Kelompok 4 Anisa Sri Wahyuni Arini Malihatun Diden Muhamad Anshori Fitri Fatwati Shintia Haerani
092151083 092151058 092151071 092151047 092151070
mempersembahkan
ROTASI
Pengertian Rotasi Definisi 5.5.
Andaikan A sebuah titik pada bidang Euclid v dan sebuah bilangan real yang memenuhi -180Ü< < 180Ü. Sebuah rotasi mengelilingi A adalah sebuah relasi A, yang ditetapkan sebagai berikut: untuk P v, (P) = A, jika P = A A, (P) = P1, sehingga m ( PAP1) = dan AP1 = AP jika P A
A,
contoh Diberikan titik A, Q dan P.
Lukis : a. A60Ý (P)
b. A-60Ý (Q)
Penyelesaian a. Buat AP , buat PAB 60Ü , buat P AB sehingga AP = AP. A60Ý (P) = P b. Buat AQ , buat QAC = -60Ý, buat Q AC sehi se hing ngga ga AQ AQ = AQ. AQ. Ja Jadi di Q = A-60Ý (Q).
Gambarnya sebagai berikut. P1 B
P 60Û A
60Û C Q1
Q
Rotasi sebagai suatu Transformasi
eorema 5.3. T eorema
Misalkan A, relasi yang ditetapkan sebagai berikut.
Untuk setiap P v, berlaku: (P) = A, jika P = A ii. A, (P) = P1 sehingga m( PAP1) = dan AP1 = AP i.
A,
ji jika P A mer meruupaka pakann suat suatuu trans ransfo form rmas asi.i.
Bukti 1.
Ditunjukan bahwa A (P) fungsi dari v ke v
Ambil P sembarang titik pada pada v. Berdasarkan Berdasarkan i) i) P mempunyai peta yang tunggal yaitu A v, jika P = A. Berdasarkan Berdasarkan ii) mempunyai mempunyai peta yang tunggal tunggal P v, jika P A. Jadi A fungsi dari v ke v . 2.
A
adalah injektif
Pandang dua titik P, Q v dengan A (P) = A (Q) = P. Maka m(PAP) = m(QAP) = dan dan AP AP = AP AP = AQ. AQ. Akib Akibat atny nyaa jela jelass P = Q. Ja Jadi di A adalah injektif.
3.
A
adalah surjektif
Ambil titik titik Q v, maka Q = A atau Q A, maka ada ada A v, sehingga A (A) = Q = A. Bila Q A maka ada sinar AQ. Berdasarkan postulat postulat konstruksi sudut sinar AR sehingga m(QAR) = -. Berdasarkan postulat penggaris ada P AR sehingga AP = AQ. Dari uraian ini dapat disimpulkan A (P) = Q. Jadi ada P v, sehingga A (P) = Q untuk sembarang Q A, artinya A surjektif. Karena A merupakan relasi dari v ke v, fungsi injektif dan fungsi surjektif, maka A suatu transformasi. transformasi.
T eorema eorema 5.4.
Jika garis s dan t berpotongan di titik A dan sudut sudut dari dari s ke t adal adalah ah ½ maka A, = µt µs. K1 t
P11 P1
½ K
A P
s
Bukti Pandang titik P A dan K A, K s. Misal P11 = µt µs (P) dengan µs(P) = P1, dan µt(K) = K1. Karena Karena sudut sudut dari dari s ke t adala adalah h ½ maka m(KAK1) = . Tetapi kita mengetahui bahwa m (PAP11) = m(KAK1). Jadi m(PAP11) = . Karena A 11 = µt µs (A) = A dan µt µs suatu isometri maka P11A11 = PA. Jadi µt µs = A,.
eorema 5.5. T eorema
Komposit dua pencerminan pada garis adalah suatu rotasi atau translasi. Bukti:
Ambil sebarang pencerminan µt dan µs. Keadaan t dan s dapat t//s atau t memotong s. Untuk t//s maka µt µs suatu translasi. Untuk t memotong s, maka µt µs suatu rotasi. Jadi komposisi dan pencerminan pada garis adalah suatu rotasi atau suatu translasi.
eorema 5.6. T eorema
Setiap rotasi adalah isometri langsung. Bukti:
Isometri
Rotasi merupakan suatu komposisi pencerminan (misal µt µs) dimana garis t dan s berpotongan. Karena pencerminan merupakan suatu isometri, dan komposisi suatu isometri merupakan suatu isometri maka jelas bahwa rotasi juga merupakan suatu isometri.
Isometri Langsung
Ambil A = µt µs dan gambar tiga titik (B, C, D) berorientasi positif, maka oleh m s ganda tiga (B, C, D) berorientasi negatif (sebab t isometri lawan). Akibatnya ganda tiga (B, C, D) oleh µt µs berorientasi positif. Jadi µt µs suatu isometri langsung. Jadi rotasi A juga suatu isometri langsung.
eorema 5.7. T eorema O(P)
= (x cos ² y sin , x sin + y cos )
Atau cos - sin x O(P) = = y sin cos y x
Untuk P = (x, y) v dan O = (0, 0).
Bukti Misalkan m(AOP) = . Karena O(P) = P1, maka m(POP1) = dan m(AOP1) = + . y P1 (x1, y1)
y1
P (x, y)
x1
y
0
x
A
x
x = OP cos
dan
y = OP sin
Sedangkan x1 = OP cos ( + ) = OP (cos cos ² sin sin ) = (OP cos ) cos ² (OP sin ) sin = x cos ² y sin y1 = OP sin ( + ) = OP (sin cos + cos sin ) = (OP sin ) cos + (OP cos ) sin = y cos + x sin Atau kalau ditulis secara matriks, didapat: x1 cos - sin x y1 = sin cos y
eorema 5.8 T eorema
P = A(P) = ((x - a) cos ² (y - b) sin + a, (x - a) sin + (y - b) cos + b)
Atau x1
cos - sin x - a a + A = 1 = y sin cos y - b b
Bukti: y
y P1 (x1, y1) P (x, y )
A (a, b) O (0, 0)
x x
Berdasarkan gambar , sistem koordinat k oordinat diubah menjadi x A y dengan aturan : x = x + a, y = y + b, sehingga : P(x , y) = (x - a, y - b) dan P(x1 , y1) = (x1 - a, y- b) gunakan teorema 5.7 pada sistem x A y didapat: c os - s i n x ² a x²a = y²b sin cos y ² b gunakan sistem x y, maka didapat: cos - sin x ² a a x = + y sin cos y²b b
eorema 5.9 T eorema
Apabila diberikan A,. maka -1A, = A,-. Bukti: Ambil garis s dan t pada v sehingga t s = {A} dan sudut sudut dari dari s dan dan t adalah adalah ½, maka berdasarkan teorema 5.4 didapat bahwa A, = µt µs dan sudut dari t dan s adalah ²½. Karena ( A,)-1 = (µt µs)-1 = µt -1 µs-1 = A,- , sebab {A} = s t dan sudut dari t ke s adalah ²½ .
eorema 5. 10 T eorema
Komposisi dua rotasi dengan pusat pada titik yang sama merupakan rotasi dengan pusat yang sama pula. Bukti: Ambil A titik pada bidang euclid v, dan -180Ü< 1 < 180Ü -180Ü < 2 < 180Ü, A,1 dan A,2 berdasarkan teorema 5.4, A, = µt µs dengan {A} = t s dan sudut dari s 1 dann t ada da adala lah h ½1 dan A,2 = µm µt dengan {A} = m t dan sudut dari t ke m adal adalah ah ½2. Jelas sudut dari s ke m adalah ½(1 + 2).
Karena, A,2 A,1 = (µm µt)(µt µs) = µm (µt µt) µs = µm µs = µm µs = A½(1 + 2) = A, , = ½(1 + 2)
eorema 5.11 T eorema
Bila diberikan 1, 2 dan sehingga A,2 A,1 = A, maka terdapat hubungan berikut ini: 0Ü< | 1 + 2|< 180Ü maka = 1 + 2 1. Jika 0Ü< 2. Jika | 1 + 2| = 180Ü maka A, suatu setengah putaran 3. Jika 1 + 2 > 180Ü maka = 1 + 2 - 360Ü 4. Jika 1 + 2 < -180Ü maka = 1 + 2 + 360Ü 5. Jika 1 + 2 = 0Ü maka A, suatu identitas
Teorema 5.12 Himpunan yang terdiri dari semua rotasi dengan pusat yang sama membentuk sistem matematika grup terhadap operasi komposisi µoµ. Bukti: Himpunan semua transformasi T membentuk grup terhadap operasi komposisi transformasi. Karena setiap rotasi merupakan transformasi, apabila R himpunan semua rotasi-rotasi dengan pusat yang sama, maka RT.
Berdasarkan teorema 5.10, kita mengetahui bahwa operasi komposisi ´oµ tertutup pada R, dan berdasarkan teorema 5.9 apabila A, R mengakibatkan (A,)-1 R, berdasarkan teorema teor ema pada pada struktu strukturr Aljabar tent tentang ang subgrub, maka (R, o) merupakan m erupakan subgrup dari grup Transformasi (T, o). Jadi (R,o) adalah grup.
Komposisi Pusat Berlainan Teorema 5.12 Komposisi Komposisi dua rotasi rotasi dengan dengan pusat pada pada titik berbeda berbeda adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi. Bukti
Ambil dua rotasi sembarang A1 dan B2 , A B. Tarik garis s = AB. Ambil Ambil garis garis l, s,t sehing sehingga ga s t = {A}, l s = {B} dan sudut sud ut dari dari t ke s ada adalah lah ½1 dan sud sudut ut dari dari s ke l adala adalah h ½2. Maka A1 = µt µs dan B2 = µl µt. (µl µs) (µs µt) Karena A2 A1 = µl (µs µs) µt = µl µt = µl µt =
l
½1
½2 B
A
s
½ C
t
Komposisi Rotasi dengan Translasi
eorema 5.14. T eorema
Komposisi sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah sebuah rotasi yang sudut rotasinya sama dengan sudut rotasi yang diketahui.
Bukti Ambil sebarang rotasi A, dan translasi BC. Komposisi kedua isometri ini adalah: a) A BC dan b)
BC A
a)
A
BC
Misalkan 2AD = BC, garis t melalui D tegak lurus BC dan garis s melalui A sejajar t maka BC = µs µt. Misalkan garis r
melaui A sehingga sudut s ke t adalah ½ maka A = µr Akibatnya didapat: A BC = (µr µs)(µs µt) = µr (µs µs) µt = µr µt = µr µt
µs.
Dimana 1 = dan {E} = r
t.
t
E ½1
s ½
D
A
B
C r
b) BC A
Misalkan 2AF = BC, garis v melalui F tegak lurus BC dan s melalui A sejajar v, maka BC = µv µs. Misalkan
garis u melalui A sehingga sudut dari u ke s adalah ½ maka A = µs µu. Akibatnya didapat: BC A = (µv µs)(µs µu) = µv (µs µs) µu = µv µu = µv µu = H2
Dimana {H} = v
u dan 2 = . v u
H
s ½2 ½
A
F
B
C
T eorema eorema 5.15.
Himpunan semua translasi dan rotasi membentuk sistem matematika grup terhadap operasi komposisi µoµ. Bukti: Apabila dibuat Tabel Cayley, didapat: o
AB
E1
CD
GH
J1
F2 F2
K2 K2
MN L3
Akibatnya, himpunan semua translasi dan rotasi tertutup
terhadap operasi komposisi µoµ. Ambil AB suatu translasi, maka -1AB = BA suatu translasi, begitu pula apabila A suatu rotasi, maka -1A = A- suatu rotasi lagi. Sehingga setiap unsur dari himpunan translasi dan rotasi balikannya (inversnya) juga unsur dari himpunan translasi dan rotasi. Berdasarkan teori subgrup, dengan kedua alasan diatas dapat disimpulkan bahwa himpunan semua translasi dan rotasi membentuk sistem metematika subgrup dari grup transformasi. Jadi himpunan semua translasi dan rotasi membentuk grup terhadap operasi komposisi ´oµ.
Any question???
Alhamdulillah . . .
Wassalamualaikum Wassalamuala ikum Wr.Wb.
