GEOMETRI (3 SKS) Pokok Bahasan:
Geome eometr trii dasa dasarr : geom eomet etri ri eu eucl clid id dan dan aksi aksio omamaaksioma
dasar,
kekongruenan
ketegaklurusan
dan
kesejajaran
kesebangunan
segitiga,
hitung
segitiga, di
polygon
bidang, dan
lingkaran.
Geometri ruang: ketegaklurusan dan kesejajaran di ruang, jarak dan tempat kedudukan di ruang, sudut antar antar kompon komponen en dalam dalam benda benda ruang, ruang, bendabenda-ben benda da solid geometri ruang ( silinder, kerucut, bola).
Geom Ge omet etri ri nonnon-eu eucl clid id : Ge Geom omet etri ri ne netr tral al,, geom geometr etrii Lobachevski (hiperbolik),
Geometri
fraktal:
geometri
natural,
segitiga
Sierpinski
1
Pustaka: 1.
Michael Hvidsten, Geometry with geometry explorer TM , McGraw-Hill International Edition, 2005.
2.
Barnett Rich, Schaum’s Outline of Geometry, (alih bahasa; Irzam H), Erlangga, 2005.
I.
Geometri dasar
I.1.Geometri I.1. Geometri euclid dan aksioma-aksioma dasar GEOMETRI EUCLID } beserta sistem aksioma Himpunan berbentuk {Σ, Γ , Ω yang melibatkan 5 aksioma disebut Struktur Geometri Euclid, deng de ngan an un unsu surr-un unsu surr dari dari himp himpun unan an Σ, Γ , masingmasi masing ng dise disebu butt den eng gan titi titik k-tit -titik ik,, garis aris-g -ga aris ris dan bidang-bidang. Lima (5) aksioma tsb adalah
a1. Aksioma insidensi a2. Aksioma Aksioma keantaraa keantaraan n (tanpa (tanpa memperhati memperhatikan kan letak) letak) dan urutan (memperhatikan letak) a3. Aksioma kekongruenan a4. Aksioma kekontinyuan (archimedes) a5. Aksioma kesejajaran euclid
2
Aksioma insidensi: menentukan hubungan relatif sifatsifat geometris titik, garis dan bidang. Aksioma urutan: menyajikan hubungan geometris diantara titik, garis dan bidang.
posisi
Aksioma kekongruenan: menentukan kekronguenan atau kesamaan di antara segmen garis dan sudut Misalkan AB dan dua segmen garis, maka ada bilangan berhingga titik-titik A1, A2, ..., An pada garis Aksioma kekontinyuan terdiri atas dua pernyataan: 1. lurus AB segmen-segmen AA1 , A1 A2 , ..., A −1 A kongruen terhadap dan titik D diantara A dan An (aksioma Archimedes/ukuran). C D
n
n
C D
2.
Himpunan titik-titik pd garis lurus yang memenuhi aksioma urutan, aksioma pertama kekongruenan, dan aksioma Archimedes adalah lengkap, yaitu tidak ada titik lain yg dpt ditambahkan pd himpunan tsb, shg semua aksioma ini adalah sama benar (aksioma kelengkapan).
Aksioma kesejajaran: Misalkan l sebarang garis lurus dan A titik diluar garis tsb, maka ada paling banyak satu garis yg melalui A dan sejajar terhadap l pada bidang yg ditentukan oleh A dan garis l tsb (postulat Playfair)
Note:
3
} , a1, a2, a3, a4 ] disebut geometri -Struktur [ {Σ, Γ , Ω netral(absolut).
-Geometri netral yang memberlakukan aksioma kesejajaran euclid disebut geometri Euclid (parabolik). -Geometri netral yang memberlakukan aksioma kesejajaran Lobachevski disebut geometri Lobachevski (hiperbolik) dan untuk Riemann disebut geometri Riemann(elliptik). Dua geometri ini disebut geometri non-Euclid. AKSIOMA-AKSIOMA DASAR Aksioma insidensi 1. Jika ada dua titik berbeda, maka akan ada tepat satu garis yang memuat dua titik tersebut 2. Jika ada tiga titik berbeda dan tidak segaris, maka ada tepat satu bidang yang memuat ketiga titik tersebut. 3. Jika ada dua titik berbeda terletak pada suatu bidang, maka garis yang memuat kedua titik tersebut terletak pada bidang. 4. Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah suatu garis. 5. Setiap garis memuat sedikitnya dua titik, setiap bidang memuat sedikitnya 3 titik yang tidak segaris dan setiap ruang memuat sedikitnya empat titik yang tidak sebidang.
4
Postulat 1. Sebuah garis dapat diperpanjang sejauh jauhnya dari kedua ujungnya. Postulat 2. (Postulat jarak) a. Jarak setiap dua titik di Σ merupakan fungsi di R. b. Jarak setiap dua titik berharga non-negatif c. Jarak dua titik adalah nol jhj kedua titik tsb identik d. Jarak terpendek dari dua titik adalah pada suatu garis lurus (diukur menurut garis lurus) Postulat 3. Pada setiap garis l , titik-titiknya dapat diletakkan suatu korespondensi 1 – 1 dengan bil real R.
Aksioma keantaraan 1. Jika A dan B dua titik, maka a. terdapat sedikitnya satu titik C sehingga C diantara A dan B b. terdapat sedikitnya satu titik D sehingga B diantara A dan D c. terdapat sedikitnya satu titik E sehingga A diantara B dan E 2.
Jika A, B, dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka A, B, dan C berbeda & terletak pada satu garis (kolinear).
3.
Jika A, B dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka B diantara C dan A.
5
4.
Jika A, B dan C tiga titik kolinear, maka tepat satu dari tiga keadaan ini benar: a. B diantara A dan C b. C diantara A dan B c. A diantara B dan C.
I.2. Kekongruenan segitiga Segitiga (Pengantar) Dua `unsur penting dalam segitiga adalah sisi dan sudut. Suatu segitiga dapat dilukis jika salah satu dari lima syarat di bawah ini dipenuhi : 1.
Satu sisi dan sudut-sudut yang terletak pada sisi itu ( S,
2.
)
Satu sisi , sebuah sudut pada sisi tersebut dan sudut dihadapan sisi tersebut (S,
3.
,
Dua sisi dan sudut apitnya (S,
,
). , S)
4. Diketahui tiga sisinya (S, S, S) 5.
Dua sisi dari sudut dihadapan salah satu sisi yang diketahui (S, S,
)
6
Sifat-sifat segitiga antara lain : 1.
Jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan 180 0.
2.
Panjang suatu sisi segitiga kurang dari jumlah dua panjang sisi lainnya (ketaksamaan segitiga : S 1 < S2 + S3).
3. Dua segitiga
yang alasnya berlainan dan tingginya
sama, luas daerahnya berbanding sebagai panjang alasnya 4. Dua segitiga berlainan,
yang alasnya sama dan tingginya
luas
daerahnya
berbanding
sebagai
tingginya 5. Dua segitiga yang sama
salah satu sudutnya, luas
daerahnya berbanding sebagai hasil kali panjang sisi yang mengapit sudut yang sama itu. Contoh Diketahui segitiga ABC, berturut-turut titik-titik X, Y, Z terletak pada BC, AC, dan AB. Jika BC : BX = AC : CY = AB : AZ = 3 : 1 dan Luas ABC = 9, berapa luas XYZ? A Z Y
7 B
C X
Penyelesaian. Segitiga BXZ dan BCZ mempunyai tinggi sama. Perbandingan
luasnya = perbandingan panjang
alasnya . Luas(BXZ) : luas(BCZ) = 1 : 3, sebab BX : BC = 1 : 3. Segitiga
BCZ dan ABC mempunyai tinggi yang sama
(tinggi : garis yang tegak lurus dengan AB dan melalui C). BZ
: AB = 2 : 3, maka luas(ABC) : luas(BCZ) = 3 : 2.
SehinggaLuas(ABC) = Luas(BXZ) =
Dengan
2 9
3 2
luas ( BCZ )
=
3 3 . .luas ( BXZ ) 2 1
, atau
luas(ABC) = (2/9).9 = 2
cara analog, dapat anda buktikan luas(AZY)
= luas(CXY) = 2. Oleh
karena itu, luas(XYZ) = 9 – 3.2 = 3. ______________
8
Contoh Perhatikan gambar di bawah ini. Jika BC = AD, tentukan
Penyelesaian: Perhatikan 55. Sehingga
CAD ?
ABC, maka
BAC = 180 – (70+55) =
ABC merupakan segitiga sama kaki,
dengan AC = BC. Juga
ACD sama kaki dengan AD =
AC. Hal ini bearkibat
CAD = 180 – (2x40) = 100.
Teorema Pythagoras Luas persegi pada sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi sikusikunya. Dengan kata lain, jika sudut B pada segitiga ABC sama dengan 900 maka AB2 + BC2 = AC2. Konversnya, jika AB2 + BC2 = AC2 maka sudut B
9
sama dengan 900. Contoh . Perhatikan gambar di samping. Persegi panjang ABCD dan D titik tengah pada salah satu sisi persegi panjang yang memuat ABCD. Tentukan = 450 )
luas persegi panjang ABCD. ( Penyelesaian:
Ε 3 B
F
A
α H
Karena
D C
G
= 450 maka AE = BE. Dengan
teorema Pythagoras didapat AB = 3
2
. Sudut CGD = 450
(sebab bersebarangan dengan sudut
) maka CGD
adalah segitiga siku-siku sama kaki. Dengan demikian, DG2 = (3
2
)2 + (3
2
)2 atau DG = 6.
Diketahui DF = FG/2 maka FD = DG = 6, yang berakibat BD2 = 62 + 62 atau
BD = 6
2
.
10
Sampai di sini, diperoleh BD = 6 Jadi, luas persegi panjang ABCD = 6
2
2
dan BD = 3
.3
2
2
.
= 36.
Note: *Transversal sisi adalah sembarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi sebuah segitiga. *Transversal sudut adalah sembarang garis lurus yang melalui titik sudut sebuah segitiga. * Jika dua garis atau lebih berpotongan pada satu titik maka garis-garis tersebut dikatakan konkuren.
k: transversal sisi, l: transversal sudut
Dua segitiga ABC dan segitiga PQR dikatakan sebangun jika terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik A, B, C dengan P, Q, R, sehingga sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang seletak mempunyai perbandingan yang sama,
AB PQ
=
AC PR
=
BC QR
.
11
Notasi ABC dan PQR sebangun ditulis dengan ABC ~ PQR . Contoh Perhatikan gambar di bawah ini
Jika BC = 5, AB = 4, dan AD = 2 CD maka luas segi empat ABDE sama dengan ... Penyelesaian. Dengan menggunakan rumus Pitagoras, didapat AC = 3. Hal ini berarti
CD = 2. Luas segitiga ABC = ½ x 3 x
4 = 6. Dari gambar di atas, segitiga ABC dab DCE sebangun. Oleh karena itu
AB DE
=
BC CD
=
AC EC
maka
4 DE
=
5 2
=
3 EC
yang berakibat EC = 0,6 dan DE = 0,8.
12
Dengan demikian luas CDE = ½ x 0,8 x 0,6 = 0,32. Jadi luas ABDE = 6 – 0,32 = 5,68.
13
LINGKARAN Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Selanjutnya, titik tertentu disebut pusat lingkaran. Sedangkan jarak dari pusat lingkaran ke setiap titik pada lingkaran disebut jari-jari Bagian-bagian dari lingkaran 1. Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari dengan titik sudut di pusat lingkaran. 2. Busur adalah bagian dari lingkaran yang terletak di depan sudut pusat . 3. Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran 4. Diameter adalah talibusur yang melewati titik pusat lingkaran 5. Sudut keliling adalah sudut yang terbentuk oleh 2 tali busur yang bertemu di satu titik pada lingkaran 6. Tembereng adalah daerah yang dibentuk oleh busur dan tali busur 7. Garis singgung adalah garis yang bersinggungan tepat 1 titik dengan lingkaran dan titik persekutuan itu disebut titik singgung. Garis singgung lingkaran pada lingkaran letaknya tegak lurus pada jari-jari yang melalui titik singgung
Sifat-sifat sudut pada lingkaran : 1. Sudut keliling sama dengan setengah sudut pusat yang menghadap busur yang sama 2. Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar 3. Sudut keliling yang menghadap setengah lingkaran adalah sudut siku-siku 4. Jumlah sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur adalah 180° 5. AC dan BC dua garis singgung lingkaran dan C titik potongnya :
•
CB = AC
•
∠ ACO = ∠ BCO
A C O
B
14
Contoh 1
Diketahui DC adalah diameter lingkaran yang berpusat di A. AC adalah diameter lingkaran yang berpusat di B. Jika DE garis singgung lingkaran yang berpusat di B dan DE = 8√2, berapa panjang jari-jari lingkaran besar ? Penyelesaian: Misalkan jari-jari lingkaran kecil = a. Perhatikan dua segitiga sebangun berikut
Segitiga BDF dan segitiga CDE sebangun. Jika AB = a maka DB = 3a dan
DC = 4a.
Sehingga FB/EC = DB/DC atau a/EC = 3/4 atau EC = 4a/3. Dengan Pythagoras, (4a)2 = (8√2)2 + (4a/3)2 atau a = 3. Sehingga jari-jari lingkaran besar = 2a = 6. Jawaban : 6
__________ Contoh 2
Diketahui busur AB adalah busur lingkaran yang berpusat di C. Dan busur BC adalah busur lingkaran yang berpusat di A.
Jika AC = √3 maka luas daerah yang diarsir sama dengan ...
15
Penyelesaian:
Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi √3. Luas daerah yang diarsir = luas juring ABC – luas segitiga ABC. = [
60 360
= π /2 -
π (√3)2] – [1/4 (√3)2 √3] 3 4
3.
Latihan 1 Jika diketahui lingkaran yang berpusat di O dan
K, L,
M berada di keliling lingkaran seperti terlihat ada gambar. Buktikan bahwa
∠ LKM =
1 2
∠ LOM
.
Latihan 2 Diketahui busur AB adalah busur lingkaran yang berpusat di C. Dan busur BC adalah busur lingkaran yang berpusat di A.
Jika panjang AC = x cm maka luas daerah ABC sama dengan ...
16
Latihan 3 Gambar berikut memperlihat bagian dari dua lingkaran. Garis AB dan BC keduanya adalah jari-jari kedua lingkaran tersebut. Jika AB = BC = 2 cm, tentukan luas daerah yang diarsir?
Penyelesaian.
Segitiga ABD adalah segitiga sama sisi. Beberapa simbol untuk menyatakan luas daerah – daerah :
•
a = luas setengah lingkaran dengan AC sebagai diameternya.
• b = luas tembereng BAD dengan B sebagai pusat lingkaran •
c = luas tembereng ABD dengan A sebagai pusat lingkaran
•
d = luas segitiga ABD . Luas daerah yang diarsir = a – b – c -d.
17
Latihan 4 Diketahui tiga lingkaran yang berpusat di titik B, C, dan D. Jika jari-jari masing-masing lingkaran adalah x cm, tentukan panjang garis EF (dalam x). Jika x = 10 cm, berapakah panjang EF?
Penyelesaian. Tarik garis melalui titik C dan tegak lurus dengan EF. Terdapat dua segitiga yang sebangun, yakni AHC dan AGD. Dengan menggunakan pengertian kesebangunan, dapat dicari panjang garis yang tegak lurus dengan EF (=HC).
Latihan 5 Diketahui
PB
dan
PD
segmen garis potong lingkaran dg pusat O.
Buktikan bahwa PB . PA = PD. PC (dengan PB adalah panjang PB ).
18
HITUNG POLIGON DAN LINGKARAN Teorema 1. Secant Tangen Jika P adalah sebuah titik di luar lingkaran, garis singgung dari P menyinggung lingkaran di titik T dan garis melalui P memotong lingkaran di A dan A’, maka PA.PA’=PT2.
Bukti: Misalkan AO T ∠
P A′T = a, ∠
O TA =2a, ∠
Sehingga
=90
o
maka
PTA −a , ∠
∆ PTA ~ ∆ P A′T
Akibatnya:
PT P A′
=
PA PT
=a.
.
⇔ PA. P A′ = ( PT )
2
.
19
Teorema 2. Jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil kali ukuran/panjang sisi-sisinya dibagi empat kali luas segitiga tersebut.
Adb: Jari-jari lingkaran r = menyatakan luas segitiga. Bukti: Pernyataan 1. ∠CDA = ∠CBE 2.
∠CAD = ∠ BEC
3. ∆ ADC ~ ∆ ECB 4. a : t = 2r : b r =
ab
2t
=
abc
2tc
=
abc
4 L
, dengan L
Alasan 1. Dua sudut siku-siku kongruen 2. Dua sudut kel. Menghadap busur yg sama 3. Kesebangunan sgt 4. Perbandingan sisi-sisi sgtg
abc
4 L
5. L = ½ t.c
20
Teorema 3. Jari-jari lingkaran dalam segitiga samadengan luas segitiga dibagi setengah kelilingnya. Bukti: L = r Adb: s , dg L menyatakan luas segitiga dan s setengah keliling segitiga ABC. Titik-titik D, E, F merupakan titik-titik singgung lingkaran dalam segitiga ABC. Oleh karena itu berlaku
L(ABC) = L(ACO) + L(BCO) + L(ABO) = ½ r.a + ½ r.b + ½ r.c = ½ r (a + b + c) = r s L Jadi r = s . SEGIEMPAT TALIBUSUR Segiempat talibusur adalah segiempat yang ke empat titik sudutnya terletak pada lingkaran atau keempat sisinya merupakan talibusur-talibusur lingkaran.
21
Sifat: 1. Dalam suatu segiempat talibusur, jumlah sudutsudut yang berhadapan besarnya 180 2. (Teorema Ptolemeus)Dalam suatu segiempat talibusur, hasil kali diagonal-diagonalnya samadg jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan. BD x AC = (AD x BC) + (AB x DC) 3. Jika segiempat ABCD adalah segiempat talibusur, maka berlaku ∠ ADB = ∠ ACB
DAC = ∠ DBC ∠
∠ BDC = ∠ BAC
DCA = ∠ DBA ∠
22
4.Ji
ka
ABCD talibusur, maka berlaku i. GC ×GD = GB ×GA ; ii . FD × FA = FC × FB ;
iii . AE × EC = BE × ED ; iv. AC × BD = AB × DC + AD × BC .
SEGIEMPAT GARIS SINGGUNG Definisi: Segiempat garis singgung (Lingkaran dalam segiempat) adalah segiempat yang keempat sisi-sisinya menyinggung lingkaran. Teorema: Dalam segiempat garis singgung, jumlah ukuran/panjang sisi-sisi yang berhadapan adalah sama panjang.
Buktikan: AB + CD = AD + BC
23
Teorema: Setiap sisi segitiga beraturan dalam lingkaran berjari-jari r, ukurannya (panjang sisinya) adalah 3 r
Buktikan: AB = BC = AC =
r
3
24