BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sejak zaman Euclid ( 300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dari perspektif syntesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide baru dalam matematika dikembangkan dan diterapkan dalam mempelajari geometri, dengan efek yang bersifat revolusi. Misalnya dengan menerapkan notasi-notasi dan konsep aljabar ke feometri. Fermat ( 1601 – 16650 dan Rene Descartes (1596 – 1650) menciptakan geometri analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai suatu konsep dan menggunakan notasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz diaplikasikan pada gwomwtri. Alam abad 18 dan 19 , sejumolah geometri non Euclid dikebangkan, mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan terpisah sesuai dengan teori-teori yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli matematika berusia 23 tahun, Felix Klein ( 1849 – 1925) mengusulkan suatu prinsip pemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan-hubungan diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah Geometri Transformasi. Geometri transformasi adalah pemetaan satu- satu, dengan menggunakan hinpunan titik-titik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuk sederhananya, hinpunan-himpunan input dinamakan
obyek dan
outputnya
yang
bersesuaian
dinamakan image. Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagai diterapkan pada obyek-obyek geomeri yang umum dikenal, misalnya garis, polygon, atau polihedra ataupun pada ruang dimana obyek-obyek itu ada. Ada empat pemetaan yang dibahas dalam Geometri Transformasi yaitu Translasi (pergeseran), Rotasi (Perputaran), Refleksi (Pencerminan) dan Dilatasi (Perkalian). Dalam bab ini akan dibahas secara spesifik tentang Refleksi atau pencerminan.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan pemaparan di atas maka rumusan masalah yang akan dibahas pada makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Apa definisi serta sifat-sifat pencerminan (refleksi) ? Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 1
2. Bagaimana pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu y ? 3. Bagaimana pencerminan terhadap suatu garis? 4. Bagaimana pencerminan pencerminan terhadap suatu titik asal?
1.3 Tujuan
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui definisi serta sifat-sifat pencerminan (refleksi). 2. Untuk mengetahui pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu y. 3. Untuk mengetahui pencerminan terhadap suatu garis. 4. Untuk mengetahui pencerminan terhadap suatu titik asal.
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 2
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Definisi dan Sifat-sifat Pencerminan A. Definisi Pencerminan Pencerminan
Pencerminan dalam arti geometri dapat disebut juga dengan refleksi. Refleksi adalah menggambarkan pencerminan cermin suatu bangun. Pencerminan itu dapat diperoleh sebagai berikut : 1. Tentukan terlebih dahulu sumbu cerminnya atau sumbu simetri 2. Tarik garis tegak lurus pada sumbu cermin dari tiap-tiap sudut bangun (titik) yang hendak dibuat pencerminannya. pencerminannya. 3. Jarak antara titik sudut bangunan dengan titik sudut pencerminannya harus sama terhadap sumbu simetri. Contoh : Buatlah pencerminan dari bangun berikut ini: Caranya: m
Gambar 2.1 m= sumbu cermin Garis putus-putus merupakan pencerminan dari bangun yang dimaksud. Pencerminan suatu bangun dalam bidang kartesius.
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 3
y
Bangun
C”
B
C
D”
A
D A’
D’
B’
C’
adalah pencerminan bangun
sumbu y. Bangun
x
jika dicerminkan terhadap
merupakan pencerminan
yang dicerminkan
terhadap sumbu x. Pencerminan terhadap sumbu x disimbolkan dengan X . Bangun ABCD dicerminkan terhadap sumbu x ditulis X (ABCD).
Pencerminan terhadap sumbu y disimbolkan dengan Y . Jadi Y (ABCD) merupakan pencerminan bangun ABCD terhadap sumbu y.
Pada pencerminan diperlukan sebuah garis sebagai sumbu pencerminan. Pencerminan terhadap suatu sumbu merupakan transformasi berlawanan.
B. Sifat-sifat Pencerminan Pencerminan
Dalam transformasi geometri khususnya pencerminan terdapat beberapa sifat-sifat yang selalu ditemukan. Adapun sifat tersebut adalah sebagai berikut : 1. Jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminan dengan cermin. 2. Garis yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak lurus dengan cermin. 3. Setiap garis dan pencerminannya pencerminannya selalu sama panjang. 4. Setiap bangun dan pencerminannya pencerminannya selalu kongruen.
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 4
2.2 Pencerminan Pencerminan Terhadap Sumbu-x dan Sumbu – y
Pencerminan terhadap sumbu-x berarti suatu pecerminan yang menggunakan sumbu- x dalam diagram kartesius sebagai cermin. Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu-x menghasilkan pencerminan titik B(
) dengan
dan
. Oleh
karena itu pencerminan terhadap terhadap sumbu- x dapat dirumuskan sebagai sebagai berikut :
y
b
A(a,b) x
o -b
B(a,-b)
Gambar 2.2
Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk
pencerminan pencerminan terhadap t erhadap sumbu-x adalah
, sehingga
Pencerminan terhadap sumbu-y berarti suatu pecerminan yang menggunakan sumbu- y dalam diagram kartesius sebagai cermin. Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu-y menghasilkan pencerminan titik C(
) dengan
dan
. Oleh
karena itu pencerminan terhadap terhadap sumbu- y dapat dirumuskan sebagai sebagai berikut :
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 5
y
C(-a,b)
-a
b
O
A(a,b)
x
a
Gambar 2.3
erdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk
pencerminan pencerminan terhadap t erhadap sumbu-y adalah
, sehingga
2.3 Pencerminan Pencerminan Terhadap Suatu Garis x
A. Pencerminan Pencerminan Terhadap Garis atau Sumbu p
1. Pencerminan titik
p’
Titik P’ merupakan pencerminan dari titik P Dikatakan titik P dicerminkan terhadap gari xy (sumbu xy)
Ditulis
Disingkat
terhadap xy
2. Pencerminan garis Garis
merupakan pencerminan dari garis
x
y
P
.
P’
Q
Dikatakan PQ dicerminkan terhadap garis xy. Ditulis
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Q’
y
Page 6
B. Pencerminan Terhadap Garis
Pencerminan titik A(a,b) terhadap garis y=x menghasilkan bayangan
b ba
dengn a
Dab
dan
y
D(b,a)
a
A(a,b)
b
x
o
Gambar 2.4
Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk
pencerminan pencerminan terhadap t erhadap sumbu-y adalah
, sehingga
C. Pencerminan Pencerminan Terhadap Garis y= -x
ab
Pencerminan titik A(a,b) terhadap garis y=-x menghasilkan bayangan E dengn
a
-b dan
b
-a.
y
b
A(a,b
o E(-b,-a) =-
Gambar 2.5 Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 7
Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk
pencerminan pencerminan terhadap t erhadap sumbu-y adalah
, sehingga
D. Pencerminan Pencerminan Terhadap Garis x=h
ab
Pencerminan titik A(a,b) terhadap garis x=h menghasilkan bayangan G dengn
a
2h-a dan
b
b.
y
x=h
b
A(a,b)
o
a
G(2h-a,b)
2h-a
x
Gambar 2.6
Jika ditulis dengan matriks transformasi sebagai berikut:
E. Pencerminan Pencerminan Terhadap Garis y=k
Pencerminan titik A(a,b) terhadap garis y=k menghasilkan bayangan
ab
H
dengn
a
a dan
b
2k-b.
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 8
y H(a, 2k-b)
2k-b
y=k A(a,b)
b o
a
x
Gambar 2.7
Jika ditulis dengan matriks transformasi sebagai berikut:
F. Pencerminan Dua Kali
Apabila suatu bangun dicerminkan terhadap sumbu AB kemudian dicerminkan lagi terhadap sumbu CD, dapat dikatakan bangun tersebut docerminkan dua kali atau dua pencerminan. Jika pencerminan terhadap AB = M 1 dan pencerminan terhadap CD = M 2 , maka dua pencerminan itu disimbolkan dengan: M 2 o M 1. Dibaca : M 1
diteruskan dengan M 2. Dua pencerminan dapat dilakukan dengan : a. Dua sumbu sejajar b. Dua sumbu yang saling tegak lurus c. Dua sumbu berpotongan. G. Pencerminan Pencerminan dengan Dua Sumbu Sejajar
Contoh pencerminan dengan dua sumbu sejajar ditampilkan pada gambar berikut.
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 9
y F
C A F’
(-1,2)
F”
(1,2)
-1
0
(5,2)
1
2
3
B
4
5
D
Gambar 2.3 AB sejajar CD di mana CD berada pada x = 3. F’ merupakan hasil pencerminan
dari F sumbu AB. Sedangkan
adalah hasil pencerminan
terhadap sumbu CD.
Titik ( - 1,2) menjadi titik (1,2) oleh pencerminan terhadap AB sehingga ditulis
. Titik (1,2) menjadi titik (5,2) akibat pencerminan terhadap
CD yang dapat ditulis
Dengan cara pemetaan dapat ditulis sebagai berikut :
atau
Jadi pencerminan berturut-turut terhadap sumbu-sumbu
dan
Jarak antara AB dan CD = 3 serta arahnya merupakan arah AC (ke kanan). Apabila pencerminan terhadap AB disebut sebut M 1 dan pencerminan CD disebut dengan M 2, maka hasil M 1 o M 2 = (5,2). Simbol M 1 o M 2 berarti M 1 diteruskan dengan M 2.
H. Pencerminan Pencerminan dengan Sumbu Saling Tegak Lurus
2
A(2,3) S
1 x
A” (4,(4,m
Gambar 2.4 Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 10
Sumbu m tegak lurus pada sumbu n pada x = 3 dan n tegak lurus garis m pada y = 1. Bangun O berada pada posisi titik A (2,3). Jika bangun tersebut dicerminkan terhadap
sumbu m diperoleh diperoleh n
. Jika
dicerminkan terhadap sumbu n
.
y
(-3,2)
x
(3,-2)
Gambar 2.5 Pada gambar 2.5 tampak bahwa pencerminan dua kali berturut-turut pada sumbu yang saling tegak lurus sama dengan setengah putaran pada pusat S. Apabila pencerminan terhadap sumbu m = M 1, pencerminan terhadap sumbu n = M 2 , dan pemutaran setengah putaran terhadap S disebut H , maka
Pencerminan pada dua sumbu yang saling tegak lurus berlaku hukum komutatif sebagai berikut :
Bila dipergunakan kordinat , maka pencerminan terhadap sumbu x disebut X dan pencerminan terhadap sumbu y disebut Y . Sedangkan perputaran terhadap putaran O disebut dengan H .
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 11
2.4 Pencerminan Pencerminan Terhadap Titik Asal
Pencerminan titik A(a,b) terhadap ttik asal menghasilkan bayangan F(a’,b’) dengan a’=a’=-a dan b’=-b. b’=-b.
y
b o F (-b,-a)
A(a,b) x
a
-a
Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk
pencerminan pencerminan terhadap t erhadap sumbu-y adalah
, sehingga
SOAL.
1. Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap sumbu X . a. A (4,3) b. B (10,-2)
2. Tentukan koordinat bayangannya, bayangannya, jika titik-titik titi k-titik berikut dicerminkan terhadap garis Y=X . a. A (5,2) b. B (-7,-2)
3. Tentukan koordinat bayangannya, bayangannya, jika titik-titik titi k-titik berikut dicerminkan terhadap garis Y=-X. Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 12
a. A (10,-3) b. B (-5,2)
4. Tentukan koordinat bayangannya, bayangannya, jika titik-titik tit ik-titik berikut dicerminkan terhadap garis X=2. a. A (-3,4) b. B (5,-1)
5. Tentukan koordinat bayangannya, bayangannya, jika titik-titik titi k-titik berikut dicerminkan terhadap garis Y=3. a. A (3,-4) b. B (-5,1)
6. Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap titik asal O (0,0). a. A (-1,-6) b. B (2, -10)
P’ (x’y’) melalui hubungan: 7. Transformasi T memetakan titik P (x,y) ke titik P’ x’=2x-y y’=3x+2y a. Tentukan matriks tansformasi yang bersesuaian dengan persamaan itu. b. Dengan menggunakan matriks tranformasi yang di peroleh pada soal a), tentukan koordinat bayangan bayangan dari titik ti tik P (3,6).
1 1 memetakan titik P (x,y) ke 2 3
8. Transformasi yang bersesuian dengan matriks titik P’ P’ (1,7). Tentukan nilai x dan y.
a b memetakan titik P (3,2) ke c d
9. Transformasi yang bersesuaian dengan matriks
titik P’(3,7) titik P’(3,7) dan titik Q (1,1) ke titik Q’ (1,4). Tentukan nilai dari a, b, c, dan d. 10. Tentukan koordinat bayangan dari titik P (1,-3) bila dilakukan refleksi terhadap sumbu X lalu di refleksi lagi terhadap garis X=-2.
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 13
BAB III PENUTUP
3.1 Simpulan
Refleksi adalah menggambarkan pencerminan cermin suatu bangun yang memiliki sifat yaitu jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminan dengan cermin, garis yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak lurus dengan cermin, setiap garis dan pencerminannya selalu sama panjang, dan setiap bangun dan pencerminannya selalu kongruen. Beberapa jenis pencerminan yaitu pencerminan terhadap suatu titik asal, pencerminan pencerminan terhadap sumbu-x, pencerminan terhadap sumbu y, pencerminan terhadap garis y=x, pencerminan terhadap garis y=-x, dan pencerminan terhadap garis x = h dan y = k. Berikut merupakan beberapa matriks yang digunakan pada beberapa pencerminan. a. Untuk Refleksi A (x, y) terhadap sumbu X menghasilkan
(
) dengan matriks
berikut:
b. Jika sumbu y sebagai cermin maka dihasilkan
(
)
dengan matriks berikut :
c. Jika garis y = k sebagai cermin maka dihasilkan
(
) dengan matriks :
d. Jika garis y = x sebagai cermin maka dihasilkan
(
) dengan matriks berikut berikut :
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 14
e. Jika garis y = -x sebagai cermin maka dihasilkan
(
)
dengan matriks
berikut :
f. Jika garis x = a sebagai cermin dihasilkan
(
)
dengan matriks berikut :
g. Jika titik asal O0,0 sebagai cermin dihasilkan A' x' , y' dengan matriks berikut:
3.2 Saran
Dalam
pokok
bahasan
geometri
khususnya
pencerminan
atau
refleksi
membutuhkan pemahaman siswa terlebih dahulu mengenai penggunaan diagram kartesius. Pada pokok bahasan pencerminan diagram kartesius merupakan media utama untuk menjelaskan sifat-sifat suatu pencerminan. Oleh sebab itu diharapkan pembelajaran awal mengenai tata letak koordinat pada diagram kartesius serta teknik pembelajaran yang tepat agar penyampaian materi pencerminan lebih mudah diterima oleh siswa. Adapun makalah ini diharapkan mampu menjadi masukan untuk pembuatan makalah serupa yang lebih baik.
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 15
DAFTAR PUSTAKA
Tamrin. 2003. Rahasia Penerapan Rumus – rumus Matematika SMU. Gitamedia Press: Surabaya. Ensiklopedia Matematika Matematika. Ghalia Indonesia. Negoro, S.T & B.Harahap. 1998. Ensiklopedia
Yohanes, S. 2008. Mahir Matematika Matematika SMP. SMP. Kendi Mas Media: Jakarta. Wirodikromo,Sartono.2006. Matematika Matematika
untuk
SMA
Kelas
XII
Program
Ilmu
Alam.Erlangga:Jakarta.
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Bali 2012
Page 16
