyección ortogonal, sobre la proyección hori(ontal !)hC4h" del mismo.
T$(-"+ulo R#bat(,(#"to V#$t(calD(3#$#"c(a Vu#lo #"t$# &o% Pu"to% *a diferencia de vuelo ! ∆H)C4" entre dos puntos !) y 4" es, matemáticamente, el valor absoluto de la resta de los vuelos de ambos puntos !∆H)C4 > N)HC4HN". $ráficamente, se determina tra(ando, por uno de los puntos !4", una recta !b" perpendicular al plano vertical de proyección, y por el otro !)", una recta !a" paralela al mismo plano, que se corte con la primera. Estas dos rectas, son en consecuencia perpendiculares y junto con la proyección real de la recta !r" forman un triángulo rectángulo denominado& triángulo de rebatimiento vertical.
*a nomenclatura utili(ada en las figuras representa& ∆@)C4 & #iferencia de cota entre los puntos !) y 4". ∆H)C4 & #iferencia de vuelo entre los puntos !) y 4". αο & Ongulo que forma el segmento !)C4" !la recta !r""
con el plano
hori(ontal de proyección. βο & Ongulo que forma el segmento !)C4" !la recta !r"" con el plano vertical de proyección. Ar & ;royección rebatida del punto !)". Br & ;royección rebatida del punto !4". dA-B & *ongitud real !verdadero tamaño" del segmento !)C4" !distancia entre los puntos !) y 4". El triángulo de rebatimiento vertical de un segmento !)C4" generalmente se dibuja, en doble proyección ortogonal, sobre la proyección vertical !) vC 4v" del mismo.
A$cocapa7 3e denomina arcocapa( a la construcción geomtrica de los triángulos de rebatimiento de un segmento !)C4", unidos por sus hipotenusas, y circunscritos en una circunferencia' cuyo diámetro es igual al verdadero tamaño !d)C4" del mismo. En la figura !a", se muestra el dibujo de los triángulos de rebatimiento del segmento !)C4" y en la figura !b" la construcción del arcocapa( del mismo segmento.
#&(c(" D(%ta"c(a% #" R#cta% omo ya se explico, la longitud real !d )C4" de un segmento !)C4" es deformada cuando este es proyectado ortogonalmente, ra(ón por la cual, en doble proyección ortogonal la longitud real !d )C4" de un segmento !)C4", debe medirse en la hipotenusa de uno de sus triángulos de rebatimiento. #e igual forma, para ubicar a un punto !<" a una distancia !d 6C<" determinada de otro punto !6" dado, debe tambin dibujarse un triángulo de rebatimiento de la recta como se indica en la figura.
R#cta% #" Po%(c(o"#% Pa$t(cula$#% 3i una recta es paralela a uno de los planos principales de proyección, se proyecta sobre el en verdadero tamaño, y por lo tanto no es necesario dibujar los triángulos de rebatimiento para medir distancias sobre ella, o
determinar los ángulos que forma con los planos principales de proyección. ;or lo tanto el conocimiento de este tipo de rectas permite resolver ciertos problemas con mayor rapide(. *as posiciones particulares que puede adoptar una recta son& • • • • • • • • •
re#!a :"r$("n!al, re#!a #"n!en$da en el 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n, re#!a 0r"n!al, re#!a #"n!en$da en el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n, re#!a 'aralela a la l$nea de !$erra, re#!a #"n!en$da en la l$nea de !$erra, re#!a 3er!$#al, re#!a de ')n!a, re#!a de 'er0$l.
R#cta Ho$(7o"tal Es una recta paralela al plano hori(ontal de proyección' por lo tanto, se proyecta sobre este plano en verdadero tamaño' su proyección vertical es paralela a la l%nea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual cota !@>cte.", y por lo tanto forma un ángulo de cero grados con el plano hori(ontal de proyección ! αο>//".
R#cta Co"t#"(&a #" #l Pla"o Ho$(7o"tal P$o5#cc(" Es un caso particular del anterior. 3u proyección vertical coincide con la l%nea de tierra, por que todos sus puntos tienen cota igual a cero !@>/".
R#cta /$o"tal Es una recta paralela al plano vertical de proyección' por lo tanto, se proyecta sobre este plano en verdadero tamaño' su proyección hori(ontal es paralela a la l%nea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual vuelo !H>cte.", y por lo tanto forma un ángulo de cero grados con el plano vertical de proyección ! βο>//".
R#cta Co"t#"(&a #" #l Pla"o V#$t(cal P$o5#cc(" Es un caso particular del anterior. 3u proyección hori(ontal coincide con la l%nea de tierra, por que todos sus puntos tienen vuelo igual a cero !H>/"
R#cta Pa$al#la a la ;í"#a T(#$$a Es una recta paralela simultáneamente a los planos vertical y hori(ontal de proyección' por lo tanto, es una recta hori(ontal y frontal, y en consecuencia tiene las propiedades de ambas' es decir, su cota es constante !@>cte" y su vuelo tambin !H>cte". 3us proyecciones hori(ontal y vertical son paralelas a l%nea de tierra' están en verdadero tamaño' y forman ángulos de cero grados con los planos vertical y hori(ontal de proyección ! αο>βο>//".
R#cta Co"t#"(&a #" la ;í"#a T(#$$a Es un caso particular del anterior. 3us proyecciones están contenidas en l%nea de tierra.
R#cta V#$t(cal Es una recta perpendicular al plano hori(ontal de proyección' por lo tanto, su proyección hori(ontal es un punto, y su proyección vertical se observa en verdadero tamaño y perpendicular a l%nea de tierra' forma ángulos de noventa grados con el plano hori(ontal de proyección ! αo>//" y cero grados con el plano vertical de proyección !βo>//".
R#cta Pu"ta Es una recta perpendicular al plano vertical de proyección' por lo tanto, su proyección vertical es un punto, y su proyección hori(ontal se observa en verdadero tamaño y perpendicular a l%nea de tierra' forma ángulos de cero grados con el plano hori(ontal de proyección ! αo>//" y noventa grados con el plano vertical de proyección !βo>//".
R#cta P#$3(l
Es una recta perpendicular a la l%nea de tierra !paralela al plano lateral"' sus proyecciones son perpendiculares a l%nea de tierra. 3u verdadero tamaño, as% como los ángulos que forma con los planos principales de proyección, pueden determinarse en una proyección lateral de la misma.
Co"%t$ucc(" R#cta% *a posición relativa entre los elementos que forman los triángulos de rebatimiento de una recta no var%a' por ejemplo& el cateto ! ∆@" es siempre opuesto al ángulo ! α" y perpendicular al cateto !r h".
;or lo tanto es posible definir las proyecciones incompletas de una recta, si se conoce& • • • • • • •
la 'r"-e##$n 3er!$#al /r 3 de la recta !r" y el &n+)l" / " que forma con el plano vertical de proyección, la 'r"-e##$n :"r$("n!al /r : de la recta !r" y &n+)l" / " que forma con el plano hori(ontal de proyección, la 'r"-e##$n 3er!$#al /r 3 de la recta !r" y el &n+)l" / " que forma con el plano hori(ontal de proyección, la 'r"-e##$n :"r$("n!al /r : de la recta !r" y el &n+)l" / " forma con el plano vertical de proyección, la 'r"-e##$n :"r$("n!al /r : de la recta !r" y el 3erdader" !aa" /dAB de un segmento, la 'r"-e##$n 3er!$#al /r 3 de la recta !r", y el 3erdader" !aa" /dAB de un segmento, el 3erdader" !aa" /dAB de un segmento !aCb", y los &n+)l"s / " - / " que forma con los los planos principales de proyección.
S# Co"oc# la P$o5#cc(" V#$t(cal $*) la R#cta $) 5 #l Á"+ulo
o) 0u# /o$,a co" #l Pla"o V#$t(cal P$o5#cc(" E4e'l"& definir la proyección hori(ontal !r h" de la recta !r" que contiene al segmento !)C4" que forma el ángulo ! βo" con el plano vertical de proyección' estando !4" por detrás de !)", figura !a". S"l)#$n& la proyección hori(ontal !rh" de la recta !r", puede definirse dibujando el triángulo de rebatimiento vertical del segmento !)C4" a partir de su proyección vertical, figura !b"
S# Co"oc# la P$o5#cc(" Ho$(7o"tal $) la R#cta $) 5 #l Á"+ulo ) 0u# /o$,a co" #l Pla"o Ho$(7o"tal P$o5#cc(" E4e'l"& definir la proyección vertical del segmento !)C4" que forma el ángulo !αο" con el plano hori(ontal de proyección' estando !4" por debajo de !)",figura !a". S"l)#$n& la proyección vertical del segmento !)C4" puede definirse dibujando el triángulo de rebatimiento hori(ontal del mismo a partir de su proyección hori(ontal, figura !b".
S# Co"oc# la P$o5#cc(" V#$t(cal * $ ) la R#cta $) 5 #l Á"+ulo ) 0u# /o$,a co" #l Pla"o Ho$(7o"tal P$o5#cc(" E4e'l"& definir la proyección hori(ontal del segmento !)C4" que baja hacia adelante formando el ángulo ! αο" con el plano hori(ontal de proyección, figura !a". S"l)#$n& la proyección hori(ontal del segmento !)C4" puede definirse determinando la diferencia de cota ! ∆@)C4" del mismo, y dibujando, a partir de ella, su triángulo de rebatimiento hori(ontal, figura !b".
3i se var%a el valor del ángulo ! αο" dado, puede ser que la solución sea& • •
una recta frontal figura !a" el ejercicio no tiene solución, figura !b".
S# Co"oc# la P$o5#cc(" Ho$(7o"tal $) la R#cta $) 5 #l Á"+ulo ) /o$,a co" #l Pla"o V#$t(cal P$o5#cc(" E4e'l"& definir la proyección vertical del segmento !)C4" que sube hacia atrás formando el ángulo ! βο" con el plano vertical de proyección, figura !a". S"l)#$n& la proyección vertical del segmento !)C4" puede definirse determinando la diferencia de vuelo ! ∆H)C4" del mismo, y dibujando a partir de ella, su triángulo de rebatimiento vertical, figura !b".
3i se var%a el valor del ángulo ! βο" dado, puede ser que la solución sea& • •
una recta hori(ontal, figura !a" el ejercicio no tiene solución, figura !b".
S# Co"oc# la P$o5#cc(" Ho$(7o"tal $) la R#cta $) 5 #l V#$&a$o Ta,ao &AB) u" S#+,#"to E4e'l"& definir la proyección vertical del segmento !)C4", de longitud !d)C4", sabiendo que baja hacia la derecha, figura !a". S"l)#$n& la proyección vertical del segmento !)C4" puede definirse dibujando el triángulo de rebatimiento hori(ontal del mismo a partir de su proyección hori(ontal, figura !b".
3i se var%a el valor del verdadero tamaño !d )C4" del segmento dado, puede ser que la solución sea& • •
una recta hori(ontal, figura !a" el ejercicio no tiene solución, figura !b".
S# Co"oc# la P$o5#cc(" V#$t(cal $*) la R#cta $). 5 #l V#$&a$o Ta,ao &AB) u" S#+,#"to E4e'l"& definir la proyección hori(ontal del segmento !)C4", de longitud !d)C4", sabiendo que sube hacia atrás, figura !a". S"l)#$n& la proyección hori(ontal del segmento !)C4" puede definirse dibujando el triángulo de rebatimiento vertical del mismo a partir de su proyección vertical, figura !b".
3i se var%a el valor del verdadero tamaño !d )C4" del segmento dado, puede ser que la solución sea& • •
una recta frontal, figura !a" el ejercicio no tiene solución, figura !b".
S# Co"oc# #l V#$&a$o Ta,ao &AB) u" S#+,#"to 5 lo% Á"+ulo% ) 5 ) 0u# /o$,a co" lo% lo% Pla"o% P$("c(pal#% P$o5#cc(" E4e'l"& definir las proyecciones del segmento !)C4", de longitud !d )C4", sabiendo que baja hacia atrás, formando los ángulos ! αο" y !βο" con los planos hori(ontal y vertical de proyección respectivamente, !!4" a la derecha y por debajo de !)"", figura !a". S"l)#$n& las proyecciones hori(ontal y vertical pueden dibujarse construyendo, generalmente aparte, el arcocapa( del segmento !)C4" dado, en base a una circunferencia cuyo diámetro sea el verdadero tamaño !d)C4" del mismo, figura !b".
Este tipo de ejercicio tiene solución cuando la suma de los ángulos ! αο" y !βο" es inferior a / / !αο=βοJ//", como es el caso del ejemplo mostrado en la figura anterior' o si la suma de los ángulos ! αο" y !βο" es igual a // !αο=βο>//", en cuyo caso la solución es una recta de perfil como se muestra en la figura siguiente.
3i la suma de los ángulos ! αο" y !βο" es mayor que // !αο=βοP//", el ejercicio no tiene solución.
PRO=ECCIÓN DI!DRICA DE P;ANOS ;ara designar los planos se utili(an letras min-sculas del alfabeto griego !Big.6". 9$+.1.K Al0a2e!" +r$e+"
/o$,a% ("($ u" pla"o UN PLANO / PUEDE DE9INIRSE POR MEDIO DE%
a
Tre p$nto A7
?7 & C5 i.2. 9$+.5.K Plan" / de0$n$d" '"r !res ')n!"s /A B - C
2
9na recta a5 & $n p$nto P5 i.3.
9$+.6.K Plan" / de0$n$d" '"r )na re#!a /a - )n ')n!" /P
#
Do recta a & 5 *$e e cortan i.4.
9$+.>.K Plan" / de0$n$d" '"r d"s re#!as /a - 2 )e se #"r!an
d
Do recta a & 5 paralela i.;.
9$+.7.K Plan" / de0$n$d" '"r d"s re#!as /a - 2 'aralelas
4os re$tas 'ue se $ru#an no definen un planoT
9n plano' inicial"ente de!inido por tre p$nto i. a5' p$ede poterior"ente er de!inido por6 $na recta a5 & $n p$nto A5 i.;5, do recta a & 5 *$e e cortan i. 05, o do recta a & 5 paralela i.85.
9$+..K Ca2$" de la de0$n$#$n "r$+$nal de )n 'lan"
T#o$#,a% Pla"o% a
i do p$nto A & ?5 pertenecen a $n plano α5' la recta r 5 *$e lo $ne ta"(in pertenece a l i.8a.
9$+.=.K Te"reas de 'lan"s
2
Toda la recta coplanare e cortan entre i, e:cepto i on paralela i.8 .
Eto do teore"a on de ran aplicaci#n en la reol$ci#n de pro(le"a de eo"etra decriptiva relacionado con la pro&ecci#n de plano.
R#cta 0u# P#$t#"#c# a u" Pla"o Se puede determinar la pertenencia o nó de una recta ( r ) a un plano (α), por medio de la verifcación del cumplimiento de los dos teoremas de planos mencionados en el punto anterior.
E4e'l"% Defnir la proyección horizontal ( r ) de la recta ( r ), sabiendo que esta contenida en el plano (α) defnido por: a
Tres ')n!"s /A B - C\ i!."a;.
S"l)#$n\ i!."a0. Se defnen las proyecciones de la recta ( a) por medio de los puntos ( A y C). 5 Se defnen las proyecciones de la recta ( ) por medio de los puntos ( ? y C). Las re$tas (a & ) est"n $ontenidas en el plano ( α) por 'ue los puntos (A7 ?7 & C) 'ue las 1
definen son puntos ese plano. Se defnen las proyecciones de los puntos ( ; y 0) de corte de la recta ( r ) con las rectas ( a y ) respectivamente. Las re$tas (a7 7 & r) se $ortan por 'ue todas pertene$en a un mismo plano ( α). #a proyección horizontal (r ) de la recta (r ) queda defnida por las > proyecciones horizontales ( ; y 0) de los puntos (; y 0). 6
9$+..K Re#!a )e 'er!ene#e a )n 'lan"
2
Una re#!a /a - )n ')n!" /A\ i!.";.
S"l)#$n\ i!."0. 1 5
6 > 7
Se defnen las proyecciones del punto de corte ( Ι) entre las rectas ( a y r ). Se defnen las proyecciones de un punto (;) cualquiera de la recta ( a). Se defnen las proyecciones de la recta ( ), que contiene a los puntos ( A y ;). Se defnen las proyecciones del punto de corte (0) entre las rectas ( y r ). #a proyección horizontal ( r ) de la recta (r ) queda defnida por las proyecciones horizontales ( 0 e Ι) de los puntos (0 e Ι).
# D"s re#!as /a - 2 )e se #"r!an\ i!."$;. S"l)#$n\ i!."$0. 1 5
Se defnen las proyecciones de los puntos ( ; y 0) de corte de la recta ( r ) con las rectas ( a y ) respectivamente. #a proyección horizontal (r ) de la recta (r ) queda defnida por las proyecciones horizontales ( ; y 0) de los puntos (; y 0).
d D"s re#!as /a - 2 'aralelas\ i!."d;. S"l)#$n\ i!."d0. Se procede de i!ual $orma que el caso anterior.
Pu"to 0u# P#$t#"#c# a u" Pla"o E4e'l":\ i!.%&. Defnir la proyección horizontal ( P) del punto (P) sabiendo que est' contenido en el plano (α) defnido por: a 2res puntos (A7 B & C)\ i!.%&a;. 2 Una re$ta (a ) & un punto (A)\ i!.%&;. # 4os re$tas (a & 2 ) 'ue se $ortan \ i!.%&$;. d 4os re$tas (a & 2 ) paralelas \ i!.%&d;. 9$+.18.K P)n!" )e 'er!ene#e a )n 'lan"
S"l)#$n:\ i!.%&a0 i!.%&0 i!.%&$0 y i!.%&d0, respectivamente. ara defnir la proyección horizontal ( P) del punto (P), en todos los casos, se aplica el si!uiente procedimiento: a Se defne la proyección vertical ( m%) de una recta ( m) cualquiera que conten!a al punto (P). 2 Se defne la proyección horizontal ( m) de la recta ( m) haci*ndola pertenecer al plano (α). # Se defne la proyección horizontal ( P) del punto ( P), sobre la proyección horizontal (m ) de la recta ( m).
T$a7a% u" Pla"o on la recta donde el plano e intercepta con lo plano principale de pro&ecci#n. e deno"inan i.116
9$+.11.K Tra(as de )n 'lan"
a Tra(a 3er!$#al de )n 'lan". E la interecci#n f 5 del plano α5 con el plano vertical de pro&ecci#ni.11a.
2 Tra(a :"r$("n!al de )n 'lan". E la interecci#n 5 del plano α5 con el plano horizontal de pro&ecci#n i.11(. a traza f & 5 de $n plano α5 e cortan en la lnea de tierra e:cepto i el plano α5 e paralelo a ella5.
DETERMINACIÓN DE LAS TRAAS DE UN PLANO i $na recta r 5 et% contenida en $n plano (α), la traza vertical =5 & horizontal 5 de la recta r 5' et%n contenida en la traza vertical f 5 & horizontal 5 del plano α5' repectiva"ente !i.125. Ade"%' co"o &a e "encion#' la traza de $n plano e cortan en la lnea de tierra E:cepto i el plano e paralelo a ella5.
0$+.15.K Tra(as de )na re#!a /r #"n!en$da en )n 'lan" /
+or lo tanto' p$eden de!inire la traza de $n plano α5' de!iniendo previa"ente la traza de do recta a & 5 contenida en el' co"o e "$etra en lo e)e"plo a5 & 5 de la !i.13.
0$+.16.K De!er$na#$n de las !ra(as de )n 'lan"K e4e'l"s
PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DE9INIDO POR TRAAS
En la !i$ra i$iente' e il$tra co"o hacer pertenecer $n p$nto P5 a $n plano α5 de!inido por traza f & 5 !i. a5' $tilizando para ello6 • $na recta6 r 5 c$al*$iera !i. ;5, • $na recta f ;5 !rontal !i. 05, • $na recta ;5 horizontal !i. 85.
P)n!" #"n!en$d" en )n 'lan" de0$n$d" '"r !ra(as
R#cta% Ca$act#$í%t(ca% u" Pla"o e lla"an recta caractertica de $n plano α5 a la recta del plano *$e on paralela a $no de lo plano principale de pro&ecci#n. e deno"inan !i.146
a Re#!as #ara#!er,s!$#as 0r"n!ales de )n 'lan". on la recta f ;5 del plano α5 paralela al plano vertical de pro&ecci#n, en conec$encia on paralela a la traza vertical f 5 del plano α !i.14a.
0$+.1>.K Re#!as #ara#!er,s!$#as de )n 'lan"
Toda la recta !rontale f , f ;, f 0, ...5 de $n plano α5 on paralela entre !i.1;.
0$+.17.K Paralel$s" en!re re#!as #ara#!er,s!$#as 0r"n!ales
2 Re#!as #ara#!er,s!$#as :"r$("n!ales de )n 'lan". on la recta ;5 del plano α5 paralela al plano horizontal de pro&ecci#n, en conec$encia on paralela a la traza horizontal 5 del plano α5 !i.14. Toda la recta horizontale , ;, 0, ...5 de $n plano α5 on paralela entre !i.1<.
0$+.1.K Paralel$s" en!re re#!as #ara#!er,s!$#as :"r$("n!ales
9n plano α5 p$ede er de!inido por do recta caractertica f ; & ;5' co"o e "$etra en la !i.1 a. la traza f & 5 de ete plano α5' p$eden deter"inare a partir de $ recta caractertica f ; & ;5' co"o e "$etra en la !i.1 .
0$+.1.K Plan" / de0$n$d" '"r re#!as /0 1 - :1 #ara#!er,s!$#as
PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DE9INIDO POR RECTAS CARACTERSTICAS En la !i.18' e il$tra co"o hacer pertenecer $n p$nto P5 a $n plano α5 de!inido por recta caractertica f & 5 !i.18a5, $tilizando para ello6 • $na recta6 r 5 c$al*$iera !i.18 ;5, • $na recta f ;5 !rontal !i.18 05, • $na recta ;5 horizontal !i.18 85.
0$+.1=.K P)n!" )e 'er!ene#e a )n 'lan" de0$n$d" '"r re#!as #ara#!er,s!$#as
Notac(" Co"*#"(&a Pla"o% D#3("(&o% po$ T$a7a% 9na !or"a convencional de deinar' en do(le pro&ecci#n ortoonal' a $n plano (α)' de!inido por $ traza f & 5' conite en ca"(iar $ no"enclat$ra te#rica' "otrada en la !i.2@ a' por la no"enclat$ra convencional "otrada en la !i.2@ .
0$+.58.K N"!a#$n !er$#a - #"n3en#$"nal de )n 'lan" /
En la !i.21' e "$etra la co"paraci#n entre la notaci#n te#rica !i.21 a5 & la notaci#n convencional !i.215 $ada en la repreentaci#n de lo plano (α; β; & γ )' p$dindoe apreciar en la "i"a' la conveniencia de $tilizar eta /lti"a' la c$al er% $ada en adelante.
0$+.51.K N"!a#$n !er$#a - #"n3en#$"nal de l"s 'lan"s / -
Pla"o% #" Po%(c(o"#% Pa$t(cula$#% o plano' al i$al *$e la recta' p$eden oc$par cierta poicione partic$lare con repecto a lo plano principale de pro&ecci#n. El et$dio de de eta poicione e "$& i"portante, &a *$e poeen propiedade pro&ectiva propia *$e per"iten per"iten i"pli!icar la reol$ci#n de pro(le"a relacionado relacionado con ete tipo de plano. En la !i.22 a !i.24' e "$etran eta poicione partic$lare. o p$nto A, ?, & C5 repreentado en cada cao et%n contenido en el plano α5 "otrado' & e indican ade"% lo %n$lo α0 & β/5 *$e el plano α5 !or"a en cada cao con lo plano horizontal horizontal & vertical de pro&ecci#n repectiva"ente. repectiva"ente. A contin$aci#n' e hace $na (reve decripci#n de eta poicione partic$lare6
a Plan" 0r"n!al. E $n plano paralelo al plano vertical de pro&ecci#n, por lo tanto todo $ p$nto tienen el "i"o v$elo. $ traza horizontal' o(re la c$al e pro&ecta horizontal"ente todo el plano' e paralela a la lnea de tierra. El plano e pro&ecta vertical"ente en verdadero ta"a7o !i.22 a.
2 Plan" :"r$("n!al. E $n plano paralelo al plano horizontal de pro&ecci#n, por lo tanto todo $ p$nto tienen la "i"a cota. $ traza vertical' o(re la c$al c$al e pro&ecta vertical"ente todo el plano e paralela a la lnea de tierra. El plano e pro&ecta horizontal"ente en verdadero ta"a7o !i.22 .
# Plan" 3er!$#al. E $n plano perpendic$lar al plano horizontal de pro&ecci#n, por lo tanto $ traza vertical e perpendic$lar a la lnea de tierra' todo el plano e pro&ecta horizontal"ente o(re $ traza horizontal !i.22 $.
0$+.55.K Plan"s en '"s$#$"nes 'ar!$#)lares
Pla n" de d e ')n!a ') n!a . E $n plano perpendic$lar al plano vertical de pro&ecci#n, por lo tanto $ traza d Plan" horizontal e perpendic$lar a la lnea de tierra' todo el plano e pro&ecta vertical"ente o(re $ traza vertical !i.22 d.
e Plan" de 'er0$l. E $n plano perpendic$lar a la lnea de tierra, por lo tanto e paralelo al plano lateral & en conec$encia todo $ p$nto tienen i$al ditancia a e te plano. $ traza horizontal & vertical on perpendic$lare a la lnea de tierra' & todo el plano e pro&ecta horizontal & vertical"ente o(re ella. El plano e pro&ecta lateral"ente en verdadero ta"a7o' por eo e !rec$ente en eto plano deter"inar $ pro&ecci#n lateral !i.22 e. l nea de tierra !i.22 f . 'a ralel" " a la l,nea l,n ea de !$erra !$e rra. $ traza on paralela a la lnea 0 Plan" 'aralel
) e 'asa '"r ' "r la l,nea l, nea de !$erra !$ erra. $ traza e enc$entran en la lnea de tierra' la c$al e + Plan" )e $na recta del plano !i.23. Toda la recta contenida en eto plano e cortan con la lnea de tierra e:cepto i on paralela a ella5. E:iten ade"% do plano "$& partic$lare de e te tipo deno"inado6
0$+.56.K Plan" )e 'asa '"r la la l,nea de !$erra
Pr$e r 2$se#!"r 2$se# !"r. E $n plano *$e paa por la lnea de tierra & !or"a 4; @ con el plano 1 Pr$er horizontal de pro&ecci#n' dividiendo en parte i$ale a lo c$adrante $no Ι C5 & tre ΙΙΙ C5. a pro&eccione de c$al*$ier !i$ra eo"trica contenida en el pri"er (iector on i"trica, de(ido a *$e para todo $ p$nto6 la cota' e i$al al v$elo !i.24 a.
0$+.5>.K Plan"s 2$se#!"res
Se+ )nd" 2$se#! 2$s e#!"r "r. E $n plano *$e paa por la lnea de tierra & !or"a 4; @ con el plano 5 Se+)nd" horizontal de pro&ecci#n. dividiendo en parte i$ale a lo c$adrante do ΙΙ C5 & c$atro V C5. a pro&eccione de c$al*$ier !i$ra eo"trica contenida en el e$ndo (iector on coincidente, de(ido a *$e para todo $ p$nto6 la cota & el v$elo on i$ale en "anit$d pero di!erente en ino !i.24.
capítulo
PRO=ECCIÓN DI!DRICA DE ;AS RE;ACIONES GEO!TRICAS /UNDAENTA;ES
+n captulos captulos anterior anteriores es se estudió estudió como defnir defnir la roye royección cción Di*drica Di*drica de los elementos !eom*tricos b'sicos: punto, recta y plano. Sin embar!o, estos elementos !eom*tricos no deben considerarse como al!o independiente, debido a que se presentan -untos en cualquier ob-eto real que se repre represent sente e o en cualquier cualquier problema problema de eometr eometra a Descript Descriptiva iva que se quiera quiera resolver. or e-emplo, un punto puede ori!inarse de la intersección entre una recta y un plano o una recta puede ser defnida por la intersección entre dos planos, etc. #as rectas y los planos por su parte pueden ubicarse en el espacio que los rodea en di$er di$erent entes es posici posicione ones s relat relativa ivas s pudien pudiendo do ser parale paralelos los perpe perpendic ndicula ulare res, s, cortarse, cruzarse, etc. +n este captulo inicia el estudio de como defnir, en proyección di*drica, las propi propieda edades des de inters intersecc ección ión,, parale paralelis lismo mo y/o perpen perpendic dicula ularid ridad ad que pueden pueden produ producir cirse se entre entre recta rectas s y planos planos debido debido a las posici posicione ones s relat relativa ivas s que estos estos ocupen entre s en el espacio que los rodea. #os procedimientos aqu descritos son de !ran importancia para la resolución de problemas en doble proyección orto!onal, y representan una herramienta b'sica de traba-o que capacitar' al estudiante para la determinación de la proyección di*dri di*drica ca de ob-eto ob-etos s tridim tridimens ension ionale ales, s, tales tales como como pir'm pir'mide ides, s, prism prismas as,, conos conos,, es$eras, etc., as como para la defnición de las intersecciones producidas entre estos cuerpos. or otra otra parte, parte, la compr comprens ensión ión de estas estas relac relacion iones es b'sica b'sicas s de inter intersec secció ción, n, paralelis paralelismo mo y perpendic perpendicular ularidad, idad, es necesar necesaria ia para la resoluc resolución ión de prolemas m3tri m3tri$os $os y la dete determ rmina inació ción n de lugares geom3tri$os , que se analiza en captulos si!uientes as como para la comprensión de otros procedimientos pr'cticos de !eome !eometr tra a descr descript iptiva iva como como lo son: son: reatimi reatimiento ento de planos planos rota$in rota$in de planos planos y $amio de planos de pro&e$$in , descritos mas adelante y que representan tambi*n procedim procedimiento ientos s de traba-o traba-o esencial esenciales es para la determi determinació nación n de la proyecc proyección ión di*drica de ob-etos !eom*tricos !eom*tricos comple-os.
INTERSECCIÓN
I"t#$%#cc(" #"t$# u"a R#cta 5 u" Pla"o *a intersección entre una recta !r " y un plano ! α" es un punto ! Ι"Q fig.6. 0$+.1.K In!erse##$n / en!re )na re#!a /r - )n 'lan" /
DETERMINACIÓN DE LA INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO /re#!a !a'ada +ara de!inir el p$nto de interecci#n Ι5 entre $na recta r 5 & $n plano (α)' e aplica $n procedi"iento deno"inado re$ta tapada ' el c$al conite en6 !i.26 a De!inir en el plano (α) $na recta t5' c$&a pro&ecci#n horizontal t5 coincide se tapa5 con la pro&ecci#n horizontal r 5 de la recta r 5, 5, por eta raz#n la recta t5 e deno"ina re$ta tapada . a recta r & & t5 e cortan en el p$nto de interecci#n Ι5 ($cado.
0$+.5.K De!er$na#$n de la $n!erse##$n / * en!re re#!a /r - 'lan" / * !a'and" las 'r"-e##$"nes :"r$("n!ales /r : - !: de las re#!as /r - !
2 #
a pro&ecci#n vertical Ι%5 del p$nto Ι5 *$eda de!inida por el corte de la pro&eccione verticale r % & t%5 de la recta r & & t5. a pro&ecci#n horizontal Ι5 del p$nto Ι5' e o(tiene pro&ectiva"ente' o(re la pro&ecci#n horizontal r =t5 de la recta r & & t5.
Ta"(in Ta"(in e poi(le de!inir la interecci#n Ι5 entre $na recta r 5 & $n plano (α) tapando la pro&eccione verticale r % & t%5 de la recta r & & t5 & i$iendo $n procedi"iento an%loo al anterior !i.3.
0$+.6.K De!er$na#$n de la $n!erse##$n / en!re )na re#!a /r - )n 'lan" / * !a'and" las 'r"-e##$"nes 3er!$#ales /r 3 - !3 de las re#!as /r - !
E4e'l" 1% De0$n$r la $n!erse##$n / * de la re#! a /r* #"n el 'lan" / * de0$n$d" '"r s)s !ra(as !i.4a. S"l)#$n6 En la !i.4 ' e "$etra la ol$ci#n tapando la pro&eccione horizontale r =t5 de la recta r & t5 & en la !i.4 $' tapando $ pro&eccione verticale r %=t%5. 0$+.>.K In!erse##$n / de la re#!a /r #"n el 'lan" / de0$n$d" '"r !ra(as
E4e'l" 5% De0$n$r la $n!erse##$n / * de la re#! a /r* #"n el 'lan" / * de0$n$d" '"r s)s re#!as /0 - : #ara#!er,s!$#as !i.;a. S"l)#$n: En la !i.; ' e "$etra la ol$ci#n tapando la pro&eccione horizontale r =t5 de la recta r & t5 & en la !i.; $' tapando $ pro&eccione verticale r %=t%5. 0$+.7.K In!erse##$n / de la re#!a /r #"n el 'lan" / de0$n$d" '"r
re#!as #ara#!er,s!$#as /0 - :
E4e'l" 6% De0$n$r la $n!erse##$n / * de la r e#!a /r* de 'er0$l* #"n el 'lan" / * de0$n$d" '"r s)s s)s !ra(as !i.
E4e'l" >% De0$n$r la $n!erse##$n / * de la re#!a /r* #"n l"s 'lan"s 2$se#!"res !i.a. S"l)#$n: intersección de la recta con el primer bisector: En la !i. ' e "$etra co"o de!inir la interecci#n Ι5 de la recta r 5 con el pri"er (iector' en el c$al la pro&eccione de la recta t5 on i"trica. intersección de la recta con el segundo bisector: En la !i. $' e "$etra co"o de!inir la interecci#n Ι5 de la recta r 5 con el e$ndo (iector' en el c$al la pro&eccione de la recta t5 coinciden.
0$+..K In!erse##$n / de )na re#!a /r #"n l"s 'lan"s 2$se#!"res
A"-l(%(% la V(%(b(l(&a&. #" la I"t#$%#cc(" u"a R#cta co" u" Pla"o a repreentaci#n de la interecci#n de $na recta r 5 con $n plano (α)' ie"pre preenta do poi(ilidade de vii(ilidad' co"o e "$etra en la !i.8 a & !i.8' en la c$ale p$ede o(ervare *$e $n e"ento de la recta r 5' de!inido por el p$nto de interecci#n Ι5 & $n p$nto del contorno del plano α5' per"anece invii(le al o(ervador' iendo tapado por el plano.
0$+.=.K In!erse##$n en!re )na re#!a - )n 'lan"K
En Do(le +ro&ecci#n rtoonal' de(e analizare la vii(ilidad en la pro&eccione horizontal & vertical en !or"a independiente' de(ido a *$e lo e"ento vii(le en $na de la pro&eccione no on necearia"ente vii(le en la otra pro&ecci#n. +or "edio del i$iente e)e"plo e decri(e la !or"a de analizar la vii(ilidad en la interecci#n de $na recta r 5 con $n plano α5.
E4e'l"% De0$n$r la $n!erse##$n / - 3$s$2$l$dad en!re la re#!a /r - el !r$&n+)l" de 3Hr!$#es /AB - C !i.?a. S"l)#$n:
a e deter"ina el p$nto de interecci#n Ι5 entre la recta r 5 & el tri%n$lo A7?7C5 !i.?. 0$+..K In!erse##$n en!re re#!a - 'lan"K
2 +ara deter"inar la vii(ilidad en pro&ecci#n vertical !i.? $6 1 e de!ine el e"ento de p$nta ;H05 c$&a pro&ecci#n vertical ;%F0%5 e el p$nto de corte entre la pro&eccione verticale de la recta r 5 & del lado AH?5. Etando lo p$nto ; & 05 contenido en6
punto ;6 En el lado AH?5. punto 06 En la recta r 5. 5 De eto do p$nto' olo $no e vii(le en pro&ecci#n vertical' & er% a*$el de lo do *$e poea "a&or v$elo. +or lo tanto e de!ine la pro&ecci#n horizontal del e"ento de p$nta ;H05' & e deter"ina en ella c$al de eto do p$nto tiene "a&or v$elo, re$ltando er el p$nto 05. e de!ine entonce' *$e el e"ento 0HΙ5 de la recta r 5 e vii(le en pro&ecci#n vertical' por*$e el p$nto 05 *$e eta contenido en el e vii(le en eta pro&ecci#n.
# +ara deter"inar la vii(ilidad en pro&ecci#n horizontal !i.? d6 1 e de!ine el e"ento vertical 8H-5 c$&a pro&ecci#n horizontal 8F-5 e el p$nto de corte entre la pro&eccione horizontale de la recta r 5 & del lado ?HC5. Etando lo p$nto 8 & -5 contenido en6 punto 86 En el lado ?HC5. punto -6 En la recta r 5.
5 De eto do p$nto' olo $no e vii(le en pro&ecci#n horizontal' & er% a*$el de lo do *$e poea "a&or cota. +or lo tanto e de!ine la pro&ecci#n vertical del e"ento vertical 8H-5' & e deter"ina en ella c$al de eto do p$nto tiene "a&or cota, re$ltando er el p$nto -5. e de!ine entonce' *$e el e"ento 4−Ι5 de la recta r 5 e vii(le en pro&ecci#n horizontal' por*$e el p$nto -5 *$e eta contenido en el e vii(le en eta pro&ecci#n.
I"t#$%#cc(" #"t$# &o% Pla"o% a interecci#n entre do plano α & β5 e $na recta i5' para deter"inarla !i.1@ a6 a e elie' c$al*$ier recta a5 en el plano α5' & e deter"ina $ interecci#n Ι5 con el plano β5. 2 e repite el pao anterior eliiendo $na e$nda recta' 5 en el plano α5' & deter"inando $ interecci#n K5 con el plano β5.
0$+.18.K In!erse##$n /$ en!re d"s 'lan"s / -
#
o p$nto de interecci#n Ι & K5 de!inen la recta de interecci#n i5 entre lo plano α & β5.
a recta a & 5 ta"(in p$eden er eleida en el plano (β) & er interceptada con el plano (α) !i.1@.
E4e'l" 1% De0$n$r la $n!erse##$n /$ en!re l"s 'lan"s / - * de0$n$d"s '"r s)s !ra(as !i.11 a. S"l)#$n6 e de!inen do recta a & 5 !rontale del plano (α)' & e deter"inan $ intereccione Ι & K5 con el plano (β). a recta de interecci#n i5 entre lo plano α & β5 *$eda de!inida por lo p$nto Ι & K5 !i.11.
0$+.11.K In!erse##$n /$* en!re d"s 'lan"s / - de0$n$d"s '"r !ra(as
E4e'l" 5% De0$n$r la $n!erse##$n /$ en!re el 'lan" / * de0$n$d" '"r s)s !ra(as - el 'lan" / * de0$n$d" '"r las re#!as /a - 2 'aralelas !i.12a. S"l)#$n6 a interecci#n Ι5 entre lo plano α & β5' *$eda de!inida por lo p$nto de interecci#n Ι & K5 de la recta a & 5 con el plano (α) !i.12. 0$+.15.K In!erse##$n /$* en!re )n 'lan" / de0$n$d" '"r !ra(as* - )n 'lan" / de0$n$d" '"r re#!as /a - 2 'aralelas
E4e'l" 6% De0$n$r la $n!erse##$n /$ en!re el 'lan" / * de0$n$d" '"r s)s re#!as /0 y :* #ara#!er,s!$#as - el 'lan" / * de0$n$d" '"r las re#!as /a - 2* 'aralelas !i.13a. S"l)#$n6 a interecci#n Ι5 entre lo plano α & β5' *$eda de!inida por lo p$nto de interecci#n Ι & K5 de la recta a & 5 con el plano (α) !i.13. 0$+.16.K In!erse##$n /$* en!re )n 'lan" / de0$n$d" '"r re#!as /0 - : #ara#!er,s!$#as* - )n 'lan" / de0$n$d" '"r re#!as /a - 2 'aralelas
E4e'l" >% De0$n$r la $n!erse##$n /$ en!re el 'lan" / * de0$n$d" '"r s)s !ra(as - el 'lan" / * )e 'asa '"r la l,nea de !$erra - #"n!$ene al ')n!" /A !i.14a. S"l)#$n6 1 e traza' por el p$nto A5' $na recta r 5 c$al*$iera del plano (α), e decir' c$al*$ier recta r 5 *$e pae por el p$nto A5 & e corte con la lnea de tierra !i.14 . 5 e de!ine la interecci#n Ι5 de la recta r 5 con el plano (α). 6 e de!ine la interecci#n K5 del plano (α) con la lnea de tierra. > o p$nto Ι & K5 et%n contenido i"$lt%nea"ente en lo plano α & β5' por lo tanto de!inen a la recta de interecci#n Ι5 entre a"(o plano.
0$+.1>.K In!erse##$n /$ de )n 'lan" / de0$n$d" '"r !ra(as* #"n )n 'lan" / )e 'asa '"r la l,nea de !$erra - #"n!$ene a )n ')n!" /A
A"-l(%(% la V(%(b(l(&a& #" la I"t#$%#cc(" &o% Pla"o% E4e'l"% De0$n$r la $n!erse##$n - 3$s$2$l$dad en!re el !r$&n+)l" /ABC - el #)adr$l&!er" /156> #"n!en$d" en el 'lan" /156T fig.;a. S"l)#$n: a Se define la pro&e$$in ori#ontal (; ) del %3rti$e (;) a$i3ndolo pertene$er al plano (;7078)T fig.;. 0$+.17.K In!erse##$n - 3$s$2$l$dad de d"s 'lan"sK e4e'l"
2 Se definen las interse$$iones: ( Ι) de la re$ta (AH?) $on el $uadril"tero (;70787-)7 & (K) de la re$ta (0H8) $on el tri"ngulo (A7?7C). El segmento ( ΙHK) pertene$e a los dos planos & si est" $ontenido en el primer $uadrante siempre es %isile en amas pro&e$$ionesT fig.;$. # Se define la %isiilidad de la interse$$in entre las dos figuras planas por medio del an"lisis de %isiilidad de la interse$$in de las re$tas: (AH?) $on el $uadril"tero (;70787-)7 & (0H8) $on el tri"ngulo (A7?7C)T fig.;d.
I"t#$%#cc(" #"t$# t$#% Pla"o%
a interecci#n de tre plano α, β, & γ 5 e $n p$nto Ι5. El c$al e de!ine interceptando' con el plano γ 5' la recta de interecci#n i5 entre lo plano α & β5 !i.1<.
0$+.1.K In!erse##$n / en!re !res 'lan"s /
E4e'l"% De0$n$r la $n!erse##$n / en! re l"s 'lan"s /
&
- !i.1a.
S"l)#$n:
a 2
e deter"ina la interecci#n i5 entre lo plano α & β5 !i.1. e deter"ina la interecci#n Ι5 de la recta i5 con el plano γ 5 !i.1$.
0$+.1.K In!erse##$n / de !res 'lan"sK e4e'l"
PARA;E;ISO Pa$al#l(%,o #"t$# R#cta%
El paraleli"o entre recta' en Do(le +ro&ecci#n rtoonal' tiene propiedad pro&ectiva. +or lo tanto i do recta a & 5 on paralela' $ pro&eccione verticale on paralela a%QQ%5 & $ pro&eccione horizontale ta"(in on paralela aQQ5.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de la re#!a /a )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'aralela a la re#!a /r !i.1a. S"l)#$n: !i.1. 0$+.1.K Re#!a /a* 'aralela a "!ra re#!a /r
Pa$al#l(%,o #"t$# R#cta 5 Pla"o i $na recta r 5 e paralela a $n plano α5' entonce e:iten en el plano α5 in!inidad de recta a7 7 $7 d...5 paralela a la recta r 5 !i.2a.
0$+.5.K Paralel$s" en!re re#!a /r - )n 'lan" /
+ara veri!icar el paraleli"o entre $na recta r 5 & $n plano α5 e $!iciente co"pro(ar la e:itencia de $na recta a5 del plano α5 *$e ea paralela a la recta r 5 !i.2.
RECTA PARALELA A UN PLANO : E4e'l" 1 De0$n$r la 'r"-e##$n :"r$("n!al /r de la re#!a /r* )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'aralela al 'lan" / !i.3a;.
S"l)#$n: 1 e de!ine la pro&ecci#n horizontal t5 de la recta t5 *$e eta contenida en el plano α5' c$&a pro&ecci#n vertical t%5 e tapa con la pro&ecci#n vertical r %5 de la recta r 5. 5 e traza' por la pro&ecci#n horizontal A5 del p$nto A5' & paralela a la pro&ecci#n horizontal t5 de la recta t5' la pro&ecci#n horizontal r 5 de la recta r 5 !i.3a0. 0$+.6.K Re#!a /r 'aralela a )n 'lan" / K e4e'l"s
E4e'l" 5 De0$n$r la 'r"-e##$n 3er!$#al /r3 de la re#!a /r* )e #"n!$ene al ')n!" /A es 'aralela al 'lan" / de ')n!a !i.3;. S"l)#$n. La pro&ecci#n vertical t%5 de c$al*$ier recta t5 del plano α5 de p$nta coincide con la pro&ecci#n vertical α%5 de $ traza vertical α%Ft%5. +or lo tanto la pro&ecci#n vertical r %5 de la recta r 5' paa por la pro&ecci#n vertical A%5 del p$nto A5 & e paralela a la pro&ecci#n vertical α%5 de la traza vertical del plano α5 !i.30. : E4e'l" 6 De0$n$r la 'r"-e##$n :"r$("n!al /r de la re#!a /r* )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'aralela al 'r$er 2$se#!"r !i.3$;.
S"l)#$n. a pro&eccione vertical t%5 & horizontal t5 de la recta t5 contenida en el +ri"er Biector' c$&a pro&ecci#n vertical t%5 coincide con la pro&ecci#n vertical r %5 de la recta r 5 on
i"trica con repecto a la lnea de tierra. +or lo t anto la pro&ecci#n horizontal r 5 de la recta r 5' paa por la pro&ecci#n horizontal A5 del p$nto A5 & a"(a pro&eccione de la recta r 5 !or"an con la lnea de tierra el "i"o %n$lo αο5 !i.3$0.
: E4e'l" > De0$n$r la 'r"-e##$n :"r$("n!al /r de la re#!a /r* )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'aralela al se+)nd" 2$se#!"r !i.3d;.
S"l)#$n. a pro&eccione de la recta t5 *$e eta contenida en el e$ndo Biector & c$&a pro&ecci#n vertical t%5 coincide con la pro&ecci#n vertical r %5 de la recta r 5 on coincidente r %Ft%Ft5. +or lo tanto la pro&ecci#n horizontal r 5 de la recta r 5' paa por la pro&ecci#n horizontal A5 del p$nto A5 & e paralela a la pro&ecci#n vertical r %5 de la recta r 5 !i.3d0.
PLANO PARALELO A UNA RECTA E4e'l" 1% De0$n$r el 'lan" / * )e #"n!$ene a la re#!a /a - es 'aralel" a la re#!a /r !i.4a. S"l)#$n. +ara de!inir ete plano α5 de(e trazare' por c$al*$ier p$nto P5 de la recta a5' $na recta 5 paralela a la recta r 5' *$edando el plano α5 de!inido por la recta a & 5 *$e e cortan !i.4 . 0$+.>.K Plan" / * 'aralel" a )na re#!a /rK e4e'l"
R#cta Pa$al#la a &o% Pla"o% 9na recta r 5 e paralela a do plano α & β5 i e paralela a la interecci#n i5 entre a"(o plano !i.;.
0$+.7.K Re#!a /r 'aralela a d"s 'lan"s / -
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de la re#!a /r )e 'asa '"r el ')n!" /A - es 'aralela a l"s 'lan"s / y !i.
Pa$al#l(%,o #"t$# Pla"o% i do plano α & β5 on paralelo' entonce toda la recta a7 7 $7...5 del plano α5 on paralela al plano β5' & toda la recta a;7 ;7 $;7...5 del plano (β) on paralela al plano α5 !i.a.
0$+..K Paralel$s" en!re 'lan"s
+ara veri!icar el paraleli"o entre do plano α & β5 e $!iciente co"pro(ar *$e do recta a & 5 no paralela' de $no de ello α5 ean paralela al otro β5 !i..
E4e'l" 1 De0$n$r el 'lan" / )e #"n!$ene al ')n!" /A - es ' aralel" al 'lan" / de0$n$d" '"r las re#!as /a - 2 !i.8a. S"l)#$n. El plano (β) e de!ine por "edio de la recta a; & ;5 *$e paan por el p$nto A5 & on paralela a la recta a & 5 repectiva"ente !i.8 . 0$+.=.K Paralel$s" en!re 'lan"sK e4e'l" 1
E4e'l" 5 De0$n$r las !ra(as del 'lan" / )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'aralel" al 'lan" / !i.?a. S"l)#$n. e de!ine inicial"ente el plano (β) por "edio de la recta caractertica f & 5' *$e paan por el p$nto A5 & on paralela a la traza vertical & horizontal del plano α5 repectiva"ente. l$eo e de!inen la traza del plano β5 por "edio de $ recta caractertica f & 5 !i.?. 0$+..K Paralel$s" en!re 'lan"sK e4e'l" 5
PERPENDICU;ARIDAD P$op(#&a& P$o5#ct(*a l Á"+ulo R#cto El %n$lo recto' en pro&ecci#n ortoonal' tiene propiedad pro&ectiva' c$ando por lo "eno $na de la recta *$e lo de!inen e paralela al plano de pro&ecci#n. En la !i.1 a' e "$etra $na ec$adra paralela a $n plano α5 de pro&ecci#n' lo cateto a & 5 de!inen $n %n$lo recto' el c$al e pro&ecta ortoonal"ente in de!or"aci#n o(re el plano α5 por er a"(o cateto paralelo a ete plano.
0$+.1.K Pr"'$edad 'r"-e#!$3a del &n+)l" re#!"
i eta ec$adra e ira a trav de $ cateto a5 !i.1)' el cateto 5 de)a de er paralelo al plano α5' pero el %n$lo recto i$e pro&ect%ndoe in de!or"aci#n' por *$e el cateto a5 i$e iendo paralelo al plano de pro&ecci#n α5. En la !i.1 $' donde la ec$adra e ira a trav de $ hipoten$a 5' p$ede o(ervare *$e el %n$lo recto e de!or"ado al pro&ectare' de(ido a *$e la do recta a & 5 *$e lo de!inen de)an de er paralela al plano α5 de pro&ecci#n. En conec$encia' en pro&ecci#n didrica' para *$e el %n$lo recto e pro&ecte in de!or"aci#n' por lo "eno $na de la recta *$e lo de!inen de(e er6 a frontal (f) paralela al plano vertical de pro&ecci#n5. En ete cao e pro&ecta el %n$lo recto in de!or"aci#n o(re el plano vertical de pro&ecci#n vae el e)e"plo de la !i.2 a). 2 ori#ontal () paralela al plano horizontal de pro&ecci#n5. En ete cao e pro&ecta el %n$lo recto in de!or"aci#n o(re el plano horizontal de pro&ecci#n5 vae el e)e"plo de la !i.2 ).
E4e'l" 1% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de la re#!a /r )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'er'end$#)lar a la re#!a 0r"n!al /0. !i.2a;. S"l)#$n: a a pro&eccione verticale de la recta f & r 5 on perpendic$lare f % ⊥ r %5' &a *$e la recta !rontal f 5 e paralela al plano vertical de pro&ecci#n. +or lo tanto e traza' por la pro&ecci#n vertical A%5 del p$nto A5' & perpendic$lar a la pro&ecci#n vertical f %5 de la recta f 5' la pro&ecci#n vertical r %5 de la recta r 5!i.2a0. 2 e de!inen la pro&eccione vertical P%5 & horizontal P5 del p$nto P5 de corte entre la recta f & r 5. # a pro&ecci#n horizontal r 5 de la recta r 5 *$eda de!inida por la pro&eccione horizontale A & P5 de lo p$nto A & P5. 0$+.5.K De0$n$r las 'r"-e##$"nes de la re#!a /r )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'er'end$#)lar a la re#!a 0r"n!al /0
E4e'l" 5% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de la re#!a /r )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'er'end$#)lar a la re#!a :"r$("n!al /:.!i.2;. S"l)#$n: a a pro&eccione horizontale de la recta & r 5 on perpendic$lare ⊥ r 5' &a *$e la recta horizontal 5 e paralela al plano horizontal de pro&ecci#n. +or lo tanto e traza' por la pro&ecci#n horizontal A5 del p$nto A5' & perpendic$lar a la pro&ecci#n horizontal 5 de la recta 5' la pro&ecci#n horizontal r 5 de la recta r 5!i.20. 2 e de!inen la pro&eccione horizontal P5 & vertical P%5 del p$nto P5 de corte entre la recta & r 5. # a pro&ecci#n vertical r %5 de la recta r 5 *$eda de!inida por la pro&eccione verticale A% & P%5 de lo p$nto A & P5.
Do recta e deno"inan perpendi$ulares i e cortan !or"ando $n %n$lo recto & !or"an $n %n$lo recto pero no e cortan.
ortogonales i
+ara "a&or co"preni#n' o(rvee el paraleleppedo "otrado en la !i.3 a' en el c$al $ arita a & 5 on perpendic$lare, "ientra *$e la arita a & $5 on ortoonale al i$al *$e la arita & $5.
0$+.6.K Per'end$#)lar$dad - "r!"+"nal$dad
En la !i.3 ;' e "$etra' la do(le pro&ecci#n ortoonal' de $na recta r 5 ortoonal a $na recta !rontal f 5, & en la !i.3 0' de $na recta r 5 ortoonal a $na recta horizontal 5.
P#$p#"&(cula$(&a& #"t$# R#cta 5 Pla"o 3i una recta !r" es perpendicular a un plano ! α", entonces todas las rectas del plano !α" son perpendiculares - ortogonales a la recta !r"Q fig. 0$+.>.K Re#!a /r 'er'end$#)lar a )n 'lan" /
;ara verificar la perpendicularidad entre una recta !r" y un plano ! α", es suficiente comprobar que dos rectas !a y b", no paralelas, del plano ! α", sean perpendiculares - ortogonales, a la recta !r".
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO E4e'l" 1% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de la re#!a /r )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'er'end$#)lar al 'lan" / * de0$n$d" '"r !ra(as !i.;a. S"l)#$n: a) a recta r 5 e ortoonal a la traza vertical !5 del plano α5' & por etar eta /lti"a contenida en el plano vertical de pro&ecci#n' el %n$lo recto entre a"(a recta e pro&ecta vertical"ente in de!or"aci#n' por lo tanto e di($)a r % ⊥ α%5 !i.; . ) a recta r 5 e ta"(in ortoonal a la traza horizontal h5 del plano α5' & por etar eta /lti"a contenida en el plano horizontal de pro&ecci#n' el %n$lo recto entre a"(a recta e pro&ecta horizontal"ente in de!or"aci#n' por lo tanto e di($)a r ⊥ α5 !i.;$.
0$+.7.K Re#!a /r* )e #"n!$ene a )n ')n!" /A - es 'er'end$#)lar a )n 'lan" / * de0$n$d" '"r !ra(as
E4e'l" 5% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de la re#!a /r )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'er'end$#)lar al 'lan" / * de0$n$d" '"r re#!as /0 - /:* #ara#!er,s!$#as !i.
0$+..K Re#!a /r* )e #"n!$ene a )n ')n!" /A - es 'er'end$#)lar a )n 'lan" / * de0$n$d" '"r re#!as #ara#!er,s!$#as
PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA E4e'l"% De0$n$r el 'lan" / )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'er'end$#)lar a la re#!a /r !i.a. S"l)#$n: a e traza' por el p$nto A5 & ortoonal a la recta r 5' la recta caractertica !rontal f 5 del plano α5 !i.. 2 e traza' por el p$nto A5 & ortoonal a la recta r 5' la recta caractertica horizontal 5 del plano α5 !i.$. 0$+..K Plan" / * )e #"n!$ene a )n ')n!" /A - es 'er'end$#)lar a )na re#!a /r
El plano α5 *$eda de!inido por $ recta caractertica !rontal f 5 & horizontal 5' *$e e cortan en el p$nto A5 & on ortoonale a la recta r 5, iendo en conec$encia el plano α5 perpendic$lar a la recta r 5.
P#$p#"&(cula$(&a& #"t$# &o% R#cta%
+ara de!inir la pro&eccione de $na recta 5 *$e pae por $n p$nto P5 & ea perpendic$lar a otra recta a5 !i.8a6 a) e traza por el p$nto P5 $n plano α5 perpendic$lar a la recta a5 & e deter"ina la interecci#n Ι5 entre la recta a5 & el plano α5 !i.8. ) a recta 5 *$eda de!inida por lo p$nto P) e (Ι) !i.8$.
0$+.=.K Re#!a /2* )e #"n!$ene a )n ')n!" /P* - es 'er'end$#)lar a "!ra re#!a /a
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de la re#!a /2* )e #"n!$ene al ')n!" /P - es 'er'end$#)lar a la re#!a /a !i.?a. S"l)#$n:
a
e de!ine' por "edio de la recta caractertica f & 5' el plano α5' *$e contiene al p$nto P5 & e perpendic$lar a la recta a5, & e deter"ina la interecci#n Ι5 entre el plano α5 & la recta a5 !i.?. 2 a recta 5 *$eda de!inida por lo p$nto P e Ι5 !i.?$.
0$+..K Re#!a /2* )e #"n!$ene a )n ')n!" /P* - es 'er'end$#)lar a "!ra re#!a /aK e4e'l"
R#cta -:(,a P#"&(#"t# u" Pla"o
e deno"ina recta de "%:i"a pendiente de $n plano α5' a c$al*$ier recta p5 del plano' *$e ea perpendic$lar a $ traza horizontal !i.1@.
0$+.18.K Re#!a /' de &;$a 'end$en!e de )n 'lan" /
El %n$lo αo5 *$e !or"an con el plano horizontal de pro&ecci#n la recta p5 de "%:i"a pendiente de $n plano α5' e i$al al %n$lo αo5 *$e !or"a el plano α5 con el plano horizontal de pro&ecci#n.
PLANO DE9INIDO POR UNA RECTA DE MÁIMA PENDIENTE 9n plano α5 p$ede er de!inido por $na ola recta' i eta' e $na recta de "%:i"a pendiente del plano.
E4e'l"% De0$n$r las !ra(as del 'lan" / * sa2$end" )e la re#!a /' es )na de s)s re#!as de &;$a 'end$en!e!i.a;. S"l)#$n: a e de!inen la traza vertical =5 & horizontal 5 de la recta p5 !i.a0. 2 e traza' por el p$nto 5' & perpendic$lar a la recta p5' la pro&ecci#n horizontal α5 de la traza #
horizontal del plano α5. a pro&ecci#n vertical α%5 de la traza vertical del plano α5' paa por el p$nto =%5 & e corta en la lnea de tierra con la recta α5.
De!er$nar las !ra(as del 'lan" / de0$n$d" '"r )na re#!a de &;$a 'end$en!e /'
R#cta -:(,a I"cl("ac(" u" Pla"o e deno"ina recta de "%:i"a inclinaci#n de $n plano α5' a c$al*$ier recta i5 del plano' *$e ea perpendic$lar a $ traza vertical f 5 !i.11.
0$+.11.K Re#!a /$ de &;$a $n#l$na#$n de )n 'lan" /
El %n$lo βo5 *$e !or"an con el plano vertical de pro&ecci#n la recta de "%:i"a inclinaci#n i5 de $n plano α5' e i$al al %n$lo βo5 *$e el plano α5 !or"a con el plano vertical de pro&ecci#n.
PLANO DE9INIDO POR UNA RECTA DE MÁIMA INCLINACIÓN 9n plano α5 p$ede er de!inido por $na ola recta' i eta' e $na recta de "%:i"a i nclinaci#n del plano.
E4e'l"% De0$n$r las !ra(as del 'lan" / * sa2$end" )e la re#!a /$ es )na de s)s re#!as de &;$a $n#l$na#$n!i.12;. S"l)#$n: a e de!inen la traza vertical =5 & horizontal 5 de la recta i5 !i.120. 2 e traza' por el p$nto =%5' & perpendic$lar a la recta i%5' la pro&ecci#n vertical α%5 de la traza #
vertical del plano α5. a pro&ecci#n horizontal α5 de la traza horizontal del plano α5' paa por el p$nto 5 & e corta en la lnea de tierra con la recta α%5.
P#$p#"&(cula$(&a& #"t$# &o% Pla"o% +ara veri!icar la perpendic$laridad entre do plano α & β5 e $!iciente co"pro(ar la e:itencia en $no de ello α5 de $na recta r 5 *$e ea perpendic$lar al otro β5 !i.13.
0$+.16.K Per'end$#)lar$dad en!re 'lan"s
E4e'l"% De0$n$r el 'lan" / )e #"n!$ene a la re#!a /a - es 'er'end$#)lar al 'lan" / !i.14a. S"l)#$n. e traza' por c$al*$ier p$nto A5 de la recta a5' $na recta 5 perpendic$lar al plano α5' & el plano (β) *$eda de!inido por la recta a & 5 *$e e cortan !i.14 . 0$+.1>.K Plan" / * )e #"n!$ene a )na re#!a /a* - es 'aralel" a "!r" 'lan" /
Pla"o P#$p#"&(cula$ a ot$o% &o% 9n plano γ 5 e perpendic$lar a otro do plano α & β5 i e perpendic$lar a la interecci#n i5 entre ello !i.1;.
0$+.17.K Plan" / 'er'end$#)lar a l"s 'lan"s / -
E4e'l"% De0$n$r el 'lan" / )e #"n!$ene al ')n!" /A - es 'er'end$#)lar a l"s 'lan"s / - !i.1
a 2
e de!ine la interecci#n i5 entre lo plano α & β5 !i.1<. e de!ine el plano (β) por "edio de $ recta caractertica f & 5 *$e paan por el p$nto A5 & on ortoonale a la recta de interecci#n i5 entre lo plano α & β5 !i.1<$.
0$+.1.K Plan" / * )e #"n!$ene a )n ')n!" /A* - es 'er'end$#)lar a l"s 'lan"s / -
capítulo F
PROB;EAS !TRICOS +n este captulo se analizan los procedimientos por medio de los cuales pueden determinarse, en Doble royección 0rto!onal, distancias lineales ó an!ulares entre puntos rectas y planos. #a comprensión de los problemas m*tricos b'sicos aqu analizados capacitar' al estudiante para resolver cualquier problema relacionado con las dimensiones de los ob-etos que est* proyectando. 1o debe iniciarse el estudio de este captulo sin comprender el anterior, pues la resolución de los problemas m*tricos aqu planteados requiere de la aplicación de los conceptos de intersección, paralelismo y perpendicularidad ya e2puestos.
D(%ta"c(a #"t$# &o% Pu"to% La distan$ia (d AH?) entre dos puntos (A & ?) se determina por medio de un tri"ngulo de reatimiento %erti$al (fig.;a) 1 ori#ontal (fig.;). 0$+.1.K D$s!an#$a /dAB en!re d"s ')n!"s /A - B
D(%ta"c(a #"t$# u" Pu"to 5 u" Pla"o +ara deter"inar la ditancia d AHα5 entre $n p$nto A5 & $n plano α5 !i.2 a5' e traza por el p$nto A5 $na recta p5 perpendic$lar al plano α5 & e deter"ina la interecci#n Ι5 entre a"(o. a ditancia d AHΙ5 entre lo p$nto A e Ι5 e i$al a la ditancia d AHα5 entre el p$nto A5 & el plano α5 !i.2.
0$+.5.K D$s!an#$a /dA en!re )n ')n!" /A - )n 'lan" /
E4e'l"% De0$n$r la d$s!an#$a en!re el ')n!" /A - el 'lan" / !i.3a6 S"l)#$n:
a
e traza' por el p$nto A5' la recta p5 perpendic$lar al plano α5' & e deter"ina la interecci#n Ι5' entre la recta p5 & el plano α5 !i.3. 2 e deter"ina la ditancia d AHΙ5 entre lo p$nto A e Ι5, la c$al e i$al a la ditancia d AHα5 entre el p$nto A5 & el plano α5 !i.3$.
0$+.6.K D$s!an#$a /dA en!re )n ')n!" /A - )n 'lan" / K e4e'l"
D(%ta"c(a #"t$# u" Pu"to 5 u"a R#cta +ara deter"inar la ditancia d AHr 5 entre $n p$nto A5 & $na recta r 5 !i.4a56 e traza' por el p$nto A5' $n plano α5 perpendic$lar a la recta r 5' & e deter"ina la interecci#n Ι5 entre a"(o. a ditancia d AHΙ5 entre lo p$nto A e Ι5' e i$al a la ditancia d AHr 5 entre el p$nto A5 & la recta r 5 !i.4.
0$+.>.K D$s!an#$a /dAr en!re )n ')n!" /A - )na re#!a /r
E4e'l"% De0$n$r la d$s!an#$a en!re el ')n!" /A - la re#!a /r !i.;a6 S"l)#$n:
a
e de!ine' por "edio de la recta caractertica f & 5' el plano α5' *$e contiene al p$nto A5 & e perpendic$lar a la recta r 5' & e deter"ina la interecci#n Ι5' entre la recta r 5 & el plano α5 !i.;. 2 e deter"ina la ditancia d AHΙ5 entre lo p$nto A e Ι5, la c$al e i$al a la ditancia d AHr 5 entre el p$nto A5 & la recta r 5 !i.;$.
0$+.7.K D$s!an#$a /dAr en!re )n ')n!" /A - )na re#!a /rK e4e'l"
D(%ta"c(a #"t$# &o% R#cta% 0u# %# C$u7a" +ara deter"inar la ditancia d aH5 entre do recta a & 5 *$e e cr$zan !i.< a6 a e de!ine $n plano α5 *$e contena a $na de ella 5 & e paralelo a la otra a5, para ello e traza por c$al*$ier p$nto ;5 de la recta 5 $na recta a;5 paralela a la recta a5. De eta !or"a el plano α5 *$eda de!inido por la recta a; & 5 *$e e cortan & e paralelo a la recta a5 !i.< 2 +or c$al*$ier p$nto 05 de la recta a5 e traza $na recta p5 perpendic$lar al plano α5 & e deter"ina $ interecci#n Ι5 con ete plano. a ditancia d0HΙ5 entre lo p$nto 0 e Ι5 e i$al a la ditancia daH5 entre la recta a & 5 !i.<$.
0$+..K D$s!an#$a /da2 en!re d"s re#!as /a - 2 )e se #r)(an
E4e'l"% De!er$nar la d$s!an#$a /da2 en!re las re#!as /a - 2 )e se #r)(an !i.a. S"l)#$n:
a
e de!ine el plano α5 *$e contiene a la recta 5 & e paralelo a la recta a5, para ello !i. 6 1 +or c$al*$ier p$nto ;5 de la recta 5 e traza $na recta a;5 paralela a la recta a5. a recta a; & 5 de!inen al plano α5, pero ete plano de(e de!inire por traza o recta caractertica5' para poder poterior"ente trazar la recta p5 perpendic$lar a el. +ara de!inir entonce la traza del plano α56 $ +or la traza vertical =5 de la recta a;5 e traza la recta horizontal 5 del plano α5 e de!ine pri"ero $ pro&ecci#n vertical %5 & l$eo la horizontal 55. $$ e di($)a' por la traza horizontal 5 de la recta 5' & paralela a la recta horizontal 5' la traza horizontal del plano α5. $$$ e di($)a' por la traza vertical =5 de de la recta 5 & cort%ndoe en la lnea de tierra con la traza horizontal del plano α5' la traza vertical del plano α5.
0$+..K D$s!an#$a /da2 en!re d"s re#!as /a - 2 )e se #r)(anK e4e'l"
2 #
+or $n p$nto 05 c$al*$iera de la recta a5 e traza $na recta p5 perpendic$lar al plano α5 & e deter"ina $ interecci#n Ι5 con el "i"o !i. $. e deter"ina la ditancia d0HΙ5 entre lo p$nto 0 e Ι5 la c$al e i$al a la ditancia daH5 entre la recta a & 5 !i.d.
P#$p#"&(cula$ Co,4" a &o% R#cta% 0u# %# C$u7a" ;ara tra(ar la recta !c" que sea perpendicular a dos rectas !a y b" que se cru(anQ fig.Da& •
3e define un plano ! α" que contenga a una de ellas !b" y se paralelo a la otra !a"' para ello se tra(a por cualquier punto !6" de la recta !b" una recta !a 6" paralela a la recta !a". #e esta forma el plano !a" queda definido por las rectas !a 6 y b" que se cortan y es paralelo a la recta !a"Q fig.Db.
•
;or cualquier punto !<" de la recta !a" se tra(a una recta !p" perpendicular al plano ! α" y se determina su intersección !0" con este planoQ fig.Dc. 3(+ P#$p#"&(cula$ co,4" c) a &o% $#cta% a 5 b) 0u# %# c$u7a"
• •
3e tra(a, por el punto !0", la recta !a <" paralela a la recta !a", y se determina el punto !1" de corte entre las rectas !a < y b"Q fig.Dd 3e tra(a, por el punto !1" la recta !c" paralela a la recta !p". Esta recta !c" es perpendicular a las rectas !a y b" simultáneamenteQ fig.De.
E9#,plo' D#3("($ la P#$p#"&(cula$ Co,4" c) a la% R#cta% a 5 b) 3(+ a S"l)#$n:
a 3e define el plano !α" que contiene a la recta ! " y es paralelo a la recta ! a"' para elloQ fig.& 1 ;or cualquier punto !;" de la recta !" se tra(a una recta !a;" paralela a la recta !a". *as rectas !a; y " definen al plano ! α"' pero este plano debe definirse por tra(as !o rectas caracter%sticas", para poder posteriormente tra(ar la recta !p" perpendicular a el. ;ara definir entonces las tra(as del plano !α"&
$ ;or la tra(a vertical !=" de la recta !a;" se tra(a la recta hori(ontal !" del plano !α" !se define primero su proyección vertical !%" y luego la hori(ontal !"". $$ 3e dibuja, por la tra(a hori(ontal !" de la recta !", y paralela a la recta hori(ontal !", la tra(a hori(ontal del plano !α". $$$ 3e dibuja, por la tra(a vertical !=" de de la recta ! " y cortándose en la l%nea de tierra con la tra(a hori(ontal del plano !α", la tra(a vertical del plano !α". 2 ;or un punto !0" cualquiera de la recta !a" se tra(a una recta !p" perpendicular al plano !α" !fig.c" y se determina su intersección !Ι" con el mismo !fig.d).
3(+ P#$p#"&(cula$ co,4" c) a &o% $#cta% a 5 b) 0u# %# c$u7a" #9#,plo
# 3e tra(a, por el punto !Ι", la recta !a0" paralela a la recta !a", y se determina el punto !8" de corte entre las rectas ! a0 y "Q fig.e
d 3e tra(a, por el punto !8", la recta !$" paralela a la recta !p"' resultando esta recta !$" perpendicular a las rectas ! a y " simultáneamenteQ fig.f.
Á"+ulo #"t$# &o% R#cta% 0u# %# Co$ta" +ara "edir el %n$lo αο5 entre do recta a & 5 *$e e cortan en $n p$nto P5 !i.1@a6 a e traza $na recta $5 c$al*$iera *$e e corte con la recta a & 5' & e deter"inan lo p$nto ; & 05 de corte de la recta $5 con la recta a & 5 repectiva"ente. e deter"inan la lonit$de reale d;H07 dpH;, & dpH05 de lo tre lado del tri%n$lo c$&o vrtice on lo p$nto P, ; & 05 !i.1@. 2 e di($)a' en $n itio aparte' el tri%n$lo de vrtice P, ; & 05 en $ verdadero ta"a7o' & e "ide el %n$lo αο5' c$&o vrtice e el p$nto P5 !i.1@$.
0$+.18.K Án+)l" / en!re d"s re#!as /a - 2 )e se #"r!an
Á"+ulo #"t$# &o% R#cta% 0u# %# C$u7a" +ara deter"inar el %n$lo αo5 entre do recta a & 5 *$e e cr$zan !i.11a6 a +or c$al*$ier p$nto P5 de la recta a5 e traza la recta ;5 paralela a la recta 5 !i.11. 2 e "ide' $tilizando el procedi"iento &a decrito en la !i.1@' el %n$lo αo5 "otrado en la !i.115 *$e !or"an la recta a & ;5 *$e e cortan' el c$al e i$al al %n$lo αo5 de cr$ce entre la recta a & 5.
0$+.11.K Án+)l" / en!re d"s re#!as /a - 2 )e se #r)(an
Á"+ulo #"t$# u"a R#cta 5 u" Pla"o +ara "edir el %n$lo αο5 entre $na recta r 5 & $n plano α5 !i.12a6 a e deter"ina la interecci#n Ι5 entre el plano α5 & la recta r 5 !i.12. 2 e traza' por $n p$nto c$al*$iera 5 de la recta r 5' $na recta p5 perpendic$lar al plano α5 & e deter"ina la nterecci#n K5 entre la recta p5 & el plano α5. o p$nto Ι & K5 de!inen $na recta a5. # El %n$lo αo5 *$e !or"an la recta r & a5 e i$al al %n$lo *$e !or"a la recta r 5 con el plano α5.
0$+.15.K Án+)l" / en!re )na re#!a /r - )n 'lan" /
" E4e'l"% De!er$nar el &n+)l" / 0"rad" en !re la re#!a /r - el 'lan" / !i.13a6
S"l)#$n:
a
e de!ine la interecci#n Ι5 entre el plano α5 & la recta r 5. e traza por $n p$nto 5 c$al*$iera de la recta r 5 $na recta p5 perpendic$lar al plano α5 !i.13.
0$+.16.K Án+)l" / " en!re )na re#!a /r - )n 'lan" / K e4e'l"
2 #
e deter"ina la interecci#n K5 de la recta p5 con el plano α5' & e de!inen la pro&eccione de la recta a5 *$e contiene a lo p$nto Ι & K5 !i.13$. e "ide' $tilizando el procedi"iento &a decrito en la !i.1@' el %n$lo αο5 "otrado en la !i.13d5 !or"ado entre la recta r & a5 *$e e cortan' el c$al e i$al al %n$lo *$e !or"a la recta r 5 con el plano α5.
Á"+ulo #"t$# &o% Pla"o% +ara "edir el %n$lo αο5 entre do plano α & β5 !i.14a5' e trazan' por $n p$nto P5 c$al*$iera' la recta a & 5 perpendic$lare a lo plano α & β5 repectiva"ente. El %n$lo αo5 *$e !or"an la recta a & 5 e i$al al %n$lo *$e !or"an lo plano α & β5 !i.14.
0$+.1>.K Án+)l" / " en!re d"s 'lan"s / -
E4e'l"% De!er$nar el &n+)l" / " 0"ra d" en!re l"s 'lan"s / - !i.1;a6 S"l)#$n:
a
e trazan' por $n p$nto P5 c$al*$iera' la recta a & 5 perpendic$lare a lo plano α & β5 repectiva"ente !i.1; . 2 e "ide' $tilizando el procedi"iento &a decrito en la !i.1@' el %n$lo αο5 "otrado en la !i.1;$5 *$e !or"an la recta a & 5 *$e e cortan' el c$al e i$al al %n$lo *$e !or"an lo plano α & β5.
0$+.17.K Án+)l" / " en!re d"s 'lan"s / - K e4e'l"
capítulo J
;UGARES GEO!TRICOS Se denominan lugares geom3tri$os aquellos lu!ares del espacio que poseen al!una caracterstica !eom*trica particular por e-emplo, la es$era puede defnirse como el lu!ar !eom*trico de todos los puntos que se encuentran a una determinada distancia de otro punto denominado centro de la es$era. +l estudio de los lu!ares !eom*tricos es tambi*n de !ran utilidad y nos permite al i!ual que el conocimiento de los problemas m*tricos, resolver problemas relacionados con la $orma y dimensiones de los ob-etos que se est*n proyectando.
Pu"to 0u# E0u(&(%ta &o% Pu"to% &a&o% Dado do p$nto A & ?5 !i.1a5. i por el p$nto "edio ,5 del e"ento AH?5 *$e lo $ne e traza $n plano α5 perpendic$lar a dicho e"ento !i.1 5' todo lo p$nto ;70787-...5 contenido en el plano α5 e*$iditan de lo p$nto A & ?5 !i.1$. El plano α5 e entonce el lugar geom3tri$o de todo lo p$nto *$e e*$iditan de A & ?5.
0$+.1.K P)n!" )e e)$d$s!a de d"s ')n!"s /A - B dad"s
E4e'l"% De0$n$r la 'r"-e##$n :"r$("n!al /P: del ')n!" /P )e e)$d$s!a de l"s ')n!"s /A - B !i.2a. S"l)#$n:
a
e de!ine' por el p$nto "edio ,5 del e"ento AH?5 el plano α5 perpendic$lar a dicho e"ento !i.2. 2 e deter"ina la pro&ecci#n horizontal P5 del p$nto P5 hacindolo pertenecer al plano α5 !i.2$.
0$+.5.K P)n!" /P )e e)$d$s!a de d"s ')n!"s /A - B dad"sK e4e'l"
Pu"to 0u# E0u(&(%ta &o% Pu"to% &a&o% 5 %# E"cu#"t$a #" u"a R#cta &a&a i *$iere $(icare' o(re $na recta r 5 dada' $n p$nto P5 *$e e*$idite de otro do p$nto A & ?5 dado !i.3a56 e de!ine el l$ar eo"trico plano α55 de todo lo p$nto *$e e*$iditan de A & ?5' & e intercepta ete l$ar eo"trico con la recta r 5' iendo eta interecci#n el p$nto P5 ($cado !i.3.
0$+.6.K P)n!" /P )e e)$d$s!a de d"s ')n!"s /A - B dad"s - se en#)en!ra s"2re )na re#!a /r dada
E4e'l"% De!er$nar las 'r"-e##$"nes del ')n!" /P )e es!& #"n!en$d" en la re#!a /r e)$d$s!a de l"s ')n!"s /A - B !i.4a6 S"l)#$n:
a
e de!ine por el p$nto "edio ,5 del e"ento AH?5 el plano α5' perpendic$lar al e"ento AH ?5 !i.4. 2 e de!ine el p$nto P5 interceptando el plano α5 con la recta r 5 !i.4$.
0$+.>.K P)n!" /P )e e)$d$s!a de d"s ')n!"s /A - B dad"s - se en#)en!ra s"2re )na re#!a /r dadaK e4e'l"
R#cta 0u# %# Co$ta co" &o% R#cta% &a&a% 5 Pa%a po$ u" Pu"to &a&o i *$iere de!inire $na recta r 5 *$e e corte con do recta a & 5 dada & pae por $n p$nto P5 dado !i.;a6 a e deter"ina la interecci#n Ι5' de la recta a5' con el plano α5 de!inido por la recta 5 & el p$nto P5 !i.;. 2 a recta r 5' *$e e corta con la recta a & 5' *$eda de!inida por lo p$nto P e Ι5 !i.;$.
0$+.7.K Re#!a /r )e se #"r!a #"n d"s re#!as /a - 2 dadas - 'asa '"r )n ')n!" /P dad"
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de la re#!a /r )e se #"r!a #"n las re#!as /a - 2 #"n!$ene al ')n!" /P !i.
a
e de!ine' por recta caractertica f & 5 el plano α5 *$e contiene a la recta 5 & al p$nto P5 !i.<. 2 e deter"ina la interecci#n Ι5 entre el plano α5 & la recta a5' & e traza la recta r 5 ($cada $niendo lo p$nto P e Ι5 !i.<$.
0$+..K Re#!a /r )e se #"r!a #"n d"s re#!as /a - 2 dadas - 'asa '"r )n ')n!" /P dad"K e4e'l"
R#cta 0u# Co"t(#"# a u" Pu"to &a&o 5 /o$,a u" Á"+ulo &a&o co" #l Pla"o Ho$(7o"tal P$o5#cc("
El l$ar eo"trico de toda la recta g5 *$e paan por $n p$nto P5 dado & !or"an $n %n$lo αο5 dado con el plano horizontal de pro&ecci#n !i. a5 e $n cono recto de revol$ci#n' con vrtice en el p$nto P5 dado' (ae en el plano horizontal de pro&ecci#n' & c$&a eneratrice g5 !or"an con ee plano el %n$lo αο5 deeado !i. 5.
0$+..K Re#!a /+ )e #"n!$ene a )n ')n!" /P dad" - 0"ra )n &n+)l" / " dad" #"n el 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n
3 E4e'l"% De0$n$r la 'r"-e##$n 3er!$#al /r de la re#!a /r* )e #"n!$ene al ')n!" /P* 0"ra #"n el 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n* el &n+)l" / " !i.8a.
S"l)#$n:
a
e di($)a' con vrtice en el p$nto P5' & (ae en el plano horizontal de pro&ecci#n el cono recto de revol$ci#n c$&a eneratrice !or"en con ee plano el %n$lo αο5 !i.8. 2 e de!ine la pro&ecci#n vertical r %5 de la recta r 5 coniderando *$e e $na eneratriz del cono recin trazado !i.8 $.
0$+.=.K Re#!a /r )e #"n!$ene a )n ')n!" /P dad" - 0"ra )n &n+)l" / " dad" #"n el 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$nK e4e'l"
R#cta 0u# Co"t(#"# a u" Pu"to &a&o 5 /o$,a u" Á"+ulo &a&o
co" #l Pla"o V#$t(cal P$o5#cc(" El l$ar eo"trico de toda la recta g5 *$e paan por $n p$nto P5 dado & !or"an $n %n$lo βο5 dado con el plano vertical de pro&ecci#n !i.? a5 e $n cono recto de revol$ci#n' con vrtice en el p$nto P5' (ae en el plano vertical de pro&ecci#n' & c$&a eneratrice g5 !or"an con ee plano el %n$lo βο5 deeado !i.? 5.
0$+..K Re#!a /+ )e #"n!$ene a )n ')n!" /P dad" - 0"ra )n &n+)l" / " dad" #"n el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n
: E4e'l"% De0$n$r la 'r"-e##$n :"r$("n!al /r de la re#!a /r* )e #"n!$ene al ')n!" /P 0"ra* #"n el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n* el &n+)l" / " !i.1@a.
S"l)#$n:
a
e di($)a' con vrtice en el p$nto P5' & (ae en el plano vertical de pro&ecci#n' el cono recto de revol$ci#n c$&a eneratrice !or"en con ee plano el %n$lo βο5 !i.1@. 2 e de!ine la pro&ecci#n horizontal r 5 de la recta r 5 coniderando *$e e $na eneratriz del cono recin trazado !i.1@ $.
0$+.18.K Re#!a /r )e #"n!$ene a )n ')n!" /P dad" - 0"ra )n &n+)l" / " dad" #"n el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$nK e4e'l"
Pla"o 0u# Co"t(#"# a u"a R#cta &a&a 5 /o$,a u" Á"+ulo &a&o co" #l Pla"o Ho$(7o"tal P$o5#cc(" +ara de!inir $n plano α5 *$e contena a $na recta r 5 dada & !or"e $n %n$lo αο5 dado con el plano horizontal de pro&ecci#n !i.11 a6 a e traza' con vrtice en $n p$nto P5 c$al*$iera de la recta r 5' & (ae en el plano horizontal de pro&ecci#n' $n cono recto de revol$ci#n' c$&a eneratrice !or"en con ee plano el %n$lo αο5' & e deter"ina la interecci#n Ι5 entre la recta r 5 & el plano horizontal de pro&ecci#n !i.11 . 2 e di($)a' por el p$nto Ι5' & tanente a la (ae del cono e enera el p$nto de tanencia 255' la traza horizontal 5 del plano α5. El plano α5' *$eda entonce de!inido por la recta r & 5. a recta PH25 e $na recta de "%:i"a pendiente del plano α5 !i.11$.
0$+.11.K Plan" / )e #"n!$ene a )na re#!a /r dada - 0"ra )n &n+)l" / dad" #"n el 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n
+$ede o(ervare' en la !i.11d *$e ha& $na e$nda ol$ci#n' de(ido a *$e por el p$nto Ι5 p$ede trazare $na e$nda recta ;5 tanente a la (ae del cono en el p$nto 2;5' la c$al' )$nto con la recta r 5 de!ine $n e$ndo plano α15 *$e ta"(in c$"ple la condicione i"p$eta. Eto $cede c$ando el %n$lo αr ο5 *$e !or"a la recta r 5 dada con el plano horizontal de pro&ecci#n e "enor *$e el %n$lo αο5 *$e de(e !or"ar el plano α5 con el plano horizontal de pro&ecci#n αr ο < αο5. i el p$nto de nterecci#n Ι5 entre la recta r 5 & el plano horizontal de pro&ecci#n e $n p$nto de la circ$n!erencia (ae del cono' entonce e:ite $na ol$ci#n /nica' & el plano α5 *$eda de!inido por $
recta PHΙ5 de "%:i"a pendiente !i.11 e5. Eto $cede c$ando el %n$lo αr ο5 e i$al al %n$lo αο5, αr ο = αο5. i el p$nto de nterecci#n Ι5 entre la recta r 5 & el plano horizontal de pro&ecci#n e enc$entra dentro de la circ$n!erencia (ae del cono' entonce no e:ite ol$ci#n !i.11 f 5. Eto $cede c$ando el %n$lo αr ο5 e "a&or *$e el %n$lo αο5, αr ο > αο5.
E4e'l"% De0$n$r el 'lan" / )e #"n!$ene a la re#!a /r - 0"ra el &n+)l" / " #"n el 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n !i.12a. S"l)#$n:
a
e de!ine' con vrtice en $n p$nto P5 c$al*$iera de la recta r 5' $n cono recto de revol$ci#n' con (ae en el plano horizontal de pro&ecci#n' c$&a eneratrice !or"en con ee plano el %n$lo αο5' & e deter"ina la interecci#n Ι5 entre la recta r 5 & el plano horizontal de pro&ecci#n !i.12 . 2 e di($)a' por el p$nto Ι5' & tanente a la (ae del cono' la traza horizontal 5 del plano α5, de eta !or"a el plano α5 *$eda de!inido por la recta & r 5 !i.12$. En la !i.12d e "$etra $na e$nda ol$ci#n al "i"o pro(le"a.
0$+.15.K Plan" / )e #"n!$ene a )na re#!a /r dada - 0"ra )n &n+)l" / dad" #"n el 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$nK e4e'l"
Pla"o 0u# Co"t(#"# a u"a R#cta &a&a 5 /o$,a u" Á"+ulo &a&o co" #l Pla"o V#$t(cal P$o5#cc(" +ara de!inir $n plano α5 *$e contena a $na recta r 5 dada & !or"e $n %n$lo βο5 dado con el plano vertical de pro&ecci#n !i.13 a6 a e traza' con vrtice en $n p$nto P5 c$al*$iera de la recta r 5' & (ae en el plano vertical de pro&ecci#n' $n cono recto de revol$ci#n' c$&a eneratrice !or"en con ee plano el %n$lo βο5' & e deter"ina la interecci#n Ι5 entre la recta r 5 & el plano vertical de pro&ecci#n !i.13 . 2 e di($)a' por el p$nto Ι5' & tanente a la (ae del cono e enera el p$nto de tanencia 255' la traza vertical f 5 del plano α5. El plano α5' *$eda entonce de!inido por la recta r & f 5. a recta PH25 e $na recta de "%:i"a inclinaci#n del plano α5 !i.13$.
0$+.16.K Plan" / )e #"n!$ene a )na re#!a /r dada - 0"ra )n &n+)l" / dad" #"n el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n
+$ede o(ervare' en la !i.13 d *$e ha& $na e$nda ol$ci#n' de(ido a *$e por el p$nto Ι5 p$ede trazare $na e$nda recta f ;5 tanente a la (ae del cono en el p$nto 2;5' la c$al' )$nto con la recta r 5 de!ine $n e$ndo plano α15 *$e ta"(in c$"ple la condicione i"p$eta. Eto $cede c$ando el %n$lo βr ο5 *$e !or"a la recta r 5 dada con el plano vertical de pro&ecci#n e "enor *$e el %n$lo βο5 *$e de(e !or"ar el plano α5 con el plano vertical de pro&ecci#n βr ο < βο5.
i el p$nto de nterecci#n Ι5 entre la recta r 5 & el plano vertical de pro&ecci#n e $n p$nto de la circ$n!erencia (ae del cono' entonce e:ite $na ol$ci#n /nica' & el plano α5 *$eda de!inido por $ recta PHΙ5 de "%:i"a inclinaci#n !i.13 e5. Eto $cede c$ando el %n$lo βr ο5 e i$al al %n$lo βο5, βr ο = βο5. i el p$nto de nterecci#n Ι5 entre la recta r 5 & el plano vertical de pro&ecci#n e enc$entra dentro de la circ$n!erencia (ae del cono' entonce no e:ite ol$ci#n !i.13 f 5. Eto $cede c$ando el %n$lo βr ο5 e "a&or *$e el %n$lo βο5, βr ο > βο5.
E4e'l"% De0$n$r el 'lan" / )e #"n!$ene a la re#!a /r - 0"ra el &n+)l" / " #"n el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n !i.14a. S"l)#$n:
a
e de!ine' con vrtice en $n p$nto P5 c$al*$iera de la recta r 5' & (ae en el plano vertical de pro&ecci#n' $n cono recto de revol$ci#n' c$&a eneratrice !or"en el %n$lo βο5 con ee plano, & e deter"ina la interecci#n Ι5 entre la recta r 5 & el plano vertical de pro&ecci#n !i.14 . 2 e di($)a' por el p$nto Ι5' & tanente a la (ae del cono' la traza vertical f 5 del plano α5' de eta !or"a el plano α5 *$eda de!inido por la recta f & r 5 !i.14$. En la !i.14d e "$etra $na e$nda ol$ci#n al "i"o pro(le"a.
0$+.1>.K Plan" / )e #"n!$ene a )na re#!a /r dada - 0"ra )n &n+)l" / dad" #"n el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$nK e4e'l"
R#cta Co"t#"(&a #" u" Pla"o &a&o 5 0u# /o$,# u" Á"+ulo &a&o co" #l Pla"o Ho$(7o"tal P$o5#cc(" +ara de!inir $na recta r 5 *$e ete contenida en $n plano α5 dado & !or"e $n %n$lo αr ο5 dado con el plano horizontal de pro&ecci#n pro&ecci#n !i.1; a6 a e traza' con vrtice en $n p$nto =5 c$al*$iera del plano α5' & (ae en el plano horizontal de pro&ecci#n' $n cono recto de revol$ci#n' revol$ci#n' c$&a eneratrice !or"en con ee plano el %n$lo αr ο5 deeado. e deter"inan la intereccione Ι & K5 de la circ$n!erencia (ae del cono con la traza horizontal 5 del plano α5 !i.1;. 2 a do recta =HΙ5 !i.1;$5 & =HK5 !i.1;d5' c$"plen con la condicione i"p$eta. Eto $cede c$ando el %n$lo αr ο5 *$e de(e !or"ar la recta r 5 con el plano horizontal de pro&ecci#n e "enor *$e el %n$lo αο5 *$e !or"a el plano α5 con el plano horizontal de pro&ecci#n αr ο < αο5.
+$ede er *$e la circ$n!erencia (ae del cono ea tanente en $n p$nto 25 a la traza horizontal 5 del plano α5, en ete cao la recta r 5 ($cada *$eda de!inida por lo p$nto P & 25 & e $na recta de "%:i"a pendiente del plano α5 !i.1; e5. Eto $cede c$ando el %n$lo αr ο5 e i$al al %n$lo αο5, αr ο = αο5. i la circ$n!erencia (ae del cono no e corta con la traza horizontal 5 del plano α5 entonce no ha& ol$ci#n !i.1; f . Eto $cede c$ando el %n$lo αr ο5 e "a&or *$e el %n$lo αο5, αr ο > αο5.
0$+.17.K Re#!a /r #"n!en$da en )n 'lan" / dad" - )e 0"ra )n &n+)l" / r dad" #"n el 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n
E4e'l"% De0$n$r la re#!a re# !a /r )e 'asa '"r el ')n!" /P* es!& #"n!en$da en el 'lan" / " 0"ra 0"r a el &n+) & n+)l" l" / r #"n el 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n !i.1
e de!ine' con vrtice en el p$nto P5' & (ae en el plano horizontal de pro&ecci#n' $n cono recto de revol$ci#n' c$&a eneratrice !or"en con ee plano el %n$lo αr o5, & e deter"inan deter"inan lo p$nto p$nto Ι & K5 de corte entre la circ$n!erencia (ae del cono & la traza horizontal 5 del plano α5. a recta r 5 ($cada e la recta PHΙ5 !i.1< 5' # la recta PHK5 !i.1< $5.
R#cta Co"t#"(&a #" u" Pla"o &a&o 5 0u# /o$,# u" Á"+ulo &a&o co" #l Pla"o V#$t(cal P$o5#cc(" +ara de!inir $na recta r 5 *$e ete contenida en $n plano α5 dado & !or"e $n %n$lo βr ο5 con el plano vertical de pro&ecci#n !i.1 a6 a e traza' con vrtice en $n p$nto =5 c$al*$iera del plano α5' & (ae en el plano vertical de pro&ecci#n' $n cono recto de revol$ci#n' revol$ci#n' c$&a eneratrice !or"en ee plano plano el %n$lo βr ο5 deeado, & e deter"inan la intereccione Ι & K5 de la circ$n!erencia (ae del cono con la traza vertical f 5 del plano α5 !i.1. 2 a do recta =HΙ5 !i.1$5 & =HK5 !i.1d5' c$"plen con la condicione i"p$eta. Eto $cede c$ando el %n$lo βr ο5 *$e de(e !or"ar la recta r 5 con el plano vertical de pro&ecci#n e "enor *$e el %n$lo βο5 *$e !or"a el plano α5 con el plano vertical de pro&ecci#n βr ο < βο5.
0$+.1.K Re#!a /r #"n!en$da en )n 'lan" / dad" - )e 0"ra )n &n+)l" / r dad" #"n el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n
+$ede er *$e la circ$n!erencia (ae del cono ea tanente en $n p$nto 25 a la traza vertical f 5 del plano α5, en ete cao la recta r 5 ($cada *$eda de!inida por lo p$nto P & 25 & e $na recta de "%:i"a inclinaci#n del plano α5 !i.1 e5. Eto $cede c$ando el %n$lo βr ο5 e i$al al %n$lo βο5, αr ο = αο5. i la circ$n!erencia (ae del cono no e corta con la traza vertical f 5 del plano α5 entonce no ha& ol$ci#n !i.1 f 5. 5. Eto $cede c$ando el %n$lo βr ο5 e "a&or *$e el %n$lo βο5, βr ο > βο5.
E4e'l"% De0$n$r la re#!a re# !a /r )e 'asa '"r el ')n!" /P* es!& #"n!en$da en el 'lan" / " 0"ra 0"r a el &n+) & n+)l" l" / r #"n el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n !i.18a. S"l)#$n: S"l)#$n: e de!ine' con vrtice en el p$nto P5' & (ae en el plano vertical de pro&ecci#n' $n cono recto de revol$ci#n' c$&a eneratrice !or"en con ee plano el %n$lo βr ο5, & e deter"inan lo p$nto Ι & K5 de corte entre la circ$n!erencia (ae del cono & la traza vertical α%5 del plano α5. a recta r 5 ($cada e la recta PHΙ5 !i.18 5' # la recta PHK5 !i.18 $5.
0$+.1=.K Re#!a /r #"n!en$da en )n 'lan" / dad" - )e 0"ra )n &n+)l" / r dad" #"n el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$nK e4e'l"
capítulo K
!TODOS DE OBTENCIÓN DE PRO=ECCIONES EN VERDADERO TAAÑO
+l proceso de defnir la Doble royección 0rto!onal de f!uras !eom*tricas planas puede simplifcarse si el plano que las contiene se coloca paralelo a uno de los planos principales de proyección. +sto se lo!ra b'sicamente de dos maneras: a 3anteniendo f-os los planos principales de proyección y rotando el ob-eto ó 2 3anteniendo f-o el ob-eto y rotando los planos principales de proyección a su alrededor. Se analizan en este captulo tres procedimientos muy utilizados para obtener proyecciones orto!onales de f!uras planas en verdadero tama4o denominados:
a Re2a!$ Re2a!$$en!" $en!" de 'lan" 'lan"ss. 5onsiste en reatir (rot (rotar ar)) el pla plano que que quie quierre observarse en verdadero tama4o, a trav*s de una de sus rectas caractersticas, caractersticas, que se denominar' e!e de reatimiento $arnela , hasta colocarlo paralelo a uno de los planos principales de proyección.
2 R"!a# R"!a#$n $n de 'lan"s 'lan"s.. 6ambi*n denominado giro de planos . 5onsiste en rotar el plano plano alrede alrededo dorr de un e-e de punta punta ó de un e-e vertica vertical, l, hasta hasta coloc colocar arlo lo paralelo a uno de los planos principales de proyección. +n la mayora de los casos es necesario realizarle a un plano cualquiera dos rotaciones sucesivas, una a trav*s trav*s de un e-e de punta y la otra a trav*s trav*s de un e-e vertical, vertical, para para lo!rar colocarlo paralelo a uno de los planos principales de proyección.
# Ca2$" de 'lan"s 'r$n#$'ales 'r$n#$ 'ales de 'r"-e##$n 'r"-e##$n.. 5onsiste en mantener el plano en estudio f-o, y mover a su alrededor los planos principales de proyección hasta que uno de ellos sea paralelo al plano dado.
REBATIIENTO DE P;ANOS $n plano α5' conite en irarlo a trav de $na de $ recta caractertica' la c$al act/a +eatir $n co"o $na (iaraF' hata hacerlo coincidir con $no de lo plano principale de pro&ecci#n !i.1 a & !i.15' # colocarlo paralelo a $no de ello !i.1 $ & !i.1 d5' a recta alrededor de la *$e e hace irar el plano e deno"ina e!e de reatimiento reatimiento # i"ple"ente e!e. +$ede o(ervare en la !i.1' *$e i el e)e de re(ati"iento e6 a a traza horizontal 5' # vertical f 5'5' del plano α5. e p$ede re(atir el plano α5 hata colocarlo o(re el plano horizontal' # vertical de pro&ecci#n' !i.1 a & !i.15 repectiva"ente.
0$+.1.K Re2a!$$en!" de )n 'lan" /
2
9na recta caractertica horizontal ;5' # !rontal f ;5' del plano α5. e p$ede re(atir el plano α5 hata colocarlo paralelo al al plano horizontal' # vertical de pro&ecci#n pro&ecci#n !i.1 $ & !i.1 d5 repectiva"ente.
Las posi$iones 'ue ad'uieren ad'uieren los puntos & re$tas de un plano al ser reatidos se denominan pro&e$$iones reatidas & se identifi$an $on el super*ndi$e r O. Toda Toda !i$ra eo"trica contenida en $n plano α5' e o(ervar% en verdadero ta"a7o c$ando ete ea re(atido, de(ido a *$e er% paralela a $no de lo plano principale de pro&ecci#n' o etar% contenida en $no de ello. E por lo tanto el o()etivo principal del re(ati"iento de plano' !acilitar el di($)o de !i$ra eo"trica contenida en ello.
G#"#$al(&a% l R#bat(,(#"to Pla"o% ndependiente"ente de *$e el e)e de re(ati"iento ea $na traza # $na recta caractertica de $n plano α5' e c$"plen la i$iente propiedade6 a Todo lo p$nto del plano α5 iran i$al %n$lo αο5 al er re(atido !i.2 a.
0$+.5.K General$dades del re2a!$$en!"
2
o p$nto contenido en el e)e no ca"(ian de poici#n al re(atir el plano α5' e)e"plo6 p$nto A5 !i.2$5, & p$nto Ι5 !i.2d5. # a recta paralela e "antienen paralela al er re(atida. !i.2 5. d a recta paralela al e)e e "antienen paralela a l al er re(atida !i.2 $5. e a recta perpendic$lare al e)e e "antienen perpendic$lare a l al er re(atida !i.2 d5.
R#bat(,(#"to D($#cto 5 R#bat(,(#"to I"*#$%o El re(ati"iento de $n plano α5 p$ede hacere en do direccione op$eta' recorriendo el plano α5 $n "a&or o "enor %n$lo αο5 en cada $na de ella' en (ae a eto el re(ati"iento e clai!ica en6
a Re2a!$$en!" In3ers". i el %n$lo de iro αο5 e el "a&or !i.3 a. 2 Re2a!$$en!" D$re#!". i el %n$lo de iro αο5 e el "enor !i.3 . 0$+.6.K Re2a!$$en!" $n3ers" - re2a!$$en!" d$re#!"
R#bat(,(#"to a T$a*2% la T$a7a Ho$(7o"tal u" Pla"o +ara re(atir c$al*$ier p$nto A5 contenido en $n plano α5' a trav de la traza horizontal 5 del plano α5 !i.4a6 a e traza' por l p$nto A5 $na recta p5 de "%:i"a pendiente del plano α5, & e deter"inan6 el p$nto Ι5 de corte entre la recta p5 & la traza horizontal 5 del plano α5, & la lonit$d d A-Ι5, del e"ento AHΙ5 !i.4.
0$+.>.K Re2a!$$en!" de )n 'lan" / a !ra3Hs de s) !ra(a :"r$("n!al /:
2
e de!ine la pro&ecci#n re(atida pr 5 de la recta p5, a(iendo *$e6 contiene al p$nto ΙFΙr 5, et% contenida en el plano horizontal de pro&ecci#n, & e perpendic$lar a la traza horizontal 5 del plano α5!i.4$. # e deter"ina la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5, "idiendo la lonit$d d AHΙ5 del e"ento AHΙ5 o(re la pro&ecci#n re(atida pr 5 de la recta p5' a partir del p$nto Ι=Ιr 5 !i.4d.
r E4e'l"% De!er$nar la 'r"-e##$n re2a!$da /A del ')n!" /A* #"n!en$d" en el 'lan" / !ig."a.
S"l)#$n:
a
e de!inen la pro&eccione de la recta p5 de "%:i"a pendiente del plano α5' *$e paa por el p$nto A5 pri"ero la horizontal p5' perpendic$lar a la pro&ecci#n horizontal α5 de la traza horizontal del plano α5, & l$eo la vertical p%55 !i.;.
0$+.7.K Re2a!$$en!" a !ra3Hs de la !ra(a :"r$("n!al
2
e de!ine la pro&ecci#n re(atida pr 5 de la recta p5. a pro&eccione re(atida pr 5 & horizontal p5 de la recta p5 coinciden pFpr 5, &a *$e a"(a on perpendic$lare a la pro&ecci#n horizontal α5 de la traza horizontal del plano α5. # e de!inen la pro&eccione6 vertical Ι%5, horizontal & re(atida ΙFΙr 5 del p$nto de corte Ι5 entre la recta p5 & la traza horizontal del plano α5. d e deter"ina la lonit$d d AHΙ5 del e"ento AHΙ5. e e de!ine la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5, "idiendo la lonit$d d AHΙ5 o(re la pro&ecci#n re(atida pr 5 de la recta p5 a partir del p$nto ΙFΙr 5' p$ede traladare con el co"p% centrado en ΙFΙr 55. i el re(ati"iento e invero !i.; 5' la pro&eccione horizontal A5 & re(atida Ar 5 del p$nto A5 e $(ican en lado op$eto del e)e de re(ati"iento, "ientra *$e i e directo !i.; $5' a"(a pro&eccione e $(ican en el "i"o lado del e)e de re(ati"iento.
S$'l$0$#a#$n% a co"prendido lo principio te#rico del re(ati"iento de plano a trav de $ traza horizontal. Ete proceo p$ede i"pli!icare' co"o lo "$etra la !i.; d de ac$erdo a lo i$iente apecto6 a a di!erencia de cota ∆J AHΙ5 entre lo p$nto A e Ι5 e ie"pre la cota J A5 de del p$nto A5.
2 # d
Go e neceario e7alar la $(icaci#n del p$nto Ι5. Go e neceario de!inir la pro&ecci#n vertical p%5 de la recta p5. e p$ede o"itir toda la no"enclat$ra del procedi"iento.
R#bat(,(#"to Va$(o% Pu"to% En la !i.< a' e "$etra $n p$nto A5 el c$al ha ido re(atido & $n e$ndo p$nto ?5 el c$al e *$iere re(atir' a"(o contenido en el plano α5. A$n*$e p$ede re(atire el p$nto ?5' i$iendo el "todo $tilizado en el re(ati"iento del p$nto A5' e a vece "a conveniente re(atirlo aplicando $na de la propiedade del re(ati"iento i$iente6
a L"s !r$&n+)l"s de re2a!$$en!" d$2)4ad"s 'ara re2a!$r !"d"s l"s ')n!"s de )n
$s" 'lan" s"n see4an!es. +or lo tanto la hipoten$a del tri%n$lo de re(ati"iento *$e e di($)e para el p$nto ?5 e paralela a la *$e e o(t$vo en el p$nto A5 !i.<. 0$+..K Re2a!$$en!" de 3ar$"s ')n!"s
2 El 'aralel$s" en!re re#!as se #"nser3a en el re2a!$$en!". +or lo tanto e traza $na recta a5 c$al*$iera por el p$nto A5' & l$eo otra recta 5 paralela a ella por el p$nto ?5, e re(aten a"(a recta & e $(ica la pro&ecci#n re(atida ?r 5 del p$nto ?5 o(re la pro&ecci#n re(atida r 5 de la recta 5 !i.<$.
#
e traza la recta a5 *$e contiene a lo p$nto A & ?5, & e de!ine $ pro&ecci#n re(atida ar 5, l$eo e $(ica la pro&ecci#n re(atida ?r 5 del p$nto ?5 o(re la pro&ecci#n re(atida ar 5 de la recta a5 !i.
R#bat(,(#"to la T$a7a V#$t(cal u" Pla"o e p$ede de!inir la pro&ecci#n re(atida αr 5 de la traza vertical de $n plano α5' por "edio del re(ati"iento de do p$nto ; & 05 contenido en la "i"a e i"pli!ica el "todo i $no de ello ;5 e la interecci#n del plano α5 con la lnea de tierra, &a *$e la pro&eccione horizontal' vertical' & re(atida de ete p$nto coincidir%n en $na ola ;%F;F;r 5 !i.. En la !i. a e re(ate el p$nto 05 por el "todo decrito en la !i.;. En la !i. e i"pli!ica el procedi"iento' to"ando en c$enta *$e6 a El e"ento ;H05 et% contenido en el plano vertical de pro&ecci#n, por lo tanto $ lonit$d real d;H05 p$ede "edire en la pro&ecci#n vertical del "i"o. 2 El e"ento ;H05' dep$ de re(atido' ta"(in e o(erva en verdadero ta"a7o.
0$+..K Re2a!$$en!" de la !ra(a 3er!$#al de )n 'lan"
Entonce' p$ede o(tenere la pro&ecci#n re(atida 0r 5 del p$nto 05 traladando con el co"p%' centrado en el p$nto ;%F;F;r 5 la lonit$d d;H05 del e"ento ;H05.
R#bat(,(#"to u" Pu"to u" Pla"o. po$ ,#&(o l R#bat(,(#"to P$#*(o la T$a7a V#$t(cal l Pla"o a de!inida la pro&ecci#n re(atida αr 5 de la traza vertical de $n plano α5' i *$iere re(atire c$al*$ier p$nto A5 de ete plano !i.86 a e traza' por el p$nto A5' $na recta r 5 c$al*$iera del plano α5 !i.8a. 2 e de!ine la pro&ecci#n re(atida r r 5 de eta recta r 5. # e $(ica la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5 o(re la pro&ecci#n re(atida r r 5 de la recta r 5. E a vece "a conveniente trazar' en vez de $na recta r 5 c$al*$iera' $na recta horizontal 5 !i.85' o $na recta !rontal f 5 !i.8$5 del plano α5.
0$+.=.K Re2a!$$en!" de )n ')n!" /A* '"r ed$" del re2a!$$en!" 're3$" de la !ra(a 3er!$#al del 'lan"
R#bat(,(#"to a T$a*2% la T$a7a V#$t(cal u" Pla"o +ara re(atir c$al*$ier p$nto A5 contenido en $n plano α5' a trav de la traza vertical f 5 del plano α5 !i.?a6 a e traza' por l p$nto A5 $na recta i5 de "%:i"a inclinaci#n del plano α5, & e deter"inan6 el p$nto Ι5 de corte entre la recta i5 & la traza vertical f 5 del plano α5, & la lonit$d d A-Ι5, del e"ento AHΙ5 !i.?.
0$+..K Re2a!$$en!" de )n 'lan" / a !ra3Hs de s) !ra(a 3er!$#al /0
2 #
e de!ine la pro&ecci#n re(atida ir 5 de la recta i5, a(iendo *$e6 contiene al p$nto ΙFΙr 5, et% contenida en el plano vertical de pro&ecci#n, & e perpendic$lar a la traza vertical f 5 del plano α5 !i.?$. e deter"ina la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5, "idiendo la lonit$d d AHΙ5 del e"ento AHΙ5 o(re la pro&ecci#n re(atida ir 5 de la recta i5' a partir del p$nto Ι=Ιr 5 !i.?d.
E4e'l"% De!er$nar la 'r"-e##$n re2a!$da /Ar del ')n!" /A* #"n!en$d" en el 'lan" / !ig.1#a. S"l)#$n:
a
e de!inen la pro&eccione de la recta i5 de "%:i"a inclinaci#n del plano α5' *$e paa por el p$nto A5 pri"ero la vertical i%5' perpendic$lar a la pro&ecci#n vertical α%5 de la traza vertical del plano α5, & l$eo la horizontal i55 !i.1@.
2
e de!ine la pro&ecci#n re(atida ir 5 de la recta i5. a pro&eccione re(atida ir 5 & vertical i%5 de la recta i5 coinciden ir Fi%5, &a *$e a"(a on perpendic$lare a la pro&ecci#n vertical α%5 traza vertical del plano α5. # e de!inen la pro&eccione6 horizontal Ι5, vertical & re(atida Ι%FΙr 5 del p$nto de corte Ι5 entre la recta i5 & la traza vertical del plano α5. d e deter"ina la lonit$d d AHΙ5 del e"ento AHΙ5.
e
e de!ine la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5, "idiendo la lonit$d d AHΙ5 o(re la pro&ecci#n re(atida ir 5 de la recta i5 a partir del p$nto Ι%FΙr 5' p$ede traladare con el co"p% centrado en Ι%FΙr 55.
0$+.18.K Re2a!$$en!" a !ra3Hs de la !ra(a 3er!$#al
i el re(ati"iento e invero !i.1@ 5' la pro&eccione vertical A%5 & re(atida Ar 5 del p$nto A5 e $(ican en lado op$eto del e)e de re(ati"iento, "ientra *$e i e directo !i.1@ $5' a"(a pro&eccione e $(ican en el "i"o lado del e)e de re(ati"iento.
S$'l$0$#a#$n% &a co"prendido lo principio te#rico del re(ati"iento de plano a trav de $ traza vertical. Ete proceo p$ede i"pli!icare' co"o lo "$etra la !i.1@ d de ac$erdo a lo i$iente apecto6 a a di!erencia de v$elo ∆& AHΙ5 entre lo p$nto A e Ι5 e ie"pre el v$elo A5 de del p$nto A5. 2 Go e neceario e7alar la $(icaci#n del p$nto Ι5. # Go e neceario deter"inar la pro&ecci#n horizontal i5 de la recta i5. d e p$ede o"itir toda la no"enclat$ra del procedi"iento.
R#bat(,(#"to Va$(o% Pu"to% En la !i.11a' e "$etra $n p$nto A5 el c$al ha ido re(atido & $n e$ndo p$nto ?5 el c$al e *$iere re(atir' a"(o contenido en el plano α5. A$n*$e p$ede re(atire el p$nto ?5' i$iendo el "todo $tilizado en el re(ati"iento del p$nto A5' e a vece "a conveniente re(atirlo aplicando $na de la propiedade del re(ati"iento i$iente6
a L"s !r$&n+)l"s de re2a!$$en!" d$2)4ad"s 'ara re2a!$r !"d"s l"s ')n!"s de )n
$s" 'lan" s"n see4an!es. +or lo tanto la hipoten$a del tri%n$lo de re(ati"iento *$e e di($)e para el p$nto ?5 e paralela a la *$e e o(t$vo en p$nto A5 !i.11. 0$+.11.K Re2a!$$en!" de 3ar$"s ')n!"s
2 El 'aralel$s" en!re re#!as se #"nser3a en el re2a!$$en!". +or lo tanto e traza $na recta a5 c$al*$iera por el p$nto A5' & l$eo otra recta 5 paralela a ella por el p$nto ?5, e de!inen la pro&eccione re(atida de a"(a recta, & e $(ica la pro&ecci#n re(atida ?r 5 del p$nto ?5 o(re la pro&ecci#n re(atida r 5 de la recta 5 !i.11$.
#
e traza la recta a5 *$e contiene a lo p$nto A & ?5, & e de!ine $ pro&ecci#n re(atida ar 5, l$eo e $(ica la pro&ecci#n re(atida ?r 5 del p$nto ?5 o(re la pro&ecci#n re(atida ar 5 de la recta a5 !i.11d.
R#bat(,(#"to la T$a7a Ho$(7o"tal u" Pla"o e p$ede de!inir la pro&ecci#n re(atida αr 5 de la traza horizontal de $n plano α5' por "edio del re(ati"iento de do p$nto ; & 05 contenido en la "i"a e i"pli!ica el "todo i $no de ello ;5 e la interecci#n del plano α5 con la lnea de tierra, &a *$e la pro&eccione horizontal' vertical' & re(atida de ete p$nto coincidir%n en $na ola ;%F;F;r 5 !i.12. En la !i.12a e re(ate el p$nto 05 por el "todo decrito en la !i.1@.
0$+.15.K Re2a!$$en!" de la !ra(a :"r$("n!al de )n 'lan"
En la !i.12 e i"pli!ica el procedi"iento' to"ando en c$enta *$e6 a El e"ento ;H05 et% contenido en el plano horizontal de pro&ecci#n, por lo tanto $ lonit$d real d;H05 p$ede "edire en la pro&ecci#n horizontal del "i"o. 2 El e"ento ;H05' dep$ de re(atido' ta"(in e o(erva en verdadero ta"a7o. Entonce' p$ede o(tenere la pro&ecci#n re(atida 0r 5 del p$nto 05 traladando con el co"p%' centrado en el p$nto ;%F;F;r 5 la lonit$d d;H05 del e"ento ;H05.
R#bat(,(#"to u" Pu"to u" Pla"o. po$ ,#&(o l
R#bat(,(#"to P$#*(o la T$a7a Ho$(7o"tal l Pla"o a de!inida la pro&ecci#n re(atida αr 5 de la traza horizontal de $n plano α5' i *$iere re(atire c$al*$ier p$nto A5 de ete plano !i.136 a e traza' por el p$nto A5' $na recta r 5 c$al*$iera del plano α5 !i.13a. 2 e de!ine la pro&ecci#n re(atida r r 5 de eta recta r 5. # e $(ica la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5 o(re la pro&ecci#n re(atida r r 5de la recta r 5.
0$+.16.K Re2a!$$en!" de )n ')n!" /A '"r ed$" del re2a!$$en!" 're3$" de la !ra(a :"r$("n!al del 'lan"
E a vece "a conveniente trazar' en vez de $na recta r 5 c$al*$iera' $na recta horizontal 5 !i.135' o $na recta !rontal f 5 !i.13$5 del plano α5.
R#bat(,(#"to a t$a*2% u"a R#cta Ca$act#$í%t(ca Ho$(7o"tal u" Pla"o +ara re(atir c$al*$ier p$nto A5 contenido en $n plano α5 a trav de $na recta horizontal ;5 del plano6 a e traza por el p$nto A5 $na recta p5 de "%:i"a pendiente del plano α5, & e deter"inan6 el p$nto de corte Ι5 entre la recta p5 & la recta horizontal ;5, & la lonit$d d A-Ι5 del e"ento AHΙ5 !i.14a.
0$+.1>.K Re2a!$$en!" a !ra3Hs de )na re#!a #ara#!er,s!$#a :"r$("n!al /:1 del 'lan" /
2
e deter"ina la pro&ecci#n re(atida pr 5 de la recta p5, a(iendo *$e contiene al p$nto Ι=Ιr 5' & e6 paralela al plano horizontal de pro&ecci#n, & perpendic$lar a la recta horizontal ;5 !i.14. # e o(tiene la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5 "idiendo la lonit$d d AHΙ5 del e"ento AHΙ5 o(re la pro&ecci#n re(atida pr 5 de la recta p5' a partir del p$nto ΙFΙr 5.
r E4e'l". De0$n$r la 'r"-e##$n re2a!$da /A del ')n!" /A* #"n!en$d" en el 'lan" / * de0$n$d" '"r s)s re#!as #ara#!er,s!$#as 0r"n!al /0 - :"r$("n!al /: !ig.1"a:
S"l)#$n%
a
e de!inen la pro&eccione de la recta de "%:i"a pendiente p5 del plano α5 *$e paa por el p$nto A5 pri"ero la horizontal p5' perpendic$lar a la pro&ecci#n horizontal 5 de la recta caractertica horizontal 5 del plano α5' & l$eo la vertical p%5 !i.1;.
0$+.17.K Re2a!$$en!" alreded"r de )na re#!a #ara#!er,s!$#a :"r$("n!al /: de )n 'lan" / K e4e'l"
2
e re(ate la recta de "%:i"a pendiente p5 $ pro&eccione re(atida pr 5 & horizontal p5 coinciden pFpr 5. # e deter"inan la pro&eccione del p$nto de corte Ι5 entre la recta p & 5. d e deter"ina la lonit$d d AHΙ5 del e"ento AHΙ5. e e de!ine la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5' "idiendo la lonit$d d AHΙ5 o(re la pro&ecci#n re(atida pr 5 de la recta p5 a partir del p$nto Ι5' p$ede traladare con el co"p% centrado en ΙFΙr 55. 0 i el re(ati"iento e invero' la pro&eccione horizontal A5 & re(atida Ar 5 del p$nto A5 e $(ican en lado op$eto del e)e de re(ati"iento !i.1; 5, "ientra *$e i el e directo' a"(a pro&eccione e $(ican en el "i"o lado del e)e de re(ati"iento !i.1; $.
+ S$'l$0$#a#$n. Ete proceo p$ede i"pli!icare de ac$erdo con lo i$iente apecto !i.1;d6 : a di!erencia de cota entre lo p$nto A e Ι5' e ie"pre la di!erencia de cota entre el p$nto A5 & la recta horizontal 5. $ Go e neceario e7alar la $(icaci#n del p$nto Ι5.
4
e p$ede o"itir toda la no"enclat$ra inter"edia.
R#bat(,(#"to Va$(o% Pu"to% En la !i.1
0$+.1.K Re2a!$$en!" de 3ar$"s ')n!"s
2 #
+or recta paralela !i.1< $. +or "edio de la recta AH?5 !i.1
R#bat(,(#"to u"a R#cta Ca$act#$í%t(ca /$o"tal u" Pla"o iendo el e)e de re(ati"iento la recta horizontal 5 del plano α5' en la !i.1 a e "$etra co"o o(tener la pro&ecci#n re(atida f r 5 de la recta !rontal f 5 del plano α5' re(atiendo para ello do de $ p$nto ; & 05.
0$+.1.K Re2a!$$en!" de )na 0r"n!al de )n 'lan" /
En la !i.1 e "$etra $na i"pli!icaci#n del "todo (aada en *$e la lonit$d d;H05 del e"ento ;H05' e o(erva en verdadero ta"a7o en la pro&eccione vertical f %5 & re(atida f r 5. i previa"ente e re(ate $na recta !rontal f 5 de $n plano α5' p$ede l$eo re(atire c$al*$ier p$nto A5 del plano por "edio del i$iente procedi"iento6 a e traza por el p$nto A5 $na recta c$al*$iera r 5 del plano α5 !i.18a5, eta recta p$ede er horizontal ;5 !i.185' # !rontal f ;5 !i.18$5.
0$+.1=.K Re2a!$$en!" de )n ')n!" /A de )n 'lan" / '"r ed$" del re2a!$$en!" 're3$" de )na re#!a 0r"n!al /0
2 #
e re(ate ea recta r , ;, # f ;5. e $(ica la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5 o(re la pro&ecci#n re(atida de la recta r , ;, # f ;5.
R#bat(,(#"to a t$a*2% u"a R#cta Ca$act#$í%t(ca /$o"tal u" Pla"o +ara re(atir c$al*$ier p$nto A5 contenido en $n plano α5 a trav de $na recta !rontal f ;5 del plano6 a e traza por el p$nto A5 $na recta i5 de "%:i"a inclinaci#n del plano α5, & e deter"inan6 el p$nto de corte Ι5 entre la recta i5 & la recta !rontal f ;5, & la lonit$d d A-Ι5 del e"ento AHΙ5 !i.1?a.
0$+.1.K Re2a!$$en!" a !ra3Hs de )na re#!a #ara#!er,s!$#a 0r"n!al /0 1 de )n 'lan" /
2
e deter"ina la pro&ecci#n re(atida ir 5 de la recta i5, a(iendo *$e contiene al p$nto Ι=Ιr 5' & e6 paralela al plano vertical de pro&ecci#n, & perpendic$lar a la recta !rontal f ;5 !i.1?.
#
e o(tiene la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5 "idiendo la lonit$d d AHΙ5 del e"ento AHΙ5 o(re la pro&ecci#n re(atida ir 5 de la recta i5' a partir del p$nto ΙFΙr 5.
r E4e'l". De0$n$r la 'r"-e##$n re2a!$da /A del ')n!" /A* #"n!en$d" en el 'lan" / * de0$n$d" '"r s)s re#!as #ara#!er,s!$#as 0r"n!al /0 - :"r$("n!al /: !ig.2#a:
S"l)#$n%
a
e de!inen la pro&eccione de la recta de "%:i"a inclinaci#n i5 del plano α5 *$e paa por el p$nto A5 pri"ero la vertical i%5' perpendic$lar a la pro&ecci#n vertical f %5 de la recta caractertica !rontal f 5 del plano α5' & l$eo la horizontal i5 !i.2@.
0$+.58.K Re2a!$$en!" alreded"r de )na re#!a #ara#!er,s!$#a 0r"n!al /0 de )n 'lan" / K e4e'l"
2
e re(ate la recta de "%:i"a inclinaci#n i5 $ pro&eccione re(atida ir 5 & vertical i%5 coinciden i%Fir 5.
# d e 0
e deter"inan la pro&eccione del p$nto de corte Ι5 entre la recta i & f 5. e deter"ina la lonit$d d AHΙ5 del e"ento AHΙ5. e de!ine la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5' "idiendo la lonit$d d AHΙ5 o(re la pro&ecci#n re(atida ir 5 de la recta i5 a partir del p$nto Ι5' p$ede traladare con el co"p% centrado en Ι%FΙr 55. i el re(ati"iento e invero' la pro&eccione vertical A%5 & re(atida Ar 5 del p$nto A5 e $(ican en lado op$eto del e)e de re(ati"iento !i.2@ 5, "ientra *$e i el e directo' a"(a pro&eccione e $(ican en el "i"o lado del e)e de re(ati"iento !i.2@ $.
S$'l$0$#a#$n. Ete proceo p$ede i"pli!icare de ac$erdo con lo i$iente apecto !i.2@ d6 a a di!erencia de v$elo entre lo p$nto A e Ι5' e ie"pre la di!erencia de v$elo entre el p$nto A5 & la recta !rontal f 5.
2 #
Go e neceario e7alar la $(icaci#n del p$nto Ι5. e p$ede o"itir toda la no"enclat$ra inter"edia.
R#bat(,(#"to Va$(o% Pu"to% En la !i.21a e "$etra $n p$nto A5 el c$al ha ido re(atido & $n e$ndo p$nto ?5 el c$al e *$iere re(atir' a"(o contenido en el plano α5. A$n*$e p$ede re(atire el p$nto ?5' i$iendo el "todo $tilizado en el re(ati"iento del p$nto A5' e ta"(in poi(le re(atirlo aplicando la propiedade del re(ati"iento &a e:p$eta en la !i.116 a +or tri%n$lo de re(ati"iento e"e)ante !i.21 .
0$+.51.K Re2a!$$en!" de 3ar$"s ')n!"s
2 #
+or recta paralela !i.21 $. +or "edio de la recta AH?5 !i.21d.
R#bat(,(#"to u"a R#cta Ca$act#$í%t(ca Ho$(7o"tal u" Pla"o iendo el e)e de re(ati"iento la recta !rontal f 5 del plano α5' en la !i.22 a e "$etra co"o o(tener la pro&ecci#n re(atida r 5 de la recta horizontal 5 del plano α5' re(atiendo para ello do de $ p$nto ; & 05.
0$+.55.K Re2a!$$en!" de )na :"r$("n!al /: de )n 'lan" /
En la !i.22 e "$etra $na i"pli!icaci#n del "todo (aada en *$e la lonit$d d;H05 del e"ento ;H05' e o(erva en verdadero ta"a7o en la pro&eccione horizontal 5 & re(atida r 5. i previa"ente e re(ate $na recta horizontal 5 de $n plano α5' p$ede l$eo re(atire c$al*$ier p$nto A5 del plano por "edio del i$iente procedi"iento6 a e traza por el p$nto A5 $na recta c$al*$iera r 5 del plano α5 !i.23a5, eta recta p$ede er !rontal f ;5 !i.235' / horizontal ;5 !i.23$5.
0$+.56.K Re2a!$$en!" de )n ')n!" /A de )n 'lan" / '"r ed$" del re2a!$$en!" 're3$" de )na re#!a :"r$("n!al /:
2 #
e re(ate ea recta r , f ;, # ;5. e $(ica la pro&ecci#n re(atida Ar 5 del p$nto A5 o(re la pro&ecci#n re(atida de la recta r , f ;, # ;5.
E9#$c(c(o L1 De0$n$r las 'r"-e##$"nes del #)adrad" de 3Hr!$#es /A* B* C* - D* dad" s) 3Hr!$#e /C sa2$end" )e el lad" /AB* es!a #"n!en$d" en la re#!a /r es!and" /A as al!" )e /B !ig.2$a. S"l)#$n% a recta r 5 & el p$nto C5 de!inen $n plano α5 *$e contiene al c$adrado pedido. i e re(ate ete plano' e p$ede di($)ar el c$adrado en verdadero ta"a7o re(atido5 & l$eo o(tener $ pro&eccione horizontal & vertical a partir de la pro&ecci#n re(atida. A contin$aci#n e de!ine ete proceo6 a e de!inen la traza del plano α5 *$e contiene a la recta r 5 & al p$nto C5, para ello e de!ine previa"ente el plano α5 por recta paralela' trazando por C5 $na recta r ;5 paralela a la recta r 5 !i.24.
0$+.5>.K C"ns!r)##$n de )n #)adrad" '"r re2a!$$en!" 're3$" de la !ra(a 3er!$#al
2
e re(aten6 la traza vertical del plano α5' la recta paralela r 5 & r ;5' & el vrtice C5, to"ando co"o e)e de re(ati"iento la traza horizontal del plano α5. # e di($)a' en pro&ecci#n re(atida' el c$adrado Ar H?r HCr H4r 5 con vrtice en Cr 5 & lado Ar H?r 5 o(re la recta r r 5 !i.24$. d e de!inen la pro&eccione horizontal & vertical del c$adrado a partir de la pro&ecci#n re(atida !i.24d.
E9#$c(c(o L< De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n !r$&n+)l" e)$l&!er" de 3Hr!$#es /A* B* - C* #"n!en$d" en el 'lan" / de0$n$d" '"r l"s 3Hr!$#es /A* - B - el ')n!" / !ig.2"a. S"l)#$n%
los puntos ( A ?, y ) defnen el plano ( α), que contiene al tri'n!ulo equil'tero pedido si se rebate este plano, se puede dibu-ar el tri'n!ulo equil'tero en verdadero tama4o (rebatido) y lue!o obtener sus proyecciones horizontal y vertical a partir de la proyección rebatida. 7 continuación se defne este proceso: a Se defnen las trazas del plano ( α) que contiene a la recta ( r ) y al punto ( ) y se rebate el lado ( AH?) del tri'n!ulo equil'tero tomando como e-e de rebatimiento la traza vertical del plano (α)\ f!.89.
0$+.57.K C"ns!r)##$n de )n !r$&n+)l" e)$l&!er"* '"r re2a!$$en!" 're3$" de la !ra(a :"r$("n!al
2
Se dibu-a, con lado ( Ar H?r ), la proyección rebatida ( Ar 7?r 7Cr ) del tri'n!ulo equil'tero ( A7?7C)\ f!.89$.
Se defnen las proyecciones horizontal y vertical del tri'n!ulo a partir de la proyección rebatida\ f!.89 d.
E9#$c(c(o L? De0$n$r las 'r"-e##$"nes del #)adrad" de 3Hr!$#es /A* B* C* - D* dad" s) 3Hr!$#e /C sa2$end" )e el lad" /AB* es!a #"n!en$d" en la re#!a /r* es!and" /A '"r en#$a de /B !ig.2%a. S"l)#$n% #a recta ( r ) y el punto ( C) defnen un plano ( α) que contiene al cuadrado pedido, si se rebate este plano, se puede dibu-ar el cuadrado en verdadero tama4o (rebatido) y lue!o obtener sus proyecciones horizontal y vertical a partir de la proyección rebatida. 7 continuación se defne este proceso: a Se defnen las rectas caractersticas $rontal ( f ) y horizontal ( ) del plano (α) que pasan por el punto ( C) y se rebaten: la $rontal ( f ) la recta ( r ) y el punto ( C), tomando como e-e de rebatimiento la horizontal ( )\ f!.8.
0$+.5.K C"ns!r)##$n de )n #)adrad" '"r re2a!$$en!" 're3$" de )na re#!a 0r"n!al
2 #
Se dibu-a, en la proyección rebatida, un cuadrado con v*rtice en ( Cr ) y lado ( Ar H ?r ) sobre la recta ( r r )\ f!.8$. Se defnen las proyecciones horizontal y vertical del cuadrado a partir de la proyección rebatida\ f!.8 d.
E9#$c(c(o L De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n #)adrad" de 3Hr!$#es /A* B* C* - D* #"n!en$d" en el 'lan" / de0$n$d" '"r el 3Hr!$#e /A - la re#!a /r* sa2$end" )e la d$a+"nal /AC es 'er'end$#)lar a la re#!a /r* la #)al #"n!$ene al 3Hr!$#e /C. /B es!& '"r de2a4" de /A !ig.2&a. S"l)#$n +l punto ( A) y la recta (r ) defnen un plano ( α) que contiene al cuadrado pedido. Si se rebate este plano, se puede dibu-ar el cuadrado en verdadero tama4o (rebatido) y lue!o obtener sus proyecciones horizontal y vertical a partir de la proyección rebatida. 7 continuación se defne este proceso: a Se defnen las rectas caractersticas $rontal ( f ) y horizontal ( ) del plano (α) que pasan por el punto ( A) y se rebaten: la horizontal ( ) la recta ( r ) y el punto ( A) tomando como e-e de rebatimiento la $rontal ( f )\ f!.8;
0$+.5.K C"ns!r)##$n de )n #)adrad" '"r re2a!$$en!" 're3$" de )na re#!a :"r$("n!al
2 #
Se dibu-a la proyección rebatida del cuadrado pedido\ f!.8;$ Se defnen las proyecciones vertical y horizontal del cuadrado ( A7 ?7 C7 4) a partir de la proyección rebatida\ f!.8;d.
ROTACIÓN DE P;ANOS El "todo de R"!a#$n' ta"(in deno"inado G$r"' conite en irar el o()eto en et$dio p$nto' recta' plano' etc5 $n deter"inado %n$lo αο5 alrededor de $n e)e de rotaci#n' el c$al e $na recta vertical %5' # de p$nta p5. En la !i.1 a' e repreenta la rotaci#n de $n p$nto A5' hata la poici#n A;5' alrededor de $n e)e vertical %5' & en la !i.1 alrededor de $n e)e de p$nta p5.
0$+.1.K R"!a#$n de )n ')n!" /A :as!a la '"s$#$n /A1
+$ede o(ervare' en la !i.1 a' *$e c$ando lo p$nto rotan a trav de $n e)e vertical %5 recorren arco de circ$n!erencia paralelo al plano horizontal de pro&ecci#n' "ientra *$e i la rotaci#n e prod$ce a trav de $n e)e de p$nta p5 !i.15' lo arco de circ$n!erencia recorrido on paralelo al plano vertical de pro&ecci#n.
Rotac(" u" Pu"to al$#&o$ u" E9# Pu"ta Conocida la pro&eccione de $n p$nto A5' !i.2a' para e!ect$ar $ rotaci#n a trav de $n e)e de p$nta p56 a e di($)an la pro&eccione del e)e de p$nta p5 *$e ervir% de e)e de rotaci#n !i.2 .
0$+.5.K R"!a#$n alreded"r de )n e4e de ')n!a
2 #
e de!inen la pro&eccione de la recta r 5' *$e paa por el p$nto A5 & e perpendic$lar al e)e de rotaci#n p5 !i.2$. e repreenta la rotaci#n' alrededor del e)e p5' de la recta r 5' hata la poici#n r ;5' & por coni$iente del p$nto A5 contenido en ella hata la poici#n A;5' irando $n %n$lo de rotaci#n αο5 !i.2d.
ROTACIÓN DE
0$+.6.K R"!a#$n s$)l!&nea de 3ar$"s ')n!"s
El %n$lo de iro αο5 p$ede er "edido con el tranportador de %n$lo' co"o e hizo en la !i.3 a, pero e "a pr%ctico tranportarlo con el co"p%' o(re $na "i"a circ$n!erencia la *$e contiene al p$nto A55' por "edio del radio r 5 !i.3.
Rotac(" u"a R#cta i *$iere rotare $na recta a5 !i.4a5' e rotan do p$nto ; & 05 de ella hata la poicione ;; & 0;5' la c$ale de!inir%n la poici#n irada a;5 de la recta a5 !i.4.
0$+.>.K R"!a#$n de )na re#!a
Rotac(" u" Pla"o a u"a Po%(c(" V#$t(cal +ara rotar $n plano α5' a $na poici#n vertical α;5 !i.;a6
a
+or c$al*$ier p$nto Ι5 del plano α5' e traza $na !rontal f 5 del "i"o & $n e)e de p$nta p5 alrededor del c$al e har% irar !i.; .
0$+.7.K R"!a#$n de )n 'lan" / a )na '"s$#$n 3er!$#al / 1
2
e ira la !rontal f 5 $n %n$lo αο5 hata colocarla en poici#n vertical f ;5 !i.;$.
El plano α5 e enc$entra en poici#n vertical α;5' dep$ de irar el %n$lo αο5' de(ido a *$e en eta n$eva poici#n toda $ !rontale on recta verticale !i.; d. a recta !rontale f 5 de $n plano α5 on perpendic$lare a la recta de "%:i"a inclinaci#n i5 del "i"o !i.
0$+..K R"!a#$n de re#!as 0r"n!al /0 - de &;$a $n#l$na#$n /$ a '"s$#$"nes 3er!$#al /0 1 - :"r$("n!al /$1* res'e#!$3aen!e
E4e'l": 'i (uiere rotarse el plano ) * mostrado en la !ig.&a* a una posición ) 1* +ertical:
a
+or $n p$nto Ι5 c$al*$iera del plano α5 e traza el e)e de rotaci#n p5' & $na recta de "%:i"a inclinaci#n i5 del plano α5. e deter"ina la interecci#n 5 de la recta i5 con el plano vertical de pro&ecci#n!i. .
0$+..K R"!a#$n de )n 'lan" a )na '"s$#$n 3er!$#alK e4e'l"
2
e ira la recta i5 hata colocarla en la poici#n horizontal i;5. e de!ine la pro&ecci#n vertical α;%5 de la traza vertical del plano α5 en $ poici#n vertical α;5, dado *$e paa por la poici#n irada ;5 del p$nto 5 & e perpendic$lar a la lnea de tierra !i. $. # e de!ine la pro&ecci#n horizontal α;5 de la traza horizontal del plano α5' en $ poici#n vertical α;5, dado *$e e corta en la lnea de tierra con α;%5' & paa por la pro&ecci#n horizontal Ι5 del p$nto Ι5' de(ido a *$e ete p$nto no ca"(ia de poici#n al irar el plano α5 ΙFΙ;7 Ι%FΙ;%5' por etar contenido en el e)e de rotaci#n p5 !i.d. +ara "a&or co"preni#n' de(e recordare *$e en poici#n vertical α;5' el plano α5 e pro&ecta horizontal"ente o(re $na recta α;5' de la c$al &a e conoce $n p$nto Ι;5 & e a(e ade"% *$e e corta en la lnea de tierra con α;%5. i el e)e de rotaci#n p5 e elie contenido en el plano horizontal de pro&ecci#n !i.8 a5' e i"pli!ica la rotaci#n de $n plano α5 a $na poici#n α;5 vertical !i.8 .
0$+.=.K E4e de r"!a#$n en el 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n
Rotac(" u" Pla"o #" Po%(c(" V#$t(cal a u"a Po%(c(" /$o"tal +ara rotar $n plano α5 *$e e enc$entre en poici#n vertical hata $na poici#n !rontal α;5' de(e hacere irar el plano α5 a trav de $n e)e vertical %5 !i.?a. El e)e de rotaci#n %5' p$ede ta"(in etar contenido en el plano α5 !i.?' o er la traza vertical del plano α5 !i.?$' en ete cao e coloca el plano α5 o(re el plano vertical de pro&ecci#n.
0$+..K R"!a#$n de )n 'lan" / en '"s$#$n 3er!$#al a )na '"s$#$n / 1 0r"n!al
Al en$ontrarse el plano ( α) en posi$in frontal ( α;) su pro&e$$in %erti$al se en$uentra en %erdadero tamao. E4e'l" : De0$n$r las 'r"-e##$"nes del !r$&n+)l" e)$l&!er" /ABC #"n!en$d" en )n 'lan" 3er!$#al / * #"n"#$d" s) lad" /AB - dad" )e el 3Hr!$#e /C es!a '"r de2a4" de /B !i.1@a6 S"l)#$n:
a
a pro&ecci#n horizontal AH?5 del lado AH?5 de!ine la pro&ecci#n horizontal α5 de la traza horizontal del plano α5 *$e contiene al tri%n$lo A7?7C5, & la pro&ecci#n vertical α%5 de la traza
vertical del plano α5 e perpendic$lar a la lnea de tierra & e corta con α5 en la lnea de tierra' por lo tanto e de!inen a"(a traza !i.1@ . 2 e elie co"o e)e vertical %5 de rotaci#n a la traza vertical del plano α5 & e rota' a trav de l' el lado AH?5 hata colocarlo o(re el plano vertical de pro&ecci#n A;H?;5.
0$+.18.K R"!a#$n de )n 'lan" 3er!$#al a )na '"s$#$n 0r"n!al
#
e di($)a' en verdadero ta"a7o' el tri%n$lo A7 ?7 C5 en $ pro&ecci#n vertical irada A;%7 ?;%7 C;%5' & e de!ine la pro&ecci#n horizontal C5 del vrtice C5' & por coni$iente la pro&ecci#n horizontal A7 ?7 C5 del tri%n$lo A7 ?7 C5 !i.1@$. d e de!ine la pro&ecci#n vertical C%5 del vrtice C5' & por coni$iente la pro&ecci#n vertical A%7 ?%7 C%5 del tri%n$lo A7 ?7 C5 !i.1@d.
Rotac(" u" Pla"o #" Po%(c(" Cual0u(#$a a%ta u"a Po%(c(" /$o"tal
C$al*$ier plano α5' en poici#n ar(itraria' p$ede er colocado en poici#n !rontal por "edio de do rotacione $ceiva' realizada en el i$iente orden6 a e ira el plano α5' alrededor de $n e)e de p$nta p5' hata $na poici#n vertical α;5 !i.11a. 2 e ira el plano α5' alrededor de $n e)e vertical %5' dede la poici#n vertical α;5 hata $na poici#n !rontal α05 !i.11.
0$+.11.K R"!a#$n de )n 'lan" a )na '"s$#$n 0r"n!al
EJEMPLO. De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n #)adrad" de 3Hr!$#es /A* B* C* D* #"n!en$d" en el 'lan" / * sa2$end" )e el 3Hr!$#e /C se en#)en!ra a la dere#:a de /B !i.12a. S"l)#$n: a e de!ine el e)e de rotaci#n p5 & e rota' a $ alrededor' el plano α5 hata la poici#n vertical α;5 !i.12. 2 e rota el lado AH?5 a la poici#n A;H?;5. +ara ello !i.12 $6 1 e traladan la pro&eccione horizontale AH?5' en !or"a paralela a la lnea de tierra' a la poici#n A;H?;5' o(re α;5. 5 e rotan la pro&eccione verticale A%H?%5' con centro en p%5 a la poici#n A;%H?;%5. # Eliiendo la recta α;%5 co"o e)e vertical de iro α;%F%%5' e rota el lado AH?5 dede la poici#n A;H?;5 hata colocarlo o(re el plano vertical de pro&ecci#n A0H?05 !i.12d6 0$+.15.K R"!a#$n de )n 'lan" a )na '"s$#$n 0r"n!alK e4e'l"
d e contr$&e' en verdadero ta"a7o' el c$adrado pedido con lado en A0%H?0%5 !i.12e. e e rota el c$adrado A0H?0HC0H405a la poici#n A;H?;HC;H4;5 !i.12f 6 0 e rota el c$adrado A;H?;HC;H4;5 a $ poici#n oriinal AH?HCH45' o(teniendo a $ pro&eccione horizontal & vertical. +ara ello !i.12 g6 1 e trazan' por la pro&eccione C; & 4;5 la pro&eccione horizontale f & f ;5 de la recta !rontale f & f ;5' *$e paan por lo p$nto C & 45 repectiva"ente. 5 e deter"inan la pro&eccione verticale f % & f ;%5 de la recta !rontale f & f ;5. 6 e trazan' con centro en p%5' la pro&eccione verticale de lo arco de iro de lo p$nto C & 45' lo c$ale eneran la pro&eccione verticale C% & 4%5 de lo p$nto C & 45 al cortare con la pro&eccione verticale f % & f ;%5 de la !rontale f & f ;5. De!iniendo a la pro&ecci#n vertical del c$adrado. > e de!inen la pro&eccione horizontale C & 45 de lo vrtice C & 45. De!iniendo a la pro&ecci#n horizontal del c$adrado.
Rotac(" u" Pla"o a u"a Po%(c(" Pu"ta +ara rotar $n plano α5' a $na poici#n de p$nta α;5 !i.13a6 a +or c$al*$ier p$nto Ι5 del plano α5' e traza $na horizontal 5 del "i"o & $n e)e de vertical %5 alrededor del c$al e har% irar !i.13 .
0$+.16.K R"!a#$n de )n 'lan" a '"s$#$n de ')n!a
2
e ira la horizontal 5 $n %n$lo αο5 hata colocarla en poici#n de p$nta ;5 !i.13$.
El plano α5 e enc$entra en poici#n de p$nta α;5' dep$ de irar el %n$lo αο5' de(ido a *$e en eta n$eva poici#n toda $ horizontale on recta de p$nta !i.13 d. a recta horizontale 5 de $n plano α5 on perpendic$lare a la recta de "%:i"a pendiente p5 del "i"o !i.14 a5. +or lo tanto ta"(in p$ede de!inire el %n$lo αο5 de iro neceario para colocar $n plano α5 en poici#n de p$nta α;5' rotando $na recta de "%:i"a pendiente p5 del plano α5 hata $na poici#n !rontal p;5, &a en eta poici#n la horizontale 5 del plano α5' e encontrar%n en poici#n de p$nta ;5 !i.14.
0$+.1>.K R"!a#$n de re#!as :"r$("n!al /: - de &;$a 'end$en!e /' a '"s$#$"nes de ')n!a /:1 - 0r"n!al /'1* res'e#!$3aen!e
E4e'l"% 'i (uiere rotarse el plano ) * mostrado en la !ig.1"a* a una posición ) 1* de punta: a +or $n p$nto Ι5 c$al*$iera del plano α5 e traza el e)e de rotaci#n %5' & $na recta de "%:i"a pendiente p5 del plano α5, & e deter"ina la interecci#n 5 de la recta p5 con el plano horizontal de pro&ecci#n !i.1; . 0$+.17.K R"!a#$n de )n 'lan" a )na '"s$#$n de ')n!aK e4e'l"
2 e ira la recta p5 hata colocarla en la poici#n !rontal p;5. e de!ine la pro&ecci#n horizontal α;5 de la traza horizontal del plano α5 en $ poici#n horizontal α;5, dado *$e paa por la poici#n irada ;5 del p$nto 5 & e perpendic$lar a la lnea de tierra !i.1; $. # e de!ine la pro&ecci#n vertical α;%5 de la traza vertical del plano α5 en $ poici#n de p$nta α;5, dado *$e e corta en la lnea de tierra con α;5' & paa por la pro&ecci#n vertical Ι%5 del p$nto Ι5' de(ido a *$e ete p$nto no ca"(ia de poici#n al irar el plano α5 Ι%FΙ;%7 ΙFΙ;5' por etar contenido en el e)e de rotaci#n %5 !i.1;d. +ara "a&or co"preni#n' de(e recordare *$e en poici#n de p$nta α15' el plano α5 e pro&ecta vertical"ente o(re $na recta' de la c$al &a e conoce $n p$nto Ι1v5 & e a(e ade"% *$e e corta en la lnea de tierra con α1h5. i el e)e de rotaci#n %5 e elie contenido en el plano vertical de pro&ecci#n !i.1< a5' e i"pli!ica la rotaci#n de $n plano α5 a $na poici#n α;5 de p$nta !i.1< .
0$+.1.K E4e de r"!a#$n en el 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n
Rotac(" u" Pla"o #" Po%(c(" Pu"ta a%ta u"a Po%(c(" Ho$(7o"tal +ara rotar $n plano α5 *$e e enc$entre en poici#n de p$nta hata $na poici#n horizontal α;5' de(e hacere irar el plano α5 a trav de $n e)e de p$nta p5 !i.1a. El e)e de rotaci#n p5' p$ede ta"(in etar contenido en el plano α5 !i.1' o er la traza horizontal del plano α5 !i.1$' en ete cao e coloca el plano α5 o(re el plano horizontal de pro&ecci#n.
0$+.1.K R"!a#$n de )n 'lan" / en '"s$#$n de ')n!a a )na '"s$#$n / 1 :"r$("n!al
Al en$ontrase el plano ( α) en posi$in ori#ontal ( α;) su pro&e$$in ori#ontal se en$uentra en %erdadero tamao. E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes del !r$&n+)l" e)$l&!er" /ABC #"n!en$d" en )n 'lan" de ')n!a / * #"n"#$d" s) lad" /AB - dad" )e el 3Hr!$#e /C es!& '"r de!r&s de /B !i.18a6 S"l)#$n:
a
a pro&ecci#n vertical A%H?%5 del lado AH?5 de!ine la pro&ecci#n vertical α%5 de la traza vertical del plano α5 *$e contiene al tri%n$lo A7?7C5, & la pro&ecci#n horizontal α5 de la traza
horizontal del plano α5 e perpendic$lar a la lnea de tierra' & e corta con α%5 en la lnea de tierra' por lo tanto e de!inen a"(a traza !i.18 .
0$+.1=.K R"!a#$n de )n 'lan" de ')n!a a )na '"s$#$n :"r$("n!al
2
e elie co"o e)e de p$nta p5 de rotaci#n a la traza horizontal del plano α5, & e rota' a trav de l' el lado AH?5 hata colocarlo o(re el plano horizontal de pro&ecci#n A;H?;5. # e di($)a' en verdadero ta"a7o' el tri%n$lo A7 ?7 C5 en $ pro&ecci#n horizontal irada A;7 ?;7 C;5' & e de!ine la pro&ecci#n vertical C%5 del vrtice C5' & por coni$iente la pro&ecci#n vertical A%7 ?%7 C%5 del tri%n$lo A7 ?7 C5 !i.18$. d e de!ine la pro&ecci#n horizontal C5 del vrtice C5' & por coni$iente la pro&ecci#n horizontal A7 ?7 C5 del tri%n$lo A7 ?7 C5 !i.18d.
Rotac(" u" Pla"o Cual0u(#$a a%ta u"a Po%(c(" Ho$(7o"tal C$al*$ier plano α5' en poici#n ar(itraria' p$ede er colocado en poici#n horizontal por "edio de do rotacione $ceiva' realizada en el i$iente orden6
a 2
e ira el plano α5' alrededor de $n e)e de vertical %5' hata $na poici#n de p$nta α;5 !i.1?a. e ira el plano α5' alrededor de $n e)e de p$nta p5' dede la poici#n de p$nta α;5 hata $na poici#n horizontal α05 !i.1?.
0$+.1.K R"!a#$n de )n 'lan" a )na '"s$#$n :"r$("n!al
EJEMPLO. De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n #)adrad" de 3Hr!$#es /A* B* C* D* #"n!en$d" en el 'lan" / * sa2$end" )e el 3Hr!$#e /C se en#)en!ra a la dere#:a de /B !i.2@a. S"l)#$n: a e de!ine el e)e de rotaci#n %5 & e rota' a $ alrededor' el plano α5 hata la poici#n de p$nta α;5 !i.2@. 2 e rota el lado AH?5 a la poici#n A;H?;5. +ara ello !i.2@ $6 1 e traladan la pro&eccione verticale A%H?%5' en !or"a paralela a la lnea de tierra' a la poici#n A;%H?;%5' o(re α;%5. 5 e rotan la pro&eccione horizontale AH?5' con centro en %5 a la poici#n A;H?;5. # Eliiendo la recta α;5 co"o e)e de p$nta de rotaci#n α;Fp5, e ira el lado AH?5 dede la poici#n A;H?;5 hata colocarlo o(re el plano horizontal de pro&ecci#n en la poici#n A0H?05 !i.2@d6 0$+.58.K R"!a#$n de )n 'lan" a )na '"s$#$n :"r$("n!alK e4e'l"
d e contr$&e' en verdadero ta"a7o' el c$adrado pedido con lado en A0H?05 !i.2@e. e e rota el c$adrado A0H?0HC0H405 a la poici#n A;H?;HC;H4;5 !i.2@f 6 0 e rota el c$adrado A;H?;HC;H4;5 a $ poici#n oriinal AH?HCH45' o(teniendo a $ pro&eccione vertical & horizontal. +ara ello !i.2@ g6 1 e trazan' por la pro&eccione C;% & 4;%5' la pro&eccione verticale % & ;%5 de la recta horizontale & ;5' *$e paan por lo p$nto C & 45 repectiva"ente. 5 e deter"inan la pro&eccione horizontale & ;5 de la recta horizontale & ;5. 6 e trazan' con centro en =5' la pro&eccione horizontale de lo arco de iro de lo p$nto C & 45' lo c$ale eneran la pro&eccione horizontale C & 45 de lo p$nto C & 45 al cortare con la pro&eccione horizontale & ;5 de la horizontale & ;5. De!iniendo a la pro&ecci#n horizontal del c$adrado. > e de!inen la pro&eccione verticale C% & 4%5 de lo p$nto C & 45. De!iniendo a la pro&ecci#n vertical del c$adrado.
CABIO DE P;ANOS DE PRO=ECCIÓN Co"o &a e decri(i#' el ite"a de Do(le +ro&ecci#n rtoonal lo de!inen do plano principale de pro&ecci#n' deno"inado6 plano vertical de pro&ecci#n P=5 & plano horizontal de pro&ecci#n P5' lo c$ale e cortan' !or"ando $n %n$lo de ?@ @' & de!iniendo $na lnea deno"inada lnea de tierra' la c$al ahora e deno"inar% H=5' por repreentar la interecci#n entre lo plano horizontal & vertical de pro&ecci#n !i.1 a. El ca"(io de plano de pro&ecci#n conite en $tit$ir el plano vertical de pro&ecci#n P=5 por c$al*$ier plano tre P85 de pro&ecci#n *$e ea perpendic$lar al plano horizontal de pro&ecci#n !i.15. e o(tiene de eta !or"a $n n$evo ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal' en el c$al' lo plano principale de pro&ecci#n on6 el plano tre de pro&ecci#n P85' *$e ree"plaza al plano vertical de pro&ecci#n P=5' & el plano horizontal de pro&ecci#n P5' *$e "antiene $ poici#n. a nea de Tierra' e ahora la interecci#n H85 entre lo plano horizontal & tre de pro&ecci#n. En ete cao' la pro&ecci#n horizontal A5 de c$al*$ier p$nto A5 e co"/n a a"(o ite"a' & la cota J A5 de c$al*$ier p$nto A5 "antiene $ valor al de!inir $ pro&ecci#n o(re el plano tre de pro&ecci#n, *$e e deno"ina pro&ecci#n tre A85.
0$+.1.K Ca2$" de 'lan"s de 'r"-e##$n
+$ede eta(lecere ta"(in $n ca"(io de plano de pro&ecci#n $tit$&endo el plano horizontal de pro&ecci#n por $n plano tre de pro&ecci#n P85 *$e ea perpendic$lar al plano vertical de pro&ecci#n !i.1$5. e o(tiene de eta !or"a $n n$evo ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal' en el c$al' lo plano principale de pro&ecci#n on6 el plano vertical de pro&ecci#n' *$e e co"/n a a"(o ite"a' & el plano tre de pro&ecci#n P85' *$e ree"plaza al plano horizontal de pro&ecci#n P5. a nea de Tierra' e ahora la interecci#n 8H=5 entre lo plano tre & vertical de pro&ecci#n. En ete cao' l a pro&ecci#n vertical A%5 de c$al*$ier p$nto A5 e co"/n a a"(o ite"a' & el v$elo A5 de c$al*$ier p$nto A5 "antiene $ valor al de!inir $ pro&ecci#n o(re el plano tre de pro&ecci#n, *$e e deno"ina pro&ecci#n tre A85.
Ca,b(o l Pla"o V#$t(cal P$o5#cc(". pa$a Ob%#$*a$ Pu"ta a u" Pla"o Cual0u(#$a i $n plano α5 e enc$entra en $na poici#n c$al*$iera con repecto a $n ite"a H=5 de do(le pro&ecci#n ortoonal. +$ede de!inire $n n$evo ite"a H85 de do(le pro&ecci#n ortoonal' con repecto al c$al el plano α5 ea $n plano de p$nta' ca"(iando el plano vertical de pro&ecci#n P=5 por $n plano tre de pro&ecci#n P85 *$e ea perpendic$lar a la traza horizontal de plano α5 !i.2a !i.2.
&
0$+.5.K Ca2$" del 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n* 'ara "2ser3ar en '"s$#$n de ')n!a a )n 'lan" #)al)$era
LAS TRAAS DEL PLANO / SON A@ORA% a 2ra#a ori#ontal: E co"/n a a"(o ite"a. $ pro&ecci#n horizontal α5 e perpendic$lar a la lnea de tierra H85. 2 2ra#a tres: E la interecci#n del plano α5 con el plano tre de pro&ecci#n. e corta en la lnea de tierra H85 con la traza horizontal del plano α5, por lo tanto $ pro&ecci#n tre α85 e corta con la pro&ecci#n horizontal α5 de la traza horizontal del plano α5 en la lnea de tierra H85 !i.2. Todo el plano α5 e pro&ecta o(re el plano tre de pro&ecci#n en la recta α85.
E4e'l"% Real$(ar el #a2$" de 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n ne#esar$" 'ara de0$n$r )n s$s!ea de d"2le 'r"-e##$n "r!"+"nal /@6 #"n res'e#!" al #)al el 'lan" / sea )n 'lan" de ')n!a. De0$n$r las !ra(as del 'lan" / en es!e n)e3" s$s!ea de d"2le 'r"-e##$n "r!"+"nal.!i.3a6 S"l)#$n:
a
e repreenta el ca"(io del plano vertical de pro&ecci#n por el plano tre de pro&ecci#n' di($)ando la n$eva la lnea de tierra H85' perpendic$lar a la pro&ecci#n horizontal α5 de la traza horizontal del plano α5 !i.3.
0$+.6.K Ca2$" del 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n* 'ara "2ser3ar en '"s$#$n de ')n!a a )n 'lan" #)al)$eraK e4e'l"
2
e de!inen la traza del plano α5 en el n$evo ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal H85 de la i$iente "anera !i.3 $ & !i.3 d6 1 2ra#a ori#ontal. E co"/n en a"(o ite"a. 5 2ra#a tres. $ pro&ecci#n tre α85 e corta en la n$eva lnea de tierra H85 con la pro&ecci#n horizontal α5 de la traza horizontal del plano α5, & contiene a la pro&ecci#n tre ;85 de c$al*$ier p$nto ;5 del plano α5' la c$al e o(tiene de la i$iente "anera !i.3 $6 $ e de!inen la pro&eccione vertical ;%5 & horizontal ;5 de $n p$nto ;5 c$al*$iera del plano α5. $$ +or la pro&ecci#n horizontal ;5 *$e e co"/n a a"(o ite"a5 del p$nto ;5' e traza la lnea de pro&ecci#n perpendic$lar a la lnea de tierra H85 *$e contendr% a la pro&ecci#n tre ;85 del p$nto ;5. $$$ e de!ine la pro&ecci#n tre ;85 del p$nto ;5' "idiendo' o(re la lnea de pro&ecci#n recin trazada & a partir de la lnea de tierra H85' la cota J;5 del p$nto ;5.
Ca,b(o l Pla"o Ho$(7o"tal P$o5#cc(". pa$a Ob%#$*a$ #" Po%(c(" Ho$(7o"tal a u" Pla"o Pu"ta i $n plano α5 e enc$entra de p$nta con repecto a $n ite"a H=5 de do(le pro&ecci#n ortoonal. +$ede eta(lecere $n n$evo ite"a 8H=5 de do(le pro&ecci#n ortoonal' con repecto al c$al el
plano α5 ea $n plano horizontal' ca"(iando el plano horizontal de pro&ecci#n P5 por $n plano tre de pro&ecci#n P85 *$e ea paralelo al plano α5 !i.4a & !i.4.
0$+.>.K Ca2$" del 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n* 'ara "2ser3ar en '"s$#$n :"r$("n!al a )n 'lan" de ')n!a
a traza vertical del plano α5 e co"/n a a"(o ite"a' & $ pro&ecci#n vertical αv5 e paralela a la n$eva lnea de tierra 8H=5. En ete n$evo ite"a 8H=5 de do(le pro&ecci#n ortoonal' el plano α5 e pro&ecta o(re el plano tre de pro&ecci#n P85 en verdadero ta"a7o' iendo eta la raz#n de realizar el ca"(io del plano horizontal de pro&ecci#n.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes del #)adrad" /ABCD* #"n!en$d" en el 'lan" / en el / #)adran!e !i.;a. S"l)#$n:
a
+or er el plano α5 $n plano de p$nta' e de!inen' o(re la pro&ecci#n vertical α%5 de $ traza vertical' la pro&eccione verticale A% & ?%5 de lo p$nto A & ?5 !i.;. e e!ect/a el ca"(io del plano horizontal de pro&ecci#n por el plano tre de pro&ecci#n P85' paralelo al plano α5, repreenta ete ca"(io de plano de pro&ecci#n' la n$eva lnea de tierra 8H=5' paralela a la pro&ecci#n vertical α%5 de la traza vertical del plano α5. e de!inen' "ediante el tralado de $ v$elo A & ?5' la pro&eccione A8 & ?85 de lo p$nto A & ?5 o(re el plano tre de pro&ecci#n P85.
0$+.7.K Ca2$" del 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n* 'ara "2ser3ar en '"s$#$n :"r$("n!al a )n 'lan" de ')n!aK e4e'l"
2 #
e di($)a' en verdadero ta"a7o' el c$adrado A87 ?87 C87 485' con lado en A87 ?85 !i.;$. e de!inen la pro&eccione vertical & horizontal del c$adrado A7 ?7 C7 45 !i.;d.
Ca,b(o u" Pla"o Cual0u(#$a a Po%(c(" Ho$(7o"tal. po$ ,#&(o &o% Ca,b(o% Pla"o P$o5#cc(" Suc#%(*o% i $n plano α5 e enc$entra en $na poici#n c$al*$iera con repecto a $n ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal H=5' +$ede eta(lecere $n n$evo ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal -H85' con repecto al c$al el plano α5 ea $n plano horizontal' por "edio de do ca"(io de plano de pro&ecci#n $ceivo' realizado en la i$iente !or"a6
a
e ca"(ia el plano vertical de pro&ecci#n P=5 por $n plano tre de pro&ecci#n P85' perpendic$lar a la traza horizontal del plano α5 !i.
0$+..K O2ser3a#$n en '"s$#$n :"r$("n!al de )n 'lan" #)al)$era* '"r ed$" de d"s #a2$"s de 'lan"
2
e ca"(ia el plano horizontal de pro&ecci#n P5 por $n plano c$atro de pro&ecci#n P-5' paralelo al plano α5 !i.<$5. e eta(lece de eta !or"a el ite "a de do(le pro&ecci#n ortoonal -H85' en el c$al' el plano α5 e $n plano horizontal !i.< d.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes del !r$&n+)l" e)$l&!er" de 3Hr!$#es /ABC* #"n!en$d" en el 'lan" / * sa2$end" )e el 3Hr!$#e /C es!a a la dere#:a de /A !i.a. S"l)#$n:
a
e de!ine la pro&ecci#n horizontal AH?5 del lado AH?5' hacindolo pertenecer al plano α5 !i.. e eta(lece' por "edio de la n$eva lnea de tierra H85' el ca"(io del plano vertical de pro&ecci#n P=5 por el plano tre de pro&ecci#n P85' el c$al e perpendic$lar a la traza horizontal del plano α5. En ete ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal H85' el plano α5 e o(erva de p$nta. e de!ine la pro&ecci#n tre α35 de la traza tre del plano α5, & la pro&eccione A8 & ?85 de lo p$nto A & ?5' por "edio del tralado de $ repectiva cota J A & J?5, la cota de ?5 e cero J?F/5.
0$+..K O2ser3a#$n en '"s$#$n :"r$("n!al de )n 'lan" #)al)$era* '"r ed$" de d"s #a2$"s de 'lan" de 'r"-e##$nK e4e'l"
2
e eta(lece' por "edio de la n$eva lnea de tierra -H85' el ca"(io del plano horizontal de pro&ecci#n por $n plano c$atro P-5' paralelo al plano α5 !i.$. En ete n$evo ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal' el plano α5 e $n plano horizontal' encontr%ndoe $ pro&ecci#n o(re el plano c$atro en verdadero ta"a7o. e de!inen la pro&eccione A- & ?-5 de lo p$nto A & ?5' traladando $ repectivo v$elo A & ?5, el v$elo A5 del p$nto A5 e cero AF/5. # e di($)a' en verdadero ta"a7o' la pro&ecci#n c$atro A-7?-7C-5 del tri%n$lo e*$il%tero A7?7C5 !i.d. d e de!ine la pro&ecci#n tre A87?87C85 del tri%n$lo A7?7C5 !i.e. e de!ine la pro&ecci#n horizontal A7?7C5 del tri%n$lo A7?7C5, traladando el v$elo C5 del p$nto C5. e e de!ine la pro&ecci#n vertical A%7?%7C%5 del tri%n$lo A7?7C5, haciendo pertenecer el p$nto C5 al plano α5 !i. f .
Ca,b(o l Pla"o Ho$(7o"tal P$o5#cc(". pa$a Ob%#$*a$ #" Po%(c(" V#$t(cal a u" Pla"o Cual0u(#$a i $n plano α5 e enc$entra en $na poici#n c$al*$iera con repecto a $n ite"a H=5 de do(le pro&ecci#n ortoonal. +$ede de!inire $n n$evo ite"a 8H=5 de do(le pro&ecci#n ortoonal' con repecto al c$al el plano α5 ea $n plano vertical' ca"(iando el plano horizontal de pro&ecci#n P5 por $n plano tre de pro&ecci#n P85 *$e ea perpendic$lar a la traza vertical del plano α5 !i.8a & !i.8.
0$+.=.K Ca2$" del 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n* 'ara "2ser3ar en '"s$#$n 3er!$#al a )n 'lan" #)al)$era
LAS TRAAS DEL PLANO / SON A@ORA% a 2ra#a %erti$al: E co"/n a a"(o ite"a. $ pro&ecci#n vertical α%5 e perpendic$lar a la lnea de tierra 8H=5. 2 2ra#a tres: E la interecci#n del plano α5 con el plano tre de pro&ecci#n. e corta en la lnea de tierra 8H=5 con la traza vertical del plano α5, por lo tanto $ pro&ecci#n tre α85 e corta con la pro&ecci#n vertical α%5 de la traza vertical del plano α5 en la lnea de tierra 8H=5 !i.8. Todo el plano α5 e pro&ecta o(re el plano tre de pro&ecci#n en la recta α85.
E4e'l"% Real$(ar el #a2$" de 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n ne#esar$" 'ara de0$n$r )n s$s!ea de d"2le 'r"-e##$n "r!"+"nal /6< #"n res'e#!" al #)al el 'lan" / sea )n 'lan" 3er!$#al. De0$n$r las !ra(as del 'lan" / en es!e n)e3" s$s!ea de d"2le 'r"-e##$n "r!"+"nal. !i.?a6 S"l)#$n:
a
e repreenta el ca"(io del plano horizontal de pro&ecci#n por el plano tre de pro&ecci#n' di($)ando la n$eva la lnea de tierra 8H=5' perpendic$lar a la pro&ecci#n vertical α%5 de la traza vertical del plano α5 !i.?.
0$+..K Ca2$" del 'lan" :"r$("n!al de 'r"-e##$n* 'ara "2ser3ar en '"s$#$n 3er!$#al a )n 'lan" #)al)$eraK e4e'l"
2
e de!inen la traza del plano α5 en el n$evo ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal 8H=5 de la i$iente "anera !i.? $ & !i.? d6 1 2ra#a %erti$al. E co"/n en a"(o ite"a. 5 2ra#a tres. $ pro&ecci#n tre α85 e corta en la n$eva lnea de tierra 8H=5 con la pro&ecci#n vertical α%5 de la traza vertical del plano α5, & contiene a la pro&ecci#n tre ;85 de c$al*$ier p$nto ;5 del plano α5' la c$al e o(tiene de la i$iente "anera !i.? $6 $ e de!inen la pro&eccione vertical ;%5 & horizontal ;5 de $n p$nto ;5 c$al*$iera del plano α5. $$ +or la pro&ecci#n vertical ;%5 *$e e co"/n a a"(o ite"a5 del p$nto ;5' e traza la lnea de pro&ecci#n perpendic$lar a la lnea de tierra 8H=5 *$e contendr% a la pro&ecci#n tre ;85 del p$nto ;5. $$$ e de!ine la pro&ecci#n tre ;85 del p$nto ;5' "idiendo' o(re la lnea de pro&ecci#n recin trazada & a partir de la lnea de tierra 8H=5 el v$elo ;5 del p$nto ;5.
Ca,b(o l Pla"o V#$t(cal P$o5#cc(". pa$a Ob%#$*a$ #"
Po%(c(" /$o"tal a u" Pla"o 0u# %# E"cu#"t$a #" Po%(c(" V#$t(cal i $n plano α5 e enc$entra en poici#n vertical con repecto a $n ite"a H=5 de do(le pro&ecci#n ortoonal. +$ede eta(lecere $n n$evo ite"a H85 de do(le pro&ecci#n ortoonal' con repecto al c$al el plano α5 ea $n plano vertical' ca"(iando el plano vertical de pro&ecci#n P=5 por $n plano tre de pro&ecci#n P85 *$e ea paralelo al plano α5 !i.1@a & !i.1@ .
0$+.18.K Ca2$" del 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n 'ara "2ser3ar en '"s$#$n 0r"n!al a )n 'lan" 3er!$#al
a traza horizontal del plano α5 e co"/n a a"(o ite"a' & $ pro&ecci#n horizontal αh5 e paralela a la n$eva lnea de tierra H85. En ete n$evo ite"a H85 de do(le pro&ecci#n ortoonal' el plano α5 e pro&ecta o(re el plano tre de pro&ecci#n P85 en verdadero ta"a7o' iendo eta la raz#n de realizar el ca"(io del plano vertical de pro&ecci#n.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes del #)adrad" /ABCD* #"n!en$d" en el 'lan" / en el / #)adran!e !i.11a. S"l)#$n:
a
+or er el plano α5 $n plano vertical' e de!inen' o(re la pro&ecci#n horizontal α5 de $ traza horizontal' la pro&eccione horizontale A & ?5 de lo p$nto A & ?5 !i.11. e e!ect/a el ca"(io del plano vertical de pro&ecci#n por el plano tre de pro&ecci#n P85' paralelo al plano α5, repreenta ete ca"(io de plano de pro&ecci#n' la n$eva lnea de tierra H85' paralela a la pro&ecci#n horizontal α5 de la traza horizontal del plano α5. e de!inen' "ediante el tralado de $ cota J A & J?5' la pro&eccione A8 & ?85 de lo p$nto A & ?5 o(re el plano tre de pro&ecci#n P85.
0$+.11.K Ca2$" del 'lan" 3er!$#al de 'r"-e##$n 'ara "2ser3ar en '"s$#$n 0r"n!al a )n 'lan" 3er!$#alK e4e'l"
2 #
e di($)a' en verdadero ta"a7o' el c$adrado A87 ?87 C87 485' con lado en A87 ?85 !i.11$. e de!inen la pro&eccione vertical & horizontal del c$adrado A7 ?7 C7 45 !i.11d.
Ca,b(o u" Pla"o Cual0u(#$a a Po%(c(" /$o"tal. po$ ,#&(o &o% Ca,b(o% Pla"o P$o5#cc(" Suc#%(*o% i $n plano α5 e enc$entra en $na poici#n c$al*$iera con repecto a $n ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal H=5' +$ede eta(lecere $n n$evo ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal 8H-5' con repecto al c$al el plano α5 ea $n plano !rontal' por "edio de do ca"(io de plano de pro&ecci#n $ceivo' realizado en la i$iente !or"a6
a
e ca"(ia el plano horizontal de pro&ecci#n P5 por $n plano tre de pro&ecci#n P85' perpendic$lar a la traza vertical del plano α5 !i.12a5. e eta(lece de eta !or"a el ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal 8H=5' en el c$al' el plano α5 e $n plano vertical !i.12 .
0$+.15.K O2ser3a#$n de )n 'lan" en '"s$#$n 0r"n!al '"r ed$" de d"s #a2$"s de 'lan"
2
e ca"(ia el plano vertical de pro&ecci#n P=5 por $n plano c$atro de pro&ecci#n P-5' paralelo al plano α5 !i.12$5. e eta(lece de eta !or"a el ite "a de do(le pro&ecci#n ortoonal 8H-5' en el c$al' el plano α5 e $n plano !rontal !i.12 d.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes del !r$&n+)l" e)$l&!er" de 3Hr!$#es /ABC* #"n!en$d" en el 'lan" / * sa2$end" )e el 3Hr!$#e /C es!a a la dere#:a de /A !i.13a. S"l)#$n:
a
e de!ine la pro&ecci#n vertical A%H?%5 del lado AH?5' hacindolo pertenecer al plano α5 !i.13. e eta(lece' por "edio de la n$eva lnea de tierra 8H=5' el ca"(io del plano horizontal de pro&ecci#n P5 por el plano tre de pro&ecci#n P85' el c$al e perpendic$lar a la traza vertical del plano α5. En ete ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal 8H=5' el plano α5 e $n plano vertical. e de!ine la pro&ecci#n tre α35 de la traza tre del plano α5, & la pro&eccione A8 & ?85 de lo p$nto A & ?5' por "edio del tralado de $ repectivo v$elo A & ?5, el v$elo de ?5 e cero F/5. 2 e eta(lece' por "edio de la n$eva lnea de tierra 8H-5' el ca"(io del plano vertical de pro&ecci#n por $n plano c$atro P-5' paralelo al plano α5 !i.13$. En ete n$evo ite"a de do(le pro&ecci#n ortoonal' el plano α5 e $n plano !rontal' encontr%ndoe $ pro&ecci#n o(re el plano c$atro en verdadero ta"a7o. e de!inen la pro&eccione A- & ?-5 de lo p$nto A & ?5' traladando $ repectiva cota J A & J?5, la cota J A5 del p$nto A5 e cero J AF/5.
0$+.16.K O2ser3a#$n de )n 'lan" en '"s$#$n 0r"n!al* '"r ed$" de d"s #a2$"s de 'lan" de 'r"-e##$nK e4e'l"
#
e di($)a' en verdadero ta"a7o' la pro&ecci#n c$atro A-7?-7C-5 del tri%n$lo e*$il%tero A7?7C5 !i.13d. d e de!ine la pro&ecci#n tre A87?87C85 del tri%n$lo A7?7C5 !i.13e. e de!ine la pro&ecci#n vertical A%7?%7C%5 del tri%n$lo A7?7C5, traladando la cota JC5 del p$nto C5. e e de!ine la pro&ecci#n horizontal A7?7C5 del tri%n$lo A7?7C5, haciendo pertenecer el p$nto C5 al plano α5 !i.13 f .
capítulo
PO;IEDROS +ste es un captulo de !ran contenido pr'ctico, en el cual, para defnir la doble proyección orto!onal de ob-etos tridimensionales en particular poliedros se aplican en con-unto todos los conocimientos de eometra Descriptiva hasta ahora e2puestos.
+n sntesis, todo poliedro esta compuesto de v*rtices, aristas, caras, e-es, etc. < defniendo previamente la doble proyección orto!onal de estos elementos !eom*tricos, se lo!rar' defnir la doble proyección orto!onal del poliedro que los contiene. or lo tanto, debe defnirse la proyección di*drica de: puntos rectas planos rectas y/o planos paralelos, y/o perpendiculares obtener proyecciones en verdadero tama4o de planos, para dibu-ar en ellos: tri'n!ulos, cuadrados, pent'!onos, etc. +n fn, es necesario comprender bien todos los $undamentos de la eometra Descriptiva hasta ahora e2puestos para !arantizar el *2ito en la determinación de la doble proyección orto!onal de los poliedros. =epresenta de esta $orma este captulo, una !ran utilidad para el estudiante de eometra Descriptiva, ya que es en realidad un repaso pr'ctico y de aplicación de todos los conceptos y procedimientos e2puestos en los captulos anteriores. Se inicia el captulo haciendo un an'lisis !eneral de la visibilidad de los poliedros. ara lue!o estudiar en $orma particular la doble proyección orto!onal de los poliedros: • • • •
Te!raedr" re+)lar C)2" P$r&$de re+)lar re#!a & Pr$sa re+)lar re#!".
V(%(b(l(&a& #" lo% Pol(#&$o% o poliedro on #lido de!inido en $ totalidad por $per!icie plana. +or er o()eto tridi"enionale' poeen $n vol$"en propio *$e oc$lta al o(ervador al$na de $ parte vrtice, arita, cara, etc5. +or lo tanto en la repreentaci#n de $n poliedro e "$& i"portante de!inir $ %isiilidad , repreentando con lnea de trazo contin$o $ arita vii(le al o(ervador & con lnea e"entada $ arita invii(le. En la !i.1 a e repreenta $n pri"a in to"ar en c$enta $ vii(ili dad, eta repreentaci#n' co"o &a e e:plic# e incorrecta. En la !i.1 e repreenta el "i"o pri"a' a$"iendo *$e el vrtice 45 e invii(le al o(ervador & el vrtice ?;5 e vii(le. en la !i.1 $ e repreenta el "i"o pri"a a$"iendo *$e el vrtice ?;5 e invii(le al o(ervador & el vrtice 45 e vii(le.
0$+.1.K Re'resen!a#$n de )n 'r$sa
Co"o $cede en ete e)e"plo' e:iten ie"pre do alternativa l#ica de vii(ilidad en la repreentaci#n de c$al*$ier poliedro en eneral en la repreentaci#n de c$al*$ier #lido5' pero olo $na de ella e correcta, e el an%lii de $ vii(ilidad lo per"ite de!inir c$al de la do e la correcta.
DETERMINACIÓN DE LA
E4e'l"% De0$n$r la 3$s$2$l$dad del 'r$sa "s!rad" en la 0$+.5a. S"l)#$n%
a
Co"o e o(erva en la !i.2 a inicial"ente e repreentan la pro&eccione del pri"a di($)ando toda $ arita con lnea de procedi"iento, e decir trazado ten$e contin$o. 2 De ac$erdo con la caractertica Ι) e di($)a' con lnea de contorno vii(le trazado contin$o !$erte5' todo el contorno e:terno del pri"a en a"(a pro&eccione !i.2 .
0$+.5.K De0$n$#$n de la 3$s$2$l$dad de )n '"l$edr"
# +ara de!inir la vii(ilidad en la pro&ecci#n vertical del pri"a !i.2 $: 1 De ac$erdo con la caractertica ΙΙ) e deter"ina' c$al de la arita *$e e cr$zan A;H?;5 & 4H4;5 e vii(le en pro&ecci#n vertical. +ara ello' e traza el e"ento de p$nta ;H05 *$e e corta con a"(a & e repreenta co"o arita vii(le' en pro&ecci#n vertical' a*$ella *$e contena el p$nto de "a&or v$elo del "i"o, re$ltando er la arita A;H?;5 *$e contiene al p$nto 05' en conec$encia la pro&ecci#n vertical 4%H4;%5 de la arita 4H4;5 e invii(le al o(ervador. 5 De ac$erdo con la caractertica ΙΙΙ) toda la arita *$e conc$rren al vrtice ?;%5 on vii(le al o(ervador & toda la *$e conc$rren al vrtice 4%5 invii(le. d +ara de!inir la vii(ilidad en la pro&ecci#n horizontal del pri"a !i.2d: 1 De ac$erdo con la caractertica ΙΙ) e deter"ina' c$al de la arita *$e e cr$zan AHA;5 & ?H C5 e vii(le en pro&ecci#n horizontal. +ara ello' e traza el e"ento vertical 8H-5 *$e e corta con a"(a' & e repreenta co"o arita vii(le' en pro&ecci#n horizontal' a*$ella *$e contena el p$nto de "a&or cota del "i"o, re$ltando er la arita AHA;5 *$e contiene al p$nto -5' en conec$encia la pro&ecci#n vertical ?HC5 de la arita ?HC5 e invii(le al o(ervador.
5
De ac$erdo con la caractertica ΙΙΙ) toda la arita *$e conc$rren al vrtice A;5 on vii(le al o(ervador & toda la *$e conc$rren al vrtice C5 invii(le.
N" s$e're es ne#esar$" !ra(ar re#!as de ')n!a -" 3er!$#ales 'ara '"der de0$n$r la 3$s$2$l$dad de l"s '"l$edr"s en d"2le 'r"-e##$n "r!"+"nal #"" l" )es!ran l"s e4e'l"s s$+)$en!es% a Anal$s$s de la 3$s$2$l$dad del !e!raedr" de la 0$+.6a% 1 <$s$2$l$dad de la 'r"-e##$n 3er!$#al% El vrtice 45 e invii(le al o(ervador, de(ido a *$e e enc$entra dentro del contorno del tetraedro' & e el vrtice de "enor v$elo del "i"o. +or lo tanto toda la arita *$e conc$rren a el on invii(le al o(ervador.
5 <$s$2$l$dad de la 'r"-e##$n :"r$("n!al % El vrtice ?5 e vii(le al o(ervador, de(ido a *$e e enc$entra dentro del contorno del "i"o' & e el vrtice de "a&or cota del tetraedro. +or lo tanto toda la arita *$e conc$rren a el on vii(le al o(ervador.
2 Anal$s$s de la 3$s$2$l$dad del !e!raedr" de la 0$+.62% 1 <$s$2$l$dad de la 'r"-e##$n 3er!$#al% a vii(ilidad de la arita *$e e cr$zan AH?5 & CH45 e o(via, iendo vii(le la arita CH45 por tener "a&or v$elo *$e la arita AH?5' iendo en conec$encia invii(le eta /lti"a.
5 <$s$2$l$dad de la 'r"-e##$n :"r$("n!al % a vii(ilidad de la arita *$e e cr$zan AH45 & ?HC5 ta"(in e o(via, iendo vii(le la arita AH45 por tener "a&or cota *$e la arita ?HC5' iendo en conec$encia invii(le eta /lti"a.
# Anal$s$s de la 3$s$2$l$dad de la '$r&$de de la 0$+.6#% 1 <$s$2$l$dad de la 'r"-e##$n 3er!$#al% El vrtice 45 e invii(le al o(ervador, por encontrare dentro del contorno e:terno de la pir%"ide & er $ vrtice de "enor v$elo. +or lo tanto toda la arita *$e conc$rren a el on invii(le. a arita =H?5 e vii(le al o(ervador, de(ido a *$e e cr$za con la arita AH45 *$e e invii(le.
5 <$s$2$l$dad de la 'r"-e##$n :"r$("n!al % a arita AH?5 e invii(le al o(ervador, por encontrare dentro del contorno de la pir%"ide & er la arita de "enor cota de la "i"a. +or lo tanto la arita =H45 =HC5' *$e e cr$zan con la arita AH?5' on vii(le al o(ervador.
0$+.6.K <$s$2$l$dad en '"l$edr"sK e4e'l"s
TETRAEDRO REGU;AR E $n poliedro de c$atro cara' toda i$ale' iendo cada $na $n tri%n$lo e*$il%tero !i.4 a5. $ parte principale e deno"inan6 Cara6 cada $no de lo c$atro tri%n$lo e*$il%tero *$e de!inen al tetraedro re$lar. +$ede di($)are a partir de $na arita a5 co"o e "$etra en la !i.4 . V,rtice6 p$nto al *$e conc$rren tre arita. En total ha& c$atro A, ?, C, & 45. Arista6 e"ento *$e $ne do vrtice. En total ha& ei. Aristas opuestas6 on do arita *$e no e cortan. +or e)e"plo la arita ?C5 & A45. Ella on ortoonale. +$eden de!inire tre pare de arita op$eta en $n tetraedro re$lar. -e e56 recta *$e paa por $n vrtice & e perpendic$lar a la cara op$eta a l. +$eden de!inire c$atro e)e en $n tetraedro re$lar. Centro de cara )/*6 p$nto de interecci#n entre $n e)e e5 & la cara perpendic$lar a l. E ta"(in el centro de ravedad de la cara. 0unto medio de arista )*6 e el p$nto "edio entre lo do vrtice *$e li "itan a $na arita. Altura de cara )C*6 e"ento de!inido por $n vrtice & $n p$nto "edio ,5 de $na arita no conc$rrente a l.
0$+.>.K Te!raedr" re+)lar
Altura del tetraedro )*6 e"ento de!inido por $n vrtice & el centro N5 de la cara op$eta a l. Centro del Tetraedro )3*6 e el centro de ravedad del tetraedro re$lar. +$ede o(tenere interceptando lo do e)e de tetraedro re$lar *$e contiene c$al*$ier ecci#n principal. 'ección principal del tetraedro6 ecci#n del tetraedro re$lar *$e contiene $n e)e e5' & a $na arita a5 *$e e corta con l. E $n tri%n$lo i#cele de!inido por $na arita a5 & do alt$ra de cara C5. En $n tetraedro re$lar p$eden de!inire ei eccione principale. En la !i.4 $' e "$etra la ecci#n principal de $n tetraedro re$lar de lonit$d de arita a5. a ecci#n principal de $n tetraedro re$lar e di($)a eneral"ente con la !inalidad de deter"inar la alt$ra 5 del "i"o. En e!ecto' conocida la lonit$d a5 de arita de $n tetraedro re$lar' p$ede di($)are $na cara A?C5 del "i"o' a partir de la c$al' e di($)a $na ecci#n principal A?,5' en la *$e a $ vez e p$ede deter"inar la alt$ra 5 del tetraedro !i.4 d.
Co"%t$ucc(" u" T#t$a#&$o R#+ula$. Co"oc(&o u" V2$t(c# 5 u"a R#cta 0u# Co"t(#"# al E9# C"ns!r)$r )n !e!raedr" re+)lar /ABCD* dad" )n 3Hr!$#e /B - )na re#!a /e )e #"n!$ene a )n e4e !i.;a6 a e de!ine' por el vrtice ?5' el plano α5' perpendic$lar al e)e e5, ete plano contiene a la cara ?7C745 del tetraedro !i.; . e de!ine el centro N5 de la cara ?7C745, interceptando el e)e e5 con el plano α5. 2 e contr$&e' contenida en el plano α5' la cara ?7C745 del tetraedro, la c$al e $n tri%n$lo e*$il%tero con vrtice ?5 & centro N5 !i.;$. 0$+.7.K C"ns!r)##$n de )n !e!raedr" re+)lar* dad" )n 3Hr!$#e /B - )na re#!a /e )e #"n!$ene a )n e4e
#
e di($)a' a partir de la cara ?7C745' la ecci#n principal ?7C7,5 del tetraedro en la c$al e deter"ina $ alt$ra 5 !i.;d. d e de!ine el vrtice A5, "idiendo o(re el e)e e5' la alt$ra 5 del tetraedro' a partir del centro de cara N5 !i.;e. e e de!ine el tetraedro & $ vii(ilidad, di($)ando la arita *$e conc$rren al vrtice A5 !i.;f .
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n !e!raedr" re+)lar /ABCD* #"n 3Hr!$#e /B dad"* sa2$end" )e el 3Hr!$#e /A es!a #"n!en$d" en el e4e /e !i.
a
e de!ine el plano α5' *$e paa por el vrtice ?5 & e perpendic$lar a la recta e5, ete plano contiene a la cara ?7C745 !i.<. e de!ine el centro N5 de la cara ?7C745' interceptando la recta e5 & el plano α5. 2 e re(ate el plano α5 & lo p$nto ?5 & N5 !i.<$.
0$+..K C"ns!r)##$n de )n !e!raedr" re+)lar* #"n"#$d" )n 3Hr!$#e - )na re#!a )e #"n!$ene al e4e
e di($)a la pro&ecci#n re(atida ?r 7 Cr 7 4r 5 de la cara ?7C745, la c$al e $n tri%n$lo e*$il%tero con centro en Nr 5 & vrtice en ?5. # e de!inen la pro&eccione horizontal & vertical de la cara ?7C745 !i.
e
e de!inen la pro&eccione del tetraedro & $ vii(ilidad !i.< f .
Co"%t$ucc(" u" T#t$a#&$o R#+ula$. Co"oc(&o u" V2$t(c# 5 u"a R#cta 0u# Co"t(#"# a u"a A$(%ta C"ns!r)$r )n !e!raedr" re+)lar /ABCD* #"n 3Hr!$#e /A dad" - ar$s!a /BC en la re#!a / !i.a. a e di($)a la cara A7?7C5 del tetraedro, la c$al e $n tri%n$lo e*$il%tero' con vrtice A5 & lado AH?5 en la recta m5. Eta cara eta contenida en el plano α5 de!inido por la recta m5 & el vrtice A5. e deter"ina el centro N5 de la cara A7?7C5 !i.. 0$+..K C"ns!r)##$n de )n !e!raedr" re+)lar #"n 3Hr!$#e /A - ar$s!a /B C en la re#!a /
2
e di($)a' a partir de la cara A7?7C5' la ecci#n principal A7?7,5' en la c$al e deter"ina la alt$ra 5 del tetraedro !i. $ # e traza' por el centro de cara N5 del tetraedro' & perpendic$lar al plano α5' el e)e e5 del "i"o !i.d. e $(ica el vrtice 45' "idiendo o(re el e)e e5' & a partir del centro de cara N5' la alt$ra 5 del tetraedro. d e de!ine el tetraedro & $ vii(ilidad !i. e.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n !e!raedr" re+)lar /ABCD* #"n 3Hr!$#e /A dad" - ar$s!a /BC s"2re la re#!a /* es!and" /B as al!" )e /C. El 3Hr!$#e /D se en#)en!ra '"r delan!e de /A !i.8a. S"l)#$n por re(ati"iento de plano56
a
e de!inen la traza del plano α5 *$e contiene al vrtice A5 & a la recta m5 !i.8. e re(aten6 el plano α5, el vrtice A5, & la recta m5. 2 e de!ine la pro&ecci#n re(atida Ar 7?r 7Cr 5 de la cara A7?7C5, la c$al' e $n tri%n$lo e*$il%tero' con vrtice Ar 5 & arita ?r HCr 5 o(re la recta mr 5. e deter"ina la pro&ecci#n re(atida Nr 5 del centro N5 de la cara A7?7C5 !i.8$. e de!inen la pro&eccione de la cara A7?7C5 & de del centro N5 de cara.
0$+.=.K C"ns!r)##$n de )n !e!raedr" re+)lar #"n"#$d" )n 3Hr!$#e - )na re#!a )e #"n!$ene a )na ar$s!aK e4e'l"
# e di($)a' a partir de la cara Ar 7?r 7Cr 5' la ecci#n principal Ar 7?r 7,r 5 del tetraedro & e deter"ina la alt$ra 5 del "i"o !i.8 d. d e di($)a' por el centro de cara N5 & perpendic$lar al plano α5' el e)e e5 del tetraedro' & e "ide o(re el la alt$ra 5 del tetraedro' a partir del centro N5 de cara para $(icar el vrtice 45 !i.8e. e e de!inen la pro&eccione del tetraedro & $ vii(ilidad !i.8 f .
Co"%t$ucc(" u" T#t$a#&$o R#+ula$. Co"oc(&o #l Pla"o 0u# Co"t(#"# a u"a Ca$a 5 #l V2$t(c# "o Co"t#"(&o #" #%# Pla"o C"ns!r)$r )n !e!raedr" re+)lar /ABCD* #"n 3Hr!$#e /A dad"* sa2$end" )e la #ara /BCD es!a #"n!en$da en el 'lan" / !i.?a.
a
e de!ine' por el vrtice A5 & perpendic$lar al plano α5' el e)e e5 del tetraedro !i.? . e de!ine' interceptando el e)e e5 con el plano α5' el centro N5 de la cara ?7C745. e deter"ina la alt$ra 5 del tetraedro. 2 e di($)a' en $n e*$e"a aparte & con $na lonit$d a;5 de arita c$al*$iera' la cara A;7?;7C;5 de $n tetraedro re$lar c$al*$iera !i.? $.
0$+..K C"ns!r)##$n de )n !e!raedr" re+)lar* #"n"#$d" el 'lan" )e #"n!$ene a )na #ara - el 3Hr!$#e n" #"n!en$d" en es!e 'lan"
A partir de la cara A;7?;7C;5' e di($)a la ecci#n principal A;7?;7,;5 & e deter"ina la alt$ra ;5 del tetraedro de lonit$d a;5 de arita. # o(re la recta ;5' & a partir del vrtice A;5' e "ide la alt$ra 5 del tetraedro ($cado' deter"inada en el pao a5, $(icando de eta !or"a el centro N5 de cara !i.? d. e di($)a la ecci#n principal A7?7,5 del tetraedro ($cado trazando' por el p$nto N5' & paralelo a la recta ?;H,;5' la alt$ra ?H,5 de cara. En eta ecci#n principal A7?7,5 e deter"ina la lonit$d a5 de arita del tetraedro ($cado. d e di($)a' contenida en el plano α5' la cara ?7C745 del tetraedro, la c$al e $n tri%n$lo e*$il%tero de lonit$d a5 de arita' & centro N5 !i.?e. e e de!ine el tetraedro & $ vii(ilidad !i.? f .
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n !e!raedr" re+)lar /ABCD* #"n 3Hr!$#e /A #"n"#$d" - #ara /BCD #"n!en$da en el 'lan" / . Sa2$end" )e la ar$s!a /BD es!& #"n!en$da en )na re#!a de &;$a 'end$en!e del 'lan" / . /B '"r delan!e de /D. /C a la $()$erda de /B !i.1@a.
S"l)#$n por re(ati"iento de plano56
a
e traza' por el vrtice A5' & perpendic$lar al plano α5' el e)e e5 del tetraedro' & e de!ine el centro N5 de cara interceptando el e)e e5 con el plano α5 !i.1@. e deter"ina la alt$ra 5 del tetraedro. 2 e di($)a' en $n e*$e"a aparte' & con $na lonit$d a;5 de arita c$al*$iera' la cara A;7?;7C;5 de $n tetraedro re$lar c$al*$iera !i.1@ $. A partir de la cara A;7?;7C;5' e di($)a la ecci#n principal A;7?;7,;5 & e deter"ina la alt$ra ;5 del tetraedro de lonit$d a;5 de arita.
0$+.18.K C"ns!r)##$n de )n !e!raedr" re+)lar* #"n"#$d" el 'lan" )e #"n!$ene a )na #ara - el 3Hr!$#e n" #"n!en$d" en es!e 'lan"K e4e'l"
#
o(re la recta ;5' & a partir del vrtice A;5' e "ide la alt$ra 5 del tetraedro ($cado' deter"inada en el pao a5, $(icando de eta !or"a el centro N5 de cara !i.1@ d.
e di($)a la ecci#n principal A7?7,5 del tetraedro ($cado trazando' por el p$nto N5' & paralelo a la recta ?;H,;5' la alt$ra ?H,5 de cara. En eta ecci#n principal A7?7,5 e deter"ina la lonit$d a5 de arita del tetraedro ($cado. d Con la lonit$d a5 de la arita' e di($)a la cara A7?7C5 del tetraedro ($cado' & e deter"inando en ete di($)o' el radio r 5 de la circ$n!erencia *$e la circ$ncri(e !i.1@ e. e e re(ate el plano α5 & e di($)a la pro&ecci#n re(atida ?r 7Cr 74r 5 de la cara ?7C745, la c$al e $n tri%n$lo e*$il%tero circ$ncrito en $na circ$n!erencia de radio r 5 & centro Nr 5 !i.1@f . e de!inen la pro&eccione horizontal ?7C745 & vertical ?%7C%74%5 de la cara ?7C745 del tetraedro. 0 e de!inen la pro&eccione del tetraedro & $ vii(ilidad !i.1@ g.
HE@AEDRO REGU;AR CUBO) oliedro re!ular de seis caras i!uales, siendo cada una un cuadrado. Sus elementos principales son\ f!.%: Cara: cada uno de los seis cuadrados que defnen al cubo\ f!.8. Arista: se!mento que une dos v*rtices conti!uos. +n total hay doce, todas de i!ual lon!itud. Aristas opuestas: par de aristas del cubo que son paralelas, y no est'n contenidas en una misma cara. Vértice: punto al que concurren tres aristas. +n total hay ocho. Vértices opuestos: par de v*rtices del cubo que est'n contenidos en una dia!onal mayor (por e-emplo los v*rtices ( < y 4)).
0$+.1.K @e;aedr" re+)lar #)2"
Diagonal mayor: cada una de las dia!onales de cualquier sección principal del cubo.
Diagonal menor cada una de las dos dia!onales de cualquier cara del cubo. Centro de cara (M): punto de intersección entre las dos dia!onales de cualquier cara. +s el centro de !ravedad de la cara. Centro del cubo (O): 5entro de !ravedad del cubo. uede obtenerse interceptando los dos dia!onales mayores de cualquier sección principal. Eje (e): recta que contiene a los centros de cara de dos caras paralelas. Altura del cubo: distancia entre dos centros de cara, contenidos en caras paralelas del cubo. +s i!ual a la lon!itud de las aristas. Seccin principal: sección del cubo que contiene a dos aristas opuestas. +s un rect'n!ulo $ormado por dos aristas y dos dia!onales mayores. ueden defnirse seis secciones principales en un cubo. +n la f!.8, se muestra una sección principal de un cubo.
0$+.5.K Cara - se##$n 'r$n#$'al
>na sección principal ( A?G) de un cubo, puede dibu-arse a partir de una cara ( A?C4) del mismo\f!.?.
0$+.6.K D$2)4" de la se##$n 'r$n#$'al /ABG@* a 'ar!$r de la #ara /ABCD
+n la f!.@, se muestran al!unas caractersticas !eom*tricas de toda sección principal de un cubo.
0$+.>.K Pr"'$edades +e"H!r$#as de !"da se##$n 'r$n#$'al de )n #)2"
Co"%t$ucc(" u" Cubo. Co"oc(&o u" V2$t(c# 5 u"a R#cta 0u# Co"t(#"# al E9# De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n #)2"* dad" el 3Hr!$#e /A - la re#!a /e )e #"n!$ene a )n e4e !i.;a. a e de!ine' por el vrtice A5 el plano α5 perpendic$lar al e)e e5, ete plano contiene a la cara A7?7C745 !i.; . e de!ine' interceptando el e)e e5 con el plano α5' el centro ,5 de la cara A7?7C745. e di($)a' contenida en el plano α5' la cara A7?7C745 del c$(o, eta e $n c$adrado con centro ,5 & vrtice A5. 0$+.7.K C"ns!r)##$n de )n #)2"* #"n"#$d" )n 3Hr!$#e - )na re#!a )e #"n!$ene a )n e4e
2 #
e trazan' paralela al e)e e5 & por lo vrtice de la cara A7?7C745 la arita del c$(o de lonit$d a5' *$e contienen a lo vrtice E7<7G75 !i.;$. e di($)a la cara E7<7G5' de!iniendo a el c$(o & $ vii(ilidad !i.; d.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n #)2" /ABCDE9G@* #"n!en$d" en el #)adran!e #"n 3Hr!$#e /A - e4e s"2re la re#!a /e !i.
a
e de!ine el plano α5' *$e paa por el vrtice A5 & e perpendic$lar al e)e e5 !i.<. e de!ine el centro ,5 de la cara A7?7C745' interceptando el e)e e5 con el plano α5. 2 e re(ate el plano α5' & lo p$nto ,5 & A5 !i.<$.
0$+..K C"ns!r)##$n de )n #)2"* #"n"#$d" el 3Hr!$#e /A - la re#!a /e )e #"n!$ene a )n e4eK e4e'l"
#
e di($)a la pro&ecci#n re(atida Ar 7?r 7Cr 74r 5 de la cara A7?7C745, eta e $n c$adrado con vrtice Ar 5 & centro ,r 5 !i.
Co"%t$ucc(" u" Cubo. Co"oc(&o u" V2$t(c# 5 u"a R#cta 0u# Co"t(#"# a u"a D(a+o"al a5o$ De0$n$r el #)2" /ABCDE9G@* dad" s) 3Hr!$#e /C - la re#!a /r )e #"n!$ene a la d$a+"nal a-"r /AG\ f!.;a.
a
a recta r 5 & el vrtice C5 de!inen el plano α5 *$e contiene a la ecci#n principal AEGC5 del c$(o. +or lo tanto' o(re ete plano α5 e contr$&e eta ecci#n principal de la i$iente !or"a !i.6 1 e traza la recta a5' perpendic$lar a la recta r 5' & e deter"ina el p$nto de corte Ι5 entre la do recta. 5 e de!ine el p$nto "edio 5 del e"ento CHΙ5. 6 e de!ine el centro N5 de la cara E e de!ine el vrtice A5' cortando la recta r 5 con $n arco de circ$n!erencia de centro N5 & radio i$al a la ditancia dNHC5 entre lo p$nto N & C5.
0$+..K C"ns!r)##$n de )n #)2" #"n"#$d" )n 3Hr!$#e - )na re#!a )e #"n!$ene a )na d$a+"nal a-"r
7
e di($)a la arita AHC5' & e deter"ina $ p$nto "edio ,5. a recta ,HN5 e $n e)e del c$(o !i.$. e traza' por el vrtice C5' & paralela a ,N5' la arita CG5' $(icando a G5' o(re la recta r 5. e de!ine' por paraleli"o el vrtice E5. +$ede o(ervare *$e e:ite $na e$nda ol$ci#n' "otrada en la !i. d. En la !i. e' e "$etra en el e*$e"a en perpectiva' la ecci#n principal &a contr$ida. 2 e traza' por' el centro ,5 de cara' & perpendic$lar al plano α5' la diaonal "a&or ?H45, la c$al e de i$al lonit$d *$e la diaonale "a&ore AHC5 & EHG5 !i.e. e traza' por el centro de cara N5 & perpendic$lar al plano α5' la diaonal "a&or
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n #)2" /ABCDE9G@ #"n d$a+"nal a-"r /CE en la re#!a /r - 3Hr!$#e /A !i.8a.
S"l)#$n por rotacione56
a
a recta r 5 & el p$nto A5 de!inen $n plano α5 *$e contiene a la ecci#n principal AECG5 del c$(o' por lo tanto6 e de!ine ete plano por do recta caractertica f 5 & 5, de la i$iente "anera !i.86 e traza la recta horizontal 5' *$e paa por el p$nto A5. +or $n p$nto 05 c$al*$iera de ella e traza la recta !rontal f 5. 2 e rota' alrededor del e)e de p$nta p5' *$e paa por el p$nto 85' el plano α5, hata la poici#n vertical α15. e rotan ta"(in la recta r 5 & el vrtice A5, de la i$iente "anera6 1 e eta(lece el e)e de rotaci#n p5 de p$nta !i.8$. +ara deter"inar el %n$lo αo5 *$e de(e irar el plano α5 alrededor del e)e p5 para colocare en la poici#n vertical α;5, e rota' por "edio de $ p$nto 0 & 85' la recta !rontal f 5 hata la poici#n vertical f ;5. 5 e rotan' el %n$lo αo5' lo p$nto ; & A5 & en conec$encia la recta r 5, de!iniendo a $ pro&eccione ;; , A;7 & r ;5 !i.8d. 6 e deter"inan la traza del plano α5 en $ poici#n vertical α;5.
0$+.=.K C"ns!r)##$n de )n #)2" #"n"#$d" )n 3Hr!$#e /A - )na re#!a /r )e #"n!$ene a )na d$a+"nal a-"r /ECK e4e'l"
#
Eta(leciendo el e)e vertical %5' e ira el plano α5' )$nto con la recta r 5 & el p$nto A5 dede la poici#n vertical α;5' hata la poici#n !rontal α05, o(teniendo la pro&eccione r 0 & A05 !i.8e. d e di($)a' en verdadero ta"a7o' la ecci#n principal AEGC5 del c$(o en $ pro&ecci#n A0E0G0C05 !i.8 f . e ira la ecci#n principal del c$(o' dede $ pro&ecci#n A0E0G0C05 hata $ pro&ecci#n A;E;G;C;5. e e ira la ecci#n principal del c$(o' dede $ pro&ecci#n A;E;G;C;5 hata $ pro&ecci#n AEGC5' o(teniendo $ pro&eccione vertical A=E=G=C=5 & horizontal AEGC5 !i.8g. >ec$rdee *$e todo lo p$nto iran el "i"o %n$lo αo5 deter"inado inicial"ente5. 0 e traza' por el centro de cara N5' la recta d5' perpendic$lar al plano α5, eta recta contiene a la diaonal "enor
PIRÁIDE REGU;AR RECTA oliedro cuya base es un pol!ono re!ular, y sus caras laterales son tri'n!ulos isósceles i!uales, los cuales poseen un v*rtice comAn ( =), denominado %3rti$e prin$ipal de la pir"mide . +n la f!.%, se muestra una pir'mide re!ular recta de base cuadrada, en la cual, se pueden observar los si!uientes elementos principales: !lano base ( ): plano que contiene al pol!ono re!ular que defne la base. "ase: pol!ono re!ular contenido en el plano base ( α). Cara: cada uno de los tri'n!ulos isósceles que defnen los lados de la pir'mide.
0$+.1.K P$r&$de re+)lar re#!a
Vértice principal (V): punto al que concurren todas las aristas principales de la pir'mide. +sta contenido en el e-e ( e) de la pir'mide y es el v*rtice comAn de todas sus caras. Eje (e): recta que contiene al v*rtice principal ( =) de la pir'mide y al centro ( ) de su base es perpendicular al plano base ( α). Arista principal: se!mento que une un v*rtice de la base con el v*rtice principal (=) de la pir'mide. Arista de la base# se!mento que une dos v*rtices de la base conti!uos. Centro de la base (O): centro !eom*trico de la base es tambi*n su centro de !ravedad. Altura de la pir$mide (%): distancia entre el v*rtice principal ( =) de la pir'mide y el 5entro ( ) de la base.
Co"%t$ucc(" u"a P($-,( R#+ula$ R#cta. Co"oc(&a la Altu$a. u" V2$t(c# la Ba%# 5 u"a R#cta 0u# Co"t(#"# al E9# C"ns!r)$r )na '$r&$de re+)lar re#!a de 2ase :e;a+"nal /ABCDE9* dad"% el 3Hr!$#e /A de la 2ase la al!)ra /: de la '$r&$de - la re#!a /e )e #"n!$ene al e4e\ f!.8a. a e de!ine' por el vrtice A5' & perpendic$lar al e)e e5' el plano (ae α5. e deter"ina el centro 5 de la (ae A?C4E<5' interceptando el e)e e5 con el plano (ae α5 !i.2.
e $(ica' o(re el e)e e5' el vrtice principal A5 de la pir%"ide a la ditancia 5 del centro de la (ae 5.
0$+.5.K C"ns!r)##$n de )na '$r&$de re+)lar re#!a* #"n"#$d"% la al!)ra /: )n 3Hr!$#e /A de la 2ase - la re#!a /e )e #"n!$ene al e4e
2 #
e di($)a' con centro 5' & vrtice A5' el he:%ono (ae A?C4E<5' contenido en el plano α5 !i.2$. e di($)an la arita principale de la pir%"ide' de!iniendo a $ !or"a & vii(ilidad !i.2 d.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )na '$r&$de re+)lar re#!a de 2ase :e;a+"nal /ABCDE9* de al!)ra /: dada* #"n e4e en la re#!a /e* - 3Hr!$#e /A de la 2ase #"n"#$d". /B '"r de2a4" de /A !i.3a. S"l)#$n%
a
e de!inen la traza del plano (ae α5' el c$al paa por el vrtice A5 & e perpendic$lar al e)e e5 !i.3. e de!ine el centro 5 de la (ae' interceptando el e)e e5 con el plano (ae α5. 2 e deter"ina el vrtice principal =5 de la pir%"ide' "idiendo la alt$ra 5 dada' o(re el e)e e5' a partir del centro de la (ae 5 !i.3$.
0$+.6.K C"ns!r)##$n de )na '$r&$de re+)lar re#!a #"n"#$d"% la al!)ra /: )n 3Hr!$#e /A de la 2ase - )na re#!a /e )e #"n!$ene al e4eK e4e'l"
#
e re(ate el plano α5' & lo p$nto & A5' & e di($)a la pro&ecci#n re(atida Ar ?r Cr 4r Er
Co"%t$ucc(" u"a P($-,( R#+ula$ R#cta. Co"oc(&o #l Pla"o Ba%#. u"a R#cta 0u# Co"t(#"# a u"a A$(%ta P$("c(pal 5 la ;o"+(tu& la% A$(%ta% la Ba%# De0$n$r la '$r&$de re+)lar re#!a de 2ase #)adrada /ABCD* #"n!en$da en el 'lan" / * s$end" #"n"#$da la l"n+$!)d /a de las ar$s!as de la 2ase - sa2$end" )e la ar$s!a 'r$n#$'al /A< es!& #"n!en$da en la re#!a /r\ f!.@a.
a
e deter"ina el vrtice A5 de la (ae A?C45' interceptando la recta r 5 con el plano α5 !i.4. +or c$al*$ier p$nto 5 de la recta r 5' e traza $na recta p5 perpendic$lar al plano α5' & e deter"ina $ interecci#n Ι5 con el "i"o. e traza la recta d5' *$e contiene a lo p$nto A e Ι5. Eta recta contiene a la diaonal AHC5 del c$adrado (ae A?C45.
0$+.>.K C"ns!r)##$n de )na '$r&$de re+)lar re#!a* #"n"#$d" el 'lan" de la 2ase )na re#!a )e #"n!$ene a )na ar$s!a 'r$n#$'al - la l"n+$!)d /a de las ar$s!as de la 2ase
2
e di($)a' contenido en el plano α5' el c$adrado (ae A?C45, con vrtice A5' lonit$d de arita a5' & diaonal AHC5 o(re la recta d5 !i.4$. e traza' por el centro 5 de la (ae' & paralelo a la recta p5' el e)e e5 de la pir%"ide. e de!ine el vrtice principal =5 de la pir%"ide' cortando la recta r & e5. # e trazan la arita principale de la pir%"ide' de!iniendo a $ !or"a & vii(ilidad !i.4 d.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )na '$r&$de re+)lar re#!a* de 2ase #)adrada /ABCD #"n!en$da en el 'lan" / * #"n ar$s!a 'r$n#$'al /<A #"n!en$da en la re#!a /r* l"n+$!)d /a de las ar$s!as de la 2ase #"n"#$da !i.;a. S"l)#$n por ca"(io de plano de pro&ecci#n56
a 2 #
e deter"ina el vrtice A5 de la (ae' interceptando la recta r 5 con el plano α5 !i.;. +or c$al*$ier p$nto 5 de la recta r 5' e traza $na recta p5 perpendic$lar al plano α5' & e deter"ina $ interecci#n Ι5 con ete plano !i.; $. e traza la recta d5' *$e contiene a lo p$nto A e Ι5' eta recta contiene ta"(in a la diaonal AHC5 del c$adrado (ae de la pir%"ide !i.; d. e eta(lece' por "edio de la lnea de tierra 8H=5' el ca"(io del plano horizontal de pro&ecci#n por el plano 85' o(ervando de eta !or"a el plano α5 en poici#n vertical. e de!inen la pro&eccione A8 e Ι85 de lo p$nto A e Ι5.
0$+.7.K C"ns!r)##$n de )na '$r&$de re+)lar re#!a* #"n"#$d" el 'lan" 2ase )na re#!a )e #"n!$ene a )na ar$s!a 'r$n#$'al - la l"n+$!)d de la ar$s!as de la 2aseK e4e'l"
d
e eta(lece' por "edio de la lnea de tierra 8H-5' el ca"(io del plano vertical de pro&ecci#n por el plano -5' o(ervando de eta !or"a el plano α5 en la poici#n !rontal !i.; e. e de!inen la pro&eccione A4 e Ι-5 de lo p$nto A e Ι5. e di($)a' en verdadero ta"a7o' la pro&ecci#n A-?-C-4-5 del c$adrado (ae A?C45. e e de!inen' o(re α85' la pro&ecci#n A8?8C8485 de la (ae A?C45 !i.;f . e de!ine la pro&ecci#n vertical A%?%C%4%5 de la (ae A?C45. 0 e de!ine la pro&ecci#n horizontal A?C45 de la (ae A?C45 !i.;g. + e traza' por el centro 5 de la (ae A?C45 & perpendic$lar al plano α5' el e)e e5 de la pir%"ide !i.;. e de!ine' cortando la recta r & e5' el vrtice principal =5 de la pir%"ide. e trazan la arita principale de la pir%"ide' de!iniendo a' $ !or"a & vii(ilidad.
Co"%t$ucc(" u"a P($-,( R#+ula$ R#cta. Co"oc(&o #l V2$t(c# P$("c(pal 5 #l Pla"o Ba%#. co" u"a R#cta 0u# Co"t(#"# a u"a A$(%ta la Ba%# De0$n$r )na '$r&$de re+)lar re#!a* de 2ase !r$an+)lar /ABC #"n!en$da en el 'lan" / * - 3Hr!$#e 'r$n#$'al /<* sa2$end" )e la ar$s!a /AB de la 2ase es!& #"n!en$da en la re#!a /r\ f!.a.
a
e di($)a' por el vrtice principal =5, & perpendic$lar al plano (ae α5' el e)e e5 de la pir%"ide !i.<.
0$+..K C"ns!r)##$n de )na '$r&$de re+)lar re#!a* #"n"#$d" el 3Hr!$#e 'r$n#$'al* - el 'lan" 2ase #"n )na re#!a )e #"n!$ene a )na ar$s!a de la 2ase
2
e de!ine el centro 5 de la (ae' interceptando el e)e e5 con el plano (ae α5.
#
e contr$&e la (ae A?C5' la c$al e $n tri%n$lo e*$il%tero con centro en 5' & arita AH?5 en la recta r 5. d e di($)an la arita principale' de!iniendo a !or"a de la pir%"ide & vii(ilidad.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )na '$r&$de re+)lar re#!a de 2ase !r$an+)lar /ABC #"n!en$da en el 'lan" / * el #)al es 'aralel" a la l,nea de !$erra* dad" s) 3Hr!$#e 'r$n#$'al /< - la re#!a /r )e #"n!$ene a la ar$s!a /AB de la 2ase. Es!and" /A '"r delan!e de /B) !i.a. S"l)#$n por re(ati"iento de plano5.
a
e de!inen la traza del plano (ae α5' *$e contiene a la recta r 5 & e paralelo a la lnea de tierra !i.. 2 e de!inen6 la pro&ecci#n lateral αl5 de plano α5, & la pro&ecci#n lateral =l5 del vrtice principal =5 !i.$.
0$+..K C"ns!r)##$n de )na '$r&$de re+)lar re#!a de 2ase !r$an+)lar /ABC* #"n 3Hr!$#e 'r$n#$'al /<* - 'lan" 2ase / 'aralel" a la l,nea de !$erra* dada la re#!a /r* )e #"n!$ene a la ar$s!a /AB de la 2aseK e4e'l"
e de!ine' por =l5' & perpendic$lar a α15' la pro&ecci#n lateral el5 del e)e e5 de la pir%"ide. e de!ine la pro&ecci#n lateral l5 del centro de la (ae 5' cortando la pro&eccione laterale del e)e & el plano α5. e de!inen la pro&eccione horizontal 5 & vertical %5 del p$nto 5. # e re(ate el plano α5 & el p$nto 5 !i.d. d e de!ine la pro&ecci#n re(atida r r 5 de la recta r 5 !i.e. e di($)a' en verdadero ta"a7o' la pro&ecci#n re(atida Ar ?r Cr 5 de la (ae A?C5, eta e $n tri%n$lo e*$il%tero' con centro en la pro&ecci#n re(atida r 5 del p$nto 5 & lado Ar ?r 5 en la pro&ecci#n re(atida r r 5 de la recta r 5. e de!inen la pro&eccione vertical A%?%C%5 & horizontal A?C5 de la (ae A?C5. e e trazan la arita principale de la pir%"ide' de!iniendo a $ !or"a & vii(ilidad !i. f .
PRISA REGU;AR RECTO +oliedro de!inido por do polono re$lare i$ale & paralelo deno"inado (ae' & c$&a cara laterale on rect%n$lo i$ale. en la !i.1' e "$etra $n pri"a re$lar recto de (ae he:aonal' en el c$al p$eden o(ervare la i$iente parte6 0lano base6 plano *$e contiene a polono (ae. E:iten do paralelo entre . Base6 polono re$lar *$e de!ine la (ae del pri"a. Cara6 cada $no de lo rect%n$lo *$e de!inen lo lado del pri"a.
0$+.1.K Pr$sa re+)lar re#!".
Centro de la base6 centro eo"trico de c$al*$iera de lo polono (ae. -e )e*6 >ecta *$e paa por lo do centro de (ae del pri"a. E perpendic$lar a lo plano (ae. Arista principal6 e"ento' paralelo al e)e e5' *$e $ne do vrtice de (ae. Arista de la base6 e"ento *$e $ne do vrtice conti$o de $na "i"a (ae.
Al!)ra del 'r$sa /:: distan$ia entre los dos $entros de $ara de un prisma. Es igual a la longitud de las aristas prin$ipales.
Co"%t$ucc(" u" P$(%,a R#+ula$ R#cto. Co"oc(&o u" Pla"o Ba%#. co" u"o lo% V2$t(c#% la ,(%,a 5 #l C#"t$o la ot$a Ba%# De0$n$r )n 'r$sa re+)lar re#!"* de 2ase !r$an+)lar /ABC #"n!en$da en el 'lan" / * 1 1 1 1 #"n"#$d" el 3Hr!$#e /A - el #en!r" /O de la "!ra 2ase /A B C K 0$+.5a
a
e traza' por el centro ;5 de la (ae A;?;C;5' & perpendic$lar al plano α5' el e)e e5 del pri"a !i.2. e de!ine el centro 5 de la cara A?C5' interceptando el e)e e5 con el plano α5. e di($)a' contenida en el plano α5' la (ae A?C5 del pri"a, la c$al e $n tri%n$lo e*$il%tero' con centro 5 & vrtice A5.
0$+.5.K C"ns!r)##$n de )n 'r$sa re+)lar re#!"* #"n"#$d" )n 'lan" 2ase* #"n )n" de l"s 3Hr!$#es de la $sa* - el #en!r" de la "!ra 2ase
2
e di($)an' paralela al e)e e5 del pri"a' & por lo vrtice de la (ae A?C5' la arita principale del pri"a' de lonit$d H;5, o(teniendo de eta !or"a' lo vrtice A;?; & otra (ae !i.2 $.
C;5 de la
#
e di($)a la (ae A;?;C;5 del pri"a' de!iniendo a $ !or"a & vii(ilidad !i.2 d.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n 'r$sa re+)lar re#!" de 2ase !r$an+)lar /ABC* 1 #"n!en$da en el 'lan" / * s$end" /O1 el #en!r" de la "!ra 2ase /A1 B 1 C !i.3a. S"l)#$n por re(ati"iento de plano56
a
e traza' por el p$nto ;5 & perpendic$lar al plano α5' el e)e e5 del pri"a !i.3 . e deter"ina el centro 5 de la cara A?C5' interceptando el e)e e5 con el plano α5. e de!ine la pro&ecci#n horizontal A5 del p$nto A5' hacindolo pertenecer al plano α5. 2 e re(ate el plano α5' & lo p$nto 5 & A5 !i.3$.
0$+.6.K C"ns!r)##$n de )n 'r$sa re+)lar re#!"* de 2ase !r$an+)lar /ABC #"n!en$da en el 'lan" / * s$end" /O1 el #en!r" de la "!ra 2ase /A1B1C1K e4e'l"
#
e di($)a' en verdadero ta"a7o' la pro&ecci#n re(atida Ar ?r Cr 5de la (ae A?C5, la c$al e $n tri%n$lo e*$il%tero con vrtice en Ar 5 & centro en r 5 !i.3d. e de!inen la pro&eccione horizontal A?C5 & vertical A%?%C%5 de la (ae A?C5. d e trazan' paralela al e)e e5' la arita principale del pri"a *$e paan por lo vrtice de la (ae A?C5, toda tienen por lonit$d la ditancia dH;5 entre lo centro de (ae 5 & ;5 !i.3e. e e di($)a la (ae A;?;C;5 del pri"a' de!iniendo a $ !or"a & vii(ilidad !i.3 f .
Co"%t$ucc(" u" P$(%,a R#+ula$ R#cto. co"oc(&a la Altu$a. u" V2$t(c# 5 u"a R#cta 0u# Co"t(#"# al E9# C"ns!r)$r )n 'r$sa re+)lar re#!" de 2ase 'en!a+"nal /ABCDE* #"n e4e en la re#!a /e al!)ra /: - 3Hr!$#e /A\ f!.@a.
a
e traza' por el vrtice A5' el plano (ae α5' perpendic$lar al e)e e5 !i.4. e de!ine' interceptando el e)e e5 con el plano α5' el centro 5 de la (ae A?C4E<5. e di($)a la (ae A?C4E5, la c$al e $n pent%ono re$lar' con centro 5 & vrtice A5.
0$+.>.K C"ns!r)##$n de )n 'r$sa re+)lar re#!"* #"n"#$d"% la al!)ra )n 3Hr!$#e - la re#!a /e )e #"n!$ene al e4e
2
e $(ica' o(re el e)e e5' & a la ditancia 5 del centro 5 de la (ae A?C4E5' el centro ;5 de la (ae A;?;C;4;E;5 !i.4$. e di($)an' por lo vrtice de la (ae A?C4E5' & paralela al e)e e5' la arita principale del pri"a' toda de lonit$d i$al a la alt$ra 5 del pri"a, de!iniendo a lo vrtice A;?;C;4;E;5 de la otra (ae. # e di($)a la (ae A;?;C;4;E;5 del pri"a' de!iniendo a $ !or"a & vii(ilidad !i.4 d.
E4e'l". De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n 'r$sa re+)lar re#!" de 2ase 'en!a+"nal /ABCDE* de al!)ra /:* #"n e4e en la re#!a /e - 3Hr!$#e /A de la 2ase /ABCDE !i.;a. S"l)#$n por re(ati"iento de plano56
a
e de!ine' por el vrtice A5 & perpendic$lar al e)e e5' el plano α5' *$e contiene a la (ae A?C4E5, ete e $n plano de p$nta' de(ido a *$e el e)e e5 e $na recta !rontal !i.; . e de!ine el centro 5 de la (ae A?C4E5' interceptando el e)e e5 con el plano α5. e re(ate el plano α5' & lo p$nto A5 & 5. e di($)a la pro&ecci#n re(atida Ar ?r Cr 4r Er 5 de la (ae A?C4E5, la c$al e $n pent%ono re$lar' con centro r 5 & vrtice A r 5.
0$+.7.K C"ns!r)##$n de )n 'r$sa re+)lar re#!" de 2ase 'en!a+"nal /ABCDE* #"n"#$d"% la al!)ra /: el 3Hr!$#e /A de la 2ase /ABCDE la re#!a /e )e #"n!$ene al e4eK e4e'l"
2 # d
e de!ine la pro&ecci#n vertical A%?%C%4%E%5 de la (ae A?C4E5 !i.;$. e de!ine la pro&ecci#n horizontal A?C4E5 de la (ae A?C4E5 !i.;d. e trazan' por lo vrtice de la (ae A?C4E5' & paralela al e)e e5' la arita principale del pri"a, iendo toda de lonit$d i$al a $ alt$ra 5. e $(ican de eta !or"a a lo vrtice A;?;C;4;E;5 de $ otra (ae' de!iniendo a la !or"a del pri"a & $ vii(ilidad !i.; e.
Co"%t$ucc(" u" P$(%,a R#+ula$ R#cto. co"oc(&a la Altu$a. u" V2$t(c# 5 u"a R#cta 0u# Co"t(#"# a u"a A$(%ta P$("c(pal C"ns!r)$r )n 'r$sa re+)lar re#!" de 2ase #)adrada /ABCD - al!)ra /:* dad" s) 3Hr!$#e /A - la re#!a /r* )e #"n!$ene a la ar$s!a 'r$n#$'al /CC1 \ f!.a.
a
e de!ine' por el vrtice A5' & perpendic$lar a la recta r 5' el plano α5 de la (ae A?C45 !i.<. e de!ine el vrtice C5' interceptando la recta r 5 con el plano α5.
0$+..K C"ns!r)##$n de )n 'r$sa re+)lar re#!"* #"n"#$da s) al!)ra* )n 3Hr!$#e - )na re#!a )e #"n!$ene a )na ar$s!a 'r$n#$'al
2
e di($)a' contenido en el plano α5' el c$adrado (ae A?C45, c$&a diaonal e el e"ento AH C5. El p$nto "edio del e"ento AHC5 e el centro 5 de eta (ae !i.<$. e traza' por el p$nto 5 & paralelo a la recta r 5' el e)e e5 del pri"a. e $(ica' o(re la recta r 5' & a la ditancia 5 del vrtice C5' el vrtice C;5 de la (ae A;?;C;4;5. e $(ica' o(re el e)e e5' & a la ditancia 5 del p$nto 5' el centro ;5 de la (ae A;?;C;4;5. # e di($)an' paralela a la recta r 5' la arita principale del pri"a' toda de lonit$d 5 !i.
E4e'l"% De0$n$r las 'r"-e##$"nes de )n 'r$sa re+)lar re#!" de 2ase #)adrada /ABCD* #"n"#$d" el 3Hr!$#e /A* la al!)ra /: - la re#!a /r* )e #"n!$ene a la ar$s!a 1 'r$n#$'al /CC !i.a. S"l)#$n por re(ati"iento de plano a trav de $na recta !rontal56 a e de!ine' por el vrtice A5 & perpendic$lar a la recta r 5' el plano α5 de la (ae A?C45 !i.. 2 e deter"ina el vrtice C5' interceptando el plano α5 con la recta r 5 !i.$. # e re(aten' eliiendo co"o e)e la recta !rontal f 5' lo p$nto A5 & C5 contenido en el plano α5 !i.d. 0$+..K C"ns!r)##$n de )n 'r$sa re+)lar re#!" de 2ase #)adrada /ABCD* #"n"#$d" el 3Hr!$#e /A* la al!)ra /:* - la re#!a /r* )e #"n!$ene a la ar$s!a 'r$n#$'al /CC1K e4e'l"
d e di($)a la pro&ecci#n re(atida Ar ?r Cr 4r 5 de la (ae A?C45, la c$al e $n c$adrado de vrtice op$eto A & C5 !i.e. e e de!ine la pro&ecci#n vertical A%?%C%4%5 de la (ae A?C45 !i.f . 0 e de!ine la pro&ecci#n horizontal A?C45 de la (ae A?C45 !i.g. + e traza' por el vrtice ?5' & paralela a la recta r 5' la arita principal ?H?;5' & e $(ica o(re ella' el vrtice ?;5 a la ditancia 5 del vrtice ?5 !i..