Geometria Diferencial de Curvas y Superficies - Manfredo P. Do Carmo

________________________________________

>

^

Suptrttehs MguImres aQ

Es claro que las funciones sean O eos , eos 0 admiten derivadas parciales continuas de todos los órdenes; de donde, x es diferenciable. A dem ás, para que los determinantes jacobianos

^ > _

sen»« eos y ,

||^ > = s e n - 9 s e n ,

se anulen sim ultáneam ente, es necesario que cos^ 6 sen^ 6 + sen“* 6 cos^ (p + sen"* 6 sen^ q> = sen^ 0 = 0 . Esto no tiene lugar en V, por tanto se satisfacen las condiciones 1 y 3 de la def. 1. A continuación, observam os que dado un (x, y , z) e - C, donde C es el semicírculo

C = { (x ,y ,z ) e 5 ^ ; j = 0 , x > 0 } , 6 está unívocam ente determ inado por 6 = cos~^ z, pues O < 0 < a:. C onociendo 6, hallamos sean y eos a partir d e x = sen 6 eos (p,y = sen 6 sen con unicidad (0 <
70

Geometria diferencial de curvas y superficies

Demostración. Basta con demostrar que la aplicación x: U x

(m , v)

dada por

= (u, V, f ( u , v))

es una parametrización de la gráfica cuyo entorno coordenado recubre cada punto de dicha gráfica. La condición 1 se satisface claramente y la condición 3 tam poco ofrece dificultad alguna pues 3(jc, y)/d(u, v) = 1. Finalm ente, cada punto (j:, _y, z ) de la gráfica está en la imagen mediante x del punto único (u, v) = (x, y) e U. Por esta razón x es inyectiva y, ya que x~* es la restricción a la gráfica d e / d e la proyección (continua) de R^ sobre el plano xy, x * es continua. Q .E .D . A ntes de empezar con la prop. 2, necesitam os una definición.

Figura 2-6

DEFINICION 2. Dada una aplicación diferenciable F: U c R" ^ R·" definida sobre un conjunto abierto U de R ” decimos que p e U es un punto crítico de F si la diferencial dFp: R" ^ R™ no es una aplicación sobreyectiva (o sobre). La imagen F(p) 6 R*” de un punto crítico se denomina un valor crítico de F. Un punto de R™ que no es un valor crítico de F se llama valor regular de F. La terminología está motivada evidentem ente por el caso particular en el que /: U c R - ^ R es una función real de una variable real. U n punto Xq e U es crítico si f'(xo) = O, es decir, si la diferencial df^^ aplica todos los vectores de R en el vector cero (fig. 2-6). N ótese que cualquier a $ f(U ) es trivialmente un valor regular de / . Si /: U cz R^ ^ R es una función diferenciable, entonces dfp aplicada sobre el vector (1, O, 0) se obtiene calculando el vector tangente e n f(p ) a la curva

■f(x,yo
d M l,0 ,0 )= ^ (x „ ,y o ,Z o ) = f.

Supenae» mgulams 71

y análogam ente que # , ( 0, l , 0) = / „

# , ( 0 , 0, 1) = / , .

Concluimos entonces que la matriz de dfp en la base (1, O, 0 ), (O, 1 ,0 ) , (O, O, 1) viene dada por

d f, = ( / „ / . . / . ) · N ótese que en este caso decir que dfp no es sobreyectiva es equivalente a que f ^ = f y = f z = O en p . D e aquí, a e / ( t / ) es un valor regular de /: í / c= —» /? si y solam ente si / ( , fy y /^ no se anulan simultáneam ente en cualquier punto de la imagen inversa de a f - \ a ) = { ( x , y , z ) e U: f ( x , y , z) = a}. PROPOSICION 2. Si f: U c R^ R es una función diferenciable y a € f(U ) es un valor regular de f, entonces f“ ^(a) es una superficie regular de R^.

Demostración. S e a p = (xq, yo, Zo) un punto d e / ^ ‘(a). Com o a es un valor regular d e / , se puede admitir, cambiando si fuese preciso el nombre del eje, que/^ ^ O e n p . D efinim os la aplicación F: U c mediante F{x, y, z) = (x, y, f { x , y, z)), y denotam os por {u, v, t) a las coordenadas de un punto de R^ en donde F to m a sus valores. La diferencial de F en p viene dada por

d F ,= ^

de donde

átiidF,) = / ,

0.

Por esta razón podem os aplicar el teorem a de la función inversa (cf. el apéndice al cap. 2), que garantiza la existencia de entornos V áe p y W áe F(p) tales que F: V W es invertible y la inversa F^^: W V" es diferenciable (fig. 2-7). Se deduce entonces que las funciones com ponentes de es decir, las funciones

x = u,

y = v,

z = g{u, V, t),

(u, V, t) e W,

son diferenciables. En particular, z = g(u, v, a) = h(x, y) es una función diferenciable definida en la proyección de V sobre el plano xy. C om o F { f - \ a ) n V) = IV n {(M, V , t ) ; t = a}.

7g Qaametrta dUía noU de curvaa y »^)0 rtìcies

r '(a )n y

^ X

T 1

y

ir

i

n p )

1 1 1 1 1 1 1

/

/

Figura 2-7

concluimos que la gráfica de h e s/^ * (a ) P i V. Por la prop. l,/^ * (a ) P | K es un entorno coordenado de p . Por tanto, cada e /^ '(a ) se puede recubrir con un entorno coordenado, y de ahí, f ^ ( a ) es una superficie regular. Q .E.D .

Observación 2. La demostración consiste esencialm ente en aplicar el teorem a de la función inversa «para despejar z» en la ecu ación /(jc, y, z) = a, operación que puede hacerse en un entorno de p si f^ip) 0. Este hecho es un caso especial del resultado más general conocido com o el teorem a de las funciones implícitas, el cual se deduce del teorem a de la función inversa y, de hecho, es equivalente a éste. Ejemplo 2. El elipsoide

es una superficie regular. D e hecho, es el con ju n to/^ *(0) donde

es una función diferenciable y O es un valor regular de / . E sto se sigue de que las derivadas p a r c i a l e s = lxla^, fy = 2 y /b ^ ,f = 2z/c^ sólo se anulan sim ultáneamente en el punto (O, O, 0), que no pertenece a /^^(O ). Este ejem plo incluye, com o caso particular, a la esfera (a = b = c = 1). Los ejem plos de superficies regulares presentados hasta ahora han sido subconjun­ tos conexos de R^. U na superficie S c se dice conexa si dos puntos cualesquiera de la misma se pueden unir mediante una curva continua en S. En la definición de superficie regular no impusimos restricciones sobre la conexidad de las superficies, y el siguiente ejem plo demuestra que las superficies regulares obtenidas a partir de la prop. 2 podrían no ser conexas.

WWPHI

Ejemplo 3. E l hiperboloide de dos hojas —x^ — 3;^ + = 1 es una superficie regular ya que viene dada p o r d o n d e Oes un valor regular d e f(x , y, z) = -x ^ — ^ + z^ - \ (fig. 2-8). N ótese que la superficie 5 no es conexa; es decir, tom ando dos puntos en hojas distintas (z > O y z < 0) no es posible unirlos mediante una curva continua a(t) = (x(t), y(t), z(t)) contenida en la superficie; pues de otra forma, z cambia de signo y, para algún íq, tendríamos z ( íq) = O, lo que significaría que a(ío) í 5.

Figura 2-8. Una superficie no conexa:

—y y

+ 2 ^ = 1.

A propósito de lo hecho, el argumento del ejem plo 3 puede usarse para probar una propiedad de las superficies conexas que utilizaremos repetidas veces. Si f; S c ^ R es una función continua que no se anula sobre una superficie conexa S, entonces í no cambia de signo en S. Para probar esto, usamos el teorem a del valor intermedio (apéndice al cap. 2, prop. 4). Adm itam os, por contradicción, que f{p) > Qy f{q) < O en puntos p , q e S. Como S es conexa, existe una curva continua a: [a, b ] —> S con a(a) = p , a (b) = q. Aplicando el teorem a del valor intermedio a la función continua f o a: [a, b] R, encontramos que existe c e (a, b) con / o a(c) = 0 ; o sea, / es cero en o(c); una contradicción. Ejemplo 4. El toro T es una «superficie» generada al rotar un círcuilo 5* de radio r alrededor de una recta contenida en el plano del círculo y alejada una distancia a > r del centro de dicho círculo (fíg. 2-9).

yy Ornsiim ía m Bfm itíí de curva» y superficies

Figura 2-9

Sea 5 ' el círculo en el piano y z con centro en el punto (O, a, 0). Entonces, 5^ viene dado por (y - a)^ + = r^, y los puntos sobre la figura T que se obtiene al rotar el círculo alrededor del eje z satisfacen la ecuación + 3,2 - a y .

z2 = Por tanto, T es la imagen inversa de

f ( x , y, z) =

m ediante Î3 función + y^ - -a)\

Esta función es diferenciable cuando (x, y) ^ (0„ 0) y com o ó !/·-? . dz ’ df dx

i v U y ^ dy

~ a) .

+ y^

2 x (y G ^ ^ ^ ^ -a ) J x ^ 4- y^

f -e s un valor regular d e / , Se deduce entonces que el toro T es una superficie regular. La proposición 1 dice que la gráfica de una función diferenciable es una superficie regular. La siguiente proposición proporciona un recíproco local de este hecho, es decir, cualquier superficie regular es localm ente la gráfica de una función diferenciable.

PROPOSICION 3. Sea S c R^ una superfìcie regular y p e S. Entonces existe un entorno y de p en S tal que V es la gráfica de una función diferenciable que tiene una de las tres formas siguientes: z = f(x, y), y = g(x, z), x = h(y, z).

-rnrnimitmfmméB n Demostración. Sea x: U a S una parametrización de S en p , y escribamos = (x(u, v ), y (u , v), z(u, v)), (u, v) e U. Por la coridición 3 de la def. 1, alguno

x (m , v )

de los determ inantes jacobianos

djx, y) diuyv)’

d(y, z) d iu ,v )’

d{z, x) d(u ,v)

no es cero en x “ ‘(p) = q. A dm itam os primero que (3(jc, y)!d{u, v))(q) ¥= O, y considerem os la aplicación Ä o x: U -^ R^, donde Jt es la proyección 7t(x, y, z) = (a:, y ). Entonces J t » x (m , v) = = (x(u, v), y(u, v)), y, com o (3(j:, y)/d(u, v)(q) # o, podem os aplicar el teorem a de la función inversa para garantizar la existencia de entornos Vi de V2 de Jiox(q) tal que ;r o X aplica Vi difeom órficam ente sobre V2 (fíg- 2-10). Se sigue que Jt restringida a x(V'j) = V e s inyectiva y que hay una inversa diferenciable (;r° V2 ^ V i . Obsérvese que, com o x es un hom eom orfism o, V es un entorno de p en S. Si com ponem os ahora la aplicación { n « x )“ ^: (jc, y) ( m(x , y ), v(x, y)) con la función (u, v) z(u, v), encontram os que V es la gráfica de la función diferenciable z = z(u(x, y ), v(x, y )) = f(x, y ), y esto establece el primer caso. Los casos restantes se pueden tratar de la misma manera, dando lugar a x = h{y, z) e y = g(x, z). Q .E .D . La siguiente proposición dice que si ya sabem os que S es una superficie regular y tenem os una cantidato x com o parametrización, no tenem os que comprobar que x “ * es continua, en el supuesto de que las otras condiciones se satisfagan. Se usó esta observación en el ejem plo 1.

p

PROPOSICION 4. Sea e S u n punto de urm superficie regular S y sea x: U c: ^ R^ una aplicación con p e x (U ) <= S que cumple las condiciones 1 y 3 de la def. 1. Admítase que x es inyectiva. Entonces es continua.

Demostración. Sea q e x (í/). A causa de la regularidad de S, existe un entorne W c 5 de ^ tal que W es la gráfica de una función diferenciable definida, pongam os poi caso, sobre un abierto V del p la n o Ary. S e a N = x “ *(WO cz U y definamos h = n o \ : N —> V donde n{x, y, z) = ( jc, y ). Entonces dh = a o d x e s n o singular \~^(q) = r. Por teorem a de la función inversa, existe un entorno Q c N t a l que h: Q - * h(Q) es ur difeom orfism o. N ó tese que x(Q ) es un abierto de 5 y que, restringida a x ( f i) , x~* = h~^ o ;res una com posición de aplicaciones continuas. A sí, x~* es continua en q. Comí q es arbitrario, x “ ' es continua en x(Q ). Q .E.D. Ejemplo 5. El cono de una hoja C, dado por

W

iii

fdm curvas y aup^rñe^

no es una superficie regular. Obsérvese que no podem os concluir esto del solo hecho de que la parametrización «natural» (jc, ,v) — > (x, y, + V x^ + y^) no es diferenciable; podría haber otras parametrizaciones satisfaciendo la def. 1. Para demostrar que no es éste el caso, usamos la prop. 3. Si C fuese una superficie regular, debería ser, en un entorno de (O, O, 0) e C, la gráfica de una función diferenciable con una de las tres formas siguientes: y = h(x, z ) , x = g(y, z ), z = f(x, _y). Las dos primeras formas pueden descartarse por el simple hecho de que las proyecciones de C sobre los planos xz e y z no son inyectivas. La última forma debería coincidir, en un entorno de (O, O, 0), con z = +Vjr^ + es diferenciable en (O, 0), esto es imposible.

. Ya que z = + V x

no

Ejemplo 6 . Una parametrización para el toro T del ejem plo 4 puede darse por (fig. 2-9) z(m, v) = {{r eos u + a) eos v, (r eos u + donde O < u < 2ji, O <

v

a) sen v, r sen u),

< 2n.

La condición 1 de la def. 1 se comprueba fácilmente y la condición 3 se reduce a un cálculo directo, que se deja com o ejercicio. Com o sabem os que T es una superficie regular, la condición 2 es equivalente, por la prop. 4, al hecho de que x sea inyectiva. Para probar que x es inyectiva, primero observamos que sen u = z/r; tam bién, si

V x^ + a, entonces jt/2 < m < 3ji/2, y si > a, entonces o bien O < u < n il, o bien 3nl2 < m < 2n. A sí, dado (x, y, z), éste determina u ,0 < u < 2ji, con unicidad. C onociendo u, x e y encontram os eos v y sen v. Esto determina a v con unicidad, O < V < 2ji. A sí, X es inyectiva. Es fácil ver que el toro puede recubrirse por tres de tales entornos coordenados.

..■I··· -III···..... ......... ..........

I;'

.......

« 'I

' .....

e je r c ic io s ^

1. Demuéstrese que el cilindro {(jr, y, z) e R^; + y'^ = 1} es una superficie regular, hallando parametrizaciones cuyos entornos coordenados lo recubran. 2. ¿Es el conjunto {(a:, y, z) e R^; z = O y ^ 1} una superficie regular? ¿Es el conjunto { ( jc , y , z ) e R ^ ; z = O y x ^ + y ^ < 1} una superficie regular? 3. Demostrar que el cono de dos hojas, con vértice en el origen, es decir, el conjunto {{x, y, z) e R^; x^ + y^ = 0}, no es una superficie regular. 4. Sea f(x, y, z) = z^. Demostrar que O no es un valor regular de / aunque /^'(O ) sea una superficie regular. *5. Sea F = {(x, y , z) e R^; x = y }, un plano, y sea x: U a R^ -* R^ definida por x ( « , v ) ~ (u + V, U + V, uv) ,

donde t/ = {(«, v) g R^·, u > v). Claramente, x{U) cz P. ¿Es x una parametrización de P? 6. D ar otra demostración de la prop. 1 aplicando la prop. 2 a h(x, y, z) = f(x, y) - r. 7. Sea f(x, y, z) = (x + y + z - i f . a. Localizar los puntos y valores críticos de /. b. ¿Para qué valores de c es una superficie regular el conjunto/(x, y, 2 ) = c? c. Respóndase a las cuestiones de las partes a y b tomando la función j{x, y, z) = xyz^. 8. Sea

x(m, v)

como en la def. 1. Verificar que d\^: R^

R^ es inyectiva si y solamente si

dx , áx T u^T v^^· 9. Sea V un conjunto abierto del plano xy. Demuéstrese que el conjunto {(jc, y ,z ) e R ^ , z = (i and {x, y) e V] es una superficie regular. 10. Sea C una figura como el «8» en el plano xy y sea 5 I j superficie cilindrica que se proyecta sobre C (fíg. 2-11); es decir, S = {{x, y, z) e R ^ ;( x ,y ) g C]. ¿Es el conjunto 5 una superficie regular?

Figura 2-11 hayan omitido las demostragiones de esta sección, deberían hacer lo propio con lo* ejercicio

78

Geométrfa dffergtfclat de curvas y stperfkHes

11. Demuéstrese que el conjunto 5 = {(ac, y, z) € /?^ 2 = - y^} es una superficie regular, comprobando que las partes a y b son parametrizaciones para S: a.

x ( m,

*b. x(m,

v) = (u + V, u - V, 4uv), (u, v) e R^. v ) = (m cosh V , u senh v, u^), (m, v ) e R^, u ¥= 0.

¿Qué partes de S recubren estas parametrizaciones? 12. Demostrar que x: U cz R^

R^ dada por

x(u, u) = {a sen m eos u, b sen u sen u, c eos u), a, b, c, + O, donde 0 < u < .7 r , 0 < u < In , es una parametrización para el elipsoide V-2

i;2

— -l· ^

^

72

-4- — — 1

^

^

·

Descríbanse geométricamente las curvas u - constante sobre el elipsoide. *13. Hallar una parametrización para el hiperboloide de dos hojas {(x, y, z) 6 R^; = 1}. 14. Una semirrecta [O, +«>) es perpendicular a una recta E y rota alrededor de E desde una posición inicial dada, en tanto que su origen se mueve a lo largo de E. El movimiento es tal que cuando [O, + “ ) ha girado hasta un ángulo 6, el origen se halla a una distancia d = sen^ (0^2) de su posición inicial sobre E. Verifiqúese que al suprimir la recta E de la imagen de la línea en rotación obtenemos una superficie regular. Sielmovimiento fuese tal que d = seb ((0/2), ¿qué más se necesitaría excluir para tener una superficie regular? *15. Sean dos puntosp{t) y q(t) que se mueven con la misma velocidad, p empezando en (0 ,0 ,0) y desplazándose a lo largo del eje 2 y ^ empezando en (a, O, 0), a ¥= O, y desplazándose paralelamente al eje y. Demuéstrese que la recta que pasa por p(t) y q(t) describe un conjunto en R^ dado por y{x - a) + zx = 0. ¿Es este conjunto una superficie regular? 16. Una manera de obtener un sistema de coordenadas para la esfera 5^, dada por x^ + y^ + + (2 — 1)^ = 1, es considerar la denominada proyección estereográfica n: ~ {N} —» R^ que lleva un puntop = {x, y, z) de la esfera exceptuando el polo norte N = (0 ,0 ,2), sobre la intersección del plano xy con la recta que conecta a N con p (fig. 2-12). Sea (m, v ) = n{x, y, 2 ), donde (x, y, z) e ~ { N } y (m, v ) e al plano xy.

SupmriSçté»mgfj/mm t · a. Demostrar que jt

/ï^ —»

viene dada por ________4u ^ ~ +v^ + 4’

4v 7t~

+v^ + 4 ’

2(u^ + t>") Z - „2 4. ^2 + 4 · b. Demostrar que es posible, usando la proyección estereográfica, recubrir la esfera con dos entornos coordenados. 17. Definir una curva regular de manera análoga a una superficie regular. Pruébese que a. La imagen inversa de un valor regular para una función diferenciable f : U cz

R

es una curva regular plana. D ar un ejemplo de ese tipo de curva que no sea conexa. b. La imagen inversa de un valor regular para una aplicación diferenciable. F: Ucz es una curva regular en R^. Demuéstrese la relación entre esta proposición y la manera clásica de introducir una curva en R^ como la intersección de dos superficies. *c. El conjunto {(x, y) e R^; = y^} no es una curva regular. *18. Supóngase que /(x , y, z) = u = constante, g(x, y, z) = v = constante, h(x, y, z) = w = = constante, describen tres familias de superficies regulares y admítase que en ( xq, yo, Zo) el jacobiano d ( f,g , h) d(x, y , z ) ' Probar que en un entorno de (xq, yo, Zq) las tres familias estarán descritas por una aplicación F(u, v, tv) = (x, y, z) de un conjunto abierto en R^ con valores en R^, donde una parametrización local de la superficie de la familia /(x , y, z) = u, por ejemplo, se obtiene al fijar u = constante en esta aplicación. D eterminar F p a ra el caso en el que las tres familias de superficies son /(.V, y, z) =

+ z^ = u = const.;

g(x, y, z) = ^

= V

= const.,

JC^ “1“ V^

h{x, y, z) = ----- = w = const., *19. Sea a: ( - 3 , 0)

(esferas con centro (O, O, 0)) (planos que contienen al eje z) (conos con vértice en (O, O, 0)).

definida por (fig. 2-13)

= ( 0 , - ( / + 2)),

s i / 6 ( - 3 ,- 1 ) ,

= a una curva parametrizada regular que una p = (O, —l)c o n 9 «(O = ( - /,- s e n l) ,

s i , e ( - 1 ,0 ) .

Es posible definir la curva que une a p con q de forma que las derivadas de a sean continuas en los puntos correspondientes y tal que a carezca de autointersecciones. Sea C la traza de a.

elB evnm» y superficies

/) = (0,-l) Figura 2-13. La escala horizontal es distinta de la escala vertical. a. ¿Es C una curva regular? b. Consideremos una recta normal al plano ¿Es S una superficie regular?

2.3.

que al recorrer C describa un «cilindro» S.

Cambio de parámetros; funciones diferenciables sobre superficies"^

La geom etría diferencial se interesa por aquellas propiedades de las superficies que dependen de su comportam iento en el entorno de un punto. La definición de superficie regular dada en la sec. 2.2 se adecúa a este propósito. D e acuerdo con esta definición, cada punto p de una superficie regular pertenece a un entorno coordena­ do. Los puntos de tal entorno se caracterizan por sus coordenadas, por esta razón, deberíamos ser capaces de definir las propiedades locales que nos interesan en términos de estas coordenadas. Por ejem plo, es importante que podam os definir qué se entiende por diferenciabi­ lidad en un p u n to p de una superficie regular 5 para una función /: S -^ R. U na forma natural de proceder consiste en elegir un entorno coordenado de p , de coordenadas u, V, y decir que / es diferenciable en p.si su expresión en las coordenadas u y v admite derivadas parciales continuas de todos los órdenes. Sin em bargo, el mismo punto de S pertenece a varios entornos coordenados (en la esfera del ejem plo 1 de la sec. 2 .2 , cualquier punto en el interior del primer octante pertenece a tres de los entornos coordenados dados). A dem ás, podría elegirse otro sistema de coordenadas en un entorno de p (los puntos m encionados de la esfera también pueden parametrizarse m ediante coordenadas geográficas o por la proyec­ ción estereográfica; cf. el ejercicio 16, sec. 2.2). Para que la definición dada tenga sentido, es necesario que no dependa del sistem a de coordenadas elegido. En otras palabras, debe demostrarse que cuando p pertenezca a dos entornos coordenados, con parámetros { u ,v ) y ( | , rf), es posible pasar de uno de estos pares de coordenadas al otro por m edio de una transformación diferenciable. La siguiente proposición demuestra que esto es cierto. PROPOSICION 1 (Cambio de parámetros). Sea p un punto de una superficie S, y: V c R^ ^ S dos parametrizaciones de S tal que

regular S, y sean x: U c

Las demostraciones en esta sección pueden omitirse en una primera lectura.

·■·' / '- » i? ■ ■ ·

■

t iiì’f f 'M li^ à g M ìilììl " al1*FWCT*fiyU*1fl

p e x (U )riy (V ) = W.

Entonces el «cambio de coordenadas» h = x ^ ° y: y ^(W) —> x '(W ) (v la fig. 2.14) es un difeomorfismo; es decir, h es diferenciable y tiene una inversa

En otras palabras, si x e y vienen dadas por ^

x(u, v) = (x(u, v), y{u, v), z(u, v)),

(u, v) e U,

y ( í , n) = {^(Í>

(
r¡),

n),

r¡)\

n)^v,

entonces el cam bio de coordenadas h, dado por

u

=

u(^, rj),

V=

r¡),

(í, t])

e y ~ W )>

tiene la propiedad de que las funciones u y v admiten derivadas parciales continuas d todos los órdenes, y la aplicación h puede invertirse, dando lugar a í = í(u , v),

r¡ = tiiu, V),

(m, «) £ x ' ‘(W^)>

donde las funciones | y rj también adm iten derivadas parciales de todos los órdenes Como

d{u, y ) , ti) ^ , d{í,t¡) d(u,v)

<"»m>eiÈtd»omvàt9mmm1lcìea esto implica que los determ inantes jacobianos d e ft y ft * son n o nulos en todos los puntos.

Demostración de la prop. 7. ft = o y es un hom eom orfism o, ya que es la com posición de hom eom orfism os (cf. el apéndice al cap. 2, prop. 3). N o es posible concluir, por un argumento análogo, que h es diferenciable, ya que está definida en un conjunto abierto de 5 y todavía no sabem os lo que significa la diferenciabilidad de una función sobre S. Procedem os de la siguiente manera. Sea r e y “ ^W ) y pongam os q = h(r). Com o x ( u , u ) = ( x ( m , u ) , y{u , V-, z ( m , v )) es una parametrización, podem os suponer, cambiando los nombres de los ejes si fuese necesario, que

d(u,

^

Extendem os x a una aplicación F: U x R ^

definida por

F(u, V, t) = ix(u, v), y(u, v), z(u, v) + /).

i.u,v) & U ,t e R.

G eom étricam ente, F aplica un cilindro vertical C, sobre U, en un «cilindro vertical» sobre \ { U ) , aplicando cada sección de C con altura t en la superficie x ( m , u ) + (63 es el vector unitario del eje z (fig. 2-14). Es claro que F es diferenciable y que la restricción f | í / x {0} = x. Calculando el determinante de la diferencial dF^, obtenem os

UX

(7a

du

dv

dy Tu

dv

dz dU

dv

q

á (x ,y) X q )^ 0 . d{u, v)

Por esta razón es posible aplicar el teorem a de la función inversa, que garantiza la existencia de un entorno M de x{q) en R^ tal que F~^ existe y es diferenciable en M. Por la continuidad de y, existe un entorno de r en V tal que y(N) c M (apéndice al cap. 2, prop. 2). N ótese que, restringida a N, h\N = ° y /N e s la com posición de aplicaciones diferenciables. A sí, podem os aplicar la regla de la cadena para aplicacio­ nes (apéndice al cap. 2, prop. 8) y concluir que h es diferenciable en r. C om o r es arbitrario, h es diferenciable en y “ ‘(W). Puede aplicarse exactam ente el mismo argumento para demostrar que la aplica­ ción h es diferenciable, y, por tanto, h es un difeom orfism o. Q .E .D . A hora daremos una definición explícita de lo que se entiende por función diferenciable sobre una superficie regular.

mp

DEFINICION 1. Sea f: V c S —» R una función definida en un subconjunto abierto V de una superficie regular S. Se dice que f es diferenciable e/i p e V si, para alguna parametrización x: U c R^ S con p e x (U ) c V , la composición f o x: U cr R^ R es diferenciable en x “ *(p)· f diferenciable en V si es diferenciable en todos los puntos

deV . Se deduce inm ediatam ente de la última proposición que la definición dada no depende de la elección de la parametrización x. D e hecho, si y: V <= S es otra parametrización con p e y (V ), y si = x “ ^ o y , entonces f ° y = f o x ° h e s diferenciable también, de donde se tiene la mencionada independencia.

Observación 1. Frecuentem ente com eterem os el abuso notacional de indicar a / y / o X con el mismo sím bolo f(u, v), diciendo que f(u, v) es la expresión de / en el sistema de coordenadas x. E sto es equivalente a identificar \{U ) con Í7 y a imaginarse a (m , v ), indiferentem ente, com o punto de t / y com o punto de x(U) con las coordenadas (u, v). D e ahora en adelante, se utilizarán abusos de lenguaje de este tipo sin otros comentarios. Ejemplo 1. Sea S una superficie regular y V c un conjunto abierto tal que S V. Sea f: V t= R^ -* R una función diferenciable. Entonces, la restricción de / a 5 es una función diferenciable sobre S. D e hecho, para cada p e S y cualquier parametriza­ ción x: U cz R^ -* S en p , la función f ° x : U R es diferenciable. En particular, son diferenciables las siguientes funciones: 1. La función altura relativa a un vector unitario v e R^, h: S —* R, dada por h(p) = p · v , p e S, donde el punto denota el producto interior usual de R^. h(p) es la altura d e p e S relativa al plano normal a v que pasa por el origen (fíg. 2-15). 2. E l cuadrado de la distancia hasta un punto fijo po e R^, f(p ) = \p ~ Po?, p ^ S. La necesidad de tomar el cuadrado se debe al hecho de que la distancia \p - po\ no es diferenciable en p = po-

Figura 2-15

Observación 2. La dem ostración de la prop. 1 hace un uso esencial del hecho de que la inversa de una parametrización es continua. En vista de que necesitam os la prop. 1 para ser capaces de defínir la diferenciabilidad de funciones sobre superficies (un concepto vital), no podem os prescindir de esta condición en la definición de superficie regular (cf. la observación 1 de la sec. 2-2).

84

G e^m ^to dm m nau de gjfva» y mjpmlfciea

La definición de diferenciabilidad se puede extender fácilmente al caso de aplica­ ciones entre superficies. U na aplicación continua q>: V^i c Si ^ S2 de un conjunto abierto Vi de una superficie regular 5i en una superficie regular S2 se dice diferenciable en p e V\ si, dadas las parametrizaciones — >Si,

x ,: í/, con p 6 x ,( í / i) y (p(xi(í7i)) <= x z íí/i) , la aplicación X 2 ' o ^ o X j ; t / j ---- -> í / j

es diferenciable en q = \\^ (p ) (fig· 2-16).

X1

0 ' XI

Figura 2-16

En otras palabras, es diferenciable si, cuando se expresa en coordenadas locales com o (p{ui, U2 ) = (9’i(« i, U2 ), «2)), las funciones q>i y : S2 con inversa diferenciable
'v>o'*y,Qg!» Y >riib

Ejemplo 2. Si x: U c S es una parametrización, x"': x ( í/) es diferenciable. D e hecho, para cualquier p e \ { U ) y cualquier parametrización y; V cz S en p , tenem os que x “ ' o y: y “ ‘(W) —» x “ ‘(W ), donde

W = x { U ) r \y { V ), es diferenciable. Esto prueba que U y x (t/) son difeom orfos (es decir, cada superficie regular es difeom orfa, localm ente, a un plano) y justifica la identificación que se hizo en la observación 1. Ejemplo 3. Sean Sj y S2 superficies regulares. Supóngase que 5j c V c R^, donde V es un conjunto abierto de y que ) e S. Entonces la restricción R, g: S S es una aphcación diferenciable. 3. Sea es diferenciable, y la restricción q?\S^ es una aplicación de la esfera 5^ = {(jc,y, z )G R ^ ; x ^ + y ^ + z ^ = 1} en el elipsoide Y>2

( jc ,;^ ,z ) e

+

+

1

(cf. el ejem plo 6 del apéndice al cap. 2).

Observación 3. La proposición 1 implica (cf. el ejem plo 2) que una parametriza­ ción x: U c: R ^ ^ S es un difeom orfism o de U sobre x (t/)· R ealm ente, ahora podem os caracterizar a las superficies regulares com o los subconjuntos S cz R que son difeomorfos localm ente a es decir, para cada punto p e S, existe un entorno V d e p en S, un conjunto abierto Ü c.R ^ y una aplicación \: U V, que es un difeomorfis-

86

mo. Esta bella caracterización podría tomarse com o punto de partida para el tratamiento de las superficies (véase e l ejercicio 13). A estas alturas, podríamos retornar a la teoría de curvas y considerarlas desde el punto de vista de este capítulo, es decir, com o subconjuntos de R^. Solam ente haremos m ención de ciertos puntos fundam entales, dejando los detalles al cuidado del lector. El sím bolo 1 denotará un intervalo abierto de la recta R. Una curva regular en R^ es un subconjunto C c R^ con la siguiente propiedad; para cada punto p e C hay un entorno V de p en R^ y un hom eom orfism o diferenciable a; / c V P | C tal que la diferencial da, es inyectiva para cada t e I (fig. 2-17).

Es posible probar (ejercicio 15) que el cambio de parámetros viene dado (com o en las superficies) por un difeom orfism o. A partir de este resultado fundam ental, es posible decidir cuándo una propiedad dada, obtenida por m edio de una parametriza­ ción, es independiente de esa parametrización. Tal propiedad será entonces una propiedad local del conjunto C. Por ejem plo, se demuestra que la longitud de arco, definida en el cap. 1, es independiente de la parametrización elegida (ejercicio 15) y, en consecuencia, es una propiedad del conjunto C. Y a que siempre es posible parametrizar localm ente una curva regular C por la longitud de arco, las propiedades (curvatura, torsión, etc.) determinadas por m edio de esta parametrización son propiedades locales de C. Esto prueba que la teoría local de curvas desarrollada en el cap. 1 es válida para curvas regulares. Algunas veces una superficie viene definida m ediante el desplazam iento de cierta curva regular de una forma específica. Esto sucede en el siguiente ejem plo.

Ejemplo 4 (Superficies de revolución). Sea S cz R^ e\ conjunto que se obtiene al rotar una curva regular plana C alrededor de un eje en el plano de la curva, no

incidente con ésta. Tom arem os el plano x z com o el plano de la curva y e l e je z com o eje de rotación. Sea

x = fiv ),

z = g (v \

a
/ ( v ) > 0,

una parametrización de C y denotem os por u al ángulo de rotación alrededor del eje

z. O btenem os así una aplicación x(u, v) = (f(v) eos u, f(v ) sen u, g(v)) del conjunto abierto U = {(u, v) e

O < u < 2ji, a < v < b} en S (fíg. 2-18).

Pronto verem os que x satisface las condiciones de parametrización en la definición de superficie regular. C om o S puede recubrirse totalm ente por parametrizaciones similares, se deduce que S es una superficie regular denominada superficie de revolución. La curva C se denom ina curva generatriz de S, y el eje z es el eje de rotación de S. Los círculos que describen los puntos de C se denominan los paralelos de S, y las diversas posiciones de C sobre S se denom inan los meridianos de S. Para demostrar que x es una parametrización de S debem os verificar las condicio­ nes 1, 2 y 3 de la def. 1, sec, 2.2. Las condiciones 1 y 3 son directas, y quedan al cuidado del lector. Para demostrar que x es un hom eom orfism o, primero probamos que X es inyectiva. D e h ech o, ya que g(u )) es una parametrización de C, dados z y = (f(v))^, podem os determinar v con unicidad. Luego x es inyectiva. O bservam os, de nuevo a causa de que (fív). es una parametrización de C, que D es una función continua de z y de ^/x + y \ por tanto una función continua de

y, 2 ).

piui .1 ,J 88 GeorheMa dttiBréna ii de curvas y superficies Para probar que x ‘ es continua, sólo resta demostrar que u es una función continua de {x, y, z). Para verlo, primero observam os que si m =/= jr, obteiiem os, al ser f(v ) ^ 0 ,

2

cos^

2 cos^ ^

y

=

/(« )

y

^

+ f(v ) de aquí,

u = 2 tag” ^ -------- / , ^

X+

, , · + y^

Luego, si M# Jr, Mes una función continua de (x, y , z). D e la misma m anera, si u está en un pequeño intervalo centrado en n, obtenem os

u = 2 cotag - 1

A sí, u es una función continua de concluye la verificación.

( jc,

y, z). E sto demuestra que x ' es continua y

Observación 4. Nuestra definición de superficie de revolución presenta un ligero problema. Si C c es una curva regular cerrada y plana que es simétrica con respecto a un eje r de /?^, entonces., al rotar C alrededor de r, obtenem os una superficie que, según puede demostrarse, es regular y que también debería denom i­ narse superficie de revolución (cuando C es un círculo y r contiene un diámetro de C, la superficie es la esfera). Para adaptarla a nuestra definición, tendríamos que excluir dos de sus puntos, a saber, los puntos donde r corta a C. Por razones técnicas, querem os mantener la terminología previa y llamaremos superficies de revolución ampliadas a las últimas superficies. D ebem os hacer ahora un comentario final sobre nuestra definición de superficie. H em os elegido el definir una superficie (regular) com o un subconjunto de R^. Si querem os considerar propiedades globales, así com o locales, de las superficies, éste es el marco correcto. N o obstante, el lector debería preguntarse por qué no hem os definido una superficie sim plem ente com o una superficie parametrizada, com o en el caso de las curvas. E sto puede hacerse y de hecho una cierta cantidad de literatura clásica en geom etría diferencial fue introducida de esta manera. N o se causan serios perjuicios en tanto que se consideren únicam ente propiedades locales. Sin em bargo, los conceptos globales básicos com o la orientación (a considerar en las secs. 2.6 y 3.1 ), tienen que excluirse, o tratarse inadecuadam ente, con tal enfoque.

En cualquier caso, la noción de superficie parametrizada es útil en algunas ocasiones y debe incluirse aquí. DEFINICION 2. Una superficie parametrizada x: U c es una aplicación diferenciable de un conjunto abierto U
una curva parametrizada regular. D efínase

x(í, v) = a(í) + va’it),

(t, v) e I X R.

z es una superficie parametrizada, denominada la superficie tangente de a (fig. 2-19). Supóngase ahora que la curvatura k{t), í e / , de a es no nula para todo t e I, y restrinjamos el dom inio de x a C/ = {(í, v) e / x v =?i= 0 }. Entonces

dv = « '(0

90

QeomeMa diferencial de curvas y superficies

puesto que, para todo t, la curvatura (cf. el ejercicio 12 de la sec. 1.5)

k {t)=

l « ( OP

es no nula. Se deduce que la restricción x; U ^ es una superficie parametrizada regular, cuya traza consta de dos com ponentes conexas, siendo su frontera común el conjunto a(f). La siguiente proposición demuestra que podem os extender los conceptos locales y propiedades de la geom etría diferencial a superficies parametrizadas regulares. PROPOSICION 2. Sea x: U c R^ ^ R^ una superficie parametrizada regular y q € U . Entonces existe un entorno W de q en R^ tal que x(V ) c R^ es una superficie regular. Demostración. D e nuevo, esto es consecuencia del teorem a de la función inversa. Escríbase x(m, v) = {x{u, v), y{u, v), ziu, v)). Por la regularidad, podem os suponer que (3(jr, y)!d{u, v))(q) aplicación F: U X R ^ R^ mediante F(u, V, t) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v) + ?),

0. D efínase la

(u, ti) e U ,t & R.

Entonces d«W ) =

# 0.

Por el teorem a de la función inversa, existen entornos Wj de ^ y W2 de F(q) tal que F :W i-^ W 2 es un difet'morfismo. Tóm ese V = W i(~ \U y obsérvese que la restricción F\V = x(K. Por tanto, x(V) es difeom orfo a V, luego es una superficie regular. Q .E .D . EJERCICIOS^ *1. Sea = {(jr, y, z) e R^·, + y^ + = 1} la esfera unidad y sea A: la aplicación {antipodal) A{x, y, z) = ( —x, —y, —z). Demostrar que A es un difeomorfismo. 2. Sea S cz R^ una superficie regular y n: S R^ \a aplicación que lleva cada p € S a su proyección ortogonal sobre R^ = ((.r, y, z) e R^; z = 0}. ¿Es a diferenciable? 3. Demostrar que el paraboloide z =

+ y^ es difeomorfo a un plano.

4. Construyase un difeomorfismo entre el elipsoide

y la esfera x^ + y^ + z^ = 1. Los que omitieron ieer las demostraciones de esta sección también deben'an excluir los ejercicios 13-16.

6 m m te ^ j» g u ia n s 9 i •5. Sea Sc=R^ una superficie regular, y s e a d :S - * R definida por d(p) = \ p - p o \, donde p e S Po < S; es decir, la distancia de p a un punto fijado po no perteneciente a S. Demuéstrese que d es diferenciable. 6 . D emostrar que la definición de aplicación diferenciable entre superficies no depende d«

las parametrizaciones elegidas. 7. Demuéstrese que la relación «5i es difeomorfa a S2» es una relación de equivalencia en e conjunto de las superficies regulares.

*». Sea 5^ = {{x, y , z ) e R ^ - , x ^ + y^ + z ^ = l } y H = {{x, y, z) e R^; - z^ = 1} Desígnese por N = ( 0 ,0 ,1) y S = (O, O, - 1 ) los polos norte y sur, respectivamente, de ] defínase F: - {N} U {■?} H como sigue: para cada p e 5^ - {jV} ( J {-S} tómese I; perpendicular al eje z que pasa por p y por q en Oz. Considérese la semirrecta / qui empieza en 9 y contiene a p . Entonces F(p) = l H (fig· 2-20). Demostrar que F e diferenciable.

Figura 2-20

9. a. Defínase la noción de función diferenciable sobre una curva regular. ¿Qué se necesiti para demostrar que la definición tiene sentido? No lo demuestre ahora. Si no h; omitido las demostraciones de esta sección, se le pedirá que lo haga en el ejercicio 15 b. Demostrar que la aplicación E. R - * = ((x, y); x^ + y^ = 1} dada por £ (í) = (eos /,sen /),

t

e

R,

es diferenciable (geométricamente, E «envuelve» R alrededor de 5*). 10. Sea C una curva regular plana que se halla a un lado de una recta r del plano y que corta a en los puntos p y q (fíg. 2-21). ¿Qué condiciones debe satisfacer C para garantizar que 1 rotación de C alrededor de r genera una superficie de revolución ampliada (regular)? 11. Demostrar que las rotaciones de una superficie de revolución S alrededor de su eje so

difeomorfismos de S. 12. Las superficies parametrizadas son, con frecuencia, útiles a efectos de describir conjuntc 2 que son superficies regulares excepto por un número finito de puntos y un número finii

92

O e o m a m < m m m tìld a a jn m ,,» ^ ,f,...t^

Figura 2-21

de rectas. Por ejemplo, sea C la traza de una curva parametrizada regular a; (a, b) -» R? que no pasa por el origen O = (0, 0, 0). Sea 2 el conjunto generado por el desplazamiento de una recta / que pasa por un punto móvil p de C y el punto fijo O (un cono de vèrtice O; véase la fig. 2-22). a. Hallar una superficie parametrizada x cuya traza sea S. b. Hallar los puntos donde x no es regular. c. ¿Qué debería suprimirse de 2 para que el conjunto restante sea una superficie regular?

Figura 2-22

*13. Demuéstrese que la definición de diferenciabilidad de una función f: V c S ^ R dada en el texto (def. 1) es equivalente a la siguiente: / e s diferenciable en p e V si es la restricción a V de una función diferenciable definida en un conjunto abierto de R^ que contiene a p. (Habiendo comenzado con esta definición de diferenciabilidad, podíamos haber definido una superficie como un conjunto que es difeomorfo localmente a /?^; véase la observa­ ción 3). 14. Sea A c S un subconjunto de una superficie regular S. Pruébese que el mismo A es una superficie regular si y solamente si A es abierto en 5; es decir, A = í/ H ■S, donde U es un conjunto abierto de R^. 15. Sea Cuna curva regular y sean a: I R - ^ C, fi: J (z R ^ C dos parametrizaciones de Cen un entorno de p 6 a(I) H P(J) = W. Sea A = a-> o fi: fi-'(iV ) —

el cambio de parámetros. Demuéstrese que a. h es un difeomorfismo. b. El valor absoluto de la longitud de arco de C en W no depende de qué parametrización se haya escogido para definirla, o sea.

\fiW \d-c

la'COlrf/ ♦16. Identifiquemos ( jc , y, —1) = ^ +

t =

A (t),

t g i, X & j.

= {(x, y, z) e R^·, z = - 1 } con el plano complejo C poniendo = ? e C. Sea P: C —» C el polinomio complejo

PiO = «oí" + «iC"'·'' + · · · + « » .

a¡, 7 ^ 0 , a¡ e € , i =

.

,n.

Denotemos por la proyección estereográfica en S^= {(jc, y, z) € jc^ + = 1} desde el polo norte N = (O, O, 1) sobre R^. Pruébese que la aplicación F\^ dada por F{p) = TCÑ^ o p c tinÍp ),

si p e S ^ - [ N } ,

F(N) = N es diferenciable.

2.4.

El plano tangente; la diferencial de una aplicación

En esta sección demostraremos que la condición 3 en la definición d.e superficie regular S garantiza que, para cada /? e S, el conjunto de vectores tangentes a las curvas parametrizadas de S que pasan por p , constituyen un plano. Por un vector tangerite a 5 , en e 5 , entendem os el vector tangente ot'(O) de una curva parametrizada diferenciable a: ( - e , e) S con a (0 ) = p. PROPOSICION 1. Sea x: U c R^ ^ S una parametrización de una superficie regular S y sea q e U . £ / subespacio vectorial de dimensión 2, dx,(R^) c R \

coincide con el conjunto de los vectores tangentes a S en x(q). Demostración. Sea w un vector tangente en x(^ ), es decir, iv = a '( 0 ), donde o: (~ e, e ) —>Ue& diferenciable y a(0) = x(q)· Por el ejem plo 2 de la sec. 2 .3 , la curva ^ = X ^° a: (~ e , e) —* U Qs diferenciable. Por la definición de diferencial (apéndice al cap. 2, def. 1), tenem os dx^(J}'(0)) = w. D e donde, w e dXq{R^) (fíg· 2-23). Por otra parte, sea w = dXg(v), donde v e R^. Es claro que v es el vector velocidad de la curva y. { - e , e) ^ U dada por y{t) = tv + q,

t e { - e , e).

94

Geometria diferencial de curvas y superficies

Figura 2-23

Por la definición de diferencial, w = a '(0 ), donde a = x ° y. E sto demuestra que w es un vector tangente. Q .E .D . Por la proposición de arriba, el plano d\q{R^), que pasa por \(q ) = p , no depende de la parametrización x. Este plano se llamará el plano tangente a 5 en p y se denotará por Tp{S). La elección de una parametrización x determina una base { ( 5 x / 5 m ( ^ ) ) , (5x/3i»(^))} de Tp{S), denom inada la base asociada a x. A lgunas veces es conveniente escribir 3x/3u = x„ y 9 x/9v = Xt,. Las coordenadas de un vector w e Tp{S) en la base asociada a una parametrización X se determinan com o sigue, w es el vector velocidad a '(0 ) de una curva a = x ° /5: ( - £ , e) ^ t / se expresa por j8(í) = (m(í), v{t)), con /3(0) = q = x “ ^(p)· A sí, a'(0) = ^ ( x o p)(0) = ^ x (m (0 , K 0 )(0) = x „(í ) m'(0) + x „ (í> '(0 ) = w. L uego, en la base { x „ (í), Xví^)}, w tiene coordenadas (m'(0), i»'(0)), donde (u(t), v(t)) es la expresión, en la parametrización x, de una curva cuyo vector velocidad en í = O es w. Con la noción de plano tangente, podem os hablar de la diferencial de una aplicación (diferenciable) entre superficies. Sean Si y S 2 dos superficies regulares y sea q>: V c Si S2 una aplicación diferenciable de un conjunto abierto V de Si en S2. Si p e V , sabem os que cada vector tangente w e Tp(Si) es el vector velocidad a '(0 ) d e una curva parametrizada diferenciable a: ( - £ , e ) ^ V con a (0 ) = p . La curva p = q> o a es tal que j3(0) = <¡p(p), y por tanto /3'(0) es un vector de T ^){S 2 ) (fig. 2-24).

. S^ipWnO/9mw9^üttn9

‘lp{w)

PROPOSICION 2. En la discusión arriba desarrollada, dado w , el vector /5'(0) no depende de la elección de a. La aplicación dq>^: Tp(Si) —» T^p,(S2) definida p o r díPp(w) = )3'(0) es lineal.

Demostración. La demostración es similar a la que se ofrece en espacios euclídeos (cf. la prop. 4, apéndice al cap, 2). Sean x(u, v), x(ü , 0) parametrizaciones en sendos entornos de p y
== (?),(u, v),

(p-iiu,

w))

y que a se expresa por

Entonces P(t) = (
expresión de /3'(0) en la base

Esta relación demuestra que /S'(0) depende solam ente de la aplicación ^ y de las coordenadas (u'(0), v'(0)) de )v en la base (x„, x„}. Por ello /3'(0) es independiente de a. A dem ás, la misma relación prueba que du

dv

d(p2

d(fi

\d u

dv I

v'iO)

o sea, dq>p es una aplicación lineal de Tp{Si) en T^)(S 2 ) cuya matriz en las bases X,,} de Tp{Si) y {x^, x¡^} de T^^{S 2 ) es precisamente la matriz dada arriba. Q .E .D · La aplicación lineal dq>p definida por la proposición 2 se denomina la diferencial de
96

QeomeMa tm renoM de cunas y ai9 >erifci»s

ble) f: U c S - * R e n p e U com o una aplicación lineal dfp·. Tp(S) - » R. D ejam os los detalles al cuidado del lector.' Ejemplo 1. Sea u e un vector unitario y sea h: S ^ R, h(p) = v ■ p , p e S, la función altura definida en el ejem plo 1 de la sec. 2.3. Para calcular dhp{w), iv e Tp{S), elijam os una curva diferenciable a: ( - e , e) S con a(0) = p , a '(0 ) = w. Como h{a{t)) = a(í) · V, obtenem os dh,{w) =

= a '(0 )-v = w v .

Ejemplo 2. Sea 5^ c R^ la esfera unidad

S^ = {{x, y, z ) g / ? 3 ; x ^ + j^ + z^ = 1} y sea R^ g. R^ R^ la rotación de ángulo 6 alrededor del eje z. Entonces R^ g restringida a 5^ es una aplicación diferenciable de 5^ (cf. el ejem plo 3 de la sec. 2.3). Calcularemos (dR, e)p(w), p e S^, w e Tp{S^). Sea a: ( - e , c) ^ 5^ una curva diferenciable con a (0 ) = p , a '(0 ) = w. Entonces, com o R. g es lineal,

idR,,e),{w) =

o a(0 )„=o = ^ .,.(«'(0)) = R M .

O bsérvese que ^ deja fijo el polo norte N = (O, O, 1) y que {dR^ g)^: Tf^S^) es precisamente la rotación de ángulo 6 en el plano 7^/(5^). R etrospectivam ente, lo que hem os hecho hasta ahora es extender las nociones del cálculo diferencial en R^ a superficies regulares. Habida cuenta de que el cálculo diferencial es Una teoría esencialm ente local, hem os definido una entidad (la superfi­ cie regular) que era localm ente com o un plano, salvo difeom orfism os, y entonces esta extensión se volvió natural. D ebería esperarse por tanto que el teorem a básico de la función inversa se extienda a aplicaciones diferenciables entre superficies. D irem os que una aplicación S 2 es an difeomorfismo local en p e í / si existe un entorno V cz U áepX&l que q> restringida a V es un difeom orfism o sobre un conjunto abierto (p{V) en p e U es un isomorfismo, entonces q> es un difeomorfismo local en p. La demostración es una aplicación inmediata del teorem a de la función inversa en

R^ y se dejará com o ejercicio. Por supuesto, todos los otros conceptos del cálculo diferencial, com o puntos críticos, valores regulares, etc., se extienden de manera natural a funciones y aplicaciones definidas sobre superficies regulares.

3MPwMMra0utaiw 97 También el plano tangente nos permite hablar del ángulo de intersección de dos superficies en un punto de incidencia. D ad o un punto p de una superficie regular S, hay dos vectores unitarios de que son normales al plano tangente Tp(S); se llama a cada uno de ellos un vector unitario normal en p. La recta que pasa por p y contiene a un vector unitario normal en p se denomina recta normal en p. El ángulo de intersección de dos superficies en un punto de incidencia p es el ángulo formado por sus planos tangentes (o sus rectas normales) en p (fig. 2-25).

Fijando una parametrización x: U cz R^ S en p e S, podem os determinar la elección de un vector unitario normal en cada punto q e \{U ) por la regla

N(q) =

x„ A Xy (g). I X„ A X„

A sí, obtenem os'üna aplicación diferenciable R^. V erem os más tarde (secs. 2.6 y 3.1) que no es siempre posible extender, de manera diferenciable, esta aplicación a toda la superficie S. A ntes de dejar esta sección, haremos algunas observaciones sobre cuestiones de diferenciabilidad. La definición dada de superficie regular requiere que las parametrizaciones sean de clase C ”, es decir, que admitan derivadas parciales continuas de todos lois órdenes. Para las cuestiones que surgen en geom etría diferencial sólo necesitam os, en general, la existencia y continuidad de las derivadas parciales hasta un cierto orden, que varía con la naturaleza del problema (en raras ocasiones necesitam os derivadas de orden superior a cuatro). Por ejem plo, la existencia y continuidad del plano tangente depende únicamente de la existencia y continuidad de las derivadas parciales de primer orden. Por esta razón, podría suceder que la gráfica de la función z = f{x, y) admita en cada punto un plano tangente pero que no sea lo suficientem ente diferenciable com o para satisfacer la definición de superficie regular. E sto es lo que ocurre en el siguiente ejem plo.

98

Geometría diferencial de curvas y superficies

Ejemplo 3. Considérese la gráfica de la función z = generada al rotar la curva z = alrededor del eje z. C om o la curva es simétrica con respecto al eje z y admite una derivada continua que se anula en el origen, es claro que la gráfica de z = tiene al plano xy com o plano tangente en el origen. Sin em bargo, la derivada parcial z^^ no existe en el origen y la gráfica considerada no es una superficie regular según se definió anteriormente (véase la prop. 3 de la sec. 2.2). N o pretendem os vernos envueltos en este tipo de cuestiones. La hipótesis de clase

C" en la definición se adoptó precisamente para evitar el estudio de las condiciones minimales de diferenciabilidad requeridas en cada caso particular. E stos matices tienen su interés, pero posiblem ente pueden oscurecer la naturaleza geom étrica de los problemas tratados aquí.

EJERCICIOS *1. Demostrar que la ecuación del plano tangente en (x q ,yo. Zo) de una superficie regular dada por/(A:, y, z) = O, donde O es un valor regular d e /, es fx(xo, yo, Zo)(x -

Xo) + f y { X o , yo, ZoXy - .Vo) + f z ( x o , yo, Zo)(z

-

Zo)

=

0.

2. Determinar los planos tangentes de + y^ - z^ = 1 en los puntos (x, y, 0) y demostrar que todos ellos son paralelos al eje z. 3. Demuéstrese que la ecuación del plano tangente a una superficie que es la gráfica de una función diferenciable z = f(x, y), en el punto po = (xo. >’o). viene dada por z = f(xo, yo) +fx(.xo, >'o)(x - Xo) + f Á x o , yo)(y - >'o)·

Recuérdese la definición de diferencial d fd e una función/; plano tangente es la gráfica de la diferencial dfp.

R y demuéstrese que el

*4. Demuéstrese que los planos tangentes a una superficie dada por z = xfiyix), x # O, donde / es una función diferenciable, pasan todos por el origen (O, O, 0). 5. Si en un entorno coordenado de una superficie regular ésta forma x(tt, t)} = ai(«) + a 2(t>),

puede parametrizarse en

donde Oi y «2 son curvas parametrizadas regulares, demuéstrese que los planos tangentes a lo largo de una curva coordenada fija en este entorno son todos paralelos a una recta. 6. Sea a: I —>R^ una curva parametrizada regular cuya curvatura nunca se anula. Considére­ se la superficie tangente de a (ejemplo 5 de la sec. 2.3) x{t, v) = OL{t) + va'it),

t e I,V^0.

Demuéstrese que los planos tangentes a lo largo de la curva x(constante, t;) son iguales. 7. Sea f: R dada por f(p) = \p - po\^, dondep e 5 po es un punto fijado de R^(véase ejemplo 1 de la sec. 2.3). Demostrar que dfp(w) = 2w ■ (j> - po), w e Tp{S).

el

_____________ _______

_______ _

______ SupaiM eangulam s 99

8. Pruébese que si L: -» R^ es una aplicación lineal y S
a+ O,

es regular. Calcúlese su vector normal N(«, t;) y demuéstrese que a lo largo de la recta coordenada u = Uo ei plano tangente de x rota alrededor de esta recta de forma que la tangente de su ángulo con el eje z es proporcional a la distancia u (= + y^) del punto x(mo, v ) al eje z. 10. Superficies tubulares. Sea a: / - »

una curva parametrizada regular cuya curvatura nunca se anula y de parámetro la longitud de arco. Sea x(s, v) = a(s) + r(n(s) eos v + b(s) sen v),

r = const. ¥= O, s e I,

una superficie parametrizada (el tubo de radio r alrededor de a ), donde n es el vector normal y è es el vector binormal de a. Demostrar que, cuando x es regular, su vector unitario normal es N{s, v) = (n(s) eos V + b(s) sen v). 11. Demuéstrese que las normales a la superficie parametrizada dada por

x(u, v) = (f{u) eos V, f{u) sen v, g{u)), f{u) ¥= O, g' ^ O, pasan todas por el eje z. *12. Demuéstrese que cada una de las ecuaciones (a, b, c + y'^ + z^ = ax,

0)

x^ + y ^ + z^ ^ by, x^ + y^ + z^ = cz define una superficie regular y que todas ellas se cortan ortogonalmente. 13. Un punto crítico de una función diferenciable f : S —* R definida sobre una superficie regular S es un punto p e S tal que dfp = 0. *a. Sea /; 5 —> /? dada por f(p) = ¡p — po¡, p e S, po ^ S (cf. el ejercicio 5, sec. 2.3). Demostrar que p e 5 es un punto crítico de / si y sólo si la recta que une p a po es normal a 5 en p. b. Sea h: R dada por h(j}) - p ■ v, donde v e R^ es un vector unitario (cf. el ejemplo 1, sec. 2.3). Demostrar que p 6 5 es un punto crítico de si y sólo si v es un vectoi normal de 5 en p. *14. Sea Q la unión de los tres planos coordenados jc = O, y = O, z = 0. Seap = (x ,y , z ) e R ^ - Q . a. Demostrar que la ecuación en t, ^

,

+ ^

,

+ f 4 7 ^ /( 0

tiene tres raíces reales distintas: í ,, íj,

= 1,

a > b > o O ,

100 Geometria dHàrendal de curvas y superfìaes

b. Demuéstrese que para cadap e R ^ - Q , los conjuntos dados por/(r,) - 1 = 0,/(/2) - 1 = 0 , /(ij) - 1 = 0 son superficies regulares que pasan por p y que son ortogonales dos a dos. 15. Demuéstrese que si todas las normales a una superficie conexa pasan por un punto fijo, la superficie está contenida en una esfera. 16. Sea iv un vector tangente a una superficie regular S en un punto p e S y sean x(m, v ) y x(a, ü) dos parametrizaciones en p. Admítase que las expresiones de w en las bases asociadas a %{u, v) y x(a, v) son w = aix„ + aiX„ y

w — f i lX/¡ + f i l ^ v ·

Demuéstrese que las coordenadas de w se relacionan mediante

n

donde « =

m (m , v )

n

A- n

y v = v(u, v) son las expresiones del cambio de coordenadas.

♦17. Dos superficies regulares y 52 se intersectan transversalmente si cualquiera que sea p e 5i n “S2 entonces Tp(Si) Tp^Sz). Probar que si 5, y 52 se intersectan transversalmente, entonces 5¡ H *52 es una curva regular. 18. Pruébese que si una superficie regular 5 corta a un plano P en un único punto p , entonces este plano coincide con el plano tangente a 5 en p. 19. Sea S c R^ una superficie regular y P cz R^ un plano.Si todos los puntos de 5 están en el mismo lado de P, pruébese que P es tangente a 5 en todos los puntos de F H ■S. *20. Demuéstrese que las proyecciones ortogonales del centro (O, O, 0) del elipsoide í!

4- z ! +

£ i =

«2 + ¿,2 + £.2

1

sobre sus planos tangentes constituyen una superficie regular dada por {(a:, y, z ) e R^;

+ y^ +

= a^x^ + b^y^ + c^z^) - {(O, O, 0)}.

*21. Sea /: 5 —» /? una función diferenciable sobre una superficie regular conexa S. Supóngase que dfp = O para todo p e 5. Pruébese que / es constante sobre 5. *22. Demostrar que si todas las rectas normales a una superficie regular conexa 5 cortan a una recta fija, entonces 5 es una superficie de revolución.

SupmUciee mgulane 101

23. Demuéstrese que la aplicación F: S ^ -*

definida en el ejercicio 16 de la sec. 2.3 tiene solamente un número finito de puntos críticos (véase el ejercicio 13).

24. Regla de la cadena. Demostrar que si φ : Si diferenciables y p e Si, entonces

S 2 y ψ : S 2 -* S¡ son aplicaciones

ά ( ψ o φ ) ^ = dψ^^f) o ά φ „ . 25. Pruébese que si dos curvas regulares C¡ y C2 de una superficie regular S son tangentes en un punto /) 6 5, y si ς»: 5 —» S es un difeomorfismo, entonces (C2 ) son curvas regulares que son tangentes en 1 con una superficie S en p , entonces este plano coincide con el plano tangente en p. c. Dos superficies regulares tienen un contacto de orden s l si y solamente si tienen un plano tangente común en p , es decir, son tangentes en p. d. Si dos superficies regulares S y S de R^ tienen un contacto de orden s 1 en p y si F: R^ R^ es un difeomorfismo de R^, entonces las imágenes F(S) y F(S) son superfi­ cies regulares que tienen un contacto de orden s ] en F(p); o sea, la noción de contacto de orden >1 es invariante frente a difeomorfismos. e. Si dos .superficies tienen un contacto de orden 2 I en p , entonces limr-,o(d/r) = O, donde d es la longitud del segmento determinado por las intersecciones con las superficies de alguna paralela a la recta normal común, situada a una distancia r de esta normal. 28. a. Defínase la noción de valor regular para una función diferenciable f: S - * R sobre una superficie regular S. b. Demuéstrese que la imagen inversa de un valor regular de una función diferenciable sobre una superficie regular S es una curva regular en S.

2.5.

La primera forma fundamental; área

Hasta aquí nos hem os fijado en las superficies desde el punto de vista de la diferenciabilidad. En esta sección empezarem os con el estudio de más estructuras geométricas transportadas por la superficie. La más importante de éstas es quizá la primera forma fundamental, que describiremos ahora. El producto interior natural de => S induce en cada plano tangente Tp(S) de una superficie regular S un producto interior, que se denotará por ( , }p· Si Wi,

102

Geometria diterencìal de cutrvas y superficies

w>2 e Tp{S) c F?, entonces
=

< 1^, w>^ = I w p > 0.

(1)

DEFINICION 1. La forma cuadrática Ip en Tp(S), definida p or la ecuación (1), se denomina la primera forma fundamental de la superficie regular S c en p € S. Por consiguiente, la primera forma fundamental es sim plem ente la expresión de cóm o la superficie S hereda el producto interior natural de R^. G eom étricam ente, com o verem os dentro de un m om ento, la primera forma fundamental nos permite hacer m ediciones sobre la superficie (longitudes de curvas, ángulos de vectores tangentes, áreas de regiones) sin referirnos al espacio ambiente R^ donde se halla la superficie. A hora expresarem os la primera forma fundamental en la base {x„, x„} asociada a la parametrización x(m, u) en p. Com o un vector tangente w e Tp{S) es el vector tangente de una curva parametrizada a{t) = \(u {t), v(t)), t e ( - e , e), con p = a (0) = x(«o, v), obtenem os /,(a '(0)) = , =
+ 2^m'w' + /í;')2

= E{u'y- + IFu'v' + Giv’y , en donde los valores de las funciones involucradas se evalúan en í = O, y E(Uo, ^o ) ~

^X|<5 Xlí/’p '

H U o , Vo) = p, G( j 4(¡, Vg)

*\X¡,) X r^p

son los coeficientes de la primera forma fundamental en la base {x„, Xy} de Tp(S). H aciendo a p recorrer el entorno coordenado correspondiente a x(m, v) obtenem os las funciones E(u, v), F(u, v), G(u, v) que son diferenciables en ese entorno. D e ahora en adelante suprimiremos el subíndice p en la expresión del producto interior ( , o de la forma cuadrática Ip cuando sea claro del contexto a qué punto nos estam os refiriendo. También será conveniente denotar el producto interior natural de R^ mediante el mismo sím bolo ( , ) en vez de con el punto, com o se hizo previamente. Ejemplo 1. U n sistema de coordenadas para un plano P cz R^ que pasa por Po = {xo, yo. ^o) y contiene al sistema ortonormal {w^, W2 }, Wj = (a, 02, ^3), W2 = ( ¿ 1, ¿ 2. ^3). viene dada com o sigue; x(m ,

v)

= P

o

+

uw

¡

VWr

(u ,

v )

e

R

\

S u p tiM t» ngulàreB 103

Para calcular la primera forma fundamental en un punto arbitrario de P observam os que x„ = M'i, x„ = W2 ; ya que Wi y W2 son vectores unitarios ortogonales, las funciones F, G son constantes y vienen dadas por £ = 1,

F^O,

G = 1.

E n este caso trivial, la primera forma fundamental es esencialm ente el teorem a de Pitágoras en P; es decir, el cuadrado de la longitud de un vector w que tiene co o rd en ad as a, b en la base {x„, x„) es igual a + b^. Ejemplo 2. El cilindro recto apoyado sobre el círculo parametrización x: U R^, donde (fig. 2-26)

x ( m, u)

= 1 admite la

= (eos u, sen u, v),

U = {(u,v) e R^;

0
-oo
Para calcular la primera forma fundam ental, observam os que x„ = ( - s e n u, eos u, 0 ), x„ = (O, O, 1), y, por consiguiente,

E = sen^ u + eos m = 1,

F = O,

G = 1.

Resaltam os que, aunque el cilindro y el plano son superficies distintas, obtenem os el mismo resultado en ambos casos. V olverem os posteriorm ente a este tem a (sección 4.2). Ejemplo 3. Considérese la hélice que viene dada por (eos u, sen u, au); véase el ejem plo 1, sec. 1.2. En cada punto de la hélice, trácese una recta paralela al plano xy

CWPWWWlr-OIPWli^de cvrvas y superficies que corte al eje 2 .\^ superficie generada por estas rectas se denom ina un helicoide y adm ite la siguienttpaj^^gtrizaciôn:

x(u, v)^

y

^gi,

au),

0 < M < 2jt,

-oo

< ^ <

oo.

X aplica una band) abjgj-ta de amplitud 2ít en el plano uv sobre aquella parte del helicoide que se %esponde con una rotación de ángulo 2» a lo largo d e la hélice (fig. 2-27).

La verificación de
v ) =v ^ + a \

F(u, v) = 0,

G(u, v ) = l .

wcedTdcThccho'''^^' antes, la importancia de la primera forma fundam ental / ^ . I ■ conociendo 7 podem os tratar cuestiones métricas sobre una upe icie regu ar si„ referencias al espacio am biente R^. A sí, la longitud de arco s de una curva par»„„, . , r o · j j y '»tnetnzada a: I ^ S viene dada por s(t)= \ ' m ) \ d t = ^ C ./W ( m d t. Jo Jo ^

si contenida en un entorno coordenado resp n len e a ^ parametrización x ( m , u), podem os calcular la longitud de arco de tf entre, pongam os n . j / ^ ^ por caso, O y t m ediante

s(t) =

V E { u y + 2Fu'V + G ( v y dt. JO

(2 )

r

Tam bién, el ángulo 8 bajo el que se cortan d os curvas parametrizadas a: I - * S, p- ] —^ S en t = to viene dado por

En particular, el ángulo q> entre las curvas coordenadas de una parametrización x(u, v) es F ,

de donde se deduce que las curvas coordenadas de una parametrización son ortogona­ les si y sólo si F(u, v) = O para todo (u, v). U na tal parametrización se denom ina parametrización ortogonal.

Observación. En virtud a la ecuación (2), muchos matemáticos hablan del «elem ento» de longitud de arco, ds de S, y escriben ds^ = Edu^ + 2F dudv ■{- G dv^, para dar a entender que si « (/) = x(u(t, v(t)) es una curva sobre S y s = í( í) es su longitud de arco, entonces

Ejemplo 4. Calcularemos la primera forma fundamental de una esfera en un punto del entorno coordenado asociado a la parametrización (cf. el ejem plo 1, sec. 2 .2) ^

x(B, q>) = (sen Q eos q¡, sen Q sen q>, eos S).

Primero, obsérvese que Xj(0 , , sen 6 eos q>, 0). Luego,

E(e, g>) =

= 1,

F(0,

= O,

G{9, (p) = = sen^ d. Por tanto, si w es un vector tangente a la esfera en el punto x(0,
w = axg + bXf,

108 Qeomatrfa

entonces el cuadrado de la longitud de w viene dado por 1w P = /(w ) = Ea^ + IF a b + Gb^ =

+ b^ sen^ 0.

Com o aplicación, determ inem os las curvas de este entorno coordenado de la esfera que forman un ángulo constante p con los meridianos (p = constante. Estas curvas se denominan loxodrornas (líneas de rumbo) de la esfera. Podem os suponer que la curva requerida a(t) es la imagen por x de una curva (0 (0 , . En el punto x(0, q)) donde la curva encuentra al meridiano q> = constante, tenem os „o s Q _ eos P — I I I

Y o. I

Xs 11a'(0 1

V ( 0')^ + W f sen 2 e

ya que en la base {Xg, x^} el vector a'(í) tiene coordenadas (d',(p') y el vector coordenadas (1, 0). Se deduce que

tiene

{6')^ tag^ P - {(p')^ sen^ 0 = 0

JL

sen 9

= ±

tag fi

de donde, por integración, obtenem os la ecuación de las loxodromas log tag

= ±{(p + c) cotag fi,

y donde la constante de integración c queda determinada al dar un punto x (0o> (Po) por donde pasa la curva. Otra cuestión métrica que puede tratarse con la primera forma fundamental es el cálculo (o la definición) del área de una región acotada de una superficie regular S. U n dominio (regular) de 5 es un subconjunto abierto y conexo de S tal que su frontera es la imagen de un círculo mediante un hom eom orfism o diferenciable que es regular (es decir, su diferencial es no nula) excepto en un número finito de puntos. U na región de S es la unión de un dom inio con su frontera (fig. 2-28). U na región de S c está acotada si está contenida en alguna bola de R^.

107

Consideraremos regiones acotadas R que estén contenidas en un entorno x(U) de una parametrización x: U c: —* S. En otras palabras, R es la imagen m ediante x de una región acotada Q U. La función |x„ A *«1. definida en U, m ide al área del paralelogramo generado por los vectores x„ y x„. Primero vam os a demostrar que la integral Ix„ A XJ

dv

no depende de la parametrización x. D e hecho, sea x: Ü ci R^ -* S otra parametrización con R c x(Ü) y sea Q = %~^{R). Sea d{u, v)ld{ü, v) el jacobiano del cam bio de parámetros h = x “ ^ o x. Entonces

\x^ /\ x¡\dü dv =

|x„ A x„

dju, y)

d(ü, v)

dü dv

|x„ A x j d u d v . en donde la última igualdad procede del teorem a del cambio de variables para integrales múltiples (cf. Buck, Advanced Calculus, p. 304). Por tanto, hem os dem os­ trado la afirmación de independencia y podem os introducir la siguiente definición.

DEFINICION 2. Sea R <= S una región acotada de una superficie regular contenida en el entorno coordenado de una parametrización x: U <= R^ —» S. El número positivo Ix„ A Xy 1du dv = A (R ),

Q = x - ‘(R),

se denomina el área de R. Existen varias justificaciones geom étricas para tal definición, y una de ellas se presentará en la sec. 2 .8 . Es conveniente observar que IX. A X„ P + ^ = Ix„p-lXrp. lo que prueba que el integrando de A (R ) se puede escribir com o |x„ A x^ = J E G - F \ También debería subrayarse que, en la mayoría de los ejem plos, la restricción de que R esté contenida en algún entorno coordenado no es demasiado seria, debido a que existen entornos coordenados que recubren la totalidad de la superficie excep­ tuando algunas curvas, las cuales no contribuyen al área.

____________

elmcuivmt y superficies

Ejemplo 5. C alculem os el área del toro en el ejem jdo 6 , sec. 2.2. Para ello, consideram os el entorno coordenado correspondiente a la parametrización x(u, v) = ((a + r eos u) eos v, (a + r eos u) sen v, r sen u),

O< u <2n,

O< v <2n,

que recubre el toro, exceptuando un meridiano y un paralelo. Los coeficientes de la primera forma fundamental son

E = r^,

F = O,

G = (r cosu + ay-.

luego

,yE G — F^ = r(r eos u + a). A hora, considerem os la región obtenida com o la imagen m ediante x d e la región (fig. 2-29) dada por (e > O y pequeño), (2e -

{(m ,

v

) e R^\

+ £ ^

o

u

^

2 tz -

e,

o

+ e

V

2n -

e).

Utilizando la def. 2 obtenem os

A {R ^ =

r(r eos u + a) du d v Q, r2 jr~ E

r h t- e

( r eos M + ra)du

=

dv J

O+E

0+£

= r^(2ji - 2 e)(sen(2;r - e) - sen e) + ra(2ji - 2 é f . H aciendo e —> O en las expresiones de arriba, obtenem os

A {T ) - lim A{Rg) = Ajt^ra. e~-*0

2k

Of

V

.

2n Figura 2-29

Esto concuerda con el valor que se Jialla mediante cálculo infinitesimal elemental utilizando, por ejem plo, el teorema de Pappus para el àrea de superficies de revolución (cf. el ejercicio 11).

e je r c ic io s

1. Calcular la primera forma fundamental de las siguientes superficies parametrizadas, donde éstas sean regulares: v) = (a sen u eos v, b sen u sen v, c eos «); elipsoide. = (au eos v, bu sen v, u^); paraboloide elíptico. x ( m, v) = (au cosh v , bu senh v , u^);paraboloide hiperbólico. x ( m, v) = (a senh « eos v, b senh u sen v, c cosh «); hiperboloide de dos hojas.

a.

x ( m,

b. c. d.

x(m , v)

2. Sea \{q>, 0) = (sen 0 eos q>, sen 0 sen
—y < d < -y,

demuéstrese que las dos curvas x(«i, v), x(u 2 , v) determinan segmentos de longitudes iguales sobre todas las curvas x(u, constante). 5. Demuéstrese que el área A de una región acotada R de la superficie z = f(x, y) es

A = J j g V r + 7 T + 7 J dx dy. donde Q es la proyección ortogonal de R sobre el plano xy. 6. Demuéstrese que x(m , v) =

(m sen a eos v , u sen a sen v, u eos a) 0 , 0 < u < 2n, a = constante,

es una parametrización del cono de ángulo 2a en el vértice. En el correspondiente entorno coordenado, demostrar que la curva x (c

exp(u sen a cotag P),

v),

c = const.,

/3 = const.,

intersecta a las generatrices del cono (u = const.) bajo el ángulo constante jS. 7. Las curvas coordenadas de una parametrización x(«, v) constituyen una red de Tchebyshef si son iguales las longitudes de los lados opuestos de cualquier cuadrilátero formado por aquéllas. Demuéstrese que, para que esto se dé, una condición necesaria y suficiente es ^

dv

= ^

du

= 0

p f1< )

m ^ ñ ñ m m i a ^ m ^ d e c w v a s y s u p e ifíc ie s ___________

*8. Probar que, siempre que las curvas coordenadas constituyan una red de Tchebyshef (véase el ejercicio 7), es posible reparametrizar el entorno coordenado de suerte que los nuevos coeficientes de la primera forma cuadrática sean £=1,

F = cosfl,

G = l,

donde 0 es el ángulo de las curvas coordenadas. ♦9 . Demostrar que una superficie de revolución siempre puede parametrizarse de forma que E = E{v),

F=0,

G = l.

10. Sea P = {(x, y, z) e R^\z = 0} el plano xy, y sea x: U —* P una parametrización de P dada por x(p, 0) = (p eos 0, g sen 9), donde U = ((e, 0) e R ^ - , g > 0 , 0 < 0 < 2n}. Calcular los coeficientes de la primera forma fundamental de P con respecto a esta parametrización. 11. Sea S una superficie de revolución y C su curva generatriz (cf. el ejemplo 4, sec. 2.3). Sea s la longitud de arco de C y denótese por g = g(s) a la distancia desde el eje de rotación al punto de C correspondiente a s. a. Teorema de Pappus. Demuéstrese que el área de S es

2n donde / es la longitud de G. b. Apliqúese la parte a

É
para calcular el área de un toro de revolución.

12. Dem ostrar que el área de un tubo regular de radio r alrededor de una curvaa (cf. el ejercicio 10, sec. 2.4) es 2}it veces la longitud de a. 13. Helicoides generalizados. Una generalización natural de las superficies de revolución y de los helicoides se obtiene como sigue. Consideremos una curva plana y regular C, que no corta a un cierto eje E en el plano, y que está desplazada mediante un movimiento rígido con atornillamiento alrededor de E, o sea, tal que cada punto de C describe una héhce (o un círculo) de eje E. El conjunto S generado por el desplazamiento de C se denomina un helicoide generalizado de eje E y generatriz C. Si el movimiento de atornillamiento es una rotación pura alrededor de E, S es una superficie de revolución; si C es una recta perpendicular a E, S es (un trozo de) el helicoide estándar (cf. el ejemplo 3). Elíjanse los ejes de coordenadas de forma que E sea el eje 2 y C se halle en elplano yz. Demostrar que a. Si (f(s), g(s)) es una parametrización de C mediante la longitud de arco s, a < s < b, f(s) > O, entonces x; U S, donde U = {{s, u)

e

R^; a < s < b, O < u < 271}

x(í, u) = (f(s) eos u, f(s) sen u, g{s) + cu), c = const., es una parametrización de S. Concluir que S es una superficie regular, b. Las líneas coordenadas de la parametrización de arriba son ortogonales (es decir, F = 0) si y solamente si x(í/) es o bien una superficie de revolución, o bien (un trozo de) el helicoide estándar. 14 .

El gradiente sobre superficies. El gradiente de una función diferenciable f : S —* R e s una aplicación diferenciable grad f . S ^ R ^ que asigna a cada punto p € 5 un vector grad fip ) € Tp{S) c R^ tal que (g rad /(p ), v)p = dfp{v)

para todo v e Tp(S).

Demostrar que a. Si E, F, G son los coeficientes de la primera forma fundamental en la parametrización x; U c R^ S, entonces grad / sobre x(í/) viene dado por grad / = graa j

eG

, /.£ - /.F - F ^ ^ “ ^ EG - F^ *’'·

En particular, si S = R^ con coordenadas x, y, g r a d / = /(u, v) = const. y i¡>(u, v) = const. dos familias de curvas regulares en \(U ) cz S (cf. el ejercicio 28, sec. 2.4). Demostrar que estas dos familias son ortogonales (es decir, cuando quiera que dos curvas de familias distintas se encuentren, sus tangentes son ortogonales) si y sólo si

Eg>„y/, - F{cpuVv + JI/u = 0. b. Apliqúese la parte a para demostrar que en el entorno coordenado %{U) del helicoide del ejemplo 3 las dos familias de curvas regulares V eos u ■-= const., (v^ + a^) sen^M = const., son ortogonales.

O,

v

O,

u=^ n,

f t t m m m m ’à m im S/a»eim>aaystf>tfaciBg

2.6.

Orientación de superficies^

E n esta sección discutiremos en qué sentido, y cuándo, es posible orientar una superficie. Intuitivam ente, com o cada punto p de una superficie regular tiene un plano tangente 7^,(5), la elección de una orientación de 7^,(5) induce una orientación en un entorno de p , es decir, una noción de m ovim iento positivo a lo largo de curvas cerradas suficientem ente pequeñas encerrando a cada punto del entorno (fíg. 2-30). Si es posible hacer esta elección para cada p e S de forma que en la intersección de dos entornos cualesquiera la orientación coincide, entonces se dice que S es orientable. Si no es posible esto, 5 se denom ina no orientable.

V am os a precisar ahora estas ideas. Fijando una parametrización x ( m , v ) en el entorno de un punto p de una superficie regular 5 , determinamos una orientación del plano tangente Tp(S), a saber, la orientación de la base ordenada asociada {x„, x„}. Si p pertenece al entorno coordenado de otra parametrización x(ü, ü), la nueva base {x¿, Xj,} se expresa en términos de la primera mediante dv

X - x ^ x¡, _V

V

^

4

-

V

^

donde u = u{ü, v) y v = v(ü, v) son las expresiones del cambio de coordenadas. Las bases {x„, x„} y {x^, x¡^} determinan, en consecuencia, la misma orientación de Tp{S) si y solam ente si el jacobiano dju, y) d{ü, y)

del cam bio de coordenadas es positivo. Esta sección puede omitirse en una primera lectura.

DEFINICION 1. Se dice que una superficie regular S es orientable si es posible recubrirla con una familia de entornos coordenados de forma que si un punto p pertenece a dos entornos de esta familia, entonces el cambio de coordenadas tiene jacobiano positivo en p. A la elección de tal familia se denomina una orientación de S y, en este caso, S se denomina orientada. Si no es posible tal elección, la superficie se denomina no orientable.

Ejemplo 1. U na superficie que es la gráfica de una función diferenciable (cf. la sec. 2.2, prop. 1) es una superficie orientable. D e hecho, todas las superficies que pueden recubrirse con un entorno coordenado son, trivialmente, orientables.

Ejemplo 2. La esfera es una superficie orientable. En vez de proceder m ediante un cálculo directo, recurramos a un argumento general. La esfera se puede recubrir mediante dos entornos coordenados (utilizando la proyección estereográfica; véase el ejercicio 16 de la sec. 2 .2), con parámetros (u, v) y (ü, v), de forma que la intersección W de estos entornos (la esfera m enos dos puntos) es un conjunto conexo. Fijemos un punto p en W. Si el jacobiano del cam bio de coordenadas en p es negativo, intercambiamos « y u en el primer sistem a, y el jacobiano se vuelve positivo. Com o el jacobiano es diferente de cero en W"y positivo e n p e W , se deduce de la conexidad de í y que el jacobiano siempre es positivo. Existe, por tanto, una familia de entornos coordenados verificando la def. 1 y, en consecuencia, la esfera es orientable. Precisamente por el argumento utilizado, resulta claro que sí una superficie regular se puede recubrir mediante dos entornos coordenados cuya intersección es conexa, entonces la superficie es orientable. A ntes de presentar un ejem plo de superficie no orientable, vam os a dar una interpretación geométrica de la idea de orientabilidad para una superficie regular en R^. Como vinios en la sec. 2.4, dado un sistema de coordenadas \(u , v) en p , disponemos de una elección bien definida de un vector unitario normal N en p mediante la regla

Tomando otro sistema de coordenadas locales \(ü , v) en p , vem os que X, A x¡> = (x« A

(2)

donde d{u, v)ld(ü, u) es el jacobiano del cambio de coordenadas. D e aquí, N mantendrá o cambiará su signo, dependiendo de si d{u, v)ld{ü, v) es positivo o negativo, respectivamente. Entenderem os por campo diferenciable de vectores normales unitarios sobre un conjunto abierto U c S, a una aplicación diferenciable N: U -* R^ que asocia a cada q e U un vector unitario normal N{q) e R^ a S en q.

114

QeemeMa «Kfrnmttítí àa curvms y supertìofaa

PROPOSICION 1. Una superficie regular S c es orientable si y sólo si existe un campo diferenciable de vectores normales unitarios N; S r 3 sobre S.

Demostración. Si S es orientable, es posible recubrirla con una familia de entornos coordenados de forma que, en la intersección de dos de ellos, el cam bio de coordena­ das tiene jacobiano positivo. En los puntos p = x (« , v) de cada entorno, definimos = N{u, v) m ediante la ecuación (1). N (p) está bien definido ya que s i p pertenece a dos entornos coordenados, con parámetros {u, v) y (ü, v), los vectores normales N{u, v) y N (ü, v) coinciden en virtud a la ecuación (2). A dem ás, por la ecuación (1), las coordenadas de N (u, v) en son funciones diferenciables de (u, u), y así la aplicación N: S ^ R^ es diferenciable, com o queríamos. Por otra parte, sea N: S R^ un campo diferenciable de vectores unitarios norm ales y considerem os una familia de entornos coordenados conexos que recubran a S. Para los puntos p = x(u, v) de cada entorno coordenado x(U ), U c R^, es posible, gracias a la continuidad de N , intercambiando u con v si fuese necesario, escribir N (p) =

.

|x . A x J D e hecho, el producto interior

( n í p ).

= f(p) =

I x„ A x„ I /

ii

es una función continua en x (í/). Com o x(U) es conexo, el signo d e / e s constante. Si / = —1, intercambiamos u con v en la parametrización y deducim os la afirmación. Procediendo de esta manera con todos los entornos coordenados, tenem os que en la intersección de dos de ellos, pongam os por caso, x ( m , i;) y x ( m , ü), el jacobiano d(u, y) d(ü, v)

es ciertamente positivo, pues de otra forma tendríamos

lo que constituye una contradicción. D e donde la familia considerada de entornos coordenados, tras experim entar ciertos intercambios de u con v, satisface las condicio­ nes de la def. 1, y, por tanto, 5 es orientable. Q .E .D .

Observación. C om o pone de m anifiesto la dem ostración, sólo necesitam os pedir la existencia de un campo vectorial unitario y continuo sobre S para que S sea orientable. Tal campo vectorial será diferenciable autom áticam ente.

-Ö-* ■

V

sto ^

mß

Ejemplo 3. Vam os a describir ahora un ejem plo de superficie no orientable; la que se denom ina banda de Möbius. Esta superficie se obtiene (véase la fig. 2-31) al considerar el círculo 5^ dado por = 4 y el segm ento abierto A B del plano y z

Figura 2-31

dado por y = 2, |z| < 1. M ovem os el centro c áe A B a lo largo de 5^ y giramos A l· alrededor de c en el plano c z ,d e manera que cuando c recorra un ángulo u, A B hayí rotado un ángulo ul2. Cuando c com pleta un recorrido alrededor del círculo, A l· retorna a su posición inicial, con sus extrem os invertidos. D esd e el punto de vista de 1í diferenciabilidad, es com o si hubiésem os identificado los lados (verticales) opuestos de un rectángulo, efectuando una torsión del mismo para que cada punto del lado A l· se identifique con su simétrico (fig. 2-31). Resulta evidente, geom étricam ente, que la banda de M öbius M es una superficie regular no orientable. D e hecho, si M fuese orientable, existiría un cam po diferencia ble N: M de vectores unitarios normales. Tom ando estos vectores sobre e círculo + 5^ = 4 vem os que tras efectuar un recorrido el vector N retom a a si posición inicia] com o - N , lo que es una contradicción. Vam os a dar una dem ostración analítica de los hechos arriba m encionados. U ^ M para la banda de M öbius viene dado por U n sistema de coordenadas x(m , v) =

^^2 — i; s é n ^ ) s e n M , ^2 — v s e n ^ )

CCS u, V eos

t

)’

donde 0 < M < 2; r y - l < u < l . E l entorno coordenado correspondiente suprime lo¡ puntos del intervalo abierto « = 0. A l tomar entonces el origen de las u en el eje x obtenem os otra parametrización x(w, v) dada por eos u.

x =

sen ü.

(t+4)·

118 Qem

K M da our¥m y »upertkUes

cuyo entorno coordenado suprime el intervalo u = Jtí2. E stes dos entornos coordena­ dos recubren la banda de M öbius y pueden utilizarse para demostrar que es una superficie regular. Obsérvese que la intersección de los dos entornos coordenados no es conexa sino que consta de las dos com ponentes conexas:

Wi =

x{u, v): ^ < u < 2 n

W 2 = |^(m. v): o < m < y | · El cam bio de coordenados viene dado por en Wi,

ü= ^ + u 2 ^ \ V =

en W 2 ,

— V

Se deduce que

d{u, v)

=

1 >

o

enw,

y que p iA ^ = -K O

d{u, v)

e n W 2.

Para demostrar que la banda de M öbius es no orientable, suponem os que es posible definir un cam po diferenciable de vectores unitarios normales N: M -* R^. Intercambiando si fuese necesario a u con v, podem os suponer que

N(p)== en cualquier p del entorno coordenado de x (« , v). A nálogam ente, podem os suponer que Xo A Xo N ip) = Xa A Xf i en todos los puntos del entorno coordenado de x(ú, v). Sin em bargo, el jacobiano del cam bio de coordenadas debe ser - 1 en Wj o W2, dependiendo de qué cambios del tipo u i», « - » t> se hubieran efectuado. Si p es un punto de esa com ponente de la intersección, entonces N {p) = - N ( p ) , lo que constituye una contradicción. H em os visto ya que una superficie que es la gráfica de una función diferenciable es orientable. Probaremos ahora que una superficie la cual es la imagen inversa de un valor regular de una función diferenciable también es orientable. Esta es una de las razones por las que resulta relativamente difícil construir en R^ ejem plos de superfi­ cies regulares no orientables.

PROPOSICION 2 . Si una superficie regular viene dada p o r S = {(x , y, z) e R^; f(x. y> z) = a } , donde f: U U ^ R diferenciable y & es un valor regular de f, entonces S es orientable.

Demostración. D ado un punto (o c q , } 'o , z q ) = p e S, considérese la curva parametri­ zada (jc(i), >'(0. ^(0)> sobre S que pasa por p en / = io· Y a que la curva se halla en S, tenem os que / W 0 >y(Û, 4 0 ) = a para todo t e l . Derivando los dos miembros de esta expresión con respecto a t, vem os que en < = ío

/ip)(f)„+/MI), Esto prueba que el vector tangente a la curva en / = ío es perpendicular al vector ( f x , f y , f z ) en p. D ado que la curva y el punto son arbitrarios, pedem os concluir que

^

0

/ Î / / r + 7 í V / Î + h + f i ’^ n + h + f ú

es un cam po diferenciable de vectores untitarios norm ales sobre S. Junto con la prop. 1, esto implica que S es orientable, com o queríamos demostrar. Q .E .D . U na última observación. La orientación es, en definitiva, una propiedad no local de una superficie regular. Localm ente, cada superficie regular es difeom orfa a un conjunto abierto del plano, por tanto orientable. La orientación es una propiedad global, en el sentido de que involucra a la totalidad de la superficie. Q ueda más por decir sobre propiedades globales; más adelante (cap. 5) nos ocuparem os de ello. EJERCICIOS 1. Sea S una superficie regular recubierta por dos entornos coordenados Vi y V2 . Supóngase que Vi n V'2 tiene dos componentes conexas, Wi y W 2 , y que el jacobiano del cambio de coordenadas es positivo en Wi y negativo en W2 · Demuéstrese que S es no orientable. 2. Sea S 2 una superficie regular orientable y sea q>: Si —» S 2 una aplicación diferenciable que es un difeomorfismo local en cada p e Si. Demostrar que 5i es orientable. 3. ¿Es posible dar sentido a la noción de área para la banda de Möbius? En ceso afirmativo, obténgase una integral para calcularla. 4. Sea S una superficie orientable y sean {i/o) y {Vß} dos familias de-entomos coordenados que recubren a S (es decir, U = S \J Vß) y satisfacen las condiciones de la def. 1 (o sea, en cada una de las familias, los cambios de coordenadas tienen jacobiano positivo). Decimos que {{/„} y {Vß} determinan la misma orientación de S si la unión de las dos familias satisfacen de nuevo las condiciones de la def. 1.

f ii

Æ É ia/wtw h

oMvao y sapm iM n

Pruébese que una superficie regular, conexa y orientable solamente puede tener dos orientaciones distintas. 5. Sea induce una orientación en S 2 · Utilícese la aplicación antipodal de la esfera (cf. el ejercicio 1, sec. 2.3) para demostrar que esta orientación puede ser distinta (ef. el ejercicio 4) de la inicial (así, la orientación misma pudiera no ser preservada por difeomorfismos; nótese, no obstante, que í/ S] y S2 son conexas, un difeomorfismo o bien preserva o bien «invierte» la orientación). 6. Defínase el concepto de orientación para una curva regular C R^, y demuéstrese que si C es conexa, existen a lo más dos orientaciones distintas en el sentido del ejercicio 4 (en realidad únicamente existen dos, pero eso resulta más duro de demostrar). 7. Demuéstrese que si una superficie regular 5 contiene a un abierto difeomorfo a la banda de Möbius, entonces S es no orientable.

2.7.

Una caracterización de las superficies compactas orientables^

El recíproco de la prop. 2 de la sec. 2.6, a saber, que una superficie orientable en es la imagen inversa de un valor regular de alguna función diferenciable, es cierto y su demostración no es trivial. Incluso en el caso particular de superficies compactas (definidas en esta sección), la demostración es instructiva y ofrece un interesante ejem plo de teorem a global en geometría diferencial. La sección se dedicará por entero a la demostración de este resultado inverso. Sea S cz una superficie orientable. El punto crucial de la demostración consiste en demostrar que uno puede elegir, sobre la recta normal que pasa por p e S, un intervalo abierto Ip centrado en p de longitud, digam os, 2e^ {Sp varía con p ) de forma que s ip ^ q e S, entonces lp(~)lq =
r

1 ·»

Figura 2-32. Un entorno tubular. hecho; es decir, probaremos que para cada p u n to p de una superficie regular existe un entorno de p que contiene un entorno tubular. PROPOSICION 1. Sea S una superficie regular y sea x: U S una parametrización de un entorno del punto p = x ( u q , Vq) e S. Entonces existe un entorno W c x (U ) de p en S y un número e > O tal que los segmentos de las rectas normales que pasan p o r los puntos q 6 W , centrados en q y de longitud 2 e, son disjuntos (es decir, W tiene un entorno tubular).

Demostración. Considérese la aplicación F: U x R F{u, v; t) = x(u, v) + tJV(u, v),

dada por

(u, v) e V,

t e R,

donde N(u, v) = (N^^, Ny, N^) es el vector unitario normal en x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). G eom éi'icam ente, F aplica el punto (m, v , t) del «cilindro» U x R e n e i punto de la recta noi n a l a^ que dista t de x(u, v). Claramente F es diferenciable y su jacobiano en í = O iene dado por

dx du

dy du

dz du

dx dv

dy dv

dz dv

N. K

N,

Por el teorem a de la función inversa, existe un paralelepípedo en U x R , por ejem plo Mo — á < K < «o + <5)

Va — Ò < V < v¡¡

5,

—e < t < e ,

donde la restricción de F es inyectiva. Sin em bargo, esto significa que en la imagen W m ediante F del rectángulo Ua-~

5<

U < U 0

+ s,

v a - d < v < v 0

+ s

r

i’dWWwwsW dt» curw » y MporAotos

los segm entos de las norm ales centrados en ^ e IV y longitud < 2c no se cortan. Q .E .D . En este punto, es conveniente observar lo siguiente. E l hecho de que la función g: y —» /?, arriba definida bajo la suposición de que existe un entorno tubular V, es diferenciable y adm ite a O com o valor regular es un resultado local que puede demostrarse de manera inmediata. PROPOSICION 2. Supongamos la existencia de un entorno tubular V c de una superficie orientable S c R^, y elijamos una orientación para S. Entonces la función g: V ^ R , definida com o la distancia de un punto de V al p ie de la única recta normal que pasa p o r este punto, es diferenciable y admite a cero com o valor regular.

Demostración. Fijém onos de nuevo en la aplicación F: U x definida en la prop. 1, donde ahora admitimos que lá parametrización x es com patible con la orientación dada. D enotando por x, y , z a las coordenadas de F(m, v, t) = x ( m , v) + tN{u, v) podem os escribir F(u, V, t) = (x(u,

V,

t), y{u,

V,

t), z{u,

v,

t)).

C om o el jacobiano d(x, y , z)ld(u , v, t) es diferente de cero en / = O, podem os invertir F en algún paralelepípedo Q,

u„ — ó < u < Uo + ó,

Vo — ó < V < Vg + ó,

—e < t < € ,

para obtener una aplicación diferenciable

F ~ \x , y, z) = (m(x, y, z), v{x, y , z), t{x, y, z)), donde {x, y , z) e F{Q) = V. Pero la función g : V ^ R del enunciado de la prop. 2 es precisam ente t = t(x, y , z). A sí, g es diferenciable. A dem ás, O es un valor regular de g; pues en otro caso — dx

— ^ dy

=z O

dz

en algún punto donde í = 0; de donde dF~^ sería singular para í = O, lo cual es una contradicción. Q .E .D . Para pasar de lo local a lo global, es decir, para probar la existencia de un entorno tubular para la totalidad de la superficie orientable, necesitam os algunos argumentos topológicos. N os limitaremos al caso de superficies com pactas, que ahora definire­ m os. Sea A un subconjunto de R^. D ecim os que p e R^ es un punto límite de A si cada entorno de p en R^ contiene un punto de A distinto de p . Se dice que A es cerrado si contiene todos sus puntos lím ite. A es acotado si está contenido en alguna bola de R^. Si A es cerrado y acotado, se denom ina un conjunto compacto.

121 La esfera y el toro son superficies com pactas. E l paraboloide de revolución z = (x, y ) e es una superficie cerrada, pero, al no ser acotada, no es una superficie com pacta. E l disco + >»^ < 1 del plano y la banda de M öbius son acota­ dos pero no cerrados y por tanto no son com pactos. V am os a necesitar algunas propiedades de los subconjuntos com pactos de R^, que establecerem os ahora. La distancia entre dos pu n tos p , q e R^ se denotará por d (p, q). PROPIEDAD 1 (Bolzano-W eierstrass). Sea A c m/i conjunto compacto. Enton­ ces cada subconjunto infinito de A tiene al menos un punto límite en A . PROPIEDAD 2 (Heine-Borell). Sea A c un conjunto compacto y sea {U„} una familia de conjuntos abiertos de A tal que U U„ = A . Entonces es posible elegir un número finito ..., de U„ tal que U = A , i = 1, ..., n. PROPIEDAD 3 (Lebesgue). Sea A c: R^ «n conjunto compacto y sea {U„} una familia de conjuntos abiertos de A tal que U U„ = A . Entonces existe un número Ô > O (el número de Lebesgue de la fam ilia {U „}) tal que cualquiera que sea la pareja de puntos p, q 6 A situada a una distancia d(p, q) < ô entonces p y q pertenecen a algún U„. Las propiedades 1 y 2 se demuestran habitualm ente en un curso avanzado de cálculo diferencial. En beneficio de la com pletitud, demostraremos ahora la propie­ dad 3. Más adelante en el libro (apéndice al cap. 5), trataremos los conjuntos com pactos en R" de una manera más sistemática y presentaremos las dem ostraciones de las propiedades 1 y 2 .

Demostración de la propiedad 3. A dm itam os que no existen Ô > O satisfaciendo las condiciones del enunciado; es decir, dado 1/n existen puntos p„ y q„ tal que d(pn, q„) < 1/n pero p„ y q„ no pertenecen al mismo conjunto abierto de la familia { U j . Tom ando n = 1 , 2 , . . . , obtenem os dos conjuntos infinitos de puntos {p „ )y {q„) que, por la propiedad 1, tienen puntos límites p y q , respectivam ente. Com o d{p„, q„) < \ln, podem os elegir estos pimtos límite de m odo que p = q- Pero p e U„ para algún a , porque p e A = [J U^, y ya que U„ es un conjunto abierto, existe una bola abierta B^(p), con centro en p , tal que U„. C om o p es un punto límite de {p„} y {?„}, existen, para n suficientem ente grande, puntos p„ y q„ en cz t/„; es decir, p„ y q„ pertenecen al m ism o [/„, lo que constituye una contradicción. Q E D Utilizando las propiedades 2 y 3, vam os ahora a demostrar la existencia de un entorno tubular para una superficie orientable y compacta. PROPOSICION 3. Sea S c R^ una superficie regular, compacta y orientable. Entonces existe un número e > O tal que cualesquiera que sean p, q e S /os segmentos de las rectas normales de longitud 2e, centrados en p y q, son dis juntos (es decir, S admite un entorno tubular).

Demostración. Por la prop. 1, para cada p e S existe un entorno Wp y un número > O tal que la proposición se satisface para los puntos de Wp con e = Sp. H aciendo a

122 Géometria cfiferéndal de curvas y superficies recorrer 5 , obtenem os una familia { W p ) con U p e s H ' = 5. En virtud a la com pacidad (propiedad 2), es posible elegir un núm ero finito de conjuntos Wp, por ejem plo, Wj, W,, (correspondientes a Ej, ..., e*) tal que U = 5, i = 1, k. D em ostrarem os que el e que se necesita viene dado por

P

e < min ei,

A' 2·

donde 6 es el número de Lebesgue de la familia {1^,} (propiedad 3). En efecto, sean dos p u n tos p , q e S. Si am bos pertenecen a algún W¡, i = 1, . . . , k , los segm entos de las rectas normales con centros e n p y q y longitud 2e no se cortan, ya que e < Eí- Si p y q no pertenecen al mismo W¡, entonces d{p, q) ^ d, para que los segm entos de las rectas norm ales, centrados en p y ^ y longitud le , se cortaran en un punto Q € R^, deberíamos tener

l e > d(p, Q) + d(Q, q) > d(p, q) > ó. lo que contradice la definición de e. Q .E .D . R euniendo las propiedades 1, 2 y 3, obtenem os el siguiente teorem a, que es el principal objetivo de esta sección. TEOREM A. Sea S cz R^ una superficie regular, orientable y compacta. Entonces existe una función diferenciable g: V ^ R , definida en un conjunto abierto V c R^, con S c: V (con precisión, un entorno tubular de S), que admite a cero com o un valor regular y es tal que S = g~*(0).

Observación 1. Es posible demostrar la existencia de un entorno tubular para una superficie orientable, incluso si la superficie no es com pacta; por esta razón, el teorem a es válido sin la restricción de compacidad. Sin em bargo, la dem ostración es más técnica. En este caso general, el e(p) > O no es constante com o en el caso com pacto, pudiendo variar con p . Observación 2. Es posible demostrar que una superficie regular com pacta en R^ es orientable; en consecuencia, la hipótesis de orientabilidad en el teorem a (caso com pacto) es innecesaria. Puede encontrarse una dem ostración de este hecho e n H . Sam elson, «Orientability o f Hypersurfaces in R"», Proc. A .M .S ., 22 (1969), 301-302.

2.8.

Una defínición geométrica de área*

En esta sección presentarem os una justificación geom étrica para la definición de área dada en la sec. 2.5. C on precisión, darem os una definición geom étrica de área y dem ostrarem os que en el caso de una región acotada en una superficie regular tal definición da lugar a la fórmula para el área que se dio en la sec. 2 .5 . ** Esta sección puede omitirse en una primera lectura.

m Supertkdes r&gukms 123

Para defínir el área de una región R cz S em pezarem os con una partición 9^ de /? en un número finito de regiones R¡, es decir, escribiremos R = U / donde la intersección de dos de tales regiones R¡ es o bien vacía, o está constituida por puntos de la frontera de ambas regiones (fig. 2-33). El diámetro de R¡ es el supremo de las distancias (en R^) de dos puntos cualesquiera en R¡; el mayor de los diámetros de las regiones R¡ en una partición dada se denom ina la norma /i de 9^. Si tom am os ahora una partición de cada R¡, obtenem os una segunda partición de R , de la cual se dice que refina a 9*. Dada una partición

Ri

de R, elegim os arbitrariamente puntos p¡ e R¡ y proyectam os R¡ sobre el plano tangente en_p, siguiendo la dirección de la recta jio rm al en p¡\ esta proyección se denota por R¡ y su área por A(Rj). La suma A{R ^ es una aproximación de lo que entendem os intuitivam ente por el área de R. Si, eligiendo particiones 9*i, ..., S?„, ..., cada vez más refinadas y tal que la norma /x„ de 2^„ converge a cero, existe el lím ite de A(R¡) y este límite es independiente de todas las elecciones efectuadas, entonces diremos que R tiene área A {R ) definida por ^(i?) = lim ü A (R ,l /^n^O I

Se puede encontrar una discusión intuitiva de esta defínición en R. Courant,

Differential and Integral Calculus, vol. II, W iley-Interscience, N ueva York, 1936, p. 311. Vamos a demostrar que una región acotada de una superficie regular tiene área. N os limitaremos a regiones acotadas contenidas en un entorno coordenado y obten­ dremos una expresión para el área en térm inos de los coeficientes de la primera forma fundamental en el correspondiente sistema de coordenadas. PROPOSICION. Sea x; U —» S «n sistema coordenado en una superficie regular S y sea R = x (Q ) una región acotada de S contenida en x (U ). Entonces R tiene un área dada por A(R) =

íf

JJO

1Xu A Xy 1du dv.

124

QeomeMa (MerenciU de curvas y superficies

Demostración. C onsidérese una partición, R = U,· /?., de 1?. Com o R es cerrada y acotada (por tanto com pacta), podem os suponer que esta partición está lo suficiente­ m ente refinada de forma que dos rectas norm ales cualesquiera de R¡ nunca son ortogonales. D e hecho, com o las rectas norm ales varían continuamente en S, existe para cada p € /Î un entorno de p en 5 donde dos rectas normales cualesquiera nunca son ortogonales; estos entornos forman una familia de conjuntos abiertos que recubren R , y , considerando una partición de R cuya norma sea menor que el número de Lebesgue del recubrimiento (sec. 2.7, propiedad 3 de los conjuntos com pactos), podrem os satisfacer la condición requerida. Fijem os una región R¡ de la partición y e l í j a o s un punto p¡ e R¡ = x(Q ,). Q uerem os calcular el área de la proyección normal R¡ de R¡ sobre el plano tangente en p¡. Para ello, considérese un nuevo sistem a de ejes ppcyi en R^, obtenido a partir de O xyz m ediante una traslación Op¡, seguida de una rotación que lleve el eje z a la recta normal en p¡ de forma que ambos sistemas tengan la m isma orientación (fig. 2-34). En los nuevos ejes, la parametrización se puede escribir x ( m,

?;) =

( x ( m,

v), K u, V), ziu, v)).

Figura 2-34 donde la forma explícita de x ( m , v ) no nos interesa; basta con saber que el vector x ( m , t;) se obtiene del vector x ( m , v ) m ediante una traslación seguida de una aplicación lineal ortogonal. O bservem os que 9 ( í , y)!d{u, i») # O en (2,; pues, en otro caso, la com ponente z de algún vector normal en /?, sería cero y habría dos rectas normales ortogonales en R¡, lo que contradice nuestras hipótesis.

La expresión de A{R¡) viene dada por

A{R^ =

J J Ri

d x d y.

Supmfídee ngularas 125

Com o d(x, y)ld(u , v) ¥= O, podem os considerar el cam bio de coordenadas x = x(u, v), y = y(u, v) y transformar la expresión de arriba en

d (x , y) du dv. Qi d(u, V)

A(R.) =

Observem os ahora q ue, en p„ los vectores x„ y x„ pertenecen al plano x y , por eso, ^ = | l = 0 du dv

enp, ;

luego. d jx , y ) d(u, v)

dx . ^ du dv

d(x, y )

d i . dx

d(u, V)

dü^di

en p¡.

Se deduce que

(u, V) € Qi,

= E¡{U, V),

donde e¡(u, v) es una función continua en Q¡ con e,(x“ ^(p,)) = 0. Ya que la longitud de un vector se conserva frente a traslaciones y aplicaciones ortogonales lineales, obtenem os d x !. dx \d{x, y) - £,(«, V). dx . dx d{u, v) du dv du dv Sean ahora M¡ y m¡ el m áxim o y el mínim o de la función continua £,(«, v) en la región com pacta Q¡; entonces,

m, <

d(x, y) d(u, v)

^

A ^

du

dv

< M r,

de donde, (?X . ^

du dv < A(R ,)

m¡ Gl

e.

du

dv

du dv.

du dv < M¡ Qi

Procediendo igual con todas las R¡, obtenem os X¡ ni¡A(Q.) < '£ A(R¡) -

íí

| x„ A x j

rf« < 2 ^¡A {Q ,)·

A hora, refinem os cada vez más la partición dada, de forma que la norma / i - * Q Entonces M, ^ m¡. Por tanto, existe el límite de 2 / A (R í), dado por ^

du

A

^

dv

du dv.

el cual es claramente independiente de la elección de las particiones y del punto p¡ ei cada partición. Q .E .D

Apéndice BREVE REPASO SOBRE r:ONl'INIIIDAD Y

R" va a representar el conjunto de las /j-tuplas (xu x„) de números reales. A unque utilizaremos solam ente los casos R^ = R, R^ y R^, la noción más general de R" unifica las definiciones y no conlleva dificultades adicionales; el lector puede pensar en R^ o R^ si así lo desea. En estos casos particulares, utilizaremos la siguiente notación más tradicional: x o t para R, {x, y) o (u, v) para R^ y (x, y, z) para R^.

A.

Continuidad en R"

Vam os a comenzar precisamente la noción de que un punto esté £-próximo a un punto dado p„ e R". Una bola (o bola abierta) en con centro = (x'^¡, ..., y radio f > O es el conjunto

BÁPo)

{(^1> .. . , X„) G R"; (.V, - xVr 1 · · · -!■ (x„ -

< é^}. K

A sí, en R, B^(pf^) es un intervalo abierto con centro po y longitud 2e; en R^, B^(pi)) es el interior de la región delimitada por una esfera de centro en po y radio e (véase la fig. A2-1). U n conjunto U c R" es un conjunto abierto si para cada p e U existe una bola Bcip) c U; intuitivamente, esto significa que los puntos de U están totalm ente rodeados por puntos de U, o que los puntos que estén suficientem ente próximos a puntos de U también pertenecen a U. Por ejem plo, se ve fácilmente que el conjunto [(x ,

y) e R- ■, a < x < b, c < y < d]

es abierto en R^. Sin em bargo, si una de las desigualdades estrictas, pongamos por caso x < b , s e reemplaza por x < fe, el conjunto deja de ser abierto; ninguna bola con 126

^jfMérna^imgtílmm

127

centro en el punto {b, {d + c)/2), que pertenece al conjunto, puede estar contenida en el conjunto (fig. A 2-2). Resulta conveniente decir que un conjunto abierto de R" que contiene a un punto p es un entorno de p . D e aquí en adelante, U <= R" denotará un conjunto abierto de R". R ecuérdese que una función real/: U c R -* R de una variable real es continua en jcq si dado e > O existe un ó > O tal que si \x — entonces \f(x)-f(xo)\ <

O o

* o

Figura A2-2

e-

128

Geometria dUergncial de curvas y superficies

D e manera anàloga, una función real /: í / <= -> /? de dos variables reales es continua en (xq, ^o) si dado £ > O existe á > O tal que si (x — + (y ~ yo)^ < entonces

\ f ( x , y ) - fi.Xo,ya) \ < e· La noción de bola unifica estas definiciones com o casos particulares del siguiente concepto general: U na aplicación F: U es continua e n p € U si dado £ > O, existe ó > O tal que c : 5XF(/>)).

En otras palabras, F es continua en p si puntos arbitrariamente próximos a F(p) son im ágenes de puntos suficientem ente próximos a p . Se com prueba fácilm ente que en los casos particulares de n = l , 2 y m = \ , esto coincide con las definiciones previas. D irem os que F es continua en U si F es continua para todo p e U (fig. A 2-3). «2

«3

Figura A2-3

D ada una aplicación F: U a R" R"', podem os determinar m funciones de n variables com o sigue. Sea p = (x i, ..., x„) e U y F{p) = {y^, y „ ). Entonces podem os escribir y i = A ( x i , · · · . Xn)>

=L {Xi,x„).

Las funciones/j; U ^ R , i = \ , ..., m , son las funciones componentes de F.

E^jemirio 1 (Simetría). Sea F: -* R^ la aplicación que asigna cada p e R^ él punto que es simétrico a p con respecto al origen O e R^. Entonces F(p) = - p , o

F(x, y , z) = { —X, —y, —z), y las funciones com ponentes de F son / , ( x , y, z) = - X ,

fi(x , y, z) = - y ,

M x , y, z) = - z .

Ejemplo 2 (Inversión). Sea F: R^ - {(0, 0)} R^ la aplicación definida com o sigue. D en ó tese por |p| la distancia al origen O = (O, 0) de un punto p e R^. Por definición, F{p), p ¥= O , pertenece a la semirecta O p y es tal que |F(p)| · lp| = 1. A sí, F(p) = p /|p p , o

(^. y) ^ (0.0),

y) = y las funciones com ponentes de F son /l(^> y ) = ;c2 ÍJ, y l ’ Ejemplo 3 (Proyección). Sea Jt: R^ Entonces fi(x , y , z) = x, f^ix, y , z ) = y.

y^ = x 2 ^ y 2 ■ R^ la proyección

Jt(x,

y , z) = (jc, y).

La siguiente proposición demuestra que la continuidad de la aplicación F es equivalente a la continuidad de sus funciones com ponentes. PROPOSICION 1. F; U <= R" - ♦ R™ « continua si y Sólo si cada función R , i = 1, ..., m, es continua.

componente f¡: U <= R"

Demostración. Supóngase que F es continua en p e U. E ntonces, dado £ > O, existe ó > O tal que F(B¡(p)) <= BXF(p)). Por tanto, si ^ e Ba(p), entonces F(q) e B,(F(p)), es decir, ( /.( ? ) - A Í P ) f + ■ ■ ■ + ( U q ) - f Á p W < lo cual implica que, para cada i = 1, m , \fi(q) - fiip)\ < £■ Por eso , dado e > O existe ó > O tal que si ^ e entonces \fi(q) - f¡(p)\ < e. Por lo tanto, cada / es continua en p . R ecíprocam ente, sean /), i = 1, ..., m , continuas en p . Entonces, dado e > O existen ó, > O tales que si ^ e Ba,(p), se tiene que \fi(q) - fi(j>)\ < etV m . Fíjese à < min ó, y sea q e B¿(p). Entonces

(fÁq) -fÁp)y

+

y de aquí, la continuidad de F en p .

··· +

(Liq) -fÁP)y < Q .E .D .

130

Qeometriá OféretKial de curvas y superficies

Se deduce entonces que las aplicaciones de los ejem plos 1, 2 y 3 son continuas. Ejemplo 4. Sea F: U c R —* R"'. Entonces

F{i) = (x i(0 , ...,

t e U.

A ésta se la denom ina habitualmente com o función con valores vectoriales, y las funciones com ponentes de F son las com ponentes del vector F{f) € R"'. Cuando F es continua, o equivalentem ente, las funciones x¡(t), i = 1, ..., m , son continuas, decim os que F es una curva continua en R"’. En la mayoría de las aplicaciones, es conveniente expresar la continuidad en términos de entornos en vez de bolas. PROPOSICION 2. Una aplicación F; U <= R" - » R*" es continua e n p e U si y sólo si, dado un entorno V de F(p) en R™, existe un entorno d e p en R ” tal que F(W ) <= V.

Demostración. Adm itam os que F es continua en p . Com o V es un conjunto abierto que contiene a F (p), contiene una bola BXF(p)) para algún e > 0. Por continuidad, existe una bola = W tal que F((W ) = F{B,Íp)) cz BXFip)) cz V,

y esto prueba que la condición es necesaria. R ecíprocam ente, admitamos que la condición se satisface. Sea e > O dado y tom em os V = B ^F ip)). Por hipótesis, existe un entorno W d e p en R" tal que F(W ) c V. C om o W es abierto, existe una bola B¿(p) cz W. A sí,

F (B ,(p)) cz F(W) c 1/ = BXF(p)), y, por tanto, la continuidad de F en p . Q .E .D . La com posición de aplicaciones continuas da lugar a una aplicación continua. Con precisión, tenem os la siguiente proposición. PROPOSICION 3. Sean F: U c R" ^ R-" y G: V c= R-" continuas, donde U y V son abiertos tales que F (U ) cz V. Entonces G ° F: U cr R" ^ R*‘ es una aplicación continua.

R*' aplicaciones

Demostración. Sean p e U y V\xn entorno de G ° F(p) en R'^. Por la continuidad de G , existe un entorno Q de F{p) en R'” con G (Q ) cz V. Por la continuidad de F, existe un entorno W de p en R" con F(W) c Q. A sí, G o F{W) cz G(Q) cz V, de donde se deduce la continuidad de G ° F. Q .E.D .

mmm SupetW earagulans 131

C on frecuencia es necesario tratar con aplicaciones definidas en conjuntos arbirarios (no necesariam ente abiertos) de R". Para extender las ideas previas a esta situación, procederem os com o sigue. Sea F: A c R” ^ R"“ una aplicación, donde A es un conjunto arbitrario en /?". D ecim os que F e s continua en A si existe un conjunto abierto U <= R", A U, y una aplicación continua F: U -* R"" tal que la restricción F—>A = F. En otras palabras, F e s continua en A si es la restricción de una aplicación continua definida en un conjunto abierto que contiene a A . R esulta claro que si F: A cz R " R " ' es continua, dado un entorno V de F(p) en i?"*, p e A , existe un entorno W d e p en R" tal que F {W P) -^) <= ^- Por esta razón, es conveniente llamar al conjunto f l >1 un entorno de p en A (fig. A 2-4).

wr\A

Figura A2-4 Ejemplo 5. Sea F = un elipsoide, y sea n: R^ R^ la proyección del ejem plo 3. Entonces la restricción de n a E Qs una aplicación continua de £ a D ecim os que una aplicación continua F: A cz R" ^ R" es un homeomorfismo sobre F{A) si F es inyectiva y la inversa F~^: F{A) cz R" ^ R" es continua. En este caso A y F{A) son conjuntos homeomorfos. Ejemplo 6. Sea F: R^ —> R^ dada por F(x, y, z) = (xa, yb, zc).

F es claramente continua y la restricción de F a la esfera 5^ = {(x,

z) e R^-,x^ + y ^ + z^ = 1}

es una aplicación continua F: R^. O bsérvese que F(5^) = E, donde E es el elipsoide del ejem plo 5. Tam bién resulta claro que F e s inyectiva y que

132

Geometría dlfBrendÚ de curvas y superficies

A sí, = F~^E es continua. Por lo tanto, F e s un hom eom orfism o de la esfera 5^ sobre el elipsoide E. Finalm ente, querem os describir dos propiedades de las funciones reales definidas en un intervalo cerrado [a, b],

[a,b] = { x e R ; a < x < b] (las props. 4 y 5 de más abajo), y una importante propiedad del propio intervalo cerrado [a, b]. Se utilizarán repetidas veces en este libro. PROPOSICION 4 (El teorema del valor intermedio). Sea f: [a, b] R una función continua definida en el intervalo cerrado [a, b]. Supóngase que f(a) y f(b) tienen signos opuestos; es decir, f(a) ■ f(b) < 0. Entonces existe un punto c e (a, b) tal I que f(c) = 0 . PROPOSICION 5. Sea f: [a, b] ^ R una función continua definida en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f alcanza su máximo y su mínimo en [a, b]; es decir, existen i puntos x i, X2 6 [a, b] tales que f(xi) < f(x) ^ f(x2) para todo x e [a, b]. PROPOSICION 6 (Heine-Borel). Sea [a, b] un intervalo cerrado y sea I„, a e A , urm colección de intervalos abiertos en [a, b] tal que U « 4 = [a, b]. Entonces es posible elegir un número finito 1^^, Ir,, ..., \^ d e intervalos \„tal q u e { J \ = [a, b], i = 1, . . . , n. Estas proposiciones son teorem as estandarizados en cursos avanzados de cálculo infinitesimal, y no vam os a demostrarlas aquí. N o obstante, se ofrecen las demostra­ ciones en el apéndice al cap. 5 (props. 6 , 13 y 11, respectivam ente).

B.

Diferenciabilidad en R" S e a /: U c R ^ R. La derivada f( x o) de f e a Xq e U es el límite (cuando existe)

f ( x o ) = lim /(^ o + ^) - f ( x o \ A—O

+

ti

Cuando / tiene derivadas en todos los puntos de un entorno V de Xq. podem os considerar la derivada d e f : R e n x ^ , que se denom ina la segunda derivada f{x ¿ ) d e / e n xq, y así su cesiv am en te.,/es diferenciable en Xq si tiene derivadas continuas de todos los órdenes en Xq. f es diferenciable en U si es diferenciable en todos los puntos de U.

Observación. U sam os la palabra diferenciable para lo que algunas veces se denom ina infinitam ente diferenciable (o clase C °). Nuestra acepción no debería confundirse con la del cálculo infinitesimal elem ental, donde una función se denom ina diferenciable si existe su derivada primera.

■

^______________SupmUelMrngulméé 183

Sea F: U <= —* R. La derivada parcial de f con respecto a x en (xq, yo) e U, denotada por (d/7dx)(xo, yo), e s, cuando existe, la derivada en xo de la función de una variable: x —* f[x, yo). A nálogam ente, la derivada parcial con respecto a en (jcq, ^o), (df!dy)(xo, yo)> se define com o la derivada en yo de 3^ ^ f{xo, y)· Cuando F tiene derivadas parciales en todos los puntos de un entorno V de {xo, yo), podem os considerar las derivadas parciales segundas en (xq, yo):

d ( d f \ __ d V

± ( K \ = JIL · d y \d x /

dy d x ’

y así sucesivam ente, / es diferenciable en (xq, yo) si tiene derivadas parciales de todos los órdenes en (xo» yo), / e s diferenciable en U si es diferenciable en todos los puntos de U. Algunas veces denotarem os las derivadas parciales mediante

ilL -f

« ! /■_ /· dy

-£L = f

dx^

dxdy

§ X -f dy^

Es importante el hecho de que c u a n d o /e s diferenciable las derivadas parciales d e / son independientes del orden en las que se efectúan; es decir,

dx dy

dy d x ’

d^x dy

dx dy d x’

etc.

Las definiciones de derivadas parciales y diferenciabilidad se extienden fácilm ente a fu n cion es/: U R" R. Por ejem plo, (3/ / 3x 3)(x i, x°, .■■, x2) es la derivada de la función de una variable X3 ---- ñ x i , Xz,

X 3,

. . · . x,°).

U n hecho más im portante es que las derivadas parciales obedecen a la denominada

regla de la cadena. Por ejem plo, si x = x ( m , v), y = y (u , u), z = z{u, v) son funciones reales diferenciables en U c R^ y f(x , y , z ) es una función real diferenciable en entonces la com posición / ( x ( m , u ) , y(w, v), z(u , v ) ) es una función diferenciable en U, y la derivada parcial de / con respecto a u, por poner un ejem plo, viene dada por

du

dx du

dydu

dz du

A hora estam os interesados en extender la noción de diferenciabilidad al caso de aplicaciones F: U c R" R"'. D ecim os que F es diferenciable e n p e U si sus funciones com ponentes son diferenciables en /j; es decir, escribiendo F{X¡, . . . , X„)

=

( / i ( X l > . . ■ , Xb), . . .

,fmi.X\,

· · · J ■^n))i

134

Geometria (tíferentía! de curvas y superficies

las funciones f¡, i = 1, m , tienen derivadas parciales continuas de todos 1< órdenes en p. F es diferenciable en U si es diferenciable en todos los puntos de U. Para el caso m = 1, ésta coincide con la definición previa. Para el caso n = 1, obtenem os la noción de curva diferenciable (parametrizada) en R"'. Y a consideram os tal objeto en R^, en el cap. 1. Para nuestros propósitos, necesitam os extender ! definición de vector tangente del cap. 1 a la presente situación. U n vector tangente a¡Ji una aplicación a: U cz R ^ R"’ en to e U es el vector de R'” ' * (^o) = (.’^líío)» ■ · · > XmOoJ)· Ejemplo 7. Sea F\ U cz R^ ^ R^ dada por

F{u, v) = (eos u eos

V,

eos u sen v, cos^ v),

(u, v) e U.

Las funciones com ponentes de F, a saber

fi(u, v) = eos u eos v , f 2 Íu, v) = eos u sen v,fj,{u, v) = cos^ v tienen derivadas parciales continuas de todos los órdenes en U. A sí, F es diferenciable] en U. Ejemplo 8 . Sea a: U c R —> R"* dada por a (0 = (í^ t \ t \ t),

t e U.

E ntonces a es una curva diferenciable en /?“*, y el vector tangente a a en í e s | á { t ) = (4P, 3t^, 2t, 1).

a'(0) = (x'i(O), . . . ,

x 'J O ) )

=

{ w i,

. . . , w „ ) = w.

V am os a introducir ahora el concepto de diferencial de una aplicación diferencia- ; ble. Este va a desem peñar un papel importante en este libro.

DEFINICION 1. Sea F: U c R ” ^ R” una aplicación diferenciable. A cada p e U asociamos una aplicación lineal dFp: R" ^ R*" que se denomina la diferencial de F en p y se define como sigue. Sea v/ e R" y sea a: { —e, é) ^ V una curva diferenciable tal que a(0) = p, a '(0 ) = w. Por la regla de la cadena, la curva /3 = F °a ( - e , e) ^ R"" es también diferenciable. Entonces (fig. A 2-5)

flfyiwrtUriM fBQTÉifiw 196 dFp(w) = yff'(0).

Figura A2-5 PROPOSICION 7. La definición precedente de dPp no depende de la elección de la curva que pasa p o r p con vector tangente w, y dPp es, efectivamente, una aplicación lineal.

Demostración. Para simplificar la notación, trabajaremos con el caso F: U cz R^. Sean (u, v) las coordenadas de R^ y (x, y , z) las coordenadas de R^. Sea Ci = (1, 0), «2 = (0 , 1) la base canónica de R ^ y f i = ( 1, 0 , 0 ) ,/2 = (0 , 1, 0), f j = (0 , 0 , 1) la base canónica de R^. E ntonces podem os escribir a(í) = (u(t), v(t)), t e ( - e , e), «'(0) = w = m'(0> i + u'(0> 2,

F{u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), y yj(í) = Fo a( 0 = (x(uit), v(t)), y(.u{t), v(t)), z{u{t), v(t))). Por tanto, usando la regla de la cadena y tom ando derivadas en í = O, obtenem os

/d x du dx d v\ f (d y du ^ r P^^^ = \ d U T t - ^ d i T t ) ^ ^ ^ W u - d t - ^ d v d t ) ^ ^ + ^

¡d^

f _

^ \du dt ^ dv dt)·'^ -

¡dx dU

dx\ idu\ dv dt

dy Tu

dv

§1

dz

= dF,{w). dv

ta e

QeomeMa dUBnnciU de curvas y superficies

E sto demuestra que dFp está representada, en las bases canó n icas de y R\ m ediante una matriz que depende solam ente de las derivadas p a rc ia le s de las funciones com ponentes x , y , z de F en p . Por tanto, dFp es una aplicación lineal y es ; claro que dFp(w) no depende de la elección de a. E l lector no encontrará problemas para extender este argumento a la situación! general.

Q.E.D.I La matriz de dFp·. R" —» R"' en las bases canónicas de R" y es decir, la matrízl (3/j/9Xy),i = 1, . . . , m , / = 1, . . . , n, se llama la m aíríz/flcobiana d e f e n p . C uando n = m ,| esta matriz es cuadrada y su determ inante se denom ina el determinante jacobianoÁ es habitual denotarlo por

det

^dx¡)

Observación. N o hay acuerdo en la literatura con respecto a la notación para la l diferencial. E s tam bién de uso com ún el llamar a dFp la derivada de F e n p y denotar por F ( p ) . Ejem plo 10, Sea F: R^

R^ dada por

F (x, y) = (x^ - y \ 2xy),

(x, y) e R \

Puede comprobarse fácilm ente que F e s diferenciable y su diferencial dFp e n p = (x, y ) | es

dF ,=

¡2x

-2 y \

Uy

Ix

Por ejem plo, dF^ι^ι){l, 3) = ( - 2 , 10). U na de las ventajas de la noción de diferencial de una aplicación es que nos permite expresar m uchos resultados del cálculo diferencial en un lenguaje geom étri­ co. C onsidérese, por ejem plo, la siguiente situación: sean F: U cz R ^ ^ R^, G \V
U ciR ^ («, v)

V cR ^ (X, y, z)

R^ (í, n)

y escribamos F(m, v) = (x(m, v ), y(u, v), z(u, v)),

G(x, y, z) = (^(x, y, z), r¡(x, y, z)). Entonces

G o F{u, v)

=

(Í(x (m , v ), y(M, v), z{u, v)), t¡{x{u, v), y(u, v), z{u, v))).

w y, m ediante la regla d e la cadena, podem os decir que G ° F es diferenciable y calcular las derivadas parciales de sus funciones com ponentes. Por ejem plo,

du

dx du

dydu

dz du

A hora, una manera simple de expresar la situación de arriba consiste en utilizar el siguiente resultado general. PROPOSICION 8 (La regla de la cadena para ap licación»). Sean F: U c R" ^ R*" y G: V c R™ —*■ R*^ aplicaciones diferenciables, donde U y V son conjuntos abiertos tales que F (U ) <=■ V . Entonces G ° F: U —> R*^ es una aplicación diferenciable, y d(G o F)p = dGp(p) o dFp,

p e U.

Demostración. El hecho de que G ° F es diferenciable es consecuencia de la regla de la cadena para funciones. A hora, fijem os Wi e R" y considerem os una curva a: {-E 2 , £2) - » U, con a (0 ) = p , a '(0 ) = Wj. Pongam os dFp(wi) = ^2 y observem os que dGf(p){w2 ) = (d/dt)(G ° F ° a)|,=o· Entonces d(G o F ) > . ) = ¿ ( ( 7 o f o aX.o == dGr,U^2) = dG^,,, o dF/w^). Q .E .D . N ótese que, para la situación particular que estabam os considerando antes, la relación d (G ° F)p = dGp^p) ° dFp es equivalente al siguiente producto de matrices jacobianas

du

di^ dv

d^ du '^du dv^

iK dx

dy

§!L §IL ''dx dy

K ¡dx dz dü

dx Ih

§ 2

^

du

dv

d z‘ du

dv^

que contiene las expresiones de todas las derivadas parciales d ^ du , d ^ d v , drfldu, dr¡/dv. D e esta forma, ia simple expresión de la regla de la cadena para aplicaciones conlleva una gran cantidad de información sobre las derivadas parciales de sus funciones com ponentes. U na propiedad importante de una función diferenciable/: ( a , b ) cz R -^ R definida en un intervalo abierto (a, b) es que s i / ( j : ) = O en (a, b), e n t o n c e s /e s constante en (fl, fe). Esto se generaliza a funciones diferenciables de distintas variables de la forma siguiente. D ecim os que un conjunto abierto U cz R" es conexo si dados dos puntos/», q e U existe una aplicación continua a: [a, b ]-> U tal que a(a) = p y a(b) = q- Esto significa

138 Qoometrfa eUafanoétí de curvas y superficies

que dos puntos de U pueden unirse m ediante una curva continua e n U o que l / e s t á hecho de una sola «pieza». PROPOSICION 9. Sea f: U c R" ^ R una aplicación diferenciable definida sobre un subconjunto abierto y conexo U de R". A dm ítase que dfp: R" ^ R es cero en cada punto p e U . Entonces i es constante en U .

Demostración. Sea p e Í7 y sea c U una bola abierta centrada en p y contenida en U. Cualquier punto q e puede unirse a p mediante el segm ento «radial» /5: ]0, 1] U, donde /3(í) = íq + (1 - t)p, t e [ 0 , 1] (fig. A 2-6). Com o U es abierto, podem os extender /S a (O - e, 1 + e). A hora, f ° fi: (O - e, í + e) R es una función definida en un intervalo abierto, y d ( f o fi), = (df o dfi), = O, ya que d f = 0. A sí,

para todo í e (O - e, 1 + e), de donde (f° /3) = const. Esto significa q u e/(/3(0)) = f(p) = /(/J (l)) = f(q); es decir, / es constante en Bgip).

Por tanto, la proposición se ha dem ostrado localm ente; es decir, cada punto de U tiene un entorno tal que / es constante en ese entorno. N ótese que hasta aquí no hem os usado la conexidad de U. A hora vam os a necesitarla para demostrar que estas constantes son todas la misma. Sea r un punto arbitrario de U. C om o U es conexo, existe una curva continua a: [a, b ] - * U con a(a) = p , a (b ) = r. La función/<> a: ]a, b ] ^ ¿/es continua en [a, b]. Por la primera parte de la dem ostración, para cada í e [a, b], existe un intervalo I„ abierto en [a, fe], tal q u e / o a e s constante en /,. C om o (J/ L = [o, b], podem os aplicar el teorema

sto

1«

de H eine-B orel (prop. 6). A sí, podem os elegir un núm ero finito l i , ..., /* de intervalos I, tal que U / h = [a, b\, i = 1, ..., k. Podem os admitir, renumerando los intervalos si fuese necesario, que dos intervalos consecutivos se cortan. E n t o n c e s ,/“ a es constante e n la unión de dos intervalos consecutivos. Se deduce así que / ° a es constante en [a, 6 ]; es decir, /( α(α)) =

/(p ) =

/(a (6 )) =

f{r).

Com o r es arbitrario, / es constante en Í7. Q .E .D .

U n o de los teorem as más importantes del cálculo diferencial es el denom inado teorema de la función inversa, el cual, con la presente notación, dice lo siguiente. (R ecuérdese que una aplicación lineal A es un isomorfismo si la matriz de A es invertible.)

TEOREMA DE LA FUNCION INVERSA. Sea F: U c R" ^ R" una aplicaciór diferenciable y supóngase que en p e l J la diferencial dFp·. R" R" es un isomorfismo. Entonces existe un entorno Y d e p e n V y u n entorno W de F(p) en R" tal que F: V ^ tiene una inversa diferenciable F “ *; W V. U na aplicación diferenciable F. V cz R" W cz R", donde K y W son conjunto! abiertos, se denom ina un difeomorfismo A e F en W si F tiene una inversa diferencia ble. El teorem a de la función inversa afirma que si en un punto p 6 í / la diferencia dfp es un isom orfism o, entonces F e s un difeom orfism o en un entorno d e p . En otra; palabras, una afirmación sobre la diferencial de F e n un punto implica una afirmaciói similar sobre el com portam iento d e 'F en un entorno del punto. Este teorem a se utilizará con frecuencia en este libro. Puede encontrarse un¡ dem ostración, por ejem plo, en Buck, Advanced Calculus, p. 285.

Ejemplo I L Sea F: R^

H x, y) =

R^ dada por eos y , e^ sen y ),

(x, y ) e R^.

Las funciones com ponentes de F, a saber, u{x, y) = e^ eos y, v(x, y) = sen y , tiene derivadas parciales continuas de todos los órdenes. Luego F es diferenciable. Es instructivo fijarse, desde el punto de vista geom étrico, en cóm o F transform curvas del plano xy. Por ejem plo, la recta vertical x = Xo se aplica sobre el circuí « = e*" eos y , V = e^” sen y de radio e*", y la recta horizontal y = >0 se aplica sobr la semirrecta u = e^ eos yo, v = e^ sen y^ de pendiente tag yo- Se tiene que (fíg. A2-7

d» cunas y superMos

Figura A2-7 0) =

eos Jo. e’=sen7 o)L.,

= (e^'cosjoí e^'senjo), 0) =

eos y, e^“sen>')U^.

= ( —e«senj?o> «’"’eos jo)· E sto se puede comprobar más fácilm ente calculando la matriz jacobiana de F,

dx

dy

dv dx

dv dyl

eos y e-'sen>’

—e^sen^" e^ 'cosj

y aplicando dicha matriz a los vectores (1, 0) y (O, 1) en (xq, yo)· N otem os que el determ inante jacobiano det {dF^^ y)) = e* ^ O, y así, dFp es no singular para todo p = {x, y) e R^·, esto también resuha evidente de las consideracio­ nes geom étricas previas. Por tanto, podem os aplicar el teorem a de la función inversa para concluir que F es localm ente un difeom orfism o. Obsérvese que F(x, y) = F(x, y -I- 2jf). E ntonces, F n o e s inyectiva y no admite una inversa global. Para cada p e R^, el teorem a de la función inversa proporciona entornos K de p y W de F{p) de forma que la restricción F: V ^ W es un difeom orfismo. En nuestro caso, se puede considerar com o K a la banda { -<» < x < £», O < y < 2;r} y com o R^ - {(O, 0 )}. Sin em bargo, com o muestra el ejem plo, si las condiciones del teorem a se satisfacen incluso en todos los puntos y el dom inio de definición de F es muy sim ple, podría no existir una inversa global de F.

C apítulo 3 GEOMETRIA DE l a APLICACION DE GAUSS

3.1.

Introducción

Com o vim os en el cap. 1, el considerar la tasa de variación de la recta tangente a una curva C nos condujo a una im portante entidad geom étrica, a saber, la curvatura de C. En este capítulo extenderem os esta idea a superficies regulares; es decir, intentaremos medir cuán rápidamente se aleja una superficie S del plano tangente Tp{S) en un entorno del punto p e S. Esto es equivalente a medir la tasa de variación en p de un campo unitario normal N en un entorno de p . C om o verem os dentro de poco, esta tasa de variación viene dada por una aplicación lineal en Tp(S) que resulta ser autoadjunta (véase el apéndice al cap. 3). D el estudio de esta aplicación lineal se puede deducir un número sorprendentem ente grande de propiedades locales de 5 en p . En la sec. 3.2, introduciremos las definiciones relevantes (la aplicación de Gauss, curvaturas principales y direcciones principales, curvaturas gaussiana y m edia, etc.) sin utilizar coordenadas locales. D e esta forma, el contenido geom étrico de las definiciones se pone de m anifiesto con claridad. N o obstante, a efectos tante computacionales com o teóricos, resulta importante expresar todos los conceptos e t coordenadas locales. E sto se lleva a cabo en la sec. 3.3. Las secs. 3.2 y 3.3 contienen la mayor parte de la materia del cap. 3 que seré utilizada en las restantes partes de este libro. Las raras excepciones se señalarár explícitam ente. A efectos de com pletitud, hem os dem ostrado las principales propie dades de las apUcaciones lineales autoadjuntas en el apéndice al cap. 3. A dem ás, pan aquellos que hayan om itido la sec. 2 .6 , hem os incluido un breve repaso sobn orientación para superficies al com ienzo de la sec. 3.2. La sección 3.4 contiene una dem ostración del hecho de que en cada punto de uní superficie regular existe una parametrización ortogonal, es decir, una param etrizadói tal que sus curvas coordenadas se cortan ortogonalm ente. Las técnicas que aquí » utilizan son interesantes por derecho propio y dan lugar a otro tipo de resultados. Sii 141

& 0o m im

curvas ym/pertkäes

em bargo, para un curso de introducción sería conveniente admitir estos resultados y omitir la sección. En la sec. 3.5 nos ocuparem os de dos casos especiales interesantes de superficies, a saber, las superficies regladas y las superficies mínimas. Se tratarán independiente­ m ente de forma que en una primera lectura una (o ambas) de ellas pueda omitirse.

3.2.

Defínición de la aplicación de Gauss y sus propiedades fundamentales

C om enzarem os dando un breve repaso a la noción de orientación para superficies. C om o hem os visto en la sec. 2 .4 , dada una parametrización x\ U c S de una superficie regular S en un punto p e S, podem os elegir un vector unitario normal en cada punto de x{U) m ediante la regla

N(q) =

X„ A Xr (q), 1x„ A Xr

q e x(t/).

A sí, tenem os una aplicación N: x{U) ^ R^ que asocia a cada q' e x (í/) un vector unitario normal N {q). Más generalm ente, si F <= 5 es un conjunto abierto en 5 y A^: V' es un aplicación diferenciable que asocia a cada q e un vector unitario normal en q, decim os que N es un campo diferenciable de vectores unitarios normales en V. Resulta sorprendente el hecho de que no todas las superficies admiten un campo diferenciable de vectores unitarios normales definido en la totalidad de la superficie. D e hecho, en la banda de M öbius de la fig. 3-1 no puede definirse tal campo. Esto puede verificarse intuitivam ente recorriendo el círculo m edio de la figura: tras una vuelta, el campo vectorial se convertiría en —N , lo que contradice la continuidad de N. Intuitivam ente, uno no puede, sobre la banda de M öbius, efectuar una elección consistente de un «lado» definido; m oviéndonos alrededor de la superficie, podem os ir con continuidad al «otro lado» sin abandonar la superficie.

Figura 3-1. La banda de Möbius.

D irem os que una superficie regular es orientable si admite un campo diferenciable de vectores unitarios norm ales definido en la totalidad de la superficie; la elección de un cam po N de ese tipo se denom ina una orientación de S. Por ejem plo, la banda de M öbius más arriba referida no es una superficie orientable. Por supuesto, cada superficie recubierta solam ente por un sistema coorde­ nado (por ejem plo, superficies representadas por gráficas de funciones diferenciables) es trivialmente orientable. A sí, cada superficie es orientable localm ente, y la orienta­ ción es una propiedad global en el sentido de que involucra a la totalidad de la superficie. U na orientación en S induce una orientación sobre cada espacio tangente Tp(5), p e S, com o sigue. D efínase una base { v , w } e Tp(S) com o positiva si { v / \ w , N ) es positivo. Se ve fácilmente que el conjunto de todas las bases positivas de Tp(S) es una orientación para Tp(S); véase la sec. 1.4. En sec. 2.6 se dan más detalles sobre la noción de orientación. N o obstante, para los propósitos de los caps. 3 y 4, bastará con la presente descripción. A lo largo de este capítulo, S va a denotar una superficie regular orientable en la que ha sido elegida una orientación (es decir, un cam po diferenciable de vectores unitarios normales N); nos referiremos a esto diciendo sim plem ente que S es una superficie con una orientación N. DEFINICION 1. Sea S <= una superficie con una orientación N . La aplicación N: S ^ R^ toma valores en la esfera unidad S ^ = { ( x , y , z ) e R^;x^ + y ^ - f z ^ = l ]

La aplicación N: S gura3-2)K

S^ así definida, se denomina la aplicación de Gauss de S (fi-

Figura 3-2. La aplicación de Gauss.

Para contextos en itálicas, las letras de símbolos van en letra estándar en vez de itálicas.

if lB jK

M í)

M

p)

a (0) = V

.

0(0

'

N

Figura 3-3 Es inm ediato verificar que la aplicación de Gauss es diferenciable. La diferencial

dNp de en /? € 5 es una aplicación lineal de Tp{S) en Tn (p ){S^). Com o Tp{S) y Ts(p){S^) son planos paralelos, dNp puede observarse com o una aplicación lineal en W )· La aplicación lineal dNp·. Tp(S) Tp(S) opera com o sigue. Para cada curva parametrizada a{t) en 5 con a (0) = p , consideram os la curva param etrizada N ° o^t) = N (t) en la esfera 5^; esto equivale a restringir el vector normal TV a la curva a{t). El vector tangente N '(0) = dN p{a'(0)) es un vector de Tp(S) (fig. 3-3). M ide la tasa de variación del vector normal N , restringido a la curva a (í), en í = 0. A sí, dNp m ide cóm o N se aleja de N (p) en un entorno de p . En el caso de curvas, esta m edida viene dada por un número, la curvatura. En el caso de superficies, esta m edida está caracterizada por una aplicación lineal.

Ejemplo L Para el plano P dado por ax + by + cz + d = Qi, q\ vector unitario normal N = (a, b, c ) N + b^ + c^ es constante, por tanto d N = O (fig. 3-4). Ejemplo 2. Considérese la esfera unidad = { ( x , > ' , z ) e R^ ; x ^ + y ^ + z^ = 1].

Si a (í) - (x(í), y{t), z(t)) es una curva parametrizada en 5^, entonces

2xx’ - f 2yy’ + 2zz' = O,

úmmrntm'OimmiíkmMfí dir^amaB ue lo cual demuestra que el vector (x, y , z) es normal a la esfera en el punto (x, y , z). Así Ñ = { x , y , z ) y N = (-X, - y , - z ) son campos de vectores unitarios normales en Fijamos una orientación en eligiendo N = ( —x, —y , —z ) como campo normal Nótese que N apunta hacia el centro de la esfera. Restringido a la curva a {t), el vector normal N{t) = ( - x ( í ) , - y { t ) , - z ( 0 ) es una función vectorial de t, por tanto

c /N (x '(t),y '(t),zW = N '(0 --= ( - x ' ( 0 , -> ''(0 . -z 'W ) ; es decir, dNp{v) = - v para todo p e y todo v e Tp{S^). N ótese que con la elecciói de Ñ com o cam po normal (es decir, con la orientación opuesta) habríamos obtenidc d Ñ p iv ) = V (fig. 3-5).

Ejemplo 3. C onsidérese el cilindro {(x, v, z) e R^·, x^ + y^ = 1}. M ediante ur argumento similar al del ejem plo previo, vem os que Ñ = { x , y , Q ) y N = ( - x , - y . O' son vectores unitarios norm ales en (x, y, z). Fijam os una orientación eligiend( Ñ = ( - X , —y , 0) com o el cam po vectorial normal. Considerando una curva (x (0 , y(0> ^ (0 ) contenida en el cilindro, es decir (x(í))^ + (y(0 )^ = 1, podemos observar que, a lo largo de esta curva, N{i) = (~x(í)» O' y por tanto

dN(x'it), yXt), z'(t)) = N ’{t) = ( - x ' ( í ) . - y V ) , 0). Concluim os lo siguiente: si v es un vector tangente al cilindro y paralelo al eje z, entonces

dN(v) = 0 = 0 v ;

146

Q eoftm ia dUafenoMd» curva» rm p erfítías

si w es un vector tangente al cilindro y paralelo al plano x y , entonces dN (w ) = —w (fíg. 3-6). Se deduce que los vectores v y w son autovectores de dN con autovalores O y - 1 , respectivam ente (véase el apéndice al cap. 3).

Figura 3-6

Ejem plo4. A nalicem os el punto p = ( 0 , 0 , 0) del paraboloide hiperbólico z = y ^ - x ‘·. Para ello, considerem os una parametrización x (m , v ) dada por

x(u, v) =

(m, V,

-

«0.

y calculemos el vector normal N(u, v). Obtenem os sucesivamente x„ = ( 1, 0, -2 u ), x„ = (O, 1, 2v), J^r _ l _______ u

\ Jú ^ +

—V

1

\ _

+ ^ ’ J u } + + i ’ 2^u^ + v'^ + ^ J

N ótese que en p = (O, O, 0), x„ y los ejes x e y , respectivamente. a(t) = x(u(t), v(t)), con a (0) = (fíg. 3-7). Restringiendo N(u, u) a

coinciden con los vectores unitarios a lo largo de Por tanto, el vector tangente en p a la curva p , tiene, en coordenadas (m'(0), u'(0), 0) esta curva y calculando iV'(O), obtenem os

N \0 ) = (2u'(0), -2 v '(p ),0 ), y por tanto, en p ,

dN,{u'(0), v'{0), 0) = (2!/'(0), - 2 v '(0), 0). Se deduce que los vectores (1, O, 0) y (O, 1, 0) son autovectores de dNp con autovalores 2 y - 2 , respectivamente.

r

Qrnanmmdilàwfitèmiart^Omm i* r

Ejemplo 5. El m étodo del ejem plo previo, aplicado al punto p = (0, 0, 0) del paraboloide z = + ky^, k > 0 , demuestra que los vectores unitarios del eje a: y el eje y son autovectores de dNp, con autovalores 2 y 2A:, respectivam ente (suponiendo que N está apuntando hacia el exterior de la región delimitada por el paraboloide). La siguiente proposición contiene un hecho im portante concerniente a dNp. PROPOSICION 1. La diferencial dNp: Tp(S) Tp(S) de la aplicación de Gauss es una aplicación lineal autoadjunta (cf. el apéndice al cap. 3).

Demostración. Com o dNp es lineal, basta con verificar que {dN p{w{), W2 ) =
= - ^ N m ,v ( t ) ) = N„u'(0) + N y (o y , en particular, dA/p(x„) = iV„ y dNp(Xy) = Ny. Por lo tanto, para probar que dNp es autoadjunta, basta con demostrar que =
V y u, respectivam ente, y obténgase + = O, x„> + = 0 .

Luego, = - ( N , x„„> = .

Q .E .D .

Ok E l hecho de que dNp·. Tp{S) ->■ Tp{S) es una aplicadón lineal autoadjunta nos permite asociar a dNp una forma cuadrática Q en Tp(S^, dada por Q (v) = {dN p(v), v ) , V e rp(5); cf. el apéndice al cap. 3. Para obtener una interpretación geom étrica de esta forma cuadrática, necesitam os algunas definiciones. Por razones que resulta­ rán claras en breve, vam os a utilizar la forma cuadrática - Q . DEFINICION 2. La form a cuadrática IIp, definida en Tp(S) p o r IIp(v) = - ( d N p ( v ) , v ) se denomina la segunda forma fundamental de S en p. DEFINICION 3. Sea C una curva regular en S que pasa p o r p e S, k /a curvatura de C en p , eos 0 = ( n , N ) , donde n es el vector normal a C y ' H es el vector normal a Sen p. El número k„ = k eos 6 se denomina la curvatura normal de C a S en p. En otras palabras, k„ es la longitud de la proyección del vector kn sobre la normal a la superficie en p , con un signo dado por la orientación N de S en p (fig. 3-8).

Observación. La curvatura normal de C no depende de la orientación de C sino que cambia de signo con un cambio de orientación de la superficie. Para dar una interpretación de la segunda forma fundamental IIp, considerem os una curva regular C c S parametrizada por a ( í) , donde s es la longitud de arco de C, y con a (0 ) = p . Si denotam os por N(s) la restricción del vector normal N a la curva a (s), tenem os {N(s), a '{s)) = 0. D e donde, <;v(í),a"(í)> = -. Por lo tanto. //,(a '( 0)) = - < d iV > ' ( 0)),« '(0)> == - = = (p)=A:,(p).

té »

En otros térm inos, el valor de la segunda forma fundamental IIp para un vector unitario v € Tp{S) es igual a la curvatura normal de una curva regular que pasa por p y es tangente a v. E n particular, obtenem os el siguiente resultado. PROPOSICION 2 (Meusnier). Todas las curvas contenidas en S que tienen en un punto dado p e S la misma recta tangente, tienen en este punto la misma curvatura normal. La proposición de arriba nos permite hablar de la curvatura normal a lo largo de una dirección en p. Es conveniente el uso de la term inología siguiente. D ado un vector unitario v e Tp(S), la intersección de S con el plano que contiene a u y a N (p) se denom ina la sección normal de 5 e n p a lo largo de v (fig. 3-9). En un entorno de p , una sección normal de 5 e n p es una curva regular plana sobre S cuyo vector normal n en p es ± N (p ) o cero; su curvatura es, por esta razón, igual al valor absoluto de la curvatura normal a lo largo de v en p . Según esta term inología, la proposición de arriba dice que el valor absoluto de la curvatura normal en p de una curva of(í) es igual a la curvatura de la sección normal a 5 en p a lo largo de a '(0 ).

Figura 3-9. E l teorema de Meusnier: C >> C„ tienen la misma curvatura normal en p a lo largo de v.

Ejemplo 6 . C onsidérese la superficie de revolución que se obtiene al rotar la curva

z = alrededor del eje z (fig. 3-10). Probaremos que e n p = (0, 0, 0) la diferencial dNp = 0. Para comprobarlo, observam os que la curvatura de la curva z = en p es igual a cero. A dem ás, com o el plano xy es el plano tangente a la superficie en p , el vector normal N (p) es paralelo al eje z . Por lo tanto, cualquier sección normal e n p se obtiene por rotación de la curva z = y"^', luego tiene curvatura cero. Se sigue que todas las curvaturas normales son cero, y así dNp = 0 . Ejemplo 7. En el plano del ejem plo 1, todas las secciones normales son rectas; por tanto, todas las curvaturas normales son cero. A sí, la segunda forma fundamental es idénticam ente cero en todos los puntos. E sto concuerda con el hecho de que dN = 0.

En la esfera del ejem plo 2, con orientación Ñ , las secciones normales en un punto p e son círculos de radio 1 (fig. 3-11). Por tanto, todas las curvaturas norm ales son iguales a 1, y la segunda forma fundamental es IIp(v) = 1 para todo p eS^ y todo V e Tp(S) con |u| = 1. En el cilindro del ejem plo 3, las secciones normales en un punto p varían desde un círculo perpendicular al eje del cilindro hasta una recta paralela al eje del cilindro, pasando por una familia de elipses (fig. 3-12). A sí, las curvaturas normales varían de 1 a 0. N o es difícil ver geom étricam ente que 1 es el m áxim o y O es el mínimo de la curvatura normal en p . Sin em bargo, la aplicación del teorem a sobre formas cuadráti­ cas del apéndice al cap. 3 proporciona una demostración simple de esa observación. D e hecho, com o vim os en el ejem plo 3, los vectores w y v correspondientes a las direcciones de las curvaturas normales 1 y O, respectivam ente, son autovectores de dNp con autovalores - 1 y O, respectivam ente. A sí, com o afirmabamos, la segunda forma fundam ental alcanza sus extrem os en estos vectores. N ótese que este procedi­ m iento nos permite comprobar que tales valores extrem os son 1 y 0 . D ejam os al cuidado del lector el analizar las secciones normales en el punto p = (O, O, 0) del paraboloide hiperbólico del ejem plo 4.

Figura 3-11. Secciones normales sobre una esfera.

Figura 3-12. Secciones normales sobre un cilindro.

r

O ten m e

la apUcacián
V olvam os a la aplicación lineai dNp. E l teorem a del apéndice al cap. 3 demuestra que para cada p e S existe una base ortonormal {ej, 62} de Tp(S) tal que dNp(ei) = - k i e u dNp(e-¡) = - k 2 e2 - A dem ás, *1 y itj (* i ^ k ^ son el m áximo y el minim o de la segunda forma fundamental lIp restringida al círculo unidad de Tp(S); es decir, son los valores extrem os de la curvatura normal en p . DEFINICION 4. La curvatura normal máxima k | y la curvatura normal mínima k2 se denominan las curvaturas principales en p; las direcciones correspondientes, es decir, las direcciones dadas p o r los autovectores e j, 62, se denominan las direcciones principales en p.

Por ejem plo, en el plano todas las direcciones en todos los puntos son direcciones principales. Lo mismo ocurre con la esfera. En am bos casos, esto procede del hecho de que la segunda forma fundamental en cada punto, restringida a los vectores del círculo unidad, es constante (cf. el ejem plo 7); en consecuencia, todas las direcciones son extrem ales para la curvatura normal. En el ciUndro del e je m p lo 3, los vectores v y w dan las direcciones principales en p , correspondientes a las curvaturas principales O y 1, respectivamente. En el paraboloide hiperbólico del ejem plo 4, los ejes jt e >’ son paralelos a las direcciones principales, de curvaturas principales - 2 y 2 , respectivamente. DEFINICION 5. Si una curva regular conexa C e n S es tal que para todo p e C ía recta tangente de C es una dirección principal en p, entonces se dice que C es una línea de curvatura de S. PROPOSICION 3 (Ollnde Rodrigues). Una condición necesaria y suficiente para que una curva regular conexa C en S sea una línea de curvatura de S es que N '(t) = A(t)a'(t),

para cualquier parametrización a (t) de C, donde N (t) = N ° a (t) y A(t) es una función diferenciable de t. En este caso, -A (t) es la curvatura (principal) a lo largo de a '(t). Demostración. Basta con observar que si a '(í) está contenida en una dirección principal, entonces a '(í) es un autovector de dN y dN (aXt)) = N '(t) = A (0«'(0· El recíproco es inm ediato. Q .E .D . El conocim iento de las curvaturas principales en p nos permite calcular fácilmente la curvatura normal a lo largo de una dirección dada de Tp(S). D e hecho, sea v e Tp(S) con |i>| = L C om o e^ y 6 2 forman una base ortonormal de Tp{S), tenem os t; = ei eos 0 + C2 sen

6

,

donde 6 es el ángulo de Cj a i; en la orientación de Tp{S). La curvatura normal k„ a lo largo de v viene dada por k„ =

= -< d N ,{ v ), V)

= —( d N / f i =
CCS 0 6

+

62

sen0),

-f ^2^2 sen 0 , e¡ cos

cos 0 + 0

+

62

6

^sen0>

sen 0>

= ki cos^ 0 + A:2sen^ 0. Se conoce clásicamente a la ùltima expresión com o la fòrm ula de Euler; que en realidad no es otra cosa que la expresión de la segunda forma fundamental en la base {ei, 62}· D ada una aplicación lineai A ; V -> V de un espacio vectorial de dim ensión 2 y dada una base {vi , V2 } de V, se recuerda que el determinante de A =

0^022

- a i2«2i. la traza de A = a n + «22.

donde (a,y) es la matriz de A en la base {ui, 1^2}. Se sabe que estos números no dependen de la elección de la base {ui, V2 } y están, por tanto, asociados a la aplicación lineai A . En nuestro caso, el determinante de d N es el producto ( —^ i) (—A:2) = ^ 1^2 de las curvaturas principales, y la traza de d N es el opuesto - ( k i + k 2 ) de la suma de las curvaturas principales. Si cambiamos la orientación de la superficie, el determinante no varía (aquí es esencial que la dimensión sea par); sin em bargo, la traza, cambia de signo. DEFINICION 6 . Sea p e S y sea dNpi Tp(S) -> Tp(S) la diferencial de la aplicación de Gauss. El determinante de dNp es la curvatura gaussiana K de S e np . El opuesto de la m itad de la traza de dNp se denomina la curvatura m edia H de S en p. Podem os escribir, en términos de las curvaturas principales K=k,k2, DEFINICION 7. Un punto de una superficie S se denomina 1. 2. 3. 4.

Elíptico si deí(dNp) > 0. Hiperbólico si deí(dNp) < 0. Parabólico si deí(dNp) = O, con dNp # 0. Plano si dNp = 0.

Es claro que esta clasificación no depende de la elección de la orientación. En un punto elíptico la curvatura gaussiana es positiva. Las curvaturas principales tienen el mismo signo y, por tanto, los vectores normales de todas las curvas que pasan por este punto se dirigen hacia el mismo lado del plano tangente. Los puntos

- -

' :■ ■

Qrnìamma d»lm4vllmal»o ét-Smm· w

de una esfera son puntos elípticos. E l punto ( 0 , 0 , 0 ) del paraboloide z = + ky^, k > 0 (cf. el ejem plo 5), también es un punto elíptico. En un punto hiperbólico, la curvatura gaussiana es negativa. Las curvaturas principales tienen signos opuestos; por tanto,, existen curvas que pasan por p cuyos vectores norm ales en p apuntan hacia cualquiera de los lados del plano tangente en p . El punto (O, O, 0) del paraboloide hiperbólico z — — o? (cf. el ejem plo 4) es un punto hijjerbólico. En un punto parabólico, la curvatura gaussiana es cero pero una de las curvaturas principales no es cero. Los puntos de un cilindro (cf. el ejem plo 3) son puntos parabólicos. Finalm ente, en un punto plano, todas las curvaturas principales son cero. Los puntos de un plano satisfacen trivialmente esta condición. Se dio un ejem plo no trivial de punto plano en el ejem plo 6 . DEFINICION 8 . St en p e S, ki = k2, entonces se dice que p es un punto umbílico de S , en particular, los puntos planos (A:i = k2 = 0) son puntos umbüicos. Todos los puntos de una esfera y de un plano son puntos umbílicos. U tilizando el m étodo del ejem plo 6 , podem os verificar que el punto (O, O, 0) del paraboloide z = es un punto um bílico (n o plano). V am os a demostrar ahora el interesante resultado que afirma que, esencialm ente, las únicas superficies constituidas enteram ente por puntos umbílicos son las esferas y los planos. PROPOSICION 4. Si todos los puntos de una superficie conexa S umbílicos, entonces S está contenida en una esfera o en un plano.

son punt

Demostración. Sea p e S y sea x(u, v) una parametrización de 5 en p tal que el entorno coordenado V es conexo. Com o cada q e V es un punto um bílico, tenem os, para cualquier vector w = aix„ + «2*« en r ,( 5 ) , dN(w) - X(q)w, donde A = k(q) es una función real y diferenciable en V. Primero dem ostramos que k(q) es constante en V. Para ello, ecuación de arriba en la forma N„a,

+

N ,a 2

escribimos la

== A(x„a, + x„aj);

de donde, com o w es arbitrario,

K = K = Ax.· Derivando la primera ecuación con respecto a v, la segunda con respecto a « y restando las ecuaciones resultantes, tenem os — A„x„ = 0 .

C om o x„ y Xt, son linealm ente independientes, concluim os que A„ = A„ = O para todo q e V. Y a que V es conexo, A es constante en V, que es lo que habíamos afirmado. Si A = O, = O y por tanto N = Nq = constante en V. A sí, ( x ( m , v ) , TVq)« = „ = 0 ; luego, (x(m,

v

),

Nq) = constante,

y todos los puntos x ( m , v ) de V pertenecen a un plano. Si A 9^ O, entonces el punto x(u, v) - {í/X)N(u, v) = y(u , v) no varía porque

(x (m , v )

-

y

TV(m, v)X =í=

(x(m, v ) - \ n {u, v ) \ = 0.

Com o 1x(m, w) - y p =

todos los puntos de V están contenidos en una esfera de centro y y radio 1/|A|. E sto demuestra la proposición localm ente, es decir, en un entorno de un punto/? e 5. Para com pletar la dem ostración observam os que, puesto que S es conexa, dado cualquier otro punto r € 5 , existe una curva continua a: [ 0 , 1] ^ 5 con a (0) = p , o ( l ) = r. Para cada punto a (í) € 5 de esta curva existe un entorno V, en S contenido en una esfera o en un plano y tal que es un intervalo abierto de [O, 1]. La unión U aT^{V,), t e [O, 1], recurre [O, 1] y com o [O, 1] es un intervalo cerrado, puede recubrirse con un número finito de elem entos de la familia { a “ ^(V,)} (cf. el teorem a de H eine-B orel, prop. 6 del apéndice al cap. 2). Por tanto, a([0, 1]) está recubierto por un núm ero finito de entornos V,. Si los puntos de uno de estos entornos están en un plano, todos los otros estarán en el m ism o plano. Com o r es arbitrario, todos los puntos de S pertenecen a este plano. Si los puntos de uno de estos entornos están en una esfera, el mismo argumento demuestra que todos los puntos de 5 pertenecen a una esfera, y esto com pleta la dem ostración. Q .E .D . DEFINICION 9. Sea p un punto de S. Una dirección asintótica de S en p es una dirección de Tp(S) para la cual la curvatura normal es cero. Una curva asintótica de S es una curva regular conexa C c S tal que para cada p e C la recta tangente de C en p es una dirección asintótica. Se deduce entonces de la definición que en un punto elíptico no hay direcciones asintóticas.

r

U n a interpretación geom étrica útil de las direcciones asintóticas viene dada por la indicatriz de D upin, que vam os a describir ahora. Sea p un punto de S. La indicatriz de Dupin en p es el conjunto de vectores w de Tp{S) tales que Up{w) = ± 1. Para escribir las ecuaciones de la indicatriz de Dupin de una manera más adecuada, sean ( | , »/) las coordenadas cartesianas de Tp{S) en la base ortonormal {e\, «2} 5 donde y € 2 son autovectores de dNp. D ado w e Tp{S), sean p y 0, con |u| = 1 y V = ei cos 0 + €2 sen 0, si p 0. Por la fórmula de Euler, ± 1 = II,(w) = e^IIpiv) = kiQ^ cos^ 0 + k 2 S^ sen ^ 0 = ki^^ + k2tf, donde ^ = ^6 1 -1- 1/^2- A sí, las coordenadas ( | , rf) de un punto de la indicatriz de Dupin satisfacen la ecuación

(1) de donde la indicatriz de Dupin es la unión de dos cónicas en Tp(S). Observem os que la curvatura normal a lo largo de la dirección determinada por w es k„(v) = IIp(v) = ±(l/í>2). Para un punto elíptico, la indicatriz de Dupin es una elipse (¿1 y At2 tienen el mismo signo); esta elipse degenera en un círculo si el punto es um bílico y no plano (ki = k 2 ^ 0 ). Para un punto hiperbólico, ki y k 2 tienen signos opuestos. Por esta razón, la indicatriz de Dupin está constituida por dos hipérbolas con un par de asíntotas com unes (fig. 3-13). A lo largo de las direcciones de las asíntotas, la curvatura normal es cero; por tanto, éstas son las direcciones asintóticas. Esto justifica la terminología y prueba que un punto hiperbólico tiene exactamente dos direcciones asintóticas.

Para un punto parabólico, una de las curvaturas principales es cero, y la indicatriz de Dupin degenera en un par de rectas paralelas. La dirección común de estas rectás es la única dirección asintótica en el punto dado. En el ejem plo 5 de la sec. 3.3 demostraremos una interesante propiedad de la indicatriz de Dupin.

la g

Qéonetrta
El concepto de direcciones conjugadas, que ahora pasam os a definir, está estre­ cham ente relacionado con el de dirección asintótica. DEFINICION 10. Sea p un punto de una superficie S. D os vectores no nulos Wi, Wj € Tp(S) son conjugados si (dN p(w i), W2) =
respectivamente, que son conjugados. Es inmediato comprobar que la definición de direcciones conjugadas no depende de la elección de los vectores w, y W2 en ri y T2. Se deduce de la definición que las direcciones principales son conjugadas y que una dirección asintótica es conjugada de sí misma. A dem ás, en un punto umbflico no plano, cada par de direcciones ortogonales es un par de direcciones conjugadas, y, en un punto umbílico plano, cada dirección es conjugada de cualquier otra dirección. Supongamos que p e 5 no es un punto umbílico y sea {ei, e2> la base ortonormal de Tp(S) determina por dNp{ei) = - ki Ci , = - ^ 2 ^2 - Sean 0 y qp los ángulos que forman con ei un par de direcciones ri y r2 - Afirm am os que rj y r2 son conjugadas si y sólo si ki cos 6 cos q} = - k 2 sen 6 sen tp. (2) En efecto, ry y r2 son conjugadas si y sólo si los vectores wi = ex cos 0 + C2 sen 6, W2 - ¿1 eos g) + 62 sen q> son conjugados. A sí, O = {dNp(wx), W2 ) = - k x cos d c o s q> - k 2 sen 6 sen
EJERCICIOS 1. Demostrar que en un punto hiperbólico las direcciones principales bisectan a las direcciones asintóticas. 2. Demuéstrese que si una superficie es tangente a un plano a lo largo de una curva, entonces los puntos de esta curva o son parabólicos o son planos.

m m m m im QeirnM iUdèlaégeÈm néhG m m

157

Figura 3-14. Construcción de las direcciones conjugadas.

3. Sea C c S una curva regular sobre una superficie S de curvatura gaussiana K > 0. Demuéstrese que la curvatura á: de C en p satisface fc> m in (|fc,|, IAtzI), donde kj y

son las curvaturas principales de 5 en p.

4. Admitamos que una superficie S tiene la propiedad de que en cualquier punto |fci| < 1, \k2 \ s 1. ¿Será cierto que la curvatura k de una curva sobre S también satisface |A:( < 1? 5. Demuéstrese que la curvatura media H en p e S viene dada por

k m de donde k„{6) es la curvatura normal en p a lo largo de una dirección que forma un ángulo O con una dirección fija. 6. Demuéstrese que la suma de las curvaturas normales asociadas a cualquier par de direcciones ortogonales, en un punto p e S, es constante. 7. Demostrar que si en un punto no plano la curvatura media es cero, entonces dicho punto admite un par de direcciones asintóticas ortogonales. 8. Descríbase la región de la esfera unidad que recubre la imagen de la aplicación de Gauss de las siguientes superficies: a. El paraboloide de revolución z = + y^. b. El hiperboloide de revolución + y^ = l. c. El catenoide + y^ = cosh^ z. 9i Demostrar que a. La imagen N “ a por la aplicación de Gauss N: S —> de una curva parametrizada regular a: I S la cual no contiene puntos planos o parabólicos es una curva parametrizada regular sobre (denominada la imagen esférica de a). b. Si C = a (/) es una línea de curvatura y á: es su curvatura en p, entonces

k^\kjc^\, donde k„ es la curvatura normal en p a lo largo de la recta tangente de C y curvatura de la imagen esférica N{C) <= en N(p).

es la

188

Geometral cHfgrsncial de cunas y superficies

10. Supóngase que el plano osculador a una línea de curvatura C c= 5, la cual nunca es tangente a una dirección asintótica, forma un ángulo constante con el piano tangente a 5 a lo largo de C. Demuéstrese que C es una curva plana.

.

11 Sea p un punto elíptico de una superficie S y sean r y r' direcciones conjugadas en p.

Hágase variar r en 7^,(5) para demostrar que el ángulo mínimo que forma r con r' se alcanza en un único par de direcciones de Tp{S) que son simétricas con respecto a las direcciones principales. 12. Sea p un punto hiperbólico de una superficie S y sea r una dirección de Tp{S). Describir y justificar una construcción geométrica para hallar la dirección conjugada r' de r, en términos de la indicatriz de Dupin (cf. la construcción de la sec. 3.2). *13. Teorema de Beltrami-Enneper. Pruébese que el valor absoluto de la torsión r en un punto de una curva asintótica, cuya curvatura nunca se anula, viene dada por

donde K es la curvatura gaussiana en dicho punto. *14. Si una superficie 5i intersecta a la superficie Sj a lo largo de una curva regular C, entonces la curvatura k áe C e n p e C viene dada por sen^ 0 = Af

+

— 2A1A2 cos 0,

donde Aj y A2son las curvaturas normales en p , a lo largo de la recta tangente a C, de 5] y S 2 , respectivamente, y 0 es el ángulo que forman los vectores normales de 5i y ^2 en 15. Teorema de Joachimstahl. Supóngase que 5i y S 2 se cortan a lo largo de una curva regular C, formando un ángulo 0{p), p e C. Admitamos que C es una línea de curvatura de 5i. Demuéstrese que d(p) es constante si y sólo si C es una línea de curvatura de S 2 . *16. Demostrar que los meridianos de un toro son líneas de curvatura. 17. Demostrar que si H = O sobre 5 y 5 carece de puntos planos, entonces la aplicación de Gauss N: S ^ tiene la siguiente propiedad;

id N ,{w ,\ dN,{w2)'} = - K

íp X wu h-2>

para todo p. e S y w^, W2 e. Tp{S) cualesquiera. Demuéstrese que la condición de arriba implica que el ángulo de dos curvas incidentes en 5 y el ángulo de sus imágenes esféricas (cf. el ejercicio 9) son iguales salvo el signo. *18. Sean Ai, A„ las curvaturas normales en p e 5 a lo largo de direcciones que forman ángulos O, Inlrn, (m - 1) 2jtlm; m > 2, con una dirección principal.Demostrar que A1 + · · ■ +

A„ = mH,

donde H es la curvatura media en p. *19. Sea C cz S una curva regular en S. Sean p e C y a(s) una parametrización de C por la longitud de arco tal que a(0) = p. Elíjase una base ortonormal positiva {í, h} en Tp{S), donde t = a'(0). La torsión geodésica tg áe C S en p está definida por /d N \d s

Demostrar que a. Tg = (fci - ^ 2) eos

es el ángulo de ei a t. b. Si r e s la torsión de C, n es el vector normal (principal) de C y cos 0 = { N , n ) , entonces ds

*

c. Las líneas de curvatura de S están caracterizadas por tener torsión geodésica idéntica­ mente cero. *20. Teorema de Dupin. Se dice que tres familias de superficies forman un sistema triplemente ortogonal en un conjunto abierto U<^R^ si por cada punto p e U pasa una única superficie de cada familia y si las tres superficies que pasan p o rp son ortogonales dos a dos. Utilícese la parte c del ejercicio 19 para demostrar el teorema de Dupin: las superficies de un sistema triplemente ortogonal se cortan entre sí sobre líneas de curvatura.

3.3. La aplicación de Gauss en coordenadas locales En la sección precedente, introdujimos algunos conceptos relacionados con el com portam iento local de la aplicación de Gauss. Para enfatizar el contenido geom étri­ co de la situación, dim os las definiciones prescindiendo del uso de un sistema coordenado. Se calcularon, directamente de las definiciones, algunos ejem plos sim ­ ples. Sin em bargo, este procedim iento no es eficiente a la hora de tratar con situaciones generales. En esta sección, vam os a obtener las expresiones de la segunda forma fundamental y de la diferencial de la aplicación de Gauss en un sistema coordenado. E sto nos proporcionará un m étodo sistemático para el cálculo de ejem plos específicos. A dem ás, las expresiones generales así obtenidas son esenciales para el análisis porm enorizado de los conceptos ya introducidos. Adm itirem os que todas las parametrizaciones x: U a S , a considerar en esta sección, son com patibles con la orientación TV de 5; es decir, en x (í/),

^ ^

x„ A X. . |x„ A X j

Sea x(u, v) una parametrización en un p unto p e S á e una superficie 5 , y sea a{t) = x (u (0 , v{t)) una curva parametrizada en S, con a (0 ) = p. Para simplificar la notación, adoptaremos la convención de que todas las funciones que aparecen más abajo representan sus valores en el punto p. El valor tangente a a (í) en p es a' = x„m' + x„u', y

dN(a.') = N'(u(t), v(t)) = N ji' + N,,v'. Com o Nu y

pertenecen a 7^,(5), podem os escribir AT„ = a,,x„ + fl2ix„, N , = fll2X„ + fl22X„,

“ ííí U 4 ,,,l ; í

por tanto.

dN{Oí') = (OhM' + a i2f')X|, + (^21«' + « 22«')*»; de donde

dN

m'\

/ílii

,V Ì

\a 2 l

022/

\v '/

E sto prueba que en la base (x„, x„}, ¿Adviene expresada por la matriz (a,y), i , j = l ,2 í | N ótese que esta matriz no es necesariam ente simétrica, salvo que {x„, x„}sea unal base ortonormal. Por otra parte, la expresión de la segunda forma fundamental en la base {x„, x„} i viene dada por 7 /,( a ') = - i d N { a ' ) , «'> =

+ N ^ v , x„m' +

= e(u'y + 2fu'v' + g ( v y , x„) = { N , \ y ) = 0 ,

donde, puesto que

e=

x„> = ,

/ = - = = ÍN,

S~

x„^ =

x

„„>

=

x„>,

x„„^.

A hora vam os a obtener los valores de a¡j en términos de los coeficientes e , f , g. D e la ecuación ( 1) tenem os

= a ^ F + a^G,

- / =
- / = = O nF + a2zF,

- e = = ü u E + -g =

02

iF,

x„> = « 12^· + ai2G,

donde E, F y G son los coeficientes de la primera forma fundamental en la base {x„, x„} (cf. la sec. 2 .5). Las relaciones (2) pueden expresarse en forma matricial por

(e de donde

\f

/'l _ /au U l2 gì

1 ÍÍ2l\ 2 donde (

fe

fl2l'

F\

« 22/ \ F

G, FV

/E gl .F

« 22/

) ' representa la inversa de la matriz (

(E

F\-> gI

1

I

G

-£G -F ^ [-F

). Se comprueba fácilmente que

E,

de donde se deducen las siguientes expresiones para los coeficientes (
fF -eG «n - eG - F ^ ’

gF -fG eF -fE ~ EG - F^’ _ fF -gE __ ^21 - e G - F ^ D ebe mencionarse que en la literatura las relaciones (1), conjuntamente con los valores de arriba, se conocen com o las ecuaciones de Weingarten. D e la ecuación (3) obtenem os inm ediatam ente K -d M (« „ )-Ä ^ .

(4)

Para calcular la curvatura m edia, recordamos que —ki, —k 2 son los autovalores de dN. Por consiguiente, ki y k 2 satisfacen la ecuación

d N (v) = - k v = - k l v

para algún v e Tp(S), v

O,

donde / es la aplicación identidad. D e aquí se deduce que la aplicación lineal dN + k l no es invertible; luego tiene determ inante cero. A sí,

^22 + k!

\a 21 o

k^ + kiü u + ÍZ22) + «11022 -

= 0.

Com o k\ y k j son las raíces de esta ecuación cuadrática, concluim os que

H

H = y ( / c i « 2) — —

^ (n

- U f l ' » - * cG - 2 fF 4- gE . + “ 22)— 2 EG — F^ ’

luego,

k ^ - 2 H k + K = O, y, consecuentem ente,

k = H±

- K.

(5)

Oeomem'^dMérenM d é h a r^ y W p e rfít^

D e esta relación se deduce que, si elegim os ki{q) > * 2(9 ), q e S, entonces las funciones ki y k 2 son continuas en S. A dem ás, k^ y k^ son diferenciables en S, salvo quizás en los puntos umbílicos {t fi = de 5. En los cálculos de este capítulo, por brevedad, es conveniente escribir

{u / \ v , w ) =

(m , V ,

w)

para cualesquiera u, v, w e R^.

Recordam os que esto no es otra cosa que el determinante de la matriz 3 x 3 cuyas columnas (o líneas) son las com ponentes de los vectores u, v, w en la base canónica de R^.

Ejemplo 1. Vam os a calcular la curvatura gaussiana de los puntos del toro recubierto por la parametrización (cf. el ejem plo 6 de la sec. 2 .2) x(m,

v

)

= ((a + r cos u) cos v, {a + r e o s ú) sen v, r sen u), O < M < 2flT, O < u < 2nr.

Para el cálculo de los coeficientes e, / , g, necesitam os conocer N (por tanto x„ y Xu)5

y Xuu· Xu = ( “ '■ sen u cos v, - r sen u sen v, r cos u), x„ = ( —(a + r cos u) sen v, {a + r cos u) cos v, 0 ). x„„ = ( - r cos u cos V, - r cos u sen v, —r sen u), = ('■ sen u sen v, - r sen u cos v, 0), x„„ = ( - ( a + r cos u) cos v, - { a + r cos ú) sen v, 0).

D e estas identidades obtenem os £ = =

f = = O,

G = = (a + reos u) \ Introduciendo los valores obtenidos en e = (N, x„„) y teniendo en cuenta que |x« A x«l = VfG - F^, obtenem os / x„ A x„ Y \ _ (x»> X.- X.«) _ /-"(a + /- CCS u) ^ \ | x „ A x „ r “7 - F^ r(a + rcosu)

O btenem os, análogamente

f ^

(x„, X„ X„,) ^

r{a + r cos u) =

(x .. X.. x j

r { a + r cos m)

^

^ eos u).

Geaimm
(eg - f ) / ( E G - F^), tenem os K=

cos «

r(a + r cos u)

D e esta expresión se deduce que = O a lo largo de los paralelos u = jt/2 y u = 3nl2; por esta razón, los puntos de estos paralelos son puntos parabólicos. En la región del toro definida por Ji/2 < u < 3ji/2, K es negativa (nótese que r > O y a > r); por tanto, los puntos de esta región son puntos hiperbólicos. En la región dada por

Q < u < n l 2 ó Ín!2 < u < 2 j i , l a curvatura es positiva y los puntos son puntos elípticos (fig. 3-15). Eje de rotación

C om o aplicación de la expresión para la segunda forma fundamental en coordena­ das, vamos a demostrar una proposición que da información sobre la posición de una superficie en el entorno de un punto elíptico o hiperbólico, con respecto al plano tangente en dicho punto. D e hecho, si nos fijamos en un punto elíptico del toro del ejem plo 1, observam os que la superficie se encuentra a un lado del plano tangente en dicho punto (véase la fig. 3-15). Por otra parte, s i p es un punto hiperbólico del toro T y V c T es cualquier entorno de p , podem os encontrar puntos de a ambos lados de Tp(S), sin importar lo pequeño que pueda ser V. Este ejem plo refleja un hecho general, de carácter local, que se describe en la siguiente proposición. PROPOSICION 1. 5ea p e S un punto elíptico de una superficie S. Entonces existe un entorno V de p en S tal que todos los puntos de V pertenecen al mismo lado del plano tangente Tp(S). Sea p un punto hiperbólico. Entonces, en cualquier entorno de p existen puntos de S en cada uno de los lados de Tp(S).

Demostración. Sea \{u , v) una parametrización en p , con x ( 0 , 0) = p . La distancia d de un punto q = x(u, v) al plano tangente Tp(S) viene dada por (fig. 3-16) d^ (x(u,v)~x(0,0),N (p)).

t6<

Geometria Ofemncial docarvta y mjperfìcies

C om o x(u, v) es diferenciable, tenem os la fòrmula de Taylor:

x(u, v) = x ( 0 ,0) + x,M + x,v + i(XuuU^ + 2x.,uv + x , y ) + R, donde las derivadas están evaluadas en (O, 0) y el resto R satisface la condición lim (u,i>)-(0,0)

R

= 0.

Se deduce entonces que

d = (x(t{, v) — x (0 ,0), N(p)y = N(p)}u^ + 2
+ 2fuv + gv^) + R — j í I p M + •^>

donde w = x„u + x^v, R = (R , N(p) ) y l i m ^ o = 0. Para un punto elíptico p , IIp{w) tiene un signo fijo. Por tanto, para todo (« , v) suficientem ente próximo a p , d tiene el m ism o signo que IIp{w)\ es decir, tales (u, v) pertenecen al mismo lado de Tp(S). Para un punto hiperbólico p , en cada entorno de p existen puntos (u, v) y (ü, i/) tales que IIp{wl\w\) y //p(H’/|H'|) tienen signos opuestos (aquí w = x„ú + x„i>); por tanto, tales puntos pertenecen a lados distintos de Tp{S). Q .E .D . N o puede hacerse una afirmación com o la de la prop. 1 en un entorno de un punto parabólico o plano. En los ejem plos precedentes de puntos parabólicos y planos (cf. los ejem plos 3 y 6 de la sec. 3.2) la superficie se hallaba a un lado del plano tangente y podía tener una recta en com ún con este plano. En los siguientes ejem plos dem ostra­ rem os que puede darse una situación com pletam ente diferente. Ejemplo 2. La «silla de m ono» (véase la fig. 3-17) viene dada por X = u,

y = V,

z = u ^ — 3v^u.

QBomaMa(t0laaptcación<í9Qauss 166

Figura 3-18

Un cálculo directo dem uestra que en (O, 0) los coeficientes de la segunda forma fundamental son e = f = g = 0; por tanto, el punto (O, 0) es un punto plano. N o obstante, en cualquier entorno de este punto hay puntos a ambos lados del plano tangente.

Ejemplo 3. Considérese la superficie que se obtiene al rotar la curva z = y^, - 1 < z < 1, alrededor de la recta z = 1 (v.éase la fig. 3-18). U n simple cálculo prueba que los puntos generados por la rotación del origen O son puntos parabólicos. Vam os a omitir este cálculo porque dem ostrarem os en breve (ejem plo 4) que los paralelos y los meridianos de una superficie de revolución son líneas de curvatura; esto, junto con el hecho de que, para los puntos en cuestión, los meridianos (curvas de la forma y = x^) tienen curvatura cero y el paralelo es una sección normal, implica la afirmación hecha más arriba. N ótese que en cualquier entorno de un punto parabólico de aquel tipo existen puntos a ambos lados del plano tangente. La expresión de la segunda forma fundamental en coordenadas locales es particu­ larmente útil para el estudio de las direcciones asintóticas y principales. Primero nos fijaremos en las direcciones asintóticas. Sea x(«, v) una parametrización en p e 5 , con x(0, 0) = p , y sean e(u, v) = e, f{u, v) = f y g(u, i») = g los coeficientes de la segunda forma fundamental en esta parametrización. Se recuerda que (véase la def. 9 de la sec. 3.2) una curva regular conexa C en el entorno coordenado de x es una curva asintótica si y sólo si para cualquier parametri­ zación a(t) = x(«(r), u(/)) , t e l , d e C tenem os II(a'(t)) = O, para todo í e l , es decir, si y sólo si

e (u 'y .+ Ifu'v' + g W y = 0 ,

tel.

106

Geometria dihrentíal de curvas y superficies

Por esta razón, la ecuación (7) se denom ina la ecuación diferencial de las curvas asintóticas. En la siguiente sección d*aremos una interpretación más precisa de esta expresión. Por ahora, sólo querem os sacar de la ecuación (7) la siguiente conclusión útil: una condición necesaria y suficiente para que las curvas coordenadas de una parametrización en un entorno de un punto hiperbólico (eg < 0 ) sean curvas asintóticas es que e = g = 0 . En efecto, si las curvas u = const., v = v(í) y u = u{t), v = const. satisfacen la ¡ ecuación (7), obtenem os que e = g = 0. Recíprocam ente, si la última condición se da i yy O, la ecuación (7) se convierte en fu 'v' = O, ecuación que claramente satisfacen ; las curvas coordenadas. A hora vamos a considerar las direcciones principales, manteniendo las notaciones < ya establecidas. U na curva regular conexa C en el entorno coordenado de x es una línea de" curvatura si y solam ente si para cualquier parametrización de C, a{t) = x(m (0, v(0).1 t e I, tenem os (cf. la prop. 3 de la sec. 3.2)

d N ia W = A(Oa'(í). Se deduce entonces que las funciones u'{t) y v'{t) satisfacen el sistema de ecuaciones í

Elim inando A en el sistema precedente obtenem os la ecuación diferencial de las líneas

de curvatura. { f E - eF )(u'f + {gE - eG)u'v' + {gF - fG )(v 'y = O, que, de una manera más simétrica, puede escribirse en la forma

(v 'y E

—mV

(u y

F

G

e

/

g

(8)

= 0.

Utilizando el hecho de que las direcciones principales son ortogonales entre sí, se deduce fácilmente de la ecuación (8) que una condición necesaria y suficiente para que

las curvas coordenadas de una parametrización en el entorno de un punto no umbílico sean líneas de curvatura es que F = f = 0. Ejemplo 4. (Superficies de revolución). C onsidérese una superficie de revolución parametrizada por (cf. el ejem plo 4 de la sec. 2.3; hem os c a m b ia d o /y g por
O < u 2j t, a < V < b,

q>(v)

0.

O tenm lribéféíttiptSÉalún^Ú tM a W

Los coeficientes de la primera forma fundamental vienen dados por E = q ,\

F = 0,

G = (g>r + ( w r -

Es conveniente admitir que la curva que rota está parametrizada por la longitud de arco, es decir, que

(
( x „ , X„, X , „ ) _________ ]_

J E G - F^

ip COS u O

q>

c os m

—gtcosu

(p's&nu —¡psenu = -
/ = 0, g=y/'q>" - y/"(p'. Com o f = / = O, concluim os que los paralelos (u = const.) y los meridianos ( m = const.) de una superficie de revolución son líneas de curvatura de tal superficie (este hecho se utilizó en el ejem plo 3). Com o

f-^ e g - P EG - F ^ ~

v \ w ' y " -¥"')

(9)

(p

^

y q> siempre es positiva, se deduce entonces que los puntos parabólicos vienen dados o bien por V»' = O (la recta tangente a la curva generatriz es perpendicular al eje de rotación) o bien por - tp'q/' = O (la curvatura de la curva generatriz es cero). U n punto que satisfaga ambas condiciones es un punto plano, ya que estas condiciones implican que e = f = g = 0. Es conveniente expresar la curvatura gaussiana todavía de otra forma. D iferen­ ciando = 1 obtenem os q)'qf' = -ip'xj/'. A sí, ^ ^

i//'(w'9" - w"
iv'y-y" + {(p'f(p" ^ (p

q>

La ecuación (9) resulta ser una expresión adecuada para la curvatura gaussiana de una superficie de revolución. Se puede utilizar, por ejem plo, para determinar las superfi­ cies de revolución con curvatura gaussiana constante (cf. el ejercicio 7). Para calcular las curvaturas principales, hacem os primero la siguiente observación general: si una param etrización de una superficie regular es tal que F = f = O, entonces las curvaturas principales vienen dadas p o r e/E y g/G. D e hecho, en este caso, las curvaturas gaussiana y m edia vienen dadas por (cf. las ecuaciones (4) y (5)) ' ^ = 1 ·

GiaarfiBMk‘1

BW wery-aíVwlides

C om o K es el producto y 2H es la suma de las curvaturas principales, se dedv entonces nuestra afirmación. A sí, las curvaturas principales de una superficie de revolución viene dadas por (IM L uego, la curvatura m edia de una superficie de este tipo es „

1 -«/■' + Q>{tl/'0" - v V )

2

cp

(I li

Ejemplo 5, C on frecuencia una superficie viene dada corno la gràfica de fui diferenciable (cf. la prop. 1, sec. 2 .2) z = h(x, y), donde {x, y) pertenece a conjunto abierto U <= R^. Por esta razón, es conveniente disponer de fórmulas para I conceptos relevantes en este caso. Para obtener tales fórmulas parametricemos superficie m ediante x(m, v) = (m, V, h(u, v)),

(m, v) e U,

donde u - x, v = y. U n simple cálculo prueba que x„ = (1, O, AJ,

x„ = (O, 1, h„),

= (0. O, h J ,

x„„ = (O, O, h j ,

x„„ = (O, O, h J .

A sí N (x v) —

es un campo unitario normal sobre la superficie y los coeficientes de la segunda form^ fundamental en esta orientación vienen dados por

e=

(1 + /li + h ]r^ '

h.y

/ = ( 1 4^ h\ + h i y ‘^

g = (1 + /IÌ + D e las expresiones precedentes cualquier fórmula que se necesite puede calcularse fácilmente. Por ejem plo, de las ecs. (4) y (5) obtenem os las curvaturas gaussiana y medía:

^

h ,A y - h\. {i + hi + h iy (1 + hX)K, ~ 2M A > + (1 + (1 + /lì +

'■■mrìfnpfi.

Todavía hay otra razón, quizás más im portante, para estudiar superficies expresa­ das en la forma z = h(x, y ). E sto se debe al hecho de que, localm ente, cada superficie es la gráfica de una función diferenciable (cf. la prop. 3, sec. 2.2 ). D ado un p u n to p de una superficie S, podem os elegir los ejes de coordenadas de de forma que el origen de coordenadas O esté en p y el eje z esté dirigido a lo largo de la normal positiva de S e n p (así, el planoacy coincide con Tp(S)). Se deduce entonces que en un entorno d e p en S, ésta puede representarse en la forma z = h(x, y ), (x, y) e U cz R^, donde U es un conjunto abierto y h es una función diferenciable (cf. la prop. 3, sec. 2 .2 ), con h(0, 0) = O, h M 0) = O, hy(0, 0) = O (fig. 3-19). En este caso, la segunda forma fundamental de S e n p aplicada al vector {x, y) e R^ toma la forma 0 )x^ -1- 2/í„ (0, 0)jcy +

0)y^

Figura 3-19. Cada punto de S tiene un entorno que puede representarse como z = h(x, y).

En cálculo diferencial elem ental de dos variables, la forma cuadrática precedente se conoce com o el hessiano de h en (O, 0). A sí, el hessiano de h en (O, 0) es la segunda forma fundamental de 5 en p. Apliquem os las consideraciones precedentes para dar una interpretación geom é­ trica de la indicatriz de D upin. Con la notación de antes, sea e > O un número pequeño de forma que

C = {(x, y ) e Tp(S); h(x, y ) = e} sea una curva regular (quizás habría que cambiar la orientación de la superficie para lograr que e > 0). Q uerem os demostrar que si p no es un punto plano, la curva C es «aproximadamente» similar a la indicatriz de Dupin de 5 en p (fig. 3-20). Para comprobarlo, admitamos además que los e j e s x e y están dirigidos a lo largo de las direcciones principales, con el eje x a lo largo de la dirección de la curvatura principal máxima. A sí, / = h^y(0, 0) = O y X0, 0),

k2(p) = ^ = h J0 ,0 ).

•wo QúenrnMa’^memnom^^tkf c m m y mipaiiicles

Figura 3-20

Desarrollando por Taylor h(x, y) en (O, 0) y teniendo en cuenta que h^(0, 0) = O = hy(Q, 0), obtenem os h { x , y )

=

=

^ { K Á O ,

0)x^ + 2 A ,,(0 ,

0 ) x y

+

h ,,(0 ,

0 ) y ^ )

+ R

+ k,y^) + R,

donde

lim

u,j')-(o,o)

R + y"·

= 0.

A sí, la curva C viene dada por

k h ^ + kiy^ + 2R = le. A hora, si p no es un punto plano, podem os considerar kjx^ + k^y^ = l e com o una primera aproximación de C. Utilizando ¡a transformación de sem ejanza, X = x^2e,

y = yJYe,

tenem os que kix^ + k^y^ = l e se transforma en la curva

k^P + k j ^ = 1,

que es la indicatriz de D upin en p . E sto significa que si p es un punto no plano, la intersección de S con un plano paralelo a Tp(S) y próxim o a p es, en una aproximación de prim er orden, una curva sim ilar a la indicatriz de Dupin en p. Si p es un punto plano, esta interpretación ya no es válida (cf. el ejercicio 11). Para concluir esta sección vam os a dar una interpretación geom étrica de la curvatura gaussiana en térm inos de la aplicación de Gauss N: 5 —» S^. R ealm ente, así fue com o el propio Gauss introdujo esta curvatura. Para ello, primero necesitam os una definición. Sean S y S dos superficies regulares orientadas. Sea tp: S ^ S una aplicación diferenciable y admitamos que para algún p e S, dq>p es no singular. D ecim os que q> preserva la orientación en p si dada una base positiva {w i, W2 } en Tp(S), entonces {díppiwi), d invierte la orientación en p . A hora observam os que tanto S com o la esfera unidad están sumergidas en R^. Por tanto, una orientación sobre S induce una orientación N e n S^. S e a p e 5 tal que dNp es no singular. Y a que para una base {w^, W2 ) en Tp{S) dN„(yVi) A dN,(yv2) = det(<íAfj,)(M', A ^ 2 ) = Kw^ A ^ 2 ,

la aplicación de Gauss N preservará la orientación e n p e S si K {p) > O e invertirá la orientación e n p e S si K{j)) < 0. Intuitivam ente, esto significa lo siguiente (fig. 3.21);

Figura 3-21. La aplicación de Gauss preserva la orientación en un punto elíptico e invierte

la orientación en un punto hiperbólico.

una orientación de Tp(5) induce una orientación en curvas cerradas suficientem entoì pequeñas alrededor de p; la imagen por N de estas curvas tendrá la misma orientaci<^ ! o la opuesta de la originai, dependiendo de si e l punto p es un punto elíptico o 5 hiperbólico, respectivam ente. Para tener en cuenta este hecho adoptarem os la convención que consiste en decir que el área de una región contenida en un entorno conexo V, donde K ¥ ^ 0 ,y e l área de su im agen m ediante N tienen el m ism o signo si ^ > Oen V y signos opuestos si K < en V (com o V es conexo, K no cambia de signo en V). I A hora podem os enunciar la interpretación geom étrica prometida de la curvatura gaussiana K , para K 0. PROPOSICION 2. Sea p un punió de una superficie S tal que la curvatutiti gaussiana K (p) ¥= O y sea V un entorno conexo de p donde K no cambia de signo} Entonces

U v ) = lim

A -O A

donde A es el área de una región B <= V que contiene a p. A ' es el área de la imagen de B p o r la aplicación de Gauss N: S y el límite se toma sobre urm sucesión de regiones B„ que converge a p , en el sentido de que cualquier bola centrada en p contiene a todas las B„, para n suficientemente grande. Demostración. E l área A áe B viene dada por (cf. la sec. 2.5) A =

I x„ A XJ

dv.

donde x ( m , v ) es una parametrización en p , cuyo entorno coordenado contiene a K (se puede admitir que V es- suficientem ente pequeño) y /? es la región del plano uv correspondiente a B. El área A ' de N {B) es 4' = f f

J· R

\N, ^ NA du dv.

U sando la ecuación (1), la definición de K y la. convención precedente, podem os escribir A' K\ x„ A x„ I du dv. Tom ando límites y denotando también por R al área de la región R, obtenem os

A'

A'IR

lim 4 = lim ^ R-0 A/R ^

a: IX,

lim (l//? ) K \x ^ A x ,\d u d v -------- i L ·

lim (1/R)

A XJ ^ X.

Ixu A

¡x ^ A x A d u d v

w r

-

(nótese que hem os utilizado el teorem a del valor m edio para integrales dobles) y esto (né orueba la proposición. ^ Q .E .D .

Observación. Com parando la proposición con la expresión de la curvatura = lim — i-*0 S

de una curva plana C e n p (aquí s es longitud de arco de un pequeño segm ento de C que contiene a /> y o es la longitud de arco de su imagen m ediante la indicatriz de tangentes; cf. el ejercicio 3 de la sec. 1.5), vem os que la curvatura gaussiana K es lo análogo, para superficies, de la curvatura k para curvas planas.

EJERCICIOS 1. Demostrar que en el origen (O, O, 0) del hiperboloide z = axy tenemos que K = — y H = 0. *2. Determinar las curvas asintóticas y las líneas de curvatura del helicoide y = V sen u, z = cu y demuéstrese que su curvatura media es cero. *3. Determínense las curvas asintóticas del catenoide x(m

4.

, v) =

(cosh

V

cos

«,

cosh

v

sen

« , v).

Determínense las curvas asintóticas y las líneas de curvatura de z = xy.

5. Considérese la superficie parametrizada (superficie de Enneper) x ( u , t>) = ( « ----- J

+ uv^, V — ^

+ vu^,

y demuéstrese que a. Los coeficientes de la primera forma fundamental son £· = C = (1 + «i + t,2)2,

F = 0.

b. Los coeficientes de la segunda forma fundamental son e = 2,

g = -2 ,

/= 0 .

c. Las curvaturas principales son ^1 - (1 + «2 4- „2)2*

= - (1 + 1/2 +

d. Las líneas de curvatura son las curvas coordenadas. e. Las curvas asintóticas son u + v = const., u - v = const.

jc

=

v

cos u,

6. Una superficie con K = —1: la seudoesfera.

a. Determinar una ecuación para la curva plana C, la cual es tal que el segmento de la recta tangente entre el punto de tangencia y alguna recta r del plano, que no corta a la curva, tiene longitud constantemente igual a 1 (esta curva se denomina la tractriz; véase la fig. 1-9).

b. Rótese la tractriz C alrededor de la recta r, determínese si la «superficie» de revolución así obtenida (la seudoesfera; véase la fig. 3-22) es regular y hállese una parametrización en un entorno de un punto regular. c. Demuéstrese que la curvatura gaussiana de cualquier punto regular de la seudoesfera es - 1 .

7. Superficies de revolución con curvatura constante. Se da la superficie de revolución ( y elíjase el parámetro v de forma que («p')^ + (V»')^ = esto significa, geométricamente, que u es la longitud de arco de la curva generatriz (^p(*')> VK*^))· Demostrar que a. = Oy if>viene dada por x¡>= j V 1 — (tp’f' dv; así, O< « < Zw y el dominio de v se toma de forma que la última integral tenga sentido. b. Todas las superficies de revolución con curvatura constante /f = 1 que intersectan perpendicularmente al plano xOy vienen dadas por


= J a/ 1 — C^semvdv,

donde C es una constante (C = ç>(0)). Determínese el dominio de v y trácese un boceto a grandes rasgos del perfil de ía superficie en el plano xz para los casos C = 1 , 0 1, C < 1. Obsérvese que C = 1 da lugar a una esfera (fig. 3-23).

r

......... I,., .

. . . „um m rn

c. Todas las superficies de revolución con curvatura constante K = - 1 pueden expresarse por uno de Ics tipos siguientes 1. qi{v) = C cosh v,

il>(v) = I ” V i - C^senh^ v dv. 2.
ib(v) = f V 1 J0 3. (p(v) = e·’, V
cosh^

V

dv.

dv.

Determínese el dominio de u y trácese un boceto a grandes rasgos del perfil de la superficie en el plano xz. d. La superficie del tipo 3 en la parte c es la seudoesfera del ejercicio 6. e. Las únicas superficies de revolución con K = 0 son el cilindro circular recto, el cono circular recto y el plano. 8. Contacio entre superficies de orden a 2. Dos superficies S y S, con un punto en común p, tienen un contacto de orden a 2 en p si existen dos parametrizaciones x(m, v ) y x(m, v ) en p de S y S, respectivamente, tales que X|( — Xy,

Xj, = XtJ,

X«U

X|ÌB,

^UV

en p. Demuéstrese los siguiente: *a. Sean S y S superficies con un contacto de orden > 2 en p; sean x: í / —» 5 y x : U S parametrizaciones arbitrarias en p de 5 y 5, respectivamente; y sea/: V
'2-Xyfxy + y'^fyyX

obtenido al despreciar los términos de orden mayor o igual al tercero en el desarrollo de Taylor en p = (O, 0), tiene un contacto de orden 2 2 en p con 5; la superficie se denomina el paraboloide osculador de S en p. *d. Si un paraboloide (incluyendo los casos degenerados del plano y del cilindro parabóli­ co) tiene un contacto de orden > 2 con una superficie 5 en p, entonces dicho paraboloide es el paraboloide osculador de 5 en p. e. Si dos superficies tienen un contacto de orden > 2 en p , entonces los paraboloides osculadores de S y S enp coinciden. Conclúyase que las curvaturas gaussiana y media de 5 y S en p son iguales.

W

n S B S S B S S S S :

t. La noción de contacto de orden s= 2 es invariante frente a difeomorfismos de R^; es decir, s iS y S tienen un contacto de orden ^ 2 e n p y es un difeomorfismo, entonces qi{S) y tp{S) tienen un contacto de orden en q>(p)· g. Si S y S tienen un contacto de orden a 2 en p, entonces lim 4=0. r-or^ donde d es la longitud del segmento generado por las superficies, al cortar una recta perpendicular a Tp(S) = Tp(S) la cual se halla a una distancia r de p.

9. Contacto de curvas. Defínase el contacto de orden s « (/j un entero & 1) para curvas regulares en R^ con un punto en común p y demuéstrese que a. La noción de contacto de orden a n es invariante frente a difeomorfismos. b. Dos curvas tienen un contacto de orden >1 en p si y solamente si son tangentes en p. 10. Contacto entre curvas y superficies. Una curva C y una superficie S, que comparten un punto p, tienen un contacto de orden a n (n un entero > 1) e np si existe una curva C c S que pasa porp tal que C y C tienen un contacto de orden > n en p . Demuéstrese que:

a. Si/(jt, y ,z ) = 0 es una representación de S en un entorno dep y a(í) = (x(t), y(t), z(/)) es una parametrización de C en p, con a(0) = p, entonces C y S tienen un contacto de orden 2 n en p si y sólo si

^ = 0 , . . . , ^ = 0,

/W 0),:»'(0),z(0))=0,

donde las derivadas están evaluadas en / = 0. b. Si un plano tíene un contacto de orden 2 2 con una curva C en p, entonces éste es su plano osculador en p. c. Si una esfera tiene un contacto de orden > 3 con una curva C en p y a(s) es una parametrización por la longitud de arco de esta curva, con a(0) = p, entonces el centro de la esfera viene dado por a(0) + -^/í + ^ b . Tal esfera se denomina la esfera osculatriz de C en p. 11. Considérese la silla de mono S del ejemplo 2. Construir la indicatriz de Dupin enp = (0 ,0 ,0) usando la defínición de la sec. 3.2 y comparar ésta con la curva obtenida al intersectar 5 con un plano paralelo a Tp{S), próximo a p. ¿Por qué no son «aproximadamente similares»? (cf. el ejemplo 5 de la sec. 3.3). Repasar el argumento del ejemplo 5 de la sec. 3.3 y señalar dónde no sería correcto al aplicarlo al presente ejemplo. 12. Considérese la superficie parametrizada x(u,

v)

= (sen u cos

v,

sen u sen

v,

cos u + log tag - j +

qÁ,v)),

donde

a. Las curvas v = const. están contenidas en planos que pasan por el eje z y cortan a la superficie bajo un ángulo constante 6 dado por cos

V i +' Concluir que las curvas v = const. son líneas de curvatura de la superficie.

r

'''Q »eitm m m wit0m ÊâifW ’9ÊOêè w b. La longitud dei segmento de una recta tangente a una curva v = const., determinado por el punto de tangencia y el eje z, es constantemente igual a 1. Concluir que las curvas v = const. son tractrices (cf. el ejercicio 6). 13. Sea F: constante que S es gaussiana

-* R^ la aplicación (una homotecia) definida por F(p) = cp, p e R^, c una positiva. Sea S c una superficie regular y definamos F(S) = S. Demuéstrese una superficie regular y hállense las fórmulas que relacionan las curvaturas y media, K y H ,d e S con las curvaturas gaussiana y media, K y H ,d e S.

14. Considérese la superficie que se obtiene al rotar la curva y = j c ^ , - l < x < l , alrededor de la recta x = l. Demostrar que los puntos obtenidos al rotar el origen ( 0 ,0) de la curva son puntos planos de la superficie. *15. Dése un ejemplo de superficie con un punto parabólico aislado p (es decir, existe un entorno de p donde no hay otros puntos parabólicos). *16. Demostrar que una superficie compacta (es decir, cerrada y acotada en R^) tiene un punto elíptico. 17. Definir la curvatura gaussiana para una superficie no orientable. ¿Podría usted definir la curvatura media para una superficie no orientable? 18. Demostrar que la banda de Möbius de la fig. 3-1 puede parametrizarse por x (m , v) =

— V sen-j^sen u, ^2 — usen-^^ cos u,

v

cos

y que su curvatura gaussiana es + ( 2 - vsen (u /2 )yp *19. Obténganse las curvas asintóticas del hiperboloide de una hoja x^ + y^ —

= 1.

*20. Determinar los puntos umbílicos del elipsoide ^ + P + ^ - 1· *21. Sea S una superficie con orientación N. Sea F c: S un conjunto abierto e n S y s e a f . V c S —> R cualquier función diferenciable que nunca se anula en V. Sean vi y V2 dos campos diferenciables (tangentes) en V tal que en cada punto de V, vj y V2 son ortonormales y V] A «2 = N. a. Demostrar que la curvatura gaussiana í í de V viene dada por < d (fN )M A _d ( f N ) M , f N y Como se ilustra en la parte b, la ventaja de esta fórmula consiste en que a menudo podemos simplificar el cálculo de K, mediante una elección hábil de /. b. Aplicar el resultado precedente para demostrar que si / es la restricción de

y a* ^

c*

178 áee al elipsoide

entonces la curvatura gaussiana del elipsoide es 1

K=

1

22. El hessiano. Sea h: S-^ R una función diferenciable sobre una superficie 5 y seap € S un i punto crítico de h (es decir, dhp = 0). Sea w e Tp{S) y sea

a: ( - £ ,

c) ^ 5

una curva parametrizada con a(0) = p, a'(0) = w. Defínase „

,

IIphM =

dHhoa)

a. Sea U ^ S una parametrización de 5 en /?, demostrar que (aquí es esencial el hecho de que p sea un punto crítico de h)

Hph(u'Xu + v'x^) = KÁ p W Y + 2huv(j>)uV + KJj>){vy. Concluir que HjJt: Tp{S) R es una forma cuadrática bien definida (es decir, no depende de la elección de a) sobre Tp(S). Hph se denomina el hessiano de h en p. b. Sea h: S ^ R ía función altura de S con respecto a Tp(S); es decir, h(q) = {q - p, N{p)), q e S. Verificar que p es un punto crítico de h y, por tanto, que el hessiano H^h está bien definido. Demostrar que si iv € Tp{S), Iw»! = 1, entonces

Hph(w) = la curvatura normal en p en la dirección w. Conclúyase que el hessiano en p de la función altura con respecto a Tp(S) es la segunda forma fundamental de S en p. 23. Funciones de Morse sobre superficies. Un punto crítico p e Sde una función diferenciable h: S ^ R es no degenerado si la aplicación lineal autoadjunta Aph asociada a la forma, cuadrática (cf. el apéndice al cap. 3) es no singular (aquí Hph es el hessiano de h en p; cf. el ejercicio 22). En otro caso, p es un punto crítico degenerado. Una función diferenciable en S es una función de Morse si todos sus puntos críticos son no degenerados. | Sea h/. S cz R^ R la función distancia de 5 a r; es decir. *r(?) =

- r ,q - r } ,

q e S,

r e R\

r i S.

a. Demostrar que p e 5 es un punto crítico de hr si y sólo si la recta pr es perpendicular a 5 en p. b. Sea p un punto crítico de h/. S R. Sea w e Tp(S), Iw] = 1 y sea a: ( - e , e)-* S una curva parametrizada por la longitud de arco con a(0) = p, a'(0) = w. Demostrar que

-k „

donde k„ es la curvatura normal en p a lo largo de la dirección de tv. Concluir que la base ortonormal {e,, 6 2 }, donde e i y ci son paralelos a las direcciones principales de 7),(5), diagonaliza a la aplicación lineal autoadjunta Conclúyase además que p es un punto crítico degenerado de h, si y sólo si o bien hXp) = 1/fci o bien hXp) = 1/^ 2, donde ki y ^2 son las curvaturas principales en p. c. Demostrar que el conjunto B = {r e R^·, hr es una función de Morse} es un conjunto abierto y denso en R^; donde denso en R^ significa que en cada entorno de un punto dado de R^ existe un punto de B; esto demuestra que en cualquier superficie regular hay «muchas» funciones de Morse. 24. Convexidad local y \curvatura. Una superficie S R^ es localmente convexa en un punto p 6 5 si existe un entorno V c 5 de p tal que V está contenido en uno de los semiespacios cerrados determinados por Tp(S) en R^. Si, además, V tiene un solo punto en común con Tp{S), entonces se dice que S es estrictamente localmente convexa en p. a. Demostrar que 5 es estrictamente localmente convexa en p si las curvaturas principales de S en p son no nulas y del mismo signo (es decir, la curvatura gaussiana K(p) satisface K(p) > 0). b. Demuéstrese que si S es localmente convexa en p , entonces las curvaturas principales de 5 en p no tienen signos diferentes (así, K(p) > 0). c. Para probar que í í 2 O no implica convexidad local, considérese la s u p e r f i c i e y) = x^(l + y^), definida en el conjunto abierto U = {{x, y) = jr^(l + y^), definida en el conjunto abierto U = {(x, y) e R^; y^ < 1/2}. Probar que la curvatura gaussiana de esta superficie es no negativa en U y que, aún así, la superficie no es localmente convexa en (O, 0) e í/ (un profundo teorema, debido a R. Sacksteder, implica que un ejemplo como el precedente no puede extenderse a la totalidad de R^ si insistimos en mantener la condición de curvatura no negativa; cf. la Observación 3 de la sec. 5.6). *d. El ejemplo de la parte c es también muy especial en el siguiente sentido local. Sea p un punto de una superficie S y admitamos que existe un entorno K c 5 de p tal que las curvaturas principales en V no tienen signos diferentes (esto no sucede en el ejemplo de la parte c). Probar que S es localmente convexa en p.

3.4.

Campos vectoriales^

En esta sección utilizaremos ios teorem as fundam entales de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias (existencia, unicidad y dependencia continua con respecto a los datos iniciales) para demostrar la existencia de ciertos sistemas de coordenadas sobre superficies. Si el lector está dispuesto a admitir los resultados de los corolarios 2, 3 y 4 al final de esta sección (los cuales pueden entenderse sin leer la sección), esta materia se puede omitir en una primera lectura. Vamos a com enzar con una presentación geom étrica de la materia de ecuaciones diferenciales que tenem os intención de utilizar. Un campo vectorial en un conjunto abierto U c es una aplicación que asigna a cada q e U un vector w(q) e R^. Se dice que el cam po vectorial w es diferenciable si ^ Esta sección se puede omitir en una primera lectura.

escribiendo q — (x, y ) y w (q) = (j(jc, y ), b(x, y )) las funciones a y b son funciones diferenciables en U. G eom étricam ente, la defínición se corresponde con el hecho de asociar a cada punto (x, y) e U un vector de coordenadas a(x, y) y b(x, y) las cuales v a r í a n diferenciablem ente con (jc, y ) (fig. 3-24).

Figura 3-24 En lo que sigue únicam ente consideraremos cam pos vectoriales diferenciables. La fíg. 3-25 muestra algunos ejem plos de cam pos vectoriales. D ad o un cam po vectorial w, es natural preguntarse si existe una trayectoria para este cam po, es decir, si existe una curva parametrizada diferenciable a(t) = (x(t), y(t)), t e I, tal que a (t) = w (a(í)). Por ejem plo, una trayectoria, que pasa por el punto (xq, yo) del cam po vectorial w'(jt, y ) = ( jc, y ) es la recta a{t) - (xoe', yoe"), t e R , y una trayectoria de w(x, y) = (y, - x ) que pasa por el punto (xo> 3^0)> es el círculo P(t) = (r sen t, r cos t), t e R , = Xq + ^ .

w = (x,y)

Figura 3-25 En el lenguaje de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, se dice que el cam po vectorial w determ ina el sistema de ecuaciones diferenciales.

(1) y que una trayectoria de w es una solución de la ecuación (1).

I

Qm El teorem a fundamental de existencia (locai) y unicidad de soluciones para la ec. (1) es equivalente al siguiente resultado sobre trayectorias; en lo que sigue, las letras / y J representarán intervalos abiertos de la recta real R , que contienen al origen O e R. TEOREM A 1. Sea w un campo vectorial en un conjunto abierto U c R^. Dado p € U , existe una trayectoria a; I ^ U , es decir, a '(t) = w (a (t)), t e i ) con a (0 ) = p. Esta trayectoria es única en el sentido siguiente: cualquier otra trayectoria J U con P(0) = p coincide con a en I H J· U n com plem ento im portante al teorem a 1 es el hecho de que la trayectoria que pasa por p «varía diferenciablem ente con respecto a p». Esta idea puede precisarse com o sigue. TEOREMA 2. Sea w un campo vectorial en un conjunto abierto U c R^. Para cada p e U existe un entorno V c U de p, un intervalo I y una aplicación a: V x I —» U to/

que 1. Para q e V fijo, la curva a (q , t), t e I, es la trayectoria de w que pasa p o r q; es

decir, a(q, 0) = q,

^ ( q , t) =-- w(a(q, t)).

2. a es diferenciable. El teorem a 2 significa geom étricam ente que todas las trayectorias que pasan, para í = O, por un cierto entorno V de p pueden «agruparse» en una sola aplicación diferenciable. Es éste el sentido en el que decim os que las trayectorias dependen diferenciablemente con respecto a p (fig. 3-26).

Figura 3-26

La aplicación a se denom ina el flujo (local) á c w c a p . En este libro admitiremos los teorem as 1 y 2; para encontrar una demostraciónpuede consultarse, por ejem plo, W . H urewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, M .L T . Press, Cambridge, M ass., 1958, cap. 2. Para nuestros propósitos, necesitam os la siguiente consecuencia de estos teorem as. LEM A. Sea w un campo vectorial en un conjunto abierto U <= y sea p e U tal que w (p) ¥= 0. Entonces existe un entorno W c U de p _y una función diferenciable f: W R tal que f es constante a lo largo de cada trayectoria de w _y dfq 9^= Opara todo q 6 W.

Demostración. Elijam os un sistem a de coordenadas cartesianas en tal que p = (O, 0) y w(p) apunte en la dirección del eje x. Sea a : V x U q\ flujo local en p , V c=. t/, / 6 / y sea á la restricción de a al rectángulo. ( K X 7)

n

{ ( x , j ' , t) & R ^ \ x = 0 ].

V éase la fig. 3-27. Por la definición de flujo local, dáp aplica el vector unitario del eje í en w y aplica el vector unitario del eje y en sí m ismo. Por tanto, dáp es no singular. Se deduce entonces que existe un entorno W c U de p , donde está definida y es diferenciable. La proyección de ü~^(x, sobre el eje _y es una función diferenciable | = f(x , y) que toma el mismo valor ^ sobre todos los puntos de la trayectoria que pasa por (O, §). Com o dáp es no singular, puede tomarse W lo suficientem ente pequeño com o para que df^ # O para todo q e W. Por tanto, / es la función requerida. Q .E.D .

Figura 3-27

Qaanmlikíiíml^ m tle»>et6n^Qmiaa WS La función/ d e l lem a precedente se denom ina una integrai primera (locai) de w en un entorno d e p . Por ejem plo, si >v = (y , - x ) està definido en R^, una integrai primera f: R^ - {(0, 0)} R&s f(x , y ) = + y^. El concepto de cam po de direcciones está estrecham ente ligado al de cam po vectorial. U n campo de direcciones r en un conjunto abierto U c R^ es una correspondencia que asigna a cada p e U una recta r(j>) en R^ que pasa por p . Se dice que r es diferenciable e n p e U si existe un campo vectorial diferenciable y no nulo w, definido en un entorno V cz U d e p , tal que para cada q e V, w(q) 0 es una base de r(q); r es diferenciable en U si es diferenciable para cada p e U. A cada cam po vectorial diferenciable y no nulo w en U cz R^ le corresponde un cam po de direcciones dado por r(p) = recta generada por w (p), p e U. Por la propia definición, cada cam po diferenciable de direcciones da lugar, localm ente, a un cam po vectorial diferenciable y no nulo. Sin embargo, esto no es cierto globalm ente, com o se pone de m anifiesto mediante el campo de direcciones en R^ - {(0, 0)} dado por las rectas tangentes a las curvas de la fig. 3-28; cualquier intento de orientar estas curvas a fin de obtener un cam po vectorial diferenciable no nulo conduce a una contradicción.

Figura 3-28. Un campo de direcciones no orientable en

- {(O, 0)}.

U na curva regular conexa C a U es una curva integral de un campo de direcciones r, definido en U <= R~, si r{q) es la recta tangente a C en q para todo q e C. Por lo que se ha visto previam ente, resulta claro que dado un campo diferenciable de direcciones r en un abierto U cz R^, por cada q e U pasa una curva integral C de r; C coincide localm ente con la traza de la trayectoria que pasa por q del campo vectorial determ inado en U por r. En lo que sigue, únicam ente consideraremos campos diferenciables de direcciones y, en general, se omitirá la palabra diferenciable. U na manera natural de describir un campo de direcciones es com o sigue. D ecim os que dos vectores no nulos »Vi y h'2 en ^ e R^ son equivalentes si Wj = Xw2 para algún A e íR, A # 0. D o s vectores com o éstos representan la misma recta que pasa por q , y recíprocam ente, si dos vectores no nulos pertenecen a la misma recta que pasa por q, entonces son equivalentes. A sí, un cam po de direcciones r en un conjunto abierto

1W

m a itk m i

U <= puede ser definido al asignar a cada 9 € C/ un par de números reales (rj, ra), las coordenadas de un vector perteneciente a r, donde consideram os com o equivalentes a los pares (ri, ^2) y (Xri, At2), X ¥=0. En el lenguaje de las ecuaciones diferenciales, un cam po de direcciones viene dado usualm ente por

(2) lo cual significa sim plem ente que a un punto g = (x , )>) le asociamos la recta que pasa por q y contiene al vector (6 , —a) o a cualquiera de sus m últiplos no nulos (fig. 3-29).

La traza de la trayectoria del campo vectorial ( b , - a ) es una curva integral de r. Com o las parametrizaciones no desem peñan papel alguno en las consideraciones preceden­ tes, en vez de la ec. (2), es de uso frecuente la expresión

adx + bdy = 0 con el mismo significado que antes. Las ideas que acabamos de introducir pertenecen al dom inio de los resultados locales de R^, que a su vez dependen solam ente de la «estructura diferenciable» de R^. Por lo tanto, pueden transportarse a una superficie regular sin dificultades adiciona­ les, com o sigue. DEFINICION I. Un campo vectorial w en un conjunto abierto U c: S de una superficie regular S es una correspondencia que asigna a cada p e U wn vector w (p) e Tp(S). El campo vectorial w es diferenciable en p e U si, para alguna parametrización x(u, v) en p, las funciones a(u, v) y b(u, v) dadas p o r w(p) = a(u, v)x„

b(u, v)x.

_____________________________________

QaoimkfadalKmlhmaóiitktúmm ía»

son funciones diferenciables en p; resulta claro que esta definición no depende de la elección de x. A nálogam ente, podem os definir trayectorias, cam po de direcciones y curvas integrales. Los teorem as 1 y 2 y el lem a precedente se extienden fácilm ente a la presente situación; salvo el cambio de por S, los enunciados son exactam ente los mismos. Ejemplo 1. En el toro usual T, se obtiene un cam po vectorial parametrizando los meridianos de T m ediante la longitud de arco y definiendo w(p) com o el vector velocidad del meridiano que pasa por p (fig. 3-30). N ótese que |w(p)| = 1 para todo p e T. Sé deja com o ejercicio (ejercicio 2) verificar que w es diferenciable. Ejemplo 2. U n procedim iento similar, esta vez sobre la esfera y utilizando los semimeridianos de 5^, da lugar a un campo vectorial definido en la esfera m enos los dos polos N y S. Para obtener un campo vectorial definido en la totalidad de la esfera, deben reparametrizarse todos los semimeridianos m ediante el mismo parámetro t, - 1 < í < 1, y definir v(p) = (1 - f)w (p ) para p e - {N ) U {S} y v(N ) = v(S) = O (fig. 3-31).

Ejemplo 3. Sea S = {(x, y , z) e R^; z = - y^} el paraboloide hiperbólico. La intersección con S de los planos z = const. ¥= O determina una familia de curvas {C„} tal que, por cada punto de 5 - {(O, O, 0 )}, pasa una curva de C„. Las rectas tangentes a tales curvas generan un campo diferenciable de direcciones r sobre S — {(O, O, 0)}. Queremos hallar un campo de direcciones r' sobre 5 - {(O, 0 , 0)} que sea ortogonal a r en cada punto y determinar las curvas integrales de r'. Se denom ina a r' el campo ortogonal a r, y se llama la familia ortogonal de r a las curvas integrales de r' (cf. el ejercicio 15, sec. 2.5). Comenzaremos parametrizando S m ediante x(u, v) = (u, V , «2 - v-^),

M=

X,

V=y.

La familia {C„} viene dada por = const. # O (o m ejor, por la imagen m ediante X de este conjunto). Si m ' x „ + u'x„ es un vector tangente de una parametrización regular de alguna curva C„, al diferenciar - i / = const. obtenem os,

2uu' — 2vv' = 0.

iae

Qeome^todìfemneiÈù^miBmmi ym periitíss

A sí, (u ', v ’) = ( - V, - u ) . Se tiene entonces que r viene dado, en la parametrización x, por el par (v , u) o cualquiera de sus múltiplos no nulos. Sea ahora (o(u , u), b{u, u)) una expresión para el cam po ortogonal r', en la parametrización x. C om o

E = l + 4«2,

F = ~4uv,

( 7 = 1 + 4v^,

y r' es ortogonal a r en cada punto, tenem os

Eav + F{bv + au) + Gbu = O o (1 + 4u^)av — 4uv{bv + au) + (1 + 4v^)bu = 0. Se deduce entonces que

(3)

va + ub = 0 .

E sto determ ina, salvo m últiplos no nulos, el par (a, b) y, por tanto, el cam po r'. Para hallar las curvas integrales de r ', sea m'x„ + u 'x„ un vector tangente de alguna parametrización regular de una curva integral de r'. Entonces (m', v ’) satisface la ecuíjción (3), es decir,

vu' + u«' = O uv = const.

Se deduce entonces que la familia ortogonal de {C„} viene dada por las intersecciones con S de los cilindros hiperbólicos xy = const. 0. El resultado principal de esta sección es el siguiente teorem a. TEOREM A. Sean Wj y W2 dos campos vectoriales en un conjunto abierto U c S, que son linealmente independientes en algún punto p 6 U . & posible entonces param etrizar un entorno V c U de p de form a que para cada q e V las curvas coordenadas de esta param etrización que pasan p o r q son tangentes a las rectas determinadas p o r Wj(q) y W2(q).

Demostración. Sea W un entorno de p donde están definidas las integrales primeras / , y f j de Wj y W2 , respectivam ente. D efínase la aplicación
q e fV.

QaomtMa d ela apteaolóna» Gama 167

C om o f i es constante sobre las trayectorias de Wi y (d fi)

0, en p tenem os

dv>Á^i) = ((d fM w ,), (df^Uw,)) = (0. a),

donde a = (rf/2)p(w'i) # 0, puesto que Wi y W2 son linealmente independientes. Análogamente, dq>p(w2) = (ft, 0), donde b = (d/OpCwz) 5«= 0. Se tiene entonces que dq>p es no singular, por tanto que q> es un difeom orfism o local. Luego existe un entorno Ü <= de qp(p) el cual se aplica difeom órficam ente, mediante x = sobre un entorno V = \{Ú ) d e p ; es decir, x es una parametrización de 5 en p , cuyas curvas coordenadas / i ( í ) = const.,

P iq ) = const.,

son tangentes en ^ a las rectas determinadas por íVi(^), W2 Íq), respectivamente. Q .E .D . D eb e resaltarse que el teorem a no implica que las curvas coordenadas se puedan parametrizar de forma que sus vectores velocidad sean W\{q) y W2 {q). Lo establecido en el teorem a se aplica a las curvas coordenadas considerándolas com o curvas regulares (conjunto de puntos); con precisión, tenem os el COROLARIO 1. Sean r y r' dos campos de direcciones dados en un conjunto abierto U c S tales que en p e U , r(p) # r'(p), entonces existe una parametrización x en un entorno de p tal que las curvas coordenadas de x son las curvas integrales d e i y r ' . Una primera aplicación del teorem a precedente es la demostración de la existencia de una parametrización ortogonal en cualquier punto de una superficie regular. COROLARIO 2. Para todo p € S existe una parametrización x(u, v) en un entorno V d e p tal que las curvas coordenadas u = const. y v = const. se cortan ortogonalmente en cada q e V (tal parametrización x se denomina una parametrización ortogonal).

Demostración. Considérese una parametrización arbitraria x: Ü -* S en p y defínanse los dos cam pos vectoriales = \¿,W 2 = —(FIÉ)xa + Xf, en x(í7), donde £ , F, G son los coeficientes de la primera forma fundamental en x. Com o Wi(q) y W2 (q) son vectores ortogonales para cada q e x(Cf), aplicando el teorem a se obtiene la parametrización requerida. Q .E .D . Una segunda aplicación del teorem a (concretam ente, del corolario 1) es la existencia de coordenadas deducidas a partir de las direcciones asintóticas y principa­ les.

ia e

Geometria difemhcM da c u n ^ y M p e rtk ^

C om o vim os en la sec. 3.3, las curvas asintóticas son soluciones de

e(u'y + Ifu'v' + g{v'Y = 0. En un entorno de un punto hiperbólico p , tenem os que e g - p < 0. R otem os el plano uv de forma que e{p) > 0. Entonces el primer miembro de la ecuación precedente se puede escribir com o el producto de dos factores lineales distintos, dando lugar a

{Au' + Bv'){Au' + Dv') = O,

(4)

donde los coeficientes están determ inados por

A^ = e,

A{B + D ) = 2f,

BD = g.

Puesto que eg — < O, este sistema de ecuaciones tiene soluciones reales. A sí, la ec. (4) da lugar a dos ecuaciones;

Au' + Bv' = O,

(4a)

Au' + Dv' = 0.

(4b)

Cada una de estas ecuaciones determina un campo diferenciable de direcciones (por ejem p lo, la ec. (4a) selecciona la dirección r que contiene al vector no nulo (fi, —A )) y en cada punto del entorno en cuestión las direcciones dadas por las ecs. (4a) y (4b) son distintas. A plicando e l corolario 1, vem os que es posible parametrizar un entorno de p de forma que las curvas coordenadas son las curvas integrales de las ecs. (4a) y (4b). En otras palabras, COROLARIO 3. Sea p e S m/í punto hiperbólico de S. Es posible entonces param etrizar un entorno de p deform a que las curvas coordenadas de esta param etriza­ ción sean las curvas asintóticas de S. Ejemplo 4. U n ejem plo casi trivial, que sin em bargo ilustra los mecanismos del m étodo precedente, lo proporciona el paraboloide hiperbólico z = - y^. Com o es habitual, parametrizamos totalm ente a la superficie mediante x(m , v) =

(m,

V, u^ — v^).

U n simple cálculo muestra que

e=

2 (1 + 4m^ + Av^'^'

f=0,

g=

"(1 + 4«2 + Av^'^

Por tanto, la ecuación de las curvas asintóticas puede escribirse en la forma

r

mm. QeomelitodelaapKaaàiàndèQauss

188

la cual puede factorizarse en dos ecuaciones lineales determ inando los dos cam pos de direcciones:

r¡:

u' + v' = O,

r 2 '· u' — v' = 0. Lás curvas integrales de estos cam pos de direcciones vienen dadas por las dos familias de curvas: ri : u + V = const., /•j : u — V = const. Es claro ahora que las funciones fi(u , v) = u + v, f 2 Íu, v) = u - v son integrales primeras de los cam pos vectoriales asociados a rj y rj, respectivam ente. Escribiendo entonces Ü = U + V,

V = U — V,

obtenem os una nueva parametrización para la totalidad de la superficie z = la cual las curvas coordenadas son las curvas asintóticas de la superficie. En este caso particular, el cam bio de parámetros es válido para toda la superficie. En general, podría no ser inyectivo globalm ente, incluso si la totalidad de la superficie está constituida por puntos hiperbóUcos. A nálogam ente, en un entorno de un punto no um bílico de 5 , es posible descom po­ ner la ecuación diferencial de las líneas de curvatura en dos factores lineales distintos. M ediante un argumento similar obtenem os el COROLARIO 4. Sea p e S «n punto no umbílico de S. Entonces es posible parametrizar un entorno de p de form a que las curvas coordenadas de esta param etriza­ ción son las líneas de curvatura de S.

e je r c ic io s

1. Demostrar que la diferenciabilidad de un campo vectorial no depende de la elección de un sistema coordenado. 2. Demostrar que el campo vectorial que se obtiene en el toro parametrizando todos sus meridianos por la longitud de arco y tomando sus vectores tangentes (ejemplo 1) es diferenciable. 3. Demuéstrese que un campo vectorial w definido en una superficie regular 5 c diferenciable si y sólo si es diferenciable como aplicación w: 5 -> ■ 4. Sea S una superficie y x: U ^ S una parametrización de S. Entonces

a{u, v)u' + b{u, v)v' = O,

es

HW

Geometria diferencial de curvas y superficies

donde a y son funciones diferenciables, determina un campo de direcciones r sobre x(C/), a saber, la correspondencia que asigna a cada x(«, t,) la recta que contiene al vector b\u - a%v· Demuéstrese que una condición necesaria y suficiente para la existencia de un campo ortogonal r' sobre \{U ) (cf. el ejemplo 3) es que las funciones Eb — Fa,

Fb — Ga

nunca sean simultáneamente nulas (aquí, E, F yG son los coeficientes de la primera formá fundamental en x) y que entonces, r' está determinado por (Eb — Fá)u' + (Fb — Gá)v' = 0. 5. Sea S una superficie y x: U -^ S una parametrización de S. Si ac - b^ < O, demuéstrese que a(u, v)(u')2 + 2b(u, v)u'v' + c(u, v)(v'Y = O puede factorizarse en dos ecuaciones distintas, determinando cada una de ellas un campo de direcciones en \(U ) <= S. Demuéstrese que estos dos campos de direcciones son ortogonales si y sólo si Ec ~ IFb + Cfl = 0. 6. Una recta r corta al eje 2 y se mueve de forma que hace un ángulo constante a Ocon d eje z, describiendo cada uno de sus puntos una hélice de paso c # Oalrededor del eje z. La figura que genera r es la traza de la superficie parametrizada (véase la fig. 3-32)

%(u, v) = (v sen

a cos u, v sen a sen u, cos a +

cu).

Es fácil ver que x es una superficie parametrizada regular (cf. el ejercicio 13, sec. 2-5). Restrínjanse los parámetros (u ,v) a un conjunto abierto U de forma que x(U) = S sea ima superficie regular (cf. la prop. 2, see. 2.3).

a. Hallar la familia ortogonal (cf. el ejemplo 3) de la familia de curvas coordenadas u = const. b. Utilícense las curvas u = const. y su familia ortogonal para obtener una parametriza­ ción ortogonal de S. Demuéstrese que en los nuevos parámetros (ü, v) los coeficientes de la primera forma fundamental son (5=1,

F = O,

É = (c^ + (v — cü cos a)^j sen^ a.

r

imi

......... QéomeMa
7. Defínase la derivada w(f) de una función diferenciable f: U c S —» R con respecto a un campo vectorial w en U mediante q

e

U,

t=0

donde a: I -* S es una curva tal que a(0) = q, a'(0 ) = *v(q). Demostrar que a. w es diferenciable en í/ si y sólo si para toda función diferenciable / en U, w(f) es diferenciable. b. Sean A y números reales y sea g: U S —> R una función diferenciable sobre U; entonces )v(A /+ f i f ) = Xw(f) + /í)v(/), yv(fg) =

+ fw{g).

8. Demostrar que si vwes un campo vectorial diferenciable sobre una superficie S y w{p) ¥= O para algún p e S, entonces es posible parametrizar un entorno de p mediante x(m, v ) de manera que x„ = w. 9. a. Sea >1: V - * W una aplicación lineal no singular entre los espacios vectoriales V y W de dimensión 2 que están dotados de los productos escalares ( , > y ( , ), respectivamen­ te. La aplicación A es una semejanza si existe un número real A O tal que { Av i , A v ^ = A(ui, Vi), para V2 e V cualesquiera. Admitiendo que A no es una semejanza demostrar que existe un único par de vectores ortonormales e\ y e^ en V tales que Aei, A e 2 son ortogonales en W. b. Utilícese la parte a para demostrar el teorema de Tissot: sea q>: U\ S\ ^ S 2 un difeomorfismo de un entorno del punto p de la superficie en la superficie S 2 . Supongamos que la aplicación lineal dq> no es una semejanza en ningún punto. Entonces es posible parametrizar un entorno de p en Si mediante una parametrización ortogonal Xi: U ^ S i d e forma que q>°\i = X2 : U -* Sj es también una parametrización ortogonal en un entorno de (p(p) e S 2 . 10. Sea T el toro del ejemplo 6 de la sec. 2.2 y defínase la aplicación q>: R ^ -^ T mediante q){u, v) = ((r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sen v, r sen u), donde u y v son las coordenadas cartesianas de R^. Sea u = at, v = bt una recta en R^ que pasa por (O, 0) 6 y considérese la curva contenida en T, a(t) = (at, bt). Demuéstrese que a. q>es un difeomorfismo local. b. La curva a(í) es una curva regular, y a(t) es una curva cerrada si y sólo si b!a es un número racional. *c. Si b/a es irracional, la curva a(t) es densa en T\ es decir, cada entorno de un punto p e T contiene un elemento de a(í). *11. Utilizar la unicidad local de las trayectorias de un campo vectorial w en U <= S para demostrar el resultado siguiente. Dado p e U, existe una única trayectoria a: I - * U d e w , con a(0) = p, \a cual es maximal en el sentido siguiente: cualquier otra trayectoria p·. J U, con P(0) = p , es la restricción de a a J (es decir, J c I y a\J = P)· *12. Demuéstrese que si w es un campo vectorial diferenciable sobre una superficie compacta S y a(t) es la trayectoria maximal de w con a(0) = p e S, entonces a(t) está definida para todo t e R.

13. Construir un campo vectorial diferenciable sobre un disco abierto del plano (el cual no es compacto) tal que una trayectoria maximal a(í) no esté definida para todo í € Jt (esto prueba que la condición de compacidad del Ejercicio 12 es esencial).

3.5.

Superficies regladas y superficies mínimas^

En geom etría diferencial uno se encuentra con un número considerable de casos particulares (superficies de revolución, superficies paralelas, superficies regladas, superficies míniinas, etc.) que pueden resultar interesantes en sí mismos (com o las superficies mínim as), o constituyen un bello ejem plo del poder y las limitaciones de los m étodos de la geom etría. D e acuerdo con el espíritu de este libro, hasta la fecha nos hem os ocupado de estos casos especiales en ejem plos y ejercicios. N o obstante, puede ser útil presentar algunos de estos temas con más detalle. Es lo que pretendem os hacer ahora. Utilizarem os esta sección para desarrollar la teoría de superficies regladas y hacer una introducción a la teoría de superficies mínimas. A lo largo de esta sección es conveniente el uso del concepto de superficie parametrizada definido en la sec. 2.3. Si el lector así lo desea, puede omitirse la totalidad de la sección o alguno de sus temas. Exceptuando una referencia a la sec. A en el ejem plo i6 de la sec. B , los dos tem as son independientes y sus resultados no se utilizarán de manera esencial en ninguna parte de este libro. A . Superficies regladas

Una familia uniparamétrica (diferenciable) de rectas { a (í), w'(í)} es una correspon­ dencia que asigna a cada t e 1 un punto a(t) e y un vector w í/) e R^, h'(í) ¥= O, de forma que tanto a(t) com o w(t) son diferenciables con respecto a t. Para cada t e I, la recta L, que pasa por a{t) y es paralela a h ' ( í ) se denom ina la recta de la familia en t. D ada una familia uniparamétrica de rectas { a (í), w'(í)}, la superficie parametriza­ da x(/, v) = a (0 + vw{t), t e J, V e R, se denom ina la superficie reglada generada por la familia {a (t), w (/)}. Las rectas L, se denom inan \as generatrices y se llama a la curva a (/) una directriz de la superficie x. Algunas veces usamos la expresión superficie reglada para dar a entender la traza de X . D eb e observarse que también permitimos a x el tener puntos singulares, es decir, puntos (/, v) donde x, / \ x„ = 0. Ejemplo 1. Los ejem plos más simples de superficies regladas son las superficies tangentes a una curva regular (cf. el ejem plo 4, sec. 2 .3), los cilindros y los conos. U n cilindro es una superficie reglada, generada por una familia uniparamétrica de rectas {a (í), H'(í)}, t e / , donde a (l) está contenido en un plano P y w(t) es paralelo a una dirección fija de R^ (fig. 3-33(a)). U n cono es una superficie reglada, generada por una familia {a (t), w (í)} , t e l , donde a(7) c: P y todas las generatrices L ,pasan por un punto p $ P (fig. 3-33(b)). ’ Esta sección se puede omitir en una primera lectura.

aeom elritd»laaplleatíónd0Q m m

1«S

Figura 3-33

Ejemplo 2. Sea S* el círculo unidad = \ del plano xy y sea o (s) una parametrización de por la longitud de arco. Para cada s, sea ^ (í) = a '(s) -I- «3, donde «3 es el vector unitario del eje z (fíg. 3-34). Entonces

x(s, v) = a (j) + v(a'(s)

e,)

es una superficie reglada. Puede expresarse de una forma más familiar si escribimos x(s, t;) = (cos s — V sen s, sen s + v cos s, v) y observam os que x^ + y^ —z^ = í + z P '-v ^ = l. E sto demuestra que la traza de x es un hiperboloide de revolución.

Figura 3-34,

= 1 como superficie reglada.

Es interesante observar que si tom am os w(s) = - a ' ( s ) + e^, obtenem os de nuevo la misma superficie. Esto demuestra que el hiperboloide de revolución tiene dos familias de generatrices.

194 QeòmeMa m m tiíáal dgxxirvma ymuperikdes

H em os definido las superficies regladas perm itiendo la presencia de singularida­ des. E sto es necesario si querem os incluir las superficies tangentes y los conos. Pronto dem ostrarem os, al m enos para las superficies regladas que satisfacen alguna condición razonable, que las singularidades para este tipo de superficie (si las hay) se concentran a lo largo de una curva de esta superficie. C om enzarem os ahora el estudio de las superficies regladas generales. Podem os admitir, sin pérdida de generalidad, que |h'(í)1 = 1, í e /. Para poder desarrollar la teoría, necesitam os la hipótesis no trivial de que w '(t) ¥= O para todo í e /. Si los ceros de w’'(í) son aislados, podem os dividir nuestra superficie en trozos de forma que la teoría pueda aplicarse a cada uno de ellos. Sin em bargo, si los ceros de w ^í) tienen puntos de acum ulación, la situación podría volverse complicada y no va a tratarse aquí. La hipótesis w'(t) ¥= O, í e / , se expresa usualm ente diciendo que la superficie x es

no cilindrica. Salvo que se advierta otra cosa, admitiremos que x(í, v) = a(í) + vw{t)

(1)!

es una superficie reglada no cilindrica con Ih'(í)! = 1, í € /. N ótese que la hipótesis lw(í)| — 1 implica que {w {t), ^ '(f)) = O para todo t e l . Q uerem os hallar primero una curva parametrizada P(t) tal que (/3'(í). >♦''(0) = O, í. e 7, de forma que p (t) esté contenida en la traza de x, es decir,

m

= a (0 + u(t)w(t),

(2)

para alguna función real u = u(t). A dm itiendo la existencia de tal curva /S, uno obtiene,

fi' = 0 .' + u'w - f uw'·, de donde, com o (w , iv') = O, O = ifi', w'> =

(3)

A sí, si definim os fi{t) m ediante las ecs. (2) y (3), obtenem os la curva requerida. A hora demostrarem os que la curva fi no depende de la elección de la curva directriz a para la superficie reglada. Se dice entonces que fi es la línea de estricción, y | sus puntos se denom inan los puntos centrales de la superficie reglada. Para probar nuestra afirmación, sea à otra directriz de la superficie reglada; es decir, para todo (/, v) sea x(?, v) = a (0 -f «;>v(0 = á (0 + sw(t)

i SBonmtrfa de

Ornas t«6

para alguna función s = ì(u ). E ntonces, obtenem os de las ecs. (2) y (3)

donde $ es la linea de estricción correspondiente a a. Por otra parte, la ec. (4) implica que a — a = (j — ■y)M'(i). A sí,

<((v - s V ', w'y

w = 0,

y esto prueba nuestra afirmación pues ( h-, w ') = 0. T om em os ahora la línea de estricción com o directriz de la superficie reglada, escribiéndola com o sigue + uw(t).

x(/, m) =

(5)

Con esta elección tenem os que X, = ^' + uw',

x„ = w

y X, A x„ =

A

VV +

ww' A w.

Como {w ', w ) = Oy {w ',P ') = O, concluim os que, para alguna función A = A.(í),j3' f \ w = k w '. Por tanto, |x , A X„p = \Xw' + uw' A wp = X^\w'V + = iX^ + u ^)\w '\\ Se deduce entonces que los únicos puntos singulares de la superficie réglada (5) están sobre la línea de estricción « = O y tienen lugar si y sólo si A(í) = 0. Obsérvese también que . ^ ^ Í0 ',w ,w ')

donde, com o es usual, (/3', w, w') es la abreviatura de {P' / \ w , w ). Calculemos la curvatura gaussiana de la superficie (5) en sus puntos regulares. Como

x„ = y8" + uw",

x,„ = w',

x„„ = O,

tenemos que los coeficientes de la segunda forma fundamental son, „ -0

f

(x„x„, x J

1 X:

^

A

(P',w ,w').

XJ

■ I

X, A X„ r

luego (com o g = O no necesitam os el valor de e para calcular K ),

y ^ EG

-

-

(^2

^

I

_____________ A l _ , 14 (^ 2 + itiy

(6)

198

E sto demuestra que, en puntos regulares, la curvatura gaussiana K de una superficie

reglada satisface K < 0 , y K e s cero solamente a lo largo de aquellas generatrices que cortan a la línea de estricción en un punto singular. La ec. (6) nos permite dar una interpretación geom étrica de los puntos centrales (regulares) de una superficie reglada. D e hecho, los puntos de una generatriz son puntos regulares de la superficie, exceptuando quizás el punto central. Si A # O, la función |íC(w)| es continua sobre la generatriz y, por la ec. (6), los puntos centrales están caracterizados por el hecho de que | í C(m)| tiene un máximo allí. V éase el ejercicio 4 para otra interpretación geom étrica de la línea de estricción. Resaltam os también que la curvatura K tom a los m ism os valores en los puntos de una generatriz que son simétricos con respecto al punto central (esto justifica el calificativo central). La función A.(í) se denom ina el parám etro de distribución de x. C om o la línea de estricción no depende de la elección de la directriz, se deduce que lo m ism o es cierto para A. Si x es regular, tenem os la siguiente interpretación de A. El vector normal a la superficie en (t, u) es

kw' + uw’_ A w

N(t, u) = 1Xr A

2 Iw + u^\

X„ 1

Por otra parte (A ¥= 0),

w w

N(t, 0) =

|A|

Por tanto, si 6 es el ángulo que forman N {t, u) y N (t, 0),

Por tanto, si 6 es el ángulo que form a el vector normal en un punto de una generatriz con el vector normal en el punto central de esta generatriz, entonces tag 6 es proporcional a la distancia entre estos dos puntos, y el coeficiente de proporcionalidad es el inverso del parámetro de distribución. Ejemplo 3. Sea 5 el paraboloide hiperbólico z = kxy, k¥= 0. Para demostrar que S es una superficie reglada, observam os que las rectas y = zitk, x = t, para cada í # O pertenecen a S. Si tom am os la intersección de esta familia de rectas con el plano z = O, obtenem os la curva x = t, y = O, z = 0. Tom ando esta curva com o directriz y vectores H'(í) paralelos a las rectas y = zItk, x = t, se tiene a ( 0 = (í, 0 , 0),

w(í) = ^0, - i , í j .

A sí, obtenem os la superficie reglada (fig. 3-35)

\(t, v) = a (0 + vw{t) = (/, - ■

V

vk t

,________

VT+FF cuya traza claramente coincide con 5.

r

GeomtMa a n a iptcaelán eh Gauss 1S7

Figura 3-35. z = xy corno superficie reglada.

Com o à { t ) = (1, 0, 0 ), obtenem os que la línea de estricción es la propia a. El paràmetro de distribución es

R esaltam os también que la tangente del ángulo Q que forma m’(ì) con «>(0) es tag 6 = tk. La ùltima observación da lugar a una interesante propiedad general de las superficies regladas. Si en una superficie reglada se considera la familia de vectores normales a lo largo de una generatriz, esta familia genera otra superficie re c a d a . En virtud a la ecuación (7) y aquella observación, la última superficie es exactam ente el paraboloide hiperbólico z = Jcxy, donde í/k es el valor del parámetro de distribución en la generatriz elegida. Entre las superficies regladas, las desarrollables juegan un papel importante. C om encemos otra vez con una superficie reglada arbitraria (no necesariam ente no cilindrica) x(í, v) = a(í) + vw(t),

(8)

generada por la familia { « (/), h’(í)) donde |w'(í)| = L Se dice que la superficie (8) es

desarrollable si (w, w \ a') = 0.

(9)

Para hallar una interpretación geom étrica de la condición (9 ), vam os a calcular la curvatura gaussiana de una superficie desarrollable en un p unto regular. U n cálculo completam ente similar al que hicimos para obtener la ecuación (6) da lugar a

^

^

|x , A x J

liw

Geometría im rentìial dfe cttvàà y superficies

Por la condición (9), / =

0; luego.

K = I l __ 11. = 0 EG ~ F^~ E sto implica que, en los puntos regulares, la curvatura gaussiana de una superficie desarrollable es idénticamente cero. V éase el ejercicio 6, para otra interpretación geom étrica de una superficie desarrollable. Podem os distinguir ahora dos casos no exhaustivos de superficies desarrollables; 1. w{t) A M'Xí) = 0. E sto implica que w'(t) = 0. Por tanto, ^ ( 0 es constante y la superficie reglada es un cilindro que se apoya en una curva obtenida ai intersectar el cilindro con un plano normal a 2. w{t) A >^'(0 # O para todo í e 7. En este caso w'(t) ¥= O para todo t e l . Por tanto, la superficie es no cilindrica y podem os aplicarle nuestro trabajo previo. C onsecuentem ente, p odem os determinar la línea de estricción (2) y comprobar el valor del parámetro de distribución

( 10) Por tanto, la línea de estricción será el lugar geom étrico de los puntos singulares de la superficie desarrollable. Si /3'(í) # O para todo í e 7, se deduce de la ecuación (10) y del hecho de que (/8', w' ) = O que w es paralelo a /3'. L uego, la superficie reglada es la superficie tangente de /3. Si /3'(í) = O para todo t e i entonces la línea de estricción es un punto, y la superficie reglada es un cono con vértice en dicho punto. Por supuesto, los casos precedentes no cubren todas las posibilidades. C om o es habitual, si hay puntos de acumulación de ceros para las funciones involucradas, el análisis puede resultar bastante com plicado. En cualquier caso, lejos de estos puntos de acumulación, una superficie desarrollable es la unión de trozos de cilindros, conos y superficies tangentes. Com o ya hem os visto, en puntos regulares, la curvatura gaussiana de una superficie desarrollable es idénticamente cero. En la sec. 5.8 dem ostrarem os una especie de recíproco global que implica que una superficie regular 5 contenida en que es cerrada com o subconjunto de R^ y tiene curvatura gaussiana nula es un cilindro. Ejemplo 4 (La envolvente de una familia de planos tangentes a lo largo de una curva de una superficie). Sea S una superficie regular y a = a (s) una curva sobre S, parametrizada por la longitud de arco. A dm itam os que a nunca es tangente a una dirección asintótica. Considérese la superficie reglada

N{s) A N '{s)

x(j, v) = a (j) + V

|AT'(s)l

’

(11)

donde denotam os por N {s) al vector unitario normal de S restringido a la curva a (s) (corno a '(s) no es una dirección asintótica, N '{s) ¥= 0 para todo s). V am os a demostrar que X es una superficie desarrollàble que es regular en un entorno de u = 0 y es tangente a 5 a lo largo de v = 0. Previam ente, considerem os una interpretación geométrica de la suj)erficie x. Sea { 7’o(s)(5)} la familia de planos tangentes a la superficie S sobre la curva a (s). Si A s es suficientem ente pequeño, los dos planos Ta(^)(S) y r^j+Aj)(5) de la familia se cortarán a lo largo de una recta paralela al vector

N(s) A N(s + As) As Si hacemos tender a cero a As·, esta recta se aproximará a una posición lím ite, paralela al vector lim N(s) a n í s + As) _ ^ {N is + M - N ( s ) ) A i-0

A i

A i-0

= N(s) A N 'is).

Intuitivamente, esto significa que las generatrices de x son las posiciones límite de las intersecciones de planos próximos de la familia {7’^j)(5)}. Se dice entonces que x es la envolvente de la fam ilia de planos tangentes a S a lo largo de a (s) (fig. 3-36). ^a(j+Ai) (S)

Por ejem plo, si a es una parametrización de un paralelo de la esfera 5^, entonces la envolvente de los planos tangentes a 5^ a lo largo de a es o bien un cilindro, si el paralelo es un ecuador, o bien un cono, si el paralelo no es un ecuador (fig. 3-37).

N

\

Ecuador

pH

V

Figura 3-37. Envolventes de familias de planos tangentes a una esfera a lo largo de un paralelo.

Para demostrar que x es una superficie desarrollable, comprobaremos que x cum ple la condición (9). En efecto, calculando, obtenem os directamente que / N

A

N

'

( N

/\

N ' V

A

N

A

N '

|A?'I

^

( N

A

N

lA/'l

’) ’

,a ' )

L,o que prueba nuestra afirmación. A hora demostraremos que x es regular en un entorno de ü = O y que es tangente a 5 a lo largo de a. D e hecho, en i» = O, tenem os X, A

= a' A

\ N ' \

( k „ N )

^ l/V'l ’ donde k„ = k„{s) es la curvatura normal de a. C om o k„(s) no se anula nunca, esto demuestra que x es regular en un entorno de v = O y que el vector unitario normal de x en x(s, 0) coincide con N (s). Por tanto, x es tangente a 5 a lo largo de u = O y com pletam os así la dem ostración de nuestras afirmaciones. R esum irem os nuestras conclusiones de la manera siguiente. Sea a (s) una curva param etrizada p o r la longitud de arco sobre la superficie S y admitamos que a nunca es

tangente a una dirección asintótica. Entonces la envolvente (9) de la familia de planos tangentes a S a lo largo de a es una superficie desarrollable, regular en un entorno de o (s) y tangente a S a lo largo de a(s).

B.

Superficies mínimas

Se dice que una superficie parametrizada regular es mínima si su curvatura m edia se anula en todos los puntos. U na superficie regular S c es mínima si cada una de sus parametrizaciones. es mínima.

Para explicar por qué usam os la denom inación mbiima para tales superficies, necesitam os introducir la noción de variación. Sea x; U una superficie parametrizada regular. T om em os un dom inio acotado D a U (ver la sec. 2.5) y una función diferenciable h: D —* R , donde Ú es la unión del dominio D con su frontera dD . La variación norm al ele x (D ), determinada por h, es la aplicación (fig. 3-38) dada por

t p ' . D x (- C , é ) — > Ri
v)N(u, v),

(w, d) e 5 , í e ( - e , e).

(X + IhNXD) (X - íA N )(D )

Figura 3-38. Una variación normal de x(D). Para cada í e ( - e , e), la aplicación x‘: D - ^ R^

x‘(u, v) = (p{u, V, i) es una superficie parametrizada con

dx! du dx' = x„ + thN„ + íA„JV.

Así, denotando por B , P , G' los coeficientes de la primera forma fundamental de x ', obtenemos E'^E +

JV.> + + t^ h X ,

F ‘ = = F + th«x^, NJ) + < x „ AT„» +

G‘ = G + /A « x„

+
N„y + t^h A ,

+ t^ h \N ,, AT„> + t^hX.

Utilizando el hecho de que
= -e ,

-

-2 f,


= -g

y que la curvatura m edia H es (sec. 3.3, ecuación (5)) f f ___ 1_ E g — 2 fF + Ge 2 EG~F^ ' obtenem os

EG· - {F-y = E G - F ^ - 2th{Eg - IF f + Ge) + R = {EG - F^Xl - 4thH) + R,

donde Um,_^o (^^0 = 0Se deduce entonces que si e es suficientem ente pequeño, x' es una su p erficiel parametrizada regular. A dem ás, el área A (t) de \'(D ) es

A(t) =

^E 'G ' - (F 'y du dv JD V i - 4íhH + R J E G - F^ du dv.

donde R = R /(E G - F^). Luego si e e s pequeño, A es una función diferenciable y su derivada en í = O es

( 12)

A hora ya estam os preparados para justificar el uso del término m ínim o en conexión con las superficies de curvatura media nula. PROPOSICION 1. Sea x: U una superficie param etrizada regular y sea D c: U un dom inio acotado en U . Entonces x es mínima si y sólo si A '(0 ) = O para todos los dom inios D , en las condiciones precedentes, y todas las variaciones normales de x (D ).

Demostración. Si x es mínima, la condición se verifica claramente al ser / / = 0. R ecíprocam ente, admitamos que la condición se verifica y que H {q) O para algún q e D . T o m e m o s h: D - * R tal que h(q) = H (q), siendo h idénticam ente cero fuera de un pequeño entorno de q. La contradicción se obtiene al ser i4'(0) < O para la variación determinada por esta función h. Q .E .D . D e esta forma, cualquier región acotada \(D ) de una superficie mínima x es un punto crítico de la función área para cualquier variación normal de x(D ). D ebe notarse que este punto crítico no tiene por qué ser un m ínimo, lo que hace que el término mínima parezca, en cierto sentido, inoportuno. N o obstante, es una term ino­ logía clásica, introducida por Lagrange (que fue el primero en defínir superficie mínima) en 1760.

aeoraiMMMM Las superficies m ínim as se asocian fi*ecuentemente con las películas de jabón que pueden obtenerse al sumergir un bastidor de alambre dentro de una solución jabonosa y retirarlo con cuidado. Si e l exjwrim ento se realiza con éxito, se obtiene una película de jabón delim itada por el propio bastidor. Se puede demostrar, apelando a conside­ racio nes físicas, que la película adoptará una posición donde la curvatura m edia sea cero en sus puntos regulares. Por este procedim iento podem os «manufacturar» bellas superficies mínim as, com o la de la fig. 3-39.

Observación 1. D e b e señalarse que, de acuerdo con nuestra defínición, no todas las películas de jabón son superficies mínimas. H em os supuesto que las superficies mínimas son regulares (podíam os haber admitido la existencia de algunos puntos singulares aislados, pero ir m ás allá de eso hubiera conducido a un tratamiento m ucho menos elem ental). Sin em bargo, pueden formarse películas jabonosas, por ejem plo, utilizando un bastidor cúbico (fig. 3-40), que tienen singularidades a lo largo de rectas.

Figura 3-39

Figura 3-40

Observación 2. La conexión entre las superficies mínimas y las películas de jabón m otivó el célebre problem a de Plateau (Plateau fue un físico belga que realizó, hácia 1850, m inuciosos experim entos con películas de jabón). En líneas generales, el problema puede describirse en los siguientes términos: demostrar que para cada curva cerrada C <= existe una superficie S de área mínima que tiene a C como borde. Plantear el problem a de una manera precisa (qué curvas y superficies están p>ermifídas y qué se entiende por el hecho de que C sea un borde de S) constituye una parte no trivial del propio problem a. U na versión del problema de Plateau fue resuelta sim ultáneam ente por D ouglas y R adó en 1930. Otras versiones (y generalizaciones del problem a para dim ensiones superiores) han inspirado la creación de entidades matemáticas que com prenden al m enos tantos objetos com o tipos de películas de jabón. R em itim os al lector interesado al cap. 2 de Lawson [20] (las referencias se hallan al final del libro) para otros detalles y bibliografí'a reciente sobre el problema de Plateau.

Será conveniente introducir, para una superficie ftanm u^inuia regular arbitrsaia, _ el vector curvatura media definido por H = H N. La interpretación geom étrica I sentido de H se puede deducir de la ecuación (12). D e hecho, si elegim os h = H¿ tenem os, para esta variación en particular, t, ^'(0) = - 2 f
du dv < 0.

J D

Lo cual significa que si deformamos x (D ) según el sentido del vector H , el área decrece I

inicialmente. El vector curvatura m edia admite otra interpretación de la que nos vamos a ocupai* ahora, ya que tiene importantes aplicaciones para la teoría de superficies mínimas. ' Se dice que una superficie parametrizada regular x = x ( m , v ) es isoterma si (x„, x„) =

X«) y

Xv) = O·

PROPOSICION 2. Sea x = x(u, v) una superfìcie parametrizada regular y admita­

mos que

X

es isoterma. Entonces Xuu + Xvv =

donde

= (x„, x„) =
Demostración. Com o x es isoterma, (x„, x„) = (x„, Xt,) y (x„, x„) = 0. D erivando, obtenem os
X„>

= = -< x„, x,„>.

Por tanto, = 0 . A nálogam ente, = 0. D e lo que se deduce que x„„ + x„„ es paralelo a N. Y a que x es isoterma. „ _

1 g + e

A sí, I V - H = ^ + e = ;

de donde. Xuu

Xyv ~ 2A^H,

Q.E.D.

El laplaciano A / de una función diferenciable /: U cz —* R se define por ~ (d^fldu^) + (d^fldv^), («, v) e U. D ecim os q u e / e s armónica en í / si A / = 0. D e la prop. 2 obtenem os COROLARIO. Sea x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) una superficie param etriza­ da y admitamos que x es isoterma. Entonces x es mínima si y sólo si sus funciones coordenadas x, y, z son armónicas.

r

^ e m p lo 5. E i catenoide definido por x(m ,

u) = (a cosh

V

cos u, a cosh v sen u, a v), 0 < u < 2ji, —00 <

V

< °°.

Esta es la superficie generada al rotar la catenaria y = a cosh (z/a) alrededor del eje z (fig. 3-41). Se comprueba fácilm ente que E = G = a^ cosh^ u, F = 0, y que x„„ -I- x„„ = 0. Por tanto, el catenoide es una superficie minima. Esta superficie està caracterizada por ser la ùnica superficie de revolución que es mínima

La última afirmación puede demostrarse com o sigue. Querem os hallar una curva

y = f{x) tal que, cuando rote alrededor del eje x, describa una superficie mínima. Com o los paralelos y los meridianos de una superficie de revolución son líneas de curvatura de la superficie (sec. 3.3 , ejem plo 4), debem os tener que la curvatura de la curva y = f(x) es la opuesta de la curvatura normal del círculo generado por el punto/(x:); ambas son curvaturas principales. C om o la curvatura de )> = f{x) es

(1 + ( y y y

y la curvatura normal del círculo es la proyección de su curvatura usual ( = 1/y) sobre la normal A' a la superficie (véase la fig. 3-42), obtenem os

___ y____ ____eos ü> (1 + i y y y ' ^ ~ y ^ Pero - c o s

(1 + ( y y r ^ "

I (1 + (y ’yy^^

Claram ente, existe un punto x donde f ( x ) ^ 0. Trabajem os en un entorno de este punto donde f M ultiplicando los dos miembros de la ecuación precedente por ly ' se obtiene, 2 /y ,2 /.

1+

i / f

y

H aciendo 1 + (y') = z (de donde, l y ”y ’ = z ’), tenem os

z

y

que, integrando, da lugar a {k es una constante) log z = log y^ + log k^ = log(jfc)^ o 1 + (y'Y = z = (y k y .

La última expresión se puede escribir

^ (y k f - 1 que, de nuevo por integración, da lugar a (c es una constante) cosh' '{yk) ~ kx + c

y ~ Y cosh(A:x + c).

Por tanto, en el entorno de un punto donde / ' # 0 , la curva y = f(x) es una catenaria. Pero entonces y ' sólo puede ser cero en = 0 , y, si la superficie va a ser conexa, por continuidad es un catenoide, com o afirmamos en un principio. Ejemplo 6 (El helicoide). (Cf. el ejem plo 3, sec. 2.5 .)

x(u, v) = (a senh v cos u, a senh v sen u, au). Se comprueba fácilm ente que E = G = a^ cosh^ u, F = O y que x„„ + x„„ = 0. Por tanto, el helicoide es una superficie mínima. D etenta además la propiedad de ser la única superficie mínima, aparte del plano, que es también una superficie reglada. Podem os presentar una demostración de la última afirmación si admitimos que los ceros de la curvatura gaussiana de una superficie mínima son aislados (para consultar una demostración, véase, por ejem plo, el trabajo de recapitulación de Osserman citado al final de esta sección, pág. 212). U na vez garantizado esto, procederem os como sigue. Adm itam os que la superficie no es un plano. Entonces en algún entorno W de la superficie la curvatura Gaussiana K es estrictamente negativa. Com o la curvatura media es cero, W está recubierto por dos familias de curvas asintóticas que se cortan ortogonalmente. Y a que las generatrices son curvas asintóticas y la superficie no es un plano, podem os elegir un punto ^ 6 íV tal que la curva asintótica, aparte de la generatriz, que pasa por q tiene torsión no nula en q. C om o el plano osculador de una curva asintótica es el plano tangente a la superficie, existe un entorno K c W tal que las generatrices de V son normales principales de la familia de cúrvas asintóticas no rectilíneas (fig. 3-43). Resulta un ejercicio interesante de curvas demostrar que esto sólo puede ocurrir si y sólo si las curvas no rectilíneas son hélices circulares (cf. el

ejercicio 18, sec. 1.5). Por tanto, V es parte de un helicoide. Puesto que la torsión d e una hélice circular e s constante, es obvio que toda la superficie es parte de uq helicoide, com o habíam os anunciado en un principio. E l helicoide y el catenoide fiieron descubiertos por M eusnier en 1776, q u i e n también dem ostró que la definición de Lagrange de las superficies m ínim as c o m o puntos críticos de un problem a varíacional es equivalente a la anulación de la curvatura m edia. Fueron, durante m ucho tiem po, los únicos ejem plos conocidos d e superficies mínimas. N o fue hasta 1835 que Scherk descubrió otros ejem plos, uno d e los cuales se describe en el ejem plo 8. En el ejercicio 14 describiremos una conexióÉ interesante entre el helicoide y^el catenoide. . E;jemplo 7 (La superficie mínima de Enneper). La superficie de Enneper es la superficie parametrizada s

x(m, t;) =

—y +

V—-J +

(m, v ) e

R^,

■'

■> ' que, com o es inm ediato comprobar, es una superficie mínima (fig. 3-44). N ótese que al cambiar (« , v) por ( - v , u) transformamos, en la superficie, (x, y, z) en { - y , x, - z ) i A sí, si efectuam os un giro positivo de ángulo n/2 alrededor del eje z, seguido de una simetría en el*plano xy, la superficie permanece invariante.

Figura 3-44. I m superficie de Enneper. Reproducida bajo autorización, con modificaciones, de K. Leicht-

weiss, »Minimalflächen im Grossen», Überblicke Math., 2 (1969), pp. 7-49, fig. 4.

U na peculiaridad interesante de la superficie de Enneper es que tiene autointer­ secciones. E sto se puede demostrar haciendo u = g c o s 6, = g sen 0 y escribiendo

v

x(g, 0) - (^g cos 0 - ^ cos 30, g sen ®

^

30,

cos 20^.

A sí, si x (p i, 0 i) = x(í>2, 0 i), un simple cálculo prueba que

jc^ + y2 = ^ + á - c o s 4 0 ^ 9

= (pi

3

~

= (é>2 + j ) ' -

20,

I (é ^ c o s 2 0 2 ^ .

De donde, com o gij cos 20i = g^ cos 20¿, obtenem os

lo cual implica que = g. Se deduce entonces que cos 20i = cos 202. Si, por ejem plo, gi = g z y 0i = 2n - 02, deducim os de X p i, ®i) = yi.02, O2 ) que y = - y . Luego y = 0; o sea, los puntos (p i, 0{) y (p 2, ©2) pertenecen a la curva sen 0 -I- (p^/3) sen 30 = 0. Es claro que para cada punto (g, 0) de esta curva, el punto (e, 2n - 0) también pertenece a ésta, y que

x(g, 0) = x{g, 2n - 0), z(g , 0) = z(g , 2n - 0). Por tanto, la intersección de la superficie con el plano >> = Oes una curva sobre la cual la superficie se corta a sí misma. A nálogam ente, puede dem ostrarse que la intersección de la superficie con el plano .í = O también es una curva de autointersección (correspondiente al caso = g 2 ,0 \ = ^ - 02). E s inm ediato comprobar que éstas son las únicas autointersecciones de la superficie de Enneper. D eseo expresar mi agradecim iento a A lcides Lins N eto por analizar este ejem plo a fin de trazar un primer boceto de la fíg. 3-44. A ntes de pasar al siguiente ejem plo, vam os a establecer una relación útil entre las superficies mínimas y las funciones analíticas de una variable com pleja. D enotem os por C al plano com plejo, el cual, com o ya es habitual, se identifica con haciendo ^ = u + iv, ^ e C, (m, v) e R^. R ecordam os que una función f : U c z C - * C e s analítica cuando, escribiendo

m = a u , v ) + ih{u,v).

las funciones r e a l e s y /2 adm iten derivadas parciales continuas de primer orden que satisfacen las denom inadas ecuaciones de Cauchy-Riemann: t

au

f> = _ á A .

= dv

dv

du

Sea ahora x: U <= una superficie parametrizada regular y definam os las funciones com plejas q>i,
dx

donde x, y , z son las funciones com ponentes de x. LEM A. X es isoterma si y sólo si (^ + + (^ = Q. Si se satisface esta condición, x es mínima si y sólo si q>i, 3 son funciones analíticas.

Demostración. Obtenernos m ediante un simple cálculo que (p\ + (p\ + ( p \ = ^ E - G + 2iF, de donde se deduce la primera parte del lema. A dem ás x„„ + x„„ = O si y sólo si i

du\du)

± (§ y \

du\du)

dv\dv)’ =

dvKdv) dv\dv}'

lo que implica la mitad de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para q>i, (Pz, ((>3 . ComO la otra mitad se satisface autom áticam ente, concluim os que x„„ + x„t, = O si y sólo si í»!, 9>2 y 9b son analíticas. Q .E.D . Ejemplo 8. (La superficie mínima de Scherk). V iene dada por x(m , v )

= ^arg

—i

arg ’ log C ^+ 1 1 ’C - i ’ C^ ± 1 , C

donde ^ = u + i v y es el ángulo que forma C con el eje real. Calculamos fácilm ente que 2m arg c + / _

u^ + v ^ - l '

r^ i

—2v

log

_ “

1 T

-

v^ +

-

l y + 4m V . 1)2 + 4u^v^’

± í,

r

Cta de donde. _ dx

2i

.dx _

4C ■" 1 - r

■

Com o i,q(>2yqP3 son analíticas, x es una parametrización isoterma de una superficie minima. Se com prueba inm ediatam ente a partir de las expresiones para x , y , z que , = log£91Z , cos x Esta representación dem uestra que la superficie de Scherk está definida sobre el tablero de ajedrez de la fig. 3-45 (excepto en los vértices de los cuadros, donde la superficie es en realidad una recta vertical).

1 n ·> _7T

0

■y

.. ..

(a)

(c)

Figura 3-45. La superficie de Scherk.

E

-J ..1r

Las superficies mínimas constituyen quizá la rfaiy de superficies m ejor estudia en geom etría diferencial, y apenas hem os tocado el tem a. U na introducción bastante^ legible puede consultarse en R . Osserm an, A Survey o f Minimal Surfaces, Van; Nostrand Mathematical Studies, V an Nostrand R einhold, N ueva York, 1969. La teoría se ha constituido en una fértil rama de la geom etría diferencial en la que todav están siendo investigadas cuestiones interesantes nada triviales. T iene conexione profundas con las funciones analíticas de variable com pleja y las ecuaciones e ^ derivadas parciales. Por regla general, los resultados de la teoría tienen la fascinante ! cualidad de ser fáciles de visualizar pero muy difíciles de demostrar. Para transmitir all lector parte del sabor del tem a cerraremos esta breve introducción estableciendo sin í demostración un resultado sorprendente.

TEOREMA (Osserman). Sea S <= R^ una superficie regular, cerrada (como si conjunto de R^) y mínima en R^ que no es un plano. Entonces la imagen de la cación de Gauss N: S ^ S^ es densa en la esfera S^; es decir, hay puntos de N (S ) c arbitrariamente próxim os a cualquier punto de S^. U na demostración de este teorem a se encuentra en el trabajo de Osserman antesl citado. R ealm ente, el teorem a es algo más fuerte al aplicarse a superficies com pletas,! concepto que definirem os en la sec. 5.3.

EJERCICIOS 1. Demostrar que el helicoide (cf. el ejemplo 3, sec. 2.5) es una superficie reglada, que su línea de estricción es el eje z y que su paràmetro de distribución es constante. 2. Demostrar que sobre el hiperboloide de revolución = \ , ti paralelo de menor radio es la línea de estricción, las generatrices se cortan formando un ángulo constante y el parámetro de distribución es constante. 3. Sea a: / —> S c i?-’ una curva sobre una superficie regular S y considérese la superficie reglada generada por la familia {a(f), ^ ( 0 ) . donde N(t) es la normal a la superficie en a(í)· Demuéstrese que a(7) c 5 es una línea de curvatura en 5 si y sólo si esta superficie reglada es desarrollable. 4. Admitamos que la superficie reglada no cilindrica x{t, v)

= a(0 +

vw(t),

1^1 = 1,

es regular. Sean H'(íi), w(t2 ) las direcciones de dos generatrices de x y sean x(íi, Vj), x(Í2 , «2) los pies de la perpendicular común a estas dos generatrices. Cuando h, estos puntos tienden a un punto x(/j, v). Para determinar (ti, ii) demuéstrese lo siguiente. a. El vector unitario de la perpendicular común converge a un vector unitario tangente a la superficie en (ti, ii). Conclúyase que, en (íj, v), (^w'

A M', N

y

= 0.

b. v = - ( ( a ' , w')!{w', tv '» . D e esta forma, (i,, v) es el punto centrai de la generatriz que pasa por íj, siendo ésta otra interpretación de la línea de estricción (la cual se supone no singular). 5 . Un conoide recto es una superficie reglada cuyas generatrices L, intersectan perpendicular-

mente un eje fijo r el cual no corta a la directriz a: I

R^.

a. Hallar una parametrización del conoide recto, determinando una condición que impli­ que que éste es no cilindrico. b. Dado un conoide recto no cilindrico, hállense la línea de estricción y el parámetro de distribución. 6. Sea x(í, v) = a(í) + vwit)

una superficie desarrollable. Demostrar que en un punto regular se tiene Í N , , x „> = Í N , , x ,> = 0.

Conclúyase que el plano tangente a una superficie desarrollable permanece constante a lo largo de (los puntos regulares de) una generatriz fijada. 7. Sea S una superficie regular y sea C c S una curva regular sobre S que nunca es tangente a una dirección asintótica. Considérese la envolvente de la familia de planos tangentes a 5 a lo largo de C. Demuéstrese que la dirección de la generatriz que pasa por un punto p e C es conjugada de la dirección de la tangente a C en p. 8. Demostrar que si C c es un paralelo de la esfera unidad S^, entonces la envolvente de los planos tangentes a 5^ a lo largo de C es o bien un cilindro, si C es un ecuador, o un cono, si C no es un ecuador. 9. Superficies focales. Sea S una superficie regular sin puntos parabólicos o umbílicos. Sea U -* S una parametrización de 5 tal que las curvas coordenadas son líneas de curvatura (si U es pequeño, esto no constituye una restricción; cf. el corolario 4, sec. 3.4). Las superficies parametrizadas

y{u, v)

=

z(m,

=

v)

\(u, v) x(u, v)

+ Qi N { u ,

v ),

+ QzN { u ,

v),

donde p, = l/¿ ], p2 = 111(2 , se denominan superficies focales de x(U) (o superficies de centros de x{U)‘, esta terminología proviene del hecho de que, por ejemplo, y{u, v) es el centro del círculo osculador (cf. la sec, 1.6, ejercicio 2) de la sección normal en x(u, v), correspondiente a la curvatura principal fcj. Demuéstrese que a. Si (ki)u y (^ 2)1»nunca se anulan, entonces y y z son superficies parametrizadas regulares. b. En puntos regulares, las direcciones sobre una superficie focal correspondientes a las direcciones principales en x(t/) son conjugadas. Esto significa, por ejemplo, que y„ e y„ son vectores conjugados en y(lf) para todo (u, v) e U. c. Una superficie focal, por ejemplo y, puede construirse de la forma siguiente. Considére­ se la línea de curvatura x(u, const.) sobre \{U ) y constrúyase la superficie desarrollable generada por las normales a x(í7) a lo largo de la curva x(u, const.) (cf. el ejercicio 3). La línea de estricción de esta superficie desarrollable se encuentra sobre cuando x(m, const.) recorre x(U), esta línea recorre y(U) (fig. 3-46).

y{U)y,

Figura 3-46. Construcción de una superficie focal.

10. EI ejemplo 4 puede generalizarse como sigue. Una familia uniparamétrica diferenciable de planos {a(í, N{t)} es una correspondencia que asigna a cada í e 7 un punto a(/) € y un vector unitario N(t) e de forma que tanto a como N son aplicaciones diferenciables. Se dice que una familia {a(t), N(t)}, t e I es una familia de planos tangentes si a'(t) O, N{t)' # O y (a'(f), N{t)) = O para todo t e l . a. Demostrar que una familia uniparamétrica diferenciable de planos tangentes {a(í), A^(í)} determina una familia uniparamétrica diferenciable de rectas (a(t), {N / \ A^')/|A^'|} la cual genera la superficie desarrollable

N A N'

x(í, v) = a(í) + V

lA^'l

(*)

La superficie (») se denomina la envolvente de la familia {a(í), ^ (0 )· b. Demostrar que si a'(t) / \ (N(t) / \ N'(t)) ^ Opara todo t € 7, entonces la envolvente (*) es regular en un entorno de v = O, y el vector unitario normal a x en (í, 0) es A'(í)· c. Sea a = a(s) una curva en R^ parametrizada por la longitud de arco. Admitamos que la curvatura k{s) y la torsión i(s) de a nunca se anulan. Demuéstrese que la familia de planos osculadores (a (í), ¿>(í)} es una familia uniparamétrica diferenciable de planos tangentes y que la envolvente de esta familia es la superficie tangente a a(s) (cf. el ejemplo 5, sec. 2.3).

P H IP J ....III. I I .!il,l. l ,

_____________________________________

I.

i, » »

^.^\-:^Mya»am9lritd0laapllca(*Sn
11. Sea X = x ( m , v) una superficie parametrizada regular. Una superficie paralela a x es una superficie parametrizada de la forma y(tt, v) = x(tt, v) + aN{u, v), donde a es una constante. a. Demostrar que y« A y« = (1 “ 2//« + Ka^)(\u A donde K y H son las curvaturas gaussiana y media de x, respectivamente. b. Pruébese que en los puntos regulares la curvatura gaussiana de y es K 1 - IH a + Kq2 y la curvatura media de y es H ,-K a í - 2 H a + Ka2 c. Sea X una superficie cuya curvatura media es constantemente igual a c, c O, y considérese la superficie paralela a x, a una distancia l/2c. Demostrar que'esta superficie paralela tiene la curvatura gaussiana constantemente igual a 4c^. 12. Demostrar que no existen superficies mínimas compactas (es decir, cerradas y acotadas en R^). 13. a. Sea S una superficie regular sin puntos umbílicos. Demostrar que S es una superficie mínima si y sólo si la aplicación de Gauss N: S satisface, cualesquiera que sean p e S y W2 e Tp(S),

<^dNp(w^), dNp{w2)yNip) = A(p)p, donde A(p) ^ O es un número que sólo depende de p. b. Sea x: U ^ una parametrización de la esfera unidad 5^ mediante la proyección estereográfica. Consideremos un entorno V de un punto p , en la superficie mínima S de la parte a, tal que la restricción de N: S ^ a V sea un difeomorfismo (como K(p) = det{dNp) O, la existencia de un entorno V de este tipo se deduce del teorema de la función inversa). Demuéstrese que la parametrización y = N~^ ° x: U —* S ts isoterma (esto proporciona una manera de introducir las parametrizaciones isotermas en las superficies mínimas sin puntos planos). 14. Cuando dos funciones diferenciables f , g: U c R^ Cauchy-Riemann du

dv

dv

R satisfacen las ecuaciones de

du

se comprueba sin dificultad que son armónicas; en este caso se dice q u e /y g son armónicas conjugadas. Sean x e y parametrizaciones isotermas de superficies mínimas tales que sus funciones componentes son armónicas conjugadas dos a dos; entonces x e y se denomman superficies mínimas conjugadas. Demuéstrese que a. El helicoide y el catenoide son superficies mínimas conjugadas.

b. Dadas dos superficies mínimas conjugadas, x e y, la superficie z = (cos í)x + (sen f)y

(*)

es también una superficie mínima para todo t e R. c. Todas las superficies de la familia uniparamétrica (») tienen la misma forma fundamen­ tal; E = (x„, y„). En consecuencia, cualquier pareja de superficies mínimas conjugadas puede conec­ tarse mediante una familia uniparamétrica de superficies mínimas, siendo la primera forma fundamental de esta familia independiente de t.

A p én d ice APLICACIONES LINEALES AUTOADJUNTAS Y FORMAS CUADRATICAS

En este apéndice, denotarem os por F a un espacio vectorial de dim ensión 2 dotado de un producto interior ( , ) . Todo lo que sigue puede extenderse sin dificultad a un espacio vectorial de dim ensión n, pero por simplicidad sólo trataremos con el caso n = 2. D ecim os que una aplicación lineal A . V - ^ V a u t o a d j u n t a si { A v , w ) = (u , A w ) para todo v , w e V . N ótese que si {e^, ej} es una base ortonormal de F y (a,y), i , j = 1 , 2 es la matriz de A con respecto a esta base, entonces

(^Ae¡, ejy =

A e^ = ^Aej, e¡) = (tj¡,

es decir, la matriz (a¿y) es simétrica. A cada aplicación lineal autoadjunta le asociam os una aplicación B: V X V definida por

R

B{v, w) = <,Av, w}. Es claro que B es bilineal; es decir, es lineal en v y w por separado. A dem ás, el hecho de que A sea autoadjunta implica que B {v, w) = B {w , v); o sea, B es una forma bilineal simétrica en V. R ecíprocam ente, si B es una forma bilineal simétrica en V, podem os definir una aplicación lineal >1; V - - * V m ediante { A v , w ) = B (v, w) y la simetría de B implica que A es autoadjunta. Por otra parte, a cada forma bilineal simétrica B en V le corresponde una forma cuadrática Q en V definida por

Q{v) = B{v, v),

V e V,

y el conocim iento de Q determina com pletam ente a B, ya que

B{u, v) = ^[Q{u + v ) ~ Q{u) 217

Q(v)].

Iwfc QoomeMadUanneM ^'úunmyaupeiIkslm D e esta forma, se establece una correspondencia inyectiva entre las formas cuadráticas en V y las aplicaciones lineales autoadjuntas de V. El objetivo de este apéndice es demostrar (véase el teorem a que sigue) que dada una aplicación lineal autoadjunta A : V V, existe una base ortonormal de V tal la matriz de A con respecto a esta base es diagonal. A dem ás, los elem entos de la diagonal principal son el máximo y el m ínim o de la correspondiente forma cuadrática restringida al círculo unidad de V.

que

LEM A. Si la restricción de la función Q (x, y) = ax^ + 2b X y + cy^ o / círculo unidad x^ + y^ = 1, tiene un máximo en el punto ( 1 , 0 ) , entonces b = 0.

Demostración. Parametricemos el círculo = 1 por x = cos t ,y = sen t , t e ( f i - e, 2jt + é). A sí, la restricción de <2 a al círculo, se convierte en una función de t: Q (t) = a cos^ t + 2b cos t sen t + c sen^ t. Com o Q tiene un máximo en el punto (1, 0) concluimos

D e donde, b = O, que es lo que buscábamos.

> Q.E.I>;

PROPOSICION. Dada una form a cuadrática Q en V , existe una base ortonorrrud { e i, 62} de V tal que s/ v 6 V viene dado p or v = xci yc2, entonces Q(v) =

donde A, y A2 son, respectivamente, el máximo y el mínimo de Q sobre el círculo unidad |v| = 1.

Demostración. Sea A, el m áxim o de Q sobre el círculo |t;| = 1 y sea e , un vector unitario donde <3 (^1) = Aj. La continuidad de Q sobre el conjunto com pacto |t^| = 1 garantiza la existencia de tal e \. Sea 6 2 un vector unitario ortogonal a e, y pongamos h. — G(«2)· V am os a demostrar que la base {e ,, «2} satisface las condiciones de la proposición. Sea B la forma bilineal simétrica asociada a Q y tom em os v = xe^ + ye 2 . Entonces

Q(v) = B(v, v) = B(xe¡ + ye^, xe¡ + y^j) = Á,iX^ + 2bxy + A2>'^ londe b = B{eu ^2). Por el lem a, b = 0 ,y sólo resta probar que A2 es el mínimo de Q m el círculo |t;| = 1. Esto es inm ediato porque, para cualquier v = xei + ye 2 con + y = 1, tenem os que

Q(v) = X¡x^ + A^y" >

+ y") = A2,

'a que Aj s A2. Q .E .D .

r

OeomaMa de ia aplicación de Oauas 219

D ecim os que un vector i» =5^= O es un autovector de la aplicación lineal A : V V si yli» = Au para algún núm ero real A; en ese caso A se denom ina un autovalor de A . TEOREM A. Sea A: V —» V una aplicación lineal autoadjunta. Entonces existe una base ortonormal {e j, ea} de V tal que A ( e i) = AiCi, A (c 2) = A2C2; es decir, e i y & 2 son autovectores y Ai, A2 son autovalores de A . En la base { c i, 62} , la m atriz de A es claramente diagonal y los elementos Ai, A2, Ai > A2, de la diagonal principal son, respectivamente, el máximo y el mínimo de la form a cuadrática Q (v) = (A v , v ) sobre el círculo unidad de V.

Demostración. Considerem os la forma cuadrática Q (v) = ( A v , v) . Por la proposi­ ción p r e c e d e n te , e x iste una b ase orton orm al {ei , 62} de V, con <2(^i) = 0 (^2) = A2 ^ Al, donde Ai y A2 son, respectivam ente, el m áximo y el mínimo de Q sobre el círculo unidad. Por tanto, sólo falta por dem ostrar que A (e i) = AiCi,

A ( c2) = A2(e2>

C om o B (ei, 6 2 ) = (Aci , e·^ = O, por el lem a, y «2 O, tenem os que o bien A ei es paralelo a Ci o bien Ae^ = 0. Si Ae\ es paralelo a e i, entonces Aei = a c i, y, com o {Ae^, c i) = Al =
A ei = Á¡ei. U sando ahora el hecho de que

^(ei,e2) ==(Ae2,e¡} = 0 y que

(Ae^·, ez) = A2,

podemos probar de la misma manera que A e 2 = A2e2· Q .E.D .

Observación. La extensión de los resultados precedentes a espacios vectoriales de dimensión n, n > 2, sólo requiere tomar la siguiente precaución. En la proposición previa, elegim os Ai = 0 ( e i ) com o el máximo de Q en la esfera unidad y entonces demostramos que Q restringida al subespacio ortogonal a e i. V i, es una forma cuadrática en Vi. Tom am os A2 = <2 (^2) com o el m áximo de Q i sobre la esfera unidad de V[, y así sucesivam ente.

C apítulo 4 GEOMETRIA INTRINSECA d e SUPERFICIES

4.1.

Introducción

En el cap. 2 introdujimos la primera forma fundamental de una superficie S y mostramos cóm o podía utilizarse para calcular conceptos métricos simples en 5 (longitud, ángulo, área, etc.). E l punto importante es que tales cálculos pueden efectuarse sin «abandonar» la superficie, una vez que se conoce la primera forma fundamental. Por esta razón, se dice que estos conceptos son intrínsecos a la superficie S. Sin embargo, la geom etría de la primera forma fundamental no se agota con los conceptos simples antes m encionados. Com o verem os en este capítulo, muchas propiedades locales importantes de una superficie pueden expresarse solam ente en términos de la primera forma fundamental. El estudio de tales propiedades se denomina la geometría intrínseca de la superficie. Este capítulo está dedicado a geometría intrínseca. En la sec. 4.2 definirem os la noción de isometría, la cual esencialm ente confiere precisión a la idea intuitiva de que dos superficies tengan «la misma» forma funda­ mental primera. En la sec. 4.3 dem ostraremos la célebre fórmula de Gauss que expresa la curvatura gaussiana K com o una función de los coeficientes de la primera forma fundamental y de sus derivadas. Esto significa que K es un concepto intrínseco, un hecho bastante sorprendente si tenem os en cuenta que K se definió utilizando la segunda forma fundamental. En la sec. 4.4 com enzarem os un estudio sistemático de la geometría intrínseca. Se pondrá de m anifiesto que el tema puede unificarse mediante el concepto de derivada covariante de un campo vectorial sobre una superficie. Este concepto generaliza la derivada usual de un cam po vectorial en el plano y juega un papel fundamental a lo largo del capítulo. 991

222

Geometría diferencial de curvas y superficies

La sec. 4.5 se dedica al teorem a de G auss-Bonnet en sus versiones local y globah Probablemente éste es el teorem a más im portante del presente libro. Incluso en un 5 curso breve, debería hacerse un esfuerzo por llegar a la sec. 4.5. En la sec. 4 .6 definirem os la aplicación exponencial y la utilizaremos para delSnir dos sistemas de coordenadas especiales, a saber, las coordenadas normales y la g , coordenadas polares geodésicas. En la sec. 4.7 acom eterem os algunos puntos delicados de la teoría de geodésicas . que se dejaron de lado en las secciones previas. Por ejem plo, dem ostrarem os la existencia, para cada punto p de una superficie 5 , de un entorno de p en S que es u n | entorno normal de todos sus puntos (la definición de entorno normal se introduce e n l la sec. 4.6). Este resultado y otro relacionado se utilizan en el cap. 5; sin em bargo,! quizá resulte conveniente admitirlos y omitir la sec. 4.7 en una primera lecturaJ También demostrarem os la existencia de entornos convexos, aunque nunca se utiliza-1 rán en otra parte del libro.

4.2.

Isometrías; aplicaciones conformes

Los ejem plos 1 y 2 de la sec. 2.5 exhiben una peculiaridad interesante. Aunque d i cilindro y el plano son superficies distintas, sus formas fundamentales primeras son » «iguales» (al m enos en los entornos coordenados que hem os considerado). E sto j significa que en lo concerniente a cuestiones métricas intrínsecas (longitud, ángulo, área), el plano y el cilindro se comportan de la misma manera localm ente. (Esto intuitivamente es claro, ya que al cortar el cilindro a lo largo de una generatriz podríamos desplegarlo sobre una parte del plano.) En este capítulo verem os que muchos otros conceptos importantes asociados a una superficie regular únicamente dependen de la primera forma fundamental y deberían incluirse en la categoría d¿ conceptos intrínsecos. Por lo tanto es conveniente que form ulem os con precisión qué se entiende al decir que dos superficies tienen sus formas fundam entales primera! iguales. Siempre considerarem os que S y S son superficies regulares. DEFINICION 1. Un difeomorfismo ( p : S ^ S es una isometría si para todo p e S ^ todas las parejas Wi, W2 e Tp(S) se tiene que p = ,(j,).

Se dice entonces que las superficies S y S son isométricas. En otras palabras, un difeom orfism o q> es una isometría si la diferencial d ^ preserva el producto interior. Siendo una isometría se sigue que, 7,(w ) =
= <_dtp/_w), d
para todo w e Tp{S). R ecíprocam ente, si un difeom orfism o (p preserva la primerá forma fundam ental, es decir,

lp(w) = l^)(d
para todo w e Tp{S),

r

orom etríam tim ecatIoauparteUe «28

entonces 2<»v,, iV2> = If(w¡ + W2 ) — I / w ¡ ) — I / W 2 )

= W)(dq>f(wi + wj)) — If(p)(d

,(wi)) = 2,{wj), y, por tanto,

DEFINICION 2. Una aplicación q>: W S de un entorno V de p e S es una isometría locai en p si existe un entorno V de q>(p) e S tal que tp: V ^ V es una isometría. Si en cada p e S existe una isometría locai en S , se dice que la superficie S es localmente isometrica a S, S y S son localm ente isométricas si S es localmente isomètrica a S y S es localmente isomètrica a S. Resulta claro que si
p e S, entonces tp es (globalm ente) una isom etría. Sin em bargo, pudiera suceder que dos superficies sean localm ente isométricas sin ser (globalm ente) isométricas, com o muestra el ejem plo siguiente. Ejemplo 1. Sea

= x ° (hem os cambiado x por x en la parametrización del cilindro). Entonces la aplicación q> es una isom etría local. D e hecho, cada vector w, tangente al cilindro en un punto p e x (t/), es tangente a una curva x(m(í), v(t)), donde («(í), v(t)) es una curva en U <= R^. A sí, w se puede escribir en la forma w = x„m' + i y . Por otra parte, dq}(w) es tangente a la curva

g>(x(u(t), v(t))) = x(u(t), v(t)). Así, d(p{w) = x„m' + XyV'. C om o E = É, F = F, G = G , obtenem os / / w ) = É(u'-y + IFu'v' + Giv’y = Eiu'y + IFu’v + G iv'y = hUd
28«

e e o m M t (mummmuit^emamrsuperfícha

Tal propiedad se preservaría con toda seguridad bajo un hom eom orfism o. Pero , paralelo del cilindro (fig. 4-1) no detenta esa propiedad, lo que contradice existencia de un hom eom orfism o entre el plano y el cilindro.

c

Figura 4-1. C c P ie puede deformar continuamente hasta un punto p sin abandonar P. No se cum pk i mismo para C
A ntes de presentar otros ejem plos, vamos a generalizar el argumento precedente i fin de obtener un criterio para isometrías locales en términos de coordenadas locale PROPOSICION 1. Adm itam os la existencia de parametrizaciones x: U - » S _y i: ^ S tales que E = È , F = F, G - G e« U . Entonces la aplicación = x ° x~*: x (U )

es una isometría local. Demostración. Sean p e \(U ) y w e Tp(S). Entonces w es tangente a una cur x (a (í)) en í = O, donde o (í = (w(í), f ( 0 ) una curva en U, por consiguiente, w i puede escribir (t = 0) w = x „u ' +

\ , v ' .

Por definición, el vector d(pp{w) es el vector tangente a la curva x ° x""' ° x (o (/)), es ' decir, a la curva x (a (í)) en r = O (fig. 4-2). Por tanto, l|

d(Pp{w) = x„w' + x ^ . Com o = E {u 'y + IF u ’v ' + G {v ')\ I .U d v Á ^ ) ) = É { u 'f + IF u 'v + G { v 'f , concluimos que lp{w) = l^^(dq>p(w)) para todo p t x(í7) y h» € Tp(5); de donde q>t una isometría local. Q .E .t ì Ejemplo 2. Sea 5 una superficie de revolución y x(u, v) = (f(v) cos u, f{v) sen u, g(v)),

a < V < b,

O < u < 2j í ,

f(v ) > O,

r

jfíf tftimuíñ H M naeo»^ mmmHolm SM

una parametrización de 5 (cf. el ejem plo 4, sec. 2.3 ). En la parametrización x, los coeficientes de la primera forma fundamental de S vienen dados por

E = (f(v)r,

F=0,

G = ( f ' ( v) y + (g \v)y.

En particular, la superficie de revolución de la catenaria,

X ^ a cosh

V,

z = av,

—oo < t; <

oo,

tiene la siguiente parametrización:

x(u, v) = (a cosh

V

cos u, a cosh v sen u, av) O < U < 2jt, -00 < U < 00,

con respecto a la cual, los coeficientes de la primera forma fundamental son

E '= a^ cosh^ V,

F = O,

G =

(1 + senh^ u) = a^ cosh^ v.

Esta superficie de revolución se denom ina catenoide (véase la fig. 4-3), V am os a demostrar que el catenoide es localm ente isom ètrico al helicoide del ejem plo 3, sec. 2-5. Una parametrización del helicoide viene dada por x(m ,

il) = (v cos Ü, v sen ü, aü),

O<

ü <

2n,

—o o <

Efectuemos el cam bio de parámetros

ü = u,

V = a senh v,

O < u < 2jí,

-

oo

< v <

ù <

°o.

emmmrnéBMsàmÈF

Figura 4-3. E l catenoide.

que es legítim o ya que la aplicación es claramente inyectiva y el jacobiano

a(u, V)

— a cosh V

nunca se anula. A sí, una nueva parametrización del helicoide es

x(u, v) = (a senh v cos u, a senh v sen u, au), con respecto a la cual, los coeficientes de la primera forma fundamental vienen dados por E =

cosh^ V,

F = O,

G =

cosh^ v-

H aciendo uso de la prop. 1 concluim os que el catenoide y el helicoide son localm ente isométricos. La figura 4-4 ofrece una idea geom étrica de cóm o opera la isometría; aplica «una vuelta» del helicoide (entorno coordenado correspondiente a O < u < In ) en el catenoide exceptuando un meridiano.

Observación 1. La isometría entre el helicoide y el catenoide apareció ya en el cap. 3, en el contexto de las superficies mínimas; cf. el ejercicio 14, sec. 3.5. Ejemplo 3. V am os a demostrar que el cono de una hoja, exceptuando el vértice, 2= +

ix, y) ^ (0, 0),

r

GeotnalrtainMnaeoa d u u p e iM m

a»

es localm ente isom ètrico a un plano. La idea consiste en demostrar que el cono m enos una generatriz puede «desplegarse» sobre un trozo de un plano. Sea U <= el conjunto abierto expresado en coordenadas polares (g, 6) mediante 0
0 < 0 < 2jt sen a .

(a) Fase 1 (b) Fase 2

(c) Fase 3

(d) Fase 4

Figura 4-4. Deformación isomètrica del helicoide en el catenoide.

228 Geometría OHerantM a e iiU M a y

(f) Fase 6 (e) Fase 5

(g) Fase 7 Figura 4-4

donde 2 a (0 < 2a < n ) es el ángulo del vértice del cono (es decir, donde cotag a - k), i y sea F; Í/ ^ la aplicación (fig. 4-5)

P{Q, &) =

Q sen a cos

e

, É» sen a sen

Vsen a /

, gcos a Vsen a /

Es claro que F{U) está contenido en el cono porque fcVjc^ -I-

= cotag a v ^ s e i ? a = p cos a = z.

A dem ás, cuando 9 recorre el intervalo (O, 2n sen o ), 0/sen a recorre el interva (O, 2;r). D e esta forma, todos los puntos del cono exceptuando la generatriz 6 = O, quedan recubiertos por F(U).

éaornsM M itn e o i (to SMPW^tetos 22»

Figura 4-5

Se comprueba fácilm ente que F y d F so n inyectivas en C/; por lo tanto, F es un difeom orfismo de U sobre e l cono m enos una generatriz. Vam os a demostrar ahora que F es una isometría. En efecto, podem os imaginar­ nos a U com o una superficie regular, parametrizada por x(p , 6) = (p cos 0, p sen 0, 0),

O < p < <».

O < 6 < 2 j i sen a.

En esta parametrización, los coeficientes de la primera forma fundamental de U son £ = 1,

/= o ,

G = g^.

Por otra parte, los coeficientes de la primera forma fundamental del cono, en la parametrización F ° \ son

E = \,

F=0,

G =p2.

En virtud a la prop. 1 concluim os que F e s una isom etría local, com o pretendíam os establecer.

Observación 2. E l hecho de que podam os calcular longitudes de curvas sobre una superficie S, utilizando únicam ente su primera forma fundam ental, nos permite introducir la noción de distancia «intrínseca» entre puntos de S. En líneas generales, definimos la distancia (intrínseca) d{p, q ) entre dos puntos de S com o el ínfim o d e las longitudes de curvas que unan a p con q sobre S. (Procederem os con más detalle en la seo. 5.3.) Es claro que esta distancia es mayor o igual que la distancia ||p - q\\ d e p a q como puntos de (fig. 4-6). D em ostrarem os en e l ejercicio 3 que la distancia d es invariante bajo isometrías; es decir, si (p), ^ q ) ) ,p ,q e S . La noción d e isom etría e s e l concepto natural de equivalencia para las propiedades niétricas de las superficies regulares. D e la misma forma que superficies difeom orfas

Figura 4-6

son eqoivalentes desde el punto de vista de la diferenciabilidad, las superfíc isométricas lo son desde el punto de vista métrico. Se pueden definir otros tipos de equivalencia en el estudio de superficies. Baji nuestro punto de vista, los más importantes son los difeom orfism os y las isometría Sin embargo, cuando se trata con problemas asociados a funciones analíticas variable com pleja, es importante introducir el concepto de equivalencia confor que ahora discutiremos brevem ente. DEFINICION 3. Un difeom orfism o q > :S -* S se denomina una aplicación confor si para todo p e S y cualesquiera que sean Vi, V2 e Tp(S) se tiene que p,

donde es una función diferenciable no nula sobre S] se dice entonces que superficies S y S son conform es. Una aplicación : V es una aplicación conforme. Si para cada p e S existe una aplicación conforme local i p, se dice que la superficie S es localm ente conform e a S. El significado geom étrico de la precedente definición es que se preservan le ángulos (pero no necesariam ente las longitudes) bajo las aplicaciones conform es, efecto, sean a: I ^ S y I ^ S dos en S que se cortan en, por ejem plo, / = 0. ángulo 6 que forman en í = O viene dado por

0 < e
cos

U na aplicación conform e q>: S —> S aplica estas curvas en las curvas
S,q>‘

I

ff _ ini

_

- cos

e

com o habíamos anunciado. N o es difícil demostrar que esta propiedad caracteriza las aplicaciones conform es locales reiercicio 14V

Qaonmtrit M tínaeca da aupertfaàm 231

La siguiente proposición e s lo análogo de la proposición 1 para aplicaciones conformes; su dem ostración también se deja com o ejercicio, PROPOSICION 2. Sean x: U —* S y i: U —* S dos parametrizaciones tales que E = p = G = en IJ, donde Á? es una función diferenciable que nunca se anula gn U . Entonces la aplicación q> = x °x~’^: x (U ) ^ S ej una aplicación conforme local. Se ve sin dificultad que la propiedad de ser localm ente conform e es una relación de equivalencia; es decir, si Si es localm ente conform e a S iy S 2 es localm ente conform e a entonces S , e s localm ente conform e a S3. La propiedad más im portante de las aplicaciones conform es se establece en el siguiente teorem a, que no demostraremos. TEOREM A. D os superficies regulares cualesquiera son localmente conformes. La demostración se basa en la posibilidad de parametrizar un entorno de cualquier punto de una superficie regular de forma que los coeficientes de la primera forma fundamental sean

E = P (u, v ) > O,

F = O,

G = r (u , v).

Tal sistema coordenado se denom ina isotermo. U na vez que se admite la existencia de un entorno coordenado isoterm o en una superficie regular S, es claro que S es localmente conform e a un plano y, m ediante la com posición de aplicaciones, local­ mente conform e a cualquier otra superficie. La demostración de que existen sistemas coordenados isoterm os en cualquier superficie regular es delicada y no será desarrollada aquí. El lector interesado puede consultar la referencia L. B efs, Riemann Surfaces, N ew York University, Institute of Mathematical Sciences, N ew York, 1957-1958, pp. 15-35.

Observación 3. Y a aparecieron las parametrizaciones isotermas en el cap. 3, dentro del contexto de las superficies mínimas; cf. la proposición 2 y el ejercicio 13 de la sec. 3.5.

EJERCICIOS

1· Sea F: U

^

definida por

F{u, V = {u sen a cos v, u sen a sen v, u cos a), {u, v) e U = {(m, v) e R ^ \u > 0 } , a = const. a.Demostrar que F es un difeomorfismo local de origen y de ángulo 2a en el vértice. b. ¿Es F una isometría local?

U sobre un cono C con vértice en el

M t @mimabíB cMaranellNArèiinm ysMperfictas

2. Demuéstrese el siguiente «recíproco» de la prop. 1; sean ip: S ^ S una isometría y x: í / —» 5 una parametrización e n p e 5; entonces x = ^ ° x es una parametrización en E = Ey F = F, O = ú . *3. Demostrar que un difeomorfismo q>: S ^ S es una isometría si y sólo si la longitud de arco de cualquier curva parametrizada en S es igual a la longitud de arco de la curva im mediante q>. 4. Utilizar la proyección estereográfica (cf. el ejercicio 16, sec. 2.2) para demostrar que la esfera es localmente conforme a un plano. 5. Sean ai: I -* R^, 0 2 '. I ^ R^ dos curvas parametrizadas regulares, siendo el parámetro la longitud de arco. Admitamos que las curvaturas ki de 0 \ y k 2 de 0 2 satisfacen A:i(j) = Ü2(*r O, s e /. Sean x,(j, í)) = a i(í) + v
Xz(s, v) = « 2 (5 ) +

va' 2 (s)

sus correspondientes superficies (regulares) tangentes (cf. el ejemplo 5, sec. 2.3) y sea V ; un entorno de (so, Vo) tal que Xi(VO <= R^, X2 (V) <= R^ son superficiesregulares (cf. la pro p „| 2, sec. 2.3).Demostrar que ° Xi *: X2 (Y) *i(VO esuna isometría. < *6. Sea a: R^ una curva parametrizada regular con k(t) ¥=0,1 e I. Sea x(t, v) la superficie tangente de Demuéstrese que, para cada (/q, Vq) e x (R - {0}), existe un entorno V ¡ de (ío, i»o) tal que x ( V ) es isomètrica a un conjunto abierto del plano (en consecuencia, las superficies tangentes son localmente isométricas a tos planos). ''

a.

1

7. Sean V y W dos espacios vectoriales (de dimensión finita) con la misma dimensión, cuy(^ productos interiores se denotan por ( , ) y sea F: V ^ IV una aplicación lineal. Demuéstrese que las condiciones siguientes son equivalentes: ' a. (F(ui), F(u 2)) = (v i, V2 ) para todo Vu V2 e V.

b. |F(v)| = |u| para todo v e V. c. Si {ui, ..., v„} es una base ortonormal de V, entonces {F(ui), ..., F(u„)} es una basé ortonormal de IV. d. Existe una base ortonormal {ui, ..., v„} de V tal que (F (vi), ..., F(v„)} es una base ortonormal de W. Si se satisface alguna de estas condiciones, F se denomina una isometría lineal de V en W (cuando W = V, una isometría lineal se denomina transformación ortogonal). *8. Sea G: R^

R^ una aplicación tal que |G(p) - G(^)| = \p - q\

para todo p , q e R^

(es decir, G es una aplicación que preserva las distancias). Demuéstrese que existe po e y una isometría lineal (cf. el ejercicio 7) F del espacio vectorial R^ tal que G(p) = F(p) + Po 9. Sean 5], ^2 y

para todo p e R^.

superficies regulares. Demuéstrese que

a. Si : -> S 2 , rp: S 2 —>S3 son isometrías, entonces if>° q>: S 3 es una isometría.

Esto implica que las isometrías de una superficie regular constituyen, de m anera natural, un grupo, denominado el grupo de las isometrías de S. 10. Sea S una superficie de revolución. Demostrar que las rotaciones alrededor de su eje son isometrías de S. • 11. a. Sea S una superficie regular y sea/: R^ una aplicación de R^ que preserva las distancias (véase el ejercicio 8) tal que F(S) c S. Demuéstrese que la restricción d e / a S es una isometría de S. b. Utilizar la parte a para demostrar que el grupo de isometrías (véase el ejercicio 10) de la esfera unidad x + .y^ + = í contiene al grupo de las transformaciones lineales ortogonales de R^ (en realidad es igual a éste; véase el ejercicio 23, sec. 4.4). c. Póngase un ejemplo que pruebe la existencia de isometrías S2 que no pueden extenderse a aplicaciones F: R^ —* R^ que preservan las distancias. *12. Sea C = {(x, y, z) € = 1} un cilindro. Constrúyase una isometría q>: C -» C tal que el conjunto de puntos fijos de ip, es decir, el conjunto {p e C; qi(p) = p }, contenga exactamente dos puntos. 13. Sean V y W dos espacios vectoriales (de dimensión finita) con la misma dimensión y productos interiores ( , ). Sea G: V -* W una aplicación lineal. Demuéstrese que las siguientes condiciones son equivalentes: a. Existe una constante real A

O tal que

(G (vi), G(v 2 )} = A^(wi, V2 }

para todo v¡, V2 e V.

b. Existe una constante real A > O tal que |G (i')| = A |v|

para todo v e V.

c. Existe una base ortonormal {vj, ..., v„) de V tal que {G(ui), ..., G(v„)} es una base ortonormal de W, teniendo todos los vectores G{v¡), i = 1, ..., n, la misma longitud (no nula). Si se satisface una cualquiera de estas condiciones, G se denomina una aplicación lineal conforme (o una semejanza).

S2 preserva los ángulos cuando para 14. Decimos que una aplicación diferenciable (p: S¡ cada p e Si y cada pareja Vi, V2 e Tp(S¡) tenemos cos(t^i, V2 ) - cos(dy/v,), d^/vz)). Demuéstrese que

R^ definida por tp(x, y) = (u(x, y), v{x, y)), donde « y y son funciones 15. Sea
~

Demuéstrese que

Q en

, donde

»9ì8(4partfc«W 16. Sea x: í/ <= /?^ -*

donde V = {(», , cos ©),

una parametrización de la esfera unidad S^. Sean

*

log t a g j 6 = u , < p = v . Demuéstrese que una nueva parametrización del entorno coordenado x(U) = V viene dada por y(M, v) = (sech u cos u, sech u sen u, tagh m). ■{r

Demostrar que en esta parametrización y los coeficientes de la primera forma fundamen­ tal son E = G = sech^ tf, De esta forma, y“ *; V c: meridianos y los paralelos de Mercator.

F = 0.

es una aplicación conforme que transforma los en rectas del plano. Esta es la denominada proyección

♦17. Considérese un triángulo sobre la esfera unidad de forma que sus lados estén constituidos por segmentos de loxodromas (es decir, curvas que forman un ángulo constante con los meridianos; cf. el ejemplo 4, sec. 2.5) que no contienen polos. Demuéstrese que la suma de los ángulos interiores de tal triángulo es n. 18. Se dice que un difeomorfismo q>: S —* S preserva las áreas si el área de cualquier región R c z S e s igual al área de (f>(R). Demostrar que si y preserva las áreas y es conforme entonces q>es una isometría. 19. Sea 5^ = {(j:, _y, z) e R^; el cilindro circunscrito. Sea

= 1 } la esfera unidad y C = {(jc, y, z) e R^;x^ +

9 > : - ((O, O, 1),

(0,0,-1)} =

= 1}

C

la aplicación definida como sigue. Para cadap e M , se considera la recta que pasa p o rp y que, siendo perpendicular al eje O z, corta al eje O z en el punto q. Sea l la semirrecta que empieza en ^ y contiene a p (fíg. 4-7). Por definición gi>(p) = C f í /· Demostrar que ip es un difeomorfismo que preserva las áreas. 20. Sea x: U cz R^ ^ S la parametrización de una superficie de revolución S: x(u, v) = (f(v) cos u , f ( v ) sen u, g(v)), f(v ) > O, U = {(u, v) e R^; O < u < 2}t, a < V < b j . a. Demuéstrese que la aplicación
=

\ es un difeomorfismo local.

J

W)

r b. Utilizar la parte a para demostrar que una superficie de revolución S es localmente conforme a un plano, de forma que, cada aplicación conforme local 0: V
f(v W U '\v )y

+

( g \v ) y dvj

es un difeomorfismo local d. Utilizar la parte c para demostrar que por cada punto p de una superficie de revolución S existe un entorno V
4.3.

£1 teorema de Gausis y las ecuadones de compatibilidad

Las propiedades del cap. 3 se obtuvieron a partir del estudio de la variación del plano tangente en el entorno de un punto. Procediendo por analogía con las curvas, vamos a asignar un triedro a cada punto de una superficie (lo análogo al triedro de Frenet) y a estudiar las derivadas de sus vectores. Com o ya es habitual, denotarem os por S a una superficie regular, orientable y orientada. Sea U c S una parametrización en la orientación de S. A cada punto de x(U ) le podem os asignar un triedro natural definido por los vectores x„, y N. Será el objetivo de esta sección el estudio de este triedro. A l expresar las derivadas de los vectores x„, x„ y N con respecto a la base {x„, x„, A^}, obtenem os Ku = r i , x „ + r ? , x „ + L¡ N ,

Kv = rizx^ +

+ L í N,

x „ „ - n , x „ + r i,x „ + A ^ ,

X-vv — ria*« + riaXj, + L¡N, iV „= a , , x „ + a 2,x„,

( 1)

donde los a.y, t, / = 1 , 2 , se obtuvieron en el cap. 3 y los otros coeficientes están por determinarse. Los coeficientes i, j, k = l , 2, se denom inan los sím bolos de Christoffel de S en la parametrización x. C om o x ^ = x „ „ , concluim os que Fjz = y ^12 ^ 2 il es decir, los sím bolos de Christoffel son simétricos con respecto a los subíndices. Efectuando el producto interior de las cuatro primeras relaciones de (1) con N obtenem os inm ediatam ente L , = e, L 2 = L 2 = f , L 3 = g, donde e, f , g son los coeficientes de la segunda forma fundamental de 5. Para determinar los sím bolos de Christoffel, efectuam os el producto interior de las cuatro primeras relaciones con x„ y x„ , obteniendo el sistema r i , £ + n i F = < x „ „ , x „ > = i£ „ , r

¡

+ r ? , G = = F „ -

r Í 2 F + n a F = < x . „ , x „ > = ^£ „,

r Í 2F + n 2G = < x„„,x„> = ^G„,

(2)

+ r i ^ F = = F„ - ^G„, n 2 F + n 2 G = = iG „.

N ótese que las ecuaciones precedentes se han agrupado en tres pares de ecuacio­ nes y que, para cada par, el determinante del sistema es EG ¥= O. D e esta forma, es posible resolver el sistema de arriba y calcular los sím bolos de Christoffel en

términos de los coeficientes de la prim era form a fundamental E, F, G y de sus derivadas. En vista de que es más fácil trabajar con el sistema (2) en cada caso particular, no vamos a obtener ahora las expresiones explícitas de los (véase más adelante el ejem plo 1). Sin em bargo, es muy importante la siguiente consecuencia del hecho de que podam os resolver el sistema (2): todos los conceptos geométricos y

propiedades que se expresen en términos de los sím bolos de Christoffel son invariantes frente a isometrías.

Ejemplo 1. Vam os a calcular los sím bolos de C hiistoffel para una superficie de revolución parametrizada por (cf. el ejem plo 4, sec. 2.3)

x(m,

v) =

(f(v) cos u, /(u) sen

u,

g(u)),

f(v ) # 0.

Com o

E =

F = O,

G = (f '( v )y + (g'ivW ,

obtenem os F„ = 0, F„ = F„ = O,

F„ = 2/ / ' , G, = O,

G„ = 2 ( / 7 " + g'g").

r

_

......

donde las primeras denotan derivadas con respecto a u. La solución de las dos primeras ecuaciones del sistema (2 ) es

ri _ o

-------í í-____ { f y + {g 'y

I n -

A continuación, el segundo par de ecuaciones del sistem a (2) conduce a r i .

=

^ '>

r i ,

=

o.

Finalm ente, de las dos últimas ecuaciones del sistema (2) obtenem os ■pl

__ Q

-pj

T 22 - U,

__

1 22 -

f f

^ SS .

^ (^-)2

Justamente com o acabamos de ver, las expresiones de las derivadas de x„, Xi, y TV con respecto a la base {x„, x„, iV}, únicamente dependen de que se conozcan los coeficientes de la primera y la segunda forma fundamental de 5. U n procedim iento para obtener relaciones entre estos coeficientes consiste en considerar las expresiones

iXuX - {XuvX = o, - (x J , = O, =

(3)

0.

AI introducir los valores de (1), podem os escribir estas relaciones en la forma flix „ +

C^ N

=

O,

^iX„ + 5jX„ +

C tN

=

O,

^jX„ +

C^N

=

O,

^ ,x „ +

+

(3a)

donde A¡, B¡, C¡, i = 1 , 2 , 3 , son funciones de E , F , G , e , f , g y de sus derivadas. C om o los vectores x„, x„, N son linealm ente independientes, (3a) implica la existencia de nueve relaciones; ^ . = 0,

B ,= 0 ,

C, = 0 ,

í = l , 2 , 3.

A título de ejem plo, vamos a determinar las relaciones Ay = O, B i = O, C\ = 0. Haciendo uso de los valores de (1), la primera relación en (3) puede escribirse en la forma ri,x„„ +

+ eN„ + ( r i . ) A + (r],)„x„ + = ri2X„„ +

+ f N , + ( r ¡ 2 ) A + (r ? 2 )A + / . ^ ·

(4)

U sando de nuevo (1) y la ecuación de los coeficientes de x„, obtenem os r i i F í z + r u F L + eu2z + (r ii)„ = F i^ r t, + r t . F h + M , + ( F Í A . Introduciendo los valores ya calculados de (F Í2 )„ -

( n ,) „ + F l a F Í . -r r h T

(cf. la sec. 3.3) se deduce que ]2

-

r?,rl

2

-

r i,r

?2

E-. EG = -E K . Es conveniente interrumpir nuestros cálculos para centrar la atención en el hecho de que las ecuaciones precedentes prueban el siguiente teorem a, debido a K. F. Gauss. > TEOREMA EGREGIUM (Gauss). La curvatura gaussiana K de una superficie es

invariante frente a isometrías locales. En efecto, si x: í / c 5 es una parametrización e n p e S y siq>: V c S -* S, dondé V <= %{U) es un entorno de p , es una isometría local en p , entonces y = q > °\ es uná parametrización de S en C om o q) es una isom etría, los coeficientes de la primera forma fundamental de las parametrizaciones x e y, en los puntos correspondientes q y q>(q), q e V, coinciden; de esta forma, también coinciden los símbolos de Christoffel correspondientes. En virtud a la ec. (5), K puede calcularse en un punto, en función de los sím bolos de Christoffel de la parametrización considerada en dicho punto. Se deduce entonces que K {q) = K{(p{q)) para todo q e V. La expresión precedente, que expresa el valor de K en términos de los coeficientes de la primera forma fundamental y de sus derivadas, se conoce com o la fórm ula de Gauss. Se demostró por primera vez en un fam oso artículo de Gauss [1]. El teorem a de Gauss es considerado, por sus extensas consecuencias, com o uno de los resultados más importantes de la geom etría diferencial. Sólo m encionarem os, por el m pm ento, el corolorario siguiente. C om o se dem ostró en la sec. 4.2 , un catenoide es localm ente isom ètrico a un helicoide. D el teorem a de Gauss se deduce que las curvaturas gaussianas son iguales en los puntos correspondientes, hecho que no es trivial desde el punto de vista geom étrico. E s realmente notable que un concepto com o la curvatura gaussiana, cuya defini­ ción hace uso esencial de la posición de una superficie en el espacio, no dependa de dicha posición sino, únicam ente, de la estructura métrica (la primera form a funda­ m ental) de la superficie. En la siguiente sección verem os que m uchos otros conceptos de la geometría diferencial están en el mism o caso que la curvatura gaussiana; es decir, dependen únicamente de la primera forma fundamental de una superficie. E sto nos permite

r

alguna al espacio que contiene a la superficie (una vez que se conozca la primera forma fundamental)*. Volvam os a nuestros cálculos, con la vista puesta en un nuevo resultado geom étri­ co. Igualando los coeficientes de x„ en (4), se observa que la relación = O puede escribirse en la forma (r u )„ - (r !,)„ + n . r ! . - r f . r i , = FK.

(5a)

Igualando también en la ec. (4) los coeficientes de N , obtenem os Cj = O bajo la forma e „ - / . = ^ r i2 + / ( r í , - n . ) - g r ? . . (6)

Obsérvese que la relación (5 a) es sim plem ente otra versión (cuando F ¥= 0) de la fórmula de Gauss (5). Aplicando el mismo proceso a la segunda expresión de (3), obtenem os que de nuevo las ecuaciones A 2 = O y «2 = O conducen a la fórmula de Gauss (5). A dem ás, C2 = O viene dada por

L - g . = e rU + / ( r Í 2 - r i^ ) - g T \ 2 .

(6a)

Finalmente, puede aplicarse el mismo proceso a la última exprexión de (3), llegando a que C3 = O es una identidad y a que A^ = Gy B j = O ác nuevo son las ecs. (6) y (6a). Las ecuaciones (6) y (6a) se denom inan ecuaciones de M ainardi-Codazzi. La fórmula de Gauss y las ecuaciones de Mainardi-Codazzi se conocen con el nombre ecuaciones de com patibilidad de la teoría de superficies. Una cuestión natura! consiste en saber si existen otras relaciones de compatibilidad entre la primera y la segunda forma fundamental aparte de las ya obtenidas. El teorema que sigue establece que la respuesta es negativa. En otras palabras, mediante derivaciones sucesivas o cualquier otro proceso, no obtendrem os nuevas relaciones entre los coeficientes E, F, G, e , f , g y sus derivadas. En realidad, el teorem a es más explícito y afirma que el conocim iento de las formas fundamentales primera y segunda determina localm ente a una superficie. Con más precisión, TEOREMA (Bonnet). Sean E , F, G , e, f, g funciones diferenciables, definidas en un conjunto abierto V c R^, con E > Oy G > 0. Adm itam os que estas funciones satisfacen formalmente las ecuaciones de Gauss y de M ainardi-Codazzi y que E G - F^ > 0. Entonces, para cada q e V existe un entorno \J c z V de q y un difeomorfismo x: U ^ x(U ) c R^ tal que la superficie regular x (U ) c R^ tiene a E , F, G y a e , f, g com o coeficientes de las form as fundamentales primera y segunda, respectivamente. Además, si U es conexo y si x: U ^ x(U) c R3 ' No se va a utilizar el resto de esta sección hasta el cap. 5. En caso de ser omitido, debería hacerse lo propio con los ejercicios 7 y 8.

es otro difeom orfism o que satisface las mismas condiciones, entonces existe ima traslación T y urm transformación ortogorml lineal propia g en R^3 tal que x = T » p » x. Puede encontrarse una dem ostración de este teorem a en el apéndice al cap. 4. Para uso posterior, es conveniente observar cóm o se simplifican las ecuaciones de Mainardi-Codazzi cuando el entorno coordenado no contiene puntos umbílicos y las curvas coordenadas son líneas de curvatura (F = / = 0). E ntonces, las ecs. (6) y (6a) pueden escribirse en la forma

e^ = e r \ 2 ~ gT ]i ,

gu = g r ]2 - er' 2 2 ·

T eniendo en cuenta que f = O implica que pz _ _ ^ 2 G’

pl

— 1

2 E

p i ______L · ^ = _L5", ^ " 2E ’ 2 G concluim os entonces que las ecuaciones de Mainardi-Codazzi adoptan la forma: ^ „

+

S),

2 \E ^ G r -

^ ( 1 -

2

4-

(7) (7a)

G/

EJERCICIOS 1. Demuéstrese que si x es una parametrización ortogonal, es decir, F = O, entonces 1

K== - -

2. Demostrar que si x es una parametrización isoterma, es decir, E = G = k{u, v) y F = Q, entonces -¿ A (I o g A ), donde A^p representa el laplaciano (d^q>ldu^) + {^q>ldx?) de la función tp. Conclúyase que cuando E = G = (u^ + i? + y F = O, entonces K = const. = 4c. 3. Compruébese que las superficies x(«, v) = (mcos V, u seni), log «),

x(u, v) = (« cos V, í/sen V, v), tienen la misma curvatura gaussiana y los puntos x(u, d) y x(u, v), mientras que la aplicación no es una isometría. Esto prueba que el «recíproco» del teorema de Gauss no es cierto.

X° X

4. Demuéstrese que ningún entorno de un punto de la esfera se puede aplicar isomètricamente en un plano.

r

QeonrntfhinMmmmmjfimlkifím 5. Si las curvas coordenadas constituyen una red de Tchebyshef (cf. los ejercicios 7 y 8, sec. 2.5), entonces E = G = l y F = cos 6 . Demostrar que en este caso ir

Ouv

6 Demostrar que no existe una superficie x(u, u) tal que E = G = l , F = O y e = l , g = - 1 , /= 0. 7. ¿Existe alguna superficie x = x(m, ü) con E = 1 , F = 0 , G = cos^ u y e = cos^ « , / = O,g = 1? 8. Calcular los símbolos de Christoffel para un subconjunto abierto del plano. a. En coordenadas cartesianas. b. En coordenadas polares. Utilícese la fórmula de Gauss para calcular K en ambos casos. 9. Justifiqúese por qué las superficies que siguen no son localmente isométricas dos a dos: a. La esfera. b. El cilindro. c. La silla de montar z =

4.4.

— y^.

Transporte paralelo. Geodésicas

Vam os a continuar ahora con una exposición sistemática de la geometría intrínse­ ca. Para exhibir el significado intuitivo de los conceptos, a m enudo nos referiremos al espacio exterior a la superficie, cuando introduzcamos definiciones o hagamos alguna interpretación. Sin em bargo, en cada caso dem ostrarem os que los conceptos presenta­ dos sólo dependen de la primera forma fundamental. Vam os a com enzar con la definición de derivada covariante de un campo vectorial, que es lo análogo para superficies a la diferenciación habitual de vectores en el plano. Recordam os que un campo vectorial (tangente) en un conjunto abierto U cz S de una superficie regular S es una correspondencia w que asigna a cada p e U un vector w(p) e Tp(S). El campo vectorial w es diferenciable en p si, para alguna parametrización x (m , v ) en p , las com ponentes a y b de w = axu + con respecto a la base {x„, x„} son funciones diferenciables en p . Si w es diferenciable en cada p e U entonces es diferenciable en U. DEFINICION 1. Sea w un campo vectorial diferenciable en un conjunto abierto U c S 3^ p e U . Sea y e Tp(S). Consideremos una curva parametrizada

a :(-e , e)-> U , con a ( 0) = p y a '( 0) = y , y sea w (t), t e ( - e , é), la restrición del campo vectorial w a l a curva a. E l cam po vectorial que se obtiene proyectando ortogonalmente (dw/dt)(0) sobre el plano Tp(S) se denomina la derivada covariante en p del campo vectorial w con respecto al vector y. La derivada covariante se denota p o r (D w /dt)(0) o p o r (DyW)(p) (fig. 4-8).

Qmsmmat

syiBuperffctos

La definición precedente hace uso del vector normal a 5 y de una curva particular

a, tangente a >’ en p . Para demostrar que la diferenciación covariante es un concepto de la geometría intrínseca, que no depende de la elección de la curva a , vamos a obtener su expresión en términos de una parametrización x ( m , v ) de 5 en p . Sea x(m(í), v(t)) = a{t) la expresión de a y sea w{t) = a(u(t), v(t))x, + b(u(t), v(í))x^ = a(t)Xu + ¿(OXr. la expresión de w(t) en la parametrización x(u, v). Entonces ^

= a{x^ji' + Xuvv') + b{x^j4' +

+ a'Xu + b'x^.

donde la prima representa la derivada con respecto a t. Com o D w ldt es la com ponente en el plano tangente de dwfdt, utilizamos las expresiones en (1) de la Sec. 4.3 para x„„, x„„, y, suprimiendo la com ponente normal, obtenem os

Dw = (a’ + r i i f l « ’ + r iiO v ’ + r iib u ' + r i 2 bv')x„ dt

( 1)

+ {b' + r \¡ a u ' + T \ 2 av + T \ib u ’ + T \ 2 bv )x„· La identidad (1) pone de m anifiesto que D w ldt sólo depende del vector (« ', v') = y, no de la curva a. A dem ás, la superficie hace acto de presencia en (1) a través de los sím bolos de Christoffel, es decir, a través de la primera forma fundamental. Por tanto, queda probada nuestra afirmación. En particular, si S es un plano, ya sabem os que es posible hallar una parametriza­ ción de forma que E = G = \ y F = 0 . U na rápida ojeada a las ecuaciones para los

mm

Qàonmeki iniMheee» dH HOfiameia» 243

sím bolos de Christoffel muestra que los 1^ son nulos e n este caso. Se sigue entonces de la ec. ( 1) que, para este caso, la derivada covariante coincide con la derivada usual de vectores en el plano (esto puede también com probarse geom étricam ente a partii de la def. 1). Por tanto, la derivada covariante constituye una generalización de k derivada usual de vectores en el plano. Otra consecuencia de la ec. (1) es que la definición de derivada covariante s£ puede extender a cam pos vectoriales que estén definidos únicam ente sobre los puntoí de una curva parametrizada. Para clarificar este p u n to, precisamos algunas definido nes. DEFINICION 2. Una curva parametrizada a: [O, /] - ♦ S es la restricción a [O, /] di und una aplicación diferenciable de {O - e, l + e), e > O, en S. Si a (0 ) = p a (/) = q decimos que a une p con q. Se dice que a es regular s i a'(t) # O para t e [O, /]. D e aquí en adelante será conveniente utilizar la notación [(ó ,l\= I siempre que nc sea preciso especificar los extrem os de I.

DEFINICION 3. Sea a: I - » S una curva param etrizada e n S . U n cam po vectorial w a lo largo de a es una correspondencia que asigna a cada t e l un vector w(t) e

(S).

El campo vectorial w es diferenciable en % e l si, para alguna param etrización x(u, v en a(to), las componentes a (t), b(t) de w (t) = ax„ + bx^ son funciones diferenciables d t en to- Se dice que w es diferenciable en I si es diferenciable en cada punto t e l . U n ejem plo de campo vectorial (diferenciable) a lo largo de a viene dado por e campo a '(í) de los vectores tangentes a a (fíg. 4-9). DEFINICION 4. Sea w un campo vectorial diferenciable a lo largo de a : l ^ S. L expresión (1) de (D w /dt)(t), t e i , está bien definida y se denomina la derivad covariante de v/ en t.

Figura 4-9. El campo de los vectores tangentes a lo largo de una curva a.

D esde un punto de vista externo a la superficie, para obtener la derivadd·, covariante de un cam po w a lo largo de a: / - > S e n t e I, efectuam os la derivada usuaA (dw /dt){t) de en Í y proyectam os ortogonalmente este vector sobre el plano tangente ^a(i)(·^)· ®sto se desprende que, cuando dos superficies son tangentes a lo largo de una curva parametrizada a , la derivada covariante de un campo w a lo largo de a e s l a misma para ambas superficies. Si a(t) es una curva sobre S, podemos imaginárnosla com o la trayectoria de un punto que se m ueve sobre la superficie. Entonces, a '(t) es la velocidad y a"(í) es la, aceleración de a. La derivada covariante D a'ldt del campo a '(í) es la com ponente tangencial de la aceleración a"(í)· Intuitivamente, D a'ldt es la aceleración del punto a(t)" observado desde la superficie S".

DEFINICION 5. Se dice que un campo vectorial w, a lo largo de urm curva S, es paralelo si Dw/dt = O para cada t e l .

param etrizada o: I

Én el caso particular del plano, la noción de campo paralelo a lo largo de una curva parametrizada se reduce a la de campo constante sobre la curva; es decir, son constantes la longitud del vector y el ángulo con una dirección fija (fig. 4-10). Estas^ propiedades se vuelven a obtener en parte, para cualquier superficie, en la form a que establece la siguiente proposición.

PROPOSICION 1. Sean w >»v dos campos vectoriales paralelos a lo largo de a: l —*S. Entonces (w (t), v (t)) es constante. En particular, |w(t)( y (v(t)| son constantes y el ángulo entre w (t) y v(t) es constante.

Demostración. D ecir que el campo vectorial w es paralelo a lo largo de a significa que dw ldt es normal al plano tangente a la superficie en a(í); o sea, = 0,

t e I.

r

por otra parte, t/'(í) tam bién e s normal al plano tangente en a (t). A sí, w io )' = + = 0 ;

es decir, (v (f), w{t)) = constante. Q .E .D . Com o es natural, los cam pos paralelos en una superficie arbitraria podrían parecerles extraños a nuestra intuición, más apegada a R^. Por ejem plo, el campo vectorial tangente a un m eridiano (parametrizado por la longitud de arco) de la esfera unidad es un cam po paralelo en (fíg. 4-11). En efecto, com o un m eridiano es un círculo m áxim o de S^, la derivada usual de dicho cam po es normal a S^. En consecuencia, su derivada covariante es cero.

La siguiente proposición establece la existencia de cam pos vectoriales paralelos a lo largo de una curva parametrizada a(t) y también asegura que tales cam pos quedar com pletam ente determ inados por sus valores en un punto ¿o· PROPOSICION 2. Sea a: I ^ S una curva param etrizada sobre S y sea wq e ío 6 I. Entonces existe un único campo vectorial paralelo w (t) a lo largo de a (t), con w(to) = Wq. Posteriorm ente, daremos en esta sección una dem ostración elem ental de la prop. 2. N o obstante, todos aquellos que estén familiarizados con la materia de la sec. 3.é observarán que la dem ostración es consecuencia inmediata del teorem a de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias. La proposición 2 nos permite hablar de transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva parametrizada.

F i y ' " ‘i B K g DEFINICION 6 . Sea a: I S una curva param etrizada y v / o e T^^,)(S), to € I. Sea i f i el cam po vectorial paralelo a lo largo de a , con w(t«) = w«. E l vector w (ti), tj € I, se^ denomina el transporte paralelo d e 'Nq a lo largo de a en el punto tj. D eb e resaltarse que si a: / —> S, t e I, es regular, entonces el transporte paralelo no*, depende de la parametrización de a (/) . En efecto, si ^ 5 , cr e 7 es otra parametrización regular de a ( /) , a partir de la ec. ( 1) se deduce que

Dw Dw dt -d ^ = ~ d ïT o

, cz I ^ ^ T î

'i C om o dtlda ¥= 0 , ^ ( 0 es paralelo si y sólo si w(à) es paralelo. La proposición 1 contiene una propiedad im portante del transporte paralelo,. Fijem os dos puntos p ,q e S y una curva parametrizada a: I —* S con a(0 ) = p , a ( l ) = ^. D en otem os por P„: Tp(S) —» Tg(S) la aplicación que asigna a cada v e Tp(S) su transporte paralelo a lo largo de a en g . La proposición 1 dice que esta aplicación es una isometría. Otra propiedad interesante del transporte paralelo es que si dos superficies S y S son tangentes a lo largo de una curva parametrizada a y Wq es un vector de 7’a(^,)(S) = entonces w(t) es el transporte paralelo de Wq con respecto a la superficie S si y sólo si w(í) es el transporte paralelo de tVo con respecto a la superficie 5. D e hecho, la derivada covariante D w ldt de w es la misma para ambas superficies. La afirmación se deduce entonces de la unicidad del transporte paralelo. La propiedad precedente nos permite presentar un ejem plo simple e instructivo de transporte paralelo. Ejemplo 1. Sea C un paralelo de colatitud tp (véase la fig. 4-12) de la esfera unidad orientada y sea wq un vector unitario, tangente a C en algún punto p de C. D eterm inem os el transporte paralelo de Wq a lo largo de C, parametrizado por la longitud de arco s, con s = O en p.

O

orientación

.s = 0

Figura 4-13

_________________________________

OmMmMBMttUBmmaafimileliè m

Considerem os el cono tangente a la esfera a lo largo de C. El ángulo del vértice de este cono viene dado por if> = {ji/2) — a. En virtud a la propiedad precedente, el problema se reduce a determinar el transporte paralelo de wq, a lo largo de C, con respecto al cono tangente. Sin em bargo, el cono m enos una generatriz es isom ètrico al conjunto abierto U c R ^ (cf. el ejem plo 3, sec. 4.2), cuya expresión en coordenadas polares es O < p < + 00,

O < 0 < 2æ sen ijf.

Com o en el plano el transporte paralelo coincide con la noción habitual, obtenem os, al contar s unidades a partir de p y abarcar un ángulo central 6, que (véase la fig. 4-13) el ángulo orientado formado por el vector tangente t(s) con el transporte paralelo w(s) viene dado por 2jt — 0. En algunos casos resulta cóm odo trabajar con la noción de «curva abrupta», la cual puede expresarse en los siguientes términos. DEFINICION 7. Una aplicación a: [O, l ] - ^ S e s una curva parametrizada regular a trozos sí a es continua y existe una subdivisión O = to < ti < · ■ · < tk < t„^,, = /

del intervalo [O, /] de form a que la restricción al[t¡, t¡+i], i = O, ..., k es una curva parametrizada regular. Se denomina a cada a|[t¡, tj+j] un arco regular de a. Se puede extender con facilidad la noción de transporte paralelo a curvas parame­ trizadas regulares a trozos. Si, por ejem plo, el valor inicial »Vq se halla en el intervalo [/,, í,+i], efectuam os el transporte paralelo sobre el arco regular a|[í„ í,+i] de la manera habitual; si í,+i + l, entonces adoptamos h'(í,+i) com o valor inicial para el transporte paralelo en el arco siguiente a|[/,+ i, í,+2]> y así sucesivam ente. Ejemplo 2 .“ El ejem plo previo muestra un caso particular de una interesante construcción geom étrica, más general, del transporte paralelo. Sea C una curva regular sobre una superficie 5 y admitamos que C nunca es tangente a una dirección asintótica. Considerem os la envolvente de la k m ilia de planos tangentes a 5 a lo largo de C (cf. el ejem plo 4, sec. 3.5). En un entorno de C, esta envolvente es una superficie regular S , tangente a 5 a lo largo de C (en el ejem plo 1, 2 se puede tomar com o una banda que rodea a C sobre el cono tangente a la esfera a lo largo de C). Por tanto, el transporte paralelo a lo largo de C, de cualquier vector w e Tp(S), p g 5 , es el m ism o si lo consideram os con respecto a S o a 2 . A dem ás, 2 es una superficie desarrollable, luego su curvatura gaussiana es idénticam ente cero. A dem ás, se demostrará posteriorm ente en el presente libro (sec. 4.6, teorem a de Minding) que una superficie con curvatura gaussiana cero es localmente isomètrica a un plano. Por tanto, podem os aplicar un entorno F c 2 de p en un plano P mediante una isometría q>:V-^ P. Para obtener el transporte paralelo de w a lo largo á t V C \ C , El presente ejemplo utiliza la materia de superficies regladas de la sec. 3-5.

efectuam os el transporte paralelo habitual de dq>p{w) en el plano a lo largo de q>{C) y lo recuperamos en 2 m ediante dq> (fig. 4-14). Elaboram os así una construcción geom étrica del transporte paralelo a lo largo de pequeños arcos de C. Se deja com o ejercicio la dem ostración de que esta construcción puede extenderse, paso a paso, a un arco dado de C (utilícese e l teorem a de H eine-B orel y procédase com o en el caso de curvas abruptas).

Figura 4-14. Transporte paralelo a lo largo de C. A quellas curvas parametrizadas y; / —» 7?^ de un plano, a lo largo de las cuales el :ampo tangente Y it) es paralelo, son precisam ente las rectas de dicho plano. Las :urvas parametrizadas que satisfacen una condición análoga sobre una superficie se laman geodésicas. DEFINICION 8 . Se dice que una curva param etrizada no constante y. I S es 'eodésica en t e I si el cam po de sus vectores tangentes / ( t ) es paralelo a lo largo de y n t; es decir,

le dice que y es una geodésica parametrizada si es geodésica para todo t e L

________________________

úhornmritintimmm mmpmllolm aw

Por la prop. 1, obtenem os inm ediatamente que | / ( 0 l = const. = c 9^o. Por tanto, podem os introducir la longitud de arco s = ct com o parámetro y concluir que el parámetro t de una geodésica parametrizada y es proporcional a la longitud de arco de y. Obsérvese que una geodésica parametrizada puede presentar autointersecciones (esto lo ilustra el ejem plo 6 ; véase la fig. 4-20). Sin em bargo, su campo tangente nunca se anula y en consecuencia la parametrización es regular. La noción de geodésica es claramente local. Las consideraciones previas nos permiten extender la definición de geodésica a subconjuntos de 5 que sean curvas regulares. DEFINICION 8a. Se dice que una curva regular conexa C e n S es una geodésica si, para cada p e C, /a parametrización a(s) de un entorno coordenado de p p o r la longitud de arco s es una geodésica parametrizada; es decir, a '(s) es un campo paralelo a lo largo de a(s). Obsérvese que cada recta contenida en una superficie satisface la def. 8a. D esde un punto de vista externo a la superficie 5 , la D ef. 8a equivale a decir que á'{s) = kn es normal al plano tangente, es decir, paralelo a la normal de la superficie. En otras palabras, una curva regular C c S (/c # 0) es una geodésica si y sólo si su normal principal en cada punto p e C es paralela a la normal a S en p. La propiedad precedente puede utilizarse para identificar geom étricam ente algu­ nas geodésicas, com o muestran los siguientes ejem plos. Ejemplo 3. Los círculos máximos de la esfera son geodésicas. D e hecho, los círculos máximos C se obtienen al intersectar la esfera con un plano que pase por el centro O de la esfera. La normal principal en un punto p e C se halla en la dirección de la recta que conecta p con O porque C es un círculo de centro O. Com o S^ es una esfera, la normal se halla en esta misma dirección, lo que prueba nuestra afirmación. Más adelante, en esta sección, demostraremos el hecho general de que por cada punto p e S y cada dirección de Tp(S) existe exactam ente una geodésica C c= S que pasa por p y es tangente a esta dirección. Para el caso de la esfera, por cada punto y tangente a una dirección dada pasa exactam ente un círculo máximo, el cual es, com o demostramos antes, una geodésica. Consecuentem ente, por unicidad, los círculos máximos son las únicas geodésicas de una esfera. Ejemplo 4. Para el cilindro circular recto, apoyado en el círculo resulta claro que los círculos que se obtienen al intersectar el cilindro con planos normales al eje del cilindro son geodésicas. Esto es así porque la normal principal en cualquiera de los puntos de la intersección es paralela a la normal a la superficie en estos puntos. Por otra parte, en virtud a la observación posterior a la def. 8a las rectas del cilindro (generatrices) también son geodésicas. Para verificar la existencia de otras geodésicas C sobre el cilindro vam os a considerar la parametrización (cf. el ejem plo 2, sec. 2-5)

x(u, v) = (cos u, sen u, v)

Kiemtmtlaiaa del cilindro en un punto p e C, con x(0, 0) = p . E n esta parametrización, un entorno d e p en C viene expresado por x (m ( s ) , u ( s ) ) , donde s es la longitud de arco de C. C o m o previam ente vim os (cf. el ejem plo 1, sec. 4 .2 ), x es una isom etría locai que aplica un entorno U de ( 0 ,0 ) del plano uv en el cilindro. Y a que la condición de ser geodésica e» locai e invariante frente a isom etrías, la curva (m(s), t^(s)) debe ser una geodésica en U que pasa por ( 0 , 0). Pero las geodésicas del plano son las rectas. Por tanto, excluyendo los casos obtenidos ya,

u{s) = as,

v(s) = bs,

+ b^ = l.

Se deduce entonces que una curva regular (que no sea ni un círculo ni una recta) es una geodésica del cilindro si localm ente es de la forma (fig. 4-15) (cos as, sen as, bs).

Isometri» local

Figura 4-15. Geodésicas en un cilindro. por tanto es una hélice. D e esta forma, quedan determinadas todas las geodésicas de un cilindro circular recto. Obsérvese que dados dos puntos de un cilindro, no situados en un círculo paralelo al plano xy, es posible conectarlos por m edio de un núm ero infinito de hélices. Este hecho significa que dos puntos de un cilindro pueden conectarse en general m ediante un número infinito de geodésicas, en contraste con la situación en el plano. Obsérvese que tal situación sólo puede ocurrir con aquellas geodésicas que efectúan una «vuelta com pleta», ya que el cilindro m enos una generatriz es isom ètrico al plano (fig. 4-16).

Figura 4-16. Dos geodésicos sobre el cilindro que unen a p con q.

_____________________________

GeomaMainMnaecadeauperntí&s 251

Siguiendo con la analogía respecto del plano, observam os que las rectas, o sea, las geodésicas del plano, tam bién están caracterizadas com o aquellas curvas regulares de curvatura cero. A hora, la curvatura de una curva plana orientada viene dada por el valor absoluto de la derivada del cam po vectorial unitario tangente a la curva, con un signo asociado que denota la concavidad de la curva en relación con la orientación del plano (cf. la sec. 1.5, observación 1). Para tener en cuenta este signo, es conveniente introducir la siguiente definición.

DEFINICION 9. Sea w un campo diferenciable de vectores unitarios a lo largo de una curva param etrizada a: I ^ S sobre una superficie orientada S. Como w (t), t e i , es un cam po vectorial unitario, (dw/dt)(t) es normal a w (t) y p o r tanto

^

= A(N

A

w(t)).

El número real A = A(í), denotado p o r [Dw/dt], se denomina el valor algebraico de la derivada covariante d e v i en X. Obsérvese que el signo de [Dwldt] depende de la orientación de 5 y que [Dwldt] =

{dw ldt, N / \ w ). D eberíam os resaltar la observación general de que, de ahora en adelante, la orientación de S va a jugar un papel esencial en los conceptos que se van a introducir. El lector perpicaz ya habrá notado que las definiciones de transporte paralelo y geodésica no dependen de la orientación de S. Por contra, la curvatura geodésica, que definirem os a continuación, cambia de signo con un cam bio de orientación en 5. Vam os a definir ahora, para curvas en una superficie, un concepto análogo al de curvatura para curvas planas.

DEFINICION 10. Sea C una curva regular orientada contenida en una superficie orientada S, y sea a(s) una parametrización de C p o r la longitud de arco s, en un entorno de p e S. El valor algebraico de la derivada covariante [D a'(s)/ds] = kg de a'(s) en p se denomina la curvatura geodésica de C en p. D e esta forma, las geodésicas que sean curvas regulares están caracterizadas com o las curvas cuya curvatura geodésica es cero. D esde un punto de vista externo a la superficie, el valor absoluto de la curvatura geodésica kg de C en p es ei valor absoluto de la com ponente tangencial del vector a"(s) = kn, donde k es la curvatura de C en p y n es el vector normal a C en p. Recordando que el valor absoluto de la com ponente normal del vector kn es el valor absoluto de la curvatura normal k„ de C cz S en p , obtenem os inm ediatam ente que (fig. 4-17)

k^ = k i + k l

«2

m

Por ejem plo, para un paralelo C de colatitud q> de la esfera S^, el valor absoluto de la curvatura geodésica kg puede calcularse a partir de la relación (véase la fig. 4-18)

sen^ q>

= ki + k ¡ = l

+ k¡;

es decir.

k l = cotag^ q>.

El signo de kg depende de las orientaciones de

y C.

Figura 4-18. Curvatura geodésica de un paralelo sobre la esfera unidad.

|

______________________________

OéonKtriamirkmeoádiiaiim rlk^

Otra consecuencia de esta interpretación externa es que cuando dos superficies sor» tangentes a lo largo de una curva regular C, el valor absoluto de la curvatura geodésica de C con respecto a cualquiera de la dos sup>erficies es el mismo.

Observación. La curvatura geodésica de C c= 5 cambia de signo cuando cambia 1^ orientación de C o bien la de S. A hora vam os a obtener una expresión para el valor algebraico de la d eriva d a covariante (véase la prop. 3 más adelante). Para ello precisamos algunos prelim ina­ res. Sean i; y w dos cam pos vectoriales diferenciables a lo largo de la curva param etri­ zada a: I S, con |i»(í)| = |>v(í)l = l , t e I. Q uerem os definir una fu n c ió n diferenciable q>: R ó e forma que (/)v(0 , donde a y b son funciones diferenciables en I y + b^ = í. El siguiente lem a (Lem a 1) establece que fijada una determinación g>o del á n g u lo de v{to) a w(ío), es posible «extenderla» diferenciablem ente a I, dando lugar a l a función buscada. LEMA 1. Sean a ( t o ) = cos

que

a

y

b

b (to )

dos funciones diferenciables en I con = \ y sea Q. Entonces la función diferenciable •t

9 = 9o+

(ab' — ba') dt J to

satisface cos (to) = ) es idénticam ente cero, o que

A = a cos q> + b sen

= L

Utilizando el hecho de que aa' = —bb' junto con la definición de q>, inm ediatam ente obtenem os A ’ = - a ( s e n q))q)' + 6 (cos q>)q>' + a' cos

= -¿»'(sen q>)(a^ + b^) - a'(cos q)){a^ + b^) + a' cos q> + b' sen

r

Geom etria diterancial de curvas y superficies

A hora ya podem os relacionar la derivada covariante de dos cam pos vectoriales unitarios a lo largo de una curva con el ángulo que forman tales campos. LEM A 2. Sean v y w dos campos vectoriales diferenciables a lo largo de la curva con lw(t)l = |v(t)l = 1, t e L Entonces Dw"" Ldt _

'D v l ágt Ldt ^ d t ’

J

donde q> es una de las determinaciones diferenciables del ángulo de \ a vi, com o la construida en el lema 1. Demostración. Introducimos los vectores v = N / \ v y w = N / \ w . Entonces w = (cos q?)v + (sen
(2)

w = N / \ w = (cos (p) N / \ V + (sen q>) N / \ v = (cos - (sen
(3)

D iferenciando (2) con respecto a t, obtenem os

w' =

- ( s e n (p)'v + (sen (p)ii'.

Efectuando el producto interior de la última relación con vv,utilizando (3) y observando que (u , í») = O, (v , u') = O, concluim os que (w ', w) = (sen^ (p)(p' + (cos^ 9>)(v', v) + (cos^ qp)(p' - (sen^ (p)(v', v) = q)' + (cos^ < f )W , v) - (sen^ (p){v', v ) . Por otra parte, com o ( v , v) = O, es decir, < v ',

v} =

— <»,

v'y,

concluim os que

{ w ' , w ) = <¡d' + (cos^

v ) = q>' + { v ' , v) .

Se deduce entonces que

~Dw' dt

dt

'Dv -d t _

pues que
Dw dt

con lo que concluye la demostración del lema. O .E .D .

Qoixnatrià hárhaeca de aupertlelas W i

La siguiente observación es consecuencia inmediata del lem a precedente. Sean C una curva regular orientada en S, a(s) una parametrización de C por la longitud de arco s en p e C y v(s) un cam po paralelo a lo largo de a (s). Tom ando entonces »vis) = obtenem os

k/s) =

D a'jsy _ ds ds .

En otras palabras, la curvatura geodésica es la tasa de variación del ángulo que forma la tangente a la curva con una dirección paralela a lo largo de dicha curva. En el caso del plano, la dirección paralela está fija y la curvatura geodésica se reduce a la curvatura usual. A hora ya estam os en disposición de obtener la expresión prometida para el valor algebraico de la derivada covariante. Siempre que hablem os de parametrización de una superficie orientada, se admitirá que esta parametrización es compatible con la orientación dada. PROPOSICION 3. Sea x(u, v) una parametrización ortogonal (es decir F = 0) de un entorno sobre una superficie orientada S y w(t) un campo diferenciable de vectores unitarios a lo largo de la curva x(u(t), v(t)). Entonces Dw dt

IJE G

donde (p(t) es el ángulo de x„ a w (t) en la orientación considerada. Demostración. Sean e^ = \ j V E ^ e 2 = x J V G los vectores unitarios tangentes a las curvas coordenadas. Obsérvese que e\ ¡ \ ei = N , donde N es la orientación de S considerada. Por el lema 2, podem os escribir 'Dw Id t _

^ D e,l Idt ]

+f·

donde ex(t) - ei(u(t), v(t)) es la restricción del campo ei a la curva x(m(ì), KO)· Ahora, (w ’^

^2) = <{eiX, £2 } - ^ + <(^1).. ^2> ^ ·

Por otra parte, corno F = 0, tenem os que por lo tanto

= - E v , 1

'■> = ( ( ; ^ ) . · 7 5 ·) = Análogam ente <(e,X, £2) -

2

E„

y superficies

Introduciendo estas relaciones en la expresión de [dw/dt] obtenem os finalm ente

~Dw'\ 1 i r dv _ c· 1 dq> - d t \ ~ 2 j E G \ “dt ’' d t ] ' ^ d t ’ lo cual com pleta la dem ostración. Q .E .D . V am os a demostrar, com o aplicación de la prop. 3, la existencia y unicidad del transporte paralelo (prop. 2).

Demostración de la prop. 2. Inicialm ente, admitamos que la curva parametrizada a: I ^ S está contenida en el entorno coordenado de una parametrización ortogonal v ) . E ntonces, según las notaciones de la prop. 3, la condición de paralelismo para el campo w se transforma en

x (m ,

d([) _ d t~

1

2^W

D enotanto por
B{t)dt,

=
lo que demuestra, en este caso, la existencia y unicidad de w. Si a{I) no está contenida en un entorno coordenado, utilizaremos la compacidad de / para dividir a (/) en un número finito de partes, contenida cada una en un entorno coordenado. E ntonces, el resultado se extiende inmediatam ente al presente caso, si utilizamos la unicidad de la primera parte de la dem ostración sobre las intersecciones no vacías de estos trozos. Q .E .D . La siguiente expresión para la curvatura geodésica, conocida com o la fórm ula de

Liouville, es otra aplicación de la prop. 3. PROPOSICION 4 (Liouville). Sea a(s) una param etrización p o r la longitud de arco, del entorno de un punto p e S de una curva regular orientada C, contenida en una superficie orientada S. Sea x(u, v) una parametrización ortogonal de S en p y sea q>(s) el ángulo que form a x„ con o '(s) en la orientación considerada. Entonces kg = (kg)i eos (p +

(k g )2

sen
donde ( k g ) , y ( k g ) 2 son, respectivamente, las curvaturas geodésicas de las curvas coordenadas v = const. >’ u = const.

G eom ee**6* w eed »a tip w S eiw 2B7 D e m o s tr a c ió n .

P oniendo w = a '(s) en la prop. 3, obtenem os

'

dv

* , = 2^ E G

p du

~ ^ ''T s

A lo largo de la curva coordenada v = const. u = u ( s ) , tenemos que d v / d s = O y d u ld s = Í / V F ;

por tanto, ~

2 E V 'G '

Análogamente, “ ■>· “ -s B t

Introduciendo, en la fórmula de arriba para

k, = (k ,W E

§

kg,

+ ik ,\^ G

estas expresiones, obtenemos ^

g ·

Como V £ ^ = ( » W .; ^ ) = « « ,

y

J ó ^ = sen v.

finalmente llegam os, com o era nuestro objetivo, a

V + (*«)2 sen (jo + ^ as

= (^«)i

,

quedando concluida la dem ostración. Q .E .D . V am os a introducir ahora las ecuaciones de una geodésica en un entorno coorde­ nado. A tal efecto, sean y: / ^ 5 una curva parametrizada de 5 y sea x ( m , i;) una parametrización de S en un entorno V de y(/o), to e I. Sea 7 c / unintervalo abierto que contiene a íq tal que y (/) c V. Sea x(w(í), u(í)), í e / , la expresión de y. 5 con respecto a la parametrización x. E ntonces, el cam po vectorial tangente /( í) > t ^ viene dado por W=

m'(í)X» +

v'(t)Xv·

Por tanto, el hecho de que w sea paralelo equivale a que se satisfaga el sistem a de ecuaciones diferenciales U"

+

+

2 T \ 2u'v' + r U v y = o,

v ” + r ] , ( u ' y + 2 ri,u 'v' + r U v ' f = o,

( 4)

que se obtiene a partir de la ec. ( 1) haciendo a = w' y 6 = v' e igualando a cero los coeficientes de x„ y x„. En otras palabras, y. 1 S es una geodésica si y sólo si se satisface el sistema (4), para cada intervalo / c= / tal que y{J) esté contenido en un entorno coordenado. Se conoce al sistema (4) com o las ecuaciones diferenciales de las geodésicas de S. La siguiente proposición es una consecuencia im portante del hecho de que las geodésicas estén caracterizadas por el sistema (4). PROPOSICION 5. Dado un punto p e S y un vector w e Tp(S), w O, existe e > O y una única geodésica param etrizada y; ( - £ , e) S tal que yiO) = p, /( O ) = w. V erem os en la sec. 4.7 cóm o puede deducirse la prop. 5 a partir de teorem as sobre campos vectoriales.

Observación. La razón de tomar vv O en la prop. 5 proviene del hecho de excluir a las curvas constantes en la definición de geodésica parametrizada (cf. la def. 8). D edicarem os el resto de esta sección a introducir algunas aplicaciones geom étricas de las ecuaciones diferenciales (4). Si el lector así lo desea, esta materia puede omitirse. Si fuera éste el caso, debería hacerse lo propio con los ejercicios 18, 20 y 21. Ejemplo 5. Vam os a emplear el sistema (4) para estudiar localm ente las geodésicas de una superficie de revolución (cf. el ejem plo 4, sec. 2.3) con la parametrización

X = f{v) cos M,

y = f(v) sen u,

z = g(u).

Por el ejem plo 1 de la sec. 4.1, los sím bolos de Christoffel vienen dadas por

T-i _ o

pz _ _

— o,

— o,

In

f f ____

(/7 + (g r

^

pi =

ff

í

f f " -r g 'g " „'\2 ( f y + (g 'r

A 22 — /

Con los valores de arriba, el sistema (4) se convierte en

u"+

=

f

o, (4a)

Ahora vamos a sacar algunas conclusiones a partir de estas ecuaciones. Primeramente, y com o era de esperar, los m eridianos u = const. y v = f( s ) , parametrizados por la longitud de arco s, son geodésicas. D e hecho, la primera de las ecuaciones de (4a) trivialmente se satisface para u = const. La segunda ecuación se convierte en + Í L ll+ J ls lu 'Y = o

GeamMÌB ltiliftMacidtoai«Mr«k!iss 2B0 Tem endo en cuenta que, a lo largo del m eridiano u = const, v = u(s), la primera forma fundamental da lugar a

concluimos que

i r ? + (g'f Por tanto, derivando, -

2( . r / - + g’g " ) , ^ _ 2 ( / 7 :

o bien, com o v' ¥= 0 ,

es decir, a lo largo del meridiano también se satisface la segunda de las ecuaciones de (4a), lo que, en efecto, prueba que los meridianos son geodésicas. Vam os a determinar ahora qué paralelos v = const. u = u(s), parametrizados por la longitud de arco, son geodésicas. La primera de las ecuaciones de (4a) establece que u' = const. y la segunda se convierte en f f ' j^ J u y = 0 . (f'y + (g y

Geodésica

Figura 4-19

■B

a in É w iX · rmmrnwm m m n m y s u p e iiid a s

Para que el paralelo v = const., u = u{s) sea una geodésica es necesario que «' 0: í C om o ( f Y + (g'Y #= O y / o, de la ecuación precedente concluim os que f = Oi En otras palabras, una condición necesaria para que un paralelo de una s u p e r f id e de revolución sea una geodésica es que tal paralelo esté generado por la rotación d e un punto de la curva generatriz donde la tangente sea paralela al eje de revolución (fig. 4-19). Claramente, esta condición es suficiente, pues implica que la recta n o r m a l del paralelo coincide con la recta normal a la superficie (fig. 4-19). Para otras utilidades, vam os a obtener una interesante consecuencia geom étrica de la primera de las ecuaciones de (4a), conocida com o la relación de Clairaut. Obsérve^ se que la primera de las ecuaciones de (4a) puede escribirse en la forma ( r w y = r u " + 2 / f 'u V = 0 ;

de donde,

P u ' = const. = c.

Por otra parte, el ángulo 0, O s; 9 s nH, de una geodésica con un paralelo que la corte viene dado por

donde {x„, x^,} es la base asociada a (a parametrización dada. C o m o / = r es el radio del paralelo en el punto de intersección, obtenem os la relación de Clairaut:

reos 6 — const. = | c |. En el siguiente ejem plo mostraremos cuán útil es esta relación. V éanse también los ejercicios 18, 20 y 2 1 . Finalm ente, vam os a demostrar que el sistema (4a) se puede integrar por m edio de primitivas. Sea u = u(s), v = v (j) una geodésica parametrizada por la longitud de arco, de la cual supondrem os que no es un meridiano o un paralelo de la supeificie. La primera de las ecuadones de (4a) se escribe entonces en la forma f u ' = const. = c 0. P rev ia m en te, o b sér v e se que la prim era form a fu n d am en tal a lo largo de (« (j), t;(s)).

(5)

junto con la primera ecuación de (4a), es equivalente a la segunda ecuación de (4a). D e hecho, al s u s tit u ir /« ' = c en la ec. (5), obtenem os

«t0anw M h«l«M ea*d»aup6fficiM

MI

r de donde, al derivar con respecto a s,

+ (j·) .) + ( g ) ' ( 2/ · / · + 2s - j - ) f -

que, com o (u (s), v(s)) no es un paralelo, es equivalente a la segunda ecuación de (4a) (no obstante, la geodésica puede ser tangente a un paralelo que no sea una geodésica y entonces v'(s) = 0; sin em bargo, la relación de Clairaut establece que esto sólo puede ocurrir en puntos aislados). Por otra parte, com o c¥= O (debido a que la geodésica no es un m eridiano), se tiene que u'(s) i= 0. Podem os, así, invertir u = « (s), obteniendo s = s{u) y, en consecuen­ cia, V = v (s(u)). A l multiplicar la ec. (5) por {d sid u f obtenem os

(® )' = o bien, utilizando el hecho de que {ásIduY = fie * ,

es decir, du

=

IZ II c ■' V\ (f ryy + i g y ’

de donde.

u= c

dv + const.

(6)

lo que constituye la ecuación de un segm ento de geodésica, que no sea un paralelo o un m eridiano, de una superficie de revolución. Ejemplo 6 . V am os a demostrar ahora que cualquier geodésica, que no sea un meridiano, del paraboloide de revolución z = s t corta a sí misma infinitas veces. Sea Po un punto del paraboloide y sea Pq el paralelo de radio que pasa por po. Sea y una geodésica parametrizada que pasa por po y forma un ángulo 6b con Pq. Com o, en virtud a la relación de Clairaut,

r eo s O = const. = |c |,

O<0 <^>

concluimos que 6 crece con r. Por tanto, 6 crece si seguim os la dirección de los paralelos crecientes. Pudiera suceder que en algunas superficies de revolución 6 se aproximara asintóticam ente a un meridiano. D entro de un m om ento comprobarem os que no es éste el caso del paraboloide de revolución. Es decir, la geodésica intersecta a todos los meridianos, efectuando, por tanto, un número infinito de vueltas alrededor del paraboloide.

i » Qa«yw»fa ( » l a w n i a l ^ ____________________________ _ Por otra parte, si seguim os la dirección de los paralelos decrecientes, el ángulo 6 decrece y se aproxima al valor O, el cual corresponde a un paralelo de radio |c| (obsérvese que si 6o i= O, |c| < r). Más adelante dem ostrarem os en el presente libro que ninguna geodésica de una superficie de revolución puede ser asintótica a un paralelo que no sea, él m ism o, una geodésica (sec. 4.7 ). Com o ningún paralelo del paraboloide es una geodésica, la geodésica y es en realidad tangente al paralelo de radio |c| en el punto p\ . Com o 1 es el valor máximo de cos 6, el valor de r crecerá a partir de p^. Por tanto, estam os en la misma situación que antes. La geodésica girará un número infinito de veces alrededor del paraboloide, siguiendo la dirección de los valores crecientes de r; entonces cortará claramente a la otra rama de la geodésica un número infinito de veces (fig. 4-20).

Obsérvese que si do = O, la situación inicial es la del punto px. Queda por demostrar que cuando r crece, la geodésica y corte a todos los meridianos del paraboloide. Primeramente, observem os que la geodésica no puede ser tangente a un meridiano. En otro caso, debería coincidir con el meridiano en virtud a la parte de unicidad de la prop. 5. Com o el ángtilo 6 crece con r, si y no cortase a todos los meridianos, debería aproximarse asintóticamente a un meridiano, por ejem plo M. A dm itam os que es ésta la situación y elijam os el sistema de coordeiudas locales para el paraboloide z = + y^, definido por X

=

V

cos u .

y = V sen u,

z = xp-,

O < U < + 00,

O < M < 2;r,

de forma que el entorno coordenado correspondiente contenga a M cuando u = Mq. Por hipótesis u «o cuando Por otra parte, en este sistema de coordenadas la

Q eom M aU tM naeoaóaaupem tìes 283

ecuación de la geodésica y viene dada por (cf. la ec. (6), el ejem plo 5 y elíjase una orientación para y de forma que c > 0)

u —c

1

/I +

dv + const. > c

— + const., V

ya que

l + 4 v ^ > 1.

D e la desigualdad de arriba se deduce que cuando v ^ , u crece superando cualquier valor prefijado, lo que contradice el hecho de que y se aproxima asintótica­ mente a M. Por lo tanto, y intersecta a todos los meridianos y con esto com pletam os la demostración de lo afirmado al com ienzo de este ejem plo.

EJERCICIOS 1. a. Demuéstrese que si una curva C t= S es simultáneamente una línea de curvatura y una geodésica, entonces C es una curva plana. b. Demuéstrese que si una geodésica (no rectilínea) es una curva plana, entonces es una línea de curvatura. c. Exhibir un ejemplo de línea de curvatura que sea una curva plana y que sin embargo no sea una geodésica. 2. Demuéstrese que una curva C c: ^ s simultáneamente una curva asintótica y una geodésica si y sólo si C es una recta (o un segmento de recta). 3. Demostrar, sin utilizar la prop. 5, que las rectas son las únicas geodésicas del plano. 4. Sean i» y tv dos campos vectoriales a lo largo de una curva y; / —> 5. Demostrar que

5. Considérese el toro de revolución generado por la rotación del círculo (x

— aY +

= r^, y = O,

alrededor del eje z{a > r > 0). Los paralelos generados por los puntos (a + r, 0), (a - r, 0), (a, r) se denominan, respectivamente, el paralelo máximo, el paralelo mínimo y el paralelo superior. Compruébese cuál de estos paralelos es a. Una geodésica. b. Lina curva asintótica. c. Una línea de curvatura. ♦ 6. En el toro del ejercicio 5, calcúlese la curvatura geodésica del paralelo superior. 7. Intersectar el cilindro x^ +y^ = \ con el plano que pasa por el eje x, formando un ángulo B con el plano xy.

a. Demuéstrese que la curva C de intersección es una elipse. b. Calcúlese el valor absoluto de la curvatura geodésica de C en el cilindro, en aquellos puntos donde C corta a sus propios ejes.

*8. Demuéstrese que si todas las geodésicas de una superficie conexa son curvas planas, entonces la superficie está contenida en un plano o en una esfera. *9. Considérense dos meridianos Cj y C 2 de una esfera que forman un ángulo q>en el punto Pl. Efectuemos el transporte paralelo de un vector wq tangente a Cj, a lo largo de Cj y de C2, desde el punto inicial pi hasta el punto p 2 donde se encuentran otra vez los meridianos, obteniendo, respectivamente, los vectores Wi y ^ 2. Calcúlese el ángulo de Wi a W2 . *10. Enunciar con precisión y demostrar la siguiente afirmación: el valor algebraico de la derivada covariante es invariante frente a isometrías que preservan la orientación. *12. Decimos que un conjunto de curvas regulares sobre una superficie S es una familia diferenciable de curvas en S si las tangentes a las curvas de dicho conjunto constituyen un campo diferenciable de direcciones (véase la sec. 3.4). Admitamos que una superficie S admite dos familias diferenciables y ortogonales de geodésicas. Demostrar que la curvatu­ ra gaussiana de S es cero. *13. Sea V un entorno conexo de un punto p de una superficie S, y admitamos que el transporte paralelo entre dos puntos cualesquiera de V no depende de la curva que une dichos puntos. Demostrar que la curvatura gaussiana de V es cero. 14. Sea S una superficie regular orientada y sea a : l ^ S una curva parametrizada por la longitud de arco. Considérense en el punto p = a(s) los tres vectores unitarios (el triedro de Darboux) T{s) = a '( í) , N(s) = la normal a 5 en p , V(s) = N(s) f \ T(s). Demuéstrese que bN, — = - a T + 0 + cN, ^

= -¿ > r - c K + O,

donde a = a{s), b = b{s), c = c(i), s e l . Las fórmulas precedentes constituyen lo análogo a las fórmulas de Frenet para el triedro T, V, N. A efectos de establecer el significado geométrico de los coeficientes, demuéstrese que a. c = - { d N/ d s, K) ; concluir a partir de esto que a{f) <= 5 es una línea de curvatura si y sólo si c = O ( - C se denomina la torsión geodésicade a ; cf.el ejercicio 19, sec. 3.2). b. b es la curvatura normal en p de a{I) c S. c. a es la curvatura geodésica en p de a (/) c 5. 15. Sea po un polo de la esfera unidad 5^ y sean q, r dos puntos del ecuador correspondiente tales que los meridianos p^q y poT forman un ángulo O en po- Considérese un vector unitario v, tangente al meridiano poq en po, efectuando el transporte paralelo de u a lo largo de la curva cerrada formada por el meridiano poq, el paralelo qr y el meridiano rpo (fig. 4-21). a. Determinar el ángulo que forma con v la posición final de v. b. Repetir el mismo proceso cuando los puntos r, q se toman sobre un paralelo de colatitud tp (cf. el ejemplo 1) en lugar del ecuador.

O e a n e rtr*M M h *c e d » « » w **s

tt 5

♦16. Sea p un punto de una superficie orientada S y admitamos que existe un entorno de p en 5 cuyos puntos son todos parabólicos. Pruébese que la (única) curva asintótica que pasa por p se halla en un segmento abierto de una recta. Constrúyase un ejemplo para mostrar que es esencial la condición de poseer un entorno de puntos parabólicos, 17. Sea a: I ^ S una curva parametrizada por la longitud de arco s, con curvatura no nula. Considérese la superficie parametrizada (sec. 2.3) x(í, v) = a(j) + vb{s),

sel, -e <

V

< e, e> O,

donde b es el vector binormal de a. Pruébese que si e es pequeño, x(/ x ( - e , e)) = S es una superficie regular en donde a(I) es una geodésica (en consecuencia, cada curva es una geodésica de ía superficie que generan sus binormales). V

♦18. Considérese una geodésica que empiece en un punto p de la parte superior (z > 0) del hiperboloide de revolución = l y que forme un ángulo B con el paralelo que pasa por p , de forma que cos B = 1/r, donde r es la distancia de p al eje z: Demuéstrese que al seguir la geodésica en la dirección de los paralelos decrecientes, ésta se aproxima asintóticamente al paralelo = 1, z = O (fig. 4-22).

a#

^wSnwMBi

tyeuperiitíes

*19. Demuéstrese que cuando las ecuaciones diferenciales de las geodésicas (4) se refieren a la longitud de arco entonces la segunda ecuación de (4) es consecuencia de la primera de dichas ecuaciones, exceptuando las curvas coordenadas. ♦20. Sea T un toro de revolución que supondremos parametrizado por (cf. el ejemplo 6, sec. 2.2) x(u, v) = ((r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sen v, r sen u). Demostrar que a. Si una geodésica es tangente al paralelo u = nl2, entonces está completamente contenida en la región de T definida por

n ^

^ n

b. Una geodésica que intersecte al paralelo m = O formando un ángulo 0 (O < 6 < n!2) también intersecta al paralelo u = ;r si cos d <

a —r a + r'

21. Las superficies de Liouville son aquellas superficies para las que es posible obtener un sistema de coordenadas locales x ( m , u ) tal que los coeficientes de la primera forma fundamental se escriben E ^ G = U + V,

F = 0,

donde U = U{u) sólo es función de u , y V = ^(u ) solamente lo es de v. Obsérvese que las superficies de Liouville generalizan las superficies de revolución. Demuéstrese que (cf. el ejemplo 5). a. Las geodésicas de una superficie de Liouville pueden obtenerse calculando las primiti­ vas de la forma du

^U -c

= ±

dv

^/YT~c

donde c y Cj son constantes que dependen de las condiciones iniciales, b. Si 0, O s 0 < jt!2, es el ángulo que forma una geodésica con la curva v = const., entonces U sen^ e - V cos^

6

= const.

(Nótese que ésta es la relación análoga a la de Clairaut para superficies de Liouville.) 22. Sea = {(jc, y, z) € R^·, = 1} y sea p € S^. Para cada curva parametrizada regular a trozos a: [O, í] -» 5^ con a(0) = a(l) = p , sea P„: Tp(S^) Tp(S^) la aplicación que asigna a cada v e Tp{S^) su transporte paralelo de regreso a p a lo largo de a. En virtud a la prop. 1, P„ es una isometría. Demuéstrese que para cada rotación R de Tp(S^) existe una curva a tal que R = P„.

QeonrntriaMrinaecadesupmñei&e 9KT 23. D em uéstrese que las isom etrías de la esfera unidad

= {(x, y, z ) e R ^ ; x ^ + y ^ + z^== 1} son las restricciones a

4.5.

de las aplicaciones lineales ortogonales de R^.

El teorema de Gauss-Bonnet y sus aplicaciones

En esta sección presentarem os el teorem a de G auss-Bonnet y algunas de sus consecuencias. La geom etría implicada en este teorem a es bastante sim ple, sin embargo, ciertos hechos topológicos son responsables de la dificultad de su dem ostra­ ción. Tales hechos se introducirán sin dem ostraciones. Probablem ente, es el teorem a de G auss-Bonnet uno de los resultados más profundos de la geom etría diferencial de superficies. Gauss presentó una primera versión de este teorem a en su fam oso artículo [1] que versaba sobre triángulos geodésicos sobre superficies (es decir, triángulos cuyos lados son arcos de geodésicas). En líneas generales, éste afirma que el exceso con respecto a de la suma de los ángulos interiores q^i, ipz, tpj de un triángulo geodésico T es igual a la integral extendida a T de la curvatura gaussiana K-, es decir (fig. 4-23),

Kda.

Por ejem plo, si = O, obtenem os que 2 flp, - n , lo cual constituye una extensión a superficies con curvatura cero del teorem a de Tales que estudiam os en bachillerato. Tam bién, si AT = 1, obtenem os que 1. q>¡ - n = área ( 7 ) > 0. A sí, sobre la esfera unidad, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo geodésico e s mayor que n, y el exceso a flr es exactam ente el área de T. A nálogam ente, sobre la seudoesfera (ejercicio 6 , sec. 3.3) la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo geodésico es m enor que n (fig. 4-24). La extensión del teorem a a una región delim itada por una curva sim ple no geodésica (véase más adelante la ec. (1)) se debe a O . B onnet. Para conseguir

»î^sMpertïcfcs

extensiones más amplias, por ejem plo, a superficies compactas, deben entrar en escena algunas consideraciones topológicas. En realidad, uno de los rasgos más im portantes del teorem a de G auss-Bonnet es que establece una relación notable entre la topología de una superficie compacta y la integral de su curvatura (véase más adelante el corolario 2). A hora vam os a em pezar por los detalles de una versión local del teorem a de G auss-Bonnet. N ecesitam os algunas definiciones. Sea a: [O, ^ S una aplicación continua del intervalo cerrado [O, l\ en una superficie regular S. D ecim os que a es una curva param etrizada, regular a trozos,

cerrada y sim ple si 1. a (0) = a(/). 2. ti =/= Í2 , ti, Í2 6 [O, /), implica que a (íi) ^ »(tz). 3. Existe una partición O = ío < Í1 < ■ · · < í* <

= /,

de [O, /] tal que a es diferenciable y regular en cada [í,, í,+ i], / = O, ..., A:. E sto significa, intuitivam ente, que a es una curva cerrada (condición 1) sin autointersecciones (condición 2), cuya recta tangente deja de estar definida sólo en un número finito de puntos (condición 3). Los puntos a (í,), i = O ,..., fe, se denominan los véríices de a y las trazas a([íj, í/+i]) se llaman los arcos regulares de a. Es habitual llamar curva cerrada regular a trozos a la traza a([0 , /]) de a. Por la condición de regularidad, para cada vértice a{t,) existe el límite por la izquierda, o sea, para t < t¡ lim a'(O = a'(/¡ — 0)

O,

y el límite por la derecha, es decir, para t > t¡ lim a'(í) = a'(í, + 0) 9^ 0 .

O eonm trta àTMnam» (M aupm ñtíM

280

A dm itam os ahora que S está orientada y s e a |0,|, O < |0,| s jt, la m enor determinación del ángulo de « '(í, - 0) a a'(r, + 0). Si \d¡\ n , asociamos a eJ signo del determ inante (a '(í, - 0), a '(í, + 0), N )· E sto significa que si el vértice a(í¡) no es una «cúspide» (fig. 4-25), entonces el signo de d¡ v ie n e dado por la orientación de S. Se conoce com o ángulo externo en el vértice a(í,) al ángulo con signo 0„ - n < 0, < jt. En caso de que el vértice a(í,) sea una cúspide, e s decir, (0,( = ji, elegim os el signo de di de la manera siguiente. Por la condición de regularidad, podem os comprobar que existe un número e' > O tal que el determ inante (a'(í, - e), a'(í, + e), N) no cambia de signo para todo O < e < e’. D am os a 0, el signo de este determ inante (fig. 4-26).

n

O

0, = -K Figura 4-26. El signo del ángulo externo en el caso de una cúspide.

Sea x: U cz S una parametrización com patible con la orientación de S. Supóngamos además que U es hom eom orfo a un disco abierto del plano. Sea a: [O, /] —>■ x{U) c: 5 una curva parametrizada, regular a trozos, cerrada y sim ple, con vértices a(í,) y ángulos externos 0;, i = O, ..., k. Considerem os las funciones diferenciables
^ia¿uyjii.wwujj.»wwiiwi!iiwwpi«l « ■* » * » « ■ >*^wiieliWtoan ^ TEOREM A (de rotación de tangentes). Con la notación precedente , S (?>l(tl+l) — ?»i(ti)) 4- 2

= ±2w ,

donde el signo más o el menos dependen de la orientación de a. El teorem a establece que la variación total del ángulo a una dirección dada del vector tangente a a , más los «saltos» en los vértices, es igual a 2n. U na demostración elegante de este teorem a se debe a H . H opf, Compositio Math., 2 (1953), 50-62. Para el caso en el que a carece de vértices, la dem ostración del teorema de H opf se encuentra en la sec. 5.7 (teorem a 2) de este libro. Todavía necesitam os algo más de terminología antes de establecer la versión local del teorem a de Gauss-Bonnet. Sea 5 una superficie orientada. Se dice que una región R <= S (unión de un conjunto abierto y conexo con su frontera) es una región sim ple si R es hom eom orfa a un disco y la frontera dR de R es la traza de una curva parametrizada, regular a trozos, cerrada y simple a: I ^ S. D ecim os entonces que a está orientada positivam ente si para cada a (í), perteneciente a un arco regular, la base ortogonal positiva {« '(í), ^(0 } satisface la condición de que h{t) «apunta hacia» /?; con más precisión, para cualquier :urva p. 1 R con /S(0) = a{t) y /3'(0) ^ á { t ) , tenem os que (j8'(0), h{t)) > 0. Esto significa, intuitivam ente, que si caminamos sobre a en la dirección positiva, con la :abeza apuntando hacia la normal N, entonces la región R se halla a la izquierda 'fig. 4-27). Puede demostrarse que una de las dos orientaciones posibles de a hace ^ue ésta esté orientada positivam ente. ^

Sea ahora x: U cz R^-^ S una parametrización de S com patible con su oiientación sea R cz x (ií) una región acotada de 5. Si / e s una función diferenciable sobre S, itonces se comprueba fácilmente que la integral

í

J Jx-HR)

/ ( “>

EG —

du dv

QeonwbkiiiMmacaiieaupertMes 271

no depende de la parametrización x, elegida en la clase de la orientación de x (la dem ostración es la misma que en la definición de área; cf. la sec. 2.5). En consecuen­ cia, esta integral tiene un significado geom étrico y se denom ina la integral de f sobre la región R. Es frecuente denotarla por

/ da. Establecem os ahora, con estas definiciones, el TEOREMA DE GAUSS-BONNET (Local). Sea x: U ^ S una parametrización ortogonal (es decir, F = 0) de una superficie orientada S, donde U c es homeom orfo a un disco abierto y x es compatible con la orientación de S. Sea R c x (U ) una región sim ple de S y sea a: \ -^ S tal que 9R = a (I). Adm itam os que a está orientada positivamente, y está param etrizada p o r la longitud de arco s, siendo a(so), ..., a(sk) y do, ■■■,0 k los vértices y los ángulos externos de a, respectivamente. Entonces t i= 0

r'k ,( s )d s +

(1)

J s¡

donde kg(s) es la curvatura geodésica de los arcos regulares de a y K e s la curvatura gaussiana de S. Observación. La restricción de que la región R esté contenida en el conjunto imagen de una parametrización ortogonal sólo se necesita para simplificar la dem os­ tración. C om o verem os posteriorm ente (corolario 1 del teorem a de Gauss-Bonnet global) el resultado precedente tambigp es válido para cualquier región simple de una superficie regular. E sto resulta bastante plausible, puesto que la ec. (1) de ninguna manera involucra una parametrización en particular Demostración. Sea u = u{s) y v = v(s) la expresión de a en la parametrización x. U tilizando la prop. 3 de la sec. 4.4 tenem os que k,(s) =

l^ E G

^ “ds

^"dsi ‘ ds

donde q>i = (Pi(s) es una función diferenciable que m ide el ángulo positivo de x„ a a'(s) en [s„ s,+x]. Integrando la expresión precedente sobre cada intervalo [s„ s,+i] y sumando los resultados, JL f “*' . . . .

jL. f'··· /

G„

k + S

ds

í=0

dv

E„

du\

ids.

^ Si se admite la validez de esta afirmación, entonces ya pueden introducirse las aplicaciones 2 y 6 presentadas más adelante.

ì^^aupertlcles » Utilizam os ahora el teorem a de Gauss-Green en plano u v, el cual establece lo íguiente; si P (u, \j) y Q (u ,u ) son funciones diferenciables en una región sim ple l e / ? , cuya frontera viene expresada p o r u = u(s), v = u(s), entonces k 1= 0

; deduce entonces que k

k,(s)ds =

i1=: 0

+ K

+Sj

du dv

\2 J E G K

f"" i j l ds.

ds

A partir de la fórmula de Gauss para F = O (cf. el ejercicio 1, sec. 4.3 ), sabem os le

dudv = —

K jE G du dv

x-HR) K d a. Por otra parte, en virtud al teorem a de rotación de tangentes,

‘' ' " ' ^ d s = ± { ( p / i s , , , ) - c p i s ; ) ) ds = ± 2 k - Y , 0,. A l estar la curva a orientada positivam ente, debe tomarse el signo más, com o lede comprobarse fácilm ente en el caso particular del círculo en el plano. R euniendo todos estos hechos, obtenem os k

fit* !

/» /·

kg{s) i - O J SI

¿s +

JJR

k

K d a + ' ^ 6 , = 2n.

Q.E.D.

i= 0

A ntes de emprender la versión global del teorem a de G auss-Bonnet, desearíam os ner de manifiesto cóm o las técnicas utilizadas en la dem ostración de este teorem a eden em plearse para establecer una interpretación geom étrica, en térm inos de ralelismo, de la curvatura gaussiana. A tales efectos, sea x: U - * S una parametrización ortogonal en un p u n to p e S y i R cz x{U) una región sim ple sin vértices, que contiene a en su interior. Sea [O, /] - » x ( í/) una curva parametrizada por la longitud de arco s de forma que la za de a sea la frontera de R. Sea Wq un vector unitario tangente a S en a (0 ) y sea f), s 6 [O, /], el transporte paralelo de Wq a lo largo de a (fig. 4-28). Utilizando prop. 3 de la sec. 4.4 y el teorem a de G auss-G reen en e l plano u v, obtenem os 0

=

Dw ds = ds

1 ir —F ds + ^ 2 j m \ ‘‘ds ^'’ds

da ds ’

Qeomttrta ìrm tw am d» sup«rtleÌÈs 273

= -

'[

JJ r

Kd
Figura 4-28 donde q> = q>{s) es una determ inación diferenciable del ángulo d e x« a w (s). Se deduce así que
Kda.

(2)

E ntonces, Aqp no depende de la elección de Wq, y de la expresión precedente se deduce que A 97 tam poco depende de la elección de ^ 0 ) . A l efectuar el lím ite (en el sentido de la prop. 2, see. 3.3)

donde A{R ) denota el área de la región R, obtenem os la interpretación de K que se perseguía. V

Para globalizar el teorem a de G auss-Bonnet necesitam os más preliminares top oló­ gicos. Sea 5 una superficie regular. Se dice que una región R
mm pero la de fig. 4-29(b) no lo es). Por conveniencia, consideraremos que una superficie com pacta es una región regular, cuya frontera es vacía. Llamaremos triángulo a una región simple con sólo tres vértices, y á n g u lo s externos a¡, i = 1, 2, 3. U na triangulación de una región regular R c S es una familia finita 3 de tr iá n g u lo s r , , /■ = 1, 2 , ..., n, tal que

í. u r = í Ti = R. 2 . Si T, n Tj (f>, entonces o bien T, P | Tj es un lado común a 7, y a Tj o bien consta de un vértice a T, y a T¡. D ada una triangulación 3 de una región regular R c S de una superficie S, denotaremos por F al número de triángulos (caras), por E al número de lados ( a r is ta s ) y por V al número de vértices de la triangulación. El número F - E + V = X

íe denom ina la característica de Euler-Poincaré de la triangulación. Presentam os sin dem ostración las proposiciones que siguen. Puede encontrarse ma exposición de estos resultados, por ejem plo, en L. Ahlfors y L. Sario, Riemann surfaces, Princeton University Press, Princeton, N . J., 1961, cap. 1. PROPOSICION 1. Cada región regular de una superficie regular admite urm

riangulación. PROPOSICION 2. Sea S una superficie orientada y {x„}, a e A , una familia de Parametrizaciones compatibles con la orientación de S. Sea R c S una región regular de !. Entonces existe una triangualción Z de K de form a que cada triángulo T 6 3 está ontenido en algún entorno coordenado de la fam ilia {x„}. Adem ás, si la frontera de ada triángulo de 3 está orientada positivamente, triángulos adyacentes determinan mentaciones opuestas en el lado común (fig. 4-30).

Figura 4-30 PROPOSICION 3. Sí R c S es una región regular de una superficie S, la iracterística de Euler-Poincaré no depende de la triangulación d e K . En consecuencia, 'sulta conveniente denotarla p o r x(R ). La última proposición muestra que la característica de Euler-Poincaré es un 1variante topologico de la región regular R . En beneficio de las aplicaciones del

dvOmnn· WWniÊBOÊÎ0 9 9U p9n9C t9^ Z79

teorema de G auss-Bonnet, m encionarem os el importante hecho de que este invarian­ te permite una clasificación topològica de las superficies com pactas en R^. D eb e observarse que un cálculo directo establece que la característica de E ulerPoincaré de la esfera es 2, la del toro (la esfera con un «asa»; véase la fig. 4-31) es cero, la del toro doble (la esfera con dos asas) es - 2 , y, en general, la del n-toro (la esfera con n asas) es - 2 (n - 1). La proposición siguiente establece que esta lista engloba a todas las superficies compactas de R^. La esfera con asa x = O

La esfera * = 2

La esfera con dos asas % =

El toro

- 2

El 2-toro

Figura 4-31 PROPOSICION 4. Sea S <= R^ una superficie conexa y compacta; entonces la característica de Euler-Poincaré ;f(S) to p a uno de los valores 2, O, - 2 , ..., —2n, ...; además, si S' c R^ es otra superficie compacta y ;f(S) = Af(S')» entonces S es homeomorfa a S'. En otras palabras, cada superficie conexa y compacta S cz R^ es hom eom orfa a una esfera con un cierto número g de asas. El número . - 2 -/(5 ) ^ 2 se denom ina el género de S. Finalm ente, sea R
x,(Uj)

{\^, a e A,

PROPOSICION 5. Con las notaciones precedentes, la suma k Z i=i

f( u ,v V E A - F f d U ; d V j

no depende de la triangulación 3 ni tampoco de la fam ilia {xy} de param etrizaciones de S.

Por lo tanto, esta suma tiene significado geom étrico y se denom ina la integral t

sobre la región R . H abitualm ente se denota por

Í Í J “^·

i .'i'i

Y a estam os en condiciones de establecer y demostrar el i'J TEOREMA GLOBAL DE GAUSS-BONNET. Sea R cz S una región regular de una superficie orientada y sean C i, las curvas regulares a trozos, cerradas y simples que form an la frontera dR de R. Supongamos que cada C¡ está orientada positivamente y sea 0], ..., 6p el conjunto de todos los ángulos externos de las curvas C i, C„. I

I

Entonces k.(s),ds + í

± í i=

1

J

K dff + i : 0, = 2 tix (R ),

Ci

donde s denota la longitud de arco de C¡ y la integral sobre Q significa la suma de las integrales que corresponden a los arcos regulares de Q . Demostración. Considerem os una triangulación 3 de la región R de forma que cada triángulo Tj esté contenido en un entorno coordenado de una familia de parametrizaciones ortogonales, com patibles con la orientación de 5. En virtud a la prop. 2 existe tal triangulación. A dem ás, si la frontera de cada triángulo de 3 está orientada positivam ente, obtenem os orientaciones opuestas en los lados que son comunes a triángulos adyacentes (fig. 4-32). A plicando a cada triángulo el teorem a local de G auss-Bonnet y sumando los resultados obtenem os, utilizando la prop. 5 y el hecho de que cada lado «interior» se recorre dos veces en orientaciones opuestas k,(s) * + í

i: i

J Ci

í

Kda+

J J r

2

= 2nF,

j , k==i

ionde F denota el número de triángulos de 3 y 0,i, dj2 , 0,3 son los ángulos externos del riángulo Tj .

Figura 4-32

r

oaonMríaimrínaecaa»MperUcfae 277

Introduciremos ahora los ángulos interiores del triángulo T j, dados por q>jk - n — OjkD e esta forma.

Utilizaremos la notación siguiente: Ee = el número de aristas externas de 3.

Ei = el número de aristas internas de 3. = el número de vértices externos de 3.

V¡ = el núm ero de vértices internos de 3 . Com o las curvas C, son cerradas, E^ = Vg. A dem ás, es fácil demostrar por inducción que 3F = 2E, + E,

y, por tanto, que = ^Ttí, + nE, —


O bservem os ahora que los vértices externos pueden ser o bien vértices de alguna curva C, o vértices introducidos por la triangulación. Ponem os Vg - V^c + ^ei, donde Vgg es el núm ero de vértices de las curvas C, y Vg, es e l número de vértices externos de la triangulación que no son vértices de alguna curva C¡. Com o la suma de ángulos alrededor de cada vértice interno es 2n, obtenem os

= 2nE, + nE, - 2nV, - nV„

6,).

Sumando y restando JtEg a la expresión precedente y tom ando en consideración que Eg ~ Vg, concluim os que = 2nE¡ + 2nE, - 2nV, - nV, - nV., - nV,, +

0,

= ln E -2n V -\-'^ e„ R ecopilando los resultados obtenem os finalm ente ¿

í=.)

J C;

/tis)í/s + f í JJR

A í/ff + í ; 0; = Í‘-n{F - E + V ) l=i

= 2nx(Ji).

Q E .D ·

Com o la característica de Euler-Poincaré de una región simple es claramente 1, obtenem os el (véase la observación 1)

wm 278 (^^Qff>etrto
¿ j ’"' k«(s) ds + j

K d<7 + ¿

=

27t.

Teniendo en cuenta el hecho de que una superficie com pacta puede considerarse com o una región cuya frontera es vacía, obtenem os el

COROLARIO 2. Sea S una superficie compacta y orientable; entonces ■f

JJS

K d a = 2;tA:(S).

E l corolario 2 es de lo más chocante. Baste pensar en todas las formas posibles de una superficie hom eom orfa a la esfera para sorprendernos con el hecho de que la función curvatura se distribuya de forma tal que «la curvatura total», es decir, JJ /C da, sea la misma para todos los casos. V am os a presentar a continuación algunas aplicaciones del teorem a de GaussB onnet. Para estas aplicaciones (y para los ejercicios del final de la sección) es conveniente admitir un resultado básico de la topología del plano (el teorem a de la curva de Jordan) que utilizaremos en la forma siguiente: cada curva regular a trozos

del plano (por tanto, sin autointersecciones) es la frontera de una región simple. 1. Una superficie compacta de curvatura positiva es homeomorfa a una esfera. La característica de Euler-Poincaré de tal superficie es positiva y la esfera es la única superficie com pacta de que satisface esta condición. 2. Sea S una superficie orientable con curvatura negativa o nula. Entonces dos geodésicas yi y yj que partan del mismo punto p e S no pueden encontrarse otra vez en un punto q e S deforma que las trazas de yi y 72 constituyan la frontera de una región sim ple R d e S. A dm itam os que lo contrario es cierto. En virtud al teorem a de Gauss-Bonnet (R es sim ple)

K d a + 0, 4- 02 = 2n,

donde di y 6 2 son los ángulos externos de la región R. C om o las geodésicas yi y yz no pueden cortarse tangencialm ente, tenem os que < n , i - 1 ,2 . Por otra parte A s; O, de donde se deduce la contradicción. Cuando di = 6 2 = O, las trazas de las geodésicas yi y Y2 constituyen una geodésica cerrada y simple de S (es decir, una curva regular cerrada que es una geodésica). Se deduce entonces que sobre una superficie con curvatura nula o negativa, no existe una geodésica cerrada y sim ple que sea la frontera de una región simple de 5.

Ow wMWi HMmaca de supertìcha 379

3. Sea S una superficie homeomorfa a un cilindro con curvatura gaussiarm K < 0. Entonces S tiene a lo más una geodésica cerrada y simple. Supongam os que 5 contiene una geodésica cerrada y simple T. En virtud a la aplicación 2 y com o existe un hom eom orfism o q>de S con el plano P m enos un punto q € P, q5( r ) es la frontera de una región simple de P que contiene a q. A dm itam os ahora que S contiene otra geodésica cerrada y simple T'. Afirm am os que r ' no intersecta a T. En caso contrario, los arcos de q>(r) y flp(r') com prendidos entre dos puntos de intersección «consecutivos», r¡ y r2 , constituirían la frontera de una región sim ple, lo que contradice la aplicación 2 (véase la fig. 4-33). Por el argumento precedente, ^ F ' ) también es la frontera de una región simple R de P que contiene a q, cuyo interior es hom eom orfo a un cilindro. Por tanto, x(R ) = 0. Por otra parte, por el teorem a de G auss-Bonnet,

I r'(R) Kd<7 = 2nx(R) =

O,

lo que constituye una contradicción, pues A < 0 .

4. Si existen dos geodésicas cerradas y simples y Fz en una superficie compacta, conexa y con curvatura positiva, entonces Fj _y T2 se cortan. Por ía aplicación 1, 5 es hom eom orfa a una esfera. Si Fj y F2 no se cortan, entonces el conjunto formado por Fj y F2 es la frontera de una región R cuya característica de Euler-Poincaré es ;f(ft) = 0. En virtud al teorem a de G auss-Bonnet,

K d a = O, y, com o K > O, esto constituye una contradicción. 5. V am os a demostrar el resultado siguiente, debido a Jacobi: sea a: I una curva parametrizada, regular, cerrada con curvatura no nula. Adm itam os que la curva que describe el vector normal n(s) en la esfera unidad S^ (la indicatriz normal) es simple. Entonces n(I) divide a S^ en dos regiones con la misma área. Podem os suponer que a está parametrizada por la longitud de arco. D enotem os por s la longitud de arco de la curva n = n(s) en 5^. La curvatura geodésica kg de n(s) es

kg = <«, n A «>,

trticka

lo n d e los puntos representan la diferenciación con respecto a s. C om o

“ '« S ·

ñ - ( - i , - ,b ) g .+ (-ÍV -

+ ,> ( § ) '

/ (d sY

1

Ví/j/> ~

+

)btenemos k , = <« A «, «> = ^ < ( k b - Tí), «> T'fc - k ' x d s _ _ d t a g - 1/ i . ^ f * . ~ í/í ^ u A ^ D e esta forma, aplicando el teorem a de Gauss-Bonnet a una de las regiones R lelimitada por n{[) y utilizando el hecho de que A = 1, obtenem os

2n = 'om o el área de

K d a + [ kg ds = f da = área de R. R J dR Ja es 4jt, deducim os el resultado deseado.

6 . Sea T un triángulo geodésico (es decir, los lados de T son geodésicas) en una iiperficie orientada. Sean Oj, 6 2 , O3 los ángulos externos de T y sean 2 = n - d2 , q>3 = n - 6 3 sus ángulos interiores. Por el teorem a de G auss-Bonnet, í K d a + ¿ 0, = 2n.

¡T

i= l

or lo tanto,

Se tiene así que la suma de los ángulos interiores, 2 ? = i iodésico es

de un triángulo

1. Igual a ;r si = 0. 2. M ayor que n si K > 0. 3. Menor que n s i K < Q . A dem ás, la diferencia 2 ? = i
T K do. Si K

__________

QmMml^1lsMnaaemd»mipm1kMa » t

aplicación d e Gauss N: S -* (cf. la ec. (12), sec. 3.3). Esta fue la forma en la que el propio Gauss estableció su teorema: el exceso de un triángulo geodésico T es igual al àrea de su imagen esférica N (T ). El resultado precedente guarda relación con una controversia histórica concer­ niente a la posibilidad de probar el quinto axioma de Euclides (el axiom a de las paralelas), del cual se deduce que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a n. Considerando las geodésicas com o rectas, es posible demostrar que las superficies con curvatura constante y negativa constituyen un m odelo (local) de geom etría donde se satisfacen los axiomas de E uclides, exceptuando el quinto y el axioma que garantiza la posibilidad de prolongar indefinidamente las líneas rectas. En realidad, Hilbert dem ostró que no existe en una superficie con curvatura constante y negativa, cuyas geodésicas puedan prolongarse indefinidam ente (la seudoesfera del ejercicio 6 , sec. 3.3, presenta una arista de puntos singulares). En consecuencia, las superficies de con curvatura gaussiana constante y negativa no proporcionan un m odelo donde comprobar únicam ente la independencia del quinto axioma. Sin em bargo, utilizando la noción de superficie abstracta, es posible sortear esta inconve­ niencia y construir un m odelo de geom etría donde todos los axiomas de Euclides son válidos, con excepción del quinto. Por lo tanto, este axioma es independiente de los restantes. En las secs. 5.10 y 5.11, demostrarem os el resultado de Hilbert que acabamos de citar y describiremos el m odelo abstracto para una geometría no euclidea. 7. Campos vectoriales sobre superficies“*. Sea v un campo vectorial diferenciable sobre una superficie orientada 5. D ecim os que p e S es un punto singular de v si v(jp) = 0. E l punto singular p es aislado^ existe un entorno F d e /7 en S tal que v no tiene, a parte de p , otros puntos singulares en V. A cada punto singular aislado p de un campo vectorial v, asociaremos un número entero, el índice de v, que definim os a continuación. Sea x: U S una parametriza­ ción ortogonal e n p = x(0, 0) com patible con la orientación de 5, y sea a: [O, 5 una curva parametrizada, regular a trozos, orientada positivam ente, cerrada y simple tal que, a ([0 , /]) c x(t7) es la frontera de una región sim ple R que contiene a p com o único punto singular. Sea v = v{t), t e [O, /], la restricción de u a lo largo de o y sea q> = q>{t) alguna determ inación diferenciable del ángulo de x„ a v{t), dada por el lem a 1 de la sec. 4 .4 (que se extiende sin dificultad al caso de curvas regulares a trozos). C om o a es cerrada, existe un número entero / definido por -

I n l = (p{l) — ç>(0) =

^Jdt.

, dt

Se denom ina I el índice de v e n p . D ebem os demostrar que esta definición no depende de las elecciones efectuadas, siendo la de la parametrización x la primera. Sea Wq e y sea iv(/) el transporte paralelo de Wq a lo largo de a. Sea ijf(t) una determinación diferenciable del ángulo de Esta aplicación requiere la materia de la sec. 3.4. En caso de haber sido omitida, también debería hacerse lo propio con los ejercicios 6-9 de esta sección.

282

úaometría Meœ nck^m iàimm^Buperficies

x„ a ^ ( 0 · E ntonces, com o vim os en la interpretación de K en términos del transporte paralelo (cf. la ec. (2)),

y/{l) — y/(0) =

JJ R

K da.

R e sta n d o las ecuaciones p rec e d e n te s o b ten em o s [ f K d a - 2 n l = iy/ - ¡pXI) - ( y / - «»XO) = A{y/ - tp)

JJr

(3)

Com o rl> - q)no depende de x„, el índice I es independiente de la parametrización x . La demostración de que el índice no depende de la elección de a resulta más técnica (aunque más intuitiva) y solam ente la esbozarem os. Sean Oq y Oi dos curvas del tipo requerido en la definición de índice; probem os que el índice de v es el m ism o para ambas curvas. Supongam os primero que las trazas de Oo y «1 no se cortan. Existen entonces un hem eom orfism o de la región delim itada por las trazas de Oq y a i sobre una región del plano com prendida entre dos círculos concéntricos Cq y Cj (un anillo). C om o podem os construir una familia de círculos concéntricos C, que dependen de t de manera continua y describen una deform ación de Co a C i, obtenem os una familia de curvas a„ que dependen continuam ente en f y deforman Oq en Oj (fig. 4-34). D en otem os por 1, al índice de v calculado con la curva a,. A hora, I, depende continuam ente de í e [O, 1], pues el índice se expresa por una integral. Siendo un núm ero entero, I, perm anece constante en esta deform ación, así 7o = /j , que es lo que se perseguía. Si se cortan las trazas de 06 y « i, elegim os una curva lo suficientem ente pequeña com o para que su traza tenga intersección vacía con las de Oo y «1 por separado, y aplicam os el resultado previo.

Figura 4-34

D eb e observarse que la definición de índice todavía puede aplicarse cuando p no es un punto singular de v. Sin em bargo, resulta entonces que el índice es cero. E sto se deduce del hecho de que, com o I no depende de x„, podem os elegir x„ com o el propio v; así,
QeomtMaínbínaecadúauperticies 283

/ =1

Figura 4-35

Sea ahora S F? una superficie com pacta y orientada, y sea v un cam po vectorial diferenciable que sólo tiene puntos singulares aislados. O bservem os que el núm ero de éstos es finito. En caso contrario, por com pacidad (cf. la sec. 2 .7 , propiedad 1), el conjunto de puntos singulares tendría un punto lím ite, el cual sería un punto singular no aislado. Sea {x„} una familia de param etrizaciones ortogonales com patibles con la orientación de S. Sea 3 una triangulación de S tal que 1. Cada triángulo T e Z está contenido en algún entorno coordenado de la familia

{x„}· 2. Cada T e 3 contiene a lo más un punto singular. 3. La frontera de cada í e 3 carece de puntos singulares y está orientada positivam ente. Si aplicam os la ec. (3) a cada triángulo T e 3 , sum amos los resultados y tenem os en cuenta que la arista de cada T 6 3 aparece dos veces con orientaciones opuestas, obtenem os

K d a - 271 ¿ /,. = O, S

i= 1

donde /, es el índice del punto singular p ¡ ,i = \ , ...,1c. E ste resultado, unido al teorem a de G auss-Bonnet (cf. el corolario 2), permite llegar finalm ente a

H em os probado así el siguiente resultado: TEOREM A DE POINCARE. La suma de los índices de un campo vectorial diferenciable v con puntos singulares aislados sobre una superficie compacta S, es igual a la característica de Euler-Poincaré de S. Es éste un notable resultado. Implica que 2 A no depende de v sino de la topología de S. Por ejem plo, en cualquier superficie hom eom orfa a la esfera, todos los campos vectoriales con singularidades aisladas deben cumplir que la surna de sus índices es igual 2. En particular, ninguna de tales superficies puede exhibir campos vectoriales sin puntos singulares.

1m

___

EJERCICIOS I. Sea S c una superficie regular, compacta y orientable que no es homeomorfa a una esfera. Demostrar que hay puntos en S donde la curvatura gaussiana es positiva, negativa y cero. í. Sea T un toro de revolución. Descríbase la imagen de la aplicación de Gauss en T y pruébese, sin apelar al teorema de Gauss-Bonnet, que ’f K d a = 0 .

JJT

Calcúlese la característica de Euler-Poincaré de T y comprúebese el resultado precedente mediante el teorema de Gauss-Bonnet. l. Sea S c una superficie regular homeomorfa a una esfera. Sea F c 5 una geodésica cerrada y simple en 5 y sean v4 y B las regiones de S que tienen a F como frontera común. Sea N: 5 ^ 5^ la aplicación de Gauss de S. Demostrar que N{A) y N{B) tienen la misma área. l. Calcular la característica de Euler-Poincaré de a. Un elipsoide. *b. La superficie 5 = {(jr, y, z); + y “* + z® = 1}. 1. Sea C un paralelo de colatitud q>de la esfera unidad orientada

y sea >Vo un vector tangente unitario de C en un punto p e C (cf. el ejemplo 1, sec. 4.4). Efectúese el transporte paralelo de »Vo a lo largo de C y demuéstrese que, tras una vuelta completa, su posición forma un ángulo A(p = (2ji — cos
= 1 curvatura de

donde A es el área de la región R de 5^ delimitada p>or C. . Para los siguientes campos vectoriales del plano demuéstrese que (O, 0) es un punto singular aislado y calcúlese el índice en (O, 0): *a. V = (x, y). b. X) = ( - X , y). c. v = {x, - y ) . *d. v = (x^ - 2xy).

e. V = (x^ —3xy^,

y^ -

3x^_y).

. ¿Puede ocurrir que el índice de un punto singular sea cero? En caso afirmativo, constrúyase un ejemplo. . Demostrar que una superficie compacta y orientable S R^ admite un campo vectorial sin puntos singulares si y sólo si S es homeomorfa a un toro. . Sea C una curva regular cerrada y simple sobre la esfera 5^. Sea v un campo vectorial diferenciable en tal que sus trayectorias nunca son tangentes a C.Demostrar que cada una de las regiones determinadas por C contiene al menos un punto singular de v.

i.6.

La aplicación exponencial. Coordenadas polares geodésicas

En esta sección introduciremos algunos sistemas de coordenadas especiales, con la lirada puesta en sus aplicaciones geométricas. La manera natural de introducir tales ^ordenadas es a través de la aplicación exponencial, que ahora pasamos a describir.

GtofneMt IMikiaeca d» éuperñclés ate

C om o aprendimos en la sec. 4.4, prop. 5, dado un punto p de una superficie regular S y un vector no nulo v e Tp(S) existe una única geodésica parametrizada y. g) s, con y(0) = p y y ( 0 ) = t;. Para indicar la dependencia de esta geodésica con respecto al vector v, es conveniente representarla por y(í, v) = y. LEMA 1. Si la geodésica y(t, v) está definida para t e ( - e , é ) , entonces la geodésica y(t, Av), A 6 R , A O, estádefinida para t e (-e /A , é/A) y y(t, Av) = y(At, v).

Demostración. Sea a:(-e/X , c/A) 5 la curva parametrizada definida por a(t) = y(A/). Entonces a (0 ) = y(0), a '(0 ) = A /ÍO ), y, por la linealidad de D (cf. la ec. (1), sec. 4.4),

= O· Entonces, a es una geodésica con datos iniciales y(0), Ay'(O), luego, por unicidad, a (0 = y(t, Xv) = yiXt, v)

Q.E.D.

Intuitivam ente, el Lema 1 quiere decir que, al ser constante la velocidad de una geodésica, podem os viajar sobre su traza en un tiem po prefijado, a condición de ajustar apropiadamente nuestra velocidad. Introduciremos ahora la siguiente notación. Si u 6 Tp{S), v O, es tal que y (|u |, v!\v\) = y ( 1, v) está definido, ponem os

exp^(í)) = y(l, v)

y

ex p /0 ) =^p.

G eom étricam ente, la construcción corresponde a trazar (si ello es posible) sobre la geodésica que pasa por y en la dirección de v una longitud igual a |i;|; el punto de 5 obtenido por este procedim iento se denota por expp(u) (fig. 4-36).

Figura 4-36

Figura 4-37

Por ejem plo, en la esfera unidad S^, exp;,(t^) está definida para v e Tp(S^). Los puntos de los círculos de radios 7t,7>n, ..., (2n + l);r son aplicados en el punto q , el punto antipodal de p . Los puntos de los círculos de radios 2n, 3n, ..., 2nn son aplicados de regreso a p .

a » Q^onHMa O tal que expp está definida y es diferenciable en el interior de un disco de radio e y centro el origen contenido en Tp(S).

Demostración. Resulta claro que para cada dirección en Tp(S) es posible, en virtud al lem a 1, tomar v lo suficientem ente pequeño de forma que el intervalo de defínición de y(t, v) contenga a 1, y así y ( l, u) = expp(v) está definida. Para demostrar que esta reducción puede efectuarse uniform em ente en todas las direcciones, necesi­ tam os el teorem a de dependencia regular de una geodésica con respecto a las condiciones iniciales (véase la sec. 4.7) enunciado en la forma siguiente: dado p e S existen números > O, £2 > O >> una aplicación diferenciable Y- ( - £2, £2) X B ,i

S

tal que, para v e B^,, v O, t e ( - £ 2, £■2) , la curva y(t, v) es la geodésica de S con r(0, v) = p , Y (O, v) = v, y para v = O, y(t, 0) = p. Nuestra afirmación se deduce de este enunciado y del lem a 1. En efecto, com o

yit, v) está definida para |f| < £2, k l < £1, al poner A = £2/2 en el lem a 1, obtenem os que y(t, £2/2)v) está definida para jí) < 2, juj < £1. En consecuencia, al tomar el disco fij <= Tp(S), con centro en el origen y radio £ < £i£2/2, tenem os que y ( l, w) = exp/,»v, w6 está definida. La diferenciabilidad de expp en B^ se deduce de la diferenciabili­ dad de y. Q .E .D . La proposición que sigue constituye un com plem ento importante a este resultado.

PROPOSICION 2. La aplicación expp: B^ c Tp(S) —> S es un difeomorfismo en un entorno U c B^ del origen O de Tp(S).

Demostración. V am os a demostrar que la diferencial d(expp) es no singular en O 6 Tp{S). A estos efectos, identificam os el espacio de los vectores tangentes a Tp{S) en O con el propio Tp{S). Considerem os la curva a{t) = t v , v € Tp{S). E s obvio que a(0) = O y o '(0 ) = V. La curva (exp^ ° a )(t) = expp(tv) admite en í = O el vector tangente =

1=0

V.

Oeomelría M ta e o a do supartleies ÍBT

A sí pues (d expp)o(v) =

V,

lo que prueba que d expp es no singular en 0. A plicando el teorem a de la función inversa (cf. la prop. 3, sec. 2 .4 ), com pletam os la dem ostración de la proposición. Q .E .D , R esulta conveniente llamar a K c 5 un entorno normal de p si V = expp(ÍT) es la imagen de un entorno U del origen en Tp(S), sobre el que la restricción de exp^ es un difeom orfism o. Com o la aplicación exponencial en e 5 es un difeom orfism o en U, puede utilizarse para introducir coordenadas en V. Entre los sistem as de coordenadas construidos por este procedim iento, los más habituales son: 1. Las coordenadas normales, que corresponden a un sistem a de coordenadas rectangulares en el plano tangente Tp{S). 2. Las coordenadas polares geodésicas, que corresponden a las coordenadas polares en el plano tangente 7^,(5) (fig. 4-38).

Primero vam os a estudiar las coordenadas norm ales, que se obtienen al elegir en el plano Tp(S), p e S dos vectores ortogonales unitarios e \ y e^. C om o expp: U ·^ V<= S es un difeom orfism o, satisface las condiciones de parametrización e n p . Si q e V,

»»

dm m a m^mmmmm0'»$3ertldes_____________________________

entonces q = exppCw), donde w = uei + ve 2 e U y decimos que q tiene coordei (m, v). Es claro que las coordenadas normales obtenidas por este procedimiei dependen de la elección de y e^. En un sistem a de coordenadas norm ales centradas en p , las geodésicas que pa por p son las im ágenes m ediante expp de las rectas u = at, v = bt que pasan por i origen de Tp{S). O bsérvese tam bién que en p los coeficientes de la primera f o n * _ fundam ental con respecto a dicho sistem a vienen dados por E{p) = G {p) = l l F{p) = 0. A nalicem os ahora las coordenadas polares geodésicas. Elegim os un sistem a d e l coordenadas polares (g, 0) en el plano Tp{S), p e S, donde Q es el radio polar y O < 2;r, es el ángulo polar, cuyo polo es el origen O de Tp{S). O bsérvese que I coordenadas polares del plano no están definidas en la semirrecta cerrada / c o r r e s p o ^ diente a d = 0. Pongam os expp(/) = L . C om o exppt U - l V - L todavía es difeom orfism o, podem os parametrizar los puntos de - L m ediante las c o o r d e n a d ^ l (p, d ) , las cuales se denom inan coordenadas polares geodésicas. U tilizarem os la term inología siguiente. Las im ágenes m ediante expp·. { / —» V d e lo í í círculos en U con centro en O se denominarán círculos geodésicos de V, y las imágeiMs mediante expp de las rectas que pasan por O se llamarán geodésicas radiales de V. En V - L estas curvas so n , respectivam ente, q = const. y 0 = const. A hora vam os a determinar los coeficientes de la primera forma fundamental en un sistem a de coordenadas polares geodésicas.

1

PROPOSICION 3. Sea x : U - l - > V - L « n sistema de coordenadas polares geodésicas (g, 6). Entonces los coeficientes E = E (p , 6), F(p, 0) y G = G (p, 0) de la primera form a fundamental satisfacen las condiciones: E = 1,

F = O,

lim 0 = 0, (>— *0

lini ( V G ) , = 1.

Q— *0

Demostración. Por la definición de aplicación exponencial, g mide la longitud de arco a lo largo de la curva 6 = const. Se deduce inm ediatam ente que E = l: A l introducir el hecho de que* 0 = const. es una geodésica en la ecuación diferencial de las geodésicas (ec. (4), sec. 4 .4 ), se concluye que F u = 0. Utilizando la primera de las relaciones de (2 ), que en la sec. 4.3 definen los sím bolos de Christoffel, obtenem os o = i£

= r i . F = ri,.

A l introducir esta relación en la segunda de las ecuaciones (2) de la sec. 4.3, concluim os que = O, por tanto, F{g, 0) no depende de p. Para cada q e V, denotarem os por a (a ) el círculo geodésico que pasa por q, donde o e [O, 2;r] (si q = p , a (o ) es la curva constante a(d) = p ). D enotarem os por y(s), donde j es la longitud de arco de y, la geodésica radial que pasa por q. Con esta notación podem os escribir

r

Qeomitria kiM rmcmdBauperñcies a n

El coeficiente F(p, 9) no está definido en p . Sin em bargo, si fijam os la geodésica radial 9 = con st., el segundo m iem bro de la ecuación precedente está definido en cada punto de esta geodésica. C om o en p , a(a) = p , es decir, d a /d a = O, obtenem os lim F{g, 9) = lim

g ) = 0.

Esto implica, conjuntam ente con el hecho de que F no depende de g, que F = 0. Para demostrar la última afirmación de la proposición, elegim os un sistema de coordenadas normales (« , í>) en p de forma que el cambio de coordenadas viene dado por

ü = g cos 9,

V

= g sen 9,

g ^ O,

O < 9 < 2ji.

Recordando que

^ E G - F^ = V f G - F^

d {g ,e)

donde d(ü, v)/d(g, 9) es el jacobiano del cam bio de coordenadas y È , F, G , son los coeficientes de la primera forma fundamental en las coordenadas normales («, v), (VG)pp + K V G = O,

(1)

Como en p, É = G = 1 , F = 0 (las coordenadas normales están definidas en p ), concluimos que lim V g = O, p-^o V

lim (VG)^ = 1

con lo que concluye la dem ostración de la proposición. Q .E .D .

Observación 1. El significado geom étrico del hecho de que F = O es que, en un entorno coordenado norm al, la familia de círculos geodésicos es ortogonal a la familia de geodésicas radiales. Se conoce a este hecho com o el lema de Gauss. Ahora presentarem os algunas aplicaciones geom étricas de las coordenadas polares geodésicas. Vam os a estudiar en primer lugar, las superficies de curvatura gaussiana constante. Como en un sistem a polar £ = 1 y F = O, la curvatura gaussiana K se escribe t:-

Vo

■

Puede considerarse esta expresión com o una ecuación diferencial que debe satisfacer V G (g , 9) si pretendem os que la superficie (en el entorno coordenado en cuestión) tenga curvatura K (g, 9). Si K es constante, la expresión de arriba, o, equivalentem ente,

Vg = qVÉG - F^, g¥= 0 .

(2 )

.MMummu ^

, LWMWlipipiUi., i <*W*nwWlìi»
es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. D em ostrarem os ahora el TEOREM A DE M INDING. D os superficies cualesquiera con la misma curvatura gaussiana constante son localmente isométricas. Con más precisión, sean St y S2 dos superficies regulares con la misma curvatura K constante. Elijamos los puntos p i é S i, P2 6 S2 y las bases ortonormales {cj, 62} e Tp^(Si), {fj, f2> € Tp^íSz). Entonces existen entornos V j de p i, V 2 de p2 y una isometría \p: Y i -> Y 2 tal que d V
Demostración. Considerem os primero la ec. (2) y estudiem os por separado los casos (1) a: = O, (2) A > O y (3) a: < 0. 1. Si K = O, (V G )pe = 0. A sí, (V G )p = g{d), donde g(d) es una función de ©. Com o lim ( V G ) , = 1, p-^0 concluim os que ( V G ) , = 1. Por lo tanto, V G = p + fid ), donde fiO) es una función de 6. Ya que fie ) = lim V g = O, e -o

tenem os finalm ente, en este caso,

E = l,

F = 0,

G (p, 0 ) - p 2 .

2. Si A > O, la solución general de la ec. (2) es V g = .4 (0 ) cos ( V K q) + B{6) sen { V K q), donde A {6) y 8 (6 ) son funciones de 6. Derivando se comprueba sin dificultad que esta expresión es una solución de la ec. (2). Com o lim V G = O, obtenem os A (6) = 0. D e esta forma, (V G )p = B (0)V K c o s(V A p ), y com o lim (V G ) = 1, concluim os que

B(9) =

JK '

Por lo tanto, en este caso, £=1,

f= 0,

G = ^ sen^ (V Á p ).

3. Finalm ente, si A < O, la solución general de la ec. (2) es ^(0) cosh ( V - K q ) + 8 (6 ) senh ( V ^ K g).

G m m a rn ia fim ^ d e su p e fn c ie a

2B1

Utilizando las condiciones iniciales, en este caso verificamos que E = l,

F=0,

G = ^

sen h ^ ( V ^ g ) .

A hora ya estam os listos para demostrar el teorem a de M inding. Sean, respectiva­ m ente, y V2 entornos norm ales de p i y p 2 · Sea