Universidad Simón Bolívar Preparaduría de Matemáticas III (MA1116) Preparador: Ricardo Fernández T. (
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LA GEOMETRÍA DE LOS DETERMINANTES 1. Introducción: La función determinante. Expansión de Laplace. La función determinante es una función cuerpo un único número en .
que asocia a cada matriz cuadrada sobre un
Por ejemplo, si todos los elementos de la matriz son reales entonces el determinante será un número real, pero si la matriz tiene al menos un elemento complejo entonces el determinante puede no ser real, pero seguramente será complejo (ya que los reales son un subconjunto de los complejos). La fórmula de la expansión de Laplace para determinantes permite definir un determinante de cualquier orden con solo una definición recursiva: Se define el Menor ij-ésimo de la matriz
(
) como el determinante de la
submatriz de orden obtenida eliminando la fila y la columna de la matriz original. El determinante de la matriz será igual a | | . El Cofactor ij-ésimo (
) será simplemente el menor ij-ésimo con un signo que ( ) alternará según la fila y la columna del elemento, es decir: La fórmula de Laplace es: (
)
∑(
)
∑(
)
La primera expresión corresponde al desarrollo por la fila -ésima y la segunda corresponde al desarrollo por la columna -ésima. Una propiedad algebraica que surge al escribir la fórmula de Laplace es que el determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original. Se demuestra fácilmente considerando la inversión de subíndices: [ ] Quiero probar que ∑(
)
(
) ( )
[
] (
), así que escribo ∑(
)
(
): ∑(
)
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En la expresión anterior se utilizó la igualdad de los subíndices establecida al trasponer la matriz. Nótese que desarrollar el determinante de por la fila i-ésima es equivalente a desarrollar el determinante de por la columna j-ésima. Pero la columna j-ésima de es la fila -ésima de Como ambos desarrollos son equivalentes por la definición de ( ) la fórmula de Laplace, entonces ( ).
( )
Propiedad 1:
2. El determinante de orden
(
)
.
Siguiendo al pié de la letra la fórmula de Laplace, tal como una receta de cocina, obtengo el siguiente plato: ( ∑(
)
((
)
)) ∑(
|
|
)
∑(
)
∑(
)
Así, de todas las formas posibles (en este caso 4), obtuve que el determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es igual a la resta de los productos de las diagonales.
3. La geometría del determinante de orden
.
Si considero dos vectores, digamos ( ) y ( ) en el plano , y me pregunto por el “área” que ocupa el paralelogramo que hay entre ellos, pues entonces la respuesta será: |
|
el determinante de la matriz que toma a
y
como sus vectores fila.
Esta es una respuesta muy intrigante. Un determinante puede ser negativo, pero un área no. La respuesta a la pregunta sobre la respuesta anterior (suena enredado esto) es que el determinante de orden da el valor del área con signo (u orientada) entre dos vectores en el plano. Al igual que la integral da el área bajo la curva, el determinante da el área entre dos vectores, y la misma consideración sobre el signo de la integral definida es válida aquí para el determinante “definido” (¿?). Demostremos pues que esto es así. De la fórmula anterior se tiene que |
|
|
|
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En primer lugar voy a considerar el área que ocupan los vectores y , es decir, el área que hay en el paralelogramo (que en realidad es un cuadrado) formado por los vectores de la base canónica de . Pero ya lo dije, es un cuadrado, y cada uno de ellos tiene módulo 1, así que el área será 1, y esto es obvio viendo la matriz identidad de orden 2: |
|
|
|
Ahora, me pregunto ¿Qué pasará si reemplazo a uno de ellos por la suma de ambos? Veámoslo geométricamente: (1,0)
El área de un cuadrado cuyos lados miden 1 es 1.
(1,1)
Si cambio uno de los lados por el vector suma, me queda lo siguiente: |
|
|
|
Y el “área” sigue valiendo 1 porque sólo “deformé” el cuadrado. (0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
(2,1)
B
A
(0,0)
(0,1)
(0,2)
Triángulo “A” que tiene por lados los vectores (
El dibujito sugiere que el paralelogramo efectivamente sigue teniendo área igual a 1. Si no me cree, se lo probaré analíticamente: el área del paralelogramo es el doble que la de cualquiera de los dos triángulos marcados. Así que debo probarle que ambos triángulos tienen igual área. )y(
)
Bueno, el área del triángulo “A” es igual a la base por la altura entre dos, pero la base es 1 y la altura es 1, luego el área es igual a ⁄ . ¿No le convence? Bueno, otra forma de probarlo es observando que el área del triángulo es igual a la mitad del módulo del producto cruz de los vectores: ‖ ‖‖ ‖
(√ )
(√ ) ¿Satisfecho?
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Triángulo “B” que tiene por lados los vectores (
)y(
)
Sí, no sé cuáles son los vectores, pero tampoco me importa, porque ya debe estar usted convencido que el área de este triángulo también es igual a ⁄ . Y bueno, así que el paralelogramo tiene área 1, y de ahí obtengo una primera propiedad importante y no tan trivial de los determinantes: Propiedad 2: Al sumar una fila (o columna) de una matriz a otra fila (o columna), el valor del determinante no se altera.
Después de sumar se aprende a multiplicar, ¿no es así? Entonces veamos qué sucede cuando multiplico una de las filas del determinante por un número real (por supuesto, distinto de cero). |
|
|
|
Oh sorpresa, así que el área delimitada por un múltiplo escalar de uno de los vectores de la base canónica y el otro vector (de la base canónica) es proporcional al número por el que se multiplicó el vector. Bueno, la prueba geométrica la tiene considerando una cancha de fútbol que tiene longitud L y ancho A, donde ambos son vectores en el plano. Piense por un momento que multiplicar el largo por una constante significa poner juntas k-nchas de fútbol (quise decir, canchas*). De aquí se deriva la segunda propiedad no trivial de los determinantes: Propiedad 3: Al multiplicar una fila (o columna) de una matriz por un escalar distinto de cero, el valor del determinante queda multiplicado por el mismo valor.
Ahora, si multiplica tanto el largo como el ancho por la misma constante entonces obtendrá que el determinante (quise decir, el área de la cancha de fútbol) queda multiplicado (o multiplicada) por esa constante al cuadrado: |
|
|
|
Propiedad 4: Al multiplicar todas las filas (o columnas) de una matriz por un mismo escalar distinto de cero, el valor del determinante queda multiplicado por la potencia n-ésima del escalar, donde n es la dimensión de la matriz. pág. 4
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Si por alguna extraña casualidad alguno de los vectores-fila de la matriz es el vector nulo, entonces el determinante es automáticamente cero, sin importar quienes sean los demás vectores: |
|
|
|
Esto es evidente cuando se considera el desarrollo de Laplace, y también lo es si considera una cancha de fútbol que tiene 0 unidades de largo. Entonces se trata de una línea recta, pero dicha línea tiene área igual a cero. Y esa es la demostración geométrica, sin dibujos. Propiedad 5: Si una de las filas (o columnas) de la matriz es nula, entonces su determinante también es nulo.
Y también pasa que si los dos vectores son colineales entonces el determinante es nulo: |
|
|
|
Imagine una cancha de fútbol (con grama verde) que tenga largo y ancho en una misma línea. Y ahora cito lo que dije antes: “Entonces se trata de una línea recta, pero dicha línea tiene área igual a cero. Y esa es la demostración geométrica, sin dibujos.” Y ya está. Propiedad 6: Si dos filas (o columnas) de la matriz son iguales, o una de ellas es múltiplo escalar de otra, entonces su determinante es nulo.
Y ahora viene una mezcla de todo: si una fila es combinación lineal de otras, entonces el determinante se anula. Esta propiedad es la menos obvia de todas, hasta que se considera una propiedad aún menos obvia: “el determinante del producto es igual al producto de los determinantes” y se recuerda el concepto de Matriz Elemental y su relación con las operaciones elementales de fila y de columna. Así quedan las dos últimas propiedades de los determinantes: Propiedad 7: Si una fila (o columna) de la matriz es combinación lineal de otra(s), entonces el determinante de la matriz es nulo. Propiedad 8:
(
)
( )
( )
Y la propiedad 8 no es fácil de mostrar geométricamente, así que se lo dejo de trabajo de investigación.
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(Le doy una pista: con la propiedad 8 sola se pueden probar todas las demás.) Y ahora que dije que el producto de los determinantes es el determinante del producto, usted observa que es trivial demostrar que si se intercambian dos filas (o columnas), entonces el determinante cambia de signo. Propiedad 9: Si se intercambian dos filas (o columnas) en la matriz, entonces su determinante cambia de signo. Y yo le digo, mire: “No es lo mismo San Antonio-Caracas-La Guaira, que La Guaira -Caracas-San Antonio”. Y esa es la demostración geométrica. Una última propiedad que le dejo de tarea (que sí es más fácil de observar geométricamente, pero más difícil de entender algebraicamente) es la siguiente: Propiedad 10: Si dos matrices difieren únicamente en una fila, entonces el determinante de la matriz que tiene exactamente las mismas filas que ambas excepto aquella que es distinta, que está sustituida por la suma de las filas en las que difiere, es igual a la suma de los determinantes de las matrices que tienen por filas a cada una de las filas sumadas. ¡Parece un trabalenguas!, pero no lo es. Lo ayudo, para matrices
se escribe así: |
|
| |
| |
Ahora bien, nuestro problema inicial era considerar la matriz genérica de orden probar que el determinante de esa matriz es un área.
y
Mire: |
|
|
( ) ( )
( ) | ( )
| |
| |
(
)(
)
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Le probé que el determinante de orden es un área, utilizando las definiciones y propiedades geométricas anteriores. Por ejemplo, el penúltimo paso es equivalente a: | | ( (|
| ( )
[(
) (
) * (
]
) [(
|
|
| ]
)
(
(
)(
)(
)
) (
) )|
|)
|+
Quedando así probado que se trata de un área. Y no se hable más sobre dos dimensiones. Aunque quizás puede hablarse, escribirse, o lo que sea, sobre dos dimensiones.
ad-bc
Piense usted qué significaría (geométrica y algebraicamente) que , y entienda que dos vectores son colineales si el determinante de la matriz que los tiene como vectores fila es nulo. Y ahora sí, es todo.
4. El determinante de orden
. La “Regla de Sarrus”.
Cuando usted dice “Tengo un tanque de 10 ” usted está diciendo que independientemente de la forma de su tanque, contiene la misma cantidad de agua que uno cúbico cuya arista mide 10 metros. Así, el determinante de orden colores, qué se yo…).
es un volumen (de nuevo con signo, orientado, con
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Para calcular un determinante de orden que: |
|
utilice la expansión de Laplace y fíjese
(
)
(
)
Que es lo mismo que obtendría si duplica las primeras dos columnas y efectúa el producto de las diagonales, teniendo en cuenta que las que van hacia arriba a la derecha tienen signo negativo y las que van hacia arriba a la izquierda tienen signo positivo. Gráficamente:
Las diagonales punteadas se restan y las continuas se suman. A “eso” se le llama Regla de Sarrus, y es COMPLETAMENTE INÚTIL si usted conoce las propiedades de los determinantes.
5. La geometría del determinante de orden producto escalar.
. El triple
Por cultura general se sabe que el triple producto escalar entre tres vectores (un triple producto necesita tres factores) está definido así: (
)
| |
|
|
Y tiene ciertas propiedades, y esas propiedades son aquellas que tiene el determinante, y son aquellas que tiene el producto vectorial. Sólo le diré una cosa: ¿Por qué es un determinante? Mire: (
)
(
̂
̂
̂ ) (|
̂
̂
̂ |)
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(
̂
̂) (| ̂
| ̂
|(
|
̂)
| ̂)
|
Pero fíjese bien, escriba el producto escalar: |
|
(
)|
|
|
|
¿No es eso el desarrollo de Laplace de un determinante? ¿No corresponde acaso al desarrollo del determinante |
|?
Ah, entonces el triple producto es el volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores. Pero claro, usted tiene que el producto vectorial da el área de la base, y el producto escalar la altura, entonces queda y eso es volumen. Piense ahora que tres vectores en el espacio son coplanares sí y sólo sí el determinante de la matriz que los tiene como vectores fila es igual a cero.
6. La geometría del determinante de orden
.
No se preocupe, no queda mucho que decir:
Un determinante de orden es el hipervolumen n-dimensional del conjunto de n-vectores en un espacio vectorial .
El determinante de la matriz que forma la base canónica para cualquier espacio vectorial es siempre igual a 1, es decir, el determinante de la matriz identidad es siempre igual a 1.
Se dice que un conjunto de n vectores en un espacio vectorial euclídeo de dimensión n es linealmente dependiente sí y sólo sí el determinante de la matriz que los tiene por vectores fila (o columna) es nulo.
Y eso es todo. Queda como ejercicio que demuestre las dos últimas afirmaciones.
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