GEOMETRI (GEOMETRI TAXICAB) Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri
Dosen : Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si.
Oleh : Nadya Pramita (157785001) Moch. Fauzi (157785004) Vivi Kholifatul (157785018) Zu’ma Wihdatul Qur’ani (157785039)
KELAS : C
PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 1
GEOMETRI (GEOMETRI TAXICAB) SEJARAH GEOMETRI TAXICAB1 Metrik (rumus jarak) yang menjadi terkenal sebagai geometri taxicab pertama kali diajukan oleh Herman Minkowski (1864-1909) di awal abad 20. Minkowski adalah guru dari Albert Einstein).
Gambar 1. Matematikawan, Hermann Minkowski. Selanjutnya pada tahun 1952, Karl Menger menciptakan sebuah pameran geometri di Museum of Science and Industri di Chicago. untuk para pengunjung pameran tersebut, Menger juga membuat sebuah booklet berjudul “You Will Like Geometry”. Dalam buku inilah istilah “geometri taxicab” pertama kali digunakan.
Gambar 2. Matematikawan, Karl Menger. 1
http://taxicabgeometry.altervista.org/general/history.html diakses pada tanggal 13 Desember 2016.
2
Hingga tahun 1975, pengembangan sebuah geometri utuh yang berdasarkan metrik taxicab masih belum dapat dilakukan. Pada saat ini Eugene Krause mengatakan bahwa “Sepertinya ini waktunya untuk melakukannya.” Buku Krause pertama kali diterbitkan pada tahun 1975, Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry, masih merupakan acuan pendahuluan pada geometri ini.
Gambar 3. Matematikawan, Eugene F. Krause. Penelitian modern pada geometri taxicab pertama kali muncul secara menjamur pada awal tahun 1980 dan berlanjut hingga sekitar tahun 1997. Penelitian ini diawali oleh kerja Kevin Thompson di Oregon State University dan juga oleh Rüstem Kaya di Turki. Penelitian Thompson dilakukan dengan Tevian Dray tahun 1996 dan dipublikasikan tahun 2000 dan penelitian Kaya dipublikasikan pada tahun 1997. Mulai tahun 1997 hingga tahun 2010, Rüstem Kaya merupakan peneliti geometri yang paling produktif. APAKAH GEOMETRI TAXICAB?2 Cara paling umum untuk mendeskripsikan sebuah bidang geometri adalah dengan menyatakan apakah titik-titiknya, garis-garisnya, bagaimana jaraknya diukur dan bagaimana besar sudut ditentukan. Dalam geometri koordinat Euclidean, titik-titik adalah titik-titik pada bidang koordinat. Setiap titik dituliskan dengan huruf kapital atau dengan pasangan berurutan bilangan real. Contoh: 𝑃 = (−2, −1) dan 𝑄 = (1,3). Garis-garis pada umumnya panjang, lurus, kumpulan titik-titik; sudut biasanya diukur dalam derajat menggunakan busur derajat; dan jarak biasanya diukur dengan penggaris atau dihitung dengan menggunakan Teorema Pythagoras.
2
Krause, Eugene F., 1986, Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean Geometry, Dover Publications, Inc., New York.
3
Sebagai contoh, pada Gambar 4 jarak dari 𝑃 ke 𝑄 dapat ditentukan dengan memperhatikan segitiga siku-siku dengan ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 sebagai sisi miring. Ruas garis adalah kaki-kaki dari segitiga tersebut, kaki-kakinya memiliki panjang 3 dan 4. Selanjutnya dengan Teorema Pythagoras, jarak Euclidean dari 𝑃 ke 𝑄 adalah √32 + 42 = 5. Untuk menuliskan fungsi jarak Euclidean sebagai 𝑑𝐸 . Sehingga pada contoh tersebut dapat dituliskan 𝑑𝐸 (𝑃, 𝑄) = 5, Dibaca “jarak Euclidean dari 𝑃 ke 𝑄 adalah 5”.
𝑄
𝑃
Gambar 4. Jarak titik 𝑃 ke 𝑄. Geometri taxicab sangat mirip dengan koordinat geometri Euclidean. Titik-titiknya sama, garisnya sama dan sudutnya diukur dengan cara yang sama. Hanya fungsi jarak yang berbeda. Pada gambar 4 jarak taksi dari 𝑃 ke 𝑄, ditulis 𝑑 𝑇 (𝑃, 𝑄), ditentukan bukan sebagaimana burung terbang, namun sebagaimana taksi melintas. Jaraknya adalah berapa blok lintasan horisontal dan vertikal dari 𝑃 ke 𝑄. Dengan jelas dapat ditulis 𝑑 𝑇 (𝑃, 𝑄) = 7. “Jarak taksi dari 𝑃 ke 𝑄 adalah 7.” Misalkan terdapat 2 titik pada bidang koordinat yang memiliki koordinat yang bukan bilangan bulat, 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 ) dan 𝐴 = (𝑏1 , 𝑏2 ). Maka menggunakan definisi jarak Euclidean dan jarak taksi akan lebih diterima: 𝑑𝑇 (𝑃, 𝑄) = |𝑎1 − 𝑏1 | + |𝑎2 − 𝑏2 |; 𝑑𝐸 (𝑃, 𝑄) = √(𝑎1 − 𝑏1 )2 + (𝑎2 − 𝑏2 )2 . 4
Contoh: Tentukan jarak Euclidean dan jarak taxicab antara titik 𝐿(1,1) dan 𝑀(4,5). Jarak Euclidean 𝑑𝐸 (𝐿, 𝑀) = √(4 − 1)2 + (5 − 1)2 = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5. Jadi jarak Euclidean antara titik 𝐿 dan 𝑀 adalah 5. Jarak taksi 𝑑 𝑇 (𝐿, 𝑀) = |4 − 1| + |5 − 1| = 3 + 4 = 7. Jadi jarak taksi antara titik 𝐿 dan 𝑀 adalah 7. 𝑦
𝑦 𝑀
𝑀
4
𝟒
𝟓 𝐿
3
𝐿
𝑥
𝟑
𝑥
Gambar 5. Jarak Euclidean LM = 5, jarak Taksi LM = 3+4 = 7.
JARAK ANTARA TITIK KE GARIS3 Pada geometri Euclidean, jarak antara sebuah titik A dan garis 𝑙 didapatkan dengan cara: 1. Mengkonstruksi garis tegak lurus pada garis asal 𝑙 yang melalui titik A, 2. Mengidentifikasi titik B yang merupakan perpotongan dari kedua garis (garis asal 𝑙 dan garis tegak lurus yang melalui titik A), dan 3. Mengukur jarak antara titik asal A dan titik potong B dari kedua garis. 𝑙
B 𝑑 A
Gambar 6. Jarak dari sebuah titik ke sebuah garis pada geometri Euclidean 3
http://taxicabgeometry.altervista.org/general/point-line.html diakses pada tanggal 13 Desember 2016.
5
Selain itu pendekatan lain untuk menemukan jarak suatu titik pada sebuah garis pada geometri Euclidean adalah dengan membuat lingkaran dengan titik pusat A hingga lingkaran menyentuh garis 𝑙 (lingkaran singgung). Dalam hal ini, jarak ke garis adalah jari-jari dari lingkaran singgung tersebut. Pendekatan ini yang nantinya juga akan dapat digunakan untu mengukur jarak dari sebuah titik ke suatu garis pada geometri taxicab. 𝑙
B
𝑑 A
Gambar 7. Visualisasi jarak Euclidean dari sebuah titik ke suatu garis, dengan cara membuat lingkaran singgung dari titik ke garis. Pada geometri taxicab, jarak sebuah titik ke suatu garis mempertimbangkan 3 kasus. a
b
c
Gambar 8. Visualisasi jarak taksi dari sebuah titik ke suatu garis. Tiga kasus yaitu, a. garis landau, b. garis curam, c. garis diagonal. 1. Jika garisnya landai (gradiennya kurang dari |1|), pengukuran jarak dari sebuah titik ke suatu garis diukur melalui garis vertikalnya. 2. Jika garisnya curam (gradiennya lebih dari |1|), pengukuran jarak dari sebuah titik ke suatu garis diukur melalui garis horisontalnya. 3. Jika garisnya merupakan diagonal (gradiennya sama dengan |1|), pengukuran jarak dari sebuah titik ke suatu garis dapat diukur baik melalui garis horisontalnya maupun garis vertikalnya.
6
IRISAN KERUCUT PADA GEOMETRI TAXICAB Irisan kerucut pada geometri Euclidean memiliki bentuk lingkaran (jika diiris secara horisontal), para bola (jika diiris sejajar dengan garis pelukis kerucut), ellips (jika diiris miring) dan hiperbola (jika diiris secara vertikal), lihat Gambar 9.
Gambar 9. Irisan kerucut pada geometri Euclidean.4 LINGKARAN5 Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang memiliki jarak yang tetap dari suatu titik fokus. Lingkaran taxicab adalah persegi dengan sisi-sisi yang membentuk sudut 45° ke sumbu koordinat (Gambar 10). Persamaan dari lingkaran taxicab dengan titik pusat 𝐶(𝑥1 , 𝑦1 ) dan radius 𝑟 dituliskan sebagai: |𝑥 − 𝑥1 | + |𝑦 − 𝑦1 | = 𝑟
Gambar 10. Lingkaran. 4
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Conic_Sections.svg Petrović, Maja., Malešević, Branko., dkk., 2014. Geometry of Some Taxicab Curves, diperoleh dari https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1405/1405.7579.pdf diakses tanggal 13 Desember 2016. 5
7
C.1. Lingkaran kontinyu taxicab (garis putus-putus), lingkaran Euclidean (garis utuh); C.2. Lingkaran diskrit taxicab (titik-titik). Panjang sisi persegi pada geometri Euclidean adalah 𝑟√2, sementara di geometri taxicab panjangnya adalah 2𝑟. Pada geometri taxicab keliling dari lingkarannya adalah 8𝑟, dan luasnya adalah 4𝑟 2 . Pengganti bilangan 𝜋 pada geometry taxicab adalah bilangan 4. (Ingat bahwa 𝜋 adalah keliling lingkaran dibagi diameter lingkaran). ELIPS6 Ellps adalah himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap kedua titik fokusnya selalu tetap.
Gambar 11. Elips pada geometri Euclidean.7 Pada geometri taxicab berupa polygon berdasarkan persamaan: |𝑥 − 𝑥1 | + |𝑦 − 𝑦1 | + |𝑥 − 𝑥2 | + |𝑦 − 𝑦2 | + 𝛾 = 0. Persamaan pada elips taxicab ditentukan oleh dua titik fokus 𝐹1 (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝐹2 (𝑥2 , 𝑦2 ) dan konstanta 𝛾 ≤ 0. Berdasarkan perbandingan dari parameter 𝛾 dan parameter 𝛿 = 𝑑1 (𝐹1 , 𝐹2 ), pengelompokan lengkap dari jenis-jenis polygon yang mendefinisikan elips taxicab adalah sebagai berikut:
6
Petrović, Maja., Malešević, Branko., dkk., 2014. Geometry of Some Taxicab Curves, diperoleh dari https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1405/1405.7579.pdf diakses tanggal 13 Desember 2016. 7
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Conic_section_-_standard_forms_of_an_ellipse.png
8
Gambar 12. Elips pada geometri taxicab. E.1. Jika −𝛾 > 𝛿 dan (𝑦1 = 𝑦2 atau 𝑥1 = 𝑥2 ) maka elips taxicab berupa sebuah heksagon; E.2. Jika −𝛾 > 𝛿 dan (𝑦1 ≠ 𝑦2 dan 𝑥1 ≠ 𝑥2 ) maka elips taxicab berupa sebuah octagon; E.1. Jika −𝛾 = 𝛿 maka elips dalam taxicab geometri berupa sebuah daerah persegipanjang dengan diagonal 𝐹1 𝐹2 . HIPERBOLA8 Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih dari jarak kedua titik fokusnya tetap. Pada geometri taxicab menjadi garis patah yang mengikuti persamaan: |𝑥 − 𝑥1 | + |𝑦 − 𝑦1 | − (|𝑥 − 𝑥2 | + |𝑦 − 𝑦2 |) ∓ 𝛾 = 0. Persamaan hiperbola taxicab ditentukan oleh titik-titik fokus 𝐹1 (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝐹2 (𝑥2 , 𝑦2 ) dan konstanta 𝛾 ≤ 0.
Gambar 14. Hiperbola pada geometri Euclidean.9 8
Petrović, Maja., Malešević, Branko., dkk., 2014. Geometry of Some Taxicab Curves, diperoleh dari https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1405/1405.7579.pdf diakses tanggal 13 Desember 2016.
9
Berdasarkan perbandingan dari parameter 𝛾 dan parameter 𝛿 = 𝑑1 (𝐹1 , 𝐹2 ), pengelompokan lengkap dari jenis-jenis hiperbola taxicab adalah sebagai berikut:
Gambar 15. Hiperbola pada geometri taxicab. H.1. Untuk −𝛾 = ±(𝑥1 − 𝑥2 − 𝑦1 + 𝑦2 ), hiperbola dalam geometri taxicab berupa 2 daerah planar dengan ekor-ekor. Setiap ekor berisi sebuah ruas garis dan sinar garis horisontal/vertikal. H.2. Jika −𝛾 < 𝛿 dan − 𝛾 < |𝑥1 − 𝑥2 − 𝑦1 + 𝑦2 |, maka hiperbola taxicab berupa sepasang garis sejajar yang dibangkitkan. H.3. Jika |𝑥1 − 𝑥2 − 𝑦1 + 𝑦2 | < −𝛾 < 𝛿, maka hiperbola taxicab dengan dua titik fokus merupakan sebuah hoperbola taxicab yang benar.
PARABOLA10 Parabola adalah himpunan titik-titik dimana jarak dari titik fokus 𝐹1 (𝑥1 , 𝑦1 ) sama dengan jaraknya ke garis tetap (direktrik) 𝑑: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Pada geometri taxicab menjadi garis patah yang mengikuti persamaan: |𝑥 − 𝑥1 | + |𝑦 − 𝑦1 | − 𝑒(max(|𝑎|, |𝑏|))−1 |𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐| = 0, Dengan e adalah koefisien eksentrisitas dari kerucut.
9
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Conic_section_-_standard_forms_of_a_hyperbola.png Petrović, Maja., Malešević, Branko., dkk., 2014. Geometry of Some Taxicab Curves, diperoleh dari https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1405/1405.7579.pdf diakses tanggal 13 Desember 2016. 10
10
Gambar 16. Parabola pada geometri taxicab.
11
http://taxicabgeometry.altervista.org/docs/mirror/Laatsch.pdf (pyramidal sections) https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1405/1405.7579.pdf (geometry of some taxicab curves) http://taxicabgeometry.altervista.org/geometry/revolution.html (picture pyramidal sections) 12
